Text
Н. Н. МАНСУРОВ и В. С. ПОПОВ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ИЗДАНИЕ ДЕВЯТОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ
SS
ИЗДАТЕЛЬСТВОМ Н Е Р Г И Я»
МОСКВА 1966 ЛЕНИНГРАД
УДК 621.3.01(02)
М 23
В книге рассматриваются физические процес-
сы, происходящие в электрическом и магнитном
полях, в электрических линейных и нелинейных
цепях постоянного и переменного тока. Излага-
ются основные методы расчета, принятые в элек-
тротехнике. Даны описания лабораторных работ.
Изложение поясняется большим количеством при-
меров с решениями.
Книга предназначается для лиц, изучающих
основы электротехники в объеме курса технику-
мов различных электротехнических специально-
стей, и может быть полезна при самообразовании.
Мансуров Николай Николаевич и Попов Виктор Степанович
Теоретическая электротехника, изд. 9-е, исправленное, М.— Л., издательство
«Энергия», 196'6, 624 с. с черт.
Бланк заказа № 35, 1965 г,, п. 16
Редактор Г. Н. Сапков
Техн, редактор Н. А. Будьдяев
Сдано в набор 22/VI 1965 г. Подписано к печати 1/Х 1965 г. Т-13250
Бумага 84Х1081/з2 Печ. л. 32,76. Уч.-изд. л. 32,57. Тираж 310 000 экз.
(2-й завод 150000 экз.) Цена 1 р. 22 к.
Московская типография № 16 Главполиграфпрома Государственного комитета
Совета Министров СССР по печати. Москва, Трехпрудный пер., д. 9.
Отпечатано во Владимирской типографии Главполиграфпрома
Государственного комитета Совета Министров СССР
по печати
Гор. Владимир, ул Победы, д. 18-6. Зак. 2515,
ПРЕДИСЛОВИЕ
С каждым годом в нашей стране увеличивается размах
энергостроительства, возрастает производство электроэнер-
гии и применение ее в различных областях промышленно-
сти, транспорта и сельского хозяйства. Таким образом
во все возрастающих масштабах воплощается в жизнь завет
великого Ленина об электрификации страны. Непрерывно
возрастает потребность в кадрах электротехников. Для
того чтобы овладеть электротехникой, необходимо изу-
чить основы наук и, в частности, основы электротехники.
С 1944 г. данная книга являлась учебником по теорети-
ческой электротехнике для техникумов энергетических
и электротехнических специальностей и на протяжении
восьми изданий неоднократно подвергалась переработке.
Настоящее, девятое издание отличается от предыдущего
издания только тем, что в нем нашли отражение
ГОСТ 9867-61 на Международную систему единиц СИ
и ГОСТ 7624-62 на условные графические обозначения для
электрических схем.
В связи с изменениями в учебных планах и программах,
вызванными сокращением срока обучения в техникумах,
настоящая книга выпускается без грифа учебника. Однако
она может быть использована при изучении теоретической
электротехники как учащимися техникумов, так и электри-
ками-производственниками, повышающими свою квали-
фикацию.
R, С, Попов
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие .............................................. 3
Введение................................................. 13
Глава первая. Электрическое поле
1-1. Основные понятия............................... 17
1-2. Напряженность электрического поля.............. 18
1-3. Электрическое поле точечного заряда............ 21
1-4. Диэлектрическая проницаемость ................. 22
1-5. Закон Кулона .................................. 23
1-6. Электрическое поле нескольких точечных зарядов 25
1-7. Электрический диполь .......................... 26
1-8. Поток вектора напряженности.................... 27
1-9. Теорема Остроградского и Гаусса................ 27
1-10. Потенциал электрического поля.................. 28
1-11. Электрическое напряжение ...................... 30
1-12. Однородное электрическое поле.................. 31
1-13. Равнопотенциальные поверхности................. 34
1-14. Электропроводность вещества.................... 36
1-15. Проводники .................................... 37
1-16. Диэлектрики.................................... 39
1-17. Поляризация диэлектрика......................... 39
1-18. Пробивная напряженность диэлектрика............ 40
1-19. Электрическое смещение ........................ 41
1-20. Полупроводники................................. 44
Глава вторая. Электрическая цепь постоянного тока
2-1. Электрическая цепь ............................ 44
2-2. Электрический ток ............................. 47
2-3. Электродвижущая сила .......................... 49
2-4. Источники э. д. с.............................. 51
А. Первичные элементы............................. 51
Б. Аккумуляторы.................................... 53
В. Термогенератор (термопара)..................... 56
2-5. Электрический ток и плотность тока в проводнике 59
2-6. Закон Ома...................................... 61
2-7. Сопротивление ................................. 62
2-8. Зависимость сопротивления от температуры ... 68
2-9. Электрическая работа и мощность.................70
2-10. Единицы измерения работы и мощности............ 72
2-11. Закон Ома для электрической цепи............... 73
2-12. Преобразование электрической энергии в тепловую 73
2-13. Нагревание проводов током..................... 74
4
2-14. Короткое замыкание. Предохранители ............. 76
2-15. Электрическая цепь с несколькими э. д с......... 77
2-16. Потенциальная диаграмма ........................ 79
Глава третья. Расчет электрических цепей
постоянного тока
3-1. Правила Кирхгофа.......................... 83
3 3- Последовательное соединение сопротивлений ... 85
3-3. Параллельное соединение сопротивлений .... 87
3-4. Смешанное соединение сопротивлений........ 89
3-5. Последовательное, параллельное и групповое соеди-
нения первичных элементов и аккумуляторов . . 91
3-6. Неразветвленная цепь с переменным сопротивлением 93
3-7. Потеря напряжения в проводах................... 96
3-8. Измерение тока и напряжения.................. 100
3-9. Измерение сопротивлений....................... 103
3-10. Расчет сложных цепей методом узловых и контур-
ных уравнений ................................. 104
3-11. Метод узлового напряжения...................... 108
3-12. Параллельное соединение генераторов............. НО
3-13. Принцип наложения (суперпозиции)............... 112
3-14. Метод холостого хода и короткого замыкания
(метод эквивалентного генератора) ............. 113
3-15. Метод преобразования .......................... 117
3-16. Четырехполюсник................................ 121
3-17. Постоянные четырехполюсника................... 125
3-18. Определение постоянных четырехполюсника . . . 126
3-19. Испытание четырехполюсника..................... 127
3-20. Лабораторная работа. Исследование электрического
поля в проводящей среде........................ 129
3-21. Лабораторная работа. Измерение удельного сопро-
тивления проводов (§ 2-7) 130
3-22. Лабораторная работа. Измерение потенциалов точек
электрической цепи (§ 2-16) ................... 130
3-23. Лабораторная работа. Исследование процесса нагре-
вания катушки электрическим током (§ 2-4, 2-8 и 2-13) 132
3-24. Лабораторная работа. Последовательное и парал-
лельное соединения сопротивлений (§ 3-2 и 3-3) . . 134
3-25. Лабораторная работа. Исследование неразветвлен-
ной электрической цепи при одном переменном
сопротивлении (§ 3-6) ......................... 135
3-26. Лабораторная работа. Измерение потери напряжения
в проводах (§ 3-7)............................. 136
3-27. Лабораторная работа. Расширение пределов изме-
рения тока и напряжения (§ 3-8)................ 138
3-28. Лабораторная работа. Измерение э. д. с. компенса-
ционным методом ............................... 140
3-29. Лабораторная работа. Измерение сопротивлений
измерительным мостом (§ 3-9) ........... 141
3-30. Лабораторная работа. Опытная проверка принципа
наложения (§ 3-13) ............................ 142
3-31. Лабораторная работа. Испытание четырехполюсника
(§ 3-16-3-19) ............................... 143
5
Глава четвертая. Нелинейные электрические цепи
постоянного тока
4-1. Основные понятия............................. 144
4-2. Двухэлектродная электронная лампа............. 145
4-3. Трехэлектродная электронная лампа............. 148
4-4. Параметры трехэлектродной лампы............... 150
4-5. Ламповый усилитель............................ 151
4-6. Электрический ток в газах..................... 153
4-7. Самостоятельный разряд в газе................. 155
4-8. Темный и тлеющий разряды...................... 156
4-9. Искровой разряд............................... 156
4-10. Дуговой разряд ............................. 157
4-11. Проводимость полупроводников ................. 159
4-12. Влияние примесей на проводимость полупровод-
ников ........................................ 161
4-13. Электронно-дырочный переход .................. 162
4-14. Полупроводниковый вентиль .................... 163
4-15. Полупроводниковый усилитель .................. 164
4-16. Меднозакисные и селеновые вентили............. 165
4-17. Расчет нелинейных цепей....................... 167
4-18. Балластное сопротивление ..................... 170
4-19. Стабилизаторы тока и напряжения............... 172
4-20. Лабораторная работа. Снятие характеристик двух-
электродной и трехэлектродной ламп (§ 4-2—4-4) 173
4-21. Лабораторная работа. Снятие вольт-амперной харак-
теристики полупроводникового вентиля (§ 4-14, 4-16) 174
4-22. Лабораторная работа. Исследование нелинейной
цепи при последовательном н параллельном соеди-
нении (§ 4-17)................................ 176
Глава пятая. Электромагнетизм
5-1. Магнитное поле электрического тока............ 178
5-2. Магнитная индукция............................ 178
5-3. Магнитная индукция в центре кольцевого провод-
ника с током.................................. 180
5-4. Магнитная проницаемость ..................... 181
5-5. Единицы измерения магнитной индукции .... 182
5-6. Линии магнитной индукции...................... 183
5-7. Магнитный поток .............................. 184
5-8. Трубка магнитной индукции..................... 185
5-9. Напряженность магнитного поля................. 186
5-10. Магнитное напряжение.......................... 187
5-11. Закон полного тока............................ 188
5-12. Магнитное поле прямолинейного провода с током 190
5-13. Магнитное поле коаксиального кабеля........... 194
5-14. Магнитное поле кольцевой катушки.............. 194
5-15. Магнитный момент. Намагниченность............. 196
5-16. Намагничивание ферромагнитных материалов . . . 198
5-17. Циклическое перемагничивание ................. 201
5-18. Магнитное поле на границе раздела двух сред
с различной магнитной проницаемостью.......... 204
5-19. Магнитная цепь................................ 206
5-20. Магнитные цепи электрических машин............ 207
6
5-21. Расчет магнитной цепи ....................... 298
5-22. Постоянные магниты........................... 212
5-23. Электромагнитная сила........................ 216
5-24. Электромагнитные силы, действующие на парал-
лельные провода с токами ..................... 218
5-25. Работа электромагнитных сил.................. 220
5-26. Работа электромагнитных сил при перемещении
контура с током .............................. 222
5-27. Магнитоэлектрический измерительный механизм 224
Глава шестая. Электромагнитная индукция
6-1. Сила, действующая на электрон, движущийся в маг-
нитном поле ..................................... 225
6-2. Электродвижущая сила электромагнитной индукции 226
6-3. Преобразование механической энергии в электри-
ческую ....................................... 229
6-4. Электрические генераторы ..................... 330
6-5. Преобразование электрической энергии в механи-
ческую ....................................... . . 233
6-6. Электрические двигатели ...................... 234
6-7. Электродвижущая сила электромагнитной индукции
в контуре ................................... ..... 236
6-8. Потокосцепление............................... 240
6-9. Вихревые токи................................. 241
6-10. Баллистический гальванометр................... 243
6-11. Возбуждение электрического заряда изменяющимся
магнитным потоком ............................. 244
6-12. Измерение магнитного потока и магнитной индукции 245
6-13. Измерение магнитного напряжения 246
6-14. Индуктивность................................. 247
6-15. Индуктивность катушки......................... 248
6-16. Индуктивность двухпроводной линии............ 249
6-17. Электродвижущая сила самоиндукции............. 251
6-18. Переходный процесс при подключении цепи, обла-
дающей сопротивлением и индуктивностью, к источ-
нику питания с постоянной э. д. с.............. 251
6-19. Переходный процесс в короткозамкнутом контуре 255
6-20. Электродвижущая сила самоиндукции при выклю-
чении цепи .................................... 256
6-21. Энергия магнитного поля....................... 257
6-22. Плотность энергии магнитного поля............. 258
6-23. Электромагниты ............................... 259
6-24. Взаимная индуктивность .................. 262
6-25. Энергия магнитного поля индуктивно связанных кон-
туров .......................................... 264
6-26. Электродвижущая сила взаимной индукции .... 264
6-27. Магнитная связь контуров .................. 265
6-28. Лабораторная работа. Измерение магнитной индук-
ции (§ 5-14—6-12) 267
6-29. Лабораторная работа. Измерение магнитного напря-
жения (магнитный пояс) (§ 6-13)........... 268
6-30. Лабораторная работа. Исследование гистерезиса
(§ 5-16, 5-17) 270
7
Глава седьмая. Электрическая емкость
7-1. Емкость конденсаторов ......................... 272
7-2. Параллельное соединение конденсаторов .... 275
7-3. Последовательное соединение конденсаторов . . . 276
7-4. Плоский конденсатор ........................... 277
7-5. Плоский конденсатор с двухслойным диэлектриком 278
7-6. Цилиндрический конденсатор .................... 280
7-7. Емкость двухпроводной линии............... 282
7-8. Зарядный ток конденсатора....................... 284
7-9. Электрический ток смещения................ 287
7-10. Энергия электрического поля............... 288
7-11. Плотность энергии электрического поля..... 289
7-12. Разрядка конденсатора на сопротивление .... 290
7-13. Саморазрядка конденсатора ..................... 291
7-14. Разрядка конденсатора через катушку (колеба-
тельный контур) ............................... 292
7-15. Закон изменения тока и напряжения в колебатель-
ном контуре ................................... 294
7-16. Период и частота собственных колебаний .... 295
7-17. Затухающие колебания .......................... 296
7-18. Лабораторная работа. Исследование зарядки и раз-
рядки конденсатора (§ 7-8, 7-12)............... 298
7-19. Лабораторная работа. Генератор пилообразных
напряжений .................................... 299
Глава восьмая. Основные понятия и определения,
относящиеся к переменным токам
8-1. Период и частота переменного тока.............. 301
8-2. Зависимость частоты переменного тока от числа пар
полюсов и скорости вращения генератора .... 303
8-3. Фаза. Сдвиг фаз................................ 306
8-4. Графическое изображение синусоидальных величин 309
8-5. Сложение и вычитание синусоидальных величин 312
8-6. Средние значения тока и напряжения............. 317
8-7. Среднее значение тока при однополупериодном и
двухполупериодном выпрямлении ................. 319
8-8. Среднее значение наведенной э, д. с............ 320
8-9. Действующие значения тока, напряжения и э. д. с. 321
8-10. Коэффициент формы и коэффициент амплитуды . . 324
Глава девятая. Неразветвлениые цепи переменного тока
9-1. Общие замечания ............................... 325
9-2. Цепь с сопротивлением.......................... 326
а) Ток и напряжение цепи......................... 326
б) Мгновенная мощность........................... 327
в) Активная мощность ............................ 328
9-3. Цепь с индуктивностью.......................... 329
а) Ток и напряжение. Индуктивное сопротивление . 329
б) Мгновенная мощность .......................... 331
в) Реактивная мощность .......................... 332
9-4. Поверхностный эффект и эффект близости .... 332
8
9-5. Цепь с емкостью ................................ 335
а) Ток и напряжение. Емкостное сопротивление . . . 335
б) Мгновенная мощность ............................ 338
в) Реактивная мощность ............................ 339
9-6. Цепь с сопротивлением и индуктивностью .... 339
а) Ток и напряжения................................ 339
б) Треугольник напряжений ..........................342
в) Полное сопротивление. Треугольник сопротивлений 343
г) Мгновенная мощность. Активная и реактивная
мощности ......................................... 344
д) Полная мощность. Треугольник мощностей . . . 347
9-7. Цепь с сопротивлением и емкостью................ 349
а) Ток и напряжение ............................... 349
б) Треугольник сопротивлений ...................... 351
в) Мгновенная мощность. Активная, реактивная и
полная мощности .................................. 352
9-8 Цепь с сопротивлением, индуктивностью и емко-
стью ......................................... ..... 353
а) Ток и напряжение ............................... 353
б) Реактивное сопротивление. Треугольник сопротивле-
ний ............................................ 356
в) Знак угла.................................. 356
г) Соотношение между напряжениями на зажимах и на
отдельных участках цепи........................ 358
д) Мгновенная мощность ............................ 359
9-9. Общий случай последовательного соединения . . . 362
9-10. Резонанс напряжений ............................. 365
9-11. Резонансные кривые .............................. 368
9-12. Круговые диаграммы неразветвленных цепей . . . 371
а) Основные понятия н определения............. 371
б) Круговая диаграмма неразветвленной цепи с
постоянным активным и переменным реактивным
сопротивлениями................................... 372
в) Круговая диаграмма неразветвленной цепи с
постоянным реактивным и переменным активным
сопротивлениями................................... 375
г) Круговая диаграмма неразветвленной цепи, состоя-
щей из катушки и переменного активного сопро-
тивления ......................................... 377
9-13. Переходные процессы при включении цепи с сопро-
тивлением и индуктивностью под синусоидальное
напряжение ..................................... 381
9-14. Переходные процессы при включении цепи с сопротив-
лением и емкостью под синусоидальное напряжение 386
Глава десятая. Разветвленные цепи переменного тока
10-1. Расчет разветвленной цепи с двумя ветвями . . . 392
10-2. Метод проводимостей.............................. 394
10-3. Общий случай параллельного соединения .... 398
10-4. Цепи со смешанным соединением сопротивлений . 401
10-5. Конденсатор с потерями........................... 405
10-6. Резонанс токов .................................. 408
10-7. Резонанс токов в контуре без потерь.............. 415
9
10-8. Коэффициент мощности и его значение............ 471
10-9. Активная и реактивная энергия.................. 421
10-10. Круговые диаграммы разветвленных цепей .... 422
а) Круговая диаграмма разветвленной цепи с изме-
няемым активным сопротивлением................. 422
б) Круговая диаграмма разветвленной цепи с изме-
няемым индуктивным сопротивлением................ 424
10-11. Измерение тока и напряжения.................. 426
10-12. Измерение частоты ............................ 426
10-13. Измерение мощности............................ 427
10-14. Измерение сдвига фаз.......................... 429
10-15. Лабораторная работа. Сложение синусоидальных
напряжений (§ 8-5)............................. 431
10-16. Лабораторная работа. Снятие кривых мгновенных
значений переменного тока и напряжения .... 433
10-17. Лабораторная работа. Исследование неразветвлен-
иой цепи переменного тока (§ 9-8)............. 436
10-18, Лабораторная работа. Резонанс напряжений (§9-10,
9-11).......................................... 438
10-19, Лабораторная работа. Построение круговой диа-
граммы нераззетвленной цепи переменного тока
(§9-12).............................................. 439
10-20, Лабораторная работа. Исследование разветвленной
цепи переменного тока (§ 10-1, 10-2 и 10-3) .... 440
10-21, Лабораторная работа. Резонанс токов (§ 10-6) . . 441
10-22. Лабораторная работа. Построение круговой диа-
граммы разветвленной цепи переменного тока
(§ 10-10,а) ......................................... 443
10-23. Лабораторная работа. Измерение коэффициента
мощности, повышение коэффициента мощности
(§ 10-10, б)......................................... 444
Глава одиннадцатая. Расчет электрических цепей
символическим методом
11-1. Основные понятия .............................. 445
11-2. Сложение н вычитание комплексных чисел .... 449
11-3. Умножение и деление комплексных чисел .... 451
11-4. Токи, напряжения и сопротивления в символиче-
ской форме .................................... 455
11-5. Мощность ...................................... 460
11-6, Правила Кирхгофа............................... 461
11-7. Цепи с последовательно и параллельно соединен-
ными сопротивлениями .......................... 463
11-8. Цепи со смешанным соединением сопротивлений
Сложные цепи................................... 465
11-9. Получение угла сдвига фаз между напряжением
и током, равного 90°........................... 468
11-10. Индуктивно связанные цепи................... 469
а) Воздушный трансформатор....................... 470
б) Индуктивно связанные катушки, соединенные парал-
лельно .......................................... 472
в) Индуктивно связанные катушки, соединенные после-
довательно .............................. 475
10
11-11. Измерение взаимной индуктивности............. 476
11-12. Лабораторная работа. Получение сдвига фаз 90°
между напряжением и током (§11-9)............. 477
11-13. Лабораторная работа. Измерение индуктивности
и взаимной индуктивности (§11-10).................... 479
Глава двенадцатая. Трехфазный ток
12-1. Трехфазные системы ........................... 481
12-2. Соединение обмоток трехфазного генератора звездой 483
12-3. Соединение обмоток трехфазного генератора тре-
угольником .................................... 486
12-4. Соединение приемников энергии звездой ..... 488
12-5. Роль смещения нейтрали. Нейтральный провод . 491
12-6. Соединение приемников звездой при равномерной
нагрузке фаз................................... 494
12-7. Топографическая диаграмма .................... 495
12-8. Соединение приемников энергии треугольником . 498
12-9. Соединение приемников энергии треугольником при
равномерной нагрузке фаз................ 501
12-10. Включение электрических ламп н электродвигателей
в цепь трехфазного тока........................ 502
12-11. Свойства сумм линейных токов и линейных напря-
жений трехфазной цепи.......................... 503
12-12. Преобразование треугольника сопротивлений в звезду 505
12-13. Мощность трехфазного тока. Уравновешенная трех-
фазная система ................................ 508
12-14. Измерение мощности в цепи трехфазного тока . . 510
12-15. Вращающийся магнитный поток при трехфазном токе 514
12-16. Уравнение вращающегося магнитного потока . . 516
12-17. Разложение пульсирующего магнитного потока на
два вращающихся в разные стороны............... 519
12-18. Принцип действия асинхронных электродвигателей 519
12-19. Вращающийся магнитный поток при двухфазном токе 520
12-20. Последовательность фаз н способы ее нахождения 521
12-21. Симметричные составляющие несимметричной трех-
фазной системы ................................ 524
12-22. Лабораторная работа. Исследование четырехпровод-
ной н трехпроводной цепей трехфазного тока при
соединении приемника энергии звездой (§ 12-4—12-7) 528
12-23. Лабораторная работа. Исследование цепи трехфаз-
ного тока при соединении приемника энергии тре-
угольником (§ 12-8 и 12-9)........................... 530
12-24. Лабораторная работа. Исследование цепи трехфаз-
ного тока при неоднородной нагрузке фаз. Построе-
ние топографической диаграммы (§12-4, 12-5,12-7 и
12-20)........................................ 531
12-25. Лабораторная работа. Исследование вращающегося
магнитного потока ................................... 533
Глава тринадцатая. Несинусоидальные токи
13-1. Основные понятия ............................. 535
13-2. Виды периодических кривых.................... 539
13-3. Разложение периодических кривых на гармоники 543
И
13-4. Несинусондальные токи и напряжения в электриче-
ских цепях .................................... 546
13-5. Действующие значения несинусоидального тока
и напряжения .................................. 552
13-6. Мощность при несинусоидальном токе............... 555
13-7. Фильтры........................................... 557
13-8. Высшие гармоники в цепи трехфазного тока . . . 559
Глава четырнадцатая. Цепи переменного тока со сталью
14-1. Ток, напряжение и магнитный поток в цепи со сталью 565
14-2. Построение кривой намагничивающего тока . . , 567
14-3. Мощность................................... 569
14-4. Расчет намагничивающего тока............... 569
14-5. Влияние гистерезиса на формуй величину намагни-
чивающего тока ................................ 571
14-6. Магнитный поток при синусоидальном намагни-
чивающем токе.................................. 572
14-7. Вольт-амперная характеристика катушки со сталью 573
14-8. Потери энергии от гистерезиса..................... 575
14-9. Потери энергии от вихревых токов.................. 577
14-10. Потери в стали .................................. 577
14-11. Угол потерь....................................... 578
14-12. Векторная диаграмма катушки со стальным сер-
дечником ............................................ 579
а) Влияние активного сопротивления.................... 579
б) Влияние магнитного рассеяния...................... 582
14-13. Схема замещения катушки со стальным сердечником 583
14-14. Переходный процесс при включении катушки со
стальным сердечником под переменное напряжение 584
14-15. Последовательное соединение конденсатора и катуш-
ки со стальным сердечником........................... 589
14-16. Устройство и принцип работы трансформатора . . . 592
14-17. Автотрансформатор ............................... 595
14-18. Утроитель частоты................................. 596
14-19. Лабораторная работа. Измерение потерь в стали
(§ 14-8, 14-9 и 14-10)............................... 596
Глава пятнадцатая. Длинные линии (электрические
цепн с распределенными параметрами)
15-1. Общие замечания .................................. 598
15-2. Уравнения однородной линии........................ 600
15-3. Падающие и отраженные волны напряжения и тока
в однородной линии ............................ 604
15-4. Вторичные параметры однородной линии .... 607
15-5. Однородная линия постоянного тока................ 609
15-6. Линия переменного тока без потерь................. 610
15-7. Коэффициент отражения ............................ 611
15-8. Однородная линия с потерями, замкнутая на согла-
сованную нагрузку.............................. 613
15-9. Приближенные уравнения ........................... 616
15-10. Стоячие волны..................................... 617
Приложения................................................. 620
12
ВВЕДЕНИЕ
Со второй половины XIX в. начался период бурного
расцвета и практического применения нового вида энер-
гии—электричества. Электрическая энергия обладает
очень ценными свойствами: она просто преобразуется
из других видов энергии (механической, химической
и др.), передается с малыми потерями на большие рас-
стояния (сотни километров) в города, на заводы и фаб-
рики. В пункте потребления электрическая энергия просто
дробится и преобразуется в нужный вид энергии: механи-
ческую, тепловую, химическую и др. Таким образом,
электричество позволяет использовать и транспортировать
дешевую энергию, накопленную в природе (энергия падаю-
щей воды), или удешевляет ее использование (торф, низко-
сортный уголь).
Замечательные свойства электрической энергии на-
ходят еще большее применение при использовании но-
вой — ядерной — энергии.
После Великой Октябрьской социалистической рево-
люции под руководством Коммунистической партии вы-
росла передовая индустриально-колхозная держава —
Союз Советских Социалистических Республик.
В СССР электрификация проводится в грандиозных
все возрастающих масштабах. Замечательный призыв
В. И. Ленина, сформулированный им в 1920 г.: «Комму-
низм — это есть Советская власть плюс электрификация
всей страны» успешно воплощается в жизнь.
В трудных условиях гражданской войны Советское
правительство и Коммунистическая партия неустанно
заботились о строительстве новых электростанций,
прежде всего на базе использования местных энергети-
ческих ресурсов. В 1918 г. началось строительство Вол-
ховской гидроэлектростанции. В 1919 г. развернулась
13
стройка Каширской электростанции, работающей на
подмосковном угле. В 1920 г. в Шатуре была пущена элек-
тростанция на торфе.
В. И. Ленин отчетливо представлял себе, что без элек-
трификации страны, без развития ее энергетической базы
не может быть индустриализации России. Поэтому непо-
средственно после захвата власти пролетариатом он
поставил вопрос о разработке плана электрификации.
Такой план был составлен Государственной комиссией
по электрификации России — план ГОЭЛРО и утверж-
ден VIII съездом Советов в 1920 г.
По плану ГОЭЛРО было намечено в течение 10—15 лет
ввести в действие 30 новых районных электростанций
общей мощностью 1,5 млн. кет и расширить действующие
электростанции, увеличив их мощность на 250 тыс. кет.
Как известно, первый план электрификации был
не только выполнен, но и перевыполнен. В 1934 г., т. е.
спустя 14 лет после утверждения плана, мощность элек-
тростанций СССР достигла 3 666 тыс. кет, превысив задание
плана ГОЭЛРО более чем в 2 раза.
С 1929 г. электрификация страны проводилась по ве-
ликим планам пятилеток. История не знала таких гран-
диозных масштабов и таких высоких темпов строитель-
ства, какими осуществлялось в нашей стране создание
электростанций в годы пятилеток. В период первых пяти-
леток зажглись огни крупнейшей в Европе Днепровской
гидроэлектростанции, были пущены Челябинская, Зуев-
ская, Кузнецкая и многие другие тепловые электростан-
ции.
Рост энергетической базы явился важным фактором
для подготовки нашей страны к активной обороне. На-
кануне Великой Отечественной войны в 1940 г. электро-
станции СССР произвели около 50 млрд, квт-ч электро-
энергии: в 25 раз больше, чем электростанции России
в 1913 г.
За годы пятилеток в СССР почти заново создана элек-
тротехническая промышленность. Было освоено производ-
ство мощных турбин и генераторов, сверхмощных высоко-
вольтных трансформаторов, нормальных и специальных
электродвигателей, освоено изготовление разнообразных
проводов и кабелей, точных электроизмерительных при-
боров и аппаратов. Старые электромашиностроительные
заводы — «Динамо», «Электросила» и др. были реконструи-
14
рованы и превратились по существу в совершенно новые
предприятия.
Несмотря на большие разрушения, произведенные
во время Великой Отечественной войны, энергетика на-
шей страны стала после войны более мощной, чем до
войны.
В результате успешного восстановления и развития
народного хозяйства уже в 1950 г. выработка энергии
составила 92 млрд, квт-ч, на 87% превзойдя выработку
в 1940 г., а мощность электростанций в том же 1950 г.
достигла 19,6 млн. кет вместо 11 млн. кет в 1940 г. Вы-
работка электроэнергии в 1960 г. увеличилась до
292 млрд, квт-ч, а установленная мощность электро-
станций — до 66,7 млн. кет.
Дальнейшее развитие энергетики Советского Союза
характеризуется все увеличивающимся ростом выработки
электроэнергии и установленной мощности электростан-
ций. В 1965 г. выработка электроэнергии достигнет 500—
520 млрд, квт-ч, а мощность электростанций 113 млн. кет.
Придавая важнейшее значение электрификации страны
и изобилию дешевой электроэнергии как основному усло-
вию развития ее производительных сил, Программа Ком-
мунистической партии Советского Союза, принятая на
XXII съезде, дает величественные перспективы развития
советской энергетики. Производство электроэнергии в 1970 г.
должно достигнуть 900—1 000 млрд, квт-ч в год при мощ-
ности электростанций 190—220 млн. кет, а в 1980 г. —
2 700—3 000 млрд, квт-ч при мощности электростанций
540—600 млн. кет. За 20 лет намечено строительство
около 200 тепловых электростанций мощностью до 3 млн. кет
каждая и примерно 180 мощных гидроэлектростанций.
Велики наши успехи и достижения в науке и технике;
об этом свидетельствуют такие выдающиеся события по-
следнего периода, какими являются пуск первой в мире
атомной электростанции, пуск величайших по мощности
Братской гидроэлектростанции на Ангаре, Волжских —
имени В. И. Ленина и имени XXII съезда КПСС, пуск
крупнейшего в мире синхрофазотрона для изучения атом-
ного ядра, запуск искусственных спутников земли, лунни-
ков, космических ракет и кораблей и, наконец, полеты
человека в космическое пространство. Но нам нельзя
успокаиваться на том, что уже сделано. Электротехника
развивается так стремительно, что сегодняшний высокий
15
уровень ее развития завтра может оказаться недоста-
точным
Электротехника — увлекательная и интересная наука.
Но изучение электротехники требует настойчивости, воли
и большой энергии. Учащиеся советских учебных заведе-
ний должны помнить о больших задачах, стоящих перед
ними как строителями коммунистического общества, и о
большой ответственности за свою работу перед советским
народом.
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
1-1. ОСНОВНЫЕ понятия
Опытным путем установлено, что во всяком теле содер-
жится большое количество электрически заряженных ча-
стиц вещества Эти частицы или входят в состав молекул,
или являются «свободными» (не входят в состав молекул).
В обычных условиях в достаточно большом элементе объема
тела находится в среднем равное количество положительно
и отрицательно заряженных частиц или, как короче гово-
рят, положительных и отрицательных электриче-
ских зарядов, и тело является электриче-
ски нейтральным. Выражение «в среднем» озна-
чает, что мы не считаемся с малыми и быстрыми измене-
ниями числа зарядов в данном объеме, происходящими
в результате теплового движения молекул и «свободных»
частиц В электрически заряженном теле
(или части тела) преобладают положительные или отрица-
тельные заряды.
Если вблизи заряженного тела (частицы) находится
другое заряженное тело (частица), то между ними возни-
кают силы электрического взаимодействия.
Разноименные заряженные частицы притягиваются друг
к другу, одноименною отталкиваются.
Взаимодействие заряженных частиц объясняется тем,
что каждая из них неразрывно связана с окружающим
ее электрическим полем. Электрически заря-
женные частицы вещества и электрическое поле являются
видами материи. Электрическое поле обладает энергией,
которую называют электрической энергией.
Электрическое поле неподвижных зарядов называют элек-
тростатическим. Если в электрическое поле,
2 Теоретическая электротехника 17
которое окружает электрически заряженную частицу ве-
щества, внести другую заряженную частицу, то последняя
будет испытывать действие силы поля, в свою очередь элек-
трическое поле второй частицы будет действовать на первую
частицу.
По силе взаимодействия можно определить величины
электрических зарядов и установить для них единицу
измерения. Электрический заряд обозначается буквой Q
(или q) и измеряется в электротехнике в кулонах (сокра-
щенно к). Электрический заряд мельчайшей частицы ве-
щества-электрона составляет 1,60-10-1’ к, т. е. суммар-
ный электрический заряд 6,3-1018 электронов составляет
один кулон.
1-2. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Каждая точка электрического поля характеризуется
напряженностью электрического по-
л я (обозначается g). Опытом установлено, что чем больше
заряд Q, тем больше величина напряженности его элек-
трического поля g.
Для измерения напряженности внесем в поле неподвиж-
ного заряда Q другой очень маленький (по сравнению
с Q) «пробный» заряд q. Силу поля, действующего на заряд q,
обозначим буквой F. Сила поля F будет прямо пропорцио-
нальна заряду q, но и при неизменной величине проб-
ного заряда сила поля может иметь разную величину
в отдельных точках одного и того же электрического поля.
Таким образом, сила поля зависит не только от величины
пробного заряда, но и от свойств поля в той точке, где
расположен пробный заряд. Величина, характеризующая
электрическое поле в каждой его точке, и называется на-
пряженностью электрического поля. Чем больше напряжен-
ность поля, тем больше и сила F, действующая на заряд q.
Итак, сила поля F пропорциональна величине пробного
заряда q и напряженности электрического поля g, т. е.
F=£q. (1-1)
Пользуясь зависимостью (1-1), найдем напряженность
электрического поля:
g = ^. (1-2)
18
Выше мы указали, что сила F прямо пропорциональна
пробному заряду q. Если q уменьшить (или увеличить)
в п раз, то во столько же раз уменьшится (или увеличится) F,
а их отношение останется неизменным. Таким образом,
напряженность электрического поля не зависит от вели-
чины пробного заряда и является характеристикой самого
электрического поля. Заметим, что при q, равном единице,
g численно равна F, т. е. напряженность в данной точке
поля численно равна силе поля, которая действует на еди-
ничный пробный заряд.
Формула (1-2) дает возможность установить единицу
измерения напряженности электрического поля. С 1963 г.
в СССР применяется Международная система единиц,
обозначаемая СИ или SI (см. приложение 2). Основные
единицы этой системы: метр, килограмм, секунда, ампер,
градус Кельвина и свеча. В системе СИ сила измеряется
в ньютонах (н), электрический заряд в кулонах (к), длина
в метрах (л), масса в килограммах (кг), время в секундах
(сек). Сила 1 н сообщает массе 1 кг ускорение, равное 1 м/сек
за секунду, т. е. 1 н = 1 кг-1 м/сек2. Сила в 1 н на пути
длиной 1 м совершает работу в 1 джоуль: 1 дж — 1 н-1 м
и, следовательно, 1 н — 1 дж/\ м.
Выражая силу через работу и путь, можно определить
единицу напряженности электрического поля:
_ Г F *1 "н _ дж
® L <7 J к м-к
Ниже мы познакомимся с электрическим потенциалом
и напряжением, единицей измерения которых служит
вольт (в), причем 1 в = 1 дж : 1 к. Поэтому, короче, еди-
ница измерения напряженности электрического поля
^ = 1 •
Это, однако, не значит, что в расчетах напряженность
поля следует всегда выражать в в/м. Длину и вообще любые
линейные размеры тел и устройств часто удобнее измерять
в сантиметрах (см) или миллиметрах (мм). Аналогично
и напряженность поля определяют в в/см или в/мм, при-
чем 1 в/м = 10~2 в/см = 10~3 в/мм.
Напряженность электрического поля рассматривают
как векторную величину. За направление вектора напря-
женности принимают направление силы, с которой поле
2* 19
действует на положительный пробный заряд, помещенный
в данную точку поля.
Электрическое поле, во всех точках которого векторы
напряженности одинаковы, называется однородным.
Для изображения электрического поля пользуются
линиями напряженности электричес-
кого поля (электрическими
линиями).
Каждая линия напряженности
электрического поля проводится
так, чтобы направление вектора
напряженности электрического
поля в любой ее точке совпадало
Рис. 1-1. Элек-
трическое поле
между двумя
разноименно за-
ряженными пло-
скими парал-
лельными пла-
стинами.
Рис 1-2 Электриче-
ское поле заряженно-
го шара
с направлением касательной в
этой точке. Электрические ли-
нии поля неподвижных зарядов
не замкнуты; они начинаются на
телах, обладающих положительным зарядом, и окан-
чиваются на телах, обладающих отрицательным зарядом.
Линии напряженности проводят так, чтобы по их густоте
можно было судить о величине напряженности электри-
ческого поля. Для этого через каждую единичную площадку,
построенную перпендикулярно вектору напряженности по-
ля, проводят не произвольное число линий напряженности
поля, а такое число линий, которое равно или пропорцио-
нально величине напряженности поля в этой области поля.
Единичная площадка (1 см2, 1 мм2 и др.) должна быть
достаточно малой, чтобы во всех ее точках g было оди-
наковым. На рис. 1-1 показаны электрические линии между
двумя разноименно заряженными плоскими параллель-
20
ними пластинами. В средней части в любых точках поля
векторы напряженности одинаковы (на рисунке показаны
векторы g в двух точках), т. е. в центральной части поле
однородное. У краев пластин векторы напряженности не
равны по величине и не параллельны, значит, поле неод-
нородно. Направления векторов g всюду совпадают с на-
правлениями касательных.
На рис. 1-2 изображены линии напряженности элек-
трического поля вокруг уединенного положительно заря-
женного шара (в этом случае их надо считать оканчиваю-
щимися в бесконечности). По мере удаления от шара число
линий, приходящихся на единичную площадку, стано-
вится все меньше. Значит, чем дальше находится точка
поля от шара, тем напряженность меньше.
1-3. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА
Вначале рассмотрим электрическое поле точечного заря-
женного тела (точечного заряда). Точечным называется
заряженное тело, линейные размеры которого весьма малы
по сравнению с расстоянием R
от тела до точек, в которых оп-
ределяется поле.
Опыты Кулона показали, что
электрическое поле точечного за-
ряда Qi (рис. 1-3) действует на
помещенный в точке А точечный
заряд Qz с силой Fit прямо про-
порциональной величине обоих
зарядов, обратно пропорциональ-
Рис 1-3 Электрическое по-
ле точечного заряда
ной квадрату расстояния R меж-
ду ними и зависящей, кроме того, от среды, в которой
расположены оба заряда. Поэтому напряженность поля
заряда Qt в точке А может быть выражена формулой
81 =
<?2 ~
Qi
4лД2еа
(1-3)
где еа — величина, учитывающая влияние среды и называе-
мая ее абсолютной диэлектрической
проницаемостью.
В знаменателе вместо квадрата расстояния R от дан-
ной точки до точечного заряда Qi введена пропорциональ-
ная R2 величина шаровой поверхности 4лК2, проходящей
21
через точку А и имеющей центр в точке расположения
заряда Qi. Направление вектора напряженности поля
в точке А совпадает с направлением прямой, проходящей
через точечный заряд Qi и точку А.
Очевидно, что во всех точках, удаленных от точечного
заряда Qt на одно и то же расстояние R, т. е. расположен-
ных на шаровой поверхности радиуса R, величина (но не
направление) напряженности поля одинакова, а линии
напряженности электрического поля точечного заряда Qi
направлены радиально (рис. 1-3).
1-4. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
Преобразуя выражение для напряженности поля, най-
дем единицу измерения абсолютной диэлектрической про-
ницаемости:
Г₽ 1 — Г Q ~| — К'М - К —
1 а L 4л7?2^ J м2-в в-м м ‘
Единицу к/в называют фарада (фарада — единица емко-
сти, с которой мы познакомимся в § 7-1) и сокращенно
обозначают ф.
Различные вещества имеют разную абсолютную ди-
электрическую проницаемость. Опытным путем установлено,
что абсолютная диэлектрическая проницаемость пустоты
(вакуума)
е = А = 8,85-10“12 — . (1-4)
и 36л м м ' '
Абсолютную диэлектрическую проницаемость вакуума
е0 называют еще электрической постоян-
ной. Абсолютные диэлектрические проницаемости дру-
гих веществ удобно выражать через электрическую по-
стоянную.
Отношение абсолютной диэлектрической проницаемости
еа данного вещества к электрической постоянной е0
называют диэлектрической проницаемо-
стью вещества (обозначается е), так что
е = —, а еа = еое = 8,85-10~12е ф!м.
ео
Диэлектрическая проницаемость е — отвлеченная вели-
чина. В табл. 1-1 приведены значения е для некоторых
22
веществ. Для воздуха можно практически считать е = 1,
т. е.
еа = е0 = 8,85-10'12 ф!м.
Вводя диэлектрическую проницаемость в формулу дли
напряженности поля точечного заряда и опуская индекс 1,
получим;
« _ Q _ Q (1 _5\
4лее07?2 4яеа7?2 ' ' '
Таблица 1-1
Материал
е
Бумага парафинирован-
ная ..................
Вода дистиллированная
Масло минеральное . . .
Мрамор...............
Миканнт .............
Резина ..............
Слюда ...............
Стекло ..............
Фарфор...............
Шифер ...............
4,3
80
2,2
8,3
5,2
2,7
6-7,5
5,5-8
5,8
6,7
Для упрощения расчетов в формулу (1-5) подставим
еще величину е0, тогда
_ 9(?-109
® . IO-» е7?2
4яе — R-
ЗЬя
[в/м].
Здесь следует подставлять в метрах и Q в кулонах.
1-5. ЗАКОН КУЛОНА
Выразив из формулы (1-3) силу
F1 = Qog1 = Q2—^<— (1-6)
1 х-24леео^2 v '
и переписав последнее выражение в несколько иной форме
р _ л @2
1 '*1 4ЯВ80/?2 ’
23
мы вправе заключить, что заряд Q2 создает поле, напря-
женность которого
да ___Q2__
с'2 4лее0/<2 ’
где R — расстояние от заряда Q2. Это поле действует на
заряд (?! с силой
т. е. с такой же, с которой поле заряда Qj действует на
заряд Q2:
F^F.^F
или
_9Q1Q2-10»
[Н]-
Под влиянием сил взаимодействия разноименные заряды
(положительный и отрицательный) притягиваются друг
к другу (рис. 1-4), а одноименные (оба положительные или
оба отрицательные) отталкиваются (рис. 1-5).
Рис. 1-4. Взаимо-
действие разно-
именных электри-
ческих зарядов.
Рис. 1-5. Взаимодействие
одноименных электриче-
ских зарядов.
Соотношение (1-6) носит название закона Ку-
лона. Оно было получено Кулоном на основании ряда
опытов.
Силы взаимодействия неподвижных электрических
зарядов называют электростатическими.
Пример 1-1. На точечный заряд <? = 2-10~7 к действует сила
F2=0,1 н. Определить расстояние, на котором находится заряд
Q2 = 4,5-10-7 к от Qt. Оба заряда находятся в воздухе (рис. 1-5).
Преобразуя формулу закона Кулона, находим:
г ./W»
Г еР2 ’
где е = 1.
Подставляя численные значения, находим:
fi= = = „=9
24
1-6. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕСКОЛЬКИХ ТОЧЕЧНЫХ
ЗАРЯДОВ
Если электрическое поле создается не одним, а несколь-
кими точечными зарядами, то, как показывает опыт, имеет
место принцип наложения. Это значит, что
сила, с которой два заряда Qi и Q2 действуют на третий
заряд q, равна геометрической сумме двух сил: во-пер-
вых, силы, с которой Qi действует на q в отсутствие Q2
и, во-вторых, силы, с которой Q2 действует на q в отсут-
ствие Qi. Таким образом, к заряду q приложена сила,
равная геометрической сумме сил:
р _ Qi? и Г $2?
1 4лее0Р^ 2 4лее0Р| ’
где Ri—расстояние от Qi до q и R2-—расстояние от Q2
до q-
Вектор напряженности поля зарядов Qi и Q2 также
равен геометрической сумме двух векторов напряжен-
ности:
§ = ^ + §2, (1-7)
где и g2—векторы напряженности поля каждого из
зарядов;
со _ Tj _ Q1 , СС> __ Т2 _ Q2_
61 — q — 4лее0/?5 ’ ₽2 <1 ~ 4лее0/?1 ’
а направление каждого из векторов определяется, как
указывалось выше.
Пример 1-2. В воздухе на расстоянии 10 см друг от друга
находятся два точечных заряда Q1 = 4-10~n к и Q2=6-10-11 к.
Определить напряженность поля в точке Г, если перпендикуляр Г В,
опущенный на прямую АБ (рис. 1-6), делит ее пополам и равен ее
половине, т. е. АВ = ВБ =ГВ.
Определим расстояние до точки Г от точечного заряда Qp
(АВ)2 + О)2 = /52 + 52 = /2-5 cm = V2'0,05 м.
Расстояние до точки Г от точечного заряда Q2
R2 = Ri-
Напряженность электрического поля в точке Г от первого точечного
заряда
„ 9Q..10» 9'4- 10-и. Ю9
=----* ...= -----rv = /2 8 м-
RI (1/2-0,05)2
25
Так как (22=1,5(2! и Rz = Rlt то напряженность поля в точке Г от
второго точечного заряда
^2=1,5^!= 1,5-72 = 108 в/м.
Результирующая напряженность электрического поля в точке Г
в общем случае
^=<fi+ %2.
В нашем случае векторы н <f2 направлены под углом 90е
друг к другу (рис. 1-6), поэтому
(if О2+(^ = /722+1082^ 130 в/м.
1-7. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ
Часто приходится определять электрическое поле двух
точечных зарядов, равных по величине и противополож-
ных по знаку q и —q. Если нужно опре-
делить поле на расстоянии R от зарядов,
много большем, чем расстояние между за-
рядами I, то пару зарядов рассматривают
как единое целое — электрический
г, , , _ диполь. Векторная величина, равная
трический дн- произведению абсолютного значения одного
поль. из данных зарядов и расстояния между
ними и направленная от отрицательного
заряда к положительному, называется электриче-
ским моментом диполя (рис. 1-7): р = ql.
26
1-8. ПОТОК ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ
Произведение напряженности электрического поля
и небольшой площадки, в пределах которой напряженность
поля одинакова и которая перпендикулярна к направлению
Г ж»
Рис. 1-8. Нормаль-
ная составляющая
вектора напря-
женности электри-
ческого поля.
электрических линий, называется потоком векто-
ра напряженности поля (обозначение N)
сквозь эту площадку. Для однородного электрического
поля размеры площадки S не имеют
значения
W = gS. (1-8)
В более общем случае, когда век-
тор g не перпендикулярен площадке S
(рис. 1-8), необходимо определить нор-
мальную (перпендикулярную площадке)
составляющую вектора напряженности
поля gH и
N=g„S. (1-9)
Единица измерения потока вектора
напряженности
[?V] = [gHS] ~~-м2 — в-м.
В неоднородном электрическом поле поток через пло-
щадку S можно вычислить, разбив эту площадку на малые
элементы dS. Вследствие малости dS вектор напряжен-
ности поля одинаков во всех точках этой площадки, т. е.
элементарный поток
dN = $BdS.
Поток через любую площадку S можно найти, суммируя
элементарные потоки,
= J gHdS.
s
(МО)
1-9. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО И ГАУССА
Теорема ОстроградскогоиГаусса уста-
навливает зависимость между потоком вектора напряжен-
ности поля сквозь произвольную замкнутую поверхность
и величиной заряда внутри этой поверхности.
27
Рассмотрим в качестве простейшего примера поле
точечного заряда. Поместим в центре шаровой поверх-
ности радиуса У? точечный зряд Q (рис. 1-9).
1 Напряженность поля на шаровой поверхности согласно
® ‘ 4лее01?2 ’
т. е. имеет одинаковое значение для всех точек шаровой
поверхности.
Так как электрические линии перпендикулярны ша-
ровой поверхности (рис. 1-2 и 1-9), то Йн = и поток
вектора напряженности поля (1-Ю)
сквозь шаровую поверхность
8 8
где §dS = 4nR2—площадь шаровой
8
поверхности радиуса R. Подставляя
значение находим поток:
У = -г-Ц-.-4л/?2 = -^-. (1-11)
4лее0/<г еео
Рис. 1-9. Заряжен-
ная частица внут-
ри шаровой по-
верхности.
Заметим, что полученное выражение потока не зависит
ни от формы поверхности, ни от места расположения заря-
дов внутри нее, так что выведенное для шаровой поверхно-
сти уравнение (1-11) справедливо для замкнутой поверх-
ности любой формы и произвольно расположенных внутри
нее электрических зарядов.
1-10. ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Если в электрическом поле положительного точечного
заряда Q в точке М находится другой точечный пробный
положительный электрический заряд q, то на заряд q
действует сила
где —напряженность поля заряда Q в точке М;
RM — расстояние от точки М до заряда Q.
28
Допустим, что заряд q под действием этой силы уда-
ляется за пределы поля (на бесконечно большое расстояние).
При этом силами поля производится работа за счет энер-
гии совместного поля точечных зарядов (обо-
значение W), которая, таким образом, убывает.
Уменьшение энергии
Й=оо Н==со со
R~ RM R—RM RM
Отношение WM к величине заряда q является одной
нз характеристик электрического поля в данной точке (Л4).
Величина, измеряемая этим отношением, называется
потенциалом (обозначение ср) данной точки элект-
рического поля заряда Q и не зависит от величины
пробного заряда q. По определению потенциал точки М
поля точечного заряда Q
СО
q J члееолм
Единица измерения потенциала [ф] = [ё-/?] = = в.
Аналогично потенциал другой точки Н
СО
ф=Лд= Г g^ =g #
т q J 4лее0/?н " "
н j,.
м
и вообще для произвольной точки электрического поля
точечного заряда Q
Q 9Q-10» .
<р—4лее07?— eR 2)
При R =оо получаем фоо = 0, т. е. потенциал беско-
нечно удаленной точки поля равен нулю.
Если электрическое поле создается не одним, а не-
сколькими точечными зарядами, то потенциал произволь-
ной точки равен алгебраической сумме потенциалов:
Ф = Ф1 + ф2-{- ... (1-13)
Пример 1-3. Определить потенциал точки Г примера 1-2.
Потенциал точки Г от заряда
ф1= £^=72 /2-0,05 = 5,1 в.
29
Так как Q2= 1,5с?! и Rz — Rl, то потенциал точки Г от заряда Q2
ф2= 1,5<Р1= 1,5-5,1 =7,6 в.
Потенциал точки Г
ф == Ф1 + Ф2 — 5,1 + 7,6= 12,7 в.
1-11. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
При перемещении силами поля заряда q из точки М
не в бесконечность, а в точку Н, независимо от формы
пути совершается работа А, равная уменьшению запаса
энергии совместного поля:
так как WM = qtpM, a WH = qq>H, то
Л = д(фм—Фн). (1-14)
Таким образом, работа пропорциональна разности
потенциалов (фм—фн) обеих точек (М и Н).
Разность потенциалов двух точек электростати-
ческого поля называется электрическим напряжением
(обозначение U) между этими точками, т. е.
^ = Фм~Фн = J $dR— ^$dR = J gdR. (1-15)
RM RH RM
Формулы (1-14) и (1-15) сохраняют силу, если к потен-
циалам всех точек поля прибавить какую-нибудь одина-
ковую величину ф0, например
Л == <7 [(Фл/+ Фо) — (фн + Фо)1 = 9 (Фм —Фн)-
Это значит, что можно принять потенциал равным нулю
не только бесконечно удаленной, но и другой произволь-
ной точки поля. Тогда потенциал любой точки поля мож-
но определить как отношение уменьшения энергии поля
(или произведенной силами поля работы) при перемеще-
нии пробного заряда в эту новую произвольно выбранную
точку к величине заряда. В технических расчетах удобнее
всего нулевой потенциал выбрать на поверхности земли.
Заменив в формуле (1-14) разность потенциалов напря-
жением, получим:
A = qU,
(1-16)
30
откуда
t7 = y, (1-17)
т. е. электрическое напряжение между двумя точками
поля равно отношению работы, совершенной силами поля
при перемещении пробного заряда q из одной точки поля
в другую, к величине переносимого заряда.
В Международной системе единиц СИ, как уже указы-
валось, работа, а следовательно, и энергия измеряются
в джоулях (дж). Поэтому единицей измерения напряже-
ния служит дж!к или вольт (в).
Таким образом,
Более крупной единицей напряжения является кило-
вольт (кв)
1 кв = 103 в,
а более мелкими—милливольт (мв)
1 мв= 10~3 в
и микровольт (мкв)
1 мкв= 10-6 в.
Электрическое напряжение является одной из важней-
ших электротехнических величин. При помощи напряже-
ния определяют напряженность электрического поля,
работу и мощность, развиваемую при перемещении элек-
трических зарядов в электрическом поле.
Пример 1-4. В электрическом поле при перемещении заряда
д = 2-10-4к совершена работа 4=0,4 дж. Определить напряжение
между начальной и конечной точками пути.
Напряжение
U = — = =2 000 в = 2 кв.
q 2-Ю-4
1-12. ОДНОРОДНОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
В практической электротехнике часто приходится встре-
чаться с однородным электрическим полем, у которого
векторы напряженности во всех точках равны и электри-
ческие линии параллельны друг другу.
31
Из условий симметрии следует, что однородное элек-
трическое поле возникает, например, вокруг бесконечной
плоской металлической пластины, заряженной с равно-
мерной плотностью положительным или отрицательным
зарядом (если пластина имеет не бесконечные размеры, то
поле у краев искажается).
На рис. 1-10 показаны электрические линии поля по-
ложительно заряженной плоской пластины, перпендику-
лярные к ее поверхности. Если предположить, что элек-
Рис. 1-11. Определение направ-
ления вектора напряженности
к равнопотенциальиой поверх-
ности.
Рис. 1-10. Элек-
трическое поле
плоской заряжен-
ной пластины.
трические линии поля и, следовательно, векторы напря-
женности направлены не перпендикулярно к заряженной
металлической поверхности, то в отдельных точках на
заряженной поверхности векторы напряженности могут
быть разложены на две составляющие: нормальные
(перпендикулярные к поверхности) и касательные,
или тангенциальные (направленные вдоль поверх-
ности).
Так, на рис. 1-11 вектор § в точке А на поверхности S,
не перпендикулярный этой поверхности, разложен на
нормальную составляющую gH и тангенциальную §г.
Под действием касательных составляющих заряды (сво-
бодные) должны двигаться по поверхности. В данной же
главе мы рассматриваем поле только неподвижных зарядов
(электростатическое). Поэтому касательных составляющих
вектора напряженности не может быть и электрические
линии направлены перпендикулярно заряженной метал-
лической поверхности.
Однородное электрическое поле двух плоских парал-
лельных разноименно заряженных пластин получается
32
наложением полей положительной и отрицательной пла-
стин. Между пластинами электрические линии обеих пла-
стин направлены одинаково. Вне пластин линии направ-
лены встречно и при одинаковой плотности зарядов на-
пряженность поля равна нулю. Электрическое поле наблю-
дается только между пластинами. Такие две
пластины образуют
денсатор.
Напряженность
между пластинами
пропорциональна
плотности ;
(обозначение о).
Выделим на одной из пластин плоского
конденсатора площадку S (рис. 1-12).
Заряд этой площадки
Q = oS.
Проведем вокруг заряда Q замкнутую
поверхность (на рис. 1-12 показана пун-
ктиром). По теореме Остроградского — Гаусса (1-11) поток
вектора напряженности через замкнутую поверхность
ее0
Имея в виду, что в однородном поле между пластинами
конденсатора
ll л о с к и и
К 0 Ji-
> электрического поля
: плоского конденсатора
поверхностной
электрического заряда
s
Рис 1-12. При-
менение теоре-
мы Остроград-
ского и Гаусса
к полю плоского
конденсатора.
N = $S,
а вне конденсатора электрическое поле отсутствует,
получим:
откуда напряженность поля между пластинами плоского
конденсатора
(1-18)
При конечных размерах пластин практически одно-
родное поле получится при условии, если расстояние между
пластинами мало по сравнению с их линейными размерами.
У краев пластин поле всегда получается неоднородным.
Электрическое поле плоского конденсатора изображено
на рис. 1-12.
3 Теоретическая электротехника 33
Для однородного поля можно установить простую
связь между напряжением и напряженностью поля.
Работа, выполняемая при перемещении заряда q в на-
правлении сил поля (в направл нии электрической линии)
_____________________. на расстоянии I (рис. 1-13),
A — Fl=^ql,
Ч ф f ф 3 с другой стороны, согласно(1-16)
A — qU.
Рис. 1-13. Перемещение за-
ряда q в однородном поле.
Сравнивая эти выражения, на-
ходим, что U — а
(МФ
т. е. напряженность электрического поля равна отно-
шению напряжения между двумя точками электрической
линии к соответствующей ее длине.
В общем случае для неоднородного поля величина
напряженности электрического поля
(1-20)
где dl—бесконечно малый отрезок электрической линии,
в пределах которого поле можно считать одно-
родным;
dU—напряжение между концами этого отрезка.
1-13. РАВНОПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Поверхность, проведенная в электрическом поле так,
что все ее точки имеют одинаковый потенциал, называется
равнопотенциальной (эквипотенциальной).
Вектор напряженности поля и, следовательно, электри-
ческие линии всегда перпендикулярны к равнопотенциаль-
ной поверхности. Чтобы прийти к этому выводу, предпо-
ложим, что вектор напряженности поля g направлен под
углом а к равнопотенциальной поверхности S (рис. 1-11).
Тангенциальная (касательная) слагающая вектора напря-
женности поля
= g cos а.
Произведение и совпадающего с ней по направле-
нию расстояния А/ между двумя точками А и Б поверх-
34
ности S равно по формуле (1-20) напряжению между
этими точками
Л£7 = gzAZ.
Но так как поверхность S имеет во всех точках одина-
ковый потенциал, то
фд = фв и ДС/ = фА —фв = 0;
следовательно,
g; = g cos а = 0,
откуда а = 90°, и вектор напряженности поля нормален
к равнопотенциальной поверхности, В частности, элек»
Рис. 1-14. Равнопотенци-
альные поверхности заря-
женного шара.
Рис. 1-15. Рав-
нопотенциаль-
ные поверхно-
сти плоского
конденсатора.
трнческие линии перпендикулярны к любой металличе-
ской поверхности (например, на рис. 1-10, 1-12), т. е.
всякая металлическая поверхность в электрическом по-
ле — равнопотенциальна.
На рис. 1-14 изображено электрическое поле заряжен-
ного шара (поле вне заряженного шара такое же, как
у заряда, сосредоточенного в центре шара), причем кон-
центрические шаровые равнопотенциальные поверхности
проведены так, что напряжения между любыми смежными
поверхностями одинаковы. По мере увеличения расстоя-
ния от центра шара и уменьшения напряженности поля
густота электрических линий уменьшается обратно про-
порционально квадрату расстояния (g уменьшается обрат-
3* 35
но пропорционально R2). Вместе с тем растут расстояния
между соседними равнопотенциальными поверхностями,
так как в более слабом поле требуется большее расстояние
для изменения потенциала на одну и ту же величину.
Равнопотенциальные поверхности однородного поля
внутри плоского конденсатора (рис. 1-15) параллельны
пластинам, причем соседние поверхности при одинаковом
напряжении между ними находятся на одинаковом рас-
стоянии друг от друга.
Пример 1-5. Напряженность электрического поля на сфериче-
ской равиопотенциальной поверхности, в центре которой помещен
точечный заряд Q, составляет 9 000 в/м. Радиус сферы 1 см. Опре-
делить, каким радиусом нужно провести равиопотеициальные сфе-
рические поверхности с тем, чтобы напряжение между смежными
поверхностями составляло 10 в.
Сопоставляя формулы потенциала (1-12) и напряженности то-
чечного заряда (1-5)
Ф = ^— • (g- Q
4 4лее0/? ’ 4яее07?а ’
заключаем, что произведения <tR и равны одной и той же по-
стоянной величине
Потенциал первой поверхности
<Pi=iSi#i = 9 000-0,01 =90 в,
и, следовательно, £ = 0,9 в-м. Потенциал следующей поверхности
равен 80 в, откуда
Ь n q
/?2=—- = -^--0,0112 м= 1,12 см
z ф2 80
и т. д.
1-14. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
Окружающие нас вещества (тела) состоят из атомов
и молекул, которые имеют положительно заряженные ядра
и отрицательно заряженные электроны. Атомы и моле-
кулы электрически нейтральны, так как заряд ядра равен
суммарному заряду электронов, окружающих ядро. При
некоторых условиях, например при увеличении темпера-
туры, атом или молекула теряют электрон. Такой атом
(молекула) превращается в положительный ион.
36
Оторвавшийся электрон может присоединиться к другому
атому (молекуле), так что образуется отрицатель-
ный ион, или остаться свободным. Процесс
образования ионов называют ионизацией. Коли-
чество свободных электронов или ионов в единице объема
вещества (тела) называется концентрацией элек-
трически заряженных частиц и обозначается буквой п.
В веществе, помещенном в электрическое поле, под
действием сил поля возникает процесс движения сво-
бодных электронов или ионов в направлении сил поля,
получивший название электрического тока.
Свойство вещества проводить электрический ток под дей-
ствием электрического поля называется электропро-
водностью вещества. Электропроводность веще-
ства (тела) зависит от концентрации свободных электрически
заряженных частиц. При высокой концентрации электро-
проводность вещества больше, чем при малой. Все веще-
ства в зависимости от электропроводности делятся на про-
водники, диэлектрики (электроизоляционные материалы)
и полупроводники.
1-15. ПРОВОДНИКИ
Проводники обладают очень высокой электро-
проводностью. Проводники делятся на два класса. К про-
водникам первого класса, в которых возможно перемещение
только электронов, относятся металлы и их сплавы. В ме-
таллах электроны, расположенные на внешних орбитах,
сравнительно слабо связаны с ядрами атомов, отчего часть
электронов перемещается между атомами, переходя из
сферы действия одного ядра в сферу действия другого
и заполняя пространство между ними наподобие газа,
который иногда называют «электронный газ».
Эти свободные электроны принято называть элек-
тронами проводимости.
Представление о свободных электронах подтверждается
тем, что раскаленные металлы испускают электроны в окру-
жающую среду. Свободные электроны отличаются большой
подвижностью и находятся в состоянии беспорядочного
(теплового) движения в отличие от положительно заряжен-
ных ионов металла, составляющих остов проводника, обла-
дающих весьма малой подвижностью и совершающих лишь
небольшие колебания около своего среднего положения.
37
В проводниках второго класса (водные растворы кислот,
солей и пр.) под действием растворителя молекулы вещества
распадаются на отрицательные и положительные ионы,
которые подобно электронам в металлах могут перемещаться
по всему объему проводника.
Внутри проводника невозможно существование электро-
статического поля. Так, например, если зарядить метал-
лический шар, то под действием сил взаимодействия все
свободные заряды расположатся на поверхности шара.
Движение зарядов прекращается только тогда, когда
Рис. 1-16. Проводник в элек-
трическом поле.
напряженность электрического поля всюду внутри прово-
дящего шара станет равной нулю.
Если проводник (металлическую пластину) поместить
в электрическое поле (рис. 1-16), то под действием сил
поля свободные электроны металлической пластины нач-
нут перемещаться в направлении, противоположном на-
правлению электрических линий, отчего на одной поверх-
ности пластины возникнет избыточный отрицательный за-
ряд, на другой — избыточный положительный и в прово-
дящей пластине создается добавочное электрическое поле,
направленное навстречу основному полю. Результирую-
щее поле в пластине ослабнет, т. е. уменьшится сила,
действующая на свободные электроны и вызывающая их
перераспределение. Разделение зарядов в пластине прекра-
тится, когда напряженность результирующего поля внутри
пластины окажется равной нулю.
Явление разделения электрических зарядов на прово-
дящем теле под действием внешнего электростатического
38
поля называется электростатической индук-
цией.
Если в электрическое поле поместить не сплошную
металлическую пластинку (рис. 1-16), а металлическую
замкнутую оболочку, то в результате электростатической
индукции электрическое поле отсутствует не только в обо-
лочке, но и внутри нее (рис. 1-17).
Такая металлическая оболочка может служить экра-
ном, защищающим приборы и устройства, помещенные
внутри оболочки, от действия внешних электростатических
полей. В технике для экранирования вместо сплошных
металлических оболочек обычно применяют более легкие
металлические сетки.
1-16. ДИЭЛЕКТРИКИ
Вещества (тела) с ничтожной электропроводностью назы-
ваются диэлектриками или изоляторами;
к ним относятся газы, часть жидкостей (минеральные
масла, лаки) и почти все твердые материалы, за исключе-
нием металлов и угля.
Однако при некоторых условиях в диэлектриках про-
исходит расщепление молекул на ионы (например, под
действием высокой температуры или в сильном поле);
в этом случае диэлектрики теряют свои изолирующие свой-
ства и становятся проводниками.
Диэлектрики обладают свойством поляризоваться,
и в них возможно длительное существование электроста-
тического поля.
1-17. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКА
Если электрическое поле создается в вакууме, то вели-
чина и направление вектора напряженности поля в дан-
ной точке зависят только от величины и места располо-
жения зарядов, создающих поле. Если же поле создается
в каком-либо диэлектрике, то в молекулах последнего
происходят физические процессы, оказывающие влияние
на электрическое поле.
Под действием сил электрического поля электроны на
орбитах смещаются в направлении, противоположном полю.
В результате ранее нейтральные молекулы становятся дипо-
лями (рис. 1-7) с равными зарядами ядра и электронов
на орбитах. Это явление называется поляризацией
39
диэлектрика. При исчезновении поля исчезает и смеще-
ние. Молекулы опять становятся электрически нейтраль-
ными .
Поляризованные молекулы — диполи создают свое элек-
трическое поле, направление которого противоположно
направлению основного (внешнего) поля; поэтому добавоч-
ное поле, складываясь с основным, ослабляет его. Чем
сильнее поляризуется диэлектрик, тем слабее получается
результирующее поле, тем меньше становится его напря-
женность в каждой точке при тех же зарядах, создающих
основное поле, а следовательно, согласно (1-5) диэлектри-
ческая проницаемость е такого диэлектрика больше.
Если диэлектрик находится в переменном электриче-
ском поле, то смещение электронов становится также пере-
менным. Этот процесс приводит к усилению движения
частиц и, следовательно, к нагреванию диэлектрика. Чем
чаще изменяется электрическое поле, тем сильнее
нагревается диэлектрик. На практике это явление исполь-
зуется для нагрева влажных материалов с целью их сушки
или получения химических реакций, происходящих при
повышенной температуре.
1-18. ПРОБИВНАЯ НАПРЯЖЕННОСТЬ ДИЭЛЕКТРИКА
При нормальных условиях диэлектрик обладает незна-
чительной электропроводностью. Это свойство сохраняется,
пока напряженность электрического поля не увеличится до
некоторого предельного для каждого диэлектрика значения.
В сильном электрическом поле, как указывалось, проис-
ходит расщепление молекул диэлектрика на ионы и тело,
которое в слабом поле было диэлектриком, становится про-
водником. Напряженность электрического поля, при кото-
рой начинается ионизация молекул диэлектрика, называется
пробивной напряженностью (электриче-
ской прочностью) диэлектрика. Величина напряженно-
сти электрического поля, которая допускается в диэлек-
трике при его использовании в электрических установках,
называется допустимой напряженностью.
Допустимая напряженность обычно в несколько раз мень-
ше пробивной. Отношение пробивной напряженности к до-
пустимой определяет запас прочности.
Лучшими непроводниками (диэлектриками) являются
вакуум и газы, особенно при высоком давлении. Например,
40
для увеличения допустимого напряжения между пластинами
плоского конденсатора или
его помещают в стеклянный
вают воздух. Такой кон-
денсатор называют ваку-
умным.
Следует указать, что
у газов и жидких диэлек-
триков изолирующие свой-
ства восстанавливаются
при понижении напряжен-
ности поля до величины,
меныпей пробивной напря-
женности .
В табл. 1-2 приведены
значения пробивной напря-
женности (при нормальных
условиях и в однородном
постоянном поле) некоторых
конденсатора другой формы
баллон, из которого откачи-
Таблица 1-2
Материал Пробивная напряжен- ность, Кв/ММ
Бумага, пропитанная
парафином . . . 10,0-25,0
Воздух 3,0
Масло минеральное 5,0-15,0
Мрамор 3,0—4,0
Микаиит 15,0—20,0
Электрокартон . . 9,0—14,0
Слюда 80,0—200,0
Стекло 10,0—40,0
Фарфор 6,0-7,5
Шифер 1,5-3,0
наиболее распространенных
диэлектриков.
Пример 1-6. Пространство между плоскопараллельными метал-
лическими пластинами заполнено парафинированной бумагой. Опре-
делить допустимое и пробивное напряжение между пластинами при
условии, что допустимое напряжение должно быть меньше пробив-
ного в 2,5 раза. Расстояние между пластинами <2 = 0,1 мм.
Пробивное напряжение
(7пр = '^пр 104-0,1 = 1 000 в.
Допустимое напряжение
УПР
1/=_Д£. = 400 в.
1-19. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ СМЕЩЕНИЕ
В электрическом поле могут находиться материалы
с различными диэлектрическими проницаемостями в. В этом
случае расчет напряженности поля часто упрощается, если
ввести вспомогательную величину, которую называют
электрическим смещением (обозначение D).
Электрическое смещение связано с напряженностью элек-
трического поля простым соотношением
£> = ea^ = eeog, (1-21)
41
откуда нетрудно определить единицу измерения электри-
ческого смещения:
Таким образом, единица измерения электрического сме-
щения та же, что и у поверхностной плотности заряда,
Электрическое смещение и поверхностная плотность
заряда не только имеют одну и ту же единицу измерения,
но и совпадают по величине на поверхностях всех проводя-
щих тел, помещенных в электрическое поле. Например,
у внутренней поверхности пластины плоского конденсатора
(рис. 1-12) напряженность электрического поля, как
и в любой другой точке поля, равна (1-18):
у . Q
® ee0S '
Электрическое смещение в любой точке поля, в том
числе у металлической поверхности
D = Б60§ = = <т,
о
т. е. совпадает по величине с поверхностной плотностью
заряда на пластине.
Рассмотрим теперь еще раз электрическое поле заря-
женного металлического шара (рис. 1-14). Так как внутри
проводника электрического поля нет, то весь заряд Q
распределен на поверхности шара. Поверхностная плот-
ность заряда
Q
где Яш — радиус шара.
Поле вне заряженного шара, как уже указывалось,
совпадает с полем точечного заряда, сосредоточенного
в центре шара, т. е.
8 = 45^’ (1-22)
где Я—расстояние от центра шара.
42
В частности, у поверхности шара напряженность поля
_____Q
~ 4nee0R^ ’
а электрическое смещение
D = eeog = ^r- = <r.
Этот результат сразу может быть получен при помощи
теоремы Остроградского и Гаусса для электрического
смещения. В § 1-9 было найдено, что поток вектора
напряженности электрического поля через шаровую
поверхность
^ = ^dS = g-4n/?2.
s
Подставим в последнее выражение величину D. Тогда
= = 4л/?2,
tJ 88q 88q
S
где N—поток вектора напряженности поля.
Для электрического смещения целесообразно ввести
поток вектора электрического смещения
ND = §DdS, (1-23)
в
который больше потока /V в ее0 раз:
Nd = бе0М = D 4л/?2 = бе0$5 • 4 л/?2.
Подставляя значение g (1-22), получим:
/VD = Q, (1-24)
т. е. поток вектора электрического смещения через шаро-
вую поверхность равен заряду, находящемуся внутри
поверхности. Заметим, что выражение (1-24) справедливо
для замкнутой поверхности любой формы.
По формуле (1-24) найдем теперь сразу электрическое
смещение у поверхности шара. Так как поток через шаро-
43
вую поверхность радиуса /?ш
Wd = D.4«/?L
то
D — —-—
4л^т ’
что совпадает с ранее полученным результатом.
1-20. ПОЛУПРОВОДНИКИ
Вещества (тела), электропроводность которых зани-
мает промежуточное положение между электропроводно-
стью проводников и диэлектриков, называются полу-
проводниками. К полупроводникам относятся: крем-
ний, германий, селен, закись меди и др.
Электропроводность любого вещества не является по-
стоянной величиной; например, на электропроводность
проводников и диэлектриков влияет изменение температуры.
Для полупроводников характерно более резкое изменение
электропроводности под действием температуры; кроме
того, электропроводность полупроводников резко изме-
няется при введении в их состав даже незначительного
количества примесей.
ГЛАВА ВТОРАЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ ПОСТОЯННОГО ТОКА
2-1. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ
Свободные электроны в металлическом проводнике или
ионы в электролите находятся в состоянии беспорядочного
движения. Количество электричества или заряд, который
переносится при этом через любое поперечное сечение
проводника, в среднем равен нулю.
Если же на свободные заряженные частицы действуют
в определенном направлении силы (например, силы элек-
трического поля), то к скоростям их беспорядочного дви-
жения прибавляется слагающая скорости в направлении
действующей силы. В этом случае через любое поперечное
сечение проводника проходит определенный заряд, т. е.
в проводнике возникает электрический ток.
44
Для того чтобы получить электрический ток в провод-
никах, нужно создать электрическую цепь.
Электрическая цепь образуется из источников
электрической энергии, в которых возбуж-
дается электродвижущая сила (сокращенно
э. д. с.), и потребителей электрической энергии или, короче,
потребителей. При наличии тока в источниках
энергии происходит непрерывное преобразование различ-
ных видов энергии в электромагнитную или, как говорят
короче, в электрическую; в потребителях, наоборот, элек-
трическая энергия преобразуется в другие виды энергии.
Источники энергии и потребители (или приемники энергии)
соединяются обычно медными проводами.
При направленном движении заряженных частиц по про-
водникам электрической цепи кинетическая энергия заря-
женных частиц в результате их столкновения с ионами
и молекулами вещества частично преобразуется в энергию
беспорядочного движения. Эта энергия выделяется и рас-
сеивается в виде тепла в источниках энергии, потребителях
и соединительных проводах. Поэтому источники энергии,
потребители и соединительные провода, т. е. все элементы
электрической цепи, обладают сопротивлением (направ-
ленному движению частиц).
В современной технике в качестве источников энергии
применяют главным образом электрические ге-
нераторы, в которых механическая энергия преобра-
зуется в электрическую, и первичные элементы и аккуму-
ляторы, в которых происходит преобразование химической
энергии в электрическую.
Потребители электрической энергии очень многообраз-
ны. К ним, например, относятся: электродвигатели, в кото-
рых электрическая энергия преобразуется в механическую;
электрические печи, лампы накаливания, различные нагре-
вательные приборы, в которых электрическая энергия пре-
образуется в тепловую; электролитические ванны, в кото-
рых происходит преобразование электрической энергии
в химическую.
Потребители, в которых электрическая энергия пре-
образуется в тепловую, естественно, характеризуются,
как указывалось выше, сопротивлением, ограничивающим
ток в электрической цепи. Но во многих потребителях
электрическая энергия преобразуется в другие виды энер-
гии. Однако с точки зрения расчета электрической цепи,
45
например определения величины тока, и этих потребителей
принято характеризовать некоторым сопротивлением.
Величина этого сопротивления должна быть выбрана
такой, чтобы в нем выделялась тепловая энергия, численно
равная механической энергии электродвигателя или хими-
ческой энергии электролитической ванны, и т. д.
В качестве вспомогательного оборудования в электри-
ческую цепь входят аппараты для включения и отключения
Рис. 2-1. Про-
стейшая элект-
рическая цепь.
(например, рубильники), приборы для из-
мерения электрических величин (например,
амперметры и вольтметры), аппараты за-
щиты (например, предохранители).
Графическое изображение электриче-
ской цепи, показывающее последователь-
ность соединения ее участков и отобра-
жающее свойства электрической цепи, на-
зывается схемой электрической
цепи. Источники энергии, потребители
электрической энергии и вспомогательная
аппаратура на электрических схемах условно обозначаются
знаками, приведенными в табл. 2-1.
89
Таблица 2-1
Наименование
Условный
знак
Наименование
Условный знак
Электрический ге-
нератор постоян-
ного тока
Первичный эле-
мент или акку-
мулятор
Электрический
двигатель посто-
янного тока
Электрическая
лампа
Соединитель-
ный провод
Однополюсный
рубильник
Предохрани-
тель
Амперметр
Вольтметр
На рис. 2-1 показана простейшая электрическая цепь.
Источник энергии (Я) рассматривается как в н у т р е н-
46
ний участок электрической цепи, потребитель энер-
гии (П) и соединительные провода составляют внеш-
ний участок электрической цепи.
2-2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
Мерой электрического тока служит величина тока
(или просто ток), измеряемая количеством электричества
(зарядом), которое проходит через поперечное сечение
проводника в 1 сек. Если величина тока не изменяется
с течением времени, то такой ток называется постоян-
ным (обозначается прописной буквой /). По определению
/ = •£, (2-1)
где Q—заряд, проходящий через поперечное сечение
проводника за время t.
Изменяющийся ток в отличие от постоянного обозна-
чают строчной буквой i. За бесконечно малый промежуток
времени dt изменение заряда также мало, и можно пользо-
ваться для определения тока формулой, аналогичной (2-1):
где dQ—бесконечно малый заряд, проходящий через
поперечное сечение проводника за время dt.
Единица тока называется ампер (а). Ток в про-
воднике равен 1 а, если через поперечное сечение провод-
ника за 1 сек проходит электрический заряд, равный 1 к.
За направление тока принимается направление, в котором
перемещаются положительно заряженные частицы, т. е.
направление, противоположное перемещению электронов.
Направление тока в цепи указывают стрелкой (рис. 2-1).
Более мелкими единицами тока являются милли-
ампер (ма)
1 ма — 10"3 а
и микроампер (мка)
1 Ai/ca=10-6 а.
Более крупной единицей тока служит килоам-
пер (ка)
1 ка = 103 а.
47
Величина, равная отношению тока к площади попе-
речного сечения проводника 3, называется плотно-
стью тока (обозначение 6); таким образом,
& = (2-3)
Рис. 2-2. Электрический ток и
плотность тока в различных
сечениях неразветвленной
электрической цепи.
При этом предполагается, что ток равномерно распределен
по сечению проводника. Плотность тока в проводах обычно
измеряется в а/мм2.
Плотность тока — векторная величина. Вектор плот-
ности тока в проводах, соединяющих источники энергии
и потребителей, направлен
нормально к площади попереч-
ного сечения провода.
В неразветвленной элект-
рической цепи ток в различ-
ных сечениях проводников
имеет одинаковое значение.
Если допустить, что величина
постоянного тока в сечениях
Sj и 32 неодинакова (рис. 2-2),
то заряды, которые проходят
за единицу времени через сечения St и S2, были бы раз-
личными. В результате в объеме проводника между этими
сечениями накапливался бы положительный или отрицатель-
ный заряд. При постоянном токе происходило бы бесконеч-
ное накопление зарядов, что невозможно при неизменяю-
щемся токе. Плотность тока при различных площадях
поперечного сечения проводника St и 32 не одинакова:
62 = , 62 = ц^-. При Si>S2 получим < 62.
Электрический ток в металлах образуется перемеще-
нием только свободных электронов, прохождение же тока
в электролитах связано с перемещением положительных
и отрицательных ионов, различных для разных электроли-
тов. Ионы электролита при прохождении тока осаждаются
на электродах, опущенных в электролит.
Процесс выделения вещества из электролита электри-
ческим током называется электролизом. Он широ-
ко применяется для добычи цветных металлов из раство-
ров их соединений (медь, алюминий). Количество выде-
48
ленного из электролита вещества пропорционально коли-
честву прошедшего через электролит электричества:
G = cQ = clt,
где с—коэффициент пропорциональности, называемый
электрохимическим эквивалентом.
Для различных веществ электрохимический эквива-
лент имеет различные значения, например для серебра —
1,118 мг!к, для цинка — 0,338 мг!к, для меди — 0,329 мг/к,
для никеля — 0,304 лг/к.
Электролиз применяется и для покрытия металлов
защитным слоем другого металла (например, хромирование).
Этот процесс называется гальваностегией.
В гальванопластике, основы которой были разработаны
в 1840 г. акад. Б. С. Якоби, при помощи электролиза
получают металлические рельефные отпечатки для изго-
товления клише и печатания рисунков.
2-3. ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА
Наиболее распространенный электрический генератор
в принципе представляет собой прямолинейный провод А Б,
который перемещается в магнитном поле.
Рис. 2-3. Действие сторонних
сил на электроны.
Рис. 2-4. Накопление электри-
ческих зарядов на концах про-
вода под действием сторонних
сил.
При этом на каждый элементарный отрицательный
и положительный заряд провода АБ (рис. 2-3) действует
неэлектростатическая (сторонняя) сила FCT (более подроб-
но о возникновении сторонних сил см. в § 6-1).
Отношение сторонней силы, действующей на отдельную
заряженную частицу, к ее заряду q равно напряженности
стороннего поля
= (2-4)
ч
4 Теоретическая электротехника 49
Если сторонние силы, действующие на заряды, имеют
одинаковое значение и параллельны друг другу, то сторон-
нее поле однородно. Произведение напряженности одно-
родного стороннего поля и длины провода АБ, в пре-
делах которого действуют сторонние силы (сторонние силы
направлены по оси провода), дает значение э. д. с., кото-
рая возникает при движении провода. Электродвижущая
сила обозначается буквой Е. Таким образом,
Е — (2-5)
Так как напряженность поля численно равна силе,
с которой поле действует на единичный заряд, то э. д. с.
численно равна работе, которая совершается сторонними
силами при переносе единицы заряда на участке АБ.
В проводе А Б под действием сторонних сил электроны
переместятся на конец Б (рис. 2-4), образуя избыточный
отрицательный заряд —Q. Этот зажим генератора обозна-
чается знаком «—». На другом конце провода А возникает
избыточный положительный заряд +Q. Соответственно
зажим обозначается знаком «+». Внутри провода обра-
зуется электрическое поле зарядов +Q и —Q и на каждый
электрон, кроме сторонней силы, действует еще электро-
статическая сила электрического поля F, направленная
противоположно FCT.
Перемещение электронов в проводе прекратится, когда
силы электрического поля уравновесят сторонние. В этом
случае F = FCT и g = gCT. Электрическое напряжение
на концах (зажимах) незамкнутого провода (генератора)
и вообще любого источника питания
Еаб — ^а— фв = ШаБ~ gCT^AB — F, (2-6)
т. е. напряжение (разность потенциалов) на зажимах
незамкнутого источника питания равна его э. д. с.
Электродвижущая сила измеряется в тех же единицах,
что и электрическое напряжение, т. е. в вольтах.
Устройство, в котором возникает э. д. с., в общем слу-
чае будем называть источником э. д. с. или, ко-
роче, источником.
Электродвижущая сила Е направлена в источнике
э. д. с., как и сила FCT, действующая на положительный
заряд, т. е. обратно силе FCT, действующей на электрон
(рис. 2-3, 2-4), от отрицательного к положительному за-
жиму.
50
Электродвижущие силы могут быть как постоянными,
так и переменными. В настоящей главе рассматриваются
цепи, в которых действуют э. д. с., не изменяющиеся во
времени.
Ниже мы увидим, что источники э. д. с. могут рабо-
тать не только в режиме источников питания, но и в режиме
потребителей.
2-4. ИСТОЧНИКИ Э. Д. С.
Кроме электрических генераторов, к источникам
э. д. с. относятся первичные элементы, акку-
муляторы и термогенераторы (термо-
пар ы).
А. Первичные элементы
ЦиХк Медь
Водный раствор
Рис. 2-5. Гальваниче-
ский
Одним из простейших источников питания является
гальванический элемент Вольта (рис. 2-5).
Элемент Вольта состоит из двух
пластин (электродов) — цинковой, на-
зываемой катодом, и медной,
называемой анодом, опущенных
в водный раствор серной кислоты
(электролит).
В растворе часть молекул серной
кислоты распадается на положитель-
ные (2Н) и отрицательные (SO4) ионы.
Катод, опущенный в электролит, под
действием химических сил частично
растворяется в электролите. Положи-
тельные ионы цинка переходят в раст-
вор и соединяются с отрицательными
остатка (SO4), образуя нейтральные молекулы цинкового
купороса (ZnSO4). Оставшиеся от молекул цинка свободные
электроны создают избыточный отрицательный заряд на
катоде, а в электролите, наоборот, образуется избыточный
положительный заряд ввиду нейтрализации части отрица-
тельных ионов.
В результате этого процесса в пограничном слое со-
прикосновения катода и электролита возникает электри-
ческое поле, направленное от электролита к катоду, и появ-
ляется разность потенциалов между цинковым электродом
4+ 51
элемент.
ионами
кислотного
и электролитом. Силы электрического поля противодейст-
вуют переходу положительных ионов цинка в электролит.
Растворение катода прекращается, когда силы электри-
ческого поля уравновесят химические сторонние силы, под
действием которых ионы цинка переходят в раствор.
Анод, опущенный в электролит, практически не рас-
творяется. Между электролитом и анодом не возникает
разности потенциалов. Таким образом он заряжается
положительно, его потенциал равен потенциалу электроли-
Рис. 2-6 Сухой элемент.
та. Разность потенциалов между анодом и катодом, когда
цепь не замкнута, т. е. э. д. с. элемента Вольта, состав-
ляет около 1,1 в.
При соединении электродов элемента проводником
в цепи возникает ток, свободные электроны переходят
на медную пластину, электрическое поле между цинковым
электродом и электролитом ослабляется. В результате
нарушается равновесие электрических и сторонних сил,
и под влиянием последних ионы цинка снова переходят
в раствор, а положительные ионы водорода приближаются
к медной пластине, взаимодействуют с ее свободными
электронами и превращаются в нейтральные молекулы
водорода. Медный электрод оказывается отделенным
от электролита непроводящим слоем водорода. Это явление
называется поляризацией элемента.
Чтобы избежать поляризации, в состав элемента вводят
вещества (деполяризаторы), легко отдающие кислород,
52
например перекись марганца (МпО2). Превращая водород
в воду, деполяризаторы освобождают электрод от непрово-
дящего слоя водорода.
В настоящее время промышленностью выпускаются пер-
вичные элементы, называемые «сухими элементами». Внеш-
ний вид и устройство сухого элемента показаны на рис. 2-6.
В цинковой коробке Ц, являющейся катодом, помещается
электролит Э, состоящий из раствора нашатыря, сгущен-
ного пшеничной или картофельной мукой. В середине
помещен угольный стержень У, являющийся анодом. Вокруг
угольного электрода расположен деполяризатор Д, состоя-
щий из мелких частиц перекиси марганца, графита и сажи,
смоченных раствором нашатыря. Между электродами воз-
никает э. д. с. около 1,5 в.
Наибольший ток, который можно допустить в элементе,
называется допускаемым разрядным то-
ком, а количество электричества, которое можно полу-
чить от элемента за все время работы, называется его е м-
костью.
Процесс, происходящий в некоторых типах элементов,
обратим. Если через элемент пропускать ток в обратном
направлении, то в нем накапливается
химическая энергия, которую можно
превратить в электрическую при ис-
пользовании элемента снова в каче-
стве источника питания.
Б. Аккумуляторы
Элементы, которые способны на-
капливать энергию (заряжаться),
а затем отдавать ее (разряжаться),
называются аккумулятор а-
м и.
Чаще всего применяются два вида
аккумуляторов — свинцовые, или
кислотные, и кадмиево-ни-
к е л с в ы е, или щелочные.
Свинцовый аккумулятор. Этот аккумулятор состоит из
двух блоков свинцовых пластин, опущенных в сосуд
с раствором серной кислоты (рис. 2-7). Положительные
пластины, соединенные между собой при помощи свинцовой
полосы, располагаются между отрицательными пластинами,
53
Рис. 2-7. Свинцовый
аккумулятор.
также соединенными между собой. Каждая пластина со-
стоит из свинцового каркаса, в который впрессована «актив-
ная масса». Пластины после изготовления подвергаются спе-
циальной электролитической обработке — формиро-
ванию.
У готового заряженного аккумулятора активная масса
положительной пластины состоит из перекиси свинца
(РЬО2), а отрицательной — из губчатого свинца (РЬ).
Электролитом служит 25—34%-ный водный раствор хими-
чески чистой сеоной кислоты (H2SO4).
Рис. 2-8. Изменение напряжения на
зажимах кислотного аккумулятора
при зарядке и при разрядке.
Электродвижущая сила заряженного аккумулятора со-
ставляет около 2,2 в.
Аккумулятор, замкнутый на приемник, является источ-
ником электрической энергии. Такой режим работы акку-
мулятора называется разрядкой.
При разрядке в аккумуляторе происходит химическая
реакция, выражающаяся уравнением
РЬО2 + 2H2SO4 + Pb -» PbSO4 + 2Н2О ф- PbSO4,
на пластинах аккумулятора накапливается сернокислый
свинец (PbSO4) и снижается плотность электролита.
Напряжение при разрядке быстро падает с 2,2 до 2 в,
а затем медленно до 1,8 в (рис. 2-8). При дальнейшем
54
падении напряжения разрядку следует прекратить, так
как иначе аккумулятор можно повредить.
При зарядке через аккумулятор пропускается ток
от другого источника энергии, обычно от сети переменного
тока после его выпрямления, причем положительный
электрод аккумулятора присоединяется к
а отрицательный — к минусу.
В этом режиме работы в аккумуля-
торе совершается обратная химическая
реакция и на его электродах восста-
навливаются РЬО2 и РЬ, а плотность
электролита повышается.
При зарядке напряжение быстро
поднимается до 2,2 в, а затем медленно
до 2,3 в. Когда процесс восстановления
свинца на отрицательной пластине за-
кончится, начинается выделение водо-
рода, который в виде пузырьков подни-
мается на поверхность раствора (кипе-
ние акумулятора). В это время напря-
жение повышается до 2,6—2,7 в и за-
рядку следует прекратить.
Аккумулятор характеризуется наи-
большим количеством электричества,
плюсу источника,
Рис. 2-9. Щелочной
аккумулятор.
которое можно получить, не причиняя
ему вреда. Это количество электричества называется емко-
стью аккумулятора и обычно измеряется в амперчасах
(а-чу
1 а-ч — 1 а-3600 сек = 3600 а-сек = 3600 к.
Емкость аккумулятора зависит от размеров поверхности
пластин; чем больше поверхность, тем больше емкость.
Емкость увеличивается с ростом температуры электролита.
Наконец, емкость зависит от разрядного тока; чем меньше
ток, тем больше емкость аккумулятора.
Следует заметить, что аккумуляторы нужно периодиче-
ски заряжать даже в том случае, если они не работали
источниками питания, так как всегда наблюдается само-
разрядка из-за несовершенства изоляции между электро-
дами; саморазрядке содействуют кислород воздуха и мест-
ные токи в электролите.
Главное повреждение аккумулятора — это сульфата-
ция пластин, т. е. образование на пластинах нераствори-
55
мых крупнокристаллических соединений свинца. Это по-
вреждение вызывается неправильным включением аккуму-
лятора при зарядке, систематической недозарядкой аккуму-
лятора, длительным хранением незаряженного аккумуля-
тора, большой плотностью электролита (свыше 1,32),
высокой температурой (свыше 30° С), снижением уровня
электролита.
Свинцовый аккумулятор, понятно, не возвращает всей
энергии, которая затрачивается на его зарядку, так как
часть энергии тратится на нагрев и необратимые химические
процессы. Коэффициент полезного действия свинцового
аккумулятора равен 75—84%.
Кадмиево-никелевый аккумулятор (рис. 2-9). Электроды
этого аккумулятора выполнены в виде железных решеток
с карманами, заполненными активной массой. Активная
масса у положительной пластины состоит из гидрата окиси
никеля Ni(OH)3, а у отрицательной — из губчатого кад-
мия Cd. Электролитом служит 21%-ный водный раствор
едкого кали (КОН).
При разрядке в аккумуляторе происходит химическая
реакция по уравнению
2Ni(OH)3 + 2КОН + Cd -> 2Ni(OH)2 + 2КОН + Cd(OH)2.
При зарядке происходит восстановление активной массы
электродов. При зарядке, как и при разрядке, концентра-
ция электролита не изменяется.
Электродвижущая сила заряженного щелочного акку-
мулятора составляет около 1,45 в. Разрядку нужно прекра-
тить при понижении напряжения до 1,15 в. Щелочные
аккумуляторы менее требовательны к уходу, легко пере-
носят перегрузку и не портятся от несвоевременной зарядки.
Щелочные аккумуляторы не выделяют вредных испарений,
обладают большой механической прочностью и сравни-
тельно малым весом, что делает их незаменимыми, напри-
мер, в помещении, где работают люди. Однако к. п. д. ще-
лочных аккумуляторов невелик (около 54%).
В. Термогенератор (термопара)
При соприкосновении разнородных металлов между
ними возникает контактная э. д. с., не завися-
щая ни от формы, ни от размеров соприкасающихся метал-
лов и определяемая лишь тем, какие металлы сопри-
56
касаются друг с другом и какова температура в месте их
соприкосновения.
Возникновение контактной э. д. с. объясняется сле-
дующим образом.
При неодинаковой концентрации свободных электро-
нов в различных металлах наблюдается диффузия элек-
тронов. Часть свободных электронов из металла с большей
концентрацией переходит в другой металл, где концен-
трация меньше (действие сторонней си- _________
лы). В результате один из металлов,
имевший меньшую концентрацию свобод- /у 2
ных электронов, получает отрицательный II Н
заряд, а другой — положительный; ме- ff
жду металлами возникает электрическое
поле и устанавливается электрическое
напряжение или, как говорят, контакт-
ная э д с Рис. Термо-
Переход электронов и рост напря- пара,
жения прекратятся, когда электрические
силы уравновесят сторонние силы, вызывающие диффузию
свободных электронов.
Контактная э. д. с. (в вольтах) выражается уравнением
(вывод которого не рассматриваем)
£аб = 2,87-1О-701п-^,
пБ
(2-7)
где 0—абсолютная температура стыка металлов;
и Пб — число электронов в единице объема соответ-
ствующих металлов.
Соединим две полосы из различных металлов (А и Б)
так, чтобы они образовали замкнутую цепь (рис. 2-10),
и определим сумму контактных э. д. с. во всей цепи при
условии, что места стыков имеют одинаковую температуру
01 = 02 — 0:
1Е = Еаб + Еба = 2,87 • IO"’© f In + In =
V пБ пА У
--2,87 • 107© In 1 =0.
Сумма контактных э. д. с. равна нулю, следовательно,
в таком замкнутом контуре тока нет, несмотря на наличие
контактных э. д. с. в каждом стыке.
57
Другое дело, если температура ("Ц одного из стыков
(например, первого) будет больше температуры второго
стыка (рис. 2-10).
В этом случае
ЕЕ = 2,87-10-76,]п --А-~ 2,87-1О-7021п —=
пВ пА
= 2,87-lO"7(01-02)ln-^-.
ПВ
Результирующая э. д. с. (ЕЕ) называется термо-
э. д. с. и обозначается Ет.
Обозначая еще
2,87-10"7 In-”—= Е0,
пв
получим:
Ет = Ео(01—02), (2-8)
т. е. термо-э. д. с. пропорциональна разности температур
стыков металлов. Коэффициент пропорциональности Ео
называется удельной термо-э. д. с. Значения Ео
приведены в табл. 2-2.
Таблица 2-2
Термопары Fo, мкв/град
Медь — константан ..... 53
Серебро — платина 12
Никель — платина 11
Платина — платинородий (5%) 6,4
Термогенератор (термопара) в простейшем виде выпол-
няется из двух сваренных в одном месте разнородных
проволок или пластин (например, медной и константано-
вой). При нагревании места соединения на зажимах термо-
пары появляется разность потенциалов.
Применяемые в настоящее время термопары имеют
ничтожную мощность и низкий к. п. д. и используются
главным образом для измерения температуры. Однако
уже разрабатываются более мощные термогенераторы
(с к. п. д. до 5—7%) из полупроводников, в которых воз-
можно преобразование большого количества тепловой
58
энергии, например выделяющейся при ядерных преобра-
зованиях, непосредственно в электрическую энергию. Полу-
проводниковые термогенераторы, в которых преобразуется
энергия домашних отопительных и осветительных прибо-
ров, устанавливаются, например, для питания радиоаппа-
ратуры. Срок действия таких источников питания в отли-
чие от аккумуляторов и первичных элементов практически
не ограничен.
2-5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК И ПЛОТНОСТЬ ТОКА
В ПРОВОДНИКЕ
Величина тока на отдельных участках электрической
цепи зависит от напряжения на концах этих участков цепи.
Присоединим к зажимам генератора проводник, имею-
щий по всей длине одно и то же поперечное сечение. В про-
воднике возникнет однородное электрическое поле, линии
которого направлены па-
раллельно оси провода, а
равнопотенциальные по-
верхности совпадают с по-
перечными сечениями про-
водника.
Проведем в проводнике
две равнопотенциальные по-
Рис. 2-11. Линейный проводник.
верхности на расстоянии I
друг от друга (рис. 2-11). Потенциал первой поверхности
обозначим <рл, второй фБ.—Напряжение между поверхно-
стями
U = U аб = Фа — фБ-
Напряженность электрического поля в проводни-
ке (1-19)
»=т-
Свободные электроны, заполняющие пространство между
молекулами проводника, в отсутствие поля находятся
в состоянии беспорядочного теплового движения. При нали-
чии поля на беспорядочное движение электронов накла-
дывается их равномерно ускоренное движение навстречу
направлению поля. Движение электрона продолжается
до столкновения его с другим электроном или молекулой
59
Под действием силы поля F=tgq электрон приобре-
тает ускорение
где g— напряженность поля;
q—абсолютное значение заряда электрона;
т0—масса электрона.
В момент столкновения скорость направленного дви-
жения электрона равна ат, а после столкновения она падает
до нуля. Здесь т — время свободного пробега электрона
между двумя последовательными столкновениями.
Средняя скорость движения электрона вдоль линий поля
при равномерно ускоренном движении
аг __ '£qx
V ~~ 2 “ m02 ’
т. е. пропорциональна напряженности электрического по-
ля в проводнике.
Величина
£ 2т0
называется подвижностью электрона. Она чис-
ленно равна средней скорости движения электрона в элек-
трическом поле, напряженность которого равна единице.
Электрический заряд, заключенный в участке провод-
ника длиной I и сечением 3,
Q = nqSl,
где п—концентрация свободных электронов в проводнике.
Отношение этого заряда к тому времени, в течение
которого он покидает участок, проходя через концевое
сечение проводника, определяет величину тока. Таким
образом, ток
I -j- = nqS~ = nqSv, (2-9)
а плотность тока
л I
0 = -^- = nqv.
о
Подставив выражение средней скорости в формулу
плотности тока и обозначив у = nqb, получим:
b = nqb'§ ~ yg.
60
Плотность тока в проводнике зависит от концентрации
свободных заряженных частиц, их подвижности и напря-
женности электрического поля. Концентрация и подвиж-
ность в свою очередь зависят от температуры. С ростом
температуры подвижность обычно уменьшается, так как
сокращается время свободного пробега т.
Понятие о подвижности электронов, строго говоря, от-
носится только к проводникам второго рода — электро-
литам.
2-6. ЗАКОН ОМА
Установим теперь зависимость между током в проводе
и напряжением на концах этого провода.
При неизменяющейся температуре для каждого про-
вода плотность тока пропорциональна напряженности
ПОЛЯ'.
6 = yg, (2-Ю)
где коэффициент пропорциональности у называется
удельной проводимостью данного вещества
(материала провода). При неизменной температуре
удельная проводимость постоянна; она характеризует
электропроводность вещества.
Так как в однородном поле <£ = UH, то
Умножая обе части последнего уравнения на площадь
vS
поперечного сечения провода, получим 65 = -^-17 или
I = ^U = gU, (2-11)
уЗ
где g = ~t-величина, зависящая от материала провода,
его длины и поперечного сечения и назы-
ваемая проводимостью; при неизменной
температуре проводимость данного провода
постоянна.
Выражение (2-11), найденное опытным путем в пер-
вой половине XIX в.,— это один из основных законов
электротехники — закон Ома для участка электрической
цепи. Согласно закону Ома ток в проводе прямо пропорцио-
нален напряжению между его концами.
61
2-7. СОПРОТИВЛЕНИЕ
Как мы уже упоминали, во всех элементах электри-
ческой цепи происходит преобразование энергии, т. е.
элементы цепи обладают сопротивлением направленному
движению свободных зарядов. С количественной стороны
это явление характеризует величина, обратная проводи-
мости, которая так и называется — сопротивлением и обо-
значается буквой г.
Таким образом,
и
7 = ^ = 4- (2-13)
или
V = Ir. (2-14)
Закон Ома устанавливает линейную зависимость между
напряжением и током. Коэффициентом пропорциональности
между напряжением на концах провода и протекающим
по нему током является сопротивление провода. Величина
сопротивления определяется удельной проводимостью мате-
риала и геометрическими размерами провода.
Записав закон Ома в форме г = UU, установим единицу
измерения сопротивления
[г] = = в/а.
Единица сопротивления в!а называется о м (обозна-
чение ojw). Сопротивлением в 1 ом обладает проводник,
в котором устанавливается ток 1 а при напряжении 1 в.
Более крупными единицами сопротивления являются
килоом (ком)
1 ком = 103 ом
и мегом (Мо.и)
1 Мом = 10е ом.
Единица измерения проводимости обратна ому, т. е.
[g] = —5— = сименс /сим/.
62
Величина, обратная удельной проводимости, называет-
ся удельным сопротивлением (обозначение р):
e = J- = -b (2-15)
* у qnb ' '
Так как г — 1/yS, то, заменив у» получим:
г = е4~, (2-16)
О
откуда
Пользуясь последней формулой, установим единицу
измерения удельного сопротивления.
В Международной системе единиц СИ длина измеряет-
ся в метрах, а площадь в квадратных метрах. Поэтому
г , г rS д ом-м2
Однако удельное сопротивление, измеренное в ом • м,
для металлов выражается очень малыми числами; кроме
того, при практических расчетах удобнее поперечное
сечение провода выражать не в квадратных метрах, а в квад-
ратных миллиметрах. Поэтому под удельным сопротивле-
нием понимают часто величину, численно равную сопротив-
лению провода длиной 1 м при поперечном сечении 1 мм*
и температуре 20° G.
В этом случае удельное сопротивление измеряется
в ом-мм*/м, а удельная проводимость — в м/ом-мм*,
1 1 лй ОМ • ММ2
причем 1 ом • м = 10“ —-—.
Значения удельных сопротивлений для некоторых про-
водников указаны в табл. 2—3.
Сравнительно малым удельным сопротивлением обла-
дают проводники (из них наименьшим — серебро, медь,
золото, алюминий). Сопротивление диэлектриков огромно
по сравнению с сопротивлением проводников. Удельное
сопротивление диэлектриков обычно измеряют в ом см,
причем 1 ом • м = 100 ом • см.
Провода из металлов с наименьшим удельным сопротив-
лением (медь, алюминий) широко применяются для соедине-
ния потребителей электрической энергии с генераторами;
из этих материалов выполняются линии передачи и рас-
63
89
Таблица 2-3
Ма гериал 1 Плотность, г/см^ Предел прочно- сти на разрыв, кГ/мм? Температура плавления, °C Удельное сопро- тивление, ом мм2/м Среднее значе- ние температур- ного коэффици- ента (0° С до 100° С), 1/град
Алюминий . . 2,7 14-22 657 0,029 0,004
Бронза .... 8,8—8,9 50-60 900 0,021—0,4 0,004
Вольфрам . . . 18,7 415 3 370 0,056 0,00464
Железо .... 7,7 — 1 520 0,13—0,3 0,006
Константан . . 8,8 40 1 200 0,4—0,51 0,000005
Латунь .... 8,1 40 900 0,07—0,08 0,002
Манганин . . 8,1 55 960 0,42 0,000006
Медь 8,9 25—40 1 083 0,0175 0,004
Нихром .... 8,2 70 1 360 1,1 0,00015
Сталь .... 7,8 80-150 1 400 0,13—0,25 0,006
Фехраль . . . 7,6 — 1 450 1,4 0,00028
Хромаль . . . 7,1 80 1 500 1,3 0,00004
кабели,
обмотки элек-
сети,
Рис. 2-12. Обозначе-
ние сопротивления.
пределительные электрические
трических машин и трансформаторов и т. д.
Для изготовления обмоток нагревательных приборов
и реостатов применяются сплавы с большим удельным
г сопротивлением (нихром, фехраль
।— ------1 и др.). Из формулы (2-16) следует,
I--------* что при заданном сопротивлении дли-
на провода I == rS/Q, поэтому нуж-
ный для обмотки провод с сопротив-
лением г получается тем короче, чем
больше Q. Более короткий провод проще разместить в на-
гревательном приборе.
Условное обозначение сопротивления на электротехни-
ческих схемах показано на рис. 2-12.
Следует подчеркнуть, что термину «сопротивление»
соответствуют два понятия:
1. Как только что было показано, под сопротивлением
понимают определенное свойство материала, провода или
прибора. В этом смысле, например, говорят: лампа накали-
вания обладает сопротивлением 400 ом или провод имеет
сопротивление 0,5 ом.
2. Сопротивлением называют устройство, предназначен-
ное для включения в электрическую цепь с целью регули-
64
рования, уменьшения или ограничения тока цепи. К таким
устройствам относится, например, реостат, предназначен-
ный для включения в электрическую цепь с целью регули-
рования тока путем изменения величины сопротивления.
Проволочные реостаты выполняются с плавной или
ступенчатой регулировкой сопротивления. В первом случае
реостат состоит из трубки, изготовленной из какого-либо
изолирующего материала, на которую наложена проволоч-
Рис. 2-13. Реостат.
ная спираль (рис. 2-13). К виткам этой спирали прижи-
мается подвижный контакт. Один зажим реостата 1 соеди-
няется с подвижным контактом, другой зажим 2— с одним
из концов спирали. Перемещая подвижный контакт, можно
изменять длину проволоки, расположенной между зажи-
мами реостата 1 и 2, и тем самым изменять величину сопро-
тивления, включенного в цепь. Спираль имеет еще один
зажим 3, который необходим для включения реостата
в цепь как делителя напряжения (см. далее, например,
рис. 3-38, 3-43 и др.).
В схемах автоматики и радиотехники реостаты такого
типа не применяются по двум причинам. Во-первых, эти
реостаты, рассчитанные на значительные токи (до десяти
ампер), слишком велики — длина их 30—40 см, во-вторых
при работе в цепях изменяющегося тока таких реостатов
надо считаться с индуктивностью спирали (понятие об ин-
дуктивности будет дано в гл. 6). Часто применяются пере-
менные сопротивления непроволочного типа (рис. 2-14).
5 Теоретическая электротехника 65
К цилиндрическому корпусу 1 из пластмассы прикреплена
дужка 2 из гетинакса, на поверхности которой нанесен
тонкий проводящий слой. Этот слой состоит из частиц
сажи (углерода), скрепленных лаком. Концы слоя соедине-
ны через заклепки 3 с крайними выводами 4 и 5. Металли-
ческая втулка 6 с гайкой служит для крепления сопротив-
ления. В отверстие втулки вставлена ось 7 с гетинаксовой
пластинкой 8 на конце, на которой укреплена пружинящая
щетка 9 из проволочек. Щетка соединена со средним выво-
дом 10. Поворот оси ограничен упором 11. При повороте
оси сопротивление между вы-
водами 10 и 4 (или 10 и 5)
изменяется. Наибольшее вы-
держиваемое напряжение от-
носительно корпуса состав-
ляет 400—600 в, сопротивление
Рис 2-14. Непроволочное переменное сопротивление.
между выводами 4 и 5 от сотен ом до нескольких мегом.
Диаметр корпуса 10—30, высота 10—20 мм.
Кроме переменных сопротивлений, в электрические
цепи аппаратуры включаются и постоянные сопротивления
проволочные и непроволочные.
Проволочные сопротивления представляют собой кера-
мическую трубку с намотанной на ней проволокой, которая
сбычно покрыта предохранительным слоем эмали. У концов
трубки укреплены выводы.
Непроволочные сопротивления выпускаются различных
типов, например ВС (рис. 2-15). Сно состоит из керами-
ческого цилиндра, на поверхности которого нанесен слой
полупроводника. На концы цилиндра насажены латунные
хомутики с выводами. Проводящий слой покрыт сверху
влагостойкой эмалью. Сопротивления типа ВС рассчитаны
на рабочее напряжение до 1500 в и имеют сопротивление
66
от десятков ом до 10 Мом, диаметр от 5,4 до 27, длина от 17,5
до 120 мм. Для малогабаритной аппаратуры изготовляются
специальные постоянные непроволочные сопротивления
типа МЛТ и УЛМ. Длина сопротивлений типа УЛМ-0,12
всего 6 мм, диаметр 2 мм.
Пример 2-1. Для изготовления обмотки нагревательного прибора
при напряжении 220 в и токе 2 а применяется нихромовая лента.
Вычислить длину ленты, приняв допустимую плотность тока
10 а/мм2.
Сечение провода
I 2
S=4- = —Д- = 0,2 мм2,
О 10
Сопротивление обмотки
Искомая длина
Удельная проводимость электролитов зависит от числа
ионов в 1 см3 электролита, которое в свою очередь опре-
деляется концентрацией
электролита (концентраци-
ей электролита называется ~
масса вещества в 1 см3
раствора). Чем меньше кон- °,
центрация электролита, тем |
сильнее действие раство- |
Рис 2-15. Непроволочнсе по-
стоянное сопротивление.
Рис. 2-16 Зависимость проводи-
мости водного раствора серной ки-
слоты от концентрации.
рителя (увеличивается степень электролитической дис-
социации) и тем относительно большая часть молекул
электролита распадается на ионы. Но, с другой стороны,
снижение концентрации приводит к уменьшению числа
5* 67
молекул в 1 см3 вещества. Поэтому с увеличением концен-
трации удельная проводимость вначале растет, достигая
при некотором значении концентрации максимума, а при
дальнейшем увеличении концентрации уменьшается. В каче-
стве примера на рис. 2-16 изображена зависимость удель-
ной проводимости водного раствора H2SO4 от концентрации
при неизменной температуре.
Сопротивление электролита, как и сопротивление метал-
лического провода, определяется по формуле (2-16).
2-8. ЗАВИСИМОСТЬ СОПРОТИВЛЕНИЯ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ
С повышением температуры провода подвижность сво-
бодных электронов b уменьшается, так как столкновения
частиц следуют чаще и при одной и той же напряженности
поля средняя скорость их движения уменьшается. Умень-
шение подвижности электрона приводит, как следует
из формулы (2-15), к увеличению удельного сопротив-
ления.
Действительно, при нагревании металлов наблюдается
рост удельного сопротивления и сопротивления всего
провода. При нагревании электролитов и угля, кроме
уменьшения подвижности Ь, увеличивается концентрация
электронов п. В результате, несмотря на уменьшение Ь,
удельное сопротивление этих проводников при нагревании
не растет, а уменьшается.
С достаточной точностью в пределах от 0 до 100° С отно-
сительное приращение сопротивления Аг металлических
проводов можно считать пропорциональным приращению
температуры А© — (02—®i), т. е.
— = аА0
н
или
^1 = а(02-01),
откуда
'2 = п + па(02—®i)» (2-17)
где г2—сопротивление при температуре 02;
— сопротивление при температуре 04;
а — температурный коэффициент сопротивления, чис-
ленно равный относительному приращению сопро-
тивления при нагревании проводника на 1°С.
68
Температурный коэффициент сопротивления химически
чистых металлов близок к 0,004 Пград, поэтому, например,
сопротивление меди увеличивается примерно на 4% при
нагревании па 10° С.
Наконец, следует сказать, что изменение температуры
почти не влияет на сопротивление некоторых сплавов
металлов (например, константан, манганин). Сплавы обла-
дают большим удельным сопротивлением, чем составляющие
их металлы. Это объясняется неправильной структурой
сплавов и малым средним временем свободного пробега
электронов. Изменение температуры сплава незначительно
влияет на изменение Ь, поэтому удельное сопротивление
некоторых сплавов почти не зависит от температуры.
Температурный коэффициент сопротивления таких сплавов
очень мал. Поэтому они используются для изготовления
образцовых сопротивлений и магазинов сопротивления,
применяются для изготовления шунтов и добавочных
сопротивлений к измерительным приборам и т. д.
Уголь и электролиты имеют отрицательный температур-
ный коэффициент сопротивления. Температурный коэффи-
циент для большинства электролитов равен примерно —
0,02 Пград.
Пример 2-2. Вычислить сопротивление медного провода линии
передачи сечением Х = 95.и.и2, длиной /=120 им при температурах
0 и 20° С.
Сопротивление провода
I
r^~S'
так как Q задано как раз для температуры 20° С, то, подставляя
значения / и 3, находим:
Сопротивление провода при 0° С
Г2=Г1 + па Д0 = 21,74-21,7-0,004( —20) = 20 ом.
Пример 2-3. Определить, иа сколько процентов изменяется
сопротивление медной обмотки при нагревании ее иа 40° С.
Приращение сопротивления, выраженное в процентах,
Дг
-у-. 100% = аА0-1ОО% =0,004-40-1ОО?'о = 16%.
Пример 2-4. Определить, на сколько процентов изменяется
сопротивление цепи, составленной из медной обмотки сопротивле-
69
нием 10 ом и манганиновой обмотки сопротивлением 90 ом, при
нагревании на 40° С.
Сопротивление меди увеличится на 16% (пример 2-3), прираще-
ние сопротивления
ДГ1==Г1 100= ,6 0М'
Приращение сопротивления манганиновой обмотки
Дг2 = г2а2Л0 = 90• 0,000006-40 я» 0,02 ом.
Таким образом, сопротивление цепи увеличится на
Аг = 1,6 + 0,02= 1,62 ом.
В процентах
2-9. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ РАБОТА И МОЩНОСТЬ
В источнике э. д. с. под действием химических сил
(в первичных элементах и аккумуляторах) или электро-
магнитных в электрических генераторах происходит раз-
деление зарядов. Работа, которая совершается сторонними
силами в источнике при перемещении заряда Q или, как
принято говорить, «выработанная» в источнике электри-
ческая энергия, находится по формуле (1-16), полагая
U = Е:
A = QE. (2-18)
Если источник замкнут на внешнюю цепь, то в нем
непрерывно происходит разделение зарядов, причем сторон-
ние силы по-прежнему совершают работу А = QE, или,
имея в виду, что Q = It,
A = EIt. (2-19)
По закону сохранения энергии электрическая энергия,
выработанная в источнике э. д. с., за то же время «расходует-
ся» (т. е. преобразуется) в другие виды энергии в участках
электрической цепи.
Часть энергии затрачивается во внешнем участке:
Л1 = ^ = П//, (2-20)
где U — напряжение на зажимах источника, которое при
замкнутой внешней цепи уже не равно э. д. с.
Другая часть энергии «теряется» (преобразуется в тепло)
внутри источника:
A2 = A-A1 = (E-U)It = U0It. (2-21)
70
В последней формуле Uo — это разность э. д. с. и напря-
жения на зажимах источника, которая называется внут-
ренним падением напряжения. Таким
образом,
U0 = E — U, (2-22)
откуда
E = U + U0, (2-23)
т. е. э. д. с. источника равна сумме напряжения на зажимах
и внутреннего падения напряжения.
Величина, характеризующая скорость, с которой про-
исходит преобразование энергии, или скорость, с которой
совершается работа, называется мощностью (обозна-
чение Р):
Р=~ (2-24)
или
если работа совершается неравномерно.
Величина, характеризующая скорость, с которой меха-
ническая или другая энергия преобразуется в источнике
в электрическую, называется мощностью генера-
тора:
рг = А = _ф- = £/. (2-25)
Величина, характеризующая скорость, с которой про-
исходит преобразование электрической энергии во внешних
участках цепи в другие виды энергии, называется мощ-
ностью потребителя:
Р1 = А.= ^£=(//, (2-26)
Мощность, характеризующая непроизводительный расход
электрической энергии, например на тепловые потери
внутри генератора, называется мощностью потерь:
P0^-^=^- = ^L = U0I. (2-27)
По закону сохранения энергии мощность генератора равна
сумме мощностей потребителей и потерь:
Р< — ^1 + Ро-
71
2-10. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ РАБОТЫ И МОЩНОСТИ
Единица измерения мощности находится из форму-
лы (2-24):
[Р] = -ру- = дж/сек.
Единица измерения мощности дж/сек называется ватт
(обозначение вт), т. е.
1 вт = 1 дж/сек.
С другой стороны, по (2-18) 1 дж—\ к-1 в, откуда
, 1 в-1 к , , ,
1 вт = —-----=1 s • 1 а = 1 в-а,
1 сек
т. е. ватт есть мощность электрического тока в 1 а при
напряжении 1 в. Более крупными единицами мощности
являются гектоватт
1 гвт — 100 вт
и киловатт
1 кет — 103 вт.
Электрическая энергия подсчитывается обыкновенно
в ватт-часах (вт-ч) или кратных единицах: гектоватт-
часах (гвт-ч) и киловатт-часах (квт-ч).
Кроме Международной системы единиц СИ, в технике
довольно часто пользуются и иными единицами измерения
работы и мощности. Приведем соотношения между некото-
рыми единицами мощности и работы в различных систе-
мах единиц:
1 лошадиная сила (л. с.) = 75 кГ • м/сек = 736 вт =
- 0,736 квт\
1 квт— -п *„,. л. с. = 1,36 л. с.;
и, /оо
1 кГ-м/сек = ^вт = 9,81 вт-.
75
1 кГ-м = 9,81 вт-сек = 9,81 дж",
1 дж = п * кГ • м — 0,102 кГ • м.
У 5 о 1
Так как 1 калория (кал) составляет 0,427 кГ -м, то
1 0,102 _ п.
1 дж = Q- 42? кал = 0,24 кал.
72
Пример 2-5. Электрическая лампа включена в сеть 120 в и по-
требляет ток 0,8 а. Определить мощность лампы и стоимость энер-
гии, расходуемой ею в течение 10 ч, считая, что киловатт-час
стоит 4 коп:
Р — UI ~ 120 0,8 = 96 вт;
Л = Р/ = 96-10=960 вт-ч = 0.96 квт-ч.
Стоимость энергии = 4 —— • 0,96 квт-ч = 3,8 коп.
кет • ч
2-11. ЗАКОН ОМА ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Для электрической цепи, составленной из источника
питания с э. д. с. Е и сопротивлением г0 (внутреннее сопро-
тивление), который замкнут на внешнюю цепь с сопротив-
лением г (рис. 2-1), справедливо уравнение (2-23)
E = U0 + U.
В такой простой цепи ток на всех участках одинаков,
поэтому, выразив напряжения Uo и U по закону Ома:
U0 = Ir0 и U = 1г, и подставив их в предыдущую формулу,
получим:
E^Ir0 + Ir,
откуда ток в цепи
Формулу (2-28) называют законом Ома для
электрической цепи.
2-12. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
В ТЕПЛОВУЮ
При прохождении по проводу электрического тока
происходит преобразование электрической энергии в теп-
ловую.
Скорость процесса преобразования электрической энер-
гии в тепловую характеризуется мощностью
P = UI.
- Подставив выражение U = 1г в предыдущую формулу,
получим, что тепловая мощность
Р = Рг или Р = -^-. (2-29)
Количество электрической энергии W, преобразован-
ной в тепловую за время t,
73
W' = Pt = I2rt. (2-30)
Имея в виду, что 1 дж~ 0,24 кал, найдем выражен-
ное в калориях количество тепла (обозначение Q), выде-
ленного током в проводнике:
Q = 0,24 Ш; (2-31)
эта зависимость была открыта опытным путем в 1844 г.
русским ученым, членом Петербургской академии наук
Э. X. Ленцем и называется законом Джоуля
и Ленца (одновременно с Э. X. Ленцем этот закон
сформулировал английский ученый Джоуль): Количество
тепла, выделяемого током в проводнике, пропорционально
квадрату тока, сопротивлению проводника и времени
прохождения тока.
2-13. НАГРЕВАНИЕ ПРОВОДОВ ТОКОМ
Преобразование электрической энергии в тепловую
имеет большое практическое значение для создания ламп
накаливания, нагревательных приборов и печей. Однако
выделение тепла в проводах и обмотках электрических
машин, трансформаторов, измерительных и других при-
боров — не только бесполезная трата электрической энер-
гии, но и процесс, который может привести к недопустимо
высокому повышению температуры и к порче изоляции
проводов и даже самих устройств.
Количество тепла, выделяющегося в проводе, пропор-
ционально объему провода и приращению температуры,
а скорость отдачи тепла в окружающее пространство
пропорциональна разности температур провода и окру-
жающей среды.
В первое время после включения цепи разность темпе-
ратур провода и окружающей среды мала. Только неболь-
шая часть тепла, выделяемого током, рассеивается в окру-
жающую среду, а большая часть тепла остается в проводе
и идет на его нагревание. Этим объясняется быстрый рост
температуры провода в начальной стадии нагрева. По мере
увеличения температуры провода растет разность темпе-
ратур провода и окружающей среды и увеличивается
количество тепла, отдаваемое проводом. В связи с этим
рост температуры провода все более замедляется. Наконец,
при некоторой температуре устанавливается тепловое рав-
74
новесие: за одинаковое время количество выделяющегося
в проводе тепла становится равным рассеивающемуся
во внешнюю среду.
При дальнейшем прохождении неизменяющегося тока
температура провода не изменяется и называется уста-
новившейся температурой. Время нагре-
вания до установившейся температуры неодинаково для
различных проводников:
вается за доли секун-
ды, электрическая маши-
на — за несколько ча-
сов (как показывает
анализ, теоретически
время нагревания беско-
нечно велико; мы под
временем нагревания бу-
дем понимать время, в
течение которого про-
вод нагревается до тем-
пературы, отличающейся
от установившейся не
более чем на 1%).
На рис. 2-17 показа-
нить лампы накаливания нагре-
Рис. 2-17. Зависимость температуры
проводника от времени нагревания.
но изменение температуры провода в зависимости от вре-
мени прохождения тока.
Нагрев изолированных проводов нельзя допустить выше
определенного предела, так как изоляция при сильном
перегреве может обуглиться или даже загореться; перегрев
голых проводов ведет к изменению механических свойств
(натяжения проводов). Для изолированных проводов нор-
мами установлена предельная температура нагрева 55—
100° С в зависимости от свойств изоляции и условий мон-
тажа. Ток, при котором установившаяся температура
соответствует нормам, называется предельно допу-
стимым или номинальным током провода
(/ = /пом на рис. 2-17). Значение номинальных токов
для различных сечений проводов приводится в специальных
таблицах (например, для медных проводов с резиновой
изоляцией в табл. 2-4).
Мощность, развиваемая током в проводе, при которой
наступает тепловое равновесие и устанавливается допусти-
мая температура, называется допустимой мощностью рас-
сеивания.
75
Таблица 2-4
f Поперечное сечение, мм.2 Наибольший допустимый ток, а Поперечное сечеиие, мм2 Наибольший допустимый ток, а Поперечное сечение, мм2 Наибольший допустимый ток, а Поперечное сечеиие, мм2 Наибольший допустимый | ток, а
0,50 10 4,0 36 35 150 150 390
0,75 13 6,0 46 50 190 185 450
1,0 15 10 68 70 240 240 535
1,5 20 16 90 95 290 300 615
2,5 27 25 120 120 340 400 735
Если по проводу проходит ток больше номинального
(/>/ном на рис. 2-17), то провод оказывается «перегру-
женным». Однако, поскольку установившаяся температура
достигается не сразу, кратковременно (в течение времени
f, рис. 2-17) можно допустить в цепи ток больше номи-
нального (до момента, пока температура провода не достиг-
нет предельного значения). Слишком большая температура
провода, как правило, получается при коротком
замыкании.
Пример 2-6. В сеть 120 в включено 15 одинаковых ламп по
15Э вт. Определить необходимое сечение медного провода.
Полная мощность
Р = 150-15 = 2 250 вт.
Ток в проводе
, Р 2 250
/=77=Т2^ = 18,75 “•
По табл. 2-4 выбираем сечение провода:
5=1,5 мм2.
2-14. КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ. ПРЕДОХРАНИТЕЛИ
Короткое замыкание возникает при соединении двух
проводов цепи, присоединенных к разным зажимам (+ и —)
источника через очень малое сопротивление, которое срав-
нимо с сопротивлением самих проводов. Ток при коротком
замыкании может превысить номинальный ток цепи во мно-
го раз. В таких случаях цепь должна быть разорвана
раньше, чем температура проводов достигнет опасных
значений.
76
Для защиты проводов от перегрева и предупреждения
воспламенения окружающих предметов в цепь включается
плавкий предохранитель.
Предохранитель выполняется из проволоки меньшего
сечения, чем провода защищаемой цепи. Сечение проволоки
предохранителя выбирается так,
чтобы она плавилась, когда ток
в цепи превысит номинальный.
Схематическое устройство одного
из типов предохранителей изо-
бражено на рис. 2-18.
2-15. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ
С НЕСКОЛЬКИМИ Э. Д. С.
Рис. 2-18. Плавкий двух-
полюсный предохранитель.
Рассмотрим более сложную
электрическую цепь, чем на
рис. 2-1, составленную, напри-
мер, из приемника с сопротив-
лением г и двух источников с внутренними сопротивле-
ниями г01 и г02, э. д. с. которых Et и Е2 направлены на-
встречу друг другу (рис. 2-19). Сопротивлением соедини-
тельных проводов здесь и всюду в дальнейшем, когда не
сделано специальной оговорки, мы будем пренебрегать.
Ток в такой цепи можно определить по принципу
наложения. Согласно этому принципу ток в цепи
равен алгебраической сумме токов, создаваемых в ней источ-
никами э. д. с., действующими отдельно друг от друга,
при неизменных сопротивлениях всех участков цепи.
Предположим, что в цепи действует только э. д. с. £р
В этом случае ток
I _ Ei
1 r0i + r02 + r
и совпадает по направлению с э. д. с. £Р Напомним, что
э. д. с. источника направлена от отрицательного зажима
к положительному. Затем выразим ток, который проходит
при действии в цепи только э. д. с. £2; в этом случае
/ =—Е2 .
2 г01 + г02 + г ’
Этот ток совпадает по направлению с э. д. с. £2.
Если бы э. д. с. Ei и £2 имели одинаковое направление,
то ток в цепи был бы равен сумме токов Е и /2. В нашем
77
случае э. д. с. Et и Е2 направлены встречно. Общий ток
равен разности токов Ц и /2, т. е.
J J ____ I __ ^2
1 2 г01+г02 + г
(2-32)
В
Рис. 2-19. Электрическая цепь
с двумя источниками э д. с.
Очевидно, что электрический ток возникает только
при условии Ei =# Е2. Его направление совпадает с направ-
лением большей э. д. с. Пусть Е{ > Е2; в таком случае
ток в цепи протекает по направлению движения часовой
стрелки (рис. 2-19), т. е.
совпадает по направлению
с Et, и направлен навстре-
чу Е2. Электродвижущая
сила (Е2), направленная
противоположно току, на-
зывается встречной,
или п р о т и в о - э. д. с.
Рассматр иваемую эле кт-
рическую цепь можно раз-
делить на три участка: А Б,
Б В и АВ. Участок А Б
обладает сопротивлением, в котором электрическая энер-
гия преобразуется в тепловую; развиваемая при этом
мощность
Раб = 12г,
напряжение между точками А и Б
АБ
Раб
I
1г
(2-33)
(напряжение на концах сопротивления называется также
падением напряжения).
Участок БВ обладает сопротивлением г02, и в этом
участке действует встречная э. д. с. Е2. В участке Б В,
кроме тепловой мощности /2г0г, развивается дополнительно
электрическая мощность Ег1, так как электрическими
силами совершается работа по преодолению сторонних сил.
Поэтому, помимо преобразования электрической энергии
в тепловую, в этом участке наблюдается преобразование
электрической энергии в механическую или химическую
энергию в зависимости от происхождения сторонних сил.
Источник с противо-э. д. с. работает в режиме потребителя.
78
Развиваемая в участке БВ мощность
РБВ ~ Н~ РГ02’
а напряжение между точками Б и В
иБВ = ^р = Е2 + 1г02, (2-34)
т. е. напряжение между положительным и отрицательным
зажимами источника э. д. с., работающего в режиме по-
требителя, равно сумме э. д. с. и внутреннего падения на-
пряжения.
Участок АВ обладает сопротивлением foil на этом
участке действует э. д. с. Ei, направленная так же, как
и ток 1. Источник э. д. с. Ei работает в режиме источника
энергии. Электродвижущая сила источника энергии равна
сумме напряжения на зажимах и внутреннего падения
напряжения (2-23):
Ei — UabA-Uq — + /гОц
откуда напряжение между точками А и В
Uab = Ei — Ifoi- (2-35)
Таким образом, напряжение на зажимах источника
энергии (генератора) равно разности э. д. с. и внут-
реннего падения напряжения.
Развиваемая им мощность [см. (2-25)]
Е^Е^ + и^и^ + Ег^.
Обобщив формулы (2-34) и (2-35), можно прийти
к выводу, что в общем случае напряжение на зажимах
источника э. д. с. (между положительным и отрицатель-
ным зажимами)
U = <р+ — ф_ = Е ± If о- (2-36)
При разомкнутой внешней цепи (/ = 0) напряжение
на зажимах источника равно его э. д. с. Наконец, в режиме
короткого замыкания, когда напряжение на зажимах
источника равно нулю, внутреннее падение напряжения
оказывается равным э. д. с. источника.
2-16. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ДИАГРАММА
Исследования электрических цепей, изучение режимов
их работы значительно упрощаются, если для цепи ввести
вспомогательное понятие о потенциале. При вычислении
79
потенциалов отдельных точек электрической цепи потен-
циал точки, соединенной с землей, принимается равным
нулю, а потенциалы других точек определяются по уравне-
ниям (2-33) и (2-36). Таким образом, под потенциалом
точки электрической цепи понимают напряжение между
этой точкой и землей.
Пусть, например, нужно определить потенциалы точек
Б, В, Г и Д электрической цепи, представленной на
рис. 2-20. Направления э. д. с. Ei и Е2 и направление
Рис. 2-20. Схема электрической цепи.
тока известны, из чего следует, что источник с э. д. с. Е2
работает в режиме генератора, а источник с э. д. с. Е4
в режиме потребителя. Вначале определим потенциал
точки Д.
Между точками Д и А включено сопротивление г3.
Потенциал Д больше потенциала А, так как ток направлен
из точки Д в точку Л. Ток в сопротивлении возникает
под действием электрических сил и всегда направлен от точки
с более высоким потенциалом к точке с меньшим потенциа-
лом. Разность потенциалов срд — фд выражает напряже-
ние между точками Д и А; поэтому фд — <рд = иДА =
=/г3. Точка А заземлена. Таким образом, фд = 0,
а фЛ == 1г3.
Потенциал срд точки Д является также потенциалом
положительного зажима источника э. д. с, Е2, а потенци-
ал фр точки Г — потенциалом отрицательного зажима
того же источника. Имея в виду, что напряжение на зажи-
мах источника можно выразить как разность потенциалов
и что источник с э. д. с. Е2 работает в режиме генератора,
составим уравнение
Ф+ — ф_ = Фд — Фг = fa —
откуда потенциал фг = фд—Ег + 1г02.
80
Потенциал фВ больше <рг на величину 1г2, т. е.
Фд-~ Фг 4-7г2-
Источник с э. д. с. Ei является потребителем энергии,
a Ei — встречной э. д. с. Разность потенциалов между
положительным и отрицательным зажимами этого источника
Фб— фв = Ej Iroi‘
Из этого уравнения определяется потенциал точки Б.
Рис. 2-21. Электрическая цепь с одним
источником и ее потенциальная диаграмма.
Графическое изображение распределения потенциалов
в электрической цепи в зависимости от сопротивлений
участков цепи называется потенциальной диа-
граммой. При построении диаграммы по оси абсцисс
откладывают в масштабе сопротивления участков в том
порядке, в котором участки следуют друг за другом в цепи
(иногда вместо сопротивлений по оси абсцисс откладывают
длины участков, из которых составлена цепь), а по оси
ординат — значения потенциала в выбранном масштабе.
На рис. 2-21 построена потенциальная диаграмма для
участка АГ цепи, изображенной на том же рисунке. По оси
абсцисс отложены rit г2 и г3\ таким образом, получились
точки а, б, в и г, соответствующие точкам А, Б, В и Г цепи.
6 Теоретическая электротехника 81
В полученных точках отложены ординаты, выражающие
потенциалы ф^, Фб, фл и фг. Концы ординат соедине-
ны прямыми отрезками. В данном случае потенциальная
диаграмма имеет вид прямой линии, так как по всем сопро-
тивлениям проходит одинаковый ток, отчего между изме-
нением потенциала и сопротивлением цепи получается
линейная (прямая) зависимость.
Рис. 2-22. Потенциальная диаграмма
к примеру 2-7.
Пример 2-7. Построить потенциальную диаграмму для цепи, изо-
браженной на рис. 2-20, по следующим данным:
Н = 4 ом; г2~=2 ом; г3 = 6 ом; rol = rO2 = ''o~i ом!
E<i= 18 в; Е2 = 46 в.
Предварительно вычислим ток:
/ = £2-^1 = 46 — 18 =
гг+ гз+roi+г02 4-)-2-)-6-)-14-1
После этого найдем потенциалы всех точек.
Потенциал точки А, соединенной с землей, примем равным нулю:
<рА = 0.
Из уравнения Фа —Фб = ^г1 найдем:
Фб = Фа—’ ^4 = — 2-4 = — 8 в.
Между точками Б и В в цепи включен источник, работающий
в режиме потребителя. Разность потенциалов на его зажимах
ФБ —Фв = £1 + /го,
откуда
Фв = Фб — £1 — ^о=—8—18 — 2=—28 в.
Потенциал точки Г найдем из уравнения <рв — Фп = /г2, откуда
Фг = Фв~ 1г2= —28 — 2-2= —32 в.
82
Положительный зажим источника с э. д. с. Е2, работающего
в режиме источника питания, присоединен к точке Д, а отрица-
тельный—к точке Г, поэтому
Фд~Ч>г = ^2—Не-
откуда
Фд = Фд+£*2——32+46 — 2=12 в.
Наконец, из уравнения <рд—фл = ^гз убеждаемся, что
<Ра = Ч>д—Нз=12—2-6 = 0.
На рис. 2-22 представлена потенциальная диаграмма, построен-
ная по полученным результатам.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
3-1. ПРАВИЛА КИРХГОФА
Во всех участках неразветвленной цепи (образующей
один замкнутый контур) постоянный ток имеет одинаковое
значение. Если же цепь разветвлена, то токи в отдельных
ветвях могут иметь различные значения, причем сум-
марный заряд, притекающий кточке разветвле-
ния (узлу), всегда равен суммарному заряду, утекаю-
щему от этой точки за то же время. В этом и заключается
первое правило Кирхгофа, которое обычно
формулируется следующим образом: сумма токов, направ-
ленных к точке разветвления, равна сумме токов, направ-
ленных от нее.
Так, например, для узла, изображенного на рис. 3-1,
Л + ^з+Л = 4+Л- (3-1)
Преобразуя это соотношение, получим:
Л + (—!г) + ^з + (— Л) + h = 0
или в общем виде:
2/ = 0, (3-2)
т. е. алгебраическая сумма токов в точке разветвления
равна нулю. При этом токи, направленные к узлу, счита-
ются положительными, а токи, направленные от узла,—
отрицательными (или наоборот).
6‘ 83
В сложных электрических цепях имеем уже не один,
а ряд замкнутых контуров, питаемых несколькими источ-
никами. На рис. 3-2 представлен один контур сложной
цепи. Направления э. д. с. источников и направления
токов в отдельных участках контура известны. Обходя
контур в произвольно выбранном направлении (например, по
направлению движения часовой стрелки), проследим измене-
ние потенциала от ис-
ходной точки А, потен-
циал которой равен <рд.
Рис. 3-1. Узловая Рис. 3-2. Контур разветвленной
точка электриче- цепи.
ской цепи.
На участке цепи между точками А и Б происходит
повышение потенциала на величину Iirlt так как ток в со-
противлении проходит от точки Б с более высоким потен-
циалом к точке А с меньшим потенциалом. Таким образом,
Фб~фл = Лн, откуда
Фб = Фл4~Лг1- (3-3)
На участке БВ включен источник с э. д. с. Е1Г рабо-
тающий в режиме источника энергии. Разность потенциалов
на его зажимах <рв — ц>в — Е!—Преобразуя это урав-
нение, находим:
Фв = Фб—+ (3'4)
Аналогично (3-3) определяем потенциал точки Г\
фГ — фв + Izr2- (3-5)
Потенциал точки Д найдем из уравнения Фд —фг =
= £,2 + 4',02, откуда
фд — Ф-Г + ЕъА- ^2Г02 (3-6)
и, наконец,
фх —фд —hr3. (3-7)
84
Сложив почленно уравнения (3-3) —(3-7), получим
в обеих частях одинаковые суммы фд + фв + фв + фг + фд.
которые, таким образом, взаимно уничтожаются. Оконча-
тельно сумма уравнений для замкнутого контура АБВГДА
примет вид:
0= —Ei + £2 + Л (П -г Пн) + /2 (г2 + гоз) hrs
или
— £1 + £2 = — Л (с 4" С») — ^2 (г2 4- f02) 4- hrз- (3-8)
В общем виде для любого замкнутого контура
2£ = 2(/г). (3-9)
Это уравнение выражает второе правило Кирх-
гофа: в замкнутом контуре электрической цепи алге-
браическая сумма э. д. с. равна алгебраической сумме падений
напряжения в отдельных сопротивлениях. При этом поло-
жительными надо считать э. д. с., направления которых
совпадают с произвольно выбранным направлением обхода
по контуру (т. е. э. д. с. положительна, если при обходе
мы сначала попадаем на отрицательный зажим источника,
а потом на положительный). Падение напряжения на сопро-
тивлении положительно там, где направление тока совпа-
дает с направлением обхода.
В частном случае, когда контур не содержит источников,
2(/г) = 0.
3-2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ
СОПРОТИВЛЕНИЙ
Если сопротивления включены таким образом, что
образуют неразветвленную цепь или участок цепи — ветвь
и по ним проходит один и тот же ток, то соединение сопро-
тивлений называется последовательным; пример
последовательного соединения показан на рис. 3-3.
По закону Ома напряжения между концами отдельных
участков цепи составляют:
U1 = Zr1; h2 = Ir2, U3 = Ir3.
Следовательно,
Ui: U2: U3 = / j: г2 ’ О, (3-10)
т. е. падения напряжения в отдельных сопротивлениях
пропорциональны величинам сопротивлений.
85
С другой стороны,
1А —Фа— Фб! (Л = Фб — фв> ^з = фв— фг«
Складывая правые части уравнений, получим:
фА —фв + фБ —фв + фв —фГ==фА —фг-
а так как полное напряжение, приложенное к цепи,
^ = Фа—фг,
то приходим к выводу, что сумма падений, напряжения
в отдельных сопротивлениях равна приложенному к цепи
напряжению:
Ui + U2 + V3 = U. (3-11)
Рис. 3-3. Последовательное соедине-
ние сопротивлений.
Иногда для расчетов
удобно заменить не-
сколько последователь-
но соединенных сопро-
тивлений одним равно-
значным (общим) со-
противлением г. Вели-
чина этого сопротивле-
ния должна быть такой,
чтобы при том же токе
I напряжение U между
концами сопротивления
г равнялось напряжению данной цепи, т. е. Ir = U. Сле-
довательно,
г— — ^i + ^г+^з г > । /о [п\
г— ।--------j----бт^тг3' (3-12)
Итак, общее сопротивление при последовательном
соединении равно сумме отдельных сопротивлений.
Из выражения общего сопротивления следует, что
/2г = 7^-№ + /%,
т. е. мощность всей цепи равна сумме мощностей отдель-
ных участков, а также
Рг.Р2: Рз = П :г2:г3,
т. е. развиваемая в отдельных участках мощность про-
порциональна сопротивлениям участков.
Пример 3-1. Первичный элемент, у которого Е— 1,5 в и г0 = 0,2 ом,
замкнут на сопротивление г=14,8о.и.
86
1. Вычислить, чему равна ошибка в определении тока, если пре-
небречь величиной внутреннего сопротивления элемента.
Действительная величина тока
Е _ 1,5
0,24-14,8 ’ а’
а его приближенное значение
F 1 'i
/' = — = ,-4’- = 0,1013 а.
г 14,8
Погрешность
y=-^ioo% = ^^ioo%=^ = i,3%.
2. Определить то же, если г=0,3 о.ч:
, Е 1,5
Го-К 0,24-0,3 ’
Погрешность
У = ~—7— 100% 100% =66,7%.
1 о
3-3. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ
Если два или большее число сопротивлений включено
между одними и теми же двумя узлами А и Б так, что
напряжение U на них одинаково (рис. 3-4), то соединение
сопротивлений называется параллельным. При
параллельном соединении цепь получается разветвленной,
а параллельно включенные сопротивления служат ее вет-
вями.
По закону Ома токи в отдельных ветвях определяются
соотношениями
Л=~ = ^; /2=~ = ^2; /3 = -^- = ^3,
следовательно,
: /2 ' 1з~ gi ' g2: gs = — :— ’ — > (3-13)
т. е. распределение тока между отдельными ветвями
прямо пропорционально проводимостям ветвей или обратно
пропорционально их сопротивлениям.
87
Несколько параллельно соединенных сопротивлений
можно заменить одним общим сопротивлением г. Это сопро-
тивление должно быть выбрано так, чтобы при токе в сопро-
тивлении I, равном сумме токов в отдельных ветвях, напря-
жение U между концами сопротив-
ления равнялось приложенному
напряжению, т. е. чтобы
или
J_ __ Л 4" /з __ __I_1_I_
г ~ U rt' >-2 ' г3'
Заменяя сопротивления про-
водимостями, находим:
ё = gi + ёг + ёз, (3-14)
т. е. общая проводимость цепи
равна сумме проводимостей от-
дельных ветвей (таким образом,
общее сопротивление будет мень-
ше, чем самое малое из сопротивлений). Из выражения
общей проводимости следует, что
^4
Рис. 3-4. Параллельное
соединение сопротивле-
ний.
а так как
U2g= I2r2g= I2r — Р,
то
р — Pj + Р2 + р3,
т. е. мощность всей цепи равна сумме мощностей отдель-
ных ветвей.
При параллельном соединении двух сопротивлений
(рис. 3-5) у=7- + 7- = ^, (3-15) Г Г] Г2 Г У 2
откуда г_ ГХГ2 4+ Г2’
т. е. общее сопротивление равно произведению обоих со-
противлений, деленному на их сумму.
88
Рассмотрим, как в этом случае выражаются токи в от-
дельных ветвях через ток неразветвленной части цепи.
Очевидно,
1г = и 1г = /2г2,
откуда
г2
Подставляя вместо г найденное значение, получаем:
I = I Гг = I 81 • )
Г1 + Г2 ’ < (3-16)
= = /—-g— I
rl+r2 + '
При параллельном соединении п равных сопротивле-
ний г0 общее сопротивление
г = -£. (3-17)
Рис. 3-5. Параллельное соединение
двух сопротивлений.
При параллельном включении приемников режим рабо-
ты одного из них не влияет на режим работы другого.
Совершенно противопо-
ложное наблюдается при
последовательном соеди-
нении приемников, где
выключение одного из
них приводит к разрыву
цепи, т. е. к отключению
всех приемников энер-
гии.
Потребители электр и-
ческой энергии—лампы,
электродвигатели и др.—
обычно соединяются параллельно друг другу.
Последовательное соединение применяют там, где напря-
жение источника превышает номинальное напряжение
потребителей. Например, в трамвае электрические лампочки
соединяют последовательно.
3-4. СМЕШАННОЕ СОЕДИНЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ
Когда электрическая цепь может быть разделена на уча-
стки, которые соединены последовательно, причем некоторые
из них образованы параллельно включенными сопротив-
89
лениями или, наоборот, участки параллельно соединены,
но состоят из последовательно включенных сопротивлений,
Рис. 3-6. Схема к примеру
3-2.
то мы имеем дело со с м е ш а н-
ным соединением со-
противлений. Способов
смешанного соединения может
быть очень много.
Рассмотрим цепь, представ-
ленную на рис. 3-6, и покажем
на примере, как рпределяются
токи при смешанном соединении
сопротивлений.
Пример 3-2. Определить токи и
напряжения в цепи, избраженной иа
рис. 3-6, при следующих данных:
Е — 2 в; го = 0,5 ом; г1 = 3,5 ом;
г2 = 5 ом; г3=100 ом; г4 = 25 ом.
Находим проводимость параллельно соединенных ветвей:
й'ЛБ = й'2 + й'з + й'4 = у + уо0 + 25 = О,25 сим,
откуда следует, что сопротивление этого участка
'•аб=ЛГ-=4 ом’
8аб
общее сопротивление всей цепи
г = го-|-Г1 + г^в = 0,5-|-3,5-|-4 = 8 ом.
Ток в неразветвленной части цепи
F 2
/.=—=4 = 0,25 а.
г 8
Напряжение между точками АБ
ПАБ =//АБ = 0,25-4 = 1 в.
Ток в отдельных ветвях
1 Par
/.,= —^—=4 = 0,2 а; /3=—^- = 0,01 а;
2 г2 5 г3
Раб
/,=-^® =0,04 а.
а
Различные последовательные и параллельные соедине-
ния потребителей и их сочетание (смешанное соединение)
90
при одном источнике питания образуют цепи, которые будем
называть простыми цепями постоянного тока.
В простой цепи токи и напряжения отдельных участков
можно определить, если известны э. д. с. генератора и сопро-
тивления участков цепи. Основным расчетным уравнением
является закон Ома.
Однако когда мы сталкиваемся с разветвленной сложной
цепью, в которой в произвольном порядке размещены
сопротивления и источники, закона Ома для ее расчета
недостаточно. В этом случае расчетные уравнения состав-
ляются по первому и второму правилам Кирхгофа (§3-1).
в развивают мощность
f
Рис. 3-7.
а—последовательное и б—параллельное со-
единения аккумуляторов.
3-5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ И
ГРУППОВОЕ СОЕДИНЕНИЯ ПЕРВИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
И АККУМУЛЯТОРОВ
Первичные элементы развивают обычно мощность, рав-
ную долям ватта, при напряжении 1—1,5 в. Аккумуля-
торы при напряжении
до нескольких десятков
ватт. Поэтому мощность
потребителя часто пре-
вышает мощность отдель-
ного элемента. В этом
случае элементы соеди-
няются для совместной
работы в батарею.
Соединение допуска-
ется только для одно-
родных элементов, имею-
щих одинаковые э. д. с.
и внутренние сопротив-
ления.
Применяются три способа соединения элементов в бата-
рею: последовательное, параллельное
и групповое.
Последовательное соединение (рис. 3-7, а) применяется
в том случае, когда ток потребителя не превышает номи-
нального (предельно допускаемого) тока элемента, а напря-
жение потребителя U больше э. д. с. Ео одного элемента.
В этом случае число элементов п, соединяемых последо-
вательно, берется не меньше отношения ~. У всех п элс-
91
ментов э. д. с. должны иметь одинаковые направления,
для чего отрицательный зажим первого элемента соеди-
няется с положительным зажимом второго и т. д. Емкость
батареи из последовательно включенных элементов равна
емкости одного элемента, э. д. с. батареи
Е = пЕ0, (3-18)
внутреннее сопротивление батареи
г = пг0. (3-19)
Параллельное соединение элементов применяется при
напряжении потребителя, равном э. д. с. одного элемента,
но при нормальном (рабочем) токе потребителя I, большем,
чем разрядный ток /р элемента. В этом случае число эле-
ментов т, соединенных параллельно, должно быть не
меньше отношения ~.
При параллельном соединении положительные зажимы
всех источников соединяются в один узел, а отрицатель-
ные — в другой (рис. 3-7, б).
Электродвижущая сила батареи из параллельно вклю-
ченных элементов равна э. д. с. элемента
Е = Е0; (3-20)
внутреннее сопротивление батареи
(3-21)
Емкость батареи равна сумме емкостей параллельно
соединенных элементов. Групповое соединение представ-
ляет собой комбинацию последовательного и параллель-
ного соединений элементов. Оно применяется, когда номи-
нальные напряжение и ток потребителя больше э. д. с.
и разрядного тока одного элемента.
Пример 3-3. Определить число аккумуляторов (Eq = 2 в; !р — 8 а)
и выбрать способ их соединения для питания электроэнергией аварий-
ного освещения. Мощность всех ламп 2,2 кет, напряжение НО в.
Определим ток потребителя:
, Р 2 200
/ = ТГ = 'ПУ=20 “•
Так как напряжение и ток потребителя больше, чем Ео и
одного элемента, то следует применить групповое соединение.
92
Число параллельных групп
/
т>
20
8
= 2,5;
выбираем т = 3. В каждой группе нужно соединить последовательно
п элементов:
и НО «
П=^=-Т=55
(пренебрегая внутренними падениями напряжения в аккумуляторах).
Таким образом, общее число аккумуляторов
N = nm = 55-3= 165.
3-6. НЕРАЗВЕТВЛЕННАЯ ЦЕПЬ С ПЕРЕМЕННЫМ
СОПРОТИВЛЕНИЕМ
Рассмотрим режим электрической цепи, содержащей
два последовательно включенных сопротивления и г2 при
Рис. 3-8. Последовательное соединение при одном
переменном сопротивлении.
изменении одного из них (например, г2) от бесконечности
до нуля и при неизменном напряжении U = Е на зажимах
цепи (рис. 3-8, а).
Ток в такой цепи
1 = —^— (3-22)
Г1 + Г2
г и п
и принимает при г2 = со нулевое значение /х = —=0,
а при г2 = 0—наибольшее значение /к = — .
Режим цепи при г2 = 00 называется режимом холо-
стого хода, а режим при г2 = 0 — режимом корот-
кого замыкания.
Проследим за изменением напряжений и Ui на зажи-
мах сопротивлений и г2 в зависимости от тока цепи.
93
Напряжение на зажимах первого постоянного сопро-
тивления Ui = lrl. Это напряжение пропорционально току;
оно изменяется от нуля (при I = /х= 0) до наибольшего зна-
чения U, равного напряжению на зажимах цепи (при/=/к).
Напряжение на зажимах второго переменного сопро-
тивления U2 = U — Ui = U — Irt. Это напряжение также
линейно зависит от тока и изменяется от наибольшего зна-
чения U (при I = /х = 0) до
нуля (при / = /к).
При Г1 = Гг или при
т U /к ,,
1 напряжения СД
и U2 равны друг другу.
На рис. 3-9 представлены
графики, показывающие изме-
нение напряжений 7Д и (72
в зависимости от тока I.
Рис. 3-9. Графики изменения
напряжений в зависимости от
тока.
Полная мощность цепи
Р — UI изменяется пропор-
ционально току от наимень-
шего значения Рх = 0 (при
I = 1Х = 0) до наибольшего Р,- = UIK. Мощность в по-
стоянном сопротивлении Л = UJ = Pt\, т. е. изменяется
пропорционально квадрату тока. При изменении тока
мощность Р( принимает различные значения от наимень-
шего Р1Х = 0 (при / = 1Х = 0) до наибольшего Р1к = Рк
(при I — 1К). Мощность в переменном сопротивлении г2
определяется как разность Р и Р4, т. е. Р2 = Р — Pi =
= UI — Pri. Мощность Р2 равна нулю при I = /х = 0
и при I = /к.
Для определения наибольшего значения мощности Р2
найдем первую производную функции Р2(/) = UI — Pt\
и приравняем ее нулю. Так как Р'2(1) = U — 2Irt = 0, то
наибольшая мощность получается при токе I = Ш2г(.
Но при любом значении сопротивления г2 (в любом режи-
ме) ток определяется по формуле (3-22). Сравнивая эти
выражения, находим, что мощность Р2 достигает наиболь-
шего значения при г2 = G. Ток в этом режиме
1 __ м _______ Jir
2rt ~ 2
и максимальная мощность
П ,2 U2 UlK
Р2 макс — 7'2 — Гц — —4— .
94
Графики зависимостей Р, Pi и Р2 от тока даны на
рис. 3-10.
Неразветвленную электрическую цепь с постоянным
и переменным сопротивлениями можно рассматривать как
схему замещения электрической цепи из источника питания
(с постоянным внутренним сопротивлением и сопротивле-
нием подводящих проводов
г4) и приемника с перемен-
ным сопротивлением г2
(рис. 3-8,6).
Выясним целесообраз-
ные режимы работы источ-
ника энергии. Этот во-
прос можно рассматривать
с двух точек зрения.
Во-первых, следует выяс-
нить, при каких условиях
источник развивает макси-
мальную полезную мощ-
ность, и, во-вторых, при
каком режиме будет самый
высокий к. п. д. Полезной
Рис. 3-10. Графики изменения
мощностей в зависимости от тока.
мощностью в цепи является мощность в переменном со-
противлении Р2. Мощность в постоянных сопротивлениях Pi
следует рассматривать как мощность потерь.
Как уже известно, режим, при котором развивается
наибольшая полезная мощность, имеет место при г2 = гй
в этом случае 1 = н полезная мощность равна мощ-
ности потерь, т. е.
= л =
мощность, развиваемая источником,
P = Pl + P2 = ±^-
Коэффициент полезного действия
т] = -^- = -^-, или 50%.
95
Наибольший к. п. д. получается при г2=со, т. е.
в режиме холостого хода, действительно,
„ р2 U2I ^E-U^E-lr
ц ' Р ~ El Е Е ’
откуда при 7 = 0 имеем т] = 1, или 100%.
Таким образом, передача с высоким к. п. д. должна
выполняться при режимах, близких к холостому ходу.
Пример 3-4. В электрическую сеть с напряжением 120 в вклю-
чена плитка мощностью 720 вт. В штепсельной розетке с течением
времени образовался плохой контакт. Определить наибольшую мощ-
ность, которая может быть выделена в штепсельной розетке.
Сопротивление плитки
t/2 14 400
fl“' Р “ 720 -2° °М'
Наибольшая мощность в розетке будет при сопротивлении кон-
такта г2=г1 = 20 ом.
Ток в цепи прн таком сопротивлении контакта
, U 120 _
rj + f! 20+20
Мощность в контакте
/’2=/2г2= 9-20= 180 вт.
3-7. ПОТЕРЯ НАПРЯЖЕНИЯ В ПРОВОДАХ
Передача электрической энергии от генератора к прием-
никам обычно происходит по проводам, которые образуют
электрическую сеть. В
Рис. 3-11. Электрическая
сеть с приемником на конце.
простейшем случае энергия пере-
дается по двум проводам (каж-
дый длиной /). Провода и прием-
ник энергии образуют неразвет-
вленную цепь (рис. 3-11).
Сопротивление обоих прово-
дов определяется по известной
формуле (2-16):
г-=2=- (3-23)
При передаче энергии в результате падения напряже-
ния в проводах напряжение в конце 7+ меньше напряже-
ния в начале Ui. Разность между напряжениями Ui и U2
называется потерей напряжения (обозначение
96
&U). Таким образом,
\U = Ui—U2. (3-24)
Та же величина по закону Ома
At7 = 7r = 2Z—V- (3-25)
Потеря напряжения обычно допускается небольшой
по сравнению с напряжением Uit во-первых, с целью эко-
номии энергии и, во-вторых, для обеспечения незначитель-
ного колебания напряжения у приемника при изменении
сопротивления, а значит, и тока приемника.
Ток потребителя или, как говорят, «нагрузка»
при различных сопротивлениях приемника изменяется
от нуля до некоторого максимального значения. Потеря
напряжения в сети при этом также колеблется от нуля
до своего максимального значения. При постоянном напря-
жении Ui в начале сети напряжение в конце изменяется
от U2 = Ui при I = 0 и АС/ = 0 до (7' = (74 — АС/. Поэто-
му допускаемая потеря напряжения в сети равна допу-
скаемому колебанию напряжения на зажимах приемника
U2 — U'2 = Ui — U'2= ьи.
Так, для электрических ламп допустимо изменение
начцяжения 1—2%, для электродвигателей 2—5% номи-
нального значения напряжения.
Очень часто при расчете потерей напряжения задаются
и определяют необходимое сечение провода.
Согласно (3-25) сечение
s = 2'w- (3-26>
Выразив потерю напряжения в процентах напряжения
у потребителя
е = 4^-100% (3-27)
^2
и подставив значение АС/ в (3-26), получим:
„ 211-100
yU2e
Умножая числитель и знаменатель правой части (3-28) на
U2, найдем, что
5 = = .100%. (3-29)
yU2e U2 уЩе ' 7
7 Теоретическая электротехника 97
Выбранное по условию потери напряжения сечение
провода обязательно проверяется на нагрев.
Из выражения (3-29) следует, что относительно малое
сечение провода при передаче больших мощностей на дале-
кие расстояния получится, если применить высокое напря-
жение.
При передаче энергии некоторая ее часть «теряется»
в проводах. Мощность потерь
ДР = /2f = 2/a-V или ДР = /ДП.
yS
Коэффициент полезного действия электрической сети
Pj-ЬР _UjI-&U! Uj-W , U2
1 Pi ~ Uii ~ Ui ~ Ui '
Обычно передача энергии происходит при к. п. д.;
равном 0,98—0,95, и напряжение на зажимах потреби-
теля отличается от напряжения в начале сети на 2—5%.
Рис. 3-12. Электрическая сеть с не-
сколькими приемниками.
В том случае, когда участок сети имеет несколько при-
емников, присоединенных в различных местах линии
(рис. 3-12), потерю напряжения во всей сети можно пред-
ставить как сумму потерь напряжения на отдельных участ-
ках:
Д(7 = &Ui + АН, + АП3.
Но так как потери напряжения на отдельных участках
i = (/i + /2 + /3) Н» А//2 = (/2 +/3) г2;
Л//з — /з^З!
то
~ (/} /2 4“ /3) Н 4“ (У2 ^з) ^*2 “Ь /з^*3*
98
Раскрывая скобки, находим, что
А(7 = ZjTj + 12Ti + I зг i + 4rz Ч~ ЛаЧ- /згз
и вынося за скобки одинаковые токи, получим:
AJ7 = Л/д Ч* 4 (А Ч- А) Ч- 4 (ri Ч~ АЧ- гз).
Если цепь выполнена проводом одинакового сечения
по всей длине, то
AZ7 = Л -А. 1Х +12(Ц + /2) Ч- /з 4“
Выражения, стоящие в скобках, представляют собой
расстояния от генератора до соответствующего приемника.
Обозначая
li — Lt', = L2, 4 Ч-4 Ч-4 = 4з,
находим потерю напряжения:
= (ЦЦ + I2L2 + 13L3), (3-31)
г-5
‘откуда при заданной потере напряжения можно опреде-
лить требуемое сечение проводов:
*5 = уД1/ (4^1 Ч" 4^2 Ч~ 4Ез) (3-32)
Пример 3-5. Помещение освещается группой ламп общей мощ-
ностью 2 квпг. Напряжение на зажимах генератора (/(=125 в. Рас-
стояние от генератора до помещения, где установлены лампы, 80 м.
Определить сечение медных проводов, при котором напряжение
на лампах будет не менее 120 в.
Допустимая потеря напряжения
MJ = Ui-U2= 125- 120 = 5 в
или в процентах
е— • 10°% = -А- • 100% = 4,16%.
IJ 2 * Хи
Принимая во внимание, что проводка будет выполнена медными
проводами (у = 58 м/ом-мм2), находим необходимое сечение:
с_ W 1ПП(>, 2-2 000.80
yeUl •)00'/°- 58-4,16-1202’ !00~ 9 мм
(ближайшее стандартное сечение S = 10 мм2).
7*
99
Проверяем выбранное сечение на нагрев. Изолированный медный
провод сечением 10 мм2 допускает ток 68 а, а в нашем примере
1
Р2
и2
2 000
120
= 16,7 а,
т. е. значительно меньше допустимого.
3-8. ИЗМЕРЕНИЕ ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ
Прибор, который служит для измерения тока, называется а м-
перметром.
Если измеряемый ток меньше ампера, прибор называется мил-
лиамперметром; при измерении токов меньше 10-8 а —мик-
оамперметром или г а л ь -
Рис. 3-13. Тепловой амперметр.
ванометром.
Главной частью амперметра
является измерительный механизм.
Ток, проходя по измерительному
механизму, благодаря тепловым
или электромагнитным действиям
вызывает поворот стрелки изме-
Рис. 3-14. Включение шунта.
рительного механизма. Это позволяет на шкале прибора нанести
значения тока, соответствующие разным углам поворота стрелки, и,
таким образом, проградуировать прибор для измерения тока.
Для создания измерительного механизма можно, например, вос-
пользоваться тепловым действием тока. Главной частью теплового
механизма является платино-серебряная или платино-иридиевая
нить КК (рис. 3-13), которая удлиняется от нагревания при про-
хождении по ней тока. Удлинение нити преобразуется системой
оттяжек во вращательное движение соединенного со стрелкой блока,
который охватывается одной из этих оттяжек О. Поэтому каждому
значению измеряемого тока соответствует определенный угол пово-
рота стрелки прибора. По нити может проходить ток не свыше 0,5 а.
Jijwi измерения больших токов (/ > 0,5 а) механизм И шунтиру-
ется, т. е. параллельно нити присоединяется сопротивление посто-
янной величины (шунт), по которому и проходит большая часть
измеряемого тока (рис. 3-14). Другая часть тока /и проходит по
иити; эта часть тока ие должна превышать 0,5 а. Отношение
р=4- (3-33)
7И
100
называется шунтирующим множителем. Это число показы-
вает, во сколько раз расширится предел измерения тока, если при-
менить шунт.
Так как в соответствии с (3-16)
то, разделив обе части уравнения на I, находим:
1д __ 1_______гш
I ~~ Р ~ Гш + Ги ’
откуда
p = Zni±ri?_=i+_pl_. (3-34)
'Ш гш
Из этого уравнения определим сопротивление шунта в зависи-
мости от необходимого значения р. Из формулы (3-34)
откуда
гш — р । • (3-35)
Шунт обычно выполняется из проводников с малым температур-
ным коэффициентом сопротивления (манганин).
Амперметр включается в цепь последовательно с приемником
(рис. 3-15). Как правило, сопротивление амперметра должно быть
малым (доли ома) с тем, чтобы уменьшить падение напряжения
в амперметре и его мощность.
Прибор, служащий для измерения напряжения, называется
вольтметром. Измерительный механизм вольтметра такой же,
как у амперметра.
Для измерения напряжения между двумя точками цепи зажимы
вольтметра присоединяют непосредственно к этим точкам, так что
вольтметр оказывается включенным параллельно некоторой части
цепи (рис. 3-16).
В вольтметре (с целью экономии энергии) не допускаются зна-
чительные токи (более 0,1 а). Поэтому последовательно с механиз-
мом включают добавочное сопротивление гд. В этом
случае измеряемое напряжение распределяется между добавочным
сопротивлением и сопротивлением измерительного механизма га
(рис. 3-17). Отношение измеряемого напряжения U к напряжению
на измерительном механизме Uu называется множителем до-
бавочного сопротивления р. Таким образом,
U
P^U~. (3-36)
101
Так как через вольтметр и добавочное сопротивление проходит один
и тот же ток, то
JL = п = 2и_+гД = 1
Un ги га ’
откуда
Гд = гп(Р— !)• (3-37)
Иногда вольтметр имеет несколько добавочных сопротивлений,
так что получается многопредельный прибор на несколько номи-
нальных значений измеряемого напряжения, например 50 и 150 в.
Рис. 3-17. Включение
добавочного сопротив-
ления.
Рис. 3-15. Схема
включения ампер-
метра.
Рис. 3-16. Схе-
ма включения
вольтметра.
Необходимо заметить, что на практике для измерения постоян-
ных напряжений и токов применяют почти исключительно наиболее
точные приборы магнитоэлектрической системы. В этих приборах
поворот стрелки получается в результате действия магнитного поля
постоянного магнита на рамку с измеряемым током (см. § 5-27).
Пример 3-6, К измерительному механизму сопротивлением
ги = 0,27 ojk нужно присоединить шунт, чтобы увеличить предел
измерения в 10 раз. Определить сопротивление шунта.
Сопротивление шунта
г„ 0,27
гш р_____j jQ_____j 0,03 ом.
Пример 3-7. К измерительному механизму на 45 мв сопротив-
лением ги = 9 ом нужно присоединить добавочное сопротивление гд,
чтобы повысить предел измерения напряжения до 90 в. Опреде-
лить Гд.
Множитель добавочного сопротивления
р~ 0,045 ~ 2000,
Сопротивление
гд = ги (р — 1) = 9 (2 000—1)= 17 991 ом.
102
3-9. ИЗМЕРЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ
Рассмотрим несколько способов измерения сопротивлений. Самый
простой способ —способ амперметра и вольтметра, показанный на
рис. 3-18. Искомое сопротивление определяется расчетом по формуле
Рис. 3-18. Измерение со-
противления методом
амперметра н вольт-
метра.
Рис. 3-19. Измерение со-
противления методом
амперметра и вольт-
метра.
г =-р , где U и I — показания приборов. Подсчитанная в этом
случае величина сопротивления не точно равна искомому, так как
вольтметр измеряет не только напряжение на концах сопротивления,
но и падение напряжения в ампер-
метре:
U^Ir + Ir^
откуда
U
г = — — га. 38)
При относительно малом со-
противлении амперметра (по срав-
нению с г) его величиной можно
пренебречь и полученный резуль-
тат считать искомым сопротивле-
нием
Неизвестное сопротивление
можно также измерять по схеме,
изображенной на рнс. 3-19.
U
В этом случае также г ~ -j- ,
Рис. 3-2U. Мост для измере-
ния сопротивлений.
но подсчитанная величина не точ-
но равна искомому сопротивлению, так как амперметр измеряет
не только ток, проходящий по сопротивлению, но и ток вольтметра /в;
поэтому точнее
U
г =
(3-39)
Если сопротивление вольтметра велико по сравнению с искомым,
то током, проходящим по вольтметру, можно пренебречь и полу-
ченный результат считать искомым сопротивлением.
103
Сопротивления часто измеряются при помощи моста (рис. 3-20).
Три известных сопротивления rt, г2, г и одно неизвестное гх
образуют замкнутый контур АБВГА. К точкам А и В присоеди-
няется первичный элемент или аккумулятор, а к точкам Б и Г—
гальванометр. При замкнутых кнопках и К2 в сопротивлениях
г2, гх и г проходят токи, которые соответственно обозначены
Л> ^21 Л и Л-
Изменением сопротивлений г, г1 и г2 добиваются равенства по-
тенциалов точек Б и Г: <Рб = <Рг. При этом ток в гальванометре
равен нулю, и Ц = = кроме того, при равенстве потенциалов
<Рв и (р^ равны и разности потенциалов —<рБ и — <рг, а также
Фб~<Рв и Фг— Фв или соответственно напряжения на сопротив-
лениях гх и гр а также г и г2;
1згх = Цг1, Iir = l2r2.
Разделив почленно последние уравнения и учитывая равенства
токов, получим:
гх _ Н
Г г2 ’
откуда
= (3-40)
3-10. РАСЧЕТ СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ УЗЛОВЫХ
И КОНТУРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Для расчета разветвленной сложной цепи, в которой
произвольно размещены сопротивления и источники пита-
ния, недостаточно применить закон Ома. В этом случае
расчетные уравнения, как указывалось выше, составляются
по первому (узловые уравнения) и второму (контурные
уравнения) правилам Кирхгофа.
Если заданы величины всех э. д. с. и сопротивлений,
то для вычисления всех токов по правилам Кирхгофа
нужно составить столько уравнений, сколько имеется
в цепи неизвестных токов. Однако число уравнений, кото-
рые можно составить по правилам Кирхгофа, всегда больше
числа неизвестных токов, т. е. часть этих уравнений являет-
ся следствием остальных. Для того чтобы расчетные урав-
нения были независимыми, нужно при их составлении
выполнить два условия:
1. Число узловых уравнений должно быть на единицу
меньше числа узловых точек электрической цепи. Напри-
мер, если цепь имеэт п узлов, то по первому правилу Кирх-
гофа нужно составить лишь (п — 1) уравнений, так как
104
уравнение для последнего n-го узла является следствием
уже составленных (п — 1) уравнений.
2. Недостающие уравнения составляются по второму
правилу Кирхгофа; при этом нужно выбирать наиболее
простые контуры (с меньшим числом источников э. д. с.
и сопротивлений) в таком порядке, чтобы в каждом но-
вом контуре содержалась по меньшей мере одна ветвь,
не входившая в контуры, для ко-
торых уже составлены уравнения.
На рис. 3-21 изображена раз-
ветвленная цепь с двумя источни-
ками. Требуется определить токи
в отдельных участках цепи. Вели-
чины и направления э. д. с. и со-
противления цепи заданы.
Прежде всего надо установить
направления токов, так как иначе
нельзя составить уравнения ни по
первому, ни (по второму правилам
Кирхгофа. Но у нас нет никаких
данных, позволяющих сделать ЭТОТ Рис 3.21 Разветвленная
выбор. Например, чтобы правиль- цепь.
но выбрать направление тока /5
(рис. 3-21), надо знать, какая из точек (Л или Б) обладает
более высоким потенциалом; ответить же на этот вопрос
можно лишь только после того, как найдено токораспре-
деление, т. е. все токи в цепи.
Эти затруднения отпадают, если считать ток алгебраи-
ческой величиной, которая может принимать как поло-
жительные, так и отрицательные значения, и выбрать
предварительно для каждого тока произвольное направле-
ние, которое называют положительным. Поло-
жительные направления указаны на рис. 3-21 стрелками.
Приписав току /5 положительное направление от Б кА,
мы еще ничего не утверждаем относительно того, какой
из двух потенциалов больше. Если в результате расчета
получим /5>0, то очевидно, что <рА<<рБ, но если полу-
чится /5<0, то <Рв<<Ра-
Приступая к расчету, мы вправе приписать токам любые
положительные направления. Если при расчете получится
отрицательное значение для какого-либо тока, то этот
ток в действительности протекает в направлении, противо-
положном выбранному и указанному на схеме стрелкой.
105
В рассматриваемой цепи три узловые точки (п = 3),
поэтому составим два узловых уравнения:
для узла А
—Л—Л + /s — О,'
для узла Б
— Г—1з—/5 — О-
Так как для расчета цепи нужно иметь пять неза-
висимых уравнений (пять неизвестных токов), то три
недостающих уравнения составляем, применяя второе
правило Кирхгофа.
Для контура АДГ А (порядок чередования букв опре-
деляет направление обхода контура, в данном случае—•
против направления движения часовой стрелки):
£”1 = Л (г01 + г1) hf4-
Для контура АГБА;
О = /4Г 4-/згз + 5*
Для контура БГВБ;
— Е%= /2 (гог + гг)
Мы могли бы написать еще несколько уравнений, напри-
мер для контуров АДГ ВБ А, АДГ Б А и АГ ВБ А. Эти урав-
нения уже не независимые, каждое из них легко получить
из ранее составленных уравнений (путем суммирования),
в чем и предлагаем убедиться читателю.
Иногда известны токи в отдельных ветвях, а неизвестны
некоторые э. д. с. Тогда для составления уравнений по пра-
вилам Кирхгофа нужно выбрать произвольно положи-
тельные направления этих э. д. с. Их действительные
направления выясняются в результате расчета.
Пример 3-8. Определить ток н мощность в каждом участке цепи,
изображенной на рис. 3-22, прн следующих данных: £'1=130 в;
Е%= 117 в; r01 = 1 ом; го2 = О>6 ом; г3=24 ом.
Задавшись положительными направлениями токов, составляем
три необходимых уравнения:
по первому правилу Кирхгофа для узла Б
Л +Д-Нз=°;
ио второму правилу Кирхгофа для контура АБГА
Ei—E2=1^01 — 1^02
106
и для контура БВГБ
^2— ^2r02— hr3-
Подставляя в последние уравнения численные значения изве-
стных величин, получаем:
130—117=1/!—0,6/2; 117 = 0,6/2 - 24/3.
Так как
^з= —Л—^2,
то
13 = 17j—0,672; И7=0,6/2+24/1 + 24/2
или
13= 1/j — 0,6/2; 117 = 2471+24,6/2,
Рис. 3-22. Схема к примеру 3-8.
откуда после исключения Ц получаем:
195= - 39/2
или
т. е ток /2 в действительности направлен обратно направлению
стрелки на схеме
Ток /4 определяем из уравнения /4— 0,6/2 = 13:
/4=13 + 0,6/2=13 — 3=10 а
и, наконец, ток
/3 = •— / j — /2 = — 10 + 5 = — 5
т. е. ток /3 в действительности направлен от точки Б к точке В
и <Рб> ТВ-
Мощность, развиваемая генератором,
Pt = ElIl= 130• 10-= 1 300 вт.
Мощность отдельных сопротивлений цепи
Р01 = /|г01= 100-1 = 100 вт; Ро2 = ^2/'о2=25-О,6= 15 вт;
Р3 = /|г3 = 25.24 = 600 вт.
107
Мощность, развиваемая вторым источником,
Р2 = £у2 = П7( —5)=—585 вт.
Этот источник э. д. с. является потребителем электрической
энергии, так как направления /2 и Т?2 противоположны.
Проверяем правильность решения задачи, составляя баланс мощ-
ностей, который является следствием закона сохранения энергии;
SPr = SP потр
или
Pi + Pi = Poi + Рог + Рз<
1 300-H—585)= 100+ 15 + 600.
Полученный баланс, однако, не отражает физической стороны про-
исходящего процесса, так как второй источник не отнесен к потре-
бителям электрической энергии. Поэтому перепишем уравнение
баланса так:
Pi = Poi + Р()2 + Рз + I Р2 I
или
1 300 em= 100+ 15+600 + 585= 1 300 вт.
3-11. МЕТОД УЗЛОВОГО НАПРЯЖЕНИЯ
В сложной цепи, имеющей всего два узла, токи можно
определить более простым методом, чем решением системы
А
Рис. 3-23. Сложная цепь
с двумя узлами.
Б
уравнений, составленных по пра-
вилам Кирхгофа.
На рис. 3-23 представлена
сложная цепь с двумя узлами.
Примем за положительное
направление токов во всех вет-
вях направление от узла Б к уз-
лу Л, т. е. предположим, что все
источники э. д. с. работают
в режиме генераторов.
Напряжение между узлами
А и Б (узловое напряжение)
обозначим U. Оно равно раз-
ности потенциалов этих двух
точек:
U = <Pa—фв-
По закону Ома ток в
первом участке [формула (2-35)]
^ = ^ = (^-[7)^.
(3-41)
В этом выражении г4—общее сопротивление первого
участка, включая внутреннее сопротивление генератора.
108
Аналогично для остальных участков цепи:
^2 ~ (^-2-Sz\ 1з = (Ез U) 8з'г
h~(0—U)gi=—Ugi.
По первому правилу Кирхгофа для узла А
Л + ^г + ^з+^4 — 0.
Подставив в это уравнение найденные выражения
токов, получим:
—И) gi + (Ег—U) §2 + (£з—U)gs + (—U) gt = 0.
Раскрыв скобки, найдем узловое напряжение:
у _ Ezg2-]-Езвз
£1Н~£2+£з + £4
или в общем виде
Н = (3-42)
Рис. 3-24. К приме-
ру 3-9.
т. е. «.узловое напряжение-» равно отношению алгебраической
суммы произведений э. д. с. на проводимости соответствую-
щих ветвей к сумме проводимостей всех ветвей, причем
если какая-либо э. д. с. направлена
от узла А к узлу Б, то в формулы
(3-41) и (3-42) она подставляется со
знаком минус.
Выражение (3-42) позволяет опре-
делить напряжение между узлами по
заданным значениям э. д. с. отдель-
ных генераторов и проводимостей
(пли сопротивлений) отдельных участ-
ков цепи (ветвей).
Подставив найденное узловое напряжение в уравнения
вида (3-41), легко определить токи в отдельных участках
цепи.
Пример 3-9. На рис. 3-24 представлена разветвленная цепь
с двумя узлами, причем £'1=113 в; Е2 = 112,5 в; г01 = 0,5 ом",
г02 = 0,5 ом', г =10 ом. Найти токи.
Вычисляем узловое напряжение:
11 — _ 113-2 + 112,5-2 __
gt + £г + +ч 2 + 24-0,1
10»
Токи в ветвях цепи:
/1 = (£'1-{/)£1 = (113-110)2 = 6 а’,
Л = (£2-О)й = (Н2,5-110)2 = 5 а;
/3=—t/g3= —110-0,1= —11 а.
Производим проверку решения:
Л 4~ ^2 + =~ ® + 5— 11 = 0.
3-12. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ГЕНЕРАТОРОВ
Пользуясь методом узлового напряжения, выясним
условия параллельной работы нескольких генераторов.
Потребители электрической энергии (освещение, сило-
вая нагрузка) в различное время суток имеют неодина-
ковую мощность. Ночью эта мощность минимальна, утром
постепенно увеличивается, достигая вечером наибольшего
значения. На электрической станции целесообразно иметь
несколько генераторов. При малой мощности работает
один генератор, с ростом мощности увеличивается число
работающих генераторов.
При параллельном соединении генераторов получается
цепь с двумя узлами, к которым присоединяются приемники
электрической энергии (рис. 3-23, где г — общее сопро-
тивление всех приемников). Применяя метод узлового
напряжения, определим ток в цепи каждого генератора:
Л = (£"1 U)St’ h — h — (E3 U) g3.
Одинаковые мощности и токи в цепи генераторов будут
при Ег = Е2 = Е3 = Е и gt = g2 = g3.
Обычно узловое напряжение U по величине очень
близко к значениям отдельных э. д. с., поэтому разность
Е — U составляет лишь несколько процентов от Е.
При таких условиях самое небольшое повышение какой-
либо из э. д. с. параллельно работающих генераторов (при
gi = gz = ga) приведет к тому, что ток этого генератора
окажется в несколько раз больше, чем у остальных. Напри-
мер, при э. д. с. генератора 122 в и узловом напряжении
120 в их разность Е — U = 2 в; если э. д. с. увеличится
на 1 в (меньше чем на 1%), т. е. достигнет значения 123 в,
то разность Е — U = 3 в возрастет на 50%. Ток генератора
также возрастает на 50%. Этим обстоятельством поль-
зуются, когда хотят «перевести нагрузку» с одного гене-
ратора на другой,
ПО
Генераторы окажутся также неодинаково загружен-
ными при равных э. д. с., но при различных внутренних
сопротивлениях. Более загруженным окажется генератор
с большей проводимостью, т. е. меньшим внутренним сопро-
тивлением.
При снижении э. д. с. генератора до величины узлового
напряжения (Е = U) ток в цепи генератора равен нулю:
I — (Е— U) g = 0, а следовательно, и мощность генератора
Р = EI = 0.
Генератор, находящийся в таком режиме, называется
уравновешенным (скомпенсированным). Если э. д. с. станет
меньше узлового напряжения, то ток изменит направле-
ние — он будет направлен навстречу э. д. с. В этом случае
генератор начнет работать в режиме потребителя энергии
(электродвигателем).
Пример 3-10. Два генератора Е1 = Е2=122 в; г01 = г02~0,5 ом
присоединены к сети параллельно. Сопротивление приемника энер-
гии г = 5,85 ом.
1. Определить мощность, развиваемую каждым генератором.
Проводимости участков цепи;
pt = —= 2сим; g2 = ^— — 2 сим; g = — = 0,171 сим.
+1 г02 г
Узловое напряжение
Ij__£1Е1_+_^2£2 _ 2' 122-2 _
Е1 + Е2+Е 2-|-24-0,171
Токи генераторов:
= — U)gi=10 a; J2 = (E2 — U) g2=l0 а.
Мощности, развиваемые генераторами:
Р1 = Е1/1= 1 220 вт; Р2 — Е212=\ЧЧЗвт.
2. Определить мощность, развиваемую каждым генератором,
если э. д. с. первого генератора увеличить до 126 в.
Узловое напряжение
,, 126-2+122-2
и= ~+Г71—=119 е’
Токи генераторов:
J^l^Ei — U) gi= 14 a; I2=(E2 — U)g2 = 6a.
Мощности генераторов:
Р1 = Е1/1=1764 вт; P2 = E2J2 = 732 вт.
3. Определить, до какой величины нужно повысить э. д. с.
первого генератора, чтобы второй генератор оказался совершенно
разгруженным, т, е. чтобы /2= (E2—U) 8z~ 0-
111
Очевидно, это возможно, если £2—U = 0, т. е. E2=U; следо-
вательно,
Eigi + E2g2
gt+gz+g 2’
откуда
g)==£l(gL±g>=!22.<2 + Q^0 = 132,5 о.
1 gi 2
3-13. ПРИНЦИП НАЛОЖЕНИЯ (СУПЕРПОЗИЦИИ)
Возможность расчета электрических цепей по прин-
ципу наложения вытекает из того, что ток в любом участке
цепи равен алгебраической сумме частичных токов, созда-
ваемых в этом участке от всех э. д. с. цепи, действующих
отдельно друг от друга.
Вначале полагаем, что в цепи действует только одна
какая-либо э. д. с., причем все сопротивления цепи остаются
неизменными (включая внутренние сопротивления источ-
ников, даже и тех, гдеэ. д. с. приравниваются нулю). Для
такой схемы находим токораспределение. Затем повторяем
расчет, полагая, что действует вторая э. д. с., а все осталь-
ные не действуют. Аналогичные расчеты производим пооче-
редно для всех э. д. с.
Пусть ток в каком-нибудь участке равен I. По принципу
наложения
/ = (3-43)
где Г — ток, созданный в рассматриваемом участке дей-
ствием первой э. д. с. в предположении, что остальные
э. д. с. равны нулю. Аналогичное значение имеют состав-
ляющие I" и Г’" и т. д. Суммирование составляющих тока
производится с учетом их направления.
Заметим, что ток в любой ветви может быть представлен
не обязательно суммой частичных токов от всех э. д. с.,
действующих по очереди. По принципу наложения ток
можно представить и как сумму частичных токов, каждый
из которых создается группой э. д.. с. Например, можно
разбить все э. д. с. цепи на две группы, тогда I = Г I”,
причем Г — ток от первой группы э. д. с., а I “ — от второй
группы э. д. с.
Пример 3-11. Определить токи в отдельных участках цепи,
изображенной на рис. 3-25, а, если El—126 в; Е2~124 в; rt==l ом;
r2 — 1 ом; г3~ 12 ом.
112
Полагая
находим:
э. д. с. второго генератора недействующей (рис. 3-25, б),
= 65,52.-11- = 6°,48 а-,
г2~г r3 1 +
/'=/; = 65,52
'з+'з
ЕП2 =5’04 -
Полагая э. д. с. первого генератора недействующей (рИС< 3-25, в),
находим:
124
4тг2_=64-48
1 + 12
Л = /2-^-=64,48-т^Тп=59,52 а;
г1 + г3 1+12
^2
У 2---------------
г flf3
=64,48•
4,96 а.
Производим наложение токов:
/i==/i—z;==65,52 — 59,52 = 6 а\
— — а',
/3=—5,04—4,96=—10 а.
3-14. МЕТОД ХОЛОСТОГО ХОДА И КОРОТКОГО
ЗАМЫКАНИЯ (МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО
ГЕНЕРАТОРА)
Вычисление тока в одном произвольно выбранном участ-
ке сложной электрической цепи можно выполнить методом
холостого хода и короткого замыкания. Этот метод часто
8 Теоретическая электротехника 113
сокращает громоздкие вычисления, например решение
системы уравнений со многими неизвестными.
Пусть дана произвольная электрическая цепь, содержа-
щая любое количество ветвей, соединенных каким угодно
образом. Определим ток I в одном из участков цепи, сопро-
тивление которого обозначим г. Для этого прежде всего
разобьем цепь на две части: на сопротивление г и на часть
цепи, остающуюся после отключения от нее сопротивле-
ния г. Эту вторую часть изобразим прямоугольником
с двумя зажимами (рис. 3-26) и назовем
двухполюсником. Ясно, что внут-
ри двухполюсника находится по меньшей
мере один источник э. д. с. Такой двухпо-
люсник называется активным.
Если последовательно к сопротивле-
нию г добавить еще два источника э. д. с.,
+
Лбут-
полюс-
ник
Рис 3-26 Двух-
полюсник и вы-
деленный уча-
сток цепи с со-
противлением г.
присоединив их так, как показано на
рис. 3-27, то величина тока в сопротив-
лении г не изменится: добавочные э. д. с.
равны по величине и направлены навстре-
чу друг другу, внутренние сопротивления
источников равны нулю.
В соответствии с принципом наложения, ток в сопро-
тивлении
7 = 7 —7О4~7О,
где суммируются три тока: I — ток в сопротивлении под
действием источников, находящихся в двухполюснике,
—70 — ток в сопротивлении под действием только э. д. с.,
обозначенной на схеме — Ео (этот ток имеет знак минус,
так как э. д. с.— Ео направлена навстречу току 7), и 10 —
ток в сопротивлении при действии одной э. д. с. +Е0.
Электродвижущую силу Ео, а следовательно, и вызы-
ваемый ею ток /0 можно выбрать различной величины.
Выберем ее так, чтобы выполнялось условие
1 — 7о = О или 1 = 10. (3-44)
Токораспределение в цепи рассмотрим как результат нало-
жения двух режимов: во-первых, режима, обусловленного
всеми э. д. с., кроме обозначенной на схеме +Е0> и, во-вто-
рых, режима, создаваемого э. д. с. +Е0, т. е. примем I —
= Г +1", где Г = I -Io; I" = 10.
114
(3-45)
Первому режиму соответствует ток в сопротивлении,
равный нулю [формула (3-44)]. Второму режиму (рис. 3-28,а)
при действии только э. д. с. +Е0 соответствует ток
} _ Е0
0 г + г0 ’
поэтому на основании (3-44) и
г + го
здесь г0—общее сопротивление двухполюсника, величина
которого нам неизвестна.
Неизвестной является также и величина Ео.
Выражения вида (3-45) нам встречались неоднократно.
Это, например, выражение тока в неразветвленной цепи,
Рис. 3-27. Вклю-
чение двух до-
полнительных
источников.
а) <0
Рис. 3-28 Схема при действии
одного источника э д с., равно-
значная схеме на рис. 3-26.
содержащей источник питания с э. д. с. Ео и внутренним
сопротивлением г0 и сопротивление приемника г. Таким
образом, мы приходим к весьма важному выводу, что
всякий активный двухполюсник может быть заменен источ-
ником с э. д. с. Ео и сопротивлением г0 (рис. 3-28, б). Схемы
рис. 3-26 и 3-28 эквивалентны, так как в интересующем нас
участке цепи с сопротивлением г протекает в обоих слу-
чаях ток I.
Для вычисления тока в отдельном сопротивлении цепи
г необходимо знать э. д. с. и внутреннее сопротивление
двухполюсника.
Величины Ео и г0 проще всего определяются опытным
путем. Если под действием э. д. с. двухполюсника и допол-
нительной э. д. с. —Ео ток в сопротивлении г равен нулю,
8* 115
то это равносильно разрыву внешней цепи двухполюсника.
Тогда отсутствует внутреннее падение напряжения и напря-
жение на зажимах двухполюсника равно э. д. с. Ео. Опыт-
ным путем эту э. д. с., т. е. напряжение на зажимах при
отключении внешней цепи, можно измерить вольтметром
на зажимах двухполюсника при отключении от него сопро-
тивления г, т. е. при холостом ходе (рис. 3-29, а).
Что касается сопротивления г0, то, как следует из фор-
мулы (3-45), оно может быть найдено путем измерения
двух-
полюс-
ник
двух-
полюс-
ник
Рис. 3-29. Опыты холостого хода и ко-
роткого замыкания.
тока короткого замыкания двухполюсника /к= —. Если
го
зажимы двухполюсника замкнуть через амперметр с ничтож-
ным сопротивлением по сравнению с г0> то амперметр
покажет ток Е01г0, откуда и найдется искомое сопротивле-
ние (рис. 3-29, б).
Электродвижущая сила двухполюсника Ео (напряже-
ние холостого хода) и сопротивление г0 могут быть найдены
также расчетом. Для определения Ео нужно принять
г = со и найти напряжение между точками, к которым
присоединено сопротивление г (зажимы «+» и «—» на
рис. 3-28, б). Для определения г0 нужно предположить,
что все э. д. с. в цепи двухполюсника равны нулю, и при
отключенном сопротивлении г определить общее сопро-
тивление относительно зажимов двухполюсника (зажимов
«+» и «—» на рис. 3-28, б).
Пример 3-12. Определить ток в сопротивлении г=14 ом
(рис. 3-30, а), если г±= 10 ом; г2 = 2,5 ом; г3=5 ом; г4 = 20 ом и
£=12,5 в.
Вначале определим напряжение между точками АБ при отклю-
ченном г (рис. 3-30, б). В этом случае сопротивления г4 и г2 соеди-
116
йены последовательно, ток в этой ветви
Е __ 12,5
-П + г2~ 10+2,5 -1 а'
Аналогично ток в сопротивлениях г3 и
„ Е 12,5 п_
Г3+Г4 5 + 20
Напряжение между точками АБ (или разность потенциалов
Фа~Фв) найдем, приняв потенциал точки В равным нулю(<рв = 0);
Рис. 3-30. К примеру 3-12.
Фв — Фд=/'Г1= !• 10= 10 в, или Фа ——Ю в; <рв — Фт5 = /'Т3 =
= 0,5-5 = 2,5 в, или q>jg=—2,5 в;
Фа — фв = £о——10+2,5=—7,5 в.
Теперь определим го двухполюсника. Для этого предположим,
что э. д. с. Е равна нулю и, следовательно, точки В и Г замкнуты
(внутреннее сопротивление источника принято равным нулю). Сопро-
тивление относительно точек А и Б (рис. 3-30, в)
. 'Т'г . г3г4 10-2,5 5-20 ._6
+ W2T + 5 + 20 -2 + 4-6
Ток в сопротивлении г
1 =
Е0
г + г0
— 7,5
14 + 6
-0,375
а,
т. е. в действительности ток направлен не так, как указано стрелкой
на рис. 3-30, а.
3-15. МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
При расчетах электрических цепей часто прибегают
к равнозначным или эквивалентным преобразованиям g
целью упростить схему цепи и, следовательно, ее расчет.
UJ
Мы встречались с подобными преобразованиями при после-
довательных, параллельных и смешанных соединениях
сопротивлений. В электрических цепях нередко встречают-
ся соединения, получившие названия соединение тре-
угольником и соединение звездой.
Контур, состоящий из трех сопротивлений и имеющий
три узловые точки А, Б и В, образует схему, кото-
Рис. 3-31. Соединение со-
противлений треугольником.
Рис. 3-32. Соединение со-
противлений звездой.
рую принято называть треугольником сопротивлений
(рис. 3-31).
В некоторых случаях расчет цепи значительно упро-
щается, если треугольник сопротивлений заменить схемой
из трех сопротивлений, сходящихся в одной точке (име-
ющих один общий узел), т. е. соединенных звездой
(рис. 3-32).
В других цепях расчет упрощается, если сопротивле-
ния, соединенные звездой, заменить сопротивлениями,
соединенными треугольником. И в том и в другом случаях
замена должна производиться так, чтобы при неизменных
напряжениях между вершинами А, Б и В треугольника
и звезды токи IА, 1Б, Iв в проводах, соединяющих эти
вершины с остальной частью схемы, остались без изменения.
Треугольник и звезда, которые удовлетворяют этому
условию, называются равнозначными (эквивалентными).
Для вывода формул, связывающих сопротивления тре-
угольника гАБ, гБВ и гВА с сопротивлениями гА, гБ и гв
равнозначной звезды, воспользуемся уже известным нам
118
принципом наложения, но применим его не к э. д. с.,
а к токам.
Приравняв нулю ток 1А,найдем сопротивления между
точками Б и В обеих схем; в этом случае сопротивления
гАБ и г ва соединены последовательно, а сопротивление
гбв — параллельно суммарному сопротивлению гАБ -)-
+ г ва', последовательно соединены и сопротивления гБ
и г в. Поэтому
гп + гв= ;БВ^Б+,?-Ак- (3-46)
гав + гбв + гва
Приравняв нулю ток /Б, а затем и ток 1В, получаем
аналогичные соотношения:
г в+rA = ; <3’47>
Г АБ~Г ГБВ~Г ГВА
r | г г АБ (f ВА~У гБв) /Q
Пусть нам требуется преобразовать треугольник в
звезду, т. е. сопротивления гЛВ, гбв и гва заданы, а
сопротивления гА, гБ и гв нужно определить. Составим
полусумму левых и правых частей уравнений (3-47)
и (3-48):
] г АБГ ВА~\~ ~2~ г Б В (Габ + Гва)
Га + -о- (Гб + Г в) —--------—---у.----------
ГАБ^~ГБВ+ГВА
и из полученного результата вычтем уменьшенные левую и правую части уравнения (3-46). Это дает: вдвое (3-49)
Га = ГАБГВА
габ + гбв+ г ва ’
после чего уже легко получить:
Гб = гбвГаб (3-50)
габ + гбв + г ва
ГВАГБВ (3-51)
' в габ + гбв + г ва
Если же искомыми являются сопротивления треуголь-
ника (звезда преобразуется в треугольник), то из тех же
формул (3-46)—(3-48) следует, что
габ=га+гб + -^-; (3-52)
г в
119
=05-Ив+
гвгв
га
(3-53)
г ba —г вА~г а~\—. (3-54)
В правильности этого результата читатель может убе-
диться сам.
Пример 3-13. Вычислить токи в отдельных участках схемы мос-
та для измерения сопротивлений, представленного на рис. 3-33,
Рис. 3-33. Схема к приме-
ру 3-13.
Для этого находим:
_ rtr2 _______________________ 10-30
ГА~ о + 'в+'з ~ 100
при следующих данных: £ = 2,2 в;
0=10 ом; г2=30 ом; г3 = 60 сии;
0 = 4 ом и г5 = 22 ом.
В этой схеме мы можем заменить
одни из треугольников АБГ или ВБГ
звездой. Такая замена значительно
упростит схему. Заменим, например,
треугольник АБГ, стороны которого
образуются сопротивлениями о, г2 и
гз, звездой, сопротивления лучей
которой обозначим гд, гв и гг
(рис. 3-34).
Вместо сложной цепи, для рас-
чета которой нужно было бы со-
ставить шесть уравнений по прави-
лам Кирхгофа, мы получили схему
с простым смешанным соединением
сопротивлений. В новой цепи легко
определяются токи I, /4 и Z5.
ом;
гг =
Уз
Г1А-г2А-гз
60-10 _
100 ~
30-60
100
ом;
= 18 ом.
Б
_ r3ri
В ч + гг+гз
Общее сопротивление всей цепи
г = г , (гв + г^гг+гд __, , (6 + 4) (18+22) _
А г б + ^ 4 + г г + г5 6+4+18 + 22
сии.
Ток в неразветвленной части
£ _ 2,2
~ г ~ 11
= 0,2 а.
Токи в параллельных ветвях:
/4 = /-Г5 +--------= 0,2- fi 99 =0’16 а’
гб + г^ + гг+гь 6+4+18 + 22
/ = / ГД + Г* -----= 0,2- -. 6+* = 0,04 а.
rs + ri,+ rr+r6 6 + 4+18+22
120
Для вычисления остальных токов необходимо предварительно найти
одно из напряжений между вершинами полученной звезды. Так как
^бв = Фб — срв = Л^ = °>16'4 = °’64 е‘-
Uгв = Фр - Фв = Л/5 = °>04-22 = °’88 в>
то, принимая потенциал точки В равным нулю (срв = О), получим:
^бв = Фб1 ^гв = Ч)Г'
и напряжение между вершинами Г и Б:
^ББ = Фр — Фб — г в — Uвв~ ^>88 — 0,64 = 0,24 в.
Рис. 3-34. Преобразованная схема к при-
меру 3-13.
Теперь, возвращаясь к первоначальной схеме (рис. 3-33), вычис-
лим токи в оставшихся участках:
/з = "7~ = -^§—-=0,004 а; /2=/3 + Д = 0,044 а;
/1 = /4 — /3 = 0,156 а.
3-16. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИК
Часть электрической цепи, имеющая две пары зажимов
(рис. 3-35), называется четырехполюсником.
К одной паре зажимов—входных (/'-—/") при-
соединяется источник питания, а к другой паре — в ы-
ходных (2*—2") присоединяется потребитель.
Если внутри четырехполюсника нет источников, то
его принято называть пассивным. Простейшими пас-
сивными четырехполюсниками являются двухпроводная
линия рис. 3-36, где г — сопротивление одного провода,
121
и рис. 3-37, где учтено сопротивление изоляции гиз между
проводами, трехконтактный реостат, используемый в ка-
честве делителя напряжения (рис. 3-38), и т. д.
В электротехнике с четырехполюсником особенно часто
приходится встречаться в цепях переменного тока. К четы-
Рис. 3-36. Схема соеди-
нения генератора с по-
требителем энергии.
Рис. 3-35. Четырехполюсник.
рехполюсникам относятся трансформаторы для преобра-
зования тока одного напряжения в ток другого напряже-
ния, фильтры для пропускания токов одних частот и за-
держивания токов других частот, кабели, соединяющие
Рис. 3-37. Схема соединения ге-
нератора с потребителем энергии.
Рис. 3-38. Схема соединения
генератора с потребителем
энергии.
аппаратуру, например телевизионные антенны с телеви-
зорами, и многие другие приборы. Все эти устройства
будут подробно рассмотрены в следующих главах.
Напряжение, создаваемое источником энергии между
входными зажимами четырехполюсника (/'—/"), назы-
вается входным напряжением и обозначается
Ui. Ток, который проходит от источника через входные
зажимы четырехполюсника, называется входным то-
коми обозначается Ц. Отношением входного напряже-
122
ния к входному току определяется входное сопро-
тивление четырехполюсника
Напряжение между выходными зажимами четырехпо-
люсника (2'—2") называется выходным напряже-
ние м и обозначается U2. Ток, который проходит через
выходные зажимы к потребителю, присоединенному к этим
Рис. 3-39. Т-образная схема за-
мещения четырехполюсника.
Рис. 3-40. П-образная схема
замещения четырехполюс-
ника.
зажимам, называется выходным током и обозна-
чается /2. Сопротивление потребителя
Между входным напряжением Ut, входным током
и выходным напряжением Uz и выходным током /2 четы-
рехполюсника получаются линейные зависимости, выра-
жаемые уравнениями четырехполюсни-
к а.
Любой пассивный четырехполюсник, сопротивления ко-
торого постоянны, можно при помощи эквивалентных
преобразований привести к трем сопротивлениям, соеди-
ненным звездой (Т-образная схема замещения, рис. 3-39)
или треугольником (П-образная схема замещения,
рис. 3-40).
Для вывода уравнений четырехполюсника восполь-
зуемся одной из схем замещения.
При Т-образной схеме, в которой три сопротивления
соединены звездой (рис. 3-39), входной ток
Л = /2+ = ^ + (^2 + hri)y~~ + Л ("1 + ;
'0 го \ 'о /
123
входное напряжение
^1 = ^/1 + hrz + ^2~ Е 5^ + (j гоО ^2-5 Г1^~
+ Лг2 + ^2= (^ 1 + уА^) ^2 + (Г1 Ч-^гН—^2‘
Обозначив для сокращения записи
Л=1+ —; В = Г1 + г2 + ^-; С = — ]
го 12' гй ' г0
и > (3-55)
О=1+^, ]
'О >
получим искомые уравнения четырехполюс-
ника:
U1 = AU2+BI2-> 1
Il — CU2~\~ D12,- J
(3-56)
При П-образной схеме с тремя сопротивлениями, со-
единенными треугольником (рис. 3-40),
S- — г 0 ^2 + + ^2—(^1 ~1~ уг') ^2 Г»/2 — Л^2 + ^2»
ji=^ + ^ + } < ±+± + 2Л_Л[/ +
1 Н '2 2 4'1'2 'Л) 2
+ ^1 4~т0 = CU2
и обозначив
А = 1+^; В=г0;
г2
С
± + ± + _Г»_
'1 г2 Г1Г2
D=
получим опять уравнения (3-56).
Поскольку четырехполюсник, состоящий из произ-
вольного числа сопротивлений, можно заменить эквива-
лентной Т- или П-образной схемой, то найденные зависи-
мости между UiJi, U 2 и /2 наиболее общие, т. е. справедли-
вы для любого пассивного четырехполюсника.
124
3-17. ПОСТОЯННЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
Величины А, В, С и D называются постоянными
четырехполюсника. Постоянные четырехполюс-
ника А и D — отвлеченные числа, В имеет размерность со-
противления, а С — проводимости. Постоянные четырех-
полюсника взаимосвязаны уравнением
AD—ВС=\. (3-57)
Получим это уравнение для Т-образной схемы. Про-
изведение
AD= (1 + ^\+^^г1+ГоГ2±г^ + г^==
] I г0г2 + г0г1Ч- г1г2
'О ’
а произведение
QQ = JL Лнго + ',2',о+н',2> _ +
Го Ч г0 у г§ ’
откуда
AD—ВС = 1.
Поменяем местами источник питания и потребитель,
т. е. подведем напряжение U2 к зажимам 2"—2", которые
станут входными, а к зажимам Г—1" присоединим то же
самое сопротивление г. Тогда, как можно показать, урав-
нения четырехполюсника примут вид (при обратных направ-
лениях токов):
V^DU^ ВЦ-
Ц = C(jt АЦ.
(3-58)
Сравнивая последние уравнения с уравнениями (3-56),
можно заметить, что постоянные А и D поменялись местами.
Четырехполюсник называется симметричным,
если при перемене мест источника питания и потребителя
входные и выходные напряжения и токи не изменяются.
Для этого у симметричного четырехполюсника должна
существовать дополнительная связь между постоянными.
A = D,
так как при А = D уравнения четырехполюсника одина-
ковы при взаимной замене источника питания и потре-
бителя.
125
3-18. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
Обозначим напряжение между зажимами /'—1" при
холостом ходе, т. е. разомкнутых выходных зажимах,
Uix, а входной ток /1х (рис. 3-41). Уравнения четырех-
Рис. 3-41. Схема опыта холостого
хода четырехполюсника при пита-
нии со стороны зажимов 1'—1".
Рис. 3-42. Короткое замыкание че-
тырехполюсника при питании со
стороны зажимов /'—Г'.
Поменяв местами источник
во внимание, что постоянные А
полюсника при холостом
ходе (/2 = 0):
Uix = AU2 + BI2 = AU2,
iix = cu2a-di2=cu2.
При коротком замы-
кании (зажимы 2'—2"
замкнуты накоротко,
рис. 3-42) уравнения
четырехполюсника при-
нимают вид (t/2 = 0):
U tn = AU2 BI2 — Bl2,
/1к = CU2-|- D I2 = DI2.
Эти два опыта при
питании со стороны за-
жимов Г—/"дают воз-
можность записать, что
__ А , Цц; _ В_
Лх С ’ Iц; D
(3-59)
и потребитель и приняв
и D меняются местами,
получим два дополнительных соотношения из уравне-
ний (3-58):
Uzx _ D . Угк _
Лх С 12к А
(3-60)
Выбирая любые три из составленных зависимостей (чет-
вертое является следствием трех других) и учитывая из-
вестное соотношение AD—ВС=1, можно опытным путем
или расчетом определить постоянные четырехполюсника А,
В, С и D.
Например,
^1х 1 и ^2х ( ^1х UIX \ 1
Лх Лк CD /2х \ Лх Лк / С2
126
о ткуда
С = 1 . (3-61)
. / ^2х Л Ujx Л
’ 1?х \ Лх Лк /
После того как найдена постоянная С, легко находятся:
Я = С-^; D = C~-; B = D~- . (3-62)
‘ix ‘2х '1к
По полученным значениям А, В, С и D определяются,
например [при помощи формул (3-55)], параметры Т-образ-
ной схемы замещения:
го= с-;/•1=—с~;/'2=—с—• (3-63)
3-19. ИСПЫТАНИЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
При проведении испытаний четырехполюсников, напри-
мер определении напряжения и тока на входе четырех-
полюсника и Ц при заданном режиме работы приемника,
Рис. 3-43. Схема опыта холостого хода
при испытании четырехполюсника.
т. е. при заданных U2 и /2, может потребоваться очень
мощный источник питания (при большой мощности на вы-
ходе Р2 = UZ/2).
Затруднения отпадают, если испытание проводится
в режимах холостого хода и короткого
замыкания. В этих режимах мощность на выходе
практически равна нулю (равна только мощности измери-
тельных приборов), а мощность источника определяется
потерями в четырехполюснике.
В режиме холостого хода (рис. 3-43) напряжение между
зажимами 2'—2" должно иметь заданную величину U2,
что устанавливается по вольтметру V2. Для этого регу-
127
лирующими устройствами во входной цепи подбирается
напряжение на входе f7lx.
В режиме короткого замыкания напряжение на входе
Um должно иметь такую величину, чтобы ток в выходном
Рис. 3-44. Схема опыта короткого замы-
кания при испытании четырехполюсника.
контуре имел заданную величину /2 (рис. 3-44), что уста-
навливается регулирующими устройствами по амперметру
А2.
Напряжение на входе в режиме холостого хода (/2 =
= 0)
t/ix = /lt/2. (3-64)
Ток во входном контуре
Jtx = CU2. (3-65)
Напряжение на входе в режиме короткого замыкания
([/2 = 0)
UiK = B/2. (3-66)
Ток во входном контуре
/iK = D/2. (3-67)
Таким образом, из опытов холостого хода и короткого
замыкания
Ul = AU2 + BI2 = Ulx + UiK; (3-68)
Л = С^2 + Д/2 = /1х + /1к, (3-69)
т. е. и при заданном режиме работы приемника
(напряжении U2 и токе /2 и тем самым заданном сопро-
тивлении приемника г = П2//2) определяются путем нало-
жения режимов работы при холостом ходе и коротком
замыкании четырехполюсника.
128
Пример 3-14. Определить напряжение иа входе 0\ и ток во вход-
ном контуре /( четырехполюсника, если при заданных величинах
Uz^ 120 в и /2 = 2 а при холостом ходе П1Х = 375 в, /(х 10 а,
а при коротком замыкании tZiK = 25 в, /1к=190 а.
Сравнить мощность источника в этих режимах с мощностью,
которио должен развивать источник при испытании четырехполюс-
ника в рабочем режиме.
Напряжение н ток на входе
i71 = t/lx4-£71K = 3754-25 = 400 в;
fi = /|x-l-/iK=104 190 = 200 а.
Мощность, которую развивает источник, питающий схему, при
опыте холостого хода
7’Х = (/1Х/1Х 375-10 = 3750 вт =3,75 кет;
при опыте короткого замыкания
Рк ~^1кЛк — 25-190 = 4750 вщ = 4,75 кет.
Мощность, которую должен развить источник, если бы четырех-
полюсник испытывался при рабочем режиме,
= £/!/! = 400-200 =80-103 em-80 кет.
3-20. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ИССЛЕДОВАНИЕ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы. Записать основные технические данные источника питания,
реостатов и измерительных
приборов.
2. Собрать схему
(рис. 3-45) и показать ее ру-
ководителю.
3. Включив рубильник,
реостатом установить в цепи
ток 15 — 20 а. Пользуясь
щупом, нанести мелом на
поверхности исследуемого
листа линии равного потен-
циала.
Для нанесения линий
равного потенциала одни
зажим гальванометра Г при-
соединяется к какой-либо
точке листа, а другой зажим
соединяется с латунным щу-
пом Щ. Острие щупа пере-
мещается по поверхности
листа и отмечаются точки, в
которых показания гальвано-
метра остаются неизменными.
9 Теоретическая электротехника
129
Убедиться в том, что линии равного потенциала направлены
перпендикулярно к краям листа. Между соседними линиями равного
потенциала выбрать одинаковые напряжения.
4. Перерисовать нанесенные линии равного потенциала на мил-
лиметровку, выбрав удобный масштаб.
5. Построить на бумаге линии тока. Линии тока должны пере-
секать линии равного потенциала под прямыми углами. В результа-
те нанесения линий равного потенциала и линий тока образуется
сетка. Линии тока надо проводить так часто, чтобы все ячейки
этой сетки имели одинаковое отношение средней длины в направле-
нии линий тока к средней ширине в направлении линий равного
потенциала. Целесообразно получить ячейки со средней длиной,
равной средней ширине.
Примерный вид линий тока и линий равного потенциала для
одной четвертой части листа показан на рис. 3-45.
6. Аналогичные измерения и построения выполнить для сталь-
ных листов разной формы.
3-21. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ИЗМЕРЕНИЕ
УДЕЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРОВОДОВ (§ 2-7)
План работы
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы, записать основные технические данные источника питания,
Рис. 3-46. Схема для измере-
ния удельного сопротивления
проводов.
реостата и измерительных приборов.
2. Собрать схему (рис. 3-46) и
показать ее руководителю.
3. Измерив ток и напряжение
на участке провода длиной /, оп-
ределить сопротивление провода
4. Повторить опыт при том же
токе для двух-трех участков дру-
гой длины. В каждом случае из-
мерить длину I и диаметр D про-
вода.
5. Повторить опыты для двух
других проводов.
130
6. По полученным данным определить удельное сопротивление
каждого провода. Показания приборов и результаты расчетов запи-
сать в табл. 3-1. По удельному сопротивлению определить материалы
проводов.
3-22. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ИЗМЕРЕНИЕ
ПОТЕНЦИАЛОВ ТОЧЕК ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
(§ 2-16)
План работы
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы, и записать основные технические данные источников пита-
ния, магазинов сопротивления и измерительных приборов.
2. Измерить вольтметром э. д. с. каждого источника питания.
Рис. 3-47. Схема к работе
3-22.
Рис. 3-48. Схема к работе
3-22.
Рис. 3-49. Схема к рабо-
те 3-22.
3. Собрать схему (рис. 3-47) и после проверки ее руководите-
лем Измерить вольтметром потенциалы точек А, Б, В и Г и напря-
жение 0Бв (при замкнутом рубиль-
нике).
4. Собрать схему (рис. 3-48) и после
проверки ее руководителем измерить по-
тенциалы течек А, Б, В и Г и напря-
жение иБв (при замкнутом рубильнике).
5. Собрать схему (рис. 3-49) и после
проверки ее руководителем измерить по-
тенциалы точек А, Б, В и Г и напря-
жение иБв (при замкнутом рубиль-
нике).
6. Имея в виду, что >4 = 30 ом.
г2=60 ом и г3 = 90 ом, и зная э. д. с.
Ei и Е2, определить расчетом для каж-
дого случая <рА, фв, фВ, и UBB.
7. Показания приборов и результаты
расчетов записать в табл. 3-2.
8. Для каждого случая построить в масштабе по опытным дан-
ным потенциальную диаграмму контура АБВГДА.
9* 131
Таблица 3-2
Продолжение табл 3-2
3-23. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ИССЛЕДОВАНИЕ
ПРОЦЕССА НАГРЕВАНИЯ КАТУШКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ
ТОКОМ (§ 2-4, 2-8 и 2-13)
План работы
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы, и записать технические данные измерительных приборов
и вспомогательной аппаратуры
Рис. 3-50. Схема для градуирования
термопары
2 Собрать схему для градуирования термопары с гальваномет-
ром и показать ее руководителю (рис. 3-50).
3. При различных значениях температуры записать в табл. 3-3
показания термометра и гальванометра.
132
Таблица 3-3
п,
делений
0.
град
4 По полученным данным построить градуировочную кривую
" 7(0),
где п — число делений по шкале гальванометра;
0 — температура.
5. Для исследования процесса нагревания катушки собрать
схему (рис. 3-51) и показать ее руководителю.
6. Замкнув рубильник, записывать показания приборов через
каждые 5 мин в течение 45 мин. Первое показание записать сразу
Рис 3-51 Схема к работе 3-23.
после замыкания рубильника. По полученным данным определить
температуру' катушки 0 в различные моменты времени. Температуру
определить двумя способами—по показанию гальванометра и по
формуле
0 10.,.
аг0
где 0П — температура катушки сразу после замыкания рубильника;
г0 —сопротивление катушки при температуре 0О;
г — сопротивление катушки при температуре 0;
а—температурный коэффициент сопротивления (меди).
Показания приборов и результаты расчета записать в табл. 3-4.
7. По полученным данным построить график зависимости темпе-
ратуры от времени:
0(0.
8. Выяснить, больше или меньше номинального тока тот
ток Л который проходит по катушке (предельная температура на-
грева катушки составляет 80' С).
133
Таблица 3-4
1 uju w 1 /, а U, в Г, ом t, мин П, деле- ний в, град Примеча- ние
1-й способ 2-й способ
9. Если I > /н, то определить, в течение какого времени можно
допустить прохождение этого тока по катушке?
3-24. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ
И ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЙ
(§ 3-2 и 3-3)
План работы
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы, и записать основные
Рис. 3-52. Последователь-
ное соединение сопротив-
лений.
технические данные источника, реоста-
тов и измерительных приборов.
2. Собрать схему (рис. 3-52) и по-
казать ее руководителю.
3. Присоединяя провода вольтмет-
ра к зажимам реостатов, измерить
падение напряжения в каждом ре-
остате и во всей цепи. Записать ве-
личину тока.
4. По полученным данным опре-
делить мощность каждого участка
и всей цепи, сопротивление каждого
реостата и сопротивление всей цепи.
Показания приборов и результаты ра-
счета записать в табл. 3-5.
134
5. Убед :гься что
U^U^U2 | U3; r^ri+r2+r3-, Р = Р1 + Р2+?д.
6. Собрать схему (рис. 3-53) и показать ее руководителю.
7. Измерить напряжения и токи в каждой ветви параллельного
соединения. Измерить ток до разветвления.
Рис 3-53 Паратлельное соединение со-
противлений
8 По полученным данным определить сопротивление, проводи-
мость и мощность каждой ветви и всей цепи. Показания приборов
9. Убедиться, что 1= /(+ /24 h', р = pi +рг +рз g = gi +
+ g2^g)-
3-25. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ИССЛЕДОВАНИЕ
НЕРАЗВЕТВЛЕННОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
ПРИ ОДНОМ ПЕРЕМЕННОМ СОПРОТИВЛЕНИИ
(§ 3-6)
План работы
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы, и записать основные технические данные реостатов и изме-
рительных приборов.
2. Собрать схему (рис. 3-8, а) и показать ее руководителю.
3. Изменяя сопротивление г2 от нуля (короткое замыкание) до
бесконечности (разрыв цепи), для нескольких значений этого сопро-
тивления произвести измерения: /, t/t, U2 и U.
135
4. По полученным данным подсчитать: Pt, Р2, Р, rt, г2 и г.
5. Показания приборов и результаты расчетов записать в
табл. 3-7.
Таблица 3-7
21 U ГП 1 3) РР (/) 1 8 общей системе
Ut (/) | в общей системе координат. Р2(/) J коорДИ))ат-
u2U) I
3-26. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ИЗМЕРЕНИЕ ПОТЕРИ
НАПРЯЖЕНИЯ В ПРОВОДАХ (§ 3-7)
План работы
]. Записать основные технические данные измерительных при-
боров.
2. Собрать схему исследования линии с медными проводами
(рис. 3-54) и показать ее руководителю.
Рис. 3-54. Схема к работе 3-26.
3. Изменяя нагрузку, при трех-четырех различных ее значениях
записать показания вольтметров и амперметра.
4. Определить потерю напряжения в линии
&U' = Ut-U2.
J36
5. Измерив длину линии и диаметр провода, определить ту же
потерю напряжения другим методом:
ли" -21 -Л- .
уо
6. В том же порядке повторить измерения для линии со сталь-
ными проводами.
Рис 3-55. Схема к работе 3-26.
7. Подсчитать для всех случаев мощность потерь
АР-
и к. п. д. передачи
8. Результаты наблюдений и расчетов записать в табл. 3-8.
личных ее значениях записать показания вольтметров и ампермет ров.
J37
11. Определить потерю напряжения в линии
2
A£/' = t/1—1/3 и At/"= —- (/(Lj-I-Mc)-
ул
12. Результаты наблюдений и расчетов записать в табл. 3-9.
ИЗМЕРЕНИЯ ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ (§ 3-8)
Рис. 3-56 Схема для
определения постоянной
гальванометра.
ванометра по току
План работы
1 Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы, и записать технические данные источника, приборов и вспо-
могательной аппаратуры.
2. Собрать схему (рис. 3-56) и пока-
зать ее руководителю.
3 При трех различных значениях
сопротивления записать показания вольт-
метра и гальванометра По полученным
данным определить /г, Са, Св.
Примечание. При прохождении
тока по обмотке гальванометра его под-
вижная часть поворачивается на угол,
пропорциональный току. Отношение тока,
проходящего по гальванометру, к со-
ответствующему числу делений шкалы
называется постоянной г а л ь-
(обозначение Са):
Ток, при котором стрелка прибора устанавливается на последней
отметке шкалы, называется номинальным током гальванометра /н.
Номинальный ток является верхним пределом измерения прибора.
138
Напряжение, измеряемое гальванометром, равно произведению
тока на сопротивление гальванометра. Отношение напряжения, из-
меряемого гальванометром, к соответствующему числу делений шка-
лы называется постоянной гальванометра по напря-
жению (обозначение Св):
Наибольшее напряжение, которое можно измерить гальваноме-
тром, определяется произведением номинального тока на сопротив-
Рис. 3-58. Расширение пре-
дела измерения напряжения.
Рнс. 3-57. Расширение предела
измерения тока.
ление гальванометра и называется номинальным напряже-
нием.
Показания приборов и результаты расчета записать в табл. 3-10.
гальванометра.
5. Определить сопротивление шунта, который необходимо при-
соединить параллельно гальванометру для расширения предела из-
мерения тока в р раз (число р задается руководителем).
6. Собрать схему (рис. 3-57) и показать ее руководителю.
7. При различных значениях тока по миллиамперметру прове-
рить правильность расчета шунта. Показания приборов и результаты
расчета записать в табл. 3-11.
8. Определить добавочное сопротивление, которое необходимо
соединить последовательно с гальванометром, чтобы расширить
139
Таблица 3-1!
№
п'п
п, del I/n, a/det
С„ р, Прнмеча-
а/дел инс
предел измерения напряжения в р раз (число р задается руково-
дителем)
9 Собрать схему (рис 3-58) и показать ее руководителю
10 При различных значениях напряжения проверить по вольт-
метру правичьиость расчета добавочного сопротивления. Показания
приборов и результаты расчета записать в табл 3-12
Таблица 3-12
С'/п, Ср, Примечд
в/де' в/де i ине
3-28. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ИЗМЕРЕНИЕ Э. Д. С.
КОМПЕНСАЦИОННЫМ МЕТОДОМ
План работы
1 Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы, и записать их основные технические данные.
2 Собрать схему (рис 3-59) и показать ее руководителю
Рис 3-59 Схема к работе 3-28
140
3. Изменяя сопротивление г2, уравновесить искомою э д с.
(4 = 0)
4 По полученным данным определить Ех' а) сухого элемента;
б) двух сухих элементов, соединенных последовательно; в) то же—
параллельно; г) кислотного аккумулятора, д) щелочного аккумуля-
тора; е) термопары
Показания приборов и результаты расчетов записать в табт 3-13.
Таблица 3 13
Искомая э д. с
п/л
1
о
3
4
5
6
7
При-
меча-
ние
Первый сухой элемент
Второй сухой элемент
Последовательное соединение
двух элементов
Параллельное соединение двух
элементов
Кислотный аккумулятор
Щелочной аккумулятор
Термопара
3-29. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ИЗМЕРЕНИЕ
СОПРОТИВЛЕНИЙ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫМ МОСТОМ
(§ 3-9)
План работы
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы, и записать основные технические данные источника, мага-
зинов сопротивлений и приборов
Таблица 3-14
№
п/п
Измеряемое сопро-
тивление
г, ом
ом
'2,
ом
ом
°
РУ вт
2
3
4
5
Металлическая
лампа
Угольная лампа
Магнитоэлектри-
ческий вольт-
метр
Электромагнит-
ный вольтметр
Электродинами-
ческий вольт-
метр
)4)
2. Собрать схему (рис. 3-20) и показать ее руководителю.
3. Измерить в холодном состоянии сопротивление нитей метал-
лической н угольной ламп накаливания.
4. Измерить сопротивления вольтметров различных систем. По
полученным данным определить мощность каждого вольтметра при
поминальном напряжении.
5. Результаты измерений н расчета записать в табл. 3-14.
3-30. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ОПЫТНАЯ
ПРОВЕРКА ПРИНЦИПА НАЛОЖЕНИЯ
(§ 3-13)
План работы
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы, и записать основные технические данные источников, рео-
_____ статов н измерительных приборов.
2. Измерить вольтметром
э. д. с. каждого источника питания.
3. Собрать схему (рис. 3-60)
и показать ее руководителю.
4. Определить сопротивление
каждого реостата, для чего изме-
рить ток и напряжение на зажи-
мах каждого реостата. Показания
приборов и результаты расчета за-
писать в табл. 3-15.
5. При переключателях и
/С2 в положении б измерить токи
12 И 7у.
6. При переключателях К, в
положении б, а Л'2 в положении а
Рис. 3-60. Схема к работе 3-30.
измерить токи /j, Гг и Г3.
7. При переключателях К\ в положении а, а в положении б
измерить токи Г[, Г3 и Г3.
Примечание. При выполнении пп. 5, 6 и 7 убедиться
в справедливости первого правила Кирхгофа.
Таблица 3-15
X» реостата
7, а г, ом
Реостат № 1
» № 2
» № 3
8. Определить токи [t, /2 и 13 методом наложения (измеренных
токов):
/[-71 = 7,; _/Н-71=7г; 13+13 = 13.
142
9. Зиая величины Е2, rit г2 и г3, определить расчетом 12,
13. /J, Г3, /2 и Ъ (сопротивлениями источников пита-
ния пренебречь). Сравнить результаты измерений с результатами
расчета.
10. Показания приборов и результаты расчета записать
в табл. 3-16.
Таблица 3-16
3-31. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ИСПЫТАНИЕ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА (§ 3-16-3-19)
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы. Записать основные технические данные приборов и реостатов.
2. Определить постоянные четырехполюсника экспериментальным
путем, произведя опыт холостого хода и короткого замыкания, сна-
чала при питании со стороны зажимов Г — 1", а затем — со стороны
зажимов 2'—2". Схема опыта холостого хода показана иа рис. 3-41,
схема опыта короткого замыкания — на рис. 3-42 (перед включением
схемы необходимо показать преподавателю).
По полученным данным определить параметры А, В, С и D,
имея в виду, что AD — ВС—1, и выбирая из соотношений (3-59)
и (3-60) любые три.
3. По полученным данным подсчитать сопротивление Т-образной
схемы замещения [см. (3-63)].
Измерить сопротивление реостатов, которые образуют схему
замещения, и сравнить их с данными, полученными расчетом.
4. Для заданного режима работы приемника (U2 = 60в; /2 = 0,5а)
по результатам опытов холостого хода и короткого замыкания опре-
делить значения Ut и lt. Для этого произвести опыты холостого
хода и короткого замыкания (рис. 3-43 и 3-44).
При выполнении опытов холостого хода и короткого замыкания
движок реостата, регулирующего напряжение на входе, нужно вна-
чале поставить в такое положение, чтобы было равно нулю.
Затем постепенно увеличивать Ult пока U2 в первом опыте и /2 во
втором не достигнут заданных значений.
По полученным данным определить Ui и lt в рабочем режиме
(см. формулы (3-68) п (3-69)].
5. Сравнить мощность источника питания для опыта холостого
хода (^^/и), для опыта короткого замыкания и мощность
для испытания при полной нагрузке (L^/j).
143
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
4-1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
До сих пор мы рассматривали электрические цепи,
сопротивления участков которых считались не изменяю-
щимися при прохождении тока различной величины или
при изменении приложенного напряжения. Такие элек-
трические цепи называются линейными. Но, строго
говоря, линейных
Рие 4-1. Вольт-ам-
перные характери-
стики
электрических цепей не существует.
Например, в металлических прово-
дах различным токам соответствуют
разные температуры, а так как со-
противление провода зависит от тем-
пературы, то оно зависит и от тока,
который по нему проходит. Однако
часто эти изменения сопротивления
столь незначительны, что можно счи-
тать сопротивление постоянным,
а цепь линейной.
В других случаях, когда при про-
хождении тока температура изменяет-
ся в пределах нескольких сотен гра-
дусов или при прохождении тока
среде, через полупроводники сопро-
в вакууме, в газовой
тивление цепи не остается постоянным, зависимость тока
от напряжения резко отличается от линейной.
Электрические цепи, в которых сопротивления участков
являются функциями тока или напряжения, называются
нелинейными. Для расчета нелинейной цепи должны
быть заданы для всех сопротивлений зависимости г(/)
или косвенные характеристики I(U), по которым могутбыти
уже построены зависимости г(/).
График, выражающий зависимость тока от напряжения
1(U), называется вольт-амперной характе-
ристикой.
Для линейных участков цепи, сопротивление которых
не зависит от тока и напряжения, этот график имеет вид
прямой (а на рис. 4-1), проходящей через начало системы
координат. Для участков цепи, сопротивление которых
зависит от тока или напряжения, —нелинейных элементов
144
этот график выражается кривой линией. Например, вольт-
амперная характеристика электрической лампы с металли-
ческой нитью накаливания отличается от прямой, откло-
няясь вниз (б), а у лампы с угольной нитью, наоборот,
вверх (в). Резко отличаются от прямой вольт-амперные
характеристики электронных ламп, газоразрядных прибо-
ров, электрической дуги, полупроводниковых вентилей и др.
4-2. ДВУХЭЛЕКТРОДНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ ЛАМПА
Рис 4-2 Устройство и условное
обозначение двухэлектродной
электронной лампы.
К числу нелинейных элементов электрической цепи
относится двухэлектродная электронная
лампа или диод.
Двухэлектродная электронная лампа имеет стеклянный
(керамический, металлический) баллон, из которого откачан
воздух, так что внутри бал-
лона получается состояние
наивысшего разрежения
(вакуум). В баллоне нахо-
дятся два электрода: анод
и катод (рис. 4-2). Анод
выполняется в виде метал-
лической пластинки или
цилиндрической поверх-
ности, а катод — в виде
проволочной нити.
Сам по себе вакуум яв-
ляется непроводником, так
как в нем отсутствуют ча-
стицы газа и, следователь-
но, невозможна ионизация,
т е расщепление частиц
газа на ионы и свободные
этектроны, обусловлива-
ющие электропроводность.
Необходимые для электропроводности лампы заряженные
частицы — электроны, выбрасываются нагретым катодом.
Чтобы покинуть проводник, ид которого выполнен
катод, электроны должны преодолеть противодействующие
силы в поверхностном слое, т. е. совершить работу
выхода. Эта работа равна произведению заряда электро-
на q и величины <р, называемой потенциалом в ы-
х о д а (несколько вольт).
Ю Teopei ическая алектротсхьика 145
При нормальной температуре выхода электронов из ка-
тода почти не наблюдается, так как число электронов,
у которых запас кинетической энергии достаточен для
совершения работы выхода, очень мало. При нагревании
катода скорость свободных электронов увеличивается и чис-
ло свободных электронов, покидающих катод, возрастает.
Особенно активно выбрасываются свободные электроны
из раскаленного катода.
Явление выхода электронов из нагретого металла полу-
чило название термоэлектронной эмиссии.
Катод накаляете^ током от вспомогательной батареи накала
или трансформатора.
Обычно электронные лампы имеют вольфрамовую нить
накала Значительная эмиссия вольфрамовой нити может
быть получена, если нить нагрета до температуры 2 200° С.
Для уменьшения мощности, расходуемой на нагрев нити
накала, а также для увеличения срока ее службы воль-
фрамовую нить покрывают тонкой пленкой вещества, у ко-
торого работа выхода электрона меньше, чем у вольфрама,
и значительная эмиссия наблюдается при меньших тем-
пературах. К таким веществам относятся окиси щелочно-
земельных металлов — кальция, стронция и бария.
Если катод присоединить к отрицательному зажиму,
а анод к положительному зажиму источника питания,
т. е. подвести к лампе напряжение (анодное напря-
жение (7а), то электроны под действием сил электри-
ческого поля между электродами устремятся от катода
к аноду, образуя поток электронов, обратный по направ-
лению току /а, который принято называть анодным
током.
Электроны, покидающие катод, обладают вначале незна-
чительной скоростью, по мере движения к аноду скорости
электронов возрастают. Чем больше электронов покинуло
катод, тем сильнее тормозятся последующие электроны,
вылетающие из катода, так как они испытывают противо-
действие со стороны электронов, перемещающихся впереди
них. Поэтому электроны группируются вблизи катода
в виде «объемного отрицательного заряда». Объемный отри-
цательный заряд частично рассасывается иод действием
сил электрического поля между анодом и катодом, но одно-
временно пополняется электронами, покидающими катод.
Объемный заряд противодействует вылету электронов из
катода и перемещению электронов внутри лампы.
146
Постепенно увеличивая анодное напряжение, можно
установить, что ток в цепи возрастает пропорционально
иа/г. При некотором значении анодного напряжения U'a
ток достигает предельной величины, равной току эмис-
сии /э, и при дальнейшем повышении анодного напряже-
ния не увеличивается. В этом случае все выбрасываемые
катодом свободные электроны составляют анодный юк.
На место ушедших свободных электронов в каждую еди-
ницу времени появляется равное число новых, так что
Рис 4-3 Вольт-амперная
характеристика диода
Рис. 4-4 Односторонняя
проводимость электронной
лампы
заряд, проходящий в единицу времени по цепи, остается
одним и тем же.
Ток эмиссии может увеличиться, если возрастет интен-
сивность выхода свободных электронов, для чего нужно
повысить температуру катода.
График, выражающий зависимость анодного тока от на-
пряжения между электродами Ia(Ua), называется вольт-
амперной характеристикой диода (рис. 4-3).
Через двухэлектродную электронную лампу ток может
проходить лишь в одном направлении. Действительно,
если катод электронной лампы окажется присоединенным
к положительному зажиму, а анод — к отрицательному,
то электроны, покинувшие катод, под действием сил поля
возвратятся обратно к катоду (рис. 4-4). Ток в цепи при
обратном напряжении отсутствует. Таким образом, элек-
тронная лампа обладает проводимостью только в том слу-
чае, если катод присоединен к отрицательному зажиму,
а анод — к положительному.
10* 147
Это свойство электронной лампы широко используется
для выпрямления переменных токов. Электронная лампа,
применяемая для выпрямления переменного тока промыш-
ленной сети, называется кенотроном. Главный недо-
статок кенотрона — это значительное падение напряжения
между электродами даже при относительно большом анод-
ном токе.
Обратное напряжение между электродами не должно
превышать некоторого предельного значения. При слиш-
ком высоком обратном напряжении происходит вырывание
силами поля свободных электронов из анода (явление
автоэмиссии) и возникает обратный ток, вызывающий
порчу лампы.
4-3. ТРЕХЭЛЕКТРОДНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ ЛАМПА
Трехэлектродная лампа, или триод (рис. 4-5),
отличается от двухэлектродной лампы наличием третьего
электрода сетки. Сетка выполняется в виде спиральной
Рис. 4-5. Устройство н услов-
ное обозначение трехэлектрод-
ной лампы.
нити, окружающей катод лам-
пы. Сетка необходима в лам-
пе, чтобы управлять анодным
током лампы. Она располо-
жена близко к катоду, и
незначительное изменение ее
потенциала оказывает резкое
влияние на анодный ток.
Увеличивая потенциал сетки
(по отношению к катоду),
мы содействуем «рассасыва-
нию» объемного заряда; при
этом анодный ток увеличи-
вается. Наоборот, уменьшая
потенциал сетки, мы еще в
большей степени затрудняем
перемещение электронов от
катода к аноду; анодный ток
уменьшается.
График, выражающий за-
висимость Ia(Ua), называет-
ся анодной характеристикой триода
(рис. 4-6). При различных потенциалах сетки анодные харак-
теристики не совпадают друг с другом. Чем больше отри-
148
нательный потенциал сетки, тем больше должно быть анод-
Рис 4-6 Анодные характеристики трех-
электродпой лампы
На рис. 4-7 представлены графики, выражающие зави-
симость анодного тока от потенциала сетки при различных
постоянных анодных напря-
жениях. При определенном
потенциале сетки все элек-
троны, выходящие из катода,
задерживаются противодей-
ствующими силами поля меж-
ду сеткой и катодом и лампа
оказывается «запертой». Гра-
фики, представленные на
рис. 4-7, называются сеточ-
н ы м и х а р а к т е р и с т и-
ка м и трехэлектродной лам-
пы. На рис. 4-8 приведена
Рис 4-7 Сеточные характери-
стики трехэлектроднон лампы.
схема для снятия анодных
и сеточных характеристик.
Катод лампы накаляется то-
ком от батареи накала £н.
Ток накала, т. е. темпера-
тура нити, регулируется ре-
остатом. При помощи батареи £е и делителя напря-
жения со средней точкой можно установить выбранное
положительное или отрицательное значение потенциала
149
сетки относительно катода. Вольтметры измеряют потен-
циал сетки и анодное напряжение, которое может регу-
лироваться. Миллиамперметр измеряет анодный ток, ампер-
метр — ток накала.
Рис 4-8 Схема для снятия характеристик трехэлектродной
лампы.
4-4. ПАРАМЕТРЫ ТРЕХЭЛЕКТРОДНОЙ ЛАМПЫ
Трехэлектродная лампа имеет три параметра:
1) крутизна характеристики
__
~ А47с
(4-1)
крутизна характеристики равна отношению приращения
анодного тока к соответствующему приращению сеточного
напряжения при постоянном анодном напряжении;
2) внутреннее сопротивление
At/a .
Д/а ’
(4-2)
внутреннее сопротивление равно отношению приращения
анодного напряжения к соответствующему приращению
тока в цепи анода при постоянном сеточном напряжении;
3) коэффициент усиления
Д(7а
A<VC
(4-3)
коэффициент усиления равен отношению приращения анод-
ного напряжения к такому обратному по знаку прираще-
150
нию сеточного напряжения, при котором анодный ток
останется без изменения.
Параметры лампы связаны соотношением
р. Srt, (4-4)
которое вытекает из формул (4-1)—(4-3).
Параметры лампы могут быть определены из характе-
ристического треугольника АБВ (рис. 4-7).
Пример 4-1. Определить параметры трехэлектродной лампы по
характеристическому треугольнику, построенному на рис 4-7
Из треугольника следует, что Д/а = 8 ма, ДС/с - 2,2 в, Д(7а =
= 50 в
Находим крутизну характеристики:
S = W = 2A2-=3’6 М/в-
Приращению сеточного напряжения Л(./(.-2,2я соответствует
обратное по знаку приращение анодного напряжения АС/а = 50 в.
Таким Образом, коэффициент усиления
„50
\ис ~2,2~
и, наконец, внутреннее сопротивление
р 23-1 000 с.п.
1^ = -—= — уу— = 6 300 о ч
4-5. ЛАМПОВЫЙ УСИЛИТЕЛЬ
Трехэлектродная лампа широко применяется в раз-
усилителях напряжения и уси-
личных областях техники в
лителях мощности (следует
заметить, что усиление на-
пряжения и мощности произ-
водится не лампой, а при по-
мощи лампы за счет источни-
Рис 4-9 Ламповый усилитель.
ков энергии, питающих анод-
ную цепь и нить накала).
Сущность процесса усиле-
ния (рис. 4-9) заключается
в том, что сравнительно сла-
бое изменение сеточного на-
пряжения (на зажимах гс) вы-
зывает подобное по форме, но более сильное изменение
напряжения на зажимах сопротивления га, включенного
151
в анодную цепь лампы. Это значит, что электрический
сигнал слабой мощности, поданный на сетку лампы (в со-
противлении гс), воспроизводится значительно более мощ-
ным в сопротивлении гл анодной цепи.
Увеличение сеточного напряжения Д(7С (на зажимах
гг) вызывает приращение анодного тока на величину Д/а,
несколько меньшую, чем ЛГп ~ S&UC. Действительно, при-
ращение анодного тока приводит к увеличению напряже-
ния на сопротивлении гя на величину
и уменьшению на такую же величину Д{7а — Л(7 анод-
ного напряжения лампы (при постоянном напряжении
питания U), что и приводит к уменьшению анодного
тока на величину
Д/" = Л'А .
гг
Таким образом, в рабочем режиме лампы приращение
анодного тока Д/а зависит от совместного изменения
потенциала сетки и анодного напряжения и меньше Д/а
на величину Д/а:
Д/„ ДД-ДД -5Д/7С—. (4-5)
r I
Имея в виду, что S =— и Д/а - = , цронз-
г у ra r a
ведем преобразование в уравнении (4-5). Получим:
ли лис ли
— — и.---------
Щ r h rt
ИЛИ
Д(/ +J> = \и .
Ч 'a rt ) с гг
Отношение Д6У/ДТ7с ру называют коэффициен-
том усиления усилителя. Из последнего уравне-
ния найдем:
(W)
Коэффициент усиления усилителя всегда несколько
меньше коэффициента усиления лампы, так как —r < 1;
152
при сопротивлении нагрузки, значительно большем сопро-
тивления лампы, р.у приближается к р.
Для того чтобы при усилении сигнала не происходило
искажения его формы, нужно выполнить два условия:
1) изменения сеточного напряжения должны лежать
в пределах прямолинейных участков сеточных характе-
ристик лампы,
2) при изменении сеточного напряжения потенциал
сетки не должен превышать потенциал катода, иначе
в цепи сетки возникнет ток, искажающий сигнал.
Для выполнения второго условия потенциал сетки
искусственно понижается на постоянную величину, назы-
ваемую «напряжением смещения», например путем вклю-
чения в цепь сетки источника э. д. с. Ес. Таким образом,
при Uc -- 0 потенциал сетки ниже потенциала катода
на величину Е( (рис. 4-9).
4-6. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В ГАЗАХ
В обычных физических условиях свободных электронов
и ионов в составе газа почти нет. Поэтому газы не проводят
электрический ток. Та незначительная проводимость, кото-
рой обладают газы, объясняется постоянной их ионизацией
лучами радиоактивных веществ, содержащихся в земной
коре и атмосфере, и космическими лучами. Ионизация газа
возникает также под действием рентгеновских и ультра-
фиолетовых лучен, высокой температуры и, наконец, под
действием сильного электрического поля.
Процесс ионизации (разрушения нейтральных молекул)
происходит за счет энергии ионизатора (например, столк-
новением с быстро несущимися частицами материи); в ре-
зультате от атома или молекулы газа отщепляется элек-
трон и она превращается в положительный ион; отщеп-
ленный электрон в свою очередь может присоединиться
к какой-нибудь нейтральной молекуле, образуя отрица-
тельный ион.
При непрерывном действии какого-либо ионизирующего
фактора в 1 си® газа в единицу времени образуется опреде-
ленное число ионов, что, однако, не приводит к непрерыв-
ному нарастанию их числа, так как одновременно проис-
ходит процесс воссоединения ионов в нейтральные моле-
кулы, называемый рекомбинацией. Таким образом, при
непрерывном действии ионизатора через некоторое время
J53
число ионов в единице объема газа оказывается посто-
янным.
Представим себе, что между электродами, к которым
приложено напряжение (рис. 4-10), находится газ, иони-
зируемый с неизменной интенсивностью, например, косми-
ческими лучами. Под действием сил электрического поля
положительные ионы перемещаются в направлении поля,
электроны и отрицательные ионы — в обратном, образуя
ток.
Допустим, что- приложенное к электродам напряжение
мы можем изменять в самых широких пределах и в цепь
Рис. 4-10. Элек-
трический ток
в газе.
Рис 4-И Вольт-амперная ха-
рактеристика разряда в газе
включены приборы, измеряющие приложенное напряже-
ние и ток в цепи. Увеличивая напряжение от нуля, уста-
новим, что с ростом напряжения в цепи возникает ток,
пропорциональный напряжению. Вольт-амперная характе-
ристика, выражающая зависимость тока от напряжения
(рис. 4-11), имеет вид прямой. Однако при дальнейшем
повышении напряжения рост тока замедляется и, наконец,
несмотря на дальнейший рост напряжения, ток перестает
увеличиваться. В этом случае все ионы, образованные
внешним ионизатором, переносятся от одного электрода
к другому, не успевая нейтрализоваться. Такой ток назы-
вают током насыщения, ему соответствует участок
вольт-амперной характеристики, параллельный оси абсцисс.
Проводимость газа, возникающая при воздействии на газ
постороннего ионизатора, называется несамостоя-
тельной проводимостью. Она исчезнет, если
прекратится действие ионизатора.
154
4-7. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЙ РАЗРЯД В ГАЗЕ
Сильное электрическое поле, созданное в газовой сре-
де, может вызвать самостоятельный разряд.
Будем увеличивать напряжение между' электродами
(рис. 4-10). При некотором значении напряжения, назы-
ваемом напряжением зажигания, ток в газе
резко увеличится и газ начнет светиться.
Сильное электрическое поле, созданное в газовой среде,
вызовет ионизацию газа толчком (ударом). Электрические
заряды, которые всегда в небольшом количестве содержатся
в газе, ускоряются и накапливают кинетическую энергию
ти2„аиС/2, достаточную для ионизации нейтральной моле-
кулы (отщепления свободного электрона). Вновь полу-
ченные электрические заряды в свою очередь ионизируют
нейтральные молекулы газа; процесс образования ионов
развивается лавинообразно. Пространство между элек-
тродами оказывается заполненным ионизированным газом,
который содержит нейтральные молекулы и одинаковое
количество положительно и отрицательно заряженных
частиц вещества, т. е. между электродами образуется газо-
разрядная плазма. Вещество, находящееся в со-
стоянии плазмы, обладает очень хорошей электропровод-
ностью, которая сильно возрастает при повышении тем-
пературы. Величина тока в этом случае ограничивается
сопротивлением гб (рис. 4-10), включенным последова-
тельно с газовым промежутком.
Работа ионизации молекулы газа
A-Uuq,
где Ua — ионизационное напряжение, т. е. разность потен-
циалов между конечными точками пути свободного пробега
заряда q в электрическом поле. Ниже приведены значения
ия для некоторых газов и паров металлов:
Цезий........... 3,9 в
Калий ...............4,3 в
Ртуть................10,4 в
Кислород..........13,5 в
Азот .............14,5 в
Неон..............21,5 в
Очевидно, что одно и то же напряжение зажигания
в газе с низким давлением можно получить при меньшей
напряженности поля, чем при высоком давлении, так как
в последнем случае уменьшается средняя длина свободного
пробега.
155
Для возникновения самостоятельного разряда необхо-
димо, чтобы
Одновременно с ионизацией происходит процесс воз-
буждения нейтральных атомов газа. У части электронов
накопленной энергии недостаточно для ионизации молекул
или атомов газа; при столкновении такого электрона и атома
газа ионизация не происходит, но энергия атома увеличи-
вается. Атом, получивший порцию энергии, возбуждает-
ся — один из электронов оболочки переходит на новую,
более удаленную орбиту (на другой энергетический уро-
вень). Через очень короткое время (10*7—10*8 сек) электрон
снова возвращается на прежнюю орбиту, выделяя при этом
избыточную энергию в виде светового излучения. Таким
образом, возникает свечение газа.
При нормальном и пониженном давлениях в газах наблю-
дается несколько различных стадий самостоятельного раз-
ряда; темный, тлеющий, искровой и дуговой.
4-8. ТЕМНЫЙ И ТЛЕЮЩИЙ РАЗРЯДЫ
Темный разряд может возникнуть при неодно-
родном электрическом поле в тех местах, где напряженность
поля достигает критического значения. Если заряженные
проводники имеют выступающие «заостренные» части,
то вблизи них напряженность поля имеет наибольшее значе-
ние; в этих местах начинается разряд, сопровождаемый
свечением — короной.
Темный разряд в газах с низким давлением иногда пере-
ходит в тлеющий. Тлеющий разряд в газах при
низких давлениях сопровождается свечением газа у анода —
«анодным свечением». В длинных трубках при сравни-
тельно невысокой степени разрежения анодное свечение
занимает значительную часть длины трубки. Такого рода
стеклянные трубки, наполненные неоном (красный свет)
и аргоном (голубой свет), применяются для рекламного
и декоративного освещения.
4-9. ИСКРОВОЙ РАЗРЯД
При распространении ионизации газа на всю длину
участка между электродами темный разряд переходит
в искровой. Ионизация в этом случае происходит
156
не по всему объему, а по отдельным ярко светящимся
каналам, форма которых зависит от «наиболее легкого
пути» ионизации. Лавина электронов, перемещающихся
в искровом канале, вызывает резкое повышение темпера-
туры и давления, отчего искровой разряд сопровождается
характерным треском.
Если мощность источника питания невелика, то воз-
никновение искры приводит к мгновенному снижению
напряжения между электродами почти до нуля, что объяс-
няется большой величиной тока при наличии искры. После
прекращения искрового разряда напряжение между элек-
тродами плавно нарастает до образования нового искрового
разряда.
Напряжение, достаточное для искрового разряда между
электродами, при прочих равных условиях зависит от длины
искры и давления газа. На этом принципе основано устрой-
ство шаровых разрядников, применяемых для измерения
высоких напряжений. По расстоянию между шарами, при
котором происходит искровой разряд, можно судить о на-
пряжении между ними.
Наибольших масштабов достигает искровой разряд
в случае молнии.
4-10. ДУГОВОЙ РАЗРЯД
При большой мощности источника искровой разряд
переходит в форму дугового разряда. Электри-
ческая дуга получается, например, между двумя уголь-
ными электродами, присоединенными через сопротивле-
ние к зажимам генератора.
Электрическая дуга была открыта в 1802 г. профессо-
ром физики Петербургской медицинской академии В. В. Пет-
ровым.
При электрической дуге происходит сильная иониза-
ция газа главным образом электронами, вылетающими из на-
каленного катода. Чтобы избежать всех предварительных
стадий разряда и сразу зажечь дугу, угли сближают так,
что в цепи появляется ток, нагревающий угли до высокой
температуры. Раздвигая электроды, получают между ними
дугу, излучающую ослепительный свет. Накален главным
образом анод, у которого из-за бомбардировки электронами
образуется кратер; температура кратера достигает 4 000° С.
Газоразрядная плазма между электродами имеет темпера-
157
Рис. 4-12. Вольт-ам-
перная характери-
стика электрической
дуги.
туру около 4 800° С и обладает очень высокой проводи-
мостью. Поэтому при электрической дуге возникает зна-
чительный ток, напряжение между электродами небольшое
(20—40 в).
Электрическое поле действует с одинаковой силой на
каждый свободный электрон и положительный ион (атом,
потерявший один электрон), но так как масса электрона
в несколько тысяч раз меньше массы положительного
иона, то подвижности электронов и ионов резко отличаются.
Электроны перемещаются значитель-
но быстрее ионов, поэтому ток при
дуговом разряде образуется главным
образом свободными электронами.
При увеличении тока температура
плазмы возрастает, увеличивается ее
проводимость, вследствие чего напря-
жение на участке дугового разряда
уменьшается. Таким образом, элек-
трическая дуга имеет «падающую ха-
рактеристику» (рис. 4-12).
Электрическая дуга применяется
для освещения (прожектор, проекци-
онные фонари) и нагревания (электро-
печи, электросварка). Впервые электрическая дуга была при-
менена для освещения в 1876 г. П. Н. Яблочковым, который,
расположив параллельно угольные электроды, подвел к ним
переменное напряжение. Дуга получилась устойчивой,
электроды изнашивались равномерно. Электрическая све-
ча Яблочкова — «русский свет» — применялась во мно-
гих странах мира до изобретения и усовершенствования
А. Н. Лодыгиным электрической лампы с накаливаемой
нитью.
Электрическая дуга служит для сварки металлов.
Электрическая сварка — один из прогрессивных техниче-
ских методов соединения металлов; она широко приме-
няется и все более совершенствуется и автоматизируется.
По сравнению с другими способами соединения метал-
лических частей сварка обладает рядом преимуществ:
экономия металла, времени, рабочей силы, высокая проч-
ность места соединения (шва). Электрическая сварка при-
меняется во многих областях промышленности как основ-
ной технологический процесс (сварка строительных кон-
струкций, труб, корпусов кораблей и т. д.).
158
Все большее применение находят экономичные лампы
дневного света. В длинной трубке (рис. 4-13) располагаются
два электрода в виде тонких спиралей, покрытых вещест-
вами, увеличивающими термоэлектронную эмиссию. Стенки
трубки покрываются особым составом — люминофором,
Рис. 4-13. Лампа дневного света.
Внутри трубки находятся пары ртути при низком давле-
нии. При разряде возникает мощное ультрафиолетовое
излучение. Люминофор светится под действием невидимых
ультрафиолетовых лучей.
4-11. ПРОВОДИМОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Полупроводниками называются тела, зани-
мающие промежуточное положение среди проводников и изо-
ляторов. К наиболее распространенным полупроводни-
кам относятся: кремний, германий,
селен и закись меди. В отличие
от проводников полупроводники
имеют не только электронную, но
и «д ы р о ч н у ю» проводимость.
Рассмотрим возникновение элек-
тронной и дырочной проводимостей
на примере германия. Известно, что
химическая связь, возникающая между двумя атомами прц
образовании общей пары электронов — по одному от каж-
дого атома, называется ковалентной или двух-
электронной связью. Такая связь возникает, на-
пример, при сближении на очень малое расстояние двух
атомов водорода (рис. 4-14). Условно двухэлектронную
связь изображают двумя линиями, соединяющими атомы.
Полупроводник германий принадлежит к элементам
четвертой группы периодической системы элементов. Эти
элементы имеют на внешней орбите по четыре электрона
(валентные электроны). В кристалле германия каждый
159
Рис. 4-14. Ковалентная
связь атомов.
атом образует двухэлектронные связи с четырьмя другими
атомами, которые аналогично связываются с четырьмя
соседними атомами, как схематически представлено на
рис. 4-15. В идеальной кристаллической решетке германия
все четыре валентных электрона каждого атома образуют
ковалентные связи с валентными электронами других
атомов; свободных электронов нет, и такой кристалл гер-
мания не обладает проводимостью.
Если какой-либо валентный электрон получит допол-
нительную энергию, например при нагревании или облу-
Рис 4-15 Схема ко-
валентных связей в
кристаллической ре-
шетке германия
движения электрон
чении, то силы связи могут быть пре-
одолены и электрон станет свободным
Свободный электрон под действием
внешнего электрического поля может
перемещаться между кристаллами,
обусловливая электронную проводи-
мость. Образование свободного элек-
трона приводит к нарушению двух-
электронной связи и появлению сво-
бодного места, -которое может быть
снова занято электроном. Такое сво-
бодное место в нарушенной двухэлек-
тронной связи называется «дыркой».
Под действием, например, теплового
соседней связи может перейти в неза-
полненную связь, т. е. занять дырку. Одна двухэлектронная
связь восстанавливается, но разрушается другая, возникает
новая «дырка». Этот процесс можно рассматривать как
движение дырок. Под действием сил электрического поля
происходит направленное перемещение дырок в направле-
нии сил поля, т. е. в направлении, обратном перемещению
электронов. Такое явление следует рассматривать как
дырочную проводимость. Перемещение дырок эквивалент-
но току, который возникает при движении положительных
зарядов, по величине равных зарядам электронов.
При нарушении двухэлектронных связей в кристалле
одновременно возникают свободные электроны и дырки
и число электронов равно числу дырок. Вследствие тепло-
вого движения происходит не только образование пар
электрон — дырка, но и их воссоединение Таким образом,
при данной температуре в единице объема кристалла число
пар в среднем остается постоянным. Например, при тем-
пературе 20° С в 1 слг германия имеется около 2,5- 101! элек-
160
тронов и дырок при общем числе атомов ~4,2-10гз. Кон-
центрация электрически заряженных частиц в германии
(п = 2,5-1013) значительно меньше концентрации в метал-
лических проводниках, у которых п -- 1023—10аз (при-
мерно один свободный электрон на один атом).
Как видно из сопоставления концентраций, проводи-
мость германия при нормальной температуре значитель-
но ниже проводимости металлов. При повышении тем-
пературы число свободных электронов и дырок очень
сильно возрастает и хотя их подвижность несколько пони-
жается, проводимость германия значительно увеличивается.
Германий, как и другие полупроводники, имеет отрица-
тельный температурный коэффициент сопротивления, кото-
рый по абсолютной величине в 10—20 раз больше, чем
у металлов. Как известно (§ 2-8), при нагревании металла
на 1° С его сопротивление увеличивается приблизительно
на 0,4%. Сопротивление полупроводников при нагре-
вании на 1° С уменьшается на 4—8?6. Это свойство исполь-
зуется для различных технических целей, например для
создания термосопротивлений, величина которых резко
изменяется даже при небольших изменениях температуры.
4-12. ВЛИЯНИЕ ПРИМЕСЕЙ НА ПРОВОДИМОСТЬ
ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Вводя в кристалл германия атомы других элементов,
можно, подбирая различные примеси, получить в кри-
сталле преобладание дырок над свободными электронами
или, наоборот, преобладание электронов над дырками.
При этом проводимость полупроводника сильно повы-
шается.
Полупроводники с преобладающей дырочной проводи-
мостью называют полупроводниками типа р
(от слова позитив — положительный), а полупроводники
с преобладанием электронной проводимости — типа п
(от слова негатив — отрицательный). Примеси, которые
вызывают преобладание дырочной проводимости, назы-
ваются акцепторными, а электронной — донор-
ными.
Для германиевых полупроводников акцепторной при-
месью является, например, индий. У атома индия всего
три валентных электрона. При замещении в решетке атома
германия атомом индия три связи атома индия с атомами
11 Теоретическая электротехника 161
германия окажутся заполненными, а одна связь с четвертым
атомом германия незаполненной, т. е. в решетке образуется
дырка. Эта дырка может быть заполнена электроном при
разрыве какой-либо соседней связи, т. е. в результате обра-
зования дырки в другом месте.
Донорной примесью для германия является, например,
мышьяк. Атом мышьяка имеет пять валентных электро-
нов. При замещении в кристаллической решетке атома
германия атомом мышьяка четыре валентных электрона
мышьяка образуют заполненные связи с соседними атома-
ми германия, а пятый электрон окажется слабо связанным
с атомом мышьяка и под действием теплового движения или
электрических сил может перемещаться между атомами
германия.
Рассмотрим, как влияют примеси на проводимость.
Пусть на один миллион атомов германия приходится
всего один атом мышьяка. Тогда в 1 см3 германия появится
дополнительно 1016 свободных электронов (число дырок
не изменится). В таком полупроводнике преобладает элек-
тронная проводимость.
4-13. ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫЙ ПЕРЕХОД
Представим себе, что имеется полупроводник, одна
часть которого содержит акцепторные примеси и обладает
дырочной проводимостью (p-область), а другая — донор-
Рис. 4-16. Полупроводниковый выпрямитель
(вентиль).
ные примеси и обладает электронной проводимостью
(п-область).
В этом полупроводнике (рис. 4-16) свободные электроны
переходят (диффундируют) из «-области с электронной
162
проводимостью в p-область с дырочной проводимостью,
так как концентрация электронов в «области больше, чем
в p-области. Движение дырок происходит в обратном на-
правлении.
Вследствие диффузии части электронов и дырок погра-
ничный слой обедняется основными носителями зарядов
и его проводимость резко уменьшается. Тонкий непрово-
дящий промежуточный слой между полупроводниками
типа п и типа р получил название запирающего
слоя или электронно-дырочного перехода
(перехода Э — Д или р — п). С одной стороны перехода
Э — Д, прилегающей к « области, накапливаются поло-
жительные заряды, а с другой, прилегающей к р-области,—
отрицательные. Таким образом, в переходе Э — Д возни-
кают разность потенциалов (потенциальный барьер) и элек-
трическое поле, противодействующее дальнейшему перехо-
ду электронов из «-области в p-область и дырок в обратном
направлении. Диффузия электронов и дырок прекращается,
когда силы электрического поля в переходе Э — Д уравни-
вают силы, вызывающие эту диффузию.
4-14. ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЙ ВЕНТИЛЬ
Полупроводниковый прибор, имеющий переход Э — Д,
обладает односторонней проводимостью (вентиль) и мо-
жет быть применен в выпрямителе, т. е. устройстве, через
которое ток проходит практи-
чески только в одном направле-
нии. Включив такой прибор
в цепь (рис. 4-16), создадим в по-
лупроводнике внешнее электри-
ческое поле. Если внешнее элек-
Рис 4-17. Германиевый вы-
прямитель (вентиль)
/—кристалл германия; 2—воль-
фрамовая проволока.
слой облегчится и про-
трическое поле направлено
встречно электрическому полю
в переходе Э — Д (рис. 4-16,а),
то движение свободных электро-
нов и дырок через пограничный
водимость кристалла сильно увеличится.
Наоборот, если внешнее поле направлено одинаково
с полем в переходе Э — Д (рис. 4-16, б), то движение элек-
тронов и дырок через границу еще более затруднится,
ширина непроводящего запирающего слоя как бы увели-
чится и проводимость кристалла будет очень мала.
163
Отношение тока при прямом напряжении (рис. 4-16, а)
к току вентиля при таком же обратном напряжении
(рис. 4-16,6) называется коэффициентом вы-
прямления:
На рис. 4-17 изображено устройство германиевого вен-
тиля.
4-15. ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЙ УСИЛИТЕЛЬ
Рассмотрим теперь, как полупроводники используются
в усилителях. Полупроводниковый триод имеет пластинку,
в которой между двумя областями с однотипной проводи-
Рис. 4-18. Схема полупроводнико-
вого усилителя.
мостью (например, р) создана сравнительно тонкая область
с противоположной проводимостью (и).
Каждая область от другой отделена электронно-дыроч-
ными переходами (рис. 4-18). Отдельные части полупро-
водникового триода, от которых сделаны отводы, полу-
чили название: эмиттер, коллектор н осно-
вание или база. На переход Э — Д между эмиттером
и базой подаются прямое напряжение (источник питания
с э. д. с. £\) и сигнал, подлежащий усилению (ДС^). Кон-
центрация дырок в эмиттере должна быть в десятки раз
больше концентрации электронов в базе.
164
Под влиянием сил первого внешнего поля дырки пере-
ходят из эмиттера в базу, часть дырок рекомбинируется со
свободными электронами базы, а большая часть диффун-
дирует ко второму переходу Э — Ди под действием сил
второго внешнего поля переходит в коллектор, образуя ток
в сопротивлении нагрузки га. При этом незначительное
изменение напряжения на входных зажимах вызывает
на зажимах достаточно большого нагрузочного сопротивле-
ния гп значительное изменение напряжения ДС'2.
4-16. МЕДНОЗАКИСНЫЕ И СЕЛЕНОВЫЕ ВЕНТИЛИ
Рпс. 4-19. Элемент медно-
закисного выпрямителя,
/—болт; 2 — гайка; 3—шайба;
4— изолирующая шайба;
5—радиатор; 6— медь (катод};
7—слой закиси меди (анод);
8—свинцовая шайба; 0—дистан-
ционная шайба; 10—изолирую-
щая трубка,
В практической электротехнике в измерительных при-
борах и в устройствах преобразования переменного тока
промышленной сети в постоянный часто применяются еще
два типа полупроводниковых
вентилей: меднозакисные (куп-
роксные) и селеновые.
Элемент меднозакисного вы-
прямителя состоит из медного
диска толщиной 1—1,5 мм, по-
крытого с одной стороны слоем
закиси меди (Си2О), которая
является полупроводником с ды-
рочной проводимостью. Медь
и закись меди разделены тонким
запирающим слоем. Для лучше-
го контакта к слою закиси меди
прижимается свинцовый диск.
Отдельные элементы соединяют-
ся последовательно (на изоли-
рованной шпильке), образуя
«столбик» выпрямителя. Для
отвода тепла между отдельными
элементами располагаются ди-
станционные шайбы и радиатор-
ные пластины. Эскиз медноза-
кисного вентиля приведен на
рис. 4-19. С целью защиты от
влаги элемент покрывается водостойким лаком, так как
вода, попадая на поверхность закиси меди, восстанавли-
вает медь и элемент теряет вентильные свойства. Допусти-
мая плотность тока вентиля зависит от способа охлаж-
165
дения (нагревание допускается до температуры 50е С);
при естественном охлаждении допустима плотность тока
до 50 ма!см?. Предельное значение обратного напряжения
меднозакисных вентилей 20—30 в, а наибольшее допусти-
мое 8—10 в на один элемент.
Элемент селенового выпрямителя состоит из алюми-
ниевого диска, покрытого с одной стороны слоем селена
Рис 4-20. Элемент
селенового выпрями-
теля.
Рис. 4-21. График 6 (<7) для се-
ленового выпрямителя.
1 — болт: 2 — гайка;
3—шайба; 4—изолирую-
щая шайба, 5 — контакт-
ная шина; 6 — алюминие-
вый электрод; 7—слой
селена (анод): 8~катод-
ный слой: 9 —контактная
шайба; )0~изолирующая
трубка.
толщиной 0,05—0,1 мм. Селен —
полупроводник с дырочной про-
водимостью. Запирающий слой
в отличие от меднозакисного вен-
тиля образуется не между диском
и селеном, а между поверх-
ностью селена и покрывающим его
сплавом из олова, кадмия и висмута, который служит
вторым электродом. К поверхности сплава прижимается
пружинная контактная шайба из латуни. На рис. 4-20
представлен эскиз селенового вентиля, а на рис. 4-21 —
зависимость плотности тока д от напряжения U на элементе.
Наибольшая допустимая плотность тока для селеновых
вентилей, работающих в условиях естественного охлаж-
дения, составляет 30—40 ма]см\ а предельное значение
обратного напряжения на один элемент 50—80 в. Наи-
большее допустимое напряжение 20—45 в. Применяя после
166
довательно-параллельное соединение отдельных элементов,
можно собрать выпрямители на десятки и сотни ампер
и сотни и тысячи вольт.
4-17. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
Аналитический расчет нелинейных цепей сложен, по-
этому нелинейные цепи часто рассчитывают графическими
методами.
Рассмотрим, как определяются токи и напряжения
в отдельных участках электрической цепи при последо-
вательном соединении
двух нелинейных эле-
ментов (рис. 4-22).
Рис. 4-23. Построение общей
вольт-амперной характери-
стики.
Рис 4-22. После-
довательное соеди-
нение нелинейных
элементов.
Выбрав одинаковый масштаб, построим в общей системе
координат вольт-амперные характеристики каждого элемен-
та цепи (рис. 4-23), причем Ц (U) — вольт-амперная
характеристика первого нелинейного элемента (Н.ЭЭ
и /2(Д) — вольт-амперная характеристика второго нели-
нейного элемента (Н.Э2).
По вольт-амперным характеристикам It(U) и Iz(U)
построим общую вольт-амперную характеристику /(//).
Для этого, выбрав произвольное значение тока Г, найдем
точки А' и А" на вольт-амперных характеристиках /1(4/)
и /2(Д), ординаты которых выражают ток Г, и сложим
абсциссы этих точек, поскольку при последовательном
соединении напряжения на отдельных элементах склады-
ваются; таким образом, мы получим точку А.
167
Задаваясь другими значениями тока /", найдем
точки Б, В, Г и т. д. .через которые проходит общая вольт-
Рис. 4-24. После-
довательное соеди-
нение линейного
н нелинейного со-
противлений.
жения на первом
образом,
амперная характеристика.
Пусть нам задано напряжение на
зажимах цепи Uс и требуется опреде-
лить ток. Чтобы найти ток, отложим
по оси абсцисс отрезок 00", выража-
ющий в выбранном масштабе приложен-
ное к цепи напряжение Uc, и восставим
перпендикуляр из точки О". Обозна-
чим точку пересечения перпендикуляра
с вольт-амперной характеристикой l(U)
буквой К. Ордината этой точки (КО")
выражает искомый общий ток /0, а отрез-
ки ДМ и ДН — соответственно напря-
и втором элементах и U2. Таким
/0-лга(КО"); U^-мДДМу, и2 = мв(ДН),
где Л1а и Л1в — масштабы тока и напряжения.
Если, наоборот, задан ток, то, отложив по оси ординат
отрезок, пропорциональный току, аналогично определим
общее напряжение и напряже-
ния на отдельных участках цепи.
При последовательном соеди-
нении нелинейного элемента
с линейным сопротивлением г
(рис. 4-24) определение тока по
заданному напряжению Uc мож-
но выполнить следующим об-
разом.
Напряжение на зажимах не-
линейного элемента
Рис. 4-25. График для оп-
ределения тока и напряже-
ния на отдельных участках
неразветвленной цепи.
U„.^Uc-UT = Uc~Ir, (4-8)
откуда
j __ Од — Он э Од Он. э
г г г
По этому линейному уравнению можно построить
график, выражающий зависимость тока I от напряжения
на нелинейном сопротивлении £/н.впри заданном напряже-
нии сети Uc. График имеет вид прямой линии (рис. 4-25),
168
проведенной через две точки А а Б. Точка А соответствует
7/„ э = 7/с и 7 = О, точка Б получается при Un э — 0 и I —
= Uc!r.
Построив в тех же осях вольт-амперную характеристику
l(U„ э) для нелинейного элемента, мы получим точку пере-
сечения В, которая и характеризует единственно возмож-
ный при данном напряжении Uc режим цепи, удовлетво-
ряющий как вольт-амперной характеристике нелинейного
элемента, так и линейному уравнению. Ордината точки
В (ВГ) выражает искомый ток /0, абсцисса (ОГ) — напря-
жение на нелинейном элементе (7П.Э, отрезок (ГА) — напря-
жение на сопротивлении Ur.
Пример 4-2. Последовательно с лампой накаливания включен
реостат с сопротивлением г = 80 ом. Определить ток и напряжения
на каждом участке цепи, если напряжение сети 120 в, а вольт-ам-
перная характеристика лампы может быть построена по следующим
данным:
ия, В 0 20 40 60 80 100 120
7Л, а 0 0,1 0,25 0,45 0,7 1 1,25
По приведенным данным построим вольт-амперную характери-
стику лампы (рис. 4-26).
По уравнению (7Л = (7С— 1г строим график, выражающий эту
зависимость. При 7 = 0 напряжение U^ = UC, т. е. (7л=120 в. Отло-
жив по оси абсцисс отрезок ОА,
соответствующий напряжению
120 е, получаем точку А. При
(7л = 0 ток /=---п-=1,5 а. От-
оО
дожив отрезок ОБ, соответст-
вующий току 1,5 а, находим
точку Б. Соединив точки А и Б
прямой, получим этот график.
Точка пересечения В опре-
деляет единственно возможный
режим цепи. Ордината точки В
выражает ток, который полу-
чился равным 0,6 а; отрезок ОГ
выражает напряжение на лам-
Рис. 4-26. К примеру 4-2.
пе, которое получилось равным
72 в; разность общего напряжения и напряжения на лампе, т. е.
напряжение на реостате, получается равным 48 в.
При параллельном соединении двух нелинейных эле-
ментов (рис, 4-27) ток в каждом элементе при заданном
169
напряжении на зажимах сети Uc можно найти по вольт-
амперным характеристикам элементов. На рис. 4-28
показаны те же вольт-амперные характеристики нелиней-
ных элементов /i(t/) и /2(t/), что и на рис. 4-23. Так как
напряжение на каждом элементе равно напряжению Uc,
то, откладывая отрезок 00", изображающий в масштабе
находим токи Ц и /2. Ток О
мв напряжение Ос, сразу
изображается в масштабе
ма отрезком О"М, а ток
/2—отрезком О"Н. Ток
источника I = /( + /2.
Рис. 4-27. Параллельное
соединение нелинейных
элементов
Рис. 4-28. Графический рас-
чет токов цепи по рис 4-27
Если задано не напряжение Uc, а ток источника I, то
предварительно следует построить общую вольт-амперную
характеристику 1(0'), суммируя ординаты (токи 0 и /2)
вольт-амперных характеристик нелинейных элементов.
Аналогично рассчитывается цепь с любым числом
параллельно включенных нелинейных и линейных эле-
ментов.
При смешанном (параллельно-последовательном) сое-
динении нелинейных элементов следует поочередно строить
для последовательно и параллельно включенных элементов
общие вольт-амперные характеристики. Затем режим цепи
(токи и напряжения) рассчитывается тем же методом, что
и для цепей рис. 4-22 и 4-27.
4-18. БАЛЛАСТНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Рабочий режим некоторых устройств (газоразрядной
лампы, дуговой лампы и др.) с нелинейными характеристи-
ками не может быть устойчивым, если последовательно
170
Рис. 4-29. График для определе-
ния тока при последовательном
соединении электрической дуги
и сопротивления.
с ними не будет включено так называемое «баллас т-
ное сопротивление». Большое практическое зна-
чение имеет расчет величины балластного сопротивления,
в часгности значительный интерес представляет выбор
балластного сопротивления г для устойчивого горения дуги.
Воспользуемся для вычисления величины г методом
расчета нелинейных цепей, рассмотренным в § 4-17.
Как известно, электрическая дуга имеет специфическую
«падающую» характеристику — с возрастанием тока напря-
жение на дуге уменьшает-
ся. Поэтому после йострое-
ния прямой, как на
рис. 4-25, получим две
точки (Б и В) пересечения
прямой с вольт-амперной
характеристикой дуги
(рис. 4-29). Сумма падений
напряжения на сопротив-
лении и на дуге равна
приложенному напряже-
нию при двух значениях
тока /1 и /г- Однако устой-
чивое горение дуги будет
только при токе /2. При
токе /1 устойчивое горе-
ние невозможно. Действительно, случайное увеличе-
ние тока Л приведет к состоянию, при котором сумма
падений напряжения на участках цепи будет меньше при-
ложенного напряжения. Как показывает анализ режима
цепи при изменяющемся токе (переходный процесс) с учетом
возникающей э. д. с. самоиндукции, ток в цепи будет
продолжать увеличиваться до значения /2. Ордината точки
Г (ГО) выражает ток, равный отношению напряжения
на зажимах цепи Uc к балластному сопротивлению г,
откуда искомое сопротивление
ис
(ОГ) ма
Если последовательно с дугой включено сопротивле-
ние, большее чем
(ОД)ма ’
171
где ОД — отрезок на оси ординат, отсекаемый касательной,
проведенной к характеристике дуги из точки А, то точка
пересечения вольт-амперной характеристики дуги и линей-
ного графика отсутствует; устойчивое горение дуги при
данном сопротивлении г' вообще невозможно, и ток про-
ходить не будет.
4-19. СТАБИЛИЗАТОРЫ ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ
Среди различных нелинейных элементов есть такие,
у которых вольт-амперные характеристики имеют участки,
параллельные оси абсцисс или оси ординат (рис. 4-30
Рис. 4-30 Вольт-амперная харак-
теристика стабилизатора тока.
напряжения.
Рис. 4-31. Вольт-амперная ха-
рактеристика стабилизатора
и 4-31). Такие нелинейные элементы применяются в элек-
трических цепях в качестве стабилизаторов тока и стабили-
заторов напряжения.
К числу стабилизаторов тока относится, например,
бареттер (стальная нить в атмосфере водорода). На участке
А Б (рис. 4-30) характеристика бареттера почти парал-
лельна оси абсцисс. Если бареттер включить последователь-
но с сопротивлением г, то, как это видно из приведенных
на рис. 4-30 графиков, при изменении приложенного
напряжения от Uc' до Uc" ток в цепи почти не изменится
(Л' «Л")-
Конечно, диапазон изменения напряжения, при котором
ток в цепи не изменяется, зависит от величины сопротивле-
172
ния, включенного последовательно с бареттером, т. е. от
наклона прямых к оси абсцисс.
На рис. 4-31 показано, что при последовательном
соединении стабилизатора напряжения с изменяющимся
сопротивлением (г' > г") напряжение на стабилизаторе
Ut’ и Ui" не зависит от величины сопротивления (конечно,
при изменении его в некоторых пределах).
4-20. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. СНЯТИЕ
ХАРАКТЕРИСТИК ДВУХЭЛЕКТРОДНОЙ
И ТРЕХЭЛЕКТРОДНОЙ ЛАМП (§ 4-2-4-4)
План работы
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы, и записать их основные технические данные.
2. Собрать схему (рис. 4-32) и показать ее руководителю.
3. Установив номинальное напряжение иакала, снять зависи-
мость /а (t/a).
Примечание. Наибольшее значение анодного тока
как в этом, так и в последующих опытах ие должно пре-
вышать номинального анодного тока данной лампы.
Показания приборов записать в табл. 4-1.
По полученным данным построить график /а (17а).
4. Изменить полярность анодного напряжения. Убедиться в од-
носторонней проводимости двухэлектродиой лампы.
5. Собрать схему (рис. 4-8) и показать ее руководителю.
6. При значении анодного напряжения U’a и номинальном токе
накала, изменяя сеточное напряжение, отметить изменения анодного
тока.
Таблица 4-1
V , в 1 ма
а <1
Рис. 4-32. Схема к работе 4-19.
7. При анодном напряжении t/a<l/a и номинальном токе
иакала, изменяя сеточное напряжение, отметить изменения анодного
тока /а.
173
Показания приборов записать в табл. 4-2.
8. По полученным данным построить сеточные характеристики
трехэлектродной лампы /а (Пс).
Таблица 4-2
9. Определить параметры трехэлектродной лампы.
10. Установив (7с=0 и изменяя анодное напряжение, отметить
изменения анодного тока. Показания приборов записать в табл. 4-3.
(^а)-
4-21. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. СНЯТИЕ
ВОЛЬТ-АМПЕРНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПОЛУПРОВОДНИКОВОГО ВЕНТИЛЯ (§ 4-14—4-16)
План работы
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы, и записать их основные технические данные. Определить
номинальный ток и номинальное обратное напряжение вентиля.
2. Собрать схему (рис. 4-33) и показать ее руководителю.
174
3. Изменяя подведенное к вентилю напряжение U, снять харак-
теристику 6 —/(С70), где Uo — напряжение на одном элементе;
б —плотность тока, а/см2.
Примечание. Ток в цепи не должен превышать
номинального тока вентиля.
Рис. 4-33. Схема для снятия характери-
стики полупроводникового выпрямителя
при прямом напряжении.
4. Собрать схему (рис. 4-34) и показать ее руководителю.
5. Изменяя подведенное напряжение, снять характеристику при
обратном напряжении.
Примечание. Обратное напряжение на один эле-
мент не должно превышать номинального напряжения
элемента.
Рис. 4-34. Схема для снятия характеристики
полупроводникового выпрямителя при обрат-
ном напряжении.
6. Показания приборов записать в табл. 4-4 и 4-5. В таблицах
п—число последовательно соединенных элементов; S — площадь
элемента.
7. По полученным данным построить характеристику d (t/c).
Таблица 4-4
№ п/п. Прямое напряжение
и, в п Uo, в /, а S, см2 б, а/см2
175
Таблица 4-5
НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ ПРИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ
И ПАРАЛЛЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ (§ 4-17)
План работы
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы, и записать технические данные приборов.
Рис. 4-35. Схема для снятия вольт-ампер-
ной характеристики лампы накаливания.
2. Собрать схему для снятия вольт-амперной характеристики
лампы с металлической нитью (рис. 4-35) После проверки схемы руко-
водителем измерить ток при напряжениях 20, 40, 60, 80, 100 и 120 в.
3. Аналогично снять вольт-амперную характеристику для лампы
с угольной нитью.
Таблица 4-6
Металлическая лампа Угольная лампа
№ п/п. U, в /, а № п/п. и, в 1, а
176
4. Показания приборов записать в табл. 4-6. По полученным
данным построить в общей системе координат в одинаковом мас-
штабе для каждой лампы график I (U).
5. Определить графически ток и напряжение на зажимах каж-
дой лампы при последовательном соединении ламп и напряжениях
питания 90 и НО в.
6. Собрать схему (рис. 4-36) и после проверки ее руководите-
лем установить напряжение питания 90 в. Измерить ток и напряже-
Рнс. 4-36. Последовательное соеди-
нение двух ламп накаливания.
ние на зажимах каждой лампы. Аналогичные измерения выполнить
при напряжении питания ПО в.
Сопоставить результаты, полученные из опыта, с результатами,
полученными графически.
7. Показания приборов и результаты расчета записать
в табл. 4-7.
Таблица 4-7
ную характеристику.
9. Построить в общей системе координат вольт-амперные ха-
рактеристики параллельного соединения ламп по опытным данным
п 8. и по вольт-амперным характеристикам отдельных ламп.
12 Теоретическая электротехника
177
ГЛАВА ПЯТАЯ
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
5-1. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА
Магнитное поле, как и электрическое поле,
является одним из видов материи. Оно возникает, например,
при движении электрически заряженных частиц вещества
и вокруг проводников с током. Магнитное поле обладает
энергией, которая называется энергией магнит-
ного поля. Поэтому если в магнитное поле, окружаю-
щее провод с электрическим током, внести другой провод
с током, то последний испытывает действие силы магнитного
поля. В свою очередь магнитное поле второго провода
с током действует на первый. Под действием сил поля
провод с током может перемещаться; в этом случае произ-
водится работа за счет энергии магнитного поля. Электри-
ческий ток в проводе и магнитное поле вокруг него — нераз-
рывно связанные явления.
5-2. МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
Интенсивность магнитного поля в каждой его точке
характеризуется магнитной индукцией (обо-
значается буквой В). Магнитная индукция в какой-либо
точке поля вокруг провода с электрическим током зависит
ог величины тока, формы провода, расстояния точки от
провода и, наконец, от свойств среды, в которой создается
магнитное поле. На основании опытного закона Био и Сава-
ра — Лапласа всякий элемент провода длиной dl с током
1 (рис. 5-1) создает в точке А на расстоянии гот элемента
магнитное поле, индукция которого
= (5-1)
4л л2 ' ’
Таким образом, индукция dB прямо пропорциональна
длине элемента dl, величине тока 7, синусу угла а между
направлением тока и радиусом-вектором, соединяющим
данный элементе точкой поля, и обратно пропорциональна
квадрату длины радиуса-вектора.
Множитель ца, входящий в уравнение (5-1), называется
абсолютной магнитной проницаемо-
178
стью среды. Он учитывает влияние окружающей среды
на величину магнитной индукции.
Магнитная индукция, как и напряженность электриче-
ского поля,— векторная величина. Вектор dB направлен
перпендикулярно плоскости S, в которой расположены
радиус-вектор г и элемент dl. Направление вектора dB
определяется по правилу буравчика: если буравчик дви-
жется вдоль элемента провода по направлению тока, то один
Рис 5-1. К закону Био и Савара—Лапласа.
конец его рукоятки проходит сквозь плоскость S в том
же направлении, в котором ее пронизывает вектор dB; при
этом точка, в которой этот конец рукоятки проходит сквозь
плоскость S, должна лежать по ту же сторону элемента
dl или его продолжения (по прямой), что и точка А. Если
изменить направление тока в проводе, то изменится на про-
тивоположное направление вектора магнитной индукции.
В действительности ток проходит не по отдельным изоли-
рованным элементам провода dl, а по проводам различной
формы. Поэтому вектор магнитной индукции в любой точке
поля равен геометрической сумме элементарных векторов
магнитной индукции dB, созданных в этой точке током,
проходящим по элементарным участкам провода, т. е.
В= j dB.
(5-2)
По формулам (5-1) и (5-2) можно найти магнитную
индукцию для проводов с током различной формы.
12
179
Магнитное поле, в различных точках которого индукция
имеет различные значения, называется неоднород-
ным, и наоборот, магнитное поле называется однород-
н ы м, если во всех точках поля векторы магнитной индук-
ции имеют одинаковую величину и параллельны друг другу.
5-3. МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ В ЦЕНТРЕ
КОЛЬЦЕВОГО ПРОВОДНИКА С ТОКОМ
С помощью закона Био и Савара — Лапласа определим
магнитную индукцию в центре проводника, имеющего
Рис. 5-2 Магнит-
ная индукция в
центре кругового
тока
(рис. 5-2). В этом случае радиус-вектор
г равен радиусу кольца R и для всех
элементов кольца лежит в одной пло-
скости с кольцом; следовательно, все
элементарные составляющие вектора
индукции в центре кольца имеют оди-
наковое направление.
Кроме того, и sina=l.
По закону Био и Савара — Лапласа
(5-1) составляющая магнитной индукции
jr_______________ Ра ! dl
4л ' 7?2 ’
Суммируя значения dB от каждого элемента провод-
ника по всей длине проводника, т. е. по длине окруж-
ности радиуса R, находим значение магнитной индукции
в центре:
В = Г =
J 4л 7?2 j
(5-3)
Знак £ указывает, что происходит суммирование по замк-
нутому контуру.
Так как в данном случае сумма элементов длины
^dl = 2nR,
то магнитная индукция
р__ _ ИЛ
2R D ’
(5-4)
где D— диаметр кольца.
180
5-4. МАГНИТНАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
Магнитная индукция поля зависит, как уже указыва-
лось, от свойств среды, в которой создается магнитное поле.
Для того чтобы получить представление о магнитных
свойствах среды, нужно сравнить магнитное поле вокруг
провода с током в данной среде с магнитным полем вокруг
того же провода, но находящегося в вакууме. Таким образом,
можно установить, что в одних случаях поле получается
более интенсивным, чем в вакууме, в других — менее
интенсивным. Это объясняется различными магнитными
свойствами сред и материалов, окружающих провод с током.
Материалы или среды, в которых поле получается сильнее,
чем в вакууме, называются парамагнитными,
а материалы или среды, в которых поле становится слабее,—
диамагнитными. Магнитные свойства среды харак-
теризует абсолютная магнитная проницаемость ра, имею-
щая различную величину для разных веществ.
Абсолютная магнитная проницаемость вакуума назы-
вается магнитной постоянной (обозначение р0).
Еще в XIX в. теоретически и экспериментально было
найдено, что электрическая постоянная е0 и магнитная
постоянная связаны уравнением
е»Ио = . (5-5)
где с = 3-103 м/сек—скорость света в вакууме.
В Международной системе единиц СИ магнитная
постоянная выбрана равной
ц0~ 4л-10“’ ом-сек/м. (5-6)
Поэтому в той же системе единиц электрическая постоян-
ная
1 _ 1 _ 1 ,,
9 ЮМ.4л 10-7 — 36л-10»
так как
1 _ сек сек-а _ к ф
(м2/сек2)(ом-сек/м)~~ м-ом м-ом-а м-в м '
Это значение е0 и было указано в § 1-4.
Единицу ом-сек называют генри (генри единица
индуктивности, с которой мы познакомимся в § 6-14)
и сокращенно обозначают гн.
181
Введя новое обозначение, получим:
цо=4л-1О“7 гн/м. « 125-10~8 гн/м.. (5-7)
Абсолютные магнитные проницаемости других веществ
удобно сравнивать с магнитной постоянной.
Отношение абсолютной магнитной проницаемости како-
го-либо вещества к магнитной постоянной называется
магнитной проницаемостью вещества (обозначение р),
так что
ц = (5-8)
Ио
Магнитная проницаемость вещества — отвлеченное
число.
Для диамагнитных веществ р < 1, для парамагнитных
р > 1. К диамагнитным веществам относится, например,
медь, у которой р = 0,999995, к парамагнитным — боль-
шинство веществ, в том числе и воздух, у которого
р = 1,0000031. Для технических расчетов магнитная про-
ницаемость диамагнитных и парамагнитных тел прини-
мается равной единице.
Особую группу составляют так называемые ферро-
магнитные материалы, играющие громадную роль
в электротехнике; магнитная проницаемость этих материа-
лов может достигать десятков тысяч. Вместе с тем опа
не постоянна и изменяется при изменении магнитной
индукции и температуры.
5-5. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ
Для определения единицы измерения магнитной индук-
ции используем зависимость (5-4)
, п, Г МД 1 гн а ом-с’к-а в-сек вб
BJ = Ц- =--------=--------— — =—^ — тл.
L D J мм м-м м2 м2
В Международной системе единиц СИ магнитная индук-
ция измеряется в веберах на квадратный метр или теслах.
Вольт-секунда носит название вебер (вб), а вольт-
секунда на квадратный метр — тесла (тл).
Тесла — крупная единица, поэтому при расчетах иногда
пользуются более мелкой единицей, не принадлежащей
к системе СИ.— гаусс (гс):
1 гс ~ 10“4 тл= 10“4 вб!м?.
182
5-6. ЛИНИИ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ
Рис 5-3 Магнитное поле
прямолинейного проводни-
ка с током.
вокруг провода с током
Линии магнитной индукции или, короче,
магнитные линии применяются для изображения магнит-
ного поля. Линии магнитной
индукции проводят так, чтобы
вектор магнитной индукции
в каждой точке был направлен
по касательной к линии в этой
точке. Линии магнитной индук-
ции всегда замкнуты. На рис. 5-3
показаны замкнутые линии маг-
нитной индукции вокруг прямо-
линейного провода с током.
В этом случае каждая линия
имеет форму окружности, центр
которой лежит на оси провода
Направление линий магнитной
индукции определяется направ-
лением вектора магнитной ин-
дукции, поэтому оно зависит от
направления тока в проводе.
Эта зависимость устанавливается
правилом буравчика: направле-
ние линий магнитной индукции
совпадает с направлением вращения рукоятки буравчика,
если поступательное движение буравчика совпадает с на-
правлением тока в проводе.
Рис. 5-4 Магнитное поле витка с током.
На рис. 5-4 изображено магнитное поле витка с током,
а на рис. 5-5— катушки с током. В случае витка или катуш-
ки с током правилом буравчика удобнее пользоваться
в несколько измененном виде: если совместить направление
вращения рукоятки с направлением тока в контуре, то
183
поступательное движение буравчика укажет направление
магнитных линий, пронизывающих поверхность, ограничен-
ную контуром тока. Само со-
бой разумеется, что при задан-
ном направлении линий маг-
нитной индукции правилом
буравчика можно пользовать-
ся для определения направ-
ления тока.
Густотой линий магнитной
индукции можно характери-
зовать величину магнитной
индукции. Для этого через
каждую единичную площадку
(1 м2, 1 см2 или 1 лии2), пер-
Рис 5-5 Магнитное поле к а- пендикулярную к направле-
тушки с током. нию линий магнитной индук-
ции, проводится такое число
линий, которое равно или пропорционально величине
магнитной индукции в этой области поля.
5-7. МАГНИТНЫЙ ПОТОК
Поток вектора магнитной индукции или просто маг-
нитный поток (обозначение Ф) через площадку,
перпендикулярную вектору магнитной индукции, в одно-
родном поле равен произведению магнитной индукции
и величины площадки:
Ф-BS. (5-9)
В Международной системе единиц СИ магнитный поток
измеряется в вольт-секундах (в-сек) или веберах (еб):
|Ф] = [BS] = в'^к •м2 — в‘ сек = вб.
Более мелкой единицей измерения магнитного потока
является максвелл (мкс):
1 мкс = 10*8 вб.
Если площадка S не перпендикулярна направлению
поля, т. е. вектор магнитной индукции образует с нормалью
к площадке угол 0 (рис. 5-6), то для определения потока
184
необходимо найти составляющую вектора магнитной индук-
ции Вн, нормальную к поверхности площадки:
Вн = В cos р.
Магнитным потоком в этом случае на-
зывается произведение нормальной состав-
ляющей вектора магнитной индукции и ве-
личины площадки:
Ф-В„£. (5-10)
В неоднородном магнитном поле сле-
дует брать произведение нормальной состав-
ляющей вектора магнитной индукции и эле-
ментарной площадки dS, что дает элемен-
тарный магнитный поток:
dO = B„dS,
а поток через площадку S конечных размеров
Ф-Дв„Ф5. (5-11)
1
Рис 5-6 К оп-
ределению маг-
нитного потока.
5-8. ТРУБКА МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ
В § 5-6 было указано, что при помощи магнитных линий
можно наглядно изобразить магнитное поле и величину
магнитной индукции в различных его точках. Покажем
Рис. 5-7. Магнитная трубка.
теперь, что при помощи магнитных линий можно также
наглядно изображать и величину магнитного потока.
С этой целью разобьем магнитное поле на части, проведя
в нем ряд непрерывных поверхностей, имеющих форму
185
трубок, расположенных вдоль магнитных линий, т. е, не
пересекающих их (рис. 5-7). В таком случае магнитный
поток сквозь любое поперечное сечение данной трубки
имеет одну и ту же величину. Его можно изобразить,
проведя внутри каждой трубки такое количество магнит-
ных линий, которое было бы равно или пропорционально
магнитному потоку трубки. Это дает возможность рассмат-
ривать магнитный поток сквозь любую площадку, взятую
в магнитном поле, как совокупность магнитных линий,
пронизывающих эту площадку.
Суммарный магнитный поток через замкнутую поверх-
ность равен нулю, так как магнитные линии замкнутые:
всякая магнитная линия, входящая в замкнутую поверх-
ность, должна из нее выйти. Следовательно, магнитный
поток, входящий в замкнутую поверхность, равен потоку,
выходящему из нее.
5-9. НАПРЯЖЕННОСТЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
При расчетах магнитного поля часто пользуются вели-
чиной, называемой напряженностью магнит-
ного поля (обозначение Н). Напряженность магнит-
ного поля в однородной среде не зависит от магнитных
свойств вещества, в котором создается поле, но учитывает
влияние величины тока и формы проводников на интенсив-
ность магнитного поля в данной точке. Магнитная индукция
и напряженность поля связаны между собой следующим
соотношением:
В — раН = (5-12)
Напряженность магнитного поля в Международной
системе единиц СИ измеряется в а/м:
[Я1л11=4£^Е=в/л.
1 1 L Ца J мг-ом-сек.
Иногда пользуются другой единицей напряженности
поля, не принадлежащей к системе СИ — эрстедом (э):
1 э = 79,6 а/м ~ 80 а/м. — 0,8 а/см.
Напряженность магнитного поля, как и магнитная
индукция,— векторная величина. Направление вектора
напряженности магнитного поля в средах с одинаковыми
магнитными свойствами во всех направлениях (изотропных
186
средах) совпадает с направлением магнитного поля в дан-
ной точке.
Напряженность поля необходимо знать при расчете
магнитных цепей электрических машин, различных элек-
тромагнитных аппаратов и всюду, где линии магнитной
индукции проходят в материалах с различными магнитны-
ми проницаемостями; таким образом, напряженность поля
является важной расчетной величиной. В тех случаях,
когда напряженность поля известна, нетрудно найти маг-
нитную индукцию (5-12).
Разделив на ца обе части уравнения (5-1), получим
закон Био и Савара — Лапласа для напряженности маг-
нитного поля:
,,, 1 dl sin а
аН = —j—s—
5-10. МАГНИТНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
Аналогично электрическому напряжению для электри-
ческих полей при расчете магнитного поля применяется
понятие магнитного напряжения (обозначе-
ние 5-8. Магнитное напряжение.
ние i/M). Если напряженность магнитного поля одинакова
во всех точках данной магнитной линии, как, например,
вдоль магнитной линии прямолинейного провода с током
(рис. 5-3) или в однородном магнитном поле (рис. 5-8,е),
то магнитное напряжение между двумя точками этой
магнитной линии равно произведению напряженности маг-
нитного поля и участка длины магнитной линии:
U„ = Hl. (5-13)
В более общем случае, например при определении
магнитного напряжения между двумя точками однород-
ного поля, находящимися на расстоянии / друг от друга,
187
но расположенными не на одной и той же магнитной
линии (рис. 5-8,5),
U^Hd,
где Hi — проекция вектора напряженности на отрезок I.
В общем случае, когда в различных точках пути I
напряженность магнитного поля не одинакова.
Uu^Hidl, (5-14)
i
причем в отличие от электростатического поля величина
зависит от выбранного пути между начальной и конеч-
ной точками.
Из последних формул следует, что магнитное напряже-
ние измеряется в амперах:
Ш - [Н1\ = • м-- а.
Часто в расчетах приходится определять магнитное
напряжение по произвольно проведенному в магнитном
поле замкнутому контуру. Магнитное напряжение, вычис-
ленное по замкнутому контуру, называется намагни-
чивающей силой (сокращенно н. с.) или магни-
тодвижущей силой (м. д. с.) и обозначается
буквой F. Таким образом,
F = ^Htdl. (5-15)
5-И. ЗАКОН ПОЛНОГО ТОКА
В некоторых случаях зависимость между напряжен-
ностью магнитного поля и током можно установить значи-
тельно проще, применяя вместо закона Био и Савара —
Лапласа закон полного тока.
Полным током называется алгебраическая сумма токов,
пронизывающих поверхность, ограниченную замкнутым кон-
туром, или, как говорят, сцепленных с контуром.
Рассмотрим контур, проведенный в магнитном поле,
поверхность которого пронизывается двумя токами F и /2
(рис. 5-9). Произвольно выберем положительное направпе-
ние обхода контура, например по направлению движения
часовой стрелки. В соответствии с выбранным направлением
188
будем считать ток, пронизывающий контур, положитель-
ным, если его направление совпадает с поступательным
движением буравчика, рукоятка которого вращается в по-
ложительном направлении обхода контура, и отрицатель-
ным, если не совпадает. Так, на рис. 5-9 ток Ц— положи-
тельный, а ток /2— отрицательный. Полный ток 2 / = Ц—/2.
Напряженность поля в точках, расположенных на кон-
туре, имеет в общем случае различное значение. Пред-
положим, что в точке Л (рис. 5-9)
вектор напряженности поля об- Напра£м- П
разует с элементом длины конту-
pa dl угол а. Тогда
Hi = H cos а
— касательная к контуру (тан-
генциальная) составляющая век-
нГ" »
тора напряженности магнитного у
поля. Произведение Ht dl равно
магнитному напряжению на эле- Рис. 5-9 К закону полного
ментарном участке контура dl. тока-
Магнитное напряжение Ht dl по-
ложительно, если направление вектора Hi совпадает с на-
правлением обхода контура, и отрицательно, если направ-
ление вектора Hi противоположно направлению обхода
контура. Эти соображения следует иметь в виду при вы-
числении намагничивающей силы вдоль замкнутого кон-
тура.
Опытным путем установлено, что намагничивающая
сила вдоль контура равна полному току (алгебраической
сумме токов), проходящему сквозь поверхность, ограничен-
ную этим контуром. Эта зависимость и получила название
закона полного тока.
Таким образом,
F = 21 или §Hidl=21.
(5-16)
В некоторых случаях целесообразно контур (который
мы вправе проводить в магнитном поле произвольно)
совместить с магнитной линией, в таком случае вектор
напряженности поля будет направлен по касательной
к контуру, т. е. Hi = Н и^ Н dl = 2/.
Если, кроме того, напряженность поля во всех точках
контура одинакова, то напряженность поля Н в формуле,
189
выражающей закон полного тока, можно вынести за знак
интеграла:
H§dl- 27.
И так как §dl -I, где I — длина замкнутого контура,
то
Hl = ZI. (5-17)
По этой формуле в некоторых случаях весьма просто
определяется напряженность магнитного поля.
5-12. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ПРОВОДА
С ТОКОМ
Воспользуемся законом полного тока для определения
напряженности магнитного поля вокруг прямолинейного
Рис 5-10 К расчету маг-
нитного поля прямолиней-
ного провода с током
провода с током в произволь-
ной точке А, отстоящей от оси
щовода на расстояние г :> а (а —
{ адиус провода). Проведем ра-
диусом г замкнутый контур во-
круг провода в плоскости, пер-
пендикулярной оси провода.
Во всех точках, удаленных от
оси провода на одинаковое рас-
стояние, напряженность поля
в силу симметрии одинакова по
величине (рис. 5-10).
Так как контур совпадает
с магнитной линией, то вектор
напряженности и его касательная составляющая равны
между собой: Н = Ht.
Полный ток в этом случае равен току в проводе, т. е.
2/ = /, а так как / = 2лг, то
I
2яг
Н
(5-18)
Умножив значение напряженности поля на абсолют-
ную магнитную проницаемость, найдем магнитную индук-
цию:
В = цр0Н = рр0~ = 125р 10 8 [/пл]. (5-19)
190
Имея в виду, что -^- = 2-10 7 ся/л и 1 тл — 104 гс,
можно получить более удобную формулу для В в гауссах:
9/
где /—в амперах, г—в метрах.
Если проводник находится в диамагнитной или пара-
магнитной среде, то с достаточной точностью можно
считать р — 1 и
I 9 1
В = 125 2^'10 8 [тл] ИЛИ В==Тоз -7
Строго говоря, эта формула справедлива для любого
значения г лишь в том случае, если провод имеет бесконеч-
ную длину, однако ею можно воспользо-
ваться и для определения магнитной ин-
дукции, когда длина провода значи-
тельно больше расстояния г.
Пользуясь законом полного тока,
можно определить напряженность поля
и внутри цилиндрического
проведав точке, удаленной от его
оси на расстояние г < а (рис. 5-11).
Плотность тока
Л I 1 Рис 5-11 Магвит-
® ~ ное поле внутри
прямолинейного
одинакова ко всему поперечному сече- провода с током,
нию провода. Выбрав в качестве замкну-
того контура окружность, радиуса г с центром на оси
провода, можно на основании закона полного тока на-
писать уравнение
I 2лг
где 5г = лг2—площадь, ограниченная контуром;
6Sr— полный ток, пронизывающий площадь Sr.
Подставив значение полного тока, получим;
,,__ /яг2 _ /
яа22лг 2л<з2 Г
(5-20)
т. е. напряженность поля в произвольной точке внутри
провода пропорциональна расстоянию г этой точки от
191
оси провода. Следовательно, в центре (при г = 0) Н = 0
и В О.
Напряженность поля на поверхности провода (г —а)
„ I____________/_
м ~ 2лиа а 2ла
наибольшая для данного магнитного поля.
Рис 5-12 График изменения напря-
женности магнитного поля.
Магнитная индукция внутри провода
В= 125р10~8 [тл|.
На рис. 5-12 дан график изменения напряженности
поля внутри и вне провода.
Пример 5-1. Определить напряженность магнитного поля и маг-
нитную индукцию в точках, расположенных на расстояниях 0,2; 0,4
и 1 см от оси прямолинейного провода. Радиус провода а = 0,4 см;
ток в проводе / = 50 а и р = 1.
Точка, лежащая на расстоянии 0,2 см от осн провода, находит-
ся внутри провода:
/г, 50-0.002 .
Hi~ 2лО2 “ 2-3,14-0,0042 °°° а!м’
В1 = р0Н1= 125-1 000-10-8= 125-10-5 12,5 гс.
Точка, лежащая на расстоянии 0,4 см от осн провода, находится
на его поверхности:
/ 40
-тогда-2 000 а!*
Вг = (10Н2= 125-2 000-10-8 = 250-10-5 тл = 25 гс.
192
Наконец, точка, лежащая на расстоянии 1 см от оси провода, на-
ходится за пределами провода:
В.з ^Цо/'Лз125-8ОО-IO'8 -100-10-5 тл - 10 гс.
Индукцию в любой точке магнитного поля токов, про-
ходящих по двум проводам, можно определить, складывая
геометрически векторы магнитной индукции в данной точке:
B Bj в2.
Магнитное поле токов, проходящих по двум проводам,
можно представить как результат наложения магнитных
с токами
полей токов в первом и втором проводах. Поле, окружаю-
щее два параллельных провода с равными токами одного
направления, показано на рис. 5-13, а, поле противополож-
но направленных токов — на рис. 5-13, б.
На том же рисунке построены графики напряженности
поля в точках, лежащих на прямой, соединяющей оси
двух параллельных проводов при одинаковом и при встреч-
ном направлениях токов.
13 Теоретическая электротехника 193
5-13. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ КОАКСИАЛЬНОГО КАБЕЛЯ
В некоторых областях электротехники применяются
коаксиальные кабели, состоящие из сплошного провода
1 и трубчатого 2, имеющих общую ось (рис. 5-14). Такую
конструкцию имеют, например, кабели, соединяющие
антенны с телевизорами. По проводам 1 и 2 проходят рав-
Рис. 5-14. Коак-
сиальный кабель.
ные токи противоположного направления.
Рассчитаем магнитное поле кабеля.
Обозначим радиус сплошного провода /?1,
внутренний радиус трубчатого прово-
да и внешний /?3- Применив закон
полного тока, найдем напряженность
магнитного поля в точках, удаленных
от оси кабеля на различные расстоя-
ния г.
1. При г -< по закону полного
тока 1см. (5-20)]
/7 ____L— г
п 2nRf г'
2. При /?)<г<7?2 [см. (5-18)]
3. При /?2 < Г <" R3
Rl-Rl J '
4. При r2>R- полный ток равен нулю и
/7 = 0.
Таким образом, вне коаксиального кабеля магнитное
поле отсутствует.
5-14. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ КОЛЬЦЕВОЙ КАТУШКИ
Воспользуемся законом полного тока для определения
напряженности поля в катушке с w витками, намотанной
с равномерной плотностью на кольцевой сердечник
(рис. 5-15).
Благодаря симметрии напряженность магнитного поля
И во всех точках, удаленных от оси кольца на расстояние
г, будет одинакова; поэтому, проведя замкнутый контур,
194
совпадающий с магнитной линией (окружностью радиуса г),
напишем по закону полного тока (5-17):
Hl = Iw, (5-21)
Рис. 5-15. Кольцевая
катушка.
где I = 2лг; Iw — S/, так как поверхность, ограниченную
рассматриваемым контуром, пронизывает w проводников
с током одинакового направления.
Из (5-21) определим напряжен-
ность поля:
Н - . (5-22)
Очевидно, что напряженность
поля имеет отличное от нуля зна-
чение лишь при г>Д, (/?д—внут-
ренний радиус сердечника) и
г < Rz (R2— внешний радиус сер-
дечника). Алгебраическая сумма
токов, проходящих через поверх-
ность, ограниченную контуром,
радиус которого меньше Rt и боль-
ше R2, равна нулю.
Магнитная индукция внутри
катушки (в точке А)
B = ppof/ = HHo-^=125p~-lO-s [тл]. (5-23)
Напряженность поля и магнитная индукция внутри
катушки имеют большее или меньшее значение в зави-
симости от расстояния точки А от центра кольца 0. Мак-
n Iw
симальное значение омакс — ЦЦо магнитная индукция
имеет на внутренней поверхности кольца, а минимальное
йМип М-М.о^^—на внешней. Чем меньше разница меж-
ду Rt и R2, тем ближе по величине Вмакс и Вмин. Маг-
нитная индукция на средней линии кольца
Вс Wo = 125р-^--108, (5-24)
1С ‘С
где /с = 2лДс, a Rc—средний радиус сердечника.
Для сердечника из неферромагнитного материала в фор-
мулах (5-23) и (5-24) можно принять р = 1.
Напряженность магнитного поля внутри кольцевой
катушки (формула (5-22)] численно равна н. с., прихо-
13* 195
дящейся на единицу длины катушки, поэтому напряжен-
ность магнитного поля в какой-нибудь точке А можно
выразить как отношение н. с. на части дуги (Iw') к длине
этой дуги /' (рис. 5-16, а):
,, Iw Iw'
Цилиндрическую катушку (рис. 5-16, б) можно рассма-
тривать как кольцевую бесконечно большого радиуса,
у которой обмотка расположена только на части сердеч-
Рис 5-16. Цилиндрическая катушка.
ника длиной I. Напряженность поля на осевой линии
такой катушки можно определить по той же формуле
Я = —, (5-25)
где Iw—н. с. катушки; I-—ее длина.
Последняя формула является лишь приближенной,
так как в этом случае витки располагаются не по всей
длине катушки; ошибка будет тем меньше, чем длиннее
катушка. Особенно большую ошибку мы получим, если
по этой формуле определим напряженность поля или
магнитную индукцию у краев катушки. Более точно маг-
нитная индукция в точке А на оси катушки конечной
длины (рис. 5-16,6) определяется по формуле
(cospi4-cosp2)- (5-26)
Формулами (5-25) и (5-26) можно пользоваться только
для катушек без сердечника или с сердечником из нефер-
ромагнитного материала.
5-15. МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ. НАМАГНИЧЕННОСТЬ
Замкнутый электрический ток в элементарном контуре,
т. е. в контуре весьма малых размеров по сравнению с рас-
196
стояниями до точек, в которых определяется магнитное поле,
называется элементарным электрическим
током или магнитным диполем.
Векторная величина, равная произведению тока i и эле-
ментарной площадки S, ограниченной элементарным кон-
туром с током, и направленная перпендикулярно к этой
площадке согласно правилу буравчика, называется магнит-
ным моментом элементарного электр ическогб тока (рис. 5-17).
Рис. 5-17 Маг-
нитный момент
элементарного
тока.
Рис 5-18. Магнитный
момент тела
Магнитный момент обозначается буквой т и измеряется
в а м2, а • см'1 или а • мм2 в зависимости от выбранной
единицы измерения площади,
т = iS. (5-27)
Геометрическая сумма магнитных моментов всех элемен-
тарных электрических токов (рис. 5-18), например молеку-
лярных токов в веществе (теле), дает магнитный момент
тела (обозначается М), т. е.
М — т, 4- т2 + т3 +
(5-28)
Величина, измеряемая отношением магнитного момента
тела к его объему (V), называется намагниченно-
стью тела (обозначается J),
м
J
(5-29)
Намагниченность тел измеряется в а!м (а • м2,’м3 =
= а/м) или а/см, т. е. в тех же единицах, что и напряжен-
ность магнитного поля.
197
5-16. НАМАГНИЧИВАНИЕ ФЕРРОМАГНИТНЫХ
МАТЕРИАЛОВ
Тела, магнитная проницаемость которых велика (ц > 1),
получили название ферромагнитных. К ферро-
магнитным материалам относятся: железо, сталь, чугун,
кобальт, никель и ряд сплавов (алюминий с никелем и др.).
В практической электротехнике ферромагнитные мате-
риалы (ферромагнетики) имеют очень важное значение.
Стальные сердечники имеют промышленные электрические
машины (генераторы и двигатели), электромагниты, транс-
форматоры, реле, многие измерительные приборы и другие
устройства. Такие сердечники применяются во всех слу-
чаях, когда необходимо при относительно небольших токах
получить сильное магнитное поле.
Сравним, например, индукцию магнитного поля в двух
одинаковых по числу витков и геометрическим размерам
кольцевых катушках с равными токами, одна из которых
имеет деревянный сердечник, а др5гая стальной. Магнит-
ная проницаемость деревянного сердечника р = 1, а сталь-
ного в зависимости от сорта стали и величины тока в катуш-
ке достигает нескольких сотен (у ферромагнитных материа-
лов, как будет показано далее, магнитная проницаемость
непостоянна). Следовательно, в стальном сердечнике мож-
но получить магнитный поток, в сотни раз больший, чем
в деревянном.
Итак, если в магнитное поле внести ферромагнитный
материал, то магнитная индукция поля значительно возрас-
тет. В этом смысле принято говорить, что ферромагнитные
материалы имеют свойство «намагничиваться».
Сущность процесса намагничивания заключается в сле-
дующем.
Ферромагнитное тело делится на очень малые самопро-
извольно (спонтанно) намагниченные области (объем каж-
дой из этих областей около 10” с.и3). Магнитный момент
области обусловливается молекулярными элементарными
электрическими токами. При отсутствии внешнего магнит-
ного поля в ферромагнитном теле элементарные магнитные
моменты направлены самым различным образом и ком-
пенсируют друг друга; суммарный магнитный момент тела
оказывается равным нулю.
Под действием внешнего магнитного поля, создавае-
мого, например, током в катушке, намотанной на стальной
198
сердечник, изменяются направления элементарных магнит-
ных моментов и при усилении внешнего поля увеличивается
магнитный момент тела, т. е. сумма элементарных магнит-
ных моментов, совпадающих с направлением магнитного
поля намагничивающей катушки. Таким образом, появляет-
ся добавочное магнитное поле,
которое складывается с внеш-
ним и усиливает его.
При заданной напряжен-
ности И внешнего магнитно-
го поля в неферромагнитной
среде (р = 1) магнитная ин-
дукция
В0 = ро#- (5-30)
Рис. 5-19. Кривая намагничи-
вания.
В ферромагнитной среде
к этой индукции прибавляет-
ся индукция добавочного магнитного поля р0/, где J—
намагниченность ферромагнетика.
Результирующая магнитная индукция в ферромаг-
нитном материале
В ро (// Н/).
(5-31)
С другой стороны, магнитная индукция связана с на-
пряженностью магнитного поля соотношением
В =-- = .
Отсюда следует, что
Ра -- Ро 1 + •
Намагниченность J ферромагнитного материала не мо-
жет возрастать безгранично. Если направление полей само-
произвольного намагничивания во всех областях окажется
совпадающим с направлением внешнего магнитного поля,
намагниченность среды достигнет своего предельного зна-
чения /нас, называемого намагниченностью на-
сыщения. Характер зависимости J от И Представлен
пунктирной линией на рис. 5-19. Здесь же показано пря-
молинейное возрастание индукции Во по мере увеличения
Н в соответствии с (5-30). Складывая ординаты кривой
р0/ и прямой Во, получим новую кривую зависимости
В (//) — кривую намагничивания. Эта кри-
199
вая может быть разбита на три участка: участок Оа, на
котором магнитная индукция возрастает почти пропорцио-
нально напряженности поля, участок аб, на котором рост
магнитной индукции замедляется и который часто называют
коленом кривой намагничивания, и уча-
сток за точкой б, где зависимость В от И становится почти
Рис 5-20 Кривые наматичивания дтя ста-
ли и чугуна
прямолинейной, но уже с небольшим углом наклона к оси
абсцисс.
Каждый ферромагнитный материал имеет характерную
кривую намагничивания. На рис. 5-20 приведены кривые
намагничивания для различных сортов стали и чугуна.
Впервые ход кривой намагничивания был установлен
в 1872 г. профессором Московского университета А. Г. Сто-
летовым. Работа А. Г. Столетова имеет громадное практи-
ческое значение для расчета магнитных цепей электри-
ческих аппаратов и машин.
Непрямолинейный характер изменения J в зависимости
от И, представленный на рис. 5-19, показывает, что отноше-
200
ние ЛИ не является постоянной величиной. С увеличением
Н это отношение вначале весьма быстро возрастает (начало
участка Оа'), затем его рост замедляется, в небольшом
интервале Н оно остается практически постоянным и, нако-
нец (за точкой б'), начинает падать, асимптотически прибли-
жаясь к нулю. Подобный же характер зависимости от Н
имеет абсолютная магнитная
проницаемость
Ра ~ Цо ,
которая при И->со асимпто-
тически стремится к р0. Деля
обе части последнего соотно-
шения на р(, получим выра-
жение магнитной проницае-
мости:
р 1+4 • <5-32)
2500
гиоо
1500
1000
500
° 5 Ю 15 20 25а/см
Рис 5-21 Магнитная прони-
цаемость стали.
Примерный график зави-
симости ц от Н представлен
на рис. 5-21. Как видно из этого графика, магнитная про-
ницаемость ферромагнитного материала изменяется при
изменении напряженности поля (например, в результате
изменения тока в намагничивающей катушке) в весьма
широких пределах. Поэтому эта величина во многих слу-
чаях малопригодна для практических расчетов магнитного
поля в ферромагнетике.
5-17. ЦИКЛИЧЕСКОЕ ПЕРЕМАГНИЧИВАНИЕ
Магнитное состояние ферромагнетика, подвергающего-
ся переменному намагничиванию, характеризуется гисте-
резисным циклом. Допустим, что кольцевой сердечник
(рис. 5-15) до включения тока не был намагничен
(В = 0, точка О на рис. 5-22). Затем мы постепенно уве-
1 т
личиваем ток, пока напряженность поля Н ~ при
максимальном токе 1а не достигнет значения На, которой
соответствует значение магнитной индукции Ва (рис. 5-22).
Доведя намагничивание до некоторого значения индукции
Ва, будем уменьшать ток и напряженность магнитного
поля. Кривая, изображающая изменение магнитной индук-
201
ции в этом случае, не совпадет с кривой первона-
чального намагничивания Оа, а пойдет не-
сколько выше, и для одного и того же значения Н величины
В при намагничивании и размагничивании будут различ-
ными.
Когда ток и напряженность поля будут равны нулю,
магнитная индукция сохранит некоторое значение, назы-
ваемое остаточной индукцией (Об на рис. 5-22).
Таким образом, величина магнитной индукции зависит
не только от напряженности поля, но и от предварительного
Рис. 5-22. Гистерезисный цикл.
состояния намагничивания, в котором находился материал.
Это явление называют магнитным гистерези-
сом.
Чтобы довести магнитную индукцию до нуля, нужно
изменить направление тока в обмотке и создать поле с напря-
женностью Нв, которая называется коэрцитивной
силой. При дальнейшем росте напряженности поля сер-
дечник намагничивается в противоположном направлении,
и при напряженности поля Нг = — На магнитная индук-
ция Вг ~—Ва. Если теперь довести напряженность поля
снова до нуля, то магнитная индукция достигнет значения
Bg=—В6. При вторичном изменении направления тока
и увеличении напряженности поля до прежней величины
На индукция увеличивается почти до прежнего значения Ва-
В результате повторного циклического перемагничи-
вания магнитная индукция изменяется в зависимости от
202
напряженности поля по замкнутой кривой абвгдеа, которая
называется гистерезисным циклом (петля ги-
стерезиса). Следует заметить, что свою окончательную фор-
му кривая получает после нескольких циклов перемагни-
чивания при одном и том же значении На.
При различных максимальных значениях напряженно
сти магнитного поля гистерезисные циклы оказывают^
Рис. 5-23. Основная кривая намагничи-
вания.
как бы вложенными друг в друга (рис. 5-23). Геометри-
ческое место их вершин дает кривую, которая называется
основной кривой намагничивания и при-
мерно совпадает с кривой первоначального намагничи-
вания.
Ферромагнитные материалы разделяются на магни-
тно-мягкие и магнитн о-ж е с т к и е. У маг-
нитно-мягких материалов восходящая (гдеа) и нисходя-
щая (абвг) ветви петли гистерезиса почти сливаются с основ-
ной кривой намагничивания, у магнитно-жестких, наоборот,
резко расходятся; на рис. 5-20 даны основные кривые
намагничивания.
Циклическим перемагничиванием можно воспользо-
ватьсядляразмагничиваниясердечника (у размагниченного
сердечника В = 0). Для этого на образец воздействуют
переменным по направлению и постепенно уменьшающимся
по величине магнитным полем.
Перемагничивание ферромагнитного сердечника связа-
но с затратой энергии (потери от гистерезисе). Можно
доказать, что потери энергии в ферромагнитном материале
203
за полный цикл перемагничивания выражаются (в опре-
деленном, конечно, масштабе) полной площадью петли гисте-
резиса. Если учесть, что при циклическом перемагничива-
нии ферромагнитные сердечники нагреваются, то становится
очевидным, что затрачиваемая при этом энергия превра-
щается в тепло. Это тепло обычно никак не используется.
Поэтому энергию, затрачиваемую на перемагничивание,
называют потерями энергии от гистере-
зиса.
5-18. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА
ДВУХ СРЕД С РАЗЛИЧНОЙ МАГНИТНОЙ
ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ
Магнитный поток, переходя из одной среды в другую,
не изменяется по величине (линии магнитной индукции
непрерывны). Однако если магнитная проницаемость одной
среды отличается от магнитной проницаемости другой,
то значения магнитной индукции
в той и другой средах окажутся
в общем случае различными.
Пусть 3 (рис. 5-24) — не-
большая плоская площадка на
поверхности раздела двух сред
с магнитными проницаемостями
Рис. 5-24 Изменение ин-
дукции магнитного поля
на границе раздела двух
сред.
Pi и р2.
Магнитный поток Ф направ-
лен из первой среды во вторую.
В силу непрерывности магнит-
ного потока
или
В. cos «13-= B2 cos а23,
где Bai и ВН2 — нормальные составляющие векторов маг-
нитной индукции в первой и во второй
средах.
Произведя сокращение, получаем Bt cos at — В2 cos a2,
т. e. Btll — B„2 или
Pf/71 cosat — р2Д2 cosas. (5-33)
Напряженность поля в каждой среде можно характери-
зовать вектором, совпадающим по направлению с вектором
магнитной индукции. Докажем, что составляющая вектора
204
напряженности поля, параллельная плоскости раздела
(касательная составляющая Hi), имеет по обе стороны
площадки (рис. 5-25) одинаковые значения.
Напишем уравнение по закону полного тока для замкну-
того контура небольшой длины 2/, обозначенного пунктир-
ной линией, близко прилегающего к нашей площадке.
Контур будем обходить по направлению движения часовой
стрелки. Так как при таком обходе сцепления с током нет
Рис. 5-25. Изменение напряжен-
ности магнитного поля на грани-
це раздела двух сред.
Рис. 5-26. К примеру 5-2.
(внутри контура отсутствуют токи), то Нц1 — Н121 ~ О,
откуда Нц = Hi2 или
//j sin cq — Н2 sin а2. (5-34)
Теперь можно установить зависимость между углами
а, и а2, образованными векторами магнитной индукции
или векторами напряженности поля и нормалью к поверх-
ности раздела S.
Разделив почленно уравнение (5-34) на уравнение (5-33),
получим:
Hi sin а, _ Н2 sin <х2
Pj/fjCOSCtj — p2/f2cos<X2 ’
откуда
При переходе потока из ферромагнитной среды (щ)
в другую неферромагнитную (р2) или наоборот магнитная
индукция в иеферромагнцтной среде у поверхности раз-
дела направлена практически перпендикулярно к поверх-
ности раздела. Действительно, из (5-35) tga2 ——-tga(,
а так как р( > Рг> т« tg а2 «О и а2л? 0.
205
Пример 5-2. Магнитная проницаемость стали при заданной на-
пряженности поля р, = 1 500. Вектор магнитной индукции в стали
составляет с нормалью к поверхности раздела угол а, = 88° или
угол с поверхностью раздела р( = 90—88° = 2°. Определить угол,
который образует вектор магнитной индукции в воздухе с нормалью
к поверхности раздела (рис 5-26):
tg «2 = tga^ Т5оо" 88° - та- °’019;
а2=Р06', а р2~=90° — а2 88'54'.
5-19. МАГНИТНАЯ ЦЕПЬ
Рис 5-27. Неразветв-
ленная магнитная цепь.
Магнитной цепью называется устройство, в котором
замыкается магнитный поток. Простейшей магнитной цепью
является сердечник кольцевой катушки (рис. 5-15). У элек-
трических машин, трансформато-
ров, электроизмерительных прибо-
ров магнитная цепь имеет более
сложнуюформу. Отдельные участки
магнитной цепи выполняются из
различных материалов (главным
образом из ферромагнитных) и в об-
щем случае имеют разную длину
и различное сечение.
Так же как и электрические
цепи, магнитные цепи бывают н е-
разветвленные (рис. 5-15
и 5-27), которые можно рассматри-
вать как одну трубку магнитной индукции, и развет-
вленные (рис. 5-28 и 5-29). В неразветвленной магнитной
цепи магнитный поток во всех сечениях имеет одно и то же
значение.
Разобьем магнитную цепь на ряд однородных участков,
каждый из которых имеет одинаковое поперечное сечение
и выполнен целиком из одного материала. За длины участ-
ков /j и /2 и т. д. примем соответствующие длины средней
магнитной линии.
Практически в любой точке данного сечения реальной
магнитной цепи напряженность магнитного поля, а значит,
и индукцию можно считать одинаковыми и равными значе-
ниям И и В в этом же сечении на средней линии (однород-
ное поле). Для однородного поля Ф = BS и так как Ф1 —
Ф2 и т. д., то BjSj — B2S2 и т. д.
20о
Магнитное напряжение на любом из участков магнитной
цепи
или
(7И=Ф'/?М. (5-36)
Величина /?м ——Ц- называется магнитным со пр о-
уивлением участка магнитной цепи.
Зависимость (5-36) сходна с законом Ома и обычно
непосредственно для расчета магнитной цепи почти непри-
менима, так как магнитная проницаемость ферромагнитных
материалов непостоянна.
При расчетах магнитных цепей обычно пользуются пер-
вым правилом Кирхгофа для магнитной цепи, которое выте-
кает из свойств непрерывности магнитного потока и маг-
нитных линий: алгебраическая сумма магнитных потоков
в точке разветвления равна нулю:
2Ф - 0. (5-37)
На основании закона полного тока можно сформулиро-
вать второе правило Кирхгофа для магнитной цепи: алгебраи-
ческая сумма магнитных напряжений на отдельных участ-
ках цепи равна алгебраической сумме намагничивающих сил:
ZUM = ZF = XIw. (5-38)
Для создания относительно большого потока при задан-
ной н. с. нужно магнитную цепь выполнить с возможно
меньшим магнитным сопротивлением. Наименьшим магнит-
ным сопротивлением обладают ферромагнитные материалы,
так как у них относительно велика магнитная проницае-
мость; поэтому во всех электрических машинах и аппаратах
магнитная цепь выполняется таким образом, чтобы поток
замыкался главным образом по стали, а воздушные зазоры
выполняются достаточно малыми.
5-20. МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
На рис. 5-28 схематически показана магнитная цепь
двухполюсной электрической машины.
Линия 00' делит магнитную цепь на две одинаковые
части, каждая из которых является магнитной трубкой
207
с потоком Ф/2. Намагничивающая сила определяется током,
проходящим по обмотке возбуждения (О. В.). Магнитный
поток Ф.'2 замыкается через станину (С), полюсы (7Z),
полюсные наконечники (77. Н.), воздушные зазоры и якорь
(Я). Полюс, из которого выходят магнитные линии, назы-
вается северным (Л'), а в который входят,— южным (S).
Многие электрические машины имеют магнитную цепь
в виде двух стальных цилиндров, имеющих общую ось
(рис. 5-29) и отделенных друг от друга небольшим воздуш-
Рис 5-28. Магнитная Рис. 5-29. Магнитная цепь
цепь электрической ма- электрической машины,
шииы.
ным зазором. Обмотка возбуждения располагается на вну-
треннем вращающемся цилиндре, обычно называемом рото-
ром (Р). Наружный неподвижный цилиндр носит назва-
ние статор а (С). При наличии тока в обмотке возбужде-
ния в магнитной цепи возникает магнитный поток, замы-
кающийся по ротору, воздушному зазору и статору. Места
выхода линий магнитной индукции из ротора является север-
ным полюсом, а место входа — южным.
5-21. РАСЧЕТ МАГНИТНОЙ ЦЕПИ
Расчет неразветвленной магнитной цепи (рис. 5-27) часто
заключается в определении и. с. по заданному магнитному
потоку (или магнитной индукции) и размерам цепи. Для
определения н. с. нужно вначале, разбив магнитную цепь
на участки, вычислить для каждого участка значения маг-
нитной индукции (Вь В2, В3 и т. д.), после чего по кривым
208
намагничивания найти значения напряженности магнит-
ного поля для этих участков цепи.
Для участков из неферромагнитного материала (воз-
душных зазоров) напряженность поля в а'м определяется
не по кривым намагничивания, а по формуле —,
Но
причем Яо = ’ если 8° задан0 8 тл’ или
Н0 = 80В0, если Во задано в гауссах, и, наконец,
До (а/си] — О,8Во [гс]. (5-39)
Намагничивающая сила находится по закону полного
тока. Сумма магнитных напряжений для отдельных уча-
стков
/Д/,//2/2-г Яо4 + • • • -
На рис. 5-30 представлена разветвленная магнитная
цепы магнитный поток Фа делится здесь на два магнитных
потока: Фв и Фв. Если
участки Б и В совершенно
одинаковы, то Фв = Ф д;
в таком случае магнитная
цепь называется с и мм ет- ф
р и ч н о й. 2
Для расчета разветвлен-
ной симметричной магнит-
ной цепи применяется сле-
дующий прием: цепь делят
по оси симметрии (00' на
рис. 5-30) на отдельные Рис. 5-30 Разветвленная снм-
части (в нашем примере - метричная магнитная цепь,
на две части). Каждая из
полученных частей магнитной цепи рассматривается как
магнитная трубка, во всех сечениях которой поток оди-
наков. Применяя закон полного тока, легко определить
н. с. аналогично тому, как это было сделано при расчете
неразветвленной магнитной цепи.
Пример 5-3. Определить н. с. катушки, расположенной на сред-
нем стержне (рис. 5-31), с тем, чтобы в нем получить магнитную
индукцию Bj — 14 000 гс. Размеры (мм) указаны на чертеже. В ме-
стах стыка воздушный зазор 0,1 мм. Материал сердечника — электро-
техническая сталь.
Разделив сердечник по оси АБ на две симметричные части,
проведем в одной нз них среднюю магнитную линию. По рисунку
14 Теоретическая электротехника 209
определим длину линии в каждом участке магнитной цепи. Так как
магнитный поток во всех участках имеет одинаковое значение, опре-
делим магнитную индукцию в каждом участке по формуле
где, например, Si=—<7—=-45 см2—половина площади попереч-
ного сечения среднего стержня.
Рис. 5-31. Магнитная цепь к примеру 5-3.
Заданные величины и результаты расчета записываем в табл. 5-1.
Таблица 5-1
№ участ- ков Материал В, гс 1, см ajcM а
I Электротехническая 14 000 25 20 500
сталь
11 и 111 То же 11 200 66,5 6 399
IV Воздух (зазор а) 14 000 0,01 И 200 112
V Воздух (зазор б) 11 200 0,01 8 960 90
Таким образом, искомая н С.
= — \ 101 а.
Обратная задача расчета магнитной цепи, а именно —
определение- магнитного потока в данном сердечнике при
заданной н. с. — решается несколько сложнее.
Рассмотрим порядок этого расчета на примере.
210
Пример 5-4. На замкнутом сердечнике из листовой электротех-
нической стали, размеры которого даны на рис. 5-32, расположена
обмотка, имеющая 1 000 витков, по которой проходит ток 4 а. Опре-
делить магнитный поток при условии, что в месте каждого стыка
воздушный зазор составляет 0,25 мм.
Эту цепь можно рассматривать как цепь, составленную из двух
частей: воздушного зазора, в котором между Ф и (/Ом существует
Рис. 5-32. Магнитная цепь к примеру 5-4.
линейная зависимость, и стального сердечника, в котором зависи-
мость между Ф и нелинейна.
Пользуясь кривой намагничивания стали (рис. 5-20), построим
для нелинейного элемента цепи «магнитную характеристику», т. е.
зависимость Ф((/м). Для этого определим по чертежу (рис. 5-32)
длину средней магнитной линии по стали Z = 480 ai,h = 48 см и пло-
щадь поперечного сечения сердечника S = 16 см2, затем умножим
значения И, отложенные по оси абсцисс графика В (Н), на 48 см,
а значения В — на 16 см2 и по полученным данным (табл^ 5-2)
построим магнитную характеристику для стали Ф (UM) (рис. 5-33).
Таблица 5-2
С/ = HI, а м 960 1 440 1 920 2 440 2 840 3 320
Ф = В5, мкс 224 000 240 000 253 000 259 000 262 000 264 000
С другой стороны, U „ для стали аналогично (4-8): t/M= Iw—Ф/?ом, (5-40)
где —магнитное сопротивление воздушных зазоров. В нашем
примере
р 10 _ Ю~3__________ 10* 1
°* p0S 4л-10~7-16-10-4 64л гн ’
Уравнение (5-40) линейное и графически представляется прямой
линией. Для построения этой прямой зададимся Ф =0, при этом U„ —
=/а» = 4000 а. Отложив по оси абсцисс отрезок, пропорциональный
[4* 211
Iw--- 4000 а, получим точку А. При l/M~0 получим магнитный
поток
Фо = = - Д4°д° = 0,008 йб.-^ 800 000 л<лг=8()0 к мкс.
Rom 108/64л
Отложив по осн ординат отрезок, пропорциональный Фо, отме-
тим точку 5. Соединив точки А и Б прямой, получим график урав-
нения (5-40). Прямая АБ пересекается с магнитной характеристи-
кой в точке Г (рис. 5-33). Ордината точки Г определяет искомый
магнитный поток, который в нашем случае составляет 270 000 мкс.
Этому значению потока соответствует магнитная индукция
п 270 000 _ о „ „о
В =----—— = 16 800 гс = 1,68 тл.
I b
Для расчета обратной задачи в случае разветвленной
магнитной цепи, как правило, требуется выполнить гра-
фические построения.
5-22. ПОСТОЯННЫЕ МАГНИТЫ
Для создания магнитного поля в электроизмеритель-
ных приборах и аппаратах часто применяются посто-
янные магниты.
Постоянные магниты выполняются из магнитно-жестких
ферромагнитных материалов, обладающих высокой остаточ-
212
ной индукцией и большой коэрцитивной силой. Свойства
постоянного магнита характеризуются кривой размагни-
чивания гистерезисного цикла, показанной на рис. 5-34.
Эта кривая может быть получена при намагничивании
до насыщения замкнутого сердеч-
ника изферромагнитного материала
с последующим размагничиванием
до нуля.
Качество материала, исполь-
зуемого для изготовления магни-
тов, в некоторой степени опреде-
ляется произведением остаточной
индукции (Вг) и коэрцитивной си-
лы (//с). Чем больше это произве-
дение, тем лучше подходит магнит-
ный материал для изготовления
Рис. 5-34. Кривая раз-
магничивания гистере-
зисного цикла.
постоянных магнитов.
Обычно постоянный магнит не
замкнут. Магниту придают различ-
ную форму, присоединяя к его кон-
цам (полюсам) «арматуру» из магнитно-мягкой стали. На
рис. 5-35 изображены два армированных постоянных магнита
различной формы, применяемые в измерительной технике.
Рис. 5-35 Армированные
постоянные магниты.
Рис. 5-36 Подковообразный маг-
нит с якорем.
Воздушный зазор между полюсами магнита приводит
к уменьшению магнитной индукции по сравнению с остаточ-
ной индукцией в замкнутом сердечнике. Так, например,
если мы в подковообразном сердечнике, который замкнут
якорем нз магнитно-мягкой стали (рис. 5-36, а), получим
остаточную индукцию Вт, то при удалении якоря на рас-
213
стояние /0 (рис. 5-36, б) индукция в сердечнике уменьшится
до значения В№. Уменьшение магнитной индукции можно
объяснить следующим образом.
Совместим замкнутый контур со средней магнитной ли-
нией, проходящей через сердечник и якорь, и напишем
для контура уравнение по закону полного тока:
H^Jm Ч- 2/7о/о -4- НЯ1Я — 0, (5-41)
Рис. 5-37. Индукция и
напряженность магнит-
ного поля постоянного
магнита.
где Нм — напряженность поля в сердечнике магнита;
Но—напряженность поля в воздушном зазоре;
Ня— напряженность поля в якоре;
1м, /0 и /я —соответствующие длины участков.
Если якорь выполнен из стали с высокой магнитной
проницаемостью, то магнитным напряжением НЯ1Я по срав-
нению с 27УО/О в уравнении (5-41)
можно пренебречь.
В таком случае
Н м^м = О,
откуда
Н^-Н^. (5-42)
В воздушном зазоре Во = р0 Но
и векторы индукции и напряжен-
ности имеют одинаковое направле-
ние. Магнитные линии непрерывны,
и направление вектора индукции
в сердечнике совпадает с направле-
нием вектора индукции в зазоре
(рис. 5-37). Как показывает выра-
жение (5-42), направление вектора
напряженности в сердечнике об-
ратно направлению вектора напря-
женности в зазоре, т. е. обратно вектору магнитной ин-
дукции в сердечнике. Это равноценно размагничивающему
действию тока, который нужно было бы пропустить в об-
ратном направлении по обмотке магнита, замкнутого яко-
рем (рис. 5-36,а). Таким образом, воздушный зазор ока-
зывает размагничивающее действие на постоянный магнит.
Соединив точку А на петле гистерезиса (рис. 5-34), коор-
динаты которой Ни и Вм, с началом координат, мы получим
214
угол а между этой прямой и осью ординат, тангенс которо-
го назовем коэффициентом размагничива-
ния (N). Таким образом,
2V=tga-=bjMl
°м
Зная коэффициент размагничивания и гистерезисную
кривую для материала, из которого изготовлен магнит,
можно найти индукцию в магните. Рассмотрим приближен-
ное определение N для нашего примера. Примем индукцию
в зазоре Во равной индукции в сердечнике Вм (считая сече-
ние зазора равным сечению сердечника); тогда
1М
Вм
Ко
2£о
откуда
дг — I I =_____L.
Вщ Ио
(5-43)
Таким образом, коэффициент N тем больше, чем короче
магнит, и зависит от величины воздушного зазора.
Для изготовления постоянных магнитов применяются
вольфрамовые, хромистые и кобальтовые стали, а также
сплавы железа с алюминием, никелем, медью и кобальтом.
В табл. 5-3 приведены материалы, применяемые для
изготовления магнитов, и значения Вг и Нс.
Таблица 5-3
Материал
Состав, % (остальное железо)
Вольфрамовая сталь
Хромистая сталь . .
Кобальтовая сталь . .
Альни .............
Альииси ...........
Альнико ...........
Магнико............
14
14
10
8
— —. 4 800 1
3 — — — —. 4 800 0,9
5 5 — — — 7 200 0,9
— .— 25 5 — 44 000 0,44
— — 34 — 1,0 64 000 0,4
12 17 6 —. 40 000 0,7
— 24 13 3 — 44 000 1,25
215
5-23. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ СИЛА
Поместим в магнитное поле прямолинейный провод
(рис. 5-38) длиной I и пропустим по нему ток /, подведя
его при помощи гибких проводников (подводящие провода
на рис. 5-38 не показаны). Из этого опыта легко убедиться
Рис 5-38 Действие магнитного поля на
прямолинейный провод с током
в том, что на провод с током действует сила, получившая
название электромагнитная сила (обозначение F).
Направление этой силы перпендикулярно как направлению
линий магнитной индукции, так и направлению тока, а вели-
чина пропорциональна величине тока / и длине провода I.
Однако даже при одинаковом токе и одинаковой длине
провода на провод действует не одинаковая электромагнит-
ная сила в различных магнитных полях или в отдель-
ных местах одного и того же магнитного поля; это указы-
вает на зависимость силы от магнитной индукции по-
ля В.
Сила, действующая на отрезок провода с током, имеет
наибольшее значение, если направления тока и вектора
магнитной индукции В взаимно перпендикулярны
(рис. 5-38). В этом (и только в этом) случае справедливо
соотношение
F — IIB.
(5-44)
216
Зависимость (5-44) используется для измерения магнит-
ной индукции. Выразив магнитную индукцию
F
П
В —
получим, что магнитная индукция измеряется силой, кото-
рая действует на провод единичной длины, по которому
проходит ток, также равный единице.
Если расположенный в однородном магнитном поле про-
водник поворачивать так, чтобы
зованный направлением тока и
Рис 5-39. Правило левой
руки.
изменялся угол а, обра-
направлением магнитных
линий, то при неизмен-
ных В, I и I сила, дей-
ствующая на провод,
изменяется пропорцио-
нально sin а. Когда про-
Рис. 5-40 Криволиней-
ный провод с током в
магнитном поле.
вод расположен параллельно вектору магнитной индук-
ции (а = 0), сила равна нулю.
Следовательно, в общем случае
F = llBsma. (5-45)
Для определения направления силы, с которой поле
действует на провод с током, очень удобно «правило левой
руки». Если ладонь левой руки повернуть так, чтобы вектор
магнитной индукции входил в нее, а четыре вытянутых
пальца совпадали с направлением тока в проводе, то отогну-
тый большой палец укажет направление силы, действую-
щей на провод (рис. 5-39).
Рассмотрим определение’ силы F в общем случае.
Силу, действующую на провод произвольной формы,
расположенный в неоднородном магнитном поле, можно
217
определить как геометрическую сумму элементарных сил
dF, действующих на отдельные элементы длины провода dl.
Провод бесконечно малой длины dl можно считать пря-
молинейным, а магнитное поле, в котором он располагает-
ся,— однородным (рис. 5-40), поэтому
dF — 1 dl В sin а,
а сила, действующая на участок провода длиной I,
F = j dF. (5-46)
i
магнитном поле находится прямоли-
расположенный перпендикулярно на-
правлению поля; ток в прово-
де 100 а, индукция В — бОООгс.
Определить силу, действующую
на провод.
Сила
F = IlB sin а =
= 100-0,5-^-1=30 н.
м,
Пример 5-5. В однородном
нейный провод длиной 0,5
параллельных проводов с токами.
5-24. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРОВОДА
С ТОКАМИ
Определим силы взаи-
модействия двух проводов
с токами, учитывая, что
провод с током /2 нахо-
дится в магнитном поле
тока Iiи, наоборот, провод
с током Ii—- в магнитном
поле тока /2 (рис. 5-41).
Если расстояние I, на котором провода идут параллель-
но друг другу, значительно больше расстояния между
проводами а, то по формуле (5-19) индукция магнитного
поля тока /1 в тех точках, где расположен второй провод,
В, = ИИотД- •
1 2ла
Направление вектора Bt перпендикулярно плоскости,
в которой расположены провода, и определяется по пра-
вилу буравчика.
218
На второй провод действует сила
F2 = B,lh = W^l. (5-47)
В свою очередь первый провод находится в магнитном
поле тока /2, причем В2 = ри0 , а сила, действующая
на первый провод,
по величине равна силе F2 даже при В} В2, т. е. Ц 12.
Направления сил Fi и F2 определяются по правилу
левой руки. При этом оказывается, что провода с токами
одинакового направления притягиваются друг к другу,
а провода с токами противоположного направления оттал-
киваются друг от друга.
Для практических расчетов удобнее подсчитывать силу,
действующую на единицу длины проводов:
Fo = у = ННо • (5-48)
Подставляя в эту формулу значение магнитной постоян-
ной |ло 4л-1О-7 гн!м для воздуха (считая р=1), полу-
чаем силу в ньютонах на метр:
p (5-49)
и 2л а а ’ ' '
где 11 и 1г—в амперах, а—в метрах.
Преобразуя формулу (5-48), при /4==/2 находим:
/2 F^ia . (5 50)
Сила взаимодействия между проводами достигает осо-
бенно больших значений при коротких замыканиях в элек-
трической цепи.
Пример 5-6. Чему равны одинаковые токи в двух параллельных
проводах, которые расположены на расстоянии 20 см, если на каждый
метр провода действует сила 100 н/мЭ
Подставляя в (5-50)
р.о = 4л-1О_7 гн/м,
получим:
219
5-25. РАБОТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СИЛ
Выше было установлено, что на прямолинейный провод
с током, внесенный в однородное магнитное поле, действует
сила
F - ВИ sin а
или 192
F ВИ,
Пусть под
в направлении
этой
Работа элек-
Рис. 5-42.
тромагнитных сил.
если провод расположен перпендикулярно направлению
магнитных линий.
гм силы F провод перемещается
ы на расстояние Ь (рис. 5-42). При
перемещении провода производится
работа
Д. Fb-BIlb. (5-51)
Произведение lb равно площад-
ке S, описанной проводом при его
движении перпендикулярно на-
правлению поля, а произведение
BS — магнитному потоку Ф сквозь
площадку S. Таким образом,
А = BIS - 7Ф, (5-52)
т. е. механическая работа, совер-
шаемая при перемещении провода
с неизменяющимся током в магнитном поле, равна произ-
ведению тока и пересеченного проводом магнитного по-
тока. Под выражением «пересеченный магнитный поток»,
мы понимаем произведение магнитной индукции на пло-
щадь, очерченную проводом при его движении.
Пример 5-7. В однородном магнитном поле (5= 10 000 гс) пер-
пендикулярно его направлению расположены на расстоянии ( = 0,5 л
Рис. 5-43. К примеру 5-7.
два параллельных рельса длиной b — 3,6 м (рис. 5-43) По рельсам
может перемещаться провод, на котором укреплен снаряд с массой
220
кг. Какой ток нужно пропустить по цепи, чтобы
покидая рельсы, развивал скорость о = 60 м!сек>
Кинетическая энергия, приобретенная снарядом к
вылета,
снаряд»
моменту
w. /по2 1 • 602 , ол_ ,
W = —~ — —-—= 1 800 дж.
2 2
Эта энергия приобретается за счет работы перемещения в магнит-
ном поле несущего снаряд провода с
током. Таким образом,
—=./ф,
2
откуда
Рис. 5-44. Перемещение
криволинейного провод-
ника в магнитном поле.
Формулу (5-52) можно приме-
нять для расчетов и в более общем
случае. Пусть в неоднородном маг-
нитном поле перемещается провод
произвольной формы с неизменяю-
щимся током (рис. 5-44). Работа,
производимая при перемещении
элемента длины провода dl в направлении действующей
силы,
dA = dF db == Bl dl sin a db,
но так как
dldb—dS,
a
3T n
j — a = ₽.
где p—угол между вектором В и прямой, перпендику-
лярной элементу dl и силе dF (пунктирная прямая), т. е.
перпендикулярной площадке dS, то
sin a cos р.
Проекция вектора В на эту прямую, т. е. нормаль к dS,
Вп = В cos р = В sin а,
а произведение BHdS есть поток пересечений элементом
при перемещении на расстояние db, т. е.
= Вп dS = В dS sin а.
Таким образом, работа
dA = /В„dS - 1d(D.
221
Мы пришли бы к такому же выражению элементарной
работы, если бы рассматривали перемещение элемента про-
водника под некоторым углом к направлению силы. В этом
случае удобно перемещение db разложить на два взаимно
перпендикулярных перемещения: одно — в направлении
силы, другое — в перпендикулярном направлении. Работа
производится лишь при первом перемещении, которое мы
и рассматривали. Полная работа, совершенная при пере-
мещении в магнитном поле проводника длиной /,
ф
А = I d& = /Ф,
о
что совпадает с (5-52). В последнем выражении, как и рань-
ше, Ф означает поток через ту площадь, которую зачерчи-
вает провод при движении, т. е. поток, который пересечет
провод при движении.
5-26. РАБОТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СИЛ
ПРИ ПЕРЕМЕЩЕНИИ КОНТУРА С ТОКОМ
Любой проводник может обтекаться током лишь при
условии, что он входит составной частью в замкнутый
контур.
Как следует из уравнения (5-52), при перемещении кон-
тура с током силами поля совершается работа лишь при
условии изменения потока
сквозь контур. Рассмотрим,
например, прямоугольную
рамку с током I в неоднород-
ном магнитном поле (рис. 5-45),
где направления сил получены
в соответствии с правилом ле-
вой руки, а источник питания
рамки не указан. Магнитные
линии, пронизывающиерамку,
направлены от наблюдателя.
Пусть магнитная индукция
слева направо, т. е. Fz = F4
Рис. 5-45. Контур с током в
магнитном поле.
возрастает в направлении
и F3 > Ft. Нижняя и верхняя стороны рамки в этом случае
находятся в одинаковых условиях, и результирующая сила
совпадает по направлению с F3. Условимся считать ток кон-
тура положительным, а магнитный поток сквозь контур
222
положительным или отрицательным, смотря по. тому, соот-
ветствуют ли направления I и Ф правилу буравчика или
нет. В нашем случае поток положителен, а его абсолютная
величина при перемещении контура вправо возрастает.
Так как работа, совершаемая при движении сторон
бв и аг, равна нулю (угол между направлениями силы
и перемещения равен 90°), то
А - ~ Ааб + Авг,
причем сумма эта алгебраическая,
так как составляющая Даб отрица-
тельна (перемещение совершается
против силы Ft).
Таким образом,
Л = — 1Ф’ + 1Ф" =--- /АФ, (5-53)
где АФ—разность магнитных пото-
ков Ф" и Ф', пересеченных сторо-
Рис. 5-46. Положе-
ние контура с током,
при котором поток по-
ложительный и мак-
симальный.
нами контура вг и аб, или разность значений потоков
сквозь контур в конце и в начале движения
АФ = Ф2—Ф
(5-54)
где Ф2—поток, пронизывающий контур в конечном его
положении;
Ф! — начальное значение потока, пронизывающего кон-
тур.
Если работа производится силами поля, то контур
переместится вправо (Г3>В}) и приращение АФ положи-
тельно (Ф.,>Ф,).
При движении контура под действием сил поля магнит-
ный поток сквозь контур всегда имеет положительное при-
ращение. Рассмотренное явление позволяет сделать весьма
важный практический вывод. Всякий контур с током,
помещенный в магнитное поле, под влиянием сил взаимо-
действия поля с током стремится занять положение, при
котором поток, пронизывающий контур, оказался бы поло-
жительным и максимальным. Так, например, на виток с то-
ком в однородном магнитном поле действует вращающий
момент. Под действием этого момента виток стремится
занять такое положение, при котором плоскость витка
перпендикулярна направлению внешнего магнитного поля.
По достижении устойчивого положения силы, действую-
щие на контур, стремятся только растягивать его так,
223
чтобы проходящий через контур магнитный поток еще
увеличился (рис. 5-46).
Если виток с током находится в неоднородном магнит-
ном поле, то, кроме вращательного движения, возникает
и поступательное — в направлении к участкам поля с наи-
большей индукцией (конечно, если виток под действием
сил поля может вращаться и перемещаться).
При отрицательном приращении магнитного потока
сквозь контур совершаемая механическая работа отрица-
тельна, т. е. происходит не под действием сил поля, а под
действием направленных противоположно внешних сил.
5-27. МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЙ
МЕХАНИЗМ
Для измерения тока, напряжения, сопротивления, магнитного
потока, магнитной индукции и магнитного напряжения применяются
приборы, основной частью
Рис. 5-47. Магнитоэлек-
трический измеритель-
ный механизм.
которых является магнитоэлектрический
измерительный механизм. Магнитная цепь
измерительного механизма (рис. 5-47)
состоит из постоянного магнита A'S,
к концам которого прикреплены стальные
пластины и полюсные наконечники (баш-
маки) N'S'. Между полюсными наконеч-
никами расположен стальной цилиндр
для уменьшения воздушного зазора,
а следовательно, и магнитного сопротив-
ления цепи. В воздушном зазоре А маг-
нитной цепи создается радиально направ-
ленное магнитное поле. В этом зазоре
находится прямоугольная катушка (рам-
ка) В. Оиа укреплена иа двух полуосях,
иа одной из которых закреплена указа-
тельная стрелка прибора. Под свободным
концом стрелки расположена шкала при-
бора. Ток к подвижной катушке подво-
дится через две спиральные пружины.
Проходящий по катушке ток взаимо-
действует с магнитным полем, так что
возникает пара сил, образующих враща-
ющий момент. Под действием этого мо-
мента катушка В поворачивается на угол
а, при котором вращающий момент урав-
новешивается противодействующим моментом, создаваемым пружи-
нами прибора. Так как противодействующий момент пропорционален
углу закручивания пружин, то чем больше ток в катушке прибора,
тем больше вращающий момент и тем больше угол поворота подвиж-
ной части. По этому углу определяют величину тока или другую
измеряемую величину, которую нужно предварительно преобразо-
вать в ток.
224
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
6-1. СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА ЭЛЕКТРОН.
ДВИЖУЩИЙСЯ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Силу F = ВИ, действующую на провод с током, когда
провод расположен перпендикулярно магнитным линиям,
можно представить как сумму сил, которые действуют на
свободные электроны, направлен-
ное движение которых образует ток
в проводе.
Силы, действующие на движу-
щиеся в магнитном поле заряды,
называются электромагнит-
ными.
Как известно, ток в проводе
(§ 2-5)
i = ^.fL = nqSv,
где п— концентрация свободных
Рис 6-1 Направление
силы, действующей на
движущийся электрон.
электронов;
<7—абсолютная величина заряда электрона;
S — площадь поперечного сечения провода;
v—средняя скорость направленного движения элек-
тронов.
Число свободных электронов, заключенных в объеме
провода сечением S и длиной I, при концентрации заря-
женных частиц п составляет nSl. Поэтому электромагнит-
ная сила, действующая на отдельный свободный электрон,
F°=^r=BlrSr=Bc^
(6-1)
т. е. сила прямо пропорциональна магнитной индукции
и скорости v, с которой электрон движется перпендику-
лярно направлению линий магнитной индукции. Направ-
ление этой силы определяется по правилу левой руки
(§ 5-23), причем четыре вытянутых пальца руки должны
быть направлены в сторону, противоположную направле-
нию движения электрона (рис. 6-1).
15 Теоретическая электротехника 225
6-2. ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ
ИНДУКЦИИ
В проводе, который, двигаясь в магнитном поле, пере-
секает магнитные линии, возбуждается э. д. с. Это физи-
ческое явление было открыто в 1831 г. М. Фарадеем и полу-
чило название электромагнитной индукции.
Рассмотрим возникновение э. д. с. электромагнитной
индукции в прямолинейном проводе, который перемещает-
ся с постоянной скоростью в однородном магнитном поле
перпендикулярно векто-
ру магнитной индукции
(рис. 6-2). При движении
провода со скоростью v с той
же скоростью перемещают-
ся элементарные заряжен-
ные частицы (свободные
электроны и положитель-
ные ионы). Так как движе-
ние провода происходит
в магнитном поле, то на
каждую заряженную эле-
ментарную частицу дей-
ствует электромагнитная
сила Fo. Направление силы
Рис. 6-2. Перемещение электро-
нов в проводнике под действием
электромагнитных сил.
определяется по правилу
левой руки. Под действием электромагнитных сил сво-
бодные электроны перемещаются на один конец провода,
создавая на этом конце избыточный отрицательный заряд.
На другом конце провода ввиду недостатка электронов
возникает избыточный положительный заряд. Таким обра-
зом, на концах провода создаются равные и противополож-
ные по знаку электрические заряды. По мере накопления
зарядов усиливается напряженность электрического поля
этих зарядов в проводе и на каждую заряженную частицу
внутри провода, кроме электромагнитной силы, действует
сила электрического поля F, направленная противополож-
но электромагнитной силе (см. также § 2-3).
По достижении равновесия этих сил перемещение элек-
тронов и, следовательно, разделение зарядов прекращает-
ся. Электромагнитная сила, действующая на каждый элек-
трон,
F0 — Bqv.
226
Отношение силы к величине заряда подобно (2-4) выра-
жает напряженность электрического поля индукции:
%wC=~ = Bv. (6-2)
Сила электрического поля накопившихся зарядов
Равновесие сил, действующих на электроны, наступает
при F0 = F, т. е. ёипд = ё, откуда напряженность элек-
трического поля в проводе
s = ёинд=Bv.
Разделение зарядов, возникающее под действием элек-
тромагнитной силы, можно рассматривать как результат
действия э. д. с., которую называют э. д. с. электро-
магнитной индукции. При разомкнутом прово-
де величина э. д. с. равна напряжению между концами
провода. Так как при равновесии сил в проводе устанавли-
вается однородное электрическое поле зарядов, накопив-
шихся на концах провода, то напряжение
и = $1=Ы,
где I — длина провода и э. д. с.
E = $uinl = Bvl. (6-3)
Наведенная в прямолинейном проводе, пересекающем ли-
нии магнитной индукции, э. д. с. электромагнитной индук-
ции пропорциональна магнитной индукции поля, длине
провода и скорости его движения.
Направление э. д. с. совпадает с направлением элек-
тромагнитной силы, действующей на положительный заряд,
и противоположно направлению электромагнитной силы,
действующей на электрон (рис. 6-2). Обычно направление
э. д. с. определяется «правилом правой руки». Ладонь пра-
вой руки располагается так, чтобы магнитные линии вхо-
дили в нее', отставленный большой палец направляется вдоль
вектора скорости, тогда остальные четыре пальца покажут
направление индуктированной э. д. с. (рис. 6-3).
Предположим теперь, что провод движется в магнитном
поле таким образом, что угол между векторами В и v равен
не 90°, а некоторой произвольной величине а (рис. 6-4).
227
Такое движение может быть разложено на два: во-первых,
на движение вдоль вектора В со скоростью ут — v cos а
и, во-вторых, в направлении, перпендикулярном В, со
скоростью vn = ysina.
При совпадении направлений скорости и магнитной
индукции сила, действующая на переносимые при таком
движении заряды, оказывается равной нулю. Этот ре-
зультат вытекает непосредственно из формулы (5-45), пра-
вая часть которой имеет множителем синус угла между
Рис 6-3 Правило правой
руки.
Рис. 6-4. К опреде-
лению нормальной
составляющей ско-
рости.
направлением В и направлением того тока, на который
действует магнитное поле (направлением /).
Итак, при расчете напряженности электрического поля
в проводе следует принимать во внимание лишь проекцию
скорости v на направление, перпендикулярное вектору В.
В связи с этим формула (6-2) перепишется в виде
^чпд = Bv sin a = Bv sin / (v, В). (6-4)
Соответственно видоизменяется и формула (6-3):
Е = Blv sin a = Blv sin / (v, В), (6-5)
т. e. в более общем случае э. д. с. электромагнитной индук-
ции зависит от синуса угла между вектором магнитной
индукции и вектором скорости.
Если концы провода, перемещающегося в магнитном
поле, замкнуты другим проводом, расположенным вне маг-
нитного поля, то в этой электрической цепи под действием
228
э. д. с. электромагнитной индукции возникнет непрерывное
перемещение электронов, т. е. электрический ток.
Величина тока определяется по закону Ома:
где Sr — суммарное сопротивление цепи.
Направление тока совпадает с направлением э. д. с.,
и его можно определить по правилу правой руки.
6-3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКУЮ
Поместим в однородное магнитное поле с индукцией
В прямолинейный провод длиной I. Предположим, что
провод расположен перпендикулярно вектору В и пере-
мещается со скоростью v, как
показано на рис. 6-5. Провод
замкнут на внешнее сопро-
тивление г. В проводе возни-
кает э. д. с., а в замкнутой
цепи — ток I.
Электромагнитная сила,
действующая на провод с то-
ком,
F—BU.
Направление силы опреде-
ляется по правилу левой руки.
Построив вектор этой силы,
Рис 6-5 Движение проводни-
ка в магнитном поле и возник-
новение тормозной силы.
мы убедимся, что сила F яв-
ляется тормозной силой, направленной противоположно
вектору скорости v (рис. 6-5). Таким образом, движение про-
вода возникает при действии внешней силы, равной и про-
тивоположно направленной тормозной силе. Первичный
двигатель, создающий внешнюю силу, должен развить меха-
ническую мощность
Р мех — F V-
Подставив в последнее уравнение выражение силы F,
получим, что
PKex = BlIv = lE, (6-6)
229
т. е. развиваемая двигателем мощность равна мощности
электрического тока в замкнутой цепи. Таким образом,
при движении замкнутого проводника в магнитном поле
под действием внешних сил происходит преобразование ме-
ханической энергии в электрическую.
6-4. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ГЕНЕРАТОРЫ
Электрические машины, в которых происходит преобра-
зование механической энергии в электрическую, называют-
ся генераторами. Схематическое устройство электри-
ческого генератора было показано на рис. 5-28. Следует
лишь добавить, что на якоре машины располагаются прово-
да (обмотка), в которых при вращении якоря наводятся
э. д. с. Вращательное движение проводов получить про-
ще, чем поступательное, но наводимые э. д. с. в этом слу-
чае не постоянны как по величине, так и по направлению.
При помощи дополнительных устройств (коллектора) мож-
но получить от такого генератора ток постоянного напра-
вления.
Переменные токи и напряжения в технике стремятся
получить изменяющимися по простейшему периодическому
закону — синусоидальному закону (ниже в § 8-1 поясняет-
ся, почему стремятся получить синусоидальные перемен-
ные токи).
На рис. 6-6 приведена схема устройства простейшего
генератора переменного тока. Между полюсами N и S
электромагнита расположен якорь — стальной цилиндр А,
на поверхности которого укреплен виток проволоки. Кон-
цы витка присоединены к двум медным изолированным
кольцам, на которые наложены щетки, соединенные с внеш-
ней цепью.
Предположим, что магнитная индукция на поверхности
якоря (рис. 6-7) нормальна к ней (напомним, что магнит-
ные линии выходят и входят в ферромагнитные тела под
почти прямым углом) и изменяется вдоль окружности яко-
ря по синусоидальному закону. На рис. 6-8 приведена
диаграмма радиально-синусоидального магнитного поля.
Направление вектора индукции в отдельных точках поля
на поверхности якоря совпадает с направлениями радиусов
(указано стрелками). Величины индукции изображены от-
резками, расположенными между окружностью якоря и оги-
бающей кривой. Такое распределение индукции в воздуш-
230
ном зазоре можно, например, получить, придавая полюсам
такую форму, при которой воздушный зазор увеличивается
от центра полюса к его краям.
Рис. 6-6. Устройство простейшего генератора пере-
менного тока.
Обозначим буквами В — магнитную индукцию в какой-
нибудь точке на поверхности якоря, Ва — максимальную
Рис. 6-7. Устройство генератора
переменного тока.
Рис. 6-8. Диаграмма ин-
дукции магнитного поля
в воздушном зазоре ге-
нераторов, изображен-
ных на рис. 6-6 и 6-7,
индукцию под серединой полюса, а — угол, образованный
нейтральной плоскостью 00' и плоскостью,
проходящей через ось якоря и произвольно выбранную
231
точку на его поверхности. Тогда
В = Вм sin а
(плоскость, проходящая через точки поверхности якоря,
в которых В —О, называется нейтральной плоскостью
генератора).
При равномерном вращении якоря в таком магнит-
ном поле в проводниках а'б' и а"б" (рис. 6-6) наводятся
одинаковые э. д. с.:
е' = Blv = B№lv sin а.
Так как проводники соединены последовательно, то
суммарная э. д. с.
е — 2е' = 2BKlv sin а = Е№ sin а, (6-7)
где максимальное значение э. д. с.
£м= 2B№lv.
Если вместо одного витка на цилиндре поместить ка-
тушку, имеющую w витков, то максимальная э. д. с.»
индуктированная в катушке, будет в w раз больше:
EM — 2B№lvw. (6-8)
При вращении якоря в магнитном поле с постоянной
угловой скоростью со за один оборот, т. е. при изменении
угла а на 2л, завершается цикл изменения э. д. с.
Время, в течение которого совершается один цикл,
называется периодом и обозначается буквой Т. Период
измеряется в секундах (сек). Величина, обратная периоду,
называется частотой. Частота обозначается буквой f.
Согласно определению f = ~; частота измеряется в 1 сек.
.Эту единицу называют герц (гц).
Угловая скорость вращения якоря
Угол поворота якоря в зависимости от времени
а = at = t = 2nft,
а э. д. с., наведенная в обмотке якоря,
е = Ем sin а = Ем sin at = Ем sin 2л//. (6-10)
232
Пример 6-1. В магнитном поле, индукция которого изменяется
по синусоидальному закону, вращается якорь с прямоугольной ка-
тушкой шириной (диаметр яко-
ря) d = 0,2 м и длиной
( = 0,4 м. Катушка имеет 20 вит-
ков. Скорость вращения якоря
3 000 об/мин. Максимальное зна-
чение магнитной индукции
Вм— 1 тл.
Определить f, Т и Ем.
Так как одному обороту
якоря соответствует один цикл
э. д. с., то число циклов в се-
кунду (частота) равно числу
оборотов якоря в секунду, т. е.
, п 3 000 1 -п
' 60 60 сек
Рис. 6-9. Устройство генератора
переменного тока с обмоткой воз-
буждения на роторе.
Период
Т=4- = Л = 0,02 сек.
f 50
Максимальная э. д. с.
_ „„ , „„ , ndn . 3,14-0,2-3000 оп
ЕМ = 2ВМ(Щ4>= 2ВМ/ —t4> = 2-0,4---------=--------20=502 в.
” 60 60
Генераторы переменного тока большой мощности, рас-
считанные на напряжения 3—15 кв, выполняются с непо-
движной обмоткой на статоре машины и вращающимся
электромагнитом — ротором (рис. 5-29). При такой конструк-
ции легче надежно изолировать провода неподвижной об-
мотки и проще отвести ток во внешнюю цепь. Схематическое
устройство генератора с вращающимся электромагнитом
приведено на рис. 6-9.
6-5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
В МЕХАНИЧЕСКУЮ
В результате действия магнитного поля на провод с то-
ком происходит преобразование электрической энергии
в механическую.
Пусть по прямолинейному проводу, расположенному
в однородном магнитном поле и включенному в цепь с э. д. с.
Е, проходит неизменяющийся ток (рис. 6-10).
Магнитное поле действует на провод с током с силой
F — B11,
233
и провод движется под действием силы со скоростью и
(направление силы и скорости определяется по правилу
левой руки).
При движении провода в нем возникает э. д. с. элек-
тромагнитной индукции, направленная навстречу току,
Евстр Blv.
По второму правилу Кирхгофа для контура
Е — Евстр ~ Е,
где г — сопротивление прямолинейного провода;
г0—сопротивление остальной части цепи.
Обозначив
Е — 1г0 Uab,
найдем, что напряжение на
зажимах провода
Еаб = 1Г + Евстр- (6-11)
Умножив почленно выра-
жение (6-11) на ток I, опре-
делим электрическую мощ-
ность на зажимах провода:
U ав! = Ег 4* Евстр/.
Имея в виду, что Евстр~-= Blv, получим:
иАБ1 = Er + BlvI = Er + Fv.
(6-12)
В правой части уравнения (6-12) первое слагаемое выра-
жает мощность тепловых потерь в проводе, второе — меха-
ническую мощность. Таким образом, при движении провод-
ника с током в магнитном поле под действием сил поля
происходит преобразование электрической энергии в тепло-
вую и механическую.
6-6. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ДВИГАТЕЛИ
Первый электродвигатель, имевший практическое зна-
чение, был изобретен в 1834 г. русским академиком
Б. G Якоби, который в 1838 г. применил его для движе-
ния лодки, а затем — и тележки.
234
Рис. 6-11. Схема иклю-
чения электродвигателя.
другую — обмотка воз-
Еще в § 3-12 отмечалось, что каждый генератор посто-
янного тока переходит в режим электродвигателя, если
его э. д. с. окажется меньше напряжения на зажимах.
Указанный принцип обратимости электриче-
ских машин был открыт в 1833 г.
Э. X. Ленцем и затем сформули-
рован Б. G. Якоби«
Таким образом, те же машины,
которые служат генераторами, мо-
гут работать электродвигателями.
На рис. 6-11 приведена схема вклю-
чения электродвигателя. Некото-
рые электродвигатели имеют две
параллельные ветви. В одну вклю-
чены пусковой реостат и якорь, в
буждения (на рис. 6-11 не показана). Пусковой реостат
ограничивает пусковой ток якоря. В начальный момент
пусковой ток
(6-13)
' 1 'я
где г — сопротивление реостата;
га — сопротивление якоря.
Без сопротивления реостата г пусковой ток имел бы
значение, во много раз превышающее номинальный ток
электродвигателя (см. пример 6-2).
При вращении якоря в нем возникнет встречная э. д. с.
Поэтому ток уменьшается и необходимость в пусковом
реостате отпадает, сопротивление реостата постепенно умень-
шают до нуля.
Пример 6-2. К зажимам электродвигателя подведено напряже-
ние 120 в. Встречная э. д. с. при номинальном режиме составляет
116 в. Сопротивление обмотки якоря 0,4 ом.
Определить: 1) номинальный ток двигателя; 2) сопротивление
пускового реостата, с тем чтобы пусковой ток не превышал 2/н;
3) пусковой ток в цепи, если двигатель включить без пускового
реостата.
Номинальный ток двигателя
, U-E 120-116
/”==^Г"==-оз —10 а-
Сопротивление пускового реостата можно найти из формулы
(6-13):
U U 120 „ , с г
r=~i-----r» ol----Гя =9~Тп~0,4 = 5’6 °М’
'пуск Z'H z-iu
235
Пусковой ток при включении без реостата
, U 120
^пуск - 0>4 ~30J а.
6-7. ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ
ИНДУКЦИИ В КОНТУРЕ
Пусть прямолинейный провод, который движется в одно-
родном магнитном поле перпендикулярно направлению век-
тора магнитной индукции, за время dt перемещается на
расстояние db. Скорость движения провода, которая в об-
щем случае может быть и непостоянной,
Наводимая в проводе в любой момент времени э. д. с.
(мгновенное значение э. д. с.) согласно (6-3)
е Blv-Bl —
dt
(э. д. с. обозначена строчной буквой е, чтобы подчеркнуть,
что величина ее в общем случае непостоянна).
Произведение длины провода и пути (Idb) выражает
площадку (dS), описанную проводом при его движении
перпендикулярно направлению вектора В. Произведение
магнитной индукции В и площадки dS равно магнитному
потоку d<D, пересеченному проводом при его движении,
BdS-dO),
а наведенная в проводе э. д. с.
или
По формуле (6-14) определяется э. д. с. в прямолиней-
ном проводе, который движется в однородном поле перпен-
дикулярно его направлению. Но эта формула позволяет
определить э. д. с. и в более общем случае. Например, при
движении провода под некоторым углом а =0= 90° к напра-
влению вектора магнитной индукции поток, пересеченный
236
проводом, будет не BdS, a B^dS, где Вя — Bsin а выра-
жает нормальную составляющую вектора магнитной индук-
ции к площадке dS. Этот поток обозначим по-прежнему
дф. Тогда и в этом случае э. д. с. может быть найдена по
формуле (6-14). При движении провода произвольной фор-
мы (рис. 5-44) в неравномерном магнитном поле его можно
рассматривать состоящим из большого числа небольших
прямолинейных элементов,
а суммарную э. д. с. в нем
определить опять-таки по фор-
муле (6-14).
В практических условиях
часто возникает необходи-
мость определить величину и
направление э. д. с. не в от-
дельном проводе, а в замкну-
том контуре, например витке
или катушке. Замкнутый кон-
тур из провода, расположен-
ный в неоднородном магнит-
ном поле, показан на рис. 6-12.
Магнитные линии, пронизы-
Рис. 6-12. Электродвижущая
сила в контуре.
вающие поверхность, ограниченную контуром, направлены
от наблюдателя. Пусть контур (рис. 6-12) перемещается
справа налево. При перемещении контура за время dt на
бесконечно малое расстояние одна его часть (левая) пере-
сечет магнитный поток dd>i, который теперь будет прони-
зывать контур, и в этой части контура наводится э. д. с.
Cj = d<£>t/dt. Другая часть контура (правая) пересекает
магнитный поток с(Ф2, который, наоборот, не будет уже
пронизывать контур; э. д. с., наведенная в этой части кон-
тура, е2 = б/Фг/с!/. Результирующее приращение магнит-
ного потока в контуре
dФ ^=dФi — dФ2.
Определив по правилу правой руки направление э. д. с.
Pi и е2, установим, что они действуют в контуре навстречу
ДРУГ другу.
Положительное направление наводимой в контуре э. д. с.
связывают с положительным направлением магнитного по-
тока правилом буравчика. Так как линии магнитной индук-
ции, пронизывающие поверхность, ограниченную конту-
ром, направлены от наблюдателя, то в соответствии с пра-
237
видом буравчика положительное направление э. д. с. в кон-
туре совпадает с направлением движения часовой стрелки
и, следовательно, с направлением э. д. с. е2 и противополож-
но направлению t?i. Поэтому результирующая э. д. с., наво-
димая в контуре,
d®2 —d®j d®! — d®, d®
= —---------------<6-15>
Из формулы (6-15) следует, что непременным условием
возникновения э. д. с. электромагнитной индукции в замк-
нутом контуре является изменение величины магнит-
ного потока, пронизывающего контур. Это условие
является не только необходимым, но и достаточным. По-
этому э. д. с. возникает не только в движущемся в неод-
нородном поле контуре, но и в неподвижном контуре,
который пронизывает изменяющийся магнитный поток.
По величине э. д. с., наведенная в контуре, равна скоро-
сти изменения потока внутри контура.
Направление (знак) наведенной э. д. с. зависит от знака
приращения магнитного потока. Если поток сквозь контур
d<I’ Л е.
возрастает, т. е. > 0, то знак э. д. с. будет отрица-
тельным, если поток убывает, т. е. -^-<0, го знак э. д. с.
будет положительным.
Следует еще раз подчеркнуть, что эти знаки э. д. с.
соответствуют положительному направлению э. д. с., вы-
бранному по правилу буравчика.
На рис. 6-13, а показан возрастающий магнитный поток
сквозь неподвижный контур. Так как линии магнитной
индукции направлены сверху вниз, то ручка буравчика,
указывающая положительное направление э. д. с., будет
поворачиваться по направлению движения стрелки часов
(если смотреть по направлению магнитного поля). Однако
поскольку э- Д- с. получится с отрицательным
знаком, т. е. будет направлена в сторону, противополож-
ную направлению движения стрелки часов, и вызовет ток
такого же направления (рис. 6-13). Если магнитный поток
убывает, т. е. -^-<0. то э. д. с. получается с положи-
тельным знаком. Убывающему магнитному потоку соот-
ветствует рис. 6-13, б. Электродвижущая сила в этом
238
случае положительна, и ее направление также находится
непосредственным применением правила буравчика,
Э. X, Ленцем был сформулирован общий закон, уста-
навливающий направление наведенного тока: ток, возни-
кающий в контуре под действием наведенной э. д. с., всегда
направлен таким образом, что противодействует измене-
нию магнитного потока сквозь контур (закон Ленца). При-
меняя его к замкнутому контуру рис, 6-13, можно сразу
наметить направление тока в контуре.
Рис. 6-13. Направление наведенного тока
в контуре при возрастающем (а) и убывающем
(6) магнитных потоках.
Итак, э. д. с., возникающая в замкнутом контуре про-
извольной формы вследствие изменения магнитного потока,
пронизывающего контур или, как еще говорят, сцепляю-
щегося с контуром,
С другой стороны, э. д. с. можно представить по фор-
муле (6-3) как сумму произведений <gun}ldl в пределах
всего замкнутого контура, т. е.
е — £ипд dl.
Таким образом,
$ $инд dl = — . (6-16)
Это уравнение показывает, что э. д. с. контура не зави-
сит от материала, из которого он выполнен. Уравнение
распространяется и на контуры, которые можно выделить
239
в проводящей среде или диэлектрике. В любом замкну-
том контуре, ограничивающем поверхность, которую про-
низывает переменный магнитный поток, возникает э. д. с.
электромагнитной индукции. В проводящей среде э. д. с.
вызывает ток проводимости, в диэлектрике переменная
э. д. с. вызывает ток, называемый током смещения. Под
током смещения понимают изменение электрического поля
во времени. Таким образом, при изменении магнитного
потока в любой среде одновременно наблюдается и электри-
ческое поле.
6-8. ПОТОКОСЦЕПЛЕНИЕ
На рис. 6-14 показана неподвижная катушка, вдоль
оси которой передвигается постоянный магнит. При пере-
мещении магнита изменяется поток, сцепленный с витками
катушки, и в катушке наводится э. д. с.
Рис. 6-14. Электродвижущая сила в ка-
тушке.
В этом случае э. д. с. возникает в каждом витке катуш-
ки и суммарная э. д. с.
е = + е2 + -. • + ek = —(</Ф1 + dO2 + • • • + d®k) =
~ ~ dT + • • • + Фа)-
Алгебраическая сумма потоков, сцепленных с отдель-
ными витками цепи, называется потокосцеплением
и обозначается буквой Т, т. е.
Y — Ф14- Ф2 + ... + Фд.
Таким образом, суммарная э. д. с.
240
Если каждый виток катушки сцеплен с одинаковым
магнитным потоком (Ф1 = Ф2 = Фз= ••• =Ф), то э. д. с.
в катушке в w раз больше, чем в одном витке,
(6-18)
где w—число витков катушки.
В этом случае потокосцепление равно произведению
числа витков и сцепленного с любым витком магнитного
потока:
¥ = шФ. (6-19)
6-9. ВИХРЕВЫЕ ТОКИ
В § 6-7 было установлено, что при изменении магнит-
ного потока наблюдается электрическое поле. Электри-
ческие линии этого поля расположены в плоскости, перпен-
дикулярной направлению магнитного потока, и в отличие
от линий электростатического поля замкнуты (вихревое
поле). Если в изменяющемся магнитном поле находятся
массивные проводящие тела (сталь, медь, латунь и др.),
то под действием э. д. с. электромагнитной индукции в этих
проводниках возникают вихревые токи, которые
являются частным случаем наведенных токов.
Если, например, в обмотке катушки с массивным сталь-
ным сердечником проходит переменный ток, то в сердеч-
нике наводятся вихревые токи, которые замыкаются в пло-
скости, перпендикулярной вектору магнитной индукции.
Эти токи вызывают нагрев стали и тем самым снижают
коэффициент полезного действия (к. п. д.) электромагнит-
ных механизмов. Для уменьшения вихревых токов при-
меняются сердечники, выполненные из отдельных изоли-
рованных друг от друга листов стали (рис. 6-15). В этом
случае увеличивается сопротивление сердечника для вихре-
вых токов и сами токи уменьшаются.
Вихревые токи возникают при вращении в магнитном
поле якоря электрической машины. На рис. 6-16, а пока-
зана половина якоря электрической машины, выполнен-
ного из сплошной стали. При вращении якоря в магнит-
ном поле в нем возникают вихревые токи, показанные на
рис. 6-16, а пунктирными линиями. Применяя якорь, на-
бранный из листов стали (рис. 6-16,6), можно вихревые
токи в значительной степени уменьшить. В этих машинах
16 Теоретическая электротехника 241
и многих аппаратах и механизмах вихревые токи необхо-
димо подавлять. В ряде других устройств и механизмов
вихревые токи могут быть целесообразно использованы
Рис. 6-15. Вихревые
токи в сердечнике из
листовой стали.
Рис. 6-16. Вихревые токи в якоре.
для приведения механизмов в действие или для обеспече-
ния необходимого режима работы.
На рис. 6-17 показан диск измерительного прибора.
При вращении диска между полюсами постоянного магнита
t)
Рис. 6-17. Вихревые токи в диске при движе-
нии его в магнитном поле постоянного магнита.
в нем возникают вихревые токи. Сила взаимодействия этих
токов с полем постоянного магнита тормозит диск, что
необходимо для работы прибора.
Все больше вихревые токи используются для нагрева
металлов при поверхностной закалке стальных деталей,
242
особенно шестерен и коленчатых валов, для плавки спе-
циальных сортов стали и цветных металлов, для нагрева
жидкостей и газов, находящихся в металлических сосу-
дах, и т. д. Во всех этих устройствах нагреваемую деталь,
материал или сосуд помещают в переменное магнитное
поле, которое возбуждается током в катушке-индукторе.
6-10. БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ ГАЛЬВАНОМЕТР
Для измерения магнитного потока и магнитной индукция су-
ществует много методов.
Рассмотрим баллистический способ измерения, разра-
ботанный А. Г. Столетовым.
Для баллистических измерений применяется магнитоэлектриче-
ский гальванометр (§ 5-27). .Как указывалось, в результате действия
магнитного поля на рамку с постоянным током рамка поворачивает-
ся так, что по углу поворота можно судить о величине постоянного
тока.
Сложнее процесс в том случае, когда по обмотке проходит ток
кратковременный — толчок (импульс) тока. Под действием импульса
тока стрелка отбрасывается направо или налево по шкале. Затем
под действием связанных с осью рамки спиральных пружинок стрел-
ка возвращается с ускорением в положение равновесия, проходит
через него, отклоняется в противоположную сторону и т. д. Посте-
пенно колебания стрелки затухают. Таким образом, в этом случае
подвижная часть гальванометра подобна маятнику, колебания кото-
рого возбуждены коротким ударом.
Если длительность импульса тока мала по сравнению с перио-
дом колебания подвижной части гальванометра, то максимальное
отклонение стрелки прямо пропорционально величине заряда,, про-
шедшего через обмотку (для увеличения периода собственных коле-
баний подвижная часть гальванометра снабжается специальными
грузиками).
В самом деле, сила, вызывающая отклонение стрелки, пропор-
циональна току, проходящему через обмотку [формула (5-44)].
С другой стороны, по основному закону механики сила пропорцио-
нальна ускорению, т. е. изменению скорости. Следовательно, ток
в рамке гальванометра /г пропорционален величине v/r, где т — ма-
лый интервал времени, в течение которого по обмотке проходит ток.
Итак, скорость и, с которой стрелка выходит из положения равнове-
сия, пропорциональна произведению /гт, т. е. электрическому заря-
ду Q, прошедшему через обмотку гальванометра. Но по закону
движения маятника амплитуда его колебаний пропорциональна ско-
рости v в положении равновесия, откуда
Q.-Ca, (6-20)
где а —наибольший угол отклонения стрелки. В электроизмеритель-
ных приборах угол поворота стрелки обычно измеряется числом
делений шкалы или длиной шкалы. В баллистических гальваноме-
трах угол поворота измеряется в миллиметрах длины шкалы
243
Коэффициент пропорциональности С в формуле (6-20) назы-
вается баллистической постоянной. Величина этого коэффициента
зависит от конструкции и параметров прибора. Баллистическая по-
стоянная
обычно измеряется в мкк/мм. Величина, обратная постоянной, назы-
вается чувствительностью гальванометра. Чувствительность гальва-
нометра измеряется в мм/мкк.
6-11. ВОЗБУЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЗАРЯДА
ИЗМЕНЯЮЩИМСЯ МАГНИТНЫМ ПОТОКОМ
На рис. 6-18 показан кольцевой сердечник, на поверхности кото-
рого равномерно уложена обмотка, состоящая нз витков. Концы
обмотки через реостат и рубильник присоединены к источнику с по-
стоянной э. д. с. Е. На первую обмотку
наложена вторая, имеющая w2 витков.
К зажимам этой обмоткн присоединен
баллистический гальванометр БГ.
После замыкания рубильника в пер-
вой обмотке установится ток Iit величи-
на которого определяется э. д. с. Е источ-
ника и сопротивлением первичной цепи,
равным сумме сопротивлений первой об-
мотки и реостата. Прн этом значении
тока магнитная индукция в сердечнике
(см. (5-23)]
В=рр0~7—.
(6-21)
где / — длина средней магнитной линии.
Начальное значение магнитного по-
тока в сердечнике (до замыкания рубиль-
ника) равно нулю, конечное значение
потока Ф — BS, где S —сечение сердеч-
ника. Прн нзмененнн магнитного потока
г.о вторичной обмотке возбуждается
э. д. с.
Рнс. 6-18. К измерению
магнитного потока
</ф
e2=_tt,2__.
Под действием э. д. с. е2 во вторичной цепи возникает ток
i - е*
z2— -Г-,
г2
(6-22)
где т2—сопротивление вторичной цепи, состоящее нз сопротивлений
гальванометра и обмоткн.
244
Подставив выражение е2 в формулу (6-22), получим
йФ
'2 " TTdt '
откуда
(2 d/ = — —-</Ф
г2
Произведение г2 di выражает электрический заряд, который воз-
буждается во вторичной цепи при изменении магнитного потока за
врем? di на величину </Ф. Электрический заряд, который проходит
по вторичной цепи, а следовательно, и через обмотку баллистиче-
ского гальванометра, при нарастании магнитного потока за время г
от 0 до конечного значения Ф
t Ф
Q = \ (2 di = —j ДФ (6-23)
О о
или
При размыкании рубильника магнитный поток за время г изме-
нится от Ф до О В этом случае
Q — (6-24)
6-12. ИЗМЕРЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОТОКА
И МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ
Преобразуя формулу (6-24), найдем, что
Ф = С’ (6 25>
т. е. магнитный поток пропорционален заряду, прошедшему через
гальванометр, а следовательно, и углу отклонения его стрелки:
Ф = а (6-26)
и’о
Тем же методом может быть измерена магнитная индукция
Ф Го
В=-гг = С—Va, (6-27)
S w2S ' '
а при известной величине тока It найдена из (6-21) магнитная прони-
цаемость сердечника
В1
—г— . (6-28)
245
6-13. ИЗМЕРЕНИЕ МАГНИТНОГО НАПРЯЖЕНИЯ
Для измерения магнитного напряжения применяется магнит-
ный пояс. Магнитный пояс — это длинная (1=1— 1,5 л) гибкая
катушка с неферромагнитным сердечником (р= 1), обмотка которой
состоит нз четного числа слоев (например, двух), намотанных в одну
сторону с равномерной плотностью w0 = w/l. Концы обмотки выведены
к зажимам, укрепленным на середине
пояса. К этим зажимам, скрученным
шнуром, присоединяется гальвано-
метр для баллистических измерений
(рис. 6-19).
Если нужно, например, измерить
намагничивающую силу катушки, то
магнитным поясом охватывают витки
катушки (пояс продевают в катушку,
его концы А и Б прижимают друг
к другу) и производят выключение
Рис. 6-19. Магнитный пояс.
(или включение) тока в катушке.
При выключении тока в сердечнике в поясе кратковременно из-
меняется магнитный поток и по цепи пояс — гальванометр проходит
заряд Q, измеряемый гальванометром.
Согласно (6-26)
Са =
где ЧС— ц.'Ф — потокосцепление с магнитным поясом;
г — сопротивление цепи пояс—гальванометр.
Отдельные элементы пояса имеют различные потокосцепления:
’Fj = Ф^Л/,; 4^2= Ф2Щ)Л/2,
где А/ — длина участка пояса, в пределах которого поле можно счи-
тать однородным.
Сумма потокосцеплений Ч^, 4f2 и т. д. составляет потокосцепле-
ние всего пояса, т. е.
V = Чг 1 + ¥2 + ...= Ф^'уА/,-j-Ф2а>оЛ/2 + ...
Магнитный поток, пронизывающий произвольно взятый виток пояса,
имеющий сечеиие S,
Ф = ВН$,
где Ва — проекция вектора индукции на нормаль к витку (нормаль-
ная составляющая).
Магнитное напряжение
(7М= J Htdl.
Выберем в качестве пути / путь вдоль пояса. Если пояс разбит иа
участки А/, то UM = XH[А1, где /// — составляющая вектора напря-
женности, совпадающая по направлению с А/. Отрезки пути вдоль
пояса А/ перпендикулярны виткам пояса на всех участках, т. е.
совпадают с нормалью к виткам участка. Поэтому и Hi совпадает
246
по направлению с нормалью, т. е. с нормальной составляющей
индукции:
йн=|1о^(
и
Ф = |10//(5.
Подставив значение соответствующих Ф в формулу потокосцепления,
получим, что
Ч' = ц'оЦо-S {Hn&li Л/у/Л • • •) = k'op.O'S^A,,
откуда ш Сг UM - —= ——с- а - Спа, (6-29) U'oPoS
где С„ =-------„—постоянная цепи пояс — гальванометр.
to0(i0S
6-14. ИНДУКТИВНОСТЬ
Замкнутый контур электрической цепи всегда прони-
зывается магнитным потоком, созданным проходящим по
этой цепи током. Величина магнитного потока пропорцио-
нальна току (при неизменной магнитной проницаемости
среды, т. е. при отсутствии ферромагнитных сердечников).
При прохождении тока по катушке каждый ее виток про-
низывается магнитным потоком.
Алгебраическая сумма пронизывающих витки магнит-
ных потоков, которые обусловлены электрическим током
в этой цепи, составляет потокосцепление самоиндукции
(обозначение W/,). Если один и тот же ток проходит по
катушкам различных размеров и с разным числом витков
или по разным контурам, то и потоки, пронизывающие
отдельные витки или контур, и сумма потоков, т. е. пото-
косцепление, будут различными. Таким образом, для раз-
ных катушек и контуров коэффициент пропорциональности
между потокосцеплением и током неодинаков. Но отноше-
ние потокосцепления к току у катушки или контура, харак-
теризующее связь потокосцепления самоиндукции с током
в данной электрической цепи, является постоянной величи-
ной, называемой индуктивностью (обозначение L):
L = ^. (6-30)
Индуктивность характеризует свойства самой катушки или
самого контура. Индуктивность необходимо знать, чтобы
247
при заданном токе в катушке найти потокосцепление само-
индукции или магнитный поток.
Единица измерения индуктивности
_ , Г Yr "I в-сек
\L[ — [~г |-—ом-сек.
Для ом-секунды, как указывалось, существует спе-
циальное название — генри (гн). Часто индуктивность
не достигает значения одного генри и измеряется тысяч-
ными или миллионными до-
лями генри.
L L’г Одна тысячная часть генри
—1~— называется миллигенри
10~3 гн—1 мгн,
Рис 6 20 Условное обозна-
чение индуктивности.
а миллионная — м и к ро-
ге н р и
10-е гн = 1 мкгн.
На электротехнических схемах индуктивность L изо-
бражается, как показано на рис. 6-20, а, а катушка с индук-
тивностью L и сопротивлением г — как на рис. 6-20, б.
6-15. индуктивность катушки
Вычислить индуктивность можно довольно просто лишь
в некоторых случаях. Определим, например, индуктив-
ность кольцевой катушки (рис. 5-15). Если средний радиус
сердечника катушки -^i-51 значительно больше радиуса ее
витков, то в любом сечении сердечника можно считать
индукцию В одинаковой в каждой точке, т. е. вести расчет
по длине средней магнитной линии; магнитный поток катуш-
ки с достаточной точностью определяется по формуле
O = BS = pp0^S=125|i~S-10-8 [вб].
I I
Так
тушки,
как магнитный поток пронизывает все витки ка-
то потокосцепление самоиндукции
= S,
248
откуда
L = 2^ = fX}10^= 125^-^ 10~8 [гн], (6-31)
где I — в метрах;
S — в квадратных метрах.
Аналогично определяется индуктивность цилиндриче-
ской катушки. Прямую цилиндрическую катушку, если
ее длина велика по сравнению с диаметром, можно рас-
сматривать как часть кольцевой катушки, у которой радиус
равен бесконечности; поэтому ее индуктивность вычисляет-
ся по формуле (6-31), причем I — длина катушки.
6-16. ИНДУКТИВНОСТЬ ДВУХПРОВОДНОЙ линии
Практически важно найти индуктивность двухпровод-
ной линии (рис. 6-21).
Определим магнитный поток между проводами, находя-
щимися на расстоянии а друг от друга. Магнитный поток
Рис. 6-21. Двухпроводная линия.
сквозь элементарную площадку dS = Idr {I — длина про-
вода линии), создаваемый током 1 первого провода,
dOj = Bi dS = Bd dr = pp0 I dr.
Полный поток, создаваемый этим током между прово-
дами с радиусами г0,
r=a—t'o a—
Ф,= J 5 Л (6-32)
г=га ГО
249
Поток, создаваемый током второго провода, также ра-
вен Фь так как токи в проводах одинаковы.
Векторы магнитной индукции В1 и В2 параллельны
друг другу (так как токи имеют противоположное напра-
вление), поэтому поток между проводами
Ф = 2Ф, = 2up0 In Il In .
* 2л г0 л
Так как обычно расстояние между проводами а значи-
тельно больше радиуса проводов г0, то вместо разности
а — г0 можно подставить а и формула примет вид:
ф= W^/Лп —.
л га
Индуктивность двухпроводной ЛИНИИ (йУ=1)
Для воздушной линии р = 1, и так как
ро = 4л-1О~7 [гн!м\,
то индуктивность в генри
L = 4-10-71 In . (6-33)
где / — длина линии в метрах.
Ввиду значительной длины линии удобно определить
индуктивность на 1 км ее длины (£0); так как 1 км= 103 м,
то
£о^4-1О“41п— [гн/км].
го
В наших рассуждениях мы не учитывали магнитного
потока внутри самих проводов; с учетом этого потока
индуктивность двухпроводной линии определяется по
формуле
Lo— ^4 In 4- р^ • 10~4 {гн!км}, (6-34)
где р — магнитная проницаемость провода, которая для
всех проводов, кроме стальных, может быть принята рав-
ной единице.
250
6-17. ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА САМОИНДУКЦИИ
Изменение тока в цепи вызывает изменение потокосце-
пления самоиндукции, и при нарастании или уменьше-
нии потокосцепления возникает э. д. с.
Это своеобразное явление, когда э. д. с. возбуждается
в контуре в результате изменения тока в этом же контуре,
называют самоиндукцией.
Электродвижущая сила самоиндук-
ции определяется, как и всякая наведенная э. д. с., по
формуле (6-17)
или, учитывая выражение Ть = Ы (6-30), по формуле
(6-35)
откуда следует, что э. д. с. самоиндукции пропорциональна
индуктивности и скорости изменения тока в контуре.
Направление э. д. с. самоиндукции определяется по
закону Ленца. Например, при увеличении тока (Q
э. д. с. самоиндукции отрицательна, т. е. направлена
навстречу току в контуре (противо-э. д. с.). Наоборот,
при уменьшении тока ^-^--<0^) э- Д- с. самоиндукции
положительна и направлена одинаково с током в контуре.
6-18. ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС ПРИ ПОДКЛЮЧЕНИИ
ЦЕПИ, ОБЛАДАЮЩЕЙ СОПРОТИВЛЕНИЕМ
И ИНДУКТИВНОСТЬЮ, К ИСТОЧНИКУ ПИТАНИЯ
с постоянной э. д. с.
Присоединим катушку с сопротивлением гк и индуктив-
ностью L к источнику, э. д. с. которого Е и внутреннее
сопротивление г0 (рис. 6-22). При замыкании рубильника
Е
ток не сразу достигнет значения ~ _^_г , так как в этом кон-
туре, помимо э. д. с. Е, действует э. д. с. самоиндукции
eL, препятствующая изменению, т. е. нарастанию, тока.
По второму правилу Кирхгофа
E-Eez = ri,
где г = г04-г„.
251
Так как cL = —L, то предыдущее уравнение можно
Рис. 6-22. Включе-
ние катушки к ис-
точнику постоянной
э. д. с.
Следовательно,
записать в виде
• г di
Е — tr — L -77-
аг
или, разделив обе части последнего уравнения на г,
•_ А. А
г 1 г dt ‘
Отношение для данной цепи постоянно, посколь-
ку L и г не изменяются, и называется постоянной
времени (обозначение т). Постоян-
ная времени измеряется в секундах
(гн/ом = сек).
Таким образом,
т = (6-36)
£
Обозначим через I — -- уста-
новившееся значение тока,
т. е. ток в цепи, когда э. д. с. са-
моиндукции перестанет действовать,
уравнение цепи (рис. 6-22)
т. е. закон изменения тока в цепи задается дифферен-
циальным уравнением.
Запишем это уравнение, разделив переменные,
di dt ..
— - (6-
Продифференцируем разность токов ([—<)
d. (1—i) — — di
и подставим —di в (6-37); тогда получим:
d(l-i) _ _dt_
l — i ~ т
Интегрируя каждую часть последнего уравнения,
находим:
In (I — г) — ~ 4 + const.
252
Постоянную интегрирования для удобства записи решения
представим как логарифм некоторой новой постоянной К:
1п(/— 0= ~ у+1пК или 1п ~ 4 ’
откуда, потенцируя, получим:
или
I — i = Ke х.
(6-38)
Постоянная К определяется из условия, что в момент
включения (t = 0) ток в цепи равен нулю. В самом деле,
если бы в момент вклю-
чения ток отличался от
нуля, то это означало бы
скачок тока, так. как
в разомкнутой цепи ток,
конечно, равен нулю.
Но скачкообразному из-
менению тока сопутство-
вало бы такое же изме-
нение магнитного пото-
ка, и э. д. с. самоиндук-
ции (как производная
потока) была бы беско-
нечно велика, что физи-
чески, очевидно, невоз-
можно.
Возвращаясь к урав-
нению (6-38), мы видим,
Рис. 6-23. График изменения тока
при включении катушки под по-
стоянное напряжение.
что условию
г = 0 при / = 0(е г--=е°=^1)
соответствует K — I, и, следовательно,
t = Z(l—— е Ч.
(6-39)
На рис. 6-23 построен график изменения тока в зависи
мости от времени. Процесс изменения тока в цепи после ее
включения (или отключения) называют переходным
процессом.
t
253
В момент включения ток возрастает от нуля с наиболь-
шей скоростью. Согласно (6-37) при t — 0, когда i — О,
эта скорость
\ dt у макс т Г г L '
По мере увеличения тока скорость его роста умень-
шается; в произвольный момент времени из (6-37) на-
ходим
t t
di I — t 1 x E t
=--------= — e = -j- e
at т т L
и, наконец, при t = co, когда ток достигнет установивше-
, Е .
гося значения I == —:
г
e~f=0 и 4 = 0.
at
Теоретически ток достигнет установившегося значения
через бесконечно большое время. Однако в практических
условиях, часто спустя доли секунды, ток достигает зна-
чения, почти равного установившемуся, и можно считать
процесс изменения тока закончившимся за очень малое
время. О практической продолжительности переходного
процесса судят по постоянной времени; действительно, если
t == т, то ток
= / (1 — е'1) = 7 (^1 —0 ъ 0,63/,
т. е. за время, равное т, ток возрастает от нуля до 63%
от 1. При I = Зт
= /(1-е-3) = /(1-1) = 0,95/,
т. е. через время, равное Зт после включения, ток отличает-
ся от установившегося всего на 5%. Часто считают пере-
ходный процесс закончившимся, когда ток в цепи отли-
чается от установившегося всего на 1%, т. е. i = 0,99/.
В этом случае t « 4,6т.
Очевидно, если цепь обладает очень малой индуктив-
ностью (т = L/r мало), то ток в цепи достигает устано-
254
вившегося значения почти мгновенно.
Электродвижущая сила самоиндукции, возникающая
при переходном процессе,
_£ _t_
eL=-L^- = — Lе т = — Ire х = — Ее х. (6-40)
Электродвижущая сила самоиндукции в момент включения
максимальна ^макс = — Е и по мере роста тока спадает
до нулевого значения.
6-19. ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС В КОРОТКОЗАМКНУТОМ
КОНТУРЕ
Если участок цепи, обладающий индуктивностью L
и сопротивлением г, по которому проходит ток /, замкнуть
накоротко (рис. 6-24), то в результате действия э. д. с.
самоиндукции ток в этом участке исчезает не сразу. Тон
определяется дифференциальным уравнением
• _ сц _ Е
г г ’ dt •
Разделив переменные
di _ dt
i — т ’
решим полученное дифференциальное уравнение:
1п/= — у-}-1пК,
откуда
t
i = Ke~*.
В начальный момент при t — О ток не изменяется скач-
ком, т. е.
j(O) = /=K.
Таким образом,
t
i = Ie т, (6-41)
где I—ток в цепи до короткого замыкания;
т—постоянная времени короткозамкнутого контура.
255
Рассмотрим еще цепь, изображенную на рис. 6-25. Для
измерения сопротивления катушки со стальным сердечни-
ком, обладающей большой индуктивностью, включены ам-
перметр и милливольтметр. При размыкании рубильника
в контуре катушка — милливольтметр в первый момент
времени (I = 0) пройдет ток, величина которого (6-41)
равна току /, проходившему в катушке при измерении
сопротивления.В результате обмотка милливольтметра,
Рис. 6-24. Короткое замы-
кание участка цепи, обла-
дающего сопротивлением
и индуктивностью.
Рис. 6-25. К вопросу о раз-
мыкании цепи
номинальный ток которой мал, будет сожжена. Во избежа-
ние повреждения прибора перед размыканием рубильника
милливольтметр следует отсоединить от катушки.
6-20. ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА САМОИНДУКЦИИ
ПРИ ВЫКЛЮЧЕНИИ ЦЕПИ
Переходный процесс при выключении цепи с индуктив-
ностью протекает сложнее, чем при включении. На рис. 6-26
приведена схема, на которой показан источник питания,
катушка, обладающая сопротивлением и индуктивностью,
и включающее устройство, например однополюсный рубиль-
ник. При выключении цепи контакты рубильника расходят-
ся и в цепь последовательно включается сопротивление
воздушного промежутка между удаляющимися друг от дру-
га контактами рубильника. Если предположить, что прово-
димость воздуха ничтожно мала, то ток в такой цепи дол-
жен мгновенно уменьшиться до нуля и в цепи возникнет
бесконечно большая э. д. с. самоиндукции. Практически
возникает не бесконечно большая, но все же очень большая
э. д. с. самоиндукции. Эта э. д. с. может вызвать между
расходящимися контактами рубильника сильное электри-
ческое поле, так что произойдет ионизация воздуха, воз-
256
можно даже вырывание с поверхности контактов рубиль-
ника свободных электронов (явление автоэмиссии), тогда
в воздушном промежутке возникнет искровой или даже
дуговой разряд.
Таким образом, газовый промежуток между расходя-
щимися контактами рубильника при выключении цепи обла-
дает проводимостью и ток в цепи при
выключении уменьшается до нуля не
мгновенно. Сопротивление газового
промежутка между контактами выклю-
чающего устройства нелинейно, по-
этому математический анализ переход-
ного процесса при выключении очень
сложен. Следует помнить, что выклю-
чение цепей, по которым проходят зна-
чительные токи (сотни, тысячи ампер
и более), протекает очень тяжело для
выключающей аппаратуры. Для раз-
Рис. 6-26. Электро-
движущая сила само-
индукции при выклю-
чении цепи.
рыва таких цепей применяются -специальные выключаю-
щие устройства, не разрушающиеся от дугового разряда,
обеспечивающие быстрое его гашение и разрыв цепи тока.
6-21. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
При подключении к источнику с постоянной э. д. с-
цепи, обладающей сопротивлением и индуктивностью, ток,
как показано в § 6-18, плавно возрастает от нуля, стремясь
к установившемуся значению. С возрастанием тока в окру-
жающей цепь среде создается магнитное поле, в котором
запасается часть энергии, израсходованной питающим цепь
источником. Наличие эн'ергии в магнитном поле можно
обнаружить, например, при выключении тока. Действи-
тельно, при закорачивании катушки (рис. 6-24) энергия
в катушку из цепи не поступает, а ток в катушке не исче-
зает мгновенно, а постепенно спадает. Энергия, переходя-
щая во время этого процесса в тепло (в сопротивлении
катушки г), преобразуется из энергии магнитного поля
катушки.
Найдем энергию магнитного поля катушки при под-
ключении ее к источнику с постоянной э. д. с. Вернемся
к схеме рис. 6-22 и запишем уравнение по второму правилу
Кирхгофа в виде
Е==1Г 1 Lw
17 Теоретическая электротехника
257
Умножив обе части уравнения на i dt, получим
в левой части выражение энергии, выработанной источ-
ником за время dt,
Ei dt = i2r dt + Li di, (6-42)
или, подставляя L di — d (Li) = dY,
Ei dt ~ Er dt-\-i d4. (6-43)
В правой части уравнений (6-42) и (6-43) первое сла-
гаемое выражает энергию, переходящую за время dt
в тепло; наличие второго члена указывает, что источник
отдал, а цепь приняла еще некоторое добавочное коли-
чество энергии 28
dW = Lidi = idW,
связанное с увеличением потокосцепления цепи, т. е.
с изменением магнитного поля. Отсюда можно заключить,
что второе слагаемое выражает прирост энергии магнит-
ного поля при возрастании тока на величину di.
Полная энергия, запасенная в магнитном поле при
возрастании тока от 0 до 1,
№ = J Lidi^~^~ . (6-44)
о
6-22. ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Допустим, что магнитное поле создается внутри коль-
цевой катушки (рис. 5-15), имеющей такие размеры, что
индукцию В можно считать одинаковой в любой точке
сердечника; в этом случае
Т = <bw = BSw.
С другой стороны
откуда
j_ HI
w
258
Подставляя в выражение энергии магнитного поля
(6-44) найденные значения Т и /, получим:
1Г/ V/ BSwHl _ ВИ
W~ 2 “ 2ш “ 2
Произведение S/ = V—это объем сердечника катушки;
поэтому
W = -^-V = #-V. (6-45)
2 2uu0
Магнитная энергия в единице объема, или плотность
энергии (обозначение №0),
w вн В2 ...
= -2fS-' (б-46»
Найденное выражение плотности магнитной энергии
справедливо как для однородного, так и для неоднород-
ного поля.
Пример 6-3. По кольцевой катушке с деревянным сердечником
(ц=1) проходит ток 25 а; сечение сердечника 25 см2, средняя длина
300 см, число витков катушки 2 100. Определить энергию магнит-
ного поля.
Напряженность магнитного поля
Iw 25-2100
W - у- = - зоо...= 175 а/см.
Магнитная индукция
В = ц07/ = 4л• 10~9-175 = 22-10~7 тл.
Объем сердечника И = SI = 25-300 = 7 500 см2.
НВ 175-22-IO-’
Энергия магнитного поля W = —я— V =-------и-----7 500 =
= 1,44 дж.
Пример 6-4. По контуру проходит
ние контура Чг = 5-10~2 вб. Определить
Энергия магнитного поля
V/ 5-IO—2-12
ток /=12 а. Потокосцепле-
энергню магнитного поля.
0,3 дж.
2
6-23. ЭЛЕКТРОМАГНИТЫ
Если около катушки, по которой проходит ток, распо-
ложить стальной сердечник (рис. 6-27), то он намагничи-
вается и втягивается в катушку. Сердечник стремится
17* 259
занять положение в середине катушки так, чтобы проходя-
щий через него магнитный поток имел максимальное зна-
чение. Работа, производимая при перемещении сердечни-
ка, и увеличение энергии маг-
нитного поля происходят за
счет энергии источника пита-
ния катушки. Обычно сталь-
ной сердечник 1 располагает-
Рнс. 6-28. Электромаг-
нит.
Рнс. 6-27. Взаимодействие
катушки с током и стально-
го сердечника
ся неподвижно внутри катушки 2, а к нему притяги-
вается стальной якорь 3. Такое устройствопринято назы-
вать электромаг-
нитом (рис. 6-28).
Электромагниты ча-
сто применяются в из-
мерительных приборах,
реле, автоматах. Элек-
тромагниты устанавли-
ваются на подъемных
кранах, например для
погрузки лома черных
металлов.
Силу, которую надо
приложить к якорю,
чтобы оторвать его от
сердечника, называют
Рис. 6-29. К расчету отрывной силы
электромагнита.
отрывной силой элек-
тромагнита.
Допустим, что под действием внешней силы F якорь
электромагнита оторвался, т. е. удалился от сердечника
на бесконечно малое расстояние db (рис. 6-29). Так как
якорь удален на бесконечно малое расстояние, то можно
считать, что магнитный поток остался прежним; в таком
260
случае в обмотке электромагнита не возникает э. д. с. и по-
лучаемая от источника тока энергия целиком превращает-
ся в тепло.
При отрыве якоря объем магнитного поля увеличился,
увеличилась и энергия магнитного поля, причем это уве-
личение энергии происходит за счет механической работы
внешних сил dA = Fdb, совершенной при перемещении
якоря, т. е. приращение энергии магнитного поля
dW - dA.
Так как из (6-45) для воздушного зазора (р. = 1)
dW^~dV,
2ро
то
откуда, заменяя dV — S db, находим силу:
f=<s- (МЛ
Подставляя численное значение и выражая силу
в килограммах, получим:
F«0,102-^-B2S^4B2S-104 |кГ] (6-48)
или, выражая магнитную индукцию в гауссах, а площадь
сечения полюсов в квадрат-
ных сантиметрах, получим:
г“0и>)’51кГ|- <6-49)
Отрывную силу электро-
магнита можно регулировать,
изменяя ток в его обмотке,
если для изготовления сердеч-
Рис 6-30 К примеру 6 5.
ника применить магнитно-
мягкую сталь с незначительной остаточной индукцией и
малой коэрцитивной силой.
Пример 6-5. Определить отрывную силу электромагнита (рис. 6-30),
у которого сечение внутреннего полюса 5^=1 200 см'2, магнитная
индукция в нем В1==]6 000 гс, а сечение внешнего кольцевого
полюса S2=2 000 см2.
261
Магнитная индукция во внешнем поле
яг-^-^=1б<»о-^=9"г''
Отрывная сила
6-24. ВЗАИМНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ
Если два контура или две катушки с токами располо-
жены близко друг от друга, то часть магнитного потока
первой катушки пронизывает витки второй (Ф12) и, наобо-
Рис. 6-31. Магнитная связь двух катушек с токами.
рот, часть магнитного потока второй катушки пронизы-
вает витки первой (Ф21) (рис. 6-31, а и б). Такие контуры
и катушки называют индуктивно или магнит-
но связанными.
Обозначим потокосцепление второго контура, имею-
щего w2 витков, за счет пронизывающего второй контур
потока Ф12, созданного током ц в первом контуре, через
^12 =
и потокосцепление первого контура, имеющего вит-
ков, за счет пронизывающего первый контур потока Ф21,
созданного током i2 во втором контуре, через
^21 —
Потокосцепление Ч}'12 пропорционально току ч, a Чг21—
току i2. Отношения
ЧЧг и ¥21
О г2
как показывают опыт и расчет, одинаковы
= = M (6-50)
*1 »2
262
и называются взаимной индуктивностью пер-
вого и второго контуров или катушек.
В справедливости равенства (6-50) можно убедиться,
рассматривая произведения Ч^’г и Ч^р^ как работу,
которая совершается при удалении одного из контуров
на бесконечно большое расстояние от другого при усло-
вии, что токи ij и i2 не изменяются. В силу относи-
тельности движения работа перемещения каждого кон-
тура одинакова, т. е.
4^2 = 4^.
Взаимная индуктивность измеряется в генри, как и
индуктивность цепи.
Найдем теперь отношения потока Ф12 ко всему потоку
_ ~ Фр ^12 ЧЧ1
Фц, созданному первым током. Это отношение —•
Учитывая, что из выражения (6-50) 4f12 = Mi1, а из (6-30)
Чг11 = Ljij, получим:
Фр _ У 12u>i _ MiiWi _ Mwt
фи ~®24f11'~L1i>2 “ *
Таким же путем найдем отношение
Ф21 _ Mw2
Ф22 L2Wi
Каждое из отношений указывает, какая доля потока, соз-
данного током в контуре, пронизывает соседний контур.
Среднее геометрическое этих отношений называется коэф-
фициентом связи контуров или катушек и обозна-
чается буквой k:
Ь _ 1 /Ф12Ф21 _ _ - м. - /С С1 \
V ФцФ22 V ЦЬ2 изд - V LyL2 • 10 ° ’
Коэффициент связи характеризует степень индуктивной
связи контуров или катушек и всегда меньше единицы,
так как Фц > Ф12 и Ф22 > Ф21.
В некоторых случаях коэффициент связи близок к еди-
нице, например k трансформаторов со стальным сердечни-
ком, причем для его увеличения обмотки трансформатора
располагаются одна на другой.
263
6-25. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ИНДУКТИВНО
СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ
Энергия, запасенная в магнитном поле двух контуров
или катушек с токами £ и i2, определяется как сумма двух
слагаемых:
2 2 ’
где Ч*! и Ч^—полные потокосцепления контуров. Оче-
видно, что
и
4*2 = 4^ Ч^2 = Z.2r2±M4.
В этих формулах знак плюс ставится, когда потоки сум-
мируются, т. е. магнитный поток Ф42 входит во второй
контур С ТОЙ же стороны, ЧТО И ПОТОК Ф22, и поток Ф21
входит в первый контур с той же стороны, что и поток Фи.
Если направления этих потоков противоположны, то в
формуле нужно поставить знак минус.
Таким образом
W (^14 ± | (^2г~2±^г'1) *2 £1*1 । ^2*2
В зависимости от взаимного направления потоков Ф12
и Ф22 и потоков Ф21 и Фц третье слагаемое последнего урав-
нения может быть положительным или отрицательным, от-
чего общая энергия системы может быть больше или меньше
суммы энергий магнитных полей контуров или катушек,
взятых отдельно, но, конечно, всегда W > 0.
6-26. ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ВЗАИМНОЙ
ИНДУКЦИИ
Изменение тока в одном из индуктивно связанных кон-
туров, например тока ij в первом контуре, приводит к изме-
нению потокосцепления второго контура, и в нем находится
э. д. с., которую принято называть э. д. с. взаимной
индукции. При изменении тока г2 возникает э. д. с.
взаимной индукции в первом контуре.
264
Электродвижущая сила, наведенная во втором контуре
при изменении тока в первом,
„ __ ^^12___ d(Mij)__ __м dij ,г- го\
ем* dt ~ dt ~~ М dt ’ 52’
а э. д. с. в первом контуре, наведенная при изменении
тока i2,
Пусть первый контур имеет индуктивность Lif сопротив-
ление fj и присоединен к источнику питания с напряже-
нием а второй контур (Т2, гг) присоединен к источ-
нику питания с напряжением U2.
Применяя к первому контуру второе правило Кирх-
гофа, можно написать:
+ eLi + ёМ1 = iir 1,
откуда напряжение на зажимах первого контура
Ui = iiri + Lid£ + M^-, (6-54)
аналогично напряжение на зажимах второго контура
L/2=i2r2 + £2^ + A4^. (6-55)
6-27. МАГНИТНАЯ СВЯЗЬ КОНТУРОВ
Магнитную связь двух контуров или двух катушек
можно сделать переменной, перемещая или поворачивая
одну из них относительно другой. Такое устройство назы-
вается вар иометром (рис. 6-32).
Рис. 6-32. Согласное и встречное соедине-
ния катушек.
265
Соединим две катушки последовательно. Напряжение,
приложенное к цепи U, в зависимости от способа со-
единения (или взаимного расположения) катушек по-раз-
ному связано с изменяющимся током i. Соединение кату-
шек называется согласным, если потоки Ф12 и Ф22 и потоки
Ф21 и Фц суммируются (направлены одинаково), т. е. векто-
ры магнитной индукции отдельных катушек направлены
под углом не более ±90° друг к другу (рис. 6-32, а); в этом
случае
U = i(rt + ^+L: =
= Hr, + r2) + ^(L, + L2 + 2M) = lr + L^.
где
г==Г1 + г2; L = Li + L2 + 2M.
Соединение катушек называется встречным, если пото-
ки Ф12 и Ф22 и потоки Ф21 и Фц соответственно вычитаются
(направлены по-разному), т. е. векторы
f магнитной индукции отдельных катушек
направлены под углом, большим ±90°,
друг к другу (рис. 6-32, б); в этом случае
1 (ri + г2) 4- L( -^- 4- /-2
-2M^r = ir + L~ ,
at at
где
Рис. 6-33. Би- Л = Li + L2 — 2М.
филярная об-
мотка. Т1 , г
В обоих случаях L — индуктивность
всей цепи или индуктивность вариометра.
Для того чтобы заменить согласное включение катушек
встречным, нет необходимости производить какие-либо пере-
ключения; достаточно лишь повернуть на соответствующий
угол одну из катушек.
Постепенно поворачивая одну катушку относительно
другой, мы можем плавно изменять индуктивность варио-
метра от максимума, когда векторы В, и В2 параллельны,
^макс — Li + L2^2M
макс
(6-56)
266
до минимума, когда угол между векторами Bj и В2 ра-
вен 180°,
7-МИН — Л + 7-2---2Л1макс.
(6-57)
Интересно отметить, что если бы катушка имела на од-
ном каркасе две совмещенные одинаковые обмотки, соеди-
ненные встречно, то индуктивность цепи была бы равна
нулю, так как Тц = = Ч^г = ^21, и, следовательно,
Ll = L2 = M‘, L = 2Li — 2M = 0.
Это обстоятельство практически используют при намотке
катушек, которые служат проволочными сопротивлениями
и не должны иметь индуктивности. Проволочное сопроти-
вление наматывают проводом, сложенным вдвое (рис. 6-33),
что равносильно двум встречно соединенным катушкам.
Такую обмотку называют бифилярной.
6-28. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ИЗМЕРЕНИЕ
МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ (§ 5-14,6-12)
План работы
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения-
работы, и записать основные технические данные измерительных
приборов.
2. Собрать схему (рис. 6-34) и показать ее руководителю.
Рис. 6-34. Схема к работе 6-28.
3. Установив в цепи ток /=1 а, поместить пробную катушку
в положение А (рис. 6-35). Измерить магнитную индукцию в точке А.
4. Аналогично (при том же токе) измерить магнитную индукцию
в точках Б, В, Г, Д, Е, Ж, 3 и И, причем АБ=БВ= ВГ = ГД =
= ДЕ = ЕЖ=ЖЗ = ЗИ.
5. Измерить магнитную индукцию в точке Д при различных то-
ках: 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1 а.
267
6. Определить магнитную индукцию в этих же точках расчетом.
Сравнить результаты измерения с результатами расчета.
7. Показания
в табл. 6-1.
Рис. 6-35. Катушка.
приборов
и результаты расчетов записать
Таблица 6-1
мости индукции в точке Д от тока В (7).
6-29. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ИЗМЕРЕНИЕ
МАГНИТНОГО НАПРЯЖЕНИЯ (МАГНИТНЫЙ ПОЯС)
(§ 6-13)
План работы
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы, и записать их технические данные.
268
2. Собрать схему (рис. 6-36) и показать ее руководителю.
3. Зная число витков катушки, включаемый ток и отклонение
указателя баллистического гальванометра, определить постоянную
пояса, расположив его, как указано иа рис. 6-36:
с
п а а а
Рис. 6-36. Измерение магнитного напря-
жения.
4. При помощи аналогичных схем определить числа витков двух
других катушек. Показания приборов и результаты расчета записать
в табл. 6-2.
Таблица 6-2
№ п/п. № катушки СП’ а а Спа, а /, а W
5. Измерить магнитное напряжение между точками А и Б вну-
три катушки. Измерить магнитное напряжение между этими же точ-
ками вне катушки. Показания приборов записать в табл. 6-3. Убе-
диться в том, что сумма магнитных напряжений внутри и вне ка-
тушки равна н. с.
Таблица 6-3
№ п/п. Участок /, а СП’ а а а
1 2 Внутри катушки Вне катушки
269
6. Собрать схему (рис. 6-37) и показать ее руководителю. Опре-
делить при помощи магнитного пояса н. с. при последовательном
соединении двух катушек:
а) при согласном действии н. с.;
б) при встречном действии н. с.
Рис. 6-37. Схема к работе 6-30.
Убедиться, что 2 (//гА/) = /ш1 + 7ш2 (ПРИ согласном действии
н.с.) н 2(ЯгА/) = 7ш1— Iw2 (при встречном действии н. с.).
Показания приборов и результаты расчета записать в табл. 6-4.
6-30. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ИССЛЕДОВАНИЕ
ГИСТЕРЕЗИСА (§ 5-16, 5-17)
План работы
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы, и записать основные технические данные измерительных
приборов.
2, Собрать схему для размагничивания испытуемого образца
(рис. 6-38). После проверки схемы руководителем размагнитить
образец.
3. Собрать схему для снятия петли гистерезиса (рис. 6-39).
4. Поставив переключатель в положение 1—1, увеличивать ток
в цепи от 0 до /макс, замыкая поочередно рубильники а, б, в, г и д;
в каждом случае записать отклонение указателя гальванометра;
Примечание. При работе нельзя ни прерывать,
ни уменьшать ток.
5. По полученным данным определить напряженность магнит-
ного поля, магнитную индукцию в испытуемом образце и вычислить
270
величину магнитной проницаемости при каждом значении напряжен-
ности. Построить кривую первоначального намагничивания.
Показания приборов и результаты расчета записать в табл 6-5.
Таблица 6-5
№ п/п. I, а 1а>1 а/м. Сгч -тг-=-, тл SW2 а ДВ, SC В, гс
На-
гн/м
6. Произвести магнитную стабилизацию, несколько раз быстро
переводя переключатель П из положения 1 — 1 в положение 2—2
и обратно; закончить стабилизацию в положении переключателя 1 — 1,
Рис. 6-38. Схема для размагничивания ис-
пытуемого образца.
Снять показания приборов для построения нисходящей ветви гисте-
резисного цикла. Для этого сначала уменьшить ток от /мако Д° О,
а затем, поставив переключатель в положение 2—2, увеличивать его
от 0 до /макс.
Пробная катуим
Рис. 6-39. Схема для снятия петлн гистеризнса.
7. Снять показания приборов для построения восходящей ветви
гистерезисного цикла. Для этого сначала уменьшать ток от /макс
до 0, а затем, поставив переключатель в положение 1—1, увеличи-
вать его от 0 до /макс-
271
8 По полученным данным для каждого случая определить Н
и В. Построить график В (Н) для полного цикла перемагничивания.
Показания приборов и результаты расчета записать в табл 6-6.
Таблица б-б
№
п/п.
/wi Сг%
I, а I * Зоу'з’
а/м т i
В,
ес
Нисходящая ветвь
Восходящая ветвь
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ
7-1. ЕМКОСТЬ КОНДЕНСАТОРОВ
Система, состоящая из двух металлических пластин
или проводников любой формы (обкладок), разделенных
диэлектриком, называется конденсатором. Кон-
денсатор образуют, например, два разделенных изоляцией
провода, связывающих генератор с приемником. Каждый
провод, изолированный от земли, можно также рассматри-
вать как конденсатор, причем одной его обкладкой служит
сам провод, а другой — земля. Конденсаторы образуются
не только в естественных условиях, но и специально изго-
товляются.
На обкладках конденсатора, присоединенных к зажимам
источника питания, накапливаются равные по величине,
но противоположные по знаку заряды, величина которых
пропорциональна приложенному напряжению. Свойство кон-
272
денсатора накапливать и удерживать электрические заряды
характеризуется емкостью конденсатора.
Емкостью конденсатора (обозначение С) называет-
ся постоянная величина, измеряемая отношением величи-
ны заряда Q одной из обкладок к приложенному напря-
жению U. Таким образом, емкость
C = -g-. (7-1)
Емкость конденсатора измеряется в фарадах (ф).
Емкостью в одну фараду обладает конденсатор, у которого
при напряжении в 1 в заряды на каждой обкладке равны
по величине 1 к, т. е.
Однако фарада — очень крупная единица, поэтому на
практике чаще пользуются более мелкими единицами: м и-
крофарадой {мкф), составляющей миллионную часть
фарады,
1 мкф = 10-в ф
и пикофарадой {пф), составляющей миллионную
долю микрофарады,
1 пф — 10~6 мкф = 10-12 ф.
На электротехнических схемах емкость обозначается,
как указано на рис. 7-1,а.
Для различных электротехнических установок и при-
боров наша промышленность выпускает конденсаторы ем-
костью от единиц пикофарад до тысяч микрофарад. Номи-
нальные (рабочие) напряжения конденсаторов в зависимо-
сти от назначения также изменяются в широких пределах:
от единиц вольт до десятков киловольт. Само собой разу-
меется, что конденсаторы со столь различными параметрами
отличаются друг от друга и по размерам, и по конструкции,
и по типу диэлектрика. Чаще применяются конденсаторы
бумажные (с бумажным диэлектриком), слюдяные, керами-
ческие и электролитические.
Бумажные, слюдяные, керамические конденсаторы мо-
гут работать в цепях постоянного и изменяющегося токов,
электролитические — только в цепях постоянного тока.
Бумажные конденсаторы (рис. 7-1,6, в) состоят из двух
длинных лент фольги, изолированных лентами парафини-
18 Теоретическая электротехника 273
рованной бумаги. Свернутые ленты помещаются в защит-
ную оболочку. Конструкция выводов зависит от номи-
нального напряжения конденсатора.
Самые большие по габаритам бумажные конденсаторы
применяются для подключения аппаратуры телемеханики
и связи к линиям высокого напряжения. Так, конденсатор
Рис. 7-1.
а—условное обозначение конденсатора; б,в—бумажные
конденсаторы, г—электролитический конденсатор
типа СМР-133//3-0,0186 емкостью 18 600 пф имеет вид
цилиндра с высотой 1 380 мм, диаметром 700 мм и весом
950 кГ. Конденсатор набирается из отдельных конденса-
торных пакетов, которые крепятся между деревянными ра-
мами и вставляются в фарфоровый цилиндр. Обкладками
конденсаторных пакетов служит алюминиевая фольга, ди-
электриком — конденсаторная бумага. Фарфоровый цилиндр
заполняется специальным конденсаторным маслом. Кон-
274
денсатор герметически закрыт. Для присоединения к линии
с напряжением 400 кв соединяют последовательно три кон-
денсатора. Получается внушительное устройство высотой
(с изолирующей подставкой) около 5 м и весом бо-
лее 3 Т.
Самые маленькие по размерам конденсаторы приме-
няются в радиоаппаратуре и аппаратуре автоматических
устройств, работающих с полупроводниковыми выпрямите-
лями и усилителями. Например, керамический конденса-
тор КДС-1 емкостью 1 000 пф с номинальным постоянным
напряжением 250 в имеет форму диска с размерами (без
выводов): диаметр 4,2 мм, высота 2,5 мм.
У электролитических конденсаторов диэлектриком яв-
ляется слой окиси на поверхности алюминиевой или танта-
ловой фольги — одной из обкладок конденсатора. Второй
обкладкой служит бумага или ткань, пропитанная густым
раствором электролита. Толщина слоя окиси столь мала,
что удается получить конденсаторы емкостью в сотни и ты-
сячи микрофарад при относительно небольших размерах.
Внешний вид электролитического конденсатора типа КЭ-2
емкостью от 5 до 100 мкф с номинальным напряжением до
500 в показан на рис. 7-1,а. Диаметр конденсатора 20—
40 мм, высота 30—100 мм.
Для малогабаритной аппаратуры выпускаются электро-
литические конденсаторы типа ЭМ на номинальные напря-
жения до 60 в значительно меньших размеров. Так, при
емкости 5 мкф и напряжении 30 в диаметр конденсатора
6 мм, высота 20 мм,
7-2. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ КОНДЕНСАТОРОВ
Отдельные конденсаторы могут быть соединены друг
с другом различным образом. При этом во всех случаях
можно найти емкость некоторого равнозначного конденса-
тора, который может заменить ряд соединенных между
собой конденсаторов. Для равнозначного конденсатора
выполняется условие: если подводимое к обкладкам равно-
значного конденсатора напряжение равно- напряжению,
подводимому к крайним зажимам группы конденсаторов,
то равнозначный конденсатор накопит такой же заряд, как
и группа конденсаторов.
На рис. 7-2 изображено параллельное соединение не-
скольких конденсаторов. В этом случае напряжения, подво-
18* 275
димые к отдельным конденсаторам, одинаковы: — U2 =
= t/3 = U. Заряды на обкладках отдельных конденсаторов:
Рис. 7-2. Схема параллель-
ного соединения конденса-
торов.
Q2 = C2t/; Q3 = C3[7,
а заряд, полученный от источ-
ника,
Q = Qi + Q2 + Q3. (7-2)
Общая емкость равнознач-
ного (эквивалентного) конден-
сатора
р Q C1 + Q2 f- Q3
" и — и
= Cj С2 -j- С3, (7-3)
т. е. при параллельном соединении конденсаторов общая
емкость равна сумме емкостей отдельных конденсаторов.
7-3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ
КОНДЕНСАТОРОВ
При последовательном соединении кон-
денсаторов (рис. 7-3) на обкладках отдельных конденсато-
ров электрические заряды по величине равны:
Q1-Q2 — Qs Q.
Действительно, от источника питания заряды поступают
лишь на внешние обкладки цепи конденсаторов, а на сое-
диненных между собой внут-
ренних обкладках смежных
конденсаторов происходит
лишь перенос такого же по
величине заряда с одной об-
кладки на другую (наблюдает-
ся электростатическая индук-
ция); поэтому и на них по-
являются равные и разноимен-
♦e -q -а
Рис. 7-3. Схема последова-
тельного соединения конден-
саторов.
ные электрические заряды.
Напряжения между обкладками отдельных конденса-
торов при их последовательном соединении зависят от
емкостей отдельных конденсаторов:
и __ Q . и___Я_. и __2_
С2 ’ из~ С3 ’
276
а общее напряжение
У = [/1 + 1/2 + 173. (7-4)
Общая емкость равнозначного (эквивалентного) кон-
денсатора
р__Q_________Q____
i/ 4- ^2 -Ь У з ’
откуда
^==^^.+^==^ + ^+.^1 (7_5)
С Ч С2 Сз
т. е. при последовательном соединении конденсаторов
величина, обратная общей емкости, равна сумме обрат-
ных величин емкостей отдельных конденсаторов.
Из выражений (7-3) и (7-5) вытекает, что формулы
эквивалентных емкостей аналогичны формулам эквива-
лентных проводимостей.
Пример 7-1. Три конденсатора, емкости которых Ct = 20 мкф,
С2=25 мкф и С3=ЗО мкф, соединяются последовательно. Опреде-
лить общую емкость.
Общая емкость определяется из выражения
С ~~Ct + С2 +С3 '20+25+ 30“300 ’
откуда
С as 8,11 МКф.
Пример 7-2. 100 конденсаторов емкостью каждый 2 мкф соеди-
нены параллельно. Определить общую емкость.
Общая емкость
0=100 04 = 200 мкф.
7-4. ПЛОСКИЙ КОНДЕНСАТОР
Обкладками простого плоского конденсатора служат две
металлические пластинки, расположенные параллельно
друг другу (рис. 7-4).
Если расстояние между обкладками невелико по сравне-
нию с их линейными размерами, то электрическое поле
между ними (не учитывая некоторого искажения у краев)
можно считать однородным. В поле плоского конденсатора
равнопотенциальные поверхности параллельны пластинам
конденсатора (рис. 1-15).
277
(7-6)
Напряженность однородного поля плоского конденсато-
ра [см. (1-18) и (1-19)[
у Q ..... U
6~ee0S d ’
где S — площадь каждой пластинки;
d—расстояние между пластинками.
Из (7-6) определим емкость плоского конденсатора:
С = ~- = ef'o~|- илн С = 8,85е • 10“12 [ф]. (7-7)
В последней формуле S—в квадратных метрах, d —
в метрах.
Емкость плоского конденсатора прямо пропорциональ-
на площади обкладок, обратно пропорциональна расстоя-
Рис 7-4. Плоский
конденсатор.
нию между ними и, кроме того, зави-
сит от свойств диэлектрика, заполняю-
щего пространство между пластинами.
Как уже указывалось и как следует
из формулы (7-7), емкость не зависит
от приложенного напряжения и вели-
чины заряда: данный конденсатор имеет
постоянную емкость (при неизменной
диэлектрической проницаемости).
Пример 7-3. Определить емкость плоского
конденсатора, каждая обкладка которого имеет
площадь 60 см2; пространство между обклад-
ками заполнено парафинированной бумагой
толщиной 0,1
По формуле (7-7) определяем:
мм.
с РД 1Л—4
С = 8,85е 4- •10-12=8,85-4,3. л • 10~i2 = 2,28 пф.
а 0,1 • 10 **
7-5. ПЛОСКИЙ КОНДЕНСАТОР С ДВУХСЛОЙНЫМ
ДИЭЛЕКТРИКОМ
Пусть между пластинами плоского конденсатора распо-
ложены два различных диэлектрика так, что поверхность
раздела совпадает с равнопотенциальной поверхностью
(рис. 7-5). Для определения емкости такого конденсатора
и напряженности электрического поля в каждом диэлек-
трике представим себе, что вдоль поверхности раздела мы
поместили бесконечно тонкий металлический лист. Такой
металлический лист не исказит электрическое поле в каж-
278
дом диэлектрике, так как поверхность раздела остается
равнопотенциальной (всякая проводящая поверхность в
электростатическом поле равнопотенциальна). Тогда плос-
кий конденсатор можно представить как последовательное
соединение двух плоских конденсаторов, емкости которых
-д-; С2 — Eq62
(7-8)
Емкость плоского конденсатора равна общей емкости
двух последовательно соединенных конденсаторов, кото-
рая определяется из соотношения
±_±+JL
С С, ГС2 '
откуда
(•>_ Cfiz _____ ®1®0®2 с /у п\
с, + с2 “ °-
Рис. 7-5. Конден-
сатор с двухслой-
ным диэлектри-
ком.
Так как при последовательном со-
единении заряды на всех обкладках
одинаковы по величине, т. е.
Q = C1[/1 = C2(/2 = Cl/,
где Ui — напряжение на первом конденсаторе; U2—напря-
жение на втором конденсаторе; U—общее напряжение, то
U2 = U .
Отношение емкостей можно найти из (7-8) и (7-9):
С • С ®1^2
С1 ®1^2“Ь®2^1 ’ ^2 ®2^1+®1^2
Следовательно,
Л2**1 . ; U2 = U . (7-10)
®ld2+®2dl ®2^+е1^2
Напряженности электрического поля в первом слое
и g2 во втором слое диэлектрика:
— I] е2 . 4? - 7 / е1
1 Е1^г+ ®2^1 ’ 2 ®2^1 + ®1^2
Таким образом, напряженности поля обратно пропор-
циональны диэлектрическим проницаемостям:
^2
<^2 8j
(7-11)
279
Из последней формулы можно сделать весьма важный
вывод: если в диэлектрике конденсатора есть слой или даже
пузырьки воздуха (у которого диэлектрическая проницае-
мость меньше проницаемости диэлектрика), то в слое воз-
духа могут возникнуть значительные напряженности элек-
трического поля, способные вызвать в нем разряд. Разряд
в воздухе сопровождается появлением раствора азотной
кислоты, что в конечном счете может стать причиной порчи
всей установки. Поэтому сушка изоляции обмоток машин,
проводов, кабелей и пр. производится в баках под малым
давлением с целью удаления из изоляции воздуха.
Пример 7-4. К обкладкам плоского конденсатора (с воздушной
изоляцией) подведено напряжение 6 000 в. 1) Определить напряжен-
ность поля, если обкладки расположены друг от друга на расстоя-
нии 4 см. 2) Как изменится напряженность электрического поля,
если между электродами и параллельно нм расположить стеклянную
пластинку (е2=6) толщиной 3 см?
1) Напряженность поля в воздухе
U 6 000 ,
©=—,' = —j— = 1 500 в/см.
а 4
2) Определить измененную напряженность в воздухе:
i/e2 6 000-6
<51 = —т- , j— = — 4 000 в/см.
e2di+d2ei 6-14-3-1
Напряженность поля в стеклянной пластинке
g2=g1 ^=4 000-^=667 в/см.
е2 6
7-6. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ КОНДЕНСАТОР
В цилиндрическом конденсаторе электрическое поле соз-
дается между двумя цилиндрическими поверхностями с об-
щей осью (рис. 7-6) и имеет радиальное направление. В силу
симметрии равнопотенциальиые поверхности имеют цилин-
дрическую форму; оси этих поверхностей совпадают с об-
щей осью электродов, причем, конечно, во всех точках
одной и той же равнопотенциальной поверхности величина
напряженности постоянна и уменьшается от одной равно-
потенциальной поверхности к другой.
Определим напряженность поля в точке А на равно-
потенциальной поверхности радиуса jR.
280
Поток вектора напряженности поля (1-8) через цилин-
дрическую поверхность радиуса длиною I
N = $S=^-2aRl,
причем по теореме Остроградского и Гаусса (1-11)
^2^Rl = -Q- ,
его
откуда
g =____2___. (7-12)
ее0-2л/?/ ' '
Рис. 7-6. Цилиндрический конденсатор.
Напряжение между электродами цилиндрического
конденсатора (1-15)
f?2 -F?2
U = £ %dR= (------=
.) J ee0-2nRl 2nlee0 J R
R1 Hi Ri
= (1П /?2 —In/?!)==-?—In .
2л/ее0 ' v 2n/teo Rt
Емкость цилиндрического конденсатора
c= Q ми с=8,85±2л£ 1(И 13)
in? 1п>
где I—длина конденсатора, м.
Напряженность электрического поля в точке, удален-
ной от оси на расстояние R, можно выразить через
напряжение U.
Так как из (7-13) Q=U
ТО
1П«7
--------= [7 —?—
ee0-2nRl R ]п /?2 ’
Ri
g=-
(7-14)
281
Таким образом, напряженность поля обратно пропор-
циональна радиусу равнопотенциальной поверхности,
на которой лежит точка А. Максимальная напряженность
поля получается на поверхности внутреннего цилиндра,
а минимальная — на поверхности внешнего.
При заданном напряжении между обкладками и радиу-
се R2 можно найти внутренний радиус /Д такого конденса-
тора, у которого максимальная напряженность поля (на
поверхности внутреннего цилиндра)
г и
будет иметь самое небольшое значение по сравнению
со всеми возможными конденсаторами с разными радиу-
сами Rt.
Определим, при каком условии знаменатель gRi,
<г. е. выражение R{ In ~, имеет наибольшее значение
«1
при переменном Rt и постоянном R2, приравнивая нулю
производную,
Ж О*-10 » = >" «> =
= In R2—In Ri — 1=0,
откуда In R2 — In Ri = 1 или ln ^- = 1.
Al
Имея в виду, что lne= 1, получим:
-^ = е = 2,72,
т. е. наименьшее значение напряженности электрического
поля на поверхности внутреннего цилиндра имеет место,
когда внутренний диаметр меньше внешнего в 2,72 раза.
7-7. ЕМКОСТЬ ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ
Для исследования передачи энергии по двухпроводной
линии важно знать ее емкость и наибольшую напряжен-
ность электрического поля.
Обозначим расстояние между осями проводов через а
(рис. 7-7), а радиус проводов через г0- Определим напря-
женность поля в точке А, лежащей в одной плоскости с ося-
282
ми проводов и находящейся на расстоянии г от оси первого
провода. Предположим, что а значительно больше г0. В этом
случае можно считать, что заряд первого провода равно-
мерно распределен по его поверхности и что напряжен-
ность электрического поля первого провода на цилиндри-
ческой поверхности, описанной радиусом г, согласно (7-12)
равна:
ос>_ Q
1 2лг/ее0
(Если г0 сравнимо с а, то под влиянием соседнего про-
вода заряды на каждом из них распределяются по поверх-
Рис. 7-7. Двухпроводная линия.
ности неравномерно и напряженность поля в разных
точках цилиндрической поверхности неодинакова.)
От оси второго провода точка А находится на расстоя-
нии а—г. Напряженность поля второго провода в точке А
______Q_____
2 ~ 2л (а — г) /ее0 '
В точке А векторы напряженностей и g2 парал-
лельны друг другу и имеют одинаковое направление
(рис. 7-7), поэтому результирующая напряженность поля
в точке А
+ <7'|5>
Напряженность между проводами найдем по (1-15):
г—а—го а-го а—го
U = ( = =
J 2л/ее0 \ J r 1 J a—r J
r=ro to ro
= 2^^lln(a — ro)~lnro+ln(a — r°)~lnrol =
=T-^-21n—°^^--1п-; (7-16)
2л/ее0 го л/ее0 г0 ’ v }
283
так как расстояние между проводами всегда значительно
больше радиуса (а > г0), разность а — г0 ничтожно отли-
чается от а.
Из (7-16) определяем заряд
Q__(J nleep
Х , а
1п —
го
и емкость двухпроводной линии
или £ = 8,85е—• 10"12. (7-17)
in — in —
го г0
В последней формуле С в фарадах, если I—в метрах.
Напряженность поля имеет максимальное значение
на поверхности провода (при r=-rQ)'
„ Q Л 1 , 1 \_____________Q _ (У
Смаке 2nZee0 \ r0 ' a — r0 J 2лг01е.е.0 , а
2г0 1п —
го
7-8. ЗАРЯДНЫЙ ТОК КОНДЕНСАТОРА
Присоединим незаряженный конденсатор (рис. 7-8)
емкостью С через сопротивление г к источнику питания,
на зажимах которого поддерживается постоянное напря-
Рис. 7-8. Зарядка конден-
сатора через сопротивление.
жение U. Для рассматриваемой
неразветвленной цепи справед-
ливо соотношение
U -~иг + ис, (7-18)
где иг — напряжение на концах
сопротивления г, рав-
ное падению напряже-
ния ir;
ис — напряжение на обклад-
ках конденсатора.
Известно, что напряжение на обкладках конденсатора
пропорционально заряду q, накопленному на обкладках,
о
Uc = -^-, и, следовательно, у незаряженного конденсатора
напряжение между обкладками равно нулю. Поэтому
в момент включения цепи (^ = 0) приложенное напряже-
284
ние равно только падению напряжения в сопротивле-
нии г.
и = + = + (7-19)
Из выражения (7-19) выразим ток для начального
момента времени:
»(0) = -^.
При появлении в цепи тока начинается перенос зарядов
на обкладки конденсатора и напряжение между ними посте-
пенно повышается. При увеличении напряжения ис паде-
ние напряжения ur = U — ис, наоборот, становится мень-
ше, что свидетельствует об уменьшении тока по мере заряд-
ки конденсатора. Наконец, напряжение ис достигает зна-
чения, равного напряжению на зажимах источника (теоре-
тически для этого требуется бесконечно большое время),
ток становится равным нулю и зарядка конденсатора закан-
чивается. Таким образом, ток при зарядке конденсатора
изменяется от наибольшего значения до нуля. Выясним
закон изменения тока и напряжений на отдельных участках
цепи.
Ток в цепи
> ——Г—"с •
dt ~~ dt ’
приращение напряжения на обкладках конденсатора
, . dt
duc = i~c~ >'
за то ще время dt падение напряжения на сопротивле-
нии г уменьшается на такую же величину duc что выте-
кает из уравнения (7-18)], т. е. —dur — duc', следова-
. dt
тельно, t-Q-=—rdt.
Разделив переменные, получим дифференциальное урав-
нение
dt dt
i ~ rC •
Произведение гС называется постоянной времени
цеп.и, обозначается т и измеряется в секундах:
[т] = И [С] = ом-ф = ом-= cetit
:85
Таким образом,
dz _ _ _d/
"7 т
Интегрируя уравнение почленно, найдем, что
In i = + In К,
откуда
1 = К^. (7-2°)
Постоянная интегрирования К определяется по извест-
Рис. 7-9. График изменения
тока и напряжения при за-
рядке конденсатора.
ному значению тока в момент
/ = 0: В этот момент
i (0) — Ке° = К,
поэтому
и
1=“е (7-21)
Падение напряжения на сопро-
тивлении г
_ L
ur = ir = Ue х .
Напряжение на обкладках конденсатора
_ £
ис = U—ur = U — Ue х
или
£
«с = /7(1—е т).
(7-22)
На рис. 7-9 построены графики ис и i в зависимости
от времени зарядки конденсатора.
За время t — Х зарядный ток уменьшается в е » 2,72
раза:
. _и________/
ге ~ 2,72
0,37/,
(7-23)
286
а напряжение на конденсаторе за это же время возра-
стает от нуля до 0,63(71
ut = U (1-у) «0,63(7. (7-24)
Таким образом, постоянная времени характеризует
быстроту зарядки конденсатора.
7-9. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК СМЕЩЕНИЯ
Напряженность электрического поля между обкладка-
ми конденсатора во время его зарядки изменяется.
Пусть заряжается плоский конденсатор. Напряженность
поля между обкладками конденсатора согласно (7-6)
или
4? — q
6 ee0S
ges0 = .
О
(7-25)
Величина esog = D, как известно, называется электри-
ческим смещением. Из (7-25) следует, что q — DS, a dq —
= SdD. При изменении сме-
щения между обкладками кон-
денсатора возникает электри-
ческий ток, равный току в про-
водах, присоединяющих кон-
денсатор к электрической це-
пи, так как цепь не развет-
влена,
с dD dq . ос. Рис.7-10.Токсмещениявкон-
1см = о—тт-=-тт-= I, (/-2о) денсаторе.
называемый током
смещения, а отношение
*см
5
dD
dt
выражает плотность тока смещения. Чтобы найти ток сме-
щения в диэлектрике конденсатора, надо плотность тока
смещения умножить на поперечное сечение поля, которое
равно площади пластин конденсатора S.
Введя понятие о токе смещения, можно рассматривать
цепь с конденсатором как замкнутую цепь электрического
тока, по одному участку которой проходит ток проводимо-
287
сти (по проводам и сопротивлению г), а по другому —
диэлектрику конденсатора — равный ему ток смещения
(рис. 7-10).
7-10. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
При зарядке конденсатора полученная от источника
питания энергия частично переходит в тепло в сопротивле-
нии г, частично запасается в электрическом поле конденса-
тора (рис. 7-8).
Выразим энергию, полученную цепью от источника пита-
ния. Для этого уже известное уравнение
U ir^Uc
умножим на idt:
Ui dt = i2r dt -r-uci dt — 1гг dt JrUcCduc.
Левая часть полученного уравнения — это энергия, отдан-
ная источником питания в цепь за время dt.
В правой части уравнения первое слагаемое iar dt выра-
жает энергию, переходящую за время dt в тепло, а второе
Cue due = dW
— энергию, запасаемую в электрическом поле при возра-
стании напряжения между электродами конденсатора на
величину duc.
При зарядке конденсатора энергия, которая расхо-
дуется генератором,
( — 00 Uq~U
Fr= J Vidt= § C7Cduc = (/2C = [/Q
f=0
затрачивается поровну на создание электрического поля
(при возрастании напряжения ис от 0 до U)
Uq=U
1V7 С j Ct/2 /*7 Г>-7\
W = \ Сис due — (7-21)
vc=°
и на выделение тепла
WT = Wr-W' = UQ — .
288
Интересно отметить, что в конденсаторе запасается по-
ловина энергии, отданной источником питания, при любом
значении сопротивления г (если, конечно, напряжение U
источника поддерживается постоянным).
Пример 7-5. Определить энергию, запасенную в электрическом
поле конденсатора емкостью 100 мкф, если напряжение между
электродами составляет 1 000 в.
Энергия
™ 100
2 106 '
1 0002
2
= 50 дж.
7-11. ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
В заряженном плоском конденсаторе, поле которого
однородно, энергия равномерно распределена по объему
V^Sd,
и энергия в единице объема (плотность энергии электри-
ческого поля)
^0 = ^. (7-28)
Имея в виду выражение (7-6), находим, что
пр _ _ ee0SU2 _ ее0$2
— 2V — 2Sd2 — 2
(7-29)
Формула (7-29), выражающая плотность энергии элек-
трического поля, справедлива и для неоднородного поля.
Определим силу взаимодействия F между обкладками
заряженного плоского конденсатора. Пусть под действием
силы взаимодействия пластины конденсатора сблизились
на бесконечно малое расстояние db. Произведенная при
этом работа F db равна изменению энергии поля W^dV,
откуда
В этом выражении dV = Sdb, где S—площадь обкладки
конденсатора; таким образом,
F -= Го5 = , или F= 8,85--^--10-12[н]. (7-30)
В последнюю формулу S должно быть подставлено
в квадратных метрах, g — в вольтах на метр.
19 Теоретическая электротехника 289
Пример 7-6. Определить силу взаимодействия между обкладками
плоского конденсатора, у которого S = 120 см2; d=l мм; е=1.
К зажимам конденсатора приложено напряжение 1 000 в.
Сила
V2S 8.85 (-У-S-10-12
F = 8,85 -ДД • 10-12 =->-d-Z----
-----------------и------------------= 0,0оЗ н.
7-12. РАЗРЯДКА КОНДЕНСАТОРА НА СОПРОТИВЛЕНИЕ
Рис. 7-11. Разрядка конденсато-
ра через сопротивление.
Соединим обкладки заряженного до напряжения U кон-
денсатора через сопротивление г (рис. 7-11). Под действи-
ем электрических сил в цепи появится электрический ток.
Количество электричества, прошедшее через поперечное
сечение проводника за вре-
мя dt, равно уменьшению
заряда на обкладках, т. е.
i dt = —dq,
откуда
i _ dq _ r duc
~c~dF *
(7-31)
Разность потенциалов на концах сопротивления г равна
напряжению между обкладками конденсатора:
uc — ir = —rC .
dt
Разделив переменные и обозначив гС = т, получим
дифференциальное уравнение
due _ dt
uc ~ ~ ’
откуда
In ис = — 4- In К}
£
«с = /<е_*. (7-32)
290
В начальный момент разрядки конденсатора (при ^ = 0)
Мс = £/, поэтому из (7-32) IJ = К.
Таким образом, напряжение на обкладках конденса-
тора при его разрядке изменяется по закону
£
«с = 77е г. (7-33)
Разрядный ток
Г г
(7-34)
т. е. пропорционален напряжению на обкладках. Наи-
большее значение он имеет в начальный момент (при ^ = 0):
j — j
днаио — г — * •
Постоянная времени т = гС
тем больше, чем больше емкость
конденсатора и сопротивление,
через которое он разряжается.
Действительно, чем больше ем-
кость и сопротивление, тем со-
ответственно больше накоплен-
ный заряд и меньше разряжаю-
щий ток и тем медленнее раз-
Рис 7-12. Графики изме-
нения тока и напряжения
при разрядке конденсатора,
изменения напряжения
ряжается конденсатор.
За время т напряжение на
конденсаторе и разрядный ток
уменьшаются в е = 2,72 раза.
На рис. 7-12 представлен график
и тока ис и i при разрядке конденсатора в зависимости
от времени.
Вся энергия, сосредоточенная в электрическом поле
заряженного конденсатора, при разрядке выделяется в ви-
де тепла в сопротивлении г.
7-13. САМОРАЗРЯДКА КОНДЕНСАТОРА
Электрическое поле конденсатора, отсоединенного от
источника питания и с изолированными обкладками, не
может сохраняться бесконечно долго, так как диэлектрик
конденсатора всегда обладает хотя малой, но отличной
от нуля проводимостью. Разрядка конденсатора из-за тока
19* 291
в несовершенном диэлектрике называется самораз-
рядкой. Если диэлектрик однороден, то постоянная вре-
мени при саморазрядке
т=/?С
не зависит от формы обкладок и расстояния между ними.
Например, в плоском конденсаторе, у которого емкость
с. = = я як . 1 л-12
а сопротивление
постоянная времени
т = RC = 4- = ем? = 8,85ер • 10-12, (7-35)
уо и у
где Q—вом-м.
Таким образом, постоянная времени саморазрядки зави-
сит только от физических свойств диэлектрика, разделяю-
щего обкладки, и пропорциональна произведению диэлек-
трической проницаемости и удельного сопротивления. Эта
зависимость справедлива для конденсатора любой формы.
Так, например, у конденсатора со слюдяной изоляцией
(е = 6; Q = 1012 ом-м) постоянная времени саморазрядки
т = 8,85 • 10~12-6 1012 = 53 сек.
Процессы зарядки и разрядки конденсатора, когда ток
в цепи и напряжение на конденсаторе изменяются, назы-
ваются переходными процессами.
7-14. РАЗРЯДКА КОНДЕНСАТОРА ЧЕРЕЗ КАТУШКУ
(КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР)
Рассмотрим явления в цепи, представленной на рис. 7-13.
В этой цепи конденсатор, заряженный до напряжения UM,
подключается к катушке с ничтожным сопротивлением.
В начальный момент времени (I = 0) напряжение на
конденсаторе имеет наибольшее значение и в электри-
ческом поле конденсатора запасена энергия
1^, СЦМ
292
С момента замыкания рубильника конденсатор начина-
ет разряжаться и в цепи проходит электрический ток.
Вместе с током возникает магнитное поле в катушке, а также
э. д. с. самоиндукции. Так как сопротивление катушки
принято ничтожным, а конденсатор следует считать источ-
ником питания цепи, то по второму правилу Кирхгофа
uc-\-eL — 0.
зажимах конденсатора
Рис. 7-13. Колебатель-
ный контур.
Следовательно, пс — — eL, т. е. э. д. с. самоиндукции
в каждый момент времени равна по величине и противо-
положна по знаку напряжению на
и равного ему напряжения на за-
жимах катушки (э. д. с. препят-
ствует разрядке конденсатора).
Но так как eL =—то
at
r di
tic = L ~ и ток в цепи нарастает
di и с
со скоростью -= .
По мере того как конденсатор
разряжается и напряжение ис па-
дает, уменьшается и скорость нарастания тока, пока, на-
конец, при «с = 0 она не упадет до нуля.
Но с другой стороны, при ис = 0 равна нулю и энер-
гия электрического поля конденсатора. Так как в данной
цепи энергия не превращается в тепло (г = 0), то вся
энергия, запасенная до разрядки в электрическом поле
конденсатора (СПщ/2), должна преобразоваться в энергию
магнитного поля катушки. Энергия магнитного поля катуш-
ки тем больше, чем больше ток в катушке. Поэтому при
ис = 0 ток в цепи имеет наибольшее значение /м; его
можно найти, приравняв первоначальный запас энергии
тому значению энергии магнитного поля, которое полу-
чается при наибольшем токе,
откуда
CUl Lil
2 2
(7-36)
293
Величина zB — j/" имеет размерность сопротивления
и называется волновым сопротивлением
контура.
Процесс уменьшения напряжения конденсатора от перво-
начального значения UM до нуля соответствует переме-
щению электронов с отрицательной обкладки на поло-
жительную. Разрядкой конденсатора этот процесс пере-
мещения зарядов не заканчивается, так как энергия маг-
нитного поля не может мгновенно исчезнуть, т. е. ток
в цепи с индуктивностью не может скачком упасть до нуля.
В цепи продолжает протекать ток прежнего направления,
постепенно уменьшающийся по величине. Наличие этого
тока означает продолжающееся перемещение электронов
с бывшей ранее отрицательной обкладки на обкладку,
ранее заряженную положительно, в результате первая
обкладка начинает заряжаться положительно, а вторая —
отрицательно.
Процесс перезарядки продолжается до тех пор, пока
ток не уменьшится до нуля, т. е. при отсутствии в цепи
сопротивления г до тех пор, пока вся энергия магнитного
поля не преобразуется в энергию электрического поля
и конденсатор не зарядится до напряжения, по величине
равного начальному, но обратного по знаку. Далее кон-
денсатор начинает разряжаться током обратного направ-
ления, а затем снова заряжаться; этот процесс продол-
жается до тех пор, пока цепь не будет разомкнута.
Таким образом, в рассматриваемой цепи энергия элек-
трического поля периодически преобразуется в энергию
магнитного поля и наоборот, т. е. в цепи наблюдаются
незатухающие периодические колебания энергии.
Такая цепь называется колебательной цепью
или колебательным контуром.
7-15. ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ
В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ
При разрядке конденсатора уменьшение заряда на
его обкладке
—dq — — С due — i dt
и ток в контуре
; _ р ^UC
294
т. е. пропорционален первой производной напряжения на
конденсаторе по времени, взятой с обратным знаком. На-
пряжение на конденсаторе, как было показано выше,
г di
Uc~L~dt~ ’
т. е. пропорционально первой производной тока по времени.
Такая взаимная зависимость двух переменных величин
возможна, если ток изменяется по синусоидальному закону,
так как первая производ-
ная синуса угла равна его
d sin а
косинусу —= cos а, a
напряжение на конденса-
торе изменяется по косину-
соидальному закону, так
как первая производная
косинуса угла, взятая с об-
ратным знаком, равна си-
нусу того же угла —
Рис. 7-14. Графики тока, напря-
жения на емкости и э. д с. само-
индукции колебательного конту-
ра при г — 0.
Другое возможное ре-
шение той же системы урав-
нений, когда ток изменяется по косинусоидальному зако-
ну, а напряжение на конденсаторе — по синусоидальному
закону (с обратным знаком), в разбираемом примере не
согласуется с физическим смыслом, так как начальное зна-
чение тока должно быть равно нулю.
Таким образом,
Z = /Msina = /Msin®0^, (7-37)
где а
и с = L ~ = w0L/M cos a>ot = U№ cos ©</, (7-38)
где t/M — (HqLIw
Графики i (t), Uc(t) и eL (0 показаны на рис. 7-14.
7-16. ПЕРИОД И ЧАСТОТА СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
В выражения (7-37) и (7-38) входит величина ®0, кото-
рая называется собственной угловой частотой
колебательного контура. Эта величина зависит
от индуктивности L и емкости С колебательного контура.
295
Действительно, так как t7M = ®0L/M или = <о0£ и,
' м
с другой стороны, из (7-36)
то
]/ ^- = <o0L
или
®о = у=. (7-39)
Период колебаний можно найти по (6-9):
/тл 2зт
а частота колебаний
f _ 1 _ «о
'° То 2л •
Пример 7-7. Конденсатор емкостью С = 40 мкф заряжен до на-
пряжения 150 в. Конденсатор разряжается через катушку с индук-
тивностью L=0,1 гн. Определить волновое сопротивление и собствен-
ную угловую частоту.
Волновое сопротивление
,/Т ,/о,1-106
г*= V ~c=v —г = ^ом-
Угловая частота
1 1 ЮЗ 1
«о = -7'— =---Г__ = = = ООО----- .
у LC /0,1 -40- 10~в /4 сек
7-17. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
При наличии в колебательном контуре сопротивления,
не превышающего двойного волнового сопротивления
(г < 2гв), процесс разрядки конденсатора через индук-
тивность отличается от ранее рассмотренного только тем,
что сопровождается непрерывным преобразованием элек-
трической энергии в тепловую (rr dt за время dt). Поэтому
амплитуды тока /м и напряжения с каждым полу-
периодом уменьшаются, т. е. в контуре наблюдается зату-
хающий колебательный процесс (рис. 7-15), который пре-
296
кратится, когда вся энергия будет преобразована в тепло-
вую (теоретически процесс длится бесконечно долго, как
и ранее рассмотренные переходные процессы).
Рис. 7-15 Затухающий периодический ток.
При сопротивлении r>2zB процесс разрядки конден-
сатора перестает быть колебательным.
В этом случае напряжение на конденсаторе с началь-
ного момента разрядки непрерывно уменьшается, посте-
Рис 7-16. Графики тока и на-
пряжения на емкости колеба-
тельного контура при г>2гв
пенно спадая до нуля, а ток в цепи сначала увеличи-
вается от нуля до некоторого наибольшего значения и затем
непрерывно уменьшается до нуля (рис. 7-16). Такой про-
цесс называют апериодическим.
297
7-18. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ИССЛЕДОВАНИЕ
ЗАРЯДКИ И РАЗРЯДКИ КОНДЕНСАТОРА
(§ 7-8, 7-12)
План работы
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы. Записать основные технические данные приборов.
2. Собрать схему (рис. 7-17) и показать ее руководителю.
Примечание. Для измерения напряжения на кон-
денсаторе применяется вольтметр электростатической си-
стемы (например, типа С-91).
Рис. 7-17. Схема к лабораторной работе 7-18.
3. При нейтральном положении переключателя включить рубиль-
ник сети и измерить напряжение сети.
4. Включить конденсатор в сеть, поставив переключатель в поло-
жение 1; через каждые 30 — 60 сек (отсчитывая время по секундо-
7. По полученным данным построить графики ис(() и i(t).
8. Пользуясь графиком, определить постоянную времени т. Для
этого найти на кривой «с (0 точку, ордината которой равна 0,63(7.
Абсцисса этой точки в выбранном масштабе выражает т.
9. Определить т расчетом.
Сравнить полученные результаты.
10. Разрядить конденсатор, поставив переключатель в положе-
ние 2. Через интервалы времени т, 2т, Зт и 5т (отсчитывая время
по секундомеру) записать показания вольтметра.
298
11, По полученным данным определить i.
12. Показания приборов и результаты расчета записать в табл. 7-2.
Таблица 7-2
Ай П/П. “с- в г, Мом 1, мка t, мин
13. По полученным данным построить графики ис (О и i (t).
7-19. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ГЕНЕРАТОР
ПИЛООБРАЗНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
План работы
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы. Записать основные технические данные приборов.
Рис. 7-18. Схема к лабораторной работе 7-19.
2. Собрать схему (рис. 7-18) для измерения напряжения, при
котором неоновая лампа зажигается (П3), и напряжения, при кото-
ром лампа погасает (Un). Показать схему руководителю.
3. Измерить и записать значения U3 и (7П.
4. Зная U3 и Un, вычислить период пилообразного напряжения,
которое возникает на зажимах конденсатора С при медленной
зарядке через сопротивление г от источника с постоянным напряже-
нием U и быстрой разрядке через неоновую лампу (рис. 7-19).
Неоновая лампа, включенная параллельно конденсатору, заго-
рается, когда напряжение на обкладках конденсатора повысится
до величины U3. Почти мгновенно конденсатор разрядится через
неоновую лампу до напряжения (7П, при котором лампа погаснет.
Затем снова напряжение плавно повышается от величины Un до Ua
и т. д.
Период Т пилообразного напряжения практически равен про-
межутку времени, в течение которого напряжение на обкладках
299
конденсатора возрастает от Ua до U3. Период вычисляется по фор-
муле
таг (7-да)
Действительно примем за начало отсчета времени (f = 0) момент
начала зарядки. В этот момент Uc = Ua н из (7-20) i (0) =-.
г . U-Ua
Следовательно, ток t — —------е , напряжение
ur — Ir = (U—ип} е т = и—ис.
Рис. 7-19. Схема к лабораторной работе
7-19.
В момент времени t — Т зарядка прекращается, так как напряжение
Uq достигает значения U3, т. е.
_т
(U—UB)e X=U—U3
или
Логарифмируя, получим (7-40).
5. Собрать схему генератора пилообразного напряжения (рис. 7-19).
Показать схему руководителю.
Определить период пилообразного напряжения опытным путем
методом подсчета числа вспышек неоновой лампы (20 — 40 вспышек)
Таблица 7-3
№ п/п. Т, сек Т из расчета, сек Т из опыта, сек
300
и измерения соответствующего времени. Сравнить результаты опыта
и расчета.
7. Подвести пилообразное напряжение к отклоняющим пласти-
нам осциллографа, наблюдать кривую uc (t) и зарисовать ее на
бумаге.
8. Повторить опыт и расчеты, изменив постоянную времени
путем изменения г (например, увеличив г в 2 раза).
9. Результаты ресчета и данные опытов записать в табл. 7-3.
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ и ОПРЕДЕЛЕНИЯ,
ОТНОСЯЩИЕСЯ К ПЕРЕМЕННЫМ ТОКАМ
8-1. ПЕРИОД И ЧАСТОТА ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Переменный ток в настоящее время имеет громадное
практическое значение. Достаточно сказать, что в Совет-
ском Союзе и за рубежом почти вся электрическая энергия
вырабатывается в виде энергии переменного тока. Постоян-
ный ток, необходимый в промышленности (электрохимия),
транспорте (электротяга), связи и т. д., получается путем
преобразования (выпрямления) переменного тока.
Мы уже отмечали, что конструкция генераторов пере-
менного тока проще, чем генераторов постоянного тока.
Главное же преимущество переменного тока заключается
в возможности получать при помощи трансформаторов
переменный ток различного напряжения: высокого — для
передачи энергии на большие расстояния и низкого —
для питания потребителей.
Переменным называют ток, изменение которого
по величине и направлению повторяется периодически
через равные промежутки времени Т. Следовательно, если
в произвольно выбранный момент времени ток равен
i (С), то в моменты времени /2 = С + Т\ t3 = С + 2Т; . . .
. . .; Д = + kT ток имеет такое же значение, т. е.
i (Л) = i (*2) = i (/3) = • • • = 1 (Д).
Условие периодичности можно записать и так:
i (/) = i (t ~\~Т) = ... = i (t -j- kT). (8'1)
На рис. 8-1 показан график периодического тока, изме-
няющегося по синусоидальному закону. На графике по оси
абсцисс отложено время /, а по оси ординат — ток г,
Т = 0,02 сек.
301
Значение переменной величины (тока, напряжения,
э. д. с.) в любой момент времени t называется мгно-
венным значением и обозначается строчными
буквами: ток i, напряжение и, э. д. с. е. Наибольшие из
мгновенных значений периодически изменяющихся токов,
напряжений или э. д. с., называются максималь-
ными или амплитудными значениями и обозна-
чаются прописными буквами с индексом «м», например:
ток /ч, напряжение UM.
Наименьший промежуток времени, по прошествии кото-
рого мгновенные значения переменной величины (э. д. с.,
Рис 8-1. График синусоидального пере-
менного тока.
напряжения или тока) повторяются в той же последова"
тельности, называется периодом Т, а совокупность
изменений, происходящих в течение периода,— циклом.
Величина, обратная периоду, выражающая число перио-
дов в секунду, как уже указывалось, называется частотой
и обозначается буквой /; таким образом,
f=±. (8-2)
Частота численно равна числу периодов в 1 сек.
Таблицу 8-1
Область применения Частота, гц
Стандартная (техническая) частота для промышлен- ных установок в СССР Проводная связь (звуковые частоты) Электротермия Беспроводная связь (радиотехника) 50 300—5 000 50-108 106-ЮМ
302
Единица частоты Мсек, как указывалось, называется
герц (гц). Более крупные единицы частоты — кило-
герц (кгц) и мегагерц (Л4гц): 1 кгц = 103 гц,
1 Мгц = 10е гц.
В табл. 8-1 даны диапазоны частот, применяемых в раз-
личных областях техники.
Пример 8-1. Найти период тока промышленных установок.
Период
1 1
Т — — == — = 0,02 сек.
В большинстве установок стремятся получить синусои-
дальный переменный ток. Только при синусоидальном
изменении тока наведенные в цепи э. д. с. самоиндукции
и взаимной индукции, пропорциональные производной тока
по времени L ~t ; — М и напряжения на зажимах
конденсаторов, изменяются также по синусоидальному
закону. Говоря в дальнейшем о переменных токах, мы будем,
иметь в виду синусоидальные токи.
8-2. ЗАВИСИМОСТЬ ЧАСТОТЫ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
ОТ ЧИСЛА ПАР ПОЛЮСОВ И СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ГЕНЕРАТОРА
В § 6-4 был рассмотрен простейший генератор перемен-
ного тока с одной парой полюсов, у которого одному оборо-
ту якоря соответствовал
один цикл э. д. с. е =
= Ем sin а.
В генераторе, имею-
щем р пар полюсов, за
время одного оборота
якоря виток проходит
под р парами полюсов и,
следовательно, одному
обороту соответствует р
~Врем я одного оборота"—
Рис. 8-2. График э. д. с. простейше-
го генератора переменного тока
с двумя парами полюсов.
циклов э. д. с. (рис. 8-2, где принято р = 2):
е= Ем sin (ра).
(8-3)
Произведение ра называется электрическим
углом, а отношение электрического угла ко времени
зоз
называется электрической угловой скоростью или угло-
вой частотой:
й==^. = ^2« =2л/. (8-4)
Угловая частота не зависит от числа пар полюсов,
равна числу периодов за 2л секунд и измеряется в Мсек.
Если п — число оборотов генератора в минуту, то число
_ п
оборотов в секунду равно , а число циклов в секунду,
т. е. частота,
f=^P- (8-5)
На рис. 8-3 представлена диаграмма распределения
Вм sin (ра) в воздушном зазоре
магнитной индукции В =
четырехполюсного (р = 2)
генератора (стрелки пока-
зывают направление век-
Рис 8-4. Устройство ге-
нератора переменного
тока с двумя парами по-
люсов.
Рис 8-3. Диаграм-
ма магнитного по-
ля генератора,
изображенного на
рис. 8-4.
тора магнитной индукции, длина отрезков пропорци-
ональна величине магнитной индукции). Схематическое
устройство такого генератора показано на рис. 8-4. Он
состоит из станины С с четырьмя полюсами, на которых
укреплена обмотка возбуждения О. Между полюсами на-
ходится якорь генератора Я-
Якорь генератора цилиндрический, набран из листо-
вой электротехнической стали и укреплен на валу. В пазах
якоря размещена обмотка, концы которой присоединены
к медным изолированным кольцам. На кольца наложены
304
щетки; через кольца обмотка якоря соединяется с внешней
цепью.
Магнитное поле генератора с индукцией В создается
постоянным током, проходящим по обмотке возбужде-
ния О. При вращении якоря в магнитном поле в его обмот-
ке индуктируется э. д. с. е.
Описанный тип генератора с неподвижным индуктором
(полюсами) и вращающимся якорем встречается сравни-
тельно редко. Обычно
генераторы переменного
тока выполняются с не-
подвижным якорем и
вращающимися электро-
магнитами. Неподвиж-
ную якорную обмотку
легче надежно изолиро-
вать. При неподвижной
обмотке проще отвести
во внешнюю цепь значи-
тельные токи.
Устройство генерато-
ра с неподвижным яко-
рем и ЯВНО выраженны- Рис. 8-5. Устройство генератора пе-
ми полюсами схематиче- ременного тока
ски показано на рис. 8-5
(р = 2). На внутренней поверхности статора С в пазах
уложена обмотка якоря. Обмотка возбуждения О укрепле-
на на четырех полюсах, расположенных на роторе Р.
Концы этой обмотки присоединены к двум изолированным
кольцам. В обмотку возбуждения поступает постоянный
ток через щетки, наложенные на эти кольца.
Переменные токи высокой частоты (до 20—50 кгц)
можно получить при помощи вращающихся высокочастот-
ных генераторов, а токи более высокой частоты — при
помощи ламповых генераторов.
Пример 8-2. Генератор имеет две пары полюсов (р = 2) и вра-
щается со скоростью п = 1 500 об/мин. Определить частоту перемен-
ного тока.
Частота
г_ п _ 1 500
60 Р~~60~
2 = 50 гц.
Пример 8-3. Генератор вращается со скоростью 750 об/мин,
частота тока /==50 гц. Определить число пар полюсов генератора.
20 Теоретическая электротехника 305
Число пар полюсов
Л 60
р=-т-
50-60
750
8-3. ФАЗА. СДВИГ ФАЗ
Предположим, что генератор имеет на якоре два оди-
наковых витка, сдвинутых в пространстве (рис. 8-6).
При вращении якоря в витках наводятся э. д. с. оди-
наковой частоты и с одинаковыми амплитудами, так как
Рис. 8-6. Расположение
витков простейшего гене-
ратора в момент времени
t = 0.
тельно той же плоскости
витки вращаются с одинаковой
скоростью в одном и том же
магнитном поле. Но вследствие
сдвига витков в пространстве
э. д. с. достигают амплитудных
значений неодновременно.
Если при вращении якоря
против направления движения
часовой стрелки в момент нача-
ла отсчета времени {t = 0) ви-
ток 1 расположен относительно
нейтральной плоскости под уг-
лом «1 — 41!, а виток 2 относи-
— под углом а2 = фг (рис. 8-6),
то наведенная в первом витке э. д. с.
61 = Ем sin (со/ 4-ipi),
а э. д. с., наведенная во втором витке,
е2 = EMsin (со£-|-ф2).
Графики этих э. д. с. построены на рис. 8-7.
В момент начала отсчета времени э. д. с. в первом
витке
ею = Ем sin (wO-i-ipt) = Ем sin ф1
и э. д. с. во втором витке
е20 = Ем sin (<в • 0 + ф2) = Ем si п ф2;
электрические углы ipj, ф2, определяющие значения э. д. с.
в начальный момент времени, называются начальными
фазовыми углами или просто начальными фа-
зами.
306
Разделив начальный фазовый угол или ф2 на угло-
вую частоту, получим время
j ___ 'Фд ___ Ф1 _____ Т] 'Г. f _ Ф2 'Г
11 <0 2л/ 2л ’ 2 2л ’
(8-6)
прошедшее от начала периода э. д. с. или е2 до момента,
который принят за начало отсчета времени (началом перио-
да назовем момент времени, в который синусоидальная
величина проходит через то нулевое значение, после кото-
рого она принимает положительные значения).
Таким образом, всякая синусоидальная величина харак-
теризуется: 1) амплитудой; 2) частотой или
периодом; 3) начальной фазой.
Разность начальных фаз двух синусоидальных вели-
чин одной частоты называется углом сдвига фаз:
Ф1 - Ф2 = Ф12-
Разделив угол сдвига фаз на угловую частоту, получим
время сдвига:
/ 4'12 'Ф12 71
Время сдвига показывает, на какую часть периода
(на какое время) одна синусоидальная величина дости-
гает своих нулевых (или амплитудных) значений раньше
другой синусоидальной величины.
20*
307
Та величина, у которой нулевые значения (после кото-
рых она принимает положительные значения) или положи-
тельные амплитудные значения достигаются раньше, чем
у другой, считается опережающей по фазе,
а та, у которой те же значения достигаются позже,—
отстающей по фазе. Относительно э. д. с., пред-
ставленных на рис. 8-7, можно сказать, что э. д. с. ei опе-
режает по фазе э. д. с. е2 на угол ф12 (или время /12) или,
что то же, э. д. с. е2 отстает по фазе от э. д. с. ел на угол ф12
(или время /12).
Если две синусоидальные величины имеют одинаковые
начальные фазы, то они одновременно достигают своих
амплитудных и нулевых значений; в этом случае говорят,
что величины совпадают по фазе.
Про синусоидальные величины, угол сдвига фаз кото-
рых равен 180° (ф = л), говорят, что одна из них изме-
няется в противофазе с другой.
Пример 8-4. Дано: е4 ~ £1М sin (at + 45°); е2 = £2М sin (at + 15°);
/ = 50 гц.
Определить: 1) Угол сдвига фаз е1 и е2; 2) и t2, соответствую-
щие начальным фазам ei и е2; 3) время, соответствующее сдвигу
фаз е, и е2.
Выразим начальные фазы ei и е2 в радианах:
, 45°-2л 1 , 15°-2л 1
360° ~ 4 Л; ''’2~ 360° ~ 12 Я'
Определим угол сдвига фаз и е2:
?0°.9гт 1
Ф12 = ф, - ф2 = 45° - 15° = 30° = = -§- л.
Определим период и е2
Т = -1- = -1- = 0,02 сек.
j оо
Определим время, соответствующее начальным фазам Cj и е2;
1 1
I Тл ТЛ 1
L = Jxl=-T—г- * .0,02 сек = 0,0025 сек;
1 а 2л/ 2л 8
/2=^=4^’~ = 5Щг--°>0025 «к =0,00083 сек.
2 а ф4 а 45°
Время сдвига фаз е4 и е2:
t12 = tt — tz = 0,0025 — 0,00083 = 0,00167 сек.
308
8-4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНЫХ
ВЕЛИЧИН
Синусоидальные величины можно графически изобра-
жать или синусоидами, или вращающимися век-
торами.
В первом случае ординаты синусоиды в определенном
масштабе представляют мгновенные значения величины,
Рис. 8-8. Построение графика синусоидально изменяющейся вели-
чины.
а абсциссы — промежутки времени от начала отсчета
времени. Такое изображение дает возможность найти
амплитуду, начальную фазу и период (рис. 8-1 и 8-7).
Во втором случае синусоидальная величина изобра-
жается вращающимся вектором. Длина вектора в мас-
штабе выражает амплитуду синусоиды; угол, образован-
ный вектором с положительным направлением оси абсцисс,
в начальный момент равен начальной фазе; скорость вра-
щения вектора равна угловой частоте. Мгновенные значе-
ния синусоидальной величины выражаются проекциями
вращающегося вектора на ось ординат.
Если, например, задана э. д. с.
е = £мз1п(о^ + ф1), (8-7)
то ее можно представить в начальный момент времени
(t — 0) вектором О А (рис. 8-8), расположенным под углом
к положительному направлению оси абсцисс; величина
вектора в определенном масштабе равна амплитуде Ем.
При вращении вектора в положительном направлении
(против направления движения часовой стрелки) с угло-
вой скоростью со проекции его на ось ординат выражают
мгновенные значения э. д. с. е.
309
pi) и
Рис. 8-9. Векторная
диаграмма э. д. с.
Действительно, из формулы (8-7) при t = 0 имеем
йо = Дм sin и проекция вектора ОА равна той же вели-
чине. В момент времени /' из (8-7) получаем е' = £м X
проекция вектора, занявшего новое
положение (О£), равна:
£м sin а' = £м sin (cof + 4i) = е' и т. д.
Совокупность нескольких векто-
ров, изображающих синусоидальные
величины одинаковой частоты в на-
чальный момент времени, называется
векторной диаграммой.
Например, э. д. с.
й| = £1M sin (bit + 4'1) и
c2 = £2m sin (со/+ ф2)
векторной диаграммой с двумя век-
торами £1м и £2м (рис. 8-9).
На рис. 8-10,а показана векторная диаграмма токов,
определяемых выражениями:
можно представить
/1=10 sin со/ а.
i2 = 10 si п (со/ — 120°) а:
г3= 10 sin (<о/+ 120°) а.
На рис. 8-10,6 показаны графики изменения этих
токов во времени.
Ток г2 отстает по фазе от тока ц на 120°, и начальная
фаза этого тока отрицательная (—120°); поэтому вектор
тока 72м повернут относительно положительного направле-
ния оси абсцисс в отрицательном направлении (по направ-
лению движения часовой стрелки). Правило построения
вектора совпадает с принятым в тригонометрии (при по-
строении вектора /2м отложен отрицательный угол —120°).
Ток г3 опережает по фазе ток на угол 120°, его начальная
фаза равна +120°.
На векторной диаграмме векторами изображают вели-
чины только одной определенной частоты; таким образом,
вращение векторов происходит с одной и той же угловой
скоростью и, следовательно, взаимное расположение их
остается неизменным. При сравнении синусоидально изме-
няющихся величин начало отсчета времени можно выбрать
ЗЮ
произвольно, tn. е. один из векторов можно направить про-
извольно-, остальные векторы нужно располагать по отно-
шению к первому под углами, равными соответствующим
углам сдвига фаз, причем положительные углы отклады-
ваются в направлении, обратном движению часовой стрел-
ки. Очевидно, что расположение векторов (т. е. изобра-
а)
Рис. 8-10. Векторная диаграмма токов.
жаемы-х ими синусоид) друг относительно друга не зависит
от того, какой момент времени принят за начальный.
Например, можно за начало отсчета времени при изо-
бражении токов ч, г2, «з выбрать другой момент (^пунк-
тирная ось ординат на рис. 8-10, б, где время между преж-
ним и новым началами отсчета времени выбрано равным
. Тогда ток
Т = 10 si поз (j, = 10 sin Qat + =
= 10 sin ^(o/+ ) = 10 sin ) =
— 10 sin (at -j- 30°).
311
Аналогично:
i2=- 10 sin (со/— 120°+ 30°) = 10 sin (at — 90°);
/3 = 1 Osin (и/+ 120°+30°)= 10sin (и/+ 150°).
Новая векторная диаграмма показана на рис. 8-10, в.
Преимущество изображения синусоидально изменяю-
щихся величин векторами заключается в том, что при
таком изображении сумма или разность нескольких вели-
чин может быть определена графически быстро и просто,
в то время как при изображении величин синусоидами
эти операции сложны и требуют много времени.
Пример 8-5. Построить векторные диаграммы э. д. с. приме-
ра 8-4, приняв сначала за начало отсчета времени момент, когда
э. д. с. e2(0) = £2M sin 15°, а затем момент, когда э. д. с. е2(0) = 0.
Рис. 8-11. Векторные диаграммы э. д. с. к при-
меру 8-5.
В первом случае е2= £2М sin (со/-(-15°), a — £1М sin (со/4-45°)
и опережает по фазе э. д. с. е2 на 30° (рис. 8-11, о). Во втором
случае вторую э. д. с. нужно записать в виде е2= £2м sin со/, а пер-
вая э. д. с. el = Eif/[ sin (со/+ 30°) по-прежнему опережает по фазе
э. д. с. е2 на 30° (рис. 8-11,6).
8-5. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ СИНУСОИДАЛЬНЫХ
ВЕЛИЧИН
При расчете цепей переменного тока часто приходится
складывать и вычитать синусоидальные токи, напряжения
или э. д. с.
Допустим, необходимо сложить две э. д. с. одной и той
же частоты:
= £1м sin (й/ + Ф1) и е2 = £'2М81п(®/4-ф2).
312
Мгновенное значение суммарной э. д. с. равно алгеб-
раической сумме мгновенных значений слагаемых вели-
чин, т. е.
е =• Ct + е2 = £1М sin (и/ + г^) + £2м sin (и/ + ф2).
Сложение двух синусоидальных величин можно выпол-
нить графически путем сложения двух синусоид, изобра-
жающих эти величины. Для получения ординат суммарной
Рис 8-12. Сложение два х синусоид.
кривой нужно для каждого момента времени сложить
ординаты кривых, изображающих слагаемые величины,
что и выполнено на рис. 8-12.
Полученная кривая — синусоида той же частоты.
Из чертежа можно определить амплитуду и начальную
фазу суммарной э. д. с. и, следовательно, написать:
e--=e1-}-e2 = £'Msin + (8-8)
Докажем, что вектор, изображающий эту синусоиду,
равен геометрической сумме векторов, изображающих сину-
соиды слагаемых величин. Чтобы сложить две заданные
э. д. с. б! ие2, представленные векторами ОА и ОБ (рис. 8-13),
нужно вектор ОБ перенести параллельно самому себе
так, чтобы начало его совпало с концом вектора О А (или
вектор ОА перенести параллельно самому себе так, чтобы
313
начало его совпало с концом сектора О Б у, тогда замы-
кающий вектор ОВ изобразит суммарную э. д. с.
Действительно, при t = 0 проекция вектора ОА на
ось ординат представляет
Рис. 8-13. Сложение двух векторов
т мгновенное значение е10,
проекция вектора ОБ или
равного ему вектора Л В на
ту же ось —мгновенное зна-
чение е20, з сумма этих
проекций (е10 + е20) равна
проекции на ось ординат е0
суммарного вектора ОВ.
При вращении векторов
их взаимное расположение
не изменяется, и для про-
екций по-прежнему вы-
полняется равенство е =
= 61 + е2.
Из треугольника век-
торов находим амплитуду
суммарной э. д. с. (8-8) по
известной теореме тригоно-
метрии:
Вм = У + Вг2м + 2£’i,t£2M cos (ф, — ф2). (8-9)
Тангенс начального фазового угла суммарной э. д. с.
(8-8)
tg ib = sin = £MsinT
® т cos ф £м cos ф
Но
Ew sin ф = е0; е10 = В!м sin фр е20 = Е2я sin ф2,
и так как
ео = ею + е20,
то
Вм sin ф = Е1м sin ф4 + В2м sin ф2.
Аналогично, проектируя векторы на ось абсцисс
(рис. 8-13), получим:
£м cos ф = Ela cos ф4 + В2м cos ф2.
Следовательно,
tg ф = f^L.sin Ti + g2Msinfe , (8_
s £1М cos фj + £2М cos ф2 '
314
Таким образом, при сложении синусоидальных величин
одинаковой частоты получается синусоидальная величина
той же частоты, амплитуда которой равна геометрической
сумме амплитуд слагаемых синусоид.
Рис. 8-14. Сложение
векторов э. д. с.,
сдвинутых по фазе на
л
Угол у .
Рис. 8-15. Сложение век-
торов э. д. с , совпада-
ющих по фазе.
Для часто встречающегося случая сложения двух сину-
соидальных величин, сдвинутых по фазе на угол ± у ,
Ci = Е 1м sin at; е2 = £2Msin (at ± у) ;
е = + е2 = £м sin (at ±ф)
^рис. 8-14, где выбран угол +у^ можно написать:
Дм=|/ £im+F2m + 2Fim£2m cos(±40 =
= р/ГД1м~|-£2м ; (8-Н)
trt = = £”8|"°+£"Н±Ю = ± г»
£'’C0S11’ £1м cos 0 + £2м cos у £1м ‘
(8-12)
Для частного случая сложения двух синусоидаль-
ных величин, имеющих одинаковые начальные фазы
(рис. 8-15), получим:
Ci = Д1м sin (и/ + ф); е2 = £2м sin (сЩ + ф);
e = 6i + e2= (£1м+ Дгм) sin (и/ + ф) = £Msin (и/ + ф), (8-13)
т. е. в этом случае амплитуда результирующей э. д. с.
равна сумме амплитуд слагающих э. д. с., а начальная
315
фаза результирующей э. д. с. равна начальным фазам
слагающих э. д. с.
При большем числе векторов их сложение производится
тем же методом, т. е. векторы переносятся параллельно
самим себе так, чтобы начало второго вектора совпало
с концом первого и т. д. Замыкающий вектор изображает
суммарную величину. На рис. 8-16 показано сложение
векторов трех э. д. с.
Рис. 8-16. Сложе-
ниетрех векторов.
Рис. 8-17. Вычитание
векторов.
Вычитание двух синусоидальных величин заменяют
сложением уменьшаемой величины с вычитаемой, взятой
с обратным знаком, т. е.
’ б2 = б1 “Г (-62) •
Следует помнить, что изменение знака у синусои-
дальной величины соответствует изменению начального
фазового угла на 180°', действительно, можно написаты.
— Егм sin (ш/ + ф2) = Е2м sin (и/ -фф2 ± л).
Если синусоидальные величины изображены векто-
рами, то изменение знака означает поворот вектора на
± 180°.
Следовательно, вычитание двух векторов можно заме-
нить сложением вектора уменьшаемой величины с обрат-
ным вектором вычитаемой величины (рис. 8-17).
При сложении двух синусоидальных величин различ-
ной частоты получается несинусоидальная величина, кото-
рая не может изображаться вращающимся вектором; век-
316
торная диаграмма применима только для синусоидальных
величин, имеющих одну и ту же частоту.
Пример 8-6. Два генератора переменного тока соединены после-
довательно; их э. д. с. соответственно равны:
е1 = 100 sin со/ в; е2= 100 sin ^со/в.
Определить суммарную э. д. с.
Амплитуда суммарной э. д. с.
^м= ^м2 2£mi£m2 cos ('Ф1 М'г)=
— j/ 1002 + 1002 + 2.100-100 cos у =100/3= 173 в
Начальная фаза
100-^1
fg ч, - sin Ф1 т £гм sin ф2 ______2______ 1_ , л.
ё £1mCOS'c|>1 + £2mcos'c|>2"' 100+ 100._L /З’ Т '6‘
Суммарная э. д. с.
е = е1-|-е2= 173 sin Г со/-|-у J в.
8-6. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ
Для переменных токов, напряжений и э. д. с. до сих
пор мы пользовались двумя характеристиками их величин,
а именно — мгновенными и максимальными значениями.
В технике переменные токи, напряжения и э. д. с. харак-
теризуют еще средними и действующими
(эффективными) значениями.
Среднее значение синусоидального тока (/с) за полу-
период равно величине такого постоянного тока, при кото-
ром в течение полупериода через поперечное сечение провода
проходит то же количество электричества Q, что и при
переменном токе,
т
2 т
I I dt
/с= 5 idt' (8'14)
о
причем начало отсчета времени (/=--0) должно совпадать
с началом периода (когда ток равен нулю), т. е. i =
317
= /Msin«>/. Аналогично среднее значение напряжения
и э. д. с.:
т _т_
Т 2 2
С/с = у- U dt; Ес = ~т е dt.
о о
Графически среднее за полупериод значение тока выра-
жается высотой прямоугольника с основанием, равным ,
и площадью, равной площади, ограниченной кривой тока
и осью абсцисс, за половину периода (рис. 8-18).
Рис. 8-18. Среднее значение тока за по-
лупериод.
Между средним и максимальным значениями синусои-
дального тока существует простое соотношение
т т_
Т 2 Т/2
= idt ? sin и/ dt=—1 cos a>t I =
i .1 1 J 1 CO | J
0 0 0
= ^(coS^-raSo)_-i-(-l-l) = ^>«0,637/M.
(8-15)
Такое же соотношение получается и для напряжения
Uc 0,637UM.
Среднее значение синусоидального тока за период равно
нулю, так как в течение первой половины периода опреде-
ленное количество электричества проходит через попереч-
ное сечение проводника в одном направлении, а в течение
второй половины периода такое же количество электриче-
318
ства проходит в обратном направлении; следовательно,
количество электричества, прошедшее через поперечное
сечение проводника за период, и среднее за период значе-
ние тока равны нулю.
8-7. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ТОКА
ПРИ ОДНОПОЛУПЕРИОДНОМ И ДВУХПОЛУПЕРИОД-
НОМ ВЫПРЯМЛЕНИИ
У магнитоэлектрического измерителя, включенного
в цепь переменного тока, угол поворота подвижной части
пропорционален среднему значению тока в катушке за
Рис. 8-19. Схема соединения
магнитоэлектрического из-
мерителя с вентилями для
измерения переменного
тока.
Рис. 8-20. График тока в измерителе
при соединении по схеме рис. 8-19.
период. При синусоидальном токе угол отклонения подвиж-
ной части измерителя равен нулю.
Если в цепь переменного тока измеритель магнито-
электрической системы включен не непосредственно, а по
схеме с двумя электрическими вентилями (рис. 8-19),
то через измеритель в течение периода проходит только
одна полуволна тока (рис. 8-20). Вторая полуволна тока
проходит по параллельной ветви, в которую включен
вентиль, в обратном направлении.
Среднее значение тока в измерителе или среднее значе-
ние тока при однополупериодном выпрямлении за период
т т
Т 2 Т 2
/с = у- j idt = ~ idt = ^- i dt = ~lJli (8-16)
о о т о
2
(так как во вторую половину периода ток, идущий через
измеритель, равен нулю, то второй интеграл равен нулю).
319
Если тот же измеритель включить в диагональ выпрями-
теля по мостовой схеме (рис. 8-21), то через измеритель
в течение периода проходят две полуволны тока в одном
и том же направлении. В этом случае среднее значение
Рис. 8-21. Схема соединения магнитоэлектрического
измерителя с вентилями для измерения перемен-
ного тока.
выпрямленного тока измерителя вдвое больше, чем при
однополупериодном выпрямлении,
/с = |-/м = 0’637/м-
(На рис. 8-21,а показано направление токов в вентилях
и измерителе, когда ток в общей цепи направлен от левого
Рис. 8-22. График тока в измерителе
при соединении по схеме рис. 8-21.
зажима к правому, а на рис. 8-21,6 — когда ток в общей
цепи направлен от правого зажима к левому. Ток через
измеритель проходит в течение обеих половин периода
переменного тока в одном и том же направлении, как
и показано на рис. 8-22).
8-8. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ НАВЕДЕННОЙ Э. Д. С.
Если в цепи вследствие изменения магнитного потока
индуктируется э. д. с., то среднее значение ее за полу-
период можно определить через максимальное значение
магнитного потока.
320
Допустим, что магнитный поток изменяется по синусои-
дальному закону:
ф = фм sin (tot + 90°) = Фм cos tot
(начальную фазу выбираем произвольно ф = 90° так,
чтобы начальная фаза э. д. с. получилась равной нулю).
Тогда э. д. с.
е = —w — даФм —— = — аиоФм (—sin tot) ~
= окоФм sin tot — Ем sin tot, (8-17)
где <оауФм = £м — амплитуда наведенной э. д. с.
Таким образом, синусоидальный поток наводит
э. д. с., изменяющуюся тоже по синусоидальному закону,
. л
но отстающую от потока по фазе на угол -у .
тока и наводимой им э. д. с.
Графики магнитного потока и э. д. с. представлены
на рис. 8-23.
Среднее (за полупериод) значение э. д. с.
Ec=^EM = ^^=^fW®M = 4fw<I)M. (8-18)
JL jL
8-9. ДЕЙСТВУЮЩИЕ ЗНАЧЕНИЯ ТОКА,
НАПРЯЖЕНИЯ И Э. Д. С.
При расчете цепей переменного тока, особенно при
вычислении среднего значения мощности, удобно поль-
зоваться действующими (эффективными) значения-
21 Теоретическая электротехника 321
ми тока, напряжения и э. д. с., вследствие чего эти значе-
ния широко применяются.
Действующее значение переменного тока равно вели-
чине такого постоянного тока, который за время, равное
одному периоду переменного тока, выделит в том же сопро-
тивлении такое же количество тепла, что и переменный ток.
Количество тепла, выделенное постоянным током в сопро-
тивлении г за время, равное периоду переменного тока,
Q = /2гТ.
Количество тепла, выделенное переменным током в том
же сопротивлении за время dt,
dQ = i2r dt,
а за период T
т т
Q= J dQ = J i2rdt.
о о
Приравнивая выражения Q, получим:
т т
I2rT = J i2rdt или /2 = -|- J Edt,
о о
откуда действующее значение тока
(8-19)
По стандарту действующие значения обозначаются
прописными буквами без индекса, т. е. ток I, напряже-
ние U, э. д. с. Е.
Аналогично действующие значения напряжения
и э. Д. C.I
e2dt .
На шкалах измерительных приборов наносятся обычно
действующие значения тока или напряжения.
322
При синусоидальном токе
i = /Msin(o/
действующее значение
. „ , 1
Sin2 (О? = -£
cos 2<»>/
2
так как
Имея в виду, что
о о
получим:
/ = 4 ~^-0,7077„. (8-20)
Такое же соотношение справедливо для действующих
значений напряжения и э. д. с.:
= «0,707t/M; Е « 0,707Ем.
У У £
При однополупериодном выпрямлении действующее
значение тока
а при двухполупериодном выпрямлении действующее зна-
чение такое же, как и при синусоидальном токе.
Так как действующие значения синусоидальных токов,
напряжений и э. д. с. пропорциональны амплитудным
значениям этих величин, то вектор, выражающий в одном
21* 323
масштабе амплитудное значение, в другом масштабе пред-
ставляет действующее значение той же величины. В даль-
нейшем при определении масштабов векторов мы будем
иметь в виду их действующие значения.
8-10. КОЭФФИЦИЕНТ ФОРМЫ И КОЭФФИЦИЕНТ
АМПЛИТУДЫ
Отклонение кривых тока, напряжения и э. д. с. от
синусоиды характеризуют коэффициентом формы k$ и коэф-
фициентом амплитуды ka.
Отношение действующего значения тока (напряжения
или э. д. с.) к среднему значению называется коэффициентом,
формы.
= (8-22)
*с
Отношение амплитудного значения к действующему
называется коэффициентом амплитуды:
А’а=^. (8-23)
Для синусоидального тока
^ = ^ = -^5— = ^== 1,11; (8-24)
/с /2-2/м 2/2
йа = -^-=У 2= 1,41. (8-25)
Для кривых, имеющих более острую форму, чем
синусоида, £ф > 1,11, а /га> 1,41; для кривых, имеющих
более тупую (пологую) форму, < 1,11, a йа< 1,41.
Пользуясь коэффициентом формы э. д. с., можно,
например, следующим образом выразить действующее
значение э. д. с. через максимальное значение потока,
наводящего эту э. д. с.:
Е = к^Ес = 4/гфафФм, (8-26)
а при синусоидальной форме потока э. д. с.
£ = 4йф^Фм = 4,44да/Фм. (8-27)
Пример 8-7. Напряжение сети, измеренное вольтметром, U =
= 12J в. Чему равна амплитуда напряжения?
Амплитуда (7М = У 2 U= 1,41 • 120= 170 в.
324
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
НЕРАЗВЕТВЛЕННЫЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО
ТОКА
9-1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В цепи постоянного тока при неизменном напряжении
и сопротивлении остаются неизменными: ток, мощность
и запасенная в электрическом и магнитном полях энер-
гия.
Процессы в цепях переменного тока существенно отли-
чаются от явлений в цепях постоянного тока.
Переменное напряжение на зажимах электрической
цепи создает в ней переменный ток. Магнитное поле пере-
менного тока и запасенная в поле энергия изменяются,
в цепи возникает э. д. с. самоиндукции. В случае перемен-
ного напряжения изменяется и электрическое поле цепи,
а следовательно, запасенная в электрическом поле энер-
гия.
Мощность цепи, характеризующая скорость превраще-
ния электрической энергии в тепловую, также изме-
няется в соответствии с изменением тока.
Электрическую цепь, при рассмотрении которой следует
считаться и с преобразованием электрической энергии
в тепловую, и с изменениями магнитного и электрического
полей, характеризуют тремя параметрами: сопротивлением
г, индуктивностью L и емкостью С.
В технике наряду с цепями обладающими параметра-
ми г, Л и С, встречаются цепи, в которых преобладает
один из них (г, L или С), тогда как другие параметры
выявлены слабо и их влиянием можно пренебречь. Напри-
мер, лампу накаливания, присоединенную к сети с частотой
тока 50 гц короткими соединительными проводами, можно
рассматривать как сопротивление г, так как влияние
емкости и индуктивности на процессы этой цепи ничтожно.
То же можно сказать и о цепях с нагревательными при-
борами или реостатами. Цепь ненагруженного трансформа-
тора во многих случаях можно рассматривать как индук-
тивность L. Кабель или кабельную сеть, работающие без
нагрузки, часто можно рассматривать как емкость С (сопро-
тивление и индуктивность этой цепи незначительны).
325
9-2. ЦЕПЬ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ
а) Ток и напряжение цепи
Рассмотрим цепь переменного тока с одним сопротив-
лением (рис. 9-1) и предположим, что влияние индуктив-
ности и емкости на процессы
в этой цепи ничтожно. При
синусоидально изменяющем-
ся напряжении на зажимах
цепи
и = ия sin со/.
Рис. 9-2. Графики то-
ка, напряжения и
мощности цепи с со-
противлением.
Рис. 9-1. Цепь с сопротивле-
нием.
ток в ней будет синусоидальным, так как по закону Ома
и U,, sin со/ , . ,
I = — = —-----------------= /м sin со/,
г г “
(9-1)
где /м= —~—амплитуда тока.
На рис. 9-2 приведены графики тока и
. напряжения, а на рис. 9-3 — векторная диа-
v у грамма этой цепи. Ток и напряжение в цепи
j / совпадают по фазе, так как в любой момент
у времени мгновенное значение тока пропор-
/ ционально мгновенному значению напряже-
<5 ния.
Разделив правую и левую части выра-
Рис. 9-3. (J г-
Векторная жения /м = —— на у 2, получим:
диаграмма
цепи с со- / 1 U
противлени- _ Щ =-----Ц-
ем. У 2 г /2
326
или закон Ома для действующих значений
/=-^’ (9-2)
т. е. действующее значение тока в цепи с сопротивлением
равно действующему значению напряжения на ее зажимах,
деленному на сопротивление цепи.
б) Мгновенная мощность
Произведение мгновенного значения напряжения и мгно-
венного значения тока для произвольно выбранного момента
времени называется мгновенным значением
мощности или просто мгновенной мощ-
ностью
р = ui. (9-3)
Мгновенная мощность характеризует скорость преоб-
разования электрической энергии в другой вид энергии
в данный момент времени. В цепи с сопротивлением г
мгновенная мощность характеризует скорость преобразо-
вания электрической энергии в тепловую. Так как для
рассматриваемой цепи и = ir, то
p = ui = i2r. (9-4)
Подставив в формулу (9-3) выражение тока и напряже-
ния, получим:
р - ui = sin со/ • Iм sin (о/ - UM[W sin2 со/.
На рис. 9-2 построен график мгновенной мощности.
Мощность положительна и при i > 0 и при i < 0, так как
электрическая энергия превращается в тепловую незави-
симо от направления тока в цепи. По величине мощность
изменяется от нуля при токе i = 0 до положительного
максимума Рк = £/м/м = 1м г при токе i = 1М, уменьшает-
ся до нуля при токе i = 0, затем, увеличиваясь, снова
достигает положительного максимума при токе i = — /м
и далее уменьшается до нуля при i = 0.
Пользуясь известным соотношением
. , , 1 — cos 2<1>/
sin2 со/ =---„-----,
327
можно выражение мгновенной мощности преобразовать:
р -= (7М/М sin2 at = cos 2со/ =
^UI-—U1 cos 2at. (9-5)
в) Активная мощность
Из выражения (9-5) следует, что мгновенная мощность
равна сумме двух величин: постоянной мощности UI
и переменной — Й/ cos 2и/, имеющей амплитуду UI и изме-
няющейся с двойной частотой. Средняя за период мощ-
ность Р рассматриваемой цепи равна постоянной слагающей
мгновенной мощности
т
P--y\pdt-UI,
о
так как переменная слагающая мощность UI cos 2at, как
и всякая гармоническая функция, имеет среднее за период
значение, равное нулю. Итак, средняя за период мощность
цепи с сопротивлением г равна произведению действующих
значений напряжения и тока этой цепи.
Среднюю за период мощность называют активной
и соответственно сопротивление г — активным.
Так как U = 1г, то
7/2
p = = = . (9-6)
Единица активной мощности вольт-ампер носит назва-
ние ватт (вт): 1 вт = 1 в-1 а. Более крупными едини-
цами являются киловатт: 1 кет = 103 вт и мега-
ватт: 1 Мвт = 109 вт.
Активная мощность характеризует среднюю скорость
преобразования электрической энергии в тепловую, а так-
же в механическую, химическую и другие виды энергии.
Понятием о средней мощности пользуются и при вычис-
лении энергии, которая расходуется в течение промежутка
времени, во много раз превосходящего продолжительность
периода.
Пример 9-1. Напряжение на зажимах участка цепи U— 120 в.
Сопротивление участка цепи г = 60о.и. Определить ток и среднюю
мощность
Ток / = —= 2 а. Средняя мощность Р = /2г = 240 вт.
328
9-3. ЦЕПЬ С ИНДУКТИВНОСТЬЮ
а) Ток и напряжение. Индуктивное сопротивление
Рассмотрим цепь с индуктивностью L (рис. 9-4). Пред-
положим, что сопротивлением
пренебречь. Под действием
приложенного к цепи напря-
жения по цепи проходит пе-
ременный ток
i = IM sin и/, (9-7)
который создает переменный
магнитный поток
ф = фм sin и/.
и емкостью цепи можно
Рис 9-4. Цепь с индуктив-
ностью.
Этот поток, изменяясь, наводит
в цепи э. д. с. само-
индукции
, dt j d(/Msinco/) j, d sin <£>t
~ cd" ~ ~ L dt ~ ~ L/m“ ~'dLt '
= — LIM(n cos at=LIMw sin (at —j = EL„ sin (at —™ J ,
(9-8)
где
f/.M = LI „(a.
По второму правилу Кирхгофа сумма приложенного
к цепи напряжения источника питания и и э. д. с. равна
нулю, как было и для колебательного контура (см. § 7-14):
и 0.
Отсюда напряжение на зажимах цепи
и =—eL= L-—-—LIw(a&m(^(at =
= U„ sin Г (at + = UM cos (at. (9-9)
Скорость изменения синусоидального тока получается
наибольшей в те моменты времени, когда ток равен нулю,
в эти моменты и э. д. с. eL имеет максимальные значения
(рис. 9-5). Наоборот, в моменты, когда ток достигает макси-
мальных значений, скорость его изменения равна нулю,
329
в эти моменты э. д. с. также равна нулю. Направление
э. д. с. самоиндукции определяется по закону Ленца.
При увеличении тока э. д. с. eJi направлена навстречу тока,
а при уменьшении тока имеет одинаковое с ним направление.
Из рис. 9-5 видно, что в течение первой четверти периода
ток положительный и нарастает, поэтому э. д. с. отрица-
тельная; в течение второй четверти периода ток положи-
тельный и убывает, по-
этому э. д. с. положи-
тельная и т. д.
Сравнивая графики
тока i и э. д. с. eL, лег-
ко установить, что э. д. с.
самоиндукции отстает
от тока по фазе на 90°.
Рис. 9-6. Век-
торная диаграм-
ма цепи с индук-
тивностью.
Рис. 9-5. Графики тока,
магнитного потока, на-
пряжения и мощности
цепи с индуктивностью.
Этот же вывод следует из сравнения выражений (9-7)
и (9-8).
Напряжение, в каждый момент равное э. д. с. по вели-
чине, но противоположное ей по направлению, опережает
ток по фазе на 90° (рис. 9-5 и 9-6).
При этом
= = (9-10)
и
t7 = EL = /<oL, (9-11)
или закон Ома для действующих значений
Величина
xL = aL — 2nfL, (9-13)
330
имеющая единицу измерения сопротивления (ом), назы-
вается реактивным сопротивлением индук-
тивности или просто индуктивным сопротив-
лением:
[xL] = [соЛ] = ~ • гн
=------ом-сек = ом.
сек
Таким образом, цепь с индуктивностью обладает со-
противлением (индуктивным), величина которого увели-
чивается с ростом частоты. Для действующих значений
тока и напряжения справедлив закон Ома, но для мгно-
венных значений i и и этот закон не может быть записан.
б) Мгновенная мощность
Мгновенная мощность цепи с индуктивностью
• r di . ci di i
P = ul = L-dtl = -dT- <9'14)
характеризует скорость преобразования энергии источ-
ника в энергию магнитного поля, так как числитель
последнего выражения равен приращению энергии магнит-
ного поля за время dt (см. § 6-21).
При синусоидальных напряжении и токе
p = ui — sin (^ со/ + 1№ sin <о/ =
= t7M/M cos со/ sin со/ = sin 2ы/ = UI sin 2<о/.
Мгновенная мощность цепи с индуктивностью изме-
няется с двойной частотой (рис. 9-5), 2 раза в течение
периода достигая положительного максимума UI = /2®L
и 2 раза такого же по величине отрицательного максимума.
В течение первой и третьей четвертей периода мгно-
венная мощность положительна, в цепи с индуктивностью
накапливается энергия (ток и магнитный поток увеличи-
ваются от нуля до максимальных значений и за счет энергии
генератора увеличивается запасаемая в магнитном поле
LI2
энергия от нуля до наибольшей величины UZ£M = —=
= LI2).
В течение второй и четвертой четвертей периода мгно-
венная мощность отрицательна, запасенная в магнитном
331
поле энергия возвращается обратно генератору (ток и маг-
нитный поток уменьшаются до нуля). Таким образом,
энергия, полученная цепью с индуктивностью за каждую
половину периода, равна нулю, следовательно.равна нулю
и средняя мощность этой цепи. В цепи с индуктивностью
происходит только периодический обмен энергией между
генератором и магнитным полем цепи без преобразования
электрической энергии в тепловую, механическую, химиче-
скую или другие виды энергии.
в) Реактивная мощность
Величина обменной энергии между генератором и цепью
с реактивным сопротивлением характеризуется максималь-
ным значением мгновенной мощности этой цепи, которая
называется реактивной мощностью (обо-
значение Q).
Реактивная мощность цепи с индуктивностью
Ql = Ul = /2<oL = UZLMw. (9-15)
Для того чтобы было ясно, о какой мощности идет
речь — активной или реактивной, единицу измерения реак-
тивной мощности называют не ватт, а вольт-ампер
реактивный (вар).
Более крупной единицей реактивной мощности служит
киловольт-ампер реактивный (квар):
1 квар = 103 4 вар.
Пример 9-2. В сеть 120 в, 50 гц включена катушка с индуктив-
ностью L = 0,0127 гн и ничтожным активным сопротивлением.
Определить: 1) реактивное сопротивление катушки лд; 2) ток
в катушке Г, 3) реактивную мощность катушки Q; 4) энергию, за-
пасаемую в магнитном поле катушки 11ДМ.
1) х^ = соС = 2л/С = 2-3,14-50-0,0127 = 4 ом;
3) Q=UI =120-30 = 3 600 вар;
4) IFLm = L/2 = o,0127-900=11,43 <)ж.
9-4. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ЭФФЕКТ И ЭФФЕКТ БЛИЗОСТИ
Сопротивление проводника постоянному току опреде-
ляется по известной формуле
332
Это сопротивление можно также определить, зная вели-
чину постоянного тока /0 и мощность Ро:
г0-^. (9-16)
7 о
Оказывается, что в цепи переменного тока сопротивле-
ние г того же проводника больше сопротивления постоян-
ному току:
г>г0-
Это сопротивление г в отличие от сопротивления постоян-
ному току г0 и носит название активного сопро-
тивления.
Увеличение сопротивления проводника объясняется тем,
что при переменном токе плотность тока не одинакова
Рис. 9-7. Магнитное поле цилиндрического
проводника.
в различных точках поперечного сечения проводника.
У поверхности проводника плотность тока получается
больше, чем при постоянном токе, а в центре меньше.
При высокой частоте неравномерность проявляется так
резко, что плотность тока в значительной центральной
части сечения проводника практически равна нулю; ток
проходит только в поверхностном слое, отчего это явление
и получило название поверхностного эффек-
т а. Таким образом, поверхностный эффект приводит
к уменьшению сечения проводника, по которому проходит
ток (активного сечения), и, следовательно, к увеличению
его сопротивления по сравнению с сопротивлением посто-
янному току.
Для объяснения причины возникновения поверхност-
ного эффекта представим цилиндрический провод (рис. 9-7)
состоящим из большого числа элементарных проводников
333
одинакового сечения, прилегающих вплотную друг к другу
и расположенных концентрическими слоями. Сопротивле-
ния этих проводников постоянному току, найденные по фор-
муле q , будут одинаковы.
При переменном электрическом токе вокруг каждого
проводника создается переменное магнитное поле (рис. 9-7).
Очевидно, элементарный проводник, расположенный ближе
к оси, охватывается большим магнитным потоком, чем
Рнс. 9-8. График для определения
коэффициента поверхностного эффекта.
проводник, расположенный у поверхности провода; поэтому
первый обладает большей индуктивностью и индуктивным
сопротивлением, чем второй. При одинаковом напряжении
на концах элементарных проводников длиной I, располо-
женных у оси и у поверхности, плотность тока в первых
меньше, чем во вторых.
Разница в плотностях тока у оси и на периферии про-
вода возрастает с увеличением диаметра провода d, прово-
димости материала у, магнитной проницаемости материа-
ла и и частоты переменного тока /.
Отношение активного сопротивления проводника г к его
сопротивлению при постоянном токе называется коэф-
фициентом поверхностного эффекта и обозначается бук-
вой § (пси), следовательно,
1 = ^-. (9-17)
г<>
334
Коэффициент g можно определить по графику
рис. 9-8, на котором представлена зависимость 5 от про-
изведения d и j/\ppn/. При вычислении этого произве-
дения следует выражать d в см, у — в l/ом-см, р0 —
в гн!см и f = в гц.
Пример 9-3. Определить коэффициент поверхностного эффекта
для медного проводника диаметром d = 11,3 мм (8 = 100 мм2) при
частоте /=150 гц.
Произведение
d/y^J=l,I3 /57-10-».4л-10-э. 150 ^1.2;
по графику рис. 9-8 находим:
5=1,03.
Неодинаковая плотность тока в проводе получается
также из-за влияния токов в соседних проводах. Это явле-
ние называется эффектом близости.
Рассматривая магнитное поле токов одного направле-
ния в двух параллельно расположенных проводах, легко
показать, что те элементарные проводники, принадлежа-
щие разным проводам, которые наиболее удалены друг
от друга, сцеплены с наименьшим магнитным потоком;
следовательно, плотность тока в них наибольшая.
Если токи в параллельных проводах имеют разные
направления, то можно показать, что большая плотность
тока наблюдается в тех элементарных проводниках, при-
надлежащих разным проводам, которые наиболее сближены
друг с другом.
9-5. ЦЕПЬ С ЕМКОСТЬЮ
а) Ток и напряжение. Емкостное сопротивление
Рассмотрим цепь переменного тока, которая обладает
только емкостью (рис. 9-9).
При переменном напряжении конденсатор периодиче-
ски заряжается и разряжается и в цепи проходит ток.
Если напряжение генератора, равное напряжению на
емкости, изменяется по синусоидальному закону
u--UM sin со/,
то ток в цепи
.__ dq __d (Си)_р du __pd (t/M sin coz')_
1 ~ dt ~~ dt ~~ dt ~ dt ~
335
~Cu)Uucos (nt = Cwt7Msin + = ZMsin .
(9-18)
Из выражения (9-18) следует, что ток опережает
по фазе напряжение на зажимах цепи на 1/4 периода,
а амплитуда его
/М = С®[/М. (9-19)
На рис. 9-10 приведены графики напряжения и тока,
а на рис. 9-11 —векторная диаграмма.
В течение первой четверти периода напряжение поло-
жительно и нарастает от нуля до пропорционально
Рис. 9-9. Цепь с емкостью.
Рис 9-10. Графики тока
и напряжения цепи с ем-
костью.
U
напряжению растет и заряд конденсатора (q = Си). В нача-
ле периода скорость нарастания напряжения максимальна,
а в конце первой четверти периода она равна нулю. Конден-
сатор заряжается. Ток цепи, пропорцио-
нальный скорости увеличения напряжения
= C^j , положителен и изменяется
от /м до нуля.
В течение второй четверти периода напря-
жение уменьшается от до нуля; про-
порционально напряжению уменьшается
заряд конденсатора. В начале этой четверти
периода скорость уменьшения напряжения
а в конце достигает максимума. Ток в цепи
Рис. 9-11. Век-
торная диа-
грамма цепи с
емкостью.
равна нулю,
отрицателен и изменяется от нуля до максимума.
В течение третьей четверти периода напряжение имеет
другой знак и увеличивается от нуля до t7M; конденсатор
336
снова заряжается, но знаки зарядов получаются обрат-
ными. Ток в цепи, так же как и во второй четверти периода,
отрицателен. В начале третьей четверти периода скорость
изменения напряжения максимальна, а в конце равна
нулю. Ток в цепи в течение этой четверти периода изме-
няется от отрицательного максимума до нуля.
В течение четвертой четверти периода напряжение
имеет отрицательное значение и уменьшается от макси-
мального значениядо нуля.
Ток положителен и изме-
няется от нуля до макси-
мума.
Разделив на J^2 пра-
вую и левую части выра-
жения (9-19), получим:
= ,
У 2 У 2
или закон Ома для цепи
с емкостью
7 п} и и
/ = wCU = 7Г,-, = .
/ДоС хс
(9-20)
Величина
Хс=шС=2лТС
называется реактив-
ным сопротивле-
нием емкости или
Рис. 9-12. Графики тока, напря-
жения и мощности цепи с ем-
костью.
емкостным
сопротивлением и измеряется в омах:
iXcl = L i ] =-Ат =-тЦг = =е/а =олг-
—ф-----------
сек сек в
Реактивное сопротивление емкости обратно пропорцио-
нально частоте f и емкости С. С уменьшением частоты
емкостное сопротивление увеличивается. В пределе при
f = 0 (постоянное напряжение) хс = со, постоянный ток
через конденсатор не проходит.
22 Теорет ическая электротехника 337
Если начало отсчета времени выбрать в момент, когда
напряжение достигает максимального отрицательного зна-
чения (рис. 9-12)
и = UMsin (at—5") = —t/Mcosco£, (9-22)
то ток в цепи с емкостью
i = С ~~ = UMCa sin at — /м sin at
(начало отсчета времени / = 0 совпадает с моментом,
когда ток равен нулю).
б) Мгновенная мощность
Мгновенная мощность цепи с емкостью
d (Си) Си du
Р = и1=и~ЧГ=-^Г
(9-23)
характеризует скорость преобразования энергии источ-
ника в энергию электрического поля, так как числитель
последнего выражения равен приращению энергии элек-
трического поля за время dt (см. § 7-10).
При напряжении на зажимах u = t7Msin (at—~(
и токе i = /м sin at мгновенная мощность
p = ui= UI cos — UI cos —у ( =
= — UI sin 2u)E
График мгновенной мощности приведен на рис. 9-12.
Мгновенная мощность изменяется с двойной частотой,
2 раза в течение периода достигает положительного макси-
мума и 2 раза отрицательного максимума — UI.
В течение второй и четвертой четвертей периода, когда
напряжение увеличивается от нуля до t7M (независимо
от знака), конденсатор заряжается; между его пластинами
создается электрическое поле, в котором за счет энергии
генератора увеличивается запасаемая энергия (^от нуля
си2 ~Х
до максимума WС№ = —~ — CU2 j .
В течение первой и третьей четвертей периода, когда
напряжение уменьшается от до нуля, конденсатор
338
разряжается; энергия поля уменьшается от IFCm ДО нуля,
т. е. запасенная энергия возвращается генератору. Поэтому
средняя или активная мощность цепи Р — 0.
Для этой цепи, как и для цепи с индуктивностью, харак-
терно, что мгновенная мощность в течение одной четверти
периода положительна, а в течение следующей четверти
периода отрицательна. В цепи происходит только периоди-
ческий обмен энергией между генератором и конденсатором
без превращения ее в тепловую, механическую, химическую.
в) Реактивная мощность
Величина обменной энергии между генератором и кон-
денсатором характеризуется максимальным значением мгно-
венной мощности этой цепи, которая называется реактивной
мощностью конденсатора:
Qc = VI = СсоП2 = №Смсо. (9-24)
Пример 9-4. К генератору с напряжением 240 в и частотой
50 гц присоединен конденсатор емкостью 40 мкф.
Определить: 1) реактивное сопротивление емкости; 2) ток в це-
пи; 3) реактивную мощность цепи; 4) максимальную энергию, запа-
саемую в электрическом поле конденсатора.
1 106 106
]) %с = 2л7С = 2-3,14-50-40^12500==80 °Л’
и 240 о .
2) 7 хс 80 -За’
3) Qc=[// = 240-3=720 вар;
4) ^См = ^2^ 40-10- 6.2402 = 2,3 дж.
9-6. ЦЕПЬ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ И ИНДУКТИВНОСТЬЮ
а) Ток напряжения
Цепь, изображенная на рис. 9-13, обладает сопротив-
лением г и индуктивностью L. Примером такой цепи может
служить катушка любого аппарата.
По второму правилу Кирхгофа для этой цепи
, . , di
u + e—tr или и — L—rr—ir.
dt
Из последнего уравнения следует, что напряжение
на зажимах цепи в любой момент времени состоит из
двух слагаемых:
и — ir -j- = 11а 4- Ul- (9-25)
22*
339
Первая составляющая напряжения иа = ir носит назва-
ние активной составляющей, а вторая uL =
= L ~ — индуктивной составляющей. Следует помнить,
что в катушке нет таких двух точек, между которыми суще-
ствовало бы напряжение иа или uL. Физической величиной
является сумма этих напряжений ца + uL, т. е. напряжение
на концах катушки, равное напряжению источника пита-
ния. Деление суммы на слагаемые — только удобный
вычислительный прием, подсказанный видом правой части
уравнения (9-25). Уравнение показывает, что прсцессы
Рис. 9-13. Цепь с актив-
ным сопротивлением и ин-
дуктивностью.
Рис. 9-14. Цепь с активным
сопротивлением и индуктив-
ностью.
в катушке протекают так же, как и в цепи, составленной
из последовательно соединенных сопротивления г и индук-
тивности L (рис. 9-14).
При синусоидальном токе в цепи
i = 1м sin
активная составляющая напряжения
ца — ir = lMr sin со/ = Да.м sin at.
Она изменяется также по синусоидальному закону
и совпадает по фазе с током (рис. 9-15 и 9-16). Максималь-
ное значение этой составляющей Uа м = /мг, а действую-
щее значение U а — 1г.
Индуктивная составляющая напряжения
, di , d (Д, s i п coi) , , ,
uL = L = L ------------- = LalM cos at =
= t/LMsin (at + •
Она изменяется опять-таки синусоидально, но опере-
жает по фазе ток на 90°, или х/4 периода (рис. 9-15 и 9-16).
340
Максимальное значение этой составляющей =
= wL/M, а действующее значение UL = ыМ.
дуктивностыо.
Мгновенное значение напряжения на зажимах цепи
равно сумме слагаемых, т. е.
U = «а + UL = Ua.M sin bit -ф-
+ £7LMsin + =(7Msin (w^ + q>). (9-26)
Это напряжение также изменяется синусоидально и опе-
режает ток по фазе на угол ф (рис. 9-15 и 9-16).
Если напряжение на зажимах цепи задать выражением
и = иы sin со/,
т. е. выбрать начало отсчета времени (t = 0) в момент,
когда не ток, а напряжение равно нулю и переходит от
отрицательных значений к положительным (левая верти-
кальная линия сетки на рис. 9-15), то ток
i = /м sin (и/ — ф).
341
Напряжение опять опережает по фазе ток на угол <р или
ток отстает по фазе от напряжения на угол ф.
Амплитуда напряжения (см. § 8-5)
а действующее значение
= (9-27)
Рис. 9- 16. Век-
торная диа-
грамма цепи
с активным со-
противлением
и индуктив-
ностью.
что следует и из векторной диаграммы (рис. 9-16).
Угол сдвига фаз между напряжением и током также
можно определить из векторной диаграммы (рис. 9-16) по
одной из формул
cos ф = ~ или tg ф = . (9-28)
Сдвиг по фазе тока относительно напря-
жения на зажимах катушки объясняется
возникновением э. д. с. самоиндукции
eL = — uL, которая отстает по фазе от
тока на 90° (рис. 9-15 и 9-16). Индуктив-
ная составляющая напряжения равна ей по
величине, но противоположна по направле-
нию, т. е. опережает ток на 90°.
Чем больше индуктивная составляющая
напряжения по сравнению с активной, тем больше угол
сдвига фаз между напряжением на зажимах цепи и током.
б) Треугольник напряжений
Напряжения U, Ua и UL связаны между собой таким
же соотношением, как стороны прямоугольного тре-
угольника напряжений на векторной диа-
грамме (рис. 9-16). Ua и UL — катеты этого треугольника,
напряжение на зажимах цепи U — гипотенуза.
Подставляя в выражение (9-27) напряжения на сопро-
тивлении Ua = 1г (9-2) и на индуктивности UL = ItnL
(9-11), получим:
и = Vui+ul = Ш + (/®Lp=i V F+Kcp,
342
откуда ток
Vr2-j-(wL)2 '
(9'29)
в) Полное сопротивление. Треугольник сопротивлений
Формула (9-29) выражает закон Ома для цепи с г и L.
Обозначив
можно придать
Z = /r24-(<oT)2,
выражению (9-29) более
z
(9-31)
называется полным
(9-30)
Рис. 9-17. Тре-
угольник сопро-
тивлений цепи с
активным сопроти-
влением и индук-
тивностью.
Величина z
(кажущимся) сопротивлением
цепи и измеряется в омах.
Сопротивления г, xL и z связаны
между собой таким же соотношением,
как стороны прямоугольного треуголь-
ника (рис. 9-17), г и xL — катеты этого
треугольника, z — гипотенуза.
Треугольник сопротив-
лений можно получить, если стороны
треугольника напряжений (рис. 9-16) уменьшить в I раз.
Угол между сторонами треугольника гиг равен углу
сдвига фаз между напряжением и током, что следует из
выражений
С а Ir г
со5ф = ^- = 7Г = -
(9-32)
или
XL
l|= * Са Ir
В сеть 120 в, 50 гц включена катушка
(9-33)
Пример 9-5.
тивностыо 25,5 мгн и активным сопротивлением 6 ом.
Определить: 1) х/_; 2) г; 3) /; 4) Ua; 5) 67/,; 6) cos <p.
1) ' ~ ~ "
2)
с
индук-
3)
4)
5)
6)
—coL — 2лfL = 2- 3,14 -50-0,0255 = 8 ом;
г = ]/> + 4 = /б2-Г82 = 10 ом;
г и 120
/ =---= —= = 12 а;
г 10
Ur.-=Ir--- 12-6 = 72 в;
= 12-8 = 96 в;
г 6
с°5Ф=т = То = 0’6-
343
г) Мгновенная мощность. Активная и реактивная
мощности
Если напряжение на зажимах цепи и = UM sin (wZ + ф),
а ток i = /м sin wZ, то мгновенная мощность цепи
р= ui = Uw sin (wZ + ф) • /м sin wZ ==
= -M cos ф — cos (2wZ 4- Ф) =
— UI созф — UI cos (2wZ + ф). (9-34)
На рис. 9-18 приведены графики тока, напряжения
и мощности. Ординаты точек кривой мгновенной мощности
Рис. 9-18. Графики тока, напряжения
и мощности цепи переменного тока.
получены перемножением соответствующих ординат точек
кривых напряжения и тока.
Из выражения (9-34) следует, что мгновенная мощность
равна сумме двух величин: постоянной мощности UI cos ф
и переменной — UI cos (2coZ + ф), имеющей амплитуду U1
и изменяющейся с двойной частотой.
Переменная составляющая мощности — UJ cos (2wZ +
+ ф) изменяется по гармоническому закону, поэтому,
как известно, ее среднее за период значение равно нулю.
Следовательно, средняя за период мощность или актив-
344
ная мощность равна постоянной слагающей мгновенной
мощности:
т
Р = ~ р dt = U1 cosq. (9-35)
о
Таким образом, средняя мощность цепи равна произве-
дению действующих значений напряжения и тока, умно-
женному на cos ф. Множитель cos ф называют коэф-
фициентом мощности.
Понятием об активной мощности (9-35) пользуются и для
подсчета энергии, расходуемой в течение времени, про-
должительность которого во много раз превосходит про-
должительность периода.
При заданных неизменных действующих значениях
напряжения и тока активная мощность изменяется в зави-
симости от cos ф от нуля ^при ф = ±у^ до значения
Р = UI (при ф = 0).
Пример 9-6. Напряжение на зажимах цепи 17 = 240 в, ток / = 4 а,
коэффициент мощности cos ф = 0,8.
Определить среднюю мощность.
Средняя мощность
Р- UI cos ф = 240-4-0,8 = 768 вт.
Пример 9-7. Напряжение на зажимах цепи U= 111 в, ток / — 2 а,
коэффициент мощности cos ф = 0,9.
Определить энергию, израсходованную в цепи за время t-~ 100 сек.
Средняя мощность Р = UI cos <p = 111 -2-0,9 200 вт.
Энергия, израсходованная в цепи:
1Т = Р/ = 200-100=-20 000 вт• сек = = 5,56 вт-ч.
о оОО
Так как рассматриваемую цепь (рис. 9-13) можно пред’
ставить состоящей из двух элементов (рис. 9-14), то и мощ’
ность можно представить в виде суммы двух слагаемых:
мощностей в активном и индуктивном сопротивлениях
p = ui = (ua -j- uL) i = uai + uLi = pa + Pl- (9-36)
Мгновенная мощность в активном сопротивлении цепи
Ра = uai = i2r,
или
Ра = uai = 17а. м sin at IM sin at =
= Ha. M7M sin2 (tit = 2UaI sin2 (tit, (9-37)
345
как известно, характеризует скорость необратимого пре-
образования электрической энергии в тепловую (или меха-
ническую, химическую и т. д.). В течение всего периода ра
остается положительной (рис. 9-19), 2 раза в течение перио-
да достигая положительного максимума Ра м = 2UaI = 2/2г
и 2 раза нулевого значения.
Мгновенная мощность
в активном сопротивлении
1см. (9-5)1:
Pa = Uai = L/a MZMSin2wZ =
= UaI— UaI cos2oT, (9-38)
т. e. состоит из постоянной
и переменной составляю-
щих. Постоянная состав-
ляющая равна средней за
период мощности в актив-
ном сопротивлении:
т
P = Y J padt = Ual = Рг,
° (9-39)
Рис 9-19 Графики напряжений и называется, как указы-
тока и мощности цепи с актив- валось, активной мощ-
ным сопротивлением и иидуктив- НОСТЬЮ.
ностью Так как Ua = U cos ср,
то P = UI cos q>, что сов-
падает с (9-35), т. е. средняя мощность в активном со-
противлении— это активная мощность всей цепи с пара-
метрами г и L.
Мгновенная мощность в индуктивном сопротивлении
= (9-40)
характеризует скорость преобразования энергии источ-
ника питания (генератора) в энергию магнитного поля.
Для рассматриваемой цепи
pL = uLi = ULMsin (^wZ + -?0-/Msin wZ =
= Uim cos mt-Im sin oit = sin 2wZ = ULI sin 2®/. (9-41)
346
Мгновенная мощность в индуктивном сопротивлении
pL изменяется с двойной частотой (рис. 9-19), 2 раза
в течение периода достигая положительного максимума
ULI -Г-uL и 2 раза такого же по величине отрицатель-
ного максимума. В течение первой и третьей четвертей
периода она положительна, так как в магнитном поле
LIM
катушки запасается энергия, причем 1Гьм= В тече-
ние второй и четвертой четвертей периода мгновенная
мощность отрицательна, так как катушка отдает энергию,
накопленную за предыдущую четверть периода.
Реактивная мощность цепи является мерой величины
обменной энергии между генератором и цепью:
Q = ULl = UI sin ф = PmL.
На рис. 9-19 приведены не только кривые ра и pL, но
и кривая мгновенной мощности р для цепи с сопротив-
лением и индуктивностью. Ординаты последней кривой
можно получить или сложением ординат кривых ра и рь
или перемножением мгновенных значений напряжения и
и тока I.
В течение времени t2 — tt мгновенная мощность цепи
и ее составляющие ра и pL положительны; при этом энер-
гия, получаемая цепью от генератора, частично преобра-
зуется в тепловую и частично запасается в магнитном поле.
В течение времени /3 — is мгновенная мощность цепи
и составляющая ра положительны, а составляющая pL
отрицательна; в это время энергия, преобразующаяся
в тепловую, частично получается от генератора, а частью
из магнитного поля, энергия которого убывает при умень-
шении тока. В промежуток времени /4 — /3 составляющая
рс отрицательна и превосходит по абсолютной величине
положительную составляющую ра. Это означает, что
энергия магнитного поля частично превращается в тепло-
вую, частично возвращается генератору.
В течение следующей половины периода процессы
повторяются в той же последовательности.
д) Полная мощность. Треугольник мощностей
Габариты, сложность конструкции и, следовательно,
стоимость некоторых электротехнических устройств, напри-
мер генераторов, трансформаторов, определяются не актив-
347
ной или реактивной мощностью, которая изменяется в зави-
симости от режима работы приемника, а произведением
номинальных действующих значений напряжения и тока
(на которые рассчитано устройство).
Произведение действующих значений напряжения и тока
называется полной мощностью
S = UI. (9-42)
Полная, активная и реактивная мощности связаны
между собой соотношением
S2 = P2hQ2, или S = /P-FQ2.
Действительно,
P2^-Q2 — (UI cos ф)г + (Ul sin ф)2 = (П/)г = S2.
Таким образом, S, Р и Q связаны между собой таким
же соотношением, как и стороны треугольника, катеты
которого представляют активную и реактивную мощности,
а гипотенуза — полную мощность цепи
(рис. 9-20).
Треугольник мощностей
можно получить из треугольника напря-
жений, умножив на ток все его стороны.
Из треугольника мощностей нетрудно
определить коэффициент мощности
Р Ul COS ф /л ЛОч
cos ф — . (9-43)
Р
Рис 9-20. Тре-
угольник мощно-
стей.
Чтобы отличать при расчетах полную мощность цепи
от активной и реактивной, ее единице дано другое наимено-
вание. Как указывалось, активная мощность измеряется
в ваттах (1 вт = 1 в • 1 а), а единица измерения реактивной
мощности называется вольт-ампер реактивный (вар)-, пол-
ная мощность измеряется в вольт-амперах (ва)
или киловольт-амперах (ква).
Пример 9-8. В сеть 150 в, 50 гц включена катушка с индук-
тивностью L — 0,0127 гн и активным сопротивлением г = 3 ом
Определить: 1) реактивное сопротивление катушки; 2) ток в ка-
тушке; 3) активную мощность катушки; 4) реактивную мощность
катушки; 5) энергию, запасаемую в магнитном поле катушки.
1) лц, = <oL = 2л/£. = 2-3,14-50-0,0127 = 4 ом;
г = )/'Д+х2=}/’^ + 42 = 5 ом;
348
2)/ = ^ = Ч_^30 а;
г 5
3) Р = 17а/= /2г = 302-3 = 2 700 вт,
sin ф = — = 4- = 0,8»’
г 5
4) Q = UI sin ф = 150-30-0,8 = 3 600 вар;
5) НДм = £/2 = 0,0127-900=11,43 дж.
Пример 9-9. Определить для катушки примера 9-5: 1) макси-
мальную мощность в активном сопротивлении Ра.м; 2) активную
мощность; 3) реактивную мощность; 4) полную мощность.
1) Ра м = 2(7а/ = 2-72-12=1 728 вт;
2) P — Ul cos ф = 120-12-0,6 = 864 вт;
3) Q=UI sin ф= 120-12-0,8= 1 152 вар;
4) 5 = 177= 120-12 = 1 440 ва.
9-7. ЦЕПЬ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ И ЕМКОСТЬЮ
а) Ток и напряжение
Рассмотрим неразветвленную цепь с активным сопро-
тивлением г и емкостью С (рис. 9-21).
При синусоидальном токе I = /м sin и/ напряжение на
активном сопротивлении ua = ir = Ua м sin и/ и его дей-
ствующее значение
Ua = 1г.
На рис. 9-22 это на-
пряжение изображено
кривой иа, совпадающей
по фазе с кривой тока
I, а на рис. 9-23—век-
тором Ua, совпадающим
по направлению с век-
Рис. 9-21. Цепь с активным сопро-
тивлением и емкостью.
тором тока /.
Напряжение на емкости (9-22)
Uc = UcM sin = /м*с sin
Действующее значение напряжения
дс=/хс=/4-.
На рис. 9-22 это напряжение изображено кривой ис,
отстающей по фазе на 1/4 периода от кривой тока г, а на
349
рис. 9-23 — вектором Uc, повернутым относительно векто-
ра тока 7 на 90° в сторону, обратную направлению враще-
о
Рис 9-22 Графики тока, напря-
жения и мощности цепи с актив-
ным сопротивлением и емкостью.
Если задано напряжение на
ния векторов.
Напряжение на зажи-
мах цепи или напряже-
ние источника питания
u = «a-!-«c = ^a и sin Ыф-
+ Ucm sin 40 =
= GMsin(m/ — cp)
имеет амплитуду
и действующее значение
(рис. 9-23)
(7 = /(7i 2а + ^с-
По фазе напряжение
цепи отстает от тока
на угол ф, следовательно,
ток опережает напряже-
ние на угол ф.
На рис. 9-22 это на-
пряжение изображено
кривой ц, ординаты кото-
рой получены сложением
ординат кривых иа и ис.
На рис. 9-23 это напря-
жение изображено векто-
ром U, полученным сло-
жением векторов Ua и
Uc-
зажимах цепи
и — UM sin tot,
то ток цепи
i — /м sin {tot + ф),
т. е. опять опережает по фазе напряжение на угол ф.
Этот угол можно определить из векторной диаграммы
350
по формулам
Рис. 9-23. Вектор-
ная диаграмма
пи с активным
противлением
емкостью.
, UG Са
tg <р = ИЛИ COS <Р = ~ .
Необходимо обратить внимание на то, что вектор напря-
жения на индуктивности сдвинут относительно вектора
активной составляющей напряжения на
90° по направлению вращения векторов,
а вектор напряжения на емкости — на
90° в обратном направлении.
Напряжение на зажимах цепи
U = yui + ul = /(77J'r-F777cp =
= I У Г2 + Хс = Iz,
ток цепи
J и _ и
/г2 + *с 2
Величина
(9-44)
це-
со-
и
2
(9-45)
называется полным сопротивлением цепи и измеряется
в омах.
б) Треугольник сопротивлений
соотношением,
сопро-
цепи с
сопро-
и ем-
угольпик
тивлений
активным
тивлением
костью.
Сопротивления г, хс и z связаны между собой таким же
как стороны прямоугольного треугольника,
катетами которого являются сопротив-
ления г и хс, а гипотенузой — полное
сопротивление z (рис. 9-24). Треуголь-
ник сопротивлений можно получить,
если стороны треугольника напряжений
(рис. 9-23) уменьшить в I раз.
Сравним треугольники сопротивле-
ний для цепи с активным сопротивле-
нием и индуктивностью (рис. 9-17) и
для цепи с активным сопротивлением
и емкостью (рис. 9-24). Мы видим, что
реактивное сопротивление индуктив-
ности повернуто относительно активно-
на 90° в сторону вращения векторов,
го сопротивления
а реактивное сопротивление емкости — на угол 90° в об-
351
ратную сторону. Таким образом, сопротивления емкости
и индуктивности откладываются в обратных направлениях.
Тангенс угла ср между сторонами треугольника гиг
определяется по формуле
tg<P = ~r-. (9-46)
в) Мгновенная мощность. Активная, реактивная
и полная мощности
Мгновенная мощность цепи с активным сопротивлением
и емкостью
p-^ui = (7М sin (со/— ср) -/м sin со/ =
= (7/cos ср— Ul cos(2co/ — ср). (9-47)
График мощности приведен на рис. 9-22.
Как и для цепи с активным сопротивлением и индук-
тивностью, мощность можно представить состоящей из
двух слагаемых:
р ~ ui = (ua + uc) i = uai + uci = pa + Pc, (9-48)
причем первое слагаемое — мощность в сопротивлении,
а второе — мощность в емкости. Закон изменения мощности
в сопротивлении найден выше [формула (9-37)1. Мгновен-
ное значение мощности в емкости
Pc = uci = UCM sin (аР—/м sin со/ = —Uci sin 2со/.
Мощность рс изменяется с двойной частотой, 2 раза
в течение периода достигает положительного максимума
UCI и 2 раза отрицательного максимума — UCI.
Графики ра и рс приведены на рис. 9-22.
Активная мощность
P = UI cos ср.
Реактивная мощность, характеризующая величину об-
менной энергии между генератором и электрическим полем:
Q = aCUl = UС1 = UI sin ср,
полная мощность цепи
S = UI.
352
Пример 9-10. К сети 240 в, 50 гц присоединена цепь, состоящая
из конденсатора емкостью 40 мкф и сопротивления 60 ом.
Определить: 1) реактивное сопротивление емкости; 2) полное
сопротивление цепи; 3) ток цепи; 4) активную слагающую напряже-
ния; 5) емкостную слагающую напряжения; 6) угол сдвига фаз между
Напряжением и током; 7) активную мощность; 8) реактивную мощ-
ность; 9) полную мощность.
11 106 106
%с== ыС" = 2л7С=2-3,14-50-40 12Мб = 80 0М’
2) г = /r2-Hx£ = /602-f-802= ЮО ом,
, U 240
3) ~ г ~ 100“2,4 а'
4) [7а =/г = 2,4-60 =144 в;
5) [7с=/хс = 2,4-80= 192 в;
6) cos<p=^-=-'| = 0,6; Sin<p = ^- = ^=O,8.
По таблицам находим гр — 53° 10';
7) Р = UI cos гр = 240-2,4-0,6 = 345,6 вт;
8) Q = UI sin ф = 240-2,4-0,8 = 460,8 вар;
9) S=W = 240-2,4 = 576 ва.
9-8. ЦЕПЬ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ, ИНДУКТИВНОСТЬЮ
И ЕМКОСТЬЮ
а) Ток и напряжения
Если неразветвленную цепь с активным сопротивле-
нием, индуктивностью и емкостью (рис. 9-25) присоеди-
нить к генератору сину-
соидального напряже-
ния, то в ней установит-
ся синусоидальный ток.
Выберем начало отсчета
времени (t = 0) в мо-
мент, когда ток прохо-
дит через нулевое значе-
ние, т. е. примем:
i — /л sin mt,
Рис. 9-25. Цепь с активным сопро-
тивлением, индуктивностью и ем-
костью.
Напряжение на активном сопротивлении совпадает по
фазе с током:
Ча = а. м sin 4>t-
Амплитуда этого напряжения t/a.M = I^r, а действую-
щее значение t/a = Ir.
23 Теоретическая электротехника 353
Напряжение на индуктивности или индуктивное напря-
жение опережает по фазе ток на 1/4 периода:
ным сопротивлением, иидуктив-
иостью и емкостью.
«L = и 1м Sin
Амплитуда этого на-
пряжения (Jim = !№<j>L —
= fMxL, действующее
значение UL=IaL=IxL.
Напряжение на ем-
кости или емкостное на-
пряжение отстает по фа-
зе от тока на 1/4 пе-
риода
«с=^см sin (at—-2-') .
Рис 9-27 Векторная
диаграмма цепи с ак-
тивным сопротив-
лением, индуктив-
ностью и емкостью
при xL > хс.
Амплитуда этого напряжения (7см = ^м^ = ^м^с> а дей-
ствующее значение Uc = I = 1хс-
На рис. 9-26 изображены графики напряжений, а на
рис. 9-27 — векторная диаграмма цепи.
354
Так как элементы цепи г, L и С соединены последова-
тельно, то напряжение на зажимах цепи в любой момент
времени равно сумме трех слагаемых:
М = Иа + «ь + «С = ^а Msin COZ' + f/iMSin + +
4~ UСм. Sin ---.
Напряжения на индуктивности и емкости сдвинуты
относительно друг друга по фазе на 1/2 периода или на
угол л, их алгебраическая сумма называется реактивным
напряжением:
Up= Ul + uc = (JIМsin + +^’см sin (at—50 ==
= Uсм) sin = Пр м sin (^со/ -Т ~2~() •
Разность амплитуд напряжений UlM и (7См равна ампли-
туде реактивного напряжения Up м.
В том случае, когда Ulm>Ucm, разность их положи-
тельна; когда ULilt = Uсм, разность их равна нулю, а когда
^£м<^см, разность их отрицательна.
Таким образом, напряжение на зажимах
и = ия и sin <*>/ + ^7Р м sin = £/м sin (W -f- <p).
Это напряжение для случая ULm>Ucm(xl> Хс) и
представлено на рис. 9-26 кривой и, а на рис. 9-27—
вектором U, который получен сложением векторов (7а,
Ul и Uc-
Амплитуда напряжения на зажимах цепи
UM — VUg м “1“ (ULM Ucm)^ = V и\ м Up м ,
а действующее значение
и = VUl + {UL-Uc)* = уитд. (9-49)
Действующее реактивное напряжение UP — UL—Uc —
алгебраическая величина.
При UL>Uc(a также для цепи с г и L)Up>0. При
Uс >Ul (а также для цепи г и С) получим UP<ZO.
23* 355
Подставив в формулу (9-49) вместо Ua, UL и Uс их
выражения через токи и сопротивления, найдем:
U = V\lr)* + (JxL-lxcy = I уr^ + (xL-xcr = /г;
(9-50)
здесь
г = Т = V^ + ^l-Xc)2 (9-51)
и называется полным сопротивлением неразветвленной
цепи.
б) Реактивное сопротивление. Треугольник
сопротивлений
Разность сопротивлений индуктивности и емкости
х — xL — хс
Рис. 9-28. Тре-
угольник сопро-
тивлений цепи с
активным сопро-
тивлением, индук-
тивностью и емко-
стью при xL > хс.
называют реактивным сопро-
тивлением. Реактивное сопро-
тивление в отличие от xL и хс — алгеб-
раическая величина. Для цепи, в кото-
рой xL^>xc, реактивное сопротивление
положительно, а для цепи с xL < хс
реактивное сопротивление отрица-
тельно.
Подставляя х в (9-51), получим:
z = yr2 + x\ (д-52)
Сопротивление г графически может
быть представлено гипотенузой прямо-
угольного треугольника, одним катетом
которого является активное сопротив-
ление, а другим — разность между индуктивным и емко-
стным сопротивлениями (рис. 9-28).
в) Знак угла
Для того чтобы не создалась путаница в определении
знака угла <р, принято во всех случаях этот угол вычис-
лять как разность начальных фаз напряжения и тока и счи-
тать его алгебраической величиной. На рис. 9-16 видно,
что для цепи с активным сопротивлением и индуктивностью
этот угол между векторами напряжения и тока надо считать
356
положительным (вектор напряжения опережает по фазе
вектор тока на угол ср).
Из рис. 9-23 видно, что для цепи с активным сопротив-
лением и емкостью этот угол надо считать отрицательным
(вектор напряжения отстает по фазе от вектора тока).
В общем случае цепи с г, L и С вектор напряжения опере-
жает или отстает от тока в зависимости от того, какое
тивным сопротивле-
нием, индуктивностью
и емкостью при
Рис. 9-30 Тре-
угольник сопро-
тивлений цепи с
активным сопро-
тивлением, индук-
тивностью и емко-
стью прн xL < хс.
из двух напряжений UL и Uc (или сопротивлений xL и хс)
больше. Считая угол алгебраической величиной и приняв
i = /м sin at для всех цепей, можно писать и = UM х
X sin (at + ср), так как для цепи с г и L или цепи с г, L
и С при xL > хс имеем ср > 0 и, как и должно быть, напря-
жение опережает по фазе ток. Вектор напряжения должен
быть отложен относительно вектора тока в сторону, проти-
воположную направлению вращения часовой стрелки. Для
цепи с г и С или цепи г, L и С при хс > xL считаем ср < 0
и, значит, напряжение отстает по фазе от тока (вектор
напряжения должен быть отложен относительно вектора
тока в сторону вращения часовой стрелки).
Если принять и = Дм sin at, то эти же соображения
требуют во всех случаях записывать ток как i = /м х
X sin (at — ср).
Угол сдвига фаз между напряжением и током, равный
углу между сторонами z и г треугольника сопротивлений,
357
можно определить через тангенс:
}ОП1— и С _ XL—ХС _ <йС _ X
Щ 'г
В том случае, когда U L > Uc (xL > л>), угол <р поло-
жителен, напряжение опережает по фазе ток или ток отстает
по фазе от напряжения.
Если UL = Uс или xL = *с, угол <р равен нулю, ток
совпадает по фазе с напряжением. Этот режим цепи, назы-
ваемый резонансом напряжений, рассмотрен отдельно
в § 9-10.
В том случае, когда UL < Uc (xL < хс), угол ср отрица-
телен, напряжение отстает по фазе от тока или ток цепи
опережает по фазе напряжение. На рис. 9-29 и 9-30 при-
ведены векторная диаграмма и треугольник сопротивлений
при <р < 0.
В частном случае для цепи г, L
tg > 0 и ф>0,
а для цепи г, С
tg ф = —<0 и ф < 0.
г) Соотношение между напряжениями на зажимах
и на отдельных участках цепи
Так как напряжение на индуктивности и напряжение
на емкости сдвинуты по фазе на 1/2 периода, то они частич-
но или полностью уравновешивают (компенсируют) друг
друга. Таким образом, напряжение на зажимах цепи,
с одной стороны, определяется величиной t/a, а с другой —
разностью UL —Uc, что следует из выражения (9-49).
Очевидно, возможен режим, когда слагающие напряжения
UL и Uc больше напряжения на зажимах цепи. Например,
если UL = 9 кв, Uс — 10 кв, Ua 0,5 кв, то U » 1,1 кв. Если
на отдельных участках цепи возникают напряжения, пре-
восходящие напряжение источника питания, то возможны
вредные последствия (повреждение изоляции отдельных
элементов установки).
Рис. 9-31 и 9-32 иллюстрируют один из таких случаев.
Трансформатор соединен с генератором двухжильным кабе-
358
лем, который состоит из двух частей: а — хи b — у. Между
зажимами х и b включены предохранители. При перегора-
нии одного из предохранителей, например между точка-
Рис. 9-31. Включение трансформатора последо-
вательно с емкостью при перегорании предохра-
нителя.
Рис. 9-32. Век-
торная диа-
грамма цепи,
изображенной
на рис. 9-31.
ми х2 и Ь2, трансформатор оказывается включенным после-
довательно с двумя емкостями: образованной жилой кабе-
ля Ь2у2 и землей (броней кабеля) и образованной землей
и жилой кабеля а2х2. В полученной цепи напряжение
между жилами кабеля а2х2, Ь2у2 и землей, а также напряже-
ние на трансформаторе могут быть зна-
чительно больше номинального напряже-
ния генератора.
Полное сопротивление неразветвленной
цепи z также определяется, с одной сто-
роны, активным сопротивлением цепи г,
а с другой стороны, разностью реактивных
сопротивлений (xL и хс), а не самими зна-
чениями xL и хс, которые могут быть и
больше г, так как
z = 'j/'r2 + (xL—хс)2.
д) Мгновенная мощность
Мгновенная мощность цепи с сопротив-
лением, индуктивностью и емкостью со-
стоит из трех составляющих мощностей: в
менте ра, индуктивном pL и емкостном рс,
Р ~ Pa Pl Pc ~ ~г uLiuqI. (9-54)
При синусоидальном токе
i = /Msin®/;
активном эле-
т. е.
359
мгновенная мощность
р = 2UJ sin2 at + ULI sin 2at — UCI sin 2m/.
Графики мощностей для случая xL > хс приведены на
рис. 9-26.
Слагаемые pL и рс изменяются с двойной частотой и в
каждый момент времени имеют разные знаки.
В течение тех промежутков времени (первой и третьей
четвертей периода), когда мощность pL положительна,
происходит накопление энергии в магнитном поле вследст-
вие роста тока. Это увеличение энергии происходит, с одной
стороны, за счет уменьшения энергии электрического поля,
так как в эти промежутки времени мощность рс отрица-
тельна и напряжение на конденсаторе уменьшается. С дру-
гой стороны, увеличение энергии магнитного поля происхо-
дит за счет энергии, получаемой от генератора, так как
в данном примере максимальная энергия магнитного поля
больше максимальной энергии электрического поля:
<v/ L/'м IV/ CUCm
W Lm - —См = g— •
В течение тех промежутков времени (второй и четвертой
четвертей периода), когда мощность рс положительна,
напряжение на конденсаторе увеличивается и в электри-
ческом поле запасается энергия. Эта энергия получается
за счет уменьшения энергии магнитного поля при умень-
шении тока. Кроме того, за те же промежутки времени
избыток энергии магнитного поля (IFLm — IFCM) возвра-
щается обратно генератору.
Таким образом, дважды в течение периода цепь полу-
чает от генератора энергию (IFLm — IFCM) и дважды отдает
ее обратно.
В том случае, когда xL < хс (ULM<UCM и WLM <
< 1^см), процесс протекает аналогично, с той лишь разни-
цей, что в течение второй и четвертой четвертей периода,
когда напряжение на конденсаторе увеличивается, энергия
в электрическом поле накапливается, с одной стороны,
за счет уменьшения энергии магнитного поля, а с другой —
получается от генератора. В течение первой и третьей
четвертей периода при уменьшении напряжения на кон-
денсаторе и увеличении тока в цепи энергия электрического
поля частично переходит в энергию магнитного поля,
частично возвращается генератору.
360
Обмен энергией между цепью и генератором характери-
зуется реактивной мощностью
Q= (UL~Uс) I = U! sin <р, (9-55)
причем в зависимости от знака угла ср реактивная мощ-
ность может быть положительной или отрицательной.
Средняя или активная мощность цепи
P = UaI = UI coscp,
а полная мощность
S = VP2+Q2 = UI.
Пример 9-11. К генератору с напряжением (7 = 250 в и частотой
/ = 50 гц присоединена последовательная цепь, состоящая из актив-
ного сопротивления г = 30 ом, индуктивности L= 382 мгн и емкости
С = 40 мкф.
Определить: 1) реактивное сопротивление индуктивности;
2) реактивное сопротивление емкости; 3) полное сопротивление цепи;
4) ток цепи; 5) активную слагающую напряжения; 6) реактивную
слагающую напряжения на индуктивности; 7) реактивную слагаю-
щую напряжения на емкости; 8) tg ср, 9) cos ср, 10) sin ср;
11) угол <р; 12) активную мощность цепи; 13) реактивную мощность
цепи; 14) максимальную энергию магнитного поля; 15) максималь-
ную энергию, запасаемую в электрическом поле цепи.
1) xjr, = coL=2n/L=2-3,14-50-0,382= 120 ом;
ос 1 1 106 «о
2) Х° соС 2 л/С 2-3,14-50-40 “ 80 0М’
3) г = /r2^-(xL~xc)2 = /302+ (120 - 80)2 = 50 Ом;
4) — = 5) и - ir = 5. зо= 150 в;
г 50 d
6) UL= IxL= 5- 120 = 600в;
7) (7с = /хс = 5-80=400 в;
СП г 30 л „
9) cos ср = — = : 0,6;
г оО
10) sin <р = ± = ^^ = =12 = 0,8;
г г 50 50
И) по таблицам тригонометрических функций находим <р=53°10';
12) Р — 1Л cos ф = 250-5-0,6 =-750 вт;
13) Q = UI sin ф = 250-5-0,8 = 1 000 вар;
14) ^„ = £/2 = 0,382-52 = 9,55 дж;
15) WCtl = CU2c = 40-10-6-4002 = 6,4 дж.
361
9-9. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО
СОЕДИНЕНИЯ
Рассмотрим цепь (рис. 9-23), которая состоит из не'
скольких последовательно соединенных участков (при-
емников энергии), каждый из которых обладает активным
Рис. 9-33. Цепь с четырьмя последовательно
соединенными участками.
и реактивным сопротивлением. При действующем значе-
нии тока в цепи / активная составляющая напряжения
каждого из участков
Uап ~ If nt
здесь п—номер участка.
Реактивная составляющая напряжения каждого из уча-
стков
Upn — 1%п-
На рис. 9-34 векторы напряжений построены в той
последовательности, в которой соединены соответствую-
щие участки; векторы активных составляющих напряжений
совпадают по направлению с вектором тока, векторы реак-
тивных составляющих повернуты относительно вектора
тока на углы +90° или —90°.
Напряжение на каждом из участков
un = yuin+uin.
Напряжения на отдельных участках (рис. 9-34) пред-
ставлены векторами, повернутыми относительно вектора
тока на углы, величина которых определяется из выражения
tg<pn = ^-.
г п
Сумма всех векторов напряжений (или сумма всех
векторов активных и реактивных составляющих) равна
362
вектору напряжения на зажимах цепи
[7=[7)-]-[72-]-[73-|-...
Действующее значение этого напряжения можно опре-
делить из прямоугольного треугольника АБВ. Катет АВ —
активная составляющая напряжения цепи, равная ариф-
метической сумме активных составляющих напряжений
отдельных участков. Катет БВ — реактивная составляю-
Рис. 9-34. Векторная диаграмма
цепи, изображенной на рис. 9-33.
Рис. 9-35. Многоугольник
сопротивлений цепи, изо-
браженной на рис. 9-33.
щая напряжения цепи, равная алгебраической сумме
реактивных составляющих напряжений отдельных участков.
Следовательно, напряжение цепи
и = VU1 + U* = V(^Uany + . (9-56)
Таким образом, при последовательном соединении участ-
ков, обладающих активными и реактивными сопротивле-
ниями, действующее значение напряжения на зажимах
цепи меньше арифметической суммы действующих значений
напряжений участков, т. е.
U < [7i-Т U2A~ 773 4- •
Если в выражении напряжения цепи активные и реак-
тивные составляющие заменить произведениями токов
и соответствующих сопротивлений, то получим:
U = V (TTpTW = /(2/r„)2+(2/xn)2,
или
U = / + х2 = / У+ (2хп)2 = /г.
363
Из последней формулы следует, что полное сопротив-
ление цепи
z = 4 = = VW)2+(2*X (9-57)
Полное сопротивление цепи z может быть графически
представлено замыкающей стороной многоугольника
сопротивлений (рис. 9-35), т. е.
z — Zi 4- z2 + z3 4- ...
Этот многоугольник нетрудно получить, уменьшая каж-
дую из сторон многоугольника напряже-
ния в I раз.
Таким образом, при последовательном соединении участ-
ков, обладающих активными и реактивными сопротивления-
ми, полное сопротивление цепи меньше арифметической
суммы полных сопротивлений отдельных участков.
Угол сдвига фаз напряжения цепи U и тока / опреде-
ляется из выражения
tg<P=y = -^. (9-58)
При x = Sxn>0 имеем <р>0 и напряжение цепи опе-
режает по фазе ток (рис. 9-34) — индуктивный режим
цепи; при х < 0 получим ср <4 0 и ток опережает по фазе
напряжение — емкостный режим.
Активная мощность цепи
Р — UI cos<p,
реактивная мощность (алгебраическая величина)
Q = UI sin ср,
полная мощность цепи
Пример 9-12. Цепь из четырех последовательно соединенных
участков присоединена к сети с напряжением 118 в.
Сопротивление участков: ri = 4 ом; хы=13 ом; г2 = 3 ом;
хС2 = 4 ом; г3 = 5 ом; х^3 = 7 ом; г4 = 6 ом и xg4=8 ом;
Определить: 1) ток в цепи; 2) угол сдвига фаз между напряже-
нием и током цепи; 3) активную, реактивную и полную мощности
цепи; 4) напряжение на отдельных участках; 5) углы сдвига фаз
между напряжениями и током цепи на отдельных участках.
1) г”/“i-|-г24“ Гзг44-)-ЗЦ-5-|-6 —— 13 ом;
x~xL1 — xC2+xL3— xCi = 13— 44-7 — 8 — 8 ом;
364
г=Уr^ + x2 = V 182 + 82=19,7 ом;
х 8
2) tgq> = y- = -^-= 0,445;
<р=24°; cos<p = 0,913; sin <р = 0,407;
3) P — Ul cos <p= 118-6-0,913 = 646 em;
Q=UI sin <p= 118-6-0,407 = 288 вар;
S = L7= 118-6=708 ea;
4-5) 42+ 132 = 13,6 ом;
Ul= Izl = 6-13,6 = 81,6 e;
= = 3,25; <p1 = 72°50';
r( rt 4
z2 = V^2+xc2 — У 32+42 = 5 om;
U2 — /г2 = 6-5 = 30 e;
tg<P2=-”=~—= ~4= -1’33; <₽2=-53°10';
Г2 r2 о
г3=]/"r|+ -/3 = /б2+ 72 = 8,6 ом;
U3~ Iz3= 6-8,6= 51,6 e;
tg<P3 = ~ = -^ = 4= 1Л; фз=54°30';
'"з гз 0
24-/^+ >'C4 = /64+2=10 ом;
U^Iz^b-10=60 в;
lgq>4=>-= ~+C-= “4= -1’33: <P4=-53°10'.
r4 rt °
9-10. РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ
В последовательной цепи, состоящей из активного
сопротивления, индуктивности и емкости (рис. 9-25), при
равенстве реактивных сопротивлений xL и хс возникает
резонанс напряжений.
Так как xl = <pL, а = то при резонансе
<oL = —U или <о2£С=1.
<оС
365
При этом угловая частота
а частота
г _ <о _ 1
2л “ 2л /LC '
Выше (§ 7-14) было установлено, что в контуре без
потерь, подключаемом к источнику постоянного напряже-
ния, возникает переменный ток с угловой частотой соб-
с твенных колебаний
1
®о = •
V LC
Резонанс наступает, если частота напряжения источника
питания со совпадает с частотой собственных колебаний
контура со0, при этом xL = хс, или х = xL — хс = 0, т. е.
реактивное сопротивление равно нулю.
При резонансе сопротивление любого из реактивных
участков цепи
«с = =VZF L=yr-c=zB
принято называть волновым сопротивлением.
Полное сопротивление цепи при резонансе напряжений
2=УН+ (XL — Xc)2= Г,
т. е. равно активному сопротивлению цепи и, следователь-
но, наименьшее из всех возможных при изменении часто-
ты со.
Ток в цепи (действующее значение) при резонансе дости-
гает максимума и совпадает с напряжением по фазе. Таким
образом,
/=4=4- (9-б°)
При резонансе индуктивное напряжение UL = IxL и
емкостное Uc = 1хс, сдвинутые по фазе на половину
периода, равны по величине; напряжение на зажимах
цепи U равно активному напряжению UЛ = 1г (рис. 9-36
и 9-37). Диаграмма сопротивлений показана на рис. 9-38.
366
Отношение напряжения на зажимах цепи к напряже-
нию на любом из реактивных участков
и = Iz _lz^r^r=r
Ul Uc Ixl Ixc xl xC гв ’
откуда
UL = Uc=U-^ = U = u (9-61)
При zB > г напряжения U L и Uc больше приложенного
к зажимам цепи напряжения в zB/r раз. Таким образом,
Рис. 9-37. Вектор-
ная диаграмма при
резонансе напря-
жений.
/7х‘ V0 AV / Ад
0 V V
Рис. 9-36. Графики тока, напря-
жения и мощности при резонансе
напряжений.
Рис. 9-38. Треуголь-
ник сопротивлений
при xL = хс.
при резонансе напряжений в цепи могут возникать пере-
напряжения на отдельных участках цепи.
Величина, равная отношению у , называется доб-
ротностью контура и обозначается буквой Q.
367
Равенство напряжений Uи Uc при сдвиге фаз на поло-
вину периода означает, что в любой момент времени мгно-
венные напряжения на емкости и индуктивности равны
по величине, но противоположны по знаку (ыь = — ис),
следовательно, в любой момент времени равны по величине
и противоположны по знаку мгновенные мощности в реак-
тивных участках цепи (рис. 9-36):
— Ра-
Это равенство означает, что накопление энергии в маг-
нитном поле происходит исключительно за счет энергии
электрического поля и наоборот, а энергия, вырабатывае-
мая генератором, преобразуется в тепло только в активном
сопротивлении.
Настройка цепи в режим резонанса напряжений может
быть выполнена по-разному: в цепи с постоянными значе-
ниями L и С, т. е. в цепи с катушкой индуктивности и с по-
стоянным конденсатором, изменением частоты напряжения
источника питания до тех пор, пока не получится со = соо =
= jTTS' выРажения = 1 или L = Ь'о)2С следует
также, что резонанс можно получить при неизменных
о> и С, изменяя индуктивность цепи, или при постоянных
со и L, изменяя емкость цепи (С = l/co2L).
Резонанс напряжений возникает и в неразветвленной
цепи, которая содержит несколько участков с параметрами
г, L и С, если будет выполнено условие: х = —
— 2хс =• 0.
9-11. РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ
В неразветвленной цепи с параметрами г, А и С, вклю-
ченной под напряжение, действующее значение которого
неизменно, а частота изменяется в широких пределах,
будут изменяться все величины: xL, хс, z, I, Ua, UL, Uc,
ср, P, Q, S. Кривые изменения тока, напряжений и угла
сдвига фаз в зависимости от частоты, называемые кривыми
«резонанса», приведены на рис. 9-39.
Реактивное сопротивление индуктивности xL = 2nfL
при увеличении частоты увеличивается пропорционально
частоте от 0 при / = 0 до оо при f — со.
Реактивное сопротивление емкости хс = при Уве"
личении частоты уменьшается, изменяясь обратно про-
368
порционально частоте от со при f = 0 до 0 при
f = оо.
Реактивное сопротивление цепи х = xL — хс изменяется
от минус бесконечности при / = О (х = xL — хс = — со)
до нуля при резонансной частоте f = f0 (х = xL — хс = 0),
а затем при увеличении частоты до значения / -= со увели-
чивается до бесконечности
(х = xL — хс = со).
При таком изменении
реактивного сопротивления
, U U
цепи ток 1
Z
увеличивается от нуля при
/=0 до наибольшего зна-
г и
чения /наиб = — при ре-
зонансной частоте f = f0,
а затем уменьшается до
нуля при/= оо(рис. 9-39).
Напряжение на актив-
ном сопротивлении (7а = 1г
изменяется пропорциональ-
но току, т. е. увеличивается
от нуля при f = 0 до
наиб = и при / = /о, а
затем уменьшается до нуля
при f = СО.
Рис. 9-39. Кривые резонанса в
зависимости от частоты.
Напряжение на емкости Uc = 1хс при f = 0 равно
напряжению на зажимах цепи, так как в цепи постоянного
тока конденсатор не перезаряжается (ток равен нулю,
а следовательно, равны нулю Ua = Ir и UL = IxL)', далее
напряжение на емкости увеличивается до некоторой наи-
большей величины (7Снапб, а затем уменьшается до нуля
при / = оо, так как в этом случае хс = 0.
Напряжение на индуктивности UL = IxL изменяется
от нуля при f = 0 до некоторого наибольшего значения
ПЬпаиб, а затем уменьшается до величины напряжения цепи
UL = U, так как при / = оо ток равен нулю, а следова-
тельно, равны нулю Ua = 1г и Uc = Ixc (UL не равно
нулю, хотя ток и равен нулю, так как при /= оэи
xL — со).
При резонансной частоте / = /0 напряжения на индук-
тивности и на емкости равны: UL = Uc-
24 Теоретическая электротехника
369
Наибольших значений напряжения Uc и UL достигают
при разных частотах, не совпадающих с резонансной
частотой.
Угол сдвига фаз между напряжением и током цепи
(рис. 9-39) сначала изменяется от-- при f = 0 ^tg«p =
XL — ХС 0—W \ /
=----— = —-— = - ео J до нуля при f = fo tg ф =
= Xl г С = о), а затем от нуля до +-5- при f = со
( XL~XC 00-° >
На рис. 9-40 даны резонансные кривые тока для цепи
с постоянными U, L и С для двух значений добротности
Рис. 9-40. Резонансные кривые
тока.
Q = ~, а именно Q = 2 и
Q = 10 (на рис. 9-40 по
оси абсцисс отложены зна-
чения не частоты f, a f/f0
при f<fo и f0/f при f>f0,
чем достигается симметрия
резонансных кривых). Из
кривых видно, что при
больших значениях доброт-
ности контура резонансная
кривая более острая, чем
при меньших значениях
добротности контура. По-
этому, чем меньше активное
сопротивление цепи г по
сравнению с волновым со-
противлением гв, тем более
резко выражено явление
резонанса.
Пример 9-13. Для цепи примера 9-11 определять частоту f0, при
которой наступит резонанс напряжений. Для резонанса определить
величины: 1) xl, хс, г; 2) 1, Ul и Uc', 3) н Fcm.
Частота резонанса
/о =---—---------7==== 41 гц;
2л VLC 2л/0,382-40.10-е
1) хь = 2л/о£ = 2-3,14-41-0,382 ^98 ом;
1 1°6
Xc~2nf0C 2-3,14.41 -40^ 98 °М'
370
г = V г2 + (х/, — %с)2 = г = 30 ом;
,и _U _ 250
2) г “-Зб-^8’33 а’
yL=/xL = 8,33-98 = 817 в; Uc = lxc = 8,33-98 = 817 в;
3) №Lm = /2Z. = 8,332-0,382 = 26,6 дж;
№См = [/сс = 8172-40-10-6 = 26,6 дж.
Рис. 9-41. Прямая AtEj и
окружность ОА2Б2— гео-
метрические места взаимно-
обратных векторов.
9-12. КРУГОВЫЕ ДИАГРАММЫ НЕРАЗВЕТВЛЕННЫХ
ЦЕПЕЙ
а) Основные понятия и определения
При исследовании цепей переменного тока иногда приходится
рассматривать несколько вариантов одной и той же задачи. Напри-
мер, может потребоваться ответ иа вопрос: как будут изменяться
величины /, <р и Р цепи, если при не-
изменном действующем значении на-
пряжений на ее зажимах один из па-
раметров г, Г и С принимает различ-
ные значения?
Для решения этой задачи можно
проделать серию однотипных расче-
тов по тем формулам, которые были
получены ранее. Проще, однако, во-
спользоваться графическим методом,
заключающимся в применении так на-
зываемых обратных векторов. Два из-
меняющихся вектора, проведенных из
одной точки, называются взаимно об-
ратными, если при всех изменениях
произведение их остается постоянным.
Если начало изменяющегося век-
тора неподвижно, а конец перемещает-
ся по какой-нибудь кривой (или пря-
мой), то эта кривая (прямая) называет-
ся геометрическим местом
концов векторов.
Если геометрическим местом концов вектора является прямая,
не проходящая через его начало, то геометрическим местом концов
обратного вектора является окружность, проходящая через общее
начало и имеющая центр на перпендикуляре к прямой.
На рис. 9-41 прямая А,/^ — геометрическое место концов изме-
няющегося вектора, а окружность ОА2Б2 проходит через общее на-
чало векторов О н имеет центр Oj на перпендикуляре к пря-
мой АДЗр
Из чертежа ясно, что треугольники OAjfit и ОБ2А2 подобны,
так как угол AjOCt является общим, а углы OAjSj и ОБ2А2—пря-
мые. Из подобия треугольников следует:
ОБ\ ОА|
ОА2 ОБ2 5
24*
371
откуда
OBf ОБ2 = ОА2-ОА1 = const. (9-62)
Следовательно, векторы 0А2 и ОБ2 обратны векторам 0А{ и 0Blt
а окружность ОА2Б2 — геометрическое место концов обратного
вектора.
Считая векторы 0А2, 0Б2 данными, a 0At, ОБ^ — обратными,
можно утверждать, что если геометрическим местом концов изме-
няющегося вектора является окружность, проходящая через его на-
чало, то геометрическим местом обратного вектора будет прямая,
перпендикулярная диаметру, проходящему через общее начало
векторов.
б) Круговая диаграмма неразветвленной цепи
с постоянным активным и переменным реактивным
сопротивлениями
Рис. 9-42. Цепь с постоян-
ным активным и изменяе-
мым индуктивным сопро-
тивлением.
Рассмотрим изменение тока в цепи с параметрами г и при
постоянном действующем значении напряжения U на зажимах цепи
н изменяющемся от нуля до беско-
нечности сопротивлении xL (рис. 9-42).
Ток в цепи равен отношению по-
стоянного по величине напряжения U
н изменяющегося сопротивления г,
т. е. ток обратно пропорционален z.
Следовательно, для построения векто-
ра тока необходимо предварительно
построить геометрическое место кон-
цов вектора полного сопротивления
цепи.
При построении геометрического
места концов вектора полного сопро-
тивления поступаем следующим обра-
зом: выбираем масштаб сопротивле-
ний Мг, который показывает, какому
числу ом соответствует единица длины вектора сопротивления
(например: Л421 = 5 ом/мм илн Л422=200 ом/мм)*.
Откладываем в выбранном масштабе в произвольном направле-
нии постоянную величину активного сопротивления ОА (рис. 9-43).
Через точку Л проводим вправо линию AN, перпендикулярную оси
ОА, н на ней откладываем от точки А в том же масштабе сопротив-
лений Мг значения переменного реактивного сопротивления х^.
Замыкающий вектор ON представляет собой в выбранном мас-
штабе полное сопротивление цепи г. При изменении сопротивления
х^ от нуля до бесконечности коцец вектора полного сопротивления
* Масштабы рекомендуется выбирать так, чтобы, с одной сто-
роны, диаграмма уместилась на листке бумаги, который не следует
брать меньше 100х 100 .и .и 2 и больше 250x 250 тити2; с другой сто-
роны, масштаб удобно выражать целыми числами 1, 2 и 5, умно-
женными на 10 в любой целой положительной илн отрицательной,
степени.
372
перемещается по прямой от точки А вправо. Таким образом, геоме-
трическим местом концов вектора полного сопротивления цепи яв-
ляется прямая AN.
Геометрическим местом концов вектора тока (обратных величин)
будет окружность, проходящая через точку О, с центром на линии
ОА, перпендикулярной AN.
Для построения окружности
тока необходимо также выбрать
масштаб. Масштаб тока просто
определяется из режима короткого
замыкания (%l = 0). В этом режи-
ме zK = r, ток короткого замыка-
, U
ния /к=——изображается диамет-
ром окружности токов OD, откуда
масштаб тока
Например, если /к = 10 а, то,
выбрав масштаб М/ = 0,1 а) мм,
получим
OD — -~
диаметр окружности
им-=-~- = -д-р = 100 мм. (Если
выбрать масштаб Мг~ 1 а/мм, по-
лучим слишком малый диаметр
окружности OD, а именно 10 мм.
Наоборот, при масштабе Л1Г =
= 0,01 а/мм получим слишком
большой диаметр окружности:
OD 1 000 мм.)
Окружность диаметра 0D яв-
ляется геометрическим местом кон-
цов векторов тока, начала которых
лежат в точке О. Для частного
= 100 мм.
Рис. 9-43. Круговая диаграм-
ма для цепи с постоянным ак-
тивным и
тивным
изменяемым индук-
сопротивлениями.
значения реактивного сопротивления х^, представленного на
рис. 9-43 отрезком AN, ток цепи изображается отрезком ОВ.
При изменении сопротивления х^ от нуля до бесконечности
точка N, как указывалось, перемещается от точки А по прямой
вправо, а полное сопротивление, представленное отрезком ON, уве-
личивается от значения z = zK = r до z = oo. Ток цепи уменьшается
от значения /к, представленного на диаграмме отрезком ON, до ну-
ля (точка В перемещается по окружности от точки D до точки О).
Угол сдвига по фазе тока относительно напряжения для цепи
с сопротивлением и индуктивностью, как известно,
выражения
определяется из
, ХГ
На диаграмме угол <р получается непосредственно. При измене-
нии сопротивления xL от нуля до бесконечности угол <р изменяется
от нуля до 90°.
Так как активное сопротивление цепи г постоянно, то активная
составляющая напряжения пропорциональна току;
[/а = 1г = 1- const.
373
Следовательно, активная составляющая напряжения н ток мо-
гут быть представлены одним и тем же вектором, но в разных мас-
штабах, а окружность 0BD является геометрическим местом концов
векторов активной составляющей напряжения. При х^ — 0 активное
напряжение равно напряжению цепи U и представлено диаметром
окружности OD, так что масштаб напря-
жения можно определить из соотношения
"О/Г = Л,17‘
Напряжение цепи
u^Vul+Up
Рис. 9-44.
грамма
ной цепи
емом
Круговая диа-
неразветвлен-
при изменя-
состоит нз двух слагаемых: активной и
реактивной; очевидно, что вектор BD,
опережающий на 90° вектор активной
составляющей напряжения н в сумме
с ним дающий вектор напряжения цепи,
представляет собой вектор реактивной
составляющей напряжения.
Из круговой диаграммы можно
определить полную, активную и реактив-
ную мощности цепи.
Полная мощность S — UI при по-
стоянном значении U прямо пропорцио-
нальна току и выражается тем же отрез-
ком ОВ, что и ток.
Масштаб мощности
Ms = O^ ’
где SV=-UI],— полная мощность при
xl = 0.
ОВ полной мощности S расположен под
перпендикулярную ОА, получим отре-
реактивной мощности. Масштаб актив-
тот же, что и полной. При изменении xj,
активная мощность изменяется от наи-
(Прн Xj,= 0) ДО НУЛЯ (При Xjr_ = CO).
На диаграмме вектор
углом <р к линии ОЛ; проектируя вектор ОВ на вертикальную ось О А,
получим отрезок OB', пропорциональный активной мощности. Проек-
тируя вектор ОВ на линию,
зок ОВ", пропорциональный
ной и реактивной мощности
от нуля до бесконечности
большего значения Рк —SK . . „ ,
Реактивная мощность при х/.-О имеет нулевое значение. Затем
величина реактивной мощности возрастает и достигает максимума
при хь = г (<р = 45с). При дальнейшем увеличении xj реактивная
мощность уменьшается до нуля (при xf, = co).
Если цепь обладает не индуктивным, а емкостным сопротивле-
нием, то круговую диаграмму можно построить подобным же обра-
зом с тем лишь различием, что реактивные сопротивления емкости
следует откладывать на прямой AN влево от точки А.
При построении круговой диаграммы может оказаться, что мас-
штаб напряжения или мощности не удовлетворяет требованиям,
которые предъявляются к масштабам. В этом случае целесообразно
374
провести дополнительные окружности (рис. 9-44), проходящие
начало векторов тока (точка О) н с центрами на прямой OD.
метр окружности напряжений ОЕ определяется по формуле
ОЕ — -^—,
Ми
причем масштаб напряжений Мц надо выбирать по правилам,
жепным выше. Активная составляющая напряжения представлена
теперь отрезком OF, а реактивная — отрезком FE. Диаметр окруж-
ности полной мощности ОС находится по формуле
ос=^-,
Ms
через
Дна-
нзло-
где Ms —масштаб мощности.
Активная мощность выражается отрезком ОК, равным проекции
вектора S на направление, совпадающее с вектором U, а реактив-
ная—отрезком КМ, равным проекции вектора S на перпендикуляр
к вектору U (рис. 9-44).
в) Круговая диаграмма неразветвленной цепи
с постоянным реактивным и переменным активным
сопротивлениями
Рассмотрим теперь изменение тока в цепи (рнс. 9-45) прн посто-
янном реактивном сопротивлении н изменяющемся активном от г = 0
(короткое замыкание) до г —со (хо-
лостой ход).
Отложим в произвольном удобном
для построения масштабе Ми вектор
напряжения на зажимах цепи ОЕ =
=U/Ми (рнс. 9-46).
Ток в цепи равен отношению на-
пряжения U н изменяющегося полно-
го сопротивления z, т. е. ток обратно
пропорционален сопротивлению г. Сле-
Рнс. 9-45. Цепь с постоян-
довательно, для построения вектора
тока необходимо предварительно по-
строить геометрическое место концов
ным индуктивным и изме-
няемым активным сопротив-
лениями.
вектора полного сопротивления цепи.
Для построения геометрического места концов вектора полного
сопротивления откладываем в выбранном масштабе Mz в направле-
нии, перпендикулярном вектору напряжения, постоянное индуктив-
ное сопротивление OA~x^-.Mz. Вверх от точки А откладываем
в том же масштабе переменное активное сопротивление АБ = г : Л42.
Вектор ОБ изображает полное сопротивление цепи O5=z-.MZ.
Таким образом, прямая АБ н есть геометрическое место концов
вектора полного сопротивления цепи.
Ток в цепи при изменении сопротивления г изображается век-
тором, конец которого, как и раньше, перемещается по окружности.
Для построения окружности тока построим сначала вектор тока
короткого замыкания. В режиме короткого замыкания r = 0, z = x£
375
и ток lK- Uixj отстает по фазе от напряжения на угол л/2. Поэтому,
выбрав масштаб тока Mj и вычислив диаметр окружности токов
OD—I^Mj, отложим вектор OD под прямым углом к отрезку ОЕ.
Проведя полуокружность OBD диаметром OD, получим геометри-
ческое место концов векторов тока, начала которых, расположены
в точке О. При изменении сопротивления г от нуля до бесконеч-
ности ток в цепи уменьшается от значения /к до нуля (точка В
перемещается по окружности от точки D до точки О). Угол сдвига
фаз ф изменяется соответственно от л/2 до 0.
Чтобы получить векторы составляющих напряжения, построим
на векторе напряжения цепи ОЕ как на диаметре полуокружность
F
Рис. 9-46. Круговая диаграмма для нераз-
ветвленнон цепи при изменяемом г (х = xL).
OFE', отсекаемый этой полуокружностью отрезок OF, совпадающий
по направлению с вектором тока, изображает активную, а отре-
зок FE — реактивную составляющую напряжения цепи. Действи-
тельно, из подобия треугольников OFE и OBD следует:
FE ОВ
ОЕ~ 0D ’
т. е.
U 1 U f - U Ul
Мц /к Му ' xL Му Му
При изменении сопротивления г от нуля до бесконечности ак-
тивная составляющая напряжения изменяется от нуля до U, а ре-
активная от U до нуля (точка F перемещается по окружности от
точки О до точки £).
Из круговой диаграммы можно определить полную активную и
реактивную мощности цепи.
376
Диаметр окружности полной мощности ОС выберем по формуле
OC = Slt/Ms,
где 8к~и/к, a Mg — масштаб мощности.
Полная мощность изменяется от максимальной (при коротком
замыкании) до нуля (при холостом ходе).
Проекция вектора S на вектор U или прямую, параллельную
вектору U, равна активной мощности Р; активная мощность изме-
няется от нуля (г = 0) до максимума (г = *ь) и снова до нуля
Рис. 9-47. Круговая диаграмма для нераз-
ветвленной цепи при изменяемом г (х = — хс).
(г—со). Проекция вектора S на перпендикуляр к вектору U равна
реактивной мощности Q, которая изменяется от Смаке —Зк Д° нуля.
Если цепь обладает не индуктивным, а емкостным сопротивле-
нием, то круговую диаграмму получают подобным же образом
с тем лишь различием, что диаметр полуокружностей токов и мощ-
ности строят слева от вектора U (рис. 9-47).
г) Круговая диаграмма неразветвленной цепи,
состоящей из катушки и переменного активного
сопротивления
Если цепь состоит из катушек с неизменными сопротивлениями
г, и и последовательно соединенного с ней переменного актив-
ного сопротивления г2 (рис. 9-48), то круговую диаграмму можно
построить аналогично предыдущей (рис. 9-49).
Откладываем от точки О в произвольном направлении вектор
лс. с
напряжения = .
377
В режиме короткого замыкания (гг=0)
Ток короткого замыкания отстает от напряжения на угол <рк, тан-
генс которого tg«pK = tg(Pi=—, н изображается хордой ОВ окруж-
ri
ности токов. Длину отрезка (хорды) ОВ вычисляем по формуле
0В =
/к
Mt '
Так как вектор
окружности тока, то
тока 1К является хордой, стягивающей дугу
точка О' пересечения перпендикуляра, восста-
Рис. 9-48. Схема соединения катушки и изменяемого
активного сопротивления.
вленного из середины вектора тока,,с линией, перпендикулярной
вектору напряжения и проведенной через начало вектора напряже-
ния, будет центром окружности тока. Окружность проводим через
начало векторов О и конец вектора тока /к. В остальном построение
круговой диаграммы ничем не отличается от ранее рассмотренного.
Активная мощность Р в этой цепи состоит из двух слагаемых:
Pt и P^-Pi — активная мощность в постоянном активном сопротивле-
нии (сопротивлении катушки); Р2 — активная мощность в переменном
сопротивлении г2. При г2 = 0 активная мощность представляется от-
резком TH. С изменением г2 угол (pj не изменяется н активная мощ-
р р
ность изображается отрезком KG, так как Yj=^ = tg(90°—<рк).
У У к
Активная мощность в переменном сопротивлении г2 выражается отрез-
ком GM. При увеличении г2 от нуля до бесконечности Pt уменьшается
от Рк до нуля, а Р2 сначала увеличивается до максимального значе-
ния и затем уменьшается до нуля.
Круговую диаграмму можно построить н по опытным данным,
г, , Р
если значения U, !к и cos фи=уту- получить из опыта, соединив ка-
тушку н сопротивление г2 по схеме, приведенной на рис. 9-48.
Пример 9-14. Последовательно с катушкой, активное сопротив-
ление которой составляет 4,6 олс, а реактивное 10 ом, включено
378
переменное активное сопротивление г2. К цепи приложено напря-
жение 220 в. При изменении этого сопротивления ток в цепи прини-
мает значения: /к; 0,9/к; 0,8/к; 0,6/к; 0,4ZK; 0,2/к и 0. Построить
круговую диаграмму н нз диаграммы иайти зиачеиня реактивной
Рис. 9-49. Круговая диаграмма при последовательном со-
единении катушки н изменяемого активного сопротив-
ления.
мощности Q н активной мощности в переменном сопротивлении Р2
при указанных значениях тока. По полученным данным построить
графики Q (/) и / (Р2).
Для построения круговой диаграммы нужно вычислить ток
короткого замыкания
Zi V rf + x? / 102 + 4,62
Выбрав масштаб напряжения 7Hjj = 4 е/лслс, находим длину от-
резка ОЕ:
U 220 „
ОЕ — -гт~=—^ = 55 мм.
Мц 4
(На рис. 9-50 длина всех отрезков уменьшена на ~30%.)
Выбрав масштаб тока Л4Т=О,2 а/мм, вычисляем длину отрезка
OBj (ток короткого замыкания):
I 20
ОВ1 = 42- = ^=100 мм.
Mj 0,2
379
Отрезок ОВГ откладываем под углом <₽i = фк к отрезку ОА:
1§<р1 = £1 = Д=2,17; ф^ 65=20'.
г, 4,6 т
Из середины отрезка OBt проводим перпендикуляр до пересече-
ния с прямой, построенной под прямым углом к вектору напряжения.
Рис. 9-50. Круговая диаграмма к примеру 9-14.
Из точки пересечения О' радиусом О'О проводим окружность токов.
Вычислив полную мощность при коротком замыкании
SK=(//„ = 220-20 = 4 400 ва
н выбрав масштаб мощности Ms = 50 ва/мм, проводим отрезок OCj,
выражающий полную мощность SK:
OC1 = ^- = i^2 = 88 мм.
1 Ms 50
Аналогично окружности токов проводим окружность полной мощ-
ности.
Таблица 9-1
№ ОВ М1 1 OF Ms Q со Р2
п/п
ММ а/мм а ММ ва/мм вар ММ ва/мм вт
1 100 0,2 20 79 50 3 950 0 50 0
2 90 0,2 18 65 50 3 250 14 50 700
3 80 0,2 16 51 50 2 550 24 50 1 200
4 60 0,2 12 29 50 1 450 30 50 1 500
5 40 0,2 8 14 50 700 26 50 1 300
6 20 0,2 4 4 50 200 18 50 900
7 0 0,2 0 0 50 0 0 50 0
380
Радиусами, соответствующими токам 0,9/к, 0,8/к и т. д., делаем
из точки О засечки В2, В3 и т. д. на круговой диаграмме токов
и находим отрезки, выражающие в масштабе Ms мощность Q и Р2.
Рис. 9-51. Зависимость реактивной
мощности от тока. К примеру 9-14.
Рис. 9-52. Зависимость тока
от активной мощности.
К примеру 9-14.
Результаты записываем в табл. 9-1.
строим графики (рис. 9-51 и 9-52).
По полученным данным
9-13. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ ВКЛЮЧЕНИИ ЦЕПИ
С СОПРОТИВЛЕНИЕМ И ИНДУКТИВНОСТЬЮ
ПОД СИНУСОИДАЛЬНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
Рассматривая в § 6-18 включение цепи с сопротивлением
и индуктивностью под постоянное напряжение, мы устано-
вили, что ток в цепи можно найти по формуле (6-38):
_ t
» = /—Де ".
Это выражение позволяет рассматривать ток как сумму
двух составляющих: установившегося тока / = iyCT и сво-
бодного тока i'cb = — Ке ". Таким образом, во время
переходного процесса ток цепи
i = 1уст + i'cb* (9-63)
381
При включении цепи с активным сопротивлением г
и индуктивностью L под переменное напряжение и
(рис. 9-14), как и при включении под постоянное напряже-
ние, ток в цепи не сразу становится установившимся.
Сначала возникает (и теоретически длится бесконечно
долго) переходный процесс, когда ток можно представить
состоящим из установившейся и свободной составляющих
i = густ + iCB. Установившийся ток существует в цепи,
когда переходный процесс закончится (теоретически при
t = оо) и свободный ток станет равным нулю. В цепях
постоянного тока установившийся ток постоянный. В цепях
переменного тока установившийся ток синусоидальный.
Закон изменения свободного тока определяется только схе-
мой цепи и ее параметрами (т = L/r), а не видом при-
ложенного напряжения. Поэтому закон изменения свобод-
ного тока в рассматриваемой цепи остается тем же, что
и при включении цепи с г и L под постоянное напряжение.
Величина свободной составляющей тока (постоянная К),
т. е. характер переходного процесса, существенно зависит
от мгновенного значения напряжения и в момент включе-
ния цепи. Переходный процесс будет различным при вклю-
чении цепи в моменты, когда напряжение достигло ампли-
тудного значения UM или когда напряжение проходит
через нулевое значение и т. д. Поэтому для вычисления
тока i переходного процесса необходимо указать значение
напряжения и в момент включения. Для этого, приняв
за начало отсчета времени момент включения цепи (замыка-
ния рубильника), нужно приписать напряжению такую
начальную фазу ф, чтобы при t = 0 получить как раз
заданную величину напряжения, т. е. принять
и = sin (со/ + ф). (9-64)
Здесь ф выбрано так, что при t = 0 напряжение и (0) =
= Ua sin ф и есть заданное напряжение в момент вклю-
чения.
Установившийся ток iycT синусоидальный и, так как
цепь содержит г и L, отстает по фазе от напряжения
на угол <р, т. е.
1уст= /м sin (©£ ф—<р), (9-65)
где
= г = ]Лг2 + х1, a tg<p = ^.
382
В момент включения (t — О) ток г(0) = 0 (ток в цепи
с индуктивностью не может измениться скачком). Таким
образом, для момента включения согласно (9-63)
0= 1уст (0) 4" ГСВ (0)>
или
1св(0) = -1уСт(0). (9-66)
Установившийся ток в момент включения можно найти
из (9-65)
Густ (0) = /м sin (со- 0 + "ф—ф) = Л* sin (ф—ср), (9-67)
поэтому свободный ток в момент включения
гсв (0) = —Густ (0) = —/м Sin (ф—ср). (9-68)
С другой стороны, тот же ток
__0_
гсв (0) = —Ке х = — К,
следовательно,
К = sin (ф—ф) (9-69)
и свободный ток
_ -А. _ А.
гсв=—Ке х = — 7Msin(ip— ср) е х= — гуСт(О)е х
(9-70)
в момент включения (t = 0) равен по величине и противо-
положен по знаку мгновенному значению установившегося
тока в этот момент. С течением времени свободный ток
уменьшается по экспоненциальному закону, достигая посте-
пенно ничтожных значений по сравнению с амплитудой
установившегося тока /м- Скорость уменьшения свобод-
ного тока характеризуется постоянной времени (§ 6-18).
т = 4-. (9-71)
Она равна времени, в течение которого свободный ток
уменьшается в е раз. Действительно, подставляя в урав-
нение (9-70) / = т, получим:
гсв (т) = — Ке" - —Ke'1 = sin (ф—ср) .
Итак, ток цепи (рис. 9-53)
_ t
г = Густ-Н’св = /мзт((|У + ф—ф) — /мзш(ф — ср) е х (9-72)
383
состоит из двух составляющих: установившегося синусои-
дального тока и свободного, постоянного по направлению
и уменьшающегося по величине (рис. 9-53).
Рис 9-53. График тока в цепи с г и L при подключении ее к источ-
нику синусоидального напряжения.
Так как начальное значение свободного тока равно
мгновенному значению установившегося тока в момент
включения, то при включении цепи в момент, когда
Рис. 9-54. График тока в цепи с г и L при подключении ее к источ-
нику синусоидального напряжения при ф = <р.
*уст (0) = о свободный ток не возникает и в цепи сразу
наступает установившийся режим (рис. 9-54).
Очевидно, в этом случае должно быть [см. (9-67)]:
sin (ф— ф) — 0 и ф— ф = 0 (или ф— ф = л), т. е. ф = ф.
384
Следовательно, включение цепи должно произойти по исте-
чении времени
<0 О)
после начала цикла напряжения (рис. 9-54).
При включении цепи в момент, когда установившийся
ток проходит через максимальное значение /уст(0) =/м>
Рис. 9-55. График тока в цепи с г и L при подключении ее
к источнику синусоидального напряжения при ф = <р + 90°.
начальное значение свободного тока будет максимальным.
В этом случае из (9-67)
1св (0) = —/м sin (ф —ф) = Т /м,
откуда
sin (чр — ф)= -f- 1 или ф— ф= ± 90°;
следовательно,
Ф= ± 90°4-ф,
т. е. включение должно произойти, например, по исте-
чении времени
ф _ У+<р
О) О)
после начала цикла напряжения (рис. 9-55). При медлен-
ном спадании свободного тока (т > Т) наибольшее значе-
25 Теоретическая электротехника 385
ние переходного тока 1макс может достигнуть величины,
почти равной двойной амплитуде (2/м) установившегося
тока, через время, равное примерно половине периода
после включения.
Пример 9-15. Определить свободный ток в момент включения
цепи с индуктивностью L и сопротивлением г в сеть с напряжением
и = Ум sin (at +ф)
при: 1) ф=0; 2) ф = 72°20'; 3) ф= 162°20', если С/м = 330 в; г —
= 10 ол; £ = 0,1 гн, / = 50 гц.
Полное сопротивление--цепи
Z = У r2-j-(a>L)2 = У102+ (314.0,1)2 = /.102 + 31,42 = 33 ом.
Косинус угла сдвига фаз между напряжением и током
Г 10
cos <р = — == = ==0,303 и Ф = 72°20'.
2 33 т
Амплитуда установившегося тока
Свободный ток в момент включения:
_ Л
1) 'св (0)= — sin (ф — <р) е т = —10 sin (72°20')= —10-0,953=
= —9,53 а.
2) 1св (0)= —/м sin (ф —tp)= — 10 sin (72°20' — 72°20') = 0;
3) /св (0)= —/м sin (ф— ф)= —10 sin (162°20' — 72°20') =
= — 10 sin 90°= — 10 а.
9-14. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ ВКЛЮЧЕНИИ ЦЕПИ
С СОПРОТИВЛЕНИЕМ И ЕМКОСТЬЮ
ПОД СИНУСОИДАЛЬНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
Рассмотрим включение цепи с активным сопротивле-
нием г и емкостью С к источнику синусоидального напря-
жения (рис. 9-21)
u==U№ sin (wZ + ф).
Установившийся ток цепи синусоидальный:
«ycT = y!sin (а>/ + ф —<p) = /Msin (wZ + ф—ф), (9-73)
где
г = УР + хгс, tg<p= -^- = —~ и ф<0,
386
т. е. установившийся ток опережает по фазе напряже-
ние и (рис. 9-56).
Установившееся напряжение на зажимах конденсатора
отстает по фазе от тока iyCT на угол л/2:
Uc уст = /м sin ф ф =
= — cos (at + ф — ф). (9-74)
Если конденсатор предварительно не был заряжен,
то в момент включения цепи напряжение на его зажимах
Рис. 9-56. Графики напряжений на конденсаторе в цепи с г и С
при подключении ее к источнику синусоидального напряжения
равно нулю независимо от величины напряжения источ-
ника питания. Это можно объяснить наложением на уста-
новившееся напряжение свободного напряжения, равного
и обратного по знаку установившемуся напряжению.
Таким образом, напряжение на зажимах конденсатора
можно рассматривать как сумму двух напряжений устано-
вившегося исуст И свободного иСсв, т- е-
Uc ~ Uc уст "Т Uc св.
В момент включения uc (0) = 0 и свободное напряжение
Uc св (0) = — Uc уст (0) = cos (ф—Ф), (9-75)
25*
387
Ток цепи
.__duC ____„ duc уст „ duc св_ . , .
l~C~dF~C ~dt НС—^--густ + гсв,
т. е. ток при переходном процессе также состоит из двух
составляющих: установившегося тока iyCT и свободного
тока гсв.
В любой момент времени по второму правилу Кирх-
гофа напряжение источника питания равно сумме напря-
жений на сопротивлении г и емкости С:
u = if 4- tic — iycrf 4” icsf И- wc уст 4- uc св- (9-76)
Так как при установившемся режиме гсв = 0 и ul св = О,
то по второму правилу Кирхгофа для установившегося
режима (цепи синусоидального тока)
U = IyCTr Uc уст-
Вычитая почленно последнее уравнение из предыду-
щего, найдем:
О = icaf 4" «С св,
откуда
иС св
*св~ ~ •
л С св
Заменив гсв его выражением С—, получим:
duC св иС св
С dt = г~ ’
откуда
du С ев dt dt .
ис св гС т
здесь т = гС—постоянная времени (§ 7-8).
Интегрируя правую и левую части последнего уравне-
ния, получим:
1пцСсв= — ~ + 1пК,
или
t
Uc св “ Ке * .
Постоянную К можно найти из режима в момент вклю-
чения цепи.
388
Так как, с одной стороны, в момент включения (/ = 0)
_ 0
«с св (0) = Ке т = К,
а, с другой стороны, мСсв (0) определяется формулой (9-75),
то
K = ^cos (Ф—Ф)-
Поэтому свободное напряжение на конденсаторе
/ _2
»ссв = Ке т =^-соз(ф —ф)е т ,
а напряжение на конденсаторе
Uc = Uc УСТ + Uc св = — COS ((of + ф —ф) +
+ cos (ф—ф) е т . (9-77)
Графики напряжений изображены на рис. 9-56.
Как видно из выражения (9-77), на синусоидальное
установившееся напряжение накладывается свободное
напряжение, которое в начальный момент имеет наиболь-
шее значение, а затем уменьшается.
Начальное значение свободного напряжения зависит
от момента включения. Если включение произойдет в мо-
мент, когда установившееся напряжение на зажимах кон-
денсатора проходит через максимальное значение, напри-
мер, отрицательное (рис. 9-57), то и начальное значение
свободного напряжения будет наибольшим (рис. 9-58),
равным амплитуде установившегося напряжения^ . В этом
случае cos (ф — ф) = + 1, что соответствует ф = ф. Так
как знак установившегося напряжения периодически изме-
няется, а свободное напряжение остается все время поло-
жительным, то через время, равное примерно половине
периода после включения цепи, установившееся и свобод-
ное напряжения имеют одинаковый знак. Если за это
время свободное напряжение уменьшилось незначительно
(т > Т), то наибольшее значение напряжения мМакс оказы-
вается близким к двойной амплитуде установившегося
напряжения на конденсаторе 2 —.
389
Если включение цепи произойдет в тот момент, когда
установившееся напряжение на конденсаторе проходит
через нулевое значение, то свободного напряжения в цепи
Рис. 9-57. Графики напряжений на конденсаторе в цепи
с г и С при подключении ее к источнику синусоидального
напряжения.
не возникает и сразу наступает установившийся режим.
В этом случае cos (ф — <р) == 0, или ф — <р = ± 90°, что
соответствует ф = + 90° + <р.
Рис. 9-58. Графики напряжений на конденсаторе в цепи
с г и С при подключении ее к источнику синусоидального
напряжения при ф = гр.
Начальные значения тока также зависят от момента
включения. Действительно, из (9-76) при t = 0 получаем:
u(0)-i(0)r + uc(0) = i(0)r + 0,
390
откуда
i (0) = = u^sin^
(9-78)
Если включение цепи произойдет в момент, когда
напряжение цепи и проходит через максимальное значе-
ние UM, то начальное значение тока будет наибольшим:
^наиб —
иы
Сравнивая начальное значение тока с выражением
амплитуды установившегося тока
г __ Um
7М — 2 »
видим, что при небольших значениях сопротивления г по
сравнению с полным сопротивлением г начальное значение
к источнику синусоидального напряжения при ip = <р.
тока может быть во много раз больше амплитуды устано-
вившегося тока.
Свободная составляющая тока
•св== «£св.= cos
а ток в произвольный момент времени
/ _______________*
г = густ 4- г-св = /м sin (at +ip - <р) — cos (ip - <p) e T.
(9-79)
391
Из полученного выражения следует, что в начальной
стадии процесса ток не синусоидален, но через время
/> (4 4-5) т, когда свободная составляющая затухнет,
практически становится синусоидальным (рис. 9-59).
Пример 9-16. Определить начальное значение тока при включе-
нии кабеля с сопротивлением г = 2 ом, если напряжение
M = {7Msin (со/+ф) = 14 100sin (314/4-90°) в.
Величина напряжения в момент включения
и(0)=14 100 sin 90° =14 100 в.
Начальное значение тока
((0)_^а=14®=7050 ».
' ' г 2
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
РАЗВЕТВЛЕННЫЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
10-1. РАСЧЕТ РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ
С ДВУМЯ ВЕТВЯМИ
Рассмотрим цепь, присоединенную к сети с синусои-
дальным напряжением (рис. 10-1) и = UM sin и состоя-
Рис. 10-1. Разветвленная
цепь с активными и ре-
активными сопротивле-
ниями.
Рис. 10-2. Векторная
диаграмма для раз-
ветвленной цепи.
щую из двух параллельных ветвей, в каждой из которых
имеются активное сопротивление и индуктивность.
Токи в параллельных ветвях
ii = /mi sin (at — ф4 и i2 = /М2 sin (at — ф2).
392
Действующие значения этих токов
где Zi = /г? + xh и z2 = Vrl+xl2 — полные сопротивле-
ния параллельных ветвей.
Величина —, обратная полному сопротивлению, назы-
вается полной проводимостью и обозначается бук-
вой у. Таким образом,
li = Uyi-, I2 = Uy2. (10-1)
Токи Ц и 12 отстают по фазе от приложенного напря-
жения на углы ф! и ф2, тангенсы которых
tg Ф1 = —- и tg ф2-— .
Г1 г2
Общий ток в неразветвленной части цепи
i = Ч + = Ли sin (ш/ - ф!> + /м2 sin (at - ф2) =
= /м sin (at — ф).
Его действующее значение / равно геометрической
сумме действующих значений токов Ц и /2.
Для определения / построим векторную диаграмму
(рис. 10-2), из которой следует:
/ = ]/7! + /Н2/1/2со5(ф1-ф2). (10-2)
Ток в неразветвленной части цепи отстает по фазе от
напряжения на угол ф, тангенс которого (§ 8-5)
frtp— sin ф!-4-Z2sin ср2
ё Т Zj cos <pt 12 COS ф2 '
Активная мощность в первой ветви
= COS ф^,
во второй ветви
P2 — Ul2 cos ф2,
во всей цепи
т
Р = -у uidt — Ul cos ф.
о
393
Реактивная мощность в первой ветви
Qi = Uli sin <pb
во второй ветви
Q2 = UI2 з1пф2,
во всей цепи
Q = UI sin ф.
Соответственно полные мощности
= Uh, S2 = UI2n S - UI.
10-2. МЕТОД ПРОВОДИМОСТЕЙ
Рассмотренный способ расчета цепей при большом
числе (больше двух) параллельных ветвей становится
громоздким. Для расчета разветвленной цепи с большим
числом ветвей обычно пользуются более простым мето-
дом проводимостей. При расчете цепи методом
проводимостей ток в каждой ветви условно рассматри-
вается состоящим из двух составляющих: активной
и реактивной.
Активная составляющая тока выбирается совпадаю-
щей по фазе с общим напряжением ветвей. Например,
активная составляющая тока в первой ветви (рис. 10-3)
I&1 = IiCos(f>i = ^---^- = U Ugi. (10-3)
*1 *1 *1
Величина
(Ю-4)
zi
называется активной проводимостью пер-
вой ветви.
Для ветви с г и С или ветви с г, L и С активная про-
водимость вычисляется по той же формуле (10-4).
Активная составляющая второго тока
/а2 = h COS ф2 = Ugz,
Г2
где g2 = —f — активная проводимость второй ветви.
Реактивная составляющая тока выбирается сдвинутой
относительно напряжения на угол + л/2 или — л/2.
Реактивная составляющая тока в ветви с г и L полу-
чается отстающей по фазе от напряжения на */4 периода
394
(рис. 10-3), в ветви с г и С — опережающей напряжение на
х/4 периода, а в ветви с тремя элементами с г, L и С —
отстающей на */4 периода при xL > хс или опережающей
на V4 периода при xL < хс.
Реактивная составляющая первого тока
/р1 = Л sin Ф1 = = и = Ublf (10-5)
2i zi zi
где
1 г?
называется реактивной проводимостью первой
ветви. Для схемы рис. 10-1 реактивная проводимость
будет индуктивной
Рис. 10-3. Треугольник то-
ков.
Токи в каждой ветви и их со-
ставляющие связаны между со-
бой таким же соотношением, как
стороны прямоугольного треугольника — треуголь-
ника токов (рис. 10-3):
Л — ^ai+Zpi = U ^gt + bi р (10-7)
Сопоставляя формулы (10-1) и (10-7), легко сделать
заключение, что
+ = (Ю-8)
т. е. активная, реактивная и полная проводимости ветви
так же связаны между собой, как стороны прямоуголь-
ного треугольника — треугольника проводи-
мостей (рис. 10-4). Треугольник проводимостей можно
395
получить из треугольника токов, если стороны последнего
уменьшить в U раз.
Углы сдвига фаз q>i и ф2 между напряжениями и тока-
ми в ветвях определяются из формул (рис. 10-4)
Рис. 10-4. Треугольник про-
водимостей.
tg<5P1 = ‘fr И tgq,2 = lP (10‘9)
или
• . 62
sinq)^— и sinq>2 = — .
Активная составляющая об-
щего тока
Л==^а1 + ^а2==^1 + ^2==
где g = gi + g2 — активная про-
водимость всей цепи.
Реактивная составляющая общего тока
/р = Ли ~ UUb2 = U (bi + b2) = Ub;
здесь b = bi + b2 = bLi + bL2 — реактивная проводимость
всей цепи.
Общий ток
/ = Vft+il = VW2+W = иVIF+V = Uy\ (10-10)
здесь у = У g2 -ф b2 — полная проводимость всей цепи
(рис. 10-4). Ток / отстает по фазе от напряжения U на
угол ф, который определяется из формул
tgq> = |; 81пф = А. (10-11)
Активная мощность цепи
P = UIcosq> = Ul^ = UIzg = U2g, (10-12)
реактивная мощность цепи
Q = t//sinф = [7/ ^- — UIzb = U2b, (10-13)
полная мощность цепи
S = yP2 + Q2=-U2yg2 + b2 = U2y. (10-14)
396
Пример 10-1. Цепь из двух параллельных ветвей (рис. 10-1),
параметры которых rj = 1 ом, xLl — 3 ом, г2=3 ом и хд2 = 2 ом,
присоединена к сети 115 в.
Определить: 1) токи параллельных ветвей и 72 и общий ток 7;
2) углы сдвига фаз токов относительно напряжения сети; 3) актив-
ную и реактивную мощности цепи.
Активная проводимость первой ветви
gl=7f = T4^" = 0’1 ctlM-
Реактивная проводимость первой ветви
bi= = ,2 = 0,3 сим.
1 zl zl 124~32
Полная проводимость первой ветви
Vt = Vgi+b[ = /0,Р + 0,32 =0,316 сим.
Ток в первой ветви
/1 = 77^=115-0,316 = 36,4 а;
Ь, 0,3
tg<₽1 = ’ir:="6T = 3; <₽i=71°30'-
Активная проводимость второй ветви
^=7Г = -з4^ = 0,231 сим-
Реактивная проводимость второй ветви
b2=-j=w^=0,154 сим-
Полная проводимость второй ветви
у2=УSl + Ц = К0,2312+0,1542 = 0,278 сим.
Ток во второй ветви
72=7/1/2= 115-0,278 = 32,0 а,
tg<p2 = -^-= °11|1=0,67; ф2=33°50'.
Ро V, ZO X
Активная проводимость всей цепи
g = g1 + g2= 0,1 + 0,231 = 0,331 сим.
Реактивная проводимость всей цепи
7> = bj + 62= 0,3+0,154 = 0,454 сим.
397
Полная проводимость всей цепи
У = pz'g2 _|_ й2 = у о,3312-f-0,4542 = 0,55 сим.
Ток в неразветвленной части цепи
I=Uy = 115 -0,55 = 63,5 а;
О 454
‘2<₽ = та-==1’37; Ф = 53°50'.
V) 001
Активная мощность цепи
p = U2g= 1152-0,331 = 4 364 em = 4,36 кет.
Реактивная мощность цепи
Q = U4)= 1152-0,454 = 6 000 вар = 6,0 квар.
10-3. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО СОЕДИНЕНИЯ
Рассмотрим цепь, которая состоит из нескольких парал-
лельно соединенных ветвей (рис. 10-5). Первая ветвь
содержит активное и индуктивное сопротивления (rt и XlJ,
Рис. 10-5. Разветвленная цепь пе
ременного тока.
вторая ветвь активное и емкостное сопротивления (г2 и хС2)
и третья ветвь активное, индуктивное и емкостное сопро-
тивления (г3, xL3 и хСз). Активные проводимости ветвей
вычисляются по формулам:
g . И _ '1 . ______С2___ -
S1” -2 ” г2 । „2 ’ S2— 2 — _2 । л,2 ’
г1 ri~TxLl г2 Г2"ГХС2
в - Гз = Гз
гз гз + (*ьз~*сз)2
Активная проводимость всей цепи
g = gl + ^2 + ^3=== ^gn-
398
Реактивные проводимости отдельных ветвей в отличие
от активных проводимостей являются алгебраическими
величинами.
Реактивная проводимость первой ветви
и так как Xj = xL1 = a>Li > 0, то h = bLl > 0.
Реактивная проводимость второй ветви
h _ х2 _ -~ХС2
72 ~ Г2 ',-Г2
г2 гг + хС2
и так как
х2 = - хС2 = — < 0,
ТО
i>2 = — Ьс2 С
Индуктивная и емкостная проводимости bL1 и Ьс2, как
и индуктивное и емкостное сопротивления ветвей Хц и хс2,
считаются положительными величинами. Поэтому индук-
тивная проводимость равна реактивной проводимости ветви
с индуктивностью bL1 = blt а емкостная проводимость
обратна по знаку реактивной проводимости ветви с емко-
стью ЬС2 = — Ь2-
Реактивная проводимость третьей ветви
< _ *3 *ьз~*сз .
3 4 ~ rl+(xL3-xC3^ ’
есчи
xL3 = ®L3>xC3 = -^ ,
то Ь3 > 0; при Хьз < Хсз реактивная проводимость Ь3 < 0.
Реактивная проводимость в третьей ветви имеет индук-
тивный или емкостный характер в зависимости от соот-
ношения xJ3 И Хсз-
Реактивная проводимость всей цепи также является
алгебраической величиной
b = bi Ь% 4* Ь3 = 2fen.
Полная проводимость всей цепи
y = Vg2 + b*.
399
Угол сдвига фаз между общим напряжением U и общим
током I находится из соотношения
, ъ . ь
tg<P = y, или sin<p = —.
В зависимости от знака Ь, т. е. в зависимости от того,
какой характер (индуктивный или емкостный) имеет реак-
тивная проводимость, угол ф может быть положительным
или отрицательным. Соответственно общий ток может
отставать или опережать приложенное напряжение по фазе
в зависимости от знака общей реактивной проводимости.
Аналогично определяются углы сдвига фаз фь ф2 и Фз
Рис. 10-6. Диаграмма проводимостей для раз-
ветвленной цепи, изображенной на рис. 10-5.
токов в ветвях относительно общего напряжения U. В вет-
вях с индуктивной реактивной проводимостью угол сдвига
фаз положителен, в такой ветви напряжение опережает
ток по фазе. В ветвях с емкостной реактивной проводимо-
стью напряжение отстает от тока по фазе.
На рис. 10-6 представлена диаграмма проводимостей
для цепи рис. 10-5. При построении диаграммы предпо-
лагалось, что xL3 < Л'сз (т. е. Ь3 < 0) и что общая реак-
тивная проводимость b отрицательна.
Из диаграммы рис. 10-6 видно, что полная проводи-
мость цепи с параллельно соединенными ветвями -меньше
арифметической суммы полных проводимостей отдельных
ветвей, т. е. у < yt + у2 + у3 + • • •
Так как токи прямо пропорциональны полным прово-
димостям, то / < Л + /2 + /3 + . . .
Активная мощность всей цепи
Р - Л+Р2 +Р3 = +U~g2+u2g3 = U^gn = U*g.
400
Реактивная мощность всей цепи
Q=Qi + Qz+Q3 = u2br + и*ь2+и*ь3= иъ ьп = и*ь.
Полная мощность всей цепи S = U2y, причем S < Si -j-
+ S2 + S3.
Диаграммы токов и мощностей аналогичны диаграмме
проводимостей рис. 10-6.
10-4. ЦЕПИ СО СМЕШАННЫМ СОЕДИНЕНИЕМ
СОПРОТИВЛЕНИЙ
Определение токов и напряжений на участках цепи
со смешанным соединением активных и реактивных сопро-
тивлений (рис. 10-7а) при заданном напряжении U на
зажимах цепи и заданных сопротивлениях участков можно
выполнить следующим образом.
Разветвленную часть цепи, состоящую из двух (или
нескольких) параллельных ветвей, заменим равнознач-
ным (эквивалентным) неразветвленным участком (рис. 10-76).
Чтобы найти сопротивление разветвленного участка,
предварительно определим активные и реактивные про-
водимости ветвей:
Я1 = тг; ^i = ^-=4p==^i;
= =^ = ^2;
*2 *2 z2
затем активную, реактивную и полную проводимости:
Stz= Si Н- Sz’ bl2 = bi b2 = Ьц + bL2',
У к = + b^,
далее, полное сопротивление z12 = — и, наконец, равно-
У12
значные, активное и реактивное сопротивления разветвлен-
ного участка по формулам (10-4) и (10-6):
42 = £12^2 и x12=fe12z®a.
В результате преобразований цепь, изображенная на
рис. 10-7а, заменяется неразветвленной цепью с двумя
сопротивлениями г3 и (рис. 10-76). Если в одной из
параллельных ветвей, например второй, вместо индуктив-
ности будет включена емкость, то в зависимости от того,
26 Теоретическая электротехника 401
какая из проводимостей bLi или Ьсг больше, реактивная
проводимость bl2 = bi + b2 = bLl — ЬСг получится поло-
жительной или отрицательной. Соответственно реактивное
сопротивление х12 будет положительным или отрицатель-
ным, т. е. индуктивностью или емкостью.
Рис. 10-7а. Цепь со смешанным
соединением сопротивлений.
Рнс. 10-76. Цепь, равно-
значная изображенной на
рис. 10-7а.
Рис. 10-7в. Цепь, рав-
нозначная изображен-
ной иа рнс. 10-7а.
Теперь эту неразветвленную цепь заменим равнознач-
ной цепью с одним сопротивлением (рис. 10-7в).
Активное сопротивление цепи г = г3 + г12.
Реактивное сопротивление х=х3 + х12 и полное сопро-
тивление г = Уг2 + х2.
Ток в цепи рис. 10-7в, а следовательно, и ток в со-
противлении z3:
Этот ток сдвинут по фазе относительно напряжения
цепи U на угол, тангенс которого
tg<p = V
402
Напряжение на сопротивление z3 (рио, 10-76 и 10-7а)
U з — ^3 — ^згз»
Угол сдвига между напряжением U3 и током 13 опре-
делим по формуле
tg<P3 = vf *
Напряжение на сопротивлении г12 или, что то же, на
разветвленном участке цепи
U1 = U2~ Ul2 — /з^12‘
Угол сдвига фаз между напряжением Ul2 и током /3
определим по формуле
tg<P12 = “ •
Ток первой параллельной ветви
I ui
1 Z1 / rf+xf
Угол сдвига фазы этого тока относительно напряже-
ния L/р
tg<p1 = -^- -
Аналогично для второй параллельной ветви
Активная, реактивная и полная мощности цепи:
Р = f7/3 cos <p; Q = [//3sin<p; S = UI3.
Активные мощности параллельных ветвей:
Pi = У Ji cos ф!; P2 = t/2/2cos<p2.
Определив все эти величины, построим векторную диа-
грамму (рис. 10-8).
Выбрав масштаб токов, отложим в произвольном на-
правлении (на рис. 10-8 в горизонтальном) вектор тока
1з (на рис. 10-8 принято i3 = /3Msin mt, т. е. начало отсче-
та времени совпадает с началом синусоиды тока Q.
26* 403
Выбрав масштаб для напряжений под углом ф12 к векто-
ру этого тока, построим вектор напряжения Ul2 так, чтобы
Рнс. 10-8. Векторная
диаграмма цепи, изо-
браженной на рис.
10-7а.
начало вектора тока и начало векто-
ра напряжения совпадали. В том же
масштабе под углом ф3 к вектору
тока /3 проведем вектор напряже-
ния U3 так, чтобы начало его сов-
пало с концом вектора напряжения
t/12. Соединив начало вектора напря-
жения Ul2 с концом вектора напря-
жения U3, получим вектор напряже-
ния на зажимах цепи U. Он распо-
ложен по отношению к вектору тока
7 = /3 под углом ср. Наконец, построим
в ранее выбранном масштабе векторы
токов 7j и /з, откладывая их под уг-
лами ф( и ф2 к вектору напряже-
ния Vl2.
Пример 10-2. Определить токи и напряжения на отдельных
участках цепи, изображенной на рис. 10-7а, если дано: 77= 120 в;
rj--0,6o.u; Xj = 0,8 о.и; г2=1,2 о .и; х2=0,б о.и; г3 = 0,15 о.и;
*3 = 0,42 ом.
Решение:
2^ = 4+*1 = 0,62 + 0,82=1 ОМ2;
= 4+ *1=1,22 + 0,52 = 1,69 ож2.
gi = 4V=-^- = O,6 сим;
Z1 1
. xi 0,8 nQ
zf 1
r 19
cum’
fc2=+r=rfi=0’3 CUM’
£12 = 81 +fir2:= 0,6-j-0,7= 1,3 cum',
fe)2=bj + b2 = O,8 + 0,3= 1,1 cum;
У 12= /gh + bb = V 1,32+1,12 = 1,7 cum;
2j2 —---— 5—~ 0,59 ом;
У12 1,7
r12= Zjjg12 = 0,592-1,3 = 0,45 ом;
x12= = 0,592 • 1,1 = 0,38 ом;
r= r3+r12 = 0,15+0,45 = 0,6 ом;
404
tg <р =
x = x3-j-x12 — 0,42-j-0,38 = 0,8 ом;
z = y г*-\-х2 = У 0,62 + 0,8'2 = 1 ом;
, , U 120 ,ОГ1
a z 1
X , QO. ™ -ПО.
7 = 0^=1’33: <р = 53’
и3 = I3z3 = /3 У г| + х| = 120 У 0J52 + 0,422 = 53,4 в;
tg<p3 = ^L==£^|==2,8; <р3 = 69эЗО’;
г3 О,1о
U1 = C/2 = U12 = /z12= 120-0,59 = 70,5 в;
<гти--^-=^=0.8®; Т.,-40";
/1 = -^- = ^ = 70,5 а;
21 1
tg<P! =-^- = £|=1,33; Ф1 = 53О;
, U2 70,5 „
/2=^Г = Т7У=54’2бг;
tg Ф2= “ = = 0,416; <р2 = 22°40'.
Г2 1 ,4
10-5. КОНДЕНСАТОР С ПОТЕРЯМИ
Включим на переменное напряжение конденсатор с твер-
дым или жидким диэлектриком. В отличие от воздушного
конденсатора, между обкладками которого находится воз-
дух, в нем из-за потерь в диэлектрике происходит преобра-
зование электрической энергии в тепловую (конденсатор
с потерями).
При переменном напряжении на зажимах конденсатора
с потерями ток опережает по фазе напряжение не на угол
л/2, как в цепи с емкостью, а на угол ср, меньший л/2,
но обычно близкий к л/2.
Угол л/2— <р = 6, дополняющий ср до 90°, называется
углом потерь. Угол потерь—один из параметров кон-
денсатора, он зависит от типа диэлектрика (бумага, слю-
да, керамика) и от частоты тока. С ростом частоты угол
потерь обычно увеличивается.
Конденсатор с потерями может быть для расчетов заме-
нен последовательной или параллельной равнозначными
схемами.
405
Последовательная схема (рис. 10-9) состоит из емкости
(конденсатора без потерь) Ci и последовательно присоеди-
ненного активного сопротивления Она должна удо-
влетворять требованиям равнозначной схемы: напряжение
на зажимах должно быть одинаковым с напряжением на
конденсаторе с потерями, ток по величине и фазе должен
быть равен току в конденсаторе с потерями; следовательно,
и мощность потерь в сопротивлении г1 должна быть равна
мощности конденсатора с потерями. На рис. 10-10 построе-
на векторная диаграмма для этой схемы.
Направление вектора общего тока I выбрано произ-
вольно вертикально вверх. Если считать, что действитель-
ная ось на векторной диаграмме
проводится горизонтально, то, зна-
чит, у тока выбрана произвольная
Рис. 10-9. Условное обозначение
конденсатора с потерями н его по-
следовательная равнозначная схема.
Рис. 10-10. Векторная
диаграмма для схемы,
изображенной на рис.
10-9.
начальная фаза +л/2 : i = 7М sin (со/ + л/2) = 7М cos at.
Вектор падения напряжения на активном сопротивлении
1г совпадает по фазе с вектором I, вектор падения напря-
жения на емкости IxCt отстает по фазе от тока на угол л/2.
Напряжение на зажимах цепи равно сумме падений напря-
жений на сопротивлениях Г! и l/wCj и отстает по фазе
от тока не на угол л/2, а на угол ф, который меньше л/2;
Ф = л/2— б.
Л^ощность, развиваемая в цепи:
Р = UI cos ф = Ual = I2^.
Но из векторной диаграммы следует:
[/a = 7r1 = 7xC1tg6 и r1 = xC1tg6 = .
Подставляя последнее выражение в формулу мощно-
сти, получим:
P = UI cos(f = P~ tg6. (10-15)
406
Активная мощность преобразуется в тепло, диэлектрик
конденсатора нагревается. Если включить конденсатор
в сеть со слишком большим напряжением или очень высокой
частотой, то нагрев может превысить допустимый.
Рис. 10-11. Условное обозначение
конденсатора с потерями и его па-
раллельная равнозначная схема.
Рис. 10-12. Векторная
диаграмма для схе-
мы, изображенной на
рис. 10-11.
Измеряя напряжение, ток и мощность, можно опре-
делить полное, активное и реактивное сопротивления:
2 = -Г; г‘ = 7^; Xci = ’^==^22 —ri’ (1(И6)
откуда и определяется емкость
с = 1 =___________________1________= /2
1 ыУ z^—rl < р Л2 ~ w yuwZTpz
“ К /2 ( /2 )
(10-17)
Параллельная равнозначная схема (рис. 10-11) состоит
из емкости (конденсатора без потерь) С2 и параллельно
включенного активного сопротивления г2. Она должна удо-
влетворять тому же требованию, что и первая схема. На
рис. 10-12 построена векторная диаграмма этой схемы.
Построение этой векторной диаграммы начато с вектора
общего напряжения на зажимах цепи U. Затем построены
токи /а в сопротивлении г2 и 1С в емкости С2. Вектор обще-
го тока I равен геометрической сумме векторов /а и 1С.
Напряжение опять отстает от общего тока по фазе на угол <р.
Мощность, развиваемая в этой цепи:
P = UI cos<p = t//a = -^- .
407
Но из векторной диаграммы следует:
/a = ^=7ctg6 = L/fflC2tg6 и г2 = ^сда.
Подставляя последнее выражение в формулу мощно-
сти, получим:
Р = UI cos ф = t72wC2 tg 6.
Измеряя напряжение, ток и мощность, можно опре-
делить полную, активную и реактивную проводимости
цепи:
У = -д~> = и bc2 = ^2 = Vy2—gl,
откуда и определяется емкость
(10-18)
Следует обратить внимание на то, что
и
Пример 10-3. Определить сопротивление н емкость параллельной
равнозначной схемы конденсатора с потерями, если: ток /=1 а,
напряжение £7=100 е, частота 50 гц, мощность Р=10 вт.
Сопротивление
1 £/2 1002
Г2=^=^=То-== °ж-
Емкость
= 314ЛЖ 1-1002-102^32.10-6 Ф.
10-6. РЕЗОНАНС ТОКОВ
Рассмотрим цепь, которая состоит из двух параллельных
ветвей, причем одна ветвь содержит активное сопротивление
и индуктивность, а другая — активное сопротивление и ем-
кость (рис. 10-13). На рис. 10-14 дана векторная диаграмма
408
токов этой цепи. Ток в неразветвленной части цепи
l = Uy,
где
У=]^ё2 + Ь\
Токи Ц, /2 и I разложены на активные и реактивные
составляющие. Ток 12 опережает по фазе общее напряже-
ние U на угол ф2, а ток Ц от-
стает по фазе на угол фР На
рис. 10-15 показана диаграм-
ма проводимостей.
Алгебраическую сумму
проводимостей ветвей b = bi-ir
+ Ьг можно заменить раз-
ностью значений bL и Ьс, так
как bL = bi, а bc = — Z>2.
(Отрезки, выражающие bL=bi
и Ьс — |Ь2|, на диаграмме
рис. 10-15 направлены проти-
воположно.)
Тангенс угла сдвига по фазе
жения U
Рис. 10-13. Разветвленная цепь
с активными сопротивлениями,
индуктивностью и емкостью.
тока I относительно напря-
ь ф = _L=2i+h_ =
g g g
Мы уже выяснили, что при bL > bc, угол ф положите-
лен, т. е. ток I отстает по фазе от напряжения U
(рис. 10-14).
В цепи, для которой bL < bc, угол ф отрицателен и ток
/ опережает по фазе напряжение U (векторная диаграмма
токов на рис. 10-16 и соответствующая диаграмма проводи-
мостей на рис. 10-17).
Наконец, при Ьь = Ьс имеем tg ф = 0 и угол ф = 0
(рис. 10-18 и 10-19). В этом случае реактивные слагающие
токов параллельных ветвей /Р1 = Ubi и /р2 = Ub2 равны
друг другу по величине. Кроме того, реактивные токи сдви-
нуты друг относительно друга по фазе на половину периода
(180°), поэтому они компенсируют друг друга, так что ток
генератора чисто активный I = /а ?= Ug = U (gi + g2).
Этот ток при незначительных величинах п и г2 по сравне-
нию с xl и хс может быть меньше реактивных слагающих
токов в ветвях.
409
Рис. 10-15. Много-
угольник проводи-
мостей для цепи,
изображенной на
рис. 10-13, при
t>L > be-
fa?
Рис 10-14. Векторная
диаграмма цепи, изобра-
женной на рис. 10-13,
при bL > bc.
ta?
Рис. 10-16 Векторная
диаграмма цепи, изобра-
женной на рис. 10-13,
при bL < bc.
0)
Рис. 10-17. Много-
угольник проводимо-
стей для цепи, изо-
браженной на рис.
10-13, при bL < bc.
При bL — bc или b = bi + b2 = 0 в цепи наступает
резонанс токов.
Учитывая, что
1
h _ xl _ wL „ и _ хс _ шС
L г* га + (ш£)а И bc~ zl + ’
условие резонанса можно выразить как
Рис. 10-19. Много-
угольник проводимо-
стей для цепи, изо-
браженной на рис.
10-13, при bL = be
Рис. 10-18. Векторная
диаграмма цепи, изобра-
женной на рис. 10-13,
при bL = bc.
При резонансе равны реактивные мощности Ql и Qc»
так как
Ql = U4l, a Qc = U2bc,
причем реактивные мощности ветвей
Q1 = Ql = ^i>0, a Q2=-Qc = L^2<0.
Суммарная реактивная мощность цепи
Q = Qi + Q2 = ^2(^i + ^) = 0.
(10-20)
411
Генератор (сеть) обеспечивает только активную мощность
цепи, и в целом цепь обладает свойствами цепи только
с активными сопротивлениями.
Энергетический процесс при резонансе токов существенно
отличается от процесса при резонансе напряжений. Рас-
смотримчастный случай,
когда ток il отстает по
фазе от напряжения и
на угол у, а ток i2 опе-
режает напряжение и по
фазе на угол р Тогда
напряжение на зажимах
конденсатора ис оказы-
вается совпадающим по
фазе с током ii (рис.
10-20, а и б). В нашем
примере энергия в маг-
Рис. 10-20. Графики токов, напряжения и мощности (а) и век-
торная диаграмма (6) при резонансе токов.
нитном и электрическом полях накапливается одновременно.
В интервале времени /1 и ток ч, и напряжение ис нара-
стают, значит, энергия, поступающая от генератора (сети),
частично преобразуется в тепло и рассеивается в сопротив-
лениях Г1 и г2 и частично накапливается в магнитном
и электрическом полях.
В промежутке времени t2 и ток ц, и напряжение ис
уменьшаются, значит, запас энергии в магнитном и элек-
трическом полях тоже уменьшается. Так как при резо-
нансе Q = 0 и обмена энергией с генератором (сетью)
нет, то в сопротивлениях г\ и г2 преобразуется в тепло
412
энергия магнитного и электрического полей и энергия,
поступающая от генератора. Но в целом при резонансе
токов цепь обладает свойствами цепи только с активным
сопротивлением (график суммарной мощности Sp не имеет
отрицательных значений и реактивная проводимость цепи
равна нулю).
Резонанс токов возникает и в разветвленной цепи,
содержащей несколько ветвей с г, L и С, если реактивная
проводимость всей цепи
Пример 10-4. Параллельная цепь состоит из двух ветвей
(рис. 10-13) с параметрами г^ — г2 = 0,?! ом, Lt = 0,00828 гн и С2 =
= 1225 мкф. Цепь присоединена к сети 118 в, / = 50 гц.
Определить: I) токи в параллельных ветвях Ц и /2, а также
ток в неразветвленной части цепи /; 2) углы сдвига фаз токов Ц,
/2 и I относительно напряжения U; 3) активную и реактивную мощ-
ности цепи; 4) наибольшие значения энергии, запасаемой в электри-
ческом и магнитном полях цепи.
Реактивное сопротивление индуктивности
xL1 = 2= 2• 3,14• 50• 0,00828 = 2,6 ом.
Реактивное сопротивление емкости
1 106 ОК
ХС2~ 2nfC2 2-3,14-50-1 225 2’ °М'
Активная проводимость первой ветви
г, Г1 0,8 п 1АО
0.8. + 2.6»
Реактивная проводимость первой ветви
61 ~ z2 “ z2* “ 0,82 + 2,62 “ 0,352 сим-
Активная проводимость второй ветви
р Г2 _ Г2
Ь2 *2 9 । 2
2 Г2~Т~ХС2
0,8
0,82 + 2,62
= 0,108 сим.
Реактивная проводимость второй ветви
h Х2
*С2 ~ 2,6
г1 0,82 + 2,62
0,352 сим.
Активная проводимость цепи
g—gi + gz—®-,Ю8 + 0,108 = 0,216 сим.
413
Реактивная проводимость цепи
6=^ + 62 = 0,352—0,352=0.
Полная проводимость цепи
r/=yrgz + 62 = g'= 0,216 сим.
Активная слагающая тока первой ветви
Л1=^1= 118-0,108= 12,7 а.
Реактивная слагающая тока первой ветви
/р1 = £/61= 118-0,352= 41,5 а.
Ток первой параллельной ветви
11 = V +;Р1 = /12,72 + 41,52 = 43,4 а.
Тангенс угла сдвига фазы тока Ц относительно напряжения
т.’721"5'.
т. е. ток /4 отстает по фазе от напряжения.
Активная слагающая тока второй ветви
^2=^2=118-0,108=12,7 а
равна активной составляющей тока первой ветви, так как в примере
ВЗЯТО Г1 = Г2-
Реактивная слагающая тока второй ветви
/р2 = П62=-118-0,352=—41,5 а.
Ток второй ветвн
/2 = //22 + /22 = / 12,72 + 41,52 = 43,4 а.
Тангенс угла сдвига фазы тока /2 относительно напряжения
,2*=й-=-ета—3'И; ’*—72°®'’
е. ток /2 опережает по фазе напряжение.
Активная слагающая тока неразветвленной части цепи
^а2= 12,7+12,7=25,4 а
Реактивная слагающая тока неразветвленной части цепи
/р = /р1+/р2 = 41,5-41,5=0.
Ток неразветвленной части цепи
l = V 11 +11 = 25,4 а.
414
Активная тощиость первой ветви
/^=[/2^ = 1182-0,108 = 1 500 в/п=1,5 кет.
Реактивная мощность первой ветви
Q1 = (72b1= 1182-0,352 = 4900 вар = 4,9 квар.
Активная мощность второй ветви
P2 = t/2g2 = 1182-0,108= 1 500 вт— 1,5 кет.
Реактивная мощность второй ветви
Q2=t/262= 1182 ( — 0,352)=— 4900 вар=— 4,9 квар.
Активная мощность цепи
Р = Р14-Р2 = 1,5+1,5=3 кет.
Реактивная мощность цепи
Q = Q1 + Q2=0.
Максимальная энергия, запасаемая в магнитном поле цепи;
1FLm=M=0,00828-43,42= 15,6 дж.
Максимальная энергия, запасаемая в электрическом поле цепи:
Ц7См = ^С2=(/2хС2)2С2 = (43,4-2,6)2.1 225-10-6=15,6 док.
10-7. РЕЗОНАНС ТОКОВ В КОНТУРЕ БЕЗ ПОТЕРЬ
В контуре без потерь, т. е. при п = г2 = 0 (рис. 10-21),
реактивные проводимости ветвей:
h XL - 1 - 1
L ^1+4 XL Wi- ’
&C = ' 2 2 = —"— = ®C-
r2JTxC XC
В контуре без потерь резонанс токов наступает как и
в контуре с потерями при bL = bc, т. е. в случае п = г2 = 0
при 1/coL=coC. Это
условие совпадает с усло-
вием резонанса напря-
жений в последователь-
ной цепи с сопротивле-
нием г, индуктивностью
L и емкостью С.
При заданных часто-
те источника питания и
и емкости С резонанс
наступает, как и в случае резонанса напряжений, при
L = \/<а2С, а при заданных со и L при С = 1/и2£.
Рис. 10-21. Разветвленная цепь
с индуктивностью и емкостью.
415
Наконец, при заданных L и С резонанс будет при
1
О) —• ———— — (0л>
V LC
или при
/ = == (10-21)
' 2я 2л/LC 10
т. е. при частоте генератора f, равной собственной час-
тоте незатухающих колебаний контура.
При г1 = г2 = 0 активные проводимости ветвей равны
нулю:
= = g2 = ^- = °-
г1 42
Следовательно, активная проводимость цепи также
равна нулю:
£ = £1 + £г = 0;
равна нулю и активная слагающая тока:
I^Ug^O.
Это и понятно: при п = г2 = 0 отсутствуют потери
энергии в цепи.
Так как при резонансе реактивная проводимость b
всегда равна нулю, то равна нулю и полная проводимость
цепи у = Уg2 + b2 = 0. Наоборот, со-
противление цепи z = 1 /у = оо.
Ток в неразветвленной части цепи
I = U!z при резонансе равен нулю.
В параллельных ветвях токи по абсо-
лютной величине равны: IL = UbL =
— I с = U be (рис. 10-22 и 10-23) и на-
ходятся в противофазе.
При Г1 = г2 = 0 запасенная в цепи
энергия не рассеивается в контуре. Ког-
да напряжение генератора и и равное
ему напряжение на емкости достигают
максимального значения, ток в индук-
тивности iL (рис. 10-23) равен нулю;
в этот момент вся энергия сосредоточена в электрическом
поле. Затем конденсатор разряжается и за время, равное
четверти периода, энергия электрического поля полностью
416
и
Рис. 10-22 Век-
торная диаграмма
для цепи, изобра-
женной на рис.
10-21.
превращается в энергию магнитного поля (при и = ис = О
и iL = !»)•
В течение следующей четверти периода энергия магнит-
ного поля преобразуется в энергию электрического поля.
Рис. 10-23. Графики токов, напряжения
и мощности для цепи, изображенной на
рис. 10-21.
Энергия целиком сосредоточится в электрическом поле при
iL = 0 и ис = Uм> затем процесс периодически повто-
ряется.
10-8. КОЭФФИЦИЕНТ МОЩНОСТИ И ЕГО ЗНАЧЕНИЕ
Каждая электрическая машина (или аппарат) харак-
теризуется:
1) номинальным током /н, т. е. предельным значением
тока, при длительном прохождении которого нагревание
электрической машины не превосходит допустимых пре-
делов;
27 Теоретическая электротехника 417
2) номинальным напряжением Ua, т. е. предельным
допускаемым значением напряжения, на которое рассчи-
тана машина;
3) номинальной полной мощностью, равной произве-
дению номинального напряжения и номинального тока:
SB = UaIH.
Наилучшее использование мощности генератора воз-
можно при его работе с номинальным напряжением, номи-
нальным током и cos ср = 1; в этом случае генератор может
развивать наибольшую активную мощность, равную пол-
ной мощности:
Р = UaIHcos(p = UaIH = Sa. (10-22)
Если генератор работает при номинальных напряжении
и токе UH, /н, но с изменяющимся коэффициентом мощности
(cos ф), величина которого зависит от приемников энергии,
то активная мощность генератора изменяется пропорцио-
нально cos ф. Таким образом, уменьшение cos ф приводит
к неполному использованию мощности генератора (стан-
ции).
С другой стороны, если приемник энергии работает
с постоянной активной мощностью Р при неизменном напря-
жении U, но при различных cos ф, то его ток I изменяется
обратно пропорционально cos ф. Например, с уменьшением
cos ф ток приемника увеличивается.
Действительно, обозначив ток/0 при cos ф0 = 1 и ток/
при cos ф < 1, напишем:
(7/0 cos фо — С7 cos ф, (10-23)
откуда следует:
70 cos ф0 = /сО5ф,
или
тг COS ф0 1
0 cos <р 0 cos <р
(10-24)
Ток нагревает обмотку генератора и провода, соединяю-
щие генератор с приемником энергии, причем мощность
потерь ДР = Рг, где г — сопротивление проводов и обмот-
ки. При постоянной активной мощности Р и различных
значениях созф с уменьшением коэффициента мощности
ток увеличивается и, следовательно, растет мощность по-
терь в генераторе и соединительных проводах.
418
Мощность потерь при costp0 = l
ДРо = ^, (10-25)
а при других значениях cos ср, неравных единице, АР =
= /2г.
Подставляя выражение I из формулы (10-24), получим:
\Р = Г.1_г==др _’ (10-26)
0 COS2 ф U COS2 ф ’ ' 7
откуда следует, что при постоянной активной мощности
Р с уменьшением coscp мощность потерь на нагревание
увеличивается обратно пропорционально квадрату коэф-
фициента мощности.
Низкий коэффициент мощности, с одной стороны, не
позволяет полностью использовать установленную мощ-
ность генераторов, а с другой стороны, вызывает увели-
чение потерь энергии. Поэтому стремятся получить cos <р
установки по возможности, близким к единице (не мень-
ше 0,93).
В наиболее распространенных двигателях переменного
тока (асинхронных) cos ср зависит от их нагрузки. При
холостом ходе двигателя коэффициент мощности составля-
ет 0,2—0,3, при номинальной нагрузке 0,83—0,85. Для
повышения cos ср параллельно двигателю присоединяют
конденсаторы. В этом случае двигатель, например, в пер-
вую и третью четверти периода запасает энергию в магнит-
ном поле, а во вторую и четвертую четверти периода отдает
ее, в то время как конденсатор, наоборот, в первую и третью
четверти периода отдает запасенную им энергию, а во
вторую и четвертую четверти периода получает ее. Следо-
вательно, энергия в магнитном поле двигателя частично
или полностью накапливается за счет энергии электри-
ческого поля конденсатора и наоборот, а генератор (стан-
ция) разгружается (частично или полностью) от обменной
энергии.
Если добиться costp = 1 (резонанс токов), то Q = 0
и обмена энергией между генератором и приемником энер-
гии нет.
Всемерное повышение cos ср электрических установок —
важнейшая народнохозяйственная проблема. Повышение
cos ср означает громадную экономию электрической энергии,
так как уменьшаются потери в генераторах, трансформато-
рах, двигателях и в воздушных и кабельных сетях. При
27* 419
годовой выработке электроэнергии в нашей стране свыше
290 млрд, квт-ч можно дополнительно обеспечить энергией
многие крупные предприятия. Одновременно разгрузка
электрических установок от обменной энергии позволяет
лучше использовать их установленную мощность, т. е.
увеличить активную мощность, развиваемую генераторами,
и передачу энергии через трансформаторы и по линиям.
Пример 10-5. Для генератора переменного тока известны:
£7Н = 1 000 в; /н=Ю0 a; SH= 100000 ва=100 кеа.
Какую активную мощность может развить генератор при cos<pj =
=0,8 и cos<p2 = 0,2?
Активная мощность
Pi = £7Н/Н cos ф!= 1 000-100-0,8 = 80 000 вт — 80 кет;
Р2 = £7Н/Н cos <р2= 1 000-100-0,2 = 20 000 вт = 20 кет.
Пример 10-6. Напряжение приемника энергии £7=1000 в, мощ-
ность Р — 50 кет.
Определить мощность потерь в проводах, соединяющих прием-
ник с генератором, при cos ф1 = 0,8 и cosq>2 = 0,2, если сопроти-
вление проводов г = 0,1 ом.
Ток приемника в первом и втором случаях
Р _ 50 000 .
1 f/costp! 1000-0,8 ’ Я’
Р _ 50 000 _о_п
2 £7 cos <р2 1 000-0,2
Мощность потерь в соединительных проводах
ДР1 = /2Г = 62 52-0,1 = 390 вт;
\Р2 = 11г = 2502. о, 1 = 6 250 вт.
Та же мощность потерь, выраженная в процентах по отношению
к мощности приемника:
390-100 А „о„, 6250-100
ЛР1“ 50000 =~°’78'/°; АР2- 50000 -12,5/0.
Пример 10-7. Мощность двигателя Р=10 кет; он работает при
напряжении £7=240 в и частоте / = 50 гц с coscp1 = 0,6.
Определить емкость конденсатора, который нужно подключить
параллельно двигателю, чтобы cos <р2 установки повысить до зна-
чения 0,9.
Ток двигателя при cos ф) = 0,6
, Р . . юооо
1 t7cos ф! 240-0,6
По таблице тригонометрических функций определяем:
<р1 = 53с10' и sin<p1 = 0,8.
420
Реактивная слагающая тока двигателя
/р1 =sin ф1 = 69-0,8 = 55,5 а.
Если параллельно двигателю включен конденсатор, то cos ф2 =
= 0,9, чему соответствует <р2 = 26 50 и sin ф2 = 0,436.
Ток установки
, Р 10 000
2 —l/cos ф2~240-0,9 — ’ а'
В этом случае реактивная слагающая тока
/р2= /2 sin ф2= 46,2-0,436 = 20,2 а.
Уменьшение реактивной слагающей тока при включенном кон-
денсаторе
/с = /р1 — /р2 = 55,5—20,2 = 35,3 а.
Реактивное сопротивление конденсатора
1 U 240 с о
ХС = ЮС = ГС=35ТЗ=;6’8ОЛ<-
Емкость конденсатора
0=— = —^==^^=—=- = 0,00046 </> = 460 мкф.
хеш хс 2nf 6,8-2-3,14-50
Таким образом, параллельно двигателю должен быть включен
конденсатор емкостью С = 460 мкф.
10-9. АКТИВНАЯ И РЕАКТИВНАЯ ЭНЕРГИЯ
Произведение средней (активной) мощности и времени
равно энергии, израсходованной в цепи. Эту энергию обыч-
но называют активной энергией и обозначают
буквой Га; таким образом,
Га = Pt = UI cos ф-/ = Ult cos ф. (10-27)
Величина, равная произведению реактивной мощности
и времени, называется реактивной энергией
и обозначается буквой Гр; таким образом,
Гр =Q_t=UIt sin ф. (10-28)
Реактивная энергия — чисто расчетная величина, позво-
ляющая определить коэффициент мощности, так как
Wa _____ Ult cos ф _____
]/'Ц/р V(Ult COS ф)2 + ((/// ЗШф)3
Ult созф
= ~--... = COS ф.
Ult у cos2 ф -f- sin3 ф
421
Если активная и реактивная мощности изменяются,
то весь рассматриваемый промежуток времени следует раз-
бить на такие малые промежутки, в течение каждого из
которых мощности можно считать постоянными. Тогда актив-
ная и реактивная энергия определяются суммированием
энергии за малые промежутки времени:
Wa = Fia + Жа + №за + • • • = Ж,
Wp = Flp + Жр + Жр + . . . = ZWkp.
Отношение
ZWha
- - - - , Wa = cos <рс (10-29)
/(2IVAa)2 + (2^p)2 Vwl+Wp ’
называется средним значением коэффици-
ента мощности.
Так как и ^Whp любого приемника могут быть
непосредственно измерены счетчиками энергии, то формула
(10-29) применяется на практике для вычисления cosq>c
электрических установок.
Пример 10-8. Показания счетчика активной энергии в начале и
в конце месяца соответственно 1 326 и 1 476 квт-ч, а счетчика
реактивной энергии — 673 и 773 квар-ч.
Определить коэффициент мощности установки за месяц.
Разность показаний счетчика активной энергии
ТГа = 1 476— 1 326=150 квт-ч.
Разность показаний счетчика реактивной энергии
Wp = 773 — 673=100 квар-ч;
cos <рс = Wa -- = - 150----= 0,83.
/iPa + lVp /1502+1002
10-10. КРУГОВЫЕ ДИАГРАММЫ РАЗВЕТВЛЕННЫХ
ЦЕПЕЙ
а) Круговая диаграмма разветвленной цепи
с изменяемым активным сопротивлением
На рис. 10-24 изображена цепь, состоящая из двух ветвей. Пусть
сопротивления х0 и х1: г0 и постоянны, а сопротивление г2 изме-
няется от нуля до бесконечности.
Для построения круговой диаграммы (рис. 10-25) рассуждаем
следующим образом.
422
Как и для схемы рис. 9-48, при изменении сопротивления конец
вектора ОВ тока /2 в сопротивлении г2 скользит по дуге окруж-
ности О BAD от точки А при коротком замыкании (г2=0) до точки О
при холостом ходе (г2 = оо).
Чтобы получить общий ток /, к вектору ОВ надо прибавить
постоянный вектор OjO, представляющий ток в ветви с параметрами г0,
хд. Вектор общего тока OjB равен сумме векторов ОВ и OjO.
*
Рис. 10-24. Схема соединения для построения круговой
диаграммы цепи.
При коротком замыкании (г2=0) общий ток / представлен век-
тором OjA, при холостом ходе (г2 = со)— вектором Ofi, а при про-
межуточных значениях переменного сопротивления г2 конец вектора
тока / перемещается по дуге той же окружности между точками А
Рис. 10-25 Круговая диаграмма цепи, изобра-
женной на рис. 10-24.
и О. Угол <р сдвига по фазе между напряжением источника питания U
и током / получается непосредственно на диаграмме, если вектор
напряжения построен не из точки О, а из точки Ор
При холостом ходе ток / равен току в ветви с параметрами г0,
Хд (отрезок OjO) и отстает по фазе от напряжения на угол фх.
При коротком замыкании ток отстает по фазе от напряжения на угол фк.
Отрезки OfQ, ОВ и OjB в другом масштабе выражают мощности
So (в ветви с параметрами r0, х0), S12 (в ветви с параметрами rit
Хр г2) и полной мощности цепи S.
423
Проектируя векторы 1 и /2 на ось, параллельную вектору напря-
жения, получим отрезки, дающие в масштабе — значения
активной мощности. Проектируя те же векторы тока на ось, пер-
пендикулярную вектору напряжения, получим отрезки, дающие
в том же масштабе значения реактивной мощности цепи.
Круговую диаграмму рассмотренной цепи можно построить на
основании опытных данных по показаниям измерительных приборов.
Размыкая цепь между точками 2 и 2' (рис. 10-24), измеряем
при холостом ходе величины U, /х и Рх, Замыкая накоротко точки
2 и 2’, измеряем при коротком замыкании величины U, /к и Рк.
По полученным данным определяем:
COS<px = g_ и созФк = -^.
Этих данных достаточно для построения круговой диаграммы.
б) Круговая диаграмма разветвленной цепи
с изменяемым индуктивным сопротивлением
Рассмотрим построение круговой диаграммы для разветвленной
цепи, изображенной на рис. 10-26.
Первую часть диаграммы для тока в ветви с переменным
иид) ктпвным сопротивлением строим аналогично диаграмме, рас-
Рис. 10-26. Разветвленная цепь с переменным индук-
тивным сопротивлением.
смотренной в § 9-12, б (рис. 10-27). На рис. 10-27 точка О—начало
векторов ОВ тока /1( вектор OD изображает ток короткого замы-
кания I^ — UIri-
Для построения тока /2 предварительно определим проводимости
второй ветви: g2 = = ; у2 = V g% + bc .
г2 -2
При неизменном напряжении U на зажимах ветви активная
/га=^2 и реактивная /2р = /7/?с составляющие тока и ток l2=Uy2
также не изменяются.
424
ную составляющую !•
по
Вектор 00' изображает в масштабе М] ток /2а, совпадающий
по фазе с напряжением U и током IiK — U/ri- Вектор О'О^ изобра-
жает реактивную составляющую тока /2р, которая опережает актив-
' фазе на угол л/2 (так как это емкостная
реактивная составляющая). Вектор OtO
изображает ток /2.
Вектор тока / в неразветвленной
части цепи равен геометрической сумме
векторов изменяющегося тока /, и неиз-
менного /2, т. е. О1В = ОВ-(-О4С’.
2а
D
Ьх
и.
Рис. 10-27. Круговая ди-
аграмма разветвленной
цепи с переменным ин-
дуктивным сопротивле-
нием.
и угла сдвига фаз для разветвлен-
ной цепи с переменным индуктив-
ным сопротивлением.
Так как конец, вектора тока Ц скользит по дуге окружности
DBO, то при изменении от нуля до бесконечности и конец век-
тора тока / перемещается по той же дуге. Только началом вектора
тока / является не точка О, а точка О4. Из этой же точки 0}
иа диаграмме построен вектор напряжения U, параллельный токам
Лк и Ла- Сначала ток / уменьшается от значения /к = Mj-0iD до
значения / = Mj-O^B'", а затем увеличивается до значения / = /2 =
= /И/-О1О. Кривая изменения тока в зависимости от xL дана
на рис. 10-28.
При х^ — 0 угол сдвига по фазе между напряжением U и током /
имеет отрицательное значение срх (ток опережает по фазе напряже-
ние). С ростом хь угол уменьшается, достигая нулевого значения
при xl, соответствующем току I' = MI-OjB' (рис. 10-27 и 10-28).
Далее угол становится положительным л сначала увеличивается,
а затем уменьшается до нуля при xl, соответствующем току /" =
= /Иг'О1В". Наконец, угол снова получается отрицательным и уве-
личивается при Х£,=оо до значения q>2.
Остальные величины (Р, Q и т. д.) можно найти при помощи
таких же построений, как и в ранее рассмотренных круговых диа-
граммах.
425
10-11. ИЗМЕРЕНИЕ ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ
около 4U витков медной
Рис. 10-29. Устройство элек-
тромагнитного прибора.
Для измерения действующих значений переменного тока и на-
пряжения чаще всего применяются амперметры и вольтметры элек-
тромагнитной системы.
Электромагнитный амперметр (рис. 10-29) состоит из неподвиж-
ной катушки А, обмотка которой при номинальном токе 5 а имеет
энной проволоки, и стального сер-
дечника Б, укрепленного эксцен-
трично на одной оси с указательной
стрелкой. На той же оси укрепле-
ны пластинка магнитного успокои-
теля В и спиральная пружинка Г
для создания противодействующе-
го момента.
Измеряемый ток, проходя по
катушке, создает магнитное поле,
которое намагничивает сердечник.
Намагниченный сердечник под
действием сил поля втягивается
внутрь катушки, вызывая поворот
подвижной части прибора на угол,
зависящий от величины тока. Та-
ким образом, определенному току
соответствует и определенный угол
поворота указательной стрелки,
при котором вращающий момент
уравновешивается противодействующим моментом пружинки.
Электромагнитные приборы пригодны для измерения постоянных
и переменных токов, так как при переменном токе одновременно
с изменением направления тока изменяется направление магнитного
поля и направление намагниченности сердечника, а направление
силы, действующей на сердечник, остается неизменным.
Вольтметр электромагнитной системы отличается от амперметра
большим числом витков катушки (2 000—8 000 притоке 100—25 ма)
и наличием добавочного активного сопротивления.
10-12. ИЗМЕРЕНИЕ ЧАСТОТЫ
Для измерения частоты переменного тока применяется частото-
мер. На рис. 10-30 приведена схема устройства вибрационного частото-
мера. Под электромагнитом Э расположен якорь Д, укрепленный
на горизонтальном бруске Б, а брусок закреплен на упругих пла-
стинах ПП. На нижней стороне бруска Б укреплены пластинки Г,
свободные концы которых загнуты под прямым углом.
Переменный ток, проходя по обмотке электромагнита, вызывает
силы притяжения якоря к электромагниту. Сила притяжения про-
порциональна квадрату мгновенного значения тока и то увеличи-
вается, то ослабевает, дважды достигая наибольшего значения в те-
чение периода. Стальные пластинки Г под действием этой силы
испытывают вынужденные колебания, частота которых равна удво-
енной частоте переменного тока. Пластинки подбираются с различ-
ной частотой собственных колебаний, и та пластинка, частота кото-
426
рой совпадает с частотой вынужденных колебаний, колеблется
заметно сильнее других. На шкале прибора около каждой пластинки
указана собственная частота. Таким образом, по наиболее сильно
колеблющейся пластинке можно опреде-
лить частоту переменного тока.
Частотомер включается в сеть ана-
логично вольтметру. На шкале прибора
указано номинальное напряжение, иа
которое рассчитан прибор.
10-13. ИЗМЕРЕНИЕ МОЩНОСТИ
Мощность в цепи переменного тока
измеряется ваттметрами электроди-
намической или ферродинамической си-
стем.
Рис. 10-30. Устройство
вибрационного частото-
мера.
Электродинамический ваттметр (рис.
10-31) имеет две катушки: неподвиж-
ную— последовательную, или катушку
тока, состоящую из небольшого числа
витков относительно толстой проволоки
(включаемую последовательно с приемником), и подвижную — парал-
лельную, или катушку напряжения, состоящую из сравнительно
большого числа витков тонкой проволоки.
Катушка напряжения располагается внутри катушки тока и
укрепляется иа ось. На оси закреплена и указательная стрелка при-
Рис. 10-31. Электродинамический ваттметр.
бора. Катушка напряжения с последовательно соединенным доба-
вочным сопротивлением включается параллельно участку цепи,
мощность которого измеряется.
Взаимодействие токов i последовательной катушки и /и парал-
лельной создает вращающий момент, действующий иа подвижную
катушку. Мгновенное значение вращающего момента пропорционально
427
произведению мгновенных значении токов
m = kiiiu,
где ki — коэффициент пропорциональности.
Допустим, что ваттметр включен в цепь с напряжением
u = UMsina>f и током t = /Msin(co/— <р). Так как реактивное сопро-
тивление параллельной цепи ничтожно по сравнению с активным
добавочным сопротивлением гд, то ток в параллельной цепи
. им . ,
sin tat.
ra
Подставив в уравнение вращающего момента выражения токов i
и ijj, получим:
m = kl sjn ш/ sin (со/ — ф) =
гд
= ^1 cos ф — cos(2w/ — Ф).
zrД /Гд
Среднее значение вращающего момента равно постоянному члену
в выражении для т, т. е.
т
1 (* h.
Л4 = -=г \ m dt — —Я/cos ф.
г J
Под действием вращающего момента подвижная катушка откло-
няется на угол а, пропорциональный среднему значению враща-
ющего момента:
— U/ cos <р.
гд
Обозначив
^1^2
гя
получим:
а = kUI cos ф = kP,
т. е. отклонение стрелки прибора пропорционально активной мощ-
ности приемника, ток которого проходит через неподвижную катушку
и напряжение которого подведено к зажимам подвижной катушки
с последовательно включенным сопротивлением гя.
Изменение направления тока (т. е. фазы на 180°) в одной из об-
моток ваттметра вызывает отклонение подвижной части прибора
(стрелки) в противоположную сторону. Чтобы облегчить правильное
включение ваттметра, зажимы последовательной и паоаллельной
обмоток, которые соединяются вместе и присоединяются к проводу,
идущему от генератора (рис. 10-31 и 10-32) принято обозначать
одинаковыми знаками — звездочками (*) и называть генера-
торными зажимами.
428
Если поменять местами зажимы у одной из обмоток ваттметра,
то направление вращающего момента изменится и стрелка откло-
нится не по шкале, а в обратную сторону.
Схема, приведенная на рис. 10-33, также пригодна для измере-
ния мощности, так как взаимное направление токов в катушках
одинаково для обеих схем. Разница заключается в погрешности
включения ваттметра.
Рис. 10-33. Схема вклю-
чения ваттметра.
измерения. Ваттметр, включенный по схеме рис. 10-32, измеряет
мощность, цепи и мощность потерь в последовательной обмотке,
а ваттметр, включенный по схеме рис. 10-33, — мощность цепи
и мощность потерь в параллельной обмотке.
Электродинамическим ваттметром можно измерить и реактивную
мощность. Для этого необходимо ток в параллельной катушке
сдвинуть по фазе относительно напряже-
ния на угол 90°. В таком случае сред-
нее значение вращающего момента
ь <
Л4 = —/t/cos (90° —<р) =
гд
— hlju sin(p = k'!Usintj> = k'Q
гя
и угол поворота подвижной части, про-
порциональный М, зависит от реактив-
ней мощности, т. е.
Рис. 10-34. Схема ватт-
метра реактивной мощ-
ности.
a = k"Q.
Для осуществления сдвига фаз на
90° последовательно с катушкой напря-
жения присоединяется еще одна катушка,
а параллельно катушке напряжения включается активное сопротивле-
ние го (рнс. 10-34). При надлежащем подборе сопротивления г0 (под-
робнее см. § 11-9) между приложенным напряжением и током /у
можно получить сдвиг фаз 90°.
10-14. ИЗМЕРЕНИЕ СДВИГА ФАЗ
Угол сдвига фаз между напряжением и током в цепи перемен-
ного тока можно непосредственно измерить фазометром или
определить косвенно, по показаниям вольтметра, амперметра и ват-
метра (рис. 10-35).
429
Так как Р-77/cos гр, то
соз<₽ = ^ -
где U, / и Р—соответствующие показания вольтметра, амперметра
и ваттметра. Вычислив cos <р, легко определить <р.
Рис 10-35 Измерение cos <р методом
ваттметра, вольтметра и амперметра.
Фазометры выполняются электродинамической, ферродинамиче-
ской или электромагнитной систем (для трехфазного тока).
Фазометр электродинамической системы состоит из неподвижной
катушки тока и подвижной катушки напряжения (рис. 10-36); на
Рис. 10-36. Электродинамический фазометр.
одной оси с катушкой напряжения укреплена указательная стрелка.
Катушка напряжения состоит из двух частей, жестко скрепленных
между собой под углом 90°. Электрически эти части катушки напря-
жения соединяются параллельно друг другу, причем последователь-
но с одной из них включается активное добавочное сопротивление,
а последовательно с другой—индуктивное. Поэтому ток /j совпа-
430
дает по фазе с напряжением U, а ток /2 отстает по фазе от напря-
жения на 90°.
В результате взаимодействия токов /, Ц н I, Z2 на подвижную
часть прибора действуют два вращающих момента, направленных
в противоположные стороны. Подвижная часть фазометра в отличие
от других приборов не имеет пружинок (при отсутствии токов стрел-
ка ие становится на нуль). Поэтому под действием вращающих мо-
ментов подвижная часть прибора повернется на определенный угол,
при котором вращающие моменты уравновесятся. Можно доказать,
что при этом угол поворота стрелки от нулевого деления шкалы ра-
вен углу сдвига фаз между напряжением и током. На шкале прибо-
ра наносится угол ср или cos <р. Фазометр включается в цепь анало-
гично ваттметру.
10-15. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. СЛОЖЕНИЕ
СИНУСОИДАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ (§ 8-5)
План работы
1. Ознакомиться с приборами и аппаратами, необходимыми для
выполнения работы, и записать их основные технические данные.
Рис. 10-37. Схема к лабораторной работе 10-15.
2. Собрать схему (рис. 10-37) н показать ее руководителю.
3. Изменяя положение движка реостата г9, установить напряже-
ние ^2 = 0,5^.
4. Изменяя положение ротора фазорегулятора, получить сдвиг
по фазе ф2 между напряжениями и2 и равным нулю, чему соот-
ветствует соотношение U = Ui-^-U2.
5. Поворачивая ротор фазорегулятора все время в одном напра-
влении, изменять сдвиг по фазе ф2 между напряжениями и2 и iq
от 0 до 360° (рис. 10-38) и записать показания приборов при значе-
ниях угла, указанных в табл. 10-1.
6. Для всех случаев наблюдений по показаниям вольтметров
определить значения углов ф н ф2.
Все наблюдения и расчеты записать в табл. 10-1.
7. Для каждого случая построить в масштабе векторную диа-
грамму (рнс. 10-38).
Прн выполнении работы мы сталкиваемся с необходимостью
изменять начальную фазу напряжения U2. Наиболее удобно изменять
фазу при помощи индукционного фазорегулятора, который состоит
из трехфазного асинхронного двигателя (см. § 12-18) с заторможен-
ным ротором. Трехфазный ток, проходя по обмотке статора (непо-
431
Таблица 10-1
а 5. Uz и cos ф COS \|)2 1|>2
ж 5 ‘S. < Условия наблюдений в в в — — — — Примечание
1 ф2=о u=ut+u2
2 0<Ф2<90° и <Ut+U2
3 ф2=90° U=V Uf + Ul
4 90° <ф2< 180° u<Vut+ui
5 ф2= 180° u^ut-u2
6 180°< ф2<270° U>Ui-U2
7 ф2=270° u=V uj+ui
8 270°< ф2 <360° и>У Ul + Ul
9 ф2=360° U—U^U^
Рис. 10-38. Векторная диаграмма
к лабораторной работе 10-15.
Рис. 10-39. Принцип дей-
ствия фазорегулятора.
движная часть) двигателя, создает вращающееся магнитное поле; для
наглядности можно представить себе, что поле создается двумя
полюсами (рис. 10-39), вращающимися с угловой скоростью и.
432
В обмотке ротора Р это поле индуктирует переменную э. д. с
с частотой Начальную фазу напряжения U2 на зажимах
ротора можно изменять, поворачивая ротор при помощи редуктора.
10-16. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. СНЯТИЕ КРИВЫХ
МГНОВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
И НАПРЯЖЕНИЯ
Периодические кривые переменных токов и напряжений можно
наблюдать на экране специального прибора — осциллоскопа.
На рис. 10-40 представлен общий вид магнитоэлектрического
осциллоскопа. Он состоит из трех вибраторов В, шестигранной зер-
кальной призмы 3, которая приводится во вращение двигателем Д,
Рис. 10-40. Магнитоэлектрический осцил-
лоскоп.
осветителя О, лучи света от которого проходят через диафрагмы Д'
к вибраторам, и экрана Э. Все части осциллоскопа собраны на об-
щем основании.
Рассмотрим принцип действия осциллоскопа (рис. 10-41). Луч
света от осветителя О проходит диафрагму и попадает на зеркальце
вибратора. Отразившись от него, луч падает на одну из граней
зеркального многогранника и, отразившись, на матовый экран прибора.
При неподвижном многограннике и отсутствии тока в катушке
вибратора наблюдатель увидит на экране светящуюся точку. При
наличии тока в катушке вибратора зеркальце вибратора колеблется
и отраженный луч вычерчивает на экране вертикальную светлую
28 Те еретическая электротехника 433
линию. Если многогранник вращать, то отраженный луч будет допол-
нительно смещаться в горизонтальной плоскости. Сложение двух
движений дает результирующее перемещение луча по экрану, отчего
Рис. 10-41. Оптическая система
осциллоскопа.
на экране появляется светлая
линия, изображающая измене-
ние тока в катушке вибратора
в зависимости от времени. При
этом скорость вращения мною-
гранного зеркала должна быть
постоянной и такой, чтобы в кон-
це периода тока в катушке виб-
ратора луч падал на следующую
зеркальную грань и, отразив-
шись от нее, попадал в ту же
точку экрана, которую он осве-
щал в начале периода. Тогда
луч, пробегая по экрану, опи-
шет в течение каждого периода
совпадающие линии, которые
наблюдателю будут казаться
одной неподвижной линией.
Это условие выполняется при
питании вращающего многогранник электродвигателя переменным
током той же частоты, _ что и исследуемый ток.
Питание двигателя' и осветителя осуществляется от вторичной
обмотки вспомогательного трансформатора. Для регулирования напря-
жения последовательно с двигателем и осветителем включены рео-
Рис. 10-42. Схема включения осветителя
и электродвигателя.
статы rt и г2 (рис. 10-42); вольтметром Vj можно измерить напря-
жения на двигателе и на осветителе.
Для пуска в ход двигателя включается рубильник Kj и реоста-
том /устанавливается напряжение 6 — 8 в, после чего зеркальный
многогранник рукой поворачивается против направления движения
часовой стрелки (сверху многогранника укреплена пусковая головка).
Осветитель включается рубильником К2> реостатом г2 устанавли-
вается напряжение, равное номинальному напряжению лампы осве-
тителя (6 — 8 в). Для снятия кривых на экран натягивается калька
илн прозрачная бумага при помощи двух валиков, укрепленных
по краям экрана.
434
План работы
1. Ознакомиться со схемой (рис. 10-43) и приборами, необходи-
мыми для выполнения работы, записать основные технические дан-
ные измерительных приборов и аппаратов.
2. Проверить установку оптической системы осциллоскопа.
Рис. 10-43. Схема включения вибраторов.
3. Замкнув рубильник Кз, скопировать на кальку или прозрач-
ную бумагу кривую мгновенных значений напряжения.
Определить масштаб напряжения:
_ U /2
тв~ ОА ’
где U—показание вольтметра V2;
О А — амплитуда кривой напряжения на экране, мм.
Определить масштаб времени
_ т
тсек QB »
где О В — отрезок оси абсцисс иа экране, мм, соответствующий
периоду Т.
4. При замкнутых рубильниках АГ3 и Ki скопировать на кальку
кривые мгновенных значений напряжения и тока при активной
нагрузке и определить масштаб тока
_ lV~2
ОБ ’
где ОБ — амплитуда кривой тока на экране, мм;
/ — показание амперметра.
5. При замкнутых рубильниках Кз и К$ скопировать на кальку
кривые мгновенных значений наприжения и тока при индуктивной
нагрузке. Определить угол сдвига фаз
(р==О'О"тс ек<о,
где О'О”— расстояние между нулевыми значениями кривых напря-
жения и тока, мм;
со — угловая частота переменного тока.
28*
435
Подсчитанный по этой формуле угол сдвига фаз выражен в ра-
дианах и должен быть переведен в градусы.
6. При замкнутых рубильниках К3 и Кв скопировать иа кальку
кривые мгновенных значений напряжения и тока при емкостной на-
грузке и определить угол сдвига фаз.
7. Скопировать на кальку кривые мгновенных значений напря-
жения и тока при параллельном соединении активного сопротивле-
ния и индуктивности. Определить угол сдвига фаз.
8. Скопировать на кальку кривые мгновенных значений напря-
жения и тока при параллельном соединении активного сопротивле-
ния и емкости. Определить угол сдвига фаз.
9. Проверить в каждом случае найденное значение угла по фор-
10. Показания приборов и результаты расчета записать
в табл. 10-2.
11. Скопировать
а) и (Г), 1
б) ,в(д; iв °бщей
'4(0, '8(0 J
Индексы у токов i соответствуют
снятые на кальку кривые:
в общей системе
координат;
системе
координат.
пунктам задания.
Таблица 10-2
№
п/п
Элементы
цепи
1
2
3
4
Реостат
Катушка
Конденса-
тор
Параллель-
но реостат
и катушка
Параллель-
но реостат
и конден-
сатор
тсек ^опыт Фрасч
сек! мм град град
10-17. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ИССЛЕДОВАНИЕ
НЕРАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
(§ 9'8)
План работы
1. Ознакомиться с приборами и аппаратами, необходимыми для
выполнения работы; записать их основные технические данные.
2. Собрать схему (рис. 10-44) и показать ее руководителю.
436
3. Установить х^ > хс- Путем присоединения концов параллель-
ной обмотки ваттметра и вольтметра к точкам АБ, БВ, ВГ и АГ
измерить активную мощность и напряжение на каждом участке не-
разветвленной цепи и всей цепн.
4. По полученным данным определить для каждого участка
и всей цепи
х=/'г2 — г2; Ua = Ir;
Up = lx; S = UI; Q = Vs2 -Р2 н tg <р = у .
5. Результаты измерений и расчетов записать в табл. 10-3.
6. Построить в масштабе для всей цепи векторную диаграмму.
7. Регулируя индуктивность катушки, установить xL = xc (по
наибольшему току в цепи) и для этого случая (резонанс напряже-
ний) повторить все указанные выше измерения и вычисления.
Результаты записать в табл. 10-3.
Таблица 10-3
с
г?
При
сдвиге
фаз
Участок цепи и I Р г 2 X ие S Q tg<p ф
в а вт ом ом ом в в ва вар — —
Реостат Катушка Конденсатор Вся цепь Реостат Катушка Конденсатор Вся цепь Реостат Катушка Конденсатор Вся цепь
1
3
437
Построить в масштабе векторную диаграмму.
8. Повторить все измерения н вычисления, установив хь<СхС-
Результаты записать в табл. 10-3. Построить в масштабе векторную
диаграмму.
Примечание. Всякий реальный конденсатор обла-
дает, кроме емкости, активной проводимостью, которую
следует считать соединенной с емкостью параллельно. При
выполнении настоящей работы и вообще, кроме случаев,
когда делается специальная оговорка, активной проводи-
мостью конденсатора пренебрегают.
10-18. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. РЕЗОНАНС
НАПРЯЖЕНИЙ (§9-10, 9-11)
План работы
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы, и записать их основные технические данные.
2. Собрать схему (рис. 10-45) и показать ее руководителю.
Рнс 10-45 Схема к лабораторной работе 10-18.
3. При неизменном напряжении на зажимах цепи записать
показания приборов при различных значениях индуктивности, изме-
няя индуктивность катушки перемещением ее сердечника.
4. По полученным данным вычислить:
z, zK (сопротивление катушки), г, xL, xq, (7а, U^, cos <p, ср, P,
Q, fo (резонансная частота).
Результаты наблюдений и расчета записать в табл. 10-4.
5. При трех значениях реактивного сопротивления катушки
xl> хС'> xL = xc н xl<xc
построить в масштабе векторные диаграммы и треугольники сопро-
тивлений цепи.
6. По данным, полученным из опытов и подсчетов, построить
резонансные кривые.
а) Ук (xl); б) Ua (xl); 1
В) ^l(xl); г) Uc(xl); J в
д) 1 (xl); е) cos <р (xL); |
Ж) Р (XL); 3) Q (xL) J в
общей системе координат;
общей системе координат.
438
Таблица 10-4
КРУГОВОЙ ДИАГРАММЫ НЕРАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА (§ 9-12)
План работы
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы, и записать их основные технические данные.
2. Собрать схему (рис. 9-48) и показать ее руководителю.
3. Изменяя реостатом активное сопротивление цепи, при раз-
личных значениях г2 снять показания приборов.
4. Изменяя реактивное сопротивление цепи (катушка), при раз-
личных значениях Xj снять показания приборов.
5. Расчетным путем определить следующие величины: rlt г2, г =
= г1“Кг2> *j, г> cos <р, sin q>, Q, Ua (всей цепи) и UL.
Результаты наблюдений и расчета записать в табл. 10-5.
Таблица 10-5
6. По полученным данным построить в масштабе графики:
а) при постоянных и xf. I, Ua, UL, cos ф, P и Q в зависи-
мости от г2!
б) при постоянных и r2. I, Ua, UL, cos Ф, Р и Q в зависи-
мости ОТ Хр
7. Построить в масштабе круговые диаграммы: а) при перемен-
ной индуктивности и неизменном активном сопротивлении
439
(рис. 9-43); б) при переменном активном сопротивлении г2 и неиз-
менной индуктивности цепи (рис. 9-49).
8. Из круговых диаграмм определить величины: 1, U&, Ul,
cos q>, Р и Q для значений xi и г2, при которых производились
наблюдения.
Полученные результаты записать в табл. 10-6.
9. По данным, полученным нз круговых диаграмм, построить
в масштабе графики, перечисленные в п. 6,
Таблица 10-6
РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
(§ 10-1, 10-2 и 10-3)
План работы
1. Ознакомиться с приборами и аппаратурой, необходимой для
выполнения работы, и записать их основные технические данные
2. Собрать схему (рис. 10-46) и показать ее руководителю.
Рис. 10-46. Схема к лабораторной работе 10-20.
3. Измерить напряжение, ток и мощность включая в цепь по
очереди реостат, катушку и конденсатор. Повторить измерения, со-
единив параллельно; 1) реостат и катушку; 2) реостат и конден-
сатор.
4. По полученным данным для каждого случая вычислить /а,
/р, Q и S, Результаты полученные из опыта и расчета записать
в табл. 10-7,
440
Таблица 10 7
5. Для каждого случая построить в масштабе треугольники
токов и мощностей.
6. Соединив параллельно реостат, катушку и конденсатор и из-
меняя индуктивность катушки, записать показания приборов при
Ф > 0, ф= О, Ф < 0. По полученным данным определить для каждой
ветви и всей цепи /а, /р, Q и S. Результаты, полученные из опыта
и расчета записать в табл. 10-8.
Таблица 10-8
№ При сдви-
и/п. ге фаз
Элементы цепи
Реостат
Катушка
Конденсатор
Вся цепь
Реостат
Катушка
Конденсатор
Вся цепь
Реостат
Катушка
Конденсатор
Вся цепь
7. По полученным данным построить в масштабе для всех трех
случаев векторные диаграммы.
10-21. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. РЕЗОНАНС ТОКОВ
(§ Ю-6)
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы. Записать основные технические данные приборов, реостатов,
конденсаторов и другого оборудования,
441
2. Собрать схему (рис. 10-47) и показать ее руководителю.
3. При постоянном сопротивлении и постоянной индуктивности
катушки изменять’ емкость конденсатора. При различных значениях
емкости записать показания приборов.
Рис. 10-47. Схема к лабораторной работе 10-21.
4. По полученным данным, зная гк, вычислить:
zK, хк, gK, bK, хс, Ьс, У,
cos срк, cos ср, Рк, QK, Qc, Р и Q.
Результаты наблюдений и расчетов записать в табл. 10-9.
Таблица 10-9
Xs и I h !г ьк хс ьс COS ф Q
п/п. в а а а сим ом сим — вар вар вар
5. При трех значениях проводимости Ьс’
Ьк>Ьс', ЬК = ЬС и 6К<6С,
построить в масштабе векторные диаграммы токов и проводимостей
(резонанс тока наступает при наименьшем значении общего тока).
6. По полученным данным построить графики
2) <?к(/2);
1) Л(/2);
COS ср (/2)
в общей системе
координат;
0с(/2);
Q(/2)
в общей системе
координат.
442
10-22. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ПОСТРОЕНИЕ
КРУГОВОЙ ДИАГРАММЫ РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА (§ 10-10, а)
План работы
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы, н записать их основные технические данные.
2. Собрать схему (рис. 10-24) и показать ее руководителю.
3. Произвести опыты холостого хода и короткого замыкания
и записать в табл. 10-10 величины U, /х, Рх и U, !к, Рк.
Таблица 10-10
№ п/п. V ^х Рх COS Фх и 'к Рк cos <рк Фк Приме- чание
в а вт — град в а вт — град
4. Изменяя сопротивление реостата, при различных значениях г2
снять показания приборов.
5. Пользуясь данными, полученными в п. 4, определить вели-
Р2
чины Р2, Р, Q, cos ф, Д=-р- ,
Показания приборов и результаты расчетов записать в табл. 10-11.
6. Построить графики: /, Р, Q, cos ф и г] в зависимости от Р3
(p2 = p-px-/iri; =
V 12к У
7. По данным опытов холостого хода и короткого замыкания
построить круговую диаграмму.
8. Пользуясь круговой диаграммой, построить графики, указан-
ные в п. 6,
443
10-23. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ИЗМЕРЕНИЕ
КОЭФФИЦИЕНТА МОЩНОСТИ. ПОВЫШЕНИЕ
КОЭФФИЦИЕНТА МОЩНОСТИ (§ 10-10, б)
План работы
1. Ознакомиться с необходимой аппаратурой и записать техни-
ческие данные измерительных приборов. Собрать схему (рис. 10-26)
и показать ее руководителю (сопротивление г2 в цепь не включать).
2. При разомкнутом рубильнике Р измерить cosq>i и U. По
полученным данным определить активное и индуктивное сопротивле-
ния катушки:
cos гр4 cos rp4; xl = I^Zi— rj.
'i
3. Изменяя индуктивность катушки, проследить за изменением
cos ф1 в зависимости от Xf, (cos (pj определять по показанию фазо-
метра).
Результаты измерений и расчетов записать в табл. 10-12.
Таблица 10-12
№ п/п. и It Г1 XL COS ф1
в а ОМ ом ОМ град —
4. Включив рубильник Р и изменяя индуктивность катушки,
измерить U, I, Ц, 1г и cos ф. По полученным данным определить:
xl> хс> S, Sj, S2, Pi, Qi Qz-
Результаты измерений и расчетов записать в табл. 10-13.
444
Из круговой диаграммы определить два значения тока /1( при
которых в цепи возникает резонанс токов. Полученные результаты
записать в табл. 10-14.
6. В общей системе координат построить кривые: cos ф1, cos ср,
<Р1 и <р в зависимости от х^.
Таблица 10-14
№ п/л. /1 12. 1 Ф COS (р
а а а град
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
СИМВОЛИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
11-1. ОСНОВНЫЕ понятия
Величина постоянного тока исчерпывающе определяется
одним числом, но для определения величины переменного
тока заданной частоты в любой момент времени надо ука-
зать два числа. Такими двумя числами могут быть, напри-
мер: амплитуда тока и его начальная фаза.
Однако и переменный ток может быть определен не
двумя величинами, а одним комплексным числом.
Комплексным числом называется сумма в е-
щественного или действительного чис-
ла/. и мнимого, представляющего собой квадратный ко-
рень из отрицательного числа, например —/И2. Мнимое
число —М2 представляют в виде произведения действи-
тельного числа М на квадратный корень отрицательной
единицы V—1, который называют мнимой единицей и обо-
значают буквой /.
Следовательно, комплексное число
Т + = А + = Л + (11-1)
причем действительные числа L и М могут быть как поло-
жительными, так и отрицательными.
445
Действительное число графически можно представить
точкой или отрезком на оси абсцисс, которую называют
осью действительных величин (рис. 11-1).
Мнимое число графически можно представить точкой
или отрезком на оси ординат, которую называют осью
мнимых величин и которая перпендикулярна дей-
ствительной оси.
Это представление мнимых чисел вытекает из следую-
щих соображений. Если нам задано действительное поло-
У
1
й
О
||
Отрицательное направление
—X —1 —- mil—
действительной оси
Ооложительное направление
действительной оси
51
&
’г
Й
Рис. 11-1. Оси координат.
жительное число К, то в силу сказанного мы изобразим
его отрезком или вектором Ok на действительной положи-
тельной полуоси (рис. 11-2). Мнимое число //< изобразим
вектором Ok' на мнимой положительной полуоси. Значит,
мы тем самым рассматриваем число / как поворотный мно-
житель, умножение на который равносильно повороту век-
тора (без изменения его длины) на угол 90° или в поло-
жительном направлении, т. е. против направления враще-
ния стрелки часов. Повторное умножение на / соответствует
повороту вектора Ok' на угол в положительном направле-
нии, что дает вектор Ok", который изображает отрицатель-
ное число — К- В полном согласии с этим мы получим:
j ию = j2K = к = к=-к.
446
Из последнего соотношения следует:
/2=-1.
Третье умножение положительного действительного
числа К на / дает отрицательное мнимое число:
j(PK) = jsK = pjK=-jK
и вектор Ok", повернувшись на угол л/2 в положительном
направлении, расположится вдоль отрицательной полуоси
мнимых величин (Okна рис. 11-2).
Рис. 11-2. Графическое изо- Рис. 11-3. Разложение вектора на
бражение комплекса. составляющие, Совпадающие по
направлению с осями координат.
Из последнего равенства следует, что /3 = — /.
Наконец, четвертый поворот возвращает вектор в исход-
ное положение, и этому соответствует равенство /4=
=/2-/2 = (-1) =
Оси действительных величин (+, — на рис. 11-3 и др.)
и мнимых величин (+/, —j на рис. 11-3 и др.) для краткости
называют действительной и мнимой осями.
Комплексное число изображается вектором А, проекция
которого на действительную ось равна егс- действительной
части А' = L, а проекция на мнимую ось — мнимой части
А" = М (рис. 11-3), т. е.
А = А' + ]А". (11-2)
В зависимости от знаков чисел А' и А" вектор А может
оказаться в любой четверти системы координат.
447
Длина, или модуль, вектора:
| А | = ]/(Л')2 + (Л")~2 (11-3)
независимо от знаков чисел А' и А". Угол, образуемый
вектором А и действительной положительной полуосью,
можно найти из равенства
Ап
= (11-4)
причем по знакам А' и А" легко определить положение
вектора в системе координат. Угол а называется аргу-
ментом вектора А. Очевидно, что аргумент вектора
заключен в пределах 2л > а > 0. Таким образом, вектор,
изображающий комплексное число, можно задать действи-
тельной и мнимой частями или значениями модуля и аргу-
мента.
Помимо рассмотренной алгебраической формы
комплексных чисел и величин (11-2), применяется три-
гонометрическая форма.
Из рис. 11-3 следует:
Л' = |Л|Соза, а >1" = | Л | sin а; (11-5)
таким образом,
А — | А | cos а 4-/1 A j sina = | А | (cos a -f- / sin а). (11-6)
Наконец, применяется еще третья — показатель-
ная— форма комплексных величин,для получения кото-
рой рассмотрим встретившееся нам в формуле (11-6) выра-
жение
cos а 4- / sin а = v
и найдем его производную, учитывая, что /2= — 1:
= — sin a 4- / cos а = j (cos a 4- j sin a) — fv.
Из полученного уравнения, разделив переменные
и проинтегрировав, получим:
1пц = /а 4- С,
где С—постоянная. При а = 0, во-первых, 1пца=о = С
и, во-вторых, аа=о = cos 0 4- / sin 0 = 1, откуда С = In 1 = 0.
448
Поэтому 1по = /а, т. е. о = е’“, или
cosa + /sin а = е1а. (11-7)
Следовательно,
А = | А | (cos a4-/sina) = | A । eJ“, (11-8)
т. e. комплексное число в показательной форме представляет-
ся произведением модуля и так называемого поворот-
ного множителя eja.
Поворотный множитель eja показывает, что вектор по-
вернут относительно положительного направления действи-
тельной оси на угол а. Угол считается положительным при
повороте вектора против направления движения часовой
стрелки и отрицательным при повороте в обратную сторону.
Полезно рассмотреть некоторые частные случаи:
Я
? о ЗТ . . • ЗТ Ai’i *
е 2 =cos-2--f-7Sin-2- = 0-i-/.l=/;
Л а- X
—f л \ . ( л \ л
е 2 =Cos^—-g-) + /sin^—-2-J=cos^- —
. • ЗТ л • 1 ♦
— J sin -у = 0—/-I = —/;
е5я - 2 )2 _ у-2 _ — J . ej0 — cos о + / sin 0 = I.
Угол а в показателе степени поворотного множителя
выражается в радианах, так как показатель степени должен
быть отвлеченным числом, однако ради большей наглядности
мы будем в дальнейшем условно записывать его в градусах.
11-2. сложение И ВЫЧИТАНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ чисел
Для сложения и вычитания комплексных чисел их сле-
дует представить в алгебраической форме.
При сложении двух или нескольких комплексных вели-
чин складываются отдельно их действительные и мнимые
составляющие, например:
Д + В=(Л' + М") + (В' + /Я') =
= (Л' + В') -г j (А" + В") = С' + /С" = С. (11-9)
Таи кап каждое комплексное число может быть представ-
лено вектором, то сложению двух комплексных чисел соответ-
ствует сложение двух векторов.
29 Теоретическая электротехника 37 449
Составляющая суммарного вектора, направленная по
действительной оси, равна алгебраической сумме составляю-
щих отдельных векторов, направленных по этой же оси.
Составляющая суммарного вектора, направленная по мни-
мой оси, также равна алгебраической сумме составляющих
отдельных векторов, направленных по этой оси (рис. 11-4).
Рис. 11-4. Сложение двух
векторов. двух векторов.
Рис. 11-5. Вычитание
При вычитании одного комплексного числа из другого
вычитаются отдельно их действительные и мнимые соста-
вляющие, например:
А — В = (Л' + /Л") — (В' + /В") =
= (Л' —В') j (А"—В”) = С + [С" = С. (11-10)
Вычитанию комплексных чисел соответствует вычита-
ние изображающих их векторов.
Вычитание комплексных чисел может быть заменено
сложением уменьшаемого числа с вычитаемым, взятым с об-
ратным знаком, что следует из выражения
С = Л-В = Л + (—В),
или
С = (Л'-НЛ") + (-В'-/В") =
= (Л' — В') + / (А"- В") = С -ь /С".
Таким образом, вычитание векторов, представленных ком-
плексными величинами, может быть заменено сложением
вектора уменьшаемого с вектором вычитаемого, взятого
с сбратным знаком (рис. 11-5;.
450
Пример. 11-1. Чему равна сумма комплексных чисел
Л = 5 + /-3 и В=44-/-6?
С = Л4-В=54 /-34-44-/-6 = 54-44-
4-/.3-Н’-6-=9 |-;-9.
Пример 11-2. Чему равна сумма чисел
Л = 404-/-60 и В=— 304-/-20?
С=404-/-604-( —304-/-20)=40— 304-
4-/(60 4-20) = 10 4-/-80.
Пример 11-3. Чему равна сумма чисел
Л = 100е’ 45° и B = 60e-J 30‘’?
Выразим комплексные величины в алгебраической форме:
Л = 100eJ' 45° = 100 cos 45° + /• ЮО sin 45° = 70,74- j• 70,7;
В=60е~3' 30° = 60cos 30° —/.60sin30° = 52-/-30;
складывая, получим:
С = Л 4- В=(70,7 4- / • 70,7) 4- (52 - J- 30) = 122,7 -/ • 40,7.
Модуль суммы
| С I = V 122,74-40,72 =129.
Тангенс угла поворота вектора С относительно положительного
направления действительной оси
С" 40 7
tga=-^=12^7= 0,331, а = 18°20'.
В показательной форме
С=129е7 18°20'.
Пример 11-4. Чему равна разность чисел
Л = 404-/-60 н В=30-/-20?
С=Л —В =40 4-/-60— 30 4-/-20= 104-/-80.
11-3. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Умножение и деление комплексных величин и чисел
или короче комплексов проще всего можно выпол-
нить в том случае, когда они выражены в показательной
форме.
Допустим, что нужно перемножить два комплекса, задан-
ных своими модулями А и В и аргументами а и р, т. е.
29* 451
А =И|е-'“ и В - |В| еА В результате получается новый
комплекс:
С = |С|е« = |Л | еза-1В | е-'Р = | АВ | е3<° 1 ₽\ (11-11)
откуда следует:
|С| = |Л-В! и у = а + р. (П-12)
П роизведение двух комплексов дает новый комплекс, мо-
дуль которого равен произведению модулей, а аргумент —
алгебраической сумме аргументов перемножаемых ком-
плексов.
Рассмотрим несколько частных случаев.
1. Если один из комплексов (например, В) — положи-
тельное действительное число В' — Ь, то в результате
перемножения комплекса или изображающего его вектора
А = |Л| е'а и числа b получается комплекс или вектор
C = \Ab\eja, (11-13)
направленный вдоль вектора А; модуль произведения ра-
вен произведению модуля вектора А и числа Ь.
2. Если вектор А = \А е3“ умножается на вектор В,
модуль которого равен 1, т. е. на е3₽ (поворотный множи-
тель), то получается вектор
C-=M|e'(“L₽\ (11-14)
модуль которого равен модулю вектора А; аргумент про-
изведения отличается от аргумента вектора А на вели-
чину р.
3. Если сомножители имеют одинаковые модули и рав-
ные по величине и противоположные по знаку аргументы,
то их произведение равно квадрату модуля сомножителей:
С - | Л ) еза ! Л | е-3“ = | Л |2. (11-15)
Два таких комплекса называются' сопряженными;
иногда применяются обозначения
Л = |Л|ез“ и Л = | А | е~за, (11-16)
т. е. сопряженный комплекс отмечают звездочкой.
452
4. Если произведение двух комплексов равно единице,
то сомножителями являются комплексы
Л-[Л|е^“ и -’- = т1ге->«; (11-17)
комплексы и А называются обратными.
Сомножители могут быть заданы и в алгебраической
форме, т. е.
A-A'-j-jA" И В = В’ + /В".
Тогда
АВ - (Л' + /А") (В' + /В") = А'В' -I-
Ч- А'/В" + /А"В' + /2А"В" = (А'В' — А"В") 4-
+ j (А'В" ч- А"В') = С Ч- /С" - С.
Пример 11-5. Чему равно произведение Д = 2Ое’30’ на В = 3?
С = А • В = 20-3ej30° = 60е?30°.
Пример 11-6. Чему равно произведение Д = 20е-,о0° на e®=e,w"?
С=Д.е3Р = 20е}30о-е^40О = 20ея°э.
Пример 11-7. Чему равно произведение комплексов А = 30е-,2<)°
и В=-1Ое’зо°?
С = А • В = ЗОе,20° • 10е’30° = ЗООеК'1Р.
Пример 11-8. Чему равно произведение комплексов A = 20e,r,fJ<>
и В=5е-’30°?
С=,4 • В = 20е J & 0°. 5е-0» = ] , 2 0».
Пример 11-9. Чему равно произведение комплексов A— 28,2-f-
4-/10.3 и В = 8,7-1-/5?
С=А-В = (28,2Ч-/Ю,3)(8,7 + /5) = (28,2-8,7—10,3-5)4-
+ / (28,2-5 4-10,3-8,7) = 194 4- /230.
Частное от деления комплекса А = | А 1 eia на комплекс
В = । В | е# равно произведению комплекса А и комп-
1
лекса -ъ- :
О
4=л4-=|4!еХО"ю- (11~18)
Частное от деления одного комплекса на другой дает
новый комплекс, модуль которого равен частному от деления
453
модуля делимого на модуль делителя, а аргумент равен
алгебраической разности аргументов делимого и делителя.
Если делимое и делитель даны в алгебраической форме,
то целесообразно устранить мнимость в знаменателе; это
достигается умножением числителя и знаменателя дроби
на комплекс, сопряженный делителю:
A A'-f-jA" B'-iB" _A'B' — A'iB"+jA,,B, + A''B" _
В ~ В' + /В" ’ B'—jB" ~~ (В'Я + (В")2
Л'В' + Л’В" , .А’В'-А’В" п, , _ ...
~(В')2+(В")2 (В')2+(В")2 D+jD—D. (11-19)
Пример 11-10. Чему равно частное от деления /l--20e'3fj на
Й=4?
Д_= 20e^ = 5ej30Oi
В 4
Пример 11-11. Чему равно частное от деления Д = 2Ое-'30° на е-*100?
^=2Ое’30°.е-’10°=2Ое^0°.
еяо°
Пример 11-12. Чему равно частное от деления Д = 30е-'2С|° на
В= Юе-'30°?
А _ 30ej2Q° _ „ ,(20<>-30») _ о -л и-
й ~ 10+ж ~
Пример 11-13. Чему равно частное от деления A = 28,2-j- / • 10,3
на В = 8,7 + /-5?
А _ 28,24-/10,3 8,7-/5
~ В “ 8,74-/5 ’ 8,7 —/5 “
_28,2.8,7—/28,2-5+Л10,3-8,7 + /. 10,3 (-/-5)_
8,72 + 52 ~
_ 28,2-8,7+10,3.5 10,3-8,7 — 28,2-5 _
~ 100 +/ 100 ~
235 + 51,5
100
. 89,6—141
Н 100
= 2,96-/0,514.
Введение комплексных чисел значительно упрощает рас-
четы цепей переменного тока. Поэтому при расчете цепей
переменного тока широко применяется символичес-
кий метод, основанный на применении комплексных
чисел.
454
11-4. ТОКИ, НАПРЯЖЕНИЯ И СОПРОТИВЛЕНИЯ
В СИМВОЛИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
В гл. 8 было показано, что мгновенное значение сину-
соидального тока или напряжения может быть изображено
проекцией вращающегося вектора на неподвижную осе.
(ось ординат). Кроме того, было выяснено, что при исследо-
вании цепей переменного тока нет надобности вращать
векторную диаграмму, так как взаимное расположение
векторов остается неизменным. Теперь мы приняли ось
абсцисс за ось действительных величин, а ось ординат за
ось мнимых величин. Следовательно, векторы, изображаю-
щие синусоидальные величины, можно представить и запи-
сывать комплексными числами.
Представление векторов синусоидальных величин ком-
плексными числами позволяет значительно упростить рас-
четы цепей переменного тока.
Мы условились проводить действительную и мнимую
оси совпадающими с осями абсцисс и ординат. Поэтому
вектор, изображающий ток с нулевой начальной фазой
С = /Misin будет направлен вдоль действительной оси.
Символически этот вектор и соответствующую комплексную
величину обозначим буквой /М1 с точкой: /Mt. Модуль ком-
плекса равен /Mt, начальная фаза 0°. Следовательно, в пока-
зательной форме
/М1 = /М1е’°’ = /М(. (11-20)
Если ток изменяется по закону ь /мзсозы/ -
= /М2 sin (о>/ ф- 90°), то соответствующий ему вектор опе-
режает вектор тока на угол 90° или л/2, т. е. распо-
лагается вдоль мнимой оси. Комплексная величина этого
тока
/м2 =/м2 е’90’-/7,2. (11-21)
В общем случае синусоидальный ток изменяется по
закону
i — l„ sin (и/ + ф) = /м cos ф sin и/ + /ч sin ф cos mt (11-22)
и его символическое выражение (рис. 11-6):
/м = /м COS ф + /7М sin ф =
= /м(со5ф + /81пф) = /ме”1’. (11-23)
455
По тем же правилам выполняется символическая за-
пись мгновенных значений напряжения. Если
и -= UM sin (<»/ 4- а), (11-24)
то
(11-25)
Для расчета цепей важно еще раз отметить, что /м
и L’M—комплексные числа с модулями /м и £7М и аргу-
ментами ф и а.
Точка, стоящая над комплексной величиной тока /„
или напряжения (7М, подчеркивает, что ток или напряже-
ние изменяется во времени си-
,+j LM нусоидально (с угловой часто-
той <о).
S' Часто применяется и такое
обозначение синусоидального
1 = (11-26)
причем
Рис. 11-6 Вектор тока в ко- j
ординатных осях. / = —4- ,
1 2
т. е. указываются его действующее значение и начальная
фаза. Ясно, что и эти величины полностью определяют
синусоиду заданной частоты.
При символической форме записи токов и напряжения
вычисления делаются так, как если бы все элементы цепи
переменного тока — активные сопротивления, индуктивно-
сти и емкости — тоже были бы комплексными числами.
Условимся называть комплексным сопроти-
влением ветви частное от деления комплексного напря-
жения на концах ветви на комплексную величину проте-
кающего по ней тока и обозначать прописной буквой Z:
7 _ б'
/м 1
Рассмотрим, например, последовательное соединение
активного сопротивления и индуктивности. Для такой
цепи ток и напряжение (9-26)
i = /Msin<o4 u = UM sin (<о/ -j- $),
456
или в символической форме
/ = /; U = Uew.
Комплексное сопротивление цепи
Z- -- = ej<» — ze™ = z (cos <p 4- / sincp) (11-27)
I 1
[см. формулу (9-31)].
Принимая во внимание равенства z cos <р ~r, zsintp =
— получим комплексное число
Z-r + /xr. (И-28)
Такой же результат мы получили бы, рассматривая инду-
ктивность в цепи переменного тока с частотой <о как сопро-
тивление, величина которого равна jxL = j<oL. Множитель
j имеет ясное физическое содержание: в индуктивности
между током и напряжением существует сдвиг по фазе
в 90°, причем ток отстает по фазе от напряжения.
Действительно, из (11-27) U = IZ = 1г + /Ду. Первое
слагаемое — комплексное напряжение на активном сопро-
тивлении. Напряжение на активном сопротивлении совпа-
дает по фазе с током, и комплексы Ir = 1г и I = I имеют
одинаковый аргумент, равный нулю. Второе слагаемое —
комплексное напряжение на индуктивности. Аргумент ком-
плекса IjxL = ljxL = lxLeJ"° равен 90°, в то время как
у тока 1 = 1 аргумент равен нулю. Это и означает, что
напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на 90°.
Для цепи, составленной из последовательно соединен-
ных сопротивления и емкости, получим:
Z = r — jxc (Н-29)
и следовательно, напряжение на емкости
И с = — jxci = xc/e-j£0°
отстает по фазе от тока на 90°.
Очень важно усвоить, что комплексное число Z не зависит
(в отличие от тока и напряжения) от начальных фаз тока
и напряжения. Действительно, если выбрать начало отсче-
та времени так, чтобы i = /Msin (<о/ + ф), то, как известно,
457
напряжением = t/Msin (оУ 4~ а) по-прежнему опережает ток
(для цепи с г и L) на тот же угол <р, т. е. a = ф + <р. В ком-
плексной форме при U — Uda и I = /е’’*’
=zei4>. (11-30)
Расчет разветвленных цепей часто удобнее проводить,
применяя комплексные проводимости Y. Ком-
плексные сопротивления Z и проводимости Y связаны
между собой соотношением
У = 4 = 7^ = Те^Ф==^'’Ф- О1’31)
В частности, для цепи с г и L
у К 1 _ r-ixL _ a;h
Г Z ' r+jXL Z2 1L'
где
г2 = г2 + 4; g = ^-; =
tg<P = J—= -y-; <P>0;
здесь g— активная, a bL — индуктивная проводимости
цепи. Для цепи г и хс
где
г = /г2+^; Ьс
; tg<p=—-=-~, ф<о.
g— активная, а Ьс — емкостная проводимости цепи. На-
конец, для цепей с г, L и С
Z = r + jxL—jxc = r + j(xL—xc) = r + jx = ze^;
где
г г . / х _ xL— хс .
“ Г2 4_ Х^ Z3 ’ Г2 4" х2 Z2 '
tg<р = ~ ; <р > 0 при х>0 и Ь>0;
Ф<0 при х<0 и Ь<0.
458
Комплексная проводимость аналогично комплексному
сопротивлению не зависит от начальных фаз тока и на-
пряжения.
Выражение (11-30) можно переписать в виде
U = iz (11-32)
или
i=UY. (11-33)
Последние уравнения называют законом Ома
в символической форме.
Пример 11-14. Дано: и = 340 sin (at— 62°) е, г=1,6 ом,
= 1,2 ом, сопротивления соединены последовательно. Найти ток
в цепи.
Комплексное сопротивление
2 = r-f-jxL = (l,6-(-/'l,2) ом;
его модуль и аргумент
z = ]/>2 + 4==/l,62+l,22 = 2 ом;
tg<P = ^=~f = 0,75; q> = 37*.
Комплексное сопротивление в показательной форме
Z = zeW=2ej37° ом.
Комплексное напряжение
L/ = J12 eJ62» = 24()ej62».
Г 2
Ток в цепи
« II 94Ла^2° _
/ ^-^ = --- ;-¥o- = 120ej25° а; /= 120/2 sin (at + 25°) а.
х- 2e1J '
Пример 11-15. Дано: и = 340 sin (<о/-|-25с) в, г=160 ом, хс —
= 120 ом, сопротивления соединены последовательно. Рассчитать ток
в цепи.
Комплексное сопротивление
Z = r — /хс=(160—/120) ом,
его модуль и аргумент
z = У г2 + хс = V ГбО2 + 1202 = 200 ом;
tg(₽=-^=_^=_0175> Ф=-ЗГ.
459
Комплексное сопротивление в показательной форме
Z=ze?<f-=200e~’37° ом.
Ток в цепи
• U 240е725 г —
= l,2e’S2 a; i = 1,2 1Л2 мп (at-|-62э) а.
1 2(И1е~-
11-5. МОЩНОСТЬ
Комплексную полную мощность можно было бы при-
равнять произведению комплексного напряжения и ком-
плексного тока, т. е.
ui = t/Ze^e’*
или так как UI = S, а а = ф~Нф, то
Ul — Se? <<р4-2Ч!> = S cos (<р -f- 2ф) + jS sin (<р { 2ф).
Но, как видно, комплекс S оказывается зависимым от
начальной фазы тока, угла ф. Его действительная часть
не равна активной мощности Р = Ul cos ф, а мнимая —
реактивной Q - L'7 sirup.
Поэтому комплексную мощность вычисляют, умножая
комплексное напряжение на сопряженный комплексный
ток.
Допустим опять, что ток цепи / = /е^, а напряжение
U — Ue]a — U& (ф+Ф).
Произведение комплексного напряжения и сопряжен-
ного комплексного тока
S -- UI ==- U& «р-И > /е -Л -= 1//е-”р =
= Se,f₽ — UI cos ф п jUIsintf P jQ, (11-34)
т. е. действительная часть этого комплекса дает активную
мощность, а мнимая — реактивную мощность. В случае
емкостной нагрузки, т. е. при отрицательном значении
угла ф, мнимая часть комплексной мощности имеет отри-
цательный знак.
Необходимо подчеркнуть, что полная мощность в отли-
чие от тока и напряжения не относится к синусоидально
изменяющимся величинам, т. е. комплексная полная мощ-
460
ность и соответствующий вектор не изображают синусои-
дально изменяющуюся величину.
Пример 11-16. Найти активную и реактивную мощности, если
120ejb2° в; 1= \00eJ~'J° o',
OK- 120eJb2°- 100e~j25° = 12 000 e'37° =
= 12 000 cos 37° +/12 000 sin 37°= 12 000-0,8 +
+ /12 000-0,6= (9600- /7 200) ea;
P = 9,6 кет-, Q = 7,2 квар.
11-6. ПРАВИЛА КИРХГОФА
Введя символические обозначения для тока, напряже-
ния (э. д. с.), сопротивления и проводимости, мы получаем
возможность записать уравнения Кирхгофа в том же виде,
что и для цепей постоянного тока.
Таким образом, формально можно
свести все соотношения и законы
переменного тока к соотношениям
и законам постоянного тока.
Для точки разветвления элек-
трической цепи переменного тока
по первому правилу Кирхгофа сум-
ма мгновенных значений токов, на-
правленных к точке разветвления,
равна сумме, мгновенных значений
токов, направленных от нее. То
Рис 11-7 Узел электри-
ческой цепи
же самое справедливо
и для комплексных токов.
Выражая токи в символической форме и учитывая их
направления (к точке разветвления или от нее), для узла
А (рис. 11-7) получим первое правило Кирх-
гофа в символической форме:
Л4ЛН Д=Л> + /4, (И-35)
т е. суммакомплексных токов, направленных к точке развет-
вления, равнасумме комплексных токов, направленных отнее.
Если токи, направленные к точке разветвления, счи-
тать положительными, а токи, направленные от точки раз-
ветвления, отрицательными, то
/1-/2 1-Д-Л г/6 = 0, (11-36)
461
или в общем виде
2/ = 0, (11-37)
т.е. алгебраическая сумма комплексных токов, сходящихся
в точке разветвления, равна нулю. Уравнение (11-37) по ви-
ду полностью совпадает с уравнением, выражающим первое
правило Кирхгофа для цепи постоянного тока (3-2).
Для замкнутого контура электрической цепи перемен-
ного тока по второму правилу Кирхгофа алгебраическая
сумма мгновенных значений э. д. с., действующих в конту-
ре, равна алгебраической сумме мгновенных значений паде-
ний напряжения на отдельных его участках.
Выразим э. д. с., токи и сопротивления замкнутого кон-
тура в символической форме и припишем э. д. с. и токам,
совпадающим по направлению с направлением обхода конту-
ра, знак плюс (+), а несовпадающим знак минус (—).
Тогда для любого замкнутого контура 3
2£ = S(/Z), (11-38)
Рис. 11-8. К примеру
11-17.
где под э. д. с. понимаются только э. д. с. источников, так
как э.д. с. самоиндукции учитываются соответствующими
падениями напряжения (jlxL). Таким образом, для всякого
замкнутого контура алгебраическая сумма комплексных
э. д. с. равна алгебраической сумме
комплексных падений напряжения.
Последнее уравнение называет-
ся вторым правилом Кирх-
гофа в символической
форме. Оно также совпадает по
виду с уравнением цепи постоян-
ного тока (3-9).
Пример 11-17. Определить ток в не-
разветвленной части цепи (рис. 11-8),
если токи в ветвях (в амперах) it =
= 70 sin (со/ + 66’); «2 = 31,8 sin (со/ +
+ 116,5°); /3 = 82,8 sin (со/— 59°).
токи (в амперах):
Найдем комплексные
Л = -51 е’00” = (cos 66° + j sin 66°) = 20 + /45;
1 2 У 2
/2 = (cos 116,5° + / sin 116,5°)= — 10 + /20;
82,8
h ~т= е
К 2
On Q
-=+ [cos (— 59°) + / sin (—59’)] = 30 — /50.
462
Учитывая указанные в рис. 11-8 направления токов, можем
написать:
/ = /4 /2 -ф /3=20ф /45— 10 + /20 + 30 - /50 = 40 + j 15.
Мгновенное значение тока i = 42,8 ^2 sin (со/ ф20,5°) а.
11-7. ЦЕПИ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО И ПАРАЛЛЕЛЬНО
СОЕДИНЕННЫМИ СОПРОТИВЛЕНИЯМИ
Для неразветвленной цепи, состоящей из генератора
с э. д. с. Е и нескольких последовательно соединенных
Рис. 11-9. Неразветвленная цепь с несколь-
кими активными и реактивными сопротивле-
ниями.
сопротивлений Zt, Z2, Z3 и т. д., на основании второго
правила Кирхгофа
Ё = izi -ф /Z2 ф /Z3+ ... 4- izn = 2 (/Z).
Ток во всех точках неразветвленной цепи одинаков;
вынося его за скобки, получим:
£ = /(Z1 + Z2-bZ3+...+Zn),
откуда
Z = — = Z4 ф Z2 -т Z3 -4-... -j- Zn, (11 -39)
I
m. e. комплексное общее сопротивление неразветвленной цепи
равно сумме отдельных комплексных сопротивлений
Например, общее сопротивление цепи, изображенной
на рис. 11-9:
Z -= Z, -ф Z2 4* Z3 -ф Z4 = гi -ф jxLl -ф г2 — ]Хсг +
•Ф Г3 + iXL3 + /4 — ~ - : 4 Г'.фф
“ф / (-'•ы г xL3 ХС2 xCi) — /"об ~Т Моб,
где гОб 4*г2 + гз + г4> -об = Лчд + xL3 — Xc2~~xCi-
463
При напряжении U на зажимах цепи ток в ней
Активная и реактивная мощности определяются произ-
ведением комплексного напряжения на сопряженный ком-
плексный ток:
UI = P + jQ.
Напряжения на отдельных сопротивлениях
u^izc, uz = iz>; u3-izs; й,-izlt.
Рис. 11-10. Разветвленная цепь.
Напряжение на зажимах цепи
й^й^й.+й^-й,.
Если цепь состоит из нескольких параллельных вет-
вей, то на основании первого правила Кирхгофа ток
в неразветвленной части цепи (цепи рис. 11-10)
/-/г'/» ' /3-|-...+Л8.
На основании закона Ома
'-Ч--
i =— • i ~ • /
1 z, ’ - z, ’ 1з
Подставляя эти выражения токов
венсгво, получим:
U
г3’--
в предыдущее ра-
Ё = Ё , £ , Ё
Z Z, Z2 ' ‘ ' * zn ’
464
или, сокращая на U:
А = X ± 4. । ... _L
z z2^ Z3r zn ’
или, наконец,
^ = Л + У2 + У3+...+У„, (11-40)
т. е. комплексная общая проводимость цепи, состоящей
из ряда параллельных ветвей, равна сумме комплексных
проводимостей отдельных ветвей.
В частном случае для цепи, состоящей из двух парал-
лельных ветвей:
откуда
Z = (Н-41)
Пример 11-18. Определить общее сопротивление последователь-
ной цепи, если сопротивления первого участка г1 — 5 ом и хц =>
= 10 ом. второго участка г2 = 3 ом и Хсг~15 ом и третьего участ-
ка г3 = 4 ом и л'^з = 21 ом.
Комплексные сопротивления:
Z1 = (5-{-/10) ом; Z2 = (3—/15) ом; Z3 = (44 /21) ом}
Z = Zj-| Z2+Z3 = 5 + /104-3-J15 + 4 + /21 =
= 124- jl6 = 20ej53° ом.
Пример 11-19. Определить общее сопротивление цепи, состоящей
из двух параллельных ветвей, если
Z( -= (10 + /5) ом, a Z2 = (10—/5) ом.
Общее сопротивление
ZtZ2 (104-/5) (10-/5) 100-/50+ /50 + 25
1 = Zi+ZT - '10+75ТТ0=75“ =-------------20--------=6,25 ом.
11-8. ЦЕПИ СО СМЕШАННЫМ СОЕДИНЕНИЕМ
СОПРОТИВЛЕНИЙ. СЛОЖНЫЕ ЦЕПИ
Определение токов и напряжений на участках цени со
смешанным соединением сопротивлений (рис. 11-11) при
заданном напряжении на зажимах н известных сопротивле-
ниях участков можно выполнить следующим образом.
30 Теоретическая электротехника 465
Общее сопротивление разветвленной части цепи
7 ___ 2tZ2
Z12“ Zj+Z2 •
Так как разветвленная часть цепи соединена последо-
вательно с неразветвленным участком, то сопротивление
всей цепи
Z - Z3 > Z^-
Tok в неразветвленной части цепи 7Э = 7~.
Рис. 11-11. Цепь со смешанным со-
единением активных и реактивных
сопротивлений.
Напряжение на концах сопротивления Z3
7^3= /3Z3.
Напряжение на разветвленном участке цепи
[/1 = lj2 = 7 3Z12.
Ток в первой параллельной ветви =
Ток во второй
24
и2
параллельной ветви /2 = ^.
z2
Активная и реактивная мощности цепи определяются
по формуле (11-34).
Символический метод дает возможность применять к це-
пям переменного тока не только закон Ома и правила
Кирхгофа, записанные в той же форме, что и для цепей
постоянного тока, но и все методы расчета сложных цепей
(методы наложения, преобразования, узлового напряже-
ния и др.).
466
Рассмотрим на примере применение метода узлового
напряжения.
Пример 11-20. Определить ток на всех участках цепи (рис. 11-12),
если э. д. с. первого генератора e1=142sinwt в, а второго е2='
= 149 sin s>t в Стрелками ука-
заны направления действия
э д с. Внутренние сопротив-
ления генераторов чисто индук-
тивные: = = 0,1 ом Актив-
ное сопротивление неразвет-
вленной части цепи г=1 ом,
индуктивное сопротивление
х = 0,5 ом. Для решения зада-
чи воспользоваться методом уз-
лового напряжения.
Проводимости отдельных участков цепи
У1 = У2 = Х = 1 =JL=4- = -4~r =^-г-—Х = (-/Ю) сам-,
Zl Z2 /X! /х2 /0,1 /0,1 —/
у>"7"НДГ = i+ks • ~>« <>«««.
Комплексные э. д с.
• 142 , АА • 149 1А-
Е< = —— =100 в; Е, = -—- = 105 в.
/2 2z/2
Напряжение между узлами (а/ или be или cd)
-2(ЕУ)_
2У
100(-/Ю) + 105(-/Ю) Q3 „ „
= “До=гдоТО^]бл “(100'33-j3-935) e*
Токи отдельных участков цепи
i, _ "- TO-W.33W33=(M 33 + 3) = 391a.
Zl /0,1
333 eig = (39 35_)<).|7)_6,
z2 /0,1
/ = Л +/*2 = 39,35 +/3,3+39,35 —/46,7 = 78,7 —/43,4 = 90е-з39° a.
Мгновенные значения токов:
i,= 55,7 sin (со/+ 4э50') a; r2 = 86,3 sin (co/—50°) a;
i — 127 sin (ы/ —39’) a.
30* 467
11-9. ПОЛУЧЕНИЕ УГЛА СДВИГА ФАЗ МЕЖДУ
НАПРЯЖЕНИЕМ И ТОКОМ, РАВНОГО 90°
В некоторых измерительных приборах (ваттметрах и ре-
ле) необходимо получить определенный сдвиг фаз между
напряжением, приложенным к зажимам цепи, и током
в катушке механизма прибора. Одна из возможных схем
для получения сдвига по фазе, равного
90°, между приложенным к цепи напря-
жением U и током катушки /0 представ-
лена на рис. 11-13. На рис. Н-14 при-
ведена векторная диаграмма для этой
цепи. Установим, при каких условиях
Рис. 11-14. Век-
торная диаграмма
цепи, изображен-
ной на рис. 11-13.
Рис. 11-13. Схема для получения
сдвига в 90° между напряжением
и током.
в цепи между напряжением U и током 70 получается сдвиг
фаз 90°.
Так как напряжение на параллельных ветвях одина-
ково, то
ISi-ioZo, (11-42)
откуда
/1 = 70^. (И-43)
Ток в неразветвленной части цепи
/=Л0 ; /) = /о-ио|о=/ог-1±Ао. (11-44)
Г1 Г1
Напряжение на зажимах цепи
и - V,-1- йг- />0у /0ri J-Zp z2 - h (z04-r-i±I° z2").
ч г* z
(11-45)
468
Из последнего выражения следует, что ток 10 отстает по
фазе от напряжения U на 90°, если комплексное отноше-
ние U/Io имеет только мнимую составляющую (действи-
тельная составляющая должна быть равна нулю).
Найдем это отношение:
U __7 I fi + Zoy _____ । • । (Г1 + о) J Мо) (гг+Мг)
/о
__ гог1 + Wt + г1''г+ rpr2+ Мо»~2 -F- rdx2 + r0jx2~x0x2
Н
_ ''о''14-г1г2 + гог2—Л-0Л-2 , x0r1 + x0r2-Tr1x2-L-r0x2
< ~rl г4
(11-46)
Приравняв нулю действительную составляющую,
получим:
грг2 xpx2 q (II -47)
откуда г4 (г0 + г2) =- *0*2 - г0г2 или
(11-48)
При заданных величинах г0, х0, г2 и х2 теперь можно
определить активное сопротивление г4, которым нужно
шунтировать катушку с сопротивлением Zo для того, чтобы
получить сдвиг по фазе 90° между напряжением U и то-
ком /0.
11-10. ИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫЕ ЦЕПИ
Символический метод позволяет сравнительно просто
установить зависимость между электрическими величинами
в индуктивно связанных цепях.
Рассмотрим, например, две катушки, расположенные
вблизи друг от друга и имеющие магнитную связь (рис. 11-15).
К катушкам подведены напряжения «4 и и2. По первой
катушке проходит переменный ток с4 = /щ sin со/, по вто-
рой ь = /?asin (со/ -f- ф); в каждой из них наводятся э. д. с.
самоиндукции
elL = — = — (j>Ld 1Ч cos со/;
fa -= — L2 d^j J24 cos (со/ + ф)
469
и э. д. с. взаимной индукции
?2М — — М — ®/к
Напряжение источника
Рис. 11-15. Индуктивно свя-
занные цепи.
Аналогично напряжение
еш = — М ~ = - «>М12м COS (<о/ + ф);
м cos <о/ = ®Л4/1м sin («( — 90°).
1итания на зажимах первой ка-
тушки (§ 6-27) при согласном
включении катушек
ui= 1 = i^r j +
+ + (11-49)
Выразив все члены послед-
него уравнения в комплексной
форме, получим:
(\ = /1Г1 1 /<оЛ4/2-
(11-50)
источника питания на зажимах
второй катушки
(7 2 — 12Г2 + 2 + !• (11-51)
Пользуясь выведенными уравнениями, рассмотрим основ-
ные соотношения для некоторых электрических цепей.
а) Воздушный трансформатор
Типичным примером цепи с индуктивной (магнитной)
связью служит воздушный трансформатор (без стального
сердечника), состоящий из двух катушек, намотанных
одна на другую. На рис. 11-16
приведена схема такого транс-
форматора.
Ту из обмоток трансформа-
тора, которая присоединена
к источнику питания (генера-
тору), будем называть пер-
вичной цепью, а дру-
Рис. 11-16. Схема воздушного
трансформатора.
гую — вторичной.
При разомкнутой вторичной цепи.(/2 = 0) напряжение
нз зажимах первичной цепи
Ul=^ilrl + (11-52)
4/0
Вектор напряжения и его слагающие приведены на
диаграмме (рис. 11-17).
Часть магнитного потока первичной цепи пронизывает
вторичную цепь, в которой наводится э. д. с. взаимной
индукции:
Ё2М=-Ж. (11-53)
На рис. 11-17 э. д. с. взаимной индукции Е2м изобра
жена вектором, повернутым на 90° в отрицательном напра
влении относительно
вектора тока /4.
Если вторичная цепь
замкнута (сопротивле-
Рис. 11-18. Векторная диа-
грамма цепи, изображенной
на рис. 11-16, прн замкнутом
рубильнике.
Рис. 11-17. Век-
торная диаграмма
цепи, изображен-
ной на рис. 11-16,
при разомкнутом
рубильнике.
ние нагрузки R), то в ней проходит ток /2. который со-
здает магнитный поток Ф2, частично пронизывающий пер-
вичную цепь.
Напряжение на зажимах первичной цепи в этом случае
(11-50)
U 1 — + /wLiA + juML =
— А (г 1 jmM.12 — /jZj / 0)Л1/2.
где
Zi — fj [.
(11-54)
Из выражения (11-54) следует, что напряжение на
зажимах цепи состоит из: 1) активно составляющей 1гг^,
совпадающей по фазе с током первичной цепи; 2) соста-
вляющей опережающей по фазе ток первичной цепи
на 90°; 3) составляющей <oM/2, опережающей по фазе
ток вторичной цепи на угол 90° (рис. 11-18).
471
К вторичной цепи напряжение от генератора ие под-
водится, поэтому
О /2 {г2 R) + /о)£2/2 -- = /2Z2 + щМЦ
или
— /о)Л4/1 = /2Z2 = /2 (г2-( R) 4~ /озАг/'г,
где Z2 г-2 + R -г- i®L2.
Таким образом, э. д. с. взаимной индукции Е2М. на-
водимая во вторичной цепи и отстающая по фазе от
тока Ц на 90° (рис. 11-18), состоит из двух составляю-
щих: активной 72(''г + /?), совпадающей по фазе с током
/2, и реактивной wZ.2/2, опережающей по фазе ток /2
на 90°.
Из последнего уравнения найдем:
/2=-/^. (И-55)
z2
Подставив это выражение в (11-54), получим:
= = + <и-56)
z. \ z>2 У
откуда
Подставив значение Ц в уравнение (11-55), опреде-
лим /2:
: / . соЛ1 \ Z t/jZ2 \ . coAWj ... ,-о.
б) Индуктивно связанные катушки, соединенные
параллельно
Рассмотрим, как определяются токи в двух индуктивно
связанных параллельно соединенных катушках.
Возможны два соединения катушек: первое — соглас-
ное при одинаковом направлении э. д. с. самоиндукции
и э. д. с. взаимной индукции в каждой из катушек (рис. 11-19
и 11-20); второе — встречное, когда э. д. с. само-
472
индукции и э. д. с. взаимной индукции действуют встреч-
но (рис. 11-21 и 11-22). Точками обозначены зажимы,
соответствующие началам катушек.
Рис. 11-19 Цепь сдва-
мя параллельными
индуктивно связан-
ными ветвями.
Рис. 11-20. Векторная диа-
грамма цепи, изображенной на
рис. 11-19.
При согласном соединении токи в катушках направлены
одинаково относительно зажимов, обозначенных точками
(на рис. 11-19 токи Ц и 12 направлены от зажимов
катушек, обозначенных точками, к
другим зажимам).
При встречном включении токи
направлены по-разному относитель-
но зажимов, отмеченных точками
(рис. 11-21).
Выразим напряжение на зажимах
каждой параллельной! ветви.
Напряжение на зажимах первой
катушки при одинаковом направле-
Рис. 11-21. Цепь с
двумя параллельны-
ми индуктивно свя-
занными ветвями,
нии э. д. с. eiL и eiV
• I Г di 1 > л dl 9
и hri I ^-1 щ -t М
или
U = 1 ,Z, /<оЛ4/2.
где Z, = г< 4- jtaLi.
Напряжение на зажимах второй катушки
и=-1.2г., + ]ыМЦ,
г де Z2 —
473
Решая совместно эти уравнения, получим:
U-ijZj _ .а>М
U-jvWi Z2
или
UZ2 — I^Zz = i'ojMU + / jwW,
откуда
; _ uzz-Uj6>M _ U(z2—i<oM)
71 “ ZjZa + wW “ ZjZa-l-wW '
Аналогично
• U (Zj — jaM)
2 ZjZa + wnP '
(11-59)
(11-60)
При встречном направлении э. д. с. токи и напряже-
ния связаны между собой уравнениями, отличающимися
Рис. 11-22. Векторная диаграмма це
изображенной на рис. 11-21.
от (11-59) и (11-60) только знаком у коэффициента
взаимной индуктивности М.
Окончательный результат:
I - -- & (z2 + . г _ (^1+ !«>М') ... г...
1 ZiZa + wW ’ 2 Z^ i-coW ’ и1’01/
В обоих случаях ток в неразветвленной части цепи
/ = Л + 4 (11-62)
На рис. 11-20 и 11-22 для обоих случаев параллельного
соединения катушек построены векторные диаграммы.
474
в) Индуктивно связанные катушки, соединенные
последовательно
Последовательно катушки могут быть соединены, как
в предыдущем случае, согласно (рис. 11-23) и встречно
(рис. 11-24). Напряжение на зажимах такой цепи
* । т di «л di . . . г di । di
u = rlt + Ll-^ ± M-^ + r2i + L2(Ii ±44 ,
Рис. 11-23. Последовательное согласное
соединение катушек.
или в символической форме
U = I (г, -ф г2) + ЦыЦ 4- /<1)А2) / ± ]2<иМ1, (11 -63)
причем при согласном соединении перед слагаемым
/2(оЛ17 ставится знак плюс, а при встречном—минус.
Рис. 11-24. Последовательное встречное
соединение катушек.
Из выражения (11-63) можно определить ток
й
(11-64)
475
Н + г2 4/и (Т-i 4 7-2 ± 2Л1)
Активное сопротивление цепи г - Г\ г2 независимо от
способа соединения равно сумме активных сопротивлений
катушек.
Реактивное сопротивление цепи х = со + Lz ± 2Л4)
при согласном соединении больше суммы индуктивных
сопротивлений отдельных катушек, а при встречном мень-
ше на величину 2соЛ'1.
11-11. ИЗМЕРЕНИЕ ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТИ
Согласное и встречное соединения катушек в цепи пере-
менного тока применяются для измерения их взаимной
индуктивности.
Реактивное сопротивление при согласном соединении
хс = wit + <оА2 + 2<оЛ4 = и (Ц J- Lz + 2Л4) -= <оАс, (11-65)
где Lc — индуктивность цепи при согласном соединении
катушек.
При встречном соединении
xB = co(A1 + L2—2Л1) = соАв, (11-66)
где LH- Li + L2 —2Л4 — индуктивность цепи при встреч-
ном соединении катушек. С
Измерив вольтметром, амперметром и ваттметром напря-
жение, ток и мощность при каждом соединении (рис.
11-23 и 11-24), по полученным данным можно определить:
1) для согласного соединения
~ -J-; Г- ~~ ; хс = иАс = VZc — г2;
'с
2) для встречного соединения
гв -у- ; Л’в •= &»ЛВ — Y 4 — rs
1 в
(сопротивление г остается прежним).
Из выражений (11-65) и (11-66) следует:
хс — хв — 4ыМ,
откуда
Д4 = . (11 -67)
4w 4 ' '
476
Взаимную индуктивность двух катушек можно изме-
рить, соединив их по схеме рис. 11-25.
Рис. 11-25. Схема для измерения
взаимной индуктивности.
Для этой схемы справедливо (11-53):
£2ЛГ = —/(oAl/j,
или для модулей
Егм - ыМЦ",
измерив э. д. с. взаимной индукции £2М вольтметром
и ток lt амперметром, вычислим взаимную индуктивность
U
(11-68)
11-12. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ПОЛУЧЕНИЕ
СДВИГА ФАЗ 90е МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЕМ И ТОКОМ
(§ П-9)
План работы
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы, и записать их основные технические данные.
2. Собрать схему (рис. 11-26) и показать ее руководителю.
3. При трех различных значениях тока снять показания прибо-
ров н определить полные сопротивления катушек Zp, z2 и их индук-
тивные сопротивления х0, х2-
Сопротивления гр, г2 задаются.
Показания приборов и результаты расчетов записать в табл. 11-1.
4. Собрать схему (рис 11-27) и показать ее руководителю.
5 Изменяя сопротивление реостата г*, добиться сдвига фаз
между напряжением U и током /р, равного 90°, о достижении такого
сдвига фаз можно судить по нулевому показанию ваттметра, по
последовательной обмотке которого проходит ток /0, а к параллель-
ной обмотке которого приложено напряжение U.
471
Таблица 11-1
и r- *0*2 —rar2
ri~, и ri = —-—г----------.
'1 r0~rr2
Показания приборов и результаты расчетов записать в табл. 11-2
Рис. 11-26 Схема для измерения индук-
тивных сопротивлений катушек
Рис 11-27 Схема к лабораторной работе 11-11.
478
Таблица 11-2
11-13. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ИЗМЕРЕНИЕ
ИНДУКТИВНОСТИ И ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТИ
(§ 11-10)
План работы
1. Ознакомиться с приборами и аппаратами, необходимыми для
работы, и записать их основные технические данные.
2. Собрать схему (рис. 11-26) и показать ее руководителю.
3 Подведя к схеме постоянное напряжение, при различных его
значениях снять показания приборов и определить, пользуясь фор-
П
мулои сопротивления обеих катушек.
Показания приборов и расчеты записать в табл. 11-3.
Таблица 11-13
№ наблю- дений г/п и / г Примечание
в а CJA
4. Подведя к схеме (рис. 11-26) переменное напряжение и вклю-
чая поочередно каждую из катушек, при различных значениях
напряжения снять показания приборов и определить полные сопро-
тивления z и индуктивности L катушек.
Показания приборов и результаты расчетов записать в табл. 11-4.
5. Собрать схему (рис. 11-25) и показать ее руководителю
6 При различных значениях тока снять показания приборов
и определить взаимную индуктивность двух катушек по формуле
(11-68).
479
Показания приборов и результаты расчетов записать в тгбл. 11-5
№ наблюде- | I Н М \
ннй п/п --------------------------------------------Примечание-
в \ а \ гн
7. Соединить катушки по схеме (рис. 11-23) и показать схему
руководителю.
8. Снять показания приборов и определить индуктивное сопро-
тивление xc = mLc и индуктивность L цепи, состоящей из дв\х
катушек.
°. Соединить катушки по схеме (рнс. 11-24) и показать схему
руководителю.
10. Снять показания приборов и определить хв и LB
11. Определить взаимную индуктивность катушек по форму-
ле (11-67)
12 Показания приборов и результаты расчетов записать
в табл 11-6.
Таблица 11-6
480
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ
ТРЕХФАЗНЫЙ ТОК
12-1. ТРЕХФАЗНЫЕ СИСТЕМЫ
N
Рис 12-1 Устройство
простейшего генера-
тора трехфазного
тока
Трехфазная система, изобретенная выдающимся рус-
ским инженером М. О. Доливо-Добровольским в 80-х годах
прошлого столетия, применяется во всем мире для передачи
и распределения электрической энер-
гии. Она обеспечивает наиболее эко-
номичную передачу энергии и позво-
ляет создать надежные в работе и про-
стые по устройству электродвигатели,
генераторы и трансформаторы.
Трехфазной системой
э. д. с. называется система трех пере-
менных э. д. с. одинаковой частоты,
сдвинутых друг относительно друга
по фазе так, что сумма трех фазных
углов равна 2л.
Простейший генератор трехфазно-
го тока по конструкции аналогичен
генератору однофазного тока, только
его якорь имеет не одну, а три обмот-
ки АХ, BY, CZ, сдвинутые в пространстве друг относи-
тельно друга (рис. 12-1). При вращении якоря в этих
обмотках наводятся э. д. с. одинаковой частоты, но име-
ющие разные фазы.
Если амплитуды э. д. с. трех обмоток генератора равны
друг другу, а сдвиг фаз между двумя любыми смежными
э. д. с. равен у= 120°, то трехфазная система э. д. с. назы-
вается симметричной.
Отдельные обмотки трехфазного генератора называют
фазами (фаза А, фаза В и фаза С).
Это понятие не следует путать с фазой синусоидально
изменяющейся величины, например э. д. с. в обмотке,
т. е. с ее фазным углом.
Приняв начало отсчета времени (t = 0) совпадающим
с моментом, когда э. д. с. первой фазы проходит через
нулевое значение, запишем э. д. с. в фазе А:
еА = Ем sin at.
(12-1)
31 Теоретическая электротехника 37
481
У симметричного генератора э. д. с. второй (В) и третьей
(С) фаз имеют ту же амплитуду Ем, но отстают по фазе
от э. д. с. еА, причем вторая — на 1/3 периода, а третья —
на 2/3 периода (т. е. ес опережает по фазе еА на х/3 периода):
= Ем sin [ со 0 — ] = S’n ’ О2-2)
ес = Ем sin [со (z + J =EMsin (at . (12-3)
На рис. 12-2 даны графики этих э. д. с. и их векторная
диаграмма. На этой диаграмме вектор ЕА направлен верти-
Рис. 12-2. Графики и векторная диаграмма сим-
метричных э. д. с. трехфазного генератора.
кально вверх. Так какэ. д. с. еА имеет нулевую начальную
фазу, то это значит, что направление положительной полу-
оси действительных величин на диаграмме выбрано не гори-
зонтальным, а вертикальным. -При исследовании трехфаз-
ных систем часто выбирают вертикальное направление оси
действительных величин.
Выразив э. д. с. первой фазы комплексом с нулевой
начальной фазой ЕА ~ Е, напишем комплексные выраже-
ния э. д. с. остальных фаз:
.2 .2
Ёв = ЁАе 'зя=£е Ззя;
2 . 2
£с = £Ае+з'зя = £е+з'зя.
Один из зажимов каждой обмотки генератора называют
началом фазы и обозначают соответственно буквами А, В
и С. Другой зажим каждой обмотки называют концом
482
и обозначают соответственно буквами X, Y и Z. Условимся
всегда выбирать положительные направления э. д. с. в об-
мотках генератора от концов фаз к началам (рис. 12-3).
Каждая обмотка трехфазного генератора может служить
самостоятельным источником электрической энергии и быть
соединена с отдельным приемником энергии (рис. 12-3).
В этом случае получается несвязанная трехфазная система
из трех отдельных электрических цепей. Режим каждой
цепи может быть рассчитан уже известными методами.
Рис. 12-3. Несвязанная трехфазная система.
В несвязанной системе для передачи энергии необходимы
шесть проводов. На практике такая система не применяется.
Отдельные цепи трехфазной системы принято также
называть фазами.
12-2. СОЕДИНЕНИЕ ОБМОТОК ТРЕХФАЗНОГО
ГЕНЕРАТОРА ЗВЕЗДОЙ
У реальных трехфазных генераторов обмотки часто име-
ют одну общую точку, в которой соединяются концы обмо-
ток X, Y, Z (рис. 12-4). Такую схему соединения называют
звездой, а общую точку обмоток — нулевой точкой или
нейтралью генератора. С приемником энергии генератор
соединяется тремя или четырьмя проводами. Три из них,
называемые линейными, присоединяют к началам об-
моток (зажимы А, В и С), а четвертый — нулевой
или нейтральный — присоединяют к нулевой точ-
ке. Применяются системы и без нейтрального провода.
Напряжения между линейными проводами (т. е. между
началами обмоток генераторов') принято называть линей-
ными и обозначать UАв, UBC и UCA, причем порядок
индексов указывает положительное направление напряже-
ния во внешней цепи.
31* 483
Напряжения между линейными и нейтральными прово-
дами (т. е. между началами и концами обмоток) называют
фазными напряжениями и обозначают UА, Uв и Uc. Фаз-
ное напряжение отличается от фазной э. д. с. на величину
падения напряжения в обмотке генератора.
Установим соотношение между линейными и фазными
напряжениями при соединении обмоток генератора звездой.
Мгновенные значения линейных и фазных напряжений
равны разностям мгновенных значений потенциалов начал
и концов соответствующих об-
моток:
и ав = Фа-—фв!
ивс =~ фв— фс; Мса = Фс—фд!
Ма = Фа — фд-; Мв = фв — фу!
«С — фс~ <Рг-
Так как концы обмоток
пробой
Линейный пробой
Рис. 12-4. Схема соединения
обмоток генератора звездой.
соединены в одну точку, то
потенциалы
фх — фу — фх
и мгновенное линейное напряжение между точками А и В
и АВ = Фд — фв — (фх 4“ мд)— (фу + ив) = и А ив. (12-4)
Аналогично линейные напряжения
иВс---ив—Wcl (12-5)
uCa = uc — ua. (12-6)
Таким образом, мгновенные значения линейных напря-
жений равны алгебраическим разностям мгновенных значе-
ний соответствующих фазных напряжений.
Если напряжения выразить комплексными величинами,
то комплексное линейное напряжение определяется как раз-
ность соответствующих комплексных фазных напряжений:
йАВ = йА—йв: йвс = 0в—йс‘, йсА = йс—йА.
Точно так же векторы линейных напряжений равны
разностям векторов фазных напряжений (рис. 12-5, а).
Векторы линейных напряжений U Ав, Ubc, Uca всегда
образуют замкнутый треугольник, так как их сумма тож-
484
дественно равна нулю. Это станет очевидным, если векторы
линейных напряжений переместить параллельно самим
себе, как показано на векторной диаграмме рис. 12-5,6.
Рассматривая диаграммы рис. 12-5, мы видим, что и век-
торы двух соседних фазных напряжений вместе с вектором
соответствующего линейного напряжения образуют зам-
Рнс. 12-5. Векторная диаграмма фазных н линей-
ных напряжений при соединении обмоток генерато-
ра звездой.
кнутый треугольник. При симметричной системе напряже-
ний этот треугольник равнобедренный, его углы равны
30, 30 и 120°. Следовательно:
а) между действующими значениями фазных 17$ и ли-
нейных 17я напряжений существует соотношение
^-Пл = [/ф cos 30®
или
= 2U$ cos 30° = 217$ = КМ, (12-7)
т. е. линейное напряжение в |/3 ж 1,73 раза больше фаз-
ного',
б) векторная диаграмма симметричных линейных напря-
жений сдвинута на 30° в сторону вращения векторов отно-
сительно диаграммы фазных напряжений (рис. 12-5, а).
Пример 12-1. В обмотках трехфазного генератора индуктируются
симметричные э. д. с.
485
Определить линейное напряжение генератора, если фазное напря-
жение его: 1) 127 в; 2) 220 в.
Линейное напряжение:
1) ид = Узиф = уг3-127 = 220 в;
2) ил = |/зиф = /3-220 =380 в.
12-3. СОЕДИНЕНИЕ ОБМОТОК ТРЕХФАЗНОГО
ГЕНЕРАТОРА ТРЕУГОЛЬНИКОМ
Рис. 12-6. Схема соедине-
ния обмоток генератора
треугольником.
В схеме соединения обмоток трехфазного генератора,
которую называют треугольником (рис. 12-6), конец первой
обмотки X соединяют с началом второй обмотки В, конец
второй обмотки Y — с началом
третьей С и конец третьей
Z — с началом первой А.
В такой схеме три обмотки
генератора образуют замкнутый
контур с весьма малым сопро-
тивлением. Однако при симмет-
ричной системе э. д. с. и отклю-
ченной внешней цепи тока в этом
контуре нет, так как сумма сим-
метричных э. д. с. в любой мо-
мент времени равна нулю. В этом
легко убедиться, сложив мгновенные значения трех э. д. с.,
действующих в обмотках трехфазного генератора:
еА + вв + ес = Ем \ sin^-f-sin
4- sin
sin at +
,13 < 1 • ,
{- -g- cos at 1 4- ( — у si n
щСО5Ш4]=0.
Здесь синус разности двух углов at и у л и синус
суммы тех же углов разложены по известным формулам
/ 2 \ 1
тригонометрии, причем учтено, что cos ( ± ул ) = —
. / , 2 \ , /з
S1I1 ( ± у StJ- ± -у .
К тому же выводу можно прийти, складывая векторы
фазных э. д. с. (рис. 12-7) или комплексные выражения
486
фазных э. д. с.;
ЁА + Ёв + Ёс = ЁА(\+е ^" + е зя) = 0, (12-8)
так как
2,2 „ „
, , - з Я , -П Л 2 . . 2 ,
14-е 3 4-е 3 = 1 + cos^-л —/ sin^-ji-h
и о
, 2 , . . 2 ,1 ./3 1 . ./3 п
+ COS у л + / sin у л = 1—-g- —/ —2-“2+1~Г' = 0-
Из выражения (12-8) следует, что сумма двух э. д. с.
равна третьей, взятой с обратным знаком, например:
Ёа+’ес = — Ёв.
При соединении обмоток трехфазного генератора тре-
угольником линейный провод отходит непосредственно от
общих точек начала одной
фазы и конца соседней (4 —
Z, В — X, С — Y). Поэтому
напряжения между линейны-
ми проводами (линейные на-
пряжения ) в то же время яв-
Рис. 12-7. Векторная диаграмма
э. д. с. при соединении обмоток
генератора треугольником.
Рис. 12-8. Неправильная схе-
ма соединения обмоток гене-
ратора треугольником.
ляются фазными напряжениями генератора, т. е.
йАВ = йА', ЁВс = йв; UCA = UC-
Опасно неправильное соединение обмоток генератора
треугольником; на рис. 12-8 указана одна из неправильных
схем соединения, в которой конец первой обмотки X соеди-
нен не с началом В, а с концом Y второй, а начало третьей
487
обмотки С не с концом У, а с началом В второй. Поэтому
э. д. с. Ев не складывается с остальными э. д. с., а вычи-
тается из их суммы. Результирую-
щая э. д. с. обмоток
•Ёд — + Ёс = (Ёд +
+ £с)-Ёв=-2Ёв,
т. е. по абсолютной величине рав-
на удвоенному значению фазной
э. д. с. (рис. 12-9), что при весьма
малом сопротивлении обмоток ге-
нератора равносильно короткому
замыканию.
Рис. 12-9. Векторная 12-4. СОЕДИНЕНИЕ
диаграмма э. д с. к схе- ПРИЕМНИКОВ ЭНЕРГИИ ЗВЕЗДОЙ
ме, изображенной иа
рнс. 12-8. Приемники энергии, так же как
и обмотки генератора, можно со-
единить звездой; при этом получается четырехпро-
водная (рис. 12-10) или трехпроводная
(рис. 12-11) трехфазная система.
Рис. 12-10. Схема четырехпроводной трехфазной
системы.
Трехфазную цепь при соединении звезда-звезда
можно рассматривать как сложную цепь с двумя узлами:
О — нулевая точка генератора и О'— нулевая точка прием-
ника. Для решения вопроса о распределении напряжений
и токов в трехфазной системе при различных сопротивле-
ниях фаз приемника рассмотрим трехфазную цепь, изобра-
женную на рис. 12-10, где ZN — сопротивление нейтраль-
ного провода, а сопротивления линейных проводов и обмо-
488
ток генератора, если ими нельзя пренебречь, должны быть
учтены в сопротивлениях приемника ZA, Z-c-
Рис. 12-11. Схема трехпроводной трехфазной
системы.
Рис. 12-12. Векторная диа-
грамма э. д. с генератора
и напряжений на фазах
приемника энергии.
Воспользовавшись методом узлового напряжения, опре-
делим напряжение между нейтралью приемника энергии
О' и нейтралью генератора О,
которое называют смещением
нейтрали:
U & о = U N —
_ ЁАУА + £вУв + ЁСУС_ 2(ЁУ)
Ya + Yb + Yc + Yn 2У '
(12-9)
Напряжения на отдельных
фазах приемника (пренебрегая
сопротивлениями обмоток гене-
ратора и линейных проводов)
UA = EA—UN-, Ub = Eb-Un-
U'c^ Ёс-Un,
на рис. 12-12 построена векторная диаграмма, на кото-
рой показаны э. д. с. и напряжения ЕА, Ев, Ес, U'A,
U'b, U'c и UN.
Токи в отдельных фазах генератора и приемника (фаз-
ные токи) и равные им токи линейных проводов
(линейные токи):
Ia=UaYa, iB = U'BYB-, ic = U'cYc, (12-10)
а ток в нейтральном проводе
In=UnYn, (12-11)
489
причем по первому правилу Кирхгофа при принятых на
рис. 12-10 положительных направлениях линейных токов
от генератора к приемнику, а тока в нейтральном про-
воде от приемников к генератору
/к = Iа/в + 1С- (12-12)
М ощности в отдельных фазах приемника вычисляются
по комплексам напряжений и токов;
UaIа = Р а + /Qa! ^в^в = Рв + /QbJ
U'cIc = Pc + iQc. (12-13)
Этот метод расчета пригоден и для трехпроводной цепи.
Нужно только принять ZN=oo, т. е. Ух = 0и lN = 0.
Пример 12-2. В цепь трехфазного тока включены сопротивления,
соединенные звездой. ZA — 10 ом; ZB — b ом и Zf = 25 ом. Сопро-
тивлен ие нейтрального провода Z^ = 0. Электродвижущие силы,
индуктируемые в отдельных фазах генератора, симметричны. £л =
==120 в.
Определить токи во всех участках цепи.
Предварительно вычислим проводимости отдельных фаз:
Ya — ~a— = 0,1 сим; Ув=0,25 сим; Ус = 0,04 сим;
Za
У№со.
На .правим вектор ЕА по действительной оси; тогда £А = 120 а
и векторы остальных э. д. с :
. 2
• / 2 . . 2 X
£в= £Ае J = ]20 (cos у л — /sin у л 1 =
= ( —60 —//3-60) = ( —60—/104) в;
.2
Ёс=ЁАе 3 =(—60 + /104) в.
Смещение нейтрали
• _ 2 (£У) 2 (£У)
^iV~~2y—= ~—со~~- = 0’
Токи
7Л= UaYa = ^a-U^ Y А = 120-0,1 = 12 а;
1А — 12 а;
Ё Л =(£в — ^я)Тв = (-60-/104) 0,25 = (-15-/26) а;
iB = V 152 + 262 = 30,0 а;
490
7с = (£с-^)Ус = (-60+/104)0,04 = (-2,4 + /4,16) а;
lc = V 2,42 + 4,162 = 4,8 о;
/л = (/а + /в + /с) = (12-15-/26-2,4+
+/4,16) = (-5,4-/21,8) а;
lN=V5,42 + 21,82 = 22,0 а.
Иногда приходится вычислять токи в фазах приемника
энергии, соединенного звездой (без нулевого провода), ко-
торый непосредственно к зажимам генератора не присоеди-
нен (рис. 12-13), причем линейные напряжения на зажимах
Рис. 12-13. Приемник энергии, соединенный
звездой.
приемника симметричны. В этом случае можно представить
себе, что эти напряжения создаются воображаемым генера-
тором, соединенным звездой (внутреннее сопротивление
генератора принимается равным нулю), который- присоеди-
нен к зажимам цепи и фазные напряжения которого U А =
= t/B=t/c== £/ф= ’ ил.
V а
На рис. 12-13 пунктиром показан воображаемый трех-
фазный генератор.
12-5. РОЛЬ СМЕЩЕНИЯ НЕЙТРАЛИ.
НЕЙТРАЛЬНЫЙ ПРОВОД
Электродвижущие силы трехфазного генератора ЕА, Ев
и Ес обычно образуют симметричную систему, но при
UN + 0 напряжения U'А, U'в, U'c получаются несимметрич-
ными, что очевидно из векторной диаграммы, приведенной
на рис. 12-12.
491
Напряжения на зажимах приемников, включенных
в различные фазы, тем сильнее отличаются друг от друга,
чем больше смещение нейтрали UN, поэтому в практических
условиях стремятся уменьшить UN до нуля. Получить UN,
равное нулю, можно двумя способами.
Во-первых, напряжения на зажимах приемника будут
симметричными, если выравнять нагрузки отдельных фаз.
Действительно, если нагрузка фаз равномерная УА =
= Ув = Ус = Уф, то
ЁAYа EbYb + ЁcYс = Уф (ЁА Ёв + Ёс) = 0.
При равномерной нагрузке
Л _ ЁаУа + ЁвУв + ЕсУс __ п
N Ya + Y b + Yc + Yn
и ток в нейтральном проводе
In — Ё fjY N — 0.
Ясно, что в этом случае четвертый провод становится
лишним и приемники энергии можно присоединить к гене-
ратору тремя проводами, образуя трехфазную трехпровод-
ную цепь (рис. 12-11).
Во-вторых, напряжения на зажимах приемника будут
симметричными при YN = со, т. е. если нейтральный провод
выполнить с небольшим сопротивлением (ZN «0). В этом
случае смещение нейтрали отсутствует независимо от на-
грузки отдельных фаз:
fj Е AYа + EbY в~1~ Е cYС л
Ya + Yb + Yc + oj
Приемники электрической энергии можно разделить на
две группы. К первой относятся трехфазные электродви-
гатели, которые имеют симметричные обмотки и обеспе-
чивают равномерную нагрузку фаз. Трехфазные электро-
двигатели включают в трехфазную цепь звездой без ней-
трального провода.
Ко второй группе приемников относятся электрические
лампы, нагревательные приборы и другие приемники, кото-
рые не могут обеспечить строго равномерной нагрузки
фаз. Эти приемники энергии включают звездой с нейтраль-
ным проводом.
492
Ток в нейтральном проводе в большинстве случаев
значительно меньше линейных токов. Поэтому в трехфаз-
ных установках нейтральный провод выполняется сече-
нием, в 2—3 раза меньшим сечения линейных проводов.
Обрыв нейтрального провода при неодинаковых сопро-
тивлениях фаз приемника влечет за собой из-за смещения
нейтрали изменение фазных токов и напряжений приемни-
ка. Изменение же фазных напряжений, как мы уже отме-
чали, совершенно недопустимо. Поэтому в нейтральных
проводах никогда не устанавливают предохранителей.
Пример 12-3. Электрические лампы, соединенные звездой, вклю-
чены в сеть трехфазного тока. В нормальных условиях (при нали-
чии нейтрального провода) напряжение на зажимах ламп 120 в.
Определить напряжение на зажимах каждой группы ламп при обрыве
нейтрального провода, если сопротивления фаз: ZA = 40 ом; ZB —
=- 10 ом; Zc = 20 ом.
Совместим £А с действительной осью; тогда £А=120в и
_ .2
£в=£ле ,3 = (-60-/104) в;
2
£С =Еле 3 ” = (-60 + J104) в.
Проводимости отдельных фаз:
УА = 0,025 сим; YB = 0,1 сим; Ус = 0,05 сим.
Смещение нейтрали при обрыве нейтрального провода
_ S (ЕУ) _ 120-0,025 + (- 60- /104)• 0,1 + (— 60+ /104) 0,05 _
N~ 2У — 0,025 + 0,1+0,05 —
=-( — 34,3— j29,6) в;
напряжения на отдельных фазах:
йл = ЁА - = 120 + 34,3 -г /29,6 = (154,3 + /29,6) в;
U'a = VТ54~32 + 29,62 = 160 в;
U'b = Ёв — UN- — 60— j 104 + 34,3 + j29,6 = (— 25,7 — /74,4) в;
U'b = V 25,72+74,+ = 78,7 в;
Йс = £с- £jv= —60+ /104 + 34,3+1'29,6 =
= ( — 25,7+jl33,6) в;
Пс =/25,724- 133,62=136 в.
Напряжения Ua и Uc превышают номинальное напряжение ламп,
поэтому лампы, включенные в фазы Л и С, могут перегореть.
493
12-6. СОЕДИНЕНИЕ ПРИЕМНИКОВ ЗВЕЗДОЙ
ПРИ РАВНОМЕРНОЙ НАГРУЗКЕ ФАЗ
Исследование симметричной трехфазной системы при
равномерной нагрузке фаз сводится к расчету одной фазы.
Пусть в цепь включен приемник, фазы которого имеют
одинаковые сопротивления Z и соединены звездой (рис.
12-11). 3
В симметричной цепи фазное напряжение
= (12-14)
Фазный и линейный токи
/Ф = /л = у!. (12-15)
Средняя или активная мощность фазы
Рф = Иф/ф COS фф.
Активная мощность цепи
Р = 3(7ф/ф cos фф = К 3/лПлсозфф, (12-16)
так как
J1 Т Сл/л
1 “
Реактивная мощность фазы
<2ф — Uф!ф Sin фф.
Реактивная мощность цепи
Q = V ЗПд/лЗШфф.
Полная мощность цепи
5 = ЗПф/ф = О^л/л.
Пример 12-4. Обмотки трехфазного генератора соединены звездой.
Электродвижущая сила каждой фазы 220 в. Приемниками являют-
ся три одинаковые катушки, активное сопротивление каждой из
которых 6 ом и индуктивное 8 ом.
Определить фазный и линейный токи и общую среднюю мощ-
ность при соединении катушек звездой.
Полное сопротивление каждой фазы
2ф = 4/'Г2-иЛ2==/б2 + 82=10 ОМ.
494
Фазное напряжение приемника приблизительно равно э. д. с.
генератора, т. е. 220 в; при этом предполагается, что внутреннее
сопротивление обмоток генератора мало.
Линейное напряжение
{?л = /ЗЕф = 380 в.
Линейный ток, равный фазному ток}:
io ~22 а-
Коэффициент мощности каждой фазы
г 6 „
COS <рф = у=~=0,6.
Активная мощность цепи
Р = V 3Uл/л cos <рф = /3 380• 22• 0,6 = 8 720 вт.
12-7. ТОПОГРАФИЧЕСКАЯ ДИАГРАММА
Напряжения между отдельными точками цепи можно
найти просто и наглядно графически, путем построения
векторной диаграммы, которую
называют топографиче-
ской.
Топографическую диаграмму
строят так, чтобы каждой точке
цепи соответствовала определен-
ная точка на диаграмме и чтобы
вектор, проведенный в эту точку
из начала координат, выражал
по величине и фазе потенциал
соответствующей точки цепи. На
такой диаграмме отрезок, соеди-
няющий две любые точки, опре-
деляет по величине и фазе напря-
жение между соответствующими
А
Рис. 12-14. Топографиче-
ская диаграмма цепи, изо-
браженной на рис. 12-10.
точками цепи.
При построении топографической диаграммы удобно
принять за точку с нулевым потенциалом нейтраль (нуле-
вую точку О) генератора. Тогда этой точке генератора
на диаграмме соответствует начало координат.
Построим топографическую диаграмму для цепи, изо-
браженной на рис. 12-10. Полагаем, что точка О на диа-
грамме (рис. 12-14) соответствует нулевой точке генерато-
ра, потенциал которой равен нулю (<р0 — 0). Откладывая
495
из точки О векторы фазных э. д. с. Ел, Ев, Ес, получим
точки А, В и С, соответствующие точкам А, В и С цепи.
Отрезок АВ, равный разности векторов ЕА — Е в, пред-
ставляет собой линейное напряжениеО Ав ~ Фа — фв-
Подобным же образом отрезки ВС и СА выражают линей-
ные напряжения UBC и UCA.
Отложив из точки О вектор UN = Цу0— Фо- — Фо^=
= фо- (отрезок 0'0), представляющий собой потенциал
Рис 12-15 Схема трехпроводной трехфазной си-
стемы при разрыве одного из линейных проводов.
нулевой точки приемника, мы получим на диаграмме точку
О’• Отрезки АО', ВО' и СО' выражают напряжения на фа-
зах приемника U'A, U'B и U'c.
Если потенциалы нулевых точек генератора и прием-
ника одинаковы (смещения нейтрали нет), то точка О' сов-
падает на диаграмме с точкой О; при возникновении раз-
ности потенциалов UN точка О' смещается в направлении
вектора UN (смещение нейтрали есть).
Рассмотрим, как строятся топографические диаграммы
для некоторых частных случаев режима трехфазной цепи.
Пусть при симметричной системе э. д. с. генератора,
одинаковых сопротивлениях фаз приемника Zc — Z в и от-
сутствии нулевого провода (ZN = оо) произошел обрыв одно-
го из линейных проводов, например перегорел предохра-
нитель в проводе А (рис. 12-15).
В этом случае ZA=co, или УА = 0 и
• _2(ЕУ)_ Ea-O+EbYb + EcYc _Y в (Ев-ЕЕ с)
' 04-Ув + Ус 2УВ
496
(12-17)
или, так как Ёв-\-Ёс~ —ЁА:
й.
4" • (12-18)
Напряжение на фазе приемника А равно нулю
(U'a = 0, т. е. фд- = фо')> так как ПРИ обрыве провода
ток равен нулю, но между зажимами перегоревшего пре-
дохранителя (точками А и А') появится напряжение, равное
Un = EA-l)N = jEA.
Напряжение на фазе приемника В
/7- р /7 р Ев + Ес_ Ев — Ес _Увс.
с в = св— с1N = £в--2-------2---— >
напряжение на фазе приемника С
Ёв + Ёс
Ёс—Ёв _ UBc
2
иллюстрирует
Uc = Ec-Un = Ec -----2~
Топографическая диаграмма i
полученные результаты.
Рассмотрим второй случай,
системе напряжений генератора
ниях фаз приемника В и С
(Z в = Zc') произошло короткое
замыкание фазы А, т. е. ZA = О
(рис. 12-17). Нейтральный про-
вод отсутствует (ZN = оо и со-
ответственно Yn = 0).
Для определения смещения
нейтрали умножим числитель
и знаменатель формулы (12-9) на
ZA, после чего приравняем ZA
нулю:
r'i _ ЁА + EBYBZA 4- EqYcZa _ г
N 1 + Za(Yb+Yc) Са-
(12-19)
Напряжение на фазе приемника А равно
(Да = 0, т. е. фА = фо-)> так как ZA = 0.
Напряжение на фазе приемника В
U’B = eb—un=ев-еа = -йАВ.
32 Теоретическая электротехника 37
2
(рис. 12-16)
симметричной
Пусть при
одинаковых сопротивле-
и
12-15.
Рис 12-16. Топографиче-
ская диаграмма цепи, изо-
браженной на рис.
нулю
497
Напряжение на фазе приемника С
U'c — Ес — £'а = ^/са-
Топографическая диаграмма (рис. 12-18) иллюстрирует
полученные результаты. Из диаграммы ясно, что при корот-
Рис. 12-17. Схема трехпроводной трехфазной систе-
мы при коротком замыкании одной из фаз приемни-
ка энергии.
ком замыкании одной фазы приемника напряжения на дру-
гих фазах приемника возрастают в У~3 раз. Иногда при
соединении электрических ламп
звездой это явление приводит
к аварийному режиму. Действи-
тельно, если короткое замыкание
в одной из фаз произойдет в то
время, когда будет оборван ней-
тральный провод, то все лампы,
включенные в две другие фазы,
Рис. 12-18. Топографи-
ческая диаграмма цепи,
изображенной на рис.
12-17.
перегорят из-за резкого повышения
напряжения. Поэтому нейтральный
провод для повышения прочности
часто выполняют из стали.
12-8. СОЕДИНЕНИЕ ПРИЕМНИКОВ ЭНЕРГИИ
ТРЕУГОЛЬНИКОМ
Присоединении приемников треугольником (рис. 12-19)
сопротивление каждой фазы ZAB, Z вс и ZCA подключается
непосредственно к соответствующим линейным проводам.
Поэтому линейное напряжение следует рассматривать как
фазное напряжение приемника.
498
Комплексы токов в отдельных фазах приемника
= (12-20)
1вс = Zbc ~^всУвс; (12-21)
1ca=-^ = UCaYCa, (12-22)
^СА
причем положительное направление фазных токов выби-
рают от А к В, отВкСиотСкЛ (рис. 12-19).
За положительное направление линейных токов при-
мем, как и раньле, направление от генератора к прием-
нику; тогда по первому правилу
Кирхгофа для точки А можно А
написать:
‘1а + 1са = 1ЛВ, (12-23) W
откуда Л7 z
• • • /? 9 f--—] \
Ia~ Lab — Icа- (12-24) le ]
Аналогично для точки В е<>
♦ • . Г0 и
1в = 1вс— 1ав (12-25)
Рис. 12-19. Приемник энер-
И ДЛЯ ТОЧКИ С гии, соединенный треуголь-
, , . ником.
7с = /са-/вс. (12-26)
Таким образом, комплексный линейный ток равен раз-
ности комплексных фазных токов тех фаз, которые соеди-
нены с данным линейным проводом, т. е. вектор линейного
тока находится как разность векторов соответствующих
фазных токов (рис. 12-20, а).
Мощности в отдельных фазах приемника вычисляются
по формулам:
• * V
UabIab = Pab-^IQab', I
UbcJbc ~Рвс + jQBC; (12-27)
йсА^СА =PcA + iQcA- J
На рис. 12-20 представлены векторные диаграммы, на
которых изображены напряжения и токи при соединении
32* 499
приемников треугольником. На рис. 12-20, а векторы про-
ведены из общего начала. Иногда для большей нагляд-
Рис. 12-20. Векторная диаграмма цепи, изображенной на
рис. 12-19.
ности векторы перемещают параллельно самим себе и диа-
грамма принимает вид, изображенный на рис. 12-20, б.
Пример 12-5. Три приемника, сопротивления которых Zab =
— (12 + /Т6) ом, 7,ц<-- 12 ом, Zca = (8 + /6) ом, соединены треуголь-
ником и включены в сеть с симметричными линейными напряже-
ниями {/л = 220 в. Определить фазные и линейные токи.
Представим линейные напряжения комплексными числами, на-
правив Пдв по действительной оси, т. е. примем UAB = 220 в. Тогда
_ .2
Пвс = 220е ’3 =(— НО — /190) в;
'2 л
йСА = 220е3 3 =(-110+ /190) в.
Фазные токи
• Uab 220
,AI!~ ZAB ““12 + /T6==(6’6-j8,8) а’
= У 6+г+ 8,82 = 11 а;
две —ПО—/190
1вс = Т~ =----ia2—= (-9,17-/15,8) а-,
^ВС
7ВС = /9П72+Л512==18,3 а;
Uca -110+/190 .
ca~Zca~ 8+/6 ~ (2>6 + 121,8) а,
ICA = V2,62 + 21,82=22 а.
500
Линейные токи:
1А •= 1ав- 1сА = 6,6— /8,8 - 2,6—/21,8 =- (4 - 730,6) а;
/в = /вС-/ав=-9,17-/15,8-6,6+/8,8 = (-15,8-/7) в;
/с = /са-/вс = 2,6 + /21,84-9,17 + /15,8 = (11,8 + /37,6) а;
1А = /44' 20,62 = зо,8 в;
/в = /15,82 -I-72- - 17,3 а-,
/С = /ГГ8М:37^1 = 39,4 а.
12-9. СОЕДИНЕНИЕ ПРИЕМНИКОВ ЭНЕРГИИ
ТРЕУГОЛЬНИКОМ ПРИ РАВНОМЕРНОЙ НАГРУЗКЕ ФАЗ
Если система линейных напряжений U АВ, Ubc.=
--=UABe ^я, иСА = йлв^я
фаз равномерна ZAB = ZBc =
= Zca-Z, то фазные токи
/ЛВ = ^ = С/ЛВУ; (12-28)
/вс = ^|£==/всу = /)АВУе~>зЯ;
(12-29)
iCA = ^ = UCAy = UABYej^ ,
(12-30)
Рис 12-21. Векторная диа-
грамма при равномерной
нагрузке фаз приемника,
соединенного треугольни-
ком.
т. е. фазные токи образуют сим-
метричную систему. Абсолютные
значения их равны, а сдвиги по
фазе относительно друг друга
составляют 120°.
Линейные токи, равные разностям соответствующих фаз-
ных токов, при равномерной нагрузке образуют также
симметричную систему токов (рис. 12-21).
Соотношение между величинами линейного и фазных
токов может быть найдено из векторной диаграммы
(рис. 12-21). Из диаграммы следует, что любой линейный ток
больше фазного тока в /Зраз. Линейный ток 1А отстает по
501
фазе от фазного тока 1АВ на угол 30°; на тот же угол
отстают I в от /вс и 1С от 1СА-
При равномерной нагрузке фаз расчет трехфазной цепи,
соединенной треугольником, можно свести к расчету одной
фазы.
Фазное напряжение
£7ф = £7л; (12-31)
фазный ток г __ ^Ф . линейный ток (12-32)
(12-33)
общая активная мощность всех трех фаз
Р =- ЗПф/ф cos фф = УЗ ил1л cos <рф; (12-34)
так как
ГСП,— л л
Реактивная мощность фазы
Сф ~ U sin срф.
Реактивная мощность цепи
Q = /ЗПл/л sin фф.
Полная мощность
5 = ЗПф/ф = /ЗПл/л.
Пример 12-6. Обмотки трехфазного двигателя соединены тре-
угольником. Активная мощность двигателя составляет 3 кет при
напряжении 120 в и cos ф = 0,8 Определить линейный и фазный токи.
, Р 3 000
/д — 7 — т— —18 О,
у 37л cos ф /3-220-0,8
12-10. ВКЛЮЧЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЛАМП
И ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЕЙ В ЦЕПЬ ТРЕХФАЗНОГО ТОКА
Электрические лампы изготовляются на номинальные
напряжения 127 и 220 в. Способ их включения в цепь трех-
фазного тока зависит от величины линейного напряжения
502
трехфазной сети. Лампы с номинальным напряжением 127в
включаются звездой с нейтральным проводом при линей-
ном напряжении сети 220 в или треугольником при линей-
ном напряжении сети 127 в. Лампы с номинальным напря-
жением 220 в соответственно включаются звездой в сеть
с линейным напряжением 380 в и треугольником в сеть
с напряжением 220 в.
Обмотки трехфазных электродвигателей изготовляются
на номинальные фазные напряжения 127, 220 и 380 в.
Каждый трехфазный электродвигатель может быть вклю-
чен или звездой в трехфазную сеть с линейным напряжени-
ем, превышающим его фазное напряжение в )КЗ раз, или
треугольником, если линейное напряжение сети равно номи-
нальному фазному напряжению его обмотки. Обычно на
паспорте трехфазного электродвигателя даются соответ-
ствующие указания, например:
треугольник 220 в
звезда 380 в
12-11. СВОЙСТВА СУММ ЛИНЕЙНЫХ ТОКОВ
И ЛИНЕЙНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ
Независимо от способа соединения приемников энергии
алгебраическая сумма мгновенных значений линейных то-
ков в трехпроводной трехфазной цепи равна нулю. В самом
деле, выбрав положительные направления линейных токов
от генератора к приемнику при соединении приемнике в
энергии звездой, для нулевой точки можно написать по пер-
вому правилу Кирхгофа:
i'a -В Iв ~|-1 с — 0-
При соединении приемников энергии треугольником
1а + 1в + «С = 1а.В — 1сл + 1вс — 1лв + (са — ('вс = 0.
Из полученных соотношений следует, что если токи
изображены векторами, то сумма векторов линейных токов
равна нулю, а если линейные токи представлены комплек-
сами, то сумма комплексов линейных токов равна нулю;
1а+'1в + 1'с = 0- (12-35)
503
Поэтому у системы близко друг к другу расположенных
проводов, например в кабеле, получается очень слабое
магнитное поле. Это позволяет применить стальную броню,
защищающую провода от механических повреждений. Если
бы сумма токов оказалась не равной нулю, то магнитное
поле было бы значительным, в этом случае стальная броня
перемагничивалась бы и заметно нагревалась. Иногда на
практике три жилы трехфазного кабеля соединяют парал-
лельно, используя его как однофазный кабель; в этом
случае стальная броня с кабеля снимается.
Алгебраическая сумма линейных напряжений, как уже
указывалось, также равна нулю. Действительно независи-
Рис. 12-22. Вольтметр с пе-
реключателем для измере-
ния трех линейных напря-
жений.
мо от способа соединения цепи
мгновенное значение линейного
напряжения равно разности по-
тенциалов между проводами ли-
нии, т. е.
илв = Фл —фв’,
ивс = фв'—фс; Исд = фс— фл,
а сумма линейных напряжений
W.4B "Г ^ВС Ч~ иСА = фл-фв Ч~
Ч-фв —фс + фс —фд = 0
или
Uab + Ubc + Uca = 0. (12-36)
Полученные результаты подтверждаются графическими
построениями; сумма векторов линейных напряжений рав-
на нулю, т. е. векторы линейных напряжений при всех
условиях образуют замкнутый треугольник (рис. 12-5,
12-14 и др.).
Имея в виду это свойство линейных напряжений, мож-
но при помощи вольтметра определить углы сдвига фаз
между напряжениями трехфазной системы.
Измерим вольтметром V (рис. 12-22) действующие зна-
чения линейных напряжений UAB, UBC и UСА. Если VАв—
= U вс = ^са, то система напряжений симметрична.
В этом случае векторы линейных напряжений образуют
равносторонний треугольник с одинаковым сдвигом фаз
120° между смежными линейными напряжениями. Если
напряжения UAB, U вс и UCA не равны друг другу, то,
504
построив в масштабе замкнутый треугольник линейных
напряжений, мы сможем определить углы сдвига фаз меж-
ду ними.
12-12. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА
СОПРОТИВЛЕНИЙ В ЗВЕЗДУ
Рассмотрим расчет трехфазной цепи при соединении
приемников энергии треугольником с учетом сопротив-
ления подводящих проводов (рис. 12-23). Этот расчет
Рис. 12-23. Трехпроводная линия
с приемниками, соединенными тре-
угольником.
можно упростить, если треугольник сопротивлений заме-
нить равнозначной звездой. Как известно, сопротивления
лучей звезды связаны с сопротивлениями сторон треуголь-
ника следующими формулами:
у ZabZca . "1
А + + ’ I
у _______Z.bcZab_____. !
В . Zab~\~Zbc-\- Zca ’ I
ZcaZbC_______________I
C Zab + Zbc + ^ca J
Если нагрузка фаз равномерна, т. е.
= Zca = Za, то сопротивление луча звезды
Zy T’
(12-37)
Z-АВ — ^ВС =
(12-38)
505
таким образом, сопротивление луча эквивалентной звезды
должно быть в 3 раза меньше сопротвиления стороны
треугольника.
В результате преобразования получается цепь, изо-
браженная на рис. 12-24, которая в общем случае рас-
Рис. 12-24. Трехфазная линия с при-
емниками, соединенными звездой.
считывается как несимметричная звезда. Рассмотрим по-
дробно ход расчета такой цепи на примере.
Пример 12-7. Группа ламп соединена треугольником. Сопро-
тивления фаз соответственно равны: ZAB~10 ом; ZBC = 20 ом
и ZCA = 20 ом. Сопротивление каждого подводящего провода состав-
ляет 1 ом (индуктивностью пренебрегаем). Линейные напряжения на
зажимах генератора симметричны и равны 208 в. Определить фаз-
ные и линейные токи.
Заменим треугольник равнозначной звездой.
Сопротивления лучей звезды
ZABZCA 10-20 , OM = Z. .
Zab^^bc^Zca 50 в’
T ZCAZBC 20-20
С Z.ABJrZBcJrZcA 50
Сопротивления соединительных проводов включены последова-
тельно с сопротивлениями соответствующих лучей звезды, поэтому
полные сопротивления и проводимости каждой фазы:
ZA = Z'+Z" = 4+1 = 5 он; УА ==!- = 0,2 сим;
^А
2в = 2в + 2'^~4+1 =5 ом; Ув=~— — 0,2 сим;
Zb
Zq = Zq -р-Zq = 8-]-1 = 9 ом; Yc==~g— = 0,111 сим.
506
Фазные напряжения генератора
Приняв (7А=120 в, имеем t/B=( — 60—/104) в; Uq = ( — 60 +
+ /104) в; смещение нейтрали
Л йлУА+йвУв + исУс
Уа + Ув + Ус “
__ 120-0,2 + ( —60 —/104) 0,2 +( —60 + /104) 0,111
0,2 + 0,2 + 0,111 ~
= (10,4-/18) в.
Линейные токи:
/а = (^а-^л’)Уа = (120—10>4 +/18)0,2 -+21,9+/3,6) а;
/B = (Uв-иN) У в = (-60-/104- 10,4 + /18) 0,2 =
= (-14,1-/17,2) а;
/с=(Йс-ЙЛ)Ус=(-60+/104-10,4 + /18)0,111 =
= (—7,8+/13,6) а.
Чтобы найти фазные токи в сопротивлениях ZAB, ZBc и Zca>
нужно предварительно определить линейные напряжения U'AB, U'BC
и U'CA между точками А’В’, В'С и С'А', для чего вначале вычис-
лить фазные напряжения в лучах звезды:
U'A = 1AZ'A = (21,9 + /3,6) 4= (87,5+ 14,4) в;
U’B=rBZB = ( —14,1 — /17,2) 4=( — 56,4—/68,8) в;
U'c = i’cz'c = ( — 7,8+/13,6) 8 = ( —62,4+ /107,8) в.
Линейные напряжения:
17дВ = (/д-6/в = 87,5 + /14,4 + 56,4+ /68,8=(143,9+/83,2) в;
U'BC = U'B-U'C =-56,4-/68,8 + 62,4-/107,8) =
= (6,0-/176,6) в;
6/СЛ=^С““С'л = -62,4 + /107,8—87,5-/14,4 =
= ( —149,9 + /93,4) в.
507
Фазные токи в сопротивлениях, соединенных треугольником:
и'лв 143,9+ /83,2
1ав = у — in — (14,4+/8,32) а;
‘АВ 1и
• U вс 6,0 — /176,6
/вс = 2вс=-------2б-----= (0,3—/8,83) а;
1СА =
"СА
7-са
— 149,9 +/93,4
20
= ( — 7,5 + /4,67) а.
12-13. МОЩНОСТЬ ТРЕХФАЗНОГО ТОКА.
УРАВНОВЕШЕННАЯ ТРЕХФАЗНАЯ СИСТЕМА
Мгновенная мощность трехфазной системы равна сумме
мгновенных мощностей отдельных фаз:
Р — Ра 4- Рв Pc = UaCi + +4 в Ч~ ucic- (12-39)
Средняя или активная мощность
т т т т
Р = -jr р dt = рА dt + -jr Рв dt + Pcdt =
6Ь о о
= UJA cos фА + ив1в cos фв + Uclc cos фС, (12-40)
т. е. активная мощность трехфазной системы равна
сумме активных мощностей отдельных фаз.
При равномерной нагрузке фаз
Р = ЗПф/ф cos фф = 3(7/ costp. (12-41)
В этом выражении / — линейный ток, U — линейное
напряжение, а ф.—угол сдвига фаз между фазным напря-
жением и фазным током.
Реактивной мощностью трехфазной цепи называется
алгебраическая сумма реактивных мощностей отдельных
фаз:
Q =- UJa sin фА + Ub1b sin фВ + Uclc sin фС. (12-42)
При равномерной нагрузке реактивные мощности
отдельных фаз равны, поэтому
Q= 31/ф/ф5Ш фф = |/3(7/sin ф. (12-43)
508
Полная мощность трехфазной системы при равномер-
ной нагрузке фаз
S=\r&Jl. (12-44)
Установленные таким образом понятия реактивной
и полной мощности позволяют применить для трехфазной
цепи ряд расчетных формул, полученных для однофазной
цепи, как, например,
Р . Q , Q
созф = -^-; sincp = -y; tg(p=--p.
При равномерной нагрузке фаз мгновенные мощности
в отдельных фазах
Ра = Um sin cat- /м sin (wZ — ф) = у— cos ф —
cos _ ф);
Р/г U„ sin (o>t—у л^ •/„ sin f «Z—у л —ф^) =
_ cos у—cos <go/—1 л — q>'') ;
Z z \ О у
Pc ~-U„ sin ^cof-J-y л^)-/м sin ^G>Z-]-y Л — ф^) =
= cos ф— cos Г2а>/-]-у л—ф^ .
Сумма мгновенных значений
Ра Ч~ Рв Pc = 3L7$1 ф cos ф5 (12-45)
так как
^- = иф1ф, (12-46)
а
—cos (2<в/ — ф) ф- cos С 2с>1 — л — ф+
Z Z \ О у
4-cos 2o>Z + — Фу = О,
где U$—фазное напряжение, одинаковое для всех фаз;
/ф—фазный ток, одинаковый для всех фаз.
509
Таким образом, при равномерной нагрузке фаз сумма
мгновенных мощностей не зависит от времени и равна
активной мощности:
р Р = ЗРф. (12-47)
Обладающая этим свойством трехфазная система назы-
вается уравновешенной. Отсюда следует важный для прак-
тики вывод: трехфазный электродвигатель развивает на
валу постоянную мощность в противоположность одно-
фазному, который развивает переменную в течение периода
мощность.
Пример 12-8. Три катушки с сопротивлениями z= 10 ол соединены
звездой и подключены к сети с U120 в. Определить активную
мощность фазы и всей цепи, если активное сопротивление каждой
катушки г = 6 ом.
Коэффициент мощности
г
cos ср= — _ 0,6.
2
Фазное напряжение и фазный (он же лилейный) ток
,, 120 сп , Рф 69 . п
Ua = —-—69 в; /л =-------------= = = 6,9 а.
1 /3 /3 1 2 10 ’
Активная мощность фазы
Рф = Уф!ф cos <р = 69-6,9-0,6 = 286 вт.
Активння мощность цепи
Р = ЗРф = 858 вт.
Пример 12-9. Активная мощность трехфазной цепи составляет
20 кет, а реактивная 15 квар. Чему равен cos <р цепи?
Решение:
S = /P4TQ2=)/'2^+452 = 25 ква-,
Р 20 А о
cos ф = —=—= 0,8.
«3 ^0
12-14. ИЗМЕРЕНИЕ МОЩНОСТИ В ЦЕПИ
ТРЕХФАЗНОГО ТОКА
Мощность в цепи трехфазного тока проще всего измеряется
при равномерной нагрузке фаз. В этом случае достаточно измерить
мощность одной фазы и результат увеличить в 3 раза.
На рис. 12-25 приведена схема включения ваттметра при соеди-
нении фаз приемника звездой, когда нулевая точка приемника до-
ступна. Для измерения мощности при соединении приемников энер-
гии треугольником ваттметр включается, как показано на рис. 12-26.
510
В обоих случаях по последовательной обмотке ваттметра проходит
фазный ток, а параллельная обмотка включена под фазное напря-
жение.
Рис. 12-25. Схема включе-
ния ваттметра для измере-
ния мощности в цепи трех-
фазного тока при равномер-
ной нагрузке и доступной
нулевой точке.
Рис. 12-26. Схема включе-
ния ваттметра для измере-
ния мощности в цепи трех-
фазного тока прн соедине-
нии приемников энергии
треугольником и равномер-
ной нагрузке фаз.
При неравномерной нагрузке фаз применяются различные ме-
тоды измерений мощности в трехпроводной и четырехпроводной
системах.
В трехпроводной системе измерение мощности производится
методом двух ваттметров. Чтобы понять, каким образом двумя
Рис. 12-27. Схема включения двух
ваттметров для измерения мощности
трехфазного тока методом двух ватт-
метров.
ваттметрами можно измерить мощность всех трех фаз, обратимся
к рис. 12-27.
Мгновенное значение мощности, учитываемой первым ваттмет-
ром, равно Zauac = za(ua— «с)- Второй ваттметр учитывает мощ-
ность, мгновенное значение которой
‘в“вс — 1в(ив — ис)'
511
Выражение суммарной мгновенной мощности, учитываемой обоими
ваттметрами:
Р = 1Л (иА — Uc')JrtB (иВ— -
— 1АиА~*г1виВ — G'a + ^b) иС>
преобразуется при помощи уравнения
(a + *b + *c = 0 или iA-i-iB=—ic,
справедливого для любой трехпроводной цепи трехфазного тока, к
виду:
P = iAUA + iBUB + ‘CuC- (12-48)
Способ соединения приемников (звездой пли треугольником)
нам неизвестен. Но так как сопротивления, соединенные треуголь-
ником, можно заменить равнозначной звездой, мы вправе сделать
как то, так и другое предположения. Будем считать, что приемник
соединен звездой. В таком случае токи iAt tB и ic являются фаз-
ными токами и два ваттметра учитывают сумму мощностей всех
трех фаз.
В связи со значительной инерцией подвижная часть ваттметра
поворачивается на угол, пропорциональный среднему зиачеиию
учитываемой им мгновенной мощности, т. ё. мощность, измеряемая
первым ваттметром:
Рх = Час1а cosct!,
где С4 — угол сдвига фаз между напряжением IJАс и током /А:
at=Z (17ас> 4д),
а мощность, измеряемая вторым ваттметром:
Рг = ^ вс^ в cos a2,
где a2=<(t/BC, iB).
Из векторной диаграммы рис. 12-28 следует, что при равномер-
ной нагрузке углы между напряжениями и токами ваттметров отли-
чаются от соответствующих углов ф приемника на 30°: «£ = 30° —ф;
а4 = 30°+ф.
Показания ваттметров в этом случае
Pi = UI cos (30° — ф); (12-49)
PZ=UI cos (30°+ ф). (12-50)
При активной нагрузке (ф = 0) показания ваттметров одинаковы.
При смешанной (активно-индуктивной) нагрузке показание первого
ваттметра больше показания второго, а при со8ф = 0,5 (ф—60°)
показание второго ваттметра равно нулю, так как
P2=UI cos (30°+60°)=l// cos 90° = 0.
При ф > 60° подвижная часть этого ваттметра поворачивается
в обратную сторону. Обычно ваттметр имеет одностороннюю шкалу,
и для снятия показания иужио изменить направление тока в одной
512
из его обмоток. Так как в рассматриваемом случае Р2<0, то при
подсчете мощности показание второго ваттметра вычитается из пока-
зания первого.
Рис. 12-28. Векторная диаграмма це-
пи, изображенной иа рис. 12-27.
При равномерной нагрузке по показаниям двух ваттметров-
включенных по схеме рис. 12-27, можно определить также н реак-
тивную мощность.
Рис. 12-29 Схема измерения мощности
в четырехпроводной цепи трехфазного
тока.
Действительно, разность
Р£ — Р2~ (7/ [cos (30° — ф) — cos (30’ + ф)] ~ 17/ sin <р (12-51)
и реактивная мощность
Q==/3[//sin<p = /3(Pj-P2), (12-52)
поэтому для определения реактивной мощности нужно из показании
первого ваттметра алгебраически вычесть показание второго (чтобы
учесть знак Р2) И полученную величину увеличить в У~3 раз.
33 Теоретическая электротемника 513
Для измерения активной мощности в четырехпроводной цепи
трехфазного тока в цепь включают три ваттметра, каждый из кото-
рых измеряет активную мощность одной фазы (рис. 12-29). Актив-
ная мощность цепи определяется как сумма показаний ваттметров.
Пример 12-10. Два ваттметра измеряют мощность в трехпровод-
вой цепи трехфазного тока (рис. 12-27). Нагрузка фаз равномерна.
Линейное напряжение 220 в. Показания ваттметров соответственно
равны: 7^ = 800 вт; P2~W0 вт. Определить линейные токи.
Предварительно определим угол сдвига фаз:
ф=arctg= arctg /3 р’~р2 = arctg (V3/3) = 79°.
г ^1 + ^2
Линейный ток
, _ Л _ 800
л U cos (30°-ф) " 220-0,656 ’
12-15. ВРАЩАЮЩИЙСЯ МАГНИТНЫЙ ПОТОК
ПРИ ТРЕХФАЗНОМ ТОКЕ
Одним из главных технических достоинств трехфаз-
ного тока является возможность создания вращающегося
магнитного потока. Рассмотрим, как получается вращаю-
щийся магнитный поток при помощи трехфазного тока.
Три одинаковые неподвижные катушки АХ, BY и CZ
расположены на внутренней поверхности стального ци-
линдра (статора) и соединены звездой (рис. 12-30). Оси
514
катушек лежат в одной плоскости под углом 120° друг
к другу. По катушкам проходят токи трехфазной системы:
i'a = Ли cos (at;
---;
ic = /м cos (jat + -|- л) .
Графики токов iA, iB и ic приведены на рис. 12-31.
Примем направление тока от начала к концу катушки
за положительное и нанесем действительные направле-
Рис. 12-31. Диаграмма токов трехфазной си-
стемы.
ния токов в каждой катушке для нескольких моментов
времени а, б, в, г, д, е, ж (рис. 12-32, где каждая катушка
показана схематически в виде одного витка). Например,
в момент а (рис. 12-31) ток во второй катушке отсутствует;
ток в первой катушке имеет положительное направление
и поэтому в начале катушки И) направлен от наблюдателя;
ток в третьей катушке имеет отрицательное направление
и в начале катушки (С) направлен к наблюдателю.
Построив линии магнитной индукции, охватывающие
одинаково направленные токи, Для всех выбранных момен-
тов времени, можно видеть, что направление суммарного
магнитного потока изменяется. Суммарный магнитный
поток вращается по направлению движения часовой стрел-
ки и совершает в течение периода один оборот.
Если изменить порядок присоединения двух любых кату-
шек к трехфазной сети (например, вторую катушку при-
33* 515
соединить к фазе С, а третью к фазе В), то направление
вращения магнитного поля изменится на противополож-
ное, в чем можно убедиться, выполнив построения, анало-
гичные рассмотренным.
Практически направление вращения потока проще всего
определить следующим образом: когда в какой-либо катуш-
ке ток достигает максимального значения, направление
вращающегося потока совпадает с положительным направ-
Рис. 12-32. Вращающийся магнитный поток, созданный трех-
фазным током.
лением оси этой катушки. Положительные направления
осей А, В и С указаны на рис. 12-30 стрелками, они опре-
деляются по правилу буравчика; поэтому определив порядок
чередования амплитуд тока в катушках, можно легко уста-
новить направление вращения потока.
12-16. УРАВНЕНИЕ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ МАГНИТНОГО
ПОТОКА
Рассмотрим вывод уравнения вращающегося магнит-
ного потока.
Пусть на внутренней поверхности статора уложено
несколько витков, по которым проходит постоянный элек-
трический ток, как это показано на рис. 12-33. Линии
магнитной индукции охватывают токи, протекающие по
516
Рис 12-33 Магнитный поток с
косинусоидальным распределени-
ем индукции в воздушном зазоре,
остается во времени постоям-
виткам (на рис. 12-33 линии индукции показаны только
в воздушном зазоре).
Соответствующим неравномерным размещением витков
на поверхности статора можно добиться, чтобы магнитная
индукция в воздушном зазоре изменялась по закону
В„ BMcosa. (12-53)
Здесь Во — индукция в произвольной точке зазора О;
a— угол, образованный осью катушки и радиусом, соеди-
няющим точку О с центром катушки; Вч — наибольшее
значение индукции в зазо-
ре (на оси катушки, т. е. в
точках, где угол а равен
нулю и л; там, где этот
угол равен ± л 2, магнит-
ная индукция равна ну-
лю). Условимся считать
в соответствии с законом
В — Вч cos а магнитную
индукцию положитетьной
там. где магнитные ли-
нии входят в статор, и
отрицательной там, где они
из него выходят.
Мы предполагали, что
в обмотке протекает по-
стоянный ток. Следователь-
но, и магнитная индукция
ной, но в точках, смещенных относительно оси на разные
углы а, имеет различные значения.
Если пропустить по обмотке переменный ток i =
~ /м cos ы(, то форма магнитных линий остается преж-
ней, но величина магнитной индукции в каждой точке
будет изменяться во времени пропорционально току. Изме-
нение направления тока будет означать изменение направ-
ления магнитных линий на противоположное. Такой маг-
нитный поток называется пульсирующим. Закон
изменения его индукции в произвольной точке
В- Во cos од ~ Вм cos cos а (12 54)
или, выполнив тригонометрическое преобразование:
В ~ 4,- BMcos (cot — a) 4--у BMcos (о>/ -j a). (12-55)
517
Выразим теперь магнитную индукцию поля В в про-
извольной точке зазора машины трехфазного тока. Маг-
нитный поток в этом случае возбуждается тремя токами,
которые проходят по трем катушкам (обмоткам), рас-
положенным на статоре. При этом надо иметь в виду, что
обмотки на статоре сдвинуты в пространстве (рис. 12-30)
на углы 2л/3, а между токами обмоток имеется сдвиг
по фазе, также равный 2л/3.
Ток в обмотке АХ создает составляющую магнитной
индукции, определяемую по формуле (12-54):
Ва = Вы cos со/ cos а.
Составляющие магнитной индукции, создаваемые тока-
ми в двух других обмотках, сдвинуты по фазе на углы
± 2л/3, так как токи сдвинуты по фазе, и в пространстве
на такие же углы из-за смещения осей обмоток. Следова-
тельно:
Вв = Вя cos (со/ -
Вс = Вю cos ( (dt + -у
. 2л
а + —
2л
а-----у
причем каждая составляющая представляет собой индук-
цию пульсирующего потока. Результирующая магнитная
индукция в произвольной точке В Вл - Вв -- Вс.
Разложим каждую из составляющих индукции на два
слагаемых по формуле
cos х cos .y -y cos (х — у) ~Т у- cos (х 4- у).
Тогда получим:
В а = 4“ В« cos — а) + ”2“ В” cos + а'’
Вв г,- Вм cos ( со/ — а -
Вс = -у Вм cos ( (dt — а ф
-4Д- 4 + 4т В„ cos (со/ + а);
О У Л
4^ ( 4- Вм cos (со/ 4- а).
О у £
Сумма первых слагаемых трех составляющих равна нулю
(ср. с формулами § 12-3). Поэтому результирующая маг-
нитная индукция В равна сумме вторых слагаемых, т. е.
В = -|- Вм cos (со/ 4- а). (12-56)
Выясним физический смысл выражения (12-56).
518
Аргумент косинуса составляет сумма at + а. Если бы
эта сумма не зависела от времени, то постоянной была
бы индукция в любой точке зазора. Но при а = const,
т. е. выбранной точке О, аргумент со/ + а не остается
постоянным, поэтому индукция в любой выбранной точке
изменяется в зависимости от времени пропорционально
cos (ы/ + а).
Предположим, что выбранная точка О перемещается
так, чтобы + а осталось постоянным, для этого точка О
должна перемещаться по направлению движения часовой
стрелки, т. е. в сторону уменьшающегося угла а, так
как <л1 увеличивается. Известное соотношение со 7’ = 2л
позволяет заключить, что одному периоду переменного
тока соответствует изменение угла а на величину 2л,
т. е. один оборот точки О; следовательно, угловая скорость
вращения точки, в которой индукция неизменна, равна со.
Таким образом, мы приходим к важному выводу: форму-
ла (12-56) выражает индукцию магнитного потока, неиз-
менного по величине и вращающегося по направлению
движения часовой стрелки,— вращающегося маг-
нитного потока. Амплитуда результирующей маг-
нитной индукции в 1,5 раза больше амплитуды магнитной
индукции одной катушки.
12-17. РАЗЛОЖЕНИЕ ПУЛЬСИРУЮЩЕГО МАГНИТНОГО
ПОТОКА НА ДВА ВРАЩАЮЩИХСЯ В РАЗНЫЕ СТОРОНЫ
Рассматривая выражение для пульсирующего магнит-
ного потока (12-55), можно сделать вывод, что пульси-
рующий магнитный поток является суммой двух вращаю-
щихся потоков; слагаемое Вм cos (со/ — а) дает индук-
цию потока, вращающегося против направления движения
часовой стрелки, а слагаемое BMcos(co/+a) — индук-
цию потока, вращающегося по направлению движения ча-
совой стрелки.
12-18. ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ
АСИНХРОННЫХ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЕЙ
Принцип устройства электродвигателей трехфазного
тока основан на явлении вращающегося магнитного по-
тока.
519
В двигателях трехфазного тока обмотка образована
тремя катушками, расположенными на неподвижной ста-
нине — статоре; внутри статора помещен стальной бара-
бан— ротор, вдоль образующих которого в пазах уложе-
ны провода, соединенные между собой на обоих торцах
кольцами.
Вращающийся магнитный поток статора пересекает
проводники обмотки ротора и наводит в них э. д. с., а так
как проводники замкнуты, то в них возникает ток. Ток,
взаимодействуя с вращающимся магнитным потоком, вызы-
вает силу, увлекающую ротор вслед за вращающимся
потоком. С ростом скорости вращения ротора уменьшается
скорость, с которой проводники ротора пересекают маг-
нитные линии; если бы ротор достиг той же скорости враще-
ния, что и магнитный поток статора, то пересечения провод-
ников вообще не происходило бы и ток в роторе стал бы
равен нулю. Но при отсутствии тока в роторе вращающий
момент также равен нулю: следовательно, при наличии
тормозного момента магнитный поток и ротор не могут
вращаться с той же скоростью, что и поток статора (син-
хронно); скорость вращения ротора всегда несколько мень-
ше. Поэтому двигатели такого типа называются асин-
хронными (т. е. несинхронными).
12-19. ВРАЩАЮЩИЙСЯ МАГНИТНЫЙ ПОТОК
ПРИ ДВУХФАЗНОМ ТОКЕ
В некоторых измерительных приборах получают вра-
щающийся магнитный поток, создаваемый двухфазной
системой переменных токов в двух перпендикулярно рас-
положенных катушках (рис. 12-34).
Двухфазную систему образуют два переменных тока,
когда один из токов опережает по фазе другой на 90°:
== /м cos wZ;
i2 = /Mcos (at — .
В воздушном зазоре прибора (рис. 12-34) магнитные
индукции Bi и В2 пропорциональны соответствующим
токам, совпадают с ними по фазе и могут быть пред-
ставлены выражениями:
В, — Вм cos (dt cos a;
B2==BM cos —4/J cos = BM sin co/sin a.
Суммарная индукция
В = 4- B2 = BM (cos (dt cos a +
+ sin (dt sin a) — BMcos ((dt — a), (12-57)
т. e. амплитуда результирующей магнитной индукции посто-
янна и равна амплитуде индукции каждой катушки. При
Рис. 12-34. Две катушки стато-
ра для получения вращающегося
магнитного потока.
этом магнитный поток вращается с угловой скоростью,
равной угловой частоте тока со, и за период совершает
один оборот.
12-20. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ФАЗ И СПОСОБЫ
ЕЕ НАХОЖДЕНИЯ
Последовательностью фаз называется порядок, в ко-
тором проходят через положительные максимумы токи или напря-
жения трехфазной системы.
Различают прямую последовательность фаз, когда
положительный максимум тока наступает сначала в фазе А, затем
в фазе В, в фазе С, снова в фазе Ант. д., и обратную по-
521
следователь и ость фаз, когда порядок чередования максиму-
ма тока изменяется, наступает сначала в фазе А, затем в фазе С,
в фазе В, снова в фазе Л и т. д.
Часто необходимо знать последовательность фаз в проводах
трехфазиой цепи, например, чтобы определить направление вращения
асинхронного двигателя, включенного в сеть. Для определения
Рис. 12-35. Схема фазоуказателя
вращающимся диском.
последовательности фаз можно воспользоваться фазоуказателем,
работа которого осиоваиа иа явлении вращающегося магнитного
потока.
Фазоуказатель состоит из трех катушек, начала которых поме-
чены буквами А, В и С (или цифрами 1, 2 и 3). Эти начала при-
Рис. 12-36. Схема фазо-
указателя с конденсато-
ром.
зоуказателя с реактив-
ной катушкой.
соединяются к проводам трехфазной цепи, причем катушка Л при-
соединяется к любому из трех проводов. Этот провод в дальнейшем
считается проводом фазы Л. Катушки В и С присоединяются к двум
другим проводам.
Над катушками иа острие насажен легкий алюминиевый диск,
который вращается в направлении вращения магнитного потока.
Причина вращения та же, что и ротора асинхронного двигателя. На
диске нарисована стрелка (рис. 12-35). Если диск вращается в на-
правлении стрелки, последовательность фаз — прямая, т. е. катуш-
522
ка В присоединена к фазе В, а катушка С к фазе С, если в обрат-
ную сторону, — обратная, т. е. катушка В присоединена к фазе С,
а катушка С к фазе В.
Для определения последовательности фаз можно воспользоваться
и фазоуказателем другого типа. Присоединим к проводам трехфазной
цепи две лампы и конденсатор, соединенные звездой (рис. 12-36),
приняв за фазу А ту, в которую включен конденсатор.
Предположим, что по величине проводимости каждой лампы
и конденсатора одинаковые (у) и представим проводимости фаз
комплексными числами:
УА=1У, Уб=УС = У-
Имея в виду, что линейные напряжения симметричны, а фазное
напряжение генератора равно l/ф, представим фазные напряжения
комплексными числами и выразим смещение нейтрали:
• йАуА+йвУв+йсУс _
—j — л -И-2- л
jU$y + U$ye 3 +УфУе 3 _
~ 2у+!У ~
= 2+7 =
= -0,217ф + /0,617ф.
Напряжение на лампе, включенной в фазу В:
и'в^йв-йу^-^-иф-^иф~
- (- 0,2{7ф + /О,617ф) = - 0,ЗНф - j 1,47Нф;
U'b= V (0,ЗДф)2+(1,47{7ф)2 = 1,49Г7ф.
Напряжение на лампе, включенной в фазу С:
й'с = ис — UN =--{7ф+ 1)ф~
- <-О,217ф+ /0,6Нф)= -0,ЗНф+ /0,27Нф;
U'c = V (0,ЗДф)2 + (0,27{7ф)2 = 0,4(7ф.
По яркому накалу лампы легко определить фазу В.
Для определения последовательности фаз можно вместо кон-
денсатора воспользоваться катушкой с большим индуктивным со-
противлением по сравнению с ее активным сопротивлением
(рис. 12-37). Считая фазу, к которой присоединена катушка, за Л,
фазу В определим по лампе со слабым накалом инти и фазу С —
по яркому накалу лампы.
523
12-21. СИММЕТРИЧНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ
НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТРЕХФАЗНОЙ СИСТЕМЫ
При неравномерной нагрузке трехфазной цепи токи
в линейных проводах неодинаковы, а следовательно, раз-
личны и падения напряжения в них. Векторы фазнык
и линейных напряжений приемника также не равны соот-
ветственно по величине и сдвинуты между собой по фазе
на различные углы. Само собой разумеется, что при этом
как фазные, так и линейные токи тоже образуют несимме-
Рис 12-38. Векторы прямой (/), обратной (2) й нулевой (0)
последовательностей
тричную систему векторов. Причиной асимметрии
напряжений и токов может быть не только неравномерность
нагрузки фаз, но и несимметрия э. д. с. генератора, питаю-
щего трехфазную цепь, что, однако, на практике слу-
чается редко.
Всякую несимметричную систему трех векторов можно
разложить на три системы: 1) симметричную систему трех
равных векторов, в которой вектор фазы В (или ВС) отстает
на 120° от вектора фазы А (или АВ), а вектор фазы С
(или СА) опережает на 120° вектор фазы А (или АВ);
2) симметричную систему трех равных векторов, в которой
векторы фаз В (или ВС) и С (или СА) сдвинуты по отноше-
нию к вектору фазы А (или АВ) на 120° в обратную первому
случаю сторону; 3) систему трех равных и совпадающих
по направлению векторов (рис. 12-38). Первая из этих
систем называется системой прямой последова-
тельности фаз, вторая — системой обратной
последовательности фаз, а третья — систе-
мой нулевой последовательности фаз.
524
Векторы прямой последовательности снабжаются индек-
сом 1, обратной — индексом 2 и нулевой — индексом 0.
Введем для краткости обозначение
2
3
а.
е
(12-58)
Умножение какого-либо вектора на этот «оператор»
соответствует повороту вектора на 120° вперед (по направ-
лению вращения векторов).
Так как поворот назад на 120°
равносилен двукратному пово-
роту вперед на те же 120е, то
.2 .4
-5 л З-тгЛ
е 3 =е 3 --а2. (12-59)
Заметим еще, что умноже-
ние векторов на а3 соответ-
ствует трехкратному повороту
на 120°, в результате чего
вектор возвращается в перво-
начальное положение. Поэтому
а3=1; (12-60)
а4 = а3-а=^а. (12-61)
Наконец, так как сумма
трех равных векторов, обра-
зующих симметричную звезду с
нулю (рис. 12-39), то
Рнс. 12-39. векторы-опера-
торы симметричной трех-
фазной системы.
углами по 120е, равна
1 + а-(-а2 — 0. (12-62)
Чтобы доказать возможность разложения любой несим-
метричной системы на симметричные составляющие и одно-
временно получить необходимые для этого разложения
формулы, предположим, что разложение уже произведено
и три несимметричных вектора (комплекса) А, В и С сле-
дующим образом выражены через свои симметричные
составляющие:
Л — Ао ф- А) -+- А2;
В-Во + В. + Вг;
С Сс, -г Cj -j- С2,
(12-63)
(12-64).
(12-65)
525
где Ai, Bi = a2Ai и С\ = aAi обозначают симметричные
векторы прямой, а Л2, В2 = аА2 и С2 = а242— симме-
тричные векторы обратной последовательности и Ао = Во —
= Со — одинаковые векторы нулевой последовательно-
сти фаз.
Пользуясь этими соотношениями, придадим последней
системе уравнений следующий вид:
4 - А + 4t 4~ Az;
В = Л, ф- a2Ai 4 аЛ2;
С Ад -j- a4i а242.
(12-66)
(12-67)
(12-68)
Если мы решим эту систему трех уравнений, опреде-
лив из нее три неизвестных вектора 40, At и 42, то получим
искомые формулы, при помощи которых можно произвести
разложение; тем Самым и будет доказана возможность
разложения трех векторов А, В, С на симметричные состав-
ляющие.
Сложив почленно уравнения (12-66), (12-67) и (12-68),
получим:
4 4-B4-G = 404-414- А2 4- Ад 4- a2.4( 4_ а/12 4- Ад 4- a A14-
— а2А2 = 340 4~ А (1 4- а2 4~ а) 4- Л2 (1 4- а 4- = 340,
откуда составляющая нулевой последовательности
А + В + С
(12-69)
Для того чтобы определить составляющую прямой по-
следовательности At, умножим уравнение (12-67) на а,
а уравнение (12-68) —на а2. В результате система урав-
нений примет вид:
Л = 4о 4- 414- Л*2;
аВ аА0 4- 4j 4- я2Л >;
а2С = а2Л0 4- 4( + аА2.
526
Складывая почленно, найдем:
А + аВ + а2С = Ао (1 + а + «2) + ЗД( 4- Л2 (1 + й2 + й) = ЗД,
откуда составляющая прямой последовательности фаз
Я1 = л‘ + °-в±^ . (12-70)
О
Для определения составляющей обратной последова-
тельности фаз умножим уравнение (12-67) на а2, а урав-
нение (12-68) — на а; в этом случае получим систему
уравнений:
А = Ао -j- А1 + А2',
а2В = а2А0 -j-aAjA- А;
аС = аА0 + a2At + А2.
Складывая почленно, найдем:
А + а2 В йС = Ао (1 а2 й) -j- А< (1 + й + и2) -)- 3= ЗЛ2,
откуда
+ (12-71)
О
Пример 12-11. Определить симметричные составляющие.линейных
напряжений трехфазной цепи:
Сдв = (—120+/90) в; />вс=120 в и UCa= -/90 в.
Составляющая нулевой последовательности
• Uab + UbC-[-UCa —120 + /90+120—/90 .
=-------3--------=------------3----------= 0.
Составляющая прямой последовательности
• Вав+оВвС + ^СА
и1 =-------------------;
имея в виду, что
-—л
а=е 3 =—0,5-1/0,866; ц2 = е 3 =—0,5-/0,866,
получаем:
j, _ -1204-/90-К-0,5 +/0,866) 120+(- 0,5-/• 0,866) (- /90)
= (— 86+ /79,6) в.
527
Составляющие обратной последовательности
Ь' 1в ' агйвС + айе i
_ -120 1 /90л ( -0,5—/0,866) 120 1 (—0,5 /0,866) (-/90)
" 3
=-( — 34-/10,4) в.
Так как сумма трех линейных напряжений трехфазной
цепи во всех случаях равна нулю, то
£?Ол = L1® 2 о, (12-72)
т. е. линейные напряжения ни при каких условиях не имеют
составляющих нулевой последовательности. Чем более несим-
метрична система линейных напряжений, тем большие
слагающие обратной последовательности она имеет. Поэто-
му процентное отношение слагающих обратной и прямой
последовательностей в системе линейных напряжений
_^2Щ.Ю0% (12-73)
является мерой несимметрии этой системы и называется
ее степенью асимметрии. Согласно электротех-
ническим правилам и нормам степень асимметрии не долж-
на превышать 5°i.
Пример 12-12. Линейное напряжение имеет симметричные со-
ставляющие Ь\-= 116 в и (Л = 5 в. Определить ее степень асим-
метрии.
Решение:
12-22. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ИССЛЕДОВАНИЕ
ЧЕТЫРЕХПРОВОДНОЙ И ТРЕХПРОВОДНОЙ ЦЕПЕЙ
ТРЕХФАЗНОГО ТОКА ПРИ СОЕДИНЕНИИ ПРИЕМНИКА
ЭНЕРГИИ ЗВЕЗДОЙ (§ 12-4-12-7)
План работы
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы, и записать их основные технические данные.
2. Собрать схему (рис. 12-40) и показать ее руководителю.
3. При отсоединенном нейтральном проводе (однополюсный ру-
бильник разомкнут) установить равномерную нагрузку фаз, записать
528
показания приборов и убедиться в том, что
Ua~Ub~Uc', U= ивс са<
Вычислить фазные мощности РА, Рв и Рс-
Показания приборов и результаты расчетов записать в табл. 12-L
Рис. 12-40. Схема соединения электрических
ламп звездой.
4. Замкнуть однополюсный рубильник и убедиться в том, что
при равномерной нагрузке присоединение нейтрального провода не
вносит никаких изменений в режим работы цепи.
Таблица 12-1
5. Оставив сопротивления двух фаз одинаковыми, при отклю-
ченном однополюсном рубильнике изменять сопротивление третьей
фазы от от до 0, записывая в таблицу показания приборов при
различных значениях сопротивления фазы.
6. Для двух-трех опытов п. 5 построить векторные диаграммы
токов и топографические диаграммы напряжений.
7. Включив однополюсный рубильник при неодинаковых сопро-
тивлениях двух фаз, изменять сопротивление третьей фазы И прч
34 Теоретическая электротехника 529
различных значениях сопротивления третьей фазы (исключая
случай z3=0) записать показания приборов в табл. 12-1. Выяс-
нить влияние нейтрального провода на режим цепи.
8. Для двух-трех опытов п. 7 построить векторные диаграммы
токов и топографические диаграммы напряжений.
12-23. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ИССЛЕДОВАНИЕ
ЦЕПИ ТРЕХФАЗНОГО ТОКА ПРИ СОЕДИНЕНИИ
ПРИЕМНИКА ЭНЕРГИИ ТРЕУГОЛЬНИКОМ (§ 12-8 и 12-9)
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы, и записать их основные технические данные.
2. Собрать схему (рис. 12-41) и показать ее руководителю.
Рнс. 12-41. Схема соединения электрических
ламп треугольником.
3. При равномерной нагрузке фаз записать показания приборов
и убедиться в том, что: 1) фазные токи равны друг другу и 2) ли-
нейные токн равны друг другу.
Вычислить фазные мощности Рав, Рве н Рса-
Показания приборов и результаты расчетов записать в табл. 12-2.
530
4. При одинаковых сопротивлениях двух фаз изменять сопро-
тивление третьей фазы и записать показания приборов в таблицу.
Убедиться в том, что Изменение сопротивления третьей фазы
не оказывает влияния на фазные напряжения.
5. Для двух-трех опытов п. 4 построить векторные диаграммы
токов и топографические диаграммы напряжений.
6. Установив равномерную нагрузку фаз, вынуть предохрани-
тель в фазе С. Записать показания всех приборов и построить век-
торную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений.
7. Исследовать в этом случае влияние изменения сопротивления
фазы ВС на режим работы цепи.
12-24. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ИССЛЕДОВАНИЕ
ЦЕПИ ТРЕХФАЗНОГО ТОКА ПРИ НЕОДНОРОДНОЙ
НАГРУЗКЕ ФАЗ. ПОСТРОЕНИЕ ТОПОГРАФИЧЕСКОЙ
ДИАГРАММЫ (§ 12-4, 12-5, 12-7 и 12-20)
План работы
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы, н записать их основные технические данные.
Рис 12-42. Схема соединения к лабораторной
работе 12-24.
2. Определить последовательность фаз.
3. Собрать схему (рис. 12-42) и показать ее руководителю.
4. При замкнутых трехполюсном и однополюсном Ki рубильни-
ках (А’з разомкнут) измерить напряжения UAB, Uв<; и Uca- Убе-
дившись в симметрии системы напряжений и определив фазные на-
пряжения, представить напряжения UA, UB и Uc комплексными
числами.
34* 531
5. Измерить напряжения UA, U’B, U‘c и l/jy и токи 1А, 1 в, 1В
и /д. Показания приборов записать в табл. 12-3.
Таблица 12-3
Zc и ZN и представить их комплексными числами.
7. Вычислить комплексные значения проводимостей
у А, Ув, Ус и yN.
8. Вычислить смещение нейтрали UN.
9. Вычислить напряжения на фазах приемника энергии U'A, U'B
и V\.
10. Вычислить токи в фазах приемника и в нейтрали IА, 1 в, 1С
к In-
11. Из комплексных выражений найти модули величин U'A, U‘B,
U’c> L'x, IA, IB и Iq.
Полученные значения записать в табл. 12-4 и сравнить их
с величинами табл. 12-3.
Таблица 12-4
№ п/п и'л ив ис UN >А 'с 'n Примеча- ние
6 о 6 в а а а а
12. По полученным данным (пользуясь комплексными числами)
построить топографическую диаграмму (рис. 12-14).
532
13, Повторить все измерения
разомкнутом рубильнике Kj.
14. Повторить все измерения
замкнутых рубильниках и К2.
и расчеты в том же порядке при
и расчеты в том же порядке при
12-25. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ИССЛЕДОВАНИЕ
ВРАЩАЮЩЕГОСЯ МАГНИТНОГО ПОТОКА
План работы
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы, и записать их основные технические данные.
2, Собрать схему (рис. 12-43) и показать ее руководителю.
Рис. 12-43. Схема соединения для
получения пульсирующего магнитно-
го потока.
3. В пространстве между катушками Д', поместить магнитную
стрелку и, включив рубильник, определить направление оси пульси-
рующего магнитного потока.
4. Заменив магнитную стрелку измерительной катушкой, к за-
жимам которой присоединен вольтметр, убедиться в том, что при
совпадении оси измерительной катушки с осью потока в катушке
будет индуктироваться наибольшая э. д. с.
5. По показанию вольтметра, подключенного к измерительной
катушке, зная число ее витков и размеры, определить магнитный
поток и среднее значение магнитной индукции (Ня» £ = 4,44 /щФм).
Показания приборов и результаты расчетов записать в табл. 12-5.
6. Отсоединить катушки заменить их катушками Л'-, и по-
вторить все наблюдения и расчеты, указанные в п. 5.
7. Собрать схему по рис. 12-44 и показать ее руководителю.
8. Включив цепь и установив в катушках те же значения токов,
что и в пп. 5 и 6:
а) убедиться, что магнитная стрелка вращается;
б) заменив магнитную стрелку пустотелым цилиндром, убе-
диться, что он вращается в направлении вращения поля;
в) поворачивая измерительную катушку (от 0 до 360’). убе-
диться, что показание вольтметра не изменяется; определить ампли-
533
Таблица 12-5
№
№ вклю-
п/п. \еннь)Х
1 кату-
шек
Положе-
ние маг-
нитной
стрелки
Положе-
ние изме-
рительной
катушки
Характер
магнитно-
го поля н
положение
его осн
Примеча-
ние
туду магнитного потока, пронизывающего катушку, и соответствую-
щее значение магнитной индукции.
9. Изменить направление тока в катушке Л'( или Л'2 и убе-
диться в изменении направления вращения магнитного потока.
10. Соединить катушки Kj и К2 последовательно между собой
и с реостатом.
Рис. 12-44 Схема соединения для
получения вращающегося магнитного
потока.
11. Включить цепь и, установив в катушках то же значение
тока, что и в п. 8:
а) при помощи магнитной стрелки убедиться в наличии пульси-
рующего магнитного потока;
б) при помощи измерительной катушки определить направление
оси пульсирующего магнитного потока, а также магнитный поток
и магнитную индукцию.
12. Собрать схему с катушками статора асинхронного двигателя
(рнс. 12-45) и показать ее руководителю.
13. Включить поочередно первую, вторую и третью катушки
статора трехфазного асинхронного двигателя в сеть и, установив
номинальный ток, при помощи магнитной стрелки убедиться, что
каждая из катушек создает пульсирующий магнитный поток.
534
14. Определить последовательность фаз трехфазиой системы при
помощи указателя последовательности фаз.
15. Выяснить (теоретически) направление вращения магнитного
потока, если первая катушка будет соединена с фазой А, вторая
катушка — с фазой В и третья катушка —с фазой С
Рис. 12-45. Схема присоединения
к цепи катушки статора.
Рис. 12-46. Схема соедине-
ния катушек статора звез-
дой.
16. Соединить катушки статора асинхронного двигателя звездой
(рис. 12-46), включить их в сеть и убедиться в правильности пред-
варительного определения направления вращения потока; а) поль-
зуясь магнитной стрелкой; б) пользуясь диском; в) пользуясь
пустотелым цилиндром.
17. Присоединить вторую катушку к фазе С, а третью катушку
к фазе В и убедиться в изменении направления вращения магнит-
ного потока. Наблюдения записать в табл. 12-6.
Таблица 12-6
№ п/п № катуш- ки ста- тора Состояние и положе- ние маг- нитной стрелки Состоя- ние диска Состоя- ние цилиндра Характер магнитно- го поля и положение его оси Последо- ватель- ность фаз Примеча- ние
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ
НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ТОКИ
13-1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
В предыдущих главах мы рассматривали явления
в цепях переменного тока, считая, что токи и напряжения
изменяются по синусоидальному закону.
535
Токи и напряжения в значительной части электриче-
ских установок благодаря специально принимаемым мерам
действительно можно считать синусоидальными. Однако
в ряде случаев токи и напряжения в большей или меньшей
мере отличаются от синусоидальных. Причиной появления
несинусоидальных напряжений и то-
ков могут быть как генераторы, так и приемники
энергии.
Рис. 13-1. Несинусоидальная кривая
э д. с , состоящая из основной гармоники и
гармоники третьего порядка с равными
нулю начальными фазами.
В генераторах одной из причин искажения формы кри-
вой э. д. с. является несинусоидальное распределение
магнитной индукции в воздушном зазоре из-за наличия
у якоря зубцов и впадин, реакции якоря и т. д. В при-
емниках энергии со стальными сердечниками несинусои-
дальность тока или напряжения обусловливается нели-
нейной зависимостью между магнитным потоком и намаг-
ничивающим током.
Несинусоидальные токи появляются в цепи во всех
случаях работы приемников энергии с нелинейной вольт-
амперной характеристикой (например, выпрямителей).
При изучении процессов в электрических цепях с неси-
нусоидальными токами и напряжениями целесообразно
воспользоваться теоремой Фурье, согласно которой всякая
периодически изменяющаяся величина (э. д. с., напряже-
ние, ток) может рассматриваться как сумма постоянной
(независимой от времени) величины и ряда синусоидальных
(гармонических) величин с кратными частотами.
536
Гармоническая составляющая, частота которой равна
частоте несинусоидальной величины, называется основ-
ной гармоникой; остальные гармоники, у которых
Рис. 13-2. Несинусоидальная кривая э д с ,
состоящая из основной гармоники с равной
нулю начальной фазой и гармоники третье-
го порядка с начальной фазой, равной 180°.
Рис. 13-3. Несинусоидальная кривая э. д с ,
состоящая из основной гармоники и гармо-
ники третьего порядка с разными началь-
ными фазами.
частота в 2, 3 (и т. д.) раза больше, называются в ы е-
шими гармониками, т. е. второй гармоникой,
третьей гармоникой и т. д.
В качестве примера на рис. 13-1, 13-2 и 13-3 приведены
кривые несинусоидальных э. д. с., состоящих из двух
537
синусоидальных составляющих (пунктирные кривые):
основной синусоиды, имеющей ту же частоту, что и данная
несинусоидальная кривая, и третьей гармоники, имеющей
тройную частоту.
Эти три кривые отличаются друг от друга начальными
фазами третьих гармоник:
Рис. 13-1:
е — ei + е3 = Е1М sin at + £3м sin 3cof;
Рис. 13-2:
е = et е3 = £iM sin со/ —£3м sin Зсо/;
Рис. 13-3:
е = + е3 = £1м sin со/ ф- £3м sin (3at — ф3).
В общем случае, как указывалось, всякая периоди-
чески изменяющаяся величина f (/) или у(х) с периодом
2л может быть разложена на постоянную составляющую
Ао и ряд синусоид, т. е.
f (/) = Ао + Al sin (со/ -4- фД -4- А2 sin (2<о/ + ф2) ф-
+ Д3 sin (Зсо/-f-ф3) 4-..., (13-1)
или
у (х) = Ао + А, sin (х + фД + Az sin (2х + ф2) +
+ А3 sin (Зхф- ф3) -г ..., (13-2)
где Аи Az, А3, ...—амплитуды первой, второй, третьей,
... гармоник;
ф1; Фг> Фз, •••—начальные фазы.
Если воспользоваться известным из тригонометрии
выражением синуса суммы двух углов, то выражение
любой (&-й) гармоники можно преобразовать так:
Ah sin (kx + фд) = Ад sin kx cos фд + Ад cos kx sin фд, (13-3)
где k— любое целое положительное число.
Обозначив
Адсовфд^-Вд; Ай8шфд = Сд,
получим:
Ад sin (kx-}- фд) = Bh sin kx + Сд cos kx. (13-4)
538
Таким образом, ряд (13-2) можно представить в виде
суммы ряда синусов и ряда косинусов с нулевыми на-
чальными фазами:
у (х) = Ло + Bi sin х + В2 sin 2х + sin Зх Ц- . ..
... + Cj cos х-|- С2 cos 2х + С3 cos Зх-ф ... (13-5)
13-2. ВИДЫ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КРИВЫХ
Так как средняя за период (2л) ордината синусоиды
равна нулю
2п
~~ sin xdx = -^~ [cos 0—cos 2л] = О, (13-6)
b
то средняя за период ордината периодической кривой,
состоящей из ряда синусоид и не содержащей постоянной
составляющей, также равна нулю:
2л 2л
J «/(x)dx = -2^- jj [^1sin(x + t1) + A,sin (2х-]-ф2)4-
b b
+ y43sin (Зх-ффз) + . . .] dx = 0. (13-7)
Следовательно, если у периодической кривой средняя
за период ордината равна нулю, то постоянная состав-
ляющая такой кривой тоже равна нулю.
Средняя ордината периодической кривой, состоящей
из постоянной составляющей и ряда синусоид, равна
постоянной составляющей
2л 2л
J y(x}dx = -^-\ M0-MiSin (х + Ф1) +
0 о
+ 42sin(2x + %) +A)Sin(3x-]-t3)+ ...] dx--= Ло. (13-8)
Периодическая кривая называется симметрич-
ной относительно оси абсцисс, если любым
двум абсциссам, отличающимся на половину периода,
соответствуют ординаты, равные по величине и обратные
по знаку (рис. 13-4), т. е. если кривая удовлетворяет урав-
нению
У(Х) — —~У(Х i л). (13-9)
539
Такие кривые обладают тем свойством, что отрица-
тельная полуволна, будучи сдвинутой на половину периода
по оси абсцисс (пунктир на рис. 13-4), представляет собой
зеркальное изображение положительной полуволны относи-
тельно оси абсцисс.
метрнчная относительно оси абсцисс
Кривые, симметричные относительно оси абсцисс, не
содержат постоянной составляющей и высших гармоник
четного порядка.
В самом деле, если
у (х) - До4- 4fsin (х-Н ipj) +- А2 sin (2x4- 49 +
+ Д3 sin (3x4-49
то
у(х 4- л) — Дв4- 4,sin (х-{ лл 4,) -i 42f2(x4 л) 4- 49
4-43sin [3 (х4- л)4-43] 4- ... — Ад—А, sin (х (-44 4-
A,sin (2x4-49—Д3sin (3x4-49+ • • •
Так как симметричные относительно оси абсцисс кри-
вые должны удовлетворять уравнению
у (х) ~ — у(х 4- л) или у (х) 4 у (х 4- л) - - О,
т. е.
Д94 sin (х-f-4i)4-4,sin (2х4-4>2)4- 43sin (ЗХ4-494-
4- . •. i-Л — At sin (x4-49 4-Д2 sin (2x4 49 —
— A3 si n (3x 4- 4з) + • • • -
TO
2A0 4- 2Д2 sin (2x 4- 49 + • • 0-
540
Последнее уравнение должно быть справедливым при
любых значениях х, а это возможно лишь в том случае,
если
Ао 0; А2 - - 0; А; 0 и т. д.
Следовательно, кривая, симметричная относительно
оси абсцисс, содержит только нечетные гармоники
у(х) Asin (x + ^O + AjSin (Зх +а|>3) + ,.. (13-10)
или
у (х) — Bi sin х + В3 sin Зх 4- . ..
.. . Ci cos x-'r C3cos Зх + . . . (13-11)
В электротехнике кривые, симметричные относитель-
но оси абсцисс, встречаются часто, например кривая тока
Рис. 13-5. Несинусоидальная кривая, симметричная
относительно начала координат.
в катушке со стальным сердечником, подключенной к сети
с синусоидальным напряжением (§ 14-5).
Периодическая кривая называется симметрич-
ной относительно начала координат,
если любым двум абсциссам, имеющим одинаковое значе-
ние, но разные знаки, соответствуют ординаты, равные по
величине и обратные по знаку (рис. 13-5), т. е. если кривая
удовлетворяет уравнению
^(х)-- —//( —х).
(13-12)
Так как
у (х) -- Ло + В1 sin x -l-Bosin 2х + В3 sin Зх + . ..
... + Cj cos х -j- С2 cos 2х + С3 cos Зх -j- ...,
541
то
у (— х) = Ао 4- В( sin (—х) 4-В2 sin (— 2х) 4-
4- В3 sin (— Зх) 4-... 4- Cj cos (— х) 4-
4- С2 cos (— 2х) 4- С3 cos (— Зх) 4- ... =
= Ао — Bi sinx — В2 sin 2х—В3 sin Зх—
— ... 4- Сх cos х + С2 cos 2х 4- С3 cos Зх 4-..«
(при изменении знака аргумента у синуса изменяется
знак, а у косинуса нет).
Имея в виду, что рассматриваемые кривые должны
удовлетворять уравнению у(х) ——— х) или #(х)4-
+ у{— х) = 0, получим:
40 4-Bj sin х4-В2 sin 2х4-В3 sin Зх 4-
4- ... -г Ci cos х4~ С, cos 2х 4- С3 cos Зх 4-
4- ... 4- Ао—sinx—В, sin 2х — В3 sin Зх —
— ... 4-C1cosx + C2Cos2x |-C3cos3x = 0,
или
240 + 2С] cos х 4- 2С2 cos 2х 4- 2С3 cos Зх 4- ... = 0.
Но это уравнение справедливо только при условии,
если 4о = 0; Cj = O; С2 =0; С3 = 0 и т. д,-
Следовательно, кривые, симметричные относительно
начала координат, не содержат постоянной составляю-
щей и косинусоид и могут быть представлены рядом
у (х) = Bi sin х4-В2 sin 2х4-В3 sin Зх + ... (13-13)
Весьма часто встречаются кривые, симметричные как
относительно оси абсцисс, так и относительно начала
координат. Эти кривые не содержат постоянной состав-
ляющей, четных гармоник и гармоник косинусов. Урав-
нение такой кривой:
у (х) = Bi sin х 4- В3 sin Зх 4- • • . (13-14)
Кривые, представленные на рис. 13-1 и 13-2, принадле-
жат к этой категории.
Следует отметить, что симметрия или несимметрия
относительно оси абсцисс обусловлена формой кривой
и устранена быть не может. Симметрия же относительно
начала координат в ряде случаев достигается целесообраз-
ным выбором начала отсчета времени.
542
13-3. РАЗЛОЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КРИВЫХ
НА ГАРМОНИКИ
Переменные токи и напряжения могут быть записаны
на фотопленку приборами, которые называются осцилло-
графами или сфотографированы с экрана осциллографа
с электронно-лучевой трубкой.
Полученные кривые могут затем быть разложены в ряд
(на составляющие гармоники) различными методами. Эти
Рис. 13-6. Периодическая кривая, имею-
щая форму трапеции.
методы рассматриваются в курсе математики. Ниже при-
ведены примеры разложения в ряд некоторых встречаю-
щихся в электротехнике кривых.
1. На рис. 13-6 дана периодическая кривая, имеющая
форму трапеции. Она имеет наклонную часть от х = 0 до
х = а и участок, параллельный оси абсцисс, с постоянной
ординатой у = А. Эта кривая может быть разложена в ряд:
и = ™ Г sin a sin + ~ siп За sin 3<о/
J ла L 9
-1- (.L sin 5а sin 5cof |- sin 7а sin last 4-..». (13-15)
ЛХ) 4 У у
В частном случае, когда а = -|-, из ряда (13-15) вы-
падают все гармоники, кратные трем:
6]/ЗА f . , 1 . г . , 1 . „ . \
у ——Н—( smco/ — sin 5ы/--jy, s:n 7©/—... ),
u Я* \ 20 4У у
543
и такая трапеция почти не отличается от синусоиды,
так как амплитуда пятой гармоники в 25 раз меньше,
чем основной, седьмой гармоники — в 49 раз и т. д.
Рис. 13-7. Периодическая кривая, имею-
щая форму треугольника.
2. Кривая, имеющая форму треугольника (рис. 13-7),
может быть разложена в ряд:
84 Z . , 1 . „ , .
I/ = ( sin со/ — -g- sin 4-
sin 5®/ — jlsin . (13-16)
у 1 4 г
0 л гп
Рис. 13-8. Периодическая кривая, имею-
щая форму прямоугольника.
3. Периодическая кривая, имеющая форму прямоуголь-
ника (рис. 13-8), раскладывается в ряд:
w--— Гsin(o£ ( 4-sin3w/-|-
4- 4-sin 5®/+ sin7wf... . (13-17)
О / /
544
4. Кривая однополупериодного выпрямленного синусо-
идального тока (рис. 13-9) раскладывается в ряд:
Л Л л 2
i — ( 1 -г- -тг cos (о/ 4* v cos 2<о/ —
л \ ‘ 2 3
2 2 \
— r^COS 4оз/+ cos . ).
10 35 /
(13-18)
Рис. 13-9. Кривая тока при однополупериодном выпрямлении
и схема соединения выпрямителя.
5. Кривая двухполупериодного выпрямленного синусо-
идального тока (рис. 13-10) раскладывается в ряд:
. 2А <. , 2 п , 2 . . ,
i = — ( 1 4- -s- cos 2со/ — -, г cos 4со/ 4-
л X, 3 15 1
2
4- cos 6b)t —
(13-19)
Рис. 13-10. Кривая тока при двухполупериодном выпрям-
лении п схема соединения выпрямителя.
6. Кривая выпрямленного трехфазного тока (рис. 13-11)
раскладывается в ряд:
. 3} ЗА л. , 1 „ . 2 „ , ,
t-—^-(414-Tc°s3<o/-35cos6®/ +
4- — cos9w/ — jlgcos 12о^-|-. • (13-20)
35 Теоретическая электротехника 545
— 2 л
Рис. 13-11. Кривая выпрямленного синусоидального трехфазного
тока и схема соединения выпрямителя
13-4. НЕ^ЧН/Г ЭИ ДАЛЬНИЕ ТОКИ И НАПРЯЖЕНИЯ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Если в цепи действует несинусоидальная э. д. с. (или
напряжение), которую можно представить состоящей из
ряда гармоник, то ток в цепи с приемниками, имеющими
линейные вольт-амперные характеристики, состоит из тако-
го же числа синусоидальных токов. Каждая гармоника
вызывается действием соответствующей гармоники э. д. с.,
и ток в любой ветви можно определить по принципу нало-
жения, суммируя гармоники тока.
Рассмотрим сначала неразветвленную цепь.
Пренебрегая поверхностным эффектом, можно считать,
что активное сопротивление цепи для всех гармоник
одинаково.
Индуктивное сопротивление цепи для разных гармо-
ник различно. Оно увеличивается пропорционально поряд-
ковому номеру k гармоники, так как
xLli k<-oL. (13-21)
Например, при Е = 0,0318 гн и <о = 314 — для первой
С€К
гармоники (&=1)
xLI = 1-314-0,0318= 10 ом;
для третьей гармоники (k = 3)
хьз = 3-314-0,0318 = 30 ом;
для пятой гармоники (k = 5)
xi5 = 5-314-0,0318 = 50 ом.
546
Емкостное сопротивление для разных гармоник также
различно: оно изменяется обратно пропорционально по-
рядковому номеру гармоники, так как
<1322)
Например, при С -31,8 мкф и <£>=-314-' :
для первой гармоники
1 1°6 1 ЛА
1-314-31.8 ~ 00 0М’
для третьей гармоники
1 106 QQ Q ...
Хсз^Зо>С 3-314-31,8 “ 33,3 0Я’
для пятой гармоники
108 ПА
Хс5 5314-31,8 “20 0М'
Пусть цепь обладает активным сопротивлением, ин-
дуктивностью и емкостью. Для /г-й гармоники полное
сопротивление цепи
(13-23)
и амплитуда соответствующей гармоники тока
где Eh» — амплитуда fe-й гармоники э. д. с.
Угол сдвига фаз между э. д. с. (напряжением) и то-
ком для каждой гармоники получается различным, так
как с изменением порядкового номера активное сопротив-
ление г не изменяется, а реактивное сопротивление xh =
-- k<j)L—изменяется. Тангенс угла сдвига фаз дан-
ной гармоники тока относительно соответствующей гар-
моники э. д. с. (напряжения) можно определить из соот-
ношения
tg<h=^ =------(13-25)
35*
547
Если э. д. с., разложенная на гармоники, задана,
например, уравнением
е e5 = £1Msin (-ф4)4-
+ £зм s’n (3w/-|-фз) + £зм sin (5o)Z + фа),
то ток цепи
i~ h + C Li5=/iMsin(<o^4-^1—<р,) +
4- /Зм sin (3w/ 4- ф3 — ф3) -}- /5м sin (5<о/ 4- ф6 — <р5),
причем
j _ Eim . 1 _ £зм. г _ Е&м
> 1м “> 'Зм — — , '5м ~ ~
'1 г3 г5
И
ig <pi = ~; tg <рз = ~; tg <р5 - .
В цепи, которая обладает только активным сопротив-
лением, одинаковым для всех гармоник, отношение ампли-
туд тока и напряжения неизменно для всех гармоник.
Следовательно, в цепи с активным сопротивлением
кривая тока подобна кривой напряжения (рис. 13-12, а и б).
В цепи, которая обладает активным сопротивлением
и индуктивностью, с увеличением порядкового номера k
гармоники полное сопротивление увеличивается, т. ‘ е.
уменьшается отношение амплитуды гармоники тока к ампли-
туде гармоники напряжения. Иначе говоря, чем выше
порядковый номер гармоники, тем менее резко выражена
данная гармоника в кривой тока по сравнению с кривой
напряжения. Следовательно, в цепи с активным сопротив-
лением и индуктивностью кривые тока и напряжения не
подобны; кривая тока меньше отличается по форме от сину-
соиды, чем кривая напряжения (рис. 13-12, айв).
В цепи, которая обладает активным сопротивлением
и емкостью, с увеличением порядкового номера k гармо-
ники полное сопротивление уменьшается, т. е. увеличи-
вается отношение амплитуды гармоники тока к амплитуде
гармоники напряжения. Иначе говоря, чем выше поряд-
ковый номер гармоники, тем более резко выражена данная
гармоника в кривой тока по сравнению с кривой напряже-
ния. В цепи с активным сопротивлением и емкостью кривые
тока и напряжения не подобны; кривая тока больше отли-
548
Рис 13-12 Кривые напряжения и тока в цепях
с различными параметрами
чается по форме от синусоиды, чем кривая напряжения
(рис. 13-12, а и г).
Если цепь обладает активным сопротивлением, индук-
тивностью и емкостью, то она может оказаться настроен-
ной в резонанс при одной из высших гармоник; полное
сопротивление для этой гармоники будет наименьшим,
и в кривой тока она будет выражена более резко, чем
в кривой напряжения (рис. 13-12, а и д).
Пример 13-1. Определить ток в неразветвленной цепи с пара-
метрами г= 10 ом; L = 0,05 гн и С = 22.5 мкф. Напряжение цепи
(рис. 13-13)
u= 180sin со/ + 60sin Зсо/ + 40sin (5<о/ + 18е) в.
Частота основной гармоники / = 50 гц.
Решение:
г,= /,--+(«£-±)2„/10.+ (зЦ.0,О5-та!^.у-
= V 102 +715,7 — 141)2 = 126 ом;
. х, 15,7-141 125,3
^ = + =-----io— = - 12’53;
^=-8570'; /1м = ^=-]|=1,43а;
г,- j/'•+(>l-s!z)2=/
" = /102+(47-47)2= 10 ом-
, х3 0 L'3v, 60
4бФз = -+ = 7 = 0; <Рз = 0; /зм = ~7=10 = 6 а;
,s= / „+(М-Л-су- = / №+(5.15,7-фу-
= /102+(78,5 —287)2 = 51,2 ом;
4 х5 78,5—28,3 50,2 _
----1(Г-=-11Г = 5,02; <р5 = 78°;
г _^5м _ 40
/вм~ z/~5!.2 °’78 °’
Z=q + /3+ /5= 1,43 sin (ш?+ 85°20') + 6 sin 3<oZ +
+ 0,78 sin (5ш/ —78°) a.
На рис. 13-13 построены гармоники тока и произведено их
сложение.
В этом примере для третьей гармоники получается резонанс
напряжений, полное сопротивление цепи для этой гармоники равно
550
Рис. 13-13. Несинусоидальные кривые напряжения и тока
и составляющие их гармоники.
активному сопротивлению, третья гармоника более резко выражена
в кривой тока, чем в кривой напряжения, что видно из графиков
н из соотношения
к цепи,
каждая
__ 60 £зм _ 6
и1м~ 180-0’33’ /1ч-1,43“4’2’
Если несинусоидальное напряжение подведено
состоящей из нескольких параллельных ветвей,
из которых обладает активным и реактивным сопротивле-
ниями, то формы кривых токов в каждой из параллельных
ветвей в общем случае будут различны. Следовательно,
они отличаются и от формы кривой тока в неразветвленной
части цепи. Ток в неразветвленной части цепи и токи в па-
раллельных ветвях находятся по принципу наложения.
13-5. ДЕЙСТВУЮЩИЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО
ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ
Действующие значения переменного напряжения и тока
любой формы определяются такими же выражениями,
как и для цепи синусоидального тока:
/ т Г т
и У у\ и2 dt; /=-у ~\i2dt. (13-26)
о о
Как уже известно, переменное напряжение несинусо-
идальной формы можно разложить в ряд:
и = U(] 4- Ui U-2 т и3 -f- . . . — Uq ~UIm sin (®/ 4~ Ф1) 4"
4- U2M sin (2a>t + ф2) ; - ^Зм Sin (3®Г -j- Фз) + • • •
Подставляя этот ряд в формулу действующего значе-
ния (13-26), получим:
~ ]/-у (Uo 4~ Uj 4- и2 4~ и3 4- • • • )s dt =
о
l^o+^t«sin(®/4-i|:4)4-f72Msin(2(oZ4-^2)+- • -l2dt
(13-27)
Возведя в квадрат многочлен, заключенный в квад-
ратные скобки, получим новый многочлен, содержащий
следующие слагающие:
552
а) квадрат постоянной составляющей и всех гармо-
ник, т. е. слагаемые вида
l/o, t^Msin2 (AW-Нфл);
б) удвоенные произведения каждого из членов (по-
стоянной составляющей и k-й гармоники) на все после-
дующие (п-е гармоники), т. е. выражения двух типов:
277О17ПМ sin (runt + ф„)
и
211 km sin (kbit -j- фА) • i sin (n(>^ + Фп)-
Интегрирование этих отдельных слагающих дает
т т и2
~ J U20 dt = и20; 4- $ <4м Sin2 (W -L фА) d/ = —~ - ul-,
о о
т
-jr 2U0UnM sin (libit + ф„) dt = 0;
о
т
2L7ftM sin (k(i>t + фА) -UnM sii\(niatty„jdt = O.
о
Таким образом, действующее значение несинусоидаль-
ного напряжения
U = V ul^Ul + Ul + Ul+TT, (13-28)
и2 и2
где Uo—постоянная составляющая, a U2 = , U% =
и т. д. — квадраты действующих значений синусоидаль-
ных составляющих. Аналогично действующее значение
несинусоидального тока
/= V7о + 7? + 72 + /зЧ~.Г? . (13-29)
Действующие значения напряжений и токов не зависят
от величин начальных фаз отдельных гармоник.
Степень несинусоидальности кривых напряжения и тока,
в большей или меньшей степени отличающихся от синусои-
дальной, в зависимости от наличия высших гармоник оце-
нивается коэффициентом искажения. Коэф-
фициентом искажения называется отношение действующего
553
значения основной гармоники напряжения или токакдей-
ствующему значению напряжения или тока.
Таким образом, для напряжения коэффициент искажения
b______________________
yu*+ui + ui+ui+... ’
для тока
ku Л . 71 .
\ П + 11+/1+11+...
Чем меньше коэффициент искажения отличается от
единицы, тем ближе к синусоиде данная кривая.
Для оценки степени несинусоидальности кривой напря-
жения (тока) электрической машины вычисляют так назы-
ваемый коэффициент искажения синусоидальной кривой
напряжения (тока). Этот коэффициент обычно выражают
в процентах. Он равен отношению корня квадратного из
суммы квадратов амплитуд трех наибольших по величине
высших гармоник кривой напряжения (тока) к амплитуде
основной гармоники:
, j/"У к + Ут -J- У п
У, •
В электронике и радиотехнике несинусоидальность
кривой напряжения или тока характеризуют коэффици-
ентом гармоник (коэффициентом нелинейных искаже-
ний). Для напряжения и тока
и Vui+ui+..: h vn+ii+..:
Пример 13-2. Определить действующее значение тока:
i = 282 siri'W/ -|- 141 sin 3w/ -f-71 sin а.
Решение:
/ =282 = 200 а.
| 2 V 2
а-, /5 = ^=^2^ = 50 а;
V2 V2 /2/2
/ = / /f+Zf+/| = / 200*4-1002+502 = 229 а.
554
13-6. МОЩНОСТЬ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНОМ ТОКЕ
Средняя, или активная, мощность при несинусоидаль-
ном токе измеряется, как и в случае синусоидального тока,
отношением израсходованной в цепи за период энергии
к продолжительности периода, т. е.
Р = -^ р dt = -4 uidt. (13-30)
Подставив в формулу (13-30) мгновенные значения не-
синусоидального тока и напряжения, получим:
P -j.^ |P0+P)Msin (®i-R^H-^sin (2®/-;-ф.,) . |-
О
+ Р'з.ч sin (3®/ -р ф3) -|- ... ] [/0 -J- /1м sin (®/ ф^— <pt) -р
4-/гм bin (2®/ + ф2—<p2)-H3Msin (3®/ + ф3—ф3) -|- .. .] dt.
Перемножив многочлены, заключенные в квадратные
скобки, получим интегралы четырех типов:
а) интеграл от произведения постоянных величин
4- J UoIodt = U0I0;
о
б) интегралы от произведений двух синусоид одной и
той же частоты
т
UhM sin (k<ot + фА) /am Sin (ka>t + фА — фА) dt •=
=-//й/a cos фА;
в) интегралы от произведения постоянной величины на
синусоиду
ЦЛм8ш(А:®/4-фк—фА)<// -0;
1
Т
/(/4м sin (k<s>t + фА) dt = Q;
70
555
г) интегралы от произведений двух синусоид с раз-
ными частотами
т
UЛм sin (kost 4- Чч) In« sin (nat 4 - <р„) dt - 0.
о
Таким образом.
Р L \/0 4- U,1, cos ф< 4- cos ср, 4-
4 П3/3 cos Фз-Ро 1 Pt !-Р2“-гРз4 -.., (13-31)
т. е. средняя или активная мощность несинусоидального
тока равна сумме средних-(активных) мощностей отдельных
гармоник.
По аналогии с синусоидальными токами среднюю мощ-
ность несинусоидальных токов можно выразить через
действующие значения тока и напряжения (U и /). Так как
в общем случае произведение UI больше Р, то для того,
чтобы выразить через него мощность, нужно произведение
U! умножить на некоторый коэффициент, меньший еди-
ницы, который называют коэффициентом мощности и обо-
значают у.
Следовательно,
Р - Р,4 Р24-Р34-... - (13-32)
Следует иметь в виду, что в последнем выражении
коэффициент мощности у не представляет собой тригоно-
метрического косинуса угла сдвига фаз между напряжением
и током. Действительно, несинусоидальный ток или напря-
жение не могут быть выражены при помощи вращающихся
векторов, кривые тока и напряжения в общем случае даже
не являются подобными кривыми, так что невозможно дать
понятие об угле сдвига фаз, введенное для синусоидальных
токов.
На практике напряжения и токи несинусоидальной фор-
мы часто заменяют равнозначными синусоидальными, имею-
щими такие же действующие значения (Jul, что дает
возможность пользоваться векторными диаграммами.
При замене несинусоидальных кривых напряжения
и тока равнозначными синусоидальными последние необ-
ходимо сдвинуть друг относительно друга на такой угол <р,
чтобы средняя мощность, вычисленная по формуле Р =-
- (JI cos <р, была равна активной мощности цепи несину-
556
соидального тока, иначе говоря, необходимо, чтобы косинус
угла сдвига фаз между равнозначными синусоидами был
равен коэффициенту мощности %.
Пример 13-3. Определить действующие значения напряжения
и тока, активную мощность и коэффициент мощности для цепи при-
мера 13-1:
1,0 с; /3
б1м 180 60
U4 = - - - ~ = —— = 127 в; U3 -= ~^= --= 42,5 в;
1 У 2 ]2 У 2
<+ = 4== 28,4 в;
5 /2
и = УUl + Ul + Uf^V 1272 4-42,52^-28,42= 137 в;
/1 = -^ = -ЬВ=1,0 с; /3=—=4,25 а;
/2 V2 /2 -
, 0,78 пгг
/6=-2~ = 0,55 с;
1 =- у'll+Jl + Ц = V 1,02-1-4,252 + 0,552 = 4,4 а;
cos <Pi = 0,081; cos<p3=l; costps = 0,194;
=/+/! cos +4 127-1,0-0,081 = 10,5 вт;
P3=l/3/3 cos q>3= 42,5-4,25= 180 вт;
Pb=U6/5cosq>5=28,4-0,55-0,194 = 3,0 вт;
Р = Р4 + Р3+Р5= 10,5+ 180 + 3,0= 193,5 вт;
Р _ 193,5 _ 193,5 . „„
C0S% Ul 137-4,4 603 0,32‘
13-7. ФИЛЬТРЫ
Цепи, содержащие катушки индуктивности и конден-
саторы, обладают различным сопротивлением для гармоник
тока разного порядка k. Это дает возможность при заданной
форме кривой напряжения генератора илн сети изменять
форму кривой тока в приемнике энергии путем включения
между приемником и генератором специальных устройств —
электрических фильтров.
Пусть, в кривой напряжения генератора, питающего
приемник, имеется гармоника порядка k, а в кривой тока
приемника составляющую этого порядка нужно свести
к минимуму. Включим между приемником и генератором
фильтр (рис. 13-14, а), состоящий из параллельно соеди-
ненных конденсатора и катушки индуктивности (с ничтож-
557
ным, по возможности, активным сопротивлением), настроен-
ных в резонанс (токов) для этой гармоники:
kaL -- . -уг.
Такой фильтр имеет для k-й гармоники весьма большое
сопротивление (при г = 0 бесконечно большое) по сравне-
нию с сопротивлением для остальных гармоник, следова-
тельно, k-я гармоника тока в приемнике будет незначи-
тельна. Фильтр называют заграждающим. 6
Рис. 13-14. Схемы заграждающих электрических фильтров.
Для той же цели можно применить фильтр по
рис. 13-14, б, состоящий из последовательно соединенных
конденсатора и катушки индуктивности (с ничтожным,
по возможности, активным сопротивлением), также на-
строенных в резонанс (напряжений), но включенных парал-
лельно приемнику энергии. При малом сопротивлении
фильтра для fe-й гармоники по сравнению с сопротивлением
приемника ток этой гармоники замкнется в ветви с индук-
тивностью и емкостью и будет отсутствовать в приемнике.
Одновременное применение обоих фильтров (рис. 13-14, в)
дает еще лучшую фильтрацию.
Фильтры, выполненные по схемам (рис. 13-15), вклю-
чают, чтобы пропустить к приемнику гармонику тока
порядка k и не пропустить другие гармоники тока (поло-
совой фильтр). У фильтра, представленного на рис. 13-16, а,
индуктивное сопротивление последовательно включенной
катушки растет с увеличением номера гармоники, а сопро-
тивление параллельно включенных конденсаторов, наобо-
рот, падает. Поэтому фильтр имеет ничтожное сопротивле-
ние для постоянной составляющей тока, малое сопротивле-
ние для гармоник тока с малым порядковым номером (низ-
кие частоты) и большое сопротивление для гармоник тока
558
с высоким порядковым номером (высокой частоты). Такое
устройство называют фильтром низких частот.
Рис. 13-15. Схемы полосовых электрических фильтров.
Фильтр, представленный на рис. 13-16,6, наоборот,
оказывает бесконечно большое сопротивление постоянной
составляющей тока, большое сопротивление гармоникам
Рис. 13-16. Схемы электрических фильтров низкой
частоты (а) и высокой частоты (б).
тока низкой частоты и малое сопротивление гармоникам
тока высокой частоты (фильтр высоких частот).
13-8. ВЫСШИЕ ГАРМОНИКИ В ЦЕПИ ТРЕХФАЗНОГО ТОКА
Допустим, что в обмотках трехфазного генератора
наводятся симметричные э. д. с. искаженной формы, содер-
жащие первую, третью и пятую гармоники:
ел — €ai + Саз + Са5 = Д1м sin at +
+ Езм sin 3at + Еыи sin 5®^; (13-33)
Св = Cbi + евз + Св5 = fiM sin a (t —у +
+ Дзм sin 3® Q — -уТ^ + £5Msin5w (j — =
= Ei„ sin (at — -у л + Дзм sin Зю/ +
Ч-Дьм sin ($at + -у лЛ ; (13-34)
559
Сс = ect Н ^cs + — -Eim мп со +
4-£3м sin 3w (J — 4-Е&ч sin 5®(/ —
= £1и sin (at 4--| л ) 4- Е.1М siri о»/ ]-
4'£'5м 4in f 5со/ —|-л ) . (13-35)
Гармоники этих трех э. д. с. показаны на рис. 13-17.
Действующие значения э. д. с. одинаковы:
Ряс 13-17. Первые, третьи и пя-
тые гармоники трехфазной си-
стемы э. д. с.
£д-£д - £с =
V 2 1 2 2 —
-КЁТ+ЁГРЁГ - Еф.
(13-36)
Из рис. 13-17, а также
из формул (13-33), (13-34)
и (13-35) видно, что все
гармоники э. д. с. второй
фазы (В) сдвинуты относи-
тельно гармоник э. д. с.
первой фазы (Л) на V3 Т
(периода основной синусои-
ды, т. е. первой гармоники),
а все гармоники э. д. с.
третьей фазы (С) на 2/3 Т.
Так как период третьей
гармоники (Тз) в 3 раза
меньше периода основной
синусоиды, т. е. Та Ч3Т,
то третья гармоника вто-
рой фазы сдвинута на це-
лый период (Т3) относи-
тельно третьей гармоники
первой фазы, а третья гар-
моника третьей фазы — на
два периода (2Т5) относи-
тельно третьей гармоники
первой фазы. Но сдвиг на
560
целый период или целое число периодов равносилен
отсутствию сдвига и, следовательно, третьи гармоники
во всех трех обмотках совпадают по фазе.
Если кривые э. д. с., кроме третьей гармоники, содержат
гармоники, кратные трем, т. е. 9-ю, 15-ю, 21-ю и т. д.,
то для ннх справедлив аналогичный вывод.
Следует заметить еще, что пятая гармоника имеет обрат-
ную последовательность фаз (в фазе В э. д. с. пятой гармо-
ники опережает э. д. с. той же гармоники в фазе А на
угол 2лЗ).
При соединении обмоток генератора звездой (рис. 1318)
линейные напряжения равны разностям соответствующих
фазных э. д. с. или напряжений. Так как во всех обмотках
генератора третьи и кратные им гармоники э. д. с. совпа-
дают по фазе, то разность их равна нулю. Следовательно,
в линейных напряжениях отсутствуют третьи и кратные
им гармоники (9-я, 15-я и т. д.).
Таким образом, действующее значение линейного напря-
жения
Пл-/3 \rE2t + El-\-... (13-37)
Очевидно, отношение линейного напряжения к фаз-
ному меньше )Л3 , г. е.
/к.
Еф Сф
/3 +
Пример 13-4. Определить показания вольтметров, включенных
между точками АВ и АХ (рис. 13-18), и найти отношение линейно-
го напряжения к фазному, если фазная э. д. с. задана уравнением
е$ —100 sin со/4-40 sin Зсо/4- Ю sin 5<о/ в,
действующее значение фазного напряжения
1002 402 <02
- + ~+-2- = 77 в;
составляющие линейного напряжения
Сл1 = /3(/ф1--/3 -г--= 122 в;
Г *
л- 10
C.Tj-=l 3 (7ф5 — | 3 у~—12,2 в,
36 Теоретическая электротехника
561
действующее значение линейного напряжения
Уав = = / 122212,22 = 123 в1
отношение линейного напряжения к фазному
-^ = ^=.1,6.
Уф 77
Если соединить обмотки
(рис. 13-19) , то суммарная
генератора треугольником
э. д. с. в контуре обмоток
Рис 13-18 Соеди-
нение обмоток ге-
нератора звездой.
Рис 13-19 Соеди-
нение обмоток ге-
нератора треуголь-
ником.
равна утроенной сумме третьих и кратных трем гармо-
ник э. д. с., т. е.
е — Зе34 Зе9 4- Зе^ 4~ • • • = 3 (е3 4- 4* е\ъ 4- • • • )•
Сумма остальных гармоник э. д. с. равна нулю.
Действующее значение суммарной э. д. с.
Е = 3]/-Е1 + Е1 + Е1~+ТГ:
Даже при отсутствии нагрузки (при отключенных прием-
никах энергии) в замкнутом контуре обмоток возникает
ток
i = С 4- 4~ 4s 4~ • • •
Действующие значения гармоник тока
j ЗЕ а » ЗЕо
= и т- Д-
где z3, zs,... — полные сопротивления каждой обмотки
генератора для соответствующих гармо-
ник.
562
Действующее значение тока
Падение напряжения от каждой гармоники тока в каж-
дой обмотке равно э. д. с. этой гармоники I3z3 = Е3;
l3z3 -- £3. Следовательно, э. д. с. третьей и кратных ей
гармоник уравновесятся падениями напряжений на обмот-
Рис 13-20 Соединение генератора и приемни-
ков энергии треугольником
ках генератора. Поэтому линейные напряжения, как и при
соединении звездой, не содержат этих гармоник.
Действующее значение линейного напряжения
U Л = V £Н^ + £: + £2и+... (13-38)
Подключим к генератору, соединенному треугольником,
внешнюю цепь (рис. 13-20). Так как фазные напряжения
приемников, равные линейному напряжению Un, не содер-
жат третьих и кратных им гармоник (13-38), то и в фазных
токах приемника iAB, iBC, Ica эти гармоники отсутствуют.
Нет их и в линейных токах iA = iAB — iCA, iB, ic-
Действующее значение линейного тока при равномер-
ной нагрузке фаз
/л = V 3" Д+^+--- (13-39)
Действующее значение фазного тока в обмотках гене-
ратора, где протекают и токи гармоник, кратных трем:
/ф = у11+11 + 11 + Р1 + 11^Г (13-40)
Отношение линейного тока к фазному току генератора
при равномерной нагрузке
36*
563
Пример 13-5. Трехфазный генератор, обмотки которого соедине-
ны треугольником, питает приемник энергии с одинаковыми сопро-
тивлениями фаз (рис. 13-20). Фазные токи генератора содержат пер-
вую, третью и пятую гармоники /j = 40 а; /3=20 а;/5 = 20 а. Опре-
делить действующие значения фазных и линейных токов и отноше-
ние линейного тока к фазному.
Действующее значение фазного тока генератора
/ф=//? +-1-/2 =/402 + 202-4-202 = 49 а.
Действующее значение линейного тока
Лг /З //f + /f = /3 / 402-4-202 =77,5 а.
Отношение линейного тока к фазному току генератора
При соединении обмоток генератора звездой, как уже
было показано, линейное напряжение не содержит гармо-
Рис 13-21. Генератор, соединенный звездой,
питающий приемник энергии, соединенный
треугольником.
ник, кратных трем. Нет их и в токах приемников, соеди-
ненных треугольником (рис. 13-21), а значит, и в линей-
ных токах.
При соединении генератора и одинаковых приемников
энергии звездой и отсутствии нейтрального провода линей-
ные и равные им фазные токи опять не содержат гармоник,
кратных трем. Но между нулевыми точками генератора
и приемников напряжение смещения нейтрали не равно
нулю.
В четырехпроводной трехфазной системе (рис. 13-22)
при симметричных синусоидальных фазных э. д. с. и равно-
мерной нагрузке ток в нейтральном проводе 1^, как изве-
стно, равен нулю.
При несинусоидальных фазных э. д. с., содержащих
третьи гармоники, фазные токи и равные им линейные
564
токи содержат и третьи гармоники:
где г3 — сопротивление приемника и обмотки генератора
для тока третьей гармоники.
Гармоники э. д. с., не кратные трем, не дают при равно-
мерной нагрузке тока в нейтральном проводе, гак как
сдвинуты по фазе друг относительно друга на равные
у(лы 120°. Третьи гармоники э. д. с. и токи в фазах А, В
Рис 13-22 Соединение генератора и при-
емника энергии звездой с нейтральным
проводом
и С, как уже известно, совпадают между собой по фазе;
поэтому ток в нейтральном проводе равен сумме трех
третьих гармоник фазных токов: /,у - 3/3.
Если фазные э. д. с., кроме третьей гармоники, содер-
жат гармоники, кратные трем, т. е. 9-ю, 15-ю, 21-ю и т. д.,
то для них можно сделать аналогичный вывод. В этом
случае действующее значение тока в нейтральном проводе
Av 3K/H-/J+... (13-41)
ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ
ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА СО СТАЛЬЮ
14-1. ТОК, НАПРЯЖЕНИЕ И МАГНИТНЫЙ ПОТОК
В ЦЕПИ СО СТАЛЬЮ
На практике часто встречаются электрические цепи, ко-
торые содержат катушки со стальными сердечниками, на-
пример, дроссели, трансформаторы, электрические машины.
565
В катушке со стальным сердечником магнитный поток
частично или полностью замыкается через стальной магни-
топровод (рис. 14-1, а).
При наличии переменного тока в катушке с сердечни-
ком, выполненным из магнитно-мягкого материала, намаг-
ничивание и размагничивание происходят по одному и тому
же закону, т. е. восходящая и нисходящая ветви гистере-
зисного цикла практически совпадают (рис. 14-1, б).
б)
Рис 14-1 Катушка с замкнутым стальным сердечни-
ком и кривая намагничивания при отсутствии гисте-
резиса.
Если при перемагничивании сердечника максимальные
значения потока Фм и тока г'макс находятся на линейном
участке кривой намагничивания, то расчет цепи ничем
не отличается от рассмотренного в предыдущих главах,
так как при синусоидальном токе магнитный поток и напря-
жение на катушке также синусоидальны.
Но часто максимальный магнитный поток и макси-
мальное значение магнитной индукции в сердечнике до-
стигают значений, соответствующих участкам кривой намаг-
ничивания на ее колене или за коленом. В этом случае
зависимость между магнитным потоком в сердечнике и током
в обмотке катушки нелинейна, а индуктивность такой
катушки зависит от величины тока. Расчет цепи значи-
тельно усложняется, так как пользоваться формулами,
которые выведены в предположении, что индуктивность
цепи постоянна, нельзя.
566
Очевидно, что в нелинейной цепи при синусоидальном
токе магнитный поток будет несинусоидальным, и на-
оборот, при синусоидальном магнитном потоке несину-
соидален намагничивающий ток.
14-2. ПОСТРОЕНИЕ КРИВОЙ НАМАГНИЧИВАЮЩЕГО ТОКА
Как и при расчетах нелинейных цепей постоянного
тока, для исследования цепей переменного тока со сталью
широко применяются графические методы.
В начале рассмотрим построение кривой намагничи-
вающего тока, предположив, что к зажимам катушки со
стальным сердечником подведено синусоидальное напряже-
ние и что потери энергии в обмотке и сердечнике равны
нулю.
Очень важно запомнить, что при синусоидальном напря-
жении на зажимах катушки магнитный поток тоже
синусоидален.
Действительно, если магнитный поток изменяется по
закону
Ф = Фмзп1<о/, (14-1)
то э. д. с. самоиндукции
<1Ф ,
eL = —w~dt~= — йуФмЮсоз <ог =
= — £„sin + , (14-2)
где £'м = йуФм®, а приложенное напряжение (пренебре-
гая активным падением напряжения)
ц= — eL = £,Msin (at = t/Msin (at Ду) , (14-3)
т. е. напряжение изменяется синусоидально, опережая маг-
нитный поток по фазе на угол л/2.
По кривой Ф (/) = Фм sin at и зависимости Ф (г), по-
добной кривой намагничивания В (Н), можно графически
по точкам построить кривую намагничивающего тока i (/)
в обмотке катушки (рис. 14-2).
Для произвольного момента 1 по кривой Ф (/) находим
значение магнитного потока (ордината 1—2); отметив то же
значение магнитного потока на кривой намагничивания
(ордината 3—4), определяем значение соответствующего
567
тока (абсцисса 0—3). Отложив это значение тока от точки 1
вверх при положительном значении тока или вниз — при
отрицательном, получим ординату 1—5 кривой тока i (/)•
Построив тем же методом для различных моментов времени
ряд точек и соединив их плавной кривой, получим иско-
мую кривую тока. Кривая тока несинусоидальна, но сим-
Рис. 14-3. Равнозначная синусоида кривой
тока.
метрична относительно оси абсцисс. Из рис. 14-2 следует,
что ток и магнитный поток одновременно проходят через
нулевые значения и одновременно достигают максимумов.
Сравнив кривую тока с кривой, представленной на рис. 13-2,
можно сделать вывод, что она содержит резко выраженную
568
третью гармонику (рнс. 14-3). При большом насыщении
стали кривая тока содержит также пятую и седьмую гар-
моники.
14-3. МОЩНОСТЬ
При отсутствии потерь в обмотке и стальном сердеч-
нике энергия, затраченная при намагничивании, равна
Рис. 14-4. Графики тока, напряжения
и мощности.
энергии, возвращенной в сеть при размагничивании,
а активная мощность цепи равна нулю.
Действительно, активная мощность при несннусоидаль-
ном токе равна сумме активных мощностей гармоник (13-31),
т. е. Р — Uili cos <pt -г U3I3 cos ф3. Но хотя ток, как мы
установили, и содержит первую и третью гармоники, напря-
жение синусоидально, т. е. содержит только основную
гармонику (U3 = 0). Сдвиг по фазе между напряже-
нием (14-3) и первой гармоникой тока /1М sin и/равен
Следовательно, Р = -= cos~ = 0. Кривые напря-
жения тока и мгновенной мощности изображены на рис. 14-4.
14-4. РАСЧЕТ НАМАГНИЧИВАЮЩЕГО ТОКА
При расчете цепи со стальным сердечником несинусо-
идальный намагничивающий ток I часто заменяют равно-
значным синусоидальным i' = /м sin (рнс. 14-3). В этом
569
случае для цепи можно построить векторную диаграмму
(рис. 14-5), аналогичную диаграмме катушки без стального
сердечника.
На диаграмме рис. 14-5 длина вектора магнитного
потока равна в некотором масштабе амплитудному зна-
4/=-£ чению магнитного потока, которое опре- деляем по заданному напряжению U = Е, частоте / и числу витков катушки w из формулы (8-27):
Т 4k(l_fw 4,44/t» ‘ (14 4) Если поперечное сечение сердечника S
£ известно, то амплитудное значение маг- нитной индукции в стали
Рис. 14-5. Век- торная диа- грамма катуш- ки без учета потерь. В = _ U (14-5\ м S 4k^fwS 4,44fwS' 1 1 По основной кривой намагничивания (рис. 5-20) находим максимальную напря-
женность поля Нмакс, затем максимальное значение тока
_______ /АиакД
1макс — w
(14-6)
где / — длина средней магнитной линии.
Если построена кривая зависимости потока Ф от то-
ка / (рис. 14-2 и 14-3), где t = ^-, то по найденной ве-
личине потока Фм сразу определяем t'MaKC.
Для вычисления действующего значения тока макси-
мальное значение тока нужно разделить на коэффициент
амплитуды [см. (8-23)]
j__ 'макс _ 7/макс/ /14 71
ka “ kaw • 1 >
Амплитуда равнозначной синусоиды тока /м = 1^2/,
как и всякой синусоиды.
Для кривых тока, симметричных относительно оси
абсцисс, коэффициент амплитуды выражают в виде про-
изведения двух множителей:
ka - = /2^ , (14-8)
570
где § — поправочный коэффициент, зависящий от формы
кривой тока, которая в свою очередь зависит от Вм.
Значение коэффициента £ при индукции в электротех-
нической стали, не превосходящей Вм — 10 000 гс, прини-
мается равным единице. В этом
случае /м = iMaKC. При боль-
ших величинах магнитной ин-
дукции значение этого коэф-
фициента для электротехни-
ческой стали находится по
графику рис. 14-6.
14-5. ВЛИЯНИЕ ГИСТЕРЕЗИСА
НА ФОРМУ И ВЕЛИЧИНУ
НАМАГНИЧИВАЮЩЕГО ТОКА
Рис. 14-6. Зависимость попра-
вочного коэффициента от мак-
симальной магнитной индук-
ции.
Полученная на рис. 14-3
кривая тока построена без
учета гистерезиса. В действи-
тельности процесс намагни-
чивания и размагничивания сердечника протекает по не-
совпадающим ветвям петли гистерезиса.
При синусоидальном напряжении
и = Un sin Г at -ф-^-
и в этом случае э. д. с. и магнитный поток синусоидальны
и определяются теми же выражениями, что и в предыду-
щем случае, т. е.
ЙФ г- . < , л \
eL = — и = — w --- EKsm[at---% J ,
Ф = Фм sin at.
Кривую несинусоидального тока i (t) можно построить
по кривой потока Ф (/) и петле гистерезиса Ф («) графи-
чески по точкам, как и на рис. 14-3. На рис. 14-7 приведено
такое построение, причем ординаты кривой тока для пер-
вой четверти периода определяются по абсциссам восходя-
щей ветви петли гистерезиса (лежащей между точками а
и Ь), для второй четверти периода — по абсциссам нисхо-
дящей ветви петли гистерезиса (лежащей между точка-
ми b и с) и т. д.
571
Из рис. 14-7 видно, что в этом случае ток и магнитный
поток одновременно достигают своих максимальных зна-
чений, а нулевых значений магнитный поток достигает
позже, чем ток.
Рис. 14-7. Построение кривой тока по кривой магнитного потока
и петле гистерезиса
14-6. МАГНИТНЫЙ ПОТОК ПРИ СИНУСОИДАЛЬНОМ
НАМАГНИЧИВАЮЩЕМ ТОКЕ
Если обеспечить протекание по обмотке катушки сину-
соидального тока
i ~1ц sin оз/,
то магнитный поток будет несинусоидальным; э. д. с.
и напряжение также будут несинусоидальны. Кривая
магнитного потока для этого случая может быть построена
по заданной кривой тока i (/) и петле гистерезиса. На
рис 14-8 приведено такое построение; для произвольного
момента времени (точка 1 на оси абсцисс) по кривой тока
находим его мгновенное значение (ордината 1—2). Найдя
то же значение тока на петле гистерезиса (абсцисса 0—3),
определяем соответствующее этому току значение магнит-
ного потока (ордината 3—4). Откладывая это значение
магнитного потока от точки 1 вверх при положительном
значении магнитного потока и вниз — при отрицательном,
получим ординату 1—5 кривой магнитного потока. Построив
таким образом для различных моментов времени ординаты
кривой магнитного потока и соединив их, получим кри-
вую магнитного потока.
572
Кривая магнитного потока имеет тупую форму и содер-
жит, кроме основной, третью гармонику (а при большом
насыщении пятую и седьмую). Тангенс угла наклона каса-
“ А О «
тельной к кривой магнитного потока tg р = в какой-
либо точке пропорционален индуктированной в этот
Рис. 14-8. Построение кривой магнитного потока по кривой тока
и петле гистерезиса.
момент времени э. д. с., а следовательно, и напряжению.
Нетрудно понять, что кривые э. д. с. и напряжения имеют
острую форму.
14-7. ВОЛЬТ-АМПЕРНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
КАТУШКИ СО СТАЛЬЮ
В § 14-4 мы установили, что максимальное значение
магнитной индукции в стальном сердечнике катушки
определяется приложенным к катушке напряжением
"макс ~ 4йфш/5 '
Каждому действующему значению напряжения на зажи-
мах катушки U соответствует определенное максимальное
значение магнитной индукции — определенная максималь-
ная ордината петли гистерезиса, по которой при данном
напряжении происходит циклическое перемагничивание
сердечника. Так, напряжению UА соответствует петля АА'
(рис. 14-9), напряжению иБ — петля ББ' и т. д. Как
известно, вершины максимальных ординат А, Б, В, Г
и т. д. лежат на основной кривой намагничивания, кото-
рая почти совпадает с кривой начального намагничива-
573
ния. Следовательно, основная кривая намагничивания
(рис. 14-10) связывает наибольшие значения магнитной
индукции и напряженности магнитного поля Вмкс (//макс).
Но так как наибольшее значение напряженности поля про-
Рис. 14-10. Основная кривая
намагничивания,
Рис. 14-11. Вольт-ам-
перная характеристи-
ка катушки со сталь-
ным сердечником.
порционально току (14-6), то>основная кривая намагничива.-
ния при других масштабах по осям абсцисс и ординат
574
практически дает зависимость действующего значения на-
пряжения на зажимах катушки от действующего значения
тока в ней. Если значения напряжения отложить по оси
абсцисс, а значение тока — по оси ординат (рис. 14-11),
то получим кривую зависимости тока от напряжения,
т. е. вольт-амперную характеристику катушки со сталь-
ным сердечником.
При относительно небольших значениях напряжения
сердечник не насыщается и зависимость между током
и напряжением близка к линейной (участок кривой ОЛ).
При больших значениях напряжения зависимость между
током и напряжением резко отличается от линейной. Сле-
дует обратить внимание на то, что если катушку (или не-
иагруженный трансформатор) с номинальным напряже-
нием U„ включить на повышенное, например удвоенное,
напряжение 2US (рис. 14-11), то ток в катушке может быть
в десятки раз больше номинального 7Н.
14-8. ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ ОТ ГИСТЕРЕЗИСА
На рис. 14-12, кроме кривых напряжения и, потока Ф
и тока i катушки со стальным сердечником, построена кри-
вая мгновенной мощности р = ui.
Средняя ордината последней кривой по определению
равна активной мощности
т т
Р = pdt = -^~ uidt.
о о
Площадь, ограниченная положительной частью кривой
мощности и осью абсцисс, представляет собой энергию,
затраченную при намагничивании; площадь, ограниченная
отрицательной частью кривой и осью абсцисс,— энергию,
возвращаемую при размагничивании сердечника.
Площадь, ограниченная кривой мгновенной мощности
и осью абсцисс в течение периода (равная сумме положи-
тельной и отрицательной площадей), представляет собой
электрическую энергию, которая преобразуется в сердеч-
нике в тепло при одном цикле перемагничивания. Можно
доказать, что эта площадь пропорциональна площади петли
гистерезиса.
575
Мощность потерь при перемагничивании стали обычно
рассчитывается по формуле, составленной на основании
экспериментов:
Рг--=Лк<У-10-7, (14-9)
где ц— коэффициент гистерезиса (для различных сортов
стали изменяется в пределах от 0,001 до 0,03);
f—частота, гц;
Вмаке. — максимальное значение магнитной индукции, гс;
V — объем стали, сл3;
Рг — мощность потерь на перемагничивание, вт.
Рис. 14-12. Графики напряжения, магнитного
потока, тока и мощности.
Более точна при максимальной индукции ВМакс, мень-
шей 10 000 гс, формула
Pr== [“ Тоб' Тоооо + Р ТббС’ГОоотО 1
а для индукции выше 10 000 гс применима формула
где а, Р и (Ус — коэффициенты, значения которых для
различных сортов стали соответственно
различны;
f—частота, гц;
Вщакс — максимальная магнитная индукция, гс;
G—вес стали, кг.
576
14-9. ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ ОТ ВИХРЕВЫХ ТОКОВ
При изменении магнитного потока, пронизывающего
стальной сердечник» в нем индуктируются вихревые токи,
замыкающиеся в плоскостях, перпендикулярных магнит-
ным линиям.
Вихревые токи вызывают нагрев стали и снижают
к. п. д. электрических машин, трансформаторов и других
электромагнитных аппаратов и механизмов. Кроме того,
вихревые токи оказывают размагничивающее действие,
создавая н. с., направленную против основной н. с. ка-
тушки (по закону Ленца).
Для уменьшения потерь от вихревых токов стальные
сердечники набираются, как известно, из отдельных лис-
тов толщиной 0,35 или 0,5 мм, изолированных друг от
друга (рис. 6-15). В таком случае сопротивление сердеч-
ника вихревым токам увеличивается, а сами токи умень-
шаются.
Мощность потерь от вихревых токов рассчитывают по
формуле, составленной на основании экспериментальных
данных:
где (JB — коэффициент, значение которого лежит в преде-
лах 0,6 — 5,6 при йф-1,11.
14-10. ПОТЕРИ В СТАЛИ
Суммарные потери в сердечнике от гистерезиса и ви-
хревых токов называются потерями в стали:
Рс -Рг-, РВ. (14-13)
Для оценки потерь в стали при частоте 50 гц можно
пользоваться приближенной формулой
= , (14-И)
где Рс —потери в стали, вт/кг;
Рю 5о — потери в стали, вт!кг, при Вм = 10000 гс
и f — 50 гц;
Вмакс— максимальное значение индукции, гс.
37 Теоретическая электротехника 577
Значения рю/50, установленные ГОСТ 802-58 для раз-
личных марок электротехнической стали, указаны
в табл. 14-1.
Таблица 14-1
Марка стали Толщина листа, мм Р10/50- «'«/«
эп 0,5 3,3
Э12 0,5 3,2
Э13 0,5 2,8
Э21 0,5 2,5
Э31 0,5 2,0
Э31 0,35 1,6
Э41 0,5 1,6
Э42 0,5 1,40
Э41 0,35 1,35
Э42 0,35 1,2
Э43 0,5 2,8
14-11. УГОЛ ПОТЕРЬ
Выше было указано, что при синусоидальном напря-
жении на зажимах катушки со стальным сердечником ток
несинусоидален, но может быть заменен равнозначным
синусоидальным.
При этой замене равнозначный ток должен быть сдвинут
по-фазе относительно напряжения на угол <р, косинус кото-
рого равен коэффициенту мощности, так как вследствие
гистерезиса и вихревых токов активная мощность Р равна
не нулю (§ 14-3), а мощности потерь Рс.
Обозначив, как и прежде, мгновенное значение равно-
значного тока Г, можно написать:
1
Р = -^г ui' dt = UI coscp, (14-15)
о
откуда
СО£Ф PT •
(14-16)
Замена несинусоидального тока синусоидальным дает
возможность построить векторную диаграмму (рис. 14-13).
Эта диаграмма отличается от диаграммы катушки при
578
отсутствии потерь в стали (рис. 14-5) тем, что вектор тока 7
повернут относительно вектора напряжения на угол <р или
относительно вектора магнитного по-
тока на угол 6 — угол потерь.
Разложим ток / на две составляю-
щие: активную /а = 7 cos <р = 7 sin 6,
совпадающую по фазе с напряжением U,
и реактивную — намагничивающую /ц =
=7 sin ф = 7 cos 6, совпадающую по фазе
с магнитным потоком. Первая из них
обусловлена потерями в стали, и так
как
P==Pc = f// cos ср = Ul sin б = 7//а,
то
Рис. 14-13. Век-
торная диаграмма
катушки со сталь-
ным сердечником
с учетом потерь
в стали.
(14-17)
Вторую находим по способу, изло-
женному выше в § 14-4.
Из векторной диаграммы (рис. 14-13)
следует, что ток и его составляющие
связаны соотношением
+ (14-18)
Угол потерь определяется из формулы
‘ч
14-12. ВЕКТОРНАЯ ДИАГРАММА КАТУШКИ
СО СТАЛЬНЫМ СЕРДЕЧНИКОМ
а) Влияние активного сопротивления
Если нельзя пренебречь активным сопротивлением г
обмотки катушки, то напряжение и на ее зажимах больше
э. д. с. eL. В этом случае напряжение состоит из двух сла-
гающих, одна из которых и' = — eL равна и противо-
положна по знаку э. д. с. самоиндукции, наводимой маг-
нитным потоком Ф, а другая ца = ir совпадает по фазе
с током i.
Векторная диаграмма такой катушки, изображенная
на рис. 14-14, строится следующим образом.
37* 579
В произвольном направлении откладываем вектор Фм.
Параллельно вектору Фм откладываем вектор /и и пер-
пендикулярно вектор /а; сумма двух векторов /и и /а
равна вектору тока в обмотке катушки /. Под углом 90°
к вектору магнитного потока Фм откладываем вектор индук-
тированной в катушке э. д. с. Е и в противоположную
сторону — вектор слагающей напряжения U' = Е, уравно-
вешивающей эту э. д. с. Парал-
лельно вектору тока проводим век-
тор активного падения напряжения
Еа = 1г.
Вектор напряжения U получает-
ся сложением векторов U’ и Ua.
Рис 14-14. Век-
торная диаграмма
катушки со сталь-
ным сердечником
с учетом потерь
в стали и активно-
го сопротивления
обмоткн.
Длина средней магнитной
обмотки 0,95 ом.
Рис. 14-15. Катушка со сталь-
ным сердечником.
Пример 14-4. Построить векторную
диаграмму катушки (рис. 14-15) с числом
витков ш=200, включенной в сеть 120 в,
50 гц. Сердечник катушкн набран из
листов электротехнической стали Э42
толщиной 0,5 мм и имеет сечение 22,5 см2.
линии 50 см, активное сопротивление
Так как активное падение напряжения Ua обычно мало по срав-
нению с напряжением па зажимах катушки, определим магнитный
поток и индукцию в сердечнике, считая U' U:
. U' 120-108
" 4,44/а>^ 4,44-50-200 ’ ' МКС'
Вм = ^ = ^^ = 12 000 гс.
По кривой намагничивания (рис. 5-20) иандем напряженность
магнитного поля Ямакс = 10 а/см~. следовательно, максимальная и. с.
/макск1==^макс/— 10-э0= 500 а.
580
Принимая по кривой (рис. 14-6) £ = 1,1 в соответствии с Вм =
= 12 000 гс, находим действующее значение намагничивающего тока:
/ ----999----^=1.61 а.
' 2£ 200 V 2-1,1
Определим вес стали, приняв плотность 7,8 г/г,и2:
G = 22,5-50-7,8-10-3 = 8,77 кг
Мощность потерь в стали
Слагающая тока, обусловленная потерями в стали:
Рс 18 -
= 12б = °’15 а'
Ток в катушке
[ 1 /2ц + {а "= У ГбТЧ^бД^ =1,62 а.
Угол сдвига фазы тока относительно магнитного потока опреде-
лим через t-го тангенс по формуле
'«’Ч-гя -ода
откуда
б = 5°20' (sin 5°20' = 0,093; cos 5 20'= 0,996).
Активное падение напряжения
t/a = /r= 1,62-0,95 = 1,54 в.
Составляющая Ь"л совпадает по фазе с напряжением U'
(рис. 14-14):
U.A- ил sin 6= 1,54-0,093 = 0,14 в.
Составляющая U"A сдвинута по фазе на угол 90' относительно
напряжения U';
иа~^ил сочд -1.54-0,996= 1,53 в.
Напряжение на зажимах катушки
С/= }A(t/'-|-t7j2 Ht7’)S=) Т20,12ч1Т532 = 120,2 в.
Если бы полученное напряжение U было заметно больше U', то
все величины следовало бы уменьшить в отношении U'/U, допуская,
что в узких границах изменения напряжения ток пропорционален
приложенному напряжению. В нашем же случае вследствие незна-
чительной разницы между исходным напряжением (U' - 120 в)
н полученным (U —120,2 в) пересчитывать величины в отношении
120
120 2 НеТ «Сходимости.
£81
Активная мощность катушки
Р=Рс+/2г=18+ 1,622-0,95 = 20,5 вт.
Коэффициент мощности
Р 20,5
COS,p=W=l20T62 = 0’106-
б) Влияние магнитного рассеяния
До сих пор мы считали, что весь магнитный поток замы-
кается в сердечнике. В действительности часть магнитного
потока проходит частично или полностью по воздуху
(рис. 14-16).
Магнитный поток, замыкающийся в сердечнике, назы-
вают о с н о в н ы
м
Рис. 14-16. Основной
магнитный поток и
поток рассеяния ка-
тушки со стальным
сердечником.
потоком (обозначение Ф), маг-
нитный поток, замыкающийся через
воздух, — потоком рассея-
ния (обозначение Фр).
Первый из них, т. е. основной по-
ток, как мы уже знаем, не пропорцио-
нален току; поэтому при определении
индуктированной им э. д. с. сле-
дует исходить из соотношения
d<D
или
Е = 4^ф/щФм.
Основной поток обусловливает
потери в стали и сдвинут по фазе
на угол 6. Магнитные линии потока
относительно тока
рассеяния замыкаются в воздухе; поэтому поток рассея-
ния пропорционален току, и при вычислении индуктиро-
ванной им э. д. с. можно пользоваться формулой, спра-
ведливой для катушек без стального сердечника:
— j ^1'
р dt ’
(14-20)
где индуктивность рассеяния
Лр=~, (14-21)
Тр — потокосцепление потока рассеяния Фр с витками
катушки. Поток рассеяния Фр совпадает по фазе с
582
равнозначным током в катушке Г. Следовательно, при
наличии магнитного потока рассеяния напряжение на
зажимах катушки
1) составляющей,
тивоположной
состоит
и
Рис. 14-17. Век-
торная диаграмма
катушки со сталь-
ным сердечником
с учетом потока
рассеяния.
из трех составляющих:
равной, но про-
по знаку э. д. с. само-
индукции, наводимой основным потоком
и опережающей по фазе этот поток
на V4 периода:
U'-E^ 4&ф/ЪФм;
2) составляющей, равной, но про-
тивоположной по знаку э. д. с. само-
индукции, наводимой магнитным по-
током рассеяния и опережающей по
фазе ток на х/4 периода:
t/p=Ep=-£1)())/; (14-22)
3) активного падения напряжения,
совпадающего по фазе с током:
Va = lr.
Таким образом, напряжение на за-
жимах катушки:
(/- t/ч йР+ия=
— (— Ё) (— £р) t7a.-
На рис. 14-17 приведена векторная диаграмма катуш-
ки с учетом влияния магнитного потока рассеяния.
14-13. СХЕМА ЗАМЕЩЕНИЯ КАТУШКИ СО СТАЛЬНЫМ
СЕРДЕЧНИКОМ
При исследовании электрических цепей, содержащих
катушки со стальным сердечником, часто заменяют их
равнозначными электрическими цепями без стали — схема-
ми замещения. Схему замещения составляют так, чтобы
при одинаковом напряжении на зажимах обеих цепей
они имели одинаковые мощности и токи. Потери в стали
в схемах замещения заменяют потерями в активных сопро-
тивлениях.
На рис. 14-18 и 14-19 даны схемы замещения катушки
со стальным сердечником. В схеме рис. 14-18 сопротивле-
ние г равно активному сопротивлению обмотки, сопротив-
583
ление х = w£p — реактивному сопротивлению, обусловлен-
ному магнитным потоком рассеяния. Активная проводи-
мость g0 — ~ выбирается в соответствии с активной со-
ставляющей тока, определяемой по потерям в стали. Реак-
тивная проводимость Ьо выбирается в зависимости
от величины намагничивающей составляющей тока. В по-
Рис 14-18 Схема замеще-
ния катушки со стальным
сердечником
Рис. 14-19 Схема замеще-
ния катушки со стальным
сердечником.
следних формулах напряжение из разветвленной части схе-
мы замещения V = £, т. е. равно напряжению, которое
уравновешивает э. д. с., индуктируемую основным маг-
нитным потоком в цепи со сталью.
Разветвленный участок цепи может быть заменен не-
разветвленным с сопротивлениями г0 и хо (рис. 14-19),
величины которых определяются по формулам:
Го = -^- или Го = (П-23)
А'« /(-т)2-г02, ИЛИ (14-24)
Векторная диаграмма реактивной катушки со сталью
полностью соответствует как той, так и другой схемам заме-
щения.
14-14. ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС ПРИ ВКЛЮЧЕНИИ
КАТУШКИ СО СТАЛЬНЫМ СЕРДЕЧНИКОМ
ПОД ПЕРЕМЕННОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
При включении катушки без стального сердечника
с сопротивлением г и индуктивностью £ — под перемен-
ное напряжение
w^£Msin (со/-)-ф)
584
в ней возникает ток (§ 9-13)
I /\еГ4 цв"- sin (at +ф— ф)—
— sin (ф—ф) e x .
Если катушка обладает весьма малым сопротивлением,
которым можно пренебречь (г - 0), то
z~aL, -м = —* Ц;. ф= „и т--- --со.
г ы/.1 2 г
При включении такой катушки ток
»==«>ет Г ZCB--/MSin^C0/4-<|) — -^^ —
— /Msin0— 0е°-=
/„sin 0/ф-ф— 0 — /„sin 0—-0 •
Этот ток состоит из синусоидальной установившейся
составляющей и постоянной (не зависящей от времени)
свободной составляющей, величина которой зависит от
момента включения цепи (угла ф).
Свободная составляющая тока имеет наибольшее зна-
чение в том случае, если включение цепи произойдет
в момент, когда напряжение проходит через нулевое зна-
чение, т. е. ф = 0.
В этом случае ток
i -7Msin 0Z—-0—-7Msin (0--0 =
=- /м sin 0/ —"2 0 Im-
Oh изменяется периодически (рис. 14-20) от нулевого
до наибольшего значения
__ о] _ о
*макс ~ *
Магнитный поток в катушке в каждый момент вре-
мени пропорционален току; следовательно, пропорцио-
585
нально току и потокосцепление
W = Li LiycT LiCB = Ч^уст -f- 'Рсв =
= LIM sin ((at — ~+ Ыы.
Поэтому кривая потокосцепления (рис. 14-20) подобна
кривой тока.
Рис 14-20 Графики тока и магнитного потока катушки без сердеч-
ника и потерь при включении ее под переменное напряжение.
Изменяющийся магнитный поток индуктирует в контуре
э. д. с., которая уравновешивается приложенным напря-
Рис. 14-21. Кривая намагничи-
жением и.
При включении катушки
со стальным сердечником под
переменное напряжение маг-
нитный поток изменяется по
тому же закону, что и у ка-
тушки без сердечника (связь
между напряжением и пото-
ком в обоих случаях одна и та
же). Но так как зависимость
вания катушки со стальным
сердечником
между потоком и током не
линейна, а определяется
кривой намагничивания Ф (г)
или ¥ (г) (рис. 14-21), то кривая тока отличается от кри-
вой магнитного потока. Кривую тока можно построить
по точкам (рис. 14-22) по заданной кривой потока Ф (/)
или потокосцепления Т(/) и кривой намагничивания
Ф (г) или Т (г).
586
Если при максимальных и близких к ним значениях
магнитного потока сердечник насыщается, то максималь-
ные значения тока 1манс резко возрастают по сравнению
с наибольшими значениями тока в катушке без стального
сердечника (рис. 14-20).
Рис. 14-22. Графики тока и магнитного потока катуш-
ки без потерь со стальным сердечником при включе-
нии ее под переменное напряжение.
При включении катушки со стальным сердечником,
обладающей практически сопротивлением, хотя и незна-
чительным (часто встречающийся на практике случай
включения ненагружённого трансформатора), происходя-
щий процесс несколько отличается от рассмотренного.
В этом случае свободная слагающая потокосцепления TCb
не постоянна, а изменяется во времени по закону, близ-
„ L
кому к показательной функции Тсв » Тме х; следова-
тельно, общее уравнение потока
T = TycT + TCB = TMsin(^-4) + TMe"* . (14-25)
Из уравнения (14-25) следует, что при небольшом зна-
чении у (незначительном сопротивлении) первое после
включения цепи максимальное значение потокосцепления
Ч'макс равно примерно удвоенному значению амплитуды
установившегося потока Последующие максимумы по-
степенно уменьшаются в соответствии с уменьшением сво-
бодной слагающей TCB (рис. 14-23).
По заданной кривой намагничивания (рис. 14-21) и по-
лученной кривой Т (/) можно построить по точкам кривую
тока (рис. 14-24).
587
В трансформаторах при нормальном режиме работы
амплитудному значению потока соответствует магнитная
индукция порядка 1,2 тл. G увеличением магнитного
патока до двойного амплитудного значения при включе-
нии трансформатора магнитная индукция достигает (тео-
Рис. 14-23. График потокосцепления катушки,
обладающей малым активным сопротивлением,
при включении ее под переменное напряжение.
ретически) значения 2,4 тл, что влечет за собой резкий
рост тока.
Экспериментальные исследования показали, что иногда
при включении трансформатора ток в 3—5 раз превосходит
установившийся ток при номинальной нагрузке. С целью
Р 14-24. График тока катушки со сталь-
ным сердечником при включении ее под
переменное напряженке.
уменьшения больших значений тока переходного режима,
опасных из-за возникающих электродинамических уси-
лий, при включении мощных трансформаторов последова-
тельно с ними вводят сопротивления, которые затем замы-
каются накоротко.
588
14-15. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ
КОНДЕНСАТОРА И КАТУШКИ СО СТАЛЬНЫМ
СЕРДЕЧНИКОМ
L Г
дат
Рис 14-25. Нераэветвленная
цепь, состоящая из катушки
со стальным сердечником и
конденсатора.
Рассмотрим неразветвленную цепь (рис. 14-25), состоя-
щую из катушки со стальным сердечником и конденсатора.
Предположим, что все несинусоидально изменяющиеся
величины замененыравнознач-
ными синусоидальными, а
активными сопротивлениями
катушки и потерями в сер-
дечнике можно пренебречь.
Зависимость напряжения на
катушке О ъ от тока I задана
вольт-амперной характеристи-
кой катушки ОА (рис. 14-26),
а напряжения на конденса-
торе Ос — прямой ОБ.
Напряжение на катушке опережает по фазе ток на 90°,
а напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока
Рис. 14-26. Вольт-амперная характеристика не-
разветвленной цепи, состоящей из катушки со
стальным сердечником и конденсатора.
на 90° (рис. 14-27). Поэтому разность ординат кривых О А
и ОБ, равная ординатам кривой' ОВ, представляет собой
напряжение на зажимах цепи О — \ ОЪ — Ос \ при раз-
589
личных значениях тока. При значении тока, для которых
> Uс, ток I отстает по фазе на угол 90° от напряжения
цепи U (рис. 14-27). При больших значениях тока, для
которых UL < Uс, ток / опережает по фазе напряжение
цепи U на угол 90° (рис. 14-28).
Практически из-за наличия в цепи незначительного
активного сопротивления, а также потерь в стали и неси-
Рис. 14-27. Вектор-
ная диаграмма це-
пи, изображенной
нарис. 14-25, прн
*7г. > Uc-
S, , ..-о-
Ur
И
Рис. 14-28. Вектор-
ная диаграмма це-
пи изображенной иа
рис. 14-25, при
UL> Uc.
нусоидальности кривой тока кривая напряжения цепи
U расположена несколько выше (кривая Оавб). Из послед-
ней характеристики видно, что при одном и том же напря-
жении Ui на зажимах цепи возможны три значения тока:
It, 12 и h- В двух первых случаях ток отстает по фазе от
напряжения (UL > Uc), а в третьем — опережает его
(UL<zUc). Такая неопределенность — несколько значе-
ний тока в цепи при одном и том же напряжении — может
иметь место только в цепях с нелинейными характеристи-
ками. Режим работы цепи при токах It и 13 устойчив, так
как на восходящих участках характеристики с увеличе-
нием напряжения U ток возрастает, а с уменьшением
напряжения уменьшается. Наоборот, режим при токе 12
неустойчив, так как на спадающем участке вольт-амперной
характеристики с уменьшением напряжения U ток растет
и с повышением напряжения падает; следовательно, ма-
590
Рис. 14-29. Кривые
зависимости тока, на-
пряжения на катушке
и напряжения на кон-
денсаторе от напряже-
ния на зажимах цепи.
леишее изменение напряжения вызовет переход от дан-
ного режима работы цепи к первому илн третьему ре-
жиму.
Если постепенно увеличивать напряжение цепи от нуля
до значения Ut, то ток увеличивается от нуля до значе-
ния /р, дальнейшее увеличение напряжения до значения,
чуть большего Ua, приведет к скачку тока от значения 1а
до величины 1б, после чего с ростом
напряжения ток продолжает нарас-
тать плавно.
Если теперь уменьшать напряже-
ние, то при напряжении Ut получим
устойчивый режим работы с то-
ком /3. При дальнейшем уменьше-
нии напряжения на зажимах цепи
ток плавно уменьшится, но когда
напряжение достигнет значения,
чуть меньшего Ue, получится ска-
чок тока от значения 1е до значе-
ния 1г. Характерно, что при каждом
скачке фаза тока по отношению к
приложенному напряжению U из-
меняется на 180° (рис. 14-27 и 14-28),
поэтому это явление иногда называ-
ют «опрокидыванием».
На рис. 14-29 даны кривые тока,
напряжения на индуктивности и на-
пряжения на емкости в зависимости
от напряжения' на зажимах цепи
при его увеличении. Как видно из
кривых, одновременно со скачком
тока происходит скачок напряжения
на емкости, что может привести в установках высокого
напряжения к перенапряжению.
Напряжение на катушке после скачка тока остается
почти неизменным из-за насыщения сердечника катушки,
несмотря на значительные изменения напряжения на
зажимах цепи. Это явление лежит в принципе устройства
ферромагнитных стабилизаторов на-
пряжения, предназначенных для поддержания по-
стоянным напряжения иа приемниках (подключенных па-
раллельно катушке) при изменении напряжения в питаю-
щей сети.
591
14-16, УСТРОЙСТВО И ПРИНЦИП РАБОТЫ
ТРАНСФОРМАТОРА
При передаче и распределении электроэнергии необходимо иметь
различные электрические напряжения.
Как было указано выше (§ 3-7), при передаче электроэнергии
от станции к пункту ее потребления, расположенному на большом
расстоянии, для уменьшения потерь электроэнергии и уменьшения
веса проводов необходимо напряжение генератора (несколько сотен
или тысяч вольт) повысить до напряжения электропередачи порядка
сотен киловольт. Напряжение питания отдельных приемников должно
Рис. 14-30. Схема устройства и соеди-
нения трансформатора.
быть низким ’в связи с меньшими мощностями приемников и для
безопасности их обслуживания. Повышение и понижение напряжения
достигаются при помощи трансформаторов.
Трансформатор состоит из замкнутого сердечника (магнитопро-
вода), набранного из листовой электротехнической стали и двух (или
большего числа) обмоток, наложенных на этот сердечник (рис. 14-30).
Обмотка, приключаемая к питающей сети или к генератору, назы-
вается первичной; другая обмотка, к которой присоединяются
приемники энергии или получающие энергию сети, называется вто-
ричной.
Таким образом, трансформатор отличается от ранее рассмотрен-
ной катушки со стальным сердечником наличием вторичной обмотки.
Если первичную обмотку трансформатора подключить к сети
с напряжением (Д. а вторичную оставить разомкнутой, то режим
работы трансформатора называется режимом холостого хода (без
нагрузки).
В этом случае процессы, происходящие в первичной цепи транс-
форматора и его сердечнике, те же, что и в катушке со стальным
сердечником.
Ток в первичной обмотке /х называют в этом режиме током
холостого хода. Обусловленный им магнитный поток в сер-
дечнике или рабочий магнитный поток, пронизывающий обе обмотки,
индуктирует в первичной обмотке э. д. с.
Е1 = 4йф/а.'1Фм,
а во вторичной обмотке э. д. с.
Е'з — ТАф/гг/зФм’
592
поток создает
с. самоиндук-
трансформатора
Эти э. д. с., отстающие по фазе от магнитного потока на х/*
периода, между собой совпадают по фазе (рис. 14'31).
Часть магнитного потока, которая сцеплена только с витками
первичной обмотки, называется магнитным потоком рассеяния пер-
вичной обмотки (Фр1). Этот
в первичной обмотке э. д.
цин £р1.
Векторная диаграмма
при холостом ходе (рис. 14-31) отличается от
векторной диаграммы катушки со стальным
сердечником (рис. 14-17) только наличием
вектора э. д. с. £2.
Напряжение на зажимах первичной об-
мотки трансформатора состоит из трех состав-
ляющих:
U \ — Ui~\-Up-\-U а
—o
При холостом ходе первая из них Ui, равная
по величине э. д. с. £t, приближенно равна
первичному напряжению так как две дру-
гие составляющие (активное и реактивное па-
дения напряжения в первичной обмотке) бла-
годаря малому значению тока холостого хода
малы по сравнению с первой. Таким образом,
при холостом ходе первичное напряжение
приближенно равно э. д. с. £ь а вторич-
ное напряжение (Л равно э. д. с. £2, так как
ток /2 = 0.
Отношение напряжений на зажимах об-
моток при холостом ходе трансформатора
Рис. 14-31. Век-
торная диаграмма
при холостом ходе
трансформатора.
UL _ £t _ _ Wl k
E2~ 4£ф/да2Фм ~ w2 ~
(14-26)
называется -коэффициентом трансформации
Wa
Fc.th > 1 (t/j^t/j), трансформатор называют понижающим,
при 1 < U2) — повышающим.
В рабочем режиме трансформатора (т. е. при наличии приемников
энергии, присоединенных к вторичной обмотке), как и при холостом
ходе, первичное напряжение U^Ui + U^A-U^ (рис. 14-32) или
= W £(==£!, a U]~ УЩ^иТн^'г 'T'FRf - '1*1 ~
падение напряжения в первичной обмотке трансформатора. Падение
напряжения в первичной обмотке U'i даже при номинальном токе
обычно не превышает 1—2% первичного напряжения, так как сопро-
тивление обмотки Zi мало. Поэтому составляющую Ui можно считать
примерно равной первичному напряжению Ut. Для уменьшения
потока рассеяния и, следовательно, падения напряжения U'i обмотки
трансформатора помещают на один стержень (обычно концентрически
одну на другую), так как поток рассеяния зависит от промежутка
между обмотками.
38 Теоретическая электротехника
593
Таким образом, независимо от режима работы трансформатора
прн неизменном значении первичного напряжения U± почти неизменной
Рис. 14-32. Векторная
диаграмма нагруженно-
го трансформатора.
остается и э. д. с. £], а следовательно,
и возбуждающий ее рабочий магнитный
поток Фм,
В приемнике энергии с сопротивле-
нием г = г2-р№ под действием э. д. с.
£2 возникает ток
------2---------- , (14-27)
V (г2+ г)2 + (*г+ *)2
отстающий по фазе от э. д. с. Е2 иа
угол ф2, определяемый по формуле
‘g4'2=M^. (14-28)
где г2 и х2—активное и реактивное со-
противления вторичной об-
мотки трансформатора.
Независимо от величины тока I и
н. с. /2w2 рабочий магнитный поток тран-
сформатора, как указывалось, не изме-
няется. Это возможно только в том слу-
чае, если одновременно с появлением
во вторичиой цепи тока /2 в первичной
цепи ток /j увеличится до значения, при
котором сумма н. с. первичной и вто-
ричной обмоток равна н. с. холостого
хода, т. е.
llwl + l2w2 = /xwi,
откуда ток
(14-29)
Рост тока первичной цепи со значения /х до величины/] вызывает,
конечно, увеличение падения напряжения в первичной обмотке
(/jZj^-ZxZj), что при неизменном первичном напряжении l/j возможно
только при уменьшении составляющей а следовательно, и рабо-
чего магнитного потока Фм. Но эти изменения весьма незначительны,
так как падение напряжения в обмотке трансформатора, как указы-
валось, не превышает 1—2%.
Ток холостого хода трансформатора мал по сравнению с током
первичной цепи /] при значительных нагрузках трансформатора.
Поэтому в уравнении (14-29) им можно пренебречь и, следовательно,
написать:
или
/] а'2 __ 1
/2 ft
(14-30)
594
У нагруженного трансформатора индуктированная во вторичной
обмотке э. д. с. £2 состоит нз двух составляющих: падения напря-
жения во вторичной обмотке /2г2 и напряжения на сопротивлении
приемника или на зажимах вторичной обмотки трансформатора 1/2
(рис. 14-32). На рис. 14-32 дана векторная диаграмма трансформатора
для случая смешанной нагрузки (активной и индуктивной).
Необходимо обратить внимание на то, что часть напряжения
первичной цепи U'lt равная Ej, сдвинута по фазе относительно
э. д. с Ei и Е2 на угол 180°. При незначительных падениях напря-
жения в обмотках трансформатора первичное напряжение Ut сдвинуто
по фазе относительно составляющей на весьма незначительный
угол; также на незначительный угол сдвинуто напряжение С/2 относи-
тельно э. д. с. Е2. Таким образом, угол сдвига между напряже-
ниями (/j и U2 близок к 180° н во многих случаях с достаточной
точностью его можно считать равным 180°.
14-17. АВТОТРАНСФОРМАТОР
Автотрансформатор отличается от трансформатора тем, что вместо
двух обмоток имеет одну, разделенную иа две части (рис. 14-33).
При включении в сеть (с напряжением во всей обмотке
автотрансформатора с числом витков a'j
индуктируется э. д. с.
На участке обмотки с числом витков
напряженке
и2^Е2^4кф?м2Ф[Л.
Таким образом,
U2 ~ ~ w2 ~ '
откуда вторичное напряжение
u2=ut
Wi k
Рис. 14-33. Схема авто-
трансформатора.
Выбирая участок обмотки с соответствующим числом витков, мы
можем на его зажимах получить напряжение, составляющее часть
первичного напряжения, или, наоборот, подведя напряжение к части
обмотки с числом витков w2, на зажимах всей обмотки с числом
витков получить увеличенное напряжение.
Аналогично трансформатору соотношение между токами в авто-
трансформаторе определяется уравнением
= l2w2,
откуда
/2=Л^ = М-
гг/2
Ток 12 сдвинут по фазе относительно тока /( на угол, близкий
к 180°, т. е. направлен противоположно току /j.
38* 595
Таким образом, ток на участке обмотки с числом витков u’z равен
разности токов (11 и /2). Последнее обстоятельство, с одной стороны,
приводит к уменьшению потерь на нагревание обмоток, а с другой
стороны, дает возможность этот участок обмотки выполнить из про-
вода меньшего сечения, т. е. получить экономию материала обмотки.
14-18. УТРОИТЕЛЬ ЧАСТОТЫ
Рис. 14-34. Схема утроите-
ля частоты.
Соединим первичные обмоткн трех одинаковых однофазных
трансформаторов звездой, а вторичные обмоткн последовательно
(рис. 14-34). При симметричных трехфазных напряжениях на входных
зажимах А, В и С цепи на выходных
зажимах аг вторичных обмоток пере-
менное напряжение имеет частоту,
в 3 раза большую частоты прило-
женного напряжения. Рассмотрим,
каким образом получается утроение
частоты.
Первичные обмотки трансформа-
тора соединены звездой без нейтраль-
ного провода. При отсутствии ней-
трального провода по обмоткам, как
известно, не могут проходить совпа-
дающие по фазе третьи гармоники
тока, вызывающие самое заметное ис-
кажение кривой тока. Поэтому по пер-
вичным обмоткам трансформатора про-
ходят практически синусоидальные
токи. Если ток достаточно велик и до-
стигается магнитное насыщение сер-
дечников, то магнитные потоки в сер-
дечниках несинусоидальны и содер-
жат, кроме основной гармоники, главным образом третью гармонику
(см. § 14-6). Во вторичных обмотках будут индуктироваться э д. с.,
которые также содержат основную и третью гармоники. При последо-
вательном соединении вторичных обмоток сумма основных гармоник
э. д. с., сдвинутых по фазе друг относительно друга на 120^, равна
нулю, а третьи гармоники, совпадающие по фазе, дадут напряжение
на зажимах
а = еАЗ+ eS3+ есз = Зе3.
14-19. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. ИЗМЕРЕНИЕ
ПОТЕРЬ В СТАЛИ (§ 14-8, 14-9 и 14-10)
План работы
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы, и записать их основные технические данные.
2. Собрать схему (рис. 14-35) и показать ее руководителю.
Ваттметр, включенный по данной схеме, измеряет мощность
Р вт = Р сТ Р мН Рв + РБ,
596
где Рс — потери в стали;
Рм=/2г— потери в меди;
U2
Рв =------потери в вольтметре;
г в
(/2
Р'в==~,---потери параллельной обмотки ваттметра.
гв
Потери в стали сердечника
/’с = />вт-(РМ+/’в + *>в)-
Разделив потери на вес сердечника (кг), получим потери, отнесен-
ные к 1 кг стали:
3. Вычислить напряжение, которое нужно подвести к катушке
для того, чтобы создать в сердечнике магнитную индукцию 4 000,
6 000, 8 000, 10 000, 12 000 и 15 000 гс.
Рис. 14-35. Схема к лабораторной работе 14-19.
Напряжение U = 4,44 fwSBM, которое нужно подвести к катушке,
устанавливается при помощи лабораторного автотрансформатора-
Чтобы получить напряжение в вольтах, надо подставить в последнюю
формулу S в см2 и Вм в вб/см2.
4. Установить найденные напряжения и записать в табл. 14-2
показания приборов.
Таблица 14-2
Л’> и 1 ВТ I 1 Р« ра Р' в ре G А»
П/П вт а гц вт вт вт вт кг вт/кг
5. Для каждого значения вычислить потери в стали и потери,
отнесенные к 1 кг веса (Ро)
6. По полученным данным построить графики Pg (SM) и / (Д).
597
ГЛАВА ПЯТНАДЦАТАЯ
ДЛИННЫЕ ЛИНИИ (ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ)
15-1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В предыдущих главах рассматривались электрические цепи
с сосредоточенными параметрами, в которых сопротивления, индук-
тивности и емкости были сосредоточены на отдельных коротких
участках.
Цепи, в которых эти параметры распределены по всей длине их,
называются цепями с распределенными параметрами.
Для цепи с сосредоточенными параметрами характерно, что
в каждый момент времени ток в любом сечении неразветвленной
цепи имеет одно и то же значение.
Рис. 15-1. Длинная линия.
В неразветвленных цепях с распределенными параметрами токи
в разных сечениях неодинаковы по ряду причин: во-первых, вслед-
ствие проводимости изоляции отдельных участков, обусловливающей
токи утечки, во-вторых, вследствие емкости между отдельными
участками, обусловливающей токи смещения и др.
Так как токи утечки пропорциональны напряжению, а токи
смещения пропорциональны частоте и напряжению, то с ростом
напряжения и частоты их влияние становится все более заметным.
Само собой разумеется, что токи утечки и смещения увеличиваются
при увеличении протяженности участков цепи.
К цепям с распределенным]! параметрами прежде всего относятся
линии и сети, соединяющие генераторы и потребителей энергии.
Па рис. 15-1 показана двухпроводная линия, соединяющая гене-
ратор Г и приемник. Если в такой линии можно пренебречь токами
утечки, между проводами через проводимость изоляции проводов
и токами смещения через емкость между проводами, то цепь следует
рассматривать как простую неразветвленную. Тогда ток в любом
сечении один и тот же, в частности, ток в начале линии Ц равен
току в конце линии /2, а напряжение в конце линии U-, меньше
напряжения в начале линия t/j на величину падения напряжения
в проводах.
Гораздо сложнее расчет режима с учетом токов утечки и сме-
шения.
598
В этом случае передачу энергии следует рассматривать как дви
жение электромагнитных волн (электрического и магнитного полей)
или волн тока и напряжения
При включении генератора в начале линии возникают волны
тока и напряжения, которые движутси от генератора (начало линии)
к приемнику (конец линии).
Когда электромагнитная волна достигает конца линии, ее энергия
в общем случае лишь частично поглощается приемником. Поэтому
возникают отраженные волны тока и напряжения, перемещающиеся
в обратном направлении — от приемника к генератору. Только при
специально подобранном сопротивлении нагрузки вся энергия погло-
щается приемником и отраженные волны отсутствуют.
Рис. 15-2. Изменение тока вдоль длинной линии.
Скорость распространения электромагнитных волн вдоль проводов
воздушных линий в первом приближении можно считать равной ско-
рости распространения электромагнитных волн в вакууме с, которая,
как известно, составляет 300 000 к.»!сек
Расстояние на которое распространяется электромагнитная волна
или волна тока и напряжения в течение периода Т, называется
длиной волны (обозначение Л); таким образом,
Х = с7’ = у .
При частоте [ — 50 гц длина волны
при частоте / = 10® гц=1 Мгц имеем к = 300 м, а при частоте
/=109 гц = 100 Мгц получаем Х = 3 м и т. д
При известной длине волны легко качественно показать рас-
пределение тока (или напряжения) вдоль линии в любой момент
времени и без вычислений токов утечки и смещения. Особенно
просто строится график распределения тока (или напряжения),
когда отраженных волн нет. Если, например при частоте /=1 Мгц
в некоторый момент времени ток i (рис. 15-2) в начале линии
(на зажимах генератора) равен нулю, то в тот же момент времени
на расстоянии Х/4 — 75 м от начала наблюдается наибольшее значе-
ние .тока; на расстоянии Х/2=150л от начала он равен нулю,
на расстояния ЗЛ./4 = 225 м ток опять максимален, на расстоянии
А, = 300 м он снова равен нулю, и т. д.
599
В следующий момент времени характер распределения тока
будет таким же, но нулевые и максимальные значения тока будут
наблюдаться в других сечениях линии
Неодинаковость тока наблюдается только в линиях, длина ко-
торых I составляет значительную долю длины волны Л. Такие линии
называют длинными (по отношению к длине волны, т. е. в электри-
ческом отношении). Так как длина волны обратно пропорциональна
частоте, то одна и та же линия при одной частоте будет длинной
линией, а при другой, меньшей частоте может быть и «недлинной».
Например, при стандартной технической частоте / = 50 гц вдоль
линии протяженностью / = 300 м укладывается только одна двадца-
титысячная часть длины волны
I _ 0,3 _ 1
А. “6 ООО “20 000 '
Следовательно,
практически величина тока, проходящего через каждое сечение
линии в любой выбранный момент времени, одна н та же. Ляния
слишком «короткая», чтобы на ней можно было заметить такое
неравномерное распределение тока — с максимумами и минимумами,
как па рнс 15-2. Таким образом при частоте /- = 50 гц эту линию
можно считать недлинной. При частоте /= 1 Мгц, как мы уже видели,
на той же линии (/=300 м) уложится одна волна тока и, следова-
тельно, линия будет длинной.
15-2. УРАВНЕНИЯ ОДНОРОДНОЙ ЛИНИИ
Любая электрическая линия, например двухпроводная линия
электропередачи или электросвязи, характеризуется четырьмя пер-
вичными параметрами, отнесенными к единице ее длины:
Рнс 15-3. Равнозначная схема длинной линии.
активным сопротивлением проводов г0, индуктивностью проводов Lo,
активной проводимостью изоляции между проводами go и емкостью
между проводами Сл.
Активное сопротивление и индуктивность линии часто называют
ее продольными параметрами, а проводимость изоляции
н емкость— поперечными параметрами.
Если первичные параметры распределены равномерно по всей
длине линии, то линию называют однородной.
При исследовании длинных липни (рис. 15-1), обладающих рас-
пределенными параметрами, их обычно заменяют равнозначными
схемами, одна из которых показана на рнс. 15-3. Длинная линия
600
рассматривается состоящей из бесконечно большого числа эпемен-
тарных ячеек — элементов линии бесконечно малой длины dt с пара-
метрами: активным сопротивлением r0 dx, индуктивностью Lo dx,
проводимостью изоляции godx и емкостью Со dx (рис. 15-3), находя-
щихся на разном расстоянии х от начала линии. На рис. 15-3
активное сопротивление и индуктивность условно показаны сосредо-
точенными в одном проводе линии.
В каждом элементе наблюдаются падение напряжения на актив-
ном сопротивлении и индуктивности и ответвление тока вследствие
проводимости изоляции и емкости.
При синусоидальном напряжении источника питания для расчета
режима линии применяют символический метод. Обозначим напряже-
ние и ток в начале элемента U и /, а в конце элемента U-\-dU
и /i-d/. Напряжение на элементе dx выразим как разность напря-
жений в начале и в конце элемента или как сумму падений напряже-
ний на активном и индуктивном сопротивлениях элемента:
U — (L'-‘7-dU}~ —dU = ir0 dx + /j(i>L0 dx.
Ответвленный через элемент ток выразим как разность токов
в начале и конце элемента или как сумму токов утечки и смещения:
/"—(/4-d/)= — di = Ug0 dx + Uj<£>Cn dx.
Разделив написанные выражения почленно на длину элемента,
получим дифференциальные уравнения однородной
линии:
(15-1)
— dx —
—^ = (g0+jvC0)U = Y0U,
где Z9= го+/®1-о— комплекс сопротивления единицы длины, а Уо =
= go + /®C0 — комплекс проводимости единицы длины линии.
Следует помнить, что величины Zo и Уо не связаны друг с другом
обратной зависимостью.
Уравнение (15-1) показывает, что уменьшение напряжения в пи-
нии на единицу ее длины равно току, проходящему в этом сечении
линии, умноженному на полное сопротивление единицы длины линии.
Из уравнения (15-2) следует, что уменьшение тока на единицу
длины линии равно напряжению между проводами в данном сечении
линии, умноженному на полную проводимость между проводами
па единицу длины линии.
Дифференцируя уравнения (15-1), (15-2) и подставив в полученные
d/ dU .. , р. л.
результаты выражения — и ——, из тех же уравнении (15-2)
(4 л UX
и (15-1) найдем:
(15-2)
(15-3)
g-w.
(15-4)
601
Оба уравнения являются линейными дифференциальными уравне-
ниями второго порядка с постоянными коэффициентами.
Уравнение (15-3) имеет следующее решение.
й = Ле-''х+ВеУх, (15-5)
где (У —напряжение на расстоянии к от начала линии;
А и В—постоянные, зависящие от режима генератора в начале линии
и величины нагрузки в конце линии;
Y—коэффициент распространения волны, опреде-
ляемый выражением
Y = V2оУо = ]/~(rQ-b j<oLo) (go4~ ]’<оСо) (15-6)
и характеризующий изменение напряжения вдоль линии
Согласно уравнению (15-1) ток
• dU \
~ dx Zq '
Так как
dU d(A^x+B^x) _w „ VXv
TO TOK
7=4- Ие-ух- BeY*)= 4121-— •
Z0 Z-Q
Y
Обозначив
потучим окончательное выражение для тока иа расстоянии х
от начала линии.
Zc Zc '
Так как
Y=/Z^,
ТО
Zp _ । f r0-y jaL0
Kp ’ go+lwCp
(15-7)
(15-8)
Величина Zc имеет размерность сопротивления и называется
волновым или характеристическим сопротивлением
однородной линии.
Коэффициент распространения волны и волновое сопротивле-
ние— это вторичные параметры однородной линии.
Для определения постоянных А и В предположим, что нам из-
вестен режим в начале линии (режим генератора), т. е. напряжение
С02
Ui и ток /j при х=0. Тогда из уравнений (15-5) и (15-7) получим
A + B = Uit
А-в=цгс,
откуда
л= ил+^гс , (15 9а)
в= . (15-96)
Теперь напишем выражения напряжения и тока в сечении линии
находящемся на расстоянии х от начала линии:
(j= e-yx_j_ еЧх>
I — р-тх „ух
2ZC 2ZC
или, перегруппировав члены,
U = ±Ui (е~V* + ev*) +1 /(ZC (е--е^),
I = 4 Л (е-'х + е'’Л) +1 (e-vx _е>’).
Для краткости записи применим гиперболические функции —
гиперболический синус и гиперболический косинус, которые опре-
деляются выражениями:
ех_е-х ех 1 е-х
Oil Л “ И VII Л >
тогда получим
U=--Ui chyv —/jZc shyr, (15-10a)
ch yv — —• sh yt. (15-106)
Подставляя в уравнения (15-10) вместо х длину линии ним уравнения для напряжения и тока в конце линии: l, полу-
U2=Ui ch yl — /tZc sh у/, (15-lla)
/2 = 7'1 ch yl — ~- sh y(. (15-116)
Для практических расчетов часто удобнее пользоваться уравне-
ниями, дающими зависимость напряжения и тока в начале линии
от напряжения и тока в конце линии.
603
Решая уравнения (15-11) относительно напряжения и тока в на-
чале линии, получим:
t'i = (72ch yl-\-i2Zc sh у/, (15 12а)
71 =sh у<4-/2 ch у(. (15-126)
zc
Уравнения (15-12) называют основными уравнениями
однородной линии.
15-3. ПАДАЮЩИЕ И ОТРАЖЕННЫЕ ВОЛНЫ
НАПРЯЖЕНИЯ И ТОКА В ОДНОРОДНОЙ ЛИНИИ
В предыдущем параграфе был получен ряд уравнений для длин-
ных линий. Рассмотрим теперь процессы, которые описываются
некоторыми из них н прежде всего уравнением (15-5) для напряже-
ния на расстоянии х от начала линии.
Представим комплексные величины у, А и В так:
у=а-{-/р,
А=й9,
тогда уравнение (15-5) примет вид
й=й9е~ахе~®х (15-13)
В гл. 11 было установлено, что комплексное переменное напря-
жение можно рассматривать как произведение модуля н поворотного
множителя е3<р или е3'*’. Таким образом можно написать Uv=1/Ч1е)|р
и соответствующее ему мгновенное значение напряжения
Иф -^Мф sin (<!>/ +ф).
Поэтому
и = и9е^е-ахе-^х Д- U^eaxe^x,
или
U = U9e~ “V + Uti,e(lxe] (*+Рж)-
Мгновенное значение первой составляющей напряжения
«Ф = ^мФе-аж sin (®Z + <p—₽х). (15-13а)
Мгновенное значение второй составляющей напряжения
-= UM^eax s in (со/ + ф 4- рх). (15-136)
Выражение (15-13а) показывает изменение составляющей напря-
жения во времени и пространстве. На это указывает аргумент
604
периодической функции sin (со/ -|- <р — рх), состоящей из трех слага-
ющих со/, ср и рх. Первая слагающая со/ меняет величину периоди-
ческой функции в зависимости от времени по закону синуса, причем
это относится к любому сечению или, как говорят, точке линии. Так,
например, для начала линии (х = 0) напряжение «qll = L,Mqlsin (со/ + ф);
для конца линии (х-Г) иф2= HM?e~aZ sin (<о/ + ф—Д/), что под-
тверждает сказанное.
Вторая слагающая ф — начальная фаза напряжения в начале ли-
нии иф1. Это постоянная величина, значение которой, как известно,
можно выбрать произвольно. Третья слагающая Рх зависит от рас-
стояния х (пространственная координата).
Рассмотрим, как распределяется напряжение иф вдоль линии
в какой-нибудь момент времени /, например / = 0. Для этого случая
(0) Т'Мфс^ит Нп (Ф — Рх).
Из написанного выражения следует, что в этот момент времени
напряжение иф распределяется вдоль линии по синусоидальному
закону, причем множитель е-<ис показывает, что амплитуда напря-
жения уменьшается от начала к концу линии по экспоненциальному
закону. На рис. 15-4 сплошная кривая показывает распределение
напряжения вдоль линии в момент времени / = 0,
В следующий момент времени / — Д/ напряжение в каждой точке
линии станет другим:
иф (Д/) = UM(te~ax sin (соД/ + ф — Рх).
Напряжение вдоль линии снова распределяется по синусоидаль-
ному закону, но все значения, в том числе максимальные н нулевые,
сместились вдоль линии на расстояние Дх (пунктирная кривая на
рис. 15-4). Найдем это расстояние, например, по смещению нулевого
значения. В момент / = 0 нулевые значения наблюдались во всех
точках линии, для которых sin (ф — Рх) = 0 (точки 1, 2,3,4,...
рис. 15-4). Например, для точки Г. ф — Pxj = 0. В момент / = Д/
нулевые значения наблюдаются в точках линии, для которых
sin (<вД/ + ф —Рх)=0 (точки а, б, в, г, ... рис. 15-4). Например, для
точки а: соД/-|~ф — рхп=0. Так как хп--~ х\-‘~\х, то из последнего
выражения следует, что соД/^-ф —Pxj —рДх = 0 или <оД/ —рДх = 0,
. соД/ .. . ,
откуда Дх = р ~ • ,-’а следующий промежуток времени Д/ волна
напряжения еще сместится вдоль линии на расстояние Дх. Таким
образом, вдоль линии непрерывно перемещается или, как говорят,
бежит волна напряжения. Волна напряжения иф движется от начала
к концу линии и ее называют прямой или падающей волной.
Аналогично вторая составляющая уравнения (15-13), мгновенное
значение которой цф (15-136), описывает вторую бегущую волну.
Она отличается от первой амплитудными значениями, направлением
движения (от конца линии к началу, на что указывает положитель-
ный знак у слагающей аргумента рх), а также тем, что затухание
ее увеличивается от конца к началу линии. Такую волну напряже-
ния называют обратной или отраженной волной. На
рис. 15-5 показано, как изменяются вдоль однородной линии ампли-
туды падающей и отраженной волн напряжения.
605
Напряжение и в каждой точке однородной линии иа расстоянии
к от ее начала можно рассматривать как сумму падающей
и отраженной волн напряжения. 128
Рис. 15-4. Кривая распределения напряжения вдоль
линии; сплошная кривая — для момента времени
t = 0; пунктирная кривая — для момента времени
t = М.
Уравнение (15-7) для тока в линии аналогично уравнению (15-5).
Поэтому и ток в каждой точке линии можно представить как сум-
му падающей и отраженной волн тока, затухающих в направлении
своего движения.
Рнс. 15-5. Кривые изменения модулей
падающей и отраженной волн напря-
жения в однородной линии.
Следует, однако, отметить, что в действительности при устано-
вившемся режиме в линии существуют только суммарное напряже-
ние и только суммарный ток. Подразделение каждой из этих вели-
чин на две составляющие волны—это математический прием, под-
сказанный видом правой части уравнений (15-5) и (15-7).
60S
Отдельно падающие и отраженные волны напряжения и тока
можно наблюдать только в переходном режиме. Практически эта
возможность используется, например, в импульсных измерительных
приборах, предназначенных для обнаружения места повреждения
В Л1 Н1ПХ.
15-4. ВТОРИЧНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ОДНОРОДНОЙ ЛИНИИ
Коэффициент распространения у, как указывалось, имеет веще-
ственную и мнимую составляющие, определяемые из выражения
у=а-Н'₽ = (r0 + /<oL0) (go + ywCo). (15-14 )
Вещественная составляющая а характеризует уменьшение па-
дающей или отраженной волн напряжения и тока (см. § 15-3) вдоль
линии на каждую единицу ее длины и называется коэффициен-
том затухания.
Коэффициент затухания а измеряется в неперах (неп) на еди-
ницу длины (метр, километр). Затуханием в один непер называется
такое изменение волны напряжения или тока, при котором ее ампли-
туда уменьшается в е раз (в 2,718 раза).
Мнимая составляющая |3 определяет угол сдвига по фазе на-
пряжений (или токов) падающей или отраженной волны в двух точ-
ках линии, расстояние между которыми равно единице длины (метр,
километр).
Величина р называется коэффициентом фазы н измеряется
в радианах на единицу длины. Зная р, можно определить скорость
движения падающей или отраженной волны напряжения (или тока),
а также длину волны.
Длина волны — это расстояние между двумя ближайшими точ-
ками линии, в которых фазы напряжения или тока в каждый мо-
мент сдвинуты друг относительно друга на угол 2л, например точ-
ки 1 и 3 или 3 и 5 (рис. 15-4). Следовательно,
РЛ—2л,
откуда длина волны
(15-15)
Скорость, с которой перемещается волна напряжения или тока
вдоль линии, называется фазовой скоростью и определяется
отношением длины волны к периоду. Таким образом,
г>ф = -^- = Л/. (15-16)
фазовую скорость не следует путать со скоростью движения
электронов в проводе. В то время как фазовая скорость в воздуш-
ных линиях приближенно равна скорости света, скорость движения
электронов в проводе составляет несколько сантиметров в секунду.
Подставляя (15-15) в (15-16), получим:
2л , со ,,,
1’ф=-р-/ = -р • (15-17)
607
Эту скорость можно найти и по расстоянию Дх, которое волна
проходит за время Д/. Действительно, так как Дх = ~j^~, то скорость
движения волны
Дх со
г'^дГ-Г
Волновое сопротивление однородной линии определяется уравне-
нием (15-8):
Zc = zce^=jA±g> . (15-18)
Для выяснения смысла этой величины напишем уравнения (15-5)
и (15-7) следующим образом:
У — ^пад )"Ц>тр> (15-19)
7=£|^_^^/пац-;отр, (15-20)
где Уцад — Ае~ух—падающая волна напряжения;
U0Ti)~Ве'х — отраженная волна напряжения;
z U пая
'пад--~——падающая волна тока;
/0Гр=——отраженная волна тока.
Отношения
„4~р- --=4. (15-21)
Лсад Лэтр
Таким образом, волновое сопротивление однородной линии есть
отношение падающей волны напряжения к падающей волне тока
или отношение отраженной волны напряжения к отраженной волне
тока.
Из выражений (15-14) и (15-18) следует, что величины у и Zc
зависят только от первичных параметров. r0, Lo, g0, Со однородной
линии и частоты напряжения и тока со.
Пример 15-1. Однородная двухпроводная линия имеет следующие
первичные параметры:
г1;--5 ом/км; £о^=2-1О~3 гн/км; gQ = 6-10~7 1/ом/км;
Со = 6-1О~9 ф/км.
Определить вторичные параметры этой линии при частоте / = 50гс{,
а также длину волны и фазовую скорость.
Сопротивление и проводимость линии иа 1 км:
Z0 — r0 4-/со£0 — 5-J-/314-2- 1О~3 = 5,ОЗе’7’10' ом/км;
У о = g0 4- /соС0 = 6• 10-’ + /314-6-10-» = 1,98 1О-ве,72°20 сим/км.
608
Вторичные параметры линии:
Y == ]/'5,O3ej7°10' 1,98-10-6е'72°2^
= 3,16-10-зе’39°45'= (2,43 ф/2,02)• Ю-з,
откуда а = 2,43-10_з «еп/км;
Р = 2,02-10~з рад,км.',
7 — \f — 5,03е;_9______ 590e_j32°35,
/с~ И Уо~|/ l,98.1O-6e’72°20'-1
Фазовая скорость
= J = ^027fcF3- - 156 000 ^сек-
Длина волны
, 2л 2-3,14
Р 2,02-10-з~3 00 КМ'
15-5. ОДНОРОДНАЯ линия постоянного ТОКА
Все соотношения, полученные в предыдущих параграфах этой
главы, справедливы и в тех случаях, когда одним или двумя пер-
вичными параметрами однородной линии практически можно пре-
небречь.
Составим, например, уравнения линии постоянного тока, кото-
рые нетрудно получить из уравнений однородной линии при сину-
соидальном режиме, полагая, что частота тока равна нулю.
После подстановки <о=0 в уравнения (15-14) и (15-18) находим,
что для линии постоянного тока:
а) коэффициент распространения у равен коэффициенту затуха
ния а, т. е.
у = а=/ rogo'i (15-22)
б) коэффициент фазы (5 = 0;
в) волновое сопротивление линии
Zc= 1/^ . (15-23)
г go
Основные уравнения однородной линии (15-12) в этом случае
примут следующий вид:
H1=H2ch/^/ + /2 1/ (15-24а)
г go
/1 =---^-2 —sh Yrogol -)-/2 ch Vrogol. (15-246)
V go
39 Теоретическая электротехника 609
15-6. ЛИНИЯ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА БЕЗ ПОТЕРЬ
Во многих случаях потерями в линии можно пренебречь, т. е.
допустить, что сопротивление проводов линии г0 < a>L0 и проводи-
мость утечки между проводами g0 <С <t>C0. Такие линии принято на-
зывать линиями без потерь. К ним относятся некоторые высо-
кочастотные линии связи и линии электропередач высокого напря-
жения, имеющие хорошую изоляцию, большие диаметры проводов
н как следствие малое сопротивление.
Пренебрегая потерями в линии, т. е. полагая го = О, go~O, из
уравнений (15-14) и (15-18) получим:
а) коэффициент затухания
а=0; (15-25)
б) коэффициент фазы Р = о> jC Lf,Ca; (15-26)
в) волновое сопротивление линии (15-27)
— чисто активная величина. При этом коэффициент распределения у оказывается мнимой
величиной У = /Р = щ> / L0C0 . (15-28)
(15-29а)
(15-296)
(15-30)
Подставляя это выражение в уравнения (15-12) и учитывая, что
ch jfiZ = cos р/,
sh /p/ = /sin р/,
для линии без потерь получим:
Ц = cos р/ + /Л"2С sin р/,
А = / S1’n р/ +- /2 cos р/.
Следует отметить, что фазовая скорость
“ 1
волновое сопротивление Zc и коэффициент затухания не зависят от
частоты. Это обстоятельство имеет существенное значение для ли-
ний высокочастотной связи. При отсутствии потерь Цф = const и в ли-
нии не возникают искажения из-за различной скорости распростра-
нения токов различной частоты.
Емкость Со между проводами на один километр двухпроводной
однородной воздушной линии была вычислена в § 7-7:
Со = [ф!км], (15-31)
In —
го
610
где Го-—радиус провода;
а — расстояние между осями проводов.
Индуктивность на один километр той же линии (§ 6*16)
1.0 In — [гн/км]. (15-32)
л г0
Поэтому фазовая скорость для воздушной линии без потерь
1 _ 1 1
* ] L0C0 У еоцо У ец
Эта же формула получается и для кабеля без потерь. Так как
1
-. = с, т. е. скорости света в вакууме, то фазовая скорость
V еоРо
= (15-33)
У ер.
или, приняв во внимание, что для воздуха е=1 и р=1, получим
для воздушной линии
иф~с= 300 000 км/сек;
т. е. для воздушной линии без потерь скорость распространения
волны равна скорости света. Для кабеля р = 1, но е ф 1 и скорость
движения волны меньше скорости света в вакууме.
15-7. КОЭФФИЦИЕНТ ОТРАЖЕНИЯ
При исследовании различных режимов работы длинных линий
важную роль играет коэффициент отражения, характеризующий
соотношение между падающими и отраженными волнами напряже-
ния или тока.
По определению, коэффициент отражения в конце линии
Ниад Авад
где 6/дад, /Пад> ^отр^ ^отр — комплексы падающих и отраженных
волн напряжения и тока в конце линии.
Чтобы выяснить предельные значения этого коэффициента, рас-
смотрим соотношения для напряжений и токов в конце линии
(рис. 15-1).
При токе /2 в сопротивлении нагрузки Za напряжение в конце
линии
H2=/3ZH. (15-35)
На основании уравнения (15-13) это напряжение равно сумме
напряжений па, а .шей и сраженной волн. Следовательно, можно
написать:
^пад+^отр—^2^п. (15-36)
611
39*
Аналогично на основании уравнения (15-20) ток, проходящий
через сопротивление нагрузки ZH, равен разности токов падающей
и отраженной волн, т. е.
^пад ^отр — ^2- (15-37)
Заменим в уравнении (15-36) каждое напряжение произведением
тока и волнового сопротивления Zc и умножим правую и левую
части уравнения (15-37) на величину Za:
^цад^с + ^0TpZ<' = ^2'ZH;
^пад^н ^отр^н =
Наконец, вычтем из первого уравнения второе. Тогда после
небольших преобразований получим:
— п = _______?е.. (15-38)
/ + Ze
'пад
Для выяснения пределов, в которых может изменяться величина
коэффициента отражения, рассмотрим следующие три режима:
a) ZH = co; б) ZH = 0; в) ZU=ZC.
При ZH=oo (холостой ход линии)
' 7 *•
1+-£а
со
Так как коэффициент отражения равен единице, то амплитуды
падающих и отраженных волн равны между собой. Напряжение
в конце линии U2 на основании уравнения (15-19) равно удвоенному
напряжению падающей волны:
^2 ~ ^пад+ Й0Тр = Йпад '4 ^пад = 21/пад. (15-39а)
Ток /2 в конце линии на основании уравнения (15-20) равен нулю:
^2 = Ата д Атр = ^па д — ^па д = 0- (15-396)
Энергия нагрузкой не потребляется.
При Za = 0 (короткое замыкание линии)
В этом случае напряжение в конце линии равно нулю:
Т^2=ЙПад+ Й0Тр =Йпад Йпад = 0. (15-40а)
612
Ток в конце линии равен удвоенному току падающей волны:
^2=^пад— Лэтр = ^пад + ^пад~2/пад. (15-406)
Как и в первом случае, энергия нагрузкой не потребляется.
При ZB=ZC (линия замкнута на согласованную нагрузку)
В этом случае отраженных волн нет. Вся электромагнитная
энергия, дошедшая до конца линии, потребляется нагрузочным
сопротивлением ZH.
Если ZH -ф Zc, то часть энергии прямых волн напряжения и тока
отражается от конца линии и движется к ее началу.
Наличие отражения волн напряжения и тока от конца линии
крайне нежелательно в устройствах связи, так как из-за отраже-
ния возникает искажение формы сигналов связи и увеличиваются
общие потери энергии.
Следует также отметить, что отражение волн является причиной
перенапряжений на разомкнутых концах линий электропередачи.
Итак, коэффициент отражения в длинных линиях может изме-
няться в пределах от —1 до +1.
15-8. ОДНОРОДНАЯ ЛИНИЯ С ПОТЕРЯМИ,
ЗАМКНУТАЯ НА СОГЛАСОВАННУЮ НАГРУЗКУ
При включении в конце однородной линии нагрузочного сопро-
тивления, равного волновому:
7—7
— z.c,
коэффициент отражения п получается равным нулю. В таком режиме
отраженные волны напряжения и тока в линии не возникают.
Поэтому согласованную нагрузку ZH = ZC часто называют нагрузкой
без отражения.
В этом случае (Уотр = 0, /Отр = 0 и, следовательно,
U= (/пад= (/1е-аже-’Рж,
/=/пад=;1е-^=;1е-аже-’₽х
и, в частности, при х — 1
(15-41а)
/2= Xje-V^Zje-0^-^1. (15-416)
Из записанных выше соотношений следует:
^ = ^=^ = ZC, (15-42)
I Л /2
613
т. е. для любой точки однородной линии с согласованной нагрузкой
отношение комплексов напряжения U и тока / равно волновому
сопротивлению Zc.
На рис. 15-6 представлены графики распределения в линии
амплитуд или действующих значений напряжения (7 = {7пад и тока
/ = ^пад-
Мгновенные значения напряжения (и тока) вдоль линии распре-
деляются по-ирежнему по синусоидальному закону
и = /7ф = «пад = П1ме'_“ж51п (to/ -фф — 0х). (15-43)
Такое распределение напряжения уже было показано на рис. 15-4.
Только при несогласованной нагрузке па этот график накладывается
Рис. 15-6. Графики распределения напря-
жения и тока вдоль линии с согласованной
нагрузкой
график напряжения отраженной волны а при согласованной на-
грузке отраженная волна отсутствует.
Уравнения (15-41) показывают. как сдвиг по фазе между напря-
жениями или токами в конце и начале линии (|3/), так п отношение
амплитуд или действующих значений.
откуда
Ук — 11 — еа!
^2^2
S] Ujlj 2gi
S2 U2I2
(15-44a)
(15-446)
где Sj и S2 —полные мощности в начале и в конце линии.
Величина al, зависящая от первичных параметров линии и ее
длины, называется собственным затуханием линии.
Из выражения (15-14) следует:
, , Ui , /j 1 , Sj 1 , Uift ,
а/ = 1п(7-=1п/-2=-1п-=-In — . (15-45)
Таким образом, собственное затухание линии может быть опре-
делено не только по первичным параметрам линии, но и по любому
из соотношений (15-45), если известны напряжения и токи в начале
и в конце линии при согласованной нагрузке.
614
Активная мощность, передаваемая по согласованной линии,
иногда называется естественной или натуральной мощностью.
Коэффициент полезного действия согласованной линии
^ = Уфсо50 = е_2аг (15-46)
7/j/jCOS'T 7
где
Pi^Ui/i cos О,
Pz = РГ2‘2 COS O'
— активные мощности в начале и конце линии;
О — аргумент комплекса волнового сопротивления Zc~ гсе-^.
Все сказанное здесь о согласованной линии относится и к бес-
конечно длинной линии, так как в последней тоже не может воз-
никнуть отраженная волна. Практически длинную линию можно
Рис. 15-7. Падающая и отраженная волны
тока в линии с большим собственным зату-
хай ием.
считать бесконечно длинной, когда собственное затухание al
настолько велико, что отраженной волной можно пренебречь
рис. (15-7).
Пример 15-2. Расстояние между Москвой и Ленинградом равно
650 км. Коэффициент затухания линии электросвязи, выполненной
из проволоки диаметром 4 мм из твердотянутой меди,
а = 0,0026 неп/км. Каково собственное затухание линии на участке
Москва—Ленинград? Во сколько раз ток в согласованной нагрузке
(в Ленинграде) меньше тока в начале линии (в Москве)?
Собственное затухание линии на участке /Москва— Ленинград
а/= 0,0026-650= 1,69 неп.
Ток в нагрузке
/2 = /1e-ai = /1е-1,89 = 0,1845/1>
ИЛИ
~ = 18,45%,
‘1
615
15-9. ПРИБЛИЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
Для практических расчетов иногда удобнее применять уравне-
ния однородной линии в другой форме, которую можно получить,
заменяя гиперболические функции ch yl и sh yl нх разложениями
по степеням yl:
ehT,-1+®+®+...;il.v=T(+®+<a‘+..
1 • О! О'
Эти разложения целесообразнее представить в виде:
,, , , Z2/2 . ZV4 , А
ch yl — 1 -j- + — I- • •,
z3y3 f О5-47)
shv/ = zr+2__+_r+...i j
где принято
Z = (Го+/йДоН'> = (£о+ /®С0) /;
у/ = V (г0 -f-/to£0) (g0 + /toC0) /2= ]/ZY.
Оставляя по два члена из каждого разложения (15-47) и учи-
тывая что
Zc^y Y’ (I5'48)
получим после небольших преобразований:
Эти приближенные уравнения часто применяются для линий
электропередачи и дают при частоте / = 50 гц достаточно точные
результаты вычислений при длине не более 250 — 300 км. При боль-
шой частоте переменного тока или большой длине линии необходи-
мо брать большее число членов в разложениях (15-47).
Пример 15-3. Линия электропередачи длиной / = 200 км имеет
активное сопротивление г0 = 0,185 ом/км, индуктивное сопротивле-
ние toL0 = 0,4 ом/км и емкостную проводимость а>С0 — 2,8-10_в сим/км.
Проводимостью утечки ga пренебрегаем.
Напряжение в конце линии U2= 120 кв и ток в конце линии
/2 = 250 а при coscp = 0,8.
Определить напряжение Су и ток Д в начале линии.
По заданным величинам находим:
Z0=ro + /toLo = 0,185-|-/0,4 = 0,44ез85°10' ом/км;
Y0—jaC0 = /2,8-10-6 = 2,8- 10-бе+^°о сим/км;
Z = Zol = О,44ез85°10’-200 = 88е’85°10' ом;
у=у0/ = 2,8-10-бе+з90о-200 = 560- 1О-ве+з90° сим.
616
Следовательно,
1 +^= [ +^65:.10^0-^^
, , ZY , , 88е’65°10'-56О.1О-ве+’80°
1т 6 ' 6 ’
(Небольшими углами в двух последних результатах мы пренебре-
гаем.)
Если направить вектор напряжения Е'2 по действительной оси,
то при cos ср = 0,8 для тока /2 получим:
Z2=Z2e-’arccos 0’8 =250е-’37°.
Теперь определим напряжение и ток в начале линии (15-49):
Щ = 120 000- 0,978 + 250е“ ;з7° • 88e-'S5°1 °' • 0,993 = 137 ОООе;4°в;
Л = 120 000.560-10-6e+J'90° • 0,993 + 250е-’37° • 0,978 = 216е~’22°а.
15-10. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ
Мы уже установили, что процесс передачи электромагнитной
энергии вдоль линии можно представить как результат наложения
падающих и отраженных волн напряжения и тока.
Если при этом оказывается, что на каждую падающую волну
напряжения и тока накладывается отраженная волна с амплитудой,
равной амплитуде падающей волны, то результирующий процесс на-
зывают стоячей волной.
Нетрудно понять, что равенство амплитуд падающей и отра-
женной волн напряжения и тока на всем протяжении длинной линии
возможно только в тех случаях, когда собственное затухание линии
равно нулю и когда приемник полностью отражает полученную им
электромагнитную энергию. Это значит, что стоячие волны могут
возникать в линиях без потерь в трех случаях: при холостом ходе,
при коротком замыкании и при чисто реактивной нагрузке в конце
линии. Во всех этих случаях электромагнитная энергия не расхо-
дуется ни в самой линии, ни в приемнике.
Для линии без потерь напряжение U и ток / в любой точке,
отстоящей на расстоянии х от конца линии, можно выразить исходя
из уравнений (15-29), полагая 1 = х:
U=U2 cos |3x-|- ji2Zc sin fix; (15-50а)
/ = /^ sin p.r -}- /2 cos (Злг, (15-506)
где U2 и /2 —напряжение и ток в конце линии;
f5 = co Y— коэффициент фазы для линии без потерь;
Zc = j/”~°—~zc — волновое сопротивление.
617
Так как при холостом ходе ZH = oo, /2 = 0, то из уравнений
(15-50) следует:
й=й2 cos 0л:, (15-51а)
Z = j sin p.v = sin (Зл>е’9О°. (15-516)
zc гс
Положим, что (72=7/2 (направим вектор Т/2 по действительной оси).
Тогда мгновенные значения напряжения и тока
u = T/2M cos (Зл: • sin a>t,
(15-52a)
51’п 0л: sin (ujZ1--!1-90 ) = —-'sin (3л: cos a>t. (15-526)
2C Zc
Анализируя первое из этих выражений, видим, что на линии
есть точки, в которых напряжение всегда равно нулю. Эти точки
называются узлами напряжения и определяются из условия
cospx —0, откуда — ‘’ или так как длина ВОЛНЬ1
9тт
Л=~ (15-15), то
р
X Зл ол
X = -г , -j- , -j- , ..,
4 4 4
(15-53)
Наряду с этим на линии будут точки, в которых напряжения
достигают наибольших значений. Эти точки называются пуч-
ностями напряжения и определяются из условия cos (Зл: = I,
откуда Рх==0, л, 2л, Зл, ..., или
х=0, ~ , X, ~ , 2Х, .
(15-54)
На рис. 15-8 показано распределение напряжения вдоль линч:!
для двух моментов времен и.
Сплошной кривой показано распределение напряжения в момент t,
, , , , л/2 л Т
для которого sino>7=-|-l, например в момент t — - .
СО Д • ДЛТ" х
т
В момент ^ = ~2 напряжение всюду вдоль линии равно нулю
(sin a>t -= 0).
Пунктирной кривой показано распределение напряжения в мо-
Зл/2 37
мент, для которого sin со/=—1, например в момент t = —= —
57
В момент t — T напряжение снова равно нулю, а при / = — гра-
7
фик распределения напряжения такой же, как и для / = —. Таким
образом, процесс изменения напряжения вдоль линии периодически
повторяется.
618
Узлы и пучности напряжения чередуются.
Анализируя аналогичным образом второе уравнение системы
(15-52), найдем, что на линии есть также точки, в которых ток
всегда равен нулю, т. е. узлы тока, и точки, в которых ток дости-
гает максимальных значений, т. е. пучности тока.
Узлы тока находятся на расстояниях х от конца линии, опреде-
ляемых условием sin fix--О, т. е. cos|3x=l. Следовательно, узлы
тока совпадают с пучностями напряжения.
Положение пучности тока определяется из условия sin6x=l,
т. е. cos Рос = 0.
Следовательно, пучности тока совпадают с узлами напряжения.
Распределение тока вдоль линии для двух моментов времени
показано на рис. 15-8.
Сплошная кривая относится к моменту времени, для которого
cos <£>t = 1, например / = 0. В этот момент напряжение вдоль линии
всюду равно нулю. Пунктирная кривая показывает распределение
тока в следующий момент времени / = А/:
< = _2А sin Вд- cos С.) \Л
гс
В дальнейшем величина тока во всех точках продолжает умень-
Т
шаться и в момент t — ток всюду равен нулю. Затем ток снова
начнет увеличиваться, но направление тока изменится на об-
ратное.
При коротком замыкании линии также получаются стоячие
волны Только в конце линии наблюдаются не узел тока и пуч-
ность напряжения, а пучность тока и узел напряжения.
Аналогично можно показать, что при чисто реактивной нагруз-
ке ZH = jxn в линии без потерь также возникают стоячие волны.
Только в этом случае в конце линии не будет ни узла, ни пучности
напряжения или тока.
619
Так как в узлах напряжение или ток равны нулю в любой
момент времени, то мощность в этих точках всегда равна нулю
и, следовательно, энергия через них не проходит.
Это показывает, что при стоячих волнах передача энергии от
генератора к приемнику вдоль длинной линии отсутствует. Частич-
ное движение энергии вдоль линии возможно только на участках
между двумя смежными узлами напряжения и тока. Оно вызывается
обменом энергии между электрическим и магнитным полями каж-
дого из таких участков.
Передача электромагнитной энергии от генератора к прием-
нику можно осуществлять только при помощи бегущих волн.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ПРОВЕДЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
( Для выполнения лабораторных работ учебная группа разби-
вается на бригады по 2—3 чел. в каждой. Бригады поочередно
выполняют все работы, предусмотренные программой.
Большое значение для успешного выполнения лабораторных ра-
бот имеет предварительная подготовка учащихся. Учащийся дол-
жен заранее, по крайней мере за неделю, знать, какую работу он
будет выполнять. Учащийся должен повторить теоретический мате-
риал по учебнику, ознакомиться с планом выполнения работы, вы-
яснить цели и задачи, поставленные в лабораторной работе. Каждый
учащийся должен иметь рабочую тетрадь, в которую в результате
предварительной подготовки записываются: план выполнения рабо-
ты, перечень необходимой аппаратуры и оборудования, расчетные
формулы, таблицы и др. и зарисовываются схемы соединения.
При выборе аппаратуры на рабочем столе необходимо прибли-
женно (с погрешностью до 10%) рассчитать токи и напряжения во
всех участках цепи для наибольшей и наименьшей мощности. По
полученным данным подобрать аппаратуру, необходимую для выпол-
нения работы, и записать ее технические данные. После выбора
аппаратуры следует составить план расположения аппаратуры на
рабочем столе, причем измерительные приборы, вспомогательные
и регулирующие устройства следует располагать так, чтобы схема
соединения получилась наиболее простой и наглядной, а отсчеты
и регулировка были удобными и не требовали лишних движений
или неудобных положений для наблюдателя. Перед монтажом схемы
необходимо ознакомиться с электрическими схемами приборов,
аппаратов и машин и со схемами их включения. При этом нужно
выяснить, какие зажимы прибора или машины соответствуют тем
или иным точкам схемы и в какие положения должны быть постав-
лены движки реостатов и рукоятки регулирующих устройств.
Необходимо всегда стремиться к такому соединению элементов
электрической схемы, чтобы цепь получилась наиболее простой
и наглядной. Выполнению этого требования способствует не только
удобное расположение приборов, но также и выбор соединительных
проводов. Длина проводов должна соответствовать расстоянию
620
между соединяемыми зажимами. Провода, по которым идет рабочий
ток, рекомендуется выбирать одного цвета с сечением, соответствую-
щим току. Вспомогательные цепи (параллельные цепи ваттметров ,
счетчиков и др.) рекомендуется соединять проводами другого цвета
и меньшего сечения.
При сборке электрической цепи целесообразно сначала соеди-
нять главную (последовательную) цепь, а затем параллельные ветви.
Монтаж электрической цепи производит один из членов бригады.
Другие члены бригады проверяют собранную цепь. Последующие
электрические цепи поочередно собирают другие члены бригады.
Проверка электрической цепи производится путем обхода главного
контура, а затем всех параллельных ветвей. В заключение проверки
необходимо убедиться в достаточной надежности всех зажимов
и в правильном положении рукояток регулирующих устройств,
а также в том, что стрелки всех измерительных приборов стоят на
нулевых отметках шкалы.
При выполнении работы необходимо следить за соблюдением
правил безопасности. Категорически воспрещается касаться рука-
ми неизолированных проводов и зажимов, когда цепь находится под
напряжением. Особо осторожно нужно работать с цепями перемен-
ного тока, содержащими катушки и конденсаторы, в которых по
ходу выполнения задания может получиться резонанс напряжений.
В таких цепях напряжение может значительно повыситься по срав-
нению с напряжением сети.
Закончив выполнение всех необходимых наблюдений и расчетов,
нужно показать результаты преподавателю, который в случае удо-
влетворительного выполнения работы дает разрешение на ее оконча-
ние После этого цепь разбирается. Зажимы у приборов поджимают-
ся, провода аккуратно складываются на свои места.
По каждой выполненной работе каждым учащимся составляет-
ся отчет (протокол). Отчеты выполняются на специальных бланках
или листах клетчатой бумаги. Отчет должен быть выполнен тща-
тельно и аккуратно. Отчет должен содержать:
1. Наименование работы и ее номер.
2. Фамилию и инициалы учащегося, наименование группы
и дату выполнения работы.
3. Перечень приборов и аппаратов и их краткие технические
характеристики.
4. Краткое описание работы.
5. Схемы соединения.
6. Результаты наблюдений и расчеты, записанные в таблицы.
7. Графики.
8. Заключение.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ ЕДИНИЦЫ
МЕЖДУНАРОДНОЙ СИСТЕМЫ СИ
С 1963 г. в СССР согласно ГОСТ 9867-61 установлено приме-
нение Международной системы единиц, обозначаемой символом
СИ (или S1), основными единицами которой являются метр, кило-
грамм, секунда, ампер, градус Кельвина и свеча.
621
Эта система должна применяться как предпочтительная во всех
областях науки, техники и народного хозяйства, а также при пре-
подавании.
Сокращенные обозначения основных единиц дапы в табл. П-1
Таблица П-1
Наименование величин Единицы измерения Сокращенные обозначения единиц измерений
русские латинские
Длина Масса Время Сила электрического тока Термодинамическая тем- пература Сила света метр килограмм секунда ампер градус Кельви- на свеча М кг сек а °К св 2- м э
Для основных единиц установлены следующие определения:
Метр— длина, равная 1650763,73 длины волны в вакууме
излучения, соответствующего переходу между уровнями 2р10
и 5dg атома криптона-86.
Килограмм — единица массы — представлен массой междуна-
родного прототипа килограмма.
Секунда —1/31556925,9747 часть тропического года для 1900 г.
января 0 в 12 ч эфемеридного (равномерного) времени.
Ампер — сила неизменяющегося тока, который, проходя по
двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной дли-
ны и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на рас-
стоянии 1 м один от другого в вакууме, вызвал бы между этими
проводниками силу, равную 2- 10'7 единиц силы Международной
системы на каждый метр длины.
Градус Кельвина— единица измерения температуры по термо-
динамической температурной шкале, в которой для температуры
тройной точки воды установлено значение 273,16° С (точно).
Свеча — единица силы света, значение которой принимается
таким, чтобы яркость полного излучателя при температуре затвер-
девания платины была равна 60 св на 1 см2.
Кроме единиц, приведенных в табл. П-1, устанавливаются еди-
ницы Международной системы, указанные в табл. П-2.
Для дополнительных единиц установлены следующие определе-
ния:
Радиан — угол между двумя радиусами круга, вырезающий
на окружности дугу, длина которой равна радиусу.
Стерадиан — телесный угол, вершина которого расположена
в центре сферы и который вырезает на поверхности сферы площадь,
равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы.
622
Таблица П-2
Наименование величин Единицы измерения Сокращенные обозначения единиц измерения Размер единицы
русские латинские или греческие
Плоский угол Телесный угол Дополнительные единицы радиан | рад стерадиан | стер Производные единицы rad sr 1
Площадь квадратный метр Л12 m2 (1 я)2
Объем кубический метр я3 m3 (1 м)3
Частота герц гц Hz 1 :(1 сек)
Плотность (объемная масса) килограмм на кубиче- ский метр кг/я3 kg/m3 (1 кг):(1 я)3
Скорость метр в секунду м/сек m/s (1 я) : (1 сек)
Угловая скорость радиан в секунду рад/сек rad/s (1 рад) : (1 сек)
Ускорение метр на секунду в квад- рате я/сек2 m/s2 (1 я) : (1 сек)2
Угловое ускорение радиан на секунду в квадрате рад/сек2 rad/s2 (1 рад): (1 сек)2
Сила ньютон н N (1 -кг).(1 я): (1 сек)2
Давление (механическое напря- жение) ньютон на квадратный метр н/я2 N/m2 (1 -кг) .(1 я) : (1 сек)2 (1 н) : (1 я)2
Динамическая вязкость ныотон-секунда на квадратный метр н-сек/я2 N-s/m2 (1 н). (1 сек) : (1 .и)2
05 Кинематическая вязкость Й квадратный метр на се- кунду я2/сек m2/s (1 м)2 : (1 сек)
Наименование величии Единицы измерения
Работа, энергия, количество теплоты Мощность Количество электричества, электрический заряд Электрическое напряжение, разность электрических по- тенциалов, э. д. с. Напряженность электрического поля Электрическое сопротивление Электрическая проводимость Электрическая емкость Поток магнитной индукции Индуктивность Магнитная индукция Напряженность магнитного по- ля Магнитодвижущая сила Световой поток Яркость Освещенность джоуль ватт кулон вольт вольт на метр ом сименс фарада вебер генри тесла ампер на метр ампер люмен свеча на квадратный метр или нит люкс
Продолжение табл. П-2
Сокращенные обозначения
единиц измерения
русские латинские или греческие Размер единицы
дж J (1 «)•(! л)
вт W (1 дж) : (1 сек)
к с (1 а)-(1 сек)
в V (1 вт) : (1 а)
в/м V/m (1 в):(1 л)
ом Й (1 в): (1 а)
сим S (1 о):(1 в)
ф F (1 к):(1 в)
вб Wb (1 к) : (1 ом)
гн Н (1 вб): (1 а)
тл т (1 еб):(1 лг)2
а/м А/ш (1 а): (1 м)
а А (1 а)
лм 1m (1 св)-(1 стер)
св/м- cd/m2 (1 св) : (1 л/)2
или нт nt
лк lx (1 лм): (1 л)2
Н.Н. Мансуров
В.С. Попов