С. Д. ПОНОМАРЕВ, В. Л. БИДЕРМАН, К. К. ЛИХАРЕВ,
В. М. МАКУШИН, Н. Н. МАЛИНИН, В. И. ФЕОДОСЬЕВ
РАСЧЕТЫ
НА ПРОЧНОСТЬ -
В МАШИНОСТРОЕНИИ
ТОМ III
ИНЕРЦИОННЫЕ НАГРУЗКИ.
КОЛЕБАНИЯ И УДАРНЫЕ НАГРУЗКИ.
ВЫНОСЛИВОСТЬ. УСТОЙЧИВОСТЬ
Под редакцией
заслуженного деятеля науки и техники
д-ра техн, наук npoj. С. Д. ПОНОМАРЕВА
МАШГИЗ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МАШИНОСТРОИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1959
J
1 В книге излагаются расчеты элементов машиностроительных
конструкций при динамических нагрузках, расчеты на выно-
сливость и расчеты элементов конструкций на устойчивость.
Приводятся расчеты на прочность движущихся деталей
машин и, в частности, расчеты лопаток турбомашин и дисков
с учетом температурных напряжений и ползучести. Рассматри-
ваются вопросы упругих колебаний в связи с различными зада-
чами из практики машиностроения. Освещается проблема проч-
ности элементов конструкций, а также вопросы расчета на
ударную нагрузку при напряжениях, переменных во времени»
с учетом различных условий нагружения и работы деталей.
Излагаются методы расчета на устойчивость сжатых стерж-
ней и пружин, сжатых естественно-закрученных стержней,
а также скрученных и сжато-скрученных стержней. Рассматри-
вается устойчивость колец и плоской формы изгиба брусьев
различного вида, а также устойчивость тонкостенных элементов
конструкций, прямоугольных, круглых и кольцевых пластин
и оболочек вращения.
Книга предназначена для инженеров-конструкторов, а
также для производственников, работающих в области машино-
строения; она может быть также использована студентами,
аспирантами и научными работниками.
Редактор издательства Н, П. Чернышева
Редакция литературы по тяжелому машиностроению
Зав. редакцией инж. С. %. ГОЛОВИН
ПРЕДИСЛОВИЕ
1
В предисловии к тому I отмечалось, сколь многообразны, сложно
и ответственны задачи, выдвигаемые практикой машиностроения в области
прочности.
Инженеры-механики должны владеть методами расчета на прочность
деталей самой разнообразной формы с учетом различных условий их нагру-
жения и службы. (См. предисловие к тому I).
Квалификация инженеров-машиностроителей в области прочности имеет
для нашей социалистической промышленности огромное значение.
Учитывая сказанное, авторы книги «Расчеты на прочность в машино-
строении» поставили перед собой задачу изложить, в удобной для практи-
ческого применения форме, современные методы расчета на прочность*
жесткость, устойчивость и вибрацию применительно к запросам машино-
строения .
Этот трехтомный труд составлен на базе предшествующей работы того же?
коллектива авторов, опубликованного под названием «Основы современных
методов расчета на прочность в машиностроении»—том I, 1950г.; том II*
1952 г. (Машгиз).
Новая книга значительно расширена в сравнении ч: упомянутыми выше
«Основами». В нее включен ряд новых глав; многие главы полностью пере-
работаны и пополнены справочным материалом и расчетными примерами
из практики машиностроения.
В книге получили отражение результаты исследований в области проч-
ности, проведенные авторами за последнее время.
Том I включает два раздела: «Теоретические основы расчетов на проч-
ность и экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций»
и «Расчеты на прочность и жесткость стержневых элементов конструкций
при статической нагрузке.
Том II содержит четыре раздела: «Расчеты пластин и оболочек»,«Расчеты
толстостенных труб, контактные напряжения, расчет резиновых деталей»*
«Расчеты за пределами упругости», «Расчеты на ползучесть».
В томе III излагаются расчеты движущихся элементов конструкций.,
теория колебаний, расчеты при ударных нагрузках, расчеты на выносли-
вость и расчеты на устойчивость элементов машиностроительных кон-
струкций.
Рассмотрим более детально содержание тома III.
Первый раздел «Расчеты движущихся элементов конструкций» содержит
три главы.
В главе I излагаются общие методы расчета на прочность и жесткость
движущихся элементов машиностроительных конструкций: шкивов, дисков
постоянной толщины, пружин центробежных муфт и регуляторов, барабанов
центрифуг и т. д.
В этой главе исследуется также напряженное и деформированное состоя-
ние элементов машиностроительных конструкций в период нестационарного
режима работы установок, например, при пуске в ход или торможении.
1*
4
Предисловие
В главах II и III рассмотрены расчеты лопаток и дисков турбомашин;
при этом исследованы температурные напряжения и ползучесть этих деталей
применительно к условиям их работы, как деталей паровых и газовых турбин.
Приведены конкретные примеры расчетов из практики турбостроения.
Второй раздел «Расчеты при колебаниях и ударе» состоит из семи
глав.
В главах IV—IX рассматриваются вопросы упругих колебаний, имеющих
исключительно важное значение в современном машиностроении в связи
с непрерывным повышением скоростей подвижных частей машин. В част-
ности, в главе IV излагается теория колебаний упругих систем с одной
степенью свободы. Устанавливаются основные понятия в теории колебаний,
исследуются вопросы затухания колебаний.
В главе V рассматриваются более сложные случаи колебаний упругих
систем с несколькими степенями свободы.
В главе VI изучаются упругие колебания систем с распределенными
массами (продольные колебания прямолинейных стержней, крутильные
колебания валов, изгибные колебания балок).
. Глава VII посвящена приближенным методам определения частот соб-
ственных колебаний.
В главе VIII на* примерах, заимствованных из практики машинострое-
ния, излагаются основные вопросы теории нелинейных и квазигармониче-
ских колебаний.
. Наконец, в главе IX рассматриваются колебания типовых элементов,
машин, а именно: коленчатых валов, пружин, лопаток турбомашин, пластин,
дисков и др. Большое внимание уделяется исследованию критического числа
оборотов валов. Изучаются колебания фундаментов и т. д.
Предвидение возможности возникновения резонанса при колебаниях
и необходимость отстройки конструкций от резонанса являются актуаль-
нейшими задачами, требующими от инженеров-механиков серьезных знаний
в области теории упругих колебаний.
Изучение материала, изложенного в главах IV — IX, даст возмож-
ность инженерам-машиностроителям получить необходимые сведения в этой
области.
В главе X излагается инженерная теория удара.
Необходимо отметить, что проблема прочности элементов конструкций
при ударном нагружении является одной из наименее изученных в механике
деформируемого тела. Однако за последние годы в результате совместной
работы теоретиков и экспериментаторов в этом направлении достигнуты
значительные успехи. Глава X освещает этот вопрос на уровне современной
расчетной практики.
В третьем разделе «Расчеты на выносливость» (в главе XI) рассматри-
ваются расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени.
Если напряжения циклически изменяются во времени, то, как известно,
деталь может разрушиться в связи с образованием прогрессивно разви-
вающейся трещины в зоне наибольшей концентрации напряжений.
Изучение этого явления, получившего название «усталостного разруше-
ния», составляет в настоящее время основную задачу в области прочности
машиностроительных конструкций. Она тесно связана с вопросами конструи-
рования, с технологией изготовления и характером обработки поверхности
деталей.
. На усталостную прочность существенно влияют размеры детали, тем-
пература, коррозионная и абсорбционная активность рабочей среды, наличие
эпизодических перегрузок и другие эксплуатационные условия.
( , большое внимание в главе XI уделено рассмотрению вопросов усталост-
ной прочности при нестационарных режимах изменения напряжений.
Предисловие
5
Четвертый раздел книги посвящен исследованиям устойчивости элемен-
тов конструкций. Использование в практике машиностроения различного
рода облегченных деталей, в целях возможно большего снижения веса совре-
менных машин, делает проблему устойчивости элементов конструкций очень
актуальной.
Четвертый раздел содержит шесть глав.
В главе XII рассматриваются точные й приближенные методы исследо-
вания устойчивости сжатых стержней постоянного и переменного сечения,
а также устойчивость цилиндрических и призматических пружин сжатия.
В главе XIII применительно к запросам машиностроения разбираются
расчеты на устойчивость сжатых естественно закрученных, а также скру-
ченных и сжато-скрученных стержней; изучается устойчивость кблец, устой-
чивость плоской формы изгиба прямых и кривых брусьев и т. д.
В главе XIV излагаются вопросы устойчивости тонкостенных стержней
открытого профиля, широко используемых в современных металлокон-
струкциях.
Главы XV и XVI посвящены важным для машиностроения вопросам
устойчивости прямоугольных и круглых (кольцевых) пластин, закреплен-
ных к нагруженных различным образом.
Наконец, в главе XVII рассматривается устойчивость тонкостенных
оболочек.
В соответствии с запросами практики особое внимание уделяется
устойчивости цилиндрических оболочек, в том числе подкрепленных ребрами.
В конце книги помещено приложение, в котором приведены справоч-
ные данные по теоретическим коэффициентам концентрации напряжений.
Таково вкратце содержание третьего и последнего тома монографии
«Расчеты на прочность в машиностроении», который в совокупности с двумя
первыми томами охватывает в основном все вопросы прочности, выдвигаемые
машиностроением в настоящее время.
В томе III при изложении расчетов на прочность и ползучесть лопаток
турбомашин и вращающихся неравномерно нагретых дисков, а также рас-
четов пружин центробежных муфт и регуляторов, при исследовании ряда
вопросов упругих колебаний и, в частности, изгибных колебаний, крити-
ческого числа оборотов валов и колебаний пружин, при изложении некото-
рых вопросов усталостной прочности, при рассмотрении динамической
устойчивости сжатых стоек и инженерной теории удара, при изложении
расчетов на устойчивость сжатых стоек с промежуточными опорами, расчета
на устойчивость естественно-закрученных стержней, витых пружин, коль-
цевых пластин и тонкостенных оболочек вращения — были использованы
исследования авторов книги, проведенные ими в последние годы.
Общее редактирование книги выполнено С. Д. Пономаревым, им же
написана глава I и § 5 главы III.
Главы II и III (за исключением § 5) написаны Н. Н. Малининым.
Главы IV — X написаны В. Л. Бидерманом; глава XI составлена
К. К. Лихаревым и Н. Н. Малининым совместно.
Автором глав XII — XVI является В. М. Макушин; автором главы XVII—
В. И. Феодосьев; приложение составлено К. К. Лихаревым.
Необходимо отметить, что каждая тема, включенная в том III, может
быть изучена самостоятельно и не требует проработки всей книги в целом.
В конце каждой главы приведена основная литература по излагаемому
вопросу.
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ДВИЖУЩИХСЯ
ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
ГЛАВА I
МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ НА ПРОЧНОСТЬ ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ
КОНСТРУКЦИЙ
В процессе проектирования машиностроительных конструкций прихо-
дится рассчитывать на прочность детали, находящиеся по условиям работы
в движении (например, лопатки и диски турбомашин, звенья шарнирных
механизмов и т. д.) [1], [3], [10], [И].
В этой главе будут рассмотрены в основном лишь такие случаи, когда
ускорения частиц движущихся деталей мало зависят от деформации этих
деталей и поэтому могут быть определены методами кинематики твердого
тела.
Излагаемые ниже методы особенно часто применяются для расчета
деталей, вращающихся с постоянной угловой скоростью (диски, шкивы
и т. д.). В этом случае ускорения точек движущегося тела постоянны
по величине и не меняют своего направления по отношению к частицам
вращающейся детали. Естественно, что и напряженное состояние равно-
мерно вращающихся деталей является стационарным.
Если ускорения точек тела в процессе движения меняют свою величину
и направление по отношению к частицам тела, то методами, излагаемыми
в этой главе, можно исследовать напряженное состояние движущихся
деталей в отдельные моменты времени. Для этого движущуюся деталь сле-
дует рассматривать последовательно в ряде положений, при которых уско-
рения ее частиц известны. Так и поступают, например, при расчете ша-
тунов.
Если ускорения отдельных частиц рассчитываемой детали меняют свою
величину и направление во времени периодически, то в этом случае могут
возникнуть колебания, приводящие в условиях резонанса к резкому уве-
личению деформаций и напряжений.
Вопросы упругих колебаний и связанные с этим явления рассмотрены
в главах IV—IX книги.
Расчеты лопаток и дисков турбомашин, ввиду их большого прикладного
значения выделены и изложены отдельно в главах II и III.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Предположим, что тело, способное деформироваться, движется с уско-
рением.
Сосредоточим свое внимание на какой-либо частице этого тела.
Ускорение рассматриваемой частицы вызвано действующими на нее
массовыми и поверхностными силами (например, силой тяжести и силами
со стороны окружающих ее других частиц).
Указанные силы приводятся к равнодействующей, которая, согласно
законам механики, равна массе рассматриваемого элемента тела, умно-
женной на ускорение этого элемента.
8
Методы расчетов на прочность движущихся элементов конструкций
Но действие равно противодействию. Это значит, что и сам ускоряемый
элемент действует в равной степени на окружающие его частицы.
Таким образом, в деформируемом теле в связи с неравномерным дви-
жением его частиц развиваются внутренние силы, а следовательно, и напря-
жения.
Чтобы изучить силы взаимодействия
частиц, возникающие вследствие их не-
равномерного движения, целесообразнее
всего, как и при определении любых
динамических реакций, воспользо-
ваться принципом Даламбера. Следует
мысленно остановить движущуюся си-
стему и к каждой частице тела при-
ложить дополнительною силу, равную
произведению массы частицы на ее уско-
рение, взятое с обратным знаком. Эти
условно вводимые силы называются
силами инерции.
Из определения ясно, что в каждой
точке тела они направлены в сторону,
обратную ускорению в этой точке.
Равнодействующая внешних сил, непо-
средственно действующих на частицу
(например, силы тяжести), и дополни-
тельно приложенной силы инерции
представляет собой действие ускоряе-
мой в процессе движения частицы на
все окружающие ее элементы тела.
Теперь вопрос о степени участия
каждой прилегающей частицы в урав-
новешивании этой равнодействующей
можно решать, считая всю систему ча-
стиц как бы находящейся в равновесии.
Таким образом, приложив силы
инерции, можно изучить напряженное
состояние в любой точке неравномерно
движущегося тела, применяя обычные
способы сопротивления материалов, разработанные для статической нагрузки.
При $том с условно приложенными силами инерции можно оперировать,
как с добавочными объемными силами.
Исследуем, например, напряжения, возникающие в тонком кольце
в связи с его равномерным вращением в своей плоскости с угловой ско-
ростью <о. Все элементы тонкостенного кольца имеют центростремительное
ускорение / = 7?<о2, где R — средний радиус кольца.
Для решения задачи воспользуемся принципом Даламбера. Мысленно,
остановив кольцо, приложим ко всем его элементам силы инерции (фиг. 1, а).
Они направлены от центра и равномерно распределены вдоль дуги окруж-
ности. Интенсивность сил инерции q кг/см, т. е. сила инерции,.приходящаяся
на единицу длины кольца, равна
q = — R<a2.
g
Теперь можно исследовать внутренние силы в сечениях кольца, рассмат-
ривая последнее как неподвижную плоскую раму, нагруженную силами
с интенсивностью q (фиг. 1, а).
Основные положения
9
Вследствие полной симметрии системы и тонкостенности кольца дефор-
мированное и напряженное состояния во всех его точках будут одинаковы.
В связи с этим и все радиусы кольца удлиняются также в равной степени.
Очевидно, что каждый элемент тонкого кольца в рассматриваемом случае
в основном будет растягиваться.
Для выяснения величины внутренних сил N, возникающих в попереч-
ных сечениях кольца при его вращении, воспользуемся методом сечений.
Отсечем полукольцо, приложим в сечениях внутренние силы N и рас-
смотрим его равновесие (фиг. 1, б).
Проектируя все силы на направление пп, имеем
тс
~2
— 2 N + 2 f qR cos ср do == 0.	(1)
о
Подставляя значение q в уравнение (1), окончательно получим
= J/V	2
где v — окружная скорость кольца (и = 7?со).
Тогда нормальные напряжения в поперечном сечении тонкостенного
кольца равны
Однако следует иметь в виду, что возникшие напряжения вызываются
не силами инерции, которые приложены нами из методических соображений
и в действительности отсутствуют, а в результате взаимодействия частиц,
взаимно сообщающих друг другу центростремительное ускорение.
Таким образом, разрыв быстро вращающегося обода происходит
не «от действия сил инерции», как это часто говорят, а вследствие того,
что максимально возможные по природе материала силы взаимодействия
частиц недостаточны для сообщения элементам кольца центростремитель-
ного ускорения, соответствующего угловой скорости кольца в целом.
Обращает на себя внимание тот факт, что напряжения, возникающие
в поперечных сечениях кольца в связи с его вращением [см. формулу (3)],
не зависят от площади F этих сечений, а определяются в основном только
окружной скоростью кольца и весом единицы объема материала.
Это объясняется тем, что в рассматриваемом случае напряжения выра-
жают интенсивность внутренних сил, которые необходимы для сообщения
каждой частице тела в отдельности соответствующего ускорения. Поэтому
увеличение или уменьшение размеров поперечного сечения кольца, т. е.
числа ускоряемых частиц в сечении, при сохранении прочих условий, не
может оказать влияния на величину напряжения.
Напряжения, возникающие в кольце в связи с его вращением, могут быть, конечно,
определены и без введения в рассмотрение сил инерции [8].
Выделим элемент АВ кольца с дугой ds = Rdy (фиг. 2).
Масса элемента равна
dm = ~FRdy,
где F — площадь поперечного сечения кольца.
Если представить себе, что центростремительное ускорение / = Rсо2 сообщается этому
элементу нитью, то сила dC, действующая на элемент со стороны нити, равна
dC = jdm == f
RWF
d<?.
g
10 Методы расчетов на прочность движущихся элементов конструкций
В действительности ускорение сообщается элементу не нитью, а соседними элементами
кольца, и сила dC представляет собой равнодействующую внутренних сил, которые возникают
в поперечных сечениях А и В кольца, связывающих
рассматриваемый элемент АВ с соседними. Тогда
dC — 2N sin -77— = Ч---------d<₽,
2	‘ g
Фиг. 2. К расчету на прочность
вращающегося тонкого кольца без
использования принципа Далам-
бера.
откуда
(2а)
а нормальные напряжения
кольца равны
в' поперечном сечении
N
а~ F
(За)
[см. формулы (2) и (3)].
Таким образом, Опираясь
коны динамики, можно исследовать поле напряжений
непосредственно на за-
в любой неравномерно движущейся детали.
Однако такого рода приемы исследования могут
в сильной степени отклониться от подробно разрабо-
танных статических методов расчета на прочность,
хорошо известных инженерам. В ряде случаев это
может поставить расчетчика в затруднительное положение, что и заставляет искать дру-
гие пути решения и, в частности, обращаться к принципу Даламбера.

g
Т
§ 2. РАСЧЕТ БЫСТРО ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТОНКОГО ОБОДА СО СПИЦАМИ
-—и
Фиг. 3. К расчету на
гося тонкого обода со спицами.
При расчете шкивов быстроходных передач необходимо учитывать напря-
жения, возникающие в связи с вращением шкива [13]. Переходим к рас-
смотрению этой задачи при условии,
что площадь поперечного сечения
спиц по длине переменна.
Воспользуемся принципом Да-
ламбера. Приложив ко всем элемен-
там обода и спиц силы инерции
(фиг. 3), можно рассчитывать шкив
как обычную плоскую статически
неопределимую раму (см. главу XI,
том I).
Учитывая условия симметрии, со-
средоточиваем свое внимание на од-
ном отсеке ОАСВО шкива (фиг. 3).
Обозначим: 7? — средний радиус
обода в см; г2— внутренний радиус
•обода в см; 1\ — радиус ступицы
в см; 2а — угол между сечениями А
и В; Fo — площадь поперечного се-
чения обода в сж2; J — момент инер-
ции поперечного сечения обода от-
носительно центральной оси, перпен-
дикулярной чертежу, в см4.
Площадь поперечного сечения спицы на радиусе обозначим см2,
на радиусе г2 — F2 см2, на текущем радиусе г (гх < г < г2) — Fr см2.
По условию симметрии в сечениях А и В поперечные силы отсутствуют.
Эти сечения не поворачиваются и получают только радиальные перемещения.
Спица ОС только растягивается.
прочность вращающе-
Расчет быстро вращающегося тонкого обода со спицами
И
Ступицу вследствие ее массивности можно рассматривать как абсо
лютно жесткое тело, тем более что ускорения ее частиц при вращении
вследствие их близости к центру О, незначительны.
Для раскрытия статической
неопределимости воспользуемся,
методом сил (см. главу XI, том I).
Примем за лишние неизвестные
равные между собой изгибающие
моменты Хг в сечениях А и В
и растягивающую силу в конце
С спицы у обода (фиг. 4).
Основная система, нагружен-
ная внешней (инерционной) нагруз-
кой и единичными силовыми фак-
торами, представлена на фиг. 5.
Для схемы нагружения, пока-
занной на фиг. 5, а:
изгибающий момент в попе-
речных сечениях обода
7И<ро — 0;
нормальная сила в поперечных
Фиг. 4. Избранная эквивалентная система
при расчете тонкого обода со спицами.
сечениях обода
г _ ЧЛ^2#2 .
а >
12
Методы расчетов на прочность движущихся элементов конструкций
нормальная сила в поперечном сечении спицы на радиусе г

где
Sr = у Fppdp см4
(4>
(Г„ — площадь поперечного сечения спицы на радиусе р, где р—допол-
нительно введенный текущий радиус, изменяющийся в пределах от г до г2)-
Для схемы нагружения, представленной на фиг. 5, б, MV1 = 1; Nn = 0;
УГ1 =0.
Для схемы нагружения, представленной на фиг. 5, в,
м,2 = - *(1~СО!5у)-;
*	2 sin а 9
2 sin а ’
M-2 = + 1.
Канонические уравнения для определения лишних неизвестных имеют
вид
&10 + ^1^11 + ^2^12 == 0;
^20 4“ -^1^21 Н" Х2$22 = 0*
Для
имеем
рассматриваемого случая, пренебрегая влиянием поперечных сил^
* О Г	Р	fNroNndr __ п.
8ю - 2 J EJ + 2 J	I- J EFr “ U’
0	0	П
. о С	, Q f	. f^rO^ _
°20 “ 2 J EJ h 2 J EF0 *“ J EFr ~ gE
0	On
где
Г2
gE J Fr
a	an
. _9 f , 9 f № fjV> _ 2/?a ;
611 ~ 2 J	EJ + 2 J ~~EFo	+ J EFr ~ EJ
0	Or,
a	an
.	. of	, Q C	f NrNr2dr _ ^(a-sina) ;
°12 — °21 — J £7 b J EFo h J	—	EJ sin a
0	0	П
a	a	r2
_ 9 Г . 9 C N^Rd^ . f N^r =
22 ~ 2 J	EJ "f" 2 J EF0 + J EFr
0	0	Г1
Z?3(a — 2 sin a) , R |7?8h («)
2 EJ sin2 a ' E [ J
k (rz — Г1)
EF2
Расчет быстро вращающегося тонкого обода со спицами
13
где
М«) =	+	•	<5)
а
Подставляя полученные значения перемещений В в канонические урав-
нения и решая их совместно, имеем
<7>
/ ? \
I рз__ I Srdr .
gR J Fr
= 7^---------Ч----------k(r -Г)1 ’
где
/=2(«) = /1(a) — 2^Г»	(9)
а
'<«) = (йг-4-)>	<10)
Значения функций Д (a), f2 (а) и /3 (а) приведены в табл. 1.
Для обода со спицами постоянного сечения или приближенно для обода
со спицами переменного сечения, имеющих в среднем площадь Fcpi получаем
k= 1 и sr = ^- (г2 — r2)Fcp.
Тогда х	(4 + 37>f-W	' (11) 12г f^w + 7<«) + 474 L J	Г о	” срК J и _		(4 + 3У)	 П2 6g	.	1 .	(гз-п)] ’ L J '2-W-+ Fo М“)+ Fcp# J Таблица 1 Таблица вспомогательных функций fx(a), /2(а) и /3(а)								
а	тс	тс	1С	тс	тс	тс "8“	тс “То”	7С тг
А(«)	0,393	0,493	0,643	0,798	0,957	1,274	1,592	1,910
Л(“)	0,0744	0,01593	0,00608	0,00297	0,00168	0,000694	0,000351	0,000202
/з(“)	0,3634	0,1998	1,410	0,1097	0,0901	0,0666	0,0530	0,0440
14
Методы расчетов на прочность движущихся элементов конструкций
Теперь можно определить внутренние силовые факторы в любом сечении
обода и спицы.
Нормальная сила в поперечном сечении обода в функции угла ср (см. фиг. 4}
равна
г   7Focq2/?2	cos у	y
т ~~ g	2sin а 2*
(13).
Изгибающий момент в этом же сечении
*	2 \ since а /
(14>
Фиг. 6. Шкив, рассчитываемый в примере.
Нормальное напряжение в крайнем волокне обода
- WU3S Fo
(15>
Нормальное усилие растяжения в поперечном сечении спицы на радиусе г
Г2
Nr = X2+ ^-Jfppdp.	(16>
Г
В частности, для спицы постоянного сечения имеем
^Хг + ^’^-г2).	(16а>-
Эта сила достигает наибольшей величины у ступицы при г = гх. Нормаль-
ное напряжение в поперечном сечении спицы
Пример. Исследуем напряжения, возникающие в сечениях обода и спиц стального литого*
шкива в связи с его вращением с числом п = 1200 об/мин (ш = 125,7 1/сея; f = 0,0078 кг/см3) с.
Основные размеры шкива приведены на фиг. 6. Вычислим исходные расчетные величины?.
Для обода R = 39,5 см; Го = 7-1 = 7 см2; J =	= 0,583 см*.
Расчет быстро вращающегося тонкого обода со спицами
15
Для спицы Г1 — 5,5 см; г2 =39 см;
г Л’4-2 р о о г, к-3-1,5	9
F, = —-— = 6,3 смI 2; Fo =-----= 3,5 см2.
14	2	А
4
Площадь поперечного сечения спицы на радиусе г можно представить зависимостью
Fr = — (8,67 — 0,124 г + 0,45- 1(ГМ) см*.
Тогда'
Sr = j Fppdp —	[4403 —4,33 г» 4-0,041 r» —0,11-10-»/4 * * * *J см*.
Теперь, используя формулу Симпсона, получим
= 12 850 о*3.
Таким же способом вычислим
k(r2 —
* F^dr о. Л
~— = 24,9 см.
В табл. 1 даны значения Д (а)—0,957, Д (а)=0,00168 и Д (а)=0,0901 (в нашем случае-
а= Теперь по формуле (8) можно вычислить Х2:
0,0078-125,72
-^^-(39,53- 12 850)
I 39-52 anniRR , °’957 -и 24’9 * *	1
| 0,583 •°’00168 + 7 + 39,5-3,5 J
Зависимость (7) позволяет определить момент Xj:
Хг =	0,0901 -32,3 = 57,5 кгсм.
= 32,3 кг.
2
По соотношению (13) нормальная сила в текущем сечении
0,0078-7-125,72-39,5з	32,3 cos у	.
=-----------ggj------------------— = (1372 — 32,3 cos ?) кг.
2 sing
Изгибающий момент в текущем сечении [см. выражение (14)]:
..	39,5-32,3 / cos 6\	1Опл\
= ——ъ-------/ ----——— 1 = (1277 cos ср — 1220) кгсм.
“	2 I . к тс I
I Sin	/
\ О	/
По формуле (16)
Nr = 32,3 + 0,007841gg172'3’14' (4403 — 4,33r2 + 0,0417» — 0,11 • 10—’т4) =
= 468,2 — 0,429г4 + 0,00406г» — 0,0109- 10-»г4.
Эпюры внутренних силовых факторов ЛГф, и Nr построены на фиг. 7.
Наибольшее нормальное напряжение в ободе возникает в сечении при <р = 30° (фиг. 7, а>9
где = 115 кгсм и ^ = 1344 кг (фиг. 7, б).
По формуле (15)
115-0,5 . 1344 опп , 2
Отах = - Q 5S3------Ь —— & 290 кг/см*.
16 Методы расчетов на прочность движущихся элементов конструкций
Заметим, что напряжение в ободе без спиц, вращающемся с той же угловой скоростью
о = 125,7 \/сек, по формуле (3) равно
„	0,0078-125,72 QQ-2 1OR , 2
а =------ggj-----39,52 = 196 кг/см2.
Наибольшее нормальное напряжение в спице у ступицы, где Nr = 454 кг (фиг. 7, б),
454
°" max =	з == 72 кг {см2.
Для оценки точности приближенных формул (11) и (12) сравним получаемые по ним зна-
чения для Xi и %2 с установленными выше уточненными ответами.
О)
1340кг
б)
Фиг. 7. Эпюры внутренних силовых факторов в поперечных
сечениях обода и спиц шкива:
а — эпюра изгибающих моментов; б — эпюра нормальных сил.
По формуле (11)
0,0078-125,72-39,52-0,0901 (4 + 3
Х1 12 951 Г 39’52 0 00163 I °’957 I (39~ 5-5)-2~Т = 54 КгСЖ’
12'981 [0,583 °’00168+ 7 + 39,5(6,3+3,5) J
По формуле (12)
0,0078-125,72-39,52 ( 4 + 3
*8 * п931 Г 39.52	0,957	(39 —5,5)-2~Т~ =30 Кг‘
6-98 [ 0,583 °’00168-t	7 + 39,5 (6,3 + 3,5) J
Результаты, полученные по приближенным формулам (11) и (12), по своей точности вполне
удовлетворительны. Примерный вид обода в деформированном состоянии, показан на фиг. 7, а
пунктиром.
Расчет на прочность звеньев плоских шарнирных механизмов
17
§ 3. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ЗВЕНЬЕВ ПЛОСКИХ ШАРНИРНЫХ МЕХАНИЗМОВ
НА ПРИМЕРЕ РАСЧЕТА ТЕЛА ШАТУНА
При расчете на прочность быстро движущихся звеньев различных шар-
нирных механизмов необходимо учитывать напряжения, развивающиеся
вследствие ускоренного движения отдельных элементов рассчитываемых
звеньев.
Рассмотрим этот вопрос на примере расчета шатуна — шатунно-криво-
шипного механизма, особенно широко используемого в конструкциях машин
различных видов.
Фиг. 8. К исследованию ускорений шатуна:
а — схема шатуна в некотором его положении; б — план ускорений; в — график
ускорений нормальных к оси шатуна; г — график ускорений /2, направленных по
оси шатуна; д — график распределения массы шатуна по его оси.
Обсуждение этой задачи "проведем в возможно более общей постановке
так, чтобы в результате анализа рассматриваемого случая наметились пути
расчета на прочность элементов любого другого плоского шарнирного
механизма.
Предположим, что палец А кривошипа (фиг. 8, а) вращается вокруг
оси О с постоянной угловой скоростью со 1/сек. Ползун В совершает воз-
вратно-поступательное неравномерное движение вдоль прямой ОВ.
Рассмотрим шатун в некотором его положении (фиг. 8, а).
С помощью плана ускорений 1 легко установить величину и направление
полного ускорения в каждой точке тела шатуна в рассматриваемом поло-
жении.
В частности, если полное ускорение центра пальца кривошипа (о2г
(г — радиус кривошипа представлен отрезком ОА в масштабе р, см/мм)
изобразить вектором, подобрав масштаб	~ так» чтобы на чертеже
этот вектор оказался равным О А (фиг. 8, б), то т] будет численно равно рко2
и полное ускорение j любой .точки С оси шатуна изобразится в масштабе
ХЛ. Г. Лойцянский и А. И. Лурье, Курс теоретической механики, т. I, Гос-
техиздат, 1955.
2 Пономарев 508
18
Методы расчетов на прочность движущихся элементов конструкций
Ч С~~мТ' вектоРом с началом в исследуемой точке С) и с концом на
прямой ОВ, совпадающей с направлением движения ползуна (например,
вектор jc для точки С) (фиг. 8, б).
На фиг. 8 приведены графики для составляющих (фиг. 8, в) и jz (фиг. 8, г)
полного ускорения j точек оси шатуна в рассматриваемом положении.
Здесь полное ускорение j разложено в направлении оси z шатуна В A (jz)
и в направлении /, перпендикулярном к оси z— (/z), т. е. j ~V'ft + ]z.
Тело шатуна обычно представляет собой брус переменного сечения.
На фиг. 8, д график выражает закон распределения массы шатуна по его
длине.
Теперь, располагая значениями ускорений для всех точек оси шатуна
и зная закон распределения его массы по длине, легко подсчитать интен-
сивность сил инерции масс, приведенных к оси шатуна (фиг. 9, а).
Графики интенсивности сил инерции, нормальных к оси шатуна qt кг/см,
и интенсивности сил инерции, направленных вдоль его оси (от А к В) qz кг/см,
представлены на фиг. 9, б и в.
В точках тела шатуна, не лежащих на его оси, ускорения будут несколько
отличными от представленных на фиг. 9, б.
В соответствии с законами динамики плоского движения тел, при при-
ведении всех сил инерции к точкам оси шатуна дополнительно необходимо
в точках оси приложить моменты. Интенсивность этой моментной нагрузки
ш кгсм/см в сечении, определяемом координатой z (фиг. 9, а), равна
m = —се кгсм!см,
где с — отнесенный к единице длины массовый момент инерции элемента
шатуна, выделенного двумя поперечными сечениями шатуна с коор-
динатами г и z + dz, в кгсек?.
Удельный момент инерции с вычисляется относительно оси х, нормальной
к плоскости движения шатуна и проходящей через центр тяжести сечения г:
с — С Л——- = -1J кгсек2;
J g dz g *
Jx — геометрический момент инерции поперечного сечения шатуна
относительно оси х в сж4;
7 — вес единицы объема материала шатуна в кг/см?\
е — угловое ускорение шатуна в 1/се/с2;
1/сек2,
где jfA — тангенциальная составляющая относительного ускорения точки А
по отношению к точке В (см. фиг. 8, б) в см/сек2’,
I — длина шатуна в см (расстояние АВ мм в масштабе р см/мм).
График распределения по оси шатуна моментной инерционной нагрузки m
приведен на фиг. 9, г.
Приложив к шатуну силы инерции и рассматривая его как балку, шар-
нирно опертую в точках А и В, обратимся к его расчету на прочность,
используя обычные приемы, разработанные для статических нагрузок.
Строго говоря, шатуны надо рассчитывать на продольно-поперечный
изгиб. Однако, учитывая относительно большую жесткость тела шатуна,
обычно, при расчете пользуются принципом независимости действия сил
и полагают, что шатун находится в условиях поперечного изгиба и растя-
жения-сжатия. Следует также иметь в виду, что в основном существенны
Расчет на прочность звеньев плоских шарнирных механизмов
19
z-------dz Ь*-
--------------z _
Фиг. 9. К расчету тела шатуна на прочность:
а — шатун и схема его нагружения; б — график распределения по оси
шатуна сил инерции нормальных к оси шатуна; в — график распре-
деления по оси шатуна сил инерции qz, направленных по оси шатуна;
г — график распределения по оси шатуна моментной инерционной
нагрузки и эпюра изгибающих моментов, возникающих в связи с при-
ложением этой нагрузки.
2*
20
Методы расчетов на прочность движущихся элементов конструкций
лишь силы инерции qt, прикладываемые в связи с имеющими место ускоре-
ниями нормальными к оси шатуна.
Как уже отмечалось, при желании уточнить расчет следует учесть, что
в различных точках поперечного сечения шатуна ускорения несколько
отличаются от ускорения / в центре тяжести сечения, лежащего на оси
шатуна.
Чтобы отразить влияние этого обстоятельства на изгиб шатуна, надо
приложить дополнительную инерционную моментную нагрузку интенсив-
ности ш кгсм!см (фиг. 9, а).
В рассматриваемом случае она вряд ли может иметь существенное зна-
чение и при расчете шатуна на прочность обычно не учитывается, но в инте-
Фиг. 10. К установлению связи между
внутренними силовыми факторами в двух
поперечных сечениях нагруженной балки.
ресах общности изложения примем
моментную нагрузку m во внимание.
Переходим к построению эпюры
изгибающих моментов от инерцион-
ной нагрузки qt и пг.
Учитывая сложный вид этих на-
грузок, эпюру изгибающих момен-
тов, целесообразно строить графиче-
ским способом отдельно от нагрузки
m и qt (изгиб шатуна происходит
в его главной плоскости yz).
Для построения эпюры изгибаю-
щих моментов от нагрузки m доста-
точно: 1) построить в некотором мас-
штабе 8 кгсм/мм интегральную кри-
вую моментной нагрузки (кривая
LST на фиг. 9, г) (суммирование велось начиная от правого конца ша-
туна); 2) отложить от точки А отрезок AD = КТ\ 3) соединить точку D
с точкой В.
Величины изгибающих моментов выражаются в масштабе В кгсм/мм
вертикальными отрезками в области LSTDSBL, измеренными в направлении
штриховки и отсчитываемыми от ломаной TDSBL.
В окрестностях точек А и В эпюра заштрихована пунктиром. В этих
областях она представлена приближенно, поскольку в действительности
шатун не оперт в точках А и В точечно, как это принято в расчете, а удер-
живается цапфами значительных диаметров, в связи с чем силы, действую-
щие на шатун со стороны цапф, строго говоря, нельзя рассматривать как
силы сосредоточенные.
Для дальнейшего расчета необходимо также знать вертикальную соста-
вляющую реакции R’B в точке В, которая равна и обратна по направлению
соответствующей реакций в точке A (R'B = — R'A):
__ (КТ) мм Ъ кгсм/мм
К в кг— Гем
Отрезок КТ = AD измеряется по чертежу (фиг. 9, г).
Для построения эпюры изгибающих моментов от нагрузки qt целесооб-
разно воспользоваться следующим приемом.
Если при движении, например, справа момент Мг и поперечная сила Qj
в сечении / (фиг. 10) известны, то момент Ми в сечении II, отстоящем от
сечения I на расстоянии а, после спрямления нагрузочной кривой равен
Afn-MI + Q1a + -^ = ^№ + -^- + _^l
Л*	[	\Л	it ]
(18)
Расчет на прочность звеньев плоских шарнирных механизмов
21
Спрямление эпюры на участ-
ке а ведется таким образом,
чтобы площадь трапеции равня-
лась площади эпюры на этом
участке; qQ кг!см — интенсив-
ность в сечении, отстоящем от
сечения I на расстоянии
Чтобы убедиться в правиль-
ности записанной формулы, до-
статочно диагональю db разбить
трапецию на два треугольника
(фиг. 10), выразить момент от
каждой треугольной нагрузки
раздельно и результаты сло-
жить.
Поперечная сила Qn во вто-
ром сечении равна
Qu ~ Qi + Qca —
=	+	(19)
где qc — интенсивность в сере-
дине участка а в кг!см.
Разбив балку между опорами
наряд равных отрезков длиной а
и спрямляя эпюру нагрузки
на участках (фиг. 11, а), легко
по приведенным формулам по-"
строить эпюру изгибающих мо-
ментов, переходя от сечения
к сечению.
Изгибающие моменты и по-
перечные силы в надопорных
сечениях А и В от заданной
внешней нагрузки вычисляются
предварительно.
Обозначим их соответст-
венно МЛ, Qa и MBt QB. По-
рядок построения выясняется
из фиг. 11.
Учитывая необходимость
определения реакции на опоре
B(Rb), строим эпюру, начиная
с правого конца (фиг. 11, б).
Отложив в правом надо-
порном сечении В балки от-
резок BD, равный в мас-
Фиг. 11. Графо-аналитический метод
построения эпюры изгибающих мо-
ментов для балки:
а — схема нагружения балки; б — схема
графических построений; в — окончатель-
ный вид эпюры изгибающих моментов.
22
Методы расчетов на прочность движущихся элементов конструкций
штабе интенсивности нагрузки а кг!см-мм 1 (фиг. 11, б), сносим его
на расстояние а влево до сечения /, где дополнительно откладываем вели-
чину -^- в масштабе а и отрезок С1/)1 = -^-. Точка D1 в дальнейшем
определит величину изгибающего момента в сечении / (при построении
условно принято, что масштаб а численно равен единице).
Прямая DC1 является касательной к эпюре моментов в точке D.
Смещаемся еще влево по прямой	до сечения II. Отклады-
ваем от точки Вп отрезок ВиС11 = q^a-1-. Прямая D^C11 является каса-
тельной к эпюре моментов в точке D1. Отложив от точки Сп отрезок
CnDn —	, получаем точку £>п, определяющую изгибающий момент в сече-
нии 1I. (Интенсивности q*, qlc, q^, q)\ ... и т. д. представлены в масштабе
а кг/см-мм"1 на фиг. 11, а ординатами эпюры, откуда непосредственно и
могут быть взяты, например, отрезки ВПСП, В1ПС1П,..., выражающие qc.)
Сдвигаясь влево по прямой DuBm\\DiCii до сечения III, откладываем
от точки В111 отрезок В1ПС1П = ^а-1. Прямая £>ПСШ является каса-
тельной к эпюре моментов в точке D11. Отложив от точки С1П отрезок
ли
Сш£>ш = получаем точку D111, определяющую изгибающий момент
в сечении III.
Отступая далее влево по прямой £)inBIV[ |РПС1П до сечения IV и
повторяя построения, определяем касательную к эпюре моментов в точке
и величину изгибающего момента в сечении IV (точка Dlv).
Таким образом, переходя от сечения к сечению, можно построить всю
эпюру, определяемую точками (D, D1, . . . , Z)vn) в избранных сечениях
(0,1,..., VII) и дополнительно еще касательными к эпюре в этих сече-
ниях.
Отложив от точки Dvn вверх отрезок £>УПД, равный в масштабе а,
определяем отрезок ААС, представляющий в том же масштабе а величину
Z	п
—(фиг. 11, б) (%в — реакция в опоре В) и направление замыкающей
эпюру прямой АВ. Полученную эпюру можно привести к нормальному
виду (фиг. И, в), для чего замыкающую АВ следует расположить парал-
лельно оси шатуна и отложить в перпендикулярном к ней направлении
отрезки, заключенные между кривой D, D1, Du, . . . , Dvl1 и наклонной
прямой АВ на фиг. 11,6.
В сечениях, близко прилегающих к опорам, эпюра моментов заштрихо-
вана пунктиром. В этих сечениях момент определен приближенно в пред-
положении. что шатун оперт только в точках А и В, чего нет в действитель-
ности, так как шатун опирается на цапфы значительных диаметров.
Эпюра изгибающих моментов построена в масштабе а а2 кгсм/мм.
В этом ж*е масштабе отрезок АА0 определяет момент RbI, а следова-
тельно, и необходимую для дальнейших расчетов реакцию:
о" _ ДД0 мм аа2 кгсм/мм
Приводя эпюру от моментной нагрузки (фиг. 9, г) к масштабу а а2 и скла-
дывая ее с эпюрой изгибающих моментов от инерционной нагрузки интен-
сивностью qt, получаем окончательную расчетную эпюру изгибающих момен-
тов (см. отштрихованную эпюру на фиг. И, в).
Расчет на прочность звеньев плоских шарнирных механизмов
23
Теперь из рассмотрения движения ползуна В с ускорением /в
(см. фиг. 8, б) определяем составляющую Нв реакции в точке В в напра-
влении оси шатуна. Для этого приложим к ползуну (фиг. 12), кроме силы Нв,
еще другую составляющую реакции со стороны шатуна в точке В, перпен-
дикулярную к его оси RB = Rb—Rb, а также усилие Р, передающееся
ползуну от штока, вес ползуна G, пока еще неизвестную реакцию S со сто-
роны направляющих и силу трения о направляющие, равную Sf, где f —
коэффициент трения скольжения.
Далее, опираясь на принцип Даламбера, приложим к шатуну (фиг. 12)
G .
силу инерции----—jB
Нв.
и, составив уравнения равновесия, определим
Фиг. 13. Эпюра нормальных сил W в поперечных
сечениях шатуна.
Фиг. 12. Ползун
(к установлению
силы Дв, действую-
щей по оси шатуна)
В сравнении с осевой силой Нв инерционные усилия интенсивности qz,
определяемые ускорением обычно практического значения не имеют
и могут, как правило, во внимание не приниматься.
При желании учесть в расчете влияние осевых сил инерции необходимо
построить эпюру нормальных усилий N в сечениях шатуна, что и сделано
на фиг. 13. Для получения этого графика предварительно строится интеграль-
ная кривая Nz для эпюры qz (фиг. 9, в), а затем проводится замыкающая
с учетом действия силы Нв, как это представлено на фиг. 13. В областях
взаимодействия шатуна с цапфами А и В эпюра N имеет условный характер
и заштрихована пунктиром.
Если принять, что тело шатуна является весьма жестким, то максималь-
ное напряжение в любом поперечном сечении шатуна равно
amax 1	9	(20)
где F — площадь рассматриваемого поперечного сечения шатуна в см2;
Wx — момент сопротивления изгибу в том же сечении в см3.
Так как сечение шатуна по его длине переменное, то не представляется
возможным установить положение опасного сечения только по виду эпюр
изгибающего момента и нормальной силы.
Вопрос может быть решен путем построения эпюры для напряжения ama3t
по длине шатуна.
Из этой же эпюры сразу выяснится и величина расчетного напряжения.
При более точном подходе к расчету тела шатуна на прочность, напря-
жения следует вычислять из расчета шатуна на продольно-поперечный
изгиб.
24
Методы расчетов на прочность движущихся элементов конструкций
учесть
бруса
длине
(21)
Этот расчет, учитывая переменность сечения тела шатуна, следует про-
вести графически 1 Однако при этом не представляется возможным
распределенные силы инерции, направленные по оси шатуна.
Как известно, нормальные напряжения в поперечных сечениях
при продольно:поперечном изгибе, без учета распределенной по
осевой нагрузки, вычисляются по формуле
„ Нв . HBv + Мпоп
F
где Мпоп — изгибающий момент от поперечной нагрузки в кгсм\
Нв — сжимающая сила, приложенная по концам шатуна, в кг\
v — прогиб шатуна в рассматриваемом сечении в см.
Упомянутый выше графический способ позволяет сразу определить
в любом месте бруса переменного сечения величин} полного изгибающего
момента (Мпоп + HBv) при продольно-поперечном изгибе. Затем уже
нетрудно построить эпюру нормальных напряжений по длине шатуна.
По эпюре нормальных напряжений можно установить положение опас-
ного сечения и величину наибольшего напряжения в теле шатуна.
Для полного расчета шатуна приведенное выше исследование следует
провести для восьми—двенадцати положений. Это позволит установить законы
циклического изменения напряжений в теле шатуна и даст возможность
выполнить обоснованный расчет шатуна на прочность с учетом изменения
напряжений во времени.
Дополнительно в ряде случаев целесообразно провести расчет шатуна
на динамическую устойчивость.
Подробное изложение уточненного приема расчета шатуна дает пред-
ставление о той методике, которой следует руководствоваться при расчете
любого звена плоского шарнирного механизма (например, спарника, эле-
мента кулисного механизма и пр.) в условиях сложного закона его дви-
жения.
Относительная трудоемкость изложенного полного расчета шатуна
на прочность заставляет практиков искать упрощенных приемов.
Широкое распространение имеет следующий способ расчета.
За опасное положение шатуна избирается то его положение, при котором
угол между кривошипом и шатуном равен 90° (фиг. 14). В этом положении
шатуна полное ускорение jc любой его точки С примерно равно относитель-
ному ускорению точки С по отношению к точке В, отстоящей от С на
расстоянии г:
1с = 1в + 1С	/С,
так как в этом случае поступательное ускорение /в точки В мало.
ПОСКОЛЬКУ ]А = Г (О2, то
]с
/д ~ /д ~ 1 '
Отсюда вытекает, что, приближенно говоря, ускорение точек оси шатуна
в рассматриваемом его положении нормально оси и изменяется по ее длине
примерно по закону треугольника (фиг. 14).
Силы инерции вычисляются в предположении, что масса шатуна равно-
мерно распределена по длине его оси. В этом случае расчет шатуна на проч-
1 И. А. Тевастшерн, Расчет лонжеронов переменного сечения, „Техника воздуш
него флота" № 6, 1928.
Расчет вращающихся радиально расположенных пружин
25
ность сводится к расчету обычной двухопорной балки, нагруженной силами,
распределенными по закону треугольника (фиг. 14).
Наибольший изгибающий момент возникает в сечении при г = 0,577/:
=	(22)
где V — объем шатуна в см3\
1 — вес единицы объема материала в кг/см3.
Фиг. 14 К приближенному расчету тела шатуна на прочность.
Наибольшее нормальное напряжение в опасном сечении шатуна
= 4 +	<20а>
Усилие .77, сжимающее шатун, можно приближенно оценить из стати-
ческого расчета:
Р
cos а ’
Н =
где р — усилие, передаваемое по штоку, а а — угол наклона шатуна
к оси ОВ.
Указанный упрощенный способ расчета шатуна на прочность может
быть использован лишь для ориентировочных подсчетов.
§ 4. РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩИХСЯ РАДИАЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ ПРУЖИН
Среди регуляторов различных конструкций, широко применяемых в совре-
менных автоматических устройствах, значительное место занимают центро-
бежные регуляторы, у которых в качестве уравновешивающей силы исполь-
зуется сила упругости пружин.
В конструкциях регуляторов такого рода пружины вращаются вместе
с присоединенными к ним грузами. Поскольку при вращении частицы
пружин получают значительные центростремительные ускорения, их тяго-
вая сила должна быть определена с учетом этого обстоятельства.
Аналогичные вопросы возникают и в точном приборостроении, при расчете
муфт различных конструкций, в которых используются пружины.
Допустим, что пружина (фиг. 15), закрепленная по концам А и В шар-
нирно, вращается с постоянной угловой скоростью со относительно оси,
26 Методы расчетов на прочность движущихся элементов конструкций
перпендикулярной к плоскости чертежа в точке О, лежащей на оси пру-
жины АВ [9].
Воспользуемся принципом Даламбера. В рассматриваемом случае силы
инерции можно направить по оси АВ, расположенной радиально, поскольку
предполагается, что диаметр пружины D значительно меньше ее длины Н
(или пружина в достаточной степени удалена от оси вращения).
Жесткость цилиндрической пружины (см. главу XIII, т. I), свитой
из проволоки круглого поперечного сечения, равна
Z = ~^T’	'	(23)
где i — число рабочих витков;
d — диаметр проволоки в см;
G — модуль сдвига в кг/см2.
В этом случае осевое перемещение К торцов пружины длиной Н под
действием продольных сил Р, приложенных по ее концам, равно
Х = 4	-(24)
Фиг. 15. Схема расположения вращающейся пружины с шарнирно
закрепленными концами.
Сечение пружины, находящееся до пуска регулятора в ход на расстоя-
нии г от оси О, при вращении вследствие деформации пружины в связи
с наличием центростремительных ускорений переместится на величину С
и остановится на радиусе г + С (фиг. 15).
Положим, что перемещение С соизмеримо с начальной длиной пружины,
т. е. примем, что в этом случае имеют место относительно большие пере-
мещения и поэтому нельзя пренебречь величиной С в сравнении с г.
Для сечения, имеющего координату г + dr, радиальное перемещение
соответственно будет равно С + dC.
Таким образом, длина элемента dr пружины получает приращение,
равное dC.
Это изменение длины элемента пружины связано, с возникновением
6 сечениях витков внутренних сил упругости, приводящихся к силе N,
направленной по оси пружины.
В соответствии с формулой (24), учитывая, что осевое перемещение
пропорционально длине пружины, имеем
W dr
Расчет вращающихся радиально расположенных пружин
27
откуда
N = ZH-£-.	(25)
Из условия равновесия, составленного по принципу Даламбера для
элемента пружины (фиг. 15), имеем
dN + dC = 0.	(26)
Приращение силы упругости N на длине dr
dN = ZH^.	(27)
Сила инерции элемента atbi пружины
dC = а>2 (г + С) dm,	(28)
где dm — масса рассматриваемого элемента atbi пружины длиной dr;
, mdr
dm = -ту-.
ti
Масса m всей пружины равна
m . V&IF
g
Здесь F —	---площадь поперечного сечения витков в см2, а 7 — вес
единицы объема материала пружины в кг/см9.
Подставляя значения сил dN по формуле (27) и dC по формуле (28)
в соотношение (26), после преобразований окончательно получим
d2C j <o2m » __	<o2/n
"dr2 + ZH2 ~	ZH*~r'
Обозначим
Ы‘2/И	= p2.
ZH2 p ’
тогда
^£ + р2С = _р2л	(29)
Общее решение уравнения (29)
С = Cj cos pr + C2 sin pr — r,	(30)
где Cj и C2 — постоянные интегрирования.
Если концы пружины А и В в процессе вращения не смещаются в радиаль-
ном направлении, то можно положить, что при г = гА и г = гв С = 0;
тогда
и
Ci cos (ргА) 4- С2 sin (ргА) — гА = 0
Сх cos (prB) + С2 sin (ргв) — гв = 0.
(31)
28
Методы расчетов на прочность движущихся элементов конструкций
Уравнения (31) определяют величины Cj и С2. Решая эти уравнения
совместно и учитывая, что гв — гА = Н, имеем
г _ ГА Sin (ргв) — г в sin (ргд) .
1	sin pH	’
г _	ГА cos (ргв) — Г в COS (ргд)
2	sin pH
Располагая значением постоянных Сх и С2, можно по уравнению (30)
определить осевое смещение любой точки пружины, а по формуле (25) найти
тяговое усилие по ее концам.
Согласно формулам (25) и (30) дополнительная сила упругости пружины,
развивающаяся в связи с ее вращением, равна
N =ZH = ZH [— рС± sin (pr) + рС2 cos (рг) — 1 ],
откуда, подставляя значения постоянных Сх и С2, имеем
N =------{[> sin (ргв) — г В sin (prA)] sin (pr) —
sin ф k
— кв cos (Ргд) — rA cos (Ргв)]cos (pr) +	»	(32)
где
ф = pH = (о	(33)
Коэффициент ф — отвлеченное число, зависящее от жесткости пружины,
ее массы и числа оборотов.
Таким образом, вследствие вращения предварительное натяжение пру-
жины Ро > 0 изменится на величину N, определяемую по формуле (32)
(растягивающее усилие N > 0, сжимающее усилие N < 0).
На внутреннем конце А пружины при г = гА
НЛ = г{гЛ^-^+г3^-\)\	(34)
У внешнего конца В при г = гв
<35>
Таким образом, полная тяговая сила пружины в точке А равна
Ра = Ро + Ма,	(36)
в точке В
Рв = Р0 + Мв-	(37)
Поскольку -8|д-ф- >1,а “tg^jT < 1» то МА >0, з NB < 0. Следовательно,
сила предварительного натяжения пружины Ро> Оу точки А, ближайшей
к оси вращения О, увеличивается, а у точки В, т. е. у внешнего конца пру-
жины, убывает.
Наибольшее напряжение в пружине (см. главу XIII, том I; в сечении А
=	(38)
Расчет вращающихся радиально расположенных пружин
29
Коэффициент k зависит от кривизны витков (k > 1), a Wp	0,2d3 cju3.
Если пружина установлена с предварительным поджатием Ро < 0, то
сила поджатия уменьшится на величину NA у внутреннего конца А пру-
жины и возрастет на величину NB у внешнего ее конца В.
В этом случае наибольшее напряжение пружины в сечении В
(38а)
Свободно поставленная пружина (Ро = 0) будет при вращении растя-
гиваться у своего внутреннего конца А и сжиматься у внешнего конца В.
Заметим, что при некоторой угловой скорости ю = &кр значениеф может
оказаться равным тс и усилия NA и NB [см. формулы (34) и (35)], формально
говоря, обращаются в бесконечность. Это свидетельствует о том, что изу-
чаемая форма деформированного состояния пружины становится неустой-
чивой.
Практически при угловой скорости <ькр витки пружины начнут интен-
сивно прижиматься к опоре В.
Критическая угловая скорость
При	в формулах (34) и (35) можно положить
1 Ф Ф2 _______________ <°2Qo
и
ф 1 Ф2 ________ <°2/гг _ a)2Qo
sin ф ~ 6 6Z 6gZ ’
где Qo — gm — вес пружины.
Тогда, например, в случае Ро < 0
ЬРаМЛ>!--^(2гл + гв);	(36а)
1*’вЫЛ)| + ^('-а+ 2г в).	(37а)
Формулы (36а) и (37а) могут быть получены и непосредственно, исходя
из основного уравнения равновесия (26). Для этого достаточно пренебречь
в выражении (28) величиной смещения С в сравнении с г, т. е. предположить,
что осевые перемещения витков пружины незначительны.
Напомним также, что формулы (31) — (37) справедливы лишь при усло-
вии неподвижности концов пружины. Однако, как будет показано ниже
(см. пример), их легко распространить и на тот случай, когда концы
радиально расположенных пружин в процессе вращения могут смещаться
в радиальном направлении.
Пример. Определить, при каком числе оборотов включится центробежная муфта тре-
ния, представленная на фиг. 16, если пусковой момент ведомого вала известен. Муфта имеет
две колодки К, прижимаемые к ободу пружиной, поставленной с предварительным поджа-
тием PQ < 0.
Вес колодки К, равный Q, и все размеры пружины (D, d, Z, Н) заданы
Вес пружины
30 Методы расчетов на прочность движущихся элементов конструкций
В рассматриваемом случае, когда пружина расположена по диаметру симметрично отно-
сительно оси вращения, ее можно мысленно разбить на две равные части и положить г л = 0;
Н
ГВ = ~1Г‘
Весь дальнейший расчет следует проводить исходя из размеров одной половины пружины,
уу
В частности, жесткость пружины Z' длиной по формуле (23) равна
Фиг. 16. Центробежная муфта трения
В предварительном расчете принимаем, что коэффициент
Тогда по формуле (37а) сила, прижимающая колодку В к ободу, равна
|Рв1=|/,0|+-§-‘»*я+4£гя
(7? — расстояние от оси вращения до центра тяжести колодки Л).
Если коэффициент трения колодок об обод равен /, то включение произойдет при усло-
вии, что
gR = 2|PB|ftf0=2ftf0 [|Р0|.+ ^ + ^] ,
где R — внутренний радиус обода (фиг. 16), откуда
и число оборотов при включении
_ 30
Ппусков----- ш •
Если угловая скорость окажется столь значительной, что условие ф < не будет
выполнено, то необходимо провести уточненный расчет, используя формулы (35) и (37).
В этом случае угловая скорость в момент пуска ведомого вала определяется из тригономет-
рического уравнения
Практически это уточнение вряд ли будет существенным.
Расчет вращающихся радиально расположенных пружин
31
Пример 2. Определить угловую скорость <о0 пружинного центробежного регулятора
(фиг. 17), при которой муфта К начнет подниматься. Усилие Т, необходимое для этого,
известно. Вес каждого из грузов С, имеющих возможность откатываться на роликах в радиаль-
ном направлении, равен Q. Перемещению грузов С препятствуют винтовые пружины задан-
ных размеров ца a, i, п), поставленные
с предварительным поджатием Ро < 0.
Установочные размеры гд, гв, а и 6
(фиг. 18, а), а следовательно, и угол а0
также известны.
Усилия по тягам
S = _L_.
2cosa0‘
Угловая скорость <о0 определяется
из условия, что
co>q= | Ро | — ЛГд + S sin а0 (39)
где с — расстояние от оси вращения до
центра тяжести груза С;
Мд — ослабление силы упругого на-
жатия пружины в связи с ее
вращением.
Предполагаем, что
,	1/" Qo
ИЛИ	____
тс 7 Г gz
“0< 6 V Qo ’	!>-
. 17. Пружинный центробежный регулятор.
где Z= кг/см — жесткость пружины, a	? кг — ее вес.
Тогда для вычисления силы | Рд | = | Ро | — Мд можно воспользоваться формулой (36а)
и равенство (39) примет вид
Q 2	. г. , . Т .
С“о = I ро I + -о- tg “о
б	*

откуда
а — начального положения; б — действия пружинного центробежного регулятора.
Теперь надо проверить, соблюдается ли принятое нами условие, что ф <
32
Методы расчетов на прочность движущихся элементов конструкций
Если оно не подтвердится, то следует воспользоваться точным выражением для силы Na
[формула (34)] и затем определить подбором величину <о0, удовлетворяющую зависимость (39).
Определим, какое перемещение § получит муфта К при числе оборотов > ш0 (примем,
Допустим, что усилие Т, необходимое для поднятия муфты, сохраняет постоянное зна-
чение.
Предположим, что груз С при угловой скорости ш > ш0 сместится на некоторую вели-
чину (это равноценно условию, что пружина получила дополнительное поджатие Сд,
а внутренняя точка крепления пружины расположилась на радиусе гд + £д).
Тогда уравнение, определяющее Сд, примет вид
-у (с + Сл)о>2 = |Ро|+ ^Z+-^tg а- -^-[2 (г А + Сл) + гв]а>2 (39а)
где
tg а
_ а +
Ь—Ъ •
В первом приближении, полагая, что Сд мало в сравнении с а (и поэтому 5 < Ь,
см. фиг. 18, 6), можно принять а & а0. Тогда
Располагая значением Сд, легко определить перемещение муфты 5 (фиг. 18, б) из соот-
ношения
Ь =	&2-2ОСд-С2л^-^-(а + -^-).
Наибольшее усилие, сжимающее пружину, возникает на наружном ее конце В*
I Рв I = I Ро I +	+ -g- ш2 (ГД + Сд + 2гв).
Наибольшее напряжение в пружине (в сечении В) [см. формулу (38а)] равно
с -k-^-
ч.	2Wp •
Вопросы расчета пружин изложены в главе XIII, том I.
§ 5. РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ
Так как вопросы, связанные с расчетом и профилированием дисков,
составляют большую самостоятельную проблему, этой теме посвящается
специальная глава (глава III) книги.
В этом параграфе, для иллюстрации методов расчета движущихся эле-
ментов конструкций, рассматривается лишь простейшая задача: расчет
равномерно нагретых тонких дисков постоянной толщины в области упругих
деформаций при их вращении с постоянной угловой скоростью 15].
Если в указанном случае внешний диаметр превосходит толщину диска h
в 4 раза и более, то, как показало точное решение теории упругости, прак-
тически можно считать, что по толщине окружных и радиальных сечений
диска напряжения распределены равномерно, а отдельные круговые слои
диска, деформируясь одинаковым образом, не находятся в силовом взаимо-
действии друг с другом ( т. е. имеет место плоское напряженное состояние).
На основании изложенного в приведенном ниже инженерном методе
расчета тонких дисков используются допущение • равномерного распреде-
Расчет вращающихся дисков постоянной толщины
33
п
ления напряжений по толщине диска (первое допущение) и допущение
отсутствия напряжений в площадках, параллельных его срединной пло-
скости (второе допущение).
Переходим к решению поставленной задачи. Мысленно остановим диск,
приложим ко всем его элементам силы инерции и исследуем деформиро-
ванное и напряженное состояние диска, считая его как бы находящимся
в покое.
Заметим, что рассматриваемая задача является осесимметричной, т. е.
компоненты напряжения ц деформации в точках диска, так же как и
перемещения, являются только
функциями радиуса и от поляр-
ного угла не зависят.
Выделим двумя радиальными
сечениями, образующими угол
dfl, и двумя окружными сече-
ниями, отстоящими друг от
друга на расстоянии dr, беско-
нечно малый элемент диска abed
(фиг. 19) и, нагрузив его поверх-
ностными и объемными силами,
исследуем условия равновесия
элемента.
В радиальных сечениях, по
условию симметрии, касатель-
ные напряжения отсутствуют
и возникают лишь нормальные -1-------i—
напряжения az.	*
Таким образом, площадки,	Фиг. 19. Диск постоянной толщины,
лежащие в радиальных сече-
ниях, являются главными.
Учитывая, что исследуемое напряженное состояние предполагается
плоским (второе допущение), очевидно, что и окружные сечения также
являются главными. В них возникают только нормальные напряжения аг.
Итак, к рассматриваемому элементу abed приложены:
1)	.сила инерции
dC = ±-hrWdrdb,	(40)
где и — угловая скорость в 1/се/с;
7 — вес единицы объема материала диска в кг!см3',
dR
2)	радиальные силы R и R + ~^-dr,
где
R = arhrdb\	(41)
3)	окружные силы
T = athdr.	(42)
Выражения (41) и (42) составлены в предположении, что напряжения
аг и по толщине диска постоянны (первое допущение).
Сумма проекций всех перечисленных сил [см. зависимости (40) — (42)]
на направление среднего радиуса пп (фиг. 19) приводит к уравнению
dC + dR — 27 sin-^- = 0,
3
Пономарев 508
34
Методы расчетов на прочность движущихся элементов конструкций
откуда, учитывая, что
dR — d (a/) h d6
и
2sin—
окончательно получаем
_|__L(l)2r2 = o.	(43)
dr f • g	v '
Дифференциальное уравнение (43) включает две неизвестные функции
аг(г) и аДг).
Выразим последние через одну функцию и (г), представляющую собой
радиальное перемещение точки на радиусе г, в окрестности которой выделен
рассматриваемый элемент.
Окружная деформация ez выражается через перемещение и следующим
образом:
_ 2л (г + и) — 2лг _ и	....
*t~	2^7
Радиальная деформация sr равна
Теперь в соответствии со второй гипотезой, по которой напряженное
состояние является плоским, следуя закону Гука и используя формулы
(44) и (45), имеем
=	+	. (46)
Е z . ч Е I du . и \
(®г + Р-ег) = -зг + н — ) •
(47)
Подставляя зависимости (46) и (47) в уравнение (43), после преобра-
зований ’окончательно получаем
d2u , 1 du	и _	1— ц2 7 „.г,
dr2 "* г ' dr	г* ~ Е ' g
ИЛИ
d Г 1	^(Цг)1 _	1 —Р2 7 ...2Г
dr L r	dr J Eg*
откуда после интегрирования имеем
« = ^ + 4-1^.-!-^.
(49)
Постоянные Сг и С2 определяются из граничных условий поставленной
задачи.
Расчет вращающихся дисков постоянной толщины
35
После окончательного выяснения функции и (г) по формулам (46) и (47)
могут быть установлены значения напряжений <st и аг в зависимости от
радиуса г. В этом случае
а	С'Е ! С*Е
i-hUI + h)'2
1-ц	(1 + н)г2
1 + 3н-. J-a>2r2;
8 g
(50)
С,Е

(50а)
Рассмотрим ряд частных примеров по расчету дисков постоянной тол-
щины.
Пример /. Диск постоянной толщины без обода и центрального отверстия (фиг. 20).
Внешний радиус диска равен гг. В этом случае при г = 0 и — 0, следовательно, по фор-
муле (49) C2 == 0; при г = r2 ar = 0,
по формуле (50a)
__ (3 + p) (1 - p)
4-----------8Ё
.	(о2г2
g 2
Тогда
° ~	[(3 + Г2 “ (1 +	г2]:
,2
откуда
(51)
(51а)
Графики изменения напряжений а/ и or в за-
висимости от радиуса представлены на фиг. 20.
Наибольшие напряжения растяжения воз-
никают в центре (при г — 0):
^ + -4	<51®
max — ° г max —
Пример 2. Диск постоянной толщины с цен-
тральным отверстием без обода (фиг. 21). Внеш-
ний радиус диска г 2. Радиус центрального от-
верстия п. В этом случае при г = г± <зг= 0;
при Г = Г2 Of — 0. Используя эти условия,
после определения постоянных интегрирования
по формулам (50) и (50а) окончательно по-
лучаем
Диск постоянной толщины без
Фиг. 20.
центрального отверстия и эпюры напря-
жений аг и о/, возникающих в нем
в связи с вращением.
3 + H	2 , 2
8 g p+ri
3 + р 7<o2
ar = —. -1—
8 g
.2
з + н
r2r2
?-r2- Г,Г2
r2A
(52)
г2
изменения напряжений б/ и аг в зависимости от
(52а)
Графики
на фиг. 21.
Напряжение достигает наибольшего значения на внутреннем
max =	[r2 (3 + Р-) +	(1 — р)] .
радиуса
радиусе,
представлены
где
(53)
Наибольшее напряжение возникает в точках окружного
сечения
на радиусе
3 + p 7<D2
ar max — g — (r2 — Гi)2.
(54)
3*
36
Методы расчетов на прочность движущихся элементов конструкций
Когда длины радиусов п и г2 близки по величине, диск обращается в тонкий обод
радиуса R, у которого [см. формулы (52) и (52а)], как и следовало ожидать,
Я
(55)

и
О,
что совпадает с ранее полученными результатами (см. § 1).
Интересно отметить, что при яь 0 в радиальном сечении у кромки центрального прокола
что вдвое превышает результат, полу-
ченный для сплошного диска [см.
формулу (516)].
Фиг. 22. Конструкция
крепления шлифоваль-
ного круга.
<Фиг. 21. Диск постоянной толщины с цен-
тральным отверстием и эпюры напряжений
ог и о/, возникающих в нем в связи с вра-
щением.
Учитывая, что прокол можно рассматривать как источник местных напряжений, уста-
навливаем, что коэффициент концентрации напряжений в этом случае равен 2.
Полученные результаты по расчету дисков постоянной толщины с центральным отвер-
стием могут быть широко использованы при расчете шлифовальных кругов, которые очень
часто изготовляются в форме именно таких дисков.
Учитывая, что у дисков с центральным отверстием наибольшие напряжения разви-
ваются в радиальных сечениях у внутренней кромки, весьма существенно обеспечить такое
крепление шлифовальных кругов, при котором, помимо надежности и центричности посадки,
не была бы снижена прочность самих кругов.
Обычно шлифовальные круги зажимаются между плоскими кольцевыми фланцами.
Под фланцами должна ставиться прокладка из упругого материала (картон, резина, кожа
и др.), чтобы предохранить поверхность шлифовального круга от каких-либо повреждений
в связи с нажимом фланцев. Одна из конструкций креплений такого рода приведена на фиг. 22.
Круги диаметром 150 мм и более, предназначенные для работы с окружными скоростями,
равными и превосходящими 15 м/сек, перед установкой на шлифовальный станок необхо-
димо испытывать вращением при скорости, на 50% превышающей максимально допустимую
скорость, установленную .для рабочего режима диска.
Испытание шлифовальных кругов на прочность путем их вращения производят на спе-
циальном станке, обеспечивающем безопасное проведение этой операции.
В эксплуатационных условиях шлифовальные круги должны быть защищены специаль-
ными кожухами.
Все упомянутые вопросы, связанные с работой шлифовальных кругов, подробно осве-
щены в справочнике «Машиностроение», том 7, глава X.
Расчет вращающихся дисков постоянной толщины
37
Пример 3. Дйск постоянной толщины радиуса г2 (фиг. 23), имеющий центральное
отверстие радиуса п, надет с натягом на пустотелый вал, внешний detu и внутренний deH
диаметры которого известны. Диск вращается с числом п об/мин. %
Определить напряжение в диске, если начальный натяг 5 задан.
Определить также освобождающее число оборотов вала п0, т. е. то число оборотов, при
котором контактные напряжения, вызванные натягом, исчезнут.
В рассматриваемом случае (фиг. 23) при г = г2
ог = 0; при г = Г1
I “Г1 \даск + | “Г1 |вал " 2 ‘
Переходим к составлению урав-
нений, определяющих постоянные
интегрирования Ci и С %.
По формуле (50а) получаем
первое необходимое для этой цели
уравнение:
(l-w) “ (1 + Ид)г2 “
_^3+M)..JLo)2r2=0	(1)
8 g 2
где
и р-а — модуль упругости и коэф-
фициент Пуассона материала Диска.
По формуле (49)
Фиг. 23. К расчету на прочность диска постоянной
толщины при его посадке с натягом на вал.
I % \диск “
8Ед g 1
Вопрос определения деформации вала в связи с посадкой на него диска
в главе V, том II. В этом случае перемещения на поверхности вала
(И)
рассмотрен
и I	[1 + fei
Q 1вал	2Ев j _ k2
__ к I Р I ^вш
2Ев
В приведенной формуле р — среднее посадочное давление в кг/см2',
ь ___ ^вн
1 ~d
ивш
1 +
1 — k\

He >
% — коэффициент, зависящий от ki и от отношения длины загруженного участка
вала (толщины диска А) к внешнему диаметру вала detu(b<l);
Ев и рв — модуль упругости и коэффициент Пуассона материала вала.
В рассматриваемом случае, вычисляя радиальное перемещение точек поверхности вала
I Uri |еал’ СТРОГО говоря, необходимо дополнительно учесть увеличение диаметра вала в связи
с его вращением. Однако ввиду малости этой поправки (см. § 6) ею можно пренебречь.
Посадочное давление в соответствии с формулой (50а) равно
-р=а =	------^-2--------(Э-У	(Щ)
1	(1—на) (ij_p,d)r2 8 g 1
Теперь можно составить второе уравнение для определения постоянных интегрирова-
ния Ci и С2.	5
38
Методы, расчетов на прочность движущихся элементов конструкций
Используя второе граничное условие, имеем
КЛвщЕд 1 । Г1
2(1 —ri L
KdeutEd
2 (1 + Ид) ЪЕв
ы	I 8
8Ев Л“в<" 4Ед Г1]~ 2 ’
J_^r? 3+^
2g
(IV)
Репйя уравнения (I) и (IV) совместно, можно определить постоянные Ci и Сг и затем
провести полный расчет конструкции.
Освобождающее число оборотов п0 и соответствующие ему значения постоянных Ci и С 2
можно установить из уравнений (I), (II) и (III), полагая в них
“==‘“0 = 2^’ l^ila«« = 4 и ₽ = 0-
Зависимости (I) и (III) в этом случае принимают вид
EgCi	ЕдС2 _	(3 + fxa)	1	2 2.
1-М	(1 + ^)4"	8	g	02'
Ed^i_______EqC2______(3 Fd) *1	2r2
l-w	(1 + M)r|-	8	'e	0P
Решая последние два уравнения совместно, получаем
с _ (’ — на) (3 + на) 1 /_2 , г2\ 2.
С1---------8Ё~д------^Иг + п^о-
г _ О 4-М (3 4-М т .2 Л 2
С*~	8Ё~д	Г rir2“o-
Подставляем вычисленные значения постоянных интегрирования Ci и Сг в соотноше-
ние (II) при условии, что | иГ1 |авс* =
Из полученной зависимости уже легко определить <о0, а затем и освобождающее число
30
оборотов п0 = — (оо.
тс и
В рассматриваемом случае
п = 30	2lgEd	~
°	” |/ Vi [(3,+ M)rl + (l-Ha)rf]‘
Графический метод расчета дисков изложен в главе III.
§ 6. РАСЧЕТ РАВНОМЕРНО ВРАЩАЮЩИХСЯ ПУСТОТЕЛЫХ И СПЛОШНЫХ ДЛИННЫХ
ЦИЛИНДРОВ
Значительный интерес представляет вопрос о напряжениях, возникающих
в цилиндрах большой длины (например, валах) в связи с их равномерным
вращением относительно своей оси. В этом случае, так же как и для дисков,
радиальные и окружные сечения цилиндра являются главными сечениями,
в которых главные напряжения, как и раньше, обозначим <st и аг.
Однако в цилиндрах, в отличие от дисков, в сечениях, нормальных
к оси вращения, могут возникнуть нормальные напряжения <зг.
Уравнение равновесия элемента цилиндра, выделенного двумя окруж-
ными и двумя радиальными сечениями (см. фиг. 19), имеет тот же вид, что
и для диска (см. формулу (43)].
Окружные и радиальные относительные линейные деформации sz и ег
в любой точке цилиндра связаны с радиальным перемещением и соотно-
шениями (44) и (45).
Расчет равномерно вращающихся пустотелых и сплошных цилиндров
39
Зависимости между деформациями и напряжениями, учитывая объем-
ность напряженного состояния вращающегося цилиндра, выражаются сле-
дующим образом:
е/ =	и			P^z . Е ’	(57)
	г	Е	Е		
ег =	du	or	Ц»г		(58)
	dr	Е	Е	Е >	
	°z				(59)
	Е	Е	Е		
(вопросы, связанные с, возможно, имеющим место неравномерным нагре-
вом цилиндров, здесь не рассматриваются).
Решение поставленной задачи можно получить в предположении, что
поперечные сечения цилиндра, в достаточной степени удаленные от его
торцов, остаются плоскими и осевая относительная линейная деформация
ег по длине цилиндра постоянна.
Величину напряжений определим из соотношений (43), (57) — (59) с по-
мощью следующих преобразований [5].
Умножив соотношение (57) на гЕ и продифференцировав его по г,
получим
Сопоставляя зависимости (60) и (58), имеем
(«,-«,)(! +F) + r^~ к(4^ + ^)=0.	(61)
Исключая из уравнения (61) с помощью соотношения (59) производ-
d<3z
ную —, получаем
=	(62)
Теперь, складывая зависимости (62) и (43), имеем
отсюда, интегрируя, получаем
=	+	(63)
Решаем уравнения (63) и (43) совместно; тогда
п I -	__р (3	2ц)	7 _2(,2
2а, -+-г —j— = G,----о-п-------
r 1 dr 1	2(1 — p) g
или
\ d (r2„ \______p r *(3	2ц)	1 m2.3
-^-(r аг)-схг- 2(1_(Л)-.—0>r .
Интегрируя последнее уравнение, определяем напряжение аг:
_____________________ Cj . С2 (3 — 2ц)	7 ог2	/йла
°г- —+ ^2—-8(1^7) Т •
Теперь из соотношения (63) получаем напряжение at:
а __£1_____________________О,____(1+2Ц) . 1 „2.2
2	г2	[8(1 —ц) g
(65)
40
Методы расчетов на прочность движущихся элементов конструкций
Постоянные интегрирования Ct и С2 определяются из граничных усло-
вий на поверхности цилиндра.
Осевое напряжение <зг находится из уравнения (59) и граничных усло-
вий, наложенных на торцовые сечения цилиндра, где, например, ez = О
или Nz = У <3zdF = 0.
F
Радиальное перемещение и из формулы (57) равно
« =	— Мог + az)l •	(66)
Пример 1, Рассмотрим сплошной равномерно вращающийся относительно своей оси
цилиндр, свободный от внешних давлений.
При г = 0	= <sr =/s со, поэтому в формулах (64) или (65) Сг = 0.
На внешнем радиусе г = R сг = 0, откуда
С' = С1- = —----(3 ~ 2Р-)
2 g 8(1—р.)	*•
Тогда
О/ = Г	j^2-О + 2Р>) _ 21 JL со2	(67)
‘	[8(1-(л) К	8(1-ц)'] g
И
<ю>
В центре, при г = 0,
’' = »' =-87^5---Н*’'	<69>
При р = 0,3
а/ = аг == 0,43	<о27?2.	(69а)
Отметим, что для сплошного диска постоянной толщины в его центре, при р- = 0,3,
напряжение о/= ог = 0,413 — <о2/?2 [см. формулу (516)], т. е. равно почти тому же зна-
чению, что и у цилиндра.
Если концы цилиндра не могут перемещаться, т. е. = 0, то
J-.’,	(70)
Если торцы цилиндра свободны, то должно соблюдаться условие
R
Nz — J azdF = 2it	ozr dr = 0
F	0
или в соответствии с формулой (59)
R
У Г [Еег + И (or + Of)] dr = 0,
о
что, после преобразований, дает
£ег = —g-flW
И
oz = ^z + !-(Or+Of) =-^^---^(^-2г2).	(71)
Расчет вращающихся тонкостенных осесимметричных оболочек
41
Пример 2. Рассмотрим пустотелый равномерно вращающийся относительно своей оси
цилиндр, свободный от внешних и внутренних давлений.
На внутреннем радиусе г= п оГ1 == 0. На внешнем радиусе г = г 2 оГ2 = 0» что дает
у<оа (3 — 2ji)
8g (1—*х)

, '1'2	(1 + 2|л)
г2	(3 — 2р.)
(72)
7м2 (3 — 2;л) о
8g ' (1-(х) Lq +
.2
2	^»2
Если торцы цилиндра свободны, то
а2 =
<-(Т^)(^ + ^-2,2).
(73
(74)
г2 .
§а7. расчет вращающихся тонкостенных осесимметричных оболочек
Во многих отраслях машиностроения используются агрегаты, основными
элементами которых являются тонкостенные осесимметричные оболочки,
совершающие в процессе работы вращательное движение с большой угловой
скоростью.
Напри iep, в химической, пищевой, текстильной и бумажной промышлен-
ности широко используются центрифуги, основным рабочим элементом кото-
рых служит барабан в форме осесимметричной оболочки, заполняемой
массой, подлежащей пентрифугированию.
Барабану сообщается вращательное движение с очень большим числом
оборотов в минуту.
За последние годы в конструкциях турбомашин получили применение
специальные диски в форме конических оболочек [7].
Многие детали, вращающиеся в процессе работы машины, могут рассмат-
риваться при расчете как различным образом закрепленные тонкостенные
цилиндрические оболочки.
Таким образом, расчет на прочность вращающихся осесимметричных
оболочек представляет значительный практический интерес.
Однако эта задача, вообще говоря, являегся всего лишь частным случаем
расчета осесимметричных оболочек, когда, кроме действия поверхностных
сил, приходится вводить в расчет еще и массовые силы инерции, приклады-
ваемые в связи с наличием центростремительных ускорений элементов
оболочки.
Теория расчета осесимметричных оболочек изложена в главе III, том И.
Из рассмотрения общих уравнений задачи следует, что расчет по момент-
ной теории, в области малых перемещений, любой осесимметричной обо-
лочки сводится к решению линейных дифференциальных уравнений с правой
частью, зависящей от характера нагрузки.
Закон распределения нагрузки по меридиану оболочки определяет вид
частных решений этих уравнений.
Отсюда следует, что введение в расчет массовых сил инерции влияет
лишь на аналитическое выражение указанных частных решений. Общий же
порядок расчета оболочек (см. главу III, том II) полностью сохраняется.
При расчете оболочек по безмоментной теории силы инерции можно
условно объединить с поверхностными силами, что отразится лишь на вели-
чине расчетного давления.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Определить напряжения в конической стенке корпуса самосмаза (фиг. 24).
Самосмаз представляет собой резервуар, в нашем случае конической формы, укреплен-
ный на валу и вращающийся вместе с ним с угловой скоростью со Мсек.
42
Методы расчетов на прочность движущихся элементов конструкций
Свободная поверхность залитого в резервуар масла при вращении принимает форму
поверхности параболоида вращения.
Примем, что в рассматриваемом случае при наибольшем объеме масла в резервуаре
свободная поверхность жидкости размещается так, как это показано на фиг. 24 линией ОА.
Тогда при вращении давление рв в точке В на радиусе Rb определяется столбом жидкости
высотой hB{^ (длиной отрезка ВЛ).
В рассматриваемом случае, учитывая,
что по условию точка О и точка В располо-
жены на одном горизонте,
Рв ~~ !м ~ ?•* 2g *
где 1 м — вес единицы объема масла в кг/см3.
Фиг. 25. График распределения
сил • инерции по образующей
конической части стенки само-
смаза и график распределения
давления.
•Фиг. 24. Самосмаз, нагнетающий масло
с помощью трубок Пито, установленный на
вертикальном валу.
Давление рс в точке С на радиусе R определяется столбом жидкости высотой hCD
{длиной отрезка CD):
PC-^hCD -7л,	f
где а — угол наклона образующей конической оболочки к горизонту (при вычислении
.давления толщиной стенки в сравнении с размерами радиусов пренебрегаем).
В трубке TV, согнутой и направленной открытым обтекаемым концом Т навстречу вра-
щающейся жидкости, масло при нулевом расходе способно подняться на высоту Нт — 2hrs>
где hrs — высота столба жидкости TS (фиг. 24). Этот напор и используется для непрерывной
подачи масла из вращающегося резервуара в бачок, расположенный над подшипником.
•Оттуда масло поступает в подшипник и, смазывая вал, в конце концов опять стекает
во вращающийся резервуар самосмаза. Так, например, обеспечивается надежная смазка
шейных подшипников некоторых вертикальных гидротурбин.
Переходим к расчету конической части корпуса самосмаза с учетом уже подсчитанных
'Сил давления и сил инерции.
Силы инерции направлены перпендикулярно оси вращения и их плотность q кг!см?
на каждом квадратном сантиметре срединной поверхности оболочки равна
q — HSu)2 кг/см2,
где Чо— вес единицы объема материала, из которого выполнен резервуар в кг!см?-,
Ъ — толщина стенки в см.
График распределения сил инерции по образующей конической оболочки приведен
«а фиг. 25.
Расчет вращающихся тонкостенных осесимметричных оболочек
43
Рассмотрим условия равновесия верхней отсеченной части NC конической оболочки.
Составим сумму проекций на вертикальную ось всех действующих на нее сил (сил давле-
ния, сил инерции и внутренних сил упругости в нормальном сечении С, на радиусе R). Тогда
(3n2nRZ sin а =
где о„ — напряжение в избранном нормальном сечении на радиусе R;
V — объем, ограниченный смоченной поверхностью АС конической стенки, свободной
поверхностью AD жидкости и вертикальными образующими CD;
1 PW	1	п	/п I Я —
У =	15~*RA - «(R - RaY \Ra+—^— у tg а —
-ь-g	X	-£g
— я (t?2 —Яд) (#B —R)tga =
= (Ri “ ^a) -n(R~ Ra) tg « [(-2-Ц+-) (R- Ra) + (R + Ra) (Rb-R)] •
Напряжение в нормальном сечении смоченной части стенки на радиусе R (RB^ R^> Ra)
(равно
О -
п 2itRZ sin a
Для определения напряжения о/ в меридиональном сечении оболочки воспользуемся
уравнением равновесия элемента оболочки (см. главу III, том II), из которого вытекает соот-
ношение
ап I °7  Ро
где р0 — расчетное давление для смоченной части стенки, подсчитанное с учетом поверх-
ностных и массовых сил;
Ря — радиус кривизны меридионального сечения (для конической оболочки р„ = оо);
Рг — радиус кривизны нормального сечения.
Как известно (см. главу III, том II), для конической оболочки на радиусе R
тогда
	 PoPf_
*__________3_3 sin a 9
а расчетное давление р0 на радиусе R (RB > R > Ra) равно
Ро = и ----------(Rb — R) tg al + -22- Я8<»2 sin a.
L	J о
При отсутствии масла в резервуаре напряжения, возникающие в конической стенке
корпуса самосмаза в связи с его вращением, подсчитанные по безмоментной теории, равны
a„ = 0;	a(=^-W,
где Rb > R > Rn-
Эпюра напряжений для этого случая, построенная по длине образующей конуса,
приведена на фиг. 26.
Пример 2. Определить напряжения в цилиндрической стенке барабана центрифуги
(фиг. 27).
В рассматриваемом случае барабан центрифуги не имеет отверстий и сит.
Конструкции подобного рода применяются для обработки тонких суспензий с мелко-
зернистой структурой частиц твердой фазы.
Поскольку угловая скорость барабана со центрифуги очень велика, можно принять,
что поверхности равного давления в жидкости (в том числе и свободная поверхность) явля-
ются цилиндрическими.
44
Методы расчетов на прочность движущихся элементов конструкций
В этом случае давление жидкости р по образующей цилиндра постоянно и равно
где г2 — внешний радиус барабана;
П — минимально возможный внутренний радиус кольцевого слоя жидкости (радиус -
горлового отверстия, см. фиг. 27);
7 — вес единицы объема суспензии в кг/см3.
Фиг. 26. График распределения сил инер-
ции и эпюра окружных напряжений о/ по
длине образующей конической части
стенки самосмаза, при отсутствии в нем
, масла.
Фиг. 27. Схема центрифуги.
Для расчета стенок барабана на прочность к давлению жидкости следует прибавить плот-
ность q кг/см3 сил инерции, приходящихся на квадратный сантиметр срединной поверхности
цилиндрической оболочки:
q =
где 6 — толщина стенки в см\
70 — вес единицы объема материала, из которого выполнен барабан, в кг/см3.
Расчетное давление
Ро = Р 4^<7 = pf — г1) “2 + -у- М®2-
Как известно (см. главу III, том II), решение поставленной задачи по моментной теории
сводится для цилиндрической оболочки к интегрированию дифференциального уравнения
четвертого порядка:
t0<IV> + 4k*w =	,
где w—радиальное перемещение срединной поверхности цилиндрической
оболочки;
D =	----цилиндрическая жесткость оболочки (Е — модуль упругости первого
рода, a pi — коэффициент Пуассона материала стенки);
_ V 3(1-^)
Г 2W
Ti — продольная сила, приходящаяся на единицу длины дуги в поперечном сечении
цилиндрической оболочки в кг/см.
Расчет вращающихся тонкостенных осесимметричных оболочек
45
Равнодействующая сил давления на кольцевую крышку барабана (пренебрегая ее конус-
ностью) равна
р = J 1F ~~2лгdr = Tg” ~ “2
откуда
Р	1<О» (r|-rf)2
1 2лга	8g r2
Четыре постоянные Ci, С2, С3, С4 интегрирования дифференциального уравнения оболочки
определяются из граничных условий в соответствии с деформированным и напряженным
состоянием кромок оболочки.
В рассматриваемом случае установление величин постоянных интегрирования связано
со значительными трудностями, поскольку краевые условия, сами определяются деформирован-
ным состоянием дна и крышки барабана.
Строго говоря, рассчитываемый барабан в целом следует рассматривать как оболочку,
составленную из трех простейших оболочек (цилиндрической и двух конических) и кольцевой
пластинки.
Примеры расчета составных оболочек приведены в главе III, том II.
Как уже указывалось, во многих случаях на практике довольствуются приближенным
расчетом по безмоментной теории. В этом случае напряжение о/ в меридиональном сечении
цилиндрической оболочки равно
_ _ №	1 (г2~г1)	, Ко
—---------2g8------Ь—<»г2.
напряжение ап в нормальном сечении равно
р _
°n 2irr38	8g8r2
Отклонения вычисленных напряжений от действительных, определяемых по моментной
теории, могут быть весьма существенны в зонах, прилежащих к местам присоединения цилин-
дрической стенки ко дну и крышке.’
Погрешность будет тем значительнее, чем большую жесткость имеют эти концевые креп-
ления цилиндрической оболочки. Исследование этого вопроса на примере расчета центрифуги
прядильной машины для искусственного шелка приведено в работе [14].
Подробные сведения по расчету центрифуг различного вида можно найти в книгах [6],
[12].
Пример 3. Исследовать напряженное состояние диска в форме пологой конической обо-
лочки (Р = 5 н- 10°) переменной толщины (фиг. 28).
Диски подобного рода получили в настоящее время широкое применение в практике
машиностроения.
Исследования [7] показали, что рассчитывать такого рода конструкции, как плоский
диск, не представляется возможным, так как изгибающие моменты в сечениях конической
оболочки, несмотря на малый угол подъема ₽ образующих, значительны. Таким образом,
задача в этом случае сводится к расчету конической оболочки переменной толщины, нагру-
женной массовыми силами инерции.
Основные уравнения для решения этой задачи выведены в главе III, том II.
При линейно изменяющейся толщине стенки эти уравнения приводятся к типу гипер-
геометрических уравнений, решение которых связано со значительными вычислительными
трудностями.
Однако [4] практически можно вполне довольствоваться приближенным расчетом, пред-
полагая, что коническая оболочка имеет постоянную, среднюю по величине толщину, равную
*	$1 + 82
8 = ~2~’
где bi и 82 — толщины оболочки на внутреннем и внешнем радиусах (фиг. 28) конической
оболочки
46
Методы расчетов на прочность движущихся элементов конструкций
В этом случае, как известно, расчет сводится к решению уравнения Бесселя индекса 2
и не составляет большого труда.
Обширные исследования конических оболочек с линейно изменяющейся толщиной стенки
проведены А. Д. Коваленко в работе [7]. Для гипергеометрических функций, входящих
в решения, им составлены подробные таблицы.
Фиг. 28. Меридиональ-
ное сечение диска
в форме пологой кони-
ческой оболочки пере-
менной толщины.
Для примера на фиг. 29 проведены заимствованные из ра-
боты [7] эпюры коэффициентов оп и пропорциональных на-
пряжениям в нормальных и меридиональных сечениях ряда
оболочек, свободных от внешней нагрузки, но вращающихся
с угловой скоростью (О.
Профиль этих оболочек представлен на фиг. 29. Толщина
стенки конуса меняется по линейному закону.
Внутренний контур оболочки на длине образующей /1 =
= 0,2/о от вершины срединного конуса лежащего на оси диска,
жестко заделан; наружный край оболочки на длине образую-
щей /2 = О,9/о свободен [/0 — длина образующей срединной
конической поверхности от вершины конуса до условной точка
оболочки с нулевой толщиной (фиг. 29)].
Фиг. 29. Профиль диска и эпюры коэффициентов оп и постро-
енных по образующей срединной конической поверхности для
четырех дисков, определяемых параметрами х = 0; х == 0,5;
х = 1,0 и х = 2.
На графиках (фиг. 29) по длине образующей построены значения коэффициентов <зп и
<*п
°"	1	0-2
---“2/0
g °
и
g 0
r0 — радиус кругового сечения срединной поверхности конической оболочки на длине
образующей /0.
Напряжения и о/ подсчитаны в нормальных и меридиональных сечениях у поверх-
ности для четырех оболочек, различающихся величиной геометрического параметра
Zo .
% = -Л. ctg а,
«о
где Ло — условная толщина оболочки на длине образующей I = 0;
а — угол конусности.
На фиг. 29 построены эпюры для оболочек, у которых геометрические параметры х равны
х = 0; х = 0,5; х = 1 и х = 2.
Расчеты на прочность элементов конструкций при пуске в ход или торможении 47
В рассмотренных случаях наибольшее напряжение развивается в нормальном сечении
на внутреннем контуре в точках у поверхности оболочки при х= 1:
<’nmax = °.64-^-<o2r0-
При % > 2 наибольшим становится напряжение в меридиональном сечении на наружном
контуре диска.
§ 8.	РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ПЛАВНОМ ПУСКЕ
ИХ В ХОД ИЛИ ПРИ ТОРМОЖЕНИИ
До наступления установившегося режима работы машины, при котором
ее части начинают двигаться по предусмотренным для них определенным
законам, всегда имеет место так называемый пусковой период. В течение
этого промежутка времени каждой элементарной частице любой детали»
приводимой в движение, сообщается некоторое ускорение.
Допустим, например, что пуск машины-орудия осуществляется вклю-
чением фрикционной муфты, связывающей вал машины с валом двига-
теля.
В период разгона колодки муфты проскальзывают по ободу, так как вал
машины, пускаемой в ход, пока еще отстает от вала двигателя.
Однако постепенно (например, в течение 0,5—2 сек.) скорости валов
выравниваются и наступает установившийся режим работы машины, заклю-
чающийся, например, в равномерном вращении отдельных ее деталей
с постоянной угловой скоростью.
Закон изменения скоростей при пуске в ход или при торможении зависит
от многих причин:
1)	от пусковой характеристики двигателя и муфты;
2)	от величины полезных сопротивлений, нагружающих элементы кон-
струкции в период разгона или торможения, и от их изменения за это время,
что зависит от назначения машины и условий ее эксплуатации;
3)	от инерции тех масс, которые получают ускорение или замедление
(т. е. от размера и веса маховиков, барабанов, ползунов, кривошипов,
кулачков и т. д.);
4)	от величины вредных сопротивлений (трение в подшипниках, сопро-
тивление окружающей среды и т. д.).
Из сказанного видно, что установить закон изменения скоростей движу-
щихся элементов конструкции в рассматриваемый неустановившийся период
работы машины теоретически весьма трудно.
Принципиально говоря, для решения этой задачи в случае, например,
пуска машины в ход с помощью непосредственно подключаемого двигателя,
необходимо располагать двумя функциями: законом изменения момента
на валу двигателя, в зависимости от угловой скорости ведущего вала, Мд (о>)
и законом изменения, в зависимости от этой же угловой скорости, момента
сил сопротивления, приведенного к оси ведущего вала, Мс (со). Тогда
из дифференциального уравнения движения
М3(«>)-Л1с(<о) = /т4г’	(75>
где Im — приведенный к оси ведущего вала момент инерции всех участвую-
щих в движении масс, легко сразу установить величину углового ускоре-
ния е = ведущего вала в функции его угловой скорости. Это уско-
рение е (<о) пропорционально разности моментов Мд (<о) — Мс (<о) и райно
S (<о) =	(76)
‘т
48
Методы расчетов на прочность движущихся элементов конструкций
Из уравнения (75) можно определить и закон изменения угловой скорости
и ускорения во времени в период неустановившейся работы установки. Дей-
ствительно, из уравнения (75) следует, что
t =
I Imd<a
J Мд (а) — Мс (<о)
о
В общем случае дальнейшее решение задачи может быть приближенно
вую скорость ш = f (/) разгоняемой
системы по графикам момента на валу
двигателя (ш) и момента сил со-
противления Мс (ш)
выполнено графическим способом.
На фиг. 30 представлены графики
функций Мд (со) и МД(в). Область, выража-
ющая разность моментов Мд (<о) —Мс (о>),
на фиг. 30 заштрихована. Здесь же
построен график углового ускорения
е в зависимости от угловой скорости о>
[см. формулу (76)]. Для установления
функциональных зависимостей о> (/) и е (t)
построим график вспомогательной функ-
ции S (со):
S (<о) = лл / Лл /А •	(77)
' 7	Мд (<»)'— мс ((D)	4 7
со
Интегральная кривая J S (о>) d(D будет
о
выражать зависимость t — ср (о>). С по-
мощью кривых е((о) и (о(/) легко по-
строить и график функции з(/), как это
показано для примера пунктиром на
фиг. 30.
Закон изменения во времени углового
ускорения ведущего вала е (/) можно опре-
делить и графическим дифференцирова-
нием функции (О (0-
Аналогично, несколько более сложным
образом, решается задача по исследованию
движения в период разгона системы и в
том случае, когда ведущий момент от дви-
гателя передается с помощью центробеж-
ной муфты [2J.
Графически установленные зависимости
со = f (/) и © = ф (/) (см. фиг. 30) в конеч-
ном счете и определяют все необходимые
для расчета инерционные нагрузки, что
позволяет провести расчет на прочность
и жесткость любого элемента конструкции
в период разгона или торможения.
Практически, однако, этот вопрос приходится обычно решать путем
экспериментального изучения работы установок, аналогичных рассчиты-
ваемой.
В отдельных случаях эта задача может быть решена аналитически.
Пример 1. Исследовать напряжение валика электрической микро центрифуги в период
пуска, при условии, что угловая скорость в течение этого времени изменяется по закону
Расчеты на прочность элементов конструкций при пуске в ход или торможении 49
Угловая скорость <о0 установившегося движения и продолжительность Т периода разгона
известны (при t = Т со = ш0).
Схема микроцентрифуги представлена на фиг. 31.
Массовый момент инерции вращающихся деталей относительно оси вращения АВ равен Im.
Валик, несущий двусторонний развилок с двумя гильзами, хорошо центрирован, однако
по недосмотру возможна установка только одной пробирки, вес которой вместе с заполняющим
ее раствором и пробкой равен Q кг, а центр тяжести этого груза в процессе вращения отстоит
от оси АВ на расстоянии г0 см (фиг. 31).
Определим наибольшее напряжение в валике в период разгона при условии, что сопро-
тивление вращению приводится к паре т0, приложенной к развилку и действующей в плоскости,
перпендикулярной к оси вала.
Фиг. 31. Схема микроцентрифуги.
Момент пг0 пропорционален квадрату угловой скорости:
mQ = &ш2.
Трением в опорах пренебрегаем. Диаметр вала d и размеры по длине а и / известны.
Размещение опор указано на фиг. 31.
Согласно принципу Даламбера, в рассматриваемом случае, в любой момент периода раз-
гона, вал следует дополнитально нагрузить:
1)	радиально направленной силой инерции
С = -j-
заметим, что в реальных условиях могут иметь место примерно следующие данные:
Q # 0.04 кг, г0 = 12 см и п & 6000 об/мин; тогда С & 190 кг;
2)	окружной силой инерции S на радиусе г0:
3)	инерционным моментом
mi ~dt ’
закручивающим вал.
Опасное сечение валика расположено в опоре А. В этом сечении изгибающий момент
мизг = у(СаУ -г (Sa)2,
где а — расстояние от срединной плоскости развилка до середины опорного подшипника А
(фиг. 31).
Крутящий момент в этом сечении
Мкр & mQ + mi + SrQ .
4
Пономарев 508
50
Методы расчетов на прочность движущихся элементов конструкций
Эквивалентное напряжение в опасной точке опасного сечения, подсчитанное по теории
наибольших касательных напряжений, равно
_	_ /(Са)2 + (Sa)* + (m0 + пц + Sr^
°экв-------------------Ojd»	-
1/"/ Q 2\2 । f Q d<&\2	/, 2 r d& Q 2	\2
0,ld3
Для окончательного решения задачи следует определить наибольшее эквивалентное
напряжение в период пуска.
Для этой целй надо исследовать на максимум функцию f (0, стоящую под корнем:
f (0 =к^ -ь L^-^ + N (-JV,
\ (Лъ J
где
к = (-2- v)2 +
L = 2ft (jm + rjQ ;
Если аналитическое решение окажется слишком трудоемким, то целесообразно иссле-
довать функцию f (0 графически. Этим же приемом следует воспользоваться и в том случае,
когда функция <о — (о0? (-у! записана экспериментально и мы не располагаем ее анали-
тическим выражением,
Чтобы определить в рассматриваемой задаче напряжение валика при установившемся
режиме работы, следует положить = 0; тогда
°экв - бдЗ» “°*
Из примера видно, как неблагоприятно сказывается на величине напряжений эксцентрич-
ное расположение вращающихся масс. Это заставляет обращать внимание на балансировку
вращающихся частей элементов конструкций. В ряде случаев целесообразно придавать вра-
щающимся деталям специальную форму. Например, быстроходные коленчатые валы часто
снабжаются противовесами, уравновешивающими массы щек и шатунных шеек.
Действительно, если путем введения противовесов (в нашем случае путем установки
второй пробирки, заполненной водой) привести центр присоединенных масс на ось вращения,
то напряжение валика окажется значительно меньшим, так как его изгиб будет устранен.
В этом случае в период пуска эквивалентное напряжение, по теории наибольших касательных
напряжений, будет равно
, о , т da> Q 2
°зкв-------.
а при установившемся режиме
_ й“о
аэкв “ ОДЗз •
Пример 2. Рассмотрим условия работы троса и приводного вала лебедки грузоподъем-
ностью Q кг (фиг. 32) при ее пуске в ход.
Лебедка приводится в действие с помощью шунтового двигателя постоянного тока.
График изменения пускового момента шунтового двигателя при его пуске в ход с помощью
ступенчатого реостата приведен на фиг. 33.
Из графика видно, что в период пуска наибольшие ускорения имеют место при скачко-
образном изменении момента во время перевода пускового реостата.
Расчеты на прочность элементов конструкций при пуске в ход или торможении 51
Число секций реостата и их сопротивление подбираются так, чтобы пиковые значения
пускового момента Мц не превосходили более чем в 2—2,5 раза величину номинального
Фиг. 32. Схема лебедки и эпюры изгибающих и крутящих
моментов для приводного вала.
момента Мн. Максимальное угловое ускорение е2 приводного вала 2 (см. фиг. 32) определяется
из соотношений (А) и (В):

(А)
/
(В)
Радиусы /?, Г1 и г2 показаны на
фиг. 32 (R — радиус барабана, п и г2—
радиусы начальных окружностей ше-
стерен);
Im — массовый момент инерции бара-
бана и других деталей, вращающихся
вместе с барабаном относительно оси I
(см. фиг. 32) с угловой Скоростью <ог.
Угловое ускорение масс, вращаю-
щихся относительно оси 1,
Фиг. 33. График изменения момента шунтового
электродвигателя, при его пуске в ход с по-
мощью ступенчатого реостата.
Im'—массовый момент инерции деталей, вращающихся относительно оси 2 с угловой
скоростью ю2.
Угловое ускорение масс, вращающихся относительно оси 2,
еа =
— к. п. д. передачи мощности от приводного вала 2 к барабану.
^2 —к. п. д. передачи мощности от двигателя к приводному валу 2,
4*
dt ’
52
Методы расчетов на прочность движущихся элементов конструкций
Из зависимостей (А) и (В) следует, что
МП
QRr2
Mi
1
Наибольшее усилие по тросу в период пуска
Afmax = Q [1 4
^^2е2 I
gri 1 ’
В наиболее тяжелые моменты периода разгона приводной вал закручивается моментом Мп,
а также изгибается в горизонтальной плоскости окружной силой Т = и в вертикальной
Г2
плоскости радиальной силой S 0,ЗТ, приложенными в точке зацепления шестерен.
Эпюры крутящего и изгибающих моментов приведены на фиг. 32 (предполагается, что
упругая муфта является гибкой связью, не передающей изгибающего момента, поэтому
вал 2 рассматривается как двухопорная балка).
Руководствуясь теорией прочности наибольших касательных напряжений, можно опре-
делить эквивалентное напряжение аэкв для вала:
_ Ум2п + (Та)^+ (Sa?
Величина допускаемого напряжения определяется в зависимости от качества материала
и условий эксплуатации.
Пример 3, В период разгона исследовать напряженное состояние диска постоянной
толщины А, составляющего с валом одно целое (фиг. 34).
Фиг. 34. К исследованию напряженного состояния диска постоянной толщины в период разгона:
а—инерционные нагрузки, прикладываемые к диску при его расчете на прочность; б — радиальные,
составляющие инерционных нагрузок; в — окружные составляющие инерционных нагрузок.
Наружный радиус диска г2, радиус вала п. Вал принимается абсолютно жестким.
Отделим мысленно диск от вала, приложим на поверхности раздела нормальные и каса-
тельные силы, заменяющие отброшенные связи с валом, а сам диск нагрузим двумя системами
инерционных сил интенсивности q± —	ш2г кг/см3 и qz =	г кг/см3, прикладывае-
мых в связи с наличием центростремительных и тангенциальных ускорений (фиг. 34, а).
Теперь для изучения напряжений во вращающемся диске можно исследовать непо-
движный диск, нагруженный указанным выше образом.
Рассмотрим диск под действием двух раздельно приложенных уравновешенных систем
нагрузок (фиг. 34, бив), которые в своей совокупности составляют заданную нагрузку
(фиг. 34, а).
Первую задачу (фиг. 34, б) легко можно решить по формулам (49) и (50а).
Расчеты на прочность элементов конструкций при пуске в ход или торможении 53
В рассматриваемом случае для определения постоянных интегрирования Ci и С2 вос-
пользуемся следующими граничными условиями: при г = ri их = 0; при г = г2 ог = 0.
В этом случае имеем
_____________^2	= 3+ Р- , 1 ш2г2
1—И	(i_|_p.)r2	8£ g 2’
1
откуда, полагая р =	, получим
о
р ____ (r1 +	. 7<о2 #
1	~ 9 (2r| -f- rf) ’ gE ’
' С = Г1Г2 (2г? — 5г2)	-|®2
2	9 (2rf + rf) ’ gE '
Теперь окончательно, в соответствии с формулами (50) и (50а),
Ч«>2	4 + 5г|	_ 44 (5г2 — 2г1) _
8 L 6 (2г| + 4) ~ 12 (2г| + rf) г2 4
•у<о2Г 4+54 r\rl (54 — 2rf)
8 L 6 (24 + 4)	12 (2r2 + r'l) r2
Напряжения в точках на радиусе г2
5г 2 — 4г ,г| — г]
Л 12(2г?+Н9
5гн — 4г?г| — ''i Ч
Z	1 Z 1	1	9
------------------- . --
4 (2r| 4-	£
Как и следовало ожидать [см. формулы (44), (46) и (47)], на
внутреннем радиусе гг
а/( = иол ==	,
так как на этом радиусе ит — 0.
Напряженное состояние диска во втором случае нагружения, в отличие от первого
может быть изучено с помощью одних уравнений статики
Действительно, учитывая, что точки диска в процессе деформации смещаются только
в окружном направлении, легко установить, что элементы диска находятся в состоянии чистого
сдвига.
Рассмотрим условия равновесия внешней части диска, отделяемой радиусом г (фиг. 34, в).
Составим уравнение моментов:
п
2тсг2/гт — I h —---2-гсгМг — 0;
J g dt
г
тогда
____1___1	(г2 —г*)
Т — 4 ' g г2 ‘ dt '
Наибольшее касательное напряжение возникает на внутреннем радиусе диска г — rt:
_	_ 1 f ''г-da
Ч - ’max - 4 • g ‘	' dt '
54
Методы расчетов на прочность движущихся элементов конструкций
Во всех точках диска имеет место плоское напряженное состояние.
Наиболее напряженными являются точки на внутреннем радиусе
Исследуем напряженное состояние в этих точках для частного случая, когда г2 — 6гь
Эпюры напряжений для этого случая представлены на фиг. 35.
Фиг. 35. Эпюры напряжений ar, az, т, возни-
кающих в окружных и радиальных сечениях
диска в период разгона, построенные по его
радиусу.
На радиусе г =
"о = 7.234 ~ ;
21.74 J7L-;
Как известно (см. главу I, том 1)г
главные напряжения при плоском напря-
женном состоянии равны:
+ "Г У(^г-О/)2 + 4^ •»
= °Г +2°Z ~ 4“	»/)2 + 4т2;
Руководствуясь энергетической тео-
рией прочности, определим эквивалентное
напряжение на радиусе г= и. Учитывая,
что 6ri = Зс?д, имеем
«... - /(»„)’ + ("„)'-( ’„О - V74, + 34.	.
откуда
- 19.2	|/»‘ + 86О(^)! .
Примем, что закон изменения угловой скорости во времени выражается функцией
. 2 Kt
ш = ш0 S1H2 .
Положим, что при установившемся режиме п = 500 об/мин ^т. е. <о0 =	&
& 52,4 \/сек , а время разгона Т = 0,75 сек.
Тогда можно показать, что эквивалентное напряжение имеет наибольшее значение при
t = 0,54Т и
®экв шах = 23,1	кг/см2.
Заметим, что при t=T
аэкв = 19,3	г2^ кг/см2,
а при t — 0,5Т
а экв — 21,9 riwo
кг/см2.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Алейнер А. Г., О горизонтальной нагрузке стреловых кранов в период неуста-
новившегося движения вращения, Труды Ленинградского политехнического ин-та
им. М. И. Калинина, «Машиностроение» № 3, 1954.
Расчеты на прочность элементов конструкций при пуске в ход или торможении 55
2.	Бортновский К. А., Движущий момент электропривода с центробежной муф-
той, Труды Киевского технологического ин-та пищевой промышленности им. А. И. Микояна,
вып. 14, 1954.
3.	В а й н б е р г Д. В., Напряженное состояние сварного ротора с фасонными выре-
зами, «Сб. трудов ин-та строительной механики АН УССР», № 20, 1955.
4.	Г р и г о л ю к Э. И., Расчет тонких конических дисков переменной и постоянной
толщины, сб. «Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть», Труды кафедры «Сопротивление
материалов» МВТУ им. Баумана, изд. МВТУ, 1947.
5.	Дымов А. И., Строительная механика машин, ГТТИ, 1933.
6.	Канторович 3. Б., Основы расчета химических машин и аппаратов, изд. 2-е,
Машгиз, 1)52.
7.	Коваленко А. Д., Теория расчета на прочность колес турбомашин, АН УССР,
1950.
8.	Пономарев С. Д., Задачи динамики в сопротивлении материалов, изд. Моск,
ин-та инженеров связи, 1941.
9.	Пономарев С. Д., Расчет и конструкция витых пружин, ОНТИ, 1938.
10.	С а л и о н В. Е., Анализ напряженного состояния в корпусе литого колеса ротора
осевого шахтного вентилятора. «Сб. трудов института строительной механики АН УССР»,
№ 20, 1955.
11.	Соколов В. И., Расчет роторов сепараторов по допускаемым напряжениям
и по допускаемым нагрузкам, «Вестник машиностроения» № 6, 1956.
12.	Соколов В. И. и Ш кор опад Д. Е., Автоматические и непрерывно действую-
щие центрифуги, Машгиз, 1954.
13.	Т у м а р к и н С. А., Напряжения в ободе со спицами и лопастями, вып. 271, изд.
ЦАГИ, 1936.
14.	JLiebich U. und V о с k е W., Die mechanische Beanspruchung der Spinntopre,
«Faserforschung und Textiltechnik» № 1, 1954.
ГЛАВА II
РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ, ЖЕСТКОСТЬ И ПОЛЗУЧЕСТЬ
РАБОЧИХ ЛОПАТОК ТУРБОМАШИЙ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ СИЛ В ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ
РАБОЧИХ ЛОПАТОК
I
Настоящая глава посвящена расчетам на прочность, жесткость и ползу-
честь рабочих лопаток осевых турбомашин. При этом предполагается, что
лопатки не соединены между собой бандажом или проволокой.
В связи с этим излагаемые расчеты прежде всего относятся к рабочим
лопаткам осевых компрессоров и авиационных газовых турбин, которые
обычно не соединяются в пакеты. Лопатки транспортных и стационарных
газовых турбин иногда связываются проволокой, а лопатки паровых турбин,
как правило, пакетируются при помощи бандажа и проволоки. Однако
и в этом случае расчет одиночной лопатки является основой расчета
пакетов.
Расчет на прочность пакетов изложен в монографиях Сто дола [40],
Бицено и Граммеля [3] и А. В. Левина [17].
На фиг. 36 изображены рабочие лопатки различных ступеней паровой
турбины АК-50 мощностью 50 000 кет Харьковского турбогенераторного
завода им. С. М. Кирова. На фиг. 37 представлены рабочие лопатки неко-
торых газовых турбин. На фиг. 38 показаны частично облопаченные диски
газовой турбины Ленинградского металлического завода им. И. В. Сталина,
предназначенной для работы .на газе подземной газификации.
В расчетах на прочность рабочие лопатки турбомашин чаще всего рас-
сматриваются как пространственные слабо изогнутые естественно закру-
ченные брусья переменного поперечного сечения. Начальный изгиб оси
лопатки обычно предусматривается для разгрузки ее за счет вращения
ротора.
Схематизация лопатки в форме бруса справедлива, строго говоря, лишь
для достаточно длинных лопаток. Для коротких лопаток более правильно
считать, что лопатка является толстостенной или тонкостенной (в зависи-
мости от толщины профиля) оболочкой. Однако расчет лопатки по схеме
оболочки связан с большими трудностями. В настоящее время известны
отдельные попытки решения задачи в такой постановке для некоторых
частных случаев. В работах А. Д. Коваленко [11], [12] исследуется на-
пряженное состояние лопатки радиальной турбомашины, возникающее в
результате ее вращения. При этом лопатка рассматривается как тонкая и
короткая цилиндрическая оболочка кругового очертания с опертыми или
заделанными в диски криволинейными контурами и со свободными пря-
молинейными краями. В работе Л. М. Качанова [10] лопасть осевой во-
дяной турбины схематизируется в виде пластины переменной толщины,
имеющей форму части кругового кольца, нагруженной давлением и цен-
тробежными силами.
Определение внутренних сил в поперечных сечениях рабочих лопаток.
57
Фиг 36. Рабочие лопатки паровой турбины АК-50 мощностью 50 000 кет
Харьковского турбогенераторного завода им. С. М. Кирова.
Фиг. 37. Рабочие лопатки газовых турбин.
Фиг. 38. Частично облопаченные диски
газовой турбины Ленинградского метал-
лического завода им. И. В.^Сталина, пред-
назначенной для работы на газе подземной
газификации.
58 Расчеты, на прочность, жесткость и ползучесть рабочих лопаток турбомашин
В общем случае для лопаток осевых турбомашин ввиду сложности их’
форм и условий загружения.схема оболочки вряд ли сможет быть положена
в основу инженерного метода расчета на прочность. Исключением являются*
полые тонкостенные лопатки.
Во всех курсах конструкций и расчетов осевых турбомашин и в иссле-
дованиях прочности лопаток последние рассчитываются по схеме бруса.
Это дает возможность наиболее полно отразить действительные усло-
вия эксплуатации лопаток и создать простые инженерные методы их
расчета.
В связи с этим в дальнейшем рабочие лопатки осевых турбомашин будут
схематизироваться формой пространственного слабоизогнутого естественно
закрученного бруса переменного поперечного сечения. При этом предпола-
гается равномерный нагрев лопаток по поперечным сечениям.
Для охлаждаемых лопаток является характерным в значительной сте-
пени неравномерное распределение температуры по поперечному сечению.
В результате этого в лопатке возникают температурные напряжения, кото-
рые складываются с напряжениями от аэродинамической нагрузки и вра-
щения. В настоящее время разработаны методы расчета температурных
полей охлаждаемых лопаток, что позволяет определять температурные
напряжения в них.
Выяснение температурных напряжений необходимо не только для опре-
деления дополнительной напряженности лопаток за счет неравномерного
их нагрева, но также и для изучения тепловой выносливости лопаток при
колебании теплового режима. Такие колебания, как показывает практика
испытаний и эксплуатации турбин, могут привести к разрушению лопаток
[38], [39].
• Впервые на необходимость изучения температурных напряжений лопаток
обратил внимание Стодола, в курсе которого [40] приведен элементарный
метод определения температурных напряжений в кромках лопаток. Расчет
рабочих лопаток при неравномерном нагреве их с учетом зависимости модуля
упругости материала от температуры рассмотрен- в работе [20].
В процессе эксплуатации турбомашин лопатки подвергаются воздействию
сил давления пара или газа (аэродинамической нагрузки), которые изгибают
и закручивают ее. В результате вращения лопатка растягивается и, вообще
говоря, также изгибается и закручивается.
Ниже излагается определение внутренних сил в поперечных сечениях
лопаток с использованием принципа сохранения начальных размеров.
В действительности за счет деформации лопаток инерционные силы,
отражающие в расчете вращение ротора, изменяются, в результате чего
меняются и внутренние силы. При этом в основном лопатки несколько
разгружаются.
Задача определения изгибающих моментов и прогибов лопаток без исполь-
зования принципа сохранения начальных размеров может быть названа
задачей продольно-поперечного изгиба лопаток. Иногда ее называют задачей
изгиба лопаток в поле центробежных сил [1]. Эта задача представляет
значительные трудности и не имеет решения в замкнутом виде даже в про-
стейшем случае прямых незакрученных лопаток постоянного поперечного
сечения.
Продольно-поперечному изгибу рабочих лопаток посвящены работы
А. С. Зильбермана и У. Е. Ривоша [26], [7], Я. Т. Ильичева [81
и И. А. Биргера [1], [2]. В работах [8], [1] и [2] развиваются исследова-
ния продольно-поперечного изгиба лопастей воздушных винтов, выполнен-
ные В. П. Ветчинкиным [4], Д. Ю. Пановым [16], [24], Г. И. Кузьми-
ным [16], С. А. Тумаркиным [32], [34]. В статье [20] рассматривается
приближенный метод определения коэффициентов разгрузки, позволяющий
Определение внутренних сил в поперечных сечениях рабочих лопаток
59
•при приближенных расчетах быстро оценить, в какой степени разгружаются
лопатки при изгибе за счет вращения.
Отнесем лопатку к системе координат х9 у9 z (фиг. 39), начало которой
выберем на оси вращения диска. Ось х совместим с осью вращения диска,
направив ее в сторону движения пара или газа. Ось z проведем.так, чтобы
она проходила через центр тяжести корневого сечения, причем за положи-
тельное направление оси z примем направление
от корневого сечения к свободному торцу лопатки.
Ось у направим так, чтобы полученная система
координат была правой. Эту систему осей коорди-
нат будем называть общей. Координаты центров
тяжести поперечных сечений в общей сйстеме
осей координат обозначим хс9 ус, zc. Смещения
этих центров тяжести от прямой z называются вы-
носами.
Отметим, что поперечное сечение лопатки,
строго говоря, определяется плоскостью, перпен-
дикулярной к ее оси. Однако, учитывая, что ось
лопатки искривлена слабо, примем за попереч-
ное сечение ее плоскостью, перпендикулярной
к оси z.
Фиг. 40. Поперечное сечение рабочей лопатки.
Кроме общей системы осей координат х, у, z, введем еще местную
систему xi, г/1, Zi (фиг. 39). Оси координат последней параллельны осям
х, у, z, а начала совпадают с центрами тяжести поперечных сечений лопатки.
Далее введем главную систему координат Е, т), zx. Начало координат этой
системы также совпадает с центром тяжести сечения, а оси Е и являются
его главными центральными осями. Обозначим через ф угол наклона оси Е
коси х (фиг. 40). Этот угол называется углом установки профиля. Для неза-
кругленных лопаток он является постоянным, для закрученных изменяется
по длине.
Обозначим далее через N и М главный вектор и главный момент вну-
тренних сил в сечении лопатки, а через q° и пг° — главный вектор и главный
момент распределенной внешней нагрузки, отнесенной к единице длины оси
лопатки.
Проекции главного вектора и главного момента внутренних сил в сече-
нии лопатки на оси xi, yi9 Zi могут быть найдены путем интегрирования
дифференциальных уравнений равновесия элемента стержня (или лопатки)
{см. формулы (45) и (50), глава XIII, том III].
60 Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть рабочих лопаток турбомашин
Длину элемента оси лопатки ds, учитывая, что ось лопатки искривлена
слабо, примем равной длине проекции элемента дуги ds на ось z (ds dz).
Введем безразмерные величины:
где Ri и /?2 — радиусы корневого и торцового сечений, а
Z = /?2 — /?! — длина лопатки.
Тогда уравнения (45) и (50), глава XIII, том III примут вид
ЛГ+/<£ = 0; AZ; + Z^ = O, AT+Z^ = O; '
М'х + y'cNz - lNy + lm°x = 0;
. ЛГ + INX - xcNz +	= 0;	(2)
M'z + xcNy — y'cN* +lm°z = Q,
где Nx, Ny, Nz, Mx, My, Mz — проекции на оси x, у, z главного вектора
и главного момента внутренних сил в текущем сечении лопатки. Штрихом
обозначены производные соответствующих величин по
Проинтегрируем первые три уравнения (2) в пределах от £ до 1, учиты-
вая, что при z = Т?2 или С = 1 Nx = Ny = Nz = 0, поскольку торцовое
сечение лопатки свободно от сил; тогда получим
Nx = Z f^dC; Ny = Z J^dC; Nz = Zf^dC .	(3>
с	с	c
Проинтегрируем также вторые три уравнения (2) в пределах от С до 1,
принимая при этом во внимание, что при z —	= 1 Мх — Му = Mz — 0,
так как торцовое сечение лопатки свободно от моментов. Имеем
Мх = J ycN^ - I j NydZ + Z J m°dC ;
t	С	C
My = I f - \xcNzdZ + Z f nfyK ;
i I	I
Mz = jxW/C - $y'N^ + Ij	.
c	c	c
Подставим в эти выражения зависимости (3); тогда
7ИХ = Z f у<& ।	— P	+ Z | m*xdt ;
К c	c	c
My = Z2 f dUc&dZ -1 (f qQzdt + Z f	;
E c i c c
Mz = I ]x'dt jqQdZ-l f y'cdti f (fxdZ + Z f m*dC .
c c c c c
Определение внутренних сил в поперечных сечениях рабочих лопаток
61
Если выполнить интегрирование по частям, то после преобразований
получим
М, - -1уМ<4 + l\yc^+lK	; c	 C	C	C	c = -14f<£dl + Za fq^d? + lxc lq°zdC-llxrfdt + Ct	c	c	c	(4)
Mt = -lxc f	+ / j <7°xcdC + lyД	-1 j	+ j m»dt. .	
Из соотношений (3) и (4) следует, что для определения внутренних сил
в поперечных сечениях рабочих лопаток необходимо располагать проек-
циями на оси х, у и z главного
вектора и главного момента рас-
пределенной внешней нагрузки,
отнесенной к единице длины оси
лопатки. В дальнейшем на основе
выражений (3) и (4) будут выве-
дены формулы для внутренних сил,
возникающих как за счет враще-
ния ротора, так и от аэродинами-
ческой нагрузки. Поэтому пред-
варительно установим величины
проекций на оси х, у и z глав-
ного вектора и главного момента
распределенной внешней нагрузки,
отнесенной к единице длины оси
лопатки.
Вначале определим проекции
на оси х, у у z главного вектора
и главного момента инерционной
распределенной нагрузки, отнесен-
ной к единице длины оси лопатки,
отражающей в расчете вращение
ротора. Для этого рассмотрим эле-
мент, вырезанный из лопатки
двумя сечениями, перпендикуляр-
ными к оси Zy взятыми на рас-
стоянии dz друг от друга (фиг. 41).
Центробежная сила элемента
объема dV — dFdz равна
dVh, (5)
Я
Фиг. 41. Элемент лопатки.
где у — вес единицы объема материала лопатки;
а) — угловая скорость вращения;
g — гравитационное ускорение;
h — расстояние от центра тяжести элементарной площадки до оси
вращения ротора х.
Обозначим г радиус-вектор; х, у, z — координаты центра тяжести эле-
ментарной площадки в общей системе осей х, у, z; Xi, yi— координаты того же
центра тяжести в местной системе осей х1( щ, a i., iv, i, — орты осей х, у, г.
Учитывая, что
г = xix + yiy + ziz ,
62 Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть рабочих лопаток турбомашин
а
h = г — xix = yiy + ziz ,
преобразуем соотношение (5) к виду
dP“=^dV (yiy + zTz) .	(6)
Используя зависимость между координатой центра тяжести элементарной
площадки в общей и местной системе осей у = ус + yi, из выражения (6)
получим
dPm = dV [{Ус + yi} iy + Ziz}.	(7)
Спроектируем полученное векторное равенство на оси х, у, z. Проекции
элементарной центробежной силы dPm на эти оси соответственно равны
dP“ = 0; dPmv = dV (ус + г/J; dP'“ = dVz.	(8)
б	б
Подсчитаем теперь момент элементарной центробежной силы отно-
сительно центра тяжести сечения:
dLm = [edPm],	(9)
где
e = xLix + ypy	(Ю)
—радиус-вектор центра тяжести элементарной площадки в местной системе
осей хъ ух, Zl.
Преобразуя соотношение (9) при помощи выражений (10) и (7), имеем
dZ? = dV [zypx — zxjy + (z/Л 4- х1У1) iz].
Определим проекции на оси х, у, z момента элементарной центробежной
силы. Для этого спроектируем на эти оси последнее векторное равенство;
тогда получим
dLx = dVzyp, dLy = -^- dVzxx;
dLwz = dV (yp^ +
(H)
Интенсивности распределенной центробежной нагрузки вычисляются
по формулам
f dP” _ Г dP“
F	F
dP“
—~ dF *
dV ur ’
F	F
dLz
_ 1 ---£_ dp
z J dV
F '
Определение внутренних сил в поперечных сечениях рабочих лопаток
63
Подставляя в эти зависимости соотношения (8) и (11) и учитывая, что
д и yi являются центральными осями, имеем
= °; я°у = я* = ~ Fz *>
'Yto2	(12)
mx = °> may = °> mz = -y-
где JXiyi — центробежный момент инерции площади сечения относительно
осей xi, г/i.
Остается еще определить проекции на оси х, у и z главного вектора и глав-
ного момента распределенной аэродинамической нагрузки, отнесенной к еди-
нице длины оси лопатки.
Силы давления пара или газа (аэродинамическая нагрузка) перпенди-
кулярны поверхности лопатки. Назовем точку пересечения главного вектора
распределенной аэродинамической нагрузки, приходящейся на единицу
длины оси лопатки (вектора q), и хорды центром давления (точка D
нафиг. 40). Центр давления находится от входной кромки сечения лопатки
на расстоянии, примерно равном 0,25—0,35 длины хорды. Координаты
центра давления в системе осей хх и у± обозначим xiD и ytD.
Проекцией вектора q на ось z пренебрежем и будем считать ее равной
нулю:
<7г = 0.	(13)
Обозначим проекции вектора q на оси х и у через qx и qy соответственно.
Поскольку в общем случае главный вектор распределенной аэродинами-
ческой нагрузки не направлен по линии, соединяющей центр давления
и центр тяжести сечений, аэродинамическая нагрузка создает момент отно-
сительно оси Zi, который равен
mqZl = ЯуХю — ЯхУю-	О4)
Моментами этой нагрузки относительно осей Xi и у± можно пренебречь
и считать их равными нулю:
rrtf — 0; rrtf = 0.	(15)
После определения проекций на оси х, у и z главного вектора и глав-
ного момента распределенной внешней нагрузки, отнесенной к единице
длины оси лопатки, обратимся к подсчету внутренних сил раздельно
от инерционной и аэродинамической нагрузок.
Определим вначале проекции на оси х, у и z главного вектора и глав-
ного момента внутренних сил, возникающих в текущем сечении лопатки
только за счет вращения ротора. Для этого подставим в уравнения (3) и (4)
вместо интенсивностей распределенной нагрузки выражения (12); тогда,
используя соотношения (1), получим
№ = 0,	(16)
1
^\ру^.	(17)
* с
1
(Р1+	П8)
ё с
64 Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть рабочих лопаток турбомашин
Мах = ус\Ж + C)dC + -^(Рх + С) I FycdZ-, (19)
* с	*	с
x^F'lh + С) dZ-^-
С
< =---+^p^,dC.	(2!)
С	с	с
f Fxc (Л + С) dC; (20)
Поскольку лопатка слабо искривлена, произведения координат центров
тяжести сечений хс, ус являются малыми величинами. Поэтому в выра-
жении (21) первым и вторым слагаемым, содержащими произведение хсус,
по сравнению с остальными можно пренебречь. Тогда это выражение упро-
щается и принимает вид
1
Л£ = “y^J^.dC.	(22)
С
Подсчитаем теперь проекции на оси х, у и z главного вектора и глав-
ного момента внутренних сил, возникающих в текущем сечении лопатки
от аэродинамической нагрузки. Для этого подставим в уравнения (3) и (4)
проекции интенсивности распределенной аэродинамической нагрузки, ис-
пользуя соотношения (13) — (15); тогда получим
М = I { ^dC;	(23)
W’ = Zj>ydC;	(24)
N4Z =-- 0;	(25)
Mqx = IK j ^dC - Z2 j <frCdC;	(26)
c	c
Mq = - Z2C f 7^dC + Z2 f <7xCdC;	(27)
c	c
Mqz = — lxc J q dZ 4- 1уД q d(. + IJ [qy (xc + x1D) — qx (yc + z/1D)] dC. (28)
c	c	c
Окончательно проекции на оси х, у и z главного вектора и главного
момента внутренних сил, возникающих как в результате вращения ротора,
так и за счет воздействия на лопатки сил давления пара или газа, можно
получить суммированием выражений (16) — (22) и (23) — (28). Таким обра-
зом, поперечные силы и Ny равны
Nx = Nx + Nqx ;
Ny = N“ + Nq .
Нормальная сила
Nz = Nz + Nz = N”.
(29)
(20
Определение внутренних сил в поперечных сечениях рабочих лопаток.
65
Изгибающие моменты
Мх = Мшх + Mqx ;
Му = М* + Мq.
Крутящий момент
Мг = М°г + Mqz.
(31)
(32)
Так же как и в расчетах бруса при поперечном изгибе, при рассмот-
рении рабочих лопаток влиянием поперечных сил на прочность можно
пренебречь. Заметим, что нормальная сила
в поперечных сечениях возникает только
в результате вращения ротора, а изги-
бающий и крутящий моменты — как за
счет воздействия аэродинамической на-
грузки, так и в результате вращения.
На фиг. 42 показаны направления
аэродинамической нагрузки и центробеж-
ных сил в турбинной лопатке (фиг. 38).
Из фиг. 42 следует, что для разгрузки
лопаток выносы сечений необходимо осу-
ществлять в направлении интенсивности
аэродинамической нагрузки.
Изгибающие моменты относительно
главных центральных осей могут быть по-
лучены путем проектирования моментов
Мх и Му на оси $ и тогда
Mi = Alvcos ф + Му sin ф;
ЛЦ = —Mxsincp + Му cos ф.
(33)
Решая уравнения (33) относительно
изгибающих моментов Мх и Му, получаем
Мх = Mi cos ф — 714^ sin ф; |
Му = Mi sin ф + М^ cos ср. J	(34)
Момент относительно оси Zi, строго го- у
воря, не является крутящим моментом, Л ~ Л -
г	Фиг. 42. Ось туроиннои лопатки
поскольку ось Их проходит через центр	в двух Секциях.
тяжести сечения. Для точного определе-
ния крутящего момента необходимо вычислить момент относительно оси,
представляющей геометрическое место центров изгиба сечений лопатки.
Под центром изгиба понимается точка, относительно которой момент
всех касательных сил, возникающих в поперечном сечении лопатки в резуль-
тате ее изгиба, равен нулю.
Таким образом, момент Mz является крутящим моментом, подсчитан-
ным без учета касательных сил, возникающих в поперечном сечении лопатки
в результате изгиба.
Точное значение крутящего момента может быть установлено таким же
образом, как и раньше, при условии, что начало координат местной системы
осей находится не в центре тяжести, а в центре изгиба.
Отметим, что, как это следует из формулы (22), крутящие моменты за счет
вращения возникают в естественно закрученных рабочих лопатках. В неза-
крученных лопатках крутящие-моменты имеют место при условии, что угол
установки профиля отличен от нуля.
5 Пономарев 508
66 Расчеты, на прочность, жесткость и ползучесть рабочих лопаток турбомашин
На основании соотношения (22) и фиг. 40 заключаем, что для рабочих
лопаток турбин крутящие моменты, возникающие за счет сил давления
пара или газа и в результате вращения лопатки, имеют одинаковые'знаки
и направлены в сторону увеличения угла установки профиля. В лопатках
компрессоров крутящие моменты, определяемые аэродинамической нагрузкой,
направлены в сторону уменьшения угла установки профиля, а крутящие
моменты, возникающие в результате вращения, направлены в сторону уве-
Фиг. 43. Рабочая лопарка
авиационной газовой тур-
бины.
личения этого угла. Таким образом, для лопаток
компрессоров знаки указанных моментов проти-
воположны.
В естественно закрученных лопатках круче-
ние возникает также в связи с растяжением их за
счет вращения. В таких лопатках в поперечном
сечении образуется самоуравновешенная си-
стема внутренних касательных сил. При этом
естественно закрученная лопатка стремится рас-
крутиться.
Кручение лопаток исследовано в работах
Л. С. Лейбензона [18], [19], В. П. Ветчинкина
[4], Д. Ю. Панова [24], С. А. Тумаркина [33]
и И. А. Биргера [2]. В первых двух работах этот
вопрос рассмотрен применительно к расчету на
прочность воздушного винта.
В работе И. А. Биргера [1] изучается кру-
чение естественно закрученной лопатки, возни-
кающее в связи с ее растяжением. Точное ре-
шение этой задачи для слабо закрученного бруса
дано П. М. Ризом [27]. В работе [1] излагается
приближенное решение задачи, выполненное мё-
тодами теории сопротивления материалов, которое хорошо согласуется
с экспериментом и при малых углах закрутки совпадает с точным.
Как показывают подсчеты касательных напряжений кручения, для тур-
бинных лопаток величины этих напряжений Обычно незначительны. Поэтому
в практических расчетах на прочность лопаток паровых и газовых турбин
касательными напряжениями кручения обычно пренебрегают [6], [30].
Однако в расчетах тонких естественно закрученных компрессорных лопаток
рассмотрение этих напряжений представляется целесообразным.
Таблица 2
Исходные данные к расчету лопатки
С	F в см2	в см*	В см*	<р	хс в см	~Ус в см	— X\D в см	y\D в см	Ух в кс/см	в кг/см
0,0	3,580	0,5040 ,	3,800	1°00'	0,00000	0,00000	0,5500	0,9400	—0,7000	3,550
0,1	3,115	0,3800	3,380	4°18'	0,003500	0,001500	0,6100	0,8500	-1-0,2350	3,700
0,2	2,721	0,2800	2,960	7°36'	0,007750	0,004000	0,6550	0,7600	0,2300	3,825
0,3	2,381	0,2100	2,600	10°54'	0,01300	0,008550	0,6900	0,6800	0,6950	3,925
0,4	2,094	0,1620	2,360	13°48'	0,01900	0,01500	0,7150	0,6000	1,160	4,025
0,5	1,840	0,1300	2,160	16°00'	0,02750	0,02300	0,7300	0,5300	1,625	4,075
0,6	1,620	0,1040	2,000	17°42'	0,03800	0,03150	0,7500	0,4800	2,090	4,100
0,7	1,423	0,08600	1,880	19°30'	0,05050	0,04250	0,7700	0,4450	2,555	4,150
0,8	1,262	0,08000	1,800	21°12'	0,06650	0,05500	0,7900	0,4200	3,020	4,150
- 0,9	1,137	0,07600	1,740	22°54'	0,08550	0,06850	0,8100	0,4000	3,485	• 4,150
1,0	1,040	0,07200	1,680	24°42'	0,1140	0,08550	0,8300	0,3800	3,950	4,075
Определение внутренних сил в поперечных сечениях рабочих лопаток.
67
Рассмотрим пример определения внутрен-
них сил в поперечных сечениях равно-
мерно нагретой до температуры 650° С рабо-
чей лопатки авиационной газовой турбины,
изображенной на фиг. 43. Число оборотов
в минуту ротора п — 12 300. Радиус корне-
вого сечения = 19,75 см\ длина лопатки
/=11,4 см. Материал лопатки — сталь ЭИ69.
Вес единйцы объема материала лопатки =
= 0,0082 кг/см3. Изменение площади сечения,
главных центральных моментов инерции се-
чения и угла установки профиля по длине
лопатки представлено на фиг. 44. Изменение
координат центров тяжести сечений и коор-
динат центров давлений по длине лопатки
приведено на фиг. 45. Изменение интенсивно-
стей аэродинамической нагрузки по длине
лопатки дано на фиг. 46. Все перечисленные
величины приведены также в табл. 2г
В рассматриваемом примере
₽! = А = 1,732; Ш = ~ = 1288 1/сек.
I	ои
Внутренние силы и моменты в сечениях
лопатки подсчитываем по-формулам (18) —
(20), (22), (23) — (33). Интегралы, входящие
в эти выражения, определяем численным ме-
тодом по правилу трапеций.
Поскольку интенсивность аэродинамиче-
ской нагрузки изменяется по длине лопатки
по линейному закону (см. фиг. 46)
qx = 4,650 £ — 0.7000,
то интегралы в формуле (27) возможно вы-
разить через элементарные’функции.
Подставляя- зависимость qx от С в эти
выражения, после преобразований получим
Af’ = 130,0 (1,200 — 1.625С — 0.3500С2 +
4- 0.7750С3).
Величины центробежных моментов инер-
ций сечений лопатки относительно осей Xi,
tji, необходимые для расчетов по уравнению
(22), определяем по известной из теории
сопротивления материалов формуле:
Л —Л
= -	.2 sin 2<р-
Результаты подсчетов приведены в табл.
3—5. На фиг. 47—51 представлены графики
изменения нормальной силы, а также изги-
бающих и крутящих моментов по длине ло-
патки.
Как следует из таблиц, за счет выносов
в сторону действия аэродинамической на-
грузки изгибающие моменты Мшх и М& об-
ратны по знакам изгибающим моментам М%
и и поэтому лопатка несколько] разгру-
жается.
Отметим, что в рассматриваемом при-
мере выносы центров тяжести сечений в осе-,
вой плоскости Хг недостаточно разгружают
лопатку, а выносы в плоскости диска # z
5*	..........
Таблица 3 Определение нормальной силы Nz и изгибающего момента Мх	мч X в кгем	СО	о 1ПСЧШООО о оу о о сч со оу о COOcoOincDCJ —— оо ^^ШСМ-	||||	1 1 й h ч 1
	о ч о й	ю о СО — О — ь-соо inco — — cd^^co^ocmo СО— Г-СООСО^СЧ —• СМ СМ — —	
	1 В Кг/СМ	со ш о СЧ со г-о О 00 со in со о о СЧ СО СО СО СЧ Ш О О ’ OCQOONincOONCOq СМ СЧ	~ о о о !	
	wo/ен а	ООО _ оотоооосоюоюю ; О Г" СО Г'-*— со СО О СМ со г- О со г- — со о о со г- о o' О О —" — СЧ СЧ СЧ со со ’Ф	
	в кг/см	OOLQ1QO ’ СО О О —О ОСМО О Г'- —* СЧ ОО — оо ! ocotninoococncocor-o о со со со о о сп оо со со о о о о о о—" особо	
	3 1 * 1 «	m о О со ОО.СЧ СО in СЧ 00 — ш о £2£2^2^осо1псчсоо ооср^сч —•	
	в кгем	_	сч оо г-о о со со осу су in СО СО СО ю о 00 in О СО о" СО г--" —" о о СМСОт^-ч^сОСО—ОГ'-СО *“4 ^-Ч	Ч 1—♦ ^-Ч ^-Ч ^-Ч	
	iwo а I	ОСОООСЧСО^Г^О—*5 §• OlOfNN-xr-NJNNCOO , — — О 00 СО СЧ Г* СЧ Ю оо о '^’^'^СОСОСОСЧСЧ’—* о о ооооооооооо о o' о о о о о" о о" о о	
	к, G 1 «	О СО ОГ^-ООСО—OJCOOO—»СОСЧ осооосо^соо^^ооо • 0^00—'СЧ —ООЬ--00 ОО—"СЧСО^ЮСОСОГ^ОО ООООООООООО' ооооооооооо	
	с в кгем	, о^ ОСОЬ.СЧОЬ'.ООЮОСЧО оаосчоосчотшюоо осэсчог^осб—*осоо счсотг-г—г-юсо	
	Nz в кг	оо ооооооооооо сотг-спсчкП’Ч’сооосч соттсосоОсосоою г-сою^сососч—< —*	
	А<₽,+ ’+ С) rfC в см1 \	—« СЧ ь-о , COt-O'^OOCD’^—*—<О СО СО ОО оо — оосоооо СЧ со О in — СО СЧ о со см о со" СО СМ СЧ — — оооо	
	в см2	счсооооюоро —сососм ООЬОСОСООГ-СООСХ»’^ СМ Г- СЧ со	—у су оо С01П1П'^’^*ЧФСОСОСОСЧСМ	
		о —< сч со ’Ф т со г* со о о о"оооооо"о*оо— -	
68 Расчеты на прочность> жесткость и ползучесть рабочих лопаток турбомашин
Фиг. 44. Графики изменения по длине лопатки геометрических
характеристик сечения*.
Фиг. 45. Графики изменения по длине лопатки координат центров тяжести
и центров давлений.
3
г
'1
4
									
									
•									
									
							•		
0,2	0,3	0,4	0,3	0,6	0,7	0,0	0,9 I
О________
0,0 0£
’ Фиг; 46. Графики изменения по длине лопатки интенсивностей аэродинамиче-
ской нагрузки.
Определение внутренних сил в поперечных сечениях рабочих лопйтМс' 69
Таблица 4
Определение изгибающих моментов Му, и
г	ё с + С) dt в кгсм	FxMt + С) Св СЛ3	+ С) Л в кгсм	- му в кгсм	в кгсм	~МУ в кгсм	в кгсм	в кгсм
0,0	0,00	0,0000	228,9	229	156	73.0	135	75,4
0,1	22,95	0,01998	227,1	204	134	69,7	84,5	76,3
0,2	43,15	0,04075	221,7	179	ИЗ	65,8	43,8	72,2
0,3	60,55	0,06291	212,3	152	91,2	60,5	17,3	65,0
0,4	72,56	0,08484	198.5	126	70,6	55,3	1,38	57,2
0,5	83,78	0,1130	181,2	97,4	51,6	45,8	— 6,24	45,9
0,6	88,76	0,1436	158,1	69,3	34,6	34,7	— 10,8	33,0
0,7	85,01	0,1748	129,4	44,4	20,4	24,0	— 9,56	22,0
0,8	72;05	0,2125	94,47	22,4	9,46	13,0	— 5,99	11,6
0,9	44^96	0,2559	52,25	7,30	2,47	4,83	— 2,71	4,10
1,0	0,00	0,3240	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00
Определение крутящего момента Mz
Таблица 5
С	В см*	0 J Х1У1 ё с в кгсм	Mz в кгсм	1 в кгсм	1 — lyc^xdZ в кгсм	Чу(хс + + X1D>~ ~ Чх (У с + + 4'10) в кг	1 zf[^(xc + + X1D) — ~ Чх (Ус + + г/1О)]Л в кгсм	м1 в кгсм. 		Mz в кгсм
0,0	0,05752	74,15	73,8	0,0000	0,0000	2,611	23,91	23,9	97,7
0,1	0,2243	71,93	71,6	0,1448	0,02859	2,444	21,03	21,2	92,8
0,2	0,3513	67.38	.67,1	0,2874	0,07624	2,302	18,32	18,5	85,6
0,3	0.4438	61,09	60,8	0,4246	0,1585	2,191	15.76	16,0	76,8
0,4	0,5092	53,56	53,3	0.5345	0,2621	2,123	13,30	13,6	66,9
0,5	0,5379	45,28	45.1	0,6466	0,3654	2,039	10,93	11.2	56,3
0,6	0,5492	36,69	36,5	0,7164	0,4338	1,982	8,638	8,92	45,4
0,7	0,5645	27,89	27,8	0,7146	0,4727	1,958	6,393	6,64	34,4
0,8	0,5799	18,84	18,8	0,6264	0,4370	1.900	4,194	4,38	23,2
0.9	0,5965	9,540	9,64	0,4009	0,2903	1,851	2,055	2,17	11,8
1,0	0,6105	0,000	0,00	0,0000	0,0000	1,754	0,000	0,00	0,0
W Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть рабочих лопаток турбомашин
Фиг. 47. График изменения нормальной силы по
длине лопатки.
Фиг. 48. Графики изменения по длине лопатки
изгибающих моментов относительно оси х±.
Определение внутренних сил в поперечных сечениях рабочих лопаток
71
Фиг. 49. Графики изменения
по длине лопатки изгибаю-
щих моментов относительно
оси ух.
100
15
50
25
№
кгсм
125
,5 0,6 0,7
О
0,0 0,1 0,2 0,3	0,£

Фиг. 51. Графики измене-
ния по длине лопатки
крутящих моментов.
Фиг. 50. Графики изменения по
длине лопатки изгибающих момен-
тов относительно главных цент-
ральных осей £ и т).
72 Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть рабочих лопаток турбомашин
наоборот, создают чрезмерно большой изгибающий момент. В § 3 будет изложен метод
определения выносов, обеспечивающих полную разгрузку лопатки от изгиба.
На основании данных, приведенных в табл. 5, заключаем, что крутящий момент от аэро-
динамической нагрузки значительно меньше крутящего момента, возникающего за счет вра-
щения лопатки.
§ 2. ДЕФОРМАЦИЯ ЛОПАТКИ
Рассмотрим определение осевых перемещений и прогибов * рабочих
лопаток.
В главе XIII настоящего тома приведены основные геометрические зави-
симости между линейными и угловыми перемещениями и компонентами кри-
визны и кручения для пространственного стержня [уравнения (35) и (40)].
Обозначим кривизны лопатки в плоскостях t\zl и и кручение для дефор-
мированного состояния через х$, х^ и хс. Соответствующие величины в неде-
формированном состоянии отметим индексом «0» — х^0, хГ40, хг0. Тогда
изменения кривизн и кручения при деформации лопатки равны
Дх^ — Х£ -- У.£0	= х^ --- Х^о *, Дхг = Хр — х*0 .
Обозначим далее через 9 вектор угла поворота подвижного трехгранника
осей 71, z при деформации лопатки. Проекции вектора 6 на оси 5, ть zL
обозначим — 9-гр 62 соответственно.
Ввиду того что ось лопатки слабо изогнута, а перемещения и деформа-
ции малы, величины х^, х^, х^0, х^, 6^, 9Tj, иЛ, и- имеют один и тот же
порядок малости. Из уравнений (35) и (40), глава XIII, том III, пренебрегая
величинами второго порядка малости по сравнению с величинами первого
порядка, попрежнему полагая ds dz и учитывая растяжение оси лопатки,
имеем
• duz
-т- =
dz с ’
л	Л ^и
0,1 = ~dz —	’	05 = — "dz ~~
de. я	d0
Дх5 = -£ — xterj; Дх, =	+ xt9e.
Вычислим вначале осевое перемещение текущего сечения лопатки.
Преобразуем соотношение (35), используя выражение (1), а также учи-
тывая, что в пределах упругости
(35)
(36)
(37)
где 6 — температурная деформация.
Тогда получим
Напомним, что температурная деформация 6 при нагреве от темпера-
туры до Я определяется по формуле (см. главу III, том I)
0 = «ср (# — #«)»
где а,ср — среднее значение коэффициента линейного расширения в интер-
вале температур Я —
Деформация лопатки
73
Проинтегрируем уравнение (38) в пределах от 0 до I,, учитывая при этом,
что при z — Ri, С = 0 uz = 0, поскольку корневое сечение лопатки закреп-
лено. Тогда получим
с	с
\ = I J-^ + I j*	(39)
0	0
Первое слагаемое выражает величину осевого перемещения за счет вра-
щения, а второе — в результате нагрева.
При равномерном по длине нагреве лопатки формула (39) принимает
ВИД
с
+ 9/С.	(40)
6
Перейдем к установлению зависимостей между прогибами и изгибающими
моментами. Дифференцируя уравнения (36) и (37) по С, имеем
d2u^
dz dz2 X^ dz dz ’
d^	d\ du^	d*z
dz	dz2	X^ dz	dz	’
Подставляя эти выражения, а также соотношения (36) в уравнения (37),
получим
dut	dv.z
= dz2 ~ 2хс ~dz	dz~	+ ХЛ’
dux\	d^r
ДхЧ " ~d? ~ 2%c ~dz	dT	~ XCU^
(41)
Как показано С. А. Тумаркиным [31], исследование деформаций есте-
ственно закрученных стержней наиболее просто произвести в перемещениях
относительно невращающихся осей координат. Поэтому в дальнейшем
целесообразно ввести в рассмотрение смещения их и иу.
Очевидно, что зависимости между перемещениями и их, иу имеют
ВИД
= их cos ф + иу sin ср; = — их sin ср + иу cos ср.	(42)
Продифференцируем два раза уравнения (42) и подставим полученные
результаты, а также соотношения (42) в уравнения (41), учитывая при этом,
что
Тогда после преобразований получим
а ’ d2ux .	d2uy
Axt = " Л 9 ' Sin ср-^-5- COS Ф >
5	dz2 ‘	dz2
А d2ux , d2uy .
A*’l==^~cos'? + -d?-sln'?-
(43)
74 Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть рабочих лопаток турбомашин
Зависимости изменений кривизн и Дхч от изгибающих моментов
и имеют вид (см. главу XIII, том III)
Дх?-= £7^ ’ Д’1’! =	>	<44)
где и — осевые моменты инерции относительно главных центральных
осей S и т).
Из уравнений (43) и (44) следует, что
,,	гг ( <?их .	<Риу	\
Л4е = EJZ -2Е_ sm tp-----gpi- cos ©j;
Л/г pi I d*u* ।
ч ч \ dz2 ‘ 1 dz2 • /
Подставляя выражения (45) в соотношения (34), имеем
Л4Х = I	5	(JB J^smcpcosts		
-(Л		о	d?Uu cos2<p + J4sin2ts)	Э	
Му = Е	(JESin2q> + J^cos2®)		C	1	(46)
' -С		z \ •	diuy 1 :	Jr) Sin Cp COS © dzi j.		
Учитывая известные из теории сопротивления материалов формулы
изменения осевых и центробежного моментов инерции при повороте осей
= Л cos2? + «7^ sin2?,
— Л8*112? + ^tjCOS2?,
ЛХ1У1 = — (А — J?) sin ? cos ?
(47)
м принимая во внимание соотношение (1), преобразуем выражения (4б)
>к виду
Е	(48)
= (Jviux “Ь	>
<где двумя штрихами обозначены вторые производные соответствующих
.величин по С
Решая эти уравнения относительно и" и и", имеем
х у
MJMUJ г
II _ х Х1У1 у X1 р*
MJ J-MJ „
и" _____*	1 У Х1У1
у E(JXJU-J2XU)‘
\ Х1 У1 Ххух}
Для определения смещений их и wv дважды проинтегрируем уравне-
ния (49) от 0 до Ъ учитывая при этом, что при z = /?х, С = 0 их = иу = О
Деформация лопатки
75
и их = иу — 0, поскольку корневое сечение лопатки заделано. Тогда
получим
с	с
Л Г	Г MJ и Ч- MyJ
о о
и = — /2 С dC С MxJy' + MyJ*>y' dl
о
о
Выполняя интегрирование по
с'
их
иу =
I X Х1У1 ~ У xt
Е (J J-J*) а(
U \ *i Ui Xiyt/
о
С
/2Г С
) Е (J Ju -J2)
J \ xt Ух ХхУх/
частям, устанавливаем
С + MUJX1
] E(JXJU-J2XU )
U \ xi У1 Х1У1/
О
•/2 f wc-
О
(50)
о
Рассмотрим теперь пример определения осевого перемещения и прогибов для торцового
сечения рабочей лопатки газовой турбины. Воспользуемся теми же условиями, что и в § 1.
Отметим, что для стали ЭИ69 величина модуля упругости первого рода при темпера-
туре 650° С составляет Е = 1,27* 10е кг!см2, а среднее значение коэффициента линейного
расширения в интервале температур 0—650® С' dcp = 18- 10~в 1/°С. '
Для определения осевого перемещения торцового сечения лопатки воспользуемся фор-
мулой (40), полагая в ней С = 1.
В табл. 6 приведены значения подынтегральной функции в первом слагаемом выраже-
ния (40). Выполнив численное интегрирование этой фуйкции в пределах от 0 до 1, имеем
J Nz<&
Q
= 1459 кг/см2
• Таблица 6
Определение перемещений торцового сечения рабочей лопатки газовой турбины
С	Nz —=г- в кг!см? Г \	'	JXi в см4	fW3 Я	н	5? 1	// их - СЮ» 1/см	пэ/1 001		 п п	о 1
0,0	2130	0,5050	3,799	0,05752	11,93	0,0000	211,3	0,00
0,1 -	2104 •	0,3969	3,363	0,2243	4,582	0,4582	176,0	17,60
0,2	2045	0,3269	2,913 .	0,3513	2,744	0,5487	124,8	24,95
0,3	1955	0,2955	2,515	0,4438	7,086	2,126	67,28	20,19
0,4	1823'	0,2871	2,235	0,5092	16,94	6,778	11,08	4,430
0,5	1655	0,2842	2,006	0,5379	26,49	13^25	—31,71	—15,86
0,6	1441	0,2793	1,825	0,5492	37,13	22,28	-73,66	—44,19
0,7	1183	0,2859	1,680	0,5645	37,92	26,54	-79,42	—55,60
0,8	858,2	0,3049	• 1,575	0,5799	26,03	20,82	—53,11	—42,49
0,9	462,3	0,3280	1,488	0,5965	12,65	11,38	—25,17	—22,65
1,0	0,0	0,3528	1,399	0,6105	0,00	0,00	0,00	0,00
76 Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть рабочих лопаток турбомашин
Поэтому, согласно формуле (40), для торцового сечения “ 0,01309 см, и^ — 0,1293 см.
Полное осевое перемещение торцового сечения uz = 0,1424 см.
Прогибы торцового сечения определяются по формулам (50). В этом случае для подсчета
подынтегральных функций вначале по формуле (47) вычисляются осевые и центробежный
моменты инерции относительно осей Xi и ylt Эти величины приведены в табл. 6. Затем опре-
деляются подынтегральные функции в выражениях (50), которые также даны в табл. 6. Выпол-
нив численное интегрирование, получаем
I —X xlVl -г—— 17,75-10-е 1/сл«;
£ ЛЛ -Л„
%)	\ *1 У1 Х1У1/
0 \
1
1	--X-X^i----= _ 1042 10_в
Е (JrJu — Л „ )
►/	\ х± У1 ХхУх!
1
Р М J п	A/Lj J' j.
I *	1 У ххУх
) Е (Jx Ju — Л „ )
d \ Xt у± ХХУ1}
dC =22.17-10-в 1/см;
(* М VJ	Af..J х t.
—----------У **У* wc = —11,36-Ю-6 l/см.
E (Jx Ju —J2X „ )
U \ Xi У1	ХхУх!
Подставив подсчитанные величины в формулы (50),
их = —0,0009534 см, иу = —0,004358 см.
окончательно
имеем
§ 3. ПРОЕКТИРОВАНИЕ БЕЗМОМЕНТНОЙ ЛОПАТКИ
Как было установлено в § 1, за счет выносов центров тяжести сечений
лопатки в сторону действия аэродинамической нагрузки изгибающие мо-
менты от аэродинамической нагрузки уменьшаются.
Естественно возникает вопрос о том, каковы должны быть эти выносы,
чтобы полностью разгрузить лопатку от изгиба.
Будем • называть лопатку безмоментной, если во всех ее поперечных
сечениях изгибающие моменты равны нулю.
Получим уравнения выносов для безмоментной лопатки. Предположим,
что выносы сечений обеспечивают отсутствие изгибающих моментов, т. е.
М* = 0, Му = 0 или на основании соотношений (31)
Мх + Mqx = 0, Му + Му = 0.	> ‘ (51)
Подставим в выражения (51) уравнения (19), (20), (26) и (27). Тогда
после преобразований получим
1	1	1
+	|MC+if^WC = 0;	(52)
С	с	с
1	1	1
Wxc - J F (₽х + С) xjK _ -5- с У + ^гУ Яхйг. = О, (53)
С	с	с
где
V = f F (pi + С) dC.	(54)
С
Отметим, что, как следует из соотношения (54), при С = 0
Ф=,0.	(55)
Проектирование безмоментной лопатки
77
. Уравнения (52) и (53) являются интегральными уравнениями для выносов
безмоментной турбинной лопатки. Для того чтобы получить уравнения
выносов, преобразуем уравнения (52) и (53) в дифференциальные уравнения,
интегрирование которых в последующем позволит установить величины
выносов.
Определим вначале выносы лопатки в осевой плоскости xz. Для этого
продифференцируем уравнение (52) по С. Тогда, учитывая, что, согласно
формуле (54),
Г' = -/?(₽i + С),	(56)
имеем
1 1
Чу'с - J Fycdt -	= 0.
С	с
Дифференцируя это уравнение по С, после преобразований, с исполь-
зованием соотношения (56), получим
Чу”с + Ч'УС - yc + -^-qv^Q.	(57)
Отметим, что
“1ТП- = RlH + t)!	']' •
поэтому уравнение (57) принимает вид
[»(₽> + О,(7Гк)Т+^<?- + с)” = 0- 
Проинтегрируем это уравнение в пределах от С до 1, используя усло-
вие (55); тогда получим
1
(₽7+т) ~ 1<->2Чг(₽1 4- С)2	= °-
Проинтегрируем теперь это уравнение в пределах от нуля до С, учитывая
при этом, что при С == 0 ус = 0; тогда
с
#	Ус =	(₽1 + 0 J ЦТ Q2 9	(58)
о
где
Qy =fay(₽i + C)dC.	(59)
с
Отметим, что, как это следует из соотношения (59), при С = 1
Qy = 0.	(60)
Уравнение (58) определяет выносы лопатки в осевой плоскости xz, или,
что то же, проекцию оси лопатки на плоскость xz. На основании условий
(55) и (60) заключаем, что подынтегральная функция в интеграле (58) обра-
щается в неопределенность при С = L Раскроем полученную неопределен-
ность, используя соотношения (55), (56) и (59). Окончательно имеем
Г Qy 1	— Г____2»----1	_	(61)
[«(?! + О2 J c=i I F (₽v+ С)2 J с=г	' ’
78 Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть рабочих лопаток турбомашин
Определим теперь выносы лопатки в плоскости вращения диска yz.
Для этого продифференцируем уравнение (53) по С. Используя соотноше-
ние (56), после преобразований получим
хс ~	>	(62Х
где .	'	.	,
= <63>
с
Отметим, что, как это следует из соотношения (63), при С = 1
Qx - 0.	(64>
Проинтегрируем уравнение (62) в пределах от нуля до С, учитывая, чта
при С = 0 хс = 0. В этом случае
с	.•
' (65>
Уравнение (65) определяет выносы лопатки в плоскости : вращения
диска yz или, что то же, проекцию оси лопатки на плоскость yz.
На основании соотношений (55) и (64) заключаем, чта подынтегральная
функция в интеграле (65) также обращается в неопределенность при, С = JL
Раскроем эту неопределенность, используя выражения (55), (56) и (63).
В результате имеем	(
(>)ы-[жнг]ы- .	'	<66>
Выражения (61) и (66) позволяют подсчитать подынтегральные функции
в интегралах уравнений (58) и (65), которые необходимы для числового
определения этих интегралов.	• ;
Продифференцируем уравнения (58) и (65) по С; тогда получим
Г	с
_ Я	Qy____I С QydC
Ус -	J	+ С)2
>__ s Qx
с —	• qr •	'	»
Из выражений (67) и (68) заключаем, что в корневом сечении при
.у   sQyi .
• Ус\ — 7(0^^ 9
Гг   gQxi
ЛС1 ~	’
.(67>:
(68>
С = Oi
(69>
(70),
где W\, Qxl, Qyl — значения соответствующих функций при С = 0.
Как следует из соотношений (69) и (70), в безмоментной лопатке угол
между касательной к оси лопатки и осью z в заделанном сечении не равен,
нулю.	’
Полученные уравнения выносов для безмоментной лопатки (58) и (65)^
могут быть преобразованы для частных случаев различимых «законов изме~
нения интенсивностей распределенной, аэродинамической нагрузки и пло-
щади поперечного сечения. -................ ;	j
Проектирование безмоментной лопатки
79*
Рассмотрим наиболее простой случай равномерно распределенной
нагрузки: qy = const и qx = const; тогда
Qy = -^(1 - С)(2рх + 1 + 0;	(71>
Qx = Ях (1 - О-	(72>
Подставляя соотношение (71) в уравнение (58), а выражение (72) —
в зависимость (65), получим
у - №. /о + П ^1-0(2^+!+ 0
Ус — 27<о2 tPi -г '») J Ф’(В1 + С)2
о
хс
с
qxg С (1 —
О
(73)'
(74).
В частном случае лопатки постоянного поперечного сечения (F = const)’
из формулы (54) имеем
Ф = 4-С1 “0(2₽1 + 1 + ^)-	(75).
Подставим это выражение в уравнения (73) и (74); тогда получим
=	(76).
X — -^s- in + 1 + c	(77)
Из формулы (76) следует, что проекция оси лопатки на осевую пло-
скость xz является в этом случае прямой.
Отметим, что лопатка может быть спроектирована безмоментной только*
на .заданный режим работы турбомашины. При изменении режима (числа
оборотов, аэродинамической нагрузки) предусмотренные выносы селений
уже не смогут обеспечить полную разгрузку всех сечений от изгиба.
При проектировании лопаток обычно не удается разгрузить все сечения
лопатки от изгиба даже на определенном режиме работы турбомашины.'
Объясняется это тем, что в процессе проектирования стремятся создать по-
верхности лопатки, удобные для изготовления. В результате этого центры-
тяжести всех поперечных сечений не попадают на ось безмоментной лопатки.
Однако наличие оси безмоментной лопатки позволяет оценить предусмотрен-
ные выносы и по возможности приблизить форму оси проектируемой лопатки
к оси лопатки, полностью разгруженной от изгиба,.
Рассмотрим пример определения выносов для1 безмоментной лопатки. Выясним, каковы»
должны быть выносы сечений для лопатки, рассмотренной в примере § 1 при условии, что
изгибающие моменты во всех сечениях ее равны нулю.
Порядок расчета следующий.
Определяем вначале подынтегральную функцию в интеграле (59), а затем численным*
интегрированием устанавливаем значения функции Qy. Напомним, что функция Ч? была-»
вычислена в примере, рассмотренном в § 1. Располагая величинами функций Qy и ЧТ, подсчи-
тываем подынтегральную функцию в интеграле (58). Для подсчета подынтегральной функции*
при С = 1 используем соотношение (61). Производя численное интегрирование этой функции, ,
определяем интеграл ® уравнении (58), после чего по формуле (58) подсчитываем выносы»
сечений в осевой плоскости xz.
80 Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть рабочих лопаток турбомашин
Для определения выносов сечений в плоскости вращения диска yz вначале вычисляем
функцию Qx. При этом учитываем (см. § 1), что интенсивность аэродинамической нагрузки qx
Фиг. 52. К примеру определения выносов сечений
для безмоментной лопатки.
изменяется по длине лопатки по
линейному закону:
qx = 4,650 С — 0,7000,
поэтому согласно формуле (63),
Qx = 1.625 + 0,7000С — 2,325С2.
После этого вычисляем подын-
тегральную функцию в уравнении
(65). Величину ее при С == 1 опре-
деляем по формуле (66). Затем, про-
изведя численное интегрирование
этой функции, устанавливаем интег-
рал в уравнении (65), а затем по
формуле (65) определяем выносы
сечений в плоскости вращения диска
yz. Результаты подсчетов сведены
в табл. 7.
Нормальные напряжения в се-
чен иях лопатки подсчитываем по
формуле
На фиг. 52 представлены про-
екции на плоскости yz и xz оси
безмоментной лопатки, причем мас-
штабы по осям у и х в 20 раз
больше масштаба по оси г. Пункти-
ром изображены проекции на плос-
кости yz и xz оси лопатки, рассмот-
ренной в примере, приведенном в § 1. Как было установлено в § 1, эти выносы не обеспе-
чивают отсутствия изгибающих моментов. Из сопоставления сплошных и пунктирных линий
можно сделать заключение, как нужно изменить выносы для того, чтобы лопатка стала
безмоментной. На той же фигуре построена эпюра нормальных напряжений в сечениях по
длине лопатки.
Таблица 7
Определение выносов сечений для безмоментной лопатки
С	-^(₽« + 0 в кг/см	— Qy в кг/см	О’	* (Pi + О2 В Kt/CM3	О’	J *'(₽i + Oa в кг/см3		— У с* см	Qx в кг/см	«0 * ю	*** о-	ъКЭ/УЫ Я .Tl	f	Хс в см	CQ &
0,0	6,149	8,955	0,7053		0,00000		0,00000	1,625	0,3841	0,00000		0,00000	2130
0,1	6,778	8,309	0,6807		0,06930		0,00916	1,672	0,4598	0,04221		0,00304	2100
0,2	7,390	7,601	0,6595		0,1363		0,0190	1,672	0,5413	0,09226		0,00665	2050
0,3	7,976	6,833	0,6405		0,2013		0,0295	1,626	0,6293	0,1508		0,0109	1960
0,4	8,581	6,005	0,6235		0,2645		0,0407	1,533	0,7235	0,2185		0,0158	1820
0,5	9,095	5,121	0,6081		0,3263		0,0525	1,394	0,8249	0,2958		0,0213	1660
0,6	9,561	4,188	0,5941		0,3863		0,0650	1,208	0,9321	0,3838		0,0277	1440
0,7	10,09	3,205	0,5802		0,4450		0,0780	0,9766	1,045	0,4827		0,0348	1180
0,8	10,51	2,175	0,5645		0,5022		0,0917	0,6970	1,159	0,5930		0,0428	858
0,9	10,92	1,103	0,5461		0,5578		0,106	0,3720	1,275	0,7148		0,0516	462
1,0	11,13	0,000	0,5251		0,6115		0,120	0,0000	1,390	0,8480		0,0612	0
Определение геометрических характеристик поперечных сечений лопаток
81
§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ
ЛОПАТОК
Для расчета рабочих лопаток на растяжение и изгиб необходимо распо-
лагать величинами площадей и главных центральных моментов инерции
площадей поперечных сечений, а также знать положение их центров
тяжести.
Геометрические характеристики поперечных сечений рабочих лопаток
наиболее просто и точно подсчитываются, если использовать приближенный
метод вычисления определенных интегралов, разработанный П. Л. Чебы-
Фиг. 53. К определению геометрических характеристик поперечного
сечения лопатки по формулам П. Л. Чебышева.
шевым [36]. В дальнейшем основанные на этом методе формулы для подсчета
площадей, статических моментов и осевых моментов инерции площадей
будем называть формулами П. Л. Чебышева.
Существуют и другие методы определения геометрических характеристик
поперечных сечений рабочих лопаток, например метод сеток [1], [6], [30].
Однако использование их связано с большей затратой труда и времени,
чем применение формул П. Л. Чебышева.
Рассмотрим вначале вычисление по принятой методике площадей. Впи-
шем сечение лопатки в прямоугольник, как это представлено на фиг. 53
и обозначим длины сторон этого прямоугольника через 2ах и 2а2. Разделив
стороны прямоугольника пополам, проведем оси £2 и ть (фиг. 53). Формула
П. Л. Чебышева для подсчета площади сечения имеет вид [36], [15]
F =	+ f ((ч) + • • • + /(K)L	(78)
гДе f (Pi), f (Р-2), • • • , f (Р'л) — изображенные на фиг. 53 вертикали сечения
на различных расстояниях р2ах, . . . , pnax от оси ординат;
п — число вертикалей.
Таким образом, из зависимости (78) следует, что для подсчета площади
по методу П. Л. Чебышева необходимо измерить вертикали на определенных
расстояниях от оси ординат и умножить среднее арифметическое их значений
на длину основания. Отметим, что эти вертикали не находятся друг от друга
на равных расстояниях. Их положение определяется значениями безразмер-
ных абсцисс, подсчитанных П. Л. Чебышевым [36] для различного числа
вертикалей. Величины р- приведены втабл. 8 с точностью до четвертого знака.
6 Пономарев 508
82 Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть рабочих лопаток турбомашин
Таблица 8
Коэффициенты в формуле П. Л. Чебышева для подсчета площадей
п	F4	F4	P'S	P'S		P'S	F4	P'S	P’S
2	0,5774	—0,5774	—	—	—	—	—	—	—
3	0,7071	0,0000	—0,7071	—	—	—	—	—	—
4	0,7947	0,1876	—0,1876	—0,7947	—	—	—	—	—
5	0,8325	0,3745	0,0000	—0,3745	—0,8325	—	—	—	—
6	0,8662	0,4225	0,2666	—0,2666	—0,4225	—0,8662	—	—	—
7	0,8839	0,5297	0,3239	0,0000	—0,3239	—0,5297	—0,8839	—	—
9	0,9116	0,6010	0,5288	0,1679	0,0000	—0,1679	—0,5288	—0,6010	—0,9116
Отметим, что значения безразмерных абсцисс для п = 9 получены
А. Н. Крыловым [15]. Им же установлено [15], что для п = 8 корни урав-
нения, определяющего Иг» • • • , Н„, мнимые. Как показал С. Н. Берн-
штейн [14], при п>9 среди корней определяющего уравнения также
есть мнимые корни. Поэтому при п = 8, п > 9 формула П. Л. Чебышева
неприменима.
Отметим, что в формуле П. Л. Чебышева под f (p-i), f (Иг), . . . , f (Hn)
можно понимать горизонтали сечения, проведенные на различных расстоя-
ниях ?-ia2, HzOj, .... НПО2 от оси абсцисс (фиг. 54). Если горизонталь
пересекает контур сечения не в двух, а в четырех точках, как это имеет
место, например, для горизонтали, проведенной на расстоянии от оси
абсцисс (фиг. 54), то величина f (р2) равна сумме двух отрезков АВ и CD.
Вычисление площадей по методу П. Л. Чебышева дает высокую степень
точности даже при малом числе вертикалей, равном двум или трем [15].
Как будет показано на примере, площадь сечения лопатки, определенная
по формулам П. Л. Чебышева при использовании двух или трех вертикалей,
отличается от величины площади, определенной по формуле Симпсона
с использованием 21 вертикали, всего на 2—2,5%. Естественна, что исполь-
зование формулы П. Л. Чебышева связано со значительно меньшей затратой
Определение геометрических характеристик поперечных сечений лопаток 83
труда и времени, чем при подсчетах по правилу Симпсона или правилу
трапеций.
Как известно, координаты центра тяжести поперечного сечения опреде-
ляются по формулам
; ъс =	,	(79)
где и 3Г1г — статические моменты площади поперечного сечения лопатки.
Рассмотрим вычисление статического момента площади  относительно
оси ц2. Формула П. Л. Чебышева для этого случая имеет следующий вид
[361, [13], [20]:
- Ж+s) • • • - /WL	(80)
где f (н), f (Н2),    , f (Р-п), f (Н„+1), f (Ия+2), . . .... f, (Н2я) — вертикали
поперечного сечения на различных расстояниях Р-А, P-2ai, . . . , от оси
ординат;	"	.
k — коэффициент, зависящий от числа вертикалей п.
Заметим, что вертикали расположены симметрично относительно оси
. ординат, т. е. = —Hi, Hn+2 = —Н2, . . . ,Н2я = —Ня.
В табл. 9 приведены величины коэффициента k, а также значения без-
размерных абсцисс р-, определяющих положения вертикалей для различного
числа последних. Для 2п — 2 и 2п — 4 эти данные получены П. Л. Чебы-
шевым [36], а для 2п = 6 они приведены в работе [20].
Для определения статических моментов площадей формулу, подобную
формуле (80), значительно позднее П. Л. Чебышева предложил Иокота [9].
Однако, как показал А. Н. Крылов [13], в работе Иокоты -допущены две
ошибки: во-первых, ошибка в знаках, а во-вторых, принципиальная ошибка.
2
Последняя состоит в том, что Иокота, задав произвольно величину k — —,
получил одну из бесчисленных формул вида (80), в которых поставленное
П. Л. Чебышевым условие о «возможной точности» не соблюдено.
Таблица 9
Коэффициенты в формуле П. Л. Чебышева для подсчета статических моментов
площадей
2п	k		^2	^8	^4	^8	^8
2	0,4303	0,7746	—0,7746	—	—	—	—
4	0,3236	0,8491	0,1809	—0,1809	—0,8491	—	—
	0,2394	0,8922	0,5003	—0,5003	—0,8922	—	—
6	0,4683	0,8631	0,6125	—0,7637	0,7637	—0,6125	—0,8631
	0,1599	0,9295	0,7118	0,4437	—0,4437	—0,7118	—0,9295
6*
84 Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть рабочих лопаток турбомашин
В методе П. Л. Чебышева для получения с помощью формулы (80)
возможно точного представления интеграла определяются не только
абсциссы Hi, Н, • • • , 1%, н0 и коэффициент k.
К сожалению, указание А. Н. Крылова осталось незамеченным, и фор-
мула Иокоты с исправлением только первой ошибки в знаках приводится
в ряде курсов по расчету на прочность деталей турбомашины [371, [30].
Далее на примере будет показано, что статический момент площади
поперечного сечения лопатки, определенный по формуле П. Л. Чебышева
при использовании четырех или шести вертикалей, отличается от величины
статического момента, найденного обычным методом численного интегриро-
вания с использованием 42 вертикалей, на 6,5—1,0%.
Особенно высокую степень точности (1%) дает формула П. Л. Чебышева
для 2п = 6 при k — 0,1599. Эти значения 2п и k и следует рекомендовать
для подсчетов. '
Перейдем к определению моментов инерции площадей поперечных сече-
ний лопаток. Вычисление положения главных центральных осей и величин
главных центральных моментов инерции известно из теории сопротивления
материалов и будет разобрано ниже на примере.
Рассмотрим определение осевого момента инерции площади поперечного
сечения относительно оси т\2. Формула П. Л. Чебышева для этого случая
имеет вид [20]
Л, = М1/(н1) + /(Ь)+ ..•+/(нп)],	(81)
где f (p-i), f (Р’г), • • • , f (Нп) — вертикали поперечного сечения, проведен-
ные на различных расстояниях p-iO,, p-2ai, . . . , от оси ординат;
п — число вертикалей.
В табл. 10 приведены величины коэффициента k, а также значения
безразмерных абсцисс р, определяющих положения вертикалей для раз-
личного числа последних.
Как показано далее на примере, приведенные формулы П. Л. Чебышева
дают высокую степень точности при числе вертикалей большем двух. Так,
например, момент инерции площади сечения лопатки, определенный
по формуле П. Л. Чебышева при использовании трех, четырех или шести
вертикалей, отличается от величины момента инерции, найденного обычным
методом численного интегрирования с использованием 42 вертикалей,
на 3,8—1,3%. Формулы П. Л. Чебышева для статического момента и момента
инерции значительно удобнее обычных формул численного интегрирования
Таблица 10
Коэффициенты в формуле П. Л. Чебышева для подсчета осевых моментов
инерции площадей
п	k	Hi	и2	Из	н<	и8	Не
2	1 3	0,7746	—0,7746	—	—	—	—
3	2 9	0,9487	0,0000	—0,9487	—	—	—
4	1 6	0,9284	0,5815	—0,5815	—0,9284	—	—
6	1 9	0,9410	0,8133	0,5030	—0,5030	—0,8133	—0,9410
Определение геометрических характеристик поперечных сечений лопаток
85
не только тем, что в них используется меньшее количество вертикалей,
но также и потому, что вертикали содержатся в первой степени, а не в квад-
ратах и кубах, как в обычных формулах численного интегрирования.
Рассмотрим пример определения геометрических характеристик поперечного сечения при
С = 0,044 для лопатки, рассчитанной в примере § 1 (фиг. 55).
Вначале определим площадь поперечного сечения по формуле П. Л. Чебышева (78) для
п = 9. Для этого впишем профиль в прямоугольник (фиг. 55), разделим его стороны пополам
и проведем оси £2 и ?]2. Половины сторон прямоугольника равны а± = 2,1 см\ а% — 0,84 см..
Фиг. 55. К примеру определения площади поперечного сечения
лопатки.
Подсчитаем расстояния ординат от оси т)2, используя приведенные в табл. 8 данные:
= 0,9116-2,1 = 1,91 см}
= 0,6010-2,1 = 1,26 см}
£ = 0,5288-2,1 = 1,11 см}
= 0,1679-2,1 = 0,353 см}
= 0.
Далее на полученных расстояниях от оси т)2, слева и справа от нее, проведем ординаты
и измерим их длину. Длины ординат в миллиметрах указаны на фиг. 55. После этого подсчи-
тываем площадь сечения по формуле (78):
F = 2,1 (0.240 + 0,570 + 0,650 + 0,950 + 1,03 + 1,05 + 1,02 + 0,69) = 3,37 см2.
Для того чтобы на примере показать степень точности формулы П. Л. Чебышева, приве-
дем результаты подсчетов площади поперечного сечения лопатки, которое изображено
нафиг. 20, по формуле Симпсона с использованием 21 вертикали (20 промежутков), по формуле
трапеций с использованием 22 вертикалей (21 промежуток) и формуле П. Л. Чебышева (78)
для л = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Полученные величины приведены в табл. 11, где также указана
погрешность формулы трапеций и формул П. Л. Чебышева, причем за истинное значение
площади принята величина, найденная по формуле Симпсона.
Как следует из приведенного сопоставления, формула П. Л. Чебышева дает достаточную
для практики степень точности даже при малом числе вертикалей, равном двум или трем.
С увеличением числа вертикалей точность формул П. Л. Чебышева увеличивается.
Определим теперь статические моменты площади поперечного сечения лопатки. Подсчи-
таем вначале статический момент относительно оси т)2 по формуле П. Л. Чебышева (80) для
2п = 6 при k = 0,1599.
Вначале определим расстояния ординат от оси т)2, используя приведенные в табл. 9
данные:
а'=0,9295-2,1 = 1,95 см}
1*2 = 0,7118-2,1 = 1,50 см}
^2 =0,4437-2,1 =0,932 см.
86 Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть рабочих лопаток турбомашин
Таблица 11
Сопоставление величин площади поперечного сечения лопатки, подсчитанных
по различным формулам
Используемая формула		Площадь сечения лопатки F в см2	Погрешность формул в %
Формула Симпсона		3,36	0
Формула трапеций		3,31	1,5
Формула П. Л. Чебышева	п = 2	3,42	1,8
	п = 3	3,44	2,4
	п — 4	3,42	1,8
	п = 5	3,43	2,1
	п = 6	3,39	0,9
	я =7	3,39	0,9
	п = 9	3,37	0,3
На полученных расстояниях от оси ^2, слева и справа от нее, проведем ординаты
(фиг. 56) и измерим их длину. Длины ординат в миллиметрах указаны на фиг. 56. После этого
подсчитываем статический момент площади сечения лопатки относительно оси ^2 по фор-
муле (80):
= 0,1599-2,12 (0,220 + 0,450 + 0,740 — 1,06 — 0,970 — 0,610) = —0,867 см3
Фиг. 56. К примеру % определения статических моментов площади
поперечного сечения лопатки.
Выясним теперь степень точности формулы П. Л. Чебышева для подсчета статического
момента площади при различном числе вертикалей. Для этого приведем результаты подсчета
статического момента относительно оси V]2 площади сечения лопатки, изображенного
на фиг. 56, по формулам П. Л. Чебышева при 2п = 2 и 2п = 4, а также по другим формулам.
Определение геометрических характеристик поперечных сечений лопаток
87
Отметим, что статический момент площади, ограниченной кривой осью абсцисс и, двумя
ординатами, относительно оси (фиг. 57) может быть найден путем вычисления интеграла^
'	а
$Х =ul“2~
о
численным методом. Используя’формулу трапеций для вычисления этого интеграла, получим
прижп равных промежутках длиной b (фиг. 57)
~ Т [#0 + У*п + (#1 + У% + • • • + У2п—1)]	(82)
Для подсчета^статического момента площади (фиг. 57) относительно оси х можно вывести
формулу таким же путем, как была установлена формула Симпсона для подсчета площади.
Заменяя части кривой дугами парабол с главными
диаметрами, параллельными оси у, находим при
четном числе п равных промежутков длиной 6:
Sx = -g- \y2Q + у\ + 4 (#1 + Г/з + ... + */2—1) +
+ 2 (у22 + у* + . Л + у\__2у	(83)
В табл. 12 приведены величины статического
момента относительно оси т] 2 площади поперечного
сечения лопатки, изображенного на фиг. 56, под-
считанные по формулам (82) и (83) с использова-
нием 42 вертикалей, а также по формуле
П. Л. Чебышева для 2п = 2, 2п = 4, 2п = 6, В той
же таблице даны погрешности формул, причем за
Фиг. 57. К выводу формул для опре-
деления статического момента и мо-
мента инерции площади фигуры.
истинное значение статического момента принята
величина, полученная по формуле численного интегрирования по правилу трапеций (82).
Как следует из проведенного сопоставления, формулы П. Л. Чебышева дают достаточ-
ную для практики степень точности при числе вертикалей, равном четырем или шести.
Наилучший результат дает формула для 2п = 6 при k— 0,1599.
Таблица 12
\ Сопоставление величин статического момента площади поперечного сечения
лопатки, подсчитанных по различным формулам
Используемая формула		Статический момент площади сечения лопатки относительно ОСИ 7|2 в	Погрешность формул в %
Формула численного интегрирования по пра- вилу трапеций		—0,858	0,0 <
Формула (83)		—0,860	0,2
Формула П. Л. Че- бышева	2п = 2	—1,01	17,2
	2п = 4, k = 0,3236	—0,914	6,5
	2п = 4, k = 0,2394	—0,887	3,3
	2п = 6, k = 0,4683	—0,909	5,9
	2n = 6, k = 0,1599	—0,867	1,о
88 Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть рабочих лопаток турбомашин
Вычислим теперь статический момент площади поперечного сечения относительно оси £ 2,
тоже по формуле П. Л. Чебышева для 2п = 6 при k = 0,1599. В результате подсчетов получим
= —0,243 см3.
Располагая величинами площади и статических моментов площади относительно осей
и по формулам (79) определяем координаты центра тяжести сечения: %2С= —0,257 см,
^2с= —0,0719 см.
Проведем через центр тяжести поперечного сечения центральные оси £i, тц, параллельные
осям *^2 (фиг. 56).
Фиг. 58. К примеру определения моментов инерции поперечного сечения лопатки.
Перейдем к определению моментов инерции поперечного сечения. Вначале подсчитаем
момент инерции сечения относительно оси 2 по формуле П. Л. Чебышева (81) для п = 6.
Вычислим расстояния ординат от оси ^2, используя приведенные в табл. 10 коэффициенты:
Ез = 0,9410-2,1 = 1,97 см;
Ез = 0,8133-2,1 = 1,71 см;
=0,5030-2,1 = 1,06 см.
На полученных расстояниях от оси 2, справа и слева от нее, проведем ординаты (фиг. 58)
и измерим их длину. Длины ординат в миллиметрах указаны на фиг. 58. После этого подсчи-
тываем момент инерции площади сечения относительно оси *П2 по формуле (81):
J7)2 =	2,1» (0,210 + 0,350 + 0,680 + 1,05 + 0,890 + 0,520) = 3,77 см*.
Для того чтобы на примере показать степень точности формул П. Л. Чебышева для под-
счета осевого момента инерции, приведем результаты вычислений момента инерции относи-
тельно оси 2 площади поперечного сечения лопатки, изображенного на фиг. 58, по формуле
П. Л. Чебышева при п = 2, 3, 4, 6, а также и по другим формулам.
Определение геометрических характеристик поперечных сечений лопаток
89
Отметим, что момент инерции площади, ограниченной кривой, осью х и двумя ордина-
тами, относительно оси х (фиг. 57) может быть установлен путем вычисления интеграла
а
Jx= -|-J y*dx
6
численным методом.
Используя формулу трапеций для вычисления этого интеграла, получим при п равных
промежутках длиной b (фиг. 57)
Jx = “g" [^о + У3п + 2 (Л + + • • • + Л-1)] •	(84>
Так же как и для статического момента, для осевого момента инерции площади относи-
тельно оси х (фиг. 57) можно вывести формулу таким же путем, как была получена формула
Симпсона для подсчета площади. Заменяя части кривой дугами парабол с главными диамет-
рами, параллельными оси у, при четном числе п равных промежутков длиной д, имеем
— "gP [Л + Л + 4 + Уз + • • • + Л—1) + 2 (Л + Л + • • • + Л—г)] •
Формулы для статического момента и момента инерции площади (83) и (85) приведены
без вывода в книге Г. С. Глушкова [5]. Как показало проведенное исследование формул (83)
и (85), эти формулы для статического момента и момента инерции площади, ограниченной
параболой, являются приближенными, в отличие от формулы Симпсона, которая для площади,
ограниченной параболой, является точной. Однако при подсчете статического момента
и момента инерции площади, ограниченной кривой, в случае большего числа промежутков
формулы (83) и (85) дают высокую степень точности.
В табл. 13 приведены величины момента инерции относительно оси ^2 площади сечения
лопатки, изображенного на фиг. 58, подсчитанные по формулам (84) и (85) с использованием
42 ординат, а также по формуле П. Л. Чебышева для п = 2, 3, 4, 6. В той же таблице даны
погрешности формул, причем за истинное значение момента инерции принята величина,
подсчитанная по формуле численного интегрирования по правилу трапеций (84).
Как следует из проведенного сопоставления, формула П. Л. Чебышева дает достаточную
для практики степень точности при числе ординат, равном трем, четырем или шести. С уве-
личением числа ординат степень точности формулы П. Л. Чебышева увеличивается.
Подсчитаем теперь момент инерции сечения относительно оси & по формуле П. Л. Чебы-
шева (81) для п — 6. В результате подсчетов получим = 0,467 см*.
Таблица
Сопоставление величин момента инерции площади поперечного сечения лопатки,
подсчитанных по различным формулам
Используемая формула		Момент инерции площади сечения лопатки относительно оси т]2 —	в сж*	Погрешность формул в %
Формула численного интегрирования		3,72	0,0
Формула (85)		3,72	0,0
Формула П. Л. Чебышева	п — 2	4,04	8,6
	п = 3	3,58	3,8
	п = 4	3,80	2,2
	п — 6	3,77	1,3
90 Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть рабочих лопаток турбомашин
Для определения центробежного момента инерции площади поперечного сечения предва-
рительно вычислим осевой момент инерции относительно оси g4, составляющей угол 45°
с осью £ 2. Впишем сечение лопатки в прямоугольник, стороны которого составляют с осями
(•2 и т\2 углы 45°. Половина одной из сторон этого прямоугольника а3= 1,52 см. Разделив
сторону 2а3 пополам, проведем ось g4 и параллельную ей центральную ось g5 (фиг. 58). Расстоя-
ние от центра тяжести С до оси g4 измеряем по чертежу: *П4С = 0,372 см. По формуле
П. Л. Чебышева (81) для п = 6, используя приведенные в табл. 10 коэффициенты и изме-
ренные по чертежу длины вертикалей (фиг. 58), в результате вычислений получим J= 2,58 см.
Подсчитаем теперь осевые моменты инерции площади относительно центральных осей.
Для этого воспользуемся известными из теории сопротивления материалов зависимостями,
связывающими осевые моменты инерции площади относительно двух параллельных осей,
из которых одна является центральной:
Подставляя в эти формулы подсчитанные ранее величины, устанавливаем, что =
= 0,449 см*, = 3,55 см*, =2,11 см*.
Чг	'’б
Располагая величинами осевых моментов инерции площади поперечног„—‘ечения отно-
сительно трех центральных осей gj, **h и g5. по известной из теории сопротивления материалов
формуле метода трех осей для подсчета центробежного момента инерции площади
л^=4-(л,+ч’-2л.)
устанавливаем величину центробежного момента инерции площади сечения относительно
центральных осей gi, ^h:	= —0,180 см*.
Положение главных центральных осей определяем по общеизвестной из теории сопро-
тивления материалов формуле:
В результате подсчета получим tg 2ф = —0,07494 и, следовательно, ф = —2°9'. Таким
образом, в рассматриваемом случае, как это почти всегда и имеет место, одна из главных
центральных осей сечения почти параллельна линии, соединяющей кромки сечения (хорде
сечения).
Заметим, что на этом основании положение главных центральных осей инерции для
поперечных сечений турбинных лопаток обычно не вычисляется. Приближенно принимается,
что одна из главных центральных осей параллельна хорде сечения.
Величины главных центральных моментов инерции могут быть вычислены по известной
из теории сопротивления материалов формуле:
л = -У11- ±	'J2+«и
ч
Подставляя в нее полученные ранее величины, окончательно устанавливаем, что главные
центральные моменты инерции равны соответственно = 0,446 см*, J= 3,55 см*. § *
§ 5. РАСТЯЖЕНИЕ ЛОПАТОК
Рассмотрим определение напряжений, возникающих в результате растя-
жения лопаток. Как показывают подсчеты, эти напряжения значительно
больше напряжений от других типов нагружения, и, следовательно, являются
основными.
В дальнейшем при определении напряжений, возникающих' в резуль-
тате растяжения и изгиба лопаток, будем предполагать, что распределение
нормальных напряжений в поперечном сечении естественно закрученного
стержня такое же, как и в незакрученном, что вполне допустимо, если
закрутка не очень велика. В ряде работ, посвященных расчету
естественно закрученных прямых стержней, это предположение не исполь-
зуется. Тогда учитывается перераспределение нормальных напряжений при
раскрутке, что существенно для стержней со сравнительно большой закрут-
кой и поэтому должно быть в отдельных случаях принято во внимание.
Растяжение лопаток
91
На основании принятого допущения напряжения, возникающие в резуль-
тате растяжения лопаток, определяются по формуле
Подставляя в эту формулу соотношение (18), получим

(87)
или, используя зависимость (54), имеем
1<о2/2 ф
°г - g 'У'
(88)
Рассмотрим частные случаи законов изменения площади поперечного
сечения по длине лопатки.
А. Лопатка постоянного поперечного сечения
В этом случае функция Ф определяется формулой (75). Подставляя это
соотношение в выражение (88), получим
7ш2/2 °* ~ 2g	(1 - С) (2₽, +1 + 0	(89)
ИЛИ + =	(1 - С) (X + С) max	х	(90)
В формуле (90) •ч 	 2Rcp Х ~ 1	=	+ ₽2 = 2₽! + 1	(91)
параметр длины лопатки, azmax— наибольшее напряжение, которое возни-
кает в корневом сечении. Это напряжение определяется по формуле
а - 2^ср	(921
°* max	>	V**)
р । р
где иср — окружная скорость на среднем радиусе Rco = —
Заметим, что обычно в турбинных лопатках параметр длины изменяется
в пределах 3 < X < 10.
На фиг. 59 в безразмерных координатах представлены построенные
по формуле (90) эпюры изменения нормальных напряжений по длине лопатки
при различных величинах параметра длины X. Из этих графиков следует,
что величина параметра длины незначительно сказывается на характере
эпюр.
На фиг. 60 изображены построенные по формуле (92) для стальных
лопаток графики зависимости максимального напряжения от окружной
скорости вращения на среднем радиусе, при различных величинах
параметра длины. Вес единицы объема материала принят равным 7 =
= 0,00785 кг!см\ Из этих графиков заключаем, что при больших окруж-
92 Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть рабочих лопаток турбомашин
ных скоростях применение лопаток постоянного поперечного сечения невоз-
можно. В этом случае необходимо выполнять лопатки с переменным попе-
речным сечением.
Фиг. 59. Эпюры изменения нормальных напряжений, возникающих за счет
растяжения для лопатки постоянного поперечного сечения.
В частности, при проектировании турбинных лопаток часто используются
линейный и показательный законы изменения площади поперечного сечения
по длине лопатки. Поэтому далее эти два случая разобраны подробно.
Фиг. 60. Графики изменения наибольшего напряжения для лопатки постоянного
поперечного сечения в зависимости от средней линейной скорости.
Б. Лопатка, площадь поперечного сечения которой изменяется
по линейному закону
Представим себе, что площадь поперечного сечения лопатки изменяется
по линейному закону
Г = Л + (Л-Л)С,	(93)
где Fi — площадь корневого сечения, а
F2 — площадь поперечного сечения на свободном торце.
Растяжение лопаток,
93
Подставляя уравнение (93) в выражение (54), получим
Ф = Л (1 - С) [f (X + С) +	(1 - С) (ЗХ + 4С - 1)] ,	(94)
где
X = %	(95)
—параметр площади.
Формулы (88), (94) и (93) позволяют получить выражение для напря-
жения в текущем сечении
„ _	/1 П 6х(к+ С) + (1-х)(1-С)(Зк + 4С-1)
* ~ 3gA2 U - Ч	1 -(1 -х) С
Исследование полученного уравнения показывает, что наибольшее напря-
жение имеет место в корневом сечении. Величина его равна
_ ь 2^Р
az max Ф •
где
1 + х
2
Ф -
1-Х
6Х
(96)
(97)
—коэффициент, характеризующий уменьшение наибольшего напряжения
по сравнению с соответствующей величиной для лопатки постоянного попе-
речного сечения (коэффициент уменьшения напряжения). В табл. 14 при-
ведены заимствованные из работы [1] величины коэффициента ф в’зави-
симости от параметров К и у. Как следует из этой таблицы, величина коэф-
фициента уменьшения напряжения ф от параметра длины К почти не зависит.
Влияние же параметра площади у сказывается значительно более сильно.
Таблица 14
Значения коэффициента уменьшения напряжения 4/ для лопатки, площадь
поперечного сечения которой изменяется по линейному закону
X z X	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0	6,5
0,00	0,444	0,452	0,458	0,463	0,467	0,470	0,472	0,474
0,25	0,583	0,589	0,594	0,597	0,600	0,602	0,604	0,606
0,50	0,722	0,726	0,729	0,731	0,733	0,735	0,736	0,737
0,75	0,861	0,863	0,865	0,866	0,867	0,867	0,868	0,869
Когда профиль торцового сечения лопатки сводится на лезвие (у = 0),
из формулы (97) получаем
— 2	6). *
Таким образом, в этом случае максимальное напряжение удается сни-
зить несколько больше чем в 2 раза. Заметим, впрочем, что очень малые
величины параметра площади у нельзя использовать по конструктивным
соображениям.
94 Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть рабочих лопаток турбомашин
В. Лопатка, площадь поперечного сечения которой изменяется
по показательному закону
Предположим, что площадь поперечного сечения лопатки изменяется
по показательному закону
Р = Frf,	(98)
где X — параметр площади, определяемый формулой (95).
Подстановка уравнения (98) в формулу (54) приводит к следующему
выражению для функции Ф:
ш_р Г fl-Dx л	। X(lnx-l) Clnx-1 с] /ао\
21пх U X ) + 1П2Х	X ] - (уу>
В этом случае, согласно формулам (88), (99) и (98), имеем
_ 41“сР Г (X- 1) (1 - хс~‘) , 1пх-1 _ С 1пх — И л
°г gX.2	2х!‘—1 In х	х'’-' In2 X	In2 X J* (*90)
Из полученного	уравнения устанавливаем, что напряжение в корневом
сечении при С = 0	равно
/	^г(0) = ф1^-;	(101)
здесь	
Ф1 =	лк[’+1 -х<i й +	<|02>
где «pi — коэффициент уменьшения напряжения в корневом сечении.
Исследование уравнения (100) показывает, что максимум функции а (С)
имеет место при
1п(1--Ц^1пх)
с = с* = 1 + —-----(103)
Величина максимального напряжения равна
^fflax= (104)
где
X
—коэффициент уменьшения максимального напряжения.
Очевидно, что если величина С*, подсчитанная по формуле (103), окажется
меньше нуля, то это означает, что при 0 < С < 1 функция (100) максимума
не имеет. Тогда наибольшее напряжение возникает в корневом сечении
и определяется формулами (101) и (102). Если С* > 0, то в этом случае наи-
большее напряжение подсчитывается по формулам (104) и (105).
В табл. 15—17 приведены заимствованные из книги [1 ] величины без-
размерной координаты С*, определяющей положение' опасного сечения,
а также значения коэффициентов уменьшения напряжения и ф2- Из этих
таблиц следует, что, как и в случае лопатки, площадь которой изменяется
по линейному закону, величина параметра длины на коэффициент уменьше-
ния напряжения влияния почти не оказывает.
Растяжение лопаток
95
Таблица 15
Значения безразмерной координаты С *, определяющей положение опасного сечения
для лопатки, площадь поперечного сечения которой изменяется по показательному закону
X X	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0	6,5
0,05	0,354	0,320	0,289	0,261	0,235	0,211	0,188	0,167
0,10	0,252	0,209	0,171	0,135	0,102	0,0715	0,043	0,0165
0,15	0,174	0,124	0,0785	0,037	—	—	—	—
0,20	0,106	0,049	—	—	—	—	—	—
0,25	0,0420	—	—	—	—	—	—	—
0,30 1,00	j	Наибольшее напряжение в корневом сечении						
Таблица 16
Значения коэффициента уменьшения напряжения в корневом сечении ф1 для лопатки,
площадь поперечного сечения которой изменяется по показательному закону
X X	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0 ’	6,5
0,125	0,375	0,381	0,386	0,390	0,393	0,396	0,398	0,399
0,250	0,501	0,506	0,511	0,514	0,517	0,519	0,521	0,523
0,500	0,694	0,698	0,701	0,703	0,705	0,706	0,707	0,709
0,750	0,855	0,857	0,859	0,860	0,861	0,862	0,862	0,863
Таблица 17
Значения коэффициента уменьшения максимального напряжения ф2 для лопатки,
площадь поперечного сечения которой изменяется по показательному закону
X. X X	3,0	3,5	4,0	4.5	5,0	5,5	6,0	6,5
0,05	0,301	0,299	0,299	0,298	0,298	0,299	0,299	0,300
0,10	0,362	0,362	0,363	0,364	0,365	0,367	0,368	0,370
0,15	0,412	0,414	0,416	0,419	0,421	0,424	0,427	0,429
0,20	0,458	0,461	0,465	0,469	0,473	0,478	0,482	0,485
0,25	0,501	0,506	0,512	0,518	0,524	0,530	0,535	0,540
0,30	0,544	0,551	0,559	0,567	0,575	0,582	0,589	0,596
Г. Определение площади поперечного сечения по заданному
распределению нормальных напряжений растяжения
Выше (см. § 3) были установлены выносы сечений при условии, что лопатка
является безмоментной, т. е. изгибающие моменты в поперечных сечениях ее
равны нулю. В такой лопатке нормальные напряжения в поперечном сечении
возникают только за счет растяжения лопатки.
Естественно, что безмоментная лопатка, спроектированная на заданный
режим работы турбомашины, в этих условиях более экономична, чем лопатка
96 Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть рабочих лопаток турбомашин
не разгруженная от изгиба. Сделаем теперь еще один шаг в направлении
проектирования более облегченной лопатки. Выясним, по какому закону
должна изменяться площадь поперечного сечения по длине лопатки, для того
чтобы она была возможно более равнопрочной. Заметим, что, поскольку
на свободном торце лопатки напряжения равны нулю, условие ее равнопроч-
ное™ не может быть выполнено на протяжении всей длины лопатки. Допустим,
р
что оно выполнено в пределах изменения С: 0 < С < 8, где 8 =	— pj —
Фиг. 61. К проектированию почти равно-
прочной лопатки.
величина, по возможности близкая
к единице, но меньшая ее. В пределах
изменения С, когда 8 < С < 1, площадь
поперечного сечения лопатки может быть
постоянной или может изменяться по
любому закону.
Предположим, что задана эпюра из-
менения допускаемого напряжения по
длине лопатки (кривая АВ на фиг. 61).
Такая эпюра может быть построена по
графику изменения температуры по
длине лопатки ч и графику зависимости
предельного напряжения от темпера-
туры при условии выбора величины
коэффициента запаса. Заметим, что за
предельное напряжение для рабочих ло-
паток турбомашин принимается предел
текучести или предел длительной проч-
ности материала. На основании выше-
изложенного напряжение может быть
равно допускаемому (эпюра АС на
фиг. 61) только по длине лопатки /?3 —
а по длине R2 — R3 должно по не-
которому закону (кривая CD) умень-
шиться до нуля.
Приравнивая нормальное напряже-
ние по формуле (87) допускаемому [а ],
имеем
1
[o]f =	+	(106)
Это уравнение является интегральным относительно площади попереч-
ного сечения. Для получения дифференциального уравнения, интегрирова-
ние которого позволит в последующем определить площадь поперечного сече-
ния, продифференцируем соотношение (106) по С. Тогда после преобразований
получим
d(IaJF)_____,
[a]F - g [a] “*’•
Проинтегрируем последнее выражение § пределах от С до 8. Это позволит
установить, что
(s	\
g la] J’
(107)
Растяжение лопаток
97
где [а ]3 — допускаемое напряжение, a F3 — площадь поперечного сечения
при z = 7?3, С = 8.
Задаваясь из конструктивных соображений площадью поперечного сечения
F3 или Ft, по формуле (107) можно определить площадь в любом сечении в пре-
делах изменения С: 0 < С < 8. Величина 8 определяется принятым законом
изменения площади поперечного сечения лопатки в интервале 8 < С < 1.
Рассмотрим простейший случай, когда концевой участок (8 < С < 1)
имеет постоянную площадь поперечного сечения. Положим в уравнении
(89) С = 8а = [а]3; тогда, используя соотношения (91) и (92), получим
82 + (Х—1)8 —Х + фХ = О,	(108)
где
4-= 4.	(Ю9)
ас* — наибольшее напряжение в лопатке, при условии, что она имеет
постоянную по всей длине площадь поперечного сечения. Его величина опре-
деляется по формуле (92).
Решая уравнение (108), имеем
8 =	(ПО)
В уравнении (НО) из двух знаков перед корнем выбран знак плюс,
поскольку величина 8 существенно положительна.
Если лопатка нагрета по длине равномерно или если температура по
длине изменяется незначительно, то допускаемое напряжение является
постоянным [а ] = const. Тогда уравнение (107) при использовании соотно-
шения (92) дает закон изменения площади поперечного сечения в пределах
изменения С от 0 до 8:
/7 = /?3ехр (5-С)^-1 + б+С) .	(111)
В корневом сечении при С = 0
г. г. 8 (к—1 + 8)	..._ч
Ft = F3 exp	; •	(112)
Из формулы (108) получаем
2-».<+. + »> .	(113)
По этой формуле можно определить, во сколько раз уменьшается наи-
большее напряжение в почти равнопрочной лопатке по сравнению с лопаткой
постоянного поперечного сечения.
Соотношение (112) при использовании выражения (113) позволяет уста-
новить величину параметра площади для почти равнопрочной лопатки:
X — ехР [ х — 8 (А — 1 + 8) ] •	4)
В табл. 18 приведены величины параметра площади у в зависимости от X
и 8. Из данных табл. 18 следует, что при 8 = 0,8 -т- 0,9 величина параметра
площади очень невелика и, следовательно, площадь корневого сечения
во много раз превосходит площадь свободного торца. Поэтому такие лопатки
в конструктивном отношении неудобны.
Почти равнопрочная лопатка может быть выполнена при условии, что
на 60—70% ее длины постоянны напряжения, а на остальной части лопатки
постоянна площадь поперечного сечения.
7 Пономарев 508
98 Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть рабочих, лопаток турбомашин
Таблица 18
Значения параметра площади у Для почти равнопрочной лопатки
§ \	3	4	5	6	7	8	9	10
0,5	0,4895	0,4594	0,4412	0,4290	0,4203	0,4138	0,4087	0,4046
0,6	0,3386	0,3091	0,2917	0,2800	0,2717	0,2655	0,2608	0,2572
0,7	0,1820	0,1593	0,1460	0,1374	0,1313	0,1268	0,1233	0,1206
0,8	0,05250	0,04213	0,03652	0,03298	0,03059	0,02887	0,02754	0,02652
0,9	0,001241	0,0007747	0,0005671	0,0004546	0,0003855	0,0003392	0,0003063	0,0002819
§ 6. ИЗГИБ ЛОПАТОК
Рабочие лопатки осевых турбомашин, вообще говоря, находятся в усло-
виях совместного растяжения и косого изгиба.
Напряжения, возникающие за счет изгиба лопатки, определяются по из-
вестной из теории сопротивления материалов формуле:
М^ МЛ
<115>
где и — изгибающие моменты, a и J— моменты инерции сече-
ния относительно главных центральных осей 5 и 7].
Фиг. 62. Эпюра нормальных напряжений, возникающих за счет изгиба лопатки.
В уравнении (115) положительным считается изгибающий момент, напра-
вленный против движения часовой стрелки, если смотреть с положительного
направления оси (вектор момента направлен по оси).
Как известно, при косом изгибе бруса наибольшие напряжения возни-
кают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси. Для определения
положения последней приравняем напряжения в формуле (115) нулю. Тогда
тангенс угла ₽ наклона нейтральной оси к оси $ (фиг. 62) будет равен
t^ = T = ^-^ = -ctga^’	<116>
где a — угол наклона следа плоскости действия изгибающего момента
(силовой линии) к оси 5.
Расчет рабочих лопаток на ползучесть
99
Напряжения в наиболее напряженных точках А и В (фиг. 62) подсчиты-
ваются по формуле (115) путем подстановки в нее вместо £ и т) координат
этих точек.
На фиг. 62 представлена эпюра напряжений, возникающих за счет изгиба.
Заметим, что обычно наиболее напряженными точками являются точки на
входной или выходной кромке и спинке профиля. •
Изложим пример определения напряжений, возникающих в результате растяжения
и изгиба лопатки, для которой внутренние силы были подсчитаны в § 1. Рассмотрим сечение
при С = 0,044. Оно представлено на фиг. 63.
Геометрические характеристики этого сечения были вычислены в § 4. Площадь попереч-
ного сечения F = 3,374 см2; его моменты инерции относительно главных центральных осей
равны = 0,446 см4, J = 3,550 см4.
Фиг. 63. К примеру определения нормальных напряжений в поперечном сечении лопатки.
Внутренние силы определялись в § 1. Нормальная сила равна Nz = 7154 кг, а изгибающие
моменты относительно главных центральных осей:	= 112,8 кгсм, = —76,40 кгсм.
Нормальное напряжение, возникающее в результате растяжения лопатки, вычисляется
по формуле (86). Оно равно а?аст =2120 кг!см2.
По формуле (116) устанавливаем положение нейтральной оси. В рассматриваемом случае
tg р — — 0,08510 и, следовательно, р	—5°.
Наиболее опасными точками являются точка А на выходной кромке и точка В на спинке.
Координаты их: = 2,32 см, т]д = 1 см и = —0,22 см, =—0,75 см. Напряжения изгиба
в точках А и В подсчитываются по формуле (115). В результате имеем о“д2 ~ 303 кг!см2
= —195 кг/см2.
На фиг. 63 изображены раздельно эпюры напряжений, возникающих в результате растя-
жения и за счет изгиба лопатки, а также эпюра суммарных напряжений. Как следует из фиг. 63,
напряжения за счет изгиба значительно меньше напряжений, возникающих в результате растя-
жения, и нейтральная линия суммарного поля напряжений лежит далеко за пределами сечения.
Заметим, что это обстоятельство является характерным для рабочих лопаток газовых турбин.
§ 7. РАСЧЕТ РАБОЧИХ ЛОПАТОК НА ПОЛЗУЧЕСТЬ
Рассмотрим расчет рабочих лопаток осевых турбомашин на ползучесть.
При этом будем использовать предположение установившейся ползучести.
Как известно, в этом случае (см. главу XIII, том II) напряжения прини-
маются во времени постоянными. Это условие сильно упрощает расчеты на
ползучесть. В то же время, как показано в главе XV, том II, погрешность
расчетов, выполненных при указанном предположении, но без использования
допущения постоянства скорости, по сравнению с результатами исследова-
ний неустановившейся ползучести, невелика.
Так же как и раньше, влиянием деформации кручения на деформации
растяжения и изгиба пренебрежем и исследуем только деформации растя-
жения и изгиба.
7*
100 Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть рабочих лопаток турбомашин
В основу решения положим принцип сохранения начальных размеров.
В таком случае задача вычисления внутренних силовых факторов в сечении
лопатки является статически определимой. Нормальная сила и изгибающие
моменты вычисляются по формулам, выведенным в § 1.
Рассмотрим определение удлинений и прогибов лопаток, образующихся
в результате ползучести материала.
Так же как и в расчете лопаток в пределах упругости, предположим, что
напряженное состояние всех точек лопатки является одноосным, и исполь-
зуем гипотезу плоских сечений. Из последней следует, что в некоторой
точке поперечного сечения, определяемой координатами 5 и т), в системе
главных центральных осей выражение для пластической деформации, обра-
зовавшейся за счет ползучести материала, имеет вид
ezp = ezpc &\р% +	’	(117)
где ezpc — пластическая линейная деформация в центре тяжести попе-
речного сечения;
— изменения кривизн в плоскостях tjz и iz соответственно,
возникшие в результате ползучести материала.
Как известно (см. главу XIV, том II), при установившейся ползучести
в условиях одноосного растяжения зависимость пластической деформации
ъ2р от напряжения а 2 имеет вид:
=	(И8)
где 2 — функция времени и температуры, а показатель степени п для рассма-
триваемого материала зависит от температуры.
Напомним (см. главу XII, том II), что в настоящее время аналитическая
зависимость величины 2 от температуры надежно не установлена, точно
так же как не апроксимирована аналитическая зависимость показателя
степени п от температуры. Однако анализ^результатов испытаний в условиях
простого последействия при различных температурах позволяет принять, что
функция 2 приближенно может быть представлена в виде произведения
двух функций
2 = 2ХТ,	(119)
одна из которых, Т, есть функция только температуры, а другая 2Г — только
времени.
Из соотношения (118) и (117) следует, что
1 1
+8)"’	(120)
где
(121)
е2рС
Величина б представляет собой отношение пластической деформации
изгиба к пластической деформации растяжения в центре тяжести попереч-
ного сечения.
Ввиду того что в условиях установившейся ползучести пластическая
деформация в центре тяжести и изменения кривизн оси, возникшие в резуль-
тате ползучести, пропорциональны одной и той же функции времени, из
соотношения (121) заключаем, что величина 8 от времени не зависит.
Поскольку при установившейся ползучести напряжения и деформации
в сечении лопатки распределены более равномерно, чем в пределах упру-
Расчет рабочих лопаток на ползучесть
101
Таблица 19
Погрешность приближенной формулы (122)
6	Погрешность формулы (122) в %				— 8	Погрешность формулы (122) в %			
	п — 1,5	п = 2	п = 4	п = 6		п= 1,5	п — 2	п — 4	п = 6
од	0,1	0,1	0,1	0,1	о,1	0,1	0,1	о,1	0,1
0,2	0,4	0,5	0,4	0,2	0,2	0,6	0,6	0,5	0,3
0,3	0,8	0,9	0,7	0,5	0,3	1,5	1,6	1,1	0,8
0,4	1,3	1,4	1,1	0,9	0,4	3,1	3,3	2,3	1,6
0,5	1,8	2,0	1,6	1,2	0,5	5,8	6,1	4,1	2,9
0,6	2,3	2,8	2,0	1,7	0,6	10,5	10,7	6,9	4,9
0,7	з,о	3,5	, 2’9	2,2	0,7	19,0	18,7	11,5	8,0
0,8	3,6	4,3	3,6	2,7	0,8	36,5	34,2	19,6	13,3
0,9	4,3	5,2	4,3	3,3	0,9	85,7	73,9	37,8	26,6
гости, можно заключить, что величина 8 меньше отношения наибольшего
напряжения изгиба к напряжению растяжения в центре тяжести в пределах
упругости. Для турбинных лопаток последнее отношение обычно меньше
единицы. Разложим выражение (1 + 8)п в ряд и удержим два члена ряда;
тогда
_i_
(1 + 8)п = 1+|.	(122)
Более точное решение задачи, в котором при разложении выражения
£
(1 +8)" в ряд удержано три члена ряда, рассмотрено в работе [22].
Оценим точность формулы (122). В табл. 19 приведены погрешности фор-
мулы (122) для 8, лежащие в пределах от —0,9 до + 0,9 при величинах п =
= 1,5; 2; 4; 6. Как следует из этой таблицы, при увеличении 8 погрешность
увеличивается, причем для отрицательных значений 8 она больше, чем для
положительных. При целых значениях п, превышающих 2, погрешности
уменьшаются с увеличением показателя степени п.	т>
Приняв для определенного значения показателя степени п допустимую
погрешность, по табл. 19 можно установить величину 8, до которой спра-
ведлива формула (122). Например, положим, что погрешность формулы (122)
не должна превышать 5%; тогда на основании данных табл. 19 заключаем,
что при п = 1,5 и при п =2 формула (122) справедлива для | 8 | < 0,4.
102 Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть рабочих лопаток турбомашин
При п — 4 формула (122) справедлива для | 8 | < 0,5, а при п — 6 — для
|8| < 0,6.
Если величины п отличны от значений, приведенных в табл. 19, то
погрешности формулы (122) легко установить расчетом.
Перейдем к определению напряжений и деформаций в турбинной лопатке
в предположении установившейся ползучести.
Подставим выражение (122) в уравнение (120).
Тогда, принимая во внимание соотношение (121), получим
= (Цг) "О + —£р71)‘	<123)
\ Ьй /	\	nzzpc	1
Зависимости, выражающие нормальную силу и изгибающие моменты
относительно главных, центральных осей через напряжения, имеют вид
=	Л4е = f o^dF; Mn = — ^a^dF.	(124)
F	F	F
Подставим в формулы (124) соотношение (123). Тогда после преобразо-
ваний, учитывая, что I и ц являются главными центральными осями и, сле-
довательно,	f T\dF = f MF = 0,	= F	F	F
получим	=	025) k a ! mzpcJv
где/^ и — осевые моменты инерции сечения относительно главных цен-
тральных осей.
Из соотношений (125) имеем
1
Если подставить получим	{^ZPC^ П ___ z . zzpc „ M^F . zzpc эти соотношения в уравнение (123), то окончательно а 	I М;:Т| z~ F 1 л Л 
Таким образом, в этом случае напряжения определяются так же, как
и в пределах упругости. Последнее объясняется тем, что при разложении
Расчет рабочих, лопаток на ползучесть
103
величины (1 + В)п в ряд было удержано всего два члена ряда и, следова-
тельно, принят линейный закон распределения напряжений по сечению.
Перейдем к определению перемещений. Определим вначале осевое переме-
щение поперечного сечения, возникшее за счет ползучести материала лопатки.
На основании соотношений (35) и (1) заключаем, что оно связано с величиной
пластической деформации в центре тяжести поперечного сечения соотноше-
нием
d-g = ^pc-	(’26)
Из первой формулы (125) имеем
(127)
Подставляя выражение (127) в формулу (126),' устанавливаем, что
Т7Г = (тО"га-
Проинтегрируем это соотношение в пределах от нуля до С, учитывая, что
при z = /?!, С = 0 uzp = 0, так как корневое сечение лопатки заделано.
Тогда получим
=	(128)
о
Рассмотрим теперь определение прогибов. Из соотношений (125) следует,
что
'пл Г F \я-1 Jt
' м , = yr)	-АДхСп;
£ \NZ)	nQ Ip*
пл / F \п— 1	А
/И = ( — )	—Дх .
Ч \NZJ nQ riP
По аналогии с формулами (43) имеем
а д2ихо .	д2и„0
Дх —	9 Р sin -H^-cos ср;
dz2 ‘ dz2 1
(’29)
д д2ихо	।
к* „ = ^ 9 C0S Ф +	9 S111 Ф
^2 Т I dz2
где ихр и иур — прогибы в направлении осей х и у, возникшие в результате
ползучести материала лопаток.
Используя обозначения (1), получим
A\p = ^«psin'?-Uppcos <?)’
4₽ = F(“xPcos'? + ^Psin<F)’
(130)
где двумя штрихами обозначены вторые производные соответствующих
величин по С-
Подставим выражения (130) в соотношения (129). Тогда устанавливаем,
что
1 ^(uxPsin<?-«;Pcostp)-’
= ®n_1^«Pcoscp+uPPsint?)-
(131)
104 Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть рабочих лопаток турбомашин
Подставим теперь выражения (131) в соотношения (34). Используя извест-
ные из теории сопротивления материалов формулы, определяющие изме-
нение осевых и центробежного моментов инерции при повороте осе”;, после
преобразований получим
== ~ Gv^) nQP Х1У ихр + JXIйиР) >
nQP ^У1Цхр + Jx^yp^-
Решая эти уравнения относительно ихр и и”р, имеем
М^х^н + MyJXt
JxJut ~ Jхш
QI2,
MxJV1 + MyJx,yi
Jxjy, ~ j2xtyt
(132)
Проинтегрируем дважды эти уравнения в пределах от нуля до С, учитывая,
что при z = Rlt С =0 иХр = иур = 0 и и'хр = и'ур = 0, поскольку корневое
сечение лопатки заделано. Тогда
с с
0	0	Х1^У1 Х1У1
С с
и,г = Р С л f п	+ вд.
0	0	7 Vfi
Выполняя интегрирование по частям, устанавливаем, что
/WA»-' MxJXiUi + М^Хг
\ F / J j — Л и
xi У1 Х1У1
амс;

с
С „ №\П~'
J X F )	jx ju - J2 u
0	У1 Х1У1
(133)
f „	MxJyi +MyJXtUi
J	\P J J —J2
o	Jxi.Jyi JХ1У1

При равномерном по длине нагреве лопатки величина 2 зависит только
от времени и в формулах (128) и (133) может быть вынесена за знаки интегра-
лов. Точно так же в этом случае можем поступить и с показателем степени п.
При неравномерном нагреве лопатки по длине в эти выражения вместо 2
следует подставлять соотношение (119), после чего функция времени 2Х
может быть вынесена за знаки интегралов. Функция Т, зависящая от темпе-
ратуры и, следовательно, в конечном счете от длины, остается под интегра-
лами.
Расчет рабочих лопаток на ползучесть
105
Рассмотрим порядок расчета Лопатки на ползучесть. Вначале подсчиты-
ваются площади, осевые и центробежные моменты инерции относительно»
местных центральных осей хг и у±, Затем при помощи соотношений (18)—(20),
(26), (27), (30) и (31) вычисляются нормальная сила и изгибающие моменты
относительно осей хг и у±. После этого по формулам (128) и (133) устанавли-
ваются осевые перемещения и прогибы, образовавшиеся в результате пол-
зучести материала.
Рассмотрим пример расчета на ползучесть рабочей лопатки газовой турбины, для которой
в § 1 были определены внутренние силы, а в § 2 — перемещения торцового сечения в пределах,
упругости.
Фиг. 64. Ориентировочный график функции Q для стали ЭИ69
при температуре 650°.
На фиг. 64 изображен ориентировочный график функции Q для стали ЭИ69 при темпера-
туре 650°. При этом учитывалось, что для стали ЭИ69 при температуре 650° п= 2,93 [23].
В табл. 20 приведены значения подынтегральных функций в выражениях (128) и (133). Эти
величины определены по данным табл. 6.
Выполнив числовое интегрирование соответствующих функций, получим
1
= 2,723-109 (кг/сл2)";
С /м \п— 1 MxJr ,, -4-MuJr
I (^ )	—dC = - 27,84-106 mn/CMin+i .
' * •	J v J..   Jv J.
0	Xx Ух ХхУх
1
С / V \ л—1 Mxj v	MyJ v
J \f) ~j j -j2	= ~ 13,18‘106 кгП/см2п+1 *
0	Xx Ух ХхУх
f	М>ет!/1г+ Myj2Xliyi = 124,0-106 кгп/см2п+1;
1
J (y)	---7~ J _	— CdC = 1,241 -106 кеЧсм**1.
0	Xx Ух ХхУх
106 Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть рабочих ^лопаток турбо машин
Таблица 20
Определение перемещений торцового сечения, образовавшихся за счет ползучести
материала лопатки
С	(N_\n п (-/) ю-’ в (кг/см2)п	_	10-6 ttSZ2 в кгп/см?п~р1	V и 	с ю~6 H2Z2 w в кгп/<ш2п-Н	--^10-® nSZ2 в кгп/сл£2п“Н	н 	С 10~в n2Z2 в кгЛ/слс2п'Н
0,0	5,651	40,19	0,000	712,3	0,00
0,1	5,452	15,07	1,507	578,8	57,88
0,2	5,016	8,546	1,709	388,6	77,72
0,3	4,396	20,24	6,072	192,2	57,66
0,4	3,582	42,29	16,92	27,65	11,06
0,5	2,698	54,85	27,43	—65,66	—32,83
0,6	1,798	58,84	35,30	—116,8	—70,08
0,7	1,009	41,06	28,74	—86,05	—60,24
0,8	0,3939	15,17	12,14	—30,95	—24,76
0,9	0,06430	2,235	2,012	4,447	—4,002
1,0	0,00000	0,000	0,000	0,000	- 0,000
Фиг. 65. Графики зависимости от времени перемещений торцового
сечения лопатки.
Подставим подсчитанные величины в соотношения (128) и (133). Тогда устанавливаем
зависимости перемещений торцового сечения, образовавшихся в результате ползучести мате-
риала от времени. В рассматриваемом примере они имеют вид uz„ = 31,04-1092; их — —5,584 х
X 1092; иур= —46,77-1092.
Литература
107
Складывая эти величины с подсчитанными ранее перемещениями торцового сечения в на-
чальный момент времени (см. § 2), устанавливаем полные перемещения:
uz = 142,4-10“3 + 31,04.109£;	]
их = — 0,9534.10—3 — 5,584- 109Q; 1	(134)
иу = —4,358 • 10-3 — 46,77• 1 (М2.	J
На фиг. 65 изображены графики зависимости от времени перемещений торцового сечения
лопатки. Они построены по уравнениям (134) с использованием зависимости величины Q от
времени, представленной на фиг. 64. Как следует из графиков, изображенных на фиг. 65,
за счет ползучести материала за 500 час. осевое перемещение увеличивается в 1,7 раза, а про-
гибы в направлении осей х и у — в 19,8 и 35,5 раза соответственно. Меньшее увеличение осевого
перемещения по сравнению с прогибами объясняется значительной величиной температур-
ного удлинения в осевом направлении в начальный момент времени (см. § 2).
ЛИТЕРАТУРА
I.	Биргер И. А., Некоторые математические методы решения инженерных задач,
Оборонгиз, 1956.
2.	Б и р г е р И. А., Вариационные методы в строительной механике турбомашин,
Институт им. П. И. Баранова, Труды № 323, Оборонгиз, 1959.
3.	Бицено К. Б. иГраммель Р., Техническая динамика, т. II, ГИТТЛ, 1952.
4.	В е т ч и н к и н В. П. иПоляхов Н. Н., Теория и расчет воздушного греб-
ного винта, Оборонгиз, 1940.
5.	Г л у ш к о в Г. С., Моменты статические, инерции и сопротивления, ГТТИ, 1932.
6.	Ж и р и ц к и й Г. С., Конструкция и расчет на прочность деталей паровых турбин,
Госэнергоиздат, 1955.
7.	Зильберман А. С. иРивош У. Е., Об изгибе давлением пара рабочих
лопаток паровых турбин, «Вестник Всесоюзного объединения котлотурбинной промышлен-
ности (ВКТО)», № 3, 1933.
8.	Ильичев Я. Т., Расчет вращающихся лопастей на изгиб, МАП СССР, «Труды»,
Ло 153, Оборонгиз, 1948.
9.	И о к о т а С., Новые формулы для нахождения статических моментов и моментов
инерции площадей, «Кораблестроитель» № 11, 1928.
10.	К а ч а н о в Л. М., Расчет прочности лопасти водяной турбины, ЛГУ
им. А. А. Жданова, «Вопросы прочности лопасти водяной турбины», сборник статей, Изд.
ЛГУ им. А. А. Жданова, 1954.
11.	Коваленко А. Д., Расчет лопаток турбомашин по моментной теории оболочек,
«Советское котлотурбостроение» № 1, 1940.
12.	К о в а л е н к о А. Д., Пластины и оболочки в роторах турбомашин, АН УССР,
институт строительной механики, изд. АН УССР, 1955.
13.	К р ы л о в А. Н., По поводу статьи «Новые формулы для нахождения статических
моментов и моментов инерции площадей», «Кораблестроитель» № 16—17, 1930, или Собрание
трудов академика А. Н. Крылова, т. IX, Теория корабля, часть вторая, Изд. АН СССР, 1949.
14.	К р ы л о в А. Н., Новый метод расчета элементов подводной части судна, Собра-
ние трудов академика А. Н. Крылова, т. IX, Теория корабля, часть вторая, АН СССР, 1949.
15.	Крылов А. Н., Лекции о приближенных вычислениях, ГИТТЛ, 1954.
16.	Кузьмин Г. И. и П а н о в Д. Ю., Расчет воздушного винта на прочность с уче-
том разгрузки центробежными силами, «Труды ЦАГИ», вып. 160, ОНТИ НКТП, Госмашмет-
яздат, 1934.
17.	Л евгин А. В., Рабочие лопатки и диски паровых турбин, Госэнергоиздат, 1953.
18.	Л е й б е н з о н Л. С., К расчету лопастей пропеллера на кручение, «Труды ЦАГИ»,
вып. 8, 1924.
19.	Л е й б е н з о н Л. С., Вариационные методы решения задач теории упругости,
ГИТТЛ, 1943.
20.	М ал и н ин Н. Н., Изгиб турбинных лопаток, «Известия АН СССР, ОТН» № 4,
1954.
21.	М а л и н и н Н. Н.,к Безмоментное состояние вращающегося слабо изогнутого
стержня, МВТУ им. Н. Э. Баумана. «Расчеты на прочность элементов машиностроительных
конструкций», сб. 31, Машгиз, 1955.
22.	М а л и н и н Н. Н., Расчет на ползучесть рабочих лопаток турбин, сб. «Расчеты
на прочность», вып. 3, Машгиз, 1958.
23.	Микеладзе М. Ш., Изгиб балки, растягиваемой центробежными силами.
«Инженерный сборник», т. XVI, изд. АН СССР, 1953.
24.	Панов Д. Ю., Расчет воздушного винта на прочность, «Труды ЦАГИ им. проф.
Н. Е. Жуковского», вып. 288, Изд. ЦАГИ им. проф. Н. Е. Жуковского.
108
Литература
25.	Ривош У. Е, и Розенп л ентер Е. Ф., Расчет лопаток на растяжение»
«Вестник Всесоюзного объединения котлотурбинной промышленности (В КТО)» № 1, 1932.
26.	Р и в о ш У. Е. и 3 и л ь б е р м а н А. С., Расчет рабочих лопаток паровых тур-.
бин на изгиб с учетом центробежной силы, «Вестник Всесоюзного объединения котлотурбинной
промышленности (ВКТО)» № 1, 1932.
27.	Риз П. М., Деформации стержней закрученных и слабо изогнутых в ненапряжен-
ном состоянии, «Труды ЦАГИ им. проф. Н. Е. Жуковского», вып. 471, изд. ЦАГИ им. проф.
Н. Е. Жуковского, 194 .
28.	Риз П. М., Основные задачи теории упругости для стержней со слабо изогнутой
осью и применения к расчету на прочность саблеобразных винтов, «Труды ЦАГИ им. проф.
Н. Е. Жуковского», № 610, Изд. бюро новой техники, 1947.
29.	Розенблюм В. И., Расчет некоторых деталей турбин в условиях ползучести,
«Котлотурбостроение», № 4, 1951.
30.	Скубачевский Г. С., Авиационные газотурбинные двигатели. Конструкция»
и расчет деталей, Оборонгиз, 1955.
31.	Тумаркин С. А., Равновесие и колебания закрученных стержней, «Труды ЦАГИ
им. проф. Н. Е. Жуковского», вып. 341, изд ЦАГИ им. проф. Н. Е. Жуковского, 1937.
32.	Т у м а р к и н С. А., О решении уравнения изгиба лопасти при учете центробеж-
ных сил, ЦАГИ им. проф. Н. Е. Жуковского, «Технические заметки» № 187, изд. ЦАГИ
им. проф. Н. Е. Жуковского, 1938.
33.	Т у м а р к и н С. А., Расчет вентиляторов на прочность, «Труды ЦАГИ им. проф.
Н. Е. Жуковского», вып. 496, изд. ЦАГИ им. проф. Н. Е. Жуковского, 1940.
34/	Тумаркин С. А.. Расчет лопастей винтов на изгиб при весьма больших скоро-
стях вращения (асимптотический метод), МАП СССР, «Труды» № 667, Изд. бюро новой техники,.
1948.
35.	Чебышев П. Л., О квадратурах, Избранные математические труды, ГИТТЛ,
1946.
36.	Я н о в с к и й М. О., К вопросу о влиянии центробежной силы на изгиб*
турбинной лопатки, «ВКТО» № 2, 1933.
37.	Яновский М. И., Конструирование и расчет на прочность деталей паровых
турбин, АН СССР, 1947.
38.	В е n t е 1 е М. and Lowthian С. S., Thermal shock tests on gas turbine materials»
«Aircraft engineering», Vol. XXIV, № 276, 1952.
39.	M a n s о n S. S., Behavior of materials under conditions of thermal stress, «National*
advisory committee for aeronautics», Report 1170, 1954.
40.	S t о d о 1 a A., Dampf- und Gasturb nen, 1924.
ГЛАВА III
РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ, ЖЕСТКОСТЬ И ПОЛЗУЧЕСТЬ
ДИСКОВ ТУРБОМАШИН
§ I. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАСЧЕТА
Диски турбомашин в условиях эксплуатации растягиваются (сжимаются),
изгибаются и подвергаются концентричному кручению. Практически наи-
большие напряжения возникают за счет растяжения-сжатия диска. Оно
и будет рассмотрено в настоящей главе.
Растяжение-сжатие дисков возникает за счет вращения дисков и присоеди-
ненных к ним лопаток, посадки дисков на валы с натягом и неравномерного
нагрева их по радиусу.
Расчеты дисков на изгиб могут быть выполнены методами, изложенными
vb главе I, том II, посвященной исследованию изгиба круглых пластин. Кон-
центрическое кручение дисков рассмотрено в главе I, том III и в книге
Бицено и Граммеля [3].
Представим себе диск переменной толщины h =h (г), внутренний радиус
которого гх, а наружный гт (фиг. 66, а).
Используем принцип Даламбера. Интенсивность инерционной объемной
радиальной нагрузки обозначим q кг!см3. Эта величина является функцией
радиуса (фиг. 66, б). Получим аналитические выражения величины q для
.дисков осевых и радиальных турбомашин.
На фиг. 67 изображён диск осевой турбомашины, в которой рабочее
'тело движется в направлении оси диска и рабочие лопатки примыкают к на-
ружной поверхности обода.
ПО Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
- _
На фиг. 68 изображен диск радиальной турбомашины, в которой рабочее
тело движется в основном в направлении радиуса и рабочие лопатки примы-
кают к боковым поверхностям диска.
Очевидно, что для дисков осевых турбомашин, боковые поверхности кото-
рых свободны от лопаток, интенсивность объемной нагрузки на радиусе г
равна
Фиг. 67. Диск осевой газовой
турбины.
Фиг. 68. Диск центробежного
компрессора
где ч — вес единицы объема материала диска в кг!см3\
со — угловая скорость вращения в 1/сея;
g — гравитационное ускорение в см/сек2.
В расчетах дисков радиальных турбомашин влиянием деформации лопа-
ток, расположенных на боковых поверхностях диска, на его деформацию
обычно пренебрегают. Лопатки вводятся в рцсчет как присоединенные к диску
массы. Инерционная нагрузка этих масс для упрощения расчета считается
осесимметричной. Обозначим вес единицы объема материала лопаток через
кг/см3, площадь поперечного сечения одной лопатки на радиусе г — через
F см2 и общее число лопаток (на двух, боковых поверхности^ в. случае дву-
стороннего входа рабочего тела или на одной боковой поверхности в случае
одностороннего входа) — через z< Тогда дополнительная инерционная на-
грузка, приходящаяся на элемент, вырезанный из диска двумя радиальными
сечениями, составляющими угол dcp, и двумя окружными сечениями, отстоя-
щими друг от друга на расстоянии dr (фиг. 69), равна *
dp
л g2n
Основные уравнения расчета
111
Интенсивность этой нагрузки определяется отношением силы <1РЛ к объему
элемента rdyhdr, т. е.
Окончательно интенсивность объемной нагрузки для диска радиальной
турбомашины равна сумме выражений (1) и (2):
* = ?(' + ?&)•	<з>
Для дисков осевых турбомашин по принципу Даламбера воздействие
на диски присоединенных к ним лопаток и их замков может быть предста-
влено инерционной радиальной нагрузкой, распределенной по участкам
наружных поверхностей ободов. Ввиду того что обычно число лопаток
велико, будем считать эту нагрузку равномерно распределенной по наруж-
ным поверхностям ободов. Обозначим интенсивность этойч нагрузки через
рт кг!см?.
В результате посадки дисков на валы с натягом на поверхностях кон-
такта возникают силы давления. Предположим, как обычно, что эти силы
равномерно распределены по контактным поверхностям'; интенсивность их
обозначим через рг и назовем контактным давлением. Вначале будем счи-
тать контактное давление известным. В дальнейшем рассмотрим определение
контактного давления по заданной величине натяга и зависимость его от
угловой скорости вращения.
Примем, что температурное поле диска является осесимметричным, т. е.
, изменение температуры возможно лишь по радиусу.
График изменения температуры & (см. фиг. 66, в) и зависимость модуля
'упругости Е и коэффициента поперечной деформации pi от температуры пред-
полагаем известными. Располагая этими данными, можно построить графики
изменения величин Е и pi по радиусу диска (фиг. 66, г и д).
Таким образом, предстоит выполнить расчет неравномерно нагретого
по радиусу диска переменной толщины h = h (г). Диск нагружен объемной
112
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
силой интенсивности q, являющейся функцией радиуса, а также нагружен
равномерно распределенной по наружной поверхности обода растягивающей
нагрузкой интенсивности рт и равномерно распределенным по внутренней
поверхности давлением Модуль упругости Е и коэффициент поперечной
деформации ц материала диска являются функциями радиуса.
основу расчета диска положим два допущения. Согласно первому
принимается равномерное распределение—напряжений по толщине диска.
Согласно второму допущению предполагается, что напряжения в плоскостях,
•параллельных срединной плоскости, отсутствуют. Это позволяет считать
напряженное состояние всех точек диска двухосным.
Эти два допущения были введены в теорию расчета дисков Стодолой J79]
на основании анализа исследований задачи методами теории упругости.
Как показал Стодола, эти допущения справедливы при условии, что отноше-
ние внешнего диаметра диска к его наибольшей толщине больше 4.
Учитывая первое допущение, заключаем, что в рассматриваемой поста-
новке напряжения, деформации и перемещения в диске являются функциями
только радиуса.
Перейдем, к решению задачи. Составим уравнение равновесия элемента
.диска, нагруженного поверхностными и объемными силами (фиг. 69).
В радиальных сечениях по условиям симметрии касательные напряжения
отсутствуют и возникают лишь нормальные напряжения, которые назы-
ваются окружными и обозначаются az. Таким образом, площадки, лежащие
в радиальных сечениях, являются главными. Учитывая, что исследуемое
напряженное состояние предполагается щлоским (см. второе; допущение),
заключаем, что площадки, лежащие в окружных сечениях, также являются
главными. Нормальные напряжения в этих сечениях называются радиаль-
ными и обозначаются аг.
Следовательно, окружное а, и радиальное аг напряжения являются
главными напряжениями.
Помимо радиальных сил arrdyh и arrdvh + d (arrdvh) и окружных
сил athdr, к рассматриваемому элементу приложена еще и объемная сила
qrdydrh. Объемная и окружная силы записаны с точностью до малых порядка
выше первого. При составлении выражений для радиальных и окружных
сил используется допущение о равномерном распределении напряжений
по толщине диска. Строго говоря, напряжения аг и а, представляют собой
^средние по толщине диска радиальные и окружные напряжения.
Спроектируем все силы, приложенные к элементу, на направление сред-
него радиуса. Тогда получим
arrdvh + d (arrd<?h) — arrd<?h — 2a/idr s’in + qrdvdrh = 0,
откуда, учитывая, что
2 sin % dtp,
окончательно устанавливаем, что
(’» — °th + qhr = O.	(4)
Как следует из условий симметрии, остальные уравнения равновесия
удовлетворяются тождественно.
В уравнение равновесия (4) входят две неизвестных величины: и
поэтому задача определения напряжений в диске является статически неопре-
делимой. Для решения ее необходимо рассмотреть деформации.
Основные уравнения расчета
113
Представим себе элемент диска до и после деформации (фиг. 70). Обо-
значим радиальное перемещение точек на радиусе г через и. Тогда радиаль-
ное перемещение точек на радиусе г + dr будет и -|- du.
Очевидно, что окружная деформация
— ^1^1 ~ _ (г + “)
— АВ	rd<?	г
(5)
а радиальная деформация
__ АгСг — АС _dr + и 4- du — и — dr _ du
“ AC ~	dr	“ dr ’
Поскольку напряженное
состояние диска является
двухосным, деформации и на-
пряжения связаны следую-
щими зависимостями:
e/ = g-(a^ —	+
' 1 , (7)
где E — модуль упругости;
jx — коэффициент попе-
речной деформации.
В соотношениях (7) по-
следнее слагаемое представ-
ляет собой температурную
деформацию, обусловленную
нагревом диска на в —
где — начальная темпера-
тура равномерного нагрева
диска. Как отмечалось в
главе LIII, том I, температурная деформация определяется по формуле
' е =	1	(8)
где аср — среднее значение коэффициента линейного расширения в интер-
вале температур В- —
В главе III, том I, указывалось, что при равномерном нагреве тела, на
которое не наложено связей, температурных напряжений не возникает.
Поэтому в равномерно нагретом диске температурные напряжения отсут-
ствуют. В связи с этим при определении напряжений в формуле (8) под
можно понимать любую величину и, в частности, ноль. При подсчете дефор-
маций и перемещений, возникающих в результате нагрева диска, величине
нельзя давать произвольные значения. В этом случае за нужно
принять действительную начальную температуру равномерно нагретого
диска.
Располагая графиком изменения температуры по радиусу диска и зная
зависимость среднего значения коэффициента линейного расширения от тем-
пературы, можно с помощью формулы (8) построить эпюру изменения вели-
чины 0 по радиусу диска (фиг. 66, е).
8 Пономарев 508
114
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
Решим теперь уравнения (7) относительно окружного a t и радиального аг
напряжений. Тогда, используя соотношения (5) и (6), имеем
Z? Г и .	du	/л । \ л I
°/ = т=73	+	+ н)0];
Е Idu .	и	. 0"|	(9)
°' = Т^ [^ + ну - (1 + И)9] •
Подставляя выражения (9) в уравнение (1), получим дифференциальное
уравнение относительно радиального перемещения:
d f Ehr \du , и , ч 1 Eh [и .
+ |х^-(1+и)9] + <7/гг = О.
(10>
Уравнение (10) является линейным дифференциальным уравнением вто-
рого порядка с переменными коэффициентами. В интеграл этого уравнения
входят две постоянные интегрирования. Они определяются из краевых усло-
вий:
для диска с отверстием при г = гх
° г = ~Ри
при г =rm
аг ~ Pm’
для диска без отверстия при г = 0
<зг — <3t или и = 0,
При r =rm
° г = Pm-
ПО
(12)
Дифференциальное уравнение (10) в общем случае произвольного профиля
и произвольных зависимостей от радиуса, модуля упругости и коэффициента
поперечной деформации не может быть проинтегрировано точными методами.
Отметим, что, как показано в работе Р. С. Кинасошвили [12], перемен-
ность коэффициента поперечной деформации по радиусу и вообще абсолютное
его значение очень слабо влияют на величины и распределение напряжений.
Поэтому обычно в практических расчетах можно не учитывать изменение
коэффициента поперечной деформации по радиусу и считать его постоянным.
Значительно существеннее сказывается величина модуля упругости. Это
будет показано в дальнейшем в одном из примеров.
В случае равномерного нагрева дисков осевых турбомашин, для которых
интенсивность объемной нагрузки определяется соотношением (1), уравне-
ние (10) интегрируется в замкнутом виде для диска постоянной толщины,
гиперболического, некоторых экспоненциальных профилей и профиля, тол-
щина которого изменяется по закону кубической параболы. Для диска пря-
молинейного профиля (конического) и в ряде других практически важных
случаев [19 ] уравнение (10) интегрируется в гипергеометрических функциях.
Интегрирование основного дифференциального уравнения расчета диска
для различных профилей рассмотрено в книгах Я. В. Малкина [29],
А. В. Левина [22 ] и А. Д. Коваленко [15 ], [17 ]. Особенно глубоко и обстоя-
тельно эта проблема изучена»в ряде работ А. Д. Коваленко. Результаты его
исследований и изложены в книгах [15], [17].
Основные уравнения расчета
115
Невозможность точного интегрирования основного дифференциального
уравнения расчета вращающегося диска в общем случае переменного профиля
и произвольных зависимостей от радиуса модуля упругости и коэффициента
поперечной деформации привела к необходимости разработки приближенных
методов расчета. Существующие в настоящее время решения задачи могут
быть в основном разбиты на три группы.
В первой из них напряжения и перемещения в дисках определяются путем
интегрирования дифференциальных уравнений численными способами. Таким
образом решается задача в работах Н. Келлера [68], А. С. Штода [44]
и других работах [80], [72], [73].
Во второй группе задача сводится к решению интегральных уравнений
различными модификациями метода последовательных приближений. Такие
решения изложены в работах Р. С. Кинасошвили [12], И. А. Биргера [1 ],
А. П. Филиппова [52] и других работах [81].
В третьей группе решений диск разбивается на несколько участков, причем
действительный профиль на каждом участке приближенно заменяется про-
филями постоянной или переменной толщины, для которых основное диф-
ференциальное уравнение интегрируется в замкнутом виде или с помощью
рядов. Такой подход к решению задачи принят в работах Доната [62],
М. И. Яновского [56 ], В. Я. Черного и Г. И. Бакланова [53], В. Ф. Риса [40],
[41], С. А. Тумаркина [49], [50], А. Д. Коваленко [14], [16], В. Г. Поп-
кова [35 ] и в ряде других работ [65], [80], [64], [58], [63], [69], [75], [70],
[71], [6], [7], [8], [101, [11], [33], [24], [28].
Следует признать, что методы расчета, основанные на замене профиля
диска рядом простых профилей, более эффективны и удобны в практических
расчетах, чем методы, в которых дифференциальные или интегральные урав-
нения задачи решаются непосредственно.
Если не учитывать изменение по радиусу диска упругих характеристик
материала в зависимости от температуры, то тогда замена профиля диска
несколькими профилями переменной толщины позволит значительно сокра-
тить число участков, по сравнению с заменой профиля диска ступенчатым,
состоящим из участков постоянной толщины. Кроме того, в первом случае,
в отличие от второго, отсутствуют разрывы в функциях напряжений на
границах участков.
Однако при расчете дисков с большим перепадом температуры по радиусу,
когда необходимо учитывать изменение упругих характеристик материала
диска в зависимости от температуры, число участков определяется не только
профилем диска, но и эпюрой изменения модуля упругости. Вч этом случае
число участков при замене профиля диска несколькими профилями перемен-
ной толщины может оказаться не меньшим, чем при его замене профилями
постоянной толщины.
Заметим, что использование линейного закона изменения модуля упру-
гости по толщине участка приводит к сложным расчетным формулам, при-
менение которых требует суммирования бесконечных рядов [35], [15], [17].
Если же принимать упругие характеристики на каждом участке постоянными,
то при замене профиля диска несколькими профилями переменной толщины
на границах участков все равно возникают разрывы в величинах напряжений
за счет ступенчатого изменения упругих характеристик материала.
Поэтому в случае необходимости учета изменения упругих характеристик
материала в зависимости от температуры рационально заменять профиль
диска ступенчатым, состоящим из участков постоянной толщины, поскольку
расчетные формулы при такой схематизации. профиля значительно проще.
Поэтому ниже, перед тем как рассматривать общий случай поверочного
расчета вращающихся неравномерно нагретых дисков переменной толщины,
будет изложено определение напряжений и перемещений в неравномерно,
8*
116
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
( нагретых дисках постоянной толщины. Кроме того, учитывая, что в практике
турбостроения часто приходится проектировать диски прямолинейного про-
филя (конические), их расчет также будет изложен.
§ 2. НЕРАВНОМЕРНО НАГРЕТЫЕ ДИСКИ ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ
Рассмотрим расчет вращающихся неравномерно нагретых дисков постоян-
ной толщины. При этом не будем учитывать изменение модуля упругости
и коэффициента поперечной деформации в зависимости от температуры, при-
ближенно принимая их постоянными. Внутренний радиус диска по-прежнему
будем обозначать через гх, а наружный г2- Полагая в уравнении (10) h =
' ~ const, Е ~ const, JJL = const, получим
d*u । 1 du и  	1	। /1 । к db	t < qv
Заметим, что
।	_ А Г± Ал \1
dr* "Г г 'dr г* ~ dr [г 'dr ’
 (
поэтому уравнение (13) принимает вид >
d Г 1	^/\1	1 — Р>2	«/I!
Интегрируя это уравнение, имеем
Г	*
Я	1 _.,2 С
± (иг) = 2С1Г - г j + (1 + И) 9г.
rt
. Полученный результат проинтегрируем еще раз; тогда устанавливаем:
i
u = C1r + -^-l^.-L jcac	(14)
Г1 Г1	n
* где Ci и С2 — постоянные интегрирования, а С и х — переменные инте-
грирования.
Выполняя интегрирование по частям, получим
u^Cir + ^--^(Qr----------£.) + (1 + и)Х,	(15)
’ где функции
‘	Q= J=	(16)
Г1
\	T=\Kdt;.	(17)
* Г1
Из соотношений (16) следует, что функция Q представляет собой площадь
<• эпюры интенсивности объемной нагрузки в интервале изменения радиуса
Г1 — г, a J — момент инерции этой площади относительно оси диска. Согласно
‘ формуле (17) заключаем, что функция Т является статическим моментом
Неравномерно нагретые диски постоянной толщины
117
относительно оси диска площади эпюры температурной деформации в интер-
вале изменения радиуса гг -н г.
Далее, как следует из соотношений (16) и (17), при г = функции Q, J
и Т обращаются в ноль:
Q(rx) = 0, J(r1) = 0,	(18)
T(r1) = 0.	'	(19)j
Заметим, что, как следует из соотношений (16) и (17),
f - »г-	(21)
Продифференцируем теперь уравнение (15), используя формулы (20)
и (21); тогда получим
^- = C1--^-^(Q + 4)-(l+fi)^- + (l + ll)e. (22)
Подставляя выражения (15) и (22) в соотношения (9), выводим формулы
для определения напряжений:
^ = ^4 +А----L[(l 4- (i)Q-(l-ll)^-] + ^-£0;
(23)

где
Д = В =	(24)
Т J
Отметим, что для диска без отверстия функции и в формулах (23),
Т J
а также — и — в зависимости (15) обращаются в центральной точке в. нео-.
пределенности. Раскрывая последние, получим,
lim-5- = lim-l-bc^=4r,	(25)’
где 01 — Температурная деформация в центральной точке,
lim— — lim — I ОС dC = 0;
г-»0 r r->0 r J
r
lim4 = HmA-f<7CMC = 0;
r->0 r r->0 r J
r
lim — = lim — f <?C2 dC = 0.
r->0 r r->0 r %
(26)
(27);
(28)'
118
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
Для дисков осевых турбомашин со свободными от лопаток боковыми
поверхностями согласно формулам (16) и (1) имеем
Q=v(r2~r*);	<29)
Для дисков радиальных турбомашин функции Q и J подсчитываются
путем численного интегрирования, после предварительного вычисления ин-
тенсивности объемной нагрузки q по формуле (3) в зависимости от радиуса.
Подставляя теперь соотношения (29) в уравнения (23) и (15), получим
формулы для определения напряжений и радиального перемещения для
дисков постоянной толщины со свободными от лопаток боковыми поверх-
ностями:
л* 1
^ = ^*+72-
в*
а, = А*
1 Ц-Зр. 'jcoV2
“8
з + Р*
8
g + ^-Е^
у<й2г2 ЕТ .
~g	’
(30)
(31)
где
Д* = А +
Я ’
fco2^ .
c;=c1 + i^
г* — с	1 ~ Р-2
с2-с2	8g-
(32)
(33)
Функция Т в общем случае изменения температурной деформации под-
считывается путем численного интегрирования.
Рассмотрим более подробно тот простейший случай, когда температурная
деформация по радиусу диска изменяется по линейному закону
e = e1 + k(r-r1),	(34)
где
X = Vsh.,	(35)
— Г1
а 01 и 02 температурные деформации на внутреннем л и наружном г2 радиусах
диска. Подставим выражение (34) в соотношение (17). Тогда после преобра-
зований получим
Т =	- г|) + 4 - 'i) •	(36)
В главе I, том III, были рассмотрены примеры расчета равномерно нагре-
тых вращающихся дисков постоянной толщины. Выведенные для этих слу-
чаев формулы, по которым определяются напряжения и радиальные пере-
мещения, можно было бы получить из уравнений (30) и (31), полагая в них
О = 0 и Т — 0 и используя соответствующие краевые условия.
В целях выяснения влияния неравномерного нагрева на величины напря-
жений разберем два примера определения напряжений и радиальных пере-
Неравномерно нагретые диски постоянной толщины
119
мещений в неравномерно нагретых неподвижных дисках постоянной тол-
щины. При этом примем линейный закон изменения температурной дефор-
мации по радиусу. Очевидно, что в этом случае необходимо использовать
уравнения (30) и (31), полагая в них о> 0.
Пример 1. Диск постоянной толщины без центрального отверстия.
Учитывая, что i\ — 0, из соотношений (34), (36) и (35) имеем
6=01 +
02 — Q1 г.
Зг2 Г’
(37)
Т _	. е2 - 01 г
г2 2 "* Зг2 ; 
Для определения постоянных интегри-
рования используем краевые условия:
при г = 0
аг — 0. ,
Из первого краевого условия (39),
используя соотношение (33) и уравнение
(31), устанавливаем, что
С* = В* = 0.	(40)
Из второго краевого условия (39)»
учитывая второе уравнение (30), имеем
(41)
о
Фиг. 71. Эпюры окружных и радиальных
напряжений в неравномерно нагретом диске
постоянной толщины без центрального отверстия.
и, следовательно, согласно формуле (33),
С; = Ц^(20г + 01).
(42)
Подставим теперь выражения (37), (38) и (40) — (42) в уравнения (30) и (31). Тогда полу-
чим формулы для определения напряжений и радиального перемещения:
_ В(92-9,) I	г \
3	\	М’
^(02-60 Д
-	3	(	г2/’
1	1 -4- 1JL	г2
«=-з-[(1-рь)02 + (2 + |х)	+
(43)
(44)
На фиг. 71 изображены эпюры напряжений, построенные по формулам (43). Обратим вни-
мание на то, что эпюра окружных напряжений разнозначна, причем площадь ее равна нулю.
Это является следствием равенства нулю нормальной силы в радиальном сечении диска, при
его неравномерном нагреве.
Пример 2. Диск постоянной толщины с центральным отверстием.
Для определения постоянных интегрирования используем краевые условия:
При г =
при г = г2
Qr — 0,
аг = 0.
(45)
Из первого краевого условия (45), принимая во внимание второе уравнение (30) и соотно-
шение (19), имеем
в* = Д*г|.	(46)
120
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
Из второго краевого условия (45), используя второе уравнение (30) и выражение (46),
устанавливаем, что
а* _ Т?Т2
Л г2— г2 '
г2
(47)
где Тъ — значение функции Т на наружном радиусе г2.
Согласно формуле (36),
По формулам (33), (47) и (46) имеем
г»_(1—(*)Г,_	(1+^М
1	г2_г2 ’ с2 ~2	~2^~
г2 Ч	Ч r 1
(49)
в рассматриваемом частном случае:
г ,з „з	1 1
Подставим теперь соотношения (46), (47) и (34) — (36) в уравнения (30). Тогда получим
формулы для вычисления напряжений
E^-bJ
Зг’^-г,)
_ £(6,-6,)
'	ЗГЧ<2-Г1)
z-3-r?
(50)
подсчета радиального перемещения выводим, используя уравнение (31)
и соотношения (49). После преобразований
имеем
Формулу для
и —
* d
(l-u)r+(l + u) -L
Л
2 — г2
2 Ч
(51)
Фиг. 72. Эпюры окружных и радиальных
напряжений в неравномерно нагретом диске
постоянной толщины с центральным отверстием.
На фиг. 72 представлены эпюры на-
пряжений, построенные по формулам (50),
Заметим, что, так же как и в предыдущем
примере, в рассматриваемом случае пло-
щадь эпюры окружных напряжений равна
нулю, поскольку нормальная сила в ра-
диальном сечении при неравномерном на-
греве диска равна нулю.
В рассмотренных выше приме-
рах контурные нагрузки отсутст-
вовали. При наличии их должны
быть соответствующим образом из-
менены краевые условия.
Заметим, что напряжения, воз-
никающие только от контурных
нагрузок, могут быть подсчи-
таны по формулам, выведенным
в главе .V, том II, для расчета
в этих формулах изменить знак
толстостенных труб. Необходимо только
у величины поскольку на наружном контуре диск нагружен не сжи-
мающей, а растягивающей нагрузкой.
В случае вращающегося неравномерно нагретого диска, нагруженного
Контурными силами, напряжения могут быть получены путем сложения на-
пряжений, возникающих за счет вращения (см. § 5 главы I), нагрева и воздей-
ствия контурных сил.
-
Диски прямолинейного профиля (конические диски)
121
§ 3. ДИСКИ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ПРОФИЛЯ (конические диски)
Рассмотрим равномерно нагретый диск прямолинейного профиля (кониче-
ский диск).
Расчет неравномерно нагретых конических дисков с учетом переменности
модуля упругости по радиусу в зависимости от температуры разработан
А. Д. Коваленко [15], [17] и В. Г. Попковым
[35].
Так же как и раньше, обозначим внутренний
радиус диска гг, наружный г2, а радиус вершины
треугольника R (фиг. 73). Очевидно, что тол-
щина конического диска на текущем радиусе г
равна
л = Ао(1 —Р),
(52)
где
Г
Р = ТГ’
а й0 — значение h при р = О (см. фиг. 73).
Преобразуем уравнение (10), считая Е и р-
постоянными и принимая во внимание выраже-
ния (1), (52) и (53). Тогда получим
,. ч d2u , п х du , 11	1 \
PU-p)dp. + (l-2p)w
(53)
Используя подстановку
и = рх,
(54)
Фиг. 73. Конический диск.
преобразуем полученное уравнение к виду
₽ )“
Р(1-Р)$ + (3-4р)-^-(1 + rtx = _	Р).	(55>
Уравнение (55) является гипергеометрическим дифференциальным урав-
нением Гаусса типа	»
Р(1-Р)$+[*-(« + *+ 1)р]^-айх = /(Р)-	(56)
Сопоставляя уравнения (55) и (56), заключаем, что в рассматриваемом
случае
с = 3;	(57)
« + 64-1 = 4; ab = 1 + р.;	(58)
/(Р) = Ц^-~Р(1-Р).	(59)
Решим уравнения (58). Тогда получим
а = -|- ± В, b = А + 8,	(60)
где
. Ь =	(61).
122
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомаишн
Интеграл дифференциального уравнения (55) складывается из общего ин-
теграла однородного дифференциального уравнения х° и частного интеграла
неоднородного дифференциального уравнения х*:
х = х° + х*.	(62)
Общий интеграл бднородного дифференциального уравнения имеет вид
115], [17]
х° = CtF (а, Ь, с, р) + С2 Ф (а, Ь, с, р),	(63)
где F (а, Ь, с, р) и Ф (а, Ь, с, р) — гипергеометрические функции соответ-
ственно первого и второго рода. Они определяются рядами
F(a,b,c, р)=1 + 2
L4n
n=l
Ф (а, b, с, р) = F (a, b, с, р) In р +
С— 1	ОО
1	/___1\Я“Н	1 п\п —п । ХЧ [а]„ vz
А {	'	[a — n]n[b — n]n р ' Zj п![с]п
п—1	П=1
х (4 + 7ТТ + • • • + а-|4--1 + 4- + ТТТ + • • • + h+i-l ~
____1	1	1__________]_________1		1_\ п
с с+1	' ‘ '	с + п — 1	2_п J °
В этих выражениях
= Г(г£)П> =а(а+1)...(а + п—1),
[6]п =	= ^ (& + 1)... (& + п - 1),
где Г (а), Г (а + п), Г (&), Г (Ь + п) — гамма-функции-или эйлеровы инте-
гралы второго рода.
Ряды, определяющие гипергеометрические функции первого и второго
рода, сходятся при | р | < 1. При р = 1 ряд сходится, если с — а — b >• 0.
Частный интеграл неоднородного дифференциального уравнения (55)
будем искать в виде
х* = D^2 + D2p + D3.	(64)
Продифференцируем
два раза это уравнение; тогда получим
^ = 2D1P+D; ^ = 2DX.
(65)
Подставим теперь выражения (64) и (65) в дифференциальное уравнение
(55) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях р. В результате
преобразований устанавливаем, что
__	1	1—р.2 7<о27?3 е
1~	П+Г“Е
г\ _	3+и	1—Р2 1<о2Я3 .
(И + рНб + ц) • Е ' g ’
п _	3(3+р)	1-р« laW
(и + р)(5+ р)(1 +р)’ Е * g •
Диски прямолинейного профиля (конические диски)
123
Таким образом, согласно формулам (64) и (65),
______1	1-р-2 Г 2	3 + ** -	3(3 + р) 1.
И+р’ Е • 8 [Р 5 + р Р (5 + р)(1 + р) ]’
dx* __	1	1 — р? f <o2J?s /_	3 + [л \
~¥~~ ГПн?-£	Г"Д р —^Тр/'
(66)
Подставим выражение (62) в соотношение (54). Тогда, используя формулу
{63), получим уравнение радиального перемещения:
и => ApF (а, Ь, с, р) + ВрФ (а, Ь, с, р) + рх*.	(67)
Продифференцируем это уравнение. При этом учитывается, что, как из-
вестно, из теории гипергеометрических функций [17], [19]
jLF(a,b,c,?)==^-F(a+l, &+1, с+1, р);
^Ф(а,&,с,р) = 4[ф(а+1’ С+Ь Р> +
+(4+4---4)f(fl+1’ 6+1>с+1> рф
Тогда получим
-^=C1F(a,&,c,p) + C1P^F(a+l,&+l, с+1, р) +
+ С2 Ф (а, &, с, р) + С2р-у-Ф (а + 1, 6 + 1, с + 1, р) +
+ С’Р v(4- + 4--r)F(a+1’ 6+1’с+1’ р) + х* + рт£- <68>
Выведем теперь формулы, определяющие напряжения. Для этого поло-
жим в уравнениях (9) температурную деформацию 9 равной нулю, поскольку
предполагается, что диск равномерно нагрет, и подставим в них радиальное
перемещение и его производную по формулам (67) и (68). Тогда получим
+	+	&+1, с+1, Р)]СХ +
+ [(1 + р.)Ф(а,&,с, р) + р.рФ(а + 1, &+1, с+1, Р) +
+ Р2т(4- + -Г-4-)Р7:’(а+1’ *+’’ с + Ь Р>] + С1 + Р)** + РР^г) ’
+ - (Г_% ^ {[(1 + р) F (а, М, р) + -у- pF (а + 1, b + 1, с + 1, р)] С, +
+ [(1 + р.)Ф(а,&,с, р) +-^-РФ(а+ 1, b+ 1, с+ 1, р) +
+ 4(4- + 4--гк<а+1’ & + Ьс+1, р)1 С2 + (1 + р)х* + р^} .
V \ U	U	U J	J	(Xj* J
124
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
Преобразуем полученные выражения. При этом используем зависимости
между гипергеометрическими функциями, у которых параметры а, b и с
разнятся на целые числа [15], [17]. Кроме этого, примем во внимание
соотношения между гипергеометрическими функциями от ри 1— р [15], [17].
Тогда получим
& фз!
° г =	®3.
(69)
где А и В—постоянные интегрирования, а функции радиуса фъ ф2, фз» <рь ?г
и фз определяются по формулам
?i
_______1 У2 75	1 р / 1 I ь 1
2 'cosw8 ’ 1 — р 2 "* ’ 2
8, 3, р
?2 =
_ 1^2.. 71	f(— + 8 -_______
2 cositS р2 2 “ ’ 2
8, 3, 1 — р
3 p. f ♦ ч/ 3	.	\
®8 ~ 11 +р	р) (й + ц “l' Р) ’
1 -Зр э (1-н2)(5 + н) *
1 — р *1	6	cos те д

ф _1-3pm (l-n2)(5 + p)
ф2 - утту ?2---------6------
те 1 — р
cos те Ь р2
8, 4, 1-р

1
2
ф, = 3 + >*	_L. 1+2tXp_L± 3tX n2'
Ys ll+(i(5 + p.^5Hp.p 3 + (ЛН
Заметим, что функции <pi, <р2, фх и ф2 зависят всего только от двух гипер-
геометрических функций:
F (4- + S’4~8’3’P) и f(4- + S>4 — 8>4> ?)•
Такое решение задачи, в котором используются только две гипергеометри-
ческие функции, вычисляемые при помощи суммирования четырех бесконеч-
ных рядов в пределах изменения р : 0 < р < 0,5, было получено А. Д. Ко-
валенко [15], [17]. Оно является наиболее удобным для практического
использования из всех известных к настоящему времени решений этой задачи.
Так, например, в решение Бишопа [61 ] включены четыре гипергеометри-
ческие функции и четыре производные от них. Вычисление их потребовало
суммирования восьми бесконечных степенных рядов, в пределах изме-
нения р : 0 < р < 1, большинство из которых сходятся медленно.
Отметим, что в работах А. Д. Коваленко [15], [17] решение задачи про-
ведено в усилиях и поэтому соответствующие функции в этих работах равны
функциям в уравнениях (69), умноженным на 1 — р. В табл. 21 приведены
значения функций <pi, <р2, <р3, фх, ф2, ф3, подсчитанных нами при помощи
приведенных в работах А. Д. Коваленко [15], [17] таблиц. При этом величина
коэффициента поперечной деформации принималась равной и = 0,3.
Значения функций f2> фв Фз> фз
Таблица 21
9	Та	Та	<₽8	ф»	’ -Фа	ф.	Р	fl	?2	fa	Ф1	-Фа	ф.
0,00	1,4340	оо	0,16531	1,4340	ОО	0,16531	0,24	1,7766	14,967	0,17890	1,6614	22,879	0,17678
0,01	1,4451	9967,6	0,16654	1,4417	10 103	0,16617	0,25	1,7955	13,669	0,17874	1,6735	21,336	0,17684
0,02	1,4563	2482,9	0,16772	1,4495	2 552,3	0,16700	0,26	1,8147	12,523	0,17852	1,6855	19,961	0,17686
0,03	1,4679	1099,2	0,16885	1,4574	1 146,6	0,16780	0,27	1,8345	11,503	0,17823	1,6981	18,729	0,17685
0,04	1,4797	615,66	0,16991	1,4655	652,07	0,16857	0,28	1,8549	10,593	0,17790	1,7108	17,621	0,17681
0,05	1,4917	392,25	0,17091	1,4736	421,98	0,16930	0,29	1,8758	9,7776	0,17750	1,7238	16,620	0,17673
0,06	1,5039	271,11	0,17186	1,4821	296,35	0,16999	0,30	1,8973	9,0441	0,17704	1,7371	15,713	0,17662
0,07_	1,5165	198,18	0,17275	1,4906	220,20	0,17065	0,31	1,9193	8,3823	0,17653	1,7507	14,888	0,17648
0,08	1,5291	150,93	0,17358	1,4992	170,53	0,17128	0,32	1,9421	7,7831	0,17596	1,7647	14,136	0,17630
0,09	1,5422	118,62	0,17435	1,5081	136,31	0,17188	0,33	1,9654	7,2390	0,17533	1,7790	13,447	0,17609
0,10	1,5554	95,529	0,17506	1,5170	111,69	0,17244	0,34	1,9894	6,7435	0,17464	1,7936	12,815	0,17584
0,11	1,5691	78,483	0,17571	1,5262	93,391	0,17297	0,35	2,0142	6,2911	0,17389	1,8086	12,233	0,17557
0,12	1,5830	65,543	0,17631	1,5355	79,398	0,17347	0,36	2,0397	5,8770	0,17308	1,8239	11,697	0,17525
0,13	1,5971	55,494	0,17684	1,5448	68,452	0,17393	J),37	2,0659	5,4971	0,17222	1,8397	11,200	0,17494
0,14	1,6116	47,536	0,17732	1,5544	59,722	0,17435	0,38	2,0931	5,1477	0,17129	1,8558	10,741	0,17453
0,15	1,6265	41,128	0,17774	1,5642	52,642	0,17475	0,39	2,1210	4,8259	0,17031	1,8725	10,313	0,17412
0,16	1,6415	35,895	0,17811	1,5743	46,819	0,17511	0,40	2,1498	4,5288	0,16927	1,8895	9,9157	0,17367
0,17	1,6571	31,569	0,17841	1,5845	41,967	0,17543	0,41	2,1797	4,2539	0,16817	1,9069	9,5449	0,17319
0,18	1,6729	27,950	0,17866	1,5948	37,880	0,17573	0,42	2,2103	3,9993	0,16702	1,9250	9,1986	0,17267
0,19	1,6893	24,894	0,17884	1,6053	34,404	0,17599	0,43	2,2423	3,7628	0,16580	1,9435	8,8528	0,17213
0,20	1,7059	22,290	0,17897	1,6161	31,420	0,17621	0,44	2,2752	3,5430	0,16452	1,9625	8,5705	0,17154
0,21	1,7229	20,056	0,17904	1,6271	28,839	0,17641	0,45	2,3089	3,3382	0,16319	1,9820	8,2853	0,17093
0,22	1,7404	18,122	0,17905	1,6383	26,591	0,17656	0,46	2,3446	3,1474	0,16180	2,0022	8,0170	0,17028
0,23	1,7583	16,440	0,17901	1,6497	24,618	0,17669	0,47	2,3813	2,9691	0,16035	2,0230	7,7645	0,16960
ND
СИ
Диски прямолинейного профиля (конические диски)
Продолжение табл. 21
р	<pi	Ф1	<Р8	ф»	-Фз	ф»	Р	Ф1	?2	Фз	Ф1	-ф.	Ъ
0,48	2,4192	2,8023	0,15885	2,0444	7,5263	0,16888	0,75	4,5568	0,59848	0,096081	3,1092	4,0672	0,13685
0,49	2,4588	2,6461	0,15728	2,0665	7,3016	0,16814	0,76	4,7263	0,56104	0,092939	3,1858	3,9991	0,13519
0,50	2,4998	2,4998	0,15556	2,0894	7,0888	0,16735	0,77	4,9104	0,52522	0,089738	3,2681	3,9333	0,13350
0,51	2,5424	2,3622	0,15398	2,1129	6,8876	0,16653	0,78	5,1114	0,49086	0,086479	3,3569	3,8696	0,13177
0,52	2,5867	2,2331	0,15223	2,1373	6,6969	0,16568	0,79 ’	5,3310	0,45799	0,083161	3,4529	3,8080	0,13002
0,53	2,6330	2,1117	0,15044	2,1626	6,5160	0,16480	0,80	5,5725	0,42647	0,079785	3,5571	3,7485	0,12822
0,54-	2,6811	1,9973	0,14858	2,1887	6,3441	0,16388	0,81	5,8395	0,39624	0,076351	3,6709	3,6908	0,12640
0,55	2,7313	1,8894	0,14666	2,2158	6,1809	0,16293	0,82	6,1350	0,36724	0,072858	3,7956	3,6350	0,12454
0,56	2,7836	1,7877	0,14469	2,2439	6,0255	0,16195	0,83	6,4659	0,33941	0,069307	3,9331	3,5809	0,12265
0,57	2,8386	1,6915	0,14266	2,2731	5,8772	0,16093	0,84	6,8375	0,31269	0,065697	4,0856	3,5286	0,12072
0,58	2,8960	1,6006	0,14056	2,3034	5,7360	0,15988	0,85	7,2580	0,28702	0,062029	4,2561	3,4777	0,11876
0,59	2,9561	1,5147	0,13842	2,3349	5,6012	0,15879	0,86	7,7386	0,26236	0,058303	4,4479	3,4284	0,11677
0,60	3,0193	1,4332	0,13621	2,3677	5,4725	0,15767	0,87	8,2923	0,23865	0,054518	4,6660	3,3806	0,11474
0,61	3,0854	1,3560	0,13394	2,4019	5,3495	0,15652	0,88	8,9375	0,21586	0,050675	4,9164	3,3343	0,11268
0,62	3,1550	1,2828	0,13162	2,4376	5,2316	0,15533	__0,8_9.	9,7000	0,19393	A0J6773_	5,2075	3,2892	0,11058
0,63	3,2284	1,2133	0,12923	2,4749	5,1189	0,15411	0,90	10,614	0,17283	0,042813	5,5510	3,2453	0,10845
0,64	3,3058	1,1473	0,12679	2,5140	5,0108	0,15286	0.91	11,731	0,15252	0,038795	5,9636	3,2028	0,10629
0,65	3,3874	1,0845	0,12429	2,5548	4,9071	0,15157	0,92	13,125	0,13298	0,034718	6,4699	3,1614	0,10410
0,66	3,4738	1,0249	0,12173	2,5977	4,8079	0,15025	0,93	14,917	0,11414	0,030582	7,1087	3,1211	0,10187
0,67	3,5655	0,96803	0,11912	2,6428	4,7124	0,14890	0,94	17,305	0,095995	0,026389	7,9437	3,0820	0,099609
0,68	3,6625	0,91391	0,11644	2,6901	4,6206	0,14751	0,95	20,644	0,078510	0,022137	9,0886	3,0440	0,097314
0,69	3,7658	0,86232	0,11371	2,7401	4,5323	0,14608	0,96	25,653	0,061653	0,017826	10,769	3,0070	0,094980
0,70	3,8760	0,81310	0,11092	2,7928	4,4477	0,14463	0,97	33,993	0,045400	0,013457	13,506	2,9708	0,092618
0,71	3,9938 .	Д76617	„0,16807. .	-2,8487 ..	4,365?„	0,14314	0,98	50,670	0,029722	0,0090299	18,848	2,9356	0,090220
0,72 '	4,1196	0,72136	0,10516	2,9078	“ 4,2871	0,14162*	в»	’ 0,99	100,68	0,014596	0,0045441	34,446	2,9013	0,087790
0,73	4,2544	0,67852	0,10219	2,9707	4,2111	0,14006	1,00	оо	0,000000	0,0000000	оо	2,8680	0,085325
0,74 -	4,4000	0,63762	0,099165	3,0377	4,1381	0,13847						•	
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
Поверочный расчет на прочность вращающегося диска	127
§ 4. ПОВЕРОЧНЫЙ РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ НЕРАВНОМЕРНО
НАГРЕТОГО ДИСКА ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ
Методы расчета, основанные на замене действительного профиля диска
ступенчатым, можно разделить на две группы. В первой напряжения и пере-
мещения определяются путем выполнения двух расчетов, во второй эта
задача решается непосредственно с помощью одного расчета.
Ниже будут изложены оба способа: способ двух расчетов, разработанный
в статьях В. Я. Черного и Г. И. Бакланова [53], В. Ф. Риса [40], [41],.
Г. С. Жирицкого [10], [11] и получивший окончательное завершение
в работе [28], и способ одного расчета, основанный на работе [24].
А. Способ двух расчетов
Рассмотрим неравномерно нагретый диск переменной толщины h = h (r)r
внутренний радиус которого г1У а наружный rm (фиг. 66, а). Диск нагружен
объемной силой интенсивности q (фиг. 66, б), растягивающей нагрузкой, равно-
мерно распределенной по наружной поверхности обода с интенсивностью»
рти давлением равномерно распределенным по внутренней поверхности
(фиг. 66, а). Предположим, что температурное поле диска задано (фиг. 66, в),
а эпюры изменения модуля упругости Е (фиг. 66, г) — коэффициента попе-
речной деформации и (фиг. 66, д) и температурной деформации 0 (фиг. 66, е)
по радиусу диска построены так, как было изложено выше (см. стр. 111).
Заменим профиль диска ступенчатым профилем, состоящим из tn — 1
участков постоянной толщины. Обычно толщины ступеней выбираются
равными толщинам истинного профиля на средних радиусах намеченных
участков. Толщину i-ro участка будем обозначать ht (фиг. 66, а).
Интенсивность объемной нагрузки q на начальном rt и конечном ri+l
радиусах i-ro участка обозначим qt и соответственно (фиг. 66, б), а тем-
пературную деформацию в тех же точках 0Z и (фиг. 66, е).
Модуль упругости и коэффициент поперечной деформации на каждом
участке примем постоянными и равными соответствующим величинам на
средних радиусах участков. Следовательно, эпюры модуля упругости и коэф-
фициента поперечной деформации схематизируются в виде ступенчатых эпюр
(фиг. 66, г, б). Модуль упругости и коэффициент поперечной деформации на
i-м участке будем обозначать E-t и соответственно.
Таким образом, задача расчета неравномерно нагретого диска переменной
толщины сводится к задаче расчета неравномерно нагретого ступенчатого
диска с постоянными на участках величинами модуля упругости и коэффи-
циента поперечной деформации.
За счет скачкообразного изменения толщины диска, модуля упругости
и коэффициента поперечной деформации на границах участков имеют место
разрывы в величинах напряжений и, следовательно, в функции производной
радиального перемещения.
Окружное и радиальное напряжения на начальном rz, среднем ric
и конечном ri+1 радиусах i-ro участка обозначим atii, arii> atic, aric,
aru±i (второй индекс указывает участок, а третий — радиус).
Построение эпюры напряжений можно производить как по величинам
напряжений на границах участков, так и по значениям на средних радиусах.
В первом случае за истинные напряжения для заданного диска принимаются
средние арифметические величин, полученных на границах участков. Во вто-
ром считается, что напряжения в заданном и ступенчатом дисках совпадают
на средних радиусах участков. При использовании способа двух расчетов
построение эпюры напряжений будет производится по величинам напряжений
на границах участков. При использовании способа одного расчета это
128
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
построение будет выполняться по величинам напряжений на средних ради-
усах участков.
Получим теперь формулы, связывающие напряжения на конечном
и начальном радиусах i-ro участка.
Воспользуемся уравнениями (23). Тогда выражения для напряжений
в начале и в конце i-ro участка будут иметь вид

'tn — А + ------------------g- (1 + V-i) 0.1 —
(70)
ri
arll — Л ~2
ri
(1+н)«, + (i - н)41-
ri ri
(71)
A 2
rZ+l
i- Г(1 + H) Qm + (1 - Hz)
Решим уравнения (70) относительно постоянных интегрирования А и В;
тогда получим
— 4"	4- ат) + ~	4-	’
В = 4	~ °гп) rj -	- EtTt +	•
Подставляя величины Л и В в формулы (71), имеем
1 Л ,	\	, 1 A 'z _
°tll+t 2 I ' Л I 2	,2 I arll
\	^+1 J	\	Z+1 /
-	(Qz+1 -Qi) + 1	+ Et Tl+12—?‘ 4-
гж	rZ4-l
r? \
~2 I
'z+l J
i /1 ri \	. i A ,	$ \
2	r2 I ‘ 2 1	‘ r2 I
\	z+! J \ Ж /
1 + Hi /n Cl X 1	e* Th-i — T'i ।
2~~ W 4-1	4i)	2 Z2	---Л-------»“
rZ4-l	rZ4-l
£zez/.	r? \
1" 2	r?. .	‘
Efii
2
Заметим, что, согласно формулам (16) и (17),
Qi+i—Qi=i Я dr,
ri
Ji+i — Л=| Яг2 dr,
Т^-Т^] brdr.
(72)
(73)
(74)

поверочный расчет на прочность вращающегося диска
129
Примем, что по длине участка интенсивность объемной нагрузки и темпе-
ратурная деформация изменяются по линейным законам
(г-г‘>;|
е = в; + в*'-1' (г - г,).	(75)
1	G-+! —гр 1/
Выполним интегрирование в выражениях (73) и (74), используя соотно-
шения (75); тогда получим
Ji+l -Jt = q£+1^+l (3 - 5 - S2 - $2) +
+ ^-(l + $ + £2-3?s);
(76)
Ti+1 — Tt = (i — a2) + (6z+1 ~6z)r*+‘ (2 — e — e2),	(77)
где
«=7^-	(78)
rl+l
Подставим теперь зависимости (76) и (77) в уравнения (72). Тогда после
преобразований устанавливаем выражения для напряжений на конечном
радиусе участка через напряжения на начальном радиусе:
°«z+i =	+ аг°гп + (af<7z+i + a?<7z) ri+1 + a*Et (ft/+1 — ®z);l
+zz+i = P,°,zz + Pr+zz +	+ P^) П-н +	(6/+1 - ez), |
где
«, = ₽,=4(1-Н‘);'

al = iK1-Hz)(3-^-e2-$3)~6(l+pz)(l-S)]; '
a 1 = i K1 - Hz) (1 + ^ + ^ - 3I3) -6(1 + И/) (1 - 5)];
P? = i [(1 - ИМЧН 5- 3)-6(1+ И/) (1 -$)];
P? = -й- К1 - Hz) (3^3 - ?2 - 5 - 1) - 6 (1 + H) (1 - E)J;
<** =-^-(е2 + ^ + 4);
p*=4-(*2+?-2)-
(79)
(80)
(81)
(82)
9
Пономарев 508
130
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
Если боковые поверхности диска свободны от лопаток, как это имеет
место в дисках осевых турбомашин, то, согласно формуле (1), имеем
_ f<o2rz .	_ ч<о2гг+!
g >	Ч1+1 g
Подставим эти величины в соотношения (79). Тогда, используя обозна-
чение (78), получим выражения напряжений на конечном радиусе через
напряжения на начальном радиусе для дисков осевых турбомашин, боковые
поверхности которых свободны от лопаток:
где
«Й/+1 =	+ аг°гИ + а“ 7<° g+1 +	(Bz+1 — 0Z);
1<О2Г?4_|
+ Г	(<Vx - ег),
. аЧ== _L [2 (I + и.) $2 _ (1 _ н) _ (1 + з^)];
Г = 4 I2 О + нМ2 + (1 - нг) г-(3 + н/)]. '
Фиг. 74. Элемент диска, вырезанный на границе двух
участков.
Выше отмечалось, что на
границах участков окружное
и радиальное напряжения
претерпевают разрыв. Выяс-
ним, насколько изменяются
напряжения при переходе че-
рез границу какого-либо
участка, т. е. какова зависи-
мость между величинами на-
пряжений на одном радиусе
двух соседних участков.
Для этого воспользуемся
условием равновесия элемента
диска, вырезанного на гра-
нице двух участков (фиг. 74),
и условием неразрывности
деформаций.
Составим сумму проекций
на направление среднего ра-
диуса всех сил, приложенных
к элементу диска (фиг. 74).
Пренебрегая бесконечно малыми величинами порядка выше первого, получим
а-И i 4-1А-И»
откуда
__	hi
rz 4-1/4-1 —	•
(85)
Выразим теперь непрерывность радиального перемещения на границе
тех же участков:
WZZ4-1 “ и1Р1 1+1*
Поверочный расчет на прочность вращающегося диска
131
Преобразуем это равенство, используя соотношения (5) и (7). В резуль-
тате получим
£^ (°й£+1 Ri°rn+1) = £ + (°й+11+1	?Ч+1аг1+1 /4-1)»
откуда, принимая во внимание формулу (85), имеем
°а+1 1+1 ~ P'Z+l°riZ+l "Ь (°Н1+1 Р-/вгП+1)ф	(86
Формулы (85) и (86) позволяют по величинам напряжений в конце неко-
торого i-ro участка определить напряжения в начале следующего (i 1)-го
। участка, т. е. перейти через границу участка.
i Таким образом, при помощи формул (79)—(86) по известным величинам
окружного и радиального напряжений на внутренней расточке последова-
тельно определяются напряжения на границах всех участков.
Однако для диска с отверстием известными являются радиальные напря-
жения на внутренней расточке и на поверхности обода. Для диска без отвер-
стия заданным является радиальное напряжение на поверхности обода;
кроме того, в центральной точке должно выполняться условие равенства!
окружного напряжения радиальному. Поэтому для удовлетворения краевого-
условия расчет диска приходится выполнять дважды.
В первом расчете, в случае диска с отверстием, радиальное напряжение
на внутренней расточке принимается равным заданному, а окружное выби-
рается произвольным. В диске без отверстия произвольно выбираются окруж-
ное и радиальное напряжения в центральной точке, которые равны между
собой.
В результате выполнения первого расчета определяется радиальное
напряжение на поверхности обода (<*r(n_i m)i-
За счет произвольности выбора окружного напряжения на внутрен-
ней расточке или в центральной точке, оно, вообще говоря, получается не
равным заданному. Таким образом, в первом расчете определяются напря-
жения во вращающемся неравномерно нагретом диске, нагруженном задан-
ным контактным давлением и некоторой растягивающей нагрузкой на поверх-
ности обода, величина интенсивности которой заведомо неизвестна и выяс-
няется лишь в результате расчета. Поэтому для удовлетворения краевого
.условия на поверхности обода к результатам первого расчета необходимо
прибавить результаты второго, проведенного при условии, что диск нагру-
жен равномерно распределенными по наружной поверхности обода растя-
гивающими силами, интенсивность которых при сложении с интенсивностью
нагрузки, полученной в первом расчете, равна заданной.
В соответствии с этим во втором расчете предполагается, что интенсив-
ность объемной нагрузкй (или угловая скорость вращения), а также темпе-
ратурная деформация равны нулю. В случае диска с отверстием радиальное
напряжение на внутренней расточке обязательно принимается равным нулю»
а окружное напряжение по-прежнему берется произвольным. В диске без
отверстия задаются равные между собой радиальное и окружное напряже-
ния в центральной точке.
Заметим, что во втором расчете необходимо предположить точно такой же
закон изменения по радиусу модуля упругости и коэффициента поперечной1
деформации, что и в первом.
Выполнение второго расчета позволяет получить радиальное напряжение
на поверхности обода (arm-im)ii- Однако результат сложения этой величины
с соответствующей, полученной в первом расчете, еще не равен заданной ин-
тенсивности растягивающей нагрузки на наружной поверхности обода. Это
объясняется произвольностью выбора окружного напряжения на внутренней
9*
132
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбо машин
расточке или в центральной точке. Таким образом, во втором расчете опре-
деляются напряжения и деформации в неподвижном равномерно нагретом
(но при переменных параметрах упругости) диске, нагруженном растягиваю-
щими силамй, равномерно распределенными по поверхности обода. Интен-
сивность этих сил заведомо неизвестна и определяется лишь после выпол-
нения расчета.	}
Напряжения во втором расчете пропорциональны этой интенсивности.
При изменении ее в k раз напряжения изменяются во столько же раз. По-
этому для удовлетворения краевого условия на поверхности обода необходимо
первый расчет сложить со вторым, измененным в k раз. Коэффициент k, кото-
рый может быть назван коэффициентом изменения второго расчета, опре-
деляется из условия
im)l 4” (Рrm— lm)ll “ Pm>
откуда
h _ Pm ~	1 m\	/o7\
(arm-1/n)n *	( }
Напряжения, возникающие в рассматриваемом диске, подсчитываются
по формулам
= (e/)l + k (°/)п. 1	/88)
° г = (°r)l +	/
где и (ar)j — напряжения, полученные в первом, a (af)n ц (аг)и —
напряжения, вычисленные во втором расчетах.
Выше был изложен расчет диска, в котором нумерация участков ведется
в направлении от внутренней расточки или центральной точки к ободу.
Возможно проведение расчета при нумерации участков в обратном направле-
• нии, т. е. от наружной поверхности обода к внутренней расточке или цен-
тральной точке. Ниже будет показано, что в некоторых случаях этот путь
является более рациональным. Тогда интенсивность растягивающей нагрузки
равномерно распределенной по наружной поверхности обода, следует обо-
значить pi, а давление на внутренней расточке рт.
В случае проведения расчета при нумерации участков от наружной
поверхности обода к внутренней расточке или центральной точке в первом
расчете радиальное напряжение на поверхности обода принимается равным
заданному, а окружное выбирается произвольным. Во втором расчете ради-
альное напряжение на поверхности обода всегда полагается равным нулю,
а окружное по-прежнему выбирается произвольным.
Так же как и раньше, в первом расчете учитывается вращение диска
и неравномерный нагрев, а во втором — интенсивность объемной нагрузки
(или угловая скорость вращения) и температурная деформация полагаются
равными нулю. Изменение по радиусу упругих характеристик материала
во втором расчете принимается таким же , как и в первом.
Для определения коэффициента k, так же как и раньше, легко получить
следующие соотношения для диска с отверстием
г _. —Pm — (^rm-im)j .
“ (Grm-TmJu •	’	(	}
для диска без отверстия
_ (Qtm—1 m)j (Orm—i m)j	(90)
(^rm-i /п)ц (atm—i
i Для равномерно нагретого конического диска с ободом и втулкой
| {фиг. 75) расчет может быть упрощен за счет сокращения числа участков.
Поверочный расчет на прочность вращающегося диска
133
Очевидно, что минимальное количество участков в этом случае равно трем:
втулка, полотно диска прямолинейного профиля (конического диска) и обод.
Втулка и обод рассчитываются по выведенным выше формулам для диска
постоянной толщины. Для участка переменной толщины прямолинейного
профиля, так же как ранее это было сделано для диска постоянной толщины,,
можно на основе формул (69) получить зависимости напряжений на конечном'
радиусе от напряжений на начальном радиусе. Эти зависимости имеют вид.
'ftO2/^2
°ta+i = atatii + лг°гП + а” —;
_	Q	IQ	1 Q“	.
arZZ4-i — ₽Z°ZZZ + ₽rarZZ + ₽ ----------— >
a =	— Ф2/+1?1/ .
*	— Фг/f 1Z
a _	Фп-+1Ф2/ — Ф2/+1Фп .
r Фи?2« — Фг/f 1Z
а“ = Фз/-Н —
 Ф1/Узг — Фз/TiZ ф \| jV2Z?3Zj22jW?2Z ж
Ф1/?2/'“ф2/?п-	4>iZ?2Z — <P2Z?1Z
о = ?lZ-hl?2Z — ?2Z-hl?lZ .
t	<PlZf 2Z — 4>2Zf 1Z
о ___   ?lZ-hl?2Z — ?^+1Фп‘ .
Pr	<V1Z?2Z — ф2/?1/	’
₽ == ?3Z-F1
__ friZTsZ — Фз/?п	। Фг/?з/ Фз/?2/
Ф1/Т2Z ~ feflZ Л?-4"1 <PiZ?2z — *2z?iZ ,1гН
Фиг. 75. Конический диск
ДИСКОВ с ободом и втулкой.
Разберем теперь два примера расчета
способом двух расчетов.
Пример 1. Диск осевой газовой турбины без центрального отверстия. Профиль диска
изображен на фиг. 76, а. Число оборотов в минуту п= 11 500. Интенсивность равномерно рас-
пределенной по наружной поверхности обода нагрузки рт = 598 кг/см2. Вес единицы объема
материала дискам = 0,008 кг/см2. График изменения температуры по радиусу диска предста-
влен на фиг. 76, б. Зависимости от температуры коэффициента линейного расширения, модуля
упругости и коэффициента поперечной деформации материала диска изображены на фиг. 77.
Условия примера заимствованы из работы [72].
По эпюре изменения температуры по радиусу диска и графикам зависимости от темпера-
туры коэффициента линейного расширения, модуля упругости и коэффициента поперечной
деформации материала диска строим эпюры изменения величин а, 6, Е и р- по радиусу диска
(фиг. 76, в г, д, е). При подсчете температурной деформации 6 используем формулу (8), пола-
гая в ней начальную температуру равномерного нагрева диска $н = 0, поскольку в рассматри-
ваемом примере будут определяться только напряжения.
Профиль диска заменяем ступенчатым профилем, состоящим из восьми участков постоян-
ной толщины, так, как это представлено на фиг. 76, а. Начальный и конечный радиусы участка
и толщины их, равные толщинам диска на средних радиусах участков, приведены в табл. 22.
По эпюрам модуля упругости и коэффициента поперечной деформации определяем их
значения на средних радиусах участков, которые и принимаем постоянными для участков.
Таким образом, эпюры модуля упругости и коэффициента поперечной деформации заменяются
ступенчатыми эпюрами так, как это изображено на фиг. 76, д и е. Величины модуля упругости
и коэффициента поперечной деформации, постоянные для каждого участка, приведены
в табл. 22.
В этой же таблице представлены снятые с графиков (фиг. 76) величины температуры,
среднего значения коэффициента линейного расширения, а также подсчитанные по этим дан-
ным значения температурной деформации на начальном и конечном радиусах участков.
*134 Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
К расчету диска газовой турбины (вспомогательные коэффициенты)
Таблица 22
№ участка	г в см	h в см	& в С	а-10е в см/см °C	0- 10а	Е-10“6 в кг/см*				<v=₽z	-а<°	• —	-а»	-₽9
	0 000	11,10	355	16,50	5,8575	1,650	0,3330	—	—	• —	—	—	—	—
1	5,000		355	16,50	5,8575			0,0000	0,5000	0,5000	0,2499	0,4166	0.6667	0,3333
2	5,000 8,000	10,40	355 355	16,50 16,50	5 8575 5,8575	1,650	0,3330	0,6250	0,6953	0,3047	0,1324	0,2737	0,8360	0,1640
	8,000	8,600	355	16 50	5,8575	1,635	0,3345	—	—	—		—	—	—
3	11,00		370	16,55	6,1235			0,7273	0 7645	0,2355	0,09725	0.2171	0,8761	0,1239
	11,00	6,800	370	16,55	6,1235	1,600	0,3380	—	—	—	—	—	—	—
4	14,30		405	16,70	6,7635			0.7692	0,7959	0,2041	0,08280	0,1904	0.8935	0,1065
	14,30	5,400	405	16,70	6,7635	1,525	0.3450	—	—	—	—	—	—	—
5	17,70		475	17,10	8,1225			0,8079	0,8264	0,1736	0,06979	0,1638	0,9101	0,08990
6	17,70 20,30	6.000	475 560	17,10 17.55	8,1225 9,8280	1,400	0,3580	0,8719	0,8801	0,1199	0,04754	0,1153	0,9387	0,06131
7	20,30 21,70	6,400	560 625	17,55 17,85	9,8280 11,156	1,265	0,3710	0,9355	0,9376	0,06244	0,02439	0,06121	0,9684	0,03157
8	21,70 23,00	5,200	625 688	17,85 18,20	11,156 12,522	1,160	0,3810	0,9435	0,9451	0,05493	0,02186	0,05399	0,9723	0,02773
Поверочный расчет на прочность вращающегося диска
136
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
Далее по формулам (80), (84) и (82) определяем вспомогательные коэффициенты = рг,
аг =	и Результаты подсчетов также сведены в табл. 22.
Располагая этими данными, при помощи формул (83), (85) и (86) подсчитываем напряжения
на границах участков. При этом учитываем, что угловая скорость вращения составляет
= Tjg- — 1204 1/сек. В первом расчете принимаем величины окружного и радиального напря-
жений в центральной точке (o^n)i = (orii)i= 2000 кг!см2\ во втором расчете полагаем (о^Оп —
— (°ni)n = Ю00 кг/см2. Результаты первого и второго расчетов сведены в табл. 23 и 24 соот-
ветственно.
Используя полученные значения, устанавливаем величины радиального напряжения
на наружной поверхности обода в первом и втором расчетах: (аГт—iw?)i = —1378 кг/см2,
(°rm-im)ii = 1801 кг/см2, а затем по формуле (87) подсчитываем коэффициент изменения вто-
рого расчета: k = 1,097.
Напряжения на границах участков вычисляем по формулам (88). За величины истинных
напряжений на этих границах принимаем средние арифметические подсчитанных величин.
В табл. 24 они заключены в квадратные скобки. Эпюры напряжений изображены на фиг. 78.
Пример 2. Диск паровой турбины, профиль которого изображен на фиг. 79, а. Число
оборотов в минуту п = 3000. Интенсивность равномерно распределенной по наружной поверх-
ности обода нагрузки рт = 700 кг! см2’, контактное давление на внутренней расточке pi =
= 150 кг!см2. Вес единицы объема материала диска 7 = 0,00785 кг!см\ Диск нагрет равно-
мерно. Коэффициент поперечной деформации материала диска у- = 0,3. Условия примера
заимствованы из книги [43].
Профиль диска разбиваем на шесть участков, по два на втулке, полотне диска прямолиней-
ного профиля и ободе. Заметим, что в рассматриваемом случае число участков можно было бы
принять равным трем: обод, полотно диска прямолинейного профиля и втулка. Большее число
участков выбрано для более точного построения эпюр напряжений. Начальный и конечный
радиусы участков и толщины их приведены в табл. 25.
Расчет диска ведем, нумеруя участки в направлении от обода к внутренней расточке. По фор-
мулам (80), (84), (92) и (93) определяем вспомогательные коэффициенты а^, аг, аш, Р/, и
Результаты подсчетов сведены в табл. 25.
Располагая этими данными, при помощи формул (83), (91), (85) и (86) подсчитываем напря-
_	-гсп
жения на границах участков. При этом учитываем, что угловая скорость вращения = -^q- =
= 314,2 1/сек. В первом расчете величину радиального напряжения на поверхности обода
полагаем равной заданному (orll)i = 700 кг!см2, а окружное напряжение выбираем (o/n)i ~
= 1000 кг/см2-, во втором расчете принимаем (ог11)ц = 0 и (о/ц)ц = 100- кг/см2. Результаты
расчетов сведены в табл. 26 и 27.
Используя полученные значения, устанавливаем величины радиальных напряжений
на внутренней расточке в первом и втором расчетах (srm—imh — 391,7 кг/см2, (^Гт-хгп)\\ ~
= —140,7 кг!см2, а затем по формуле (89) определяем коэффициент изменения второго расчета
k = 3,850.
Напряжения на границах участков подсчитываем по формулам (88). Эпюры напряжений
изображены на фиг. 79.
Таблица 23
К расчету диска газовой турбины (определение напряжений; первый расчет)
№ участка	г в см	-а® £ в кг [см*	в® Х”8'8 & в кг [см*	в кг/см*	~^Ei в кг [см*	_Л£_	Ei	(’/)1 в кг [см*	(’r)l в кг,/см*	* (’r)l в кг [см*	-г*-1 [(’/)!- - * (Ml]
	0,000	—	—	—	—.	—	—	2000	2000	—	—
1	5,000	73,85	123,1	о,о	0,00	—	—	1926	1877	625,0	—
	5,000	—	—	—	—-	1,067	1,000	1968	2003	667,0	1301
2	8,000	100,2	207,1	0,0	0,00	—	—	1878	1786	594,7	—
-	8,000	—	—	—	—	1,209	0,9909	1993	2159	722,2	1271
3	11,00	139,1	310,5	381,0	53,93	—	—	1512	1756	587,4 ,	—
	11,00	—	—	—	—	1,265	0,9786	1655	2221	750,7	904,7
4	14,30	200,1	460,2	914,9	109,1	—	—	656	1537	519,5	—
	14,30	—	—	—	—	1,259	0,9531	797,2	1935	667,6	129,6
5	17,70	258,4	606,6	1886	186,4	—	• —	—1149	945	326,0	—
(2	17,70	—	—	—	'—	0,9000	0,9180	—1050	850,5	304,4	—1354
о	20,30	231,6	561,6	2242	146,4	—	—	—3296	—85,4	—30,58	—
7	20,30	—	—	—	—	0,9375	0,9036	—2979	—80,06	—28,90	—2950
	21,70	135,8	340,7	1627	53,04	—	—	—4561	—654,8	—242,9	—
я	21,70	—	—	—	—	1,231	0,9170	-4267	—806,1	—307,1	—3960
о	23,00	136,7	337,6	1541	43,95	—	—	—5755	—1378	—	—
Поверочный расчет на прочность вращающегося диска
Таблица 24
К расчету диска газовой турбины определенье напряжений; второй расчет)
№ участка	г в см	(Мп в кг!см*	(’г)п в кг/см*	(Mil кг/см*	~£~((Мп — (’r)lll в кг/см*	k (Мп в кг,/см*	k (Mil в кг,/см*	в кг/см*	в кг {см*
	0,000	1000	1000	—	—	1097	1097	3097	3097
1	5,000	1000	1000	333,0	—	1097	1097	3023	2974
	5,000	1022	1067	355,3	667,0	1121	‘	1170	3089[3056]	3173[3074]
Z	8,000	1036	1053	350,6	—	1131	1155	3014	2941
	8,000	1105	1273	425,8	678,9	1212	1396	3205 [3110]	3555 [3248]
о	11,00	1145	1233	412,4	—	1256 	£		1353	2768	3109
А	11,00	1244 -	1560	527,3	716,5	1365	1711	3020[2894]	3932 [3521]
4	14,30	1309	1496	- 505,6	—	1436	1641 •	2092	3178
к	14,30	1415	1883	649,6	765,4	1552	2066	2349[2221]	4001[3590]
О	17,70'	1497	1802	621,7	—	1642	1977	493	2922
с	17,70	1384	1622	580,7	803,1	1518	1779	468 [481]	2630[2776]
0	20,30	1413	1593	570,3	—	1550	1748	—1746	1663
7	20,30	1315	1493	553,9	761,1	1443	1638	—1536 [—1641]	1558 [1611]
	21,70	1326	1482	549,8	—	1455	1626	—3106	971
8	21,70	1407	1824	694,9	711,9	1543	2001	—2724 [—2915]	1195 [1083]
	23,00	1430	1801	—	—	1569 ’	1976	—4186	598
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
Поверочный расчет на прочность вращающегося диска
139
797,7
Фиг. 79. Эпюры напряжений в диске паровой турбины.
140
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин '
Таблица 25
К расчету диска паровой турбины (вспомогательные коэффициенты)
№ участка	г в см	h в см	5	at 4		а10		Рг	рсо
1	48,00 47,00	7,000	1,032	1,032	0,03242	0,009358	0,03242	1,032	0,03279
2	47,00 45,50	7,00	1,033	1,034	0,03352	0,009661	0,03352	1,034	0,03391
3	45,50 39,00	5,800 6,900	—	1,184	0,2214	0,00927	0,1668	0,9975	0,04207
4	39,00 32,50	6,900 8,000	—	1,224	0,2540	0,00745	0,2058	1,058	0,03650
5	32,50 27,25	17,50	1,193	1,211	0,2112	0,04775	0,2112	1,211	0,2268
6	27,25 22,00	17,50	1,239	1,267	0,2671	0,05516	0,2671	1,267	0,2921
Таблица 26
К расчету диска паровой турбины (определение напряжений, первый расчет)
я У 2	а)	и CQ	к м о «"*	j £ м ь 1	(A Y^2^2 		 или g ао> ./L. в кг 1см* g	«о * М o'* т	м ь	О § S	« ч я	и и	о? д ь® д * 3	3 СП- си.	i 03 •—1	и	*^11	.7 ь L- Ct М
1	48,50 47,00	2209	1032	23	16	32,4	722,4	57,2	1000 . 1025	700,0 747,2	—	——-
2	47,00 45,50	2070	1060	25	16	34,4	772,6	55,4	1025 1051	747,2 793,6	—	—
3	45,50 39,00	—	1302	212	47	183,5	955,5	211,4	1100 1137	957,6 983,4	1,207	49
4	39,00 32,50	—	1391	250	37	234,0	1040,4	183,4	1137 1178	983,4 989,8	—	—
5	32,50 27,25	—	1232	96	28	214,8	548,1	133,0	1017 1164	452,5 466,3	0,4578	— 161
6	27,25 22,00	—	1475	125	21	310,9	590,9	111,7	1164 1371	466,3 391,7	—	—
Поверочный расчет на прочность вращающегося диска
141
.	Таблица 27
К расчету диска паровой турбины (определение напряжений; второй расчет)
№ участка	г в см	5 Ki OJ в ю	а су г г в кг/см2	ь 1 0)	“Mr в кг/смг	1?» =hU о 'со" ।—ье 1 «	(а/)п В KZjCM*	ь 4— 1 И	*(’/)н в кг{смъ	гд 1 и		5 0) К ь
1	48,50					—			—	100,0	0,000	385,0	0,00	1385	700,0
1	47,00	103,2	0,000	3,242	0,000	—	103,2	3,242	397,3	1*2,48	1422	734,7
	47,00											103,2	3,242	397,3	12,48	1422	734,7
2	45,50	106,7	од	3,459	3,352	—	106,8	6,811	411,2	26,22	1462	767,4
	45,50			г- --					—0,4	106,4	8,221	409,6	31,65	1510	926,2
3	39,00	126,0	1,8	17,75	8,20	—	127,8	25,95	492,0	99,91	1629	883,5
А	39,00								—	127,8	25,95	492,0	99,91	1629	883,5
4	32,50	156,4	6,6	26,30	27,46	—	163,0	53,76	627,6	207,0	1806	782,8
р*	32,50										8,8	171,8	24,58	661,4	94,63	1678	357,9
О	27,25	208,1	5,2	36,29	29,77	—	213,3	66,06	821,2	254,3	1985	212,0
с	27,25			. -							213,3	66,06	821,2	254,3	1985	212,0
О	22,00	270,3	17,6	56,98	83,71	—	287,9	140,7	1108	541,7	2479	150,0
Б. Способ одного расчета
Рассмотрим теперь изложенный в работе [24] метод расчета неравно-
мерно нагретых дисков переменной толщины с учетом зависимости упру-
гих характеристик материала от температуры, в котором, в отличие от
других способов, отпадает необходимость выполнения второго расчета.
Определение напряжений и перемещений этим методом может быть произ-
ведено непосредственно без внесения предположений, требующих второго
расчета.
Отметим, что в работе Д. В. Вайнберга [6] задача расчета равно-
мерно нагретого диска решена методом начальных параметров без
использования способа двух расчетов. В монографии того же автора [7]
эта задача рассмотрена как частный случай обобщенной бигармонической
задачи.
В статье Н. Д. Тарабасова [47] решается задача расчета вращающегося
равномерно нагретого диска постоянной толщины, состоящего из нескольких
дисков, выполненных из различных материалов, соединенных между собой
при помощи прессовой посадки. Задача решена методами теории упругости
без использования способа двух расчетов.
Перейдем к решению поставленной задачи способом одного расчета.
Для упрощения расчета ступенчатого диска (фиг. 80, а) введем в рассмо-
трение диск постоянной толщины (фиг. 80, б), наружный и внутренний ради-
усы которого, интенсивности объемной силы, контурные нагрузки и нагрев
те же, что й для ступенчатого диска. Допустим для удобства расчетов, что
этот диск выполнен из материала, модуль упругости и коэффициент попереч-
ной деформации которого равны величинам Ei и рц, установленным для пер-
вого участка ступенчатого диска.
Для того чтобы уравнения радиальных перемещений на каждом участке
ступенчатого диска и для введенного в рассмотрение диска постоянной
142
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
толщины совпадали, примем, что закон изменения температурной деформации
для диска постоянной толщины определяется формулой
В* = * w 9.
1 + Hl
(94)
Допустим, что диск постоянной толщины нагружен радиальными силами,
равномерно распределенными по цилиндрическим поверхностям, которые
соответствуют границам участков ступенчатого диска (фиг. 80, 6). Интенсив-
ность этих сил на цилиндрической поверхности радиуса r-L границы (i —1)-го
и г-го участков ступенчатого диска, обозначим через pL кг/см2. В дальнейшем
эти силы будем называть пограничными радиальными силами. Указанные
Фиг. 80. Ступенчатый
диск постоянной толщины, нагруженный
диск (а) и
пограничными силами (б).
силы могут быть подобраны так, чтобы функция радиальных перемещений
и ее производная в ступенчатом диске совпадали с соответствующими функ-
циями во введенном в рассмотрение диске постоянной толщины.
Последнее возможно потому, что дифференциальные уравнения для
функции радиальных перемещений в диске постоянной толщины и в ступен-
чатом диске одинаковы, а наличие пограничных радиальных сил обеспечи-
вает разрывы производной функции радиальных перемещений в точках при-
ложения этих сил, как это имеет место на границах участков ступенчатого
диска.
Зная функцию радиальных перемещений для введенного в рассмотрение
диска постоянной толщины, можно, как это будет показано далее, подсчи-
тать напряжения в любой точке диска.
Перейдем к установлению закона изменения радиальных перемещений
по радиусу для диска постоянной толщины, нагруженного пограничными
радиальными силами.
Предварительно рассмотрим диск постоянной толщины (фиг. 81, а)*
наружный и внутренний радиусы которого, контурные нагрузки и нагрев
те же, что и для ступенчатого диска.
Предположим, что этот диск выполнен из материала, модуль упругости
и коэффициент поперечной деформации которого равны величинам и Ни
и, кроме контурных нагрузок, подвержен воздействию объемной силы, интен-
сивность которой q* кг/см3 есть известная функция радиуса.
Поверочный расчет на прочность вращающегося диска
143-
Полагая в уравнении (14) Е = Elf и = Hi и заменяя q на q*, а 6 на
получим
2 г С	г
Ц = СХГ +-^--^1.4-f CdC Jr dx +
Г1 Г1	rt .
Выполняя интегрирование по частям, после преобразований устанавли-
ваем
u = Cjr + ^--^4jr	+ O +	<95>
где
г
T*=|L±^eCdC.	(96)
Сопоставляя выражения (96) и (17), заключаем, что подынтегральная
функция в выражении (96) отличается от таковой в соотношении (17) коэф-
Фиг. 81. Схема нагружения диска постоянной толщины
фициентом .
Если не учитывать изменение по радиусу коэффициента
поперечной деформации в зависимости от температуры, то тогда
7^* = Т
Заметим, что, как это следует из соотношения (96), при г = t\ функция
Т* обращается в ноль:
Т* (гг) = 0.	’	(97)
Используем выражение (95) для получения уравнения радиальных пере-
мещений в неравномерно нагретом диске постоянной толщины, нагруженном
объемной силой интенсивности q и пограничными радиальными силами
(фиг. 80, б).
Для этого вначале рассмотрим неравномерно нагретый диск постоянной
толщины, нагруженный объемной силой интенсивностью q и равномерно
144
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
распределенными объемными радиальными силами постоянной интенсив-
ности qk в интервалах радиусов rk, гй + Дгй (фиг. 81, б). Отметим, что
эти силы приложены в окрестностях радиусов г2, г3.......rm_x и, следова-
тельно, величина k принимает значения 2, 3,..., m— 1. В таком случае
имеем при rk < г < rk + Дгй
<7* = <7 + qk,
при rk + Дгй < г < гк+1
Я* = Я-
Тогда из выражения (95), используя соотношение (16), получаем урав-
нение радиальных перемещений на «-м участке при rt + Дгу < г < rjH:
и = С.г + Ь.
1 -и?	—L
2Ег \ г
1-М?
2El
(Г2 \	т*
Г—7-)^ + (1 + hi)V-
Учитывая, что qk — постоянная величина, можно это выражение преоб-
разовать к виду
u = C1r + -^-^i(Qr-4-)-
। _^2	*
---2ЕГ 2 Як {rk Ьгк —	[(г* 4- Дг*)2 + (rk + Дгй) rk + г21} +
1 k=2 V	J
+ (1+Hi)v-	(98)
Уравнение (98) дает радиальное перемещение при rt + Дгг- < г < г,.
Для того чтобы из выражения (98) найти уравнение радиальных пере-
мещений для неравномерно нагретого диска постоянной толщины, нагру-
женного объемной силой интенсивностью q и пограничными радиальными
силами интенсивностью pk (см. фиг. 14, б), положим в последнем уравне-
нии Дгй->0 и при этом qkLrk-+ pk. Тогда получим для /-го участка
«=C1r + ^-^(Qr—+	(99)
k=2
Продифференцируем уравнение (99), используя соотношения (20) и учи-
тывая, что, согласно формуле (96),
dr 1 —
Тогда устанавливаем, что для Z-ro участка
du	- С2	1 —М-1 /п . J X	...	. Т* .
dr	г2 2Ег г2)	(1 + Hi) гг +
+ (1 + но^Рк(1 + 4) •	<10°)
А=2
Как следует из уравнений (99) и (100), функция и непрерывна на всем
радиусе диска, а производная ее терпит разрывы в точках, соответствую-
щих границам участков ступенчатого диска.
Поверочный расчет на прочность вращающегося диска
145
Располагая функцией радиальных перемещений и ее производной,
можно перейти к определению напряжений.
Для получения законов изменения напряжений на Z-м участке исполь-
зуем формулы (9), связывающие окружное и радиальное напряжения
с радиальным перемещением. Полагая в этих формулах Е = £z, а у- = y,z
и подставляя в них соотношения (99) и (100), получаем выражения напря-
жений на z-м участке:
.= £'.._
С2 1 - р-1
г2 2Е,
45
k=2
Ei
Qr .	2
1-^.
. i-w V .
+	2 El / I
k=2
+ H) — (i — ^.) [o + Hz) Q+(1 - Hz) 4] -
' ' /1	.. 4 /1 , .. X T* 1 4- W 1 “Hi „
(1 Hz) G + Hi) r2 2 Ej / i
A=2

Для получения величин pz воспользуемся зависимостью между радиаль-
ными напряжениями на границе двух соседних участков (85). Подставляя
радиальные напряжения по второй формуле (101) в соотношение (85),
получим
44 (i+nD^-Ci-iiJ-^-^fo+^Qz+Ci-Hz)4 -
1— н/1	П 1 [	ri
п \/1|	1 + p-z 1 ~ P-i V „	1 — P-z 1 Hi „ d _
(1 Hz) О + Hi) 2	2 Et 2j₽A 2 £i / ।r? ~
k=2	k=t	, .
hi 1 -(!?_!
(I + hz-O^-G-h-x)^--
2^ O+Hz-OQz + G-Hz-i)
4]-(1-Hz-i)(1+Hi)
ri
___ 1 ~i~ p-z—i
2
1 — HZ-1 1 — ^1
d
Pk 9
(Ю2)
где Qz, Jz, — величины соответствующих функций на радиусе rz
10 Пономарев 508
146
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
Из соотношения (102) после преобразований имеем
.1 — р.?	£
-Л Pl = п + V-1 - С1 + Mz-z) TlzKi - [1 - Ъ - (1 — Mz-i) Uzl 4 -
rf
[1 + Mz - (1 + Mz-1) 4z] Qz 4H1 - Mz - (1-Mz-1) ^z]- [1 - Hz -
Z— 1
— (1—Hz-O^lzK1 +н)^г — 4-П + Mz~G + Mz-i) ^Iz] —ЁТ2-	Pk —
1	k^2
-4n-Hz-G-Hz_i)^]^2Pft4’	(I03>
k=2	1
где
__ £/-i (1 — P-f) hi—i
1Q/_ ^(I-pLz)^ ‘
(104)
Формула (ЮЗ) определяет интенсивность радиальных пограничных сил,
которые необходимо приложить к диску постоянной толщины (фиг. 80, б)
для того, чтобы функция радиальных перемещений и ее производная для
этого диска совпадали с соответствующими функциями для ступенчатого
диска (фиг. 80, а).
По формуле (ЮЗ) интенсивности могут быть последовательно, начи-
ная с р2 и кончая рт_19 выражены через постоянные интегрирования,
интенсивность объемной нагрузки, температурную деформацию, модуль
упругости и коэффициент поперечной деформации.
Очевидно, что соотношение (103) может быть представлено в виде
1 — Рч
Pi = ClUl - CiVl - Wt.	(105)
Произведя суммирование, начиная с р2 и кончая рг_1г получим
]_ 2 1— 1	4—1	Z—1	Z—1
2 pk=cr l>uk-c2 2 vk- 2 wk.	(106)
£1 4=2	4=2	4=2	4=2
Подставим соотношения (105) и* (106) в формулу (103) и приравняем
коэффициенты при постоянных интегрирования Сг и С2, а также свобод-
ные члены в левой и правой частях равенства соответственно.
Тогда получим рекуррентные формулы для подсчета величин U it Vz и W
U. = 1 + н - (1 + ъ - 4- [1 + Mz-G + Mz—i) Чzl tf*-, -
г г**
—^-[I-Mz-G-Mz-iK]-^1;
vt = [1 - Mz - (1 - Mz-i) ’Id - 4 I1 + Hz - (1 + 'Mz-i) 4zl VLz - (I07>
Ту**
— -2~ [I — Mz — (1 — Mz-i) Tlzl —V1- ;
ri
Поверочный расчет на прочность вращающегося диска
147
Wt W* Ь + Hz “ U + Hz-i) Qi + [ 1 - Hz - (1 - Hz-x) 41 +
•“-1 (	I
+ [1 — Hi — (1 — Н-1)1!/] (1 + Нх)4~
Г1
- 4 и + Hz - (1 + Hz-x) Ч/] К-л - 4 [ 1 - Hz - (1 - Hz-x) ,
где
tf-i = 1 Uk-, Vj-t = 2 W. W^i = S Wb-,
fc=2	k=2	k=2
uZa = 2 u^-, vZi = 2 vkr\-, w7-i = 2 w^.
k=2	k=2	k=2
(107)
(Ю8)
По формулам (107) последовательно определяются величины Ut, Vlt
начиная c U2, V2, W2 и кончая Um v Vm v 1FOT_!. Отметим, что в процессе
определения этих величин вычисляются и суммы (108).
Подставим соотношение (105) в выражения (101), используя при этом
обозначения (108). Тогда получим окончательные формулы для подсчета
напряжений на z-м участке:
_ Ei !4„ l4Wn»il~w иг 4 ।
°z = TZ~Т I 1 + ^z-2~Ui + —~~ Ci +
1 Pi i \	<	/
I / 1 — W i' 1 + Hi V* 1 — Hi Vi \ n
“г I r2 “t" 2	2 r2 1^2
-ТЕГ [<‘ + "‘>Q-”>*<>-?] +<1-л)(1 + н)-5- +
(/	a** \	(109)
_ Ei fli,.. _____1 + HZ rr*_1 — HZ ‘ |r> _
,	2 I \ 1 "t"	о	1	2 ' r2 )
1 — (4 I \	z	z '/
[ 1 — W 1 + Hi X7* 1 — HZ Vi 4
yr2 2 Vt' 2 ’ г2 у b2
- [o + Hz) Q + (1 - Hz) 4] - - Hl) (1 + Hl) 41 +
W7** ’I
+ 1+«1г;+Це..^- .
Подставляя соотношения (105) в выражение (99) и имея в виду обозна-
чения (108), выводим формулу для радиального перемещения на t-м участке:
(7 7** \	/	I/** \
с>+ с>-
Лл	LI J	у f	£л9	/
В + ^ + ^ + т»7'—2^-	010)
10*
US
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
Для определения напряжений и радиальных перемещений в некоторой
точке i-fo участка необходимо в формулы (109) и (ПО) вместо г подставить
радиус окружности, проходящей через эту точку, а вместо Q, J, 0 и Т — вели-
чины этих функций в выбранной точке.
Ввиду того что пограничные радиальные силы прикладывались на окруж-
ностях, разграничивающих участки диска, начиная со 2-й и кончая m—1-й,
величины и], К*, Wt, U7, Vz**, имеют смысл для всех участков,
кроме? 1-го.
Для определения напряжений и радиальных перемещений на 1-м участке
вместо указанных величин в формулы (109) и (ПО) подставляются нули.
1	J Т*
Так же как и раньше, для диска без отверстия функции и в форму-
4	J т*
,лах^(109), а также — и-у- в формуле (ПО) в центральной точке обра-
ти	J J
щаются в неопределенности. Неопределенности у и — раскрываются
по формулам (27) и (28). Аналогично соотношениям (25) и (26) имеем
lira = lira f 6WC = 4 •>	010
r->0 r r->0 г 1 । ^1	2
^+=-!S1H++t‘it = 0'
(И2)
Постоянные интегрирования Cj и C2 определяются из краевых усло-
вий (11)1или (12). Для диска с отверстием из краевых условий (11), используя
вторую jформулу (109) и учитывая соотношения (18) и (97), получаем два
уравнения для определения и С2:
•	1 _ 2
(1+(Х1)С1_1у1С2 =-------
r 1	1
(ИЗ)
1 + Hm-i
~ ^т—1 jj* __ 1 ^т—1
2 um-l	2	-2
'	tn
1 - ^m-l
1	V**	\
i T7*	1	1 V m—1 | p __
> V m—1	2	2	| U2 —
rm I
2Е
(1 + Нт—i) Qm + (1Нт—i) 4 ] +
rm _
I	1/1	\ /j \ Tm 1 + I
+ (1 — Hm-i)(l — Hi) —----;
’	rm
'	1-H^C-l , 1 — Hrn—,
2 rt Ф Ят-i Pm'
tn
Для диска без отверстия из первого краевого условия (12), используя
уравнение (ПО) и учитывая соотношения (18), (28) и (112), устанавливаем,
что
t*m-i ту?»
2 W m
(П4)
С2 = 0,
(115)
1 — <4 Г
2
Поверочный расчет на прочность вращающегося диска
149
а из второго краевого условия (12), используя второе уравнение (109) и учи-
тывая соотношение (115), получаем уравнение для определения постоянной Cf.
1 +
1	^/71—1 7 7*	1	1	1 n ______
2	2	1 “
m )
1 —14
~2£T
rm
T* 1 + и
+ (1 - (i + н) -F —4^	-
rm
1C-1 , J-^-1
9 Л ’* E™ ,
r	—i
m
(116)
Если не учитывать зависимость модуля упругости и коэффициента попе-
речной деформации от температуры и считать их для всех точек диска оди-
наковыми, то выведенные выше формулы можно упростить.
Введем величины U, V и W, связанные со старыми U, V и W следующими
зависимостями:
{/, = (1 + ^; ^ = (1-^)7,;	=	(117)
Тогда, учитывая, что Е и р — постоянные величины, преобразуем выра-
жения (107) к виду
(Н8)
где
С,= 1-^=1-
(Н9)
=
k=2	/г-2	k=2
v”. = SV^;
k-2	k=2	A=2
Таким образом,’ получены новые рекуррентные формулы_(118) для вели-
чин U, V и W, подсчет которых следует вести начиная ci/г. Vг, 1^2 и кончая
vm^, rm_v
Так же как и раньше, в процессе вычисления этих величин определяются
суммы (120).
150
Расчеты на прочность, жёсткость и ползучесть дисков турбомашин
Учитывая, что Е и н — постоянные величины, преобразуем формулы
для напряжений (109) и.радиального перемещения (ПО), используя соот-
ношения (117), (120). Тогда получим
_ fi_ 1 4 ’ Р 7 7* , 1 — Р Ut \ д 
I 1	2 U *  2 * г2 ) '
Т/** \
1 I	V*	И I D
7F-1	2	2	г2/
-у [(1 + h)Q-(1-h)41 +^f-£0 +
4* I	I J	I
+ 1+н^;_1=н._5_;
(77** \
_ f i_i+1* \r* i—и r 
\ r2 2	1	2	’ г2 У
[(1 +h)Q + (1	-4f- +
+ _L+pl^; + _L^l._^_;
(121)
где постоянные А и В связаны с постоянными Сх и С2 соотношениями (24).
Преобразуем теперь уравнения (113)—(116) для определения постоянных
интегрирования при помощи соотношений (117), (120) и (24). Тогда получим
для диска с отверстием два уравнения, определяющие А и В:
А--~ = -рг,
ri
(123)
2
1 +1» ТГ 1 — Р
9 Уm—1 я
ЕТт
г2
т
(i + fOQzn+a-i^’
l+l4w*	1— Р Wm-l । „
—2— Vr т-1---2 ~~2---г Pm-
rm
(124)
Поверочный расчет на прочность вращающегося диска
151
Для диска без отверстия
В = 0,
__	77* _ 1 ~
9	Ш—1	9
(125)
(126)
Фиг. 82. К примеру расчета диска газовой турбины.
Так же как и ранее (см. способ двух расчетов), в случае равномерного
нагрева диска при определении напряжений в формулах (118), (121), (124)
и (126) можно положить, что слагаемые, содержащие 9 и Т, равны нулю.
Разберем два примера расчета дисков изложенным способом.
Пример 1. Диск осевой газовой турбины без центрального отверстия. Профиль диска
изображен на фиг. 82, а. Число оборотов в минуту п = 12 300. Интенсивность равномерно
распределенной по наружной поверхности обода нагрузки рт = 1400 кг/см*. Вес единицы
объема материала диска = 0,0081 кг/см3. График изменения температуры по радиусу диска
представлен на фиг. 82, б. Зависимости модуля упругости и коэффициента поперечной дефор-
мации от температуры даны на фиг. 83.
152
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
Среднее значение коэффициента линейного расширения материала диска в интервалах
заданных температур изменяется незначительно. Поэтому эту величину примем постоянной
и равной а = 16*10-61/°С.
Условия этого примера заимствованы из работы [12]. Отличие состоит лишь в том, что
в работе [12] коэффициент поперечной деформации принят постоянным и равным р = 0,3,
в то время как в решении, приведенном ниже, учтена-зависимость коэффициента поперечной
деформации от температуры.
Используя эпюры распределения температуры по радиусу диска (фиг. 82, б) и графики
зависимости модуля упругости и коэффициента поперечной деформации от температуры
(фиг. 83), принимая во внимание выбранную величину коэффициента линейного расширения,
строим эпюры изменения величин 6, £ и по радиусу диска (фиг. 82, в, г, д).
Профиль диска заменяем ступенчатым профилем, состоящим из девяти участков постоянной
толщины, так, как это представлено на фиг. 82, а. Начальный, средний и конечный радиусы
участков и толщины их, равные толщинам диска на средних радиусах участков, приведены
в табл. 28.
Таблица 28
К расчету диска газовой турбины (значения функций О, Т*, Q и J)
№ уча- стка	г в см	h в см 1		ТОД Т « UJ «	jx	0-Ю3	wo н	ГМ08 в CM2	О	s tu Ом	J.10-3 в кг	L r2 в кг/см*
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	0,000 2.500 5,000	6,700	1,870	0,3710	2,400 2,400 2,640	0,000 6,000 13,20	0,000 7,500 31,50	1,200 1,200 1,260	0,00 42,81 171,2	0,0000 0,1338 2,140	0,00 21,40 85,62
2	5,000 6,000 7,000	6,400	1,830	0,3750	2,640 2,800 3,050	13,24 16.85 21,41	31,50 46,54 65,67	1,260 1,293 1,340	171,2 246,6 335,6	2,140 4,438 8,223	85,62 123,3 167,8
3	7,000 8,000 9,000	5,800	1,790	0,3800	3,050 3,300 3,650	21,49 26,57 33,07	65,67 89,71 119,5	1,340 1,402 1,476	335,6 438,4 554,8	8,223 14,03 22,47	167,8 219,2 277,4
4	9,000 10.00 11,00	5,200	1,730	0,3880	3,650 3,984 4,380	33,26 40,33 48,78	119,5 156,3 200,9	1,476 1,563 1,660	554,8 684,9 828,8	22,47 34,25 50,14	277,4 342,5 414,4
5	11,00 12,00 13,00	4,600	1,650	0,3970	4,380 4,800 5,270	49,09 58,69 69,81	200,9 254,8 319,0	1,660 1,769 1,888	828,8 986,3 1158	50,14 71,01 97,81	414,4 493,2 578,8
6	13,00 14,00 15,00	4,000	1,550	0,4090	5,270 5,800 6,432	70,41 83,45 99,15	319,0 396,0 487,3	1,888 2,020 2,166	1158 1342 1541	97,81 131,6 173,4	578,8 671,2 770,6
7	15,00 15,50 16,00	3,600	1,470	0,4190	6,432 6,700 7,000	99,86 107,5 115,9	487,3 539,1 594,9	2,166 2,244 2,324	1541 1646 1753	173,4 197,7 224,4	770,6 822,8 876,7
8	16,00 16,45 16,90	4,200	1,410	0,4255	7,000 7,300 7,620	116,5 124,9 133,9	594,9 649,2 707,5	2,324 2,399 2,477	1753 1853 1956	224,4 250,8 279,4	876,7 926,7 978,1
. 9	16,90 17,15 17,40	4,800	1,370	0,4300	7,620 7,8И 8,000	134,3 139,5 145,2	707,5 741,7 777,3	2,477 2,522 2,567	1956 2015 2074	279,4 2£6,3 313,9	978,1 1007 1037
Поверочный расчет на прочность вращающегося диска
153
По эпюрам модуля упругости и коэффициента поперечной деформации определяем их зна-
чения на средних радиусах участков, которые и принимаем постоянными для участков. Следо-
вательно, эпюры модуля упругости и коэффициента поперечной деформации заменяются сту-
пенчатыми эпюрами так, как это изображено на фиг. 82, гид. Величины модуля упругости и коэф-
фициента поперечной деформации, постоянные для каждого участка, приведены в табл 28.
В той же таблице даны снятые с графика, изображенного на фиг. 82, в, величины температур-
ной деформации 6 на начальном, среднем и конечном радиусах участков, а также значения
подынтегральной функции  0г в выражении (96). Произведя числовое интегрирова-
ние согласно формуле (96), получаем Т*. Далее определяем Т*г-2. При подсчете этой функ-
ции в центральной точке используем соотношение (111). Величины Т* и Т*г~2 приведены
в табл. 28. Затем по формулам (16) определяем величины Q и J. При этом учитываем, что в рас-
сматриваемом примере диск не имеет центрального отверстия, и, следовательно, г л = 0, а'угло-
вая скорость вращения	= 1288 ^сек.
Величины Q и J, а также Jг~2 приведены $ табл. 28. При подсчете Jг~2 в центральной точке
используем соотношение (2?). Располагая значениями функций 6, Т*, T*r~2, Q, J,Jr~2t пере-
ходим к подсчету сумм (108)
Ввиду того что диск не имеет центрального отверстия, постоянная интегрирования Cz~ О
[см. формулу (115)], поэтому величины V-L и [см. формулы (109)] не нужны для расчета
Для определения U*-, U**, , W*? предварительно по формуле (104) подсчитываем для
всех участков, начиная со 2-го. Вычисленные значения приведены в табл. 29
Для примера подробно рассмотрим определение £/2, ^з, №2 и
По первой формуле (107), используя данные табл. 28 и 29, получаем
^2 = 1 + Р-2 — (1 + P*i) ^2 = 1-4- 0,3750 — (1 + 0,3710) 1,066 = —0,08655
и, следовательно,
U.J* = — 0.08655-52 = — 2.164 сл2;
тогда по формуле (108)
и\ = U3= — 0,08655; U” = l/2rf = - 2,164 си2.
. Далее имеем
Пз = 1 -Ь р-з — (1 + р>2) Чз-2" (1 Ч" Р^ (1 + Р-г) *^3]
1
- V I1 - Р-з - d - -Пз] = 1 + 0,3800 - (1 + 0,3750) 1,123 +
2	>3
-|- Л [1 + 0,3800 — (1 + 0,3750) 1,123] 0,08655 +
+ у [! — 0,3800 — (1 — 0,3750) 1,123] 2’^4- = — 0,1733
и, следовательно,
7/3г| = — 0.1733-72 = — 8,489 см2,
а согласно формулам (107)
7/з = Т)2 + Us = — 0,08655 — 0,1733 = — 0,2598;
(/" = i/2r| + U3rl = — 2,164 — 8,489 = — 10,65 см2.
По третьей формуле (107), используя данные, приведенные в табл. 28 и 29, устанавливаем
1_,	j \
^2 = _2£Г [1+ 1X2	+	1X27Г +
z. .-,1+14-r*	1— 0.37102
P--2	(1 P-i) "HaJ о 12~ 2.1,870-106
r2
X {[1 + 0.3750 — (1 + 0,3710) 1,066] 171,2 + [1 — 0,3750 — (1 — 0,3710) 1,066] 85,62} +
+ [1 — 0,3750 — (1 — 0,3710) 1,066] (1 + 0,3710) 1,260-10“3 = — 0,08299-10“3,
154
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
Таблица 29
К расчету диска газовой турбины (величины U*t U**, W*t W**, и ar)
№ уча- стка	г в см	Я ,-0.^ 9	я		~ui	* -Ui	** -Ui В CM2	о вг 1	и О * 1	о * X- Ь * 1 PQ	ь и	g 	
1	0,000 2,500 5,000	\ 2,168	—	—	—	—	—	—	—	3990 3970	3990 3950
2	5,000 6,000 7,000	2,129	1,066	0,08655	0,08655	2,164	0,08299	0,08299	2,075	3350	3770
3	7,000 8,000 9,000	2,092	1,123	0,1733	0,2598	10,65	0,1751	0,2581	10,65	2710	3740
4	9,000 10,00 11,00	2,037	1,146	0,2247	0,4845	28,86	0,2614	0,5195	31,83	1880	3590
5	11,00 12,00 13,00	1,959	1,175	0,3051	0,7896	65,77	0,3969	0,9164	79,85	969	3370
6	13,00 14,00 15,00	1,861	1,210	0,4197	1,209	136,7	0,6144	1,531	183,7	—55,0	3080
7	15,00 15,50 16,00	1,783	1,160	0,3773	1,587	221,6	0,6129	2,144	321,6	—930	2770
8	16,00 16,45 16,90	1,722	0,8877	—0,3230	1,264	138,9	—0,4809	1,663	198,5	—1690	2010
9	16,90 17,15 17,40	1,681	0,8963	—0,2619	1,002	64,11	—0,4139	1,249	80,27	—2290 —2530	1500 1400
и поэтому
W2r\ == — 0,08299-10-8-52 = — 2,075-10“8 см2,
а согласно формулам (108)
U7* = Ц72 = — 0,08299- IO—3; W" = W2rj = — 2,075-10—8 см2.
Далее имеем
•1—Iх?!	Л)
= ~2Ё— р "bl18 — 0 + Pa) "Gsl Qs + [ 1 — Рз — (1 — Рз) "Пэ] -^2-1 +
А 1
+ [1 -Рз~(1 - Рз) т1з](1+Р1)-^-у [Ц-Рз-О+Рз) -Пз] —
Поверочный расчет на прочность вращающегося диска
155
-Tf
Г**
Рз (1 Р’г) *Пз1 2~
г3
1 — 0,37102
2-1,870-10» Х
X {[1 + 0,3800 — (1 + 0,3750) 1,123] 335,6 + [1 — 0,3800 — (1 — 0,3750) 1,123] 167,8} +
+ [1 —0,3800 —(1 — 0,3750) 1,123] (1 + 0,3710) 1,340-10-» +
+ у [1 + 0,3800 — (1 + 0,3750) 1,123] 0,08299-10~» +
+ у [1 -0,3800 — (1 —0,3750) 1,123] 2’0757210 3 = -0,1751-10-»

Фиг. 84. Эпюры напряжений в диске газовой турбины.
и, следовательно,
Wsrl = — 0,1751 • 10-»-72 = — 8,580-10“’ см2,
а согласно формулам (1)8)
U7* == Ц72 + Ц73 — — 0,08299-10~» — 0,1751 • 10~» = — 0,2581 • 10~»;
И?з‘ = W2rl +	= — 2,075-10-» — 8,580-10“» = — 10,65-10~» см2.
Аналогично подсчитываем величины U*t U**t W*, Г** для всех участков. Результаты
подсчетов сведены в табл. 29.
Затем из уравнения (116) определяем постоянную интегрирования Су = 2,097-10-3.
Теперь по формулам (109), используя данные табл. 28 и 29, вычисляем напряжения на сред-
них радиусах участков, в центральной точке и на наружной поверхности обода. Результаты
подсчетов приведены в табл. 29. На фиг. 84 изображены эпюры напряжений (сплошные линии).
На том же чертеже штриховыми линиями представлены эпюры напряжений, полученные без
учета изменения по радиусу упругих характеристик материала в зависимости от температуры.
При атом приняты обычно используемые в расчетах величины модуля упругости Е =
= 2,1-106 кг!см2 и коэффициента поперечной деформации р- = 0,3.
Сопоставление эпюр, изображенных нафиг. 84 сплошными и штриховыми линиями, при-
водит к заключению, что в рассматриваемом примере различие в величинах окружного и ради-
ального напряжений в центральной точке составляет 14%, а в величине окружного напряже-
ния на наружной поверхности обода 75%.
Как отмечалось выше, изменение по радиусу коэффициента поперечной деформации и его
абсолютное значение очень слабо влияют на величины и распределение напряжений. Поэтому
значительное расхождение в эпюрах напряжений, полученных с учетом и без учета изменения
156
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбо машин
по радиусу упругих характеристик материала в зависимости от температуры (фиг. 84) следует
отнести за счет переменности по радиусу модуля упругости.
Пример 2. Равномерно нагретый диск центробежного нагнетателя с двусторонним входом
воздуха. Профиль диска изображен на фиг. 85, а. Число оборотов в минуту п~ 9000. Интен-
сивности контурных нагрузок на внутренней и наружной поверхностях диска равны нулю.
На фиг. 85. б представлен график изменения площади поперечного сечения лопатки по радиусу
диска. Число лопаток на двух боковых поверхностях z = 62.
Материал диска и лопаток — сплав дюралюминий. Вес единицы объема материала диска
и лопаток Ч — “1 л = 0,002850 кг/см\ коэффициент поперечной деформации = 0,3300.
Заменим профиль диска ступенчатым профилем, состоящим из 12 участков постоянной
толщины, так, как это представлено на фиг. 85, а. Начальный, средний и конечный радиусы
участков, а также толщины диска h на этих радиусах приведены в табл. 30.
Отметим, что за_толщины ступеней приняты толщины диска на средних радиусах участ-
ков (в табл. 30 они подчеркнуты). /
По этим величинам определены коэффициенты С, также приведенные в табл. 30. В той же
таблице даны снятые с графика, изображенного на фиг. 85,6 величины площади поперечного
сечения лопатки F на начальном, среднем и конечном радиусах участков. Располагая вели-
чинами h и F на этих радиусах, по формуле (3) определяем интенсивность объемной нагрузки
на начальном, среднем и конечном радиусах участков. При этом учитываем, что угловая ско-
рость вращения ю =	= 942,6 ^сек
ои
Результаты подсчетов приведены в табл. 30. Произведя числовое интегрирование, согласно
формулам (16) вычисляем функции Си/, а затем определяем Jr~\ Результаты подсчетов све-
дены в табл. 30. Далее по формулам (118) определяем суммы (120). Величины их приведены
в табл. 31. При подсчете сумм (120) учитываем, что диск нагрет равномерно, и поэтому слагае-
мые, содержащие 0 и Г, можно положить равными нулю.
Суммы (120) подсчитываются так же, как и суммы (108), что было подробно рассмотрено
в предыдущем примере
Далее, используя табл. 30. составляем уравнения для определения постоянных А и В
1см. формулы (123) и (124)]. При этом учитываем, что, согласно условиям примера, интенсив-
ности контурных нагрузок pi и рт равны нулю. Величина Т также может быть принята рав-
ной нулю, поскольку диск нагрет равномерно. В результате получаем два уравнения относи-
тельно постоянных А и В:
А — 0,02367В = 0;
25,17Л — 0,05570В = 20 560.
Поверочный расчет на прочность вращающегося диска
157
Таблица 30
К расчету диска центробежного компрессора (значения функций g, Q и J)
№ уча- стка	г в см	h в см	- С	F в см2	Q в кг[см2	дг2-10—3 в кг[см	Q в кг[см2	J-10”3 в кг	Jr”"2 в кг[см2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	6,500	29,20		0,0000	16,78	0,7090	0,00	0,000	0,00
1	10,50	29,20	—	0,0000	27,10	2,989	87,76	7,396	67,05
	14,50	29,20		0,0000	37,42	7,869	216,8	29,11	138,4
	14,50	29,20		.0,0000	37,42	7,869	216,8	29,11	138,4
2	15,25	26,80	0,08955	0,7000	40,03	9,311	245,8	35,55	152,8
	16,00	24,80		1,300	42,62	10,91	276,8	43,13	168,5
	16,00	24,80		1,300	42,62	10,91	276,8	43,13	168,5
3	17,00	22,00	0,2182	2,050	46,25	13,37	321,2	55,27	191,2
	18,00	20,00		2,700	49,90	16,17	369,3	70,04	216,1
	18,00	20,00		2,700	49,90	16,17	369,3	70,04	216,1
4	19,00	18,00	0,2222	3,200	53,55	19,33	421,0	87,79	243,2
	20,00	16,00		3,650	57,45	22,98	476,5	109,0	272,5
j	20,00	16,00		3,650	57,45	22,98	476,5	109,0	272,5
! 5	21,00	14,60	0,2329	4,000	61,19	26,98	535,8	134,0	303,9
	22,00	13,40		4,300	64,96	31,44	598,9	163,2	337,2
i	22,00	13,40		4,300	64,96	31,44	598,9	163,2	337,2
i 6	23,00	12,12	0,2046	4,600	69,04	36,52	665,9	197,2	372,7
	24,00	11,00		4,850	73,15	42,13	737,0	236,5	410,6
	24,00	11,00		4,850	73,15	42,13	737,0	236,5	410,6
7	25,00	9,800	0,2367	5,100	77,76	48,60	812,5	281,9	451.0
	26,00	8,800		5,300	82,48	55,76	892,6	334,1	494,1
	26,00	8,800		5,300	82,48	55,76	892,6	334,1	494,1
! 8	27,00	8,000	0,2250	5,500	87,18	63,55	977,4	393,8	540,3
	28,00	7,200		5,600	92,07	72,18	1067	461,7	589,1
	28,00	7,200		5,600	92,07	72,18	1067	461,7	589,1
; 9	30,00	6,000	0,3333	5,300	99,96	89,96	1259	623,8	693,0
	32,00	4,800		4,050	104,1	106,6	1463	820,4	801,2
	32,00	4,800		4,050	104,1	106,6	1463	820,4	801,2
: 10	34,00	3,800	0,5789	3,600	111,9	129,4	1679	1056	913,5
	36,00	3,000		3.300	121,0	156,8	1912	1342	1035
	36,00	3,000		3,300	121,0	156,8	1912	1342	1035
> н	38,00	2,200	0,7273	3,050	133,4	192,6	2166	1691	1171
	40,00	1,600		2,850	148,5	237,6	2448	2121	1326
	40,00	1,600		2,850	148,5	237,6	2448	2121	1326
' 12	43,38	0.8000	1,750	2,500	191,6	360,4	3022	3130	1664
j	46,75	0,5000		2,400	243,0	531,2	3755	4635	2121
158
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
__ _	_	Таблица 31
К расчету диска центробежного компрессора (величины U*9 U**9 V*> V**, W*, W**,
Of и °г)
№ уча- стка	г в см	I&- 1	* •»* Ь 1	1 PQ	2 « 1 и	•li ।;	V 1	1 и	* в кг/смг	гз/ а e-oix, У. f А — —	at в кг] см?	3 1 «и к* Ь и
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1	6,500 10,50 14,50	—	—	—	—	—	—	—	—	—	1800 1210	о ! 475 ;
2	14,50 15,25 16,00	0,08955	0,08955	s 18,83	0.4258	• 0,4258	0,08955	• 17,06	17,06	3,588	969	569
3	16,00 17,00 18,00	0,2366	0,3262	79,40	0,9396	1,365	0,3301	55,97	73,03	17,92	948	652
4	18,00 19,00 20,00	0,2886	0,6148	172,9	0,9632	2,328	0,6422	85,57	158,6	45,64	933	718 !
5	20,00 21,00 22,00	0,3618	0,9766	317,6	1,068	3,396	1,069	128,5	287,1	97,04	929	778 ;
6	22,00 23,00 24,00	0,3824	1,359	502,7	1,036	4,432	1,570	157,4	444,5	173,2	922	807
7	24,00 25,00 26,00	0,5198	1,879	802,1	1,325	5,757	2,333	242,4	686,9	312,8	923	845
8	26,00 27,00 28,00	0,5956	2,475	1205	1,454	7,211	3,316	308,5	995,4	521,3	921	859
9	28,00 30,00 32,00	1,054	3,529	2031	2,496	9,707	5,273	597,3	1593	989,6	911	838
10	32,00 34,00 36,00	2,323	5,852	4410	5,301	15,01	10,70	1520	3113	2546	885	798
И	36,00 38,00 40,00	4,387	10,24	10100	9,833	24,84	23,44	3162	6275	6644	852	736
12	40,00 43,38 46,75	17,37	27,61	37890	38,59	63,43	85,18	13360	• 19640	। 28020	830 567	710 0
Расчет дисков графическим способом
159
Решая составленные уравнения, получаем А — 901,1 кг/см2, В = 38070 кг.
Располагая постоянными интегрирования, используя данные табл. 30 и 31, по форму-
лам (121) определяем напряжения на средних радиусах участков, внутренней и наружной
поверхностях диска. При этом учитываем, что^ величины 6 и Т можно положить равными нулю,
так как диск нагрет равномерно.
Результаты расчетов приведены в табл. 31. На фиг. 85, в изображены эпюры напряжений.
§ 5. РАСЧЕТ ДИСКОВ ГРАФИЧЕСКИМ СПОСОБОМ
Весьма наглядным и практически удобным способом расчета дисков
произвольно-поперечного профиля является графический способ, освобож-
дающий конструктора от длительных вычислений, при которых незначитель-
ная погрешность в цепочке выкладок может свести на нет всю проделанную
работу..
Для освоения методики построений изложим вначале графический расчет
диска постоянной толщины с учетом осимметричного нагрева, но в предпо-
ложении, что упругие характеристики материала (£ и и) постоянны,
т. е. от температуры не зависят.
Если толщина диска и характеристики материала в связи с нагревом
меняются по радиусу, то всегда можно себе представить диск расчлененным
на кольца постоянной толщины, для каждого из которых в малом интервале
радиусов постоянство значений Е и и оправдывается в достаточной степени.
В такой постановке задачи графический расчет неравномерно нагретых
дисков переменной толщины и изложен ниже.
Воспользуемся уравнениями (23) и (24). Введем подстановку
х =	(127)
тогда, учитывая выражение (127), получим
а/ = Л + Вх —S	(128)
и
аг = Л — Вх — R,	(129)
где
s = Ee-£Tx+y[(i+ h)Q-(1-h)Jx],	(1зо)
а
7? = £Гх + -|[(1 +h)Q + (1-p)Jx]	(131)
функции X.
В частности, для дисков осевых турбин, согласно формулам (29), значе-
ния функций S и R упрощаются и принимают вид
S = £9 —£7х + Ц^-^-;	(132)
1	8 gx ’	х 7
R = ETx + ^±^1£-.	(133)
о gx
Для графического представления зависимостей (128) и (129) воспользуемся
двумя системами координат (х, <з^ и (х, аг). Координата х в рассматриваемом
случае всегда имеет только положительное значение [см. формулу (127) ].
Совместим начала координат и оси ординат избранных координатных
систем (фиг. 86), а оси абсцисс направим не в одну сторону, как это делается
в способе Граммеля [64], а в противоположные стороны [60].
160
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
Это, казалось бы, незначительное изменение принципа построений Грам-
меля делает графический расчет значительно более эффективным. Действи-
тельно, при таком расположении осей координат прямые
а' = А + Вх,	(134)
а'= А —Вх,	(135)
каждая в своей области существования, явятся продолжением одна другой
(фиг. 86): А представляет собой отрезок, отсекаемый указанными прямыми
на оси ординат, а В определяет наклон прямых по отношению к оси абсцисс.
Графический расчет ведется следующим образом. Вниз от осей абсцисс
сопряженных координатных систем строится вспомогательная ось г. Зави-
симость (127) представляется в си-
стеме координат (х, г) линиёй ab
(фиг. 87). С помощью этой кривой
сразу выясняются значения абсцисс
1	1
хх — —2" и х2 — -2~ > где 1\ и г2 —
Г1	Г2
внутренний и внешний радиусы ди-
ска (для диска без отверстия абсцисса
Xj бесконечно велика).
Кривая cd (фиг. 87), построенная
в координатах (0, г), выражает закон
Фиг. 86. Графическое представление уравне- изменения по радиусу диска темпера-
ний (134) их(135) в сопряженной системе турной деформации 0. С помощью кри-
координат.	вых и cci легк0 установить соответ-
ствие между значениями абсцисс х и 6.
Получим теперь графическим способом функциональную зависимость (17).
Для этого предварительно в координатах (0, г) строится кривая, ординаты
которой равны произведению 0г (пунктирная линия), а затем вычисляется
интегральная кривая uv, представляющая функцию 7\ Теперь не представ-
ляет труда построить на плоскости (х, a ,) по зависимости (130) или (132)
в масштабе, принятом для напряжений, функцию S (кривая АВ), а на пло-
скости (х, аг) по зависимости (131) или (133) —функцию R (кривая CD).
Чтобы завершить расчет, надо провести замыкающую прямую I — II,
представляемую уравнением (134) на плоскости (х, az) или уравнением (135)
на плоскости (х, аг). Построение замыкающей прямой следует провести
таким образом, чтобы заданные граничные условия были соблюдены.
Если, например, для диска с центральным отверстием при г = ги аг1 — 0
и при г = г2, аг2 — 0, то замыкающая прямая I — II должна проходить
через точки С и D (фиг. 87). В этом случае вертикальные отрезки, заключен-
ные между прямой I — II и кривой CD, выражают в масштабе напряжений
величину аг. Аналогично отрезки, заключенные между прямой I — II и кри-
вой АВ в том же масштабе, представляют напряжения а,. В частности,
напряжение atl при хг (что равносильно — rj определяется отрезком AF,
напряжение а при х2 (что равносильно — г2)— отрезком BL. Эпюры
напряжений (в координатах х, а) заштрихованы.
Пользуясь вспомогательной кривой ab, можно значения напряжений
отнести к величине радиуса диска и построить эпюры изменения напряжения
по его радиусу (эти эпюры построены в нижней части фиг. 87, в некотором
новом масштабе, и отштрихованы).
Если диск, например, насажен на вал с натягом и в связи с этим на внут-
реннем радиусе гх диска напряжение аг1 — —рг и, кроме того, на внешнем
радиусе г2 от взаимодействия с присоединенными к диску лопатками
Расчет дисков графическим способом
161
нагретого
Фиг. 87. Графический расчет неравномерно
диска постоянной толщины с центральным отверстием.
az2 = +P2, то в этом случае (фиг. 87) замыкающую прямую Г —1Г следует про-
вести через точки М и N, причем отрезок СМ, в масштабе напряжений, изо-
бражает р! кг/см2, а отрезок
DN в том же масштабе пред-
ставляет величину р2 кг/см2.
Однако размеры чертежа
не позволяют завершить по-
строение. Тогда восполь-
зуемся возможностью умень-
шения наклона замыкающей
Г — 1Г. Из формул (128) —
— (131) следует, что при со-
хранении граничных усло-
вий, определяющих значения
А и В, изменение функции Т
на постоянную величину не
отражается на значении А и
может повлиять лишь на ве-
личину В.
При увеличении Т на не-
которую постоянную С угло-
вой коэффициент замыкаю-
щей прямой В уменьшится на
величину ЕС, однако функ-
ции Вх — S и Вх + Я сох-
ранят свои значения. Это
означает, что наклон прямых
(134) и (135) станет меньше
и размеры чертежа по его
высоте сократятся, в то время
как значения напряжений а,
и <зг, даваемые графическим
расчетом, останутся без изме-
нения.
Учитывая сказанное, из-
меним значение функции Т,
прибавив к чей постоянную та-
кой величины, чтобы точка М
поднялась, например, на 1мм
(отрезок ММ±) (фиг. 87).
Точка N поднимется соот-
ветственно на I— мм (отце-
xi
зок NN,). Теперь замыкаю-
щая будет проходить через
точки Ml и Nl (прямая /] —
Для получения эпюр напряжений надо перестроить кривые АВ и CD,
прибавив к ординатам точек кривой CD и вычитая из ординат точек кривой АВ
отрезки, имеющие длину / —. Значение напряжений можно также опреде-
лить путем алгебраического сложения отрезков, заключенных между замы-
кающей /1 — II у, кривыми АВ и CD, и отрезков, заключенных между осью
абсцисс и вспомогательной прямой yz, отсекающей на вертикали при х = xL
отрезок xTz, равный Z.
11 Пономарев 508
162
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
При желании с помощью вспомогательной кривой ab можно и в этом слу-
чае построить эпюры изменения напряжений по радиусу диска.
Если диск не имеет центрального отверстия (фиг. 88), то замыкающая
прямая I—II должна идти горизонтально, так как постоянная С2 = 0, а сле-
довательно, и В = 0. Ее положение определится граничными условиями
на радиусе г2. Так, на фиг. 88 построение проведено в предположении, что
°г2 = 0-
Фиг. 88. Графический расчет неравномерно нагретого диска постоянной толщины
без центрального отверстия.
При х -> со значения функций S и R стремятся к величине —~, где —
значение функции 6 в центре диска. Таким образом, ординаты кривых АВ
и CD на бесконечности равны , что позволяет оценить величину напря-
жений в центре диска. Напряжение в центре (г = 0)
_________________________________	__ /70
= °л0 = KJm = 0Jm----------------------------Г" ’
где OJ—отрезок, отсекаемый горизонтальной замыкающей прямой / — II
на оси ординат, а пг кг1см?1мм — масштаб напряжений.
Эпюры напряжений в координатах (х, а) на фиг. 88 заштрихованы.
С помощью кривой ab можно построить эпюры напряжений по радиусу
диска. Если на внешнем радиусе диска г2 имеет место напряжение
Расчет дисков графическим способом
163
аг2= +р2 кг/см2, то замыкающая горизонтальная прямая Г—1Г (фиг. 88)
будет проходить через точку N, построенную так, что вертикальный отрезок
DN в масштабе m кг!см2/мм представляет величину р2 кг]см2.
Переходим к рассмотрению графического расчета дисков произвольного
профиля, имеющих на разных участках, в связи с нагревом, различные
упругие характеристики материала Е и и.
Приближенно заменяем рассчитываемый диск ступенчатым так, чтобы
ломаное очертание радиального сечения последнего возможно точнее апрок-
симировало профиль заданного диска, а характеристики материала для любой
ступени можно было бы считать постоянными.
Теперь к каждому из колец постоянной толщины, на которые распадается
ступенчатый диск, можно применить графические построения, изложенные
выше.
Прежде всего в сопряженных системах координат (х, а,) и (х, аг) строятся
вспомогательные линии АВ и CD, представляющие функции S и 7?. Построе-
ние ведется точно таким же образом, как и раньше, только для уточнения
расчета на каждом из участков следует использовать свои средние значения
упругих характеристик материала Е и н. В связи с этим в местах перехода
от участка к участку кривые АВ и CD будут иметь разрывы.
В рассматриваемом случае для каждого участка необходимо построить
свою замыкающую прямую. При этом на границах кольцевых участков
должны быть соблюдены необходимые условия, учитывающие внезапное
изменение толщины диска и характеристик материала [см. формулы (85)
и (86)].
Рассмотрим пример расчета равномерно нагретого диска.
Пример. Диск осевой турбины с центральным отверстием. Профиль диска представлен на фиг. 89; его размеры определяются табл. 32. Число оборотов диска в минуту п = 4320; 1 = 0,0078 кг]см3, р = 0,3. Диск укрепляется на валу радиуса г6 = 16,9 см с натягом, в связи с чем создается давление р6 = 20 кг!см2. На наружном радиусе диска п = 47,85 см от	Таблица 32 взаимодействия с присоединенными к диску лопатками интенсивность равномерно распре- Толщины заданного и ступенчатого дисков деленной нагрузки pi = 930 кг]см2. Исход-	(к примеру расчета на фиг. 88) ные ляйима п.пя ппимрпя и сям ппоЛиль 					.	_				
заимствованы из работы [29]. Графическое решение проводится в со- пряженных координатных системах (х, о/)	Г в см	^дейст в см	hcmyn в см
и (х, ог) методом двух расчетов. В данном случае, учитывая, что диск нагрет равномерно, О 1 +3|Л f<O2 8	gx ’ 3 + р. Т<о2	г6= 16,90 гб = 18,85 г4 = 26,35 г3 = 34,55 г2 = 43,50 гх = 47,85	25,0 23,0 19,0 14,5 п,о 10,0	24,9 21,4 16,6 12,9 10,7
°- "8	" gx •			
(В этом примере кривые АВ и CD, представляющие в масштабе напряжений функции S и /?,
являются гиперболами и на границах колец разрывов не имеют.)
Используя одно из заданных граничных условий (например, известные радиальные напря-
жения огц = pi — 930 кг]см* на радиусе гх), проводим (фиг. 89) под произвольным наклоном
прямую I—II так, чтобы отрезок DN представлял величину 930 кг/см2.
Проведенная прямая используется в расчете только на первом кольцевом участке и опре-
деляет напряжения (ari2)i и (0/12)1 в конце первой ступени толщиной Ах = 10,7 см на радиусе
г2 = 43,5 см (отрезки е/ и km). Эти напряжения не следует рассматривать как действительные
напряжения диска, они используются в расчете как вспомогательные величины и условны,
так как направление прямой /—II, с помощью которой эти напряжения получены, избрано
произвольно.
Переходя ко второму кольцу толщиной й2 = 12,9 см, необходимо, исходя из значений
(cri2)i и (0/12)1, вычислить по формулам (85) и (86) величину напряжений (or22)i и (0/22)1
на том же радиусе г2 = 43,5 см.
Представив найденные значения напряжений (ar22)i и (0/22)1 в принятом ранее масштабе
отрезками ef' и km' и соединив точки f и т' прямой, выясняем напряжение на второй кольце-
164
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
Расчет дисков графическим способом
165
вой части диска толщиной Л2 = 12,9 см. Напряжения на внутреннем радиусе г3 = 34,55 см этой
части диска определяются отрезками e±fi и k^mi. Вновь применяя формулы (85) и (86),
переходим к третьей ступени.
Повторяя последовательно указанные построения, постепенно от ступени к ступени пере-
ходим .к внутреннему радиусу диска г6 = 16,9 см.
По условию задачи ог56 = —р6 = —20 кг/см2. Поскольку линия I — II вначале построе-
ния была проведена произвольным образом, очевидно, что поставленное условие ог56 = —Рб ==
== —20 кг!см2 не будет выполнено. По построению получилось, что (ar56)j = +40 кг/см2.
Воспользуемся методом двух расчетов. Повторный расчет проводится в предположении,
что диск неподвижен (ш = 0).
Дополнительные построения при этом условии выполняются весьма просто.
Через точку хх проводится прямая 1—2 произвольного наклона, и с ее помощью опреде-
ляются напряжения (ori2)n и (0/12)11 на радиусе г2 = 43,5 см первой ступени толщиной =
= 10,7 см. Они представлены отрезками sq и tv.
Затем по формулам (85) и (86) проводится пересчет напряжений на радиусе г2 = 43,5 см
при переходе к новой толщине диска Л2 = 12,9 см. Эти напряжения (бг22)ц и (0/22)11 представ-
лены отрезками sq' и tv'. Соединяем точки q' и v' прямой и переходим на радиус г3= 34,55 см
второй ступени. Напряжения (бГ2з)п и (°/2з)н на радиусе г3 = 34,55 см определяются отрез-
ками Siqi и /1^1 соответственно
Повторяя указанные построения и переходя последовательно от ступени к ступени, дохо-
дим в конечном счете до внутреннего радиуса г6 = 16,9 см, на котором по построению напря-
жение оказалось равным (ог56)ц = —540 кг!см2 (фиг. 89).
Теперь, учитывая, что в действительности ог56 = —р6 = —20 кг/см2, можно установить
коэффициент изменения второго расчета k по формуле (89)
,	60  i
540	9 ’
Складывая ординаты эпюр первого построения (DN, ef, ef', е&, ехД,... и BL, km, km',
kimi, kim\, . . . и t. д.) с ординатами эпюр второго построения (sq, sq', Siq1} Siq{ и tv, tv', tiVi,
. и т. д.), умноженными на коэффициент k, получаем величину действительных напря-
жений, возникающих в диске во время его вращения
Изменение напряжений вдоль радиуса диска представлено эпюрами, построенными в неко-
тором заново избранном масштабе в нижней части фиг. 89.
Скачки напряжений на эпюрах в местах ступенчатого изменения толщины диска сглажены,
так как в действительности они отсутствуют.
В книге [29] рассматриваемый пример решен методом Граммеля; там же для сопоста-
вления приведены и результаты, полученные аналитически — по методуМ. И. Яновского [56].
Приведенное графическое решение дало результаты, весьма близко совпадающие с резуль-
татами аналитического расчета по методу М. И. Яновского.
11ри поверочном расчете диска произвольного профиля, без центрального
отверстия, графический расчет ведется аналогичным образом. В этом случае
построение приходится начинать от центральной точки (г = 0, х = оо),
для которой, как известно, <з t = аг, поэтому на внутреннем участке диска,
прилегающем к центру, замыкающая прямая располагается горизонтально.
Напомним также, что при г -> 0	[см. формулу (25)].
Для того чтобы удовлетворить граничным условиям на внешней кромке
диска, приходится проводить дополнительные построения для равномерно
нагретого и неподвижного диска и затем, опираясь на уравнение (87), состав-
ляемое применительно к условиям нагружения диска на внешнем радиусе rm,
определять коэффициент изменения второго расчета k, как было указано
выше. Дополнительные построения также ведутся от центральной точки
диска.
Рассмотрим пример расчета неравномерно нагретого диска.
Пример. Диск осевой турбины, профиль которого изображен на фиг. 90. Исходные дан-
ные к расчету приведены в табл. 33. Число оборотов в минуту п = 16 500. Вес единицы
объема материала 7 = 0,00805 кг/см2. Интенсивность нагрузки, равномерно распределенной
по наружной поверхности обода, рт = 1380 кг/см2. Условия примера заимствованы
из работы [12].
Графический расчет приведен на фиг. 90. При расчете диск расчленяется на шесть колец
постоянной толщины. Характеристики упругих свойств материала Е и р- на каждой ступени
осредняются и считаются для ступени постоянными (см. табл. 33).
166
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
По графику функции 0 = 0 (г), представленному в нижней части фиг. 90, строится инте-
гральная кривая Т (г). Учитывая, что функцию Т можно изменять на каждом из участков
г
Т— J OCdC для каждого кольца
на постоянную величину, строим взамен
ряда кривых
Фиг. 90. Графический расчет неравномерно нагретого диска переменной толщины
(к примеру расчета).
в отдельности, одну общую для всего диска интегральную кривую Т = [ ОС с/С, не связывая
б
ее, таким образом, с расчленением диска на кольца. Это уменьшает размеры чертежа по его
высоте (см. фиг. 87) и делает все построение более удобным.
~	х	1+Зр. 1 СО 2Г2
Теперь вычислим по ступеням необходимые исходные величины —,
8 g
—~Г---»  ----, £0 и —о- , а затем и функции S и R. Значения указанных величин на различ-
ен g--------г
ных радиусах диска сведены в табл. 33. С помощью этих величин на фиг. 90 строятся в сопря-
женных координатных системах (х, □/) и (х, пг) линии АВ и CD, представляющие в масштабе
напряжений функции S и R.
Расчет дисков графическим способом
167
Таблица 33
Вспомогательная таблица к графическому расчету диска на фиг. 90 и 91
Исходные данные						Вспомогательные величины						
г в см	5? «о 0 •С	Е в кг/см*	Ct	о • и	«01	•ОГО	g лГ к и CD	ЕТ в кг/см*	±1^. JL 8 g в кг/см*	о 3 £ + 00 * СО 1 И	гпо!гу s $	§ 0 0?
0 4	3,6	1,94-10»	0,31	250 280	15,65 15,70	3915 4440	7600 8600	3800 4190	0 94,5	0 162	3 800 4 504	3800 4352
4 7	3,0	1,90-10°	0,34	280 305	15,70 16	4440 4880	8420 9280	4110 4350	99 302	163 500	4 409 5 232	4273 4850
7 10	2,6	1,89.10s	0,37	305 350	16 16,3	4880 5705	9 240 10 800	4320 4700	316 645	505 1030	5 236 6 745	4825 5730
10 12,5	2,0	1,84.10s	0,4	350 410	16,3 16,6	5705 6800	10500 12 500	4570 5025	671 1050	1040 1620	6 600 8 525	5610 6645
12,5 15	1,7	1,74.10s	0,405	410 510	16,6 16,9	6800 8620	11 840 15 000	4750 5340	1060 1520	1625 2340	8150 11 180	6375 7680
15 Обод 16	2,5	1,64.10s	0,41	510 550	16,9 17,0	8620 9350	14140 15 340	5020 5300	1535 1730	2345 2660	10654 11770	7365 7960
Таблица 34
Результаты графического расчета диска
г в см	(а/)|	(’r)l	(”?)п	(’г)п	Осредненные значения	
					°/==(’<)i + + *(°<)п	or = (or)l + + *(°г)п
	в кг/см*					
0	3000	3000	1000	1000	4620	4620
4	2275	2450	1000	1000	4070	4475
4	2480	2940	1085	1200	4070	4475
7	1800	2240	1110	1150	3780	4470
7	1990	2580	1210	1330	3780	4470
10	540	1650	1240	1300	2825	4315
10	790	2140	1420	1690	2825	4315
12,5	— 1080	1000	1480	1650	1465	4000
12,5	—910	1180	1560	1940	1465	4000
15	—3880	— 160	1620	1880	—1260	2890
15	—3550	— ПО	1330	1280	— 1400	1970
Обод 16	—4625	—710	1320	1290	—2500	1380
Примечание. — 710 + k-1290 = 1380 кг/см\ k= 1,62.
168 Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
В рассматриваемом случае линии АВ и CD при переходе от ступени к ступени терпят раз-
рывы, поскольку упругие характеристики материала диска по ступеням разные.
Задаемся, как это делается и при аналитическом расчете, напряжением в центре диска
(х = со). Примем, например, что (огп)i = (б/11)1 = 3000 кг!см2.
ЕТ	£61
В соответствии со сказанным ранее Игл —— = —- = 3800 кг!см2‘, это позволяет пост-
г>о г2	2
роить первую замыкающую линию I—II, определяющую в предварительном расчете напряже-
ния на первой ступени от и = 0 до г2 == 4 см, имеющей толщину hi = 36 мм В частности,
определяются и напряжения (o^12)i = 2275 кг/см2 H^(arl2)j — 2450 кг/см2.
Фиг. 91. Графический расчет неравномерно нагретого диска переменной
толщины (продолжение построений, приведенных на фиг. 90).
Необходимо иметь в виду, что эти напряжения следует рассматривать лишь как вспомога-
тельные величины, поскольку они определяются на базе избранных наугад значений напря-
жений в центре диска. Поэтому рассматриваемый этап расчета является предварительным.
Используя формулы (85) и (86), вычисляем напряжения на том же радиусе г2 = 4 см.
но уже для второй ступени, толщиной 30 мм: (0/22)1 = 2480 кг!см2 и (or22)i = 2940 кг! см2,
Так, переходя от ступени к ступени, выясняются предварительные напряжения на наруж-
ном радиусе диска. Результаты графического расчета приведены в табл. 34.
Следует заметить, что, начиная с х~ 5F 'Чем2, построение проведено отдельно (фиг. 91)
в укрупненном масштабе по абсциссе х.
Вследствие произвольного выбора напряжений в центре диска, вместо заданного по усло-
вию о7*56 — рб = 1380 кг!см2, в предварительном расчете получено (or56)i = —710 кг!см2
(фиг. 91). Чтобы устранить получившуюся неувязку, следует провести, как и обычно, второй
расчет, предполагая, что диск неподвижен и нагрет равномерно. Значения характеристик
упругих свойств материала Е и р* по кольцам принимаются такими же, как и ранее (см. табл. 33),
т. е. предполагается, что диск как бы выполнен из колец различного материала.
Построения во втором расчете являются относительно простыми, так как в этом случае
5 = 0 и D == 0
Задаемся в центре диска напряжением, например, (агп)ц = (б/ц)ц = 1000 кг/см2.
Строим замыкающую прямую на первой ступени толщиной Ai ~ 36 мм (от ri = 0 до г2 = 4 см),
в результате чего определяем (ог12)ц ~ 1000 кг! см2 и (еП2)ц = 1000 кг!см2.
Используя формулы (85) и (86) для пересчета напряжений, при переходе от ступени к сту-
пени, вычислим (67*22)11 и (6/22)11 на второй ступени, толщиной Л2 = 30 лш: (67*22)11 — 1200 кг!см2.
Расчет дисков графическим способом
169
(0/22)11 = Ю85 кг}см?. По этим значениям напряжений представляется возможным построить
замыкающую прямую для второй ступени и выяснить, что на радиусе г3 = 7 см
(°г23)п = 1150 кг/см2 и (о/23)и =1110 кг/см2.
Повторяя аналогичным образом дальнейшие построения, доходим до наружного радиуса
г6 = 16 см, на котором получаем для радиального напряжения значение (бгб6)и = 1290 кг/см2.
Величины напряжений по ступеням приведены в табл. 34.
Коэффициент изменения второго расчета k определяется по формуле (87): k — 1,62.
Окончательные напряжения, подсчитанные с помощью коэффициента k ~ 1,62 по осред-
ненным значениям напряжений (o/)j и (о/)и, а также (ог)! и (ог)ц, приведены в табл. 34 и пред-
ставлены эпюрами в нижней части фиг. 90.
В машиностроительной практике большое значение имеют вопросы про-
филирования дисков. Первые работы в этой области принадлежат Сто-
доле [80] и Гольцеру [66], [67 ]. В них профиль диска определяется на основе
заданного распределения радиальных напряжений или радиальных пере-
мещений.
Задача профилирования равномерно нагретого равнопрочного диска
на основе современной гипотезы интенсивности напряжений, как в пределах,
так и за пределами упругости, решена Ю. Н. Работновым [36].
В книге Р. С. Кинасошвили [12], на основе той же гипотезы впер-
вые разработан метод профилирования неравномерно нагретого диска с уче-
том изменения по радиусу упругих и механических характеристик материала
диска в зависимости от температуры.
Сложная задача профилирования диска может быть с успехом решена
графическим способом. Рассмотрим пример расчета.
Пример, Диск осевой турбины без центрального отверстия. Для простоты изложения
используем исходные данные предыдущего примера. Наружный радиус диска rm = 16 см,
ширина обода hm-i = 2,5 см, а его толщина rm —	— 1 см. Число оборотов диска в минуту
п = 16 500. '
Закон распределения температуры по радиусу, а также все характеристики материала
заимствуем из предыдущего примера. Это позволит построить кривые АВ и CD (фиг. 92) по дан-
ным табл. 33, если, как и раньше, расчленить диск (включая и обод) на шесть частей с радиу-
сами г2 = 4 см, г3 = 7 см, = 10 см, г5 = 12,5 см, rQ = 15 см, г7 = 16 см (конечно, диск
можно было бы расчленить и на ряд других колец). Дополнительно учтем закон изменения
предела текучести материала os в зависимости от температуры (фиг. 92).
Условимся также, что диск во всех своих частях должен иметь коэффициент запаса по теку-
чести, равный, например, 1,5 (как и в работе [12]). Значения допускаемых напряжений [о]
представлены графически в зависимости от радиуса диска в нижней левой части фиг. 92.
При расчете будем руководствоваться «энергетической теорией формоизменения» (см.
главу VI, том Р), согласно которой при двухосном напряженном состоянии
<3экв =	О2Г = [°]-	(136>
При переходе от ступени некоторой толщины hi к ступени новой толщины h^i на радиусе
r/j-i должны одновременно удовлетворяться два условия: а) уравнение (86) совместности
перемещений; б) условие прочности (136).
Из этих двух зависимостей, зная, например, напряжения и srii±i на некото-
ром радиусе для ступени диска толщиной А/, можно^ определить напряжения Hi
и	на том же радиусе для ступени толщиной h^.
Действительно, из уравнения (86) имеем
из условия эквивалентности (136) получаем
Решая два последних уравнения совместно, имеем
aZZ4-l ”1 ^Z+l^rZ Н/-НГ
170
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбо машин
Решение во всяком случае возможно, если [g > #//4-1. При этом условии корни
для	имеют разные знаки. По смыслу задачи напряжение	должно иметь
тот же знак, что и ъГи+ъ это и определяет нужное решение.
Фиг. 92. Профилирование равнопрочного неравномерно нагретого диска графическим
способом.
Теперь по формуле (85) можно установить соотношения толщин диска Л/4-1 и h .на радиусе
ы, при котором на этом радиусе будет обеспечена «равнопрочность» ступеней диска:
у —	. gr/Z4-i
hi ” ar/4-iZ-Fi ‘
(139)
Переходим к профилированию диска. Допускаемое напряжение [о ] в центре диска равно
4500 кг!см2. Откладываем эту величину в принятом для напряжений масштабе от уровня,
определяемого значением = 3800 кг!см\ и проводим горизонтальную замыкающую пря-
мую I—II. На радиусе г2 — 4 см эта прямая определяет точками k и / значения <зд2 =
= 3770 кг/см2 (отрезок kq) и оГ]2 = 3940 кг!см2 (отрезок //). В то же время допускаемое напря-
Расчет дисков графическим способом
171
жение на радиусе г2 = 4 см [о ]2 = 4450 кг!см2. Следовательно, толщину диска на этом радиусе
можно уменьшить.
Используя формулы (137) и (138), определяем ог22 — 4720 кг/см2 и о/22 = 4100 кг/см2.
Из зависимости (139) следует, что толщину диска на радиусе г2 = 4 см можно изменить
3940 п
в отношении %2 = “4720" = Откладывая напряжения бг22 и 0/22 при абсциссе х4 вверх
от точки f' ступенчатой кривой CD и точки q' ступенчатой кривой АВ соответственно, наме-
чаем точки V и k', определяющие замыкающую прямую для кольца в интервале радиусов г =
= 4	7 см. На радиусе г3 = 7 см (при абсциссе х7) точки тип позволяют определить зна-
чения о/2з = 3420 кг/см2 и оГ2з = 3980 кг!см2.
При г3 = 7 см допускаемое напряжение [о ]3 — 4400 кг}см2. Используя формулы (137)
3980
и (138), находим огзз = 4800 кг/см2 и о/33 = 3835 кг!см2, откуда	 = 0,83.
Откладывая значения напряжений огзз и о/33 при абсциссе х7 вверх от ступенчатых кри-
вых CD и АВ (отрезки s'n' и v'tn'), строим точки п' ит' определяющие замыкающую прямую
на участке диска при г = 7 ч- 10 см.
Повторяя и дальше аналогичные построения, получаем хл == 0,784, у5 = 0,78.
На радиусе г6 = 15 см (при абсциссе х15) для диска о/56 = —1200 кг/см2-, ог56 —
= 4-3175 кг/см2. Допускаемое напряжение [о ]6 = 3850 кг/см2.
На внешнем радиусе обода задано ог67 = р7 = 1380 кг!см2 и [о ]7 = 3750 кг/см2. Замыкаю-
щая прямая на участках х15 — х16 (прямая zy) должна быть проведена так, чтобы отрезок Dz
в масштабе представлял заданное на радиусе г7 = 16 см напряжение ог67 = р7 = 4- 1380 кг/см2,
а на радиусе г6 = 15 (т. е. при х1б) точно удовлетворялось уравнение совместности перемеще-
ний (86). Эквивалентные напряжения во всех точках обода не должны превышать допускае-
мого. Для построения замыкающей прямой на участках х1б—х16, удовлетворяющей постав-
ленным условиям, предварительно вычислим величину а на радиусе г = 15 см\
а&е = а<6в — (А<*гвв = -£ (o«e — (J-Srse) = — 2340 кг/см2.
Заметим, что по формуле (138)
<3/66 - «56 = Иаг66-
Отложим величину а56 в масштабе напряжения (отрезок pt) вниз от точки р, представляю-
щей значение функции S для обода на радиусе г6 — 15 см.
wt
Разделим отрезок st внешним образом в отношении р так, что-= ц (точка s предста-
вляет величину функции R для обода на радиусе г6 — 15 см). Замыкающая прямая zy на участ-
ках х15 ч- х16 должна проходить через точки z и поскольку при этом
wt	tl	0/66 — «56
	 = —— — ------ = р.,
ws------------------SJ аг66
как это и’требуется по условию [см. формулу (138)].
Из построений на фиг. 92 следует, что при г6 = 15 см б/6б = —1520 кг/см2 (отрезок р/)
и ог6б = 2000 кг/см2 (отрезок sj).
Теперь, руководствуясь формулой (139) и зная толщину обода Л6 = 25 мм, можно опреде-
лить толщину диска у обода (на радиусе г6 = 15 см)'.
__ he   25   аг5б   3175  .
Хб ~ Л5 - h6 "" aree - 2000 ~	’
откуда = 15,8 мм.
Используя уже известные значения коэффициентов у, можно последовательно вычислить
толщину ступенчатого диска на радиусах
г5 = 12,5 см == 20,2 мм
= 10	я	h3= 25,8	„
г3 = 7	„	h2 = 31,0	п
r2 = 4	„	А1=37,1	„
Полученные результаты представлены в нижней части фиг. 92. По ним легко построить
диск с плавно изменяющейся толщиной. На фиг. 92 изображен график функции h= h(r),
а также показан профиль спроектированного диска Там же построены по средним значениям
эпюры напряжений о/ и ог.
Приведенные примеры с достаточной убедительностью свидетельствуют
об эффективности графического способа расчета дисков.
172
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
В работе [34] изложен графический метод профилирования равнопроч-
ных дисков с центральным отверстием, устанавливаемых на валу с натягом.
В процессе расчета определяется также и необходимый натяг, обеспечиваю-
щий избранный коэффициент запаса по освобождающему числу оборотов.
§ 6. РАСЧЕТ ПОСАДКИ ДИСКА НА ВАЛ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСВОБОЖДАЮЩЕГО
ЧИСЛА ОБОРОТОВ
Выше, в расчетах дисков, контактное давление на поверхности соприкос-
новения диска с валом рх считалось известным. Это давление для рассмат-
риваемого диска зависит от величины натяга и числа оборотов.
В дисках паровых турбин при рабочем числе оборотов контактное давле-
ние обычно колеблется в пределах от 50 до 150 кг!см2. Оно увеличивается
с увеличением натяга и уменьшается с увеличением числа оборотов.
Наименьшее число оборотов ротора турбомашины, при котором контакт-
ное давление равно нулю, называется освобождающим. Для паровых турбин
обычно принимается, что освобождающее число оборотов должно быть на 15—
30% больше рабочего.
Ниже будет рассмотрено: 1) определение натяга по необходимому контакт-
ному давлению при рабочем числе оборотов; 2) подсчет контактного давления
при определенном числе оборотов по заданному натягу; 3) вычисление осво-
бождающего числа оборотов.
Решение двух первых задач может быть выполнено «способом двух расче-
тов». Для определения освобождающего числа оборотов в общем случае
неравномерно нагретого диска необходимо использовать «способ трех расче-
тов». В частном случае равномерного нагрева можно ограничиться способом
двух расчетов.
Все поставленные задачи могут быть решены также способом одного
расчета, как это изложено в работе [25].
А. Способ нескольких расчетов
Представим себе неравномерно нагретый диск переменной толщины, внут-
ренний радиус которого гх, а наружный rm (фиг. 93). Допустим, что этот диск
посажен с натягом на пустотелый вал, внутренний диаметр которого del =
= 2rel, а наружный de2 = 2гв2.
Величина натяга по диаметру равна
В — do(i — d*.
где dr — 2rx — внутренний диаметр диска.
Составим основное уравнение посадки диска на вал. Очевидно, что раз-
ность между радиальным перемещением точек внутренней расточки и ради-
альным перемещением точек наружной поверхности вала ив2 равна половине
величины натяга В (фиг. 93):
«1 — «82=4*	(140)
Радиальное перемещение на внутренней расточке диска, согласно форму-
лам (5) и (7), равно
«1 = 4; (аш — P’rti) ri + 9iri.
или, учитывая, что радиальное напряжение на внутренней расточке является
сжимающим и по абсолютной величине равно контактному давлению
®гп = — Рп	' (141)
Расчет посадки диска на вал
173
имэем
ui —	(°/и 4“ V'tPi) ri 4"
(142)
Радиальное перемещение точек наружной поверхности вала слагается
из перемещений, возникающих за счет контактного давления иР$, враще-
ния ы“2 и нагрева и|2:
«вг = «Й 4- «й 4- «|2-	(143)
Если бы контактное давление было равномерно распределено по всей
наружной поверхности вала, то тогда радиальное перемещение можно было бы
определить по формулам расчета толсто-
стенных труб (см. главу V, том II). По-
лагая в них внутреннее давление равным
нулю, а наружное р1г получим
“Й “ -	- !*«)  (144>
1*де
₽ = уЧ
Гв2
Ев и — модуль упругости и коэффи-
циент поперечной деформации материала
вала.
В действительности контактное давле-
ние распределено только по части поверх-
ности вала, соприкасающейся с диском,
причем это распределение не является
равномерным. Следовательно, и радиаль-
ные перемещения различных точек на-
ружной поверхности вала не равны между
собой. Задача расчета посадки диска на
вал исследована в главе V, том II. Среднее радиальное перемещение точек
контактной поверхности меньше величины (144) и может быть подсчитано
по формуле, аналогичной формуле (144), но с поправочным коэффициентом х<1:
(145)
Величина коэффициента х зависит от отношения толщины h1 диска на внут-
ренней расточке к наружному диаметру вала de2 и отношения ₽ =
ав2
На фиг. 94 приведены графики зависимости коэффициента х от величины
при различных отношениях р (см. главу V, том II). Как следует из этих гра-
фиков, с увеличением отношения коэффициент х приближается к едц-
ав2
нице. Поэтому в случае посадки на вал нескольких примыкающих друг
к другу дисков коэффициент х можно приближенно считать равным единице.
Радиальное перемещение и™2 в точках наружной поверхности вала
и окружная деформация в них е"2, возникающие за счет вращения вала,
связаны зависимостью
«в2 = 6/“2Гв2-	(146)
Деформация может быть определена при помощи известных соотно-
шений между деформациями и напряжениями, учитывая, что радиальное
174
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
напряжение в связи с вращением в точках наружной поверхности вала равно
нулю, и, следовательно, напряженное состояние, возникшее за счет вращения
в точках поверхности, является двухосным. Таким образом, получаем
eZe2 ~ £ (°/s2	(147)
где ° «2 и °гв2 — окружное и осевое напряжения в точках наружной поверх-
ности вала, возникающие за счет вращения.
Величины этих напряжений были установлены в § 1 главы I, том III
[см. формулы (72) и (74)]. Используя их, преобразуем соотношения (146)
и (147)-к виду
'	+ (3 +И.)'у-	<148>
Отметим, что часто при расчете посадки диска на вал последний считается
как бы состоящим из ряда дисков, деформирующихся независимо друг
от друга [22]. Это предположение имеет смысл использовать тогда, когда
на вал насажено с натягом несколько дисков на небольшом расстоянии друг
от друга.
В таком случае напряженное состояние, возникающее в результате вра-
щения в точках наружной поверхности вала, является одноосным, ввиду
того что радиальное напряжение на наружной поверхности вала равно нулю,
а осевое напряжение равно нулю во всех точках, поскольку вал предпола-
гается как бы состоящим из ряда дисков, деформирующихся независимо друг
от друга. Поэтому окружная деформация в точках наружной поверхности
вала, возникающая в результате его вращения, определяется по формуле
®й2 = ^->	(149)
где a te2 — окружное напряжение в точках наружной поверхности вала,
возникающее за счет вращения его и определяемое по формуле (53), глава I.
том III. Подставляя это соотношение в формулу (149) и используя выраже-
ние (146), получаем
<150>
Расчет посадки диска на вал
175
Сопоставляя по форме выражения (148) и (149), заметим, что они отли-
чаются друг от друга. Однако, как будет показано ниже на примерах, это
не имеет существенного значения, поскольку величина по сравнению
с остальными слагаемыми формулы (143) весьма мала и ею в практических
расчетах всеобще можно пренебречь.
При определении радиального перемещения точек наружной поверх-
ности вала, возникающего за счет нагрева, будем предполагать, что вал
нагрет равномерно. В этом случае перемещение определяется по формуле
«£ = евг,2,	(151)
где 9в — температурная деформация равномерно нагретого вала.
Складываем теперь согласно формуле (143) соотношения (145), (148)
и (151); тогда среднее радиальное перемещение точек наружной контактной
поверхности вала равно
и - к р + Р2	\ 
“»2 — Х £в \ 1 —	) -Г
+ -дай- [0 - Нв) ^2 + (3 + Не) гв2,] + %гв2.	(152)
Отметим, что температуры в точках внутренней поверхности диска
и наружной поверхности вала одинаковы. Различие в средних значениях
коэффициентов линейного расширения для материалов диска и вала в этих
точках невелико. Поэтому можно приближенно принять	Кроме
этого,,очевидно, что гв2 t\.
Поэтому после подстановки выражений (142) и (152) в соотношение (140),
получим
“Z7 (ад1 + ИЛ) G + х (i iL— Не) —
--5^ [<>	+ (3 + !>.)'У =4- .	<>53>
Неравномерный нагрев диска в уравнении (153) отражен в величине
окружного напряжения на внутренней расточке аш.
В случае посадки на вал ряда примыкающих друг к другу дисков в квад-
ратных скобках формулы (153) необходимо величины 1 — и 3 + поме-
нять местами.
Уравнение (153) является основным для расчета посадки диска на вал.
Рассмотрим вначале определение натяга по необходимому контактному
давлению при рабочем числе оборотов
Величина окружного напряжения на внутренней расточке а/п в фор-
муле (153) неизвестна. Поэтому для решения поставленной задачи надо выпол-
нить два расчета диска, так, как это было изложено в § 4. Коэффициент изме-
нения второго расчета k подсчитывается по формуле (87), после чего согласно
выражению (88). определяется окружное напряжение на внутренней рас-
точке:
,	=	+	(154)
| Располагая этой величиной, можно по формуле (153) подсчитать натяг
I по необходимому контактному давлению при определенной угловой скорости.
Рассмотрим решение обратной задачи. Допустим, что необходимо по задан-
ному натягу определить величину контактного давления.
Вначале преобразуем основное уравнение (153) применительно к решению
поставленной задачи. Как следует из “соотношений (141) и (88),
Р1 = ЧЫ + *к1>)п].	(155)
176
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
Подставляя выражения (154) и (155) в уравнение (153), получим
+ k (аД1)п — Hi (°ni)i — (ani)ii] —
—	— He) [(°ni)i + k (orll)nJ —
- ~»gr [< ~ I*.) ^ + <3+ !>.)'•:,] - 4-	(155)
Поскольку в рассматриваемом случае величина окружного напряжения
на внутренней расточке неизвестна, а контактное давление подлежит опреде-
лению, то для решения поставленной задачи необходимо выполнение двух
расчетов, в которых нумерация участков ведется в направлении от обода
к внутренней расточке (см. § 4). После этого коэффициент k вычисляется
по уравнению (156), а контактное давление определяется по формуле (155).
Напряжения в диске вычисляются по формулам (88).
Рассмотрим определение контактного давления, возникающего после
посадки на вал при неподвижном роторе. В этом случае напряжения в диске
пропорциональны контактному давлению. Поэтому для решения задачи
можно ограничиться одним вторым расчетом. Поскольку диск нагрет равно-
мерно, второй расчет выполняется при постоянных по радиусу величинах
модуля упругости и коэффициента поперечной деформации.
Полагая в соотношении (156) напряжения первого расчета и угловую
скорость вращения равными нулю, получим уравнение для определения
коэффициента k:	,	' .
- i (ttzjs - 4	=4 •	(157)
Формулу для вычисления контактного давления в этом случае получают
из соотношения (155):
Р1 = — £(°rll)ll>
а формулы для определения напряжений — Из выражений (88):
°, = k (az)n; ®r = k (ar)„.
Перейдем к определению освобождающего числа оборотов, при котором
контактное давление обращается в ноль. Полагая в соотношении (153)	= О,
получим основное уравнение для подсчета освобождающего числа оборотов:
. (|5«)
В этом уравнении аП1 — окружное напряжение на внутренней рас-
точке при освобождающем числе оборотов. Оно складывается из напряжений
за счет вращения (поскольку нагрузка на внешнем контуре пропорциональна
квадрату угловой скорости) и нагрева диска. Ввиду того что разделить эти
слагаемые невозможно, в общем случае неравномерно нагретого диска прихо-
дится выполнять три расчета.	।
В первом расчете учитывается только вращение диска с рабочей угловой
скоростью, во втором — нагрев при рабочем числе оборотов, в третьем диск
предполагается равномерно нагретым и неподвижным. Во всех этих расчетах
закон изменения по радиусу упругих характеристик должен определяться
Расчет посадки диска на вал
177
температурным полем диска на освобождающем числе оборотов. Учитывая,
что последнее превышает рабочее только на 15—30%, можно приближенно
считать, что изменение по радиусу упругих характеристик определяется
температурным полем диска при рабочем числе оборотов.
Изменим теперь третий расчет так, чтобы в сумме с первым он давал бы
напряжения, возникающие только за счет вращения диска и связанных с ним
лопаток с рабочим числом оборотов. Очевидно, что в этом случае коэффи-
циент изменения третьего расчета определяется из соотношения
(°rll)l + ^1 (°rll)lll = 0,
поскольку
Таким
контактное давление равно нулю, т. е.
ь    (grn)l
1	(gril)lII
образом, напряжения
х («mh
(	“ (°П1)П1
и
только за счет вращения диска и связанных с ним лопаток при
Эти напряжения пропорциональны квадрату
(qrli)l
(grn)lII
возникают
рабочем числе оборотов пр.
числа оборотов; поэтому на освобождающем числе оборотов иоСв они равны
Г/„ х (am)l (а х 1 п°св
Изменим теперь третий расчет так, чтобы в сумме со вторым он давал
напряжения, возникающие только в результате нагрева диска при рабочем
числе оборотов. Тогда коэффициент «изменения третьего расчета» опреде-
ляется из соотношения
г11)п + ^2 (°г11)ш —
так как величина контактного давления равна нулю, т. е.
___________________________________ _ (gril)n
2	(gril)lII *
Таким образом, напряжения •
и
(Огп)п / \
(агп)ш( Jni
возникают только за счет неравномерного нагрева диска до температуры
при рабочем числе оборотов. Как отмечалось выше, различием между темпе-
ратурными полями при рабочем и освобождающем числах оборотов можно
пренебречь. В этом случае записанные выше величины допустимо прибли-
женно принять за напряжения, возникающие в результате неравномерного
нагрева диска при освобождающем числе оборотов.
12 Пономарев 508
178 Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
Таким образом, напряжения при этом числе оборотов подсчитываются
по формулам
2
°* = [(°/)i -	(°/) ПР
‘	2
И-S<*] +
Поэтому окружное напряжение на внутренней расточке при освобождаю1
щем числе оборотов равно
2
Од1= [(o<u)i ~	1 ]	+(°ш)п ~ ‘тйоы
Подставляя эту величину в выражение (158), получаем
2	\
оЙбГ + (°й1)п ~ (Si i ~
2 2	Р
^L[(l-r.)r! + (3 + 11.)^=4.	-
(oai)i
Из этого выражения после преобразований устанавливаем освобождаю-
щее число оборотов:
Прев Пр
(°rn)ii + /ог11\!!т (а/п)п1
2г
<»«> ~ тёк (’“),п “	[< - +<3+*•> 'У '
(159)
Если на вал посажено несколько примыкающих друг к другу дисков,
то в квадратных скобках знаменателя формулы (159) необходимо величины
1 — pg и 3 + рв поменять местами. Как уже отмечалось выше, третьим
слагаемым в знаменателе формулы (159), отражающим радиальное переме-
щение точек наружной поверхности вала за счет его вращения по сравнению
с остальными, обычно можно пренебречь. Тогда формула уцрощается и при-
нимает вид
ПрСв Пр
<°иЛ—гйя<’»Лп
(160)
В случае равномерного нагрева диска напряжения второго расчета равны
нулю и из соотношения (160) получаем
0Св~ PV 2r1l(aai)I--g^(ani)ml-
L	(«пиШ J
Рассмотрим теперь пример расчета посадки диска на вал и определим
освобождающее число оборотов.
Пример. Диск паровой турбины, рассчитанный во втором примере § 4. Вал сплошной.
Модуль упругости и коэффициент поперечной деформации материала вала те же, что и мате-
риала диска: Ев = Е — 2-106 кг/см2\ Не = Н — 0,3.
Используем формулу (153). При этом пренебрежем последним слагаемым в левой части
этой формулы, примем х = 1 и учтем, что для сплошного вала р = 0. Кроме этого, исполь-
зуем подсчитанную ранее (табл. 27) величину окружного напряжения на внутренней расточке
о/п = 2479 кг/см2 при рабочем числе оборотов.
В результате получим = 0,001315 и, следовательно, величина натяга 8 = 0,05786 см.
2ri
Далее из выражения (161), используя данные табл. 26 и 27, устанавливаем величину осво-
бождающего числа оборотов: п0Св — 1,100 пр = 3300 об/мин.
Расчет посадки диска на вал
179
Б. Способ одного расчета
Рассмотрим теперь решение разобранных выше задач способом одного
расчета, изложенным в § 4. Напомним, что в этом методе участки нумеруются
в направлении от внутренней расточки или центральной точки к ободу.
Вначале определим радиальное перемещение на внутренней расточке
диска. Для этого положим в уравнение (НО) г = и используем соотноше-
ния (97) и (18). При этом учитываем, что для 1-го участка в формулу (НО)
вместо сумм (108) подставляются нули. В результате получим
«1 = ^ + ^.	(162)
Подставим теперь в уравнение (140) выражения (162) и (152); при этом,
так же как и раньше, приближенно положим re2 t\-, тогда получим
+ Ь- + «	- и.) -	[0 - И.) 4 + (3 + г.) гу -
= <163>
Уравнение (163) связывает пять величин: постоянные интегрирования С\
и С2, контактное давление plt натяг 8 и число оборотов п. Для того чтобы
исключить постоянные интегрирования Сх и С2 и установить зависимость
контактного давления от натяга и числа оборотов, необходимо составить
еще два уравнения. Заметим, что если интенсивность равномерно распреде-
ленной по поверхности обода нагрузки при рабочем числе оборотов п„ — рт,
то интенсивность этой нагрузки при некотором числе оборотов п равна рт—ъ,
Лр
поскольку указанная нагрузка отражаетвращение лопаток и пропорциональна
квадрату числа оборотов.
Таким образом, при любом числе оборотов при г — гт
П2
(164>
пр
Кроме этого, имеем при г = гх
аг=-А.	(165)
Из соотношений (164) и (165) при помощи второй формулы (109) и выра-
жений (97) и (18) получаем два недостающих уравнения:
1 — [Л.	1 — (X?
(1 + ^с,----------Р-с2 =----------^Р1-
г\ 1
1 + рт—1 т j*	1—Pm—i ^т—\\р
2	и т— 1	2	’ г2
'т '
17**	\
1 + Рт-i у* _ 1 — Pm—i Vm—1 А р _______
2	m—1	2	’ г2 /Ь2 —
г т 7
(1 +Hb_i) Qm+ (1 ~ Hm-x) 4
Г
т.
+ (1 - fU(i + h)4 -	-
rm
TI77**	«	2
1 — Pm—i	m— 1 . 1 Pm—1	Л2
2	4 +	
(166)
(167)
12*
180
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
Для того чтобы выделить в выражении (167) из величин Qm, J m,
число оборотов, воспользуемся подстановками
Q _	р Т _	о	л
У 900g J ~~ 900g 6	'lb8'
И
Тогда
_ 1 ~ Hi	Г , д
Ег ’ 900g 11 1Yi*
(169)
z—1
k=2
Z—1
k —
1 — Hl
~ЁГ~
n2ln2 r*
900g A/-l
k=2
1-н|
Ei
(170)
<рФ* । д **
"900g"1 '-1	‘-I’

где
IX, = £17, a;_, = s4;
k=2	k=2
A=2	£=2
(171)
Подставляя зависимости (29) в соотношения (168), получаем функции Р
и S для дисков осевых турбомашин:
Р=1(Г2_Г2); 5 = 1 (Г< -- Г«),	(172)
Выражения (168), (16) и (3) позволяют установить функции Р и S для
дисков радиальных турбомашин:
Г1
5 = (> + <«•
Г1
(173)
Определение функций Р и S производится численным методом.
Получим теперь рекуррентные формулы для? подсчета введенных выше
величин Гг и At. Для этого подставим выражения (168)—(170) в третью фор-
мулу (107). Тогда устанавливаем
900g”Г* + А/ —	900g” В +	( + Hi-1) ’Iz] Т5/ +
7**
+ [1 — Hz —(1 — Hz-iHzl -^1 + [1 — Hz — (1 — Fz-1) ’Izl (1 +Fi)t~
ri J	fZ
1 ri i • zii \	, 1 — Hi те27п2 r*
2 П + Hz (1 + H/-1) 'H/l • 900g Г._1
— yfl +Hz —(1 + Hz-1) ’Izl Az — у [1— Hz —
1	2	r**	A **
/1	\	1 1“"H1 TC27rt2 H—!	1 ri	/1	\	1	1	/17Л\
(1 Hz—i)’Hzl	900g r? 2 1-1	Hz—i) 'Hzl r2 • 0^4)
z	•	%
Расчет посадки диска на вал
181
Приравнивая коэффициенты при
вой частях равенства (174), имеем
и свободные члены в левой и пра-
Гг = 4 ft1 +	pi+П — н — 0 — н-1) 4'
I	Г/ ,
—4 и + н—с1+н-i) ч/] г;_.—4[I — ~
р
Л/ = [1 — — (1 — Н-1)11|] (1 + Р-1)Д- —т!1 + Н —
7	1
- (1 + И|_1) ’ll) AJ-, - 4 11 - Hl - (1 - Hi-i) ’ll] •
(175)
По формулам (175) последовательно определяются величины Гп Лр на-
чиная с Г2, Л2 и кончая &m-i- В процессе их определения нахо-
дятся суммы (171).
Подставим теперь в уравнение (167) соотношения (168)—(170); тогда по-
лучим
т-1
77**
1 4“ Цт—1 гг*	1 —Р-т—i	т— 1
2 Um-1
1 — P>m—1
4
1 — Р1 1Г2"(П2
—£\	900g"
ц
4 Г1
у** \
v т—1 | /о _
’"□“Г2 —
т /
m_i)pm+(i -	-
1 + Р>т—i ту*	1 — &т—1
2 У гп—1
1	Г**
!*	__ 1 — Р-т—1	т—\
т—1	2	’ г2
т
1 + р.т—1 д
m-i
+ (1-^(1 +Hi) А------------2
гт
л **	1	2
1 — Р*т—i	1 । 1 H’/n—1
2
т
т—1
П2
(176)
2
2
2
Таким образом, три уравнения (163), (166) и (176) связывают пять величин:
постоянные интегрирования Сг и С2, контактное давление plt натяг 8 и число
оборотов диска п. Для установления зависимости контактного давления
от натяга и числа оборотов необходимо из указанных уравнений исключить
постоянные интегрирования Сх и С2.
Решим уравнения (163) и (166) относительно Сг и С2; тогда получим
+	• V + -4й- 	[0-н.> г\ + (3 + ьуу;
Г ,	,	, ,	(177)
+-4й-Sr-+-4й- 	[< - !*•> 4+(з +1*.) -у 
182 Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
Подставляя выражения (177) в уравнение (176), имеем
а 2
Р1 = -уП2
где
1	2	/ г	ч
п  	J 1 /1| „ х р 1/1  ,. х __________________ 1 Ч~ pm—1 р* __
а £\	900g 12	+ v Hzn-1) 2	2	1 m~1
v L	'mJ
_*3:	*2
__ 1 — P-m—i t * m—1 i 900 . 1 P'm—i Pi . gpm ___
2	U2 J _[i2 £т_г ln2
(J
1 । „	1 + Pm— i у j*	1—Pm—i utn—1
-I" Hm-I 2 Um-1 2	’
____/ 1 — pm—i___________ 1	1 xt* ____ 1 — pm—1 ^m—1 \
8(1-^)^ \r2m	2 Vm-1 2 r2m )
x [(1 -+ (3 + He)r2el]};	(179)
(.	T T**	\
li..	1 + Pm— i rr* 1 — pm— i	m—1 1
1 -t- P-m-1	§---U m—\--------2------7^ I X
r m /
1 + Pm—i w*
2 V m—\
I	if* \
c== (i_f0	-1
\	rm i
(	** \-
1 — Pm—i	1 + Pm—i iz*	1 — Pm—i V m—\ |
3	2  V m-\--------2-------72“ /
m	' m ' J
rm
♦*
1	1 —Pm—1 Лт—1
2	‘ r2 ’
m
Соотношения (178) — (181) устанавливают зависимость контактного дав-
ления от натяга и числа оборотов диска. Из этих соотношений следует, что
зависимость контактного давления от натяга является линейной, а от числа
оборотов диска — квадратичной. Однако, если учесть, что с изменением
числа оборотов обычно изменяется и температурное поле диска, то зави-
симость контактного давления от числа оборотов является более сложной.
Для определения контактного давления в неподвижном ненагретом диске
в выражениях (178) — (181) слагаемые, содержащие п, 6, Т*, 6виЛ (завися-
щее только от 6 и Т*), полагаются равными нулю. Для нахождения кон-
тактного давления в диске, вращающемся с рабочим числом оборотов, следует
в уравнении (178) положить п = пр.
Из этих же уравнений можно определить освобождающее число оборотов;
для этого необходимо в уравнении (178) положить = 0; тогда получим
«осв = ]/1.	(182>
Расчет посадки диска на вал
183
В случае посадки на вал нескольких примыкающих друг к другу дисков
в уравнениях (179) — (181) необходимо положить х = 1, а выражения 1 — |лв
и 3 + |хв поменять местами.
Если не учитывать зависимость модуля упругости и коэффициента попе-
речной деформации от температуры и считать их для всех точек диска посто-
янными, выведенные выше формулы можно несколько упростить.
Из уравнений (177), используя соотношения (24), получаем
+ твд[<1 - *‘.)'-? + (3 + b)'-y;
"Г 7200gEe P's) + (3 + Р-е) ] 
Зависимость контактного давления от натяга и числа оборотов в рассмат-
риваемом случае принимает вид
G а * С
Pi = —~Tn +т>
о о
(184)
где, согласно формулам (179) — (181) и (117),
{Г	1	г**
1 Л I tt\ Р I Л tt\	1 + Iх т* 1 — V 1 m~l ।
~2 (1 +	(1 —Н)-^-------2“----------~2----+
mJ	m
, 900 gpm ЧеЕг (. l+fx jj.	1-Ц ^m-\\ TeM v
' Л2 tn2 8fEe V 2	^-1	2	,2	/ 8тЕв Л
'	tn 7
>l+jl	[(l-P,)r? + (3 + f.)ry ; (185)
' m	rm / J	'
b = 1 (f 1	1 + н 77* I - fx ^m-l \ Illi K £ f 1 + P2 \1 I
°	2 1	2 u m~l 2 r2 H1+ll + X£ (l_ 02 Hell +
< \	f m /	г	J
x	r0;	<186)
184
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
Рекуррентные формулы (175) для подсчета Г; и Az в этом случае прини-
мают вид
(188)
где определяется формулой (119).	/
Сопоставляя выражения (188) и третье соотношение (118), учитывая при
этом формулы (175), заключаем, что
W  ^п2 pi д
и, следовательно, согласно формулам (120) и (171),
р* ._____________________________________£_ Д*.
Wi 900g	1-р2
TV7 **  	Р*« I Е А**
(189)
(190)
Освобождающее число оборотов устанавливаем, полагая в уравнении (184)
Pi = 0. В результате имеем
^осв
(191)
с
а
В случае ненагретого диска и вала в полученных формулах слагаемые,
содержащие 9в, 9, Т и Л (зависящие только от 9 и Т), полагаются равными
нулю.
Рассмотрим пример расчета посадки диска на вал и определения освобо-
ждающего числа оборотов способом одного расчета.
Пример, Диск паровой турбины посажен на сплошной вал с натягом.
Профиль диска изображен на фиг. 95, а. Рабочее число оборотов в минуту пр = 3000.
Интенсивность равномерно распределенной по наружной поверхности диска нагрузки при
рабочем числе оборотов рт = 400 кг/см2. Величина натяга по диаметру 3 — 0,01157 см. Модуль
упругости, коэффициент поперечной деформации и вес единицы объема для материала диска
и материала вала одни и те же и равны соответственно Е= 2,2-106 кг/см2\ у-= 0,3;
7 = 0,0078 кг/см3. Условия для этого примера заимствованы из книги [56].
Профиль диска заменен профилем, состоящйм из 12 участков постоянной толщины, так,
как это представлено на фиг. 95, а. Начальный, средний и конечный радиусы участков и тол-
щины их, равные толщинам диска на средних радиусах участков, приведены в табл. 35.
По этим величинам при помощи формулы (117) определяем величины С/ и заносим
их в табл. 35. Затем при помощи соотношений (173) и (168) подсчитываем функции Р, S,
а также Q и J для рабочего числа оборотов. Результаты подсчетов сведены в табл. 35.
_ Располагая значениями функции Р и S, по формулам (118) и (175) определяем суммы U*,
U**, V*t V**, Г*, Г**. Величины их приведены в табл. 36.
_	,	,	_.	, ,	hi 13,4
По графику, изображенному на фиг. 94, определяем коэффициент % для — -jg- —
= 0,8363 % = 0,9200.	1
Положим в соотношениях (185)—(187) ₽ = 0, поскольку вал сплошной, и вычеркнем
слагаемые, содержащие 6в, 0, Т и Л, ввиду того что вал и диск ненагреты. Тогда, после под-
становки подсчитанных ранее величин, имеем а= 173,3-10-6 кг/см2сек2\ Ъ = 3,069; с =
= 1874 кг/см2.
Из соотношения (184) получаем зависимость контактного давления от числа оборотов:
Pi = 610,5 — 56,47 (rt-10~3)2.
На фиг. 96 представлен график этой зависимости. Из этого графика следует, что контактное
давление в неподвижном диске (п = 0) р= 611 кг/см3. Величина контактного давления
Расчет посадки диска на вал
185
186
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
К расчету посадки на вал диска паровой турбины
(значения функций Р, S, Q и J)
Таблица 35
№ участка	г в см	h в см		г	р в см2	S-10“3 в см4	St-2 В см2	Q в кг,/см2	Jr“2 в кг/см2
1	8,000 10,00 12,00	13,38	—	0,00 18,00 40,00	0,000 1,476 4,160	0,00 14,76 28,89	0,00 14,13	0,00 11,58
2	12,00 14,00 16,00	7,520	0,7793	40,00 66,00 96,00	4,160 8,580 15,36	28,89 43,78 60,00	51,79	34,35
3	16,00 18,00 20,00	3,870	0,9432	96,00 130,0 168,0	15,36 25,22 38,98	60,00 77,84 97,44	102,0	61,08
4	20,00 22,50 25,00	2,910	0,3299	168,0 221,1 280,5	38,98 63,05 96,63	97,44 124,5 154,6	173,5	97,73
5	25,00 27,50 30,00	2,660	0,09399	280,5 346,1 418,0	96,63 142,0 201,5	154,6 187,7 223,9	271,6	147,3
6	30,00 32,50 35,00	2,420	0,09917	418,0 496,2 580,5	201,5 277,9 374,1	223,9 263,1 305,4	389,3	206,5
7	35,00 37,50 40,00	2,180	0,1101	580,5 671,2 768,0	374,1 493,4 639,0	305,4 350,8 399,4	526,7	275,3
8	40,00 42,50 45,00	1,950	0,1180	768,0 871,2 980,5	639,0 814,6 1024	399,4 451,0 505,7	683,6	353,9
9	45,00 47,50 50,00	1,720	0,1337	980,5 1096 1218	1024 1272 1562	505,7 563,6 624,6	860,3	442,3
10	50,00 52,50 55,00	1,500	0,1467	1218 1346 1481	1562 1898 2287	624,6 688,7 755,9	1056	540,4
11	55,00 57,50 60,00	1,300	0,1539	1481 1621 1768	2287 2732 3239	755,9 826,2 899,7	1272	648,4
12	60,00 63,00 66,00	2,800	—0,5357	1768 1953 2146	3239 3937 4743	899,7 992,0 1089	1532 1684	778,5 854,4
Расчет посадки диска на аал
187
К расчету посадки на вал диска паровой турбины
(величины U*, U**, V*. V**, Г», Г**, ¥*, Г**, at и аг)
Таблица 36
№ участка	г в см	'si	У	—♦♦ — U- в ел2	Ое» 1^ 1 п	«»»/! Я «01 -}л- 	*—	* * 1	я *J—	* —Г*, в см2	**		Q —.10 3 в см*	И * •*»	«0 ‘о К 2 1 «	3 'лГ м t?	g "лГ и ч о
1	8,00 10,00 12,0						—						1500 1210	—102 174
2	12,0 14,0 16,0	0,7793	0,7793	112,2	5,412	5,412	0,7793	28,14	28,14	4,052	22,08	3,180	1040	616
3	16,0 18,0 20,0	1,566	2,345	513,0	8,007	13,42	2,829	101,1	129,3	29,94	101,4	23,50	1160	1210
4	20,0 22,5 25,0	0,9808	3,326	905,3	4,519	17,94	4,636	83,64	212,9	63,40	167,1	49,75	1290	1500
5	25,0 27,5 30,0	0,3448	3,670	1121	1,490	19,43	5,568	38,57	251,5	87,50	197,3	68,67	1340	1500
6	30,0 32,5 35,0	0,3790	4,049	1462	1,577	21,00	6,987	54,30	305,8	136,4	240,0	107,0	1370	1500
7	35,0 37,5 40,0	0,4458	4,495	2008	1,813	22,82	9,208	79,48	385,3	233,7	302,3	183,4	1390	1500
8	40,0 42,5 45,0	0,5144	5,010	2831	2,061	24,88	12,51	110,9	496,2	411,2	389,4	322,7	1410	1500
9	45,0 47,5 50,0	0,6346	5,644	4116	2,517	27,40	17,60	161,5	657,7	738,3	515,8	579,4	1420	1500
10	50,0 52,5 55,0	0,7693	6,414	6039	3,032	30,43	25,18	226,1	883,8	1304	693,5	1023	1430	1500
11	55,0 57,5 60,0	0,9027	7,316	8770	3,542	33,97	35,90	300,4	1184	2212	929,2	1736	1440	1500
12	60,0 63,0 66,0	—3,540	3,776	—3974	—13,85	20,12	—13,95	—1312	—127,7	—2510	—100,2	—1970	1110 1040	523 400
188
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
при рабочем числе оборотов (пр = 3000 об/мин) составляет pi = 102 кг/см2. Освобождающее
число оборотов пОсв — 3290 об/мин.
После определения контактного давления для рабочего числа оборотов из уравнений (183)
устанавливаем соответствующие этому числу оборотов постоянные интегрирования:
А = 700,6 кг!см2, В = 51 380 кг. Затем по формулам (190), полагая, в них Л* и AJ* равными
нулю, подсчитываем величины и1Г?*. Они приведены в табл. 36. Используя теперь выраже-
ния (121), определяем напряжения при рабочем числе оборотов на средних радиусах участков,,
внутренней и наружной поверхностях диска. Величины напряжений приведены в табл. 36.
На фиг. 95, б изображена эпюры напряжения при рабочем числе оборотов.
§ 7. РАСЧЕТ ДИСКОВ, НА ПОЛЗУЧЕСТЬ
Задача расчета диска является одной из актуальнейших задач расчетов,
на ползучесть. Диски паровых и газовых турбин, подвергаясь в процессе-
эксплуатации сильному нагреву, находятся в условиях ползучести. Они
должны быть спроектированы так, чтобы их пластические деформации
за время срока службы не превосходили величин, допустимых по условиям
нормальной эксплуатации.
Рассматриваемая задача представляет значительные трудности и, как
показывают исследования, не имеет решения в замкнутом виде.
Существующие исследования в основном можно разбить на две группы.
В первой из них напряжения и перемещения в дисках определяются путем
решения системы дифференциальных уравнений численными способами.
Таким образом задача решается в работах Одквиста [77], М. А. Радцига [391
и др. [23].
Во второй группе решений используется метод последовательных прибли-
жений. Такой подход принят в работах Р. Бейли [59], Е. П. Попова [78],
А. П. Филиппова [51], Р. М. Шнейдеровича [54], [55], П. Я. Богуслав-
ского [4], А. Г. Костюка [20], Р. С. Кинасошвили [12] и И. И. Тру-
нина [48]. Отметим, что в работах [59], [78], [23] задача решается в пред-
положении установившейся ползучести (см. главу XIII, том II) в исследова-
ниях [74], [51], [54], [55], [12], [4], [20], [48]—по гипотезе ста-
рения, в статьях [77] и [39] — по гипотезе течения.
Использование методов первой группы в практических расчетах ослож-
няется главным образом тем, что расчет по ним приходится вести пробами,
вследствие того что краевые условия для вводимых функций, через которые
выражаются напряжения, неизвестны. Поэтому для инженерных расчетов
эти методы неудобны.
Из методов второй группы для установившейся ползучести наиболее
удобным для расчетной практики является способ Бейли — Попова, осво-
божденный (см. работу [33]) от предположения постоянной скорости, что
в значительной степени без каких-либо усложнений повышает точность метода
при определении перемещений. С этим изменением указанный метод изложен
в книге Г. С. Жирицкого [11 ] и рекомендован им для практических расчетов
как наиболее простой из существующих методов.	*
Недостатками последнего метода является возможность его применения
лишь для случая равномерно нагретого диска и несколько худшая сходимость
процесса последовательных приближений для диска без центрального-
отверстия.
Рассматриваемый метод в значительно переработанном виде изложен
в работе [27]. Уравнение для окружного напряжения, вытекающее из усло-
вия совместности деформации, представлено в новой форме. В результате
этого получена возможность расчета неравномерно нагретого диска и отпа-
дает необходимость построения отдельного решения в окрестности централь-
ной (особой) точки для диска без отверстия. В качестве нулевого приближе-
ния предложено принимать распределение напряжений в пределах упругости.
Расчет дисков на ползучесть
189
Как показано на изложейных ниже примерах, процесс последовательных
приближений в новом методе сходится значительно быстрей, чем в измененном
методе Бейли—Попова. Даже для диска без центрального отверстия напря-
жения во втором приближении практически не отличаются от величин, под-
считанных точным методом путем численного интегрирования дифферен-
циальных уравнений. Различие между величинами, напряжений в первом
и втором приближениях тоже не очень значительно, что позволяет для под-
счетов, не требующих высокой степени точности, ограничиться первым при-
ближением.
Таким образом, новый метод расчета вращающегося неравномерно нагре-
того диска переменной толщины при установившейся ползучести по сравне-
нию с измененным методом Бейли—Попова является более простым, более
общим и обеспечивает лучшую сходимость процесса последовательных при-
ближений. Этот новый метод и изложен ниже.
Ю. Н. Работновым [38] рассмотрена ползучесть диска постоянной тол-
щины по гипотезе упрочнения (см. главу XIII, том II). При этом использова-
лись приближенные выражения для интенсивности напряжения. В указан-
ной статье преодолены значительные трудности, связанные с использованием
гипотезы упрочнения в расчетах дисков. Применение этой гипотезы позво-
ляет достаточно надежно рассчитывать не только изменение во времени
деформаций, но также и изменение напряжений. Таким образом, в работе [38 ]
получена возможность исследования релаксации контактного давления
на внутренней расточке.
В работах Уола [83], [84] рассматривается установившаяся и неустано-
вившаяся ползучесть дисков постоянной и переменной толщины. За счет
допущения равенства нулю скорости радиальной деформации автор для слу-
чая установившейся ползучести получил решение в замкнутом виде.
Заметим, что предположение равенства нулю скорости радиальной дефор-
мации или самой радиальной деформации в случае диска без центрального
отверстия приводит к бесконечно большим значениям напряжений в цен-
тральной точке. Во всех точках, за исключением точек наружного контура,
величины напряжений сильно отличаются от действительных. Как будет
показано ниже на примерах, это допущение может привести к большим
погрешностям в определении напряжений и перемещений.
В работе Уола, Зэнки, Мэнджойна и Шумэкера [82] описано экспери-
ментальное исследование ползучести вращающегося равномерно нагретого
диска постоянной толщины. Результаты испытаний сопоставлялись с теоре-
тическими данными, полученными методом Бейли—Попова без использования
предположения постоянной скорости. Сопоставление показало удовлетвори-
тельное согласование теоретических и опытных данных.
В статье В. И. Розенблюма [42] рассматривается определение времени
до разрушения вращающегося диска в предположении, что разрушение
является вязким.
Отметим также работу А. Г. Костюка [21 ], в которой рассмотрено профи-
лирование вращающегося неравномерно нагретого диска при установившейся
ползучести.
Перейдем к изложению расчета диска на ползучесть.
В расчетах дисков на ползучесть, так же как и в расчетах рабочих лопа-
ток, используем предположение установившейся ползучести. Как известно,
в этом случае (см. главу XIII, том II) напряжения принимаются во времени
постоянными. Тогда расчеты на ползучесть значительно упрощаются. Как
показано в главе XV, том II, погрешности расчетов, выполненных при
указанном предположении, но без использования допущения постоянства
скорости, по сравнению с результатами исследований неустановившейся
ползучести невелики.
190
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
Рассмотрим установившуюся ползучесть вращающегося неравномерно
нагретого диска переменной толщины (фиг. 97).
Вначале выведем основные уравнения расчета. Примем условия нагруже-
ния и нагрева диска такими же, как и в § 1 этой главы. Относительно харак-
тера напряженного состояния сохраним те же допущения, что и при упругом
расчете диска (см. § 1). Используем также те же обозначения, что и в § 1,
за исключением наружного радиуса и интенсивности равномерно распреде-
ленной по наружному
Фиг. 97. К расчету диска
на ползучесть.
контуру растягивающей нагрузки, которые теперь
будут обозначаться г2 и р2 соответственно.
Проинтегрируем дифференциальное уравнение
равновесия элемента диска (4) в пределах от до г,
учитывая, что на внутреннем контуре при г = rY
<зг = —рг [первое краевое условие (11)]. Тогда по-
лучим
<3rrh + plrlh1 — j <sthdr + Ф = 0,	(192)
Г1
где
Ф = 1<7Лйг.	(193)
Огметим, что при г — rt
Ф = 0.	(194)
Полагая в уравнении (192) г = г 2 и учитывая, что
на внешнем контуре при г — r2 а г = р2 [второе
краевое условие (11)],
г.
РгГ2к2 -t- pjji! — J ath dr + Ф2 — 0,	(195)
где
Г2
Ф2= \ qhdr.	(196)
Из уравнения (192) имеем
1 /	с
ar=yh\— PifiK + J a th dr— Ф
(197)
Подставляя соотношения (1) и (3) в выражение (193), получаем для дисков
осевых турбомашин
Ф = 1^Ф,	(198)
а для дисков радиальных турбомашин
(199)
Г1
В выражении (198)
W = ]hr*dr	(200)
Г1
момент инерции части радиального сечения диска относительно его оси
(фиг. 97).
Расчет дисков на ползучесть
191
Сопоставляя формулы (1), (196) и (198), имеем для дисков осевых турбо-
машин
где ЧГ2 = j hr2 dr — момент инерции всего радиального сечения диска ABCD
Г1
относительно его оси (фиг. 97).
Перейдем к рассмотрению деформаций. Пластические деформации в
в окружном и радиальном направлении в некоторой точке на радиусе г
на основании соотношений (5) и (6) могут быть выражены через пластическое
радиальное смещение этой точки следующим образом:
е/0 = —; ег0 = тг’-	(201)
tp г	rp dr	' z
Исключая из этих выражений пластическое радиальное перемещение ир,
получаем условие совместности деформаций в следующем виде:
г^г+^-егр = °-	(202)
Зависимости компонентов пластической деформации от компонентов
напряжений определяются уравнением (5), глава XIV, том II.
В результате преобразований, учитывая, что в рассматриваемом случае
<з2 = 0, получим
eZp = -|-(2a,-ar), erp = -j- (2аг-в/),	(203)
где
здесь eZp — интенсивность пластических деформаций;
ai — интенсивность напряжений (см. главы VIII, XIII и XIV,
том II).
Поскольку напряженное состояние дисков является двухосным, интен-
сивность напряжений выражается следующим образом:
°i =	+ °г	(205)
[см. формулу (23), глава VIII, том II ].
Примем степенную зависимость интенсивности пластических деформаций
от интенсивности напряжений (см. главу XIV, том II)
eip = о? а,	(206)
где показатель степени п для каждого материала зависит от температуры,
а й является функцией времени и температуры.
Из выражения (204), используя соотношения (206) и (205), получаем
х = 0Г1а==(о2_0/0г+02^2.	,	(207)
Подставляя зависимости (203) в уравнение (202), имеем
Г (X (2®/ — ог)1 + 3Х (ot — аг) = 0.
192
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
Преобразуем последнее соотношение к виду
X (2а< — аг)
3 1 —Р
г '2—Р’
(208)
где
Проинтегрируем уравнение (208) по радиусу; тогда получим
(Г	\
—3
n	/
где С — некоторая функция времени.
Подставляя в это выражение соотношение (207) и используя обозначе-
ние (209), устанавливаем
on(l_p + g2)"-T1(2_₽)2 = CeXp^-3jl^|.^y (210)
Из соотношения (210) имеем
1
С п
=	(211)
2П
где
L (1-Р + Р2) 2 (2_₽)
(212)
Отметим, что для диска без отверстия в центральной точке при г = 0
= <зг, поэтому, согласно выражению (209), в центральной точке при
г =0 ₽ = 1. В связи с этим для центральной точки подынтегральная функ-
ция в интеграле, входящем в выражение (212), обращается в неопределенность.
Раскрывая последнюю, легко показать, что указанная функция в централь-
ной точке равна нулю.
Далее из соотношения (212) следует, что в диске без отверстия для цен-
тральной точки при г = 0 С = 1.
Для определения функции времени С п в формуле (211) подставим окруж-
ное напряжение по формуле (211) в соотношение (195). Тогда после преобра-
зований устанавливаем
1
4 Q П _ Р2Г2^2 + Р1Г1^1 + Ф2
р ЛС dr
1
а 4
Расчет дисков на ползучесть
193
и, следовательно, на основании соотношения (211)
РгГ2Ь2 +	+ Ф2
с
1
2 п
(213)
ЛС dr
Т?
Q п
Как отмечалось в главе XII, том II, функция Q может быть приближенно
представлена в виде произведения двух функций:
2 = 2x7,	(214)
одна из которых, Т, есть функция только температуры, а другая, —
функция только времени.
Преобразуем теперь выражение (213), используя соотношение (214);
тогда получим
-   РаГ2^2 + Р1ГЛ + 4>2 С	,п 1
<з(=-----------------------— •	(215)
Л /К dr	j, п
J гр П
Подставляя выражение (215) в уравнение (197), имеем
(216)
В случае диска без центрального отверстия в выражениях (215) и (216)
необходимо положить гх — 0. Тогда, учитывая условие (194), заключаем, что
для центральной точки по уравнению (216) имеет место неопределенность.
Раскрывая последнюю и используя уравнение (215), получаем для централь-
ной точки <зГ1 = a ti, что, как очевидно, и должно иметь место.
При равномерном нагреве диска величина Т не зависит от радиуса,
поэтому формулы (215) и (216) упрощаются и принимают вид
= ' Рг^Л + РуГ^ + Ф2	(21 7)
J AC dr
Г1
Уравнения (215) и (216) или (217) и (218) являются основными уравне-
ниями расчета диска. С помощью их определяются напряжения. После этого
может быть подсчитано радиальное перемещение, возникшее за счет, ползу-
чести материала диска.
Из первой формулы (201) имеем
«р = bp'-
Подставим в это соотношение пластическую окружную деформацию
по первой формуле (203), используя дополнительно при этом выражение (207).
Окончательно получим
UP = -Г (°? -	(2«/- °г)	(219)
13 Пономарев 508
194
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
Перейдем к рассмотрению решения основных уравнений расчета диска
на ползучесть* Для этого используем метод последовательных приближе-
ний. В исходном нулевом приближении примем, что напряжения распреде-
ляются таким же образом, как и в пределах упругости.
Как показывают расчеты, приведенные ниже, такой выбор нулевого
приближения обеспечивает достаточно быструю сходимость процесса.
Заметим, что при подсчете напряжений для нулевого приближения темпе-
ратурные напряжения в расчет не принимаются. Однако зависимость модуля
упругости и коэффициента поперечной деформации от температуры учиты-
вается. Неучет температурных напряжений объясняется тем, что, как отме-
чалось в главе XIV, том II, в условиях ползучести происходит непрерывное
уменьшение (релаксация) температурных напряжений. При установившейся
ползучести температурные напряжения полностью исчезают.
После подсчета напряжений в нулевом приближении из соотноше-
ния (209) определяется величина р. Затем по формуле (212) подсчиты-
вается функция С. После этого при помощи выражений (215) и (216) или
(217) и (218) вычисляются окружное и радиальное напряжения в первом
приближении.
Отметим, что в равномерно нагретых дисках без центрального отверстия
очень часто на большей части радиуса (от центра до обода) окружное
и радиальное напряжения почти постоянны и равны между собой. В таком
случае расчет значительно упрощается, поскольку на указанном участке
в первом приближении можно приближенно положить величины ₽ и С рав-
ными единице.
Напряжения во втором и последующих приближениях подсчитываются
так же, как и в первом приближении, причем за исходные принимаются
напряжения предыдущего приближения. Как следует из приведенных ниже
примеров, второе приближение дает очень хорошую степень точности. В слу-
чае, если в расчете не требуется большой точности, возможно ограничиться
первым приближением.
После подсчета напряжений радиальное перемещение, возникшее за счет
ползучести материала диска, определяется по формуле (219).
Если принять, что радиальная деформация равна нулю [831, [84],
то тогда рассматриваемая задача решается в замкнутом виде. В этом случае
напряжения определяются формулами (215) и (216) или (217) и (218),
причем
г п
Рассмотрим два примера расчетов дисков на ползучесть.
Пример 1. Диск постоянной толщины без центрального отверстия. Интенсивность нагрузки
на наружном контуре равна нулю. Диск равномерно нагрет. Для этого примера в работе [39]
приведено точное решение, выполненное численным интегрированием дифференциальных урав-
нений. При этом величина показателя степени п принята равной п = 2,5. Эта же величина
используется и в настоящем примере.
Для упрощения расчетов введем безразмерные величины: безразмерные окружное
и радиальное напряжения и и безразмерный радиус р, определяемые зависимостями
’ г *р2г2
g	g
(220)
' (221)
Расчет дисков на ползучесть
195
Для диска постоянной толщины без центрального отверстия по формуле (200), используя
соотношение (221), получаем
и, следовательно, согласно выражению (198) устанавливаем
ф = 2^.^рз,	(222)
g з
При г = г2, р = 1 из формулы (222) имеем
hf л
(223)
Преобразуем для рассматриваемого случая зависимости (217) — (219), используя выраже-
ния (220) — (223) и учитывая, что р2 = 0, a h = const. Тогда получим
С
^ = -т-
(224)

ехр
р
(225)
С =
С i-Р rfp
J 2-₽ ’ Р
о
п
причем, согласно формулам (209) и (220),
га-— 1
)~(2-₽)
2L
(226)
(227)
Безразмерные напряжения в нулевом приближении (Tjz)0 и (*Пг)0 получим из формул (50)
(51), глава I, том III, установленных в пределах упругости для диска постоянной толщины
без отверстия. Полагая в этих формулах коэффициент поперечной деформации равным 0,5,
имеем
и, следовательно, согласно формуле (217),
Используя это выражение, получаем
- 3 J уЕу •	= (7 - зр2):	(230)
1-8^82^49-84^ + 39^	,
Р ' Р	(7 — 5?2)2	*	7
Подставляя выражения (229) — (231) в формулу (226), устанавливаем, что
Ci = —------•	(232)
7~ (49 — 84р2 + 39р4)~
13
196
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
Таблица 37
Пример расчета на ползучесть вращающегося диска постоянной толщины.
Первое приближение
р	(Мо	(Мо	С	р f «Р 0	см	(Ml
!	0,0	0,4375	0,4375	1,0000	0,00000	0,3656	0,3656
од	0,4344	0,4331’	0,9976	0,09988	0,3647	0,3620
!	0,2	0,4250	0,4200	0,9921	0,1994	0,3627	0,3512
0,3	0,4094	0,3981	0,9816	0,2981	0,3589	0,3333
0,4	0,3875	0,3675	0,9669	0,3955	0,3535	0,3083
0,5	0,3594	0,3281	0,9476	0,4912	0,3464	0,2759
0,6	0,3250	0,2800	0,9223	0,5847	0,3372	0,2363
0,7	0,2844	0,2231	0,8897	0,6753	0,3253	0,1894
0,8	0,2375	0,1575	0,8447	0,7620	0,3088	0,1350
0,9	0,1844	0,08313	0,7708	0,8428	0,2818	0,07244
1,0	0,1250	0,00000	0,6056	0,9116	0,2214	0,00000
Таблица 38
Пример расчета на ползучесть вращающегося диска постоянной толщины.
Второе приближение
Р	₽	1-Р J_ 2-₽ р	р f 1 -₽ dp i 2-“ р	1 — Р 4- ₽*	2-₽	С	С		(Ми
0,0	1,0000	0,00000	0,000000	1,0000	1,000	1,0000	0,00000	0,3954	0,3954
0,1	0,9926	0,07349	0,003675	0,9927	1,007	0,9950	0,09975	0,3934	0,3910
0,2	0,9683	0,1536	0,01503	0,9693	1,032	0,9790	0,1985	0,3871	0,3790
0,3	0,9287	0,2219	0,03381	0,9338	1,071	0,9537	0,2951	0,37/1	0,3589
0,4	0,8721	0,2835	0,05908	0,8885	1,128	0,9198	0,3888	0,3637	0,3309
0,5	0,7965	0,3380	0,09016	0,8379	1,204	0,8786	0,4787	0,3474	Д2951
0,6	0,7008	0,3839	0,1263	0,7903	1,299	0,8306	0,5642	0,3284	0,2517
0,7	0,5822	0,4209	0,1665	0,7568	1,418	0,7742	0,6444	0,3061	0,2006
0,8	0,4372	0,4502	0,2101	0,7539	1,563	0,7075	0,7185	0,2797	0,1417
0,9	0,2571	0,4735	0,2563	0,8090	1,743	0,6274	0,7852	0,2481	0,07489
1,0	0,0000	0,5000	0,3050	1,0000	2,000	0,5256	0,8429	0,2078	0,00000
Расчет дисков на ползучесть
197
В табл. 37 приведены значения Cj в зависимости от р, подсчитанные по формуле (232)-
Производя числовое интегрирование этой функции и используя формулы (224) и (225), подсчи-
тываем безразмерные напряжения в первом приближении Цд и T)ri. Результаты подсчетов
приведены в табл. 37. По полученным величинам безразмерных напряжений первого приближе.
ния по формуле (227) определяем величину р, во втором приближении ₽ц* Произведя числен-
1 — В 1
ное интегрирование функции —----------и используя соотношение (226), ^подсчитываем
z р р
функцию С во втором приближении. Затем, произведя численное интегрирование этой функции
подформулам (224) и (225), определяем безразмерные напряжения во втором приближении.
Результаты подсчетов сведены в табл. 38.
На фиг. 98 в безразмерных координатах представлены эпюры напряжений в первом
(штрих-пунктирная линия) и втором (штриховая линия) приближениях. Сплошной линией
изображены эпюры безразмерных напряжений, полученных точным методом в работе [39].
Как следует из сопоставлений приближенного и точного решений, напряжения, полученные
во втором приближении, практически не отличаются от напряжений, определенных точным
методом. Различие между напряжениями первого приближения и полученными точным мето-
дом тоже не очень значительно.
На фиг. 99 в безразмерных координатах представлены эпюры напряжений во втором при-
ближении и эпюры напряжений в пределах упругости.
Если рассматриваемый пример решить в предположении равенства нулю радиальной
деформации, то во всех точках, за исключением наружного контура, напряжения резко отли-
чаются от действительных. На фиг. 99 эпюры этих напряжений изображены штриховыми
линиями с точкой. При стремлении радиуса к нулю напряжения стремятся к бесконечности.
В точках наружного контура безразмерное окружное напряжение, вычисленное с допущением
равенства нулю радиальной деформации, отличается от соответствующей величины во втором
приближении на 3,8%.
Пример 2. Диск переменной толщины с центральным отверстием, профиль которого
изображен на фиг. 100. Число оборотов в минуту п = 7200. Интенсивность равномерно рас-
пределенной по наружной поверхности обода нагрузки р2 = 1728 кг/см2. Давление на вну-
тренней расточке равно нулю. Температура равномерного нагрева диска 600°.
' Материал диска — сталь ЭИ69. Вес единицы объема материала 7 = 0,00785 кг/см3.
Среднее значение коэффициента линейного расширения в интервале температур 20—600°
аср = 18-10~6 Модуль упругости стали ЭИ69 при температуре 600° Е = 1,40-106 кг/см2.
На фиг. 101 изображен ориентировочный график функции 2 для стали ЭИ69 при темпера-
туре 600°. Этот график построен по кривой простого последействия для этой стали при напря-
жении о = 2200 кг/см2, с учетом того, что для стали ЭИ69 при температуре 600° п =
= 3,00.
Вначале методом, изложенным в § 4, были определены напряжения в пределах упругости.
При этом коэффициент поперечной деформации принимался равным 0,5. Эти величины приве-
дены в табл. 39. Затем в соответствии с изложенным выше подсчитаны напряжения в первом
и втором приближениях. Результаты подсчетов сведены в табл. 39 и 40. На фиг. 100 изобра-
жены эпюры окружных и радиальных напряжений в пределах упругости (штрих-пунктирные
линии) в первом приближении (штриховые линии) и во втором приближении (сплошные линии).
Как следует из этих эпюр, напряжения второго приближения незначительно отличаются
от соответствующих величин первого приближения. Это обстоятельство позволяет ограничиться
двумя приближениями. Для подсчетов, не требующих высокой степени точности, можно закон-
чить расчет на первом приближении.
После вычисления напряжений определяем перемещения. Установим зависимость от вре-
мени радиального перемещения в точках наружного контура. Для этого находим из табл. 40
напряжения на наружном контуре диска во втором приближении. Они равны (0/2)11 =
= 2763 кг/см2, (ог2)п = 1728 кг/см2. Подставляя эти величины в формулу (219), учитывая, что
п = 3,00 и г = г2 = 30 см, получаем величину радиального перемещения в точках наружного
контура, образовавшегося за счет ползучести материала, в зависимости от времени: иР2 =
= 0,03332-10132.
Решение рассматриваемого примера, выполненное с допущением равенства нулю радиаль-
ной деформации, приводит к следующей величине окружного напряжения в точках наружного
контура: о/2 = 2012 кг/см2. Учитывая, что аГ2 = р2 = 1728 кг!см2, согласно формуле (219)
получаем радиальное перемещение в точках наружного контура, образовавшееся за счет пол-
зучести материала: ир2 = 0,01225-10132.
Таким образом, использование допущения о равенстве нулю радиальной деформации
в этом случае приводит к погрешности в определении напряжений в точках наружного кон-
тура в 27%. Величина же радиального перемещения в точках наружного контура, возникшая
за счет ползучести материала, получается заниженной в 2,7 раза. Следовательно, допущение
равенства нулю радиальной деформации может привести к большим ошибкам в определении
перемещений.
Полное радиальное перемещение складывается из радиального перемещения, возникающего
в начальный момент времени, и радиального перемещения, образующегося за счет ползучести
материала диска.
198
Расчеты, на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
Фиг. 98. Эпюры безраз-
мерных напряжений во
вращающемся равномерно
нагретом диске постоян-
ной толщины без централь-
ного отверстия при уста-
новившейся ползучести.
Фиг. 99. Эпюры безраз-
мерных напряжений во
вращающемся равномерно
нагретом диске постоян-
ной толщины без цент-
рального отверстия в пре-
делах упругости и при
установившейся ползу-
чести.
Расчет дисков на ползучесть
199
Таблица 39
Пример расчета на ползучесть вращающегося диска переменной толщины.
Первое приближение
г ,в см	h в см	J в см*	Ф в кг	(’/)о в кг/см2	(’г)о в кг/см*			г j htdr в см*	(af)i в кг!см*	(’r)l в кг/см*
5	8	0,0	0	3410	0,0	0,0000	0,7937	0,00	2939	0,0
7	8	581,3	2 644	2544	783,4	0,3079	0,7760	12,56	2874	783,2
9,5	6,4	1 918	8 725	2231	1356	0,6081	0,7499	26,32	2778	1460
11	4,4	2 732	12 430	2422	1999	0,8252	0,7387	32,36	2736	2219
14	3,7	4 588	20 870	2460	2267	0,9215	0,7194	41,23	2664	2543
18	3,1	8 062	36 680	2493	2424	0,9723	0,7101	50,96	2629	2724
22	2,5	12 520	56 950	2578	2605	1,011	0,7151	58,94	2648	2932
26	1,9	17 570	79 920	2753	2909	1,056	0,7258	65,27	2688	3276
28,5	2,0	20 830	94 750	2539	2461	0,9694	0,7268	68,81	. 2691	2809
29,5	2,6	22 770	103 600	2189	1784	0,8151	0,7231	70,48	2678	2053
30	3,0	24 010	109 200	2147	1728	0,8048	0,7209	71,49	2670	1728
Таблица 40
Пример расчета на ползучесть вращающегося диска переменной толщины.
Второе приближение
г в см	₽	С	Г j htdr в см* Г1	(а/)п в кг1см*	• (ar)ll в кг!смг
5	0,0000	0,7937	0,00	2948	0,0
7	0,2725	0,7642	12,46	2838	778,9
9,5	0,5257	0,7324	25,96	2720	1441
11	0,8111	0,7290	31,88	2707	2189
14	0,9546	0,7119	40,64	2644	2510
18	1,036	0,7133	50,33	2650	2691
22	1,107	0,7244	58,37	2690	2903
26	1,219	0,7505	64,84	2788	3256
28,5	1,044	0,7596	68,52	2821	2802
29,5	0,7667	0,7547	70,26	2802	2052
30	0,6472	0,7442	71,31	2763	1728
200
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин
Радиальное перемещение точек наружного контура в начальный момент времени, возникаю-
щее в результате вращения диска, определяется по формуле
“2 (0) =	(<5/2 — f* °Г2).	<233)
где а^2 и оГ2 — окружное и радиальное напряжения в точках наружного контура в пределах
упругости. Как следует из табл. 39, эти величины равны о/2 = 2147 кг!см2, оГ2 = 1728 кг!см2.
Фиг. 100. Эпюры напряжений во вращающемся равномерно нагретом диске переменной
толщины в нулевом, первом и втором приближениях.
Подставляя их в формулу (233) и учитывая, что модуль упругости Е = 1,40-106 кг/см2, полу-
чаем Ug (0) = 0,02749 см.
Радиальное перемещение точек наружного контура в начальный момент времени, возни-
кающее за счет нагрева диска, равно
(0) = а’сР	г2,	(234}
где &—температура нагрева диска; &н— начальная температура ненапряженного диска,
которую примем равной 20°.
Расчет дисков на ползучесть
201
По формуле (234), учитывая, что аср = 18-10—6 ^С, получаем (0) = 0,3132 см.
Полное радиальное перемещение точек наружного контура находится путем сложения величин,,
возникающих в результате вращения и нагрева диска,
«2 (0) =	(0) +	(0) = 0,3407 см.
Фиг. 101. Ориентировочный график функции 2 для стали ЭИ69
при температуре 600° С.
Складывая теперь эту величину с найденным выше пластическим радиальным перемеще-
нием, окончательно получаем зависимость от времени полного радиального перемещения?
точек наружного контура:
и2 = 0,3407 + 0,03332-10^2.
Фиг. 102. График зависимости от времени радиального перемещения в точках
наружного контура диска.
По этой формуле с использованием графика функции Q построена диаграмма зависимости?
от времени полного радиального перемещения точек наружного контура диска. Она изображена*
на фиг. 102.
Как следует из зависимости на фиг. 102, зд время, равное 500 час., радиальное перемещение
возрастает примерно на одну четверть величины радиального перемещения в начальный момент?
времени.
202
Литература
ЛИТЕРАТУРА
1.	Биргер И. А., Некоторые математические методы решения инженерных задач,
Оборонгиз, 1956.
2.	Биргер И. А., Вариационные методы в строительной механике турбомашин,
Институт им. П. И. Баранова, Труды № 323, Оборонгиз, 1959.
3.	Бицено К. Б. иГраммель Р., Техническая динамика, т. II, ГИТТЛ,
1952.
4.	Бубликов Е. И., К подсчету термических напряжений в теле диска, «Советское
котл©турбостроение» № 1, 1936.
5.	Б уды к.а И. Н., Расчет дисков паровых турбин на прочность, Машгиз, 1956.
6.	В а й н б е р г Д. В., Расчет дисков турбин по методу начальных параметров.
АН УССР, Сборник трудов Института строительной механики, № 13, АН УССР, 1949.
*7. Вайнберг Д. В., Напряженное состояние составных дисков и пластин, АН УССР,
Институт строительной механики, АН УССР.
8.	Гохфельд Д. А., К расчету на прочность дисков турбомашин, «Труды МАИ
им. Серго Орджоникидзе», вып. 17, Оборонгиз, 1952.
9.	Жирицкий Г. С., Авиационные газовые турбины, Оборонгиз, 1950.
10.	Жирицкий Г. С., Расчет температурных напряжений в турбинных дисках,
«Котлотурбостроение» № 5, 1952.
11.	Жирицкий Г. С., Конструкция и расчет на прочность деталей паровых турбин,
Госэнергоиздат, 1955.
12.	К‘и н а с о ш в и л и Р. С., Расчет на прочность дисков турбомашин, Оборонгиз,
1954.
13.	К о б р и н М. М., Рабинович В. П., Разрушение моделей вращающихся тур-
бинных дисков, «Теплоэнергетика» № 7, 1957.
14.	Коваленко А. Д., Расчет на прочность дисков турбомашин, «Труды комитета
прочности ВНИТОМАШ», вып. 1, 1947.
15.	Коваленко А. Д., Теория расчета на прочность колес турбомашин, АН УССР,
Институт строительной механики, № 48, АН УССР, 1949.
16.	Коваленко А. Д., Таблицы для расчета’ на растяжение и изгиб дисков турбо-
машин произвольного профиля, АН УССР, Институт строительной механики. «Информацион-
ные материалы» № 5, изд. АН УССР, 1950.
17.	Коваленко А. Д., Пластины и оболочки в роторах турбомашин, АН УССР,
Институт строительной механики, изд. АН УССР, 1955.
18.	Коваленко А. Д. Некоторые задачи термоупругости в связи с тепловыми
напряжениями в турбинных роторах, «Известия АН СССР Отд. техн, наук», № 10, 1958.
19.	К остю к А. Г., О температурных напряжениях в дисках турбин в условиях
неустановившегося теплового режима, Труды МЭИ, вып. XXIII, Энергомашиностроение,
Госэнергоиздат, 1955.
20.	Ко стю к А. Г., Напряжения во вращающемся диске при ползучести, «Инженер-
ный сборник», т. XV, изд. АН СССР, 1953.
21.	К о стю к А. Г., Расчет профиля вращающегося диска для условий ползучести,
«Прикладная математика и механика», т. XVII, вып. 5, 1953.
22.	Л е в и н А. В., Рабочие лопатки и диски паровых турбин, Госэнергоиздат, 1953.
23.	М а л и н и н Н. Н., Основы расчетов на ползучесть, Машгиз, 1948.
24.	М а л и н и н Н. Н., Расчет вращающегося неравномерно нагретого диска перемен-
ной толщины, «Инженерный сборник», т. XVII, АН СССР. 1953.
25.	М а л и н и н Н. Н., Расчет вращающегося диска, посаженного на вал с натягом,
МВТУ им. Н. Э. Баумана, «Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть элементов машино-
строительных конструкций», сб. 26, Машгиз, 1953.
26.	М а л и н и н Н. Н., Расчет вращающегося неравномерно нагретого диска переменной
толщины в общем случае осесимметричной деформации МВТУ им. Баумана. «Расчеты на проч-
ность в машиностроении», сб. 46, Машгиз, 1955.
27.	Малин и н Н. Н., Расчет на ползучесть вращающихся неравномерно нагретых
.дисков переменной толщины, «Сборник статей, посвященный пятидесятилетию действительного
члена АН УССР С. В. Серенсена», АН СССР, 1958.
28.	Малинин Н. Н., Поверочный расчет на прочность дисков турбомашин, «Изве-
стия высших учебных заведений. Машиностроение» № 1, 1958.
29.	Малкин Я.В,. Профилирование турбинных дисков в связи с расчетом их на проч-
ность и вибрацию, ОНТИ НКТП СССР, 1937.
30.	М о и с е е в А. А., Конструктивные расчеты корабельных турбоагрегатов, Суд-
^промгиз, 1948.
31.	Молчанов Е. И., К вопросу о термических напряжениях в дисках, «Тепло-
энергетика» № 8, 1955.
32.	Пешина Е., К влиянию конструкции и материала вращающегося диска на
чего напряженность и несущую способность, МАТИ, Вопросы сопротивления материалов,
Прочность алюминиевых сплавов, Труды института, вып. 37, Оборонгиз, 1959.
Литература
203
33.	Пономарев С. Д., Бидерм ан В. Л., Лихарев К. К., Маку-
шин В. М., Малинин Н. Н., Ф ео д ось ев В. И., Основы современных методов
расчета на прочность в машиностроении, т. II (Расчеты при динамической нагрузке. У стопчи
вость. Ползучесть), Машгиз, 1952.
34.	П о н о м а р е в С. Д., Профилирование дисков с центральным отверстием, устанав-
ливаемых на валу с натягом, МВТУ им. Н. Э. Баумана, «Расчеты на прочность элементов ма-
шиностроительных конструкций», сб. 31, Машгиз, 1955.
35.	П о п к о в В. Г., Напряжения во вращающихся дисках при высоких температурах,
АН УССР, Сборник трудов института строительной механики, № 11, изд. АН УССР, 1949.
36.	Р а б о т н о в Ю. Н., О диске равного сопротивления, «Прикладная математика
и механика», т. XII, вып. 4, 1948.
37.	Р а б о т н о в Ю. Н., Расчет деталей машин на ползучесть, «Известия АН СССР,
ОТН» № 6, 1948.
38.	Работнов Ю. Н., О некоторых возможностях описания неустановившейся пол-
зучести с приложением к исследованию ползучести роторов «Известия АН СССР, ОТН» № 5,
39.	Р а д ц и г М. А., Расчет турбинного диска с учетом ползучести, сборник статей
«Прочность элементов паровых турбин», Машгиз, 1951.
40.	Рис В. Ф., К расчету вращающихся дисков трубомашин, «Советское котлотурбострое-
ние» № 1, 1936.
41.	Р и с В. Ф., К расчету вращающихся дисков турбомашин. Диски с боковой нагруз-
кой, «Советское котлотурбостроение» № 1, 1938.
42.	Розенблюм В. И., Время до разрушения вращающегося диска в условиях
ползучести, «Прикладная математика и механика», т. XXI, вып. 3, 1957.
43.	Самойлович Г. С. иТрояновский Б. М., Паровые турбины (сборник
задач), Госэнергоиздат, 1957.
44.	Скубачевский Г. С., Авиационные газотурбинные двигатели. Конструкция
и расчет деталей, Оборонгиз, 1955.
45.	Соколовский В.В., Пластическое напряженное состояние вращающегося
диска, «Прикладная математика и механика», т. XII, вып. 1, 1948.
46.	С о к о л о в с к и й В. В., Теория пластичности, ГИТТЛ, 1950.
47.	Т а р а б а с о в Н. Д., Расчеты на прочность неоднородных составных дисков и труб
с учетом инерционных сил, «Инженерный сборник», т. X, изд. АН СССР, 1951.
48.	Т р у н и н И. И., Расчет турбинных дисков на ползучесть методом упругих реше-
ний, ЦНИИТМАШ, кн. 71. «Вопросы металловедения котлотурбинных материалов», Машгиз,
1955.
49.	Т у м а р к и н С. А., Методы расчета напряжений во вращающихся дисках, «Труды
ЦАГИ им. проф. Н. Е. Жуковского», вып. 262, изд. ЦАГИ им. проф. Н. Е. Жуковского, 1936.
50.	Т умаркин С. А., Расчет вентиляторов на прочность, «Труды ЦАГИ им. проф.
Н. Е. Жуковского», вып. 496, Изд. ЦАГИ им. проф. Н. Е. Жуковского, 1940.
51.	Филиппов А. П., Напряжения во вращающихся дисках турбомашин при учете
ползучести, АН УССР. Лаборатория проблем быстроходных машин и механизмов, Сборник
трудов, вып. 1, изд. АН УССР, 1949.
52.	Ф и л и п п о в А. П., Напряжения во вращающихся дисках турбомашин, «Инже-
нерный сборник», т. IX, изд. АН СССР, 1951.
53.	Черный В. Я. и Бакланов Г. И., Расчет турбинных дисков «Советское
котлотурбостроение» № 4, 1934.
54.	Ш н е й д е р о в и ч Р. М., Нестационарная и стационарная ползучесть дисков,
«Труды МАТИ», вып. 9, Оборонгиз, 1950.
55.	Ш н е й д е р о в и ч Р. М., Расчет дисков с учетом пластических деформаций, «Вест-
ник машиностроения» № 3, 1954.
56.	Я н о в с к и й М. И., Конструирование и расчет на прочность деталей паровых
турбин, изд. АН СССР, 1947.	’ ,
57.	Я н ч е н к о В. Ф., К расчету на прочность дисков паровых турбин, «Котлотурбо-
строение» № 2, 1948.
58.	Arrowsmith G. The design of rotating discs, «Engineering», Vol. CXVI, October 5,
1923.
59.	В a i 1 e у R. W., The utilization of creep test data in engineering design, «The Insti-
tution of mechanical engineers. Proceedings», Vol. 131, 1935.
60.	Beck F., Centrifugal stresses in disks, «Machine design» № 5, 1949.
61.	Bisshopp К. E., Stress coefficients for rotating disks of conical profile, «Journal
of applied mechanics», Vol. 11, № 1, 1944.
62.	D о n a t h M., Die Berechnung rotierender Scheiben und Ringe nach einem neuen Ver-
fahren, Verlag J. Springer, 1929.
63.	D r i e s s e n M. G., A simplified method of determining stresses in rotating discs,
«Transactions of the ASME» № 30, 1928.
64.	G r a m m e 1 R., Ein neues Verfahren zur Berechnung rotierender Scheiben. «Ding-
lers polytechnisches Journal», H. 25/26, B. 338, 1923.
204
Литература
65.	Н а е г 1 е Н., The strength of rotating discs, «Engineering», 9 august, 1918.
66.	Holzer H., Die Berechnung der Scheibenrader, «Zeitschrift fur das gesamte Turbi-
nenwesen», H. 26—28, 1913.
67.	H о 1 z e r H., Die Berechnung der Scheibenrader bei ungleichmapiger Erwarmung,
«Zeitschrift fur das gesamte Turbinenwesen», H. 1—4, 1915.
68.	К e 1 1 e r H., Berechnung von Radscheiben, «Schweizerische Bauzeitung», B. 54,
Nr. 2, 1909.
69.	К e 1 1 e r C., Die Berechnung rotierender Radscheiben mittels konischer Teilringe,
«Escher-Wyss Mitteilungen», Nr. 1/2, 1932.
70.	Leopold W. R., Centrifugal and thermal stresses in rotating disks, «Journal of
applied mechanics», Vol. 15, No 4, 1948.
71.	Leopold W. R., Rotating disks at high temperature, «Machine design», Vol. 20,
No 12, 1948.
72.	M a n s о n S. S., Determination of elastic stresses in gas-turbine disks, «National advi-
sory committee for aeronautics», Report No 871, 1947.
73.	M a n s о n S. S., Direct method of design and stress analysis of rotating disks with
temperature gradient, «National advisory committee for aeronautics», Report № 952, 1950.
74.	M i 1 1 e n s о n M. B. and Manson S. S., Determination of stresses in gas-turbine
disks subjected to plastic flow and creep., «National advisory committee for aeronautics», Report
№ 906, 1948.
75.	Moyes S. J. E., Determination of turbine disc stresses, «Engineering», vol. CXLII,
No 3681, 1936.
76.	Moyes S. J. E., Determination of stresses in rotating discs under elastic conditions,.
«Engineering», vol. CXLVII, No 3816, 1939.
77.	О d q v i s t F. K. G., Theory of creep under the action of combined stresses with appli-
cations to high temperature machinery, «The Royal Swedish Institute for engineering research,
Proceedings» No 141, 1936.
78.	Popov E. P., Stresses in turbine disks at high temperatures, «Journal of the Franklin
Institute», vol. 243, No 5, 1947.
79.	S t о d о 1 a A., Die Nebenspannungen in rasch umlaufenden Scheibenradern «Zeitschrift
des VDJ», B. 51, Nr 32, 1907.
80.	S t о d о 1 a A., Dampf-und Gasturbinen, 1924.
81.	Thompson A. S., Stresses in rotating disks at high temperatures, «Journal of applied’
mechanics»,. vol. 13, N 1, 1946.
82.	W a h 1 A. M., Sankey G. O., Manjoine M. J., Schoemaker E., Creep
tests of rotating disks at elevated temperature and comparison with theory, «Journal of applied
mechanics», vol. 21, No 3, 1954.
83.	W a h 1 A. M., Analysis of creep in rotating disks based on the Tresca criterion and
associated flow rule, «Journal of applied mechanics», vol. 23, No 2, 1956.
84.	W a h 1 A. M., Stress distributions in rotating disks, subjected to creep, «Journal of
applied mechahics», vol. 24, No 2, 1957.
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
КОЛЕБАНИЯ И УДАРНЫЕ НАГРУЗКИ
ГЛАВА IV
КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
По мере развития техники скорости движения частей машин становятся
все большими, а конструкция их облегчается. Вследствие этого при расчете
современных машин на прочность необходимо учитывать не только статиче-
ское действие нагрузок, но и напряжения и деформации, возникающие при
вибрации машин или их частей. Особая опасность вибрационных нагрузок
состоит в том, что они могут вызвать внезапное усталостное разрушение
деталей машины без значительных пластических деформаций, которые
позволили бы вовремя заметить опасность и предупредить аварию.
В случае неудачной конструкции, если частота собственных колебаний
машины или ее частей совпадает с частотой изменения внешних периодических
сил (резонанс), происходит резкое возрастание амплитуд колебаний, которое
может повести к полному разрушению машины. Поскольку частоты изменения
внешних возмущающих сил обычно известны (такими силами, как правило,
являются либо силы, развивающиеся в связи с неравномерным движением
частей машины, либо силы, связанные с периодичностью ее рабочего про-
цесса), то для того, чтобы установить, возможно ли возникновение резонанса,
и предупредить эту опасность посредством изменения параметров конструк-
ции, необходимо уметь расчетным путем определять частоты собственных
колебаний системы.
Не всегда, однако, возможно полностью устранить явление резонанса.
Так, например, в двигателях внутреннего сгорания крутящий момент, пере-
даваемый с одного цилиндра на коленчатый вал, может быть представлен
в виде суммы моментов, изменяющихся во времени по синусоидальному
закону и имеющих периоды, равные времени поворота коленчатого вала,
а также вдвое, втрое, вчетверо и т. д. меньшие этого времени (вторая, третья
и т. д. гармоники). Возмущающие силы в этом случае имеют не одну частоту,
а целый спектр частот, кратных числу оборотов двигателя. Если учесть,
что и собственных частот колебаний коленчатого вала имеется несколько
(столько, сколько на валу масс), а для транспортных и авиационных двига-
телей рабочее число оборотов изменяется в известных пределах, то очевидно,
что при работе на некоторых режимах нельзя избежать совпадения опреде-
ленных гармоник возмущающих сил с собственными частотами колебаний
вала. В этом случае задачей расчета является определение амплитуд колеба-
ний, а также величин усилий и напряжений, возникающих в деталях при
резонансе. Решение этой задачи требует учета затухания в системе.
Если явление резонанса устранить нельзя и если возникающие при резо-
нансе вибрации слишком велики и угрожают прочности машины, надо при-
нять меры к уменьшению вибраций путем установки специальных поглоти-
телей колебаний — демпферов.
В большинстве практических расчетов инженеру приходится иметь дело
с малыми гармоническими колебаниями, описываемыми линейными диффе-
206
Колебания упругих систем с одной степенью свободы
ренциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Иногда, однако,
такая упрощенная постановка задачи не позволяет выявить весьма важных
явлений, которые могут иметь место в колеблющейся системе. Так, малые
периодические изменения параметров системы, в частности, ее жесткости,
приводят иногда к значительному возрастанию амплитуды колебаний
системы (параметрический резонанс). Явлениями параметрического резо-
нанса, исследованными в работах академиков Л. И. Мандельштама и
Н. Д. Папалекси, объясняются, в частности, колебания систем передач
спарниками в электровозах при некоторых скоростях движения, поперечная
вибрация стержней при воздействии периодической продольной нагрузки
(динамическая неустойчивость) и т. д.
В некоторых случаях параметрический резонанс приводит к катастрофи-
ческим последствиям. Так, безопасные сами по себе периодические нагрузки
на висячий мост, вызванные, например, сбеганием вихревых струй при
сильном ветре, при определенном соотношении частот могут вызвать нара-
стающие горизонтальные колебания моста и привести к его разруше-
нию [4].
Такого рода явления послужили, по-видимому, одной из причин разру-
шения в 1940 г. гигантского висячего моста через Такомский пролив
в США.
Нелинейные колебания также имеют большое практическое значение.
Включение в упругую систему элементов с нелинейной характеристикой поз-
воляет значительно снизить опасность резонансных режимов.
Следует иметь в виду, что возбуждение колебаний в упругих системах
может иметь место и при отсутствии периодических возмущающих внешних
сил. Постоянная по величине нагрузка, если она движется относительно
упругой системы со скоростью, близкой к скорости распространения собствен-
ных колебаний в системе, также возбуждает вибрации последней. Именно
таково происхождение осевых вибраций турбинных дисков.
Колебания в упругой системе возникают также за счет источников энер-
гии, не обладающих колебательными свойствами, в тех случаях, когда воз-
действующее на систему усилие определенным образом нелинейно связано
со скоростями и смещениями системы (автоколебания).
Примерами автоколебаний являются колебания, вызываемые сухим тре-
нием. Известен случай, когда такого рода колебания послужили причиной
разрушения подъемного моста [6].
Большое практическое значение имеют автоколебания, возникающие при
натекании газовой струи на упругие системы определенной формы (флаттер
крыла самолета, флаттер турбинных лопаток, галопирование линий электро-
передач).
Следует отметить, что негармонические колебания, возникающие в меха-
нических системах, обычно очень мало отличаются от гармонических, что
позволяет значительно упростить их изучение путем применения приближен-
ных методов.
К задаче расчета колебаний механических систем очень тесно примыкает
задача об устойчивости их движения, методы решения которой разработаны
А. М. Ляпуновым.
Среди проблем устойчивости движения, имеющих большое техническое
значение, необходимо указать задачу о критическом числе оборотов вращаю-
щегося вала.
Эффективные методы определения критических скоростей вращающихся
валов разработаны акад. А. Н. Крыловым, труды которого в области теории
колебаний являются классическими.
В настоящей главе рассмотрены колебания линейных систем, обладающих
одной степенью свободы. Простота уравнений, описывающих движение
Степени свободы упругой системы
207'
систем такого рода, позволяет достаточно полно исследовать поведение*
системы в различных условиях.
Вместе с тем получаемые здесь результаты имеют универсальный харак-
тер, поскольку, как это будет показано в главе V, ортогональность форм
нормальных колебаний многомассовых систем позволяет описывать их дви-
жение системой уравнений, каждое из которых совпадает по форме с уравне-
нием движения системы, обладающей одной степенью свободы.
§ 1. СТЕПЕНИ СВОБОДЫ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ
Числом степеней свободы упругой системы называется количество незави-
симых координат, определяющих положение всех масс системы.
Строго говоря, упругая система всегда имеет бесконечное множество сте-
пеней свободы, так как сами упругие элементы, входящие в систему, обла-
дают распределенной массой, и для того, чтобы задать ее положение, надо*
задать координаты каждой точки системы.
Однако в ряде случаев, если распределенная вдоль упру- 6^7//
гих элементов масса мала по сравнению с массами относи-
тельно жестких грузов, входящих в систему, можно прене-
бречь ее влиянием и рассматривать только координаты этих
жестких грузов.	?
С этой точки зрения система, представленная на фиг. ЮЗ
и состоящая из жесткого тела, движущегося в направляю-
щих и связанного с пружиной, масса которой мала по срав- 4
нению с массой m тела, может рассматриваться как система <
с одной степенью свободы.
Положение системы можно зафиксировать одной единст-
венной координатой — смещением тела 5 от равновесного
положения.
Система, изображённая на фиг. 104, а и состоящая из двух грузов и двух
пружин с пренебрежимо малой собственной массой, представляет собой
систему с двумя степенями свободы. На фиг. 104, бив представлены еще два^
примера системы с двумя степенями свободы. Первая из них представляет
собой нерастяжимую балку с двумя грузами, могущую колебаться в плоско-
сти чертежа, вторая — раму с одним грузом. В обоих случаях предпола-
гается, что собственная масса упругой системы мала по сравнению с массами^
грузов.
Если разрешить смещения в направлении, перпендикулярном к плоскости
чертежа, то система на фиг. 104, б будет иметь четыре степени свободы,
а система на фиг. 104, в — три.
Если моментами, возникающими при повороте грузов, нельзя пренебре-
гать, то положение этих грузов следует определять не только координатами
центра тяжести, но и углами поворота. С этой точки зрения система, изобра-
женная на фиг. 105, имеет две степени свободы. Эта система представляет
собой балку с закрепленным на ее конце грузом, имеющим массу m и момент
инерции Z. Груз может перемещаться в плоскости чертежа, причем его поло-
жение определяется двумя координатами — смещением и углом пово-
рота д.
Необходимо иметь в виду, что возможность или невозможность заменить
реальную упругую систему системой с одной, двумя и т. д. степенями сво-
боды зависит не только от вида системы, но и от характера воздействующих
на нее сил.
Так, например, если в системе, изображенной на фиг. 103, оттянуть пру-
жину в сторону и затем отпустить, то возникнут ее боковые колебания, при<
208
Колебания упругих систем с одной степенью свободы
„которых нельзя пренебречь собственной массой пружины, как бы мала она
ни была. При исследовании такого рода колебаний систему уже нельзя рас-
сматривать как имеющую одну степень свободы.
Таким образом, представление реальной упругой системы как системы,
.имеющей несколько степеней свободы, всегда является схематизацией дей-
ствительного явления.
Фиг. 104.
Законность такой схема-
тизации зависит как от
свойств системы, так и от спо-
соба возбуждения колебаний
в ней.
Фиг. 105.

Выбор для расчета той или иной схемы Может быть сделан только в резуль-
тате изучения физической природы рассматриваемых явлений, причем,
в конечном счете,правильность такого выбора проверяетсяэкспериментально.
Выбор расчетной схемы зависит также от требо-
ваний, предъявляемых к точности расчета.
-P&J
N
а)
PH)
dt
6)
Фиг. 106.
§ 2. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Рассмотрим простейший пример системы
с одной степенью свободы — тяжелое тело
массы ш, могущее передвигаться в одном опре-
деленном направлении и удерживаемое упругой
связью (пружиной), массой которой в сравне-
нии с tn можно пренебречь (фиг. 106 а).
Если бы масса пружины не являлась пренеб-
режимо малой по сравнению с массой тела,
то систему нельзя было бы рассматривать как
систему с одной степенью свободы (см. § 1).
Предположим, что на тело действует внешняя сила Р (i), являющаяся
заданной функцией времени (возмущающая сила), а силами сопротивления
можно пренебречь.
Обозначая смещение тела из положения статического равновесия бук-
вой В, а податливость пружины (осадку ее от усилия 1 кг)—буквой В,
можно записать уравнение движения тела в следующей форме (фиг. 106, б):
»’5+4е=р«'	<>
здесь пг представляют собой силу инерции тела, а у 5 = N—силу
натяжения пружины.
Уравнения движения системы с одной степенью свободы
209
В уравнении (1) не учтены силы сопротивления. Их влияние будет рас-
смотрено далее, в § 8 и 9 этой главы. Заметим,что вид уравнения (1) совер-
шенно не зависит от того, движется ли тело по вертикали или по горизон-
тали, т. е. действует ли сила веса этого тела в направлении движения.
Действительно, в случае движения тела по вертикали на него действуют
следующие усилия: 1) сила тяжести mg (где g — ускорение силы тяжести);
2) натяжение пружины N, направленное вверх и равное полной ее осадке
(icm + I), деленной на податливость 8, т. е.
дг_ %cm + S
1 ~	5
где lcm = mg§ — осадка пружины, вызван-
ная весом груза; 3) возмущающая
сила Р (/)•
Сумма этих сил равна произведению мас-
сы тела на его ускорение т ;
Так как mg =	, то эти слагаемые взаимно уничтожаются, и в резуль-
тате мы получаем уравнение, тождественное уравнению (1). Таким образом,
при отсчете смещений от положения статического равновесия постоянные
силы (сила тяжести) не влияют на движение тела.
Уравнение (1) можно представить в форме
dt* Р т
(2)
причем
_ 1
р ~ УТйь •
В случае, если рассматриваются крутильные колебания системы с одной
степенью свободы, уравнение движения имеет вид, совершенно аналогич-
ный уравнению (2). В качестве системы с одной степенью свободы, совер-
шающей крутильные колебания, рассмотрим систему, изображенную
на фиг. 107. Маховик, имеющий относительно оси х момент инерции /,
закреплен на невесомом валике, другой конец которого неподвижен.
Маховик нагружается внешним возмущающим моментом М (/). Обозначая
угол поворота маховика можем записать уравнение движения маховика
в следующей форме: -
+ = <3>
где В» — податливость валика, т. е. угол его закручивания при приложении
единичного момента.
В формуле (3) I — момент сил инерции относительно оси х,
6
момент, скручивающий валик.
Уравнение крутильных колебаний (3) совершенно аналогично уравне-
нию (1). Роль массы т в этом случае играет момент инерции 7, линейные сме-
щения 5 заменяются угловыми &,возмущающая сила Р (/) заменяется возму-
щающим моментом М (/).
14 Пономарев 508
210
Колебания упругих систем с одной степенью свободы
Уравнение (3) можно привести к виду, аналогичному уравнению (2):
«+p2,= W).	(4)
если обозначить
р 787*
Общее решение линейного дифференциального уравнения (2) слагается,
как известно, из частного решения этого уравнения и из общего решения
однородного уравнения, соответствующего движению системы при отсутствии
возмущающей силы (свободные колебания).
§ 3. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Рассмотрим сначала свободные колебания системы, определяемые урав-
нением
+ рЧ = 0-	(5)
Общим решением уравнения (5) является, как известно, выражение
k = С± cos pt + С2 sin pt,	(6)
где Сх и С2 — произвольные постоянные, зависящие от начальных условий
движения.
В начальный момент (/ = 0) должны быть заданы смещение массы
(£)/ =0—^0
и ее скорость
Полагая в выражении (6) t = 0, мы получим
= £0;
= (7)
Г
Окончательное выражение для смещений в любой момент времени
S =S0 cos pt + -у- sin pt.	(8)
Выражение (8) можно также представить в виде
£ = A sin (pt + ср),	(9)
где
tg<? = р^-.
50
Движение, описываемое уравнением (9), представляет собой обычное
гармоническое колебание. Графическое изображение этого движения пред-
Свободные колебания
211
ставлено на фиг. 108, где А — амплитуда колебания; угол <р носит название
фазы колебания; р — круговая частота колебания; она связана с периодом
колебания Т и числом колебаний в секунду v соотношениями
7 = ^-;	(10)
JL _р_
Т 2л ‘
(Юа)
Как следует из обозначений к уравнению (2), в случае системы с одной сте-
пенью свободы круговая частота собственных колебаний определяется
формулой
₽ = -Й’	<">
где ш — масса колеблющегося
тела, а 8—податливость упру-
гой связи.
Формулу (11) можно пред-
ставить в несколько ином виде,
если заметить, что статическая
осадка упругой связи tcm под
действием веса тела mg равна
^ст = tngb.
Используя величину	получаем
р =)//-.	(12)
f Ъст
Эта простая формула и используется обычно в практике. Отметим, что
величина kcm введена для упрощения записи и представляет собой осадку
упругой связи от силы, равной весу тела, приложенной в направлении
колебания. Действительное направление действия силы тяжести не играет
здесь никакой роли.
Значительный интерес представляет определение энергии колеблющейся
системы.
Предполагая, что движение массы т происходит по закону (9)
k = A sin (pi + ср),
найдем кинетическую энергию V массы:
V = 4- т У = 4- /пД2р2 cos2 (pt + ®)
и потенциальную энергию U деформации упругой связи:
и = 4--т = irsin2^ +
Поскольку
2	1
/пр2 -у,
полная энергия колеблющейся системы равна
п = V + и = -g- [cos2(р/ + <р) + sin2(p/ + ?)] =	(13)
ZO
Таким образом, при отсутствии сил сопротивления полная энергия колеба-
ния остается постоянной.
14*
212
Колебания упругих систем с одной степенью свободы
§ 4. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
1 ' • Найдем решение уравнения (2), соответствующее действию на массу ш
возмущающей силы Р (/):
f Общее решение этого уравнения состоит из решения однородного урав-
нения
1 = С! cos pt + С2 sin pt
и частного решения неоднородного уравнения.
Частное решение неоднородного уравнения можно представить в форме
t
^ = ±-^Y{t-x)P^dx,	(14)
О
где т — переменная интегрирования, a Y (t — т) — решение однородного
уравнения (5), удовлетворяющее начальным условиям
У(0) = 0; У(0)= 1.	(15)
Легко проверить, что выражение (14) действительно является решением
уравнения (2).
Вычисляя производные этого выражения по /, находим х:
t
= ^- У (0) Р (0 + f У (/ - х) Р (х) dr;
о
'	’ t
 5- = 4-y<°)/>(') + i>?(0)PW + iJi’ (<-г)Р(г)Л.
о
Если функция Y удовлетворяет условиям (15), то
t
о
Подставляя выражения и в уравнение (2), находим
i	t
-^Р (О + Г (/- х)Р (х) dr + 4- J У (t - г) Р(х) dt = ± Р (О
О	о
или
t
A. J [У (/ - Т) + p2Y (t - х)] Р (х) dx = 0.
О
Поскольку Y (t—т) является решением однородного уравнения (5),
выражение в квадратных скобках равно нулю и уравнение (2) при подста-
новке в него величины по формуле (14) обращается в тождество.
, 1 При дифференцировании следует иметь в виду, что t входит вподынтегральноевыражение
в качестве параметра и одновременно является верхним пределом интеграла. Поэтому произ-
водная представится суммой двух слагаемых—производной по верхнему пределу и произ-
водной по параметру.
Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы
213
Вид функции Y (t— т) легко установить, так как известно, что она
является решением однородного уравнения (5) и удовлетворяет условиям (15).
Последние позволяют найти постоянные в выражении (6):
с1 = 0, с2 = ±.
Таким образом,
у ц — т) = -j- sin р (t — т),
и частное решение неоднородного уравнения (2) имеет вид
t
=тЬУ p(T)sinp(*—т)
н о
" (16)
Покажем физический смысл выражения (16).
Если на покоящуюся массу ш в момент т действует импульс «7, т. е. беско-
нечно большая сила Р19 приложенная в течение ’бесконечно малого отрезка
времени Д так, что
РХД = J,	г
то масса мгновенно приобретает скорость
и в дальнейшем совершает свободные колебания по закону
sin р (/ — т) = sin р (^ — т).	.
Произвольную нагрузку Р можно рассматривать как ряд бесконечно
малых импульсов
dJ = P(y)dx,
следующих один за другим, каждый из которых вызывает в момент t смеще-
ние
... Р (т) tit • t 1 ч
= -^Г~5тР^~^-
Полное смещение системы представится суммой смещений, вызванных
каждой из предшествовавших элементарных нагрузок, что и приводит к фор-
муле (16).
Таким образом, общее выражение для смещений, включающее в себя
как вынужденные, так и свободные колебания, таково:
t
I = Ci cos pt + C2sin pt + j P(x)sin p(t—t) dx. (17)
о
Постоянные Cx и C2 легко установить, зная начальные условия движения.
Заметим прежде всего, что полученное нами частное решение обладает
тем свойством, что при 7=0
. о
(^)<=о = i [р	sin р — т)dx = 0
214
Колебания упругих систем с одной степенью свободы
О
( S-1-0 = i Р ® sin р (/ - 0 + 4- f Р (г) cos р (t - т) dx = 0.
\ С** / Г—U	pUl	III
о
Поэтому в начальный момент смещение
= Ci
и скорость
£0 = С2р.
Если система в начальный момент не деформирована (10 = 0) и непо-
движна^ = 0), то
с± = с2 = о,
и смещение в любой момент определяется формулой (16).
Далее мы рассмотрим некоторые частные случаи возмущающих сил.
।
§ 5. ВНЕЗАПНОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ НАГРУЗКИ
В этом случае при t < 0
р (0 = о
и при t > 0
Р (/) = Р = const.
Полагая, что в начальный момент система была неподвижной (Во=1о=О),
по формуле (16) получим
t
Так как = Pb — £ст представляет собой смещение массы, вызван-
ное статическим действием силы Р, то
J = U(l-cospQ.	(18)
График движения изображен на фиг. 109.
Максимальное смещение, вызываемое внезапно приложенной постоян-
ной силой, вдвое превышает статическое смещение 5сяг, вызванное той же
силой, и достигается через половину периода собственных колебаний
(pt = тс) после приложения силы.
Гармоническая возмущающая сила. Резонанс
215
§ 6. ГАРМОНИЧЕСКАЯ ВОЗМУЩАЮЩАЯ СИЛА. РЕЗОНАНС
Предположим, что возмущающая сила, приложенная к системе, изме-
няется по гармоническому закону
Р (/) = Ро cos со/.	(19)
В этом случае смещение в любой момент определяется выражением
t
I = cos pt + С2 sin pt + J cos (от sin p (t — t) di. (20)
о
Вычисляя интеграл, получим
г	{
J cos от sin p (t — t) di =	j {sin [pt — (p — (о) t] + sin [pt — (p + <o) t]) di =
о	0
Подставляя это значение интеграла в формулу (20), найдем
?=[(?! — — 2——-2 ] cos pt + С2 sin pt 4-----cos W. (21)
[ 1 m p* — <o2 J r	r 1 m (p2 — co2)	v 7
Таким образом, движение представляет собой сумму двух колебаний —
одного происходящего с собственной частотой р, амплитуда,которого зависит
от начальных условий, и другого — колебания с частотой, равной частоте
возмущающей силы со, и с амплитудой
д =	•
т (р2 — “2) ’
это последнее колебание и представляет собой вынужденное колебание,
вызванное гармонической силой.
Так как
2 1
тР = “Г’
то амплитуду вынужденного колебания можно представить в форме
А = —= Ло₽,	(22)
1- Р2
где
Ло = Ро8	(23)
есть «равновесная амплитуда», т. е. смещение, которое возникло бы под
действием силы Ро, приложенной статически. Так называемый «коэффициент
усиления» или коэффициент динамичности р, показывающий отношение
действительной амплитуды вынужденных колебаний к равновесной, равен
<24)
1 - «2
Как видно из формулы (24), при отсутствии затухания коэффициент уси-
ления зависит только от отношения частоты возмущающей силы о> к частоте
собственных колебаний р.
216
Колебания упругих систем с одной степенью свободы
Эта зависимость представлена на фиг. 110, на которой по оси абсцисс отло-
жено отношение а по оси ординат — абсолютная величина коэффициента
усиления р.
Из графика видно, что если частота возмущающей силы мала по сравне-
нию с частотой собственных колебаний, коэффициент усиления мало отли-
чается от единицы, а следовательно, амплитуда вынужденных колебаний
мало отличается от равновесной амплитуды Ло.
При приближении частоты возму-
щающей силы к частоте собственных
колебаний коэффициент усиления,
а следовательно, и амплитуда вынуж-
Фиг. 111.
денных колебаний возрастают; при совпадении этих частот (резонанс) ампли-
туда колебаний становится неограниченно большой. Наконец, при частоте
возмущающей силы, большей, чем частота собственных колебаний, ампли-
туда снова уменьшается, приближаясь к нулю.
Рассмотрим подробнее случай резонанса. Вычислим интеграл, входящий
в формулу (20), при со = р:
t	t	t
J cos рт sin p (t — t) dt = sin pt J cos2 рт dt — cos pt Jsin рт cos рт dt =	sin pt.
0	0	0
Подставляя это значение в формулу (20) и полагая, что в начальный
момент смещение и скорость отсутствовали, т. е. что = С2 = 0, получим
&	/’о t . j
5 = ----9-----FT- Sin pt.
pm 2 r
(25)
Таким образом, при резонансе движение представляет собой колебание
с амплитудой, возрастающей пропорционально времени. График движения
представлен на фиг. 111.
Конечно, безграничное нарастание амплитуды вынужденных колебаний
может иметь место только при отсутствии сил сопротивления'. В противном
случае через некоторое время энергия, рассеиваемая в процессе колебания,
будет равна работе, производимой возмущающей силой, и нарастание
амплитуды прекратится.
Периодическая возмущающая сила
217
§ 7. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ВОЗМУЩАЮЩАЯ СИЛА, ИЗМЕНЯЮЩАЯСЯ
НЕ ПО ГАРМОНИЧЕСКОМУ ЗАКОНУ
Если на систему воздействует периодическая возмущающая сила с Перио-
дом Т {см.., например, фиг. 112), то эту силу можно представить в виде ряда
Фурье:
Р (/) = а0 + cos out + а2 cos 2<о/ + a* cos 3<о/ + . . . +
Ц- sin -j- bi sin 2ш/ + sin 3<о/ -|- . . .,	(26)
где
с»
___ 2тс
а коэффициенты а и b определяются по известным формулам гармонического
анализа х:
т
ао = ~y^P dt-,
О
т
2 (*
= -у- | Р cos orf dt\
о
т
J Р sin iot dt\
о
т
а2 — -y-j Pcos2u)tdt . . . ;
о
т
b2 = sin 2о>/ dt . . .
о
(27)
Подставляя выражение силы Р (/) подформуле (26) в общее выражение
для смещений (16), получим после интегрирования
е = cos pt + Сг sin pt +	+ m(pi_ai) {at cos wt + bt sin wt) +
+ m [pi J. (2(0)2J {a2 cos 2о>/ + Ь2 sin 2<oZ) +
4-----г 2 1 /о '2i (a3cos3arf 4* 63sin 3wt) + . . .
m [p2, — (3<d)2] v d	1 a	' '
(28)
Если пренебречь собственными колебаниями, происходящими с часто-
той р, которые со временем затухают, то движение массы ш складывается
CLn
из постоянного статического смещения соответствующего среднему зна-
чению возмущающей силы, и ряда колебаний, происходящих с частотами со,
2о), За) и т. д.
Если собственная частота колебаний системы р совпадает с частотой одной
из гармоник возмущающей силы, то соответствующий член в выражении (28)
неограниченно возрастает и имеет место явление резонанса.
Таким образом, при изменении периодической возмущающей силы
не по гармоническому закону резонанс наблюдается не только если частота
собственных колебаний равна частоте возмущающей силы, но и если она
кратна ей.
1 Если функция Р (0 задана графически, для вычисления коэффициентов а и b пользуются
численными методами гармонического анализа [18] или прибегают к помощи специальных
интегрирующих приборов — гармонических анализаторов.
218
Колебания упругих систем с одной степенью свободы
В качестве примера рассмотрим изменение возмущающей силы по закону\
изображенному на фиг. 113.
Т
Щи о < t < -~2
Р = PQ sin
где
2iz
и при -у < t < Т
Определяем коэффициенты разложения возмущающей силы в ряд Фурье:
_г
2
а0 = -st f Л> sin a>t dt — —;
0 '
T
2
aY = -y J Po sin cos tot dt = 0;
o
L
2
2 p	2 P
a2 = -~r- I Pqsin at cos 2tot dt —-;
1 \	О
0
T
2
a3 — J Pq sin tot cos Зш/ dt = 0;
0
т
2
2 p	2 P
= -=- I PQ sin tot cos 4tot dt =---—- и. т. д.
J J	ID ft
0
2 P
Вообще при t нечетном at = 0; при i четном а/ =— .2	•
1 Приблизительно по такому закону изменяется момент, передаваемый на вал поршневого
насоса простого действия от каждого цилиндра.
Периодическая возмущающая сила
219
Теперь определим коэффициенты Ь:
L
2
2 Г	Р
Ьг — I Ро sin (of sin (of dt =	;
0
L
2
b2 = J Pq sin (of sin 2(of dt — 0.
о
Все остальные коэффициенты b также равны нулю.
Таким образом, возмущающая сила, изменяющаяся по закону, изображенному на фиг. ИЗ,
может быть представлена следующим рядом:
/ 1	1	2	2	2	\
Р (f) = PQ (-----1---— sin (of — — cos 2(or — —— cos 4(of — —— cos 6(of — . . . ) .
v \ к 1	2	Зте	15тс	35-rc	/
В соответствии с этим вынужденные колебания массы, на которую действует сила Р (f)
будут происходить [см. формулу (28)] по закону
е Ро Г 1 ,	1	1 •	.	1	2 о /
?=  V"-------------------Sin (of-----------5-55—cos2<of —
тр2 тс j /<о\22	।	/2<о.2 Зя
L \~p~j	~ \ V /
1	2 л .	1	2 с .	1
--------7~а ТЕ— c<>s 4(of	7с—TV	COS 6(of — . . . .
/ 4(0 \ 2 15тс------------------------------/ 6<о \ 2 35тс
Из этого выражения видно, что резонанс будет наблюдаться при (о = р, 2(о = р, 4(о — р,
6(0 = р и т. д.
Рассматриваемую задачу можно без затруднений решить и непосредственно, не прибегая
Т
к разложению в ряд Фурье. Действительно, в течение первой половины периода 0 < f *
пока возмущающая сила изменяется по закону
Р = Ро sin со f,
общее выражение для смещений таково:
’	р g
g = Сх cos pt + С2 sin pt H--s*n
т
В течение второй половины периода < f < Г возмущающая сила отсутствует, и система
совершает свободные колебания по уравнению
?2 = С3 cos pt + С4 sin pt.	(б)
В момент f =	= — смещения и скорости по уравнениям (а) и (б) должны совпадать,
следовательно,
Ci cos а + С2 sin а = С3 cos а + С4 sin а;
• Р 8
— Стр sin а + С2р cos а---------9(о = — С3р sin а + С4р cos а,
где
а = тс —£—
(О
Так как вынужденные колебания имеют период, совпадающий с периодом возмущающей
силы, то значения смещений и скоростей в моменты f = 0 и f = Т должны совпадать; отсюда
следует:
Сг — С3 cos 2а + С4 sin 2а;
Р 8
С2р Н-------°—2 - (о = — Сор sin 2а С4р cos 2а.
(г>
220
Колебания упругих систем с одной степенью свободы
Решая совместно уравнения (в) и (г) относительно Cj, С2, С3 и С4, получим
о) 1 + cos а
р 2 sin а 9
1 + cos а \
2 sin а )

Из выражений (д) видно, что все коэффициенты обращаются в бесконеч-
ность при в> = р и, кроме того, и С3 обращаются в бесконечность при
1 + cos а
sin а
Но
а
1	।	COS-77-
1 4~ cos а _	2
sin а ~	. а ’
sln"T
поэтому последнее выражение обращается в бесконечность при a =2ir^
4тс, бтс . . т. е. когда о> =	. и т. д.
Таким образом, этот способ решения задачи дает те же значения резо-
нансных частот, что и разложение в ряд Фурье.
§ 8.	ЗАТУХАНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Силы сопротивления, возникающие при движении, приводят к тому, что
амплитуда свободных колебаний упругой системы постепенно уменьшается,
колебания затухают.
Силы сопротивления можно разделить на две основные категории — силы
внешние (сопротивление среды, сопротивление масляного слоя в подшипни-
ках и т. д.) и силы внутреннего трения в материале. Все эти силы различным
образом изменяются в зависимости от смещений элементов упругой системы,
и часто точный характер этой зависимости очень трудно установить.
Так, силы сопротивления при сухом трении остаются постоянными
по величине, изменяя свое направление при изменении направления относи-
тельного движения; сила сопротивления масляного слоя приблизительно*
пропорциональна скорости движения; сила сопротивления при движении
в воздушной среде пропорциональна квадрату скорости; наконец, силы
внутреннего трения в материале (упругий гистерезис) зависят, как показали
опыты, преимущественно от величины максимальных напряжений и не зави-
сят от скорости их изменения.
Мы рассмотрим лишь простейшие, с расчетной точки зрения, случаи зату-
хающих колебаний.
Затухание свободных колебаний
221
А. Сопротивление, пропорциональное скорости
Рассмотрим колебания упруго закрепленного тела массы пг (см. фиг. 106),
на которое действует сила сопротивления, пропорциональная его скорости.
В этом случае в уравнение движения (1) надо включить дополнительно
силу трения, равную а , где а —коэффициент пропорциональности.
Уравнение движения будет следующим:
Деля это уравнение на пг и обозначая, как прежде,
(круговая частота собственных колебаний, вычисленная без учета затухания) и
— = 2п,	(29)
получим
-§- + 2п41- + ^= —•	(30)
dt2 1 dt 1 Г m	4 '
Рассмотрим свободные [т. е. происходящие при Р (/) =0] колебания
системы. Уравнение свободных колебаний
>+2/.> + р’5 = О.	(31)
В случае, если п < р, т. е. если трение не слишком велико, общее решение
уравнения (31) можно записать в форме
I — Ae~ni sin (pj + 9),	(32)
222
Колебания упругих систем с одной степенью свободы
где
Pi = У р2 — л2	(33)
представляет собой круговую частоту затухающих колебаний, а постоянные А
и <р определяются начальными условиями движения.
Как видно из формулы (33), круговая частота собственных колебаний
за счет влияния сил трения несколько снижается, однако, если п мало
по сравнению с р, то величина рх отличается от р в незначительной степени
и можно приближенно считать, что небольшое сопротивление не изменяет
собственной частоты.
График движения, описываемого уравнением (32), представлен на фиг. 114.
Как видно из графика, амплитуда колебаний все время уменьшается, колеба-
ния затухают.
После каждого цикла Т амплитуда колебаний уменьшается в отношении
e~nt . е-пт
e-n(i-T) ~ е
Таким образом, последовательные амплитуды составляют геометрическую
прогрессию.
Натуральный логарифм отношения двух амплитуд, следующих друг
за другом через период, называется логарифмическим декрементом зату-
хания X:
Х = 1пепГ = пТ.	(34)
Пусть, например, отношение двух последовательных амплитуд ё~х = 0,5; тогда
X = пТ = — In 0,5 = 0,693
и
0,693	0,693
п= — ^~^~Рг = ^р^
Подставляя эту величину в формулу (33) для частоты затухающих колебаний, получим
Р1 = /р2-(0,11л)2,
откуда = 0,994р.
Таким образом, даже силы сопротивления, вызывающие очень быстрое затухание коле-
баний, изменяют их частоту только на 0,6%.
Б. Постоянная сила сопротивления
Рассмотрим теперь случай силы сопротивления, не изменяющей своей
величины.
Предположим, что груз пг (фиг. 115), связанный с пружиной, дающей
под действием единичной силы осадку 8, скользит по горизонтальной направ-
ляющей с постоянной силой трения R. Характеристика системы (зависимость
усилия от смещения) изображена на фиг. 116. При движении груза слева
направо (в сторону положительных смещений $) сила трения будет направ-
лена справа налево и уравнение движения груза имеет вид
т5-+-гЕ+я=о-
При обратном движении груза (при < о) сила трения изменит свое
направление, и мы получим следующее уравнение движения:
m5-+TE-R=°-
Затухание свободных колебаний
223
Уравнение (35) имеет общее решение:
I = — а + Сх cos pt + С2 sin pt.
Предположим, что груз смещен в крайнее левое положение на величину
и освобожден.
Учитывая, что в начальный момент (t =0)
(^=0 = -g0,
= о
\dth=o v’
получаем
С2 =0
и
Ci = (So а).
Следовательно, движение груза слева направо подчиняется уравнению
$ = — а — (£0 — a) cos pt.
Это движение прекратится в момент, когда скорость его
-5- = Р0о —a)sin/rf
обратится в ноль, т. е. при pt = тс. В этот момент груз будет смещен на рас-
стояние
224
Колебания упругих систем с одной степенью свободы
Таким образом, в течение половины цикла, при переходе груза из крайнего
левого в крайнее правое положение, размах его сократился на 2а. В течение
второй половины цикла произойдет дальнейшее уменьшение амплитуды еще
на 2а. Следовательно, за каждый полный период амплитуда уменьшается
на 4а. Колебания груза прекратятся тогда, когда скорость его станет рав-
ной нулю при смещении от равновесного положения, меньшем а. В этом слу-
чае сила упругости пружины не сможет уже преодолеть силы трения и груз
остановится. Величина а = 7?В имеет простой физический смысл—это
осадка пружины, соответствующая силе трения R.
Фиг. 117.
График движения груза при действии постоянной силы сопротивления
изображен на фиг. 117. Здесь последовательные амплитуды составляют
арифметическую прогрессию, вследствие чего декремент затухания не
является постоянным.
В. Сила сопротивления, пропорциональная смещениям
В качестве примера силы сопротивления, пропорциональной смещениям,
рассмотрим систему, изображенную на фиг. 118. Масса ш закреплена на рес-
соре, листы которой собраны без предварительного натяга. Силы трения
чистов друг о друга пропорциональны силам контактного давления, которые,
в свою очередь, пропорциональны смещениям. Таким образом, характери-
стика пружинности рессоры имеет вид, изображенный на фиг. 119.
Примерно такую же характеристику пружинности имеют при небольших деформациях,
упругие демпфирующие муфты с пружинными пакетами. В качестве упругих элементов
в этих муфтах используются пружинные пакеты А (фиг. 120), состоящие из набора коль-
цевых пластинчатых пружин. При взаимном смещении полумуфт В иС пружинные пакеты
деформируются, причем между отдельными пружинами возникают силы трения. При боль-
ших деформациях пружинные пакеты прижимаются к вставленным в них кулачкам D
и жесткость муфты увеличивается.
Обозначая среднюю податливость рессоры В, получим следующее уравне-
ние ее характеристики:
р = 4-* + £;.
О
Знак плюс имеет место, если I и имеют одинаковые знаки, и знак
dt
минус — если знаки $ и различны.
Затухание свободных колебаний
225
Уравнение движения массы m получим, приравнивая силу инерции —
силе упругой реакции рессоры:
dl
dt Л
при -£-> О
'"-> + т~£ + « = 0
(37)
Общее решение уравнения (37) имеет вид
$ = At sin pvt + Bi cos pLt,
где	_________
Pi= "Ki+4- 
Общее решение уравнения (38)
$ = Лj sin p2t + B2 cos p2t,
где
 /И	*
Рч = V	.
' *	» mo tn
Допустим, что груз отведен в крайнее левое положение £ = —и отпу-
щен без начальной скорости. Под действием силы упругости рессоры груз
будет возвращаться к равновесному положению. При этом, пока равновес-
ное положение не достигнуто, мы будем иметь $ < 0 и 0. Таким обра-
зом, для первого этапа движения будет справедливо уравнение (38). Опреде-
лим произвольные постоянные Л2 и В2 в решении этого уравнения.
15 Пономарев 508
226
Колебания упругих систем с одной степенью свободы
Имеем
отсюда находим
Л2 — 0;
(£)г=о —	^о»
описывается уравнением
—	^о*
Следовательно, движение на первом этапе
I = — £0 cos p2t.
Груз достигнет среднего
положения в момент, когда
это выражение станет равным
нулю, т. е. при
= 4Н
откуда продолжительность
движения груза из крайнего
положения до среднего
t - —
В момент времени t± груз будет иметь скорость
("df \=tl = 'OP*-
Начиная с этого момента, смещение £ и скорость будут положительными,
и, следовательно, становится действительным уравнение (37).
Отсчитывая теперь время от момента прохода груза через среднее положе-
ние, будем иметь для интегрирования уравнения (37) следующие начальные
условия:
(О^=о = 0;
=еор2.
\ dt Jt=o
Используя эти условия, находим постоянные А± и
Л1 = ?о—;
1	0 Р1
В, =0.
Таким образом, при движении груза из среднего положения вправо сме-
щения его определяются уравнением
5 = l0-^J-sinp1i!.
Груз достигнет крайнего правого положения в момент
t — *
h ~ 2Р1 ’
Затухание свободных колебаний
227
причем смещение его будет равно	. Продолжительность полуцикла
Pi
колебания (перехода груза из крайнего левого в крайнее правое положе-
т
ние) -у- равна, таким образом,
причем в течение этого времени амплитуда колебания сокращается в отно-
шении .
Pi
В течение следующего полуцикла, при возвращении груза в крайнее левое
положение, произойдет дальнейшее уменьшение амплитуды в том же отноше-
нии. Таким образом, в течение полного цикла колебания амплитуда умень-
шается в отношении
pl _ 1 — £5
1+^-
В этом случае, так же как и при затухании, пропорциональном скорости,
последовательные амплитуды составляют геометрическую прогрессию.
Логарифмический декремент затухания
х= lnL+-g~2/e8.
1 — &0
(39)
Период колебания равен
Он несколько больше, чем период колебания при отсутствии сил трения:
где
т _ 2тс
7°“ р ’
Произведя в формуле (40) простейшие преобразования, получим

2}<1 — &S
Выражение в скобках при небольших затуханиях (£8 мало) отличается
от единицы на величину второго порядка малости. Поэтому так же, как и пр»
15*
228
Колебания упругих систем с одной степенью свободы
затухании, пропорциональном скорости, с достаточной точностью можно
считать, что затухание не влияет на величину периода колебания.
График движения при силе трения, пропорциональной смещениям, изобра-
жен на фиг. 121.
Фиг. 121.
Г. Энергетическая оценка влияния сил сопротивления
Если затухание не очень велико, можно легко оценить его влияние энер-
гетическим методом.
Полная энергия колебания, имеющего амплитуду А и частоту р9 равна
{см. формулу (13)]
За время одного цикла колебания энергия П уменьшается на величину
работы сил сопротивления ДП. Если величина работы сил трения в течение
одного цикла ДП известна, можно легко вычислить изменение амплитуды
колебания ДД в течение одного цила и логарифмический декремент X.
Действительно х,

2АДА о ДА
~	2 ~А~-
Таким образом, изменение амплитуды в течение одного цикла, отнесенное
к амплитуде, равно
ДА ДП
А — 2П '
(41)
Представим ДД как разность амплитуд:
ДД = А — Дх,
1 Вычисление приращения ДП можно производить по формулам дифференцирования,
так как мы предложили, что затухание, а следовательно, и ДП мало.
Затухание свободных колебаний
229
где А — амплитуда в начале цикла и А± — в конце его; тогда
ДЛ   <	Лх
“ 1	Л“’
и, вводя логарифмический декремент затухания, имеем
А 1 е •
Считая X малым, можно записать
е-х= 1—Х+ ...
и получить следующее приближенное равенство:
Х = Т- = "2П-	<42>
Таким образом, для вычисления изменения амплитуды в течение одного
цила ДД и логарифмического декремента затухания X надо знать работу сил
сопротивления ДП.
При вычислении ДП можно с достаточной точностью считать, что в тече-
ние одного цикла колебание является гармоническим и определяется урав-
нением
£ = A cos pt.
Работа силы трения R равна
т
ДП = j*	(43)
О
При сопротивлении, пропорциональном ско-
рости, сила трения
/? = а —
А dt ’
Подставляя эту величину в формулу (43) и заменяя
4т = — Ар sin pt
at
получим
Т
ДП = аЛ2р2 [ sin2 pt di = р2ТЛ2,
о
и, так как рТ = 2тс, то
ДП =теарЛ2.	(44)
А2
Деля эту величину на удвоенную энергию колебания, т. е. на 2П = —,
найдем логарифмический декремент затухания:
> ДЛ дп s
Х = ~А = -2П = ™Р*-
Вспоминая принятое нами обозначение (29) и учитывая формулы (10)
и (11), получим
X = тсарЗ = пТ.
230
Колебания упругих систем с одной степенью свободы
Таким образом, в данном случае энергетический метод дает то же значе-
ние декремента, что и точный метод.’
При постоянной силе трения работа силы трения ДП
изображается заштрихованной площадью диаграммы сила — смещение
(см. фиг. 116) и
ДП =47?Л.
Подставляя эту величину в уравнение (41), получим
ДД __ ДП __ 4RA _ 4RZ
А “ 2П “ Д1 2 “ А 9
8
откуда изменение амплитуды в течение одного цикла
ДЛ = 4/?8 = const.
Таким образом, и в этом случае результат, полученный энергетическим
методом, совпадает с точным.
При силе трения, пропорциональной смеще-
нию, работа силы трения изображается площадью, заштрихованной
на фиг. 119, и
ДП = -i- 2k A2A = 2k А2.
Для декремента затухания получаем значение
. дп 2&Д2	//1СЧ
Х = -2ТГ = ~А^ =	(45)
8
очень близкое к точному [см. формулу (39) ].
§ 9. ЗАТУХАНИЕ, ВЫЗВАННОЕ ПОТЕРЯМИ НА ВНУТРЕННЕЕ ТРЕНИЕ
Кривые зависимости между напряжением и деформацией при увеличении
нагрузки и при ее уменьшении, строго говоря, не совпадают между собой
(фиг. 122). Работа, затрачиваемая на деформацию (этой работе соответствует
площадь под кривой ОАВ), больше, чем работа, отдаваемая материалом при
разгрузке (площадь под кривой ВСО). Таким образом, при каждом цикле
колебания рассеивается (превращается в теплоту) энергия, соответствующая
площади петли гистерезиса ОАВС. Рассеивание энергии становится особенно
значительным, если в процессе деформации возникают пластические дефор-
мации; однако потери энергии имеют место и при напряжениях, меньших
предела упругости (упругий гистерезис). Согласно гипотезе Н. Н. Давиден-
кова [5], эти потери обусловливаются местными пластическими деформа-
циями на границах отдельных зерен металла.
Эксперименты показывают, что для большинства машиностроительных
материалов величина энергии, рассеиваемой за каждый цикл колебания,
не зависит от частоты и является лишь функцией амплитуды колебания.
Исключение составляют только пластмассы и резина, потери в которых
изменяются с частотой.
Выше мы видели, что характер затухания свободных колебаний опре-
деляется отношением 1 ф = д - , где 11 — полная энергия колебания;
ДП — энергия, рассеиваемая в течение одного цикла. Если величина ф
не зависит от амплитуды колебания 2, то размахи последовательных колеба-
1 Если рассеивание энергии обусловлено внутренним трением, то величина ф назы-
вается относительным внутренним сопротивлением или относительным гистерезисом.
2 Например, при силах сопротивления, пропорциональных скорости или смещению.
Затухание, вызванное потерями на внутреннее трение
231
ний составляют геометрическую прогрессию, причем, согласно формуле (42),
логарифмический декремент затухания приблизительно равен .
Этот случай является наиболее простым с расчетной точки зрения.
Для дерева и бетона [7] величина ф практически не зависит от амплитуды,
для металла же и, в частности, для стали величина ф увеличивается с ростом
максимального напряжения цикла, особенно при напряжениях, приближаю-
щихся к пределу усталости (это обстоятельство используется для ускоренного
определения предела усталости).
Численные результаты определения потерь на внутреннее трение в стали,
приводимые различными авторами, лежат в очень широких пределах даже
для одних и тех же сортов стали. Объясняется
это, по-видимому, большой ролью внешних
потерь (на трение в опорах, на сопротивление
воздуха и т. д.), исключить которые при экспе-
риментальных исследованиях практически не
удается.
Основываясь на экспериментальных дан-
можно использовать [12] следующую
для оценки гистерезисных потерь
ных,
формулу
в стали:
$ = 43,2-10-10T „ах!
(46)
здесь В- кгсм/см3 — энергия, рассеиваемая за один цикл в 1 см3 материала;
ттах к?/см? — максимальное касательное напряжение х.
Поскольку удельная потенциальная энергия деформации при чистом
сдвиге
пропорциональна квадрату напряжения, то из формулы (46) следует, что
относительное внутреннее сопротивление возрастает пропорционально макси-
мальному напряжению цикла в степени 0,3. При G = 8- 10б кг/см2
ф = -^ = 6,92.10-®^.
Ниже приведены значения относительного внутреннего сопротивления ф
в зависимости от максимального напряжения цикла, подсчитанные по этой
формуле:
тпах «г/™?............................... 200	400 600 800 1000 1200
ф°/0 ..................................	3,4	4,2	4,7	5,2	5,5	5,8
Формула (46) относится к мягким сталям;'гистерезисные потери в высоко-
углеродистых и специальных сталях значительно ниже. Тем не менее, напри-
мер, для расчета гистерезисных потерь в коленчатых валах применяют фор-
мулу (46), учитывая тем самым и другие не поддающиеся точному учету
потери [12].
Для расчета величины внутреннего трения при одноосном напряженном
состоянии можно использовать данные исследований при чистом сдвиге,
если допустить, что величина рассеивания энергии за цикл определяется
каким-либо единым критерием при любом напряженном состоянии.
В качестве такого критерия можно выбрать максимальную удельную
потенциальную энергию формоизменения (см. главу III, том I), поскольку 1
1 Эксперименты проводились при крутильных колебаниях.
232
Колебания упругих систем с одной степенью свободы
явление гистерезиса связано, по-видимому, с малыми пластическими сдви-
гами в наиболее неблагоприятно ориентированных зернах металла.
Формулу (46), вообще говоря, можно представить в виде
& = С1т.	(47)
[В формуле (46) с = 43,2-10-10; т = 2,3.]
Учитывая выражение удельной потенциальной энергии при чистом сдвиге
и принимая во внимание, что в этом случае
т2
^=^=2^’
имеем
& - c(2GF0P •	(48)
При одноосном напряженном состоянии величина W(^ связана с макси-
мальным нормальным напряжением а выражением
w Ф 6G *
Подставляя это значение в формулу (48), найдем потерю энергии за один
цикл при одноосном напряженном состоянии:
9- — —— ат •
т
При с = 43,2-10 10 и т = 2,3
& = 12,2-10-10о213 кгсм/см3.
Относя & к полной удельной потенциальной энергии деформации
найдем
ф =	= 48,8-10-V’3. ‘
Соответствующие этой формуле значения ф в зависимости от а приведены
ниже:
а кг/см2........ 200	400	600	800	100Э	1200 1400	1600 1800
ф°/0 ........... 2,4	2,9	3,3	3,7	3,9	4,1	4,3	4,5	4,6
Поскольку величина ф зависит от максимального напряжения цикла,
то при неоднородном напряженном состоянии относительная потеря энергии
в различных волокнах материала будет различной, и значение -д- для всей
системы будет отличаться от значения ф для наиболее напряженной точки.
Однако, если зависимость потерь энергии от напряжения при однородном
напряженном состоянии и распределение напряжений в детали известны,
то можно вычислить и потерю энергии во всей детали.
Так, например, принимая для оценки гистерезисных потерь формулу (47),
можно вычислить величину рассеяния энергии в полом валу, нагружаемом
в процессе колебания крутящим моментом ±М.
Напряжение т, возникающее в элементе вала, расположенном на рас-
стоянии г от оси, равно
где Jр — полярный момент инерции
f Т -red4 \
сечения ( Jр =	•
Затухание, вызванное потерями на внутреннее трение
233
В элементарном объеме 2тсг dr dx будет рассеиваться энергия
d(AII) = с г dr dx .
Интегрируя по радиусу от г\ (внутренний радиус) до г2 (внешний радиус)
и по длине от 0 до I, получим
пг + 2‘
ДП = CTSax2^!/ 1~fe+2
где ттах — максимальное напряжение цикла на наружном волокне;
k = —----отношение внутреннего радиуса к наружному.
Г 2
Относя ДП к полной энергии колебания П, равной максимальной потен-
циальной энергии деформации вала
тг _ jj _ М21 ___ ттах
~2ОГр “ ~2<Г
2 , 1 — k*
^r2l---—
найдем относительное внутреннее сопротивление вала:
,!>	_ ДП _ г„ ОГ^-21 4	1-*т + 2
фсреа	п — [с-2бттах ] т_|_2	1—£4
(49)
В этой формуле величина, заключенная в скобки, равна относительному
внутреннему сопротивлению в наружных волокнах вала. Из формулы (49)
видно, что при m > 2 величина ф для вала в целом меньше, чем для наруж-
4	1 _fern + 2
них его волокон. Так, при ш = 2,3 коэффициент	—i __ — изменяется
от 0,93 для сплошного вала (k = 0) до 1,0 для тонкостенной трубки.
Аналогично, определяя потерю энергии за один цикл при изгибе, получаем
i
АП = sF&^dx,	(50)
З2 J
о
где с и ш — постоянные в формуле (47);
F — площадь сечения балки;
атах — максимальное напряжение в сечении балки;
$ — коэффициент, зависящий от формы сечения балки и равный
1
5 = —-z—
Fum
1 »max
y\mdF,
(51)
где, в свою очередь, ут2Х — расстояние от нейтральной оси сечения до наибо-
лее удаленной его точки. Интегрирование в формуле (50) производится
по всей длине балки, а в формуле (51) — по всей площади сечения.
При tn = 2,3 для прямоугольного поперечного сечения s = 0,303, для
круглого сечения $ = 0,208.
В качестве примера подсчитаем рассеивание энергии в балке постоянного сечения, лежа-
щей на двух опорах с грузом в середине. Считая, что форма упругой линии при колебании
подобна статической, найдем, что максимальное напряжение атах в сечении х связано с макси-
мальным напряжением в среднем сечении а0 выражением
2х ( I \
атах — I ао	< 2 /
•234
Колебания упругих систем с одной степенью свободы
Подставляя эту величину в формулу (50), получим
I
ДП — m sF
3~
Р	с	sFl •
1 xmdx — — smax m i
J 3 2
o
Отнесем ДП к полной энергии колебания П, равной максимальной потенциальной энергии
деформации балки:
*(/ —момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси).
Тогда найдем величину tycped — среднего относительного сопротивления для балки:
tycped — д —
C m
З2
3#max 's?
J (Ш -1-1) ’
Величина в скобках равна относительному сопротивлению в наиболее напряженной точке
3^maxsF
балки, а множитель у	отражает влияние осреднения потерь. При m = 2,3 этот множи-
тель равен для прямоугольного сечения 0,83, для круглого сечения 0,76.
Из приведенных данных видно, что величина среднего относительного
внутреннего сопротивления $сред зависит от величины максимальных напря-
жений цикла, типа напряженного состояния и от формы детали.
Все эти факторы целесообразно учитывать при расчете, если есть надеж-
ные данные о внутреннем трении для используемого материала и имеется
возможность оценить также и величину внешнего трения (трение в опорах
и сочленениях, сопротивление среды и т. д.). В противном случае ввиду боль-
шого влияния внешнего трения на величину затухания и вследствие неопреде-
ленности гистерезисных характеристик уточненный расчет не имеет смысла.
Для ориентировочного расчета целесообразно принимать постоянное зна-
чение относительного внутреннего сопротивления ф^, считая его незави-
симым от напряжений (если они не достигают предела усталости).
' Независимость ф от напряжения соответствует значению показателя сте-
пени в формуле (47) tn = 2.
Значения ф, принимаемые в расчете, должны выбираться большими или
меньшими в зависимости от .того, учитываются ли расчетом потери только
.на внутреннее трение или также и другие потери, которые не могут быть
оценены в явной форме.
Так, И. Л. Корчинский [9] рекомендует для расчета строительных кон-
струкций принимать следующие значения ф в зависимости от применяемого
материала:
Стальные конструкции.............•...............0,16—0,18
Деревянные конструкции................•..........0,30—0,35
Железобетонные конструкции......................... 0,5
Кирпичная кладка................................. 0,25
Эти цифры учитывают как внутреннее трение в материале, так и потери
ла преодоление сил трения в сопряжениях различных элементов и на колеба-
ния примыкающих конструкций и грунта.
Воздействие гармонической возмущающей силы на затухание
235
Вместе с тем эксперименты, при которых принимались специальные меры
к уменьшению внешних потерь, дали следующие значения ф [7]:
Сталь различных марок..............
Чугун серый.......................
Медь...............................
Латунь.............................
Никель.....................
Пробка.............................
Дерево.............................
Бетон.............................
Железобетон........................
Кирпичная кладка ..................
0,01—0,02
0,23
0,33
0,01
0,03
0,04
0,07—0,14
0,26
0,25
0,23
Цифры
получены при
амплитуде
деформации
сдвига
1о = 0,001
Сравнение значений ф для материалов со значениями, полученными для
конструкций, показывает, что последние значительно больше первых, осо-
бенно при применении таких материалов, как сталь, которые обладают низ-
ким собственным внутренним сопротивлением.
Как это будет показано в следующем параграфе (§ 10), величина относи-
тельного внутреннего сопротивления существенно влияет на амплитуду
вынужденных колебаний.
§ 10. ВОЗДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ СИЛЫ НА СИСТЕМУ
С ЗАТУХАНИЕМ
Рассмотрим затухание, пропорциональное скорости. Полагая, что возму-
щающая сила изменяется с круговой частотой а>:
Р (/) = PQ cos (о/,
получим дифференциальное уравнение движения
^|_ + 2„_^+рЧ= А-Р.еозш/	(52)
(см. уравнение (30)].
Общее решение уравнения (52) можно представить как сумму решения
однородного уравнения (31) (свободные затухающие колебания) и частного
решения (ц неоднородного уравнения (вынужденные колебания). Тогда
£ = e~ni (Cl cos + С2 sin ptt) +
Решение неоднородного уравнения будем искать в форме
= М cos в> t + N sin и t.
Подставляя это выражение в уравнение (52) и требуя, чтобы последнее
удовлетворялось при любом /, получим
— Л4о>2 + N2n<a + Mpz = PQ;
— N<o2 — М2пш + Np2 = 0,
откуда
М = А.______.
пг (р2 — <о2)2 + 4п2(о2 ’
д т _ Ро____2п<&_____
m (р2 — со2)2	4п2<о2
236
Колебания упругих систем с одной степенью свободы
Таким образом, вынужденные колебания совершаются по закону
*1 = m [(/>*-Л + W] КР2-°>2)cos*>* + 2na>Sin<!>/].
Выражение
Bi = М cos (о t + N sin со t
можно представить в форме
= A cos (о>/ — <р),
где
А = ]ЛЛ12 +jV2 =------Г____
mjA(p2 — со2)2	4п2<о2
И
, W	. 2псо
ф = arctg-^ = arctg .
Следовательно, при затухании, пропорциональном скорости, амплитуда
вынужденных колебаний равна А и колебание отстает по фазе от возмущаю-
щей силы на угол ср.
Выражения для амплитуды и фазы можно* несколько изменить, если
учесть, что
> “ р.» = А.
где Ао — равновесная амплитуда, и обозначить — = 7 — коэффициент
демпфирования.
Коэффициент демпфирования связан с логарифмическим декрементом
затухания X следующим образом:
_ j, __ 2-гсп _ __2-гсп__ _ 
~п
откуда
При МЭЛОМ зэтухинии 7 S5S 4~.
Принимая эти обозначения, получим для коэффициента усиления Р,
представляющего собой отношение действительной амплитуды колебаний
к равновесной, формулу
В = 4- =	-1 — (53)
•	п-тт-мя1
а формула для вычисления фазы колебания примет вид
СО
<р = arctg--/ ф Ч2 •
Воздействие гармонической возмущающей силы на затухание
237
Графики зависимости р и <р от отношения — при различных коэффи-
циентах демпфирования 7 приведены на фиг. 123 и 124.
Из графика на фиг. 123 видно, что демпфирование значительно снижает
амплитуды в области, близкой к резонансу. При резонансе ш = р коэффи-
циент усиления
₽P« = V-	<54)
Вне резонансной области, при о> < 0,7р и при <о > 1,3р, влияние зату-
хания на амплитуду колебаний незначительно и может не учитываться.
Сдвиг фаз <р изменяется, как видно из графика на фиг. 124, от нуля при
малых частотах возмущающей силы до к при частотах возмущающей силы,
значительно превышающих частоту собственных колебаний. При резонансе
(о) = р) колебания отстают по фазе от возмущающей силы на В области,
близкой к резонансу, сдвиг фаз изменяется очень быстро, особенно при малом
затухании. При отсутствии затухания (7 = 0) сдвиг фаз сразу изменяется
от 0 до -к при (О = р.
Рассмотрим теперь работу, совершаемую возмущающей силой Р (/) =
= P0cos(oZ в течение периода ее изменения. Так как смещения массы,
к которой приложена сила, определяются уравнением
' Ч == A cos (о>/ — <р),
238
Колебания упругих систем с одной степенью свободы
то работа возмущающей силы
2те
со
2 тс
dt = — P0A(oJ cos (oZ sin (q>Z — <p) dt = PqAk sin
о
О
При резонансе ф = и работа возмущающей силы
Lp — itP^Ap.	(55)
С другой стороны, эта работа равна энергии ДП, рассеиваемой в течение
одного периода за счет сил трения. Выше уже было найдено, что при затуха-
нии, пропорциональном скорости \
Фиг. 124.
А —
ар 7 ’
что совпадает с точной формулой (54).
Амплитуды вынужденных колебаний систем с сопротивлением, не про-
порциональным скорости, определяются приближенным методом.
Предполагается, что амплитуда вынужденных колебаний такой системы
равна амплитуде колебаний соответствующей системы с линейным затуха-
нием, если работа сил сопротивления за цикл в обеих системах одинакова.
Преобразуя формулу (53) так, чтобы вместо коэффициента демпфирова-
ния 7 в нее входила непосредственно величина работы ДП сил трения за цикл,
получим
Q А	1
Р - Л — J-----------*--—
Ло 1/1	/ (О \
(57)
г2 >
А2
где П = —-----полная энергия колебания.	.
Если отношение величины рассеянной за цикл работы к полной энергии
колебания
-АЦ- = ф
П т
является постоянной величиной, то коэффициент усиления ₽ определяется
формулой
А
1
(58)
1 Приводимая здесь формула отличается от формулы (44) заменой р на о>, поскольку рас-
сматриваются не свободные, а вынужденные колебания, происходящие с частотой ш.
Колебания при проходе через резонанс
239-
Как мы видели, величина ф =	 является постоянной, например, при
силе сопротивления,, пропорциональной смещениям, когда ф = 4Л*3 [см. фор-
мулу (45)].
Часто постоянные значения ф могут быть приняты и в тех случаях, когда
затухание обусловлено внутренним трением в материале.
Из формулы (58) следует, что при резонансе (о> = р) отношение резонанс-
ной амплитуды к равновесной равно
q _ Ар __ 2™
Р “ Ао ~ Ф ’
Принимая значение коэффициентов ф, рекомендованных [9] для расчета
строительных конструкций (см. стр. 234), найдем, что для металлоконструк-
ций резонансная амплитуда в 35—40 раз больше, чем статическая деформа-
ция, вызываемая возмущающей силой; для деревянных конструкций это-
отношение составляет 16—19, а для железобетонных — примерно 13.
Из этих цифр видно, как велики перегрузки при резонансе и насколько'
важно при проектировании предупредить возможность работы конструкции
в условиях резонанса.
При постоянной по величине силе сопротивления отношение
ДП _ 4RA _ &R8
П “ А2 “ А
28
зависит от амплитуды колебания А. Подставляя эту величину в формулу (58),
найдем
А = ___________1__________
А‘ /F-(v)Pb4?)”
откуда
или, заменяя Ло = Ро8,
Из этой формулы видно, что при постоянной по величине силе трения
при резонансе имеет место безграничное возрастание амплитуд, если только»
возмущающая сила достаточно велика (pQ > ~ R V
§ 11. КОЛЕБАНИЯ ПРИ ПРОХОДЕ ЧЕРЕЗ РЕЗОНАНС
Выше мы установили, что при совпадении частоты возмущающей силы
с частотой собственных колебаний (резонанс) амплитуда вынужденных коле-
баний резко возрастает, достигая при отсутствии затухания бесконечности.
Однако это заключение относилось лишь к установившимся колебаниям..
Большой практический интерес представляет определение максимальных
амплитуд в случае, если частота возбуждающей силы, постепенно увеличи-
ваясь, проходит резонансное значение.
240
Колебания упругих систем с одной степенью свободы
Возмущающую силу, частота которой нарастает равномерно, можно пред-
ставить уравнением
Р (0 = Ро cos (Л/1 2 + <р).	(59)
В этом случае мгновенное значение частоты
«о = A (Jit2 + <р) = 2ht,	(59а)
а коэффициент h пропорционален скорости увеличения частоты и равен
Для определения смещений при таком законе изменения возмущающей
силы можно применить общую формулу (16):
t
6 = Р (T)sinP(z —т) dx
о
или, если имеется затухание, пропорциональное скорости, — формулу
t
ч= (T)e“"(/_T>sinpl(z — T)dx’	(60)
1 0
которая выводится аналогично формуле (16) и представляет собой частное
решение уравнения (30), отвечающее нулевым начальным условиям. В фор-
муле (60) приняты те же обозначения, что и в уравнении (30).
Подставляя выражение возмущающей силы (59) в формулу (16) или (60)
и вычисляя интеграл, можно изучить характер движения при переменной
частоте возмущающей силы.
При использовании формулы (16), не учитывающей затухания, интеграл
сводится к интегралам Френеля. Результаты, полученные в этом случае х,
показывают, что при проходе через резонанс возникает сложное колеба-
тельное движение с переменной амплитудой. При частоте возмущающей
силы, значительно превышающей частоту собственных колебаний, т. е. при
достаточно большом t [см. формулу (59) ], сохраняются лишь свободные коле-
бания, амплитуда которых тем больше, чем меньше скорость прохода через
резонанс.
Так как в действительности свободные колебания являются затухающими
и через некоторое время после прохода через резонанс амплитуда колебаний
уменьшается, то для получения результатов, соответствующих опытным
данным, следует учесть затухание, т. е. использовать формулу (60) вместо
формулы (16). Здесь возникают трудности, связанные с тем, что интеграл
не сводится к табулированным функциям, вычисление же его с помощью
механических квадратур является крайне сложным, так как подынтеграль-
ная функция многократно меняет свой знак внутри интервала интегриро-
вания.
Проводя интегрирование в области комплексного переменного [8 ], можно
получить численные результаты для ряда случаев.
На фиг. 125 показано изменение амплитуды колебания по мере роста
частоты возмущающей силы при наличии затухания, характеризуемого коэф;
фициентом демпфирования 7 = 0,05. По горизонтали отложено отношение
мгновенной частоты возмущающей силы со = 2ht к частоте собственных
1 См. Л. Г. Лойцянский и А. И. Лурье, Теоретическая механика, т. III,
§ 45, ГТТИ, 1934.
Колебания при проходе через резонанс
241
колебаний р, по вертикали — отношение амплитуды колебаний к, равновес-
ной амплитуде, т. е. коэффициент усиления ₽. Графики построены для раз-
личных скоростей нарастания частоты возмущающей силы, характеризуемых
числом периодов собственных колебаний q, прошедших от начала нагруже-
ния до момента достижения резонанса:
Р2
У 4ith
Чем с большей скоростью возрастает частота возмущающей силы, тем
меньше q, и наоборот. Установившемуся резонансному режиму соответствует
Из графика (фиг. 125) видно, что максимальные амплитуды достигаются
при частоте возмущающей силы, несколько большей, чем частота собствен-
ных колебаний. Величина максимальной амплитуды тем меньше, чем больше
скорость прохода через резонанс (чем меньше q).
А. М. Кац [8] получил приближенные формулы, позволяющие определить
как ту частоту возмущающей силы, при которой достигаются максимальные
амплитуды, так и величину этих амплитуд.
Согласно приближенным формулам Каца, при не очень большом затуха-
нии максимальная амплитуда имеет место в тот момент, когда мгновенная
частота возмущающей силы равна
<°1 Р 1	(1 4-0,147	’
где р — частота собственных колебаний без учета затухания;
7 — коэффициент демпфирования;
q — число периодов собственных колебаний, прошедших от начала дей-
ствия возмущающей силы до достижения резонанса.
16 Пономарев 508
242
Колебания упругих систем с одной степенью свободы
Максимальная амплитуда Дтах равна
где До = Л)8 — равновесная амплитуда, а Д и f2 — коэффициенты, завися-
щие от отношения
V^-,+i2
и даваемые в табл. 41.
Таблица 41
Значения коэффициентов и f2
/ 2h+l[2	0	0,1	0,2	0,3 ,	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
к	1,465	1,349	1,239	1,134	1,045	0,956	0,864	0,765	0,644	0,460	0
fz	—0,035	0,115	0,234	0,328	0,419	0,503	0,585	0,672	0,776	0,890	1,0
Если частота возмущающей силы уменьшается по линейному закону,
т. е. если проход через резонанс происходит при замедлении, то максималь-
ная амплитуда достигается при мгновенной частоте, несколько меньшей,
чем резонансная. Эта частота определяется формулой
где через q обозначено число периодов свободных колебаний от момента
резонанса до прекращения изменения возмущающей силы.
Максимальная амплитуда равна
(64)
где все обозначения те же, что и в формуле (62).
ЛИТЕРАТУРА
1.	Андронов А. А. иХайкин С. Э., Теория колебаний, ГТТИ, 1936.
2.	Беккер Е., Феппль О., Гейдекампф Г., Длительное испытание мате-
риалов, ОНТИ, 1935.
3.	Бернштейн С. А., Основы динамики сооружений, Стройиздат, 1941.
4.	Гольденблат И. И., Современные проблемы колебаний и устойчивости инже-
нерных сооружений, Стройиздат, 1947.
5.	Давиденков Н. Н.,0 рассеянии энергии при вибрациях, «Журнал технической
физики», т. VIII, вып. 6, 1938.
6.	Ден-Гартог, Теория колебаний, ГТТИ, 1942.
7.	Динамические свойства строительных материалов, сборник под ред. Ю. А. Нилендер,
Стройиздат, 1949.
Литература
243
8.	Кац А. М., Вынужденные колебания при прохождении через резонанс, «Инженерный
сборник», т. III, вып. 2, 1947.
9.	Корчинский И. Л., Расчет строительных конструкций на вибрационную
нагрузку, Стройиздат, 1948.
10.	Крылов А. Н., О некоторых дифференциальных уравнениях математической
физики, имеющих приложение в технических вопросах, ГТТИ, 1950.
11.	К р ы л о в А. Н., Вибрации судов, ОНТИ, 1936.
12.	Л у р ь е И. А., Крутильные колебания в дизельных установках, Военмориздат, 1940.
13.	Мы шкис А. Д., П а н о в к о Я. Г., Действие возмущающей силы переменной
частоты и амплитуды на линейную систему с одной степенью свободы, «Инженерный сборник»
т. XXII, 1955.
14.	П а н о в Д. Ю., Крутильные колебания круглого стержня при наличии упругого
гистерезиса, «Труды ЦАГИ», вып. 485, 1940.
15.	П а н о в к о Я. Г., Основы прикладной теории упругих колебаний, Машгиз, 1957.
16.	Рабинович И. М., Геометрическое представление движения упругой системы
с одной степенью свободы с учетом затухания, сб. «Исследования по теории сооружений»,
вып. 6, Госстройиздат, 1954.
17.	Серенсен С. В., Тетельбаум К. М., Пригоровский Н. И., Дина
мическая прочность в машиностроении, Машгиз, 1945.
18.	С к а р б о р о Д., Численные методы математического анализа, ГТТИ, 1934.
19.	С т р е л к о в С. П., Введение в теорию колебаний, ГТТИ, 1950.
20.	Т и м о ш е н к о С. П., Теория колебаний в инженерном деле, ГНТИ, 1932.
21.	Ф и л и п п о в А. П., Колебания упругих систем, АН УССР, 1956.
22.	К 1 о t t е г К., Technische Schwingungslehre, Berlin 1951.
23.	Lewis F. M., Vibrating during acceleration through a critical speed., «Trans. of
ASME», vol. 54, № 3.	'
24.	S c h 1 i p p e, Die innere Dampfung, «Ingenieur Archiv», Bd. VII, № 2, 1935.
16*
ГЛАВА V
КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ
СВОБОДЫ
В настоящей главе рассматриваются колебания систем, имеющих
несколько степеней свободы. Первые два параграфа посвящены методам
составления уравнений движения таких систем. В зависимости от структуры
системы для составления уравнений ее движения рационально использовать
или метод сил, или метод деформаций. Эти методы рассмотрены в разде-
лах А и Б § 1.
Для сложных систем, состоящих из большого числа масс, составить урав-
нение для определения частот собственных колебаний обычно очень трудно.
В таких случаях проще производить расчет численным методом, задаваясь
значением частоты колебаний и амплитудой колебаний одной из масс и после-
довательно определяя амплитуды колебаний всех масс. Показателем того,
что заданная частота совпадает с частотой собственных колебаний, является
равновесие между силами упругости деформированных элементов системы
и силами инерции ее масс.
Применительно к расчету крутильных колебаний такой метод (метод
остатков) рассмотрен в § 2. В главе рассмотрены только точные методы опре-
деления частот колебаний. Приближенные методы излагаются в главе VII.
Весьма важное значение в теории колебаний систем со многими степенями
свободы имеет теорема об ортогональности нормальных колебаний системы.
Эта теорема, которая доказана в § 3 в общей форме, позволяет в значи-
тельной степени упростить как "определение свободного движения системы
по заданным начальным условиям (§ 4), так и рассмотрение вынужденных
ее колебаний (§ 5).
§ 1. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
А. Метод сил
Упругую систему с двумя степенями свободы можно представить себе
либо в виде двух масс, перемещающихся по заданным направлениям, либо
в виде одной упруго закрепленной массы, могущей перемещаться по задан-
ной поверхности.
Рассмотрим, например, балку с двумя присоединенными грузами. Допу-
стим, что собственной массой балки можно пренебречь в сравнении с сосре-
доточенными массами грузов тх и /п2 (фиг. 126). Обозначим — смещение
первого груза и — смещение второго груза от положения статического
равновесия.
Применяя принцип Даламбера, приложим к каждой массе силы инерции.
Силы инерции первой и второй массы равнььсоответственно
у —___гп •
11 ~ dt* ’
V
Свободные колебания систем с несколькими степенями свободы
245
Приложив силы инерции, можно в дальнейшем рассматривать систему
как неподвижную и, в частности, определять смещения, пользуясь обычными
методами строительной механики.
В этом случае
Т11 = ^1^11 4“	|
^2=^Л1+^2§22, )	1 }
где приняты обычные обозначения метода сил: 8п — смещение в* точке при-
соединения первого груза, вызванное единичной силой, приложенной
по направлению этого же смеще-
ния; 822 — то же для точки при-
соединения второго груза; 812 и
821 — смещение первого груза,
вызванное единичной силой, при-
ложенной по направлению сме-
щения второго груза, и смещение
второго груза, вызванное еди-
ничной силой, приложенной по
направлению смещения первого
груза. На основании принципа
взаимности 812 = 821-	Фиг. 126.
Подставляя в зависимости (2)
значения сил Y\ и У2 из соотношений (1), получим систему дифферен-
циальных уравнений, описывающих движение грузов:
+ "*2812	+ iji = 0;
+	+ ^ = 0.
Решение этой системы можно представить в форме гармонических коле-
баний:
т)! = sin (pt + <р); 1
712 = v2sin(pZ + ср). /
Подставляя принятые выражения смещений в уравнения (3) и сокращая
общий множитель sin (pt + <?), получим систему однородных уравнений
относительно постоянных и у2:
(1 — miBiip2) ui — /п2812р2и2 = 0;	)
— miS^P2^ + (1 — m2 822p2) v2 = 0. )	( '
. Эта система уравнений может иметь отличные от нуля решения,
т. е. колебания вообще возможны только в том случае, если определитель
системы обращается в ноль, т. е. если
' (1 —/пЛ1Р2)	—
—/иД2р2 (1 — m2822P2) ~	
Уравнение (6) представляет собой условие, при котором возможно дви-
жение системы при отсутствии внешних возмущающих сил; оно определяет,
таким образом, частоты собственных колебаний р.
Раскрывая определитель, получим квадратное уравнение относительно р2:
«1^2 (Su822 — s 12) р4 — (mx8и + т2М р2 + 1 = 0.	(7)
246
Колебания упругих систем с несколькими степенями свободы
Это уравнение дает две частоты собственных колебаний — низшую
Н- 7^2^22 —	“Ь 4t77177228i2
2/77^7772 ^8ц822 ““ ^2)
и высшую
 у/ + ^2^22 +	— 1Щ$22)2 + 4/7г1АП2^12
2т1тп2 (^11^12 — ^12)
(8)
(9)
Легко показать, что формулы (8) и (9) всегда дают действительные значе-
ния частот pi и р2«
Таким образом, система с двумя степенями свободы имеет две частоты
собственных колебаний, причем каждой из этих частот соответствует своя
форма колебания, т. е. свое соотношение между амплитудами Vi и v2. Действи-
тельно, например, из первого уравнения (5) находим
=	^28np2
v2 1 — m^p2 *
(10
Для колебания, происходящего с низшей частотой рх, получим
v1 I _	m2^12p^
v2 I 1—
а для колебания, происходящего с частотой р2,
Vi и _	7П2512р2
U2 II 1 — /И18ир|
Легко показать, что если при одном из этих колебаний массы т\ и т2
отклоняются в одну и ту же сторону (отношение -у- положительно) , то при
другом они отклоняются в разные стороны отрицательно). Чтобы дока-
зать это, надо установить, что произведение
Pi I Vi п
°2 I у» п
<0.
Заменяя отношения — и — их выражениями, получим
М ^2 II	Г
2&2 2 2
^1 I Vj И _ _______т2812Р1Р2_________
v21 И 1 — wij8u (р| +	4-	*
, Так как и являются корнями уравнения (7), то по известному свой-
ству корней квадратного уравнения
р1р22 =
_________1________
mim2 (Зи&22 — 812)
и
Р1 + Р22 =
77118ц -|- 1Т12Ъ22
nhtn2 ( 8и822 — 812)
Свободные колебания систем с несколькими степенями свободы
247
Подставляя эти выражения в равенство (11) и произведя соответствующие
сокращения, находим
что и требовалось доказать.
Например, в рассматриваемой задаче низшей частоте колебания соответ-
ствует отклонение масс в одну сторону (фиг. 127, а), высшей — в разные сто-
роны (фиг. 127, б)._
Абсолютная величина амплитуд
остается неопределенной. Можно	X—----------
произвольно задать амплитуду одной	vv
из масс (например, положить Vi = 1)	1
и по формуле (10) найти соответ-
ствующие амплитуды второй массы	via	Vzn
при первом и втором типе колеба-	/	___4 ,
ний. Таким образом, получаются —--------------—^^*7__1—7__
значения и v2p определяющие	——I-------s)
форму колебаний, происходящих с
частотой pi, и 1>1П и о2ц — соответ-	фиг- 127 •
ствующие частоте р2.
Решениями системы дифференциальных уравнений (3) являются выраже-
ния
= PiIsin(p1/ + ?1); Ti2 = t»2isin(pif 4-cpJ
7)! = Vj П Sin (p2t + ф2), T)2 = n Sin (p2t + <p2).
(12)
(13)
Колебания, происходящие с частотами pi и р2 и описываемые уравне-
ниями (12) и (13), носят название главных или нормальных
колебаний системы.
Так как дифференциальные уравнения (3) являются линейными,
то сумма частных решений (12) и (13) также представляет собой их решение.
Таким образом, свободное движение системы с двумя степенями свободы
можно представить в виде суммы нормальных колебаний:
’ll = Avj I sin + <pj) + Bv± n sin (p2t + <p2);
7)a = Av2 ! sin (p±t + <cj) + Bv2 n sin (p2t + <p2)-
(14)
Это решение содержит четыре произвольных постоянных: А, В, <рх и <р2,
которые можно определить, если известны начальные условия движения,
например, смещения и скорости обеих масс в момент t = 0.
Методы определения постоянных по начальным условиям будут изложены
далее, в § 4.
Рассмотрим два примера применения изложенного метода для определе-
ния частот и форм собственных колебаний систем с двумя степенями свободы.
В качестве первого примера рассмотрим балку постоянного сечения с двумя одинаковыми
массами (фиг. 128. а). Определим прежде всего обычным методом [т. I, гл. XI ] коэффициенты du,
S22 и §j2 (фиг. 128, б и в):
« -a _±r_L_L/
11 - «22 - EJ [ 2 4 ‘ !6 ‘ 3 16	2 4	16	3 16 J 256EJ ’
Для определения коэффициента 812 эпюру (фиг. 128, в) расслаиваем:
i __Lr_LJ_zAz_L z. _LAZ_LZ_LZ_ JL_Lz_Lz_L zl = _Z__£L
12 “EJ [ 2 4	16 1 24 + 2 4	16	8	2 4	4	48 J 768EJ '
248
Колебания упругих систем с несколькими степенями свободы
По формулам (8) и (9) находим частоты собственных колебаний. Учитывая, что mi =
= m2 = m, имеем
+ ^22 +	(8ц — 82г)2 + 4Sj2
2m (Sn622 — 512)
2,82Р1.
Фиг. 128.
По формуле (10) находим отношения
отклонений первой и второй масс при
колебаниях обоих видов:
Uil— m2^12p?	__
v2 I 1 — m^np 1
VT И _	/П2^12Р2	_
у2 II 1 —
Таким образом, при колебаниях,
происходящих с частотой pi, отклонения
обеих масс одинаковы и направлены в
одну и ту же сторону; при колебаниях,
частота которых равна р2, отклонения
масс направлены в противоположные
стороны. Если принять амплитуду первой
массы при обоих видах нормальных коле-
баний равной единице: pjj =	= 1,
то для амплитуд второй массы получатся
значения в первом случае (р = pi)
V2 1 = 1, во втором (р = р2) v& ц = —1*
Формы нормальных колебаний пер-
вого и второго типов представлены на
фиг. 129, а и в. Зная частоты и формы ко-
лебаний, легко построить эпюры изгибаю-
щих моментов, соответствующие ампли-
тудным отклонениям балки. Для этого
надо к массам приложить силы инерции
= mp2vL, Y2 = mp2v2t
соответствующие их амплитудным откло-
нениям, и построить эпюры моментов от
этой нагрузки.
Эпюры изгибающих моментов по-
строены на фиг. 129, б и г.
Общее выражение для смещений масс
при свободных колебаниях можно полу-
чить, складывая нормальные колебания
[см. формулы (14)]:
К)! = Av! I sin (pjt + f>x) + В»! II sin (p2t + ?2) = A sin (pj + f>i) + В sin (p2t + f>2);
i]2 = Av2 i sin fat + <px) 4- Bv2 и sin (p2t + f>2) = A sin (ptf + fi) — В sin (p2t + <p2).
Значения постоянных A, В, <pi и определяются начальными условиями движения
балки (см. § 4).
Изгибающий момент в любом сечении балки равен сумме моментов, возникающих при
колебаниях нормальных видов:
М = АМ1 sin (р^ + <f»x) + ВМи sin (p2t + <f>2) •
Свободные колебания систем с несколькими степенями свободы
249
Так, например, момент в сечении, где закреплена первая масса (фиг. 128, а), равен
mp\l	тр%1
М = А —j— sin (рг/ + <рх) + В —sin (p2t +
В качестве второго примера системы с двумя степенями свободы рассмотрим колебания
груза массы т> присоединенного к плоской раме (фиг. 130) и могущего перемещаться в ее пло-
скости. В этом случае можно применить изложенную выше теорию, если обозначить через £ и 7)
смещения груза во взаимно-перпендикулярных направлениях х и у.
Тогда можно записать, что
Т) ~ Х^ух + ¥Ъуу>
где Ъхх и Ъуу — смещения груза соответ-
ственно в направлении х и у при действии
единичной силы в том же направлении; Ъху—
смещение груза в направлении оси х, вы-
званное единичной силой, направленной по
оси у, а Ъух — смещение груза в направлении
оси у от силы, действующей по оси х.
Считая, что X и Y — силы инерции
массы т, заменим
Тогда получаем систему дифференциальных уравнений, совершенно аналогичную
системе (3):
т ^2 Ъхх +	ЪХу + £ —- о,
т ОЪух "1*т Ъуу+11=°’
Представляя решение этой системы в виде
5 = и sin (pt + ?);
т] = v sin (pt + <р),
найдем, как и раньше, частоты собственных колебаний:
Pi =
^ХХ + Ъуу — (Ъхх — §уу)2 + 48^
2т (ЪххЪуу— ^ху)
$хх + Ъуу + у/* (Ъхх — Ъуу)2 + 48^
2/и ( ЪххЪуу —
250
Колебания упругих систем с несколькими степенями свободы
причем каждой частоте соответствует своя форма колебаний, определяемая отношением сме-
щений массы по осям х и у [см. формулу (10)]:
и = т,рЧху
v 1 — тр2Ъхх
Из этого соотношения видно, что при каждом нормальном колебании масса m движется
по прямой линии, составляющей с осью х угол ф, тангенс которого равен
р _ i~mp4xx
ё V £	« тр2Ъху
При колебаниях, происходящих с частотой pi.
1 mp]bxx
tg4>i =----2;----5
при втором виде колебаний
1 — тР^хх
tg<|>2 =---2;----
тР$ху
Легко показать, .что
tg 4>itg ф2 = — 1,
т. e., что направления нормальных колебаний взаимно-перпендикулярны.
Перпендикулярность направлений главных колебаний в данном случае является след-
ствием общего закона ортогональности нормальных колебаний, который изложен в § 3.
Если в раме (фиг. 130) /1 = Z2 = I и жесткость стоек одинакова, то
. _ /3 . . __ 4/з .	_ /з
bxx^3EJ9	ZU-
'S этом случае
n = 1	в** ~Ь §уу — У"— §уу)2 + 4§ху __
|/	(ЪххЪуу — Ъ2ху}
= j/ 6(5~ЗГТ) /Б - °.807 /5 ;
__ 1	"1“ Ъуу 4- V ($хх   Ъуу)2 4" 4§ху __
|/	2т ( ЪххЪуу — Ъ2у}
__ /6(5 + зУ*2) ГеТ_	1/Ё7.
"" |/	7 V ml3 "" 2,82 V ml2 ’
vi . ,	1 — трэ^хх
“I 81 тр{ъху
1 + /2 = 2,41;
фх = 67°30';
111 - 18ф, _ 12^1 _ 1 _ V2--0.41;
П	тр^ху
ф2 = 157°30'.
Принимая при обоих видах колебаний и\ — иц= 1, получим uj = 2,41; оц = —0,41.
Общие выражения для смещений имеют вид
$ = Л sin (pLt + fi) + В sin (p2t + f2);
tq = Л-2,41 sin (p^ + <рх) — B«0,41 sin (p2t + ?2).
Значения произвольных постоянных Л, В, <pj и у 2 определяются из начальных условий
(см. § 4).
Свободные колебания систем с несколькими степенями свободы
251
Б. Метод деформаций
Изложенный выше способ составления уравнений, который называется
методом сил, состоит в том, что смещения масс выражаются через силы инер-
ции масс. В некоторых случаях, особенно для продольных и крутильных
колебаний, более выгодным оказывается другой метод, который мы будем
называть методом деформаций. В противоположность первому методу здесь
не смещения выражаются через силы, а силы — через смещения. Так, для
системы, изображенной на фиг. 126, можно записать:
У1 = ill’ll + G2V,
K2 = r21ii1+r227)2>
(15)
где г — коэффициенты, аналогичные коэффициентам уравнений метода
деформаций в строительной механике [10], т. е. ги есть усилие, которое,
будучи приложено к г-й массе, вызывает ее перемещение, равное единице,
при условии, что на все остальные массы наложены дополнительные связи,
препятствующие их смещению; rki — возникающая при этом реакция допол-
нительной связи, наложенной на £-ю массу.
Сопоставляя уравнения (15) с уравнениями (2), можно найти связь между
коэффициентами г и 8, а именно:
?	__ ^22	.
$11^22- ^12
&11
= V"8--------’
611S22 — S12
S-io
r12 =	=	Г—Z	Z2-
611°22 — °12
(16)
Если в уравнениях (15) заменить силы У\ и У2 силами инерции (1),
мы получим систему дифференциальных уравнений относительно тц и т)2:
— /”-^Г = /'и111 + г12112;
—	= r21ih + r22i)2.
(17)
Система уравнений (17) решается так же, как и система (3), т. е. тц и -г)2
заменяются выражениями (4), в результате чего получается следующая
система алгебраических однородных линейных уравнений:
(тгр2 — ru) Vi — rl2v2 = 0;
— r12v1 + (m2p2 — r22)v2 = 0. .
Приравнивая нулю определитель этой системы, получаем уравнение
частот:
^Р2-ГП — г12
— г12	(т2р2 — г22)	’	' '
откуда
^1Г22 + m2rll ± l/" (mlr22 — /W2rn)2 + 4m1m2rJ2
П2 — ------------------------------------- ,
r	2m1m2
Конечно, определение частот и форм колебаний по второму способу дает
те же результаты, что и по первому. Действительно, учитывая соотноше-
ния (16), легко показать, что уравнение (18) тождественно уравнению (6).
252
Колебания упругих систем с несколькими степенями свободы.
В качестве примера составления уравнения частот с помощью метода
деформаций рассмотрим крутильные колебания вала с двумя дисками
(фиг. 131), один конец которого жестко защемлен. Моменты инерции массы
дисков обозначим через и /2, а углы поворота их при колебаниях 3-х и &2.
Прежде всего выясним величины крутящих моментов, возникающих
в частях вала при его закручивании. Участок вала АВ закручивается
на угол (угол поворота первого диска), и в связи с этим в его поперечных
сечениях возникает крутящий момент
^ав ~ САВ ’	»
где через сАВ обозначена жесткость участка вала АВ (для круглого вала
постоянного сечения сЛВ =	\ .
Участок вала ВС закручивается на угол — $х, и возникающий в его
поперечных сечениях крутящий момент равен
Мвс == свс (®2	^1)>
где свс — жесткость участка ВС. .
Положительные направления углов поворота и крутящих моментов,
принятые в расчете, показаны на фиг. 132.
Упругий момент, передаваемый с вала первому диску, равен
М± = МАВ Мвс = (сАВ -р свс)	•
Момент, противодействующий повороту второго диска,
ТИ2 = МвС = свс * 4”
Сравнивая эти выражения с формулами (15), видим, что в данном случае
гп = сАВ + свс\
гъъ — свс’>
Г]2 " Г21 ~ свс-
Приравнивая теперь упругие моменты моментам инерционных сил
—и —’ ПОЛУЧИМ Дифференциальные уравнения движения
dt*	^Сав 4" свс) ^1 СВС®*2>
^2	= ^вс^х 4“ Свс^2»
।
Положим, что
= ех sin (pt + ср),
&2 = 62sin (pt + ср).
Свободные колебания систем с несколькими степенями свободы
253
Тогда получим систему уравнений относительно и 02:
(ЛР2 (сав + свсУ1 + свс®2 = 0; 1
cbc^i (^гР2 —	02 ~ 0.	/
(19)
Частоты собственных колебаний определяются уравнением
хР2 (Рав + свс)] свс
СВС	Шр2---Сдв]
= О,
откуда
р2 =
(20)
ЛсВС — Л (САВ + Свс)]2 + 4/^Г2СВС
Эта формула дает два значения круговой частоты, соответствующие двум
формам нормальных колебаний, которые характеризуются различными отно-
шениями между отклонениями обоих дисков. Эти отношения могут быть
найдены из уравнений (19)
01 __ 1 ЛаР2
02	сВС
(21)
Если оба участка вала имеют одинаковую жесткость сав = свс = с и моменты инерции
дисков одинаковы h — /2 = I, то по формуле (20)
2_ с
р I 2
Низшая частота
Высшая частота
2
= 2,62рР
По формуле (21) находим, что при низшей частоте
011
-^= 1--------— = 0,618
02 I	С
и при высшей частоте
01П	Ро
— = 1------— = —1,62.
62 II	С
Принимая, что 02 I = 02 п = 1, получим для первого вида колебания 0i j = 0,618 и для
второго вида колебания 0Х ц = —1,62.
Формы нормальных колебаний системы изображены на фиг. 133. Общее выражение для
поворотов дисков при свободных колебаниях имеет вид
&i = Л0! isin(px/ + fi) + B0x п sin (p2t + f2) = Д-0,618 sin (р^+ fx) -В-1,62 sin (p2t + f2);
&2 = Д02 i sin (p-J + f J + B02 ii sin (p2t + f 2) = A sin (pLt + ?i) + В sin (p2t -4- f 2),
где А, В, fi и f 2 — постоянные, определяемые начальными условиями^
Рассмотрим еще одну задачу, имеющую важное практическое значение,
а именно крутильные колебания незакрепленного вала с двумя дисками
(фиг. 134, а). Эта задача отличается от предыдущей тем, что вал в целом может
вращаться, как жесткое тело.
254
Колебания упругих систем, с несколькими степенями свободы,
Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, можно составить уравне-
ния движения дисков
r d1 2&3   Л /д	л \
dt2	С	’
где с — жесткость вала.
Отыскивая' решение этих уравнений в форме
— ^1 sin (pt 4* <р)>
&2 = 02sin (pt + ф),
получим систему уравнений
(р2Л — с) 0! + с02 = 0;
А + (Р% — с) 02 = 0.
Следовательно, уравнение частот имеет вид
Р2Л — с с _0
с (р2/2 — с)
или
р2[р2/Л-(Л + /2)с] = о,
откуда
Pi = 0
И
?2
1/” (Л + ^2)с
У лл
Нулевой корень уравнения частот соответствует равномерному
вращению вала, т. е. решению * уравнений (22) в форме
— '9’2==: ui “4” b.
Второй корень, равный
соответствует единственно возможной в этом
случае форме свободных колебаний. Отношение
амплитуд обоих дисков при этих колебаниях
легко найти
в1 __ 1 _ Р2^2 _ _
е2
Таким образом, диски поворачиваются при
колебании в разные стороны на углы, обратно
пропорциональные их моментам инерции. Вследствие этого имеется такое
сечение вала (узел), которое остается неподвижным при колебаниях.
Форма колебания изображена на фиг. 134, б.
Метод деформаций целесообразно также применять к расчету колебаний
систем, состоящих из упруго связанных жестких тел \ Примером такой
1 Аналогичные результаты дает и использование уравнения Лагранжа второго рода,
см. [9] и [11].
Свободные колебания систем с несколькими степенями свободы
255
кузов действуют силы сжатия
системы является, в частности, расчетная схема автомобиля, представленная
на фиг. 135. Здесь масса 1 соответствует массе кузова, массы 2, 5, 4 и 5 соот-
ветствуют неподрессоренным массам, отнесенным к колесам.
Верхние пружины заменяют податливость рессор, нижние — шин.
Ввиду того что система является полностью симметричной относительно
продольной оси, ее колебания могут быть разделены на два не связанных
между собой вида: а) коле-
бания в продольной плоско-
сти, при которых смещения	/	д
обоих передних и обоих зад-
них колес попарно одина- / I I	'
ковы, и б) поперечные ко- X............	.... S
лебания, при которых центр Ж	JL
тяжести кузова неподвижен,
а смещения левых и правых	z_—/I	/И
колес равны и противопо- ’	’	I
ложно направлены.	Фиг. 135.
Рассмотрим колебания
кузова в продольной плоскости (фиг. 136). В этом случае смещения
системы характеризуются следующими координатами:.
т] — вертикальное перемещение кузова;
<р — угол наклона кузова;
т)1 и 2 — вертикальные перемещения соответственно передних и зад-
них колес.
Таким образом, при колебаниях в продольной плоскости автомобиль
можно рассматривать как систему с четырьмя степенями свободы.
передних и задних рессор, равные
Yi = 2Ci (i) — т)! + а<р);
У2 = 2с2(т) — т]2— b<f),
где и с2 — коэффициенты жестко-
сти рессор, отнесенные к одному ко-
лесу.
Уравнения движения кузова
имеют вид
"^+^ + 72 = 0;
/ 5-+ 7x0-/^ = °,
где / — момент инерции кузова относительно поперечной оси, проходящей
через центр тяжести.
Первое из этих уравнений представляет собой сумму проекций на верти-
каль приложенных к кузову сил, включая силу инерции, второе — сумму
моментов сил относительно центра тяжести.
Уравнения движения масс, отнесенных к передним и задним колесам,
могут быть записаны в форме
mi^r------ГУ1+^“111==0:
^2	---2~ Y% + с2ш7]2 = О,
где пц — неподрессоренная масса, отнесенная к переднему колесу; с11и —
жесткость передней шины.* Величины с индексом 2 относятся к задней оси.
Фиг. 136.
256
Колебания упругих систем с несколькими степенями свободы
Подставляя значения и У2 в уравнения движения кузова и колес,
придем к следующей системе уравнений:
+ 2Ci (ц — т)! + а<р) + 2с2 (т) — т12 — &<р) = 0;
/+ 2^0 (ц — тц + а<р) — 2c2b (ti — Из — b<f) = 0;
mi ^r—ci h —	+ °?) + CiuSlt = 0;
5s — C2 (T) — T12 — b<?) 4- С2шТ12 = 0.
После обычной подстановки
----Х-г	’I = wsinp/;
1	<₽ = <]> sin/?/;
ти =	sin/?/;
Фиг. 137.	T)2=o2sinp/
получаем систему алгебраических уравнений:
v (—mp1 2 + 2сх 4- 2с2) + ф (2сга — 2с36) —	— v22c2 = 0;
v (2^0 — 2с26) 4- ф (— /р2 4* 2с1а2 4- 2с2&2) — о12с1а — v22c2b — 0;
— ocj — фасг 4- г?! (— m.p2 4- Ci 4- с1ш) = 0;
— vc2 4- ф6с2 4- v2 (— m2p* 4- c2 4- c2(a) = 0.
Приравнивая нулю определитель этой системы, получаем уравнение
четвертой степени относительно р2. Четыре корня этого уравнения опреде-
ляют частоты четырех типов собственных колебаний системы.
Если в схеме на фиг. 136 пренебречь величиной неподрессоренных масс,
то можно получить более простую систему с двумя степенями свободы,
изображенную на фиг. 137.
Уравнения движения такой системы имеют вид
2с1	+ 2сг —	= 0;
I-^f- 4- 2Cj'a(7) 4-a?) — 2c'&(i) — b<?) = О,
где c'f и с2 — жесткости последовательно включенных рессоры и шины. После
подстановки выражений
т) = v sin pt', ф = ф sin pt
приходим к системе
v (— /пр2 4- 2с1 4- 2с2) 4- ф (2cja — 2с2Ь) = 0;
v (2с'а — 2с'2Ь) 4- ф (— /р2 4- 2с^а2 4- 2с2&2) = 0.
Частотное уравнение можно записать в виде
— тр2 4- 2с' 4- 2с2	2с'[а — 2с'2Ь
2с\а — 2с'2Ь	— Ipz 4- 2С|П2 4- 2с2&2
Свободные колебания многомассовых систем
257
или
Р1 [c't(ma2 + 1)+% (mb2 + /)] + (а + Ь)2 = 0.
Двум значениям частоты, получаемым из этого уравнения, соответствуют
две формы нормальных колебаний, характеризуемые отношениями угла
поворота кузова и его вертикального перемещения:
ф тр2 — 2с[ — 2с2
**) v 2с\а — 2с2Ь
В общем случае формы нормальных колебаний системы имеют вид, пред-
ставленный на фиг. 138. Одной из этих форм (фиг. 138, а) соответствует пере-
мещение передней и задней частей кузова в одну сторону, другой
(фиг. 138, б) — в разные стороны.
§ 2. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МНОГОМАССОВЫХ СИСТЕМ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
ПО МЕТОДУ ОСТАТКОВ
Для составления уравнений движения в случае системы с большим числом
степеней свободы, так же как и для систем с двумя степенями свободы, можно
применить либо метод сил, либо метод деформаций.
Однако с увеличением числа степеней свободы уравнение частот стано-
вится все более и более сложным. Для систем с двумя степенями свободы это
было квадратное уравнение относительно р2; для системы с п степенями сво-
боды мы уже получим относительно р2 уравнение n-й степени.
Действительно, для системы с п масс метод сил приводит [см. уравне-
ние (6)] к следующему уравнению частот (вековое уравнение):
(zMnP2 — 1)
/ПД1Р2
m2812p2	. . . m^f?
(m2S22p2—1) . .
= 0.
(23)
........т23л2р2	. . .. (m„8„„p2—1
К аналогичным уравнениям приводит и метод деформаций. В связи
с затруднительностью вычисления коэффициентов такого уравнения n-й сте-
пени и его решения обычно предпочитают пользоваться каким-либо прибли-
женным методом определения собственных частот (см. главу VII). Прибли-
женные методы позволяют обычно весьма легко и с достаточной степенью
точности определить низшую частоту собственных колебаний. Если, однако,
требуется определить и высшие частоты, то наиболее надежным методом
является составление уравнения частот.
В качестве примера составления уравнения частот и его приближенного
решения рассмотрим крутильные колебания вала со значительным коли-
чеством маховиков (фиг. 139). К системам такого типа сводятся обычно
17 Пономарев 508
258
Колебания упругих систем с несколькими степенями свободы
коленчатые валы многоцилиндровых двигателей. Для составления уравне-
ний движения применим метод деформаций.
Обозначим:
Л, /2 — моменты инерции маховиков;
К, К — углы их поворота;
01, Й2 — амплитудные значения углов поворота маховиков;
с12, £23 — жесткости участков вала соответственно между первым и вто-
рым, вторым и третьим и т. д. маховиками (крутящие момен-
ты, возникающие при закручивании участка вала на еди-
ничный угол);
Л412, М2з — крутящие моменты, развивающиеся в поперечных сечениях
соответствующих участков вала;
М12, М23 — амплитудные значения этих моментов.
Уравнения движения маховиков
Фиг. 139.
можно записать в следующей форме:
I — м •
Ч ^2 — /W12,
(24)
г	____дд
1 П ^2	1, п •
Вместе с тем крутящие моменты связаны с углами поворота маховиков
формулами
*2 = &х+^-;
С12

&з = *2 + ^;
С23
а а ।	^п—1, п
К = К-1 + -------
сп—1 ♦ п
Решение системы уравнений (23) и (24) ищем, как обычно, в форме гармо-
нических колебаний:
Mik = ^ik sin (?* + ?).
Подставляя эти выражения в уравнения (23) и (24) и сокращая общий
множитель sin (pt + ср), получим следующие соотношения:
М12	- -1Л	®2 — ®1 +	М18	
М23	— М12 — ^гР2®2		С12 ’ да	
		03	02 4“	т23 .	
М34	— М23	/ зР20з		С23 ’	
		04 - 03 +	М34 С34 ’	(25)
M/i—l. п
сп—1, п
Мд—1, ri —Мп_2, п— 1 — Iп—\Р^п~\
0 = ^Цп-1пр^п.
0Л — 0 п—1 +
Свободные колебания многомассовых систем
259
Исключая из этих уравнений последовательно М12, 02, М23, 03 и т. д.,
получим окончательно уравнение n-й степени относительно р2. Однако такой
путь является довольно сложным и приводит к уравнению n-й степени, реше-
ние которого также затруднительно.
Значительно удобнее решать подбором непосредственно систему (25).
Для этого следует задать значение 01, например, положить 0i = 1 (как
мы видели выше, при свободных колебаниях абсолютная величина ампли-
туды остается неопределенной) и принять в качестве первого прйблиэйения
какую-нибудь величину круговой частоты колебаний р.
Затем с помощью уравнений (25) можно последовательно определять ТИ12,
02, М23, 03 И Т- д-
Таким образом, когда мы дойдем до
последнего уравнения, все величины,
входящие в него, будут известны.
Если это уравнение будет удовле-
творяться, принятое значение р пред-
ставляет собой точное значение кру-
говой частоты собственных колебаний
вала. В противном случае следует по-
вторить вычисления, задавшись новым
значением р.
Наиболее быстро можно получить
результаты, если построить график
зависимости от величины р остатка R, даваемого последним уравнением (25).’
При этом выгоднее откладывать по-вертикали не непосредственно величину!
остатка, а частное от деления этой величины на р2, т. е. \-~z-) (фиг. 140).:
Абсциссы точек пересечения такого графика с осью р дадут значения частот’
собственных колебаний вала. Если принять, что 01 = 1, то кривая на фиг. 140,
отсекает на оси ординат отрезок, равный — 2/, где — сумма моментов;
инерции всех маховиков.
Число точек пересечения кривой с осью абсцисс (число частот собствен-
ных колебаний) равно числу маховиков минус единица. Таким образом,
график, изображенный на фиг. 140, относится к пятимассовой, системе.
Для упорядочения.вычислений по изложенной схеме их удобно проводить
располагая в виде таблицы, как это изображено ниже (см. табл. 42).
Вычисление начинается с заполнения граф 2 и 5, для чего надо задаться
приближенным значением р. Дальнейшие вычисления идут в порядке, ука-
занном стрелками, а именно: задаемся 0i = 1; тогда
М12 — Ар2®!*,
02 = 01 + ^-;
1^23 = ^12	АР2®2>
е3 = % +
С23
И T. Д.
Остаток 7? находится по формуле
Я = Мп-1, п— 1пр^п.
Обычно для определения одной частоты приходится просчитать три-четыре
таблицы, задаваясь различными значениями р.
17*
260.
Колебания упругих систем с несколькими степенями свободы
Таблица 42
Схема последовательности вычислений по методу остатков
1	2	3		4		5	6
Массы				м£, /Ж		ck, £4-1	Участки вала
1	/1Р2	01=1 __			-4Р291		
		ми С12			г ‘ ми	£12	1—2
2	4р2	6g	L 1*				
		w |w	-1 < 1		F	М23	^23	2—3
3	Др2	03	’	1 I I*		— ^зР29з		
		^34	I , г ।		М34	С34	3—4
4	Лр2	е4 :			-Лр204		
		М« С15	I		f	М15	С45	4—5
5		А	’ °s	1		/5р2е5		
					'	R		
Отметим интересное свойство приведенных таблиц. Очевидно, безразлично,
какую массу считать первой, а какую последней. Можйо принять амплитуду
последнего, n-го маховика равной единице и вести расчет по формулам:
(бл) = 1;
(М„_1( п) = -/яр2(9„);
(0„_1) = (О„) +
„)
сп—1, п
(М*_1, k) =	*+i) — Лр2%;
(9&_|) — (%) 4-
ck—1, k
(7?) = (M12)-Z1^(91)
(скобки в этих выражениях указывают на то, что подсчет ведется в обратном
порядке).
Свободные колебания многомассовых систем
261
Сопоставим полученные при обратном порядке расчета равенства
(84—1) = (9fe)+
ck—i, k
с соответствующими равенствами при прямом порядке расчета
Ма, А4-1 = Ма—i, k — Ikffik",
Исключая из этих уравнений величины Ik и ck, найдем
0ft (Ma-i, k) +	k — ^k^-k, 44-1) + (9*)Ma, &-J-1;
64—i(Ma—1, a) + (8 a—1)Ma—1, k = 9a(M*_i, a) + (9a)Ma—1, a,
откуда следует
04—1 (Ma—i, a) + (0*—i)Ma-i, a = 9a (Ma, a+i) + (9a)Ma, 44-ь
Таким образом, при изменении индексов на единицу, а значит и на любое
число единиц величина Oa-i (Ma-i, 4) + (04-i) Ma-i, 4 сохраняет свое
значение. Следовательно, увеличивая индексы, можно написать:
9а (Ма, 44-1) -|- (8а) Ма, 44-1 — • • • — ®n—1 (Мп—1, п) +
+ (0„_1)М„_1,„ = О„.О + (0я)/? = 2?.	(26)
С другой стороны, уменьшая индексы, получим
9а (М А, 44-1) + (9а) МА, А4-1 = 8а (М А— 1, а) + (8ft)MA_l, А =
= 02 (М12) + (02)м12 = 9, (7?) + (0J.O = (7?).
Таким образом, остаточные члены при просчете таблиц в обоих направле-
ниях получаются одинаковыми.
Отмеченным свойством можно воспользоваться для того, чтобы решить
обратную задачу — подобрать один из элементов системы (7, с) таким обра-
зом, чтобы получить заданную частоту собственных колебаний р.
Заменяя в формуле (26) Ма, 44-1 его выражением Ма, 44-1 = Ma_i, 4 —
— 7аР29а, получим
9а (М а, 44-1) + (6а) [Ma-i, 4 — ^4Р26а] — 7?.
В случае, если мы изменим момент инерции k-ro диска, сделав его рав-
ным /а так, чтобы р являлось точным значением частоты собственных коле-
баний, остаточный член должен стать равным нулю:
0А (Ма, 44-1) + (8а) [Ма—1, а - Г^] = 0.
Вычитая это равенство из предыдущего, найдем необходимое изменение
момента инерции Л-го диска:
/'___/ __	7?
*	*	Р20а(6а) •
Заданную частоту собственных колебаний можно получить также, изме-
няя податливость какого-либо участка. Необходимое изменение податливости
определяется по формуле [8 ]
1	’	1	=_________R
Ck 4Ч-1 Ск, 44-1	М4, 44-1 (М А, 44-1) ’
262
Колебания упругих систем с несколькими степенями свободы
Величины R, 6, М, (6) и (М) определяются просчетом таблиц в прямом
и обратном направлениях при заданном значении р.
Из полученных формул видно, что наибольшее влияние на частоту
собственных колебаний оказывает изменение момента инерции массы, имею-
щей наибольшую амплитуду, или изменение податливости участка, нагружен-
ного наибольшим моментом.
§ 3. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Рассмотрим два вида собственных колебаний системы, одно из которых
совершается с круговой частотой р19 другое — с частотой р2.
Смещения любой i-й массы упругой системы в направлениях координат-
ных осей х, у и z при одном из этих колебаний равны
*11 = Щ J sin (pxt + <pz);
_ Tizi = ^isin(Pi^ + ?i);
С/ I - wt I sin (pxt + <px),
а при другом
ii = ui и sin fat + <f>2);
n = »iiisin(pjf + <p2);
Ъ II = Wi II Sin (P2^ + ®2>-
Величины mzi, vix, wix и uzn, uZII, twzn, определяющие форму собствен-
ных колебаний, зависят от координат точки расположения массы /nz (от
номера i). Эти величины называют кратко собственными функциями.
Докажем, что собственные функции, соответствующие двум различным
видам колебаний, обладают свойством ортогональности, т. е. что сумма
5 п + vnvi и + wi п) >
распространенная на все массы системы mlt равна нулю.
Остановим систему, совершающую свободные колебания с частотой рь
в тот момент, когда ее смещения достигают максимальных значений, т. е. когда
sin (pit + cpi) = 1, и к каждой массе т, приложим силу инерции, проекции
которой на оси координат равны
Xzi = mzp2«zi;
Yi i = р
и
2Zi = mzp2u»ZI.
На основании принципа Даламбера система, массы которой имеют смеще-
ния щ р и шп, будет в равновесии под действием этих сил, приложенных
ко всем массам системы.
Аналогично силы
Xi п ~ miPfyk п>
ii = wzp|vz п
и
2/ п = т1р^)1 и,
приложенные ко всем массам системы (общее число масс п), вызывают пере-
мещения Z-й массы, равные unl, v-L п и wilv
Ортогональность нормальных колебаний
263
Применим теорему взаимности перемещений [10].. Согласно этой теореме
работа сил первого состояния (p®/nzun,	р^т^и) на смещениях
второго состояния (un, vn, wn) равна работе второго состояния (p|/nzwzn,
p^j^zn, p^Wn) на смещениях первого состояния (иг, vltw^
Pl 2 (“i iut и + vi ivi и + wi iwi n) = PIS nui i + vi nvi i + wi uwi i) mi
4=1	4=1
ИЛИ
(Pl — Pl) 2 («I I«z и + vt I»z II + xwt „) mz = 0.
Так как предположено, что pi и р2 различны, то
S (Uzi«iii + t’zit’zii + “'ii“'zii)/ni = o>	(27)
i=l
что и требовалось доказать.
Если система включает как сосредоточенные, так и распределенные массы,
то формула (27) принимает вид
3 («z iui п + vi ivi п + wt iwt n) mi + J («i«n + Wn + Vn)dm = 0, (28)
Z=1
где суммирование проводится по всем сосредоточенным массам, а интегриро-
вание — по распределенным.
Рассмотрим некоторые важные частные случаи формулы (28). При про-
дольных колебаниях бруса имеются только смещения 5, направленные вдоль
оси стержня (ось х); элементарную же массу dm можно выразить через массу q
единицы длины стержня:
dm = q dx.
Поэтому для продольных колебаний формула (28) принимает вид
4*=«
У, «Z iui ит1 + f UiUuqdx = 0.	(29)
4=1	о
Для крутильных колебаний валов, заменяя в формуле (29) массы момен-
тами инерции, а линейные смещения — угловыми, получим
i—n	I
2 MznA + PiMA = o.	(30)
i=\	0	.	.
где <у0 — интенсивность момента инерции собственной массы вала
относительно его продольной оси;
Ц — моменты инерции насаженных на вал дисков;
01 и 0П — амплитудные углы поворота при двух различных видах нор-
мальных колебаний.
При изгибных колебаниях балок смещения перпендикулярны оси балки.
Для этого случая формула ортогональности нормальных колебаний имеет
вид
i=n	I
 2 »z i vi umi + f Vvvuqdx = 0,	(31)
Z=1	0
где q — интенсивность собственной массы балки.
Если при определении форм изгибных колебаний учитывается инерция
вращения, то собственные функции,, соответствующие двум различным нор-
264
Колебания упругих систем с несколькими степенями свободы
мальным колебаниям, связаны несколько более сложной зависимостью:
У vi ivi umi + f VjVnqdx + 2 ez Л11Л + f Wuqjdx = 0;	(32)
Z=1	0	Z=1	0
здесь Ii — моменты инерции присоединенных масс;
qj — интенсивность момента инерции собственной массы балки отно-
сительно центральных осей сечения, перпендикулярных плоско-
сти колебания;
Я/ =	»
где	J — момент инерции площади поперечного сечения балки;
р — плотность материала;
би и 6/ и — амплитудные углы поворота масс при колебаниях. 1
Следствие I. Кинетическая энергия упругой системы, совершающей
сложное колебательное движение, равна сумме энергий каждого нормаль-
ного колебания. Допустим, что система совершает сложное движение,
которое можно представить как сумму нормальных колебаний. При этом сме-
щения точек системы
5 = Аиг sin (pjt + фх) 4- Вии sin + <р2) + Cum sin (р</ + ?з) + • • • .
т) = Aut sin (р/ + <рх) + Bvn sin (р^ + ср2) + Cvni sin (р</ + ?3) + • • • .
С = Awt sin (pxZ + <рх) + Bwn sin (р</ + <p2) + Cwm sin (д/ + <p3) + • • •
Кинетическую энергию системы при этом движении можно найти по обыч-
ной формуле:
причем интеграл распространяется на всю массу системы. Подставляя сюда
выражения 6, и С, видим, что на основании соотношения (28) все интегралы
от произведений a^u^dm, u^u^dtn и т. д. исчезнут, и мы получим
у=4- Л2р1со$2 (pit+'Pi) J (“i+vi+)dm+
+ 4~ B2/?2 COS2 Ш + Ь) J («II + Vh + “'ll) dm + • • •
Следствие II. Потенциальная энергия упругой системы, совершаю-
щей сложное колебательное движение, равна сумме потенциальных энергий
каждого нормального колебания.
Это положение непосредственно следует из предыдущего, так как сумма
кинетической и потенциальной энергии системы, совершающей свободные
колебания, неизменна.
§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СВОБОДНОГО ДВИЖЕНИЯ МНОГОМАССОВЫХ
СИСТЕМ ПО НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ
Если упругая система выведена из состояния покоя и в момент t = 0
освобождена от действия внешних сил, она будет совершать в дальнейшем
свободные колебания.
Закон движения системы легко определить, если известны частоты
и формы всех ее нормальных колебаний.
Определение свободного движения многомассовых систем
265
Проекции 5Z, и Cz смещения массы mz на оси координат при любом п-м
нормальном колебании определяются формулами
tin = К cos p„t + bn sin pnt) uia;
Ъ, = (an cos pnt + bn sin p„f) »z„;
= (an cos pnt + bn sin pnt) wla,
где	pn — круговая частота n-го нормального колебания;
uin, vin и win — собственные функции, определяющие форму n-го коле-
бания;
ап и Ьп — постоянные.
Наиболее общее выражение для смещений массы при свободном дви-
жении можно представить в виде суммы всех возможных нормальных коле-
баний:
ti = 2 (ап cos pnt + bn sin pnf) uln;
n
Hi = 2 (fln cos P„t + bn sin pnt) vla;	(33
Cz = S (an cos pnt + bn sin pnf) w[n.
n
Задача состоит в том, чтобы определить коэффициенты а и b таким обра-
зом, чтобы выражения (33) удовлетворяли начальным условиям движения.
В начальный момент (t = 0) должны быть заданы смещения и скорости
всех масс системы:
— &zo>
(^lZ)f=0	”*)Z0’ (Cz)f=o CZq,
-I .
k dt Jt^o ~ C/o’
(34)
где So, ijo, Co, Tlo, Co — известные функции координат массы mt.
Подставляя в уравнения начальных условий (34) общие выражения для
смещений (33), получим следующие соотношения, которые должны удовлетво-
ряться для любой массы mt:
^ZO = 2 ^п^1п>
п
^гв = 2 ад»; I.	(35),
Czo = 2a„^z„;
п
^10	^4 ЪпРпЩп*
п
= ? bnPnVln’	(36|
Czo = 2 bnp„win.
п
Для того чтобы из уравнений (35) и (36) определить постоянные а и Ь,
используем свойство ортогональности нормальных колебаний.
266
Колебания упругих систем с несколькими степенями свободы
Помножим первое из уравнений (35) на tnjUik, а .второе — на /пгом,
третье — на m-wik и сложим результаты (ulk, v-lk, wlk — собственные функ-
ции, соответствующие Л-му нормальному колебанию):
"Ч (tiMk + W/* + ^owik) = mi£ ап	+ vinvik + Wi^)ik).
п
Суммируя теперь подобные выражения, написанные для всех масс
системы тг, и учитывая, что на основании свойства ортогональности при
п 4= k ;
2 "Ч (ulnulk + vlnvlk + wlnwik) = О,
i
найдем
(iioulk + niovik + llowlk) = ak^ml (uik + v2k + w2ik).
i	i
Таким образом, мы получаем возможность определить любой коэффи-
циент а, входящий в выражения (33):
2 mi. (^uik + k + С/оИ»/*)
°'= ‘ М+-4+-4) ’	<37)
i
где суммирование распространяется на все массы системы.
Проделывая с уравнениями (36) такие же операции, как и с урав-
нениями (35), можно получить выражение для коэффициентов Ь:
2 mi (ii0Uik + TiioVik + С itfls/ik )
Ь,г Pk^mi{$k++	'	<38)
i
Если, кроме сосредоточенных масс, имеются и распределенные массы,
то формулы (37) и (38) несколько видоизменяются. В этом случае
2 m* + TWtk +	+ J (kottk + Vk + Cowk) dm
°k	2 ^(“1*+"«+“’«)+f	+w*)dm
(39)
2 mi	+ ‘hi&ik + ^iWik ) + j* (L«& +	+ ^k) dm
bk 2тЛИ« + ^ + Ш^) + ПИй + Г* + а’*)‘*'П
i
где суммирование распространяется на все сосредоточенные массы, а интегри-
рование — на распределенные.
В качестве примера применения изложенного метода рассмотрим следующую задачу.
Массе /и, закрепленной на упругой раме (фиг. 141, а), в начальный момент сообщается верти-
кальная скорость = с. Смещения массы в начальный момент равны нулю. Требуется уста-
новить закон колебаний массы, считая, что жесткость вертикального и горизонтального эле-
ментов рамы одинакова.
Начальные условия движения можно записать в виде
So = 0; 1)0 = 0; ]
(а)
1о = О; 7)о= с. )
Определение свободного движения многомассовых систем
267
Выше (см. § 1), рассматривая колебания рамы (фиг. 141, а), мы определили частоты нормаль-
ных колебаний:
Р1 = 0,807 1/;
г ml3
р2 = 2,82
V ml3
и их формы, характеризуемые амплитудными отклонениями по осям х и у:
«1 = 1; t>i = 2,41;
«и = 1; uji = — 0,41.
Общее уравнение свободных колебаний массы m имеет вид
6 = (ах cos ptt + Ьг sin РхО • 1 + (^ cos p2t + b2 sin p2t) • 1;
7) = (аг cos pTt + sin pj/)-2,41 — (a2 cos p2t + b2 sin p20*O,41.
По формулам^ (37) и (38) находим коэффициенты а и bt соответствующие начальным усло-
виям (а):
_т(5о«п + 'По^п)_п.
а2------——-—------------и,
/n(«ll + »n)
h _ 1 rn (£o“i + Vi) _	m-c-2,41	_ c .
1 Pi tn (uf + v|) d2 +2-412) ~ Pi’
1 m (Ёо«п + 'Йо^п) = m>c(— 0,41) = _
P« /n(«|l + vh) p2-m(l2 + 0,4P)
0,354—=—0,101 —.
P2	Pl
Подставляя эти значения постоянных в выражения (б), получим следующие уравнения
движения:
g =	(0,354 sin p±t — 0,101 sin p2t);
Pi
Траектория движения массы m в течение половины периода основного (т. е. имеющего
частоту pi) колебания, полученная по этим уравнениям, представлена на фиг. 141, б. Точки
на кривой отмечают положение груза через одинаковые промежутки времени
* Я .
= 18Р1 •
268
Колебания упругих систем с несколькими степенями свободы
§ 5. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ
СВОБОДЫ
Уравнение движения любой t-й массы /nz упругой системы при отсутствии
возмущающих сил и сил сопротивления можно, используя метод деформаций
(см. § 1, Б), представить в виде
(40}
т ___________р  о
Щ ^2	*'iz	и»
где Cz — проекции смещения i-й массы на оси х, у и г, a Rlx, Riy
и Rlz — проекции силы упругости, приложенной к этой массе.
Для упругой системы силы Ris, Riy и /?Zz линейно зависят от смещений
всех масс системы:
£=/х
^1х “ (fix, kx^k 4" rlx, ky^k 4” rix, Az^A?)>
£=1
k—n
Rly	(^*Zy, kx^k 4- ^ly, ky*^k 4” rly, kz^kh
£=1
£=n
^ZZ (TIz kx-k 4“ ^lz, ky^k 4- ^lzt kz^k)'
jfe=l
(41)
Здесь суммирование проводится по всем п массам системы. Постоянные
коэффициенты г имеют то же значение, что и коэффициенты канонических
уравнений метода деформаций (см. § 1, Б).
Коэффициент rix>ky представляет собой проекцию на ось х реакции
дополнительной связи, наложенной на i-ю массу в связи с единичным смеще-
нием &-й массы вдоль оси у.
Как мы видели выше, частное решение уравнений собственных колеба-
ний (40) можно представить в виде
ei = u/„sin(p^+<p„);
= v/nsin(p^ + ®„);
С/ =^i„sin(p^ + cp„),
где р„ — круговая частота какого-нибудь вида нормальных колебаний
системы, а ип, vn и wn — собственные функции, соответствующие этому
виду колебаний.
Подставляя значения “ч и С в уравнения (40) и (41), получим следующие
тождества:
— Рпт1ит = 5 (г/*. Л + г«.	+ г*х. Л);
k
Рп™1®1п = 2 ^У» kxUkn 4" riyt kyvkn 4” rly, kzWkn) 9
k	V**7
— P2nm^in = 2 kx^kn 4- rlZt kyVkn + riZt k2Wkn),
k
Вынужденные колебания систем со многими степенями свободы
269
причем uln, vln и wln — значения, которые собственные функции, соответ-
ствующие n-й форме колебания ип, va и w„, имеют в точке расположения
t-й / массы.
Если к i-н массе приложена возмущающая сила с проекциями Plx (t),
Piy (0, Piz (0, то уравнения движения этой массы будут иметь вид
	d^i dt2	R'lX 	 P'lX	(0;
	d2v dP	Rly — Ply	(0;
	d4/ dt2	Riz — Piz	(0-
(43)
Так как такие уравнения можно написать для каждой массы, то, вообще
говоря, всего имеется Зп дифференциальных уравнений, где п — число масс,
входящих в упругую систему.
Частное решение системы уравнений (43) будем искать в форме
~ ULlfl (0 +	(0 + ’ * * ’
= Wi (0 +	+ ••• ;
С/ =	(0 + wtnh (0 + • • • >
(44)
где щь и wtl, uin, vin и wlu и т. д.—собственные функции, соответ-
ствующие всем возможным формам нормальных колебаний, a (t),
.... fn(t) — подлежащие определению функции времени.
Прежде всего, подставляя принятые выражения для 5, т] и С (44) в фор-
мулы (41), найдем значения сил упругости:
= S (rix, kxUkl 4“ fix, kyVkl 4“ fix,	(0 4"
k
4“ 2 (rix, kxUkU + fix, kyVkU + fix, kz^kll) fa (0 + • • •
&
или, используя тождества (42), имеем
Pix = —ml [piA (0 ua + plf2 (0 um + ...]
и аналогично
7?Zy = — mt [р?Д (0 va + plfa (0 vin + ...];
flZz = — mz |(0 wn + plf2 (0 win + ...].
Подставляя эти выражения и принятые значения 5, ц и С (44) в диффе-
ренциальные уравнения (43), получим
[А (0 + Pifi (01 "*z«zi + [Л (0 + Рг/2 (0]	+ • • • = Pix (0;
1/1(0 + plfl (0] mivn + [А (0 + plh (0] ЗДп + • • • = Ply (0;
7i(о + plfi(о]+ [a(о+plfzco]miwtn + •-== Pit(o> .
(45)
где обозначено
Я2
270	Колебания упругих систем с несколькими степенями свободы
Умножая первое уравнение на иа, второе — на третье — на
и складывая результаты, имеем
[/1(0 + Pifi (О] mi (w/i +	+ ^л) +
+ [А (0 + plft (о] mi (unuin + ^ZI^II + wnwtu) +..•• =
= Pix (О «л + Piy (0 «п + Piz (0 wa.
Суммируя теперь такие уравнения, составленные для всех масс системы т(>
и замечая, что на основании закона ортогональности нормальных колеба-
ний [формула (27) ]
2 /П/<«Л«Л1 + »л»/п + wnwni) = °>
получим’уравнение, в которое входит только одна неизвестная функция Д (/):
[А (0 + plfi (О] 1”+ о?! + az?i) = *2 [Pix (0 «Л +
i=l	1—1
+ Piy(t)vn + Plz(t)wll].	•	(46)
♦
Если задача о собственных колебаниях системы решена, то собственные
функции известны и суммы, входящие в уравнение (46), можно вычислить.
Таким образом,
2	(0 «Я + РИ &	(0 ад]
*1 (0 = —------:------------------------
2+	+№n)
/=1
представляет собой известную функцию времени.
Используя это обозначение, можно представить дифференциальное
уравнение (46), определяющее функцию fi (/), в виде
A(O + p?A(O = «ri(O-
Точно так же, умножая уравнения (45) соответственно на uik, vik и wlk
и производя с ними те же операции, что и в предыдущем случае, получим урав-
нение, определяющее любую функцию fk (/), входящую в выражения (44):
+	=	(47)
где
2	& uik + piy (О % + piz (О Wik}
4k (0 =	---------------------- •	(48)
2 mi (“ik + vlk + Wlk)
Z=1
В числителе формулы (48) суммируются произведения всех приложенных
к системе возмущающих. сил на перемещения точек их приложения при
&-м нормальном колебаний.
Дифференциальные уравнения (47), определяющие функции fn (/), отли-
чаются от уравнения вынужденных колебаний системы с одной степенью
свободы [глава IV, уравнение (2) ] лишь тем, что вместо —— в правой части
стоит функция ЧГ (/). Поэтому, используя формулу (16) главы II, сразу
Вынужденные колебания систем со многими степенями свободы
271
можно написать частный интеграл уравнения (47), удовлетворяющий нуле-
вым начальным условиям:
t
=	—	(49 >
ГЛ d
О
Смещения, вызванные возмущающими силами, если начальные скорости
и смещения отсутствуют, получим по формулам (44)
— 2 //? (О Uik>
k
k
1(=ик(№1к-
k
(50>
Суммирование в формулах (50) проводится для всех возможных форм
собственных колебаний, характеризуемых частотами pk и собственными
функциями uik, vik и wik. Таким образом, число слагаемых в формулах (50}
равно числу степеней свободы системы.
Для упругого тела, имеющего бесконечное множество степе-
ней свободы, ряды (50), определяющие смещения, являются бесконечными.
Кроме того, для упругого тела под массами следует понимать элементар-
ные массы dm, поэтому в формуле (48) сумму, стоящую в знаменателе, надо
заменить интегралом. В этом случае
/ч	£[РИ0«й + Py(t)vk + Pz(t)wk\
чк (0 =----------------------.	(51 >
J («* + А + «’!) dm + 2 mi Wk + vlk + Wk)
В числителе формулы (51) стоят произведения всех возмущающих сил
на соответствующие перемещения точек их приложения; интеграл в знамена-
теле распространяется на всю распределенную массу системы, а суммирова-
ние проводится по сосредоточенным массам.
При продольных колебаниях прямого бруса положение любого попереч-
ного сечения его характеризуется единственной координатой х, а смещения £
направлены вдоль оси стержня.
Для этого случая
k
где
причем
t
fk (0 = 7- f (т)sin Pk (f — T) dz>
Pk t
(52>
^P(t) “k
— 1	i=n
f u\q dx + 2 miuik
0	/=»!
здесь uh (x)—собственная функция, соответствующая частоте pk, a q —
интенсивность массы бруса.
272
Колебания упругих систем с несколькими степенями свободы
При крутильных колебаниях валов углы поворота & при вынужденных
колебаниях определяются по формулам
k
t
О

(53)

ад
где 0* (х) — собственная функция, определяющая форму £-го нормального
колебания, происходящего с частотой pk\
Ц — моменты инерции насаженных на вал маховиков;
q0 — интенсивность момента инерции собственной массы вала отно-
сительно его оси.
В числителе последней формулы (53) суммируются произведения всех
возмущающих моментов на повороты при k-м нормальном колебании сечений,
где эти моменты приложены.
Для изгибных колебаний по аналогии получим
"G =2/й (0 vk(x);
k
t
fk (0 = -77 I (*) sin Pk — T) dt;
PR tJ
0
ад
£P(0 Vk
i—n	I
У*, mivjk + [ v2kq dx
z=i	b
Если учитываются инерция вращения и возмущающие моменты М (t),
то выражение для функции Ч?\ (/) будет следующим:
ад
^p^vk + ^Md) 
S mivin 4- №<ldx + 2 ZA?* + J" в^/dx
Z—1	0	t=l	0
(54a)
где /z — моменты инерции присоединенных масс;
qj — интенсивность момента инерции собственной массы балки относи-
тельно центральных осей сечения, перпендикулярных плоскости
колебания;
— угол поворота соответствующего сечения балки при &-м нормаль-
ном колебании.
В качестве примера приложения общей теории рассмотрим следующую
задачу.
К балке постоянного сечения присоединены два одинаковых груза массой m (фиг. 142).
Собственной массой балки по сравнению с массами грузов можно пренебречь.
В начальный момент t = 0 к левой массе (назовем ее первой) прикладывается сила Р,
остающаяся в дальнейшей постоянной.
Требуется определить смещения масс и изгибающие моменты в балке в любой момент
считая, что при t = 0 система неподвижна.
Вынужденные колебания систем со многими степенями свободы
273
Выше, в § 1, мы уже определили частоты собственных колебаний указанной системы:
i/48£7	1/384ЁТ oqo
Ут=2’82л
и формы соответствующих нормальных колебаний, характеризуемые амплитудными отклоне-
ниями масс:
^ii = i; ^1И=1;
=	^2 и = — 1 >
а также построили эпюры изгибающих моментов Mj и Мц при этих колебаниях (см. фиг. 129)
В соответствии с формулой (44) смещения масс *П1 и **) 2 при вынужденных колебаниях можно
представить в виде
TQ1 = /1 (0 V11 -Ь /а (0 fl II = /1 (t) 4- f2 (0;
= fi (0 I + /г (0 у2 II ~ fi (0 — /г (,0«
Фиг. 142.
Функции fi (0 и f2 (0 определяются в соответствии с формулой (49):
t
fi (0 == -7- ] ^1 (0 sin рг (t — т) dv,
P1 b’
t
P2 J
0
sin р2 (^ — dxt
где по формуле (48)
P^ii
=	2	COnSt=
mvf j + mv^ j
^2 (0 =-----2 P^_11 2 - = 2^T = const-
mvf n + mv^ Ц
Подставляя эти значения в формулы для Д (/) и /г (0» найдем
t
р 1 Р	Р 1	р/з
Л (/) = Ы J sin P1 (i ~т) dT = 2^ (1 -cos Plt} =	(1 -cos
0
I
t
о
р 1	Р13
т) dz = 2^	(1 “ COS = 768ЁТ (1 ~ C0S pit)‘
г 2
Таким образом, смещения масс при вынужденных колебаниях определяются выражениями
р/з
Qi = fl (0 + h (0 = 768£/ (8(1— cos P1t) + (1 — cos p20J;
p/a
^2 = fl (0 — fi (0 = 768£J [8(1— COS P1t) — (1 — cos p2I)].
18 Пономарев 508
274
Колебания упругих систем с несколькими степенями свободы
Изгибающие моменты в балке можно найти по формуле
Мизг = fi (/)	+ f2 (t) Мп,
где Mj и Mjj — амплитудные моменты, соответствующие нормальным формам колебаний
(см. фиг. 129).
Изгибающий момент под первой массой равен
или после упрощения
, Р1
Мизг = Тб ~ COSP^ + 0 ~ COSp20I-
Изгибающий момент под второй массой
„ mp? I mpl I
ИЛИ
„ PI
Мизг = -jg- [2 (1 — cos PJ) — (1 — COS p20J.
На фиг. 143 и 144 представлены графики изменения смещений грузов i]i и и момен-
тов Мизг и М"изг в течение периода основного колебания (0 < pit <2тс). Из этих графиков
видно, что максимальный прогиб под первой массой почти вдвое превышает статический
прогиб:
_ 3 Р/3
7)1 спг 256 EJ '
Максимальный изгибающий момент под первой массой тоже почти вдвое превышает вели-
чину момента Мизг ст при статическом нагружении балки силой Р, который равен
.	Q
М = — р/
iVlu3e. cm J5
Рассмотрим теперь поведение системы, имеющей несколько (или беско-
нечно много) степеней свободы при действии на нее гармонических
возмущающих сил.
Вынужденные колебания систем со многими степенями свободы
275
Предположим, что на массы действуют возмущающие силы, имеющие
одинаковую частоту о>, но разные фазы
Pi = Potcos М +
Предполагая для простоты, что смещения точек системы происходят
по определенным направлениям, как, например, при изгибных колебаниях,
определим функции (t) по формуле (54)
У1! PtiVik cos (mt 4- ф/)
(0 =	.	(55)
2 m^ + ^qdx
Z=1	I
Применяя известные тригонометрические формулы для синуса суммы,
можно преобразовать формулу (55) следующим образом:
	2 P<tfl‘k cos	J.	2 sin	. (0 =		cos tot —		sin tot = Z=1	I	i=l	I = Tkplcos(tot + <pA),	(56}
где	У 2 (p«iV‘k cos ft) 2+ (2 PoiV‘k sin ?')2 Pfi	[Z=n •	I	' ' Pk j=i	i
и	. 2P«^Sin^	/KRV csfe - arctg ~	.	(58) 2 poivtk cos
18*
276	Колебания упругих систем с несколькими степенями свободы
Дифференциальное уравнение (47), определяющее функцию будет,
следовательно, таким:
fk + Pkfk = Т kpk cos (со/ +
Это уравнение тождественно с уравнением движения системы с одной
«степенью свободы, на которую действует гармоническая возмущающая сила,
щ для решения его мы можем полностью применить теорию, изложенную
в § 6 главы IV. Пренебрегая собственными колебаниями системы, происходя-
щими с частотой pk, которые в действительности со временем затухают,
мы получим для функции fk (/) следующее выражение [ср. с формулой (21),
.глава IV]:
р?
fk(t) = Tk—---2C0S
Подставляя значения fk (/) в выражение для смещений, получим
= fl ! 4- f2 (/) Vt „ + . . . =
= Т1,—№ + ?1) +	cos + <р2) + •..	(59)
1--2	1--2
Pl	Р2
Как видно из формулы (59), движение в этом случае представляет собой
сумму колебаний, формы которых совпадают с формами нормальных колеба-
ний, а частоты равны частоте возмущающих сил <о.
Если частота возмущающих сил близка к одной из собственных частот,
то величина соответствующего члена в формуле (59) неограниченно воз-
растает.
Таким образом, для упругой системы возможно столько состояний резо-
нанса, сколько система имеет степеней свободы.
Для распространения полученных формул на системы, в которых массы
движутся не только в одном направлении, следует иметь в виду, что числи-
тель формулы (57) для Tk представляет собой работу возмущающих сил
на амплитудных смещениях, соответствующих £-му нормальному колебанию
системы, а знаменатель — удвоенную максимальную кинетическую энергию
'Этого колебания.
В качестве примера вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы при воз-
действии гармонической возмущающей силы рассмотрим балку с двумя присоединенными
змассами (фиг. 112). Предположим, что на первую массу действует периодическая возмущающая
сила
Р = Ро cos
ГЛ	•	А	Л -	1 / №>EJ
Как мы установили выше, при низшей частоте собственных колебании pi = у •
обе массы отклоняются одинаково, в одну и ту же сторону, причем i = v% j = 1.
гг	•	1Л384EJ	о QO
При высшей частоте р2= у 	- = 2,82pi отклонения масс имеют различные напра-
вления: Vi ц = 1; V2 п — —1.
По формуле (57) определим коэффициенты Ti и Тг, причем, так как в данном случае имеется
лишь одна возмущающая сила, эта формула упрощается:
гр  ______Рo^i I____. р	п_______ Р /3
Pl (mt,l l + "»2l)	96£J’	2 Pl (m°l II + mv2 II) = 76^T ’
fl = ?2 = °-
Вынужденные колебания систем со многими степенями свободы
277
Подставляя эти значения в формулу (59), получим смещения масс:
„ Pol3 1	, . Pols 1
96EJ ._____ <о2	768EJ . ш2
Р1	₽2
лР1 f , Pol3 (-1)	(
^2 - 96£J ' _ <о2 cos + 768£J ______________«2 cos
2	1	2
Pl	Р2
Упрощая эти выражения, получим
•п - Р"Р
11 - 7G8EJ
8
1-4
pi
1
(D2
1—г
Р2
cos со/;
... Р013 Г 8
12 “ 768EJ	<о2
Р?
(О2
р1
COS со/.
На фиг. 145 представлены графики зависимости амплитуд колебаний обеих масс от частоты
возмущающей силы. Из этих графиков видно, что пока частота возмущающей силы мала,
смещения масс мало отличаются от величин статических прогибов:
___9_ РоЦ. ___7_ РоР
^1спг 768* EJ 9	768* EJ *
При приближении частоты возмущающей силы к низшей частоте собственных колебаний pj
амплитуды колебаний обеих масс растут, причем « т\2, т. е. форма колебания совпадает
с формой собственных колебаний первого типа.
При ш = pi коэффициенты при cos со/ в выражениях для и **) 2 меняют свой знак..
Таким образом, при <о, несколько большем pi, смещения балки отстают по фазе от возмущаю-
щей силы на те.
278
Колебания упругих систем с несколькими степенями свободы
При дальнейшем увеличении частоты возмущающей силы амплитуды колебаний умень-
шаются, и при со = 2,12pi амплитуда первой массы (т. е. той, на которую действует периодиче-
ская сила) становится равной нулю.
При 2,12pi < ш < р2 смещение первой массы снова совпадает по фазе с возмущающей
силой. При приближении ш к р2 = 2,82pi амплитуды обеих масс возрастают, причем тц & —7)2,
т. е. форма колебания близка к высшей форме собственных колебаний.
При ш — р2 фаза колебания снова изменяется на я, и при дальнейшем росте частоты воз-
мущающей силы амплитуды колебания уменьшаются.
В рассмотренных выше случаях колебания систем возбуждались задан-
ными возмущающими силами. Часто, однако, имеет место кинематическое
возбуждение колебаний, когда заданной функцией времени являются
не силы, а смещения той или иной точки системы. Примерами такого рода
возбуждения являются, например, колебания каких-либо приборов, смонти-
рованных на вибрирующих установках (см. главу IX, § 2), колебания вибро-
щупов [7] ит. п.
Задача о расчете колебаний при заданных смещениях простым приемом
может быть сведена к задаче о колебаниях при заданных силах.
Рассмотрим систему, некоторая точка А которой получает заданные
смещения
£л = Ф(0-
Смещение1 любой массы /nz системы можно представить как сумму двух
смещений:
Ъ = ^Ф(О + ё/.
где — смещение массы mi при таком статическом воздействии на точку А,
когда последняя получает единичное смещение; — дополнительное смеще*
ние за счет влияния сил инерции масс.
Смещения находятся как смещения системы с закрепленной точкой А,
на массы которой воздействуют возмущающие силы
Для определения смещений Ez Могут быть полностью использованы
методы, изложенные выше.
В качестве примера рассмотрим колебания балки с двумя массами (фиг. 142), причем левая
масса совершает заданное движение *П1 = Ф (О*
При статическом воздействии единичной силы на первую массу она получает смещение
х _ 3	/3
11 “ 256 EJ 9
а вторая масса получает смещение (см. стр. 247)
. ___7_ /3
12 “768* £7 ‘
Таким образом, единичному смещению первой массы соответствует смещение второй
В соответствии с изложенным выше смещения второй массы представим в форме
—	7
•«12 = -»12оФ (0 + 12 = -д-Ф (0 + 12»
1 Ограничимся для простоты случаем движения масс в заданном направлении (по оси х).
Вынужденные колебания систем со многими степенями свободы
279
где "Л 2 — смещение второй массы, вызванное воздействием на нее возмущающей силы
d2<D 7 б/2Ф
при закрепленной первой массе.
Если первая масса закреплена (фиг. 146), то система имеет одну степень свободы.
В соответствии с формулой (17) (глава IV) общее выражение для смещений такой системы
при вынужденных колебаниях таково:
t
7)2 = cos p't + С2 sin p't -j--J Р (т) sin р' (t — т) dx, ♦
о
Фиг. 146.
где Ci и С2 — постоянные, определяемые начальными условиями движения; р' — 1 / —-------
частота собственных колебаний системы с закрепленной первой массой;
»' _ » 21? — 13
22	22	8 П 216£7
перемещение, которое в этом случае получает вторая масса под действием единичной силы.
Итак, общее выражение для смещений второй массы получает вид
t
7	7 С сРФ
Ъ = -д- ф (0 — J sin р' (t — t) di + Сг cos p't -j- C2 sin p't.
0
В частном случае, если смещение первой массы изменяется по гармоническому закону
7)1 = Ф (0 == a cos ш/,
получим, не учитывая собственных колебаний,
• 7	. ,	7	4	7	р'2
7)2 =’-д- a cos <ot + -q- а -----5- cos = — а —----------- cos ut.
У	У п' ------	У Г) ----- О)2
Из последнего выражения видно, что резонанс имеет место, если частота заданных переме-
щений совпадает с собственной частотой колебаний системы с закрепленной точкой, смещения
которой задаются. Частоты колебаний свободной системы не являются в этом случае опасными.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Ананьев И. В., Справочник по расчету собственных колебаний упругих систем,
Гостехиздат, 1946.
2.	Безухов Н. И., Некоторые обобщения методов строительной механики в динамике
сооружений, сб. «Исследования по теории сооружений», вып. 3, Госстройиздат, 1939.
3.	Бернштейн С. А., Основы динамики сооружений. Стройиздат, 1941.
4.	Д е н-Г а р т о г, Теория колебаний, ГТТИ, 1942.
5.	3 а в р и е в К. С., Динамика сооружений, Трансжелдориздат, 1946.
6.	И ор и ш Ю. И., Защита самолетного оборудования от вибрации, Оборонгиз, 1949.
7.	Коритысский Я-И., Новый универсальный виброметр, «Вестник машинострое-
ния», № 10, 1952.
8.	Л у р ь е И. А., Крутильные колебания в дизельных установках, Военмориздат, 1940.
9.	Пановко Я. Г., Основы прикладной теории упругих колебаний, Машгиз, 1957.
10.	Р а б и н о в и ч И. М., Курс строительной механики, Госстройиздат, 1954.
11.	Тимошенко С. П., Теория колебаний в инженерном деле, ГНТИ, 1932.
ГЛАВА VI
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННОЙ МАССОЙ
§	1. ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
А. Продольные колебания стержней постоянного сечения
При исследовании продольных колебаний стержней используем
гипотезу плоских сечений ц будем пренебрегать движениями частиц, перпен-
дикулярными к оси стержня
—*4 dx
Фиг. 147.
Рассмотрим элемент стержня, ограниченный двумя поперечными сече-
ниями (фиг. 147).
Обозначим:
Р — плотность материала стержня;
Е — модуль упругости материала стержня;
F — площадь поперечного сечения;
N — продольная сила в сечении;
6 — смещение данного поперечного сечения вдоль оси бруса х.
Рассматривая выделенный участок стержня и применяя принцип Далам-
бера, получим
дМ 1 г , д1 2
-^-dx— oFdx = О
дх r dt2
или после сокращения на dx
дх	2
(|>
1 Решение задачи о продольных колебаниях стержня круглого сечения, свободное от этих
гипотез, дано Похгаммером [10]. Это решение показывает, что поперечные движения играют
существенную роль, если длина продольных волн невелика по сравнению с поперечными раз-
мерами стержня. В этом случае точное значение частоты собственных колебаний оказывается
несколько ниже, чем получаемое по приближенному методу.
Продольные колебания прямолинейных стержней
281
*
Левое сечение элемента смещается вдоль оси х на 5, правое — на величину
£ + dx. Таким образом, абсолютное удлинение элемента равно -Ц- dxr
а относительное
Усилие, возникающее в сечении, связано с относительным удлинением
обычной формулой
N = EFe = EF .
дх
Подставляя это значение в уравнение (1), получим
дх \ дх ) г dZ1 2
или
1 д (лдЬ\	п
F дх \г дх ) a2 dt2 “ ’
где обозначено
(2>
(3>
2	£
а ~ р
Если площадь поперечного сечения стержня постоянна, уравнение про-
дольных колебаний еще более упрощается; в этом случае оно будет иметь
следующий вид:
______L^l-o	Г2а>
дх2 a2 dt2 ~ U‘
Общий метод решения уравнения (2а) (метод Фурье) состоит в следую--
}цем х: будем искать это решение в форме
$ = и sin (pt 4* ?),	(4)
причем и есть функция только от абсциссы х, определяющая форму колебания.
Подставляя выражение (4) в уравнение (2а) и сокращая на sin (pt + <р),
получим обыкновенное дифференциальное уравнение для функции и (х):
d2u • р2 л	/ сх.
_ + Z_u==0.	(5>
Решением этого уравнения является выражение
и = A sin х + В cos х.	(бу
Постоянные А и В следует определять из условий закрепления концов
стержня. При этом, как бы ни был закреплен стержень, уравнения, выражаю-
щие граничные условия, оказываются однородными и могут дать отличные
от нуля значения постоянных только в том случае, если определитель этих
уравнений равен нулю. Приравнивая нулю этот определитель, получаем
уравнение, позволяющее определить частоты собственных колебаний. Рас-
смотрим ряд частных случаев.
1 Другие методы решения уравнения продольных колебаний (метод разоывных функций
и метод характеристик) рассмотрены в главе X.
282
Колебания стержней с распределенной массой
Стержень со свободными концами.
В этом случае на концах стержня должна равняться нулю продоль-
ная сила, а следовательно, и относительное удлинение, т. е.
Эти равенства будут выполнены, если функция и удовлетворяет следую-
щим условиям [см. формулу (4) ]:
=0;	(-^	=0.
\ ах /х=о	\ах/х=1
Подставляя сюда общее выражение (6) функции и, получим
А = 0
и
— В sin -2-1 = 0.
а
Неравное нулю значение В мо-
жет быть получено только при
sin — I ~ 0,
а ’
т. е. при
где п = 1, 2, 3. . .
Таким образом, мы получили
бесчисленное множество частот
собственных колебаний, причем каждой из этих частот соответствует своя
форма колебания, определяемая функцией
и
п
ппх
cos —г
Формы колебаний, соответствующие значениям п=1, л = 2ип = 3,
изображены на фиг. 148.
Самое общее выражение свободных колебаний стержня может быть пред-
ставлено в виде суммы нормальных колебаний, происходящих с частотами
n-я а
~ ~Т :
«. VT . ,	. , х ( ппа . . 1 ппа ,\ nwx
^ = 2ju" s,n	= 2j \ап cos ——1 + bn s,n ~T~ 9cos— •
n—\	n=l
Постоянные an и bn определяются начальными условиями движения
<см. § 4 главы III).
Стержень, заделанный одним концом (фиг. 149).
В этом случае граничные условия таковы:
ых=0 = 0;	=0.
х и ’	\ dx ) х=0.
Подставляя сюда общее выражение и (6), получим
В = 0;
A cos— = 0.
а
Продольные колебания прямолинейных стержней
283
Неравное нулю значение А может быть получено только при
cos — =з О,
а
т. е. при
2п 1 а	/ n	1 \	1А	/ *7\
Рп=—2-----Т = ^П~^-2 V ’	<7)
где п = 1, 2, 3 . . .
Формы колебания, соответствующие значениям п = 1, п = 2, представ-
лены на фиг. 149.
Фиг. 149.	Фиг. 150.
Общее выражение для смещения при сложных колебаниях имеет следую-
щий вид:
fc VI ( 2п — 1 па . , , . 2п — 1 па Л . 2п — 1 тех
5 = 2j \ап cos —2~ —t + bn sin — 2-Г t) sin	— •
n=l
Стержень, заделанный двумя концами (фиг. 150).
Граничные условия
^х—о = 0, tix=i '== 0.
Отсюда следует, что
В — 0; Asin—= 0;
’	а
А может быть не равно нулю, если
sin — 0,
а ’
откуда
ппа
Рп ——»
где п = 1, 2, 3 . . .
Формы главных колебаний определяются функциями
Формы колебаний, соответствующих п = 1 и и = 2, изображены
на фиг. 150.
284
Колебания стержней с распределенной массой
Общее выражение для смещений при сложных колебаниях имеет следую-
щий вид:
со
VI ( ппа , . ,	. пка ,\ . п-гсх
6 = Л ^„COS-yf + &П81П—SIH— •
п=1	.
\
Б. Продольные колебания стержней переменного сечения (ступенчатых)
и стержней с присоединенными массами
Прежде всего рассмотрим более подробно участок стержня постоянного
сечения. Выше было установлено, что смещения каждой точки такого стержня
при нормальных колебаниях можно представить в форме
£ = и sin (pt + ?),
причем амплитудная величина смещения определяется в общем случае урав-
нением
и = A sin — х + В cos — х,
а ‘	а
где
Продольную силу в каждом сечении стержня можно выразить через
смещения
N = EF -J- = EF^- sin (pt + ?).
дх dx	‘ T/
Введем специальное обозначение для амплитудной величины продольной
силы:
Зная величины амплитудного смещения и0 и амплитудного усилия Na
в начале участка (х = 0), можно без труда найти величины и и N в любом
сечении. Действительно, из общего выражения функции и (6) следует
Wq =	= В,
^0 = ef(^\	=EF-^-A.
0 \dxjx=o а
Эти формулы позволяют выразить постоянные А и В через значения и и N
в начале участка и затем получить следующие общие выражения для и и N
в пределах данного участка:
а 1 хт . Р	1	р
U = “T£FNoSln a x+«ocos“Гх>
Р	а	а
N — Nn cos — х-— EFua sin — x.
° a	a 0 a
Таким образом, для конца участка (х = /) имеем
а 1 к. . pl .	pl
и, = —-=r=Nnsin ——^«ncos—;
’	“	(8а)
N; = N„ COS i-—ИХ, sin.
Продольные колебания прямолинейных стержней
285
В случае стержня, состоящего из нескольких участков различного сече-
ния, конечные значения и( и Nz для одного участка будут одновременно
начальными значениями для соседнего участка. Это обстоятельство позво-
ляет записать выражения и и N последовательно для всех участков стержня,
а затем, учитывая граничные условия, определить круговые частоты собствен-
ных колебаний р.
В качестве примера составим уравнение частот для стержня, состоящего
из двух участков различных сечений (фиг. 151); материал обоих участков
одинаков.
Левое сечение первого участка свободно, следовательно, No = 0.
Для амплитудного смещения и0
можно принять произвольное значе-
ние, например и0 — 1. Тогда Для лю-
бого сечения первого участка имеем
п
= COS —
1	а 1
	Ft	/ /
Fi		
7		
	'	'2 * •	
	/ 	_		
		I	 ~	
		1 			
Фиг. 151.
И
Nj =----— EFY sin -у- хх.
А а 1 а 1
Соответственно для крайнего правого сечения первого участка (хг = /х)
получаем
и, 1 == cos —
11 а
и
NZ1 = —f£F1Sin^..
Эти значения и и N будут начальными для второго участка; подставляя
их в формулы (8), вместо uQ и No получим для любого сечения второго участка:
и = — sin — sin — х2 + cos — cos — х2;
а а 2 1 а а
N —----— EF± sin — cos — х2--~ EF2 cos — sin — x2.
a 1 a a 2	a 2 a a *
Правое сечение второго участка заделано, следовательно, амплитудное
смещение в этом сечении (х2 = Z2) должно равняться нулю. Отсюда получим
следующее трансцендентное уравнение частот:
— sin — sin — + cos — cos — = 0.	(9)
• F2 a a	a a	v 7
Для практического решения уравнения (9) удобно обозначить
Тогда уравнение (9) можно представить в виде
^-tg-^-^ctg-^-fc.	(9а)
Уравнение (9а) легко в каждом частном случае решить одним из известных
методов приближенного решения уравнений — итерацией, методом линейных
приближений или графически.
286
Колебания стержней с распределенной массой
На фиг. 152 представлено графическое решение уравнения (9а) при Zi = Z; Z9 —
3 , F,	1	„
= Z и = -к- . В этом случае уравнение принимает вид
о г* 2	2
1,2,	,	3 ,
-Ttg-5-* = ctg -^k.
Фиг. 152.
Из чертежа видно, что четыре первых корня уравнения (9а) равны в этом случае ki— 1,89;
k2 = 4,53; k3= 7,85;	= 11,2.
Соответственно круговые частоты четырех первых нормальных колебаний системы выра-
жаются следующим образом:
Р1 = А1_£. = 1,89]/А..
Фиг. 153.
, а
Р2 — ^2 “у
, а _	\ / Е
Рз ~	7,85 |/	,
Nz2 = 0.
Р1 = ^ = ц.2-|/_А .
Если правый конец стержня свободен (фиг. 153), то в сечении х2 = 12
будет отсутствовать продольная сила. Поэтому имеет место условие "
Отсюда получим уравнение частот:
'Mg-k^-tg^.
Рассмотрим изменения, вносимые в расчет присоединенными к стержню
сосредоточенными масами. Если к стержню присоединена жесткая масса ш
(фиг. 154), то очевидно, что амплитудная величина смещений и слева
и справа от точки прикрепления этой массы будет одинакова:
U лев U^pae*
(10)
Продольные колебания прямолинейных стержней
287
Усилие же N изменится на величину силы инерции массы. Сила инерции
массы равна
— m'd& = mP и sin + ?)•
Амплитудное значение этой силы равно тр2и. Следовательно, величина N
справа от точки прикрепления сосредоточенной массы N" связана с величи-
ной N' слева от этой точки равенством
N" = N'— тр*и9	(П>
причем значение и берется в точке прикрепления массы /п.
Фиг. 154.	।	Фиг. 155.
Рассмотрим, например, систему, изображенную на фиг. 155.
* Расположим начало координат в заделке. Тогда начальное условие для
первого участка uQ = 0.
Для величины No можно выбрать любое значение, например, можно поло-
жить No = 1. Тогда для первого участка получим
а 1	. р
и = sin — X,
р EF а 1
И
N = cos —
а 1
Для сечения, лежащего слева от сосредоточенной массы, соответственно
а 1	р 1 ,
Ull	1"
N,i = cos/р
Для сечения, лежащего справа от сосредоточенной массы (начальное
сечение второго участка), на основании соотношений (10) и (11) имеем
а 1 Pi.
^02 —	—-у £7 s,n а
No2 = Nn — mp2un = cos -J- sin .
Используя эти значения в качестве начальных данных для второго
участка, получим для него
а \ ! р , тра р , \ р . а 1	. р , р „ .
u = Tef (coszi~ £Ts,n VZ1)s,n + V£fsin VZ1COSV^’
N = (C0S4H* —^sin4rz0cos4rX2~sin sln~rX2-
288
Колебания стержней с распределенной массой
Так как правое сечение второго участка х2 = Z2 свободно, то должно
быть NZ2 = 0 или
cos — cos	sin — cos —— sin — sin — = 0.	(12)
a a EF a a	a a	v '
Обозначим отношение массы стержня к массе сосредоточенного груза
я величину отношения
Заметим, что
тра  m pl  fe
EF	?Fl * a	x’
Фиг. 156.
Тогда можно привести уравнение (12) к виду
ctgA-^=tg4A+4-	<12а>
Определяя из этого трансцендентного уравнения величины k, можно
найти круговые частоты продольных колебаний по формуле
'p=k Vw-
В частном случае, если /2 = 0, мы приходим к задаче о колебании груза,
прикрепленного к концу весомого стержня (фиг. 156). Уравнение (12а) для
этого случая примет следующую форму:
или
tg£ = -^.	(13)
Графическое решение уравнения (13) при отношении массы стержня
к массе груза х = V2 представлено на фиг. 157.
Зависимость наименьшего корня уравнения (13) от величины х приве-
дена в табл. 43 *.
Если масса стержня мала по сравнению с массой груза, то решение
удовлетворительное по точности, можно получить, раскладывая в уравне-
нии (13) tg k в ряд:
tg*=*+<-+4+...
* Эта таблица заимствована у А. Н. Крылова [8].
Продольные колебания прямолинейных стержней
289
и удерживая только первые члены этого ряда. Сохраняя только первый член
ряда, найдем приближенно
kx = J/Sc.
Учитывая два члена, получим второе приближение:
Формула (14) оказывается достаточно точной при х < 1 (ошибка не пре-
вышает 1%).
Приближенное значение частоты собственных колебаний, соответствую-
щее выражению (14),
(14а)
Таблица 43
Значения наименьшего корня k уравнения tg k = в зависимости от величины х
X	0,01	0,05	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0	1,5
k	0,10	0,21	0,32	0,42	0,52	0,59	0,65	0,70	0,75	0,79	0,83	0,86	0,98
X	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0	15,0	20,0	100,0	оо
k	1,13	1,20	1,27	1,32	1,37	1,39	1,40	1,41	1,417	1,473	1,525	1,568	1,571
19 Пономарев 508
290
Колебания стержней с распределенной массой
Если стержень имеет большое число участков различного сечения или
сосредоточенных масс, то составление уравнения частот и его решение затруд-
нительно. В этом случае проще применить метод остатков (см. § 2 главы V),
переходя от участка к участку по формулам (8а) в числовой форме.
§ 2. КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВАЛОВ
Задачу о крутильных колебаниях валов мы изложим лишь кратко, по-
скольку с математической стороны она не отличается от задачи о продоль-
ных колебаниях стержней.
Метод составления и решения уравнения частот для того случая, когда
моментом инерции собственной массы вала можно пренебречь по сравнению
с моментами инерции насаженных на вал дисков, изложен в главе III. Здесь
будем считать, что моментом инерции собственной массы вала пренебрегать
нельзя.
Введем следующие обозначения:
qQ — интенсивность момента инерции собственной массы вала отно-
сительно его продольной оси, т. е. момент инерции массы*I см
длины вала;
С — жесткость поперечного сечения вала при кручении (для круг-
лого вала С = GJp)\
ft — угол поворота сечения вала;
М — крутящий момент в сечении;
6 и М — амплитудные значения угла поворота и крутящего момента.
Рассмотрим элемент dx, вырезанный из вала двумя поперечными сече-
ниями (фиг. 158).
Применяя принцип Даламбера, получим следующее уравнение моментов:
дМ, , д2^ а
-5~ах — ЯсДх-^ = 0-
дх	dt2
(15)
гр
Так как крутящий момент связан с погонным углом закручивания —
соотношением
М = С^,
дх9
то уравнение (15) можно представить в виде
дх2 С 'dt2
Крутильные колебания валов
291
или
d2»	1 д2& Л	/1С
дх* а2,' dt3 ~	( 5Э
1
Это уравнение тождественно с уравнением продольных колебаний, только
величина а = 1/ — заменена здесь величиной аг — 1/ —.
' Р	~ Qo
В случае круглого вала С = GJр и qQ = ?Jp; тогда
(16)
и представляет собой скорость распространения волн сдвигов (см. гл. X).
Представляя решение уравнения (15а) в виде
& = 8 sin (pt + ф),
где 8 — функция только от х, получим для этой функции обыкновенное
дифференциальное уравнение
<^2в I р2 О A	/17
+	=0.	(17
которое вполне аналогично уравнению (5), определяющему функцию и (х
при продольных колебаниях.
Общие выражения для амплитудных значений угла поворота 0 и крутя-
щего момента М в пределах участка можно выразить через значения 0О
и Мо в начале участка следующим образом:
9=7^Mosin£x+°ocosfx;
М = AL cos — х — — С60 sin — х.	( )
аг «1	0	«1
На конце участка (х = Z) будем иметь
0Z = -L М sin К + 60 cos К;
' Р с
(19)
M; = M0cosk — ^C80sinX,	v ’
где К =—.
«1 ' •
При сопряжении двух участков с различными характеристиками (<?0, С)
значения 0 и М в точке сопряжения будут общими для обоих участков.
При наличии на валу маховика, момент инерции массы которого равен /,
значения 0 слева (9л<?в) и справа ^прав) от маховика одинаковы: длев =Вправ,
момент же М изменяется в связи с инерцией массы маховика на р2/0:
м^ав = м^-р2/е,	(20)
причем 0 берется в точке укрепления маховика.
Если какой-нибудь из участков вала имеет пренебрежимо малый момент
инерции массы % 0, то значения М справа и слева от этого участка прак-
тически одинаковы: Млев Мправ, а углы поворота 0 отличаются на вели-
чину угла закручивания этого участка
0яро, = ^ + М^,	(21)
где I — длина участка; С — его жесткость.
19*
292
Колебания стержней с распределенной массой
В качестве примера применения изложенной теории рассмотрим следующую задачу,
имеющую важное практическое значение, так как к ней в большинстве случаев можно свести
определение частот крутильных колебаний коленчатых валов двигателей.
Требуется определить частоту собственных крутильных колебаний вала, состоящего
из участка длины Zx, с жесткостью кручения С\ и погонным моментом инерции массы относи-
тельно оси вала qQ и участка длиной Z2 с жесткостью С2, причем на конце его закреплен махо-
вик с моментом инерции / (фиг. 159). Моментом инерции массы второго участка можно прене-
бречь.
Располагая начало координат на левом конце вала, для этого сечения имеем Мо = 0.
Примем % = 1. Тогда на первом участке получим [см. формулы (18)]
Фиг. 159.
0 = cos — х;
М =-£-(?! sin
а1 а1
причем
В конце первого участка
имеем
0 = cos — ;
Я1
М = — •£•(?! sin ^1.
Ях	Ях
На втором участке, массой которого мы пренебрегли, величина момента не изменяется,
величина же угла поворота увеличивается на М^- и в конце второго участка (перед махо-
виком) достигает величины
a P^l Р ^1^2 • Р^1
6 — cos — ——	sin —;
аг аг аг
М = —— Сх sin —.
«1 «1
Наконец, за маховиком величина 0 сохранится, а М уменьшится на р21Ъ. Следовательно
правее маховика
б == cos — —— ♦ sin —;
М = - Сх sin	( cos Ph - sin
аг 1 аг г \	«1 ахС2 а± J
Так как конец вала свободен, момент М должен равняться нулю.
Таким образом, получается следующее уравнение частот:
- -Р- С, sin P-h - p*I ( COS	sin
ат 1 аг н \ ат ахС2 <h
0.
Обозначая — — k и производя простейшие преобразования, можно привести это урав-
нение к виду
fectgfe_fe2^ = -^L.	(22)
Находя из этого уравнения k, можно затем определить круговые частоты собственных
колебаний системы по формуле
Крутильные колебания валов
293
Уравнение (22) допускает очень удобное номографирование. На фиг. 160 представлена
номограмма, позволяющая определить два первых корня уравнения (22) по соотношениям
C2/i I •
Если вал имеет большое число участков и сосредоточенных масс, соста-
вление трансцендентного уравнения частот и его решение оказываются затруд-
Фиг. 160
нительными. В этом случае можно рекомендовать численный метод, вполне
аналогичный рассмотренному выше методу остатков (см. § 2 главы V).
Задаваясь каким-нибудь значением частоты р и принимая на одном из кон-
цов вала 0=1, определяют затем 9 и М вдоль всего вала, переходя от участка
к участку по приведенным выше формулам (18). Так как принятое значение р
не является точным, в крайнем сечении вала вместо нулевого значе-
ния крутящего момента окажется некоторое остаточное его значение
^ост ~
Повторяя вычисления при новых значениях р и строя график зависимости
остаточного момента от частоты р (см. главу V, фиг. 140), находят частоты
собственных колебаний как абсциссы точек пересечения кривой с осью р.
294
Колебания стержней с распределенной массой
§ 3. ИЗГИБЫЬГЕ КОЛЕБАНИЯ балок
А. Дифференциальное уравнение колебаний изгиба балки
и его общее решение
Обозначим:
EJ — жесткость сечения балки при изгибе;
q — массу единицы длины балки;
т] —смещение сечения балки.
Воспользуемся принципом Даламбера.
Уь
dx
дх ах
Фиг. 161.
Рассмотрим равновесие элемента dx балки (фиг. 161), присоединив к дей-
ствующим силам силу инерции q dx^. Сумма проекций на вертикальную
ось всех приложенных к элементу сил дает
^4- п^-0
дх + qdt2 ~
Сумма моментов этих сил
—Q = 0.
дх
Дифференцируя последнее равенство по х и подставляя из предыду-
щего уравнения, получим '
д2М . д2т) л
-^+<7^=0-	<23)
С другой стороны, воспользуемся известным соотношением теории изгиба:
дх2
Дифференцируя это соотношение дважды по х и подставляя в уравне-
ние (23), получим дифференциальное уравнение изгибных колебаний балки:
Для балки постоянного сечения можно вынести EJ за знак дифференци-
рования; тогда
(24а)
Изгибные колебания балок
295
Решение этого уравнения можно представить в следующей форме:
т] — v sin (pt + <р),	(25)
где v — функция только абсциссы х, представляющая собой амплитудное
смещение.
Подставляя выражение (25) в уравнение (24а), получим обыкновенное
дифференциальное уравнение для функции v (х):
EJ^-p^qv^Q.
Это уравнение можно представить в форме
g_a^=°,	(26)
где обозначено
=	<27>
Общим решением уравнения (26) является выражение
v = ЛХ (ах) + ВТ (ах) + CU (ах) + DV (ах),	(28)
где А, В, С и D — постоянные, определяемые граничными условиями,
а X, Т, U и V — комбинации круговых и гиперболических’ функций 1;
X (ax) = у (ch ах + cos ах);
Т (ах) = (sh ах + sin ах);
1	(29)
L7 (ах) = у (ch ах — cos ах);
V (ах) = у (sh ах — sin ах).
Последовательные производные этих функций по х определяются следую-
щими соотношениями:
X' (ах) = aV (ах); X" (ах) = a2U (ах); X"' (ах) = а3 *Т (ах);
Т' (ах) = аХ (ах)! Т" (ах) = а2У (ах); Г" (ах) = asU (ах);
V (ах) = аГ(ах); U" (ах) = а2Х (ах); U"" (ах) = а3У (ах);
V (ах) = aU (ах); V” (ах) = а2Т (ах); V"’ (ах) = а3Х (ах).
(30)
При х =0S(0) — 1, а все остальные функции равны нулю.
Благодаря отмеченным свойствам функций S, Т, U и V, постоянные
интегрирования А, В, С и D очень просто выражаются через начальные
значения функции v и ее производных, а именно:
V	— а.В‘,	=а2С;	=asD. (31)
*•=0	’ \dx J x—Q	\dx2Jx=0	\dx3 x=0
1 Конечно, можно было бы представить решение уравнения (26) непосредственно в виде
суммы круговых и гиперболических функций, однако функции S, Т, U и V, введенные
А Н. Крыловым [7], позволяют значительно упростить определение постоянных интегриро-
вания.
296
Колебания стержней с распределенной массой
Как бы ни был закреплен конец балки, всегда две из четырех постоянных
обратятся в ноль. Действительно, для заделанного конца балки равны нулю
прогиб v и угол поворота	в этом случае А — В =0.
Для опертого конца балки равны нулю прогиб и изгибающий момент
(М = EJ ; тогда А = С = 0.
*	d2v
Если конец балки свободен, то равны нулю момент М = EJ
d3v
и поперечная сила Q = EJ и С = D = 0; две остальные постоянные
определяются из условий на втором конце балки.
Фиг. 162
Рассмотрим несколько примеров,
имеющих практическое значение.
Балка, опертая по кон-
цам (фиг. 162, а).
Расположим начало координат на
левом конце балки. Тогда имеют место
следующие граничные условия:
«--о;
Из условий на левом конце (х = 0)
вытекает, что А =С =0. Тогда выра-
жение для функции v примет вид
v = ВТ (ах) + DV (ах).
Используя теперь условия на правом конце балки (х = I) и руковод-
ствуясь при дифференцировании соотношениями (30), получим
BT(a/) + Z)V(aZ) = 0; |
Ba2V (aZ) + Da?T (al) = 0. J	1 ’
Эта система однородных относительно BuD уравнений может иметь отлич-
ные от нуля решения только в том случае, если определитель ее равен нулю,
откуда и получаем следующее уравнение частот:
Т (al) V (al)
V (a/) Т (al) ~ U
ИЛИ
T2(aZ) —V2(aZ) = 0.
Подставляя сюда значения функций Т и V (29), найдем
sh aZ sin al = 0.
Так как
shaZ^O,
то
sin al = 0
и
aZ = птс,
где п = 1, 2, 3 . . .
Изгибные колебания балок
297
Учитывая, что а связано с круговой частотой собственных колебаний р
соотношением (27), получим
=	(33)
где п — 1, 2, 3, . . .
Таким образом, имеется бесчисленное множество форм собственных
колебаний, частоты которых пропорциональны квадратам натурального
ряда чисел.
Вид упругой линии при этих ко-
лебаниях v„ (х) теперь легко опреде-
лить. Из первого уравнения (32) сле-
дует
U V(a/)
но так как sin^aZ =0, то
Т(а/) = V(a/) = lsh’aZ;
и
D = — В.
Значит, выражение для v (х)
можно переписать в виде
vn = В [Т (апх) — V (а„х)] = В sin алх.
найдем для n-го колебания
Наконец, подставляя значение а„ —
в  пт:х
vn — В sin —j~.
Таким образом, упругая линия при n-м колебании представляет собой
синусоиду с числом полуволн, равным п (фиг. 162, б и в).
Балка, заделанная одним концом (фиг. 163,а).
Граничные условия таковы:
= 0;	=0;
=0-	-0
\dx*Jx=i и’ \dx*)x=i и-
[Условия на правом конце балки (х = Z) связаны с отсутствием изгибаю-
щего момента и поперечной силы.]
Из условий на левом конце (х = 0) следует А = В =0. Таким образом,
функция v (х) имеет в этом случае вид
v = CU (ах) + DV (ах).
Условия на правом конце (х = Z) дают
Ca2S (al) + Da*T (al) = 0;
CasV (al) + Da9 S (al) = 0.
Приравнивая нулю определитель этих уравнений,' получим следующее
уравнение частот:
S2 (al) — Т (al) V (al) = 0.
298
Колебания стержней с распределенной массой
Подставляя сюда выражения функций S, Т и V, можно привести это выра-
жение к виду
, 1
cos al =-------г—
ch aZ
Графическое решение этого уравнения представлено на фиг. 164;
корни его равны
(а/)х = 1,875;
(а/)2 = 4,694
2/г — 1
2 тс.
и при п > 2
Соответственно круговые частоты собственных колебаний
P = wV^-
p.=v*V%-,
р, = 22,о/“
и при п > 2
Форма упругой линии при колебаниях определяется уравнением
vn = с [(/ (а„х)
V (а„х)]
Т М
Вид упругих кривых при п = 1 и п = 2 изображен на фиг. 163, б и в.
Балка с заделанными концами (фиг. 165,а).
Изгибные колебания балок
299
Граничные условия
приводят в этом случае к следующему уравнению частот:
, 1
cos а/ = -г—г.
ch а/
Корни этого уравнения
(а/)2 = 4,730, (а/)2 = 7,853..(а/)„	= тс при п > 2.
Формы упругой линии, соответствующие п = 1 и п = 2, изображены
на фиг. 165, бив.
Балка, заделанная одним концом и опертая
другим (фиг. 166).
Уравнение частот можно в этом случае привести к виду
tga/ = th а/.
Корни этого уравнения равны
(aZ)j = 3,927, (a/)2 = 7,069, . .., (a/)„ = тс.
Б. Расчет балок с промежуточными опорами
Если.балка имеет несколько пролетов, то следует учесть реакции проме-
жуточных опор.
В точке сопряжения двух участков, один из которых лежит левее, а дру-
гой — правее промежуточной опоры, одинаковы прогибы
прав лев»	G0
углы поворота касательной
=(£),„	<б>
а также изгибающие моменты и пропорциональные им вторые производные
от смещений
(SU4SL-	(>
300
Колебания стержней с распределенной массой
Поперечные силы для правого и левого участков отличаются на величину
опорной реакции 7?:
EJ	прав = Е J ( Й) лее +	’	(Г)
[Здесь, конечно, имеется в виду амплитудное значение реакции. При
гармонических колебаниях реакции опор, так же как и прогибы, изменяются
пропорционально sin (р/ + <р). ]
Все условия сопряжения участков можно выполнить, если принять при
общем для обоих участков начале отсчета, что
Vправ = ълев + V [а (х — &)],	(34)
где b — расстояние от начала коорди-
нат до промежуточной опоры.
Таким образом, выражение функции
v для правого участка отличается
D
от ее выражения для левого участка слагаемым -^gjV [а (х— &)].
Так как V (0) = V' (0) = V" (0) = 0 и Vm (0) = а3, условия (а), (б), (в)
и (г) выполняются.
Что касается величины реакции 7?, то ее можно определить из условия
равенства нулю прогиба над опорой.
В качестве примера рассмотрим определение частоты колебаний балки на двух опорах
с консолью (фиг. 167).
Так как левый конец балки оперт, то А = С = 0 и для левого участка при х < Ъ
v = ВТ (ах) + DV (ах).
Для правого участка в соответствии с формулой (34) имеем при х > Ъ
v = ВТ (ах) + DV (ах) + HV [а (х— />)],
где для сокращения обозначено = Я.
а*г. J
Величины постоянных В, D и И можно определить из следующих условий:
при х = b (на опоре)
v = 0
и при х = I (на свободном конце)
d2u __ ~ d?u __ 0
Зх2 “и;
Таким образом, получаем уравнения
ВТ (ab) + DV (ab) = 0;
BV (al) + DT (al) НТ [а (I — 6)] = 0;
BU (al) + DS (al) + HS [а (I — 6)] == 0. J
Приравнивая нулю определитель этой системы, получим следующее уравнение частот:
(35)
Решение уравнения (35) и подобных ему практически, удобнее всего производить методом
подбора.
Задаваясь некоторым приближенным значением а = аь вычисляют величину А (а}1).
Затем повторяют вычисления при новом значении а — а2. Следующее приближение для вели-
чины а выбирают по формуле линейных приближений:
___ ajA (a2/) — a2A (04/)
“8" Д (a2Z) — Д (a,/)
(36)
301
Изгибные колебания балок
i----------------------------------
Вычисление повторяют до тех пор, пока разница между двумя последовательными при-
ближениями не будет достаточно малой. Если требуется найти частоты нескольких видов коле-
бания, то удобнее всего построить график зависимости Д (а/) и определить точки пересечения
кривой с осью абсцисс.
Чтобы показать порядок вычислений при решении уравнения (35), приводим расчет низ-
шей частоты колебаний для того случая, когда b ==	, т. е. когда длина консоли равна рас-
стоянию между опорами.
Уравнение (35) принимает вид
т (а1\		n	
Т\-2)	V \~2 /	и	
V(aZ)			= 0.
Z7(aZ)	S^l)		
(37)
При выборе значения а для первого приближения будем иметь в виду, что если опоры
расположены по концам балки b = /,‘то а/ =те. В нашем случае, очевидно, частота собствен-
ных колебаний, а значит, и величина aZ, будет ниже.
Принимаем (aZ)i = 2,5.
По таблице гиперболических и тригонометрических функций * 1 находим
ch 2,5 = 6,13229
cos 2,5 = —0,80114
2S (2,5) = 5,33115
2U (2,5) = 6,93343
ch 1,25 = 1,88842
cos 1,25 = 0,31532
2S (1,25) = 2,20374
2U (1,25) = 1,57310
sh 2,5 = 6,05020
sin 2,5 = 0,59847
2T (2,5) = 6,64867
2V (2,5) = 5,45173
sh 1,25= 1,60192
sin 1,25 = 0,94898
2T (1,25) = 2,55090
2V (1,25) = 0,65294
Подставляя эти данные в уравнение (37), получим
	Д(2,5)=4	2,55090 ( 5,45173 ( 6,93343 1	),65294	0 5,64867 2,55090 5,33115 2,20374	= 0,7383.
Теперь примем	(a/)2=3,0. Имеем ch3= 10,06766 cos 3 = —0,98999		sh 3 = 10,01787 sin 3 = 0,14112	
	2S (3) = 2U (3) =	9,07767 11,05765	2 T (3) = 10,15899 2V (3) = 9,87675	
	ch 1,5 cos 1,5	= 2,35241, = 0,07074	sh 1,5 = 2,12928 sin 1,5 = 0,99749	
	2S(1,5) 2U (1,5)	= 2,42315 = 2,28167	2T (1,5) = 3,12677 2V(1,5) = 1,13179	
Подставляя эти	величины в уравнение		(37), получаем	
Л(3)=1
3,12677
9,87675
11,05765
1,13179	0
10,15899 3,12677
9,07767 2,42315
= 0,0332.
1 Такие таблицы приложены, например, к работе А. Н. Крылова «О расчете балок постоян-
ного поперечного сечения, лежащих на упругом основании». В справочнике И. В. Ананьева
[1] приведены как таблицы гиперболических и тригонометрических функций, так и таблицы
функций S, Г, U и V.
302
Колебания стержней с распределенной массой
Следующее приближение для al выбираем по формуле (36):
.	__ 3-0,7383 — 2,5 0,0332
(а°3	0,7383 — 0,0332 d,U *
Вычисляя снова определитель (37), получаем Д (3,02) = — 0,0276.
Таким образом, корень уравнения (37) лежит между а/ = 3,0 и а/ = 3,02.
Следующее приближение получаем снова по формуле линейных приближе-
ний:
, Л	3,0 - (— 0,0276) — 3,02 - 0,0332 о п 1 .
----- -0,0276-0,0332-----= 3,011.
Полученное таким образом значение al можно считать достаточно точным.
Следовательно, в нашем случае круговая частота собственных колебаний
балки равна
Р = (а/)2/^ = 9.066
В. Расчет балок с сосредоточенными массами
Рассмотрим теперь колебания балок с присоединенными грузами.
В точке, где сосредоточена масса следует приложить силу, инерции
этой массы
— mi	sin (pt + ф),
где —величина амплитуды в точке присоединения груза массы mr
Амплитудное значение этой силы
Сосредоточенную силу можно учесть в выражении для функции и
так же, как учитываются опорные реакции [см. формулу (34)].
Таким образом, функция v справа от точки закрепления груза массы /п2
(при х > 6) будет отличаться от функции v слева от этой точки (при х < &/)
дополнительным членом
V [а (х - ^)J = jg vtV [а (х - &z)].
Учитывая обозначение
можно написать:
a3EJ ql ri 9
где отношение массы присоединенного груза к собственной массе балки ql
обозначено
пъ
=
Окончательно получим
Vnpae =	[а (х — 6;)].	(38)
Рассмотрим, например, балку постоянного сечения на двух опорах с одной сосредото-
ченной массой (фиг. 168). Для левого участка (х < Ь) имеем
v = ВТ (ах) + DV (ах).
Изгибные колебания балок
303
В точке прикрепления массы	ф .
yx=6 = BT(a6)+DV(a&).
Для правого участка (х > &), применяя формулу (38), получим
V = ВТ (ах) + DV (ах) + a/fx [ВТ (ab) + DV (a6)] V [а (х — 6)],
1де (А =	— отношение сосредоточенной массы к массе балки.
На конце балки должны выполняться граничные условия
Vk_1 = q. (^\	=0.
\dx2 Jx=l
(39)
т
---------------- i ------
Фиг. 168.
Подставляя сюда выражение (39), получим два уравнения:
В {Т (a/) + a/piT (aZ>) V [a (Z — 6)]} + D { V(aZ) -4- alpV (ab) V [a (I — 6)]} = 0;
В {У(а1) + *№(уЬ)Т[т(1-Ь)]} + D {Т (al) + alpV (ab) Т [a (I — b)]} = 0.
Приравнивая нулю определитель этой системы, получим следующее уравнение частот
{T’(wZ) а/рсТ (об) Г [a (Z — 6)]} {V (al) + alpV (ab) V [a (I - 6)]} =()
{V (*l) + aZpT (ab) T [a (I — 6)]} {T (al) + al^V (ab) T [a (I — £>)]}
В каждом частном случае это уравнение можно решить методом, изложенным в пре-
дыдущем разделе.
Если масса расположена в середине
балки b = ~ , уравнение частот приво-
дится после подстановки значений функций
S, Т, U и V к виду
, al . al Г А , al al
sh sin у I 4 ch— cos — —
- ф (ch у sin — sh cos ] = 0.
Это уравнение, в свою очередь, распа-
дается на два уравнения:
4 — al ft (tg у — th у) =0;	(а)
aZ _
sin -^ = 0.	(б)
Первое из этих уравнений соответствует симметричным формам колебания (фиг. 169, а).
Корни этого уравнения можно найти каким-либо приближенным методом или графически.
Второе уравнение соответствует кососимметричным колебаниям балки (фиг. 169, б), при
которых сосредоточенная в ее середине масса остается неподвижной; поэтому естественно,
что в уравнение (б) величина массы не входит.
Г. Расчет многопролетной балки
Для многопролетной балки, поперечное сечение которой постоянно
в пределах каждого пролета, а сосредоточенные массы на некоторых про-
летах отсутствуют, можно при составлении уравнения частот воспользоваться
следующим приемом.
304
Колебания стержней с распределенной массой
Рассмотрим один пролет такой балки (фиг. 170). Предположим, что нам
/ dv\
известны амплитудные значения угла поворота <р1==(^г) и кривизны
dj?)x-o ha лево® опоре (х = 0). Найдем соответствующие величины
на правой опоре (х = Z).
В общем выражении (28) для амплитудных смещений
v = AS (ах) + ВТ (ах) + CU (ах) + DV (ах)
постоянная А будет равна нулю, а постоянные В и С соответственно <рх
и [см. формулы (31)].
Постоянную D можно найти из условия отсутствия прогибов на правой
опоре. Отсюда	4
где для сокращения обозначено К = al.
Подставляя эти значения постоянных, получим
v = ПГ) t1 [V (Х) т (ах) - т (Х) v * * * * (ах)] + W и W - и <х)v <ах)1}-
Дифференцируя это выражение с помощью соотношений (30) и подста-
вляя х = I, получим
- - 50) w -	!,->i:
’’ = (S),_ = -2O)^s.w + «>BWb <40)
где введены следующие обозначения:
В (X) = 2 [Т (X) U (X) — V (X) S (X)] = ch X sin X — sh X cos X;
D (X) = 2 [T (X) V (X) — U2 (X)] = ch X cos X — 1;
(X) = 2 [T2 (X) — V2 (X)] = 2 sh X sin X.
Таблицы функций В (X), D (X) и Sx (X) приведены в справочнике
И. В. Ананьева [1].
Выражения (40) позволяют переходить от значений угла поворота и изги-
бающего момента на одной опоре к соответствующим значениям на следую-
щей опоре, не составляя каждый раз уравнения упругой линии для пролета.
Применение изложенного метода видно из приводимого ниже примера.
Пример. Определим частоту собственных колебаний изображенного на фиг. 171 вала
мощного пропеллерного насосного агрегата.
Вал сплошной, постоянного сечения. Диаметр вала 350 мм. На верхнем пролете вала
закреплен ротор электродвигателя, вес которого вместе с соответствующей частью вала соста-
вляет 13 пг. На нижнем конце вала консольно закреплено рабочее колесо насоса весом 6300 кг.
Изгибные колебания балок
305
При переходе от действительного вала к расчетной схеме делаем следующие упрощения:
а) массу ротора электродвигателя считаем равномерно распределенной по длине верхнего
участка вала; б) нижний, короткий участок вала считаем невесомым, присоединяя часть его
массы (одну треть) к сосредоточенной массе рабочего колеса нососа; в) пренебрегаем массой
фланцевых соединений участков вала и считаем жесткость этих соединений равной жесткости
Фиг. 171.
Фиг. 172.
сплошного вала.
Полученная таким образом расчетная схема пред-
ставлена на фиг. 172.
Погонная масса первого пролета (вала электродви-
гателя) равна 71=66,2- 10—3кгсея1 2/ои2, а погонная масса
второго и третьего пролетов q = 7,85-10~3 * кгсек2{см2\
консольную часть вала считаем невесомой, а сосредо-
точенную массу принимаем равной
G , ql± 6300 , 7,85-10—3-110
т=7 + ¥=98Г +--------------3------“
= 6,73 кгсек2/см.
На верхней опоре 1 отсутствует изгибающий мо-
мент, а следовательно, и кривизна xi = 0. Угол пово-
рота на этой опоре принимаем равным
Находим по формулам (40) угол поворота и
кривизну на второй опоре:
'Рз = -2Ж)В(Х1):
где
Те же значения угла поворота и кривизны
будут и в начале второго пролета х.
Применяя теперь формулы (40) ко второму про-
лету, найдем значения и х над третьей опорой:
- wwVfi [в м в м -Vs- <*> ° <*>] 
- wiwj [в (Х>>s- «+Тs- в•
где
1 Если бы поперечное сечение вала на втором пролете отличалось от сечения его на первом
пролете, то, исходя из равенства изгибающих моментов, следовало бы для начала второго
пролета принять значение кривизны, равное
'	. EJT
х2 - EJ2 *
где Ji и J2 — осевые моменты инерции площади сечения вала на первом и на втором пролетах
20 Пономарев 508
306
Колебания стержней с распределенной массой
Повторяя вычисления для третьего пролета, находим значения и х на нижней опоре:
т* = — 8у	у <Хз) {[в 0.1) В (Х2) — -1 Si (Xi) D (Х2)] В (Х3) —
- [в 01) S1 (Х2) + Зх 01) В (Х2)] D (Xs)};
а ср,	(Г	а-.	1 ’
*4 = — 8у у у (Хз) (|в (Х1) В (Х2) — — S, (Хх) D 0а)j S1 Оз) +
+ [в 01) S1 Оз) + S1 01) В (Х2)] В Оз)
Консольный участок вала изгибается под действием силы инерции массы рабочего колеса.
Амплитудное значение этой силы равно
Q = mp4,
где f — амплитудный прогиб конца вала (фиг. 173).
Поскольку мы пренебрегли собственной массой консоли, то
уравнение упругой линии будет таким же, как и при статическом
действии силы Q, а именно
f =	(а)
При этом изгибающий момент на опоре, равный должен
Q одновременно равняться Q/4.
Таким образом, подставляя значение Q, имеем
EJv^ — mp'HJ.	(б)
С другой стороны, полагая в уравнении упругой линии (а)
х~ найдем
/2	«	/3
( __	, . М /пр2 , Ч	, .
f	х4 2 EJ 6 ‘
Исключая из уравнений (б) и (в) величину f и заменяя х4 и <р4 их значениями, получим урав-
нение частот в следующей форме:
[в (Хх) В (Х2) - Si (X,) D (Х2)] В (Х3) - [в (Хх) Si (Х2) + Si (Хх) В (Х2)] D{ Х3) -
4

B(X2)-^Sx(Xx)Z)(X2) Si(X3) +
+ [в (Xi) S1 (Х2) + у S1 (Хх) В (Х2)] В (X,)] = 0.
(Г)
Все величины, входящие в это уравнение, зависят только от частоты р. Задавая последо-
вательно несколько значений р и вычисляя соответствующие значения левой части уравне-
ния (г), можно графически или методом линейных приближений определить величину р, при
которой это уравнение удовлетворяется. Эта величина р и представляет собой частоту соб-
ственных колебаний системы.
Приведем вычисления при р = 40 сект-Ч
В этом случае:
.	-у/	= 4 Г 66,2-10—3-2004-402	, п .
V EJ V 2.10*.74.103	-1’04>
д V	7,85-10~3-8224-402
V EJ “ V 2.W-74.103
2,50;
дУ ^зР2 __ У7,85. Ю-М138*.402
V EJ	2.10^.74.103
Изгибные колебания балок
307
7,85-IO-3-1104-402
2-106.74*103
= 0,334;
EJ __ 2-106.74. IO3 Q
mZ3p2 6,73.110з.402"" 1U’d<
По таблицам [1] находим значения функций В (k)t Si (A), D (А):
А В (A)	(A) D(A)
1,04	0,746	2,14 — 0,194
2,50	8,52	7,24 — 5,91
3,44	10,3	—9,16	—15,9
Подставляя эти цифры в уравнение (г), находим, что при р = 40 сек—1 левая часть этого
уравнения равна F (40) = 369.
Повторяя вычисления при р = 30 сект-\ получаем F (30) = — 1040.
Поскольку F (30) и F (40) имеют разные знаки, корень уравнения частот лежит между
Р = 30 сек—1 и р = 40 сек—1. Приблизительное значение этого корня получаем по формуле
линейной интерполяции
30. F (40) — 40- F (30)
F (40) — F (30)
= 37,5 сек—1.
Р =
Следующий подсчет значения левой части уравнения частот производим при р = 38 сек-1,
В этом случае получаем F (38) = — 35.
Отсюда видно, что круговая частота собственных колебаний немного больше, чем 38 сек-1.
Ее можно вычислить с достаточной точностью, применив еще раз формулу линейной интерпо-
ляции:
= 38 • Г (40) — 40-F (38) _
₽ F (40) — F (38)	"	’
Таким образом, низшая круговая частота собственных колебаний равна 38,2 сек—1, а число
колебаний в минуту
30 осс-
v = — л = 365.
7С Г
Вычисляя левую часть уравнения (г) F (р), при больших значениях р можно установить,
что до р == 90 сек—1 она остается положительной, причем F (90) = 1900, а при р = 95 сек—1
становится отрицательной: F (95) — — 46S0 Следовательно, вторая частота собственных
колебаний лежит между 90 и 95 сек—1. Линейная интерполяция дает р2 = 91,5 сек—1 и соот-
ветствующее число колебаний в минуту v2 — 875.
Д. Колебания балки на упругих опорах
Податливость опор существенно влияет на частоту собственных колеба-
ний балки. Если расчет производится без учета распределенной массы балки
(методами, изложенными в главе III), то податливость опор должна быть
учтена при вычислении коэффициентов bik канонических уравнений метода
сил, что выполняется без затруднений.
Для балок со значительной распределенной массой упругость опор вво-
дится в граничные условия и условия на промежуточных опорах.
Если опора является упругой относительно поперечных смещений, то
это значит, что реакция опоры 7? связана с ее осадкой f уравнением
f = 8/?,
где 8 — коэффициент податливости опоры, численно равный ее осадке,
вызываемой единичной силой.
20*
308
Колебания стержней с распределенной массой
------------------------------------f-------
Для опоры, упругой в отношении угловых перемещений, возникающий
реактивный момент М связан с углом поворота 6 оси балки над опорой урав-
нением
8 = 80ЛЬ
где 80 — коэффициент угловой податливости опоры.
Рассмотрим, например, балку постоянного сечения (фиг. 174, а), опертую
по концам на две упругие опоры с коэффициентом податливости 8.
Граничные условия на концах
балки следующие:
Фиг. 174.
при х = 0
«=-Qo8; g=0;
При X = I
v = Q^, g = o,
где Qo и Qt — амплитудные значе-
ния поперечных сил в соответствую-
щих сечениях.
Знаки в уравнениях, связывающих поперечные силы с перемещениями,
выбираются в соответствии с их направлениями (фиг. 174, б).
Выразим амплитудные значения поперечной силы через прогибы:
Q = EJ^3.
dx3
Тогда граничные условия можно представить в следующем виде:
Подставляя в эти уравнения общее выражение (28) для прогибов и учи-
тывая соотношения (30) и (31), получим следующую систему уравнений
относительно постоянных А, В, С и D:
А + ZEJa3D = 0;
С = 0;
.A [S (К) — %EJa*T (Х)1 + В [Т (X) — bEJasU (X)] + D [ V (X) — SEJa3S (X)] = 0;
AU (X) + BV (X) + DT(\) = 0,
)где X = al.
Приравнивая нулю определитель этой системы, приходим к уравнению
'Частот:	>
1
S(X) —а3Т(Х)
С7(Х)
.	и SEJ
1где обозначено k = -р~'
0	ЛХ3
T(X) — H8t/(X) V(X) — £X3S(X) =0,
V(X)	T(X)
Изгибные колебания балок
309
Развертывая определитель, подставляя значения функций S, Т, U и V
и переходя к аргументу у, получаем уравнение частот в форме
[ . К A Н» / , X . X . , К X \ 1 Г , А . X
[chyCOSy---F^chysinT+shTcosT)J [shysiny —
~ ¥ (ch 4 sin4 ~ sh 4 cos 4)] = °-
Это уравнение распадается на два:
,	l-¥(tg4 + th4)=O;
l-^-8(cth|-ctg4)=0.
(41)
(41а>
Уравнение (41) соответствует симметричным, а уравнение (41а) — косо-
симметричным формам колебаний
балки.	' '
Зависимость наименьшего кор-
ня уравнения (41) от величины k
приведена на фиг. 175.
Из графика видно, что частота
основного тона колебаний, равная
быстро уменьшается с увеличе-
нием податливости опор.
Поскольку существенна не аб-
солютная, а относительная подат-
ливость опор, т. е. отношение, коэффициента & к величине характе-
ризующей податливость бруса при изгибе, очевидно, что податливости
опор необходимо учитывать при расчете колебаний жестких элементов-
конструкции (например, шпиндели металлообрабатывающих станков).
Формулы и графики частот собственных колебаний для ряда расчетных
схем балок, лежащих на упругих опорах, приведены в справочнике
И. В. Ананьева (1].
Е. Влияние инерции поворота закрепленных на балке грузов
на частоту изгибных колебаний
Если момент инерции закрепленного на балке груза относительно оагг
перпендикулярной к плоскости колебания, значителен, следует учесть возни-
кающий при повороте груза инерционный момент. Величина этого момента
равна	1
где Ц — момент инерции массы груза относительно центральной оси сече-
ния балки, перпендикулярной к плоскости колебания;
& — угол поворота груза.
Рассмотрим в качестве примера колебания балки с одним диском (фиг. 176),?
причем будем пренебрегать собственной массой балки. ...	..;
310
Колебания стержней с распределенной массой
Обозначим:
щ — масса диска;
IY — момент инерции диска относительно оси, перпендикуляр-
ной к плоскости чертежа;
&п — прогиб балки от единичной силы, приложенной в месте на-
садки диска;
812 = 821 — поворот касательной к упругой линии балки в месте насадки
диска, вызванный той же силой, или прогиб, вызванный еди-
ничным моментом;
822 — поворот касательной к упругой линии балки в месте насадки
диска, вызванный единичным моментом.
Для системы, изображенной на фиг. 176, а,
эти коэффициенты, полученные путем пере-
множения эпюр изгибающих моментов
(фиг. 176, б и в), равны
.. _ 1 г>2с2. s _ 1 ** 4- с* .
n“ 3EJ' I » °22— 3EJ' р ’
х _ 1 Ьс(с — Ь)
12 ~ 3EJ' I
Деформации балки вызываются силой
d2ni
инерции диска — m и инерционным мо-
т с!?Ъ ~
ментом — 4 Вследствие этого можно
написать следующие уравнения движения:
d2,). г d2& й .
—	—71 dt* 812’
в)
Фиг. 176.
А	d21) S Г S
# —	И^12	11^2^22-

Подставляя значения
ц = v sin (pt + ср);
& = Osin (pt + ср),
получим систему однородных уравнений:
о (1 — /тгр28п) — бДр^ха = 0;
— vmp\2 + 6 (1 — 7iP2&22) = 0.
Приравняв нулю определитель этой Системы, получим уравнение частот:
pWx (М22 -8|2) -Р2 И*и + ЛМ 4-1=0.
которое имеет два корня:
2 m&n + 4*22 i ]/”(/тг8и — 4S22)2 + 4mZi822
2ml!	— &12)
(42)
Низшей из частот, определяемых формулой (42), соответствует форма
колебания, изображенная на фиг. 177, а, высшей — форма, изображенная
на фиг. 177, б.
Изгибные колебания балок
311
Если отношение весьма мало, можно получить достаточно точное
значение низшей частоты колебаний, пренебрегая в выражении (42) высшими
степенями этого отношения. Таким образом,
Р тЪп I тР §2 I •
Так как при отсутствии инерции вращения частота колебаний опреде-
ляется формулой
• Р2 = ——
то влияние инерции поворота приводит к некоторому снижению первой
частоты колебаний и к появлению новой формы колебаний с более высокой
частотой. '	.
Если грузы, инерцией поворота которых	|________
йельзя пренебречь, закреплены на весомой ----------|	-
балке, то для составления уравнения частот	| а)
можно применить изложенный в разделе В ме-
тод. В этом случае, однако, в точке укрепле-
ния груза к балке следует приложить не только	/
Силу инерции, амплитуда которой равна	------f—	,
flz = mzp4,	Ж / в) Ж
но и инерционный момент с амплитудой
..	, 2 ,	Фиг. 177.
Mt = ЛрЧ>
•	dv
где v{—производная соответствующая месту закрепления груза.
Условия сопряжения участков слева и справа от груза будут:
7!	— 7)
v прав	^лев^
(dv\ _______
\dx )прав	'dx) AeQ,
____L j 2 r
\dx*)npat ~ \dx*)Mt EJ1iPvi’
fd3v\	[ d3v\ .	1	2
\d^Jnpae ~ \^)лев + Ё7т‘Р Vi‘
Все эти условия выполняются, если положить, что
vnpae = v^e + a‘lv-iviV 1а (* — 6i)l +	[а (х — 6Z)],
(43)
где обозначено


~~ дР’
Ж. Изгибные колебания вращающегося вала
(влияние гироскопических моментов)
Если скорость вращения вала и моменты инерции насаженных на него
дисков относительно невелики, частоту собственных колебаний вала можно
определять по тем же формулам, что и частоту собственных колебаний
312
Колебания стержней с распределенной массой
балки с сосредоточенными грузами. В противном случае существенное
влияние на характер колебания оказывают моменты сил инерции, возникаю-
щие вследствие угловых перемещений осей вращающихся масс.
Рассмотрим движение диска, насаженного на невесомый вал, вращаю-
щийся с угловой скоростью о>.
Предположим, что в результате упругих деформаций вала ось вращения
диска %! составляет с неподвижными
координатными плоскостями ху и xz
малые углы и -&у (фиг. 178). Мо-
менты инерции диска относительно
связанных с ним осей у19 обоз-
начим
Для определения моментов, воз-
действующих на диск со стороны
вала, применим теорему, согласно
которой производная по времени от
момента количества движения равна
моменту внешних сил. Угловая ско-,
рость вращения диска относительно оси равна (о, следовательно, мо-
мент количества движения относительно этой оси
LXt = /0°>-
Скорость вращения относительно связанной с диском оси уг равна 1
dbz
— и момент количества движения относительно оси ух
т ___ т d^z
МУ
Скорость вращения относительно оси zt равна и соответственно
— dt •
Моменты количества движения относительно неподвижных осей у и г
найдем, проектируя на эти оси моменты LXl, ЬУ1 и LZt:
Ly = Lyi + LXi% = - Л
UVn
Lz = LZ1 + Lxfiz = I j	+ / 0(o^.
Моменты приложенных к диску сил относительно осей у и z найдем по фор-
мулам
м = —
У dt
 d^z
1 dt*
dby
+ /ой)’ЗГ;
_ du	/(1)^
dt dt2	dt ‘
(44)
1 Знак минус объясняется тем, что система координат правая, а угол соответствует
левому вращению относительно оси у\.
Изгибные колебания балок
313-
Очевидно, что точно такие же, но противоположно направленные моменты
передаются с диска на вал. Кроме того, на вал воздействуют силы инерции
d2in	d2C	.
диска и т-^-, где "Q и С — проекции полного смещения диска
на оси у и z (фиг. 179).
Обозначим:
8П — смещение диска при действии единичной силы;
й12 — поворот от действия той же силы; '
822 — поворот от действия единичного момента (фиг. 180).
Используя эти обозначения, можно выразить смещения диска ц, С, Оу и
через действующие силы:
'12,
d*r\ *	(Т
"Ч fd dt2 &U (/1 dt2 + /О- df
a	d2rl »	(r d4v , Г d§z 1 s
—	m dti 312 rf^2 + /0<о df j 822,
—	m dt2 °ll + ( Л di2 + Л)® dt j °12,
„	d*t s . /	: d*bz , ,
~ m dt* 812 + \	11 dt* + 'dTj 8a2'
(45>
Решения системы (45) можно представить в виде
или в виде
Tj = A cos pt; С = A sin pt",
Оу = 9 cos pt; Oz = 9 sin pt
i) = A cos pt;
Oy = 6 cos pt;
C = — A sin pt; |
Oz = — 9 sin pt. J
(46>
(46a>
Оба эти типа решения соответствуют вращательному движению изогну-
той оси вала с угловой скоростью р, причем в первом случае изогнутая ось
вращается в том же направлении, что и сам вал (прямое вращение изогнутой
оси), а во втором случае — в сторону, противоположную вращению вала,
(обратное вращение изогнутой оси).
Величины Л и 0 представляют собой прогиб и угол наклона касательной
к изогнутой оси вала в точке закрепления диска.
Выясним величины моментов Му и М2, воздействующих на вал при пря-
мом и обратном вращении его изогнутой оси.
514
Колебания стержней с распределенной массой
При. прямом вращении, подставляя выражения (46) в формулы (44),
получим
My = -(zoJ-л)р2*г;
M,= (z0^-л)рЧ>у,
Сопоставляя полученные знаки моментов с принятыми их направлениями
•(фиг. 179), видим, что в данном случае гироскопический момент, равный
M = (z0|-z1)p2e,	(47)
Фиг. 181.
Фиг. 182.
Точно так же можно установить, что при обратном вращении изогнутой
•оси вала гироскопический момент равен
=	.	(48)
и направлен в сторону увеличения угла 0 (фиг. 181, б).
Подставляя в уравнения (45) значения (46) и (46а), видим, что в обоих
«случаях два последних уравнения оказываются тождественными с двумя
первыми.
Для прямого вращения изогнутой оси имеем
• Д (1 - pWu) - е (p2Z1 - pa>Z0) 312 = 0;
— Лр2т812 + М1 — (Р2Л — Р^1 о) 822] = 0.
Приравнивая нулю определитель этой системы уравнений, получим урав-
нение частот при прямом вращении:.
(1 — p2mBu) — (p2Zx — р<о/0) 312
— р2/п812	1 — (p2Zx — po>Zo) Заз
Точно так же для частоты колебаний при обратном вращении изогнутой
«оси получаем уравнение
(1 — p2m8u) — (p2Zx + pa>Z0) 312 _
— Р2/п812	1 — (P2ZX + pa>Z0) 322 “
Рассмотрим пример. Диск, имеющий массу m и моменты инерции /0 и Л, закреплен на кон-
сольном валу, вращающемся с угловой скоростью <о (фиг. 182). Для этой системы
811 3EJ ’	822 — EJ »	812 2EJ *
Изгибные колебания балок,
315
Обозначим частоту собственных колебаний, вычисленную без учета инерционных
моментов,
т тъ-ц
Тогда можно представить уравнение для частоты собственных колебаний при прямом
вращении изогнутой оси вала в следующем виде:
При обратном вращении вала получим соответственно
(50)
Л	„	Р	II	СО Л СО 1 СО 1
Зависимость наименьшей величины от отношения —~ при — =0, — =
Ро	тР * р	р 3 р 2
и -^-= 1, полученная по уравнениям (49) и (50), представлена на фиг. 183, причем принято
2 (как для тонкого диска).
СО If
Кроме низшего корня, уравнение (50) всегда, а уравнение (49) только при — <
Р *0
имеют еще один высший корень для , который, однако, не имеет большого практического'
Ро
значения.
316
Колебания стержней с распределенной массой
'Из всего сказанного выше следует, что благодаря влиянию гироскопи-
ческих моментов колебания вращающегося вала происходят не в одной
плоскости, а в двух плоскостях.
В результате сложения этих колебаний изогнутая ось вала вращается
с угловой скоростью, равной круговой частоте собственных колебаний р.
Вращение изогнутой оси вала может происходить либо в ту же сторону,
в которую вращается сам вал (прямое вращение), либо в противоположную
сторону (обратное вращение).
Круговая частота собственных колебаний при прямом вращении изогнутой
оси выше, а при обратном вращении ниже, чем частота колебаний покояще-
гося вала (при а> = 0).
Приведенный выше расчет относится к случаю, когда распределенная
масса вала мала по сравнению с массой насаженных на него дисков. Если
это условие не выполняется, то для расчета следует использовать общий
метод, изложенный в разделах А — Е.
Поскольку гироскопические моменты, передаваемые диском на вал при
прямом и обратном вращении изогнутой оси, определяются формулами (47)
и (48), связь между общими выражениями для прогибов вала слева и справа
от точки закрепления диска можно представить в форме (43), если положить,
что
*г == — 'qp(I0~p ~/1)
при прямом вращении изогнутой оси вала и
при обратном ее вращении.
3. Влияние продольных сил на частоту изгибных колебаний
Продольные силы, нагружающие колеблющуюся балку, приводят к неко-
торому изменению частоты собственных колебаний.
Растягивающие силы увеличивают частоту собственных колебаний,
в то время как сжимающие — снижают ее.
Рассмотрим балку постоянного сечения, лежащую на двух опорах и растя-
нутую силой Р (фиг. 184).
Изгибные колебания балок
317
Приравнивая сумму проекций на вертикаль всех сил, приложенных,
,	j	д2т1
к элементу ах, произведению массы этого элемента q ах на ускорение
получим
_+ P^-dx- a-^-dx
дх ах + дх2 ах — Ч dt2 ах
или
dQ __ р д2?)	п 0*4
дх .дх2	4 dt2 ’
С другой стороны, используя уравнение моментов, получаем
дх
Как известно, изгибающий момент М и приближенное значение кри-
д2ъ
визны -нЧ- связаны зависимостью
дх2
EJ = м.
дх2
Исключая из полученных уравнений М и Q, найдем следующее уравнение
движения:
_______-о	psп
дх* EJ дх2 EJ dt2 ~	’
Отыскивая решение этого уравнения в виде
т) = v (х) sin (pt + <р),
получим обыкновенное дифференциальное уравнение для функции v (х):
'’”'-4»'—й-’-0-
Этому уравнению можно удовлетворить следующим выражением, которое
соответствует также и граничным условиям:
п= 1, 2, 3 . . .
Подставляя это выражение в уравнение (52), получим
п*п* . Р п2п2	p2q	»
I* EJ I2	EJ	~ U>
откуда круговая частота собственных колебаний равна
Рп = п^У^.	+
п	V ql* т n2w2EJ
Для низшей частоты колебаний п = 1
= <53>
д 2^* J
где Р3 = —----критически сжимающая сила для балки, соответствующая
ее продольному изгибу в плоскости колебания.
318
Колебания стержней с распределенной массой
Сопоставляя формулу (53) с формулой (33), видим, что влияние растяги*
вающей силы отражается дополнительным множителем I/ 1 + -н-.
Г	“э
Если продольная сила сжимающая, ее следует вносить в формулу со зна-
ком минус.
Для сжимающей силы
р — х2
Р3 ’
Можно показать (см. главу VII), что если на балке имеются присоединен-
ные грузы, низшую частоту колебаний можно приближенно также опреде-
лить по формулам:
при растяжении
Р — Ро + -р^
и при сжатии
Р = РоУ* 1--^’
где р0 — частота колебаний, вычисленная без учета продольных сил.
И. Влияние сдвигов и инерции осевого движения элементов балки
В предыдущем рассмотрении мы не учитывали инерции осевого движения
элементов балки и пользовались обычной теорией изгиба, основанной на гипо-
тезе плоских сечений.
При колебаниях высших порядков, когда длина волны не очень велика
по сравнению с поперечными размерами балки, инерция осевого движения
элементов балки и деформации сдвига,.
У	вызванные поперечными силами, сущест-
х
Фиг. 185.
венно влияют на частоту.
Как известно, инженерная теория из-
Л гиба основана на следующих гипотезах:
1) нормальные напряжения в сече-
ниях, параллельных оси балки, отсут-
ствуют;
2) плоские поперечные сечения балки
после деформации остаются плоскими
и нормальными к изогнутой оси балки.
Согласно этой теории, проекции на оси у и х полного смещения любой
точки балки, лежащей в сечении х на расстоянии у от нейтральной оси
(фиг. 185), определяются формулами
1) = 1) (х, /);
дх
Для того чтобы учесть деформации сдвига и инерцию осевого движения
частиц балки, надо отказаться от гипотезы плоских сечений и учесть их
искажение.
Положим, что смещения точек балки определяются формулами
т] = т) (х, /);
6 = —+	0/(У)-
(54>
Изгибные колебания балок
319
Второе слагаемое в выражении для перемещения £ определяет собой
искажение плоскости поперечного сечения.
Принимая для перемещения формулы (54), можно найти напряжения
в поперечном сечении бруса
°* = Ei = E[~&^ + -Й-Ну)];	‘ (55>
Txy = G(^- + ^)^G<p(x,	(56)
Теперь, можно задаться видом функции f (у), характеризующей форму
искажения плоскости сечения, так, чтобы распределение касательных напря-
жений в сечении совпадало с распределением, даваемым элементарной тео-
рией поперечного изгиба:
= <57>
где Q — поперечная сила;
J — момент инерции сечения относительно нейтральной оси;
S* — статический момент площади части сечения, лежащей по одну сто-
рону от рассматриваемого слоя, относительно нейтральной оси;
b — ширина сечения в данной точке.
Для того чтобы распределение напряжений по формулам (56) и (57)
было одинаковым, следует положить
ГЫ=^^-.	(58)
[Множитель F — площадь сечения — введен для того, чтобы величины f (у)
и ф (х, /) были безразмерными.]
Внутренние силовые факторы в сечении — изгибающий момент и попе-
речная сила — определяются формулами
М = - J °xydF = — Е [—§- J y4F+	(у) ydF\ ;
F	F	F
Q = — f tXydF = — G<|> (x, f) J f (tj)'dF.
F	F
Первый интеграл в выражении для изгибающего момента представляет
собой момент инерции сечения J; второй интеграл J f (у) у dF также имеет
F
размерность момента инерции площади (сж4). Положим
\f(y)ydF = kJ.	(59)
F
Заметим, что коэффициент k зависит только от формы сечения, но не от
абсолютных его размеров.
Если Г (у) определяется формулой (58), то интеграл, входящий в выраже-
ние для Q, равен площади сечения. Действительно,
* Связь между нормальным напряжением и осевой деформацией принимается, как пр»
линейном напряженном состоянии, без учета поперечных напряжений.
.320
Колебания стержней с распределенной массой
Вычисляя этот интеграл по частям, получим
^f'(y)dF =
= F.
{Первый интеграл в квадратных скобках равен нулю, так как он представляет
•собой статический момент всей площади сечения относительно нейтральной
оси.)
Таким образом, для внутренних силовых
факторов в сечении имеем
М = — Ej\— Д +;
L дх2 1 дх J ’
Q = — GF$(x, t).
Фиг» 186.
(60)
Из второй формулы (60) видно, что вели-
чина ф представляет собой среднюю деформа-
цию сдвига в сечении.
Для упрощения выкладок целесообразно
вместо ф ввести переменную
$(*, о
Так как представляет собой уклон изогнутой оси бруса, а ф — сред-
ний угол сдвига в сечении, то величину & можно назвать средним поворотом
плоскости сечения.
Вводя эту величину в формулу (60), найдем
М = Е J	;
дх ’
л _ GF (д-ц
Ч~ k \дх
Составим теперь уравнения движения элемента dx балки (фиг. 186).
Приравнивая нулю сумму проекций на вертикаль, приложенных к элементу
сил (включая силу, инерции — pF dx^^}, получим
—^dx-pFdx^- = 0.-
(61)
(61а)
(62)
‘ Сумма приложенных к элементу моментов (включая момент сил инерции
в осевом движении pdx ^-^-ydF) равна
^-dx — Qdx+ pdx ^-^ydF = 0.
Заменим в полученных уравнениях поперечную силу и изгибающий
момент, а также смещение $ их значениями по формулам (61) и (54). Тогда,
производя простые преобразования, получим следующую систему уравнений
относительно переменных ц и &:
д2т\	kp д2т]   д&
дх2	G dt2	дх ’
д2й р а2» _ GF ( dtj
дх2 Е dt2 kEJ \ дх
(63)
Изгибные колебания балок
321
Уравнения (63) определяют собой движение балки. Для случая балки,
лежащей на двух опорах, решение уравнений (63) можно представить в сле-
дующем виде:
Л. шсх .	.
sin —— sin pt\
Q D mtx .
v = В cos —j— sin pt.
(64)
Подставляя выражения (64) в уравнения (63) и сокращая общие множи-
тели, получим
А (-т-+р2 4)+в ^т-=0;
(65)
д	1 В ( I с2 р GF - О
А I kEJ '	/2 + Р Е kEJ ) ~
Эта система может иметь отличные от нуля решения только в том случае,
если ее определитель равен нулю.
Таким образом, получаем следующее уравнение частот:
я2®2 | „2	\
/2 -гР G J	/
пл GF	/	п2л2 . 2 Р	GF \
I kEJ	\	Z2 "Г Р Е	kEJ )

Введем обозначения:
X = —— гибкость балки;
✓" EJ
р0 = it2 у	— частота основного тона колебаний, вычисленная без учета
сдвигов и инерции вращения;
а2 = Л_
а kE ’
С учетом этих обозначений уравнение (66) примет вид
, Ро ) \Ро ' ТС2 \	П21С2 ) +
Решая это уравнение, получаем две частоты рп1 и рпП, соответствующие
одному и тому же числу полуволн упругой линии п:
РЛ = р.4[1 + +да-/(> + «’ + да)’-Н; (67)
рм = р,^4[1 + «’ + ^-4- /(! + »‘ + да)!-Н- (67а)
Первая из этих частот соответствует такой форме колебания, при которой
поперечные сечения поворачиваются в ту же сторону, что и касательные
к изогнутой оси (фиг. 187, а).
Высшая частота соответствует повороту сечений и касательных к изо-
гнутой оси в противоположные стороны (фиг. 187, б).
21 Пономарев 508
322
Колебания стержней с распределенной массой
Рассмотрим в качестве примера колебания балки прямоугольного сечения с отношением
длины I к высоте h поперечного сечения, равным — = 10. В этом случае
Определим выражение функции f (у) для прямоугольного сечения.
Согласно формуле (55) имеем
ч F S*
bh3
В данном случае (фиг. 188) b постоянно, F = bh, J =	, a S* представляет собой стати-
ческий момент заштрихованной на фиг. 131 площадки относительно оси х:
k=-
S* =
Таким образом,
Г (У) =
Для функции f (у) получаем
f (!/) = у (у — у ут) •
1
Коэффициент k определяется по формуле (56):
2	’ .
h
“У
F
Принимая = 2 (1 + р.) = 2,6, получим
“2 = ~kE ’ 12^6 = °’32’
Используя эти данные, можно по формулам (67) вычислить частоты и рЛц, соответ-
ствующие различному числу полуволн п.
приведены ниже:
л
РпЛ
Ро
РпП
Ро
Приведенные цифры показывают,
ниже, чем частота, вычисленная без учета сдвигов (напомним,
Полученные таким образом отношения и
Ро Ро
0.98
70,0
2	3	4
3,74	7,92	13,08
73,6	78,2	84,0
ЧТО	частота рп1	всегда
18,77
91,6
оказывается
что теория,
1
5
Вынужденные колебания стержней с распределенной массой
323
не учитывающая сдвигов, дает для частоты колебания, имеющего п полу-
волн, значение рп = п?р0). Снижение частоты собственных колебаний за счет
влияния сдвигов тем больше, чем короче волны изгиба. Для основного тона
колебания снижение составляет всего около 2%, в то время как для пятой
гармоники, для которой длина полуволны равна удвоенной высоте сечения,
это снижение составляет уже
-25~258'77 •100 = 25%-
Частота колебаний второго типа ря11 оказывается очень высокой и только
для весьма коротких волн сравнимой с частотой колебаний первого типа.
Если к брусу приложена продольная растягивающая сила Р, то уравне-
ния движения его с учетом сдвигов и инерции осевого движения принимают
вид
<Э2т)	 д2г) __ /1 kP \
а? (Г'~др ~ V
(68)
дЧ р d2& _ GF f. kP\(dt\ „\	v . '
дх2 Е' dt2~ kEJ \ GFj\dx	,
Получение зависимостей (68) отличается от приведенного выше вывода
уравнений (63) тем, что в равенство (62) вводится дополнительный
член Р -^—dx, представляющий собой вертикальную проекцию продольных
сил, приложенных к концам изогнутого участка dx бруса, а уравнение (61а)
заменяется уравнением (69):
47-» = -^[0-/>(-Э7-9)]-	<69>
Второе слагаемое в правой части зависимости (69) представляет собой
проекцию продольной силы Р на среднее направление поперечного сечения,
поскольку сила Р, действующая по оси бруса, составляет с нормалью к дефор-
мированному поперечному сечению1 угол, равный
§ 4. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННОЙ МАССОЙ
Если частоты и формы нормальных колебаний системы с распределенной
массой определены, то расчет вынужденных колебаний Может быть произ-
веден по методу, изложенному в § 5 предыдущей главы. Полученное таким
образом решение представляет собой разложение вынужденного движения
по собственным функциям системы и, вообще говоря, выражается бесконеч-
ным рядом.
Преимуществом указанного метода является его о(Тщность; однако!в ряде
случаев более удобными являются другие-методы, позволяющие получить
решение в замкнутой форме.
Так, например, при расчете продольных колебаний, если действие воз-
мущающих сил является кратковременным, значительное преимущество
имеют методы разрывных функций и характеристик, подробно рассмотрен-
ные в § 4 главы X. .
При расчете стационарных колебаний, вызванных гармоническим воз-
буждением, наиболее целесообразно; записывать решение в виде гармони-
ческой функции времени того же периода, что и возмущающая сила. Такой
прием позволяет получить результат в замкнутой форме.
1 Имеется в виду среднее значение этого угла, так как сечение не остается плоским.
21*
324
Колебания стержней с распределенной массой
Для сравнения двух способов расчета рассмотрим пример (фиг. 189).
К средней точке балки, лежащей на двух опорах, приложена возмущающая
сила
Р (t) = Ро cos oat.
Сначала используем общий метод расчета, развйтый в предыдущей главе.
Согласно этому методу [см. формулы (54), глава V] смещение любой точки
балки может быть представлено в виде
k=l
где vk (х) — прогиб при k-м нормальном колебании;
fk(t)—функция времени, определяемая из уравнения
+	^(0.
Величина рк представляет собой частоту fc-го вида нормальных колеба-
ний, a W* (0 выражается в зависимости от возмущающих сил формулой
Фиг. 189.
j* v2k (х) qdx
о
где в числителе стоит сумма произве-
дений возмущающих сил на переме-
щения точек их приложения при k-u
нормальном колебании.
Для балки постоянного сечения на двух опорах (см. § 3) упругая линия
при k-м колебании представляет собой синусоиду с k полуволн:
, . knx
i»ft(x) = stn-r-
а частоты собственных колебаний определяются формулой
Pk = k&pl>
где	___
. -\/~ EJ
Таким образом,
i	i
vlqdx = g sin2-^-dx —vk(xp) = sin-^-.
о	о
следовательно, •
2 sin-^-
(0 = —— Р (0 = sin -у- роcos
Уравнение, определяющее функции принимает форму
fk (0 + Pkfk (0 = sin ро cos <»t-
Решение этого уравнения без учета собственных колебаний имеет вид
2P0*in-^-
Вынужденные колебания стержней с распределенной массой
325
следовательно, смещения в любом сечении балки при вынужденных коле-
баниях определяются формулой
,, = 2 /ио - sl" •
k	k = 1
В этом выражении присутствуют только слагаемые, соответствующие
симметричным формам колебаний балки (т. е. нечетным k). Прогибы обра-
щаются в бесконечность, если частота возмущающей силы ю совпадает с одной
из частот собственных симметричных колебаний балки.
Полученный ряд для вычисления прогибов сходится очень быстро и удо-
бен для вычислений. ,
Так, например, прогиб в средней точке балки (х = у) равен
2Р0	/ X?	1
7.i = V“s”' 2j
А=1ТТб...
Вычислим сумму ряда при частоте возмущающей силы в 2 раза меньшей,
чем низшая частота собственных колебаний балки со =	. В этом случае
2Р0	. vi 4 8Pt . ( 1 ,	1	.	1	\
Вполне достаточную точность дает учрт одного только первого члена
ряда.
Сходимость ряда для изгибающих моментов
ал и т d2rl	.
М — EJ -ч-v =----------- cos (о/
дх2 ql3
гл • k™
k2 Sin —7—	,
2 . kitx
—5------Sin—7—
Pk — “	1
£=i
оказывается более медленной. При
в среднем сечении балки получаем
=
2
(О
для изгибающего момента
S4k2
W — 1 —
£=1,3,5. ..
, / 1 .	9	.	25	.
cos (1)/ (-3 + 323 + -2499“ + • • ’
М z =--------—5 COS ш/
*4 ЯМ
я19р\
здесь уже для получения достаточной точности необходимо учитывать три —
пять членов ряда.
Теперь рассмотрим второй метод решения задачи. Решение уравнения (24)
колебаний балки
EJ^ + q^- = 0
дх4 1 7 dt2
записываем в форме, соответствующей характеру изменения возбуждающей
силы:
7] = v (х) cos (О/.
326
Колебания стержней с распределенной массой
При этом для функции v (х) получается уравнение
a‘v = 0,
dx*	’
тождественное уравнению (26) при значении
а4 = со2 JL
EJ
Решение этого уравнения на участках балки, свободных от нагрузки,
можно представить в виде зависимости (28), причем постоянные интегриро-
вания определяются из граничных условий.
На концах балки равны нулю прогибы и изгибающие моменты. В средней
точке балки, где приложена возмущающая сила, должны быть выполнены
условия сопряжения, которые требуют равенства прогибов, углов поворота
и изгибающих моментов для обоих участков, а также скачка поперечной
силы, равного по величине возмущающей силе. Эти условия совершенно
аналогичны условиям, рассмотренным в § 3, Б, и поэтому в качестве уравне-
ния, связывающего выражения для амплитудных прогибов на левом и пра-
вом участках, можно использовать формулу (34) с заменой R на PQ:
®прав = лез + а3£/ V (X	6)].
Располагая начало координат на левой опоре (фиг. 189), получим на левом
участке
улев = ВТ (ах) + DV (ах)	(70)
[постоянные А и С в общем выражении (28) равны нулю в соответ-
ствии с граничными условиями на левой опоре].
Соответственно на правом участке амплитудные смещения выражаются
формулой
и прав = ВТ (ах) + DV (ах) + V [а (х -.
Постоянные В и D определим из граничных условий на правой опоре:
= ВТ («/) + DV («о + V(~) - 0;
™+DT <“'> + ЛТ (4)] = °-
Отсюда получаем
о V«7-(4)-7-(.0v(4),
° ~ a*EJ	Т2 (al) — V2 (al)	’
f, V(.or(4)-T(.or(4)
U ~ a3EJ	Т2 (al) — V2 (al)
Определив по полученным формулам постоянные В и D, можно затем
по формуле (70) найти амплитудные смещения в любой точке левого участка
балки и смещения в любой момент времени по формуле
1) = v cos <о/.
Вынужденные колебания стержней с распределенной массой
327
Так, например, для средней точки балки (х = имеем
°х=1 = ВГ (4)+Z?V (4) =
р0 v (а1) тг(т) -2г(а1) т (4)v (4х)+v(al) v*(4)
=	''	T2 (al) — V2 (al)	*
После подстановки значений (29) функций Т и V и элементарных преобра-
зований получим
= 43£V (tgth т)
и
•	Рп cos at (. al ,, al \
\=2 = -te7-VgT-thT}» .	<71)
где
Выведенные формулы позволяют вычислить смещения в замкнутой
форме и имеют поэтому определенное преимущество перед формулами, полу-
чаемыми путем разложения решения по собственным функциям, хотя,
конечно, те и другие формулы идентичны.
Из формулы (71) следует, что резонанс имеет место при
, al
tg —->оо
или при
4 = (2^+1)^-,
т. е. когда
ai = t if ^!-=№ + к к.
Следовательно, резонансные частоты возмущающей силы
соответствуют собственным частотам симметричных колебаний балки.
Легко также получить выражение для изгибающего момента:
М = EJ = EJ cos
дх2	dx2
В частности, для середины балки
'	T2(al) — v2(al)
или"после простых преобразований
мх=4=(tg4+th 4) •
328
Колебания стержней с распределенной массой
Изложенный выше метод может быть с успехом использован также для
расчета вынужденных колебаний при кинематическом возбуждении.
Рассмотрим, например, балку (фиг. 190), один конец которой шарнирно
закреплен, а другой совершает заданное движение по гармоническому
Фиг. 190.
закону
= f cos (Of.
Решение уравнения свободных колебаний балки запи-
сываем в форме
7] = v (х) cos <dZ.
Для функции v (х) получаем граничные условия:
при х = 0 v = 0; v" = 0,
при х — I v = f; v" = 0.
Из условий при х = 0 следует, что постоянные Л и С
в общем решении (28) равны нулю. Условия при х = I
приводят к уравнениям
ВТ (at) + DV (al) = f,
BV (al) + DT (at) = 0,
откуда
°	T2 (aZ) — V2 (aZ) ’
П	4=
' T^aZ)—V2(aZ) ’
Таким образом, амплитудные прогибы в любом сечении определяются
равенством
v (х) = ВТ (ах) + DV (ах) = f	~ К.(ах).
Резонанс имеет место, когда знаменатель этого выражения обращается
в ноль, т.- е. когда
Т2(а/) — V2(a/) = sh aZsin а/ = 0 и а/ = kn.
Таким образом, в данном случае резонансными являются частоты
j/v=kv .
соответствующие частотам собственных колебаний балки на двух опорах.
§ 5. КОЛЕБАНИЯ, ВЫЗЫВАЕМЫЕ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКОЙ
Постоянная по величине нагрузка, если точка ее приложения переме-
щается, также вызывает колебания упругой системы; такова, например,
причина колебания мостов при прохождении по ним железнодорожных
составов. В настоящем параграфе мы не останавливаемся на хорошо изучен-
ном вопросе о колебаниях балок, лежащих на жестких опорах, при движении
по ним постоянной нагрузки [11], [13]. Эти колебания являются нестацио-
нарными; они возбуждаются в то время, пока нагрузка движется вдоль
балки, и затем постепенно затухают.
Более важное практическое значение в машиностроительной практике
имеют стационарные колебания, возникающие при непрерывном перемещении
нагрузки с постоянной скоростью. Ясно, что для того, чтобы такого рода
Колебания, вызываемые подвижной нагрузкой
329
движение нагрузки было возможным, либо упругая система должна быть
безграничной (бесконечно длинная балка на упругом основании), либо дви-
жение нагрузки должно происходить по кругу. Именно последний случай
возбуждения колебаний подвижной нагрузкой обычно и имеет место, причем,
как правило, приходится иметь дело с неподвижно ориентированной в про-
странстве нагрузкой и с вращающейся упругой системой. Такова, например,
нагрузка, обусловливаемая давлением пара на турбинный диск при пар-
циальном подводе, нагрузка, воздействующая на катящуюся шину автомо-
биля, и т. д.
Во всех этих случаях колебания с большими амплитудами возникают
Фогда, когда скорость относительного движения нагрузки близка к скорости
распространения бегущей волны при свободных колебаниях системы.
Рассмотрим это явление на примере бесконечной балки на упругом осно-
вании, по которой с постоянной скоростью движется сосредоточенная сила.
Дифференциальное уравнение упругой линии статически нагруженной -
балки, лежащей на упругом основании, имеет вид (см. главу X, том 1)
£J-g- + ^=f(x),	(72)
где ц (х) — прогиб балки;
EJ — жесткость поперечного сечения балки при изгибе;
k — так называемый коэффициент постели;
f (х) — интенсивность распределенной нагрузки.
При выводе уравнения (72) предположено, что интенсивность сил взаимо-
действия между балкой и упругим основанием пропорциональна прогибу
балки в данной точке, причем коэффициент пропорциональности (коэффи-
циент постели) равен k кг/смй.
Уравнение движения балки можно получить, добавляя к внешней нагрузке
силы инерции собственной массы балки, интенсивность которых равна
— q^ , где q — удельная масса балки (масса на единицу длины балки). Таким
образом, имеем
+	(73)
Обозначим
-X- = 4п2;	= 4/и4.
EJ ’ Е J
Тогда уравнение движения примет вид
+	+	(74)
Определение с помощью уравнения (74) частот собственных колебаний
балок на упругом основании не представляет затруднений. Метод решения
здесь совершенно такой же, как и для свободной балки (см. § 3).
Если нагрузка, сохраняя свою величину, движется вдоль оси балки
со скоростью а, то
f(x.t)=f(x-af).	(75)
При стационарном движении прогибы перемещаются вдоль оси балки
стой же скоростью, что и нагрузка, т. е.
т] = i] (х — at).	(76)
330
Колебания стержней с распределенной массой
Обозначая х— at — | и подставляя выражения (75) и (76) в дифферен-
циальное уравнение (74), получим обыкновенное дифференциальное урав-
нение для функции ц (£):
^- + 4nV^ + 4/n^==-±,f(5).	(77)
»<	m	-.*ГAkEJ
Можно видеть, что при а < — — 1/ —— корни характеристического
П у Q
уравнения
s4 + 4n2a2s2 + 4/и4 = 0
являются комплексными и имеют вид
sx_4 = + ® ± /р,
где
а = f/m2 — а2п2;
р = Ут2 + а2п2.
Общее решение уравнения (75) при а < можно представить в виде
-к; = (Сх cos pl + С2 sin pi) + е~(С3 cos pl + С4 sin pl) + Ф (I),
где Ф (5) — частное решение неоднородного уравнения.
Рассмотрим частный случай, когда по балке движется сосредоточенная
сила, положение которой соответствует | = 0 или х = at.
В этом случае как при | > 0, так и при | < 0 внешняя нагрузка отсут-
ствует и выражение для (|) дается решением однородного дифференциаль-
ного уравнения. Отбрасывая в этом уравнении слагаемые, неограниченно
возрастающие с удалением от начала координат, получим при % < 0 (слева
от точки приложения силы)
= е®* (Сх cos pl + С2 sin pl)
и при | > 0 (справа от точки приложения силы)
71„ — е~л^ (С8 cos pi + Ct sin pl).
При 1 = 0 должны выполняться условия
„ — rf2'fin • । р
TU — ЧП.	>	d^2 — rfg2 ’	d£3 — ^3 "Г EJ •
Определяя из этих условий постоянные Сх — Ct, получим окончательно:
при | > 0
tj = — acf a g~ttg fcosftlsin pl4) ;
* 8EJm2a \ г * р /
при | < 0
ч = - 8£Ж (C0S - Tsin •
Прогиб под силой (| = 0) равен
/_ч	Р _ Р	1
W£=0 — 8EJm2a — 4_______•	/----
i/l----5“
Г	акр
Колебания, вызываемые подвижной нагрузкой
331
где
(78)
_ у4kEJ
а“Р — у q*
Из этого выражения видно, что при возрастании скорости а движения
нагрузки прогиб увеличивается и стремится к бесконечности при приближе-
нии этой скорости к критическому значению акр.
Одновременно меняется и вид упругой линии.
Формы упругой линии, соответствующие различным скоростям движе-
ния нагрузки, представлены на
фиг. 191.
, ____ При скоростях движения, близ-
ких к критической, прогибы с уда-
Р
Физический смысл критической скорости акр состоит в том, что она пред-
ставляет собой наименьшую скорость бегущей волны в балке.
Действительно, выражение для бегущей волны синусоидальной формы
имеет вид
= С sin (х — at),
(79)
где К — длина полуволны;
а — скорость распространения волны.
Подставляя выражение (79) в уравнение свободных колебаний балки
S' + 4"2 ‘Э’ +	= °’
получим для скорости распространения волны выражение
а
Таким образом, скорость распространения волны зависит от ее длины
(фиг. 192) и при длине К = —у=- достигает минимума, равного акр.
Следовательно, значительное возрастание прогибов имеет место тогда,
когда скорость движения нагрузки приближается к скорости распростра-
нения бегущей волны.
Полученный вывод о безграничном возрастании прогибов явился след-
ствием того, что мы пренебрегли затуханием. В действительности при
332
Колебания стержней с распределенной массой
приближении скорости движения нагрузки к критической прогибы балки бу-
дут резко возрастать, но сохранят конечное значение. Энергия, необходимая
для того, чтобы поддерживать колебания при наличии затухания, сообщается
системе самой движущейся нагрузкой. Объясняется это тем, что при нали-
чии затухания касательная к упругой линии балки в месте приложения
силы уже не является горизонтальной и сила получает составляющую,
направленную по движению (фиг* 193).

Направление
движения нагрузки
Фиг. 193.

Следует отметить, что в*балках на упругом основании величина крити-
ческой скорости оказывается обычно очень большой. Так, например, для
железнодорожного рельса
Фиг. 194.
эта величина равняется приблизительно
1000 км/час, что намного превы-
шает возможные скорости дви-
жения.
В других случаях практики,
однако, колебания, возникающие
вследствие совпадения скорости
движения нагрузки со скоростью
распространения бегущей волны,
представляют реальную опасность.
Это относится прежде всего к дис-
кам паровых и газовых турбин,
в которых опасные вибрации воз-
никают при совпадении скорости
вращения, со скоростью распро-
странения волн изгиба по окруж-
ности диска. Эти вибрации яв-
ляются следствием того, что
аксиальное давление пара, неравномерно распределенное по окружности,
представляет собой по отношению к вращающемуся диску подвижную
нагрузку.
Основы расчета на вибрацию дисков турбин изложены в § 8 главы IX.
Другим важным примером возникновения колебаний при совпадении
скорости движения нагрузки со скоростью распространения бегущей волны
является так называемая критическая скорость качения пневматической
шины. Сущность явления состоит в том, что при увеличении скорости качения
шины до определенной величины резко меняется характер ее деформации.
В то время как при малых скоростях качения деформации локализуются
в непосредственной близости от площадки контакта шины с дорогой, при
критической скорости на боковой поверхности шин образуются значитель-
ные волны (фиг. 194).
В связи с расширением области деформации, при приближении скорости
качения к критической резко возрастает сопротивление движению. Как
правило, при работе на скоростях, близких к критической, шины очень
быстро выходят из строя.
Расчетное определение критической скорости шины рассмотрено
в работе 15].
Литература
333
ЛИТЕРАТУРА
1.	Ананьев И. В., Справочник по расчету собственных колебаний упругих систем,
Гостехиздат, 1946.
2.	Б а б а е в Н. Н., Колебания балок переменного сечения, «Инженерный сборник»,
т. 22, АН СССР, 1955.
3.	, Б е з у х о в Н. И., Статика и динамика кривого бруса, «Труды Московского авто-
дорожного института», вып. 8, Гострангиздат, 1939.
4.	Безухов Н. И., О динамических реакциях при вибрации упругого стержня,
сб. «Исследования по теории сооружений», вып. 5, Госстройиздат, 1951.
5.	Бидерман В. Л., К расчету критической скорости качения пневматической
шины, «Труды НИИ шинной промышленности», сб. 3, Госхимиздат, 1957.
6.	И о р и ш Ю. И., Измерение вибрации, Машгиз, 1956.
АН СССР^ ЮЗ ° В А* Об 0ПРеДелении критических скоростей вращающегося вала,
8.	К р ы л о в А. Н., Вибрации судов, ОНТИ, 1936.
9.	Рэлей, Теория звука, т. 1 и 2, Гостехиздат, 1954.
10.	С е р е н с е н С. В., Тетельбаум И. М., Пригоровский Н. И., Дина-
мическая прочность в машиностроении, Машгиз, 1945.
11.	Тимошенко С. П., Теория колебаний в инженерном деле, ГНТИ, 1932.
12.	Т у м а р к и н С. А., Критическое число оборотов вала с коническими участками,
«Технические заметки ЦАГИ» № 155, 1937.
13.	Ф и л и п п о в А. П., Колебания балки под действием движущегося груза, «При-
кладная механика», т. 1, вып. 3, 1955, изд. АН УССР.
ГЛАВА VII
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ
СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Для сложных колебательных систем составление и решение уравнения
частот оказывается очень затруднительным.
В этом случае, особенно если требуется определить лишь низшую частоту
колебаний, очень эффективными являются приближенные методы.
В настоящей главе изложено несколько таких методов — метод Рэлея,
приближенная формула Донкерли, метод последовательных приближений,
метод Ритца и метод С. А. Бернштейна.
Каждый из перечисленных методов обладает своими преимуществами
и недостатками, определяющими область его применения.
Так, метод Рэлея позволяет с наименьшим трудом найти частоту собствен-
ных колебаний. Однако для того, чтобы получить с помощью этого способа
хорошие результаты, необходимо так задаться формой системы, деформиро-
ванной в процессе колебаний, чтобы эта форма была близка к действитель-
ности. Если установить эту форму из априорных соображений нельзя, то
ошибка .расчета может быть весьма значительной, причем оценить вероятную
величину этой ошибки не представляется возможным.
Формула Донкерли позволяет легко определить нижний предел частоты
основного тона колебаний упругой системы в том случае, когда известны
(или могут быть вычислены) частоты колебаний частных систем, на которые
можно разбить заданную систему
Если имеется возможность применить к расчету одной и той же системы
и метод Рэлея, и формулу Донкерли, то можно оценить предельную'погреш-
ность расчета, так как по Рэлею всегда получается завышенное, а по Дон-
керли — заниженное значение частоты.
Метод последовательных приближений обладает значительными преиму-
ществами, так как дает возможность применить графические методы и поз-
воляет как угодно близко подойти к точному решению. При этом на каждой
стадии расчета по расхождению между двумя последовательными прибли-
жениями можно оценить вероятную ошибку решения.
Недостатком этого метода является значительная его трудоемкость.
Применение метода Ритца связано, как правило, с вычислением довольно
сложных интегралов, особенно если учесть в расчете большое число членов
ряда, представляющего перемещения системы. Преимуществом метода Ритца
является возможность одновременного получения не только низшей частоты
колебаний, но и нескольких обертонов.
Метод С. А. Бернштейна позволяет определять частоту основного тона
колебаний с оч^нь большой точностью.
1 Каждая из частных систем отличается 6т заданной меньшим числом масс. При наложе-
нии всех частных систем распределение масс должно соответствовать заданному.
Метод Рэлея
335
Существенным”' преимуществом этого метода является одновременное
получение как нижнего, так и верхнего предела для частоты, так что заранее
известна величина возможной ошибки.
Для систем с сосредоточенными массами применение метода С. А. Берн-
штейна является весьма рациональным. При применении этого метода
к системам с распределенными массами часто возникают значительные труд-
ности.
Выбор того или иного метода приближенного расчета зависит как от вида
подлежащей расчету упругой системы, так и от тех требований, которые
предъявляются к точности расчета.
§ 1. МЕТОД РЭЛЕЯ
А. Основные зависимости
Рассматривая задачу о колебаниях точным методом, мы установили, что
при нормальных, т. е. происходящих с определенной частотой р, гармони-
ческих колебаниях полное смещение 5 любой точки системы и угол поворота О*
любого ее элемента зависят от времени по закону
£ = и sin (pt + <р);
& = Osin (pt + ср),
причем и и 0 представляют собой амплитудные значения смещений и пово-
ротов.
Потенциальная энергия деформации системы U является квадратичной
функцией деформаций и, следовательно, может быть записана в форме
и = t/0sin2(pZ + <р),
где t/0 — величина потенциальной энергии при амплитудных смещениях
Кинетическая энергия системы V состоит из энергии поступательного
движения масс и энергии вращения
где mz h./z — масса и момент инерции t-го элемента, a 5Z и 0z — его смещение
и поворот.
Подставляя в выражение для V величины 5 и д, получим
v = р2	+"г 2 cos2 ^pt +
»
Полная энергия движущейся системы равна сумме потенциальной и кине-
тической ее энергии:
П = U + V = f/0sin2(p/ + <р) + р2	+ "г2//в') cos2(^ +
Для свободно колеблющейся системы (при отсутствии возмущающих
сил и сил сопротивления) полная энергия системы постоянна, поэтому
= °..
Подставляя сюда выражение П, найдем
0.
336
Приближенные методы определения частот собственных колебаний
Таким образом, круговая частота собственных колебаний выражается
формулой
где
+	»	(2)
Для того чтобы вычислить величины, входящие в формулу (1), необхо-
димо знать вид деформаций системы при колебаниях (форму изогнутой оси,
кривую углов закручивания и т. п.).
Однако оказывается [6], что если величины Uo и L вычислять не для
действительной формы отклонений системы от равновесного положения,
а для какой-то близкой к ней, величина р по формуле (1) будет лишь незна-
чительно отличаться от своего точного значения.
При этом действительному виду деформации системы соответствует
экстремум выражения (1).
Докажем это. Остановим мысленно колеблющуюся систему в момент,
когда точки ее достигли амплитудных отклонений Ц = и и = в, а
sin {pt + <р) = 1 ], и приложим на основании принципа Даламбера к каж-
дому элементу инерционную силу
п	2
Рц =~тг^г- =
и инерционный момент
Таким образом, мы сводим задачу динамики к задаче статики. Система,
имеющая смещения щ и 6г и нагруженная силами Pji = p^nijUi, действую-
щими по направлениям ut, и моментами Mjt = p2/z0/( действующими
по направлениям 0Z, должна находиться в равновесии.
Рассмотрим полную энергию По такой фиктивной системы. Она будет
состоять из потенциальной энергии деформации Uo (энергия внутренних
сил) и потенциала внешних сил U.
Внешними силами являются силы Pjt — p^m^, работающие на пере-
мещении uz, и моменты Mji = p2Ifit, работающие на перемещении 0С
Выражение для U найдем, исходя из того, что элементарная работа внеш-
них сил на возможных перемещениях равна уменьшению потенциальной
энергии:
— dll = '^ipimiuLdui +
откуда
и = — 4-р2	= - 4- p2L-
Таким образом, полная потенциальная энергия остановленной системы
равна
По = ^о-4" P*L'
При равновесии потенциальная1 энергия системы должна иметь экстремум.
Считая, что деформации системы определяются обобщенными координа-
тами ri, г2...rk.....гп, можем записать условия равновесия в форме
45>_ == 0,
drk
Метод Рэлея
337
или
ди0 1 2 dL
drk	2 Р drk
(3)
Легко видеть, что условия равновесия (3) являются одновременно усло-
виями экстремальности выражения (1).
Таким образом, истинным, равновесным деформациям системы соот-
ветствует экстремальное значение частоты по формуле (1), причем легко
показать, что основному тону колебания соответствует минимум выраже-
ния (1). Поэтому приближенное значение частоты основного тона колебаний,
найденное по формуле (1), всегда или выше точного, или равно ему, если
при вычислении величин (70 и L принята форма смещений системы, совпадаю-
щая с истинной.
В качестве приближенной формы колебаний часто принимают смещения
системы, вызванные какими-либо статическими нагрузками Pi и момен-
тами В этом случае потенциальную энергию деформации t/0 можно
заменить работойf деформировавших систему сил:
ц>=42^«/+42
где u-L — смещение по направлению силы Pit a 9Z — поворот сечения, в кото-
ром приложен момент Mt.
Тогда формула (1) примет вид
_ Л +
р-у 2^-2+W	()
Если в качестве формы колебаний принять смещения, вызванные соб-
сгвенным весом системы, т. е. положить Pt = mLg, то при отсутствии инер-
ции вращения формула (4) примет вид
Р
/g
(5)
здесь — веса сосредоточенных грузов, a ut — статические деформации
по направлению этих весов.
Рассмотрим несколько примеров применения метода Рэлея к определению
частот собственных колебаний упругих систем.
Б. Определение низшей частоты собственных продольных колебаний
стержня с грузом на конце
Рассмотрим колебания стержня длиной I с площадью сечения F, на конце
которого закреплен груз с массой ш (фиг. 195).
Предположим, что при колебании перемещения поперечных сечений
стержня изменяются по такому же закону, как и при статическом растяжении
его постоянной силой, а именно:
г х
u = f —>
где f — перемещение конца стержня (х = /).
Потенциальная энергия деформации стержня
i
JJ EF С/ du \2 , EF
~~2~J\dx) dx ~~2Г	'
о
22 Пономарев 508
338
Приближенные методы определения частот собственных колебаний
При вычислении величины L по формуле (2), кроме массы груза, следует
учесть и распределенную по длине массу самого стержня:
i
L =	= mf2 + J $Fu2dx =	pFZ ) f2,
о
Фиг. 195.
где р — плотность материала стержня.
Подставляя эти величины в формулу (1), получим
EF
(6)
В пределе при m
Эта формула совпадает с формулой (14а), глава VI,
которая получена совсем другим способом.
Формула (6) дает удовлетворительную точность,
если собственная масса р/7/ стержня мала по срав-
нению с массой m груза. В предельном случае, если
pFZ -> 0, формула (6) дает точное значение частоты.
Наоборот, если масса груза мала, ошибка формулы
(6) значительна.
= 0 формула дает р = у 3 |/ что на 10% отли-
ву
чается от точного значения частоты для этого случая
В. Определение низшей частоты собственных колебаний балки
постоянного сечения, лежащей на двух опорах
Рассмотрим балку постоянного сечения, лежащую на двух опорах, к кото-
рой присоединен ряд грузов (фиг. 196).
тг J2
Фиг. 196

Обозначим:
q — массу единицы длины балки;
/пр Ц — массы присоединенных грузов и их моменты инерции относительно
нейтральных осей соответствующих сечений балки;
xL— расстояние точек прикрепления грузов от одной из опор;
Z—длину балки.
Примем, что упругая линия балки при колебании представляет собой
синусоиду
Г . ПХ
V = jrsin-j—
(v — прогиб балки).
Потенциальная энергия деформации балки равна
о	о
Метод Рэлея
339
Смещение i-ro груза
vt = f sin -ф-;
поворот его
А	/ dv \	7С г	7СХ/
0; = (-7Г-)	=----Г f COS—г~ •
1	\ dx )х = х.	I 1	I
Величина L (2) с учетом собственной массы балки равна
i
L=	=f* [JJm, sin2^- + 2Z<cos2 4~] '
o
Формула (1) для круговой частоты собственных колебаний принимает вид
Эту формулу можно представить в более удобном виде, если обозначить:
— отношение массы Z-го груза к собственной массе балки;
х. = А — отношение момента инерции f-го груза к произведению массы
балки на квадрат ее длины.
Тогда
Р =- *2 V 1/-------------................ V-------(7а)
4 V 14-2 2]p/sin2 -у- -4- 2к22] СО'
При отсутствии на балке присоединенных грузов эта формула совпадает
с точной [формула (33), глава VI]. Вообще же ошибка, даваемая форму-
лой (7а), тем больше, чем менее равномерно распределены по длине балки
массы и чем ближе к концам они сосредоточены.
Чтобы оценить точность формулы (7), рассмотрим некоторые примеры.
Пусть в середине невесомой балки помещен груз массой т. Для этого
случая формула (7) дает
р =	—6,980 1/-^L
r г 2ml3 ’ Г ml3
Точное же решение—
Р =
ё
mgl3
48ЁТ
= 6,928 1/.
ml3 9 V ml3
Таким образом, здесь ошибка составляет 0,75%. Если груз помещен
на одной четверти длины невесомой балки, то ошибка формулы (7) равна
уже 6,9%.
Практически ошибка формулы (7) не превышает 5—7%, и эту формулу
можно смело рекомендовать для расчетов.
22*
340
Приближенные методы определения частот собственных колебаний
Г. Определение частоты собственных колебаний балки переменного сечения,
лежащей на двух опорах
Рассмотрим балку переменного сечения на двух опорах, имеющую
несколько участков (фиг. 197). В этом случае также можно положить, что
упругая линия — синусоида:
Однако теперь интегрирование при определении потенциальной энергии
i
U. =	[(Л-Л) Ф (-г) + (А - А) Ф + • • •
• • • + (4_х	^k) Ф (—* ' •) + а] •
Точно так же находим
i
• J	= /2 А [ (ft — 72) Ф (А-) + (ft — ft) Ф (А) + . ..
о
• • • + (<7й-1 — <7л) Ф	+ <7й] •
Метод Рэлея
341
Сравнивая эти выражения с соответствующими выражениями, полу-
ченными выше для балки постоянного сечения, видим, что для балки пере-
менного сечения Uo и J qv* dx выражаются так же, как и для балки постоян-
ного сечения, имеющей момент инерции
J3Kg = (Л - Jt) ф (-г) + V* -Л)ф(-г) + ---
... + (Л_1-Л)ф(-^-) + Л ,	(8)
и интенсивность собственной массы
q3Kg = (<7i — Чг) Ф (-р) +	— <7з) Ф (-р) + •••
... + (^-1-^)ф(-Ц^-)+^	(9)
Таким образом, мы сводим задачу о колебаниях двухопорной балки пере-
менного сечения к задаче о колебаниях эквивалентной балки постоянного
сечения, имеющей момент инерции площади поперечного сечения Jэкв
и интенсивность собственной массы qdKQ.
Если Jдкв и qdK3 подсчитаны, то для определения круговой частоты соб-
ственных колебаний балки можно непосредственно воспользоваться форму-
лой (7).
Так как интенсивность собственной массы балки связана с площадью
поперечного сечения F зависимостью
где 7 — удельный вес материала балки, то для практических вычислений
формулу (9) удобнее представить в виде
где
FaKe = (Fx - Fi) Ф (4-) + ф Ст) + • • •
• • • +	- Fk) Ф	+ Fk.	(10)
Рассмотрим числовой пример.
Найти частоту собственных изгибных колебаний ступенчатого вала с двумя дисками,
пренебрегая инерцией вращения масс. Вал представлен на фиг. 199. Веса дисков равны
Gi= 1300 кг, Gz= 2000 кг. Модуль упругости материала Е — 2,1*106 кгсм2. Вес единицы
объема материала вала = 7,8* 10~3 кг!см3.
Определим прежде всего момент инерции и интенсивность собственной массы эквивалент-
ного вала. Вычисления располагаем в форме таблицы (табл. 44). (Все вычисления проведены
на логарифмической линейке.)
Суммы чисел в двух последних графах таблицы дают Рэкв = 483 см2 и J9Ke = 19 000 см\
откуда
УРэке 7,8* 10—3*483
Яэкв = —— =------------9§о------- — 3,84* 10"~3 кгсек2/см2.
Теперь определяем отношения масс дисков к массе эквивалентного вала:
_ Gi___________________________________1300__________1 _
Н “ 8Чэкв1~ 980-3,84.1О-».ЗОО “ ,1&’
_ С2	2000
И2 ~ 8Чэкв1~ 980-3,84.10-3-300 - 1,77'
342
Приближенные методы определения частот собственных колебаний
ГУ	^Х-1
Координаты точек расположения этих масс = 100 см и х2 = 170 см\ sin—у2-—0,865;
тех»
Sin -f- = 0,977.
По формуле (7а) получаем круговую частоту
о "I Г EJЭКв _ f	1	1 л о	1
₽ = ’ Г -^Й1/ Г .>х1,	= 143сек~1-
Г 1 4-2 ^PiSin2 —j-4-jx2sin2—J-J
Число колебаний в секунду
^ = + = 22,8 гц.
1700
Фиг. 199.
Таблица 44
Таблица к расчету ступенчатого вала с двумя дисками
№	d в с м	F=~ в см2	Fi-Fl+l в см2	nd4 “64“ в см 4	А--Л+1	Ь1 1	( ьг\ ф[т)	(Fi ^Z+i)x хф(-г)	(Ji ~ JZ+1)X хф(4)
1	20	314	— 31	7 820	— 1 650	0,117	0,010	— 0,3	— 16
2	21	345	—145	9 470	— 9 530	0,250	0,089	— 12,9	— 848
3	25	490	—215	19 000	—20 500	0.415	0,332	— 71,4	—6800
4	30	705	4-215	39 500	+20 500	0,450	0,401	+ 86,2	+8240
5	25	490	+ 40	19 000	+ 2 900	0,682	0,827	+ 33,1	+ 2400 +8160
6	24	. 450	+ 136	16 100	8 280	0,880	0,986	-Г-134,0	
7	20	314	314	7 820	7 820	1,00	1,000	+314,0	+7820
								S = 483	S = 19 000
Д. Определение частоты собственных колебаний балки,
нагруженной продольными силами
Если балка нагружена растягивающей силой Р, то к выражению для
потенциальной энергии деформации балки Uo надо добавить потенциал
этой силы РА, где А — осадка точки приложения силы Р при изгибе балки.
Метод Рэлея
343
Таким образом, формула (7) для определения частоты собственных коле-
баний балки, нагруженной продольной силой, будет иметь вид
/ 2(t/0 + PA)
р V +
(П)
Величину перемещения X точки приложения силы Р можно вычислить,
если_известна форма изогнутой оси балки v — v (х):
z i	<12)
Фиг. 200.
Действительно, величину X можно найти как интеграл от разности между
элементом dx изогнутой оси балки и его проекцией dx cos ф (фиг. 200)
на направление недеформированной оси, т. е.
К = рх (1 - cos <Р) 4 J (-g-)2 dx.
Интеграл в формуле (12) берется на участке между шарнирным закре-
плением балки и точкой приложения силы Р.
Для балки на двух опорах (фиг. 200), предполагая, что форма упругой
линии балки при колебании имеет вид синусоиды
получим
о
Подставляя эту величину в формулу (11) и вводя те же обозначения, что
и в формуле (7а), имеем
=	-----V------—V--------------(13>
4 V 1+22]н-^п2-Т- + 2^2] ^cos2—Г
где Рэ = —р-----критическая сжимающая сила для балки (см. главу XII),
соответствующая ее продольному изгибу в плоскости колебания.
При отсутствии на балке сосредоточенных масс выражение (13) совпадает
с точной формулой (53), глава VI.
Формулой (13) можно пользоваться и для расчета балки переменного
сечения, если J и q заменить через Jэкв и q3Kg, которые, в свою очередь,
определяются по формулам (8) и (9). В формулу для определения критической
силы следует также подставлять Jэкв.
Если сила Р не растягивает, а сжимает балку, ее следует вносить в фор-
мулу (13) со знаком минус.
344
Приближенные методы определения частот собственных колебаний
Таким образом, при растяжении частота собственных колебаний увели-
чивается, а при сжатии уменьшается. При приближении сжимающей нагрузки
к критической частота собственных колебаний стремится к нулю.
§ 2. приближенная формула донкерли
Из формулы (1) следует, что
1 _ L
Р2 ~ 2Ц>
или, если вращающиеся массы отсутствуют,
п	2
1 _ in miui	(14)
Р2 Zu 2U0 ’
Будем считать, что значения перемещений ut и энергии деформаций [Д
соответствуют действительной форме колебания системы с присоединенными
массами mi, m2, . . ., mn\ тогда формула (14) дает точное значение частоты
колебаний многомассовой системы.
Обозначим
 <’5>
Очевидно [см. формулу (1)], что величина рь представляет собой прибли-
женное значение частоты собственных колебаний упругой системы, к которой
присоединена лишь одна масса mz (частной системы). Величина pt является
приближенной, так как в формуле (15) стоят значения Uo и uif соответствую-
щие форме колебаний при наличии всех масс, а не только одной массы mf.
Выше было доказано, что приближенное значение частоты по формуле
Рэлея всегда больше или равно истинному. Следовательно,
Pz > Pi,
где pt — точное значение частоты колебаний частной системы с массой mz,
равное 
' <16>
(8П — перемещение точки присоединения массы mz от единичной силы,
приложенной к той же точке).
Формулу (14) можно записать в виде
п
— = У—
р2
i=l Pi
Заменяя приближенные значения частот pt точными, получим вместо
равенства неравенство
п
i — 1
из которого следует, что обратное значение квадрата низшей частоты соб-
ственных колебаний системы с п массами всегда меньше, чем сумма обратных
значений квадратов частот колебаний каждой из масс.
Приближенная формула Донкерли
345
Неравенство (17) может быть использовано для приближенного вычисле-
ния частоты р собственных колебаний системы, несущей несколько масс:
Формула Донкерли (18) дает для частоты колебаний р всегда заниженное
значение.
При пользовании формулой (18) в нее можно подставлять не только точ-
ные, но и приближенные значения частот pz частных систем; однако в этом
случае уже нельзя утверждать, что полученное в результате расчета значе-
ние частоты меньше истинного.
Фиг. 201.
Подставляя в формулу (18) значения рь (16}, ее можно также представить
в виде
=—’ <19>
i = 1
где каждая из масс /nz умножается на соответствующий точке ее закрепления
коэффициент податливости 8iz.
Рассмотрим примеры применения формулы Донкерли.
Пример 1. Определить частоту собственных колебаний балки постоянного сечения, лежащей
на двух опорах (фиг. 201); с тремя закрепленными на ней грузами (mi = m3 — т, Ш2= 2т),
Применяем формулу (19). Предварительно определяем обычным способом (см. главу X,
том I) перемещения точек присоединения грузов от единичных сил, приложенных в этих же
точках:
4 - 1
Ъ11~6зз- 243‘£7’ S22~ 48 £7’
Теперь находим частоту собственных колебаний:
J=___________________1_________
2L	V" + ^2^22 И- тз^зз
/I mfoii
i=A
что на 1,6% ниже точного значения частоты
Пример 2. Определить частоту собственных продольных колебаний стержня постоянного
сечения, один конец которого закреплен неподвижно, а к другому присоединен груз массы т.
Учесть собственную массу стержня.
Формулу Донкерли к рассматриваемой задаче проще всего применить, вычисляя порознь
частоту pi колебаний стержня без присоединенной массы и частоту р2 колебаний груза т
на невесомом стержне.
По формуле (7), глава VI, полагая п= 1, находим
__ тс -1/ Е
Р1 ~ 2 V р/2 •
346 Приближенные методы определения частот собственных колебаний
---------------------------------х----------------------------------
Для частоты р2 получаем
По формуле (18) находим приближенное значение частоты колебаний стержня с грузом:
(20)
Формула (20) дает точные значения частоты в обоих крайних случаях как при ш = 0,
так и при р/7/ — 0.
Так как метод Рэлея дает преувеличенное, а формула Донкерли — преуменьшенное зна-
чение частоты, то можно^утверждать, что истинная частота собственных колебаний стержня
с грузом лежит между значениями, определяемыми формулами (6) и (20).
§ 3.	МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Метод последовательных приближений позволяет определять частоты
и формы собственных колебаний системы с любой степенью точности. Особенно
эффективен этот метод при определении низшей частоты колебаний.
Метод состоит в следующем:
1.	Задаются приближенно формой колебания системы. Смещения масс
системы и их углы поворота, соответствующие этому, нулевому
приближению, обозначим t/0) и 0(О).
2.	Определяют инерционные силы и моменты каждой из масс, задаваясь
произвольным значением частоты Усилие Рр, направленное по смеще-
нию и момент Л4р, направленный по повороту 0р, вычисляются по
формулам
Р(0) =	М<°> = i/$°>,
где i — номер массы	11 — ее момент инерции.
3.	Методами теории сопротивления материалов (обычно графическим
или численным интегрированием) определяют перемещения о(1>, 0(1), вызван-
ные системой нагрузок Р(0), М<0); эти перемещения представляют собой первое
приближение к действительной форме колебаний.
4.	Первое приближение для частоты собственных колебаний определяют
по формуле (4)
Г	+	
р -у	Р V 1М4Т+2М0Г)Г
5.	Далее, принимая полученную форму колебаний за исходную, опреде-
ляют соответствующие инерционные нагрузки, а затем форму и частоту
колебаний во втором приближении.
Таким же образом находят третье и последующие приближения.
Расчет продолжают до тех пор, пока два последовательных значения
частоты не окажутся достаточно близкими друг к другу.
Как будет показано ниже, метод последовательных приближений всегда
сходится к низшей частоте собственных колебаний.
Рассмотрим пример применения метода последовательных приближений
к определению частоты собственных колебаний изгиба.
Определим частоту собственных колебаний вала (фиг. 202, а), размеры которого даны на
фиг. 199. Выше эта задача уже решалась с помощью метода Рэлея. Теперь применим метод
последовательных приближений. Прежде всего распределенную массу вала заменяем четырьмя
Метод последовательных приближений
347
сосредоточенными массами, две из которых (весом 218 и 295 кг) располагаем в точках насадки
дисков, а две (весом 194 и 297 кг) — в сечениях х = 385 мм их — 2490 мм. Таким образом
приходим к четырехмассовой системе (фиг. 202, б).
Фиг. 202.
Затем произвольно задаем вероятную форму изгиба вала (фиг. 202, в). Абсолютная величина
прогибов, которыми мы задаемся, не играет роли, поэтому масштаб кривой прогибов может быть
выбран любым.
Приняв некоторую (любую) величину частоты колебаний (мы приняли р^ =100 сек~')
определяем инерционные силы каждой массы:
р(0) = Gi_ [ (0)]2 v(0) = J94.1002.02 = 396 кг\
1 g	1	980
р(0) =	[ (0)]аи(°) = 1518 1002.0,44 = 6800 кг\
2 g 1	2	980
[р<°>]2 г><°> =	1002-0,48 = 11 200 кг,
=	[р(0)]2о(0) = 297 1002.025 = 760 кг
348
Приближенные методы определения частот собственных колебаний
Нагрузив вал этими силами (фиг. 202, г), строим эпюры изгибающих моментов М и кривизны
~ (фиг. 202, д).
Затем, применяя способ веревочного многоугольника, находим прогибы вала, вызванные
силами Р^\ Р^\ Р^ и Р^ (фиг. 202, е).
Прогибы под массами оказались равными = 1.09 мм; = 2,16 мм; = 2,45 мм;
— 1,25 мм.
По формуле (4) определяем приближенное значение частоты собственных колебаний.
Пренебрегая инерцией вращения, получим
396-0,109 + 6800-0,216 + 11200-0,245 + 760-0,125
9^0(194.0.1092 + 1518-0.2162	2295-0,2452 + 297-0,1252)
= 140,6 сек—1.
Для второго приближения используем форму упругой линии, полученную при первом
приближении.
Определяем инерционные силы, соответствующие форме колебаний, изображенной на
фиг. 202, е, при частоте р^ — 140,6 сек—1. Величины этих сил указаны на фиг. 202, де. Строим
от них эпюру моментов (фиг. 202, з), а затем определяем графическим методом прогибы, выз-
ванные этими силами (фиг. 202, и).
По формуле (4) находим второе приближение для круговой частоты:
р<2> =
430• 0,104 + 6600 - 0,22 + 11300 • 0,245 + 790• 0,125
А (194-0,1042 + 1518-0,222 + 2295-0,2452 + 297-0,1252)
Уом
= 140,0 сек-1.
Расхождения между значениями первого и второго приближений для частоты собствен-
ных колебаний лежат в пределах точности графических построений. Поэтому величину
р = 140 сек.—1 можно считать достаточно близкой к точному значению частоты собствен-
ных колебаний системы (по методу Рэлея, задаваясь синусоидальной формой изгиба, мы
получили р = 143 сек-1; таким образом, расхождение составляет около 2%).	\
При применении , мето да последовательных приближений, замена распре-
деленных масс сосредоточенными, как это было сделано в рассмотренном
примере, конечно, не является обязательной. Так, например, при рассмотре-
нии колебаний бруса переменного поперечного сечения и, в частности,
турбинных лопаток весьма эффективным является численное интегрирование
дифференциального уравнения изгиба бруса с распределенной нагрузкой [2].
Это уравнение имеет, как известно, вид
(ej+A =о(х);	(21>
dx2 \ dx2 )	4 '	4 ’
здесь □ (х) — интенсивность распределенной нагрузки, которая в случае
свободных колебаний* определяется инерционными силами и равна
□ (x) = p2pFo,	(22)
где pF — масса единицы длины бруса.
Сущность метода состоит в том, что, задавшись приближенно формой
изогнутой оси сК°) (х) и приняв какое-либо значение частоты по форму-
ле (22) определяют интенсивность нагрузки □ (х). Затем, интегрируя уравне-
ние (21), находят первое приближение для прогибов сА1) (х).
Метод последовательных приближений
349
Приближенное значение частоты определяют в соответствии с форму-
лой (4), которая при распределенных параметрах принимает вид
В данном случае1
Р =
□ (х) v (х) dx
j pFu2 (х) dx
Р(1)~У }?f[v^(x)]zdx ~Ро
J dx
I
(23)
JpF
Затем вычисления повторяют, взяв за исходную форму упругой линии
tKO (х).
Рассмотрим более детально численное ин-
тегрирование уравнения (21) для консольного
бруса переменного сечения (фиг. 203). В этом
случае целесообразно выбирать пределы инте-
грирования каждый раз таким образом, чтобы
постоянные интегрирования обращались в ноль.
Первый интеграл уравнения (21) представляет собой поперечную силу:
Фиг. 203.

Произвольная постоянная в этом выражении отсутствует, так как на сво'
бодном конце бруса (при х = /) Q = 0.
Интегрируя еще раз, находим изгибающий момент:
i
EJ^ = M(x) = -^Q(x)dx.
В этом случае постоянная интегрирования также равна нулю.
Дальнейшие интегрирования целесообразно проводить в пределах от
х = 0 до х, так как при х = 0 (в заделке) = 0 и v = 0.
Таким образом,
dv Р М (х) .
-г- = I —~г dx
dx J EJ
a
Вычисление интегралов целесообразно проводить по формуле трапеций,
разделив стержень на некоторое число участков равной длины.
Подробности вычислений видны из приводимого ниже числового примера.
1 Формулу (23) можно получить также исходя из требования, чтобы функция I 1 р(1)
I J
минимально отличалась от функции
и
V =
dv ,
-tedx-
350
Приближенные методы определения частот собственных колебаний
Требуется определить низшую частоту собственных колебаний заделанного одним концом
бруса переменного сечения (лопатки турбины) представленного на фиг. 204. Разделив брус
на десять участков равной длины, по Д =	= 2,04 см, для каждой точки деления опреде-
ляем момент инерции J и площадь F поперечного сечения. Соответствующие значения жесткости
сечения EJ и массы единицы длины pF выписаны во второй и третьей графах табл. 45, причем
принято Е = 2,05-106 кг/см2, р = 7,95-10-6 кгсекЧсм*.
Задаем форму упругой линии бруса в виде кривой, удовлетворяющей геометрическим
граничным условиям. В данном случае в качестве такой кривой принята парабола
v(0)(x)=^.
Значения для каждого сечения приведены в графе 4 табл. 45. Задавшись произвольным
значением частоты = 400 сек~\ определяем интенсивность нагрузки:
о = [р<°> J2 ?Fv^
-1=204 см
Фиг. 204.
выписанную в графе 5 табл. 45.
Графа 6 таблицы служит для вычисления попе-
речной силы:
1
— Q (*) — J ° (х) dx.
Интегрирование выполняется по формуле трапеций, так что значение — Q для какой-либо
точки деления определяется как
— Qi — -g- (ojfe + 2u£_i +	2 + • • . 4 • 2o/+i + o/),
где k — последняя точка деления, соответствующая свободному концу бруса.
Вынося величину = 1,02 см в общий множитель графы 6, можем определять цифры
этой графы простым суммированием по схеме кольца. Так, например, чтобы получить цифру
стоящую в девятой строке графы 6 (3,673), нужно к ниже стоящей цифре (1,957) добавить
цифры 0,921 и 0,795, как это схематически показано стрелками в табл. 45.
Таблица 45
Расчет частот собственных колебаний (первое приближение)
X в см	EJ в кгсм2-\№	9—01 я	в см	»(0)= [р(0)]2Х X pFv(®> в кг!см	1	1 — Q= / о(0) dx X в кг-1,02	*53	еч о» S -'-Л- 1	* 1 II	£ м	м EJ в СМ~Т‘ 1,022- ю~4	* Л Т <	О —*=> II S. Six “ » *53 *53 1	М	0(l)= \d4^dx J dx 0 в см • 1,024 • 10~4	о ’о »7 С- ° € £ С. з °- «	pF [о(»Р в кгсек2-1,02е-10 6
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
0	5,33	12,80	0	0	8,636	123,784	23,2	— 0	0	0	0
2,04	4,43	12,24	0,01	0,020	8,616	106,532	24,1	47,3	47,3	0,001	0,000
4,08	3,69	11,60	0,04	0,074	8,522	89,394	24,2 1-	95, 6	190,2	0,009	0,005
6,12	3,07	10,96	0,09	0,158	8,290	72,582	23,6	143,4	429,2	0,042	0,020
8,16	2,54	10,32	0,16	0,265	7,867	56,425	22,2	189,2	761,8	0,126	0,060
10,20	2,07	9,68	0,25	0,387	7,215	41,343	19,9	231,3	1182,3	0,286	0,135
12,24	1,66	9,04	0,36	0,521	6,307	27,821	16,8	268,0	1681,6	0,548	0,256
14,28	1,31	8,40	0,49	0,659 |-	->5.127	16,387	12,5	297,3	2246,9	0,925	0,425
16,32	1,00	7,76	0,64	0,795 "	-->3,673	7,587	7,6	318,4	2862,6	1,420	0,637
18,36	0,78	7,12	0,81	0,921 _	“ 1,957	1,957	2,5	328,5	3509,5	2,020	0,878
20,40	0,57	6,48	1,00	1,036 1-	—0	0	0	331,0	4169,0	2,700	1,125
Метод последовательных приближений
351
Далее таким же точно образом производится вычисление изгибающего момента:
I
М § Qdx,
значения которого приведены в графе 7 таблицы. Значения изгибающего момента в каждом
сечении делятся на жесткость (графа 8), и полученная величина интегрируется для определе-
ния угла поворота касательной к упругой линии:
X
Вычисление (графа 9) снова производится суммированием по схеме кольца, но теперь
уже сверху вниз.
Интегрируя таким же образом еще раз, находим первое приближение для прогибов
(графа 10). В графах 11 и 12 вычислены произведения pFi/^t/1) и pF [и(1)]2.
По правилу трапеций находим интегралы:
I
j* pFv^v^dx = 14,9-10“6 кгсек2сМ\
о
i
j* pF [^^]2dx = 7,13* 10~6 кгсекРсм.
о
По формуле (23) определяем первое приближение для круговой частоты:
О -----------= 400 1/^9 = 579 сек-^
^Flv^dx
Для следующего приближения следует повторить вычисления, использовав в качестве
исходной полученную форму упругой линии г/1) (х). Выкладки приведены в табл. 46, в графе 4
которой даны значения прогибов отнесенных к прогибу на конце. Таким образом, цифры
этой графы равны соответствующим цифрам графы 10 табл, 45, деленным на 4169,0.
Суммируя по правилу трапеций графы 11 и 12 таблицы, получаем
- ‘	I
j* pFv^v^dx — 17,3* 10“6 кгсек?см,
о
Z
| pF []2 dx = 17,5*10—6 кгсек2см,
0
следовательно, второе приближение для круговой частоты равно
р<2) = 579 1/	= 575 сек-1.
г 1 I ,0
Следует отметить, что вместо формулы (23) для определения последова-
тельных приближений можно пользоваться более простой формулой:
/ с/"-1)
=	(2«)
r итах
При подсчете первого приближения формула (24) дает меньшую точность,
чем формула (23), но для последующих приближений они дают почти одинако-
вые результаты.
352
Приближенные методы определения частот собственных колебаний
Таблица 46
Расчет частот собственных колебаний (второе приближение)
wo S X	& n S	fF	-2	-6 вкгсекгсм -10	в CM	„(0= [р(1)]г x X pFt><0 в кг!см	I — Q = J oW dx X в кг. 1,02	I M= — J Q dx X в kscjw-1,022	4 о	dt>(2) (* M dx “J EJ dX 0 в Ы.02*-IQ-*	•a , SL s •s b» 7 co 	io O J Й co	co lo S 8 °- «	CO 1 о » » co ~ « *—• CU u. 8 °- У
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
0	5,33	12,80	0	0	19,62	278,1	52,2	0	0	0	0
2,04	4,43	12,24	0,011	0,05	1'9,57	238,9	54,0	106,2	106	0,00	0,00
4,08	3,69	11,60	0,045	0,18	19,34	200,0	54,3	214,5	426	0,02	0,02
6,12	3,07	10,96	0,103	0,38	18,78	161,9	52,7	321,5	962	0,11	0,10
8,16	2,54	10,32	0,183	0,63	17,77	125,3	49,5	423,7	, 1708	0,32	0,30
10,20	2,07	9,68	0,284	0,92	16,22	91,4	44,1	517,3	2649	0,73	0,68
12,24	1,66	9,04	0,404	1,23	14,07	61,1	36,8	598,2	3764	1,37	1,28
14,28	1,31	8,40	0,539	1,52	11,32	35,7	27,2	662,2	5024	2,28	2,12
16,32	1,00	7,76	0,696	1,79	8,01	16,4	16,4	705,8	6392	3,40	3,17
18,36	0,78	7,12	0,842	2,02	4,20	4,2	5,4	727,6	7826	4.69	4,36
20,40	0,57	6,48	1,00	2,18	0	0	0	733,0	9287	6,00	5,58
В рассмотренном примере, пользуясь формулой (24), мы получили бы
для первого приближения
/ „(0)	. г------------------
n(i) = п(0) 1 / .. max., _. Ann 1/________I_________= 594 сек “1
Р	Р V	г 1,02*-10—*-4169
r max
вместо = 579 сек 1 и для второго приближения
р(2) — р(1)	= 579	1 02*. 10-*-9287 ~ 576 СеК 1
г шах
вместо 575 сект1.
Таким образом, если в расчете ограничиваться одним приближением,
целесообразно пользоваться формулой (23), как обеспечивающей высокую
точность уже в первом приближении. Если вычисляется несколько прибли-
жений, то можно пользоваться формулой (24), так как в этом случае упро-
щаются вычисления (отпадает необходимость в графах 11 и 12 расчетной
таблицы).
Иногда целесообразно в качестве основной неизвестной функции рас-
d2v
сматривать не перемещение и, а кривизну х =	•
В этом случае, задавшись приближенно зависимостью
d2u<0)
dx2
= x(0)W,
Метод последовательных приближений
353
последовательно находят
f /Оч ,
-3r = Jx(0)^i;
0
f(0) = Д x^dx^dx,-,
о(0) = [р(о>]2 р/70(о> = [р(о)]2 pF j J* X(o)jx^x1;
Q<» = _jo<0)dx;	M(1) = -^Q(,)dX
и, наконец, первое приближение для кривизны:
II х2 хй
Х(1) =	=	J f PfJ f x^^dXgdXidx,
х Xi 0 0
(25)
Первое приближение для частоты колебаний определяется на основе
следующих соображений.
Если бы функция нулевого приближения х(0) (х) представляла собой
точное выражение кривизны при какой-либо форме собственных колебаний,
а р(°) — их частоту, функция х(1) совпала бы с функцией х(0)-
Отметим также, что если вместо частоты р<°> задаться частотой р(1>,
[„(1) 12
Поэтому частоту собственных колебаний р(0 следует определить таким
Г о(1) I2
образом, чтобы функция х(1) минимально уклонялась от функции х(0)-
В соответствии с методом Галеркина показателем наименьшего уклоне-
ния является равенство
РОИ2	)
х(1)_ х(°> \EJxwdx = 0,
р~ 
откуда
p<D = р<°>
(26)
Докажем сходимость метода последовательных приближений. В общем
случае последовательные приближения вычисляются по формуле
v(n) = [pin~l)]2 Kv(n~l\	(27)
где К — некоторый линейный интегральный оператор.
Как уже отмечалось, для консольной балки
X Xi	II
Kv = J J	J pFvdx^dx^iXidXi.
0 0	x 2 xa
23 Пономарев 508
354
Приближенные методы определения частот собственных колебаний
Собственные функции Vi, vz, vz, ... тождественно удовлетворяют уравне-
нию (27), так что
= P^Kvi, 1
„„	> и т. д.,	(28).
и2 = Р22^2 J	v '
где pi, р2 — точные значения частот собственных колебаний системы.
Разложим функцию нулевого приближения в ряд по собственным функ-
циям:
о(0) = с1»1 + с2о2 + с3ц3+. . .	(29)
Тогда функция первого приближения будет равна
U(l) = [Р(О>]8Ktf<0) м [р(0>]8 [C1KV1 СгКх)г + СзКуз +...],
или, в соответствии с равенствами (28),
Pi	р|	1
+ -y ЗД + -г-Сз^з + • • • •	(30)
Р2	Рз	J
Легко видеть, что, поскольку pi <р2 < рз < функция первого при-
ближения о('> ближе к собственной функции vz, чем функция v<°> нулевого
приближения.
При i-м приближении доля n-й собственной функции уменьшается в отно-
шении 0^-) ‘ по сравнению с долей ее в нулевом приближении.
Подставляя разложения функций t><°> (29) и »<*> (30) в формулу (23)
для частоты собственных колебаний и учитывая, что вследствие ортогональ-
ности собственных функций при п =/= k
foFv^x = 0,
>0)1*
. пО) I
i»(D =
получим
[р(1>]2 = р\
п2	г2	п2	с2
\+.Рх	— А 4- Р1 . 3
*+>" J Д2+-2---^;
Р2	С1	Рз	С1
Р41	с2	Л	Р\	С3
Р2	с\	Рз	с\
где обозначено
lx
л ^Fv^dx
Аналогично, для
[р(0]2 = р2--------
1 -ь(~-
\ р2
(31)
частоты, определяемой в i-м приближении, имеем
 •-2 w^...
Рз / Cj
- . .
^-)2Z+24x8+. .
Рз J cj
Так как 1, то в формуле (31) слагаемые, кроме первого в числителе
и знаменателе, быстро убывают с ростом i и частота, определяемая в i-м
приближении, стремится к низшей частоте собственных колебаний рх.
Метод Ритца
355
Из сказанного следует, Цто метод последовательных приближений схо-
дится к низшей частоте собственных колебаний.
Единственным исключением является случай, когда коэффициент
в разложении (29) исходной функции равен нулю, т. е. когда эта функ-
ция ортогональна к функции vi. Легко видеть, что в этом случае метод будет
сходиться ко второй частоте собственных колебаний р2- На этом основано
определение второй частоты собственных коле-
баний, которое проводится после того, как первая частота и соответствую-
щая собственная функция Vi найдены.
Чтобы обеспечить ортогональность выбранной функции к Vi, ею задаются
в форме
у(0) = у(0) avlt
где v<Q> — подходящая функция, а коэффициент а выбирается из условия
ортогональности
^v^v^Fdx = О,
откуда
^Fv^Vjdx
а =------р--5---•
J yFV'dx
Дальнейшие вычисления не отличаются от вычислений при определении
первой частоты. В результате этих вычислений находится функция первого
приближения и(1> и соответствующая частота.
Следует отметить, что вследствие неточностей расчета функция у(1) может
оказаться не вполне ортогональной к vx. Поэтому, прежде чем переходить
к расчету второго приближения, необходимо ортогонализировать функцию
и в качестве исходной для второго приближения принять функцию
v(1) = и(1) +
где
Принципиально метод последовательных приближений пригоден и для
отыскания третьей и высших частот собственных колебаний. Нужно лишь
каждый раз задаваться функцией смещений, ортогональной ко всем преды-
дущим собственным функциям. Практически, однако, для частот выше
второй этот метод не применяется вследствие сложности выкладок и медлен-
ной сходимости.
§ 4. МЕТОД РИТЦА
Другим методом, позволяющим получить уточненное значение частоты
собственных колебаний, является метод Ритца.
Метод Ритца состоит в том, что задают выражение для смещений в виде
ряда
= г i<pi + г2<р2 + г3<рз	(32)
где ••• — известные функции координат, удовлетворяющие условиям
закрепления системы, а гх, г2, .. — неопределенные параметры.
23*
356
Приближенные методы определения частот собственных колебаний
Затем вычисляют потенциальную энергию деформации системы {/0,
соответствующую смещениям v, и величину
Далее, считая п, г2, г %, ... обобщенными координатами системы, записы-
вают условия равновесия (3) системы:
dU* 1 » dL Л
ТКГ-Т'’ <й = 0:
Так как Uo и L выражаются квадратичными функциями от смещений,
то уравнения типа (3) являются линейными и однородными относительно
।	параметров п, г2...причем таких уравнений можно написать
даГТре	столько, сколько параметров г принято в выражении (32).
f	Приближенное уравнение частот получаем, приравнивая нулю
I определитель полученной системы уравнений.
*	Результаты, полученные таким образом, оказываются тем
• Ivm/cm точнее, чем больше членов ряда (32) принято во внимание.
•	В качестве примера применения метода Ритца рассмотрим
j	задачу об определении частоты собственных	колебаний балки,
।	нагруженной равномерно распределенной	продольной	нагруз-
!	кой интенсивностью о кг!см (фиг. 205).
1	Форму упругой линии при колебании представим в виде
_ L	ряда
х	. тех ,	. 2тсх .	. Зтсх ,
Фиг. 205.	v=r1sm-r 4-r2sin— +r3sin — + ...	(33)
Потенциальная энергия деформации балки
2 f IB i^k2rirk sin sin dx +
. ft i=i k=i+i
+ f 2 sin2“dx
о *=»
Учитывая, что при i =£ k
i
c • inx . kitx i Л
1 sin -j—sin —j— dx — 0
0
и что при i = k
(* . о kltx 1 I
1 sin2—-j~ dx = y,
0
получим

К потенциальной энергии деформации (70 надо добавить потенциал про-
дольных сил
i
ит = f kodx,
о
Метод Ритца
357
где к — продольное смещение точки приложения нагрузки odx при изгибе
(см. §1, раздел Д);
X СО оо
2 f 2 .S z^r«rfecos^7^’cos‘7~^x +
% i=l i=i+l
f 0 о o Kt^X i
k2r2k cos2 — dx
Производя вычисления, получим
Sin (l + k) —j- sin (l — k) —
_____________L j	L
i + k________i — k
sin
2&-ПХ
~T~
Подставляя эту величину А в формулу для U\ и интегрируя от нуля до /,
найдем
{со 'оо	00	'
_L v V ibr Г Г1 — cosfr'+	. 1 — cos (z — &) тс] I «IV ЬМ
2 2л 2л lttrlr^ [ (j + 6)2	+ (z — k)2 J + 8 2лR r*
1=1 *=Z+1	*=1
Так как величины [1 — cos (z + k) тс] и [1 — cos (z — k) тс] равны
нулю при (z + k) четном и равны двум при (z + k) нечетном, то окончательно
имеем
Ur = о
2 S ikrtrk
Z=1 k^i+\
, (z‘+k) —нечетно
*“ (z — k)2 ] + 8 S
k=i
Величину L найдем, пренебрегая инерцией вращения:
оо
iizx . kitx . VI о . о Ых
rirk sin — sm — + rk sin —
k=\
dx =
“-rS'-S-
k=l
Условия равновесия (3) системы при наличии продольных сил будут
иметь вид
Подставляя сюда найденные выше значения Uo, Ui и L, можем записать
любое уравнение этой системы так:
Ч^‘+т‘,-р,4]+»* S Мттж+= °--
Z=1
(/+&)—нечетно
358
Приближенные методы определения частот собственных колебаний
Деля это уравнение на и обозначая
Ро = *2
EJ\
и
/2 Г 9 ’
получим
rk [б4 + ыг— ] + -р-3' ^2- 5 tri [ a +	+ (i-k)2 ] = °-
Z=1
(z'4-Л)—нечетно
Напишем несколько уравнений этой системы, полагая k = 1, 2, 3,
г‘ [‘ + :>// (^) ] +’'"7-;-Д (./ + ') +'’•?“ ^(зг + 40 +  • • “0;
+ 0 +г' [16 +4sfc-(£•) ] +r»T^5(4- + 1) +
+ ^ + |) + -=о;
Г.	+ 1) + Г. [81 +	(-A)’I + r.i$	+ 1) + ...=0.
Уравнение частот получим, приравнивая нулю определитель этой системы.
Решение можно получить с любой степенью точности, учитывая то или иное
число слагаемых ряда (33).
Так, например, используя только первое слагаемое, т.е. полагая п =/= 0, г2=
= rs = ... =0, получим следующее приближенное уравнение частот:
+4-(Я=°,
откуда
Р^ Ро + "2р^«
Сравнивая это выражение с формулой (12), можно заключить, что частота
собственных колебаний балки с равномерно распределенной продольной
нагрузкой примерно равна частоте колебаний балки, нагруженной постоян-
ной по длине продольной силой вдвое меньшей величины.
Полагая равными нулю все коэффициенты ряда (33), кроме л. и г2, получим
уравнение частот:
откуда
Р - ]/i [17 + 2’5 Л + /225+ 45^- +3,06	.
Знак минус в этой формуле соответствует частоте основного тона, знак
плюс — первому обертону.
Метод спектральной функции С. А. Бернштейна
359
С учетом трех параметров t\, г2 и г» получим уравнение частот в виде
Решая это уравнение, можно найти уточненные значения первых двух
частот колебаний и приближенное значение для третьей частоты.
Чем больше слагаемых ряда (33) учтено, тем с большей точностью можно
определить частоты собственных колебаний; однако решение сходится очень
быстро и практически достаточно учитывать только одно слагаемое ряда.
В качестве примера приведем результаты вычисления первой и второй
о/ 1
частот при -5- =1, проведенного с учетом одного, двух, трех и четырех
* э
слагаемых ряда (33).
Число принятых во внимание членов
ряда . .	Р1	... 1 1,2247	2 1,2197	3 1,2197	4 1,2197
	Ро				
	РП	4,2426 *	4,2440	4,2469	4,2469
	Ро				
§ 5. МЕТОД СПЕКТРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ С. А. БЕРНШТЕЙНА
Существенным недостатком рассмотренных выше приближенных методов
расчета является то, что они дают лишь одностороннюю оценку частоты соб-
ственных колебаний. Так, методы Рэлея и Ритца дают всегда завышенные
значения частоты основного тона колебаний, и только формула Донкерли (18)
дает заведомо заниженное значение частоты при подстановке в нее точных
значений частот каждой из частных систем.
Таким образом, при расчете по любому из этих методов возможная ошибка
расчета остается неизвестной.
Весьма ценным в этом отношении является разработанный С. А. Берн-
штейном [3] метод спектральной функции, который позволяет установить
как верхнюю, так и нижнюю границу для частоты основного тона собствен-
ных колебаний.
Строго говоря, метод С. А. Бернштейна является точным методом расчета,
так как он рассматривает точное уравнение частот для многомассовой системы
(см. главу V):
"h8nP2—1	m2812p2 . • •	"*„8lnp2
WiW2 m2822p2—1. . . /пя82яр2
тх8я1р2 '	т28я2р2 . . . т„8яяр2—1
(34)
и позволяет получить его решения с любой степенью приближения.
Однако практически этот метод обычно используется лишь для определе-
ния границ, между которыми заключено значение низшей частоты собственных
колебаний системы.
Получено с учетом только второго слагаемого ряда (33).
360
Приближенные методы определения частот собственных колебаний
В развернутом виде уравнение частот (34) может быть представлено в виде
Зя(г)= 1-Аг + Л2г2-Л3г3+. .. + (-!)«Д„г« = 0,	(35)
где обозначено z — р2, а коэффициенты Ai ч- А п определяются равенствами
п	1
z—1
А2 = -X- V V mjn,
21	h
(36)
п п п
Z=1 /=1 k=A
^ll ^lk
*Р 8z/
^ki %kj ^kk
И т. д.
Можно показать [3], что все коэффициенты
положительными и любой из них удовлетворяет
А
уравнения (35) являются
неравенству
Вследствие того что коэффициенты уравнения (35) быстро убывают, для
приближенного подсчета низших корней этого уравнения (квадратов частот
собственных колебаний) можно ограничиваться лишь несколькими членами
уравнения (35).
Так, при учете двух членов получаем приближенное уравнение
1—А^^О,	(37)
с учетом трех членов
1 — A±z + A2z2 = 0	(37а)
и т. д.
Уравнение (37) определяет первое приближение для низшей собственной
частоты1. Квадратное уравнение (37а) дает второе приближение для низшей
частоты и первое приближение для первого обертона.
С. А. Бернштейн показал, что многочлены нечетных степеней дают
всегда заниженные значения нечетных (и, в частности, первого) корней урав-
нения частот (35) и завышенные значения четных корней. Наоборот, много-
члены четных степеней дают завышенные значения нечетных и заниженные
значения четных корней уравнения (35).
Таким образом, например, для низшей частоты собственных колебаний
уравнение (37) дает преуменьшенное, а уравнение (37а) — преувеличенное
значение. Производя вычисления по обоим уравнениям, можно установить
границы, между которыми лежит значение частоты собственных колебаний
системы, а следовательно, и найти величину возможной ошибки расчета.
Однако для практических вычислений целесообразно несколько преобра-
зовать формулы для приближенного определения частот, что позволяет вычис-
лять их более просто и с большей точностью.
1 Легко показать, что уравнение (37) тождественно формуле Донкерли (18); оно дает
для квадрата частоты значение
Z=1
Метод спектральной функции С. А. Бернштейна
361
Функция Sn (z) (35), как и любой полином со свободным членом, равным
единице, может быть представлена в виде
('-£>  -('-i)-	<38>
где Zi, z2, ..., z„ — корни уравнения (35).
Сравнивая формулы (38) и (35), можно найти выражения коффициентов Д1,
Д2, •••» Дп через корни уравнения (35), а именно:
(39)
Если удвоить коэффициент Д2 и добавить сумму квадратов обратных
значений zp то мы получим, очевидно, полный квадрат суммы —, т. е.
квадрат коэффициента
Д1-
п
4=1 z
откуда
п
^2 — 2	5 2
L j=l Zi .
(40)
Рассмотрим теперь
Из формул (36) имеем
выражение коэффициента Л2 через перемещения.
п п
=4-55 аду-8?;)-
<•=1 /=1
Раскрывая скобку, найдем, что двойная сумма уменьшаемых равна
п п	п	п
5 S	2 т?» =
4 = 1 J=1	4=1	/=1
' П	12
4 = 1
= д?
и, таким образом,
где обозначено
л' = 4-[Л?-ч.
в2 = 2 У
4=1 J=1
(41)
•'362
Приближенные методы определения частот собственных колебаний
Сравнивая формулы (41) и (40), находим, что
п
Аналогичным способом устанавливаются и другие зависимости между
обратными значениями корней уравнения частот и величинами, характери-
зующими распределение масс и податливость упругой системы, а именно:
(42)
'И т. д., где
в2 = 2,^
В8 = S S S
Z=1	«=1
(43)
♦(для удобства записи здесь обозначено Вх = Дх).
Можно показать, что ошибка приближенных значений корней уравнения
частот (35), получаемых при пренебрежении всеми членами этого уравнения,
кроме нескольких первых, тем меньше, чем больше интервал между после-
довательными корнями уравнения* 1.*
Увеличивая искусственно эту разницу, можно значительно повысить
точность приближенного решения. Этого можно достигнуть, если сконструи-
ровать такой трансформированный полином, все корни которого равнялись
бы корням уравнения (35) в степени пг (т > 1).
1 .Так, например, учитывая лишь два члена уравнения (35), находим приближенное выра-
жение для обратного значения первого корня:
г1
Между тем из первого соотношения (39) следует, что в действительности
1 Л ( 1	,	1 I	।	1 \
Z1	X z2 Z3	Zll /
Отсюда видно, что разница между точным и приближенным значениями корня будет
тем меньше, чем больше отношения —, — , . и т. д., т. е. чем больше разрыв между пер-
zi zi
?вым и последующими корнями уравнения частот.
Метод спектральной функции С. А. Бернштейна
363
Трансформированный полином можно записать в виде
V • 71--
' 1 I	И	I I
\ г\ / \ г2 /	\ гп ,
или, развертывая его,
S<OT>(2) = 1 — A\m}zm +	— A^zim + ... + (-1)" A^znm,
где'
n
ЛГ = 4-	- 3BOTB2m- 2В3от)
аналогично
И т. д.
Определим низший корень трансформированного уравнения частот:
S(m) (г) = О
с учетом только двух членов полинома. Тогда
1
VBm
Найденное значение корня меньше точного.
Учитывая три члена полинома S(nt> (г), получим преувеличенное значение
корня:
Таким образом, истинное значение квадрата низшей частоты собственных
колебаний системы pl = 2х заключено в пределах
~<Р!,<лГ-	?	•	(44)
Поскольку с увеличением номера пг пределы неравенства (44) сближаются,
то с его помощью величину pi можно вычислить с любой степенью точности.
Практически можно ограничиться пг = 2 в левой части неравенства
и пг = 1 в правой его части; тогда
(45>
Для расчета по формуле (45) достаточно вычислить всего лишь две вели-
чины Вх и В2.
364 Приближенные методы определения частот собственных колебаний
Наименьшее возможное значение второй частоты собственных колебаний
может быть определено из неравенства

С. А. Бернштейн показал [3], что приведенные выше формулы справедли-
вы и для систем с распределенными массами.
В этом случае знаки суммирования в выражениях (43) для коэффициен-
тов В следует заменить интегралами.
Для стержневой системы с заданным направлением перемещений получаем
i
Bi = J q (х) Zxxdx,
о
i i
= И<7 (*1)q	bxixidX' dx2.
о о
(47)
В формулах (47) q (х), q (xi), q (х2) — интенсивности собственной массы
стержня в соответствующих сечениях;
8ЛЛГ — перемещение точки стержня с координатой х при приложении
единичной нагрузки в той же точке;
3Х1Х2 — перемещение точки с координатой xi при приложении единичной
силы в точке с координатой х2.
Интегрирование в формулах (47) проводится по всей массе системы.
Рассмотрим некоторые примеры применения метода С. А. Бернштейна.
1. Определить основную частоту колебаний балки постоянного сечения, лежащей на двух
опорах (фиг. 201), с тремя закрепленными на ней грузами (mi = т3 = т\ mz — 2т), Собствен-
ной массой балки можно пренебречь.
Определяем коэффициенты канонических уравнений метода сил:
а -х _ 64 JL.	& -ЛЕ JL-
и “ °33 “ 3888 ‘ EJ 9	22 “ 3888 EJ ’
.	. „ 69 Z3 .	. _ 56 /з
012 - 023 - 3888 . EJ ,	о18 - 3888 . EJ .
Вычисляем величины Bi и В 2:
п
В1 = 2	7771511 + т2522 + тз^зз =	(64 + 2-81 + 64) = г
z=l
п п
В2 = пут^] = тх (awi^ii + тз^\2 4* тз&1з) + тъ 4" т2^22 4“ тз$2з) 4"
/=1 7=1
4~ тз (mi^3i 4" ^2^32 4“ т»5зз) “
=	4" ^2522 4“ ^3533 4“ 2 (miAn28|2 4” Щ2^8^23 4~ ^3^1^31) ==
/и2/6	78796 m2Ze
= ww I648 + 28-812 + 648 2 <2’692 + 2‘692 + 562» = 73W W •
Подставляя эти величины в формулу (45), находим
 3.851
откуда
М217/><<’>< 3'7227 / S'
Метод спектральной функции С. А. Бернштейна
365
Разница между нижним и верхним пределами для низшей частоты колебаний составляет
лишь 0,028%. Поэтому полусумма этих пределов
Р1 = 3,7222 ]/'
V ml3
отличается от точного значения частоты не более чем на 0,014%.
Для второй частоты колебаний по формуле (35) получаем оценку
I	-1/ 486В J
I точное решение дает р2 = у — 22,0
2. Найти частоту собственных колебаний консольной балки постоянного сечения (фиг. 206)
с присоединенной к ее концу массой mt учитывая распределенную массу балки интенсивно-
стью q.
В этом случае, поскольку имеются как
распределенные, так и сосредоточенная массы,
выражения (43) для Bi и В2 примут вид
1
Вг = тЪ1Х + J q^xx dx;
о
i	i i
Bt =	+ 2т qb2lxdx + С q42 Xdxdxb
b	о b	‘
где Sh — перемещение массы т при приложении к ней единичной силы;
—	перемещение сечения балки с координатой х от единичной силы, приложенной
в том же сечении;
—	перемещения, вызываемые этой же силой в сечении xj и в точке присоединения
массы т. Таким образом,
. _ /8 .
11 3EJ ’
к — х* 
ХХ~~ЗЁГ>
Ъх1Х = х* (З*1 — <при Х1 > х^’
ъХ1Х = "6^7 ®х ~ Х1) (при Х1 < х^’
81Х ~ "6EJ Х* (3*—
откуда
=	+ f
1 3EJ 3EJ J
0
I	I
D m2№	, 2mq С Л /Л„	, а2 С
2~ 9(EJ)* + 36 (EJ)2] Х <3/—dx + 36(£J)2 J
о	о
12EJ \ ql
г Xl
I х4 (Зхх — х)2 dx +
х	-1
I xf (Зх — хх)2 dx dx± =
___^8 Г33 4- 264 т
5040 (BJ)2 L + ql
Зная Bi и В2, можно по формуле (34) получить пределы низшей частоты собственных коле-
баний при любом соотношении между массой т груза и собственной массой ql балки.
366
Приближенные методы определения частот собственных колебаний
В частности, если груза на конце балки нет (т = 0), получим
П	- R 33	?2/8
1	12£J ’	2	5040 EJ 9
откуда
12'358-^<^< 12'364^-
или
з>5154У-^-<₽1<3’5162 /v"-
Для второй частоты по формуле (35) получаем
EJ
точное значение частоты р2 =

Из рассмотренных примеров видно, что метод С. А. Бернштейна позволяет
вычислять основную частоту собственных колебаний с весьма высокой точ-
ностью, которая к тому же может быть оценена. При этом, если нет необходи-
мости учитывать распределенную массу системы, вычисления являются
достаточно простыми.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Бабаков И. М., Теория колебаний, Гостехиздат, 1958.
2.	Б и р г е р И. А., Некоторые математические методы решения инженерных задач;
Оборонгиз 1956.
3.	Бернштейн С. А., Основы динамики сооружений, Стройиздат, 1941.
4.	Нудельман Я Л., Методы определения собственных частот и критических сил
для стержневых систем, Гостехиздат, 1949.
5.	Се р ен се н С. В., Тетельбаум И. М., Пригоровский М. И., Дина-
мическая прочность в машиностроении. Машгиз, 1945.
6.	Стретт Дж. (лорд Рэлей), Теория звука, Гостехиздат, 1955.
7.	Т у м а р к и н С. А., Критическое число оборотов валов с коническими участками,.
«Технические заметки ЦАГИ, № 155, 1937.
8.	Н о 1 b a J., Berechnungsverfahren der kritischen Drehzahlen von geraden Wellen»
Wien 1936.
9.	S t о d о 1 a A., Dampf und Gasturbinen, Berlin 1924.
ГЛАВА VIII
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
И ХАРАКТЕРИСТИКАМИ, ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ВО ВРЕМЕНИ
Применение методов, рассмотренных в главах IV — VII, в ряде случаев
является недостаточным для изучения явлений, имеющих место в колеблю-
щихся системах.
Так, например, большое практическое значение имеют вопросы воз-
буждения колебаний вследствие периодического изменения параметров
системы (параметрический резонанс), вынужденные колебания систем
с нелинейными упругими характеристиками и др.
Для исследования всех этих вопросов необходимо взамен линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами рассматривать
нелинейные уравнения или уравнения с переменными коэффициентами.
Рассматривая свободные колебания системы с одной степенью свободы,
мы вывели для этого случая дифференциальное уравнение движения, которое
имеет вид
-1-	— о
dt2 тЪ 4
Если колеблющаяся масса т и податливость упругой системы 8 постоянны,
то решение этого уравнения соответствует гармоническим колебаниям
С = и sin {pt + <р),
где
Если величина Ж не постоянна, а является периодической функцией
времени Ж = f (^ то возникающие колебания носят название квазигар-
монических. Таким образом, квазигармонические колебания описываются
линейным дифференциальным уравнением с периодическими переменными
коэффициентами
$ + /(ОС = 0-	(О
Особенностью систем, параметры которых периодически изменяются
с течением времени, является возможность особого рода резонансных режи-
мов, когда периодическое изменение параметра приводит к непрерывному
нарастанию колебаний (параметрическое возбуждение колебаний).
368
Колебания систем с нелинейными характеристиками
Если для рассматриваемой системы величина зависит от смещений
= f (С), то колебания системы описываются нелинейным дифференциаль-
ным уравнением
-g + f(OC = O.	(2)
Ниже будут рассмотрены некоторые примеры систем с характеристиками,
периодически изменяющимися во времени, а также с нелинейными харак-
теристиками.
§ 1. ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ
ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ
В качестве первого примера квазигармонических колебаний рассмотрим
задачу о так называемой динамической устойчивости стержней.
Если к стержню центрально приложена, продольная
\р'1' сила Р (t), изменяющаяся во времени по периодическому
I	j Й	закону (фиг. 207), то при некоторых частотах изменения
Q силы возникают изгибные колебания стержня с весьма боль-
д---1 р	шой амплитудой.
f I ' 7 Для того чтобы выяснить природу этого явления,
\	рассмотрим сначала продольные перемещения,	возникающие
t	\	при обычных изгибных колебаниях бруса.
| Поперечное смещение любой точки колеблющегося бруса
।	выражается формулой
|	т) = Av (х) sin pt,
I где v (х) — функция х, определяющая форму колебания
/ бруса, ар — круговая частота собственных колебаний.
I	Продольное перемещение конца бруса К можно найти по
if формуле [см. главу VII, формулу (12)]
к=4[(*1рх.
Фиг. 207.	2 J \ дх J
О
Подставляя сюда^начения ц, получим
i
X = -j-sin2 pt J [vr (x)]2dx = C sin2p/,	(3)
о
где через С обозначена постоянная величина;
t
с = J [o' (x)]2dx.
О
Заменяя
sin2 р/ =
получим
k = -|-(l— cos2pZ).
Динамическая устойчивость стержня
369
Из этой формулы видно, что продольные смещения стержня изменяются
с частотой, вдвое большей, чем частота изгибных колебаний. Этот результат
является очевидным, так как в течение половины периода колебания, при
движении бруса из среднего в крайнее положение и обратно, продольные
смещения проходят полный цикл изменения, так как точка А (фиг. 207)
переходит из высшего положения в низшее и обратно.
Если мы представим себе, что продольная сила Р (t) изменяется также
с частотой, равной двойной частоте поперечных колебаний, т. е. что при
движении конца балки А вниз и сила направлена вниз, а при движении
течение каждого цикла сила Р (/) будет
вверх и сила направлена вверх, то в
совершать положительную работу.
Работа эта пойдет на увеличе-
ние энергии колебаний, амплитуда
которых будет все время расти.
Таким образом, если не учиты-
вать затухания, амплитуда коле-
баний возрастает неограниченно
и движение, следовательно, яв-	Фиг 208
ляется неустойчивым.
Более точное исследование этого вопроса показывает, что явление неустой-
чивости имеет место не только при частоте изменения продольной силы со,
„ о	2	р	2
равной 2р, но и при <о = р; <о = -н- р; а> = — ; <о = р и т. д.
О	£	о
Кроме того, оказывается, что имеются области неустойчивости, т. е.
что движение является неустойчивым не только при определенных значе-
ниях частоты продольной силы, но и при изменении этой частоты в известных
пределах.
Рассмотрим в качестве простейшего примера задачу о динамической
устойчивости стержня постоянного сечения, опертого по концам и нагружен-
ного продольной силой, изменяющейся по кусочно-постоянному закону
(фиг. 208).
В течение половины периода f изменения силы стержень растянут (Р =
= Ро), а в течение следующего полупериода он сжат (Р — — Ро).
Выше (см. § 2, глава VI), рассматривая колебания бруса постоянного
сечения, растянутого продольной силой Р, мы получили следующее дифферен-
циальное уравнение для смещений:
д4т] Р д2т{ q д2т]
дх* ~ ~ЁТ '~д^ + ИТ 'И2
(4)
Это же уравнение остается справедливым и для рассматриваемого случая1,
однако здесь силу Р следует считать изменяющейся во времени по закону,
изображенному на фиг. 208:
о</<4; Р = Рй->
р = -р0-,
T<t<^T\ P = PQ
И т. д.
1 Предполагается, что время распространения продольной деформации по стержню
весьма мало по сравнению с периодом его изгибных колебаний. Поэтому можно считать, что
в любой момент продольная сила во всех сечениях стержня одинакова.
24 Пономарев 508
370
Колебания систем с нелинейными характеристиками
Для бруса, опертого по концам, решение уравнения (4) можно представить
в следующей форме, удовлетворяющей граничным условиям:
ц = ф (0 sin -у-,
где ф (/) — прогиб в середине пролета, зависящий только от времени.
Подставляя это выраженйе в уравнение (4), получим обыкновенное диф-
ференциальное уравнение для ф (/):
, n*EJ Fi । I2 П//ч1 . A
dt2 + ql* [ + n2EJ Ф —°-	(5)
Уравнение (5) совпадает по форме с уравнением (1) квазигармонических
колебаний системы, податливость которой изменяется периодически в соот-
ветствии с изменением продольной силы (период изменения податливости 71).
Исследование уравнения (5), называемого уравнением Матье, в общем
случае является довольно трудным1. В нашем случае, поскольку сила Р (/)
остается постоянной в течение определенных периодов времени, относительно
просто получить решение уравнения (5) для каждого такого периода.
Обозначим:
Р 1—^-= р2,
где р — частота собственных изгибных колебании стержня при отсутствии
ifiEJ
продольной нагрузки, а Р, = —-------эйлерова сила для стержня (см.
главу XII).
Для тех промежутков времени, когда сила является растягивающей,
решение уравнения (5) дает
ф = acosp^ 4- bsinp^,
где а и b — постоянные, определяемые начальными условиями.
Для промежутков, когда сила Р направлена на сжатие, решением урав-
нения (5) является выражение
ф = с cos p2t + d sin p2t.
Допустим, что в начальный момент времени (/ = 0), когда сила Р стано-
вится растягивающей, средняя точка балки имеет смещение (ф)/=о — ф (0)
и скорость
1 Решение задачи о динамической устойчивости стержней при различных законах изме-
нения продольных сил см. [1], [12]. Динамическая устойчивость пластин рассмотрена
В. Н. Челомеем [18]. Динамическая устойчивость кольца, нагруженного периодически
меняющимся радиальным давлением, исследована Г. Ю. Джанелидзе и М. А. Радцигом [9].
Динамическая устойчивость плоской формы изгиба рассмотрена В. Е. Салионом [15]. Расче-
там динамической устойчивости упругих систем посвящена также обширная монография
В. В. Болотина [4].
Динамическая устойчивость стержня
371
Тогда уравнение движения в течение времени (пока сила Р останется
растягивающей) будет следующим:
ф = ф (0) cos pLt + sin
Т	*
В момент t = -у смещения и скорости равны
Ф (4")= * (°)cos -Т + sin -Т;
НН (~г) =—pi'?(°)sin-vL + 'i,(())coSJT>
где (о =	---круговая частота, соответствующая периоду изменения
продольной силы.
Эти значения смещения и скорости явятся начальными для следующего
Т
промежутка -%, когда продольная сила будет сжимающей. В течение
этого промежутка, отсчитывая время t2 от его начала, получим
Ф = Ц-у ) COS р2*2 Н------S'n р2*2-
т
В момент £2 =	, т. е. по истечении полного периода Т со времени
t = 0, смещение и скорость будут равны
t <т>=»(4)	s,n ;
ф (Т) = - р2ф (-J) sin -^ + ф (^-) cos^f
или, заменяя ф (-у) и ф (-у) их значениями, найдем
ф (Т) = ф (0) [cos -Р11С cos -— sin	sin — ™ ] 4- 
(D	<0	р2	Ш	(D J	?
4-1W. fSI-n_£i2LC0S^L+ ^.cos_WLsin^Ll ;
Pl L Ш	Р2 ш
ф (Г) = — ф (0) Р1 [sin-^- cos^- + -g- cos-—-— sin +
+ Ф (0) [cos cos---------— sin ------ sin -£^-l .
*»x,L	<» Pi	<0 J
Предположим, что
ф(Т) = аф(О); |
ф(Т) = аф(О), /
24*
372
Колебания систем в- нелинейными характеристиками
где а — некоторый коэффициент, т. е. примем, что по истечении полного
периода скорость и смещение возрастают в а раз. Тогда очевидно, что в тече-
ние следующего периода смещения снова возрастут во столько же раз, т. е.
Ф(2Т) = о2ф(0);
<|> (2Т) = <?2ф (0)
и т. д.
Если коэффициент а по абсолютной величине больше единицы, то ампли-
туды колебаний будут неограниченно возрастать, и, следовательно, движение
сбудет неустойчивым.
Таким образом, условия (6) при |а|> 1 представляют собой условия
неустойчивости движения.
Заменим в выражениях (6) ф(Т) и ф (Т) их значениями и обозначим
-P1ZL- v •	- у
ю — Л1»	ш — Л2-
Тогда
ф(0) [cosxicosx2—-^-sinxisinxi—о] +
L	Л2	J
+ [sin Xi cos х2 + ~^-cos Xi sin Z2] = 0;
— Ф (0) Pi [sin Xi cos x2 + “ cos xa sin x2] +
4- ф (0) [cos xi cos x2 — “Sin Xi sin x2 — о 1 = 0.
Эти уравнения (условия неустойчивости) могут удовлетворяться одно-
временно при ф (0) =£ 0 и ф (0) =£ 0 только в том случае, если их опреде-
литель равен нулю, т. е. если
(cos Xi cos Ха — -§•sin Xisin Х2 — °) (sin Xi cos Хг + cos Xi sin x2)
— Pi (sin Xi cos x2 + -g- cos Xj sinx2) (cos X1 cos x2— -g-sin Xi sin x2 — a)
= 0.
Раскрывая это выражение, получим квадратное уравнение относительное:
о2_ Да+ 1 =о,	(7)
где
Д = 2 cos Х1 cos х2 —	+ V-) Sin Х1 sin х2-	(8)
' Л2 Х1 /
Решение уравнения (7) имеет вид
Из этого выражения видно, что действительные значения а возможны
только при|Д|>2. Вместе с тем при |Д|>2 один из корней |а|>1.
Таким образом, условия неустойчивости движения выполняются, если
cos Xi cos х2
sin Xi sin Х2
(9)
Динамическая устойчивость стержня
373
Поскольку
Х2 = 7С
Ро
р3 ’

то величина критерия Л зависит только от соотношенийи В коорди-
натах , -2- можно нанести границы областей, для которых | А | > 2. Эти
области являются областями неустой-
чивости, и если точка, соответствую-
щая действительным соотношениям
Рл р
у- и , попадет внутрь такой
области, то это свидетельствует о том,
что движение неустойчиво.
На фиг. 209, которая заимство-
вана из работы В. М. Макушина [12],
области неустойчивости заштрихо-
ваны.
Если величина силы PQ весьма
мала	, то Z1 = X2 = J^-»
и условие неустойчивости можно за-
писатв в виде 12 cos 2 тс	j > 2, что
2пр
возможно только в случае —— = пк,
т. е. при -£- = 4; 1; 4; 2; 4
И т. д.
Из рассуждения, приведенного
в начале параграфа, следует, что наи-
более опасные колебания возникают
при (о = 2р, т. е. в том случае, когда
частота изменения продольной силы вдвое больше, чем частота собственных
колебаний, так как при этом энергия, сообщаемая системе при каждом
цикле, является наибольшей.
Следует отметить, что если в системе имеется затухание, пропорциональ-
ное скорости или смещениям, то явление динамической неустойчивости
возможно только при достаточно больших значениях продольных сил.
Действительно, рассматривая энергию, поглощаемую при сопротивлениях,
пропорциональных скорости или смещению, мы установили, что эта энергия
пропорциональна квадрату амплитуды колебания
ДП = сА2,
где с — коэффициент пропорциональности.
Работа ДУ продольной силы Р пропорциональна произведению Р^тях,
т. е. также пропорциональна произведению силы Р на квадрат амплитуды
А [см. формулу (3)]:
ДУ = kPA2,
где k — коэффициент пропорциональности.
374
Колебания систем с нелинейными характеристиками
Нарастание колебаний, т. е. неустойчивое движение, возможно только
в том случае, если энергия, сообщаемая системе за каждый цикл силой Р,
больше, чем энергия, рассеиваемая за счет трения, ДУ > ДП.
Это условие выполняется только в том случае, когда продольная сила
превышает некоторую определенную величину Р >
Приведенный выше график (фиг. 209) можно применять для исследования
устойчивости движения, описываемого уравнением (5),
^- + р2[1+<р(ОИ = о.
не только если функция <р (/) изменяется по кусочно-постоянному закону
<р(0 = ±^.
г э
для которого этот график построен, но с достаточной точностью и для случая
^изменения податливости системы по гармоническому закону [12]. Если,
например, движение описывается уравнением
-^t + p2[l+scosq>/] = 0,	(10)
то области неустойчивости можно приближенно найти из графика, приведен-
ного на фиг. 209, если откладывать по горизонтали величину s ^вместо
а по вертикали отношение , т. е. отношение средней собственной частоты
системы к частоте изменения ее податливости.
§ 2. КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ СПАРНИКАМИ
В некоторых системах электровозов применялась передача от двигателя
к ведущим колесам с помощью спарников (фиг. 210).
Рассмотрим податливость такой передачи,
не учитывая скручивания ведущей оси
электровоза.
Сначала разберем действие одного спар-
ника, например АВ (фиг. 211). Обозначая
момент, передаваемый этим спарником, че-
рез ТИх, можем найти усилие в спарнике:
Г COS <р
где ср — угол, составляемый кривошипом
с вертикалью.
Соответствующее укорочение спарника
NI Л/f 1
Ы —	‘бт----•
EF 1 EFr cos ср
Угол поворота В-х кривошипа В, связанного с электродвигателем, отно-
сительно ведущей оси, вызванный деформацией спарника, можно найти
из геометрических соображений:
&1 = ,
1 Г COS ср 1 COS2 ср ’
Колебания систем передачи спарниками
375
где
* _ I
с EFr2 *
Угол поворота 02 кривошипа В относительно ротора мотора, связанный
с деформацией вала, на котором сидит кривошип, и зубчатой передачи (если
она имеется между этим валом и двигателем) пропорционален моменту
где 8в — податливость вала.
Полный угол поворота ротора электродвигателя относительно ведущих
колес
Рассматривая спарник CD, мы найдем аналогичную связь между пере-
даваемым им моментом М2 и углом Так как кривошипы В и D повернуты
относительно друг друга на 90°, следует вместо cos <? для спарника CD
ввести sin <р, т. е.
В- = М2 4
sin2 ?
(Предполагается, что для правой и левой частей передачи величины 8^ и 8б
одинаковы.)
Используя формулы, связывающие В- с Мг и М2, можно определить
полный момент, возникающий при повороте ротора двигателя относительно
ведущей оси на угол В-:
1
М =м1 + м2 = »
* I вс
в + Sir.2 f
Полученное выражение для момента М можно привести к виду
ЛЛ —	1 — а C0S
80 1 — р cos 4<f> ’
где
8| + 882+88в8с>
о 88с4-28в	;
%
а = —«-----s;
82в + 882+ 88в8с
R =-----___.
48с 8в
376
Колебания систем с нелинейными характеристиками
При вращении ведущей оси с угловой скоростью о>
ср = (1)£
и
>>	& 1 — a cos
М = -т--------------.	., ..
1 — fcos 4ш/	(11)
Из выражения (11) видно, что податливость системы является периоди-
ческой функцией времени, причем период ее изменения в 4 раза меньше,
чем период одного оборота вала.
Если считать, что ведущая ось не участвует в колебании \ то уравнение
колебаний ротора мотора имеет вид
+	= °>	(12)
dt &о 1 — р cos 4<о/
где I — момент инерции ротора мотора (при наличии между двигателем
и кривошипами зубчатых передач I — приведенный момент инерции).
В уравнении (12) мы не учитываем постоянного момента, воздействующего
на ротор.
Если считать, что податливость системы передачи изменяется не слишком
t	1 — a cos 4а)£
сильно, т. е. Цто величина .—5мало отличается от единицы, то
1 — р соъ 4<d£
можно приближенно заменить
1 — a COS 4<о/	1 . Л л j.
----------= 1 4- $ cos 4ап,
1 — р cos 4<о/
где s = р — а.
Тогда уравнение (12) примет вид
-^• + р2(1 + scos4<i>/) & = 0,	(13)
где через р обозначена средняя частота собственных крутильных колебаний
ротора;
р = V
Уравнение (13) совпадает с рассмотренным выше уравнением (10), и для
определения областей неустойчивости движения можно воспользоваться
графиком на фиг. 209, отсчитывая по оси абсцисс величину s, а по оси орди-
нат — отношение частоты собственных колебаний р к частоте изменения
гибкости системы 4 со.
Если s не слишком велико, зоны неустойчивости будут очень узкими
и будут прилегать к значениям
Р	_ 1 .	Р	__ 1. Р __ 3 .	Р	= о и т	и
4(о	2 ’	4<о	4ш ~ 2 ’	4(о	1Ф
1Это предположение будет достаточно строгим, если тележка, на которой укреплена
ведущая ось, жестко связана с рамой электровоза. Действительно, в этом случае всякий
поворот оси связан с поступательным движением всего электровоза. Масса последнего
настолько велика по сравнению с массой мотора, что амплитуда колебания оси не может
быть значительной, и ею можно пренебречь.
Квазигармонические колебания кривошипного механизма
377
Таким образом, значительные колебания будут наблюдаться при угловых
скоростях вращения колес, равных примерно	, у и т. д. кру-
говой частоты собственных колебаний. Все эти скорости проходятся обычно
при постепенном пуске электровоза в ход.
Для того чтобы избежать опасных колебаний, вводят специальные
рессоры, увеличивающие гибкость передачи от двигателя к кривошипу
(увеличивающие коэффициент 8в).
Целью этого мероприятия является, с одной стороны, уменьшение изме-
нения податливости системы при вращении, так как при увеличении 8e, а -> 1
и р 1, a s = р — а -> 0, и, с другой стороны, снижение частоты собствен-
ных колебаний р, с тем чтобы все критические скорости соответствовали
достаточно малым скоростям движения электровоза. Тогда при его разгоне
все критические скорости проходятся очень быстро и колебания с большой
амплитудой не успевают возникнуть.
Кроме того, рессоры вносят в систему дополнительное затухание за счет
внутреннего трения.
§ 3. КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ КРИВОШИПНОГО МЕХАНИЗМА
В качестве третьего примера квазигармонических колебаний рассмотрим
колебания, связанные с периодическим изменением участвующей в колеба-
ниях массы. Эти колебания возни-
кают, например, в поршневых ма-
шинах вследствие того, что масса
поршня в различной мере участвует
в колебании при различных углах
поворота кривошипа.
им простейшую схему
поршневой машины (фиг. 212), со-
стоящей из маховика, кривошипа,
шатуна и поршня, причем продоль-
ными деформациями шатуна будем
пренебрегать.
Массу шатуна можно с известным
приближением заменить двумя мас-
сами, одна из которых движется
вместе с поршнем, а другая вра-
щается вместе с кривошипом.
Таким образом, мы приходим к си-
стеме, представленной на фиг. 213
и состоящей из двух дисков с моментами инерции /м и 119 причем в величину Ц
включено произведение meR\ где тв — та часть массы шатуна, которая
должна быть отнесена к вращающимся массам. Эти диски связаны упругим
валом, и к диску /х с помощы<5 невесомого жесткого шатуна присоединена
масса тп, состоящая из массы поршня и части массы шатуна, относимой
к поступательно движущимся массам.
Рассмотрим колебания системы в тот момент, когда кривошип повернут
на угол <? от верхней мертвой точки.
Если в процессе колебания кривошип отклоняется на малый угол
го соответствующее смещение В поступательно движущейся массы тп можно
найти из геометрических соображений (фиг. 214):
1 cos ф
где ф — угол отклонения шатуна.
378
Колебания систем с нелинейными характеристиками
Сила инерции поступательно движущихся масс при колебании
P-m	sin(T + 4>)
“ п dt2 ~	cos ф dt2
Соответствующее усилие по шатуну (фиг. 215) равно
Т =
cos ф
а момент этого усилия относительно оси вращения равен
М = TR sin (<р + Ф)-
Произведя подстановки, получим
81П2(Т + ф)
Множитель ---------- имеет период изменения, вдвое меныпии, чем
cos2 ф
период одного оборота вала.
Если длина шатуна значительно больше, чем радиус кривошипа, то угол ф
мал, и
sin2 (? + ф)	1 — cos 2<р
	sin2 ф =	.
cos2 ф-----------------2
В этом случае
ЛЛ &nR2 /1	о ч
Л4 = ^-(1-СО52?)-ж
Складывая этот момент с моментом сил инерции самого диска ц
получим величину полного инерционного момента:
Л1/ = 70(1-51со82<р)4Ь.,
где
^o=^i+4'/n«7?2;
_ mnR?
S1 2/0 ’
(14)
Квазигармонические колебания кривошипного механизма
379
С другой стороны, этот момент М- равен крутящему моменту вала
__ ft	'
—L, где	— угол поворота маховика при колебании, 8 коэффи-
циент податливости вала.
Уравнение движения кривошипа можно записать в форме
d2& ।	1	/<j О \ __ п
 «,2—J--------------(гъ — Ту м) — 0.
dt2 /08(1 — S1cos2f) V 1
Присоединяя сюда уравнение движения маховика
где 1М — момент инерции массы маховика, получим систему двух дифферен-
циальных уравнений с двумя неизвестными.
Вводя новое переменное
где — угол закручивания вала, и вычитая уравнения почленно, сводим
задачу к одному уравнению. Если в этом уравнении ввиду малости sx поло-
жить
i-----—х- = 1 + s, cos 2ф
1 — Sx COS 2?	11 т
а обозначить
2/о ’ 1м+1о	’
а также учесть, что угол поворота кривошипа <р = о> t, то его можно пред-
ставить в виде
ж +	(15)
Уравнение (15) является уравнением квазигармонических колебаний.
Средняя частота собственных колебаний системы
п___1/Г +	0 6)
Р “ V Ъ!.1М
равна частоте собственных колебаний системы, состоящей из двух дисков
«моментами инерции’/0 и Iм , соединенных валом с податливостью 8.
Из формул (14) и (16) следует, в частности, что для того, чтобы вычислить
частоту крутильных колебаний коленчатого вала, нужно к моментам инерции
кривошипов /х добавлять величину -^-mnR2, так что вводимый в расчет
эквивалентный момент инерции кривошипа равен
/о=л+4-/п»/?а-
На основании того, что нам уже известно о квазигармонических колеба-
ниях, можно ожидать, что неустойчивое движение, связанное со значитель-
ными колебаниями, будет иметь место при следующих отношениях частоты
собственных колебаний р к частоте изменения периодического члена в урав-
нении (15) 2о):	— И 2 и т. д., т. е. если частота собственных
колебаний кратна угловой скорости вращения.
380
Колебания систем с нелинейными характеристиками
В поршневых машинах действительно возникают колебания при <о = рг
о =	, (о = и т, д. Однако трудно сказать, связаны ли эти колебания
с рассмотренным явлением или они вызываются гармониками сил инерции
поступательно движущихся масс и сил давления в цилиндрах, имеющими
те же частоты.
§ 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В качестве примера нелинейных колебаний рассмотрим крутильные коле-
бания системы, состоящей из двух маховиков, соединенных между собой
валом, в который включена нелинейная упругая муфта (фиг. 216).
• Муфта эта устроена
таким образом, что между
приложенным к ней момен-
том и углом ее деформа-
ции имеется нелинейная
зависимость. Практически
Фиг. 216.
нелинейность может быть обеспечена различными конструктивными меро-
приятиями. На фиг. 217 изображена конструкция одной из нелинейных муфт—
муфты со змеевидной пружиной. Эта муфта состоит из двух половин, имеющих
на периферии зубья, которые
охватываются стальной лентой
(змеевидной пружиной) А. При
взаимном повороте половин муфты лента прижимается к зубьям, в связи
с чем длина деформируемой части ее уменьшается и жесткость соответст-
венно повышается.
Характеристика муфты (зависимость момента М, передаваемого муфтой
ют угла ср взаимного поворота полумуфт) изображена на фиг. 218.
Такой же результат достигается и с помощью упругой муфты, изображен-
ной на фиг. 219. Здесь момент передается через пластинчатые рессоры А.
При увеличении момента рессоры опираются на края вырезов в полумуфтах,,
в результате чего жесткость увеличивается.
Нелинейные колебания
381
Для всего вала, включающего в себя нелинейную упругую муфту, связь
между углом его закручивания и моментом может быть выражена в форме
М — М (ф), где ф =	— {>2 — разность между углами поворота маховиков.
Функция М (ф) может быть установлена, если известна характеристика
муфты М (ф). Для этого нужно только учесть, что к углам закручивания
муфты <р добавляются углы закручивания вала, пропорциональные крутя-
щему моменту.
Составим уравнения движения маховиков при свободных колебаниях:
/1-^- + Л4(ф) = О;
/2^>-Л1(ф) = 0.
Деля эти уравнения соответственно на и на /2 и вычитая почленно,
получаем
J₽- + U+x)M(«=0'
Если на один из маховиков, например на первый, действует гармонический
возмущающий момент, равный Мо cos <о t, то уравнение движения примет
вид
(|7)
Если жесткость нелинейной муфты меняется сравнительно плавно, то
функцию М (ф) можно с достаточной точностью апроксимировать рядом
+	+	+	+	+	+	+ ...)•	(18)
В этом выражении коэффициент 8 характеризует податливость системы
при весьма малых деформациях. Члены с нечетными степенями ф отвечают
нелинейной симметричной характеристике системы, члены же с четными
степенями ф обусловливают несимметричность характеристики, т. е. различ-
ные значения момента, при одинаковых по абсолютной величине, но раз-
личных по направлению углах закручивания.
Наибольший практический интерес представляет определение вынужден-
ных колебаний нелинейной системы, описываемых уравнением (17).
2 тс
Рассмотрим вынужденные колебания, имеющие тот же период Т =	,
что и возмущающая сила. Тогда выражение для смещений ф при вынужденных
колебаниях можно разложить в ряд Фурье:
ф = aQ + аг cos (о/ 4- Ьг sin (at + а2 cos2o>/ + b2 sin 2q>£ + ...	(19)
Если нелинейные члены в выражении (18) малы, то достаточную точность
можно получить, учитывая только три первых члена ряда (19), т. е. полагая
ф = aQ + at cos o>t + b± sin (о/.	(20)
Подставив это выражение в дифференциальное уравнение (17), мы, конечно,
вместо тождества получим некоторое неравенство
Ф(а0, а19 Ь19 (о/) =# 0,
где
ф“^-+и+тг)М«')-Тсо5’,('
382
Колебания систем с нелинейными характеристиками
Нам нужно определить коэффициенты ао, и таким образом, чтобы
выражение Ф минимально отклонялось от нуля. Следуя методу Галеркина
(см. том I, главу VII), потребуем, чтобы
2 тс
2к
J Ф(Оо, ai, К,
О
2тс
j‘ Ф(а0, alt blt
cos (о/ d (o>/) = 0;
co/) sino>£d((o/) = 0.
(21)
Три алгебраических уравнения (21) позволяют найти три неизвестных
коэффициента Оо, аг и Ьи определяющих движение. Коэффициент а0 пред-
ставляет собой смещение среднего положения при колебании, коэффициенты
же 4?! и определяют амплитуду колебания
А = |/"ai + bf.
Проведем вычисления для того случая, когда характеристика пружин-
ности системы представляет собой кубическую параболу, симметричную
относительно начала, т, е. когда
М(<р) = 4 (<]> + <?#).
Уравнение (17) примет вид
d2d>
-rff + Pl (4- + Сзф8) - Р^о cos Ы = 0,	(22)
где Ро — v — частота собственных колебаний системы, имеющей
податливость 8, и До — -Мо8 ,	,---равновесная амплитуда колебания,
*1 | *2
соответствующая той же податливости.
Так как система является симметричной, то очевидно, что а0 = 0 и можно
принять
<|> = aY cos (о/ + bY sin со/.
Подставляя это выражение в уравнение (22), получим
Ф (а19 Ь19 (о/) = (р2 — о2) (ar cos + bt sin (о/) +
+ Р^з (ах cos о/ + sin W)3 — р2Д0 cos о>/ =A 0.
Выражая ф3 через функции кратных углов, получим
ф3 = (aicos s,n °>03 == cos3 <°^ +
+ cos2 coZ sin со/ + cos sin2 со/ + Щ sin3 о>/ —
=	«1 (а2 + &2) cos W + Ьг	sin (о/ +	— 3b2t) cos За>/ +*
+ -^-(За2_ £2) дщ За,/.
Нелинейные колебания
383
Умножая теперь выражение Ф (ап &1( <о /) последовательно на
cos(а>/) и sin с»Лd(со/), интегрируя в пределах 0 < и>/< 2ic и
приравнивая результаты нулю, получим два уравнения:
(Ро — ®2) ai + РоСз^“ (а| +	— р^А0 = 0;
(Р2 _	61 + р2Сз _3_ bl (02 + 62) = 0.
Второе из этих уравнений дает bt = 0; тогда из
(1-4и + -гЗД = Ло- С23)
\ р° /
Так как нас интересует лишь
абсолютная величина амплитуды
колебаний А = 1^ |, а не ее знак,
то уравнение (23) можно перепи-
сать в виде
(1 —^-)Л + 4СзЛ3=±Л0.
Для исследования этого урав-
нения удобнее всего разрешить его
/ (D \ 2
относительно (---) :
\ Pq J
первого получаем
График зависимости амплитуды	. фиг 220.
колебания А от частоты возму-
щающей силы с», построенный по этому уравнению при определенном значе-
нии равновесной амплитуды До> приведен на фиг. 220.
Из графика видно, что при частоте возмушающей силы, возрастающей
до некоторой определенной величины (левее точки п), амплитуда колебаний
постепенно возрастает. Большей частоте соответствуют уже три значения
амплитуды. Можно, однако, показать, что колебания, происходящие со сред-
ней амплитудой (пунктир на фиг. 220), являются неустойчивыми, и поэтому
при больших частотах возмушающей силы возможны два вида колебания:
с большими амплитудами (ветвь FG) и с малыми (ветвь ED). Какая амплитуда
в действительности имеет место, зависит от способа возбуждения колебаний.
Колебания с большой амплитудой можно получить, если при данной величине
возмушающей силы очень плавно увеличивать ее частоту. При небольших
отклонениях в режиме системы происходит срыв колебаний, т. е. переход
с больших амплитуд на малые, которые являются более устойчивыми.
При постепенном уменьшении частоты возмущающей силы амплитуда
колебаний изменяется по линии DE, и затем происходит скачок в точку F;
большие амплитуды при этом не возникают вовсе.
Затухание, так же как и в линейных системах, ограничивает величину
максимальных амплитуд, и для нелинейной системы с затуханием резонансная,
кривая имеет вид, изображенный на фиг. 221.
Практически при проходе через резонанс нелинейной системы максималь-
ные возможные амплитуды (точка М на фиг. 221) обычно не реализуются,
так как еще значительно раньше вследствие неизбежных случайных толчков
происходит срыв колебаний на нижнюю ветвь резонансной кривой [71.
384
Колебания систем с нелинейными характеристиками
Благодаря этому применение в упругих системах нелинейных элементов
позволяет значительно снизить опасность резонансных режимов.
И. М. Тетельбаум [16], пользуясь рассмотренным выше методом, получил
простое уравнение резонансной кривой для общего случая изменения жестко-
сти системы по параболическому закону (18) с учетом затухания
(^)2=,+2В± /(4)!-Т!(1+2В),
где 7 — коэффициент демпфирования
системы, а В — функция от ампли-
туды, определяемая формулой
d__ 1 Зр да 1 1	да ।_5_.JL._5___Z_p А6 I *
где С3, . . ., С5 и т. д. —те же коэффициенты, что и в выражении для
жесткости (18)..
Другим важным примером нелинейных систем являются системы с лома-
ными характеристиками. Такой случай имеет место, например, в системе,
представленной на фиг. 222. При ломаных характеристиках можно применить
тот же метод решения, который изложен выше для систем с параболическими
характеристиками.
Как показал Ю. И. Иориш [101, полученные таким образом результаты
хорошо подтверждаются опытом.
Литература
385
На фиг. 223, б приведена резонансная кривая для системы с симмет-
ричной характеристикой, представленной на фиг. 223, а. На этом графике
обозначено: рг — частота, соответствующая податливости системы на пер-
вом участке (до перекрытия зазора); р2 — частота, соответствующая
податливости системы на втором участке (при отсутствии зазора а0).
ЛИТЕРАТУРА
1.	Б е л я е в Н. М., Устойчивость призматических стержней, находящихся под воздей-
ствием продольных периодических сил, сб. «Инженерные сооружения и строительная механика»,
изд-во «Путь», 1924.
2.	Б о л от и н В. В., О поперечных колебаниях стержней, вызываемых периодическими
продольными силами, сб. «Поперечные колебания и критические скорости», вып. 1, АН СССР,
1951.
3.	Болотин В. В., О параметрическом возбуждении поперечных колебаний, сб.
«Поперечные колебания и критические скорости», вып. 2, АН СССР, 1953.
4.	Болотин В. В., Динамическая устойчивость упругих систем, Гостехиздат, 1956.
5.	Ван-дер-Поль Б., Нелинейная теория электрических колебаний, Связьтех-
издат, 1953.
6.	Гольденблат И. И., Современные проблемы колебаний и устойчивости инже-
нерных сооружений, Стройиздат, 1947.
7.	Г о п п Ю. А., Опыты с нелинейными колебаниями, «Вестник инженеров и техников»
№ 1, 1937
8.	Д е н-Г а р т о г, Теория колебаний, ГТТИ, 1942.
9.	Джанелидзе Г. Ю., Р а д ц и г М. А., Динамическая устойчивость кольца
под действием нормальных периодических сил, «Прикладная математика и механика», т. IV,
вып. 5—6, 1940.
10.	Иориш Ю. И., О вынужденных колебаниях в системах с ломаными силовыми
характеристиками, «Инженерный сборник», т. III, вып. 2, 1947.
11.	И о р и ш Ю. И., Защита самолетного оборудования от вибрации, Оборонгиз, 1949.
12.	М а к у ш и н В. М., Динамическая устойчивость напряженного состояния упругих
стержней, Труды кафедры «Сопротивление материалов» МВТУ им. Баумана, разд. III, изд.
МВТУ, 1947.
13.	Н е й м а н И. Ш., Крутильные колебания многомассовой нелинейной системы,
Оборонгиз, 1947.
14.	П а н о в к о Я. Г., Действие периодических ударов на нелинейную упругую систему
с одной степенью свободы, «Труды Института физики АН Латв. ССР», вып. 5, изд. АН Латв.
ССР, 1953.
15.	С а л и о н В. Е., Динамическая устойчивость плоской формы изгиба, «Доклады
АН СССР», т. 78, № 5, 1951.
16.	Серенсен С. В., Тетельбаум И. М», Пригоровский Н. И., Дина-
мическая прочность в машиностроении, Машгиз, 1945.	*
17.	Ст р е л к о в С. П., Введение в теорию колебаний, ГТТИ, 1950.
18.	Ч е л о м е й В. Н., Динамическая устойчивость элементов авиационных конструк-
ций, Ред.-изд. отдел Аэрофлота, М. 1939.
25 Пономарев 508
ГЛАВА IX
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
В машиностроении очень редко встречаются случаи, когда расчет вибра-
ций того или иного конструктивного элемента может быть выполнен вполне
точно. Как правило, технические расчеты являются приближенными. Основ-
ные допущения делаются при выборе расчетной схемы конструкции. При
этом игнорируются несущественные особенности системы и выделяются лишь
главные ее параметры, определяющие характер явления. Системы с распре-
деленными массами заменяются во многих случаях при расчете системами
с сосредоточенными массами, детали сложной геометрической формы (пру-
жины, коленчатые валы и т. п.) обычно сводятся к эквивалентному прямому
брусу, нелинейные упругие элементы часто заменяются эквивалентными
линейными и т. д.
Расчет схематизированной таким образом системы также иногда произ-
водится приближенными методами.
В настоящей главе рассматриваются некоторые типовые расчеты на вибра-
цию, чаще всего встречающиеся в практике инженера-машиностроителя.
Эти расчеты основаны на общих методах, изложенных в главах IV — VIII.
§ 1 главы посвящен расчету вибрации фундаментов. Этот расчет разработан
в основном в работах Д. Д. Баркана [2], им же определены и необходимые
для расчета значения коэффициентов, характеризующих свойства грунта.
В § 2 рассмотрены методы защиты от вибрации с помощью виброизоляции.
Особенности пассивной виброизоляции применительно к самолетному обо-
рудованию весьма полно изложены в монографии Ю. И. Иориша [18],
который разработал и специальные конструкции так называемых равноча-
стотных амортизаторов, обладающих значительными преимуществами перед
применявшимися ранее.
Расчеты продольных и изгибных колебаний цилиндрических винтовых
пружин рассмотрены в § 3. Определение частот изгибных колебаний пружин
с учетом влияния продольной силы и деформации витка в своей плоскости
было впервые произведено с помощью метода Ритца в работе [32].
Ниже этот вопрос решается более точно путем интегрирования дифферен-
циальных уравнений движения.
Вопросы расчета валов на критические скорости подробно рассматри-
ваются в § 4. Здесь изложена физическая сущность явления, даются методы
расчета и исследуется устойчивость движения вала при скоростях,
больших критической.
Крутильные колебания коленчатых валов рассмотрены в § 5. При изло-
жении этого вопроса встретились значительные трудности, связанные с тем,
что в настоящее время применяются различные, зачастую противоречащие
друг другу методы расчета амплитуд вынужденных колебаний вала. В § 5
используется общий метод расчета вынужденных колебаний (см. § 5, глава V),
причем предполагается, что демпфирование независимо влияет на вынужден-
ные колебания, соответствующие каждой из форм нормальных колебаний.
Колебания фундаментов
387
Коэффициент относительного внутреннего трения ф принимается постоянным,
соответствующим допускаемым напряжениям. Предположение о независимо-
сти ф от амплитуды вибрации приводит к некоторой недооценке амплитуд
тех колебаний, которые соответствуют напряжениям, меньшим допускаемых.
Эта погрешность не имеет практического значения, вместе с тем расчет
з нач ител ь н о уп р ощается.
Разумеется, в рамках настоящей книги расчет крутильных колебаний
коленчатых валов не мог быть рассмотрен с исчерпывающей полнотой.
Подробности могут быть найдены в специальной литературе, посвященной
этому вопросу [1], [9], [10], [15], [31], [34], [43], [49], [50].
§ 6 посвящен теории поглотителей колебаний (демпферы), применение
которых позволяет резко снизить опасность резонансных колебаний упругих
систем. Рассмотрены главным образом демпферы крутильных колебаний
коленчатых валов, поскольку этот вид демпферов получил наибольшее рас-
пространение.
В § 7 рассмотрены колебания лопаток газовых турбин и компрессоров.
При расчете учитываются особенности конфигурации лопатки и влияние
центробежных сил.
§ 8 посвящен исследованию колебаний пластин. Точное определение
частот и форм собственных колебаний пластин возможно провести лишь
в некоторых простейших случаях; поэтому основное внимание здесь уделено
приближенным методам расчета.
На основе методов, изложенных в § 8 и 9, рассмотрены практические
методы расчета дисков турбин на осевую вибрацию.
§ 1. КОЛЕБАНИЯ ФУНДАМЕНТОВ
Колебания фундаментов машин, вызываемые главным образом неуравно-
вешенными инерционными нагрузками, оказывают неблагоприятное воздей-
ствие как на работу самих машин, так и на окружающие сооружения.
Вследствие вибраций уменьшается точность обработки на станках, нару-
шается работа измерительной аппаратуры. При чрезмерной амплитуде вибра-
ции фундамента возможна его неравномерная осадка или даже разрушение.
Вибрации фундамента, передающиеся зданию, оказывают вредное воздей-
ствие на сооружение и нарушают нормальные условия труда находящихся
в нем людей.
Расчет фундамента на вибрации проводится с целью выбора его параметров
(масса, размер подошвы), обеспечивающих достаточно малые амплитуды
колебаний. Увеличение массы фундамента не всегда приводит к уменьшению
амплитуды вибрации. Так, например, увеличение массы фундамента при
неизменной площади подошвы связано со снижением частоты собственных
колебаний установки и может повести к увеличению амплитуды за счет резо-
нанса.
Ввиду этого для машин с числом оборотов, меньшим, чем число собствен-
ных колебаний фундамента (большинство машин с шатунно-кривошипными
механизмами), целесообразно применять фундаменты с возможно большей
площадью подошвы и минимальной высотой.
Точный расчет колебаний фундамента затрудняется, так как в этих коле-
баниях участвует и прилегающий к фундаменту грунт.
Участие грунта в движении приводит к некоторому уменьшению частоты
колебаний в связи с .увеличением колеблющейся массы и к значительному
демпфированию, связанному не только с внутренним трением, но и с излу-
чением энергии в грунт.
При приближенном расчете вибраций фундамента инерция частиц грунта
обычно не учитывается, так как ее влияние на частоту собственных колебаний
25*
388
Колебания элементов конструкций
У
фундамента не превышает 10% [2]. Затухание, которое вносится грунтом,
также в ряде случаев можно не учитывать, поскольку фундаменты под машины
с установившимся режимом работы проектируются так, чтобы частота соб-
ственных колебаний значительно отличалась от частоты возмущающих сил.
Как видно из графика на фиг. 123,
глава IV, в этих условиях за-
тухание не оказывает сущест-
венного влияния на амплитуду
вынужденных колебаний.
Прен ебр era я	и н ер цией
грунта, можно рассматривать
фундамент (фиг. 224) как упруго
закрепленное жесткое тело. При
этоц характеристику упругости
грунта можно считать линейной,
т. е. полагать, что упругие реак-
ции, воздействующие на фун-
дамент, прямо пропорциональны
его смещениям.
Кроме того, можно, как пра-
вило, пренебрегать давлением
грунта на боковую поверхность
фундамента и учитывать лишь реакции, воздействующие на его подошву.
Простейшее предположение, которое можно использовать для вычисления
коэффициентов упругости грунта, состоит в том, что перемещение в каждой
Фиг. 225. Перемещения подошвы фундамента и реакции грунта.
точке контакта фундамента с грунтом пропорционально давлению в той
же точке (аналогично гипотезе, применяемой при расчете балок на упру-
гом основании).
Согласно этой гипотезе, упругие перемещения фундамента связаны с
нагрузками следующим образом.
Вертикальному поступательному перемещению фундамента С (фиг. 225, а)
соответствует проходящая через центр тяжести О подошвы вертикальная
реакция грунта, равная

(1)
Колебания фундаментов
389
где Cz [кг/см3} — так называемый коэффициент упругого равномерного
сжатия, характеризующий свойства грунта и представляю-
щий собой отношение среднего нормального давления
под подошвой фундамента к соответствующему перемеще-
нию;
F — площадь подошвы фундамента.
При горизонтальном смещении фундамента £ (фиг. 225, б) возникает
горизонтальная реакция 7?х, проходящая через центр тяжести О подошвы
фундамента и равная
Kx = CxFl,	(2)
где Сх— коэффициент упругого равномерного сдвига.
При угловом смещении фундамента на угол Э-* (фиг. 225, в) возникающий
реактивный момент Л4у равен
Му - си»,	(3)
где J — момент инерции площади подошвы фундамента относительно цент-
ральной оси, вокруг которой происходит поворот, a Q—коэффициент
упругого неравномерного сжатия грунта.
Если справедлива гипотеза об однозначной связи между давлением в дан-
ной точке и перемещением, то коэффициент С^ должен равняться коэффи-
циенту Cz.
Повороту ф фундамента относительно вертикальной оси, проходящей
через центр тяжести площади подошвы (фиг. 225, г), соответствует реактивный
момент
^-Сф/рф,	(4)
где Q — коэффициент упругого неравномерного сдвига, равный в случае
справедливости принятой гипотезы коэффициенту Сх, a Jр — полярный
момент инерции площади подошвы фундамента относительно ее центра тяже-
сти О.
Экспериментальная проверка показала, что гипотеза о пропорциональ-
ности перемещений в каждой точке подошвы фундамента интенсивности
контактных сил в той же точке несправедлива. Выяснилось, что коэффи-
циенты Cz и Q не равны друг другу, так же как и коэффициенты Сх и Q.
Эти коэффициенты зависят не только от свойств грунта, но и от формы и абсо-
лютных размеров подошвы фундамента.
Лучшие результаты могут быть получены, если рассматривать грунт
как полубесконечное упругое тело, а фундамент — как жесткий штамп
на его поверхности. Связь между перемещениями штампа и приложенными
к нему нагрузками можно найти методами теории упругости.
Эта связь может быть представлена в виде уравнений (1) — (4), однако
коэффициенты Cz, Сх, Съ и С<р оказываются зависящими от формы и размеров
подошвы фундамента.
Так, например, для круглого в плане фундамента решение М. Садовского
дает следующее значение коэффициента упругого равномерного сжатия Cz:
С = 1/Х._Ё________U
z V тс 1 — р.2 ур *
где Е и р. — модуль упругости и коэффициент Пуассона для грунта;
F — площадь подошвы фундамента.
* Предполагается, что угол & достаточно мал, так что фундамент не отрывается от грунта.
390
Колебания элементов конструкций
Аналогичная зависимость от площади подошвы получается и для других
коэффициентов Сх, Q, С<р.
Ввиду того что на самом деле грунт не является вполне упругим, дей-
ствительная зависимость коэффициентов упругости от площади фундамента
отличается от теоретической.
На основании экспериментальных данных принимают, что при площади
подошвы фундамента менее 10 ж2 коэффициенты С изменяются обратно
пропорционально корню квадратному из F, а при больших площадях сохра-
няют постоянное значение.
Д. Д. Баркан рекомендует принимать следующие примерные значения
коэффициента упругого равномерного сжатия для различных грунтов
(табл. 47).
Таблица 47
Значения коэффициента упругого равномерного сжатия для различных
грунтов [2]
Категория грунта	Наименование грунта	Допускаемое давление при действии одной статической нагрузки в кг/см?	Коэффициент равномерного упругого сжатия czio в кг/см*
I	Слабые грунты (глина и суглинок в пластичном состоянии, супесь и пылевидные пески средней плотно- сти, . а также грунты II и III ка- тегорий с прослойками ила или		
II	торфа)	 Грунты средней прочности (глина и суглинок на границе раскатыва-	До 1,5	До 3
III	ния, песок) 	 Прочные грунты (глина и сугли- нок в твердом состоянии, гравий и гравелистые пески, лёсс и лёссо-	1,5—3,5	3—5
	видные суглинки)		3,5—5	5—10
IV	Скальные основания		Более 5	Более 10
Значения C21Q, приведенные в табл. 47, относятся к фундаментам с пло-
щадью подошвы 10 м2 и более. Для фундаментов с меньшей площадью Fm2
подошвы значения С2 можно подсчитывать по формуле
Сг = С210 |/-^.
Зависимость коэффициента С2 от формы подошвы фундамента можно
практически не учитывать, хотя для фундаментов, сильно вытянутых в плане,
этот коэффициент несколько больше, чем для квадратных.
Отношение коэффициента упругого неравномерного сжатия к коэффи-
циенту С2 зависит от формы. подошвы фундамента. Для прямоугольных
Сл
фундаментов можно принять следующие значения отношения в зависи-
а /
мости от отношения сторон прямоугольника (а — сторона, перпенди-
кулярная к плоскости действия момента, b — параллельная):
4- 0	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0	1,5	2,0	3,0	5,0	10,0
1,0	1,27	1,46	1,62	1,76	1,87	2,11	2,31	2,63	3,04	3,53
Колебания фундаментов
391
С.
Эти значения получены из теоретических решении, рассматриваю-
щих грунт как упругое полупространство.
Отношение коэффициента упругого равномерного сдвига Сх к коэффи-
циенту Cz сравнительно мало зависит от отношения сторон фундамента
и в большей степени—от свойств грунта (от коэффициента Пуассона).
С
В среднем можно принять, что уЛ = 0,5.
С-2
Для коэффициента упругого неравномер-
ного сдвига С'± на основании опытных данных
0,75Cz.
Фундамент как твердое тело имеет шесть
степеней свободы. Поэтому мы можем ожидать,
что имеется шесть частот собственных колеба-
ний его. Предположим, что центр тяжести фун-
дамента вместе со смонтированной на нем ма-
шиной расположен в точке С (фиг. 226). Общую
массу фундамента и машины обозначим через т,
а моменты инерции этой массы относительно
осей х, у и z— соответственно через /х, Iy hIz.
Ограничимся для простоты рассмотрением
того случая, когда фундамент симметричен от-
носительно плоскости xz. В этом случае упру-
гие реакции грунта, возникающие при движе-
нии фундамента в плоскости xz, будут также
лежать в этой плоскости.
Смещения фундамента, в плоскости xz можно
представить в виде поступательных смещений
его по осям х (g), z (С) и поворота В- относительно
оси у, проходящей через центр тяжести фунда-
мента С (фиг. 226, а, б и в).
Зная упругие свойства грунта, легко вы-
числить его реакции, возникающие при таких
смещениях.
Фиг. 226. Смещения фундамента
относительно центра" тяжести
установки.
При горизонтальном смещении фундамента |
(фиг. 226, а) в плоскости подошвы возникает
усилие
= CxFk.
Проекцию этого усилия на ось х и момент его относительно оси у можно
представить в форме
= — г1&
Myf, = — г^,
где
r^ = CxF;	(5)
=	(6)
(Л — расстояние центра тяжести установки от плоскости подошвы).
При вертикальном смещении фундамента С (фиг. 226, б) реакция грунта
Rz = С2К
дает проекцию на ось г-
Z,=-r^
392
Колебания элементов конструкций
и момент относительно оси у
Му^ = —
где
г сс = C.F;	(7)
Гса = CzFxc	(8)
(хс — плечо силы Rz относительно центра тяжести установки).
При повороте фундамента относительно оси у на угол В- подошва его
поворачивается на тот же угол и ее центр тяжести перемещается вдоль оси х
на величину Ад и вдоль оси z на величину хсд. В связи с этим возникает
реактивный момент QJd (J — момент инерции площади подошвы относи-
тельно центральной оси, параллельной оси у} и реактивные силы Rx = CxFh$
и Rz = CzFxc$. Кроме того, момент статической реакции Q, равной весу
установки, при повороте изменяется на величину QAd. Суммарный момент
относительно оси у равен
Му* = — Съ№ — CxFh^ — CzFx2cb + Qhb.
Это выражений можно записать в форме
Муъ = —
где
г»» = J + С/7? + CzFx2c — Qh.	(9)
Проекции реакций, связанных с поворотом О, равны
где и определяются формулами (6) и (8).
Суммируя составляющие реакции, соответствующие перемещениям 5, С
и &, найдем
X = —
Z = — г«С — гсай;
Му = —	— гсаС —
Напишем уравнения свободного движения фундамента в форме Далам-
бера, учитывая, кроме реактивных, еще инерционные силы —
d2C	v	т d2d ~
— m ~dt2 и инерционный момент —	• Тогда
/п5 += °;
tn + г«С + Гса$ = °;
“Ь	= 0.
(Ю)
Решение уравнений (10), как обычно, представляется в виде
£ = и cos pt\
'	С = cos р/;
0 = 6 cos pt.
Колебания фундаментов
393
Подставляя эти значения в уравнения (10), получим
(— /пр2 + г^) и + rw0 = 0;
(— /пр2 + rtt) w + /4&0 = 0;
r&u + r^w + (— /yp2 + rM) 0 = 0..
(U)
Приравнивая нулю определитель этой системы уравнений, получим
уравнение частот:
(— /пр2 + г^)
0
0
(— /пр2 + Гсс)
Пъ
Гс»
(— /УР2 4- гаа)
= 0.
(12)
Уравнение (12) является кубическим относительно р2, и трем его корням
соответствуют три частоты собственных колебаний фундамента*
В случае, если центр тяжести установки С находится на одной вертикали
с центром тяжести О площади подошвы фундамента1, то при смещении С
возникает только реакция Rzi но не возникает момент Му, В этом случае
коэффициент равен нулю, и уравнение (12) распадается на два:
— /пр2 + гсс = О
и
(— /пр2 + г^)
(—^уР2 + г&»)
= 0.
Первое из них определяет частоту вертикальных колебаний фундамента:
(13)
где fcm
mg
г«
— упругая осадка фундамента, вызванная его весом.
Второе уравнение определяет частоты:
(14)
соответствующие двум формам колебаний, при которых фундамент одновре-
менно движется по горизонтали и поворачивается вокруг оси у.
Кроме колебаний в плоскости xz, возможны еще три формы собственных
колебаний фундамента, связанные со смещениями его по оси у и поворотом
относительно оси х, а также с поворотом его в горизонтальной плоскости
вокруг оси z.
Если центр тяжести установки и центр тяжести площади подошвы фунда-
мента находятся на одной вертикали, то колебания, связанные с повбротами
фундамента в горизонтальной плоскости, оказываются независимыми.
Частота их определяется формулой
Р* =
(15)
где лрф =	— упругая реакция основания при единичном повороте
фундамента (1р — полярный момент инерции площади подошвы фундамента
относительно ее центра тяжести).
1 Такое расположение желательно обеспечивать при проектировании во избежание
неравномерной осадки фундамента.
394
Колебания элементов конструкций
Две частоты колебаний, связанные со смещением вдоль оси у и поворо-
том ср относительно оси х, определяются по формуле, аналогичной фор-
муле (14):
Г --=.........................   ...	---г
п —1/ — —51 4-	4- 1 /	— Г<РФ? I 4	Н6\
р^~ V 2 L m + Ix ± V \^Г	/х) + mlx]’
причем значения коэффициентов	и ясны из предыдущего.
Во избежание больших амплитуд колебаний фундамента частоты соб-
ственных его колебаний должны значительно отличаться от частоты дей-
ствующих на него возмущающих сил.
Амплитуды вынужденных колебаний фундамента определяются общим
методом, изложенным в § 5 главы V.
Рассмотрим числовой пример расчета фундамента на вибрации.
Фиг. 227. Установка поршневого вертикального компрессора
на фундаменте (к примеру расчета).
Пример, Рассчитать частоты собственных колебаний и амцлитуды вынужденных колебаний
фундамента под вертикальный двухступенчатый компрессор.
Размеры установки приведены на фиг. 227. Вес установки равен 32 m (масса m =
= 32,6 кгсекЦсм). Общий центр тяжести С расположен над центром тяжести площади О подошвы
фундамента на высоте 800 мм. Моменты инерции массы установки относительно центральных
осей х, у и z равны соответственно 1Х = 4,0 тмсек\ 1У = 4,0 тмсек2, Iz — 5,6 тмсек2.
Компрессор делает 480 об/мин, причем амплитуды неуравновешенных вертикальной
и горизонтальной сил инерции равны Pz max = 2640 кг, Ру тах = 800 кг. Эти силы сдвинуты
по фазе на 90°.
Для грунта (песчаный грунт средней прочности) можно принять коэффициент упругого
равномерного сжатия Cz — 4 кг/см3. (Так как площадь подошвы фундамента F ~ 4,1-3,45 =
= 14,1 jw2 больше 10 м2, то корректировать табличную величину CZIQ не требуется.)
Коэффициенты Сх и принимаем равными Сх = 0,5Cz = 2 кг/см3\ = 0,75Cz = 3 кг!см3.
Коэффициенты будут иметь различные значения в зависимости от того, рассматриваются
ли повороты фундамента в плоскости xz или yz.
При рассмотрении колебаний в плоскости xz отношение сторон основания следует принять
равным
Т" = ^ГГ~ = °’84
b 4,1
и, согласно данным, приведенным выше, = 1,8CZ= 7,2 кг!см3.
Для колебаний в плоскости zy
JL = _— 1 19
Ъ 3,45
и соответственно = 2,0Cz =8,0 кг/см3.
Определяем коэффициенты упругости г.
Коэффициент упругости при вертикальных колебаниях [см. формулу (7)]
гсс = CZF = 4-14,1 -104 = 56,4-10* кг/см.
Колебания фундаментов
395
Коэффициенты, соответствующие движению в плоскости гх [см. формулы (5), (6) и (9)],
= CXF = 2-14,1 • 10* 4 * = 28,2-10* кг/см;
= CXFh = 2U 4,1.104-80 = 22,6-106 * кг;
Ч4Н.4103
= CbJy + CxFh2 — Qh — 7,2	— + 2-14,1 • 104-802 - 32.103• 80 = 161 -108 * * * кгсм
(третье слагаемое в выражении (9) для исчезает, так как центр тяжести установки лежит
над центром подошвы и хс = 0).
Круговая частота собственных вертикальных колебаний фундамента
1/	1/ 56,4.104
Р1 ~ у m ~ V 32,6
132 сек-1.
Частоты колебаний, связанных с горизонтальным смещением и поворотом его относительно
оси у, определяются по формуле (14):
28,2-104
32,6
161.Ю8 л// 28,2-Ю4	161-Ю8	22,62-1012 1
4	4-106	± V \	32,6	4 105 ) + 32,6-4-10б J **
отсюда р2 = 91,6 сек-1; р3 = 202 сеят-1.
Формы колебаний, соответствующих этим частотам, можно найти из первого уравне-
ния (И), из которого видно, что отношение горизонтального смещения к повороту равно
«_ =_________.
0	— /пр2 ’
для частоты р2
— 2800 см
и
и для частоты р3
-4- = 21,7 см.
и
Таким образом, при колебании с частотой р2 фундамент поворачивается относительно
точки, лежащей на 28 м ниже его центра тяжести, а при колебании с частотой р3 — относительно
точки, лежащей на 21,7 см выше центра тяжести.
Для колебаний фундамента, связанных с поворотом его относительно оси г, найдем
„ т 7 7 ,	7 4 о (	410-3453	,	345-4103 \ OQ 1па
— Сф (Jx +	J у) — 3 Y2--------1	12	/	— 98’10	кгсм.
Частота этих колебаний равна
,	1/ 98-108	,
₽4-j/ Iz ~ V 5,6-108 ~ 133 сек '
Рассмотрим теперь колебания в плоскости у г. Вычисляя коэффициенты г, получим
гг^ = /-££= 28,2-104 кг/см;
= 22,6-10* кг;
41 0. ЯД'»*
= СтJx + CxFh2 — Qh = 8	+ 2-14,1 -10*-802 — 32-10*-80 = 130-10* кгсм.
39S
Колебания элементов конструкций
По формуле (16) находим частоты собственных колебаний: р5 = 90 сек-1; р$ = 181 сек-1.
Этим частотам соответствуют следующие соотношения между линейными и угловыми пере-
V	V
мещениями: -т- = — 1,250 см и -г- =29 см.
U	и
Поскольку найденные частоты собственных колебаний сильно отличаются от частоты
возмущающих сил, равной
•кп
(О = -----
30
к .480
30
= 50 сек-1,
то амплитуды вынужденных колебаний можно вычислять без учета затухания.
Рассмотрим порознь вынужденные колебания, соответствующие каждой из форм собствен-
ных колебаний.
Вертикальная возмущающая сила Pz вызывает вертикальные колебания фундамента,
а поскольку она приложена эксцентрично и дает момент относительно осей хи у, то возникают
и колебания, связанные с поворотами относительно этих осей. Горизонтальная сила Ру вызы-
вает колебания в плоскости zy и колебания относительно оси z.
Для вертикального колебания, считая, что сила Pz изменяется по закону
Pz — Pz max COS
найдем по формулам § 5 главы V
Принимая для нормального колебания амплитуду Wi = 1, найдем величину Ti как част-
ное от деления работы на этом смещении амплитудной силы Pz max на удвоенную кинетиче-
скую энергию нормального колебания (см. § 5 главы V):
т   max
1	1	о 2
mp\Wi
Подставляя цифры, получим
r Pzmax р1	О. 2640	1322	,	,
C0S = 32^132^ • Т32^5№ C0S = °’0054 C0S at 1СЛЬ
Hl н\
Для нормальных колебаний с частотой р2, принимая 02 = 1 и н2 = — 2800 см, найдем
выражение для Т2, поделив работу Pzmax^2xC силы PZmax на повороте Ъу(хс=№см —
плечо силы Pz относительно оси у) на удвоенную максимальную кинетическую энергию этого
колебания + тг4) Рт
Т _ Pz max XC§2 _______________2640-50-1________— 61 4 10"“9
2	“ [1$ + mu2] p2 ~ (4‘ 106 + 32,6.28009) 91,6* ~ 1U ‘
Для соответствующих перемещений &2 и (-2 найдем
р1	9162
$2 = ^2 —о-------62 cos = 61,4-10~9 h * 1 cos ш/ = 87,5 -10~9 cos со/;
р2_ш2	91,62—502
£2 =	= 87,5-10—® (— 2800) cos <ot = — 0,00025 cos <ot [см].
V2
Для третьей формы нормальных колебаний имеем
гр _____________ PzmaxxC^z _______	2640-50-1	___in—в-
8	+	(4-10б + 32,6-21,72) 2022 -	‘
9
ро	2022
»s = Ts — e8 cos <ot = 7,8- io-6	1 cos o>t = 8,3-10“6 cos Ы;
— ф2	2U2 —OU
$3 = ft8-^2- = 8,3-Ю-в.21,7 = 0,00018 cos <»/ [сл«].
V3
Колебания фундаментов
397
Колебания относительно оси z вызываются горизонтальной силой Ру, которая сдвинута
по фазе относительно силы Pz на 90° и може^ быть, следовательно, представлена в виде
Ру = Ру max sin
Единичному повороту фундамента относительно оси z соответствует работа максимальной
возмущающей силы Ру таххС и удвоенная энергия колебания p^Iz-\. Таким образом,
m ___ Ру max %С
1 4 — ---27----
800’50
1332-5,6’Юб
= 4,04.10"6;
о
рл	1ЗЗ2
ф4 = Т4 —п----------1 Sin <&t = 4,04-10—6	2—ЕЙ2 sin	= 4’7’ 10“6 sin
--- О)2	----OU
Для формы нормального колебания в плоскости yz, которой соответствует частота р5,
принимаем 0б = 1, v5 = — 1250 см. Ввиду того что момент силы Pz относительно оси х
незначителен (плечо силы равно 75 мм), влияние этой силы на колебания в плоскости yz
не учитываем. Работа силы Pymax на перемещениях 05 и иб равна Руты?с^— Pymwvz*
где zc = 107,5 см— плечо силы Ру относительно оси х, а удвоенная кинетическая энергия
нормального колебания равна |/х0| mvQ. Таким образом,
т _ Л/тах^-^) __	800(107,5-1 -г 1250)
Р5 м +	90s (4-10* + 32,6-12502)	’*	’
р?	902
$5 = Т& —q--------% sin со/ = 261 • 10~9	sin со/ = 380-10“9 sin со/;
р^ — (о2
т,5 = 65 4- = 380-10—» (— 1250) sin ш/ = — 0,00047 sin Ы [ли].
«5
Для колебания, соответствующего шестому нормальному колебанию, точно так же
получаем
0б = 1; Vq = 29 см;
т_ PymaAzc^-vt) _	800(107,5-1 -29)	_
6	p|[M| + mv|] 18Р (4-10* + 32,6-292)>
Pfi *	1812
&в = Те -------0e sin <о/ = 4,5-10-« уд-г-—sin a>t = 4,9- 10~e sin <ot;
Pg — Ш2	lol —эи
*Пв — $6 -тг" — 4»9* Ю—6-29 sin со/ = 0,00014 sin со/ [сл<].
«в
Суммируя полученные выше значения, найдем полные перемещения фундамента:
С = Cj = 0,0054 cos со/ [cjw];‘
by =	4“ $3 = (87,5-10-9 + 8,3-10~6) cos co/ = 8,3-10~6 cos со/ [радиан];
5 = В2 ~l~ 5з = (— 0,00025 4~ 0,00018) cos со/ = — 0,00007 cos со/ [см];
ф = ф4 = 4,7-10“6 sin со/ [радиан];
= bo +	= [380- IO”9 + 4,9-10~6] sin со/ = 5,28-10—6 sin со/ [радиан];
Т) = Т)5 + Т)61= [— 0,00047 + 0,00014] sin со/ = — 0,00033 sin со/ [см].
Вертикальное перемещение в наиболее неблагоприятно расположенной угловой точке
подошвы фундамента составит
^>угл = Ч- Ьу~2—j- Ьх —2~ = 0,0071 cos со/ 4~ 0,0009 sin со/.
398
Колебания элементов конструкций
Амплитудное значение этой величины равно
max = У 0.00712 4- 0.00092 = 0,0072 см.
Эта амплитуда является вполне допустимой. Амплитуды горизонтальных колебаний
оказываются еще меньшими.
§ 2. ЗАЩИТА ОТ ВИБРАЦИИ (ВИБРОИЗОЛЯЦИЯ)
P=P0cosut
Фиг. 228. Схема
активной виброизо-
ляции.
Имеются два способа защиты конструкций от вредного действия вибраций,
передаваемых им от каких-либо источников вибрации:
во-первых, можно изолировать от прилегающих частей конструкции сам
источник вибрации, ограничив таким образом область распространения
колебаний (активная виброизоляция«);
во-вторых, имеется возможность изолировать от коле-
блющейся упругой системы те узлы, приборы и меха-
низмы, для которых вибрации представляют наибольшую
опасность (пассивная виброизоляция).	‘
Как активная, так и пассивная виброизоляция дости- i
гаются с помощью специальных упругих элементов — ।
амортизаторов. В одном случае на амортизаторах уста- ’
навливается агрегат, являющийся источником вибрации, [
в другом случае — механизм, подлежащий защите. '
Рассмотрим действие активной виброизоляции на
простейшем примере, когда возбуждающая вибрацию вер-
тикальная периодическая сила проходит через центр тя-
жести подлежащего амортизации объекта. В этом случае
при рациональной установке амортизаторов будут иметь место только .
вертикальные колебания.	|
Предположим также, что амортизаторы устанавливаются на весьма
жестком основании, амплитудой колебаний которого можно пренебречь
по сравнению с амплитудой колебаний амортизируемого объекта. Тогда
смонтированный на амортизаторах объект можно рассматривать как систему
с одной степенью свободы (фиг. 228). На фиг. 228 через tn обозначена масса
объекта, а амортизатор изображен в виде пружины, коэффициент податли-
вости которой равен 8.
Как показано в § 6 главы IV, амплитуда А колебаний объекта, вызван-
ных действием гармонической возмущающей силы
Р = PQ cos о)/,,
равна
А =	(17)
1 Р2
где р = 7=—частота собственных колебаний объекта на амортизаторах.
У тЪ
Соответствующая этой амплитуде максимальная величина усилия
с которым амортизатор воздействует на основание, равна
р _ I А | _ Ро
8 И-—Г‘
I р21
График зависимости этого усилия от отношения частот — представлен
на фиг. 229. Как видно из графика, с помощью амортизаторов, обеспечиваю-
Защита от вибрации (виброизоляция)
399
щих достаточно низкую по сравнению с частотой со возмущающей силы
частоту р собственных колебаний установки, можно свести к минимуму
ее воздействие на основание.
Вместе с тем, если отношение >> 0,707, то амортизаторы не только
не уменьшают величину воздействующей на основание силы, но даже увели-
чивают ее, особенно в зоне резонанса.
Условие р < < со и является ос-
новным при выборе амортизаторов.
Фиг. 229. Отношение амплитуды
R силы, действующей на основа-
ние, к амплитуде Ро возмущаю-
щей силы в зависимости от отно-
шения частоты р собственных
колебаний объекта на аморти-
заторах к частоте со возмущаю-
щей силы.
Фиг. 230. Установка амортизаторов для
виброизоляции шестицилиндрового ди-
зеля, работающего на одном валу
с генератором
Так как р =	» то уменьшение частоты
увеличением податливости амортизаторов,
объекта.
Из формулы (17) видно, что при хо-
рошей амортизации, когда р<< со, ам-
плитуда колебаний закрепленного на
амортизаторах объекта равна
л Р0*р2 Ро
СО2	fflO)2
может быть достигнуто как
.так и увеличением массы
(18)
Из формулы (18) следует, что ампли-
туда колебаний уменьшается с уве-
личением частоты возмущающей силы
И массы /П.	Фиг. 231. Конструкция амортизатора.
Если амплитуда А больше допускаемой
условиями нормальной работы механизма, то ее можно уменьшить, при-
соединяя к объекту дополнительные массы для увеличения пг.
Примером активной защиты является, например, виброизоляции фунда-
ментов машин, которая проводится с целью уменьшения вибраций здания
и соседних объектов оборудования.
Для быстроходных машин с хорошим уравновешиванием, при отсутствии
первых гармоник возмущающих сил, виброизоляция может быть достигнута
установкой амортизаторов непосредственно под рамой агрегата.
На фиг. 230 [2] показана установка амортизаторов, примененная для
вибрдизоляции шестицилиндрового двигателя, приводящего генератор. Под
рамой агрегата установлено шесть пружинных амортизаторов, схематический
чертеж которых приведен на фиг. 231.
400
Колебания элементов конструкций
Станина 1 машины опирается на крышку 2 амортизатора, в которую
ввернут регулировочный болт 3, служащий для выверки положения
станины. Болт опирается на пружину 4 амортизатора. Амортизатор
помещен в коробку 5 и защищен от проникновения грязи резиновой проклад-
кой 6.	’	• '	'
Для машин с меньшей быстроходностью или с неуравновешенными пер-
выми гармониками возмущающих сил такая простая схема виброизоляции
неприемлема, так как при этом амплитуда колебаний машины была бы недо-
пустимо большой [см. формулу (18)]. В этом случае надрессорная масса
может быть увеличена, например, с помощью железобетонной плиты, как
Фиг. 232. Установка силового агрегата с дополнительной
железобетонной плитой.
показано, на фиг. 232
[2], на которой изобра-
жена виброизоляция
агрегата, состоящего из
двухцилиндрового ди-
зеля и генератора.
Фиг. 233. Схема пассив-
ной виброизоляции.
Подробный расчет амортизации фундаментов с учетом колебаний как
надрессорной, так и подрессорной массы изложен в работе [2].
Примерами активной виброизоляции является также упругая подвеска
автомобильных или авиационных двигателей, подвеска компрессоров
в трамвайных вагонах и пр.
Пассивная виброизоляция принципиально отличается от активной.
В этом случае амортизаторы, на которых устанавливается защищаемый
объект, должны воспрепятствовать передаче ему вибраций от основания.
Рассмотрим простейший случай пассивной виброизоляции, когда защи-
щаемый объект и та точка системы, на которой он закреплен, совершают
колебания в одном направлении (фиг. 233).
На фиг. 233 защищаемый объект представлен грузом т, а амортизатор
изображен в виде пружины с податливостью 8.
Влиянием колебаний защищаемого объекта (точный прибор, аппарат
ит. п.) на закон движения основной системы можно, как правило, пренебречь
и считать этот закон заданным.
Предположим, например, что точка крепления амортизатора совершает
гармоническое колебание в вертикальном направлении с частотой о> и ампли-
тудой а:
50 = a cos со/.
Уравнение движения массы m имеет вид
d\ 1 Zt
m dt2 ~ 8
• 09)
где через g обозначено перемещение массы т.
Защита от вибрации (виброизоляция)
401
Подставляя в уравнение (19) значение $0 и учитывая, что частота собствен-
ных колебаний защищаемого объекта на амортизаторах равна р = L_ ,
У mb
получим
-|- рЦ = р2а cos	(20)
Решение уравнения (20), соответствующее вынужденным колебаниям,
имеет вид
5 —---Cos Ы.
1 — А-
Р2
(21)
Из этого выражения видно, что амплитуда колебаний подрессоренного
объекта может быть сделана как угодно малой, если частота р его собствен-
ных колебаний на амортизаторах достаточно мала по сравнению с частотой <о
вибрации основной системы.
Таким образом, основным
условием успешности пассивной
виброизоляции, так же как и ак-
тивной, является условие р « о).’
Если это условие выполнено,
то закрепленный на амортиза-
торах объект остается практи-
чески неподвижным в простран-
стве при вибрациях основной
системы1.
Следовательно, качество ви-
броизоляции тем выше, чем
больше податливость амортиза-
торов.
Недостатком очень податливых амортизаторов является большая величина
осадки амортизаторов при воздействии статической или медленно изменяю-
щейся нагрузки.
Так, например, самолетное оборудование (измерительные приборы, фото-
аппараты и т. п.) устанавливается на амортизаторах, предохраняющих его
от вибрации, возбуждаемой мотором. При толчке, связанном с посадкой
самолета, деформации этих амортизаторов было бы недопустимо большими,
если бы величина перемещений не ограничивалась специальными упругими
ограничителями хода.
Ограничители хода выполняются обычно в виде буферов из резины,
войлока или пробки, вступающих в действие при чрезмерном увеличении
деформации основного упругого элемента амортизатора.
Амортизатор вместе с упругими ограничителями хода (фиг. 234, а) пред-
ставляет собой систему с нелинейной силовой характеристикой (фиг. 234, б).
На фиг. 234, б участок характеристики АВ соответствует действию основного
упругого элемента амортизатора, а участки ВС и AD — совместному дей-
ствию этого элемента и упоров.
Детально расчет пассивной защиты от вибрации изложен применительно
к самолетному оборудованию в монографии Ю. И. Иориша [18].
1 Это обстоятельство используется, например; в сейсмографах — приборах для записи
смещений почвы при землетрясениях.
26 Пономарев 508
402
Колебания элементов конструкций
§ 3. КОЛЕБАНИЯ ВИНТОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН
А. Продольные колебания цилиндрических пружин
Винтовая цилиндрическая пружина представляет собой пространственный
кривой брус. Точное решение задачи о колебаниях такого бруса является
чрезвычайно сложным и до сих пор не найдено. Для применяемых в боль-
шинстве случаев пружин с малым углом подъема винтовой линии можно
получить приближенное решение задачи, заменяя пружину эквивалентным
прямым брусом.
Предполагается, что при продольных колебаниях напряженное состоя-
ние витков пружины такое же, как и при статической нагрузке, т. е. что
внутренние силовые факторы в сечении проволоки сводятся к одной силе,
действующей по оси пружины и пропорциональной осадке данного витка
пружины.
При этом предположении пружину можно рассматривать как эквивалент-
ный прямой брус, имеющий массу и податливость, равные соответствую-
щим величинам для пружины.
Масса рабочих витков пружины с малым углом подъема равна
m^ — FitDi,
g
где 7 — вес единицы объема материала;
F — площадь поперечного сечения проволоки;
D — средний диаметр пружины;
i — число ее рабочих витков;
g — ускорение силы тяжести.
Податливость пружины (осадка ее от единичной силы) равна (см,
главу XIII, том I)
* тс D3i
где С — жесткость сечения проволоки при кручении; для проволоки круглого
сечения С = GJp.
Масса эквивалентного прямого бруса равна
Шэкв ~ Яэкв^экв!
где Яэкв — масса единицы длины бруса;
Кае — его Длина.
Податливость эквивалентного бруса
*	_ 1экв
экв - (ЕР)экв ,
где (ЕР)экв — жесткость сечения эквивалентного бруса при растяжении.
Приравнивая значения тзкв и b3tce величинам m и 8, найдем, что размеры
эквивалентного бруса связаны с размерами пружины следующими соотно-
шениями:
1зкв
(EF)3Ke~~T' С *
Колебания винтовых цилиндрических пружин
403
Принимая, что длина эквивалентного бруса lgKt равна высоте пружины Я*,
получим
(22)
= 4я-'	<23>
Если концы пружины неподвижно закреплены (фиг. 235, а), то частоты
ее собственных колебаний будут равны частотам колебаний соответствующим
образом закрепленного (фиг. 235, б) экви-
валентного бруса.
Выше (см. § 1 главы VI) были найдены
частоты собственных колебаний бруса:
р =	(24)
Яэкв^экв
где k, = .1, 2, 3, . ..
Подставляя сюда значения (EF)3KB,
q3K3 и найдем частоты собственных
колебаний пружины:
<26>
Фиг. 235. Пружина и эквивалентный
брус.
Низшая круговая частота, соответствующая значению k = 1, равна
i V tFD* ‘
Р1 =
Для пружины из круглой проволоки


и
P1 i V 2fD4 ‘
Для стали, полагая G = 8-10® кг/см2 и 7 = 7,8-10~3 кг!см3, получим
р, = 2,24- 10s сек-1,
/“1	гД2
где d и D следует брать в сантиметрах.
Точно так же для пружины, один конец которой свободен, найдем
п 	l/' (ЕРУэкв   k -*/~ gC
Р ~ 2 И цзквРэкв ~ i V 1FD* >
где k = 1, 2, 3...
* Можно принять и какое-нибудь другое значение для 1экв. Так, например, в работе [47 J
19Кв принято равным длине проволоки в пружине.
26*
404
Колебания элементов конструкций
, Используя методы § 1 главы VI и заменяя пружину эквивалентным бру-
сом, можно найти частоты и формы свободных продольных колебаний пру-
жин и при других граничных условиях, в частности, если пружина колеб-
лется совместно с присоединенным к ее концу грузом.
Расчет вынужденных продольных колебаний пружин также выполняется
с помощью общих методов, рассмотренных в § 4 главы VI *.
।	Рассмотрим подробнее лишь один способ возбуж-
дения продольных колебаний пружин, имеющий наи-
2\j \ большее практическое значение.
4- -4;—г	Пусть нижний конец пружины (фиг. 236) закреплен
\i \j неподвижно, а верхний связан, например, с кулач-
, 111	ком и совершает периодическое движение с перио-
дом Т"-
Таким образом, закон движения конца пружины
<^4-^=5 х =Н является заданным. Перемещение Ьн этого конца
в любой момент времени t может быть представлено
в виде ряда
|||Ь	= С° + sin + ?1) + с2 sin (2о>/+ ф2) + • - -, (27)
где
Фиг. 236. Схема ра-	2 тс
боты пружины при	(О =	9
заданном законе
движения ее торца.
причем все коэффициенты с этого ряда известны.
Дифференциальное уравнение движения пружины — эквивалентного
стержня — имеет вид [см. уравнение (2а) § 1, глава VI]
дх* а2 ’ dt2 ~ °’
где
^2 __ Пэке
Яэкв
Решение уравнения (28) ищем в форме
5 = ьо + 2«я (х) sin (п<1>/ + Фя).	(29)
Подставляя это выражение в уравнение (28), получим для каждой из
функций ип(х) обыкновенное дифференциальное уравнение
„ ,	П2(о2	п
Un “I ^2“ Un — 0,
(откуда
,	. псо .	Мео
ип = bn sin----х 4- еп cos-----х,
п п а 1 п а
где Ьп и еп — постоянные.
Так как конец пружины х = 0 закреплен, то ип (0) =0 и, следовательно,
ел =0.
Таким образом, выражение (29) для перемещения любой точки оси при-
нимает вид
1 = bo + S bn Sin ПГ Sin +
п
I---------—
* Волновой метод расчета пружин рассмотрен в главе X.
Колебания винтовых цилиндрических пружин
405
Полагая х = Н, получим
= bo + 5 bn sin sin (пЫ + срп).
п
Сравнивая это выражение с формулой (27), находйм постоянные Ьп: 1
а _ с . а   сп
sin----------------------------------------
а
Таким образом, перемещение любой точки пружины при заданном
законе (27) движения ее конца определяется выражением
* = со +----С±н~ sin sin (о>/ + ?1) +
sin----
а
+ ~^Н sin sin <2й)/ + ?2) + • • •	(30)
sin ---
а
Если sin — 0, то соответствующий член в формуле (30) неогра-
ниченно возрастает. Резонанс имеет место, если частота по> гармонической
составляющей перемещения конца пружины равна
П(О _ k— - kv 1/ {EF}aKe -k-^~ 1/ gc
nu> к н ктс у	n ( у ^FDl ,
где k — целое число, т. e. если эта частота совпадает с одной из собственных
частот пружины с закрепленными концами [см. формулу (25)].
Б. Поперечные колебания цилиндрических пружин
При рассмотрении поперечных колебаний цилиндрической пружины
она, так же как это делается при расчете ее продольных колебаний, заменяется
эквивалентным брусом. Необходимо, однако, иметь в виду, что пружина
обладает при поперечных колебаниях рядом свойств, отличающих ее от пря-
мого бруса.
Прежде всего для пружины большую роль играют деформации, обуслов--
ленные поперечной силой, так как она вызывает изгиб в плоскости витка.
Существенно также и влияние воспринимаемой пружиной продольной
нагрузки. •
В § 3 главы VI были выведены уравнения движения бруса с учетом сдви-
гов, инерции вращения сечений и продольной нагрузки. Эти уравнения
[уравнения (68), главы VI ] могут быть представлены в виде
d2i)	q д2т\ _ /. Р \	.
~д& ~ Аг ' dt2 ~ V ~ Д1 / дх ’
д*Ь дЧ_____________Aif .____Р_\ /дУ_я
дх2 ~~ А ‘ dt2 ~ А V	Ах ) к дх
(31)
где т) — поперечное перемещение;
0 — средний поворот поперечного сечения;
GF
А — EJ — изгибная и Дх = —------сдвиговая жесткости сечения^бруса;
q = pF — масса единицы длины бруса;
qi = pj — интенсивность момента инерции массы бруса;
Р — продольная растягивающая нагрузка.
406
Колебания элементов конструкций
Уравнения (31) пригодны и для расчета поперечных колебаний пружины,
если величины Л, А19 q и qj заменить соответствующими величинами для
эквивалентного бруса.
При вычислении этих величин пружину с малым углом подъема будем
рассматривать как совокупность плоских витков.
Обозначим:
D — средний диаметр пружины;
Н — высота пружины при рабочей нагрузке Р;
I — число витков пружины (не считая опорных);
F — площадь поперечного сечения проволоки;
р — плотность материала;
С — крутильная жесткость сечения проволоки;
Вп и Вь — изгибные жесткости сечения проволоки относительно осей
перпендикулярной (п) и параллельной (6) оси пружины (см. главу XIII,
том I).
Фиг. 237. К определению характери-
стик эквивалентного бруса (чистый
изгиб пружины).
Фиг ‘ 238. К определению
характеристик эквивалент-
ного бруса (деформации
в плоскости витка).
Массу единицы длины эквивалентного бруса q найдем, разделив массу
pficD одного витка на шаг — пружины:
itDFi
Я = Р
(32)
Так же определяем и интенсивность момента инерции эквивалентного
бруса:
8	nD3Fi
~ jT “ р 8Н
L
(33)
Коэффициент жесткости пружины при изгибе А найдем, рассмотрев
чистый изгиб пружины моментом Ше (фиг. 237). Под действием момента Ж
в сечении любого витка, составляющем угол ср с плоскостью момента (фиг. 238)
возникают крутящий момент
Мкр = cos ?
и изгибающий мрмент
Мп = Ж sin <р.
Колебания винтовых цилиндрических пружин
407
Прикладывая теперь единичный момент по направлению момента Ж,
найдем вызываемые им единичные внутренние силовые факторы: Мкр =cos<p;
Мп =sin<p.
Угол поворота & торца пружины, к которому приложен момент, опреде-
ляется с помощью интеграла Мора:
$ = Z
МкрМкр
с
+
МпМ„ In
п =JLsbhd
Вп
Приравнивая эту величину углу поворота торца эквивалентного бруса
длины Н с изгибной жесткостью сечения А
& = ™L
находим
л = ^-г-Ц--	(34)
I V Л-S lr 1	|	1
+ ~В~п
При нагружении пружины поперечной силой Q (фиг. 238) в сечениях
каждого витка возникает изгибающий момент, действующий в плоскости
витка,
Мв = 4?-sin <р.
Перемещение конца пружины, обусловленное этим моментом, равно
'	i (* / QD .	\ / D \ D 1	~ itD3i
= (-Tsin?)(Tsin<f)T^ = Qw
о
Сравнивая эту величину с перемещением торца эквивалентного бруса,
обусловленным сдвиговой деформацией
1 - QH
КЭКв	>
найдем
А = -^г-	(35)
Формулы (32)—(35) дают возможность вычислить характеристики
эквивалентного бруса, которые затем должны быть подставлены в уравне-
ния (31).
Для нахождения частот и форм собственных колебаний пружины, как
обычно, полагаем
1)(х, 0 = vsinp/; j
fl (х, t) = 9 sin pt, J	' }
где v и 6 — функции только от х.
Подставляя выражения (36) в уравнения (31), получим систему обыкно-
венных дифференциальных уравнений относительно v и 0:
408
Колебания элементов конструкций
Этой системе соответствует характеристическое уравнение
или в развернутом виде
s4 + 2m2s2 —п4 = 0,
где
(38)
(39)
Четыре корня характеристического уравнения равны
^1,2 — i V 1 >
5з,4 — ip,
где
а = ]Л]Лп4 + п4 + «г2;
Р = у/~	+ «4— т2-
Соответственно полученным значениям корней характеристического
уравнения общие выражения для смещений v и 6 имеют вид
 v = cos ах + С2 sin ах + С3 ch 0х + С4 sh 0х;	(40)
9 =----^-р-	---a2) (Сг sin ах — С2 cos ах) +
+ т + ₽2)(Сз sh	+ с* ch М ’	(40a>
где С\ С4 — постоянные, определяемые из граничных условий.
Множители при круговых и гиперболических функциях в выражении (40а)
найдены путем подстановки выражения(40) в первое из уравнений (37).
В случае опертого конца пружины (например, крепление прицепа пружины
растяжения) условие отсутствия прогиба и изгибающего момента приводит
к равенствам
На заделанном конце пружины равны нулю прогиб и угол поворота
витка v = 0, 6=0.
Наконец, на свободном конце отсутствуют изгибающий момент и попе*
речная сила, что приводит к требованиям
Таким образом, при любом закреплении концов пружины граничные
условия могут быть записаны в виде системы четырех линейных однородных
уравнений относительно постоянных
Колебания винтовых цилиндрических пружин
409
Приравнивая нулю определитель этой системы, получаем уравнение частот.
В частности, для пружины, оба конца которой оперты, условия на конце
х = 0 имеют вид
у0 =	+ С3 = 0;
(Н = —- “У с. + « + И с>] = °-
Можно показать, что определитель этой системы уравнений, равный
а2 + ₽2
----р—, не обращается в ноль ни при каких условиях, и, следовательно,
!-лГ '
Cj = Сз = 0.
Для конца х = Н получим
vH — С2 sin а,Н + C4sh $Н — 0.
[«-) c-s,na,/+« + ’) c<shpH] - °-
Аг
Приравнивая нулю определитель этих уравнений, найдем
sin aHsh $Н = 0.
Поскольку sh pH в ноль не обращается, уравнение частот можно записать
в виде
sin аН — 0
или
аН = kit,	(41)
где k — целое число.
Подставим в уравнение (41) значения а по формуле (39); тогда при k = 1
(для низшей частоты) найдем
п4Н4 + 2?Ап2Н2 — тс4 = 0
и далее, с учетом значений п и m (38), имеем
+ + <«)
Уравнение частот (42) можно, подставив в него значения А, А19 q, q.r
записать в виде
(f У
где р0 =тс2 j/^— частота колебаний, вычисленная без учета продольной,
силы, сдвигов и инерции осевого движения витков;
. _ я* ВпС
32 ' Bb(Bn + C) ’
k — — Ил_____________1 •
2 - 8 L + Bb(Bn + C)]’
, _ 4 Bb(Bn + C)
3 ~ n*' Bnc
410
Колебания элементов конструкций
Определение частот из биквадратного уравнения (42а) не представляет
затруднений.
В случае пружины из круглой проволоки Вп = Bb = EJ; С = GJp отно-
шение жесткостей
A- EJ _ 2(1 + ^) __ j
С ~~ GJP “	2	~ 1 т
Принимая для коэффициента Пуассона значение р, =0,3, найдем
ВпС =	1	_ 1
ВЬ(Вп + С) ~ 2+р ~ 2,3’
соответственно получаем для этого случая kr = 1,32; k2 = 2,31; k3 = 0,932.
На фиг. 239 представлены полученные из уравнения (42а) зависимости
отношения от величины продольной нагрузки. Эти зависимости соот-
•Фиг. 239. Зависимость частоты собственных поперечных
колебаний пружины от величины продольной силы
Н
при различных отношениях .
ветствуют низшей частоте
собственных колебаний
пружин с отношением вы-
соты к диаметру =
= 1; 2; 3.
Из графика видно, что
при отсутствии продоль-
ной нагрузки (Р = 0) ча-
стота собственных колеба-
ний пружины р значи-
тельно ниже, чем частота
р0, вычисляемая без учета
сдвигов и инерции вра-
щения витков, особенно
для пружин с малым от-
ношением высоты к диа-
метру.
При растяжении пру-
жины (Р > 0) частота ее
собственных колебаний по-
вышается, а при сжатии
(Р < 0) уменьшается, при-
чем при некотором значе-
нии сжимающей силы ча-
стота становится равной
нулю.
Наличие нулевого корня уравнения частот свидетельствует о неустой-
чивости прямолинейной формы равновесия пружины при соответствующем
значении сжимающей силы, так как при р—>0 решение (36) уравнений дви-
жения вырождается и принимает форму
f) = vt,
fl (х, о = е/,
соответствующую неограниченному росту прогибов.
Вопрос устойчивости пружин сжатия рассмотрен в главе XII. Укажем
лишь, что величину критической сжимающей нагрузки Ркр (т. е. той нагрузки,
при которой прямолинейная форма равновесия перестает быть устойчивой)
можно найти из условия, что при Р = —Ркр частота колебаний р обращается
Колебания винтовых цилиндрических пружин
411
в ноль. Для этого необходимо, очевидно, чтобы обратился в ноль свободный
член уравнения (42а).
Таким образом, находим
Выражая силу Ркр через вызываемую ею осадку fKp пружины
Р = f Л____________________________£_
г кр ! кр к D3i ’
а высоту Н поджатой пружины — через ее свободную высоту
H = H.-fKp
и подставляя значения и k3, придем к следующему уравнению для крити-
ческой осадки пружины:
М1 -	- /• А + 4 - Аг °’ = 0 
+ Вп
откуда
Эта формула совпадает с выражениями, полученными другими методами
в работах [32 ] и [45].
Определение частот собственных поперечных колебаний пружин при
других способах закрепления концов принципиально не отличается от рас-
смотренного выше случая шарнирного опирания. Исследуем, например,
симметричные колебания пружины, торцы которой не могут иметь поперечных
перемещений и не могут поворачиваться. t
Расположив начало координат в середине высоты пружины, имеем сле-
дующие условия для определения постоянных в выражениях (40) для v и 6:
при х = 0 по симметрии
на конце пружины = —
v = 0, 9 = 0.
Эти условия приводят к уравнению частот, которое может быть записано
в форме
где
> __ ая _
~ “2“ > Л2 — —
Уравнение (43) может быть в каждом частном случае решено методом
подбора. Для этого, задаваясь определенным значением частоты р, вычисляют
по формулам (38) и (39) а и р и подставляют полученные значения в уравне-
412
Колебания элементов конструкций
ние (43). Вычисления повторяют несколько раз, пока уравнение (43) не будет
удовлетворено с достаточной точностью.
В работе [45 ] методом Ритца получена следующая приближенная формула
для частоты собственных поперечных колебаний цилиндрических витых
пружин:
(44>
где все обозначения соответствуют введенным ранее, a i),	— числовые
коэффициенты, зависящие от способа закрепления концов пружины.
Значения этих коэффициентов приводятся в табл. 48.
Растягивающие продольные силы вносятся в формулу (44) со знаком плюс,
сжимающие — со знаком минус.
Таблица 48
Значения коэффициентов т), тц, в уравнении (44)
Характер закрепления концов		Основной тон колебаний			Первый обертон		
х=0	х=Я	4	41	4о	4	41	4о
Оперт (v = 0, М = 0) Заделан (у =0, 0 = 0) Оперт (у = 0, М = 0) Заделан (v = 0, 0 = о)	Оперт (у = 0, М = 0) Заделан (у = 0, 0 = 0) Заделан (у = 0, 0 = 0) Свободен (М = 0, Q = 0)	-л:2 12,3 11,5 4,65	1 7С2 2,46-10“2 4,83-10-2 37,6.10-2	1 7С4 20,0-10—4 42,1-10“4 809*10“4	4-гс2 46,05 42,9 32,4	1 4тс2 1,21-10-2 1,72-10-2 6,68-10-2	1 16гс4 2,63*10—4 4,01-10“4 20,6-10-4
§ 4. КРИТИЧЕСКОЕ ЧИСЛО ОБОРОТОВ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ВАЛА
А. Сущность явления
При быстром вращении несбалансированного вала он начинает колебаться,
причем при приближении скорости вращения к некоторым определенным
(критическим) значениям амплитуды колебаний резко возрастают. При
дальнейшем увеличении скорости вращения сверх критического значения
амплитуды колебаний вновь уменьшаются. В первом приближении колебания
вала, возникающие при скоростях, близких к критической, могут рассма-
триваться как вынужденные колебания, причем возмущающими силами
являются силы инерции несбалансированных масс. Однако и в том случае,
если вал идеально сбалансирован, при скорости его вращения, равной
критической, амплитуды его колебаний могут резко возрастать. Таким обра-
зом, в данном случае имеет место динамическая неустойчивость вращающегося
вала.
Рассмотрим вращающийся с угловой скоростью о> вал, на который эксцен-
трично насажен диск массы пг (фиг. 240). Собственную массу вала считаем
пренебрежимо малой. На вал воздействует возмущающая сила со стороны
вращающегося неуравновешенного диска
Р = mute,
где е — эксцентрицитет. ч
Критическое число оборотов вращающегося вала
413
Проекции силы Р на оси у и z равны
Ру = zn<D2esm o>Z;
Pz - m<i>2 e cos wt.
Эти изменяющиеся по гармоническому закону силы вызовут колебания
вала с диском1.
Применяя теорию, изложенную в § t> главы IV, найдем проекцию
на ось у (ц) и на ось z (С) смещения точки закрепления диска при вынужден-
ных колебаниях:
<о2е .	,
tq = —о----------о- sin cor;
•	рЛ --- (О2
« <о2е	,
С = “2-----------2" COS
р2-----(О2	’
— круговая частота собственных
колебаний вала.
Фиг. 240. Вал с несбалансированным диском.
Из формул (45) видно, что точка закрепления массы движется по окруж-
ности радиуса
г = /^+С2 = _^_е	(46)
с угловой скоростью со, равной скорости вращения самого вала. Прогиб г
вращающейся изогнутой оси вала увеличивается по мере приближения ско-
рости вращения вала <о к частоте собственных колебаний р.
Скорость о, при которой прогибы вала неограниченно возрастают, носит
название критической угловой скорости вала.
Из формулы (46) следует, что критическая скорость вала равна угловой
частоте его собственных колебаний р.
Если скорость вращения вала больше, чем критическая, то, согласно фор-
муле (46), г меняет знак; это значит, что при скоростях, больших критиче-
ской, вал прогибается в сторону, противоположную эксцентрицитету2.
На фиг. 241, а и б представлено расположение массы при скоростях,
меньших и больших критической. На этих фигурах обозначено: О — ось
вращения; Ог — геометрический центр вала; С — центр тяжести диска.
Из формулы (46) следует, что при вращении вала со скоростью, значи-
тельно превышающей критическую (о> > р), г -> —е. В этом случае центр
тяжести диска располагается на оси вращения, а изогнутая ось вала вра-
щается вокруг этой оси.
1 Предполагается, что в процессе колебаний скорость вращения вала со не изменяется.
Это условие выполняется, если вал соединен со значительными маховыми массами.
5 Устойчивость движения валов, вращающихся со скоростью, большей критической, рас-
смотрена в следующем разделе.
414
Колебания элементов конструкций
На фиг. 242 представлена зависимость отношения прогиба вала г к эко
(О
центрицитету е от величины — .
Если масса насажена на вал без эксцентрицитета (е = 0), то прогиб вала
равен нулю при всех скоростях вращения, кроме критической. В последнем
случае формула (46) принимает вид
Фиг. 241. Взаимное расположение оси вала 01 и центра
тяжести диска С при скорости вращения (а) меньшей и (б)
большей, чем критическая.
Таким образом, при критической угловой скорости сбалансированные
вращающийся вал находится в равновесии при любой величине прогиба
(конечно, лишь постольку, поскольку справедлива линейная теория).
Фиг. 242. Зависимость прогиба г вала от
отношения угловой скорости <о вращения
его к частоте р собственных колебаний.
Вращение вала со скоростью, равной
или близкой к критической, является
недопустимым как с точки зрения проч-
ности самого вала, так и вследствие
того, что оно сопровождается значи-
тельной вибрацией всей машины.
Рабочая скорость ш вала должна
быть либо значительно меньше крити-
ческой, либо больше ее. Допускаемые
отношения зависят от наличия
в системе сил сопротивления, ограни-
чивающих развитие больших амплитуд
вибрации. Обычно принимают или
(О < 0,7(0кр, ИЛИ (0	1,3(0^.
Валы, работающие при скорости,
большей чем критическая, называются
гибкими. При пуске машины гибкий
вал проходит через резонансное состояние. Как мы видели выше (§ 11,
глава IV), амплитуды возникающих при этом колебаний тем меньше, чем
быстрее растет скорость вращения вала и чем больше затухание. Если
имеющееся в системе затухание недостаточно для предупреждения, при
проходе через резонанс, опасных для прочности гибкого вала прогибов,
то устраивают специальные ограничивающие кольца, а также дополнитель-
ные демпферы.
При проектировании гибких (т. е. работающих при скоростях, больших
критической) валов с рядом дисков следует определять не только низшую,
но и вторую критическую скорость, соответствующую второй частоте собст-
венных колебаний вала.	z
Критическое число оборотов вращающегося вала
415
Так как критические скорости вала равны частотам его собственных коле-*
баний, то для их определения применимы все методы, служащие для опреде-
ления частот изгибных колебаний.
Остановимся лишь более подробно на том влиянии, которое оказывают
на величину критической скорости гироскопические моменты насаженных
на вал дисков. Как мы уже установили выше (см. § 3 Ж, глава VI), благодаря
гироскопическому воздействию оказывается возможным вращение изогну-
той оси вала как в сторону вращения самого вала, так и в противоположном!
направлении.
При прямом вращении изогнутой оси гироскопический момент затрудняет
поворот диска и равен [см. формулу (47), глава VI].
где/0 — момент инерции диска относительно оси вала, а/х — относительно*
перпендикулярной оси;
О — угол поворота касательной к изогнутой оси вала в месте крепления
диска.
Момент М затрудняет деформации вала, увеличивает жесткость системы
и, следовательно, повышает величину критической скорости.
При критической скорости со = р
м = (10 - Л) р29.
Сравнивая эту величину момента с величиной инерционного момента Мо
при отсутствии вращения вала (<о = 0), когда
Ч = - Цр2*,
видим, что для определения критической скорости вращающегося вала с уче-
том гироскопических моментов при прямом вращении можно применять
те же формулы, что и для подсчета собственных частот балок, если подставить
в них вместо моментов инерции Ц величины — (/0 — / J.
При обратном вращении изогнутой оси вала гироскопический момент
направлен в сторону увеличения угла 9 и равен
м = (/0-^ + А)р2е.
Этот момент увеличивает деформации вала и, следовательно, снижает
собственную частоту.
Относительно колебаний, происходящих при обратном вращении изог-
нутой оси вала,’ следует отметить два обстоятельства, снижающие их
опасность:
во-первых, эти колебания не могут возбуждаться инерционными силами,
вызванными несбалансированностью вала (так как векторы этих сил вра-
щаются в сторону вращения вала); таким образом, для возбуждения этих
колебаний необходимо наличие внешних возмущающих сил;
во-вторых, колебания при обратном вращении изогнутой оси вала свя-
заны с весьма большими потерями на гистерезис. Действительно, при коле-
баниях такого рода каждая точка поперечного сечения вала дважды в тече-
ние одного оборота переходит из растянутой зоны в сжатую и обратно, что
видно из фиг. 243, а, где схематически показаны четыре последовательных
положения поперечного сечения вала (через четверть оборота). Заметим, что
416
Колебания элементов конструкций
при прямом вращении изогнутой оси потери на гистерезис отсутствуют,
так как напряжения в волокнах вала не изменяются при вращении
(фиг. 243, б).
Фиг. 243. Движение вала при обратном (а) и при прямом (б)
вращении изогнутой оси.
Благодаря большому затуханию, даже при наличии возмущающих сил,
амплитуды колебаний при обратном вращении изогнутой оси оказываются
небольшими.
Б. Устойчивость движения гибкого вала
Устойчивость вала, вращающегося со скоростью, меньшей критической^
не вызывает сомнений. Действительно, у такого вала (фиг. 241, а) сила инер-
ции диска, равная m (г + е) о>2, уравновешивается направленной к оси
вращения упругой реакцией вала, равной ~ .
Если по какой-либо причине прогиб г вала увеличится на некоторую
величину Дг, то упругая реакция вала возрастает на -у-, а сила инерции
возрастает на лиДгсо2. Так как скорость вращения меньше критической
, то увеличение упругой реакции вала больше, чем увеличение
силы инерции, и разность этих двух сил, направленная к оси вращения,
будет возвращать вал в начальное положение.
Если скорость вращения вала больше, чем критическая
то увеличение силы инерции при увеличении прогиба на Дг больше, чем
соответствующее увеличение упругой реакции вала. Казалось бы, что вслед-
ствие этого раз начавшееся радиальное движение вала должно продолжаться
и что, следовательно, движение вала, вращающегося со скоростью, большей
чем критическая, неустойчиво. Это движение действительно было бы неустой-
чивым, если бы вал мог прогибаться только в одном направлении. Однако
благодаря тому, что вал может деформироваться в любом направлении, его
движение при выполнении некоторых условий является устойчивым.
Для выяснения причин стабилизации гибкого вала в закритической
области рассмотрим возможные малые отклонения от стационарного дви-
жения, изученного выше.
Предположим, что вал, в середине которого эксцентрично насажен диск,
вращается равномерно со скоростью <о > р =	Такое равномерное
вращение вала, не зависящее от его малых колебаний, будет иметь место
в случае, если момент инерции диска достаточно велик.
Критическое число оборотов вращающегося вала
417
Отнесем движение к подвижной системе координат хуг (фиг. 244), причем
ось х совпадает с осью вращения, а оси у и z вращаются около точкичО со ско-
ростью оз вместе с валом.
Относительное расположение вала и диска при стационарном движении
представлено на фиг. 244, а.
На этой фигуре точка О определяет положение нёдеформированной,
а точка Ох — изогнутой оси вала. Центр тяжести диска расположен в точке С.
Фиг. 244. К исследованию устойчивости движения гибкого вала»
а — стационарное движение; б — возмущенное.
Ось у выбрана так, что она совпадает с направлением эксцентрицитета 0гС
диска. Прогиб г вала в этом направлении в соответствии с формулой (46)
равен
а расстояние у от оси вращения до центра тяжести диска
—	р2
у = г — е — ——о- е.
ш2 — р2
При малых отклонениях от стационарного движения (фиг. 244, б) имеют
место дополнительные смещения Си (у = у + т\), но в силу сделанного
предположения о постоянстве угловой скорости со диска эксцентрицитет 0±С
остается параллельным оси у, вращающейся с той же угловой скоростью.
При составлении уравнений движения в подвижной системе координат
следует учитывать ускорение переносного движения (центростремительное),
относительного движения и кориолисово ускорение.
Именно кориолисово ускорение и играет основную роль в рассматривае-
мом процессе. Если сообщить центру тяжести диска С скорость в каком-либо
направлении, то возникнет перпендикулярно направленное ускорение, вслед-
ствие чего скорость будет все время менять свое направление и центр диска
не выйдет за пределы некоторой области, лежащей около стационарного поло-
жения.
Составим уравнения движения вала при малых отклонениях от станцио-
.нарного движения.	t
Проекция полного ускорения центра тяжести диска на ось у равна
d*y 2 n dt,
Пономарев 508
418
Колебания элементов конструкций
Первый член этого выражения равен ускорению в относительном движе-
нии, второй — в переносном и третий равен кориолисову ускорению.
Аналогично проекция полного ускорения на ось z равна
Составляющие по осям у и z упругой реакции вала равны соответственно
_±±£и_________С-
8	8
Таким образом, уравнения движения имеют вид

(47)
Заменяя в этих выражениях
—• ।	р2	.
У=У+Ъ = Ш2_р2е+-Ч
и производя простейшие преобразования, получим следующие уравнения-
относительно малых возмущений ц и С:
+	А = 0;
4	J	 (48)
да + (/>!-«’)С + 2»> = 0.	
Решение системы уравнений (48) будем искать в виде
11 = ае^ )	(49)
С =
где s может быть действительным или комплексным числом.
Если возможны два сопряженных комплексных значения s вида s2 =
= а + pz; s2 = а — ₽/, то соответствующие решения могут быть сгруппи-
рованы следующим образом:
А?<* + б/) t Ве(а - ₽/) t = eat cos + sin эд,	(50)
где
Ax = A + Bi и = A — Bi.
Если а, т. e. действительная часть s, отрицательна, то решение (50) изобра-
жает затухающее колебание с круговой частотой р; если а положительна,
то решение изображает колебание, происходящее с непрерывно нарастающей
амплитудой. Таким образом, если действительная часть величины s положи-
тельна, движение является неустойчивым. В частном случае, когда a = 0
и, следовательно, s — число чисто мнимое, имеет место обычное гармони-
ческое колебание. -
Если мнимая часть р равна нулю, то движение является апериодическим
(не имеющим колебательного характера) и сводится либо к постепенному
уменьшению прогибов со временем, если а отрицательна, либо к их непрерыв-
ному увеличению, если а положительна.
Подставляя выражения (49) в уравнения (48), получим систему двух алгеб-
раических линейных однородных уравнений относительно а и Ь:
a (s2 + р2 — (о2) — &2(о$ = 0;
a2(j>s + b (s2 + р2 — (о2) = 0.
Критическое число оборотов вращающегося вала
419
Эти уравнения дают отличные от нуля значения а и & только в том случае,
если определитель их равен нулю:
s2 + Р2 — <*>2	—2(os
= 0
2(os s2 + р2 — со2
Развертывая определитель, получаем биквадратное уравнение относи-
тельно s:
s4 + 2s2 (р2 + о2) + (р2 — (о2)2 = 0,
откуда
s2 = — (р + (О)2
и
s = + i (а) + р).
Итак, при со =/= р для s полу-
чаются чисто мнимые значения
и, следовательно, стационарное
движение вала является устойчи-
вым1, если скорость его враще-
ния не равна критической. Малые
возмущения стационарного движе-
ния представляют собой гармони-
ческие колебания, происходящие
с частотами <о + р и о> — р. •
Если отбросить сделанное пред-
Фиг. 245. К исследованию устойчивости
движения свободного вала.
положение о постоянстве скорости
вращения вала и рассмотреть движение свободного (не связанного жестко
с приводом) вала [52], то следует ввести дополнительную координату е —
малый поворот диска относительно равномерно вращающейся оси у
(фиг. 245).
В этом случае, кроме уравнений проекций сил на оси у и г, следует соста-
вить еще уравнение сохранения момента количества движения относительно
оси вращения.
Проекция упругой реакции вала на ось z равна теперь — и УРав“
нения движения имеют вид:
gl+(p--^),-2. «-0;
g-+ (р!-«>!)С+2»-^ + гр»в = 0.
Момент количества движения L системы равен сумме моментов количества
движения массы, сосредоточенной в центре тяжести диска,
^1 = m (С2 + №) <» + ту — «с ,
1 Строго говоря, мнимость корней характеристического уравнения еще не является доста-
точным условием устойчивости движения системы. Следовало бы провести дополнительное
исследование, учитывая в уравнениях движения нелинейные члены и отбросив предположение
о малости возмущений т) и С. Нужно, однако, иметь в виду, что уравнения движения состав-
лены без учета неизбежно присутствующего в системе вязкого трения, которое приведет к тому,
что возмущения будут постепенно затухать.
27*
420
Колебания элементов конструкций
и момента количества движения во вращательном движении диска относи-
тельно его центра тяжести
Z-2 =^о (Й) + 'яг')»
где 10 — момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр
тяжести.
Таким образом, суммарный момент количества движения, который для
изолированной системы должен сохранять постоянное значение, равен
L = m [(С2 + у2) <о + у — С + /0 (ш +	== const.
*Z?2
Заменим здесь у =	+ <уЬ Тогда, сохраняя только первые сте-
пени малых величин iq и С, а также обозначения ~ = (k—радиус инерции
диска), получим
(+++<>> + е (2(07] +^+k^ + k^ = const.
Значение константы, стоящей в правой части равенства, определяется
исходя из того условия, что это равенство должно выполняться и при ста-
ционарном движении, т. е. при	=	Окончательно
получим
+ f +
со2 — р2 de ______ р
е р2 dt ~
(52)
Представляя решение системы уравнений (51) и (52) в форме
Tq == aest\ С = best; е = cest
и производя исследование, так же как и в предыдущем случае, получим для s
уравнение
s2 + р2 — о>2	— 2(os	О
2(os s2 + р2 — (о2 ер2 _ п
или
s (s4 + 2Bs2 + С)-0,	(53)
где
С = (ш2 - р2)2 - 4 ++ (За»2 + р2).
Легко поверить, что нулевой корень уравнения (53) соответствует ста-
ционарному движению вала, и поэтому это решение не представляет инте-
реса. Остается, таким образом, исследовать корни биквадратного уравнения
s4 + 2Bs2 + С = 0.
Это уравнение дает для s2 значения
s2 = — в + /В2 —С.
Критическое число оборотов вращающегося вала
421
Рассмотрим случай, когда В2 — С > 0. При этом оба значения s2 будут
действительными; они будут оба отрицательными, если В > 0 и С > 0
и по крайней мере одно значение будет положительным, если одно из этих
условий не выполняется.
При s2 отрицательном s имеет чисто мнимые значения и, следовательно,
стационарное движение является устойчивым. При s2 положительном один
из корней больше нуля, и движение является неустойчивым.
В случае, если В2 — С < 0, s2 имеет комплексные значения
С2 __
sin ф
Само s будет в этом случае иметь значения
4 - +
s = ± уСе~ *
cos ± i sin .
Из этого выражения видно, что один из корней s будет иметь положитель-
ную действительную часть, и, следовательно, движение будет неустойчивым.
Таким образом, стационарное движение вала в закритической области
является устойчивым только в том случае, если выполняются условия В2 —
-С> 0; В > 0; С > 0.
Так как отношение эксцентрицитета е к радиусу инерции диска k — вели-
чина малая, то все эти условия выполняются уже при скорости вращения ю,
немного большей, чем критическая скорость р. При этом условия В2 — С > 0
и В > 0 удовлетворяются автоматически, если выполнено условие С > 0.
Таким образом, условием устойчивости движения вала в закритической
(ш2 — Р2)3 е2
области является условие -/6- -2- ,	< > -тт •
J	(3<о2 + р2) р* №
Обозначая ш ~ - = \ и пренебрегая высшими степенями этой вели-
1 е2
чины, получим условие устойчивости в4 форме К3 >	.
Таким образом, даже в том случае, если отношениевелико и составляет,
например, 1/100, устойчивое движение вала будет достигнуто уже при ско-
рости, примерно на 4% превышающей критическую.
Отметим, что, как это было впервые показано П. Л. Капицей [20], при
больших окружных скоростях неустойчивость движения диска может быть
обусловлена трением его об окружающую среду. Стабилизация в этом слу-
чае достигается посредством демпфирования.
Появление неустойчивости вследствие трения о среду легко объяснить.
Рассмотрим для этого вращение центрально посаженного на вал диска
в кожухе, причем зазор между кожухом и диском заполнен жидкостью или
газом. Пока диск находится в центре кожуха, силы трения его о газ дают
только момент относительно оси вращения и не дают равнодействующей.
Но как только вследствие изгиба вала диск получит некоторое боковое смеще-
ние, появится и равнодействующая сил трения, направленная перпендику-
лярно этому смещению. Действительно, поскольку количество газа, проте-
кающего через любое сечение кольцевого зазора (фиг. 246), одинаково, в более
узкой его части средняя скорость (газа больше, чем в более широкой
части (у2). Ввиду этого относительная скорость трения диска о газ в широкой
части зазора больше, чем в узкой; больше будет, следовательно, и интенсив-
ность сил сопротивления.
422
Колебания элементов конструкций
Если прогиб вала мал по сравнению с величиной зазора, то можно счи-
тать, что равнодействующая сил трения R пропорциональна этому прогибу
и проекции ее на координатные оси определяются формулами
Ry = - М,
где "п и С — проекции перемещения центра диска на неподвижные оси коор-
динат, a N — постоянный коэффициент
С учетом сил Ry и Rz, а также
сил сопротивления, пропорциональ-
ных скорости движения центра
диска
получим следующие уравнения дви-
жения центра диска, отнесенные
к неподвижной системе координат:
 *f) rr di] мр
„ (К	rr dC , Л;
Фиг. 246. К исследованию неустойчивости
движения диска в связи с трением его
об окружающую среду.	или
*	4^ + it + р211 + — 0;
(54)
dK , . dC . «с	n
~dP + h dF + PK ~	= °’
где
Л="-; n =
m ’
Представляя решение уравнений
= aesi‘,
получим для $Туравнение
(s1 2 + hs + р2)
— п (s2
или
(s2 hs + р2)2 = — и2.
т ’ & тЪ
(54) в форме
С = be**,
п
+ hs + р2)
1 Коэффициент N приближенно может быть определен по формуле [20]]
тгу.р ZJ?3<o2
—h~'
где % — постоянная трения; р — плотность среды; b — толщина диска; R — радиус кожуха;
h — радиальный зазор между диском и кожухом; ш — угловая скорость вращения.
Критическое число оборотов вращающегося вала
423
Извлечем формально квадратный корень из обеих частей этого уравнения:
s2 + hs + р2 = + in. (/ = V — 1);
тогда
Л . "1 /~ h2 2 । •
$ =----г ± |/	---р* ±ш.
Комплексное подкоренное выражение можно представить в тригономет-
рической форме:
h2
-4---р2 ± in = г (cos ср + i sin ср),
где
cost =	sirif-i.
Согласно формуле Эйлера
"|/" --р2 ± i п = У г (cos ср ± i sin ср) = + У г ^cos	+ Z sin -у ) .
Вычисляя значения функций половинного угла, получим
V— Р2 ±1,1 = ± (а ± *₽)>
где________________________________________________________
И ’	_____________________________________
₽ = ]/
Таким образом, получаем четыре значения s:
$i. . л =--^-± (а ± /р).
Как уже указывалось выше, для того чтобы движение было устойчивым,
действительная часть s должна быть отрицательной. Таким образом, условие
устойчивости движения может быть записано в виде
Упрощая это неравенство, условие устойчивости движения можно запи-
сать следующим образом:
424
Колебания элементов конструкций
Итак, движение является устойчивым только в том случае, если коэффи-
циент затухания достаточно велик. В противном случае будет иметь место
движение с непрерывно нарастающей амплитудой в соответствии с урав-
нениями
(a —
iq = Ае\ 2' cos ₽ /;
С =	2 / sin р tr
так что центр диска будет описывать лога-
рифмическую спираль. Неустойчивое движе-
ние такого рода действительно наблюдалось
П. Л. Капицей [20] на специальном при-
боре, который показан на фиг. 247.
Полый алюминиевый диск 1 диаметром
120 мм и высотой 20 мм, расположенный
в кольце 2, приводился во вращение двига-
телем 3. Зазор между диском и кольцом
9 мм, скорость вращения диска 7000 об/мин.
Диск с моторчиком подвешивался на
стержне 4 к диафрагме 5. Частота собствен-
ных колебаний системы относительно точки
Фиг. 247. Схема экспериментальной
установки П. Л. Капицы.
подвеса р = 8 сеК"1.
Запись колебаний системы производи-
лась фотографически с помощью светового
пучка, отражающегося от зеркала 6, прикрепленного к стержню 4.
Демпфирование в системе создавалось с помощью диска 7, который был
прикреплен к стержню 4 и погружен в сосуд 8, наполненный маслом. Со-
суд 8 мог опускаться вниз, и, таким образом, демпфер выключался. Полу-
Фиг. 248. Записи, полученные на приборе*
а — неустойчивое движение при выключенном демпфере; б — затухание
колебаний при включении демпфера^.
ченные экспериментально траектории движения диска при выключенном
демпфере и при включении его представлены на фиг. 248, а и б.
Из фиг. 248, а видно, что при выключенном демпфере имело место спи-
ральное движение, амплитуда которого увеличивалась до тех пор, пока
ротор не начинал ударяться о кожух. При включении демпфера центр диска
двигался по сходящейся спирали (фиг. 248, б), и вскоре колебания прекра-
щались.
Критическое число оборотов вращающегося вала
425-
Принцип стабилизации движения быстро вращающегося гибкого вала
с помощью демпфирования был использован [20 ] в конструкции турбоде-
тандера для получения низкцх температур. Схематический чертеж турбо де-
тандера представлен на фиг. 249. Ротор 1 закреплен на консольном валу 2Г
который вращается в двух подшипниках 3 и 4. На валу закреплен также
подшипник 5 и через него — кольцо 6. Это кольцо погружено в кольцевой
канал 7, заполненный маслом.
При поперечных колебаниях вала кольцо 6, не участвуя во вращении^
вала, перемещалось в масле, благодаря чему и достигалось демпфирование.
Ротор вращался со скоростью 40 000—50 000 об/мин, причем окружная»
скорость его достигала 200 м/сек. При на-	___®80 _____
линии демпфера была достигнута полная
устойчивость движения ротора при радиаль-
ном зазоре 0,1 —0,15 мм. Без демпфера до-
стигнуть такой устойчивости не удавалось, и
уже при скорости, в 2—3 раза превышаю-
щей критическую, ротор периодически уда-
рялся о кожух. Введение демпфера позво-
лило также сделать практически незаметным
переход через критическое число оборотов.
В. Критические скорости валов, имеющих
различную жесткость в направлениях
главных осей поперечного сечения
Рассмотрим колебания вала, жесткость
которого различна в направлении главных
осей поперечного сечения (вал со снятыми
лысками, со шпоночной канавкой и т. п.,
фиг. 250).
Предположим, что на валу имеется одна
единственная масса пг (фиг. 251,а). В этом слу-
чае податливость системы в некотором фик-
Фиг. 249. Схематический чертеж;:
турбодетандера.
сированном в пространстве направлении яв-
ляется переменной, так как при вращении вала с этим направлением сов-
падает то ось наибольшей жесткости вала, то ось наименьшей его жестко-
сти. Очевидно, что за один оборот вала податливость проходит полный цикл.
Фиг. 250. Сечения валов,
обладающие различной жест-
костью в главных направле-
ниях.
изменения дважды.
Для решения поставленной задачи удобнее
всего рассматривать движение массы пг в под-
вижной системе координат yl9 z19 вращающейся
вместе с валом (фиг. 251,6).
Вращение вала будем считать равномерным.
Уравнения движения могут быть получены так
же, как в предыдущем разделе были получены
уравнения (48). Будем лишь считать, что эксцент-
рицитет массы е = 0 и что податливость вала
в направлении оси у отличается от податливости его 32 в перпендикулярном
направлении; влияние силы тяжести mg не учитываем. При этом уравнения
движения примут форму
ж +-2» f-0;
-§- + М-»=)С+2»а_0,
(55)
426
Колебания элементов конструкций
где pi = уЛ, р2 =	----собственные частоты при колебании невра-
щающегося вала в направлениях наименьшей и наибольшей его жесткости.
Решение уравнений (55) ищем в форме
т] = aest; С = best.	(56)
Подставим выражения (56) в дифференциальные уравнения (55) и сокра-
тим на es*. Тогда получим следующую систему уравнений относительно а и Ь:
(s2 + р? — о>2) а — 2<s>sb — 0; 2u>sa + (s2 + р| — <о2) b = 0.
Фиг. 251. К исследованию критических скоростей вала, обладающего
различной жесткостью в главных направлениях.
Эти уравнения могут удовлетворяться при а и Ь, не равных нулю, только
в том случае, если их определитель равен нулю. Таким образом, получим
следующее уравнение, определяющее комплексную частоту s:
(s2 + p2—<о2)	— 2<os =()
2ws (s2 + pl — °>2)
или
s1 + s2 (р2 + р2 +52<1>2) — (р2 — «>2) (р% — (о2) = 0.
Решая это уравнение относительно s2, имеем
з2 = 4 [- (р? + Pl + 2й>2) ± /(р? - pI? + 80)2 (Pl + Pi)] • (5?)
Из формулы (57) видно, что величина s2 всегда является действительной.
Положительные значения s2 возможны только в том случае, если
у?(Pl — Pl? + 80)2 (Pl + Pl) > (Pl + р1 + 2а)2)-	(58)
Но если s2 > 0, то s имеет два действительных значения sx = a; s2 = —а.
где а > 0.
Тогда одним из решений уравнений (55) являются выражения
т) = ае?*‘, С = be?*,
соответствующие бесконечному нарастанию прогибов.
Таким образом, неравенство (58) является условием неустойчивости дви-
жения вала. Возводя обе части этого неравенства в квадрат и приводя подоб-
ные члены, получим ’
(“>2 —Р1)(“>2 —Р2) < °-
Это неравенство выполняется, и движение является неустойчивым, если о
находится между рх и р2:
Pi < < р2-	(59)
Критическое число оборотов вращающегося вала
427
Как мы видели в разделе А, круглый вал, несущий одну массу, имеет
одну определенную критическую скорость, равную частоте его собственных
колебаний. Для вала с различной жесткостью в направлениях главных осей
имеется область критических скоростей, заключенных между частотой его
собственных колебаний в направлении наименьшей жесткости и частотой
собственных колебаний, в направлении наибольшей жесткости.
Если условие (59) не выполняется, то оба значения s2, даваемые форму-
лой (57), являются отрицательными, и соответственно будут иметься четыре
чисто мнимых значения s:
: Sj = ip'; ss = ip"-,
s2 = — ip'-, s4 = — ip",
где
p' = У H+p2+ 20)2 ” /и-^)2+8о>8(^+р22)]	<60>
и
p" = У-^	+pi + 2<t>2+pi^+s^^+p2)] .	(6i)
Чисто мнимым значениям s соответствуют гармонические колебания,
происходящие с частотами р' и р".
Г. Влияние силы тяжести. Критическая скорость второго порядка
Если вал, имеющий различную жесткость в разных направлениях, распо-
ложен горизонтально, то в уравнениях (55), кроме сил инерции, следует
учесть силу веса mg. Предполагая, что неподвижная ось у направлена верти-
кально вниз (фиг. 193, б) и, следовательно, вес направлен по ней, найдем,
что проекции веса на вращающиеся оси у^ и равны соответственно
mg cos о) t и — mg sin ® t.
Уравнения движения (55) с учетом этих сил принимают вид
+ (Pi — <°2) — 2ю -^- = geos®*;
> + (p2-®2)C + 2®>=-gsin®t
• (62)
Общее решение этих неоднородных уравнений складывается из решения
однородных уравнений (55) и из частного решения уравнений (62).
Решение однородных уравнений уже найдено выше. При < <о < р2
оно соответствует неустойчивому движению вала с возрастающими проги-
бами; при (о, лежащем вне этих пределов, вал может совершать гармониче-
ские колебания с частотами р' (60) и р" (61).
Частное решение неоднородных уравнений (62) можно представить в форме
,	т] — Л cos со/;
С = В sin W.
Подставляя эти значения в уравнения (62), получим
(р2 — 2®2) А — 2о>2 В . g.
— 2®2 А + (р2 — 2®2) В = — g,
428
Колебания элементов конструкций
откуда
А g-
р\ — 4ш2
Б Р21Р2 —2"2 (Р1+ Рг) S'
Таким образом, вынужденное колебание вала описывается уравнениями
р1~ 4<°2	,
Р5-4.-	.	( *
rfp|“-2(us(pf+р,) ^S1	* ’
Очевидно, что амплитуды этих колебаний возрастают, если знаменатель
приближается к нулю, т. е. если
®кр ID
где
_ Ч f рЪ>1
2(р1+р1)
и где, в свою очередь, рх и р2 — собственные частоты вала при колебаниях
в направлении наименьшей и наибольшей жесткости.
Легко показать, что при <о = частота изменения возмущающих
сил (о совпадает с одной из собственных частот колебаний вращающегося
вала, а именно с частотой р' (60). Таким образом, в этом случае имеет место
обычное явление резонанса.
Если жесткости* вала в двух направлениях различаются не очень
СИЛЬНО, ТО Pi Я» р2 Р И <ОКр II =&	.
Таким образом, критическая скорость второго порядка, возникающая
при вращении горизонтальных валов с различной жесткостью в главных
направлениях, примерно вдвое меньше, чем собственная частота колебаний
вала.
Критическая скорость второго порядка, примерно вдвое меньшая, чем
обычная критическая скорость, неоднократно наблюдалась на практике
при вращении горизонтальных валов с различными жесткостями, в частности
при вращении роторов двухполюсных электрических машин, различная
жесткость которых обусловливается наличием вырезов для обмотки.
Из формул (63) видно, что для вала с равными жесткостями критическая
р
скорость второго порядка отсутствует, так как в этом случае при со = -~
одновременно со знаменателем обращается в ноль и числитель.
§ 5. РАСЧЕТ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ КОЛЕНЧАТЫХ ВАЛОВ
ДВИГАТЕЛЕЙ
А. Расчетная схема вала
Задачей расчета крутильных колебаний коленчатого вала является:
1) определение частот и форм собственных колебаний вала и 2) определение
амплитуд вынужденных колебаний вала и соответствующих напряжений
в нем при различных эксплуатационных режимах.
Расчет крутильных колебаний коленчатых валов
429
При расчете на крутильные колебания коленчатый вал обычно заменяют
эквивалентным прямым валом. Жесткость эквивалентного вала должна быть
такой же, как и жесткость коленчатого вала, а массы, связанные с коленча-
тым валом (включая и собственную массу), заменяются дисками, имеющими
I	1=1—1—1=1
соответству ющие моменты
инерции.
Так как коленчатый вал
по своей геометрии не яв-
ляется брусом, то опреде-
лить с достаточной точно-
стью его жесткость расчет-
ным путем не представ-
ляется возможным. Наи-
лучшие результаты дает
экспериментальное опреде-
ление жесткости коленча-
того вала путем измерения
угла закрутки его при на-
гружении определенным
моментом. При экспери-
Фиг. 252. Схематический чертеж колена коленчатого
вала.
менте вал должен быть закреплен в подшипниках так же, как при нормаль-
ной работе, так как величина зазоров в подшипниках существенно влияет
на жесткость вала.
На основании многочисленных экспериментов получен ряд эмпирических
и полуэмпирических формул, позволяющих оценить податливость одного
колена вала1.
Например [31], податливость
одного колена вала двигателя
(угол закручивания под дейст-
вием единичного момента) может
быть определена по формуле
л __ 32	-|- 0,96 ।	.
ЫкгсмЬ (64)
Фиг. 253. Зависимость коэффициента k в формуле Обозначения размеров вала
(64) от диаметра цилиндра и от отношения к нему (в сантиметрах) указаны на
хода поршня.	фиг. 252, а коэффициент k опре-
деляется в зависимости от отно-
шения хода S поршня двигателя к диаметру D цилиндра по фиг. 253.
По формуле Картера для коленчатых валов авиадвигателей
32 Г /1+o,8& ,	0,75ZK	, , к Р 1
1 ~	f ЬО bk3
(65)
Иногда податливость вала задается не величиной а длиной эквивален-
тного участка вала постоянного сечения 1экв. Задаваясь произвольно жест-
костью сечения эквивалентного вала (GJp)3Kei получим
g ___ 1экв
1	р)экв ’
1 Различные формулы для податливости вала приведены в [1], [17], [31], [34] [39].
430
Колебания элементов конструкций
откуда
^эвв	(QJ р)эквь1.
Момент инерции массы эквивалентного диска, соответствующего одному
колену, определяется по следующей формуле:
К = 1к + швр^ +	(66)
В этой формуле Iк — момент инерции собственной массы колена относи*
Фиг. 254. Эскиз и расчетная схема
вала шестицилиндрового двигателя,
пр иводящего генератор.
тельно оси вращения;
швр — масса части шатуна, относи-
мой к вращающимся массам;
шп — масса поршня и части шатуна,
относимой к поступательно
движущимся массам. •
Фиг. 255. Расчетная схема коленчатого
вала с распределенной массой.
Необходимость учета поступательно движущихся масс при определении
эквивалентного момента инерции следует из изложенного в § 3 главы VIII.
Таким образом, заменив колена вала эквивалентными участками вала
постоянного сечения и эквивалентными дисками, имеющими моменты инер-
ции Д, переходим к расчетной схеме коленчатого вала.
На фиг. 254 [39] представлены эскиз и расчетная схема вала шестици-
линдрового двигателя, приводящего генератор.
Расчетная схема представляет собой вал постоянного сечения с рядом
дисков. Компрессору соответствует диск /, а цилиндрам двигателя — диски 2.
Диск 3 заменяет совокупную массу маховика и ротора генератора.
Определение частот и форм собственных колебаний эквивалентного вала
может быть выполнено, например, с помощью метода остатков
(см. §2 главы V). Широкое применение в практике получил также метод непре-
рывных дробей, разработанный В. П. Терских [43].
Для многоцилиндровых двигателей с одинаковыми участками вала между
коленами проще не сосредоточивать момент инерции эквивалентной массы
в одном сечении, а распределять его по всей длине эквивалентного участка
вала. В этом случае расчетная схема будет представлять собой вал с равно-
мерно распределенным на некотором участке моментом инерции массы и.
с рядом дисков.
Для вала, изображенного на фиг. 254, расчетная схема, полученная вто-
рым методом, приводится на фиг. 255^ Частоты собственных колебаний такой
системы можно определить методами, изложенными в §2 главы VI, а если
пренебречь массой компрессора, то непосредственно по номограмме (фиг. 160).
После того как частоты и формы собственных колебаний коленчатого вала
определены, можно переходить к расчету вынужденных колебаний вала.
Расчет крутильных колебаний коленчатых валов	431
Б. Определение возмущающих моментов
Вращающий момент, передаваемый шатуном коленчатому валу, обуслов-
ливается давлением газа в цилиндре и силами инерции поступательно дви-
жущихся масс:
М = Мг + МР
Как момент Мг сил давления, так и момент инерционных сил 7Иу- периоди-
чески изменяются со временем и могут быть поэтому представлены в виде*
рядов Фурье. При этом период изменения момента Мг равен или времени
одного оборота коленчатого вала (для двухтактных машин), или времени
двух его оборотов (для четырехтактных двигателей), а период изменения М?
равен времени одного оборота вала. Таким образом, момент, обусловленный
давлением газа, может быть представлен в виде ряда
Мг = Мо + 7Hlesin (Ш +	+ M^sin (2Qt + Ъ) + • • • +
4-M^sin (vQ/ + q[v) + . ..,	(67>
гдетЛ10 — среднее значение крутящего момента;
—амплитуда v-ro гармонического момента;	’ 1
— начальная фаза этого момента;
2 = со для’ двухтактных машин;
2 = -1- (о для четырехтактных двигателей (о>— угловая скорость,
вращения коленчатого вала).
Порядком гармонического момента называется число полных циклов
его изменения за время одного оборота вала. Таким образом, величины 7И1г,
М2г, М3г, . . . представляют собой амплитуды гармонических моментов-
порядка 1, 2, 3, ... для двухтактных машин или порядка V2, 1, 3/2, ... для
четырехтактных двигателей.
Если индикаторная диаграмма цилиндра известна, то для получения
амплитуд и фаз гармонических моментов следует покоить диаграмму кру-
тящего момента, передаваемого с цилиндра (диаграмму тангенциальных сил),,
и произвести ее гармонический анализ. При графическом задании крутя-
щего момента гармонический анализ производится либо численным методом1,
либо с помощью специальных приборов — гармонических анализаторов.
Если диаграмма крутящего момента отсутствует, то в ряде случаев ампли-
туды гармонических моментов можно найти, используя примерное подобие
форм индикаторной диаграммы в однотипных машинах.
Так, для двигателей внутреннего сгорания амплитуду гармоники порядка
v можно представить в виде
М,г = c^FR,
где F — площадь поршня;
R — радиус кривошипа;
— гармонический коэффициент порядка v, зависящий для каждого
типа двигателей от среднего индикаторного давления.
На фиг. 256 приведены гармонические коэффициенты для четырехтактного
бескомпрессорного дизеля, а на фиг. 257 — для четырехтактного двигателя
с наддувом [31 ].
Формулы и таблицы для гармонического анализа приведены в работах [31], [43];
см. также Дж. Скарборо, Численные методы математического анализа, глава XVII,
ГТТИ, 1934.
432
Колебания элементов конструкций
Фиг. 256. Гармонические коэффициенты для четырехтактного
бескомпрессорного дизеля.
Фиг. 257. Гармонические коэффициенты для четырехтактного дизеля
с наддувом.
Расчет крутильных колебаний коленчатых валов
433
На фиг. 258 и 259 даны начальные фазы гармоник по отношению к поло-
жению поршня в верхней мертвой точке в начале всасывания.
На фиг. 260 даны гармонические коэффициенты для двухтактного
дизеля [31 ], а на фиг. 261 даны аналогичные кривые для четырехтактного
бензинового двигателя [39].
Для четырехтактного бензинового двигателя гармонические коэффициенты
третьего и высших порядков могут также определяться [1 ] по формуле
(68)
где в — степень сжатия.
Момент, обусловленный силами инерции поступательно движущихся
масс, может быть представлен в виде
Mj = m^m2 [0,25k sin mt — 0,5k sin 2co£ — 0,75k sin Зсо/ —
— 0,25k2 sin 4(o t].	(69)
В этой приближенной формуле mn — масса поступательно движущихся
частей, к = -у--отношение радиуса кривошипа к длине шатуна. Знаки
слагаемых в формуле (69) означают, что момент сил инерции первого порядка
имеет начальную фазу = 0, а моменты 2-го, 3-го и 4-го порядков имеют
фазу 1 = it.
Амплитуды гармоник полного возмущающего момента, приложенного
к колену вала, определяются геометрическим суммированием гармоник
момента сил давления и момента сил инерции:
Ж = V(Л4^ sin	sin 7V)2 + (714V cos	cos 7 v)2 ,
где М^г, и THvy, Ъ; — амплитуды и начальные фазы соответствующих
гармоник момента сил давления и момента сил инерции. Геометрическое сум-
мирование надо производить только для 1-го, 2-го, 3-го и 4-го порядков;
для остальных порядков учитываются только моменты сил давления.
Если все цилиндры двигателя однотипны, то амплитуды гармонических
моментов порядка v, приложенных к любому (z-му) колену вала, одинаковы,
и эти моменты могут быть представлены в виде
= Ж sin v о)/;
7VL2 = Ж sin v (mt — ₽2)‘>
Мч = Ж sin v (mt — pz),
где pz — угол, на который поворачивается коленчатый вал за время между
вспышками в первом и z-м цилиндрах.
Выражение для гармонического момента порядка v, воздействующего
па z-e колено, может быть также представлено в виде
Мч = Ж sin [v(o t +	,	(70)
где
<№=-*₽,.	(71)
В. Определение амплитуд вынужденных колебаний вала
В нерезонансной области, когда амплитуды колебаний вала практически
пе зависят от сил сопротивления, расчет производится методами, изложен-
ными в § 5 главы III.
28 Пономарев 508
434
Колебания элементов конструкций
0 12 3 4	5 6	7 Pj^/см:
Фиг. 258. Начальные фазы гармони-
ческих моментов для четырехтактного
бескомпрессорного дизеля.
Фиг. 259 Начальные фазы гармонических
моментов для четырехтактного дизеля
с наддувом.
Фиг. 260. Гармонические коэффициенты
для двухтактного дизеля.
Фиг. 261. Гармонические коэффициен-
ты для четырехтактного бензинового
двигателя.
Расчет крутильных колебаний коленчатых валов	435
При этом раздельно определяются амплитуды колебаний, вызванных гар-
моническими моментами каждого из порядков.
Любой £-й форме собственных колебаний вала (одноузловой, двухузло-
вой и т. д.) соответствует величина Tk, которая для крутильных колебаний
может быть определена по формуле, аналогичной формуле (57), § 5^ глара.У:
„ _ V (2	ч*)' + (2 s,n ^)2	' ,70.
ft 3 <
Z=1
где Ж/— амплитуда гармонического момента порядка v, приложенного
к /-му колену;
«см — начальная фаза этого момента в некоторый, общий для всех нагру-
зок момент времени;
— амплитудное смещение z-го колена или /-го диска при собствен-
ных колебаниях k-и формы;
pk — частота этих колебаний;
lt—момент инерции массы /-го диска.
Если, как это обычно бывает, амплитуды всех гармонических моментов
порядка у одинаковы Ж/ = Ж, то формулу (72) можно представить
в виде
_	+ (S9Wsinrw)2	,7оЧ
Z=1
Суммирование в числителе формулы (73) проводится для точек прило-
жения моментов Ж, в знаменателе — для всех дисков системы (включая
диски, эквивалентные собственной массе колена, шатуна и поршня).
Радикал в формуле (73) представляет собой абсолютную величину геомет-
рической суммы векторов, равных амплитудам 0Z колен вала, к которым при-
ложены возмущающие моменты Ж, причем каждый из векторов повернут
на угол cpvz — v[3z, равный начальной фазе соответствующего момента. Эту
величину обозначают символом 2^9-
0azcos ом)2 + (2 9 az sin ccw)2 .	(73a>
Легко видеть, что в зависимости от порядка v гармоники, углов между
кривошипами и порядка вспышек величина геометрической суммы векто-
ров 2*9 будет большей или меньшей. В качестве примера на фиг. 262 при-
ведена схема вала шестицилиндрового двигателя и его упругая линия при
одноузловых колебаниях. Внизу на той же фигуре даны направления векто-
ров 0, соответствующих гармоникам различных порядков при чередовании
вспышек в цилиндрах 1—3—5—6—4—2. Как видно из чертежа, для гармо-
ник 3-го, 6-го, 9-го и т. д. порядков все векторы 0 складываются арифмети-
чески. Такие гармоники, для которых величины складываются арифмети-
чески и, следовательно, множитель при Ж в формуле (73) максимален, назы-
ваются сильными или мажорными. Гармоники других порядков называются
слабыми или минорными.
Начальная фаза колебания определяется формулой
.	_ S 0Ai Si" ’f'd
tg ^Av —	•
2X-C0S
28*
436
Колебания элементов конструкций
Эта величина равна углу, составляемому вектором 2^,0 с вектором, соот-
ветствующим величине 9 для первого цилиндра.
После того как величины и ф^, соответствующие каждой форме
собственных колебаний, найдены, движение каждого из дисков, обусловлен-
ное гармоническими моментами порядка v , определяется формулой
п
= V Tk4 1	2 sin (v<0? + ?4,).	(74)
sr1 1
Суммируя перемещения, вызываемые различными гармоническими момен-
тами, можно получить полный закон движения каждого из дисков1.
1
5;2	4
V=2;5;8...
6
^/2\5Уг^/2
V=3;6;9


Фиг. 262. К геометрическому суммированию величин 6/ для
гармоник различных порядков при одноузловых колебаниях
коленчатого вала шести цилиндрового двигателя.
Формула (74) позволяет определить вынужденные колебания вала в зонах
достаточно далеких от резонанса < 1 или	. Однако наиболь-
ший практический интерес представляют как раз близкие к резонансу коле-
бания, амплитуды которых могут достигнуть опасной для прочности вала
величины.
Для расчета вынужденных колебаний в резонансных зонах необходимо
учесть влияние сил внешнего и внутреннего трения.
Решение уравнений вынужденных колебаний многомассовых систем с уче-
том всех трений даже в простейшем случае трения, пропорционального ско-
рости, является чрезвычайно затруднительным. Поэтому для практического
расчета применяются различные приближенные методы.
Предположим, что влияние сил трения на каждое из колебаний, соответ-
ствующих нормальным колебаниям системы, является независимым.
1 Практически в формуле (74) приходится учитывать не более двух-трех слагаемых,
так как амплитуды колебаний со многими узлами оказываются пренебрежимо малыми.
Расчет крутильных колебаний коленчатых валов
437
Тогда взамен формулы (74) получим
»- = У 7.,	‘	sin W + тл. -.	(75)
У L \ рJ J +
В формуле (75), каждый член которой аналогичен формуле (58) главы IV,
для системы с одной степенью свободы, введены следующие обозначения:
4	аь = arctg----г—,
2тс [1 — ( — V I
L \ра*/ J
фа — относительное сопротивление, соответствующее £-й форме собствен-
ных колебаний;
где Щ — полная энергия колебания;
ДПа — потеря энергии в течение одного цикла.
Вычисление по формуле (75) оказывается достаточно простым, если сама
величина фа не зависит от амплитуды колебания.
Условие постоянства фа выполняется, если величина рассеяния энергии
за цикл ДПа пропорциональна квадрату амплитуды. При расчете коленча-
тых валов двигателей существенное значение имеют следующие виды сопро-
тивлений:
1)	внутреннее трение в материале вала (потери на гистерезис);
2)	демпфирование, вносимое внешней нагрузкой (генератором, винтом
и т. п.);
3)	сопротивления, обусловленные масляным слоем в подшипниках, тре-
нием поршней, выборкой зазоров в шатунно-кривошипном механизме и т. п.
Как указывалось в § 9 главы IV, величина относительной потери энергии
на внутреннее трение зависит, вообще говоря, от максимальных напряжений
цикла, а следовательно, и от амплитуд колебаний.
Однако, поскольку практический интерес представляют лишь колебания,
вызывающие достаточно большие напряжения, можно в расчете принять фв//# тр
постоянным, принимая для него величину, соответствующую допускаемым
напряжениям.
Очевидно, что при таком способе расчета получаются завышенные зна-
чения для амплитуд тех колебаний, которые соответствуют напряжениям,
меньшим допускаемых, и не определяют прочности вала.
Для коэффициента фв„. тр могут быть приближенно приняты значения,
приведенные в § 9 главы IV (соответственно величине допускаемых напряже-
ний).
Часто применяется [9] также формула, основанная на предположении,
что величина энергии, рассеянной за цикл, пропорциональна кубу макси-
мальных напряжений. Эта формула дает при напряжениях (тдол), допускае-
мых от крутильных колебаний,
тр — 2^	,
до
где Ко— эмпирический коэффициент, зависящий от свойств материала вала.
Для коэффициента /Со рекомендуются следующие значения:
Сорт стали................................................
Углеродистая (0,21 %С)....................................
.	(0,3%С)....................................
Хромоникелевая (3,42% Ni; 0,85% Сг).......................
<зь в кг/смг Ко в кг0,5 см~*
4700	200
5800	290
9450	560
438
Колебания элементов конструкций
Однако значения коэффициента /Со, полученные А. Ф. Гогиным [91
по результатам торсиографирования ряда установок, значительно ниже
этих величин; они лежат в пределах KQ = 75 ч- 150 кг0*5 см"1.
Затухание, вносимое внешней нагрузкой, может быть определено следую-
щим образом.
Предположим, что момент нагрузки М связан с угловой скоростью со вра-
щения соотношением
М = kvz,	(76)
где k и z — постоянные; принимается также, что эта зависимость сохраняется
как при равномерном, так и при неравномерном движении.
г>	<20	0
В последнем случае со =	, где 9 — угол поворота конца вала, связан-
ного с нагрузкой. При колебаниях, вызываемых гармоническими моментами
порядка v,
0 = со/ -j- с$кн sin ш/,
где (о — средняя угловая скорость вращения вала;
— амплитудный поворот вала в месте приложения нагрузки при соот-
ветствующем нормальном колебании;
с — коэффициент, характеризующий интенсивность колебаний.
Производная равна
<20	. д	,
= Q) -U	COS .
dt	кн
Подставляя эту величину вместо <о в выражение (76) и пренебрегая выс-
шими степенями с, найдем
М — Л40 + MQzcftKHv cos v(o/ ,	(77)
где 7И0 = kvz — среднее значение момента нагрузки.
Второе слагаемое в формуле (77) представляет собой демпфирующий
момент нагрузки.
'Вычислим работу ДП„ этого момента за один цикл колебания:
2тс
vco
ДПЯ = f Mozc9KHv cos dt = kzvMqC2^ .
III	1\гГЬ
0
Полная энергия колебания равна энергии деформации вала при ампли-
тудных смещениях = cftki дисков; эта величина, в свою очередь,
равна максимальной кинетической энергии вала при свободном нормальном
колебании с теми же амплитудами. Таким образом,
п
".=4^ 2'Я,-
Z=1
где pk — частота собственных колебаний.
Относительное затухание, вносимое внешней нагрузкой,
л2
— • <78)
Расчет крутильных колебаний коленчатых валов
439
Величина z имеет значения [31 ]: для генераторов постоянного тока, рабо-
тающих на омическую (осветительную) нагрузку, z— 1; для гребных винтов
в судовых установках z = 3,5; для вентиляторов и воздуходувок z= 2.
Для генераторов постоянного и переменного тока, в цепи которых нахо-
дятся источники противоэлектродвижущей силы (зарядка аккумуляторов,
моторная нагрузка), формула (78) несправедлива. В этом случае для опре-
деления демпфирования в формулу (78) вместо z следует подставлять вели-
£
чину , где Е — электродвижущая сила генератора, Ес— противо-
электродвижущая сила цепи, Е — Ее — потеря напряжения на активных
сопротивлениях.
Для синхронных генераторов с успокоительной клеткой, работающих
на общую сеть, в формулу (78) следует подставлять [39] z = 13.
Затухание, обусловленное масляным слоем в подшипниках, трением порш-
ней и т. п., учесть очень трудно. Как правило, эти потери в расчет не вводятся
и их влияние учитывается соответствующим выбором коэффициента <|>вя тр,
характеризующего гистерезисные потери.
Полный коэффициент относительного трения <]>ft равен сумМе коэффициен-
тов относительного внутреннего трения тр и относительного затуха-
ния фки, вносимого нагрузкой:
Фй = Фе», тр 4" Фкя •
Ввиду того что оценить с достаточной точностью роль всех факторов,
определяющих демпфирование колебаний, не представляется возможным,
в практике часто применяют условные методы расчета.
Согласно одному из таких методов по результатам испытаний аналогич-
ных двигателей непосредственно задают суммарную величину <|>ft для двига-
теля.
Так, для авиационных двигателей рекомендуются
чения коэффициента усиления при резонансе $рез —
[11
2-л:
т:
следующие зна-
Однорядные звездообразные двигатели.........................................10—20
Рядные двигатели (двухузловая форма колебаний)..............................20—40
„	„ (трехузловая „	„	).............................40—60
Меньшие значения $рез относятся к резонансам сильных гармоник,
большие — к резонансам слабых гармоник.
Для тяжелых двигателей могут быть приняты такие же значения $рез,
как и для рядных авиадвигателей [39].
Другой приближенный метод расчета состоит в том, что силы трения отно-
сятся к площади поршня и скорости колебания кривошипа. В этом случае
суммарный коэффициент соответствующий колебаниям fe-й формы, воз-
буждаемым гармоникой порядка v, может быть представлен в виде
п
ф =	,	(79)
& 2
1=1
где F — площадь поршня;
R— радиус кривошипа;
v — порядок гармоники;
ш — угловая скорость вращения вала;
рк — частота собственных колебаний k-й формы.
В числителе формулы (79) суммируются квадраты амплитуд всех колен
вала при нормальном колебании, а в знаменателе — произведения моментов
440
Колебания элементов конструкций
инерции всех дисков на квадраты соответствующих амплитуд. Коэффициент ц
для рядных и V-образных двигателей может быть принят равным [11:
для двухузловой формы колебаний................. р. = 0,001
„ трехузловой „ w .............................р, = 0,0015 -г- 0,003
После того как законы движения каждого из дисков эквивалентного вала
с помощью формулы (75) установлены, определяются моменты, скручиваю-
щие вал на каждом из участков при колебаниях. Так, например, момент
на участке .между Z-м и (i + 1)-м дисками равен
Mit Z+1 = -z+1 - ,
где 8/,	— податливость этого участка вала.
Расчет вала на прочность с учетом моментов, возникающих вследствие
крутильных колебаний, производится методами, изложенными в главе XI.
§ 6. ДЕМПФЕРЫ КОЛЕБАНИЙ
А. Типы демпферов
Демпферами, или поглотителями колебаний, называются специальные
устройства, служащие для уменьшения амплитуд или для полного устране-
ния колебаний. По принципу* действия поглотители колебаний можно разде-
лить на три группы.
Первая группа — динамические поглотители колебаний, изменяющие
характеристику системы и смещающие ее собственные частоты по отношению
к частотам возмущающих сил.
Динамические поглотители могут совершенно устранить колебания при
определенной частоте возмущающей силы; однако при некотором изменении
этой частоты колебания снова возникают. Динамические поглотители коле-
баний принято называть демпферами, хотя их работа и не связана с рессея-
нием энергии (например, «маятниковый демпфер»).
Ко второй группе относятся собственно демпферы, т. е. устройства, вно-
сящие в систему дополнительное затухание и снижающие тем самым ампли-
туды резонансных колебаний.
Пример применения такого демпфера для устранения колебаний изгиба
быстро вращающегося вала уже был рассмотрен выше (§ 4).
Наконец, к третьей группе относятся демпферы, совмещающие обе функ-
ции,— это динамические поглотители с затуханием.
Б. Теория [ динамического поглотителя колебаний
Рассмотрим систему с одной степенью свободы, совершающую вынуж-
денные колебания под действием гармонической возмущающей силы Р cos
(фиг. 263).
Если частота изменения силы совпадает с частотой собственных коле-
баний системы
ро = К ~тЪ ’
то возникают значительные резонансные колебания, амплитуда которых
зависит только от величины внутреннего трения в системе. Оказывается, что
если к системе присоединить посредством упругой связи дополнительную
массу пг1 (фиг. 264), то можно при соответствующем выборе величины подат-
ливости связи 8Х и массы значительно уменьшить и даже совсем устранить
резонансные колебания.
Демпферы колебаний
441
Обозначая смещение массы т через I, а Смещение массы т1 через
получим следующие уравнения движения этих масс:
8? ? = °'
(80)
Решение уравнений (80), соответствующее вынужденным колебаниям
ищем в форме
i = и cos со/;
= uY cos ш/.
Подставляя эти выражения
в уравнения (80), получим
Фиг. 264. Динами-
ческий поглотитель
колебаний (схема).
9
— рщг =
m 1
— Р1«+ (Р|—(О2)»! = 0,
Фиг. 263. Схема
(81) вынужденных ко-
лебаний системы
с одной степенью
свободы.
где р0 =	— частота собственных колебаний системы без дополни-
тельной массы;
Pi =  ------частота собственных колебаний массы поглотителя при
У
закрепленной наглухо основной массе. Из системы урав-
нений (81) можно определить амплитуды колебаний основной массы и погло-
тителя:
р Р1 — “>2.
р__________________Р1________________
(pi - <°2) (Ро - “2) - TirPi0*2
Из этих выражений видно, что если частоту собственных колебаний
поглотителя сделать равной частоте а> возмущающей силы (pt = а>), то коле-
бания основной массы будут полностью устранены (и =0), масса же погло-
тителя будет колебаться с амплитудой
= -^ = Р.В1.	(83)
Из формулы (83) видно, что при резонансной настройке поглотителя вели-
чина усилия, действующего в его упругом элементе, полностью уравновеши-
вает возмущающую силу. Однако при некотором изменении частоты возму-
щающей силы колебания возникнут снова и, если эта частота станет равной
одной из собственных частот двухмассовой системы, амплитуды колебаний
станут бесконечными (если не учитывать затухания).
442
Колебания элементов конструкций
Частоты и*! и о>2 собственных колебаний системы с поглотителем можно
найти, приравнивая нулю знаменатель выражений (82):
“I = 4- [й + р! (1 + --) - V [pJ + р! (1 + »]’ -
»1 = т к + ₽? (1 + ^) + VIpS + p^i+^-JJ’-W
Если до присоединения поглотителя колебаний система былЗ настроена
в резонанс с возмущающей силой, т. е. если р0 = о> = plf то
= р?Г1 + _£1_ 1/М (1 +4^1)
1	L 2m г m \	1 m J
Фиг. 265. Зависимость амплитуды и колебаний системы с динамическим
поглотителем колебаний от частоты со возмущающей силы (без учета
затухания).
Разность квадратов частот и о>2 равна
0>2 —«>2 = р2.2 1/“ -Ml +4-^Ц.
2	1	V m \	* m )
Эта разность тем больше, чем больше масса демпфера.
График изменения амплитуд колебаний основной массы в зависимости
от частоты возмущающей силы для случая р± = pQ и	представлен
на фиг. 265. Для сравнения там же пунктиром нанесена обычная резонансная
кривая для системы с одной степенью свободы. Из графика видно, что
с помощью динамического поглотителя совершенно устраняются колебания
основной массы при о> = р0, но зато появляются два новых резонансных
пика при со о>1 и (о % (о2-
Благодаря этому динамический поглотитель колебаний в чистом виде
может быть эффективным, только если частота возмущающей силы строго
определена.
Демпферы колебаний
443
Так, в работе [44] указывается, что динамический поглотитель колебаний
в виде стержня 1 с грузом 2 (фиг. 266) был успешно применен для успокоения
значительных осевых вибраций упорного подшипника турбогенератора.
Благодаря установке демпфера с грузом 11,3 кг амплитуда колебаний под-
шипника была снижена в 3 раза. Динамический демпфер мог бы быть приме-
нен с наибольшим эффектом, если удалось бы изменять частоту его настройки
одновременно с изменением частоты возмущающей силы. Эта идея использо-
вана в так называемом маятниковом демпфере, служащем для успокоения
крутильных колебаний коленчатых валов.
Фиг. 267. К выводу уравнения движения маят-
ника в поле центробежных сил.
Фиг. 266. Установка динамиче-
ского поглотителя колебаний на
упорном подшипнике турбогене-
ратора.
Действие маятникового демпфера основано на том, что частота собствен-
ных колебаний математического маятника, находящегося в поле центробеж-
ных сил, прямо пропорциональна угловой скорости вращения.
Предположим, что маятник массы т, прикрепленный к диску, вращаю-
щемуся с угловой скоростью о) (фиг. 267), отклоняется от равновесного поло-
жения на малый угол <р. Найдем силы инерции массы в относительном дви-
жении:
“ т dt2
и в переносном движении:
П	2 7? +1 COS <р
.	Pf2 = /ПО)2 ————-.
1	cos ф
Величина силы инерции, соответствующей ускорению Кориолиса, нас
не интересует, так как эта сила не дает момента относительно центра О кача-
ния маятника.
Взяв сумму моментов всех сил, действующих на массу относительно
точки О, получим уравнение движения маятника
т/2	+ /по>2 (R 4- I cos ср) R tg ф = 0,
где масса т может быть сокращена.
Учитывая, что (фиг. 209).
'Ф /j i cos у
444
Колебания элементов конструкций
а вследствие малости угла ср,
получим
_1__^ X = о
Л2-1- z X U.
где х — отклонение массы ш от равновесного положения.
Следовательно, частота собственных колебаний маятника рг равна
Фиг. 268. Конструкция маятникового демпфера
крутильных колебаний:
1 — масса демпфера; 2 — ролики; 3 — диск, насажен-
ный на вал (щека колена).
Л -	« /4. (84)
.	D
При отношении — = 1, 4,
9, 16 и т. д. частота собствен-
ных колебаний маятника будет
всегда равна или соответственно
в 2, 3, 4 и т. д. раза больше, чем
угловая скорость
диска.
Конструктивная
пикового демпфера
на фиг. 268. Масса
в форме обоймы укрепляется
с помощью двух роликов 2 либо
на щеке коленчатого вала вза-
вращения
схема маят-
изображена
демпфера 1
мен противовеса, либо на специально насаженном на вал диске 3. Диаметр d
роликов меньше, чем диаметр D сверлений в щеке и в демпфере. Благодаря
этому масса демпфера может перемещаться относительно коленчатого вала,
причем все ее точки движутся по дугам равных радиусов I ==D—d.
Так как относительное движение массы в рассматриваемом демпфере
поступательное, то частота ее собственных колебаний может быть подсчитана
по формуле (84), выведенной для математического маятника, если под I пони-
мать радиус качания Z =D — d, а под R — величину (7?х — Z), где —
расстояние центра тяжести демпфера от оси вращения коленчатого вала.
Таким образом, частота, на которую настроен демпфер, равна
Pi = <*>
ь-1
• (85)
Если требуется погасить колебания, вызываемые гармоническим момен'
том порядка v (см. § 5), то необходимо, чтобы
Pi = w
или
Ri _
D — d~~
v2 + 1.
(85а)
Другим условием для проектирования демпфера является допускаемая
величина амплитуды его отклонений.
Эта амплитуда для того, чтобы колебание оставалось приблизительно
линейным1, да и из конструктивных соображений, не должна превышать
примерно 30°:
<?<-£-• (86)
1 Линейные колебания могут быть получены и при больших амплитудах, однако в этом
случае путь движения маятника должен быть не круговым [15].
Демпферы колебаний
445
С другой стороны, инерционное усилие демпфера при резонансе полностью
уравновешивает возмущающую силу.
Таким образом, если амплитуда v-й гармоники момента равна
то выполняется равенство
тр*(Р — d)^ = 2»v,	(87)
где т — масса демпфера.
Из уравнений (85)—(87) определяется минимальная возможная масса
демпфера.
Другая конструктивная форма маятникового демпфера представлена
на фиг. 269. Здесь ролик 1, который представляет собой колеблющуюся
массу, перекатывается в отверстии большего диаметра,
сделанном в щеке коленчатого вала. Предполагая, что
перекатывание происходит без скольжения, и учиты-
вая инерцию вращения ролика, можно получить сле-
дующую формулу для частоты, на которую настроен
этот демпфер:
Л =	<88>
'	1 + -7^
где R — расстояние от центра качания до оси вра-
щения вала;
I — радиус качания;
I — момент инерции массы ролика;
Фиг. 269. Роликовый
демпфер:
т — его масса;
d — диаметр (фиг. 269).
Для сплошного ролика I = tnd2, и в этом случае
Pi = «>
(88а)
В. Динамический поглотитель с затуханием
Если внести в динамический поглотитель затухание, пропорциональное,
например, скорости относительного движения дополнительной массы, то
благодаря тому, что амплитуды этой массы велики по сравнению с ампли-
тудами основной массы, можно достигнуть значительного успокоения
вибраций.
Таким образом, удается «срезать» боковые пики амплитуд, получающиеся
при присоединении поглотителя без затухания, и поэтому динамический
поглотитель с затуханием эффективен и в тех случаях, когда частота возму-
щающих сил меняется в широких пределах.
На фиг. 270 представлены резонансные кривые для системы с динами-
ческим поглотителем, настроенным на собственную частоту основной системы
при различных величинах затухания ^отношение массы поглотителя к основ-
ной массе принято = 0,05^.
Кривая 1 (пунктир с точкой) соответствует поглотителю без затухания,
2 (пунктир) — жесткому креплению массы поглотителя к колеблющейся
массе, 3 (сплошная) — слишком сильному затуханию, 4( сплошная) — опти-
мальному затуханию.
446
Колебания элементов конструкций
Из этого графика видно, что наибольшие аплитуды возрастают как при
очень малом, так и при очень большом затухании. Объясняется это тем, что
при малом затухании мы приближаемся к поглотителю без затухания, даю-
щему два резонансных пика, а при очень большом затухании массы гп1 и m
связываются Жестко, и работа сил трения сводится к нулю.
Таким образом, имеется некоторая оптимальная величина затухания,
обеспечивающая наибольший эффект.
Динамический поглотитель с затуханием целесообразно проектировать
так, чтобы вершины левого и правого пиков резонансной кривой лежали
на одном уровне. Для этого надо настраивать поглотитель на частоту,
несколько меньшую, чём собственная частота основной системы.
Фиг. 271. Схема динамического поглоти-
теля крутильных колебаний с затуханием:
1 — закрепленная на валу деталь; 2 — сво-
бодный маховик; 3 — пружины; 4 — масло;
5 — каналы.
Фиг. 270. Резонансные кривые для системы
с динамическим поглотителем, настроенным
на частоту основной системы при различных
величинах затухания (отношение массы демп-
фера к основной массе = 0,05):
m
1— поглотитель без затухания; 2— жесткое креп-
ление массы поглотителя; 3 — слишком сильное
затухание; 4 — оптимальное затухание.
При оптимальном затухании эта частота должна равняться [12]
Р1 = РоТ7^Г’
m
где р0 — частота собственных колебаний основной системы;
— отношение массы демпфера к основной массе.
Минимальная резонансная амплитуда А основной массы, которая может
быть обеспечена при такой настройке демпфера и при оптимальном затухании,
равна

гдеД0 — смещение основной массы, соответствующее статическому действию
возмущающей силы.
Что касается величины оптимального ^затухания, укажем только, что эта
величина растет с увеличением отношения . Определение абсолютных
значений не представляет существенного интереса, так как невозможно
с достаточной точностью определить расчетным путем величину затухания,
осуществленного в системе.
Демпферы. колебаний
447
Поэтому при проектировании демпферов обычно предусматривают воз-
можность регулирования затухания и устанавливают оптимальную его вели-,
чину экспериментальным путем.
Схема конструктивного оформления динамического демпфера с затуха-
нием применительно к крутильным колебаниям приводится на фиг. 271.
Деталь 1 закреплена на валу неподвижно, а маховик 2, сидящий на валу сво-
бодно,может поворачиваться, деформируя пружины 3 и прокачивая масло 4
через каналы 5. Затухание вносится благодаря гидравлическим сопротивле-
ниям при перетекании жидкости.
Г. Демпфер с вязким сопротивлением
Схема свободного демпфера с вязким сопротивлением отличается от рас-
смотренной выше схемы динамического поглотителя с затуханием отсутствием
упругого элемента. Для случая крутильных колебаний устройство демп-
фера с вязким сопротивлением может быть таким, как указано на фиг. 271,
но без пружин 5.
Сопротивление каналов должно быть подобрано так, чтобы при данной
величине амплитуды колебания демпфер поглощал максимальную энергию.
Предположим, что момент сил сопротивления М пропорционален скорости
движения маховика относительно вала
где & — угол поворота вала, — угол поворота маховика, a k — коэффи-
циент пропорциональности.
Тогда уравнение движения маховика можно записать в форме
Считая, что колебания вала совершаются по гармоническому закону
-Э- = 0 sin (о/,
получим
I -37»- + k г-—1- = £8 (О COS (о/.
dt2 1 dt
Представляя решение этого уравнения в виде
В-! = a cos + b sin <о/,
найдем
_ k<s>I
и — /2Ю2_|.£2 °,
откуда
== А- Т* [£2S*n со/--&/(DCOS а>/1.
1	/2ш2 + k2
Угол поворота демпфера относительно вала
— О, = ту-Л, -т~ |72(t>2 sin vat + kiva cos <o/]
1	/2(0-2	£2 L	*	’
ИЛИ
0 — 0, = 9	Z<° — sin (vat + Ф),
1 У +	'	T/’
448
Колебания элементов конструкций
где
Величина момента сил трения
М = k Т (»-».) = 8 у t. “s <“' + «
Работа этого момента, совершаемая в течение одного периода,
Р	&
in= 4(»-цд = .н.-
J	+ \ /<0)
о
Так как эта работа и представляет собой энергию, рассеиваемую в демп-
фере, то нужно стремиться, чтобы она была максимальной. Из этого условия
находим наивыгоднейшую величину затухания:
^опт =
При наивыгоднейшем затухании энергия, рассеиваемая демпфером за один
цикл колебания, равна
Интересную конструктивную разновидность демпфера с жидкостным сопро-
тивлением представляет собой так называемый ртутный демпфер. Этот демп-
фер представляет собой легкий корпус с полым ободом, жестко насаженный
на вал. Внутренняя полость обода, имеющая радиальные перегородки с отвер-
стиями, заполняется ртутью. «Маховиком» этого демпфера является ртутное
кольцо, а затухание создается за счет гидравлических потерь при перетека-
нии ртути через отверстия в перегородках.
Д. Демпфер сухого трения со свободной массой
Схематический чертеж этого демпфера изображен на фиг. 272. Ступица 1
закреплена на валу, крутильные колебания которого требуется уменьшить,
а тяжелые маховики 2 прижимаются к ступице пружинами 3 и увлекаются
во вращение благодаря трению на поверхностях фрикционных накладок 4.
При колебаниях возникает относительное движение между маховиками
и ступицей, причем силы трения на поверхностях 4 совершают работу.
Энергия, поглощаемая демпфером, зависит от момента сил трения
который регулируется изменением затяжки пружин 5. Если затяжка слиш-
ком сильна, то относительного движения между маховиками и ступицей,
а следовательно, и рассеивания энергии не будет; если затяжка слишком
слаба, то поглощаемая демпфером энергия также мала. Таким образом,
существует некоторое оптимальное значение момента трения в демпфере,
соответствующее наибольшему поглощению энергии. Этот момент опре-
деляется формулой [31]:
где I — момент инерции маховиков демпфера;
со — частота;
О — амплитуда колебаний ступицы.
Демпферы колебаний
449
Энергия, рассеиваемая демпфером за один цикл при наилучшей его регу-
лировке, равна
ДП = —Zo>262.
ТС
Из формулы для оптимального момента трения видно, что наилучшая
регулировка демпфера сухого трения должна быть различной в зависимости
от амплитуды колебания его ступицы.
В современных авиационных двигателях демп-
феры трения со свободной массой применяются
редко [1]. На фиг. 273 представлена схема демп-
фера трения, устанавливаемого на ряде авиацион-
ных двигателей. Этот демпфер состоит из двух
Фиг. 273. Установка демпфера без свободной
массы.
Фиг. 272. Демпфер сухого
трения:
1 — ступица; 2— свободные ма-
ховики; 3—нажимные пружины;
4 — фрикционная накладка.
частей, закрепляемых на концах какого-либо участка вала (на фиг. 273 —
между винтом и двигателем). Взаимное перемещение частей демпфера соот-
ветствует углу закрутки того участка вала, на который он ставится. Поэтому
демпферы такого типа должны устанавливаться на наиболее сильно дефор-
мируемом участке вала.
Е. Методика расчета демпфера при установке его на систему,
имеющую ряд степеней свободы
Приведенные выше формулы для расчета демпферов различных типов были
выведены в предположении, что система, колебания которой гасятся, имеет
одну степень свободы. В большинстве же случаев приходится иметь дело
с системами, имеющими ряд степеней свободы (коленчатый вал).
При расчете коленчатого вала, на котором установлены динамические
поглотители колебаний, должны быть учтены соответствующие дополнитель-
ные степени свободы системы. Так, например, эквивалентная схема вала,
на одном из колен которого установлен маятниковый демпфер, имеет вид,
представленный на фиг. 274, а.
Здесь момент инерции 1д добавочного диска, эквивалентного демпферу,
равен
1д = mR},
где т — масса демпфера;
7?! — расстояние ее центра тяжести от оси вращения.
29 Пономарев 508
450
Колебания элементов конструкций
Податливость эквивалентного участка вала равна
А.
Idpi
где pt — частота, на которую настроен демпфер (для маятникового демп-
фера эта частота зависит от скорости вращения вала <о [см. формулы (84),
(85), (88)].
Фиг. 274. К расчету колебаний колен-
чатого вала с маятниковым демпфером.
Рассмотрим такие колебания вала,
когда его сечение, в котором установлен
демпфер, колеблется с частотой р и ам-
плитудой А:
& = A sin pt.
Тогда добавочный диск 1д, эквива-
лентный демпферу, будет двигаться
в соответствии с выражением
—n^-sinp/,
Pi
а момент сил инерции этого диска бу-
дет равен
_z^=_^_sinpz.
° at2 . р2 г
Р21
Точно такой же момент дали бы силы инерции закрепленного непосред-
ственно на валу диска с моментом инерции /3, равным
з
Id
Р1
(89)
Таким образом, вместо того, чтобы рассчитывать разветвленную систему
(фиг. 274, а), можно рассматривать систему с дополнительным, заменяющим
демпфер диском, имеющим момент инерции 1а (фиг. 274, б). Из формулы (89)
видно, что если частота колебания равна частоте настройки демпфера,
то момент инерции 13 бесконечно велик. В этом случае в сечении, где установ-
лен демпфер, располагается узел колебания.
При приближенном расчете демпфирования многомассовой системы пред-
полагают, что форма резонансных колебаний системы изменяется в резуль-
тате установки демпфера лишь незначительно, и заменяют многомассовую
систему одномассовой.
Эквивалентная одномассовая система должна иметь частоту собственных
колебаний, равную частоте рассматриваемой формы колебаний заданной
системы. Амплитуда колебаний эквивалентной системы принимается равной
амплитуде колебаний той точки действительной системы, в которой уста-
навливается демпфер. Энергии колебаний эквивалентной и действительной
систем принимаются одинаковыми. Указанные три условия позволяют опре-
делить массу (момент инерции) эквивалентной системы и ее жесткость.
Величина возмущающих сил, действующих на эквивалентную систему,
определяется так, чтобы работа этих сил за один цикл колебания равнялась
работе возмущающих сил, прилагаемых к действительной системе.
Демпферы колебаний
451
Так, в случае крутильных колебаний системы с рядом маховиков (схема
коленчатого вала) определение эквивалентной системы производится следую^
щим образом.
Предположим, что форма свободных колебаний системы определена
(фиг. 275, а и б) и частота этих колебаний равна р. Если демпфер распо-
лагается в сечении, относительная амплитуда которого равна 9а, то ве-
личина момента инерции 1экв маховика эквивалентной системы опреде-
лится из условия равенства энергии колебания:	и.
p2W1 = p2S^?’
откуда
т	1 П
~ «ГЗ/-9'-
В этой формуле суммируются произ-
ведения моментов инерции всех дисков
системы на квадраты их относитель-
ных амплитуд.
Податливость эквивалентной си-
стемы Ъзкв определяется из условия
равенства частот:
j »	г >
^экв^экв
откуда
*экв = жгг •
Если на каждый из маховиков дейст-
вуют возмущающие моменты v-ro по-
рядка
M.t = 2J?^sin(v(oZ + cpvz),
Фиг. 275. к замене системы и установлен
ным на ней демпфером эквивалентной си
стемой, имеющей одну степень свободы
то работа L этих моментов за один цикл вынужденного колебания, предполат
гая, что колебание это совершается по закону
&z = fiki sin (v<o£ — a),
будет равна	'	‘
vw
L = J Mvz dt = тс [cos a 2 sin <pvZ + sin a 2 §ki cos a>vZ].
о
При резонансе фаза колебания а такова, что работа L максимальна, сле-
довательно,
Lpe3 = тс УЛ. /(2 0А/ sin сем)2 + (3 9*z cos cpvZ)2.
Радикал в этой формуле представляет собой геометрическую сумму ампли-
туд 6-го колебания, соответствующую гармонике порядка v [см. фор-
мулу (73а)]. Таким образом,
Lpes ~ 70 Sv §k*
Предполагая, что на эквивалентную систему (фиг. 275, в) действует возму-
щающий момент
sin Vtt)/,
29*
452
Колебания элементов конструкций
найдем величину 30?экв из условия, чтобы при резонансе работа этого
момента	равнялась величине Lpea. Отсюда
S'* ^ki
№зкв=^^--
И. А. Лурье [31 ] указывает, что расчет демпфера с заменой действитель-
ной колебательной системы системой с одной степенью свободы дает
результаты, хорошо подтверждаемые опытом.
§ 7. КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК ТУРБИН И КОМПРЕССОРОВ
Колебания лопаток турбомашин возникают вследствие неравномерного
по окружности потока рабочей среды, а также в связи с возмущениями,
вносимыми в поток лопатками направляющего
аппарата.
Задачей проектировщика является определение
частот собственных колебаний лопатки и выбор
такой ее конструкции, чтобы исключить возмож-
ность резонанса. Следует отметить, что иногда
имеют место опасные вибрации лопаток, связанные
не с резонансом, а с автоколебаниями их в потоке
газа — так называемым флаттером. Условия воз-
никновения флаттера турбинных лопаток рассмат-
• риваются в специальной литературе [26], [46].
* Лопатка газовой турбины или турбокомпрес-
сора представляет собой стержень переменного
сечения, заделанный одним концом. Ось лопатки
. обычно является слабо изогнутой пространствен-
ной кривой, но при расчете частоты собственных
колебаний можно с достаточной точностью счи-
Фиг. 276. Оси координат и тать, что ось лопатки прямолинейна и направлена
главные оси (5, *)) сечения перпендикулярно оси вращения ротора.
лопатки.	Трудности расчета частоты собственных коле-
баний турбинных лопаток связаны с наличием за-
крутки, т. е. с тем, что главные оси инерции различных поперечных сече-
ний не параллельны друг другу. Кроме того, в расчете необходимо учиты-
вать влияние центробежных сил'.
Поперечное сечение лопатки, расположенное на расстоянии г от оси вра-
щения (фиг. 276), отнесем к осям х, у, направленным соответственно парал-
лельно оси вращения и по касательной к окружности.
Главные оси сечения и ц составляют некоторый угол <р с осями х и у.
Площадь сечения, моменты инерции его, а также угол <р являются функ-
цией радиуса г или ординаты z, отмеренной от корневого сечения лопатки.
Смещения центра тяжести сечения в осевом и окружном направлениях
обозначим соответственно через и* и v*.
Рассмотрим, используя принцип Даламбера, равновесие элемента dz
лопатки в плоскости, перпендикулярной к оси вращения.
На концах элемента возникают внутренние силы — продольная N, попе-
речная Q*y и изгибающий момент Мх (фиг. 277, а). Кроме того, к элементу
приложена центробежная сила, имеющая вертикальную проекцию /o)2pFdz
и горизонтальную проекцию о* w?pFdz (фиг. 277, б), а также сила инерции
„ , <?*»*
в относительном движении, равная —pFdz 2 .
Колебания лопаток турбин и компрессоров
453
Проектируя силы на вертикаль, имеем
(90)
dN
dz
rutpF.
Приравнивая нулю сумму проекций всех сил на горизонталь, приходим
(91)
Фиг. 277. Силы, действующие на элемент лопатки в плоскости вращения:
а — внутренние силовые факторы; б — центробежная сила.
Кроме того, может быть использовано и обычное соотношение:
dz
(92)
Уравнение (90) позволяет определить продольную силу в сечении
N = а>2 j pFrdz,	(93)
2
где / — длина лопатки, а интеграл вычисляется от рассматриваемого сече-
ния до свободного конца лопатки.
Исключая из равенств (91) и (92) поперечную силу Q^, придем к уравне-
нию
д ( КГ dv* X 2 Г * I F d2v* О	/0/1.
~3*-----te\N-dT)- ®?Fv +?F = °-	<94)
Теперь рассмотрим равновесие элемента в плоскости xz (фиг. 278). Проек-
тируя силы на ось х, получим
д ( кт ди*\ L	г	п
&-(ЛГ-эг) + ^—=
454
Колебания элементов конструкций
Исключая из этого уравнения поперечную силу с помощью соотношения
£4
дг
= QX,
имеем
. д ( ,г ди* \ с д2и* п
~д/~ + ъ si-) - pf	= 0 •
(95)
Выражения для смещений и изгибающих моментов, соответствующие
свободным колебаниям лопатки с круговой частотой р, представим в виде
Фиг. 278. Силы, действующие
на элемент лопатки в радиаль-
ной плоскости.
U* = U cos pt; v* = V cos pt;
Мх = Mx cos pt; M# = My cos pt.
Тогда уравнения (94) и (95) превратятся
в обыкновенные дифференциальные уравнения
относительно амплитудных значений моментов
и смещений:
(96)
+4- ( N 4) + P2?Fu=°-
dz2 ‘ dz \ dz J ‘ r r
Установим связь между перемещениями
и изгибающими моментами. Для применяемых
в практике профилей лопаток момент инерции
относительно одной из главных осей сечения
(ось т]) во много раз больше, чем момент инер-
ции его относительно другой оси (ось £). В этом наиболее важном практически
случае изгибом относительно оси щ можно пренебречь.
Амплитудная кривизна, связанная с изгибом относительно оси 5 составит
М
EJ '
где М и J — игибающий момент и момент инерции сечения относительно
той же оси.
Проекции этой кривизны на окружное и осевое направления равны,
вследствие малости перемещений, вторым производным от и и v по г:
d2v	м
— = Xcos<P=-gZcos?;
d2u	.	М .	/n7v
-^r = -ZSInT = -T7sinT.	(97)
Изгибающий момент М относительно оси I связан с моментами Мх и Му
равенством
М = Мх cos ср + Му sin ср.	(98)
• С учетом выражения (98) уравнения (96) и (97) представляют собой систему
дифференциальных уравнений с четырьмя неизвестными (и, и, Мх, Му).
Точное интегрирование этой системы в общем случае не может быть выпол-
йено, и для ее решения необходимо использовать приближенные методы.
Эффективным является метод последовательных приближений, рассмотрен-
ный в § 2 главы VII. Для того чтобы применить этот метод, перейдем от диффе-
ренциальных .уравнений к интегральному.
Колебания лопаток турбин и компрессоров
455
Проинтегрируем дважды, в пределах от z до Z, каждое из уравнений (96),
учитывая, что на свободном конце лопатки при z — /
-^*- = 0; Л4х = 0; -^- = 0; Му = 0,
dz ’ х ’ dz ’ У ’
а также N = 0.
Таким ’образом, получим
i	i
+ f IV -g dz — (co2 + p2) J J pFvdz2dzt = 0;
Z	ZZ1
I	I I
j* N dz + p2 J j* [>Fudz2dzl — 0.
Z	Z Zi
Определяя отсюда МЛ и Л4у и подставляя их значения в соотношение (98),
переходим к уравнению для изгибающего момента относительно оси
i	i
М = EJ% = sin ср N dz — cos ср j* N dz +
z	z
I I	ll
+ (<o2 + p2) cos ф j* j* pFvdZidZj^ — p2 sin <p J J ^Fudz^dz^
Z Zi	Z Zi
(99)
-J- = .[ ycossdz;
du _	"
Интегрируя уравнения (97) и учитывая, что при z=Qu=v=0
du dv n
и’у- = -7- =0, выразим смещения ии v через кривизну /:
на CLa
,	Z	Z Zi
; v = f f X cos <P dz2dzx;
о b
Z	Z Zi
= — f x sin ? dz; и = — J f X sin ср dz2 dzv
Л •	о 0
Подставляя эти значения
к виду
в уравнение (99), приведем его окончательно
Р2
х = ir cos ?
EJ
J J p^J f xcos?dz4dz3dz2dz1 +
z Zi 0 0
I I Zz za
4-sin<p ff ppf f ^\n<^dzidz3dz2dz-i —
z Zi 0 0
2 Г	1	21	Z Zi
— cos cp J Л\ f x cos cp dz2 dzt + sin cp f (* x sin ? dz2 dzY —
z b	‘z’o
i i z2 z3
•	— cos<p j* JpFj J i^4dzidzzdz2dzl .
z Zi 0 0
При выводе этого уравнения учтено соотношение (90) и обозначено
• '^i'=^2= \?Frdz,
(100)
- (101)
456
Колебания элементов конструкций
где Nr — продольная сила в сечении при угловой скорости, равной единице.
Таким образом, задача определения частот собственных колебаний лопатки
сводится к интегральному уравнению (100).
Второе слагаемое в правой части этого уравнения, содержащее множи-
тель (о2, учитывает влияние центробежных сил. Если центробежные силы
отсутствуют, уравнение колебаний естественно закрученной лопатки при-
нимает форму
2 г	1 1	23 23
X = -FT c°s <p И рЛН Xcos?dz4dz3dz2dz1 +
L	Z Zi 0 0
I I	z2 z3
+ sin <p J j‘ pF f J x sin <P dzt dz3 dz3 dzY
z Zi	0 0
(Ю2)
Если лопатка не закручена (ср = const), уравнение (102) совпадает с урав-
нением (25) главы VII.
Теперь для решения уравнения (102) может быть использоцан метод
последовательных приближений.
Задавшись какой-нибудь подходящей функцией для кривизны х(0) и про-
извольной частотой р(°), подставляя эти значения в правую часть уравне-
ния (102) и выполняя интегрирование, найдем первое приближение для кри-
визны х(1)-
Затем частота колебаний определяется по формуле (26) главы VII:
p(’> = pW
0
(ЮЗ)
Подобным же образом вычисляются и пс следующие приближения.
Рассмотрим пример расчета собственной частоты естественно закрученной лопатки.
Длина и размеры поперечных сечений этой лопатки совпадают с размерами сечений неза-
крученной лопатки, рассмотренной на стр. 350, а углы ? для каждого сечения приведены в
в графе 4 табл. 49. В этой же таблице приведены и все вычисления.
В качестве первого приближения функции приняты значения кривизны, полученные
для незакрученной лопатки в графе 8 табл. 46. Эти значения умножены на постоянный множи-
тель, чтобы в корневом сечении = 1.
При расчете принято р^ = 600 сект-1. Все вычисления интегралов выполнены по правилу
трапеций методом, изложенным в главе VII.
В результате расчета получено
1
= 20,97-2,04-10* кгсм}
о
I
f EJ £х(1)]2dz = 22,32-2,04-10* кгсм
и частота колебаний по формуле (103)
р(1) = 600
581 сек—1.
Надобность в еще одном приближении отпадает, так как, из сравнения граф 7 и 25 таблицы
видно, что функция
Р(1)Г
Y(1) практически не отличается от функции х •
pw л
Сравнивая частоты колебаний естественно закрученной и незакрученной
лопаток (581 и 575 сек-1), заключаем, что естественная закрутка приводит
к увеличению основной частоты всего на 1%. Это позволяет при расчете
Колебания лопаток турбин и компрессоров
457
Таблица 49
Расчет частоты собственных колебаний естественно закрученной лопатки
Z в см	EJ в кастиМО4	pF в кгсек*-см 2 *10 6		Л soo	6 UIS	в см 1	^(0) COS Ср в см 1	Z j a&dz в 1-1,02 0	Z $ ад dz в см- 1,02я 0	со 1 о S 7 g Со и <3	1 j dz в кгсек* • 1,02s-10—3 Z
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
0	5,33	12,80	12°18'	0,976	0,213	1,00	0,976	0	0	0	9,74
2,04	4,43	12,24	15°42'	0,963	0,271	1,03	0,990	1,97	2,0	0,024	9,71
4,08	3,69	11,60	19°06'	0,944	0,327	1,04	0,980	3,94	8,0	0,093	9,60
6,12	3,07	10,96	22°18'	0,925	0,379	1,01	0,932	5,85	17,8	0,195	9,31
8,16	2,54	10,32	25°42'	0,900	0,434	0,95	0,855	7,63	31,2	0,322	8,79
10,20	2,07	9,68	28°54'	0,875	0,484	0,845	0,740	9,23	48,1	0,465	8,00
12,24	1,66	9,04	32°00'	0,848	0,530	0,705	0,598	10,56	67,9	0,614	6,93
14,28	1,31	8,40	35°12'	0,816	0,576	0,520	0,425	11,59	90,0	0,756	5,56
16,32	1,00	7,76	38°24'	0,785	0,621	0,314	0,246	12,26	113,9	0,884	3,92
18,36	0,78	7,12	41°30'	0,749	0,663	0,103	0,077	12,58	138,7	0,986	2,05
20,40	0,57	6,48	44°42'	0,710	0,704 1	0	0	12,66	164,0	1,060	0
1 ' _ f a12dz в кгсек9см-1,02*-10 8 Z	*4 W о Q Q м	^(0) sin Ср в см 1	Z J а1в dz в 1-1,02 0	0 я zp 9*v f Z	a3at 7 в кгсек2см 1 • 1,028 • 10 3	1 j а18 dz в кгсек2- 1,02s -10"“3 z	1 f а19 dz в касе№сл-1,024-10~3 2	7 2 м sk 0	7 § и е« + <3 II	о £ м S	EJ [ Х(1)]2 в ка-104	X М 1- ш st(l)dJ
13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
137,5 118,0 98,7 79,8 61,7 44,9 30,0 17,5 8,0 2,1 0	0,986 1,000 0,990 0,942 0,855 0,740 0,598 0,427 0,246 0,079 0	0,213 0,280 0,340 0,383 0,411 0,409 0,374 0,300 0,195 0,068 0	0 0,49 1,00 1,84 2,63 3,45 4,23 4,91 5,40 5,66 5,73	0 0,5 2,1 5,0 9,5 15,6 23,3 32,4 42,7 53,8 65,2	0 0,006 0,024 0,055 0,098 0,151 0,210 0,272 0,332 0,383 0,423	3,49 3,48 3,45 3,37 3,22 2,97 2,61 2,12 1,52 0,81 0	50,6 43,6 36,7 29,9 23,3 17,1 11,5 6,8 3,1 0,8 0	0,079 0,104 0,127 0,144 0,155 0,156 0,144 0,120 0,075 0,026 0	1,065 1,104 1,117 1,086 1,010 0,896 0,742 0,547 0,321 0,105 0	5,69 5,05 4,29 3,36 2,44 1,57 0,87 0,37 0,10 0,08 0	6,07 5,40 4,60 3,62 2,59 1,66 0,92 0,39 0,10 0,01 0	1,00 1,04 1,05 1,02 0,95 0,843 0,697 0,515 0,302 0,099 0
Примечание. а2» fla» • • •» «22—величины в соответствующих индексам графах таблицы.												
458
Колебания элементов конструкций
основной частоты колебаний лопаток не учитывать их естественную закрутку
и пользоваться значительно более простыми формулами главы VII.
Влияние закрутки на вторую частоту собственных колебаний более
существенно. При угле естественной закрутки порядка 30—40° эта частота
снижается на 10—15%.
Вторая частота определяется так же, как и первая, однако функцию X
каждого приближения необходимо ортогонализировать по отношению к функ-
ции xi, соответствующей первой форме колебаний.
Условие ортогональности для кривизны имеет вид
i
поэтому функцию первого приближения следует задавать в виде
Х(0) = х(0) _|_ аХъ
причем
о
о
а =
Полученную в результате расчета функцию X*1) снова необходимо орто-
гонализировать и принять функцию второго приближения равной
Х(1> = Х(1) + Ьул,
где
I
У^Х(1)Х1*
'	ь =——1-----------.
^EJ-^dz
' 0
Рассмотрим теперь влияние центробежных сил. Для вычисления частоты
собственных колебаний с учетом центробежных сил необходимо решить инте-
гральное уравнение (100). Это уравнение может быть кратко записано в виде
'	Х = ^-^Х-^^Х>	(104)
где Кр и Кю — интегральные операторы:
/CpX = cos<?npF^fxcos®dz4dz3dz2dz1 +
+ sin <р f J pF J J х sin ? ^dzgdzjdzj;
. г z г* 0 0	. г	(105),
I	Z\	I	2i	'	'
= cos © J Nt У % cos © dz^dzY -f- sin <p J J x sin © dz<ldzl —
z	0	z	0
<	I I z2 23
— cos <P У У pF У У x cos <P dZidZsdztdZt.
z zt 0 0	.
Точные значения собственных функций X и частоты р обращают уравне-
ние (104) в тождество.
Колебания лопаток турбин и компрессоров
459
Задавшись подходящей функцией Х<0> (г) и подставив ее в уравнение (103),
мы получим, вообще говоря, неравенство
х(0)^^ адО)-^адо)-	(юб)
Собственная частота колебаний первого приближения должна быть
выбрана так, чтобы правая часть полученного выражения минимально отли-
чалась от левой. Для этого, в соответствии с методом Галеркина, потребуем,
чтобы после умножения на EJy^dz левой и правой частей выражения (106)
и интегрирования по всей длине лопатки получался бы одинаковый резуль-
тат.
Таким образом, получим:
i	i	i
JEJ [^]^dz= [р<‘>]2 jx^pX'O) dz — о2 j x(0)^X<0)^,
откуда
fEJ [x(0)]2<fe j X(O)^X(O)^
[p(i>]2 = 4---------+ a>2 Л---------•	(107)
^Kp^dz
Вычисление по формуле (107) может быть выполнено без существенных
затруднений, для чего предварительно интегрированием в соответствии с фор-
мулами (105) вычисляются функции /Срх(0) и Д<»Х(0>-
После того как первое приближение для частоты найдено, можно опре-
делить и первое приближение для функции х^
В дальнейшем можно повторить расчет задаваясь уже функцией Х<б.
Для жестких1 лопаток, таким образом, получается сходящийся процесс
последовательных приближений. Для гибких лопаток процесс может ока-
заться расходящимся. В этом случае можно улучшить сходимость, беря для
функции следующего приближения полусумму (х(0) + х(1))-
В большинстве случаев при удачном выборе фунцкии Х<0> достаточно точ-
ные результаты дает уже формула первого приближения (107). Целесообразно
выбирать в качестве функции х<0) функцию, полученную в результате рас-
чета лопатки без учета центробежных сил. Эта функция является решением
уравнения
_ Pi „	.
X EJ
где pi — частота собственных колебаний лопатки при отсутствии вращения.
Учитывая это соотношение, получим по формуле (107)
Р2 = Р1
I
f X^xdz
о
I
J EJy? dz
о
(Ю8)
1 Повернем мысленно центробежные силы, приложенные к лопатке, направив их к оси вра-
щения. Если эти силы не вызовут потери устойчивости лопатки ^последняя является жесткой.
В противном случае лопатку следует считать гибкой.
460
Колебания элементов конструкций
Второе слагаемое в скобках учитывает повышение частоты собственных
колебаний за счет влияния центробежных сил.
Рассмотрим влияние центробежных сил на частоту колебаний лопатки,
расчет которой без учета этих сил выполнен выше.
Все необходимые вычисления сведены в табл. 50. В первых пяти графах
этой таблицы приведены исходные данные, взятые из табл. 49. Графы 6 и 7
использованы для вычисления величины N1 = ^pFrdz.
z
В графах 8—14 подсчитывается выражение
COS ср И pFj f ^cos^dz^Zgdz^.
ZZ1 0 0
В графах 15—18 и 19—22 подсчитываются выражения
I	Zi	I	zt
cos ф J	J x cos ф dz^dzi	и	sin ф f	J x sin ? dz^dz^
z	0	z	b
соответственно.
В графе 23 приведены значения функции а графа 24 служит для
вычисления интеграла
i
J xA’cdX dz = 1,184 • 2,04 кг сек2, см.
Подставляя это значение, а также найденное выше значение интеграла
i
| EJf dz = 22,32 • 2,04• 104 кгсм
в формулу (108), получим
где pi = 581 сект1 — частота колебаний лопатки при отсутствии вращения.
Расчет частоты собственных колебаний лопатки в значительной мере
упрощается, если лопатка является незакрученной, т. е. угол установки ее <р
постоянен.
Уравнение (100) принимает в этом случае вид
I I z2 z3	I zt
Х.= ^(р2 + <o2cos2©) ( J pF J J X dZi dzs dz2 dzt —	J N± J x ^2 dzu (109)
z zx 0 0	zb
Из Структуры уравнения (109) видно, что назависимо от величины угла <р
оно удовлетворяется при одинаковых значениях суммы
р2 _|_ ^2 cos2 ф =
где Рос представляет собой частоту колебаний лопатки при <р = -у >
совершаемых в осевом направлении.
При любой другой установке лопатки собственная частота составляет
Р = у/ГР20С— <02COS2<p.
Таким образом, частота является наименьшей при <р — 0, т. е. когда коле-
бания совершаются в окружном направлении, и наибольшей при © =
Колебания лопаток турбин и компрессоров
461
Таблица 50
Определение частоты колебаний лопатки с учетом центробежных сил
3 «Л и к	СО 1 О 1 СО со' ? «о		9- 05 О О		9- С *05		7 со 0		со lo 7 g со		со 1 о СЧ 43 5 CJ II w	* Д		т 3 0 9- <z> О	сч о 0 •8 00 Q Nc		со 3 0 •8 <3 N с	Р		со 1 о со со 7 «ч» о со W Со Q • С\> <3 «	
1	2		3		4		5		6		7		8	9	10		11	
17,26 19,30 21,34 23,38 25,42 27,46 29,50 31,54 33,58 35,62 37,66	12,80 12,24 11,60 10,96 10,32 9,68 9,04 8,40 7,76 7,12 6,48		0,976 0,963 0,944 0,925 0,900 0,875 0,848 0,816 0,785 0,749 0,710		0,213 0,271 0,327 0,379 0,434 0,484 0,530 0,576 0,621 0,663 0,704		1,065 1,104 1,117 .1,086 1,010 0,896 0,742 0,547 0,321 0,105 0		221 236 247 256 263 266 266 265 260 254 244		5,091 4,634 4,151 3,648 3,129 2,600 2,068 1,537 1,012 0,498 0		1,04 1,06 1,05 1,00 0,91 0,785 0,629 0,446 0,252 0,078 0	0 2,10 4,21 6,26 8,17 9,86 11,27 12,35 13,04 13,37 13,45	0 2,1 8,4 18,9 33,3 51,3 72,5 96,1 121,5 147,9 174,7		0 0,025 0,097 0,207 0,345 0,495 0,654 0,805 0,941 1,057 1,148	
со 1 о "о •S	? н О	* ю		со 1 о Ю* о й СО 8 1 и		' со 1 о Й п <3 оо <3	со 1 о СО со о со’ to <с 0 o’ o'	со lo со со й со •8	| *	К) -*'	И		со 1 й со «и и Q <3		7 § 0 9- С CZ5		. сч о 0 •й со Q	со 1 о со’ О СО 2 to <3 * О* 0	со lo со’ о й СО •8	8 Q	£	со lo й Со со’ tv 0 Q Q	а 1 « е« 1 2 t ? а II ? ’з « 0		т  о со « • со <v 0 ’а
12		13		14	15	16		17		18		19 .	20	21	22	23		24
10,400 10,375 10,253 9,949 9,397 8,557 7,408 5,949 4,203 2,205 0		146,7 126,0 105,5 85,3 66,0 48,0 32,1 18,7 8,6 2,2 0		159 135 111 87,5 65,9 46,6 30,2 17,0 7,5 1,8 0	0 9,73 17,5 22,8 25,6 25,6 23,3 18,9 13,2 7,0 0	326 316 289 249 201 150 101 59 27 7 0		338 322 290 244 191 139 91 51 23 6 0		0,227 0,300 0,365 0,410 0,438 0,434 0,393 0,315 0,200 0,070 0		0 0,527 1,192 1,967 2,815 3,687 4,514 5,222 5,737 6,007 6,077	0 2,44 4,96 7,18 8,80 9,58 9,36 8,02 5,79 3,00 0	118,3 115,9 108,5 96,4 80,4 62,0 43,0 25,6 11,8 3,0 0	26,8 33,2 37,6 38,8 37,0 31,8 24,2 15,7 7,8 2,1 0	206 220 218 196 162 124 85 50 24 6 0		220 244 243 213 164 111 63 27 8 1 0
Примечание. а2» а3 . . . a3i — величины в соответствующих индексам графах таблицы.																		
462
Колебания элементов конструкций
Порядок расчета незакрученной лопатки такой же, как и закрученной*
однако количество выкладок сокращается в этом случае более чем вдвое-
Учитывая, что на низшую частоту колебаний закрутка влияет мало, при
предварительных расчетах ее можно не учитывать.
Наряду с методом последовательных приближений для определения низ-
шей частоты колебаний естественно закрученной лопатки может быть исполь-
зован и метод Рэлея.
Расчет с помощью этого метода является значительно более простым,
однако точность результатов не может быть оценена.
При применении метода Рэлея целесообразно задаваться подходящей
зависимостью для кривизны
X (2), а затем численным интегрированием под-
считывать углы поворота и прогибы
Фиг. 279. Изменение расстояния
элемента от оси вращения в свя-
зи с боковым его перемещением.
v~= f xcos®^z‘>
dz gA •	’
du c • j
-T- = xsm^dz;
dz x Л ‘
Z Zi
» = И X cos <Р dz^dzv\
п о
« = X Sin ? dz^.
Далее, также численным интегрированием,
определяются потенциальная энергия деформа-
ции:
z о
и величина L (см. главу VII, § 1):
i
L = $PF(u*+v*)dz.
о
Чтобы учесть центробежные силы, необходимо дополнительно вычислить
их потенциал (см. главу VII § 1Д).
Радиальное перемещение некоторого сечения лопатки при изгибе выра-
жается равенством
z
< V2
dz~~2r-
Интеграл в этом выражении соответствует смещению за счет поворота ос»
V2
лопатки [см. формулу (12), глава VII), а слагаемое равно изменению ради-
уса при перемещении точки по касательной к окружности (см. фиг. 279).
Центробежная сила, приложенная к элементу dz лопатки, равна
гс^рЕ dz = —	dz,
где N — продольная сила в сечениях лопатки.
Потенциал центробежных сил
t/o, = — [ К dz.
О
Вычисляя этот интеграл по частям, найдем
i
Um = —KN\ +
|о J dz
о
Колебания лопаток турбин и компрессоров
463
Так как при z = О X = О и при z = I N = О9 получим
где снова введена величина Afi по формуле (101).
В соответствии с методом Рэлея квадрат собственной частоты колебаний
п2 2(^о+^) _
1
I
f pF (и2 + и2) dz
1
 j EJy2dz + <»2
/о
pFv2
Применим полученную формулу для расчета частоты колебаний уже рассмотренной выше
лопатки. Все вычисления для этого случая сведены в табл. 51.
Приближенно задаемся параболической зависимостью для кривизны
X =	(Ill)
Соответствующие значения х приведены в графе 8 таблицы. Графы 9—14 отведены для
( dv du \	о	. ir
вычисления углов поворота (	j и перемещении v и и, а графы 15—19 служат для вычи-
сления интегралов, входящих в формулу (110).
В результате расчета получаем следующие значения интегралов:
I
J pF у2 dz = 409 • 1,024 • 2,04 • 10~3 кг сек2 см;
о
Z
j pFw2 dz = 56-1,024 • 2,04 -10—3 кг сек2 см;
о
i
С !dv\2
I	। —z— ) dz = 1108-1,023-2,04-10—3 кг сек2 см;
J \ dz /
0	4 7
I
C / du \ 2
| Ni |	1 dz = 162-1,023-2,04-10~3 кг сек2 см;
J	\dz	,
о	x 7
t
§EJyfdz = 171.2,04-Ю3 кгсм,
о
и по формуле (110) имеем
Полученный результат в точности совпадает с данными расчета по методу
последовательных приближений. Это объясняется близостью принятой зави-
симости х (z) (111) с полученной в результате последовательных приближе-
ний (см. графу 25 табл. 49). Однако даже при менее удачном выборе функции
X (г) ошибка метода Рэлея не превышает обычно 5—7%. Вместе с тем расчет
здесь является значительно более простым, чем при использовании метода
последовательных приближений.
464
Колебания элементов конструкций
Таблица 51
Вычисление частоты собственных колебаний лопатки по методу Рэлея
г в см	EJ в кг-см*Л№	pF в кг-сек2 см 2-10 6	COS ср	sin ср		«о 1 о Со 0 £		со 1 о •Й	® 1	с7 II	С\> -	« к	0		7 § п		X COS <Р в см 1	
1	2	3	4	5		6		7		8		9	
17,26 19,30 21,34 23,38 25,42 27,46 29,50 31,54 33,58 35,62 37,66	5,33 4,43 3,69 3,07 2,54 2,07 1,66 1,31 1,00 0,78 0,57	12,80 12,24 11,60 10,96 10,32 9,68 9,04 8,40 7,76 7,12 6,48	0,976 0,963 0,944 0,925 0,900 0,875 0,848 0,816 0,785 0,749 0,710	0,213 0,271 0,327 0,379 0,434 0,484 0,530 0,576 0,621 0,663 0,704		221 236 247 256 263 266 266 265 260 254 244		5,09 4,63 4,15 3,65 3,13 2,60 2,07 1,54 1,01 0,50 0		1 0,99 0,96 0,91 0,84 0,75 0,64 0,51 0,36 0,19 0		0,976 0,952 0,905 0,842 0,755 0,656 0,542 0,415 0,283 0,142 0	
Z v' — J xcos ? в 1-1,02	W О й «о 0 N чз 	jO 11 О	X sin ср в см 1	Z и’ = J х sin ‘F в 1 • L02 0	z и = у и’dz в см-1,022 0	СО 1 о 8 ? 0 сч о 'к		в кг-сек2-1,024-10 3		со 1 о g 2? w « 0		со 1 о g к 0		о <\) к! П
10	11	•	12	13	14	15		16		17		18		19
0 1,928 3,785 5,532 7,129 8,540 9,738 10,695 11,393 11,818 11,960	0 1,9 7,6 16,9 29,5 45,1 63,3 83,7 105,8 129,0 152,8	0,213 0,268 0,314 0,345 0,364 0,362 0,339 0,294 0,224 0,126 0	0 0,481 1,063 1,722 2,431 3,157 3,858 4,491 5,009 5,359 5,485	0 0,5 2,0 4,8 8,9 14,5 21,6 30,0 39,5 49,9 60,8	0 0 0,7 3,1 9,0 19,6 36 59 87 119 151		0 0 0 0,3 0,8 2,0 4,2 7,5 12,1 17,6 24,0		0 17 59 112 158 189 196 176 131 70 0		0 1,0 4,7 10,8 18,5 25,9 30,8 31,0 25,2 14,4 0		53,3 43,4 34,0 25,5 17,9 11,6 6,8 3,4 1,3 0,3 0
Колебания пластин
465
§ 8. КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИН
А. Уравнение движения
Дифференциальное уравнение статического изгиба пластины- постоянной
толщины при малых перемещениях имеет вид1
vVC = .
где	С — прогиб;
о — внешнее давление;	i
Eh3
D = Той--2\ — цилиндрическая жесткость пластины;
^(I Р' )	;
h — толщина пластины, а дифференциальный оператор v2v2
имеет следующий смысл:
2 2Г — (д2 ! д2 \ (дК I дК\ _	1 9	.дЧ
V V — ^Х2 -I- ^2 j ^Зх2 Т dy2j — dxi -t- дх2ду2 -t- -dyi .
Добавляя к внешней нагрузке интенсивность сил инерции
* Ж
°i = —Р« .
где р — плотность материала, получим уравнение движения пластины
v2_2r . J.2? С17“	= JL	"	(Ц2)
V V * » Eh2 dt2 D •	U
При простых гармонических колебаниях, если внешняя нагрузка отсут-
ствует (□ = 0), можно положить, что
С (х, у, t) = w (х, у) cos pt,
где р — круговая частота собственных колебаний.
Для амплитудных отклонений w получаем дифференциальное уравнение
' V2V2ay — а4иу = 0,	(113)
где
„2 12р(1—р-2)
а —р Eh3
Уравнение (ИЗ) может быть представлено в виде
(V2— a2) (v2 + а2) w = 0,
откуда ясно, что решениями его являются, в частности, решения более про-
стых уравнений:
(И4)
(?2_а2)ш==()
И
(V2 + a2) w = 0
или в развернутой записи
d2w . d2w « п
дх2 1 ду2
d2w । d2w
д*2 + дЦ2
1 См. том 11, главу II, уравнение (12). В отличие от указанного уравнения в настоящей
главе прогиб пластины обозначается через С вместо w, а интенсивность нагрузки — через □
вместо р.
30 Пономарев 508
466
Колебания элементов конструкций
Из бесчисленного множества решений уравнения (113) должны быть ото-
браны лишь те, которые соответствуют условиям закрепления краев пла-
стины. Эти условия такие же, как и при статическом изгибе пластины,
а именно1:
на защемленных краях
на опертых краях
w = О
дп? и’
на свободных краях
d2w .	Л d*w . /п ч dВ. 9w л
дп2^ — °’ дп2"^2 dnds2 “°’
где п измеряется по нормали к контуру пластины, s — по контуру.
Следует отметить, что точное решение уравнений колебаний пластин
может быть получено лишь в простейших случаях; в большинстве же слу-
чаев для расчета используются приближенные методы.
Б. Колебания прямоугольной пластины
Из задач, которые легко могут быть решены точно, укажем колебания
опертой по контуру прямоугольной пластины (фиг. 280). Амплитудные про-
гибы при свободных колебаниях такой пла-
стины могут быть представлены в виде
. тт.х . ту	.....
w = sin-----sin -£,	(115)
а b	'	'
Фиг. 280. Пластина, опертая
по контуру.
где тип — целые числа.
Выражение (115) удовлетворяет гранич-
ным условиям ^ = 0и	на кРаях
пластины, а подставляя его в дифференци-
альное уравнение (113), получаем
a< = TC«/^+XY,
откуда круговая частота собственных колебаний
2 -I / Eh2	,	\ 1 / Ef?
Р — а V 12р(1—(х2) к (а2 + Ь2} У 12? (1— (Л2) •
Наименьшая частота (т = п — 1) соответствует отсутствию узловых
линий на пластине
Pi ~ те2 ( а2 + Ь2 ) У
Eh2
12? (1-(л2)
В. Колебания круглой пластины
Относительно просто можно также определить формы и частоты собствен-
ных колебаний круглой пластины.
В этом случае удобнее преобразовать дифференциальное уравнение (113)
к полярным координатам.
1 См. том II, главу II.
Колебания пластин
467
Как известно1, в полярных координатах г, ср оператор Лапласа имеет
вид
д2 _	1 д <3*
дх2 ~ ду2 г2д<р2 г дг ’ дг2 *
Таким образом, уравнение (113) в полярных координатах можно записать
следующим образом:
/ д2 1 д . д2\ / д2ш . 1 dw . д2ш \	4 л	Z1
[г2д<?2 + г дг + <Эг2Дг2д<р2 ~ ~dF + dr2J'—a w~°-	О16)
Решение этого уравнения, соответствующее колебанию с п узловыми
диаметрами, можно представить в форме
W = f (г) COS ПФ.
Подставляя это значение w в уравнение (116), получим для функции f (г)
обыкновенное дифференциальное уравнение 4-го порядка:
d2 . 1 d
dr2^ г dr
।	1	4/
dr2 r dr
\ 1
+ a2)] f(r) = 0.
Решением этого уравнения, не обращающимся в бесконечность при г = О,
является выражение2
Дг) = С1/я(аг) + С2/л(аг),
где Jn — функция Бесселя п-го порядка, a In (cxr) = i~ttJn (itxr)— гипер-
болическая функция Бесселя.
Граничные условия в каждом случае закрепления краев пластины приво-
дят к системе однородных уравнений относительно постоянных Ci и С2.
Уравнение частот получается путем приравнивания нулю определителя
этих уравнений.
Так, например, для заделанной по контуру круглой пластины радиуса R граничные
условия имеют вид7
/(7?) = 0; =
Эти условия приводят к уравнениям
О/п (аг) +	п (ar) = о
Ci	Jп (ar) + ^2 (ar) = О
при г = R.
Так как 3 *
(аГ) — ~2~ a IVn—i (аг) — Jп+1 (ar)L‘
In (ar) = a (ar) +	(ar)],
1 В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. II, § 119, Физматиздат, 1958.
2 В случае круглой пластины с концентрическим отверстием в выражении f (г) будут
еще два слагаемых, которые обращаются в бесконечность при г = О.
3 Кузьмин Р. О., Бесселевы функции, ОНТИ, 1935.	й
30*
46S
Колебания элементов конструкций
то уравнение частот принимает форму
Jп
JП—1 (аК)   Jп+1 (uR)
Iп (а^)
Лг—1 (а^) + Лг+1 (а^)
(117}
При каждом числе узловых диаметров п (значение п = 0 соответствует осесимметричным
колебаниям пластины) уравнение (117) имеет бесчисленное множество корней, соответствующих
формам колебаний с различным числом (гп) узловых окружностей.
Фиг. 281. Формы собственных колебаний круглой пластины, зажатой
по контуру:
m — число узловых окружностей; п — число узловых диаметров.
Некоторые значения а/?, являющиеся корнями уравнения (117), приводятся в табл. 52.
Соответствующие круговые частоты собственных колебаний определются по формуле
Таблица 52
Значения а7? в зависимости
от числа узловых окружностей m
и числа узловых диаметров п
Число узловых окружностей	Число узловых диаметров		
	п = 0	п = 1	п = 2
171 = 0	3,19	4,61	4,90
т = 1	6,30	7,81	9,40
т = 2	9,43	10,98	12,60
Pnm —	у	р,2) ’
На фиг. 281 представлены формы главных
колебаний зажатой по контуру круглой пластины,
соответствующих различным значениям пит.
Узловые диаметры и окружности показаны на чер-
теже стрелками.
Г. Бегущие волны в круглых пластинах
Рассмотренные нами выше колебания
круглых пластин, описываемые уравне-
нием
Ci = f (г) cos Пф cos pt, (118)
соответствуют стоячим волнам
узловые диаметры неподвижны.
Ясно, однако, что наряду
движения пластины является и выражение
на поверхности пластины, при которых
с выражением (118) решением уравнения
С2 = f (г) sin ntp sin pt.
(119)
Естественно также, что поскольку исходное уравнение (112) является
линейным, то сумма или разность решений (118) и (119) также является его
решением.
Колебания пластин
469
Но выражения
C = C2 + C1 = f(/-)cosn(?-Jp)
С = С2 — Ci = f (r)cosrtlcpH- -^-t
представляют собой уравнения бегущих волн.
Первое выражение соответствует вращению всей картины деформаций
вокруг оси симметрии пластины в направлении возрастания угла ср с угло-
вой скоростью
Второе выражение соответствует движению волны с той же скоростью
в противоположном направлении.
Естественно, что если имеются внешние нагрузки, вращающиеся по пери-
ферии пластины со скоростью, близкой к скорости распространения собствен-
ных колебаний о>, то такие нагрузки вызовут большие резонансные колеба-
ния пластины, так же как это имеет место при движении нагрузки по беско-
нечной балке на упругом основании (см. § 5 главы VI).
Практически движущаяся по круглой пластине нагрузка осуществляется,
например, в дисках паровых турбин, где нагрузка, обусловленная неравно-
мерностью давления пара по окружности, неподвижна в пространстве, сам же
диск вращается.
Критические скорости вращения диска могут быть найдены, если
известны частоты его собственных колебаний рп, по формуле
где п — число узловых диаметров при свободном колебании с частотой рп.
Поскольку диски паровых турбин имеют обычно переменную толщину,
определение частот их собственных колебаний производится приближенными
методами. Пример такого расчета рассмотрен в § 9.
Д. Приближенные методы определения частоты собственных колебаний
пластин
Для приближенного определения частот собственных колебаний исполь-
зуется обычно либо метод Галеркина, либо метод Ритца.
Согласно методу Галеркина1, выражение для амплитудного
прогиба принимают в виде ряда
W = c1w1 (х, у) + с2ш2 (х, у) + ... + cnwn (х, у),	(120)
каждый из членов которого удовлетворяет граничным условиям.
Подставляя это выражение в уравнение (91), получают неравенство
V2V2ay —	= Ф (сп с2, . .., сп, х, у) 0.
1 См. статью М. П. Га л и на [6]. В этой статье рассматривается также применение
метода Галеркина к изучению вынужденных колебаний пластин.
470
Колебания элементов конструкций
Условия минимального уклонения функции Ф от нуля записывают
в форме Галеркина:
И ф (q, сг, ...,сп,х, у) а>1 (х, у) dxdy = 0;
Jj Ф (сп с2,..., с„, х, у) (х, у) dxdy = 0,
(121)
причем интегрирование производится по всей поверхности пластины.
Уравнения (121) являются линейными и однородными относительно
коэффициентов си сг, .. .,сп.
Уравнение частот получается приравниванием нулю определителя
'системы (121).
В качестве примера применения метода Галеркина рассмотрим колебания прямоугольной
пластины со сторонами 2а и 2Ь, заделанной по контуру [6].
Располагая начало координат в середине пластины и ограничиваясь только одним членом
ряда (120), положим
w = с (х2 — а2)2 (г/2 — 62)2.
Подставляя это выражение в дифференциальное уравнение (113), получим
Ф (с, х. у) = v2v2w —	= с [24 (f/2 — Z>2)2 + 32 (Зх2 — а2) (Зу2 — Z>2) + 24 (х2 — а2)2 —
— а4 (х2 — а2)2 (#2 — &2)2] ф 0.
Умножая Ф (с, х, у) на (х2 — а2)2 (у2 — b2)2 dxdy и интегрируя по всей поверхности пла-
стины, имеем
а Ь
J J Ф (с, х, у) (х2 — а2)2 (у2 — 62)2 dx dy =
—а —6
г 015	/	4	\	016	1
= с IГ* + ~Т + a*b j - “4	а’691 = 0;
отсюда находим
а 63 / 1 , 4	1
«4 — ____/-----1---------
2	а4' 7 а262
и соответственно круговая частота собственных колебаний
р ~ “2 V 12р (1 — |Л2) - 3 V 2 \ а4 + 7 а26г+ 61 ) V 12? (1 — р2) ‘
В частном случае квадратной пластины (Ь = а) получаем
_ 9 1 / Eh2
Р~~ а2 У 12р (1 — р2)’
что почти не отличается от точного значения частоты
_ 8,9965 -1 Г Eh2
Рточн- а2 у 12? (1— р2)’
Применение метода Ритца, основанного на рассмотрении
энергии системы (см. главу VII), позволяет расчетным путем определять
частоты собственных колебаний не только пластин постоянной толщины,
но и пластин переменной толщины, в частности турбинных дисков.
Преимуществом этого метода является также возможность легко учесть
влияние различных побочных факторов, как например, центростремительных
ускорений при вращении.
Колебания пластин
471
В основе расчета лежат уравнения равновесия, составленные по прин-
ципу Даламбера в положении амплитудного отклонения системы [см. уравне-
ние (3), глава VII]:
дгк 2р дгк~ '
где Uo — потенциальная энергия деформации системы при амплитудных
отклонениях;
гк — обобщенная координата, определяющая деформации пластины;
р — круговая частота собственных колебаний;
L — сумма произведений элементарных масс, составляющих систему,
на квадраты их амплитудных отклонений.
Для пластины потенциальная энергия деформации выражается инте-
гралом1
ГЧ	Eh3	o'	»
где D — 12	; w — прогиб пластины, а интеграл берется по всей
поверхности пластины.
Если пластина закреплена по контуру (прогиб на контуре равен нулю), то
выражение для энергии деформации упрощается. В этом случае интеграл
по всей поверхности пластины от второго слагаемого равен нулю и
(,22а>
Величина L выражается интегралом
L = tfphu?dxdy,	(123)
где р — плотность материала пластины.
Задаваясь для w выражением в виде ряда
W (х, у) =	(х, у) 4- c2w2 (х, у) + ... + c„w„ (х, у),	(124)
где каждая из функций wi, w2, . . . , wn удовлетворяет геометрическим гра-
ничным условиям, и, принимая коэффициенты си с2, . . . , сп за обобщенные
координаты, определяющие прогибы пластины, получим на основании урав-
нения (121) систему однородных линейных уравнений относительно этих
коэффициентов:
___1	_ о.
дС1 2 р дст
дЩ_____Lna^^O-
дс2 2 И дс2 ’I	(4251
дсп 2 р дсп
Равенство нулю определителя системы (125) позволит найти частоты соб
ственных колебаний пластины.
1 См. том II, главу II
472
Колебания элементов конструкций
Можно также задаваться выражением для ш, в которое параметры с19 с2, г3
и т. д. входят нелинейно:
w = w (с1( с2, с3,..сп, X, у).
В этом случае, поскольку уравнения (125) получаются нелинейными,
проще исходить не из них, а непосредственно из условий экстремума выра-
жения
р2 =	'	(126)
причем этот экстремум может определяться графически, путем построения
серий графиков р2 (ср с2, • • • > с„).
Рассмотрим в качестве примера прямоугольную пластину постоянной толщины, защем-
ленную по контуру.
Ограничиваясь одним членом ряда (124), зададим
w — с (х2 — а2)2 (у2 — Ь2)2.
Подставим это значение в формулы (122а) и (123) для UQ и L. Интегрируя от —а до
по х и от —b до -\-b по у, получим
98 Г 1	28	1	11
U^c^D+ — — +	;
24
Ь=с2рЛ-^-а969.
из уравнения (126) находим
Р 4 Г 2 [а* + 32-72 а262 + 6* J V fh
Для квадратной пластины (Ь = а) имеем
р = 9,0э4- 1/-S-.
а2 г ph
что всего на 1% отличается от точного значения частоты собственных колебаний (см. раздел Б).
Для расчета круглых пластин следует выражения для Uo и L преобразо-
вать к полярным координатам. В этом случае
п СС D ifd2w .	1 dw .	1 d2w\2 10// ч Г д f 1 дш\12
JJ 2	+ г дг + г2 д<р2) + 2(! И) [ дг \ г ду ) I
п ч д 2w ( 1 dw ,	1 d2w \ \ i i	/1
-2(1 -н)^	57 +	(127)
L = ff phw2r d<pdr.	(128)
Для случая пластины с закрепленным краем (wKOHm = 0) формула (127)
может быть заменена более простой, а именно
HD (d2w . 1 dw . 1 d2w\2 I,	/ют \
-о- ттН-------7Г-4—гл—* rdvdr.	(127a)
2 I dr2 ' r dr r2 d<f>21	1	v '
Пользуясь этим способом, рассмотрим колебания круглой пластины, заделанной по кон-
туру. Выражение для w при колебании с п узловыми диаметрами и без узловых окружностей
зададим в форме
w = crs (R2 — г2)2 cos rtf,	(129)
где s — параметр, который должен быть в каждом случае выбран так чтобы получить наи-
меньшее значение частоты колебаний р.
Колебания пластин
473
Подставляя значение w.(129) в формулы (127а) и (128) для UQ и L и выполняя интегриро-
вание, получим
и _сгп ” о2Ч.вН/ + 4)2-я2]2	[(з + 4)=-пЧ[($ + 2)2-н’]
“ с D Т * + 1....Й + 6	2Г+4-----------+
4 [(s + 2)2 — я2]2 + 2 [(s + 4)2 — я2) (s2 — я2)	[(s + 2)2 — я2] [s2 — я2]	(s2 — я2)2 1
+	2s+ 2	2s	+ 2s — 2 )’
[_L_
_4_ + _6_______J_]
2s + 8 2s + 6 2s + 4 т 2s + 2j •
Уравнение (126) дает для круговой
частоты собственных колебаний зна-
чение
В частном случае осесимметрич-
ных колебаний пластины, когда узло-
вые диаметры отсутствуют (л = 0),
наименьшее значение частоты полу-
чается при s = 0. В этом случае
U0=.c^D^-R^,
Фиг. 282. Зависимость расчетной частоты р коле-
баний пластины от величины показателя s при
п = 2.
а
£=c2^i®^-,
и частота собственных колебаний
п Г 2U.	10,33 л / D
Р = V-T^-Rt-V -fh-
Если имеется один узловой диаметр п = 1, то, очевидно, нельзя принять s < 1, так как
dw
в этом случае производная обращается в бесконечность при г = 0.
Вычисления показывают, что при п = 1 величина р возрастает с увеличением s. Поэтому
для вычисления частоты собственных колебаний с одним узловым диаметром следует принять
s=l. При этом
и0 = 8,0^-c2DJ?8; L = 0 0167irc2p/U?12
и частота колебаний равна
Р= 1/ 2f/g	2L9
Р V L	R2
При двух узловых диаметрах (п — 2) вычисления дают следующие значения частоты р
при разных величинах s:
s 4	1,5 1,75	2,0	3,0
рЯ2 ]/"36,2	35,5	36,5	45,8
Как видно из этих данных и построенного на их основании графика (фиг. 282), наименьшее
а следовательно, и наиболее близкое к точному значение частоты получается при s =1,7.
Таким образом, круговая частота собственных колебаний защемленной по контуру круглой
пластины при наличии двух узловых диаметров равна приблизительно
'’=35-4 /да-
Таким же точно образом можно найти частоты собственных колебаний при трех, четырех
и т. д. узловых диаметрах.
474
Колебания элементов конструкций
§ 9.	РАСЧЕТ ТУРБИННЫХ ДИСКОВ НА ОСЕВУЮ ВИБРАЦИЮ
Как уже указывалось выше (см. главу VI) причиной осевых вибраций
турбинных дисков является совпадение скорости их вращения со скоростью
распространения бегущей волны. Критические угловые скорости вращения
диска определяются по формуле
где рп — частота собственных колебаний при п узловых диаметрах.
Таким образом, задача сводится к определению частот собственных осевых
колебаний диска.
При этом практическое значение имеют колебания, происходящие без
узловых окружностей при двух, трех и четырех узловых диаметрах.
Для расчета обычно используется метод Ритца, применение которого
к расчету колебаний круглых пластин рассмотрено в предыдущем пара-
графе.
Трудность расчета состоит лишь в том, что диски турбин имеют обычно
переменную толщину и приходится принимать во внимание влияние втулки
диска, обода и лопаток. Следует также учитывать повышение частоты собствен-
ных колебаний диска вследствие влияния центростремительных ускорений.
Выражение для амплитудных прогибов диска при наличии узловых диа-
метров задается в виде
w — W cos nv,	(130)
где W — функция радиуса, удовлетворяющая геометрическим граничным
условиям и включающая неопределенные параметры.
Затем подсчитывается потенциальная энергия деформации диска U,
изменение потенциала сил, действующих в плоскости диска при его изгибе 1/ш,
и величина L (123), равная сумме произведений всех масс на их амплитудные
смещения. Частота собственных колебаний определяется равенством
(131)
причем значения неопределенных параметров, входящих в зависимость W (г),
находятся из условий минимума выражения (131).
Рассмотрим теперь определение величин U, L и иш, входящих в формулу
(131).
При вычислении энергии деформации U можно в большинстве сучаев
пренебречь энергией изгиба лопаток.
Энергия деформации диска определяется по формуле (127), которая после
подстановки зависимости (130) и интегрирования по углу да принимает форму
и = J F'+ 4- №"~ £ + 2 (! - ri »’ 1(4- И7)’ Г-
г
— 2(1——-^-W^h3r dr.	(132)
В формуле (132) h — толщина диска на радиусе г.
При заданном профиле диска h (г) и заданной зависимости W (г) интеграл
(132) может быть вычислен численным методом.
В выражении для L (128) должны быть учтены все части диска. Для удоб-
ства вычислений целесообразно массу лопаток равномерно распределить
Расчет турбинных дисков на осевую вибрацию
475
по окружности, проводя расчет для эквивалентного диска (см. фиг. 283),
толщина которого в зоне расположения лопаток определяется равенством
h _
Фиг. 283. Схематиче-
ский чертеж турбин-
ного диска.
где z — количество лопаток;
Fa — площадь сечения лопатки на радиусе г;
и — удельный вес материала лопаток и диска.
Тогда величина L после интегрирования по ф получает значение
L = n?$W2hrdr,	(133)
Г
где интегрирование проводится от внутреннего до наружного радиуса экви-
валентного диска, ар — плотность материала диска.
Величина в формуле (131) учитывает изменение потенциальной энер-
гии массы диска в поле центробежных сил, а также работу, совершаемую
при изгибе диска начальными напряжениями аг и
имеющими место в его срединной плоскости1. При
изгибе диска точки его срединной поверхности полу-
чают поперечные смещения ш, а также дополнитель-
ные перемещения и и v в радиальном и окружном на-
правлениях. Перемещения и к v имеют 2-й порядок
малости в сравнении с w. Дополнительные деформа-
ции элемента срединной поверхности в радиальном и
окружном направлениях с учетом членов второго по-
рядка (см. том I, главу II) составят
___________________	ди	.	1	/dw\2
Вг “	Иг	‘	^"57) ’
_ и	.	1	dv	. 1	/дш\2
г	‘_г	д<?	2г2 [д'?/
Увеличение потенциальной энергии деформации
диска при изгибе зависит от начальных напряжений аг
и и равно
Al*7 = И (% + ’&) hr dr d'-D,
<pr
а увеличение потенциала массы диска в поле центро-
бежных сил
= —j f Xurdrdy,
? г
где X — phr®2 — интенсивность центробежных сил.
Таким образом, суммарное увеличение энергии при изгибе диска составит
=	+	+	rdrd<? +
* <р Г
+4ЛЬ(^) +°^)]hrdrd(?-	034)
? Г
Отметим, что пока диск не изогнут, напряжения аг и at уравновешивают
нагрузку X. Поэтому работа системы сил аЛ, az, X на любых возможных
1 Методы расчета напряжений аг и о/ см. в главе III.
476
Колебания элементов конструкций
перемещениях в плоскости диска и, в частности, на перемещениях и, и равна
нулю. Таким образом, первое слагаемое в формуле (132) отпадает, и мы имеем
Ua = 4 Ш ° г (^)2 +	(^) ’] hr dr d<?.
<?Г
Полученная формула показывает, что при подсчете энергии закон
изменения смещений и и v не является существенным.
После подстановки выражения (130) интегрирование по <р может быть
выполнено.
Тогда
U„ = ^ar(^\rdr+n*^etW*±dr.	(135)
Г	г
В формуле (135) аг и at— напряжения в диске, определяемые методами
главы III.
В выражение Щ должны быть также включены слагаемые, соответствую-
щие изменению потенциала массы лопаток в поле центробежных сил. Фор-
мально их можно учесть, распространяя интегрирование в формуле (135)
на весь эквивалентный диск (см. фиг. 283), если считать, что в части диска,
соответствующей лопаткам, = 0, а
а = -Z-NF'-
г 2тсгкэкв ’
где z — число лопаток;
Fa — площадь сечения лопатки на радиусе г;
N — продольная сила в лопатке, определяемая по формуле (93).
Сложность вычислений U, L и по формулам (132), (133) и (135) в зна-
чительной мере зависит от того, в какой форме задана функция W (г).
Если отношение наружного диаметра диска к диаметру вала велико
(4>3), то целесообразно использовать зависимость
w = л	(136)
где s — неопределенный параметр.
Функция (136) не удовлетворяет условию отсутствия смещений на радиусе
сопряжения диска с валом (г = г0), но при больших отношениях это
не приводит к заметным ошибкам. Кроме того, таким образом можно в из-
вестной степени учесть податливость вала.
Подставляя выражение (136) в формулы (132), (133) и (135), получим
U = 247Г=^Т	- °2)2 + 2 (1 - р) (s - 1) (2м2з - и2 - s2)] f h3r»~s dr,
L = irp f hr^dr,
Г
иш = Is2 JО'йг25-1 dr + n2f а/гг2*-1 dr ].
[ г	г	I
Для диска произвольного профиля вычисление интегралов удобнее всего
проводить численным методом, используя формулу трапеций.
При каждом числе п узловых диаметров вычисления проводятся при
нескольких значениях параметра з. Полученные величины U, L и Ua под-
ставляются в формулу (131), и строится график зависимости расчетной час-
Литература
477
тоты колебаний р от параметра s. Минимум этого графика соответствует
значению частоты, наиболее близкому к точному.
Укажем, что значения s, соответствующие минимуму частоты, возрастают
с увеличением числа узловых диаметров и приблизительно п — 1 < s < п + 1.
Для дисков с отношением -^-<3 можно воспользоваться зависимостью
Г — rs — г*
0>
где г0 — внутренний радиус диска.
Расчетные формулы для этого случая приведены в работе [4].
ЛИТЕРАТУРА
1.	Авиационные поршневые двигатели, кинематика, динамика и расчет на прочность
справочное пособие под ред. И. Ш. Неймана и Т. М. Мелькумова, Оборонгиз, 1950.
2.	Б а р к а н Д. Д., Динамика оснований и фундаментов, Стройвоенмориздат, 1948.
3.	Б и р г е р И. А., Некоторые математические методы решения инженерных задач,
Оборонгиз, 1956.
4.	Б и ц е н о К., Г р а м м е л ь Р., Техническая динамика, т. II, Гостехиздат, 1951.
5.	Болотин В. В., Об изгибных колебаниях валов, сечения которых имеют неоди
наковые главные жесткости, «Инженерный сборник», т. 19, АН СССР, 1954.
6.	Г а л и н М. П., О-поперечных колебаниях пластинки, «Прикладная математика
и механика», вып. 3, 1947.
7.	Григорьев Н. В., Исследование нелинейной муфты как демпфера крутильных
колебаний, сб. «Динамика и прочность коленчатых валов», вып. II, АН СССР, 1950.
8.	Григорьев Н. В., Расчет критических чисел оборотов многоопорных роторов,
сб. «Поперечные колебания и критические скорости», вып. I, АН СССР, 1951.
9.	Г о г и н А. Ф., О расчете напряжений от крутильных колебаний для установок
с тяжелыми двигателями, сборник докладов по динамической прочности деталей машин, АН
«СССР, 1946.
10.	Г о п п Ю. А., Демпферы крутильных колебаний коленчатых валов быстроходных
двигателей, Государственное научно-техническое изд-во Украины, 1938.
11.	Гурин А. И., Исследование устойчивости вала с насаженным на него диском,
«Труды семинара по теории машин и механизмов», т. VI, вып. 24, АН СССР, 1949.
12.	Д е н-Г а р т о г Д., Теория колебаний, Гостехиздат, 1942.
13.	Д и м е н т б е р г Ф. М., Поперечные колебания вращающегося вала с дисками
при наличии сопротивления трения, сб. «Поперечные колебания и критические скорости»,
вып. 1, АН СССР, 1951.
14.	Д и м е н т б е р г Ф. М., Поперечные колебания вращающегося вала имеющего
неодинаковые главные моменты инерции сечения сб. «Поперечные колебания и критические
«скорости», вып. II, АН СССР, 1953.
15.	Житомирский В. К., Крутильные колебания валов авиационных поршневых
двигателей, Оборонгиз, 1952.
16.	Ж и р и ц к и й Г. С., Конструкция и расчет на прочность деталей паровых турбин,
Госэнергоиздат, 1955.
17.	Зиманенко С. С., Новые исследования крутильной жесткости коленчатых валов,
«Вестник инженеров и техников» № 2, 1946.
18.	И о р и ш Ю. И., Защита самолетного оборудования от вибрации, Оборонгиз, 1949.
19.	И о р и ш Ю. И., Измерение вибрации. Машгиз, 1956.
20.	Капица П.Л, Устойчивость и переход через критические обороты быстро вращаю-
щихся роторов при наличии трения, «Журнал технической физики», т. IX, вып. 2, АН СССР,
21.	Каргашинский В. М., Основы динамического расчета сооружений, Воронеж
1938.
22.	К а ш и р и н А. И., Исследование вибраций при резании металлов, АН СССР, 1944.
23.	Кемпнер М. Л., Расчет маятниковых антивибраторов изгибных колебаний колен-
чатых валов, сб. «Поперечные колебания и критические скорости», вып. 2, АН СССР, 1953.
24.	К о л е с н и к Н. В., Устранение вибраций машин, Машгиз, 1952.
25.	Коренев Б. Г., Сысоев В. И.. Метод гашения колебаний сооружений башен-
ного типа, «Бюллетень строительной техники» № 5, 1953.
26.	Кроль А. П., Об явлениях флаттера лопаток турбомашин, сб. «Прочность элементов
даровых турбин», Машгиз, 1951.
27.	К р ы л о в А. Н., Об определении критических скоростей вращающегося вала
АН СССР, 1932.
478
Колебания элементов конструкций
28.	К р ы л о в А. Н«, Вибрации судов, ОНТИ, 1936.
29.	>Кучма Л. Н., Фрикционный виброгаситель, «Станки и инструмент» № 1, 1952.
30.	Л е в и н А. В., Лопатки и диски паровых турбин, Госэнергоиздат, 1953.
31.	Лурье И. А., Крутильные колебания в дизельных установках, Военмориздат,
1940.
32.	Маку шин В. М., Поперечные колебания и устойчивость цилиндрических витых
пружин, сб. «Динамика и прочность пружин», АН СССР, 1950.
33.	М а л к и н Я. Ф., Профилирование турбинных дисков в связи с расчетом их на проч-
ность и вибрацию, ОНТИ, 1937.
34.	Н е й м а н И. Ш., Динамика авиационного двигателя, Оборонгиз, 1940.
35.	П а н о в к о Я- Г., Основы прикладной теории упругих колебаний, Машгиз 1957.
36.	П о н о м а р е в С. Д., Расчет и конструкция витых пружин, ОНТИ, 1938.
37.	Р о т е н б е р г Р. В., Теория подвески автомобиля, Машгиз, 1951.
38.	Р у н о в Б. Г., Вибрационные испытания лопаточного аппарата паровых турбин
на электростанциях, Госэнергоиздат, 1954.
39.	Серенсен С. В., Тетельбаум И. М., Пригоровский Н. И., Дина-
мическая прочность в машиностроении, Машгиз, 1945.
40.	С л е в и ч В. А., Расчет конических дисков на вибрацию, «Советское котлотурбо-
строение» № 2, 1940.
41.	С н и т к о Н. К., Методы расчета сооружений на вибрацию и удар, Госстройиздат,
1953.
42.	С о к о л о в с к и й А. П., Виброгаситель для металлорежущих станков, Машгиз,
1950.
43.	Т е р с к и х' В. П., Расчеты крутильных колебаний силовых установок, т. 1—3,
Машгиз, 1953.
44.	Тимошенко С. П., Теория колебаний в инженерном деле, ГНТИ, 1932.
45.	Ч е р н ы ш е в Н. А., Устойчивость пружин сжатия, сб. «Новые методы расчета
пружин», Машгиз, 1946.
46.	Чернышевский И. К., О флаттере турбинных лопаток, «Советское котлотурбо-
строение» № 12, 1940.
.	47. Ш т о д а А. В., Динамика и прочность клапанных пружин, сб. «Динамика и проч-
ность пружин», АН СССР, 1949.
48.	Э р л и х Л. Б., С л е з и н г е р И. Н., Демпфер ударного действия, «Вестник
машиностроения» № 7, 1954.
49.	Holzer Н., Die Berechnung der Drehschwingungen, Berlin 1921.
50.	К e r-W i 1 s о n W., Practical solution of torsional vibration problems, N. Y. 1941—
1942.
51.	Kurzemann W., Semi-graphical method for the study of vibrating systems with
vibration dampers, «Engineering Digest» № 3, 1953.
52.	S t о d о 1 a A., Steam and gas turbines, N. Y. 1952.
53.	Young D., Theory of dynamic vibration absorber for beams, Proc, of the First U. S.
National Congress for applied mechanics, N. Y. 1952.
ГЛАВА X
РАСЧЕТЫ НА УДАРНУЮ НАГРУЗКУ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Работа большинства машин, особенно таких, в которых имеется возвратно-
поступательное движение, сопряжена с ударами. В одним случаях удары
являются следствием наличия зазоров в местах сопряжения деталей,
а в других они неизбежно сопутствуют нормальной работе механизма.
Примером механизмов, в которых ударная нагрузка является основной,
могут служить ковочное оборудование, отбойные молотки, различные
образцы вооружения и т. д.
Для расчета на прочность при ударной нагрузке необходимо, с одной
стороны, определить напряжения и деформации, возникающие в соударяю-
щихся деталях, и, с другой стороны, установить, в какой мере эти напряжения
и деформации опасны для материала. Первая из этих задач является задачей
механики, вторая же — установление свойств материала при высоких ско-
ростях нагружения — является задачей материаловедения.'
Классическая теория соударения твердых тел, созданная рядом исследо-
вателей, начиная с Галилея; рассматривала соударяющиеся тела как совер-
шенно жесткие, а процесс соударения — как мгновенный. Эта теория,
собственно говоря, позволяла определить лишь результаты удара — изме-
нение скоростей соударяющихся тел. Внутренние закономерности процесса
удара — его длительность, величина контактных сил и деформаций — оста-
вались нераскрытыми. Лишь после появления теории контактных дефор-
маций упругих тел Герца удалось установить расчетным путем зависимость
величины контактной силы и длительности соударения от масс и скоростей
соударяющихся тел и от их геометрии в окрестностях точки контакта.
Эта задача была решена Герцем на основе гипотезы о том, что связь между
контактной силой и местной деформацией тел при ударе такова же, как
и при статическом их сжатии. В сущности эта гипотеза равноценна пренебре-
жению силами инерции частиц тела в их движении относительно центра инер-
ции тела, обусловленном местной деформацией, а также пренебрежению
деформациями частей тел, удаленных от площадки контакта.
Экспериментальная проверка теории соударения Герца, производившаяся,
в частности, А. Н. Динником, показала удовлетворительное совпадение рас-
четных и экспериментальных данных.
И. Я. Штаерману [30] удалось решить статическую контактную задачу
в более общем случае, чем случай Герца, а именно когда расстояние между
телами, сведенными до соприкосновения, изменяется в окрестностях точки
контакта пропорционально не второй, а более высоким степеням координат.
Н. А. Кильчевский [12 ] решил соответствующую динамическую задачу —
о соударении тел, начальное касание которых является более плотным, чем
в задаче Герца.
480
Расчеты на ударную нагрузку
Теория соударения, учитывающая лишь местные деформации, пригодна
для расчета только свободно движущихся массивных коротких тел, общей
деформацией которых можно пренебречь. В частности, эту теорию можно
успешно применять к соударению шаров.
Без существенных изменений эту теорию можно использовать и в том
случае, если одно из соударяющихся массивных тел упруго закреплено1
(например, с помощью пружины).
В этом случае задачу можно, как правило, упростить, расчленяя весь
процесс удара на два этапа: первым этапом является короткое соударение —
толчок, рассчитываемый так же, как и соударение свободных тел. В резуль-
тате этого короткого соударения тело, связанное с пружиной, приобретает
начальную скорость. В дальнейшем рассматриваются его свободные колеба-
ния. Если в процессе этих колебаний возникнет новое соударение тел, оно
учитывается таким же образом.
Такого рода упрощенный расчет достаточно справедлив, если длительность
контактов между телами весьма мала по сравнению с периодом собственных
колебаний тела на пружине.
Наряду с теорией Герца, которая учитывает только местные деформации,
и не принимает во внимание деформации тел вдали от площадки контакта,
разработана теория удара упругих тел, учитывающая лишь общие их дефор-
мации и не учитывающая местных.
Применительно к продольному удару по стержню постоянного сечения
такая теория была впервые предложена Навье. Неудачная форма решения
в тригонометрических рядах не позволила Навье выявить все особенности
продольного удара и прежде всего исключала возможность определения
напряжений.
Позднее Сен-Венан и Буссинеск нашли решение задачи продольного удара
с помощью разрывных функций, что позволило непосредственно проследить
распространение волн деформации вдоль стержня. Таким образом, волновая
теория продольного удара, не учитывающая местный деформаций, получила
законченное выражение. Довольно сложные вычисления, с которыми связан
расчет по этой теории, могут быть устранены, если использовать графический
метод характеристик.
Произведенная рядом исследователей экспериментальная проверка вол-
новой теории удара не дала вполне удовлетворительных результатов, что
заставило критически отнестись к лежащим в ее основе гипотезам.
Таких гипотез две: это, во-первых, гипотеза плоских сечений и пренебре-
жение поперечным движением частиц стержня и, во-вторых, предположе-
ние, что поверхности соприкосновения являются параллельными плоскостями.
Имеющиеся в действительности отступления от гипотезы плоских сечений
должны быть особенно заметны вблизи фронта волны; наличие этих отсту-
плений приводит к тому, что фронт волны постепенно размывается, крутизна
его уменьшается. Очевидно, что отступления от гипотезы плоских сечений
будут сказываться тем сильнее, чем больше отношение диаметра стержня
к его длине.
Влияние отклонений от второй гипотезы является, по-видимому, более
существенным. Благодаря наличию неизбежных неровностей на терцах со-
ударяющихся стержней контактное усилие возрастает не мгновенно, а в тече-
ние времени, которое требуется для того, чтобы сдеформировать эти неров-
ности. Очевидно, что если это время того же порядка, что и время пробега
волны деформации по стержню, то отклонения от волновой теории будут
большими. Аналогично местным неровностям влияет и масляный слой между
торцами соударяющихся стержней.
1 См. § 2.
Введение
481
Время смятия местных неровностей тем меньше, чем больше скорость
соударения; вместе с тем время пробега волны деформации по стержню
не зависит от скорости соударения. Поэтому отклонения от волновой теории
продольного удара уменьшаются с увеличением скорости удара (если ско-
рость удара не достигает значения, при котором появляются пластические
деформации).
Волновую теорию продольного удара можно применить для расчета удара
по пружине, заменяя ее эквивалентным брусом. Интересно, что, несмотря на
приближенность такой замены, совпадение результатов экспериментов с рас-
четом здесь получается лучшее, чем для стержней. По-видимому, это объ-
ясняется меньшей относительной ролью местных деформаций.
Сен-Венан развил также теорию изгибающего удара, учитывающую лишь
общие деформации балки. Эта теория оказалась неудачной, так как она
исходила из неверного предположе-
ния, что ударяющий груз остается	£
все время в соприкосновении с
балкой.	/
Недостаточность как тех теорий,	s-Z't-s I
которые учитывают только местные У/ /	27/И
деформации, но пренебрегают общи- ///	Л
ми, так и тех, которые учитывают
лишь общие и пренебрегают мест-	_____
ними деформациями, заставила
искать «синтетическую» теорию
удара, которая учитывала бы мест-	фиг- 284*
ные и общие деформации.
Для продольного удара такая теория была разработана Сирсом [8].
Рассматривая соударение стержней со сферическими концами, Сирс предпо-
ложил, что гипотеза плоских сечений справедлива для всего стержня, за
исключением небольшого прилежащего к концу участка, в пределах которого
напряженное состояние является резко неоднородным. Деформации участка,
лежащего вблизи конца стержня, подсчитываются по формулам Герца, для
расчета остальной части стержня используется волновая теория. Расчеты
Сирса были подтверждены экспериментами.
С. П. Тимошенко [26] разработал аналогичную теорию, учитывающую
как местные, так и общие деформации при изгибающем ударе.
Как видно из сказанного выше, всё методы расчета процесса удара явля-
ются приближенными; поэтому они нуждаются в тщательной опытной
проверке.
Между тем экспериментальное изучение удара является весьма за-
труднительным. Основная трудность состоит в том, что время, в течение
которого протекает процесс удара, является чрезвычайно коротким —
порядка 10“4 — 10“2 сек.
Для того чтобы зафиксировать столь кратковременные процессы, нужна
совершенная аппаратура.
Наглядные результаты дает фотографический метод изучения явления
удара. Этот метод состоит в фотографировании движения тех или иных точек
системы на пленку, закрепленную на вращающемся барабане.
На фиг. 284 приведена схема экспериментальной установки Туци и Низида
[8], использованной ими для изучения изгибающего удара.
К испытуемой балке и ударяющему грузу прикреплены тонкие металли-
ческие пластинки А, близко подведенные одна к другой. Щель между пла-
стинками освещается дуговой лампой S через конденсор L. Изображение
этой щели объективом В проектируется на кинопленку, закрепленную на
вращающемся барабане С. Перед барабаном стоит шторка с узким верти-
31 Пономарев 508
482
Расчеты на ударную нагрузку
кальным прорезом, которая вырезает лишь узкую полоску изображения.
При ударе на пленке фиксируются кривые движения груза и балки, развер-
нутые по времени.
Одна из полученных пленок представлена на фиг. 285. Верхняя кривая
соответствует движению груза, а нижняя — движению балки. Как видно
из фиг. 285, после первого соударения груз отрывается от балки и движется
свободно (прямая линия на фотографии), затем наступает новое соударение,
за ним снова период свободного движения груза и, наконец, третье и послед-
нее соударение, в результате
которого груз отскакивает от
балки, а последняя продолжает
колебаться.
В зависимости от соотноше-
ния массы груза и массы балки
экспериментаторы получали
Фиг- 285*	различную картину взаимного
движения груза и балки при
ударе. При легком грузе имело место лишь однократное соударение
(фиг. 286, а). По мере увеличения массы груза увеличивалось и число соуда-
рений (фиг. 286, б). При очень тяжелом грузе можно было различить только
один отрыв груза от балки после первого соударения, а затем груз и балка
двигались совместно до момента окончания удара (фиг. 286, в).
Экспериментальные методы, позволяющие подробно рассмотренному
выше зарегистрировать лишь перемещения соударяющихся тел, хотя и дают
а)
Фиг. 286.
интересные физические результаты, но не являются все же достаточно чув-
ствительными. Дело в том, что расчеты, основанные на самых различных
гипотезах, дают при определении динамических перемещений в общем близ-
кие результаты; в то же время для динамических деформаций и напряжений
эти методы приводят к различным результатам.
Поэтому интересно использование таких методов, которые позволяют непо-
средственно определять величину деформаций и напряжений при ударе.
Одним из таких методов является метод фотоупругости. Выполняя
модель упругой системы, например^ балки из оптически активного материала^
освещая ее поляризованным светом и проектируя изображение узкой попе-
речной полоски балки на вращающийся барабан, можно исследовать изме-
нение напряжений в соответствующем сечении балки при ударе. Недостатком
такого метода измерений является значительное отличие свойств оптически
активных материалов от свойств металлов. Большое внутреннее трение,
свойственное оптически активным материалам, должно существенно повлиять
на протекание процесса удара.
Разработка электрических методов измерения деформаций с помощью
различного рода датчиков (главным образом проволочных) открыла новые
возможности в исследовании явления удара.
Среди опубликованных работ следует отметить статью Фаннинга и Бас-
сета [36], посвященную экспериментальной проверке теории продольного
Введение
483
удара с учетом местных деформаций. Экспериментаторы рассматривали соу-
дарение двух стержней со сферическими концами.
На фиг. 287 приведено сравнение полученной ими экспериментальной диа^
граммы изменения напряжений в сечении одного из стержней с расчетной.
Тарировка датчиков не производилась, и максимальная ордината экспери-
ментальной кривой принята
Совпадение формы тео-
ретической и эксперимен-
тальной кривых и дли-
тельности удара свиде-
тельствует об удовлетво^-
рительной точности рас-
чета.
Теория упругого удара
может быть использована
только в том случае, если
напряжения при ударе не
превышают предела про-
порционал ь ности. Пр и
более или менее значи-
тельных скоростях удара
такой
же, как и у расчетной.
1

О
—— Время
Фиг. 287.
Эксперимент
Расчет-^
неизбежно возникают пластические деформации*».
существенно изменяющие характер явления.
Если пластические деформации возникают только вблизи площадки кон-
такта, они могут быть учтены без затруднений (см. § 5).
Изучение законов распространения общих упруго-пластических дефор-
маций сопряжено со значительно большими трудностями. Эта задача успешно
t>sdaH.
6S стат

разрешена для ряда практически важ-
. ных случаев в работах X. А. Рахматул-
“лина [19]—[22], Г. С. Шапиро [29],
В. В. Соколовского [25] и др.
Всякого рода расчеты на. удар
должны базироваться на знании свойств
материала. Проведенные в этой обла-
сти эксперименты далеко не исчерпы-
1,3
1,2
1,°го	30	4050	60	70 6$ стат.кг/мм*
Фиг. 288.
вают вопроса. Эти эксперименты свидетельствуют о том, что упругие характе-
ристики металла (модуль упругости, коэффициент Пуассона) не зависят
от скорости нагружения. В то же время предел текучести материала суще-
ственно зависит от скорости нагружения.
Опубликованные экспериментальные данные показывают, что предел
текучести при динамической нагрузке выше, чем при статической. Для мягких
сталей предел текучести повышается в большей степени, чем для твердых
сталей.
Нафиг. 288 представлена приведенная в работах [32] и [41 ] зависимость
отношения динамического предела текучести asdttH к статическому
от величины статического предела текучести.
31*
484
Расчеты на ударную нагрузку
Эксперименты производились при растягивающем ударе на копре. Напря-
жения замерялись с помощью датчиков, наклеенных на участок образца,
не получающий остаточных деформаций. Время возрастания нагрузки от
нуля до максимума составляло около 9-10“3сек. При больших скоростях
возрастания нагрузки (время достижения максимальных деформаций порядка
10“5 сек.) отмечалось двукратное повышение предела текучести мягкой стали.
Существенно, что при ударной нагрузке часто наблюдаются хрупкие
разрушения таких деталей, которые при статическом нагружении разру»
шаются со значительными пластическими деформациями. Особенно велика
опасность такого рода хрупкого разрушения при наличии большой концен-
трации напряжений и при низкой температуре. Обзор экспериментальных
работ по влиянию скорости нагружения, концентрации напряжений и тем-
пературы на возникновение хрупких изломов приведен в т. V монографии
В. Д. Кузнецова [13].
В пределах настоящей главы, естественно, нельзя рассмотреть все те
сложные и недостаточно еще разработанные вопросы, с которыми связана
проблема прочности при ударе. Поэтому основное внимание обращено на
расчетные методы, которые уже вошли или могут быть непосредственно вне-
дрены в инженерную практику; рассматриваются также вопросы, имеющие
принципиальное значение ?для дальнейшего развития теории.
* В § 2 и 3 рассмотрен расчет на ударную нагрузку систем, обладающих
одной или несколькими степенями свободы.
Реальные упругие системы обладают всегда распределенной массой и соот-
ветственно должны рассчитываться как системы, обладающие бесконечным
числом степеней свободы. Однако они часто могут приближенно рассматри-
ваться как обладающие одной или несколькими степенями свободы (см. § 7).
Такое упрощение не ведет к большим ошибкам, если распределенная масса
мала по сравнению с присоединенными массами (например, массивный груз
на легкой пружине).
В § 2 рассмотрен также приближенный учет местных деформаций при
ударе в случае, если длительность соударений .весьма мала.
В § 4 изложена волновая теория продольного удара и теория изгибающего
удара. Особое внимание здесь обращено на графический, метод расчета, позво-
ляющий избежать сложных выкладок. Рассмотрено применение волновой
теории удара к расчету пружин. Здесь вскрыты также неточности метода
Сен-Венана в теории изгибающего удара и предложен расчет, учитывающий
сдвиговые деформации и инерцию продольного движения частиц балки.
В § 5 рассмотрена теория местных деформаций при ударе.
Пластическим деформациям, возникающим при ударе, посвящен § 6.
§ 2. УДАРНОЕ НАГРУЖЕНИЕ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Как указывалось в главе IV, упругие системы, строго говоря, всегда
имеют бесконечное число степеней свободы, поэтому их расчет в предполо-
жении, что они обладают лишь одной или несколькими степенями свободы,
приводит к некоторым погрешностям.
Ошибки, возникающие вследствие этого при расчете на ударную нагрузку,
как правило, более значительны и их труднее оценить, чем при расчете
стационарных колебательных процессов.
Однако расчет на ударную нагрузку упругих систем, рассматриваемых
как системы с одной степенью свободы, позволяет легко приближенно оце-
нить порядок перемещений, а также напряжений и деформаций при ударе.
Точность приближенной оценки для деформаций и напряжений оказывается,
обычно значительно более низкой, чем для перемещений, и, как правило,
необходима либо экспериментальная проверка получаемых результатов,
Ударное нагружение системы с одной степенью свободы
485
либо проведение уточненных расчетов. Методы приведения реальных упругих
систем к системам с одной степенью свободы рассмотрены в § 7.
Рассмотрим удар груза, имеющего массу ш и движущегося со скоростью.
у0 по упругой системе, собственная масса которой пренебрежимо мала по
сравнению с массой груза. Будем считать, что груз движется горизонтально
и при его воздействии на упругую систему перемещение соответствующей
точки также горизонтально.
В качестве упругой системы можно представить себе, например, цилин-
дрическую пружину (фиг. 289).
Процесс удара протекает следующим образом.
После того как груз коснется пружины, он продолжает двигаться, сжимая
ее, причем сила упругости пружины постепенно уменьшает скорость груза.
В тот момент, когда груз останав-
ливается, вся его кинетическая энер-
гия переходит в потенциальную энергию
деформации пружины, причем сила
взаимодействия между грузом и пру-
жиной достигает максимума. Затем
начинается обратное движение груза.
Сила взаимодействия между грузом
и пружиной уменьшается и становится
равной нулю, когда груз достигает
положения, в котором он первоначально коснулся пружины. Далее груз,
отделяется от пружины и движется в обратном направлении с той же ско-
ростью, которую он имел до удара (если не учитывать потерь). Процесс
удара закончен.
Таким образом, в течение всего процесса удара груз находится в плотном
контакте с пружиной. Это обстоятельство позволяет во время удара рассма-
тривать груз и пружину как единую систему, совершающую свободные
колебания.
Если податливость упругой системы (т. е. перемещение, вызываемое
единичной нагрузкой) равна 8, то круговая частота свободных колебаний,
груза р будет равна
а общее выражение для смещения В груза в любой момент времени
5 = cos pt + С2 sin pt.	(1)
Принимая за начало отсчета времени момент соприкосновения груза
с пружиной, получим следующие начальные условия движения:
где v0 — начальная скорость груза.
Отсюда находим значения постоянных:
Сх = 0; С2 = vQt
и выражение для перемещения груза:
£ = f0^-sin pt.
Из этой формулы видно, что в процессе удара смещение .груза изменяется
в зависимости от времени по синусоидальному закону (фиг. 290), причем
486
Расчеты на ударную нагрузку
максимальное смещение, ?тах = достигается через четверть периода
собственного колебания от начала удара, т. е. при t — t‘ =
, По истечении половины периода собственного колебания, т. е. при
t = Г — деформация упругой системы становится равной нулю, и груз
отделяется от нее, причем скорость груза в этот момент равна его перво-
начальной скорости и направлена в противоположную сторону
= - уо
\ dt J t=t"
Максимальная сила взаимодействия
между грузом и упругой системой имеет
место в момент наибольшей деформации
(t = Г) и равна
р	~ и° *
may §
'Из полученных формул для максимального смещения и максимального
усилия при ударе видно, что эти величины зависят только от кинетической
yr тио
энергии груза в момент удара |/0 = ~2~ и не зависят от массы или скорости
груза в отдельности. Действительно,
=	=	=	=	(2)
V тЬ
Р,... - > -		(3)
Полученный вывод справедлив только для системы с одной степенью
свободы, так как в этом случае при ударе кинетическая энергия груза пол-
ностью переходит в потенциальную энергию деформации \ а эта последняя
однозначно определяет величины усилий и перемещений.
Равенство кинетической энергии Vo груза и потенциальной энергии Umia
упругой системы в момент наибольшей деформации позволяет определить
£шах и Ртах, не изучая законов движения груза.
.Действительно, поскольку
f2	1
<	' .	[Г — тах — _______ D2 S
^тах —	28	~ 2 max’
то из равенства (7тах = Vo непосредственно следуют формулы (2) и (3).
Таким образом, для системы с одной степенью свободы энергетический
расчет эквивалентен расчету процесса колебаний, вызванных ударом, однако
он позволяет оценить лишь максимальные значения перемещений и усилий,
не давая их изменения во времени.
Если ударяющий груз движется по вертикали (фиг. 291), то динамические
деформации и нагрузки будут больше, чем при горизонтальном движении
груза, так как в потенциальную энергию деформации перейдет не только кине-
тическая энергия груза в начальный момент соударения, но и работа силы
тяжести груза на пути, равном осадке пружины.
1 Для систем с несколькими степенями свободы максимальные отклонения различных масс
от положения равновесия могут достигаться в различные моменты времени
Ударное нагружение системы с одной степенью свободы
487
Общее выражение для смещений груза в любой момент времени может
быть представлено в форме (1), если смещения отсчитывать от положения ста-
тического равновесия упругой системы с грузом1.
Начальные условия для определения постоянных С± и С2 в этом случае
следующие. ?
Скорость груза в момент касания с упругой системой равна скорости
удара vQ:
а смещение, отсчитанное от положения статического равновесия, равно ста-
тическому прогибу системы под действием веса груза fcmt взятому с обрат-
ным знаком (фиг. 236):
^=0 — f cm*
Подставляя найденные из этих условий постоянные и С2 в формулу (1),
получим
* = — fem cos pt + -j- v0 sin pt.	.	(4)
Зависимость перемещения груза от времени изображена на фиг. 292.
Максимальное перемещение Втах, которое имеет место в момент
t' = — [-ъ~ + arctg-^^-l ,	(5)
р L 2	t’o J
равно
~'	(6)
Полная деформация fdttH упругой системы, отсчитанная от начального
положения, больше чем Втах на величину статического прогиба fcm:
Максимальная сила удара равна
где Q — вес груза.
1 См. главу IV, § 2.
488
Расчеты на ударную нагрузку
Из формул (7) и (8) следует, в частности, что если груз опускается на
упругую систему мгновенно, но без начальной скорости (у0 = 0), то макси-
мальная деформация вдвое превышает статическую, а максимальное усилие
вдвое больше, чем вес груза.
Полная продолжительность удара от момента касания до момента отделе-
ния груза от упругой системы составляет
Г = А Г " + arctg ^2-1 •
Р L 2	s I’o J
(9)
Формулы для максимальной динамической деформации fduft и максималь-
ной силы Ртах при вертикальном ударе также можно легко получить из
равенства максимальной энергии деформации системы и суммы кинетической
энергии груза к моменту начала удара и работы силы тяжести в процессе
деформации:
заменяя
^тах — ^0 4“ Qfдню
^Лпах —	25 И
Фиг. 293.	получаем уравнение
/L«-1 2W^-2svo = o,
откуда следует формула
fdaH=fcm + VPcm + 2bV0t
эквивалентная формуле (7).
Рассмотренный выше случай удара, когда тяжелый груз непосредственно
ударяется об упругую систему с весьма малой собственной массой, сравни-
тельно редко встречается на практике. Значительно чаще в ударе участвует
еще одна промежуточная деталь — буфер, связанная с упругой системой.
На фиг. 293 представлена схема удара груза массы /и, движущегося
со скоростью v0, по буферу массы пг19 поддерживаемому пружиной, собствен-
ной массой которой можно пренебречь.
При ударе по такой системе имеют место два различных вида деформаций:
общие деформации сжатия пружины и местные деформации буфера и груза.
Для определения контактных усилий, действующих между ударяющим
грузом и буфером, необходимо обязательно учитывать местные их деформа-
ции \ В случае, если эти усилия не представляют интереса, а требуется опре-
делить лишь динамические деформации пружины, можно не учитывать де-
формации груза и буфера и рассматривать их как жесткие тела, вводя ту
или иную гипотезу о характере их соударения.
В качестве одной из таких гипотез можно принять, что удар груза m
о буфер т1 является неупругим, т. е. что в момент соударения груза с буфером
скорости их мгновенно изменяются2 таким образом, что дальше они уже
движутся совместно с одной общей скоростью
1 При этом положение системы будет определяться уже не одной, а двумя величинами —
смещениями центров тяжести груза и буфера, которые не равны друг другу. Таким образом,
систему следует рассматривать как имеющую две степени свободы. Если учитывать не только
местные, но и общие деформации груза и буфера, то система будет иметь уже бесчисленное
множество степеней свободы. Подробное рассмотрение местных деформаций при ударе см. в§ 5.
2 Естественно, что гипотеза о мгновенном изменении скоростей может быть принята только
в том случае, если время, затрачиваемое на местную деформацию груза и буфера, очень мало
по сравнению с периодом собственных колебаний груза на пружине, т. е. если жесткость пру-
жины значительно меньше, чем жесткость груза и буфера.
Ударное нагружение системы с одной степенью свободы
489
Величину скорости легко найти из того условия, что при мгновенном
соударении, груза с буфером количество движения системы не изменяется^,
ти0 = (т +	’
откуда
Начиная с момента выравнивания скоростей, пружину с грузом tn + т1
на конце можно рассматривать как колеблющуюся систему с одной степенью*
свободы.
Частота собственных колебаний такой системы равна
1
р = —	'	,
V (m+mx) б
где б — податливость пружины.
Перемещение груза в любой момент времени, пока он остается в контакте
с грузом, определяется формулой
5 = —sinp/. 7
Р г
Максимальное перемещение Втах составит
t ___ V. _ V(m + тг) б _ f 2Уоб	/1ПЧ
та* Р 1 ,	1/ j , "h ,	( '
‘ т	*	т
где через Vo обозначена начальная кинетическая энергия груза;
о 2
Максимальное усилие, возникающее в пружине в процессе удара, равно-
п __ ^тах  	/~ 2Vp	1
тах 8 у 6 тх *
'	* т
(Н)
Сравнивая полученные формулы с формулами (2) и (3) для удара груза
непосредственно по пружине с весьма малой собственной массой, можно уста-
новить, что благодаря наличию буфера, при неупругом ударе, динамический
прогиб и динамическая нагрузка на пружину уменьшаются в отноше-
нии 1 : V 1+^1.
Груз отрывается от буфера в момент Г = причем его скорость равна
'	=—v -- v° -
\ dt Jt=t” 1	। . m-L
' m
Таким образом, при ударе по буферу скорость отскока меньше, чем на-
чальная скорость, в отношении 1:	+
Предположение о том, что соударение груза и массы буфера неупругое^.
является в достаточной степени произвольным. Более общая гипотеза заклю-
чается в том, что соударение является частично упругим, причем упругость
его характеризуется коэффициентом восстановления скорости k.
490
Расчеты на ударную нагрузку
Согласно этой гипотезе, относительная скорость грузов tn и тг после соу-
дарения (О*— о,) равна их относительной скорости до соударения (oj — o'),
помноженной на коэффициент восстановления k:
v"—v" =—k(y'— vj),	. (12)
где xf и v’ — скорости грузов m и mr после соударения;
о' и и[ — скорости их до соударения.
Знак минус в формуле (12) связан с тем, что грузы, которые до соударения
сближаются, после соударения удаляются друг от друга.
Так же, как и раньше, предполагается, что по сравнению с периодом
колебаний груза тг на пружине соударение грузов (процесс их местной дефор-
мации) протекает настолько быстро, что можно считать его мгновенным.
Из уравнения (12) и закона сохранения количества движения
tnv' + /HjoJ = mv" + m1v"l
находим скорости грузов после соударения через их скорости до соударения:
1 — , ь
т .	, т, 14-й
---=---Ь V, — ——— ;
1 	1 т t . mi
"И т	' т
^-k
т
1+ —
т
(12а)
В начальный момент удара, когда груз т подходит к буферу /и,; первый
из них обладает скоростью v' = v0, а второй неподвижен oj = 0. После
соударения груз т получает скорость
а буфер mt — скорость
=
Из этих выражений видно, что после соударения скорость xf груза т
меньше, чем скорость о, буфера тг. Следовательно, после первого мгновен-
ного соударения груз т оторвется от буфера и будет двигаться по инерции
со скоростью хГ, в то время как буфер тг будет совершать свободные колеба-
ния на пружине с начальной скоростью v"v
Таким образом, перемещения грузов будут теперь определяться уравне-
ниями
5 = i/7;
°1
С = — sin о,/,
1 Pi 1
где В — смещение груза т;
?! — смещение буфера тр,
Pt =	. — частота колебаний груза mt на пружине.
Ударное нагружение системы с одной степенью свободы
491
Так как груз m движется равномерно, а буфер совершает колебательное
движение, то в некоторый момент времени груз m может догнать буфер,
и произойдет новое соударение. Момент этого соударения определяется равен-
ством
п
£ = £х или v"t = y-sinpi/.	(13)
После второго соударения грузы вновь расходятся, причем в дальнейшем
может иметь место еще то или иное число новых соударений в зависимости
от параметров, характеризующих систему.
Таким образом, процесс удара представляется как серия последователь-
ных коротких толчков — соударений между грузами. Хотя аналитический
расчет процесса удара с учетом частичной упругости местных деформаций
и не представляет особых затруднений, все же проще применить графоанали-
тический метод, что позволит для определения моментов соударений избе-
жать решения трансцендентных уравнений типа уравнения (13).
Рассмотрим пример графоаналитического расчета при равных массах m и mi и при коэф-
фициенте восстановления k = 0,5.
„	mx
При этих значениях — и k формулы (12а) принимают вид
v" = 0,25г/ + 0,75и.;
(126)
Dj = 0,75г/ + 0,25uj.
После первого соударения груз т, первоначально двигавшийся со скоростью и0, получает
скорость, равную 0,25 и0, а буфер mi получает начальную скорость 0,75г>0.
Движение грузов m и mi после соударения будет выражаться уравнениями
g = О,25ро/;
?i — 0,75 sin pxt.
Pi
Графики движения — прямая и синусоида — изображены на фиг. 294 справа, на участке
АВ. По оси абсцисс отложена безразмерная величина pit, пропорциональная времени, а по
Рг
оси ординат — безразмерная величина $ —, пропорциональная смещениям. Движение груза m
«	Vq
изображено сплошной линией, движение буфера — пунктиром.
Для построения синусоиды, соответствующей движению буфера, удобно использовать фазо-
вую диаграмму, изображенную на фиг. 294 слева. По вертикальной оси этой диаграммы отло-
жено перемещение в том же масштабе, что и на графике время — перемещение, а по горизон-
тальной оси в том же масштабе — скорость движения буфера, деленная на частоту pi, т. е.
величина -у-. Так как при свободном колебании перемещение и скорость определяются выра-
жениями
= Л sin (рх/ + у);
?! =ргА cos (pxt + т),
то на фазовой диаграмме график движения изобразится окружностью
или
сераг-а’.
причем точка, изображающая состояние буфера (его смещение и скорость), движется по окруж-
ности с угловой скоростью pi, так что равные центральные углы соответствуют равным отрез-
кам времени.
492
Расчеты на ударную нагрузку
Прямая и часть синусоиды, соответствующие движению грузов пг и mj, пересекаются на
фиг. 294 в точке В при pit = 2,28. В этот момент произойдет второе соударение грузов. Ско-
рость буфера перед этим соударением находим, перенося точку В на фазовую диаграмму.
Эта скорость определяется абсциссой точки В' на фазовой диаграмме uj = —0,49 р0.
Скорость груза пг перед вторым соударением равна 0,25 и0.
Скорости грузов после второго соударения находим по формулам (126):
V - 0,25-0,25^0 + 0,75 (— 0,49t»0) ==— О,ЗО6с/о;
Так как соударение мы считаем мгновенным, смещения при нем не изменятся, и точка
на фазовой диаграмме, изображающая движение, передвинется по горизонтали в точку В*,
соответствующую скорости g == 0,065 d0.
Далее движение груза m будет изображаться прямой ВС, а движение буфера — дугой
синусоиды ВС, которой на фазовой диаграмме соответствует дуга круга В”С'. Перед новым
соударением в точке С (pit = 3,66) грузы будут иметь скорости vf =— 0,306 и0; = —0,54 и0.
В результате соударения скорости получат значения
v" = 0,25 (— О,ЗО6с’о) + 0,75 (— О,54с»о) =— 0,482v0;
v" = 0,75 (— О,ЗО6уо) + 0,25 (— 0,54ио) =— 0,374ио.
Строя на фиг. 294 соответствующую прямую и синусоиду, видим, что в дальнейшем они
не пересекаются и, следовательно, больше соударений грузов не будет.
Таким образом, процесс удара в данном случае сводится к трем коротким соударениям
в моменты pit = 0, pit = 2,82 и pit = 3,66. После последнего соударения груз пг отскакивает
со скоростью Сошек = 0,482Vq, а буфер mi совершает гармонические колебания с амплитудой,
равной 0,39 —,
характеризуемые на фазовой диаграмме окружностью, проходящей через
точку С*.
Проведенное решение позволяет составить баланс энергии при ударе. В данном случае
вся кинетическая энергия, которой обладает груз m до удара, распределяется следующим обра-
сом (в %):
Начальная кинетическая энергия груза............................. 100
Потеря энергии при первом соударении.............................. 38
„	„	„ втором „	............* . . . .	21 •
„	„	» третьем »	...................... 2
Энергия колебания груза mY ....................................... 15
Энергия груза пг после удара...................................... 24
На фиг. 295 представлены результаты расчета при =1 и k = 1. В этом случае в резуль-
тате первого соударения груз пг останавливается (точка А), а груз mi получает скорость, рав-
ную первоначальной скорости удара о0.
Ударное нагружение системы с одной степенью свободы	493
Дальнейшее движение груза mi изображается синусоидой АВ, которой на фазовой диа-
грамме соответствует полуокружность А'В'.
По истечении полупериода собственного колебания груза mi происходит второе соударение
(точка В), причем груз mi останавливается (точка В" на фазовой диаграмме), а груз m отска-
кивает со скоростью »0> равной первоначальной скорости удара.
Сравнивая графики движения, полученные при значениях коэффициента
восстановления скорости k = 0,5 и k = 1, с графиком движения, построен-
ным в предположении неупругого соударения грузов (k = 0) (фиг. 296),
когда после соударения грузы движутся совместно, видим, что при упругом
(fe = 1) или не вполне упругом (0 < k < 1) соударении процесс удара сво-
дится к серии отдельных коротких соударений. При этом продолжительность
удара (т. е. время между первым и последним соударениями) оказывается
меньшей, а максимальные деформации упругой системы — большими, чем
при неупругом ударе, когда k = 0.
На фиг. 297—299 представлены графики движения в безразмерных коор-
динатах при ударе для случаев, когда масса груза m в 5 раз больше, чем
масса буфера mi. Построения выполнены при значениях коэффициента восста-
новления скорости k = 1, k = 0,5 и k = 0. Движение ударяющего груза m
изображено сплошными линиями, а движение ударяемого груза тг — пунк-
тиром.
494	Расчеты на ударную нагрузку
Ударное нагружение системы с одной степенью свободы
495
Из графиков видно, что если масса ударяющего груза значительно больше,
чем масса буфера, и коэффициент восстановления скорости не равен единице,
то промежутки времени между последовательными соударениями все время
сокращаются и разница между смещениями груза и буфера уменьшается.
После нескольких соударений (в случае, представленном на фиг. 298 после
пяти соударений) разница в смещениях и скоростях грузов ш и становится
настолько малой, что практически можно считать их далее движущимися
совместно, так же как при неупругом ударе х. Ввиду этого разница между
протеканием удара при неупругих и при не вполне упругих местных дефор-
мациях при большом отношении массы груза к массе буфера не так велика,
как в том случае, если эти массы близки.
В случае, если масса ш значительно меньше массы т1 и коэффициент вос-
становления не слишком мал, имеет место лишь однократное соударение,
в результате которого груз т отскакивает, а груз т1 начинает совершать
свободные колебания под действием полученного импульса.
Можно показать, что только одно соударение имеет место в том случае,
если отношение масс-^- и коэффициент восстановления k удовлетворяют
неравенству k — 0,216^ > 0,216.
На фиг. 300—302 представлены диаграммы перемещений при отношении
масс = 5,0 и при коэффициентах восстановления k — 1,0, k = 0,5 и k = 0.
Из сравнения этих диаграмм видно, что если масса ударяющего груза меньше,
чем масса буфера, гипотеза о неупругости удара приводит к значительному
занижению динамических деформаций.
На практике часто ударная нагрузка воспринимается буфером, пружина
которого имеет предварительную осадку. В этом случае следует учесть, что
в начальный момент соударения смещение системы от равновесного состояния
равно не нулю, а величине предварительной осадки пружины f0- В случае,
если удар неупругий, совместная скорость грузов т и т1 после соударения,
как это было получено ранее, равна
Соответственно выражение для смещений, отсчитанных от равновесного
положения в любой момент времени, полученное аналогично формуле (4),
имеет вид
£ = /0 cos pt + -у- sin pt,
где
1
Р = Г______ — •
Y (т + т^Ъ
Максимальное перемещение, отсчитанное от положения равновесия,
равно
1 Подобное явление можно наблюдать, например, при подскакивании мяча, брошенного
на пол. Сначала мяч подскакивает высоко, причем время между последовательными ударами
значительно, но каждый следующий отскок совершается на меньшую высоту и через меньший
промежуток времени, и так до тех пор, пока мяч на останется лежать на полу.
496
Расчеты на ударную нагрузку
Ударное нагружение системы с одной степенью свободы
497
а максимальное динамическое усилие в пружине
где Ро = -у--усилие предварительного поджатия пружины.
Продолжительность удара f определяется из условия В = /о, откуда
' = v(*-2arctgff)-
Как видно из этой формулы, продолжительность удара при поджатой
пружине буфера меньше, чем при неподжатой.
Если соударение груза m с буфером характеризуется коэффициентом
восстановления, не равным нулю, то может быть применен такой же графо-
аналитический метод, как и при расчете удара по неподжатому буферу.
Необходимо лишь отсчитывать смещения от недеформированного положения
пружины.
На фиг. 303 представлена расчетная диаграмма для случая = 1;
k = 0,5 и предварительной осадки f0, равной 0,5 —, где рг — а о0 —
Pi	У
начальная скорость удара. Сравнейие фиг. 303 с фиг. 296, на которой при-
веден аналогичный расчет для неподжатой пружины, показывает, что вслед-
ствие предварительного поджатия время удара уменьшилось почти в 1,5 раза,
динамическая деформация пружины уменьшилась в 1,87 раза, а полная дефор-
мация (включая предварительное поджатие) увеличилась в 1,2 раза1.
Из рассмотренных примеров видно, что процесс удара о буфер, обладаю-
щий собственной массой, является значительно более сложным, чем удар
по упругой системе, массой которой можно пренебречь. Значительную роль
в этом процессе играют местные деформации.
Местные деформации могут рассматриваться как неупругие только в том
случае, если масса ударяющего груза в несколько раз больше, чем собствен-
ная масса буфера.
1 Значительное снижение амплитуды динамической деформации при некотором увеличении
максимальной деформации выгодно сточки зрения увеличения усталостной прочности пружины.
Это — одна из причин применения в буферах предварительно поджатых пружин.
32 Пономарев 508
498
Расчеты на ударную нагрузку
Если время протекания местных деформаций значительно меньше, чем
период собственных колебаний системы, и если величина развивающихся
при ударе контактных сил не представляет интереса, то отдельные соударе-
ния можно рассматривать как мгновенные, характеризуя упругость этих со-
ударений определенной величиной коэффициента восстановления скорости.
Методы более точного рассмотрения местных деформаций при ударе
изложены в § 5.
§ 3. УДАРНОЕ НАГРУЖЕНИЕ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ
СВОБОДЫ
Рассмотрим удар груза по упругой системе, обладающей несколькими
степенями свободы, причем точка удара не совпадает с местом расположения
ни одной из сосредоточенных масс системы.
Примеры такого рода системы изображены на фиг. 304 и 305. В первом
случае груз ш ударяет по балке, на которой закреплены массы и /п2;
Фиг. 305.
Фиг. 304.
во втором случае груз ш1 ударяет по пружине /; эта пружина связана с гру-
зом /и2, который, в свою очередь, опирается на пружину //*.
В течение того времени, пока груз находится в контакте с упругой систе-
мой, движение можно рассматривать как свободные колебания системы
с присоединенным к ней грузом. При этом в начальный момент скорость уда-
ряющего груза равна начальной скорости удара, а скорости всех остальных
грузов равны нулю.
Таким образом, расчет сводится к определению свободного движения
системы с несколькими степенями свободы по заданным начальным условиям.
Как показано в § 4 главы V, где подробно рассмотрено решение этой задачи,
вычисления не представляют никаких затруднений, если известны частоты
и формы нормальных колебаний системы.
Следует иметь ввиду, что движение можно рассматривать таким образом
только до тех пор, пока ударивший груз находится в контакте с упругой
системой. Как только сила взаимодействия между грузом и упругой системой
станет равной нулю, груз отделится от упругой системы. Начиная с этого
момента, надо отдельно рассматривать свободное движение груза и отдельно
свободные колебания упругой системы без этого груза. Если через некоторое
время наступит новое соударение, то снова придется рассматривать коле-
бания системы с присоединенным грузом, принимая в качестве начальных
условий те скорости и смещения, которые к этому моменту будут иметь все
грузы.
В качестве примера рассмотрим схему, представленную на фиг. 305.
Предположим, что обе пружины одинаковы (6i=Sn) и что массы обоих грузов равны друг
другу (mi = m2).
* Схема удара, представленная на фиг. 305, часто встречается в практике. К такой схеме
приводится, например, расчет удара о буфер подвижных частей оружия, закрепленного на
упругом лафете. Такова же схема удара болванки о форштосс прокатного стана [23].
Ударное нагружение системы с несколькими степенями свободы 499
Определим частоты и формы нормальных колебаний системы с присоединенным к ней
грузом mi. Обозначим смещение груза mi через Ь, смещение груза т2 — через |2, а податли-
вости пружин — через Sj и Ьц.
Тогда получим следующие уравнения движения грузов:
+ -L (£1-^ = 0;
at* oi
/n2^l2 + ^-a2-4-(’i-^=0’
at* оц	oi
Представим решение этих уравнений в виде
$i = sin pt\
?2 = iz2sinpZ.
После преобразований придем к следующей системе уравнений относительно и± и иг'
«1 (—— — Р2 \ — и2 —— = 0;
J 2 тЪ
1	/2	\	(14)
-И 1 +Ы2(^_Р2\ =°.
то	\то	/
В уравнениях (14) положено т^= тг= т и 8j = 6ц — Уравнение частот имеет вид
	-L-р2	—L тЪ	тЪ -J- А_р2 тЪ	тЪ	= 0	
или откуда	pi - 4- р2+(АУ=°- i = з- Г5- = 0 382 _L. 1	2тЬ	тЪ ’		
и соответственно где	2 = 3_+/5_ 2,618 -L 2	2m 8	тЪ pi = О,618ро> р2 = 1 »618р,>		•
Из первого уравнения (14) имеем
и2 = (1 — тЪр2) иг.	(15)
Принимая при обоих видах нормальных колебаний амплитуду груза mi за единицу, най-
дем соответствующие амплитуды груза т2. Таким образом, мы получим следующие величины,
характеризующие.главные колебания:
рх = О,618ро; и1} = 1; u2j = 0,618;
р2 = 1,618р0; ы1п = 1; м2п = —1,618.
Общие выражения для смещений и g2 при свободных колебаниях системы имеют вид1
1Х == (ах cos prt + bT sin prt) ur + (a2 cos p2t + b2 sin p2t) w1T • ]
I	(16)
£2 = (ax cos p^ + sin pit) u21 + (a2 cos p2t + b2 sin p2t) u2u. J
1 См. главу V, § 4.
32*
500
Расчеты на ударную нагрузку
Постоянные а и b определяются в зависимости от начальных условий движения по фор-
мулам (37) и (38) гл. V, которые для рассматриваемого случая принимают вид
д. = m-jU^ (0) + m2u2^2 (0) .
*	2 12	’
bt, =	(0) + тги^ (0) ,
Pk ["h“L+mzu21t]
(17)
	—1	f							
								
		Г^2	1					
			1			*		
			1					
			1				до .	
	Я 4	л 7	Зя 2,81 4	л	5я \ 4	\	зл \ гг \	7я 4	2Л pot
								
	»							
Фиг. 306.
где Ь (0) и (j2 (0) — начальные смещения грузов, а (0) и {2 (0) — их начальные скорости.
Так как в первый момент удара , fji = t-г = 0;	= 0, а Ь = v0, то
ai = а2 = °;
61 =_________________________
1	O,618po[m.l2 + /n-O,6182]
1,170 А..
Ро
а = ___________________________= 0 171 -Е“-.
2	l,618p0[m-l24-m (—1,618)2]	’ р0
Подставляя эти значения постоянных в выражения (16), получим
= А. [1,170 sin (О,618Р(/) + 0,171 sin (l,618p0Z)J;
Pq
|2 = -Ее. [0,724 sin (0,618pot) — 0.276sin (l,618p0()].
Pq
(18)
По этим формулам на фиг. 306 построены графики смещений gi и 5 г на участке от начала
координат О до точки А. В этой точке (p^t — 2,81) перемещения грузов одинаковы. Следова-
тельно, в этот момент пружина / не напряжена и груз mi от нее отделяется.
Ударное нагружение системы с несколькими степенями свободы
501
По формулам (18) находим, что при pQt~ 2,81
£1=£8 = 0,9871».; £1==-O,157vo; ё2 = 0.
Ро
Начиная с точки Д, груз mi движется по инерции с постоянной скоростью $ = 0,157 и0
(прямая АВ на фиг. 306), а груз т% совершает свободные колебания на пружине II. Частота
этих колебаний равна р0. Отсчитывая теперь время от точки Л, будем иметь следующие началь-
ные условия для движения груза т% на участке АВ:
£1(0) = 0,987 Io.; £ (0) = 0.
Ро
Смещения груза mz в течение того времени, пока rpyrmi не касается пружины, будет опре-
деляться уравнением
£j = 0,987 Io.cos рМ,	(19)
Ро
причем
P(/i = P(/ — 2>81-
Соответствующая уравнению (19) кривая изображается на фиг. 306 участком синусоиды АВ.
В момент p^t = тс (точка В) смещения грузов снова оказываются равными, так как груз mz
с пружиной I догоняет груз mi. Далее снова начинается совместное движение груза mi с упругой
системой. Это движение описывается формулами (16). причем постоянные а и b определяются
зависимостями (17). Начальные условия, которые имеют место в момент р0^=тс, таковы:
£1=£2 = 0,933 !«.-
Ро
$1 =— О,157уо;	<2 =— О,322уо
Подставляя эти значения в формулы (17), находим постоянные
а1= 1,092 1®-; *!=—0,4181®-
Ро	Ро
а2=—0,1591®.; 62 = 0,0621®-.
Ро	Ро
Соответственно после второго соударения смещения грузов определяются уравнениями
£1 =	[1,092 cos (О,618ро/2)—0,418sin (О,618ро/2)—0,159cos (1,618р0/2) + 0,062sin(l ,618р0/2)].;
Ро
£2 = I®. (0,675cos(0,618p0/2)—0,258sin(0,618p^2) + 0,258cos(l,-618p(/2)—0,100sin(l ,618p(/2)J
Ро
причем
Ро*2 = Ро* —
Как видно из'фиг. 306, совместное движение груза продолжается до точки С (pQt = 5,64).
В этот момент груз mi покидает упругую систему со скоростью иотск — 0,945у0.
После отскока груза т\ груз т% продолжает колебаться на пружине II с частотой р
и амплитудой, равной 0,326—. В результате удара груз mi сохраняет 89% своей первоначаль-
Ро
ной кинетической энергии, а остальные 11% ее превращаются в энергию колебаний груза т^.
Рассмотренный пример позволяет выявить основные особенности удара пр упругой системе,
обладающей несколькими степенями свободы, при отсутствии местных деформаций.
Основной особенностью, отличающей вызванные ударом колебания
системы с несколькими степенями свободы от колебаний системы с одной
степенью свободы, является одновременное наличие всех видов нормальных
колебаний. Вследствие этого смещения различных точек системы по-разному
зависят от времени. Так, в рассмотренном примере груз т2 начинает дви
гаться с некоторым запозданием после груза nti. Другой особенностью яв-
ляется возможность повторных соударений даже при отсутствии местных
деформаций.
502
Расчеты на ударную нагрузку
Расчет систем более чем с двумя степенями свободы принципиально ничем
не отличается от расчета системы с двумя степенями свободы, хотя, есте-
ственно, он связан с более сложными выкладками.
§ 4. УДАРНОЕ НАГРУЖЕНИЕ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ С РАСПРЕДЕЛЕННОЙ МАССОЙ
Упругие системы с распределенной массой, обладающие бесчисленным
множеством степеней свободы, формально могут рассчитываться на ударную
нагрузку так же, как и системы с несколькими степенями свободы. Для этого
должны быть рассмотрены собственные колебания системы с присоединенным
к ней ударившим грузом, причем предполагается, что в первый момент со-
ударения все точки системы за исключением груза неподвижны1.
Так как система с распределенной массой имеет бесчисленное множество
видов нормальных колебаний, то ее движение, вызванное ударом, будет
описываться бесконечным рядом, каждый из членов которого соответствует
одному нормальному колебанию.
Ряды, служащие для определения перемещений, как правило, доста-
точно быстро сходятся; ряды же, служащие для определения скоростей
и напряжений, сходятся обычно весьма медленно и для вычислений непри-
годны.
Плохая сходимость рядов для скоростей и напряжений объясняется тем,
что ряды эти представляют разрывные функции. Действительно, так как
деформации в металле распространяются с конечной скоростью, то через
некоторое время после соударения деформированным оказывается лишь тот
прилежащий к точке удара участок упругой системы, который успела пройти
волна деформации, а остальная часть системы остается еще недефорМирован-
ной.
На границе деформированной и недеформированной частей системы ско-
рости и деформации изменяются скачком.
Ввиду непригодности рядов для изучения напряжений и деформаций при
ударе в системах с распределенной массой, особенно ценными являются
методы, позволяющие непосредственно проследить распространение волн
деформации при ударе.
Для продольного и крутильного удара разработано несколько таких
методов, для изгибающего удара эта задача остается пока еще не решенной
с достаточной полнотой.
А. Продольный удар2
В § 1 главы VI было выведено дифференциальное уравнение движения
стержня постоянного сечения при продольных колебаниях:
(20)
дх* a2 dt2
где | — осевое перемещение поперечного сечения стержня;
х — координата, характеризующая начальное положение этого сечения;
t— время;
2	£
а “ Р ’
Е — модуль упругости;
р — плотность материала.
1 Указанное начальное условие является следствием того, что деформации распростра-
няются по упругой системе не мгновенно, а с конечной скоростью, поэтому в первый момент
соударения скорость приобретается только той точкой системы, в которой произведен удар.
2 Методы расчета на продольный удар могут быть без существенных изменений применены
и к крутильному удару.
Ударное нагружение системы с распределенной массой
503
Известны три способа решения уравнения (20) — решение в тригономе-
трических рядах, решение с помощью разрывных функций и решение по
методу характеристик.
Решение в виде тригонометрических рядов является мало пригодным для
исследования процесса удара, так как ряды для напряжений сходятся очень
медленно, что не позволяет производить вычисления.
Рассмотрим решение уравнения (20) с помощью разрывных функций.
Легко видеть, что выражение
? = f(at—x) + ^at + х)	(21)
всегда является решением уравнения (20), каковы бы ни были функции f и <р.
Вычисляя производные от выражения (21), найдем
§ = Г(а/-х) + <(^+х);
= a2/" (at — х) + а2<р" (at + х),
где штрихи означают дифференциро-	Фиг. 307.
вание функций f и <р по аргументам.
Подставляя выражения (22) в уравнение (20), видим, что оно удовлетво-
ряется тождественно.
Таким образом, выражение (21) действительно является решением уравне-
ния (20) и притом решением общим, так как оно содержит две произвольные
функции.
Физический смысл решения (21) очевиден. Первое слагаемое 5, — f (at — х)
представляет волну деформации, движущуюся вдоль стержня в направлении
оси х со скоростью а = Действительно, прих = at + с = const,
т. е. для наблюдателя, движущегося вдоль стержня со скоростью а, картина
деформаций, соответствующих функции остается неизменной. Точно
так же второе слагаемое представляет волну деформации, движушуюся
с той же скоростью в противоположном направлении. Движение стержня
можно рассматривать как результат сложения двух волн деформации, дви-
жущихся в противоположных направлениях.
Задача заключается в том, чтобы выбрать вид функций f и <р так, чтобы
выполнялись начальные и граничные условия. Эта задача может быть раз-
решена в каждом частном случае.
Рассмотрим, например, удар жесткого груза по стержню, другой конец
которого заделан (фиг. 307). Поместим начало координат в точку удара.
Тогда для закрепленного конца стержня (х = /) получим граничное условие
= 0. Подставляя сюда вместо $ выражение (21), найдем
f(at — Z) + ®(aZ+ Z) = 0.
Так как в этом равенстве t может принимать любое значение, то вообще
<f(z) = —f(Z — 2[),
где аргумент z может принимать произвольные значения.
Если произвести соответствующую замену в выражении (21), то
5 (х, 0 f (at — х) — f(at +х— 21).	(23)
Вид функции f можно определить, рассматриваяя взаимодействие стержня
с ударяющим грузом.
504
Расчеты на ударную нагрузку
Считая, что груз движется вместе с концом стержня х = 0, найдем его
силу инерции: — m _0- Эта сила уравновешивается продольной силой
на конце стержня, равной EF	Таким образом, уравнение движения
груза имеет вид
_0
|_ dt2 1 дх\х=Я
или, поскольку Е = а2р,
_о,	(24)
[dt2 I dxj х=0
.	pF/
где через х обозначено отношение массы стержня к массе груза; х = —.
Подставляя в уравнение (24) вместо | его значение (23) и заменяя буквой г
величину at, получим
Г (z) - Г + [Г (z) + f (Z - 21)] = 0,
где штрихи обозначают дифференцирование по аргументу.
Отсюда
г (z) + у/' (z) = f" (z-2t)-ff'(z-2l).	(25)
Функциональное уравнение (25) связывает значения функции f (г) со зна-
чениями этой функции для аргумента, меньшего на 21. Используя формулу
(25) и начальные условия, можно шаг за шагом построить функцию f (г).
До соприкосновения груза пг со стержнем (т. е. при t < 0) для всех, точек
стержня смещение равно нулю. Следовательно, при z < 0 / (z)=0. Поэтому
для интервала 0 < z < 21 правая часть уравнения (25) равна нулю:
Г(г)+у/'(г) = 0.
Интегрируя это уравнение, находим, что при 0 < z < 21
f'(z)=Ce~'t.
Постоянную С находим из того условия, что в начальный момент t = О
скорость конца стержня х = 0 равна скорости ударяющего груза v0:
х=0
Подставляя сюда выражение (23), получаем
a[r(0)_f (-2/)}-ц0
или, так как”/' (—2Z) = 0,
С = /'(0) = £.
Таким образом, при 0 < z < 21 функция /' (z) определяется выражением
— —
/'(z) = ^/Z.	.	(26)
Ударное нагружение системы с распределенной массой
505
Зная функцию f (z) для значений z < 2/, можно исследовать изменение
усилий и скоростей в любом сечении стержня, начиная с первого момента
удара и до тех пор, пока at •< 2/ — х, т. е. пока до данного сечения не дой-
дет отраженная от опоры волна деформации.
При at < 21 — х функция f(at + х — 21) = 0, и выражение (23) для
перемещений имеет вид
5 =f(at — х);
соответственно скорости и деформации в любом
v=d-//t = af'(at — x)-,
s = ^ = —f'(at — x).
Подставляя сюда значение f' (z), по
формуле (26) найдем, что при х <Zat<Z2l—х
сечении равны
Фиг. 308.
На фиг. 308 представлены построенные по формулам (27) эпюры скоростей
и деформаций по “длине стержня для момента, когда волна деформации не
дошла еще до закрепленного конца стержня.
Эти эпюры являются разрывными; на фронте волны скорость скачко-
образно изменяется от нуля до v0, а деформация — от нуля до —
Пока волна деформации не дошла до опоры, скорости и деформации в'лю-
бом сечении оказываются связанными простым соотношением
v = — ае.	(28)
Таким образом, деформация сжатия, возникающая в стержне в первый
момент удара, полностью определяется скоростью удара и не зависит от
массы ударяющего груза. Можно оценить порядок той максимальной ско-
рости удара v*, при которой уже в первый момент удара в стержне возни-
кают пластические деформации:
V* = аер,
где ер — деформация, соответствующая пределу упругости.
Для стали скорость распространения деформации
а =	= 5 -108 см/сек = 5000 м/сек.
гр Г /,о • 1U °
Если деформация, соответствующая пределу упругости, равна, например,
0,001 (ар 2000. кг/см2), то предельная скорость удара, при которой может
еще не быть пластических деформаций, составит
v* = аер = 5000-0,001 = 5 м/сек.
Для легированных сталей, имеющих более высокий предел упругости,
соответственно увеличивается и предельная скорость и*.
Выше мы рассмотрели, лишь первый этап удара, когда имеется только-
прямая волна деформации, идущая по стержню слева направо.
506
Расчеты на ударную нагрузку
Уравнение (25) позволяет построить функцию f (z) для следующего интер-
вала изменения аргумента 21 < z < 4/. Подставляя в правую часть этого
уравнения найденное выше значение функции f (z) для 0 < z < 21, по-
лучим для интервала 21 < z < 4Z
-y(Z-20
f(z) + |f (z) = —2^-ув	.	(29)
Произвольная постоянная при интегрировании этого уравнения опре-
деляется из того условия, что скорость груза т, а значит, и скорость конца
стержня х = 0 не может изменяться скачкообразно, т. е. что
(Й)ж„о = а(Г(аО-ГП-2/)1
представляет собой непрерывную функцию. Это условие будет удовлетво-
рено, если разрывы фукции f (z) будут в точности повторяться при изменении
аргумента на 21. Так как при z = 0 функция f (z) скачком увеличивается
на величину , то этот же скачок будет повторяться и при z — 21, г = 4/,
z = 61 и т. д.
В частности, при z = 21 функция f (z) со значения, определяемого фор-
мулой (26)
Л(2/) = ^а~2х,
должна увеличиться до
Г (2Z) = 5(a-2x+l).
Последнее значение f (z) и является начальным условием для интегриро-
вания уравнения (29). Интегрируя это уравнение, получаем для интервала
2/ < z < 4/
z	z—21
Теперь можно записать уравнение (25) для промежутка 41 < z < 6/:
f(z) + |f (z) = -2^ е-Т(г-2О + 2(1-х£5^)е-Г(г"‘“) .
Интегрируя это уравнение, находим при 4/ < z < 61;
__Л z	_— (Z_21}
Таким образом, шаг за шагом можно сконструировать функцию f (г) для
любых значений аргумента.
Имея f' (z), можно интегрированием получить функцию f (z), которая
является непрерывной
при 0<z<2/
H2)=^4G-e”rZ)j
Ударное нагружение системы с распределенной массой
507
при 2Z<z<4Z
\ И _уг । Л । о г — 2l\ ~T(z~2l)
=	+(1+2х—j—)е	J;
при 4Z<z<6Z
... Vo I I, ~TZ ! Zt I n z —2Z\ -T(z-2°
Мг) = -5>т11-е	+(j+2z-j—)e	+
r r z____4/\23 T
+ [1+2(,L_«)je	|
И т. Д.
Зная функцию f (z), можно по формуле (23) найти перемещение ?. Продиф-
ференцировав по х выражение (23), находим деформацию е:
е = § = -[ГП-л) + ГП + ^-201-
На фиг. 309, а в качестве примера приведены графики функции f (z) и ее
производной для того случая, когда отношение собственного веса стержня
к весу груза х = 0,5.
На фиг. 309, б приведены графики зависимости от времени перемещений
различных сечений стержня, а на фиг. 309, в — деформации в тех же сечениях.
По абсциссам фиг. 309, бив отложена безразмерная величина у, про-
порциональная времени.
Из графика на фиг. 309, в видно, что в момент t = 4,8 у деформации,
а следовательно, и усилие на конце стержня х = 0 падает до нуля. В этот
момент груз отделяется от стержня и процесс удара заканчивается.
Как видно из рассмотренного примера, расчет процесса удара с помощью
разрывных функций связан с довольно сложными выкладками. Особенно
усложняется расчет, если масса ударяющего груза значительно больше соб-
ственной массы стержня, так как в этом случае необходимо рассматривать
большое число интервалов изменения переменной г.
Несравненно более простым и наглядным является графический метод
расчета процесса продольного удара, метод характеристик.
Переходим к изложению этого метода, который позволяет с помощью
простых графических построений определять все необходимые величины
даже в сложных случаях продольного удара.
Обозначим через о скорость движения произвольной точки стержня
и через е — относительную деформацию в этой точке
Определяя эти величины из общего выражения (21) для получим
v = af' (at — х) + a?' (at + х);
е = — f' (at — х) + ®' (at + х).
Исключая из этих уравнений сначала ср', а затем найдем
v—as = 2af'(ai—х); )
 о Л # , А (	(30)
v + аг = 2а® (at + х). J	' ’
508
Расчеты на ударную нагрузку
Ударное нагружение системы с распределенной массой
509
Из уравнений (30) следует, что разность (а — аз) зависит только от раз-
ности (at — х), а сумма (а + аг) зависит только от суммы (at + х).
Если изобразить две системы координат х, t (фиг. 310, а)и a, s (фиг. 310, б),
то прямым at — х = const в первой системе соответствуют прямые а — аг —
= const во второй системе.
Точно так же прямым at + х = const соответствуют прямые а + аг =
»= const.
Таким образом, при
at — х = const
а — аг = const
и при
at + х = const
а + аг = const.
Семейства прямых линий —
характеристик — служат для на-
хождения соответствия точек в
координатных системах xt и аг.
Если такое соответствие будет найдено, то задача будет решена, так как
будут известны значения скорости а и деформации г в любом сечении х
в любой момент времени t.
Для того чтобы пояснить излагаемый метод, рассмотрим частный пример
(фиг. 311).
Правый конец стержня х = I закреплен неподвижно, а к левому концу
х — 0 в момент t — 0 прикладывается усилие Р, которое в дальнейшем не
изменяет своей величины.
Все точки плоскости xt, лежащие ниже оси х, отображаются на пло-
скости аг в точку 0 (г = 0, а = 0), так как при t <0 усилия и скорости во
всех сечениях стержня отсутствуют. Для того чтобы найти отображение
точки 1 (х — 0, t = 0), которая соответствует начальному моменту при-
ложения силы, проведем на плоскости xt характеристику 0—1, уравнение
которой at + х = 0.
Этой характеристике в плоскости аг соответствует линия а + аг = С,
которую легко построить, так как известно, что точка 0 плоскости xt отобра-
жается в точку 0 плоскости аг.
Отображение точки 1 лежит на линии а + а§ = 0. Так как деформация,
соответствующая точке /, известна
_ Р
е0 — EF ’
то легко отыскать эту точку на плоскости v&.
Из построения видно, что точка 1 соответствует скорости
V = VO = — ае0 = а-^.	(31)
Таким образом, при приложении силы Р конец стержня мгновенно при-
обретает скорость а0.
Теперь проведем на плоскости xt характеристику положительного напра-
вления 1—2.
Этой характеристике на плоскости аг соответствует прямая а — аг .= С,
проходящая через точку i. Отображение точки 2 лежит на этой прямой и в то
же время, так как точка 2 соответствует закрепленному концу стержня,
скорость в ней равна нулю и, следовательно, ее отображение лежит на оси г.
510
Расчеты на ударную нагрузку
Точка 3 лежит на той же характеристике отрицательного направления,
что и точка 2, и вместе с тем она соответствует концу стержня, на котором
s = е0. Отображение точки 4 совпадает с началом координат, отображение
точки 5 — с точкой 1 и т. д.
После того как деформации и скорости в характерных точках найдены,
можно определить их значения и при любых величинах х и t.
Прежде всего устанавливаем, что участок вертикальной линии х = I,
лежащий ниже точки 2, соответствует нулевым скоростям и усилиям. Дей-
ствительно отображения точек этого участка лежат на оси о = 0 и, кроме
того, любая точка этого участка может быть соединена характеристикой
положительного направления с точками оси t, лежащими ниже точки 1
(t < 0), отображающимися, следовательно, в начало координат. Таким
образом, отображение точек участка х = I, £ < — должно лежать одно-
временно и на линии о — ае = 0, и на линии v = 0. Следовательно, весь
этот участок отображается в точку 0 (г = 0, v = 0).
В ту же точку отображается и вся заштрихованная площадь, лежащая
ниже характеристики 1—2. Действительно, каждая точка этой площади
может быть соединена характеристиками положительного и отрицательного
направлений с точками, в которых, как мы уже установили, е = 0 и v = 0;
значит, и сама эта точка отображается в точку 0.
Отрезок линии х = 0 между точками 1 и 3 отображается на плоскости os
в точку 1, так как произвольную точку этого участка А можно соединить
характеристикой отрицательного направления АВ с точкой В нулевых ско-
ростей и усилий.
Отображением этой характеристики на плоскости os является прямая 0—1.
Вместе с тем усилие в точке А задано, а следовательно, задана, и деформация
s — е0. Значит, отображение точки А лежит одновременно на линии 0—1
и на линии s = е0, следовательно, оно совпадает с точкой 1.
Теперь можно установить, что вся внутренность треугольника 1, 2, 3
отображается на плоскости vs в точку 1.
Произвольная точка этого треугольника С находится на пересечении харак-
теристики отрицательного направления АВ, проходящей через нулевую
точку, и характеристики положительного направления DC, проходящей
через точку D. Так как на плоскости vs точка D отображается в точку 1,
то этим двум характеристикам соответствуют линии 0—1 и 0—2. Точка С
отображается в точку пересечения этих двух линий, т. е. тоже
в точку 1.
Далее с помощью характеристики АЕ, отображением которой является
линия 1—2, можно обнаружить, что произвольная точка отрезка 2—4 ото-
бражается в точку 2.
Затем мы устанавливаем таким же образом, что вся внутренность тре-
угольника 2, 3, 4 отображается в точку 2, а вся внутренность треугольника
3, 4, 5 — в точку 3.
Внутренность треугольника 4, 5, 6 отображается в точку 0 и т. д.
Характеристики 1—2, 2—3, 3—4 и т. д. являются линиями разрыва: при
переходе через них скорости и усилия изменяются скачкообразно.
После того как найдены значения v и е для точек плоскости xt, задача,
в сущности, решена.
Для большой наглядности можно теперь построить графики изменения
усилий и скоростей в различных сечениях стержня по времени
(фиг. 312).
Из построенных графиков видно, что максимальная динамическая дефор-
мация в стержне вдвое превышает величину е0, соответствующую стати-
ческому действию силы.
Ударное Нагружение системы с распределенной массой
511
Таким же образом можно решать и другие задачи продольного удара,
в частности, рассмотреть соударение двух стержней, стержней переменного
сечения или удар жесткого груза по упругому стержню.
Построение для этого последнего
случая изображено на фиг. 313.
Положение точки 1 на диаграмме
ve определяется по заданной началь-
ной скорости vQ. Отображение точки
b лежит на характеристике 0—1,
поскольку эту точку можно соеди-
нить характеристикой отрицатель-
ного направления с областью нуле-
вых скоростей и деформаций. Другое
условие для определения отображе-
ния точки b может быть получено из
рассмотрения движения груза m за
время Д, разделяющее точки 1 и 6.
Рассматривая изменение коли-
чества движения груза за этот
период, получим
д
/п — vb) = \Pdt,
о
где Р — сила взаимодействия между
Сечение х =0
и заменяя силу Р ее средним зна-
t
t
t
грузом и стержнем.
Выбирая время Д
достаточно малым
чением, получим
д
J Pdi =	д =	|61 + ей|,
Фиг, 313.
где и е6 —значения де-
формации, соответствую-
щие точкам 1 и Ь.
Таким образом,
=	(32)
Это уравнение позво-
ляет графически найти
положение точки b на
линии 0—1 в плоскости
о©. Для этого надо из
точки 1 провести линию
1—а, составляющую угол
Ф = IS?) с веР™‘
калью, до пересечения
с осью о и из точки а —
вторую линию ab под тем
же углом. Пересечение
этой линии с линией 0—1
дает изображение точки Ь. Легко непосредственно проверить, что такое
построение находится в соответствии с формулой (32).
При отыскании отображения точки 3 следует иметь в виду, что эта точка
лежит на линии разрыва 2—3. Поэтому надо рассматривать две точки 3:
512
Расчеты на ударную нагрузку
точку 31, лежащую несколько ниже линии разрыва, и точку 3", лежащую выше
этой линии (те же рассуждения относятся к точкам 4, 5, 6 и т. д.).
Рассмотрим сначала точку 3' (ниже линии разрыва). Эту точку можно
соединить характеристикой отрицательного направления с нулевой точкой.
Следовательно, отображение точки 3' должно лежать на линии 0—1.
С другой стороны, применяя уравнение количества движения груза ш для
промежутка b—3', равного Д, можно найти отображение точки 3' с помощью
такого же построения, как и для точки Ь.
Отображение точки 3" (выше линии разрыва) лежит на той же характе-
ристике отрицательного направления, что и точка 2. Вместе с тем скорость
в точке 3" такая же, как и в точке 3', так как скачкообразное изменение
скорости груза m невозможно.
После точек 3' и 3" тем же методом последовательно находятся отображе-
ния точек 4', 4", d, 5', 5" и т. д., пока деформация в сечении х = 0 не станет
равной нулю. В этот момент груз m отделится от стержня, и начнутся сво-
бодные колебания последнего.
При построении положительное значение s, соответствующее растяже-
нию, получается для точки 11 {t = 10 -у) Следовательно, к этому моменту
уже произойдет отделение груза от стержня. Конец удара соответствует
промежутку между точками k и 11, т. е. между t = 9 у и t'= 10-^.
При практическом использовании графического метода рационально
диаграмму п© строить в безразмерных координатах, откладывая по оси
абсцисс не v, а отношение —, где v0 — начальная скорость удара, а по оси
и0
ординат — отношение е — .^Тогда линии v ± as — const будут наклонены
под углом, тангенс которого равен отношению масштаба по оси ординат
к масштабу по оси абсцисс. Это отношение масштабов назовем буквой k.
Тангенс угла наклона вспомогательных прямых ф с учетом масштабов будет
равен
Ро
_ Д£Г а _ &EF 1
® ” 2m ’ kv0 2ma ’ k *
Промежуток времени Д принимается обычно равным
л 2/
Д — —,
ап’
где п — целое число х.
Заменяя а2 = -у и учитывая, что = х представляет собой отношение
массы стержня к массе присоединенного груза, получим
«♦ = Д-	(33)
Построение на фиг. 313 проведено для случая, когда отношение массы
стержня к массе груза х = 0,114.
Промежуток времени -у делится на две части п = 2, и отношение мас-
штаба по оси ординат к масштабу по оси абсцисс принято k = у
1 Рекомендуется выбирать п = 2 ч- 4. Увеличение п более п = 4 значительно усложняет
построения, не давая существенного уточнения решения.
Ударное нагружение системы с распределенной массой
513
Тангенс угла ф равен соответственно
= i =0,114.
По данным диаграммы на фиг. 313 построены графики деформаций в сече-
ниях х = 0 и х = I и скоростей в сечении х = 0 (фиг. 314).
График деформаций в сечении х = 0 позволяет уточнить время оконча-
ния удара. Удар заканчивается, когда эта деформация обращается в ноль,
т. е. при t = 9,1
Уже в первый момент
удара (точка 1) у конца
стержня возникает деформа-
Vo
ЦИЯ е0 = -у
только от скорости
и не зависящая
груза.
Максимальная деформа-
ция возникает в
ном конце стержня при /=5-^-
в момент отражения волны.
Эта деформация равна
4,16—.
а
Методы расчета на про-
дольный удар с учетом вол-
новых процессов (в том числе
и графический метод) могут
по цилиндрическим пружинам,
чета эквивалентным стержнем,
зависящая
удара
от массы
закреплен-
. - /
исследованию удара
быть применены и к
В этом случае пружина заменяется для рас-
имеющим одинаковую с ней массу и жест-
кость при сжатии.
Для цилиндрической винтовой пружины с малым углом подъема витков
жесткость эквивалентного бруса1 (т. е. отношецие осевого усилия к соответ-
ствующему относительному сжатию) равна
(^U = ^ кг],
(34)
где С — крутильная жесткость сечения проволоки;
s — шаг пружины;
D — средний диаметр
Масса единицы длины
витка.
эквивалентного бруса
,	tzDF
(рг)зкв = Р — ,
где F — площадь сечения витка;
р — плотность материала.
Скорость распространения деформации вдоль оси пружины (равная соот-
ветствующей скорости для эквивалентного бруса)
а _ i/(EF)9Ke _ 2s_ I	(35)
г (.?F)aKe “ iD2 Г ‘
1 См. главу IX, § 3.
33 Пономарев 508
514
Расчеты на ударную нагрузку
При расчете пружины на удар графическим методом построение не отли-
чается от построения, используемого для расчета стержня (фиг. 258). При
определении угла <|> по формуле (33) следует в этом случае под х понимать
отношение собственной массы пружины к массе груза.
Усилие Р, действующее в витке пружины, связано с относительной осевой
деформацией е соотношением
Р = е(Е£)экв,	(36)
а соответствующее напряжение в проволоке определяется по обычной формуле
Т~2Й^»
где WT — геометрический фактор прочности сечения витка при кручении1.
При ударе о пружину груза, движущегося со скоростью v0, в первом
витке пружины мгновенно возникает относительная осевая деформация
% =	.	(38)
Возникающее при этом напряжение можно определить по формулам (36)
и (37):
Подставляя сюда значения а и (EF)aKg из уравнений (35) и (34), получим
T0 = f0KGPj/<	(39>
С
где JT =	—геометрический фактор жесткости сечения проволоки при
кручении.
Из формулы (39), видно что так же, как и при ударе по стержню, напря-
жение, возникающее в пружине в первый момент удара, не зависит от массы
ударяющего груза. Оно определяется только скоростью удара, физическими
характеристиками материала и формой сечения витка. Диаметр навивки
пружины!) не влияет на величину напряжения т0; это напряжение не зависит
.	Пт?
также от абсолютных размеров сечения, поскольку множитель 1
является безразмерным. Для круглого сечения этот множитель равен 1,414,
для квадратного—1,8.
Принимая для стали модуль сдвига G = 8-Ю5 .кг/см* и плотность р =
= 8-10~6 кгсекЧсм*, получим при круглом сечении витка т0 = 356я0 и при
квадратном сечении т0 = 455где т0 выражено в кг/см2 * *, a v0 — в м/сек.
Очевидно, что при достаточно большой скорости удара напряжение
в первом витке пружины может достигнуть предела текучести материала уже
в первый момент удара даже в том случае, если масса ударяющего груза мала.
Принимая, что предел текучести пружинной стали = 5000 кг/см1,
найдем предельную скорость удара, при которой в первом витке мгновенно
возникают пластические деформации: у* = 14 м/сек для пружин с круглым
сечением витка; v* — 11 м/сек для пружин с квадратным сечением витка.
1 Для круглого сечения WT = Для витка прямоугольного сечения WT~abh\
где Ъ и h — большая и малая стороны сечения; а — коэффициент, зависящий от отноше-
h
ния .
о
Ударное нагружение системы с распределенной массой
515
Графический метод расчета можно применить и в том случае, если закон,
движения одного из концов пружины является заданным (клапанные пру-
жины, боевые пружины оружия и т. д.). Рассмотрим пример такого расчета.
На фиг, 315 приведен конструктивный чертеж клапана тяжелого дизеля,,
делающего 675 об/мин. Кулачок, приводящий клапан в движение, параболи-
ческий, причем закон движения клапана определяется графиком на фиг. 316.
Данные клапанных пружин таковы:
Наружная Внутренняя
пружина пружина
Диаметр проволоки d в мм . .	............... 9,5	8
Средний диаметр пружины D в мм................. 82	60
Число рабочих витков i.............................. 9,5	12,5
Навивка............................................ Правая	Левая
Предварительное поджатие /0	в мм.................... 40,5	26,5
Свободная длина в мм........................... 210	195
Шаг пружины s в мм............................. 19,2	14
Модуль сдвига материала G в кг/см?............. 8-Ю5	8-Ю5
Плотность материала р в кг сек?/см?............ 7,9-10—6	7,9-10-6*
Ход клапана 38 мм
Фиг. 315.
Производя статический расчет наружной пружины, находим следующие
величины:
жесткость пружины
, Р Gd* 8-1QS-0.95*	,.5	,
к — f —	8-8,28-9,5 —10,0 кг/СМ’
усилие предварительного поджатия
Ро = kf0 = 15,5-4,05 = 63 кг;
полная осадка пружины
Лшв = fo + fpa6 = 4,05 + 3,8 = 7,85 см;
максимальное усилие в пружине
Pmax = tfmax= 15,5-7,85 = 122 кг;
зз*
'516
Расчеты на ударную нагрузку
напряжение в ней
ттах
8PfflaxD 8* 122*8,2 оллл / 2
—= —п оёт- = 3000 кгсм.
nd? гс*0,953
Вычисляем величины, необходимые для динамического расчета:
жесткость сечения эквивалентного бруса

4-8-10°	1,92
-----------------------= 284 кг-,
масса единицы длины эквивалентного бруса
7,9 • 10-6. л  8,2—Q’952
(рЛэкв = —з— =-------f92------= 0,74-10-3 кгсекУсм2-,
скорость распространения деформации по оси пружины
°=- /wSU= 1970
время пробега волной всей пружины
л is 9,5*1,92 л ос in__________________________ч
0 “Т ~ “Т970-“ 9,25‘ ° сек-
относительная деформация, возникающая на конце пружины при приве-
дении его в движение со скоростью v = 1 м/сек,
=	= 1^ = 0,0509;
соответствующее усилие, сжимающее пружину,
= (EF),^ = 284-0,0509 = 14,5 кг.
Графический расчет процесса колебаний пружины приведен на фиг. 317.
Расчет выполнен в предположении, что в момент начала движения толкателя
шружина неподвижна. Это предположение основано на том, что за время
Ударное нагружение системы с распределенной массой
517
между закрытием клапана и началом следующего его открытия (0,120 сек.)
собственные колебания пружины успевают затухнуть (в это время уклады-
вается 6,5 периода колебания).
На фиг. 317, а приведена заданная диаграмма изменения скорости конца
пружины (см. фиг. 316), на фиг. 317, б — диаграмма xt, на которой приве-
дены характеристики положительного и отрицательного направлений.
Масштаб времени на обеих диаграммах одинаковый. Построение характери-
стик не составляет затруднений, так как время 9 пробега волны по пру-
жине известно.
На диаграмме vP, приведенной на фиг. 317, в, которая эквивалентна
диаграмме os, значения сжимающей силы Р (соответствующей определенной
деформации) отложены
вниз.
Угол наклона характе-
ристик определяется из
того условия, что скоро-
сти 1 м/сек соответствует
усилие Pj = 14,5 кг.
Точки 1, а, 3 лежат
на отрицательных харак-
теристиках, проходящих
через область нулевых
скоростей и деформаций
(ниже линии 1—2). Отоб-
ражения этих точек в
плоскости vP находятся
на характеристике 0—а при соответствующих значениях скорости. Затеи
строятся отображения точек b и 4, лежащие на оси Р (v = 0). Отображе-
ния точек 3, с, 5 лежат на отрицательных характеристиках, проходящих
соответственно через точки 2, Ь и 4; вместе с тем значения скоростей
в этих точках известны.
Так же производится и дальнейшее построение. На фиг. 318 приведены
графики изменения усилий в первом и последнем витках пружины, построен-
ные на основании диаграммы vP.
Пунктиром нанесены значения усилий, полученные из статического рас-
чета.
Максимальное динамическое усилие, возникающее на неподвижном конце
пружины при t — 37,5 -10—3 сек., равно 80 кг. Полное усилие с учетом пред-
варительной затяжки составит в этот момент Ртях = 63 + 80 = 143 кг.
Оно на 17% выше, чем усилие, найденное статическим расчетом. Таким же
точно образом может быть произведен динамический расчет внутренней пру-
жины.
Б. Влияние сдвигов и инерции вращения при изгибающем ударе
Как уже указывалось, теория изгибающего удара разработана в меньшей
степени, чем теория продольного удара. Классическое решение этой задачи,
предложенное Сен-Венаном, оказалось несостоятельным ввиду неправиль-
ности исходных предпосылок и главным образом ввиду того, что не учитыг
вались местные деформации. Как будет показано ниже, решение Сен-Венана
неточно и в математическом смысле, так как использованные в нем началь-
ные условия не согласуются с дифференциальным уравнением.
Учет сдвигов и инерции вращения в уравнении движения балки позво-
ляет устранить указанную неточность и получить решение задачи для ряда
практически важных случаев и, в частности, для импульсивной нагрузки
на балку.
518
Расчеты на ударную нагрузку
» Если удар по балке осуществляется грузом, то наличие местных дефор-
маций приводит к смягчению удара. В этом случае учет сдвигов и инерции
вращения не является столь существенным. Как показывают расчеты, при
учете местных деформаций игнорирование сдвигов приводит к преувеличению
на 10—20% контактной силы и к преуменьшению в таком же отношении
максимальных напряжений.
Общие методы расчета на удар при наличии местных деформаций рассмо-
трены в § 5.
Сен-Венан в своих примечаниях к «Курсу теории упругости» Клебша
(381 развил теорию изгибающего удара, основанную на решении уравнения
поперечных колебаний балки х:
в предположении, что ударяющий груз не отделяется от балки во всяком
-случае до тех пор, пока прогиб балки не достигнет максимального значения.
В уравнении (40) тд — прогиб; EJ — жесткость сечения; q — масса единицы
длины балки. При сделанных предположениях движение в процессе удара
можно рассматривать как свободное колебание балки с присоединенным к ней
^сосредоточенным грузом.
В качестве начального условия принимается, что в первый момент соуда-
рения смещения всех точек балки равны нулю. Начальные скорости также
равны нулю для всех точек, кроме точки удара, скорость в которой равна
скорости с*0 ударяющего груза.
Решение задачи получается в виде бесконечного ряда, каждый из членов
которого соответствует одной из форм нормальных колебаний балки с гру-
зом. Коэффициенты этого ряда определяются методом, изложенным в § 4
главы V.
В частном случае удара груза т, движущегося со скоростью vQ по средне!
точке балки постоянного сечения, лежащей на двух опорах 1 2, для смещений
получается следующее выражение:
где / — длина балки, а суммирование производится при значениях Хя,
являющихся корнями уравнения частот3:
4-X«(tgi-th4)=0,
где, в свою очередь, х =	— отношение массы груза к массе балки.
Ряд (41) сходится очень быстро и удобен для вычисления прогибов. Подроб-
ные вычисления при различных значениях х выполнены Сен-Венаном. Для
1 См. главу VI, уравнение (24).
2 Этот случай подробно рассмотрен Сен-Венаном.
л См. главу VI, § 3 В,
Ударное нагружение системы с распределенной массой
519
определения изгибающих моментов Мизг = EJ ряд (41) нужно дважды
продифференцировать по х. Таким образом, получается
___ V?	Ch-^COS^
М (х, t) = — 8v0 VqEJ \ ----------f-------------=- х
(\п + sin Х„) ch* _ (Х„ + sh Х„) cos*
п=1
х [ch^-sin^-F
Хи V ^ПХ 1	/ Л 2 1 /~ EJ
cos^-sh-y-J sin (Х„ у -^tj.
(42)
Ряд (42) не является сходящимся и не пригоден для вычислений. Таким
образом, в теории Сен-Венана вопрос о напряжениях в балке при изгибаю-
Фиг. 319.
щем ударе остается открытым. Невозможно также определить силу взаимо-
действия между грузом и балкой, а следовательно, нельзя проверить гипо-
тезу о том, что груз в процессе удара все время остается в контакте с балкой.
Более простой пример расчета, который приводится ниже, позволяет еще
резче выявить недостатки расчетного метода Сен-Венана.
Рассмотрим колебания балки постоянного сечения при ударе ее о непо-
движные опоры (фиг. 319). Будем полагать, что после падения концы балки
остаются в контакте с опорами и что, следовательно, движение балки после
падения можно рассматривать как свободные колебания балки, опертой
по концам.
В начальный момент удара при соприкосновении балки сопорами скорость
движения всех ее сечений, кроме концевых, одинакова и равна t>0; скорость
концевых сечений равна нулю. Смещения в начальный момент можно также
положить равными нулю, пренебрегая действием силы тяжести. Таким обра-
зом, начальные условия движения таковы х: = 0; т]0 = у0 при 0 < х < /;
т)0 = 0 при х = 0 и при х = /. Здесь ц0 и — значения (х, t) и -
при t = 0.
Движение можно рассматривать как сумму всевозможных нормальных
колебаний балки 1 2
оо
TJ (х, 0 = S wn (х) [ап cos pnt + bn sin pnt},
n=l
1 Точно такие же начальные условия имеют место при воздействии на балку равно-
мерно распределенной импульсивной нагрузки. Решение относится и к этому случаю.
2 См. главу V, § 4. В настоящей главе собственные функции при изгибных колебаниях
обозначены через wnt а не через иЛ, так как обозначение v принято для скоростей.
520
Расчеты на ударную нагрузку
где wn (%) — функция, определяющая форму n-го нормального колебания;
рп — круговая частота этого колебания;
ап и Ьп — коэффициенты, определяемые в зависимости от начальных
условий движения по формулам
i
J Vn W q dx
а„ ~	:
п. I	’
J W2n (х) q dx
о
1
f W q dx
k 1 6
D I
Pfl P 9
J < W <7 dx
0
Для балки постоянного сечения на двух опорах формы нормальных коле-
баний определяются формулой 1
nizx
где п = 1, 2, 3, а соответствующие частоты
Рп = «2Ро>
где	____
Вычисляя интегралы, входящие в формулы (43), получаем
i	i
J w<2n W Я dx = q j sin2 dx =
о	0
I
l^own(x)qdx = O;
2v0-^- ПРИ п нечетном;
0 при п четном.
z	z
J V» W qdx= voq J sin	dx =
о	0
Таким образом, коэффициенты an равны нулю, а коэффициенты Ьп равны
b
" кр0 п3
при п нечетном и равны нулю при п четном.
Следовательно, прогибы балки в любой момент времени определяются
уравнением
=	5 -^-sin-^sinn2p0t	(44)
° п=1, 3, 5...
Ряд (44) сходится очень быстро, и для вычисления максимального прогиба
с достаточной точностью можно ограничиться только первым его членом,
т. е. положить
/	4 тех ,
—81ПРо^
1 См. главу VI, § 3.
Ударное нагружение системы с распределенной массой
521
Для определения изгибающих моментов надо дважды продифференциро-
вать по х ряд (44):
M(x,()=£J-g- = -±^ jj ±Sln^£si„„>Po;.	(45)
п=1,3, 5. . .
Ряд (45) для изгибающего момента сходится очень медленно и непосред-
ственно для вычислений непригоден. Однако для некоторых моментов вре-
мени можно легко найти функцию, изображаемую этим рядом.
Предварительно рассмотрим разложение в ряд Фурье по синусам функ-
ции f (х), заданной в интервале 0 < х < /, которая равна нулю при х < h
и при х > I — h и равна единице при h < х < I — h (фиг. 320) (предпола-
гается, что вне интервала 0 < х < / функция f (х) продолжена, как пока-
зано на фиг. 320, пунктиром).
Фиг. 320.
Разложение может быть представлено в форме
rt=l
причем коэффициенты Ьп определяются формулой
i
Q
В данном случае имеются только нечетные коэффициенты:
i
2
,	4 С . птис 1	4	mzh
Ьп = -у- \ sin —7— ах = — cos —т—,
71 I J /	кп	I 9
h
следовательно,
оо
- , ч 4 VI 1	. пкх
= T 1	Tcos —s,n — •
n=l, 3, 5 .
Рассмотрим частные случаи этой формулы.
1)	h = 0. В этом случае Д (х) — 1;
|sin —+ ysin-7-+ysin-z-H---------] .
2)	h = -у. В этом случае
f2(x) = 1 при 4<X<TZ:
I	7
f2 (x) = 0 при X < -g- И при X > -g- I.
(46>
522
Расчеты на ударную нагрузку
Для функции (х) получаем разложение
fdx) = v [>lcos^- + Bsin-^-
-где
•л •
А = sin
1 . 7 тех	1 9кх ,	1	. 15тех .	1 . 17тех
_——-sm ——_sln—+ —sln—-+—SIn —
n 1 . Зтех	1 . 5nx	1 . Итех . 1 . 13тех । 1 . 19тех
£ = -3 s,n —I-T s,n ~7-IT s,n — + 13 sin ~r +19s,n —
(47)
(48)
3)	h = -y. При этом
f3(x) = l при T < x < -J-;
I	31
fa (x) — О ПРИ x < f и ПРИ x > ~4~ •
Разложение функции /з (x) таково:
£ , ,	2 / 2 Г . ад 1. Злх 1 . 5лх
М*) = — Гпт~3s,n~—Ts,n — +
. 1 7лх '. Г . 9лх	1	/.0.
+ -sin-r + ysin-j-------J.	(49)
4)	h =-% I. В этом случае
Л (х) = 1 при -у I < X < у Г,
3	5
Л (х) = 0 при X < у I И При X > у I.
Функция /4 (х) имеет разложение
М*) = 4 |Л sin4 —вcos т] ’	(50)
•где А и В имеют прежние значения (48).
Графики функций Д (х) — /4 (х) представлены на фиг. 321.
Теперь рассмотрим ряд (45), представляющий кривизну изогнутой оси
'балки. Положим pot = -^-. Подставляя это значение р0/ в формулу (45),
^получим
лд / те V	4nvnEJ Г	. те	. тех	,	1	9те	Зтех	.
/И х, -7F— =----тг5— sin sin —И	sin -те- sin -h
\	16р0 /	/2р0	[	16 I	*	3	16	I	1
. 1 . 25те . 5тех . 1 ”. 49те . 7тех . 1 81те . 9тех .	1
+ S’sin "16-s,n — Н-	si" -i6~si" —Г + ysinyg-sm —Н- •••] .
Упрощая это выражение, найдем
V’ ВД = —Гп Гб sin — + т cos Тбs,n -I— Т cos Тб s,n ~l—
1 .’те . 7тех 1 . те , 9тех 1 те . 11 тех .
--sm-sm--------^sm_8in_-------_cos_sin__ +
.1 те . 13тех- .
+ T3cosT6s,n —+ •*•
Ударное нагружение системы с распределенной массой
523
Сгруппируем члены, содержащие sin и cos :
,, f tz \ 4nvnEJ Г -	. пх 1 . 7пх 1 . 9пх .
7И ( х, -- ) =-----тт2  Sin ( Sin —-}----— Sin -------Sin —7----h
\ ’ 16p0 /	L 16 \	/	7	/	9	/	*
, 1 . 15-tcx , 1 . 17rcx 1 . 23'гсх \ , тс f 1 . 3rcx
+ 15 S,n — + 17 S1" ~T “ 23 Sln  --------) + C0S Тб- к У Sin -I-
1	1 . И тех , 1 . 13тслг . 1 . lOrcx 1 21nx \*1
- 5sin-i-------ns,n — + i3sin— + i9s,n-------------2Ts,n----------)] •
Легко видеть, что выражения, стоящие в круглых скобках, равны соот-
ветственно вёличинам Л и В, определяемым по формулам (48).
Таким образом,
М (х> Тб^) =	[^s,nT6 +Всо5Тб] ’	(51)
яз формул (47) и (50) для f2 (х) и /4 (х) находим
А = р2 (X)cos^- 4- fl (х) sin -J-] ;
в = т р2 W sin т — ft (*)cos т
Подставляя эти величины в формулу (51), получим окончательно
Эта эпюра изображена на фиг. 322, а, на которой представлена также
и форма упругой линии балки в этот момент. Таким же точно образом можно
«построить эпюры изгибающих моментов и для других значений времени.
524
Расчеты на ударную нагрузку
Ударное нагружение системы с распределенной массой
525
При pot, кратном изгибающие моменты выражаются через функции
Д — Д (х), как показано ниже:
 мер,-.	t _ . мрРо
— Mx)costJ] ’>	4г	/2sin-J-f3(x);
[f2(*)sin^ + M*)cos-^-] ;	-J-	^-fx(x);
[f2(x)sin4j — h(x)cos21];	_/2sin-^f3(x);
[f2 (x) sin	— Л (x) cos	;	-J- Л (x).
Цифровые значения изгибающих моментов по участкам длины балки пред-
ставлены в табл. 53, а соответствующие эпюры вместе с формами упругой
линии изображены на
фиг. 322, б — 3.	Таблица 53
Из решения этого приме-	Значения изгибающих моментов по длине
ра видно, что непригодность	балки в процессе удара
тригонометрических рядов
для вычисления изгибающих
моментов объясняется раз-
рывностью эпюры моментов.
Возможны ли физически
разрывы в эпюре изгибаю-
щих моментов?
В инженерной теории из-
гиба, на которой основан
расчет по Сен-Венану, изги-
бающий момент связан с по-
перечной силой уравнением
дх
Следовательно, разрыв в
эпюре изгибающих моментов
свидетельствует о том, что
в соответствующем сечении
поперечная сила равна бес-
конечности .
Это обстоятельство обес-
ценивает расчет на прочность
при изгибающем ударе по
Сен-Венану.
В чем причина неудов-
летворительности этого рас-
чета?
	м - 1		*2Ро v2v0EJ	
Ро*	оо Н о Л Л	х X	Л Л оо |	Ь.|оо V	V V	V — [оо со [^	со [оо со [^ V	V X	* V	V — l’* Ю [оо	Ю [ОО V X V со [оо
л Тб	0	—0,55	0,28	0,28
ОО | а	0	0	—0,54	—0,54
Зл Тб	0	—0,19	— 1,18	—1,18
тс т	—0,71	—0,71	—0,71	—0,71
5л Тб	0	—0,98	• —0,98	—0,78
Зл ~8~	0	o'	— 1,30	— 1,30
7л Тб	0	—0,98	—0,98	—1,18
л ~2~	— 1,0	—1,0	—1,0	—1,0
Начальные условия, при которых интегрируется уравнение движения
балки при ударе, разрывны. Так, в случае удара груза по балке скорость
в начальный момент считается равной нулю во всех точках балки, кроме
точки удара. Эти начальные условия исходят из того, что деформации в мате-
526
Расчеты на ударную нагрузку
риале балки распространяются с конечной скоростью и что, следовательно,
в первый момент удара все точки балки, кроме точки удара, остаются непо-
движными .
Между тем можно показать, что уравнение движения балки (40), на кото-
ром основана теория Сен-Венана, не допускает распространения деформаций
с конечной скоростью, не допускает разрывного распределения скоростей
по длине балки и не согласуется, таким образом, с принятыми начальными
условиями.
Не останавливаясь на математическом доказательстве этого положения \
поясним его лишь простой схемой;
Уравнение (40) основано на предположении, что деформации балки обу-
словлены только удлинением и сокращением ее продольных волокон. Балку,
рассматриваемую таким образом, можно схематически представить как шар-
Фиг. 323.
Фиг. 324.
нирную цепь жестких звеньев, связанных сверху и снизу упругими пружи-
нами (фиг. 323). Из этой схемы ясна невозможность движения одного из
звеньев, когда остальные неподвижны, невозможность разрывного распре-
деления скоростей.
Итак, начальные условия и дифференциальное уравнение Сен-Венана
не согласуются между собой.
Поскольку в действительности скорость распространения деформаций
в материале является конечной, то очевидно, что начальные условия удара,
принятые Сен-Венаном, являются правильными, а недостаточно точным
является дифференциальное уравнение (40).
Даже при статической нагрузке инженерная теория изгиба, на которой
основано уравнение (40), справедлива лишь в известных пределах, пока длина
балки значительно больше, чем размеры поперечного сечения.
При ударе, во всяком случае в первый его момент, когда деформаций
локализованы на коротком участке вблизи точки контакта балки с грузом,
теория, учитывающая только деформации, обусловленные изгибающими
моментами, является неприемлемой.
Значительно лучшие результаты может дать теория, учитывающая
и сдвиговые деформации.
— Колебания балки с учетом деформаций сдвига и инерции осевого движения
частиц рассмотрены в главе VI, § 3 И.
Моделью балки, рассматриваемой в этой теории, является шарнирная
цепь с податливыми шарнирами, связанная пружинами по верхнему и ниж-
нему поясу (фиг. 324).
Ясно, что для рассматриваемой таким образом балки разрывное распре-
деление скоростей кинематически возможно и нет никакого противоречия
между дифференциальными уравнениями 1 2 и начальными условиями движе-
ния балки.
Рассмотрим с помощью улучшенной теории изгибающего удара задачу
о падении балки на две опоры, которая выше была рассмотрена с помощью
теории Сен-Венана.
1 См., например, [28].
2 Уравнения (63) главы VI.
Ударное нагружение системы с распределенной массой
527
В главе VI были выведены дифференциальные уравнения движения
балки
д2т]_ k?	.
дх2	G	' dt2	дх ’
(52>
«Э2»	р	д2Ь	_	GF	(	ду	у •
дх2	Е ‘	dt2	~	kEJ	\дх	*) ’
оде ») (х, /) — вертикальное смещение точек балки. Осевые смещения £(х, у, t)
гпределяются формулой
<53>
Производная функции / (у) находится по формуле
» / X F S*
f Ы =
где S* — статический момент части площади сечения от верхнего края
до рассматриваемой точки относительно нейтральной оси;
b — ширина сечения в рассматриваемой точке.
Коэффициент k определяется по формуле
k =
7-	Jf {У^У^у.
Как было установлено в § 3 И главы VI, решением уравнений (52) для.
балки на двух опорах длины / являются выражения
т] = sin (a cos pt + b sin pt)',
0 = cos (Л cos pt + В sin pt).
(54)
Каждому числу полуволн n соответствуют два значения круговой частоты
колебаний:
4[|+«,+да-У(1 + “’+да),-Ч <55>
И
р.„ -р.~]/4[1 + «’ + да + /О + “’ + да)’-4«‘] <55г>
где pQ = тс2 j/*•	— частота основного тона собственных колебаний,
вычисленная без учета сдвигов и инерции осевого*
движения;
— гибкость балки;
Коэффициенты А
шением:
и а, В и b в формулах (54) связаны следующим соотно-
А В _____ Г1	( Р \2 я2"|
56}
528
Расчеты на ударную нагрузку
Движение балки, вызванное ударом ее об опоры, будет представлять собой
сумму всех видов ее нормальных колебаний. При этом
оо
n = 2 sin [ап, cos рп it + bn! sin рп xt + ап п cos рп п/ + bn п sin рп	;
Л=1
оо
# = 2 cos [А„! cos рп it + В„! sin рп it + Ап п cos рп + Вп п sin рп „/].
П=1
В начальный момент удара при соприкосновении балки с опорами смеще-
ния т) и 5 равны нулю; как видно из выражения (53), при этом должна обра-
щаться в ноль и величина Горизонтальные скорости -Ц- в этот момент
также отсутствуют, следовательно, должна равняться нулю также и вели-
чина . Вертикальная скорость при t — 0 равна скорости удара о0.
Таким образом, при t — 0 имеют место следующие начальные условия:
1) т) = 0;
2) & = 0;
з)>-о;
Условия 1 и 2 приводят к выражениям
71/=0 = 2 sin (ап I + ап и) = °;
Л=1
^/=0 = 2 СО8-^(Яп1 + Лл11) = 0.
П=1
Эти тождества могут выполняться только в том случае, если
ап I + п = О', 1
z:+x,.=o.}	<57>
. С учетом соотношения (56) второе из полученных уравнений может быть
переписано в виде
Таким образом, уравнения (57) являются в сущности линейными и одно-
родными относительно ап1 и а„п, следовательно, эти величины равны нулю:
ап 1 = Ап 1 — 0; ап п — Ап п = 0.
Из начального условия 3 следует
оо
(^г)/=о = 2 Cos Т- 'Р* I + В"иРпп) = 0,
п—1
откуда
iPn I + Вп цРп п = 0.	(58)
Ударное нагружение системы с распределенной массой
529
Наконец, четвертое начальное условие приводит к выражению
оо
(4?)/=0 = S sinI + Ь" и! = °0-
Л=1
Рассматривая это равенство как разложение величины, равной vQ в интер-
вале 0 < х < I и равной — v0 в интервале / < х < 2/, в ряд Фурье, получим
i
Ьп iPn I + bn иРп п =	т j sin dx-
о
Вычисляя интеграл, найдем
bn \Рп I + Ьп нрп II =	v0	(59)
при п нечетном и
bn iPn 1 +	иРп п	0	(59а)
при п четном.
Выражая в уравнении (58) коэффициенты Вя1 и Вя11 через Ьп1 и &яП на
основании равенства (56), получим
bniPni	) «2“2Х2] + ЬпиРпП [1—	) «2“2Х2 ] = °"
Уравнения (59) и (60) позволяют определить коэффициенты Ьп, а затем и Вп.
При п нечетном
I) — 4г,о	Ро
л1 ™Po npnl спП — сп1 ’
b _ 4ро	Ро____cn I .
лП «Ро прлп Сп1—СпП ’
Q — 4ро Ро сп Icn II .
л1 ~ 1р» Pnl Cnll — Cnl ’
В _ 4t>o Pq_______сп jcn ц
Л^ ZPo Рл II Сл1 — спП *
где обозначено
с -1 fPnlV "2 .
л1	\ Ро 7 a2n2X2 ’
С - 1 — fP"H\* ”2
лП	\ Ро J а2П2Х2 
При четных значениях п
Ьп \ ~ bnii = ^л I ~ ^л п = 0-
Таким образом, движение балки в процессе удара определяется
формулами
оо
11=	2 sin[b„jsipрп!/ + &„„sinряПЛ;	(62)
л==1,3, 5. .
оо
Я =	2 cos [В" Isin Рп + вл II sin рп ПЛ,
п=1,3, 5 .. .
где коэффициенты Ьп и Вп вычисляются по формулам (61), а частоты рп1 и
и ряП — по формулам (55) и (55а).
34 Пономарев 508
530
Расчеты на ударную нагрузку
Изгибающий момент в сечениях балки равен 1
00
Л4 = — EJ^^EJ	-^sin-^[B„Isinp„/ + B„IIsinp„nn. (63)
л=1,3, 5. .
Упрощая выражения для коэффициентов ряда (63), получаем
пъ о ___	4о0 Х2а2
~Гсп1 — —	• “V-
р>	1
”Рл I т / /, , » . <л2 \2 7Т ’
К (1 + “2 + '₽) ~4“
пи п ______ 4о0 Х2а2
~т °п11 ~
Ро	1
«РлП -]/’/.	а‘Х2 \2	'
V V + “ +w) ~4а
Так как при больших значениях п частоты рп1 и рлП возрастают пропор-
ционально п (см. формулы (55) и (55а) ], то коэффициенты ряда (63) убывают
как . Следовательно, ряд (63) для изгибающего момента является сходя-
щимся, причем он сходится к непрерывной функции. Таким
образом, в отличие от теории Сен-Венана, уточненная теория изгибающего
удара приводит в данном случае к непрерывной эпюре изгибающих моментов.
Применим полученные формулы для практических вычислений для балки,
представляющей собой двутавр № 20 длиной 2 м.
Для этого профиля коэффициент k равен 2,4, а радиус инерции
см,
следовательно, гибкость балки
Коэффициент а2 равен
“2 ~ ~kE = 2,4-2,6 = °’16'
По формулам (55) и (55а) определяем частоты собственных колебаний.
Эти частоты приведены в табл. 54.
В скобках указаны значения частот, даваемых обычной теорией. Попереч-
ные силы и инерция осевого движения сравнительно мало (5%) влияют на
частоту основного тона колебаний, частоты же высших гармоник снижаются
Таблица 54
Частоты собственных колебаний балки с учетом сдвигов
и инерции продольного движения
Л	Рщ Ро	< рпп Ро	л	Рщ Ро	Рщг Ро
1	0,9475 (1)	26,896	10	29,93(100)	85,13
2	3,323 (4)	30,63	11	33,23	92,80
3	6,403 (9) •	- ‘ 35,82'	12.	36,51	100,4
4	9,75 (16)	41,87	13	39,78	108,3
5	13,14 (25)	48,48	14	43,52	116,2
6	16,54 (36)	55,44	15	46,27	123,9
7	Д9,94 (49)	. 62,63	.16	42,52	131,9
8	23,29 (64)	70,01	17	52,71	139,8
9	26,62 (81)	77,52	1			
1 См. главу VI, § 3 Й, формулу (61).
Ударное нагружение системы с распределенной массой
531
благодаря их влиянию очень значительно. Частоты колебаний второго
вида ряП очень высоки по сравнению с частотами колебаний первого вида.
Для коэффициентов рядов (62) и (63), определяющих прогибы й изгибаю-
щие моменты, получаем значения, приведенные в табл. 55.
	'	Таблица 55
Коэффициенты рядов (62) и (63), определяющих прогибы и изгибающие моменты
п		3		7	9	11	13	15	17
h ™Рр Ьп1^	1,0421	0,0500	0,0147	0,0070	0,0040	0,0026	0,0019	0,0014	0,0011
	0,0005	0,0004	0,0002	0,0001	—	—	—	—	—
ПК	ра12 -ТВп14^	0,9486	0,2450	0,1134	0,0646	0,0414	0,0286	0,0209	0,015?	0,0125
ПК R Ро12 ТВп11^	0,0333	0,0438	0,0308	0,0206	0,0142	0,0102	0,0077	0,0059	0,0047
По этим дацным произведены вычисления и построены формы упругой
, к it и Зл л 5л
линии и эпюры изгибающих моментов при pQt = -gg" 5 -pr; -gS -jg-; -4S [gS
Зл 7л л
T’ Тб"’ ~2 •
Соответствующие графики изображены на фиг. 325, а — и.
Графики, построенные на основании изложенной теории, дают физически
понятную картину удара. После соприкосновения концов балки с опорами
около концов возникают деформации изгиба. Волны изгиба движутся от
концов балки к ее середине =	•
г \	32д0 ’ 16р0 ’ 8р0 )
В момент t — максимумы волн изгиба, движущихся с обеих сторон,
1ор0
достигают середины балки и складываются в ней, с чем связан значительный
рост изгибающего момента в среднем сечении.
До сих пор опорные реакции, изображаемые тангенсом угла наклона
эпюры Мазг, уменьшались по величине. В момент t = -£— реакции, стано-
^Ро
вятся отрицательными. В действительности в этот момент балка отдели-
лась бы от опор и дальше следовало бы рассматривать свободное движение
балки. Однако, как видно из эпюры, соответствующей моменту t = -т—,
. “Ро
величина отрицательных реакций незначительна, и предположение о том,
что балка не может отделиться от опор, не поведет к большой ошибке.
В момент t =	 опорные реакции вновь резко возрастают, происходит
новый удар балки об опоры. Образовавшиеся при этом волны снова движутся
от концов балки к середине, достигая ее к моменту t =	.
^Ро
При t = £— изгибающий момент в среднем сечении достигает абсолют*
"Ро
ного максимума, равного
Л4тах = 1,154.4it£J4V-
max ,	р072
Прогиб в тот же момент
"Птах — bl л • р°
34’
532
Расчеты на ударную нагрузку
Проведенные вычисления при pQtZ> -у показывают, что как изгибающие
моменты, так и смещения в дальнейшем остаются меньше этих максимальных
Фиг. 325.
величин. Как показы-
вает рассмотренный
пример, решение урав-
нений изгибающего уда-
ра (52) с помощью три*
тонометрических рядов
вполне возможно.
Однако этот метод
расчета обладает и ря-
дом недостатков. Ряды
для прогибов и изгиба-
ющих моментов могут
быть использованы для
вычислений, однако ряд
для поперечных сил
сходится настолько ме-
дленно, что практически
непригоден. Кроме того,
для малых значений /,
когда длина деформи-
рованной части балки
мала по сравнению с ее
полной длиной, сходи-
мость ряда для изгиба-
ющих моментов также
очень плоха. Поэтому
метод рядов не дает удо-
влетворительных ре-
зультатов при исследо-
вании явления непо-
средственно вслед за
моментом соударения.
Наоборот, при исследо-
вании деформации балки
в моменты, достаточно
далекие от момента со-
ударения, этот метод
является, вероятно, са-
мым подходящим.
Третьим недостатком
метода рядов является,
по-видимому, невозмож-
ность его применения
при наличии пластиче-
ских деформаций. Кроме
метода рядов, можно ис-
пользовать еще два при-
ближенных метода ре-
шения уравнений (52)—
метод разложения по степеням времени и метод характеристик.
Первый из этих методов, на изложении которого мы здесь останавли-
ваться не будем, позволяет вычислять деформации балки только при малых
Ударное нагружение системы с распределенной массой
533
значениях /, т. е. в моменты, непосредственно следующие за моментом удара.
В этом отношении метод разложения в ряд по степеням времени существенно
дополняет метод решения в тригонометрических рядах. Вместе с тем этот
метод позволяет сделать ряд принципиальных выводов относительно рас-
пространения ударных волн вдоль балки.
Вот наиболее важные из этих выводов.
1.	Если в момент t =0 к некоторому сечению балки прикладывается
сила, то возникает волна деформаций, движущаяся вдоль балки со скоростью
Если сила приложена внутри пролета балки, то волна распространяется
в обе стороны, и, таким образом, длина деформированной части балки равна
2а/. При приложении силы к концевому сечению балки длина деформирован-
ной части ее составит at.
2.	Эпюра поперечных сил является разрывной, причем разрыв движется
вдоль балки со скоростью
а, = аа = 1/ тг •
1	г Ьо
Так как с точкой разрыва эпюры поперечных сил совпадает излом эпюры
моментов, то этот последний движется с такой же скоростью.
3.	При приложении в пролете балки силы Р точка приложения силы мгно-
венно получает скорость
Проверим, в какой степени выполняются эти общие положения в рас-
смотренном примере удара балки о неподвижные опоры.
В этом случае удар происходит по концам балки, и длина деформирован-
ной части балки вблизи каждого ее конца должна равняться 1деф — at.
Отношение этой длины к полной длине балки
1деф ___ at ____ Ct ,
Подставляя значения
«= /у и Po = ^2/w’
получим
1деф 2. 1 1/FP nf Х Р<£
~1 л2 V J W— „
В рассмотренном примере К = 24,8 и должно быть
1оеф __ у g Pq1'
Ч ’ п *
= 0,247
534
Расчеты на ударную нагрузку
. те
При t = -Гд—
к 16р0
= 0,494.
Сравнивая эти теоретические величины с величинами, представленными
на фиг. 325 и полученными посредством вычисления тригонометрических
рядов, можно установить их полное совпадение. Точно так же подтверждается
и вывод о скорости распространения излома эпюры моментов. Расстояние
этого излома от конца балки I' = avt = a.at = аЛдеф.
В нашем случае должно быть Г = 0,4/^; это соотношение выполняется
в эпюрах, представленных на фиг. 325.
Для решения уравнений (52) по методу характеристик эти уравнения
целесообразно представить в безразмерных координатах.
Введем следующие обозначения;
i — ]/"-у — радиус инерции сечения балки;
х1=-~- — безразмерная абсцисса;
1) а.
ijj = -j-безразмерное смещение;
1/~Ё	а
а = у —-----скорость распространения продольных колебании;
т = -^---безразмерное время — отношение времени t к тому времени,
в течение которого ударная волна проходит длину, равную
радиусу инерции поперечного сечения.
Таким образом, мы имеем четыре безразмерные переменные: независимые
переменные Xj и т и смещения ^ид.
В этих переменных уравнения (52) принимают вид
__________1_. Д2Т)1 _ а» .
йх2 а2 * ат2 ~ dxi ’
д2& ______	_____„2	_ Л
дх2{ д*2	\ дх1
(64)
Производные тц и обозначим
а дх ’ дхг
дЪ
дх
дЪ
дх±
= х.
Эти безразмерные величины связаны с размерными следующим образом:
V* = -L.*k.
аа at ’
01)
<Р = -аГ’
а&
dt ;
. а»
X = I -д —
дх
Подставляя принятые обозначения в первое уравнение (64), получим
ду>	.1	dv*  
дх,	а	дх
(65)
С другой, стороны, ср и v* связаны очевидным соотношением
*L_a^=0.	(66)
дх дх±	' '
Умножая уравнение (65) на dxlt а уравнение (66) на^т и складывая их
почленно, получим
dcp—	a = ndx19
т \ дх а * dxt )	1
Ударное нагружение системы с распределенной массой
535
где d(f — полный дифференциал ср. Выражение, стоящее в скобках,
do* dx1 ,
дт а
ди*
дх±
а dx
(67)
вообще говоря, не является полным дифференциалом. Однако на плоскости
независимых переменных можно найти такие линии-характеристики,
вдоль которых это выражение будет полным дифференциалом. Очевидно,
что для этого коэффициенты при -х— и при д— должны относиться между
ОТ	иХ^
собой как dt к dxt:
: a dt = dt: dxt
а	1
или
(dxj2 = (a dr)2.
Таким образом, имеются два вида характеристик: характеристики поло-
жительного направления dxt — adz и характеристики отрицательного
направления dxL = — adz.
При движении в плоскости xtz по положительной характеристике dxr =
= adz выражение (67) равно
+ а dA = ^.dt + ^dXl = dv*,
\ дт a 1 dXi J ' дт ‘ dxx 1
а при движении по отрицательной характеристике dxi =— adz
\ дт a ‘ dxx J дт	dx± 1
Таким образом, вдоль характеристики положительного направления dxt =
= adz
dv— dv* = xdxt
и вдоль характеристик отрицательного направления dx± =— adz
d<f + dv* = к dx±.
Точно так же для второго из уравнений (64) получим характеристики
dxx =dz, вдоль которых
dx — da> = — a2 (? — В1) dxt,
и характеристики dxY —— dz, вдоль которых
dx + da> = — a2 (ср — ft) dxx.
Таким образом, всего на плоскости xbz мы имеем четыре семейства харак-
теристик:
dx, = a dz; dcp — dv* = хdx,; )
T	L	(68)
dxx — — a dz; d<? + dv* = xdxt; J
dxY = dz; dx — d® = — a2 (cp — ft) dx±;
dxt = — dz; dx + da> = — a2 (cp — ft) dxY.
(69)
536
Расчеты на ударную нагрузку
Построим сетки характеристик на плоскости причем расстояния
между соседними характеристиками одного и того же семейства по оси
примем одинаковым для всех семейств {фиг. 326).
Для вычислений мы заменим уравнения (68) и (69) уравнениями
в конечных разностях.
Так, рассматривая точки /, 2 и 0, лежащие на пересечении соседних
характеристик dx± = adx и dxx — —adx (фиг. 326, а), можно на основании
уравнений (68) записать
<Ро — ?1 — W — V1) = Х1ОД;
Фо — Фа + v*o — v*2 = — х20Д,
(70)
где х10 и х20 — средние значения х вдоль линий 1—0 и 2—0.
Из уравнений (70) находим
Фо = 4" + 'Рг) + "Г	+ 4"	— хзо) Д;
°0 = 4" (^2 — 91) + 4"	— 4"	+ Х2о) д-
С помощью этих формул можно найти значения <р и v* в любой точке
плоскости XjT, если известны значения <р и v* для двух нижележащих
узлов характеристик. Для использования этих формул нужно знать также
средние значения х вдоль участков 1—0 и 2—0.
Рассматривая точки О', Г и 2' на характеристиках dxt = dx и dxt = — dt
(фиг. 326,6), получим для них на основании уравнений (69)
х0- — хи — (®о' — <и>г) = — а2 (ф1 -о' — ^1'0') Д;
*0’ — *2' + <»0' — °>1' = “2 (ф2'0' — ^2'0’) Д»
откуда
Х0- = 4- (*!' + х2') + 4- (“2' — <•>!')--[(фГО' — ф2'0') — (#1'0' ~ #2’0')] Д'.
1 1 .. |,72)
®0' = “2" (х2' — *1’) + ~2~	+ <®г) + -у [(фГО' + ф2'0') — (#1'0' + #2'0')] Д»
где фго', Яго' и т. д.—средние значения функций <р и х на соответствую-
щих участках.
Кроме уравнений (71) и (72), мы используем еще очевидное уравнение,
позволяющее определять •&:
dd = xdxx 4- (odr.
Местные деформации при ударе
537
Заменяя это уравнение уравнением в конечных разностях, получим,
например, для точки 0' (фиг. 326,6)
&о' =	+ (%1,0, + иго') Д	(73)
или
— (х2'о' — <*>2'0') Д*	(73а)
Естественно, что оба эти выражения должны давать одинаковые значе-
ния &ог.
Формулы (71) — (73) позволяют постепенно, точка за точкой, определить
значения ср, у*, х и со во всех точках плоскости
В качестве примера рассмотрим с помощью метода характеристик рас-
пространение ударных волн вдоль балки, к одному из сечений которой
в момент t = 0 приложена сила Р, остающаяся в дальнейшем постоянной.
Начало координат Xj = О расположим в точке, где приложена сила.
По симметрии для этой точки будем иметь = 0, а следовательно,
и (oX1==0 = 0. .
р
Поперечная сила в сечении Xi = 0 равна Q = —^-. Так как
k \ дх ) 9
™	=(-S-\=o=A-k=const-
Для упрощения выкладок мы приняли фх=о = 1, так что для определения
деформаций, возникающих при приложении силы Р, надо результаты рас-
р
чета умножить на величину -^Qpk.
Результаты расчета для балки прямоугольного сечения (k = 1,2;
а = 0,57), доведенного до т = 4, представлены на фиг. 327, а.
Расчет проводился по формулам (71), (72) и (73), причем попеременно
проводились вычисления по характеристикам dxt = +adr и по характери-
стикам dXi = ± dr.
Значения переменных в промежуточных точках определялись графическим
интерполированием.
На фиг. 327, бив приведены графики изменения величины х и (ф — Я)
по дЛине балки в моменты т = 2 и т = 4.
Поперечные силы и изгибающие моменты в сечениях балки связаны с этими
величинами формулами
Л4= -Л-Pix;
2а2
Q = _±-(?_^.
§ 5. МЕСТНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ УДАРЕ
А. Соударение массивных тел
Теория контактных деформаций при статическом сжатии тел (см. том II,
главу VI) позволяет определить связь между контактной силой Р, сближе-
нием а удаленных от мест контакта точек тел и напряжениями в окрестно-
стях площадки контакта.
Если начальное касание тел осуществляется в одной точке и если расстоя-
ние г между телами в окрестностях этой точки может быть апроксимиро-
вано уравнением второго порядка, контактная сила Р в зависимости от сбли-
жения а определяется формулой
Р = ka	(74)
538
Расчеты на ударную нагрузку

0.283
0284
0J313
0290
0351
3
\-W83
10
0227
0181
10
0139
1
0048
02'
0.312
10
0093
'0
4
0,421
0,241	0160
-0J65/\Q178 -0.199/X0J76
0.138 -0,126/
-0168
-0.134
-0.060X0.059
-0.138
>0060X0.059
/1048
-OD02K0.004
ООП
-0060X0060
0)
Фиг. 327,
(/=1.039^ /*=-1036
-0.060
\0.043 -0.006;
1031 A-1061
\Q143
0043
0022 \	/0.060X0.066'
1039^-1036
0.10V
0.034
$\М08^№
0006 X0023
086 -0.017,
0125 -0.129
227
149 -0.199'
0,932.
U'0.044
0018
-0.096
0.139
-0173
-
1062 1,670
0086 -0059 X0.121
*1038 LO31^\cO6
0.117
0.107
-0017X0106
021
0228
0.100
064
-0.137
0116 .
.	\ / \O1O2 0965 \J-0937Qf^
105825.036	1.028K-0995 4.835^0.063
044 / ^0019X0.085/ \-0096X0l27/ ^-0140
093
141
-oo6o/o,ii5 \ &42s>a№\
-0009X0016
0.142 -0.060/.
-002Г
0.044
0085 -0J44f
0013
0023 0018
0139 -0060
0.060
006
0047
0185 -®53'/ХЛ142 -O.128\X/O.124 -0.060х
0.059
(112^.-1077
1.09	-1.02
^•O8^0047~00,S *~a0^- '°’00Z-
-0059
131/ -0165
147/ -0/30
6f -0060
0.047
0 3
',128 /-0060Х0059
xJ-8i82
Q3$<0.
22=0.185
(/=1.064
V*=-1.062
085P-W7.
0.04
0.34
020f	'0/81/Ш55/
5	'/0226
''М49У-1.09
0268X0019 0.145
//(.060


/0184
0141	... ............... _
1.020 К '1.030 1018^ \-1,002 0,987
0.065 -0.135
„„„	0060
,-i.um iuio-	. .-0.970 -0.005KO008
XOO^X f \ X0D46~001/ ^°-03pgoi3/ / 4
/ -0095X0017 -dj)6o'
/^0026 /\
/0097	W2l\/-OJ756
'[-1020	1012^-1.004
0023 -0060
10
0 0,2
у-#
0.094	0047
3/^qi32^ -0,123,
0.847 -ЦОбзАоЮЗ -0028/.0048
' -°*8
2,2 2.4 2.6 2.8

X’0.143
'\tf*008
3.2 3,4 3.6 3,6 4 х.
Местные деформации при ударе
539
•где k — коэффициент, зависящий от кривизны поверхностей тел в точке
контакта и от свойств материала1.
И. Я. Штаерманом [30] получено решение контактной задачи для того
случая, когда расстояние z между телами, сведенными до соприкосновения
с удалением от точки первоначального контакта, растет пропорционально
не квадрату, а более высокой степени расстояния г до этой точки.
Если
z = Лг2\
то сила Р, соответствующая сближению тел а, вычисляется по формуле
2M-I
Р = ka. 2п ,	(75)
где
, _ 2п Е 1.3-5..-(2п—1) Г
R ~ 2п+ Г 1 — (х2 V 2-4-6-.-2П А'
В частном случае п — 1 формула (75) переходит
в обычную формулу Герца.
Фиг. 328.
Характер контакта между телами при различных значениях п предста-
влен на фиг. 328, из которой видно, что чем выше значение и, тем плотнее
начальное касание между телами.
Из приведенных формул видно, что сближение тел а, обусловленное их
местным упоугим смятием, всегда нелинейно связано с величиной контакт-
ер
ной силы Р. Зависимость Р от а является «жесткой», т. е. производная
возрастает с увеличением а (фиг. 329), причем начальное значение этой
производной равно нулю.
Только при очень плотном касании (и->оо) зависимость между Р и а
приближается к линейной.
Практически поверхности соударяющихся тел в зоне контакта имеют
обычно либо сферическую форму, либо представляют собой более или менее
хорошо пригнанные плоскости.
Первый случай соответствует зависимости контактной силы от местного
смятия по формуле (74), а второй случай соответствует весьма плотному
касанию, при котором эта зависимость может приближенно считаться
линейной
Р = kM*.	(76)
1 Значения k для различных случаев приведены в главе VI, том II. Если поверх-
ности тел вблизи точки контакта являются сферическими с радиусами кривизны и /?2, то
— 2 Е 1ZR1^
V Я1 + #2*
где Е — модуль упругости; р — коэффициент Пуассона для материала обоих тел.
540
Расчеты на ударную нагрузку
При сферической форме поверхности контакта коэффициент k в уравне-
нии (74) легко определяется по формулам Герца; при плотном касании оце-
нить коэффициент податливости kM в формуле (76) очень трудно. Как пра-
вило, этот коэффициент весьма мал по сравнению с коэффициентом стати-
ческой податливости самой упругой системы.
В качестве основной гипотезы при учете местных деформаций при ударе
принимается, что связь между контактным давлением и местным смятием
при ударе такова же, как и в статических условиях, т. е. определяется
формулами (74), (75) или (76), в зависимости от геометрии соударяющихся тел.
На основе этой гипотезы легко построить теорию соударения массивных
свободно движущихся тел, общими деформациями которых можно пренебречь
по сравнению с местными.
Рассматривая два тела пг1 и т2, движущихся до соударения со скоростями
и v2 по одной прямой, получим следующие уравнения движения их цен-
тров инерции при ударе:
d2Zi	п / \
= —-Р(а);
где гп г2 — координаты центров инерции тел; Р — контактная сила; а —
сближение тел за счет местного смятия.
Отсчитывая и г2 от положения, соответствующего начальному касанию
тел, найдем величину а:
а = zt — z2.
Деля первое из уравнений (77) на т1г второе — на /и, и вычитая их по-
членно, получим
-g- =--Lp(a),	(78)
dt2	т ' '	' '
где обозначено
т = -^.
/щ + тг
Первый интеграл уравнения (78) легко получить:
4®!=-Я₽(«)^+с.
о
Постоянную интегрирования С найдем из условия, что при t = 0 а = О
da	„
и равно начальной относительной скорости соударяющихся тел
Отсюда
С--1
G “ 2
и
о
Местные деформации при ударе
541
Уравнение (79) позволяет легко определить максимальное сближение тел,
обусловленное местной деформацией. Так как в момент наибольшего сжатия
4а Л
-jt = 0, то ашах определяется из уравнения
“max
P(a)da = y2.
О
Если справедливо уравнение (74)
з
Р (a) = jfea 2 ,
то
а
Jp (a) da = А £а4	(80)
О
и максимальное сжатие
2
5 mv%l 5
«тах = |т‘Пг] *	<81>
Соответствующая контактная сила
з
ртах =	= Да.5.	(82)
max max 4 k	. 4 '
Определим время удара. Из уравнения (79)
j	a
Разделяя переменные и интегрируя, найдем продолжительность удара Т:
Подставляя сюда значение (80) и переходя к переменной интегрирования
a max
найдем
dC
определенный интеграл равен 1,4716 и, таким образом,
Т = 2,9432-^.
»0
542
Расчеты на ударную нагрузку
Подставляя сюда значение атах по формуле (81), находим
2________________________________________
Т = 2,9432 (J) 5 vo 5 •	(83)
Таким образом, время соударения изменяется обратно пропорционально
скорости соударения в степени 0,2.
Н. А. Кильчевский [12] получил аналогичные формулы для максималь-
ного сжатия и времени соударения при более плотном контакте тел в соот-
ветствии с теорией И. Я- Штаермана.
Б. Расчет удара по упругой системе с учетом местных деформаций
Местные деформации, возникающие в окрестностях зоны контакта соуда-
ряющихся тел, оказывают существенное влияние на протекание процесса
удара. Они приводят к смягчению удара, увеличению его продолжительно-
сти и к снижению максимальных контактных сил.
Явления, наблюдающиеся при изгибающем ударе (см. § 1), вообще могут
быть объяснены только если принять во внимание местные деформации.
В некоторых простейших случаях для учета местных деформаций могут
быть использованы непосредственно .результаты, полученные в предыдущем
разделе. Это можно сделать в том случае, если время соударения Т мало
по сравнению с периодом собственных колебаний системы. Так, например,
рассматривая удар груза пц по грузу т2 (фиг. 238), удерживаемому пружи-
ной с коэффициентом податливости 8, пренебрегая воздействием пружины
за время контакта, найдем величину максимального сближения (81),
максимального контактного усилия (82) и продолжительность контакта (83).
При выводе этих формул предполагалось, что груз т2 является свободным
и что движение его описывается вторым из уравнений (77). Из этого уравне-
ния следует, что к концу соударения скорость груза составит
т
(»,_,=<84>
о
а смещение
т
(z2)t=T=-^\p{t)(T-t)dt.	.	(85)
О
В действительности уравнение движения груза, поддерживаемого пружи-
ной, имеет вид
|	1	Т-) / л
а выражения для перемещения и скорости в момент t = Т таковы:
т
(г2)^т = ^P(t) sin P(T-t) dt;
о
т
о
где р = 1^='—частота собственных колебаний груза т2 на пружине.
V т2Ъ
Сравнивая эти формулы с формулами (84) и (85), видим, что разница между
ними тем меньше, чем меньше величина рТ.
Местные деформации при ударе
543
Если рТ < ^, т. е. если период собственных колебаний п0 крайней
мере в 20 раз больше, чем время контакта, то ошибка в скорости не превышает
5%, а в перемещении 2%.
Таким образом, при выполнении этого условия вполне допустимо рас-
сматривать груз m-i в процессе соударения как свободный.
В момент окончания контакта грузы и т2 имеют скорости, опреде-
ляемые классической теорией удара:
~ .. .
+т2	°’
°2=^+kt’o.
Смещение обоих .грузов в этот момент £0 может быть найдено на основании
известной теоремы о движении центра инерции свободной системы:
Значения о' и ?0 являются начальными условиями для свободных коле-
баний груза т2, которые следуют за соударением. Если время контакта Т
весьма мало по сравнению с периодом собственных колебаний груза -у, то
можно пренебрегать смещением ?о и считать, чтов момент соударения изме-
няется лишь скорость груза, а смещение его остается неизменным. Именно так
были произведены приближенные расчеты в § 2.
Если в процессе дальнейшего движения грузов /«j и т2 наступит новое
соударение, его можно учесть таким же точно способом.
Рассмотрим пример расчета. Пусть груз массы пъ = 0,1 кгсекЧм (вес
0,98 кг), движущийся со скоростью 3 м!сек, ударяет по грузу массы т2 —
— 0,1 кгсекЧм. Торец груза т1 плоский, груза т2 — сферический с радиусом
кривизны R = 40 мм. Материал грузов — сталь. Груз т2 опирается на
пружину с коэффициентом податливости 8 = 0,025 см/кг. Собственная масса
пружины достаточно мала по сравнению с массой грузов.
Частота собственных колебаний груза т2 на пружине
_ 1 ________________1_______
Р ~	~ V 0,1-0,025-10-»
= 200 сек \
период колебаний
— = 0,0314 сек.
Р
Найдем коэффициент k в формуле (74) для контактной силы, полагая
модуль упругости материала Е — 2-10® кг!см2 и коэффициент Пуассона
= 0,3:
__з_
= 3(i	= 3(1 —0,32)'2’ Юв ~ 2>92-10® кгсм
Величина т равна
_ т-уп2 _ Q Qi- кгсек2[м _ 5. ю~4 KZcet&icM.
т1-\-т2	’
По формуле (83) находим продолжительность соударения
_1 __L
Т = 2,94	5 и° 5 = I’27, Ю”4 сек.
544
Расчеты на ударную нагрузку
Отношение времени соударения к периоду собственных колебаний соста-
вляет
рТ _ 1,27-10—____1_
2л 2 л	250 ’
так что приближенный расчет вполне оправдан.
Находим максимальное местное смятие и контактное давление по форму-
лам (81) и (82):
2
Гк то2! 5	3
4-^	= 0,013ся; Pfflas = 4n2ax = 4250 кг.
Скорости грузов после соударения
. 0
v0 = о# = 3 м/сек.
V2 =
Перемещение грузов за время соударения
=	= 4300-1’27-10_4 = °>019 см-
'Т
После первого соударения груз пг2 совершает свободные колебания, сме-
щения в которых определяются формулой
Z — So cos pt + — sin pt
(отсчет времени от момента окончания контакта).
Подставляя числа, получаем
5 = 0,019 cos pt + 1,5 sin pt.
Максимальное смещение будет равно практически величине
^ах = у= СМ-
Новое соударение произойдет тогда, когда груз т2 вернется к положению,
в котором началось его свободное движение, и снова встретится с грузом mlt
который тем временем неподвижен.
Уравнение
//
£0 = $0cosp/ +— sin pt
позволяет определить момент t' второго соударения:
trrPi'_v*_ 30°	_79
ь 2 — рЪ ~ 200-0,019 —	’
откуда
pt' —-к — 0,025 = 3,117; t' = 0,0156 сек.
Второе соударение носит точно такой же характер, как и первое, и после
него груз /п2 останавливается, а груза отскакивает со скоростью, равной
первоначальной. Ввиду весьма малой продолжительности соударений общая
картина удара получается такой же, как и в том случае, когда соударения
Местные деформации при ударе	545
рассматривались как мгновенные (см. § 2, фиг. 295). В данном случае рас-
смотрение местных деформаций позволило лишь установить величину мак-
симального контактного давления и продолжительность соударения.
.Аналогичный метод расчета может быть применен и в том случае, если
удар производится по одной из сосредоточенных масс системы с несколькими
степенями свободы.
Условием применимости упрощенного метода в этом случае является
малость времени контакта Т по сравнению с периодом наивысшего тона соб-
ственных колебаний системы. Если это условие не выполняется, то следует
при определении контактной силы учитывать одновременно как местные,
так и общие деформации. Такой же расчет необходим и для систем с распре-
деленной массой.
Принципиально проще всего выполняется такой расчет в том случае, если
контактная сила Р и местное смятие а связаны линейной зависимостью, т. е.
при очень плотном начальном контакте.
Действительно, пока ударяющий груз находится в контакте с упругой
системой, его можно считать соединенным с ней посредством пружины с подат-
ливостью = -г-.
Таким образом, благодаря местным деформациям, появляется одна лиш-
няя степень свободы, которая в расчете может быть учтена так, как указано
в § 3. Следует лишь иметь в виду, что, поскольку жесткость пружины, моде-
лирующей местные деформации, значительно больше, чем собственная жест-
кость упругой системы, периоды соударений, в течение которых ударяющий
груз движется вместе с упругой системой, будут относительно короткими.
Часто, особенно когда упругая система имеет распределенную массу,
учет дополнительной степени свободы, соответствующей местным деформа-
циям, очень затрудняет определение частот и форм собственных колебаний
упругой системы. В этих случаях проще использовать численнный метод
решения задачи, который применим и тогда, когда связь между местным смя-
тием и контактным давлением нелинейна.
Согласно этому методу уравнения, определяющие явление удара, запи-
сываются в виде
>1г—"Чб —а = °; |
Р = Р(а).	)
Первое из уравнений (86), в котором и — перемещения точек кон-
такта ударяющего груза и упругой системы, подсчитанные без учета местной
деформации, а а — их сближение, обусловленное местной деформацией,
устанавливает условия соприкосновения груза и упругой системы в про-
цессе удара. Второе уравнение (86) дает зависимость контактной силы Р от
сближения а.
Так как смещения и т\б в момент времени t зависят от значений кон-
тактной силы во все предыдущие моменты времени, то система (86) предста-
вляет собой интегральное уравнение относительно контактной силы Р (t).
Применительно к изгибающему удару груза по балке такое уравнение было
впервые составлено и решено численным методом С. П. Тимошенко [26].
Одним из наиболее быстро ведущих к цели методов численного решения
уравнений (86) является следующий.
Представим приближенно искомый закон изменения контактной силы
в виде ломаной линии с изломами, расположенными через равные проме-
жутки времени Д/ (фиг. 330), и потребуем, чтобы уравнения (86) выполнялись
в каждой точке деления (/ = 0, t = Д/, 2Д/, ЗД/. . . ).
В произвольной точке t = iAt график изменения силы характеризуется
величинами Pi9 Р' = Р*	= Рм — Р\-
35 Пономарев 508
546
Расчеты на ударную нагрузку
Установим, как при принятом характере изменения контактной силы
будут выражаться перемещения груза и упругой системы.
Уравнение движения груза массы шг
должно быть проинтегрировано с учетом начальных условий (при t = О
= 0) и ~ = vQ, где v0 — начальная скорость удара.
Скорость груза в момент t = iсоставит
ш
P^dt-
о
Учитывая закон изменения усилия Р (/) (фиг. 330), имеем
k=i—1
k=0
Интегрируя еще раз, получаем для перемещения
k—i— 1
k=Q
Теперьперейдемкопределениюперемещений точки удара упругой системы,
считая свойства последней линейными. Рассмотрим сначала нагружение
упругой системы силой, линейно возрастающей со временем (фиг. 331, а)
Р (/) =
Используя методы теории колебаний, всегда можно найти соответствующее
такой нагрузке перемещение точки приложения силы (фиг. 331, б):
71 = &Ф (/).
При законе изменения силы, представленном на фиг. 330, перемещение
системы в- момент t = iAt можно рассматривать как сумму перемещений,
вызываемых каждой из элементарных нагрузок (t — kAt), приложенных
в предшествующие моменты времени. Таким образом, получим
т|б = *2 *М> io-*) м.
л=о
Местные деформации при ударе
547
Подставляя полученные значения и в первое уравнение (86), при-
ведем его к виду
k—i—\	k~i—\
2	2	-<*(₽,)= 0,	(86a)
k=Q	k—0
где
&=z—i
pt = 2 w-k)M.
k—0
Уравнение (86a) позволяет вычислить значение изменения уклона
графика контактной силы, если значения этой величины для предшествую-
щих точек известны.
Введем обозначения для смещений
груза и балки в момент /Л/, подсчитан-
ных без учета
k^i—2
Z £==0
f^-—i .о
^=2 м>К*-*)ДА,
£=0
а также обозначим
k—i—2
Р* = р. — Д/ = 2	(j — k) М.
k—о
Тогда уравнение (86а) примет вид
< - < - <Ь_1	+ Ф (до] - «(Р* + V1 ДО = 0.
Из последней зависимости всегда можно определить С этой целью
целесообразно использовать разложение
• а (Р* + v. ДО = «(Р*) + »/-i
тогда окончательно получим
«	’le — Чб — ° (Р )
^-(^+ф(д0+д/(41\
Ьтг	\ dP ]р=р*
(87)
Эта формула неприложима только в точках, где -> °° и, в частности,
если справедлива зависимость Герца
2
для первого момента соударения.
Для этого момента следует отказаться от разложения а (Р* + д^Д/)
и брать действительную зависимость а (Р).
В момент t = &t имеем
<1 = ^0 ДО
35*
548
Расчеты на ударную нагрузку
Таким образом, приходим к уравнению, определяющему
2
Расчеты могут быть в значительной степени облегчены, если линеаризиро-
вать зависимость местной деформации от контактной силы и принять
а = 8Р,
где 8 — постоянный коэффициент,
Для реальной системы коэффициент 8 следует выбирать таким образом,
чтобы при максимальной контактной силе Ртах действительная энергия
местных деформаций и энергия, соответствующая линейной зависимости,
совпадали:
атах
р2	f
g^ax = j pda
О
3
Подставляя в это уравнение зависимость Герца Р = &а2, получим
атах	5
J Р da • у a^ax — у afflaxPmax ,
о
откуда
4 атах
5 ^тах
5k 3Р
3
max
8 =
4
2	1
Для того чтобы подсчитать 8 по этой формуле, необходимо знать макси-
, мальное усилие. Практический расчет выполняется с помощью последователь-
ных приближений.
При использовании линеаризированной зависимости Р(а) формула (87)
для определения ’ изменения уклона кривой контактного давления упро-
щается — она принимает вид
причем знаменатель ее является
Для первого момента удара
+ Ф (Д/) + 8Д/
постоянным.
соответственно получаем
v0 Д*
^ + Ф(Д;) + 8Д/
В качестве примера применения изложенного метода рассмотрим удар груза весом 1 кг,
движущегося со скоростью = 1,5 м/сек по стержню, площадь сечения которого F равна
4,44 см2, длина I = 33,3 см (фиг. 332). Конец стержня, по которому производится удар, сфери-
ческий, с радиусом R = 40 мм\ другой конец жестко заделан.
Рассмотрим сначала нагружение стержня силой Р (/) = (фиг. 333, а). Используя методы,
изложенные в § 4А, можно установить, что скорость конца стержня в этом случае изменяется
так, как показано на фиг. 333, б. При 0 < t < —
волны) скорость растет пропорционально времени:
—скорость распространения
v = Ы
EF
Местные деформации при ударе
549
2Z	2Z л
В момент t = скорость достигает значения gg & и начинает уменьшаться снова
4/
по линейному закону, обращаясь в ноль при t = —. График смещений может быть получен
интегрированием скорости (фиг. 333, в) Он состоит из отрезков квадратных парабол:
при 0 < t < —	at2}
r	a 2EF
21','М	№ Го (л а/\2|
при — < t < —	8 — ( 4----г )
r а а ’ 2EFa [	\ Z / I
Соответственно для функции Ф (Z) получаем:
Для подсчета по формуле (88) необходимо вычислить разность
(89)
2	£=/—2
O/itd	ияяЛ	Ли
£-0	А=о
k=i—2
= у &*Ф! [(«- k) Af],
А—о
где обозначено
/з
Ф-"> = Ф<« + -Й7-
Для рассматриваемого случая коэффи-
циент k в формуле (74) равен
9	_
‘ = 3<Г=Й£^-
_ 3
=3 (Tj о 32) 2- ю« к 4 =2,92 • 10» кгсм 2 .
Фиг. 332.
Оценивая максимальную контактную силу величиной Ртах = 1500 кг, находим
2
“тал »	=6,4-10-» СМ
и величину эквивалентной линейной податливости
4 л
= ~е~ п~тах = 3,4- Ю~6 см/кг.
а *тах
550
Расчеты на ударную нагрузку
Подсчитываем время пробега волны по стержню:
I 33,3 д 1 л в
т = — =	= 66,6- IO-6 сек.,
а 5-105
где
а
2-106.981 к 1ПП .
7<8> 10-3 =5; 105
В качестве интервала kt при численном решении задачи принимаем
AZ = у t = 33,3- 10-е сек.
Подсчитываем
Z2
33,32
Таблица 56
Значения функции Фх (/)
±1	Фх (О го1» в см-сек-кг^1	'=4	Ф! (/) 10« в см-сек-кг~1
1	37,3	6	2183,2
2	173,6	7	3045,4
3	445,0	8	4099,2
4	888,0	9	5443,3
5	1476,1	10	7176,8
1 \1 2
= 2-2-10в-4,44-5-10» к"2 ) = 31,3’10 ** смсек1кг"’
= (33,3)3-10^-981 = 1о_и
6тг	6-1	'
Знаменатель формулы (88) получает значение
X =	-|- ф (Д/) + 8AZ = 6,05.10-12 + 31,3-10~12 4-
+ 3,4.10-6-33,3-10—6 = 151 • ю-12 смсек/кг.
t3
Вычислим также значения функции Ф1 (/) = Ф (/)	— для значений времени t=btt
vlTlg
2М, . .. , причем Ф (0 определяется формулами (89). Значения Ф1 (/) сведены в табл. 56.
Все расчеты проводятся в табл. 57 и 58.
В первой из этих таблиц вычисляются значения
i-\	«—1
$k> Pi = A* 2 Табл. 58 слу-
£=0	k=0
i—2
жит для подсчета величины 2	[(/-ыщ.
k=0
Полученный в результате расчета график
изменения контактной силы представлен на
фиг. 334 сплошной линией. Штриховой линией
на том же графике показано изменение контакт-
ных сил, вычисленное без учета местных дефор-
маций, а пунктиром с точкой — изменение кон-
тактных сил, полученное с учетом нелиней-
ной зависимости местных деформаций от силых.
Сопоставление кривых показывает, что линеаризация контактных деформаций вполне
допустима, так как мало влияет на расчетное значение контактной силы. Вместе с тем расчет
вообще без учета контактных деформаций приводит более чем к двухкратному преувеличению
максимальной силы.
Аналогичным методом может быть рассчитан процесс удара и в других случаях. Изменение
типа упругой системы, по которой осуществляется удар, приводит лишь к изменению функции
ф(0.
Так, например, рассматривая удар по средней точке двухопорной балки постоянного
сечения, найдем для перемещения этой точки под действием силы Р = $t выражение 2
2 VI 1
п = a —t 2j ~—sin р^'
4 л=!,3, 5,... Рп
где ql — масса балки;
Рп —	— частота л-й формы собственных колебаний.
1 См. «Основы современных методов расчета на прочность в машиностроении», Машгиз,
1952, где рассматриваемая задача решалась другим методом. Рекомендуемый здесь способ
расчета является во много раз менее трудоемким.
2 Без учета сдвигов и инерции поворота.
Местные деформации при ударе
551
Вычисление контактной силы
Таблица 57
4 II	со le 3 « о	01-^ я 0=? [/V (?-/)] '<Л S = ‘° z-г	40 *0? 1 « С5 1 Ч 2 •1 5 й PQ	СО О 7 м	Р. в кг-сек 1-106	Р^ в кг-33,3	Р* в кг-33,3	Р*Ь в см-10 3	Р} в кг
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	33,1	0	0	0	0	0
1	5	0	5	—21,8	33,1	33,1	0	0	1100
2	10	5,75	—3,29	—15,2	11,3	44,4	66,2	7,54	1480
3	15	10,95	—2,29	—8,0	—3,9	40,5	55,7	6,34	1350
4	20	17,04	—1,20	11,8	— 11,9	28,6	36,6	4,16	950
5	25	21,32	1,78	н,з	—0,1	28,5	16,7	1,90	950
6	30	25,06	1,71	— 10,9	11,2	39,7	28,4	3,23	1320
7	35	30,87	— 1,65	—9,5	0,3	40,0	50,9	5,78	1330
8	40	36,87	— 1,43	—36,4	—9,2	30,8	40,3	4,58	1020
9	45	48,01	—5,49	—	—45,6	—14,8	21,6	2,48	—490
k=i—2
Вычисление величины M>i [(i-k) AZ]
k—Q
Таблица 58
k	9ft.10-6 в кг-сек-1	&&Ф1 [О — k) д/] см								
			Z = 3	i = 4	i = 5	Z=6	Z = 7	Z = 8	i = 9	/ = 10
0 1 2 3 4 5 6 7	33,1 —21,8 — 15,2 —8,0 11,8 11,3 — 10,9 —9,5	5 75	14,73 —3,78	29,39 —9,71 —2,64	48,83 —19,36 —6,76 —1,39	72,26 —32,18 — 13,50 —3,56 4-2,04	100,80 —47,60 —22,44 —7,10 45,25 1,96	135,68 —66,39 —33,19 — 11,82 +9,44 5,04 —1,89	180,17 —89,36 —46,29 — 17,46 + 17,42 10,03 —4,85 —1,65	237,55 —118,66 —62,31 —24,36 +25,76 16,68 —9,67 —4,23
		5,75								
			10,95							
				17,04						
					21,32					
						25,06				
							30,87			
								36,87		
									48,01	
Следовательно, в этом случае
’<4
V -^~(Pnf — sinp„Z).
n=l,3,5,...
На фиг. 335, а приведены результаты расчета для случая удара стального шарика диаме-
тром 2 см по балке квадратного сечения IX 1 см, длиной 15,35 см. Скорость удара 1 см!сек.
Пунктиром дана кривая, полученная для этого же случая С. П. Тимошенко при нелиней-
ной зависимости местных деформаций от контактной силы.
На фиг. 335, б приведены аналогичные кривые, полученные для удара шариком диаметром
4 см по балке того же сечения, но длиной 30,7 см. В этом случае удар распадается на три отдель-
ных периода контакта.
Сопоставление кривых показывает, что и при изгибающем ударе линеаризация местных
деформаций вполне допустима.
552
Расчеты, на ударную нагрузку
Пластические деформации при ударе	553
После того как контактная сила определена, могут быть вычислены также
внутренние силовые факторы в любом сечении стержня. При продольном
ударе для этого можно использовать метод характеристик. Для вычисления
изгибающих моментов при поперечном ударе следует предварительно опре-
делить момент Mi = Я4Г(/), возникающий в опасном сечении при воздей-
ствии силы Р (/) = -&/, а затем, используя метод наложения, подсчитать
и величину момента, обусловленного контактной силой:
—1
• м = 2	10’—k) д/].
£=0
§ 6. ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ УДАРЕ
А. Местные пластические деформации
При достаточно большой скорости удара в соударяющихся телах возни-
кают пластические деформации.
Эти деформации могут иметь место либо только в окрестностях площадки
контакта тел (местные пластические деформации), либо и на значительном
расстоянии от нее (общие пластические деформации).
Для того чтобы приблизительно учесть местные пластические деформации
в расчете, необходимо прежде всего установить, как связано сближение тел
с контактной силой при наличии пластических деформаций.
В полном объеме задача пластичности, аналогичная задаче Герца, не
решена. Можно лишь указать решение А. Ю. Ишлинского [10], относящееся
к вдавливанию жесткого сферического штампа в совершенно пластичное
(не обладающее упрочнением) тело. А. Ю. Ишлинский установил наличие
линейной зависимости между контактной силой и глубиной внедрения штампа.
Эксперименты по динамическому испытанию материалов на твердость (по
внедрению шарика), приводимые Н. Н. Давиденковым [6], также свидетель-
ствуют о наличии для стали линейной зависимости между глубиной внедре-
ния и величиной контактной силы.
К аналогичному выводу пришел и Л. И. Маламент [16], изучавший сжа-
тие стальных шаров при наличии пластических деформаций.
Таким образом, для пластической составляющей аг величины сближения
соударяющихся тел можно принять выражение
«2 = Х(Р-РЛ	(90)
где Р — контактная сила;
Ps — значение этой силы, при котором возникают пластические дефор-
мации;
X — постоянный коэффициент.
При сжатии шара с телом, ограниченным плосксстью, причем сам шар
пластически не деформируется, коэффициент х равен
_ 1
У- ~ 2v.RH ’
где R — радиус шара;
Н — величина, характеризующая пластические свойства металла; кото-
рую приближенно можно считать равной твердости по Бринелю HR
в кг/мм2-.
Таким образом, при возрастании контактной силы (активная деформация)
выражение для сближения тел а может быть представлено в форме:
' при Р < Ps сближение, обусловленное упругими деформациями, равно
2
а=а1 = (4)3;	(91>
554
Расчеты на ударную нагрузку
при Р > Ps
а =	+ а2,	(92)
где ai определяется формулой (91), а а2 — сближение, обусловленное пла-
стическими деформациями, может быть представлено в виде формулы (90).
Графически зависимость (92) представлена на фиг. 336, на которой вправо
от оси ординат отложена величина ai, а влево а2.
Суммарная величина деформации при любом значении силы Р опреде-
ляется суммированием соответствующих абсцисс (отрезок Л В на фиг. 336).
Если, достигнув некоторого максимального значения Р — Ртау, контакт-
ная сила начнет уменьшаться, то в процессе разгрузки величина сближения,
обусловленного пластической деформацией, останется неизменной. При раз-
грузке полная величина сближения выражается равен-
ством
Л = “1 + а2таХ-
Так, например, если сила, достигнув значения,
соответствующего точке С на фиг. 336, уменьшается
затем до значения, соответствующего точке D, то
величина сближения изменяется от атах = АВ до
а = EN.
Принимая указанную выше зависимость между
контактной силой и сближением, можно без дальней-
ших затруднений решить задачу удара при наличии
пластических деформаций.
Здесь можно полностью применить численный метод, изложенный в § 5,
принимая зависимость Р (а) различной при нагрузке и разгрузке в соответ-
ствии с фиг. 336.
Если в процессе удара будут иметь место повторные соударения, то зависи-
мость Р (а) при них будет, вообще говоря, отличаться от этой зависимости
при первом соударении. Можно предположить, что вследствие упрочнения
при повторных нагружениях пластические деформации не будут возникать
вовсе, если контактная сила не превысит величину Ршах, достигнутую при
первом соударении1.
Таким образом, местные пластические деформации могут быть учтены
в расчете на удар так же, как и местные упругие деформации, если связь
между контактной силой и сближением тел в пластической области установ-
лена теоретически или экспериментально.
Фиг. 336.
Б. Общие пластические деформации
*
Учет общих пластических деформаций при продольном ударе предста-
вляет значительно большую сложность, чем учет местных пластических дефор-
маций, так как требует разработки специального математического аппарата.
Ряд задач продольного удара с учетом пластических деформаций успешно
решен советскими учеными.
Рассмотрим продольные колебания стержня, материал которого не сле-
дует закону Гука.
Предположим, что диаграмма растяжения (сжатия) материала имеет вид,
представленный на фиг. 337.
1 Эта гипотеза нуждается в экспериментальном подтверждении, так как при нагружениях,
быстро следующих одно за другим, упрочнение может и не иметь места.
Пластические деформации при ударе
555
Принимая гипотезу плоских сечений и считая напряжение а равномерно
распределенным по площади F сечения стержня, можно записать уравнение
движения элемента dx в виде
„ Л dv с д<з ,
dx dt ~ р Их dx
или
до ____ 1 до
dt ~~ р dt 9
(93)
где v — скорость движения элемента;
Р — плотность материала.
С другой стороны, так как деформация е и скорость v выражаются через
перемещение £ по формулам
• е=#1 0 =
дх9 dt9
между ними имеется очевидное соотношение:
де __ до
dt дх '
Фиг. 337.
(94)
Заметим, что, поскольку деформация однозначно зависит от напряжения
s — е (а), то
де   до de
dt	dt do *
Тогда уравнение (94) может быть записано в виде
du de do714	/псч
= <95>
Уравнения (93) и (95) определяют движение частиц стержня при произ-
вольной зависимости между напряжениями и деформациями е (а).
Перепишем уравнение (95) в виде
где
“=“М=-/П-	(96)
Для совместного решения уравнений (93) и (95а) мы применим метод харак-
теристик, совершенно аналогичный методу, изложенному в § 4.
Умножим уравнение (93) на d/, а уравнение (95а) —на dx и сложим их.
почленно; тогда
до 1, .	до	*	1 / do <. ,	до	dx\
-д- dt +	dx	= — \-^-dt 4-	• -»)	.	(97)
dt *	дх	р \ dx ‘	dt	а2)	4 7
Левая часть этого выражения является полным дифференциалом от у,
правая же часть не является, вообще говоря, полным дифференциалом от а.
Однако в плоскости xt можно найти такие линии-характеристики, что
при изменении х и t вдоль этих линий правая часть уравнения (97) также
будет представлять собой полный дифференциал.
556
Расчеты на ударную нагрузку
Для этого, очевидно, достаточно, чтобы коэффициенты при и отно-
сились между собой, как dx и dt, т. е. чтобы
dx
dt _______
dx dt
a2
Это условие выполняется при dx = + adt. Подставляя эти соотношения
в уравнение (97), найдем:
при dx = adt
и при dx = — adt
dv = — da
pa
(98)
dv = —&d°-
Уравнения (98) вполне соответствуют уравнениям (30а) и переходят в них
для материала, следующего закону Гука, для которого
о==£е и а= )/1• g = ]/= const
Основное отличие уравнений (98) от уравнений (30а) состоит в том, что
величина а является переменной, и, следовательно, линии-характеристики
в координатных системах xt и »е, определяемые уравнениями (98), вообще
говоря, непрямолинейны.
Поскольку величина а зависит только от напряжения а, дифференциаль-
ные уравнения характеристик в плоскости va можно проинтегрировать;
тогда:
при dx = adt
v — X (a) = const	(99)
и при dx = — adt
V + X (a) = const,	(100)
где
<101)
0	0
Уравнения характеристик в плоскости xt, вообще говоря, не интегри-
руются; однако характеристики всегда можно построить, пользуясь числен-
ным методом.
Волна нагрузки. Рассмотрим стержень, к концу которого х ~ 0, начиная
с момента t = 0, прикладывается монотонно возрастающая нагрузка Р (t).
Ограничимся рассмотрением периода времени, в течение которого отра-
жение волн от второго конца стержня еще не имеет места.
Изобразим координатную систему xt (фиг. 338). Очевидно, что в плоскости
xt будет область, соответствующая нулевым скоростям и деформациям, во
всяком случае скорости и деформации будут отсутствовать при t < 0 (ниже
оси х).
Очевидно также, что через любую точку плоскости xt можно провести
характеристику отрицательного напряжения (дифференциальное уравнение
которой dx = — adt), которая пройдет через область нулевых скоростей
и деформаций.
Пластические деформации при ударе
557
Вдоль этой характеристики скорости и деформации связаны соотношением
(100), а так как в области нулевых скоростей и деформаций v = 0 и а = 0,
то константа в правой части уравнения (100) равна нулю.
Следовательно, при распространении прямой волны нагрузки скорости
и деформации в любом сечении стержня связаны равенством
v = — Х(а).	(102)
Формула (102) дает возможность изобразить волну нагрузки в плоско-
сти va (фиг. 339).
Подставляя выражение (102) в уравнение (99) характеристик положитель-
ного направления, найдем, что вдоль этих характеристик v = const и X (а) =
= const.
, Следовательно, каждая характеристика положительного направления
соответствует определенному значению напряжения а, а значит, и постоян-
ному значению а (а). В плоскости xt характеристики положительного напра-
вления являются прямолинейными с уравнением
х— a(a)t — const.
Указанные закономерности позволяют без затруднений определить
скорости и напряжения в произвольном сечении стержня в любой момент
времени.
Пусть на конце стержня х = 0 задана нагрузка или, что то же, напряже-
ние а0 (0- Изобразим заданную зависимость слева от диаграммы xt (фиг. 338).
Тогда, беря произвольную точку L (х = 0, t = tL) и зная соответствующее
этой точке напряжение aL, можно провести через эту точку характеристику
LM положительного направления. Уравнение этой характеристики
X = {t — tL)a(aL),
где
Любой точке этой характеристики, например точке М, соответствуют
такое же напряжение и скорость движения, как и точке L.
Таким образом, величина а (а) представляет собой скорость распростра-
нения деформаций вдоль стержня. В то время как в упругой области ско-
рость распространения-деформаций постоянна и равна
ао = ]/ 7 >
558
Расчеты на ударную нагрузку
в пластической области она зависит от величины напряжения. Напряжениям,
меньшим предела пропорциональности, соответствует скорость распростра-
нения а = aQ; большим напряжениям соответствуют скорости
зависящие от характеристики материала и величины напряжения. Если
характеристика материала является мягкой (фиг. 337), т. е. производная ~
уменьшается с увеличением деформации, то большие деформации распростра-
d^V
de
няются медленнее, чем
малые, и характеристики
на фиг. 338 не пересе-
каются.
В противном случае бу-
дет иметь место разруше-
ние волн, что значительно
осложнит расчет. По-
скольку все металлы при
Фиг. 340.
малых пластических де-
формациях имеют мягкую
характеристику, случай
жесткой характеристики
здесь не рассматривается.
Зависимость (102) между скоростью и напряжением на волне нагрузки
аналогична зависимости (28) для упругого удара.
Исходя из формулы (102), можно найти величину напряжения а0, возни-
кающего на конце стержня в первый момент соударения при ударе жестким
грузом, движущимся со скоростью v0. В этом случае
(103}
Уравнение (ЮЗ) может быть решено относительно а0, если зависимость
е (а) задана.
Рассмотрим частный случай материала с линейным упрочнением
(фиг. 340, а).
В этом случае деформациям, меньшим условного предела текучести asr
соответствует скорость распространения
О es
а деформациям, большим этого предела, — скорость
где D — модуль упрочнения.
Характеристика фиг. 340, а является предельным случаем характеристики
с криволинейным участком (фиг. 340, б), когда длина этого участка стремится
к нулю.
Так как на криволинейном участке характеристики производная изме-
няется от величины Е до величины D, то этому участку соответствуют ско-
рости распространения, лежащие между а± и aQ. t
Пластические деформации при ударе
559
Очевидно, что при стягивании криволинейного участка в точку все ско-
рости от ai до а0 будут соответствовать распространению деформации, рав-
ной е5.
Пусть к концу стержня, материал которого обладает линейным упрочне-
нием, прикладывается нагрузка, возрастающая со временем (фиг. 341, а).
В построенной на фиг. 341, б диаграмме xt проведем характеристики, соот-
ветствующие распространению упругих деформаций х —aQt = const, а начи-
ная с точки О, когда напряжение на конце стержня достигает предела теку-
чести, — характеристики
х — ait — const,
Фиг. 341.
соответствующие распростране-
нию пластических деформаций:
Рассмотрим теперь, как из-
меняются напряжения в про-
извольном сечении А стержня.
Возрастание напряжений
в этом сечении начинается в
точке Л1, когда до него дохо-
Фиг. 342.
дит волна упругой деформации. В точке Л2 величина напряжения
достигает предела текучести. Отрезку Л2Л3 соответствуют постоянные
напряжения, равные а5, а начиная с точки Л3, когда до сечения доходит
волна пластических деформаций, снова начинается рост напряжений
свыше предела текучести. Напряжение а4, соответствующее произвольной
точке Л4, определяется с помощью характеристики Л4О4.
График изменения напряжений в сечении Л представлен на фиг. 342.
Считая упрочнение линейным, легко по формуле (103) найти связь между
скоростью удара vQ и возникающим мгновенно напряжением а0, а именно:
если vQ < vs, где vs = ~ а0 — скорость, соответствующая возникновению
пластических деформаций, то
или
если же v0 > vs, то
gS | go gs
откуда
Vq — Vs
ao =	+ D
(Ю4)
Формула (104) позволяет определить величину напряжения, возникаю-
щего на конце стержня, если ему при ударе мгновенно сообщается скорость v0.
560
Расчеты на ударную нагрузку
Волна разгрузки. Рассмотрим распространение волн деформации в том
случае, когда приложенная к концу стержня нагрузка, достигнув своей мак-
симальной величины, начинает падать.
Очевидно, что вся плоскость xt разобьется в этом случае на две области—
область нагрузки, в которой напряжения в каждом сечении со временем воз-
растают, и область разгрузки, в которой напряжения в сечениях со временем
уменьшаются.
Фиг 343.
и, таким образом,
Граница между этими двумя областями называется волной разгрузки.
Законы распространения деформаций в области нагрузки рассмотрены выше.
Теперь изучим распространение волн в области разгрузки.
Предположим, что в соответствии с законом раз-
грузки напряжения в области разгрузки связаны
с деформациями уравнением (фиг. 343)
а = а* — Ее* Еь,
где а* и е* — максимальные значения напряжения
и деформации, достигнутые в данном сечении в про-
цессе нагружения.
Очевидно, что величина а* — Ее* зависит только от
координаты х рассматриваемого сечения
а* — Ее* = f (х),
° =/(*) + £в-
(105)
Выражение (105) должно теперь заменить зависимость а (е), использо-
ванную при выводе уравнений (93) и (95а) движения стержня в области
нагрузки.
Повторяя этот вывод для области разгрузки, получим уравнения
dv 		£	ds
dt	P	dx
dv	1	da
dx	E	dt
(106)
Уравнения характеристик системы (106) таковы:
при dx = aodt
dv = -Г da
Р«о
и при dx = — aodt
dv =-----—da,
₽a0
где через а0 по-прежнему обозначена скорость распространения упругих волн
а0 = ]/у- •
Поскольку а0 является постоянной величиной, уравнения характеристик
в области разгрузки легко интегрируются, а именно:
при х — aot = const
v----— о = const	(107
Р«о	v
и при х + aot = const
v + а = const.	(107а)
Пластические деформации при ударе
561
Таким образом, мы установили, что в области нагрузки действительны
уравнения (93), (95а) с характеристиками (99), (100), а в области разгрузки —
уравнения (106) с характеристиками (107) и (107а).
Задача теперь состоит в том, чтобы найти решение этих уравнений в каж-
дой из областей так, чтобы на границе областей — волне разгрузки эти
решения давали общие значения о и v х.
Основная трудность в решении этой задачи связана с тем, что положение
волны разгрузки в плоскости xt, вообще говоря, заранее неизвестно.
Вместе с тем, поскольку волна разгрузки ограничивает область нагрузки,
то напряжения и деформации на ней связаны уравнением (102) и, следова-
тельно, изображение волны разгрузки в плоскости ш известно (см. фиг. 339).
Фиг. 344.
Рассмотрим поведение волны разгрузки около ее начала (фиг. 344).
Очевидно, что волна нагрузки начинается в точке О, соответствующей
максимальному значению нагрузки afflax, приложенной к концу стержня.
Предположим, что далее волна разгрузки проходит через бесконечно
близкую к точке О точку М с координатами х* = dx*, /* = t0 + d/*, при-
чем звездочкой отмечены значения переменных, соответствующие волне
нагрузки.
Из точки М можно провести как характеристику МА, лежащую в области
нагрузки, так и характеристики положительного и отрицательного напра-
влений МВ и МС, лежащие в области разгрузки.
Значения времени, соответствующие точкам А, В и С, равны (фиг. 344)
'Л =
где tQ — значение времени для точки О;
а0 — скорость распространения упругих деформаций;
«f — скорость распространения пластических деформаций, соответствую-
щая напряжению атах.
1 Если волна разгрузки не является одновременно линией разрыва.
36 Поном rje
562
Расчеты на ударную нагрузку
Если кривая изменения нагрузки имеет в точке о0 = отах перелом, то
в окрестностях этой точки можно положить
®0 = °max +	— При t < tQ
И
ст0 = °тах +	—10) При t > /0,
где kY и k2 — значения производной соответственно ниже и выше
точки а о = атах.
Выразим значения скоростей и напряжений, соответствующих точкам
А, В, С и М, через их значения для точки О.
Для точки А имеем
° А = °max - Ъ (tQ - tA) = amas - k,	- dt*} .	(108)
Так как точка А лежит в области нагрузки, то для нее скорость связана
с напряжением уравнением (102). Следовательно,
где атах — скорость, соответствующая точке О, а = а (атах) — скорость
распространения пластической деформации при а = ашах.
Так как точка М лежит в области нагрузки на одной характеристике
положительного направления с точкой А, то ам = <зА и vM = vA.
Для точек В и С получаем:
° В = ’max + k2 (*В —	= «max + ^2	~
°C = °max + k2 (tc — t0) = °max +	(#* 4~)
VB = fmax + i(tB — t0) = Vmax +	—
VC = Vmax + j (tc — t0) = Vmax + j (dt* +	,
где обозначено j =	— ускорение конца стержня при t	tQ(выше точки0).
Напряжения и скорости вдоль характеристик М.В и МС связаны уравне-
ниями (107) и (107а):
Vc+pVc = У;и+
Подставляя сюда полученные выше значения скоростей и напряжений,
найдем после упрощений

где обозначено с —	— начальная скорость распространения волны раз-
грузки.
Пластические деформации при ударе.
563
Исключая из этих уравнений /, получим следующую формулу, определяю-
щую начальную скорость волны разгрузки:
с =
«lflo(fel — th)
a^kx — а|й2
(109)
Рассмотрим некоторые частные случаи этой формулы.
Если ki = 0, a k2 =h 0, то с = а0 и направление начального участка
волны разгрузки в плоскости xt совпадает с направлением упругих волн.
Тот же результат получается и при k2 = со. Соответствующие законы изме-
нения нагрузки, приложенной к концу стержня, представлены на фиг. 345, а.
Фиг. 345.
Наоборот, если ki 0, a kz = 0 или если = со (фиг. 345, б), то с = а2
и начальный участок волны разгрузки совпадает с направлением пласти-
ческих волн.
Если в точке а0 = кривая а0 (0 не имеет излома (Jfex = kz= 0),
то формула (109) не дает определенного значения с. В этом случае в приведен-
ном выше исследовании следует дополнительно учесть члены второго
порядка малости относительно dx*.
Таким образом, в частности, можно найти, что если вторая произвол-
d2an
мая в точке а0 = атах непрерывна, то скорость с равна
c =	+	О1»)
Итак, направление волны разгрузки около точки О всегда можно найти.
Для построения всей волны разгрузки можно применить следующий
графический прием (фиг. 346).
Определив в соответствии с заданным законом изменения нагрузки
на конце стержня (фиг. 346, а) уклон начального участка волны разгрузки,
строим в координатах xt (фиг. 346, б) этот участок и берем на нем точку М,
достаточно близкую к точке О.
Определяем напряжение, соответствующее точке М, по формуле (108).
а
Изображаем в координатах vs кривую v = — X (о) — — J
о
(фиг. 346, в). Волна разгрузки выразится в этих координатах отрезком кри-
вой, соответствующим наличию пластических деформаций (жирная часть
кривой на фиг. 346, в).
36*
564
Расчеты на ударную нагрузку
Переносим на диаграмму va точки О и М. Проводим характеристики М — 1
на плоскостях xt и va. Положение точки 1 на диаграмме va определяется
по величине напряжения ах, взятой с диаграммы xt.
Проводим характеристики 1—2. Напряжение а 2 в точке 2 находим на диа-
грамме va по пересечению характеристики 1—2 с изображением волны раз-
грузки.
Переносим величину а2 на кривую а0 (0 и проводим характеристику
х — а(о2) t = const в области нагрузки. На пересечении этой характеристики
с характеристикой 1—2, проведенной в области разгрузки, лежит точка 2,
принадлежащая волне разгрузки. Построение других точек волны разгрузки
производится точно так же (на фиг. 346 показано построение точки 4).
Рассмотрим некоторые примеры применения изложенной теории.
Пример I. Стержень большой длины («полубесконечный») нагружается на конце давле-
нием, изменяющимся по параболическому закону
где os — предел текучести материала; Т — время воздействия нагрузки.
Графически зависимость о0 (t) изображена на фиг. 347, а. Максимальное давление, дей-
ствующее в момент t =	, вдвое превышает предел текучести материала.
Предположим, что материал стержня обладает линейным упрочнением, причем модуль
упрочнения D в 16 раз меньше модуля упругости Е.
Отношение скорости а*. распространения пластических деформаций к скорости упругих
волн aQ равно
«х__ тЛо = JL
а0 "" V Е 4 ’
Диаграмму xt (фиг. 347, 6) строим в безразмерных координатах, откладывая по вертикали
.	t	х		'
отношение , а по горизонтали —.
На плоскости оа (фиг. 347, в) строим изображение волны нагрузки:
Г da
J ?а(а)'
о
Пластические деформации при ударе
565
На участке о < os
С/ - — 1
Оо₽
а на участке о > os
v = gs о - gs
а0Р flip
На фиг. 347, в по горизонтали отложено отношение , где vs~ . График по-
строен для отрицательных значений о, соответствующих сжатию.
Фиг. 347.
Направление-волны разгрузки в плоскости xt находим по формуле (ПО)
с = а0
= а0 [ /42 + 3 — 4] = О,359ао = 1,44^.
Проводим из точки О участок ОМ волны разгрузки с уклоном — с. Построив харак-
теристику МА в области нагрузки, находим величину напряжения для точки М °л)«
Это напряжение практически не отличается от напряжения отах. Следовательно, в плоскости vg
точка М совпадает с начальной точкой волны разгрузки О.
В плоскости xt проводим характеристику М — 1 и находим напряжение для точки 1.
Переносим эту характеристику в плоскость ио. В этой же плоскости проводим характери-
стику 1—2 и определяем напряжение для точки 2 (о2 = l,96os). Отложив значение о2 на гра-
фике о0 (0 (фиг. 347, а), отмечдем точку В, для которой о = о2.
Точка 2 является точкой пересечения характеристики В — 2 в области нагрузки и харак-
теристики 1—2 в области разгрузки.
Вслед за точкой 2 таким же точно способом находятся точки 4 и 6 волны разгрузки.
Конечная точка В волны разгрузки определяется с помощью характеристик 8—9 и 9—В.
Эти характеристики строятся сначала в плоскости ро, а затем переносятся на плоскость xt.
Пластические деформации испытывает только часть стержня, лежащая левее точки В,
напряжения в сечениях стержня правее точки В не превышают предела текучести.
Воспользовавшись данными фиг. 347, можно построить графики изменения напряжений
со временем для различных сечений стержня.
566
Расчеты на ударную нагрузку
Такие графики для сечений х = 0, х = 0,5aiT и х = l,5aiT приведены на фиг. 348.
Из этих графиков видно, что при наличии пластических деформаций форма волны напря-
жений меняется от сечения к сечению, причем величины максимальных напряжений умень-
шаются с удалением от нагруженного конца стержня.
Для определения остаточных деформаций нужно знать величину максимальных напря-
жений, возникавших в каждом из сечений, т. е. напряжений на волне разгрузки. График
максимальных напряжений о* (х) представлен на фиг. 349, а. Точки на этом графике соответ-
ствуют одноименным точкам на волне разгрузки.
Остаточная деформация в каждом сечении вычисляется по формуле
zocm — (а*	Е )
Эпюра изменения остаточной дефор-
мации по длине стержня представлена на
фиг. 349, б, где дано отношение
Максимальная остаточная деформа-
ция возникает у нагруженного конца
стержня. Длина пластически деформиро-
ванного участка стержня прямо пропор-
циональна времени Т приложения на-
грузки (в данной задаче эта длина равна
l,32aiT).
Примем 2. Нагрузка, приложенная к
концу полубесконечного стержня, мгно-
венно возрастает до значения omax > os.
сохраняет свою величину в течение вре-
мени Т и мгновенно падает до нуля
(фиг. 350, а). Материал стержня обладает
линейным упрочнением; скорости распро-
странения упругих и пластических волн
в нем равны соответственно а0 и ai.
Решение задачи в виде диаграммы xt и оо представлено на фиг. 350, бив.
В момент t = 0, когда давление на конце стержня достигает значения отах, из этой точки
одновременно начинают распространяться упругая и пластическая волны х— aQt и х= a^t.
Волна разгрузки выходит из точки В со скоростью с, равной скорости распространения
упругих деформаций с = а0 [так как в формуле (109) надо положить ki— 0, k2 = —оо].
В этом случае волна разгрузки остается прямолинейной на всем своем протяжении.
Заканчивается волна разгрузки в точке S, где она пересекается с линией х = ai t, соответствую-
щей распространению пластических деформаций.
Пластические деформации при ударе
567
В плоскости VG вся внутренность М треугольника ABS отображается в точку М (а =
— °тах)«
Проведем в области разгрузки W характеристику отрицательного направления, соединяю-
щую произвольную точку D участка ВС с точкой области М, лежащей на волне разгрузки.
Отображение точки D в плоскости ио лежит на характеристике отрицательного направле-
ния, проходящей через точку Л4, и одновременно на оси v (о = 0). Поэтому точка D отобра-
жается в точку N на плоскости цо.
Так как точка D — произвольная, то и весь отрезок ВС отображается в точку 2V. В эту же
точку отображается и вся внутренность треугольника BCS (потому что произвольная точка
этого треугольника лежит на пересечении характеристик, проходящих через две точки
отрезка ВС, каждая из которых отображается в точку N).
Фиг. 350.
Далее легко показать, что произвольная точка, взятая в области Р между линиями CS,
SF2 и CF3, отображается в точку пересечения характеристики положительного направления
УУРи характеристики отрицательного направления, проходящей через точку нулевых скоростей
и напряжений.
Точки плоскости xt, лежащие выше линии CF3, соответствуют нулевым скоростям
и напряжениям.	• t
Таким образом, в данном случае характеристики AFi, AS, BF3, SC и CF3 являются линиями
разрыва, на которых скорости и напряжения изменяются скачком. В областях между линиями
разрыва напряжения и скорости постоянны.
Значения этих напряжений и скоростей, которые могут быть найдены из диаграммы vg,
равны:
Область О	Напряжение сжатия 0	Скорость 0
L	Os	Os
		aop
М	q max	qs . сттпах qs aop	ajp
N	0	(°max qs) (ao Cj)
		
D	qmax qs ( a0 	 i \	(gmax °s) (ao Qi)
Г	2 Ui )	2aoa!p
После прохода волны пластически деформированным оказывается участок стержня длиной
где Т — время действия нагрузки.
Величина остаточной деформации для всех сечений этого участка одинакова и соответ-
ствует напряжению ; тах.
568
Расчеты на ударную нагрузку
Может случиться, что величина напряжения, соответствующего области Р,
_   q max gs ( go  i \
Р~ 2 Ui /
окажется больше условного предела текучести материала. Это будет иметь^месго, если
gmax > gs
ао + qi
ао — ai
В этом случае полученное решение окажется непригодным, так как в действительности
из точки S будет выходить не упругая, а пластическая волна.
Решение задачи для случая
ао Ч~ а1
а0 — ат
qs
приведено на фиг. 351. Напряжения и деформации для областей О, L, М, N, Р, Q, R опреде-
ляются соответствующими точками на диаграмме ио. Построение этих диаграмм не требует
дополнительных пояснений.
В этом случае на стержне остаются два участка, получивших пластические деформации —
на первом величина деформации соответствует напряжению отах, а на втором — напря-
ло
жению о Л = отяу —.
Р гаах Яо + ах
Изложенный общий метод позволяет определять напряжения и деформа-
ции и при других законах изменения нагрузки на конце полубесконечного
стержня.
В некоторых случаях, так же как и в примере 2, может быть получено
точное решение задачи в конечной форме. Такие решения получены, в част-
ности, для нагрузки, мгновенно возрастающей, а затем падающей по линей-
ному или параболическому закону [19].
Вследствие упрочнения предел текучести частей стержня, которые полу-
чили остаточные деформации, повышается. Поэтому при расчете напряжений,
возникающих при повторном нагружении, необходимо учитывать изменение
предела текучести материала по длине стержня.
Эта задача рассмотрена в работе [20].
Пластические деформации при ударе
569
Во всех приведенных выше примерах для простоты не учитывалось отра-
жение волн от второго конца стержня; стержень считался «полубесконечным».
В ряде случаев можно учесть отражение волн без больших затруднений.
Осложнения возникают только, если одно и то же сечение стержня в про-
цессе отражения волн неоднократно пластически деформируется. При этом
следует учитывать изменение предела текучести материала после каждой
пластической деформации.
Рассмотрим с учетом отражения	'А
волн задачу об ударе упруго-пластич- -------------------------------
ного стержня о жесткую неподвижную	'
плиту (фиг. 352).	/
Для удобства решения обратим за-	1
дачу и предположим, что по концу непо-
движного в начальный момент стержня	фиг- 352-
ударяет движущаяся с постоянной
скоростью t»o жесткая плита (фиг. 353).Тогда, рассуждая так же, как в пре-
дыдущей задаче, мы установим, что в момент t = 0 от конца стержня х = О
начинают распространяться волны упругих и пластических деформаций х =
= a^t и х = aYt, причем область L между ними отображается в плоскости va
в точку L, а область М, лежащая выше волны пластических деформаций,
отображается в точку М, соответствующую скорости v0.
Фиг. 353.
В точке F упругая волна отражается от свободного конца стержня и отра-
женная волна FS движется обратно к началу стержня. Отображение обла-
сти Р, лежащей выше характеристики Т^находимспомощьюхарактеристики
положительного направления, проходящей из L в Р (так как к области Р
принадлежат и точки, соответствующие свободному концу стержня, то эта
область должна отображаться на линию а = 0).
Отображение области N находим, проводя характеристику положитель-
ного направления MN и отрицательного направления PN.
Далее в плоскости va строятся характеристики NQ (скорость, соответ-
ствующая области Q, равна и0), NR, ОТ и RT. Для того чтобы найти отобра-
жение области U, следовало бы провести в плоскости va характеристику отри-
цательного напряжения из Т до пересечения с вертикалью v = о0- Однако
получающаяся таким образом точка соответствует напряжениям растя-
жения (а > 0). Так как напряжения растяжения на поверхности сопри-
косновения стержня с плитой возникать не могут, то в действительцости
570
Расчеты на ударную нагрузку
стержень отскочит от плиты, и конец его х = 0 следует теперь рассматривать
как свободный. Таким образом, отображение области U лежит на оси v.
В дальнейшем стержень совершает свободные колебания, характеризуемые
в плоскости уа вершинами ромба TUZW. Средняя скорость удаления стержня
от плиты характеризуется отрезком vomcK, показанным на диаграмме.
В приведенном решении мы предположили, что после встречи волны
нагрузки XS с отраженной
волной FS пластические деформации более
не возникают, т. е. что области N соответст-
вуют напряжения, меньшие предела теку-
чести.
Из диаграммы и<з для предельного слу-
чая, которая приведена на фиг. 354, следует,
что это условие выполняется, если скорость
удара меньше, чем величина
п — °s 3go + Q1
пред а0? a0 + ax
Если скорость удара vQ > vnped, то из
точки S будут распространяться не только
упругие волны, но и волна пластических
деформаций (эта волна будет двигаться только в сторону возрастания х,
так как сечения стержня, лежащие левее точки S, упрочнились при про-
ходе волны и более пластически не деформируются).
Решение задачи для случая
И
— <4,24
«1
as . За0 -|~ ai <<" у CTs &ао ~~1~
представлено на фиг. 355.
Фиг. 355.
Оценка—<4,24 определяет, что фронт волны ВС проходит выше
€*1
точки Si, а верхняя оценка для скорости обеспечивает отсутствие пласти-
ческих деформаций справа от точки Sj.
Построенное решение позволяет определить распределение остаточных
деформаций по длине стержня. Соответствующая эпюра представлена на
фиг. 356.
Упрощенные методы расчета на удар
571
Координаты границ пластически деформированных участков и величины
остаточных деформаций равны
'	v __/	2^1	.	__. 4д0а1	#
s Oo+ai ’ sl~ (ao + ai)2 ’
®i = (»o
_____Os\ go,fll .
goP / a^Q 9
_ (_________Os . Зар + gt\ ao~ ai
2	\ 0 aop «о + gi / arc^
С увеличением скорости удара число участ-
ков, получающих различные остаточные дефор-
мации, увеличивается.
Значение рассмотренных выше методов рас-
чета распространения волн пластической дефор-
мации по стержням состоит главным образом
в объяснении физической сущности процесса.
С помощью этих методов можно объяснить,
например, такие явления, как образование
£ост
нескольких шеек при ударном растяжении	Фиг. 356.
образцов, различное распределение остаточных
деформаций на стержне в зависимости от скорости и массы ударяющего
груза и т. д. Распространение волн пластической деформации должно
всегда учитываться при обработке результатов динамических испытаний
материалов.
§ 7. УПРОЩЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА НА УДАР
Точный расчет упругих систем и в особенности систем с распределенной
массой на ударную нагрузку является весьма сложным. Кроме того, часто
сами соударяющиеся детали имеют настолько сложную конфигурацию,
что схематизация их в виде бруса является чрезвычайно грубой. Поэтому
в практике часто применяют упрощенные методы расчета на ударную
нагрузку.
При точном расчете по заданным начальным условиям определяется дви-
жение упругой системы в процессе удара. В отличие от этого при упрощенном
расчете закон движения системы задается на основе тех или иных сообра-
жений, и вычисляется лишь примерная величина максимальных перемеще-
ний и напряжений.
Расчет выполняется либо путем рассмотрения движений той упрощен-
ной системы с одной степенью свободы, к которой приводится реальная
упругая система, либо путем приравнивания энергии деформации системы
кинетической энергии ударяющего груза. Собственная масса упругой системы
или не учитывается вовсе, или учитывается как некоторая эквивалентная
сосредоточенная масса, приведенная к точке удара.
Обычно принимают, что соотношения между перемещениями точек
системы при ударе таковы же, как при ее собственных колебаниях основного
тона или при деформации системы статической нагрузкой, приложенной
в точке удара х.
Естественно, что такое произвольное задание формы движения системы
после удара должно привести к ошибкам в результатах расчета. Можно
показать, в частности, что если задать вид деформации совпадающим
1 В действительности колебания, вызванные ударом, представляют собой сумму различ-
ных нормальных колебаний системы, каждое из которых происходит со своей частотой. Вслед-
ствие этого соотношения между перемещениями различных точек системы меняются в процессе
движения.
572
Расчеты на ударную нагрузку
с формой основного тона собственных колебаний, то результат приближенного
решения оказывается тождественным с первым членом тригонометрического
ряда,’к которому приводит точное решение. Таким образом, при прйближен-
ном решении оказываются неучтенными высшие гармонические колебания
системы.
Поскольку ₽ большинстве случаев при колебаниях, вызванных ударом,
амплитуды обертонов значительно меньше, чем амплитуда основного колеба-
ния, точность приближенного метода при вычислении динамических пере-
мещений оказывается достаточной.
Значительно большие ошибки возникают при приближенном расчете
динамических усилий и напряжений.
<5
Фиг. 357.
Фиг. 358.
Эти ошибки связаны с тем, что напряжения, соответствующие высшим
формам колебаний, которые не учитываются в расчете, не так малы, как
перемещения. Так, например, если при изгибных колебаниях балки ампли-
туда колебания с двумя полуволнами (фиг. 357, а) в 10 раз меньше ампли-
туды основного колебания (фиг. 357, б), то кривизна, а следовательно,
и напряжение в первом случае всего в 2,5 раза меньше, чем во втором.
Следовательно, относительная ошибка в величине напряжения за счет
пренебрежения колебанием с двумя полуволнами будет вчетверо больше,
чем ошибка в величине перемещения.
Таким образом, приближенный расчет дает лишь ориентировочные зна-
чения динамических напряжений и усилий и относительно точные значения
динамических перемещений.
Типовой упрощенный расчет рассмотрим на примере удара о балку жест-
кого груза массы ш, движущегося по горизонтали со скоростью v0 (фиг. 358).
Задаем вид упругой линии балки при ударе, т. е. функцию w (х), в выражении
Ч (х, 0 = w (х) <р (t),	(112)
определяющем прогибы ц (х, t) в произвольном сечении балки в любой момент
времени t.
В частности, для точки удара имеем
1)о =	(0>
где w0 — значение функции w (х) в точке удара.
Предполагаем, что, начиная с момента t — 0, когда груз соприкасается
с балкой, он движется совместно с соответствующим ее сечением (удар неупру-
гий). Таким образом, поскольку смещения всех сечений балки жестко свя-
заны между собой уравнением (112), мы предполагаем, что в момент соуда-
рения все сечения балки мгновенно получают конечные скорости
7)0(х) = ш(х)?(0),	(113)
соответственно этому и скорость груза мгновенно изменится и вместо
станет равной скорости той точки балки, по которой произведен удар:
(0)-	(1Н)
Упрощенные методы расчета на удар
573
В связи с мгновенным изменением скоростей точек системы часть кине-
тической энергии будет потеряна \ На основании теоремы Карно 1 2 * величина
потерянной энергии равна той энергии, которой обладала бы система, если бы
каждая точка ее имела скорость, равную изменению ее скорости при мгно-
венном соударении (кратко эта теорема формулируется так: потеря кинети-
ческой энергии равна «кинетической энергии потерянных скоростей»).
Так как в момент соударения скорость груза пг изменяется на вели-
чину о0 — а скорость произвольного сечения балки — на величину (*),
то потеря энергии ДУ равна
ду =	+ j' (х)]Мх,
о
где q — масса единицы длины балки.
С другой стороны, потерю энергии можно определить непосредственно
как разность между энергиями, которыми обладает система до и после соуда-
рения:
2	Г 2	/	1
mvZ mv*	{ а
AV = -^-^ _1 + |-|_ho(x)]8dx .
L b
Приравнивая полученные выражения ДУ, находим
i
mvi (Ц) — у1) — | <7 [ilo(x)Ja dx = °-
Подставляя сюда значенйя т|о (х) (113) и (114), найдем значение
 /п\	Ю(1
? (0) = ------Г-2--------
тюо 4- f <7®2 (•*) dx
и соответствующую скорость груза после соприкосновения с балкой
mvQ
=	15----------- .
m + ( q	dx
J L “"о J
0
Такой же скоростью обладал бы груз пг после неупругого соударения
с грузом массы /илр, где
тпр = ^ Я	(115)
о
Величина тпр называется приведенной массой балки; она составляет
некоторую долю действительной массы тб = J qdx балки
^Пр ~ Кр^б’
где knp = — I q I -£-!1 dx —коэффициент приведения,
о
1 «Потеря» энергии является следствием сделанного предположения о форме упругой
линии. В действительности эта энергия представляет собой энергию высших форм колебания
(обертонов), которые при упрощенном расчете не учитываются.
2 См. Л. Г. Лойцянский и А. И. Лурье, Теоретическая механика, т. II, ГТТИ,
1933.
574
Расчеты на ударную нагрузку
Таким образом, скорость груза и соответствующей точки балки после
соприкосновения равна
m
V1 ~~ V° m -i- mnp ’
а.кинетическая энергия Vx системы в этот момент’
2	2
Vx = (« + mnp)	= Vo^_,	(116)
где Vo — начальная кинетическая энергия груза.
Величину максимального динамического прогиба и напряжения в балке
можно найти, приравнивая энергию Ух максимальной потенциальной энер-
гии деформации
Если форма упругой линиц балки принята соответствующей статическому
нагружению ее силой, приложенной в точке удара, то максимальная энергия
деформации Umax равна	*
f2
jj ___ /щах
°тах “	25	9
где fmax — прогиб балки в точке удара; 8 — податливость ее, т. е. прогиб
в той же точке от единичной силы.
Приравнивая Vj = Umsx, находим
2Ур8
 тпр *
"Г т
(П7)
Эта формула совпадает с формулой (10) §2 для максимальных прогибов
при неупругом ударе груза массы т по буферу, имеющему массу mnpJ закре-
пленному на невесомой пружине с коэффициентом податливости В.
Таким образом, реальная упругая система заменяется в расчете системой
с одной степенью свободы, вся масса которой тпр сосредоточена в точке
удара.
Если груз массы т ударяет со скоростью по средней точке балки постоянного сечения
на двух опорах, то вид упругой линии балки при ударе можно принять таким же, как при
статическом нагружении ее силой, приложенной в точке удара, а именно при х <
w (х) = [з-j- - 4	.	(118>
где w0 — прогиб в середине балки.
Определяем коэффициент приведения массы балки:
Т
о	о
Таким образом, приведенная масса балки составляет 17/35 ее действительной массы.
Максимальный динамический прогиб балки равен (117)
Г _ 1/ 21 т —	1
Zmax- у т + тпр _0° 1/ 48EJ 1 ,22^6 ’	(Н9)
F	+ 35 т
/3
где 5 =	> а т$ — действительная масса балки.
Упрощенные методы расчета на удар
575
Динамическая нагрузка на балку может быть приближенно определена по формуле
Лпах = ^-	(120)
Напряжения, соответствующие этой нагрузке, определяются обычным способом
max—	9
(121)
где W — момент сопротивления сечения балки.
Подставляя в формулу значение Pmax (120) и проводя простые преобразования, можно
представить ее в виде
„ Лm FJ 2
max-£ Оо 1/ Г2 17 те •	(122)
г	^Зб* m
В формуле (122) F — площадь поперечного сечения балки; а0 =	— скорость рас-
пространения упругой деформации.
FJ
Безразмерный множитель ^7 зависит только от формы поперечного сечения балки
и, например, для прямоугольного сечения равен 3. Из формулы (122) следует, что приближен-
ная величина напряжения при изгибающем ударе зависит только от скорости удара, отноше-
ния массы груза к массе балки и формы поперечного сечения балки. Это напряжение не зави-
сит в отдельности от пролета и размеров сечения балки.
Если принять, что балка прогибается по синусоиде	(
/ч	. КХ
w (х) — w0 sin — ,
то для коэффициента приведения получим
fe=vJ<7sin22rdx=4'‘
о
Пользоваться формулой (117) в этом случае нельзя, так как потенциальную энергию дефор-
мации системы следует вычислять, исходя из принятой формы упругой линии. Таким образом,
l	*	I
Umax~ j \di?J dx~W°~T~iF^ S‘n —dx~w0 4/3 •
0	0
Приравнивая эту величину кинетической энергии Vi (116), найдем
2 ml3	1
fmia==wo = vo	1 Отб •
I/ + 2 m
Эта формула достаточно близка к формуле (119) .
Напряжения в этом случае следует вычислять также, исходя из формы упругой линии
1 fd2w \
Производя вычисления, получаем
vQ Г m FJ 2
amax=	/ ^7 ’W72.	1 Шб '
I/	+ 2 ’ m
Эта величина примерно на 20% меньше чем величина напряжения по формуле (122).
576
Расчеты на ударную нагрузку
Фиг. 359.
Существенным недостатком подобного рода расчетов является невозмож-
ность оценить действительный характер удара. Введенное предположение
о неупругом характере удара более или менее соответствует действительности
только в том случае, если собственная масса балки мала по сравнению с мас-
сой груза.
В противном случае (см. § 1) ударяющий груз отскочит от балки задолго
до того, как последняя получит максимальные прогибы.
Некоторое улучшение упрощенной теории изгибающего удара дано
Л. И. Маламентом [16]. Согласно предложению Л. И. Маламента, заменив
реальную балку невесомой с присоединенной к ней приведенной массой mnpt
следует затем рассмотреть удар груза по
такой фиктивной системе с одной степенью
свободы. При этом учитываются местные
упруго-пластические деформации в точке
контакта. Расчет может быть выполнен
или упрощенным методом при каком-либо
принятом значении коэффициента восстано-
вления (см. § 2), или с более строгим уче-
том местных деформаций (см. § 5 и 6).
Такой расчет качественно дает удовлет-
ворительные результаты, так как могут быть
соударения груза с балкой. Однако надеж-
для динамических напряжений этот расчет
х
О
К
проанализированы повторные
ных количественных данных
дать не может, поскольку расчетная схема балки как системы с одной
степенью свободы далека от действительности.
Заменяя балку системой с одной степенью свободы, легко рассмотреть
и вертикальный удар. Вычисления здесь не отличаются от приведенных в §2.
Рассмотрим применение упрощенных методов к расчету на продольный
удар.
Пусть жесткий груз массы tn, двужущийся со скоростью v0, ударяется
по стержню постоянного сечения, конец которого заделан (фиг. 359).
Предполагая, что перемещения изменяются по длине стержня так же,
как и при статическом его сжатии (фиг. 359)
<® = »оТ »
где гу0 — перемещение конца стержня, найдем приведенную массу стержня
по формуле (115):
I
mnp= f
b
2 dx = q J
о
Таким образом, в данном случае приведенная масса стержня составляет
его действительной массы (knp — 1/3).
Коэффициент податливости стержня 8 равен
8=4?.
EF
Максимальное динамическое сжатие стержня fmax можно найти по фор-
муле (117):
 /7Wq8
1. — v°
3 ' m

Упрощенные методы расчета на удар
577
Соответствующее напряжение в стержне равно
_ Г/max _ pv
CTmax “ 23 i ^UQ
(123)
Эту формулу можно также представить в виде
J_____
1 ql
T’ m
1/
где а0 = у —.
Рассматривая волновой расчет продольного удара (§ 4), мы установили,
что при ударе о стержень жесткого груза, движущегося со скоростью
изменение напряжений в сечении стержня
характеризуется разрывными кривыми,
причем величина разрывов равна
Е .
а
Поскольку при упрощенном расчете
разрывное изменение напряжений не при-
нимается во внимание, очевидно, что фор-
мула (123а) может дать достаточно точные
результаты только в том случае, если
определяемое ею напряжение атах велико
по сравнению с величиной Е , т. е. если
масса груза tn значительно больше, чем
собственная масса стержня ql.
В качестве второго примера рассмотрим продольный удар двух сво-
бодных стержней (фиг. 360, а).
Предположим, что первый стержень массы гп1 движется со скоростью у0,
а второй стержень, имеющий массу /и2, неподвижен.
В момент наибольшего сжатия оба стержня движутся совместно с общей
скоростью *. Эту скорость можно найти, используя закон сохранения
количества движения:
= (тх + /и2) vif
откуда
Подсчитаем изменение ДУ кинетической энергии системы в процессе
соударения:
ду = miVo _(ntl + тг) =	.
2	2	тх + т2 * 2
Именно эта энергия затрачена на деформацию стержней.
Для того чтобы перейти от энергии к напряжениям, необходимо задать,
как и в предыдущих примерах, распределение деформаций в системе. В дан-
ном случае проще, однако, задать непосредственно распределение продоль-
ных сил по длине стержней.
* В действительности такого момента может и не быть. Предположение, что деформа-
ции во всех частях системы одновременно достигают максимума, является характерным
для упрощенного расчета.	*
37 Пономарев 508
578
Расчеты на ударную нагрузку
Очевидно, что в сечениях обоих стержней, прилежащих к точке удара,
продольные силы одинаковы и равны Л7етах; они падают до нуля к свободным
концам стержней. Примем, что по длине стержней продольные силы изме-
няются по линейному закону (фиг. 360, б).
Тогда потенциальная энергия деформации обоих стержней составит
где l19 l2, Fi и Р2 — длины стержней и плошади их сечений.
Приравнивая изменение кинетической энергии ДУ величине t/max, найдем
^тах Ч)
ЗЕгщт»
(«1+ /П2) (А- +
^2 \
>2 )
При упрощенном расчете можно учесть и местные деформации. Рассмотрим
задачу, которая выше, в § 5, была решена точным методом — удар груза
по заделанному стержню (см. фиг. 277).
Собственную массу стержня не учитываем. В этом случае кинетическая
энергия движущегося груза —g— расходуется на сжатие стержня и на мест-
ные деформации вблизи площадки контакта.
Энергия сжатия стержня может быть выражена через максимальную
контактную силу Ртах по формуле
Р2 I
I / _ mine
1 ~ 2EF ’
где I — длина стержня; EF — жесткость поперечного сечения.
Поскольку контактное усилие Р связано со сближением а тел за счет
местной деформации формулой (74)
Р = ka.^
(значение коэффициента k см. [XVI1), то энергия местной деформации Сг
равна
атах
U _ ( П/^а — Л-Ьа5/2 _ 2 р5/з
СУ2 — I гаа. — - «^тах— г-<2/„ гтах-
J	О	5k /8
0
Приравнивая
•	mva
найдем
/ти£
~l----Ч-----	(124)
Для вычислений по формуле (124) проще всего применить метод после-
довательного приближения. Пренебрегая сначала вторым членом в знаме-
нателе, определяем приближенное значение Ртах, затем подставляем в пра-
вую часть полученное таким образом первое приближение Pfflax и находим
второе приближение и т. д.
Литература
579
Произведем числовой расчет для примера, который в § 5 был рассмот-
рен точным методом (пг - 0,102 кгсекЧм-, v0 = 1,5 м!сек-, I — 33,3 см~,
Е = 2-Ю6 кг/см2-, F = 4,44 см2-, k = 2,92-106 кг/см3/*}.
Подставляя цифры в формулу (124), находим
2470
тах Г , , 10,4 •
1/	+ Р*/з
у	max
После трех пересчетов определяем Ртхх = 1800 кг.
Сопоставляя эту величину с полученной в результате точного рас-
чета (1520 кг), можно установить, что в этом случае приближенный расчет
дает завышенное на 17% значение динамической нагрузки. Расчет по фор-
муле (123) без учета местных деформаций дал бы Pmax = F<3max = 2140 кг,
что отличается от точного значения на 40%.
Однако, давая более или менее удовлетворительное приближение для
максимально контактного усилия, энергетический метод не позволяет с доста-
точной точностью определить максимальное усилие в опасном сечении
стержня. Используя график контактного усилия, приведенный на фиг. 334,
можно с помощью волнового метода определить максимальное усилие в за-
делке #тах = 3000 кг.
В то же время энергетический метод даже без учета местных деформаций
приводит к значению Nmax, на 30% меньшему.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Бахшиян Ф. А., К вязко-пластическому течению при ударе цилиндра по пла-
стинке, «Прикладная математика и механика», т. XII, вып. 1, 1940.
2.	Б а х ш и я н Ф. А., Упруго-пластическая сферическая волна нагружения, «При-
кладная математика и механика», т. XII, вып. 3, 1948.
3.	Бельский Е. И., О записи деформаций и усилий при ударном воздействии сил,
«Заводская лаборатория», т. 19, № 8, 1953.
4.	Березкин В.Т., Работа штока штамповочных молотов, «Вестник машиностроения»
№ 2, 1953.
5.	Григорьян Д. М., Нормальный удар по неограниченной тонкой мембране,
«Прикладная математика и механика», т. XII, вып. 3, 1949.
6.	Давиденков Н. Н., Динамические испытания металлов, ОНТИ, 1936.
7.	Д и н н и к А. Н., Удар и сжатие тел, «Известия Киевского политехнического инсти-
тута», 1909.
8.	Доброгурский С. О., К вопросу о напряжениях и усилиях при ударе, сб.
«Вопросы расчета и конструирования деталей машин», АН СССР, 1942.
9.	И л ь ю ш и н А. А., Об испытаниях металлов при больших скоростях, «Инженерный
сборник», т. I, вып. 1, 1941.
10.	Ишлинский А. Ю., Осесимметрическая задача теории пластичности и проба
Бринеля, «Прикладная математика и механика», т. VIII, вып. 3, 1944.
11.	Карцивадзе Г. Н., К построению инженерной теории поперечного удара,
«Труды Института строительного дела АН Груз. ССР», вып. 5, 1955.
12.	К и л ь ч е в с к и й Н. А., Теория соударений упругих тел, ГТТИ, 1949.
13.	Кузнецов В. Д., Физика твердого тела, т. V, Томск 1948.
14.	Л е н с к и й В. С., Об упруго-пластическом ударе стержня о жесткую преграду,
«Прикладная математика и механика», т. XII, вып. 2, 1949.
15.	Л у р ь е А. И., Удар по пластинке, «Прикладная математика и механика», т. II,
вып. 1, 1934.
16.	М а л а м е н т Л. И., Исследование поперечного удара с учетом упруго-пластического
характера местной деформации металла, «Вестник Военно-инженерной академии Красной
Армии» № 29, 1940.
17,	Нико лай Е. Л., К теории продольного удара упругих стержней, «Труды Ленин-
градского индустриального института», № 3, 1939.
18.	Общая прочность и устойчивость сооружений при действии взрывной нагрузки,
сборник статей под ред. И. М. Рабиновича, Стройиздат, 1944.
19.	Р а х м а т у л л и н X. А., О распространении волны разгрузки, «Прикладная
математика и механика», т. IX вып. 1, 1945.
37*
580
Расчеты на ударную нагрузку
20.	Рахматуллин X. А., О распространении волны разгрузки вдоль стержня
переменного предела упругости, «Прикладная математика и механика», т. X, вып. 3, 1946.
21.	Рахматуллин X. А., О распространении цилиндрических врлн при пластических
деформациях, «Прикладная математика и механика», т. XII, вып. 1, 1948.
22.	Рахматуллин X. А., Шапиро Г. С., О распространении плоских упруго-
пластических волн, «Прикладная математика и механика», т. XII, вып. 4, 1948.
23.	С е р е н с е н С. В., Т е т е л ь б а у м И. М., Пригоровский Н. И., Дина-
мическая прочность в машиностроении, Машгиз, 1945.
24.	Снитко Н. К., Методы расчета сооружений на вибрацию и удар, Госстройиздат,
1953,
25.	Соколовский В. В., Распространение упруго-пластических волн в стержнях,
«Прикладная математика и механика», т. XII, вып. 3, 1948.
26.	Т и м о ш е н к о С. П., К вопросу о действии удара на балку, «Известия С. Петер-
бургского Политехнического института», т. XVII, вып. 2, 1912.
27.	Тимошенко С. П., Теория колебаний в инженерном деле, ГТТИ, 1934.
28.	У ф л я н д Я. С., Распространение волн при поперечных колебаниях стержней пла-
стин, «Прикладная математика и механика», т. XII, вып. 3, 1948.
29.	Ш а п и р о Г. С., Продольные колебания стержней, «Прикладная математика и меха-
ника», т. X, вып. 5—6, 1946.
30.	Ш т а е р м а н И. Я., Контактная задача теории упругости, ГТТИ, 1949.
31.	Boley В., An approximate theory of lateral impact on beams, «Journal of Applied
Mechanics», vol. 22, № 1, 1955.
32.	Brown A.,Edmonds R., The dinamic yield strength of steel at an intermediate
rate of loading, «Institution of Meeh. Eng. Applied Mechanics Proc.», vol. 159, № 37, 1948.
33.	Dengler M., Go 1 a n d M., Transverse impact of long beams including rotatory
inertia and shear effects, «Proc. First U. S. Nat. Congr. Appl. Meeh.», N. Y. 1952.
34.	Dohrewend C., Meh af fey W., Measurement of dynamic strain, «Journal
of applied Mechanics», vol. 10, № 2, 1943.
35.	Emschermann H., Ruhl R., Beanspruchungen eines Biegetragers bei schla-
gartiges Querbelastung «VDI Forschungsfoeft», B. 20, № 443, 1954.
36.	F a n n i n g, Basset, Measurement of impact strains by a Carbonstrip extensometer,
«Journal of applied Mechanics» № 3, 1940.
37.	G о 1 d s m i t h W., Cunningham D., An experimental investigation of the
ablique impact of spheres upon simply supported beams, «Proc, of the Soc. for experimental
stress analisis», vol. 14, № 1, 1956.
38.	Saint— Venant В., Примечания к § 60 и 61 французского перевода книги
Glebsch, Theorie der Elastizital fester korper, Paris 1883.
39.	S k a 1 a k R., Longitudinal impact of semi-infinite circular elastic bar, «Paper
ASME» № A-37, 1956.
40.	S m i t h R., P a r d u e T., V i g n e s s J., The mechanical properties of certain
steels as indicated by axial dynatnic load tests, «Proc. Soc. Exprimental Stress Analisis», 13, № 2,
1956.
41.	Warnock F., Brennan J., The tensile yield strength of certain steels under
suddenly applied loads, «Institution of Meeh. Eng. Applied Mechanics Proc.», vol. 159, № 37,
1948.
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ
РАСЧЕТЫ НА ВЫНОСЛИВОСТЬ
ГЛАВА XI
РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ НАПРЯЖЕНИЯХ, ПЕРЕМЕННЫХ
ВО ВРЕМЕНИ
§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СООБРАЖЕНИЯ
Большинство деталей машин работает при переменных напряжениях,
многократно изменяющихся во времени.
Из практики эксплуатации известно, что в таких условиях разрушение
деталей возможно при напряжениях, значительноменьших, чем в слу-
чае, когда они неизменны. Поэтому естественно, что конструкторов-машино-
строителей не могут удовлетворить методы расчета, в основу которых
положено использование механических характеристик материалов, получен-
ных лишь при статических испытаниях. Расчет деталей машин, как правило,
должен вестись на основе экспериментального изучения механических
свойств материалов при переменных напряжениях.
Исследование механизма разрушения при переменных напряжениях
показало, что разрушение начинается с образования в наиболее напряжен-
ном месте детали микротрещин, которые, постепенно развиваясь, все более
и более ослабляют деталь и, наконец, могут привести к ее разрушению. Это
явление разрушения материалов, возникающее в результате образования
микротрещин, носит название усталостного разрушения. Способность мате-
риала противостоять разрушению при напряжениях, переменных во вре-
мени, обычно называется выносливостью.
Термины «усталость» и «выносливость», появившиеся в технической лите-
ратуре более 100 лет назад, .нельзя признать удачными, так как они совер-
шенно не отражают сущности явления. Однако, учитывая, что к настоящему
времени эти термины стали общеупотребительными, от них теперь уже
трудно отказаться.
Экспериментальные исследования показали, что усталостная прочность
деталей машин зависит от формы и размеров, способа обработки, состояния
поверхности деталей и других факторов, которые и должны найти отражение
в методах расчета. Заметим, что большинство из этих факторов при выпол-
нении статических расчетов, т. е. расчетов при постоянных во времени
напряжениях, считаются второстепенными и чаще всего не принимаются
во внимание.
Учение о прочности металлов при переменных напряжениях начало раз-
виваться уже в первой половине XIX в. Литература по этому вопросу весьма
обширна. Однако, несмотря на это, многие данные противоречивы и спорны
и ряд вопросов расчета на прочность при переменных напряжениях даже
в простейших случаях еще находится в стадии разрешения.
§ 2. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ УСТАЛОСТНОЙ ПРОЧНОСТИ
В томе I, глава VI, и томе II, глава VIII, были изложены современные
воззрения на строение металлов и рассмотрен механизм явлений пластиче-
ской деформации и начала разрушения при напряжениях, неизменных
582
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
во времени. Было отмечено, что упругие деформации связаны в основном
с изменением межатомных расстояний в кристаллической решетке, пласти-
ческая же деформация кристаллической решетки является результатом
необратимых смещений ионов и атомов и протекает главным образом за счет
скольжений и двойникований. Следствием этих процессов является упрочне-
ние материала.
Однако процесс сдвигов не может протекать без появления зон, где атом-
ные связи нарушаются, а новые не создаются. В этих зонах возникают фун-
даментальные нарушения структуры материала, т. е. образуются микроско-
пические трещины. В известных условиях эти трещины не выходят за пре-
делы одного зерна, но иногда они могут распространиться на несколько
зерен и охватить значительный объем материала. В последнем случае
деталь может оказаться настолько ослабленной, что наступает ее раз-
рушение.
Источником образования трещин могут служить как внутренние струк-
турные особенности материала (мельчайшие включения, пустоты, межкри-
сталлическое вещество), так и внешние причины (дефекты поверхностных
слоев материала, особенности формы детали: галтели, сверления, выточки
и т. п.).
Весьма часто причиной образования трещин являются контактные силы,
возникающие в местах приложения нагрузок (прессовые посадки, места
контакта в опорах и т. п.).
Появление микротрещин большей частью не отражается на несущей спо-
собности деталей, выполненных из пластичных материалов, так как трещина
в пределах одного зерна создает дополнительные внутренние силы того же
порядка, что и силы, возникающие благодаря дефектам структуры материала.
В случае хрупких материалов последние могут вызвать разрушение
детали.
Несколько иначе обстоит дело, если напряжения переменны во времени.
В этом случае имеется тенденция к образованию и росту микротрещин
вблизи зон местных перенапряжений как у хрупких, так и у пластичных
материалов. При определенном уровне напряженности образовавшиеся тре-
щины развиваются и множатся. Увеличение числа и размеров таких трещин
постепенно уменьшает объем полноценного материала. Конец каждой тре-
щины, в свою очередь, является местом возникновения больших напряже-
ний; именно там и возникают новые трещины.
При переменных напряжениях местные явления, возникающие в окрест-
ности внутренних или внешних источников концентрации напряжений,
являются опасными не только для хрупких, но и для пластичных мате-
риалов.
Постепенное разрушение при небольших переменных напряжениях,
превышающих предельные, совершается весьма медленно. Иногда разру-
шение наступает после миллионов или даже миллиардов перемен напря-
жений.
Подготовка разрушения при переменных напряжениях происходит
медленно, но скорость развития трещин прогрессивно возрастает, и перед
самым разрушением процесс идет почти так же быстро, как и при статическом
разрушении хрупких материалов.
Типичный излом вследствие усталости имеет две зоны: гладкую поверх-
ность там, где трещина распространялась медленно и края ее сглаживались
вследствие трения при повторных деформациях, и шероховатую, по которой
произошло окончательное разрушение образца.
На фиг. 361—363 даны фотографии характерных усталостных изломов.
На фиг. 361 изображено место излома оси вагонного колеса. На фиг. 361
видно, что усталостное разрушение началось около поверхности в верхней
Физические основы, усталостной прочности
583
584
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
части сечения. Зона усталостного разрушения заняла более половины сече-
ния оси. На фиг. 362 представлена головка разрушившегося рельса. Уста-
лостная трещина развивалась изнутри1. Нафиг. 363 показано место разру-
Фиг. 363. Излом образца стали, разрушенного
' при испытании на изгиб.
шения образца при испытании его
на знакопеременный изгиб. Уста-
лостные трещины развивались
сверху и снизу. Часть образца у
нейтрального слоя разрушилась
мгновенно в результате ослабле-
ния сечения усталостными тре-
щинами.
Как упоминалось выше, тре-
щины могут возникать не только
внутри кристаллических зерен.
Источником возникновения первых
трещин могут служить и внешние
причины — дефекты поверхност-
ных слоев детали (следы резца,
коррозия) или особенности формы
детали (галтели, сверления, вы-
точки).
На фиг. 364, а представлена
шейка коленчатого вала с уста-
лостной трещиной, возникшей
после многолетней эксплуатации
в результате концентрации на-
пряжений в окрестности галтели [140]. На фиг. 364, б показан излом
вала [140]. Хорошо видна зона усталостного разрушения.
Фиг. 364. Усталостная трещина (а) и излом (6) шейки коленчатого вала.
1 Фотографии излома оси и головки рельса предоставлены для опубликования д-ром
техн, наук проф. Н. П. Щаповым.
Физические основы усталостной прочности
585-
Фиг. 365. Усталостная трещина, возникшая в»
месте сопряжения втулки с корпусом фасонной де-
тали.
На фиг. 365 показана трещина, возникшая в месте сопряжения наружной
стороны втулки с корпусом фасонной детали [140]. Причиной образования
трещины послужил недостаточно плавный переход в месте сопряжения
(подрез). Весьма часто первые трещины возникают в местах непосред-
ственного приложения нагрузок (прессовые посадки, шариковые и роли-
ковые подшипники, зубья шестерен и т. д.).
В деталях машин трещины усталости иногда могут быть обнаружены
до разрушения. В практике железных дорог применяется профилактиче-
ский осмотр осей и бандажей, что значительно сокращает число неожиданных
поломок.
Рентгенографическое иссле-
дование металла показало, что
при небольших переменных
напряжениях существенных из-
менений в структуре не проис-
ходит.
При высоких напряжениях
возникает деформация кристал-
лической решетки, которая воз-
растает с увеличением числа
перемен напряжений. Вскоре
после осуществления первых
циклов изменения напряжений
становится заметным искаже-
ние отдельных • кристаллитов.
В дальнейшем аналогичные из-
менения возникают и в сосед-
них зернах. Однако из рент-
генографических исследований
нельзя сделать определенный вывод о величине безопасных напряжений [3].
Весьма важно отметить, что рентгенографические исследования не обна-
руживают принципиального различия в явлениях, происходящих в металле
при статических и переменных напряжениях. В то же время следует заметить,,
что при напряжениях, постоянных во времени, процесс пластического дефор-
мирования постепенно распространяется на все зерна металла, в то время
как при переменных напряжениях этот процесс охватывает ограниченное
число зерен.
В разное время исследователи,’ пытаясь дать объяснение разрушению^
при переменных напряжениях, выдвигали различные гипотезы, объясняю-
щие это явление. Перечислим некоторые из этих гипотез [16], [61], [87].
1.	Гипотеза возникновения трещин в результате исчерпавшейся способ-
ности к сдвигу кристаллических зерен.
2.	Гипотеза внутренних трещин (пороков в материале).
3.	Гипотеза поверхностных неровностей и трещин.
Из сказанного выше следует, что все перечисленные гипотезы не противо-
речат, а скорее дополняют одна другую. Механизм образования трещин
при переменных напряжениях сложен. В одних случаях зона возникновения
трещин расположена у поверхности, в других — в толще материала детали.
До сих пор остается неясным, возникают ли усталостные трещины как резуль-
тат сложения остаточных напряжений в материале и напряжений от внеш-
них нагрузок или усталостные трещины являются результатом увеличения
и развития микротрещин, существовавших в материале до нагружения.
В некоторых случаях возникшие от тех или иных причин трещины уве-
личиваются и множатся вплоть до разрушения, иногда наступает состояние*
равновесия — рост трещин прекращается.
586
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Замечено, что развитие трещин становится особенно интенсивным, если
напряжения меняются не только по величине, но и по знаку (например,
растяжение сменяется сжатием).
Н. Н. Афанасьев [3] дал следующую схему возникновения усталостного
разрушения. При первых циклах изменения напряжений в случае, если
.напряжения достаточно велики, в некоторых зернах металла возникают
пластические деформации, приводящие к искажению кристаллической
решетки. Нарастание искажения кристаллической решетки постепенно
уменьшается. Деформация решетки имеет тот же вид, что и при постоянных
во времени напряжениях. Первым циклам сопутствует упрочнение наиболее
напряженных зерен так же, как и при постоянных напряжениях.
В результате упрочнения зерен и связанного с ним увеличения предела
текучести повышаются напряжения, возникающие в зернах при тех же
деформациях. В связи с увеличением напряжений, в отдельных «дефектных»
местах зерен может возникнуть явление скольжения с надрывом, что соз-
даст «разрыхление» в зерне по плоскости скольжения. Количество мест
разрыхления (надрывов) увеличивается за счет переменных сдвигов то в одну,
то в другую сторону.
Ослабленное разрыхлениями зерно может деформироваться в резуль-
тате перекоса в местах разрыхления. Разрыхления могут привести к образо-
ванию трещин.
При постоянных напряжениях происходит перераспределение (выравни-
вание) напряжений как в наиболее напряженной части детали, так и в пре-
делах одного зерна. Перераспределение напряжений возникает потому, что
границы зерен затрудняют деформацию их по одной из плоскостей сколь-
жения, в результате чего сильнее нагружаются соседние зерна.
Разрыхление кристаллитов при постоянных напряжениях происходит
при весьма больших пластических деформациях.
При переменных напряжениях пластические деформации суммируются
и способствуют образованию разрыхлений.
В первом случае (постоянные напряжения) разрушение происходит при
•средних (выравненных) напряжениях в зернах, а во втором — при макси-
мальных напряжениях в отдельных зернах.
Образование трещин наблюдается как в зернах, расположенных около
поверхности, так и внутри детали, как это было иллюстрировано ранее,
на фиг. 361 и 362. Однако чаще всего получают развитие трещины около
поверхности (фиг. 361).
Прочность материала при переменных напряжениях характеризуется
пределами выносливости (пределами усталости), т. е. наибольшими напря-
жениями, при которых деталь или образец материала могут, не разрушаясь,
подвергаться неограниченно большому числу перемен нагрузки \
Расчетные напряжения, как и пределы выносливости, вычисляются
по обычным формулам сопротивления материалов и являются, как это было
указано, средними напряжениями для значительного числа кристаллических
зерен. Значения их часто весьма далеки от действительных напряжений
в кристаллических зернах металла.
§ 3. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ О ВЛИЯНИИ НА ПРОЧНОСТЬ ДЕТАЛИ ТИЛА
НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ, СПОСОБА НАГРУЖЕНИЯ И ХАРАКТЕРА
^ИЗМЕНЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ВО ВРЕМЕНИ
Ранее (том I, глава VI) был дан обзор различных напряженных состоя-
ний, возникающих в деталях машин при их нагружении. Было указано,
что общепринятое подразделение напряженных состояний на трехосные,
1 Более точное определение предела выносливости будет дано ниже.
Общие соображения
587
двухосные и одноосные является недостаточным для полной оценки опас-
ности напряженного состояния.
При решении проблем прочности целесообразно различать трехосные
сжатия, смешанные напряженные состояния и трехосные растяжения (том I,
глава VI).
Если напряжения во всех точках детали одинаковы, то принято напря-
женное состояние называть однородным, в противном случае — неодно-
родным.
Во многих случаях при нагружении детали главные напряжения во всех
ее точках изменяются пропорционально некоторому параметру. Тогда напря-
женные состояния, возникающие в процессе такого нагружения, называются
подобными, а сам процесс нагружения — простым (том I, главы V и VI
и том II, глава VIII).
Если указанное выше условие не соблюдается, то нагружение называется
сложным.
В пределах упругости при статическом нагружении состояние элемен-
тарной частицы не зависит от напряженности окружающих частиц и способа
нагружения (простого или сложного). За пределами упругости при стати-
ческом нагружении оно в некоторой степени определяется способом нагру-
жения [62]. Это становится особенно существенным в случае, если напря-
жения изменяются во времени.
Как следует из всего изложенного в предыдущем параграфе, условия
возникновения и особенно роста и распространения усталостных трещин
* в значительной степени определяются типом напряженного состояния,
«степенью его неоднородности, способом нагружения и характером измене-
ния напряжений во времени.
Анализируя работу деталей машин в реальных условиях, прежде всего
следует различать случаи закономерного и произвольного изменения напря-
жений во времени.
Так, например, в точках коленчатого вала двигателя внутреннего сгора-
ния при устойчивом режиме работы последнего напряжения изменяются
закономерно, тогда как в рессоре автомобиля изменение напряжений во вре-
мени произвольное.
При закономерном изменении напряжений зависимость их от времени
чаще всего бывает периодической; именно так изменяются напряжения
в точках коленчатого вала.
Нагружение коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания является
закономерным, однако напряженные состояния элементов вала все время
разнотипны — соотношения между главными напряжениями и их напра-
вления все время изменяются. Нагружение в этом случае должно быть оха-
рактеризовано как сложное.
Нагружение рессоры автомобиля зависит от случайных причин (неров-
ности дороги), напряженное состояние рессоры все время остается подобным
^рессора в любых условиях работает на изгиб, а материал наиболее напря-
женных частей ее находится в одноосном напряженном состоянии).
Таким образом, как при закономерном, так и при произвольном изме-
нении напряжений во времени нагружение может быть и простым и сложным.
Свойства материалов при напряжениях, изменяющихся во времени,
изучены для весьма узкого круга напряженных состояний. В основном проч-
ность материалов при переменных напряжениях изучалась при одноосном
неоднородном напряженном состоянии (испытания образцов в условиях
изгиба) и неоднородном чистом сдвиге (испытания сплошных образцов в усло-
виях кручения). Сведения об усталостной прочности при одноосном одно-
родном напряженном состоянии и однородном чистом сдвиге менее полны.
Еще менее подробно изучена усталостная прочность материалов в общем
588
Расчеты, на прочность при напряжениях, переменных во времени
случае двухосных смешанных напряженных состояний. Прочность мате-
риала при трехосных напряженных состояниях вообще не изучена.
Однако весьма часто в ответственных деталях машин возникает трех-
осное напряженное состояние, причем напряжения и тип напряженного
Фиг. 366. Червячный редуктор:
А — ножка зубца шестерни; В — внутреннее
кольцо шарикового подшипника.
состояния изменяются во времени. Примером может служить напря-
женное состояние в местах контакта зубьев шестерен (точка А на фиг.366),
колец шариковых подшипников (точка В на той же фигуре).
Таблица 59
Основные факторы, влияющие на прочность деталей
Факторы		Условный индекс
Тип напряженного состояния	Трехосное сжатие	А
	Смешанное напряженное состояние	В
	Трехосное растяжение	С
Способ нагружения	Простое нагружение	а
	Сложное нагружение	b i
Степень неоднородно- сти напряженного со- стояния	Однородное напряженное состояние •	1 ! 	1
	Неоднородное напряженное состояние		2J
	Неоднородное напряженное состояние при наличии местных напряжений	3
Характер изменения напряжений во времени 1	Постоянные во времени напряжения	I
	Напряжения, изменяющиеся периодически	II
	Напряжения, изменяющиеся произвольно	III
Прочность при одноосном напряженном состоянии
589
В табл. 59 указаны основные факторы, влияющие в той или иной
степени на прочность деталей. Эти факторы обозначены условными ин-
дексами, приведенными в таблице. Из таблицы следует, что для пол-
ного изучения прочности деталей в различных условиях необходимо
проводить экспериментальные исследования при различных сочетаниях
перечисленных факторов.
Отметим, что прочность материалов в условиях Ball, Balli, Ba2I,
Ba2II, Ba3I, ВаЗП изучена более или менее полно. Достоверных данных
об усталостной прочности материалов в иных сочетаниях указанных
в таблице факторов значительно меньше.
Большое количество параметров, от которых зависит прочность, заста-
вляет весьма осторожно подходить к выбору намечаемой программы испы-
таний.
Единственно правильным следует считать метод постепенного выясне-
ния влияния того или иного фактора на прочность. Было бы неправильным,
например, ставить опыты в условиях СЬ 3 III, не изучив предварительно
работы материала в условиях Call.
Из всего сказанного следует, как широко поле деятельности исследова-
телей в области прочности.
§ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ В СЛУЧАЕ
ОДНООСНОГО НАПРЯЖЕННОГО состояния
А. Различные типы циклов изменения напряжений
Рассмотрим вначале прочность материала при переменных напряжениях
в случае одноосного напряженного состояния, которое является простей-
шим и наиболее изученным.
В дальнейшем будем предполагать, что напряжение представляет собой
периодическую функцию времени. Совокупность всех значений напряжений
за время одного периода называется циклом.
Экспериментально установлено [87], что прочность материала мало
зависит от закона изменения напряжений. В основном на прочность ока-
зывает влияние величина и знак максимального и минимального (в алгебраи-
ческом смысле) напряжений атах и min.
Таким образом, если в трех вариантах, представленных на фиг. 367, а,
б, в, максимальное и минимальное напряжения одинаковы, то можно
в качестве первого приближения считать, что все приведенные случаи
изменения напряжений эквивалентны.
Введем в рассмотрение постоянное или среднее напряжение цикла
(фиг. 368):
°т = «max + ««.о	(1)
и переменное напряжение или амплитуду цикла:
gg = gmax.^.a^n<	(2)
Очевидно, что постоянное напряжение цикла <зт может быть положи-
тельным или отрицательным, а переменное напряжение <за всегда сущест-
венно положительное. Из выражений (1) и (2) следует
amin “ ат аа'
590
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Отношение минимального напряжения к максимальному называется
коэффициентом асимметрии цикла:
СТШ1П
ашах
(3>
Циклы, имеющие одинаковый коэффициент асимметрии г, будем называть
подобными.
Рассмотрим различные частные случаи изменения напряжений
(табл. 60).
Симметричный цикл. Если максимальное и минимальное напряжения
одинаковы по величине, но
противоположны по знаку, то цикл называется
симметричным (табл. 60, цикл 5), в про-
тивном случае — асимметричным. Наиболь-
шее количество опытов по изучению проч-
Фиг. 367. Различные случаи цикли-
ческого изменения напряжений
во времени.
ности материалов при переменных напря-
жениях пока произведено при симметричном
цикле изменения напряжений.
Асимметричный цикл. В общем случае
изменения напряжений цикл называется
асимметричным. Асимметричный цикл может
быть представлен- как результат наложения
симметричного цикла на напряжение, по-
стоянное во времени (см. фиг. 368). Асим-
метричные циклы называются положитель-
ными, если атах > 0 и amin > 0 (циклы 2, 3
в табл. 60) и отрицательными, если afflax<0>
и amin < 0 (циклы 7, 8). Если знаки максимального и минимального
напряжений различны, цикл называется знакопеременным (циклы
4, 5, 6).
Большая часть приведенного в литературе экспериментального мате-
риала относится к знакопеременным циклам с положительным постоянным
напряжением. Свойства материалов при отрицательных асимметричных цик-
лах изучены относительно слабо.
В частном случае, когда одно из экстремальных напряжений цикла равно-
нулю (циклы 3, 7), цикл называется пульсационным. Пульсационные циклы
могут быть положительными (цикл 3) и отрицательными (цикл 7).
Постоянное во времени напряжение удобно рассматривать как частный
случай переменных напряжений при амплитуде, равной нулю. В табл. 60’
изображены циклы изменения напряжений с небольшими амплитудами!
(циклы 1, 9), близкие к постоянным во времени напряжениям..
Прочность при одноосном напряженном состоянии
594
Циклы изменения напряжений во времени
Таблица 60>
Цикл					qmax» qmin	^m\ <3a	r
1					qmax — qmin > 0	= °max = ° mln! aa = 0	r= +1
	Время						
2		FlWilll	кйт III™ III	hl	qmax 3> 0; Gjnin > 0	O’,	¥= 0	0<r< + 1
		1	Время					
3				1	qmax 0*> qmin ~ 0	__ 1 — 2 amaxi _ 1 — 2 ^max	r = 0
	время						
4	0	1	/Ш|\ Д|		МЯ	qmax 3> 0; ° min < 0 qmax > 1 qmin 1	<Jm>0; aa¥=o	— 1<r<0
							
5	б	lll\xy/||tl\	/1 Ink			qmax = q mln 0 qmm < 9	<^m = 0; Ga = ^max	r = — 1
	Nil/						
6	б	§		1МЯ	amax > 0; amin<0 qmax < 1 qmtn 1	=# 0	—oo<r<—1
							
7	б	1 __g	Время			qmax — O’, ^min <T 0	_	qmin . am= 2	, _	1. qmln I °a = | 2 1	r = + oo
	Л						
8	б	§ ч! Время			amax < amin < 0	• Om < 0; aa #= 0	+1 < r < oo
		1F	IF				
9	/?1		 Время				amax “ amin	3m = °max == amln’> Oa = 0	r=+l
							
592
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Б. Основные положения о прочности при переменных напряжениях. Предел
выносливости
Многочисленные испытания материалов при различных случаях цикли-
ческого изменения напряжений позволили установить следующие основные
положениях.
1.	Материалы могут разрушаться при напряжениях атах, значи-
тельно меньших предела прочности <зЬ2 и даже предела текучести
•если только напряжения изменяются достаточное число раз.
2.	Существует такое максимальное напряжение (предельное), при кото-
ром материал выдерживает, не разрушаясь, практически неограниченно
^большое число перемен напряжений.
3.	Увеличение переменного напряжения <за уменьшает величину макси-
мального предельного напряжения цикла.
Фиг. 369. Характеристики материала при пер-
вичном растяжении (линия Oz) и сжатии
(линия Od). Разгрузка (ДО}) и вторичное нагру-
жение при растяжении (OjAz). Сжатие после
растяжения за предел текучести (OjB).
При рассмотрении основных вопросов прочности в случае переменных
напряжений необходимо прежде всего отметить два существенных поло-
жения, установленных экспериментально при изучении повторного нагру-
жения материала.
1. В результате нагружения материала за предел текучести (до точки А
на диаграмме, фиг. 369), разгрузки и повторного нагружения (см. верхнюю
часть фиг. 369) первоначальный предел текучести повышается: с'2>
2. После нагружения материала за предел текучести, разгрузки и после-
дующего нагружения при напряжениях обратного знака первоначальный
предел текучести изменяется.
Малая предварительная пластическая деформация при растяжении
(точка А на диаграмме, фиг. 369) вызывает уменьшение предела текучести
при сжатии. Это явление, называемое эффектом Баушингера, объясняется
тем, что при малой пластической деформации растяжения одни зерна мате-
1 Отметим, что эти положения впервые были экспериментально установлены А. Велером
в 1852—1869 гг. [159] при испытании образцов материалов в случае циклов с > 0.
Прочность при одноосном напряженном состоянии
593
риала деформируются пластически, а другие упруго. В результате этого
после разгрузки возникают остаточные силы взаимодействия между зернами.
Некоторые из них оказываются в растянутом состоянии, а другие
в сжатом.
При последующем сжатии пластические деформации возникают в первую
очередь в ранее сжатых зернах. Этим и объясняется понижение предела
текучести [128].
Однако имеются указания [128], что в результате больших пластиче-
ских деформаций растяжения предел текучести при сжатии может увели-
читься.
Изменение предела текучести в результате повторного деформирования
имеет место не только в случае растяжения-сжатия, но и при иных напряжен-
ных состояниях (например, при чистом сдвиге).
Отмеченные свойства материалов весьма важны для понимания про-
цессов, происходящих в материалах при знакопеременных напряже-
ниях.
Возвратимся теперь к одному из основных положений усталостной проч-
ности, устанавливающему существование предельного напряжения, при
котором материал выдерживает, не разрушаясь, весьма большое число пере-
мен напряжений.
Наибольшее максимальное напряжение цикла, при котором материал
не разрушается при практически неограниченно большом числе перемен
напряжений, называется пределом выносливости^ или пределом усталости.
Предел выносливости, являясь одной из характеристик прочности мате-
риала, зависит в основном от его свойств и типа цикла.
Предел выносливости в случае одноосного напряженного состояния обоз-
начается а„. Индекс г указывает тип цикла, при котором определялся предел
выносливости. Наибольшее количество экспериментальных данных имеется
по пределам выносливости для симметричного (г = —1) и пульсационного
(г = 0) циклов, обозначаемых соответственно а_х и а0.
Рассматривая постоянное во времени напряжение как предельный слу-
чай переменных напряжений при <за -> 0, обычно в целях обобщения за вели-
чину предела выносливости при этом принимают условный или действитель-
ный предел прочности (см. том I, главу V). В этом случае может быть исполь-
зовано обозначение а+1 = или а+1 = (<зЬг)действ.
В. Опытное определение предела выносливости
Наиболее распространенный тип испытания на выносливость при одноос-
ном напряженном состоянии — испытание на изгиб при симметричном цикле
изменения напряжений. Образец А в этом случае работает как консольная
балка (фиг. 370) или как двухопорная балка (фиг. 371 и 372), симметрично
нагруженная двумя силами. В первом случае образец подвергается попереч-
ному, а во втором случае — чистому изгибу.
При вращении образца создается симметричный цикл изменения напря-
жений. Образец обычно вращается со скоростью 1500—3000—6000 об/мин.
Количество циклов (оборотов) регистрируется счетчиком. На машине
имеется приспособление, выключающее счетчик при поломке образца
(фиг. 370) или останавливающее машину (фиг. 371).
Недостаток машины, представленной на фиг. 370, состоит в том, что наи-
более опасным сечением образца является сечение, близкое к месту его закре-
пления, что ставит прочность материала в зависимость от формы и условий
закрепления образца (см. § 6).
Машина, представленная на фиг. 371, не имеет этого недостатка. Средняя
часть образца работает в условиях чистого изгиба. Для создания в образце
38 Пономарев 508
Фиг. 370. Машина для испытания образцов
в условиях -поперечного изгиба. Напряжения
изменяются по симметричному циклу.
Фиг. 371. Машина для испытания образцов в усло-
виях чистого изгиба. Напряжения изменяются
по симметричному циклу.
сл
Фиг. 372. Машина МИУ-бОООдля испь>
тания образцов в условиях чистого
изгиба. Напряжения изменяются по
симметричному циклу.
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Прочность при одноосном напряженном состоянии
595
асимметричного цикла изменения напряжений используются машины спе-
циальных конструкций или дополнительные приспособления [113]. Напри-
Фиг. 374. Схема электромагнитного
пульсатора.
б)
Фиг. 373. Приспособления для создания, в образце асимметричного цикла:
а — пружина растягивает образец; б — пружина сжимает образец.
мер, на образец надевается пружина (фиг. 373), с помощью которой ов
или растягивается (фиг. 373, а), или сжимается (фиг. 373, б) [ИЗ]. Напря-
жения, создаваемые пружиной, являются
постоянными напряжениями цикла. Обра-
зец с надетой пружиной подвергается в
дальнейшем обычным испытаниям на ма-
шине, в связи с чем на постоянные на-
пряжения дополнительно накладывается
симметричный цикл изменения напряже-
ний. Эти напряжения изгиба являются
переменными напряжениями осуществляе-
мого асимметричного цикла.
Для испытаний на выносливость при
растяжении-сжатии применяются машины
более сложной конструкции, и потому
такие испытания производятся значи-
тельно реже.
Рассмотрим в качестве примеров
устройство электромагнитного пульсатора
[113] и универсальной резонансной ма-
шины [13], [14].
На фиг. 374 представлена схема элек-
тромагнитного пульсатора. Один из кон-
цов образца закрепляется в зажиме Л,
помещенном в неподвижной раме Б. На
той же раме смонтированы электромагни-
ты Л41 и М2, питаемые током от двухфаз-
ного генератора. Другой конец образца
закрепляется в зажиме, помещенном на
подвижной траверсе В, к которой при-
креплен якорь Г. Нижний конец травер-
сы В присоединен к рессоре Д. Начальное
положение якоря регулируется установкой
зазоров между якорем и полюсами магнитов. Образец нагружается; элек-
тромагнитными силами. Система якорь — рама—рессора настраивается
на частоту, равную частоте электромагнитных импульсов.	;
38*
596
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Влияние на образец инерционных сил этой системы исключается благо-
даря уравновешиванию их упругими силами рессоры. Последняя может
быть использована также для осуществления дополнительной статической
нагрузки на образец.
Нагружение осуществляется при помощи червячной передачи Е и заме-
ряется по деформации рессоры. Машина работает при частоте 2000 циклов
в минуту. На фиг. 375 изображен общий вид универсальной резонансной
машины [14].
В основу ее конструкции положен так называемый резонансный метод
испытаний на выносливость. Сущность этого метода заключается в том,
что испытание проводится не при вынужденном режиме нагружения образца
Фиг. 375. Общий вид универсальной резонансной машины.
с частотой, определяемой, например, числом оборотов шпинделя машины,
а при режиме, определяемом собственной частотой колебаний образца и свя-
занных с ним масс.
Выведенная каким-либо образом из состояния равновесия система (обра-
зец и связанные с ним массы) совершает затухающее колебательное движе-
ние. Для поддержания постоянства амплитуды колебаний система раскачи-
вается в такт с собственными колебаниями, т. е. в резонансном режиме.
Потери энергии при колебаниях системы в резонансном режиме, обусловлен-
ные в основном внутренними потерями, невелики. Это позволяет проводить
усталостные испытания крупных образцов и деталей при помощи небольшой
силовой установки.
Блок-схема установки приведена на фиг. 376. Машина представляет
собой генератор незатухающих колебаний с обратной электромеханической
связью, осуществляемой испытуемым образцом.
Образец / (фиг. 377), закрепленный в зажимах 2, с присоединенным
к нему якорем 3 образует колеблющуюся систему. Изменяя соответствую-
щие параметры системы (размеры и форму образца и присоединенных масс),
можно изменять частоту колебаний в вешима широких пределах.
Колебания системы вызывают изменения зазора в адаптере 4, на клеммах
которого наводится электродвижущая сила той же частоты. Это напряжение
подается на вход обыкновенного электронного усилителя (фиг. 376),
с помощью которого оно повышается, а затем подается на катушки электро-
Прочность при одноосном напряженном состоянии
597
магнитного деформатора 5 (фиг. 377). Магнитное поле последнего воздей-
ствует на якорь 3 образца, раскачивая его в тат^т с собственными колебаниями.
Амплитуда колебаний образца, а следовательно, и переменные напряже-
ния, возникающие в его сечениях, зависят от амплитуды тока в возбуждаю-
щей системе электромагнитов. Изменяя подводимую мощность, можно изме-
нять амплитуду колебаний образца. Для Поддержания постоянной заданной
Фиг. 376. Блок-схема универсальной
резонансной машины.
Фиг. 377. Схема универсальной резонансной
машины:
1 — образец; 2 — зажимы; 3 — якорь; 4 ~ электро-
магнитный адаптер; 5 — электромагнитный дефор-
матор.	!
амплитуды колебаний образца в схеме усилителя предусмотрен автомати-
ческий регулятор. Система деформатора позволяет осуществлять растяже-
ние-сжатие, изгиб и кручение образца.
На фиг. 378—380 показано нагружение образцов в условиях растяжения-
сжатия, изгиба и кручения. На фиг. 381 представлен общий вид образцов.
. >Фиг. 378. Схема нагружения образца
на растяжение-сжатие.
Фиг, 379. Схема нагружения образ-
ца на изгиб.
Машина позволяет значительно сократить время, затрачиваемое на испы-
тания, а также дает возможность исследовать влияние частоты изменения
напряжений на усталостную прочность материалов в широких пределах
изменения частот, от 30 до 5000 циклов в секунду.
Для изучения выносливости материалов в условиях, близких к эксплуа-
тационным, в настоящее время создан ряд конструкций машин с программ-
ным нагружением. Это позволяет достаточно близко имитировать реальные
условия работы деталей машин [105]. В качестве примера рассмотрим
машину Шенка с программным нагружением, описанную в работе [131].
Машина является усовершенствованным пульсатором, при помощи кото-
рого можно проводить комбинированные испытания на растяжение, сжатие,
598
Расчеты, на прочность при напряжениях, переменных во времени
изгиб и кручение по заданной программе нагружения. Постоянные во вре-
мени низкочастотные и высокочастотные нагрузки могут осуществляться
раздельно и накладываться друг на друга.
Фиг. 380. Схема нагружения образца
на кручение.
Фиг. 381. Общий вид образцов:
а — сплошные образцы; б — полые тонкостен-
ные образцы.
Массивный стальной корпус машины (фиг. 382) устанавливается на рези-
новых амортизаторах. Испытуемый образец одной стороной соединяется
с бугельным динамометром, а другой — с нагружающим механизмом. На ма-
шине можно испытывать образцы различной формы.
Постоянная во времени нагрузка создается при помощи жесткой винто-
вой пружины. Низкочастотная нагрузка осуществляется гидропульсатором,
Фиг. 382. Общий вид машины Шенка для испытаний на усталость
образцов по заданной программе нагружения.
установленным последовательно с механизмом высокочастотного нагруже-
ния, который состоит из электродвигателя, регулируемого кулачкового
механизма и пружины — возбудителя.
Изменяя число оборотов двигателя, а следовательно, и частоту колебаний
пружины-возбудителя, можно варьировать закон изменения нагрузки в про-
цессе испытаний. Величина нагрузки измеряется динамометром. Последний
снабжен оптическим устройством, состоящим из источника света, зеркала
и стеклянного матового экрана (фиг. 383). Положение светового пятна
Прочность при одноосном напряженном состоянии
599
на экране характеризует величину постоянной составляющей, а размыв
пятна — переменной составляющей нагрузки.
Для осуществления программного контроля в машине имеется ряд счет-
чиков циклов, работающих совместно с двигателем и гидропульсатором.
Счетчики включаются по очереди автоматически, установка же задаваемого
числа циклов на каждой ступени программы осуществляется вручную.
Величина высокочастотной нагрузки определяется числом оборотов
двигателя и контролируется блоком контактов (фиг. 383). В процессе работы
контакты управляются
пальцем динамометра.
При настройке ма-
шины на заданную про-
грамму нагружения кон-
такты уста навливают
так, чтобы получить не-
обходимую ' на данной
ступени величину ам-
плитуды нагрузки. Ре-
гулирование контактов
осуществляется при по-
мощи колпачков с мик-
рометрической резьбой.
Изображенная на
фиг. 382 машина имеет
восемь счетчиков и во-
семь пар контактов. За- Фиг. 383. Оптическое приспособление к динамометру и блок
метим, ЧТО ЧИСЛО СЧетчи-	• контактов машины Шенка.
ков может быть любым.
Перед началом испытаний счетчики устанавливаются на назначенное
число циклов для каждой ступени, а контакты — на заданное значение
амплитуды нагрузки. По прошествии числа циклов первой ступени про-
граммы первый счетчик замыкает контакт и блок контактов поворачивается,
так что против пальца динамометра оказывается новая пара контактов;
одновременно включается следующий счетчик.
Если палец динамометра не замыкает контактов, то число оборотов уве-
личивается; если палец динамометра совсем не размыкает контактов, то число
оборотов уменьшается. При заданном числе оборотов контакты работают
в колебательном режиме. Таким образом и поддерживается необходимый
уровень нагрузки.
В литературе [105] имеются описания и других конструкций машин
с программным нагружением.
Образцы для испытаний на усталость должны быть тщательно выполнены;
поперечное сечение их должно плавно изменяться по длине. Особое внимание
нужно уделить состоянию поверхности образцов. Как показывают опыты,
резкое изменение поперечного сечения и грубо обработанная поверхность
образца ведут к снижению предела выносливости.
Для экспериментального определения предела выносливости необходимо
установить число циклов, выдержав которое образец не разрушится при
дальнейших испытаниях. Это число циклов называется базой определения
предела выносливости.
Как показывают результаты экспериментальных исследований [16],
образцы большинства черных металлов, выдержавшие 107 циклов изменения
напряжений, обычно не разрушаются при дальнейших испытаниях. Базой
для определения предела выносливости для черных металлов считают 107
циклов. В некоторых случаях, как например, для цветных металлов, легких
600
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
сплавов, для черных металлов с корродированной поверхностью, а также
для закаленных до высокой твердости сталей, невозможно установить такое
число циклов, выдержав которое образец не разрушается и при дальнейших
испытаниях. В этом случае вводится понятие условного предела выносли-
вости .
Условным пределом выносливости, или пределом ограниченной выносливости,
называется наибольшее максимальное напряжение, при котором не происходит
разрушения, когда осуществляется определенное число циклов, принятое
за базу.
Например, для цветных металлов за базу для определения условного
предела выносливости принимается от 5-Ю7 до 103 циклов. Отметим, что
и для черных металлов при изучении усталостных свойств иногда бывает
достаточно ограничиться получением условных пределов выносливости.
Фиг. 384. Кривая выносливости (черные металлы).
В таком случае за базу принимается число циклов, лежащее в интервале
от 5-Ю5 до 3-103 циклов [ИЗ].
Остановимся более подробно на рассмотрении методики эксперименталь-
ного определения предела выносливости. Из испытуемого материала изгото-
вляется серия одинаковых образцов (обычно не менее шести-восьми). Первый
образец нагружается так, что в нем возникает напряжение aj, заведомо
большее, чем предел выносливости; образец испытывается на машине до раз-
рушения, которое происходит при некотором числе циклов Второй обра-
зец нагружается так, что в нем возникает напряжение ап < этот образец
также испытывается до разрушения при числе циклов Nu. Очевидно, что
Mi >	- Таким образом, испытание ведется до тех пор, пока образец не вос-
примет без разрушения 107 циклов (черные металлы) или от 5-107 до 10s
циклов (цветные металлы).
На основании результатов испытаний строится график (фиг. 384) зависи-
мости максимальных напряжений, при которых происходит разрушение
образца, от числа циклов нагружения, которым подвергался образец до раз-
рушения. Такие кривые называются кривыми выносливости. Они строятся
либо в координатах N, атах (где N — число циклов, а атах — максимальное
напряжение цикла), либо в полулогарифмических (lgN, атах) или логариф-
мических координатах (1g У, 1g %ах). Логарифмическая шкала по оси абсцисс
(число циклов N) весьма удобна, так как она позволяет на небольшой длине
уместить компактно и малые и большие значения чисел циклов N. Кроме
того, в большинстве случаев в полулогарифмических координатах зависи-
мость напряжения от числа циклов при разрушении графически выражается
двумя прямыми линиями (фиг. 385).
Прочность при одноосном напряженном состоянии
601
На фиг. 384 и 385 кружочками помечены опыты, закончившиеся разру-
шением образца; кружочками со стрелкой — опыты, при которых образец
выдержал заранее обусловленное количество перемен напряжений и не раз-
рушился .
Фиг. 385. Кривая выносливости в полулогарифмических координатах.
Если предположить, что имеющийся обычно разброс точек отсутствует,
то кривая выносливости должна проходить через все кружочки, а все кру-
жочки со стрелками должны быть расположены ниже нее.
Отметим, что при построении начального участка кривой выносливости
результаты испытаний часто дают большое рассеивание. На фиг. 386 при-
ведены полученные Г. В. Ужиком [113] результаты испытаний нормализо-
ванной стали 15Х с пределом прочности при растяжении ab2 =5100 кг/см2.
Зона рассеивания заштрихована. Такое большое рассеивание, по-видимому,
объясняется структурной неоднородностью материала, влиянием начальных
напряжений и другими причи-
нами.
Для того чтобы можно было
сравнивать результаты различных
опытов, необходимо установить
допуск на определение предела
выносливости. Так, например,
если шестой образец (из черного
металла) сломался при числе цик-
лов, меньшем 107, а седьмой не
сломался, проработав 107 циклов,
то это еще не значит, что пределом
выносливости будет напряжение
avib Весьма возможно, что при
некотором напряжении avin, мень-
шем aVi и большем aVii, образец
тоже не сломается, выдержав
107 циклов.
Фиг. 386. Область рассеивания опытных точек
при определении начального участка кривой вы-
носливости. Сталь 15Х, аб2=5100 кг/см2 [113].
Если обозначить наибольшее максимальное напряжение, при котором
образец не сломается, проработав 107 циклов, через аг, а ближайшее напря-
жение сломавшегося образца aN, то напряжение аг может быть принято
а л/ — Or
за предел выносливости, если отношение —---------- не превышает опреде-
ленной величины.
К сожалению, этот допуск к настоящему времени еще не нормализован.
И. А. Одинг [64] предлагает принимать его равным 10% при условии, что
разность <sN — аг < 100 кг/см2.
Обычно предел выносливости определяется по кривой выносливости.
Если последняя построена в координатах N, а|71ах, то принято считать, что
38	508
«02
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
предел выносливости в определенном масштабе выражается отрезком, отсе-
каемым на оси напряжений горизонтальной прямой АВ, проходящей через
точку пересечения кривой выносливости с вертикалью, отсекающей на оси
.абсцисс отрезок, равный базе, избранной для нахождения предела выносли-
вости (фиг. 384). Часто определяющая горизонтальная прямая является
касательной к кривой выносливости.
Фиг. 387. Кривая выносливости малоуглеродистой стали в полулогариф-
мических координатах [137].
При использовании кривой выносливости, построенной в полулогариф-
мических координатах lgN, afflax, считается, что предел выносливости выра-
жается отрезком, отсекаемым на оси напряжений горизонтальной прямой АВ,
являющейся продолжением горизонтального участка графика (фиг. 385).
На фиг. 387—390 изображены кривые выносливости, полученные для
некоторых материалов. На фиг. 387—389 в полулогарифмических координа-
тах представлены результаты испытаний малоуглеродистой стали, хромо-
Фиг. 388. Кривая выносливости хромоникелевой стали в полуло-
гарифмических координатах [137].
никелевой стали [137 ] и технического титана 157 ] при симметричном цикле
изменения напряжений. На фиг. 390 приведена кривая выносливости чугуна
при том же цикле. Заметим, что не все экспериментально полученные~точки
.(кружочки) лежат на кривых. Разброс точек объясняете^ неоднородностью
структуры образцов и погрешностями, связанными с проведением опытов.
Как отмечалось выше, кривая выносливости обычно строится по резуль-
татам испытаний шести—восьми образцов. Это число образцов является мини-
мально необходимым.
Для получения уточненных данных число испытываемых образцов часто
увеличивают. Так, например, при изучении усталостных свойств материалов
неоднородной структуры (чугунов) число образцов должно быть значительно
большим. Однако при увеличении количества образцов возрастает вероят-
Прочность при одноосном напряженном состоянии
603
яость появления дефектных экземпляров, что может привести к понижению
кривой выносливости, а следовательно, и предела выносливости.
Поэтому при обработке результатов испытаний большого количества
-образцов необходимо применение статистических методов. В настоящее
время в лабораторной практике такие методы используются [136], [157].
При испытаниях на изгиб в области высоких напряжений, соответствую-
щих участку CD (фиг. 384), напряжения могут быть выше предела теку-
‘Фиг. 389. Кривая выносливости тех-
нического титана в полулогарифмиче-
ских координатах = 5950 кг/см2
[57].
чести а5;в этом случае вычисление их величины по обычным формулам сопро-
тивления материалов, выведенным в предположении справедливости закона
Гука, не может считаться правильным. Методика определения напряжений
для этого случая изложена’ в томе II, главы IX и XI. Она основана на теории
пластичности. К сожалению, это обстоятельство иногда не принимается
во внимание экспериментаторами,
и кривая выносливости в области
высоких напряжений бывает на-
несена неправильно.
В литературе [121], [141]
имеются указания, что для цик-
лов с максимальными напряже-
ниями, превышающими предел
текучести, форма кривой выносли-
вости существенно отличается от
формы, которую она имеет при
напряжениях ниже предела теку-
чести (фиг. 391). Это объясняется
различием процессов развития
усталостных трещин при высоких
и низких напряжениях.
Кривые выносливости позволя-
Фиг. 391. Вероятная форма кривой выносливо-
сти при напряжениях атах, превышающих пре-
дел текучести.
ют решать вопрос и о долговечности
детали. Не всегда нужно, чтобы деталь работала при переменных напряжениях
неопределенно долго. Иногда число циклов напряжений, возникающих при
работе детали в период ее эксплуатации, значительно меньше числа циклов,
положенных в основу определения предела выносливости. В этом случае
допускаемое напряжение может быть повышено. Подробнее о расчете деталей
на ограниченный срок службы см. § 12.
Для составления формул при расчетах на долговечность желательно рас-
полагать уравнением кривой выносливости (amax)£ = f (Nj). В результате
604
Расчеты, на прочность при напряжениях, переменных во времени
математической обработки экспериментальных данных установлено [127],
что уравнение кривой выносливости может быть представлено в виде
^1 = Л(атах)2,	(4)
где А и п — постоянные параметры.
Некоторые результаты исследований, посвященных определению этих
параметров при помощи статистической обработки опытных данных, при-
ведены в работе [122].
Заметим, что уравнение (4) достаточно точно отражает кривую выносли-
вости при напряжениях, лежащих в интервале между пределами выносли-
вости и текучести. Асимптотой кривой, соответствующей уравнению (4),
является ось N, в то время как для большинства материалов кривые выносли-
вости при неограниченном увеличении числа циклов асимптотически прибли-
жаются к горизонтальной прямой, отстоящей от оси N на расстоянии, равном
в масштабе напряжений величине аг.
С этой точки зрения более удачным является уравнение кривой выносли-
вости, предложенное Вейбуллом [157]. На основании статистического ана-
лиза экспериментальных исследований, проведенных при симметричных
циклах, им предложена зависимость
Nl = [(«тахк - О-1]т ’
где В и m — постоянные параметры.
Из рассмотрения уравнения (5) следует, что при атах = вели-
чина N = со, т. е. горизонтальная прямая, отстоящая от оси N на расстоя-
нии, равном в масштабе напряжений величине ст_1( является асимптотой
к кривой, построенной по уравнению (5).
И. А. Одингом [65], 166] на основе разработанной им дислокационной
теории усталостного разрушения дано обоснование экспериментальной
формулы (5).
Заметим, что уравнение (5) справедливо при напряжениях ниже предела
текучести.
Пределы выносливости при испытаниях на изгиб (в дальнейшем пределы
выносливости при чистом и поперечном изгибах не будут различаться, так
как влияние на усталостную прочность касательных напряжений, возни-
кающих в сечениях при поперечном изгибе, незначительно) и на растяжение-
сжатие, на первый взгляд, должны быть одинаковы, так как и в том и в дру-
гом случае имеет место одноосное напряженное состояние. Однако в боль-
шинстве экспериментальных исследований получено
где	— предел выносливости при симметричном цикле 'в случае
растяжения-сжатия, a (c-J* — предел выносливости при симметричном
цикле в случае изгиба
Это можно объяснить следующим образом. При испытаниях на выносли-
вость в случае растяжения-сжатия очень трудно достигнуть точно централь-
ного осевого нагружения. Практически всегда имеет место внецентренное
продольное нагружение (изгиб с растяжением или сжатием), т. е. более тяже-
лые условия, чем при растяжении и сжатии, что понижает величину предела
выносливости при осевом нагружении.
На эту мысль навели результаты более тщательно поставленных опытов
на растяжение-сжатие, с лучшей центровкой образца. В этих опытах было
Прочность при одноосном напряженном состоянии
605
получено меньшее различие между пределами выносливости при изгибе
и растяжении-сжатии. В частности, для легированной стали с пределом
прочности при растяжении abz = 10 500 кг/см2 было установлено
d 0,95 (а_х)д, а для стали со средним содержанием углерода при
ob2 = 4600 кг/см2 напряжение (a_i)^ d = 0,88
Но все же предел выносливости' при растяжении-сжатии оказывается
всегда меньше предела выносливости при изгибе потому, что условия распро-
странения усталостной трещины при осевом нагружении более благоприятны,
чем при изгибе, так как в изогнутом образце внутренние точки поперечного
сечения напряжены слабее, чем
наружные, а при осевом нагру-
жении образца его напряжен-
ное состояние однородно. В ра-
счетах под пределом выносли-
вости, при одноосном напря-
женном состоянии понимается
обычно предел, выносливости,
определенный при испытании
на изгиб.
В настоящее время имеется
много эмпирических формул,
связывающих предел выносли-
Фиг. 392. Результаты многочисленных опытов
по установлению зависимости между о_х и
для сталей [113].
вости при симметричном цикле
в случае изгиба, предел проч-
ности и предел текучести при
растяжении. Однако этими фор-
мулами нужно пользоваться с осторожностью, так как они справедливы
только для тех материалов, в результате испытания которых получены, и
могут оказаться совершенно неверными в других случаях.
На фиг. 392 приведены результаты многочисленных опытов по установле-
нию зависимости между пределом выносливости и пределом прочности
различных сталей [113]. Кривые I и II ограничивают область разброса
точек. Из рассмотрения этой фигуры следует, что в среднем для сталей с пре-
делом прочности от 3000 до 12 000 кг/см2 можно принять соотношение
о»! ^0,5 abz. Это соотношение на фиг. 392 соответствует прямой АВ.
Для высокопрочных сталей с пределами прочности от 12 000
до 18 000 кг/см2 ориентировочно можно принимать *
а_х 4000 + <зЬ2 [кг/см2}.
Приведенному уравнению на фиг. 392 соответствует прямая ВС.
С. Л. Жуков [24] на основе результатов испытаний значительного числа
марок сталей предложил следующие зависимости между пределом выносли-
вости при изгибе, пределами прочности и текучести при растяжении:
а_х = 0,27аЬг + 1850 [кг!см2}\
а^ = 0,24аsz + 2750 [кг/см2}.
Первому соотношению на фиг. 392 соответствует пунктирная прямая DE.
Для стального литья и чугуна приближенно можно считать, что
Для цветных металлов это соотношение изменяется в более широких
пределах, а именно я» (0,25 -н 0,50) <зЬг.
В табл. 61—66 приведены пределы прочности, текучести и выносливости’
для ряда машиностроительных материалов [107].
606
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Таблица 6t
Характеристики механической прочности углеродистых сталей в кг/см2, [107]
Марка стали	°bz	°sz	CT-i	5 т-1
10	3200—4200	1800	1600—2200	800—1200
20	4000—5000	2400	1700—2200	1000—1300
30	4800—6000	2800	’	2000—2700	1100—1400
35	5200—6500	3000	2200—3000	1300—1800
40	5700—7000	3200	2300—3200	1400—1900
45	6000—7500	3400	2500—3400	' 1500—2000
50	6300—8000	3500	2700—3500	1600—2100
60	6500—9000	3700	3100—3800	1800—2200
ЗОГ	5600—7000	2900	2200—3200	—
50Г	6500—8500	3700	2900—3600	—.
45Г2	7000—9000	4100	3100—4000	1800—2200
При м’е ч а н и е. Данные приведены для сталей :			в нормализованном состоянии и полу-	
чены на образцах d = 6-4-12 мм с полированной поверхностью. База испытаний N = 10’ циклов.				
Марки сталей указаны по данным работы [107], при использовании сталей необходимо				
иметь в виду следующее соответствие марок: сталь Ст.			3 соответствует стали 20, сталь Ст. 5 —	
стали 35, сталь Ст. 6 — стали 45.				
Таблица 62
Характеристики механической прочности легированных сталей в кг/см2 [107]___
Марка стали		asz	CT-i	T-i
20Х 40Х 45Х 40ХН 40ХНМА 40ХФ 50ХФ 12ХНЗА 20ХНЗА 37XH3A 18ХНВА 25ХНВА ЗОХГСА	7 200— 8 500 7 300—10 500 8 500—10 500 10 000—14 500 10 000—17 000 9 000—12 500 11 500—14 000 9 500—14 000 9 500—14 500 11 500—16 000 11500—14 000 11000 11 000—17 000	4 000— 6 000 6 500— 9 000 7 000— 9 500 8 000—13 000 8 500—16 000 8 000— 9 500 9 000—12 000 7 000—11 000 8 500—11 000 10 000—14 000, 8 500—12 000 9500 8 500—15 000	3100—3800 3200—4800 4000—5000 4600—6000 5000—7000 3800—4900 5500—6300 4200—6400 4300—6500 5200—7000 5400—6200 5000 4800—7000	1700—2300 2100—2600 (2000—3000) (2300—3600) 2700—3800 (1900—3000) (2800—3600) 2200—3000 2400—3100 3200—4000 3000—3400 (2500—3000) 2800—4000
Примечание. Данные приведены в работе [107] для сталей в улучшенном состоянии. Пределы выносливости получены на полированных образцах диаметром 6—12 мм. База испытаний W = 5- 10е ~ Ю7 циклов.' В скобках указаны примерные значения напряжений.				
, Таблица 63'
Характеристики механической прочности чугуна [107]________________
Механические характеристики	Марка					
	СЧ 21-40	СЧ 22-44	СЧ 28-48	СЧ 32-52	СЧ 35-56	СЧ 38-60
Предел прочности в кг/см2: при растяжении аьг • .	2100	2 400	2 800	3 200	3 500	3 800
„ сжатии <3bd ....	9500	10 000	11 000	12 000	12 000	14 000
„ кручении ъь . . .	2800	3 000	3 500	3 900	4 000	4 600
Твердость Нв		180—207	187—217	170—241	170—241	197—255	197—255
Предел выносливости а_х при изгибе на гладком образце в кг/см2		1000	1 200	1 400	1 400	1 500	1 500
То же при кручении в кг/см2		800	1 000	1 100	1 100	1 150	1 150 : В
Прочность при одноосном напряженном состоянии
607
*	Таблица 64
Характеристики механической прочности в кг/см2 алюминиевых сплавов
в термически обработанном состоянии [107]
Тип или марка сплава	°bz	°sz	CT—i при N = (2 -5- 5)-IO7
Al + Si	1300—2550	700—1500	400—850
Al+Mg	1400—3300	800—1800	650—1100
Al + Cu	1700—2500	1100—1500	420—800
Al —Cu -f- Si	1300—2400	600—1700	450—600
АЛ-1	1500—3150	1200—2500	560—1100
AC-1	1600—2000	600—1400	450—600
Д1	2100—4200	1100—2400	750—1050
ДЗП	3400	2100	1000
Д16	4700	3300	1150
Д18	3000	1700	950
AK2	4200	2800	1000
AK8	4900	3800	1150—1300
АМЦ	Ю00—1900	350—1760	490—700
AM2	1860—2740	980—2530	1190—1450
Таблица 65'
Характеристики механической прочности в кг/см2 магниевых сплавов
в термически обработанном состоянии [107]
Марка сплава	|	abz	°sz	ст—i при N — (2-4-5)-107
МлЗ	1700—1800	550	550
Мл4	1900—2600	900—1200	600—800
Мл5	1500—2700	800—1200	400—1000
Млб	1400—2400	800—1000	600—800
МА1	2100—3000	1200—2000	750
МА2	2600—2700	1600—1800	1100
МАЗ	3000—3400	2200	1300—1500
МА5	3000—3400	1900	1300
Таблица 6&
Характеристики механической прочности неметаллических материалов [107]
Материал	Марка материала	Удельный вес у в г/см?	ate в кг/см1	°bd в кг/см*	ст-1 в кг)см*
Гетинакс 	 Текстолит	 Дельта-древесина . . Плексиглас		Б птк ДСП-10	1,3—1,4 1,3—1,4 1,25—1,45	1000 800—1000 2200—3000 750	1600 1500—2500 1500—1800	200—400 200 400—600 200—250
Г. Графики зависимостей между пределом выносливости и степенью
асимметрии цикла (диаграммы усталостной прочности)
Как уже отмечалось, предел выносливости <зг зависит от степени асиммет-
рии или типа цикла. В настоящее время собран значительный материал
по этому вопросу.
Первая попытка графической интерпретации влияния типа цикла на уста-
лостную прочность была сделана В. Э. Тиром [ 108 ]. Им предложена диаграмма
608
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
усталостной прочности в координатах amin, amax. Подробная разработка
этой диаграммы для расчетных целей дана в работе [21 ].
В настоящее время зависимость предела выносливости от степени асим-
метрии цикла чаще всего изображают при помощи диаграмм двух типов:
диаграммы, построенной в координатах ат, а также диаграммы в коор-
динатах Gm, ® ^min-
Рассмотрим первую из этих диаграмм. Диаграмма в координатах ат,
<за дает наглядное представление о прочности материала при переменных
напряжениях. По оси абсцисс откладываются постоянные напряжения цик-
лов ат, а по оси ординат — переменные напряжения оа. Масштаб по обеим
Фиг. 393. Графическое изображе-
ние цикла изменения напряжений
в координатах сзт, оа.
осям принимается одинаковым.
Каждая точка М диаграммы соответ-
ствует некоторому циклу, вполне опреде-
ляемому величинами <зт и аа (фиг. 393).
Обозначим отношение переменного напряже-
ния цикла к постоянному через р:
р = —
1 °т
(6)
Очевидно, что величина р представляет
собой тангенс угла наклона 0 луча ОМ
к беи ат, т. е. р = tgp.
На основании формул (1) — (3) и (6)
можно получить зависимость между коэффи-
циентами риг:
Фиг. 394. Различные циклы изменения напряжений в коорди-
натах от, оа.
Рассматривая подобие треугольников ОМт и ONn, легко доказать,
что лучи, выходящие из начала координат диаграммы, являются геометри-
ческим местом точек, соответствующих подобным циклам (₽ = const,
р =const, г = const). Эти лучи (например, линию ОМ} в дальнейшем будем
называть линиями по-
добных циклов.
Оси координат и
биссектрисы координат-
ных углов (прямые ОА
и ОВ на фиг. 394) делят
поле диаграммы на че-
тыре области. Коэффи-
циенты циклов, соответ-
ствующие каждой обла-
сти, указаны на фиг. 394
и в табл. 60. Ось
абсцисс (г = -|-1) сле-
дует рассматривать как
геометрическое место
точек, изображающих
циклы с бесконечно малой амплитудой (напряжения постоянны во
времени). Точки на оси ординат (г = —1) соответствуют симметрич-
ным циклам. На фиг. 394 и в табл. 60 приведены различные случаи изменения
напряжений и соответствующие значения коэффициентов г.
Рассмотрим построение полной диаграммы в координатах <зт, <за
(фиг. 395). Предположим, что механические характеристики материала —
пределы прочности при растяжении и сжатии abz, <зм и пределы текучести
Прочность при одноосном напряженном состоянии
609
при растяжении и сжатии aS2, asd могут быть определены, причем
ab2 < Qbd> а Qsz < °sd (хрупко-пластичный материал) (том I, глава V).
По оси абсцисс отложим величины <зЬг, abd, asz и asd. Как всегда, при-
нимаем напряжение растяжения положительным, а напряжение сжатия —
отрицательным. Из концов отрезков проведем под углом 45" к оси абсцисс
прямые линии АгК, А2К, СкЬ, C2L.
Ломаная линия А±КА2 делит поле диаграммы на две части. Точки, лежа-
щие вне этой линии, соответствуют циклам, у которых атах > <зЬг (правая
часть диаграммы) или |amin| > abd (левая часть диаграммы). Циклы эти
осуществлены быть не могут, так как материал разрушится до завершения
первого намеченного цикла.
Фиг. 395. Полная диаграмма усталостной прочности в координа-
тах от, од.
Область, ограниченная линиями CtLC2 и А^КА2, является областью цик-
лов, осуществление которых связано с возникновением пластических
деформаций, так как точкам, лежащим в ней, соответствует afflax > asz
И I amin | > §sd*
В случае циклов, изображенных точками, расположенными в обла-
сти CxLMj, пластические деформации возникают в положительной части
первого цикла (растяжение); при осуществлении циклов, изображенных точ-
ками, лежащими в области C2LaA2 — при сжатии. Если же цикл предста-
влен точкой, лежащей в области aLbK, то пластические деформации возник-
нут и при растяжении и при сжатии.
Следует иметь в виду, что явление повторного нагружения при наличии
пластических деформаций, как это уже отмечалось ранее, весьма сложно.
Предел текучести материала при повторном нагружении изменяется
(см. фиг. 369). В случае неоднородного напряженного состояния (например,
при изгибе) возникают остаточные напряжения, которые складываются
с напряжениями, возникающими при повторных нагружениях (том II,
главы IX и XI).
Рассматриваемая диаграмма, естественно, не может отразить всех тон-
костей этих сложнейших процессов, но она дает возможность оценить в пер-
вом приближении состояние материала при рассматриваемом цикле изме-
нения напряжений. Эта оценка может служить отправным пунктом для даль-
нейших более полных и точных исследований.
39 Пономарев 508
610
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Отметим, что в работе [125 ] выявлена возможность развития пластиче-
ских деформаций, в процессе проведения испытания на выносливость, при
напряжениях, лежащих ниже предела текучести.
Часть диаграммы Cj_LC2 соответствует циклам, протекающим в области
чисто упругих деформаций (amax < osz и | amin | < asd).
Нанесем на диаграмме экспериментально полученную для данного мате-
риала предельную кривую, отделяющую область циклов, при осуществлении
которых нагружение можно производить практически неограниченно большое
число раз без разрушения, от области возможного усталостного разрушения.
Эта кривая проходит через точки и А2, поскольку, как уже отмечалось
выше, за пределы выносливости
Фиг. 396. Диаграмма усталостной
прочности в координатах от, оа в
. случае, если от > 0
при постоянных во времени напряжениях
принимаются соответствующие пределы
прочности. Форма предельной кривой за-
висит от свойств данного материала. До-
пустим, что предельная кривая займет на
диаграмме положение
Следует отметить особую сложность
получения опытных точек, относящихся
к частям и F2A2 кривой, когда атах
близко к abz (часть FxXj) и особенно если
I amin I близко к abd (часть F2A2). Чаще
всего эти участки кривой проводятся
приближенно (на глаз).
Согласно принятому ранее определе-
нию предела выносливости следует, что
максимальные напряжения циклов, изо-
браженных точками предельной кривой,
являются пределами выносливости аг со-
ответствующих циклов, причем
° г — °mL +
В этом выражении amL и aaL — постоянное и переменное напряжения
предельного цикла.
Отрезок ОЕ представляет собой предел выносливости при симметричном
цикле а_х.
Для определения предела выносливости цикла с заданным коэффициентом
асимметрии г необходимо по формуле (7) вычислить р и провести луч под
углом р = arctg р к оси ат. Сумма координат точки пересечения этого луча
с предельной кривой в принятом масштабе равна пределу выносливости.
Итак, проведенные линии делят диаграмму на пять областей (см. фиг. 395).
I.	Область циклов, при осуществлении которых не возникают пластические
деформации и циклы могут повторяться без разрушения сколько угодно раз.
II.	Область циклов, при которых опасность разрушения исключена,
но возникают пластические деформации при осуществлении первого цикла.
III.	Область циклов, при осуществлении которых пластические дефор-
мации не возникают, но разрушение наступит при достаточно большом
числе перемен напряжений
IV.	Область циклов, при осуществлении которых возникают пластиче-
ские деформации и разрушение при некотором числе циклов.
V.	Область неосуществимых циклов.
Как было указано ранее, наиболее полно изучена работа материалов при
напряжениях, изменяющихся так, что ат > 0. Циклы эти изображены точ-
ками, лежащими в правом координатном углу диаграммы (фиг. 396).
Заметим, что в случае осуществления циклов с максимальными напряже-
ниями, большими предела текучести материала, при испытании на растяже-
Прочность при одноосном напряженном состоянии
611
ние-сжатие существенно изменяется площадь поперечного сечения об-
разцов.
В связи с этим в работе [81 ] предложено строить диаграмму уста-
лостной прочности в действительных напряжениях. Вычисление последних
производится с учетом изменения площади поперечного сечения при дефор-
мировании образцов.
На фиг. 397 представлена диаграмма усталостной прочности в координат
Фиг. 397. Диаграмма усталостной прочности в координатах
действ' а)действ ^ЛЯ.
1 — стали ЗОХМА, 2 — стали 45 [81].
Переменное напряжение цикла не может превосходить величины предела
выносливости при симметричном цикле, который обычно меньше предела
текучести материала. Поэтому при подсчете переменных напряжений можно
не учитывать незначительного изменения площади поперечного сечения
и откладывать по оси ординат условные напряжения. Тогда диаграмма уста-
лостной прочности принимает вид, изображенный на фиг. 398.
Таблица 67
Химический состав и механические свойства сталей ЗОХМА и 45
Сталь	Термообработка	Химический состав в %								Механические свойства ।			
		С	Si	Мп	S	♦ р	Сг	Ni	Мо	О д и «3	гюэ/гъ а	% Я *3	о Qj а;
ЗОХМА	Закалка с 880°, отпуск при 450°	0,31	0,16	0,45	—	—	0,87	—	0,19	9800	17 500	15	30—31
45	Нормализация при 840°	0,40.	Ь,28	б‘69	0,031	0,025	0,03	0,05	—	7100	12 500	24	20—22
Ввиду сложности экспериментального получения предельной кривой,
а также для выполнения расчётов на выносливость в аналитической форме
в настоящее время часто пользуются упрощенными и приближенными ее
представлениями. В дальнейшем диаграммы, основанные на упрощенной
предельной кривой, будем называть схематизированными. На фиг. 399—401
изображены схематизированные диаграммы предельных напряжений.
На фиг. 399 предельная кривая в области положительных напряжений <зт
заменена прямой, соединяющей точки А и Е.
Положение точки А на диаграмме определяется величинами условного
или действительного пределов прочности, положение точки Е — величиной
предела выносливости, а точек С и D — пределом текучести. Следовательно,
для построения диаграммы в этом случае требуется знание всего лишь трех
39*
612 Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
параметров а^, или (ад<г)дейсот8, а_х и as2. Заметим, что при определении
предела текучести вследствие малых деформаций изменение площади попе-
речного сечения не учитывается, поэтому \^sz)deilcme — asz. Значения услов-
ных и действительных пределов прочности, а также пределов текучести для
ряда материалов приведены в главе V тома I, приложении к тому II, а также
в работе [53]. Данные по пределам
выносливости представлены в табл. 61 —
65 и в справочной литературе [93],
ПОЗ], [107].
Фиг. 399. Схематизированная диа-
грамма усталостной прочности
(предельная кривая заменена пря-
мой АЕ
Фиг. 398. Диаграмма усталостной прочности
в координатах (от)действ, °а-
В случае построения диаграммы в координатах (ат)действ,	указан-
ная ее схематизация, как это следует из фиг. 397, является весьма удачной,
'поскольку точки, полученные экспериментально, располагаются на пря-
мых АЕ.
Фиг. 400. Схематизированная диа-
грамма усталостной прочности по
С. В. Серёнсену и Р. G. Кина-
сошвили.
Фиг. 401. Схематизированная диаграм-
ма усталостной прочности (предельная
кривая заменена ломаной AGE).
Отметим, что в работе [81 ] приведены результаты испытаний всего лишь
двух марок сталей, что еще не может служить основанием для внедрения
в расчетную практику диаграммы в координатах (omheacme • °а- Поэтому
далее в основу расчетов положена диаграмма усталостной прочности в коор-
динатах ат, <за. Погрешность при использовании этой диаграммы идет в запас
Прочность при одноосном напряженном состоянии
613
прочности. Уравнение предельной прямой в этом случае имеет вид
a«L = °-l (1
__ QmL \
0&2 )
(8)
В целях уточнения расчетов С. В. Сервисен и Р. С. Кинасошвили пред-
ложили два типа схематизации начального участка диаграммы предельных
напряжений (фиг. 400 и 401) 131], [891. В первом случае (фиг. 400) начальный
участок диаграммы предельных напряжений до точки G, соответствующей
пульсационному циклу, апроксимируется параболой, уравнение которой
может быть написано следующим образом:
0	= а_______2	~ о2
QL —1	_2	ml.'
°0
Из этого уравнения следует, что парабола проходит через точки Е, G,
отражающие симметричный и пульсационный никлы
Фиг. 402 Схематизированная диаграмма усталостной прочности
в координатах (°т)действ, оо.
Во втором случае (фиг. 401) начальный участок диаграммы предельных
напряжений до пересечения ее с прямой CD в точке F' схематизируется пря-
мой, проходящей через те же точки Е и G, соответствующие предельным
симметричному и пульсационному циклам. Уравнение ее имеет вид
Вторая схематизация менее точно отражает начальный участок диаграммы
предельных напряжений, чем первая, но зато она более проста.
Отметим, что вся диаграмма предельных напряжений может быть схема-
тизирована ломаной EGA. Уравнение прямой AG имеет следующий вид:
°aL ~ ао
3bz — 3mL
2<зьг — сто '
(Ю)
Если диаграмма усталостной прочности строится в координатах (рт)действ,
оа, то тогда ломаная EGA превращается в прямую ЕА (см. фиг 402).
В этом случае, полагая в формуле (10) напряжения <зт1 = 0, <заГ = а_1(
a °bz = Ыдейств* получим
__ 2 bz) действ3—1	/1 j \
0	(3Ьг)действ + 3—1
614
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Таблица 68
Сопоставление пределов выносливости а0, полученных экспериментально
и подсчитанных по формуле (11)
°bz в кг!см?	(abzj действ в кг{см?	а—1 в кг/см?	а о в кг/см?		Отклонение в %
			Полученное экспериментально	Подсчитанное по формуле (11)	
5 500	9 900	1800	3350	3340	0
7 800	14 000	2500	4200	4250	1
8 000	14 400	2600	4450	4400	1
11 500	20 800	3600	5900	6160	4
7 700	13 900	2300	4100	3950	6
7 200	13 000	2250	4000	3840	4
8 850	15 900	3950	6200	6290	1
’ 4 500	8100	1350	2480	2310	•	7
В табл. 68 [81 ] проведено сопоставление величин предела выносливости
при пульсационном цикле, полученных экспериментально и подсчитанных
по формуле (11). Из рассмотрения таблицы следует, что наибольшее откло-
нение теоретических данных от результатов опытной проверки составляет
всего 7%. Таким образом, формула (11) даст возможность оценивать вели-
чину а0 по имеющимся в справочной литературе значениям (рь^действ
и а_х. Величина предела выносливости при пульсационном цикле а0 необхо-
дима для построения уточненной схематизированной диаграммы усталост-
ной прочности, как это показано на фиг. 401.
В табл. 69 приведены значения а^, (° ^‘действ > Qsz’ °-i> ао Для четырех
марок углеродистых сталей.
Таблица 69
Значения пределов выносливости аг в кг/см2 при симметричном и пульсационном
циклах для углеродистых сталей [79]
Марка углеродистой стали	°bz	aS2	(ст bz} действ	Растяжение- сжатие с__1	Растяжение
08	3270	1810	(9 000)	1560	2890
15	4140	2630	(10 000)	1880	3090
20	4080	2560	(10 000)	2100	3420
45	6970	3920	(11 000)	2590	4170
Данные получены при испытаниях на пульсаторе.
* Приближенные значения согласно данным, приведенным в приложении к тому II.
Довольно часто используется в расчетах диаграмма в координатах
omax, amin. На этой диаграмме (фиг. 403) каждый цикл изображается двумя
точками М и N, лежащими на одной вертикали, абсцисса которых предста-
вляет собой постоянное напряжение цикла <зт, а ординаты равны максималь-
ному агпах и минимальному amin напряжениям этого цикла.
Геометрическим местом точек, изображающих подобные циклы, являются
два луча ОМ и ON, выходящие из начала координат. Луч ОС, ‘делящий
координатный угол пополам, делит отрезок MN на две равные части. Этот
луч представляет собой геометрическое место точек, изображающих постоян-
ные во времени напряжения (г = + 1). Предельное постоянное напряжение
изображается точкой С с координатами, равными аЬг.
Прочность при одноосном напряженном состоянии
615
Предельные циклы,, наибольшие напряжения которых представляют
собой пределы выносливости аг, изображаются точками, лежащими на кри-
вых АС и ВС (фиг. 404). Кривые эти будем называть предельными кривыми.
Предельные кривые должны быть получены экспериментально для каждого
материала.
Симметричные циклы изображаются точками, лежащими на оси ординат.
Предельный симметричный цикл представлен точками А и В, равно удален-
ными от начала координат О.
Рассмотрим определение предела выносливости для цикла с заданным
коэффициентом г.
Обозначим отношение	л- .
•Фиг. 403. Графическое изображение цикла Фиг. 404. Диаграмма усталостной прочности
изменения напряжения в координатах в координатах от, огаах и в случае если
°тах и ° mln
Очевидно, что v — есть тангенс угла а наклона луча OJ к оси
v = tga.
Точка J пересечения этого луча с линией АС определяет предельное
максимальное напряжение исследуемого цикла. Вторая точка L, полученная
пересечением кривой ВС с вертикальной линией, проведенной из точки J,
определяет предельное минимальное напряжение. Предел, выносливости
рассматриваемого цикла выражается отрезком JK.
Предельный положительный пульсационный цикл изображен точками
Е и D. Положительным пульсационным циклам соответствуют точки на
лучах ОЕ и OD.
Изображенная на фиг. 404 диаграмма характеризует свойства материала
только при положительных средних напряжениях.
Как уже отмечалось ранее, несимметричные циклы со средним напря-
жением отрицательного знака к настоящему времени исследованы еще весьма
неполно. В качестве примера полной диаграммы на фиг. 405 представлена
диаграмма, характеризующая свойства серого литейного чугуна, основанная
на опытах, проведенных как при положительных, так и при отрицательных
средних напряжениях [6].
616
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Диаграмма построена на базе испытания образцов чугуна при стати-
ческом растяжении и сжатии (точки А и В) и при симметричном (точки
С и D) и отрицательном пульсационном (точки Е и F) циклах.
Предельные кривые заменены ломаными линиями АСЕВ и ADFB, про-
веденными через точки, изображающие упомянутые выше циклы.
Фиг. 405. Полная диаграмма усталостной прочности в коорди-
натах бт, отах и 6mJn для серого литейного чугуна [6].
§ 5. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
В СЛУЧАЕ ЧИСТОГО СДВИГА
Прочность материалов при переменных напряжениях в случае чистого
сдвига изучена несколько менее полно, чем при одноосном напряженном
состоянии. Однако в литературе все же имеется достаточное количество
опытных данных, позволяющих производить расчеты в этом случае.
В качестве образцов при испытаниях материалов, работающих в усло-
виях чистого сдвига, используются прямые круглые (сплошные и полые)
брусья, нагружаемые моментами, изменяющимися во времени по величине
и направлению.
Описание машин для испытания образцов на кручение при переменных
напряжениях . можно найти, например, в книге Г. В. Ужика [ИЗ].
В разделе В § 5 было дано описание универсальной резонансной машины,
на которой также можно производить испытания на кручение как сплошных,
так и полых образцов (фиг. 380). Там же описана машина для испытаний
на кручение при программном нагружении (фиг. 382).
Основные положения усталостной прочности, изложенные в предыдущем
разделе применительно к прочности материалов при одноосном напряженном
состоянии, полностью применимы и к случаю чистого сдвига.
Методика определения пределов выносливости при чистом сдвиге тг
аналогична методике получения пределов выносливости аг при одноосном
напряженном состоянии.
Для определения предела выносливости тг строится кривая выносли-
вости, аналогичная изображенным на фиг. 384 и 385. В случае, если образец
Прочность при чистом сдвиге
617
представляет собой тонкостенную трубку среднего диаметра D с толшиной
стенки s, напряжение т при любых нагрузках вычисляется по формуле
2
где М — крутящий момент.
В случае использования сплошных образцов диаметра d наибольшее
напряжение т может быть вычислено пр формуле
М	/ю\
Т _ Wp ’
где W р = -J6---полярный момент сопротивления.
Однако формула (13) применима только тогда, когда напряжение т
меньше ts. При напряжениях т > их подсчет необходимо производить
согласно указаниям, данным в томе I, глава V (раздел А § 5).
При использовании кривых выносливости, приведенных в литературе,
необходимо уточнять, какие образцы подвергались испытаниям и какова
была методика определения напряжений.
Цикл изменения касательных напряжений характеризуется отношением
минимального rmin и максимального тгаах напряжений цикла. Это отношение
называется коэффициентом асимметрии цикла:
р
Tmax
Следует обратить внимание на необходимость учета знака касательных
напряжений. При напряжениях, постоянных во времени, свойства материалов,
при чистом сдвйге не зависят от направления касательных напряжений.
Направление, а следовательно, и знак нормальных напряжений опре-
деляют два различных физических явления — растяжение и сжатие. Свойства
большинства материалов при растяжении и сжатии различны.
Поэтому считают, что знак нормальных напряжений физически оправдан,
тогда как знак касательных напряжений носит чисто формальный характер.
При выполнении расчетов в случае постоянных во времени напряжений
знак касательных напряжений во внимание не принимается. При напря-
жениях, переменных во времени, прочность материала зависит от того,
изменяется направление, а следовательно, и знак касательных напряжений
или не изменяется. Поэтому при переменных напряжениях знак касатель-
ных напряжений приобретает некоторый физический смысл. Однако знак
постоянного касательного напряжения цикла не имеет значения.
С этой точки зрения циклы 1, 2, 3, 4 соответственно равноценны циклам
9, 8, 7, 6 (см. табл. 60).
Для иллюстрации зависимости между пределами выносливости при
различных циклах и степенью асимметрии циклов, так же как и при одно-
осном напряженном состоянии, могут быть построены диаграммы усталостной
прочности в координатах хт и та или хт, ттах и rmin.
При построении диаграмм предельных напряжений для чистого сдвига
следует иметь в виду, что, как уже отмечалось, знак постоянного касатель-
ного напряжения цикла не имеет значения. Следовательно, диаграмма для
чистого сдвига, аналогичная диаграмме, изображенной на фиг. 395, симмет-
рична относительно оси ординат. Поэтому левая часть ее не представляет
интереса и обычно не изображается.
В случае чистого сдвига могут быть использованы схематизированные
диаграммы, аналогичные таковым для одноосного напряженного состояния
«18
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
В качестве примера на фиг. 406 изображена наиболее употребительная
схематизированная диаграмма предельных напряжений для чистого сдвига.
Уравнение предельной прямой в этом случае имеет вид
=	(И)
где тот£ и raL — постоянное и переменное напряжения предельного цикла;
т_х — предел выносливости при симметричном цикле;
ть — предел прочности при чистом сдвиге.
Для построения диаграммы необходимо располагать значениями пределов
прочности ть, текучести т5,
Так как разрушению всегда
'Фиг. 406. Схематизированная диа-
грамма усталостной прочности для
чистого сдвига (предельная кривая
заменена прямой Л£).
выносливости при симметричном цикле
предшествуют пластические деформации, при
определении предела'прочности по результа-
там .испытания сплошных образцов ть не
следует вычислять по формуле (13). В этом
случае необходимо использовать метод, из-
ложенный в главе V, том I.
В связи с этим предел прочности т* целе-
сообразно получать путем испытания на кру-
чение тонкостенных трубчатых образцов.
Значения т5, ть и для ряда машино-
строительных материалов приведены, напри-
мер, в томе III и IV Энциклопедического
справочника «Машиностроение» [126] в
томе III «Справочника машиностроителя»
[107], а также в книгах [6], [16], [93].
Анализ опытных данных показывает, что
в случае чистого сдвига форма предельной
кривой усталостной прочности при циклах,
характеризуемых коэффициентом асимметрии
г, лежащим в пределах от—1 до 0, более
полога, чем при одноосном напряженном
‘состоянии. Поэтому использование схематизированной диаграммы, изобра-
женной на фиг. 406, для определения коэффициента запаса может привести
к погрешности в сторону преуменьшения коэффициента запаса.
Более точные результаты дает схематизированная диаграмма, аналогич-
ная изображенной на фиг. 401. В этом случае при —1 < г < 0
^aL = *-1
2^-1 ~ то _
То XmL’
(15)
а при 0 < г < 1
УЬ zmL
— *0
Т0
(16)
§ 6. ВЛИЯНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ НА ПРОЧНОСТЬ ДЕТАЛЕЙ МАШИН
А. Общие соображения
Как было указано в § 2 настоящей главы, одной из причин зарождения
и роста усталостных трещин в деталях машин является наличие небольших
зон, в которых возникают внутренние силы, значительно более интенсивные,
чем в основной массе материала детали.
Главными причинами, нарушающими плавное распределение внутрен-
них сил по объему деталей, являются особенности формы деталей: резкие
изменения их сечений, выкружки, галтели, выступы, отверстия, входящие
Влияние концентрации напряжений на прочность деталей машин
619
углы, вырезы, шлицевые и шпоночные пазы и т. п., а также влияния контак-
тирующих с деталью других элементов машин и сооружений. Внутренние
силы, возникающие в местах напряженного соприкосновения деталей,
в местах посадок, называются контактными силами.
Причины, вызывающие резкое локальное возмущение поля внутренних
сил в материале детали, называются концентраторами напряжений, а напря-
жения, возникающие в окрестности концентратора, — местными напря-
жениями.
Учитывая сказанное выше, концентраторы можно разделить в основном
на две группы: геометрические концентраторы (галтели, выступы, сверле-
ния ит. п.) и силовые концентраторы (контактные силы).
Местные напряжения, возникающие в районе силовых концентраторов,
называются контактными напряжениями.
Отметим основные особенности местных напряжений.
Характерной чертой местных напряжений является их локальность.
Местные напряжения, достигая большой величины в непосредственной бли-
зости от концентратора, очень быстро убывают по мере удаления от него,
так что напряженное состояние основной массы материала детали не зависит
от особенностей концентратора.
Местные напряжения в основном зависят от геометрии концентратора
(например, радиуса закругления входящего угла галтели).
Напряженное состояние в окрестности концентратора, как правило,
сложнее напряженного состояния материала детали, удаленного от кон-
центратора.
При увеличении нагрузки напряжения в районе концентратора достигают
предела текучести раньше, чем в других местах.
Таким образом, в окрестности концентратора образуется локальная
зона пластических деформаций, в то время как основная масса материала
детали еще деформируется упруго. В связи с этим происходит некоторое пере-
распределение (выравнивание) местных напряжений.
Чем пластичнее материал, тем перераспределение напряжений более
заметно. Этим объясняется тот факт, что влияние местных напряжений
на прочность деталей сказывается тем меньше, чем более пластичен их
материал.
Несущая способность деталей, выполненных из высокопрочных хрупких
материалов (например, твердозакаленных инструментальных сталей), резко
снижается вследствие возникновения пиков местных напряжений в окрест-
ностях концентраторов.
Формулы сопротивления материалов, дающие возможность с достаточной
степенью точности вычислить напряжения, возникающие в материале нагру-
женного бруса, пластины, оболочки, не могут быть использованы для оценки
местных напряжений.
Для расшифровки законов распределения местных напряжений привле-
кается значительно более сложный аппарат теории упругости и теории
пластичности. До настоящего времени в ряде случаев местные напряжения
могут быть оценены и измерены только экспериментально (оптическим мето-
дом, методом лаковых покрытий, методом сеток и т. п.).
Теория контактных напряжений, возникающих в местах напряженного
соприкосновения деталей, имеющих форму правильных геометрических тел,
изложена в главе VI тома II.
Величина местных напряжений и их влияние на прочность детали могут
быть охарактеризованы так называемыми коэффициентами концентрации
напряжений.
Теоретическим коэффициентом концентрации называется отношение
наибольшего местного напряжения к номинальному напряжению.
620
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Номинальным называется напряжение, - вычисленное либо в предполо-
жении отсутствия концентратора, либо без учета влияния возмущения поля
внутренних сил, вызванных концентратором. Обычно номинальные напря-
жения вычисляются по расчетным формулам сопротивления материалов.
Эффективным коэффициентом концентрации при напряжениях, постоян-
ных во времени, называют коэффициент, показывающий, во сколько раз-
наличие концентратора снижает несущую способность детали.
И, наконец, эффективным коэффициентом концентрации при напряже-
ниях, переменных во времени, называется величина, показывающая, во сколько
раз предел выносливости образца без концентратора выше предела выносли-
вости образца с концентратором.
Далее на нескольких типичных примерах более детально рассматриваются
особенности местных напряжений, возникающих как около геометрических,
так и около силовых концентраторов. Уточняются понятия коэффициентов
концентрации и номинальных напряжений, а также приводятся справочные
данные по эффективным коэффициентам концентрации напряжений.
Б. Концентрация напряжений и ее влияние на прочность
при напряжениях, постоянных во времени
Как было указано, одной из причин возникновения местных напряжений
является наличие геометрического или силового концентратора напряжений.
Рассмотрим несколько характерных примеров возникновения местных
напряжении с целью установления их
влияния на прочность и несущую спо-
собность детали при напряжениях,
неизменных во времени.
Представим себе широкую плас-
тину, находящуюся в условиях одноос-
Фиг. 408. Распределение окружных напряже-
ний о/ по контуру отверстия в широкой
пластине при растяжении.
Фиг. 407. Широкая пластина с отверстием
ного растяжения. Напряженное состояние пластины является однородным.
Если в пластине имеется сквозное отверстие, диаметр которого весьма мал
по сравнению с шириной пластины (фиг. 407), то наличие концентратора
(отверстия) существенно изменяет характер напряженного состояния пла-
стины. Оно становится неоднородным и неодноосным. Напряжения в окрест-
ности отверстия не могут быть определены методами сопротивления мате-
риалов. Эта задача решена методами теории упругости [143] в предполо-
жении, что длина и ширина пластины безгранично велики, а отверстие
имеет конечный диаметр d.
Ознакомимся с результатами упомянутого решения.
Влияние концентрации напряжений на прочность деталей машин
621
Напряжения в гранях элемента А (фиг. 408) az, аг, <зн могут быть вычи-
слены в зависимости от полярных координат элемента г и 0 согласно
уравнениям
’<=![>- О + ^W.
(17)

= + <19>
где а — растягивающее напряжение на контуре пластины.
В табл. 70 приведены напряжения в точках, расположенных на осях z и у
в зависимости от величины радиуса г, а на фиг. 408 и 409 — эпюры напря-
жений по контуру и осям z и у соответственно. Из рассмотрения таблицы
и эпюр следует, что напряженное состояние вблизи отверстия является двух-
осным. На небольшом расстоянии от точек К возникает двухосное растя-
жение, а от точек L—двухосное смешанное напряженное состояние. Инте-
ресно отметить, что материал пластины около контура (0 < 0 < 30°)
в области MLM (фиг. 408) находится в состоянии одноосного сжатия.
Таблица 70
Распределение напряжений в окрестности отверстия в широкой пластине
при растяжении (см. фиг. 409)
Напряжения		г d					
		г/2	1	2	3	10	оо
По оси г * 0 = 0°	а	0	+а,4б9	+0,850	+0,937	+0,994	+1,00
	а	—1,00	+0,031	+0,020	+0,013 1	+0,001 1	0
	а	0	0	0*	0	0	0
По оси у 0 =90°	<3Г а	0	+ 0,281	+0,088	' +0,041	-| 0,004	0
	g/ а	+3,00	+ 1,22	+ 1,04	+ 1,02	+1,00	+ 1,00
	а	0	0	0	0	0	0 •
Напряжения быстро убывают по мере удаления от отверстия. На рас-
стоянии г = 3d напряженное состояние уже мало отличается от одноосного.
Материал пластины наиболее напряжен в точках К- В этих точках напря-
женное состояние является одноосным, причем напряжение а, в 3 раза пре-
вышает напряжение а.
Рассмотренная задача о безграничной пластине представляла бы лишь
теоретический интерес, если бы возмущение однородного напряженного
состояния растянутой пластины, возникающее благодаря наличию отверстия,
не было локальным.
622
Расчеты на прочность при*напряжениях, переменных во времени
Фиг. 409. Распределение окружных и радиальных ог
напряжений в окрестности отверстия в широкой плас-
тине при растяжении*
Оказывается, что распределение напряжений в пластине конечных раз-
меров достаточно хорошо совпадает с распределением напряжений в пла-
стине безграничных размеров при условии, что ширина пластины В &L
Предположим [40], что напряжение а, в опасном сечении пластины mm
(фиг. 410) изменяется по тому же закону, что и для пластины безграничной
ширины [уравнение (17) при 0 = 90° ].
Вычислим сумму нормальных сил в опасном сечении. Эта сумма должна
равняться силе N, растягивающей пластину:
в
2
d
2
где s — толщина пластины.
Выполняя интегрирование, подставляя пределы и обозначая v = -5- >
получим
N = <ssd (v —J------;
из этого выражения опреде-
ляется величина напряжения
а =	(20>
svd *	\ г
где
_	2^
Х — 2\4 — v2 — 1 •
Значения коэффициента х
приведены ниже:
2	3	5	10	со
% 1,19 1,07 1,02 1,00 1,00
Так как в поперечном се-
чении пластины пп (фиг. 410)^
достаточно удаленном от от-
верстия, распределение напряжений можно считать равномерным и напря-
женное состояние одноосным, то напряжение а в сечении пп равно
a==JL	(2i>
svd
Именно это значение и должно быть подставлено в формулы (17) — (19).
Сопоставляя выражения (20) и (21), видим, что коэффициент х должен,
быть равен единице и отличается от нее только вследствие принятого произ-
вольного допущения о тождественности закона изменения напряжений
в опасном сечении пластин конечной и бесконечной ширины.
Величина коэффициента х характеризует в известной степени ошибку,
возникающую вследствие этого допущения.
Из рассмотрения приведенных значений х следует, что при v > 5 упо-
мянутая ошибка становится незначительной.
Итак, при вычислении напряжений в широкой пластине с небольшим
отверстием по формулам (17) — (19) в случае, если В 5d, можно прини-
мать значения напряжения а, определяемое по формуле (21). Формулы (17) —
(19) при В < 5d не являются достаточно точными и поэтому не должны
применяться.
Влияние концентрации напряжений на прочность деталей машин
62а
Рассмотрим распределение напряжений в пластине с отверстием при
В < 5d.
При v =	= 1,25 имеет место распределение напряжений, приведенное
на фиг. 411. Эти результаты [40], [119] были получены оптическим методом
(см. том I, главу IV).
На фиг. 411 изображено распределение напряжений at по контуру отвер-
стия и по ширине опасного сечения пластины. Там же приведена эпюра изме-
нения нормальных напряжений <зг по боковым краям пластины.
Сопоставление эпюр на фиг. 411 с эпюрами на фиг. 408 и 409 показы-
вает, как сильно этот случай отличается от предыдущего (когда В 5d).
Область материала, находящегося в состоянии сжатия (часть контура ML
на фиг. 411), значительно обширнее, чем в широкой пластине с малым отвер-
стием. Напряжения <з t около контура становятся положительными лишь
в точках, радиус-вектор которых составляет с линией действия силы ЛА
угол о<г, достигая максимума, как и
прежде, в точках /<.
Другой характерной особенностью,
которую можно видеть на фиг. 411,
Фиг. 411. Распределение напряжений
в пластине при растяжении (В = 1.25J)
Фиг. 410. Пластина с отверстием (В < 5d).
является изменение напряжений по боковому краю пластины. Наименьшая
величина этих напряжений оказывается в опасном сечении; , по мере уда-
ления в обе стороны от этого сечения напряжение растет, а затем снова умень-
шается, приближаясь к постоянной величине на некотором расстоянии
от отверстия. В опасном сечении (по оси у) наблюдается значительное изме-
нение напряжений по всему сечению, причем чем больше отверстие, тем это
изменение напряжений заметнее. Так, например, при v =	= 1,04 наи-
большее напряжение a t в опасном сечении около отверстия (точка 7Q равно
140]
а -9 N
Напряжения a f уменьшаются почти до нуля у наружных точек, изменяясь
примерно по линейному закону. Даже тогда, когда диаметр отверстия близок
к ширине пластины, предположение о равномерном распределении напря-
жений в опасном сечении ведет к весьма грубой ошибке. В этом случае нор-
мальные напряжения в сечении mm (фиг. 410) распределяются примерно
так же, как напряжения в сечении бруса при внецентренном его растяжении.
Сопоставляя распределения напряжений в широкой (В > 5d) и узкой
(В < 2d) пластинах, приходим к заключению, что возмущение напряжен-
ного состояния, вызванное отверстием, в первом случае имеет местный харак-
тер, а во втором распространяется по всему сечению пластины. Отсюда
624
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
следует, что второй случай, в отличие от первого, не является типичным
примером концентрации напряжений.
Отметим, что часто бывает трудно провести четкую грань между местными
и «обычными» напряжениями.
Критерием концентрации может служить так называемый градиент
изменения напряжений.
Допустим, что напряжения являются некоторой функцией линейного
размера и. Тогда градиентом изменения напряжений в направлении и назы-
да
вается производная
Явление концентрации напряжений характеризуется высокими значе-
ниями градиента изменения напряжений. Так, например, величина градиента
изменения напряжений в точке К широкой пластины в направлении у
(фиг. 408 и 409) значительно больше, чем для узкой пластины (фиг. 411).
Иногда сравнительно резкое изменение напряжений, возникающих в попе-
речных сечениях изгибаемого кривого бруса большой кривизны, относят
к концентрации напряжений. Это объясняется несколько большим градиентом
изменения напряжений в кривом брусе, чем в прямом. Однако напряжения
как в прямом, так и в кривом брусе при изгибе не носят локального харак-
тера и напряженное состояние при чистом изгибе кривого бруса является
во всех частях бруса близк1м к однооснсму.
Фиг. 412. Сравнение градиента изменения напряжений в сечениях прямого
и кривого брусьев и пластины с отверстием.
Для того чтобы более полно проанализировать этот вопрос, сравним величины наиболь-
шего градиента изменения напряжений в трех случаях.
На фиг. 412 представлены прямой и кривой брусья, находящиеся в условиях чистого
изгиба, а также нагруженная растягивающими усилиями пластина с отверстиями. Размеры
указанных тел соизмеримы, а нагрузки подобраны так, что наибольшие напряжения в опасных
точках одинаковы.
Чистый изгиб прямого бруса прямоугольного попереч-
ного сечения (фиг. 412, а). Наибольшее напряжение в поперечном сечении равно
М 120 оппп . 2
о«анб =	= -QQ6 = 2000 кг/см\
где
6	6
(b — ширина, h — высота поперечного сечения).
Напряжения изменяются по высоте по линейному закону (см. эпюру на фиг. 412, а)
Му
Я~Т’
Влияние концентрации напряжений на прочность деталей машин
625
где J — момент инерции, равный
, bh3 1-0,63
/==Т2-==-1Г~=0’()18сл<;
у — расстояние точки, в которой определяется напряжение от нейтрального слоя, прохо-
дящего через центр тяжести поперечного сечения бруса.
Градиент изменения- напряжений по высоте сечения есть величина постоянная, равная
да __ М _ 120 _ кг/см2
~ду~ ~~ J ~ 0,018	см ’
Чистый изгиб бруса большой кривизны. На фиг. 412,6 пред-
ставлен кривой брус прямоугольного поперечного сечения тех же размеров, что и прямой
брус. Наибольшее напряжение в поперечном сечении равно
М(г — а) 102-2,74	____	, 2
° наиб------р—	0,6-0,26-0,9 — 2000 Кг!СМ ’
где а — расстояние от наиболее напряженной точки до центра кривизны бруса; в данном
случае а = 9 мм;
г — расстояние от нейтрального слоя до центра кривизны;
----г=— = 11,74 мм;
1п1Г
h
г =-------
In -
а
г — а= 11,74 — 9 = 2,74 мм;
F — площадь поперечного сечения;
F = bh = 1-0,6 = 0,6 см2.
Расстояние нейтрального слоя от центра тяжести поперечного сечения бруса
е — р — г = 12 — 11,74 = 0,26 мм.
Напряжения изменяются по высоте по гиперболическому закону (см. эпюру на фиг. 412, б)
__ М(и — г)
к ° Feu 9
где и — расстояние отточки, в которой определяются напряжения, до центра кривизны бруса.
Градиент изменения напряжений4 по высоте сечения равен
да __ Mr
ди ~ Feu2 *
Наибольшей величины градиент изменения напряжений достигает при и= а, где он
равен
/ да \	__ Mr __	102-1,174 _ лкла кг1 см2
\ди )наиб “ Fea2 “ 0,6-0,026-0,92 ~ ~~слГ ’
Растяжение пластины.с отверстием (см. фиг. 412, в). Наибольшее
п d
осевое напряжение в опасном сечении по формуле (17) при в = -g- и г=~сГ равно
° наиб =3-^ = 3 4^- = 2000 кг/см3,
где В — ширина, as — толщина пластины.
Напряжения изменяются по ширине пластины так, как это показано на фиг. 412, в.
d \
Градиент изменения напряжений по ширине пластины в опасной точке '^при
равен
I da I	a N 14-1000	кг/см2
I &г \наиб d	3-0,5-0,2	см
Из рассмотрения приведенных .примеров следует, что при одинаковых по величине напря-
жениях (онаиб = 2000 кг/см2) наибольший градиент изменения напряжений в сечении кривого
бруса лишь на 40% больше градиента для прямого бруса. При тех же условиях градиент
изменения напряжений для пластины в 7 раз больше, чем для прямого бруса.
Разобранные примеры наглядно показывают отличие местных напряжений (третий
случай) от «обычных» (первый и второй случаи).
40 Пономарев 508
626
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Рассмотрим распределение напряжений за пределом упругости в пластине
с отверстием в случае, если она выполнена из пластичного материала.
Концентрация напряжений изучалась до последнего времени главным
образом в пределах упругости. Между тем появление пластических деформа-
ций существенно влияет на распределение напряжений в деталях.
Теория упруго-пластических деформаций (том II, гл-ава VIII) дает воз-
можность подойти к решению задач о концентрации напряжений в упруго-
пластической области. Задача о пластине с отверстием экспериментально
исследована в работе А. И. Коданева. На фиг. 413 изображены эпюры рас-
пределения напряжений и аг.в опасном сечении пластины, выполненной
из пластичного материала (дюраль).
Из рассмотрения эпюр видно, что концентрация напряжений существует
и в пластической зоне, хотя* она и менее резко выражена, чем в пределах
упругих деформаций.
Фиг. 414. Пластины из малоуглеро-
дистой стали перед испытанием
на растяжение
Фиг. 413. Распределение напряжений
в опасном сечении пластины с отвер-
стием за пределами упругости.
Наибольшие напряжения возникают либо в точках /С, либо близко от них.
Таким образом, существовавшее раньше мнение о полном выравнивании
местных напряжений в зоне пластических деформаций должно быть признано
неправильным.
Сопоставим результаты испытаний на растяжение двух пластин / и II (см.
фиг. 414), выполненных из пластичного материала (сталь с низким содержа-
нием углерода). Механические характеристики этого материала следующие:
предел прочности abz =	= 4250 кг!см2*, напряжение при разрыве
г о
^bzideucmi = -^разр = 7900 кг!см2-, предел текучести <sS2 = 3300 кг 1см2-, отно-
сительное удлинение после разрыва, определенное на десятикратном образце,
е* = 25%.
Первая пластина представляет собою плоский образец без отверстия,
Вх = 24 мм, Sj = 3,34 мм; вторая пластина (образец) имела ширину
Вп = 30 мм, sn = 3,34 мм и была выполнена с отверстием d = 6 мм.
Таким образом, размеры образцов были подобраны так, чтобы площади
опасных сечений у них были одинаковы.
Плоские образцы испытывались на растяжение с доведением их до раз-
рушения. На фиг. 415 представлена фотография разрушенных пластин,
а на фиг. 416 изображены диаграммы растяжения образцов в координатах
нагрузка — общее удлинение. Кривая ОА представляет собой диаграмму
растяжения образца без отверстия, а кривая ОВ — с отверстием.
Из рассмотрения приведенных диаграмм следует, что оба образна выдер-
жали одинаковые нагрузки. Однако удлинение пластины без отверстия
(фиг. 415, а) значительно превосходит удлинение пластины с .отверстием
Влияние концентрации напряжений на прочность деталей машин
627
(фиг. 415, б). Это объясняется тем, что напряженное состояние пластины
без отверстия более однородно и область местного сужения шейки охваты-
вает значительную по длине часть пластины. В случае же пластины с отвер-
стием пластические деформации носят местный, локальный характер.
Обращает на себя внимание наличие сильного сужения обоих образцов
по толщине пластины (см. табл. 71).
Фиг. 415. Фотография разрушенных пластин после испытания на растяжение
Фиг. 416. Диаграммыснятые при сравнительных испы-
таниях пластин, изображенных на фиг. 414,
Из рассмотрения фиг. 416 следует, что видимый предел текучести пластины
с отверстием (точка XJ значительно выше предела текучести (точка Л2)
пластины без отверстия. Это объясняется локальностью деформаций и неод-
нородностью напряженного состояния. В действительности начало пласти-
ческих деформаций в плас-
тине с отверстием возникает
при нагрузках, значительно
меньших нагрузки PsV при
которой начинает пластичес-
ки деформироваться мате-
риал пластины без отверстия.
Однако вследствие того что
эти деформации происходят
в малом объеме около отвер-
стия, диаграммный аппарат
не фиксирует ничтожных
местных пластических дефор-
маций, возникающих в зоне
концентрации, и создается
видимость повышения пре-
дела текучести Psi < PsU
благодаря наличию концентратора (отверстия). По тем же причинам
диаграмма пластины с отверстием более плавная, чем диаграмма пласти-
ны без отверстия: на ней совсем отсутствует плошадка текучести.
Обращает на себя внимание (фиг. 415, б) сильная деформация контура
отверстия: продольный диаметр увеличился от б до 10 мм, поперечный
уменьшился до 5,7 мм.
На образце ясно видны места, где возникла первая трещина по обеим
сторонам около отверстия.
При испытании пластин из более жестких материалов возникают те же
явления, что и при испытании пластин из пластичных материалов, только
сужение поперечного сечения (как по ширине, так и по толщине) менее заметно,
40*
628
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Таблица 71
Размеры поперечных сечений пластин до и после испытаний на растяжение
Форма сечения		До деформации				После деформации			
		В в мм	d в мм	S в мм	F в см2	®min в мм	^mln в мм	sm!n в мм	^mln в смг
		24	—	3,34	0,80	18,7	—	2,0	0,374
									
ГС- 8г 	-									
		30	6	3,34	0,80	26,8	5,7	2,5	0,525
Уточним на базе рассмотренного примера некоторые понятия, часто встре-
чающиеся в расчетной практике.
Номинальное напряжение. Номинальным напряжением называют напря-
жение, вычисленное в предположении отсутствия концентратора напря-
жений.
В рассмотренном примере пластины с отверстием (фиг. 410) номинальным
напряжением может быть названо напряжение в поперечном сечении пи,
достаточно удаленном от отверстия, которое определяется по формуле (21):
— А — JL
° Bs vsd *
Именно эта величина и положена в основу вычисления фактических напря-
жений в широких пластинах с малым отверстием [см. формулы (17) —
(19)].
Иногда под номинальным напряжением понимают напряжение в опасном
сечении, подсчитанное в предположении отсутствия возмущения поля вну-
тренних сил концентратором напряжений. Так, в случае пластины с отвер-
стием (фиг. 410) номинальное напряжение в этом смысле равно
Qft = (B — d)s = (м — l)sd '
Напряжение есть среднее нормальное напряжение в опасном сече-
нии пластины. Отметим, что при увеличении отношения v = -^-разница
между <з и а н уменьшается.
При пользовании термином «номинальное напряжение» следует указывать,
каким методом оно вычисляется.
Теоретический коэффициент концентрации напряжений. Теоретическим
коэффициентом концентрации напряжений называется отношение наиболь-
шего местного напряжения к номинальному напряжению:
__ ®наиб	(23)
О
или
& = -^.	(24)
Строго говоря, выражение (23) имеет смысл только в том случае, если
напряженное состояние в опасной точке того же типа, что и напряженное
Влияние концентрации напряжений на прочность деталей машин
629
1 — коэффициенты, определенные
на базе напряжения стк; //—коэф-
фициенты, вычисленные на базе на-
пряжения ст.
в расчетах при
состояние, соответствующее предположению об отсутствии возмущения поля
внутренних сил концентратором напряжений (номинальные напряжения).
Например, в случае пластины с отверстием (фиг. 408) в наиболее нагру-
женной точке К напряженное состояние одноосное и выражение (23) имеет
смысл.
Из рассмотрения табл. 70 следует, что для широкой пластины с малым
отверстием теоретический коэффициент концентрации равен k = 3. Для пла-
В . .
стины с малым отношением -^- коэффициент концентрации следует вычислять,
относя <знаиб к номинальному напряжению ан (среднее напряжение в опасном
сечении). Так, в случае, если близко к еди-
нице k = 2.
Напомним, что в случае, когда диаметр
отверстия становится соизмеримым с шириной
пластины, напряжения в узких полосах между
отверстием и краями пластины нельзя считать
локальными. Поэтому указанный коэффициент,
равный 2, можно называть коэффициентом
концентрации лишь условно.
Во избежание неточностей
использовании теоретических коэффициентов
концентрации, приведенных в справочниках
и литературе, следует всегда уточнять вопрос
о том, на базе какого номинального напря-
жения они вычислялись.
В качестве примера важности указанных
соображений на фиг. 417 приведены за-
висимости между теоретическими коэффициентами концентрации k
d
и отношением -g- для растянутых в одном направлении пластин по лите-
ратурным данным [49].
Кривая I дает значения коэффициентов концентрации, вычисленных
на базе номинальных напряжений <зя, подсчитанных по формуле (22), а кри-
вая II — значения коэффициентов концентрации, вычисленных на базе
номинальных напряжений а, определенных согласно формуле (21).
Как видно из рассмотрения кривых, уточнение вопроса о номинальном
напряжении особенно существенно для нешироких пластин (при -^->0,2).
Отметим, что обычно для пластин конечной ширины теоретические коэф-
фициенты концентрации определяются на базе напряжения <з н, поэтому
в справочниках приведены величины k, соответствующие кривой I [49].
Эффективный коэффициент концентрации при статических напряже-
ниях. Все расчеты теории упругости и сопротивления материалов основаны
на предположении об однородности и изотропности материала. Как было
указано в начале главы (см. также том I, главу V), технические металлы
могут считаться однородными и изотропными только в объемах, значительно
превышающих объем зерен материала.
При рассмотрении примера возникновения местных напряжений (пла-
стина с отверстием) было установлено, что местные напряжения достигают
максимума в малых объемах материала в непосредственной близости от кон-
центратора напряжений.
Поэтому естественно, что вычисленные по формулам теории упругости
местные напряжения (особенно наибольшие) будут более или менее откло-
няться от действительных местных напряжений, возникающих в материале
вблизи концентратора.
630
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Действительное наибольшее напряжение, по-видимому, несколько меньше
теоретического, так как имеет место некоторое выравнивание напряжений
между зернами; однако даже приближенно оценить действительные напря-
жения бывает довольно трудно. Некоторую ясность в этот вопрос могло бы
внести исследование напряжений рентгенографическим .методом.
Влияние концентрации напряжений на прочность оценивается так назы-
ваемым эффективным коэффициентом концентрации напряжений.
Практически эффективный коэффициент концентрации можно опреде-
лить, сравнивая между собой предельные нагрузки образца с концентра-
тором и без него.
Допустим, что даны два образца: первый I без концентратора (отверстия)
и второй II — с отверстием (табл. 71 и фиг. 414). Размеры образцов подо-
браны так, что площади их поперечных сечений равны
Bi$i = (Вп d) $и,
где gj = sn = s — толщина образцов.
Тогда эффективный коэффициент концентрации при статических нагруз-
ках (г = +1) может быть определен как отношение напряжений, соответ-
Фиг 418. Пластина после испытания на рас-
тяжение.
ствующих разрушающим нагруз-
кам; В случае равенства площадей
поперечных сечений образца с
концентратором и без него коэф-
фициент может быть подсчитан по
формуле
4 = ^7-	<25>
Напомним, что теоретический коэффициент концентрации напряжений
подсчитывается в предположении совершенной упругости материала. Вели-
чина эффективного коэффициента концентрации напряжений, определенная
как отношение разрушающих нагрузок, в сильной степени зависит от про-
цесса пластического деформирования, а также и от изменения формы образца
перед разрушением (см., например, фиг. 416 и табл. 71). Поэтому, учитывая
значительное изменение поперечного сечения при испытании образца без
концентратора, было бы правильнее относить разрушающую нагрузку РЬ1
к сечению Fmin = (Bi)min*(Si)min (см. фиг. 418). В этом'случае эффективный
коэффициент должен определяться по формуле
+1
(26)
Отметим, что в отдельных случаях, например, если образец выполнен
из хрупкого материала однородной структуры, сохраняющего свои упругие
свойства при очень высоких напряжениях (например, если материал
образца — твердозакаленная высокоуглеродистая или инструментальная
сталь), эффективный коэффициент концентрации, вычисленный по фор-
муле (25), весьма близок к теоретическому.
В ‘случае же весьма пластичных материалов (например, красная медь,
чистый алюминий, малоуглеродистая сталь) эффективный коэффициент кон-
центрации &+1, определенный по формуле (26), близок к единице, что дает
право при статическом нагружении не учитывать эффект местных напря-
жений при расчете болтов, гаек, заклепочных соединений и т. п. деталей,
выполняемых обычно из пластичных материалов.
Рассмотрим второй типичный пример концентрации напряжений —
растяжение цилиндрического бруса с выточкой, скругленной малым радиу-
сом. В этом случае, как показали теоретические исследования [63], [114],
Влияние концентрации напряжений на прочность деталей машин
631
в средней части бруса возникает трехосное напряженное состояние.
На фиг. 419 представлены эпюры главных напряжений а2, аг.
Схематизированная диаграмма растяжения материала (том I, глава VIII)
представлена на фиг. 419 слева. Предполагается, что материал одинаково
сопротивляется растяжению и сжатию.
Эпюры I соответствуют упругому деформированию материала; эпюры II
дают изменение напряжений, если наиболее напряженная часть материала
около выточек деформируется пластически, а материал в центральной части
сохраняет свои упругие свойства и, наконец, эпюры III характеризуют
напряжения в случае, если пластическая деформация охватила все сечение
бруса.
Заметим, что материал непосредственно около выточки (точка Л) нахо-
дится в двухосном напряженном состоянии (аг = 0), а в центральной части
образца — в трехосном (например, точка В).
Фиг. 419. Эпюры главных напряжений в опасном сечении цилиндрического бруса
с выточкой при растяжении [114]:
I — упругие; II — упруго-пластические; III — пластические деформации, j
Повышение напряжения в* центральной части образца до значений,
превышающих предел текучести a sz (определенный при одноосном растя-
жении), объясняется влиянием трехосности напряженного состояния.
Как видно из рассмотрения эпюр, полного выравнивания напряжений
благодаря пластическим деформациям не получается.
При чисто упругих деформациях наиболее напряженными являются
точки, находящиеся около выточки (фиг. 419, /). После появления пласти-
ческих деформаций наибольшее осевое напряжение возникает на границе
между упругой и пластической областями (фиг. 419, II). Когда пластиче-
ская деформация охватывает все сечение, наибольшие осевые напряжения
возникают в точках, расположенных около оси бруса. После появления
пластических деформаций вопрос о нахождении опасных точек должен
решаться с применением теории пластичности (том II, глава VIII).
В литературе имеются указания, что чаще всего разрушение происходит
на границе между упругой и пластической зонами [114].
При вычислении теоретического коэффициента концентрации напря-
жений в описываемом случае следует иметь в виду, что напряженное состоя-
ние в удаленных от выточки сечениях бруса (точка С) одноосное, тогда как
вблизи выточки — двухосное и трехосное. Поэтому правильным является
сопоставление не осевых напряжений, а соответствующих эквивалентных
632
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
напряжений в максимально напряженной и в наиболее удаленной от кон-
центратора точках
£ _ (з же) наиб	(27)
^экв
(в данном случае оэкв = <з2, где <зг—нормальное напряжение в точке С),
Обычно теоретический коэффициент концентрации вычисляют, относя
наибольшее осевое напряжение вблизи концентратора к среднему осевому
(номинальному) напряжению, подсчитанному в данном случае по формуле
Фиг. 420. Тонкостенная трубка с малым отверстием в усло-
виях кручения и растяжения.
__ N
°” ~ ltd2 *
4
где N — нормальная
сила;
d — диаметр сече-
ния, ослаб-
ленного вы-
точкой.
В этом случае теоре-
тический коэффициент
концентрации равен
£ _ (<3г)наиб
Из сказанного выше ясно, что вычисленный таким образом коэффициент
носит чисто условный характер.
Однако заметим, что в случае, если расчет основан на теории начала
текучести Мора (том /, глава У1), то при чисто упругой работе материала
в точках А главные напряжения = (°г)наиб и аз = 0, поэтому
(аэлгв)яааб — (а^наиб- Необходимость подробного анализа напряженного
состояния деталей машин очевидна; однако результаты большой теоретиче-
ской и экспериментальной работы по определению местных напряжений
еще не доведены в полной мере до конструкторов машин.
В справочных пособиях по местным напряжениям сообщаются сведения
о напряженном состоянии в опасной точке. Данные о распределении напря-
жений в районе концентратора обычно не приводятся, вследствие чего в неко-
торых случаях невозможно определить действительные напряжения с учетом
эффекта концентрации.
В третьем примере разбирается конструкция, напряженное состоя-
ние которой является функцией двух независимых факторов. Рассмотрим
скрученный и растянутый тонкостенный трубчатый брус (фиг. 420, а) с малым
радиальным отверстием (Д < 0,1£>). Напряженное состояние в любой точке С
(фиг. 420, б), достаточно удаленной от отверстия, вполне определяется
напряжениями oz и rzZ, возникающими в поперечных сечениях трубки.
После их определения величины главных напряжений и а3 и угол
между осью z и нормалью к главной площадке вычисляются по общеиз-
вестным формулам (том I, глава I).
Эквивалентное напряжение может быть установлено по одной из расчет-
ных формул теории предельных напряженных состояний (том I, глава VI).
Известно, что около отверстия, просверленного в тонкостенной трубке,
возникает концентрация напряжений. В справочниках имеются данные
по местным напряжениям, относящиеся к случаю скрученной и растянутой
тонкостенной трубки с отверстием [49].
Влияние концентрации напряжений на прочность деталей машин 633*
При растяжении тонкостенной трубки с отверстием в точке А в попереч-
ном сечении трубки возникает местное напряжение
аИ1 = 3 JV- 
tzDs ’
при этом напряженное состояние является одноосным (фиг. 420, в).
В случае кручения той же трубки к наиболее напряженным следует
отнести точки В. Главное напряжение в этих точках
б.
Фиг. 421. Пластина с от-
верстием, растянутая в
одном направлении и сжа-
тая в другом.
Фиг. 422. Элемент тонкостенной
трубки (фиг. 420), выделенный
главными сечениями.
ст = 4т j. —~ 4 ———.
nD2s
"V
Напряженное состояние также является одноос-
ным (фиг. 420, г).
Где же будет расположена опасная точка в слу-
чае, если трубка одновременно растянута искручена?
Какие напряжения возникнут в этой точке?
На эти вопросы данные по местным напряже-
ниям, приведенные в справочниках, прямого ответа
не дают.
Для того чтобы довести начатый в рассматри-
ваемом примере расчет до конца, необходимо знать
закон распределения напряжений для любой точки
в районе отверстия как в случае растяжения, так и
в случае кручения трубки.
Обратимся к данным теории упругости. В курсах
теории упругости приведены результаты реше-
ния задачи о напряженном состоянии пластины,
растянутой в одном направлении и сжатой в другом (фиг. 421). Решение
справедливо для пластин очень большой ширины (теоретически бесконечной
' ширины) по сравнению с диаметром отверстия. Практически же это решение
достаточно точно для пластин при В §d.
Ошибка получается в сторону преувеличе-
ния наибольшего напряжения.
Согласно данным теории упругости, наи-
большие напряжения возникают в точках К
и L (фиг. 421). Напряженное состояние
этих точек одноосное. Главные напряжения
равны [49]
= 3°1 + 1оз|;
«г1 = — 3 |°з| -
Поставленную ранее задачу о растяже-
нии и кручении тонкостенной трубки при-
ближенно можно свести к задаче о пластине,
находящейся в двухосном напряженном со-
стоянии.
Действительно,, вычислив главные напряжения и а3 и определив поло-
жение соответствующих главных площадок, можно мысленно выделить
часть стенки трубки abed (фиг. 420, а и 422) и выявить значения напряжений
в характерных точках К и L,
Допустим, например, что размеры трубки следующие: D = 100 мм, s = 1 мм, Д = 5 мм,
а силовые факторы, возникающие в поперечном сечении трубки, равны Af = 3140 кг
и М = 7850 кгем.
634
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени

Напряжения в поперечных сечениях трубки в местах, достаточно удаленных от отверстия,
М 7850-2	’ 2.
— те-102-0,1	500 кг/сж ,
2
N 3140 1ППП , „
аг = —— ---------  = 1000 кгсм2.
-kDs % 10-0,1
Главные напряжения соответственно равны
01=+=+V +5002 * 1200 кг/с-и2;
а2 = 0;
а2 ,/”/ аг\2 , 2	1000 л Г/1000x2 . _ПП2 опп , „
°з = ^ - у	= “2“ - К \~2~) + 500 * “ 200 Кг/СМ '
Положение главных площадок определяется углом а,.
, о 2тг/ 2-500	.
ig^i- - 1()00 - 1,
откуда ai = 22,5°.
Теперь можно- определить местные напряжения в точках К и L:
<з\— = З^ + | а31 = + 3-1200 + 200 = -|- 3800 кг/см2;
а,— = — 31 а3 | — <7! = —3-200—1200= — 1800 кг/см2.
Итак, опасная точка найдена — это точка К (фиг. 422). Напряженное состояние в этой
точке — одноосное растяжение. Расчетное напряжение = ар- = 3800 кг/см2.
Точки, значительно удаленные от отверстия, напряжены менее интенсивно. Расчетное
напряжение в этих точках можно определить, применяя, например, формулу эквивалентности
теории предельных напряженных состояний Мора. Предполагая, что материал трубки оди-
наково сопротивляется растяжению и сжатию — 1), имеем:
— vsa8 = 1200 + 200 = 1400 кг/см2.
Теоретический коэффициент концентрации напряжений в рассмотренном случае равен
jKi
Ь — °экв — 3800 — 9 79
1400	’
® же
Из приведенного примера ясно, что расчет растянутой и скрученной трубки с радиаль-
ным отверстием может быть произведен только после анализа напряженного состояния в районе
концентратора.
В приложении к настоящему тому приведены величины теоретических
коэффициентов концентрации напряжений, которые позволяют в ряде слу-
чаев оценить увеличение напряжений, возникающих в районе концентратора.
В предыдущих примерах разбирались случаи концентрации напряжений,
вызванных особенностями формы деталей. Перейдем теперь к рассмотрению
концентрации напряжений в местах приложения сосредоточенных нагрузок
(том II, глава V и VI). В качестве примера ознакомимся с напряженным
состоянием осей и валов с напрессованными на них деталями (втулками).
Ранее (том II,глава V) было указано, что в местах напряженной посадки
на оси и валы — колец, втулок и ступиц шкивов, дисков и колес, контакт-
ное давление распределяется по контактной поверхности неравномерно.
Благодаря влиянию выступающих из-под втулки частей вала, затрудняющих
его деформацию, давление вблизи конца втулки возрастает. Соответственно
увеличиваются и напряжения, возникающие вблизи краев втулки. Напря-
жения эти резко убывают по мере удаления от области контакта и носят
характер местных напряжений.
Влияние концентрации напряжений на прочность деталей машин
635
Некоторое представление о напряженном состоянии при изгибе вала
в месте напрессовки можно получить путем испытания плоских прозрачных
моделей при помощи оптического метода
(том I, глава IV). На фиг. 423 изображена
схема установки для экспериментального
изучения оптическим методом напряженного
состояния плоской балки А, подверженной
изгибу и давлению на части поверхности
[152]. Балка поставлена в условия, наибо-
лее близкие к условиям работы изогнутого
двухопорного вала с напрессованной втул-
кой. Изгиб вызывается силами Р. Таким
образом, балка находится в условиях по-
перечного изгиба. Давление создается ка-
либрованной-пружиной В и передается через
стальные детали С на пластины D из того же
оптически активного материала, что и обра-
зец А. Пластины D имитируют втулку, на-
прессованную на вал. Давления на верхней
и нижней контактной поверхностях не-
сколько различны, как это бывает в ряде
случаев инженерной практики. В левой части
фиг. 424 представлены эпюры нормальных
напряжений а2 и ау, возникающих в изги-
баемой плоской балке А (фиг. 423), нахо-
дящейся под воздействием прижимаемых к
Фиг. 423. Установка для испыта-
ния при помощи оптического ме-
тода плоских прозрачных моделей,
имитирующих вал с напрессован-
ной втулкой [152]
балке пластин £). Наибольшее номинальное напряжение изгиба <з2 в опи-
сываемых опытах равнялось 142 кг/см2. Среднее контактное давление со-
ставляло 104 кг/см2.
Фиг. 424. Эпюры напряжений, возникающих в- плоской модели (см. фиг 423):
слева — имитация простой втулки; справа — втулки с выточками [152].
Наибольшие значения осевых напряжений az возникают у краев пластин,
причем концентрация напряжений больше на сжатой стороне (внизу), чем
на растянутой (наверху).
636
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Контактные напряжения ау на поверхностях соприкосновения балки
с пластинами достигают наибольшего значения в растянутой части у сере-
дины пластины D и снижаются у ее краев; в сжатой части напряжения ау
оказываются наибольшими у краев. В правой части фиг. 424 представлены
аналогичные эпюры в случае, если на пластинах D выполнены разгружающие
полукруглые вырезы. Последние имитируют разгружающие выточки
во втулке, напрессованной на вал (см. § 13).
Наличие вырезов у краев пластины D (фиг. 424) значительно снижает
осевые напряжения az у краев и изменяет закон распределения напряже-
ний а у в наиболее напряженной, сжатой, части.
В. Влияние концентрации напряжений на прочность при переменных
во времени напряжениях
Перейдем теперь к рассмотрению влияния концентрации напряжений
на усталостную прочность деталей машин.
Как было указано, усталостная трещина начинает образовываться
в зонах концентрации напряжений. Местные напряжения могут возникать
около естественных концентраторов (внутренние микротрещины, включения,
неправильности в структуре кристаллической решетки) и около внешних
как геометрических, так и силовых концентраторов.
Процесс зарождения и развития трещин в деталях при переменных
напряжениях можно разделить на два периода: к первому периоду относятся
явления, происходящие до образования трещины (или трещин), размеры
которых выходят за пределы одного зерна; второй период характерен нали-
чием сети разветвляющихся, растущих трещин. Эти трещины являются много-
численными внутренними концентраторами, приводящими к значительно’
большим напряжениям, чем напряжения, послужившие причиной возник-
новения первой трещины. В районе около трещин, как правило, возникает
трехосное напряженное состояние.
Расчеты на прочность сводятся к выявлению опасной точки, к анализу
напряженного состояния в этой точке и основаны на предположении, что
характер распределения напряжений в детали не оказывает существенного’
влияния на прочность материала в опасной точке. Теоретическое определе-
ние напряжений в детали основано на предположении о сплошности и нераз-
рывности материала, т. е. оно возможно только при условии, что трещины
еще не возникли.
Перечисленные допущения можно считать применимыми к случаям пере-
менных во времени напряжений только до возникновения первой трещины,
выходящей из области одного зерна.
Прочность детали после возникновения усталостных трещин в сильной
степени зависит от свойств материала, от распределения напряжений
в детали — характера ее напряженного состояния. Стремление возможно*
более полно отразить в расчете влияние всех перечисленных факторов на проч-
ность материалов при переменных напряжениях заставило ввести понятие
об эффективном коэффициенте концентрации при переменных напря-
жениях.
Эффективным коэффициентом концентрации при напряжениях, перемен-
ных во времени, называется отношение предела выносливости, определенного
на гладком образце, к пределу выносливости образца с концентратором напря-
жений. Этот коэффициент, зависящий от степени асимметрии цикла изме-
нения напряжений, закона распределения напряжений в образце, его абсо-
лютных размеров и, наконец, от особенностей материала образца, обозна-
чается kr, где индекс г указывает, к какому типу цикла относится этот
коэффициент. Таким образом, эффективный коэффициент определяется
Влияние концентрации напряжений на прочность деталей машин
637
отношением
(28)
ь — °г
г (°г}К '
В этой формуле аг — предел выносливости образца без концентратора на-
пряжений (так называемого гладкого образца), (аг)к — предел выносливости
образца с концентратором. Отметим, что предел выносливости образца с кон-
центратором вычисляется как номинальное напряжение.
В литературе встречается и иное определение эффективного коэффициента
концентрации напряжений. Последний вычисляется как отношение предель-
ных амплитуд переменных напряжений, полученных при испытании гладких
образцов aaL и образцов с концентратором (оа1)к. Следовательно,
k = qgL .
r (СаЬ)к
Поскольку амплитуды напряжений рассматриваемого цикла прямо про-
порциональны его максимальному напряжению, то
Оа = Чщах- gmln = «щи q _
(29)
поэтому очевидно, что выражения (28) и (29) тождественны, следовательно,
эффективные коэффициенты концентрации напряжений, определенные как
отношение амплитуд предельных переменных напряжений и как отношение
пределов выносливости, совпадают,
Таблица 72
Значения эффективных коэффициентов концентрации напряжений и коэффициентов
чувствительности для плоских стальных образцов с отверстием при растяжении
и сжатии [79]
Цикл	г	Малоуглеродистая сталь				Углеродистая сталь			
		а в кг/см*		kr	Яг	<зг в кг/см*		kr	«г
		Сплош- ной	С от- вер- стием			Сплош- ной	С от- вер- стием		
Положительный пульса- ционный	0	2900	1900	1,53	0,35	4170	2710	1,54	0,36
Симметричный	—1	1700	1040	1,64	0,42	2590	1510	1,72	0,47
Отрицательный пульса- ционный	— со	4640	2350	1,98	0,64	6670	3220	2,07	0,70
Механические характеристики		= 3990 кг/см*\ asz= 2700 кг (см2 \				<зъг = 6970 кг/см?', <ssz = 3920 кг/см2			
В табл. 72 приведены значения эффективных коэффициентов концен-
трации напряжений при трех различных циклах. Данные получены [79]
при испытании на растяжение-сжатие плоских образцов сталей двух
марок. Были испытаны сплошные образцы и образцы с отверстием, диаметр
которого составляет */5 ширины.
Как следует из табл. 72, с увеличением (в алгебраическом смысле) коэф-
фициента асимметрии цикла величина эффективного коэффициента концен-
трации напряжений уменьшается. Это согласуется с общеизвестным фактом
малого влияния местных напряжений на несущую способность деталей
из пластичных материалов при статических нагрузках.
638
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Фиг. 425. Лучевая диаграмма эффективных коэффициентов
концентрации напряжений:
1 — углеродистая сталь; 2 — малоуглеродистая сталь.
На фиг. 425 представлена лучевая диаграмма эффективных коэффи-
циентов концентрации напряжений для двух марок сталей, построенная
по данным табл. 72. При этом на основании вышеизложенного величина
эффективного коэффициента концентрации напряжений для постоянных
во времени напряжений условно принималась равной единице (пластичный,
материал).
На величину эффектив-
ного коэффициента кон-
центрации при перемен-
ных напряжениях неко-
торое влияние оказывают
размеры образца. С уве-
личением размеров вели-
чина эффективного коэф-
фициента концентрации
напряжений повышается.
В частности, к такому
заключению приводит рас-
смотрение	рез ул ьтатов
экспериментального ис-
следования Н. М. Беляева,
проведенного на консоль-
ных ступенчатых образцах круглого поперечного сечения, работав-
ших при симметричном цикле изменения напряжений \
Результаты опытов Н. М. Беляева сведены в табл. 73. Как следует
из результатов этих опытов, влияние абсолютных размеров не сказывается,
если диаметр образца превышает 50 мм.
Таблица 73
Влияние размеров образца на величину
эффективного коэффициента концентрации
по данным Н. М. Беляева
d
в мм
Эскиз
2,0
10,4
54,0
1,03
1,50
1,75
Фиг. 426. Зависимость эффективных коэф-
фициентов концентрации от размеров образ-
цов по данным [156].
Примечание. Материал — сталь
0,57% С. Отношение = 0,15.
Аналогичные результаты получены при испытаниях валов, выполненных
из углеродистой (0,45% С) и молибденоникелевой стали при симметричных
циклах изменения напряжений [156]. На фиг. 426 представлено изменение
эффективных коэффициентов концентрации в зависимости от размеров
валов.
Из рассмотрения приведенной на фиг. 426 кривой следует, что при диа-
метрах d, превышающих 50 мм, нарастание эффективных коэффициентов
концентрации становится незначительным.
1 Эти результаты сообщены Н. М. Беляевым на семинаре по усталостной прочности, про-
веденном в МВТУ в 1943 г.
Влияние концентрации напряжений на прочность деталей машин
639
а)

Фиг. 427. Втулки, напрессован-
ные на валы, находящиеся:
а—под действием радиальной силы;
б — под действием момента.
На фиг. 426 нанесены также значения теоретических коэффициентов
концентрации k и k*> где k — теоретический коэффициент концентрации
подсчитанный как отношение наибольших нормальных номинальных напря-
жений, a k* — теоретический коэффициент концентрации, вычисленный
на основе теории начала текучести энергии формоизменения с учетом того,
что напряженное состояние в опасной точке вала двухосное.
Рассмотрим вопрос об усталостной прочности деталей при наличии
силового концентратора. В качестве примера выберем подробно описанный
ранее случай нагруженного на изгиб образца с напрессованной втулкой.
Экспериментально доказано, что усталостная прочность осей и валов
уменьшается в случае, если на них напрессованы втулки, кольца, ступицы
и тому подобные детали.
При вращении вала в месте, где на него на-
прессованы различные детали, возникает трех-
осное напряженное состояние (в точках около
поверхности вала вблизи втулки имеет место
двухосное напряженное состояние). Наиболь-
шие нормальные напряжения изменяются
по асимметричному циклу с постоянным от-
рицательным напряжением < 0.
Наличие посадки снижает усталостную проч-
ность вала с напрессованной деталью по
сравнению с усталостной прочностью свобод-
ного вала. Это объясняется тремя причинами:
концентрацией напряжений в результате по-
садки, контактным трением между сопряжен-
ными с натягом деталями, возникающим при
переменных во времени напряжениях, и в не-
которых случаях — влиянием коррозии.
Контактное трение при переменных напряжениях приводит к износу
посадочной поверхности вала и к повреждению окисной пленки металла.
В результате этого обнаженные участки металла могут подвергаться воздей-
ствию влаги и химически активных веществ [35].
Под эффективным коэффициентом концентрации напряжений в случае
вала с напрессованной деталью обычно понимают отношение пределов выно-
сливости образцов с напрессовкой и без нее, причем под пределом выносли-
вости образца с напрессовкой понимают предельное номинальное осевое
напряжение изгиба.
В табл. 74 приведены значения эффективных коэффициентов концен-
трации напряжений для различных случаев посадок.
Как следует из табл. 74, наибольшую прочность имеют валы с разгру-
жающими выточками. Обкатка контактной поверхности роликами также
значительно снижает эффективный коэффициент концентрации.
Благоприятно сказывается на прочности вала хромирование, цементация
и закалка его поверхности в месте посадки. Наименьшую прочность имеют
валы со шпонкой между напрессованной ступицей и валом.
Данные, приведенные в табл. 74, относятся к случаям, когда на напрессо-
ванную деталь не действуют внешние усилия. Приложение к втулке, надетой
на вал, радиальных сил или моментов (фиг. 427), существенно изменяет
напряженное состояние вала в месте посадки.
Величина и закон изменения напряжений в месте посадки зависят также
от жесткости напрессованной втулки и материала как втулки, так и вала.
Причиной значительного снижения усталостной прочности могут служить
задиры на поверхности вала, возникающие при запрессовке втулок в холод-
ном состоянии.
640
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Таблица 74
Эффективные коэффициенты концентрации напряжений для различных случаев посадок
Тип посадки				Материал, его химический состав л механические свойства		Среднее давле- ние посадки в кг/см2	Предел выносли- вости в кг/см2	7 •а*	Примечание	Литературный источник
				образца	напрессованной втулки					
	1 ?			Сталь 0,11-0,18% С; 0,4% Мп; 0,35% Si; = 4380 кг/см2; asz = 3200 кг/см2; ст_1 — 2450 кг/см2	Сталь 0,06—0,13% С; 0,5% Мп; 0,35% Si = 3800 кг/см2	1200	1400	1,8	d = 14 мм	[155]
	и ?			Сталь 35 <3^2 — 5000—0000 кг/см2; aS2 = 2500—3000 кг/см2; а_1	2000—2200 кг,/см2 на образцах 0 7,5 мм', ст_г = 1900—2000 кг/см2 на образцах 0 40 мм		700-800	1000	1,9	d = 40 мм; г — 1 мм	[91]
	У////А i и »п V					700—800	1400	1,4	d — 40 мм	
	Йгт?					700—800	1800	и	dt — 40 мм; d^ 39,3 мм	
□		—□ i с				700—800	950	2,0	dt = 40 мм; d2 — 33 мм	
/	5^ Ш ‘ 7					700—800	1150	1,7	dt = 40 мм; d2 — 32 мм	
	V///A	♦	о V///A	t	7					700—800	1000	1,9	d = 40 мм	
	о fa м			0,42% С; 0,62%ЛМп; 0,15% Si; Qbz ~ 52°0 кг/см2’> asz = 2600 кг/см2; а_х = 2220 кг/см2		~ 0	1540	1,4	d — 41,3 мм	’[152]
						< 350	1520	1,5	d — 63,5 мм	
						1120	1110	2,0	d = 41,3 мм	
	V7//A 1 и		к			~ 420	1660	1,3	d — 41,3 мм; поверхность обкатана роликами	
	1					~ 840	1310	1,7	d — 41,3 мм	
Влияние концентрации напряжений на прочность деталей машин
641
Продолжение табл. 74
Тип посадки		Материал, его химический состав и механические свойства		Среднее давле- ние посадки в кг/см2	Предел выносли- вости в кг/см2	Т	Примечание	Литературный источник
		образца	напрессованной втулки					
	ШХ i и	Сталь 0,44% С; <sbz = 6100 кг/см2; ^ = 3860 кг/см2', о_1 = 2880 кг!см*	Сталь 0,06—0,13% С; 0,5% Мп: 0,35% Si; <sbz = 3800 кг/см2	915	1760	1,6	</==14 мм	[155]
		Т5	1_							
	»Г1 Т							
		Сталь 0,57% С; 0,29% Si; 0.55% Мп Qbz = 6700 кг/см2; asz = $800 кг/см2; — 2900 кг/см2	Сталь 0,06—0,13% С; 0,5% Мп; 0,35% Si <sbz — 3800 кг/см2	650	1600	1,8	d — 14 мм	
	W/А 1 о,			1200	1600	1,8	d = 14 мм	
	•bl	!			2100 *			d = 14 мм	
					1550	1,9		
	та 1 7							
				2100	2700	1,1	d — 14 мм; поверхность обкатана роликами	
	Y///A t о			2100	1600	1,8	d = 14 мм; г = 1 мм	
	——н							
				2100	1800	1,6	d = 14 мм\ г = 3 мм	
	та 'т ' т.							
	V///A I „			2100	2100	1,4	d = 14 мм	
		2		р			2100	3000	1,0	d — 14 мм\ поверхность обкатана роликами	
	та । т							
	ша 1 о,			2100 f	1700	1,7	d — 14 мм	
			L							
		 <3	|							
	♦ ?							
	У////Л \ о		Сталь (рабочая поверхность твердая)	Не опреде- лялось	1350	2,1	d — 14 мм	
			->w		L							
		1							
	га । ?		Пластмасса (пертинакс)	90	2500	1,2	14 мм	
	та *	Сталь 0,25—0,40% С; 0,4—0,8% Мп; 0,35% Si; 0,55—0,95% Сг; 3,25—3,75% Ni; abz—10500 кг/см2; asz = 9600 кг/см2; ст—1 ss 5150 кг/см2	Сталь 0,06—0,13% С; 0,5% Мп; 0,35% Si; <Jbz = 3800 кг/см2	900	2000	2,6	d = 14 мм; образцы закалены и отпущены	
	—~ ~~~							
	W//A ♦ 7							
41 Пономарев 508
642
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Для иллюстрации влияния материала вала на его усталостную прочность
приведем таблицу эффективных коэффициентов концентрации напряжений
(табл. 75), полученных [35] при испытании валов с напрессованными втул-
ками.
Таблица 75
Влияние материала валов (d = 12мм) с напрессованными втулками на усталостную
прочность при изгибе [35]
Материал образца	Предел прочности a bz в кг {см?	Предел выносливости глад- ких образцов ст—i в кг/см 2	Предел выносливости образцов с напрессо- ванными втулками а—t в кг/см"	Эффективный коэффициент концентрации напряжений k—x
Углеродистая сталь (0,16% С) . . . .	4 400	2 450	1 400	1,75
Углеродистая сталь (0,44о/о С) ... -	6 100	2 900	1750	1,65
Хромомолибдено- алюминиевая сталь (0,33% С; 1,0% Сг; 1,08% А1;0,25%Мо)	8 950	5 100	1 550	3,3
Хромоникелевая сталь (0,35 %С; 0,75% Сг; 3,5% Ni)	10 500	5 150	2 000	2,6
Некоторые данные о прочности валов с напрессованными втулками,
к которым приложены нагрузки, приведены в «Листках для конструктора»
[96].
Как указывалось ранее, данные по эффективным коэффициентам кон-
центрации не охватывают всего круга вопросов, интересующих конструк-
торов, теоретические же коэффициенты концентрации напряжений изучены
значительно более полно. Поэтому возникло стремление связать теорети-
ческие коэффициенты концентрации напряжений при данном типе циклов
(при г = const) с эффективными. Для этого введено понятие коэффициента
чувствительности материала к концентрации напряжений при данном типе
циклов, определяемого формулой
Если теоретический коэффициент концентрации напряжений k и коэф-
фициент чувствительности qr материала известны, то эффективный коэф-
фициент kr может быть вычислен по формуле
kr= 1 -}-qr(k — 1).	(30)
Коэффициент qr характеризует степень чувствительности материала
к местным напряжениям при данном типе циклов и зависит в основном
от свойств материала, а также от характера напряженного состояния и от раз-
меров детали. Чаще всего коэффициенты чувствительности приводятся для
симметричного цикла q_±.
В табл. 72 представлены коэффициенты чувствительности для двух
марок сталей при трех различных циклах. Из таблицы следует, что с увели-
чением (в алгебраическом смысле) коэффициента асимметрии цикла
Влияние концентрации напряжений на прочность деталей машин
643
коэффициент чувствительности к концентрации напряжений умень-
шается.
Строго говоря, для расчетов необходимо знание величины эффектив-
ного коэффициента концентрации напряжений kr9 а коэффициент чувствив-
тельности qr определяется после экспериментального нахождения коэффи-
циента kr.
Поскольку коэффициенты чувствительности q_19 определенные при раз-
личных концентраторах, довольно устойчивы для данного материала, эти
коэффициенты можно использовать для ориентировочной оценки эффек-
тивных коэффициентов концентрации на основе теоретических коэффициентов.
Приведем средние значения коэффициента чувствительности при симмет-
ричном цикле для сталей и чугуна.
Для высокопрочных легированных сталей величина q_x близка к единице
(эффективный и теоретический коэффициенты почти одинаковы). Для кон-
струкционных сталей в среднем q_r = 0,6 ч- 0,8, причем более прочным
сталям соответствуют большие значения q_±.
Для чугуна коэффициент чувствительности
0. Это объясняется наличием в чугун- .
внутренних
структуры,
циента чувствительности от
радиуса надреза:
1 — мелкозернистая закаленная и
отпущенная сталь; 2 — нормализо-
ванная сталь со средней величиной
зерна; 3 — крупнозернистая сталь
после прокатки.
зависимость
от радиуса
7-х
ном литье большого количества
концентраторов (неоднородность
* включения, пустоты).
На фиг. 428 представлена
коэффициента чувствительности
надреза г для мелкозернистых, закаленных и
отпущенных сталей (кривая 7), нормализован-
ных до средней величины зерна (кривая 2),
крупнозернистых сталей после прокатки (кри-
вая 3) [113]. Из рассмотрения приведенных на
фиг. 428 предположительных кривых следует,
что коэффициент чувствительности мелкозер-
нистых термически обработанных сталей бли-
зок к единице (эффективный коэффициент
концентрации почти не отличается от тео-
ретического, вычисленного в предположе-
нии чисто упругих деформаций материала).
Необходимо иметь в виду, что теоретические значения напряжений
при очень малых значениях радиусов закругления г столь велики,
что нет никаких оснований предполагать отсутствие пластических
деформаций в малых объемах около концентратора. Поэтому части кривых
при г < 1 мм нужно считать условными и совершенно не отражающими
истинной картины явлений, происходящих в материале.
На фиг. 428 эти части кривых помечены пунктиром.
Наибольшие значения г, к - которым относятся данные, приведенные
на фиг. 428, примерно равны 10 мм.
Установлено [3], что чувствительность к концентрации напряжений
уменьшается с ростом величины зерна и с увеличением градиента напря-
жений. Это объясняется тем, что при возрастании градиента высокие напря-
жения возникают в малых объемах. При этом уменьшается вероятность
нахождения в указанных объемах большого числа зерен, особенно у крупно-
зернистых металлов. Тем самым уменьшается вероятность образования
местных пластических деформаций и усталостных трещин.
На фиг. 429 [3] представлен график зависимости коэффициента чувстви-
„	.	da X	da
тельности от безразмерного фактора	, где	—градиент изме-
нения напряжений по сечению, а X — размер зерна.
41*
644
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Фиг. 429. Зависимость коэффициента чувствительности к кон-
«	-	da X
центрации напряжении от безразмерного параметра	,
da
где — градиент изменения напряжений; Л — размер зерна [3].
Г. Справочные данные по эффективным коэффициентам k_± для некоторых
случаев концентрации напряжений в связи с особенностями формы деталей
Для выполнения расчетов на прочность с учетом переменности напря-
жений во времени необходимо располагать значениями эффективных коэф-
фициентов концентрации напряжений.
Ниже приведены имеющиеся в настоящее время в технической лите-
ратуре значения эффективных коэффициентов концентрации напряжений
для некоторых наиболее типичных случаев машиностроительной практики.
При этом в основном использовались данные, полученные при испытании
цилиндрических образцов с концентраторами, имитирующими особенности
формы реальных деталей машин. Авторами отбирался лишь тот справочный
материал, который казался им наиболее достоверным и полным по характе-
ристикам как геометрии концентраторов, так иматериала образцов. Например,
авторы не сочли возможным привести данные по эффективным коэффициентам
концентрации напряжений для ступенчатых валов с галтелью без ука-
зания радиуса последней.
На фиг. 430—434 изображены графики значений эффективных коэффи-
циентов концентрации напряжений для ступенчатого круглого бруса с гал-
телью при изгибе, кручении и растяжении-сжатии. Для отношений ,
отличающихся от значений, приведенных на фиг. 430 и 432, следует исполь-
зовать поправочные коэффициенты а, графики значений которых приведены
на фиг. 431 и 433.
На фиг. 435—440 представлены графики значений эффективных коэффи-
циентов концентрации напряжений для валов с кольцевой выточкой при
изгибе и кручении.
На фиг. 436 и 438 построены графики поправочных коэф-
фициентов а для пересчета эффективных коэффициентов концентрации
напряжений, определенных согласно фиг. 435 и 437 соответственно.
В табл. 76, 77 и на фиг. 441—443 приведены величины эффективных
коэффициентов концентрации напряжений для круглых брусьев с поперечным
отверстием при изгибе и кручении.
Как показали испытания [67], упрочнение краев отверстия путем обжа-
тия их стальными закаленными шариками повышает усталостную прочность
Влияние концентрации напряжений на прочность деталей машин
645
Фиг. 430. Эффективные коэффициенты кон-
центрации напряжений (^_J2 для ступен-
D
чатых валов с отношением = 2 при
изгибе:
1 — сталь а ьг = 12000 кг[см?\ 2 — сталь
ст£2== 10000 кг/см2; 3—сталь а ^2—8000 кг1см?\
4 — сталь ст £z =а 6000 4- 4000 кг 1см2 [126].
Фиг. 431. Коэффициенты а для пересчета
эффективных коэффициентов концентра-
ции напряжений	определенных
согласно фиг. 430, в зависимости от отно-
D
шения [126].
Фиг. 432. Эффективные коэффи-
циенты концентрации напряжений
(^—1)14 Для валов с отношением
D
диаметров -^- = 1.4 при кручении:
1 — сталь ст£2 = 12000 кг!см1 2\ 2—сталь
<з bz = 6000 кг!смг*ч 3 — сталь
°bz = 4000 кг/см2 [126].
Фиг. 433. Коэффициенты а для
пересчета эффективных коэффициен-
тов концентрации напряжений
(&-1)ь4> определенных согласно
фиг. 432 в зависимости от отноше-
ния[126].
646
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Фиг. 434. Эффективные коэффи-
циенты концентрации напряже-
ний для ступенчатых круглых
брусьев при растяжении-сжатии:
1 — сталь ст = 4000 кг!см?\
2 — сталь ст bz = 8000 кг[см.2\
3 — сталь ст	= 12000 кг!см? [107].
Фиг. 435. Эффективные
коэффициенты концентра-
ции напряжений (^_1)1,0
для валов с кольцевой
выточкой-^- = 1,0 при
изгибе*
1 — сталь ст ==5000 кг1см?\
2 — сталь
ст^2 = 10 000 кг!см* [107].
Фиг. 436. Коэффициенты а для
пересчета эффективных коэффи-
циентов концентрации напря-
жений, определенных согласно
фиг. 435 в зависимости от отно-
шения -R- [107].
Влияние концентрации напряжений на прочность деталей машин
647
*
Фиг. 437. Эффективные коэффи- .
циенты концентрации напряжений
для чугунных брусьев с кольцевой
D—d
выточкой —= 0,33 при изгибе
Gbz ~ 2900 кг/см2 [107].
Фиг. 438. Коэффициенты а для
пересчета эффективных коэффициен-
тов концентрации напряжений
(&—1)о.зз» определенных согласно
фиг. 437 в зависимости от отноше-
D—d
ния -р • [107].
Фиг. 439. Эффективные коэффициенты концентрации напря-
жений для валов с кольцевой выточкой при кручении; угле-
родистая сталь оьг = 5000 кг/см2 [96].
Фиг. 440. Эффективные коэффициенты концентрации напряже-
ний для валов с кольцевой выточкой при кручении:
1 — легированная сталь > 9000 кг/см?\ 2 — углеродистая сталь
< 50°° кг/см? [96].
648
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
валов. На фиг. 444 изображена схема приспособления для обжатия внешнего
и внутреннего краев отверстия в полых валах.
На фиг. 442 представлены графики
значений поправочного коэффициента а
для пересчета эффективных коэффициентов
концентрации напряжений, определенных
согласно фиг. 441.
Фиг. 441. Эффективные коэффициенты
концентрации напряжений для чугун-
ных брусьев с поперечным
д
стием -j- = 0,10 -и 0,15 при
Qbz ~ 2000усг/см2 [107]
отвер-
изгибе;
Фиг. 443. Эффективные коэффи-
циенты концентрации напряжений
для чугунных брусьев с попереч-
Д
ным отверстием -j- = 0,10 при
кручении; = 2200 кг!см2. Верх-
няя граница относится к высоко-
легированным, нижняя — к мало-
легированным чугунам [107].
Фиг. 442. Коэффициенты а для пере-
счета эффективных коэффициентов кон-
центрации напряжений (&_3)2Ооо, опре-
деленных согласно фиг. 441, в зави-
симости ото&2. Верхняя граница отно-
сится к высоколегированным, нижняя—
к малолегированным чугунам [107].
Фиг. 444. Схема упрочнения вала
около отверстий путем обжатия их
кромок стальными шариками.

При использовании справочных данных, приведенных в табл. 76, 77
и на фиг. 441—443, следует иметь в виду, что при подсчете пределов выносли-
вости для валов со сквозным отверстием как радиальным, так и наклонным
в случае изгиба, наибольшее напряжение вычислялось с учетом ослабления
вала отверстием диаметра Д по формуле
где
W =
nd* М*
64	12
d
2
Влияние концентрации напряжений на прочность деталей машин
649
При кручении подсчет наибольшего напряжения производился без учета
ослабления вала отверстием, поэтому при выполнении расчетов с исполь-
зованием приведенных данных номинальные напряжения следует вычислять
с учетом отмеченных особенностей.
В табл. 78 приведены величины эффективных коэффициентов концен-
трации напряжений при изгибе и кручении для валов с различными шпоноч-
ными канавками с шлицевыми пазами, конструкции которых изображены
на фиг. 445. При использовании приведенных в этой таблице справочных
Таблица 76
Эффективные коэффициенты концентрации напряжений для валов с отверстием
при изгибе и кручении
Конструкция и материал
Предел
выносливости
в кг/см?
4 300
5 900
7 700
8 100
8 850
12 150
3 000
3 800
4 300
6 800
7 700
11 150
31,0
21,5
18,9
16,0
17,4
9,7
1 630
1 840
2 240
2 630
2 970
3 270
950
990
1200
1 460
1 320
1 500
1,72
1,86
1,87
1,80
2,25
2,18
[142]
Углеродистая сталь (0,45% С; 0,59% Мп;
0.24% Si)
5 620 3 170
2 600 1 480 1,76 [151]
данных для валов, ослабленных шпоночными канавками, как при изгибе,
так и при кручении номинальные напряжения следует определять без учета
ослабления вала. Для валов, ослабленных шлицевыми пазами, номинальные
напряжения вычисляются по внутреннему диаметру шлицевого соединения.
Из рассмотрения приведенного в справочной литературе материала сле-
дует, что данные по коэффициентам эффективной концентрации напряжений
еще весьма неполны, часто противоречивы и недостаточно систематизированы.
К сожалению, приходится констатировать, что в практике конструкторской
работы весьма редки случаи, когда инженер находит в справочнике нужный
ему эффективный коэффициент концентрации напряжений в строгом соответ-
ствии со всеми конструктивными особенностями рассчитываемой детали
и качеством ее материала. Кроме того, еще раз подчеркнем, что почти весь
справочный материал по эффективным коэффициентам относится к случаю
изменения напряжений во времени по симметричному циклу. Поэтому
представляется насущно необходимым проведение широкой исследователь-
ской работы в двух направлениях: во-первых, по проверке, уточнению и согла-
сованию на базе первоисточников опубликованного в справочной литературе
материала по местным напряжениям и, во-вторых, по получению новых систе-
матизированных данных по эффективным коэффициентам концентрации,
возможно более полно охватывающих различные случаи машиностроительной
практики.
650
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Таблица 77
Эффективные коэффициенты концентрации напряжений для сплошных и полых валов
с поперечными отверстиями при изгибе [67]
Характеристика образцов		°—1 в кг!смг	k—1
Сплошные гладкие, £> = 15 мм			2630		
Полые гладкие, D = 15 мм, d = 10 мм			2280	—
Сплошные со сквозным отверстием			1780	1,48
Полые со сквозным отверстием			1830	1,25
Сплошные с упрочненным отверстием			2000	1,31
Полые с отверстием, упрочненным снаружи			1880	1,21
Полые с отверстием, упрочненным снаружи и внутри1 . . .		2100	1,08
Сплошные с односторонней засверловкой глубиной 3 мм . .		1430	1,84
То же 12 мм			1430	1,84
Полые с несквозными отверстиями ... •			1400	1,62
Сплошные с засверловкой глубиной 3 мм упрочненные . . .		1950	1,35
Полые с несквозными отверстиями упрочненные			1650	1,38
Сплошные с наклонным отверстием:			
	4 = 15°		1830	1,44
	30°		2080	1,26
	7	 45°		2150	1,22
1				
—Д	'			
			
С;
0,27% Si; 0,62% Мп;
диаметром 4,5 мм и
Материал образцов — углеродистая нормализованная сталь 0,34%
= 6000 кг!смг\ == 3200 кг/см*. Отверстия рассверлены сверлом
разделаны торцовой фрезой диаметром 5 мм. У несквозных отверстий дно плоское. База для
определения предела выносливости N==5-10e циклов.
1 См. фиг. 444.
Фиг. 445. Валы со шпоночными канавками и шлицевыми пазами (к табл. 78).
Влияние концентрации напряжений на прочность деталей машин
651
Таблица 78
Эффективные коэффициенты концентрации напряжений для валов со шпоночными
канавками и шлицевыми пазами при изгибе и кручении (см. фиг. 445)
Материал, его химический состав и механические свойства	Конструкция	Изгиб		Кручение		Литературный источник
		гЮэ/гх я 1 о		zV[3j2y Я 1 1		
Углеродистая сталь: 0,10% С; <зьх = 3700 кг/см2; <3SZ= 2500 кг! см2;	= 1700 кг/см* 0,15% С; оьг = 4300 кг/см^ <sSz =2100 кг/см2', а_х = 1900 кг/см2 0,35% С; <3bz = 5900 кг/см2} aSz = 3600 кг^см2; а_х = 2400 кг/см2	а	—	1,90 1,73 1,85	1 1 1	—	[147]
Хромоникелевая сталь: 0,75% Сг; 3,5% Ni; <3bz — 8200 кг/см2\ asz = 7500 кг,/см2; а_i = 3700 кг/см2	а	—’	2,50	—	—	
Углеродистая сталь: 0,15% С; Gbz= 4300 кг/см2 0,35% С; <зьг — 5900 кг/см2 0,60% С; <3bz = 8800 кг/см2	б	1 1 1	—	—	1,55 1,80 2,25	[126]
Углеродистая нормализованная сталь: 0,34% С; 0,27% Si; 0,62% Мп; Obz = 601)0 кг/см2; asz = 3200 кг/см2; а—! = 2630 кг/см2. Расстояние между центрами крайних сверлений: t = 0 мм t = 5 мм t = 45 мм	б Шпонка с одной стороны; диа- метр вала 15 мм; глубина сверле- ния 3 мм; диа- метр сверления 5 мм	1430 1930 1930	1,84 1,36 1,36	—	—	[67]
Хоомоникелевая сталь: 0,39% С; 0,64% Мп; 1,25% Ni; 0,62% Сг; 0,23% Si; Gbz = 7250 кг/см2; aSz — 4920 кг/см2; О—i = 4060 кг/см2	в г	2530 1970	1,61 2,07	—	—	[151]
Углеродистая сталь: 0,45% С; 0,59% Мп; 0,24°% Si; Qbz = 5620 кг/см2; asz = 3170 кг/см2; . О—! = 2600 кг/см2	в г	1970 1610	1,32 1,61	—	—	
Сталь: аЬг = 8550 кг/см2; asz = 72 30 кг/см2; &Ь~ 17%; j. = 2660 кг,/см2 Номинальные напряжения в случаях в случаях д — з— по внутреннему диам	д е 3 а —г вычисляют без етру; напрессованна	i учета с я детал!	»слаблеи > отсутс	1390 1140 2440 2520 [ия вала твует.	1,92 2,33 1,09 1,04 канавк	[142] ами,
652
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
§ 7. ПРОЧНОСТЬ ДЕТАЛЕЙ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ В ЗАВИСИМОСТИ
ОТ КАЧЕСТВА И МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ПОВЕРХНОСТНЫХ СЛОЕВ МАТЕРИАЛА
ДЕТАЛЕЙ
А. Общие соображения
Развитие металлургии позволило значительно повысить качество и уве-
личить число применяемых в машиностроении материалов.
Высокие механические свойства ряда материалов позволяют увеличить
прочность и долговечность и уменьшить вес деталей машин.
Однако прочность деталей, выполненных из легированных высокопроч-
ных сталей и других специальных материалов (титан и его сплавы, дюралю-
миний, твердые сплавы и т. п.), при наличии концентраторов напряжений
и в случае плохого состояния поверхности деталей (риски, коррозия и т. д.)
снижается в значительно большей степени, чем деталей, выполненных из угле-
родистых или низколегированных сталей.
В настоящее время можно счйтать доказанным, что усталостная проч-
ность деталей в значительной степени зависит от состояния поверхности
и механических свойств наружных слоев материала.
Фиг. 446. Микрогеометрия поверхности обработаннойГдетали [83]:
1 — номинальная поверхность; 2 — средняя поверхность; 3 — гребешки;
4 — риски; 5 — микронеровности.
Весьма сильно влияют на прочность детали (образца) следы механиче-
ской обработки, случайные царапины, а также коррозия поверхностных
слоев материала.
На фиг. 446 схематически изображена поверхность детали после механи-
ческой обработки [83]. Погрешности формы поверхности деталей после
механической обработки бывают следующих основных видов: макронеров-
ности, волнистость и микронеровности.
Под макронеровностями понимают единичные, не повторяющиеся регу-
лярно, отклонения от правильной геометрической формы. Для плоских
поверхностей они являются выпуклостями, вогнутостями; для цилиндриче-
ских поверхностей — это эллиптичность, бочкообразность и корсетность.
Возможность достижения высокой точности формы детали с незначи-
тельными макрогеометрическими отклонениями в процессе обработки в основ-
ном зависит от жесткости станков, их конструкции, режима работы и квали-
фикации персонала.
Волнистость, т. е. совокупность периодических, более или менее регу-
лярно повторяющихся, близких по размерам возвышений и впадин, обра-
зующих неровности /г, значительно большие, чем микронеровности поверх-
ности (см. фиг. 446).
Волнистость получается из-за неравномерности процесса резания, вибра-
ций в системе станок — инструмент — деталь, биений, многолезвийности
вращающегося инструмента и т. п.
Наконец, микронеровности или шероховатости зависят от различных
случайных явлений и от структуры материала (особенности и неоднород-
ность его строения).
Влияние состояния поверхностных слоев материала на прочность деталей 653
В практике отдельные особенно большие микронеровности называются
гребешками (выступы) и рисками (впадины).
В процессе работы, как правило, происходит непрерывное изменение
микрогеометрии поверхности детали (износ). Особенно быстро изменяются
гребешки и микронеровности на выступающих частях волнистой поверхности.
На износ и выносливость при наличии жидкого трения очень сильно
влияют масляные клинья, образующиеся во входящих углах микронеров-
ностей.
Износ выступов и изменение микрогеометрии поверхности в значительной
степени изменяют выбранные конструктором посадки, что, в свою очередь,
оказывает существенное влияние на режим работы детали. В связи с этим
для ответственных напряженных деталей должна быть установлена и выдер-
жана оптимальная чистота поверхности в зависимости от характера работы
и прочностных особенностей материала детали.
Значительное влияние на выносливость оказывают микронеровности
и в первую очередь впадины (риски) с острыми входящими углами. Все впа-
дины и особенно впадины с острыми углами должны рассматриваться как
концентраторы напряжений. Входящие углы рисок являются очагами воз-
никновения как микроскопических, так и более крупных усталостных
трещин.
Для устранения всех перечисленных _поверхностных, концентраторов
применяется шлифование, полирование и различные покрытия поверхности;
однако даже на полированной поверхности могут быть обнаружены микро-
скопические риски.
Усталостная прочность поверхностных слоев металла бывает пониженной
не только вследствие наличия в них концентраторов напряжений, но и потому,
что в этих слоях нарушена целостность кристаллических зерен металла.
Это обстоятельство особенно, существенно, если учесть, что в ряде случаев
именно поверхностные слои материала являются наиболее нагруженными
(изгиб, кручение). Поэтому усталостная прочность деталей может быть повы-
шена за счет упрочнения поверхностных слоев материала.
На схеме, представленной на фиг. 447, перечислены основные методы
современной упрочняющей технологии.
Как видно из рассмотрения этой схемы, упрочнение деталей может быть
достигнуто путем проведения специальных технологических операций,
обеспечивающих качественное состояние поверхности детали. Сюда отно-
сятся операции механического упрочнения, термической и термохимической
обработки поверхностных слоев материала, поверхностного легирования
этих слоев.
В некоторых случаях обычные технологические операции могут повы-
шать усталостную прочность деталей. Так, например, при изготовлении
резьбы методом накатки поверхностные слои материала детали подвергаются
сильному обжатию, что способствует ее механическому упрочнению. При газо-
вой цементации с последующим резким охлаждением изменяется химический
состав поверхностных слоев изделия (они насыщаются углеродом), объем
частиц, насыщаемых углеродом, увеличивается, благодаря чему возникают
напряжения сжатия; поэтому, помимо увеличения твердости и износоустой-
чивости, происходит также и увеличение усталостной прочности детали.
Наиболее существенны два основных приема улучшения качества поверх-
ностных слоев:
1) упрочнение за счет пластического деформирования поверхностных
слоев материала (обкатка роликами, дробеструйная обработка и т. п.);
2) упрочнение за счет термической и термохимической обработки поверх-
ностных слоев материала (поверхностная закалка токами высокой частоты,
азотирование и т. п.).
Фиг. 447. Различные методы упрочняющей технологии.
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Влияние состояния поверхностных слоев материала на прочность деталей 655
При упрочнении за счет пластического деформирования поверхностных
слоев материала происходит сглаживание шероховатостей (см. фиг. 446),
снятие гребешков, уменьшение глубины и остроты, входящих углов рисок
и, что самое существенное, происходит уплотнение наружных слоев мате-
риала детали. После такой обработки в поверхностных слоях возникают
напряжения сжатия. Они накладываются на рабочие напряжения, в резуль-
тате чего, как показали многочисленные опыты, выносливость деталей
повышается.
При упрочнении за счет термической и термохимической обработки
поверхностных слоев материала, состоящей в насыщении поверхностных
слоев детали углеродом или азотом (цементация, азотирование, цианирование),
при поверхностной закалке и легировании (алитирование, хромирование),
помимо изменения химического состава и физических свойств материала
происходит увеличение объема этих частиц, за счет чего в поверхностных
слоях возникают напряжения сжатия, наличие которых, как уже отмечалось
ранее, упрочняет деталь.
Весьма эффективным [17], [83] является комбинирование различных
методов упрочнения. Например выносливость стальных деталей может быть
повышена обкаткой роликами после поверхностной закалки токами высокой
частоты [46].
В технической литературе приводится много примеров успешного приме-
нения всех перечисленных методов упрочнения деталей, а также сообщаются
результаты многочисленных экспериментальных работ, посвященных выяс-
нению влияния холодной и термохимической обработки поверхностных
слоев материала на прочность деталей.
Стремлению отразить в расчетах на прочность влияние перечисленных
упрочняющих (наклеп, закалка поверхности) и разупрочняющих (риски,
коррозии) факторов препятствует недостаточное развитие теории, которая
позволила бы подойти к оценке влияния состояния поверхностных слоев
не только с качественной, но и с количественной стороны.
В монографии И. В. Кудрявцева, М. М. Саверина, А. В. Рябченкова [45]
даны некоторые теоретические обоснования влияния качества поверхност-
ных слоев на усталостную прочность деталей. Полученные результаты могут
помочь технологам выбрать оптимальные режимы обработки деталей, позво-
ляют улучшить контроль качества их поверхности и указывают пути даль-
нейших исследований в этой области. Однако в настоящее время еще отсут-
ствует возможность отразить все параметры, характеризующие качество
поверхностных слоев в расчетных формулах.
В научно-исследовательских институтах и на заводах ведется разработка
новых методов поверхностного упрочнения. Есть основание полагать, что
в недалеком будущем этот вопрос будет решен и теоретически, что позволит
ввести соответствующие коррективы в расчетные формулы.
Далее приводятся краткие сведения, позволяющие при составлении рас-
четных формул, выборе допускаемых напряжений и при оценке коэффициента
запаса в некоторой степени учесть особенности обработки и состояние поверх-
ности рассчитываемых деталей.
Б. Влияние механической обработки поверхности
Обработка резанием и абразивная обработка.
Остающиеся после обработки следы резца и шлифовального круга (риски
и мелкие царапины) являются многочисленными концентраторами напря-
жений, наличие которых снижает усталостную прочность.
Как уже отмечалось, предел выносливости определяется при испытании
шлифованных, а иногда и полированных образцов.
656
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Фиг. 448. Графики зависимости от
предела прочности отношения предела
выносливости образцов к пределу вы-
носливости образцов со шлифованной
поверхностью:
1 — для шлифованных образцов; 2 — для
полированных; 3 — обработанных резцом;
4 — насеченных; 5 — необработанных;
6—для образцов с поверхностью, корроди-
рованной в пресной воде; 7 — с поверхно-
стью, корродированной в морской воде.
Установлено, что усталостная прочность полированных образцов
несколько выше, чем шлифованных; у образцов, обработанных резцом, она
ниже, чем у шлифованных.
Наиболее низкая усталостная прочность имеет место при грубой обдирке
и у образцов с необработанной поверхностью.
На фиг. 448 приведены ориентировочные данные по оценке предела выно-
сливости различных сталей в зависимости от состояния поверхности образ-
цов [109].
Предел выносливости образцов с шлифованной поверхностью принят
за 100% (прямая /); линия 2 относится к образцам с полированной поверх-
ностью; прямая 3 — к образцам, обрабо-
танным резцом; прямая 4 — к образцам,
на поверхности которых нанесена мелкая
насечка; линия 5 — к необработанным
после прокатки образцам; прямая 6 —
к образцам, поверхность которых корро-
дирована в пресной воде; прямая 7 —
к образцам, корродированным в морской
воде. По оси абсцисс отложены пределы
прочности материала при испытании на
растяжение.
Из рассмотрения графика следует, что
влияние на усталостную прочность ма-
териала состояния поверхностных слоев
тем сильнее, чем выше его предел проч-
ности.
Особенно сильно снижает предел вы-
носливости коррозия поверхности.
Цветные металлы и чугуны мало
чувствительны к обработке поверхности
[93].
Образующийся при механической об-
работке микрорельеф и наклеп поверх-
ностного слоя детали зависят от режи-
мов резания и абразивной обработки,
от возникающих при этом тепловых явлений, а также от свойств самого
металла. С увеличением твердости и прочности стали влияние перечислен-
ных факторов на усталостную прочность усиливается.
Высокий кратковременный нагрев, сопровождающий тяжелые режимы
резания и шлифования, вызывает структурные изменения в поверхностных
слоях деталей, что может служить причиной снижения предела выносливости
на 50% и более [28].
Значительные усилия и высокие местные напряжения, возникающие
особенно часто при так называемом силовом резании (при больших подачах
и значительных глубинах резания, являются причиной появления надрывов
и микротрещин в поверхностных слоях материала деталей, причем вредное
влияние их не уничтожается в полной мере и последующим шлифованием.
Отметим, однако, что применение специальных упрочняющих мероприятий
(например, обкатки) может повысить прочность детали после силовой обра-
ботки:
В табл. 79 сопоставлены результаты испытаний [28] на выносливость
при чистом изгибе образцов диаметром 11,5 мм трех марок сталей. Часть
образцов испытывалась после обычной обработки на 'токарном станке,
а другая часть подвергалась обработке с повышенной подачей и увеличенной
глубиной резания. База испытаний 5-Ю6 циклов. Опыты показали значи-
Влияние состояния поверхностных слоев материала на прочность деталей 657
Влияние силового резания на выносливость стали [28]
Таблица 79
Марка стали	Обычное точение						Силовое резание					
	Режим резания			Предел выносли- вости ст	 в кг!см*			Режим резания			Предел выносли- вости ст_х в кг/см*		
	Скорость в м/мин	Подача в мм/об	Глубина в мм	Обработка на токарном станке	Шлифование после обточ- ки	Обкатка после шли- фования	Скорость j в м/мин	Подача в мм/об	, Глубина в мм	Обработка на токарном станке	Шлифование после обточ- ки	Обкатка после шли- фования
У8А (закаленная, сорбит)	14	0,10	0,30	4200	4400	4800	35	1,0	1,0	2750	4150	5000
45 (нормализованная)	22	0,07	0,30	2950	3050	3300	80	1,0	1,0	2750	3050	3500
20Х (сырая)	22	0,07	0,30	2700	2850	3000	80	1,0	1,0	2600	2700	3200
Подача
Фиг. 449. Влияние режима резания на усталостную проч-
ность стали 45 [68].
Сплошные кривые — до отжига; пунктирные — после отжига.
тельное снижение усталостной прочности благодаря влиянию силовой обра-
ботки, особенно у образцов закаленной стали У8А.
Как видно из рассмотрения данных табл. 79, шлифование после обточки
несколько повышает усталостную прочность. Значительное упрочнение дости-
гается применением об-
катки образца ролика-
ми; эта технологическая
операция полностью
устраняет дефекты, воз-
никшие при силовой
обработке. $
На фиг. 449 иллюс-
трировано влияние ре-
жима резания на уста-
лостную прочность об-
разцов диаметром 12мм,
выполненных из угле-
родистой стали 45.
Механические харак-
теристики стали:
<^ = 6030 кг/см?}
3610 кг/см2. Глубина резания 0,5 мм, радиус закругления вершины
резца 1 мм. Испытания велись при изгибе [68].
Из рассмотрения данных испытаний следует, что увеличение подачи
снижает усталостную прочность.
Увеличение скорости резания, наоборот, способствует некоторому повы-
шению усталостной прочности. Это объясняется, по-видимому, тем, что при
больших скоростях резания уменьшается количество надрывов и микро-
трещин. Пунктирные линии на фиг. 449 относятся к образцам, испытанным
после отжига (отжиг при 600°, выдержка 2,5 часа).
Повышение усталостной прочности путем дробе-
струйной обработки. Повышение усталостной прочности путем
обработки поверхности деталей действием потока дроби представляет собой
42 Пономарев 508
658
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
эффективный и высокопроизводительный метод повышения усталостной
прочности, получивший в настоящее время широкое применение в промыш-
ленности.
Сущность процесса обработки дробью заключается в том, что деталь
в совершенно готовом виде, пройдя механическую и термическую обработку,
подвергается ударам металлической (стальной или чугунной) дроби. В резуль-
тате многочисленных ударов дробинок, имеющих скорость до 50—70 м/сек,
поверхность детали наклепывается, причем изменяются физические свойства
материала на глубину 0,2—0,4 мм. В некоторых случаях глубина накле-
панного слоя может достигнуть 1 мм.
Материал поверхностных слоев детали становится более прочным и твер-
дым. Дробеструйная обработка, пластически деформируя поверхностные
слои материала, вызывает появление в них напряжений сжатия.
Об интенсивности наклепа и величине возникших напряжений судят
по контрольным пластинкам, которые подвергаются обдуву вместе с обра-
батываемой деталью.
Установлено, что усталостная прочность образцов при обработке их пото-
ком дроби повышается. Одновременно с повышением предела выносливости
наблюдается некоторое снижение предела текучести и относительного удли-
нения после разрыва образцов, подвергнутых дробеструйной обработке.
Таблица 80'
Изменение предела выносливости после обработки дробью [12]
Марка стали	Твердость Рс	°bz в кг,/см2	asz в кг/см2	ст	х в кг/см2	
				До обдувки	После обдувки
Малоуглеродистая сталь	—	3 450	1 900	2100	2490
45	20—26	8 790	7 760	2290	2830
40Х	52—57	15 700	—	3500	5150
60С2	42—48	14 800	12 100	3580	5150
У8	12—15	7 800	3 160	2100	2400
У10	30—32	10 400	6 180	2720	2840
В табл. 80 приведены результаты сравнительных испытаний образцов
(диаметр 10 мм) сталей шести марок, обработанных и необработанных
дробью. Усталостные испытания на изгиб проводились с частотой 1700 цик-
лов в минуту. База испытаний 5-106 циклов.
Наибольшее увеличение предела выносливости обнаружилось у кон-
струкционной стали 40Х и пружинной стали 60С2. Предел выносливости
малоуглеродистой и инструментальной сталей У8 и У10 увеличивается в мень-
шей степени.
Увеличение предела выносливости в результате дробеструйной обработки
наблюдается при испытании как гладких образцов, так и образцов с кон-
центраторами напряжений. Объясняется это, по-видимому, тем, что в резуль-
тате воздействия дроби в поверхностном слое металла создается благоприят-
ное распределение остаточных напряжений. Однако слишком интенсивный
наклеп способствует появлению в поверхностных слоях деталей микротре-
щин, которые могут значительно снизить их усталостную прочность.
На фиг. 450 изображена зависимость изменения предела выносливости
стали 45ХН от количества израсходованной на обдувку дроби, по данным
Влияние состояния поверхностных слоев материала на прочность деталей 659
М. М. Саверина [45]. По оси ординат отложено увеличение (в процентах)
предела выносливости образцов в результате обдувки дробью по отношению
к пределу выносливости образцов, не подвергавшихся этой обработке.
Из рассмотрения кривой видно, что увеличение предела выносливости
на 54% достигается в самом начале процесса обдувки. Длительная обдувка
может несколько ухудшить достигнутые результаты.
В настоящее время дробеструйной обработке подвергаются коленчатые
валы быстроходных двигателей внутреннего сгорания, гильзы цилиндров
и поршни авиамоторов, шестерни, валы, оси, болты и шпильки, пружины;
листы рессор и многие другие детали.
Наибольший эффект обдувка дает в тех случаях, когда в эксплуатацион-
ных условиях материал около наклепанной поверхности подвергается
растяжению.
В результате анализа напряженного состоя-
ния поверхностных слоев деталей, обработанных
дробью, в работе [45] сделаны следующие вы-
воды. Дробеструйная обработка гладких деталей
независимо от их размеров при качественном со-
стоянии поверхности повышает предел усталости
незначительно.
Дробеструйная обработка деталей с мелкими
поверхностными концентраторами напряжений
(следы механической обработки, коррозия) весьма
эффективна как для больших, так и для малых
деталей. При обработке деталей с конструктивными
концентраторами напряжений при достаточной
глубине наклепанного слоя может быть достиг-
Количестбо ’ дроби
Фиг. 450. Влияние расхода
дроби на эффективность про-
цесса обдувки.
нуто значительное увеличение усталостной прочности.
Известны случаи увеличения усталостной прочности деталей, имеющих
концентраторы напряжений, форма которых исключает возможность попа-
дания дроби в глубь концентратора. Это можно объяснить [45] влиянием
общего благоприятного распределения напряжений, возникающих в резуль-
тате обдувки. Однако при слишком глубоких надрезах и закрытых трещинах
обработка дробью не может повысить усталостную прочность.
Весьма существенна роль дробеструйной обработки в тех случаях, когда
сложная форма детали исключает возможность тщательной обработки ее
поверхности (шлифования, полирования).
Дробеструйный наклеп резко повышает усталостную прочность деталей,
работающих в корродирующей среде, что особенно заметно в случае приме-
нения сталей, закаленных с низкой температурой отпуска.
Необходимо отметить эффективность упрочнения обдувкой деталей
из высокопрочного чугуна. Хотя чугуны менее чувствительны к концентра-
ции напряжений, чем стали, тем не менее действенность технологического
упрочнения в этом случае значительна [83].
Существовало мнение, что поверхностное упрочнение, достигнутое при
дробеструйной обработке, может исчезнуть при нагревании, которому
детали подвергаются в эксплуатационных условиях. Однако, как указано
в работе [83], исследования не подтвердили этих опасений.
Повышение усталостной прочности путем обкатки
роликами. Обкатка поверхности деталей стальными закаленными роли-
ками повышает их усталостную прочность. В результате такой обработки
в поверхностных слоях деталей возникают пластические деформации и соз-
даются благоприятные для прочности детали остаточные напряжения.
Обкатка применима для упрочнения деталей несложного очертания,,
например плоских или имеющих форму тел вращения.
42*
660
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Обработанная обкаткой поверхность становится значительно более глад-
кой, чем поверхность после обдувки дробью. При обкатке может быть получен
более глубокий (до 5 мм) слой пластически деформированного упрочненного
материала, чем при обдувке.
Результаты лабораторных исследований упрочнения обкаткой показы-
вают, что предел выносливости гладких образцов стали может быть повышен
на 20—30% [45].
На фиг. 451 представлена зависимость предела выносливости упроч-
ненных обкаткой образцов стали от глубины снятого обточкой наклепанного
слоя. Предел усталости необкатанного образца принят за 1ОО°/о.
Глубина снятого обточкой слоя
Фиг. 451. Изменение предела вынос-
ливости в зависимости от глубины
снятого обточкой слоя у обкатанных
образцов. За 100% принят предел вы-
носливости необкатанной стали.
Фиг. 452. Изменение предела выносливости
в зависимости от нажимного усилия при
обкатке образцов стали 40 [48].
С увеличением глубины и интенсивности наклепа усталостная прочность
возрастает, как это следует из рассмотрения результатов испытаний [48]
и [100]. На фиг. 452 иллюстрировано изменение предела выносливости
образцов диаметром 18 мм стали 40 в зависимости от нажимного усилия при
обкатке.
Опытами [45] установлено, что предел выносливости образцов с кон-
центраторами напряжений повышается при обкатке по сравнению с анало-
гичными необкатанными образцами.
В табл. 81 приводятся некоторые результаты упомянутых испытаний,
произведенных над цилиндрическими (d = 18 мм) образцами конструкцион-
ной нормализованной стали 40 при симметричном цикле изменения напря-
жений.
Обращает на себя внимание, что частичная обкатка (обкатка, произве-
денная не по всей длине образца) не уменьшает усталостной прочности
по сравнению с необкатанными образцами, несмотря на наличие неоднород-
ности материала на границе обкатанной и необкатанной зон.
Данные, характеризующие изменение усталостной прочности обкатанных
роликами валов, а также сведения, характеризующие влияние обработки
обкаткой или развальцовкой различных деталей, приведены в справочной
литературе (см., например, [96]).
Как показали опыты [45], обкатка значительно увеличивает усталостную
прочность деталей, работающих в условиях коррозии. Так, например,
в некоторых случаях удается путем обкатки повысить предел выносливости
стальных деталей, работающих в пресной воде, более чем в 4 раза.
Обкатка роликами применяется не только для стальных деталей, но и для
деталей из чугуна и цветных металлов.
Влияние состояния поверхноаных слоев материала на прочность деталей 661
Таблица 81
Влияние обкатки роликами на усталостную прочность образцов стали 40
Концентратор	Характеристика образца	Увеличение предела выносливости в %
Без концентратора (гладкий)	Шлифованный	15-26
Без концентратора (гладкий)	Грубо обработанный резцом	32
С надрезом глубиной 0,4 мм	Шлифованный	60
С поперечным отверстием диаметром 3,6 мм		50
Напрессованная втулка		51
Частичная (по длине) обкатка		4
После обкатки галтелей чугунных образцов изломы при усталостных
испытаниях наблюдаются не в галтелях, а в гладкой части образца.
Как указано в работе [83 ], повышение предела выносливости при обкатке;
роликами галтелей валов из высокопрочного чугуна достигало 65—93%,
а валов из стали 45 — только 44%. Поэтому пределы выносливости чугунных
коленчатых валов с обкатанными галтелями превосходили пределы выносли-
вости стальных кованых валов (для чугунных валов = 1950 — 2400/сг/аи2;
для стальных а_, = 1760 кг/сл»2).
Механические свойства, в том числе и предел выносливости, определенные
при испытании обычных образцов, у образцов чугуна были несколько ниже,
чем у образцов стали 45.
Гидрополирование. Из возникших за последние годы новых
способов обработки и упрочнения поверхностных слоев деталей следует
отметить гидрополирование.
Обработка поверхности струей жидкости под высоким давлением позво-
ляет одновременно улучшить микрогеометрию поверхности и создать в поверх-
ностном слое глубиной до 1—1,5 мм наклеп.
Эффект наклепа проявляется также и в случае, если деталь имеет очень
глубокие концентраторы напряжений. Гидрополирование позволяет увели-
чить усталостную прочность деталей на 25% [83].
Замечено, что гидрополирование стальных деталей увеличивает их кор-%
розионную стойкость.
В. Влияние термохимической обработки и легирования поверхностных .
слоев материала деталей
Цементация. Сущность процесса цементации заключается в насы-
щении углеродом поверхностных слоев детали, выполненной из малоугле-,
родистой стали.
Основой процесса цементации является диффузия углерода в сталь
на глубину 0,5—2,0 льи. Концентрация углерода в слое обычно не превы-
шает 1,2%. Вслед за процессом цементации проводится термообработка
(закалка с отпуском). Все это в конечном счете приводит к повышению твер-
662
Расчеты на прочность при напряжениях., переменных во времени
дости поверхностных слоев до HRc — 58 ч- 62, что увеличивает износостой-
кость и усталостную прочность деталей.
Для изготовления малоответственных деталей с последующей цемента-
цией применяются малоуглеродистые'стали марок 08, 10, 15, 20, а для изго-
товления ответственных и тяжело нагруженных деталей — принимающие
цементацию конструкционные стали 15Х, 20Х, 12ХНЗ, 12ХН, 18ХНВ,
ЗОХГТ, 18ХГТ и др.
В машиностроении цементация находит применение для упрочнения
зубчатых колес, кулачковых шайб, распределительных валиков, поршневых
пальцев, тарелок клапанов и различных деталей автомобилей, тракторов,
металлорежущих станков и т. д.
Следует учитывать, что резкий обрыв за-
каленного цементованного слоя может слу-
жить концентратором напряжений.
Цементация малоуглеродистой стали с
последующей закалкой, по данным И. В.
Кудрявцева и В. И. Просвирина [41], вызы-
вает резкое повышение усталостной прочно-
сти. Как следуетиз приведенных в работе [41]
данных, цементация может повысить пре-
дел выносливости сталей в 1,5—2 раза.
На фиг. 453 представлены результаты
испытаний на усталость при изгибе образцов
диаметром 10 мм из малоуглеродистой
стали [41].
Как видно из изображенной на фиг. 453
Фиг. 453. Пределы выносливости
G—! КОНСОЛЬНЫХ обрЭЗЦОВ
id= 10 мм) малоуглеродистой стали
в зависимости от глубины цемен-
тованного слоя.
зависимости предела выносливости от глу-
бины цементованного слоя, прочность за счет цементации может
быть в некоторых случаях повышена в 2 раза.
Аналогичные результаты получены также при испытании образцов
хромоникелевой стали (0,16% С; 0,74% Сг; 2,85% Ni) [42].
Необходимо иметь в виду, что цементация значительно уменьшает сопро-
тивление деталей ударным нагрузкам, что снижает в ряде случаев значение
этого вида обработки.
Заметим также, что часто при расчете деталей повышение предела выно-
сливости благодаря цементации не принимают во внимание. В основу расчета
кладутся характеристики нецементованного материала (внутренней части
детали). Это объясняется тем, что обычно цементуются только трущиеся
поверхности деталей, а материал в зоне концентраторов напряжений
(например, галтелей) остается нецементованным.
Азотирование. Процесс азотирования состоит в насыщении
поверхностных слоев стальных деталей азотом путем длительного нагрева
при температуре 480—650 °C в атмосфере аммиака [23]. В основе процесса
азотирования лежит диффузия азота в сталь, образующего с железом и леги-
рующими элементами (алюминием, хромом, молибденом) химические соеди-
нения — нитриды.
Общая глубина азотированного слоя обычно не превышает 0,5 мм.
Насыщение азотом приводит к изменению структуры поверхностного
слоя. Последнее связано с увеличением объема частиц материала, что создает
около поверхности напряжения сжатия. Это обстоятельство является при-
чиной повышения усталостной прочности.
Хорошо азотируются стали 10, 20, 30, 40, 20Х, 40Х, 18ХНВА, 45ХНМА,
ЭИ69 и др.
Детали перед азотированием проходят закалку с отпуском, а затем окон-
чательную механическую обработку? После азотирования иногда произ-
Влияние состояния поверхностных слоев материала на прочность деталей 663
водится шлифование деталей с целью удаления хрупкого слоя глубиной
0,03—0,05 мм.
Азотирование производится для повышения усталостной прочности
деталей машин, рабочие поверхности которых изнашиваются или подвер-
гаются коррозии. Различают два вида азотирования: азотирование с целью
упрочнения и антикоррозионное азотирование.
Азотированию с целью получения поверхностного упрочненного слоя
должной твердости и глубины подвергаются детали, изготовляемые из спе-
циальных легированных сталей, в состав которых входят алюминий, хром,
молибден и другие элементы.
Перед азотированием детали подвергаются закалке.
Прочностное азотирование применяется при производстве измерительных
инструментов, гильз цилиндров, зубчатых колес, коленчатых валов, шпин-
делей токарных станков и т. д.
Азотирование резко повышает усталостную прочность деталей с концен-
траторами — шпоночными и шлицевыми пазами, отверстиями, галтелями,
буртами и т. п. Однако чрезмерно большая глубина азотированного слоя
может снизить усталостную прочность.
По данным, приведенным в работе [45], предел выносливости в резуль-
тате азотирования может быть увеличен на 10—20% (в отдельных случаях
до 30% и выше).
По исследованиям С. В. Серенсена и И. Е. Конторовича [94], азотирова-
ние повышает усталостную прочность также и в случае наличия концентра-
торов напряжений.	•
Приведем заимствованную из работы [94 ] таблицу результатов сравнитель-
ных испытаний на выносливость образцов стали ЭИ275 (табл. 82). Из рас-
смотрения данных, приведенных в таблице, следует, что применение азоти-
рования особенно эффективно при наличии концентраторов напряжений.
В качестве типичного примера применения азотирования в машинострое-
нии можно привести обработку коленчатых валов быстроходных двига-
телей.
Антикоррозионному азотированию подвергаются углеродистые, легиро-
ванные стали и чугуны. При этом в случае необходимости азотируются детали
редукторов, тормозов, велосипедов, плоские пружины, торсионные валы,
насосные штанги, детали бурового оборудования и т. п.
Весьма интересно влияние антикоррозионного азотирования на уста-
лостную прочность.
Установлено, что антикоррозионное азотирование повышает предел
выносливости конструкционных машиностроительных сталей. При азотиро-
вании углеродистой стали повышение предела выносливости достигает 50%.
При азотировании хромистой стали увеличение предела выносливости не
превышает 25%. Чувствительность азотированных деталей к надрезам сни-
жается. Предел прочности при статическом растяжении при азотировании
не изменяется, однако пластические свойства ухудшаются. Итак, антикорро-
зионное азотирование, кроме непосредственного своего назначения, является
также средством некоторого повышения усталостной прочности.
Цианирование. Цианирование — процесс химико-термической
обработки стали, при котором поверхностные слои материала детали насы-
щаются углеродом и азотом на глубину до 2,0—2,5 мм.
Цианирование может осуществляться в жидкой среде (жидкое цианирова-
ние) путем нагрева и выдержки стальных деталей, погруженных в цианиза-
торы (расплавленные соли) или в смесь цементующего газа с небольшим коли-
чеством аммиака (газовое цианирование).
Цианирование занимает промежуточное положение между цементацией
и азотированием.
664
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Таблица 82
Влияние азотирования на усталостную прочность образцов стали ЭИ275
• Вид образцов		Диаметр сечения в мм	°—1 в кг/см*	Повышение в % '
Гладкий	Неазотированный	40	4000	—
	Азотированный		4700	17
Гладкий	Неазотированный	7,52	5000	—
	Азотированный		6600	32
С буртом R = 2,2 мм	Неазотированный	40	2400	—
	Азотированный		4200	75
С буртом R = 1,1 мм	Неазотированный	40	1600	—
	Азотированный		3400	110
С поперечным отвер- стием	Неазотированный	40	1400	—
	Азотированный		2900	• ПО
С надрезом	Неазотированный	7,52	2700	—
	Азотированный		5200	92
В результате насыщения поверхностных слоев детали азотом и углеродом
и связанных с этим структурных превращений увеличивается твердость
поверхностного слоя и в нем возникают напряжения сжатия, что приводит
к повышению усталостной прочности [23].
Цианируются детали из углеродистых сталей с малым и средним содер-
жанием углерода, а также режущий инструмент из быстрорежущих сталей.
Глубина слоя для деталей, работающих в условиях переменных напря-
жений, не должна быть чрезмерно велика. Увеличение глубины цианирова-
ния с 1,0 до 1,7 мм образца диаметром 15 мм привело к снижению предела
выносливости с 4960 до 3970 кг/см2 [23].
Глубина цианированного слоя режущего инструмента обычно находится
в пределах 0,01 до 0,06 мм, а твердость слоя достигает HRc = 70. Столь
высокой твердости сопутствует хрупкость слоя, что может в конечном счете
привести к уменьшению усталостной прочности.
Г. Влияние термической обработки поверхностных слоев материала деталей
Термическая обработка стальных деталей коренным образом изменяет
их механические и в том числе усталостные свойства.
На фиг. 454 представлены результаты испытаний [83 ] образцов конструк-
ционной стали 45Х, подвергнутых различной термообработке. Из рассмотре-
ния кривых, иллюстрирующих зависимость предела выносливости
от твердости образцов по Виккерсу и Роквеллу, видно, как сильно термо-
обработка изменяет усталостную прочность стали.' В опытах отражено
также влияние различных способов механической обработки, которой под-
вергаются термообработанные детали.
Влияние состояния поверхностных слоев материала на прочность деталей 665»
В последнее время очень часто применяются различные методы терми-
ческой обработки только поверхностных слоев деталей. Сюда относятся закал-
ка токами высокой частоты и пламенная закалка. Рассмотрим более подробно*
эти два основных метода специальной термической обработки.
Закалка токами высокой частоты. Высокочастотная
закалка заключается в том, что закаливаемое изделие устанавливается
внутри индуктора или под индуктором, по которому пропускается перемен-
ный ток большой силы. При этом в изделиях индуцируется переменный ток,,
что приводит к нагреву поверхностных слоев до температуры закалки.
Глубина закалки и ее качество зависит от частоты и мощности тока,,
времени выдержки в нагретом состоянии и от условий охлаждения детали..
На твердость и качество закален-
ного слоя влияет содержание углерода
в стали. Обычно закалке токами вы-
сокой частоты подвергаются стальные
детали, материал которых содержит от
0,30 до 0,40% углерода.
Охлаждение производится как за
счет отдачи тепла внутренней холодной
части детали, так и в результате охла-
ждения жидкостью.
При закалке токами высокой часто-
ты детали машин приобретают высокие
прочностью свойства.
Следует отметить, что этим спосо-
бом можно закаливать не только слои
около наружных поверхностей, но и ма-
териал около внутренних поверхностей
глубоких отверстий диаметром более
11 мм.
Иногда детали после закалки токами
высокой частоты обдуваются дробью
(зубчатые колеса).
Процесс закалки токами высокой
частоты вызывает в деталях значитель-
Фиг. 454 Изменение предела выносливо-
сти в зависимости от твердости образцов;
стали 45Х, подвергнутых различной тер-
мообработке [83]:
1 — шлифованный и обдутый дробью обра-
зец; 2 — обдутый дробью образец; 3 — шли-
фованный образец; 4 — образец, обработан-
ный на токарном станке.
ные напряжения, которые, складываясь с рабочими напряжениями, могут
способствовать увеличению прочности деталей; однако в результате закалки
иногда возникают микротрещины как в самом закаленном слое, так и в при-
лежащих к нему слоях материала. Наличие этих трещин может привести
к снижению прочности деталей.
Как показали исследования И. В. Кудрявцева и В. Н. Новикова [42],.
должным образом подобранная закалка увеличивает предел выносливости
малых образцов некоторых сталей (стали 40, 40Х и ЗОХН) на 40—50%
(в отдельных случаях до 100%).
Для сталей разных марок усталостная прочность повышается в связи
с рассматриваемой операцией различно.
Эффект поверхностной закалки в значительной степени зависит от раз-
меров деталей. Данные, полученные при испытании малых образцов, не долж-
ны применяться непосредственно, без соответствующих поправок, для оценки
усталостной прочности больших деталей.
Эксперименты тех же авторов [44] показали, что эффективность поверх-
ностной закалки особенно велика, если на образцах имеются различные
концентраторы напряжений. По данным, приведенным в цитированной работе,
эффективные коэффициенты концентрации напряжений резко снижаются
для образцов, прошедших поверхностную закалку.
666
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Следует иметь в виду, что у закаленных деталей зоны, где обрывается слой
закалки, являются ослабленными.
Данные, приведенные в работе [44], показывают, что если поверхностной
закалке подвергнуть только часть рабочей поверхности образца, то усталост-
ное разрушение наступает в местах обрыва закаленного слоя, а пределы
выносливости оказываются значительно более низкими, чем у образцов,
не подвергавшихся закалке.
Результаты испытаний на усталость образцов чугуна, подвергнутых
поверхностной закалке, показали, что закалка увеличивает предел выносли-
вости как гладких, так и надрезанных образцов на 10—15% [451.
Пламенная поверхностная закалка. Пламенной
поверхностной закалкой называется термообработка, при которой произ-
водится нагрев детали пламенем специальных горелок на глубину от Г до
6 мм с последующим немедленным охлаждением.
При поверхностной закалке обычно подвергаются нагреву только отдель-
ные участки детали, например зубья шестерни, ходовые части крановых
колес, шейки валов и т. п.
Под влиянием структурных изменений, происходящих с увеличением
объема частиц материала, в поверхностном слое возникают напряжения сжа-
тия. В результате этого, как известно, увеличивается усталостная прочность
деталей.
При неправильном ведении процесса закалки может возникнуть неравно-
мерная твердость закаленного слоя и резкий обрыв закаленной поверхности,
что значительно снижает усталостную прочность.
Весьма эффективен автоматизированный способ закалки деталей в форме
тел вращения. В этом случае горелка движется прямолинейно вдоль оси
вращающейся детали. На расстоянии 10—20 мм от пламени укрепляются
кольца через отверстия, в которых деталь омывается охлаждающей жидко-
стью. Закалка в этом случае получается равномерной как по глубине, так
и по длине детали. Метод пламенной закалки целесообразен при необходимо-
сти получения местного упрочнения крупных деталей: валов больших диа-
метров, шпинделей расточных станков, штамподержателей, станин и др.
Особое преимущество пламенной закалки выявляется при закалке очень
крупных деталей в индивидуальном производстве — прокатных валков,
деталей муфт, ковшей экскаваторов, бандажей, барабанов и деталей кузнечно-
прессового оборудования.
Д. Влияние коррозии и адсорцбионно активной среды
Коррозия. Усталостное разрушение в коррозионных средах свя-
зано с образованием на циклически деформируемых слоях материала, около
поверхности деталей, электродного потенциала, более значительного в зонах
местных напряжений (около дефектов и в местах концентрации) и возрастаю-
щего при увеличении напряжений.
Изучение электрохимического механизма коррозионной усталости поз-
волило обосновать эффективность поверхностного упрочнения и протектор-
ной и катодной защиты от усиления усталостного процесса действием корро-
зионной среды. Для углеродистой стали с средним содержанием углерода
протекторная защита при помощи цинковых покрытий позволила увеличить
предел усталости на 100% и более [17].
Катодная защита внешним током позволяет почти полностью устранить
влияние коррозии.
Действие коррозионной среды настолько сильно сказывается на разрыхле-
нии кристаллов, что стирается различие выносливости сталей разной прочно-
сти, разного состава и термической обработки. В табл. 83 приведены
В сияние состояния поверхностных слоев, материала на прочность деталей 667
Таблица 83
Влияние коррозии на усталостную прочность металлов в различных средах [17]
Материал	Химический состав	Характеристика	abz в кг/см1	Предел выносливости в кг}см2				База АМ0~6 циклов
			Воздух		п Вода	Соленая вода*	Морская вода	
Углероди- стая сталь	0,06% с 0,14% С 0,16% С 0,26% С 0,30% С 0,45% С 0,70% С 1,09% С	Прокат Отожженная 1» Улучшенная 9	4100 4300 3660 4100 5020 6560 9700 7280	2600 2250 1800 1820 2500 3100 5200 2950	1000 1400 1200 1200 1100 1400	400	550	50 20 20 20 100 20 20 20
Легирован- ная сталь	0,28% С; l,50%Ni; 0,73%Сг 0,23% С; 3,70% Ni; 0,70%Сг 0,28% С; 3,70% Ni 0,33% С; 1,10% Сг; 0,12% V; 0,15% Си 0,47% С; !,60%Si; 3,10% Ni	Улучшенная Прокат Отожженная Улучшенная • W	9750 7600 6370 6720 11900	4800 3600 3450 3550 6200	ИЗО 1800 1600 1650 840	980	800 1120 600	20 50 20 100 20
Нержавею- щая сталь	0,39%С; 10,9%Cr; 34,7%Ni 0,38%С; 14,5%Сг 0,38% С; 14,5% Сг 0,19% С; 20,9% Сг	Нормализован- ная Отожженная Улучшенная Нормализован- ная	7900 6640 12500 6180	4010 3630 6200 3300	2880 2250 2640 2840	1550 1890 2110	—	50 50 50 50
Стальное литье	0,1994 с 0,48% С 0,19% С; 12,4% Сг	Нержавеющее	4630 6450 6900	2000 2200 3200	1200 1200 1600	—	400 400 800	50 50 50
Чугун	3,6% С; 1,75% Si; 0,50% Мп 3,4% С; 2,08 %Si; 0,76% Мп 3,3% С; 1,52% Si; 0,86% Мп	—	1330 2980 3000	800 1800 1300	500 1400 900	—	800	50 50 50
Никель	98,9% Ni	Отожженный	5450	2320	1690	1550	—	50
Монель- металл	71% Ni; 26% Си	Отожженный	5850	2500	1550	—	—	50
Меднонике- левый сплав ♦ Солен	78%Ni; 21%Си ая вода содержит по весу */« но	Отожженный рСКОЙ СОЛИ.	3320	ИЗО	ИЗО	ИЗО	—	100
668
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Продолжение табл. 83
Материал	Химический состав	Характеристика	ahz в Предел выносливости кг!смг	а—1 в кг1см*					База АМО-8 циклов
			Воздух		Вода	Соленая вода*	Морская вода	
Латунь	62,3% Си; 37% Zn	Холоднотянутая отожженная	3750	1470	изо	изо	—	50
Бронза	91,7% Си; 8,2% Sn 88,7% Си; 7,5% А1; 2,9% Fe	Холоднотянутая отожженная Прессованная	3900 6360	1470 2320	1620	1340 1620	—	50 50
Алюминий	99,5% Al	Отожженный Тянутый	980 1460	500 800	420	—	300	10 50
Дюраль	3,7% Си; 1,02% Si 4.2% Си; 0,40% Mg; 0,34о/о Si	Улучшенный Отожженный	4860 2420	1200 960	540 530	—	—	50 50
Силумин	13% Si; 0,50% Fe 12% Si; 0,80% Си; 0,40% Fe	Литье W	1240 1950	400 600	—	—	400 500	10 10
♦ Соленая вода содержит по весу 1/в морской соли.								
данные [17], характеризующие усталостную прочность при изгибе различных
металлов в воздухе, в пресной, соленой и морской воде. Опыты проводились
при частотах, лежащих в пределах 1400—2500 циклов в минуту.
Насколько сильно может влиять коррозия на прочность углеродистой
стали, видно из табл. 84.
Таблица 84
Влияние коррозии на усталостную прочность стали 45 [17]
Среда	Состав	Предел выносливости ст_ в кг(смг на базе 10-10е циклов
Воздух	—	2550
Жидкость	0,004%-ный раствор NaCl '	1600
	3°/0-ный раствор NaCl	1000
Предел выносливости в коррозионной среде существенно зависит от про-
должительности нахождения детали в этой среде. Поэтому при заданной
базе испытания (при заданном предельном числе циклов) существенную роль
играет частота изменения напряжений во времени, а при заданной частоте
предел выносливости в сильной степени зависит от базы испытаний (предель-
ного числа циклов). Особенно резко это свойство проявляется для корро-
зионно нестойких материалов. На фиг; 455 представлена кривая выносливости
Влияние состояния поверхностных слоев материала на прочность деталей 669
хромоникелевой стали, полученная [17] при испытании на изгиб образцов
в пресной воде при частоте 2200 циклов в минуту.
На фиг. 456 иллюстрировано влияние частоты изменения напряжений
на усталостную прочность кремненикелевой стали. На фигуре приведены
кривые выносливости, полученные при испытаниях в воздухе и в пресной
воде.
Влияние адсорбционно
активной среды. Как установ-
лено в настоящее время [76] адсорб-
ционно активные среды оказывают влия-
ние на усталостную прочность металлов.
Фиг. 455. Влияние величины ’базы на предел Фиг. 456. Влияние частоты изменения
выносливости хромоникелевой стали (3,0% Ni, напряжений на коррозионно усталостную
1,0% Сг) в пресной воде. Предел выносливости прочность кремненикелевой стали
в воздухе а-j = 3600 кг/см2 [17].	= 17 600 кг/см2 [17].
Адсорбция уменьшает силы сцепления между элементами поверхностных
•слоев материала, что облегчает зарождение поверхностных деффектов при
деформировании.
Адсорбированные молекулы облегчают
развитие микротрещин и препятствуют их
смыканию при разгрузке (явление рас-
клинивания). Этот эффект и является
причиной, снижающей усталостную проч-
ность металлов.
На фиг. 457 сопоставлено изменение
пределов выносливости в воздухе в кор-
розионной и в поверхностно активной
средах в зависимости от предела прочно-
сти стали [27].
Все выше сказанное объясняет влия-
Фиг. 457. Зависимости предела выно-
сливости от предела прочности стали*
1 — при испытании в воздухе; 2 — при
испытании в поверхностно активной среде;
3 — при испытании в коррозионной среде
[27].
ние на усталостную прочность сталь-
ных деталей смазочных масел, контакт
с которыми, как известно, может сни-
зить предел выносливости деталей до 20%. Как установлено, смазоч-
ные масла являются адсорбционно активной средой.
Е. Влияние покрытий
Сильное влияние агрессивных и адсорбционно активных сред на устало-
стную прочность деталей заставляет прибегать к помощи покрытий с целью
устранения непосредственного контакта активной среды с поверхностью
деталей.
670
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Однако само покрытие также оказывает некоторое влияние на усталостную
прочность детали. Иногда это влияние незначительно (лакокрасочные покры-
тия, покрытия цинком, оксидирование); в некоторых случаях покрытие
заметно (хромирование, никелирование, меднение) снижает выносливость
детали.
Снижение усталостной прочности в связи с непосредственным действием
покрытия на прочность детали в значительной степени компенсируется
положительным эффектом защиты поверхностных слоев деталей от агрес-
сивной среды.
Это положение иллюстрируется данными табл. 85. Приведенные в таблице
значения пределов выносливости получены при испытаниях на изгиб образцов
холоднотянутой стали 50 [17].
Таблица 85
Влияние различных покрытий на усталостную прочность в воздухе и в активной
среде [17]
Покрытие	Толщина слоя в мк	Предел выносливости а	х в к?1см*		
		в воздухе	в коррозионной среде	
			база 107 циклов |	база 2-107 циклов
Исходное состояние материала (без покры- тия) 	 Эмалевая краска . . Горячее цинкование Электролитическое цинкование 	 Эл ектро л итичес кое кадмирование 	 Металлизация алю- минием 	 То же плюс эмалевая краска 		48 14 13 51 51	3860 3590 3890 3840 3590 4060 3970	740 1970 3720 3460 3120 3210 3870	550 1700 3650 3370 2980 3070 3790
Естественно, что защита от влияния агрессивной среды осуществляется
до тех пор, пока сохраняется само покрытие. С течением времени оно изна-
шивается или разъедается и корродирующая среда постепенно вступает
в контакт с поверхностными слоями детали, что может привести к значитель-
ному снижению ее усталостной прочности. Поэтому защитные слои должны
периодически восстанавливаться.
Металлические покрытия. Для предохранения детали
от влияния агрессивной среды поверхность ее покрывается слоем металла
с более высокими антикоррозионными свойствами, чем основной металл.
Нанесение слоя покрытия производится различными методами. Основ-
ными являются металлизация распыливанием, электроискровое и электро-
литическое покрытия.
При металлизации распыливанием расплавленный с помощью электри-
ческой дуги или газового пламени металл распыливается сжатым воздухом
на частицы размером 0,01—0,04 мм. Частицы, ударяясь с большой скоростью
о поверхность, подлежащую покрытию, сцепляются с ней, образуя упрочнен-
ный слой. Толщина слоя может колебаться в широких пределах. Не рекомен-
дуется применять чрезмерно тонкий слой. Покрытие надежно защищает
рабочую поверхность от коррозионного воздействия. Для этого в качестве
металлизатора применяют коррозиойностойкие металлы (цинк, алюминий,
кадмий, нержавеющую сталь). Замечено уменьшение усталостной прочности
деталей, в связи с металлизацией, что объясняется повреждениями
поверхности при подготовке ее перед покрытием.
Влияние состояния поверхностных слоев материала на прочность деталей 671
Покрытие поверхности электроискровым методом происходит в резуль-
тате разрыва электрической цепи благодаря переносу металла с анода на
катод, которым служит сама деталь.
Физико-химические явления, сопровождающие перенос частиц, проходят
при значительном местном повышении температуры, благодаря которому
происходит скоростная поверхностная закалка и легирование поверхностных
слоев элементами, входящими в состав анода, и азотом воздуха. Этим объяс-
няется достигаемое в некоторых случаях увеличение износоустойчивости
и твердости детали после покрытия [23].
Электроискровое упрочнение применяется для увеличения стойкости
штампов и режущего инструмента. Применение этого метода для обработки
деталей машин ограничено по причине малой производительности. Усталост-
ная прочность деталей после обработки их поверхности электроискровым
методом заметно снижается.
К числу наиболее часто применяемых электролитических покрытий
поверхности стальных деталей относятся хромирование, никелирование,
меднение, цинкование и оксидирование.
Эксплуатационные и экспериментальные данные показывают, что покры-
тия могут в значительной степени изменить усталостную прочность стальных
деталей, причем часто наблюдается снижение предела выносливости
деталей, поверхность которых обработана одним из перечисленных спо-
собов.
Рассмотрим, как влияют на усталостную прочность различные покры-
тия [45], [96].
Различают два вида хромирования: антикоррозионное хромирование
и хромирование для увеличения износоупорности деталей.
При антикоррозионном хромировании поверхность изделия покрывается
тонким слоем меди или никеля, а затем слоем хрома незначительной тол-
щины (1—2 мк).
При хромировании в целях увеличения износоупорности слой хрома
наносится непосредственно на поверхность стальной детали. Слой хрома
в этом случае достигает значительной толщины (до 0,2 мм).
Износоупорному хромированию подвергаются детали, имеющие трущиеся
поверхности; при запрессовках хромируются также контактные поверх-
ности (см. § 6).
Хромированию подвергаются ответственные и сильно напряженные
детали, например оси, валы, толкатели клапанов, коленчатые и кулачковые
валы, цилиндры и прочие детали машин.
Испытания усталостной прочности хромированных деталей при пере-
менных напряжениях проводились как советскими, так и зарубежными
исследователями. Испытания показали, что снижение усталостной прочности
при хромировании может быть весьма значительным и тем большим, чем
толще слой осажденного на поверхности детали хрома.
Опыты, проведенные И. В. Кудрявцевым и А. В. Рябченковым [45]
над образцами углеродистой конструкционной стали 40, показали, что
покрытие хромом стальных деталей приводит к заметному (до 20%) сниже-
нию предела выносливости. Хромирование не вызывает заметного изменения
свойств при статических испытаниях.
Высказывается предположение [45], что снижение усталостной прочности
связано со значительными напряжениями, возникающими в поверхностных
слоях хромированных деталей (тонкая стальная пластинка, хромированная
с одной стороны, сильно искривляется).
При расчете на прочность ответственных деталей, работающих при
переменных напряжениях, снижение усталостной прочности благодаря
хромированию должно быть принято во внимание.
672
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Никелирование стальных деталей применяется с целью предохранения
поверхности деталей от коррозии. Приведем краткие результаты исследова-
ния, посвященного выяснению влияния никелирования на усталостную
прочность стали [45].
Никелирование (толщина слоя никеля — 30 мк) приводит к значительному
(до 35%) снижению предела выносливости. Статическая прочность при
никелировании не снижается.
Вредное влияние никелирования на усталостную прочность объясняется,
так же как и при хромировании, возникновением значительных напряжений
в наружных слоях никелированных деталей.
Меднение применяется для создания подслоя при хромировании и нике-
лировании. Благодаря меднению достигается прочное сцепление между
основным металлом детали и слоем покрытия. Исследование прочности
образцов конструкционной углеродистой стали 40, покрытых слоем меди
толщиной — 30 мк, показало, что предел выносливости благодаря меднению
снижается до 15% [45]. Указанное снижение объясняется возникновением
при меднении значительных напряжений. Величина этих напряжений,
несколько меньшая, чем при хромировании и никелировании, устанавливается
путем наблюдения за искривлением стальной пластинки, покрытой с одной
стороны слоем меди.
Цинкование и оксидирование применяются как антикоррозионное покры-
тие. Оксидирование используется и как отделочная операция для придания
стальным изделиям красивого вида.
Оксидирование или пассивирование стали (воронение, чернение) заклю-
чается в создании поверхностного слоя плотной оксидной пленки, хорошо
держащейся на основном металле. Оксидирование производится либо путем
погружения детали в расплавленные соли, либо электролитическим
путем.
Оксидирование алюминия и его сплавов производится в растворе хромовой
кислоты. Пленка окиси алюминия обладает высокими антикоррозионными
свойствами.
Опыты, освещенные в работе [45], показали, что в наружных слоях
оцинкованных и оксидированных деталей не возникает значительных оста-
точных напряжений. Соответственно усталостные испытания конструкцион-
ной стали 40 не показали изменения предела выносливости в зависимости от
этих видов покрытий.
Лакокрасочные покрытия. Лакокрасочные покрытия
являются эффективным и распространенным методом защиты конструкций
от коррозии. Подбирая лакокрасочные материалы с хорошим сцеплением
и используя защитные и декоративные свойства слоев, можно получить
покрытия, превышающие по стойкости металлические, химические и другие
виды защитных покрытий.
Надежность защиты деталей от коррозии зависит [55] от правильного
выбора и качества материала покрытия, от качества подготовки поверхности
детали под окраску и от правильного ведения технологического процесса
(нанесение покрытия, его сушка и т. п.)
Перед нанесением лакокрасочного покрытия поверхность детали тщательно
очищается и подготавливается. При подготовке следует следить, чтобы поверх-
ность детали не была повреждена (поцарапана). Царапины и риски могут
быть причиной понижения усталостной прочности. Для создания надежного
антикоррозионного слоя применяется грунтование и шпатлевание. После
грунтовки, шпатлевания и сушки поверхность детали зачищается и покры-
вается лаком или краской. Нанесение лакокрасочных покрытий, грунтование
и шпатлевание не оказывает значительного влияния на усталостную проч-
ность деталей.
Влияние состояния поверхностных слоев материала на прочность деталей 673
ж. Влияние комбинированных методов упрочнения и защиты
В настоящее время широко применяются комбинированные методы повы-
шения усталостной прочности.
Установлено, например [17], что поверхностное упрочнение дробеструй-
ной обработкой с последующей поверхностной закалкой токами высокой
частоты является эффективным способом
защиты от коррозии.
Имеются данные [17], что поверхност-
ная закалка токами высокой частоты с по-
следующим цинкованием служит эффек-
тивной защитой от коррозии.
В табл. 86 приведены результаты
испытаний, показывающих влияние раз-
личных методов покрытия и способов обра-
ботки на усталостную прочность образцов
углеродистой стали 45.
На фиг. 458 представлены кривые
выносливости при симметричных циклах
канатной проволоки, испытанной на изгиб
в морской воде с частотой изменения на-
пряжений 7500 циклов в минуту. Про-
волока изготовлена из углеродистой стали,
химический состав которой: 0,59% С;
0,52% Мп; 0,19% Si. Диаметр проволоки
0,9 мм. Предел прочности <зЬ2 — 18 000-?-
20 000 кг/см2. Предел выносливости не-
полированной проволоки в воздухе
°_i = 5500 кг!см2.
Из фиг. 458 видно, как эффективно
покрытие цинком предохраняет прово-
локу от коррозии [17], в связи с чем резко
повышается ее выносливость.
Фиг. 458. Влияние различных покры-
тий на усталостную прочность сталь-
ной проволоки в морской воде при
изгибе:
1 — проволока, оцинкованная после допол-
нительного волочения; 2 — оцинкованная
проволока; 3—проволока, покрытая слоем
битума толщиной 0,3 мм; 4 — проволока,
покрытая слоем битума толщиной 0,1 мм;
5 — полированная проволока; 6 — непо-
лированная проволока.
Таблица 86
Влияние азотирования, дробеструйной обработки и поверхностной закалки стали 45
на усталостную прочность в воздухе и коррозионной среде [17]
Вид обработки и состояние образцов	Предел выносливости а	т в кг/см2		
	в воздухе	в растворе NaCl	
		0,004°/0-ном	|	3°/0-ном
Нормализация без специальной обра- ботки	2550	1670	1000
Азотирование	3570	3610	1970
Дробеструйная обработка	2970	—	2020
Поверхностная закалка токами высо- кой частоты	4780	4780	3580
Поверхностная закалка токами высо- кой частоты с последующим оцинкова- нием	—	—	4520
43 Пономарев • 508
674
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
3. Общая оценка влияния состояния поверхностных слоев материала детали
на величину предела вынослйвости
Выше было кратко освещено влияние качества и механических свойств
поверхностных слоев деталей на их выносливость. Для учета влияния этих
факторов на усталостную прочность в расчетах необходимо оценить их коэф-
фициентами, вводимыми в расчетные формулы.
Назовем фактором поверхности детали еп отношение предела выносливо-
сти образца, поверхностные слои которого находятся в таком же состоянии,
как и у рассчитываемой детали, к пределу выносливости образца со шлифо-
ванной поверхностью.
Очевидно, что фактор поверхности зависит от всех перечисленных выше
причин и является произведением коэффициентов, учитывающих влияние
каждого из перечисленных факторов в отдельности:
ея = е1-е2-е8...	. (31>
Эти коэффициенты, в свою очередь, являются отношениями предела
выносливости образца, поверхность которого соответствующим образом
обработана, к пределу выносливости образца со шлифованной поверхностью.
Перечисленные коэффициенты могут быть разделены на две группы:
коэффициенты меньшие единицы, отражающие влияние факторов, снижаю-
щих усталостную прочность (риски и царапины на поверхности, коррозия
поверхностных слоев и т. п.), и коэффициенты, большие единицы, отражаю-
щие упрочнение за счет специальной обработки поверхностных слоев деталей
(обработка роликами, дробеструйная обработка, химико-термическая обра-
ботка).
В целом ряде случаев эти величины могут быть заимствованы из справоч-
ной литературы. Иногда их приходится оценивать ориентировочно, с учетом
имеющихся в литературе материалов и личного опыта.
t	4
§ 8. ВЛИЯНИЕ НА ПРЕДЕЛ ВЫНОСЛИВОСТИ ЧАСТОТЫ ИЗМЕНЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ.
ПЕРЕГРУЗОК, ТЕМПЕРАТУРЫ И РАЗМЕРОВ ДЕТАЛИ
А. Влияние частоты изменения напряжений
Испытания образцов стали, меди, алюминия и других материалов показали
что в пределах частот, чаще всего встречающихся в практике, скорость изме-
нения напряжений не оказывает существенного влияния на величину предела
выносливости. Только при частотах, превышающих 1000 циклов в секунду,
предел выносливости с увеличением частоты несколько повышается.
На фиг. 459 представлены кривые зависимости пределов выносливости
от частоты изменения напряжений (от числа циклов в секунду) [87].
Незначительное влияние частоты изменения напряжений на величину
предела выносливости подтверждается результатами опытов, приведенными
в табл. 87 [146], в которой представлены величины пределов выносливости,
полученные при испытании гладких (фиг. 460, а) и надрезанных (фиг. 460,
образцов различных материалов в зависимости от частоты изменения напря-
жений. Из данных таблицы следует также, что частота слабо влияет на вели-
чину эффективного коэффициента концентрации напряжений
Как было указано выше (см. §7), в адсорбционно и коррозионно активных
средах частота изменения напряжений существенно влияет на усталостную’
прочность сталей. Экспериментально установлено [17], [26], что предел
выносливости зависит от частоты. При выбранной базе для определения
ограниченного предела выносливости последний тем ниже, чем дольше
Влияние частоты, перегрузок, температуры и размеров детали	675
продолжалось испытание в адсорбционно или коррозионно активной
среде, т. е. чем меньше была частота изменения напряжений.
Влияние частоты изменения напряжений на предел выносливости при
повышенных температурах будет рассмотрено ниже.
4000
3000
?000
0-1
		1	
	2		
			
			
	3		
			
			
	4		
	5		
10
100
1000
10000 ииклы/сек
Л
Фиг. 460. Образцы, ре-
зультаты испытаний ко-
торых описаны в работе
[146].
woo
о

Фиг. 459. Зависимость предела пвыносливости от частоты
изменения напряжений:
/ — углеродистая сталь; 2 — сталь 0,11 % С; 3 — сталь 0,1X % С
отожженная; 4 — медь; 5 — алюминий [87].
Таблица 87
Влияние частоты изменения напряжений на предел выносливости и аффективный
коэффициент концентрации напряжений [146]
Материал	Предел выносливости <г_х в кг}см*					Эффективный коэффициент концентрации	
	1500 цикл/мин	10 000 цикл/мин	30 000 цикл/мин	10 000 цикл/мин	30 000 цикл/мин	10 000 цикл/мин	30 000 цикл/мин
	Гладкий образец (фиг. 460, а)			Образец с надрезом (фиг. 460, б)			
Малоуглероди- стая сталь	2180	2180	2320 |	1550	1760 j	| 1,41	1.32
Нержавеющая сталь	4220	4440	4850 t	'	1830	1970	2,42	2,46
Углеродистая сталь	6900	6960	7170	3240	3300	2,15	2,18
Рельсовая сталь	'	3520 1	3520	3580	1830	1900	1,92	1,89
Легированный чугун	1830	1830	2040	1550	1690	1,18	1,21
Латунь	| 1410	1690	1900	845	915	2,00	2,08
Дюраль	1050	1050	1200	845	915	1,24	1,31
43*
676
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Б. Влияние перегрузок и недогрузок
* Перегрузкой называется нагружение детали при переменных напряже-
ниях, превышающих предел выносливости на протяжении определенного
числа циклов, а недогрузкой — нагружение при переменных напряжениях,
не достигающих предела выносливости.
Перегрузка и недогрузка характеризуются двумя параметрами: величиной
максимальных напряжений и числом циклов.
Детали машин часто подвергаются перегрузкам. Последние могут возни-
кать систематически, как это, например, имеет место в коленчатых валах
двигателей внутреннего сгорания при пуске, при прохождении через резонанс
или в осях вагонов при прохождении колесной пары через рельсовые стыки
и т. п.
Иногда перегрузки могут возникать в результате случайных причин,
например в рессорах автомобилей при движении по неровной дороге, в колен-
чатых валах двигателей внутреннего сгорания в случае преждевременных
вспышек или детонации, а также в осях вагонов при прохождении через
участки рельсов со слабо подбитыми шпалами и т. п.
Значительные перегрузки, действующие относительно длительное время,
снижают усталоотную прочность металла. Незначительные перегрузки,
действующие в течение малого числа циклов, не влияют на величину предела
выносливости, а иногда даже повышают его.
Снижение предела выносливости за счет перегрузок, очевидно, можно
объяснить возникновением микротрещин в некоторых наиболее напряжен-
ных и невыгодно ориентированных зернах при работе детали с высокими
напряжениями.
В работе [120] влияние перегрузок и недогрузок на усталостную проч-
ность объясняется на основе воззрений Н. Н. Афанасьева [3].
В настоящее время существуют три метода оценки влияния перегрузок
на усталостную прочность: по изменению кривой выносливости, по разделе-
нию перегрузок на опасные и безопасные и по изменению долговечности
в зависимости от степени повреждения.
Первый метод оценки является наиболее общим и позволяет достаточно
полно отразить влияние перегрузок на усталостную прочность.
На фиг. 461 в полулогарифмических координатах представлены кривые
выносливости, полученные при испытании образцов малоуглеродистой
стали (0,06% С), предел выносливости которой а_х =2200 кг/см? [150].
Каждая из кривых выносливости получена в результате испытания на изгиб
при симметричном цикле изменения напряжений серии образцов, повреж-
денных перегрузкой в тех же условиях с максимальным напряжением
стпах=3200кг/сж2 при различных числах повторений циклов. Из рассмотрения
фиг. 461 следует, что перегрузки могут4вызвать значительное снижение пре-
дела выносливости. Например, в рассматриваемом случае перегрузка напря-
жением 3200 кг/см2 при 25 000 циклов снижает предел выносливости
до 1600 кг!см\ т. е. на 27%. Отметим, что, как это следует из фиг. 461, в ре-
зультате перегрузок снижается не только предел выносливости, но также
я кривая выносливости на всем ее протяжении.
Для оценки влияния перегрузок на величину предела выносливости
введем понятия степени повреждения и относительного изменения предела
выносливости. Степенью повреждения называется отношение числа циклов АГ
максимально перегрузочного напряжения а! к числу циклов N19 необходимому
для разрушения образца при напряжении ах. Относительным изменением
предела выносливости называется отношение разности пределов выносливо-
сти, полученных без предварительной перегрузки <зг и после предварительной
перегрузки (аг)лер к величине аг.
Влияние частоты, перегрузок, температуры и размеров детали
677
На фиг. 462 представлены графики зависимости относительного изменения
предела выносливости от степени повреждения, построенные по данным*
Фиг. 461. Кривые выносливости малоуглеродистой стали, полученные в результате испытания
на изгиб при симметричном цикле изменения напряжений:
1 — кривая выносливости неповрежденных образцов, 2 — 6 — кривые выносливости после поврежде-
ния перегрузками при напряжении ст = 3200 кг/см* и числах циклов 0,5-Ю4; 104; 1.5-104; 2-104; 2,5-10*
[150].
полученным в результате испытания образцов стали 30 на изгиб при симме-
тричном цикле изменения напряжений [145]. Как следует из этой фигуры,
перегрузка напряжением а пер = 1,3 a(см. кривую 3 на фиг. 462) приводит
Фиг. 462. Графики зависимости относительного изменения предела выносливости от степени
повреждения для стали 30: о_г = 2620 кг!см2:
/)CTj=l,la_1; Arj = 5,5-105 циклов; 2) ctj=1,2o_1, Nj = 2,2 • 10б циклов; 3) ctj=1,3ct_1>
N[ = 0,8-105 циклов [145].
к значительному уменьшению предела выносливости. При спер =
= (1,1-7-1,2) а_т (см. кривые 1 и 2 на фиг. 462) уменьшение предела выносли-
вости с увеличением степени повреждения происходит несколько медленнее
678
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Заметим, что координаты конечной точки кривой, очевидно, одинаковы
и равны 100%.
. В табл. 88 приведены величины относительного изменения предела вынос-
ливости в зависимости от степени повреждения и напряжения перегрузки
для различных материалов [1451.
Таблица 88
Относительное изменение предела выносливости в % в зависимости от степени
повреждения и напряжения перегрузки [145]
Металлы	Степень повреждения	- 100°/о								
	20	||	50	|						I	80		
	Напряжение перегрузки ctj								
		1.2,-,	1,3а __х		1.2»-,	1.3, _х		|1.2,_1	
! Сталь: 0,27% С . 0,48% С 0,62% С	3	4	7	9	15	18	! =	22	30
	10	13	20 ’	20	20	24	26	28	>45
	5	11	13	10	18	20	| 13	25	27
Серый чугун	1	8	11	2	8	14	3	9	18
Малоуглеродистая ото- 1 ' жженная сталь	1	2		! 3	7	—	5	12	—
Малоуглеродистая на- 1 клепанная сталь	8	8	10	i 9	14	17	10	19	—
Сталь с 0,32% С 1	2	7	14 1	1 5	11	18	12	18	>32
Чтобы оценить влияние перегрузок на усталостную прочность по первому
методу, необходимо исследовать изменение кривой выносливости и предела
выносливости в зависимости от числа и величины перегрузок. Однако такое
исследование требует весьма большого количества образцов и значительного
времени. Поэтому часто влияние перегрузок на усталостную прочность
оценивается по второму методу [135]. Целью этих испытаний является уста-
новление границы допустимых перегрузок. Таким испытаниям должно пред-
шествовать построение кривой выносливости. На фиг. 463 эта кривая (АВС)
построена в полулогарифмических координатах. Первый образец перегру-
жается напряжением ах (которое принимается несколько меньшим, чем
разрушающее напряжение а0) Л\ раз. Затем этот образец испытывается
при напряжении, равном пределу выносливости. Если образец разрушится
при числе циклов, меньшем, чем 107, то очевидно, что он был поврежден
перегрузкой.
Второй образец перегружается напряжением а2 < ах при том же числе
циклов TVj. После этого он, так же как и первый, испытывается при напря-
жении, равном пределу выносливости.
Продолжая испытания по такому методу и постепенно снижая напряже-
ния перегрузки ах > а2 > а3..., наконец, получают напряжение (фиг. 463),
соответствующее первой перегрузке, не повреждающей материала при числе
нагружений
Влияние частоты, перегрузок, температуры и размеров детали
679
Проводя серии аналогичных испытаний при различных числах перегрузок
JVH, 7VHI и т. д., находят для каждого числа
напряжение, разделяющее повреждающие и
во
^2
перегрузок соответствующее
неповреждающие перегрузки
А
106
107 N
Фиг. 463. Кривая выносливости АВС и кривая
повреждения BD в полулогарифмических коор-
динатах.
10* Nj Ю5 /V
стали Ст. 5 с крупным аустенитным
•Фиг. 464. Кривая выносливости АВС и кривая поврежде-
ния BD стали Ст. 5 с крупным аустенитным зерном [124].
Vn> аш> •••)•
На основании полученных
данных строится так называемая
кривая повреждения BD (фиг. 463).
Кривая повреждения отделяет
перегрузки, вызывающие повреж-
дения детали от перегрузок, не
вызывающих повреждений. Чем
ближе кривая -повреждения к на-
клонной части кривой выносливо-
сти, тем лучше материал воспри-
нимает перегрузки. На
фиг. 464—466 в полулогарифмиче-
ских координатах представлены
кривые повреждения, полученные
Н. П. Щаповым и В. Н. Махо-
вым [124] в результате испытания
на изгиб при симметричном цикле
изменения напряжений образцов
зерном (фиг. 464) и мелким аустенитным зерном (фиг. 465), а также стали
Ст. 6 (фиг. 466). Кривые повреждения для стали Ст. 5 с мелким аустенитным
зерном и для стали Ст. 6 лежат ближе к кривой выносливости, чем для
стали Ст. 5 с крупным
аустенитным зерном.
Следовательно, первые
две стали лучше выно-
сят перегрузки, чем
третья.
Третий метод оценки
влияния перегрузок на
усталостную прочность
используется в случае
необходимости установ-
ления зависимости из-
менения долговечности
от степени поврежде-
ния.
Рассмотрим односту-
пенчатую перегрузку.
Допустим, что образец вначале испытывается при максимальном напряже-
нии > а_! (фиг. 467, а) некоторое число циклов N[ (точка Л), меньшее,
чем число циклов Nit необходимое для разрушения образца при напряже-
нии (точка а). Затем тот же образец испытывается при максимальном
напряжении ап (фиг. 467, бив) до разрушения, которое происходит
после некоторого числа циклов N'n (точка В). Обозначим число циклов,
необходимое для разрушения образца при напряжении аи, без предвари-
тельного нагружения (точка Ь), через Nn (Nn определяется по кривой
выносливости).
Для оценки влияния перегрузки образца при напряжении Qj и числе
циклов N\ на его выносливость в условиях подобной циклической нагрузки
при максимальном напряжении ап введем понятие изменения долговечности,
680
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Фиг. 465. Кривая выносливо-
сти АВС и кривая поврежде-
ния BD стали Ст. 5 с мелким
аустенитным зерном [124].
Фиг. 466. Кривая выносли-
вости АВС и кривая повреж-
дения BD стали Ст. 6 [124].
Фиг. 467. Различные случаи чередования перегрузок.
Влияние частоты, перегрузок, температуры и размеров детали
681
Фиг. 468. Графики зависимости изменения
долговечности от степени повреждения.
выражаемое величиной —11 • 100%. Очевидно, что изменение долго-
вечности зависит от степени повреждения, которая, как было указано ранее,
равна -^--100%.
Возможные варианты графиков этой зависимости представлены на фиг. 468.
Заметим, что степени повреждения, равной 100%, соответствует изменение
долговечности, также равное
100%.
Поле диаграммы делится
лучом О А на две части. Урав-
нение луча ОА имеет вид
Wii-Wi'i __
Nn ~ AZi ‘
Из условия Nu = Nv равно-
сильного равенству aj = an, по-
лучаем
N[ + N'n = Nn = Nu
которое, в свою очередь, соот-
ветствует испытанию образца
в одном режиме (без ступени).
В этом случае образец не упроч-
няется и не повреждается. От-
метим, однако, что луч О А от-
ражает не только тривиальный
случай бесступенчатого нагру-
жения, но и ряд ступенчатых
перегрузок, не вызывающих
повреждения или упрочнения.
Очевидно, что кривые, расположенные выше луча ОА (например, кривая
отражают перегрузки, приводящие к повреждению, а кривые, расположен-
ные ниже луча ОА, — вызывающие упрочнение (кривая 2). Отметим особо,
что если кривая (например, кривая 3) частично располагается ниже оси
абсцисс, то в этом интервале упрочнение особенно значительно (Л^п> 7Vn).
Не исключена возможность и иной формы кривой. Например, кривая 4
характеризует такие перегрузки, при которых малые степени повреждений
приводят к значительному упрочнению, средние — к незначительному, а боль-
шие — к повреждению. Абсцисса точки пересечения кривой 4 с лучом ОА
соответствует степени повреждения, не упрочняющей и не повреждающей..
На фиг. 469 представлены графики зависимости изменения долговечности
от степени повреждения, полученные в результате испытания на изгиб при
симметричном цикле изменения напряжений образцов из малоуглеродистой
стали с пределом прочности <зЬг =3700 кг/см2 и пределом выносливости
а_х =2200 кг/с'м\ Напряжения gj принимались равными 2400, 2700, 2800,
2900, 3200 кг/см2, а напряжение ап =3200 кг/см? [150].
Анализируя результаты этих опытов, нельзя не отметить, что напряжения:
при перегрузках значительно превосходили предел текучести материала,
(который может быть оценен примерно в 2000—2400 кг/см2).
Заметим, что определение напряжений производилось по формуле
м
° ~ IF ’
справедливой, как известно, только в пределах упругости.
682
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
По-видимому, действительные напряжения при перегрузках были зна-
чительно меньше, чем напряжения, указанные в работе [150], на которые
в связи с этим следует смотреть как на условные величины.
В. М. Бахарев [5] исследовал зависимость изменения долговечности
Фиг. 469. Изменение долговечности в зависимости от степени
повреждения для малоуглеродистой стали: ate = 3700 кг/см* а_2200 кг/см*
ап = 3200 кг/см*
Qj = 2400 кг/см? (кривая /); ст j = 2700 кг/см* (кривая 2); ст j == 2800 кг/см* (кривая 5);
ст j = 2900 кг/см? (кривая 4)\ ст j = 3200 кг,/см2 (прямая 5) [150].

х = 5400 кг/см2) как в случае ап > Oj (фиг. 467, б), так и в случае
(фиг. 467, в). Результаты этих опытов для стали 10 представлены
на фиг. 470, а для стали 18ХНВА — на фиг. 471.
Замечание о методике вычисления напряжений при перегрузках, сделан-
ное выше, объясняет тот факт, что максимальные напряжения перегрузок
в некоторых случаях превосходят предел прочности стали 10 и поэтому
должны рассматриваться лишь как некоторые условные величины. Напря-
жения перегрузок для стали 18ХНВА, очевидно, являются близкими к дей-
ствительным, так как предел текучести у этого материала достаточно высок.
Назовем интервалом или периодом Т (фиг. 472) время, в течение которого
максимальные напряжения совершают полный цикл изменения.
Тогда, как это следует из рассмотренных выше результатов эксперимен-
тальных исследований, если число периодов равно единице, т. е. имел место
один цикл изменения максимальных напряжений, то режимы, в которых
образец вначале испытывается при меньших напряжениях, а затем при боль-
Влияние частоты, перегрузок, температуры и размеров детали
683
Фиг. 470. Изменение долго-
вечности в зависимости от
степени повреждения для
стали 10 аьх = 3150 кг/см2;
asZ = 2210 кг/см2;
= 2100 кг/см2:
ст j = 2300 кг!см*;
ст п=3400 кг!см*\	=0,64-10®;
jVjj = 0,068-10® (кривая /);
a j=3000 кг/см2-; ajj=3400 кг[см*\
Wj = 0,15-10®;	= 0,068-10®
(кривая 2); aj= ст ц (прямая 5);
ст j = 3400 кг/см*\
ст п=2300 кг!см*-, JVI=0,068-10®;
jVjj = 0,64-10® (кривая 4) [5].
Фиг. 471. Зависимость изменения
долговечности от степени повреждения
для стали 18Х НВ A <3bz= 13 200 кг/см2;
о—х = 5400 кг/см2:
ст। ; 5600 кг/см*; ст jj — 7000 кг! см*;
= 0,421-10®; Wn = 0,071-10® (кри-
вая /); ctj = «Гц (прямая 2);
стj = 7000 кг/см*; == 5600 кг 1см*;
^=0,071.10®;	= 0,421-10® (кри-
•	вая 5) [5].
6	-- Т
Фиг. 472. Одноступенчатое изменение перегрузок.
684
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
ших (фиг. 467, б), менее опасны, чем режимы, при которых образец вначале
испытывается при больших напряжениях, а затем при Меньших (фиг. 467, в).
Чтобы выяснить условия усталостного разрушения при числе периодов,
большем единицы, В. М. Бахаревым [5] было проведено экспериментальное
исследование усталостной прочности образцов стали 10 при одноступенчатой
перегрузке и числе периодов, равном 1, 10 и 40. При этом в одном случае
Фиг. 473. Результаты исследования условий
усталостной прочности при одноступенчатой
перегрузке и числе периодов, равном 1, 10, 40.
в другом oj > ап > а_х. Резуль-
таты испытаний представлены на
фиг. 473 в координатах ,
-хт— , где N. —общее число цик-
лов с максимальным напряже-
нием N'n —общее число цик-
лов с максимальным напряже-
нием ап, после которого образец
разрушается; и Nu — числа
циклов с максимальными напря-
жениями и ап соответственно,
приводящими материал к разру-
шению без предварительного на-
гружения. Две последние вели-
чины определяются по кривой
выносливости (фиг. 467, а, точки.
а и 6). Каждая точка, представ-
ленная на фиг. 473, получена как
среднее из результатов испытаний
трех—пяти образцов.Зачерненные
и незачерненные точки соответ-
ствуют чередованию перегрузок по схемам, указанным в верхней части
фиг. 473. Цифры, поставленные у точек, обозначают число периодов.
TVj.
Из фиг. 473 следует, что при числе периодов, равном 40, отношения
и с достаточной степенью точности связаны линейной функцией
Лх ,	__
2Vi ЛГц ”
(32)
которая не зависит от последовательности перегрузок.
При небольшом числе периодов, как следует из фиг. 473, приведенная
линейная зависимость несправедлива.
В работе [5] описаны также результаты испытаний образцов стали 10
при многоступенчатых перегрузках, изображенных схематично на фиг. 474—
476. Результаты этих испытаний подтвердили, что если число периодов меньше
10—15, то режимы, в которых образец вначале испытывается при меньших
напряжениях, а потом при больших, менее опасны, чем режимы, при которых
образец вначале испытывается при больших напряжениях, а затем при
меньших. Если же период уменьшить за счет уменьшения числа циклов-
на каждую ступень нагрузки так, чтобы число периодов было больше 20—30,
то порядок чередования перегрузок в пределах одного периода на выносли-
вость не влияет.
В. М. Бахаревым [5] была предложена эмпирическая зависимость
между отношениями общего числа циклов N'. с максимальным напряжением
Влияние частоты, перегрузок, температуры и размеров детали
685
к числу циклов NL с таким же максимальным напряжением а,, приводящим
материал к разрушению (определяется по кривой выносливости). Эта зави-
симость имеет вид
Фиг. 475. Многоступенчатые перегрузки
в опытах В. М. Бахарева.
Фиг. 474. Многоступенчатые перегрузки
в опытах В. М. Бахарева.
где пг — число различных максимальных напряжений, характеризующих
перегрузки за время одного периода.
В случае одноступенчатой перегрузки эта зависимость согласуется
с линейной зависимостью (32) и, как указано в работе [5], экспериментально
подтверждается исследованием влияния на усталост-
ную прочность материала многоступенчатых пере-
грузок, схематично изображенных на фиг. 474—476.
Перейдем к рассмотрению влияния недогрузок на
усталостную прочность. Имеется указание [120], что
существует критическое напряжение недогрузки,
отделяющее область напряжений, совершенно не
влияющих на усталостную прочность, от напряже-
ний, при которых недогрузки повышают величину
предела выносливости. Вероятно, что это напряже-
ние является функцией числа циклов. Таким обра-
зом, на диаграмме выносливости (фиг. 477), по-ви-
димому, можно провести линию EF, отделяющую
область недогрузок, не влияющих на прочность, от
области недогрузок, приводящих к упрочнению ма-
териала (так называемая тренировка).
Это подтверждается тем фактом, что весьма малые
напряжения недогрузки при достаточно большом
числе циклов могут повлиять на выносливость
материала. Так, например, для чугуна с пределом
прочности <sbz = 1400 кг/см2 и пределом выносливо-
сти □ _1 =650 кг/см2 недогрузка при напряжении
всего лишь 20 кг/см2, повторенная 15-106 раз, вызы-
вает повышение предела выносливости на 25% [113].
Таблица 89
Увеличение предела
выносливости стали
в зависимости от числа
повторений недогрузок
(влияние тренировки)
[НЗ]
Число циклов повторения недогрузки при напряже- нии ст = 14 кг<см2	Увеличе- ние пре- дела вы- носливо- сти в %
0,5-107	6,1
1-107	6,1
2-107	6,9
3-107	8,0
4-107	19,0
6-Ю7	23,0
686
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
В табл. 89 представлено увеличение предела выносливости стали
(0,015% С; <зЬг =3100 кг/см2', а_х = 1830 кг/см2) в зависимости от числа
повторений недогрузок при а = 14 кг/см2 [ИЗ].
1000 -------------------------<------------1___I___
О 10000 20000 30000 40000 50000 N
Фиг. 476. Многоступенчатые перегрузки
в опытах В. М. Бахарева.
Фиг. 477. Области повреждений и упроч-
нений на диаграмме выносливости.

Таким образом, учитывая все, что было сказано о влиянии перегрузок
и недогрузок на усталостную прочность материалов, можно диаграмму
выносливости (фиг. 477) разделить наследующие области: область перегру-
зок (7), повреждающих материал; области перегрузок (//) и недогрузок (///),.
упрочняющих материал; области перегрузок (/У) и недогрузок (V), не ока-
зывающих влияния на усталостную прочность.
В. Влияние температуры
Вопросу усталостной прочности при повышенных температурах в настоя-
щее время уделяется все большее и большее внимание. Это вызвано высоким^
уровнем температурных режимов ряда деталей современных тепловых
двигателей в условиях эксплуатации (например, лопаток паровых и газовых,
турбин).
В некоторых случаях большой интерес представляет также усталостная1
прочность материалов при низких температурах.
Экспериментальные исследования влияния температуры на усталостную,
прочность показали, что с увеличением температуры усталостная прочность,
снижается, а при уменьшении температуры ниже комнатной, наоборот,
несколько повышается, При этом следует иметь в виду, что в последнем’
случае резко снижается ударная прочность сталей.
При повышенных температурах кривые выносливости в полулогарифми-
ческих координатах могут не иметь горизонтального участка. Это положение*
схематично иллюстрировано графиками на фиг. 478 [47]. Поэтому при обра-
ботке результатов усталостных испытаний в этом случае обычно опреде-
ляется ограниченный предел выносливости на базе (40—100) -106 циклов.
Известны случаи определения предела и на базе 1000-106 циклов [123J.
Зарождению и развитию усталостных трещин при высоких температурах
сопутствуют явления ползучести, что накладывает отпечаток на характер-
усталостного разрушения.
В связи с этим в работе [130] при рассмотрении влияния температуры,
на усталостную прочность различаются три характерных интервала тем-
Влияние частоты, перегрузок, температуры и размеров детали 687’
ператур: умеренные, повышенные и высокие. В первом интервале с явлением
ползучести можно не считаться, во втором разрушение обусловлено устало-
стью и ползучестью и в третьем — в основном ползучестью.
В дальнейшем будет рассматриваться влияние на усталостную прочности
умеренных и повышенных температур. В последнем случае, как уже отме-
чалось, ползучесть сопровождает усталостное разрушение, и поэтому оба
эти явления, связанные с фактором времени, необходимо рассматривать-
совместно.
Особенно существенно явление ползучести при асимметричных циклах,
изменения напряжений со значительной величиной среднего напряжениям
цикла. Такие циклы характерны, например,
для лопаток паровых и газовых турбин.
При обработке результатов усталостных
испытаний, проведенных в условиях повышен-
ных температур, следует иметь в виду, что
в случае испытаний в условиях изгиба образцов
вычисление напряжений по формуле, выведен-
ной в предположении справедливости закона
Гука, недопустимо не только при напряжениях
выше предела текучести материала, но также
и при напряжениях ниже предела текучести.
Это объясняется изменением (релаксацией)
напряжений во времени за счет ползучести мате-
риала (см. том II, главы XII — XV). Поэтому
обычное условие сохранения степени асиммет-
рии цикла для серии испытаний, положенных
в основу построения кривой выносливости -
в условиях повышенных температур, трудно
Фиг. 478. Кривые выносливости*
при различных температурах:
/о — комнатная температура;
> it > G > ti >	— повышенные
температуры [47].
осуществимо.
Основным фактором, характеризующим ползучесть материалов, является
время. Поэтому значительное влияние на усталостную прочность при повы-
шенных температурах имеет продолжительность испытания. Таким образом,,
при заданном числе циклов существенна частота изменения напряжений.
На фиг. 479 [134] представлены кривые выносливости в координатах время,
номинальное максимальное напряжение, при различных частотах изменения
напряжений. Кривые построены на основе испытаний образцов малоугле-
родистой стали с 0,17% С на изгиб.при симметричном цикле изменения напря-
жений при температуре 450° С. Номинальные напряжения вычислялись
по обычной формуле, выведенной в предположении справедливости закона
Гука. На фиг. 480 те же кривые изображены в координатах число циклов,,
действительное максимальное напряжение, а на фиг. 481 — в координатах
время, действительное максимальное напряжение. Последнее подсчитывалось-
с учетом перераспределения во времени напряжений за счет ползучести
материала [134].
Обращает на себя внимание тот факт, что при построении кривых выносли-
вости в координатах N, (^т«х)деиств обнаруживается несовпадение этих
кривых для различных частот изменения напряжений (фиг. 481). С увеличе-
нием частоты ограниченный предел выносливости повышается.
В случае построения кривых выносливости в координатах t, (а т2^дейсгц^
они сливаются. Поэтому при повышенной температуре кривые выносливости
имеет смысл строить в координатах t, (^max)a^cm3*
Выше отмечалось, что явления усталости и ползучести материала при
повышенных температурах необходимо рассматривать совместно. Влияние-
времени на усталостную прочность при асимметричных циклах в условиях
повышенных температур удачно иллюстрируется при помощи трехмерной^
688
Расчеты, на прочность при напряжениях, переменных во времени
Фиг. 479. Кривые выносливости в координатах время, номинальное
максимальное напряжение при различных частотах изменения
напряжений [134].
Фиг. 480. Кривые выносливости в координатах число циклов,
действительное максимальное напряжение для двух частот измене-
ния напряжений [134].
Фиг. 481. Кривая выносливости в координатах время,
действительное максимальное напряжение [134].
Влияние частоты, перегрузок, температуры и размеров детали
689
диаграммы усталостной прочности [54], изображенной на фиг. 482. Эта
диаграмма строится в координатах аш, аа, /. При Z 0 зависимость предель-
ной амплитуды напряжений цикла от предельного среднего напряжения
изображается прямой Л В, отсекающей на осях координат отрезки, равные
в выбранном масштабе пределу прочности abz. Это объясняется тем, что при
однократном нагружении максимальное предельное напряжение равно пре-
делу прочности. Для некоторого значения времени t предельная кривая CD
отсекает на оси абсцисс отрезок, равный пределу длительной прочности abft
а на оси ординат — пре-
делу ограниченной вынос-
ливости при симметричном
цикле (a -Josp' Число цик-
лов, соответствующее вре-
мени /, определяется ча-
стотой изменения напря-
жений. Обычная диаграм-
ма усталостной прочно-
сти EF соответствует вре-
мени /*, которое можно
подсчитать, зная базу для
ограниченного предела
выносливости.
Таким образом, поверх-
ность ABFE является пре-
дельной поверхностью
усталостной прочности,
кривая АСЕ —графиком
зависимости предела дли-
тельной прочности (см. том II, главу XII) от времени, а кривая BDF —
кривой выносливости при симметричном цикле изменения напряжений
в координатах /, аа.
В расчетах деталей при повышенных температурах необходимо оценивать
величину пластической деформации, возникающей в процессе эксплуатации
(том II, главы XII — XV). Поэтому на диаграмме усталостной прочности
для выбранного значения времени наносится график зависимости переменного
напряжения от среднего KL для /* и MN для t, при которых величина пла-
стической деформации достигает определенного значения ер, допустимого
по условиям эксплуатации детали. Таким образом, точки, лежащие в областях
OjFLK, O]PNM, изображают циклы, при осуществлении которых разруше-
ния не происходит, а возникающие пластические деформации меньше выбран-
ного значения ер для значений времени и / соответственно. Линия LNR,
лежащая на предельной поверхности, является геометрическим местом
точек, изображающих предельные циклы, при осуществлении которых
пластическая деформация в момент разрушения равна ер. Кривая KMR
является графиком зависимости от времени предела ползучести материала.
Заметим, что при комнатной температуре в интервале времени, соответ-
ствующем длительности обычных усталостных испытаний, предел длительной
прочности для большинства материалов практически равен пределу проч-
ности abt* = abt = obz и не зависит от времени. В этом случае кривая АСЕ
вырождается в прямую, проходящую через точку А и параллельную оси t.
В заключение приведем некоторые данные, характеризующие усталостную
прочность материалов при повышенных температурах.
В табл. 90 приведены пределы выносливости сталей ЗОХМ, Ж1 и Я1Т
при комнатной и повышенной температурах [47 ]. Данные получены в резуль-
тате испытания гладких образцов при симметричном цикле в условиях
44 Пономарев 508
690
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Таблица 90
Пределы выносливости сталей ЗОХМ, Ж1 и Я1Т при повышенных температурах [47]
Марка стали	Термическая обработка	а	 в кг!см2 при температурах испытания					
		20°	200°	30*0°	400°	500°	600°
ЗОХМ	Закалка 870°, отпуск 600°	4150	3750	- 4020	3720	2820	1720
Ж1	Закалка 1050°, отпуск 700°	3750	—	2770	2650	2250	—
Я1Т	Закалка 1100°, отпуск 650°	2850	2250	—	2150	2050	2050
изгиба. База испытаний 10-10е циклов. Частота изменения напряжений
3000 циклов в минуту.
Как следует из табл. 90, для стали ЗОХМ снижение предела выносливости
по отношению к пределу выносливости при комнатной температуре в ин-
тервалах 300—400°; 400—500° и 500—600° составляет соответственно 7; 22
и 27%. Для жароупорных сталей, как это следует из табл. 90, снижение
предела выносливости с увеличением температуры значительно меньше.
В табл. 91 приведены пределы выносливости сплавов ЭИ437 и ЭИ395,
полученные путем испытания на изгиб гладких образцов, при симметричном
цикле изменения напряжений [1]. База испытаний для сплава ЭИ437 равна
50- 10е циклов, а для сплава ЭИ395 составляет 100-106 циклов; частота изме-
нения напряжений 2870 циклов в минуту.
Таблица 91
Механические характеристики (в кг{см?} сплавов ЭИ437 и ЭИ395 при повышенных
температурах [1]
о о Св М Q.	Сплав ЭИ437						Сплав ЭИ395					
	Закалка с 1200° С			Закалка с 1200° С и стабилизация			Закалка с 1180° С			Закалка с 1180° С и стабилизация		
Температу испытаний	CTsz	°&z	to TJJ с> <	asz	”bz	N = 6-10’	asz	abz	sOl’O! — м	CTsz	abz	О т II ° й:
20	3030	7300	2820	7660	12000	3300	3530	7110	2550	5220	8520	3050
500	—	—	—	6950	9420	—.	2059	6010	2920	3610	6810	3020
600	2070	5170	3700	6840	7710	3430	2070	5600	3050	3140	6450	2650
700	2970	4740	3450	6680	7810	2850	2000	3630	2570	3090	6470	2130
800	—	4470	2550	—	—	2350	1970	2800	1910	2760	4960	1800
Из табл. 91 следует, что для сплавов ЭИ437 и ЭИ395 интенсивное снижение
предела выносливости с увеличением температуры начинается с температуры
700° С. То же имеет место и для сплава ЭИ395 после закалки. Для сплава
ЭИ395 после закалки и стабилизации значительное снижение предела вынос-
ливости наблюдается при температуре 600° С.
На фиг. 483 представлены графики зависимости от температуры пределов
прочности и пределов выносливости для перлитного и аустенитного чугу-
нов [2], химический состав которых приведен в табл. 92. Пределы
Влияние частоты, перегрузок, температуры и размеров детали
691
Таблица 92
Химический состав чугуна в % [2]
Марка чугуна	^общ	с связ	Si	Мп	Си	Сг	Ni	Ti	V	As	Р	S(H2S)	s 1
Аустенит- ный	2,63	0,67	2,14	1,23	6,94	2,09	14,9	0,02	0,005	0,012	0,16	0,059	0,065
Высоко- прочный перлитный	2,84	0,74	1,52	1,05	0,37	0,31	0,20	0,02	0,055	0,013	0,07	0,016	0,124
Таблица 93
Химический состав и пределы выносливости; специальных жароупорных сплавов [2]
		X			и м и ч е с к		ий составе °/Q							Предел выносливости	
														а-1 в	кг!см2
с	Мп	Si	Сг	Ni	Мо	Со	W	Си	Nb	Ti	Al |	Fe |	N	650° С |	815° С
0,19	0,65	0,64	19,9	31,1	—	30,1	5,41	—	4,00	—	—	Ост.	—	4990	2950
0,36	0,72	0,19	18,4	20,2	3,70	45,6	4,23	—	3,04	—	—		—	4920	3300
0,12	1,20	0,52	0,27	60,8	27,1	—	—	—	—	—	—	9,96	—	4640	2460
0,04	0,50	0,27	14,5	73,3	—	—	—	0,02	1,17	2,36	0,67	7,06	—	4570	2810
0,05	0,70	0,59	18,0	42,0	—	22,0	—	—	—	2,17	0,48	—	—	4430	—
0,22	0,65	0,53	27,4	2,28	5,53	62,2	—	—	—	—	—	0,70	—	4430	3090
0,37	—	0,52	25,8	34,8	4,72	33,5	—	—	—	—	—	0,65	—	4430	2670
0,15	1,46	0,42	20,8	20,6	3,18	20,5	2,26	—	1,06	—	—	Ост.	0,14	4290	2320
0,54	1,02	0,61	25,5	10,3	0,21	50,3	6,74	—	—	—	—	—	—	3940	2390
0,47	1,35	0,82	19,4	19,1	4,03	19,3	4,00	—	3,98	—.	—	Ост.	—	3870	—
0,05	0,65	0,72	17,9	37,0	2,80	20,0	—	—	—	2,60	0,30	W	—	3660	—•
0,14	1,56	0,92	17,6	27,7	9,50	35,6	—	—	—	—	—	V	—	3520	—
Таблица 94
Механические характеристики (в кг/см2) трех марок сталей при пониженных температурах [43]
Марка стали	+ 20° С			— 75° С			—183° с		
	abz	asz	ст—1	°bz	CTsz	а—1	°bz	CTsz	CT-i
Ст.З	4 390	3220	2260	5 440	4460	—	7 940	7370	5050
Х4Н	7 630	5970	3900	9 060	•6940	4250	11 300 *	9630*	5600
ШХ15	26 500	—	8450	26 500	—	8350	—	—	—
$	Температура испытания			— 193° С.					
44*
692
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
выносливости получены в результате испытаний гладких образцов на изгиб
при симметричном цикле изменения напряжений. База испытаний 20-Ю6
циклов, частота изменения напряжений 2500 циклов в минуту.
Как следует из фиг. 483, в интервале температур 20—600° С предел
выносливости перлитного чугуна выше, чем предел выносливости аустенит-
ного.
Фиг. 483. Графики зависимости от температуры пределов
прочности и пределов выносливости перлитного (кружок)
и аустенитного (крестик) чугунов [2].
В табл. 93 приведены пределы выносливости качественных сплавов [2].
Результаты получены при испытании на изгиб гладких образцов при симмет-
ричном цикле изменения напряжений. База испытаний 100-106 циклов,
частота изменения напряжений 7200 циклов в минуту. Для иллюстрации
влияния пониженных температур на усталостную прочность в табл. 94
приведены результаты испытаний трех марок сталей при комнатной и пони-
женных температурах. Пределы выносливости были определены в резуль-
тате испытания образцов на изгиб при симметричном цикле изменения напря-
жений. Как следует из табл. 94, в интервале температур от +20° до —75° С
изменение механических свойств незначительно. При уменьшении темпера-
туры примерно до —190° С предел выносливости стали Ст. 3 возрастает
на 112%, а стали Х4Н на 44%.
Г. Влияние размеров деталей
Размеры образцов весьма существенно влияют на величину предела
выносливости.
Как показали опыты, при увеличении размеров образцов предел выносли-
вости понижается. Это особенно заметно при испытании образцов с концен-
траторами напряжений.
Уменьшение усталостной прочности с увеличением размеров деталей
имеет большое практическое значение, так как неучет этого обстоятельства
при расчете крупных деталей приводит к ошибке в сторону переоценки
прочности материала.
Явление понижения усталостной прочности с увеличением размеров
деталей не нашло еще полного объяснения. По'этому вопросу выдвинуты
две гипотезы [113]. С увеличением размеров детали повышается количество
частиц материала, расположенных у поверхности, находящихся в наиболее
напряженном состоянии (изгиб, кручение). При этом уменьшается градиент
изменения напряжений. Согласно первой гипотезе, увеличение количества
частиц материала, расположенных у поверхности, повышает вероятность
наличия различных дефектов (раковин, микротрещин, включений, следов
Влияние частоты перегрузок, температуры и размеров детали
693
обработки резанием и т. п.) в поверхностном слое. В этих местах обычно
и начинается развитие усталостных трещин, рост которых особенно интен-
сивен при небольших градиен-
тах изменения напряжений.
Вторая гипотеза объяс-
няет уменьшение предела
выносливости с увеличением
размеров тем, что при меха-
нической обработке (обра-
ботке резанием) образцов
малых размеров происходит
пластическое деформирова-
ние поверхностного слоя на
относительно большую глу-
бину, чем у образцов боль-
ших размеров. Возникающие
при пластическом деформи-
ровании остаточные напря-
жения благоприятно влияют на усталостную прочность деталей.
Заметим, что приведенные гипотезы не исключают, а скорее дополняют
Друг ДРУга.
Отношение предела выносливости детали к пределу выносливости образца
диаметром 6—12 мм называется масштабным фактором и обозначается ем.
Фиг. 484. Графики зависимости от диаметра масштаб-
ного фактора при изгибе и при кручении круглых
брусьев [107]:
1 — углеродистая сталь; 2 — легированная сталь.
При этом предполагает-
ся, что состояние по-
верхностных слоев де-
тали и образца одинако-
вое.
На фиг. 484 и 485
изображены
зависимости
ного фактора от диамет-
ра образца при изгибе и
при кручении. Графики
построены в результате
испытаний при симмет-
ричном цикле измене-
ния напряжений.
В табл. 95 приведены результаты испытаний на изгиб образцов различных
диаметров углеродистой и легированной сталей при симметричном цикле
изменения напряжений [147].
Ом
0,9
0,8
	-^^7		
			
			
0,1
10	20	30	U0 d мм
Фиг. 485. Графики зависимости от диаметра масштабного
фактора при изгибе и при кручении чугунных круглых
брусьев [107]:
/ — кручение; 2 — изгиб.
графики
масштаб-
Таблица 95
Пределы выносливости гладких образцов различных сталей в зависимости
_________________________от диаметра [147]_________________________________
в мм	Углеродистые стали			Легированные стали			
	* Предел выносливости а_х в кг!см2						
15 30 60 100	2500 2100 1750 1600	2650 2250 1900 1700	3200 2700 2250 2000	3800 3200 2700 2400	4400 3700 3100 2800	5000 4200 3500 3150	6000 5000 4200 3800
Qbz в кг! см? aS2 в кг!см?	4500 2500	5500 3100	6500 3600	8000 5600	8800 6100	9800 7300	12 000 10 000
694
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
В настоящее время в лабораториях все чаще применяются машины для
испытаний крупных образцов при переменных напряжениях. Однако имею-
щийся в литературе материал по таким испытаниям еще недостаточно обобщен
и систематизирован, что затрудняет его испольаование в расчетной практике.
§ 9. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ОДНООСНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
И ЧИСТОМ СДВИГЕ
Перейдем к изложению расчета на прочность деталей, напряжения в кото-
рых изменяются во времени циклически. В этом параграфе будут рассмотрены
два наиболее простых случая: расчет при одноосном напряженном состоянии

и расчет при чистом сдвиге.
С одноосным напряженным состоянием при-
ходится встречаться при растяжении, сжатии и
чистом изгибе брусьев. При поперечном изгибе
бруса сплошного сечения касательными напряже-
ниями, возникающими в поперечных сечениях,
обычно пренебрегают и расчет производят так же,
Б
М2
О
с de
6sz
6bz
f — 6/77 *
Фиг. 486. Графическое определение коэффициентов запаса ns и п&
как и в случае одноосного напряженного состояния. При расчете валов на
кручение и пружин растяжения-сжатия необходимо исследовать прочность
материала в условиях чистого сдвига.
Чаще всего при расчете деталей, выполненных из пластичного материала,
ставится условие, чтобы деталь была достаточно прочной и чтобы в ней
не образовывались пластические деформации. Этому условию соответствует
требование, чтобы точка, изображающая цикл, лежала внутри области OEFC
(фиг. 399 и 406).
Вначале из методических соображений рассмотрим определение коэф-
фициента запаса образца. »
Предположим, что при увеличении интенсивности нагружения тип
напряженного состояния не меняется и циклы изменения напряжений
остаются подобными (критический разбор этого положения приведен в § 11).
В этом случае увеличению нагружения образца соответствует движение
точки Л41, изображающей цикл (фиг. 486) по лучу ОМ^аЬ (при этом коэффи-
циент асимметрии цикла г остается неизменным). Предельный цикл опреде-
ляется пересечением луча OMi (г = const) с предельной кривой АЕ. Мак-
симальное напряжение этого предельного цикла — предел выносливости —
равен в некотором масштабе сумме отрезков Od и da (фиг. 486).
Расчеты на прочность при одноосном напряженном состоянии и чистом сдвиге 695
Коэффициент запаса по разрушению определяется как отношение предела
выносливости подобного цикла аг к максимальному напряжению цикла атах:
Коэффициент запаса по текучести равен
Фиг. 487. К выводу общей зависимости коэффициента запаса пь
от параметров а и Ь, определяющих предельную кривую
усталостной прочности*
(34)
(35)
Коэффициенты запаса могут быть также определены при помощи диа-
граммы усталостной прочности (фиг. 486):
__ Od 4- da   Od   da   Oa .
'	П» ~ Oc-\-cM1 ~ ~Oc ~ ~сЩ ~ OM^ ’
__ Oe 4- eb   Oe   eb   Ob
ns ~ Oc 4- cMj, ~ ~Oc ~ ~cM^ ~ ~OM^ ‘	’
Отметим, что если точка, изображающая цикл, находится в области EOF,
как это имело место в рассмотренном случае, то коэффициент запаса по раз-
рушению меньше коэффициента запаса по текучести: nb < ns. Если точка,
изображающая цикл, находится в области FOC (точка Л42), то имеет место
обратное соотношение, т. е. nb > ns.
В дальнейшем будем подсчитывать оба коэффициента запаса и по уста-
лостному разрушению пь и по текучести ns. Соотношение между ними ука-
зывает, в какой области на диаграмме предельных напряжений находится
точка, изображающая рабочий цикл.
Определение коэффициентов запаса по разрушению может быть выпол-
нено аналитически. Как упоминалось выше, для этой цели рационально
использовать схематизированные диаграммы.
Рассмотренная ранее схематизация предельных кривых усталостной
прочности сводится к замене их отрезками прямых линий. Поэтому при
выводе формул для определения коэффициентов запаса по разрушению в основу
положим линейную схематизированную диаграмму, отсекающую на осях
коор’динат отрезки, равные в выбранном масштабе некоторым величинам а
и b (фиг. 487). Значения параметров аиЬ будут в дальнейшем конкретизиро-
ваны для различных типов схематизированных диаграмм.	1
696
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Уравнение предельной прямой KL (фиг. 487)”в’отрезках имеет вид
+	(38)
Координаты точек М и N, изображающих рабочий и подобный ему
предельный циклы, связаны соотношениями
amL — nbam'y °aL ~ nba<r
Подставляя эти выражения в уравнение (38), получим
П-Ь^т j ntPci _ 1
а + Ь ~
Фиг. 488. к вычислению параметров а и Ь, определяющих предельную
кривую усталостной прочности, схематизированную по С. В. Серен сену
и Р. С. Кинасошвили.
откуда коэффициент запаса по разрушению равен
/	b а
Получим теперь параметры а и b для различных схематизированных
диаграмм.
Сопоставляя фиг. 399 и 487, заключаем, что а = а6<г, b = а_г Следова-
тельно, в случае схематизации предельной кривой усталостной прочности
прямой линией согласно фиг. 399 выражение для определения коэффициента
запаса по разрушению принимает вид
~ и, ,	- in
’-1 + ЗЬг
В случае схематизации предельной кривой усталостной прочности ломаной
линией согласно фиг. 401 параметры а и b можно определить из рассмотрения
фиг. 488. Для прямой EG, схематизирующей начальный участок предельной
кривой усталостной прочности (— 1 < г < 0), как это следует из чертежа,
b = <з_и а параметр а определяется из подобия треугольников ОЕе и gGe'.
а =___ст-»?°_
2о_1 — а0
Расчеты на прочность при одноосном напряженном состоянии и чистом сдвиге 697
Для прямой GA, схематизирующей правую часть предельной кривой
усталостной прочности (0 < г < + 1), как это следует из чертежа, а = abz,
а параметр b определяется из подобия треугольников ОаА и gGA:
I) —. ^bz^o
2<3bz—<5o'
Подставляя полученные параметры а и & в формулу (39), устанавливаем,
что при — 1 < г < О
__	О—!
Ь За 4“
где
ф = .2g-ln,?»
Т
а при 0 < г < + 1
п — °bz
ь	%за + a m
где
j — bz — 30
30
(41)
(42)
(43)
(44)
Формула (41) была получена С. В. Серенсеном и Р. С. Кинасошвили [31].
Отметим, что для деталей, выполненных из пластичных материалов,
Зодербергом [154] была предложена иная система расчета. Согласно этой
системе цикл считается безопасным тогда, когда изображающая его точка
лежит внутри треугольника СЕО (фиг. 489). Таким образом, предельными
считаются циклы, изображаемые точками, расположенными на линии СЕ.
Расчет по методу Зодерберга, как это следует из фиг. 489, дает занижен-
ные величины коэффициентов запаса, так как не все циклы, изображаемые
точками вне треугольника СЕО, являются опасными с точки зрения уста-
лостной прочности и появления пластических деформаций. Кроме того,
при определении коэффициента запаса по методу Зодерберга не ясно, является
ли опасным усталостное разрушение или наступление пластической деформа-
ции.
Несмотря на широкое распространение этого метода за рубежом, он не
может быть рекомендован, так как коэффициент запаса, вычисленный по методу
Зодерберга, лишен физического смысла.
Перейдем к определению коэффициентов запаса деталей машин.
Прочность деталей машин, в отличие от прочности нормальных гладких
образцов, зависит от концентрации напряжений, размеров деталей и состоя-
ния поверхностных слоев материала. С учетом этих факторов коэффициент
запаса по разрушению может быть определен по формуле
»ь=-^----------,	(45)
р р ’ max
где kr, ея, ем — эффективный коэффициент концентрации напряжений,
фактор поверхности и масштабный фактор для цикла с коэффициентом
асимметрии г. Величина £"£;и  показывает, во сколько раз изменяется
предел выносливости аг за счет перечисленных факторов. Однако, как отме-
чалось выше, величины kr, и получены в основном только при симмет-
ричном цикле изменения напряжений (г = — 1).
Как известно, концентрация напряжений, размеры деталей и состояние
поверхностных слоев материала не оказывают столь существенного влияния
698
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
на прочность при напряжениях, постоянных во времени, как при переменных
напряжениях.
Для учета влияния перечисленных выше факторов при определении коэф-
фициента запаса пь по предложению С. В. Серенсена [89 ] предел выносливо-

сти при симметричном цикле изменяется в раз. Это равносильно
k 1
^изменению амплитудк рабочего цикла в  ~1 раз.
епем
Таким образом, если задан рабочий цикл, характеризуемый переменным
напряжением и постоянным напряжением ат, то коэффициент запаса
Фиг. 489. Схематизация предельной
кривой по Зодербергу.
Фиг. 490. Графическое определение коэффициен-
тов запаса ns и пь с учетом коэффициента кон-
центрации напряжений масштабного фактора
и фактора поверхности.
ДЛЯ
---------. а
цикла с постоянным напряжением ат
а. Коэффициент запаса по текучести
' напряжению атах = <зт + <за [по
по разрушению определяется
и переменным напряжением
устанавливается по максимальному напряжению afflax —	+ <за
формуле (35)], так как концентрация напряжений, размеры детали и состоя-
ние поверхностных слоев материала обычно не оказывают заметного влияния
на пластические деформации в основной массе материала детали.
Следовательно, если заданный цикл, определяемый напряжениями <зт,
аа изображается точкой М, а цикл, соответствующий пересчитанному напря-
жению аа с учетом влияния концентрации напряжений, масштаб-
ного и поверхностного факторов — точкой N (фиг. 490), то коэффициент
запаса по усталостному разрушению
t	_ Оа
nb ~ ~ON •
Коэффициент запаса по текучести
_ оь
п*~ ОМ •
Формула для коэффициента запаса по разрушению в этом случае может
быть получена из выражения (40) заменой а величиной k~l а :
ПЬ = -т------!--------.	(46)
гпгм 1 1 &bz
Расчеты на прочность при одноосном напряженном состоянии и чистом сдвиге 699
Исходя из конкретных условий проектирования, конструктор должен
решить, каким из этих коэффициентов запаса он должен руководствоваться.
В случае расчета деталей, находящихся в условиях чистого сдвига, коэф-
фициент запаса по разрушению определяется по аналогичной формуле:
—1	, и I
znzM т—1
а коэффициент запаса по текучести — по формуле
где — предел текучести при чистом сдвиге.
Отметим, что эффективный коэффициент концентрации напряжений,
масштабный фактор и фактор поверхности в случае чистого сдвига, вообще
говоря, иные, чем при одноосном напряженном состоянии.
Коэффициент запаса по разрушению, по методу С. В. Серенсена и Р. С. Ки-
насошвили, получаем из формулы (41) заменой оа величиной k~l * * аа:
ZtlZM
пь=-^—^---------,	(49)
Оа + Ф°/П
ZtlZM
где коэффициент <р определяется формулой (42).
, Формула (43) с учетом концентрации напряжений, масштабного эффекта
и состояния поверхностных слоев материала принимает вид
пь=~....’	(5°)
S	+ Gm
znzM
где коэффициент £ определяется формулой (44).
При расчете деталей, выполненных из хрупкого материала, на диаграмме
в координатах <зт, оа не имеет смысла проводить линии CD (фиг. 396 и 406),
так как весьма хрупкие материалы могут не иметь условного1 предела теку-
чести. Тогда вычисление коэффициента запаса по текучести будет нецелесо-
образным.
Представляет интерес оценка погрешности, вносимой в определение
коэффициента запаса за счет изменения только одной величины предела
выносливости при симметричном цикле в раз. Для этого восполь-
зуемся данными табл. 72, в которой приведены величины эффективных
коэффициентов концентрации напряжений для плоских образцов с концен-
тратором в виде отверстия. Материал образцов — малоуглеродистая и угле-
родистая стали. Приведенные данные получены при пульсационном и сим-
метричном циклах изменения напряжений.
В табл. 96 представлены результаты вычислений коэффициента запаса
по разрушению по формулам (45), (46) и (49) для пульсационного цикла.
При этом за неимением опытных данных величины фактора поверхности
и масштабного принимались равными единицам:	= 1, гя = 1. Таким
образом оценивалась погрешность формул (46) и (49), вносимая только за
счет отнесения эффекта концентрации напряжений к пределу выносливости
при симметричном цикле.
1 Имеется в виду условный предел текучести, определяемый остаточной линейной дефор-
мацией, равной по принятому допуску 0,002, или остаточным сдвигом, равным 0,003 (том J,
глава V).
700
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Таблица 96
Сопоставление результатов вычислений коэффициентов запаса пь по различным формулам.
Данные заимствованы из табл. 72
Определяемая величина (формула)	Результат вычислений		Отклонение	nb-^b ——100% nb
	Малоуглеро- дистая сталь А	Углероди- стая сталь Б	A	Б
*	Qr	1900	2700	o	o
пь- kr~ '  <45) °max	q max	qmax		
П» = Ь а 1	 (46) j От епел«О_1 Gbz	1650 qmax	2480 qmax	13	8
Ф= 20~1~g°	(42) ао ПЬ =		-z=1	 (49) Оа + 6пелс	0,173 1880 qmax	0,242 2640 qmax	1	2
а _ а . а — СТтах . СТГ	а<2	2	’	а __ qmax °т	2	- , kr —	n = 1;	“ 1	
Из рассмотрения данных, приведенных в таблице, следует, что погреш-
ность приближенных формул невелика. Несколько большая погрешность
формулы (46) по сравнению с формулой (49) объясняется более грубой схе-
матизацией предельной кривой.
Обычно при конструировании деталей машин расчеты носят поверочный
характер. В некоторых простейших случаях возможно непосредственное
определение конструктивных размеров деталей по допускаемым напряжениям.
Вследствие этого целесообразно вывести формулы для определения допускае-
мого напряжения.
Переменный компонент допускаемого напряжения для цикла с заданным
Ga
отношением р = —— , исходя из расчета по усталостному разрушению,
Gm
определяется из уравнения (46)
=	----Г"
nb	1 I ст—1 . _
,	£пгм ^bz Р
Допускаемое максимальное напряжение по усталостному разрушению
ИЛИ
[о]=д=х.__щ—.	•
1 nb k-!	а-!
епем ₽ °i>z
Допускаемое максимальное напряжение, исходя из расчета на текучесть
Расчеты на прочность при одноосном напряженном состоянии и чистом сдвиге 701
Из двух полученных по приведенным выше формулам величин за допу-
скаемое напряжение [а] следует принимать меньшее.
Поясним изложенные методы расчета на прочность при переменных
напряжениях примерами.
Пример /.Вал (фиг. 491), выполненный из углеродистой стали с содержанием углерода
0,6%, работает на изгиб. Механические характеристики материала вала о^2 = 7500 кг/см2\
csz ~ 4200 кг!см2\ х = 3250 кг/см2. Поверхность вала шлифована. Изгибающий момент по-
стоянен во времени и равен М = 6400 кгсм. Определить коэффициенты запаса по текучести и
по разрушению.
Вследствие вращения вала при постоянном изгибающем моменте нормальные напряжения
в поперечных сечениях изменяются по симметричному циклу.
Максимальное (номинальное) нормальное
напряжение в поперечном сечении вала
_ М _ М 6400 1ппп , 2
°тах ур 0,Id3 0,1 -43	000 KtfCM .
Минимальное напряжение цикла
<5 min = — ЮОО кг!см2. Постоянное и переменное
напряжения соответственно равны от = 0;
= 1000 кг/см2. Коэффициент запаса по теку-
чести

-—
Фиг. 491. Ступенчатый вал (к примерам
1 и 2).
<ssz	4200	. _
Мс --- ------ -- ~i ПАА	==	4,2.
ашах	ЮОО
Коэффициент запаса по разрушению следует вычислять по формуле (46).
Эффективный коэффициент концентрации определяем по данным, представленным на
фиг. 430 и 431. На фиг. 430 приведены значения эффективных коэффициентов концентрации
при изгибе в зависимости от отношения радиуса галтели R к диаметру вала d для различных
D
сталей. Представленные графики справедливы только для отношения диаметров = 2.
R 2
В рассматриваемом случае отношение	= 0,05. Согласно кривой 3 (фиг. 430)
D R
устанавливаем, что для вала с отношением — 2 и = 0,05 коэффициент (^_х)г = 2,2.
Проводим пересчет полученного коэффициента (&_x)g, исправляя его по данным фиг. 431:
k_± = 1 + a [(^_j)2 — 1] = 1 + 0,52 (2,2 — 1) = 1,63,
D 50
где, согласно фиг. 431, для отношения ~д — -Jq- = 1,25 поправочный коэффициент а = 0,52.
Масштабный фактор &м определяем по кривой 2 (фиг. 484). Для d = 40 мм £м = 0,78.
Так как поверхность вала шлифована, то фактор поверхности en= 1.
Итак, коэффициент запаса по разрушению
_	1	0,78-3250
пь ~ k^Og	am ~ 1,63-1000 " ,ь>
епем&—1	&bz
Пример 2. Вал, рассчитанный в предыдущем примере, работает на кручение. Крутящий
момент изменяется по пульсационному циклу. Наибольшее значение, его М = 6400 кгсм.
Механические характеристики материала вала: т^ = 4000 кг/см2\ ts — 2600 кг/см2\
т_х = 1900 кг/см2.
Определить коэффициенты запаса по текучести и разрушению.
Максимальное (номинальное) касательное напряжение в поперечном сечении вала равно
Л4 М 6400 _пп , 2
Tmax Wp ~ 0,2d3 — 0,2-,43 ~ 500 кг1см 
Минимальное касательное напряжение тт}п = 0.
Постоянное и переменное касательные напряжения равны: = 250яг/сл<2; та — 250 кг!см2.
Коэффициент запаса по текучести, согласно формуле (48),
2600	__
«s =	= W = 5,2.
ттах 500
Коэффициент запаса по разрушению вычисляем по формуле (47).
702
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Эффективный коэффициент концентрации определяем по данным, приведенным на фиг. 432
и 433. На фиг. 432 представлена зависимость эффективных коэффициентов концентраций при
R	D 14
кручении от отношения для валов, у которых = 1,4.	у
r
Принимая во внимание, что у данного вала отношение = 0,05, согласно кривой 2
D	R
устанавливаем, что для вала с отношением -^-=1,4 и = 0,05 коэффициент
= 1,36.
Проводим пересчет коэффициента (&_i)lt4, исправляя его согласно фиг. 433:
k_r = 1 +	— 1 ] = 1 4 0,76 (1,36 — 1) = 1,27,
где в соответствии с фиг. 433 для отношения = 1,25 поправочный коэффициент а — 0,76.
Фиг. 492. Характеристика
пружины (к примеру 3)
Фиг. 493. Зависимость осадки пружины
от времени (к примеру 3).
Так как данные, приведенные на фиг. 484, относятся как к изгибу, так и к кручению, то
масштабный фактор имеет то же значение, что и в предыдущем примере, а именно ьм — 0,78.
Так же, как и в предыдущем примере, фактор поверхности en = 1.
Коэффициент запаса по разрушению равен
, тт	1,27	250	250
’ 'c-i + Ч	0,78 ‘ 1900 + 4000
Пример 3, Определить коэффициенты запаса клапанной пружины. Диаметр пружины
Р=60 мм\ диаметр проволоки d = 6 мм. Характеристика пружины представлена на фиг. 492,
а циклическое изменение осадки пружины во времени — на фиг. 493.
Механические характеристики проволоки пружины та = 8000 кг/см2\ — 5000 кг/см2:
т_г = 3000 кг!см2.
Пружина после холодной навивки термически обработана и обдута дробью.
Определим наибольшее возможное напряжение в поперечном сечении проволоки пружины
при полном сближении витков, когда осадка равна Л = 100 мм:
8PD	8-60-6	олп . 2
Т = k = 1,14-------------= 4840 кг см2,
тса3	тс-U,о3
где k — коэффициент, учитывающий кривизну проволоки и влияние поперечных сил. Подан-
ным, приведенным в томе I, глава XIII (см. фиг. 651), при -j-= 10 коэффициент k — 1,14.
Сопоставляя вычисленное наибольшее возможное напряжение т и предел^ текучести т5>
заключаем, что при сжатии пружины возникновение пластических деформаций невозможно.
Расчеты на прочность при неодноосных напряженных состояниях
703
Определим максимальное, минимальное, постоянное и переменное напряжения рабочего
цикла пружины:
54
ттах ~ 4840 -gg- = 4350 кг/см2',
24
'tniin — 4840 -gg- — 1940 кг/см2',
4350+ 1940	. 2
=------—-----= 3150 кг/см2',
4350— 1940	1О1Л , 2
----—1210 кг/см2.
Учитывая, что пружина обдута дробью, примем, согласно литературным данным, фактор
поверхности = 1,55.
Эффективный коэффициент концентрации и масштабный фактор равны единице х = 1;
ел« ~ 1 •
Коэффициент запаса по разрушению
_	1	-	1	— 1 S
пь k-l , Ха < Хт 1210	3150
епел« т—1 1	1,55-3000	8000
Коэффициент запаса по текучести
S Tmax ” 4350
Подсчитанный коэффициент запаса по текучести в рассматриваемом случае мало харак-
терен, так как даже при сжатии пружины до соприкосновения витков касательное напряжение
не превышает предела текучести.
§ 10. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ В СЛУЧАЕ
НЕОДНООСНОГО НАПРЯЖЕННОГО COCTOЯHИЯJ
А.	Предварительные соображения
Многие детали машин, как например, трансмиссионные или коленчатые
валы, распределительные валики, пружины различных конструкций, тол-
стостенные и тонкостенные оболочки, находящиеся под воздействием пере-
менного во времени давления, работают при переменных напряжениях
в условиях неодноосного напряженного состояния.
Для расчета таких деталей, точно так же как и в случае статической
нагрузки, необходимо создание теории, которая позволила бы судить о проч-
ности деталей при переменных напряжениях в случае неодноосного напряжен-
ного состояния по результатам испытания материала деталей при одноосном
напряженном состоянии.
Вопрос о расчете на прочность при переменных напряжениях в случае
неодноосного напряженного состояния еще нельзя считать окончательно
решенным, так как экспериментов, которые могли бы подтвердить правиль-
ность той или иной теории, далеко недостаточно.
Наиболее полно при переменных напряжениях экспериментально изучено
двухосное смешанное напряженное состояние (см. том I, главу VI), возни-
кающее при совместном изгибе и кручении; изгибе, растяжении (сжатии)
и кручении; растяжении (сжатии) и кручении. В этом случае на основании
результатов испытаний установлены эмпирические зависимости между
предельными значениями нормального и касательного напряжений. Эти
зависимости апробированы расчетной практикой и получили всеобщее
признание и широкое распространение.
704
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Усталостная прочность при других напряженных состояниях эксперимен-
тально изучена менее полно. В проведенных к настоящему времени исследо-
ваниях испытывались тонкостенные трубки при нагружении их переменным
внутренним давлением и переменной растягивающей- или сжимающей силой.
В результате такого нагружения возникали циклическое двухосное растя-
жение, а также циклическое двухосное смешанное напряженное состояние,
которое, как отмечалось выше, возникает также при совместном изгибе и кру-
чении бруса.
Недостаточная изученность усталостной прочности при напряженных
состояниях, отличных от двухосного смешанного, не позволила еще создать
надежную теорию, устанавливающую предельное состояние при переменных
напряжениях. Поэтому изложение теории усталостной прочности при неодно-
осном напряженном состоянии рационально вести раздельно для двухосного
смешанного напряженного состояния и для общего случая напряженного
состояния.
Б. Двухосное смешанное напряженное состояние
Рассмотрим вначале схемы двух испытательных машин, описанных
в работах Гафа и Поллэрда [137], [139] и предназначенных для изучения
усталостной прочности материала при двухосном смешанном напряженном
состоянии. На фиг. 494 представлена фотография первой из них.
Фиг. 494. Общий вид машины для испытания цилиндрических
образцов в* условиях совместного изгиба и кручения (напряжения
о и т изменяются синфазно по симметричным циклам).
На фиг. 495 и 496 показана схема этой машины, предназначенной для испы-
тания цилиндрических образцов в условиях совместного изгиба и кручения.
Одна из головок образца 1 помещается в зажим 2, закрепленный на суппорте 3,
который установлен на поворотном столе 4. Другая головка образца закреп-
лена в зажиме 5, связанном посредством цапф 6 с вилкой рычага 7. Тяга 8
соединяет рычаг 7 с осью диска 9, к которому прикреплена неуравновешенная
масса 10. Нагружение образца производится при помощи тяги и рычага
за счет вращения неуравновешенной массы 10. Для одновременного изгиба
и кручения образца стол вместе с суппортом поворачивается относительно
рычага 7 на некоторый угол а. На фиг. 496 стол показан в плане. Моменты
в сечениях образца возникают за счет вертикальной составляющей Р центро-
бежной силы неуравновешенной массы 10. Эта сила изменяется по симметрии-
Расчеты на прочность при неодноосных напряженных состояниях
705
ному циклу. Поэтому полный момент в опасном сечении образца, равный PL,
также изменяется по симметричному циклу. Момент PL может быть разложен
на две составляющие (фиг. 496): изгибающий момент Мкзг = М cos а
и крутящий момент Мкр = М sin а, которые изменяются синфазно. по
симметричным циклам. Угол а можно изменять в широких пределах, за
счет чего достигаются различные соотношения между Мизг и Мкр. Таким
образом, нормальные и касательные напряжения в поперечных сечениях
образца изменяются синфазно
по симметричным циклам. При	”	L
этом имеет место двухосное
смешанное неоднородное напря-
женное состояние.
Чтобы исключить влияние
на образец инерции масс ры-
чага, штанги и других деталей
нагрузочного приспособления,
ось диска укреплена на листо-
вой рессоре 11 (фиг. 495).
Упомянутые детали и рес-
сора образуют вместе систему,
способную совершать колеба-
ния. Частота свободных коле-
баний этой системы настраи-
вается при отсутствии образца
в резонанс с рабочим числом
оборотов диска 9, приводимого
Фиг. 495. Схема машины для испытания цилиндри-
ческих образцов в условиях совместного изгиба и
кручения (напряжения о и т изменяются синфазно
по симметричным циклам).
в движение через ременную
передачу от небольшого мотора.
Вследствие этого силы, возни-
кающие в связи с неравномер-
ным движением масс, уравно-
вешиваются упругими силами
рессоры и не воздействуют на
образец [113].
На фиг. 497 представлена
схема второй машины для испы-
тания цилиндрических образ-
цов в условиях совместного
изгиба и кручения при асим-
метричных циклах изменения напряжений. Общий вид машины изображен
на фиг. 498. Пунктиром на фиг. 497 показано положение элементов машины,
когда образец не нагружен. Сплошными линиями изображена схема машины,
готовой к испытаниям. Конструкция этой машины возникла в результате
дальнейшего усовершенствования и развития машины, описанной выше.
Так же, как в уже рассмотренной машине, образец 1 одним своим концом
помещается в неподвижный зажим 2, который, как и ранее, закреплен в суп-
порте, установленном на поворотном столе (суппорт и поворотный стол
на схеме не указаны). Другой конец образца связан рычагом 3 с травер-
сой 4, соединенной при помощи двух тяг 5 с осью 6. На оси 6 могут вра-
щаться два диска 7, несущие неуравновешенные массы 8. Ось 6 опирается
на две листовые рессоры 9, зажатые в суппортах 10, которые могут пере-
мещаться в вертикальном направлении. Когда образец не нагружен,
рычаг 3, траверса 4 и рессоры 9 занимают положение, показанное на чер-
теже пунктиром. Горизонтальное положение оси 6 фиксируется указате-
лями 11.
45 Пономарев 508
706
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени 
Заметим, что механизм нагружения машины, состоящий из рычага 3,
траверсы 4, тяг 5, оси 6 и рессор 9, закреплен в трех местах, а именно: рессоры
зажаты в суппортах 10, а рычаг 3 шарнирно присоединен к образцу. Жесткость
рессор 9 регулируется так, чтобы частота свободных колебаний механизма
нагружения совпадала с угловой скоростью вращения неуравновешенных
дисков. 7. Вследствие этого силы, возникающие в связи с неравномерным
движением масс механизма нагружения, уравновешиваются упругими
силами рессор и не воздействуют на образец.
Фиг. 497. Схема машины для испытания цилиндрических образцов
в условиях совместного изгиба и кручения (напряжения о и т изме-
няются синфазно по асимметричным циклам.)
Предположим, что суппорты 10 смещены по вертикали на одинаковые
расстояния hi = h2. Это вызовет смещения траверсы 4 и рычага 3 за счет
некоторой деформации образца. При этом ось 6 выходит из первоначального
положения, оставаясь горизонтальной. Изменением длины тяг 5 при помощи
установочных гаек 12 восстанавливается первоначальное положение оси 6,
определяемое фиксаторами 11, в связи с чем первоначальная деформация
образца несколько изменяется. Полученная деформация определяет постоян-
ные напряжения цикла. Для подсчета этих напряжений используется вели-
чина угла ₽ (угол Т = 0). При испытании образца диски 7 приводятся во
вращение при помощи ременной передачи от мотора. В результате этого,
так же как и в описанной ранее машине, образец дополнительно нагружается
вертикальной составляющей Р инерционных сил неуравновешенных масс S.
Нормальные и касательные напряжения при этом изменяются синфазно
по симметричным циклам.
Наложение этих напряжений на первоначально созданные постоянные
во времени напряжения и дает асимметричные циклы изменения нормальных
и касательных напряжений с одинаковым коэффициентом асимметрии цикла г.
Расчеты на прочность при неодноосных напряженных состояниях
707
В этом случае напряженное состояние образца двухосное смешанное неодно-
родное.
Если суппорты 10 смещены по вертикали на различные величины hi > Л2,
как это показано на фиг. 497, то траверса 4 сместится и повернется вокруг
оси рычага 3. При помощи регулировочных гаек 12 ось 6 возвращается
в свое первоначальное положение, определяемое фиксаторами 11. При этом
траверса 4 займет некоторое положение, определяемое углами р и 7. Именно
это положение рычага 5, траверсы и рессор 9 изображено на чертеже сплош-
ными линиями.
Фиг. 498. Общий вид машины для испытания цилиндрических
образцов в условиях совместного изгиба и кручения (напряжения
а и т изменяются синфазно по асимметричным циклам).
Зная углы р и 7, можно вычислить постоянные напряжения циклов
нормальных и касательных напряжений. Переменные напряжения циклов
создаются так, как это было указано выше. В рассматриваемом случае (при
hi > h2) нормальные и касательные напряжения изменяются синфазно
по асимметричным циклам с различными коэффициентами г.
Машина, схема которой изображена на фиг. 494, была использована
Гафом и Поллэрдом [137], [138] для проведения обширного эксперименталь-
ного исследования усталостной прочности образцов, нормальные и касатель-
ные напряжения в которых изменялись синфазно по симметричному циклу.
Испытанию подвергались образцы малоуглеродистой и различных леги-
рованных сталей, кремнистого, хромомолибденового, хромоникелевого
и хромомеднистого чугунов. Часть результатов этих испытаний представлена
на фиг. 499—501, где в координатах а и т нанесены точки, соответствующие
предельным напряженным состояниям.
Как следует из фиг. 499 и 500, экспериментально полученные точки для
сталей весьма близки к эллипсу, построенному на фиг. 499 и 500 по уравнению
а для чугунов — к эллипсу, построенному на фиг. 499—501 по уравнению*

’)+vH2
+ <52>
45*
708
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Фиг. 499. Результаты испытаний
образцов малоуглеродистой ста-
ли, нормальные и касательные
напряжения в которых изменя-
лись синфазно по симметрич-
ным циклам [137].
Фиг. 500. Результаты испытаний образцов легированной стали,
нормальные и касательные напряжения в которых изменялись
синфазно по симметричным циклам (137].
Фиг. 501. Результаты испы-
таний образцов хромомеднис-
того чугуна, нормальные и
касательные напряжения в
которых изменялись синфаз-
но по симметричным циклам
[137].
Расчеты на прочность при неодноосных напряженных состояниях
709
В формулах (51) и (52) aL и т£ — предельные значения максимальных
нормальных и касательных напряжений, a и т_х — пределы выносли-
вости при симметричном цикле соответственно для изгиба и кручения.
Эллиптическая зависимость (51) была подтверждена опытами
Г. В. Ужика [115]. Им испытывались образцы хромоникелевой стали Э16
после закалки и низкого отпуска. Химический состав этой стали: 0,17% С;
0,28% Si; 0,45% Мп; 1,4% Сг; 4,34% Ni; 0,32% Мо. Механические
характеристики следующие:
abz = 14 000 кг!см2\
<ssz = 11 000 кг!см2\
6 300 кг!см2\
т_х — 3 640 кг!см2.
В опытах Г. В. Ужика ци-
линдрические образцы испыты-
вались в условиях совместного
изгиба и кручения. Нормаль-
ные и касательные напряжения
изменялись синфазно по сим-
метричным циклам. Результаты
испытаний приведены на
фиг. 502.
Как уже отмечалось, резуль-
таты рассмотренных выше
экспериментальных работ были
Фиг. 502. Сопоставление результатов испытаний
с предельной кривой [уравнение (51)] по данным
Г. В. Ужика [115].
получены при синфазном изменении нормальных и касательных напряжений.
С. В. Серенсеном [88] были произведены испытания образцов конструк-
ционных сталей при совместном изгибе и кручении. Нормальные и касатель-
ные напряжения изменялись по симметричным циклам. Максимальные
величины этих напряжений были равны. Сдвиг фаз составлял Как пока-
зали результаты испытаний, сдвиг фаз не оказал заметного влияния на проч-
ность. Однако Г. В. Ужик указывает [112], что при ином отношении напря-
жений и других значениях сдвига фаз можно ожидать существенного влияния
асинфазности на усталостную прочность. Это было установлено в результате
теоретического анализа изменения во времени максимального касательного
напряжения при двухосном смешанном напряженном состоянии. Для пол-
ного решения данного вопроса необходимо проведение дальнейших экспе-
риментальных исследований усталостной прочности образцов при наименее
благоприятных величинах отношения напряжений и сдвигов фаз.
Испытания образцов, находящихся в условиях совместного изгиба
и кручения при асимметричных циклах нормальных и касательных напря-
жений, изменяющихся синфазно, были проведены Гафом и Поллэрдом [139]
на машине, схема которой представлена на фиг. 497.
Материал образцов — сталь, химический состав которой: 0,24% С;
0,20% Si; 0,57% Мп; 3,06% Ni; 1,29% Сг; 0,54% Мо; 0,25% Va; термическая
обработка образцов: нормализация при 900° С; закалка в масле при 850° С;
отпуск при 640° С.
Механические характеристики: abz = 10 000 кг/см2; as2 =9500 кг/см2\
а_т = 5900 кг/см2\ ть = 8900 кг/см2\ = 7200 кг/см2\ т_х ~ 36S0 кг/см2
(отметим, что в работе [139] не описана методика определения ъь).
Испытанию подвергались как гладкие образцы, так и образцы с кон-
центраторами напряжений. Рассмотрим подробнее результаты испытаний
гладких образцов. В табл. 97 представлена программа проведенных иссле-
дований. В ней приведены отношения — для различных значений <зт,
710
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
, Таблица 97
Программа испытаний гладких образцов, напряжения в которых изменялись
синфазно по асимметричным циклам
		Постоянное нормальное напряжение в кг/см*		
		ат = °	ат = 2680	аот = 5360
Постоянное касательное напряжение в кг/см2	о II £	00(1) (та = 0) 3,5 (19) 1,5 (20) »	0,5 (21) 1 (аа = 0)0(4)	оо(2) 1,5 (28) II	0(13)	00(3) Ш	0(14)
	о II 5	оо(7) 1,5 (29) IV	о (5)	оо(9) 3,5 (22) 1,5(23) v	0,5(24) V	0(15)	00(11) VI	о 16)
	о о со II 5	оо(8) VII	0(6)	оо(10) VIII	0(17)	(12) со 3,5 (25) 1,5 (26) IY	0,5(27) IX	0(18)
прикоторых проводились опыты. Римскими цифрами обозначены серии опытов
при определенных атт и различных отношениях. Цифры в круглых
скобках соответствуют номерам опытов при имевших место отношениях .
На фиг. 503 и 504 в координатах <за и та нанесены точки, соответствующие
предельным напряженным состояниям. Каждая точка получена в результате
обработки серии опытов по методу наименьших квадратов. На этих же фигу-
рах представлены эллипсы [уравнение (51)], проведенные через экспери-
ментально полученные точки, лежащие на осях координат. Эллипс для серии I
соответствует уравнению (51). Как следует из фиг. 503 и 504, экспериментально
полученные точки располагаются достаточно близко к эллипсам.
Испытания с концентраторами напряжений показали, что опытные точки
располагаются ближе к эллипсам, построенным по уравнению (52). Анало-
гичные результаты получены в опытах Г. В. Ужика, проведенных при сим-
метричных циклах изменения нормальных и касательных напряжений [115].
Перейдем к выводу формул для определения коэффициента запаса в случае
двухосного смешанного напряженного состояния на основе зависимостей (51)
и (52), полученных при симметричных циклах. Для этого заметим, что коор-
динаты точек с и С (фиг. 505), изображающих рабочее и подобное ему
предельное напряженное состояние, связаны соотношениями
,	°L = nb°a> ^L = nbxa-
Подставляя эти величины в уравнение (51), получим
+	= 1.	(53)
Расчеты на прочность при неодноосных напряженных состояниях
711
Фиг. 503. Результаты испытаний образцов хромоникелевой стали,
нормальные и касательные напряжения в которых изменялись
синфазно по асимметричным циклам (I, V, IX серии) [139].
Фиг. 504. Результаты испытаний образцов хромоникелевой стали,
нормальные и касательные напряжения в которых изменялись
синфазно по асимметричным циклам (I, II, IV серии) [139].
712
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Как известно, двухосное смешанное напряженное состояние (фиг. 506, а)
может быть представлено как результат наложения чистого сдвига (фиг. 506, б)
и одноосного растяжения (сжатия) (фиг. *506, в).
Фиг. 505. К выводу формулы для определения коэффициента
запаса при двухосном смешанном напряженном состоянии.
Определим коэффициент запаса по разрушению для нормальных напряже-
ний
ПЬ,=^,	(54)
и коэффициент запаса по разрушению для касательных напряжений
(55)
Коэффициенты запаса пь9 и пьх соответствуют одноосному растяжению
(точка в) или чистому сдвигу (точка 6).
Разделим числитель и знаменатель первого слагаемого выражения (51)
на <за> а числитель и знаменатель второго
Фиг. 506. Двухосное смешанное напряженное
состояние как результат наложения чистого сдвига
и одноосного растяжения.
слагаемого — на та. Учитывая
соотношения (53) — (55), полу-
чим для сталей
(56)
ИЛИ
ПЬ'ПЬт
Аналогично из выражения (52) получим для чугунов
где
Т_ 1
ПЬх = —1 •
В случае, если х = 2, что характерно для пластичных материалов (мало-
углеродистая сталь), формула (58) обращается в зависимость (56).
Расчеты на прочность при неодноосных напряженных состояниях
713
Отметим, что в случае двухосного смешанного напряженного состояния
при постоянных во времени напряжениях теория наибольших касательных
напряжений и теория «энергии формоизменения» приводят к зависимости
(57), а упрощенная теория Мора — к выражению (58). Таким образом,
соотношения (57) и (58) можно рассматривать как обобщение результатов,
полученных при постоянных .во времени напряжениях на случай напряже-
ний переменных.
С. В.Серенсен [84], [88] предложил соотношения (56) и (58), устано-
вленные для симметричного цикла изменения напряжений, распространить
на случай асимметричных циклов. В этом случае коэффициенты запаса
по разрушению для нормальных пьа и касательных пьх напряжений опре-
деляются по формулам (46) и (47).
Распространение зависимости (56) на случай асимметричных циклов
может быть проверено путем анализа цитированных выше опытов [139].
По данным, приведенным на фиг. 503 и 504, авторами вычислены коэф-
фициенты запаса по разрушению для предельных циклов. При этом исполь-
зовались схематизированные линейные диаграммы предельных напряжений
(фиг. 399 и 406) и зависимость (56). Результаты вычислений сведены в табл. 98.
Если бы действительные диаграммы предельных напряжений совпадали
со схематизированными и зависимость (56) была совершенно справедлива
для асимметричных циклов, все коэффициенты запаса, приведенные в табл. 98,
были бы равны единице. Отклонение коэффициентов запаса от единицы в мень-
шую сторону, по-видимому, объясняется в основном погрешностью, связан-
ной с использованием схематизированных диаграмм. Это подтверждается
тем, что в случаях, когда схематизированная диаграмма для определения
коэффициентов запаса не используется (опыты ЛИ и CIV, табл. 97 и 98),
они действительно оказались близкими к единице.
Таблица 98
Коэффициенты запаса по разрушению для предельных циклов, вычисленные
- по формулам (46), (47), (56)
Дочки	Серия опытов				
	I	V	IX	IV	II
А	1,00	0,90	0,78	0,89	1,10
В	1,00	0,83	0,71	0,92	0,96
С	1,00	0,82	0,72	1,05	0,82
Из рассмотрения табл. 98 следует, что наибольшая погрешность, связан-
ная в основном с использованием схематизированных линейных диаграмм,
а также зависимости (56), не превышает 30% и идет в запас прочности.
Для вычисления коэффициента запаса по текучести ns необходимо опре-
делить эквивалентное напряжение а затем воспользоваться известным
соотношением
(а экв) наиб
714 Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Наибольшее эквивалентное напр яжение для двухосного смешанного напря-
женного состояния (фиг. 507) в случае синфазного изменения а и т следует
вычислять (том I, глава VI) по формуле
.	\	_ 1 —	I 1 + vs Гг 4т2
экв/наиб 2	*	2 г max max’
где
s asd
В случае, если напряжения а и т изменяются не синфазно (фиг. 508),
необходимо, воспользовавшись зависимостью

Фиг. 507. Синфазное асимметричное
изменение нормальных и касательных
напряжений.
Фиг. 508. К определению наибольшего
эквивалентного напряжения при асиммет-
ричном асинфазном изменении нормальных
и касательных напряжений.

построить график изменения эквивалентных напряжений и при определении
коэффициента запаса ns подставить в формулу (60) наибольшее значение
эквивалентного напряжения (аэкв)наиб-
Особенного внимания заслуживает вопрос определения опасной точки
напряженной детали. В ряде случаев, встречающихся в расчетной практике,
положение опасной точки может быть выявлено только путем сравнения коэф-
фициентов запаса ряда точек,, принадлежащих наиболее напряженным обла-
стям рассчитываемой детали.
Точка, признанная наиболее опасной при статическом расчете (без
учета влияния на прочность переменности напряжений во времени), может
оказаться рядовой напряженной точкой при анализе напряженного состоя-
ния с учетом влияния переменности напряжений во времени. Указанное
обстоятельство делает расчет на прочность деталей, напряжения в которых
изменяются во времени, весьма трудоемким и требует при выполнении рас-
чета самого пристального внимания.
В.	Общий случай трехосного напряженного состояния
Существующие в настоящее время гипотезы прочности при переменных
напряжениях в основном являются обобщением теорий предельных напря-
женных состояний при напряжениях, постоянных во времени (см. том I,
главу VI). Такое обобщение является естественным, поскольку, как указы-
Расчеты на прочность при неодноосных напряженных состояниях
715
валось выше, в настоящее время можно считать установленным отсутствие
принципиального различия в процессах, подготавливающих разрушение
материала при переменных и постоянных во времени напряжениях (см. том I,
главу VI, том II, главу VIII и § 2 настоящей главы).
Однако непосредственное использование теорий предельных напряжен-
ных состояний, созданных для постоянных во времени напряжениях в слу-
чае циклически изменяющихся во времени напряжений, все же связано
со значительными трудностями.
Фиг. 509. Графики изменения во времени главных напряжений:
а — общий случай; б — три главных напряжения изменяются синфазно
по симметричным циклам.
Так, например, в общем случае переменных напряжений (см. фиг. 509, а)
не соблюдаются условия простого нагружения. Даже в том случае
(фиг. 509, б), когда главные напряжения изменяются синфазно, по симме-
тричным циклам, соотношения между главными напряжениями изменяются
во времени: максимальное напряжение становится минимальным и наоборот.
Несмотря на упомянутые трудности и ряд неясностей, за последнее время
было внесено значительное количество предложений по распространению
теорий предельных напряженных состояний при постоянных во времени
напряжениях на переменные напряжения.
Зодербергом [59], [70] было предложено обобщение гипотезы наиболь-
ших касательных напряжений, а Мариным [59], [70] — гипотезы наиболь-
ших нормальных напряжений на случай усталостного разрушения. При этом
для двухосного напряженного состояния вначале составлялось условие
прочности в площадке общего положения, а затем определялось положение
«опасной площадки». В результате выявились условия усталостной прочности.
Однако такое обобщение теорий предельных напряженных состояний
нельзя признать удачным, поскольку условие прочности следует составлять
исходя из напряженного состояния в точке, а не основываться на напря-
716
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
жениях в какой-либо площадке, проходящей через эту точку. Точно так же
нельзя согласиться с мнением о возможности развития трещины «в «опасной
площадке», поскольку, как указывалось ранее (см. § 2 настоящей главы),
трещина возникает в результате объемных изменений в структуре материала.
Кроме рассмотренных выше гипотез, Мариным [59], [70] было предло-
жено обобщение теории «энергии формоизменения» для усталостной проч-
ности. Однако, как показали исследования [59], [70], в частном случае
б"’ I
Фиг. 510. Графики изменения главных
напряжений. Наибольшее и наимень-
шее главное напряжения имеют сдвиг
фаз, равный тс.
знакопеременного изгиба и постоянного
кручения эта теория приводит к нело-
гичным результатам и противоречит экспе-
риментальным данным.
В наиболее удачной форме распро-
странение теорий предельных напряжен-
ных состояний (упрощенная теория Мора,
и теория энергии формоизменения) на
напряжения, циклически изменяющиеся
во времени, в общем случае трехосного
напряженного состояния дано в работах
С. В.Серенсена [88], [102], [103], [107].
Рассмотрим предложенное им обобщение.
При этом будем считать, что главные
напряжения изменяются по симметричным
циклам синфазно или со сдвигом фаз,,
равным тс. Ввиду того что влияние кон-
центрации напряжений, абсолютных раз-
меров деталей и механических свойств
поверхностных слоев материала деталей
при неодноосных напряженных состоя-
ниях экспериментально мало изучено,
в дальнейшем не будем касаться влияния
на прочность всех перечисленных факто-
ров.
Разберем вначале распространение
упрощенной теории Мора. Как известно
(см. том I, главу VI), эта теория проверена
экспериментально при условии, что
экстремальные главные напряжения имеют разные знаки или одно из них
равно нулю. Поэтому допустим, что максимальное и минимальное напря-
жения изменяются со сдвигом фаз, равным тс (фиг. 510).
Согласно упрощенной теории Мора, условие наступления предельного
состояния имеет вид
а1£~ va3£ = a£z>
где параметр v равен отношению предельного напряжения при растяже-
нии aLz к предельному напряжению при сжатии a£d:
Q£z
v = ——.
°Ld
Предельные напряжения при чистом сдвиге и растяжении по упрощенной
теории Мора связаны соотношением
Расчеты на прочность при неодноосных напряженных состояниях
717
откуда
__ qLz ___ ]
Поэтому условие наступления предельного состояния по упрощенной тео-
рии Мора может быть записано в следующей форме:
’11 —	— 1) °3£ = °Lz-
Распространим это условие на случай переменных напряжений, изме-
няющихся по симметричным циклам, так, .что сдвиг фаз между
циклами экстремальных напряжений равен it. Тогда получим
«1L — (7^- — 1) °3L = °-i-	(61)
Отметим, что это условие запи-
сано для наиболее неблагоприятного
сочетания главных напряжений, чему
на фиг. 510 соответствует момент
времени /*.
Выясним, каков результат
применения упрощенной теории
Мора к рассмотренному к пре-
дыдущем разделе настоящего пара-
графа двухосному смешанному на-
пряженному состоянию, возни-
кающему, например, при совместном
изгибе и кручении бруса (фиг. 511).
В^этом случае
Фиг. 511. Графики синфазного изменения
напряжений при двухосном смешанном
напряженном состоянии.
/(¥)+ч.	<62>
где aL и т£ — предельные значения нормального и касательного напря-
жений в поперечном сечении бруса. Подставляя выражения (62) в соотно-
шение (61), после преобразований получим уравнение (52):
Таким образом, для частного случая двухосного смешанного напряжен-
ного состояния упрощенная теория Мора приводит к уравнению эллипса,
установленному, как было указано ранее (см. раздел Б настоящего пара-
графа), опЪггным путем Гафом и Поллэрдом. Если = 2, получаем
т—1
уравнение эллипса (51):
1
причем = -j- а_х.
И. А. Биргером [9] была предложена гипотеза усталостной прочности,
согласно которой принималась линейная зависимость амплитуды цикла
касательного напряжения в некоторой площадке от среднего нормального
напряжения в ней. В частном случае двухосного смешанного напряженного
состояния при симметричных циклах изменения нормальных и касательных
718
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
напряжений условие прочности И. А. Биргера приводит к уравнению
эллипса (51) при условии, что
1
Рассмотрим обобщение теории «энергии формоизменения». Как известно
(см. том I, глава VI), согласно этой гипотезе условие наступления предель-
ного состояния имеет вид
У4" K°1L — °2i)2 + (®2£ — «Si)2 + (°3£ — ‘’ll)2] = aLz-
Распространим это условие на случай переменных напряжений, изме-
няющихся по симметричным циклам. Тогда получим
р44" К01*- ~ °2^2 +	~ °3^2 + <°3*- ~ O1^2J = a-i' <63)
В частном случае двухосного напряженного состояния (а3£ = 0) имеем
Y °21L + °2£ — °и°2Д = °-1-	(64>
Для двухосного смешанного напряженного состояния, полагая в фор-
муле (63) а2£ = 0 и подставляя вместо а1£ и а3£ соотношения (62), полу-
чаем уравнение эллипса (51):
причем т_х = —а_х.
Таким образом, в частном случае двухосного смешанного напряженного
состояния упрощенная гипотеза Мора и гипотеза «энергии формоизменения»
достаточно хорошо согласуются с результатами экспериментальных иссле-
дований.
В работах С. В. Серенсена [88] и И. В. Кудрявцева [48] рассматри-
вается обобщение теории «энергии формоизменения» для материалов, раз-
лично сопротивляющихся растяжению и сжатию.
Д. И. Гольцевым [18], [19] предложена гипотеза прочности при пере-
менных напряжениях, основанная на некоторых соображениях о рассеива-
нии энергии при колебаниях.
В статьях [132], [133] рассматривается двухосное напряженное состоя-
ние с симметричными циклами изменения главных напряжений в одной фазе;
Выдвигается гипотеза о том, что в предельном состоянии квадрат первого
инварианта тензора напряжений (см. том I, главу I) является линейной
функцией второго инварианта J2:
Ab = AJ2L 4”
Поскольку для двухосного напряженного состояния (а2£ = 0)
^1L — а1£ + °3£ И ^2£ = - а1£а8£>
имеем
(°1£ + а3£)2 — - ^а1£а3£ 4- В.
Расчеты на прочность при неодноосных напряженных состояниях
719
Применяя это условие к случаю одноосного напряженного состояния,
получаем В = а^_р а используя его для чистого сдвига, устанавливаем, что
А = —	• Таким образом, окончательно имеем
°1L + °3L — [(.TZr)2 — 2]	= О-1 •	(65)
В частном случае двухосного смешанного напряженного состояния,
подставляя в формулу (65) вместо а1£ и a8L соотношения (62), после преоб-
разований получаем уравнение эллипса (51).
Отметим, что при т_л = выражение, стоящее в скобках форму-
лы (65), равно — 2 = 2,. следовательно, из выражения (65) вытекает
условие гипотезы Мора для материалов, одинаково сопротивляющихся ра-
стяжению — сжатию (гипотеза максимальных касательных напряжений);
при т_1 = -^=г а_г — условие гипотезы «энергии формоизменения».
В случае асимметричных циклов С. В. Серенсеном [88] предложено
использовать соотношения (61) и (63), установленные для симметричных цик-
лов, путем приведения асимметричных циклов изменения главных напря-
жений к эквивалентным им симметричным циклам. Последние определяются
из условий равенства коэффициентов запаса эквивалентных симметричных
циклов заданным асимметричным. Обозначим предельные максимальные
напряжения эквивалентных симметричных циклов a’L, о*£, a*L. Тогда,
используя схематизированную диаграмму усталостной прочности, изобра-
женную на фиг. 399, имеем
g-i __________1_______.
О*/, (qia)l . (qim)r ’
q-l “* qte
q-l _ 1.
* (q2a)l , (q2m)z. ’
G—1	Gbz
q-l __________1_______
q3£	(q3a)L . (q3m)l ’
q-l q6z
откуда		
<£ = Ka)l +		
< = (q2a)l +		(66)
		
Рассмотрим теперь частный случай двухосного напряженного состояния,
предполагая,, что главные напряжения изменяются по пульсационным цик-
лам. Именно в таких условиях проводились испытания тонкостенных тру-
бок, результаты которых изложены в работах [148], [149].
Разберем отдельно два случая.
Первый случай. Два главных напряжения положительны:
Ыь = Ыь =	; (®2a)l = Ыь =	’ <°3a)l = (qSm)l = О-
720
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Второй случай. Одно главное напряжение положительно,
а второе отрицательно:
(’!«)£ = =
(a2fl)l = (q2m)l = 0;
поэтому, согласно формулам (66), приведенные напряжения эквивалентных
симметричных циклов равны в первом случае
а* =	( 1 +	;	а* = -<?ЛФ^)£ / j +	.	о* = О,
1L	2	\	1 <3bz J	2L	2	\	‘ <3bz )	3L ’
а во втором случае
„* __ (qimax)l ( 1 ! q—1 \ .
aiL “	2 V Gbz Г
а* = О*
* ___ (q3max)l f 1 I q—1 \
3L -	2 V^abz)'
Подставляя эти величины в формулы (61) и (63) и учитывая, что, согласно'
принятой схематизации предельной кривой усталостной прочности,
2^-1
получаем по упрощенной гипотезе Мора в первом случае
(°1т!И)£ = °о>.	(67)
а во втором случае
KmaX)£ ~	~ 1) (a3mаЛ = *о-	(68)
Аналогично по гипотезе «энергии формоизменения» в первом случае
j/"(а1тах)ь + (а2тах)1 (а1тах)х (a2max)l, = а0’
а во втором
(almax)l + (a3max)l (almax)l (a3rnax)l = a0‘	(^)
Таким образом, по гипотезе «энергии формоизменения» условия насту-
пления предельного состояния имеют одинаковый вид, в то время как по
упрощенной гипотезе Мора форма этих условий различна.
Сопоставим теперь полученные результаты с данными эксперименталь-
ных исследований тонкостенных трубок [148]. Испытаниям подвергались
тонкостенные трубки, выполненные из малоуглеродистой стали (0,20% С;
0,55% Мп). Механические характеристики материала трубок
4380кг/сл^2; (qЬ2)действ== 8800 кг!см?\ asz = 2530 кг/см?\ =2140 кг!см2\
а0 = 2580 кг!см2.
К вопросу определения коэффициента запаса
721
Трубки подвергались воздействию внутреннего давления и осевой силы,
изменяющейся синфазно с этим давлением, в результате чего возникали
пульсационные циклы изменения окружных и осевых напряжений.
На фиг. 512 представлены результаты
испытаний. Ломаная линия соответствует
упрощенной гипотезе Мора [уравнения
(67) и (68)], а дуга эллипса — гипотезе
«энергии формоизменения» [уравнения
(69) и (70)]. Как следует из фиг. 512,
гипотеза «энергии формоизменения» не-
сколько лучше согласуется с результатами
опытов, чем упрощенная гипотеза Мора.
Заметим, что в работе Марина [149]
описаны аналогичные испытания трубок,
выполненных из сплава алюминия
(4,4% Си; 1,5% Mg; 0,6% Мп). Механи-
ческие характеристики материала тру-
бок: abz =5060 кг/см2\ aS2 = 3480 кг/см2.
В результате испытаний автор приходит
к выводу, что ни одна из гипотез проч-
ности при переменных во времени напря-
жениях не подтверждается проведенными
им испытаниями.
Фиг. 512. Сопоставление результатов
испытаний тонкостенных трубок с дан-
ными гипотез прочности [148].
§ 11. К ВОПРОСУ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ЗАПАСА
А. Общие соображения
При проектировании узлов и деталей машин расчет на прочность произ-
водится обычно методом последовательных приближений. Сначала по задан-
ным техническим условиям выполняется предварительный расчет, опре-
деляются основные размеры деталей. По полученным ориентировочным дан-
ным составляется эскизный проект узла. При этом выбранные размеры окру-
гляются и изменяются в соответствии с конструктивными соображениями,
стандартами и нормалями.
Опираясь на созданный таким образом эскизный проект, производят
поверочные расчеты, назначением которых является определение коэффи-
циентов запаса в наиболее напряженных деталях узла. После оценки вычи-
сленных коэффициентов запаса вновь вносятся изменения и исправления
в чертежи и снова производятся поверочные расчеты. Непосредственное
определение размеров деталей по заданным допускаемым напряжениям
возможно лишь в простейших случаях.
Итак, доминирующей формой расчета является поверочный расчет, свя-
занный с определением коэффициентов запаса и их последующей оценкой.
Поэтому в этой главе основное внимание уделено определению коэффи-
циентов запаса.
В настоящее время в решении этой проблемы достигнуты значитель-
ные успехи [7], [29]— [31], [33], [84], [85], [87], [89], [98], [111 ],
1115].
Разработаны методы вычисления коэффициентов запаса при асимметрич-
ных циклах изменения напряжений как в случае одноосного, так и в случаях
двухосного и трехосного напряженных состояний. При этом учитываются
особенности формы и размеры, технология изготовления и реальные усло-
вия эксплуатации рассчитываемых деталей машин.
46 Пономарев 508
722
Расчеты, на прочность при напряжениях, переменных во времени
Однако многие вопросы, решение который необходимо для определения
коэффициента запаса, еще не выяснены в полной мере. Так, например,
совершенно недостаточно согласованных данных по механическим характе-
ристикам конструкционных материалов, а также по коэффициентам, опре-
деляющим усталостную прочность деталей. Недостаточно изучена усталост-
ная прочность при отрицательных <зт и особенно при трехосных напряжен-
ных состояниях. Поэтому весьма часты случаи, когда конструктор не может
найти в справочной литературе комплекса данных, в полной мере соответ-
ствующих рассчитываемой конструкции и условиям ее работы.
Вопросы оценки коэффициента запаса и выбора допускаемых напряжений
должны решаться в процессе реального проектирования с учетом конкретных
технических и экономических показателей.
Коэффициент запаса должен давать представление о степени надежности
конструкции при возможных отклонениях от расчетных условий (перегрузки,
случайные нагрузки, увеличение числа оборотов, изменение температурного
режима, а также явления, связанные с колебаниями, износом, коррозией,
неправильным монтажом и т. д. и т. п.).
Основной задачей при вычислении коэффициента запаса является опре-
деление предельного состояния с последующим вычислением предельных
нагрузок и напряжений рассчитываемой детали (узла).
Перед вычислением параметров, определяющих предельное состояние,
необходимо установить, в результате каких причин нарушаются условия
нормальной эксплуатации машины или ее узла, вследствие чего дальней-
шее использование конструкции становится невозможным (предельное состоя-
ние). К таким причинам, например, могут быть отнесены разрушение эле-
ментов конструкции, возникновение чрезмерно больших пластических дефор-
маций у отдельных деталей, полное перекрытие зазоров, предусмотренных
конструктором, и, как следствие, заедание элементов конструкции, возникно-
вение резонансных явлений и т. п.
Заметим, что в некоторых случаях машины и установки снабжаются
ограничительными приспособлениями, которые автоматически выключают
машину или подают сигнал обслуживающему персоналу о недопустимом
режиме работы. К таким ограничителям относятся, например, предохрани-
тельные клапаны, предельные регуляторы, конечные выключатели, автома-
тически срезающиеся шпильки и т. п. Вопрос о том, является ли режим,
при котором срабатывает ограничительное приспособление, предельным,
должен быть рассмотрен в каждом конкретном случае отдельно с учетом
надежности ограничительного устройства.
После установления понятия предельного состояния можно перейти
к определению параметров, характеризующих его. Применительно к рас-
четам на выносливость для этого необходимо выявление зависимости ампли-
туды циклов от среднего напряжения
% = ^(»да)	(71)
при изменении режима работы детали от эксплуатационного до предельного.
График этой зависимости (линия Л1т1/п2 на фиг. 513) характеризует форси-
ровку нагружения. Предельный цикл (точка т1 на фиг. 513) определяется
пересечением предельной кривой AFE и графика Мпцпц.
В простейших случаях уравнение (71) получается непосредственно из ус-
ловий загружения конструкции; в более сложных случаях функция (71)
определяется характером эксплуатационных нагрузок, величиной началь-
ных (монтажных) напряжений, конструктивными особенностями рассчи-
тываемого узла и рядом других факторов.
В сложных случаях загружения детали задача исследователя заклю-
чается прежде всего в изучении зависимостей двух напряжений рабочего
К вопросу определения коэффициента запаса
723
цикла <зт и <за от величины нагрузок, действующих на деталь. Эти зависи-
мости могут быть получены либо в аналитическом виде (теоретический рас-
чет), либо экспериментально, путем испытания опытной или находящейся
в эксплуатации аналогич-
ной установки.
Условие подобия циклов
и напряженных состояний
(линия Мт\ на фиг. 514)
может оказаться лишь ча-
стным случаем более об-
щей зависимости измене-
ния рабочих напряже-
ний, а отнюдь не законом,
определяющим предель-
ный цикл и предельное
напряженное состояние во
всех задачах.
Также частным случаем
является иногда исполь-
зуемое предположение,
что предельный цикл опре-
деляется пересечением ли-
нии = const (линия Мт"*
на фиг. 514) с предельной
кривой усталостной проч-
ности (метод Союза немец-
ких инженеров). Этот ме-
тод определения предель-
Фиг. 513. К определению коэффициента запаса на основе
зависимости между напряжениями от и са, полученной
при изучении конкретных условий загружения детали:
т3 М — пусковой режим, Мтхт3 — режим при форсированной
работе.
ного цикла совершенно справедлив в случае, когда форсирование режима
является следствием нарастающих
Фиг. 514. К определению коэффициента
запаса на рснове принципа подобия (Мт\)
и в предположении постоянства среднего
напряжения цикла
колебаний (см. разбираемый ниже при-
мер 1).
Если на основании анализа условий
загружения проверяемой конструкции
удается получить зависимость (71), то
коэффициент запаса может быть опре-
делен как отношение максимальных
напряжений предельного и рабочего
циклов. Так, в случае, представленном
на фиг. 513, коэффициент запаса по
разрушению равен
____ Оа + ат1 в
П» ~ Ос + сМ ’
коэффициент запаса по текучести равен
_ОЪ + Ьт2
Пз ~~ Ос + сМ '
Иногда более правильно определять коэффициент запаса не как отноше-
ние напряжений, а как отношение предельной нагрузки к рабочей [29],
[30]. Такое определение коэффициента запаса в случае, когда напряжения
являются линейными однородными функциями нагрузки [33], совпадает
с вычислением его по напряжениям. При расчете прочно-плотного закле-
почного шва (заклепки поставлены в горячем состоянии) следует определять
46*
724 Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
коэффициент запаса как отношение усилия, способного разрушить соеди-
нение, к рабочему усилию, а не как отношение предельного напряжения
к напряжению, возникающему в теле заклепки в рабочих условиях.
Коэффициент запаса, определенный на основании сравнений напряже-
ний рабочего цикла с напряжениями предельного цикла, подобного задан-
ному, часто бывает лишен практического смысла и не отражает действитель-
ной связи напряжений в материале с основными силовыми параметрами рас-
считываемой конструкции. Определенный таким образом коэффициент запаса
иногда может дезориентировать конструктора.
Фиг. 515. Кривые выносливости АВС в полулогарифмических координатах.
Область ограниченной выносливости ABD.
Необходимо, однако, отметить, что выявление закона изменения напря-
жений часто бывает весьма сложным.
В этих случаях необходимость оценки степени надежности конструкции
заставляет прибегать к условным приемам, причем обычно сравнивают рабо-
чий цикл с подобным предельным циклом.
. Иногда представляет интерес вопрос о режиме напряженности детали
при переходе от нерабочего состояния к рабочему (пуск в ход) в связи с воз-
можным при этом перенапряжением детали (инерционные нагрузки, резо-
нанс). В некоторых случаях не исключена возможность возникновения пре-
дельного состояния при пуске в ход.
Пусковой режим представлен на фиг. 513 кривой т3М, графически изо-
бражающей зависимость переменного напряжения от среднего в период
пуска
’а = Гя(аш).	(72)
Штриховой линией /и3 kM изображен такой пусковой режим, при котором
возникает перегрузка детали.
Не всегда необходимо, чтобы детали машин работали неограниченно
долго. Иногда из условия эксплуатации машины определенно известно, что
деталь должна проработать значительно меньше чем I07 циклов. Таким
образом, в ряде отраслей машиностроения экономичнее проектировать детали
на ограниченный срок службы, так как в противном случае размеры и вес
их получаются весьма большими, между тем как долговечность детали все
равно ограничена, например явлением износа. Расчеты деталей на ограничен-
ный срок службы называются расчетами на долговечность. Долговечность
деталей может быть оценена при помощи кривой выносливости материала.
В рассматриваемом случае наибольший интерес представляет начальный
участок кривой выносливости [в полулогарифмических координатах
наклонная прямая АВ (фиг. 515, а)].
Область, ограниченная наклонной прямой АВ и прямой BD, являющейся
продолжением горизонтального участка ВС, носит название области ограни-
К вопросу определения коэффициента запаса
725
Фиг. 516. К определению коэффициента запаса
по кривой выносливости.
ценной выносливости. Чем больше эта область, тем лучше материал работает
при перегрузках. Напомним, что перегрузкой называется такое нагружение
детали или образца, при котором максимальное напряжение превышает
предел выносливости.
Область ограниченной выносливости определяется углом а наклона
начального участка прямой АВ и числом циклов NB, соответствующим
конечной точке этой прямой. Чем больше величины а и NB, тем больше
область ограниченной выносливости.
Учитывая сказанное, можно заключить, что из двух материалов с одина-
ковым пределом выносливости az, кривые выносливости которых изображены
на фиг. 515, при наличии перегру-
зок предпочтителен материал,
кривая выносливости которого
изображена на фиг. 515, б, так
как область ограниченной вынос-
ливости у него больше, чем у мате-
риала, кривая выносливости кото-
рого представлена на фиг. 515, а.
Предположим, что напряжен-
ное состояние в опасной точке
детали одноосное, а максимальное
напряжение атах. Срок службы
детали характеризуется числом
циклов N. Эксплуатационным
условиям детали соответствует
точка А на фиг. 516. Допустим, что концентрация напряжений отсут-
ствует, состояние поверхностей у детали и у образца одинаково, масштабный
эффект не учитывается. В таком случае коэффициент запаса вычисляется по
пределу ограниченной выносливости (атах)£, соответствующему заданной
долговечности N (точка В на фиг. 516):
/~ \	__ (атпах)£
\нь)огр
сттах
Возможно также вычисление коэффициента запаса по долговечности.
В таком случае необходимо по кривой выносливости (фиг. 516) определить
число циклов Nl (точка С), после которого происходит разрушение детали
при напряжении afflax. Коэффициент запаса по долговечности определяется
отношением
(73)
п
пд~ N '
(74)
Определение коэффициентов запаса, характеризующих прочность и дол-
говечность деталей машин при переменных во времени напряжениях, является
актуальным вопросом современного машиностроения, успешно разрабаты-
ваемым в СССР.
Для дальнейших исследований и уточнений в этой области необходимо
накопление новых экспериментальных данных и опыта практического приме-
нения расчетов на прочность в различных отраслях машиностроения, что
позволит еще более усовершенствовать методы расчета.
Б« Примеры определения коэффициентов запаса
Рассмотрим примеры определения коэффициентов запаса.
Пример 1. На двух двутавровых балках № 16 установлен электродвигатель постоянного
тока. Вес электродвигателя 1150 кг. Вес ротора электродвигателя Q — 400 кг. Число обо-
ротов в минуту ротора п = 1250.
726
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Определить коэффициенты запаса балок, принимая во внимание, что центр тяжести ротора
смещен от оси вала на е = 1 мм.
Механические характеристики материала балок о&2 = 4500 кг/см2\ aS2 = 2500 кг!см2\
а_!= 1850 кг!см2.
На фиг. 517 изображен общий вид установки. Электродвигатель А подвешен к балкам В,
скрепленным между собой поперечинами С при помощи скобы D. Овь вала электродвигателя
находится на уровне центров тяжести
поперечных сечений балок. Учитывая это
обстоятельство, а также то, что жесткости
рамы, образованной скрепленными бал-
ками на изгиб, в горизонтальной плоско-
сти и на кручение относительно оси х
весьма велики, можно считать данную
конструкцию системой с одной степенью
свободы. Эта система способна совершать
колебания изгиба только в вертикальной
плоскости.
На фиг. 518 представлена расчетная •
схема установки. Балки находятся под
воздействием постоянной силы, равной
"1 весу электродвигателя. Учитывая, что вес
— балок, поперечин и скобы равен примерно
J 100 кг, примем расчетную нагрузку на
балки равной Pi = 1200 кг.
При вращении ротора мотора на си-
стему действует центробежная сила
Р, = — <»2е
2 g
PfSincrt
Фиг. 518. Схема усилий, действующих
на балки (к примеру 1).
X
Фиг. 517. Электродвигатель, установленный
на двух балках (к примеру 1).
где <о = “хтг- Мсек — угловая скорость
ои
вращения ротора.
Учитывая, что жесткость системы
в горизонтальной плоскости велика, при-
нимаем во внимание только вертикальную
проекцию центробежной силы, равную
Р% sin ш t, которая и указана на схеме
(фиг. 518).,
система балка — электродвигатель совер-
Под действием возмущающей силы Ргэш ш t
шает вынужденные колебания в вертикальной плоскости.
Амплитуда вынужденных колебаний а, отсчитанная от положения статического равнове-
сия без учета сопротивлений, равна (см. главу IV)
g
1 ’
g I
а =
где в рассматриваемом случае
/з _	2003	_	1
48EJ ~~ 48-2• 106*2260 — 27 100 СМ/Кг
&п —
К вопросу определения коэффициента запаса
727
представляет собой прогиб от единичной нагрузки, приложенной в середине балки;
Е~ 2*10б кг/см2 — модуль упругости материала балки;
J = 2- ИЗО = 2260 см*— момент инерции двух балок, изгибаемых совместно.
Подставляя все эти данные в приведенные выше выражения для амплитуды, получим зави-
симость амплитуды а от частоты вынужденных колебаний со:
400*0,1 z 2
27 100-981 "	_	“2
а ~ I .	1200	, I — 1665 000 — 29,9ш21 *
,	1-------------— О)2
I 27 100-981 I
Частота свободных колебаний системы равна
/“ 1	-1/27 100-981	1/1О 17
Р = 1/ -------рх= У 1200 ~= 149 i/CeK-
И 8ц g
Частота вынужденных колебаний при нормальном числе ‘оборотов в минуту п = 1250
Наибольшее напряжение в опас-
ном сечении балок
°тах — ^сш + <3дин= Gem 1 +	>
где <зст — напряжение, соответствую-
щее статической, a — динамиче-
ской нагрузке.
Л/
4	1200-200	...	, .
° ст =	= 4-282  = 212 кг/см2;
в этом выражении W=2-141—282 см3
— осевой момент сопротивления
для двух балок, работающих совме-
стно, а ЪСт — статический прогиб,
соответствующий силе Pi;
hm = 8uPj =	= 0,0443 'см.
Фиг. 519. Наибольшие напряжения в опасном
сечении балок в зависимости от числа оборотов
ротора электродвигателя (к примеру 1).
На фиг. 519 представлена зависимость наибольших напряжений отах от числа оборотов
ротора, построенная по приведенным выше формулам. Из рассмотрения фиг. 519 следует, что
при увеличении числа оборотов ротора свыше 1200 об/мин напряжения резко нарастают.
При нормальном числе оборотов п = 1250 об/мин наибольшее напряжение равно
°тах= 750 кг!см2.
На фиг. 520 изображена схематизированная диаграмма усталостной прочности балок.
При построении диаграммы концентрация напряжений масштабный эффект и состояние
поверхностных слоев материала учтены снижением предела выносливости, определенного при
испытании нормальных образцов и равного 1850 кг/см2, до величины о_г = 1000 кг/см2.
Рабочий цикл наиболее напряженных точек рассчитываемых балок представлен точкой К.
При изменении числа оборотов ротора постоянная составляющая цикла остается неизменной
и равной о,п=212 кг/см2\ переменная составляющая цикла может быть получена согласно
данным фиг. 519 и 520:
Qa — amax
Переменная составляющая нарастает с увеличением числа оборотов ротора.
Из всего сказанного следует, что уравнение (71) на диаграмме (фиг. 520) выражается пря-
мой ЛЛ1/(2.
Точка /Ci соответствует циклу, при котором коэффициент запаса по разрушению пь = 1;
точка К2 — циклу, при котором ns= 1.
Определим теперь коэффициенты запаса при нормальном числе оборотов в минуту ротора,
равном п — 1250 (точка Л).
728
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Наибольшее напряжение, соответствующее точке Кг (фиг. 519), (omax)i = 1 YKFj&Icm*.
Коэффициент запаса по разрушению
Наибольшее напряжение, соответствующее точке К 2 (фиг. 519), (отах)2 = 2500 кг/см2.
Коэффициент запаса по текучести
__2500__33
s~ 750
Фиг. 520. Схематизированная диаграмма усталостной прочности балок
(к примеру 1).
Из рассмотрения фиг. 519 и 520 следует, что при повышении числа оборотов от 1250
до 1312 (менее, чем на 5%) наибольшее напряжение увеличивается более чем на 50%,
а коэффициент запаса соответственно уменьшается более чем в 1,5 раза.
Пример 2. Вал А с маховиком В (фиг. 521) соединен с валом С посредством пружины £,
отогнутые края которой опираются на радиальные цапфы Н, укрепленные в валах Л и С.
Во избежание перекоса пружины на валах врезаны специальные подкладные шпонки G.
Пружина Е служит для смягчения толчков при пуске установки в ход.
Угловые скорости маховика в период пуска нарастают согласно уравнению
(ОБЩ2—,
где	(av — угловая скорость маховика через t сек. после включения
установки;
тш ти-1000
ш = -эд- = —эд— =105 Мсек — угловая скорость, соответствующая числу оборотов
в минуту п = 1000 маховика, устанавливающемуся
в конце периода пуска;
Т = 1 сек. — продолжительность периода пуска.
Остановка совершается путем плавного одновременного торможения как маховика, так
и вала С. Пуск и остановка осуществляются многократно.
Размеры элементов установки указаны на чертеже (фиг.' 521). Вес маховика Q = 9,81 кг.
Материал пружины — закаленная сталь 60С2, механические характеристики которой:
0^2 = 12 000 кг/см2\ csZ = 8000 кг/см\ о_х = 5000 кг/см2\ & 7000 кг/см2\ ts= 4700 кг/см2\
= 3000 кг/см2-, '<s =	= 0,70.
Определить коэффицент запаса, с которым рассчитана пружина.
Вычислим величину наибольшего пускового момента, передаваемого пружиной. Для этого
определим закон изменения угловых ускорений. Угловые ускорения 0 равны
it	Tzt
6 = ~di~ = ~Zf " Si” ~f *
К вопросу определения коэффициента запаса
729
Наибольшее угловое ускорение может быть подсчитано по формуле
“max	2у5
Наибольший пусковой момент Л4тах равен
. ,	, Л	, 7ССО Л __ _ Я * 105	.
^тах = 7/п^тах =	== 0,780	==129 кгсм,
где
r Q D2 9,81 252
Jrn = -у- -g- = -ggj-----g-.= 0,780 кг см сек2
момент инерции массы маховика;
диаметр маховика D = 25 см.
Фиг. 521. Схема пускового устройства (к примеру 2).
Усилия, действующие на пружину при пуске (см. схему на фиг. 522), определяются выра-
жением
г» Мтах 129 а
p=7F-=-2j-=51’6Ke’
2
где d — 50 мм — средний диаметр витков пружины.
Переходим к определению внутренних суммарных силовых факторов и напряжений,
возникающих в поперечных сечениях витков пружины.
Сечение* I (фиг. 521).
В поперечном сечении / витка пружины возникают изгибающий и крутящий моменты х.
Учитывая, что угол подъема витков невелик, можно считать, что изгибающий момент, возни-
кающий в плоскости витка, равен наибольшему пусковому моменту:	= Л4тах = 129 кгсм.
Крутящий момент равен (см. фиг. 521 и 522)
Л/r	П / * I А 1 Ь \ KI a ( °»8 I 1 I °>3\ ЛЛ сх
Мкр — Р ^*4" + -2- +~2~J = SI,3 —h — + -g-J — 44,0 кгсм,
где t — 8 мм — шаг пружины;
Д = 10 мм — диаметр цапфы Н;
b — 3 мм — толщина витка.
. 1 Расчет подобной пружины выполнен в монографии С. Д. Пономарева «Расчет и констру-
ирование витых пружин», ОНТИ, 1938 (глава V, стр. 151).
730
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Рассмотрим напряженное состояние точек К и L в сечениях / витка пружины (фиг. 521).
При подсчете напряжений кривизной витков пренебрегаем. Как показывает расчет, точки L
и V являются более напряженными, чем точка К. В поперечных сечениях витка в точках L
и N возникают нормальные напряжения растяжения. Учитывая, что материал пружины лучше
сопротивляется сжатию, чем растяжению, а за счет кривизны в точках L и N нормальные
напряжения несколько меньше, чем подсчитанные по приведенным выще формулам, заключаем,
что принятое упрощение расчета идет в запас прочности.
В точке К, в поперечном сечении витка, нормальное напряжение не возникает; касатель-
ное напряжение равно
Т = ajib2 = 0,272-1-0,32 = 1800 Kz!cMi’
где aj = 0,272 — коэффициент, зависящий от отношения высоты витка h = 10 мм
к его толщине b = 3 мм (том I, глава VIII).
Эквивалентное напряжение по упрощенной
Фиг. 522. Расчетная схема пружины
(к примеру 2).
Касательное напряжение в той
теории начала текучести (том I, глава VI) равно
а9Кв = (1 + vs) т = (1 + 0,70) 1800 = 3060 кг{см2.
Коэффициент запаса по текучести
Qsz 8000 о „
П* =	= ОПАЛ = 2’6*
®экв 3060
Нормальное напряжение в поперечном сечении
в точке L вычисляется по известной формуле
М 199
° = -W = o-W = 2580 ^2’
bh2	0,3’12	Л ЛГЛП 3
где Wx — —х— = —ъ— = '0,0500 см? — момент
6	6
сопротивления относительно оси х.
же точке
44,0	о
” а2Д&2 “ 0,362-1'0,32 ~	’
h
где а2 = 0,362 — коэффициент, зависящий от отношения (том I, глава VIII).
Эквивалентное напряжение определяется по известной (том I, глава VI) формуле
= Цр о + Цр V»2 + 4г2 = 1 ~20’70 2580 +
+ 1 Ч'2°’70 V25802 + 4-13502 = 3560 кг/см2.
Коэффициент запаса по текучести
ns
qsz
экв
_ 8000 _
“ 3560 “
Сечение II (фиг. 521)
В поперечном сечении II витка пружины возникают изгибающие моменты в двух плоско-
стях. Изгибающий момент в плоскости витка по-прежнему равен Mzr = Л1тах = 129 кгем.
Изгибающий момент в плоскости zx равен
ЛЛ П ( t I Д , Ь \ С1 о /0,8 . 1 , 0,3\ лл п
Мгх = Р W + -Т+ т)= 51,6 (т + т + т)= 44,0 кгсЛ<-
Наиболее напряженной является точка V. Нормальное напряжение в поперечном сечении
в точке N равно
М2Г 1	129	,	44,0 -С1А , о
° _ “гГ "И “ 0,0500 + 0,0150 - 5510 кг,с>л '
где Wx = 0,0500 см3;
hb3 = 1-0,32
6 —	6
= 0,0150 см3.
К вопросу определения коэффициента запаса
731
Коэффициент запаса по текучести
_®sz__8000__
s“ а “5510-"
1,5.
Определим коэффициенты запаса по разрушению с учетом переменности напряжений во вре-
мени (многократные включения и выключения).
Напряжения в пружине изменяются по пульсационному циклу (от нуля до наибольшей
величины).
Напряжения могут принимать значения больше расчетных в случае уменьшения продол-
жительности пускового периода (при Т < 1 сек.). На фиг. 523 представлена зависимость
наибольшего нормального напряжения в точ-
ке ДО сечения II от продолжительности пускового
периода Т. Точка А на кривой соответствует
рабочим условиям (Т — 1 сек.). При уменьше-
нии периода пуска напряжения резко возра-
стают, однако цикл их изменения остается пуль-
сационным.
Итак, в данном случае вычисление коэффи-
циентов запаса должно быть произведено путем
•сравнения напряжений рабочего цикла
(Т = 1 сек.) с напряжениями подобных пре-
дельных циклов (Т < 1 сек.).
Учитывая, что пружина после термической
•обработки обдута дробью, в результате чего
предел выносливости повысился на 20%, при-
нимаем величину фактора поверхности как при
кручении, так и при изгибе = 1,2.
Масштабный фактор и эффективный коэф-
фициент концентрации напряжений равны еди-
нице.
Сечение /
Коэффициент запаса по разрушению в точ-
ке К определяем на основании следующих данных: о=0; тт=900 кг/см2', та = 900 кг/см2.
Согласно формуле (47) коэффициент запаса по разрушению
1	_______!________= 26
900	900
1,2-3000 + 7000
6000
4000
2000
б
кг/см2
0,4	0,8	1,2	1.6 Т сек
Фиг. 523. Зависимость наибольшего
напряжения в опасном сечении пружины
от продолжительности периода пуска Т
(к примеру 2).
еп£м^—1

О
Коэффициент запаса по разрушению в точке L определяем, учитывая, что — 1290 кг!см2
<за ~ 1290 кг/см2-, хщ = 675 кг{см2\ та = 675 кг!см2.
Коэффициент запаса nb(S равен [формула (46)]
= k_^a	<3m	=	1290	.	Г29б~	= 3’10'
е„еЛ,а_1+	<зьг 1,2-5000	'	12 000
Коэффициент запаса пЬх определяем по формуле (47):
= k-^a	Vх 675	675 = 3’52’
' Ч 1,2-3000	7000
Коэффициент запаса по разрушению [формула (57)]
пЬаПЬх	3,10-3,52
Л Л	__________' /-  	-—•  
+	V3,10* + 3,52*
С е ч е н ие II
В точке N цикл напряжений характеризуется величинами ат— 2760 кг!см2\
<уа= 2760 кг/см2 (напряженное состояние одноосное).
Коэффициент запаса по разрушению
__ 1 _ 1 _ 1 ,
”6 ~ fe_!ga	2760	2760
1,2-5000	12 000
732
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Итак, опасной точкой является точка Af сечения II. Коэффициенты запаса ns и пь оказа-
лись равными, что часто имеет место при циклах, близких к пульсационному (точка F
на фиг. 399).
Пример 3. Проверить на прочность вал А червячной передачи редуктора (фиг. 524) уста-
новки для испытания материалов при трехосных напряженных состояниях. Подробное описа-
ние установки дано в работе [52]. На одном валу с червячным колесом сидит кривошип В,
соединенный шатуном С с кривошипом D, совершающим качательное движение. Втулка кри-
вошипа D связана с валом Е при помощи контрольной шпильки G.
Фиг. 524. Схема передачи от электродвигателя к вращающемуся плунжеру
гидрокомпрессора (к примеру 3).
Вал Е приводит во вращательное движение плунжер (на чертеже не указан).
Момент сил трения в сальнике можно считать постоянным и равным Мтр = 16000 кгсм.
В случае захвата (заедания плунжера) и повышения момента трения выше указанного предела
контрольная шпилька G срезается и передача выключается.
Вал А выполнен из конструкционной стали 40ХН, закален в масле при температуре 830—
840° С, отпущен при температуре 500° С.
Механические характеристики материала вала 6^= 9000 кг/см2} gsz = 7500 кг/см2}
о—= 4000 кг/см2}	= 5000 кг/см2} xs = 3900 кг/см2} т_х = 2400 кг/см2}	= 0,92.
®sd
Размеры вала и конструктивные параметры передачи приведены на фиг. 524.
На фиг. 525 изображена кривая, представляющая зависимость моментов Мк на червячном
колесе от угла поворота колеса при условии постоянства момента на валу Е.
Для вычисления моментов на колесе были вычерчены схемы механизма, приводящего
в движение вал Е, в нескольких положениях, а затем определены усилия на шатуне С и моменты
на червячном колесе.
Из рассмотрения приведенной зависимости следует, что моменты Мк изменяются по пуль-
сационному циклу, причем наибольшее значение (Мк)тах =7100 кгсм.
Вычислим наибольшие усилия, действующие в червячной передаче (см. схему на фиг. 526).
Окружное усилие на колесе (оно же осевое усилие на червячном валу)
рк = <Мд)тах = .ДМ = 1010 кг
2
К вопросу определения коэффициента запаса
733
Момент на червячном валу
..	(Я) max 7100
м“ =	= TWO = 725 кгсм>
где i — передаточное число, равное отношению числа зубьев z колеса к числу а параллельно
идущих витков резьбы червяка А;
• г	28	м
а	2
Фиг. 525. Эпюры изменения моментов на колесе (а) и напряжений в сечениях
вала червяка (б) (к примеру 3).
ч)	— коэффициент полезного действия червячной передачи, зависящий от угла подъема витков
резьбы червяка а = 14° и угла трения = 6° (сталь по бронзе);
„ _ tg а — 0,249 п 70
tg (а + ?)	0,364
Окружное усилие на червячном валу (оно же осевое усилие на валу колеса)
Рч
Мч
2
725
2
= 363 кг.
Радиальное усилие *
R & 0,4РЛ = 0,4-1010 = 404 кг.
После определения усилий, действующих на вал червяка, выясняем величину и направле-
ние опорных реакций (см. схему на фиг. 526), а затем строим эторы внутренних суммарных
силовых факторов, возникающих в поперечных сечениях вала.
На фиг. 526 представлены эпюры изгибающих моментов M.zy и M.zx в плоскостях zy и zx,
эпюра полных изгибающих моментов Мизг, эпюра крутящих моментов Мкр и эпюра нормаль-
ных сил N. На эпюрах указаны значения внутренних силовых факторов во всех сечениях, под-
лежащих проверке.
Определим номинальные напряжения в сечениях вала и коэффициенты -запаса по теку-
чести. Проверке подлежат четыре сечения, помеченные на фиг. 524 цифрами /, II, III, IV.
Сечение I
Нормальное напряжение
а=^ = ^-=1310кг/^(
* См., например, В. А. Добровольский, Детали машин, ГИТЛУ, 1951.
734
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
где осевой момент сопротивления равен
uD?
W =	= 0,1 • З3 = 2,70 см3.
Касательное напряжение
Мкр ___ 725 ___. л 2
т —	— -g-jg- — 134 кг/см ,
где полярный момент сопротивления Wp = 2W = 5,40 см3.
Фиг. 526. Схема усилий, действующих на вал червяка и эпюры
внутренних суммарных силовых факторов (к примеру 3).
Эквивалентное напряжение по упрощенной теории начала текучести (том I, глава VJ)
экв = а + Цр- = 1^-2 1310 +
4- Ц~-0,9- У1310“ -4- 4 • 1342 = 1340 кг/см?.
Коэффициент запаса по текучести
g sz 7500	_
ns = —— = тхтл = 5’6-
&экв 1340
Сечение //
Нормальное напряжение
Мизг
W
=4^-=965 кг/™2.
а
где осевой момент сопротир^тения
"32“
= 0,1-2,83 = 2,20 см3.
Касательное напряжение
Мкр
795
где полярный момент сопротивления Wp = 2W = 4,40 см3.
К вопросу определения коэффициента запаса
735
Эквивалентное напряжение
1 — V- 1 + vs ,/•<,. А 9	1 — 0,92 п__ .
аахв= —а + —У а2 + 4т2 =--------------^2—965 +
' + 1-~l?2°’92 V9652 + 4-1652 = 1020 кг/см2.
Коэффициент запаса по текучести
п —	=7500 —71
s ° экв Ю20
Сечение ///
Нормальное напряжение
где осевой момент сопротивления
TtDi
W =	= 0,1 -2,53 = 1,56 см3.
Касательное напряжение
Мкр 725 = кг/см2,
Wp 3,12	'
где полярный момент сопротивления Wp = 2W = 3,12 см3.
Эквивалентное напряжение
С = а + V = Ц^-2 227 +
,L±Q’?Jу227а + 4-2322 = 506 кг/см2.
Коэффициент запаса по текучести
ns =
qs^ 7500 _
& же	506
Сечение IV
В этом сечении нормальные напряжения отсутствуют. Касательные напряжения
т = = °* 262 кг/см2>
где полярный момент сопротивления
«7)3
Wp = —-+ = 0,2-2,4s = 2,76 см3.
И . 16
Эквивалентное напряжение (см. том I, главу VI)
аэкв = (1 -|- \s) т = (1 -|- 0,92) 262 = 505 кг!см2.
Коэффициент запаса по текучести
п — asz — 7500 — 15
s ~ ° же ~ 505 “
Перейдем к определению коэффициентов запаса по разрушению. На фиг. 525 представлены
циклы нормальных и касательных напряжений в поперечных сечениях червячного вала.
Из рассмотрения кривых следует, что нормальные напряжения изменяются по симметричному
циклу, а касательные по пульсационному.
За время одного оборота червячного вала момент на колесе, а следовательно, и на чер-
вячном валу можно считать неизменным.
736
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в поперечных сечениях вала чер-
вяка, соответствуют наибольшие касательные напряжения, что подтверждает правильность
выполненных ранее определений эквивалентных напряжений.
Найдем эффективные коэффициенты концентрации напряжений, учтем масштабный
эффект и состояние поверхностных слоев вала червяка.
Сечение/
Учитывая снижение прочности вала резьбой, принимаем эффективный коэффициент кон-
центрации при изгибе k_х да 1,5, а при кручении х да* 1,3. Масштабный фактор согласно
фиг. 484, учитывая, что предел прочности abz — 9000 кг!см2 и Di = 30 мм, принимаем равным
еж== 0,84.
Поверхность вала шлифованная, поэтому фактор поверхности ел = 1.
Сечение//
Влияние галтели (см. фиг. 524) на прочность при изгибе оцениваем, согласно фиг. 430
и 431, эффективным коэффициентом концентрации х = 1,31, влияние галтели на прочность
при кручении в соответствии с фиг. 432 и 433 — эффективным коэффициентом концентрации
k_r = 1,15. Масштабный фактор для диаметра 28 мм принимаем по фиг. 484 равным ем = 0,85.
Поверхность вала обработана резцом, поэтому принимаем ел = 0,90 (см. фиг. 448).
Сечение ///
Влияние галтели (см. фиг. 524) на прочность при изгибе оцениваем, согласно фиг. 430
и 431, эффективным коэффициентом концентрации k_х = 1,37, влияние галтели на прочность
при кручении, согласно фиг. 432 и 433, — эффективным коэффициентом концентрации
х = 1,15. Масштабный фактор, согласно фиг. 484, для диаметра 25 мм принимаем равным
= 0,88.
Поверхность вала шлифованная, поэтому ел = 1.
Сечение IV
Влияние шпоночной канавки на прочность при кручении оцениваем по табл. 78 (см. также
фиг. 445). Учитывая, что диаметр рассчитываемого вала /)4 = 24 мм и что шпоночная канавка
(фиг. 524) имеет размеры, близкие к размерам, указанным на чертеже фиг. 445, принимаем
= 2,3.
Масштабный фактор, согласно фиг. 484, выбираем равным &м — 0,88. Поверхность вала
и шпоночной канавки обработана без применения шлифования, поэтому принимаем (фиг. 448)
ел = 0,90.
Для определения коэффициентов запаса по разрушению пь используем формулы (46),
(47) и (57).
Сечение /
В соответствии со сказанным выше имеем: = 0; оа = 1310 кг/см2\ k_r = 1,5; ем — 0,84;
ел =1;	— 67 кг/см2'; та — 67 кг/см2; k_r = 1,3; ьм = 0,84; ел — 1.
Коэффициент запаса пЬа равен
1	0,84-4000
k-^g ,	1,5-1310	’
eneAia—1 "f” abz
Коэффициент запаса nbx равен
1 _ 1
k_^a ,	~	1,3-67	, 67
ene^-i	0,84-2400 + 5000
Коэффициент запаса по разрушению
__ ПЬаПЪъ __________	1,71 * 17,6	__ । у
т/nt + «2 “ 7WW
у OG 1 ох
Сечение //
Аналогично предыдущему: ст = 0; са = 965 кг/см2-, =1,31; £м = 0,85; ел = 0,90;
= 83 кг/см2-, та = 83 кг/см2-, k_r =1,13; ьм— 0,85; ел — 0,90.
1	_	0,9-0,85-4000
"Ьа~	fe-iOg	Cm	~	1,31-965	’
еп£л«а—1	abz
1 1	_,4S.
- fe-jTa	1,13-83	83	’ ’
Ч 0,9-0,89-2400 + 5000
«г>а«6т	2,42-14,8
ПЬ ~	д_„2’	/2,422 + 14,82
У nbz • пЪх
К вопросу определения коэффициента запаса
737
Сечение III
Qm = 0; <sa = 227 кг/см2-, k_x — 1,37; ем = 0,88; ел = 1; тт = 116 кг/см2} та= 116 кг/см2;
k_ 1 = 1,15; ем = 0,88; ел = 1.
1	0,88-4000
П”° ~ fe!ga . оот “ 1,37-227 - 11’3;
епел»°—1	°bz
1 _ 1
fe-jTa	tm ~	1,15-116	116	- П’6;
e„eJKT_1+ т6 0,88-2400 Н 5000
Л&аП&г	11,3-11,6
ПЬ =-------- ...	— — ——-	— = 8,1.
+ к и.з*+ н,б*
Сечение IV
ът — 131 кг! см2;	— 131 кг/см2; k_r — 2,3;	= 0,88; £п~ 0,9.
ПЬ = k~^a I = 2,30-131	131 = 5’4'
Ьг*м1-1 -ч 0,9-0,88-2400 + 5000
В табл. 99 приведена сводка результатов
расчетов. Из таблицы следует, что опасным
сечением рассчитываемого вала является се-
чение I, для которого наименьший коэффи-
циент запаса по разрушению равен 1,7.
В заключение отметим, что наличие кон-
трольной шпильки делает невозможным уве-
личение нагрузки выше расчетной. Поэтому
в данном случае не представляется возмож-
ным говорить не только о законе изменения
напряжений при увеличении нагрузки выше
расчетной, но и вообще об увеличенных на-
грузках. В связи с этим коэффициенты
запаса были подсчитаны, как это обычно
делается, на основании условного сравнения
напряжений рабочего цикла с напряжениями
предельного подобного цикла. Такое допу-
щение оправдывается, если предположить,
что перегрузка возникла в результате за-
хвата плунжера при неправильно рассчитан-
ной контрольной шпильке (в случае, если
шпилька выполнена из чрезмерно прочного
материала или если сечение шпильки слиш-
ком велико).
Таблица 99
Сводка результатов определения
коэффициентов запаса в сечениях
вала (к примеру 3)
Сечение	ns	пь
I	5,6	1,7
II	7,4	2,4
III	15	8,1
IV	15	5,4
В. Заключение
Выше были рассмотрены три примера определения коэффициентов запаса.
В первом примере (расчет подмоторных балок) имеется возможность устано-
вления закона изменения напряжений в зависимости от условий эксплуатации
установки. Выяснено, что постоянная составляющая цикла остается неиз-
менной, переменная же составляющая изменяется с увеличением числа
оборотов электродвигателя. Циклы, при которых в балках возникают пре-
дельные напряжения, могут быть определены и коэффициенты запаса под-
считаны путем сравнения напряжений в рабочих условиях и на предель-
ном режиме работы установки.
Во втором примере (расчет пружины, соединяющей два вала), так же
как и в первом, установлен закон изменения напряжений в зависимости
от эксплуатационных условий. Выяснено, что при уменьшении времени пуска
напряжения нарастают, причем тип цикла остается неизменным. Коэффи-
циенты запаса должны вычисляться на' основании сравнения напряжений
при рабочем и подобном ему предельном циклах.
47 Пономарев 508
738
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
В третьем примере (вал червячной передачи) конструктивные особенности
рассчитываемой установки таковы, что вследствие наличия предохранитель-
ного устройства форсированный режим работы вообще невозможен. - Коэф-
фициенты запаса в этом случае могут быть подсчитаны условно лишь на
основе некоторых предположений.
Все сказанное убеждает в том, что при определении значений коэффи-
циентов запаса необходимо в каждом конкретном примере анализировать
эксплуатационные условия работы рассчитываемой установки. В случае
невозможности выявления предельного режима следуетвоспользоваться услов-
ным расчетом, например, на основе принципа подобия циклов.
§ 12. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМАХ
ИЗМЕНЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
Выше были рассмотрены расчеты на прочность при напряжениях, пере-
менных во времени, основанные на предположении, что максимальное и мини-
мальное напряжения во времени постоянны. Такой режим изменения напря-
жений называется установившимся, или стационарным.
В условиях эксплуатации машин весьма часты случаи неустановившегося,
или нестационарного изменения напряжений, когда максимальное и мини-
мальное напряжения во времени переменны.
Как было отмечено в § 3, следует различать случаи закономерного и про-
извольного изменения напряжений во времени. На фиг. 527, а показан слу-
чай произвольного изменения напряжений, а на фиг. 527, бив — слу-
чаи закономерного изменения напряжений с непрерывным (фиг. 527, б)
и ступенчатым (фиг. 527, в) изменением максимального и минимального на-
пряжений. В дальнейшем будет изложена теория определёния коэффициен-
тов запаса для частного случая закономерного и ступенчатого изменения
экстремальных напряжений.
Проведенные к настоящему времени экспериментальные исследования
позволяют вычислять коэффициент запаса в простейшем случае симметрич-
ного цикла изменения напряжений при одноосном напряженном состоянии
без учета концентрации напряжений, масштабного эффекта и состояния
поверхностных слоев материала.
Перейдем к рассмотрению частных случаев.
Первый случай. Напряжения изменяются во времени так, что
в значительном интервале максимальное напряжение постоянно и равно
атах < а-i- Периодически, через большие промежутки времени, имеет
место незначительное увеличение максимального напряжения до вели-
чины атах < а-1 (фиг. 528). В этом случае коэффициент запаса вычисляется
по формуле
атах
Таким же образом вычисляется коэффициент запаса и тогда, когда наи-
большее максимальное напряжение атах незначительно превосходит предел
выносливости и не снижает его величины (области II и IV на фиг. 477).
Второй случай.
Напряжение изменяется во времени так, что в значительном интер-
вале а^ах постоянно и несколько превышает предел выносливости. Перио-
дически, через большие промежутки времени, максимальное напряжение
незначительно увеличивается до атах (фиг. 529). В этом случае коэффициент
Расчеты на прочность при нестационарных режимах изменения напряжений 739
Фиг. 527. Произвольное (а) и закономерное (б, в) изменение
напряжений во времени.
Фиг. 528. Закон изменения максимального напряжения
во времени. Первый случай.
бтах
Время
Фиг. 529. Закон изменения максимального напряжения
во времени. Второй случай.
47*
740
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
запаса вычисляется по пределу ограниченной выносливости (атах)£, соот-
ветствующему заданной долговечности N (фиг. 530):
Фиг. 530. К определению коэффициента
запаса при нестационарных режимах измене-
ния напряжений. Второй случай.
\	__ <.umax/L
\нЪ)огр —	*	’ •
атах
Можно также вычислить коэффи-
циент запаса по долговечности:
Пд ~ N »
где Nl — число циклов, после кото-
рого происходит разрушение при
напряжении а^ах (фиг. 530).
Третий случай
Этот случай представляет собой
болеее общий вариант изменения на-
пряжений, чем рассмотренные ранее.
Напряжения изменяются во времени
так, что наибольшее максимальное
напряжение атах > а наимень-
может быть как больше, так и меньше
шее максимальное напряжение а^ах
предела выносливости. Чередование ступеней напряжений происходит
довольно часто (фиг. 531).
В этом случае определение коэффициента запаса основано на зависи-
мости (33) между отношениями общего числа циклов N'. с максимальным на-
пряжением (amax)z к
слу циклов с таким
же максимальным на-
пряжением (а тах)г, при-
водящим материал к
разрушению (величи-
на определяется по
кривой выносливости)
Фиг. 531. Закон изменения максимального напряжения
во времени. Третий случай.
где m — число различ-
ных максимальных на-
пряжений, характеризующих перегрузки за время одного периода.
Преобразуем выражение (33), используя приведенное выше уравнение (4)
кривой выносливости:
= const =
(75)
где No — число циклов, соответствующее перелому кривой выносливости
в логарифмических координатах. Умножим числитель и знаменатель выра-
жения (33) на (отах)". Тогда, используя соотношение (75), получим условие
наступления предельного состояния для рассматриваемого режима изменения
напряжений:
(76)
Расчеты на прочность при нестационарных режимах изменения напряжений 741
Очевидно, что выражение, стоящее в левой части формулы (76), является
эквивалентным напряжением а9кв, т. е. максимальным напряжением симме-
тричного цикла при стационарном режиме изменения напряжений, равно-
опасном заданному нестационарному режиму.
Прочность детали в этом случае такая же, как и при нестационарном
режиме изменения напряжений. Таким образом, в рассматриваемом случаев
п / m
°-в = 1/	(77>
w i=i
Коэффициент запаса равен
n = £z± =	,_g-i -----:.	-	(78)
Сэке пГ m
~\ S (amax)z i
1=1
Отметим, что, как уже указывалось, уравнение кривой выносливости (75)>
используемое при выводе формулы (78), справедливо лишь при напряжениях
ниже предела текучести, поэтому и формула (78) верна при условии, что
атах<а5.г- Как и в предыдущем случае, в рассматриваемом варианте неста-
ционарного режима изменения напряжений можно вычислить коэффи-
циент запаса по долговечности.
Обозначим через vz относительную длительность перегрузки с максималь-
ными напряжениями (amax)z:
/	(79)
Nобщ *
где — общее число циклов до разрушения.
Тогда из соотношений (33) и (79) получаем
m
Мобщ 2	=
Z=1
откуда
(80)
Nt
z=i
Формула (80) позволяет подсчитать число циклов, после которого происхо-
дит разрушение детали, если известны относительные длительности перегру-
зок 4t с максимальным напряжением (атах)г и числа циклов Nt, после кото-
рых происходит разрушение детали при испытанйи с напряжением (атах),-
Последние числа циклов устанавливаются по кривой выносливости.
Если из условий эксплуатации детали известно, что она должна выдержать
без разрушения N циклов, то коэффициент запаса по долговечности равен
n=2^ = _J--------------------------------------	(81)
О’	/у	m	' л
1=1
Рассматриваемый метод определения коэффициента запаса в несколько
иной форме, без использования зависимости (33), был впервые предложен
Д. Н. Решетовым (77], [78] для расчета деталей станков.
742
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени '
§ 13. КОНСТРУКТИВНАЯ ПРОЧНОСТЬ ДЕТАЛЕЙ МАШИН
Надежность и долговечность машин в эксплуатационных условиях в зна-
чительной степени зависят от усталостной прочности их деталей.
Натурные испытания на усталость и наблюдение за поведением деталей
в рабочих условиях выявили влияние формы, размеров, состояния поверх-
ностных слоев материала на прочность и долговечность деталей.
К настоящему времени наметились реальные пути повышения несущей
способности и удлинения сроков службы деталей путем проведения в жизнь
конструктивных, технологических, металлургических, эксплуатационных
и профилактических мероприятий.
Конструктивные мероприятия в основном сводятся к приданию деталям
формы, способствующей рациональному, возможно более, равномерному
распределению внутренних сил в деталях машин.
К технологическим мероприятиям' относятся: тщательная обработка
поверхности деталей; противокоррозионное их покрытие; создание в деталях
машин остаточных напряжений, которые, суммируясь с рабочими напряже-
ниями, обеспечили бы благоприятные условия для работы деталей (разгрузка
более напряженных и нагружение менее напряженных частей конструкции).
Одним из методов получения остаточных напряжений является специаль-
ная обработка поверхностных слоев с целью улучшения их усталостной проч-
ности (обкатка роликами и дробеструйная обработка).
Упомянутое выше перераспределение внутренних сил в деталях может
быть достигнуто также путем предварительного нагружения деталей за
предел текучести. При этом применяются нагрузки более высокие, чем
в эксплуатационных условиях, — автоскрепление, заневоливание (том II,
главы IX—XI).
Металлургические мероприятия сводятся к наиболее удачному выбору
материала, установлению оптимального режима термической обработки
(нормализация, закалка, отпуск, поверхностная закалка токами высокой
частоты, цементация и последующая термическая обработка), к устранению
закалочных трещин, а также к борьбе с появлением усадочных раковин
и трещин, газовых пузырей и включений (литые детали). Сюда же может
быть отнесено азотирование и цианирование поверхностных слоев материала.
К эксплуатационным мероприятиям должны быть отнесены меры защиты
ют коррозии (окраска, смазка); предохранение напряженных и ответственных
деталей от повреждений (царапины, забои при сборке и разборке, истирание);
предотвращение ненормальных перегрузок машин; обеспечение плавного
пуска в ход и остановок (см. главу I); предупреждение загрязнения рабочих
поверхностей и связанных с этим явлений увеличения износа, задиров и т. п.
Профилактическими мероприятиями являются периодические осмотры
машин, смазка трущихся деталей, замена износившихся деталей, а также
деталей, срок службы которых истек.
Современные методы Дефектоскопии позволяют выявлять детали с воз-
никшими усталостными трещинами и тем самым предотвращать их поломки
в условиях эксплуатации.
Рассмотрим несколько более подробно некоторые из перечисленных меро-
приятий и поясним вышесказанное примерами.
При конструировании валов и осей, работающих в основном на изгиб
и кручение, главными концентраторами напряжений являются галтели,
шпоночные канавки, шлицы, края деталей, посаженных на валы и оси
(шкивов, втулок, колец подшипников и т. п.), отверстия для масла.
Как было указано ранее, основным фактором, от которого зависит вели-
чина местных напряжений в окрестности галтели, является радиус закругле-
ния.. Из фиг. 430 и 432 следует, что .с увеличением радиуса закругления кон-
Конструктивная прочность деталей машин
743
центрация напряжений в сильной степени уменьшается. Однако ряд конструк-
тивных причин часто не позволяет увеличить радиус закругления.
На фиг. 532 представлен вал, радиус У? галтели которого увеличен за счет
проставочного кольца Л. В случае отсутствия такого кольца пришлось бы
выполнить 7? < г, где г — радиус закругления кольца подшипника.
Фиг. 533. Галтель с поднутрением.
Фиг. 532. Проставочное кольцо
для увеличения галтели.
На фиг. 533 показан способ уменьшения концентрации напряжений путем
выполнения закругления, входящего в выступ вала (галтель с поднутрением),
а на фиг. 534 изображена рациональная конструкция перехода от цапфы
к валу, также с поднутрением.
Еще более удачный метод смягчения перехода представлен на фиг. 535.
Заметим, что чрезмерное увеличение радиуса R может ослабить вал. Обра-
ботка резцом и особенно шлифование такой галтели представляют некоторые
трудности.
Фиг. 534. Рациональная
конструкция перехода
от цапфы к валу.
Фиг. 535. Галтель с глубоким
поднутрением.
На фиг. 536 изображена рациональная конструкция траверсы подъемного
крюка. Концентрация напряжений в месте перехода от цапф к массивной
гчасти смягчена поднутрениями.
На фиг. 537 показан весьма плавный переход от диаметра d к большему
диаметру. Подобного рода сопряжение двух частей вала почти совершенно
устраняет концентрацию напряжений, но часто конструктивно невыпол-
нимо, так как в этом случае длина переходного участка а получается весьма
большой.
Хороший результат дает переход с постепенным уменьшением радиуса
кривизны галтели (эллиптическая галтель). На фиг. 538 представлена эллип-
тическая галтель сплошного, а на фиг. 539 — полого валов. Там же указаны
оптимальные соотношения между полуосями образующего эллипса и разме-
рами валов [158]. В случае, если по конструктивным соображениям размер а
должен быть возможно меньшим (а < 0,1 d), практически трудно придать
профилю закругления желательную форму, поэтому при невозможности
закруглить галтель на длине, большей 0,1 d, применяют обыкновенную кру-
говую галтель. Если переход столь плавен, что я > d, то практически
при любой форме кривой, образующей галтель, можно считать, что концен-
744
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
трация напряжений отсутствует. Заметим, что увеличение предела выносли-
вости при замене круговой галтели эллиптической не превышает 10%.
Незначительное преимущество эллиптической галтели и технологические
трудности при ее выполнении заставляют применять такой переход только
в особо ответственных конструкциях.
Фиг. 536. Рациональная конструкция
траверсы подъемного крюка.
Фиг. 537. Галтель с большим
радиусом закругления.
При фланцевом соединении валов (фиг. 540) наибольшие местные напря-
жения возникают около галтелей Див углах В раззенковок под гайки
и головки болтов. Местные напряжения уменьшаются, если оформить этот
конструктивный узел так, как это показано на фиг. 541.
Фиг. 538. Эллиптическая галтель
на сплошном валу.
Фиг. 539. Эллиптическая галтель
на полом валу.
Экспериментальные и теоретические исследования показали, что наиболь-
шие напряжения возникают в местах резкого изменения жесткости элементов
конструкции.
Так, например, в случаях, изображенных на фиг. 542 и 543, часть вала А
менее жестка, чем часть В. Уменьшение жесткости части В, а следовательно,
и некоторое выравнивание напряжений можно достичь путем выполнения
разгружающих канавок [95]. К разгружающим канавкам прибегают в том
случае, когда по конструктивным соображениям невозможно в достаточной
степени увеличить радиусы галтелей /?.
На фиг. 544, а показана обычная конструкция вала в месте посадки на него
подшипника. На фиг. 544, б представлена улучшенная конструкция; здесь
применены входящее закругление и разгружающая канавка.
Усталостная прочность валов и осей с галтелями часто повышается путем
обдувки дробью или обкатки галтели роликами. Галтели, представленные
на фиг. 532, 537—539, 541—543 и 544, а, могут быть обкатаны или обдуты.
Конструктивная прочность деталей машин
74&
Галтели валов и осей, изображенных на фиг. 533—535 и 544, б, могут быть
упрочнены только обдувкой. Напомним, что прочность при обдувке иногда
увеличивается даже в том случае, если форма и размеры концентратора
не позволяют дроби проникать в глубь канавки (фиг. 544, б).
Хороший результат может дать шлифование обкатанных или обдутых
деталей в случае, если снимаемый при шлифовании слой весьма мал и если,
применяется мелкозернистый шлифовальный круг.
Фиг. 540. Фланцевое соединение
валов.
Фиг. 541. Улучшенная конструкция
фланцевого соединения валов.
На фиг. 545 представлено сечение вала со шпоночной канавкой. Местные
напряжения в сильной степени зависят от величины радиуса закругления R.
Однако в нормалях на шпоночные канавки эти радиусы не предусмотрены.
При конструировании валов, работающих при высоких напряжениях, пере-
менных во времени, необходимо закруглить входящие углы шпоночной
канавки [56].
Фиг. 542. Уменьшение местных на-
пряжений при помощи разгружающей
канавки.
Фиг. 543. Разгружающие канавки около
выточки на валу.
Шпоночные канавки (фиг. 546), полученные путем продольного фрезерова-
ния (фреза радиуса /?), с точки зрения распределения напряжений в окрест-
ности конца канавки следует считать более рациональными, чем канавки
(фиг. 547), полученные путем фрезерования торцовой фрезой (острый входя-
щий угол Д).
На фиг. 548 изображена рациональная конструкция шпоночной канавки,
со скругленными радиусом k углами и шпонка специальной формы со сня-
тыми фасками. '	*
На фиг. 549 показано неудачное сочетание шпоночной канавки и галтели,
приведшее к образованию усталостной трещины А [156].
На фиг. 550 представлено сечение вала со шпоночной канавкой и со сверле-
нием для винта, крепящего шпонку. Концентрация напряжений в окрест-
ности сверления послужила причиной усталостного разрушения.
Шлицевое соединение является более рациональным, чем шпоночное.
Оно должно применяться во всех ответственных случаях соединений.
Испытания на усталость показали, что вал, изображенный на фиг. 551, а,.
менее прочен, чем вал, представленный на фиг. 551, б. Это объясняется тем,,
что в случае, приведенном на фиг. 551, б, почти отсутствует концентрация
напряжений в месте перехода от шлицев к валу. Конструкция шлицевого*
соединения, согласно фиг. 551, в, при условии правильного подбора
746
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
размеров d и обеспечивает равнопрочность вала в сечениях, близких
к шлицам и удаленных от них.
Профиль боковой поверхности выступов в сильной степени влияет на проч-
ность шлицевого соединения. Усталостные испытания показали, что шлице-
вое соединение с прямыми шлицами (фиг. 552, а) при прочих равных условиях
©двое менее прочно, чем соединение с эврльвентными выступами (фиг. 552, б).
Фиг. 544. Обычная (а) конструк-	Фиг. 545. Шпоночная
ция вала в месте напрессовки под-	канавка на валу,
шипника и улучшенная (б) кон-
струкция (галтель с поднутрением
и разгружающая канавка).
Для устранения концентрации напряжений, создаваемой шпоночными
^канавками и шлицевыми пазами в некоторых случаях [141 ], в местах посадок
на валы деталей, сечению вала придается специальная многоугольная
форма х. На фиг. 553 представлено сечение вала треугольного профиля.
В табл. 100 приведены рекомендуемые в литературе размеры для валов этого
типа [141 ]. Валы многоугольного профиля и втулки к ним могут быть изго-
Фиг. 546. Шпоночная канавка,
полученная путем продольного
фрезерования.
Фиг. 547. Шпоночная
канавка, фрезерован-
ная торцовой фрезой.
товлены при помощи специальных шлифовальных станков. Кроме указанных
преимуществ, валы многоугольного профиля обладают способностью к само-
центровке во втулке в случае свободной посадки (фиг. 554).
На фиг. 555—557 изображены конструкции, в которых применены валы
-треугольного профиля в свободных и плотных посадках.
Как было указано ранее (см. § 6), около углов втулок, посаженных на вал
г(углы А на фиг. 558), имеет место концентрация напряжений. Кроме того,
1 Подобного рода соединения рассмотрены также в работе Л. С. Боровича, Бесшпо-
«ночное соединение деталей машин, Машгиз, 1951.
Конструктивная прочность деталей машин
747
Фиг. 548. Рациональная конструкция шпоноч-
ной канавки со скругленными углами и шпонки
со снятыми фасками.
Фиг. 549. Трещина, возник-
шая благодаря неудачному
сочетанию шпоночной канав-
ки и галтели.
Фиг. 550. Сечение вала со
шпоночной канавкой и со
сверлением для винта, кре-
пящего шпонку.
Фиг. 551. Шлицевые канавки
на валу.
Фиг. 552. Прямые шлицы (а) и
шлицевое соединение с высту-
пами, имеющими эвольвентный
профиль (6).
Фиг. 553. Сечение вала треугольного профиля.
748
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Фиг. 555. Блок шестерен на валу редуктора. Шестерня А
может передвигаться по валу; шестерня Б посажена
неподвижно.
Фиг. 556. Пустотелый вал с рабочими колесами многоступенчатого компрессора.
Конструктивная прочность деталей машин
749
Таблица 100
Размеры валов треугольного профиля в мм [141]
~~2~~	D	d	е	г	Я	Р
50	53,60	46,40	1,80	13,4	38,4	13,4
60	64,72	55,28	2,36	14,8	47,6	17,6
70	76,00	64,00	3,00	16,6	57,4	22,4
80	86,80	73,20	3,40	17,1	65,4	25,4
85	92,40	77,60	3,70	18,0	70,0	27,6
90	98,00	82,00	4,00	18,2	74,8	29,8
95	103,5	86,50	4,25	19,5	•	79,2	31,7
100	109,0	91,00	4,50	20,9	83,6	33,6
при повторных изгибах вала происходит истирание углами втулки поверх-
ности вала. Все это может явиться причиной зарождения усталостных тре-
щин.
Для устранения истирания и увеличения прочности вала, если это воз-
можно, следует в месте напрессовки несколько увеличить его диаметр
(фиг. 559). Однако необходимо помнить,
[	~	что в переходах (точка А), в свою очередь,
Фиг. 557. Коленчатый вал,
состоящий из пяти частей.
Фиг. 559. Утолщение на валу
в месте посадки на него втулки.
На фиг. 560 иллюстрируется весьма рациональный метод уменьшения
вредного влияния посадки. На валу вышлифовываются разгружающие
пояски (диаметр d, всего лишь на несколько десятых миллиметра меньше
диаметра d). В местах около углов А концентрация напряжений и износ
значительно уменьшаются.
На фиг. 561 изображены неправильная (а) и правильная (б) конструкции
конической цапфы со шпоночной канавкой. Неправильность конструкции а
заключается в том, что край втулки А надавливает на цапфу, создавая кон-
центрацию напряжений. Последняя усиливается излишне длинной шпоноч-
ной канавкой. В конструкции б упомянутые концентраторы устранены.
750
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Внутренние кольца подшипников, напрессованные на вал, могут служить
источником концентрации напряжений. Для уменьшения вредного влияния
посадки можно предложить конструкции колец подшипников, представлен-
ные на фиг. 562, а и б [56].
Фиг. 560. Разгружающие пояски
в месте посадки.
Фиг. 561. Неправильная (а) и правильная (б)
конструкции конической цапфы и втулки шкива.
выкружек; жесткость кольца (фиг. 562, б) уменьшена выточками на его тор-
цах. Как было указано ранее (см. § 6), разгружающие выточки на торцах
втулок широко используются для уменьшения концентрации при напрес-
совке.
Сильно уменьшают усталостную прочность задиры, которые возникают
при напрессовке втулок и колец подшипников на валы. Для предотвращения
а)	&)
Фиг. 562. Кольца подшипников с разгру-
жающими выкружками (а) и выточ-
ками (б).
этого явления следует вместо запрес-
совки при посадке втулки на вал либо
нагревать втулку, либо охлаждать вал.
Хороший результат дает предваритель-
ная обкатка роликами вала в месте
запрессовки.
Частой причиной поломок являются
маслоподводящие отверстия в валах
(фиг. 563, а). &ЛЯ уменьшения вред-
ного влияния отверстий применяются
различные конструктивные мероприя^
тия. На фиг. 563, б показано отверстие,
раззенкованное с внешней стороны
(в случае, если вал испытывает боль-
шое напряжение, следует скруглить и
другой конец отверстия, у внутренней поверхности Д). Значительно умень-
шает концентрацию напряжений снятие лыски (фиг. 563, в).
Для скругления краев отверстия и создания благоприятных остаточных
напряжений в край отверстия вдавливается шарик А (фиг. 563, г). Для опрес-
совки внутреннего края отверстия применяется приспособление, схема кото-
рого изображена на фиг. 444.
Упрочнение вала с поперечным радиальным отверстием может быть
достигнуто путем уменьшения жесткости вала около отверстия за счет раз-
гружающих пазов (фиг. 564, а) или путем увеличения диаметра вала в том
месте, где должно располагаться отверстие (фиг. 564, б).
Хорошие результаты дает придание валам и осям рациональной формы
при помощи рассверливания этих деталей.
На фиг. 565 представлена конструкция вагонной оси,.показавшая хорошие
результаты при натурных испытаниях, а на фиг.. 566 — рациональная
конструкция вагонного колеса на полой оси.
Конструктивная прочность деталей машин
751
Несмотря на то, что материал полых валов и осей около внутренних
поверхностей напряжен менее интенсивно, чем у внешних, внутренние
поверхности также необходимо подвергать тщательной обработке во избе-
жание возникновения около них усталостных трещин.
Коленчатые валы представляют собой ответственные детали весьма слож-
ной формы, работающие обычно при очень высоких напряжениях, перемен-
ных во времени. Конструктивные способы повышения
прочности и надежности коленчатых валов состоят	л
Фиг. 563. Различные способы конструктивного оформления сверления вала
для подвода масла.
в том, чтобы устранить зоны концентрации напряжений. Рациональные
конструктивные формы устанавливаются путем сравнения различных кон-
струкций валов, натурных испытаний их и изучением работы валов в экс-
плуатационных условиях.
На фиг. 567 показано колено
вала рациональной формы. Удале-
ние материала из внутренних по-
лостей шеек, рациональная форма
щеки и разгружающая канавка
Фиг. 565. Полая ось рациональной
формы.
Фиг. 564. Упрочнение вала с поперечным
радиальным сверлением:
а — разгружающие пазы; б — разгружающий бурт.
в щеке В значительно увеличивают усталостную прочность и снижают
вес конструкции.
В табл. 101 и 102 приведены результаты натурных усталостных испытаний
коленчатых валов [158] различных конструкций (фиг. 568) на кручение,
причем моменты и напряжения изменялись по симметричному циклу.
В табл. 101 даны результаты испытаний валов, выполненных из углеродистой
стали (a6z = 7000 кг/см2-, asz = 5430 кг!см2). Предел выносливости т_х
вычислялся по обычным формулам сопротивления материалов. В табл. 102
приведены сравнительные испытания валов типа IVа, выполненных из раз-
личных материалов.
752
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
Прочность и долговечность коленчатых валов могут быть также повы-
шены рядом технологических мероприятий. К числу последних относятся
азотирование, применение которого может увеличить усталостную прочность
на 30—60% и выше.
Фиг. 566. Рациональная кон-
струкция вагонного колеса
и полой оси.
Фиг. 567. Элемент коленчатого вала рацио-
нальной формы.
Заметим, что механическая обработка валов после азотирования может
снизить прочность. Так, например, сверление отверстия для притока масла
после азотирования может снизить усталостную прочность в 1,5—2 раза.
Фиг. 568. Различные конструкции коленчатых валов.
Шлифование галтелей после азотирования также несколько снижает уста-
лостную прочность.
Местный наклеп — обкатка роликами и обжатие краев отверстий сталь-
ными шариками — дает увеличение предела выносливости при изгибе до
40% и при кручении до 20%. Обдувка дробью галтелей может дать уве-
личение предела выносливости до 30%.
Перейдем теперь к обсуждению мероприятий, способствующих увеличе-
нию усталостной прочности резьбовых соединений.
Прочность резьбы в сильной степени зависит от равномерности распреде-
ления усилия, действующего на резьбовое соединение между витками резьбы.
Конструктивная прочность деталей машин
753
Таблица 101
Результаты сравнительных испытаний коленчатых валов
различных конструкций (см. фиг. 568)
Тип вала		в кг/см2
Продольный разрез	Форма щек	
I	а	|	442
ZZ; ZZZ; IV	а	|	836
II; III; IV	b	1180
II; III; IV	с	1330
II; III; IV	|	d	'1430
v	1	а	1430
V/	I	а	1	1380
VZ	|	b	1	1470
и	|	с	1	1560
V7	|	d	J	1560
Таблица 102
Результаты сравнительных испытаний коленчатых валов, выполненных из различных
материалов (тип IVa по фиг. 568)
Материалы	т—1 в кг!смг
Слаболегированный чугун	442
Высоколегированный чугун	512
Стал истый чугун	574
Кованая сталь a bz — 7 000 кг/см2; §sz = 6 200 кг/см2	698
Кованая сталь a bz = 10 100 кг/см2; asz — 9 300 кг/см2	885
Кованая сталь a bz = 12 400 кг/см2	1300
Распределение усилий между витками, в свою очередь, зависит от формы
гайки, болта и профиля резьбы. На фиг. 569 представлена рациональная
конструкция ответственной резьбовой детали, воспринимающей большую
нагрузку Р. При рассмотрении чертежа виднЪ, что усилие передается
на выступы Д, расположенные в средней части детали, в результате чего
получается равномерная загрузка всех витков резьбы.
На фиг. 570 изображена конструкция так называемой сжато-растянутой
гайки. Передача усилия на выступ, расположенный в средней части гайки,
также способствует равномерной нагрузке резьбы.
В обыкновенной гайке сильнее всего нагружены первые витки. Для умень-
шения напряжений в первых витках и для более равномерного распределения
48 Пономарев 508
754
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
внутренних сил внутренняя полость гайки растачивается, как это указано
на чертеже (фиг. 571). На фиг. 572 представлено дальнейшее усовершенст-
вование конструкции гайки и болта. На фиг. 572, А изображена обыкно-
венная гайка — ниппель. На фиг. 572, В гайке придана форма тела равного
сопротивления растяжению. Уменьшение жесткости гайки в нижней части
способствует более равномерной нагрузке витков.
Фиг. 569. Гайка рациональной
конструкции.
Фиг. 570. «Сжато-
растянутая» гайка.
Фиг. 571. Гайка
с расточенной резьбой.
Коническое отверстие (фиг. 572, С) в верхней части болта еще более вырав-
нивает загрузку витков резьбы [8].
Разрушение болта очень часто происходит в том месте, где начинается
нарезка. Многочисленные опыты [8] показали, что усталостная прочность
болта несколько увеличивается, если стержень болта (диаметр dc) выпол-
Фиг. 572. Различные конструкции резьбовых соединений.
няется тоньше заготовки под резьбу (диаметр d). Наиболее часто применяется
соотношение dc = d1; однако иногда можно встретить конструкции, в кото-
рых dc = (0,8 -г- 1) d19 где dt — внутренний диаметр резьбы (фиг. 573).
В особо ответственных резьбовых изделиях рекомендуется применять
резьбу со скругленными впадинами (фиг. 574, а). Обычная стандартная метри-
ческая резьба, как известно, не имеет скругленных впадин (фиг. 574, б).
Сравнительные испытания [8] показали, что при прочих равных усло-
виях прочность болта с мелкой резьбой более высокая (например,
болт Ml0 X 1,5 разрушится при меньшем числе перемен напряжений, чем
болт 1М10 X 1,0).
В табл. 103 сведены результаты испытаний [8] различных конструк-
ций резьбовых соединений. Соединения были испытаны при напряже-
ниях, изменяющихся по симметричному (<зт = 0) и асимметричному
(а т ==2000 кг/см2) циклам. В таблице приведены предельные значения перемен-
ных напряжений attL. Данные, представленные в табл. 103, показывают, что-
уменьшение диаметра стержня болта до значения dc = d± практически не отра-
жается на прочности (конструкции 1 и 2). Значительное увеличение прочности
может быть достигнуто путем применения гайки с выточкой (конструкции 3
и особенно 4). В конструкции 5 применение гайки со скошенной резьбой
(фиг. 571) значительно увеличивает прочность соединения. Одновременное
применение гайки с выточкой и со скошенной резьбой не дает хороших
Конструктивная прочность деталей машин
755
результатов (конструкция 6). Наиболее прочным оказался болт, соединен-
ный с длинной гайкой, работающей на растяжение (конструкция 7),
Существенное значение имеет способ изготовления резьбы.
Резьба, полученная путем накатки, обла-
дает большей усталостной прочностью (на 10—
— 30%) по сравнению с нарезанной резьбой,
Особенно благоприятна накатка резьбы малых
диаметров.
Термическая обработка после изготовления
резьбы всегда неблагоприятна (особенно после
накатки).
Фиг. 573. Болт рациональной формы.
болт
Фиг. 574. Резьба со скруглен
ными впадинами (а) и обыкно-
венная метрическая резьба (6).
Хороший результат дает обкатка резьбы после ее предварительного
нарезания. Изготовляя резьбу таким способом, можно получить увеличе-
Таблица 103
Результаты сравнительных испытаний усталостной прочности
резьбовых соединений
Конструкция болта и гайки		Предельное значение переменного напряжения	в кг,(см2	
		Напряжение затяжки	
		°т = 0	am = 2000 кг,(см2
। 1	[3	285	400
2		285	400
3 4 — 5 6	-о©’	—	440
		350	520
		340	480
		—	400
7		650	775
Материал болта — углеродистая сталь; = 4500 кг/см2.
756
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
ние усталостной прочности на 100%. При обкатке роликами в основании
резьбы возникают остаточные напряжения, способствующие повышению
усталостной прочности.
Общие принципы конструирования деталей машин в случае переменных
во времени напряжений можно иллюстрировать еще несколькими приме-
рами.
Поломки зубьев шестерен часто возникают благодаря усталостным тре-
щинам, берущим свое начало у краев зубьев (точка А на фиг. 575). Одной
из причин возникновения этих трещин является концентрация напряже-
ний у основания зубьев. Пики напряжений около ножек зубьев могут быть
Фиг. 576. Рациональная конст-
рукция шестерни, откованной
вместе с валом.
Фиг. 575. Снижение концентраций
напряжений у ножек зубьев путем
уменьшения жесткости шестерни
(канавки).
Фиг. 577. Сни-
жение концент-
рации напряже-
ний у ножек
зубьев путем
уменьшения
жесткости
обода.
Фиг. 578. Шариковые подшипники с различным соотношением между диаметром
шарика и диаметром колец.
снижены путем уменьшения жесткости шестерни проточкой канавок В
(фиг. 575 и 576) или уменьшения жесткости обода зубчатого колеса
(фчг. 577). Канавка В (фиг. 576) одновременно смягчает концентрацию
напряжений в месте перехода от вала к шестерне.
Шариковые подшипники с небольшим количеством крупных шариков
нерациональны, так как напряженное состояние колец подшипников в этом
случае (фиг. 578, а) весьма неоднородно. При работе таких подшипников
часто можно наблюдать разрушение колец. У подшипников с большим коли-
чеством мелких шариков (фиг. 578, в) кольца нагружены равномерно,
но часто можно наблюдать разрушение шариков. При конструировании под-
шипников конструктор должен искать оптимальное соотношение между
числом шариков и их диаметром (фиг. 578, б).
Хороший результат дают подшипники с двумя точками контакта (точки А
на фиг. 579). Увеличение числа точек контакта приводит к более равномер-
ному нагружению как кольца, так и шариков.
Конструктивная прочность деталей машин
757
В заключение отметим, что применение высокосортных материалов
(легированных сталей, высокопрочных сплавов алюминия, легированных
и сталистых чугунов) обязывает к тщательной обработке поверхности и к ква-
лифицированной сборке и эксплуатации машин. Неправильная сборка,
чрезмерная или недостаточная предварительная затяжка болтов, случайные
повреждения шлифованных или полированных поверхностей ответственных
деталей могут снизить усталостную прочность деталей машин и свести на нет
Фиг. 579. Шариковый
подшипник с двумя
точками контакта ша-
рика с кольцом.
Фиг. 580. Шатунный болт, раз-
рушившийся благодаря устало-
стной трещине, возникшей около
неуместно поставленного клейма

Фиг. 581. Поршневой палец,
разрушившийся от усталостной
трещины, возникшей около
риски на внутренней поверх-
ности.

Фиг. 582. Поперечное
сечение шатуна двигателя
внутреннего сгорания
все усилия конструктора, стремившегося повысить прочность и надежность
конструкции.
На фиг. 580 изображен шлифованный шатунный болт из высококачествен-
ной легированной стали, разрушившийся из-за усталостной трещины, полу-
чившей начало около неуместно поставленного клейма отдела технического
контроля.
Полированный снаружи и шлифованный изнутри поршневой палец,
выполненный из высокопрочной стали (фиг. 581), сломался из-за уста-
лостной трещины, возникшей около риски Л, случайно нанесенной на вну-
тренней поверхности пальца. Заметим, что материал пальца наиболее
напряжен около наружной поверхности.
На фиг. 582 изображено поперечное сечение шатуна двигателя внутрен-
него сгорания. Усталостное разрушение шатуна началось около небольшого
отверстия Л, предназначенного для винта, крепящего детали смазочного
приспособления.
Из сказанного следует, что умелое использование конструктором-машино-
строителем перечисленных выше мероприятий и внимательное и квалифици-
рованное обращение с машинами являются существеннейшими факторами
увеличения несущей способности и долговечности конструкций, а следова-
тельно, и повышения эксплуатационной надежности агрегатов.
758
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
ЛИТЕРАТУРА
1.	Александров Б. И., Исследование усталостной прочности двух сплавов при
повышенных температурах, ЦНИИТМАШ, кн. 63, «Конструкционная прочность сталей»,
Машгиз, 1954.
2.	Александров Б. И., Усталостная прочность сплавов при высоких температу-
рах (обзор зарубежных исследований). ЦНИИТМАШ, кн. 85 «Вопросы конструкционной проч-
ности стали», Машгиз, 1957.
3.	Афанасьев Н. Н., Статистическая теория усталостной прочности металлов,
АН УССР, 1955.
4.	Балашов Б.Ф., Прочность азотированной детали при переменных напряжениях,
МАП СССР, сборник статей № 7, «Прочность авиадвигателей», Оборонгиз, 1952.
5.	Б а х а р е в В. М., Об утомляемости стали при повторных перегрузках, «Труды
ЦИАМ» № 91, НКАП, Оборонгиз, 1945.
6.	Б е л я е в Н. М., Сопротивление материалов, ГИТТЛ. 1959.
7.	Биргер И. А., Запасы прочности при переменных напряжениях, «Вестник машино-
строения» № 6, 1948.
8.	Б и р г е р И. А., Расчет резьбовых соединений, Оборонгиз, 1951.
9.	Б и р г е р И. А., Условия усталостной прочности при сложном напряженном состоя-
нии, МАП СССР, сборник статей № 7, «Прочность авиадвигателей», Оборонгиз, 1952.
10.	Биргер И. А., Сравнение условий усталостной прочности, «Вестник машинострое-
ния» № 9, 1954.
11.	Блинник С. И., Местные напряжения в деталях машин, ВНИТОМАШ, Заочные
курсы усовершенствования инженеров-конструкторов, Машгиз, 1953.
12.	Болховитинова Е. Н., Влияние дробеструйного наклепа на свойства сталь-
ных деталей, Машгиз, 1953.
13.	Б о л ь ш и х А. С., Л а п и н А. А. и Э т к и н Л. Г., Машина резонансного типа
для испытаний на усталость, «Вестник машиностроения» № 10, 1952.
14.	Б о л ь ш и х А. С., Л а п и н А. А. и Э т к и н Л. Г., Машина резонансного типа
для испытаний на усталость, МВТУ им. Н. Э. Баумана, «Машины и приборы», Машгиз, 1953.
15.	Воропаев М. А., К вопросу об усталости чугуна при повторных нагрузках,
экспериментальное исследование, Киев 1914.
16.	Гаф Г. Д., Усталость металлов, ОНТИ, 1935.
17.	Гликман Л. А., Коррозионно-механическая прочность металлов^ Машгиз, 1955.
18.	Гольцев Д. И., Об условиях прочности при переменных нагрузках и сложном
напряженном состоянии, «Вопросы динамики и динамической прочности», сборник статей,
вып. I, АН Лат. ССР, 1953.
19.	Гольцев Д. И., К вопросу об усталостной прочности металлов при изгибе с кру-
чением в условиях асимметричных циклов нагружения, «Вопросы динамики и динамической
прочности», сборник статей, вып. И, АН Лат. ССР, 1954.
20.	Давиденков Н. Н., Усталость металлов, АН УССР, 1949.
21.	Дашкевич Б. П. иМихайлов П. А., Расчет по диаграмме В. Э. Тира дета-
лей машин, работающих при переменных нагрузках, «Некоторые вопросы усталостной прочно-
сти стали с учетом влияния активной среды», АН УССР, 1955.
22.	Д е м и д о в С. П., Прочность при переменных напряжениях, «Прочность в машино-
строении», сборник статей, Машгиз, 1951.
1956 Елизаветин М. А., Упрочнение поверхности деталей машин, Трудрезервиздат,
24.	Ж У к о в С. Л., Вид связи предела выносливости с характеристиками прочности
при растяжении, «Заводская лаборатория» № 1, 1946.	*
25.	3 а х а р о в а Т. П., Сопротивление металлов повторным перенапряжениям, «Проч-
ность при неустановившихся режимах переменных напряжений», АН СССР, 1954.
26.	Карпенко Г. В., Влияние частоты нагружения на выносливость стали, АН УССР,
сборник трудов Института строительной механики № 19 «Вопросы прочности конструкций
и динамики машин», АН УССР, 1954.
27.	К а р п е н к о Г. В., Влияние активных жидких сред на выносливость сталей,
АН УССР, 1955.
28.	Карпенко Г. В. и-Яцюк А. И., Влияние силового резания на выносливость
стали, «Вестник машиностроения» № 10, 1956.
29.	Киммельман Д. Н., Расчет деталей машин на прочность при переменных
напряжениях, Машгиз, 1950.
30.	Киммельман Д. Н.,0 расчете запасов прочности в машиностроении, «Вестник
машиностроения» № 9, 1952.
31.	К и н а с о ш в и л и Р. С., Определение запасов прочности при переменных нагруз-
ках, «Труды ЦИАМ» № 55, Оборонгиз, 1943.
32.	К и н а с о ш в и л и Р. С., Расчет прочности коленчатых валов двигателей, «Труды
ЦИАМ» № 94, Оборонгиз. 1945.
33.	Кинасошвили Р. С. и Биргер И. А., Еще раз о запасах прочности при
переменных напряжениях, «Вестник машиностроения» № 2, 1953.
Литература
759
34.	Кирпичев В. Л., Об усталости металлов в связи с их кристаллическим строением,
«Вестник Общества технологов», т. XXI, № 2, 3, 4, 1914.
35.	К о б р и н М.М., Прочность прессовых соединений при повторно-переменной нагруз-
ке, Машгиз, 1954.
36.	К о г а е в В. П., Сопротивление усталости в связи с концентрацией напряжений
и абсолютными размерами, «Некоторые вопросы усталостной прочности стали», Машгиз, 1953.
37.	К о г а е в В. П., Вопросы поверхностного упрочнения в проблеме конструирования
деталей машин, сборник «Теоретические основы конструирования машин», Машгиз; 1957.
39.	Козлов Л. А., Расчет и испытание на прочность при неустановившемся режиме
переменной напряженности «Прочность при неустановившихся режимах переменных напря-
жений», АН СССР, 1954.
40.	Кокер Э. иФайлон Л., Оптический метод исследования напряжений, ОНТИ,
1936.
41.	Кудрявцев И. В., Просвирин В. И., Усталость сталей с различной
поверхностной термохимической обработкой, «Вестник металлопромышленности» № 9, 1936.
42.	Кудрявцев И. В. иНовиков В. Н., Влияние поверхностной закалки на
усталостную прочность и ударную вязкость конструкционных сталей, ЦНИИТМАШ, сбор-
ник № 10, Машгиз, 1940.
43.	Кудрявцев И. В., О критической температуре усталости, «Заводская лаборато-
рия»^ XII, № 9—10, 1946.
44.	Кудрявцев И.В.иНовиков В.Н., Исследование прочности поверхностно
закаленной стали при циклических нагрузках, «Вестник машиностроения» № 7, 1947.
45.	Кудрявцев И. В., С а в е р и н М. М., Р я б ч е н к о в А. В., Методы поверх-
ностного упрочнения деталей машин, Машгиз, 1949.
46.	К у Д р я в ц е в И. В. и С а в к о Л. И., Влияние поверхностной закалки токами
высокой частоты и последующей обкатки на усталостную прочность стали, ЦНИИТМАШ,
кн. 40, «Исследование прочности стали», Машгиз, 1951.
47.	Кудрявцев И. В. иСавко Л. И., Исследование усталостной прочности
специальных сталей при высоких температурах, ЦНИИТМАШ, кн. 43, «Усталостная прочность
стали», Машгиз, 1951.
48.	Кудрявцев И. В., Внутренние напряжения как резерв прочности в машино-
строении, Машгиз, 1951.
49.	Л и х а р е в К. К., Расчетно-справочные данные по местным напряжениям, МММИ
им. Баумана, 1940.
50.	Лихарев К. К., Определение запаса прочности при переменных нагрузках,
«Вестник машиностроения» № 9—10, 1943.
51.	Л и х а р е в К- К., Местные напряжения в деталях машин, «Прочность в машино-
строении», сборник статей, Машгиз, 1951.
52.	Л и х а р е в К. К.» Установки для испытания материалов при трехосных напряжен-
ных состояниях МВТУ им. Н. Э. Баумана, «Расчеты на прочность^ жесткость и ползучесть
элементов машиностроительных конструкций», сборник 26, Машгиз, 1953.
53.	Л и х а р е в К. К., Сопротивление материалов при одноосном растяжении и сжатии,
МВТУ им. Н. Э. Баумана, «Расчеты на прочность в машиностроении», сборник статей, вып. 89,
Машгиз,. 1958.
54.	Лихарев К- К. и Малинин Н. Н., Трехмерная диаграмма усталостной
прочности, «Научные доклады высшей школы», Машиностроение и приборостроение №4, 1958.
55.	Л ю б и м о в Б. В., Лакокрасочные покрытия, Листки для технолога, «Вестник
машиностроения» № 3, 1958.
56.	Мак С. П., Вопросы конструктивной формы в проблеме повышения выносливости
деталей машин, «Вестник инженеров и техников» № 4, 1951.
57.	Макквиллэи А. Д. иМакквиллэи М. К., Титан, Металлу ргиздат, 1958.
58.	М а л и н и н Н. Н., Расчеты на прочность при переменных напряжениях, МВТУ
им. Баумана, 1945.
59.	М а л и н и н Н. Н., Теории прочности при переменной нагрузке, «Труды 2-й научно-
технической конференции МВТУ им. Н. Э. Баумана. Секция прочности», МВТУ, 1946.
60.	М а л и н и н Н. Н., Влияние остаточных напряжений, возникающих при зане-
воливании, на усталостную прочность винтовых цилиндрических пружин сжатия, «Динамика
и прочность пружин», АН СССР, 1950.
61.	Мур Г. Ф. и Коммерс Д. В., Усталость металлов, дерева и бетона, ГТИ,
1929.
62.	Н а д а и А., Пластичность и разрушение твердых тел, ИЛ, 1954.
63.	Н е й б е р Г., Концентрация напряжений, ОГИЗ, ГИТТЛ, 1947.
64.	О д и н г И. А., Допускаемые напряжения в машиностроении и циклическая проч-
ность металлов, Машгиз, 1947.	•
65.	О д и н г И. А., К теории разрушения металлов при циклическом нагружении,
«Металловедение и обработка металлов» № 2, 1955.
66.	Одинг И. А., К дислокационной теории усталости металлов, «Доклады АН СССР»,
т. 105, № 6, 1955.
760
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
67.	О л е й н и к Н. В., Костин К.И. иПронин В. М., К вопросу об усталостной
прочности валов с поперечными сверлениями при изгибе, «Научные доклады высшей школы,
серия машиностроения и приборостроения» № 3, 1958.
68.	П а п ш е е в Д. Д., Качество поверхности и усталостная прочность, «Вестник
машиностроения» № 10, 1954.
69.	Пеньков С. И., Расчет допускаемых напряжений в машиностроенйи, Судпром-
гиз, 1951.
70.	П е т р у с е в и ч А. И., Теории усталостной прочности при сложном напряженном
состоянии, «Вестник машиностроения» № 7—8, 9—10, 1944.
71.	Петрусевич А. И., Усталостная прочность металлов при растяжении, сжатии,
изгибе и кручении с несимметричными циклами напряжений. «Вестник машиностроения»
№ 1—2, 1945.
72.	Погоди н-А лексеев Г. И,О влиянии кратковременных перегрузок на пре-
дел выносливости стали, «Заводская лаборатория», т. XV, № 1, 1949.
73.	Попов А. А., Современные способы расчета вагонных конструкций на статическую
и вибрационную прочность. «Труды Всесоюзного научно-исследовательского железнодорож-
ного транспорта», вып. 18, Трансжелдориздат, 1948.
74.	Рабинович С. В., Анализ распространенных способов расчета деталей машин
на прочность при переменных напряжениях, «Вестник машиностроения» № 11, 1949.
75.	Р а б и н о в и ч С. В., Расчеты на прочность при переменных напряжениях, МЭИ,
76.	Р е б и н д е р П. А., Адсорбционное влияние среды на механические свойства
твердых тел, «Некоторые вопросы усталостной прочности стали с учетом влияния активной
среды», АН СССР, 1955.
77.	Решетов Д. Н., Расчет деталей станков на долговечность, «Повышение прочности
деталей машин», АН СССР, 1949.
78.	Решетов Д. Н., Расчет деталей станков на прочность при меняющихся режимах
нагрузки, «Прочность при неустановившихся режимах переменных напряжений», АН СССР,
1954.
79.	Рош М. иЭйхингер А., О сопротивлении усталости сталей, «Вопросы уста-
лостного разрушения сталей», Машгиз, 1957.
80.	Рябченков А. В., Коррозионно-усталпстная прочность стали, Машгиз, 1953.
81.	Савельев Л. И., Характеристики предельных циклов в истинных напряжениях,
«Вестник машиностроения» № 2, 1955.
82.	С а в и н Г. Н., Концентрация напряжений около отверстий, ГИТТЛ, 1951.
83.	С а т е л ь Э. А., Современное состояние и значение технологических методов поверх-
ностного упрочнения деталей машин в проблеме конструирования, сборник «Теоретические
основы конструирования машин», Машгиз, 1957.
84.	С е р е н с е н С. В., О расчете запасов прочности при переменных нагрузках, «Вест-
ник металлопромышленности» № 7—8, 1937.
85.	С е р е н с е н С. В., Прочность металла и расчет деталей машин, ОНТИ,
1937.
86.	С е р е н с е н С. В., Гипотезы прочности при переменных нагрузках, «Известия
АН СССР, ОТН» № 8—9, 1938.
87.	Серенсен С. В.,О прочности деталей машин при действии переменных нагрузок,
АН СССР, 1938.
88.	Серенсен С. В., Об условиях прочности при переменных нагрузках для плоского
и объемного напряженного состояния, «Инженерный сборник», т. I, вып. 1, 1941.
89.	С е р е н с е н С. В., Определение запаса прочности при расчете деталей машин,
«Вестник машиностроения» № 6, 1943.
90.	С е р е н с е н С. В., Об оценке долговечности при изменяющейся амплитуде пере-
менных напряжений, «Вестник машиностроения» № 7—8, 1944.
91.	Серенсен С. В., Прочность валов и осей в связи с напрессовкой деталей, «Иссле-
дования в области машиноведения», АН СССР, 1944.
92.	С е р е н с е н С. В., О прочности коленчатых валов в связи с их конструкцией
и технологией изготовления, «Вестник машиностроения» № 6—7, 1945.
93.	Серенсен С. В., Тетельбаум И. М., Пригоровский Н. И., Дина-
мическая прочность в машиностроении, Машгиз, 1945.
94.	Серенсен С. В. иКонторович И. Е., Влияние азотирования на усталость
конструкционной стали, МАП СССР ЦИАМ и ВИАМ, № 124/22, Оборонгиз, 1947.
95.	С е р е н с е н С. В., Сопротивление усталости и конструктивно-технологические
методы повышения прочности деталей, «Повышение прочности деталей машин», АН СССР,
1949.
96.	С е р е н с е н С. В., К о г а е в В. П., Козлов Л. А., Листки для конструктора
«Вестник машиностроения» № 10—12, 1949; № 3. 4, 6—9 1950.
97.	С е р е н с е н С. В., К о з л о в Л. А., К о г а е в В. П., Шнейдерович Р. М.,
Несущая способность и расчет на прочность деталей при статических и переменных напряже-
ниях, «Вестник машиностроения», № 9, 11, 1951; № 4, 1952; № 12, 1953; № 4, 1954.
Литература
761
98.	С е р е н с е н С. В., К о г а е в В. П. и К о з л о в Л. А., К вопросу о расчете
запасов прочности, «Вестник машиностроения» № 1, 1952.
99.	Серенсен С. В.иЗахарова Т. П., Усталость жаропрочных сплавов и ста-
лей, МАП СССР, сборник статей № 7 «Прочность авиадвигателей», Оборонгиз, 1952,
100.	Серенсен С. В., Сопротивление усталости в связи с упрочнением и конструктив-
ными факторами, «Повышение усталостной прочности деталей машин поверхностной обработкой»
Машгиз, 1952.
101.	Серенсен С. В. и Козлов Л. А., Испытания на усталость при варьируемых
перегрузках, «Заводская лаборатория», т. XIX, № 3, 1953.
102.	Серенсен С. В.,О сопротивлении усталости при сложном напряженном состоя-
нии и симметричном Кцикле, «Некоторые вопросы усталостной прочности стали», Машгиз,
1953.
103.	Серенсен С. В., Ког а евВ. П., Козлов Л.А. иШнейдерович Р.М.,
Несущая способность и расчеты деталей машин на прочность, Машгиз, 1954.
104.	Серенсен С. В., Развитие учения о прочности в проблеме конструирования
машин, сборник «Теоретические основы конструирования машин», Машгиз, 1957.
105.	Серенсен С. В., Г а р ф М. Э., К о з л о в Л. А., Машины для испытаний
на усталость, Машгиз, 1957.
106.	С и м и н с к и й К. К., Об усталости металлов в мостах, «Техника и экономика
путей сообщения», т. I, № 9—10, 1924.
107.	Справочник машиностроителя, т. III, Машгиз, 1955.
108.	Т и р В. Э., Логические следствия опытных данных Велера и обоснования на них
выбора допускаемых напряжений в частях машин, «Известия Южно-Русского общества тех-
нологов» № 8—9, 1902.
109.	Трапезин И. И., Прочность металлов при переменной нагрузке, ОГИЗ, ГИТТЛ,
1948.
ПО. У ж и к Г. В., О гипотезах прочности в связи с расчетом валов, «Вестник машино-
строения» № 11—12, 1943.
111.	Ужик Г. В., Определение запаса прочности при несимметричных циклах изме-
нения напряжений в деталях машин, «Вестник машиностроения» № 5, 1944.
112.	У ж и к Г. В., Об условиях прочности при наличии сдвига фаз переменных напря-
жений, «Известия АН СССР, ОТН» № 6, 1947.
113.	Ужик Г. В., Методы испытания металлов и деталей машин на выносливость,
АН СССР, 1948.
114.	У ж и к Г. В., Сопротивление отрыву и прочность металлов, АН СССР, 1950.
115.	Ужик Г. В., Прочность металлов и влияние концентрации напряжений при изгибе
с кручением в условиях симметричных циклов переменных нагрузок, «Вестник машинострое-
ния» № 7, 1951.
116.	Ужик Г. В., Прочность металлов и влияние концентрации напряжений при изгибе
с кручением в условиях несимметричных циклов переменных нагрузок, «Вестник машино-
строения» № 4, 1954.
117.	Ф р и д м а н Я. Б. и Е л и с е е в а В. В., О повышении конструктивной прочно-
сти за счет разгружающих надрезов, «Вестник машиностроения» № 5, 1949.
118.	-Ф р и д м а н Я. Б., Механические свойства металлов, Оборонгиз, 1952.
119.	Ф р о х т М. М., Фотоупругость, т. I, ОГИЗ, ГИТТЛ, 1948, т. II, ГИТТЛ, 1950.
120.	Ш а ш и н М. Я., Влияние циклических перегрузок и недогрузок на усталость
металлов, «Журнал технической физики», т. XXI, вып. 10, 1951.
121.	III а ш и н М. Я., О форме кривой усталости при напряжениях выше предела теку-
чести, «Журнал технической физики», т. XXIII, вып. 3, 1953.
122.	Шашин М. Я..Кононов Ю. И., К вопросу о форме кривой усталости, «Расчет
и конструирование деталей машин», сборник статей, Машгиз, 1956.
123.	Шишкова А. П., Высокотемпературные испытания на усталость при одном
миллиарде циклов, ЦНИИТМАШ, кн. 85, «Вопросы конструкционной прочности стали»,
Машгиз, 1957.
124.	Щапов Н. П. и Махов В. Н., Определение чувствительности к циклическим
перегрузкам для трех типов углеродистой стали средней твердости, «Инженерный сборник»,
т. I, вып. 1, 1941.
125.	Щеглов Н. Н., Предел выносливости и пластические деформации сталей в неко-
торых случаях совместного действия изгиба и кручения «Труды Таллинского политехнического
института», серия А, № 113, изд. Таллинского политехнического института, 1957.
126.	Энциклопедический справочник «Машиностроение», т. 1, кн. 2, т. II, III и IV, Машгиз,
1947—1948.
127.	В a s q u i и О. Н. The exponential law of endurance tests «Proceeding of the ASTM»,
vol. 10, 1910.
128.	В a t d о r f S. B. and Budiansky B., Poly axial stress-strain relations of a strain-
hardening metal, «Journal of applied mechanics», vol. 21, № 4, 1954.
129.	Bundy R. W. and Marin J., Fatigue strength of 14S— T4 aluminium alloy
subjected to biaxial stresses, «American society for testing materials. Proceedings», vol. 54, 1954.
762
Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени
130.	Dolan Т. J., How can we apprise metals for high-temperature service, «Metal pro-
gress», vol. 61, № 3, 1952.
131.	«Fatigue testing to a pre-determined programme simulating component working condi-
tions», «Engineering», vol. 100, № 4685, 1955.
132.	Findley W. N. and M a t h u r P. N., Modified theories of fatigue failure under
combined stress, «Proceedings of the society for experimental stress analysis», vol. XIY, № 1, 1956.
133.	Findley W. N., Fatigue of metals under combinations of stresses, «Transactions
of the ASME», vol. 79, № 6, 1957.
134.	Forrest P. G. and T a p s e 1 1 H. J., Some experiments on the alternating stress
fatigue of a mild steel and an aluminium alloy at elevated temperatures, «Proceeding of the insti-
tution of mechanical engineers», vol. 168, № 29, 1954.
135.	French H. J., Fatigue and the hardening of steels, «Transactions of the American
society for steel treating», vol. XXI, № 10, 1933.
136.	Freudental A. M. and G u m b e 1 E. J., Physical and statistical aspects of
fatigue, «Advanced in applied mechanics, vol. IV, Academic press inc, Publishers 1956.
137.	Gough H. J. and Pollard H. V. The strength of metals under combined alter-
nating stresses, «The Institution of Mechanical Engineers Proceedings», vol. 131, 1935.
138.	Gough H. J. and Pollard H. V., Properties of some materials for cast crank-
shafts with special reference to combined stresses, «The Institution of Automobile Engineers.
Proceedings of Session», vol. XXXI, 1936—1937.
139.	Gough H. J., Engineering stells under combined cyclic and static stresses, «The
Institution of Mechanical Engineers. Proceedings», vol. 160, № 4, 1949.
140.	Grover H. J., Go r don S. A. and Jackson L. R., Fatigue of metals and
structures, Thames and Hudson, 1956.
141.	Hanchen R., Neue Festiqkeitsberechnung fur den Maschinenbau, Carl Hanser
Verlag, 1956.
142.	Herold W , Versuche uber Drehschwinqungs festigkeit abgesetzter, genuteter und
durchbohrter Wellen, «VDI Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure», Bd. 81, № 18, 1937.
143.	Kirsch G., Die Theorie der Elasticitat und die Bedurfnisse der Festigkeitlehre,
«VDI Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure», Bd. 32, 1898.
144.	К о m m e r s J. B., Overstressing and understressing in fatigue, «Engineering», vol. 143,
№ 3724, 3726, 1937.
145.	Kommers J. B., The effect of overstressing and understressing in fatigue, «Ame-
rican society for testing materials. Proceedings», vol. 43, 1943.
146.	Krouse G. N., A high speed fatigue testing machine and some tests of speed effect
on endurance limit., «American society for testing materials. Proceedings, vol. 34, part II, 1934.
147.	Lehr E., Beitrag zur Berechnung dauerbiegebeanspruchter Wellen, «Technisches
zentralblatt fur praktische Metallbearbeitung», № 17/18, 1937.
148.	Majors H., Mills B. D. and Mac Gregor C. W., Fatigue under combined
pulsating stresses «Journal of applied mechanics», vol. 16, № 3, 1949.
149.	Marin J., Biaxial tention-tention fatigue strengths of metals, «Journal of applied
mechanics», vol. 16, № 4, 1949.
150.	Muller-Stock H., G e г о 1 d E. und S h u 1 z E. H., Der Einfluss einer Wech-
sevorbeanspruchung auf Biegezeit und Biegewechsel festigkeit von Stahle, «Archiv fur das Eisen-
huttenwesen», Bd. 12, № 3, 1938.
151.	P e t e r s о n R. E., Fatigue of shafts having keyway, «American Society for testing
materials. Proceedings», vol. 32, 1932.
152.	Peterson R. E. and Wahl A. M., Fatigue of shafts at fitted members, with
a related photoelastic analysis, «Journal of applied mechanics», vol. 2, № 1, 1935.
153.	Pope J. A., F о s t e г В. K. and Bloomer N. T., Limited life design: a survey
of the problem, «Engineering», vol. 184, № 4772, № 4773, 1957.
154.	Soderberg C. R., Working stresses, «Transactions of the ASME», vol. 55, 1933;
vol. 57, 1935.
155.	Thum A. und Wunderlich F., Der Einfluss von Einspannung Kraftangrif-
fsstellen auf die Dauerhaltbarkeit der Konstruktionen, «VDI Zeitschrift des Vereines deutscher
Ingenieure, Bd. 77, № 31, 1933.
156.	Timoshenko S., Stress concentration and fatigue failures, «The Institution of
Mechanical Engineers Applied Mechanics. Proceedings», vol. 157, № 28, 1947.
157.	W e i b u 1 1 W., A statistical representation of fatigue failures in solids, «Proceedings
of Rojal Technishe Universitat», № 27, 1949.
158.	Wilson W. K., Practical solution of torsional vibration problem», vol. II, 1941.
159.	Wohler A., Ober die Festigkeitversuche mit Eisen und Stahl, «Zeitschrift fur
Bauwesen», Bd. VIII, X, XIII, XVI, XX, 1860—1870.
160.	Jokobori T., A theoretical criterion for the fracture of metals under combined
alternating stresses, «Journal of applied mechanics», vol. 24, № 1, 1957.
РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
РАСЧЕТЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
ГЛАВА XII
КРИТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ НАГРУЗОК ПРИ ПЛОСКИХ ФОРМАХ
РАВНОВЕСИЯ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
Повышение качества применяемых в машиностроении материалов и уточ-
нение методов расчета на прочность дают возможность переходить от тяжелых
и массивных конструкций, характерных для старого машиностроения, к зна-
чительно более легким и рациональным современным конструкциям. В целях
обеспечения надежности применяемых облегченных конструкций необходимо
всемерно повысить требования, предъявляемые к расчету на устойчивость
напряженного состояния их элементов. Действительно, для современных
конструкций является характерным снижение запасов устойчивости,
т. е. приближение их фактического напряженного состояния к критическому.
Поэтому расчеты на устойчивость современных облегченных конструкций
приобретают все большее значение во всех отраслях общего и специального
машиностроения.
Проблема упругой устойчивости была впервые поставлена и успешно
рассмотрена крупнейшим математиком XVIII в. действительным членом
Петербургской академии наук Леонардом Эйлером [112]. Широкая теорети-
ческая и экспериментальная разработка самых разнообразных проблем
устойчивости напряженного состояния дана в фундаментальных работах
отечественных ученых: Ф. С. Ясинского [116], И. Г. Бубнова [15],
Н. Е. Жуковского [34], А. Н. Крылова [44], Н. М. Беляева [5], П. Ф. Пап-
ковича [73], Б. Г. Галеркина [20]—[22], Л. С. Лейбензона [45], [46],
Е. Л. Николаи [64], А. Н. Динника [26], [27] и ряда других.
Основными обзорными работами по устойчивости напряженного состоя-
ния конструкций и их элементов, получившими широкое распространение
среди инженерно-технических работников Советского Союза, являютсй моно-
графии А. Н. Динника [28], [29], С. П. Тимошенко [91 ], И. Я. Штаермана
и А. А. Пиковского [111 ] и др.
Описание ряда аварий инженерных сооружений, обусловленных потерей
устойчивости конструкций, дано в монографии Ф. Д. Дмитриева [31 ].
Среди капитальных исследований отдельных проблем устойчивости
напряженного состояния необходимо отметить следующие: в области исследо-
вания пространственной устойчивости тонкостенных стержней — работы
В. 3. Власова [17] и А. А. Уманского [97]; по изысканию новых методов
непосредственного вычисления критических сил, не требующих решения
трансцендентных уравнений, — работы С. А. Бернштейна [7], [8]
и А. Ф. Смирнова [86 ], [87 ]; по эффективному применению теории интеграль-
ных уравнений к определению критических сил для стержневых систем —
работы Я. Л. Нудельмана [66]—[68]; по разработке инженерных вариацион-
ных методов вычисления критических сил (метод ортогонализации) — работу
Я- А. Пратусевича [76]; по исследованию устойчивости стержней и стержне-
вых систем в упругой среде — работу В. Г. Чудновского [109].
764 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
Детальная разработка оригинальных методов расчета на устойчивость
ферменных и рамных конструкций дана в монографии Н. В. Корноухова [41 ].
Исследование устойчивости цилиндрических витых пружин сжатия и круче-
ния проведено в работах Н. А. Чернышева [106], [107].
Оригинальная разработка ряда основных проблем общей теории упругой
устойчивости дана в исследованиях В. В. Болотина [12], [13], Г. Ю. Джане-
лидзе [25] и Ю. И. Ягна [115]. Исследования ряда вопросов теории устой-
чивости сжатых стержней даны в монографиях А. Р. Ржаницына [81 ]
и С. Д. Лейтеса [47].
Фундаментальное исследование общих вопросов динамической устойчи-
вости упругих систем и их применение к расчетам элементов конструкций
(стержней, пластин и оболочек) изложено в монографий В. В. Болотина [11 ].
Оригинальные численные методы решения дифференциальных уравнений
и их применение к исследованию разнообразных вопросов устойчивости рас-
смотрены в монографии Ш. Е. Микеладзе [59].
Подробная библиография отечественной литературы по проблеме устой-
чивости стержней и стержневых систем за период 1917—1957 гг. приведена
в обзорной работе И. М. Рабиновича [77]. Ряд вопросов истории развития
теории устойчивости напряженного состояния освещен в работах С. П. Тимо-
шенко [92] и Е. Л. Николаи [64].
Существенный интерес представляют обзорные работы и оригинальные
исследования общих вопросов теории устойчивости элементов конструкций,,
выполненные в зарубежных странах, см., например, Ратцерсдорфер [123],.
Гартман [23], Бицено и Граммель [10], Пфлюгер [122], Кольбрюннер
и Мейстер [120], Хофф [103], Циглер [124], [125] и ряд других.
Кроме специальных монографий и статей (см. литературу в конце главы),,
вопросы устойчивости элементов конструкций освещены в общих курсах
сопротивления материалов, строительной механики и прикладной теории
упругости.
Систематизированный справочный материал по расчету на устойчивость
элементов конструкций дан в работах [2], [24], [54], [89] и др.
§ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
В различного рода конструкциях и сооружениях весьма большое приме-
нение находят детали, у которых или два измерения малы по сравнению
с третьим (прямолинейные и криволинейные стержни), или одно измерение
мало по сравнению с двумя другими (тонкие пластины, тонкостенные обо-
лочки). Особенностью этих деталей по сравнению с телами, у которых все три
измерения — величины одного порядка, является то обстоятельство, что
при действии некоторых категорий нагрузок даже малые упругие перемеще-
ния могут существенно изменять действие внешних сил. Это обстоятельство
исключает положение о том, что заданной системе внешних сил соответствует
только одна форма равновесия (так называемая теорема Кирхгофа). Исследо-
вание упругого равновесия в этих особых случаях приводит к заключению
о существовании для некоторых типов нагрузок так называемых критических
значений внешних сил, т. е. значений, при которых могут появиться
несколько форм равновесия, соответствующих одной и той же системе внеш-
них сил (раздвоение форм равновесия). В связи с этим возникает весьма
существенный вопрос об исследовании характера этих форм равновесия
деформированного тела. Необходимо установить, являются ли они устойчи-
выми или неустойчивыми.
Равновесие называется устойчивым, если при малом отклонении от поло-
жения равновесия тело возвращается в исходное положение; равновесие
будет неустойчивым, когда тело при малом отклонении уже не возвращается
Элементы, теории устойчивости сжатых стержней
765
в прежнее положение, а отклоняется далее, и безразличным, когда тело,
будучи отклонено, остается в равновесии и в новом положении.
В механике абсолютно твердого тела характер равновесия, как правило,
не зависит от величины действующих сил. В механике же деформируемого
тела существенна как раз эта зависимость характера равновесия от величины
приложенных сил.
Действительно, рассмотрим прямолинейный стержень с шарнирно опер-
тыми концами, сжатый центрально приложенной
Опыт показывает, что характер
равновесия между внешней си-
лой Р и внутренними силовыми
факторами, возникающим^
в стержне при его деформации,
существенным образом зависит
от величины силы Р. Если си-
ла Р достаточно мала, то в по-
перечных сечениях стержня
возникает только нормальная
сила N = Р (фиг. 583, б) и
равновесие между внешними и
внутренними силами, соответ-
ствующими прямолинейной
форме стержня, устойчиво. При
возрастании силы Р наступает
момент, когда эта форма равно-
весия между внешними и внут-
ренними силами становится не-
устойчивой. Возникает новая
криволинейная форма; в этом случае внешняя сила Р уравновешивается
внутренней силой N и внутренним моментом М = Pv (фиг. 584). Эта криво-
линейная форма равновесия устойчива.
Итак, при некотором значении нагрузки Р возникает новая форма равно-
весия (криволинейная), а прежняя форма равновесия (прямолинейная)
из устойчивой переходит в неустойчивую.
Соответствующее значение нагрузки носит название критического значе-
ния и обозначается через Ркр.
Перейдем к аналитическому исследованию рассматриваемого вопроса.
Во всем дальнейшем изложении (за исключением § 6) предполагается,
а)
Фиг.
fi)
583.
силой Р (фиг.
N
Фиг. 584.
что критическое напряжение
а =
кр р
583, а).
м
Р
не превышает предела пропорциональности а материала стойки. Другими
словами, предполагается, что потеря устойчивости стойки происходит
в области упругих деформаций, в пределах применимости закона Гука для
материала стойки.
Наиболее общий признак равновесия материальной системы формули-
руется началом возможных перемещений (принцип Лагранжа). В рассматри-
ваемом случае все действующие силы (силы упругости и силы тяжести)
обладают потенциальной функцией и принцип Лагранжа может быть выражен
следующим образом: необходимым и достаточным условием равновесия слу-
жит равенство нулю приращения потенциальной функции всех действующих
сил (и внешних и внутренних) при любых возможных отклонениях от рас-
сматриваемого положения. Характер равновесия (устойчивое или неустой-
чивое) исследуется с помощью принципа Дирихле: в устойчивом состоянии
766 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
равновесия потенциальная функция имеет минимум, в неустойчивом — мак-
симум; в безразличном состоянии равновесия потенциальная функция во всех
положениях, смежных с исследуемым, одинакова.
Применим принцип Дирихле к исследованию характера равновесия пря-
молинейной формы сжатого стержня. Для этого достаточно рассмотреть
весьма малые отклонения от прямолинейной формы. Дифференциальное
уравнение криволинейной формы равновесия (том 1, глава X)
EJ — = — Pv,
р
где кривизна
1 _ d2v
р ' ' dz2 9
так как нами рассматриваются только малые отклонения от прямолинейной
формы. Общий интеграл дифференциального уравнения
имеет следующий вид:
v = A sin kz + Bcoskz,	(1)
где
Для определения постоянных интегрирования А и В используем краевые
условия рассматриваемой стойки.
Для нижнего конца стойки (при z = 0) прогиб v = 0 и, следовательно,
В = 0. Для верхнего конца стойки (при z = I) прогиб v = 0 и, следова-
тельно, A sin kl = 0. Отсюда или А = 0 и sin kl — произвольная величина,
но тогда прогибы v (z) тождественно обращаются в нуль, т. е. имеет место
прямолинейная форма равновесия, или же Л =И= 0 и sin kl = 0, что
и является условием возникновения криволинейной формы равновесия.
Наименьший отличный от нуля корень определяющего уравнения
sin kl = 0 есть kl = тг, откуда критическое значение нагрузки
Ркр = **Ц- .	(2)
Необходимо отметить, что в формулу (2) входит наименьший из двух глав-
ных центральных моментов инерции поперечного сечения стойки J = J min-
is дальнейшем это обстоятельство особо оговариваться не будет и распро-
страняется на все полученные ниже формулы.
Критическое значение нагрузки на сжатый стержень с шарнирно опер-
тыми концами было впервые получено Л. Эйлером и опубликовано в 1744 г.
в его классическом исследовании [112].
Теория упругой устойчивости Эйлера справедлива для монолитных стерж-
ней и для тонкостенных стержней закрытого профиля.
Теория устойчивости тонкостенных стержней открытого профиля
(см. главу XIV) дана в работах В. 3. Власова [17].
Итак, уравнение криволинейной формы равновесия (при весьма малых
отклонениях) имеет следующий вид:
л - Ю
v = A sin — •
Элементы теории устойчивости сжатых стержней
767
Геометрический смысл параметра А — это перемещение (прогиб) v при
z =	I. Обозначим это перемещение через f, тогда
v = /sin^>	(3)
Заметим, что величина параметра А = f, несмотря на использование всех
краевых условий задачи, остается неопределенной (не связанной с величиной
нагрузки Р). Эта неполнота изложенного решения объясняется двумя
обстоятельствами: во-первых, использованием приближенного выражения
для кривизны
1 d2o
Р dz2
и, во-вторых, использованием неточного выражения для ординаты подвиж-
ного конца стойки. В действительности при искривлении стойки ее верхний
конец несколько смещается и его ордината z < I.
Исправление второго из отмеченных обстоятельств выполнено М. М. Фило-
ненко-Бородичем [102].
Потенциальная функция П системы при весьма малых отклонениях
от прямолинейной формы выражается как сумма двух слагаемых: потен-
циальной энергии деформации (изгиба) стойки
о	о
и потенциала груза Р, приложенного к верхнему концу стойки,
U=-PX—P--1-J (-£)’*;
о
здесь	dz представляет собой сближение концов стойки при
о
переходе прямолинейной формы в криволинейную (при весьма малых откло-
нениях) (см. том I, главу X). Используя зависимость (3), приходим к следую-
щему выражению для потенциальной функции:
гг__ гс2 Г n2EJ _ р I -2
1	4/ [ Z2 J *
Таким образом, П есть квадратичная функция параметра f. Руковод-
ствуясь принципом Дирихле, исследуем функцию П на экстремум:
JII_ тс2 n2EJ____р 1 р_~
If “ ~2l	^ | / — и*
Отсюда или f = 0 и Р — произвольная величина, т. е. прямолинейная
форма равновесия существует при любой величине нагрузки, или же f + 0
и Р = Ркр, что определяет условие возникновения криволинейной формы
(так как рассматриваются весьма малые отклонения от прямолинейной
формы). Характер экстремума функции П,т. е. характер равновесия прямо-
линейной формы, определяется знаком второй производной:
d2n _ к2 | n2EJ р"|
~dp “ ~2Z~ [“Т2	‘	*
768 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
При нагрузках Р < Ркр вторая производная П" > 0, т. е. потенциаль-
ная функция системы имеет минимум, и, следовательно, прямолинейная
форма равновесия устойчива.
При Р > Ркр вторая производная П"<0, т. е. потенциальная функция
имеет максимум и прямолинейная форма равновесия неустойчива.
Итак, при
р р  k2EJ
*	ГКр	/2 »
помимо прямолинейной формы равновесия стержня, возникает криволиней-
ная форма. При этом прямолинейная форма равновесия переходит из устой-
чивого состояния в неустойчивое.
Когда нагрузка достигнет значения критической силы второго порядка,
р —fa2 —
Г Кр   /2 »
то возникает еще одна новая криволинейная форма равновесия и т. д. Как пра-
вило, критические силы высших порядков и соответствующие им криволи-
нейные формы равновесия не представляют какого-либо практического
интереса.
Исследование устойчивости первой криволинейной формы равновесия
принципиально совершенно аналогично проведенному выше исследованию
прямолинейной формы. Некоторое отличие заключается лишь в том, что для
точного исследования здесь необходимо предварительно получить уравнение
криволинейной формы равновесия для конечных сколь угодно больших пере-
мещений. Это обстоятельство значительно осложняет составление и исследо-
вание потенциальной функции.
Результаты исследования показывают, что первая криволинейная форма
равновесия устойчива. Приближенное рассмотрение этого вопроса дано
в работе [9].
Итак, теоретически при нагрузке Р, заключенной в интервале между
первым и вторым критическими значениями, возможно существование двух
форм равновесия: неустойчивого — прямолинейного и устойчивого — криво-
линейного. Практически, конечно, будет иметь место только одна устойчивая
криволинейная форма. И. Я. Шгаерман в работе [111 ] отмечает: «. . . вероят-
ность того, что стержень изогнется, безгранично больше вероятности сохра-
нения им прямолинейной формьц природа не терпит неустойчивых состояний
равновесия и всегда создает причины, переводящие тела в состояния устой-
чивого равновесия».
§ 2. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ НАГРУЗКОЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯМИ
ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ФОРМЫ РАВНОВЕСИЯ
Для решения вопроса о допустимости в конструкциях нагрузок, близких
или равных критическим, необходимо предварительное рассмотрение зави-
симости между перемещениями, соответствующими криволинейной форме
равновесия, и величиной действующей силы.
А. Н. Крылов в своем классическом исследовании этой проблемы говорит:
«У техника и инженера сами собою возникают вопросы о том, что на самом
деле произойдет со стойкой, когда нагрузка превысит Эйлеров предел,
какова тогда форма или формы, если их несколько, равновесия, как велик
будет «бокэвой прогиб» и «усадка» стойки, каковы будут эти величины, если
нагрузка «весьма мало» превысит предельную, будут ли тогда «малая»
усадка и «малый» прогиб того же порядка малости, как и превышение
нагрузки, или иного и какого именно?»
Зависимость между нагрузкой и перемещениями для криволинейной формы 769
Для ответа на эти вопросы обратимся к рассмотрению точного дифферен-
циального уравнения упругой линии:
EJ-±-=—Pv.
₽
Кривизна кривой
1 _ а»
р ds ’
где & — угол, образованный касательной к кривой с положительным направ-
лением оси z (фиг. 585), a ds — длина элемента оси изогнутого бруса.
Обозначая
Р
EJ ’
получаем точное дифференциальное уравнение криволи-
нейной формы равновесия:
Для дальнейших преобразований и решения уравне-
ний используем работу [6].
Замечая, что
dv . п
-V- = Sind,
ds
и интегрируя, имеем
---kzi? =— cos Ф	С.
Учитывая, что при z = 0 v = 0 и = ^о, получаем С = cos и, сле-
довательно,
= 4-1/sin2—sin2-|--	(5)
Наибольший прогиб соответствует & = 0:
2 . O'q	/г; х
= — SIH -f.	(5а)
Пренебрегая продольными деформациями (сжатием) стойки, можно счи-
тать, что длина изогнутой оси равна первоначальной длине стойки /.
Используем это обстоятельство для определения d0. Обозначив
sin А = 7 и sin = -у/,
из зависимостей (4) и (5) устанавливаем, что элемент дуги
1_____d&
2^ ’ У 1 — *2 ’
Согласно введенным обозначениям, d = 2 arcsin 7 t, откуда
dd =
2^dt
У 1 — 72/2
49 Пономарев 508
770 Критич. значения нагрузок, при плоских формах равновесия сжатых стержней
и, следовательно, элемент дуги
ds =----- • .
k t2-/1 — t2t2
Рассматривая нижнюю половину стойки, что соответствует интегрирова-
нию от t = 1 (д = Во) до t = 0 (& = 0), имеем
—- = — С —————
2 k jyi__Z2. у \ — ^t2 •	' >
Для вычисления полученного эллиптического интеграла первого рода
необходимо или преобразовать его к табличному виду или применить разло-
жение подынтегрального выражения в ряд и ограничиться несколькими
членами разложения. Остановимся на втором способе; это даст возможность
получить простое и удобное выражение для наибольшего прогиба. Как
известно,
_ 1
(1_^) 2 = 1 + 4-	^^4+..
Внося полученный равномерно сходящийся ряд в выражение (6) и ограни-
чиваясь в дальнейшем двумя первыми членами разложения, имеем
' = т(‘ + -М-
откуда
1=sin 41=2/4-1.
Подстановка полученного значения Т в зависимость (5а) дает
= Ту ]/" Ти 1
Предельное значение k, при котором Утах переходит от мнимого значения
TZ	EJ
к вещественному, равно k = отсюда Ркр = тс2 ---------критическое зна-
чение нагрузки. Следует отметить, что использование как точного, так
и упрощенного -у-у") дифференциального уравнения упругой линии
приводит к одинаковому выражению для критического значения нагрузки.
Преобразовывая зависимость (7), устанавливаем окончательное выражение
для наибольшего прогиба при нагрузках, превышающих критическую:
v — JL i л /Г1/ Lep._^ер .
к L |/ У р р
(8)
Р
Если-.—- = 1,001, т. е. нагрузка на стойку превышает критическую
“кр
только на 0,1°/п, то umnY = 0,0282/, т. е. составляет приблизительно 3%
7 U7	ГГШл	77	А
Р
от длины стойки. При -Б— = 1,010^ т. е. при превышении критической
*кр
нагрузки на 1°/0, -ипах = 0,0895 I и составляет уже около 9% от длины I.
Заметим, что если не прибегать к разложению в ряд, а воспользоваться
р
таблицами эллиптических интегралов, то для =— = 1,010 v = 0,0887 /,
* кр
т. е. погрешность формулы (8) является достаточно малой.
Зависимость между нагрузкой и перемещениями для криволинейной форм 771
Итак, при нагрузках, больших критической, прогибы стойки, а следова-
тельно, и напряжения, вызываемые изгибом стойки, растут весьма резко.
Это обстоятельство и является основной причиной категорического требова-
ния, чтобы фактическая нагрузка была значительно меньше критической
силы.
Кроме указанных выше работ, посвященных исследованию перемещений
при нагрузках, больших критической, необходимо отметить работы
Б. Г. Галеркина [20], [21], В. П. Ветчинкина и Н. Г. Ченцова [16],
Е. Н. Тихомирова [93]—[96] и фундаментальные исследования
Е. П. Попова [75] в области больших упругих перемещений гибких
деталей.
Все приведенные выше рассуждения о величине критического значения
нагрузки и о перемещениях при нагрузках, больших критической, имеют место
только при наличии линейной зависимости между напряжениями и деформа-
циями (при соблюдении закона Гука), т. е. при напряжениях, меньших пре-
дела пропорциональности.
А. Н. Динник в одной из своих работ приводит следующий пример весьма резкого возра^
станин напряжений при переходе нагрузкой ее критического значения. Для стального стержня,
с шарнирно опертыми концами длиной I = 3 м и поперечным сечением в виде прямоугольника
с размерами b — 12 см и /г = 1 см наименьший момент инерции сечения
Jmln —	— 1
и. следовательно, критическое значение нагрузки
EJ	2-10М
Ркр =	— 9,87* gе।Q4 = 219кг,
а величина критического напряжения
Р*Р 219	1«	, 2
акр — ~~р~ = “12~ ~ ° кг/см2.
При этом, Конечно, предполагается, что стержень изготовлен точно прямым, нагрузка
приложена строго по оси стержня и т. д. Представим себе, что фактическая нагрузка на стержень
достигла Р = 221 кг, т. е. превысила критическую только на 1%. Тогда максимальный, прогиб
составляет
итах 0,09*3001= 27 см,
изгибающий момент в соответствующем сечении стержня
М = Рутах — 221-27	6000 кгем
и дополнительные напряжения от изгиба
М 6000
а = -уу- = —g— = 3000 кг/см2.
Итак, при превышении нагрузкой ее критического значения на 1% напряжения возра-
стают больше чем в 150 раз. Заметим, что в действительности благодаря неизбежному эксцентри-
цитету приложения нагрузки, наличию малой начальной кривизны стержня (погибь стержня)
и тому подобным обстоятельствам изгиб стержня практически имеет место и при нагрузках,,
меньших критической.
Таким образом, переход к новой форме равновесия вызывает весьма резкое
возрастание напряжений в стержне: к первоначальным напряжениям
от сжатия добавляются напряжения от изгиба, во много раз превышающие
первые.
Исключительно интенсивное возрастание напряжений при Р = PKJ} тре-
бует рассмотрения критической силы как предельной (разрушающей)?
нагрузки. Как правило, в конструкциях и сооружениях допускаются
нагрузки только значительно меньшие критических. Отношение критического
49*
772 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
значения нагрузки к ее фактической величине называется коэффициентом
запаса устойчивости т:
P-f = m.	(9)
В практике конструирования величины коэффициентов запаса устойчи-
вости т принимаются в зависимости от материала стержня. Так, для сталь-
ных стержней коэффициент запаса устойчивости назначается в пределах
от 1,5 до 3,0, для стержней из дерева т колеблется от 2,5 до 3,5, для стержней
из чугуна — от 4,5 до 5,5. На приведенные значения коэффициентов запаса
устойчивости следует смотреть, как на ориентировочные.
Меньшие из указанных величин используются при более точных методах
расчета, при достаточном соответствии между расчетной схемой и реальной
конструкцией и т. д. При расчете отдельных конструкций возможны значи-
тельные отклонения от приведенных значений коэффициентов запаса устойчи-
вости (главным образом в сторону увеличения). Так, для поршневых скалок
^паровозов различных серий, применяемых на железных дорогах СССР,
коэффициент запаса устойчивости колеблется от 5,0 до 6,5 [90].
Таким образом, допускаемая сжимающая нагрузка из расчета на устойчи-
вость
{Р} = ~Ркр,	(9а)
где т — приведенные выше значения коэффициентов запаса устойчивости.
Ряд числовых примеров расчета на устойчивость дан в § 7.
§ 3.	ОДНОПРОЛЕТНЫЕ СТОЙКИ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
Основным методом точного определения критического значения нагрузки
является непосредственное интегрирование дифференциального уравнения
криволинейной формы равновесия. При использовании этого метода вычисле-
ние критической силы сводится к решению путем подбора достаточно слож-
ных трансцендентных уравнений. Поэтому при практическом осуществлении
расчетов на устойчивость большое значение приобретают таблицы корней
этих уравнений, т. е. заранее вычисленные значения коэффициентов критиче-
ских сил.
Как было показано в предыдущем параграфе, для нахождения точного
значения критической силы достаточно рассматривать упрощенное диффе-
ренциальное уравнение упругой линии, т. е. уравнение, в котором кри-
1	О	О	П	*
визна — заменена	второй	производной	В	общем	случае сжатого
стержня критическое значение нагрузки может быть выражено как
Ркр — Ъ 12 —	.	(Ю)
где т] — коэффициент критического значения нагрузки или коэффициент
критической силы и р — коэффициент приведенной длины; эти коэффи-
циенты связаны между собой очевидным соотношением
Коэффициенты -г; и р отражают следующие три фактора:
1)	характер связей (линейные и угловые, абсолютно жесткие или упругие),
наложенных на торцовые и промежуточные сечения стержня;
Однопролетные стойки постоянного сечения
773
2)	характер нагружения стержня внешними силами (сосредоточенные,
распределенные);
3)	характер изменения сечения стержня по его длине (постоянное, сту-
пенчатое, непрерывно переменное).
А. Стойки, нагруженные продольными силами, приложенными
к их торцовым сечениям
Значения коэффициентов т| и у, для различных однопролетных стоек,
у которых: 1) абсолютно жесткие линейные и угловые связи наложены только
на торцовые сечения, 2) внешние силы приложены только к торцовым сече-
ниям, 3) поперечное сечение постоянно по длине стойки, сведены в табл. 104.
Таблица 104
Значения коэффициентов *Г] и у. для однопрцлетных стоек с различными
креплениями торцовых сечений
Коэффициенты в выражениях для кри- тической силы	1Д	U	Д;	р	1 Ж]	Р		к	*•4.	1?
				ТО					
	I	II	III	IV			V	VI	VII
	2,467	2,467	9,870	9,870			20,19	20,19	39,48
	2	2	1	1			0,699	0,699	0,5
7] *	7,87	—	18,5	18,9			52,5	29,6	73,6
Примечав и е. Коэффициенты i] и |а относятся к стойкам, нагруженным силами, при-
ложенными к торцовым сечениям [см. формулу (10)]. Коэффициент iq * относится к случаю
нагружения стойки силами, равномерно распределенными по длине [см. формулу (14)].
Нижние концы у стоек /, IV, V и VII заделаны, а у стоек II, III
и VI оперты шарнирно.
Верхний конец стойки I свободен от связей. В стойках II и IV верхние
концы помещены в подвижную втулку, т. е. они могут свободно перемещаться
в направлении, перпендикулярном к оси стержня, но поворачиваться
не. могут (абсолютно жесткая угловая связь). В стойках III и V на верхние
концы наложена абсолютно жесткая линейная связь (каток), т. е. концы
могут свободно поворачиваться, но не могут перемещаться в направлении,
перпендикулярном к оси стержня. Верхние концы стоек VI и VII помещены
в неподвижную втулку, т. е. они не могут ни поворачиваться, ни переме-
щаться в боковом направлении (комбинированная угловая и линейная связь)
774 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
и могут лишь перемещаться в направлении силы Р. В качестве примера
рассмотрим получение критического значения нагрузки для стойки V.
Допустим, что продольная сжимающая сила Р несколько больше своего
критического значения, тогда устойчивой формой равновесия для стойки
будет некоторая криволинейная форма (фиг. 586).
Дифференциальное уравнение изогнутой оси и его
общий интеграл имеют следующий вид:
EJ^=-Pv + T(l-z)
Фиг. 586.
И
т т
и = Л sin &? +В cos Z>z--p- z + -р-1.
Удовлетворяя краевым условиям v (0)= 0 и
для нижнего конца стойки (z — 0), можно
произвольные постоянные интегрирования А
реактивную силу Т:
л 1 Т о Т ,
А ~ k ‘ Р и В ~ Р L
V1 (0) = 0
выразить
и В через
Тогда упругая линия стойки выразится следующим
уравнением:
Т Г 1  . ,	,	,	. ,1
V = -р- sin kz — I COS kz — Z + Z •
Используем краевое условие для верхнего конца (z — I) стойки v (Z) = 0.
Замечаем, что для криволинейной формы равновесия Т =£ 0; тогда получим
трансцендентное уравнение для вычисления критического значения
нагрузки:
tgkl— kl=0.	(11)
Подбором находим наименьший (после нуля) корень этого уравнения:
М = 1,430 тс = 4,493, откуда уже легко определяются величины коэффи-
циентов критической силы и приведенной длины: ц = 4,4932 = 20,19;
г - тда- = °'699'
Вносим полученное критическое значение kl в уравнение упругой линии
и приводим его к следующему виду:
п Г 1	. 4,493г	4,493г г . 1 1
у = с|тж5,п~—cos—I-------------Т + 1]’
где
г _	_ Tl
ь ~ Р ~ Р '
Таким образом, используя упрощенное дифференциальное уравнение,
криволинейную форму равновесия можно определить только с точностью,
до некоторого произвольного множителя С, а значения реакции Т и реактив-
ного момента УЛ остаются неопределенными.
В большинстве практически встречающихся случаев крепление концов
стойки осуществляется наложением не абсолютно жестких связей, а связей,
способных деформироваться. Теоретическое исследование устойчивости таких
стоек затрудняется некоторой неопределенностью степени податливости
реальных связей. Какие-либо рекомендации в этом направлении должны быть
Однопролетные стойки постоянного сечения
775
основаны на результатах экспериментального исследования конкретных
конструкций. Естественно, что эти рекомендации должны отражать специфи-
ческие особенности различных отраслей машиностроения. Так, в станко-
строении [83 ] принято определять характер опор ходовых винтов в зависи-
мости от отношения длины опоры /0 к ее внутреннему диаметру d0, а именно
при —I,5 рекомендуется рассматривать опору как шарнирную, а при
«о
> 3 — как совершенную (абсолютно жесткую) заделку. Для опор с про-
«О
межуточными отношениями длины к диаметру 1,5 <	<3 заделка счи-
«о
тается несовершенной.
В этом случае даются следующие рекомендации: если один конец винта
заделан совершенно (-у- > 3), а другой несовершенно, то коэффициент кри-
тической силы и коэффициент приведенной длины соответственно прини-
маются равными -г| = 2,8 it2 и у. =	0>60.
Если оба конца заделаны несовершенно, то ц = 1,8 тс2 и р- — —
у 1,8
0,75.
В литературе по станкостроению [3] дается также следующая рекоменда-
ция по вычислению минимального момента инерции сечения винта, входя-
щего в выражение для критического значения нагрузки:
Ttdi /	d\ \
/mm =	(0,375 + 0,625-^-),
где di — наружный диаметр;
d2 — внутренний диаметр резьбы.
Эта формула получена в результате экспериментов над винтами с трапе-
цеидальной резьбой с целью учета влияния витков на жесткость винта.
Для нормальной трапецеидальной резьбы по ОСТу 2410 при номинальном
диаметре от 12 до 125 мм отношение d± : d2 колеблется в пределах между 1,40
и 1,15; оно тем больше, чем меньше диаметр резьбы. Следовательно, попра-
вочный множитель в приведенной формуле для Jmin лежит в границах
между 1,25 и 1,10. Коэффициент запаса устойчивости при расчете винтов
принимается порядка m = 3	4. Меньшие значения m рекомендуются
для расчета вертикальных винтов и большие — для винтов, расположенных
горизонтально.
Б. Стойки, нагруженные продольными силами, приложенными
в промежуточных и торцовых сечениях
Рассмотрим консольную стойку, нагруженную двумя продольными
силами: силой Рх, приложенной к торцовому сечению, и силой Р2, приложен-
ной в некотором промежуточном сечении (фиг. 587).
Введем обозначения:
ч=и-; *’ = & **=*; + 4
Тогда дифференциальное уравнение упругой линии I участка (b < z < /)
и его общий интеграл имеют следующий вид (фиг. 587):
776 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
и
v — Лл sin ktz + Bj cos ktz + Д.
Аналогично для II участка (0 < z < b)
И
z>2 = A2sin kz + B2coskz + (jp) h + (-у-)2/г-
Используем шесть краевых условий:
1) v2 (0) = 0;	2) v'2 (0) = 0;	3) v2 (b) = f2,
4) v1(&) = /2; 5) O1(0 = A; 6) v\(b) = v'2(b)
и приходим к системе двух линейных однородных
уравнений относительно прогибов Д и f2 в местах при-
ложения продольных сил:
(-у)*0—C0SWi— [(-г)2 + (пгГСО5/гй] = 0;
(T~i------zr si*1 /1 — (~Г~£-Ь “ТГ s'n /г = 0-
\ tg kxa k	/ '1	\ tg kta * k	/ '2
Приравнивая нулю определитель, образованный из
коэффициентов этих уравнений (в противном случае
прогибы Д и f2 тождественно равны нулю, что соот-
ветствует прямолинейной форме равновесия), после
ряда элементарных преобразований приходим к сле-
дующему трансцендентному уравнению, определяющему
критическое значение нагрузки:
tg kta tg kb = -A •	(12)
Задаваясь различными значениями отношений -Е-,	и решая
I I Л 1
подбором трансцендентное уравнение (12), получаем соответствующие зна-
чения коэффициента т), входящего в выражение (13) для критического значе-
ния нагрузки:

(13)
Величины коэффициента критической силы сведены в табл. 105 [42].
В работе [91] исследована устойчивость стойки с шарнирно опертыми
концами, нагруженной силами Pi и Р2- Там же дана краткая таблица коэф-
фициентов приведенной длины
Для других случаев крепления концов стоек соответствующий справоч-
ный материал, дающий точные значения коэффициентов т| и р-, к сожалению,
в литературе отсутствует.
Графический метод нахождения критического значения нагрузок, прило-
женных к торцовым и промежуточным сечениям стойки, в случае простейших
краевых условий изложен в работе [1].
Примерами применения в машиностроении сжатых стержней с осевыми
нагрузками, приложенными к промежуточным сечениям стойки, могут слу-
жить ходовые винты токарно-винторезных станков [33 ], поршневые компрес-
соры со сквозными штоками, т. е. с подвесными или с частично разгружен-
ными поршнями, а также машины типа тандем.
Стойки постоянного сечения с промежуточными опорами
777
Таблица 105
Значения коэффициента критической силы т] для консольных стоек, нагруженных
силой Рг в торцовом сечении и силой Р2Ь приложенной в некотором промежуточном
сечении [см. фиг. 587 и формулу (13)]
ь 1	' Рг : Pi	1										
	0	0,1	0,2	0,5	1,0	2.0	5,0	10	20	50	100
0	2,467	2,714	2,961	3,701	4,935	7,402	14,80	27,14	51,82	125,8	249,2
0,1	2,467	2,714	2,960	3,698	4,930	7,377	14,68	26,66	49,86	111,6	176,3
0,2	2,467	2,710	2,953	3,679	4,880	7,207	13,78	23,19	36,33	50,96	56,48
0,3	2,467	2,703	2,936	3,622	4,712	6,769	11,70	16,82	21,37	24,89	26,14
0,4	2,467	2,688	2,904	3,525	4,470	6,074	9,187	11,57	13,29	14,52	14,97
0,5	2,467	2,665	2,856	3,384	4,136	5,268	7,060	8.210	8,963	9,488	9,675
0,6	2,467	2,635	2,793	3,211	3,759	4,497	5,504	6,048	6,434	6,674	6,764
0,7	2,467	2,599	2,715	3,020	3,385	3,830	4,376	4,660	4,834	4,952	4,993
0,8	2,467	2,557	2,636	2,821	3,040	3,280	3,551	3,685	3,765	3,818	3,836
0,9	2,467	2,513	2,551	2,641	2,734	2,832	2,936	2,986	3,015	3,033	3,040
1,0	2,467	2,467	2,467	2,467	2,467	2,467	2,467	2,467	2,467	2,467	2,467
В. Стойки, нагруженные продольными силами, распределенными по их длине
В этом случае дифференциальное уравнение упругой линии представляет
собой уравнение с переменными коэффициентами. При продольных силах,
равномерно распределенных по длине, и для целого ряда других случаев его
общий интеграл может быть выражен через функции Бесселя дробных поряд-
ков.
Наиболее полное исследование расчета на устойчивость стоек, нагружен-
ных распределенными силами, дано в ряде работ А. Н. Динника [26], [27];
результаты этих работ кратко изложены в его монографиях [28] и [29].
Истории вопроса посвящена интересная работа Е. Л. Николаи [64].
В табл. 104 (нижняя строка) приведены значения коэффициента в фор-
муле (14) для критического значения нагрузки:.
где q — интенсивность продольных сил, равномерно распределенных па
длине стойки.
Интересным техническим примером расчета на устойчивость при распре-
деленных продольных силах (собственный вес) могут служить очень тонкие-
вольфрамовые нити для электрических лампочек накаливания.
Расчет на устойчивость при одновременном действии сосредоточенных
и распределенных сил изложен в монографиях [28] и [29]; некоторые слу-
чаи нагружения стоек продольными силами, распределенными по части их
длины, рассмотрены в работе [49]. Приближенные расчеты стержней на
устойчивость от нагрузок, распределенных подлине, изложены в работе [61].
§ 4. СТОЙКИ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ С ПРОМЕЖУТОЧНЫМИ ОПОРАМИ
В машиностроении достаточно часто встречаются с необходимостью рас-
чета на устойчивость сжатых стоек с промежуточными опорами и с раз-
личными условиями крепления торцовых сечений. Так, в работе [82] ука-
зывается, что «основными деталями в станках, подлежащими расчету на.
устойчивость, являются работающие на сжатие ходовые винты и штоки;
'778 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
расчет на продольный изгиб для ряда случаев сводится к расчету стержней
с промежуточными опорами».
В качестве примера расчета на устойчивость стоек с промежуточными
спорами рассмотрим двухпролетную стойку с шарнирным креплением обоих
концов (фиг. 588, а). Допустим, что продольная сжимающая сила Р не-
сколько больше своего критического значения; тогда устойчивой формой
равновесия для стойки будет некоторая криволинейная форма (фиг. 588, б).
Дифференциальные уравнения изогну-
той оси участков I и II стойки имеют
следующий вид:
dz\
S)
Фиг 588.

EJ ^=-Pv2 + T2z2>
где Ti и Т2 — горизонтальные реакции
верхней и нижней опор стойки.
Общие интегралы этих уравнений
(обозначая k2 — будут:
т
sin kzt + BL cos kzv-------p-Zy,
T
v2 — A2 sin kz2 + B2 cos kz2 + -p- z2.
Исходя из краевых условий участка I
vi (0) = 0 и t»i (а) — 0, имеем
Л1 =  D Tia. и = 0.
1 Psinka 1
л2 =
Аналогично из краевых условий уча-
стка II, v2 (0) = 0 и v2 (b) = 0:
^2^ и В = О
Р sin kb 2
Используем теперь то обстоятельство, что изогнутая ось стойки — плав-
кая кривая, а следовательно, на границе участков (а) = и'2 (&), т. е.
Т\ka	1	7\	T2kb * < > 7^2
- n, - cos ka------=------D --rr cos kb H—
P sin ka	P Psmkb	1 P
Из условий равновесия стойки
После ряда элементарных преобразований приходим к соотношению
ka — tg ka _____________________ tg kb — kb	у, гк
• ka tg ka kbtgkb *	'
^которое представляет собой определяющее уравнение для вычисления крити-
ческой силы двухпролетной стойки с шарнирным креплением обоих концов.
В предельных случаях а = /, b = 0 или а = 0, b = I мы имеем однопролет-
ную стойку с одним заделанным концом (две бесконечно близко расположен-
ные шарнирные опоры обеспечивают отсутствие углового перемещения,
Стойки постоянного сечения с промежуточными опорами
779
т. е. равносильны жесткой заделке) и другим концом, шарнирно опертым.
В этом случае определяющее уравнение (15) переходит в следующее:
tg kl— kl = 0.
Исследование устойчивости стоек с промежуточными опорами и различ-
ными закреплениями торцовых сечений дано в работе [53]. Во всех рассмот-
ренных случаях критическое значение нагрузки может быть выражено как
р _ EJ _ к* EJ
~	/2 — (^)2 >
где I — длина всей стойки.
В табл. 106 приведены значения коэффициента критической силы тд
и коэффициента приведенной длины jx для четырех стоек 7, 2, 3 и 4 с промежу-
Т облица 106
Значения коэффициентов и jx для стоек с промежуточной опорой и одним
шарнирно опертым концом
Критическая нагрузка Ркр = iq =	2 
Номер стойки	Коэффи- циенты	ь 1										
		0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
1		2,467	2,832	3,283	3,845	4,551	5,438	6,511	7,726	8,874	9,637	9,870
1	р*	2,00	1,87	1,73	1,60	1,47	1,35	1,23	1,13	1,06	1,01	1,00
п	Т)	9,870	11,33	13,11	15,25	17,72	20,19	21,88	22,14	21,40	20,55	20,19
Z	р	1,00	0,933	0,868	0,804	0,746	0,699	0,672	0,668	0,679	0,693	0,699:
о		20,19	23,23	27,06	31,75	36,80	39,48	36,80	31,75	27,06	23,23	20,19
О	р	0,699	0,652	0,604	0,558	0,518	0,500	0,518	0,558	0,604	0,652	0,699
А		39,48	45,27	51,97	58,92	58,84	51,12	41,68	33,96	28,09	23,63	20,19
4	р	0,500	0,467	0,436	0,412	0,410	0,439	0,487	0,539	0,593	0,646	0,699
780 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
точной опорой и нижним шарнирно опертым концом в зависимости от поло-
жения промежуточной опоры. Графическое изображение этих зависимостей
дано на фиг. 589. Аналогично в табл. 107 даются значения ig и р, для стоек 5, 6,
7, 8 с промежуточной опорой и нижним заделанным концом. Графическое
изображение зависимости этих коэффициентов от положения промежуточ-
ной опоры дано на фиг. 590.
В стойках 1 и 5 левый конец сво-
боден (консольные стойки). На
левый конец стоек 2 и 6 наложена
угловая связь, т. е. концы поме-
щены в подвижную втулку, обес-
печивающую отсутствие поворота
торцового сечения, но не запре-
щающие перемещения, перпенди-
кулярного к оси стойки. В стой-
ках 3 и 7 на их левый конец нало-
жена линейная связь (каток), обес-
печивающая отсутствие смещения
конца в боковом направлении.
На левый конец стоек 4 и 8 одно-
временно наложены угловая и линейная связи, т. е. концы помещены
в неподвижную втулку. Расстояние от правого конца стойки до промежу-
точной опоры обозначено через b и длина стойки через /.
В табл. 108 приведены значения коэффициента критической силы для
трехпролетной стойки, с шарнирно опертыми обоими концами. Коэффи-
циенты т] даны в зависимости от отношений у и ~, где 4 — длина левого
пролета, /2 — длина среднего пролета и Z — длина всей стойки.
Наибольшее значение критической силы имеет место при равенстве длин
всех трех пролетов. Это наибольшее значение
^ = 9к2^ = 88,83^.
Для трехпролетной стойки с одним заделанным и другим шарнирно
опертыми концами коэффициенты критической силы сведены в табл. 109,
а для стойки, один конец которой заделан, а другой помещен в неподвижную
втулку, — в табл. НО.
Подробное исследование критических сил для трехпролетных стоек дано
в работе [55 ].
Стойки постоянного сечения с промежуточными опорами
781
Таблица 107
Значения коэффициентов т] и р. для стоек с промежуточной опорой и одним
заделанным концом
р		।					Р							оо	ха	
									/у	1 —	h					
					 / 								и		и	* /	 					
	Pr J	- ж					Р	Г" 	 L	  — I	rzL,					
	а	f  ф 	 п	h	э-					<						
		—	 /							L_	- Q 		р	=•>				
		Критическая наг				рузка Ркр		_ ЕJ __ n2EJ 11 Z2	(р/)2					
Номер стойки	Коэффи- циенты	ь 1											
		0.	0,1	0,2	0,3		0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
5		2,467	2,883	3,414	4,105		5,021	6,260	7,990	10,39	13.59	17,24	20,19
	Р	2,00	1,85	1,70	1,55		1,40	1,26	1,11	0,975	0,852	0,757	0,699
6		9,870	11,53	13,65	16,37		19,90	24,42	29,82	35,10	38,41	39,40	39,48
	Р-	1,00	0,925	0,850	0,776		0,704	0,636	0,575	0,530	0,507	0,501	0,500
7	Т)	20,19	23,63	28,09	33,96		41,68	51,12	58,84	58,92	51,97	45,27	39,48
	Р-	0,699	0,646	0,593	0,539		0,487	0,439	0,410	0,412	0,436	0,467	0,500
8		39,48	46,13	54,45	64,56		75,22	80,76	75,22	64,56	54,45	46,13	39,48
	Р-	0,500	0,463	0,426	0,391		0,362	0,350	0,362	0,391	0,426	0,463	0,500
Для стоек с несколькими промежуточными опорами, т. е. для многопро-
летных стоек, существует ряд способов составления определяющего уравне-
ния.
Наиболее общий способ — непосредственное интегрирование дифферен-
циального уравнения криволинейной формы равновесия, как это проделано
выше для простейшего случая двухпролетной стойки. Другой способ,
в ряде случаев более быстро ведущий к цели, — использование «теоремы
о трех моментах», обобщенной на случай продольно-поперечного изгиба
(см. ниже пример расчета конденсаторных трубок в условиях меняющегося
теплового режима конденсатора).
Оригинальный графо-аналитический метод составления определяющего
уравнения для многопролетных стержней, нагруженных продольными
782 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
Таблица 10$
Значения коэффициента критической силы т] для стойки с шарнирно опертыми концами
и двумя промежуточными опорами
1	li 1										
	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
0	20,19	24,92	31,54	41,20	56,07	80,75	56,07	41,20	31,54	24,92	20,19
0,1	23,63	29,42	37,91	50,75	71,17	71,17	50,75	37,91	29,43	23,63	
0,2	28.09	35,61	46,90	64,42	85,58	64,42	46,90	35,61	.28,09		
0,3	33,95	43,98	59,23	81,27	81,27	59,23	43,98	33,95			
0,4	41,68	54,91	73,51	87,52	73,51	54,92	41,68				
0,5	51,12	65,92	78,75	78,75	65,92	51,12					
0,6	58,83	67,77	70,90	67,75	58,83						
0,7	58,16	60,68	60,72	58,16							
0,8	51,97	52,43	51,97								EJ
0,9	45,27	45,27		Критическое значение сжимающей нагрузки						?Kp —	
1,0	39,48			Р -Ч							
				IZZ/ >	’—h			/ 				'•—1	
				L				/			1	I		
	1	।		Г			с				
Таблица 109
Значения коэффициента критической силы tj для стойки с одним шарнирно опертым и другим заделанным концами и двумя промежуточными опорами											
1	li 1 											
	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
0	39,48	48,73	61,69	80,57	109,6	80,75	56,07	41,20	31,54	24,92	20,19
0,1	46,13	57,34	73,75	.98,15	107,3	71,67	50,92	38,04	29,45	23,63	
0,2	54,45	68,67	89,23	116,2	94,52	65,03	47,10	35,69	28,09		
0,3	64,56	81,78	90,27	114,1	84,29	59,78	44,16	33,95			
0,4	75,22	92,18	105,5	98,45	75,20	55,26	41,68				
0,5	80,77	89,28	90,78	82,65	66,75	51,12					
0,6	75,22	76,72	75,00	69,11	58,83						
0,7	64,56	63,95	62,02	58,16							
0,8	54,45	53,49	51,97								EJ
0,9	46,13	45,27		Критическое		значение сжимающей :			нагрузки	Ркр —	
1,0	39,48										
			Р								
											
					— 6 —	—— 1	1г				а-	
Стойки постоянного сечения с промежуточными опорами
783*

Таблица 110"
Значения коэффициента критической силы т) для стойки с одним помещенным
в неподвижную втулку и другим заделанным концами и двумя промежуточными опорами
h
1
1	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9		1,0	
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0	39,48 46,13 54,45 64,56 . 75,22 80,77 75,22 64,56 54,45 46,13 39,48	48,73 57,46 68,82 82,32 93,45 91,24 78,55 65,38 54,58 46,13	61,69 73,94 89,98 106,9 111,5 96,94 79,60 65,38 54,45	80,57 98,76 121,4 134,6 119,2 96,98 78,55 64,56 Крити Р _ ш	109,6 138,1 153,5 134,6 111,3 91,24 75,22 ческое	158,0 138,Г 121,4 106,9 93,45 80,77 значен;	109,6 98,72 89,98 82,32 75,22 ие ежи	80,57 73,94 68,82 64,56 мающей	61,69 57,46 54,45 нагрузки ।	48,73 46,13 ?кр~			39,48 'ej I2
								_ f ______					
						г	*1		1		*| *	4	У	*			
							1						
силами, приложенными в опорных сечениях, предложен Н. Е. Жуковским
в его исследовании устойчивости конструкции самолетов [34].
Для стержней с числом промежуточных опор более двух объем таблиц,
значительно возрастает и их составление становится затруднительным.
Для облегчения вычисления критических сил можно использовать достаточна
эффективный прием определения критического значения нагрузок на основе-
применения теории интегральных уравнений, предложенный Я- Л. Нудель-
маном [68]. Здесь также могут быть использованы исследования А. Р. Ржа-
ницына [81].
Независимо от применения того или иного метода, представляет интерес
один из результатов, полученных в работе [68]: первое критическое значение
сжимающей силы для многопролетного стержня не меньше критической силы
самого гибкого и не больше критической силы самого устойчивого из изоли-
рованных пролетов, на которые можно расчленить рассматриваемый стер-
жень.
Крепления концов стержня и его опертых промежуточных сечений прак-
тически в той или иной степени способны деформироваться. Таким образом,
все линейные и угловые связи, наложенные на стержень, вообще говоря,,
являются не абсолютно жесткими, а податливыми. При достаточно большой
величине податливости связей это обстоятельство существенным, образом
меняет величину критического значения нагрузки. Частным случаем расчета
на устойчивость стержня с податливыми связями является рассмотрение*
устойчивости стержня с упругими промежуточными опорами [28], [29], [91].
Несколько более общая постановка задачи о расчете стержня с упругими
связями дана в работе [73]. Устойчивость стержня с податливыми, но нели-
нейно деформируемыми связями изучена в значительно меньшей степени.
В ряде случаев расчетной практики встречается необходимость рассмотрев
ния устойчивости стержня, находящегося в упругой среде. Здесь образова-
ние криволинейной формы равновесия сопровождается возникновением?
784 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
реакций со стороны упругого основания, представляющих распределенную
поперечную нагрузку на стержень. Как правило, теория устойчивости стерж-
ней в упругой среде исходит из предположения, что интенсивность сил реак-
ций в рассматриваемом сечении стержня пропорциональна прогибу в этом
месте (гипотеза Винклера). При составлении дифференциального уравнения
криволинейной формы равновесия используется теория балок, лежащих
на упругом основании (том I, глава X). Краткое изложение вопроса приве-
дено в работах [28], [29], [73], [91].
Своеобразную задачу устойчивости представляет собой расчет длинных
толкателей и дорнов трубопрокатных станов. Эти детали имеют плоскую
боковую опору, расположенную с одной стороны на некотором малом рас-
стоянии от нижней грани толкателя. При достижении осевой сжимающей
силой первого критического значения толкатель искривляется и входит
в соприкосновение с боковой опорой. Возрастание нагрузки на тЬлкатель
создает контакт толкателя с боковой опорой на некоторой конечной длине.
При дальнейшем увеличении сжимающей силы линейный контакт пере-
ходит в соприкосновение по двум отдельным точкам и т. д. Подробное иссле-
дование поведения толкателя при нагрузках, больших первой критической,
изложено в статье [14].
Близкая к расчету толкателя задача об устойчивости сжатого стержня,
вставленного с некоторым малым зазором в жесткую трубу, рассмотрена
в работе [99 ], где исследовано все многообразие криволинейных форм равно-
весия (в области малых перемещений) и установлены соответствующие интер-
валы изменения величины осевой сжимающей силы.
Пример. Расчет конденсаторных трубок в условиях меняющегося теплового режима кон-
денсатора.
Латунные конденсаторные трубки, развальцованные концами в трубных досках, обла-
дают значительно большим коэффициентом линейного расширения, чем материал корпуса
конденсатора, и поэтому при нагревании находятся в сжатом состоянии. Обусловленные
изменением температуры силы взаимодействия между трубками и трубными досками достигают
достаточно большой величины и должны быть учтены при расчете на прочность этих деталей.
С увеличением температуры нагрева эти усилия возрастают до некоторого вполне определен-
ного предела, которым является критическое значение сил, сжимающих трубку. При дальней-
шем увеличении температуры возрастание усилий практически прекращается, так как теперь
изменение длины трубки от нагрева будет компенсироваться не упругим сжатием, а увеличе-
нием прогибов.
При определении критического значения сил, сжимающих трубку, существенную роль
играет то обстоятельство, что, помимо жесткого крепления ее концов (развальцовка в трубных
досках), трубка в ряде промежуточных сечений оперта на диафрагмы. Таким образом, рас-
сматриваемая задача сводится к расчету на устойчивость стержня с жестко заделанными кон-
цами и несколькими промежуточными опорами. На фиг. 591 изображены две подобные схемы
конденсаторных трубок.
Для определения критической силы используем метод «теоремы о трех моментах», обобщен-
ный на случай продольно-поперечного изгиба. Предварительно получим выражение для углов
поворота опорных сечений однопролетной балки, нагруженной в опорах сосредоточенными
моментами Мп и Мп^~1 и продольной сжимающей силой Р (фиг. 592).
Дифференциальное уравнение упругой линии
d2v Гл. М„ ,	. г, ]
или после преобразований
d2v	If	z ]
=- ту [	i\ 
Общий интеграл полученного дифференциального уравнения второго порядка с правой
частью
v = A sin kz + В cos kz-1 Мп— (Мп — Мп^) .
Стойки постоянного сечения с промежуточными опорами
785
Для определения произвольных постоянных интегрирования А и В используем краевые
условия: при z — 0 и z — 1п прогиб v — 0.
Введем обозначение: an = kln\ тогда
д____ 1 .	Мп CQS ап и q______ Мп
Р	Sin ап	~ Р
Фиг. 591.
Уравнение углов поворота сечений
& = — = Ak cos kz — Bk sin kz +	.
dz	P
Используя уравнения углов поворота сечений и установленные выше значения постоян-
ных А и В, определим величины углов поворота опорных сечений. Угол поворота на опоре п
пролета п, п + 1
П+1 = ££7"	+ kEJ1	<16> —
Угол поворота, на опоре п + 1 пролета п,
п + 1
а- ,, = м" Мп-±'-?„.	Н7)	Фиг. 592.
n+1, п Ш	kEJ ™	(1,)
В полученных выражениях введены следующие обозначения:
_ _1_____1 . __ 1________________________1_
<Fn — «п tg ап ’	™ — Sin а„ ап
(18)
где
ап = kln и k2 = -=гт- .
Используем выражения (16) и (17) для определения критического значения силы Р в случае
трехпролетной конденсаторной трубки (фиг. 591, а). Криволинейной форме равновесия соот-
ветствует возникновение изгибающих моментов Afi, Afg, М3, М± в сечениях 7, 2, 3 и 4 трубки.
Для их определения могут быть составлены следующие уравнения.
Сечение 1 жестко заделано и, следовательно,
= ~kST +	= °’
50 Пономарев 508
786 Критич, значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
т. е.
Mif 1 + Л12ф1 = 0.	(19)
Используем теперь условие плавности упругой линии на опоре 2, т. е. наличие общей каса-
тельной к упругим линиям пролетов 12 и 23 в сечении 2, имеем $21 = — &23 или в развернутом
виде
4- М2?1 = - [М2?2 + М3ф2].	(20)
Аналогичное условие плавности упругой линии на опоре 3 дает &32 = — &34 или в развер-
нутом виде
А12фг + ^з?2 = — [	+ М4фз].	(21)
Сечение 4 жестко заделано, и, следовательно,
&4з = [^зфз + з1 = 0»
т. е.
А1зФз + ^4?3 — 0.
(22)
Исключим из уравнений (19) и (20) момент Mi, а из уравнений (21) и (22) —момент Л44;
тогда мы придем к системе двух уравнений относительно моментов М2 и М3:
(23)
Для криволинейной формы равновесия моменты М2 и М3 отличны от нуля, и, следова-
тельно, определитель, образованный из коэффициентов системы (23), равен нулю:
Ф1
?1+?2-----— Ф2
д =	Л = о,
Фз
ф2 ?2+?з-------—
?3
или, после преобразований,
(	, Ф1 \	. Фз \	, 2 п
---— Д ?2 + ?3-----— ) -Ф2 = °-
(24)
Полученное выражение (24) представляет собой трансцендентное уравнение для вычисле-
ния критического значения сжимающей силы Р, Очевидно, что величина критической силы зави-
сит от соотношений между длинами пролетов Zj, I2, 13. Рассмотрим следующий числовой пример:
Zj = 13 = 1275 мм и Z2 = 2490 мм\ следовательно, aj = a3 и a2 = l,953aj. В этом случае
наименьший отличный от нуля корень уравнения (24)	= 2,514. По определению
“1
и, следовательно, критическая сила
Ркр = ^- = 6,320
Наружный и внутренний диаметры трубки D = 19 мм, d~ 17 мм.
Осевой момент инерции сечения трубки
J =	(D4 — d4) = 0,2297 см*.
64
Модуль упругости латуни Е = 1,05- 10е кг}сл?.
Стойки постоянного сечения с промежуточными опорами
787
Критическая сила для рассматриваемой трехпролетной трубки
=6,320
1,05-10б *0,2297
127,52
94 кг.
Перейдем к рассмотрению второго варианта крепления трубок, который отличается
от первого добавлением еще одной опоры по середине длины трубок (фиг. 591, б). Учитывая
симметрию пролетов (Zj = Z4, Z2 = Z3), заключаем, что точка перегиба упругой линии совпадает
с сечением 3 (середина пролета) и, следовательно, Л43 = 0. Это обстоятельство позволяет
при определении критической силы ограничиться рассмотрением не всех четырех пролетов,
а только двух. Действительно, совершенно аналогично первому варианту из рассмотрения
Фиг. 593.
сечений 1 и 2, учитывая, что М3 — 0, приходим к следующим двум уравнениям относительна
моментов Mi и М2:
Л11?1 +	= 0;	]	(25.
Afi4>! + М2 (<?! + <f>2) = о. J
Приравнивая нулю определитель, образованный из коэффициентов системы (25), получаем
?1(?1+ ?г) — <|»1 = 0.	(26)
Учитывая, что — 1275 лш, Z2 = 1245 мм и, следовательно, а2 — 0,9765 а12 определим
наименьший отличный от нуля корень уравнения (26): aj = 3,645; тогда искомая критическая
сила	л
Ркр = а1-^- =13-29 -ут =197 кг-
Значительный интерес представляет экспериментальное определение осевых усилий в кон*
денсаторных трубках при их нагреве и сравнение опытных данных с теоретическими.
В работе [36] была использована следующая методика опытного определения осевых усилий.
Взятая для эксперимента трубка устанавливалась на кронштейнах, расположенных
на соответствующих расстояниях друг от друга и укрепленных неподвижно на станине.
Эти кронштейны играли роль диафрагм конденсатора (промежуточные опоры) и трубных досок
(крайние кронштейны). Промежуточные опоры (кронштейны) не вызывали защемлений трубки.
Осевые усилия, возникающие при нагревании трубки, измерялись динамометром, устанавли-
ваемым на одном из концов трубки. Для возможности измерения осевых усилий был разваль-
цован только один конец трубки, а другой конец был свободно оперт (фиг. 593). Перед испыта-
нием трубку наполняли водой и затем нагревали. Нагрев осуществлялся электрическим током
посредством нихромовой проволоки, протянутой внутри трубки с водой. В целях изрляции
проволоки от стенок конденсаторной трубки на нее были надеты фарфоровые трубочки.
Измерение температуры производилось при помощи термопар. Результаты измерения зависи-
мости осевой силы от температуры нагрева следующие:
t в °C	24,5	34,5	44,5	66,0	76,5	87,5	97,5	98,5
Р в кг	36	72	108,5	144,6	150,5	159,0	159,0	159,0
Из приведенных данных видно, что в пределах изменения температуры от 24 до 98° С воз-
растание осевой силы прекратилось уже при 87° С, достигнув максимального (критического)
значения.
Существенно, что замена развальцовки одного из концов трубки (для возможности уста-
новки динамометра) свободным опиранием на кронштейн изменяет величину критической силы.
50*
788 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
Поэтому экспериментально найденную величину Ркр = 159 кг для трубки по фиг. 593 нельзя
сравнивать с вычисленной выше величиной Ркр = 197 кг для четырех пролетной трубки с обоими
развальцованными концами (фиг. 591, 6). Определим теоретическое значение критической силы
для трубки (фиг. 593). Из рассмотрения углов поворота сечений 2, 3, 4 и 5 (учитывая, что
Л41 = 0) можно составить следующую систему четырех уравнений относительно изгибающих
моментов в рассматриваемых сечениях:
= — [М2<р2 + Л13ф2];
М2ф2 4" М3<р2 — — [М3<рз + Л14ф3];
Л^зФз + М4<р3 = — [Af4cf>4 + М8ф4];
Л14ф4*+ М5?4 = 0.
Исключая момент М2 из первых двух уравнений и момент Л45 из вторых двух уравнений,
получаем
Т-Т—- + ?2 + ?з М3 + ф3М4 = 0;
f 1 “I ?2	J
Приравнивая нулю определитель, образованный из коэффициентов системы уравнений (27),
приходим к следующему уравнению для вычисления критической силы:
Д =	<₽2 + ?3----i---
1/ ?1+?2
?з+
ф32 = 0.
(28)
Учитывая, что /, = Z4 = 1275 .мж, /2 = /3 = 1245 мм и, следовательно,
«tj = а4, аа = а3 = 0,9765®!, определяем наименьший корень уравне-
ния (28): л, = 3,302 и искомую критическую силу:
₽«, = «!-^“10,90^-= 163
> JT Итак, для четырехпролетной конденсаторной трубки
по фиг. 593 теоретически найденное значение критической
силы Ркр — 163 кг, что весьма близко совпадает со значе-
нием критической силы Ркр ~ 159 кг, установленной
опытным путем.
§ 5. ОДНОПРОЛЕТНЫЕ СТОЙКИ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
А. Однопролетные стойки со ступенчатым изменением
поперечного сечения
Рассмотрим консольную двухступенчатую стойку
(фиг. 594) с моментом инерции на длине а и момен-
том инерции J2 на длине Ь, нагруженную силой Р,
приложенной к верхнему торцу стойки. Введем обоз-
начения:	*
&2 = -/j- И kl= -/j- .
ниже, оба момента инерции Jx и J2 берутся относительно
осей, перпендикулярных к плоскости изгиба стойки.
Тогда дифференциальное уравнение упругой линии участка I и его общий
интеграл имеют следующий вид:
р
Фиг. 594.
1есь. как и
Однопролетные стойки переменного сечения
789
sin kxz + Bi cos kYz + f.
Аналогично для участка //
EJ2^ = P(f-v2)
и
v2 = A2 sin k2z + B2 cos k2z + f.
Используя пять краевых условий:
1) v2 (0) = 0; 2) V2 (0) = 0; 3) vt (Z) = /;
4)	(&) = v2 (&); 5) v[ (b) = v'2 (b),
приходим к следующему выражению для трансцендентного уравнения, опре-
деляющего критическое значение нагрузки:
tgM tg£26 =
«2
Значения коэффициента входящего в выражение для критического
значения нагрузки
Ркр = ^,	(29)
сведены в табл. 111.
Таблица 111
Значения коэффициента критической силы т) для двухступенчатой консольной стойки
[см. фиг. 594 и формулу (29)]
ь 1											
	0	о,г	0,2	0,5	1.0	2,0	5,0	10	20	50	100
0	2,467	2,243	2,056	1,645	1,234	0,8225	0,4111	0,2243	0,1175	0,04837	0,02465
0,1	2;467	2,285	2,126	1,761	1,367	0,9440	0,4894	0,2714	0,1436	0,05947	0,03010
0,2	2,467	2,325	2,197	1,881	1,520	1,093	0,5919	0,3350	0,1793	0,07486	0,03798
0,3	2,467	2,363	2,262	2,013	1,692	1,277	0,7293	0,4237	0,2302	0,09709	0,04944
0,4	2,467	2,396	2,327	2,141	1,879	1,499	0,9174	0,5498	0,3064	0,1309	0,06697
0,5	2,467	2,423	2,379	2,256	2,068	1,756	1,178	0,7462	0,4268	0,1860	0,09580
0,6	2,467	2,444	2,420	2,350	2,235	2,025	1,531	1,052	0,6330	0,2848	0,1482
0,7	2,467	2,457	2,446	2,415	2,356	2,256	1,950	1,530	1,018	0,4880	0,2588
0,8	2,467	2,464	2,461	2,453	2,440	2,402	2,297	2,106	1,730	0,9991	0,5592
0,9	2,467	2,467	2,466	2,465	2,465	2,459	2,446	2,424	2,374	2,189	1,746
1,0	2,467	2,467	2,467	2,467	2,467	2,467	2,467	2,467	2,467	2,467	2,467
Для двухступенчатой стойки с шарнирно опертыми концами, нагружен-
ной двумя продольными силами Р± и Р2, краткая таблица коэффициентов
приведенной длины р дана в работе [91 ].
В монографиях [28] и [29] приведены таблицы коэффициентов критиче-
ского значения нагрузки для трехступенчатых симметричных стоек как с
опертыми, так и с заделанными концами, нагруженных торцовыми силами.
Для двухступенчатых и трехступенчатых стоек с шарнирно опертыми
концами достаточно подробные таблицы даны в работе [85]. Ряд других слу-
чаев крепления концов аналогичных стоек рассмотрен в работах [58]
и [98].
790 Критич, значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
Графический метод расчета на устойчивость ступенчатых стоек изложен
в работе [1 L
Пример применения табл. 111. Ступенчатая стойка постоянной толщины (размер Зс) имеет
«а длине b ширину 4с и на длине а ширину 2с (фиг. 595). Определить критическое значение
«агрузки Р для двух вариантов: 1) ~- = 0,5 и 2) -у = 0,6.
Фиг. 595.
^Критическая сила в плоскости zy i
Величины главных центральных моментов
инерции:
для сечения А А
л_2£«._4.^
для сечения Б Б
л_2!£<|*_9с,
Таким образом, в сечении А А момент инер-
ции имеет наименьшую величину относительно
оси у, а в сечении Б Б — относительно оси х.
Поэтому при расчете на устойчивость необходимо
исследовать изгиб стойки как в плоскости zx,
так и в плоскости zy (ось z совпадает с осью
стойки).
Первый вариант: = 0,5.
Упругая линия стойки лежит в плоскости zy
(изгиб относительно оси х)
J1== Jx = 4,5с4; J2 = Jx = 9с4.
Аргумент табл. 111
4-(Z2-Л) =1,00
и, следовательно, коэффициент т) = 2,068.
Рх = 2,068-^ =
18.6^
Упругая линия стойки лежит в плоскости zx (изгиб относительно оси у):
J1 = J„ = 2ci; Ji = Jy=l6ci; A (j2 _	= 7,00.
Интерполируя по данным табл. 111, имеем
9
7) = 1,178 — (1,178 — 0,7462) 4 = 1,005,
о
и критическая сила в плоскости zx равна
Р^= 1,005-^-= 16,1-^-.
Сравнение вычисленных критических сил показывает, что в рассматриваемом случае
Рд < Рх и, следовательно, практический интерес представляет критическая сила Ру.
Второй вариант: = 0,6.
При изгибе относительно оси х коэффициент = 2,235 и критическая сила
,	Рх = 2,235-^ = 20,1
Однопролетные стойки переменного сечения
791
При изгибе относительно оси у коэффициент
о
7) = 1,531 — (1,531 — 1,052)	= 1,339
о
и критическая сила
^= 1,339 ^2-= 21,4 4?--
Таким образом, во втором варианте примера Рх < Ру и фактической критической силой
будет Рх.
Существенно отметить, что полученные результаты справедливы при критических напря-
жениях акр, не превышающих предела пропорциональности ор материала стойки (так, напри-
мер, для Ст. 3 предел пропорциональности & 1900 кг/см2).
Б. Однопролетные стойки с непрерывным изменением сечения
Рассмотрим консольную коническую стойку, нагруженную силой, прило-
женной к верхнему торцу стойки (фиг. 596). Положим, что — момент
инерции верхнего торца стойки и J2 — нижнего
торца. Отнесем стойку к системе координат zOy, у	q
начало которой расположено на одной горизонтали —-----------'7Г~ —
с воображаемой вершиной конической стойки. Тогда
закон изменения моментов инерции по длине стойки
/(z) _ J1 (т) “МЙ •
Дифференциальное уравнение криволинейной
формы равновесия оси стойки (фиг. 596)
р
Вводя обозначение k2. —	, имеем
-2°-	(30)
Таким образом, получено линейноедифференциальное
уравнение второго порядка с переменным коэффициен-
том.
Путем замены переменных уравнение (30) можно
преобразовать к уравнению с постоянными коэффици-
D	/	1
битами. Введем новое независимое переменное: t =—;
Z
Фиг. 596.
тогда
dv ___	,2
~dz ~~ ~* ~dt
а
_ 073 dv I 74 d*v
dz2 " dt dt2 *
и дифференциальное уравнение принимает вид
^ + |-<+(М)2^=о.
Введем новое зависимое переменное и = tv\ тогда
dv ___ 1 du w d2v _________________ 2u 2 du . 1 d2u
~dT “ T'Tt t2'	^dt2' 7з	~T~T*~di2'9
792 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
откуда получаем линейное дифференциальное уравнение с постоянными
коэффициентами:
-g-+(M)2« = o-	(31)
Общий интеграл уравнения (31) имеет следующий вид:
и = A cos (kfit} + В sin
или в прежних обозначениях
‘ л
v = z A cos----------
z
fei/? 1
В sin —
z
Удовлетворяя краевым условиям (фиг. 596) v (/J = 0 и v' (Z2) = О,
приходим к системе двух линейных однородных уравнений относительно
произвольных постоянных интегрирования А и В:
A cos + В sin kll1 = 0;
A cos —---------[-
*2
/2
^i/|
sin —-— + В sin
‘2 J
T2 /Г'"’"-*,
1 n
COS—:-- = 0.
Параметры А и В отличны от нуля и, следовательно, криволинейная форма
равновесия стойки имеет место, когда определитель, образованный из коэф-
фициентов этих уравнений, равен нулю. Отсюда вытекает уравнение (32),
определяющее критическое значение нагрузки:
Значения коэффициента ц, входящего в выражение для критической
нагрузки
Р.кр = ’ч-^-,	(33)
сведены в табл; 112 [42].
Таблица 112
Значения коэффициента критической силы т] для конической консольной стойки
[см. фиг. 596 и формулу (33)]
J l/J 2	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
	1,203	1,505	1,710	1,870	2,002	2,117
А/А	‘	0,7	0>8	0,9	1,0	2,0	3,0
*1	2,218	2,308	2,391	2,467	3,025	3,400
Для ряда других случаев изменения момента инерции по длине стойки
дифференциальное уравнение криволинейной формы равновесия не может
быть преобразовано к дифференциальному уравнению с постоянными коэф-
фициентами. В этих случаях частные интегралы уравнений выражаются
Однопролетные стойки переменного сечения
793
в виде бесконечных рядов, и вычисления критического значения нагрузки
становятся весьма трудоемкими.
Систематическое исследование самых разнообразных стоек переменного
сечения проведено в работах А. Н. Динника. Результаты этих исследований
опубликованы в его монографиях [28] и [29].
Значительный практический интерес представляют вычисленные
А. Н. Динником коэффициенты критической силы для симметричных трех-
ступенчатых стоек с шарнирно опертыми концами (фиг. 597).
о
р
Фиг. 597.	Фиг. 598.
Средняя часть стойки длиной а имеет постоянное сечение, а крайние
участки — переменное сечение, так что момент инерции изменяется по длине
крайних участков, по степенному закону (фиг. 598)
(34)
Значения коэффициентов ц для случаев п = 1, 2, 3 и 4 (табл. 113) даны
„Л а
в зависимости от величин отношении у и -р и соответствуют следующему
выражению для критической силы:
=	(35)
Показатели п = 1 и п — 3 соответствуют тем случаям, когда крайние
участки стойки имеют прямоугольное сечение постоянной толщины h
и ширину, меняющуюся по линейному закону с— (фиг. 598).
г2
Если толщина h не превышает ширины с — наименьшего сечения (г = гД
^2
то для всех сечений минимальным моментом инерции является момент инер-
ции относительно оси х:
г т 1 /	* \ / q ch3 Z т Z
•^min —	—-уз V гГ/Л ~ гГ “
794 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
Таблица 113
Значения коэффициента критической силы т) для четырех случаев симметричной
трехступенчатой стойки с непрерывным изменением сечения крайних участков
и шарнирно опертыми концами [см. фиг. 597 и формулу (35)]
J1/J2	п	а 1				
		0	0,2	0,4	0,6	0,8
	1	6,48	7,58	8,63	9,46	9,82
Л 1	2	5,40	6,67	8,08	9,25	9,79
	3	5,01	6,32	7,84	9,14	9,77
	4	4,81	6,11	7,68	9,08	9,77
	1	7,01	7,99	8,91	9,63	9,82
й О	2	6,37	7,49	8,61	9,44	9,81
u,z	3	6,14	7,31	8,49	9,39	9,81
	4	6,02	7,20	8,42	9,38	9,80
	1	7,87	8,59	9,19	9,70	9,84
Л А	2	7,61	8,42	9,15	9,63	9,84
ид	3	7,52	8,38	9,12	9,62	9,84
	4	7,48	8,33	9,10	9,62	9,84
	1	8,61	9,12	9,55	9,76	9,85
0 fi	2	8,51	9,04	9,48	9,74	9,85	.
	3	8,50	9,02	9,46	9,74	9,85
	4	8,47	9,01	9,45	9,74	9,85
	1	9,27	9,54	9,69	9,83	9,86
0 я	2	9,24	9,50	9,69	.	9,82	9,86
и,о	3	9,23	9,50	9,69	9,81	9,86
	4	9,23	9,49	9,69	9,81	9,86
показатель п = 1, а критическая сила равна
Р = Р = и —. —
1 кр Гх — Ч р J2 ’
Если же толщина стойки h больше ширины с наибольшего сечения
(z = Zj), то для всех сечений минимальным моментом инерции является
момент инерции относительно оси у:
J”An = Jy = i2h{c^) =4Н£У= Mi")3’
показатель п = 3, а критическая сила
Р — Р = т — • —
*Р ^у Ч р 12 *
Для промежуточного случая, когда толщина h заключена в интервале
< h < с, необходимо вычисление двух критических сил: Рх (п = 1)
и Ру (п = 3). Практический интерес представляет меньшая из двух найден-
ных сил.
Показатель п = 2 с некоторым приближением имеет место в том случае,
когда крайние участки представляют собой пирамидальные решетчатые
Результаты экспериментальных исследований
795
стойки, напоминающие по форме укосину подъемного крана. Положим, что
средняя часть стойки, имеющая постоянное сечение, выполнена из четырех
уголков, соединенных достаточно прочной решеткой, а обе крайние части
пирамидальной формы состоят из тех же уголков. Тогда площадь поперечного
сечения стойки остается постоянной, момент инерции приблизительно про-
порционален квадрату расстояния центров тяжести уголков от осей симметрии
поперечного сечения и изменяется по длине крайних участков согласно
зависимости (34) при п = 2. Необходимо отметить, что в случае решетчатых
стоек деформация решеток несколько снижает критическое значение нагрузки
по сравнению с результатами, даваемыми формулой (35) и табл. 113 (см. § 8,
пример 3).
.Показатель п = 4 соответствует случаю, когда крайние участки стойки
являются коническими или пирамидальными сплошного сечения.
Рассмотрим пример применения табл. 113. Требуется определить коэффициент запаса устой-
чивости шатуна паровой машины: диаметр цилиндра D— 107 см\ давление пара р = 7 атм,
длина шатуна I = 554 см\ к обоим концам шатун суживается по конусу — наименьший диаметр
= 18 см и наибольший d2 = 22 см. Соответствующие моменты инерции Л = 5150 см1
и = 11 500 сж*. т. е. ф- = 0,45.
-2
Интерполируя по табл. 113 ^для	находим соответствующее значение коэффи-
циента т) = 7,75 и, следовательно, критическое значение нагрузки:
р т
Фактическая нагрузка на шатун
Р = р —-Л— я* 65 т
4
« коэффициент запаса устойчивости
Критическое напряжение в самом узком месте шатуна равно
Р кр
<3hP = —р— = 2280 кг/см2
и, таким образом, не превышает предела пропорциональности для конструкционной стали.
Следует напомнить, что при критических напряжениях, превышающих предел пропорцио-
,	г»	EJ
нальности, возможность использования теоретических формул вида Ркр = 7] —для нахожде-
ния критического значения нагрузки отпадает, поскольку эти формулы получены в предполо-
жении, что потеря устойчивости происходит в пределах применимости закона Гука.
С расчетом на устойчивость стоек переменного сечения тесно связан вопрос о стойках
наименьшего веса, другими словами, вопрос о том, при какой форме стойки ее вес будет наимень-
шим (при одной и той же величине критической силы). Исследование этого вопроса дано в рабо-
тах [19], [64], 187] и [105].
§ 6. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
И РАСЧЕТ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ЗА ПРЕДЕЛАМИ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ
Все проведенные выше исследования устойчивости сжатых стоек основы-
вались на предположении, что напряжения, соответствующие критическому
значению нагрузки, не превышают предела пропорциональности мате-
риала стойки, т. е. что материал подчиняется закону Гука. Сравнение полу-
ченных выражений для критического значения нагрузки в указанных пре-
делах с результатами экспериментов показали почти полное их совпадение.
Так, например, расхождение теоретических значений с результатами очень
796 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
тщательно поставленных опытов Кармана было порядка 1 %. Это совпадение,
конечно, имеет место только в том случае, когда критическое напряжение
Р кр
акр—~р~ не превышает предела пропорциональности, т. е.
Если же критическое напряжение превышает предел пропорциональности
(икр > ар), то экспериментально определенные критические значения нагру-
зок значительно меньше, чем вычисленные по обычной формуле Эйлера:
р	EJ
^кр — 'П /2 — (fxZ)2 •
Теоретические основы для определения критического значения нагрузок
при напряжениях, превышающих предел пропорциональности, изложены
во многих работах [28], [29], [73] и [111] по устойчивости. Использование
результатов теории требует знания диаграМмьь деформаций а = f (е) для
материала стойки. Это обстоятельство осложняет ее практическое применение
и делает целесообразным использование других более удобных, эксперимен-
тально полученных выражений для критического значения нагрузки за пре-
делами пропорциональности материала.
Обработка опытных данных показывает, что для стали и ряда других
материалов критическая сила за пределами пропорциональности линейно
зависит от гибкости стойки X:
PKp=F(a-b\),	(36)
где а и b — числовые коэффициенты, имеющие размерность напряжения
(см. табл. 114);
F — площадь поперечного сечения стойки;
гибкость
Х = -^;
1	7
Таблица 114
Значения коэффициентов, входящих в эмпирическую формулу (36)
для критической силы, и пределы применимости этой формулы
Материал	а	Ь		х2
Углеродистая сталь, <зь > 3800, as = 2400	3100	11,4	105	61,4
Углеродистая сталь, <зь > 4800, а5 = 3100	4 690	26,175	100	60
Кремнистая сталь,	= 5200, = 3600	5 890	38,175	100	60
Хромомолибденовая сталь	10 000	54	55	—
Дюралюминий	3 800	21,85	50	—
Дерево (сосна)	400	2,03	59	—
Результаты экспериментальных исследований
797
здесь I — действительная длина стойки;
fx — коэффициент приведенной длины (см. ’табл. 104);
i =	— наименьший радиус инерции сечения стойки.
Уточним границы применения эмпирической зависимости (36). Формула
Эйлера для критического значения нагрузки может быть представлена в виде
__ k2E
Обозначим через то значение гибкости стойки, при котором критиче-
ское напряжение а кр достигает предела пропорциональности:
=	(37)
Условимся называть стойки, у которых гибкость X > стойками
большой гибкости. Для этих стоек <зкр < ар и определение критического
значения нагрузки производится по формуле Эйлера. При X < Хх переходим
к эмпирическим формулам типа линейной зависимости (36).
Обозначим через Х2 то значение гибкости, при котором критическое напря-
жение достигает предела текучести <ss (или предела прочности на сжатие аь
для хрупких материалов):
X2 = |(a-aJ.	(38)
Причины потери устойчивости стоек малой гибкости (X < Х2) совершенно
иные, чем у стоек большой (X > XJ или средней (Х2 < X < Хх) гибкости.
Стойки малой гибкости будут выходить из строя главным образом из-за того,
что напряжения сжатия в них будут достигать предела текучести as (при пла-
стичном материале) или предела прочности <зь (при хрупких материалах).
Поэтому для стоек малой гибкости за величину предельных (критических)
напряжений целесообразно принять или as (сталь) или <зь (чугун, дерево).
Другими словами, в этом случае расчет на устойчивость заменяется расчетом
на прочность.
В табл. 114 приведены гибкости X, и Х2 и параметры а и b линейной
зависимости (36) для некоторых углеродистых и легированных сталей
и других материалов.
Для конструкционных и легированных сталей при отсутствии непосред-
ственных данных о величине коэффициентов а и b можно получить их ориенти-
ровочные значения по формулам
-- Ор^-2	, »S---
При этом гибкость Xi определяется по формуле (37), а гибкость Х2 для
качественных сталей берется порядка 15—25.
Обработка опытных данных для чугуна, в отличие от стали, дает квадра-
тичную зависимость критической силы от гибкости:
Ркр = F (7760 — 120Х + 0.53Х2)
и значение верхней предельной гибкости Xj = 80. Нижний предел примени-
мости этой формулы, т. е. значение гибкости Х2, определяется пределом проч-
ности чугуна на сжатие.
Эмпирические формулы типа линейной зависимости (36) впервые были
предложены Л. Тетмайером и Ф. С. Ясинским [116].
798 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
Для расчета стержней на устойчивость, наряду с формулами Эйлера
и Тетмайера — Ясинского используются также графики зависимости крити-
ческого напряжения от гибкости [2], [37].
Все сказанное относительно определения критического значения нагрузки
за пределами пропорциональности относится к стойкам постоянного сечения,,
нагруженным торцовыми сжимающими силами (см. табл. 104),
Расчет на устойчи-
вость за пределами про-
порциональности стоек
переменного сечения
изложен в работе [30 L
В строительной прак-
тике, при проектирова-
нии металлических и
деревянных конструк-
ций и сооружений, уза-
конен расчет на устой-
чивость по коэффициен-
ту понижения ср основ-
ного допускаемого на-
пряжения на сжа-
тие [65].
Фиг. 599.
Расчет ведется по формулам одноосного сжатия < [а), но здесь
под [а] подразумевается пониженное допускаемое напряжение [а] =
— ? [аЬ> где коэффициент понижения ср = f (X) и [a]d — основное допу-
скаемое напряжение на сжатие.
Зависимость коэффициента ср от гибкости X дается в виде таблиц
(табл. 115) и охватывает ддя сталей интервал 0 < X < 200. Изложение этого
метода расчета приводится в большинстве курсов сопротивления материалов.
Значения коэффициентов ср периодически пересматриваются и подвер-
гаются изменениям.
На фиг. 599 изображена зависимость коэффициента ср от гибкости X для
сталей, дерева и чугуна.
Таблица 115
Значения коэффициента понижения <р в зависимости от гибкости X
для различных материалов
Гибкость X	UU я	Сталь Ст. 5	СПК *	Чугун	' Дерево	Гибкость 		ч00 н сз «О 55 я	Сталь Ст. 5	СПК *	Чугун	Дерево
0	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	ПО	0,52	0,43	0,35			0,25
10	0,99	0,98	0,97	0,97	0,99	120	0,45	0,36	0,30	—	0,22
20	0,96	0,95	0,95	0,91	0,97	130	0,40	0,33	0,26	—	0,18
30	0,94	0,92	0,91	0,81	0,93	140	0,36	0,29	0,23	—	0,16
40	0,92	0,89	0,87	0,69	0,87	150	0,32	0,26	0,21	—	0,14
50	0,89	0,86	0,83	0,57	0,80	160	0,29	0,24	0,19	—	0,12
60	0,86	0,82	0,79	0,44	0,71	170	0,26	0,21	0,17	—	0,11
70	0,81	0,76	0,72	0,34	0,60	180	0,23	0,19	0,15	—	0,10
80	0,75	0,70	0,65	0,26	0,48	190	0,21	0,17	0,14	—	0,09
90	0,69	0,62	0,55	0,20	0,38	200	0,19	0,16	0,13	—	0,08
100	0,60	0,51	0,43	0,16	0,31						
*	Сталь повышенного качества с пределом текучести						= 3200 кг/см*.				
Примеры расчетов на устойчивость сжатых стержней
799
Интересное теоретическое обоснование и уточнение метода расчета
на устойчивость по коэффициенту © дано в работе [80]. При составлении
таблиц значений коэффициента © приходится учитывать возможные откло-
нения линии действия сжимающей силы от оси стержня. Величины этих
отклонений зависят от технологических факторов изготовления конструкций.
Эта зависимость (распределение отклонений) подчиняется математиче-
ским законам распределения ошибок. Использование методов математической
статистики дает возможность учесть влияние указанных отклонений на коэф-
фициент ©. В работе [80] изложен общий метод решения поставленного
вопроса. Конкретный выбор расчетной кривой для различных случаев должен
производиться на основании статистических обследований и анализа действи-
тельных условий изготовления конструкций. Применение предложенной
методологии должно привести к экономии стали в сжатых элементах метал-
лических конструкций.
§ 7. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ НА УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
Пример 1. Для изображенных на фиг. 600 двух стоек требуется: 1) определить коэффициен-
запаса устойчивости; 2) произвести поверочный расчет на устойчивость по коэффициенту пони-
жения основного допускаемого напряжения на сжатие.
Нагрузка Р = 40 ш. Сечение стойки круглое, диаметр d = 10 см. Длина I = 3 м. Мате-
риал — сталь Ст. 3 (os = 2400 кг/см2). Основное допускаемое напряжение на сжатие
[o]d= 1400 кг/см2.
Решение:
Площадь поперечного сечения
F — —т— = 78,5 см2.
4
Р
7
Момент инерции сечения
J = 2^. = 491 см*.
64
Радиус инерции сечения
. I = 1У-i" = 4- = 2,5 см.
4	г F 4
л
Ж
Фиг. 600.
1. Определение коэффициента запаса устойчивости.
Стойка I — шарнирное крепление концов.
Гибкость стойки
X =	= 1	= 120 > 105 (см. табл. 114).
Следовательно, прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой при напря-
жении, меньшем предела пропорциональности, и для определения критической силы справед-
лива формула Эйлера:
n n2EJ 9,87.2,Ь 106.491	11о
------=113 т-
3002
Коэффициент запаса устойчивости для стойки I
ИЗ OQ
т Р “ 40 "'2Д
т. е. укладывается в рекомендуемый интервал 1,5 < т < 3,0 для стальных стоек.
Стойка II — нижний конец заделан, верхний шарнирно оперт.
Гибкость стойки
0.7.300 _84<105
I	2,0
800 Критич. значения нагрузок, при плоских, формах равновесия сжатых стержней
Следовательно, 'прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой при напря-
жении, большем предела пропорциональности, и для определения критической силы следует
воспользоваться эмпирической формулой Ясинского:
Ркр = F (3100 — 11 4Х) = 78,5 (3100 — 11,4-84) = 168 т.
Коэффициент запаса устойчивости	4
т. е. несколько превышает рекомендуемые значения для стальных стоек.
Заметим, что в случае неправильного применения формулы Эйлера, при гибкости стойки
из стали Ст. 3 меньше 105 получаемая величина критичёской силы всегда больше действитель-
ного ее значения. Так, в нашем примере
n it2EJ 9 87-2 1.106.491 ОО1 __
Ркр ~ (цГ)2 —	2102	— 231 /и > 168 tn.
2.	Поверочный расчет на устойчивость по коэффициенту
В отличие от предыдущего, здесь при любых значениях гибкости схема расчета остается
одной и той же.
Стойка Z.
Гибкость X = 120.
По табл. 115 ? — f (X) для стали Ст. 3 при гибкости X = 120 коэффициент понижения
f = 0,45. Допускаемое напряжение при расчете на устойчивость
[а] = т [а]d = 0,45.1400 = 630 кг{см2.
Величина фактического напряжения
Р 40 000
O==T=-78j-==510<63°-
т. е. устойчивость стойки обеспечена.
Стойка IL
Гибкость X = 84.
Интерполируя по данныдо табл. 115, ? = /(X), находим, что при гибкости X — 84 коэф-
фициент понижения
<? = 0,75 — -gjEZsO'*0,75 ~ °’69) = °’75 — °’4‘0’06 = °’726-
Допускаемое напряжение при расчете на устойчивость
[ст] = 0,726.1400 = 1020 кг/см*.
Фактическое напряжение б = 510 < 1020, т. е. устойчивость стойки обеспечена.
Из результатов расчета по табл. 115	= / (X) следует, что нагрузка на рассматриваемые
стойки может быть повышена до следующих допускаемых значений:
для стойки I
P±^F [ст] = 78,5-630 = 49,5 m
и для стойки II
Р.2 = F [ст] = 78,5.1020 = 80,1 т.
Таким образом, в рассматриваемом случае расчет по исходит из следующих допускаемых
коэффициентов запаса устойчивости:
для стойки /
Ркр
т1==~7\

для стойки II
168 =2,10.
ркр ______
т* =	= W
Пример 2. Для стойки с одним заделанным и другим свободным концом (консольная стойка)
требуется подобрать, используя табл. 115 коэффициентов <р, номер двутаврового сечения
и определить коэффициент запаса устойчивости.
Примеры расчетов на устойчивость сжатых стержней
801
Нагрузка на стойку Р — 50 m Длина стойки I — 2 м. Допускаемое напряжение на сжатие
для материала стойки (сталь Ст. 3) [о ]а = 1400 кг/см2.
Решение:
1.	В начале расчета произвольно задаемся величиной коэффициента у. Заметим, что этот
произвол в выборе начального значения ? не отражается на окончательном результате расчета,
а только увеличивает или уменьшает количество-необходимых вычислений.
Допустим, что ? = 0,5. Тогда допускаемое напряжение при расчете на устойчивость
[а] = f [а]</ = 0,5-1400 = 700 кг/см2
и необходимая площадь поперечного сечения стойки
„ Р _ 50 000	,
F- _	/0() _71,4 см .
По ГОСТу 8239-56 берем двутавр № 40, имеющий площадь F — 71.4 см2 и наименьший
радиус инерции (относительно центральной оси параллельной стенки двутавра) iy = 3,05 см.
Тогда гибкость стойки будет

1у 3,05
По табл. 115 для стали Ст. 3 при X — 1?0 ? = 0,40 и при X = 140 ? = 0,36. Интерполи-
руя, имеем, что при гибкости X = 131 коэффициент понижения
<f> = 0,40 — 0,1 - 0,04 = 0,396
и, следовательно, допускаемое напряжение для стойки из двутавра № 40
[ ст ] = 0,396-1400 = 554 кг/см2.
Фактическое напряжение
Р 50 000
С = Т = ^Ё4_ = 700> 554’
т. е. необходим перерасчет.
2.	В основу перерасчета кладем следующее значение коэффициента понижения
Т = у [0,5 + 0.396] = 0,448
и, следовательно, [о ] — 627 кг/см2 и F = 79,7 см2.
По ГОСТу 8239-56 берем двутавр №45 с Г = 83,0 см2 и 7^= 3,12 см. Тогда гибкость
стойки
. _ 2-200
3,12
= 128.
Интерполируя по табл. 115, находим, что для гибкости X — 128 коэффициент понижения
? = 0,45 — 0,8 - 0,05 = 0,410
и, следовательно, допускаемое напряжение для стойки из двутавра № 45
[ст] = 0,410-1400 = 574 кг/см2.
Фактическое напряжение
50 000
83
= 602 > 574,
произведем вторичный перерасчет.
3.	Берем коэффициент понижения
<t = у (0,448 + 0,410) = 0,429
и, следовательно, [о ] = 600 кг/см2, F — 83,3 см2,
51 Пономарев 508
802 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
По ГОСТу 8239-56 берем двутавр № 50 с F ~ 96,9 см2 и iy = 3,28 см. Гибкость стойки
Интерполируя по табл. 115, имеем •
т = 0,45 — 0,2 • 0,05 = 0,440
и допускаемое напряжение
[а] = 0,440-1400 = 616 кг/см2.
Фактическое напряжение
°=--LT =516 <616
т. е. значительно меньше допускаемого. Останавливаемся на двутавре № 45, где расхожде-
ние а и [а] порядка 5%.
4. Определение коэффициента запаса устойчивости.
Гибкость стойки X = 128 > 105.
Критическая сила
^EJU	9,87.2,1.10е.807	1П1 _
кр ~ (ц/)2 —	4002	~ 104,5m
и коэффициент запаса устойчивости
tn —
104,5
50
= 2.09.
Пример 3. Поршневая скалка паровоза серии ФД передает сжимающую силу Р = 53 tn.
Диаметр скалки d = 12 см, расчетная длина I = 190 см. Материал скалки — сталь с пределом
текучести as = 3100 кг/см2 и пределом прочности — 4800 кг/см2. Определить коэффициент
запаса устойчивости скалки, рассматривая ее как стержень с шарнирно опертыми концами.
Решение:
Радиус инерции скалки
. 1/Т d _
<= у 7Г = Т = 3 см
и ее гибкость
Л =	= 63,3 < 100 (см. табл. 114).
I	о
Таким образом, потеря устойчивости скалки произойдет за пределами применимости
закона Гука, и для определения критической силы следует воспользоваться эмпирической
формулой
Ркр = (4690 — 26,175Х) F = (4690 — 26,175.63,3) 113.1 = 342 т.
Коэффициент запаса устойчивости
Заметим, что для паровозов других серий, применяемых на железных дорогах СССР, запас
устойчивости колеблется от 5,0 до 6,5 [90].
Пример 4. Расчет на устойчивость спарника. Спарник прямоугольного сечения (h = 8 см,
b — 3,8 см) расположен большей стороной сечения вертикально и сжимается осевой силой
Р == 20 т. Длина между центрами колес (длина спарника) I = 250 см. Материал спарника —
сталь Ст. 5.
Решение:
Крепление спарника таково, что при изгибе в вертикальной плоскости (плоскость движе-
ния) его концы можно рассматривать опертыми шарнирно, а при изгибе в горизонтальной
плоскости — защемленными.
Главные центральные моменты инерции поперечного сечения спарника
bh3	hb%
Jx =	= 162 см*- Jy =	= 36,6 см*
Примеры расчетов на устойчивость сжатых стержней
803
и соответствующие радиусы инерции
= 2.31 см; iu =
/12	У
—
^- = -2=-= 1,10 см.
р /12
Гибкость спарника при изгибе в вертикальной плоскости (р- = 1,0)
= юз,
при изгибе в горизонтальной плоскости (р- == 0,5)
. fiZ _ 0,5-250
1У
1,Ю
= 114.
Обе гибкости превышают значение
критические силы можно подсчитать по
Критические значения нагрузки при
устойчивости в вертикальной плоскости
р =	_ 9,87-2,1-10»-162 _
Рх (р[)* ~	(1-250)2	-53 900 кг,
А = 100
формуле
потере
(см. табл. 114) и, следовательно,
Эйлера.
при потере устойчивости в горизонтальной плоскости
^EJy	9,87-2,1-10». 36,6	,o.nn
р.. =-------= -2-----’-----—L_ — 48 400 кг.
у W
(0,5.250)2
Сравнение вычисленных критических сил
показывает, что более опасным (Ру < Рх) является
потеря устойчивости спарника в горизонтальной
плоскости.
Соответствующее
Ру _
°кр = ~р
критическое напряжение
48 400 1КОП , 2
g;3 8 • = 1590 кг/см2,
как и следовало
ожидать (\у = 114 > 100),
меньше предела пропорциональности для стали
Ст. 5 (ор 2000 кг/см2).
Коэффициент запаса устойчивости спарника
в горизонтальной плоскости
Ру	48,4
т ~ Р	20 — 2,42
Фиг. 601.
и укладывается в рекомендуемые пределы (для ста-
ли — от 1,5 до 3,0).
Пример 5. Четырехколонная машина для
испытания материалов (фиг. 601) рассчитана на
наибольшую разрывающую нагрузку Q = 100 т.
Длина колонны I — 3 м. Из расчета на устойчивость определить диаметр d сечения
колонны. Запас устойчивости т ~ 4. Материал — сталь Ст. 3.
Решение:
Расчетная схема колонны (фиг. 602) устанавливается в предположении, что нижний конец
заделан, верхний конец не поворачивается, но может перемещаться вместе с траверсой в попе-
речном направлении.
Дифференциальное уравнение упругой линии
EJy" = 9R - Ру.
Его общий интеграл выражается как
у = A sin kz + В cos kz 4
где =
51*
804 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
Уравнение углов поворота сечений
у' = Ak со* kz — Bk sin kz.
Используя краевое условие у' (0) = 0, устанавливаем, что А = 0. Из второго краевого
условия у' (Г) — 0, замечая что В Ф 0, приходим к следующему уравнению для определения
критической силы: sin kl = 0 и kl — п .
Таким образом, критическое значение нагрузки на одну колонну
D _ 2 EJ
\ Заметим, что критическая сила в рассматриваемом случае та же, что и для стойки с шар-
нирным креплением обоих концов (так называемый основной случай Эйлера).
Выражая критическую нагрузку через запас устойчивости
= 4 -4= 100 т,
имеем, что момент инерции сечения колонны
,_ркрР_ Ю’-ЗОО2
• п*Е ~ 9,87-2-10е
456 см*
и, следовательно; искомый диаметр’колонны
d =	-^--456	10 см.
Критическое напряжение
Ркр	100 000	1О_Л	, ,
°кр = ~р = ' 78 5" = 1270 «*/«<*•
Существенно, что критическое напряжение меньше предела пропорциональности
•Ор 1900 кг! см2 для стали Ст. 3.
Пример 6 Ходовой винт АВ токарно-винторезного станка воспринимает усилие подачи,
передающееся ему от режущего инструмента через перемещающуюся вдоль винта гайку С
{фиг. 603, а).
Примеры расчетов на устойчивость сжатых стержней
805
Определить запас устойчивости винта в предположении, что гайка находится в крайнем
правом положении, на расстоянии а = 50 см от опоры В, и передает на винт сжимающую
силу Р — 1000 кг. Длина винта I — 200 см\ внутренний диаметр d = 25 см. Материал —
сталь Ст. 5.
При определении коэффициента запаса устойчивости винта рассмотреть два случая:
1) отношение длины гайки к среднему диаметру резьбы меньше 1,5; 2) указанное отношение
больше 3.
Концы винта Л и В в обоих случаях принимаются закрепленными шарнирно.
Решение:
В станкостроении рекомендуется [83] при отношении длины опоры к ее внутреннему диа-
метру, меньшем 1,5, рассматривать опору как шарнирную, а при отношении, большем 3, —
как заделку (см. § 3 настоящей главы).
Расчетная схема винта при промежуточной шарнирной опоре изображена на фиг. 603, б.
Дифференциальное уравнение упругой линии правого участка винта
EJv[ = — T\zY.
Его общий интеграл имеет вид
1	1 C z I D
v =
где Ci и Pi — постоянные интегрирования
Дифференциальное уравнение упругой линии левого участка винта
EJV^ = — РО2+ ^2»
а его общий интеграл
т
v2 = С2 sin kz2 + D2 cos kz2 4-	z2,
где k2 = TT'
Используя отсутствие прогибов по концам
С т1“2 
1 ” &EJ ’
участков, имеем, что
Di = 0;
п , Т\ь '
2 Р sin kb ’
D2 = 0.
Учитывая, что изогнутая ось винта — плавная кривая, на границе участков имеем
v'i(a) = v'2(b).
Замечая, что
т2 = Л-у / о,
приходим к следующему уравнению для определения критического значения нагрузки:
__!— Г1------|- J-. — ~ 0
(W L 4>kb\ 1 3 b *
В случае =-i- левая часть уравнения обращается в ноль при kb = 4,102; следова-
тельно, критическое значение сжимающей силы
FI	FI
Ркр = (4,102)2 £± = 16,83^-.
Если при вычислении момента инерции сечения винта влиянием нарезки пренебречь, то
nd* ти-2,54 t .
J =	= кГ" = 1*92 см »
*	64	64
806 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
тогда критическая сила
D	2,1 «10е» 1,92 оп1п
Ркр — 16,83--------------— ЗОЮ кг
м коэффициент запаса устойчивости
ркР _ ЗОЮ _„п
m— р - юоо ~ 3’0’
Если промежуточная опора (гайка С) может рассматриваться как жесткая заделка,
то расчетная схема винта несколько изменяется (фиг. 603, в) — при критической силе теряет
устойчивость только левая (сжатая) часть винта. В этом случае критическое значение нагрузки
определяется как для однопролетной стойки с одним шарнирно опертым и другим заделан-
ным концами (см. табл 104, стойка VI). Тогда
FI
Ркр = 20,19 ^- = 3610 кг.
Критическое напряжение
Ркр 3610 _ос , „
акр = -р- = -Jgj- = 735 кг/см*.
т. е. меньше предела пропорциональности для стали Ст. 5.
Коэффициент запаса устойчивости
Заметим, что в действительности момент инерции сечения винта несколько больше вычис-
ленной выше величины. В результате проведения экспериментов, с целью учета влияния вит-
ков нарезки на жесткость винтов показано, что минимальный момент инерции сечения винта,
а следовательно, и критическое значение нагрузки превышает вычисленные выше величины
на 10—20%. Дальнейшее возможное уточнение расчета ходового винта на устойчивость связано
с учетом крутящего момента и рассмотрением винта как естественно завитого стержня (измене-
ние положения главных центральных осей сечения по длине винта).
§ 8. приближенный энергетический метод определения
КРИТИЧЕСКОГО ЗНАЧЕНИЯ НАГРУЗКИ
Определение критического значение нагрузки путем интегрирования
дифференциального уравнения криволинейной формы равновесия приводит
к необходимости численного решения достаточно громоздких трансцендент-
ных уравнений. В этом его основной недостаток. Вместе с тем этот метод
является точным, т. е. критическое значение нагрузки может быть вычислено
с любой степенью точности.
Однако для практического использования в целом ряде случаев более
удобен приближенный метод, основанный на рассмотрении изменения потен-
циальной энергии системы при переходе от прямолинейной формы равновесия
к криволинейной. Детальное обоснование энергетического метода нахожде-
ния критического значения нагрузок дано в работе П. Ф. Папковича [73].
Схема применения одной из разновидностей этого метода состоит в следую-
щем. Задаемся уравнением криволинейной формы равновесия (при малых
отклонениях) в виде нескольких членов ряда:
"(39)
k
где fk (г) — функции, удовлетворяющие каждая в отдельности краевым
условиям задачи, вытекающим из устройства и характера опор стойки.
Энергетический метод определения критического значения нагрузки
807
Так, например, для стойки с нижним заделанным и верхним шарнирно
опертым концами (табл. 104, стойка V) ряд (39) можно взять в виде
2Г (2fe—l)«z	(2£+1)лг~|	. .n.
ak cos -i---j-2----cos “—------- •	(40)
k
Каждый член этого ряда
Г (2k— I) irz	(2k -f- 1) irz "I
Vk — ak cos------------cos ---------
удовлетворяет краевым условиям стойки V: v (0) = v' (0) = 0 и v (Z) = 0.
Используем выражение (39) для вычисления потенциальной энергии П
криволинейной формы равновесия (при малых отклонениях от прямолиней-
ной формы), т. е. выражаем П через параметры ряда. Необходимыми доста-
точным условием равновесия является наличие экстремума потенциальной
энергии системы, т. е. выполнение условий
Полученная система линейных однородных уравнений относительно пара-
метров а1г а2, . . . имеет отличные от нуля решения только в том случае, если
определитель системы Д = 0. Из этого условия и определяется критическое
значение нагрузки, т. е. то значение, при котором становится возможным
возникновение криволинейной формы равновесия.
Заметим, что если уравнение (39) совпадает с истинным уравнением кри-
волинейной формы равновесия (при весьма малых перемещениях), то энерге-
тический способ дает точное значение критической силы.
Наиболее удобно определение критической силы энергетическим методом
в том случае, если уже один член ряда достаточно точно апроксимирует истин-
ную криволинейную форму равновесия.
Для однопролетных стоек постоянного и переменного сечения, нагружен-
ных различным образом, можно рекомендовать использовать в качестве
исходного уравнения (39) уравнение криволинейной формы равновесия
соответствующей стойки постоянного сечения в случае приложения продоль-
ных сил к ее торцам. Эти уравнения приведены в табл. 116.
Необходимо отметить, что, апроксимируя действительное уравнение
криволинейной формы равновесия некоторым выражениям, мы как бы накла-
дываем на рассматриваемую стойку дополнительные связи, делая ее более
жесткой, чем это имеет место в действительности. Поэтому критическое зна-
чение нагрузки, определяемое энергетическим методом, получается всегда
несколько большим, чем действительное значение критической силы. Как уже
указывалось, в частном случае, когда криволинейная форма равновесия
апроксимируется ее истинным уравнением, энергетический способ дает точное
значение критической силы.
Так, например, для стойки V (табл. 104) критическая сила, найденная
точным методом,
Ркр = 20,19^
Апроксимируя криволинейную форму равновесия одним первым членом
ряда (40), имеем
Ркр = 2,05 ^- = 20,23^;
приближенное решение превышает точное значение на 0,2%.
808 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
Таблица 116
Вспомогательная таблица для выбора уравнения криволинейной формы
равновесия однопролетных стоек при использовании энергетического метода
определения критического значения нагрузки
Номер стойки (см. табл. 104)	Нижний конец		Верхний конец		Уравнение криволинейной формы равновесия (при весьма малых отклонениях от прямолинейной формы)
	и (0)	1 V (0)	о (/)	| V (0	
I	0	0	—	—	1 1	^г 1 v = а 1 — cos
II	0	—	—	0	nz v = a sin
III	0	—	0	—	HZ v = a sin -j-
IV	0	0	—	0	v = a 11 — cos —j—
V	0	0	0	—	lnoooc	4,493г	4,493z	г , ,1 v = a 0,2226 <in —		cos			-r- -J- 1 1	L	L	I	j
VI	0	—	0	0	1 t пок •	4,493г г 1 и = a 11,025 sin	-	1—f
VII	0	0	0	0	fi	2тсг 1 v — a 11 — cos —
Рассмотрим несколько примеров применения энергетического метода
к конкретным задачам.
Пример 1. Стойка с шарнирно опертыми концами нагружена двумя равными продольными
силами Pi и ?2> приложенными строго по оси (фиг. 604). Криволинейную форму равновесия
рассматриваемой стойки можно представить в виде ряда
v=^aAsin-^-.	(41)
k
Каждый член ряда удовлетворяет краевым условиям стойки v (0) = 0, v (Z) = 0
Потенциальная энергия рассматриваемой системы
где — потенциальная энергия системы до искривления стойки;
U — потенциальная энергия изгиба стойки;
К — работа, совершаемая продольными силами Pi и Рг при искривлении стойки
Ограничимся двумя первыми членами ряда (41), т. е. положим, что
. nz ,	. 2nz
v = aL sin a2 sin —— •
Энергетический метод определения критического значения нагрузки
809
Потенциальная энергия изгиба стойки
l	I
о	о
что после интегрирования дает
i/ = 2S£(a. + 16a22)-
Составим выражение для перемещений точек приложения продольных сил Pi и Рг
по направлению этих сил. Искомые перемещения обусловлены изгибом столки, т. е. поворотом
отдельных элементов оси стойки (без изменения их длины). Поворот одного
элемента длиной dz вызывает уменьшение его проекции на первоначаль-
ное направление оси стойки на величину (фиг. 605)
dk = dz — dz cos & = (1 — cos ft) dz.
Разлагая cos & в ряд и ограничиваясь двумя первыми членами ряда,
имеем
a2 jh
2» + 4!
Л = 2- {Pdz *
dz.
(42)
Работа, совершаемая силами Pi и Рг при искривлении стойки, т. е.
при опускании точек их приложения,
2
я2
U = P*-4T
u = Pi y j (И2 dz + p2.1 j (V')2 dz-,
o	b
2 । 16	। j 2 \
!1 + 3^- al“2 + 4a2 ) •
Итак потенциальную энергию системы П = Uo + U — U удалось
выразить в виде некоторой функции второй степени от параметров ai
и а2. Условиями относительного экстремума функции П являются
ап	ап
-Ч— = 0 и -X—= 0.
да±	да2
В рассматриваемом случае эти условия экстремума имеют следующий вид:
Фиг. 604.
/	tz2P2 <K*EJ \ 2ltP2
(-2Г + -4/-------2p-)^ + -37-a2 = O;.
2'п:Р2	, /2тг2Р1 i&p	8n*EJ\	_
+	-----p-)«2 = 0.
(43>
Таким образом получена система линейных однородных уравнений относительно пара-
метров ai и а2. Параметры ai и а^ отличны от нуля только в том случае, если определитель
этой системы обращается в ноль. Полагая Pj = Р2 = Р, приходим к квадратному уравнению
относительно критического значения нагрузки Р:
81тс2— 16	4кб(Р/)2
36	2/2	+	/4	“ 1
откуда
(Pi + Р2)кр = (2P)W = 13,08 Ц-.
Результаты точного решения этой задачи приведены в работе [91 ]. Точное значение коэф-
фициента приведенной длины р. = 0,87 и, следовательно, коэффициента критического значения
нагрузки
т)= (—У = 13,04.
810 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
Погрешность полученного выше приближенного решения составляет всего 0,5%.
Погрешность несколько возрастет, если, желая уменьшить количество вычислений, огра-
ничиться одним первым членом ряда (41). В этом случае
Фиг. 605
п = и о +	а* + - J (2Л + Р2) 4;
ап _ г k*ej
даг ~ L 2/3

Полагая Pi = Р2 = Л имеем
(Р1 Ръ)кр — (%Р)кр — 13,13 -р- .
Однако и в этом случае расхождение с результатами точного решения
достигает всего 1%, что практически также вполне приемлемо.
Заметим, что в том случае, когда уравнение криволинейной формы равновесия апроксими-
ЗП п
руется выражением, содержащим один параметр, то уравнение — 0 может быть заменено
непосредственным приравниванием величины U и U.
Пример 2. Определить критическое значение нагрузки на консольную стойку переменного
сечения (фиг. 606). Обозначим ширину стойки в текущем сечении через bz.
центральные моменты инерции текущего сечения
, _ М3 _ г 2/ —г.
1 Т~’

г ba3 . ab3
где Jх = -jg- и J2 =	----моменты инерции
него торца стойки.
При произвольных соотношениях между размерами
а и b необходимо рассмотреть возможность потери устой-
чивости как в плоскости хОг, так и в плоскости yOz.
Устойчивость в плоскости xOz. Со-
гласно табл. 116 апроксимируем криволинейную форму
равновесия однопараметрическим выражением вида
верх-
и = а
nz \
COS'2r)
Потенциальная энергия изгиба
77 Е С 7 7 1/\2 Л (ЗТС2 4) ТС2 EJx 2
b
Работа, совершаемая силой Р при искривлении стойки,
I
U-P-
Р 2
16 ’ I а ’
Тогда главные
искривлении в плоскости хОг:
о
Приравнивая U и U, находим критическую силу при
_3^ + 4 EJ_ 4201
Ркр -	§ р- -	/2	•
(44)
Перейдем к рассмотрению устойчивости в плоскости yOz. Аналогично
v = а
1 — cos
kz \
~2Г) ’
е\1/^а	15^+60^ — 48 EJ2
U~^}JA<f?dz =-----256------
о
_ *2 Р 2
u 16 ’ I а •
Энергетический метод определения критического значения нагрузки
811
Из равенства U = U находим критическую силу при искривлении в плоскости yOz\
,	15-гс4 + 60к2 __ 48 Ej*	Ej2
кр “	16^	р - “ ld’d/u — •
(45
Легко показать, что найденные выше значения критической силы одинаковы при
а = 1,78b. Если а > 1,786. то для стойки более опасна потеря устойчивости в плоскости yOz,
а при а < 1,786 — в плоскости xOz.
Большое количество хорошо подобранных и систематизированных примеров расчета
на устойчивость различного рода стоек дано в книге [60].
Пример 3. Составная решетчатая стойка (фиг. 607) образована из двух ветвей (поясов),
соединенных между собой для достижения необходимой жесткости решеткой из диагоналей
и распорок.
Диагональ образует с распоркой угол а.
Определить критическое значение нагрузки, соот-
ветствующее потере устойчивости в плоскости сое-
динительной решетки, для случая, когда длина
отдельной панели 6 мала по сравнению с общей
длиной стойки /. Оба конца стойки предполагаются
шарнирно опертыми.
Примем допущение о шарнирном соединении
элементов решетки (диагоналей и распорок) с поя-
сами. Тогда приращение потенциальной энергии
составного стержня при искривлении его оси сла-
гается из энергии изгиба поясов Ui, сжатия рас-
порок U2 и растяжения диагоналей U3.
Апроксимируем уравнение упругой линии стой-
ки после потери устойчивости в плоскости соеди-
нительной решетки, т. е. в плоскости yOz одно-
параметрическим выражением:
v = a sin —,
удовлетворяющим граничным условиям.
Потенциальная энергия изгиба поясов (изги-
бающий момент Л4 = Pv):
1
1 С	Р21а2
= фиг-607
о
где Jх — момент инерции сечения обоих поясов относительно центральной оси, перпендикуляр-
ной к плоскости решетки.
При вычислении потенциальной энергии сжатия распорок принимаем, что поперечная
сила Q полностью воспринимается распорками решетки, т. е. сжимающее усилие в распорках
^2= Q. Тогда растягивающее усилие N3 в диагоналях решетки
N»
Q
cos а
Потенциальная энергия распорок
rt-j-i	n-f-i
_ чу Q2 b
2EF2	tg a 9
1	1
где n — число панелей и F 2 — площадь поперечного сечения распорки.
Поперечная сила
Q=-^-(P0 = Pv'.
При достаточно большом числе панелей, т. е. в случае, когда длина панели 6 мала
по сравнению с общей длиной стойки /, потенциальная энергия сжатия распорок может быть
выражена, как
г _	1	__ 7:2	р2«2	1
2	2£Patgaj Чаг~ 4 ' EFJ. ’ tg a •
812 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
Потенциальная энергия растяжения диагоналей равна
п	п	.
2 b
1

2£Г3
где F3 — площадь поперечного сечения
При достаточно большом п
диагонали.
и = 1
2EF3
Sin a cos2 а J
о
____Рад2 1
4 * EF3l	sin a cos2 а
тс4
Работа внешних сил Р при искривлении стойки равна
I
U = P.^J
о
2 J п2 Ра2
dz = -r—r-
Из равенства U = Ц
нагрузки:
определяем критическое значение
P кр
n2EJ.
1
1
где коэффициент приведенной длины
1 А .	______ ______________
/2 tg a "r F3 Sin а COS2 а] *
(46)
р.=
Таким образом, устойчивость составной решетчатой стойки в плоскости соединительной
решетки зависит не только от момента инерции поперечного сечения (как для сплошного сече-
ния), но также и от размеров и системы соединительной решетки. При этом величина критиче-
ской силы составной стойки всегда меньше (р. > 1) критической силы сплошного стержня
с тем же самым моментом инерции Jх поперечного сечения.
Более подробное исследование устойчивости решетчатых стоек изложено в моногра-
фиях [28], [29], [91]. Общая теория устойчивости составных стержней на упруго-податливых
связях дана в работе [79].
В одной из работ рассматривается устойчивость составного стержня (каркаса), состоящего
из любого количества параллельных ветвей (стрингеров), отстоящих на равных расстояниях
от оси составного стержня и связанных между собой упругими кольцами (шпангоутами), оказы-
вающими при выпучивании составного стержня сопротивление изгибу и кручению. Экспери-
ментальное исследование устойчивости каркаса, произведенное в работе И. И. Мухортова, доста-
точно хорошо подтверждает результаты теоретических исследований. Так, для сварных карка-
сов наблюдалось наибольшее расхождение между экспериментальными и расчетными данными
порядка 15—20%. Опыты показали, что на величину критической силы каркаса большое влия-
ние оказывает способ крепления стрингеров к шпангоутам.
Пример 4. Прямоугольная симметричная рама (фиг. 608) нагружена двумя одинаковыми
силами Р, приложенными в узлах и направленными по осям стоек рамы.
Точный метод определения критического значения сил Р основан на рассмотрении диффе-
ренциальных уравнений упругой линии каждого из стержней рамы после потери устойчивости
и удовлетворении всем краевым условиям этих стержней. Его использование связано с необхо-
димостью разрешения (путем подбора) достаточно сложных трансцендентных уравнений.
Детально разобранные примеры применения точного метода определения критических сил
для сжатых стержней рам даны в ряде работ [70], [71 ] и [72]; во второй из этих работ приве-
дены результаты некоторых экспериментальных исследований устойчивости рам. Общая теория
устойчивости рам и ферм изложена в капитальной монографии [41].
Применение энергетического метода к нахождению приближенного значения критических
сил для простейших плоских рам дано в работах [57], [84].
Используем энергетический метод для нахождения критического значения сил Р для^рас-
сматриваемой рамы. При нагрузках, больших критической, возможны две криволинейные
формы устойчивого равновесия рамы: симметричная форма и асимметричная форма. Соответ-
ственно этим формам существуют и два значения критической силы. Как показано bJ57 ] для
данной рамы критическая сила, соответствующая асимметричной криволинейной форме,
меньше, чем для симметричной формы, а следовательно, и является расчетной. Апроксимируем
Энергетический метод определения критического значения нагрузки
813
асимметричную криволинейную форму равновесия рассматриваемой рамы ее упругой линией
от горизонтальной силы Q, приложенной к верхнему ригелю рамы (фиг. 609). Раскрыв статиче-
скую неопределимость, можно построить эпюру изгибающих моментов от действия горизонталь-
ной силы Q. Уравнение изгибающих моментов на стойках при отсчете z снизу имеет вид
^ = 4(4-^).
Уравнение изгибающих моментов на ригелях, отсчиты-
вая г, от левого угла рамы
M2 = ^(l2-2z).
Обозначим соответственно через Bi и В 2 жесткости
изгиба ригелей и стоек; тогда потенциальная энергия изгиба
рамы
M^dz
~2ВГ
Mldz
~2ВГ
_ Bifyt + B2Z?
~ 48ВХВ2 Q
Фиг. 609.
Для определения вертикальных смещений точек приложения сил Р при искривлении рамы
составляем уравнение угловых перемещений (углов поворота) стойки. Приложим к статически
определимой основной системе единичный момент (фиг. 610) и построим соответствующую эпюру
изгибающих моментов. Перемножая эпюры на фиг. 609 и 610 по способу Верещагина, имеем
а = 4г = 24Д-Д "- 6В2г2) Q.
az zad
Искомое вертикальное смещение
Работа, совершаемая двумя силами Р при искривлении
рамы,
• Ц = 2РХ =
Р [	+ 6В2/5 + J 0В1В2/,/21
2880В|в|
Q2.
(48)
Приравнивая потенциальную энергию изгиба работе сил Р, получаем из этого равенства
критическое значение этих сил:
60В.В, (В^ + ВМ
(49)
или, полагая, Bi = В 2 (частный случай), имеем
р __т
где
~	60(Zi + Z2)
5/| + 6/J + lOZj/a
(50)
В табл. 117 сведены значения коэффициента т), полученные точным методом, значения
полученные приближенным методом, и погрешность приближенного решения для различных
значений отношения /1 : /2. Наибольшая погрешность не превышает 1,5%, что оправдывает
применение приближенного метода определения критических сил.
814 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
Таблица 117
Сопоставление коэффициентов критической силы т] для прямоугольной рамы,
полученных точным и приближенным методами [см. фиг. 608 и формулу (50)]
Zi :Z2	0,10	0,25	0,50	1,о	2,0	4,0	10
Значение тд, полученное точным мето- дом	1,088	2,378	3,904	5,688	7,279	8,410	9,242
Значение т), полученное приближенным методом	1,088	2,381	3,913	5,714	7,347	8,511	9,362
Погрешность приближенного решения в %	0	0,126	0,230	0,457	0,934	1,20	1,30
§ 9. УСТОЙЧИВОСТЬ ВИТЫХ ПРУЖИН СЖАТИЯ
Аналогично прямому сжатому брусу, прямолинейная форма оси цилиндри-
ческой витой пружины в зависимости от величины сжимающей силы может
быть как формой устойчивого, так и формой неустойчивого равновесия.
Почти во всех работах по изучению устойчивости витых пружин пружина
(пространственный кривой брус) заменяется эквивалентным прямым брусом,
т. е. брусом, обладающим той же самой жесткостью при осевом нагружении
и при изгибе, что и цилиндрическая витая пружина.
Используя этот метод, Хурльбринк [119] и Граммель [118] получили
квадратное уравнение для критического значения нагрузки и установили,
что в отличие от. действительного прямого бруса пружина может терять
устойчивость только при определенных соотношениях между первоначаль-
ной высотой пружины и диаметром ее витков.
Основной недостаток названных работ, указанный Бицено и Кохом [117],
заключался в том, что при определении критического значения нагрузки
не было учтено влияние поперечной силы, которое в пружине гораздо более
существенно, чем в прямом брусе сплошного сечения. Это различие объяс-
няется тем, что в брусе сплошного сечения поперечная сила вызывает дефор-
мацию сдвига, а в пружине — изгиб проволоки. С учетом поперечной силы
было получено кубическое уравнение для критического значения нагрузки
и установлено, что пружина может терять устойчивость при любых соотно-
шениях между высотой пружины и диаметром ее витков. Эти результаты
Бицено и Коха получили общее признание и приводятся в ряде руководств
по теории устойчивости упругих систем, как например [91]; однако, как
будет показано ниже, они являются ошибочными.
Принципиально иной подход к определению критического значения
нагрузки на пружины сжатия был предложен Н. А. Чернышевым [106].
Пружина не заменяется эквивалентным прямым брусом, а рассматривается
как брус двоякой кривизны с винтовой геометрической осью; решение задачи
основано на составлении дифференциальных уравнений равновесия и пере-
мещений для такого бруса.
В итоге этого исследования получены результаты, которые как бы
являются обобщением всех предшествующих работ. В качестве первого при-
ближения получено квадратное уравнение для отыскания критического зна-
чения нагрузки и некоторое предельное значение отношения высоты пру-
жины к диаметру ее витков, ниже которого потеря устойчивости невозможна
Устойчивость витых пужин, сжатия
815
Но благодаря учету влияния поперечной силы уточненные результаты зна-
чительно отличаются, особенно для пружины малой гибкости, от результа-
тов, полученных ранее [118], [119 ]. В дальнейшем Н. А. Чернышевым также
детально была рассмотрена устойчивость пружин кручения [107].
В работе [50 ] произведено исследование значения критической нагрузки
цилиндрической витой пружины сжатия путем рассмотрения задачи о попе-
речных колебаниях пружины, нагруженной осевой силой (см. главу IX).
В результате исследования получено то же значение критической осадки,
что и в работе [106].
Исследование устойчивости сжато-скрученных пружин методом эквива-
лентного бруса произведено в работе [121].
Рассмотрим применение энергетического метода к исследованию устойчи-
вости витых пружин сжатия. ;
А. Потенциальная энергия деформации нагруженной пружины
с прямолинейной осью
У большинства практически встречающихся цилиндрических витых пру-
жин сжатия ось проволоки представляет собой винтовую линию с малым
углом подъема (обычно менее 10°). Это обстоятельство позволяет с достаточной
степенью точности рассматривать пружину как совокупность плоских вит-
ков, т. е. витков проволоки в виде круговых колец, разрезанных в одном
месте и расположенных в плоскостях, перпендикулярных к недеформирован-
ной оси пружины. Под термином «ось пружины» будем понимать геометриче-
ское место центров тяжести витков пружины. Введем обозначения для трех
взаимно-перпендикулярных осей: ось п — центральная ось поперечного
сечения проволоки, перпендикулярная к оси пружины; ось b — центральная
ось, параллельная оси пружины, и ось t — касательная к оси проволоки.
В дальнейшем будем предполагать, что оси п и b — главные оси сечения
проволоки.- Обозначим также через Вп жесткость изгиба сечения проволоки
относительно оси и, Вь — то же относительно оси b и С — жесткость
кручения проволоки. В случае проволоки круглого поперечного сечения
диаметра d
Bn = Bb=EJ,
где ч
J ~ 64 ’
С = GJ 0,
где
J p ~ 32
2(1+p.) ;
здесь E — модуль упругости первого рода материала проволоки;
G — модуль упругости второго рода;
I* — коэффициент Пуассона.
Внутренние силовые факторы, соответствующие прямолинейной форме
оси пружины сжатия, равны 7ИЯ = 0, Мь = 0, Mt = PR, т. е. изгибающие
моменты относительно-осей п и b отсутствуют и имеет место только крутящий
момент Ме = PR. (R — радиус витка).
816 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
Потенциальная энергия кручения
Н
О о
где " = -----шаг пружины в деформированном состоянии;
Н — высота пружины под нагрузкой Р\
i — число рабочих витков.
Введем обозначение:
1 TtiR
At ~ СН ’
тогда потенциальная энергия пружины сжатия, нагруженной осевой силой Р
(ось пружины прямолинейна), равна
ne,., = Ptf + ^(W-	(51)
Б. Потенциальная энергия деформации нагруженной пружины
при искривлении ее оси
Для исследования устойчивости прямолинейной формы оси нагруженной
пружины сжатия (фиг. 611, а) рассмотрим некоторое весьма малое отклоне-
ние ее оси от прямолинейной формы. Предположим, что при этом малом
искривлении оси пружины отдельные плоские витки остаются нормальными
к изогнутой оси пружины (аналогия с гипотезой плоских сечений при изгибе
балки) и не приходят в соприкосновение друг с другом (фиг. 611, б). Таким
образом, при искривлении оси пружины плоский виток смещается и повора-
чивается. Совместим ось г с ней скривленной осью пружины. Обозначим
через v смещение центра тяжести витка по направлению, перпендикулярному
к оси г, и через & — угол, образованный нормалью к плоскости витка
с осью z (фиг. 612, а).
Благодаря повороту плоскости витка, осевая сила Р может быть разло-
жена на две составляющие (фиг. 612, б): Q = Р sin лежащую в плоскости
витка, и N = Р cos ft, перпендикулярную к плоскости витка.
Составляющая Р sin & вызывает изгиб проволоки относительно оси Ь:
Mb = (Р sin S') Р sin ср.
Составляющая Р cos вызывает кручение проволоки относительно оси t:
Mt — (Р cos О*)/?.
Помимо перечисленных силовых факторов, каждый виток можно рас-
сматривать как плоское кольцо, нагруженное «изгибающими» моментами ЛГ,
приложенными к граням разреза так, что их векторы касательны к оси кольца
(фиг. 612, б). Появление этих моментов обусловлено наличием бокового сме-
шения центра тяжести витка.
Моменты М связаны с возникновением в текущем сечении проволоки
витка изгибающего момента Мп = Л4 sin <р и крутящего момента Mt =
= М cos <р.
Устойчивость витых пружин сжатия
817
Таким образом, при искривлении оси нагруженной пружины сжатия
в текущем сечении любого витка имеют место следующие внутренние силовые
факторы:
Мп = М sin ср;
Мь = (Р sin ft) R sin ср;
(52)
= M cos <p + (P cos ft) R.
Потенциальная энергия, связанная
с изгибом проволоки пружины .относи-
тельно оси п:
Фиг. 611.	Фиг. 612.
Потенциальная энергия, связанная с изгибом проволоки пружины отно-
сительно оси 6,
н 2гс	н
ГГ С M2bRd<? Adz if
“‘JJT t=s	(54)
,	0 0	и
где
1 __ niR
Аь ~ 'BrfT
Потенциальная энергия, связанная с кручением проволоки пружины
относительно оси /,
н
 Ut =	= ^J[M2 + 2(Pcos&/?)2]dz,	(55)
о о	о
52 Пономарев 508
818 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
где
1 __ iuR
А; ~~ ~СН'
Полная потенциальная энергия изогнутой и нагруженной осевыми силами
пружины сжатия равна
н	н
Пкр. ф = Р (Н - ДЯ) + M*dz + 2^J(P Sind R)*dz 4-
0	0
H
+ 2^J[Ai2 4- 2 (P cosd P)2] dz,	(56)
o'
где ДЯ — сближение торцовых витков пружины при искривлении ее оси.
Дальнейшее преобразование полученного выражения (56) для потенциаль-
ной энергии требует некоторых предварительных замечаний.
I.	Представим ординаты изогнутой оси пружины v (z) как сумму ординат
от действия момента М и от действия поперечной силы Q = Р sin 4, т. е. как
v = v (М) + v (Q).	.	(57)
Выше через $ был обозначен угол поворота плоского витка при искривле-
нии оси пружины.
По аналогии с изгибом прямого бруса будем считать, что поворот витка
в целом без его искривления определяется только перемещениями,-связан-
ными с моментом М, а не с поперечной силой Q. В соответствии с этим при
малых отклонениях оси пружины от прямолинейной, формы
sinft^ —и cosft^l.	(58)
II.	Вычислим взаимный поворот Дф граней разреза витка относительно
оси, лежащей в плоскости витка и касательной к оси проволоки в месте раз-
реза. Используя интеграл Мора, имеем
2гс	2тс
Г MnMnRd<?	С MtMtRd^
= J в~п	Ь J	с
о	о
Внося в написанное выше выражение для искомого углового перемеще-
ния Дф изгибающий и крутящий моменты от заданной нагрузки
= М cos © (Р cos d) R и М„ = М Sin ср
и от единичных моментов, соответствующих искомому перемещению,
ЛЕ =1 cos® и M'=lsin©,
получим, что
[^+4-]м-	(59>
Это угловое перемещение Дф представляет собой изменение направления
касательной к искривленной оси пружины на длине, соответствующей одному
витку. Другими словами, Дф есть угол, образованный нормалями к изогну-
той оси пружины в точках, удаленных друг от друга на расстояние шага
пружины h, т. е. угол смежности, соответствующий высоте витка h.
Устойчивость витых пружин сжатия
81^
Кривизна кривой — есть отношение угла смежности к весьма малой
дуге кривой. В нашем случае выразим кривизну как
где
(60)
Выражения (60) устанавливают зависимость между кривизной искрив-
ленной оси пружины и величиной момента М, действующего по граням раз-
реза витка. Положим, что v (z) — уравнение искривленной оси пружины;
тогда при рассмотрении достаточно малых перемещений кривизна
1 d2v(M)
р ~ dz2
и, следовательно,
Л^МЛ1)=Л1	(61)
az*	' г
III.	При искривлении оси пружины ее концы сближаются на величину
Заменяя, согласно зависимости (57),
dz dz ' dz ’
представим выражение для сближения ДЯ в следующем виде:
ДЯ = 4J [1 + ^-]2 • [v' (М)]>dz.	(62)
В пружине поперечная сила Q = Р sin $ вызывает изгиб проволоки отно-
сительно оси Ь, и соответствующая потенциальная энергия
и - Др?*2-
0.
Как известно (том I, глава X), для прямого бруса потенциальная энергия
от действия поперечной силы равна
н
и - -аН
о
Сравнивая эти два выражения, можно заключить, что роль коэффициента
k	R2
О? для прямого бруса в пружине играет величина
52* •
820 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
С другой стороны, в сплошном брусе зависимость между и попе-
речной силой Q имеет вид
dv(Q) _ k п
dz ~ GF Ч-
’ Воспользуемся этой же зависимостью и для пружины, заменяя
R2
через 1-т-, т. е. представляя ее в виде
<fo(Q)
dz ~ Аь4-'
Подставляем вместо Q ее выражение через осевую нагрузку Р:
Q = Р sin & = Р ,
dz
тогда
V' (Q) _ JVp
v' (М) Ab г
(63)
В дальнейшем будем считать последнее отношение малой величиной
и будем пренебрегать его квадратом:
В соответствии с этим сближение концов пружины, вызванное искривле-
нием ее оси, примет вид
н
ДЯ = 4(1 +	(W^.	(65)
Преобразовывая с учетом всех сделанных выше замечаний выражение (56)
для полной потенциальной энергии изогнутой и нагруженной осевыми
силами пружины сжатия, имеем.
н	н
ПЛр. ф = PH -	+ 2 7ГЬ Р) (M^dz -1- i AZfiv" +'
о
н	н
2^ Wjt”' (Л4)]3Яг + 4(W +	pv"(Al)]Mz.	(66)
О	6
Входящие сюда обозначения Лл, Ab, At и А определяются соответственно
формулам (53), (54), (55) и (60).
В. Общее выражение для критического значения осадки цилиндрической
витой пружины сжатия
Для исследования устойчивости прямолинейной формы оси пружины
сжатия рассмотрим приращение потенциальной энергии системы при весьма
жалом искривлении оси пружины:
АН ~ Л/ср. ф Пяр. ф.
Устойчивость витых пружин сжатия
821
Используя выражения (51) и (66), имеем
н	н
ДП =- Р -L( 1 + 2 -g- р) | [o' (Л4)]Мг +	(М)№ -Ь
О	о
О
н
42 Л
2^j [v"(M)№
о
или после преобразований
дп = 4^2—
где
н	н
^i= j[v'(M)]2dz; ЛГ2 = J[o"(M)]2dz.
О	о
(67>
Критическое значение осевой нагрузки Р на пружину сжатия, при кото-
рой прямолинейная форма оси пружины переходит из устойчивого состояния
в неустойчивое, определяется из уравнения ДП = 0, т. е.
- PN1 = 0-	(68>
Весьма существенно отметить, что в уравнении (68) величины Л, Ab, N*
и N2 не являются постоянными, а зависят от высоты Н пружины в деформи-
рованном состоянии, т. е. в конечном счете от величины нагрузки Р.
Если при исследовании устойчивости прямого бруса можно пренебречь,
изменением его длины от сжатия осевой силой, то в пружинах это изменение X
первоначальной высоты HQ настолько значительно, что пренебречь им невоз-
можно.
Учитывая размерность величин N± и N2, обозначим их отношение следую-
щим образом:
^2 _ JL
~ Н* ’
где т] — некоторый числовой коэффициент.
С учетом этого обозначения уравнение (68) принимает следующий вид:
Р2 + Р^---П^-^ = 0.	(70)
(69)
Осевая нагрузка Р на пружину сжатия связана с ее осадкой (изменением
высоты) X следующим общеизвестным соотношением:
<7‘)
Подстановка значения Р по зависимости (71) и значений Аь = Вь
и А =	в уравнение (70) дает
К2 + 2 Щ - 4ijP2 rte+ci = 0.	(72)
Выразим высоту И пружины под нагрузкой Р как
Я =	(73)
где Но— высота, соответствующая Р = 0.
•822 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
Внося зависимость (73) в уравнение (72), получим квадратное уравнение
относительно критического значения осадки пружины:
4(2--^-) Ш’-Аф!—!— (^-)2 = о. (74)
Л	Z \	£>& / \ Г70 / По	1 . с \ /?о /
+ Вп
Решая уравнение (74), приходим к следующему выражению для отно-
шения критической осадки к высоте недеформированной пружины Яо:
где D — средний диаметр витка пружины (D = 2/?).
Выражение (75) для критического значения осадки цилиндрической витой
пружины с малым углом подъема витков совпадает с формулой, полученной
принципиально другими методами Н. А. Чернышевым [106].
Коэффициент т), входящий в выражение (75), определяется следующим
образом:
где
= J[v'(M)]2dz и N2 = f[v"(M)]2dz.
о	о
Для вычисления коэффициента ц апроксимируем v (Л4) уравнением кри-
волинейной формы равновесия сжатого стержня с краевыми условиями,
совпадающими с условиями крепления торцовых витков пружины. Так,
в случае пружины с подпертыми торцовыми витками принимаем для v (Л4)
следующее выражение:
v (М) = f sin-^-;
тогда
дг — f2.2Zl.J_ и	— f 2.2Z1. J_
'* i '	2 Н и JV 2	'	2 И3
и искомый коэффициент .
7]	=К2= 9,87.
Выражения, апроксимирующие v (Л4) и вычисленные значения ц для пру-
жин с различными креплениями их торцовых витков, сведены в табл. 118.
Приведенные в этой таблице значения для пружин 2 и 4 совпадают со значе-
ниями, полученными в работе [106]. Пружины 1 и 3 в этой работе не рас-
сматривались.
Итак, использование метода эквивалентного бруса приводит к тому же
самому значению критической осадки, что и точный метод, примененный
в работе [106].
Вместе с тем решение Бицено и Коха [117], тоже основанное на использо-
вании эквивалентного бруса и проведенное с учетом влияния поперечной
силы, дает результаты, принципиально отличные от результатов Н. А. Чер-
нышева 1106].
Устойчивость витых пружин сжатия
823
Таблица 118
Значения вспомогательного коэффициента т) в выражении (75) для критической осадки
цилиндрической витой пружины при различном креплении торцовых витков
Характер крепления торцовых витков пружины	Уравнение, принимаемое ДЛЯ функции Уд|(2)	Значения коэффициента т]
1. Нижний виток за- щемлен, верхний свобо- ден		4- = 2,47 4
2. Оба торцовых витка подперты	г . тег fsln —	те2 = 9,87
3. Нижний виток за- щемлен, верхний под- перт	/ Г 0,733 sin	-1- 0,715-®-] L	1*	т/ j	20,19
4. Оба торцовых витка защемлены	е 1 Г 1 f-2-V-C0S-ir\	4те2 = 39,48
Неточность решения, предложенного в работе [117], заключается в сле-
дующем. Как уже отмечалось, полная величина прогиба какой-либо точки
оси пружины складывается из прогиба от момента М. и из прогиба от попереч-
ной силы Q, т. е.
V = v (Л4) + v (Q).
Бицено и Кох определяют поперечную силу как
Q = P~,
dz ’
где v — полный прогиб, т. е. прогиб, вызванный моментом М и силой Q.
В действительности же поворот в целом сечения эквивалентного бруса
и связанное с этим образование поперечной силы обусловлены только проги-
бами от момента М. Наличие же поперечной силы Q вызывает искривление
сечения и не изменяет его поворота как целого. Поэтому в действительности
поперечная сила Q связана с осевой нагрузкой Р соотношением/
Q=P-^W))
где v (7И) — прогиб только от момента М.
Устранение этого дефекта решения Бицено и Коха и позволило получить
по методу эквивалентного бруса точное значение критической осадки пру-
жины.
Г. Исследование выражения для критической осадки пружины сжатия
Представим выражение для критического значения осадки цилиндриче-
ской витой пружины сжатия с малым углом подъема в следующем виде:
<76>
где; коэффициенты	о	С
2~£	2	D и Ъ =(77) 1 +тг £>п
824 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
т. е. зависят только от соотношений между жесткостями изгиба Вп и Вь
и кручения С проволоки пружины.
Формула (76) показывает, что для возможности потери устойчивости
должна существовать определенная зависимость между размерами пружины.
То значение при котором \кр из действительной величины становится
мнимой, назовем предельным значением. По формулам (76) и (77)
(78)
При	пружина может терять устойчивость, а при 4г <
U \ Л-* ! Пр	D
<(-тг) потеря устойчивости невозможна. Это обстоятельство принци-
х и ' пр
пиально отличает поведение сжатой пружины от поведения сжатого стержня.
 Для пружин с предельным значением отношения
^кр _	1
Яо ~ 9_С_ ’
Вь
(79)
Для пружин, у которых (тт) ’ отношение критической осадки
к первоначальной длине
^кр	1
Яо о _С.
Вь
(80)
т. е. для всех пружин, которые могут терять устойчивость прямолинейной
формы своей оси, критическая осадка меньше, чем для пружин с предельным
отношением первоначальной высоты к диаметру витков.
Все приведенные выше формулы и соотношения справедливы для пружин
из проволоки произвольного сечения, одна из главных центральных осей
которой перпендикулярна оси пружины.
Для пружин из проволоки круглого сечения Вп = Вь = Ви С = утру В
и, следовательно, коэффициенты и 52, входящие в выражение для критиче-
ской осадки, принимают следующие значения:

1 + р» и t _____1 + 2р.
1+2р И 4	2 + р’
(81)
т. е. зависят только от коэффициента Пуассона материала проволоки.
При р. =4-	=-|-= 0,833 и 52 =	=0,667. При |л = 4“ эти коэффи-
4	О	о	□
4	5
циенты Sj = — = 0,800 и S2 = — = 0,714, т. е. изменение значения ц срав-
нительно мало отражается на их величине.
В дальнейшем примем ц = 0,3; тогда = 0,813 и $2 = 0,696.
Отношение критического значения осадки к высоте ненагруженной
пружины
= 0,813Г1— 1/1 — Ti-0,696 (-£-)*] •	(82)
п0	L г	\ Hq / j
Устойчивость витых пружин -сжатия
825
Для пружин с подпертыми торцовыми витками ц =тс2 =9,87 и фор-
мула (82) принимает вид
=	(83}
Таким образом, для пружин из круглой проволоки при ц = 0,3 предель-
ное значение
("^_уад7 = 2,62.
т. е. потеря устойчивости возможна только для пружин, высота которых
в недсформированном состоянии больше чем в 2,62 раза превышает диаметр
витков.
При=2,62 критическая осадка равна \кр =0,813 Яо.
Для пружин, у которых > 2,62 потеря устойчивости происходит
при \кр < 0,813 Яо; если же -^ < 2,62, то потеря устойчивости невозможна.
Ниже приведены критические значения отношения подсчитанные
"0
по формуле (83) в зависимости от величины-^-, для пружин с подпертыми
торцовыми витками из проволоки круглого сечения:
на D	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0	6,5	7,0	8,0	9,0	10,0
(тг) \ “о/кр	0,417	0,274	0,198	0,152	0,121	0,098	0,082	0,069	0,059	0,045	0,035	0,028
Заметим, что при достаточно больших значениях отношения критиче-
ская осадка составляет только весьма малую долю первоначальной высоты
пружины. Так, при = 10, т. е. для пружин с первоначальной высотой,,
в 10 раз большей диаметра витка, критическая осадка \кр составляет всего
около 3% первоначальной высоты пружины.
Оценим влияние поперечной силы. Поперечная сила, возникновение
которой обусловлено наклоном витков при искривлении оси пружины,
вызывает изгиб проволоки относительно оси Ь. Поэтому, полагая Вь =оо,
можно исключить влияние поперечной силы, и формула (75) переходит
в выражение, данное Граммелем [118] для критического значения осадки:
(84>
В этом случае

1
2
и
—
С
Вп
$26 Критич. значения нагрузок лри плоских формах равновесия сжатых стержней
я для пружин из проволоки круглого сечения
; И £	20+^) .
1 — 2 И 42— 2 + (х
При коэффициенте Пуассона р. = 0,30	= 0,500 и S2 = 1,13 и выраже-
ние для критической осадки пружины с подпертыми торцовыми витками
принимает вид
^»0,500 [1-/1-11,2(^У].	(85)
Тогда предельное значение
= /1Ц = 3,35,
\ и J пр
что соответствует значению критической осадки \кр = 0,5 Яо.
Таким образом, поперечная сила весьма существенно влияет на устойчи-
вость прямолинейной формы цилиндрической витой пружины, и поэтому
формула (84) не может быть рекомендо-
вана для применения.	/
Фиг. 613.
Фиг. 614.
За последнее десятилетие в некоторых специальных конструкциях получили применение
т[ризматические витые пружины,т. е. пружины с прямоугольными, овальными и тому подобными
витками (фиг. 613). В ряде случаев использование призматических пружин дает возможность
получать более компактные и облегченные конструкции, чем применение цилиндрических пру-
жин (см. том I, глава XIII). Для вытянутой формы витков призматических пружин расчет
на устойчивость является еще более актуальным, чем для цилиндрических пружин.
Рассмотрим потенциальную энергию деформации нагруженной призматической пружины
с прямолинейной осью и плоскими витками прямоугольной формы. Введем следующие обо-
значения: ось 1 — главная центральная ось поперечного сечения проволоки, лежащая в пло-
тскости витка; ось 2 — главная центральная ось поперечного сечения проволоки, перпендику-
лярная к плоскости витка, и ось 3 — касательная к оси проволоки.
Для призматической пружины с прямолинейной осью, нагруженной осевыми силами,
имеет место как изгибающий момент относительно оси 1, так и крутящий момент относительно
оси 3: Mi 7= 0, М2 = 0, М3 Ф 0.
Обозначим через 2а размер длинной стороны прямоугольного витка и через 2Ь — размер
короткой стороны. Совместим разрез витка с серединой длинной стороны. В центре витка рас-
положим начало координат. Ось х направим вдоль длинной стороны витка, ось у — вдоль корот-
кой стороны витка и ось z направим перпендикулярно плоскости витка (фиг. 614). Потенциаль-
Устойчивость витых пружин сжатия
827
ная энергия, связанная с изгибом проволоки пружины относительно оси 7, выразится следую-
щим образом (фиг. 615):
dz
h ’
где Н — высота пружины в деформированном состоянии.
Подстановка значения Mi = Рх для длинной стороны витка и Mi = Ру для короткой сто-
фоны дает
2 Р2	Н
где h = — — высота пружины, приходящаяся на один виток.
Потенциальная энергия, связанная с кручением проволоки пружины относительно оси
<фиг. 616) равна
3
dz
h *
Подстановка значений М3= РЬ для длинной стороны витка и М3 = Ра для короткой
стороны дает
2Р2	Н
U3 = ~(&a + a*b)	(87)
п
Потенциальная’ энергия призматической пружины с прямолинейной осью, нагруженной
осевой силой Р
nnp^ = PH+U! + U3,
b
Обозначим отношение* — = р < 1; тогда
Н 1 4- в3	Н
Ппр. Ф = РН +	(РаГ + 2д; ₽ (1 + ₽) (Ря)2,	(88)
где
1  4ai	1 _ 4ai
Перейдем к рассмотрению потенциальной энергии деформации нагруженной призматиче-
ской пружины при искривлении ее оси. Положим, что упругая линия (искривленная ось пру.
828 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
жины) расположена в плоскости yz, т. е. в плоскости симметрии пружины, перпендикулярной
к длинной стороне витка. Обозначим через v смещение центра тяжести витка вдоль оси у
и через & — угол, образованный нормалью к плоскости повернувшегося витка с осью z. Тогда
внешняя сила Р, приложенная к пружине, может быть разложена на две составляющие г
Q = Р sin лежащую в плоскости витка, и N = Р cos О', перпендикулярную к плоскости
витка.
Кроме того, при «изгибе» пружины осевая сила Р благодаря смещению витка на вели-
чину v создает некоторый момент М в плоскости у г. Виток пружины нагружается моментами М „
приложенными в центре смещенного витка так, что их векторы перпендикулярны плоскости yz
(фиг. 617). Эти моменты скручивают длинные стороны витка и изгибают короткие (фиг. 618
и 619).
Потенциальная энергия, обусловленная изгибом проволоки пружины относительно оси I
(фиг. 615 и 619), равна
Н ь	ь	На
v = Г Г2 С(M — Pcos^y)2^ t (M + Pcn^y)Myl dz_+ Г Г (Pcosfrx)Mxl dz
J L .1 2BX	J 2BX J h J L J 2BX j h
ob	b	oo
или после преобразований
н
U1 = 2^71 [?M2+ (Р COS& ay ] dz,	(89}
О
где
1  Aai
Потенциальная энергия, связанная с кручением проволоки пружины (фиг. 616 и 618)„
может быть выражена, как
На	а	Ь
77 С [о С (M4-Pcos&6)2dx ,	(Л1 — Р cos&&)Мх , Л Р(Р cos & а)2бЫ dz
^ = J [2J-------2С--------+ 2)-------2С--------+ 4J------2С---Ч ~h
0	0	о	о
или после преобразований
н
U3 = -±-J[M2 + (Pcos » by + (Р cos & ay p] dz,	(90>
0
где
1 _ 4ai
Устойчивость витых пружин сжатия
829
Сила Q = Р sin &, лежащая в плоскости витка, вызывает изгиб проволоки пружины
относительно оси 2. Потенциальная энергия, обусловленная изгибом относительно оси 2,
вычисляется на основании эпюр на фиг. 620:
На	Ъ
гт _ С Гл CU* sin & x)2dx , л f(Psin & a)2dy] dz
2”J L J	+4J	2B, J ~h
b о	о
или после преобразовании
н
=	(91)
Z/12 ) О
0
Итак, полная потенциальная энергия изогнутой и нагруженной осевыми силами призма-
тической пружины с витками прямоугольной формы
IW = Р (Н - ДЯ) + Щ + Я2 + t/3,	(92)
где	ДЯ — сближение торцовых витков пружины при искривлении ее оси;
(/1,	Я3 — величины, определяемые формулами (89) — (91).
Дальнейшее преобразование выражения (92) аналогично соответствующему преобразова-
нию потенциальной энергии криволинейной формы равновесия для цилиндрической витой
пружины.
1.	Представим ординаты изогнутой оси пружины v (z) как сумму ординат от действия
момента М и от действия поперечной силы Q = Р sin ft, т. е. как v = v (М) + v (Q).
По аналогии с изгибом прямого бруса будем считать, что поворот витка в целом без его
искривления определяется только перемещениями, связанными с моментом Л4, а не с попереч-
ной силой Q. В соответствии с этим при малых отклонениях оси пружины от прямолинейной
формы
. dv (М)	Q
sin & $=* —т—- и cos & « 1.
dz
2.	Определим взаимный поворот Дф граней разреза витка относительно оси, лежащей
в плоскости витка и касательной к оси проволоки в месте разреза. Нагрузка, вызывающая этот
поворот Дф, представляет собой только моменты Л1, приложенные к граням разреза витка.
Действительно, путем сопоставления эпюр изгибающих моментов от силы N — Р cos & (имею-
щих вид, аналогичный эпюрам, представленным на фиг. 615 и 616) с эпюрами от единичных
моментов (фиг. 621), соответствующих искомому перемещению, заключаем, что сила Р cos &
не влияет на искомое перемещение.
Вычисляемый угол поворота
(М-4а)-1 ! (M-4fr)-l
С	JBi
и представляет собой угол смежности, соответствующий высоте витка h = —.
830 Критич. значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых стержней
Кривизна изогнутой оси пружины
где
_L = _L + J_.
А А3 + А1
(93)
Положим, что v (z) — уравнение искривленной оси пружины; тогда при рассмотрении
достаточно малых перемещений
3.	При искривлении оси пружины ее концы
сближаются на величину
о	о
Путем рассуждений, аналогичных приве-
денным выше для цилиндрической пружины,
приведем выражение для ДЯ к следующему
виду:
ДЯ =	[1 -4- Ц р] J[v' (Л1)Р dz.
о
Используя полученные выше соотношения, преобразуем выражение (92) для потенциаль-
ной энергии криволинейной формы равновесия следующим образом:
н	' н
Пкр.ф = РЯ-Р-1-[1+^--Ц^^]]’[а' (М)]2 dz + (М)Р dz +
о	о
+ 2Л7 • Ц^(Ра)2Я + 2^ "ЧЧ (Ра)2 j [V' (M)P dz +	(Л1)]2 dZ +
0	0
₽(!+₽)#•	(94)
Критическое значение осевой сжимающей силы определится из условия
ДП = ПКр ф — Плр. ф = 0.	(95)>
Используя выражение (88) и (94) и вводя обозначения
н	н
Nt = J [v' (Л1)]2 dz и N2 = J [v" (M)]2 dz,
о	о
представим выражение (95) в виде
ДП = A	—Ljw1 = o.	(96)
Z	Z/I2	О	Z
Обозначая отношение	и преобразуя выражение (96), приходим к следующему
Г	ш ___ ______о _____
квадратному уравнению для определения критического значения осевой сжимающей силы
действующей на призматическую витую пружину:
ра ।	3 .Alp________371 .. — . Al. = 0
r + 1 _|_ зр а2 1 + Зр Я2 а2
(97)
Литература
831
Для дальнейших преобразований уравнения (97) необходимо получить зависимость между
осадкой А и нагрузкой Р, действующей на призматическую пружину. Для этого рассмотрим^
прямолинейную форму равновесия оси пружины и приравняем работу, совершаемую внешней
силой Р при осадке пружины на величину А, потенциальной энергии изгиба и кручения прово-
локи пружины:
1	2 Р2	2Р2
— РХ=-|-.Г_аЗ(1+р»)Н-	(98)
После преобразований выражения (98) искомая зависимость может быть представлена!
в виде
cfli
где коэффициент
____________3______________I
12?(1 ^-₽) 4-4 (( + ?»)-£- I
)
Используя зависимость (99) для преобразования уравнения (97), приходим к следующему
выражению:
) 2 ।	3	1 В2 ц) _____т 3 а2	^1^2	__ q
х А + 1 + зз ‘ 41 ’ С	1 + 3₽ ’ 16-1* ‘ С (В, |- ₽С)	°’	( )
Выразим высоту Н пружины под нагрузкой Р как Н ~ HQ — А, где Но — высота пружины
в недеформированном состоянии (Р = 0)'.
Подстановка Н = Но — Ав уравнение (100) приводит к следующему квадратному уравне-
нию для критического значения осадки призматической пружины:
(Ю1)
Отсюда отношение критической осадки \кр к высоте Но ненагруженной пружины может
быть выражено через вспомогательные коэффициенты и ?2 следующим образом:
где
(102>
и
Поскольку призматические пружины изготовляются исключительно из проволоки круглого
сечения, то оба вспомогательных коэффициента h и зависят только от отношения короткой
и длинной сторон витка, т. е. от ₽.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Абрамов Г. Д., Графический расчет сжатых и сжато-изогнутых стержней, сборник
статей, Оборонгиз, 1939.
2.	Астахов М. Ф.,Караваев А. В.,Макаров С. Я.,Су зд а л ьцевЯ.Я.,
Справочная книга по расчету самолета на прочность (часть 3, глава VII), Оборонгиз, 1954.
3.	А ч е р к а н Н. С., Расчет и конструирование металлорежущих станков (§ 58),
Машгиз, 1952.
5.	Б е л я е в Н. М., Устойчивость призматических стержней, находящихся под воздей-
ствием продольных периодических сил, сборник «Инженерные сооружения и строительная!
механика». Л. 1924.
•832
Литература
6.	Б е р м а н М. Э., О продольной устойчивости стержней, «Вестник инженеров и тех-
ников» № 6, 1936.
7.	Бернштейн С. А., Новый метод определения частот колебаний упругих систем,
изд. Военно-инженерной академии, 1939.
8.	Бернштейн С. А., Новый метод вычисления частот колебаний и его приложение
к задачам устойчивости, Труды Военной академии механизации и моторизации, 1940.
9.	Б и д е р м а н В. Л., Применение метода Ритца к решению задачи продольного изгиба
в больших перемещениях, Труды кафедры «Сопротивление материалов» Московского высшего
технического училища им. Баумана. Раздел 3. Колебания, устойчивость и равновесие упругих
«стержней, 1947.
10.	Б и ц е н о К. Б. и Г р а м м е л ь Р., Техническая динамика, т. 1 (глава VII),
Г остехиздат, 1950.
11.	Б о л о т и н В. В., Динамическая устойчивость упругих систем, Гостехиздат, 1956.
12.	Болотин В. В., Вопросы общей теории упругой устойчивости, «Прикладная
математика и механика», т. 20, вып. 5, 1956.
13.	Б о л о т и н В. В., Нелинейная теория упругости и устойчивость «в большом»,
сборник «Расчеты на прочность», вып. 3, Машгиз, 1958.
14.	Б р у м б е р г Р. М., Продольный изгиб балки с плоской боковой опорой, сборник
«Исследование прочности стали», Машгиз, 1951.
15.	Б у б н о в И. Г., Строительная механика корабля, изд. Морского министерства,
часть 1, 1912; часть 2, 1914. См. также «Труды по теории пластин», Гостехиздат, 1953.
16.	Ветчинкин В.П. иЧенцов Н.Г.,0 продольном изгибе стоек при сжимающих
силах больше критической, «Техника воздушного флота» № 3, 1930.
17.	В л а с о в В. 3., Тонкостенные упругие стержни, Стройиздат, 1940.
18.	В о л ь м и р А. С., Продольный изгиб стержней постоянного и переменного сечения
за пределами упругости, «Научные записки Харьковского механико-машиностроительного
института», т. 5, 1940.
19.	Воробьев Л. Н., К вопросу об устойчивости колонн наименьшего объема, «Изве-
стия Новочеркасского индустриального института», т. 9, 1941.
20.	Г а л е р к и н Б. Г., Теория продольного изгиба и опыт применения теории продоль-
ного изгиба к многоэтажным стойкам, стойкам с жесткими соединениями и системам стоек,
«Известия Петербургского политехнического института, т. 12, 1909; см. также Собрание сочи-
нений, т. 1, АН СССР, 1952.
21.	Г а л е р к и н Б. Г., Изгиб и сжатие, «Известия Петербургского политехнического
института, т. 13, 1910; см. также Собрание сочинений, т. 1, АН СССР, 1952.
22.	Г а л е р к и н Б. Г., Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней
и пластинок, «Вестник инженеров» № 19, 1915; см. также Собрание сочинений, т. 1, АН СССР,
1952.
23.	Гартман Ф., Устойчивость инженерных сооружений, Стройиздат, 1939.
24.	Г о л ь д е н б л а т И. И. и С и з q в А. И., Справочник по расчету строительных
конструкций на устойчивость и колебания, Стройиздат, 1952.
25.	Джанелидзе Г. Ю., Устойчивость равновесия нелинейно деформируемых
систем, «Труды Ленинградского политехнического института» № 178, 1955.
26.	Д и н н и к А. Н., Продольный изгиб при действии собственного веса, «Известия Дон-
ского политехнического института», т. 1, Отд. 2, 1912.
27.	Д и н н и к А. Н., Приложение функций Бесселя к задачам теории упругости (часть 1,
глава V), Избранные труды, т. 2, АН УССР, 1955.
28.	Д и н н и к А. Н., Устойчивость упругих систем. Избранные труды, т. 3, АН УССР,
1956.
29.	Д и н н и к А. Н., Продольный изгиб, Кручение, АН СССР, 1955.
30.	Д и н н и к А. Н. и Б е л о в а 3. В., Устойчивость стержня переменного сечения
при напряжениях, больших предела пропорциональности, сборник, посвященный 75-летию
со дня рождения и 50-летию научной деятельности Е. О. Патона, АН УССР, 1946.
31.	Дмитриев Ф. Д., Крушения инженерных сооружёний, Стройиздат, 1953.
32.	Д о б уд о г л о Н. Г., Экспериментальное исследование устойчивости металлических
стержней при центральном сжатии. «Строительная промышленность» № 11—12, 1939.
33.	Е г е р м а н Б. Г., Б р а в и ч е в В. А., К о р с о в Л. А., К у п е р м а н Л. А.,
Расчет и конструирование металлорежущих станков (глава II, § 11), Машгиз, 1950.
34.	Жуковский Н. Е., Исследование устойчивости конструкций аэропланов, Собра-
ние сочинений, т. 3, Гостехиздат, 1950.
35.	3 а в р и е в К. С., К энергетическому методу определения критических сил при
продольном изгибе, «Вестник инженеров и техников» № 5, 1951.
36.	К а л и щ у к А. К-, Осевые усилия в конденсаторных трубках, развальцованных
с обеих сторон, «Советское котлотурбостроение» № 7, 1936.
37.	К а н С. Н.иСвердлов И.А., Расчет самолета на прочность (глава V), Оборон-
гиз, 1940.
38.	Качанов Л. Б. иИванюшин С. М., Методика исследования продольного
изгиба стержней на прессе Гагарина, сборник Научно-исследовательского института военного
кораблестроения № 5, 1935.
Литература
833
39.	Коган И. Я., К расчету крановых стрел, «Механизация строительства» № 9, 1955.
40.	Коган И. Я., Устойчивость сжатых крановых стрел переменного сечения, «Дорож-
ное и строительное машиностроение» № 8, 1956.
41.	Корноухое Н. В., Прочность и устойчивость стержневых систем, Стройиздат, 1949.
42.	Коробов А. П., Приближенный метод расчета стоек постоянного и переменного
сечения, «Известия Ростовского н/Д института инженеров ж.-д. транспорта», вып. 1—2, 1935.
43.	Коробов А. П., Расчет стоек ступенчатой формы, нагруженных только по концам,
«Ученые записки Ростовского н/Д государственного университета», т. 9, 1947.
44.	К р ы л о в А. Н., О формах равновесия сжатых стоек, «Известия АН СССР, Отд.
матем. и обществ, наук» №7, 1931.
45.	Л е й б е н з о н Л. С., Об одном способе определения устойчивости упругого равно-
весия, Собрание трудов, т. 1, АН СССР, 1951.
46.	Л е й б е н з о н Л. С., О приближенном методе исследования устойчивости упругого
равновесия, основанном на прямом приложении начала возможных перемещений, Собрание
трудов, т. 1, АН СССР, 1951.
47.	Л е й т е с С. Д., Устойчивость сжатых стальных стержней, Стройиздат, 1954.
49.	Макушин В. М., Устойчивость сжатых стоек, нагруженных продольными силами,
распределенными по части длины, Труды кафедры «Сопротивление материалов» Московского
высшего технического училища им. Баумана. Раздел 3. Колебания, устойчивость и равновесие,
упругих стержней, 1947.
50.	М а к у ш и н В. М., Поперечные колебания и устойчивость цилиндрических витых
пружин, сборник «Динамика и прочность пружин», АН СССР, 1950.
53.	М а к у ш и н В. М., Устойчивость сжатых стоек с промежуточными опорами, сбор-
ник «Расчеты на прочность, жесткость, устойчивость и колебания», Машгиз, 1955.
54.	М а к у ш и н В. М., Расчеты на статическую устойчивость стержневых элементов
конструкций, «Справочник машиностроителя», т. 3, гл. 10, Машгиз, 1955.
55.	М а к у ш и н В. М., Значения критических сил для сжатых трехпролетных стержней
постоянного сечения, сборник «Расчеты на прочность», вып. 3, Машгиз, 1958.
56.	Макушин В. М. иКорелков Л. А., Расчет на устойчивость стоек с проме-
жуточными опорами, «Труды Московского механико-машиностроительного института», вып. 56.
Машгиз, 1939.
57.	М а л и н и н Н. Н., Приближенный метод расчета плоских рамных систем на устой-
чивость, «Труды Московского механико-машиностроительного института», вып. 41—42, 1938.
58.	Манжаловский В.П., Устойчивость колонн ступенчатообразного сечения,
сборник «Вопросы конструкций и теории сооружений», № 2, Государственное научно-техни-
ческое издательство Украины, 1938.
59.	Микеладзе Ш. Е., Новые методы интегрирования дифференциальных уравне-
ний и их приложения к задачам теории упругости, Гостехиздат, 1951.
60.	М и т и н с к и й А. Н. и С и н и ц к и й А. К., Сборник примеров и задач по прик-
ладной теории упругости (глава I), изд. Ленинградского института инженеров гражданского
воздушного флота, 1936.
61.	Митропольский Н. М., Приближенные расчеты прямых стержней на устой-
чивость от нагрузки, приложенной по длине стержня, «Труды Московского института инжене-
ров ж.-д. транспорта», вып. 74, 1950.
63.	Николаи Б. Л., О критерии устойчивости упругих систем, Труды Одесского
института инженеров гражданского и коммунального строительства, вып. 1, 1939.
64.	Николаи Е.Л., Труды по механике, Гостехиздат, 1955.
65.	Нормы и технические условия проектирования стальных конструкций (НиТУ 121-55),
Стройиздат, 1955.
66.	Нудельман Я. Л., Интегральные уравнения в теории продольного изгиба,
«Прикладная математика и механика», т. 3, вып. 1, 1936.
67.	Нудельман Я-Л., Интегральные уравнения устойчивости стержней, стержне-
вых систем и пластин, «Научные труды Одесского института инженеров морского флота»,
вып. 7, 1948.
68.	Нудельман Я.Л., Методы определения собственных частот и критических
сил для стержневых систем, Гостехиздат, 1949.
69.	П а в л о в А. П., Деревянные конструкции и сооружения, Гослесбумиздат, 1955.
70.	Павлюк Н. П., Об устойчивости стержней и простых рамных систем, «Труды Ленин-
градского института инженеров коммунального строительства»,вып. 1, 1934.
71.	П а в л ю к Н. П., Устойчивость прямоугольной рамы, там же, вып. 4, 1937.
72.	Павлюк Н. П., Устойчивость прямоугольных рамных систем, там же, вып. 5, 1938.
73.	П а п к о в и ч П. Ф., Строительная механика корабля, часть 2, Судпромиздат, 1941.
75.	П о п о в Е. П., Нелинейные задачи статики тонких стержней, Гостехиздат, 1948.
76.	Пратусевич Я. А., Вариационные методы в строительной механике, Гостех-
издат, 1948.
77.	Рабинович И. М., Строительная механика плоских и пространственных упругих
стержневых систем, сборник «Строительная механика в СССР, 1917—1957 гг.», Стройиздат,
1957.
53 Пономарев 508
834
Литература
78.	Работнов Ю. Н., О равновесии сжатых стержней за пределом пропорциональ-
ности, «Инженерный сборник АН СССР», т. 11, 1952.
79.	Р ж а н и ц ы н А. Р., Теория составных стержней строительных конструкций,
Стройиздат, 1948.
80.	Р ж а н и ц ы н А. Р., Статистический метод определения допускаемых напряжений
при продольном изгибе, Стройиздат, 1951.
81.	Р ж а н и ц ы н А. Р., Устойчивость равновесия упругих систем, Стройиздат, 1955.
82.	Решетов Д. Н., Расчет деталей станков, Машгиз, 1945.
83.	Р е ш е т о в Д. Н. и Л е в и т Г. А., Нормаль станкостроения Н 48-62 (ЭНИМС).
84.	Сегал А. И., Об устойчивости рамных систем, «Вестник инженеров и техников»
№ 7, 1936.
85.	Сергиевский Н. Д., Устойчивость стержней переменного сечения, сборник
«Машиностроение», Машгиз, 1955.
86.	С м и р н о в А. Ф., Устойчивость и колебания сооружений, Трансжелдориздат,
1958.
87.	С м и р н о в А. Ф., Стержни и арки наименьшего веса при продольном изгибе,
«Труды Московского института инженеров ж.-д. транспорта», вып. 74, 1950.
88.	С н и т к о Н. К., Устойчивость сжатых и сжато-изогнутых стержневых систем,
Стройиздат, 1956.
89.	Справочник по технической механике, Гостехиздат, 1949.
90.	Сулимцев И. И. иГимельфарб С. П., Проектирование паровозов, справоч-
ное пособие, Машгиз, 1954.
91.	Тимошенко С. П., Устойчивость упругих систем, Гостехиздат, 1955.
92.	Т и м о ш е н к о С. П., История науки о сопротивлении материалов, Гостехиздат,
93.	Т и х о м и р о в Е. Н., Второе критическое состояние стержня, «Вестник инженеров
и техников» № 4, 1934.
94.	Тихомиров Е.Н., К точной и приближенной теории продольного изгиба,
«Труды Московского авиационного института», 1935.
95.	Тихомиров Е.Н., О третьей упругой кривой Эйлера, «Вестник инженеров
и техников» № 3, 1936.
96.	Т и х о м и р о в Е. Н., О пятой упругой кривой Эйлера, «Труды Московского ме-
ханико-машиностроительного института», вып. 21—22, 1936.
97.	У м а н с к и й А. А., Кручение и изгиб тонкостенных авиаконструкций, Оборон-
гиз, 1939.
98.	Ф е л ь д м а н М. Р., Устойчивость стержней переменного сечения, «Известия
АН АрмССР, серия физ.-мат. наук» № 4, 1957.
99.	Феодосьев В.И., Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов
(глава IV), Гостехиздат, 1950.
100.	Феодосьев В. И., Об устойчивости упругих систем в большом и об устойчивости
в малом, «Труды Московского авиационного института», вып. 17, 1952.
101.	Филоненко-Бородич М. М., О некоторых свойствах дифференциального
уравнения Эйлеровой задачи, «Известия Московского высшего технического училища
им. Баумана» № 1, 1929.
102.	Филоненк о-Б о р о д и ч М. М., К вопросу о граничных условиях Эйлеровой
задачи, «Вестник Военно-инженерной академии», вып. 20, 1936.
103.	Хофф Н., Продольный изгиб и устойчивость, ИЛ, 1955.
104.	Ц в е й И. Ю., Некоторые вопросы устойчивости стоек с оттяжками (типа крановых
стрел), «Труды Московского инж.-строительного института» № 27, 1957.
105.	Ченцов Н. Г., Стойки наименьшего веса, «Труды Центрального аэрогидродинами-
ческого института», вып. 265, 1936.
106.	Чернышев Н. А., Устойчивость пружин сжатия, сборник «Новые методы рас-
чета пружин», Машгиз, 1946.
107.	Чернышев Н. А., Устойчивость пружин кручения, сборник «Расчеты на проч-
ность в машиностроении», Машгиз, 1950.
108.	Чувикин Г. М., Устойчивость рам и стержней, Стройиздат, 1951.
109.	Чудновский В. Г., Методы расчета колебаний и устойчивости стержневых
систем, АН УССР, 1952.
ПО. Штаерман И. Я., Опорные реакции при продольном изгибе, Сборник научно-
исследовательских работ Киевского индустриального института, № 3, 1936х.
111.	Штаерман И. Я. и П и к о в с к и й А. А., Основы теории устойчивости строи-
тельных конструкций, Стройиздат, 1939.
112.	Эйлер Л., Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами макси-
мума либо минимума или решений изопериметрической задачи, взятой в самом широком смы-
сле, Гостехиздат, 1934.
113.	Э п ш т е й н М. О., Расчет прочности и устойчивости рам методами фокусов, сбор-
ник «Исследования по теории Сооружений» вып. 6. Стройиздат, 1954.
Литература
835
114.	Э п ш т е й н М. О., Определение частот собственных колебаний несвободных рам'
методами фокусов в обобщенном виде, там же, вып. 7, Стройиздат, 1957.
115.	Я гн Ю. И., Устойчивость нелинейно деформирующихся систем при малых конеч-
ных отклонениях, «Труды Ленинградского политехнического института», № 178, 1955.
116.	Ясинский Ф. С., Избранные работы по устойчивости сжатых стержней, Гос-
техиздат. 1952.
117.	В iezeno С. und Koch J., Die Knickung von Schraubenfedern, Zeitschrift fur
angewandte Mathematik und Mechanik», Bd. 5, 1925.
118.	Grammel R., Die Knickung von Schraubenfedern, «Zeitschrift fur angewandte
Mathematik und Mechanik», Bd. 4, 1924.
119.	H u r 1 b r i n k E., Berechnung zylindrischer Druckfedem auf Sicherheit gegen
seitliche Ausknicken, «Zeitschrift des Vereins Deutscher Ingenieure», 1910.
120.	К о 1 1 b r u n n e r C. und Meister M., Knicken . Theorie und Berechnung von
Knickstaben, Knickvorschriften, Berlin 1955.
121.	M a a g H., Knickung von Schraubenfedern unter Druck und konservativer Torsion.
«Ingr. — Arch.», Bd. 25, № 2, 1957.
122.	P f 1 ii ge r A., Stabilitats-Probleme der Elastostatik, Berlin 1950.
123.	Ratzersdorfer J., Die Knickfestigkeit von Staben und Stabwerkei Vien,
1936.
124.	Ziegler H. Linear elastic stability, «Zeitschrift angewandte Mathematik und Phy-
sik», Bl. 4. 1953.
125.	Ziegler H., On the concept of elastic stability, «Advances in applied mechanics»,
Vol. IV, New York 1956.
53*
ГЛАВА XI11
КРИТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ НАГРУЗОК ПРИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ
И ПЛОСКИХ ФОРМАХ РАВНОВЕСИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
Рассмотренные в предыдущей главе разнообразные случаи устойчивости
сжатых стержней имеют одну общую особенность: их криволинейная форма
равновесия представляет собой плоскую кривую и составление дифферен-
циального уравнения упругой линии не представляет затруднений. При рас-
смотрении более сложных задач устойчивости прямолинейных и криволиней-
ных стержней, как например: устойчивости сжатых естественно закрученных
стержней; устойчивости скрученных стержней; устойчивости сжато-скручен-
ных стержней; устойчивости круговых колец, нагруженных равномерно
распределенными радиальными силами; устойчивости плоской формы изгиба
прямолинейных и криволинейных балок — приходится руководствоваться
теорией пространственной упругой линии.
В настоящей главе и рассматривается применение основных уравнений
упругой линии двоякой кривизны к задачам устойчивости. § 1 и 2 посвящены
выводу основных уравнений. В остальных параграфах (3—7) с помощью
полученных уравнений решаются практически важные задачи устойчивости
элементов конструкций, перечисленные выше.
Литература по исследованию упругой линии двоякой кривизны менее
обширна по сравнению с весьма многочисленными работами по изучению
плоской упругой линии.
Наиболее значительными являются следующие работы: монография
Е. Л. Николаи [51], исследования П. А. Вальтера [11], [12],
А. И. Лурье [39], [40], Я. А. Пратусевича [67], С. А. Тумаркина' [81],
Н. А. Чернышева [86], [90] и И. Я. Штаермана [97].
В монографии Е. Л. Николаи [51 ] детально рассматривается в области
больших перемещений задача о пространственной упругой линии прямоли-
нейного стержня с равными главными жесткостями при изгибе, нагружен-
ного по концам силами и парами. Заслугой Е. Л. Николаи является также
уточнение известной кинетической аналогии Кирхгофа, устанавливающей,
что задача об изгибе первоначально прямолинейного стержня в области боль-
ших перемещений математически эквивалентна задаче о движении тяжелого
твердого тела, имеющего неподвижную точку. Это соответствие между враще-
нием твердого тела и деформацией упругого стержня позволяет для определе-
ния его упругой линии использовать уже известные решения задачи о враще-
нии тела. Е. Л. Николаи показал ограниченность этой аналогии: не всякое
решение задачи о вращении тяжелого твердого тела может быть применено
к задаче об упругой линии.
Изложение вопроса о дифференциальных уравнениях пространственной
упругой линии в области малых перемещений дано в работах [41], [42],
[43], [48] и др.
Элементы геометрии пространственных криволинейных стержней
837
В последнее время в технической литературе ряд авторов использовал
теорию упругой линии двоякой кривизны для расчета витых пружин сжатия
и кручения [47], [86]—[88], [90], многожильных пружин [60]—[63],
турбинных лопаток [2], [49 ] и других деталей.
§ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ
СТЕРЖНЕЙ
Представим себе тонкий криволинейный стержень, осью которого
является некоторая пространственная кривая (кривая двоякой кривизны
AfjMa, фиг. 622). Осью стержня называется линия, на которой расположены
центры тяжести поперечных сечений стержня.
Положение произвольной точки М на оси стержня определим радиусом-
вектором т. е. вектором, имеющим начало в некоторой неподвижной
точке О (полюс) и по мо-
дулю равным расстоянию
от полюса до рассматри-
ваемой точки М оси стерж-
ня. Обозначим через з
длину дуги от некоторой
определенной точки А оси
стержня (начало отсчета)
до рассматриваемой точ-
ки М. Дуга з считается
положительной в направ-
лении от Л к Л42. Есте-
ственно рассматривать ра-
диус-вектор 7? точки М как некоторую функцию скалярного переменного з,
т. е. как R (s). Функция R (з) представляет собой параметрическую форму
векторного уравнения рассматриваемой кривой МТМ2 (ось стержня); пара-
метром здесь является длина дуги з. Познакомимся с рядом понятий
и определений, употребляемых при изучении пространственных кривых.
Рассмотрим две близкие точки М и М* на оси стержня (фиг. 623). Опреде-
лим положение этих точек соответственно радиусами-векторами R (з)
и R (s + Дз). Их разность Д7? представляет собой вектор, соединяющий
точки Л1 и М*, т. е. направленный по секущей ММ*. Предел отношения
приращенияД R радиуса-вектора R к приращению аргумента s при стремле-
нии Дз к нулю представляет собой производную вектора R (з), т. е.
As->0
dR
ds
R'.
(1)
Замечая, что предельное положение MN секущей ММ* (при As -> 0)
называется касательной к кривой в точке М, заключаем, что производная
от радиуса-вектора 7? (s) по дуге s представляет собой вектор, направленный
по касательной. Модуль вектора R' равен 1 как предел отношения хорды
к дуге. Примем направление вектора R' за положительное направление каса-
тельной и обозначим единичный вектор (орт) касательной через тогда
' = f =«'	(2>
Рассмотрим изменение направления касательной при переходе
от точки М (з) к весьма близкой точке М* (s -[- Дз).
838 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
Если t — единичный вектор касательной к кривой в точке М,
то t + д7— единичный вектор касательной в точке М*. Перенесем парал-
лельно вектор 7 + дГв точку М (фиг. 624); тогда вектор Д/ будет характери-
зовать по величине и направлению уклонение касательной при переходе
от точки М к точке М*.
Другими словами, от-
д7
ношение -т- является
As
мерой средней кривизны
на участке от М доЛТ*.
Предел указанного от-
ношения при стремле-
нии Дз к нулю, т. е.
производная от векто-
ра t по дуге s
lim £ =	= t', (3)
As+O Дз	’
носит название вектора кривизны кривой в точке М. Само построение век-
тора кривизны (фиг. 624) показывает, что он направлен в сторону вогнутости
кривой.
Обозначим через Дер угол смежности касательных в точках М и Л4*,
т. е. угол, образованный векторами t и t + Д/; тогда
|и7| = ГР = ТР . ТР= ТР Ду
As	As TP As TP As
прямой кривизна обращается в ноль)
где через TP обозначена дуга окружности единичного радиуса с центром
в точке М. Предел отношения угла смежности Д<р, к элементу дуги Д$ назы-
вается кривизной пер-
вого рода, или просто
кривизной в данной
точке, и обозначается
1
через у, т. е.
lim Al = 2..
AS->0	?1
Кривизна— пред-
ставляет собой некото-
рую меру отклонения
рассматриваемой кри-
вой от прямой (дл
Учитывая также, что предел отношения хорды ТР к дуге ТР равен 1,
заключаем, что соотношение (4) при переходе к пределу дает величину век-
тора кривизны (3) в виде
И'1 =
dt
ds
: Нт £ = —
As+O	Pl
(5)
Из выражения (5) следует, что
кривизна 2- пространственной кривой
всегда рассматривается как существенно положительная величина.
Элементы геометрии пространственных криволинейных стержней
839
Производная 7', как производная единичного вектора, перпендикулярна
самому вектору 7, т. е. является одной из нормалей к рассматриваемой про-
странственной кривой в точке касания М. В отличие от плоской кривой кри-
вая в пространстве имеет не одну, а бесчисленное множество нормалей.
Действительно, любая прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярной
к касательной, и проходящая через точку касания, является нормалью к рас-
сматриваемой кривой. Из всех нормалей наибольший интерес представляет
нормаль, совпадающая с направлением вектора кривизны t', т. е. характери-
зующая изменение направления касательной t при движении вдоль кривой.
Эта нормаль носит название главной нормали пространственной кривой.
Примем направление вектора
кривизны за положительное на-
правление главной нормали.
Тогда, обозначая через п еди-
ничный вектор (орт) главной
нормали, придем к следующему
выражению для вектора кри-
визны:
1
где ----кривизна . кривой
Pi
в данной точке.
Среди всех остальных нормалей к кривой в данной точке М целесообразно
выделить еще одну, именно ту, которая перпендикулярна главной нормали.
Эту нормаль называют бинормалью. Согласуем положительное направле-
ние бинормали с положительными направлениями касательной и главной
нормали так, как в левой системе координат (фиг. 625) положительное
направление оси z согласовано с положительными направлениями осей х и у.
Единичный вектор (орт) положительного направления бинормали обозна-
чим через Ь. Согласно определению единичных векторов t, и, b можно сказать,
что орт бинормали b представляет собой векторное произведение орта каса-
тельной t и орта главной нормали и, т. е.
b = п\ .
(7)
Используя круговую перестановку, можно соотношение (7) представить
также в виде
7=[п&]	(7 а)
или в виде
n=[b~t].	(76)
Итак, в каждой точке пространственной кривой имеют место три взаимно-
перпендикулярных вектора t, п> Ь, образующих прямой трехгранный угол,
называемый основным или натуральным трехгранником (триэдром). Каждые
два ребра этого трехгранника определяют некоторую плоскость (фиг. 626).
Плоскость, проходящая через касательную и главную нормаль, называется
соприкасающейся плоскостью: плоскость, определяемая главной нормалью
и бинормалью, — нормальной плоскостью и плоскость, проходящая через
бинормаль и касательную, — спрямляющей плоскостью.
Из этих трех плоскостей наиболее важную роль для изучения простран-
ственной кривой играет соприкасающаяся плоскость.
840 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
Среди всех плоскостей, проходящих через данную точку рассматриваемой
кривой, соприкасающаяся плоскость наиболее тесно прилегает к кривой.
Если обозначить через Дз длину дуги кривой от данной точки М до весьма
близкой точки 7И*, то можно показать, что порядок расстояния точки М*
от граней трехгранника, построенного в точке Л4, следующий: от нормальной
плоскости 1-го порядка, от спрямляющей плоскости 2-го порядка и от сопри-
касающейся плоскости 3-го порядка относительно малой величины As.
Другими словами, с точностью до малых 3-го порядка всякую пространствен-
ную кривую в бесконечно малом около данной точки М можно считать пло-
ской, а именно расположенной в соприкасающейся плоскости для этой точки.
Положение соприкасающейся
плоскости, определяемое перпен-
дикулярным к ней ортом бинор-
мали b будет изменяться по , мере
продвижения по пространственной
кривой. Это изменение, характе-
ризующее уклонение малого эле-
мента кривой ММ* от соприка-
сающейся плоскости в точке М,
определяется вектором кручения
db
построенным аналогично век-
тору кривизны. Очевидно, по ха-
рактеру этого изменения можно
судить, насколько рассматри-
ваемая кривая уклоняется от плоской.
Обозначим через ДФ угол смежности бинормалей в точках М и Л1*, т. е.
угол, образованный бинормалями b и b + Д6; тогда модуль вектора кручения
"1 = 1™“	2-,
। AS->0	Р2
(8)
где-----абсолютная величина кривизны второго рода или кручения про-
Ра
странственной кривой в данной точке.
Кривизну второго рода или кручение можно рассматривать как меру
отклонения изучаемой пространственной кривой от плоской кривой (для
плоской кривой кручение обращается в ноль).
Выясним теперь направление вектора кручения . Очевидно, что вектор
кручения, как производная единичного вектора Ь, перпендикулярен бинор-
мали. Покажем, что вектор кручения также перпендикулярен и касательной.
Действительно, благодаря перпендикулярности касательной и бинормали
скалярное произведение их ортов обращается в ноль, т. е. ~tb = 0. Диф-
ференцируя обе части этого тождества по дуге s, имеем
> db  dt i л
= 0.
ds 1 ds
Учитывая формулу (6) заключаем, что второе слагаемое, т. е. — nb,
обращается в ноль,,как скалярное произведение двух взаимно-перпендику-
лярных векторов, и, следовательно,
Элементы геометрии пространственных криволинейных стержней
841
что является условием перпендикулярности касательной и вектора круче-
ния. Итак, вектор кручения перпендикулярен как бинормали Ь, так и каса-
тельной t, т. е. перпендикулярен спрямляющей плоскости и, следовательно,
параллелен главной нормали п. Положительные направления вектора кру-
чения и орта главной нормали могут как совпадать, так и быть прямо противо-
т>	*	db —
положными. В случае, если положительные направления векторов и п
1
противоположны, условимся приписывать кручению — кривой положитель-
» 2
ный знак, а если их положительные направления совпадают, — считать
кручение кривой отрицательным. Тогда вектор кручения может быть выражен
как
db	1
-~т =-----п.	(9)
ds	р2	v 7
Таким образом, в отличие от первой кривизны кривой*-^-, рассматривае-
мой в теории пространственных кривых как существенно положительная
величина, вторая кривизна или кручение кривой -у- может быть как поло-
жительной, так и отрицательной величиной.
Рассмотрение изменения направления касательной при движении точки
касания по изучаемой кривой привело к понятию о векторе кривизны
кривой, характеризующего ее отклонение от прямой линии, а рассмотрение
изменения положения соприкасающейся плоскости при движении по про-
странственной кривой привело к введению вектора кручения кривой,
характеризующего ее отклонение от плоской кривой.
Выше были получены выражения как для вектора кривизны, т.е. произ-
водной от орта касательной t [формула (6) ], так и для вектора кручения,
т. е. производной от орта бинормали Ь [формула (9) ].
Установим теперь выражение для производной от орта главной нормали.
Для этого согласно формуле (76) выразим единичный вектор п в виде вектор-
ного произведения двух других ортов b и 7:
п —
и продифференцируем обе части этого равенства:
dn _Г db 7] । -г at 1,
~ds “ [ds J + Ij’dsJ *
Заменяя производные и их выражениями по формулам (9) и (6),
получим, что	,
от
Как известно, перестановка местами сомножителей векторного произве-
дения меняет его знак; следовательно,
\п /] == —b и [b п] = —7,	•
842 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
и выражение для искомой производной принимает вид
-# = --Н+т-&-	(II)
Перейдем теперь к рассмотрению движения основного трехгранника
при перемещение его вершины М вдоль оси стержня. При движении точки М
по рассматриваемой кривой (ось стержня) трехгранник перемещается вместе
с этой точкой и одновременно вращается вокруг некоторой оси, проходящей
через точку М (мгновенная ось вращения), так, что вектор t все время
остается касательной, п — главной нормалью и b — бинормалью кривой
для той точки оси стержня, с которой в этот момент времени совпадает вер-
шина трехгранника. Обозначим угловую скорость вращения трехгранника
вокруг мгновенной оси через <о, причем скорость берется по отношению
к проходимому по кривой пути s, т. е. обычное дифференцирование по времени
заменяется дифференцированием по дуге з.
Проекции вектора <о на оси t, п, Ь обозначим через a>i, <о2, <о8, следова-
тельно,
и = mJ + <о2п + <o3fe.	(12
Для отыскания величин <»!, <о2, <о3 поступим следующим_образом..Умно-
жим векторно обе части равенства (12) на орт касательной t:
[<о7] = ©j [77] + <о2 [nF] + a>3 [fe7].	(13)
Левая часть полученного равенства, т. е. векторное произведение вектора
угловой скорости ® на орт касательной t, представляет собой линейную ско-
рость конца вектора t при вращении трехгранника с угловой скоростью а>.
Используя формулу (6), легко представить левую часть равенства (13) в виде
[<о Л = -^-п.
i j Р1
Входящие в правую часть равенства (13) векторные произведения единич-
ных векторов имеют следующие значения:
[77]= 0, [п7] =—Ъ, [feF]=n,
и, следовательно, выражение (13) может быть представлено как
J- п = — <o2fe + <о3п,
откуда следует, что
л	1
ч со» = 0 и ш3 = —— •
2	3 Р1
Далее умножим векторно обе части равенства (12) на орт бинормали Ъ:
[ <0 fe] =	[< fe] + <о2 [п fe] + <о3 [fe fe].
Используя формулу (9) и замечая, что
[7fe]=—n, [nfe] = t, [fefe] = О,
Элементы геометрии пространственных криволинейных стержней
843
находим
1	л
= и ®2 = 0-
Таким образом, вектор угловой скорости <о вращения основного трех-
гранника вокруг мгновенной оси, проходящей через его вершину, может быть
выражен следующим образом:
<о = — / + — Ь,	(14)
Ра 1 Pi '	4 ’
т. е. вращение основного трехгранника в каждый данный момент времени
слагается из двух вращений: около касательной с угловой скоростью —
и около бинормали с угловой скоро*	&
стью	Aj
Pi ___	Т
Вектор (о носит название полного
вектора кривизны пространственной
кривой. Все разобранные геометри-	/
ческие представления рассматрива-	/
лись применительно к оси стержня,	/
1 1 /
следовательно, величины — и —	,	/
Р1 Рг	/у ’
выражают кривизну и кручение
этой оси.	S''/
Переходя к изучению всего стерж- -	/
яя в целом, необходимо ввести
в рассмотрение, кроме основного	/
трехгранника, еще так называемый /
главный трехгранник, связанный не гп
только с осью стержня, но и с его	фиг 627
поперечным сечением.
Обозначим орты главного трехгранника, составляющие левую тройку,
через i, j, k. Орт k совместим с ортом t основного трехгранника, т. е. напра-
вим его по касательной к оси стержня в сторону возрастания дуги s. Если
стержень находится в естественном недеформированном состоянии, то два
других орта i и j главного трехгранника направим по главным центральным
осям инерции поперечного сечения стержня. Если рассматривается некоторое
деформированное состояние стержня, то направление ортов главного трех-
гранника определяется несколько иначе (см. § 2).
В общем случае орты i и / главного трехгранника не совпадают с ортами п
и b основного трехгранника. Обозначим угол между главной нормалью п
и ортом i черезф (фиг. 627). Условимся считать угол ф положительным, если
для наблюдателя, смотряш^о со стороны орта касательной t, он предста-
вляется отложенным от оси п по часовой стрелке.
Рассмотрим движение главного трехгранника при перемещении его вер-
шины М, общей с вершиной основного трехгранника, вдоль оси стержня.
При этом главный трехгранник в каждый данный момент времени вращается
вокруг некоторой оси, проходящей через точку М (мгновенная ось вращения),
так, что вектор k все время совпадает с касательной к оси стержня, а векторы i
и j — с главными центральными осями сечения, центром тяжести которого
является точка М.
Обозначим угловую скорость вращения главного трехгранника вокруг
мгновенной оси через 2, причем скорость берется так же, как и раньше,
844 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия

по отношению к проходимому по кривой пути s. Если главная ось сечения
совпадает с главной нормалью или образует с ней во всех сечениях стержня
постоянный угол ф, то очевидно, что угловые скорости вращения главного
и основного трехгранников совпадают, т. е. 2 = ю. В общем случае для
различных сечений стержня угол ф может быть различным и его можно рас-
сматривать как некоторую функцию дуги s. Тогда производная характе-
ризует скорость поворота главного трехгранника по отношению к основному.
Вектор этой скорости направлен по касательной к оси стержня и, следо-
вательно, угловые скорости 2 и !(о
i J связаны между собой соотношением
/ (15>
cos-ф ~ Подстановка значения вектора©
7 Р1 J по формуле (14) дает
J	2 =	+	+ _Lfr. (16)
*7	\ Ра / Pi ' ’
/	Таким образом, вращение глав-
'	. ного трехгранника в каждый данный
м	момент времени слагается из двух
вращений: около касательной с угло-
вой скоростью —|- — и около би-
нормали с угловой скоростью —. Другими словами, формула (16) дает
разложение вектора 2 по осям основного трехгранника._____
Обозначим через р, q, г проекции вектора 2 на оси Z, /, k главного трех-
гранника. Между проекциями вектора 2 на оси главного трехгранника
и на оси основного трехгранника существуют следующие очевидные зави-
симости (фиг. 628):
p = s-M, 7 = r = J- + ^,	(17)
Р 91	4 Pi	Ра ds	V '
fi1b
sin ф-т
Ф
п
Фиг. 628.
и, следовательно, вектор угловой скорости вращения главного трехгранника
может быть представлен в следующем виде:
2 =	+
Pl ~	Pl s \ Ра ds J
.(18)
Величины р = и q = c°st') представляют собой кривизны
проекций элемента дуги ds на соответствующие плоскости главного трех-
гранника и называются главными компонентами кривизны. Вели-
1	, d<b
чина г = ——Ь	называется кручением стержня; таким образом, круче-
Рз as
1	» dty
ние стержня г определяется кручением оси стержня — и величиной ~,
характеризующей быстроту поворота (по отношению к главной нормали)
главных центральных осей инерции поперечного сечения при перемещении
по оси стержня. Вектор 2 может быть назван полным вектором кривизны
пространственного стержня. Как самый вектор 2, так и его проекции р, q, г
рассматриваются как некоторые функции дуги s.
о В дальнейшем при изучении деформаций пространственных стержней
будут использованы некоторые кинематические соображения. Поэтому целе-
Элементы геометрии пространственных криволинейных стержней
845
сообразно заранее рассмотреть вопрос об изменении радиусов-векторов R
и а движущейся точки М в неподвижной |, ц, С и подвижной i, j, £системах
осей (фиг. 629). Обозначим через Ro радиус-вектор подвижного начала О
относительно неподвижного А; тогда
R — Ro + а
или
R = Ro + axi + ayj + a2k,
где ax, ay, a2 — проекции вектора а на подвижные оси.
Производная от ~R по времени t дает скорость движения точки М по отно-
шению к неподвижной системе осей (так называемая абсолютная скорость):
_____ dRp I dOx • । dOy . .
dt ~ dt dt dt
(19)
Слагаемые
dax~ [ day-: , daz -r
dt 1 !" dt 1 "I" dt R
(20)
Фиг. 629.
поступательного движения ее начала О
характеризуют скорость движения точки М
по отношению к подвижной системе коор-
динат (скорость относительного движения).
Условимся обозначать эту скорость через
d'a __dax-7 day-. . daz -r
dt dt 1 ~1" dt 1 dt
и называть относительной или
локальной производной.
. В самом общем случае движе-
ние подвижной системы в каждый
данный момент времени можно
рассматривать как состоящее из
и из вращения подвижной системы вокруг мгновенной оси, проходя-
dR
щей через начало О. Слагаемое в правой части формулы (19)
и представляет собой скорость поступательного движения подвижной
системы. При поступательном движении орты подвижной системы остаются
неизменными по направлению и, следовательно, производные от них обра
щаются в ноль. Поэтому наличие слагаемых
di . di . dk
ax It + ay IF + az~dt
обусловлено вращением подвижной системы относительно мгновенной оси.
Таким образом, слагаемые
dRo . di , di . dk
представляют собой скорость той точки подвижной системы, с которой в рас-
сматриваемый момент времени совпадает движущаяся точка (скорость пере-
носного движения). Выясним кинематический смысл производных по времени
от орт I, j, k подвижной системы осей. Обозначим угловую скорость вращения
подвижной системы через <о. Производная от орта I по времени представляет
846 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
собой линейную скорость конца вектора обусловленную вращением подвиж-
ной системы. Аналогичный смыл имеют и производные по времени от двух
других ортов / и k. Как известно, линейная скорость при вращательном дви-
жении выражается в виде векторного произведения вектора угловой скорости
и радиуса-вектора, т. е.
-5Г =	;	; § =	*1 •
Следовательно, слагаемые
di , dj , dk
ax~dt + аУ ~dt + Uz~dt 
могут быть представлены в виде
ах [® Л + ау R 7] + [<•>&] .
Внесем скалярные коэффициенты ах, ау, аг внутрь векторных произ-
ведений и, заметим, что
aj + a~j + с$ = а;
тогда
[coa^-t] + [<оау/] + [waz&] = [<*>«].
Итак, производная по времени от радиуса-вектора R движущейся точки
в неподвижной системе может быть представлена в следующем виде:
<21>
В частном случае, когда начала подвижных и неподвижных осей совпа-
дают, Ro = 0 и R — а, имеем
(21а)
Полученным результатам можно также дать следующую формулировку:
векторная производная по времени от радиуса-вектора, взятая в одной системе
осей, отличается от производной того же вектора в другой системе, вращаю-
щейся по отношению к первой с угловой скоростью <о, на векторное произ-
ведение [(о а]. Это заключение имеет место не только для радиуса-вектора
движущейся точки, но и вообще для любой вектор-функции скалярного
аргумента.
В настоящем параграфе изложены наиболее необходимые для дальнейшего
сведения по геометрии пространственных кривых. Для более полного изу-
чения материала можно рекомендовать курсы дифференциальной геометрии
П. К. Рашевского [68], М. Я. Выгодского [15] и ряда других авторов.
§ 2. ОСНОВНАЯ СИСТЕМА’ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ {УПРУГОЙ ЛИНИИ
ДВОЯКОЙ КРИ ВИЗНЫ
А. Малые деформации криволинейных стержней
Рассмотрим два состояния криволинейного стержня — естественное неде-
формированное (фиг. 630, а) и некоторое деформированное (фиг. 630, б).
Допустим что 714? М% — ось стержня в естественном недеформированном
состоянии. Обозначим через До начало отсчета дуг, а через Мо — произвола
Основная система дифференц. уравнений упругой линии двоякой кривизны 847
ную точку оси, определяемую дугой Л0Л40 = s0. Орты главного трехгранника
для точки Мо обозначим через i0, j0, k0. Орт k0 направим по касательной
к оси стержня, и орты i0, j0 — по главным центральным осям инерции попереч-
ного сечения стержня.
Под действием внешних сил и моментов, приложенных к стержню, послед-
ний деформируется, и его ось 2И? занимает в пространстве положе-
ние MjMi, достаточно близкое к естественному недеформированному поло-
жению (ограничиваем свое рассмотрение только малыми перемещениями).
Начало отсчета дуг точка Ло переходит в положение А и некоторая точка Мо
недеформированной оси переходит в некоторое положение М, определяемое
дугой AM — s. Существенно отметить, что в дальнейшем ось стержня счи-
тается нерастяжимой и, следовательно, s = s0, т. е. предполагается, что
продольными деформациями (удлинениями) оси стержня можно пренебречь.
Орты главного трехгранника для точки М деформированной оси стержня
обозначим через i, j, k. Орт k направим по касательной к деформированной
оси. Так как в общем случае точки, принадлежащие до деформации плоскости
поперечного сечения стержня, получают при его деформации самые разно-
образные перемещения, то положение двух других ортов i и / определяется
следующим образом. Допустим, что точки поперечного сечения стержня,
расположенные до деформации на главной центральной оси г0, после дефор-
мации располагаются на некоторой кривой, проходящей через точку М.
В плоскости, проходящей через точку М и определяемой касательной к этой
кривой и касательной к деформированной оси стержня (орт k)t перпенди-
кулярно орту k, направим орт i. Наконец, орт / направим_по нормали к ука-
занной плоскости. Положительные направления векторов i и / выберем таким
образом, чтобы трехгранник i, j, k был одноименен с трехгранником г0, /о» ~k0
(например, оба были левыми трехгранниками).
При деформации стержня трехгранник 7И0 перемещается до совмещения
с трехгранником М. Зная, что самое общее перемещение какого-либо тела
состоит из поступательного и вращательного, можно рассматриваемое
перемещение трехгранника Л10 представить себе следующим образом.
Прежде всего поступательно переместим трехгранник Мй до совпадения его
848 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
вершины Afo с вершиной трехгранника М. Обозначим проекции вектора
смещения А точки Л40, на оси трехгранника Л40, через и, v, w так, что
Д = uiQ + vj0 + wk0.	(22)
Далее сообщим трехграннику Л40 весьма малый поворот на угол & вокруг
некоторой оси, проходящей через его вершину так, чтобы орты этого трех-
гранника совпали по направлению с ортами трехгранника М. Введем в рас-
смотрение вектор поворота &, направленный вдоль оси вращения и по модулю
равный величине угла поворота &. Обозначим проекции вектора поворота 4
на оси трехгранника Л40 через а, ₽, 7 так, что
» = а70 + р70 + -(10.	(23)
Другими словами, вращение трехгранника Л40 вокруг некоторой оси может
быть заменено тремя вращениями на весьма малые углы а, р, 7 вокруг осей
этого трехгранника.
Рассмотрим выражение косинусов углов, образованных (до совмещения)
осями трехгранников Л40 и М, через проекции а, р, 7 вектора поворота &.
Для этого заметим, что при вращении трехгранника Л40, которое определяется
вектором весьма малого поворота &, конец орта г0 перемещается на величину
векторного произведения [ft i0 ] и совмещается с ортом i, т. е.
7 = Т0+[НЬ	(24)
Подстановка значения вектора поворота Я по формуле (23) дает
~i = ~i0 — ₽*о — 7/о-	(25)
Умножая скалярно обе части равенства (25) поочередно на орты трех-
гранника АГ0, получим косинусы углов, образованных этими ортами с векто-
ром i:
cos (i, i0 ) = 1; cos(/,/0) = 7; cos(i, ko] = —₽.
Аналогично установим и косинусы углов, образованных ортами трех-
гранника Мо с векторами / и k. Результаты вычислений косинусов приведены
ниже:
	o'”1	/0	/го
i	1		-₽
7	.—7	1	а
k	₽	— а	1
(26)
Нетрудно получить эту табличку путем следующих элементарных сообра-
жений. Действительно (фиг. 631), для совмещения орта Jo с ортом /"необходим
поворот на угол ₽ вокруг оси /0 и на угол 7 вокруг оси kQ; по малости углов ₽
и 7 cos (г0, i) = 1.
Ось г0 образует с осью / угол 1) и> следовательно,
cos (70,/) = —sin7^ —7.
Основная система дифференц. уравнений упругой линии двоякой кривизны 849
Ось /0 образует с осью k угол + Р) и, следовательно,
cos (f0, k) = sin p p.
Полученные результаты представляют собой первую графу таблички.
Аналогично могут быть получены вторая и третья ее графы.
Перейдем теперь к установлению зависимостей между проекциями и, v, w
вектора смещения Д точки Л40 и проекциями а, р, Т вектора поворота & трех-
гранника Л40. Искомые за-
висимости получим с по-
мощью следующих кинема-
тических соображений.
Представим себе, что
вершина трехгранника Л40
движется по оси Л4? не-
деформированного стерж-
ня в сторону возрастаю-
щих дуг со скоростью,
равной единице (ds0 = dt). Другими словами, вектор скорости точки 7И0
совпадает по величине и направлению с ортом k0 касательной к оси недефор-
мированного стержня в точке Мо. При этом трехгранник Мо вращается вокруг
мгновенной оси с угловой скоростью
“ Ро^'о “Ь Яо1о “Н	(27)
где ро, 7о, Го — главные компоненты кривизны и кручение недеформирован-
ного стержня и /0, /о,	— орты трехгранника Мо.
Допустим, что одновременно перемещается и вершина трехгранника М
по оси М±М2 деформированного стержня тоже со скоростью, равной единице
(ds = dso = dt) и, следовательно, изображаемой ортом k касательной к оси
деформированного стержня в точке М. Представим движение вершины М
этого трехгранника состоящим из относительного движения по отношению
к трехграннику MQ и из переносного движения вместе с последним.
Обозначим через 7? и Ro радиусы-векторы вершин трехгранников М и MQ
относительно некоторой неподвижной точки О (фиг. 632). Тогда
7?=7?О + Д,	• (28)
где Д — введенный выше вектор смещения точки М относительно точки Мо.
fjb ___
Дифференцируем соотношение (28) по времени и замечаем, что = k
54 Пономарев 508
850 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
dR	__ ___________ _
и — k0, поскольку k и k0 являются скоростями точек М и Мо. Тогда
получаем следующую зависимость:
* = +	(29)
Используя разложение (22) вектора смещения Д по осям трехгранника Л4С>
уста навливаем, что
б/Д du - . dv - . dw -г , dib ,	d/0 , dk?.
+	+ dFk<> + u-dr+v-£+w ИГ- <30>
Первые три слагаемых правой части выражения (30) представляют собой
производную от вектора смещения Д в предположении, что орты трехгран-
ника 7И0 неподвижны. Эта производная обозначается через
d'A du - . dv - , dw -т	/O1V
= 1Гго + -^/о + 1Г^о	(31)
и представляет собой относительную скорость точки М. С учетом сделанных
замечаний выражение (29) для абсолютной скорости точки М принимает
следующий вид:
г = 4г + 1. + “# + "т + “’^--	<32>
Последние три слагаемых правой части выражения (32) представляют
собой производную от вектора смещения Д в предположении, что проекции
этого вектора на оси трехгранника Мо — постоянные величины. Другими
словами, наличие этих трех слагаемых в выражении (32) для скорости k
точки М обусловлено только тем, что точка М вместе с трехгранником
участвует во вращении вокруг мгновенной оси с угловой скоростью По-
следовательно, эти три слагаемых могут быть представлены в виде вектор-
ного произведения [йеД] и таким образом:
— 4/Г + + [йод] •
(33)
Выражение (33) для абсолютной скорости k точки М представляет собой
о	бГД
разложение этой скорости на относительную скорость - - и на скорость
переносного движения. Действительно, слагаемое является скоростью
точки М в предположении, что трехгранник 2И0 неподвижен, слагаемое
представляет собой скорость вершины трехгранника 7И0 и слагаемое [Н0Д]
учитывает вращение трехгранника Мо вокруг мгновенной оси, проходящей
через его вершину. Другими словами, слагаемые k0 + [НоА] представляют
собой скорость точки М в предположении, что эта точка жестко связана
с трехгранником /Ио, а слагаемое  учитывает движение точки М по отно-
шению к трехграннику 7И0.
Основная система дифферент уравнений упругой линии двоякой кривизны 851
Преобразуем выражение (33) путем подстановки значений , й0 и А
в его правую часть. После преобразований выражение (33) примет следующий
вид:
= (^ + гоу) 7о + ($ + rou~P»w) /о +
+ (1 +	+ Pov — ko-
(34)
Спроектируем обе части векторного равенства (34) на оси трехгранника Л40.
Для этого умножим скалярно обе части выражения (34) поочередно на орты
трехгранника MOf примем во внимание приведенную выше таблицу косину-
сов углов между осями трехгранников Л40 и 714 и, замечая, что ds = dt, полу-
чим три скалярных равенства:
₽ии .
= йг + '/о® —го^;
dv .
— а + Гйи — pow;
п dw .
0 = ~ds + pov —
(35)
Таким образом, между проекциями вектора смещения Д и проекциями
вектора поворота в области малых перемещений, установлены три диффе-
ренциальных соотношения (35). Параметрами в них служат главные ком-
поненты кривизны и кручение недеформированного стержня, рассматривае-
мые как функции дуги s. Эти выражения представляют собой первую группу
геометрических соотношений общей теории упругой линии пространственных
стержней.
Обратимся теперь к получению второй группы геометрических соотноше-
ний, дающих выражения для изменения главных кривизн и кручения стержня
при переходе от его естественного недеформированного состояния к деформи-
рованному состоянию. Для этого, так же как и выше, используем некоторые
кинематические соображения.
При перемещении вершины трехгранника 7И0 по оси М® Л4° недеформи-
рованного стержня с единичной скоростью сам трехгранник вращается
относительно мгновенной оси, проходящей через его вершину Af0, с угловой
скоростью
Ч = pJo + <7о/о + r<A>
где р0, qo, r0 — главные компоненты кривизны и кручение стержня в есте-
ственном, недеформированнсм состоянии. При аналогичном перемещении
вершины трехгранника М по оси MtM2 деформированного стержня трех-
гранник также врашается вокруг мгновенной оси, проходящей через его вер-
шину М, с угловой скоростью
2 = pi + qj + rk,
где р, q, г — главные компоненты кривизны и кручение стержня после дефор-
мации.
54*
852 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
Обозначим приращения* главных компонентов кривизны и кручения
стержня при его деформировании через Ъд, Зг, тогда
р = Ро + 8р;
q = <?о + *q>
Г = Го + 8г-
(36)
Первая группа геометрических соотношений была получена из рассмотре-
ния движения вершины трехгранника М путем разложения скорости точки М
на относительную и переносную. Аналогично угловую скорость £2 вращения
трехгранника М можно представить в виде
Q	Цр	(37)
где 2' — угловая скорость трехгранника М по отношению к трехгран-
нику Мо, рассматриваемому как неподвижный, т. е.
Спроектируем обе части векторного равенства (37) на оси трехгранника М.
Для этого умножим скалярно обе части равенства (37) поочередно на орты
трехгранника М и примем во внимание приведенную выше таблицу коси-
нусов углов между ортами трехгранников Л40 и М. В результате получим
три скалярных равенства:	'
р = (Ро + W) 1 + (*> + ~3г) (го + ~3г)
^ = -(ро + ^)1 + («7о + -^-)1 + (го+^-) «;
'•=^о + ^)₽-^о + ^-)«+(го + 4)1-
(39)
Произведениями малых величин а, ₽, % на соответствующие производные
пренебрегаем. Тогда, используя обозначения формулы (36) и учитывая,
что ds = dt, получим искомые дифференциальные выражения для прира-
щения главных компонентов кривизны и кручения стержня при его дефор-
мации через проекции вектора поворота & в следующем виде:
*Р =	+ № ~ г<$’
Z(l = ^ + r^-por,
Ъг = -Зг + Ро₽—
(40)
Параметрами здесь также служат главные компоненты кривизны и кру-
чение недеформированного стержня, рассматриваемые как функции дуги s.
Эти выражения представляют собой вторую группу геометрических соотно-
шений общей теории упругой линии пространственных стержней.
В частном случае для первоначально прямолинейного стержня главные
кривизны р0 и 70 обращаются в ноль. Если отсутствует и естественная закру-
ченность стержня, то и г0 также равно нулю; тогда для прямолинейного
и незакрученного до деформации стержня обе группы геометрических соот-
Основная система дифференц. уравнений упругой линии двоякой кривизны 853
ношений значительно упрощаются. Первая группа уравнений (35) прини-
мает следующий вид:
₽ = -а = А-; 0 = ^.	(35а}
r ds	ds ’	ds	'	'
Вторая группа уравнений (40) выглядит следующим образом:
»	р = -%-•, q = ^r--, r = 4L	(40а>
г	ds	as *	ds	\ f
или, используя соотношения (35а), получаем
__	d2v	.	  d2u	e	  d^
Р	ds2	’	ds2 ’	Г	ds 1
Б. Уравнения равновесия элемента стержня
Выделим из деформированного стержня двумя сечениями, нормальными
к его оси, элемент ММ' длиной ds и рассмотрим его равновесие. Пусть 7?
и R + dR — радиусы-векторы точек М и М' (фиг. 633). Обозначим соответ-
ственно через Ей М глав-
ный вектор и главный мо-
мент усилий (развившихся
при деформации), с кото-
рыми рассматриваемый
элемент ММ' действует
на сопрягаемую часть
стержня в сечении М.
Тогда главный вектор и
главный момент усилий,
с которыми сопрягаемая
(левая) часть стержня
действует на выделенный
элемент ds в сечении М,
будут соответственно — F и — М (фиг. 633). Условимся в дальнейшем обо-
значать главные оси изгиба и кручения, т. е. оси, определяемые ортами
/, j, k трехгранника М, соответственно через х, у, z. Обозначим проекции
главного вектора F на оси трехгранника М через Qx, Qy, Nz. Составляющие
и Qy представляют собой компоненты поперечной силы по главным осям
изгиба и' Nz — нормальную силу. Аналогично проекции главного момента М
обозначаются через Мх, Му и Mz. Здесь Мх и 7Иу — изгибающие моменты
и М2 — крутящий момент.
Оба вектора F и М, а следовательно, и их проекции, рассматриваются
как некоторые функции дуги s. При переходе от сечения М к весьма близ-
кому сечению М' оба вектора получают некоторые малые приращения dF
и dM и, следовательно, главный вектор и главный момент усилий, с кото-
рыми сопрягаемая часть (правая) стержня действует на выделенный эле-
мент ММ' в сечении М', будут F + dF и М -j-dM (фиг. 633). Отметим,
что здесь d обозначает полный дифференциал вектора, изменяющегося по дуге
упругой линии s, в неподвижной системе осей.
Кроме перечисленных силовых факторов, приложенных по торцам М и М',
на рассматриваемый элемент ММ' действует внешняя нагрузка в виде сил
и моментов, распределенных по длине ds элемента. Обозначим через f и m
главный вектор и главный момент распределенной внешней нагрузки, отне-
854 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
сенной к единице длины оси стержня. Проекции векторов f и пг на оси трех-
гранника М обозначим соответственно через /х, /у, fz и пгх, пгу, mz. Векторы/
и. пг и их проекции тоже рассматриваются как функции дуги s.
Предполагается, что внешние нагрузки в виде сосредоточенных сил
и сосредоточенных моментов не приложены к рассматриваемому элементу
стержня.
Рассмотрим первое векторное условие равновесия выделенного элемента ds
стержня, а именно обращение в ноль главного вектора всех сил, приложен-
ных к элементу:
(F + dF) —F +~fds = О
или
< + / = 0.	(41)
При рассмотрении деформаций стержня вектор смещения Д и вектор пово-
рота & проектировались на оси главного трехгранника /И, т. е. использова-
лась подвижная система осей. Для более удобного проектирования вектор-
ного равенства (41) на оси подвижной системы целесообразно провести пред-
варительное преобразование производной . Представим вектор F в виде
F= Q/+ Qy/ + Nzk,	(42)
где Qx, Qy, Nz — проекции вектора F на оси подвижной системы (главный
трехгранник). Производная от F по s в предположении, что трехгранник М
неподвижен, обозначается как
d'F   . dQx . • dQy . i dNz
ds ~ 1 ds ' ' ds ' K d s
и, следовательно,
=	+ Q A + Q _|_ V	(43)
ds ds x ds ^ ds z ds	' ’
Наличие последних трех слагаемых в правой части формулы обусловлено
движением трехгранника М, т. е. вращением, в каждый данный момент
времени относительно мгновенной оси с угловой скоростью 2 (см. § 1).
Следовательно, рассматриваемые три слагаемых могут быть представлены
на основании формулы (21а) в виде векторного произведения векторов 2 и F.
Итак, первое векторное условие равновесия (41) выделенного элемента
стержня может быть записано в следующем виде:
^ + [Qf]+/ = 0.
(44)
Используя разложение векторов 2 и F по осям трехгранника М и проек-
тируя обе части равенства (44) на оси этого трехгранника, имеем-
^ + ^-rQy+/x = 0;
^ + rQx-p^ + /y = O;
^- + pQy-qQx + fz = O.
(45)
Основная система дифференц. уравнений упругой линии двоякой кривизны 855
Соотношения (45) представляют собой первую группу дифференциальных
уравнений равновесия элемента пространственного стержня, связывающих
между собой компоненты главного вектора F внутренних усилий и главного
вектора / интенсивности внешних распределенных сил, отнесенных к еди-
нице длины стержня.
Обратимся теперь к рассмотрению второго векторного условия равно-
весия, а именно обращения в ноль главного момента от всех нагрузок, при-
ложенных к выделенному элементу стержня. Примем за центр моментов
точку М'. Заметим, что радиус-вектор точки М, принимая за полюс точку ЛГ,
выражается как (фиг. 633)
WM = — dR = — kds.
Следовательно, момент силы — F, приложенной в точке М, относительно
точки М' представляется в виде векторного произведения
[(— kds) (— F)] = [£F] ds.
Тогда второе векторное условие равновесия элемента будет иметь сле-
дующий вид:
М + dM — М + [&F] ds + tn ds — О
или
-^- + [^F] + m = 0.	(46)
Моментом распределенных внешних сил /, как малой величиной более
высокого порядка малости (дифференциал дуги ds входит в квадрате),
пренебрегаем.
Совершенно аналогично с преобразованием в уравнении (41) пред-
dM
ставим производную в виде разложения по осям главного трехгран-
ника М\ тогда
+ [2Я] + [6F] + m = 0,	(47)
где
=	+	(48)
ds ds ‘ ds J ds	v '
Проектируя векторное равенство (47) на оси главного трехгранника М
и замечая, что
m = Qj-QyT,	(49)
получим три следующих скалярных равенства:
dMx ds	+ qMt	— rMy — Qy + tnx = 0;	
dMy ds	+ rMx	— pMz + Qx + my = 0;	(50)
dMz ds	+ pMy	— qMx + mz = 0. '	
856 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
Соотношения (50) представляют собой вторую группу дифференциальных
уравнений равновесия элемента пространственного стержня, связывающих
между собой компоненты главного вектора F, главного момента М внутрен-
них усилий и главного момента пг распределенных внешних сил, отнесенных
к единице длины стержня. Отметим, что входящие в уравнения (45) и (50)
величины р, q, г представляют собой главные компоненты кривизны и кру-
чение стержня после деформации.
Итак, шесть уравнений (35) и (40), полученных из чисто геометрических
соображений, и шесть уравнений (45) и (50), представляющих собой условия
равновесия элемента стержня, связывают между собой следующие пятнад-
цать подлежащих определению величин: компоненты главного вектора F
и главного момента М внутренних усилий, компоненты векторов смещения Д
и поворота &, и, наконец, главные компоненты кривизны р, q и кручения г
стержня в деформированном состоянии. Компоненты главного вектора 7
и глцвного момента пг внешних распределенных сил, отнесенных к единице
длины стержня, и главные компоненты кривизны р0, qQ и кручения г0 стержня
в его естественном недеформированном состоянии рассматриваются как
известные величины. Все перечисленные величины, как заданные, так и иско-
мые, представляют собой функции дуги s.
Дополнительные три уравнения дает гипотеза, постулирующая про-
порциональность между изменениями главных компонентов кривизны и кру-
чения при деформации стержня и соответствующими компонентами главного
момента внутренних усилий:
Му = Ву3?;
М2 = С8г,
(51)
где Вх и Ву — главные жесткости при изгибе, а С — жесткость при кручении.
Необходимо отметить появление в последнее время ряда исследований
по обобщению зависимостей (51). Так, в работе Г. Ю. Джанелидзе [21]
для прямолинейного (р0 == q$ = 0) и естественно незакрученного (г0 — 0)
стержня с поперечным сечением, обладающим двумя осями симметрии, третье
из соотношений (51) представлено в следующем виде:
Мг = Сг-£4-^;	(52)
здесь
А = Л ?2(x> V)dxdy,
(f)
где ср (%, у) — так называемая функция кручения и F — площадь попереч-
ного сечения стержня.
В случае стержней, имеющих удлиненное поперечное сечение, зависи-
мость (52) при приближенном вычислении функции кручения переходит
в основные соотношения теории тонкостенных стержней В. 3. Власова
и А. А. Уманского.
В другой работе Г. Ю. Джанелидзе [20] рассматривается обоснование
зависимостей типа (51) для прямолинейных естественно закрученных (г0 =£ 0)
стержней. Для этого используется точное решение задач растяжения, изгиба
и кручения естественно закрученных стержней методами математической
теории упругости. В частности, крутящий момент Mg, по исследованиям
Джанелидзе, связан не только с кручением стержня г, но и с линейной дефор-
мацией е оси стержня.
Основная система дифференц. уравнений упругой линии двоякой кривизны 857
В. Применение основных уравнений к исследованию упругой линии
при изгибе прямолинейного естественно закрученного стержня
Естественно закрученным называется стержень, образованный движением
плоской фигуры (поперечное сечение стержня), вращающейся с некоторой
угловой скоростью, по мере того как центр тяжести этой фигуры движется
вдоль оси стержня. Примерами естественно закрученных стержней из области
машиностроения могут служить спиральные сверла, различного рода винты
(грузоподъемные, ходовые и т. д.), лопасти воздушных винтов, вентиляторов
и тому подобные детали.
Ограничим свое рассмотрение изгибом прямолинейных естественно закру-
ченных стержней. Из прямолинейности оси следует, что оба главных компо-
нента кривизны до деформации стержня равны нулю, т. е. р0 = qQ = 0.
Кручение оси стержня до деформации также обращается в ноль, но благо-
даря естественной закрученности кручение г0 самого стержня отлично
от нуля. Обозначим через ф (s) угол между нормалью к оси стержня и одной
из главных центральных осей инерции сечения стержня; тогда кручение
стержня в его естественном недеформированном состоянии будет
dd)
'•о=-4	(53>
(при ф — const г0 = 0 и мы имеем дело с естественно незакрученным
стержнем).
Обратимся к применению основных дифференциальных уравнений упру-
гой линии для рассматриваемого прямолинейного естественно закрученного-
стержня. Первые два из уравнений (40) принимают следующий вид:
da а
dp .
Подстановка значений аир согласно зависимостям (35)
dv	п du
Л =--dr~rou и Р=^Г-гоу
дает для главных компонентов
дующие выражения:
кривизны деформированного стержня сле-
dr0 .
ds ’
9	drо
__ d2v
Р ds2
d2u
q — ~ds?
о du . о	drQ
— 2г0-л—
° ds ‘ о	ds
2г —
^ro ds
(55>
Внося установленные значения р и q в первые два из уравнений (51),.
получим
,. о Г d2v о du .	9 drQ I
Мх = Вх\------------2г0 “л--F Г2гЛ) — и ;
* х L	0 ds ‘ 0 ds J ’
ля d Г о do 2 drol
м> =	~ 2r° ~dT - ro« -v ^r] •
Здесь и и v — проекции вектора смещения Д на оси х и у главного трех-
гранника. При перемещении вершины трехгранника по оси стержня его оси
вращаются. Существенно отметить, что при использовании вращающихся:
«858 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
юсей вторые производные от смещений и и v упругой линии естественно
закрученных стержней не выражают собой главных компонентов кривизны.
Для упрощения выражений (55), а следовательно, и (56) целесообразно
.временно отказаться от использования вращающихся осей х, у, z (главный
трехгранник). Введем в рассмотрение неподвижные оси £,?),£. Оси 5 и
направим по главным центральным осям какого-либо начального сечения
-стержня, например того или другого из его торцовых сечений. Ось С напра-
вим по недеформированной оси стержня. Обозначая через ф угол между поло-
.жительными направлениями осей 5 и тд, учитывая первоначальную прямоли-
нейность изучаемого стержня и малость рассматриваемых перемещений,
.легко получить следующую табличку косинусов углов между осями х, у,
г вращающейся и осями £, ig, С неподвижной систем:
	X	У	Z
£	СОЗ ф	— sin ф	0
	sin ф	cos ф	0
с	0	0	1
(57)
(58)
Используя полученную табличку косинусов, легко выразить перемеще-
ния и и v во вращающихся осях через перемещения $ и iq в неподвижных
осях:
и = В cos ф + т] sin ф;
V = — £ sin ф 4“ cos ф.
Очевидно также, что проекции вектора смещения Д на оси г и С можно
-считать одинаковыми.
Внося значения и и v по формуле (58) в уравнения (56) и учитывая, что
dtp
Го = -1Г’
чтриходим к следующим выражениям:
мх=бх [5’81пф—9-со8ф] ;
му=ву [-5-со8,1,+-5"81пф] •
(59)
Эти уравнения значительно проще зависимостей (56) и обладают тем
-существенным преимуществом, что разрешаются относительно производных
^смещений g и tj:
_ sinф , cos ф .. .
ds2 Вх	ву тГ
_ со» ф ., вШф ..
ds2 ~ Вх	Ву my.
(60)
Уравнения (60) представляют собой обобщение на случай естественно
закрученных стержней известного из курса «Сопротивление материалов»
дифференциального уравнения упругой линии балки.
Входящие в уравнения (60) изгибающие моменты Мх и Му представляют
собой проекции главного момента внутренних усилий на главные оси х и у.
Введем в рассмотрение проекции главного момента М на неподвижные
«ОСИ !• И 7).
Основная система дифференц. уравнений упругой линии двоякой кривизны 859
По аналогии с зависимостями (58)
Мх — cos ф + М^ sin ф;
Му = — М% sin ф + Mv cos ф.
(61)
Вносим значения Л4Х и Л4у по формулам (61) в уравнения (60) и вводим
обозначения:
тогда зависимости (60) примут вид
= - L sin2<|> Мi + (К + L cos 2<|>) Л4Ч;
= L sin 2ф ЛЦ + (К — L cos 2ф) м'^.
(63)
Уравнения (63) представляют собой дифференциальные уравнения проек-
ций упругой линии естественно закрученного стержня на плоскости
и неподвижной (невращающейся)	।
системы координат. Существенно отме-
тить, что, поскольку оси 5 и т] не сов-
падают, вообще говоря, с главными
осями инерции какого-либо произволь-
ного сечения стержня, то каждый из
моментов и М^ в отдельности соот-
ветствует косому изгибу этого сечения.
Рассмотрим применение уравнений (63)
к чистому изгибу равномерно закрученной
консоли постоянного сечения (фиг. 634). По-
ложим, что один конец консоли заделан, а
к другому приложен внешний сосредоточен-	Фиг. 634.
ный момент ЭД. Проекции вектора внешнего
момента ЭД на оси неподвижной системы обозначим 93Ц, ЭД^, Так как рассматри-
вается только изгиб стержня, то очевидно, что ЭДС = 0. Изгибающие моменты в любом
сечении стержня
= — ЭД^ = const;
^ = 90^ = const.
(64)
Условие равномерной закрученности стержня состоит в том, что
dtp
г0 — Т2- = const.
ds
Малость рассматриваемых перемещений позволяет заменить всюду в дальнейшем дугу s
координатой £; тогда
dty
r0 = -ту- = const
dQ
«, следовательно,
<|» = лА
(65)
так как при £ = 0 и ф = 0.
Поскольку рассматривается стержень постоянного сечения, то Вх и Ву по длине стержня
постоянны.
860 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
Подстановка значений ЛЦ и по формулам (64) в уравнения (63) дает
sin 2ф + WrL cos 2ф + ЯП^К;
= ЯЛ^Л sin 2ф — cos 2ф +
(66>
Интегрируем уравнения (66) два раза и определяем произвольные постоянные иэ
условий закрепления (заделка). В случае заделки при £ = 0
В конечном счете приходим к следующим выражениям для g и т):
9Л^2 2ф — sin2<V ЯЦС2 1 — cos 2ф ЯУЦС2
- $= L (2фр +~~L (2фр +-2К~;	(67>
ЯП^С2 2ф — в1п2ф Я»?С2	1 — cos 2ф ЯЛ^2
71 = ~ (2фр L (2фр 2К •
Полученные выражения для £ (£) и (Q представляют собой уравнения проекций
упругой линии при чистом изгибе равномерно завитой (r0 = const) консоли постоянного
сечения (фиг. 634). В уравнениях (67) величины К и L определяются выражениями (62).
Рассмотрим ряд предельных случаев, вытекающих из общих выражений (67).
Случай 1. Естественно закрученный стержень с сечением, у которого главные
центральные моменты инерции равны между собой и, следовательно, главные жесткости!
изгиба Вх и By одинаковы. В этом случае
1 - 1	1	1	0
К Вх ~ By И L
и, следовательно,
9JLC2 ЯЛ.С2
И 71 - 2К ‘
Как и следовало ожидать, естественная закрученность такого стержня никак не
отражается на упругой линии, так как его жесткость во всех направлениях одинакова.
Случай 2. Незакрученный стержень, т. е. стержень, у которого кручение в его
естественном недеформированном состоянии отсутствует (г0 = 0).
Непосредственная подстановка ф = г0£ = 0 в первые слагаемые уравнений (67) обращает
выражения
2ф — sin 2ф 1 — cos 2ф
(2ф)2 И (2ф)2
в неопределенность. Используем разложения sin 2ф и cos 2ф в ряды:
2ф sin 2ф = —jj-	(2ф)®	(2ф)8	(2ф)7 .	
	3!	т 5!	7!	’
cos 2ф = 1 — тогда получим, что 2ф — sin 2ф	(2ф)2	(2ф)4	(2ф)»
	21 2ф	4! (2ф)3		!-- • 6!		 (2ф)5
(2ф)2	3!	51	1	71	’	(09>
1 — cos 2ф (2ф)2	- и следовательно,	1	(2ф)2 , 2!	4!	1		(2ф)4 6!	’ ’ ’
.. 2ф — sin Ф=0	(2ф)2	2Ф=0	и lim - ф=0	1 — cos 2ф _ 1 (2ф)2	” 2 ’
Устойчивость прямолинейных естественно закрученных стержней при сжатии 861
Подстановка установленных значений в уравнения (67) дает
, _ «г 5 L	1		
	2	r 2К	
	1	j_ *	
L	2	1 2К	2ВХ ’
(70)
что полностью совпадает с общеизвестными уравнениями упругой линии при чистом изгибе
незакрученного консольного стержня.
Случай 3. Многократно естественно закрученный стержень, т. е. стержень, у кото-
рого кручение в его естественном недеформированном состоянии весьма велико (г0->оо).
Из выражений (68) следует, что при неограниченном возрастании угла ф = г0£
lim
оо
2ф — sin 2ф
— 0 и lim
<р= оо
1 — cos 2ф
(2ф)2
0.
Подстановка полученных значений в уравнения (67) дает
2/С
ЯКЕС2
и =
(71)
Уравнения (71) позволяют сделать интересное заключение: ординаты упругой линии
многократно естественно закрученного стержня с главными жесткостями изгиба Вх и Ву
совпадают с ординатами упругой линии незакрученного стержня с жесткостью изгиба 1\,
одинаковой во всех направлениях, так что
1 = 1 Г 1 , 1 1
К - 2 [ Вх В J •
(72)
Однако, несмотря на совпадение ординат, кривизна упругой линии естественно закру-
ченного стержня имеет существенную особенность. Уравнения (66) дают выражения для
кривизн проекций упругой линии закрученного стержня на плоскости (•£ и Ш при чистом
изгибе моментами ЭДЦ и При неограниченном возрастании кручения г0 стержня
кривизна упругой линии не стремится к какому-либо определенному пределу. В каждой
точке упругой линии она колеблется в некотором интервале.
Положим в уравнениях (66), например, = 0. Тогда кривизны проекций упругой
линии примут следующий вид:
Ц- = (К +- L cos 2ф) и	sin 2ф.
Итак, при чистом изгибе естественно закрученного стержня моментом ЩЦ, действующим
в плоскости кривизна проекции упругой линии на эту плоскость в каком-либо сечении
С = const при возрастании величины кручения г0 безгранично колеблется в интервале от
(К + L) до (К — L). Кроме того, изгиб в плоскости момента 9Л^ сопровождается
еще изгибом в перпендикулярной плоскости т]£.
В работе С. А. Тумаркина [81] рассматривается изгиб естественно закру-
ченного стержня поперечными силами. В другой работе [82] того же автора
дан пример применения теории к определению прогибов при изгибе лопасти
вентилятора сосредоточенной силой, параллельной оси вращения.
В статье Е. Н. Тихомирова [79] рассматривается упругая линия
двухоборотного ходового винта, изгибаемого сосредоточенной поперечной
нагрузкой.
§ 3. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ЕСТЕСТВЕННО ЗАКРУЧЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
ПРИ ИХ СЖАТИИ
В машиностроении довольно часто встречаются естественно закрученные
стержни. При нагружении таких прямолинейных стержней осевыми сжимаю-
щими силами, что имеет место, например, в спиральных сверлах, возникает
необходимость их расчета на устойчивость.
862 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
Первое исследование устойчивости сжатых естественно закрученных
стержней принадлежит Л. С. Лейбензону [38]. В дальнейшем этот вопрос
рассматривался в работах [39] и [44]. В работе [44] дано применение общей
теории к исследованию устойчивости спиральных сверл.
Статический метод исследования устойчивости заключается в отыскании
тех значений сжимающей силы, при которых, помимо прямолинейной формы
оси стержня (первое состояние) возникает криволинейная форма (второе-
состояние), также удовлетворяющая заданным краевым условиям (условиям
закрепления) и весьма близкая к прямолинейной форме.
В первом (прямолинейном) состоянии стержня величины главных компо-
нентов кривизны равны нулю, а кручение отлично от нуля и определяется
величиной его естественной закрученности на единицу длины стержня:
Ро = <7о = °! го =£ °-	(73>
Во втором (криволинейном) состоянии стержня все эти величины прини-
мают значения р, q, г, вообще говоря, отличные от р0, q0, г0.
Изгибающие моменты Мх, Му и крутящий момент Мг связаны с главными
компонентами кривизны и кручением соотношениями (51), принимающими
в рассматриваемом случае вид:
2Иж = Вхр;	(74)
Му = Byq-	(75)
Afz = C(r —г0),
(76)
где Вх и Ву — главные жесткости стержня при изгибе (примем, что Вх > Ву)
и С — жесткость его при кручении.
Существенно отметить, что так как в первом состоянии все три мо-
мента Мх, Му, Mz отсутствуют, то их величины во втором состоянии опре-
деляются приращениями главных компонентов кривизны и кручения при
переходе из первого состояния во второе.
Величины р, q, Мх, Му, Qx, Qy, возникающие только при переходе
из первого состояния во второе, естественно рассматривать как малые вели-
чины первого порядка малости, что позволяет пренебрегать их попарными
произведениями.
Используем третьи уравнения равновесия (45) и (50). Учитывая, что рас-
пределенные нагрузки отсутствуют и на стержень действуют только осевые
сжимающие силы Р, приложенные по торцам, имеем
' Nz = — P; Л4г = 0.	(77)
Сопоставление уравнения (76) и второго из уравнений (77) дает
г = г0,
(78)
откуда вытекает, что с точностью до малых величин второго порядка малости
кручение стержня в его втором состоянии также определяется только его
естественной закрученностью на единицу длины. Учитывая зависимости (76)
Устойчивость прямолинейных естественно закрученных стержней при сжатии 863’
и (77), преобразуем уравнения равновесия (45) и (50) (кроме использованных
ранее) к следующему виду:
d(jx
ds
dQy i
ds
^-rMy-Qy = 0;
+ rMx + Qx = Q.
(79>
(80).
В дальнейшем ограничимся рассмотрением естественно закрученных
стержней с постоянной величиной кручения по длине стержня, когда г = г0 =
= const.
Используя уравнения (79), исключим поперечные силы Qx и Qy из урав-
нений (80). Из вторых уравнений (79) и (80) имеем
=	--г*\ Мх.
ds ds \ Вх J *
Дифференцируя первое из уравнений (80) по s и исключая Qy с помощыо
полученного выше соотношения, имеем
J^k_2r-^+(-J----------гАмх = 0.	(81).
ds*	ds ' \ Вх J *	4 '
С помощью аналогичного преобразования второго из уравнений (80)-
получим
т+2г т + (4—г2)	=°-	(82>
Преобразуем систему уравнений (81) и (82) относительно изгибающих
моментов Мх и Му к одному дифференциальному уравнению относительно-
одного из моментов, напримёр Мх. Дифференцируя дважды уравнение (81)'
и один раз уравнение (82) и исключая третью производную от Му, прихо-
дим к следующему уравнению:
Исключая теперь из полученного уравнения и уравнения (81) первую-
производную от Л4у, приходим к искомому дифференциальному уравнению*
относительно изгибающего момента Мх:
+ 2 (а + b + 2г2)	= 0,	(83>
где
2а = -^~— г2; 26 = -^---г2.	.	(83а>
ВХ	Dy
Соответствующее характеристическое уравнение
. Г 4- 2 (а + b + 2r2) /2 + 4а6 = 0	(84>
864 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
имеет следующие четыре корня:
4 = i • 2znx; - — i • 2/пх;
t3 = i• 2/п2; = — z • 2/П2,.
где введены два обозначения:
2/^1 = 'у/Г (а + b + 2r2) + ]/(а + b + 2г2)2 — 4а&;
2/Пз = |/(а + 6 + 2г2) — У(а~+ b + 2г2)2 — 4а6.
(85)
(85а)
Для исследования корней характеристического уравнения (84) сущест-
венно отметить, что в случае сжатия осевая сила Р считается положительной
и, следовательно,
« + Z> + 2r’ = 4(-£ + ^-) + r>>0;
{а + Ъ + 2г2)2 - 4ад = (-£-4- 2г2 (-£- + -£-) > 0.
\ ву &х /	X вх ву /
(86)
Из зависимостей (86) очевидно, что параметр 2тх представляет собой веще-
ственную величину, и поэтому два корня характеристического уравнения (84)
tt	t2 =— i-2ml всегда мнимые.
Обратимся к рассмотрению другого параметра 2/и2. Этот параметр в зави-
симости от соотношений между выражениями
а + Ь + 2г2 и ]/(а + b + 2г2)2 — 4аЬ
может быть как вещественной величиной, так и величиной мнимой.
Действительно, учитывая, что (а + b + 2г2)2 — 4аЬ > 0, заключаем:
если ab > 0, то параметр 2/и2 — вещественная величина, если же ab < О,
то 2т2— мнимая величина.
Произведение
положительно в следующих случаях:
Р	Р
1) когда г2 < -р—, тогда, поскольку принято, что В , г2<-р-;
&х		7	Ву
следовательно, оба множителя а и b положительны и ab > 0;
Р	Р
2) когда г2 > -5“, тогда г2>	, оба множителя а и b отрицательны
Ву	ПХ
и ab > 0.
Таким образом, произведение ab > 0 как в случае достаточно малой вели-
чины естественной крутки ^r2 <-g-) > так и в случае достаточно большой
(р \
Г* > “5“ ) •
Ву )	.
При промежуточных значениях квадрата естественной крутки -5— <
вх
< г2 множители а и b разнозначны и их произведение ab < 0.
Ву
В случае ab > 0 параметр 2т2 — вещественная величина и корни характе-
ристического уравнения /3 == i-2m2,	= —i-2tn2 — мнимые величины.
Устойчивость прямолинейных естественно закрученных стержней при сжатии 865
В случае ab < 0 параметр 2/п2 мнимый. В этом случае два корня характе-
ристического уравнения /3 и — вещественные величины. Здесь удобно
ввести новую вещественную величину:
2/п3 = i  2m2 = -^У(а+Ь + 2г2)2 — 4аЬ — (а + b +~2г^.	(87)
Тогда
t3 = i-2m2 -- 2m3; tt — — i-2m2 - —2m3.
Итак, если квадрат естественной крутки стержня удовлетворяет одному
р	р
из двух неравенств г2 < —s~ или г2 > -5—; то все четыре корня характе-
ристического уравнения (84) — мнимые величины:
= 2m1i‘, t2 = — 2mii;
t3 = 2m2i; tt = — 2m2i.
Если же величина квадрата естественной крутки заключена в интер-
р р	р	р
вале между -g— и -§—> т. е. -g— <r2<-g—, то два корня характеристи-
ческого уравнения мнимы и два вещественны:
ti — 2тгг, t2 — — 2m,ii‘,
t3 = 2tn3, ti = — 2m3.
Начнем с рассмотрения первого случая, когда все корни характеристи-
ческого уравнения мнимые. Здесь общий интеграл дифференциального урав-
нения (83) удобно выразить через тригонометрические функции:
Мх = Ci cos 2mLs + С2 sin 2/njS + C3 cos 2m2s + C4 sin 2m2s,	(88)
где Ci, C2, C3, ,C4— произвольные постоянные интегрирования.
После определения момента Мх обратимся к отысканию другого
момента Му.
Из уравнения (81)
\2аМх + ^1 .	(89)
ds 2r L х as2 J	7
Используя значение Мх, определяемое соотношением (88), имеем
[Cicos2mxs + С2sin2/r^s] +
'	2a-^(2m2)2 cos	sj[] 2m^
Интегрируя полученное значение производной от Му и учитывая урав-
нение (82), приходим к следующему выражению для изгибающего момента Му.
Му — Xi [Сх sin 2/MjS — С2 cos 2m.iS] + /2 [С3 sin 2mzs — С4 cos 2m2s],	(90)
где
_ J_ 2a — (2m!)2 .	_ 2a —(2m2)2	/дпa\
& 2r ’ 2mj ’	2m2	*	'
Используем выражения (88) и (90) для исследования устойчивости сжатого
естественно закрученного стержня с шарнирно опертыми концами. Отсут-
55 Пономарев 508
866 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
ствие реактивных моментов позволяет принять в качестве краевых условий
равенство нулю изгибающих моментов Мх и 7Иу по концам стержня.
Располагая начало отсчета дуг s посредине длины стержня, удобно пред-
ставить краевые условия, относящиеся к моменту Мх, в следующем виде:
М,(|)+М,(-1)=0;
Подстановка значений Мх по формуле (88) дает
C^os/nJ + Co os mJ = 0; ]
?	(91)
C2sin/nxZ + C4sin/n2Z = 0. J	v '
Аналогично представляя краевые условия, относящиеся к моменту
в виде
м> (4) + м> (-4)=°:
м, 4)“°-
или после преобразований
XiG sin mJ + х2 С3 sin m2Z = 0; |
Х±С2 cos mJ + /2С4 cos m2l = 0. J	' '
Первые из уравнений (91) и (92) образуют систему линейных однородных
уравнений относительно постоянных интегрирования Сх и С3. Определитель,
составленный из коэффициентов этой системы,
cos mJ cos mJ
Aj ==	у	1 •
mJ x2sm/n2Z
Аналогично вторые из уравнений (91) и (92) образуют систему относи-
тельно С2 и С4. Определитель, составленный из коэффициентов второй
системы,
sin mJ	sin mJ
2 ~~ Xicos	X2cos m2^ *
Криволинейная форма оси стержня возможна при условии, что хотя бы
одна из постоянных интегрирования Сх — С4 была отлична от нуля. Следо-
вательно, при критическом значении нагрузки определитель Дх либо опре-
делитель Д2 должен быть равен нулю.
Приравнивая нулю определители Дх и Д2, приходим к следующим двум
уравнениям для определения критического значения сжимающей нагрузки
на естественно закрученный стержень с шарнирно опертыми концами:
(ottg/n2Z—tg/n.Z = O; 1
12	1 I	(93)
(Ojtg/njZ — tg/n2Z = 0, I	v f
где
m = 2a ~~ (2zw?)2 .
1 2a — (2m1)2 * 2m2 *
Устойчивость прямолинейных естественно закрученных стержней при сжатии 867
Критическое значение нагрузки определяется одним из уравнений (93);
дающим наименьшее значение для этой нагрузки.
Полученные уравнения (93) справедливы для случая, когда все четыре
корня характеристического уравнения (84) мнимые.
Обратимся к рассмотрению другого случая, когда два корня характери-
стического уравнения мнимые, а два вещественные. Здесь общий интеграл
уравнения (83) можно выразить через тригонометрические и гиперболические
функции:
МХ = С1 cos 2/Wj^s + С2 sin 2/nxs + С3 ch 2m3s + C4 sh 2/n3s.	(94)
Из уравнения (81)
и, следовательно,
= 2а	C0S 2miS + sjn 2mis] +
+	' l^s sh 2/n3s + Ct ch 2m3s].
Интегрируя найденное значение производной от Му и учитывая урав-
нение (82), получим
Му = Xi [Cisin 2mts — С2 cos Zm^s] + х3 [С3 sh 2m3s + С4 ch 2/n3s],	(95)
где
1 2a — (2т^	1 2а+(2/и3)2 .
” 2r *	2т1	9	2г 2ги3
Используя краевые условия для изгибающих моментов Мх и Му, при-
ходим к двум однородным системам уравнений относительно произвольных
постоянных интегрирования. Определители, образованные из коэффициентов
sin mJ	sh mJ
— Xicos	Xs ch тз1 *
этих систем, имеют следующий вид:
cos mJ ch mJ
До ==	1	1	1 9
у! sin mJ y3snmj
Криволинейная форма равновесия возможна только при условии, чта
хотя бы одна из постоянных интегрирования — С4 была отлична от нуля.
Следовательно, при критическом значении нагрузки один из определителей
должен быть равен нулю.
Приравнивая нулю определители Д3 и Д4, приходим к следующим двум
уравнениям для определения критической силы:
<о2 th mJ — tg mJ = 0;
(o2 tg mJ + th mJ = 0,
(96>
где
_ 2a 4- (2m3)2 2тг
— 2a — (2m^ ’ 2m3 ’
Критическое значение нагрузки определяется одним из уравнений (96)».
дающим наименьшее значение для этой нагрузки.
55*
868 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
Остановимся на практическом применении уравнений (93) и (96) к вычис-
лению критического значения нагрузки. Обозначим отношение главных
жесткостей изгиба через
Выше мы ограничились рассмотрением естественно закрученных стерж-
ней с постоянной величиной крутки по длине стержня; тогда
где IF — полный угол естественной закрученности стержня на длине I.
Обозначим также отношение искомой критической силы для рассматри-
ваемого стержня к критической силе незакрученного стержня того же сече-
ния через
•п	= Р 	> 1
’I Г кр-	р ,> 1 •
Тогда величины 2а и 2d, определяемые выражениями (83а), преобразуются
следующим образом:
Аналогично преобразуется и выражение
= + > + 2'*=[‘4^ + (?)W	(97а)
Условимся называть стержни, для которых г2 < -— или
&Х
р	р	/ Ф* \ 2
стержнями малой закрученности; <г2 < или	J <
к; — стерж-
яями средней закрученности; г2’> -g- или j х> — стержнями большой
закрученности,
Итак, определение критического значения нагрузки на сжатый естественно
закрученный стержень ведется следующим образом. Задаваясь некоторым
значением коэффициента тд и используя известные величины k и W, относим
рассматриваемый стержень к одной из категорий закрученности. Для стерж-
ней малой или большой закрученности в качестве основных уравнений
используем зависимости (93), а для стержней средней закрученности — зави-
симости (96).
По формулам (97) и (97а) определяем вспомогательные величины 2а, 2Ь
и а + Ь + 2г2 и по формулам (85а) и (87) величины 2/пх, 2/и2 или 2т3.
Проделав указанные вычисления для ряда значений ig, останавливаемся
на тех из значений, для которых левая часть уравнений (93) или (96) наимень-
шим образом (при принятой степени точности) отличается от нуля. В каждом
отдельном случае приходится иметь дело с двумя уравнениями (93) или (96),
я следовательно, и с двумя значениями наименьших корней iq. Практический
интерес, конечно, представляет меньшая величина из этой пары значений ij,
зкак соответствующая меньшей критической силе.
Так, например, при отношении главных жесткостей изгиба k =
указанным образом вычислены следующие величины коэффициента крити-
Устойчивость прямолинейных естественно закрученных стержней при сжатии 869
ческой силы т) для различных значений полного угла УТ естественной закру-
ченности стержня:
т тс	0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0
ч	1	1,06	1,20	1,42	1,61	1,61	1,65	1,64	1,65
После определения коэффициента 7] вычисление критического значения
сжимающей силы для естественного закрученного стержня с шарнирно
опертыми концами не представляет каких-либо затруднений:
где = EJmin — наименьшая из двух главных жесткостей изгиба.
Для случая k = -=- при У = v и тс мы имеем дело со стержнем средней
О	А
закрученное™, так как здесь кт\ < (—) < tj, а при УТ = -|-тс, 2тс и т. д. —
\ ТС /	Z
со стержнем большой закрученное™, так как ( — ) > тр
В первом случае ^У = у и тс) наименьшие значения соответствовали!
уравнению
ш2 tg mJ + th mJ = О,
а во втором случае ^У = — тс, 2тс и т. д.) —уравнению
(Oj tg mJ — tg mJ = 0.
Результаты вычислений показывают (см. табличку на стр. 869), что есте-
ственная закрученность стержня значительно повышает критическое значе-
ние сжимающей силы. Действительно, при наличии естественной закру-
ченное™ упругая линия стержня после потери устойчивости представляет
собой пространственную кривую и критическая сила определяется не только*
наименьшей Ву, но и наибольшей Вх жесткостью изгиба. Это влияние наи-
большей жесткости на сопротивление стержня продольному изгибу и отра-
жается коэффициентом щ.
Существенно отметить, что коэффициент т] резко возрастает при изменении
полного угла У1* естественной закрученное™ стержня в интервале от 0 до 2тс
и остается примерно постоянным при дальнейшем увеличении угла закру-
ченное™. Таким образом, при необходимости увеличения критической силы
путем использования естественной закрученное™ стержня можно рекомен-
довать осуществлять угол У =2тс, т. е. иметь полный оборот главных цен-
тральных осей инерции сечения стержня на его длине.
Некоторая сложность вычисления коэффициента критической силы
по приведенным формулам и отмеченный характер зависимости величины т\
от угла У делает целесообразным рассмотрение предельного случая вели-
чины 7] при весьма большом значении полного угла закрученное™ стержня.
Это даст возможность получить весьма простую зависимость коэффициента
<870 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
критической силы у от коэффициента жесткости k = Предварительно
преобразуем выражения для некоторых вспомогательных величин:
(<1 + 6 + 2гТ_ш=1Шч + (^^.,-у_
= [4^(1 -4)’ + 2(1+Ч1	.(^у.
При достаточно большом значении угла закрученности 4F можно прене-
бречь первым слагаемым в квадратных скобках по сравнению со вторым;
тогда
(а + b + 2г2)2 - 4аЬ = 2 (1 + k) т) (|)2  (у)4
и выражение для 2ml примет следующий вид:
2mt = |Л(а + fe + 2г2) + |/ (сГТ b + 2г2)2 —4а6 =
или, пренебрегая первым слагаемым и применяя приближенное извлечение
корня, имеем
2mi = /(Iy+I7WWr-r-
=т411+4-51/2(1+‘)-’]-
Аналогично преобразуется и выражение'- для 2/га2. Итак, при большой
величине угла закрученности можно положить
2/п» = т [?+т/Ж+Ж];
о	гс ГФ	1 , /ь /, , ,,—1	(98)
2/п2 — i |~~	2 /2 ( “Ь т) j •
Используя полученные выражения для 2/nt и 2m2, переходим к дальней-
шим преобразованиям:
2а-(2/п2)2 = Ь] - (J)2-	-1 /2(1	2 =
\ 7v j	I /V	_1
-^У<^Ч-п + |/2(Г+Ж-2(|у.
или, пренебрегая первым слагаемым по сравнению с остальными, имеем
2а - (2mtf = /2 (1 + 6) "П - 2 (J f
и, следовательно,
I2a - (2m,)’] 2m, =	У2(1 + й)„ - 2 (^)< ]	+ 1 /2 (1 +	=
Устойчивость прямолинейных естественно закрученных стержней при сжатии 871
Совершенно аналогично можно показать, что
[2а - (2/nJ2] 2/п2= - 2[(f У -1 (1 + Л) ] .
Итак, для рассматриваемого предельного случая
__ [2а — (2zn2)2] 2пгг ,
1 — [2а — (2m J2] 2т2
и оба основных уравнения (93) для вычисления критической силы принимают
вид
tg/KiZ — tg m2Z = О,
следовательно,
mJ— mJ = тс.
Используя выражения (98), получаем
1/2(1 +fe)-n = тс,
X
откуда приходим к следующему выражению для коэффициента критической
силы:
’’Вх
Итак, в предельном случае естественно закрученного стержня с шар-
нирно опертыми концами и весьма большим углом закрученности W крити-
ческое значение сжимающей силы
р —	2 _. ^ву — .________!_____ (100)
Кр иЛ /2 Z2 II-L-L-LI '	v ’
+ ВХ	2 IBx+bJ
Другими словами, критическая сила вычисляется так же, как для неза-
крученного стержня с одинаковыми главными жесткостями В, определяе-
мыми следующей формулой:
В ~ 2	+ В„\ '
Значения коэффициента т) в зависимости от коэффициента жесткости k
сведены в следующую таблицу:
k	0	ОД	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
n	2	1,82	1,67	1,54	1,43	1,33	1,25	1,18	1,11	1,05	1
Рассмотрим также естественно закрученный стержень с произвольным
значением угла Уис одинаковыми главными жесткостями изгиба (k = 1).
В этом случае
2/п1= [? + -т И 2m2 =	(101)
872 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
Используя выражения (101) легко показать, что
__ 2а — (2/п2)2 . 2т1 _ .
1 2а — (2/Пх)2 * 2т2
и, следовательно,
tg mJ— tg mJ = 0,
т. е.
mJ — mJ = тг.
Подстановка значений т± и т2 по выражениям (101) дает, что коэффи-
циент 7) = 1.
Итак, для естественно закрученного стержня с одинаковыми главными
жесткостями изгиба критическая сила, как и следовало ожидать, не зависит
от угла У и выражается совершенно так же, как и для незакрученного
стержня.
Также представляет интерес получить из общего решения критическую
силу для незакрученного стержня (ЧР = 0) с произвольным значением коэф-
фициента жесткости k. В этом случае
2/п^У^-у и 2m2 = V^~	(102)
и параметр <о обращается в бесконечность.
Представим первое из уравнений (93) в виде
tg/Hj/ — A-tgma/ = 0;
тогда при <о — со оно переходит в следующее:
tg mJ = 0 или mJ = тс.
Подстановка значения mi по выражению (102) показывает, что коэффи-
циент критической силы
1 Вх
“ k “ By
и, следовательно, критическая сила
р_____1_ ^2ВУ __ п2Вх
— k' I2 ~ I2 '
Аналогично второе из уравнений (93) дает, что tgmJ = 0 или mJ =
Подстановка значения т2 по выражениям (102) приводит к значению т) = I
и критическая сила
П   ^Ву
«Р I2 *
Итак, рассматривая незакрученный стержень (W=0) как частный слу-
чай стержня с произвольным значением угла естественной закрученности Ф,
приходим, как и следовало ожидать, к двум значениям критической силы:
в плоскости наибольшей жесткости
р „ к*вх
ГКР —	/2	’
в плоскости наименьшей жесткости
Р _ ^ву
ГКр /2	’
Устойчивость прямолинейных естественно закрученных стержней при сжатии 873^
Ч	6)
Пример. Расчет на устойчивость спиральных сверл. Спиральное сверло представляет собой
естественно закрученный стержень значительной длины по сравнению с размерами его попе-
речного сечения (фиг. 635, а и б). Так, для цилиндрических спиральных сверл (ГОСТ 888-41)*
отношение длины рабочей части к их диаметру изменяется от 8,5 до 26. Чем меньше диаметр
сверла, тем относительно длиннее выполняется его рабочая часть. Для других типов сверл’
это отношение несколько меньше; так, для конических сверл оно лежит в пределах от 4 до 13.
Следовательно, расчет на устойчивость наиболее интересен для цилиндрических сверл малого
диаметра.
Поперечное сечение стерла имеет достаточно сложный контур (фиг. 636). Несколько более
прост контур сверла усиленного сечения (фиг. 637) г Отметим, что усиленное сечение, как пра-
вило, применяется для сверл малого диаметра. Сечения сверл, приведенные на фиг. 636 и 637,
несколько схематизированы для облегчения вычисления их моментов инерции. Направим*
центральную ось х параллельно главной режущей кромке сверла. Тогда [78] моменты инерции^
относительно центральных осей х и у для усиленного сечения
будут следующими: Jx = 0,0143 Z)4 и Jy = 0,0276 ZX Центробеж-
ный момент инерции для тех же осей Jxy = — 0,0132 D4.
Главные центральные оси повернуты относительно осей х и у
на угол а, определяемый по формуле
tg 2а =	= — 1,985 и а = - 31°40'.
J У Jx
Главные центральные оси повернуты по часовой стрелке
(а < 0) на угол ЗГ40'.
Величины главных центральных моментов инерции
Anu= (4+^х) + 4 /Uy~	= 0.0358IH;
.	-----------------—	(103)
•/mln= у (Jy+Jx) - 4 V Uy-	= 0,00620*.
Площадь усиленного сечения F — 0,40D2.
Для обыкновенных (не усиленных) сверл главные централь-
ные моменты инерции поперечного сечения и его площадь
'max = 0,0338ГН; /т!п « 0,0039^; )
F = 0,38D2.	J	}
Сверло является характерным примером естественно закрученных стержней, и его расчет
на устойчивость должен быть основан не на обычной теории устойчивости прямого стержня
с неизменным положением главных осей инерции по длине стержня, а на более общей теории
устойчивости естественно закрученных стержней. Так как поперечное сечение сверла на длине
его рабочей части многократно совершает полный оборот, то при определении критической
нагрузки сверло можно рассматривать как предельный случай естественно закрученного
стержня.
Некоторым осложняющим обстоятельством является то, что при работе вращающихся
сверл они нагружаются не только осевой силой, но и крутящим моментом (фиг. 638). Все же
основным фактором, определяющим устойчивость прямолинейной формы равновесия оси
стержня, служит осевая сила Р. Те значения крутящих моментов и угловых скоростей враще-
ния, с которыми приходится иметь дело при нормальных условиях работы сверла, сравни-
тельно мало уменьшают критическое значение осевой силы. На этом основании можно огра-
ничиться рассмотрением сверла как естественно закрученного стержня, сжатого осевыми
силами Р, приложенными к его торцовым сечениям.
Существенным является также вопрос о характере крепления сверла т. е. вопрос о гра-
ничных условиях его упругой линии (криволинейной формы равновесия). В случае сверл малого
диаметра, для которых расчет на устойчивость наиболее актуален, их следует рассматривать
как имеющие упругую заделку в шпинделе и шарнирную опору в изделии. Действительно,
сверло со стороны рабочего конца совершенно свободно опирается на обрабатываемую деталь,
а со стороны шпинделя станка из-за некоторой неточности конусов и наличия зазоров в опорах
шпинделя также может несколько поворачиваться. Затруднительность оценки степени заще-
мления сверла в шпинделе делает здесь наиболее естественным использование схемы стержня5
с шарнирно опертыми концами.
В случае сверл большого диаметра их целесообразно рассматривать вместе со шпинделем
используемого станка, принимая жесткую заделку в шпинделе и шарнирную — в обрабаты-
ваемом изделии.
Итак, для вычисления критического значения осевой сжимающей силы на сверла
малых диаметров можно использовать результаты, полученные выше для предель-
<874 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
ного случая естественно завитого стержня с шарнирно опертыми концами, т. е. фор-
мулу (100)
.здесь Вх и By — наибольшая и наименьшая жесткости сечения сверла.
Для усиленных сверл
Вх = ЕJmax == Е • 0,0358LH; Ву= EJ min = Е • 0,0062Z>
Фиг. 636.	Фиг 637.	Фиг. 638.
и, следовательно, критическая сила
р _	2	__ 1 71 ^2£Vmln	/1ЛГЧ
0Д062 Р ’ I2 ’	( '
1 + 0,0358
Для обыкновенных (не усиленных) сверл
Вх = E/max = Е - 0,0338£>4;
Ву = EJ min = E-0,0039D*
и критическая сила
Ркр = 1,79	.	(106)
Таким образом, действительное значение критической силы для сверла значительно
превышает критическую силу, вычисляемую по формуле Эйлера для незакрученного стержня.
На это обстоятельство не обращалось достаточного внимания в технической литературе, и рас-
четы сверл на устойчивость (продольный изгиб) осуществлялись по обычной формуле Эйлера.
В результате ряд рекомендаций, приведенных в работе [78], о рациональном выборе относи-
тельной длины сверл, нуждается в существенных изменениях.
При применении формул (105) и (106) предполагают, что критическое напряжение не пре-
вышает предела пропорциональности материала сверла. В качестве примера вычислим кри-
тическое напряжение для сверла усиленного сечения при длине рабочей части I — 10 D:
а _ j 71	_ j 7.	9,87-2-106-0,0062^	_
к₽ 1.71	—1,71	(100)2-0,401)2	— 528V	кг/см	.
При длине рабочей части I = 20 D критическое напряжение ъкр = 1320 кг! см2.
Для инструментальной легированной стали ХВГ (закалка с 820—850° С, отпуск при
160—220° С) предел прочности при растяжении с = 16 000 н- 18 000 кг/см2 и предел текучести
= 12 000 кг/см2.
Предел прочности на растяжение термически обработанной быстрорежущей инструмен-
тальной стали Oft — 21 000 кг/см2.
Устойчивость скрученных стержней
875
Прочность углеродистых инструментальных сталей в закаленном состоянии приблизи-
тельно на 25% меньше, чем быстрорежущих сталей.
Приведенные механические характеристики инструментальных сталей дают основание
считать критическое напряжение порядка 5000—6000 кг/см2 меньшим предела пропорциональ-
ности этих сталей.
§ 4. УСТОЙЧИВОСТЬ СКРУЧЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
Проблема устойчивости скрученных стержней исследовалась в работах
Е. Л. Николаи [54 J, И. Е. Шашкова [91], Г. Циглера [104], [105] и ряда
других авторов.
Рассмотрим прямолинейный стержень, нагруженный по торцам скручи-
вающими моментами УК. Характер крепления стержня будет уточнен ниже.
Будем искать те критические значения моментов Ук, при которых, наряду
с прямолинейной формой оси стержня (первое состояние), возможна также
и криволинейная форма равновесия в виде некоторой пространственной
кривой (второе состояние), удовлетворяющей заданным граничным условиям
на концах стержня и весьма близкой к прямолинейной форме. Этот обычно
применяемый метод нахождения критического значения нагрузок для самых
разнообразных упругих систем носит название статического метода.
В первом состоянии етержня оба главных компонента кривизны равны
нулю, а величина кручения определяется величиной скручивающего мо-
мента ЯЛ, т. е.
р0 = ?0 = 0 и г0 = ^,	(107)
где С — жесткость кручения.
Во втором (криволинейном) состоянии стержня величины р, q, г, вообще
говоря, изменяются по длине стержня. Воспользуемся уравнениями равно-
весия (45) и (50), учитывая отсутствие внешних распределенных сил и момен-
тов. Входящие в эти уравнения величины главных компонентов кривизны р и q,
поперечных сил Qxn Qyn изгибающих моментов Л4Х и А4у отличны от нуля
только для второго состояния стержня. Это обстоятельство позволяет рас-
сматривать перечисленные величины как малые первого порядка. Прене-
брегая произведениями этих малых величин, получим из последних уравне-
ний (45) и (50), что
ф = 0;	= 0.	(108)
CIS	CIS
Примем, что векторы скручивающих моментов Ж и во втором состоянии
стержня остаются направленными по касательной к искривленной оси.
Тогда, интегрируя зависимости (108), приходим к следующим выражениям
для нормальной силы и крутящего момента:
Afz = 0 и MZ = W.	(109)
Таким образом, для криволинейной формы равновесия, с точностью
до малых величин второго порядка малости, нормальная сила обращается
в ноль, а крутящий момент постоянен и равен внешним скручивающим момен-
там.
Для дальнейшего преобразования уравнений равновесия (45) и (50)
необходимо использовать зависимости (51). Последние связывают между
собой компоненты главного момента внутренних сил с приращениями глав-
ных компонентов кривизны и кручения при переходе стержня из естествен-
ного недеформированного состояния в некоторое деформированное состояние.
Поэтому при применении зависимостей (51) надо рассматривать не переход
из первого состояния (прямолинейный стержень, скрученный моментами Ул)
876 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
во второе, а переход недеформированного прямолинейного стержня в криво*
линейную форму равновесия:
Мх = Вхр-,	(110>
My = Byq-,	(111)
Mz = Wl = Cr,	(112>
где Вхи Ву — главные жесткости при изгибе, а С жесткость при кручении.
Сопоставляя соответствующие зависимости из выражений (107) и (112),
легко заключить, что с точностью до малых величин второго порядка мало-
сти г = г0. Это позволит в дальнейшем не делать различия между круче-
нием г0 прямолинейного стержня (первое состояние) и кручением г искри-
вленного стержня (второе состояние). Учитывая, что Nz = 0, преобразуем
первые два из уравнений (45) к следующему виду:
Исключая из этих уравнений поперечную силу Qy, приходим к дифферен-
циальному уравнению для поперечной силы Qx:
^+лг,=о
и, следовательно,
Qx = Cj cos rs + C2 sin rs,	(113)
Qy = -i-‘^^ = —sin rs + Cacos rs.	(113a)
Полагая s = 0, легко показать, что постоянные интегрирования Ci и Са
представляют собой поперечные силы Qx и Qy в сечении стержня, соответ-
ствующем началу отсчета дуг з.
Перейдем к рассмотрению уравнений (50). Учитывая, что Мг — W?,
представим первые два из них в следующем виде:
^ + q^l-rMy-Qy = 0;
^+rMx-p^l + Qx = Q
или с учетом зависимостей (110) — (112) получаем
^+^^-rMx + Qx = 0.	(И4)
as Dx
Исключая из уравнений (114) изгибающий момент Л4у, приходим к диф-
ференциальному уравнению для изгибающего момента Мх:
<РМХ (Bx-C)(By-C) ZM , Ву-С	dQv _0
в^,	Ву гч*
Устойчивость скрученных стержней
877
Подставив установленные выше значения поперечных сил и Qy, имеем
Т	'&Мх = " ~ВВ^-С-rcosrs + sin rs)- (115)
Выражение общего интеграла однородного уравнения
rzMx = о	(116)
aS	DXDy
существенно зависит от знака коэффициента при Мх.
Покажем на примере эллиптического сечения, что этот коэффициент может
быть как положительным, так и отрицательным. Обозначим через а и b
полуоси эллипса так, что а > Ь. Тогда жесткости изгиба Вх и Ву и жесткость
кручения С стержня эллиптического сечения будут выражаться следующим
образом:
жесткость изгиба относительно малой оси эллипса
BX = EJX=E-^;
жесткость изгиба относительно большой оси эллипса
By = EJy=E.^-,
жесткость кручения
„__р тса863 _ Е па3Ь3
G — ° 'a2 + &2 — 2 (1 + у) а2 + Ь3 *
Положим коэффициент Пуассона равным Н = -у; тогда
Р___ 3 р па3Ь3
G ~TC'a3 + b3 ’
Следовательно, множители (Вг — С) и (Ву — С), входящие в выражение
для коэффициента при Мх, могут быть представлены в следующем виде:
в>-с~Ет^>(21’2-^-
Учитывая, что а — большая ид — меньшая полуоси эллипса, заключаем,
что:
1) всегда (Вх — С) > 0;
2) (Ву — С) > 0 при а < ]/26;
Ву — С = 0 при а — ]/2д;
(Ву — С)<0 при а >)/2д.
Следовательно, для стержня эллиптического сечения " при а_< У2 b
коэффициент при Мх в уравнении (116) положителен, а при а > 1/2 b отри-
цателен.
Аналогично можно исследовать знак этого коэффициента и при других
формах сечения.
и» Начнем с рассмотрения случая, когда коэффициент при Мх в уравне-
нии (116) положителен. Для этого случая удобно ввести обозначение
а  Фх — Q {Ву — С)	(117}
11 “ ----В^у------ (И7)
878 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
и уравнение (116) примет следующий вид:
^+(v)2^x = 0.	*	(Н8>
Характеристическое уравнение имеет мнимые корни, и общий интеграл
однородного уравнения (118) выражается через круговые функции:
Мх — С3 cos -qrs + Ct sin yrs.
Частное решение неоднородного уравнения (115) ищем в виде
Мх = cos rs + D2 sin rs.
Подстановка предполагаемого частного решения в уравнение (115) при-
водит к следующим значениям Di и D 2:
г) _ Вх (2.ВУ С) р j-. _____ Вх (2Ву С) р
l~ гС(Вх + Ву-О Ь1 и Ь'г- гС(Вх+Ву-С)
Итак, для случая, когда коэффициент при Мх положителен, общий интег-
рал уравнения (115) может быть представлен в следующем виде:
Мх = С3 cos iqrs + С4 sin nqrs +
+ 7с <в,( + в?j-гг <с." + с» 	<1|9>
Из первого уравнения (114) изгибающий момент
М —____ву Г ________Q 1 •
тУ ~ г(Ву-С) [ ds *
Подстановка в последнюю зависимость значения Qy по формуле (113а)»
и Мх по формуле (119) приводит к следующему выражению для Л4У:
Му=	С« Sin 1,fS С* C0S +
+ Л'+вТ-О t-C.smrs+C^osrsl.	(120>
Полученные выражения (119) и (120) для изгибающих моментов Мх и Му,
соответствующих криволинейной форме равновесия скрученного стержня,
позволяют вычислить критическое значение крутящего момента для стержня,,
шарнирно опертого по концам.
Рассмотрим этот случай. Сделаем предположение, что при переходе
из первого состояния во второе векторы внешних моментов приложен-
ных по торцам, остаются направленными по касательным к криволинейной
оси стержня в местах приложения этих моментов («следящее» поведение
моментов ал). Учитывая также отсутствие реактивных моментов (оба конца:
стержня оперты шарнирно), можно утверждать, что изгибающие моменты Мх
и Му обращаются в ноль на концах стержня.
Обозначим длину стержня через 21 и совместим начало отсчета дуг с сере-
диной стержня, тогда при s = + I Мх = Му = 0.
Подстановка значений s — + I в выражение (119) для изгибающего»
момента приводит к следующим двум уравнениям:
ггУТТЛ- (Cicos rl + С2 ып rt) + С3 cos -цг1 + С4 sin t\rl = 0;
-f- Dy — L,)
(cicos rl - С2 sin rt) + С3 cos t\rl — C4 sin url = 0.
fG [Dx -f- Dy — GJ
Устойчивость скрученных стержней
879'
Складывая и вычитая почленно полученные уравнения, имеем
^e3^L-C1C»Sr/ + CscoSv/ = 0;	(121)
—• С2 sin г/ 4- С4 sin цг/ = 0.	(121 а>
ГЬ \DX -j- Dy -
Аналогичное использование выражения (120) для изгибающего момента
Л4у дает возможность составить еще два уравнения:
гС (Вх + Ву — С)	sln + В у —С	sin = 0’
,^+8,-0 С*cos" + В^С C.™Vl = 0.	(122а).
Рассмотрение уравнений (121), (121а), (122) и (122а) показывает, что из них
можно составить две системы: первая [уравнения (121) и (122)] содержит'
только неизвестные Ci и С3, а вторая [уравнения (121а) и (122а) ] — неиз-
вестные С 2 И С4.
Обозначим определитель, образованный из коэффициентов уравне-
ний (121) и (122), через Д1. Раскрывая определитель, имеем
Л	— О	f	j
Дх = rC(Bx YBy-O cos rl 8,n ^rl~
-	(123>-
и, раскрывая определитель, образованный из коэффициентов уравнений (121а)
и (122а), получаем
Вх(2Ву-С)
гС(Вх+Ву-С)
п sin rl COS 7)г/—
° У —
Ву(2Вх-С)
гС(Вх + Ву-С)
COS rl Sin T\rl.
(124>
Если все постоянные интегрирования Ci, С2, Са, равны нулю, то обра-
щаются в ноль и оба изгибающих момента Мх и Му при любых значениях
независимой переменной (дуги) s. Поэтому для существования изгибающих
моментов Мх и Му, а следовательно, и компонентов кривизны р =
и q = характеризующих криволинейную форму равновесия, должна
&У
быть отлична от нуля по крайней мере одна из перечисленных постоянных
интегрирования.
Как известно из алгебры, для этого один из определителей Д1 или Д2
должен быть равен нулю. Из условия Д1 = 0 вытекает
tg rl — £ tg цг/ = 0.
(125)
Аналогичным путем условие Д2 = 0 дает, что
tg "V"l — & tg rl = 0.	(126)
Критическое значение кручения гкр, а следовательно, и критическое зна-
чение крутящего момента = Сгкр определяется наименьшим (отлич-
ным от нуля) корнем первого или второго из полученных двух уравнений,
где введены следующие обозначения:
2__	— С)(Ву — С)	(197\
---------в^-------	(12/>
880 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
И
£2 ______________________ Вх (Вх С) f 2ВУ С \ 2	„
ВУ(ВУ-С) \ 2ВХ-С ) •
Полученные уравнения (125) и (126) для вычисления критического зна-
чения кручения гкр справедливы только в том случае, если обе разности
(Вх — С) и (Ву — С) одинакового знака, а следовательно, величины ц2
и £2 положительны.
Обратимся теперь к рассмотрению дифференциального уравнения (116)
в том случае, когда разности (Вх — С) и (Ву — С) противоположных знаков
и, следовательно, коэффициент при Мх в уравнении (116) отрицателен. Для
этого случая введем обозначение
ц2 = — (ВХ-С)(ВУ-С) ,	29)
и уравнение (116) принимает следующий вид:
^-hr)2M, = 0.	(130)
Характеристическое уравнение имеет вещественные корни, и общий
интеграл однородного уравнения (130) выражается через гиперболические
функции
Л4Х = С3 ch т] rs + С4 sh цгз.
Частное решение уравнения с правой частью остается без изменения
и, следовательно, общий интеграл уравнения (115), т. е. изгибающий
момент Мх в рассматриваемом случае имеет следующий вид:
Мх = С3 ch firs + С4 sh цгз -f-
+ ',С- C°S rs + с'5i" га]- <131)
Другой изгибающий момент Му определится, как и выше, из первого
уравнения (114).
Подстановка значения Qy по формуле (113а) и Мх по формуле (131)
дает следующее выражение для момента Му:
= в^с sh+ Cich +
+ rcB£+B,-o l-C.sinrs+C^osrsl.	(132)
Обращение в ноль изгибающих моментов Мх по концам стержня, т. е.
при s = ± I, приводит к следующим двум уравнениям:
C,co,rt + C,ch^ = 0;	(133)
С * Sin rl + С‘ Sh ^rl = °-	<133а)
ГС, \DX -f- Dy
Аналогичное рассмотрение изгибающего момента который по концам
стержня также равен нулю, дает еще два уравнения:
Л,+'£ £> 0 с, 51О rZ - А. С, sh V/ = о;	(134)
Лй'вТ-О С-rl+^cC‘ch vl - °'	(134a)
Устойчивость скрученных стержней
881
Полученная система уравнений (133), (133а), (134) и (134а) относительно
произвольных постоянных Ci, С2, С3, С< распадается на две системы.
Первая из них содержит только неизвестные Ci и С3 [уравнения (133)
и (134)1, а вторая [уравнения (133а) и (134а)] С2 и С4.
Определитель Д1( образованный из коэффициентов первой системы,
ВХ(2ВУ — С)
rC (Вх + By С)
^1
ь cos rl sh i\rl —
By — G
—rc^2+B;-^crsinrZchvZ-
Определитель Д2 из коэффициентов второй системы
д _	вх С2Ву — С)	т[Ву j ,	, _ Ву (2ВХ — С) 
гС(Вх + Ву-С) Ву — С sinrzcn W гС(Вх + Ву — С) ° snsni>n-
На основании соображений, указанных выше, приравниваем нулю опре-.
делители Дх и Д2 и приходим к следующим двум уравнениям:
tg rl + 5th т) rl = 0;	(135)
thijr/ — 5tgr/ = 0,	(136)
где введены следующие обозначения:
П2 =---(Вх-е)(ВУ-С)	(137)
£>Х&У
И
е2  	ВХ(ВХ С) / 2Ву С \2	/<оо\
? ~	Ву(Ву-С)'\2Вх-С) •	(138)
Критическое значение кручения гкр определяется как наименьший корень
уравнений (135) и (136). Напомним, что эти уравнения справедливы только
в том случае, когда разности (Вх — С) и (Ву — С) имеют противоположные
знаки, а следовательно, величины ц2 и 52 положительны.
Пример 1. Вычислить критическое значение угла закручивания и критическое значение
крутящего момента для стержня круглого сечения, с шарнирно закрепленными концами.
Жесткости изгиба
Bx-By=EJ = E-^,
где Е — модуль упругости первого рода nd — диаметр сечения.
Жесткость кручения
г — г г — Е
Принимая коэффициент Пуассона равным М — 4г
<3
имеем
С = |£7р=Авх.
В рассматриваемом случае разности (Вх — С) и (Ву — С) равны между собой, поэтому
для определения критического значения угла закручивания применяются уравнения (125)
и (126). Вспомогательные параметры т] и согласно формулам (127) и (128), равны т) = А
иа = 1.
56 Пономарев 508
882 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
При | = 1 уравнения (125) — (126) совпадают. Введем обозначение rl= <?, где I — поло-
вина длины стержня и — половина угла закручивания всего стержня. Тогда уравнение
для определения критического значения будет следующим:
ф
tg-j = tgT,
откуда
ф ,	4
-j- тс = ? И = — тс.
Итак, критический угол закручивания всего стержня
о
Критическое значение
где L = 21 — длина всего
Критическое значение
крутящего момента
О L,	L,
стержня.
наибольшего касательного напряжения
SfOKp Е J__K_ d_p
кр Wp ~2 L'WP ~ 2 ' LE-
для критического угла закручивания и критического значения
Полученные формулы	_
крутящего момента справедливы только при напряжениях ниже предела пропорциональности
материала стержня ткр < что возможно только при достаточно малых значениях отно-
d m
шения —. Так, например, пусть диаметр стержня d = 1 мм и длина стержня L = 1 м, тогда
~ = 0,001. Для стали Е = 2-РО6 кг/см2 и критическое касательное напряжение
ткр = —0,001 -2-106 = 3140 кг/см2.
Для рессорно-пружинной углеродистой стали 65 предел текучести при растяжении —
= 8000 кг/см2 и, следовательно, xs — 4000 кг/см2, т. е. критическое напряжение ъкр —
= 3140 кг/см2 оказывается меньше предела пропорциональности. Для ряда других марок
рессорно-пружинных сталей предел текучести еще выше, так, для углеродистой стали 85
as = 10 000 кг/см2, а для стали 60С2	= 12 000 кг!см2. Таким образом, для стержней с доста-
d
точно малым отношением — критическое касательное напряжение меньше предела пропор-
циональности для ряда специальных сталей.
При расчетах на устойчивость сжатых стержней (продольный изгиб) действительное зна-
чение критической силы при напряжениях выше предела пропорциональности достаточно
резко расходится с ее значением, получаемым по формуле Эйлера. При расчетах на устойчи-
вость скрученных стержней это расхождение должно быть менее резким. Действительно, в сжа-
том стержне при о > os весь материал стержня одновременно переходйт в пластическое
состояние, а в скрученном стержне круглого сечения при т > хр ts пластическая зона
охватывает вначале небольшую часть материала стержня (около его поверхности) и только
при дальнейшем возрастании крутящего момента постепенно распространяется на весь объем.
Пример 2. Вычислить критическое значение угла закручивания для стержня прямоуголь-
ного сечения с шарнирно закрепленными концами;
Обозначим стороны сечения через а и b так, что а > 5. Жесткости изгиба
П _ р ЬсР	_ abs R
Вх~Е'12	ву~е~12<вх,
где Е — модуль упругости первого рода.
Жесткость кручения
С = Gkatfl,
где Q — модуль упругости второго рода, а коэффициент k зависит от отношения сторон а и b
сечения (том I, глава VIII).
Устойчивость скрученных стержней
883
Выше было показано, что применение тех или иных формул для вычисления критического
угла закручивания зависит от сочетания знаков разностей (Вх — С) и (Ву — С). Для прямо-
угольного сечения всегда (Вх — С) > 0, а знак (Ву — С) зависит от отношения сторон сече-
ния. При 1,9 коэффициент £ = 0,2233 и, следовательно, жесткость кручения (при
'4)
С = Gkatfi = 4 £ • 0,2233aZ>3 = 0,08374£а63,
О
т. е. почти совпадает с наименьшей жесткостью изгиба.
При —<1,9 В у > С и, следовательно, разность (Ву—С) положительна, а при
у >1,9 В у < С и разность (Ву — С) отрицательна.
Таким образом, в интервале 1,0 < у < 1,9 разности (Вх — С) и (Ву — С) однозначны.
Вспомогательные параметры вычисляются по формулам (127) и (128). Критическое зна-
чение угла закручивания
»Кр =	=	=
определяется из уравнений (125) и (126).
В интервале 1,9 <	< со разности (Вх — С) и (Ву — С) разнозначны, поэтому вспомо-
гательные параметры вычисляются по формулам (137) и (138). Критическое значение угла
закручивания $кр = 2 ? определяется из уравнений (135) и (136).
Из двух значений и &2, определяемых для каждого значения уравнениями (125)
и (126) либо (135) и (136) практический интерес представляет наименьшее значение. Непосред-
ственное вычисление показывает, что наименьшим значением всегда оказывается = 2<р,
определяемое в интервале 1 < у < 1,9 из уравнения (125), а в интервале 1,9 < у < оо —
из уравнения (135).
Значения вспомогательных параметров £, т) и £ и критические значения углов закручи-
вания и &2 в радианах для ряда значений отношения у сведены в табл. 119. Приведенные
Таблица 119
Зависимость вспомогательных параметров £, т), £ и критических углов
закручивания и &2 от отношения сторон -у- прямоугольного сечения
а Т	1,0	1,5	2,0	3,0	5,0	10,0
k	0,1406	0,1958	0,2287	0,2633	0,2914	0,3128
	0,3672	0,2688	0,1471	0,4002	0,5431	t 0,6340
	1	1,574	2,858	0,9075	0,6185	0,4632
	9,92	8,02	6,00	4,90	4,42	4,12
$2 ।	9*92	8,94	8,28	7,66	7,36	7,14
56*
884 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
значения критически# углов закручивания справедливы только в предела# закона Гука.
Поэтому при. расчете на устойчивость всегда необходимо вычисление наибольшего касатель-
ного напряжения и его сопоставление с пределом пропорциональности материала стержня.
Положим, например, что размеры поперечного сечения а = 10 мм, b — 1 мм, а длина стержня
L — 21 = 1 тогдз пр табл. 119 критическое значение угла закручивания $кр = /4,12 рад.
Критическое значение крутящего момента определится из выражения
WKPL
f	кр G -0,3128^3
и, следовательно,
Я «	4 19
%p==-feG-0?3I28a63 = ^8.105.0,3128.1.0,18 = 10,30 кгсм.
Наибольшее касательное напряжение
Т/Ср = 0,3123а&2 = 0,3123-1-0,1а = 3300 кг1смг-
Как отмечалось выше (см. пример 1), эта величина ниже предела пропорциональности
для целого ряда специальных сталей.
Исследование устойчивости скрученного стержня на основе использо-
вания выражений для изгибающих моментов Мх и Му возможно только
в наиболее простом случае шарнирно опертых концов. Для других случаев
крепления концов стержня необходимо использование также выражений
для углов а и р и перемещений и и v. Получение этих выражений на основе
интегрирования зависимостей (35) и (40) не представляет затруднений.
Вместе с тем рассмотрение ряда частных случаев крепления концов скру-
ченного стержня приводит к весьма интересным результатам. Так, в работе
Е. Л. Николаи [53] рассмотрена устойчивость скрученного консольного
стержня, т. е. стержня, один конец которого заделан, а другой свободен. Отно-
сительно поведения крутящего момента после потери устойчивости делается
.предположение, что вектор момента остается направленным по касательной
к изогнутой оси стержня на его свободном конце, т. е. в месте приложе-
ния момента.
Обозначим длину стержня через 4 и совместим начало отсчета дуг с вде-
ланным концом стержня. Тогда краевые условия для искомой криволиней-
ной формы равновесия будут следующими: при s = 0 (заделанный конец
стержня) и = v = 0, а — р = 0; при s = I (свободный конец стержня) Мх =
= Му = 0; Qx= Qy = 0.
В общие выражения для поперечных сил Qx и Qy, изгибающих момен-
тов Мх и Myf углов а и р и перемещений и и v входит восемь произвольных
постоянных интегрирования: Сь С2 . . . С8.
Согласно формулам (113) и (113а) поперечные силы
Qx = Cicos rs + ^2sin rs-
Qy = — Cj sin rs + C2 cos rs.
Используем соответствующее краевое условие, т. е. обращение в ноль
поперечных сил на свободном конце стержня (s — Z); тогда имеем
CY cos rl + С2 sin rl = 0;
— Cj sin rl + C2 cos rl = 0.
Определитель Д, образованный из коэффициентов полученной системы
однородных уравнений, отличен от нуля, поэтому неизвестные Ci и С2 равны
нулю.
Аналогично, удовлетворяя краевым условиям относительно изгибающих
.моментов, углов поворота и перемещений, можно показать, что и остальные
Устойчивость скрученных стержней
885
шесть произвольных постоянных также обращаются в ноль: 4 С3 = С4 —
= . . . = С8 = 0.
Но в таком случае поперечные силы и Qy, изгибающие моменты
Мх и Му, углы аир, перемещения и и v обращаются тождественно в ноль
при любом s, т. е. по всей длине стержня, что соответствует прямолинейной
форме равновесия. Это значит, что ни при каком значении крутящего момент»
не существует криволинейной формы равновесия стержня, бесконечно близкой
к исходной прямолинейной форме и удовлетворяющей сформулированным
выше краевым условиям. Отсутствие искомой криволинейной формы равно-
весия является весьма интересной особенностью рассматриваемой задачи?
об устойчивости скрученного консольного стержня. Действительно, как
правило, потеря устойчивости какого-либо равновесного состояния упругой
системы сопровождается появлением нового равновесного состояния, беско-
нечно близкого к первоначальному; на этом обстоятельстве и основан обычно
применяемый статический метод исследования условий устойчивости упругих
систем.
Задача об устойчивости скрученного консольного стержня показывает^
что из этого общего правила существуют и исключения.
Таким образом, статический метод отыскания критического значения
крутящего момента оказывается неприменимым к этой задаче. Е. Л. Николае
исследовал [53] устойчивость консольного стержня при малых колебаниях^
т. е. рассмотрел задачу о поперечных колебаниях скрученного стержня,,
загруженного на свободном конце некоторой массой, значительно большей
массы самого стержня. В результате тщательно проведенного исследования
колебаний этой массы оказалось, что при достаточно малой величине скру-
чивающего момента прямолинейный стержень, с неравными главными жест-
костями при изгибе (Вх Ву), устойчив, однако существует некоторая
критическая величина крутящего момента %)1кр, за которой стержень теряет
устойчивость. Если же главные жесткости при изгибе одинаковы (Вх = By)v
то прямолинейная форма стержня теоретически неустойчива при любой
величине крутящего момента. Но достаточно незначительной разницы между
главными жесткостями Вх и Ву, чтобы прямолинейная форма стержня при
9Ji < оказалась практически устойчивой. Точно так же достаточно
наличия незначительного сопротивления движению, чтобы обеспечить прак-
тическую устойчивость колебаний стержня.
При рассмотрении самых разнообразных проблем устойчивости деформи-
рованного состояния элементов конструкций большее значение имеет изме-
нение положения нагрузки при переходе детали от одной формы равновесия
к другой. То или иное поведение нагрузки существенно отражается на вели-
чине ее критического значения.
При исследовании устойчивости скрученного стержня также обнаружи-
вается существенное влияние характера поведения нагрузки на величину
критического значения крутящего момента. Изложенные выше результаты
исследования устойчивости консольного стержня получены в предположении
следящего поведения скручивающей пары сил, т. е. в предположении, что
вектор этой пары совпадает с касательной к изогнутой оси стержня на его
свободном конце (ось z соответствующего трехгранника второго состояния).
В работе Е. Л. Николаи [53 ] показано, что эти выводы о неустойчивости
прямолинейной формы консольного стержня с одинаковыми главными жестко-
стями изгиба и при отсутствии сил сопротивления остаются в силе и в том
случае, когда вектор скручивающей пары, при переходе стержня из первого
состояния во второе, сохраняет свою ориентацию, т. е. остается параллель-
ным оси z0 трехгранника первого состояния на свободном конце стержня.
Далее в той же работе Е. Л. Николаи рассмотрел еще один случай поведе-
886 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
ния скручивающей пары: во втором состоянии стержня вектор пары делит
пополам угол, образованный осями z и z0 главных трехгранников первого
и второго состояний, соответствующих свободному концу стержня. Стати-
ческий метод исследования показывает, что в этом случае, в отличие от пре-
дыдущих двух, при достаточно большой величине скручивающей пары,
существует криволинейная форма равновесия и критическое значение
момента
^ = <4»
где В — главная жесткость изгиба стержня, a Z — его длина.
Естественно возникает вопрос о дальнейшем исследовании различных
случаев поведения скручивающей пары. Наибольший интерес представляют
варианты, которые вытекают из рассмотрения
специфических особенностей тех или иных
конструкций [105].
Рассмотрим поведение скручивающей пары
при следующих условиях. На конец стержня
насажен диск радиуса а с приложенной к нему
парой сил Р (фиг. 639). Предполагается, что
диск не стесняет деформаций стержня и вво-
дится главным образом для удобства пред-
ставления поведения сил составляющих пару
при переходе стержня из первого состояния во
второе. В дальнейшем ограничимся рассмотре-
нием только стержней с одинаковыми главными
жесткостями изгиба. Здесь все центральные оси сечения являются главными
и всегда можно так расположить главный трехгранник первого состояния,
чтобы ось yQ была параллельна силам пары.
В первом (прямолинейном) состоянии стержень только скручивается
моментом W = 2Ра. При переходе стержня из первого состояния во второе
(пространственное криволинейной) перемещение диска, жестко связанного
с концом стержня, совпадает с перемещением соответствующего главного
трехгранника и состоит из поступательного смещения Д (и, v, w) и поворота
(а, ₽, Т). Так как поступательное смещение не изменяет действия внешней
пары сил, то можно представить себе начала Ло и А главных трехгранников
первого и второго состояния совмещенными.
Рассмотрим такой случай, когда при переходе стержня из первого состоя-
ния во второе, силы пары (независимо от перемещения диска) сохраняют свою
ориентацию, т. е. остаются параллельными оси yQ (фиг. 639). Указанный
случай соответствует действию на диск струй жидкости или газа (предпо-
лагается, что диск снабжен соответствующими лопатками).
С целью написания моментов, создаваемых силами пары относительно
осей х, у, z главного трехгранника А удобно разложить силы на составляю-
щие, параллельные этим осям. Используя выражения (57) для косинусов
углов между осями трехгранников А и Ло и проектируя силу Р, совпадаю-
щую с положительным направлением оси у0, на оси трехгранника А, имеем
Р> = р1, Ру = Р> Рг = —Р<х.
(139)
На фиг. 640 изображено в пространстве разложение одной из сил пары
на составляющие по осям трехгранника Л. Используя проведенное разло-
Устойчивость скрученных стержней
887
жение, запишем моменты, образованные парой относительно осей трехгран-
ника А:
2Rx = 0;
2)tz =
(140)
Таким образом, если в первом состоянии приложенная к диску пара
сил образует только скручивающий момент 3)? = Р2а, то после перехода
стержня во второе состояние в месте насадки диска на стержень, кроме
скручивающего момента = Wi,
Яку = Wia, где а — угол поворота
Обратимся к получению уравне-
ний для изгибающих моментов Мх
и Му и углов поворота а и ₽, рас-
сматривая эти величины как функ-
ции дуги s.
Для стержней с равными глав-
ными жесткостями изгиба ВХ=ВУ=В
дифференциальное уравнение (115)
относительно изгибающего момен-
та Мх принимает следующий вид:
возникает еще и изгибающий момент
диска относительно оси х0.
d*Mx
ds*
4- М2МХ = -(14-
4-7]) (Cj cos rs + C2 sin rs), (141)
где введено обозначение
Фиг. 640.
Общий интеграл уравнения (141)
ц =
в —С
В '
Мх = yg- [Ci cos rs 4* С2 sin rs] 4* Cs cos 1)rs 4- Ct sin firs. (142)
Используя зависимость (114) между изгибающими моментами Мх и Му,
приходим к следующему выражению для момента Му:
Му
1 [dMx_0 ’
7)Г [ ds 'А
или после преобразований
sin rs -f- С2 cos rs] — C3 sin yrs 4- C4cos iqrs. (143)
Полученные формулы (142) и (143) представляют собой выражения для
искомых изгибающих моментов, возникающих в скрученном стержне при
переходе его из первого прямолинейного состояния во второе - простран-
ственное криволинейное.
При pQ = q0 = 0 и Го = г первые два уравнения второй группы геомет-
рических соотношений (40) принимают следующий вид:
dci	I п
dT==/’ + r₽’
dp
£ = <l-ra-
(144)
888 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
Исключая из равенств (144) угол р и заменяя главные кривизны р и q,
по формулам (51) получим
42“ 1 2	1 [dMx .	1
1^ + г«-т^ + гЛ1’|-
Подстановка значений изгибающих моментов Мх и Му по формулам (142)
и (143) приводит к следующему дифференциальному уравнению относительно
угла а:
— + г2а = — [_ sin rs + С2 cos rs] +
+ (1 + 'ч)г[—С3 sin igrs + С4 cos Kjrs].	(145)
Заметим, что выражения sin rs и cos rs, входящие в состав правой части
уравнения (145), совпадают с частными интегралами однородного уравнения
С?2 Ct 19	Су
4- г2а = 0.
ds2 1
Общий интеграл уравнения (145) имеет вид
а =	(Cj cos rs + С2 sin rs) +
+ ~75-(—C3 sin 7)rs 4-C4 cos i;rs) + C5 cos rs 4-Ce sin rs. (146)
Из первого уравнения (144)
О _ 1 Г da.	Мх 1
“ — г [ds	В J ’
Подстановка значений Мх по формуле (142) и а по формуле (146) при-
водит к следующему выражению:
р = -Д- [— Ct sin rs + С2 cos rs] —
---[C3 cos igrs + C4 sin^rs] — C5 sin rs + C6 cos rs.	(147)
Используем полученные зависимости для определения критического
значения скручивающего момента, действующего на стержень с одним заде-
ланным и другим свободным от связей концами. На свободном конце стер-
жень несет диск с приложенной к нему парой сил. Предполагается, что
силы пары при переходе стержня из прямолинейной формы равновесия в про-
странственную криволинейную, остаются параллельными своему перво-
начальному направлению и, следовательно, для конца стержня с диском име-
ют место выражения (140).
Очевидно, что для скрученного консольного стержня поперечные силы
и Qy, определяемые формулами (113) и (113а), отсутствуют и, следовательно,
Ci = 0, С2 = 0. Примем начало отсчета дуг (s = 0) на свободном конце
стержня. Длину стержня обозначим через Z.
Краевыми условиями для конца с диском (s = 0) являются = 0,
Му = УЛа, откуда следует, что С3 = 0 и С5 = 0.
Устойчивость скрученных стержней
889>
Краевые условия для заделанного конца (s = Z)<x = O, р=0 приводят
к системе двух уравнений относительно постоянных интегрирования и С6-
-Лг Ci cos т)® + Ce sin © = 0;
С4 sin Цо + CQ cos ср = 0,
где введено обозначение для полного угла закручивания стержня rl = Не-
постоянные С4 и С6 отличны от нуля только в том случае, если опре-
делитель, образованный из коэффициентов системы, равен нулю. Приравни-
вая определитель нулю, приходим к следующему уравнению относительно»
критического значения угла закручивайия консольного стержня:
COS Ф COS 7]Ср + Sin Ср Sin 7]ср = 0
ИЛИ
cos ф = 0,
где
ф=(1— 7])® = -^
(148)»
откуда критические значения угла закручивания и скручивающего момента*
Величина ф может быть названа коэффициентом критического значения
нагрузки при кручении. Существенно, что величина коэффициента ф опре-
деляется только характером связей, наложенных на концы стержня, и пове-
дением скручивающей стержень пары сил при искривлении стержня.
В рассматриваемом случае из уравнения (148) ф = у и критические
значения угла закручивания и скручивающего момента соответственно равны
и^р = У‘Т-	<148а>
В частном случае стержня круглого сечения отношение жесткостей изгиба-
и кручения
и критический угол закручивания
^р=|*=120\
В работе [46] сформулированное выше представление о поведении сил
скручивающей пары [см. формулы (140)] используется для систематического*
исследования устойчивости стержня с одним заделанным концом при раз-
личных вариантах наложения связей на конец стержня с диском. Основные'
результаты исследования всех рассмотренных случаев наложения дополни-
тельных угловых и линейных связей сведены в табл. 120.
890 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
Таблица 120
Основные результаты исследования устойчивости скрученного прямого стержня с равными
главными жесткостями изгиба (один конец стержня заделан)
Слу- чай	Связи, наложенные на конец стержня с диском	Определяющее уравнение для вычисления коэффициента критической нагрузки	Значение коэффи- циента критической нагрузки ф
1	Связи отсутствуют	cos ф = 0	-фл = 1,571
2	Угловая связь х0	sin ф = 0	1Z = 3,142
3	' Угловая связь yQ	sin ф = 0	тс = 3,142
4	Угловые связи xQ и у0	cos ф = 1	2л = 6,283
5	Линейная связь xQ	(4>2+ 1) sin ф + ф cos ф—2ф = 0	1,873
6	Линейная связь у0	sin ф — ф cos ф = 0	4,493
7	Линейные связи х0 и у0	8ф sin + (г4 + 8) cos ф — _ 4 (ф2 _|_ 2) = 0	4,952
8	Угловая связь х0 и линей- ная связь х0	sin ф — фсоз ф = 0	4,493
9	Угловая связь yQ и линей- ная связь у0	sin ф — ф cos ф = 0	4,493
10	Угловая связь х0 и линей- ная связь у0	ф sin ф + 2 cos ф — 2 = 0	2тс = 6,283
11	Угловая связь у0 и линей- ная связь х0	ф sin ф + 2 cos ф — 2 = 0	2л = 6,283
12	Угловые связи х0, yQ и ли- нейная связь х0	ф sin ф + 2 cos ф — 2 = 0	2тс = 6,283
13	Угловые связи х0, у0 и ли- нейная связь у0	ф sin ф + 2 cos ф — 2 = 0	2л = 6,283
14	Угловая связь х0 и линей- ные связи х0, у0	(8 + ф2) ф sin ф + 8 cos ф — — 4 (ф2 + 2) = 0	6,811
15	Угловая связь у0 и линей- ные связи х0, у0	*	(8 + ф2) ф sin ф + 8 cos ф — — 4 (ф2 + 2) = 0	6,811
16	Угловые связи х0, уъ и ли- нейные связи х0, у§	Ф Ф	Ф л sin т—тcos т = 0	8,987
Примечание. Критические значения угла закручивания и скручивающего момента соответственно равны jB	в ?кр = $~с- И WKp = ф —. где В — жесткость изгиба; С — жесткость кручения; 1 — длина стержня и — коэффициент критической нагрузки.			
Рассмотрение таблицы показывает, как и следовало ожидать, что наиболь-
шее критическое значение скручивающего момента имеет место в случае 16.
Действительно, все предшествующие случаи 2—15 можно рассматривать
как результат наложения на консольный стержень той или иной комби-
нации части связей случая 16. Таким образом, и в данном исследовании
устойчивости скрученного стержня подтверждается общее положение
о том, что критическая нагрузка при совместном наложении нескольких
связей всегда больше или равна критической нагрузке, соответствующей
наложению любой части этих связей.
Устойчивость сжато-скрученных стержней
891
§ 5. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТО-СКРУЧЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
В машиностроении в ряде случаев достаточно длинные и тонкие стержни
наряду с продольными сжимающими силами нагружаются также и скручи-
вающими моментами. Примером могут служить гребные валы пароходов,
борштанги глубокого сверления и тему подобные детали.
Наличие скручивающих моментов уменьшает критическое значение про-
дольных сил. Это обстоятельство делает весьма интересным изучение про-
блемы устойчивости сжато-скрученных стержней.
Среди довольно большого числа исследований этой проблемы необхо-
димо назвать работу Е. Л. Николаи [53] и работы И. Е. Шашкова [92]
и [93]. В работе [92] дано приложение общей теории к расчету борштанги
на устойчивость. Устойчивость буровых штанг исследована в работе
А. Н. Динника [25]. Устойчивость сжато-скрученных стержней за преде-
лами упругости рассмотрена Л. М. Качановым [33]. Отметим также рассмот-
рение вопросов устойчивости сжато-скрученных стержней в монографии
К. Бицено и Р. Граммеля [6].
А. Уравнения криволинейной формы равновесия
Рассмотрим прямолинейный стержень постоянного сечения, нагружен-
ный по торцам скручиваюшими моментами Ж и осевыми сжимающими
силами Р. Характер связей, наложенных на концы стержня или на некоторые
из его промежуточных сечений, должен быть уточнен при рассмотрении
тех или иных конкретных задач.
Будем искать совокупность тех значений моментов Ж и осевых сил Р,
при которых наряду с прямолинейной формой оси стержня (первое состояние)
возможна также и криволинейная форма равновесия в виде некоторой про-
странственной кривой (второе состояние), удовлетворяющей заданным гра-
ничным условиям на концах стержня или в его промежуточных сечениях
и являющейся весьма близкой к прямолинейной форме.
В первом (прямолинейном) состоянии стержня величины главных ком-
понентов кривизны ро, q0 и кручения г0 следующие:
Р0 = <7о = О; г0 = ^-,	(149)
где С — жесткость кручения.
Во втором (криволинейном) состоянии стержня соответствующие вели-
чины р, q, г, вообще говоря, отличны от нуля и представляют собой некото-
рые функции дуги s.
Изгибающие моменты Мх, Му и крутящий момент Mz связаны с глав-
ными компонентами кривизны р, q к кручением г следующими соотношениями:
Мх = Вхр\ My = Byq; М2 = Сг9	(150)
где Вх и Ву — главные жесткости при изгибе и С — жесткость при кручении.
Допустим, что Вх > Ву; это всегда можно обеспечить соответствующим
расположением осей х и у. Воспользуемся уравнениями равновесия (45)
и (50), учитывая при этом, что внешние распределенные силы и моменты
отсутствуют.
Величины главных компонентов кривизны р, q, поперечных сил Qx, Qy
и изгибающих моментов Мх, Му в первом состоянии стержня равны нулю
для любых значений дуги s. Все эти величины становятся отличными от нуля
только при переходе из первого состояния во второе. Учитывая, что рас-
сматриваемая криволинейная форма равновесия по определению весьма
близка к прямолинейной форме, заключаем о малости всех этих шести
892 Критич, значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
величин (малые первого порядка). Пренебрегая их попарными произведе-
ниями как малыми второго порядка, можно из последних уравнений (45)
и (50) получить
^г = °;т = °-	<151>
Условимся осевую сжимающую силу Р считать положительной (Р > 0).
Тогда, интегрируя зависимости (141) и учитывая, что при выводе уравнений
равновесия (45) нормальная сила Nz считалась положительной при растя-
жении, заключаем, что
Nz = -P,	(152)
2Иг = Ж.	(153)
Итак, с точностью до малых величин второго порядка малости можно
утверждать, что нормальная сила Nz постоянна по длине искривленной оси
стержня и равна (по абсолютной величине) сжимающей силе Р; крутящий
момент Mz также постоянен и равен моменту внешней скручивающей пары Ж.
Сопоставляя уравнение (149), третье из уравнений (150) и уравнение (153),
заключаем, что с той же степенью точности
г = r0 = const,	(154)
т. е. кручение стержня постоянно по длине искривленной оси и неизменно
при переходе из первого состояния во второе. На этом основании в дальней-
шем не будем делать различия между кручением г0 прямолинейного стержня
и кручением г искривленного стержня.
Учитывая зависимости (150), (152) и (153), преобразуем уравнения равно-
весия (45) и (50) к следующему виду:
тг + т-р + г<г« = 0;	<1М>
Uo	‘-'X
т + г-Т7^Л1« + «’ = °-	<156>
Используя уравнения (155), исключаем поперечные силы Qx и Q? из урав-
нений (156). Из вторых уравнений (155) и (156) получаем
dQy = dMy Р—(ВХ—С)г2
ds Г ds	Вх
Мх.
Дифференцируя первое из уравнений (156) и исключая Qy, с помощью
последнего соотношения имеем
d2Mx	2Ву — С dMy Р — (ВХ — С)г2
ds2 Г Ву ds +	Вх
(157)
Аналогичным преобразованием второго из уравнений (156) находим
ДМ,+г 2В	V,1 = (L	(158)
dsa	Dx ds	Dy
Устойчивость сжато-скрученных стержней
893
Таким образом получена система дифференциальных уравнений (157)
и (158) относительно изгибающих моментов Мх и Му, возникающих в стержне
при переходе из первого состояния во второе. Преобразуем эту систему
к одному дифференциальному уравнению относительно одного из изгибающих
моментов, например Мх.
Дифференцируем дважды зависимость (157) и один раз выражение (158)
и, исключая третью производную от Му, приходим к следующему уравнению:
d*Mx ,	. (2Вх-С)(2Ви-С) ,2] d*Mx ,
ds* ^ [ Вх	ВХВУ r J ds2
2 Вх (2ВУ- С) br dMy = 0	(] 59>
У
W
Исключая из уравнений (157) и (159) первую производную от Mv, при-
ходим к дифференциальному уравнению четвертого порядка относительно
изгибающего момента Мх:
^L + 2(a + b + c)^ + 4abMx = 0,	.	(160)
где
г _ (Вх + Ву-С)*г*
2ВхВу
Соответствующее характеристическое уравнение
+ 2 (а + b + с) t2 + 4ab = 0
имеет следующие четыре корня:
t = + i V (a + b + c) + V(a+~b + с)2 — 4ab.
Представим корни характеристического уравнения (161а) в виде
= 2/nJ; t2 = — 2/njZ;
t3 — 2m2i; t4 = — 2m2i,
где введены следующие два обозначения:
2mi = ]/-^(а + Ь + с) — Vab + ]/у (а + 6 + с) + ]/а6;
2/и? = (а 4- ь + с) — У ab — j/'-t (а + b 4- с) + УаЬ..
(160а)
(161)
(161а)
(1616)
(161в)
Общий интеграл дифференциального уравнения (160) независимо от вещест-
венности или мнимости корней характеристического уравнения имеет вид
Мх = C/*s + C2eGs + C3et,s + C4e*‘s,	(162)
где Си С2, С3, С4 — постоянные интегрирования.
Обратимся к определению другого изгибающего момента М . Из урав-
нения (157) имеем
dMy _ By	fd*Mx	Р-(ВХ-С)г*	м 1
ds ~	(2By — C)r	[ds*	В*	MxJ	1,631
894 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
или, используя обозначения (159а), получаем
Т = -72В-С)/Уг + 2?аМJ •	<164>
После нахождения изгибающих моментов Мх и Му поперечные силы
Qx и Qy определяются непосредственно из уравнений (156).
Таким образом, можно все внутренние силовые факторы криволинейной
формы равновесия стержня (нормальную силу N z, поперечные силы Qx и Qy,
крутящий момент Mz, изгибающие моменты Мх, выразить через
нагрузки Р и W1, жесткости стержня Вх, Ву, С и постоянные интегриро-
вания Ct, С2, С3, С4. Обратимся теперь к рассмотрению геометрических
величин, характеризующих искривленную ось стержня. При переходе
из первого состояния, во второе произвольная точка оси стержня переме-
щается вдоль осей главного трехгранника первого состояния на величины
и, v, w. Вместе с тем главный трехгранник, соответствующий рассматри-
ваемой точке оси стержня, вращается вокруг первоначального положения
своих осей на малые углы а, р, 7 и после поворота совпадает с главным
трехгранником второго состояния стержня.
Согласно формулам (35) и (40) производные от линейных и, v, w и угло-
вых а, р, 7 перемещений связаны с главными компонентами кривизны и кру-
чения стержня как в первом состоянии (р0 = 0, q0 = 0, г0), так и во втором
состоянии (р, q, г = г0) следующими зависимостями:
du а ।	do	dw п	/тех
+	dr = -a-ru;^r = 0:	(,65>
^- = p + rp; < = <7 —ra; ^- = 0.	(166)
ds K , ds	ds	'	'
Из уравнений (150) и (166) изгибающие моменты Мх и Му равны
(167)
Исключая из уравнений (167) один из углов, например р, приходим
к дифференциальному уравнению относительно угла а:
5-+^ =' <168>
Ct о	и%	Uy
Используя полученные выше выражения для изгибающих моментов
Мх и Му и интегрируя уравнение (168), определяем угол а. Тогда согласно-
первому из уравнений (167)
р = 1.А_^.	(169),
г г ds гВх	' '
Согласно третьему из уравнений (166) угол поворота 7 постоянен по длине
искривленного стержня. Обратимся к рассмотрению линейных перемеще-
ний и, v, w.
Исключая из первых двух уравнений (165) перемещение ©„ приходим
к дифференциальному уравнению для перемещения и:
w-+r‘u=^-n-	«|7»>
Устойчивость сжато-скрученных стержней
895
После определения и согласно первому из уравнений (165)
JL. Л» _£
г ds г
(171У
Согласно третьему из уравнений (165) перемещение w постоянно по длине
искривленной оси стержня.
Итак, определение как линейных, так и угловых перемещений, перево-
дящих стержень из первого состояния во второе, не представляет затруд-
нений.
Б. Стержни с одинаковыми главными жесткостями изгиба
(Вх = Ву = В)
Как известно, главные жесткости изгиба выражаются следующим образом^
Вх = EJX и Ву = EJy,
где Jx и Jy — главные центральные моменты инерции поперечного сечения
стержня. Очевидно, что главные жесткости изгиба равны между собой для
сечений с одинаковыми главными моментами инерции
При рассмотрении геометрических и статических величин, характери-
зующих криволинейную форму равновесия/за основную величину был при-
нят изгибающий момент Л4Х. Достаточно сложные выражения для корней,
характеристического уравнения (161) при ВЛ = Ву = В упрощаются..
Действительно, в этом случае параметры
, _ Р-(В-С) г* __ (2В-С)2г2
а — & —	OD	и с — 2Вз
2В
и выражения (161 в) для величин 2^ и 2/и2 принимают весьма простой вид:_
2/и2 =
2В —С
2ВС
2В — С
2ВС
(172)
2/nj
а корни характеристического уравнения (161) выражаются следующим об^
разом:
t=1^4+Сй)2]-	<173)
L	г D \ ZD / J
При сжимающем действии осевых сил Р > 0, все четыре корня (173)
мнимые, и общий интеграл уравнения (160) удобно представить не в виде
формулы (162), а выразить через тригонометрические функции:
Мх = CY cos 2mYs + С2 sin 2/nts + С3 cos 2tn2s + C4 sin 2m2s,	(174)
где Ct, C2, C3,	— постоянные интегрирования; 2mlt 2/n2—параметры,,
определяемые формулами (172).
Подстановка значения Л4Х по выражению (174) в формулу (163) приводит
после ряда преобразований к следующей зависимости для производной,
от момента Му:
— — 2mt (Ci cos 2mvs + С2 sin 2m1s) — 2т, (Сг cos 2/n2s -f- С4 sin 2m2s).
<896 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
Интегрируя полученное выражение, имеем
Му = — Сх sin 2mxs + С2 cos 2m xs — C3 sin 2m2s + C4 cos 2m2s + Co.
Внося найденное значение My в выражение (158), можно показать,
•что Со = 0 и, следовательно, искомое выражение для момента Му имеет вид
Му = — Сх sin 2mxs + С2 cos 2mxs — С3 sin 2m2s + C4 cos 2m2s.	(175)
Полученные формулы для изгибающих моментов Мх и Му позволяют
.исследовать устойчивость сжато-скрученных стержней с шарнирно опертыми
концами. Переходим к рассмотрению этого случая. Примем начало отсчета
.дуг в средней точке оси стержня и обозначим длину стержня через Z. Следящее
поведение векторов скручивающих моментов УЛ при переходе стержня из пер-
вого состояния во второе и шарнирное крепление концов стержня, исклю-
чающее возможность образования реактивных моментов, позволяет утвер-
ждать, что по концам стержня, т. е. при s = ± у Z, оба изгибающих момента
ЛМХ и Му обращаются в ноль.
Используя выражение (174) для момента МЛ, получаем
Мх	= Сх cos mxZ + С2 sin mxZ + С3 cos mJ + С4 sin mJ = 0;
/ ' (176>
Мх (----) = Ci cos mxZ — С2 sin mJ + С3 cos mJ — C4 sin m2l — 0.
Почленное сложение и вычитание первого и второго из уравнений (176)
дает
Cr cos mJ + С3 cos mJ — 0; )	.
1	1 d ~	(176а)
С2 sin mJ + С4 sin m2Z = 0. J
Аналогичное использование выражения (175) для момента Му приводит
>к следующим результатам:
sin mJ + С2 cos mJ — С3 sin mJ + C4 cos mJ = 0;
f	<177)
My (— у) = Cx sin mJ + C2 cos mJ + C3 sin mJ + C4 cos mJ = 0,
4i, следовательно,
Cx sin mJ 4- C3 sin m2l = 0; ]	'
о	}	\ * * a)
C2 cos mJ + C4 cos mJ = 0. J
Итак, система четырех уравнений относительно произвольных постоян-
ных интегрирования Сг, С2, С3, С4 распадается на две системы.
Определитель Д, образованный из коэффициентов первых уравнений
<166а) и (167а) или коэффициентов вторых уравнений (166а) и (167а), имеет
вид
Д = sin/nt/ sin mJ	(178)
cos mJ cos mJ
Если определитель Д J= 0, то все произвольные постоянные СХ,С3, С3, С4
равны нулю и, следовательно, обращаются в ноль и изгибающие моменты
Мх и Л4У при любых значениях дуги s, что возможно только при прямоли-
нейной форме оси стержня. Для возникновения криволинейной формы равно-
весия необходимо отличие от нуля хотя бы одной из перечисленных постоян-
Устойчивость сжато-скрученных стержней
897
ных интегрирования, т. е. обращение в ноль определителя, образованного
из коэффициентов однородной системы уравнений. Таким образом, условие
возникновения криволинейной формы равновесия следующее:
sin mJ sinm2l
cos mJ cos mJ
Раскрывая определитель Д, имеем
sin {mx — mJ 1 = 0.
(179)
(180)
Наименьший отличающийся от нуля корень уравнения (180) равен
(/nx — mJ 1 = -к.
Подстановка значений mt и т2 по формулам (172) приводит к следующей
зависимости между критическими значениями осевой сжимающей силы Р
и скручивающего момента Ж:
Р_ _L ((±.\*
в *+ \2В / ~ \	‘
(181)
При всех значениях Р и W?, удовле-
творяющих уравнению (181), прямолиней-
ная форма равновесия оси стержня стано-
вится неустойчивой, и возникает новая,
устойчивая криволинейная форма.
Полагая Wi ~ 0, находим критическое
значение PQ сжимающих сил при отсут-
ствии скручивающих моментов:
=	(181а)
это обычная формула Эйлера для крити-
ческой силы в случае сжатого стержня
с шарнирно опертыми концами. Полагая Р = 0, находим критическое
значение Жо скручивающих моментов при отсутствии продольных сил:
о i •
(1816)
Используя полученные значения для Рй и Жо, можно представить основ-
ную формулу (181) в следующем виде:
(Ж=‘-	<182>
На фиг. 641 представлена параболическая зависимость между величи-
з
нами Ж и Р согласно формуле (182). Положим, например, что Р = Ро,
з
т. е. фактически приложенная осевая сила составляет -*• эйлеровой силы.
Тогда стержень достигнет критического состояния при скручивающем
1	3	1
моменте Ж ==уЖ0. Таким образом, Р = -^Р6 и Ж = j-Жо при их сов-
местном действии представляют собой критическую совокупность сжимающей
осевой силы Р и скручивающего момента Ж.
Формулы (181) или (182) для критической совокупности Р и Ж справед-
ливы только в пределах пропорциональности материала стержня. Поэтому
57 п ономарев	508
898 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
после определения критической совокупности силы Р и момента ЗЛ необ-
ходимо вычислить наибольшую величину эквивалентного напряжения по той
или иной из теорий прочности и сравнить ее с пределом пропорциональности.
Так, например, в случае стального стержня круглого сечения эквивалентное
напряжение по теории прочности наибольших касательных напряжений
(том I, глава VI).
1 / р \2 77^9.
авкв — [	[f] +4^р ) •
азкв ° р представляет собой в
нимости формул (181) или (182).
рассматриваемом случае условие приме-
В. Общий случай стержня с различными главными жесткостями
при изгибе
При изучении устойчивости стержней с различными жесткостями при
изгибе, нагруженных осевыми силами и скручивающими моментами, сущест-
венное значение приобретает исследование корней характеристического урав-
нения (161). В работе И. Е. Шашкова 193] показано, что при сжимаю-
щем действии осевых сил (Р > 0) возможны два случая:
1) оба параметра и т2 вещественны;
2) один из параметров т1 вещественный, а другой, т2, — мнимый.
При растягивающем действии осевых сил (Р < 0) параметры mi и т2 —
сопряженные комплексные величины.
В дальнейшем ограничимся изучением сжимающего действия осевых
сил Р. Начнем с рассмотрения первого случая, когда оба параметра тх и т2
вещественны, а следовательно, все четыре корня характеристического урав-
нения (161) мнимые. В этом случае общий интеграл уравнения (160), т. е.
изгибающий момент Мх, выражается через тригонометрические функции
Мх = Ct cos 2m1s + С2 sin 2/HiS + С8 cos 2m2s + C4 sin 2m2s>	(183)
где параметры 2mx и 2m2 определяются формулами (161в), а С19 С2, С3,С4 —
постоянные интегрирования.
Тогда по формуле (163) другой изгибающий момент
= Xi (^isin — С2 cos 2mts) + у2 (Cs sin 2tn2s — С± cos 2m2s), (184)
где введены обозначения:.
Г	1	2В„ Г я Ви "1 /юл \
Zl = &ви—С)г [2^7' в? —	;	= льу — с)г	’/Пг] ‘ (184а)
В частном случае Вх = Ву; с помощью подстановки значений 2/nj и 2т2
по формулам (172) легко показать, что Хт = Х2 = 1, и, следовательно,
выражение (184) совпадает с формулой (175).
Выражения (183) и (184) для изгибающих моментов Мх и Му позволяют
исследовать устойчивость сжато-скрученного стержня с различными глав-
ными жесткостями изгиба в случае шарнирно опертых концов. Примем начало
отсчета дуг в средней точке оси стержня. По концам стержня оба изгибающих
момента обращаются в ноль:
м,(|) = л»,(—0=о.
Устойчивость сжато-скрученных стержней
899
Последние зависимости можно еще переписать в следующем виде:
М,(4)±МД-|) = О;
м,(|)±м,(-4)=о.
Подстановка значений Мх и Му по формулам (183) и (184) приводит
к двум системам уравнений относительно произвольных постоянных интегри-
рования, а именно:
Сх cos mJ + С3 cos mJ = 0; 1	(185)
C1XjLsin + £3X2sin = 0; /
C2 sin mJ 4~ C4 sin mJ = 0;	|	(185a)
C2Xicos mJ + C4X2 cos mJ = 0. J
Условием возникновения криволинейной формы равновесия, т. е. дости-
жения нагрузками Р и УЛ их критического значения, служит обращение
в ноль одного из определителей Дх или Д2, составленных из коэффициентов
систем уравнений (185) или (185а), в которых неизвестными являются С19 С2,
С3 и С4. Эти условия имеют вид
—
cos mJ
Х1 sin mJ
sin mJ
X1 cos mJ
cos mJ
X2 sin mJ
sin mJ
X2 cos mJ
Развернув определители, получаем
(D tg m ср — tg ср — 0
или
tgmcp — co tg ср = 0,
где введены следующие обозначения:
*У2	^2	1
(о = — ; m = —; ср = mJ.
Xi	т 1
(186)
(186а)
Формулы (186) справедливы при вещественных значениях m и <о. В случае
мнимых значений этих величин формулы (186) заменяются следующими:
X th jicp + tg ср = 0; |
th— xtg? = O, J
(187)
где
i = m и i Х = (о.	(187а)
Заметим, что для сжато-скрученных стержней с шарнирно опертыми
концами краевыми условиями служит не только обращение в ноль изгибаю-
щих моментов Мх и Му по концам стержня, но и обращение в^ноль переме-
щений и и v в опорах, т. е.
« (4) = «(—0 = °;	=	=
Можно показать, что применение последних краевых условий приводит
к тем же формулам (186) и (187).
57*
900 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
Использование выражений (186) и (187) позволяет исследовать сово-
купность критических значений осевых сил Р и скручивающих моментов Ж
при различных соотношениях главных жесткостей изгиба Вх и В и жесткости
кручения С.
Зависимость между критическими значениями Р и W при некоторых
значениях параметров
дана на фиг. 642 и 643 [93]. На фиг. 642 для всех трех графиков 1 = 0,5
и на фиг. 643 для всех пяти графиков k = 0,5. Рассмотрение этих графиков
позволяет отметить сле-
дующее существенное об-
стоятельство. При одина-
ковых главных жесткостях
стержня на изгиб (£ = 1)
с увеличением крутящего
момента критические зна-
чения осевой сжимающей
силы уменьшаются моно-
тонно от Р = (эйлерова
сила при 2JI = 0) до Р = О
(при 3R = SRo)- В противо-
положность этому при раз-
личных жесткостях изгиба
(k <Z 1) с увеличением
момента ЯЛ критическое
значение сжимающей си-
лы Р не всегда уменьшает-
ся. На некотором интер-
вале изменения момента Ж
критическая сила Р с уве-
личением момента круче-
ния ЯЛ также возрастает
и может стать даже больше эйлеровой силы Ро. Это одновременное возрас-
тание критических значений момента ЯЛ и силы Р обнаруживается тем
резче, ‘чем меньше коэффициенты k и X.
Действительно, при отсутствии скручивающих моментов ЯЛ изогнутая
ось стержня представляет собой плоскую кривую, расположенную в пло-
скости наименьшей жесткости изгиба стержня. Поэтому и соответствующее
критическое значение осевой сжимающей силы Рв (эйлерова сила) зависит
только от наименьшего из двух главных центральных моментов инерции
сечения стержня.
При наличии крутящих моментов криволинейная форма равновесия
стержня становится пространственной кривой. Это отклонение изогнутой
оси стержня от плоской кривой при заданной величине крутящего момента
зависит от жесткости кручения С и тем больше, чем меньше величина С,
а следовательно, и коэффициент X. При пространственной упругой линии
имеет место изгиб стержня как в плоскости наименьшей жесткости, так
и в плоскости наибольшей жесткости, и, следовательно, критическое значе-
ние осевой силы обусловлено обоими главными центральными моментами
инерции сечения стержня (УЖ1П, Jmo). В этом и заключается объяснение
того обстоятельства, что наличие крутящего момента для сечений с доста-
точно сильно отличающимися друг от друга величинами моментов инерции
Устойчивость сжато-скрученных стержней
901
Jms* (т. е. малой величиной коэффициента k) увеличивает критическую
силу по сравнению с ее эйлеровым значением в плоскости наименьшей'
жесткости.
Г. Устойчивость борштанги при глубоком сверлении
Интересное применение теории устойчивости сжатых и скрученных
стержней с одинаковыми главными жесткостями при изгибе дано в работе
И. Е. Шашкова [92]. Это — исследование устойчивости прямолинейной
формы равновесия борштанги, т. е. длинного стержня трубчатого сечения,
применяемого для удлинения сверла при сверлении глубоких отверстий
(фиг. 644).
Практическая необходимость исследования обусловлена тем, что
потеря устойчивости прямолинейной формы борштанги может служить одной
из причин увода сверла от геометрической оси изделия.
Фиг. 644.
Предположим, что сверление производится на горизонтальном станке
и что подача при сверлении осуществляется борштангой вместе с салазками,
которые перемещаются к передней бабке.
Предположим также, что: 1) равнодействующая продольных усилий
резания приложена к центру тяжести сечения борштанги и 2) все радиаль-
ные составляющие усилия резания взаимно уравновешиваются.
Сверление при неподвижном изделии приводит к более значительному
уводу сверла, чем сверление при вращающемся изделии. Поэтому практи-
чески осуществляется главным образом второй вариант, т. е. сверло переме-
щается только поступательно, а вращается изделие. В этом случае борштанга
должна быть закреплена в салазках так, чтобы она могла воспринимать
крутящий момент и осевое давление.
Это крепление не должно давать борштанге возможность поворачиваться
и перемещаться относительно салазок вдоль своей оси. Однако деформация
крепления все же может обеспечить некоторый малый угол поворота конца
борштанги.
Другой, свободный конец борштанги несет сверло и направляющие
шпонки. В процессе сверления между направляющими шпонками и стенкой
отверстия возможен некоторый зазор, следовательно, и здесь возможен неко-
торый угол поворота конца борштанги. Для уменьшения прогиба от собствен-
ного веса борштанга перед самым изделием поддерживается стойкой. Пред-
положим, что стойка не стесняет свободы поворота касательной к оси
борштанги, т. е. ее можно рассматривать как шарнирную опору.
Таким образом, ввиду некоторой неопределенности условий на концах
борштанги целесообразно рассмотрение следующих предельных случаев:
а)	оба конца заделаны;
б)	оба конца оперты;
в)	один конец заделан и другой оперт.
При этом в первых двух случаях устойчивость борштанги будем рассмат-
ривать как в начале сверления, так и в процессе сверления, когда она своей
902 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
средней частью опирается на стойку, а в третьем случае — только в начале
сверления. Действительно, в начале сверления стойка находится на весьма
небольшом расстоянии от направляющих шпонок, что дает возможность
рассматривать концевую часть изделия с направляющим углублением
и подшипник стойки как одну общую направляющую втулку.
Таким образом, исследование устойчивости борштанги может быть сведено
к рассмотрению устойчивости прямолинейной формы равновесия сжатого
и скрученного стержня при следующих граничных условиях:
1)	оба	конца	заделаны;
2)	оба	конца	заделаны,	середина оперта;
3)	оба	конца	оперты;
4)	оба	конца	и середина	оперты;
5)	один конец заделан и другой оперт.
Случай 1. Оба конца борштанги заделаны.
Задача об устойчивости прямолинейной формы равновесия сжатого
и скрученного стержня, когда оба конца его заделаны, решена Е. Л. Нико-
лаи [53]. Некоторая сложность представления результатов точного решения
делает целесообразным применение приближенных формул, предложенных
И. Е. Шашковым.
Критическое значение сжимающей продольной силы равно
₽.,= [> -0,5697	- 0,4303 Р„	(188)
а критическое значение скручивающего момента
Ш?кр = — 0,6620+]/°,4382+ 2,324 —	(189)
В формулах (188) и (189) через Р и 2D? обозначены фактические значения
продольной силы и скручивающего момента; Рй — критическое значение
продольной силы при чистом сжатии (u)i = 0);
^0 = 4x2-^ = 39,48-^-;
2D?0 — критическое значение скручивающего момента при чистом кручении
(Р = 0);
20% = 8,987
Приближенные формулы (188) и (189) построены таким образом, что
даваемая ими небольшая погрешность идет в запас устойчивости.
Случай 2. Оба конца борштанги заделаны и середина оперта.
Приближенные условия устойчивости выражаются следующим образом.
Критическое значение сжимающей продольной силы равно
[1-0,4840 ™--0,5160(^-У]Рс,
(190)
а критическое значение скручивающего момента
20?кр = — 0,4690+ ]/о,22ОО+ 1,938 (1 —(191)
Устойчивость сжато-скрученных стержней
903
Здесь критическое значение продольной силы при чистом сжатии,
т. е. при УЛ = 0
Ро = 4,4932 —~ = 80,76 4^-.
\2~)
Критическое значение скручивающего момента при чистом кручении
(когда Р = 0)
Ш?о= 13,62-^.
Случай 3. Оба конца борштанги на опорах.
В этом случае точные условия устойчивости выражаются весьма просто:
критическое значение продольной силы
<192>
критическое значение скручивающего момента
%пкр = ]/1--^-шг0.	(193)
Величины Ро и в формулах (192) и (193) имеют следующие значения:
р0 = *2-^=9>87°-к-1
EJ	EJ	<194)
5Ш0 = 2к-£< = 6,283-у-.
Случай 4. Оба конца и середина борштанги оперты.
Здесь полностью остаются в силе формулы (192) и (193), но величины
Pq и Жо, входящие в эти формулы, имеют значения
(195)
Случай 5. Один конец борштанги заделан и другой оперт.
Подробное исследование этого случая в предположении, что Р = 0,
т. е. борштанга только скручивается, дано в работе [91]. Здесь показана
неприменимость статического метода к рассматриваемому случаю и методом
малых колебаний выяснена неустойчивость прямолинейной формы равно-
весия борштанги при любом значении скручивающих моментов (главные
жесткости изгиба предполагаются одинаковыми). Так как при сверлении
неизбежно появление этих моментов, то, естественно, возникает вопрос
о мероприятиях, необходимых для предотвращения потери устойчивости
прямолинейной формы борштанги. В работе Е. Л. Николаи [53] рассмотрен
аналогичный случай, а именно устойчивость консольного скрученного
стержня, и показано, что при одинаковых главных жесткостях изгиба
(Вх = Ву) прямолинейная форма всегда неустойчива, а при различных
главных жесткостях изгиба (Вх =£ Ву) критическое значение скручивающего
момента отлично от нуля. Эти результаты Е. Л. Николаи дают возможность
утверждать, что применение борштанги с неравными главными жесткостями
9Э4 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
на изгиб может способствовать уменьшению увода сверла при сверлении
и уменьшению конусности отверстия при расточке. Действительно, бор-
штанги, как правило, имеют естественную асимметрию сечения. В случае
борштанги круглого сечения неравенство жесткостей на изгиб может быть
получено, например, фрезерованием или вальцеванием канавки вдоль обра-
зующей.
К сожалению, в настоящее время еще нет законченных исследований
устойчивости борштанги для рассматриваемого случая с учетом неравенства
главных жесткостей изгиба иодновременного действия скручивающих моментов
и продольных сил. Поэтому практически здесь можно рекомендовать расчет
на устойчивость только по критическому значению продольной силы:
Ркр = 20,19^,	(196)
но с несколько повышенным запасом устойчивости.
Необходимо отметить, что рассмотренный выше расчет устойчивости
борштанги, конечно, может быть использован и при определении критиче-
ского значения нагрузки на сжато-скрученные стержни различного назна-
чения.
§ 6. УСТОЙЧИВОСТЬ КРУГОВЫХ КОЛЕЦ, нагруженных
РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ РАДИАЛЬНЫМИ СИЛАМИ
А. Дифференциальные уравнения плоских и пространственных форм
<потери устойчивости
Фиг. 645.
Выше, при рассмотрении
Рассмотрим устойчивость кругового кольца (радиус а), нагруженного
равномерно распределенными радиальными силами интенсивности PL кг/см,
направленными к центру кольца (фиг. 645). Фундаментальное исследование
этой проблемы дано в работе Е. Л. Нико-
лаи [52]. Устойчивость круговых колец из
тонкостенных профилей рассмотрена
В. 3. Власовым [76].
Напряженное состояние кольца под дей-
ствием указанных сил до потери устойчиво-
сти назовем первым состоянием. Пусть одна
из главных центральных осей поперечного
сечения расположена в плоскости кривизны
кольца. Совместим плоскость xQzQ главного
трехгранника Мо с плоскостью кольца и
направим ось х0 к центру кольца по главной
нормали. Тогда ось z0 будет направлена по
касательной к оси кольца, а ось yQ — пер-
пендикулярно плоскости кольца (бинор-
маль).
геометрии пространственных криволинейных
стержней, были получены следующие общие выражения для главных компо-
нентов кривизны и кручения:
sin ф	cos ф	j ^ф
~ ₽1 ’	~ ?2 ’ Г ~~ "₽7 ds ’
1 1
где — и —------кривизна и кручение оси стержня, а ф — угол между
главной нормалью к оси стержня и главной центральной осью х попереч-
ного сечения стержня. Другими словами, р и q — соответственно кривизны
проекции элемента дуги ds на плоскости yz и xz главного трехгранника.
Устойчивость круговых колец
905
В рассматриваемом случае для плоской кривой (ось кольца)
следовательно, главные компоненты кривизны* и кручение для первого
состояния, кольца равны
Ро = °; <7о=4-; го = °-	(197)
При выбранном расположении осей и рассматриваемом нагружении кольца
компоненты главного вектора внешних распределенных сил, отнесенные
к единице длины оси кольца, следующие: fx0 = Pz; f 0 = 0; ft0 = 0.
Легко показать, что в первом состоянии кольца из всех внутренних
силовых факторов отличны от нуля только нормальные силы
^ = -aPz.	(198)
При Pz>0, т. е. при направлении распределенной нагрузки к центру
кольца, нормальные силы N< 0, т. е. они являются сжимающими силами.
Все остальные внутренние силовые факторы в поперечных сечениях кольца —
поперечные силы, изгибающие и крутящие моменты — при сохранении
первоначальной круговой формы отсутствуют.
Обратимся теперь к рассмотрению второго состояния кольца, т. е. дефор-
мированного состояния, после потери устойчивости первоначальной круговой
формы. Для определения критического значения интенсивности Pt радиаль-
ной нагрузки на кольцо достаточно ограничиться рассмотрением весьма
малых отклонений кольца от первоначальной круговой формы.
Обозначим через <р центральный угол, соответствующий дуге s кольца.
При подстановке значений р0 = 0, qa =	, г0 — 0 в обе группы геометри-
ческих соотношений (35) и (40) получаем:
для первой группы геометрических соотношений
для второй группы геометрических соотношений
(200)
gr==_Lr^L_al.
a L J
Первая группа геометрических соотношений (199) связывает между
собой проекции ц, v, w вектора смещения Д и две (а и ?) из проекции вектора
поворота ft.
Вторая группа геометрических соотношений (200) представляет собой
выражения для приращений главных компонентов кривизны и кручения
при переходе кольца из первого состояния во второе через проекции a, Р, 7
вектора поворота ft.
906 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
Главные компоненты кривизны и кручение кольца после потери устой-
чивости выражаются следующим образом:
Р = 8р; q = 4* + 87; г = 8г,
(201)
(202)
где величины 8р, Zq, Zr определяются формулами (200).
Учитывая выражения (201) и отсутствие внешних распределенных момен-
тов mx, tny, пг2, легко преобразовать уравнения равновесия (45) и (50) при-
менительно ко второму состоянию кольца:
первая группа уравнений (45) дает
-	^ + (1 + aZq) Nz - aZr-Qy + afx = &,
+	aZrQx - aZpNz + afy = 0;
+	aZpQy - (1 + aZq) Qx + afz = 0;
вторая группа уравнений (50) принимает вид
+	(1 + aZq) Mz - aZrMy - aQy = 0:
+	аЪгМх — аЪрМг + aQx = 0;
+	аЪРМу - (1 + aZq) Мх = 0;
(203)
здесь Nz — нормальная сила;
Qa и Qy — поперечные силы;
Мх и Му — изгибающие моменты;
Mz — крутящий момент в произвольном сечении кольца после
потери устойчивости;
fx> fy> fz — проекции главного вектора интенсивности распределенных
внешних сил на оси х, у, z трехгранника М.
Все перечисленные величины представляют собой некоторые функции
угла <р.
Преобразуя выражения (200) для 8р, 89, 8г путем использования фор-
мул (199) и внося полученные значения в уравнения (51), устанавливающие
пропорциональность между изменениями главных компонентов кривизны
и кручения и соответствующими компонентами главного момента внутренних
усилий, имеем
где Вх и Ву — главные жесткости изгиба и С — жесткость кручения.
Обратимся к преобразованию полученных выше уравнений равновесия.
Пренебрегая в третьем из уравнении5Х203) слагаемыми и Mxbq как
произведениями малых величин, имеем
4^5-— Aft = O,
dy х ’
Устойчивость круговых колец
907
или, используя выражения (204), получаем
d2v . a	а ______
G	ох
(205)
Составленное дифференциальное уравнение (205) связывает между собой
линейное перемещение V, перпендикулярное к плоскости кольца, й угловое
перемещение I, т. е. поворот сечения относительно оси, касательной к оси
кольца. Пренебрегая в первом из уравнений (203) слагаемыми МуЪг и M2Zq,
имеем
dMx
d<f
М2 — aQy = 0,
откуда
Л	1 Г dMx .	7
Qv = —	. х  +-Л4-1 ,
’'•У	а [ d<? ‘ ZJ '
или, используя соотношения (204), приходим к следующему выражению
для поперечной силы, перпендикулярной к плоскости кольца:
_ Вх Г_____1	d3v .	dt ~|	.	С	Г dt j_1	dv 1
^У . а2 |	a	d<f3 ‘	d<f J	‘	а3 ‘	а	d<f J	*
Аналогично, преобразовывая второе из уравнений (203), имеем
-^- + aQA. = 0,
(206)
и. следовательно, поперечная сила Qx, лежащая в плоскости кольца, равна
[$+5Я-	<2°7)
Используем теперь второе из уравнений равновесия (202). Представим
нормальную силу Nz во втором состоянии кольца в виде суммы
Nz=Nz* + N*Z9	(208)
где N^0 = —aPi9 a Nz — приращение NzQ при переходе из первого состоя-
ния во второе.
Заметим, что поскольку в первом состоянии Qa0 = Qyo = 0, то вели-
чины Qx и Qy того же порядка малости, что и Nz. Подстановка значения
Nz по выражению (208) во второе из уравнений (202) дает
4.	аЪгСЪ + a4pPt - аЪрЫ*г + afy = 0,
или, пренебрегая слагаемыми Qxbr и Nzbp как малыми второго порядка,
получаем
W^ + a^pPt + afy^Q.
Подстановка в последнюю зависимость значения
*	1 Г 1 d2v . I
ЪР = TL + Н
9
908 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
и значения Qy по выражению (206) приводит после преобразований к сле-
дующему уравнению:
Дифференциальное уравнение (209), так же как и уравнение (205), связы-
вает между собой перемещения v и 7. Исключая из системы двух дифферен-
циальных уравнений (209) и (205) линейное перемещение v, получаем
уравнение для углового перемещения
Угловое перемещение 7 представляет собой поворот главного трехгран-
ника относительно касательной к оси кольца, т. е. характеризует про-
странственную форму деформаций кругового кольца.
Дифференциальное уравнение (210) и будет использовано ниже для
исследования пространственной (изгибно-крутильной) формы потери устой-
чивости кругового кольца, нагруженного равномерно распределенными
радиальными силами, направленными к центру кольца.
Обратимся теперь к преобразованию первого и третьего из уравнений
равновесия (202), что и приведет нас к дифференциальному уравнению
плоской (изгйбной) формы потери устойчивости кольца.
Подстановка значения Nz по формулам (208) в первое из уравнений (202)
и пренебрежение слагаемыми N*zZq и Qy8r дает
-aP^N'z - a2Pfiq + afx = 0.
Внося в последнюю зависимость значение Q4 по уравнению (207)
и значение
сЛ _ 1 Г d2u . dw ]
q [~d?* "Г ’
приходим к следующему выражению для приращения N*z нормальнойснлы
при переходе кольца из первого состояния во второе:
«г*	Гd^u . d9w "| I о Г d2u . dw "1 । r> г	/ои\
+ ‘rffd + Pi W + W1 + аР>-аЪ-	(211)
тель
поте
d
I
ВИДс
ГОМ
Пер
а в
ние»
<
поте
ние
I
кри'
НИТ1
I
оси
НИЮ
КОЛ]
I
КОЛ!
yroj
1
Обр£
Аналогично подстановка значения Nz по формуле (208) в третье
из уравнений (202) и пренебрежение слагаемыми Qy8p и Q^iq приводит
к уравнению
dN
-^—Q,+of. = o.
I
вект
ВО I
(
лел!
кри]
В у
I
влет
Внося в последнюю зависимость значение Qx по выражению (207) и зна-
чение Nz по выражению (211), после преобразований приходим к уравнению
Ву Г d5u .	dsu ,	р Г d3u , d3w 1 , f djt fl
L d<f3	+а'г~a~dT=‘'1-
Используя теперь одно из геометрических соотношений (199), а именно
dw
— и, исключим линейное перемещение w из полученного уравнения.
В результате этого приходим к дифференциальному уравнению относи-
1
к с
фор
(
наг]
мое
Устойчивость круговых колец
909
тельно радиального перемещения и, характеризующего плоскую форму
потери устойчивости кольца:
^8ц I о d*u 1	। р Г । ^2ц 1 I а< 4 Г f   dfx 1  „ т|л\
dtp* "Г" dtp3 "* By 1 Id?4 "T" dtp3 J By dtp [Г1! dtp J '
Итак, формы потери устойчивости кругового кольца распадаются на два
вида. В одном случае точки оси кольца перемещаются в плоскости, а в дру-
гом—имеют место перемещения, перпендикулярные к плоскости кольца.
Первые формы (изгибные) определяются дифференциальным уравнением (212),
а вторые формы (изгибно-крутильные) — дифференциальным уравне-
нием (210).
Уравнение (210) соответствует переходу оси кругового кольца (после
потери устойчивости) в некоторую пространственную кривую и уравне-
ние (212) — некоторую плоскую кривую.
Б. Исследование плоских форм потери устойчивости
Перед применением дифференциального уравнения (212) к определению
критического значения распределенных радиальных сил необходимо уточ-
нить вопрос о направлении этих сил после искривления оси кольца.
При рассматриваемой плоской деформации кольца произвольная точка Л4в
оси кольца переходит в точку М и трехгранник совмещается с трехгран-
ником М путем вращения вокруг оси у0, перпендикулярной к плоскости
кольца, на малый угол ₽ (фиг. 646).
Примем, что вектор интенсивности нагрузки Pt после искривления
кольца остается расположенным в плоскости кольца, но‘образует малый
угол 0 (<р) со своим первоначальным положением, т. е. с осью х0. 
Тогда проекции вектора Pz на оси трехгранника М выразятся следующим
образом:
fx = Pt cos (₽ — •&) жPt = const;
fz = Pz cos [-£--(?-&)] = Pzsin((3-&)^Pz(0-&).	(213)
Рассмотрим несколько частных значений угла определяющих поворот
вектора интенсивности нагрузки Р{. при переходе кольца из первого состояния
во второе.
Случай 1. При искривлении оси кольца вектора Pi остаются парал-
лельными своим первоначальным направлениям, т. е. нормальными к неис-
кривленной оси кольца, и, следовательно, совпадают с осью хе (фиг. 647).
В этом случае угол О = 0 и согласно формулам (213) fx — Pi и f2 = Pfi.
Искомая производная от проекции вектора Р1 на касательную к искри-
вленной оси кольца (ось z) может быть выражена следующим образом:
( d2u . J
d<? i	а [ df2 ‘ J
Подстановка полученных значений и fz в уравнение (212) приводит
к следующему дифференциальному уравнению рассматриваемой плоской
формы потери устойчивости кольца:
। о। I	i-o 1 и\ —0	(214^
dtp* dtp* + dtp3 + By (df* dtp3 + UJ ~
Определение критического значения интенсивности Pz радиальных сил,
нагружающих кольцо, произведем следующим образом. Искомая зависи-
мость радиального перемещения и от центрального угла <р для замкнутого
910 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
кольца, т. е. частное решение дифференциального уравнения (214), может
быть представлена в виде
и — unsinn<f,
(215)
где ип — амплитудное значение радиального перемещения, а п = 1, 2,3,...—
произвольное целое число; величина п представляет собой число волн сину-
соиды и (<р) при одном обходе кольца (0 <	< 2тс).
Подстановка принятого ^выражения для и в уравнение (214) после эле-
ментарных преобразований приводит к сле-
Отсюда, исключая значение п = 1, приходим к выражению для интен-
сивности критической нагрузки на кольцо в виде
lKP	0s
(216)
Наименьшее значение критической нагрузки для рассматриваемого случая
получим при п = 2
Л «Р= 4,0 А-=4,0^,	(217)
где Jy — момент инерции поперечного сечения кольца относительно главной
центральной оси, перпендикулярной к плоскости кольца.
Критическое значение нагрузки по формуле (217) имеет место при равно-
мерно распределенных радиальных силах, не изменяющих своего направле-
ния при искривлении оси кольца. Весьма существенно что при ином пове-
дении нагрузки в процессе потери устойчивости возможно значительное
изменение ее критической величины как в ту, так и в другую сторону по срав-
нению с величиной, даваемой формулой (217)'.
Случай 2. Допустим, что при искривлении оси кольца силы, нормаль-
ные к его оси до деформации, остаются нормальными и к искривленной оси
кольца, т. е. их направления совпадают с осью х трехгранников М (фиг. 648).
В этом случае & = р и проекции вектора Pt на оси трехгранника М
будут следующими: fJC=Pi и f2= 0.
Устойчивость круговых колец
911
Подстановка полученных значений fx и fz в уравнение (212) дает
d6u . п d*u . d2u , cflPj Г d4u d2u ~| _________________________
dy6 ’	"T" d<p2 ‘ By [ dy* d<p2j
(218)
Использование выражения для и по формуле (215) приводит к следую-
щему значению интенсивности критической нагрузки на кольцо:
PKp = (n*-\)-*g..	(219)
При п = 1 критическое значение нагрузки обращается в ноль; это зна-
чение п соответствует возможности смещения кольца как твердого тела без
изменения его формы. Наименьшее отличное от нуля значение критической
нагрузки по формуле (219) соответствует п = 2; тогда
Р1кр = 3,0-%- = 3,0^.	(220)
Случай 3. Примем, что нагрузка после искривления оси кольца
направлена к центру первоначальной круговой формы кольца (фиг. 649).
Другими словами, вектор интенсивности нагрузки направленный
первоначально по линии2И0С, переходит в новое положение, совпадая с напра-
влением /ИС.
Учитывая малость рассматриваемых перемещений, заключаем, что
угол MQCM можно выразить как где w — проекция отрезка 7ИОЛ4
на направление оси ?0, следовательно,
а
и
: = р [о_________= Л du
z * a j a d<?
(221)
912 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
Дифференциальное уравнение рассматриваемой плоской формы потери
устойчивости кольца
deu . п d*u . d2u . a3Pi Г d*u , „ d2ul	n	,Q99.
d^+2-d^ + ^ + s^ lW+ Ж)	' '
Подстановка в зависимость (222) выражения для и по формуле (215)
приводит к следующему значению интенсивности критической нагрузки:
р. - -	. -Ёу. .	(223)
ri кр п2 — 2 а9	' '
Значение п = 1 соответствует смещению кольца без изменения его формы.
Наименьшее отличное от нуля значение критической нагрузки по фор-
муле (223) соответствует п = 2; тогда
Лкр = 4.5^- = 4>5^’	<224)
Из рассмотренных трех вариантов поведения первоначально радиальной
нагрузки на кольцо следует, что минимальная величина критического зна-
чения интенсивности нагрузки, равная
Лкр = з,о^-,
соответствует случаю сил, нормальных к оси кольца и после его искривле-
ния. В практических расчетах на устойчивость колец, сжатых равномерно
распределенными радиальными силами, как правило, используется именно
эта величина критической интенсивности нагрузки.
В. Исследование пространственных форм потери устойчивости
При исследовании пространственных форм потери устойчивости, так же
как и при плоских формах, критическое значение интенсивности радиальных
сил существенно зависит от направления векторов Рt после перехода оси
кольца в некоторую кривую двоякой кривизны. Рассмотрим несколько
возможных случаев изменения направления распределенных радиальных
сил в процессе потери устойчивости круговой формы кольца.
Случай 1. Предположим, что после пространственного искривления
оси кольца вектор интенсивности нагрузки Pt сохраняет свое первоначальное
положение, т. е. остается направленным вдоль оси х0 (фиг. 650). Малость
рассматриваемых перемещений йозволяет заключить, что в этом случае
искомая проекция вектора Pt на ось у выражается следующим образом:
= р1 cos (-J- + 1) = — Pi Sin — Р^,
где 7 — угол поворота главного трехгранника относительно касательной
к оси кольца при переходе кольца из первого состояния во второе. Подста-
новка полученного выше значения в уравнение (210) приводит к следую-
щему дифференциальному уравнению относительно углового перемещения;
для рассматриваемого случая пространственной потери устойчивости:
। о ^*7 । ^*7 । cPPi I” /i*7 Вх | п	/99ft
+	+ -d^+sr	= 0-	(225)
Искомая зависимость углового перемещения 7 от центрального угла <р
для замкнутого кольца, т. е. частное решение дифференциального уравне-
ния (225) может быть представлена в виде
7 = 7„sinn<p,	(226)
Устойчивость круговых колец
913
где Тя — амплитудное значение 1 и п = 1, 2, 3, . . . , т. е. произвольное
целое число; величина п представляет собой число волн синусоиды 7 (<₽)
при одном обходе кольца (0 < <р < 2ir).-	'
Подстановка принятого выражения для 7 в уравнение (225) приводит
к результатам
— п6 + 2п4 —п2 +	[л4 + -^п2] = О,
откуда критическая нагрузка на
кольцо выражается следующим
образом:
р — (д2 — О2 .	/927)
п2 + -Г
Наименьшее отличное от нуля
значение критической нагрузки
получим при п = 2:
р‘" = 7ТТГ-у- <228>
+ с
Остановимся на некоторых частных
случаях применения формулы (228).
I. Для кольца круглого сечения
(фиг. 651) жесткости изгиба В£и круче-
ния С равны соответственно
B~Bx-£Jx-£	иС-(?/р==‘—Я—
Q
и их ^отношение — = (1 + ja).
1	В
Примем для стали коэффициент Пуассона р- =	; тогда отношение жесткостей =
3	С
4
= -г~ и. коэффициент критической нагрузки в формуле (228) равен
О
Q
iq =------= 1,688.
Критическое значение нагрузки
для пространственной формы потери
Фиг. 651.	устойчивости
Pi кр = 1,688	= 0,08286	,
где d — диаметр сечения кольца. ,
Согласно формуле (217) критическое значение нагрузки для соответствующего случая
плоской потери устойчивости
R
Л-w = 4,0-А =0,1964-^-.
Итак, если при искривлении оси кольца круглого сечения нагрузка остается нормальной
к неискривленной оси кольца, то ее критическое значение, соответствующее пространственной
форме потери устойчивости, значительно меньше нагрузки, при которой возникает плоская
форма потери устойчивости. Таким образом, в рассматриваемом случае практический интерес
представляет именно пространственная форма потери устойчивости.
58 Пономарев 608
914 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
2. Для кольца прямоугольного сечения (фиг. 652) обозначим через Ъ размер сечения,
параллельный плоскости кольца, и через h — размер сечения, перпендикулярный к плоско-
сти кольца.
Жесткость изгиба в плоскости, перпендикулярной к плоскости кольца,
Вх = EJX = Е
Жесткость кручения существенно зависит от соотношения между размерами сечения.
Так, при b < h жесткость кручения
Е
2 (1 Ч- И)
где р & (сталь), a k — некоторая функция
о
C — GJT
Q
kb*h = 4- Ekb3h>
о
Фиг. 652.
отношения сторон сечения
(том I, глава VIII).
При b > h жесткость кручения
Q
С = Ekbh3,
О
где k — функция отношения сторон
В табл. 121
ской нагрузки
приведены значения отношения
Вх
жесткостей —и коэффициента критиче-
1 -—-g-
4+4
п зависимости от отношения сторон прямоугольного сечения.
Таблица 121
9
Зависимость коэффициента т) ~„— при пространственном искривлении
4_l_z2L
ф С
кольца прямоугольного сечения от соотношения сторон b и h сечения;
(Ь — размер сечения, параллельный плоскости кольца;
h—размер сечения, перпендикулярный к плоскости кольца)1
h b	1	2	3	4	5	10
Вх с	1,580	3,887	7,596	12,69	19,06	71,02
	1,613	1,141	0,6618	0,5393	0,3903	0,1200
ь h	1	2	3	4	5	10
Вх с	1,580	0,9717	0,8439	0,7930	0,7626	0,7102
	1,613	1,810	1,858	1,877	1,890	1,911
1 Интенсивность нагрузки Pi кг/см остается нормальной к неискрявленной оси кольца.
Представляет интерес выяснить, при каком соотношении сторон сечения критические
нагрузки, соответствующие плоской и пространственной формам потери устойчивости, одина-
ковы. По формуле (217) критическая нагрузка в случае плоской формы потери устойчивости
^> = 4,0-^-
I кр
= 4,0 А
а3
hb3
12 ’
Устойчивость круговых колец
915
а при пространственной форме потери устойчивости
Вх	Е	bh3
РУ1?) = 7] —= 7) — . —— .
1КР * а3	а3	12
а3
Приравнивая друг другу эти выражения, найдем, что критические нагрузки одинаковы
h 2
при следующем соотношении сторон: —
°	V •*)
Непосредственным подсчетом можно показать, что полученное соотношение выполняется
примерно при -у# 1,9.
h	В
Действительно, при —<—= 1,9 отношение жесткостей -—^-==3,592, коэффициент устой-
2
чивости т] = 1,185 и- величина —— — 1,837.
h . V-ч
Итак, при -у =1,9 возникновение плоской и пространственной форм потери устой-
чивости одинаково вероятно, ибо соответствующие им критические значения нагрузок равны
между собой. Для сечений, у которых > 1,9,
и’ следовательно, практический инте-
рес представляет плоская форма потери устойчиво-
сти. Обратное заключение имеет место для сечений
с -у < 1,9,. где Р^р < Р^кр' В этом случае суще-
ственно исследование пространственной формы потери
устойчивости. Все сделанные заключения имеют
место только в том случае, когда после искривления
оси кольца вектор интенсивности нагрузки Pi со-
храняет свое первоначальное положение, т. е. остается
нормальным к неискривленной оси кольца.
Случай 2. Положим, что
после перехода оси кольца
в кривую двоякой кривизны
вектор интенсивности нагруз-
ки направлен по главной
нормали к искривленной оси
кольца, т. е. совпадает с направлением оси х (фиг. 653). Очевидно, что
в этом случае проекция вектора Pt на бинормаль
в ноль. Тогда дифференциальное уравнение (210) для
ния 7 принимает следующий вид:
d^^~ d<?3
м
У
Z
Фиг. 653.

aaPi I d4f
Вх I d<p4
d<f2

(ось у) обращается
углового перемеще-
= 0.
(229)
Подстановка значения Т (<р) по зависимости (226) приводит к следующему
выражению для критической нагрузки на кольцо:
Ргкр = (п2-1)^-
(230)
Наименьшее значение критической нагрузки имеет место при п = 2
Р( ко = 3,0^-= 3,0^,
1 КР	СТ	(Г
где Jx — момент инерции поперечного сечения кольца относительно главной
центральной оси, лежащей в плоскости кольца.
Случай 3. Предположим, что после искривления оси кольца вектор
интенсивности нагрузки Pt остается направленным к центру первоначальной
58*
.916 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
круговой формы кольца (фиг. 654). Таким образом, вектор Pit направленный
первоначально по линии М^С, переходит в новое положение, совпадая
с направлением МС. Замечая, что для пространственных форм потери устой-
чивости кольца линейные перемещения и и w обращаются в ноль и учитывая
малость перемещения v (параллельного оси у0), заключаем, что угол М^СМ
можно выразить как Тогда искомая проекция вектора Pt на ось у выра-
жается следующим образом:
fy = P/Cos + l +	+	+ -£-). (231)
у А
d*p6
^7c\,
Фиг. 654.
C
d9t  9 d*i , d2-j , a3 Pi
d<f9 "* d<fi~r d<f3 Bx
Внося полученное значение fy в диффе-
ренциальное уравнение (210), имеем
de4 , о d*t j d*l , a3Pj Г d9i ____
Bx [ d<f9
d*l
d?*	d<?2
Вх d2^ Вх Ч
С * d<?2 С
=0
a d<f* j
Далее
1 d2v ___________
a dy>2 + С
из уравнения (205)
С ГВ,.. ^1
Используя полученное вы-
ражение, приходим к следую-
щему дифференциальному урав-
нению рассматриваемого случая
пространственной потери устой-
чивости кольца:
Вх-С	В„
С ' d<?3	С
(232)
Подстановка значения I по формуле
нение (232) дает
— га® + 2п* — п2 +	+
или после элементарных преобразований
-n2(n2^-i)2+^(n2-i) («2+49=0-
(226) в дифференциальное
Вх — С 2
^с~п
урав-
ч


Отсюда критическое значение интенсивности нагрузки на кольцо
При п = 2 имеем наименьшее критическое значение нагрузки
(234)
4 1 с
Проведенное исследование критических значений нагрузки как для пло-
ской, так и для пространственной форм потери устойчивости показывает
весьма значительное влияние изменения направления нагрузки в процессе
Устойчивость плоской формы изгиба прямо- и криволинейных балок
917
потери устойчивости кольца. Полученные выражения для критических
нагрузок при различных вариантах изменения направления нагрузки све-
дены в табл. 122. При использовании приведенных формул необходимо
иметь в виду, что одна из главных центральных осей сечения (ось х) пред-
полагается расположенной в плоскости кольца и другая (ось у) — перпен-
дикулярной к плоскости кольца.
Таблица 122
Критические значения интенсивности PtKp кг/см равномерно распределенной радиальной
нагрузки на4 кольцо в зависимости от изменения направления нагрузки в процессе потери
устойчивости круговой формы кольца
Форма потери устойчивости	Поведение нагрузки при искривлении кольца		
	Нагрузка нормальна к неискривленной оси кольца	Нагрузка нормальна к искривленной оси кольца	.Нагрузка направлена к центру кольца
Плоская	4,0^- а3	3,0^	л к 4,5-f а3
Простран- ственная Приме сти кольца; кольца; J?-	9 Вх Вх ' а? 4 + -^ ! ч а н и е. Вх = EJX — жестю В у = EJ у — жесткость изгиб — геометрический фактор жес	3,0-^ а3 ость изгиба в плоскости, пер •а в плоскости кольца; С = G :ткости кручения.	12 Вх 4 + -^ •пендикулярной к плоско- Jp — жесткость кручения
Применение теории устойчивости круглых колец к расчету шпангоутов.
подводных лодок дано в работе В. Ф. Сегаля [71 ]. Устойчивость овальных
и рамных шпангоутов рассматривал А. А. Белоус [4].
Близкой к изложенному вопросу — проблеме устойчивости круговых
и некруговых арок посвящена монография А. Н. Динника [26]. Экспери-
ментальные исследования устойчивости арок проводились Г. Л. Павленко
[56], [57].
Особенности исследования устойчивости круговых арок, нагруженных
сосредоточенными силами, изучались И. Я. Штаерманом [96]. Фундамен-
тальными монографиями по исследованию больших перемещений различных
гибких упругих деталей являются книги Е. П. Попова [65].
§ 7. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ИЗГИБА ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ
И КРИВОЛИНЕЙНЫХ БАЛОК
При изгибе балки в одной из главных плоскостей, в случае перемещений
(прогибов) достаточно большой величины, плоская форма изгиба перестает
быть единственной формой равновесия и может возникнуть новая изгибно-
крутильная форма равновесия. Это явление носит название опрокидывания
балки. После опрокидывания балка, помимо изгиба в одной главной пло-
скости, еще скручивается и изгибается в другой главной плоскости.
Изучение опрокидывания практически интересно для сечений с резко
различными главными моментами инерции (вытянутый прямоугольник,
двутавр и т. п.), когда плоскаяформа изгиба соответствует плоскости наиболь-
шей жесткости. С точки зрения прочности и жесткости, подобного рода сече-
ния для балок наиболее рациональны. Однако в этих случаях опрокидывание
может возникнуть даже при весьма малых прогибах.
Реже приходится встречаться с необходимостью расчета на опрокидыва-
ние в тех случаях, когда плоская форма изгиба соответствует плоскости
918 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
наименьшей жесткости. Интересным техническим примером может служить
так называемое спутывание волосков в приборах. Волоском называют пло-
скую спиральную пружину, которая устанавливается на оси стрелки раз-
личного рода приборов — манометров, барометров, высотомеров, вольтметров
амперметров и т. п. Волосок устанавливается также на оси баланса карман-
ных и ручных часов. При некотором угле поворота оси, называемом углом
спутывания, плоская форма изгиба волоска перестает быть формой устой-
чивого равновесия- и волосок опрокидывается — спутывается. Несмотря
на большой практический интерес изучения спутывания волосков, теорети-
ческое исследование этого сложного случая опрокидывания еще отсутствует.
Детальное исследование основных случаев опрокидывания полос (балки
вытянутого прямоугольного сечения) и двутавровых балок произведено
в работах С. П. Тимошенко [73]— [75], А. Н. Динника [23], [24]
и А. П. Коробова [34], [35] и др. Более сложные условия опирания и нагру-
жения рассматривались, главным образом, приближенными методами,
в работах [1], [13], [16], [58], [66], [70] и ряде других.
Теоретическое и экспериментальное исследование опрокидывания нераз-
резных полос и двутавровых балок дано-в статье Н. Г. Добудогло [27].
Опрокидывание балок, соединенных между собой упругими связями или
скрепленных с поддерживаемыми ими перекрытиями, рассмотрено в работах
В. В. Болотина [9], Г. П. Бурчака [10] и П. А. Соколова [72].
Вычисление критических нагрузок в тех случаях, когда опрокидывание
происходит в области упруго-пластических деформаций, рассмотрено в рабо-
тах Л. М. Качанова [30] — [32] и К. М. Хуберяна [84].
Устойчивость балок, находящихся в условиях, когда на плоскую форму
изгиба дополнительно накладывается центральное сжатие (опрокидывание
при продольно-поперечном изгибе), исследуется в работах [28] и [59].
Особо надо отметить изучение перемещений полосы при нагрузках,
больших критической, т. е. после опрокидывания, выполненное Е. Д. Томи-
ловым [80].
Значительно меньше исследована устойчивость плоской формы изгиба
криволинейных полос. Ряд задач пространственной устойчивости криво-
линейных стержней рассмотрен в работах Я. А. Пратусевича [67]
и И. Я. Штаермана [95].
Общая теория опрокидывания прямолинейных, тонкостенных, открытых
профилей дана в книге В. 3. Власова [14]. Дальнейшая разработка этого
вопроса принадлежит Ю. В. Репману [69]. Опрокидывание криволинейных
тонкостенных профилей исследовано В. 3. Власовым в работе [76].
А. Опрокидывание полосы при чистом изгибе
Рассмотрим нагружение полосы двумя моментами Ж, приложенными
к торцовым сечениям и изгибающими полосу в плоскости наибольшей
жесткости (фиг. 655). Концы полосы закреплены таким образом, что оба
торцовых сечения не могут поворачиваться вокруг продольной оси z0 полосы
(цилиндрические шарнирные опоры). Торцовое сечение полосы может сво-
бодно поворачиваться около своих главных центральных осей у0 (ось наи-
большего момента инерции) и х0 (ось наименьшего момента инерции).
При достаточно малом значении моментов Ж имеет место плоский изгиб
полосы, т. е. упругая линия представляет собой плоскую кривую, располо-
женную в плоскости наибольшей жесткости полосы (плоскость x0z0). При неко-
тором значении моментов 20? (критическое значение) возникает качественное
изменение деформаций полосы — так называемое явление опрокидывания.
Помимо изгиба в плоскости наибольшей жесткости, полоса дополнительно
закручивается и изгибается в плоскости наименьшей жесткости.
Устойчивость плоской формы изгиба прямо- и криволинейных балок
919
При исследовании опрокидывания полосы существенно,- что плоская
форма изгиба в рассматриваемом случае не сопровождается возникновением
каких-либо реактивных факторов. После опрокидывания благодаря соот-
ветствующему креплению концов полосы, реактивные факторы возникают
только в виде крутящих моментов, приложенных к торцовым сечениям
полосы. Реактивные силы отсутствуют и после опрокидывания. Таким
образом, после опрокидывания полоса находится под воздействием только
изгибающих и крутящих моментов. Следовательно, в полосе заведомо отсут-
ствуют нормальные и поперечные
силы, т. е.
Qx = Qy = Nz = 0,	(235)
и первая группа уравнений равнове-
сия (45) удовлетворяется тождественно.
С учетом отсутствия нормальных и
поперечных сил вторая группа урав-
нений равновесия (50) принимает сле-
дующий вид:
^ + Л-гМу = 0;
^ + rMx-pMz = 0;
Фиг. 655.
^ + pMy-qMx = 0.
Изгибающий момент Мх и крутящий момент Mz до опрокидывания
(плоская форма изгиба) отсутствуют. В отличие от этого изгибающий момент
Му имеет конечную величину и до опрокидывания полосы, т. е. при плоской
форме изгиба. Другими словами, при исследовании опрокидывания моменты
Мх и Mz можно рассматривать как малые величины по сравнению с момен-
том Му.
В уравнениях (236) р, q, г — кривизны и кручение оси полосы после
опрокидывания. Учитывая, что для недеформированной (прямолинейной)
полосы
Ро = 7о = го = 0,	$37)
зависимости (51) прийимают	следующий вид:	
Мх = ВхР', где da. Р=-Гз>	My = Byq\ Mz — Cr, 4 ds ’	ds ‘	(238)
Для сечения полосы, т. е. для весьма вытянутого прямоугольника,
жесткость Ву значительно больше жесткостей Вх и С. Это обстоятельство
позволяет при конечной величине момента Му рассматривать кривизну q
как малую величину того же порядка малости, что величины р и г.
Сделанные замечания о сравнительной малости рассматриваемых величин
позволяют пренебречь следующими слагаемыми в уравнениях (236): в первом
уравнении qMz, во втором гМх и pMz и в третьем qMx.
Тогда из второго уравнения (236) Му = ЗЛ.
Используя выражение (238), можно представить первое из уравнений (236)
в виде
ds	ds
920 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
что по интегрированию дает
Мх — 'till+D = 0,
где D — постоянная интегрирования.
Замечая, что для концов полосы угол закручивания 7 и изгибающие
моменты Мх в плоскости наименьшей жесткости обращаются в ноль, заклю-
чаем, что постоянная интегрирования D также равна нулю, и, следова-
тельно, Мх = Ж7.
Используя выражение (238) и полученные выше значения моментов Мх
и Л1у, преобразуем третье из уравнений (236) к виду
^ + *2Т = 0,	(239)
где введено обозначение
x2=-S-	<240>
Уравнение (239) представляет собой дифференциальное уравнение отно-
сительно угла закручивания 7, т. е. угла поворота произвольного сечения
полосы относительно оси г главного трехгранника xyz этого сечения (ось г
касательна к оси опрокинутой полосы).
Общий интеграл уравнения (239)
.7 = Dx sin ks + Dz cos ks.
Для определения постоянных интегрирования Dx и D2 используем крае-
вые условия. По концам полосы, т. е. при s = 0 и s = I угол закручива-
ния 7 = 0 и, следовательно, D2 = 0 и Dx sin kZ = 0.
Таким образом, условием того, что постоянная интегрирования Dx 0
(в противном случае угол закручивания 7 тождественно равен нулю для
всех сечений полосы), является sin kZ = 0, откуда наименьший корень
к/ = тс и величина критического (опрокидывающего) момента
Жкр = ”	,	(241)
где Вх— наименьшая жесткость изгиба и С — жесткость кручения полосы.
Итак, при Ж < плоская форма изгиба является единственной
и притом устойчивой формой равновесия полосы. При > tilKp плоская
форма изгиба становится неустойчивой и возникает новая, устойчивая
пространственная изгибно-крутильная форма равновесия.
Обозначим соответственно через h и b высоту и ширину сечения полосы.
Наименьшая жесткость изгиба Вх и жесткость кручения С могут быть выра-
жены следующим образом:
BX = EJX = E-^-,
С = Gkhbs — Ekhbz (при ц. = у) ,
где k — коэффициент, зависящий от отношения сторон hub (том I,
глава VIII).
Тогда критический момент
Ж1кр = 0,5554 Yk
Устойчивость плоской формы изгиба прямо- и криволинейных балок
921
и критическое напряжение *
*Р = ^ = 3,332 Vk^E.
Примем, например, что = 0,1 (£ = 0,313), А = 0,01,	Е = 2• 106 кг/см2', тогда
ахр = 3060 кг/см2.
Представляет интерес сравнить вычисленную величину напряжения при изгибе полосы
с критическим (эйлеровым) напряжением той же полосы при продольном сжатии. Как известно,
критическое значение сжимающей силы
_п2Вх_п2Е hb3
р — /2 * 12
и критическое напряжение
Ркр	(Ь\*
О«₽ = -6Г = °’8225£(-) •
При у = 0,01 и Е = 2- 10е (сталь) ахр=164,5 кг/см2.
Отношение критических напряжений при изгибе полосы и при продольном сжатии
=4,035
При £= 0,313 и у = 10 это отношение равно, например, 18,6. Таким образом, опро-
кидывание полосы при изгибе происходит, вообще говоря, при значительно больших напря-
жениях, чем выпучивание от продольного сжатия.
Обратимся теперь к рассмотрению опрокидывания консольной полосы,
нагруженной торцовым моментом ЯК, изгибающим полосу-в плоскости наи-
большей жесткости (фиг. 656). Здесь, как
и во многих других задачах устойчивости,
весьма существенную роль играет поведе-
ние нагрузки, т. е. изменение ее направ- -—
ления при переходе полосы от одной 0
формы равновесия к другой [83].
В первую очередь рассмотрим следую-
щий вариант поведения момента ЯК при
опрокидывании полосы: вектор момента ЯК
остается параллельным оси #0 неподвиж-
ной координатной системы	т. е.
плоскость действия момента только сме-
Фиг. 656.
щается параллельно самой себе.
Из первых двух уравнений (236)
= ЯК; Мх = ЯК7 + D.
Благодаря тому что при опрокидывании полосы плоскость действия
момента ЯК только смещается параллельно самой себе, в заделке имеет место
только реактивный момент Му = ЯК, и поскольку в заделке Мх и 7 равны
нулю, постоянная интегрирования D = 0.
Тогда из третьего уравнения равновесия (236)
-5-+^=°
и, следовательно, угол закручивания
«у = Dt sin ks +D2 cos
222 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
В заделке, т. е. при s = 0, угол закручивания 7 = 0, постоянная интег-
рирования £>2 = 0 и угол закручивания
7 = sinks.
Крутящий момент в произвольном сечении опрокинутой полосы
М. = С = CD.\cos ks.
z as	x
В заделке (s = 0) крутящий момент Мг — 0, откуда CD^ = 0 и, следо-
вательно, при любой конечной величине момента W постоянная интегри-
рования £\ = 0. Таким образом, угол закручивания 7 произвольного попе-
речного сечения полосы тождественно обращается в ноль. Аналогично легко
показать, что и прогибы v в плоскости наименьшей жесткости также тож-
дественно обращаются в ноль для всей полосы. Отсюда вытекает, что плоская
форма чистого изгиба консольной полосы при рассматриваемом поведении
момента ЯК является единственной формой равновесия независимо от вели-
чины этого момента. Отсутствие искомой пространственной формы равно-
весия является существенной особенностью рассматриваемой задачи
(ср. с § 4).
Перейдем теперь к рассмотрению другого варианта поведения момента Ж
при опрокидывании полосы: вектор момента W, поворачиваясь вместе с тор-
цовым сечением (s = Z) на угол Tz, остается параллельным плоскости хоУо
неподвижной координатной системы хоУоЗ>- В этом случае из первых двух
уравнений (236), так же как и ранее,
Л4У = Ж и Mx = ^ + D.
Благодаря тому что при опрокидывании полосы вектор момента 5D? пово-
рачивается на угол закручивания 7Z торцового сечения, в этом сечении
Мх = 0 и постоянная интегрирования D = — 7Z.
Итак, изгибающий момент Мх в плоскости наименьшей жесткости для
произвольного сечения полосы
Л4х = -Шг(7г-7).	(242)
Используя выражения (238) и найденные выше значения Мх и Му,
преобразуем третье из уравнений (236) к виду
-jg. + k»I=k%	(243)
откуда
7 =£>! sin ks + £>2 cos ks + 7Z;
= £>,k cos ks — £)2k sinks.	(244)
ds 1	z
Благодаря тому что при опрокидывании полосы вектор момента 9Л
остается параллельным плоскости хоуо, в заделке (s = 0), крутящий момент
М2 = 0 и, следовательно, = 0, т. е. = 0.
На свободном торце балки, т. е. при s = I, угол закручивания 7 = 7/,
откуда £)2 cos kZ = 0.
Замечаем, что постоянная интегрирования £)2 ={= 0 (в противном случае
угол закручивания 7 обращается в ноль для всех сечений полосы).
Следовательно, cos kZ = 0 и наименьший корень kZ =
Устойчивость плоской формы изгиба прямо- и криволинейных балок
923
, Таким образом, плоская форма чистого изгиба консольной полосы при
•следящем поведении момента УЛ является единственной формой равновесия
только до критического значения момента
(245)
"УВхС
—	21
При Эй > Зй^ полоса опрокидывается, т. е. плоская форма изгиба
переходит в пространственную изгибно-крутильную форму.
Отметим, что консольная полоса при следящем поведении момента ЭЙ
находится в условиях, совершенно аналогичных половине разобранной
выше двухопорной полосы.
Б. Опрокидывание полосы при поперечном изгибе
Рассмотрим нагружение консольной полосы, сосредоточенной силой Р,
Фиг. 657.
приложенной в центре тяжести торцового сечения и изгибающей полосу
в плоскости наибольшей жесткости (фиг. 657). При критическом значении
силы Р полоса опрокидывается и плоская форма изгиба переходит
в пространственную изгибно-крутильную
форму равновесия. По выражениям (40)
главные кривизны и крушение оси полосы
после опрокидывания
r ds v ds	ds 4	1
Используем первую группу дифферен-
циальных уравнений равновесия (45).
Здесь необходимо учесть следующее об-
стоятельство. Поперечная сила Qy и про-
дольная сила Nz , возникают только
в результате опрокидывания полосы, и
их можно рассматривать как малые вели-
чины по сравнению с поперечной силой Qx, имеющей конечную величину.
Но так как до опрокидывания полоса изгибается в плоскости наибольшей
жесткости, то кривизну q плоской формы изгиба можно рассматривать
как малую величину того же порядка, что величины р и г, характеризую-
щие изгибно-крутильную форму равновесия.
Указанное обстоятельство позволяет пренебречь рядом слагаемых в урав-
нениях равновесия (45) и представить эти уравнения в следующем виде:
dQx __ Q.
ds ’
+ q = 0;
ds 1 ^x ds
^. = 0.
ds ^x ds
(247)
Для дальнейшего существенную роль играет поведение нагрузки Р
в процессе опрокидывания. Ограничимся рассмотрением случая, когда
при переходе от плоской формы к пространственной сила Р сохраняет
неизменным свое направление. Тогда для заделанного конца полосы (₽ = 0,
Т — 0) поперечная и продольная силы Qy и Nz обращаются в ноль и из урав-
нений (247) следует, что
QX = P; =	NZ = P$.	(248)
924 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
Внося значение поперечных сил по выражениям (248) во вторую группу,
дифференциальных уравнений равновесия (50) и пренебрегая рядом сла-
гаемых, малых по величине (аналогично сделанному выше, при рассмотрении
чистого изгиба полосы), приходим к следующим уравнениям относительно
изгибающих и крутящих моментов:
^-гЛ4у + Рт = 0;
+ Р = 0;
ds 1	’
dMz . л . р.
-^ + рму = 0.
(249)
Из второго уравнения (249)
Л4у = —Ps + Dp
На свободном конце полосы (s = Z) изгибающий момент Му = 0, поэтому
постоянная интегрирования = Pl и, следовательно,
My = P(l — s), ’	(250
т. е. изгибающий момент Му в плоскости наибольшей жесткости, при опро-
кидывании полосы не изменяется (с точностью до малых высшего порядка)..
Подстановка значения Му по выражению (250) и значения кручения г
по формуле (246) в первое из уравнений (249) дает
^-P(/-s)^- + P7 = 0
или
4 [Mx-P(l-s) Т]=О.
На свободном конце полосы (s = Z) изгибающий момент Мх = 0, постоян-
ная интегрирования Dz = 0 и, следовательно,
’ МХ = Р7 (Z —s).
Замечая, что крутящий момент равен
М2 = С^-,
z ds 9
а кривизна в плоскости наименьшей жесткости
Р = в?
и используя полученные выше значения изгибающих моментов Мх и Л4У,
преобразуем третье из уравнений (249) к следующему виду:
_|_ Р“ (I_s\2 „ _ О
Вводя обозначение
= <251>
приходим к линейному дифференциальному уравнению относительно угла
закручивания 7 полосы после опрокидывания:
_g.+X2(Z_s)27 = o.	(252)
Устойчивость плоской формы изгиба прямо- и криволинейных балок
925
Поскольку коэффициент при у в уравнении (252) является функцией
независимого переменного s, то интеграл этого уравнения не выражается
через элементарные функции. Можно показать, что уравнение (252) решается
в функциях Бесселя первого рода порядка п— +	, а именно:
Как известно, функция Бесселя первого рода порядка п от аргумента х
представляется следующим бесконечным рядом:
Л(х) = П(П) [1 — п (п+ 1) (т) + 2!£п+ 1) (п + 2) (т) —
— 3! (п + 1) (п + 2) (п + 3) (т) +•••]•	<254)
Так называемая гамма-функция П (п) при фиксированном п представляет
собой некоторую постоянную величину.
Для определения постоянных интегрирования и D2 используем
следующие краевые условия:
1) для заделанного конца полосы (s = 0) угол закручивания Т = 0;
2) для свободного конца полосы (s = Z) крутящий момент Мг —
— С = 0, а следовательно, = 0.
Опираясь на представление функции Бесселя рядом (254), легко показать,
что производная по s от первого частного интеграла
D1VT^~s-J1 [|(Z- s)2]
4
при s — I не обращается в ноль, в отличие от производной от второго
частного интеграла. Поэтому для удовлетворения краевого условия
-- = 0 при s = I необходимо положить Z+ = 0, т. е. представить интег-
рал уравнения (252) в виде
^ = D2V~s-J_l [|(Z-s)2] .
4
Тогда из первого краевого условия (7 = 0 при s = 0) имеем
D2}/T-J . R- Z21 = 0.
2 r ____L L 2 J
4
Постоянная интегрирования Dz отлична от нуля, так как в противном
случае угол закручивания Т тождественно обращается в ноль для всей полосы,
что соответствут плоской форме изгиба. Поэтому условием перехода от пло-
ской формы к изгибно-крутильной форме равновесия является выполнение
следующего требования:
7 । [гх/2] = °"	(255)
“7
Наименьший корень функции Бесселя первого рода порядка п —---------
следующий: у XZ2 = 2,0063, и, следовательно, критическое значение на-
грузки на консольную полосу
Ркр = 4,0126 ^4^-"	(256)
926 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
Формула (256) получена в предположении, что нагрузка приложена
к полосе в центре тяжести свободного торца. Практически нагрузка при-
кладывается или к верхней, или, реже, к нижней грани полосы. Повышение
точки приложения нагрузки над центром тяжести торца увеличивает при
опрокидывании крутящий момент и, следовательно, уменьшает критическое
значение нагрузки. Очевидно, что понижение точки приложения силы
увеличивает критическую нагрузку. Приближенная формула для опреде-
ления критического значения нагрузки, приложенной на расстоянии с (по вер-
тикали) от центра тяжести торца полосы, имеет следующий вид:
где Ркр определяется формулой (256).
Подстановка значений Вх и С
для полосы дает
р* - П + °-4714 с] р
Допустим, что у =0,1 (£=0,313)
с 1 h	р
и -у = у у = 0,05; тогда в этом
частном случае Р*кр = (1 ±0,042)
фиг.	т е изменение критической нагрузки
достигает порядка 4°/0.
Перейдем к рассмотрению опрокидывания консольной полосы при дей-
ствии системы поперечных нагрузок, например, при действии двух одина-
ковых сосредоточенных сил (фиг. 658), приложейных на расстоянии а я I
от заделки.
Представим третье из уравнений (249) в следующем виде:
Л4ХЛ4 = 0.
. ds \ Вх • х у
(257)
Для первого участка полосы (а < s < /) изгибающие моменты Мх и Му
выражаются формулами (250) и (251), и уравнение (257) преобразуется
в уравнение (252). Для второго участка (0 < s < а), по аналогии с первым,
моменты Мх и Му выражаются следующим образом:
Му = Р (I — s) + P (a — s); Мх = Ру (l — s) + Pi (a — s),
и, следовательно, уравнение (257) принимает вид
-S- + 7& <z + “-2s>!1=°-	С®»
Введем несколько новых обозначений, а именно:
P2/1 . . ц2. f2(* + g)4 - -.a. BXC “ R 9	4BXC ~ ’	
„	s	b .	2s	~	(259)
1		 =	1	—— = C. 1	l + d	
Тогда, принимая во внимание, что
d2T _ 1	d27 __	4 d2l
~ds? ~ И ~d<X ~ (I + a)2 ’ TH? ’
Устойчивость плоской формы изгиба прямо- и криволинейных балок
927
уравнения (252) и (258) можно представить в следующем виде:
+ W 71 = 0;
^ + «)2Тп = 0.
Общие интегралы уравнений (260) представим в следующем виде:
при а < s < I
при 0 < s < а
Ti = ^iTi (М) + ^2i2 (нО;
Тп = -DsTi 0Q +	«),
где введены следующие обозначения для бесконечных рядов:
Тг (И^) = *
3-4 "г 3-4-7-8
4.5 ' 4-5-8-Э
рв£12
3-4-7-8-1Ь12
ив|13
4-5-8-9.12-13
(260}
(261}
(262)
Ti (Н^) = 1
Аналогичные ряды представляют собой и величины Ti (*С) и Т2 (*£).
Заметим, что непосредственное использование функций Бесселя, как это
было сделано выше, затрудняется отсутствием достаточно подробных таблиц
этих функций.
Обратимся к рассмотрению краевых условий, определяющих четыре
постоянных интегрирования Dx, D2, D3, D^.
1.	На свободном конце полосы (s = I, £ — 0) крутящий момент Мг = О
и, следовательно,
(нО + ^-^Тг (^) = 0.
Используя выражения (262), легко показать, что
£'Г1^)|е = о = О и < Ь(^)|е=0= 1,
следовательно, Z)2 = 0.
2.	Для заделанного конца полосы (s = 0, С = 1) угол закручивания
7 = 0, т. е.
Ds1i О'!) +	(*1) = 0,
откуда
3.	На границе первого и второго участков, т. е. при s — а,
ь I  CL и I ~ (I
* = —Z	’	= Т+а9
углы закручивания 7 равны между собой:
7l | s — a 7n|s — а-
928 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
Обозначим для краткости записи
(263)
и, учитывая установленную выше зависимость между D3 и Z>4, представим
третье краевое условие в следующем виде:
•Dili (H/я) = D3 [i! (vn) — ^Т) 72 (vn)] .	(264)
4.	На границе участков крутящие моменты Мг> а следовательно, и соот-
ветствующие значения производных от 7 по s должны быть равны, т. е.
dli I _ ^7п I
ds I s=a ds I s=a
ИЛИ
l + a . dll I = d7n I
I d(j 1(j=m dt, I C=n
В развернутом виде четвертое краевое условие имеет вид
Di — 7/ (Н"О =	[7/ (vn) —	7/ (vn) ] .	(265)
Исключив из уравнений (264) и (265) постоянные и D3, получаем
следующее уравнение для, определения критического значения нагрузки:
Ъ [7/ М Ъ (*0 — (*0 I2' И)] —
— 7/ (P-m) I'll М I2 (vl) — li (vl) 1г (v«)] = °-	(266)
Задаваясь определенным соотношением между а и I и выражая и через v,
обращаем уравнение (256) в уравнение с одним; неизвестным, которое решается
методом подбора.
Так, например, при а = 0,25/
32	3	3
^=25 m = T; П = Т
и уравнение (266) принимает следующий вид:
4 it 4) [i/(v4)ъ (vl)—11	4)]—
—if 4) [ii 4) 12 —ъ (И) 12 G 1г)]=°'
Подбором находим наименьший корень этого уравнения, именно \ = 3,0817.
По второму из выражений (259)
(2P)«p = ^i ^f2—.	(267)
где коэффициент
’-“’(тт?)'	«
При a = -^Z и v = 3,0817 коэффициент устойчивости
7) = 4-3,0817 (4У= 7>8892-
Устойчивость плоской формы изгиба прямо- и криволинейных балок
929
Значения коэффициента критической нагрузки 7) при некоторых соотношениях между
величинами а и I следующие [37]:
а Т	0	£ 4	1 2	3 4	1
	8,0252	7,8892	6,7758	5,2200	4,0126
Аналогично изложенному выше исследованию опрокидывания консольной
полосы рассматривается и устойчивость плоской формы изгиба для полосы,
опертой по концам таким образом, что
торцовые сечения не могут поворачиваться
относительно продольной оси полосы
(фиг. 659). Если полоса нагружена сосре-
доточенной силой Р, приложенной
в центре тяжести некоторого промежуточ-
ного сечения полосы, то критическое
(опрокидывающее) значение силы Р также
выражается формулой (267).
Значения коэффициента устойчиво-
сти при некоторых соотношнеиях между
величинами lY и I приведены в табл. 123.
Фиг. 659.
Таблица 123
Значения коэффициентов критической нагрузки т) в случае опрокидывания полосы,
опертой по концам, при условии отсутствия поворота торцовых сечений
относительно продольной оси полосы
21 /	0,50	0,45	0,40	0,35	0,30	0,25
	16,93	17,15	17,82	19,04	21,01	24,10
21 Z	0,20	0,15	0,10	0,05	0	—
	29,11	37,88	56,01	111,6	оо	—
В. Опрокидывание двутавровых балок
При рассмотрении устойчивости плоской формы изгиба открытых тонко-
стенных профилей, например двутаврового профиля, существенно, что их
кручение при опрокидывании связано с искажением (депланацией) попереч-
ных сечений. Так как крутящий момент Mz изменяется по длине бруса,
то депланации различных сечений различны и, следовательно, имеет место
так называемое стесненное кручение. Как известно [том I, глава IX ], в этом
случае в выражение для крутящего момента Мг входит не только кручение г
(как это имеет место при чистом кручении), но и вторая производная от кру-
чения, т. е.
Мг = Сг — D
2	ds*
59 Пономарев
508
930 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
или, внося г = получаем
М = С ____D^-
° ds ds3 9
(268)
здесь С = GJT и D = EJ^ где JT — геометрический фактор при чистом
кручении и Jo,— геометрический фактор жесткости при стесненном кручении
или главный секториальный момент инерции.
При опрокидывании полосы (балка тонкого прямоугольного сечения)
также имеет место депланация сечений, но геометрический фактор жесткости
при стесненном кручении = 0, и выражение для крутящего момента
существенно упрощается:
Mz=Cr = C-~ .
z	ds
Рассмотрим опрокидывание двутавровой балки при чистом изгибе ее
моментами действующими в плоскости наибольшей жесткости. Концы
двутавра закреплены таким образом, что оба торцовых сечения не могут
поворачиваться вокруг продольной оси z полосы. Вместе с тем оба торцовых
сечения могут свободно поворачиваться около своих главных центральных
осей х (ось наименьшего момента инерции) и у (ось наибольшего момента
инерции).
После опрокидывания, помимо изгиба в плоскости наибольшей жесткости
(плоскость xz), двутавр дополнительно закручивается и изгибается в пло-
скости наименьшей жесткости (плоскость yz).
Выше, при рассмотрении полосы, были получены следующие выражения
для изгибающих моментов после опрокидывания (при весьма малых откло-
нениях от плоской формы изгиба): Му = УЛ и Мх = где 1 — угол пово-
рота сечения относительно продольной оси двутавра.
Так же, как при рассмотрении опрокидывания полосы, используем третье
из уравнений равновесия (50):
dMz, М* м — 0
ds + Вх и’
где Вх — EJх — наименьшая жесткость изгиба.
Подстановка значений изгибающих моментов Мх, Му и крутящего
момента Mz приводит к следующему дифференциальному уравнению отно-
сительно угла поворота 1:
ds4 D ds2 BXD 1	'ZOy‘
Характеристическое уравнение
/4—(27°)
имеет два мнимых корня: tr = mi, t2 =—mi и два вещественных tz =
= n, it, = — n, где введены следующие два обозначения:
(271)
Устойчивость плоской формы изгиба прямо- и криволинейных балок
931
Следовательно, общий интеграл дифференциального уравнения (269)
может быть представлен в виде
7 = Сх sin ms + С2 cos ms + С3 sh ms + C4 ch ms.	(272)
Благодаря соответствующему креплению концов балки (цилиндрические
шарниры) для торцовых сечений исключена возможность поворота относи-
тельно продольной оси балки, т. е. при s = 0 и s = I угол поворота 7=0.
При стесненном кручении в поперечных сечениях бруса возникают допол-
нительные нормальные напряжения (помимо нормальных напряжений, свя-
занных с изгибом), выражаемые следующим образом (том I, глава IX):
а =	(273)
где (о — секториальная площадь.
При принятом креплении концов балки эти нормальные напряжения
для торцовых сечений обращаются в ноль и, следовательно, при s = 0 и s = I
sr = -S- = °-	(274)
Используя выражение (272), находим, что
-jg- = Cjn cos /ns — C2m sin ms + C8n ch ns + C4n sh ns;	i
2	(275)
= — Cx/n2sin ms — C2m? cos ms -}- C3n2 sh ns + C4n2 ch ns.
as
Из краевых условий при s = 0 имеет место 7 = 0 и ~ = 0 и, следо-
вательно, С2 = С4 — 0.
Используя краевые условия при $ = I, имеем 7 = 0 и = 0, откуда
Сх sin ml + С3 sh nl — 0;
— Cx/n2 sin ml 4- C3n2 sh nl = 0
и, следовательно,
C3 (/n2 + n2) sh nl — 0.
Учитывая, что /п2 + n2 =/= 0 и sh nl =h 0, имеем C3 = 0.
Таким образом, Cx sin ml = 0. Величина Cx 4= 0, так как в противном
случае угол поворота 7 обращается в ноль для всех сечений балки, следо-
вательно,
sin/п/ = 0 и ml = п.	(276)
Подстановка значения m по формуле (271) приводит к следующему кри-
тическому значению момента Шс1, вызывающему опрокидывание рассматри-
ваемой двутавровой балки:
У1 + GB’£'	<277)
Сравнивая выражение (277) с формулой (241), заключаем, что второе
слагаемое под радикалом и представляет собой влияние стесненного кру-
чения на критическую величину изгибающего момента.
59*
932 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
В формуле (277):
Вх = EJX — наименьшая жесткость изгиба (ось х — это главная цен-
тральная ось, параллельная стенке двутавра);
С = GJT — жесткость при чистом кручении;
D = EJm — жесткость при стесненном кручении.
Для тонкостенного двутаврового профиля геометрический фактор жест-
кости при чистом кручении (том I, глава IX)
-	JT = -1- ( 2Z>83 + h^i)
и геометрический фактор жесткости при стесненном кручении
Л = ± bstfa,
где b и 8 — ширина и толщина полки двутавра;
hi — расстояние между средними линиями полок;
81 — толщина стенки.
Выражение (277) для критического значения момента справедливо только
при напряжениях
—
не превышающих предела пропорциональности ар материала балки; здесь
Wy — модуль сопротивления изгибу в плоскости наибольшей жесткости.
i Точное исследование устойчивости плоской формы поперечного изгиба
в отличие от чистого изгиба требует интегрирования дифференциальных
уравнений с переменным коэффициентом. Это обстоятельство значительно
осложняет исследование. Результаты исследования устойчивости консольной
балки двутаврового сечения, нагруженной сосредоточенной силой Р, при-
ложенной на свободном конце, приведены в работе [77]. Там же рассмотрен
приближенный энергетический метод исследования устойчивости плоской
формы поперечного изгиба на примере опрокидывания двутавровых балок
со свободно опертыми концами.
Г. Опрокидывание криволинейной полосы
Рассмотрим один из наиболее простых случаев, а именно полосу с кру-
говой осью радиуса (фиг. 660), изгибаемую парами сил в плоскости
наибольшей жесткости (плоскость оси полосы). Крепления концов полосы
предполагаются такими, что торцовые сечения могут свободно вращаться
относительно своих главных центральных осей, но не могут поворачиваться
относительно касательных к оси полосы, проведенных через центры торцовых
сечений.
При плоской форме изгиба полосы из всех внутренних силовых факторов
отличен от нуля только изгибающий момент относительно оси у, перпенди-
кулярной к плоскости полосы Му = W?. Главные кривизны и кручение полосы
в ее первом состоянии (плоская форма изгиба):
й, = 0: 9. = 4 +-гН ТГ: г» = °-	(278>
Вторым слагаемым в выражении для кривизны можно пренебречь,
так как первое состояние полосы соответствует изгибу в плоскости наиболь-
шей жесткости, и опрокидывание полосы происходит при малых деформациях.
' После опрокидывания имеет место пространственный изгиб и кручение
полосы (второе состояние). Характер нагружения полосы и характер креп-
ления ее концов позволяют сделать заключение об отсутствии поперечных
Устойчивость плоской формы изгиба прямо- и криволинейных балок
933
и нормальных сил также и во втором состоянии полосы (пространственная
изгибно-крутильная форма равновесия). Таким образом, Qx = Qy = Nz = О,
и первая группа уравнений равновесия (45) удовлетворяется тождественно.
Изгибающие моменты А4Х и Му, кривизна р и кручение г возникают
только при переходе полосы из первого состояния во второе, т. е. при опро-
кидывании. Это дает возможность, при определении критического значения
момента SIR рассматривать их как малые величины и пренебречь их произ-
ведениями во втором из уравнений (50).
Тогда = 0 и, следовательно,
Му = 2R.
Таким образом, изгибающий момент Му
в плоскости наибольшей жесткости не из-
меняется при опрокидывании полосы.
Главные кривизны и кручение полосы
в ее втором состоянии равны
P = 7p.	+	Г=7Г- <279>
*\	Dy	G
Тогда первое и третье из уравне-
ний (50) примут следующий вид:
^+(4---^) "«=»=
Исключая из полученной системы крутящий момент Мг, приходим
к следующему дифференциальному уравнению относительно изгибающего-
момента Мх в плоскости наименьшей жесткости:
+ ^Мх = 0,	(280)
где введено обозначение •
*-(4—£-)(4--^)-
Общий интеграл уравнения (280)
Мх = Z), sinks + Z)2cos ks.
Для определения постоянных интегрирования Di и £)2 используем сле-
дующие краевые условия: по концам полосы, т. е. при s = 0 и s =
изгибающий момент Мх — 0. Эти условия позволяют установить, что
£>2 = 0 и sin k&R — 0.
Замечая, что Di =/= 0, приходим к следующему уравнению для опреде-
ления критического значения нагрузки на полосу:
sink»/? = 0.	(281)
Первый отличный от нуля корень уравнения (281) кЯ2? = тс или с учетом
обозначения (280а)
/(4—
= it.
О J
934 Критич. значения нагрузок при пространственных и плоских формах равновесия
Решая полученное квадратное уравнение относительно момента Ж, при-
ходим к следующему выражению для его критического значения:
= FF ± / (FFr+ХтЛ <282>
где Вх — наименьшая жесткость изгиба, а С — жесткость кручения.
Как предельный случай выражения (282) легко получить формулу (241)
для момента hr, соответствующего опрокидыванию прямолинейной полосы.
Действительно, подстановка R = оо и = I дает
жкр = +" vfxC .
Для криволинейной полосы критическое
значение момента зависит от его направления.
Действительно, представив формулу (282)
в виде
М1кр 2R ~
W <0	можно заключить, что для круговых полос,
кр г	меньших полуокружности (& < тг), фор-
<9	мула (283) дает два критических момента
Фиг. $61.	различных знаков, именно Ж1 > 0 и Ж2 < О,
так что по абсолютной величине |Ж1| > |Ж2|-
Сравнивая деформированное и недеформированное состояние полосы,
заключаем, что
Ж Му =	= Ву (q - -I-).	(284)
Таким образом, момент Ж > 0 при q > т. е. в случае, когда при
изгибе полосы в ее плоскости кривизна возрастает (фиг. 661, а). Аналогично
момент Ж < 0 при q < т. е. при уменьшении кривизны полосы
(фиг. 661, б). Учитывая сказанное выше, заключаем, что критическое зна-
чение моментов Ж, увеличивающих кривизну полосы, больше, чем крити-
ческое значение моментов Ж, уменьшающих кривизну полосы. Наименьшая
жесткость изгиба Вх и жесткость кручения С полосы выражаются сле-
дующим образом:
ВХ = Е-^ и C = ^-khb3.
Для полосы с весьма вытянутым поперечным сечением коэффициент
k г/3 и С 1,5В х. Положим, что центральный угол полосы & — -у;
тогда согласно выражению (282) критическое значение моментов, увеличи-
вающих кривизну полосы,
Ж! = 3,712-^,
а критическое значение моментов, уменьшающих кривизну полосы,
Ж2 = _ 1,212 ф.
А
Литература
935
Теория опрокидывания криволинейных полос разработана значительно
меньше, чем теория устойчивости плоской формы изгиба прямолинейных
полос. Сложность точного вычисления критического значения нагрузок
на криволинейные полосы, естественно, приводит к необходимости исполь-
зования приближенных методов. Так, в работе [95] рассматривается путем
применения приближенного метода Б. Г. Галеркина опрокидывание кон-
сольной круговой полосы, нагруженной сосредоточенной силой. В этой
работе также изучено и опрокидывание круговой полосы под действием рав-
номерно распределенной нагрузки.
ЛИТЕРАТУРА
1.	АксентянК. Б., Расчет устойчивости плоской формы изгиба полосы при про-
извольных нагрузках и условиях опирания, «Труды Ростовского н/Д инженерно-строительного
института», вып. 5, 1956.
2.	Аронсон А. Я., Применение теории тонких стержней к расчету рабочего колеса
радиально-осевой турбины, сборник «Гидротурбостроение», вып. 4, Машгиз, 1957.
3.	Ачеркан Н.С., Расчет и конструирование металлорежущих станков (§ 58),
Машгиз, 1952.
4.	Белоус А. А., Устойчивость овальных и рамных шпангоутов, «Труды Централь-
ного аэрогидродинамического института им. Жуковского», вып. 334, 1937.
5.	Белоус А.А., Колебания и статическая устойчивость плоских и пространственных
рам, сборник «Расчет пространственных конструкций», вып. 3, Стройиздат, 1955.
6.	Бицено К- иГраммель Р., Техническая динамика, т. 1 (§ 16), Гостехиздат,
1950.
7.	Б л е й х Ф., Стальные сооружения, т. 1 (§ 30), Стройиздат, 1938.
8.	Бовин В. А., Изгиб и устойчивость кривого стержня в своей плоскости, сборник
научных работ Днепропетровского института инженеров транспорта, вып. 2—3, 1937; см.
также вып. 6, 1937.
9.	Болотин В. В., Об устойчивости плоской формы изгиба балок, соединенных
упругими связями, сборник «Расчеты на прочность, жесткость, устойчивость и колебания»,
Машгиз, 1955.
10.	Б у р ч а К Г. П., Об устойчивости плоской формы изгиба двух двутавровых балок,
связанных упругими поперечными и продольными связями», «Труды Московского института
инженеров ж.-д. транспорта», вып. 92/11, 1957.
11.	Вальтер П. А., Изгиб кривых брусьев двоякой кривизны, «Вестник инженеров»
№ 3—4, 1924.
12.	В а л ь т е р П. А., Об изгибе брусьев двоякой кривизны, «Труды Центрального
аэрогидродинамического института им. Жуковского», № 23, 1926.
13.	В е т ч и н к и н В. П., Влияние лобовых сопротивлений на жесткость изгиба и кру-
чения крыла, ч. I, «Труды Центрального аэрогидродинамического института им. Жуковского»,
№ 448, 1939.
14.	В л а с о в В. 3., Тонкостенные упругие стержни, Стройиздат, 1940.
15.	Выгодский М. Я., Дифференциальная геометрия, Гостехиздат, 1949.
16.	Г о х б е р г М. М., К вопросу об устойчивости плоской формы изгиба балок, нахо-
дящихся под действием системы сил, «Труды Ленинградского политехнического института»,
№ 5, 1948.
17.	Григолюк Э. И., К расчету устойчивости пологих арок, Инженерный сборник
АН СССР, т. 9, 1951.
18.	Грюнберг Н. Я., Изгиб и кручение тонкостенных криволинейных стержней,
«Труды лаборатории строительной механики Центрального научно-исследовательского инсти-
тута промышленных сооружений», Стройиздат, 1949.
19.	Д ж а н е л и д з е Г. Ю., К вопросу о форме равновесия сжатого и скрученного
стержня, «Труды Ленинградского индустриального института», № 3, 1939.
20.	Джанелидзе Г. Ю., Соотношения Кирхгофа для естественно скрученных стерж-
ней, «Труды Ленинградского политехнического института» № 1, 1946.
21.	Джанелидзе Г. Ю., Обобщенные зависимости теории тонких стержней, «Док-
лады АН СССР», т. 66, вып. 4, 1949.
22.	Д ж а н е л и д з е Г. Ю. и П а н о в к о Я- Г., Статика упругих тонкостенных
стержней, Гостехиздат, 1948.
23.	Д и н н и к А. Н., Об устойчивости плоской формы изгиба, Избранные труды, т. 1.
изд. АН УССР, 1952.
24.	Д и н н и к А. Н., Устойчивость упругих систем (глава IV), Избранные труды,
т. 3, изд. АН УССР, 1956.
25.	Д и н н и к А. Н., Об отклонении буровых скважин при алмазном бурении, Избран-
ные труды, т. 3, изд. АН УССР, 1956.
936
Литература
26.	Д и н н и к А.Н., Устойчивость арок; Гостехиздат, 1946.
27.	Д о б у д о г л о Н. Г., Теоретическое и экспериментальное исследование устойчи-
вости плоской формы изгиба неразрезанных балок узкого прямоугольного и двутаврового
сечений, «Труды лаборатории строительной механики Центрального научно-исследователь-
ского института промышленных сооружений», Стройиздат, 1941.
28.	Казакевич И. И., Устойчивость консольной полосы при продольно-поперечном
изгибе, сборник «Расчеты упругих элементов машин и приборов». Машгиз, 1952.
29.	Календарьян Л. И., К теории пространственной устойчивости стержней^
скрепленных с пластиной, «Труды Одесского института инженеров морского флота», № 10,
1954,
30.	К а ч а н о в Л. М., Устойчивость плоской формы изгиба за пределом упругости
«Прикладная математика и механика», т. 15, вып. 2, 1951.
31.	Качанов Л. М., Устойчивость плоской формы изгиба за пределом упругости
(влияние упрочнения), «Прикладная математика и механика», т. 15, вып. 5, 1951.
32.	Качанов Л. М., Устойчивость плоской формы изгиба за пределом упругости
(влияние сложности нагружения), «Прикладная математика и механика», т. 15, вып 6, 1951.
33.	К а ч а н о в Л. М., Устойчивость упруго-пластического равновесия сжато-скру-
ченного вала, «Доклады АН СССР», т. 88, № 4, 1953.
34.	Коробов А. П., Устойчивость плоской формы изгиба полосы, «Известия Киев-
ского политехнического института», кн. 4, Отдел инженерно-механический, 1911.
35.	Коробов А.П.. Устойчивость полосы, «Известия Киевского политехнического
института», кн. 1, Отдел инженерно-механический, 1913.
36.	Коробов А. П., Об устойчивости плоской формы ^згиба стержней, ось которых
представляет ломаную линию, изд. Инженерно-строительного йститута, Новочеркасск 1934.
37.	Коробов А. П., Приближенный метод расчета балок на устойчивость плоской
формы изгиба, «Известия Новочеркасского индустриального института», т. 4 (18), 1938.
38.	Л е й б е н з о н Л. С., Сопротивление закрученных стоек, Собрание трудов, т. I,
АН СССР, 1951.
39.	Л у р ь е А. И., Изгиб и устойчивость естественно скрученных прямолинейных
стержней, «Прикладная математика и механика, Новая серия», т. 2, вып. 1, 1938.
40.	Л у р ь е А. И., О малых деформациях криволинейных стержней, «Труды Ленин-
градского политехнического института, Раздел физико-математических наук», № 3, 1941.
41.	Л у р ь е А. И. и К а ц А. М., Теория упругости (глава Х),изд. Ленинградского
индустриального института, 1938.
42.	Л я в А. Математическая теория упругости (глава XIX), ОНТИ 1935.
43.	М а к у ш и н В. М., Общие уравнения равновесия и колебаний упругих тонких
стержней при малых перемещениях (опыт элементарного изложения), «Труды кафедры «Сопро-
тивление материалов» Московского высшего технического училища им. Баумана». Раздел 3
«Колебания, устойчивость и равновесие упругих стержней», 1947.
44.	М а к у ш и н В. М., Устойчивость прямолинейных естественно завитых сжатых
стержней, «Труды Московского авиационного института», вып. 17, 1952.
45.	Макушин В. М.,. Расчеты на статическую устойчивость стержневых элементов
конструкций, Справочник машиностроителя, т. 3 (глава X), Машгиз, 1955.
46.	М а к у ш и н В. М., Исследование устойчивости скрученного стержня с равными
главными жесткостями при изгибе, сборник «Расчеты на прочность», вып. 2, Машгиз, 1958.
47.	Малинин Н. Н., Основные формулы деформации цилиндрических пружин,
«Труды кафедры «Сопротивление материалов» Московского высшего технического училища
им. Баумана». Раздел 1, «Теоретические и экспериментальные исследования пружин», 1947.
48.	М а л и н и н Н. Н., Уравнения теории тонких стержней для малых перемещений.
«Труды кафедры «Сопротивление материалов» Московского высшего технического училища
им. Баумана». Раздел 3 «Колебания, устойчивость и равновесие упругих стержней», 1947.
49.	М а л и н и н Н. Н., Изгиб турбинных лопаток, «Известия АН СССР, ОТН» № 4,
1954.
50.	М и х а й л о в В. Г., Испытание витых буровых штанг на продольный изгиб и кру-
чение, «Топливное машиностроение» № 7, 1940.
51.	Н и к а л а и Е. Л., К задаче об упругой линии двоякой кривизны, сборник работ
Е. Л. Николаи «Труды по механике», Гостехиздат, 1955.
52.	Николаи Е.Л., Устойчивость кругового кольца и круговой арки, сжатых равно-
мерно распределенным нормальным давлением, сборник работ Е. Л. Николаи «Труды по меха-
нике», Гостехиздат, 1955.
53.	Николаи Е.Л., Об устойчивости прямолинейной формы равновесия сжатого
и скрученного стержня, сборник работ Е. Л. Николаи «Труды по механике», Гостехиздат, 1955.
54.	Николаи Е.Л., К вопросу об устойчивости скрученного стержня, сборник работ
Е. Л. Николаи «Труды по механике», Гостехиздат, 1955.
55.	Н и к о л а е в Г. А., Сварные конструкции (глава X), Машгиз, 1951.
56.	П а в л е н к о Г. Л., Опыты по устойчивости трехшарнирной арки, «Научные
труды Днепропетровского металлургического института», т. 6, 1940.
Литература
937
57.	П а в л е н к о Г. Л., Экспериментальное исследование устойчивости трехшарнир-
ных арок за границами упругости, сборник «Исследования вопросов устойчивости и прочности»,,
изд. АН УССР, 1956.
58.	П а п к о в и ч П. Ф., Строительная механика корабля, ч. 2 (глава III), Судпром-
гиз, 1941.
59.	Пархомовский Я. М., Об опрокидывании стержней при одновременном дей-
ствии поперечных и продольных нагрузок, «Технические заметки Центрального аэродинамиче-
ского института», № 196, 1939.
60.	Пономарев С. Д., Расчет многожильных пружин простейшей конструкции,
изд. Московского высшего технического училища им. Баумана», 1945.
61.	Пономарев С. Д., Теоретические основы расчета многожильных пружин,
«Труды кафедры «Сопротивление материалов» Московского высшего технического училища».
Раздел 3 «Теоретические и экспериментальные исследования упругих элементов приборов^
и машин», 1947.
62.	Пономарев С. Д., Жесткость и прочность многожильных пружин сжатия, сбор-
ник «Динамика и прочность пружин», изд. АН СССР, 1950.
63.	Пономарев С. Д., Расчет многожильных пружин, свитых из тросов с централь-
ной жилой, сборник «Расчеты на прочность в машиностроении», Машгиз, 1950.
65	П о п о в Е. П., Нелинейные задачи статики тонких стержней, Гостехиздат, 1948.
66.	П р а т у с е в и ч Я. А., Вариационные методы в строительной механике (глава VI).
Гостехиздат, 1948.
67.	Пратусевич Я. А., О малых деформациях и пространственной устойчивости’
криволинейных стержней и арок, «Труды Московского института инженеров ж.-д. транспорта»,
вып. 76, 1952.
68.	Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, Гостехиздат. 1950.
69.	Р е п м а н Ю. В., Устойчивость плоской формы изгиба тонкостенных стержней,
«Труды лаборатории строительной механики Центрального научно-исследовательского инсти-
тута промышленных сооружений», Стройиздат, 1941.
70.	Р е у т В. И., Об устойчивости плоской формы изгиба, Труды Одесского института*
инженеров гражданского и коммунального строительства», вып. 2, 1940. .
71.	С е г а л ь В. Ф., Строительная механика подводной лодки (глава VII), Судпромгиз,
1940.
72.	С о к о л о в П. А., Об устойчивости плоской формы изгиба балок, скрепленных
с листами поддерживаемых ими перекрытий, Сборник теоретических работ группы прочности*
Центрального научно-исследовательского института Наркомата судостроительной промышлен-
ности, 1939.
73.	Тимошенко С. П., Об устойчивости плоской формы изгиба двутавровой балки*
под влиянием сил, действующих в плоскости ее наибольшей жесткости, «Известия Петербург-
ского политехнического института», т. 4, вып. 3—4, 1905; т. 5, вып. 1—2, 3—4, 1906.
74.	Тимошенко С. П., Об устойчивости упругих систем, «Известия Киевского поли-
технического института», 1910.
75.	Тимошенко С. П., Курс теории упругости, ч. 2, Петроград 1916.
76.	Т и м о ш е н к о С. П., Устойчивость упругих систем, под ред. и с добавлением*
статьи проф. В. 3. Власова, Гостехиздат, 1946.
77.	Тимошенко С. П., Устойчивость упругих систем, Гостехиздат, 1955.
78.	Т и т о в Г. Н., Прочность металлорежущих инструментов, Машгиз, 1947.
79.	Тихомиров Е.Н., Об изгибе винта, «Вестник инженеров и техников» № 5
1935.
80.	Т о м и л о в Е. Д., Определение бокового выгиба консольной балки, подверженной*
действию нагрузки в плоскости ее наибольшей жесткости, «Известия научно-исследователь-
ского института математики и механики при Томском государственном университете», т. 2,
вып. 1, 1938.
81.	Тумаркин С. А., Равновесие и колебание закрученных стержней, «Труды Цен-
трального аэрогидродинамического института им. Жуковского», вып. 341, 1937.
82.	Т у м а р к и н С. А., Расчет вентиляторов на прочность, «Труды Центрального
аэрогидродинамического института им. Жуковского», вып. 496, 1940.
83.	Феодосьев В. И., Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов,
Гостехиздат, 1953.
84.	X у б е р я н К^М., Устойчивость металлических балок при упруго-пластических-
деформациях, Сборник трудов по строительной механике, Стройиздат, 1940.
85.	Ц в е й И. Ю., Некоторые вопросы устойчивости стоек с оттяжками (типа крановых
стрел), «Труды Московского инженерно-строительного института», № 27, 1957.
86.	Чернышев Н. А., Сжатие и кручение пружин малой жесткости, сборник «Новые-
методы расчета пружин», Машгиз, 1946.
87.	Чернышев Н. А., Устойчивость пружин сжатия, сборник «Новые методы рас-
чета пружин», Машгиз, 1946.
88.	Ч е р н ы ш е в Н. А., Устойчивость пружин кручения, сборник «Расчеты на проч-
ность в машиностроении», Машгиз, 195Э.
938
Литература
89.	Ч е р н ы ш е в Н. А., Напряженное состояние и деформация цилиндрических пру-
жин, свитых из круглого витка, сборник «Динамика и ‘прочность пружин», изд. АН СССР,
1950.
90.	Ч е р н ы ш е в Н. А., Нелинейная теория упругих деформаций цилиндрических
пружин, сборник «Расчеты на прочность», вып. 3. Машгиз, 1958.
91.	Ш а ш к о в И. Е., Влияние кручения на устойчивость и критическое число оборо-
тов вала, «Прикладная математика и механика», т. 3, вып. 2, 1939.
92.	Ш а ш к о в И. Е., Об устойчивости прямолинейной формы равновесия борштанги,
Инженерный сборник АН СССР, т. 1, вып. 1, 1941.
93.	Шашков И. Е., Об устойчивости сжатого и скрученного призматического стержня
с произвольной формой поперечного сечения, там же, т. 7, 1950.
94.	Ш т а е р м а н И. Я-, Устойчивость криволинейных стержней и арок, Киев 1929.
95.	Ш т а е р м а н И. Я., Устойчивость плоской формы изгиба арок, Сборник научно-
исследовательских работ Киевского индустриального института, № 3, 1936.
96.	Ш т а е р м а н И. Я., Устойчивость упругих круговых арок под действием сосредо-
точенной силы, «Прикладная математика и механика», т. 1, вып. 3, 1938.
97.	Ш т а е р м а н И. Я.» Деформации и устойчивость криволинейных стержней двоя-
кой кривизны, «Журнал математического института АН УССР» № 1, 1938.
98.	Штаерман И. Я. иПиковский А. А., Основы теории устойчивости строи-
тельных конструкций, Стройиздат, 1939.
99.	Я г н Ю. И., Графическое решение вопросов устойчивости деформации стержней,
•сборник «Подъемно-транспортные сооружения», вып. 2, 1943.
100.	Ясинский Ф. С., Избранные работы по устойчивости сжатых стержней, Гос-
техиздат, 1952.
101.	F i 1 1 u n g е г Р., Ueber die Knickbedingungen fiir Stabe, «Zeitschrift fur angewandte
Mathematik und Mechanik», Bd.6, K? 4, 1926.
102.	P flii ger A., Stabilitats-Probleme der Elastostatik, Springer, Berlin 1950.
103.	Trosch A. Stabilitats-Probleme bei tordierten Staben und Wellen. «Ingenieur —
Archiv», Bd. 20, № 4, 1952.
104.	Ziegler H., Stabilitats-Probleme bei geraden Staben und Wellen, «Zeitschrift
fiir angewandte Mathematik und Physik», Vol. 2, 1951.
105.	Ziegler H., Knickung gerader Stabe unter Torsion, «Zeitschrift fur angewandte
.Mathematik und Physik», Vol. 3, 1952.
ГЛАВА XIV
РАСЧЕТЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
В современном машиностроении широкое применение находят конструк-
ции, составленные из тонкостенных открытых профилей, например уголков,
швеллеров, двутавров и т. д.
Изложенная в главе XII теория устойчивости прямолинейной формы-
равновесия сжатых монолитных стержней основывается на предположении,
что образование криволинейных форм равновесий таких стержней возможно
только путем их изгиба (эйлерова форма потери устойчивости).-Это предпо-
ложение оправдывается как для монолитных, так и для тонкостенных стер-
жней закрытого профиля, например тонкостенной трубы. Наряду с этим
экспериментальное исследование потери устойчивости тонкостенных сжатых
стержней открытого профиля показывает, что образование криволинейных
форм равновесия происходит в этом случае, вообще говоря, путем одновре-
менного изгиба и кручения стержня.
Общая теория изгибно-крутильных форм равновесия центрально и вне-
центренно сжатых тонкостенных стержней открытого профиля и соответ-
ствующие выражения для критических значений нагрузки даны В. 3. Вла-
совым и наиболее полно изложены в его работах [2] и [3]. Эта теория изгибно-
крутильных форм равновесия сжатых стержней выведена из общих уравнений
моментной теории оболочек путем внесения ряда упрощений и, в частности,
предположения о неизменяемости при деформации стержня контура его
поперечного сечения (гипотеза жесткого контура). Приближенное иссле-
дование устойчивости тонкостенных стержней при различных краевых
условиях, основанное на использовании уравнений В. 3. Власова и метода
Б. Г. Галеркина, весьма тщательно выполнено А. Л. Гольденвейзером [5].
Экспериментальное исследование устойчивости сжатых открытых профилей,
проведенное Н. Г. Добудогло [8], дало хорошее качественное и количест-
венное подтверждение теории В. 3. Власова.
Другим методом, независимо от работ [2] и [3], исследование устой-
чивости тонкостенных стержней открытого профиля при центральном нагру-
жении произведено А. А. Уманским [18]. Обобщение на случай внецен-
тренного сжатия выполнено в работах [4] и [7].
Различные варианты теории изгибно-крутильных форм равновесия
сжатых стержней изложены в монографиях С. П. Тимошенко [16],
Ю. И. Ягна [21] и И. В. Урбана [19].
Пространственная устойчивость криволинейных стержней рассмотрена
В. 3. Власовым [3] и Я. А. Пратусевичем [11 ], устойчивость плоской формы
изгиба тонкостенных прямолинейных стержней — Ю. В. Репманом [12].
Применение интегральных уравнений к изучению устойчивости тонкостен-
ных стержней дано В. В. Болотиным [1].
Исследование устойчивости центрально и внецентренно сжатых тонко-
стенных стержней открытого профиля при наличии упруго-пластических
940 Расчеты на устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля
деформаций выполнено Р. А. Межлумяном [9], [10], А. Р. Ржаницыным [14]
и др. Приближенный метод расчета на устойчивость за пределами закона
Гука предложен А. В. Геммерлингом [4].
Теоретические и экспериментальные исследования пространственной устой-
чивости тонкостенных стержней с частично замкнутым контуром (усиленные
решеткой или планками) представлены работами М. И. Длугача [6], [7]
и А. М. Шаншиашвили [20].
_ Систематизированный справочный материал по расчету на устойчивость
тонкостенных стержней изложен в Энциклопедическом справочнике «Машино-
строение» [15] и в ряде других работ.
§ 1. ОСНОВНАЯ СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Рассмотрим прямолинейный тонкостенный стержень открытого профиля,
нагруженный внецентренной продольной силой Р. Обозначим координаты
точек приложения силы Р в главных центральных осях сечения через ех, еу.
На фиг. 662 в качестве примера
изображен швеллер.
Внецентренное нагружение стержня
можно представить как совместное дей-
ствие центрального нагружения и изги-
бов в главных плоскостях моментами
Фиг. 662.
Мх = Реу и 7Иу = Рех. (1)
При внецентренном нагружении
стержня в его поперечных сечениях
возникают нормальные напряжения
° = + + (2>
г J X	J у
F — площадь сечения;
Jх и Jy — главные центральные мо-
менты инерции площади Г;
хну — координаты произвольной
точки поперечного сечения.
Под действием моментов Мх и А4у
происходит косой изгиб стержня и его
ось переходит в Некоторую кривую линию. Таким образом, при рас-
смотрении внецентренно сжатого прямого стержня ставится вопрос об устой-
чивости этой криволинейной формы (первая форма равновесия). Во всем
дальнейшем рассмотрении будет предполагаться, что первая форма равно-
весия весьма близка к естественному, недеформированному состоянию
стержня. При некотором значении силы Р, называемом критическим, первая
форма равновесия переходит в новую изгибно-крутильную форму (вторая
форма равновесия). Возникновение кручения является характерной особен-
ностью потери устойчивости для сжатых открытых профилей.
Излагаемая ниже теория устойчивости подобного рода профилей осно-
вана на гипотезе о неизменяемости контура поперечного сечения стержня*
при деформации (гипотеза жесткого контура). Справедливость гипотезы
подтверждается косвенным путем, а именно путем сравнения теоретически
найденных значений критической силы и ее значений, определенных экспе-
риментально.
При переходе стержня из первого состояния (изгибная форма равновесия)
во второе состояние (изгибно-крутильная форма равновесия), центр изгиба
произвольного поперечного сечения перемещается на величины и п v вдоль
Основная система дифференциальных уравнений устойчивости
941
неподвижных главных центральных осей х, у и сечение поворачивается
на угол <р относительно оси центров изгиба стержня. Все три перемещения
и, v, <р изменяются по длине стержня, т. е. являются некоторыми функциями
независимого переменного г, определяющего положение рассматриваемого
сечения по длине стержня. Таким образом, для отыскания перемещений и,
v, <р, рассматриваемых как функции координаты г, необходимо составление
трех дифференциальных уравнений — так называемой основной системы
дифференциальных уравнений устойчивости.
С этой целью рассмотрим равновесие отсеченной конечной части стержня
после перехода стержня из первого состояния во второе. При этом примем
во внимание следующее:
1.	Нормальные напряжения а, определяемые формулой (2), рассматри-
ваются неизменными по величине при переходе из первого состояния во вто-
рое, но изменяющими свое положение в пространстве в соответствии с накло-
ном продольных волокон стержня при его закручивании.
2.	Переход стержня из первого состояния во второе связан с дополни-
тельной деформацией стержня и, следовательно, с возникновением в его
сечениях, помимо основных нормальных напряжений (2), дополнительных
нормальных и касательных напряжений.
3.	Внешние силы Р, приложенные к торцовым сечениям стержня, рас-
сматриваются неизменными как по величине, так и по направлению. При
переходе стержня из первого состояния во второе стержень испытывает
кручение и дополнительный изгиб. Малость рассматриваемых перемещений
позволяет анализировать эти явления раздельно. В первую очередь рас-
смотрим имеющее место кручение.
Двумя смежными поперечными сечениями, отстоящими друг от друга
на весьма малое расстояние dz, вырезаем элемент стержня. При его закру-
чивании одно из сечений поворачивается относительно другого вокруг оси
центров изгиба DD на малый угол d<f = $dz, где Я — погонный угол закру-
чивания или крутка стержня (фиг. 663). При этом элемент AAi произволь-
ного продольного волокна стержня, расположенного на расстоянии г от оси
центров изгиба DD, наклонится к своему первоначальному положению
на некоторый малый угол dty и займет положение АА2. Выражая элементар-
ную дугу Д1Д2 двумя способами, • находим, что
rd<p = dz dty
и, следовательно, угол наклона элемента волокна AAi
dty = г	(3)
Тогда проекция напряжения о, направленного вдоль наклонного во-
локна АА2 на первоначальную плоскость поперечного сечения стержня,
выразится как агд (фиг. 664). Эта проекция совпадает по направлению
с отрезком Л1Л2-
• Обозначим координаты центра изгиба D в главных центральных осях
сечения х, у соответственно через ах и а* (фиг. 664).
Координаты текущей точки А2 сечения будут х, у и, следовательно,
отрезки
LD — х — ах и LA2 — у — ау.
По малости угла dtp = &dz можно считать радиус DA2 = г перпенди-
кулярным к хорде Л1Л2 и длину хорды AiA2 = rdq .Тогда из подобия тре-
942
Расчеты на устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля
угольников А 2LD и A 2KAi приходим к следующим выражениям для отрез-
ков А2К и Л1К:
А2К — (х — ах) $dz-,
= (У — Оу) &dz.
Проекции на координатные осих, у составляющей агЯ нормального напря-
жения <з могут быть выражены следующим образом (фиг. 664):
Фиг. ббЗ.	Фиг. 664.
Эти проекции нормального напряжения а образуют крутящий мо-
мент Мкр (I) относительно оси, нормальной к сечению и проходящей через
центр изгиба D:
Мкр (I) = J °лр.х dF (у cty) J апр.у dF (х ах),
или, используя выражения (4) и обозначая р2 = х2 + у* и а2 = а2 + а2,
имеем, что
Мкр (I) = — & J (р2 + а2 — 2а^с — 2ayz/) dF.
F
Подстановка значения нормального напряжения а по формуле (2) и ряд
преобразований приводят к следующему выражению для искомого крутя-
щего момента:
(1) - -» [г	+ 2М,	- а,) +2М,^-а,')] (5>
Здесь введены следующие обозначения: полярно-осевые моменты инерции
Тх = f iZpW = yfdF + J yx*dF;
Ту = f xfdF = Jx3dF + f xy*dF
F	F	F
(6)
Основная система дифференциальных уравнений устойчивости
943
и полярный момент инерции
Jp = f fdF = Jx + Jr
F
(7).
Итак, формула (5) определяет величину крутящего момента, вызванного-
наклоном волокон стержня при переходе из первого состояния во второе
и обусловленного нормальными напряжениями, существовавшими в сече-
ниях стержня еще до потери устойчивости.
При переходе изгибной формы равновесия (первое состояние) в изгибно-
крутильную форму (второе состояние) в сечениях стержня возникают допол-
нительные касательные напряжения и величина соответствующего крутя-
щего момента Мкр (II) определяется сле-
дующим выражением (том1, глава IX):
MKp(H) = -EJa^+GJT^
(8)
здесь
т —3-2^5
(9)
геометрический фактор
чистом кручении и
жесткости
при
(10)
при
жесткости
главный секто-
ш
геометр ически й фактор
стесненном кручении или
риальный момент инерции.
Удвоенная секториальная площадь <о0
вычисляется при совмещении полюса
с центром изгиба сечения. Секториальный момент инерции называется’
главным, если специальным выбором начального радиуса вектора обеспе-
чивается' обращение в ноль секториального статического момента
$%dF = 0.	(11).
Для профилей с осью симметрии условие (11) выполняется автомати-
чески, если начало отсчета секториальной площади расположено на этой
оси. В случае несимметричных профилей предварительное определение-
положения начального радиуса-вектора, обеспечивающего выполнение
условия (11), практически мало удобно. Здесь целесообразно пользоваться
для вычисления главного секториального момента инерции вместо выра-
жения (10) следующим выражением:
Д, = J <s>2dF-------И f <s>dF
F	L F
(12>
где о) — удвоенная секториальная площадь при полюсе в центре изгиба
и произвольном выборе начала отсчета.
Выразим теперь крутящий момент через внешнюю силу Р, приложенную
к торцовому сечению бруса.
Проведем через центр изгиба D рассматриваемого сечения координатные
оси х, у, параллельные главным центральным осям х„ у (фиг. 665). Тогда
944
Расчеты на устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля
моменты относительно этих осей, создаваемые внецентренно приложенной
силой Р, будут равны
М- = Р (еу — ау);
М- = Р (ех — ах).
(13)
Существенно отметить (фиг.
по часовой стрелке (при взгляде
Фиг. 666.
666), что если момент Л4- направлен
с положительного направления оси х),
то момент М- направлен против часо-
- вой стрелки (при взгляде с положи-
тельного направления оси у). Другими
словами, если вектор момента М- сов-
падает с положительным направлением
оси у, то вектор момента М- совпадает
с отрицательным направлением оси х.
Будем считать, что при переходе
стержня из первого состояния во второе
сила Р, а следовательно, и векторы
моментов М- и М~ сохраняют неиз-
менными свое положение в простран-
стве.
Рассмотрим проекцию элемента DiD2 искривленной оси центров изгиба
на координатную плоскость yz (фиг. 667). Ось z параллельна оси недефор-
мированного стержня. Перемещения точек оси центров изгиба по напра-
влению главных центральных осей х и у были обозначены соответственно
через и и v. На длине dz перемещение v изменяется на величину dv. Тогда
составляющая вектора М-, направленная вдоль искривленной оси стержня,
, ,
выражается как
Аналогично, рассматривая проекцию элемента DiDz искривленной оси
центров изгиба на координатную плоскость xz (фиг. 668), получаем выра-
жение для соответствующей составляющей вектора М-, а именно — М- .
Основная система дифференциальных уравнений устойчивости
945
Таким образом, крутящий момент, образованный внешней силой отно-
сительно искривленной оси центров изгиба в рассматриваемом сечении
(т. е. относительно нормали к рассматриваемому сечению, проведенной через
центр изгиба), выражается как
мкр(Р) = м-±.-м-
или, используя соотношение (13), получаем
МГ,(Р) - Р(еж—а,)А_р (^ — а,) А.	(14)
Рассмотрим равновесие отсеченной конечной части стержня, находя-
щегося во втором состоянии, и составим уравнение моментов всех сил,
действующих на отсеченную часть, относительно оси, нормальной к сечению
и проведенной через центр изгиба D. Тогда получим
мкр (Р) = Мкр (I) + Мкр (II),	(15)
или, используя полученные выше выражения (5), (8) и (14) и заменяя Я
d<f>
через имеем
р	^--р^-‘^ +Е]- -V-+
+ [Р(г? + 2₽А+2₽Л)-в/,]А -<1.	(16)
Здесь введены следующие вспомогательные обозначения:
2	Jp । Л ।	2,
^0 — ~р--Г Ях + ау>
2^	х	(17)
□ __ Тх
Ру “ 2JX	а?'
J
Для составления двух других уравнений, связывающих перемещения и, v
и обратимся к рассмотрению поперечных сил, возникающих в сечениях
стержня во втором состоянии (изгибно-крутильная форма равновесия)^
Наклон волокон стержня при переходе из первого состояния во второе
вызывает образование поперечных сил
QxO) = ^np.xdF и Qy (I) = — ^anp.ydP.
Используя формулы (2) и (4), представим выражения для поперечных сил
Qx (I) и Qy (I) в следующем виде:
Qx (D = (еу ау)г 1	,
Qy(I) = —Р& (ех—ax). J	( ’
Деформация стержня при переходе из первого состояния во второе
вызывает образование поперечных сил Qx (II) и Qy (II). Соответствующие
изгибающие моменты Му и Мх определяются следующими зависимостями
(том I, глава IX):
л *	гу т d2u лж	г, т d2v
Му = EJy и Мх =	EJ х	.
60 Пономарев
508
946 Расчеты, на устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля
Дифференцируя эти зависимости, приходим к следующим выражениям
для искомых поперечных сил:
Q,(II)= ^ = -£/,4-	(19)
Поперечные силы, имеющие место в сечениях стержня в его втором
состоянии, могут быть выражены и непосредственно через внешнюю силу Р,
а именно:
Q,(P) = P~-, '
Q,(P)-P-£.
(20)
Из равновесия отсеченной части стержня следует, что
QX(P) = Q,(I) + Q,(H); 1
Qy(P) = Qy (I) + Qy (П), /
или, используя полученные выше выражения (18) — (20),
р^ = р^-«у)-£А-£-;
Заменяя в зависимостях (22) & через и присоединяя зависимость (16),
приходим к системе трех линейных однородных дифференциальных урав-
нений относительно перемещений и, V, ф, характеризующих второе состояние
стержня:
Ер.-ЗУ+р£-р(“«-'«)
+ 1Р(г1 + 2₽Л + 2?А)-С/г]^-+	(23)
+ Р (а, -	---Р (а,-г,) 4 = 0.
В коэффициенты этой системы дифференциальных уравнений входят сле-
дующие геометрические характеристики поперечного сечения стержня:
главные центральные моменты инерции Jx и Jy, геометрический фактор
жесткости при стесненном кручении или главный секториальный момент
инерции Jw, геометрический фактор жесткости при чистом кручении Jr
и координаты ах, ау центра изгиба в главных центральных осях сечения.
Кроме этих величин, в качестве коэффициентов фигурируют модули упру-
гости Е и G, величина сжимающей нагрузки Р, координаты ех и еу точки
ее приложения, а также вспомогательные параметры г0, и определяе-
мые уравнениями (17).
Система (23) может быть названа основной системой дифференциальных
уравнений для исследования устойчивости внецентренно сжатых тонкостей-
Устойчивость центрально сжатых стержней
947
ных стержней открытого профиля. В частном случае, когда ех = еу — О,
она используется и для исследования устойчивости центрально сжатых
стержней.
Вместе с соответствующими краевыми условиями, т. е. значениями пере-
мещений и, v, <р и их производных по концам стержня, система (23) дает
возможность определить критические значения нагрузки Р для тонкостен-
ных стержней открытого профиля.
§ 2. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНО СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
В первую очередь рассмотрим применение системы дифференциальных
уравнений (23) к исследованию устойчивости прямолинейной формы равно-
весия центрально сжатых стержней, т. е. тонкостенных стержней открытого
профиля, нагруженных продольными силами, приложенными в центре
тяжести их торцовых сечений. В этом случае система уравнений (23) прини-
мает следующий вид:
EJy ^ПГ + р + Рау ~7Г~ = °>
У dz3 ‘	dz ‘ У dz
EJX-^ + Р-¥-— ‘Ра., 4^ = 0;
х dz3 1	dz х dz
с1 г I /п 2 г т \ &Ч I	(24)
EJa> ~d%~ + (Pr° ~~ G	'
. F> du	n du л
+ Pay dz	Pa* dz ~ °'	4
J
Из системы уравнений (24) вытекает весьма существенная роль центра
изгиба в рассматриваемом вопросе. Действительно, координаты центра изгиба
ах, ау осуществляют связь линейных перемещений и, v с угловым пере-
мещением ср. При совпадении центра изгиба с центром тяжести (ах = ау = 0),
что имеет место для сечений с двумя осями симметрии, линейные переме-
щения становятся независимыми от угловых. В этом частном случае система
уравнений (24) распадается на три отдельных, не зависящих друг от друга
уравнения:
ел 44- + р-%- = °;
У dz3 ‘	dz 9
и j d3u *	du	л
EJ*~d?~ +P~dT = °’ 	(25)
Е/ш4^ + (Р^-С/г)^ = 0.
)
Таким образом, для профилей с двумя осями симметрии возможны сле-
дующие криволинейные формы равновесия: две формы чисто изгибные или
эйлеровы и одна чисто крутильная. Каждой из трех форм равновесия соот-
ветствует свое критическое значение нагрузки.
Для несимметричных сечений центр изгиба не совпадает с центром
тяжести (ах 0, ау =И= 0) и система уравнений (24) не распадается на отдель-
ные уравнения (25). Следовательно, для подобных сечений чисто изгибная
или эйлерова форма потери устойчивости невозможна и естественной формой
потери устойчивости здесь служит изгибно-крутильная, характеризуемая
одновременным наличием изгибных перемещений и, v в главных плоскостях
и скручивания стержня, т. е. углового перемещения ср.
60*
948
Расчеты на устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля
Для профилей с двумя осями симметрии благодаря преобразованию
системы уравнений (24) в отдельные, не зависящие друг от друга уравне-
ния (25) отыскание критических нагрузок при самых разнообразных усло-
виях крепления концов стержней не представляет принципиальных затруд-
нений. Сложнее обстоит дело в случае несимметричных профилей или про-
филей с одной осью симметрии. Здесь точное решение имеется только для
наиболее простых краевых условий, главным образом для стоек с так назы-
ваемым шарнирным креплением концов.
Рассмотрим краевые условия для подобного рода стоек. По концам
стойки, т. е. при z = 0 и z = I, обращаются в ноль как перемещения и, v, <?,
так и дополнительные нормальные напряжения, возникающие в попереч-
ных сечениях при переходе стержня из прямолинейного состояния в криво-
линейное. Эти нормальные напряжения выражаются через вторые произ-
водные от перемещений и, v, <р следующим образом (том. I, глава IX):
с d2u	г, d2v	г-.	d2<f>
° а ~ Ex ~dz2' > av — Еу	— E<s> dz2 ,
и, следовательно, условием их отсутствия во всех точках торцовых сечений
служит обращение в ноль вторых производных от перемещений и, v, <р
по концам стойки.
Итак, для стоек с шарнирным креплением концов имеем следующие
двенадцать краевых условий: при z = 0 и при z = I
и — v = <р = 0;
d2u ____ d2v _____ d2<?
dz2 dz2 dz2
(26)
Непосредственной подстановкой легко показать, что как основной системе
дифференциальных уравнений устойчивости, так и всем краевым усло-
виям (26) удовлетворяют следующие выражения для перемещений:
KZ
и — Uq sin —j—;
v = v0 sin —j-;	.
Ф = <p0 Sin — ,
где u0, v0, <p0 — амплитудные значения перемещений и
I — длина стержня.
Используем полученные результаты для отыскания критических значе-
ний сжимающей силы Р.
А. Профили с двумя осями симметрии
т-т	тег	тег
Подстановка и = uQ sin -у— и v = vQ sin -у- соответственно в первое
и второе из уравнений (25) приводит к следующим критическим значениям
нагрузки:
И Px=^-J„	(28)
совпадающим, как и следовало ожидать, с эйлеровыми значениями при изгибе
относительно главных центральных осей у и х.
Устойчивость центрально сжатых стержней
949
Аналогично подстановка <р = <р0 s'n -7' в третье из уравнений (25)
дает еще одно критическое значение нагрузки:
(29)
Таким образом, для тонкостенных открытых профилей с двумя осями
симметрии имеют место три критических значения (28) и (29) центрально
приложенной сжимающей силы Р. Два критических значения (28) соответ-
ствуют изгибным (эйлеровым) формам равновесия и одно значение (29) —
крутильной форме равновесия (потеря устойчивости путем закручивания
вокруг оси центров изгиба). Расчетной критической силой является, естест-
венно, наименьшая из этих трех сил.
Полученные формулы, так же как и в дальнейшем, справедливы только
в пределах закона Гука, т. е. в том случае, когда соответствующее крити-
ческое напряжение
°(РУ)=^-^
ЧЛ.) = -^-47 + <

(30)
Jp
1
не превышает предела пропорциональности для материала рассматриваемого
стержня.
Рассмотрим примеры применения выражений (28) и (29) к конкретным
расчетам.
Пример 1. Определить величину критической нагрузки на ребристый стержень, обра-
зованный из одинаковых тонких пластинок, пересекающихся в центре (фиг. 669). Оси сосед-
них пластинок образуют между собой угол 45°. Ширина и толщина поперечного сечения каждой
пластинки соответственно: первый вариант b = 30 мм, Ъ = 1 мм и второй вариант b = 40 ммг
Ъ = 1 мм.
Длина стержня / = 700 мм. Материал — дюралюминий с модулями упругости
Е = 7,7-105 кг/см2 и G = 2,8-105 кг!см2.
Оба конца стержня оперты шарнирно.
Для первого варианта площадь сечения стержня F = 468 = 1,2 см2.
Учитывая, что толщина 8 пластинки значительно меньше ее ширины Ь, вычисляем глав-
ные центральные моменты инерции сечения стержня следующим образом:
Jx = Jy «	+ 2 sin2 45° = -^ = 0,45 см*.
Полярный момент инерции сечения
Jp = JxJrJyT= 0,90 см*.
Геометрический фактор жесткости при чистом кручении
Jr = 4- У = 4. 4- 683 = 0,004 см*.
О Jaa	о
Геометрический фактор жесткости при стесненном кручении или главный секториаль-
ный момент инерции для сечений, образованных из тонких прямоугольников, оси которых
пересекаются в одной точке, обращается в ноль, т. е. = 0.
Критические нагрузки, соответствующие возникновению изгибных форм равновесия^
D	_ п*Е ,	9,87.7,7*105
Рх = Ру = -р- Jx=--------4900--- 0,45 = 695 кг-
950 Расчеты на устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля
Критическая нагрузка, соответствующая возникновению крутильной формы равновесия,
Рш =	+ GJt )-^- = 2,8.105.0,004-^1 = 1495 кг.
Сравнивая критические нагрузки для различных форм равновесия, заключаем, что для
рассматриваемого варианта наиболее опасной является изгибная форма, поскольку ей соот-
ветствует меньшая величина критической нагрузки. Таким образом, расчетная критическая
Рко
нагрузка и расчетное критическое напряжение Ркр = 695 кг и окр = -	 = 580 кг!см2.
Для дюралюминия нормальной прочности предел текучести при растяжении
os = 1100 кг!см2, а для марок с повышенной прочностью gs = 3000 кг/см2. Таким образом,
критическое напряжение ъкр = 580 кг!см2 можно считать не превышающим предела пропор-
циональности.
Для второго варианта размеров пластинок, составляющих стержень, Ь = 40 мм; Ъ = 1 мм;
F = 1,6 см2; Jх — Jу = 1,067 см4; Jp = 2,134 см4; Jr = 0,005333 см4 и величины критических
нагрузок следующие:
Р* = Ру = g-87^‘105 Ь067 = 1645 /сг;
= 2,8-105.0,005333	= Ц20 кг.
В этом случае наиболее опасной является крутильная форма равновесия, а расчетная
критическая нагрузка и расчетное критическое напряжение равны Ркр= 1120 кг и акр —
Ркр
— —р = 700 кг!см2. Эту величину критического напряжения также можно считать меньшей
предела пропорциональности дюралюминия.
Таким образом, для рассматриваемых ребристых стержней в зависимости от соотно-
шений между размерами пластинок расчетная (наименьшая) критическая нагрузка соответ-
ствует или изгибной форме равновесия (поступательные перемещения сечений), или крутиль-
ной форме равновесия (вращательные перемещения сечений).
Пример 2, Двутавровый прокатный профиль № 10 длиной / = 3 м шарнирно оперт своими
концами и сжат центрально приложенной силой Р. Определить критическое значение сжи-
мающей силы.
По ГОСТу 8239-56 для двутавра № 10 высота профиля 7г = 100 мм, ширина полки
b = 70 мм, толщина стенки bi = 4,5 мм, средняя толщина полки 8 = 7,2 мм. Площадь сече-
ния F = 14,2 см2; главные центральные моменты инерции Jх — 244 см4 и Jy — 35,3 см4.
Для упрощения расчета пренебрегаем уклоном полок и несколько схематизируем сечение
двутавра (фиг. 670). Расстояние между средними линиями полок hi ~ h — § = 92,8 см-
Устойчивость центрально сжатых стержней
951
Критические нагрузки, соответствующие возникновению чисто изгибных форм равно-
весия,
Ру = /у = -’87 п2па106-35,3 = 7740 кг-,
у	у 3002
Рх = Jx = 219,3-244 = 53500 ле.
Критическая нагрузка, соответствующая чисто крутильной форме равновесия, опреде-
ляется по формуле (29).
Главный секториальный момент инерции двутаврового сечения (том I, глава IX)
Jm = JL IPhfc = 886 смс‘.
Геометрический фактор жесткости при чистом кручении (том I, глава IX)
JT = Ц- [2583 + /ц8|] = 2,022 см*.
О
Полярный момент инерции сечения
Jp = Jx-}~ Jy = 280 см*.
Искомая критическая нагрузка по формуле (29)
14 2
= [219,3*886 + 8* 105.2,022]	= 91 900 кг.
Сравнение трех вычисленных критических нагрузок показывает, что наименьшая (расчет-
ная) критическая сила соответствует изгибу двутавра относительно оси наименьшей жесткости:
р
Ркр = Ру = 7740 кг. Соответствующее критическое напряжение ъкр =	= 545 кг!см2
значительно меньше предела пропорциональности материала двутавра (сталь Ст. 3), что
и оправдывает применение первой из формул (28) Для двух других критических сил, не являю-
щихся расчетными, соответствующие напряжения о (Рх) = 3770 кг! см2, о (Рш) = 6470 кг/см2
превышают предел пропорциональности материала и, следовательно, результаты, даваемые
второй из формул (28), и формулой (29), можно использовать только для качественной оценки
явления. Необходимо отметить, что для прокатных двутавровых профилей (ГОСТ 8239-56)
расчетной (наименьшей) критической нагрузкой всегда служит критическая сила Ру, соот-
ветствующая изгибу относительно оси наименьшей жесткости.
Б. Профили с одной осью симметрии
Назовем главную центральную ось сечения, совпадающую с осью симмет-
рии профиля,- осью х. Для профилей с одной осью симметрии центр изгиба
заведомо лежит на этой оси и его ордината ау — 0. Благодаря этому в системе
дифференциальных уравнений (24) первое уравнение становится независимым
от остальных двух уравнений.
Подстановка и = uosin^ в первое из уравнений (24) дает критическое,
или эйлерово значение нагрузки, соответствующее изгибу стержня в пло-
скости симметрии профиля:
pt = p, = ^Jr	(31)
Подстановка v = vQ sin и ср = cposin^- в систему двух других уравне-
ний (24) приводит после некоторых преобразований к следующим выра-
жениям:
(Рх — Р) v0 + Рах^0 = 0;
Paxvo+(Pa — P)rfco = 0,
(32)
952 Расчеты на устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля
где
>	т .
X /2 •'ж»
(33)
Это система двух однородных алгебраических уравнений относительно
амплитуд v0 и ср0 поступательного и вращательного перемещений. Эти ампли-
туды отличны от нуля только в том случае, если определитель, образованный
из коэффициентов системы (32), обращается в ноль, т. е. если
1^-Р
I Рах
Рах I Л
Раскрывая определитель,
приходим к следующему
квадратному уравнению от-
носительно критического
значения нагрузки:
А2Р* — Л1Р + Ло = О,
где введены обозначения:
Л2 = Г2-О2;
А — РХРшГ0‘
Уравнение (34) дает два критических значения нагрузки:
р‘ = та, + К'4?-4'4"'4") •
Очевидно, что из двух критических сил Р2 и Р3 меньшей является Р2.
Можно показать, что величина Р2 всегда меньше величины и Рш. Далее
необходимо произвести сравнение величин Р2 и Рх = Ру. Меньшая из этих
двух величин и будет расчетной (наименьшей) критической нагрузкой.
Из трех критических сил Pi, Р2, Р3 первая соответствует чисто изгибной
форме равновесия и две другие соответствуют изгибно-крутильным формам
равновесия.
Для профилей с осью симметрии (ось х) изгибно-крутильная форма равно-
весия образуется путем смещения сечений вдоль оси у на величину
v= vosin— и одновременного вращения сечении вокруг их центров
.* пг
кручения на угол ср = ср0 sin -у.
В соответствии с этим на фиг. 671 положение оси симметрии профиля
после перехода из первого состояния во второе обозначено как ось х±.
Очевидно, что совокупность перемещения v вдоль оси у и вращательного
перемещения ср вокруг центра изгиба D можно заменить одним вращатель-
ным перемещением на тот же угол ср вокруг некоторой точки С пересечения
осей х и Xi. Условимся называть точку С центром вращения. По малости
Устойчивость центрально сжатых стержней
953
рассматриваемых
и центром изгиба
перемещений расстояние между центром вращения
можно представить в следующем виде:
z,	„ _ v _ ио
Сх	О'х —	— ,
* Ху
центра вращения.
где сх — абсцисса
Используем первое из уравнений (32); тогда
Р
Р-Рха-
^х ^х
и
с,
ах
‘~7
где Р — критическая нагрузка для рассматриваемой изгибно-крутильной
формы равновесия.
Таким образом, каждая из изгибно-крутильных форм равновесия харак-
теризуется определенным положением центра вращения С на оси симметрии
профиля (ось х). При Р = Рх (сечения с двумя осями симметрии) центр
вращения уходит в бесконечность, что соответствует переходу изгибно-
крутильной формы равновесия в чисто изгибную, характеризуемую только
перемещением v (z) вдоль оси у.
Пример, Тонкостенный желобчатый стержень с шарнирно опертыми концами сжат
силами Р, равномерно распределенными по его торцам. Средняя линия поперечного сечения
представляет собой полуокружность диаметра d = 2г = 100 мм (фиг. 672). Длина стержня
I = 2 м. Материал — сталь с пределом пропорциональности == 2000 кг/см2, Определить
критические значения сжимающей силы Р для двух значений толщины профиля: S = 2 мм
и б = 4 мм.
Равнодействующая сил, равномерно распределенных
по торцу стержня, приложена в центре тяжести торца. Для
определения критических значений нагрузки Р возможно
использование полученных выше выражений. Обратимся
к вычислению геометрических характеристик сечения
стержня, входящих в эти выражения. Учитывая тонкостей- .
ность стержня, будем выражать все характеристики в виде
контурных интегралов.
Расстояние центра тяжести О сечения стержня от его
геометрического центра К
S
хъ — -р~*
где площадь F = я гб и статический момент площади сече-
ния относительно оси, перпендикулярной к оси симметрии
сечения и проходящей через геометрический центр К
(фиг. 672);
(36>
гйфд
Фиг. 672
2
S = 2 f г cos — 2r2S
и, следовательно,
2г
х0 = — = 0,63662г.
ти
Проведем через центр тяжести сечения главные центральные оси х, у
Главные центральные моменты инерции сечения профиля равны
тс
~2
jx= 2 J (г sin <|>)2 8rd<|) = г»Ь = 1,5708г88;
Jy = 2 J (г cos ф — х0)2 8гйф = (у —	г38 = 0,29756г88.
*954 Расчеты на устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля
Полярный момент инерции относительно центра тяжести сечения
Jp =* Jx+ jИ = (« —	г88 = 1,8684г»8.
Центр изгиба профиля лежит на его оси симметрии и его координата в главных централь-
ных осях сечения (том I, глава IX)
Фиг. 673.
«Л =
со X
J X
здесь секториально-осевой момент инерции сечения
J^x & j* uydF, где ш — удвоенная секториальная площадь
F
при полюсе, совмещенном с центром тяжести сечения.
За начальный радиус-вектор примем отрезок ОА
(фиг. 673). Секториальная площадь—это площадь, описан-
ная начальным радиусом-вектором О А при перемещении
точки А по средней линии стенки профиля. Эта площадь,
соответствующая некоторой текущей точки средней линии,
заштрихована на фиг. 673. Секториальная площадь считается
положительной, когда обход контура производится по на-
правлению вращения часовой стрелки (том I, глава IX).
Из геометрических соображений удвоенная секториаль-
ная площадь равна
ш = 2 (1г2ф —= (ф_2 йпф') f.
Замечая, что для верхней и нижней половин сечения знаки секториальной площади
ш ординаты у = г sin ф совпадают, заключаем, что секториально-осевой момент инерции
л:
г2г sin ф8п2ф = г4 5,
-следовательно, искомая координата центра изгиба D
(фиг. 674)
2г
ах —-----т- —-----•
J X	™
Главный секториальный момент инерции равен
= f wf,
F
где ш — удвоенная секториальная площадь с полю-
сом в центре кручения D и начальным радиусом-
вектором DA.
Из геометрических соображений (фиг. 674) имеем
ш = — 2 Г~- ~ г sin ф-------г2ф1 = — sin ф — ф^ г2
и, следовательно,
тс
Jw = 2 J sin ф — ф)2 r^Zrdif =	г6 8 = 0,037378г5 8.
Геометрический фактор жесткости при чистом кручении
7г = 1.тег5з= 1,0472г83.
О
Устойчивость центрально сжатых стержней
955
По формуле (31) критическая нагрузка Pi = Pv, соответствующая чисто изгибной форме
равновесия в плоскости симметрии стержня, имеет следующую величину:
/>=/> = 9,86д6.'^106 0,29756-125- 4- = 3671 кг.
*	4*104	5
Перейдем к вычислению критических нагрузок Рг и Р3, соответствующих изгибно-кру-
тильным формам равновесия, по формулам (35).
Необходимо отметить, что для рассматриваемого профиля при центральном сжатии
чисто изгибная форма, соответствующая нагрузке Рх, и чисто крутильная форма, соответ-
ствующая нагрузке Рш, возникнуть не могут, и выражения (33) для Рх и Рш в этом случае
надо рассматривать только как условные обозначения:
Px = -jT Jx= 493,48-1,5708-125— = 19 380 кг.
Вспомогательная величина по первой формуле (17)
следовательно (5 = 2 мм),
Рш = [493,48-0,037378г5 8 + 8- 10е- 1,0472г83]	= 1802 кг.
Коэффициенты квадратного уравнения (34)
Л2 = г|—4 = 0,5947г2;
А, = (₽,+ ?«,)/? =21 180г2;
Ао = ЛА/о = 3,491-10’г2.
Тогда искомые критические нагрузки по формулам (35) Р2 = 1733 кг и Р3 = 33 880 кг.
Сравнивая между собой величины трех критических нагрузок, заключаем, что расчетная
-(наименьшая) критическая сила при толщине профиля 5 = 2 мм, Ркр = Р2 = 1733 кг и соот-
ветствующее критическое напряжение
акр =	= 522 кг/см2 < ар = 2000 кг/см2.
Таким образом, прямолйнейная форма равновесия рассматриваемого профиля при
-нагрузке Ркр = Рг переходит в одну из двух возможных изгибно-крутильных форм равно-
весия. Существенно, что критическая сила Pi = 3671 кг, соответствующая чисто изгибной
форме равновесия, значительно превышает наименьшую критическую силу Р2 = 1733 кг.
Поэтому в рассматриваемом случае обычный расчет на устойчивость по формуле Эйлера при-
водит к совершенно неправильному представлению о фактическом запасе устойчивости профиля.
Все эти результаты получены при толщине профиля 5 = 2 мм. Изменим теперь толщину
профиля до величины 5 = 4 мм. Опуская все промежуточные вычисления, приведем окон-
чательные значения критических нагрузок: Pi = Ру = 7342 кг; Ръ = 10 010 кг; Р3 = 74 370 кг.
Сравнивая теперь величины трёх критических сил, заключаем, что наименьшая из них
Pi == Ру — 7342 кг соответствует изгибной (эйлеровой) форме равновесия в плоскости сим-
метрии профиля. Соответствующее критическое напряжение
акр	1168 кг/см2 < ар — 2000 кг/см2.	/
Итак, при толщине 5 = 4 мм наиболее опасной является чисто изгибная форма равно-
весия.
В. Несимметричные профили
В общем случае несимметричного сечения обе координаты ах и центра
изгиба отличны от нуля и необходимо использовать полную систему диффе-
ренциальных уравнений (24). Другими словами, для профилей несиммет-
ричного сечения при центральном сжатии невозможно возникновение чисто
956 Расчеты на устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля
изгибной (эйлеровой) или чисто крутильной форм равновесия. Все три криво-
линейные формы равновесия являются полными изгибно-крутильными
формами, т. е. каждая из них образована двумя линейными перемещениями
и, (z) и v (z) и вращательным перемещением <р (z) относительно продольной
оси, проходящей через центры изгиба сечений. Ограничимся, как и выше,
рассмотрением случая шарнирно опертых концов стержня. Подстановка
значений и, v, <р по выражениям (27) в систему дифференциальных урав-
нений (24) приводит после преобразований к следующей системе однород-
ных алгебраических уравнений относительно амплитуд перемещений:
(Ру — Р)и0 — РауФо = О;
(Рх — Р) vo + Pax<t0 = 0;
— Рауи0 + Paxv0 + (Рш — Р) /-2<р0 = 0.
(37)
Значения Ру, Рх и Рш представлены формулами (28) и (29).
Существование криволинейных форм равновесия возможно только в тех
случаях, когда амплитуды перемещений u0, v0, <р0 (все или некоторые из них)
отличны от нуля. Это имеет место, когда определитель, образованный
из коэффициентов однородных уравнений относительно неизвестных ц0, v0
и <р0 равен нулю, т. е.
(Ру-Р) о	-ауР
0	(Рх-Р) ахР
-ауР ахР (Рш-Р)г|
= 0.
Раскрывая определитель, приходим к следующему кубическому уравнению относительно
критической нагрузки Р:
Л3Р3 + Д2Р2 + ДХР + Ло = 0,	(38)
где для сокращения записи введены следующие обозначения:
A^ — rl + a^ + Jy,
'^2 — (Ра> “I" Рх	Ру)	а^Рх а*Ру',
Лх = - (РхРу +	+ РХРШ) %,
•4<> = РxPyPmrQ-
Решение кубического уравнения (38) производится следующим образом. Подстановкой
преобразуем уравнение (38) к виду
дз + зВ1д + 2Во = О,
где
n _ 1 а,_______1/AV-
1" з ' Аа	9 \ А3 / ’
п __ 1 ( Аг \8_____1 Л]А2 I Аа
27 к Аэ У 6 • Л2 + 2А8 ’
Можно показать, что уравнение (41) имеет три вещественных корня:
91 = 2 / | Вх | cos<p;
9г = 2 У"[вП cos	;
9з = 2 уувТГ“S
(41)
Л
(42)
Устойчивость внецентренно нагруженных стержней
957
где параметр ? определяется из соотношения
cos 3<р = ———
1^1“
(43)
После решения вспомогательного уравнения (41) уже не представляет затруднений
вычислить три вещественных корня основного уравнения (38), т. е. установить три крити-
ческих значения нагрузки Р для рассматриваемого профиля:
р __а____L, dl .
3 А, ’
— <?2
1 Аг .
3 ’Дз ’
(44)
Р* — Яг
L Л2
з 'д3 •
- Эти нагрузки соответствуют трем изгибно-крутильным формам равно-
весия.
Наименьший корень кубического уравнения (38) и будет расчетной кри-
тической нагрузкой, используемой в практических расчетах на устойчи-
вость. Весьма существенно, что этот корень будет меньше, чем условные
критические нагрузки Рх, Ру, Рш, соответствующие чисто изгибным и чисто
крутильной формам равновесия. Таким образом, часто производимый расчет
несимметричных открытых тонкостенных профилей на устойчивость по вели-
чинам Рх и Ру (эйлеровы критические силы) приводит к совершенно непра-
вильному представлению о величине запаса устойчивости. Фактический
запас устойчивости меньше и часто значительно меньше, чем определяемый
расчетом по эйлеровым критическим нагрузкам.
Экспериментальное исследование устойчивости центрально сжатых тонко-
стенных открытых профилей производилось в Лаборатории строительной
механики ЦНИПС и в ряде других мест. Опыты хорошо подтвердили все
основные положения изложенной выше теории, а именно:
1)	испытанные образцы, у которых центр тяжести сечений не совпадает
с центром изгиба, теряли устойчивость по изгибно-крутильной форме;
2)	для тщательно изготовленных и установленных образцов фактическая
ось вращения, вокруг которого происходит закручивание, параллельна оси
стержня и расположена в непосредственной близости от теоретической
оси вращения;
3)	величины критических нагрузок, найденные из опытов, очень хорошо
совпадают с теоретически вычисленными величинами. .
§ 3. УСТОЙЧИВОСТЬ ВНЕЦЕНТРЕННО НАГРУЖЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
При-центральном приложении силы критическая нагрузка соответствует
потере устойчивости прямолинейной формы равновесия и возникновению
новых форм равновесия: изгибных, крутильных или изгибно-крутильных.
В случае внецентренного нагружения (изгиба) прямолинейная форма равно-
весия отсутствует и при нагрузках, меньших критической, имеет место кри-
волинейная (изгибная) форма равновесия. Предполагается, что упругие
перемещения, соответствующие этой первоначальной криволинейной форме
(первое состояние), малы и эта форма весьма мало отличается от прямоли-
нейной.
Критическая нагрузка соответствует здесь потере устойчивости перво-
начальной криволинейной формы и возникновению, как правило, новых
изгибно-крутильных форм равновесия (второе состояние).
958 Расчеты на устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля
В общем случае для профилей несимметричного сечения изгибно-крутиль-
ные формы.равновесия при внецентренном нагружении определяются вместе
с соответствующими краевыми условиями полной системой трех линейных
дифференциальных уравнений равновесия.
Наиболее существенное упрощение эта система получает в том частном!
случае, когда точка приложения силы Р совпадает с центром изгиба сечения,
т. е. когда ех = ад и еу — ау. Только в этом случае система (23) распадается
на три отдельных, не зависящих друг от друга уравнения:
<Ри . n du п
EJy -j-r + Р I- = 0;
у dz3 1 dz	'
EJ 4. p^L — о-
Jx dz3 + dz ~ U’
+ [(rl + 2pA + 2Му) P - G^r] -g- = 0.
(45>
Первые два из уравнений (45) соответствуют изгибным формам равнове-
сия и третье — крутильной форме.
Ограничимся, как и выше, рассмотрением устойчивости стержней с шар-
нирно опертыми торцовыми сечениями. Тогда подстановка значений и,
v, <р по формулам (27) в уравнении (45) приводит к следующим выражениям
для критических нагрузок:
р ___ т .
Г х — р а х>
р* -
х (13 -----------
го +	+ 2^уау
(46>
Первые два из выражений (46) представляют собой критические значения
нагрузки, соответствующие изгибным или эйлеровым формам равновесия,
и третье выражение дает критическую нагрузку, связанную с крутильной
формой равновесия. Таким образом, вычисление критических нагрузок для
тонкостенных открытых профилей по формулам Эйлера возможно, вообще
говоря, только в том частном случае, когда продольная сжимающая сила
приложена в центре изгиба сечения. Если же точка приложения продоль-
ной силы не совпадает с центром изгиба, то стержень обладает только из-
гибно-крутильными формами равновесия. Некоторое исключение из этого
общего положения представляют сечения с одной или двумя осями симметрии
при условии, что точка приложения продольной силы лежит на оси симмет-
рии.
А. Профили с одной осью симметрии, нагруженные силой,
приложенной в произвольной точке этой оси
Совместим ось симметрии сечения с координатной осью х. По условию
точка приложения продольной силы Р лежит на оси симметрии профиля,
т. е. еу = 0. Центр изгиба также расположен на оси симметрии, т. е. ау = 0.
Подстановка еу = 0 и ау = 0 в систему дифференциальных уравнений
(23) дает возможность получить
у dz3 1 dz
EJ^ + P^—P(ax-ex^ = Q>
EJm + [P (rl + 2^) - GJr] -g - P (ax - ex) £ = 0.
} (47>
Устойчивость внецентренно нагруженных стержней
959
Таким образом, в рассматриваемом случае стержень обладает одной чисто
изгибной формой равновесия [первое из уравнений (47)] и двумя изгибно-кру-
тильными формами равновесия, описываемыми системой второго и третьего
из уравнений (47).
Подстановка значений (27) для перемещений и, v, <р в дифференциальные
уравнения (47) прежде всего определяет критическую силу
соответствующую изгибу стержня в плоскости его симметрии.
Две другие критические силы, соответствующие изгибно-крутильным
формам равновесия, определяются из условия:
здесь, как и прежде,
ifiE j , р г ] 1
р »<от I ~
J г0
D	Т
и ?х — it Jх*
(48)
После преобразований уравнение (48) можно представить в виде
Д2Р«-Л1Р + Лв = 0,	(49)
где коэффициенты имеют следующие значения:
л2 == Го + 2$хех — (ах — ^)2;
— Рх (го + 2Рд€г) + Р^го;
Ло = РхРшг%.
Итак, в рассматриваемом случае стержень имеет три следующих крити-
ческих значения нагрузки:
[Л1~ V А' ~ 4Л0Лг];
Рз = ^[А1 + КД21--4А0Аг].
(50)
Расчетной критической силой, естественно, является наименьшая из трех
критических сил, определяемых формулами (50).
Пример. Тонкостенный желобчатый стержень (фиг. 675) с шарнирно опертыми концами
сжат и изогнут продольными силами Р приложенными в центрах кривизн его торцовых сечений
(это нагружение стержня можно осуществить, например, путем приложения в двух крайних
точках В каждого торцового сечения по продольной силе-у . Размеры стержня следую-
щие: радиус средней линии сечения (полуокружность) г — 50 мм- толщина стенки профиля
5 = 2 мм\ длина стержня I = 2 м. Материал — сталь с пределом пропорциональности
бр = 2000 кг!см2.
Определим критические значения нагрузки на стержень.
В одном из примеров § 2 настоящей главы рассматривалось центральное сжатие такого же
стержня (см. фиг. 672—674); там уже было вычислено большинство необходимых геометриче-
ских характеристик сечения Jx = 1,5708 г36;	«7^= 0,29756 г35; Jp — 1,8684 г35;
Jr= 1,0472 г53; 7^= 0,037378 г*Ъ.
*960 Расчеты на устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля
Координаты центра изгиба D в главных центральных осях сечения равны
2г	А
—; <^ = 0.
Координаты центра кривизны К в тех же осях
2г	п
хо = — и #о=°-
При переходе к рассмотрению внецентренного нагружения
«отельное вычисление еще двух геометрических характеристик в
профиля необходимо допол-
виде полярно-осевых момен-
тов инерции:
тх = J y^dF и Ty = ^x^dF
F	• F
Учитывая, что эпюра р2 симметрична относительно
оси х, а эпюра ординат у обратно симметрична относи-
тельно той же оси, заключаем, что
тх = У y^dF = 0.
F
х Полярно-осевой момент инерции Ту представим
в следующем виде:
Ту = J x3dF + $Xy»dF.
F	F
Замечая, что координаты текущей точки средней
линии профиля в главных центральных осях сечения
(фиг. 675)
х = — (г cos ф — х0) и у — г sin ф,
Фиг. 675.	имеем
к
У
Ту — — 2гЪ J (г cos ф — х0)3 dty — 2rsd J (г cos ф — х0) sin2 ф<1ф
о	о
или после соответствующих вычислений
Ту = 2 (1 —	г*8 = 0,37886г48.
Выше были также определены силы Pi = Ру = 3671 кг\ Рх — 19 380 кг\ Рш = 1802 кг.
Вычислим еще одну вспомогательную величину:
Ту
2Jy

_ 1	0,37886
ах ~ 2 ’ 0,29756
г + — - 1,2732г.
TZ
Координаты точки приложения сил Р в главных центральных осях
«х=-£- и ey = Q.
Тогда коэффициенты квадратного уравнения (49) принимают следующие значения:
А2 = *0 + 2Мх — (аХ — «х)2 = г2;
At = Рх (rl + 2Мх) + Parl = 52 597г»;
До = PxP^l = 19 380- 1802г2 = 3,4913- Ю’г2.
Устойчивость внецентренно нагруженных стержней
961
Критические силы, соответствующие изгибно-крутильным формам равновесия, опреде-
ляются по формулам (50) и равны Р2 — 672 кг и Р3 = 51 930 кг.
Расчетная (наименьшая) критическая сила Ркр = Р%= 672 кг.
Существенно отметить, что вычисленные выше величины критических сил справедливы
только в том случае, если вызываемые ими наибольшие нормальные напряжения в поперечных
сечениях не превышают предела пропорциональности материала стержня. В рассматриваемом
случае эти наибольшие напряжения имеют место в точках В поперечных сечений и опреде-
ляются следующим образом (при Р = Ркр = 672 кг):
_ Р , М,
F
672	, 672-0,63662 о,с ,	, 2
3,1416 + 0,29756	- 215 + 1435 “ 1650 ,СМ ’
т. е. оказываются меньшими предела пропорциональности материала стержня.
Необходимо отметить, что значения наибольших нормальных напряжений, соответствую-
щих силам А и значительно больше ор. Поэтому приведенные выше значения этих крити-
ческих нагрузок можно использовать только для качественной оценки явления. Определение
истинных значений Pi и Р3 необходимо производить с учетом наличия пластических деформа-
ций, что приводит к значениям, несколько меньшим, чем вычисленные выше.
В случае центрального приложения сил Р выше было вычислено следующее наименьшее
значение критической силы: Ркр = Р^= 1733 кг. Таким образом, перенос точки приложения
продольной силы из центра тяжести сечения в центр кривизны снижает наименьшую крити-
1733
ческую силу в ^2,6 раза. Это обстоятельство указывает на необходимость при расчете
о7 z
на устойчивость весьма тщательно учитывать возможный эксцентрицитет приложения нагрузки.
Б. Несимметричные профили и профили с одной или двумя осями
симметрии, нагруженные внецентренно приложенной силой
При произвольных значениях эксцентрицитетов ех и еу основная
система дифференциальных уравнений (23) независимо от формы сечений
(наличие одной или двух осей симметрии) не распадается на отдельные урав-
нения. Таким образом, в общем случае внецентренного нагружения потеря
устойчивости сопровождается возникновением изгибно-крутильных форм
равновесия.
Ограничимся, как и выше, рассмотрением стержней с шарнирно опер-
тыми концами. Подстановка значений перемещений uf v, ф по выраже-
ниям (27) в систему дифференциальных уравнений (23) приводит к следующей
системе однородных алгебраических уравнений относительно амплитуд пере-
мещений «о, фо-
(Ру — Р) и0 — Р (ау — еу) Фо = 0;
Рх — Р) v0 + P(ax — ejcpo = 0;
— Р(ау — еу)и0 + Р(ах — Bx)o0-f-	(5 '
+ [Рш/'о — Р (fo +	+ 2руву)] = 0,
где введены обозначения Рх, Ру, Рш, согласно формулам (28) и (29).
Существование изгибно-крутильных форм равновесия возможно только
в том случае, когда определитель, образованный из коэффициентов системы
(^1), .обращается в ноль. Раскрывая определитель, приходим к следую-
щему кубическому уравнению для вычисления трех критических сил:
(Рх - Р) (Ру - Р) [(Р„ - Р) г20 - 2Р (^ + руву)] -
- Р2 (Рл - Р) (ау - ву)2 - Р2 (Ру - Р) (ах - ех)2 = 0.
Это уравнение удобно представить в следующем виде:
ЛзР’ + Д^ + Л^ + Д^О,	(5.2)
61 Пономарев
508
962 Расчеты на устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля
где для сокращения записи введены обозначения:
— (flx — exf + (ау — еу)2— (ro + 2pxex -р 2руву);
Л2 = РшГо4~ (Рх + Ру) (го 4* -р 2руеу) —
Рх (fly еу)2 Ру (flx ^х)2>
Лх = — Рш (Р х -р Ру) Го — Р ХР у (го 4~ ^х^х + 2руеу);
Ло = P^yP^rt
(53)
Корни уравнения (52) и дают три критических значения Р2, Р3 вне-
центренно приложенной силы. Расчетной критической силой является наи-
меньшая из найденных трех величин. Весьма существенно, что эта крити-
ческая сила для тонкостенных открытых профилей, вообще говоря, значи-
тельно меньше получаемой по общепринятым формулам Эйлера.
При применении изложенной теории расчета на устойчивость открытых
тонкостенных профилей необходимо иметь в виду, что эта теория не учитывает
влияние решеток и планок, применяемых в различного рода металлических
конструкциях.
Наличие этих вспомогательных элементов, увеличивающих жесткость
на кручение тонкостенных стержней, в значительной степени сближает резуль-
таты расчетов на устойчивость по формулам Эйлера и по теории изгибно-
крутильных форм равновесия.
Таким образом, изложенную теорию целесообразно применять только
к расчету открытых тонкостенных профилей, не усиленных постановкой
решеток и планок.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Болотин В. В., Интегральные уравнения стесненного кручения и устойчивость
тонкостенных стержней, Прикладная математика и механика, т. 17, вып. 2, 1953.
2.	В л а с о в В. 3., Тонкостенные упругие стержни, Стройиздат, 1940.
3.	Власов В. 3., Тонкостенные упругие стержни. Физматгиз, 1959.
4.	Геммерлинг А.В., К расчету внецентренно-сжатых тонкостенных стержней,
«Труды лаборатории строительной механики Центрального научно-исследовательского инсти-
тута промышленных сооружений», Стройиздат, 1949.
5.	Гольденвейзер А.Л., Устойчивость тонкостенных стержней при действии
продольной силы в зависимости от граничных условий, «Труды лаборатории строительной меха-
ники Центрального научно-исследовательского института промышленных сооружений», Строй-
издат, 1941.
6.	Д л у г а ч М. И., Экспериментальное исследование устойчивости тонкостенных
стержней, усиленных решеткой или планками, Сборник трудов Института строительной меха-
ники АН УССР, № 17, 1952.
7.	Д л у г а ч М. И., О расчете тонкостенных стержней, усиленных решеткой или план-
ками, сборник «Расчет пространственных конструкций», вып. 1, Машстройиздат, 1950.
8.	Добудогло Н. Г., Опытное исследование устойчивости металлических строи-
тельных профилей при центральном сжатии, «Труды лаборатории строительной механики
Центрального научно-исследователького института промышленных сооружений», Стройиздат,
1941.
9.	Межлумян Р. А., Пространственная устойчивость конструкций при упруго-
пластических деформациях, «Инженерный сборник», АН СССР, т. 14, 1953.
10.	Меж л у м я н Р. А., Пространственная упруго-пластическая устойчивость тонко-
стенных стержней при центральном и внецентренном сжатиях, «Инженерный сборник», т. 23,
АН СССР, 1956.
11.	Пратусевич Я. А., О малых деформациях и пространственной устойчивости
криволинейных стержней и арок, «Труды Московского института инженеров транспорта»,
вып. 76, 1952.
12.	Р е п м а н Ю. В., Устойчивость плоской формы изгиба тонкостенных стержней,
«Труды лаборатории строительной механики Центрального научно-исследовательского инсти-
тута промышленных сооружений», Стройиздат, 1941.
Л итература
963
13.	Пыженков И. А., К вопросу об устойчивости плоской формы изгиба тонкостен-
ных стержней, Сборник научных трудов Магнитогорского горно-металлургического института,
№ 7, 1954.
14.	Р ж а н и ц ы н А. Р., Устойчивость тонкостенных стержней за пределом упругости,
«Труды лаборатории строительной механики Центрального научно-исследовательского инсти-
тута промышленных сооружений», Стройиздат, 1941.
15.	Ржаницын А. Р., Расчет на устойчивость тонкостенных стержней открытого
профиля, Энциклопедический справочник «Машиностроение», т. 1, кн. 2, Машгиз, 1947.
16.	Тимошенко С. П., Устойчивость упругих систем, Гостехиздат, 1955.
17.	Сборник задач по расчету тонкостенных конструкций, под ред. А. А. Уманского,
Оборонгиз, 1941.
18.	Уманский А. А., Кручение и изгиб тонкостенных стержней открытого профиля,
Оборонгиз, 1939.
19.	У р б а н И. В., Теория расчета стержневых тонкостенных конструкций (глава 8),
Трансжелдориздат, 1955.
20.	Шаншиашвили А. М., К расчету стальных колонн и балок с частично замкну-
тым контуром, «Труды Грузинского политехнического института», № 4, 1955.
21.	Я гн Ю. И., Изгибно-крутильные деформации тонкостенных стержней открытого
профиля, Гостехиздат, 1952.
22.	К ар р us R., Drillknicken zentrisch gedriickter Stabe mit offenem Profit im elastic
schen Bereich «Luftfahrtforschung», Bd. 14, № 9, 1937.
61*
ГЛАВА XV
РАСЧЕТЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ тонких ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
ПЛАСТИН
Элементами тонкостенных металлических конструкций, широко исполь-
зуемых в современном машиностроении, служат прокатные или штампован-
ные профили .и тонкие листы.
В предыдущей главе рассмотрена устойчивость сжатых тонкостенных
профилей. Тонкие листы (пластины) также требуют расчета на устойчивость.
Действительно, при некоторой величине усилий, действующих в плоскости
пластины, плоская форма равновесия последней становится неустойчивой
и пластина выпучивается. Это выпучивание пластин возникает при нагрузках
тем меньших, чем меньше толщина пластины по сравнению с прочими ее раз-
мерами. Расчеты пластин на устойчивость особенно существенны в таких
специализированных отраслях машиностроения, как судостроение, само-
летостроение и т. ц.
П. Ф. Папкович-следующим образом формулирует практическую значи-
мость этих расчетов [24]: «Вопрос об устойчивости сжатых пластин пред-
ставляет, сточки зрения строительной механики корабля, совершенно исклю-
чительный интерес потому, что большинство судовых конструкций разру-
шается обычно не в результате каких-либо местных перенапряжений и сопут-
ствующих этим перенапряжениям разрывов материала, а в результате гоф-
рировки пластин, потерявших устойчивость при сжатии».
В развитии теории устойчивости пластин значительным этапом явились
работы С. П. Тимошенко [30] — [32 ]. Применение энергетического критерия
устойчивости позволило успешно рассмотреть ряд задач, непосредственно
относящихся к устойчивости стенок в металлических конструкциях. Неко-
торые задачи, возникшие из практики судостроения, рассмотрены в работах
И. Г. Бубнова [7]. Им был предложен [8] весьма общий приближенный
метод решения задач устойчивости упругих систем. Независимо от И. Г. Буб-
нова, несколько позже, аналогичный метод был предложен и применен к ре-
шению ряда задач устойчивости стержней и пластин Б. Г. Галеркиным [10].
Интересный для практических приложений вопрос об устойчивости пла-
стин, сжатых сосредоточенными силами, рассмотрен в работах А. Филип-
пова [34] и А. И. Лурье [22].
Исследования по устойчивости пластин как элементов стальных конструк-
ций изложены в работах Б. М. Броуде [5], [6].
Устойчивость анизотропных пластин (фанерных, текстолитовых, под-
крепленных ребрами и т. п.) исследована в работах С. Г. Лехницкого [20],
Я. И. Секерж-Зеньковича [27], Л. И. Балабуха [2].
Теория устойчивости пластин при наличии пластических деформаций
разработана А. А. Ильюшиным [15], [16] на основе предложенной им общей
теории пластичности. Среди обзорных работ, в которых сконцентрированы
результаты различных исследований по устойчивости пластин и дан их
Основное дифференциальное уравнение устойчивости пластин
965
анализ, необходимо отметить книги П. Ф. Папковича [24] и С. П. Тимо-
шенко [33].
По глубине критического освещения имеющихся решений, оригиналь-
ности и полноте трактовки ряда проблем особенно отличается работа
П. Ф. Папковича [24]. Более краткими руководствами справочного харак-
тера являются книги А. Н. Динника [14], Ф. Гартмана [11] и др.
§ 1. ОСНОВНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИН
Рассмотрим прямоугольную пластину, постоянная толщина которой h
мала по сравнению с размерами сторон а и Ь. Отнесем эту пластину к коор-
динатной системе xyz (фиг. 676), выбранной так, что оси х и у расположены
в срединной плоскости пластины и направлены соответственно вдоль сторон
а и bt ось z направлена по нормали к срединной плоскости. Пусть эта пла-
стина нагружена по краям внешними силами, лежащими в срединной пло-
скости, или, точнее, равномерно
распределенными по толщине
пластинки. Обозначим интен-
сивность внешних сил, распре-
деленных по краю х = 0 и на-
правленных вдоль оси х — че-
рез Рх1, а направленных вдоль
оси у — через Ту1. Тогда
интенсивности внешних сил по
краю х = а будут Рх2 и Ту2.
Аналогично для сил, распреде-
ленных по краю у = 0, Ру1
и Тх1, а по краю у—Ь Ру2 и Тх2.
В общем случае все эти внешние
силы распределены вдоль соот-
ветствующих краев пластины
неравномерно, * но так, что
плрстина под их воздействием
Фиг. 676.
находится в равновесии.
Существенно отметить, что через Р и Т обозначены интенсивности внешних
сил, т. е. внешние силы, отнесенные к единице длины соответствующего1 края
пластины. В дальнейшем мы будем называть их просто внешними силами.
При’достаточно малых значениях внешних сил пластина деформируется
в своей плоскости. В сечениях пластины, параллельных плоскостиxz, имеют
место нормальные напряжения <з у, параллельные оси у, и касательные напря-
жения гух, параллельные оси х. Эти напряжения распределены равномерно
по толщине h пластины, и поэтому при приведении внутренних сил к средин-
ной плоскости будут иметь место только нормальные и сдвигающие силы.
Интенсивности Ny и Syx этих сил выражаются следующим образом (фиг. 677):
+ 2	‘2
Ay = J aydz; S х= J nyscdz.	(1)
А	_ h
“Т	2
Аналогично в сечениях пластины, параллельных плоскости yz, имеют
место нормальные напряжения параллельные оси х, и касательные
напряжения тху, параллельные оси у, также распределенные равномерно
по толщине h пластины. Интенсивности соответствующих внутренних сил
выражаются как
(2)
$66
Расчеты на устойчивость тонких прямоугольных пластин
По теореме о парности касательных напряжений тЛу=туХ, а следовательно,
равны между собой и интенсивности касательных сил: Sxy = Syx.
Деформация пластин только в своей плоскости соответствует устойчивому
равновесию между внешними силами Р
Фиг. 677.
и Т и внутренними силами N и S.
При некотором значении
внешних сил (так называемое
критическое значение) равнове-
сие между внешними и внут-
ренними силами, соответствую-
щими деформации пластины
в ее плоскости, становится
неустойчивым. В этом случае
возникает новая, искривленная
форма равновесия пластины.
Этой новой форме равновесия
соответствуют и новые значения
внутренних сил. Наряду с уси-
лиями NnS, соответствующими
деформациям пластины в своей
плоскости, возникают и внутренние силовые факторы (изгибающие и крутящие
моменты и поперечные силы), обусловленные изгибом пластины (фиг. 678).
При искривлении пластины произвольная точка (х, у) срединной плоскости
перемещается вдоль оси г на некоторую величину w (прогиб пластин).
Интенсивности изгибающих *и крутящих моментов связаны с прогибами
пластины'следующими соотношениями (том II, глава II):
*	L дх2
d2w
ду2
Л, гл Г d2w । d2w 1
У	L dy2 ‘ r dx2 j ’
M =-D(l-P)-^,
• 'У y* 4 dxdy ’
где D — цилиндрическая жесткость
или жесткость пластины на изгиб;
Eh?
12 (1 fi2) ’
О =
Обратимся к рассмотрению уело-	Фиг. 678.
вий равновесия элемента пластины,
изображенного на фиг. 677 и 678. Составим сумму моментов всех сил, прило-
женных к элементу относительно осей х0 и у0, совпадающих с гранями эле-
мента и параллельных соответственно осям х и у. В эти уравнения войдут
только силы и моменты, перпендикулярные к плоскости элемента (фиг. 678):
(му +	dy) dx - M>dx +{Мху + ^~dx) dy - Myidy-
-(Qy2 + ^dy)dxdy = 0-,
(мх + dx) dy ~ Mxdy +	dy) dx — Myxdx —
-^Qxz+^dx)dydx = 0.
Основное дифференциальное уравнение устойчивости пластин
967
Пренебрегая величинами высших порядков малости и преобразовывая
составленные уравнения равновесия, находим, что
z) __ дМу . дМху ,
чУг ду "Г дх '
п _ дМх дМух
Ч*г — дх -I- ду •
или, учитывая зависимости (3), получаем
~   Л Г	I 1
Чу* — ~и~ду	as?J;
~   p d г d2^ I d2^ 1
^xz “	["a? + dy2 J •
(5)
Составим суммы проекций всех сил, приложенных к элементу, на оси х0
и у0. В эти уравнения войдут только силы, лежащие в плоскости элемента
(фиг. 677):
dx) dy - N*dy +-i- dy)dx ~ s>*dx = 0;
(tfy + dy) dx - Nydx + (\y + dx) dy - Sxydy = 0
или после преобразований
dNx	f	dSyx	 n,
dx	dy	“U’
dNy	I	dSxy	 n
dy	dx	‘
(6)
Составим сумму проекций всех сил, приложенных к элементу, на ось z.
Здесь, в отличие от использованных выше уравнений равновесия, сущест-
венно учесть деформацию элемента при искривлении пластины. Проекти-
рование сил, перпендикулярных к плоскости элемента (фиг. 678), не пред-
ставляет каких-либо затруднений. Несколько сложнее проектирование сил,
лежащих в плоскости элемента (фиг. 677), с учетом искривления последнего.
Действительно, рассматривая проекцию искривленного элемента на пло-
скость xz (фиг. 679), находим, что нормальные силы N^dy, приложенные
по двум взаимно-противоположным граням элемента, дадут в направлении
оси г составляющую
Пренебрегая малыми высших порядков, эту составляющую можно пред-
ставить в следующем виде:
(Ат d2w . dNx dw\ * -
^-d^ + -dT'-dF)dxdy-
Аналогично нормальные силы Nydx, действующие по двум другим сто-
ронам, дадут составляющую
\Ny^. + ^L^\dxdy,
L у dy2 1 dy dy | u
968
Расчеты на устойчивость тонких прямоугольных пластин
Для проектирования на ось z касательных сил Sxydy необходимо учесть,
что вследствие искривления элемента его левая грань образует с осью г/0
угол а правая грань — угол	(Фиг- 680). Тогда
проекция на ось z сдвигающих усилий, распределенных по граням элемента,
параллельным оси yQ будет
(sду + ^У. dx} dy \^~ + dx\ _ SXydy%-
\ ЛУ ’ дх J у \_dy 1 дх\ду J J ХУ dy
или после преобразований
Is diw I dSxy ^dxdu
dxdy + dx dy Ja dy-
Аналогично сдвигающие усилия, распределенные по граням элемента,
параллельным оси х0, дадут составляющую
\SvX-^ + ^L^]dxdy.
[ У* dxdy dy dx J a
Итак, сумма проекций всех сил, приложенных к элементу на ось z, с уче-
том искривления элемента имеет следующий вид:
( Q*z +	dx} dy - QX2dy + ( Qyz + dy} dx - Qyzdx +
+ \N^ + ^L.^L]dxdy+\Ny^ + d-^.^]dxdy +
+ \Sxy-^- + ^-^-]dxdy+ \syx-^- + ^..^-]dxdy = 0
1 l ХУ dxdy 1 dx dy J u 1 [ У* dxdy 1 dy dx J 27
или после преобразований получаем
^ + ^+Nx^ + N ^ + 2Sxv-l^-+ № + ^-1-^ +
dx ' dy x dx2 У dy2 1 dydx [ dx dy ] dx
I Г dNу . dSxy 1 dw _q
‘ L dy ‘ dx \ dy
Используя формулы (5) и (6), можно представить полученное уравнение
в следующем виде:
D ' 9 d*w _4_ д4щ1 — N а2ау _ц Л7 — Д- 2<?	&2w	(7\
U [dx* + Л l^dy2±~fy*J	dy*	ХУ dxdy '
Выражение (7) представляет собой основное дифференциальное уравне-
ние искривленной срединной плоскости пластины (срединной поверхности).
Прямоугольная пластина, опертая по всему контуру
969
Это уравнение вместе с соответствующими краевыми условиями позво-
ляет определить критическое значение нагрузок Р и Т (фиг. 676), располо-
женных в срединной плоскости.
Краевые или граничные условия в зависимости от крепления краев
пластины имеют следующий вид (том II, глава II):
I.	Защемленный край. В этом случае вдоль защемленного края пластины
прогиб
w = О
(8)
и угол поворота в плоскости, перпендикулярной к контуру,
dw
дп
(9)
где ось п направлена по нормали к рассматриваемому краю пластины.
2.	Свободно опертый край
w = 0;
d2w __
дп2 ~
(10)
Второе из условий (10) соответствует обращению в ноль изгибающих
моментов или Му для свободно опертого края.
3.	Свободно висящий край. Здесь имеют место следующие два условия:
d2w d2w Л
d3w ,	. d3w п
дп3 "И	dnds2 ’
где ось s направлена вдоль рассматриваемого края пластины.
§ 2. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА, ОПЕРТАЯ ПО ВСЕМУ КОНТУРУ
И СЖАТАЯ СИЛАМИ, РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПО ДВУМ ВЗАИМНО-
ПРОТИВОПОЛОЖНЫМ СТОРОНАМ
Пусть пластина сжата силами, равномерно распределенными по сторонам
х = 0 и х = а (фиг. 681). Обозначим интенсивность сжимающих сил через Р.
При этом в пластине возникают внутренние силы
А^ = -Р; tfy = 0; Sxy = Syv = 0.	(12>
Существенно отметить,, что в рассматриваемом случае внутренние силы
одинаковы для любой точки пластины. Дифференциальное уравнение (7)
срединной поверхности пластины принимает следующий вид:
D + 2 <13>
Весь контур пластины предполагается опертым, а следовательно, для
всех точек контура должны выполняться краевые условия (10), т. е.
при х = 0
w = 0
и х = а
и
д2ш
Тй2
при
у = 0
w = 0
и у = b
d2w п
И = 0.
(14>
970
Расчеты на устойчивость тонких прямоугольных пластин
Непосредственной подстановкой легко убедиться, что частное решение
дифференциального уравнения (13)
w = A sm
mnx
а
sin
mty
b ’
(15)
где тип — произвольные целые числа.
Уравнение (15) удовлетворяет всем краевым условиям (14). Срединная
поверхность искривленной пластины представляет собой, согласно выраже-
нию (15), синусоидальную поверхность из т полуволн в направлении оси х
и п полуволн в направлении оси у.
Подстановка выражения для w по зависимости (15) в дифференциальное
уравнение (13) позволит найти критическое значение интенсивности сжимаю-
щих сил Р,т. е. то значение этих сил, при котором рассматриваемая форма
равновесия становится возможной. Действительно, в результате подстановки
имеем
4--------г-------ГЕ-' D । (^У+2 (ЕУ Ш+
+(тУ]-'>т,=о
—	1	и, следовательно, критическое значе-
	1——	ние интенсивности нагрузки на рас-
—	а-—I	сматриваемую пластину равно
У	|(2Е\2+(Л_\212
Фиг. 681.	Ркр=В^ а 1 у 1 J .	(16)
\ а )
Таким образом, критическое значение нагрузки зависит как от числа
полуволн т по длине а пластины, так и от числа полуволн п по ширине b
пластины. Очевидно, что наименьшее значение критической силы соответ-
ствует п = 1, т. е> когда срединная поверхность имеет только одну полу-
волну в направлении ширины пластины. Несколько сложнее зависимость
критической силы Р от числа полуволн т в направлении длины пластины.
Учитывая, что п = 1, преобразуем выражение (16) к следующему виду:
РКр - К £2 'Ч £2 9	(17)
где
К =
а I
'~ь- + т
Я
(J_
т
(18)
7) =
(19)
Заметим, что в формуле (18) величина а представляет собой размер,
параллельный направлению сил Р, и величина b — размер, перпендикуляр-
ный к этому направлению.
Изобразим графически зависимость коэффициента
r т b 1 а	' '
ют величины отношения размеров а и b при различных значениях числа
полуволн т (фиг. 682).
Прямоугольная пластина, опертая по всему контуру
971
Рассмотрение графика показывает, что при различных значениях отно-
шения -у наименьшая критическая сила соответствует различным значениям
числа полуволн т. Исследуем это обстоятельство более подробно.
Определим прежде всего минимальное значение критической силы для
каждой ветви графика (фиг. 682).
Представим коэффициент К в виде
где
1 а
1 т * Ъ ’
и исследуем его на минимум:
Jl^=l_2r = 0,
откуда Т = 1 и, следовательно, минимальное значение коэффициента К
каждой ветви графика имеет место при т = -у-, т. е. когда отношение у
совпадает с числом полуволн т для данной ветви. Минимальные значения
критической силы для всех ветвей графика фиг. 682 одинаковы и равны
РЙ‘п) = 4^.	(21)
Найдем те значения отношений -у, при которых критическая сила, соот-
ветствующая т и т + 1 полуволнам срединной поверхности, одинакова.
Эти значения -у- представляют собой абсциссы точек пересечения соседних
ветвей графика фиг. 682.
972
Расчеты на устойчивость тонких прямоугольных пластин
Искомые отношения -у- определяются из выражения
т —+ — “ = (tn+ 1) — Н------------------------Ц-4"»
а ' in b 4	1	} а 1 m -f- 1 Ь *
откуда
=	(22)
Используя выражение (22), легко установить те интервалы отношения,
которым соответствует выпучивание пластины по поверхности с одной полу-
волной, двумя полуволнами и т. д. (фиг. 682). Результаты соответствующих
вычислений сведены в табл. 124. По таблице сразу находим то число полу-
волн, на которое подразделяется срединная поверхность выпучившейся
пластины при заданной величине отношения После определения числа
полуволн m критическое значение интенсивности сжимающих сил вычис-
ляется по формуле (17). Из рассмотрения графика (фиг. 682) заключаем,
что при -£->5 коэффициент УК можно считать постоянной величиной,
равной 2, т. е. вычислять критическое значение интенсивности сжимающих
сил по формуле (21). Допускаемая при этом наибольшая погрешность при
у>5 не превышает 1,0%. При увеличении отношения-^- погрешность
становится все меньше и меньше. Итак, для длинных пластин
критическая сила зависит от ширины b пластины, но не зависит от ее
длины а. Это объясняется тем, что при достаточно большой длине потеря
устойчивости пластины сопровождается образованием ряда волн. Так, при
3,464 <-^-<4,472 пластина подразделяется на четыре полуволны, при
4,472 < -у < 5,477 — на пять полуволн и т. д. Благодаря этому критическое
значение нагрузки определяется не всей длиной пластины, а только длиной
Таблица 124
Число полуволн m выпучившейся пластины в зависимости от величины отношения
длины а и ширины b пластины
Число полуволн m	„ CL	| Интервалы значений—г—	. о	Число полуволн m	а Интервалы значений -у-
1	1<4-< 1.414	1 О	6	5,477 < -4- < 6,481 О
2	1,414 < -4-< 2,449 О	7	6,481 < 4~ < 7,483 О
3	2,449 <-4-< 3,464 О	8	7,483 <-2-<8,485 и
4	3,464 < 4- < 4,472 О	9	8,485 <	< 9,487 О
5	4,472	5,477 & ,	10	9,487 <-4-< 10,49 U
Примечание. В интервале 0 < -у- < 1 число полуволн			m — 1.
Прямоугольная пластина, опертая по всему контуру
973
о	т Т	С1
полуволны срединной поверхности. По мере возрастания отношения — воз-
растает число полуволн и длина каждой полуволны приближается к ширине
пластин Ь. Все приведенные выше результаты справедливы при критических
напряжениях
= Т =	(23)
не превышающих предела пропорциональности материала пластины.
Пример. Вычислить критическое значение сжимающих сил и величину критического
напряжения для опертой по контуру стальной пластины, если длина а = 3 м. ширина
b ~ 2 м и толщина h = 1 см.
Выяснить изменение искомых величин при снижении ширины пластины до b = 1 м.
В рассматриваемом случае отношение — 1,5 и, следовательно, по табл. 124 m = 2,
т. е. срединная поверхность искривленной пластины образует по длине а две полуволны.
Длина каждой полуволны aQ = а = 1,5 м. Коэффициент
а ш
f-2.1L + 4-l.S_2,083.
Жесткость изгиба пластины
l-(i2 12
Критическое значение интенсивности сжимающих сил
• ркР=к =(2,083)2.тс2,0^8;106 =190
9.106	1
rrW-fT = 0,1778.10e^.
Полная величина сжимающих пластину сил
(РЬ)кр = 190*200 = 38 000 кг.
Критическое сжимающее напряжение в пластине
aKp =	= 190 кг/см2,
л
т. е. заведомо ниже предела пропорциональности стали.
При изменении ширины пластины до b = 1 м отношение 3 и число полуволн пг = 3.
Длина каждой полуволны Oq = а = 1 м, т. е. равна ширине пластины Ь.
Коэффициент
Уд=тА +X. “ =3.-2-+ ' 3 = 2
а ш о 6 о
Критическое значение интенсивности -сжимающих сил
„ Л tz2D л тс2*0,1778* 106 _по ,
Ркр = 4.-^- = 4------L—------= 702 кг/см.
Полная величина сжимающих пластину сил (РЬ)кр = 70 200 кг.
Таким образом, при уменьшении ширины пластины от 6 = 2 .и до & = 1 м полная крити-
ческая нагрузка возрастает от 38 до 70 т. Это обстоятельство объясняется тем, что при b — 2 м
пластина теряет устойчивость, искривляясь по поверхности с двумя полуволнами, а при
&== 1 м — по поверхности с тремя полуволнами.»
Критическое напряжение
<зкр ==	=702 кг/см2,
т. е. также ниже предела пропорциональности стали.
974
Расчеты на устойчивость тонких прямоугольных пластин
§ 3. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА, ОПЕРТАЯ ПО ТРЕМ СТОРОНАМ,
ЧЕТВЕРТАЯ СТОРОНА СВОБОДНА
Пластина сжата силами, равномерно распределенными по поперечным
сторонам х = 0 и х = а (см. фиг. 681). Пусть пластина оперта одной про-
дольной стороной у = 0 и двумя поперечными сторонами х — 0 и х = а.
Другая продольная сторона у = b предполагается свободной от каких-либо-
закреплений.
Независимо от краевых условий дифференциальное уравнение срединной
поверхности искривленной пластины остается без изменения. Характер
крепления поперечных сторон пластины позволяет в рассматриваемом слу-
чае искать решение дифференциального уравнения (13) в виде
w = A sin Y (у),	(24)
где Y (у) — неизвестная функция у.
Действительно, выражение для w по формуле (24) удовлетворяет крае-
вым условиям (10) на опертых поперечных сторонах пластины: при х =0
и при х — aw =0 и4^- = 0 независимо от вида функции Y (у). Искомая
функция Y (у) должна быть подобрана так, чтобы выражение для w по фор-
муле (24) удовлетворяло как дифференциальному уравнению (13), так и крае-
вым условиям на продольных сторонах пластины. Подстановка w по выра-
жению (24) в уравнение (13) приводит к следующему дифференциальному
уравнению относительно искомой функции:
<25>
Соответствующее характеристическое уравнение
имеет следующие четыре корня:
Так как для рассматриваемой пластины > \”у) » то КОРНИ
и мнимые.
Действительно, для пластины с опертыми поперечными краями и свобод-
ными продольными критическое значение интенсивности сжимающих сил
может быть вычислено по формуле
р (mrf D
а2 В 9
т. е. в этом случае
Р __ /тп \2
~D “ \"У; *
В рассматриваемом нами случае одна из продольных сторон свободна,
а другая оперта. Очевидно, что наложение связей на одну из продольных
Прямоугольная пластина, опертая по трем сторонам
97&
сторон увеличивает критическое значение сжимающих сил, поэтому для рас-
сматриваемой пластины
2
Р
D
Характер корней характеристического уравнения (26) позволяет выразить
общий интеграл дифференциального уравнения (25) в следующем виде:
Y = Сг ch ay + С2 sh ay -f- С3 cos фу + С4 sin фу,	(27>
где а и ф — положительные вещественные величины, определяемые следую-
щими формулами:
(28>
Для определения постоянных Clf С2, Сз, С4 используем краевые условия*
на продольных сторонах пластины.
Опертая продольная сторона пластины, согласно формулам (10), дает
следующие краевые условия:
1.	При у = 0 прогиб w = 0 и, следовательно, Y = 0, откуда С4 + С3 =0,
2.	При у — 0 изгибающий момент Mv = 0 и рассматриваемое краевое*
условие равносильно требованию, чтобы = 0 или = 0.
Используя выражение (27), находим, что
= Сха2 ch ау + С2а2 sh ay — С3₽2 cos $у — sin $у.
Тогда второе краевое условие дает следующее соотношение между Ch
и Сз:
С^2 — С3₽2 = 0.
Сопоставляя результаты, полученные на основании первого и второго»
краевых условий, заключаем, что
Сх = С3 = 0.	(29>
Свободная-продольная сторона пластины, согласно формулам (И), дает
еще два краевых условия:
3.	При у = b
d2w ,	d2w  
dr/2 ‘	дх2	’
учитывая выражение (29)
w = (С2 sh ау + С4 sin фу) sin
и, следовательно, третье краевое условие приводит к следующему соотно-
шению:
С2 |а8-я(^У] Shaft -Ct |? + м(-7)2] sin?ft = 0.	(30>
4. При у = Ь
d3w . х д3®  а
^3" + (2	V-) дх2ду	°'
976
Расчеты на устойчивость тонких прямоугольных пластин
Четвертое краевое условие позволяет получить
С2а [а2 - (2- р.)	ch ab-С4₽ [₽2 + (2 - M)(^J] cos = 0. (31)
Итак, для определения оставшихся двух произвольных постоянных инте-
грирования С2 и С4 мы пришли к системе двух линейных однородных уравне-
ний (30) и (31).
Определитель, образованный из коэффициента этой системы,
Д = — Р [а2 — р. (-^У] [f2 + (2 — Н) (тт)2] sh ab cos № +
+ а [а2 — (2 — р.) (-^У] [р2 + Р (-^У] sin ch а&.
Уравнение для определения критического значения нагрузки на пластину
получается путем приравнивания нулю определителя Д.
Используем соотношение
в2_р2 = 2(-^у;
представим уравнение Д = 0 в виде
₽ [«2 - М ( ™У] th ab - а [р2 + р(-7)2] tgp& = 0.
(32)
В уравнении (32) величины а и р, выражаемые формулами (28), являются
неизвестными, подлежащими определению.
Для дальнейшего удобно ввести в рассмотрение две новые безразмерные
величины:
7)=^ = ^ И ?=(v)2	<33)
и выразить через них определяющее уравнение (32).
Из этих двух величин неизвестной, подлежащей определению, является
только одна, именно ij.
Существенно отметить, что в отличие от пластины, опертой по всему
контуру, для рассматриваемой пластины наименьшая критическая нагрузка
всегда соответствует пг — 1, т. е. срединной поверхности, состоящей из одной
полуволны. Полагая m — 1, по формулам (28) найдем
а2 = 4-[^+^-
«2—н(-5"У = -^-[(1—.	(34)
Задаваясь отношением-^- сторон пластины, т. е. величиной находим
из уравнения (32) путем подбора соответствующее значение величины тд,
а следовательно, и критическое значение нагрузки
n	D „ it2D	/ос\
.	К •	(35)
Прямоугольная пластина, опертая по трем сторонам
977
Результаты вычисления значений коэффициентов iq и К по уравне-
нию (32) при различных значениях -у- сведены в табл. 125. При составлении
этой таблицы было принято, что коэффициент Пуассона р, = 0,25.
Таблица 125
Значения коэффициентов т) и К, входящих в выражение
интенсивности критической нагрузки на пластину, в зависимости
от отношения длины а и ширины b пластины
а		К	а b		К
1,0	14,21	1,439	2,5	6,02	0,610
1,2	11,20	1,135	3,0	5,56	0,563
1,4	9,40	0,952	4,0	5,09	0,516
1,6	8,24	0,835	5,0	4,88	0,494
1,8	7,45	0,755	8,0	4,64	0,470
2,0	6,89	0,698	10,0	4,59	0,465
Представляет интерес рассмотрение предельного значения критической
силы при неограниченном возрастании длины пластины. Для этого иссле-
дования представим определяющее уравнение (32) в следующем виде:
₽tha&
(36)
При достаточно большой длине пластины величины аир будут весьма
малыми. Это позволяет выразить tg р& и th ab в виде первых двух членов
их разложения в ряд, а именно:
tgp6 = p6+4 W;
th ab - ab-------(аб)3.
При преобразовании левой части уравнения (36) используем также соот-
ношения
(аЬ)2=	и (р6)2 = /Ц —L
Таким образом, левая часть уравнения (36) преобразуется в следующее
выражение:
.(го» >+4»	1+Т^ . .
~ i-4-ят~ +
Аналогичное преобразование проделаем и с правой частью уравнения (36):
508
62 Пономарев
978
Расчеты на устойчивость тонких прямоугольных пластин
Отсюда можно сделать заключение, что для весьма длинной пластины опре-
деляющее уравнение (36) можно представить в следующем виде:
1+-|./ц = 1 + з/Х,
откуда т] = 4,5 и критическая интенсивность нагрузки
Ркр = 4>5-^.	(37)
Отметим, что при изменении отношения у от 1 до ею коэффициент у
монотонно убывает от 14,21 до 4,50. Этим значениям у все время соответст-
вует выпучивание пластины по одной полуволне (m = 1). Непосредственными
вычислениями можно показать, что срединная поверхность с несколькими
полуволнами (т = 2, 3, ... ) соответствует большим значениям критической
силы. Это обстоятельство отличает потерю устойчивости рассматриваемой
пластины от пластины со всеми опертыми сторонами.
Все приведенные выше результаты справедливы при критических напря-
жениях
не превышающих предела пропорциональности материала пластины.-
Пример. Вычислить критическое значение сжимающих сил и величину критического напря-
жения для стальной пластины а = 3 м, Ъ = 2 м, h = 1 см, если обе поперечных и одна продоль-
ная сторона оперты и другая продольная сторона свободна. Выяснить изменение искомых
величин при снижении ширины пластины до b — 1 м. Сравнить найденные результаты с резуль-
татами, полученными выше для аналогичной пластины с четырьмя опертыми сторонами.
Жесткость изгиба пластины
Е	ЛЗ	16	1
D = —• 2L = ±1.2.106.-1-== 0,1778.106 кгсм.
1 — р-2	12	15	12
Интерполируя по табл. 125, находим коэффициент 7) при отношении = 1,5;	= 8,82.
Критическое значение интенсивности сжимающих сил
ркр = V = 8.82 -^7f0]08 = 39,2 кг/см.
Полная величина сжимающих пластину сил
(РЪ)кр = 39,2-200 = 7840 кг.
Критическое сжимающее напряжение в пластине
<зкр =	= 39,2 кг/см2.
Для пластины, опертой по всему контуру,
Ркр = (2,083)2	= 190 кг/см,
т. е. освобождение от опор одной из продольных сторон пластины уменьшает критическую
190	. Q
интенсивность нагрузки в =4,8 раза.
<5 <7,2
Энергетический метод исследования устойчивости пластин
979
При изменении ширины пластины до b = 1 м отношение— = 3, по табл. 125 коэффи-
циент устойчивости = 5,56 и критическое значение интенсивности сжимающих сил
n D 0,1778.106
5,56----— = 98,9 кг/см.
Полная величина сжимающих пластину сил
(РЬ)кр = 98,9-100 = 9890 кг.
Критическое сжимающее напряжение
<зКр = ~~тт =	кг/см2.
Л
При ширине b = 1 м для пластины, опертой по всему контуру,
<тг 2 Г)
= 4= 702 кг/см\
т. е. в этом случае освобождение от опор одной из продольных сторон пластины уменьшает
702
критическую интенсивность нагрузки в §g~g= 7,1 раза.
Во всех рассмотренных случаях критические напряжения значительно меньше предела
пропорциональности материала пластины (сталь).
§ 4. ПРИБЛИЖЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ
УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИН
При практическом применении изложенного выше точного метода вычи-
сления критического значения нагрузки на пластину в ряде случаев возни-
кают значительные трудности в нахождении решения дифференциального
уравнения срединной поверхности, удовлетворяющей заданным краевым
условиям. Кроме того, трансцендентность уравнений, к которым приводит
точный метод, не позволяет выразить критическую нагрузку в явной форме.
Поэтому, так же как и при рассмотрении устойчивости сжатых стержней,
наряду с точным методом целесообразно использование приближенного
метода расчета, основанного на рассмотрении потенциальной энергии выпу-
чившейся пластины.
Изменение ДП полной потенциальной энергии пластины, нагруженной
силами, лежащими в ее плоскости, после перехода из плоской формы равно-
весия в криволинейную равно,
ДП = At/o + ^ + U, ’	(39)
где At70 — изменение потенциальной энергии деформации срединной пло-
скости пластины при выпучивании;
Ui — потенциальная энергия деформации изгиба и кручения пластины;
U — изменение потенциала внешних сил, приложенных к пластине.
Потенциальной энергией деформации пластины поперечными силами Qxz
и Qyz (фиг. 678) пренебрегаем по ее малости.
Потенциальная энергия изгиба и кручения Ui прямоугольной пластины
с размерами а и b равна [33]
Ь а
ui — 2 J JIL ^*2 J ' IA / &xi dy2 JJ a ’
о о
Для вычисления Д£70 необходимо получить выражения линейных и угло-
вых деформаций срединной плоскости, обусловленных ее выпучиванием.
62*
980
Расчеты на устойчивость тонких прямоугольных пластин
Соответствующие составляющие смещения произвольной точки срединной
плоскости пластинки в направлении координатных осей х, у, z обозначим
через и, v, w. На фиг. 683 изображено сечение части срединной поверхности
плоскостью, параллельной оси х и нормальной к срединной плоскости пла-
стины. Учитывая только перемещения w, выражаем длину элемента дуги ds
срединной поверхности в виде

Тогда линейная деформация срединной поверхности в направлении
оси х, обусловленная перемещениями
ds — dx _ 1 / dw \2
dx , —* 2 \ дх ) ’
При одновременном наличии переме-
щений и и w искомая линейная деформа-
ция в направлении оси х (том I, глава II)
(41)
w, равна
Перемещения v не влияют на деформацию еж.
Аналогично линейная деформация срединной поверхности в направле-
нии оси у
Обратимся теперь к вычислению угловых деформаций срединной поверх-
ности.
Рассмотрим до выпучивания пластины прямоугольный треугольник АОВ,
расположенный в срединной плоскости пластины так, что его катеты АО
и ВО соответственно параллельны координатным осям х и у (фиг. 684). Длины
сторон треугольника
АО = dx; ВО — dy;
AB = dl= У (dx)2 + (dy)2 .
Пусть при выпучивании пластины вершина прямого угла О перейдет
в положение Oi, получив перемещение OOi — w, перпендикулярное к средин-
ной плоскости. Тогда перемещения двух других вершин А и В треуголь-
ника АОВ соответственно будут
AAi = u> + -^-dx и BBt — w + dy.
1	1 дх	1	1 ду а
Энергетический метод исследования устойчивости пластин
981
Длины сторон треугольника АхО^Вх, в который перейдет после выпучи-
вания пластины треугольник АОВ, могут быть выражены следующим образом:
ОА = V(pA)* + (АА, - OOJ* = ]/ 1 + dx-,
0^ = ViOB^ + ^-OO^ = i + (^-V dy;
ЛА = V(AB? + (AAx-BBtf = ]/ (J/)2+ ^dx-^
(43)
I
При выпучивании пластины прямой угол АОВ искажается. Изменение
этого угла и представляет собой угловую деформацию 7 срединной поверх-
ности, обусловленную наличием перемещений w.
Используем это обозначение, представим угол Л10А как ------.
Зависимость между сторонами нового треугольника Л10А дает теорема
косинусов:
(ЛА)2 = W + (ОА)2 - 2 • ОгАг • О А • cos	- i) .
Подстановка найденных выше значений длин сторон по формулам (43)
и элементарные преобразования дают
• / М1В -
т-r *	dw dw
Пренебрегая по малости квадратами производных и по сравне-
нию с единицей и заменяя sin Ч его аргументом, приходим к следующему
выражению для угловой деформации срединной поверхности, зависящей
от перемещений w;
__ dw dw
dx dy '
При одновременном наличии перемещений и, v, w искомая угловая дефор-
мация срединной плоскости (том I, глава II).
du . dv . dw dw
^ХУ ~~ dy + dx dx ’ dy
Изменение потенциальной энергии деформации срединной плоскости
пластины при выпучивании выражается через интенсивности внутренних
сил Nx, Ny, Sxy и деформации ех, Чху следующим образом:

Ь а
[Nх	Ny&y Sxy • dxdy
о о
или после подстановки значений ех, еу, Чху по формулам (41), (42) и (44)
Ь а
At/0 = f f pv _*L + Ny +Sxy (^-4
u J J L x dx 1 у ду ‘ xy \ dy 1
0 0
-£-)] dxdy+
b a
<45>
0 0
982
Расчеты на устойчивость тонких прямоугольных пластин
Преобразуем отдельно первый интеграл правой части полученного выра-
жения для Д[/о. Интегрируя почленно, получаем
Ь а
о о
dx —
о
ba	ba
Ч'Н^+^W-n^+^W (46)
bo	об
Используя формулы (6), легко показать, что два последних интеграла
обращаются в ноль. Первые два интеграла правой части выражения (46)
представляют собой работу L, произведенную внешними силами, приложен-
ными к контуру пластины и расположенными в срединной плоскости пла-
стины. Таким образом, выражение (45) для изменения потенциальной энергии
деформации срединной плоскости при выпучивании можно представить в виде
Ь а
ДУ. = L + 4-J J pv,	+N,	+ 2S„	(47)
О о
Изменение потенциала U внешних сил, приложенных к пластине, свя-
зано с работой L соотношением
U = — L.
(48)
Итак, учитывая зависимости (40), (47) и (48), можно представить измене-
ние ДП полной потенциальной энергии пластины при ее выпучивании сле-
дующим выражением:-
Ь а
дп=сШ-и^+4!Л-(1-И)f( «*у-5!..4ь'1ш!,+
J J v 2 \ дх2 1 ду2 ] v r/ L \ дх&У / дх2 ду2 J )
о о
b а
+Ш4	(т)’+4 М>У+s«	(«>
о о
Для вычисления ДП задаемся уравнением срединной поверхности выпу-
чившейся пластины в виде одного или нескольких членов ряда:
n—k
w =	у),	(50)
где fn (х, у) — функции, удовлетворяющие, каждая в отдельности, геометри-
ческим условиям, налагаемым на срединную поверхность пластины устрой-
ством ее опор. Желательно, но совершенно не обязательно, чтобы совокуп-
ность взятых членов ряда (50) удовлетворяла также и условиям силового
типа, т. е. отсутствию моментов и сил по тем или иным краям пластины.
Подстановка принятого выражения для w (х, у) в формулу (49) дает воз-
можность выразить изменение энергии ДП выпучившейся пластины в виде
квадратичной функции параметров сп ряда (50).
Энергетический метод исследования устойчивости пластин
983
Используем полученные результаты для определения критического зна-
чения нагрузки на пластину, т. е. того значения нагрузки, при котором,
наряду с плоской формой равновесия пластины,, возникает новая криволи-
нейная форма равновесия.
Общим признаком равновесия материальной системы является экстре-
мальность полной потенциальной энергии П системы.
В рассматриваемом нами случае равновесия выпучившейся пластины
полная потенциальная энергия равна
П = П0 + ДП,	(51)
где По — потенциальная энергия пластины до выпучивания (не зависящая
от параметров сп) и ДП — изменение потенциальной энергии при выпучи-
вании, определяемое формулой (49).
Из условия экстремума энергии П следуют уравнения
дП _____________________гл. дП __Q	dll __~	„-gx
дсг дс2 —	’ dck “ °’
которые в сущности являются уравнениями равновесия. Полученная система
линейных однородных уравнений (52) относительно параметров ci, с2, ..., ck
имеет нулевые решения су = с2 = ... = ck = 0, которые соответствуют
плоской форме равновесия пластины, и отличные от нуля решения, соот-
ветствующие равновесию искривленной пластины. Последние возможны
только в том случае, если определитель Д системы (52) обращается в ноль.
Из условий Д = 0 и определяется критическое значение нагрузки, при кото-
ром становится возможным выпучивание пластины.
Если взятые члены ряда (50) совпадают с истинным уравнением срединной
поверхности пластины (при весьма малых перемещениях), то энергетический
метод дает точное значение критической нагрузки. В противном случае, что
практически и имеет место, энергетический метод приводит к критической
нагрузке, несколько превышающей ее действительное значение., Заметим,
что в том случае, когда уравнение срединной поверхности пластины апрок-
симируется выражением, содержащим только один параметр с, уравнение
дс = 0 может быть заменено непосредственным приравниванием нулю
изменения полной потенциальной энергии, т. е. ДП = 0.
Рассмотрим пример применения энергетического метода.
Пример 1. Прямоугольная пластина нагружена сжимающими силами интенсивности Р,
распределенными равномерно вдоль шарнирно опертых краев х = 0 и х = а (фиг. 681). Про-
дольные края пластины у = 0 и у — b заделаны.
гг	n	п
Для опертых поперечных краев пластины w = 0 и - = 0.
Для заделанных продольных краев пластины w = 0 и = 0.
Задаемся уравнением срединной поверхности пластины в следующем виде:
f 1	\ • тКХ
w = с (1 — cos —~~ j sin —-— ,	(53)
т. е. предполагаем, что при выпучивании пластина образует tn синусоидальных полуволн
в продольном направлении. Выражение (53) удовлетворяет всем сформулированным выше
геометрическим и силовым условиям для рассматриваемой пластины.
Подстановка значения w по выражению (53) и значений внутренних сил, возникающих
в срединной плоскости рассматриваемой пластины, Nx — — Р (сжатие), Ny — 0, Sxy —
= Syx = 0 в формулу (49) приводит к следующему выражению для изменения полной потен-
циальной энергии:
+	+	(54)
о |_	ао J	о а
984
Расчеты на устойчивость тонких прямоугольных пластин
Так как принятое выражение для w (х, у) по формуле (53) содержит только один параметр с,
то для определения критического значения нагрузки достаточно приравнять нулю изменение
полной потенциальной энергии пластины при ее выпучивании, т. е. достаточно положить
ДП = 0. Это приводит к следующему выражению для критического значения интенсивности
нагрузки на рассматриваемую пластину:
РКр = К-^-,	(55)
где коэффициент
2
К =
(56)
Исследуем зависимость коэффициента К от числа полуволн ш срединной поверхности и ве-
личин отношения -у длины пластины к ее ширине. Характер этой зависимости в основном ана-
логичен графику фиг. 682 для пластины, опертой по всему контуру.
/ а \
Определим минимальное значение'критической силы для каждой ветви графика К (у ) •
Представим коэффициент К в виде
'-Г + ’]
/ 1 а \2-
где 1 = I — *-г"| , и исследуем его на минимум:
\ пг о
откуда Ч = -i-УЗ и, следовательно, минимальное значение коэффициента К для каждой ветви
графика имеет место при
-у- =	у/~3~пг = 0,658 /и,
где пг — число полуволн для рассматриваемой ветви графика.
(а \
-у-1 одинаковы
и равны
pmin  1 [lfi/3 j-q	4 •	7 9ЯЧ ’с2£>	C57j
= Т [16 — + Т 8] -&2- - 71285	(57)
Определим те значения отношения -у, при которых критическая сила, соответствующая пг
и m + 1 полуволнам срединной поверхности, одинакова. Искомые отношения определяются
из равенства
16
(m+ I)2
+ 3(т + 1Г
откуда
-у- = Ут (пг + 1) — 0,658 Угт(т+ 1).
(58)
Используя выражение (58), устанавливаем те интервалы отношения у, которые соответ-
(а \
-у-1. Результаты вычислений сведены в табл. 126. При рас-
чете конкретной пластины на устойчивость сначала определяется по этой таблице число полу-
волн т, на которое подразделяется срединная поверхность при заданной величине отноше-
ния — , и затем по формуле (55) вычисляется критическое значение интенсивности сжимающих
b
Энергетический метод исследования устойчивости пластин
985
Таблица 126
Число полуволн m выпучившейся пластины в зависимости от величины отношения
длины а и ширины b пластины
Число полуволн m	Интервалы значений-у-	Число полуволн m	Интервалы значений о
1	0,66 <-4 <0,93 О	6	3,60 <4-<4,26 О
2	0,93 < 4" <1.61 О	7	4,26 <4-<4,92 О
3	1,61 <4- <2,28 ь	8	4,92 <4-<5,58 О
4	2,28 <4-<2,94 О	9	5,58 <-у <6,24
5	2,94 <4-<3,60 О	10	6,24 <4-<6,90 О
Примечание. В интервале 0<		< 0,66 число полуволн m = 1.	
сил. Можно показать, что при -у > 4 критическое значение интенсивности сжимающих сил
можно вычислять непосредственно по формуле (57).
Использованное нами уравнение срединной поверхности (53) не является точным уравне-
нием. Действительно, это уравнение удовлетворяет всем краевым условиям рассматриваемой
пластины, но не удовлетворяет ее дифференциальному уравнению. Благодаря этому полу-
ченное нами выражение (55) для критического значений нагрузки является приближенным.
Для оценки погрешности формулы (55) сравним даваемые ею значения с результатами точного
решения для рассматриваемой пластины [33].
Результаты сравнения, приведенные
в табл. 127, показывают, что в интервале
0,4	< 1 погрешность приближенного
решения не превышает 5%. Этот результат
вполне оправдывает применение приближен-
ного уравнения (53) срединной поверхности
пластины.
Пример 2. Прямоугольная пластина на-
гружена сжимающими силами интенсивно-
сти Р, распределенными равномерно вдоль
шарнирно опертых краев х = 0 и х — а
(фиг. 681). Один продольный край пластины
у = 0 оперт и другой у = b свободен.
Задаемся уравнением срединной поверх-
ности пластины в виде
. тпх
w = су sin---
а
(59)
Таблица 127
Сравнение точного Кт и приближенного Кпр
значений коэффициента К, входящего
в выражение для интенсивности
критической нагрузки на пластину
а b		К пр	К"Р Кот-100% "т
0,4	9,44	9,77	3,49
0,5	7,69	8,00	4,03
0,6	7,05	7,36	4,40
0,7	7,00	7,32	4,57
0,8	7,29	7,64	4,80
0,9	7,83	8,22	4,98
1	7,69	8,00	4,03
т. е. предполагаем, что прогибы пластины при выпучивании изменяются по линейному закону
в поперечном направлении и образуют ш синусоидальных полуволн в продольном направлении.
Краевые условия рассматриваемой пластины следующие:
для опертых поперечных сторон х = 0 и х = а
^- = 0-
дх2 ’
w = 0 и
для опертой продольной стороны у = 0
w = 0 и
d2w __
ду* “ ;
986
Расчеты на устойчивость тонких прямоугольных пластин
для свободной продольной стороны у — b
d2w д2ш А	лл л
^+|X'dF = 0 илиМ, = 0;
d*w , /о ч d*w	„	। дМух п
^•H-(2->x)-W = 0 или^+-а^ = °-
Принятое уравнение срединной поверхности (59) удовлетворяет всем краевым условиям
яа трех опертых сторонах пластины. Краевые условия на четвертой свободной стороне пластины
являются условиями силового типа:
= 0 и Qyz -]---yjy- = О»
« уравнение (59) им не удовлетворяет.
Выражение (59) также не удовлетворяет дифференциальному уравнению срединной поверх-
ности пластины после выпучивания.
Подстановка значений w по формуле (59) и значений внутренних силовых факторов Nx =
= —Р\ Ny — 0; SXy = SyX = 0 в формулу (49) приводит к следующему выражению для изме-
нения полной потенциальной энергии при выпучивании:
6П - и) 1	п2 &
+ -L^±\Dc2-12m^Pc2-
(60)
Приравняем нулю изменение полной потенциальной энергии пластины при ее выпучи-
вании: ДП — 0. Тогда приходим к следующему выражению для критического значения интен-
сивности нагрузки на рассматриваемую пластину:
где коэффициент К (при р = 0,25) равен
(во
Из выражения (61) для коэффициента К очевидно, что наименьшая критическая сила,
а
независимо от отношения -у всегда соответствует пг— 1, т. е. образованию одной полуволны
в продольном направлении. Выше, в § 3, были получены точные значения для критической
нагрузки на рассматриваемую пластину. Нахождение точных значений было связано с выпол-
нением значительно более сложных и громоздких вычислений, чем при получении приближен-
ного выражения (61).
Значительный интерес представляет сравнение приближенных Кпр и точных Кт значе-
ний коэффициента устойчивости К. Результаты сравнения, сведенные в табл. 128, показывают,
а
что в интервале 1 < у < 10 погрешность приближенного решения не превышает 1,5%.
Таким образом, используя весьма простое приближенное выражение (59) для уравнения
•срединной поверхности пластины, энергетическим методом можно получить достаточно точное
выражение (61) для критического значения интенсивности нагрузки.
Таблица 128
Сравнение точного Кт и приближенного Кпр значений коэффициента К, входящего
в выражение для интенсивности критической нагрузки на пластину
а b	т	*пР	кпп - кт 	--100%	а		*пр	кпр
1,0	1,439	' 1,456	1,18	2,5	0,610	0,616	0,98
1,2	1,135	1,150	1,32	3,0	0,563	0,567	0,71
1,4	0,952	0,966	1,47	4,0	0,516	0,519	0,58
1,6	0,835	0,847	1,44	5,0	0,494	0,496	0,41
1,8	0,755	0,765	1,32	8,0	0,470	0,472	0,43
2,0	0,698	0,706	1,15	10,0	0,465	0,466	0,22
Литература
987
ЛИТЕРАТУРА
1.	Астахов М. Ф.. Караваев А. В., Макаров С. Я-, Суздаль-
ц е в Я. Я., Справочная книга по расчету самолета на прочность, Оборонгиз, 1954.
2.	Б а л а б у х Л. И., Устойчивость фанерных пластинок, «Техника воздушного флота»
№ 9, 1937.
3.	Богомолов А. Д., Влияние сварочных напряжений на устойчивость пластин
в сварных элементах, Сборник научных трудов Ленинградского инженерно-строительного
института, вып. 17, 1954.
4.	Болотин В. В., Динамическая устойчивость упругих систем, Гостехиздат, 1956.
5.	Броуде Б.М., Устойчивость плоских стенок в металлических конструкциях,
Стройиздат, 1940.
6.	Броуде Б. М., Устойчивость пластинок в элементах стальных конструкций,
Машстройиздат, 1949.
7.	Б у б н о в И. Г., Труды по теории пластин, Гостехиздат, 1953.
8.	Бубнов И. Г., Отзыв на работу С. П. Тимошенко «Об устойчивости упругих
систем», «Труды Института инженеров путей сообщения», т. 81, 1913.
9.	В о л ь м и р А. С., Гибкие пластинки и оболочки, Гостехиздат, 1956.
10.	Г а л е р к и н Б. Г., Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого
равновесия стержней и пластинок, Собрание сочинений, т. 1, изд. АН СССР, 1952.
11.	Гартман Ф., Устойчивость инженерных сооружений (глава VIII), Стройиздат,
1939.
12.	Гольденблат И. И., Сизов А. М., Справочник по расчету строительных
конструкций на устойчивость и колебания, Стройиздат, 1952.
13.	Г у р е в и ч С. Г., Об устойчивости плоского напряженного состояния, «Ученые
записки Ленинградского государственного университета», вып. 8, 1939.
14.	Динник А. Н., Устойчивость упругих систем (глава V), Избранные труды, т. 3,
изд. АН УССР, 1956.
15.	И л ь ю ш и н А. А., Устойчивость пластинок и оболочек за пределом упругости,
Прикладная математика, т. 8, № 5, 1944.
16.	И л ь ю ш и н А. А., Пластичность, ч. I, Упруго-пластические деформации
(глава V), Гостехиздат, 1948.
17.	К а п е л е в и ч Г. М., Расчет на устойчивость прямоугольных ортотропных пластин
и изотропных пластин за пределом упругости, сборник «Исследования по теории сооружений»,
вып. 5, Стройиздат, 1951.
18.	Колтунов М. А., Поведение пластинки после потери устойчивости, «Вестник
Московского государственного университета» № 9, 1953.
19.	Короткий Я-И., Локшин А. 3., Сиверс Н. Л., Изгиб и устойчивость
пластин и круговых цилиндрических оболочек (глава III), Судпромгиз, 1955.
20.	Л е х н и ц к и й С. Г., Анизотропные пластинки (главы XIII—XVI), Гостехиздат,
1957.
21.	Л оповок Б. Н. иТрапезин И. И., Устойчивость пластины, очерченной
по параллелограмму, защемленной по контуру, при напряжениях, больших предела пропор-
циональности, «Труды Московского авиационного института», вып. 69, 1956.
22.	Л у р ь е А. И., Устойчивость пластинки, сжатой сосредоточенными силами, «Труды
Ленинградского индустриального института» № 3, раздел физико-математических наук,
вып. 1, 1939.
23.	М а к с и м а д ж и А. И., Об устойчивости пластин, сжатых по двум направлениям,
и поведение их после потери устойчивости, «Труды Центрального научно-исследовательского
института морского флота», № 1, 1955.
24.	П а п к о в и ч П. Ф., Строительная механика корабля, ч. 2 (глава VI), Судпром-
гиз, 1941.
25.	Постнов Ф. А., Устойчивость и работа за пределами устойчивости тонких пла-
стин, подкрепленных продольными ребрами, «Труды Ленинградского кораблестроительного
института», вып. 4, 1955.
26.	П о п о в С. М., Устойчивость свободно опертых пластинок за пределами упругости,
«Инженерный сборник АН СССР», № 9, 1951.
27.	С е к е р ж-3 енькович Я. И., К расчету на устойчивость листа фанеры как
анизотропной пластинки. «Труды Центрального аэрогидродинамического института
им. Н. Е. Жуковского», вып. 76, 1931.
28.	Справочник машиностроителя, т. 3 (глава V), Машгиз, 1955.
29.	Справочник по технической механике, под ред. А. Н. Динника (глава XXXV), Гостех-
издат, 1949.
30.	Тимошенко С. П., К вопросу об устойчивости сжатых пластинок, «Известия
Киевского политехнического института», кн. 2, 1907.
31.	Тимошенко С. П.. Об устойчивости упругих систем, отдел 3, Устойчивость
сжатых пластинок, Киев 1910.
32.	Тимошенко С. П., Об устойчивости пластинок, подкрепленных жесткими реб-
рами «Труды Института инженеров путей сообщения», т. 89, Петроград 1915.
988
Литература
33.	Т и м о ш е н к о С. П., Устойчивость упругих систем (глава VII), Гостехиздат,
1955.
34.	Ф и л и п п о в А. П., Устойчивость пластин, сжатых сосредоточенными силами,
«Известия АН СССР, Отд. математических и естественных наук» № 7, 1933.
35.	Ч е н ц о в Н. Г., Исследование фанеры, как ортотропной пластинки, «Технические
заметки Центрального аэрогидродинамического института им. Н. Е. Жуковского», № 91,
1936.
36.	Ш и м а н с к и й Ю. А., Строительная механика корабля, Справочник по судострое-
нию, т. 2. Стройиздат, 1934.
37.	Ш т а е р м а н И. Я., и П и к о в с к и й А* А., Основы теории устойчивости
строительных конструкций (глава VII), Стройиздат, 1939.
ГЛАВА XVI
РАСЧЕТЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКИХ КРУГЛЫХ
И КОЛЬЦЕВЫХ ПЛАСТИН
Изучение устойчивости круглой сплошной пластины, сжатой равномерно
распределенными силами, проведенное Брайяном [23], было одним из
первых исследований в этой области. Для пластины с защемленным конту-
ром им рассмотрена как осесимметричная форма равновесия, так и форма
равновесия без осевой симметрии, с одним узловым диаметром (одна волна
в окружном направлении), и получены соответствующие величины крити-
ческих значений нагрузки.
Более широкий круг вопросов исследован в работах А. Н. Динника [7] —
[9]; им рассмотрены сплошная пластина с опертым контуром и пластины
с центральным отверстием, применен энергетический метод и исследована
устойчивость пластин в упругой среде. А. Надаи [26], [27] продолжил
исследования Брайяна — для защемленной пластины вычислен спектр кри-
тических значений нагрузок, соответствующих как осесимметричным формам
равновесия, так и формам равновесия с одной и несколькими волнами
в окружном направлении, частично рассмотрена устойчивость пластины
с защемленным контуром и опертым центром.
Устойчивость кольцевых пластин специально исследовалась в работах
А. Локшина [24] и Е. Мейснера [25]. Критическое состояние кольцевой
пластины, нагруженной по внешнему и внутреннему контурам касательными
усилиями, изучено П. А. Соколовым [16], [17].
Оригинальный метод исследования устойчивости ’тонких пластин пред-
ложен А. Р. Ржаницыным [14]. Однако применение этого метода для круг-
лой пластины с опертым контуром из-за неправильного использования крае-
вых условий привело автора метода к получению ошибочных результатов [11].
Использование приближенного метода Бубнова — Галеркина для опре-
деления критического значения нагрузки, как радиальной, так и касатель-
ной, для кольцевых пластин дано в работах Э. И. Григолюка [4], [6];
им рассмотрена интересная техническая задача об устойчивости диска при
посадке на жесткий вал [3]. Дальнейшее исследование устойчивости сжатых
кольцевых пластин приближенными методами выполнено А. А. Фельдманом
[20] — [22].
Э. И. Григолюк [5] и В. Г. Попков [13] также рассмотрели устойчивость
круглых пластин при неравномерном нагреве.
В работе В. Новацкого и 3. Олесяка [12] наряду с другими вопросами
изучена устойчивость сплошной круглой пластины со смешанными краевыми
условиями — часть контура защемлена, а часть оперта.
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ
ПЛАСТИНЫ И ЕГО ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Рассмотрим тонкую круглую пластину, нагруженную по контуру равно-
мерно распределенными и направленными к центру радиальными силами
(фиг. 685). Обозначим интенсивность этих сил Р кг!см.
990
Расчеты на устойчивость тонких круглых и кольцевых пластин
При некоторой величине этих сил плоская форма пластины перестает
быть формой устойчивого равновесия и пластина искривляется. Соответ-
ствующее значение интенсивности радиальных сжимающих сил называется
критическим значением Ркр.
Выше, в главе XV, было выведено дифференциальное уравнение средин-
ной поверхности для искривленной пластины с произвольным контуром:
D(^L + 2^ + ^}=Nx^ + Ny-^ + 2Sxy-^-.	(1)
\ дх4 1 dx2dy2 1 dy* ) х дх2 1 у dy2 * ху дхду	' 1
Это дифференциальное уравнение получено из рассмотрения условий
равновесия элемента пластины в прямоугольной системе координат. Здесь Nx
и Ny — интенсивности нормальных сил в гранях элемента; Sxy — интен-
сивность касательных сил (паралельмых плоскости пластины) и D — так
называемая жесткость пластины при изгибе [см. формулу (4) главы XV].
Для круглой пластины целесообразно выразить дифференциальное урав-
нение срединной поверхности в полярной системе координат, отнесенной
к центру пластины (ф^г. 686). Полярные координаты г и <р связаны с прямо-
угольными координатами х и у соотношениями
г2 = х2 + у2 и = arctg .
Представим первые частные производные от уравнения срединной поверх-
ности w (х, у) по координатам х и у в виде
dw   dw dr . dw d<p
dx	dr dx dy dx ’
dw   dw dr . dw dy
dy	dr * dy dy dy
и, следовательно,
dw dw	dw sin у
dx dr T dy r
dw dw .	. dw cos ф
-3— = -3— sin Ф + -3— ---------
dy dr T ' dy r
(2)
Дифференциальное уравнение срединной поверхности пластины
991
Вторые частные производные имеют вид
d2W 2 &2W 15 2 Г 1 do> .	1 d2w ] ,
дх2	* дг2 1 т L г дг 1 г2 ду2 j 1
. о Г 1	dw 1	d2w ]
• Sin2cp- —ч ч----------ч—ч— ;
т L г2	г	дудг J ’
d2w .	2 f I дзд ।	1
Т ^г2 I т [ г дг * г2
. п г 1 dw
-sin2<p[Tr-^-
d2w . 2
-ч-ч- = sin2
ду2
dw ।____1 d2w I_____
dr + r2 ‘"dpj
1 d2w 1
r * dydr J
Смешанная производная по х и у равна
1
d2w .	Г d2w
= Sin Ф COS Ф -ч-ч-
дхду	т т [ дг2
4-cos2<f Г-i
dw	1
“dr	г2
(3)
d2w	1 dw ]
d<?dr r2 dy j
Операция вычисления суммы вторых частных производных
от какой-либо функции этих переменных обозначается символом
и носит название оператора Лапласа.
Используя зависимости (3), получим следующее выражение для указан-
ного оператора в полярной системе координат:
д2	. д2	_ d2	J____д_ J_____d^_.
дх2 ду2 дг2 г	дг ' г2	ду2 9
тогда левую часть дифференциального уравнения (1) можно представить
в виде	*
(4>
ПО
d2
И у
d2
(5)

X
(6)
/ d2 . д2 \ / d2w . d2w \
\"а^ + "ду2 ) Уд*2 + "ду2")
или в полярной системе координат — как
/ д2 . 1 д . 1 d2 \ /	 1 dw . 1 d2w \ ______
ydr2" + ~*’d7 + ~'d^2"/ \'drr +~’7F + 7r’“cty2J ”
__ d'w .	2	d*w	1	d2w	.__1	dw	.
^dr^	r	dr*_r2 *	dr2 r3 ’	dr
.	2 dty>	2	d$w	.	1	d*w ।__4	d2w
r2 dr2d<?2	r3 drdy2	r4	d<p4 ‘	r4	d<?2
Круглая сплошная пластина, нагруженная по контуру равномерно рас-
пределенными радиально направленными к центру пластины силами, нахо-
дится (до искривления) в однородном поле напряжений сжатия, т. е. во всех
точках пластины имеют место только одинаковые по величине (для всех
площадок, перпендикулярных к плоскости пластины) сжимающие нормаль-
ные напряжения. Критическое значение нагрузки соответствует моменту
возникновения искривленной формы равновесия пластины. Для определения
этого значения достаточно рассмотреть весьма малое отклонение от плоской
формы равновесия. Поэтому в дифференциальном уравнении (1) можно
положить
Nx = Ny = —P. Sxy = Q
(7>
и, вводя обозначение
Х2 =
Р
D 9
(8)
992
Расчеты на устойчивость тонких круглых и кольцевых пластин
представить уравнение в виде
( d2 . д2 \ Г d2w . d2w । >2 1 п	/л\
\difi + dy2 J [“dx2" + ~dif +	(9)
Переходя к полярной системе координат и учитывая зависимости (5) и (6),
имеем
d4w !	1 d2w .	1 dw . 2 d4w 2 d^w .
dr4 г * dr3 ~r^ ’ dr2 73" * ”57	"r2 * dr2d<?2 r3 ’ drd<?2 ‘
. 1 d4w . 4 d2w . >2 Гд2к> 1 dw . 1 d2w 1  ~
+ 7*" ‘ d?*' + 74“ ’	+ K [ТТ2" + ~r~ ‘ 'dr + 7^ ’ J “ U‘
Зависимость (10) и представляет собой дифференциальное уравнение
срединной поверхности сжатой круглой пластины в полярной системе коор-
динат.
Вообще говоря, ординаты w срединной поверхности выпучившейся пла-
стины являются функциями двух переменных г и <р. Это обстоятельство
несколько осложняет исследование возможных форм равновесия.
В ряде случаев возможно некоторое упрощение исследования. Так, для
круглых сплошных пластин, закрепленных только по контуру, наименьшее
критическое значение нагрузки соответствует осесимметричным формам рав-
новесия срединной поверхности (срединная поверхность имеет вид поверх-
ности вращения). Здесь ординаты w этой поверхности не зависят от поляр-
ного угла и определяются только величиной полярного радиуса г.
Тогда в уравнении (10) все частные производные по <р обращаются в ноль
и дифференциальное уравнение срединной поверхности упрощается:
d^w ,_2 d*w	1 d2w	.	1 dw	.	л 2 f d2w	._1 dw j _
dr4 ‘	r * dr*	r2 * dr2	' dr	'	[ dr2 r fdr J
Введем новую независимую переменную:
P=v,	(11)
которая представляет собой безразмерный полярный радиус. При этом диф-
ференциальное уравнение срединной поверхности принимает вид
4. А.	4. (1__L\Al 4. _L( 14. _1_\ “А_ - о	(12)
dpi + Р dps + V-	Р2 /dp2 + Р \ + р2) dp — 4	U ’
Интеграл полученного линейного дифференциального уравнения четвер-
того порядка с переменными коэффициентами может быть представлен как
сумма четырех частных интегралов. Непосредственной подстановкой легко
показать, что величины 1 и In р являются частными интегралами урав-
нения (12).
Для нахождения двух других частных решений представим уравне-
ние (12) в виде
/ d2 .	1 d \ [ d2w .	1 Pdw‘ ।	\ л
Очевидно, что частные интегралы уравнения
d2® . 1 dw . n
^r + v‘^F + “’ = 0
вместе с тем являются и искомыми частными решениями уравнения (12).
Зависимость (14)
(14)
о d2w . dw ,	9 м
P^ + p-dr + P^ = °
представляет собой уравнение Бёсселя нулевого порядка.
Дифференциальное уравнение срединной поверхности пластины 993
Как известно [2], дифференциальное уравнение Бесселя n-го порядка
имеет вид
х2-§- + х g-+(x2-n2)y = 0,	(15)
где параметр п носит название порядка уравнения. Частными интегралами
уравнения (15) являются так называемые функции Бесселя первого и вто-
рого рода n-го порядка.
Функция Бесселя первого рода порядка п (при п целом) выражается сле-
дующим степенным рядом:
~	/2C_\«+2v
(х) = 2 (— D „| („ + v)f =
v=0
х: v*T 4 V* T
3! (n + 1) (n + 2) (n + 3)	‘
Заметим, что при v = 0 факториал v! = 1.
Функция Бесселя второго рода порядка п или функция Вебера опреде-
ляется как	t
п—I
У, W=4л (X) щ 4—1- V	+
v=0
(17)
где С — так называемая постоянная Эйлера; С — 0,57721566 ...
Для приложений весьма существенно, что функции Бесселя нулевого,
первого и ряда других порядков табулированы [2], [10], [15].
Итак, общий интеграл дифференциального уравнения (12) имеет вид
w (р) = Сг + С2 In р + C3Jо (р) + CtY0 (р),	(18)
где Ci, С2, С3 и С4 — произвольные постоянные, определяемые из краевых
условий, т. е. из условий крепления контура пластины. Для этого необходимо
предварительно рассмотреть угловые перемещения и радиальные изгибаю-
щие моменты и выразить их через производные от w по р.
Угловое перемещение или угол, образованный нормалью в произволь-
ной точке срединной поверхности с осью симметрии этой поверхности,
выражается следующим образом:
ъ' dr dp
= X [с2-|- -ь С3 4- Jo (Р) + С4 ± Yo (р)] .
Как известно [2], функции Бесселя порядков (п — 1) и п, п и (n + 1)
связаны между собой следующими дифференциальными соотношениями:
J„_i (х) = х~п [xnJn (х)];
d	<19)
J „+1 (х) = — X"	[X~n Jn (X)].
63 Пономарев
508
'994
Расчеты на устойчивость тонких круглых и кольцевых пластин
Полагая п = 0 во второй из зависимостей (19), имеем
A W — ~dx^ (*)•
Аналогичное соотношение существует и между функциями Бесселя вто-
рого рода нулевого и первого порядков.
Тогда искомое угловое перемещение может быть выражено как
* (Р) = X [с2 4—ОЛ (Р) - су. (р)].	(20)
Таким образом, если линейные перемещения (ординаты срединной поверх-
ности) выражаются через функции Бесселя нулевого порядка, то угловые
перемещения определяются функциями Бесселя первого порядка.
Как известно, в прямоугольной системе координат имеют место следую-
щие выражения для интенсивностей изгибающих моментов Мх, Му и крутя-
щего момента Мху (том II, глава II и том III, глава XV):
Му =
ЛА	г>	’	д2™	I	d2w 1
Мх --- -D	I	 -Л о-р Р- ~~Ч 2 I	*,
х	I дх2 ‘ г ду2 J ’
d2w	.	d2w 1
dy2	‘	dx2 J	’
Л4 =—D(l- |i)^.
ху	4 г/ дхду
(21)
Здесь интенсивности изгибающих моментов Мх и Му выражены через
кривизны срединной поверхности в направлении осей х и у. Для перевода
выражений (21) в полярную систему координат выясним кривизну срединной
поверхности пластины в направлении полярного радиуса г и в направлении /,
к нему перпендикулярном (фиг. 686). С этой целью совместим оси х и у
с направлениями г и /, т. е. положим в общих выражениях (3)	= 0; тогда
d2w I _______ d2w
дх2 |(р=о	dr2 ’
d2w I _________ d2w   1 dw 1 d2w
dy2 |<p=o	dt2	r \ dr ' г2 * d<?2
(22)
Обозначим через Мг — интенсивность изгибающих моментов в окружных
сечениях; Mt — интенсивность изгибающих моментов в радиальных сече-
ниях (см. том II, главу I).	
Согласно зависимостям (21) и (22) искомые-интенсивности изгибающих
моментов равны
-. Г д2а> .	{ \ dw . 1	д2ш\1
Mr — — D ["572" +р- (—	+ 7Г”др-)] ;
л	I 1	dw	,	1	d2w	, d2w ]
f	I r	dr	1	r2	d<?2	1	r dr2 J
(23)
Аналогично смешанная производная
d2w I ____ d2w __ 1	d2w	1	dw
dxdy |(p=o	drdt	r	drdy	r2	d<f>	’
Величина интенсивности крутящего момента в полярной системе коор-
динат
л л	/1	\ Г 1	d2w	1	dw ”1	/л л у.
Mrt = —D(l — ц)-------х-з------г• -ъ— •	(24)
rt	v	7 L r	r2 d<p J	v 7
Полярно-симметричные формы равновесия сплошных пластин
995
В случае осесимметричных форм срединной поверхности крутящий мо-
мент обращается в ноль, а интенсивность изгибающих моментов (при пере-
ходе к безразмерному радиусу р = Л г) принимает следующий вид:
..	ilia fd2w . и dw 1
[7i? + T-dp]-
*	L P dp 1 r dp2 J
(25)
Для опертой по контуру пластины интенсивность радиального изгибаю-
щего момента Мг на контуре обращается в ноль, что и служит одним из крае-
вых условий для определения постоянных интегрирования.
§ 2. ПОЛЯРНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ФОРМЫ РАВНОВЕСИЯ СПЛОШНЫХ ПЛАСТИН
Согласно выражению (18) уравнение осесимметричной формы срединной
поверхности круглой пластины имеет вид
w (р) =	+ С2 In р + C3JQ (р) + С4У0 (р),
Фиг. 687.
где Jq (р) и Yq (р) — соответственно функции Бесселя первого и второго рода
нулевого порядка.
Очевидно, что величина w (р) не должна обращаться в бесконечность
ни при каких значениях безразмерного радиуса р = Хг. Этому требованию
противоречит то обстоятельство,
что при р = 0 (центр срединной
поверхности) два частных интег-
рала In р и Уо (р) обращаются
в логарифмическую бесконеч-
ность.
Таким образом, указанные ча-
стные интегралы не удовлетво-
ряют требованию конечности ординат срединной поверхности при р = О
и, следовательно, в рассматриваемом случае (сплошная пластина защем-
ленная или опертая по контуру) общий интеграл дифференциального урав-
нения срединной поверхности (12) имеет вид
w (р) —	J о (р)-
Определим критическое значение нагрузки для сплошных пластин в двух
случаях крепления их контура.
Случай 1. Контур пластины помещен в неподвижный круговой паз
(фиг. 687) и, следовательно, на контуре отсутствуют как линейные, так и угло-
вые перемещения (защемленный контур).
Обозначим радиус пластины через b и соответствующую безразмерную
величину Х6 через р; тогда при р = ₽, т. е. на контуре пластины
&(₽) = 0 и а>(р) = 0.	(27)
Зависимости (27) являются краевыми условиями для пластины с защем-
ленным контуром.
Согласно выражениям (20) и (26) угловое перемещение ^(р) = —С3Л (р).
Замечая, что С3 =(= 0, из первого краевого условия следует, что Л (р) = 0.
Из таблиц корней бесселевых функций [11] следует, что наименьший
корень функции первого рода первого порядка р = 3,8317.
63*
996
Расчеты, на устойчивость тонких круглых и кольцевых пластин
Замечая, что ₽2 = (Х&)2 =	Ь2, получаем для первого (наименьшего)
критического значения интенсивности радиальных сжимающих’ сил величину
PKp = (3,8317)2-g-= 14,68(28)
Это критическое значение нагрузки для пластины с защемленным конту-
ром было получено Брайяном в 1891 г. [23].
Для стальной пластины радиуса b = 1 м, толщиной h = 1 см и с механическими характе-
ристиками материала Е = 2-10® кг/см2 и = 0,30 жесткость изгиба
Eh*	2-106-1	. 1ЛК
Г>— 12(1_р) — 12-0,91 — 1’832'10 кгсм-
Критическое значение интенсивности сжимающих сил
D	1,832-105
Ркр = 14,68 —— = 260 кг/см.
Заметим, что’ соответствующие критические напряжения значительно меньше предела
пропорциональности для материала пластины '(например, для стали Ст. 3 предел пропорцио-
нальности б;,	2000 кг/см2).
Из второго краевого условия (27) следует, что
Фиг. 688.
Сх + C3J о (Р) — 0
C1 = -C3J0(₽);	>
тогда уравнение (26) срединной
поверхности пластины принимает
вид
№(p) = C3[j0(p)-J0^)], (29)
•где ₽ = 3,8317, т. е. прогибы пластинки определяются с точностью до постоян-
ного множителя С3.
Таким образом, как и следовало ожидать, линейное дифференциальное
уравнение срединной поверхности (12) позволяет определить только кри-
тическое значение (28) радиальных сжимающих сил, но не дает возможности
вычислять прогибы пластинки при нагрузках больших критической.
При необходимости исследования указанных прогибов следует обратиться
к рассмотрению конечных перемещений и заменить уравнение (12) соответ-
ствующим нелинейным уравнением.
Случай 2. Контур пластины свободно оперт (фиг. 688) и, следова-
тельно, на контуре отсутствуют линейные перемещения (прогибы) и радиаль-
ные изгибающие моменты.
Таким образом, при р = ₽ = Х&
Л1Др) = 0 и да(₽) = 0.
(30)
Зависимости (30) являются краевыми условиями для пластины с опертым
контуром.
Согласно выражениям (25) и (26) первое краевое условие (30) имеет вид
[^«(p)+f ^.(Р)]рн, = о.
Формы равновесия, не имеющие осевой симметрии
997
Для преобразования полученного выражения используем дифферен-
циальные соотношения (19). Полагая в первой формуле (19) п = 1 и во вто-
рой п = 0, получим, что
4 J<> (*) = - 7о (х) + 4 a W;	<31)-
/ х
тогда первое краевое условие (30) преобразуется к следующему виду:
W?)-(1-P)A(₽) = O.	(32)
В дальнейшем коэффициент поперечной деформации примем равным
р. = 0,30.
Используя таблицы функций Бесселя первого рода нулевого и первого
порядков [15], определим подбором наименьший, отличный от нуля, корень
уравнения (32). Так, обозначая через Д левую часть уравнения, имеем,
при ? = 2,048 Jo (?) = 0,196290; Л (?) = 0,573171; Д = 4-0,000782, а при
₽ = 2,049 Jo (?) = 0,195717; Л (?) = 0,573087; Д = —0,000724.,
Интерполируя, получим, что Д.= 0 при ? = 2,048 4- -^^^^--0,001 =
= 2,0485 и, следовательно, критическое значение интенсивности радиальных
сжимающих сил
Ркр = (2.0485)2 * -g- = 4,196 -§.	(33)
Критическое значение, нагрузки для пластины с опертым контуром было,
по-видимому, получено впервые А. Н. Динником в 1911 г. [7].
Используя второе краевое условие (30), приходим к следующему уравне-
нию срединной поверхности:
w (р)= Сз 14 (р) А (?)]>
где ? = 2,0485, т. е.. срединная поверхность опять определяется с точностью
до постоянного множителя.
Сравнивая критические нагрузки по формулам (28) и (33), заключаем,
что замена опертого контура защемленным, повышает критическое значение
интенсивности радиальных сжимающих сил в = 3,50 раза.
^Отметим, что в случае сжатого стержня, при замене шарнирных опор
по концам стержня защемлениями (неподвижными втулками) критическое
значение сжимающих сил повышается в 4 раза.
§ 3. ФОРМЫ РАВНОВЕСИЯ, НЕ ИМЕЮЩИЕ ОСЕВОЙ СИММЕТРИИ
Обратимся к рассмотрению критических значений нагрузки, соответствую-
щих формам равновесия, не обладающим осевой симметрией.
Преобразуя дифференциальное уравнение срединной поверхности (9)
к полярной системе координат и “вводя безразмерный радиус р = Хг (см.
формулу (8) ], имеем
( di . 1	5.1	52 \ [ д^1> .	1 dw , 1 d2w ,	1 А
или в развернутой форме
d4w .	2	. 7.	1 \ d2w .	1 7. .	1 \ dw .
2 d4w 2 dsw .	1 d4w , 1 7 . , 4 \ d2w ~
* p2 ' dpрз ‘ dpd<p2 "г *p4 ’ "5^4 + "p2 \ 1 + "рг’У fyZ ~ u-
(35)
9984 Расчеты на устойчивость тонких круглых и кольцевых пластин
Будем искать решение уравнения (34) в виде
w (р>?) = w (р) sin п	(36)
где и = 1, 2, 3, ...^представляет собой число «волн» срединной поверхности
в- окружном направлении.
При использовании выражения (36) уравнение (35) приводится к следую-
щему виду:
_1_ А.	4- Г1 _ _L н 4-2п2<1 — 4-
+ Т [1+|(1+2я2)]5-7 [1 + ^(4-п2)]да = 0.	(37)
• Непосредственной подстановкой легко убедиться, что рп и р—" являются
частными решениями дифференциального уравнения (37).
Для определения двух других частных интегралов обратимся к урав-
нению (34). Подстановка w (р, ф) по выражению (36) в уравнение
д2ш .1	dw . 1 d2w , Л
+ “р др" + 'р*' ‘	+ w ~ °
приводит к следующей зависимости относительно w (р):
р2-^ + р^ + (?2-п2)“’=-°-	(38)
Это дифференциальное уравнение типа Бесселя. Частными интегралами
этого уравнения являются функции Бесселя первого и второго рода п-го
порядка Jn (р) и Yn (р), определяемые выражениями (16) и (17).
Очевидно, что эти частные решения удовлетворяют и уравнению (37).
Таким образом, общий интеграл линейного дифференциального уравнения
четвертого порядка (37) имеет следующий вид:
w (р) = CiP" + С2р_" + C3Jп (р) + С4УИ (р),
а уравнение срединной поверхности пластины
®(р,?) = (Ср" + С2р~п + C3Jn (р) + С4Г„ (р)] sin п<р.	(39)
Так как при р = 0 частные интегралы р—п и Yn (р) обращаются в беско-
нечность, то из условия конечности прогибов в случае сплошных пластин
(йластин без центрального отверстия) эти интегралы исключаются и уравйе-
ние срединной поверхности принимает вид
w (р,ф) = [CjP" + C3Jn (р)] sin п ф.	(40)
Определим теперь критическую нагрузку для сплошных пластин в двух
случаях крепления их контура.
Случай 1. Контур пластины помещен в неподвижный круговой паз
и; следовательно, на контуре (г = & или Р = ₽) линейные и угловые переме-
щения отсутствуют.	.
Уравнение линейных перемещений (прогибов) дается уравнением (40),
а уравнение угловых перемещений имеет вид
♦ (р,ф) = XfCjnp'1-1 + C3Jn (р)] sin пф. '	(41)
Краевые условия w (р) = 0 и & (р) = 0 приводят к системе линейных
однородных уравнений:
+ C3J „(₽) = 0, J
4-С3Л (₽) = О J	k 1
относительно постоянных Ci и С3.
Формы равновесия, не имеющие осевой симметрии
999
Корни Ci и С3 системы (42) отличны от нуля при условии, что определи-
тель, образованный из коэффициентов этой системы, обращается в ноль, т. е.
рЛ(₽)-п//2(р) = О.	(43)
Согласно сказанному, значения ₽, определяемые из уравнения (43),
являются критическими, т. е. соответствуют возникновению изгибных форм
равновесия (40).
Преобразуем выражение (43). Из второй дифференциальной зависи-
мости (19) вытекает следующее выражение для первой производной от функ-
ции Бесселя n-го порядка:
(44)
Подстановка значения производной (44)
в зависимость (43) приводит к следую-
щему уравнению для определения крити-
ческого значения р:
J„+1(₽) = 0.	(45)
Таким образом, искомые критические
значения ₽, соответствующие возникно-
вению криволинейных форм равновесия
с п волнами в окружном направлении,
являются корнями функции Бесселя (п+1)
порядка.
При n = 1 срединная поверхность
образует одну волну в окружном направ-
лении, т. е. пластина делится узловым диа-
метром на две части, из которых (при первоначально горизонтальном рас-
положении пластины) одна часть обращена выпуклостью вверх, а другая
выпуклостью вниз (фиг. 689, а). Для всех точек узлового диаметра про-
гибы равны нулю.
В этом случае критическое значение р определяется из уравнения
72(₽) = 0.
(46)
По таблицам корней функций Бесселя [10] наименьший корень функции
первого рода второго порядка р = 5,1356; тогда критическое значение интен-
сивности радиальных сжимающих сил
Р,р = (5,1356)®= 26,37
Форма срединной поверхности пластины определяется выражением (40),
где n = 1 и р = р у = 5,1356 у. Для заданного значения полярного угла ср
все прогибы до(р) одного знака, т. е. узловые окружности отсутствуют
(фиг. 689, а).
Второй корень уравнения (46) р = 8,4172 и соответствующая форма рав-
новесия обладает одной узловой окружностью (фиг. 689, б), т. е. на длине
радиуса пластины прогибы один раз меняют знак, проходя через нулевое
значение в точке пересечения рассматриваемого радиуса с узловой окруж-
ностью. Третий корень уравнения (46) р = 11,6198 соответствует срединной
поверхности с двумя узловыми окружностями и т. д.
При п = 2 срединная поверхность образует две волны в окружном на-
правлении, т. е. пластина делится двумя узловыми диаметрами на четыре
1000 Расчеты на устойчивость тонких круглых и кольцевых пластин
Таблица 129
Характеристики некоторых форм равновесия сплошных круглых пластин
с защемленным контуром, сжатых радиальными силами,
равномерно распределенными по контуру
Форма	Число волн в	Опреде-	Первые три	Число	Число	Наименьшая крити-
			корня	узловых	узловых	ческая нагрузка
равновесия	окружном	ляющее	определяющего	диамет-	окружно-	для рассматриваемой
	н апра в Ле- нин	уравнение	уравнения	ров	стей	формы равновесия
Полярно-			₽! = 3,8317			—	D
симметрич-	—	Л (₽) = 0	₽2 = 7,0156	—	1	Ркр= 14,68-^
ная			рз = 10,1735	—	2	
			р1 = 5,1356	1			 в
	1	Л (₽) = 0	р2 = 8,4172	1	1	Лф = 26,37
Полярная симметрия			Рз = 11,6192	1	2	
			₽! = 6,3802	2			0
отсутствует						
	2	73(₽) = 0	р2 = 9,7610	2	1	Р кр — 40,71
•			рз = 13,0152	2	2	
части, из которых две части обращены выпуклостью вверх и две другие
части выпуклостью вниз (фиг. 689, в).
Критическое значение р определяется из уравнения
Л(₽) = 0.	(47)
Наименьший корень, функции Бесселя первого рода третьего порядка
равен р = 6,3802; в этом случае критическое значение интенсивности на-
грузки
= (6,3802)2^- = 40,71
Форма срединной поверхности пластины определяется выражением (40),
где п=2 и р = ₽у = 6,3802-у и узловые окружности отсутствуют
(фиг. 689, в).
Второй корень уравнения (47) р = 9,7610, и соответствующая форма
равновесия обладает одной узловой окружностью (фиг. 689, г).
В табл. 129 сведены характеристики ряда форм равновесия круглых
пластин с защемленным контуром. Из рассмотрения таблицы заключаем,
что наименьшее значение величины р соответствует полярно симметричной
форме равновесия без узловых окружностей. Соответствующее значение
интенсивности радиальных сжимающих сил
[Ркр = (3,8317)2 £ = 14 68 -g-
является наименьшим критическим значением нагрузки для рассматриваемой
пластины.
Использование критических значений нагрузки, соответствующих
полярно-несимметричным формам равновесия, рассмотрено ниже.
С л у ч а й 2. Контур пластины оперт и, следовательно, на контуре (г = b
или р = ₽) отсутствуют линейные перемещения (прогибы) и радиальные
изгибающие моменты: w (р) = 0 и Мг (р) = 0.
Формы равновесия, не имеющие осевой симметрии
1001
Уравнение линейных перемещений (прогибов) дается выражением (40),
и соответствующее краевое условие имеет вид
О’(₽) = с1₽« + С8/„(₽) = 0.	(48)
Используя зависимость (23) и вводя безразмерный полярный радиус
Р — Аг, получаем следующее выражение для интенсивности радиальных
изгибающих моментов:
ял г»12 Гд2а» । I 1 ди» . 1 d2w\1	,.о .
Л4Г = — DX2(С1П (п-1) Р"-2 + C3J”n (р) + | X
X [С^р"-1 + C3J'n (р)] +[1	[С1Р» 4- C3Ja (p)]j sin n<f.
Обращение в ноль радиального момента на контуре соответствует усло-
Сх (1 - н) п (п - 1) ₽«-2 + с3 {/; (₽) +1 [j'n (₽) - ^-Jn (₽)]’} = 0. (49)
Из первой дифференциальной зависимости (19)
W = Jn_1(x)-^Ja(x)	(50
и, следовательно,
Л W = Т Л-хW + /я (X).
Исключим первую производную из правой части полученного выражения.
Из второй дифференциальной зависимости (19) следует, что
J'n(x) = lja(x)-Jn+l(x)
и, следовательно,
<_Дх) - ^-Jn-Ax)-JB(x).
Внося последнюю зависимость в правую часть полученного выше выра-
жения для второй производной, имеем
=	R^-1]	(50а)
Формулы (50) и (50а) выражают искомые производные J'n (х) и J" (х)
через функции Jn (х) и Jn_x (х).
Приравнивая нулю определитель, образованный из коэффициентов
системы однородных уравнений (48) и (49), имеем
А = -рг (» - 1 - Р) Jn (₽) ~| J'n (₽) -J"n (₽) = 0
или после преобразований с использованием выражений (50) и (50а) получаем
Д = (1 - И) (₽) 4- (2/цх 4- ₽2) Jn (₽) = 0.	(51)
Уравнение (51) и определяет критическое значение величины р. В даль-
нейшем положим коэффициент поперечной деформации и = 0,30.
1002
Расчеты на устойчивость тонких круглых и кольцевых пластин
При п = 1, когда срединная поверхность в окружном направлении обра-
зует всего одну волну,
Д1 = 0,7₽ Jo (₽) + (0,6 + ₽2) Л (₽) = 0.
Определим наименьший корень полученного уравнения.
По таблицам функций Бесселя [15]:
1) при р = 3,65 Jo (₽) = —0,39602; Ji (₽) - 0,07459; At = 0,02669;
2) при ₽ = 3,66 Jo (р) = —0,39675; Л (₽) = 0,07043; Ai = —0,03063.
Интерполируя, имеем, что Ai =' 0 при В = 3,65 + 2-^^-0,01 = 3,655;
тогда соответствующее критическое значение интенсивности радиальных
сжимающих сил
PKp = (3,655)2-g-=13,36-g.	(51а)
Таким образом, критическая нагрузка, соответствующая срединной
поверхности с одной волной в окружном направлении, превышает крити-
. .	13,36
ческую нагрузку для полярно-симметричнои формы равновесия в 419g' =
= 3,18 раза.
При п — 2 срединная поверхность образует две волны в окружном
направлении и определяющее уравнение имеет вид
Д2 = 0,7₽Л (₽) + (1,2 + р2) J2 (₽) = 0.
По рекурентной зависимости между функциями Бесселя трех смежных
порядков [2]
о
А(₽) = уЛ(₽)-^о(₽)-
Используя таблицы функций Бесселя [15], имеем:
1) при р = 5,00 Jo (₽) = —0,17760; Л (₽) = —0,32758; 72 (р) = 0,04657;
А2 = 0,07360;
2) при р = 5,01 Jo (р) = — 0,17432; Л (р) = —0,32868; J2 (р)= 0,04311;
А2 = —0,01889.
Интерполируя, находим, что Д2 = 0 при р = 5,00 + о 09249	~
= 5,008, следовательно, соответствующее критическое значение интенсив-
ности нагрузки
Ркр = (5,008)2 -g- = 25,08 g-;	(516)
оно превышает критическую нагрузку для полярно-симметричной формы
25 08 с по
равновесия в = 5,98 раза.
Таким образом, для сплошных пластин с опертым контуром, так же как
и для пластин с защемленным контуром, наименьшая критическая нагрузка
соответствует полярно-симметричной форме равновесия.
§ 4. ПЛАСТИНЫ С ПОДКРЕПЛЕННЫМ ЦЕНТРОМ
Рассмотрим влияние дополнительной опоры в центре круглой пластины
на величину критического значения радиальных сжимающих сил.
Предварительно получим уравнение срединной поверхности пластины,
которая нагружена в центре некоторой сосредоточенной силой Т кг. пер-
пендикулярной к плоскости пластины и равномерно распределенными по кон-
туру радиальными сжимающими силами интенсивности Р кг/см. лежащими
Пластины с подкрепленным центром
1003
в плоскости пластины. Здесь при составлении дифференциального уравнения
срединной поверхности будем исходить из рассмотрения равновесия деформи-
рованного элемента пластины, нагруженного не только силами, приложен-
ными по его боковым граням (см. главу XV), но и силами, распределенными
по площади элемента (том II, глава II).
Соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид
п Г 0*w . о d*w . d4ay] _ v d2w . Л7 d2w . OQ d2w .
D L дх* + 2 дх2 ду2 + ду* J ~ N* дх2 + ду2 + 25*У дх ду +	<52)
где q кг!см2 — интенсивность сил, распределенных по площади рассматривае-
мого элемента пластины.
Полагая Nх = Nу = — Р и Sxy = 0, переходя к полярной системе коор-
динат и ограничиваясь рассмотрением осесимметричных форм равновесия,
имеем
d*w . 2 d3w 1 d2w .1 dw . . 2 Г d2w . 1 dw] q
p
где опять введено обозначение К2 = -р- [см. формулу (8)].
Представим полученное дифференциальное уравнение в следующем виде:
а Г , d2w 1 dw 1 . . 2 d f dw\ ________ qr_
dr L drs dr2 r ' dr J dr \ dr / D "
Интегрируя обе части полученного равенства и считая q = const, получим
d»a» .	/\2	1 \ dw _ Г । r ] 1
Г dr2 + dr2' \Л Г	г) dr L 2 +G»J D
или
D +	= [? + С«] 7-	(=3)
Перепишем правую часть равенства (53) в виде
дуг2 . Со
2пг г ‘
(53а)
Первое слагаемое выражения (53а) представляет собой поперечную
нагрузку, распределенную по кругу радиуса г, отнесенную к длине окруж-
ности того же радиуса. Это слагаемое можно рассматривать как интенсив-
ность поперечных сил, возникающих в окружных сечениях пластины от рас-
пределенной поперечной нагрузки. Если учесть наличие в центре пластины
еще и сосредоточенной силы Т, то очевидно, что интенсивность поперечной
силы в окружном сечении можно представить как
qitr2  Т
2лг ”Т* 2лг
(536)
Сопоставляя зависимости (53а) и (536), заключаем, что в рассматриваемом
случае постоянная интегрирования Со связана с приложением центральной
т
сосредоточенной силы Т и что Со =	•
Заметим, что = Я; тогда, вводя обозначение р = Кг и учитывая,,
что распределенная поперечная нагрузка отсутствует (q = 0), представим
уравнение (53) в виде
+	+	* = Т-Йг	<54>
1004
Расчеты на устойчивость тонких круглых и кольцевых пластин
Соответствующее уравнение без правой части является уравнением Бес*
селя первого порядка. Его общий интеграл можно представить в виде
где Л (р) и Yi (р) — функции Бесселя первого и второго рода первого по-
рядка, a Ci и С2 — постоянные интегрирования.
Частный интеграл уравнения с правой частью (54) ищем в виде
& = #—,
Р
где К — некоторая постоянная величина. Подстановка указанного значе-
ния & (р) в уравнение ,(54) дает, что
. • <“)
#
Таким образом, общее решение уравнения (54) имеет вид
Я(р) = СЛ(р) + С2У1(р) + К.1-.	(56)
Ординаты срединной поверхности пластины w (р) связаны с углом наклона
нормали к этой поверхности Я (р) уравнением
или
® = у [Сх Рх (Р) dp + С J Yt (р) dp + К In Р] + Cs.	(57)
Как известно [2 ], между функциями Бесселя нулевого и первого порядков
существует следующая дифференциальная зависимость:
Л(х) = -^/0(х); '
d	(58)
Учитывая соотношения (58), представим выражение (57) в виде
w = у [- C,J0 (Р) - С2У0 (Р) + к 1П р] + С3.	(59)
Для определения постоянных Сх, С2иС3, входящих в формулы (57) и (59)
для угловых Я и линейных w перемещений, используем соответствующие
краевые условия.
Независимо от характера крепления контура пластины для осесиммет-
ричных форм равновесия, при р = 0 угловое перемещение & (0) = 0.
 Рассмотрим выполнение этого условия.
Функция Бесселя первого рода первого порядка
Л(*) =
1
212*3
4 1
312*3*4
(60)
Пластины с подкрепленным центром
1005
Функция Бесселя второго рода первого порядка
У1(х) = Ъ1(х)1пА_ |4 +
2v-F 1
(81)
^!(^+ 1)!
т=\
2С — У —
т
т—1
где С — так называемая постоянная Эйлера.
Заменяя Л (х) рядом (60), легко показать, что при х = 0 первое слагае-
мое правой части выражения (61), т. е. произведение Л (х)1п-^-, обращается
в ноль. Следовательно, из всех слагаемых правой части (61) только одно
слагаемое  —— при х = 0 обращается в бесконечность.
Таким образом, в выражении (56) для угловых перемещений 9* (р) есть
2	1	1
два члена, имеющих особенность при р — 0, а именно: —С2 — • — иК—.
Поэтому для выполнения условия Я (0) = 0 необходимо, чтобы
С2 = ~ К.
(62)
Теперь выражения (56) и (59) для угловых и линейных перемещений при-
нимают следующий вид:
Я =.С1Л(р) + -J- ЛГУАр) +	;
к
w=4- [-ед (р) - 4 кго (р)+Р1 + с3.
(63)
Для определения оставшихся постоянных интегрирования Ci и С3
используем краевые условия на контуре пластины, т. е. при г. — Ь, где b—
радиус пластины; обозначим через р = ХЬ безразмерный радиус пластины.
Случай 1. При защемленном контуре пластины д (р) = 0 и w (Р) = 0.
Отсутствие угловых перемещений на контуре приводит к зависимости
ед^ + ^-тею + к--^0
и, следовательно,
С- = -7®[1Г><₽)+т]-	<64>
Отсутствие линейных перемещений на контуре соответствует условию, что
4-[-ед(Р)~4ку0(р)+я1пр] +с3 = о
и, следовательно,
[-гг1<р)+т]~Щр]}- (65)
Внесем полученные значения Ci и С3 во вторую из формул (63) и, заме-
чая, что
К = J_Т_
X 2тс ’ Р ’
1006
Расчеты на устойчивость тонких круглых и кольцевых пластин
приходим к следующему уравнению срединной поверхности пластины:
w (Р) = i • “F Р7 (₽) ро (Р) - Jo(₽)] - -f |/о (Р) - У о (₽)] + In |) , (66)
где

(67)
Уравнение срединной поверхности сжато-изогнутой пластины выражено
через функции Бесселя первого и второго рода нулевого порядка
(68)
« /AV’
г. (X) = 4 (X) In f + 4 v (_ 1)’ J44 X
v=0
(С— 1)4-
Заметим, что разность двух слагаемых правой части уравнения (66)
при р = 0
-4r.(p) + lnf =-(С+1п|)
и, следовательно, уравнение (66) дает для прогиба в центре пластины и> (0),
вообще говоря, конечную величину:
w (°) = i • -F Р № [1 - Jo (₽)] + -f У. (₽) - in 4 - с}.	(70)
Будем теперь рассматривать силу Т как реакцию жесткой опоры, тогда
w (0) = 0. В этом случае критическое значение, при котором сжатая пластина
начинает выпучиваться и в центральной опоре возникает реакция (Т 0),
определится из уравнения
Л(₽) [1-«М₽)1 + Л(₽) [-j-yo(₽)-ln|-c] =0,	(71)
где введены обозначения
л (₽) = 1+-4 (₽) и л (₽) = рл (₽).
Определим наименьший положительный корень уравнения (71).
При р = 6,64 по таблицам функций Бесселя [15] «70 (Р) = 0,27881;
Уо (р) = —0,13372; Л (р) = —0,11320;	(₽) = — 0,28959, и левая часть
уравнения (71) Д = 0,03657.
Пластины с подкрепленным центром
1007
При ? = 6,65 Jo (?) = 0,27992; Уо (?) = —0,13082; Л (?) = — 0,11024;
Ух (?) = —0,29047, и величина Д — —0,01019.
Интерполируя, находим, что Д — 0 при
₽=6>64+^S°’01 =6’648;
тогда критическое значение интенсивности радиальных сжимающих сил
Ркр = (6,648)*-§- = 44,20(72)
Сравнивая полученное критическое значение нагрузки со значением
по формуле (28), заключаем, что для пластин с защемленным контуром жест-
кое крепление центра пластины увеличивает (в предположении осесиммет-
44 20
ричной формы равновесия) критическое значение нагрузки в -14*68 = 3,01
раза.
Случай 2. При опертом контуре пластины Мг (?) = 0 и w (?) = 0.
По выражению (23) обращение в ноль радиального изгибающего момента
на контуре пластины соответствует условию, что при р — ?
d2w , p. dw _ п	,7<(.
dp2 + р ’ dp U’
где w (р) определяется, второй из формул (63).
Полагая п = 1 в первой из зависимостей (19) и п = 0 во второй из этих
зависимостей, приходим к следующим выражениям для первых двух произ-
водных от функции Бесселя первого рода нулевого порядка:
J о W =	А (*•)»	,
1 (74)
W = - J0(x) + AJ1(X).
Аналогичные зависимости существуют и для функций Бесселя второго
рода нулевого порядка.
Из краевого условия (73) определяется постоянная Сх, как
(75)
где введено обозначение
[₽го (?) + (₽ - 1)Л (₽)] 4-1 (₽ -1)
ф <» = --------+ ----------------------- <76>
Обращение в ноль прогиба на контуре пластины приводит к зависимости
С« = --Г [ф(₽) А(₽)-----гуо(₽) + 1п₽] .	(77)
Используя выражения (75) и (77), представим уравнение срединной по-
верхности в виде
w (р) = i -7- {ф (₽) IA <Р) - А (₽)] —^ [ А (Р)-Ко (₽)] + In . (78)
Путем соответствующих преобразований (см. случай 1) можно показать,
что прогиб в центре пластины равен
НО) = ^-т-{ф<₽) I1 - A(₽)l +4FAOO- 1п|-С}.	(79)
1008
Расчеты на устойчивость тонких круглых и кольцевых пластин
Рассматривая силу Т как реакцию жесткой опоры, приходим из условия,
что w (0) = 0 и Т 0, к следующему выражению для определения крити-
ческого значения величины ₽:
Д = Ф1(₽)[1-/0(₽)] + Ф2(₽)[^-У0(₽)-1п|-С] =0,	(80)
где введены обозначения
Фх (₽) = у [₽Vo (₽) + (₽ - 1) Y. (₽)] + у (₽ - 1
И
Ф2(₽) =	(₽) + (₽- 1) Л(₽).
Определим наименьший положительный корень уравнения (80). Исполь-
зуя таблицы функций Бесселя [15], имеем Д (5,68) — 0,03928 и Д (5,69) =
= —0,01701.
Интерполируя, находим, что Д = 0 при
Р = 5,680+ -§§11-0,01 =5,687
и, следовательно, критическое значение нагрузки
Ркр = (5,687)2^- = 32,34-g-.	(81)
Проведем обсуждение полученных результатов.
Во всех рассмотренных случаях крепления круглых пластин критическое
значение интенсивности равномерно распределенных сжимающих сил выра-
жается как
Ркр = -П-&-,	(82)
где D — жесткость изгиба пластины;
b — радиус пластины;
т) = р2 — коэффициент критического значения нагрузки, зависящей от вида
крепления и характера рассматриваемой формы равновесия.
Для пластин с опертым контуром и свободным центром были рассмотрены
следующие основные формы равновесия и получены соответствующие зна-
чения коэффициента tj:	'
а)	полярно-симметричная форма равновесия w (0) =# 0; ft (0) = 0, для
которой величина tji = 2,04852 = 4,196;
б)	полярно-несимметричная форма равновесия (с одним узловым диа-
метром) w (0) = 0; ft (0) + 0, для которой величина т)2 = 3,6552 = 13,26.
В случае опертого контура и подкрепленного центра была рассмотрена
полярно-симметричная форма равновесия w (0) = 0, ft (0) = 0, для которой
величина т)з = 5,6872 = 32,34.
Поскольку т)з > т)2, то в тех случаях, когда крепление центра пластины
не препятствует образованию угловых перемещений в месте крепления
(например, шариковая опора), более вероятным является возникновение
полярно-несимметричной формы равновесия с узловым диаметром, чем
полярно-симметричной формы равновесия с нулевым прогибом в центре.
Таким образом, следует считать, что шариковое крепление центра пластины
с опертым контуром увеличивает критическую нагрузку до величины т)2 =
= 13,26, т. е. в -^- = д3.*™- — 3,2 раза.
4,1УО	г
Кольцевые пластины
1009
Если же крепление центра выполнено таким образом, что угловое пере-
мещение в этом, месте исключается (например, болтовое крепление пла-
стины к какой-либо неподвижной массивной детали), то тем самым создаются
условия для образования полярно-симметричной формы равновесия и более
значительного повышения критического значения нагрузки. Все же величину
т]з = 32,34 следует рассматривать только как верхний предел возможного
увеличения критической нагрузки, путем подкрепления центра пластины.
Необходимо отметить, что, помимо рассмотренных форм равновесия,
практически возможно возникновение и более сложных (смешанных или
неправильных) форм равновесия. Поэтому, наряду с изложенным выше
теоретическим рассмотрением устойчивости круглых пластин с подкреплен-
ным центром, желательно осуществить и экспериментальное исследование
их устойчивости.
Для пластин с защемленным контуром и свободным центром выше были
получены следующие значения коэффициента критического значения на-
грузки:
а)	для полярно-симметричной формы равновесия тгц = 3,83172 = 14,68;
б)	для полярно-несимметричной формы равновесия с одним узловым
диаметром ?]2 = 5,13562 = 26,37.
Для защемленного контура и подкрепленного центра в случае полярно-
симметричной формы равновесия т]3 = 6,6482 = 44,20.
Здесь, так же как и для пластин с опертым контуром, существенным
является конструктивный характер крепления центра пластины. Так, при
наличии шариковой опоры более вероятным является образование полярно-
несимметричной формы равновесия с узловым диаметром и увеличение кри-
тической нагрузки до величины == 26,37, т. е. в — =	1,80 раза.
При жестком болтовом креплении центра пластины (отсутствие углового
перемещения в месте крепления) величину nq3 = 44,20 следует рассматривать
как возможный верхний предел повышения критической нагрузки.
§ 5. КОЛЬЦЕВЫЕ ПЛАСТИНЫ
В случае сплошной пластины, нагруженной по контуру равномерно
распределенными радиальными силами, направленными к центру, иссле-
дование облегчается тем обстоятельством, что для плоской формы равновесия
поле напряжений сжатия, в котором находится пластина, однородно, т. е.
величины главных напряжений одинаковы для всех точек пластины.
Фиг. 690.
Для кольцевых пластин дело обстоит несколько иначе. Если интенсив-
ности радиальных сил Pi и Р2 (фиг. 690), равномерно распределенных
по внутреннему и наружному контурам пластины, различны, то величины
главных напряжений в точках пластины являются некоторыми функциями
расстояния этих точек от оси пластины (см. том II, главу V). Ограничимся
здесь рассмотрением случая, когда интенсивности радиальных сил для внут-
реннего и наружного контуров равны по величине: Pi = Р2 = Р кг!см
и направлены для внутреннего контура от центра пластины, а для наруж-
ного — к центру пластины. Тогда величины главных напряжений одинаковы
64 Пономарев 508
1010
Расчеты на устойчивость тонких круглых и кольцевых пластин
для всех точек кольцевой пластины и являются напряжениями сжатия.
Следовательно, полученные выше дифференциальные уравнения срединной
поверхности сплошной пластины и их общие интегралы справедливы и для
рассматриваемого случая нагружения кольцевых пластин.
Так, для осесимметричных форм срединной поверхности справедливо
дифференциальное уравнение (12) и его общий интеграл (18).
Угловое перемещение или угол, образованный нормалью в произволь-
ной точке срединной поверхности с осью симметрии этой поверхности, выра-
жается зависимостью (20).
Фиг. 691.
Наконец, изгибающий момент в сечениях пластинки, перпендикулярных
к полярному радиусу, определяется выражением (25), которое можно пред-
ставить в следующем виде:
Мг (р) = DX2 С2 + CaF (р) + С4Ф (р)] ,	(83)
где
/7(p) = ^o(p)--LfJiA(p);	(84)
Ф(Р) = ГО(Р)~^Л(р).	(85)
В случае кольцевой пластины с опертыми контурами (фиг. 691) для опре-
деления постоянных интегрирования Ci, С2, С3 и С4 можно воспользоваться
следующими краевыми условиями:
Л4г(а) = 0; ау(а) = 0;
Л4Др) = 0; ау(р) = О,
где а = Ха и р = Х6 — безразмерные радиусы внутреннего и наружного
контуров пластины.
Используя выражения (18) и (83), преобразуем указанные четыре крае-
вых условия к следующему виду:
С2 + C3F (а) + С4Ф (а) = 0;
+ С2 In а 4-C3J0 (а) + С4У0 (а) = 0;
-^С2 + С87Чр) + С4Ф(|Э) = 0;
+ С2 In р + С3/0 (р) + С4У0 (р) = 0.
Как известно, корни системы однородных уравнений (постоянные интегри-
рования) отличаются от нуля (условие возникновения искривленной формы
равновесия пластины) только в том случае, когда определитель, образован-
Кольцевые пластины
1011
ный из коэффициентов системы однородных уравнений (86), обращается		
в ноль:		
	0 Ц/ /(а) ф(«)	
	1 Ina J0(a) У0(а) 1	= 0.
	0	Л₽) ф(₽)	
	1 lnp J0(p) У0(Р)	
Рассматриваемый определитель легко представить в следующем виде:
^(«) Л₽) /о(₽)
Ф(а) Ф(₽) Уо(₽)
F(a) F(₽)J0(a)
Ф(а) Ф(р) У0(а)
нением с одним неизвестным, и его решение путем подбора при наличии
соответствующих таблиц функций Бесселя не представляет принципиальных
затруднений.
Замечая, что квадрат безразмерного радиуса наружного контура пластины
₽2=(k6)2 = ^-62>
приходим к следующему выражению для критического значения интенсив-
ности радиальных сил:
Кр ~ ь2 ’
(88)
где коэффициент критического значения нагрузки т) = р2.
Критические значения величины р (Д = 0) и коэффициент •>] для кольце-
вых пластин с опертыми контурами (фиг. 691) и различными значениями отно-
шения у сведены в табл. 130 (осесимметричная форма равновесия) и изобра-
жены графически на фиг. 692.
Обратимся к рассмотрению форм равновесия без осевой симметрии. Здесь
справедливо дифференциальное уравнение срединной поверхности (35) и его
64*
1012
Расчеты на устойчивость тонких круглых и кольцевых пластин
Таблица 130
Критические значения величины р и коэффициента критической нагрузки т] для кольцевых
пластин с опертыми контурами (фиг. 691)
a ~b~	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
	2,316	2,294	OC€ 2,168	^симметрия 2,005	ная формг 1,851	1 равновес 1,724	ИЯ 1,601	1,505	1,422
Tl	6,364	5,262	4,700	4,020	3,426	2,972	2,563	2,265	2,022
в	| 3,819	4,123	Форма p; 4,762	авновесия 5,483	с одним у 6,488	зловым ди 8,011	[аметром	—	—
	14,59	17.75	22,68	30,06	42,09	64,18	—	—	—
общий интеграл (39). Интенсивность радиальных изгибающих моментов
по выражению (48а) после преобразований выражается зависимостью
Мг (р,ф) - — D'K2 [(1 — |i) п (п — I) р"-2^ + (1 — |i) п (п + 1) р- (“+2>С2 +
+ Fn (Р) Сз +	(р) CJ sin п©,	(89)
где введены обозначения
Рп(9) = --Цг^Л-Jp) +	tx-ral”-+1) - 1 i Jn(?y, (90)
Фл (P) = - Yn-i (Р) +	H ~ 1 ] Y“ (p)>	(91)
Для пластин с опертыми контурами выполнение краевых условий приводит
к следующей системе четырех однородных уравнений относительно постоян-
ных интегрирования:
Сх (1 — |i) п (п — 1) а"-2 + С2 (1 — |i) п (п + 1) а-("+2) + '
+ C3Fп (а) + С4ФЯ (а) = 0;
Cja” + С2а_п 4- CsJn (а) + С4У„ (а) = 0;
1)р«-2 + С2(1 — У)п(п+ 1)р-(п+2)+	(У2)
+ CsFn (₽) + С4Ф„ (₽) = 0;
С1₽" + С2₽-п + С3Л(₽) + С4У„(₽) = 0.
Условием возникновения искривленной формы равновесия пластины
является обращение в ноль определителя, образованного из коэффициентов
системы (92):
(1—|i)n(n—l)an~2 (1—|i)n(n+ l)a~<n + 2) Fn (a) Фй (a)
a"	a-"	J„ (a) Yn (a)
(1-и)п(п-1)₽«-2 (l-Ix)n(n+l)₽-(n + 2> F„(₽) Фл(₽)
₽"	4(₽)
Кольцевые пластины
1013
Ограничимся рассмотрением первой формы равновесия без осевой сим-
метрии, а именно, случая, когда срединная поверхность образует одну волну
в окружном направлении, т. е. обладает одним узловым диаметром.
Полагая п = 1, преобразуем выражение (93) к виду
2 (1 - и) -р- [Л (₽) Фх («) - Y, (₽) Л (а)] +
-	2(1 - И)4- [Л (а) Фх (₽)-Y, (а)Л(₽)] -
-	^4^ [а (₽) ф1 w -	(₽) а (₽)] -
-	[А <а) ф1 (а) -	<а) А (а) | -
-	(4 - т) [а <а> ф1 <₽) - А <₽) ф1 <“)] = °>	(94)
где вспомогательные функции следующие:
Л(р) = 4^А(р)- [1 + п£] А (р);
(95)
ФД^^-^ГДр)- [1 + Уг(р).
Теперь, задаваясь определенным соотношением между параметрами а и р,
используя таблицы функций Бесселя нулевого и первого порядков и решая
подбором уравнение (94), определяем критическое значение интенсивности
радиальных сил, соответствующее возникновению несимметричной формы
равновесия с одним узловым диаметром.
Критические значения величины р и коэффициент критической нагрузки
'П = Р2, входящий в формулу (88) при несимметричной форме равновесия
(и = 1) для различных значений отношения радиусов контуровсведены
в табл. 130. Сравнение данных табл. 130, отвечающих двум различным формам
равновесия, показывает, что для кольцевых пластин с опертым контуром
симметричная форма равновесия соответствует значительно меньшим кри-
тическим значениям интенсивности радиальных сил, чем несимметричная
форма равновесия с одним узловым диаметром.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Бицено К. иГраммель Р., Техническая динамика, т. 1 (глава VII), Гостех-
издат, 1950.
2.	В атсон Г. Н., Теория Бесселевых функций, части 1 и 2, ИЛ, 1949.
3.	Григолюк Э. И.,0 посадке диска на жесткий вал, «Вестник инженеров и техни-
ков» № 5, 1948.
4.	Г р и г о л ю к Э. И., Устойчивость круглых кольцевых пластин, Инженерный
сборник АН СССР, т. 5, вып. 2, 1949.
5.	Григолюк Э. И, Некоторые задачи устойчивости пластин при неравномерном
нагреве, Инженерный сборник АН СССР, т. 6, 1950.
6.	Г р и г о л ю к Э. И., Приближенное решение задачи об устойчивости кольца при
кручении, «Прикладная математика и механика», т. 14, вып. 1, 1950.
7.	Д и н н и к А. Н., Об устойчивости сжатой круглой пластинки, «Известия Киев-
ского политехнического института», кн. 1, 1911.
8.	Д и н н и к А. Н., Устойчивость круглой и прямоугольной пластинки в упругой
среде, «Известия Киевского политехнического института», кн. 4, 1911.
1014
Расчеты на устойчивость тонких круглых и кольцевых пластин
9,	Динник А. Н., Применение функций Бесселя к задачам теории упругости,
часть 1, Статика, «Известия Донского политехнического института», т. 2, 1913; см. также
Избранные труды, т. 2, изд. АН УССР, 1955.
10.	Л ю с т е р н и к Л. А., Акушский И. Я.,Диткин В. А. Таблицы Бессе-
левых функций, Гостехиздат, 1949.
11.	Маку шин В. М., Критические значения равномерно-распределенных радиальных
сжимающих сил для тонких круглых пластин, сб. «Расчеты на прочность», вып.4, Машгиз,
1959.
12.	Новацкий В. и ОлесякЗ. Колебания, устойчивость и изгиб круговой пла-
стинки на части окружности, защемленной полностью и частично свободно опертой, «Бюлле-
тень Польской Академии наук, отделение 4», т. 4, вып. 4, 1956.
13.	П о п к о в В. Г., Об устойчивости круглых пластинок при нагреве, Сборник трудов
Института строительной механики АН УССР, № 11, 1949.
14.	Ржаницын А. Р., Устойчивость равновесия упругих систем (глава XXII,
§ 108), Гостехиздат, 1955.
15.	С е г а л Б. И. и С е м е н д я е в К. А., Пятизначные математические таблицы,
АН СССР, 1948.
16.	С о к о л о в П. А.. Устойчивость плоского кругового кольца, нагруженного по
краям касательными усилиями, «Прикладная математика и механика», т. 3, вып. 1, 1939.
17.	С о к о л о в П. А., Об устойчивости подкрепленной кольцевой пластинки, работаю-
щей на сдвиг, «Прикладная математика и механика», т. 3, вып. 2, 1939.
18.	Тимошенко С. П., Пластинки и оболочки (глава VIII, § 65), Гостехиздат,
1948.
19.	Тимошенко С. П., Устойчивость упругих систем (глава VII, § 69), Гостехиздат,
1955.
20.	Ф е л ь д м а н А. А., Устойчивость кольцевой пластинки со свободным внутренним
и зажатым внешним краями при равномерном внешнем давлении, Сборник трудов Института
строительной механики АН УССР, № 15, 1951.
	21. Фельдман М. Р., Устойчивость кольцевой пластины (на укр. яз.) «Прикладна
мехашка» № 4,' 1955.
22.	Ф е л ь д м а н А. А., Метод сеток в применении к одной задаче об устойчивости
кольцевых пластинок, сборник «Исследования по вопросам устойчивости и прочности», изд.
АН УССР, 1956.
23.	В г а у n G. Н., On the Stability of a Plane Plate under Thrusts in its own Plane, with
Applications to the „Buckling* of the Sides of a Ship. Proceedings of the London Mathematical
Society, Vol. 22, 1891.
24.	L о k c h i n e A., Sur la stabilite d’une plaque renfermee entre deux cercles concentri-
ques, «Comptes rendus hebdomadaires des seances de L’academie des Siences», Tome 189, № 7,
1929.
25.	Meissner E., Ueber das Knicken kreisringformiger Scheiben, «Schweizerische
Bauzeitung», Bd, 101, 1933.
26.	N a d a i A. , Uber die Ausbeulung von kreisformigen Platten, «Zeitschrift des Verei-
qes deutscher Ingenieure» №9, 11, 1915.
27.	N a d a i A., Die elastischen Platten (§ 62—63), Berlin, 1925.
ГЛАВА XVII
РАСЧЕТЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕК
§ 1. ОБЩАЯ И МЕСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
Исследование устойчивости тонкостенных оболочек связано большей
частью с применением довольно громоздкого вычислительного аппарата.
Поэтому при изучении вопросов устойчивости оболочек широко применяются
различные приближенные методы, в частности, вариационные, и вводятся
упрощающие гипотезы о характере изменения формы оболочки при потере
устойчивости. Одним из общих упрощающих приемов является разделение
устойчивости оболочек
на общую и на местную,
или, как часто говорят,
локальную устойчи-
вость.
Фиг. 695.
Фиг. 693.
Под общей потерей устойчивости понимается возникновение новых устой-
чивых форм равновесия оболочки, обусловленных ее изгибом по всей поверх-
ности. На фиг. 693 показана в качестве примера форма общей потери устой-
чивости подкрепленной цилиндрической оболочки под внешним давлением;
круговой цилиндр превращается в эллиптический.
При местной потере устойчивости изгиб оболочки происходит в пределах
малых участков поверхности. Подкрепленная оболочка, аналогичная показан-
ной на фиг. 693, может потерять устойчивость в пределах малых участков,
расположенных между подкрепляющими элементами (фиг. 694). В случае, если
изгиб оболочки происходит по всей ее поверхности, но с большим числом
волн, как например, для цилиндрической оболочки, сжатой в осевом напра-
влении (фиг. 695), то такую форму потери устойчивости также относят к, мест-
1016
Устойчивость тонкостенных оболочек
ной. Между общей и местной устойчивостью нет принципиального различия.
Указанное деление обусловлено исключительно тем, что в пределах малых
волн, свойственных местной устойчивости, поведение упругой системы может
быть проанализировано при помощи упрощенных уравнений пологих обо-
лочек1. Сказанным фактически дается определение местной устойчивости
как существованию таких форм, которые описываются определенным классом
уравнений.
Заходя несколько вперед, укажем также, что при местной устойчивости
особое значение приобретают вопросы больших перемещений оболочек. Поэ-
тому анализ местной устойчивости оболочек производится, как правило,
«в большом» (см. ниже § 6).
Рассмотрим вначале некоторые вопросы общей устойчивости примени-
тельно к цилиндрической оболочке, наиболее часто встречающейся в каче-
стве конструктивного элемента.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
Для анализа устойчивости оболочки необходимо прежде всего составить
уравнения равновесия с учетом изменения формы оболочки.
Рассмотрим элемент цилиндрической оболочки с размерами dx и dy, выде-
ленный двумя осевыми и двумя поперечными сечениями (фиг. 696).
Перемещения точек серединной по-
верхности по осям х, у и г обозначим,
как обычно, через и, v и w.
К граням деформированного эле-
мента приложим изгибающие и крутя-
щие моменты, а также растягивающие,
сдвигающие и поперечные силы. На
фиг. 697 для большей ясности чертежа
моменты изображены от сил отдельно.
Обозначим через Nx, N? растяги-
Фиг. 696.
вающие усилия; Qx, Qy — поперечные
усилия; Sxy = SyX = S — сдвигающее усилие; Мх, — изгибающие
моменты; Мху = Мух — крутящие моменты, отнесенные к единице длины
сечения; через р обозначим внешнюю нагрузку, отнесенную к единице пло-
щади серединной поверхности.
Силовые факторы, снабженные индексом «штрих», отличаются от тех,
которые не снабжены этим индексом, соответствующими приращениями, т. е.:
N'x = Nx	+ 	dNx dx	dx;	N'y = Ny	+ 	dNy dy	dy;
Qx — Qx	+ 	dQx dx	dx;	Qy ~ Qy	+ 	dQy dy	dy;
Sxy =SXy	+ 	6Sxy dx	-dx\	Syx = Syx	+ 	dSyx dy	dy;
MX = MX		dMx dx	dx-,	My = My	+ 	dMy dy	dy;
М'Ху = Мху + dx-, М'ух - Мух•+ dy.
1 Основные сведения о пологих симметричных оболочках даны в томе II, глава IV.
Основные линейные уравнения устойчивости цилиндрической оболочки 1017
Введем в рассмотрение систему осей хх, ylt zx. Начало этой системы может
быть приписано любой точке серединной поверхности. Ось х± лежит в осе-
вой плоскости цилиндра и направлена по касательной к деформированной
серединной поверхности. Ось перпендикулярна оси и также касательна
к серединной поверхности. Ось направлена по нормали к деформированной
серединной поверхности и, следовательно, перпендикулярна осям и ух.
Отрезки dx и dy деформированного цилиндра с осями хг и у± не совпадают
и составляют с ним соответственно углы и (фиг. 698).
Прежде чем написать уравнения равновесия, определим косинусы тех
углов, которые образуют векторы сил Nx> Qx, . . ., Ny9 Qy, . . . с осями
*!, ?i (фиг. 697). Эти косинусы углов соответственно осям x19yl9 будем
обозначать /х, щХ9 п±. Они выражаются через перемещения и, v и w.
Результаты простых подсчетов представлены в табл. 131.
Каждому из полученных выражений легко дать геометрическое толко-
вание, если представить угловые смещения граней элемента как наложен-
ные смещения двоякого рода. Первые смещения будут такими же, как
и при изгибе и сдвиге плоского элемента. Соответствующие слагаемые в
таблице не содержат кривизны оболочки Смещения второго рода
являются специфическими для цилиндрической оболочки. Соответствующие
1
слагаемые угловых перемещении пропорциональны кривизне •
1018
Устойчивость тонкостенных оболочек
Таблица 131
Таблица направляющих косинусов ll9 m19 п1
Внутренние силовые факторы		m1	nl
Nx	—1	du ~dy	0
$ху	du dy	—1	0
Qx	0	0	—1
N’x	1.	du d ( du \ ~ ~dy ~ ~dx \ dy J X	d fdw\. dx \dx)
S ху	^L+d(^.\dx dy dx \dy j	1	
Qx	d (	A dx \~dx) X		1
Syx	—1		 dv dx	0
Ny	dv ~dx	—1	0
Qy	0	0	—1
Syx	1	dv d ( dv\ , dx + dy \dx) y + + -^-^-dy R dx y	dy \ dx J dv dy dx ' R
N'y	dv	d f dv\ dx	dy \dx ) dy 1 dw , ~~R'~dxdy	1	^-(d^dy- dy \dy ) dy	dv dy R	dy	R
Qy	d [dw\ dy \dx)dy + , dv dy ' dx ‘ R	d ! dw \ . dy \dy ) dy + dy dv dy 1 R 1 dy R	1
Основные линейные уравнения устойчивости цилиндрической оболочки 1019
Проектируем все силы, действующие на элемент dxdy, последовательно
на оси х19 yi и Zj (фиг. 697). Тогда
N'^y-N^ + S’.dy [-%- +	dx]-Sxydy-^—
-	i^)dx + S'^x ~ s»dx ~ N'ydx x
X [	dy + 1 . ^.dy] + N dx*L + q> x
I dx 1 dy \ dx j & ‘ R dx u j ‘ У dx 1 y
ч I d ( dw \ . . do dy 1 n.
-Nxdy^ + ff-^fdx] + Nxdy^ + Sxydy-Sxydy +
4- Qxdy £ ("7^") dx +	+ Nydx — Nydx + Syxdx x
<4	4 444+«> *
* [-4(44+4+4'4] =*
Nxdy ~sr (4r)dx + Sxydy [“ЭГ (“?r)dx	(’я')	+
+ Qxdy — Q^y + Svxdx	dy • -^-] +
+ N'ydx[-^-{^dy-^-^--^-]+Q'ydx-Qydx-pdxdy = O. 1
Учитывая выражения (1), после преобразований получим
dNx , dSvx . д (s ди \ q d^w _N f дЧ \	&г>\
дх ' ду ‘ дх \ dy J	дх2 У \ dxdy R дх )
dNy dv . п / д2ш .1 dv \ п.	/9Х
--df' 4r + Q4-4^- + ^-4r)=0’	<2)
dNy dSxy	д (м ди\ n (	d2w . 1	dt> \
~dT + ~d^-dT\Nx dy )+^x\ dxdy + R дх ) +	X
/ d2o 1 dw \ , dSyx do , n ( 1 d*w , 1 dv \ _ n.
x +	• 4г)+~^‘+	+ 4j- • W)-0, (3)
-₽+4-+->+"Л^-М4-4-+44)+
+ (s*y + s>*)	’ "Й") =0-	<4)
1020
Устойчивость тонкостенных оболочек
Далее приравниваем нулю сумму моментов всех сил относительно осей
Xi и у,,:
Qydxdy + Mydx — Mydx + MXydy — Mxydy + Mxdy -------
— Mxdy [-|j- +	dx] — Myxdx ~ +
Qxdydx + Mxdy — Mxdy + MyXdx — Myxdx + Mydx-^-------------
_ M'ydx Г *L + d (dvX d 1 . dwd -\ _ M d du
y [ dx dy \ dx /	‘ R dx J -ХУ dy
+ Mxydy + 4- (—} dx\ = 0.
v v |_ dy ' dx \ dy j J
После преобразований получим
Q _|_ 4k _ d < dux d /	_|И	1 _ dw =0 (5
У 1 dy 1 dx dx \ * dy 1 [ dy \ Vх dx J Ух R dx v ’
. dMx . dMuX d АЛ dv \	1	/м du \	~
----5-^-4----------• “3—h -b~	= 0.	(6)
* 1 dx dy dy \ У dx ) У R dx 1 dx \ ХУ dy /	v 7
Деформации в серединной поверх-
ности цилиндрической оболочки вы-
ражаются через перемещения и, v
и w следующим образом:
du
Sx	dx	’
___	dv	.	w
еУ~	dy
___	du	.	dv
Tf-vy	dy	dx
Определим теперь перемещения
и деформации в слоях, располо-
Фиг. 699.	женных на расстоянии от середин-
ной поверхности.
Перемещения и', v' и wf в этих слоях будут складываться из соответ-
ствующих перемещений и, v и w серединной поверхности и дополнительных
перемещений, обусловленных поворотом нормали в плоскостях xz и yz
на углы и -----------^-соответственно (фиг. 699). Таким образом,
,	dvu	,	/ dw v \	,
u==u-zi-dF’> v=v-z'{~di----------7Г)> w =w-
Основные линейные уравнения устойчивости цилиндрической оболочки 1021
Перепишем выражения (7) для слоя, расположенного на расстоянии
от серединной поверхности:
'	ди
ех = ~^-г;
х	дх ’
' __ dv' . w' ' ______________ ди' . dv'
ду' ‘ R' ’	+ дх'
(9)
При переходе к независимым переменным х и у, отсчитываемым в середин-
ной поверхности, следует учитывать, что х' = х; у' = у	и
К' = R +
Выражения (9) после подстановки в
' _ ди	д2ш
Sx ~ ~дх 21 ~дх~ ’
них и', v' и w' (8) принимают вид
' Г dv 7 d2w 1 dv \ . w I 1
Zy ~ \.~W ~Zl	R ’ ~dy~) + “R"] , , Zi ;
R
r __ 7 du d2w \	1	’ dv ,__	7 d2w 1 dv \
Ixy \ dy Z1 dxdy J .	' dx 21 \ dxdy R * dx /
Если в этих выражениях удержать только первые степени гх,то получим
окончательно
,	ди d2w
Зх	дх	Z1 дх* 9
,   dv . w f d2w ! w \
Sy ~ ~ду~ + ~R	21 \ dy* +	’
, __ du	.	dv ___	7 p d2w	।	1 du_________1 dv \
^xy	dy	'	dx	Z1 \ dxdy R	’ dy	R ’ dx J	‘
По закону Гука
(sx +	;	% =	(% +	= 2(14-^)
ИЛИ
t ____ E ( du ,	( dv . w \ f d2w ।	7 d2w . w \]1
°x —  \ —у? (ЭГ + И \ di R 1	21 L дх2 \ dy* "R2 ] J / ’
E ( dv , w । a du [ d2w
Qy =	Pty- + 7 + I1 “ЙХ 21 Idy*-
E Г du dv ____________ 7q d2w . 1
Xxy 2 (1 + p.) L d# ‘ dx Z1 V dxdy
. w	.	d2w 1)
+ £2-	+ H	dx2. Jp
du	1	dv \ [
dy	R	dx J ]
(10)
Усилия и моменты определяются через напряжения следующим образом:
' j axdZi, Ny — J aydz1; Sxy — SyX — J TXydZi,
h	h	h
Mx = ~ \ c'^dZj,; My = — J o'^dz^;
h	h
“T
+ —
2
Myx = J ,tx^z1dz1.
h
9
1022
Устойчивость тонкостенных оболочек
Тогда, согласно выражениям (10), после интегрирования
кт Eh Г ди , I до . а> \"|	,, 1Ч
N* =	+ -д-)];	(11)
кт Eh Г dv . fw . ди 1	/1ОХ
^ = 7T^br + -R- + il-ad;	<12>
q ___ г»   Eh / ди । dv \ e	/1 Q\
— ^ух — 2 (1 + fx)	+ ~дГ) ’
ЛХ	г>Г д2до	I	/	d2w	I	w	/1Л\
Mx~D[ дх2 + 11 ( ду2 R2 )]’
..	п Г d2w	.	w	.	d2w	1	/1С,
[ Qyi	+	£2	+ Н	дк2	]	>	(15)
Мх„ = М^ = О-!^Г245- + -4-4^-------------F---?-]»	(16)
ху ух	2	[ дхду 1 R ду R дх J ’	' '
где, как обычно, D = -Готг^—«г-
’	12(1 — р.2) •
Уравнения (2) —(6) и (11) — (16) являются исходными при исследовании
устойчивости цилиндрической оболочки. В частных случаях они существенно
упрощаются.
§ 3. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ОСЕВОЙ СИЛЫ И РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОГО
НОРМАЛЬНОГО ДАВЛЕНИЯ
Общий прием выявления критических состояний состоит в следующем.
Перемещения и, v, w и силы Nx, Ny, . . . рассматриваем состоящими
из двух слагаемых — из слагаемого, соответствующего докритическому
состоянию, и малого добавка к этой
величине, возникающего вследствие откло-
нения системы от исходного равновесного
состояния.
Таким образом:
и = w° + и\	v = v0 + v; ш = до0 + до;
jVx = JV°-f-jVx; Ny=N°y + Ns и т. д. (17)
Индекс ноль соответствует докритичес-
кому состоянию, а черта сверху — малому
отклонению от исходного состояния.
Рассмотрим случай нагружения длинной цилиндрической оболочки
осевой сжимающей силой Р и внешним равномерно распределенным по боко-
вой поверхности давлением р (фиг. 700).
В этом случае
=	Ny = -pR‘, s^ = s°x = 0;
=	=	Л4^ = М°ж = 0;	(18)
и0 =
I1
PR
Eh
Р—\х.
ZxREh ’
pR*
Eh ’
И° = 0;
п	г
W ° = |Х —	 -
г 2wEh
Устойчивость цилиндрической оболочки под действием осевой силы и давления 1023
Преобразуем уравнения равновесия (2) — (6), подставляя в них выраже-
ния перемещений и сил (17) и (18). При этом, учитывая малость величин,
отмеченных сверху чертой, удержим только их первые степени:
dNx dSyx . d2v . 1	n.
дх ф	дхду R ’ дх /	’
&Nу I dSxy । Р	I Qy __ л.
ду ' дх ‘ 2tcR ’ дхду R ’
dQx	, dQy	Р d2w	,	d2w	, 1	dv _______L X7 _	n.
dx '~dy~~	2kR	’ dx*	dy2 R	dy	j R iN У "
n i 1 dMxy и D L P PR2 _ n .
dy dx	R* \p 2itEh Eh J dxdy
i , дМх , dMyx	D (tt P
dx	'	dy	R2 \5 2itEh
pR2 \ / d2v
Eh )\ dxdy
1 dw \____л
R"’"dT/ "“U
Исключая Qx и Qy, получим
dx * 1 dy	\ dxdy 1 R dx /
dNy dSxy P d2u 1 Г dMt
dy ' dx ‘ 2tcR ’ dxdy	R _ dy
। dMXy
r ' dx
D ( P	pR2 \ d2u
** № 2л£Л	Eh ) dxdy .
d2Mx	9 d2Mxy	d2My P	I p f	<?2O>	, 1 dv \
dx2	2 dxdy	dy2	2^7?	’ dx2 + pl< \	dy2 + P ' dy )
1 Г7 . D / P pR2 \ I d2v .	1 d2ay . d3u \__________~
P yvy -Г -рГ (H 27С£й	£ТГj ( dx2dy + ~R~' ~d^ + 11 * * V ~dxdy2) ~ U ‘
Функциями и, v и w зададимся в виде
— л ппх . ту
и = A cos —-— cos —
Z	к
— о . птгх	. ту
V = В sin-------— sin------
I	/<
(19)
(20)
—	. ппх ту
W = С sin-----Z--COS----“
Z	R
где А, В и С — некоторые постоянные, а п и т — неопределенные целые
числа, указывающие на число волн, образующихся на поверхности оболочки
в продольном и поперечном направлениях при потере устойчивости.
Для сокращения записи примем
Др- = а; -^- = ₽.	(21)
1024
Устойчивость тонкостенных оболочек
Подставим и, v, w в выражения (11) — (16):
^ = т^[-^ + н(в₽+4)
sin ах cos ру;
N. Eh
у 1 — р.2	+ R
fiAa sin осх cos pr/;
—	—	Eh
Sxy = Syx = 2(l+p)	+ Ва] C0S аХsin ’
Mx — —DC а2+и(₽2---sin ax cos p#;
My = —DC p2 —
sin ax cos $y ;
Mxy = AfyX = —D 2	2 Cap + -Л Лр + -Г- BaJ cos ax sin $y.
Подставим теперь выражения силовых факторов, а также выражения
перемещений и, v, w в уравнения (19). Тогда получим
Л (а2 + -ЦрМ ~ 4-ЦН + #(! - Н2)] а₽~
jfc it	I J\
Л[ 1 + I P 1 -Iх2
L 2 T 2tc/? ' Eh
-ВГр + _L=_H: a2/'  ft2
Л2 / 1 — p. 2 P
12Я2 \ 2	2nfiEh
pflfp2
127?2 V
127?2 /J L
— =0;
в2 Л
A	p2₽ Г— (1 — P) + -----p-----и -P^-
l R 12Я2 r [ v “/ i “ 2nREh	Eh
Eh
л2 2П2Г1 t P pR
-----a2R2 1 — и 4- и 		------—
127?2 L----------------------------------2n#Eh Eh
/?2 ‘ 2tc£
1 — Iх2 g2 I PB
Eh
Eh
+	#2(a2 + p2)2+ pa2 + p2 — a2---h a2-^-l) = 0.
12Я2 L	K ’	2nREh	Eh J /
Критическое состояние оболочки может быть установлено, если при-
равнять нулю определитель этой системы. Напишем его в виде
а11	°12 + Р12
°21 + Pl! аП
а31 + Р31	а32 + Рз2
«13 + Р13
^23
азз + Рзз
= 0,
где под aik понимаются слагаемые коэффициентов, не содержащие пара-
метров нагрузки р и Р, а под pik — содержащие их.
Раскрывая определитель, будем придерживаться следующих принципов.
Устойчивость цилиндрической оболочки под действием осевой силы и давления 1025
Удерживаем только слагаемые первой степени относительно параметров pik.
h2
Отношение 12^-г считаем малым по сравнению с единицей.
Величина пг (или п) может быть довольно большой, и соответственно боль-
шим будет число волн складчатости в осевом и в окружном направлениях.
Однако числа тип не должны быть большими настолько, чтобы длины обра-
зующихся волн стали малыми, соизмеримыми с толщиной оболочки h. Такой
характер изгиба не вписывается в исходные предположения. Поэтому будем
считать, что произведение
/l2 л о г>9	/i2	2
	В2#2 =	т2
127?2---------12Я2
h2	h2
так же мало по сравнению с единицей, как и —Но величина 12^-г р4/?4
уже соизмерима с единицей. Аналогичную оценку примем и для выражений
—— а27?2 и —— а*!?.
12Я2	12Я2
Раскрывая определитель и отбрасывая соответствующие слагаемые, полу-
чим
[я2(«2+₽т-2₽в + -^-] +
+4г {- ₽2<а2+₽2)2+4" D4+(2+а2₽2 ~ И} -
,2
2nREh
[(a2+₽2)2 + _g_] =(k
(22)
Рассмотрим некоторые частные случаи.
А. Нагружение цилиндра поперечным давлением
Положим, что цилиндрическая оболочка, свободно опирающаяся цо тор-
цам на жесткие кольца, нагружена только нормальным давлением р
(фиг. 701).
Полагая в выражении (22) Р = 0 и подставляя а и ₽ по зависимостям (21),
получим
/| _ 2\ I ft2 Г П2 ( ™2п2 1 т2\4 _ 2 т6 |	1 | РкрК о ~ ^2) х
Я2/4 И ’ -г 12/?2 [	\ I2 R2 )	Re ] Eh
m2 / тс2/г2
I2
Опыт показывает, что в рассматриваемом случае цилиндрическая оболочка
теряет устойчивость с образованием одной полуволны вдоль образующей,
как это показано на фиг. 701. В этом случае п = 1. Число волн пг, образую-
щихся по кругу, зависит от длины оболочки Z. На фиг. 701 показана форма
потери устойчивости при пг = 2.
Если принять п = *1, то последнее выражение можно привести к виду
h2
п „	& (1 - и2) +	К*2 + ™2)4 “ 2т6 + т41
(1 _ п2) =---------------------------------------- (23)
Eh	m2 (k2 + m2)2 — mi — (2 + pO k2m2 + p^4	*
65 Пономарев
508
1026
Устойчивость тонкостенных оболочек
где
k = ^-
I
В случае большой длины оболочки I величина k
тогда
— |?) =
Eh	'	127?2 4	'
оказывается малой, и
Наименьшее значение критическое давление ркр
когда потеря устойчивости происходит с переходом
получает при т = 2,
в поперечном сечении
Фиг. 701
от круга к эллипсу
(фиг. 701). Таким обра-
зом,
р = ______^3____
К кр 4 (1 — |Л2) 7?з'	'	’
Эта формула верна
в той мере, в какой ве-
личину k можно считать
малой или I соответ-
ственно большим. Не-
сложные подсчеты по-
казывают, что при
I > 8R формула (24) дает достаточно точные значения ркр.
При меньшей длине I критическое давление ркр определяется из формулы
(23) путем последовательной подстановки целочисленных значений гп = 2,
3,4,. . . , пока не будет установлено наименьшее значение для ркр. Прит >4
формула (23) может быть упрощена за счет отбрасывания малых слагаемых
в числителе и в знаменателе; тогда
(1 - И2) =
Ltl
tn2 (k2 + т2)2
(25)
Фиг. 702.
Рассмотрим числовой пример.

Определить критическое давление для стальной цилиндрической трубы, подкрепленной
жесткими кольцами (фиг. 702). Устойчивость колец не вызывает опасений; требуется оценить
только устойчивость самой оболочки на пролетах длиной I = 1 м. Радиус трубы 7? = 0,5 м.
Толщина оболочки h = 1 мм.
Поскольку длина пролета I только в 2 раза превышает радиус R, формулой (24) восполь-
зоваться нельзя. Обращаемся к формуле (25). После подстановки значений /, R
и k = —j—, получаем
PkpR (1 _ 2) = 5,52+0,333. 10-6(2,46 +т2)4
Eh	т2 (2,46 + т2)2
Правая часть написанного выражения после подстановки целочисленных величин т
приобретает следующие значения:
т	4	6	8	*	9	10
Eh	10,02 • 10“4	1,172 • 10-4	0,425 • 10—4	0,385 • 10-4	0,402 • IO-4
Устойчивость цилиндрической оболочки под действием осевой силы и давления 1027
Таким образом, давление ркр имеет минимум при m = 9. В пролете между опорами обо-
лочка теряет устойчивость, складываясь по девяти волнам по окружности. Если бы величина m
оказалась равной 3 или 4, следовало бы обратиться к более точной формуле (23).
Теперь, при Е = 2 • 106 кг/см2 и р = 0,3,
Eh
pKD = 0,385 • 10“4----—------= 0,169 кг/см*.
Я(1-Н2)
Б. Чистое осевое сжатие цилиндра
Положим, что оболочка сжимается осевой силой Р (фиг. 703). Вернемся
к выражению (22) и положим в нем давление р = 0:
^0-н2)+	[я2(*2+₽2)4-2р«+ -^] =	(1- IX2) а2 [(а2+₽2)2+ -g], (26)
г ле	о —			t 			
Д	кр 2nRh '	—	I—	
		
Сжатая вдоль оси цилиндрическая		
оболочка теряет устойчивость с образова- р 7	_ __Д			р
нием нескольких полуволн п вдоль обра-	—-	к	
зующей.. Форма потери устойчивости		
может быть как симметричной (т = 0,	—		
см. фиг. 704), так и несимметричной	Фиг. 703.
(т + 0, см. фиг. 695).
Как при больших, так и при малых значениях т величины — 2pe+
в2
и в квадратных скобках выражения (26) могут быть отброшены, поскольку
стоящие рядом с ними слагаемые 7?2 (а2 + р2)4 и (а2 + р2)2 оказываются
существенно большими. Тогда выражение (26) примет вид
Р
р
Фиг. 704.
(1 _ „2ч = 1 — Н2 «2	,	(»2 + P2)2
Е V И ’ R2 (а2 + (J2)2 ’’’ 12 а2
Отыскиваем минимум акр, варьируя величиной
г* 2
Х =-------
(а2	£2)2
т. е.
d^Kp _ Q
dX
откуда
а2 _________________________ Rh
(а2 + £2)2 ” /12(1—р.2)
И
«„- = —•  , 1	% 0,607 — .	(27)
кр R Уз (1 — р2)	R '
Это выражение позволяет весьма просто подсчитать осевое критическое
напряжение акр. В дальнейшем, однако, мы увидим, что в силу особенностей
нелинейной устойчивости оболочек выражение акр (27)»не всегда может быть
принято за расчетное (см. § 9).
65*
1Q28
Устойчивость тонкостенных оболочек
В. Случай совместного действия давления р и осевой силы Р
При одновременном действии осевой силы Р и давления р не удается
вывести общее достаточно простое выражение для критических состояний,
поэтому в каждом конкретном случае следует обращаться к исходной фор-
муле (22).
Рассмотрим простейшие примеры.
Пример 1. Цилиндр, имеющий жесткие днища, находится под действием внешнего давле*
ния (фиг. 705).
Размеры возьмем те же, что и в предыдущем примере (/= 1 м; R = 0,5 м\ h= 1 мм).
Материал — сталь.
В рассматриваемом случае нагружения Р = pnR2.
Выражение (22) после отбрасывания второстепенных слагаемых принимает вид
— (l-|A2) + ^-(»8+?2)4 =
(1 - И2) ^2 +	(b* -j- ₽2)2 .
Подставляя значения а и Р по зависимостям (21), получим
А2
Pkpr „	^(l-^) + -^(W + ^
Eh '	/ k2n2 \
I пг2 +	j (k2n2 + m2)2
-v '	, nR ' h2
Теперь подставим числовые значения k = —— и •	> Т0ГДа
pKPR 2	5,52 п4 + 0,333 - 10—6 (2,46 п2 + т2)4
Eh И	(1,23 n2 + /и2) (2,46 п2 + т2)2
Произведем подсчет величины
РкрР
Eh
(1 — j*2) для нескольких значений пит (табл. 132).
Таблица 132
Зависимость безразмерного параметра критического давления	(1 — р.2)
от числа полуволн /пип, образующихся в круговом и продольном
направлениях соответственно
\ пг п \	4	6	8	9	10	12	14
1	9,46-10“4	1,135-10—4	0,417-10“"4	0,379-10 —4	0,397-10—4			—
2	70,0-10“4	10,45-10—4	2,61-10—4	1,57-10—4	1,08-10—4	0,781-10—4	0,808-10—4
Критическое давление имеет минимум при п = 1 и m = 9:
Е h
ркр == —--------— 0,379 . 10—4 = 0,167 кг!см2.
1 — р2 R
В рассматриваемом примере, как видим, наличие осевой силы практически не изменило
критического давления (см. предыдущий пример).
Пример 2. Тонкостенный цилиндр (фиг. 706) нагружен осевой силой N. С тем чтобы повы-
сить его устойчивость во внутреннюю полость подается давление р. Требуется подобрать это
давление с таким расчетом, чтобы у цилиндра коэффициенты запаса по текучести и по устой-
чивости были не менее двух, а сила N — возможно большей. Определить силу М, если, как
и в предыдущих примерах, I = 1 м, R = 0,5 м, h = 1 мм, Е = 2-106 кг/см2, as = 3000 кг/см2.
Устойчивость и прочность концевых участков конструкции обеспечены продольным сило-
вым набором (фиг. 706).
Прежде всего определяем соотношение между осевым напряжением о и давлением р
по условию двукратного коэффициента запаса по текучести.
Устойчивость цилиндрической оболочки под действием осевой силы и давления 1029
Для двухосного напряженного состояния, схематически показанного на фиг. 706, теория
максимальных касательных напряжений (см. том 1, главу VI) дает:
pR .
— а1 — аз — ;---г
h
По условию прочности эта величина должна быть равна , а напряжение а =	;
следовательно,
_  PR , * 1 _ _ <3S
(28)
Обращаемся к выражению (22). Отбрасываем второстепенные слагаемые и меняем знак
давления р на обратный, поскольку в рассматриваемом примере давление действует изнутри.
Тогда
— (1 -
№
+ Й(1“^)₽2 (“2+₽2)2 =
= 2*2. (1 _ р.2) а2 (а2 _|_ р2)2.
Е
h2
12
(29)
Фиг. 706.
с pR
h
Фиг, 705.
Исключаем из выражения (29)
В результате имеем
давление р и подставляем а и ₽ по зависимостям (21).
АМ(1_р2) +
1 — и.2
—£—---------------
(fe2n2 + m2)« J-	m2 (kW + m2)2
127?2_____	2	£	______
(m2 \
^2«2+-y-l
ft	, it R	h2
Подставляем числовые значения k = —у—, os и	41,0 дает
1 — p2 5,52 n* + 0,333 • 10-e (2,46 n2 + m2)* + 682,5 m2 (2,46 n2 + m2}2
°KP E	(2,46n2 + /n2)2(2,46n24-0,5/n2)
Если рассмотреть ряд целочисленных значений для m и и, то можно обнаружить, что оЛп
1 — р2
имеет наименьшее значение при m = 0 и п=26. При этом скр—g— = 0,001102
и окр = 2420 кг/см2.
Из выражения (28) находим давление р:
ft =0,48 кг/сл2.
2 А
Сила N, удовлетворяющая заданному условию двукратного запаса устойчивости, опре-
деляется из простого соотношения:
N — vR2p =	2л£Л,
Р

1030
Устойчивость тонкостенных оболочек
следовательно,
W = — 2 тс • 50 » 0,1 + те . 502 •0,48 = 41 760 кг.
Рассмотренный пример интересен в том отношении, что форма потери устойчивости оказа-
лась симметричной (т = 0). Как показывает анализ формулы (29) и прямые эксперименты,
наличие в цилиндре внутреннего давления р уменьшает число волн т и уже при сравнительно
небольшом внутреннем давлении сжатый в осевом направлении цилиндр теряет устойчивость,
приобретая симметричную форму равновесия. При т — 0 (₽ = 0) уравнение (29) имеет вид
°КР Л ____ м2) = }____а2
Е ( М 7?2а2 + 12
Определяя минимум по а, находим
Eh
/?Уз(1 - (Л2)
= 0,607	,
А
что совпадает с формулой (27), выведенной для осевого сжатия оболочки без внутреннего
давления. Таким образом, наличие внутреннего давления при осевом сжатии по линейной
теории оказывает поддерживаю-
щее действие только за счет сни-
жения осевой сжимающей силы
на величину pit R2. В § 9 этот
вопрос будет рассмотрен подроб-
нее.
Выражение (22), опре-
деляющее критическое со-
стояние оболочки при
осевом сжатии и равномер-
ном давлении, может быть
применено также и в неко-
торых других случаях, вы-
ходящих за рамки исход-
ных предпосылок. Эта воз-
можность определяется
тем, что во многих случаях
длина волн складчатости
при потере устойчивости оказывается существенно меньше общих размеров
оболочки. Поэтому ее критическое состояние может быть оценено в первом
приближении в функции местных напряжений ах и ау вне зависимости от
граничных условий. Так, например, на фиг. 707 показана цилиндрическая
оболочка, нецентрально нагруженная осевой силой. Допуская ошибку
в запас устойчивости, можно определить критическое напряжение атах по
формуле (27). Основной предпосылкой к этому является то, что длина волны
складчатости в окружном направлении полностью укладывается в зоне
почти постоянного напряжения атах (см. развертку оболочки на фиг. 707).
Если при потере устойчивости длина волны в окружном направлении
окажется большой, то формула (27) к данной задаче неприменима. В част-
ности, это имеет место, при наличии внутреннего давления, когда (как было
видно из последнего примера) оболочка стремится к симметричной форме
потери устойчивости.
При помощи формулы (22) можно оценить также критические состояния
для оболочек, показанных на фиг. 708. Для конической оболочки за величину
R принимается главный радиус кривизны в зоне, исследуемой на местную
устойчивость. Величины а и ₽ подбираются из условий минимума крити-
ческой нагрузки. При этом длины полуволн в направлении осей х и у
= — и Xv = должны оставаться достаточно малыми, настолько, чтобы
х а у р
Устойчивость цилиндрической оболочки, испытывающей кручение
1031
в пределах, например, длины кривизна конической оболочки существенно
не менялась.
Таким образом, в силу локальности волнообразования, расширяются
пределы применимости формулы (22). Вместе с тем при решении подобного
рода задач, связанных с местной потерей устойчивости, постоянно следует
иметь в виду возможность проявления нелинейных особенностей деформиро-
вания оболочек. Поэтому
для.вынесения окончатель-
ного суждения об устойчи-
вости следует произвести
проверку системы по не-
линейной теории (см. ниже
§ б и последующие).
Подробно вопрос о
линейной устойчивости
цилиндрических оболочек
рассмотрен в монографии
112].
Фиг. 708.
§ 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ,
ИСПЫТЫВАЮЩЕЙ КРУЧЕНИЕ
Рассмотрим устойчивость длинной цилиндрической оболочки, нагружен-
ной по концам моментами W? (фиг. 709).
В докритическом состоянии, очевидно,
N* =№у = 0; М°х = М°у = 0; и° =	= 0;
q0 __ q0 __ QQ _ ЭД?
ху— ух— —
Перемещение
цилиндра (фиг. 709);
= Wx = 1 + р t
™ G 2itR3h Е ’ itR3h *
Таким образом,
,.о _ 1 + Р .	1 + Р 2
Е v.R2h Е h
Из выражения (16)
Мху = МуХ =------—S°.
v У	\2R
Преобразуем уравнения равновесия (2) — (6) с учетом полученных зна-
чений докритических параметров так, как это делалось в предыдущем
параграфе:
-^- + -^-+5°-^-----------^4±-4-5o-^- + -4:^--H7‘SoQy = O;
дх 1 ду 1 дхду Е п ду ' Е Rh У ’
dNy	dS , 1 4	|л. 2	qo ( д2и 1	dw \
~д^~ +	дх + Е Rh	6	+ 5 дхду	+ R	~дх/
2 so 5S_	1 q _Q
Е п ду ' R 1
1032
Устойчивость тонкостенных оболочек
dQx
дх
dQy_____L	Д7 | о со ( &2w_____L.	__9 c 1+	. 2 co______n.
dy	R + 26 V dxdy	R	dx )	26 E Rh 8
7j i дМУ i dMxy	co d2v । 1 + H 2 co дМух Л2 dw __ n.
dy dx 127? dxdy E ‘ h ° ду 127?2 ° dx U’
Q 4. d^x I дМух 1 +p.	2 So dMy ______ h2 d2u = q
‘ dx ду E h dy 127? dxdy
Исключая Qx и Qy, получим
diV x j dS । qo д2и 1 + p* 2 со у 1 + P* ч/
dx dy dxdy E ‘ h ° ду E
dNy j dS 1 + p* 2 co f dMx f dMyx i co f i i	\z
ду дх E ’ Rh \ dx ^^dy^J^	\ ~Г 127?2 )
4Z ( d2v	1 dw \ . 1 +	p. 2 Q0 dS 1	dMy	1 dMxy
X \ dxdy	R ' dx / ~r~ E ' h ° dy	• R	dy	R	* dx
—4^-	= °;	(3°)
E Rh dy ’	v '
d2ATx Q d2MXy d2My 1 Л- , 1 + p. 2 co d2My ,
dx2 dxdy dy2 R У-1" E ’ h ° dxdy
h2 Q0 d*u , h2 eo	1 + P- 2 co d2^ , h2 Q0 d2w f
127? ° dx2dy 127? ° dxdy2 E ’ h ° ду2 127?2 ° dxdy
, oeo/ d2w 1 dv \	o<?0 1 + P- JLe_n
+ 26 \~d^i ~R • ~дГ) ~ 25 —E~  Rh 6 - U-
Функциями и, v, w задаемся в виде
и = A cos (ах — $у)\
v = В cos (ах — ₽i/);
(31)
w = С sin (ах — $у),
-Kfl П	ш
где по-прежнему а = —т—; р = -д-.
4	А
Подставим и, v и шв выражения (11) — (16):
N* = т^2 [— 4а + |i (в₽ + sin (ах — ₽«/);
Nv = ^-
у = ]-тг^[5₽ + х—,1Ла sin(ax—₽#);
S = 2(1+7)"	— BaJ sin (ах ~~
Устойчивость цилиндрической оболочки, испытывающей кручение
1033
Afx = DC — а2 + ji(— р2 + -^5-И sin (ах — рг/);
Му = DC j — р2 +	— |ia2| sin (ах — Ру);
= D-L^CaM
— Др + — Ва sin (ах — ру).
R R J
Исключаем усилия и моменты из выражений (30); это даст следующие
три уравнения относительно постоянных А, В и С:
+ ±±^S02p2l + CL^
tZlt	J	j jC\
j + OO 23 *1 _
Eh R J
Hl+±ap
L 2
1^S»(1-H)P2] +
Zt2
127?2
Zt2
12/?2
4^a2+-^5°-2 (1 - a₽]+
+ С Г—	p/? (— a2 —p2 + —W-J-±^S°afl-!—^1 = 0;
[ R 12Я2 Г Д И R2 J Eh	Я2 J
J^_(l _ И) a^p2_±+±S0 2J^:
127?2 \ r/ r Eh	R
(1 —pi) a2p#+ 1+±S04_LzP:
127?2 v r/ r Eh	R
(32)
1	Zz2
7?2	12Я2
X [— Я2(*2+ ₽2)2 + Fta2 + ₽2] +-L±±S°2(1— И) a₽| = 0.
Приравнивая нулю определитель системы и отбрасывая второстепенные
члены, подобно тому, как это делалось в предыдущем параграфе, получаем
^_(1_и2)_2^Г±._Л!_Г^2(а2+р2и_2рв + _₽11 +
2 R2 1	2	12/?2 L v ' г /?2 J
+ 2±± SO (1 _ ^)2 ар |-(а2 + р2)2  а2 _ JL] = 0,
(33)
откуда
2 5°1—_
Eh
1 — ^2
R2
Л2
12Я2
R2 (а2 4- Р)4 — 2 ре 4- _|L
54-3|лд2 ~F~i
2R2 R2 ]
Анализ полученного выражения, да и непосредственный эксперимент,
показывают, что оболочка, нагруженная моментами SDI, теряет устойчивость
с образованием весьма длинных волн в продольном направлении.
1034
Устойчивость тонкостенных оболочек
Поэтому величина а оказывается по сравнению с р очень малой. Тогда выра-
жение для критического момента можно написать в следующем виде:
1—rtL<‘‘ + T2rS" г₽‘ + тк]
•i>y—Й-)
Отыскиваем минимум этого выражения по а и подставляем ₽ =
получаем
9»кр =---• тсГ2^~1)2 V&R.
(1—ц2)4 з2
Наименьшее значение ЯЛкр приобретает при пг = 2, когда круг в попереч-
ном сечении переходит в эллипс.
Окончательно
= —(34)
(1-Р)4
Установленное таким способом выражение критического момента приме-
нимо только к расчету длинных цилиндрических оболочек. Для коротких
оболочек существенное значение приобретает влияние условий закрепления
на торцах. С учетом граничных условий задача может быть решена точно.
Для этого нужно уравнение (33) решить относительно а и найти восемь кор-
ней az. Вместо выражений (31) следует принять следующие:
_ 8
и = 2Д cos (azx— pr/);
__	8
v = cos (azx — pr/);
_	8
® = sin (apt —0t/).
1
(35)
Постоянные Cl и Bi для. каждого корня az выражаются через At при
помощи уравнений (32). Таким образом, в выражениях (35) имеется восемь
независимых величин At, которые и должны быть выбраны так, чтобы были
удовлетворены граничные условия на торцах цилиндра.
Описанный метод приводит к необычайно большим трудностям вычисли-
тельного характера. Однако при ряде упрощающих предположений Доннелу
[14]* * удалось получить следующие простые выражения для не очень
длинных оболочек: в случае защемленных торцов
	7.8+ 1.67	1 :	(36)
* Краткое упоминание о характере сделанных упрощений имеется в книге
С. П. Тимошенко, Устойчивость упругих систем, Гостехиздат, 1956.
Устойчивость подкрепленной цилиндрической оболочки
1035
в случае шарнирно опертых торцов
(37
з
S"TT = 2'8+	2,6 + 1,40
В первом случае при , 1	•_4^з'> 7,8, а во втором случае — при
у 1 — |Х2
>5,5 взамен формул (36) и (37) следует пользоваться
У 1 - |Л2
выведенным выше выражением (34).
§ 5. УСТОЙЧИВОСТЬ ПОДКРЕПЛЕННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
Исследование устойчивости подкрепленных оболочек сводится обычно
!К решению двух задач: к исследованию местной устойчивости оболочки
в пролетах между подкреплениями и к исследованию общей потери устой-
чивости, связанной с изгибом и кручением подкрепляющих элементов.-Это
разделение задач общей и местной устойчивости иллюстрируется фиг. 693
и 694 настоящей главы.
В случае, если цилиндрическая
оболочка имеет только поперечные под-
крепления и находится под действием
внешнего давления (фиг. 710), устой-
чивость обшивки в пролетах прове-
ряется по формуле (24) или (80) (см.
ниже). Если наряду с поперечными
имеются и продольные подкрепления,
то при нагружении внешним давлением
возможна потеря устойчивости отдель-
ных прямоугольных панелей (фиг. 694).
Эта потеря устойчивости происходит
хлопком. Задача определения критического давления для панели будет рас-
смотрена ниже (см. § 8).
Анализ общей устойчивости для оболочки, имеющей сравнительно часто
расставленные продольные и поперечные подкрепления, производится обычно
путем представления оболочки как анизотропной. Для этого вводятся соот-
ветствующие константы жесткости, определяемые в зависимости от конструк-
тивных особенностей подкреплений. Все исходные уравнения § 2 при этом
сохраняются, кроме уравнений (И) — (16), в которые вносятся указанные
изменения.
Прежде всего закон Гука пишется для случая растяжения и сдвига обо-
лочки раздельно в следующем виде:
— ~Ё
Ну Еу ;
' У
Qy = -^-
СУ
Их р ’>
Lx
(38)
‘ху - Gxu •
- Точно такие же уравнения составляются и для случая изгиба и круче-
ния оболочки, но константы Ех, Еу, р-х, и Gxy будут уже другими. При
написании уравнений (38) предполагается, что подкрепления имеют только
1036
Устойчивость тонкостенных оболочек
осевое и поперечное направления. Тогда величины ех и еу не зависят от
т'ху, а у'Ху не зависит от <з'х и а у.
По условию взаимности перемещений
Нх _ Ну
Еу
Если преобразовать уравнения (38), то получим
1 "м (е* + МуЁу)»
1 -- Рхр-у	'
(40)
^ху — бху^ху	J
Уравнения (И)—(16) при измененных соотношениях Гука (40) прини-
мают вид
(*L+4yi;
х 1 —НхНу L дх 1 ГУ \ ду R /]
дг _ Eyh Г dv . w . ди 1
У “ 1 — у.хру [ ду "* R ^х дх J ’
Sxy = Svx = Gxvh (-%- +	;	(4I>
х? УЛ ХУ \ ду 1 дх J 9
,д	Exh3 Г д2ш . — / d2w . w \ 1
х ~ 12(1—7хНу)	+ *Ху Я5 / J ’
м	Г d?a> , w , - дга>] .
у “ 12 (1 -мУ) L ду* -Г 7?2 + Ь дх3 J ’
м — М —Г Го t. 1	1 &v 1
/Иху —/ИуА. —	дхду ^r~R*~dy’ R ‘~dxj •
В последних трех уравнениях упругие постоянные, в отличие от постоян-
ных растяжения и сдвига, отмечены сверху чертой.
При определении критических нагрузок в дальнейшем проделываются все
те операции, которые производились в § 3 и 4, но уравнения (11)—(16)
заменяются уравнениями (41).
Рассмотрим пример определения критического давления для цилиндрической оболочки,
показанной на фиг. 711. Оболочка подкреплена продольно-поперечным набором. Торцовые
шпангоуты являются достаточно мощными и могут рассматриваться как жесткие опоры.
На длине I = 2 м расположено пять промежуточных шпангоутов. Радиус оболочки
R=0,5 м. На длине окружности 2u R располагается 15 продольных подкреплений (стрингеров).
Толщина обшивки 1 мм. Материал — сталь.
Конструкция подкреплений показана на фиг. 712. Материал подкрепляющих элементов
тот же, что и обшивки.
Прежде чем определять упругие постоянные, заметим, что принцип приведения подкреплен-
ной оболочки к анизотропной содержит определенные погрешности и является средством при-
ближенного решения задачи. В связи с этим и определение упругих постоянных допускает
некоторую свободу варьирования. Правильность определения упругих постоянных поэтому
в значительной мере оказывается зависящей от умения расчетчика правильно оценить характер
работы подкрепляющих элементов.
Начнем с определения постоянных растяжения и сдвига, входящих в три первых уравне-
ния (41).
Рассмотрим прямоугольный участок оболочки с продольными и поперечными подкрепле-
ниями (фиг. 713).
Устойчивость подкрепленной цилиндрической оболочки
1037
При растяжении этого прямоугольника, например по оси х, стрингеры будут нагружены
наравне с обшивкой. Шпангоуты этому удлинению не препятствуют и остаются практически
ненапряженными. Вместе с тем они будут в некоторой степени сдерживать поперечное сужение
обшивки, как это показано пунктиром на фиг. 713. Следовательно, приведенный коэффициент
Пуассона ру будет меньше величины ц материала обшивки.
Влияние коэффициента Пуассона на величину критических нагрузок сравнительно неве-
лико, что видно из рассмотренных в § 3 и 4 примеров. Учитывая, что этот коэффициент для рас-
сматриваемого случая подкрепления будет малым, а также то, что само решение является при-
ближенным, можно для простоты принять
ру = 0. Тогда из выражения (39) сле-
дует, что и рх = 0. Сделанное пренебре-
жение значительно упрощает последую-
щие выкладки.
Если подкрепленная оболочка растя-
нута в осевом направлении силой Р, то ее
удлинение будет
Р
E2itRh + Ecl5Fc ’
где Е — модуль упругости обшивки;
Ес — модуль упругости стрингеров;
15РС — площадь поперечного сечения
15 стрингеров.
Теперь спрашивается, каким по величине должен быть модуль упругости Ех гладкой
оболочки тех же размеров, чтобы под действием той же силы она получила то же само удлинение
_ Р
&х~ Ex2itRh*
Приравнивая полу-
чаем
ЕХ = Е + ЕС
\6FC
2nRh
Аналогично
р __ р _!_?£
Площади поперечного
сечения стрингера и шпан-
гоута легко определяются по
фиг. 712. IFC = 71,4 мм2- FM =
По аналогии с написанными
размерам, показанным на
160 мм2 Таким образом, имеем Ех = 1,34Е; Еу = 1,40 Е.
выражениями определяем

Здесь через Fc и FM обозначены площади частей поперечных сечений стрингеров и шпан-
гоутов, оказывающие сопротивление сдвигу. Стенки подкрепляющих элементов, перпенди-
кулярные к обшивке, на сдвиг практически не работают. Будем учитывать только те части
подкрепляющих элементов, которые проектируются на обшивку: Fc = 40 мм2-, FM = 80 мм2.
В итоге Gxy — 1,39G.
Переходим к определению упругих постоянных, входящих в три последних выражения (41).
Определение этих констант содержит большее число условностей, допускающих различное
толкование способов приведения.
Примем р~х = ру = 0. Это следует их тех же самых соображений, которые были высказаны
выше относительно величин рх и ру.
Вопрос о жесткости оболочки на изгиб может решаться по-разному, в зависимости от
частоты расстановки подкреплений. Если подкрепления расположены часто (фиг. 714, а), то
для определения изгибной жесткости следует, очевидно, вычислять момент инерции сечения
относительно центральной оси. В случае более редкой расстановки подкреплений (фиг. 714, б)
1038
Устойчивость тонкостенных оболочек
оболочка в пролетах будет изгибаться независимо от подкрепляющих элементов и нейтральная
линия расположится примерно так, как это показано на фиг. 714, б. В этом случае изгибную
жесткость предпочитают подсчитывать как сумму вычисленных отдельно жесткостей оболочки
и подкрепляющих элементов. Часть оболочки, прилегающая к стрингеру или шпангоуту, вклю-
чается в его поперечное сечение.	' 
В рассматриваемом случае подкрепляющие элементы расположены сравнительно редко.
Поэтому представим изгибную жесткость как сумму жесткостей подкрепляющих элементов
и оболочки.
При изгибе развертки оболочки в плоскости xz
(в продольном направлении) имеем
1 __________Mx2nR
р Е-~ 2%/? + £c15JCc ’
где J^c — момент инерции сечения стрингера отно-
сительно его центральной оси.
Фиг. 713.
Фиг. 714.
Выражение кривизны образующей
может быть написано, с другой стороны, в виде
1 Mx2itR
Таким образом,
—	19
£, = £ + £c15/Cc^.
Аналогично для шпангоутов
—	12
^ = £ + £«5^-^.
Определяем далее положение центральных осей С сечений стрингера и шпангоута (фиг. 715),
включая в сечение прилежащую часть обшивки, а затем вычисляем обычным способом моменты
инерции: JСс= 6450 лш4; =66 300 мм*.
Приведенные модули упругости будут Ех = 371£; Еу = 1990Е
Устойчивость подкрепленной цилиндрической оболочки
1039
Выражение (16) для гладкой оболочки можно трактовать как соотношение между
круткой ъху\
__ d2w 1 ди 1 dv
~ дхду + ~2£ " ~ду 2R *
пластины со сторонами 2 т: 7? и I и двумя моментами Mxy2nR и Мух1, т. е.
__	Мух1
^ху — j------------1-----j---
G 4- h*2vR Gh3l
О	о
Если учесть, что Мху = Мух, то это выражение легко привести к виду (16).
Переходя к подкрепленной оболочке, получим
__	Mxy2itR	Мух1
*"Ху	.	‘	. г-Л 2 <	»
1	±Fehc	1
G -4- Л32я/? 4- 156с ——-	G 4- hH 4- 5СШ — -----
О	sc	о	Sm
Л Г'	л	hui __________ ___________ ______________________Л ___ _____
где ^GCFC —- и ^G^F^——--------жесткость на кручение стрингера и шпангоута как замк-
SC	SUl
нутых профилей;
F* и — площади, ограниченные средней линией контура поперечного сечения;
sc и зш — периметры контуров.
Для приведенной гладкой оболочки
MXy2nR f М ух1
^ху — ~ i	г ~ i •
• Gxy^h32nR Gxy-~h4
о	о
Приравнивая кху, находим
6
Gxy —
1	I	1_________
1	4F*2hc 1	4F*2hM
4 G + 15GC ocp,.- 4- ° + 5<?ш------------
3	* c sc2wRh* 3	’ sMlh3
Для стрингера и шпангоута имеем: hc = hM = h— 1 мм\ sc = 71,4 мм; sM — 160 мм;
F*c — 357 мм2; F^ = 1600 мм2. В итоге получаем Gxy = 170G.
£
Если учесть, что при условии р- = 0 G = то уравнения (41) можно написать
в следующем окончательном виде:
Nx = 1,34£Л	;
Л	дх
S„ = S„_0.695M(^- + -g-);
<42>
' Мх = 30,9£/i3 ^-5-;
дх2
= Л4^ = 7,08£й3 [2-д^- +-£- •	я" •’аг] •
1040
Устойчивость тонкостенных оболочек
Теперь повторим выкладки, проделанные в § 3. Тогда вместо выражений (18) получим
^=0; №y = -pR; S^ = S°x = 0;
'	= 0; М* = 166£Л8 -g-; MGxy = М<>ух = 0;
мо = 0; ц0 = 0;
1 ДЪЕ1г
В свою очередь, вместо уравнений (19) имеем
 dSyx f д2у _1_	_
дх +^Г + РН\ дхду + R дх )	’
dNу ( dSxy	1 ( dMy , дМХу \  п-
ду дх	R \ ду дх ) ’
д^мх о д*мХу д2му ,	/ d2w , 1 дЬ \
дх2 дхду ду2 рк \ ду2 R ' ду )
1 TF 1 1 о с / 9 М ° I 1 д w \ л
----Б" Му И8,5рЛ2 ( „ 2	• ч 2 -) = 0.
R у	\dx-dy R дх2 J
Зададимся по-прежнему функциями u, v и w в виде (20). После преобразований получим
следующие три уравнения относительно величин Д, В, С:
А (- 1,34а2 - 0,695р2) + В (0,695 + -g-') ар 4- С-^g- • -£- = 0;
у	Eft j	Erl К
/	h2 \	/	h2 \
А 10,695 — 7,08 XL_ j ар 4- В I — 1,40р2 — 0,695а2 — 7,08	«2) +
+ С-|-(— 1,40— 166Л2р2 — 14,16Л2а2) = 0;
К
h2	Г
— 4-14,16-^- а£р2 + В — 14.16Л2
“2Р	. tn Р । PR /	। 11 о е Л2 «а п\1 ।
__ _ 1.4° _ 4- _	4-11 в,5 a2PR) j 4-
1 4-0	о/? /	а2/»2\"1
----30,9Л2а4 — 28,32Л2а2р2 — 166Л2Р44-1 ₽2 4- П8,5	= 0.
Приравнивая нулю определитель системы, имеем
— -^Г- +	-Я2 (30,9а428,32а2р2 4- 166₽4) (0,930а4 4- 1,875а2р2 4- 0,972₽4) 4-
д» 2	Ч
4- р2 (53а4 4* 352а2р2 4- 161Р4) —	(13,25а2 4- 13,8р2Й 4-
+ -W- ₽2 [о-ЭЗОа4 4- 1.875а2р2 4- о,972р4--(1,875а2 4- 0,972р2)1 = 0.
Подставляем значения а и.₽, полагая п= 1 и оставляя величину пг неопределенной; тогда
tn2 [0,972m4 4- m2 (— 0,972 4- 1,875Л2) 4- k2 (0.930A2 — 1,875)] = 1,30k* 4-
4- -R2~ [161m8 4- m« (338Jfe2 — 161) 4- m* (237fe4 — 352A2) 4- m2 ~
— 53A4 4- 13,3k2) 4- k* (28.7A4 4- 13,25)],
, icR
где k = -j- .
Устойчивость подкрепленной цилиндрической оболочки
1041
Подставляем в последний многочлен числовое значение k-------^qqq---- 0,785, после
чего получаем
„	0,492 +	[161m8 -Ь 47m« — 127m4 + 8,05m2 + 9,14]
pR	5002
~Eh =	m2 [0,972m4 + 0,180m2 — 0,801]	’
Теперь определим для несколь-
ких целочисленных значений tn со-
ответствующие
2
значения
р:
4
4т- 0.0107
Eh
0,00671
0,0108
Таким образом, потеря устой-
чивости оболочки происходит при
m — 3, т. е. с образованием трех
волн по кругу иодной полуволны по
Eh
длине ркр= 0,00671	=26,9 кг/см2.
Метод сведения подкреп-
ленной оболочки к анизо-
тропной не является един-
ственным при исследовании
устойчивости подобных кон-
струкций. В практических
расчетах часто используется
энергетический метод.
Рассмотрим пример.
Определить критическую на-
грузку для оболочки, показанной
на фиг. 716. Оболочка подкреплена
восемью продольными лонжеронами
и двадцатью четырьмя стрингерами.
Кроме того, оболочка имеет девять
шпангоутов, два из которых явля-
ются торцовыми (фиг. 716).
Радиус оболочки R = 0,8 м\
длина I = 4 м. Оболочка нагружена
четырьмя осевыми силами, приложенными по лонжеронам. Обшивка имеет толщину А — 1 мм.
Вся конструкция выполнена из стали.
Для простоты будем считать оболочку нерастяжимой и критическое состояние определим,
приравнивая энергию изгиба работе внешних сил.
Изменение внутренней потенциальной энергии при изгибе оболочки будет складываться
из энергии обшивки, энергии продольных подкреплений и энергии поперечных подкреплений.
Обозначим через w перемещение оболочки по нормали к серединной поверхности обшивки
m
3
и примем:
„ .	псу	~	о
w — С sin —-— cos = С sin ах cos р г/,
/ R
(43)
где х отсчитывается от одного из торцов, а у — от одного из нагруженных лонжеронов.
Для обшивки
Vo6 = J Я 2 G — Р) Iе + 2fU* *'у + + ~~'2~ vl dx dy dz~
Поскольку оболочка в серединной поверхности предполагается нерастяжимой, то
г _ d2w f __	/ d2w i w \ .	' л д2ау
SX~—Zl 1 е</ Z1 \~ду2- +	; ^ХУ - — 2г1	'
66 Пономарев 50 £
1042
Устойчивость тонкостенных оболочек
тогда
l2itR
_. D С С Г / d2w \2 , d2w / d2w w \ 2 .
Uo6~~2~] J L\~^ / 2fX	+ "r5") +
0 0
/ d2w w \2 , O/1	. ( d2w \21 ,
+	+	/ +2 И \ dxdy ) J dxdy'
Подставляя в последнее выражение значение w по зависимости (43), получим
<Л>6 =	12*R [а4 + 2а*Р------ -i-)2] .
Энергия продольных подкреплений складывается из энергии изгиба и кручения.
Для гго продольного подкрепления энергия изгиба будет
1
\ / д20У \2 <	z>2 4 1 2ft
— J	dx = — CW^-cos^y,,
0
где — момент инерции поперечного сечения 4-го продольного подкрепления относительно
центральной оси С, параллельной обшивке.
Энергия кручения для того же 4*-го подкрепления равна
G4F^h(	i
- 2s. Wps-i-sina ₽W,
где F* — площадь, ограниченная средней линией контура поперечного сечения подкрепляю-
щего элемента;
hi—толщина контура;
Si — периметр контура.	/
Для поперечных подкрепляющих элементов имеем аналогичные выражения.
Энергия изгиба Z-го шпангоута равна
2kR
f f d2W W \2	IV D . 2
0
Кроме того, шпангоуты изгибаются во второй плоскости в результате поворота сечений в осе-
вой плоскости. Соответствующая энергия будет
2nR
С / dw \2
J \ дх ) '
о
—с2а2 TtR cos2 ахЛ
где —момент инерции поперечного сечения 4-го шпангоута относительно оси, перпенди-
кулярной к обшивке (см. фиг. 716).
Энергия кручения
2nR
G4F^ht- Г , gsw к а
2s/ 0-' \ дхду )
dy =
G4F^/i,
2s/
С2а2Р2 tzR cos2 аХ/.
Для торцовых шпангоутов, имеющих незамкнутый профиль поперечного сечения, величина
------ в последнем выражении меняется на —.
Устойчивость подкрепленной цилиндрической оболочки
1043
Теперь произведем суммирование всех слагаемых энергии; в итоге получим
I/ = М р + 2а*₽»------------а2 + (р2--------+
7
+ ^-C^l У cos 2
4	4
4=U
Sa

EJlc
4
~ 31
c-../ 2-’^
-4=0
7
S9 imit
cos2 —
4=0
GF*?hc
~c
’ 31
C2a2₽2/ J} sin2 —
-4=0
4=0	J	4=0
2R2
- 8
C2*2^ cos2-^—2
-4=0
(KF^hu
SIU
• 8
C2a2P2ivZ? 2C°S2-T
-4=0
+	-C2“2tc^2 + Gh^Mm CWy«R2,
£i\	6‘u
где индексы л относятся к лонжеронам, с — к стрингерам, ш — к шпангоутам, шт — к тор-
цовым шпангоутам.
Работа внешних сил будет
з I	з
2 dx = 4г С2а2 4- У cos2 = PCWI..
4*=0
4=0 о
Приравнивая энергию U работе сил Р, получим после преобразований
.____________________________к Г^2пг । 2тъ________2ц 4-	~	^2--1 Ч
£Р2 "" Р3 48 (1 — Р) L ф F k2n2 j Н
4P4
4R*
Jt4fe2n2
4=0
Г 31
1	F*2	1
СОй2>ОТ11 I 1	- Л-^СТ2
4 +2(1 + н) R* злт
7
sin2
4=0
1/ПТС
"Т"
U=o
а imr
16
4=0
9 imn
cos2 ——
4
1 F?
2 (I + и) ' R*
s<
’ 31
х 2sin2
-»=о
Ьпъ
"Тб"
7
2 sin2
4=0
Z/итс
т
2R*k
8
<21^1)1 Ji
4=0
1)444
+ 2£4
8
S9 imt
cos -g-
r*2
* ui
4-4=0
.bLkm* V
«и
8
2 Z’rtTC
cos -Г
hc&rt*
2 4
7
1
1 + И ’
0
1
k
rtum Т 6 (j

4.
где по-прежнему k = —j—
66*
1044
Устойчивость тонкостенных оболочек
Величины моментов инерций и площадей, входящих в это выражение, будут следующими:
“ 80 000 мм*; F*A = 1200 мм2; $Л — 142 мм;
J^c — 6450 мм*; F* = 357 лш2; = 71,4 мм;
/Сш = 66300 мм*; Jru = 117 400 мм*; Р*ш= 1600 мм2;
sm = 160 мм; Jrtjjrn = 63300 мм*; s =75 мм;
k == 0,628;	ц = 0,3.
После подстановки этих величин имеем
= 0,0552л2 + 0,356 (от2~ 1)2 + 17,66n2 V cos2^ -f- 17,38m2 V sin2 +
ER2	n*	4	4
Z=0	i =0
31
H- 1,556n2 У] cos
’ *=0
31	8
2Ц£ + 1 68m2 V sin2 + 129,2	У sin2
16	16	n2	9
1=0	i— 0
8
-i- (90,0 + 18,85 m2) J} cos2 — 83,1 — 35,6m2.
z=0
Далее подбираем целочисленные значения т и п
наименьшее значение.
Путем проб составляем таблицу
с таким расчетом, чтобы Рко приняло
р ЛЮ9
значений (табл. 133).
Таблица 133
Зависимость безразмерного параметра критической силы  от числа полуволн тип,
образующихся в круговом и продольном направлениях соответственно
т	п	1	2	3	4	5
2		6 235	2 595	2345	2761	—
3		39 000	И 320	6630	5486	5513
cos NX sin (N X
2sinX ;
При вычислении сумм удобно пользоваться формулами суммирования х:
N
2	2 -v N +
COS2lX — —%
1=0
W + l costfXsm(W + 1)X
1 S1" iX = —2-----------2И----------
i=0
Как видим, потеря устойчивости происходит с образованием двух волн по окружности
(т = 2) и трех полуволн по образующей (п = 3)
Ркр№
ER2
= 2345 ,
^откуда Ркр = 30 т; 4Ркр = 120 т. 1
1 См. работу [11].
Об устойчивости в большом и об устойчивости в малом
1045
Заканчивая этот параграф, следует сказать, что поскольку расчет на
устойчивость подкрепленных оболочек является приближенным, при опре-
делении критических нагрузок возможны довольно существенные погреш-
ности, главным образом в сторону завышения критических сил, особенно при
энергетическом методе расчета.
§ 6. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ В БОЛЬШОМ И ОБ УСТОЙЧИВОСТИ В МАЛОМ
До сих пор упругая система называлась устойчивой, если при любом
сколь угодно малом отклонении от положения равновесия система, предо-
ставленная сама себе, возвращалась в исходное положение. Если же система
по устранении причин, вызывающих это малое отклонение, не возвращалась
в исходное положение, то считалось, что это положение равновесия является
неустойчивым. Так или иначе во всех случаях предполагалось, что откло-
нения от положения равновесия являются не только малыми, но сколь угодна
малыми. В связи с этим иногда употребляют выражение
«система устойчива в малом». Это значит, что при любом
сколь угодно малом отклонении от положения равнове-
сия система, предоставленная сама себе, вернется в на-
чальное положение. Вместе с тем остается открытым
вопрос, вернется ли в начальное положение система,
если ее отклонить «посильнее», т. е. дать ей не сколь
угодно малое, а просто малое, но конечное отклонение.
Оценка устойчивости при этом условии носит название
оценки устойчивости в большом. Система, устойчивая
в большом, устойчива и в малом, но обратное утверж-
дение, естественно, неверно. Система, устойчивая в малом,
Фиг. 717.
может оказаться неустойчивой в большом.
В житейском смысле слова говорят, что стоящий на незаточенном конце-
карандаш неустойчив. Эта неустойчивость есть неустойчивость в большом-
Для того чтобы карандаш перешел в новое положение равновесия, его необ-
ходимо отклонить от вертикали так, чтобы, центр тяжести вышел за пределы
площади опоры, т. е. необходимо дать малое, но конечное отклонение. Каран-
даш, стоящий на незаточенном конце, с позиций устойчивости в малом всегда
устойчив, даже при малой опорной площадке.
Иначе обстоит дело, если поставить карандаш на острие. Такое положение
равновесия будет неустойчиво в малом (фиг. 717).
Исследование устойчивости упругих систем в большом много сложнее^
чем в малом, поскольку в этом случае решение задачи сводится к исследованию
нелинейных уравнений. Однако решение задач устойчивости в такой поста-
новке дает возможность ответить на вопросы, которые с позиций малых
перемещений не могут быть решены вовсе.
Особое значение приобретают большие перемещения при рассмотрении
устойчивости оболочек.
Встречаются, однако, и стержневые системы, где вопросы устойчивости
не могут быть решены в малом.
Рассмотрим простейший пример и попробуем на нем выяснить существо
вопроса более детально.
Однородная балка (фиг. 718), защемленная одним концом, прижимается
силами собственного веса интенсивности q к жесткому основанию и одновре-
менно сжимается продольной силой Р.
Требуется установить, при какой силе Р прямолинейная форма равнове-
сия станет неустойчивой (предполагается, что изгиб балки возможен только
в плоскости чертежа).
1046
Устойчивость тонкостенных оболочек
Решение этой задачи в обычной постановке не приводит к положитель-
ному результату. Система в малом всегда устойчива. Действительно, восста-
навливающий момент распределенной нагрузки q (фиг. 718) Мд = при
достаточно малых отклонениях будет больше изгибающего момента, создавае-
мого силой Р; этот момент МРу, каково бы ни было соотношение между
Р и q. Тот же вывод может быть получен и из энергетических сообра-
жений. Ведь распределенная нагрузка q производит работу на перемеще-
ниях у, в то время как работа силы Р происходит на продольном переме-
щении X, пропорциональном второй степени у':
i
Попробуем теперь решить эту задачу в больших перемещениях (фиг. 719).
За независимое переменное примем длину дуги s, отсчитываемую от
конца балки.
Изгибающий момент в сечении s от распределенной нагрузки q будет
определяться интегралом от выражения qdtxY, взятым в пределах от нуля
до s, т. е.
Mq = ^ qxid^.
Но
S	S __________
х± = JcosftdC = J j/" 1 —
с	с
тогда
S S _____________________________________
о, с
Дифференциальное уравнение упругой линии изогнутой балки будет
следующим:
EJ± + Py-Mg=0.
Но
1 db а - dy
— = —т— ; й = arc sin ;
р ds	ds *
d2y
1 __	'ds2'
Об устойчивости в большом и об. устойчивости в малом
1047
Таким образом,
EJ <?у	р р	______
V +	/1-(хУ‘,и5 = 0-
V 1 \ ds	J	J	J
'	7	ОС
Раскладывая выражения
/‘-«у " /мл
б ряды и удерживая члены не выше второй степени, получим
ЕЛ[> + 4(Л]	(«>
о с
Решим это уравнение приближенно, используя метод Галеркина (см.
том I, главу VII).
Положим, что
л -
y = As\n-^-\
тогда левая часть уравнения (1) примет вид
- EJA	> [' + У (4У с“’ 4] + РА sln % ’
о с
или после интегрирования
- EJA (Msln 4 [1 + -Т А" ЛУ “s’ 4] + РА ™ 1 -
-44-/Л’(4-/ММЛ]-
Умножаем это выражение на sin -Л ds и интегрируем его по s в пределах
от нуля до Z; тогда
-МЛ[4+4Л4У4]+М-
-4+'Л(1-Л)-4-^МУ [4-М-4)-
_______________м __р_ _2/_l—.^Ll I = о
it Зя \ Зл) л2 Зл л2 л J J
Таким образом, получаем зависимость между силой Р и параметром А:
^^(4У{0+4М)+4-4[0-4Ь
-4^0-W
1048
Устойчивость тонкостенных оболочек
На фиг. 720 показаны зависимости Р от А для нескольких значений q.
Поскольку имеется жесткая опорная плоскость, во всех случаях (при
любых q) возможно существование прямолинейной формы равновесия (Д=0).
Если q = 0, имеет место обычная задача об устойчивости сжатого стер-
жня. При Р > Рэ = кривая (q = 0) дает для каждого Р два значения А.
Это означает, что в данном случае стержень имеет две формы равновесия —
прямолинейную и криволинейную; первая неустойчива, а вторая устойчива.
Если q отлично от нуля (возьмем, например, q = q±) (фиг. 721), то при
Р < Рх стержень имеет только одну прямолинейную форму равновесия.
При Р > Р± существует уже три формы равновесия. Прямолинейная форма
равновесия остается по-прежнему устойчивой. Криволинейная форма, соот-
ветствующая левой части кривой, будет неустойчивой, а соответствующая
правой части кривой — устойчивой.
Таким образом, прямолинейная форма равновесия при всех значениях
силы Р будет устойчивой в малом. Однако при Р > Р± стержню можно дать
некоторое конечное перемещение (достаточно большой начальный им-
пульс), и стержень примет криволинейную форму равновесия, соответствую-
щую правой части кривой Р = f (Л). При этом конечном возмущении будет
преодолен некоторый «потенциальный барьер», соответствующий неустой-
чивому положению равновесия. Для того чтобы стержень принял устойчивую
форму равновесия, необходимо как бы перетблкнуть его через максимум
энергии, соответствующий неустойчивой форме равновесия (фиг» 721).
Чем больше будет сила Р, тем меньшее смещение следует задать стержню,
чтобы он принял новую форму равновесия.
В реальных условиях стержень обычно имеет некоторую начальную
кривизну и некоторую эксцентричность приложения продольной силы Р.
Уже на начальной стадии нагружения он начинает искривляться. Если
величина этого искривления при некоторой силе Р, большей Рх, достигнет
достаточной величины, произойдет скачкообразное изменение формы —
переход к новому положению равновесия с большим отклонением от прямоли-
нейной формы.
Конечно, высказанное соображение будет верно лишь в той мере, в какой
справедливо считать начальные погрешности формы стержня малыми. Можно
представить себе, что стержень обладает такой достаточно большой началь-
ной кривизной, при которой вообще не будет возникать никаких перескоков.
Такие случаи, однако, из рассмотрения исключаются.
Уравнения больших перемещений пологих нессимметричных оболочек, 1049’
Таким образом, в рассматриваемой системе для каждого значения q
может быть указано такое значение силы P/tnin (для qx это было Рх), ниже
которого невозможен переход в качественно новое положение равновесия.
Исследуя выражение (45), приближенно можно получить
Г	— 1
Ря»=^[1 + 0,124(^-)’ .
При силе Р, большей Pmin, стержень может потерять устойчивость-
раньше или позже в зависимости от точности изготовления стержня: от
того, насколько точно выдерживается центральность приложения нагрузки,
и от величины начального возмущения или импульса, сообщаемого системе.
Следовательно, переходя к исследованию устойчивости в большом, мы стал-
киваемся с новым понятием, интервала возможных критических усилий,
в котором возможен переход к новому положению равновесия. В рассмотрен-
ной задаче этот интервал был Pmin < Ркр < со.
При более детальном изучении вопроса можно надеяться сузить этот
интервал, устанавливая вероятность возникновения импульса заданной
величины и учитывая возможные пределы точности осуществления кон-
струкции.
Однако так или иначе критические нагрузки в этой или другой системе
будут определены в некотором интервале значений как вероятные.
Перейдем теперь к рассмотрению некоторых вопросов устойчивости,
оболочек.
§ 7. УРАВНЕНИЯ БОЛЬШИХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПОЛОГИХ
НЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК
В главе IV тома II были выведены уравнения больших перемещений
осесимметричных оболочек. Рассмотрим теперь случай несимметричных-
деформаций пологой оболочки произвольной формы.
Положим, что поверх-
ность недеформированной
оболочки в декартовой си-
стеме координат определяет-
ся уравнением
у)-
Как и в рассмотренной
ранее задаче о прогибах сим-
метричной пологой оболочки,
будем полагать, что углы
наклона недеформированной
(&о и Хо) и деформированной
оболочек ($о + & и Хо + X)
остаются малыми настолько, чтобы синус и тангенс этих углов можно
было принять равными соответствующему углу.
В результате деформации каждая точка срединной поверхности оболочки
получит перемещения и, v, w соответственно подвижным осям и г1(
связанным с недеформированной поверхностью (фиг. 722).
Как и прежде, примем, что материал оболочки подчиняется закону Гука
и деформации оболочки остаются малыми, но перемещения w, нормальные
к поверхности оболочки, могут быть большими, т. е. соизмеримыми с началь-
ной высотой оболочки w0. Что касается перемещений и и v, то их будем рас-
сматривать как величины, существенно меньшие, чем w. За малостью угла
1050
Устойчивость тонкостенных оболочек
.наклона оболочки можно считать, что ее поверхность в деформированном
состоянии может быть описана уравнением
0*0 + w = / (х, у)
.независимо от перемещений и и v.
Составим прежде всего уравнения равновесия оболочки. Для этого выде-
лим из деформированной оболочки элемент, размеры которого за малостью
углов наклона + & и / 0 + / (фиг. 723) могут быть приняты равными dx
и dy.
В сечениях приложим изгибающие и крутящие моменты, а также растяги-
вающие и сдвигающие усилия. Положительные направления усилий и момен-
тов показаны на фиг. 723.
Обозначим через N & Ny растягивающие усилия, Qx, — перерезываю-
щие усилия, S — сдвигающее усилие, Мх, Му — изгибающие моменты,
Мху = Мух—крутящий момент, отнесенные к единице длины сечения.
Через р — р (х, у) обозначим внешнюю нагрузку, отнесенную к единице
площади срединной поверхности.
Проектируя все силы на оси хъ yi, Zi, получим
+ +Q *(»./-»> +Qx ><».+ »> =0; (46)
dx 1 dy J	dy * x dx	9	x '
^ + -^_ + Qx^±J) + q £(b±X) = 0;	(47)
dy 1 dx 1 x dx	> dy	’	' ’
-nJ. I dQy _ Д, d (Xo + X) _ „ d (&0 H- ft)
dx 4" dy	dy	x~ dx
sd(Xo + x) = 0
dy	dx
(48)
Приравнивая далее нулю суммы моментов всех сил относительно осей
*1 и г/i, имеем
^+^г+т = 0;	(49)
^ + т + т = 0-	<5°)
Уравнения больших перемещений пологих нессимметричных оболочек 1051
Свяжем линейные перемещения и, v и w с угловыми перемещениями х Н
и деформациями еЛ, еу и -[ху срединной поверхности.
Относительное удлинение ех в направлении оси будет определяться
„	ди w	1
прежде всего линеиными слагаемыми -ч— и —, где -5— — кривизна
OX
оболочки В плоскости xzr,
1   д2до0
RxZ±	дх2
Кроме того, элемент dx получит добавочное удлинение за счет поворота
элемента в плоскости xzi на угол Я. Это удлинение выражается квадратич-
ным членом
, dx
Х cos &	О-2
dx	2
таким образом,	ди х дх	d2wa w дх2 + 2. ’	(51)
Аналогично	dv ду	d2t0o I X2 	+ "V- ду2	2	(52)
Выражение угла сдвига также определяется двумя слагаемыми: линейным
Jy “ST и кваДРатичным Х^ за счет поворота элементов dx и dy в плоско-
стях xzi и yzi. Таким образом,

(53)
Из выражений (51), (52), (53) исключаем и и v\ тогда
д2*х	д2-\ху	дЧу
ду2	дхду	дх2
, 1 дЧ2	д2№) , 1 д2Х2
"Г* 2 ’ ду2	дхду ’ 2 ‘ дх2 ’	' ’
Теперь определим перемещения и деформации в слоях оболочки, отстоя-
щих на расстоянии Zi от серединной поверхности.
Перемещения и', v' и w' в этих слоях будут складываться из соответ-
ствующих перемещений и, v и w срединной поверхности и дополнительных
перемещений, обусловленных поворотом нормали на углы & и х относительно
осей Xi и у\. В соответствии с общепринятой гипотезой неизменности нормали
имеем
и’ = и -|- Zjft; v' = v 4- w' - w.
Отсюда согласно зависимостям (51) — (53) получим
,	1	, ду ,	.	( ду ,	\
1052
Устойчивость тонкостенных оболочек
По закону Гука имеем
Е
Е
1 — |х2
+?[<*
Е / ' .
а'/ “ ГГГ^2	+
1
' _	Е	’ _ Е Г
,	~ 2(1 и) ^ху ~ 2(1 + fi) |j*y
f db , C
Ы+lX 1
dy . do-
dy + dx
(55)


Усилия и моменты определяются через напряжения следующим образом:
+ -
2
мх= \ a'xdzc,
+4
A^y =	) Oydz^
2
+ -
2
Mx = — a^dZi, My = —
-.Jl
2
+—
2
5= f
— JL
2
2
h
2
?
= j
_h_
2
h
2
или согласно соотношениям (55)
^ = т^(^ + ^);	+ s=2(nbrW>
Му = — D у. м = — D ( &- + и-J-) ;
х	\ dx ‘ г dy j ’ У	\ dy 1 г dx ) *
Mxy = -DlriH(4L + -jL\
*У	2	\ dx 1 dy J ’
откуда
(56)
еУ — Eh у ^х)>
‘*у— Gh ~ Eh °’
После подстановки ех, еу и ^ху в левую часть уравнения (54) получим
1 1W,	d>Ny	2(1	> d*S d-Ny	,,.^1	(57>
Eh [ ду2	ду2	ZU	+ N дхду	+ дхг	I1 дхи J	•	<?'7
Введем функцию напряжений <р, определяемую следующими зависи-
мостями:
д/ _ д2<Р .	е _ _	. /о — д2<р	(58\
~ ду2 ’ 5 — дхду ’ Ny ~ дх2 ‘
Если теперь подставить Nx, Ny и S в выражение (57), то получим
-2-(Л1_ + 2-д^	=-Lv2v2<₽
Eh \ ду^ х дх2ду2 дх* )  Eh v v
Уравнение (54) принимает, таким образом, вид
Eh V V+ ду2 \ дх2 ) + дх2 \~ ду2 } ' 2 ду2 дхду 2 дх2
Уравнения больших перемещений пологих нессимметричных оболочек 1053
	Так как »=	д*-, Х=	(59)
то	1 v-,25-72	d2 [ d2w^ \	д2 ( d2wQ \ . -^7— V V=	) 	 -^-2" ( W	) + Eh	v ‘	ду2 \ дх2 ) дх2 \ ду2 ) 1 . ( d2w \2	d2w д2^) + \ дхду )	дх2 ’ ду2 ‘	^DU7
Теперь вернемся к уравнениям (46) и (47).
Можно показать, что для пологих оболочек перерезывающие силы Qx
и Qy по сравнению с силами Nx и Ny имеют величину порядка + $ и
Хо+ X по сравнению с единицей. Учитывая, что в выводе мы пренебрегаем
квадратами упомянутых углов по сравнению с единицей, легко прийти
к выводу, что членами, содержащими Qx и Qy в уравнениях равновесия (46)
и (47), можно пренебречь в пределах принятой точности. Тогда упрощенные
уравнения (46) и (47) примут вид
Мх , dS _ п.
дх ду ’
п х
ду дх
Эти уравнения удовлетворяются, если в них ввести функцию напряже-
ний <р согласно соотношениям (58).
Уравнения равновесия (49) и (50) после подстановки Мх, Му и Мху
по зависимостям (56) их и & по формулам (59) принимают вид
Q=D-?-\72w;
дх ’
Qv = £>4-V3^.
ду
Теперь подставим и Nx, NynS по формулам (56) и X, & по зависи-
мостям (59) в уравнение равновесия (48). Тогда
.	д2? д2 (^о 4- ад) .
— р + £>V2V — -ч4-------44—- +
r v	дх2 ду2 1
9 д2т д2(ш0 + ш)	д2<? d2(w0 + w) _n_
z дхду ‘	дхду	ду2 дх2	~~	v 7
Таким образом получаем	систему	двух	уравнений	(60)	и (61) с двумя
неизвестными w и ср.
Для цилиндрической оболочки
д2ад0 _ п.	^2ад0 _ 1 .	д2адо _ а
дх2 9	ду2 ~ R 9	дхду ’
и тогда
1 __2__2	1 <^2ад i f ^2ад \2 з2ад ^2ад	/СОЧ
Eh ' R дх2 1 \ дхду 1 дх2 ду2 9	х 7
Пу72г7^- - г I Р1 ) о g2y д2а> а2у d2w /дох
L»v V W — р + дх2	J 2 дхду дхду + ду2 • дх2 . (оо)
1054
Устойчивость тонкостенных оболочек
Для удобства последующих преобразований приведем эти уравнения,,
используя оператор F (Л, В), к следующему виду:
WW = F (W, Ф)+ -1- •	+ д;	(64}
V2V2<1> = - F («7, W) - A.	,	(65)
гце
w = w ]/> =	p-6(l — P2) ;
ф = JL.
D ’
= i - ja /6(1-rt;	(66>
Под F (А, В) понимается следующий оператор:
FIA	o ^2Л d2B	ZA7Y
k ’ ~~ dx* ’ dy* dy* ‘ dx* z dxdy ' dxdy *	Vй}
Система уравнений (64) и (65) является нелинейной, и потому ее решение
представляет значительные трудности. Однако учет этой нелинейности,
содержащейся в операторе F (Л, В), как раз и представляет собой основное
содержание исследования оболочки на устойчивость в большом.
Фиг. 724.
§ 8.	УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПАНЕЛИ
ПРИ ВНЕШНЕМ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОМ ДАВЛЕНИИ
Как уже упоминалось выше, расчет тонкостенных подкрепленных кон»
струкций на устойчивость начинается обычно с определения критических
давлений для тонкостенных панелей, расположенных между подкрепляющими
элементами.
Потеря устойчивости панели
под действием внешнего давления
происходит хлопком, и рассматри-
ваемая задача по своей сути совер-
шенно аналогична задаче о хлопке
пологой сферической оболочки
(см. том II, главу IV). Един-
ственное отличие вносится в дан-
ном случае тем, что прогибы обо-
лочки определяются в функции
уже не одного, а двух независи-
мых переменных.
Обычно панель может рассматриваться как пологая цилиндрическая
оболочка, а поэтому к ее расчету применимы уравнения, выведенные в пре-
дыдущем параграфе.
Пусть длины сторон прямоугольной панели будут 2а и 2Ь (фиг. 724).
Будем предполагать, что подкрепляющие элементы (стрингера и шпан-
гоуты) настолько жестки, что на контуре панели отсутствуют не только пере-
Устойчивость прямоугольной цилиндрической панели
1055
мещения w9 но также и перемещения и и v. Кроме того, на контуре отсут-
ствуют и угловые перемещения.
Примем функцию прогибов UZ в виде
№ = -^-(1 +cosax)(l +cos pt/),	(68)
где
a = V’ ₽ = т-
Тогда уравнение (65) примет вид
V2V20 =------а2р2 [2 cos ах cos $у + cos 2ах cos $у cos ах cos 2$у +
+ cos ах + cos 2ах + cos + cos 2$у] + °*  cos ах(1 + cospr/X
откуда путем интегрирования определяем функцию Ф:
/ь ^0 ~2Q2 Го cos ax cos p# , cos 2ax гоя $y j cos ax cos 2P# j
Ф —	4~ a P |_2	(a2 4- £2)2 H (4a2 + £2)2 I (a2	4£2)2 Г
, cosax f cos 2ax f cos p# , cos 2p# 1 , W%a2 Г cos ax । cos ax cos $y "| t
”1 a4 I	p4 1	1бр4~J + p2 [	(a2 + P2)2 j
OO	OO
+ 2 №пУ sh апУ + Bn ch апУ)cos anx,1+ 2 (Cnx sh ₽ttx+£>n ch $nx)cos finy +
+ А0^- + В0^- + Сй,	(69)
где An, Bn, ... — постоянные интегрирования, которые должны быть
подобраны так, чтобы перемещения и и v на контуре панели обратились
в ноль.
Из выражений (51) и (52)
ди  	1 / dw \\
дх	2 \ дх / ’
dv  } w	1 / dw \'2
~ду~ ~ еУ +	Г J ’
Но, так как
Sx Eh	>
еу £fi (-^у
то согласно выражениям (58) и (66) получаем
12(1 —ц2) ди _ -д2Ф д2Ф /dW\2_
h2 ' дх ду2 дх2 \ дх ) ’
12(1 — ц2) до	д2Ф   д2Ф  ( dw\2 , 21F
h2	ду	дх2	ду2	\ ду ) * р2
(70)
1056
Устойчивость тонкостенных оболочек
Подставляя значения Ф по зависимости (69) и W по формуле (68),
после интегрирования получим
12(1 —у2)	^2 Г 2	— р2 + уа2 .	о ,
-----Ь2 и =---------Т~ а2₽2-------1 2 I 0242 S,n а* C0S ?У +
ПЛ	4	1	|_ а (а2 4- р2)2	1
1	_ £2 .^4^2	Q.1	— 4₽24-ра2	OQ ,
о- * z/2 1 Q2<2" sin 2ах cos Vy 4--------; -» ,	— sin ах cos 26# 4-
2а (4а2 4. рг)2	г и i а (а2-4-4р2)2	гг7 1
. ц .	। ц . о	cos pz/	cos 2 В и! .
+ -5-s|n«x + -s5-sin2«x — х—p/g — х	4p7j +
. 1Г0а2 Г sin ах .	1	—P2 4- [ха2 .	о ] .
+ —р— [и — аз + — • (а2.Ь р2)2 sin ах cos pz/j +
оо
-|- 2 { Ап [2 ch му + (1 + у) му sh any] + Вп (1 + у.) an ch any } sin апх—
n=l
оо
— 2 {Сп [(1+ у.) gnx,ch рпх — (1 — у) sh ftnx] + Dn (1 + Iх) pnsh pnx}cosgni/ +
n=l
+ Box — уЛох
и7а2 / i Л \
-jy- ]x — sin 2ax) (3 + 4 cos $y + cos 2pi/) +7 (i/);
12(1 -y8)
Л2
— a2 4~ Fp2
(«2 + P2)2
cos ax sin p# 4-
. 1	—4a24-pP2 n • о ।	1	—a2 4~ 4|xp2	. OD COS a
+ T ‘ ' (4a2 + p2)2 C0S 2aX S,n + ++♦ +2 + 4P+ C0S aX Sln 2?У - У
cos 2ax , и sin pi/ , _ sin 2$y ] TT0a2 Г „ cos ax ,
4a2	•“ I1 p2 "I" P 8p3 J “I" p2 [ a2 "I”
CO
1	_a2 4- up2	1 VI
4-p~- (a2 + P2)2 cos ax sin Pz/] — 24 К1+ h) art^chanZ/—C1 — y)shany] +
n=l
oo
+ Bn (1 + y) an sh any j cos anx +	{ Cn [2 ch pnx + (1 + y) ?nx sh ^nx] +
71=1
+ Dn (1 + y) pn ch ₽nx} sin %ny + Aoy — yBoz/ —
W'o?2 /	1	\
-----jg— \ y-----2|- sin 2pyj (3 + 4 cos ax + cos 2ax) +
+ -p- (1 + cos ax) (у — у sin pi/) + f (x).
Из условий, что и = 0 при х = 0, a v = 0 при у = 0, вытекает f (у) = 0;
/ (X) = 0.
Рассмотрим далее следующие граничные условия: и = 0 при х = + а\
v = 0 при у = ± Ь; тогда получаем
Во - Мо = 4- ^а2; Л» - Мо = 4	’
Сп [(1 + у) pna ch ftna — (1 — у) sh р«а] + Dn (1 + y)₽n sh $na = 0;
-4Я 1(1 + P-) мЬ ch anb — (1 — y) sh anb] + Bn (1 + y) ansh anb = 0,
Устойчивость прямоугольной цилиндрической панели
1057
откуда
Л------(R2 I у а2\_______________________^0	.
Я0— 16	1— р.2	)	р2(1_(л2)>
О 3	'’’О	, 2 ,	о,'	^0
В0 16 ‘ 1 — р (а +	) И р2 (1 _ ^2) ;
Вп = (-] ~ и--------5----b cth anb} А •
п \ 1 + р. an	J п
D- = ( ? ~ ---------j?---acth |3па') С„.
п \ 14 р рл	г/
Обращаемся к двум последним граничным условиям: и = 0 при у = +&;
v = 0 при х = + а. В результате, используя полученное выражение для
и и v, получаем
— a2R2 Г_2_ . Р2 —
4	° L а fa2 + Р2)2
1	4р2 — jxa2 pt 1
а (а2 -|- 4р2)2 ‘ a3 J
Гоа2 +	p2	Г M	I 1	fi2 — pta2 1 ) • —T- H	z 2 . ft2\2	Sln aX	 L a3	a	(a2 -j- j32)2 J J
ro 2R2 -v«2₽2	Г 1 p2 — 4ua2	a ] . o , ~o~ • /л	+ “я^- sln 2ax + [ 2a	(4a2 -f- p	°a3 J
4- V А„ [(3 — u) ch anb — (1 4~ н) 1 sin апх —
" Р Г'	v / sh anb J
п—\
оо
-(1 + н)	Сп [ftnx ch pnx — pna cth pna sh ftnx] cos ftnb = 0;
/2=1
___Wo „202 Г_2_ °2-^2
4 p L ₽ * (“2 + ₽2)2
1	4a2 — fxg2_________p_)
p •' (4a2 + p2)2 -t' p3 | 'Г
№0a2	1 a2 — fip2
+ p2	P	(a2 + p2)2
202 Г 1	“2 — 4,up2 . Iх 1 - OO
[ 2p (4a2 + P2)2 + 8p3 J sln2₽#~
-а + и) An [any ch any — anb cth anb sh any] cos ana +
+ 2 Cn 1(3 — fx) ch ₽na — (1 + P) Ji™ 1 sin pni/ = 0.
n=l
(72)
Разложим в тригонометрические ряды функции, входящие под знаки
сумм этих выражений:
оо
ftnx ch pnx — pna cth flna sh flnx =	£. sin aix;
i=i
any ch any — anb cth anb sh any = Ft sin $iy.
67 Пономарев
508
1058
Устойчивость тонкостенных оболочек
После обычных преобразований имеем
40 пЧ
Ei = • /02 а ,—тахт sh ₽na cos aia;
1 a (p2rt2 + a2z2)2 r	’
4a2 3/72Z
Fi = ч«гп2+т2~sh anb cos ₽l’6-
Теперь уравнения (72) примут вид
^0 ~2q2 Г 2 Р2 —fxa2	1 4р2 —! (X ]
4 Р [ а ‘ (а2 + р2)2	а ' (а2 -4- 4р2)2 ‘+’ а8 J
1Р>2
р2
Гр.	1	£2 -- |^а2 -1 j
[Т8" + Т* (а2 + р2)2 J j Sln аХ _
_ a2R21 1 .	—4<xct8
4 Р [2а	(4а2 + р2)2
(4 1
8а3 J
sin 2а +
00
+	[(3 — p.)chan&— (1 + H)-sha”^-] sin anx —
п—\
oo	oo
— (1 +H) 2с„2т(в5ч57^'811^асо8а1'асО5^/гб8'паг’х=:0;
H—1	Z=1
W0 „202 Г 2 a2 —up2
4 ® P [ p ’ (a2 + p2)2
1	4a2 — цР2 fx !
p ' (4a2 4- p2)2 + 7»’ j +
1Гоа2
P2
1 a2 — |ip2
Г’ (»2 + ₽2)2
sin fry —
2 Г 1 a2 — 4/xp2	, F 1 • no
[ 2p ’(4a2+P‘)‘ + 8p8 J sln2^
oo	OO
— (1 + H) 2 Л 2 V(a2n2+2p2t2)2 sh atlb C0S $ib C0S ana 8in +
n=l	4—1
00
+ 2C« [(3 —P-)ch₽na —(1 +^)^r] sin^ = °-
72=1
Группируя члены с одинаковыми гармониками, получаем следующую
систему уравнений:
A[(3-rtch«S-(l + rt^]+(1 + rtic.
П = 1
= Z1 «202 l_2_ F-txa2_____1_ 4р2 - txa2 jxl _
4 Р I a (a2_|_р2)2	a ’ (a2 _«. 4£2)2 -r a3 I
Г0а2
p2
Г JX	.	1	P2 — jxa2 *|
I a* ‘	a	(a2 -f- p2)2 J r
Устойчивость прямоугольной цилиндрической панели
1059
СО
Л2[(3-И)сЬ2а6-(1+И)^^] -(1 + и) 2С„
Л=1
8p2an2 sh р/га cos Pnb
а(Р2п2 4а2)2
- ^0 а202 f 1	Р2—4н»а , Р 1 .
4 Р | 2а (4а2 + р2)2 “ 8а2 J ’
СО
«	[,о	\ и о а /II \ За& 1 I zi I	12p2«2n2shpnacospn6_ п
Аг [(3 |x)ch3a& 0 + И) sh3«6 ] + 0 + н)^Сй а (р2я2 9а2)2	~ 0
/1=1
.......................................................................................(73)
с, [о - и) ch ₽„ - (i + rt + (i + rt i л 4Х-Л7Г- =
n=!
Wq „2й2Г_2_ “2~^2	1	4а2-рр2 , (Л1	Г0а2 1 а2 - Н>2 .
— 4 “ Р [ р ‘ (а2 4- р2)2	р ' (4а2 + р2)2 *" р» J р2 ' р ' (а2 + р2)2 ’
„ Г/О х < па /1 >	\ 2ра 1	,, ,	. VI Л 8а2рп2 sh anb cos ana
<Ц(3 p.)ch2pa (1 + P-) sh2paJ +	6(а2л2 + 4р2)2	“
n=l
Wl	Г 1 a2 —4f/p2 ,______|X_1 .
= —j- a2p2 [ 2p ’ (4a2 + P2)2 T 8p3 j ’
Cs [(3 - ri ch 3₽» - (! + rf jy + a + rt i	= o.
n—\
Из этих уравнений могут быть определены постоянные Ап и Сп. Ниже
будет приведен соответствующий числовой пример. Пока же будем счи-
тать, что постоянные Ап и Сп нам известны.
Раскладываем, в тригонометрические ряды функции Anyshany +
+ Bnch any и Cnxsh p>nx-\-Dn ch $nx с учетом выражений (71). Тогда функ-
цию Ф (69) можно представить в следующем виде:
гЪ	^0 „2р2 Го c°s axcos P# J cos 2ax cos py cos ax COS 2₽f/ ' |
“	4 P [	(a2 + P2)2	(4a2+ P2)2	(a2 + 4p2)2
cos ax , cos 2ax , cos pt/ f cos 2fty ] 1 (
—^4	। 16^4“ "!	£4	1 Гбр^-J +
I Woa2 Г cos ax । COS ax cos py
‘ P2 [ a4 “«	(a2	£2)2
CO	co
, VI a 2sh anb cos Pib fl — p. a2n2 —p2i2\ o.	.
+	b (a2n2 + P2i2) \ 1 + |X a2n2 4- P2Z2 ) COS C0S MX “*
n==l Z=1
VI 2 sh Pna cos aia /1 — p
2j a(P2n24-a2i2) \l + f/
P2n2 — a2i2 \	• о i
cosЫХcos₽ш/ +
y2	fj2
+ Т10 ~2“ + Bq “2“ + Cq.
67*
1060
Устойчивость тонкостенных оболочек
Теперь обращаемся к уравнению (64) и подставляем в него функции W и Ф.
Далее согласно методу Галеркина (см. том I, главу VII) умножаем обе части
полученного выражения на W и производим интегрирование по х и у в пре-
делах от —а до +а и —Ь др 4-6. В итоге получаем
— (За4 4- 2а2₽2 + Зр4) = а4р4 [	4	_|_	1	+
2 4	г • i / g г [ (а2 + р2)2	1 (4а2 -I- р2)2 ‘
,	1	, 17 J7J_______________4 , Г_1_	1	1
"I- (а2 + 4₽2)2	8а4 1" 8₽4 J р2 К р [ а« Т («2 4" ₽2)2 J
IV/„202 Г 2 shad ( 1 — р а2 — В2\ shaft ( 1 — р а2 — 4р2\] ,
1^0“ Р [ft(a2+£2) k 1 4-р а2 + р2 )	6 (а2 + 4₽2) k 1 4-р. а2 Д- 4£2 J
4- А2Гоа2р2 . ,Л2.°^ ( 4=-^
I z о г & (4а2 + р2) \ 1 + р.
4а2 — р2 \
4а2 + р2 ) +
С W а282 Г 2shPa ( 1 —Iх _L g2 —Р2\ _ sh?g ( 1	_j_ 4а2 —Р2\ 1 I
-1- bi^oa р L а(аг _|_ р2Д 1 +(Х г д2_|_ рзу а (4а2 4- р2) \ 1 4- р 4а2 + р2 /] "Г
I г ж a2O2 _sh_2pa_ f 1 — р . а2 — 4р2 \
4-C2lP0a.P а(в2 + 4р2)\ ! + р + а24-4р2/ +
+ 4	 rS № + н«!) -	+
, 3 w, » Г 3	ТГо 1	Го 202 Г “2	1 1 1 ,
+ 2 Гйа [ 16 • | _ и2 (« 4- И₽ ) Р- р2 (! _ р.2) ]	2р2 “ Р [(а2 +р2)2 + a2 J +
1Г0а2 Г 2	а2 1	- а2 2 sh ад /1 — р, а2 — р2 \
"I р4” I *" (а2 + р2)2 J “ Л1У ' ft (а2 + р2) \ 1 + р а2 + р2 ) —
р а2	2 sh pa / 1—р . а2 — р2\
~ с1 “р ' а(а2 + р2) \ 1 + р + а2 + р2)
— тг [-А- • т^-2 (₽2 + ца2) —	— 4<7-	(74)
р2 L16	1 — р,2 м	1 р2 (1 — p.z) j “	v }
Члены составленного уравнения сгруппируем по степеням 1Г0. Для этого
постоянные Ai, А2, Ci и С2 представим в виде
А = л;г04-лМ;
д2 = д>0 + аЖ;
c^ciWo + сЖ-,
С2 = СгИ^о 4- C^lTo",
тогда выражение (74) приведется к следующему кубическому уравнению:
47 = ^4^г + 1ГЛ1-	(76)
где
v- _ “
Лз------:
4	,	1	,1	17	17 1 ,
(а2 + р2)2 "г (4а2 + р2)2 “l" (а2 + 4р2)2	8а* ’г 8р« J "г
1	+ ₽*> +	(тт7 - -St?
Устойчивость прямоугольной цилиндрической панели
1061
1	/1—„в —. ,:„2й2 sh2aft M-fi 4a2 —Р2\
— a2 + 4p2 I^T+7- a2 + 4p2JJ 2 P 6(4a2 + p2) \1 + h 4a2 + p2J
202 shpa Г 2	/ 1-1Л , a2-p2\	1	7 1-u	4a2-P2\]
P a L	»2+₽2 \ 1 + p."1” a2+₽2/	4aa + ₽2	\ 1 +p^	4a2 + ₽2 Л
, r"/v20 2 sh 2pa f 1 —ft
+ Сг® p , г , 4R2\ lii..
Кг =
За4?2
2p2
9 p2 + p.a2
4P2- 1 —fi2
a2 — 4f2 \
a2 + 4p2 J ’
। A'lltW shab [	2 _ f 1
+ Л| P b	I a2 + p2 \ 1 +p
a2 — P2
a2 + P2
1	f 1 — fl	a2 —4P2\1
аа + 4₽2 \1 + р	a2 + 4₽2 ) J
+ Cia2₽2
sh pa
a
+ Лга2₽а
sh 2aft
b (4a2 + p2)
4a2 — p2 \
4a2 + p2 )
Г 2 f 1 - н , “2 — ?2\	1	( 1 — н , 4a2-p2\]
[ a&4- p2 \ 1 + p > a2 + p2/	4a2 + P2 \ 1 + p + 4a2 + p2 / J
+ Сга2р2
sh 2pa ( 1 — p , a2 — 4p2\
a(a2 + 4p2) \l + p'r a2 +-4p2 )
a2	2sh ab f 1 — p a2 — P2\	a2 2 sh pa / 1 — P . a2 — P2\ .
Л| p2 b (a2 + p2) 1 + (i “ a24-p2/ ~ G1 V a (a2 + p2) \ 1 + p a2 + P2/ ’
1	~2 Г 9	„2	1	4
Х. = .тг(3»‘+2«Т + ЗП + ^[^ + (^П!?] + P<(i-p)
a2 2 shaft / 1—fi a2 — p2\
— Л rp2’ b (a2 H- p2) \ 1+ p “ "a2 + P2 J
p' a2 2 sh pa /1 — p . a2 — P2
G1 “p2” ’ a(a2+ p2) \ 1 + fl + ~2 + p2
(77)
Зависимость q от при возможном хлопке имеет вид кривой, показанной
на фиг. 725. Анализируя уравнение (76), получаем gmax = qKp из соотно-
шения
кр ~	27К1	±
±----27^---/Кг-ЗЛЛ»; <78>
знак «плюс» соответствует верхнему,
а «минус» — нижнему критическому
давлению.
Рассмотрим числовой пример: определим
критическое давление (давление прохлопывания)
панели со следующими геометрическими размерами: 2а = 400 мм; 2Ь = 200 мм; R = 1 м;
h. — 1 мм; материал — сталь; Е = 2-104 кг!мм2; р. — 0,3.
Обращаемся к уравнениям (72) для определения постоянных Д1, Дг, . • • > Ci, Сг, . . • •
Если ограничиться определением постоянных до индекса 3, включительно, получим после
подсчета коэффициентов следующие шесть уравнений:
5,887ДХ — 70,91 Сх + 13 140С2 — 3 341 000С3 = 1,702-^- — 13,33	;
30,945Д2 + 55,40?! — 18 980С2 + 5 718 000С3 = 0,1865	;
1062
Устойчивость тонкостенных оболочек
150,18Л3 — 31,47СХ + 18 230С2 — 6 777 000С3 = 0;
— 0,60944! + 4,77942 — 19,6243 -|- 722,87Ci = 0,02395	+ 0,1191	;
0.Ю54Д! — 1,529Д2 + 10,61 Д3 + 387 100С2 = — 0,03191
— 0,033384! + 0,573542 — 4,9134 3 + 207 300 000С3 = 0.
Решая эти уравнения, получаем
тту
4i = 0,2924—2- — 2,288	;
1	а	а ’
Wn
4» = 0,005494 —- + 0,003696——5- ;
21	а 1	а ’
Сх= 0,0002452 —- — 0,001801	•/
а	а ’
П7
С2= — 0,1423-10-6 — + 0,6505.10-6	.
а 1	а
(79)
Величины Д3 и С3 не подсчитываем, поскольку они в последующие выражения в явном
виде не входят. Следует заметить, что в рассматриваемом примере можно было бы с достаточной
степенью точности ограничиться и четырьмя уравнениями вместо шести. Подсчеты показывают,
что разница в величинах Д1, Дг, Ci и Сг, подсчитанных по четырем и шести уравнениям, обна-
руживается лишь в третьем знаке.
Сопоставляя выражения (79) и (75), имеем
Фиг. 726.
я> 0,003696 я„ 0,005494
Д9 = ---------; Д2 = ----------;
2 а *	2 а 1
0,001801 .	»	0,0002452.
————	01 —- 	,
а ’	1 а
•	0,6505-10—•	_	0,1423-1Q—6
С2--------- ;	С2-	-
Теперь согласно выражениям (76) находим
„	1079 v 15780 v 59540
Кз----~ ~аГ~ '
По формуле (77) 4qKplcfi = 67 ПО; 4qKp2a* = 13 380.
Возвращаясь к обозначеним (66), получаем pKpi = 0,822 кг/см?-, рКрг~ 0,164 кг/см?..
Реально потеря устойчивости произойдет в указанном интервале давлений в зависимости
от точности изготовления обшивки и характера нагружения. Для систем, подобных рассмотрен-
ной,'хлопок имеет место обычно при давлении несколько меньшем верхнего критического ркр\.
Определение критических нагрузок для панелей при некоторых других
видах закрепления и нагружения (в частности, нагружения продольными
силами) дано в работах [3] и [7].
Довольно близко к рассмотренному вопросу примыкает задача об устой-
чивости короткой цилиндрической оболочки (фиг. 726), находящейся под
действием внешнего равномерно распределенного давления. К этому случаю
сводится расчет обшивки, подкрепленной поперечным силовым набором.
Устойчивость прямоугольной цилиндрической панели
1063
Как показывает опыт, критическое давление, определенное методами
линейной теории по формулам (23) или (25), в случае коротких оболочек
оказывается несколько завышенным (на 20—30%) по сравнению с наблю-
даемым. Причины этого расхождения кроются в нелинейных особенностях
поведения короткой оболочки. Иначе говоря, короткая цилиндрическая
оболочка при внешнем давлении может оказаться устойчивой в малом, но
неустойчивой в большом. Формулы (23) и (25) при этом дают только верхнее
значение для ркр.
Определение нижнего критического давления короткой цилиндрической
оболочки производилось рядом исследователей [3], [4], [10].
По-видимому, наиболее простое решение получено Н. А. Алфутовым
и В. Ф. Соколовым [2 ]. В этой работе авторы решают задачу энергетическим
методом, полагая функцию прогибов в виде
Л. пу кх .	.	» кх
v ,	! Sin Sin -j- + Аг Sin2 -j- .
' В результате сложных преобразований ими получены следующие расчет-
ные формулы:
2
Р*рг (l ~ р2) R = ф! — - Д (1 — ц2);	(80)
Eh	‘1	4cf>4 v ‘ 7	7
Применение приведенных формул иллюстрируется следующим числовым
примером, взятым из цитируемой статьи.
Примем, что	= 0,3; р. = 0,3.
Для нескольких значений п подсчитываются величины ? 2, . . . и составляется сле-
дующая таблица (см. табл. 134).
1064
Устойчивость тонкостенных оболочек
Таблица 134
Таблица к примеру по определению критического давления для короткой
цилиндрической оболочки
п2	500	450	400	350
Nu	5,559	5,103	4,648	4,191
N»	13,56	13,10	12,65	12,19
	-0,59-10-3	8,98-10-3	16,85-10-3	21,71-10-3
^2	2,277-1 С3	1,844-103	1,457-103	1,115-IO»
^4	25,42-10е	16,03-Ю3	9,528-10б	5,241-106
	3,066-1 о-4	3,096-10-4	3,218-10“4	3,492-10“4
?2	12,42	15,61	16,64	17,78
?4	0,8859-106	0,7557-106	0,6304-10б	0,5118-Ю6
Далее графически решается уравнение (81) и подбирается величина п (фиг. 727). В рассма-
триваемом примере и2 = 388. Для верхнего критического давления надо положить = 0.
"Т 4
Тогда уравнение (81) принимает вид ki = 0.
Соответствующая этому случаю кривая на фиг. 727 проведена пунктиром, и для верхнего
критического давления, как видим, п2 ~ 498.
После того как величина п найдена,
3 из уравнения (78) можно определить
и верхнее и нижнее критические давле-
ния.
Верхнее критическое давление будет
-Ркр'	ЦХ) R =	= 3,07-10-4.
Eh	т
Нижнее критическое давление равно
Ркръ 0 — F2) Я __
Eh ~
2 + К а (-z-/
2^	2(р4
^?4
Как видим, в данном примере нижнее
критическое давление примерно на 30%
ниже верхнего.
При практических расчетах подобной
оболочки конструктору необходимо назна-
чать запас устойчивости от нижнего
критического давления.
§ 9. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
ПРИ РАВНОМЕРНОМ ОСЕВОМ СЖАТИИ
Задача об устойчивости сжатой в осевом направлении цилиндрической
оболочки относится в настоящее время к числу задач наиболее злободнев-
ных для расчетной практики и принципиальных для теории тонкостенных
оболочек.
Как показали многочисленные эксперименты, проведенные целым рядом
исследователей, формула (27) для критического напряжения
^--= 0,607^,
Устойчивость цилиндрической оболочки при равномерном осевом сжатии 1065*
выведенная в предположении сколь угодно малых отклонений оболочки
от докритического состояния, дает значения окр существенно большие, чем
наблюдаемые на опыте. Это расхождение' оказалось настолько большим;
и систематическим, что не могло быть объяснено случайными причинами.
Первая попытка разрешить возникшие противоречия принадлежит Дон-
нелу [15]. Им было высказано предположение, что цилиндрическая обо-
лочка весьма чувствительна к случайным несовершенствам формы и к непред-
виденным отклонениям от идеальных (предполагаемых) условий нагруже-
ния. Кроме того, Доннелом было отмечено влияние на величину предельных
напряжений пластических свойств материала, проявляющихся при потере
устойчивости. В результате проведенного исследования взамен формулы (27}
была предложена следующая:
=	(83>
где
R2
0,607— 10-7 4^-
ь-____________*!_
«	р	•
1 + 0,004 —
%
Коэффициент k, как видим, снижается по мере увеличения отношения-у
£
и безразмерной характеристики пластических свойств —. На основании опы-
£
тов Доннелом были предложены значения: для стали и бронзы — = 545;
для дюралюминия — = 265.
С современной точки зрения объяснение Доннела является в конечном,
итоге правильным и может быть проиллюстрировано кривыми, показанными
на фиг. 728.
Для идеальной правильно изготовленной однородной цилиндрической
оболочки по данным анализа конечных перемещений между максимальным
перемещением аутах и напряжением а существует зависимость, показанная
на фиг. 728, а. Отрезок прямой О А соответствует устойчивой (в малом) форме
равновесия докритического состояния оболочки. По соседству с этой формой
равновесия существуют неустойчивые формы (кривая АВ) с деформирован-
1066
Устойчивость тонкостенных оболочек
ной поверхностью оболочки. Справа (ветвь ВС) расположены точки кривой,
характеризующие устойчивые формы равновесия. Вследствие близости кри-
вой АВ к прямой ОА оболочка* проявляет повышенную чувствительность
к случайным конечным возмущениям. Если оболочка имеет небольшие вмя-
тины или вообще геометрические дефекты, то на диаграмме а = f (дотах)
взамен прямой О А и кривой АВС имеют место кривые, показанные
на фиг. 728, а пунктиром. Для разной величины начальных отклонений
•от идеальной формы получаются различные кривые. Переход к качественно
новым формам равновесия и потеря несущей способности оболочки проис-
ходит при напряжениях а'кр, а" или а" , значительно меньших, чем
Окр1 =0,607^.
Таким образом, поведение цилиндрической оболочки при осевом сжатии
•оказывается существенно отличным от поведения, например, тонкой панели,
находящейся под действием внешнего давления (см. предыдущий параграф).
Зависимость давления р от прогиба для панели показана на фиг. 728, б.
Здесь кривая неустойчивых форм равновесия АВ заметно удалена’от ветви О А
и случайные отклонения в геометрии не снижают существенно величину
давления pKpi, при котором происходит хлопок.
Переход к качественно новым формам равновесия происходит при давле-
нии, мало отличающемся от верхнего критического.
Определению нижнего критического напряжения акр2 для сжатой в осе-
вом направлении цилиндрической оболочки было посвящено несколько работ.
Во всех этих работах использовался, как правило, энергетический метод.
Так, например, Карманом и Тзяном [18] для функции перемещений w
-было взято выражение
£ . £ тх пу . £ 2тх , £ 2ту	/ол.
О’ = /о + A cos -R- cos + ficos + /з cos —•	(84)
В последующих выкладках предполагалось /2 = fs и п = т, и варьиро-
вание производилось по параметрам fi и /2. В результате для акр2 было полу-
чено выражение (83) с постоянной величиной k = 0,195.
В дальнейшем Тзяном [23], [24] было указано также, что при испытании
дилиндрических оболочек на сжатие величина предельной силы зависит
ют упругости элементов испытательной машины и от того, производится ли
нагружение заданным смещением плиты, как это имеет место в гидравличес-
ком прессе, или прямым увеличением нагрузки, как это делается в маятни-
ковом прессе.
Михелсен [22 ] провел варьирование энергии также и по величинам п и т.
В итоге им было получено k = 0,194.
Кемпнер [20] варьировал энергию по пяти параметрам: Д, /2, /3, т и п,
что дало k = 0,182.
Таким образом, во всех перечисленных работах исследователи исходили
из выражения (84) и неизменно получали нижнее критическое напряжение
в форме (82) с постоянным коэффициентом k. Попытки применить другие
выражения функции w приводили, как правило, к завышенным значениям
лижнего критического напряжения. Исключение составляет работа
Кирсте [21 ], где форма упругой поверхности была представлена в виде
многогранника. Величина k оказалась равной 0,187.
Так или иначе, до сих пор теоретически не была подтверждена явно наблю-
даемая на опыте зависимость коэффициента k от величины В этом отно-
шении особого внимания заслуживает работа С. А. Алексеева, где наряду
ю интересными результатами содержится также многообещающая попытка
создать новые методы решения подобных задач.
Устойчивость цилиндрической оболочки при равномерном осевом сжатии 1067
С. А. Алексеев исходит из уравнений (64) и (65), которые решаются
методом последовательных приближений по схеме:
W2W\+1-	F (^п, Ф„);
(85)
V2V20>„+i + £ •	= - F (ГWn).
В качестве исходного приближения берется функция Фо докритического
состояния:
,,2
ф = __ JL_
2 *
Для перемещения IF0 в качестве исходной функции берем следующую:
WQ = 5 sin ах sin рг/,	(86)
где
2я о п
Для определения функций ITi и Ф1 согласно уравнениям (85) получается
следующая система:
V2V2F1--^^- = F(IT0)^0)4
V2V^i +	= - F (Fo, Fo)
ИЛИ
V2^/2^!-----= Хба2 sin ах sin
(87)
\72\72Фх + -р- •	= 52а2£2 (cos 2ax4-cos 2₽у),
где X — произвольно вводимый параметр.
Исключая из этцх уравнений имеем
Aw2
Фх =-----—Н atl sin ax sin $у + «го cos 2ax + я02 cos 2₽г/,
где постоянные au, и а02 определяются из следующих соотношений:
au [ . +.₽2)< + ^.] = 2^;
a20 [256a8 + ^-]= 16а«₽262;
a02-256g8 = 16а2рв£2.
Если ввести обозначения
, = ±; о_(1 + 1у + -1г; 6 = 8 + ^;	(83)
то получим
_ 2x6	_ 1262	_ 62
Оц — аа2р2 ; «20 — 2Ь » 0,02 — 16-х2 •
1068
Устойчивость тонкостенных оболочек
Далее из второго уравнения (87) определяем Wi".
Sjn ах sin $у — vj* ? 2 cos 2ах.	(89)
1	а	1и 8оа2р2	х 1
Для установления зависимости -между параметрами перемещений
и нагрузки С. А. Алексеев предложил метод, названный им методом ортого-
нализации. Если функция Й70 имеет вид
^о = ^о(х> У)>
то функцию n-го приближения следует представить в таком виде:
wn = у о (*> У) + fn (х, у),
где fn (ху) удовлетворяет всем граничным условиям как и/0 (ху). В дальней-
шем коэффициенты 5 отождествляются.
В рассматриваемом первом приближении согласно выражениям (86) и (89)
I =	.	(90)
Далее рассматриваем условие замкнутности оболочки. Выписываем выра-
жение (70) для первого приближения:
12(1—fi2) dv± д2Фг д2Фх (	\2	2№\
После подстановки Ф1 и IFi получаем
= у) + х(х),
гдеф(ху)—периодическая функция от х и у. При определении гд и интегриро-
вании по у она породит также функцию периодическую по у и удовлетворяю-
щую условию замкнутости оболочки. Что же касается функции х (х), то ПРИ
интегрировании по у она дает функцию у% (х), которая условиям замкну-
тости не удовлетворяет:
X (х) = |*Х —	— 4ааа20 +	) cos 2ах-
После подстановки величин аго и b находим, что выражение, стоящее
в скобках, обращается в ноль. Поэтому остается только одно условие:
=	-	(91)
Если ввести обозначение
то уравнение (90) после раскрытия величин аир может быть приведено
к виду
г>2 _ сп* (! + I2)2 | I2
° А	"Г" СП2 (1 + I2)2 '
СТ^ (1 I - *Y2)2
Дифференцируя по ——, получаем минимальное значение:
ЛЯ2 = 2.	(93)
Устойчивость цилиндрической оболочки при равномерном осевом сжатии 1069
Но осевое напряжение равно
= 1 . д2<?
а* ~ h ' ду2 *
Если сжимающее напряжение принять со знаком плюс, то
•	_ Р д2Ф!
°* h ду2
Среднее сжимающее напряжение
. Dk
х 1 h
Согласно выражениям (92) и (93) получаем
1	Eh	n Eh
.....- •	= 0,607	,
х Уз(1 —р.2) R	Я
т. e. приходим к выражению критического напряжения с позиций устой-
чивости в малом.
С. А. Алексеевым было проведено решение во втором приближении. Усло-
вие ортогональности в этом случае привело к выражению
, п* а+?*)*•. (1 + 72)2 ( 1 ,	_ Jil
4аЬ "г а \ 8 Ь ) 4b I ?
ап2
72(1+72)2
7Ч2
4а6п2с2
Условие замкнутости приняло вид
y.R2k _ |2	Г	(9 + 72)2	_ 91«	_ 9(ад2 ~|
4	"Т” b2f2 |_	2	8с2п*	2 У~2а J	'
п2
(1 + 9l2)2 1 2te । _L Г7Ч1 + 12)2 1 2
d I 2 I 16cn2e6 I
где
/-(S + lV + ei J'r;
d - (1 + 9,>)‘ + JL ;
г = 8(1+1Т + 2-£г.
При решении этих уравнений был применен численный метод. Подсчеты
были проведены Для ряда значений с и п. Во всех случаях минимум крити-
ческих нагрузок имел место при 1	1. В итоге было получено следующее
значение нижнего критического напряжения:
акр = 2,35 /А	(94)
Таким образом, величина k оказалась зависящей от отношения .
Выражение (94) очень хорошо согласуется с многочисленными экспери-
ментами, проведенными различными исследователями. На фиг. 729 экспери-
ментальные точки нанесены на плоскость k, и проведена кривая
1070
Устойчивость тонкостенных оболочек
&=2,35j/-jP. Как видим, расчетная кривая полностью ограничивает экспе-
риментальные точки снизу.
При ведении практических расчетов к рассматриваемому вопросу возмо-
жен двоякий подход.
С одной стороны, полученное выражение можно рассматривать как ниж-
нюю границу и именно от нее и назначать запас устойчивости оболочки
Однако в ряде случаев при массовом производстве конструкций можно учесть,
что действительная потеря несущей способности оболочки происходит при
напряжениях, превышающих нижнее критическое на величину, зависящую
от точности изготовления. Поэтому иногда путем статических испытаний ряда
оболочек вводят коррективы и для конкретных технологических условий
данного производства определяют величину напряжения, при котором про-
исходит потеря несущей способности. Величина найденного таким образом
предельного напряжения всегда несколько больше того, что дает фор-
мула (94). Запас устойчивости назначается при этом от предельного экспе-
риментально установленного значения напряжений.
Устойчивость сферической оболочки под действием внешнего давления 1071
В случае, когда сжатая в осевом направлении оболочка нагружена одно-
временно поперечным давлением, определение предельных нагрузок с пози-
ций устойчивости в большом становится затруднительным. Попытки дать
теоретическое решение задачи [3], [7] не привели к простым практически
удобным формулам.
Основываясь на данных экспериментов, приведенных, в частности,
в работе [3] (см. фиг. 730), для нижнего предельного состояния, по предло-
жению X. М. Муштари, можно дать простую линейную зависимость:
-£-+-^ = 1.
°кр Ркр
Фиг. 731.
Эта прямая, ограничивающая экспериментальные точки снизу, показана
на фиг. 730. Эта же формула применима в некоторых пределах и для случая
небольшого внутреннего давления; причем знак р в формуле меняется
на обратный.
§ 10. УСТОЙЧИВОСТЬ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ВНЕШНЕГО РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОГО ДАВЛЕНИЯ
Рассмотрим задачу об устойчивости замкнутой сферической оболочки,
нагруженной внешним давлением р (фиг. 731).
Сначала решим задачу об устойчивости в малом.
Опыт показывает, что по-
теря устойчивости такой обо-
лочки носит местный харак-
тер. При потере устойчиво-
сти оболочка получает мест-
ную вмятину (фиг. 731), раз-
вивающуюся по мере роста
давления.
Вследствие локальности
изгибных деформаций к ис-
следованию явления могут
быть применены выведенные
выше уравнения пологих
оболочек, хотя вся обо-
лочка в целом и не может рассматриваться как пологая.
Ограничимся рассмотрением симметричных форм равновесия оболочки.
Для этого обратимся к уравнениям осесимметричных пологих оболочек (19)
(том II, глава IV):
рф + ф__|_ =в(р+	:
(95)
рй + 4 —(р + а) + чр2.
Здесь все параметры отнесены не к радиусу а к радиусу сферы R
поэтому
EhR ’
^=12(1-|х2)-§-;
PR3 .
2D ’
V =
(96>
Г
~R '
.1072
Устойчивость тонкостенных оболочек
Примем, что
» = СЛ(ар),	(97)
где С и а — неопределенные постоянные;
Л (ар) — функция Бесселя первого рода индекса «один».
Эта функция обращается в ноль при р = 0 и при вещественном ар, стре-
мящемся к бесконечности. На фиг. 732 показан график изменения функции &
от р и кривая дуги вмятины:
р '
Фиг. 732.
Поскольку при решении используется аппарат теории пологих оболочек,
применимость которого ограничивается в данном случае величиной р =	,
необходимо, очевидно, предположить, что в принятой функции Л (ар) вели-
чина а должна быть достаточно большой, так чтобы функция Ji (ар) практи-
чески полностью затухала в тех пределах изменения р, в которых еще спра-
ведлива применимость уравнений (95). В дальнейшем это предположение
должно быть проверено.
Подставляем & по формуле (97) в первое уравнение (95). Удерживая пер-
вые степени параметра С (поскольку речь идет об устойчивости в малом),
получим
Р [-у(фр)'] =CpJ1(ap).
Так как
J/i(ap)dp =---l-J0 (ap) + const,
TO
(фр)’=—(ap)+2^p-
Далее
J ?Л> (aP) rfP = 4" (aP) + const>
поэтому
Ф = _2_с/1(ар) + Лр + -^.
Устойчивость сферической оболочки под действием внешнего давления 1073
Т г
При р = 0 функция ф = — Д°лжна обращаться в ноль, следова-
тельно, В = 0. При р оо, т. е. на достаточном удалении от центра вмя-
тины, функция ф должна принимать то значение, которое она имела в обо-
лочке до потери устойчивости:
у    pR .
1 loo—	2 '
, тгг pR
— EhR ~ 2Eh Р’
Согласно обозначениям (96)
f-=^p = 4-p-	<98>
Так как на бесконечности Л (ар) = 0, то Л =	.
Окончательно
Ф = - ^СЛ(ар) + Р-	(99)
Таким образом, функции Ф по формуле (97) и ф по формуле (99) удовле-
творяют граничным условиям и первому из уравнений (95). Подставим
теперь ф и О’ во второе уравнение:
ср{ -у	= — £ [—’-^-СЛ(аР) +р] (Р+ СЛ (<*')]+VP2-
Удерживая снова только первые степени параметра С, получим
Ср{4-[рЛ(ар)Г [‘ = -^СрЛ(ар) —vCpJj(ap).
Но
[рЛ(ар)]- = ар70(ар),
и тогда
- Ср{4" 1РА(«Р)]‘}’ = — Са2р7х(ар).
Таким образом, и второе уравнение удовлетворяется функциями 0 фор-
мулы (97) и ф формулы (99):
— С1 (а р) = рЛ (ар) — vCp(а р).
Теперь определяем а:
— о/ — —т —v;
а2 ’
а4 — >?а2 -j- & = 0;
«2=4-±/4-*-	(,00)
•^2
Коэффициент а, как видно, принимает вещественные значения при-^- > k.
Критическое состояние наступает при v = 2Уk.
68 Пономарев 508
1074
Устойчивость тонкостенных оболочек
Подставляя v и k по формулам (91), получим
PkpRTe^~^=2 4 v
п — Eh2 2	- Eh* 1452	ЛПП
Ркр~ R2 ‘ у3 (I— 2) “ ’ R*	U '
или же
акр1= 0,607-^-.	(102)
Такое же значение <зкр дает и решение \ полученное вне предположения
о локальном характере потери устойчивости.
В силу локальности прогибов выведенное выражение может быть приме-
нено для определения критических давлений не только замкнутой, но и любой
сферической оболочки, независимо от условий закрепления на контуре. При
этом важно только, чтобы поперечные размеры оболочки были достаточно
большими по сравнению с местной вмятиной и зона краевого эффекта не охва-
тывала зону вмятины (фиг. 733).
Функции Бесселя Jo (ар) и Jt (ар) являются знакопеременными затухаю-
щими функциями. Их амплитуды при больших значениях ар убывают как
1 / 2
У----•. Ограничиваясь точностью 5%, определим то значение ар, при кото-
ром функции Jo (ар) и «71 (ар) будут иметь величину порядка 5% по сравне-
нию с наибольшим значением JQ (0) = 1:
«Р =	= я.оо52 ~ 255 •
Но согласно выражению (100) критическое значение а равно -^-или)/А:
“ = 1-4^12(1-^);
тогда
Ширина зоны краевого эффекта при той же степени пренебрежения
(см. том II, главу III)
s = 2,3 VRh.
Следовательно, для того чтобы результаты, полученные для замкнутой
оболочки, можно было перенести на оболочку незамкнутую, ее размеры
должны быть такими, чтобы в нее можно было вписать круг радиуса
Гк = Г + s = 17h + 2,3 VRh.
Этот подход может быть, по-видимому, сохранен и для оболочки с любым
очертанием внешнего контура.
Задача об устойчивости сферической оболочки под внешним давлением
(как и рассмотренная в предыдущем параграфе задача об устойчивости сжа-
той цилиндрической оболочки) имеет ту особенность, что в ней резко прояв-
ляются свойства нелинейности и нижнее критическое давление лежит сущест-
венно ниже верхнего, определяемого формулой (101).
1 Эта задача решена Цолли [25] и почти одновременно с ним Л. С. Лейбензоном [6].
Устойчивость сферической оболочки под действием внешнего давления 1075
Многочисленные опыты, поставленные различными исследователями,
показывают, что потеря несущей способности оболочкой происходит при
г	Eh	Eh *
сжимающих напряжениях <зкр, лежащих в пределах от 0,09 до 0,3	.
Вопрос о том, где находится нижняя граница устойчивости, т. е. какова вели-
чина того напряжения акр2, после которого возможно существование новых
форм равновесия, рассматривался в ряде работ.
Впервые эта задача была поставлена Карманом и Тзяном [19]. При реше-
нии авторами, однако, были допущены ошибки, отмеченные в работе Фрид-
рихса [17], который по исправлении
этих ошибок получил значение
акр2 = 0,136^.
------*
5 - зона краебого эффекта
г - зона вмятины
Фиг. 733.
Однако и в этой работе имеются неувязки, на что было указано X. М. Муш-
тари и Р. Г. Суркиным [8].
X. М. Муштари и Р. Г. Суркин [8 ] определяли нижнее критическое напря-
жение энергетическим методом, задаваясь несколькими функциями для
формы местного влияния. Ими установлено, что из рассматривавшихся
функций наименьшее значение для <экр2 дает следующая
w — Се~пр (1—0,7по),
где п и С — произвольные параметры.
Значение <sKp2 оказалось при этом равным
~ 0,17 R •
Тем же энергетическим методом А. С. Вольмир [3] нашел
акр2 = 0,155-^.
Все эти значения акръ, полученные теоретическим путем, являются,
очевидно, завышенными, поскольку по своей физической сущности они
должны лежать ниже наименьших наблюдаемых на опыте значений а’кр .
Уже давно высказывалось предположение, что для сферической
оболочки является величиной отрицательной, т. е. для сферической обо-
лочки возможно существование форм равновесия с местной вмятиной при
отсутствии давления. При этом зависимость между напряжением и проги-
бом в центре вмятины должна иметь вид кривой, показанной на фиг. 734,
* См., например, работу [3].
68*
1076
Устойчивость тонкостенных оболочек
Потеря оболочкой несущей способности происходит при большем или мень-
шем напряжении а' , зависящем от величины и формы конкретных геометри-
ческих отклонений оболочки от предполагаемой сферы. Высказанное предпо-
ложение представляется весьма правдоподобным, поскольку существование
упругой вмятины при нулевом и даже небольшом внутреннем давлении
h
можно наблюдать и на опыте, причем чем меньше величина-5-, тем меньше
А
поперечные размеры вмятйны. Вместе с тем нужно указать, что эта вмятина
является несимметричной и имеет трехкратную (и более) периодичность
по кругу.
Этот вопрос до сих пор, однако, еще не получил окончательного решения
(см. [9] и [13]).
При ведении практических расчетов в рассматриваемой задаче следует,
очевидно, исходить из величины предельного напряжения, полученного
экспериментально. На основе опыта обычно считают
(0,1 ч- 0,12))^ ,
и от этой величины назначают запас устойчивости сферической оболочки.
ЛИТЕРАТУРА
2..А лф у то в Н. И. иСоколов В. Ф., Об определении критического давления
упругой цилиндрической оболочки и о поведении оболочки после потери устойчивости. Сборник
трудов кафедры „Сопротивление материалов* МВТУ, вып. 89, Машгиз, 1958.
3. В о л ь м и р А. С., Гибкие пластинки и оболочки, Гостехиздат, 1956.
4. Исанбаева Ф. С., Определение нижней критической нагрузки при всесторон-
нем сжатии, «Известия Казанского филиала АН СССР», вып. 7, 1955.
6.	Л е й б е н з о н Л. С.. О приложении метода гармонических функций Томсона
-к вопросу устойчивости сжатию сферической и цилиндрической упругих оболочек, Юрьев,
1917.
7.	Муштари Х.М. иГалимов К. 3., Нелинейная теория упругих оболочек,
‘Таткнигоиздат, 1957.
8.	Муштари Х.М. иСуркинР. Г., О нелинейной теории устойчивости упру-
гого равновесия тонкой сферической оболочки под действием равномерно распределенного
^нормального внешнего давления, «Прикладная математика и механика», т. XIV, вып. 6,
1950.
9.	Муштари Х.М., К теории устойчивости сферической оболочки под действием
жнешнего давления (в связи со статьей В. И. Феодосьева), «Прикладная математика и механика»,
т. XIX, вып. 2, 1955.
10.	О л л и к К. К., Устойчивость упругой круговой цилиндрической оболочки при боль-
ших внешних боковых давлениях, «Труды Таллинского политехнического института», № 65,
1955.
11.	Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов, произведений, Гостёхтеорет-
издат, 1948.
12.	Т и м о ш е н к о С. П., Устойчивость упругих систем, Гостехиздат, 1955.
13.	Ф е одосьев В. И., Об устойчивости сферической оболочки, находящейся под
действием внешнего равномерно распределенного давления, «Прикладная математика и меха-
ника», т. XVIII, вып. 1, 1954.
14.	Д о и и е 1 L. Н.» «Nat. Advisory Comm. Aeronautics Rept»., 1933, p. 479.
15.	D о n n e 1 L. H., A new theory of the buckling of thin cylinders under axial compres-
sion and bending, «Trans. ASME», 56, № 11, (1934), 795—806.
16.	Don nel L. H, W a n С. C., Effect of imperfection on buckling of thin cylinders,
<J. Appl. Meeh»., March 1950, 75—83.
17.	F r i e d r i c h s К. O., On the minimum buckling load for spherical shells, «Appl,
.Meeh», The Karman anniv. Vol., 1941, 258—272.
18.	Karman Th. and T s i e n H. S., The buckling of thin cylindrical shells under axial
compression, J. of the Aer. Sci.», 8, № 8 (1941).
19.	Karman Th. and T s i e n H. S., The buckling spherical shells by external pressure,
eJ. of the Aer. Sci.». Vol. 7, 1939.
Литература
1077
20.	Kempner J., Postbuckling behaviour of axially compressed circular cylindrical
shells, «J. of the Aer. Sci.», 21, № 5 (1954).
21.	Kirs te L. Abwickelbare verformung diinnwandiger Kreiszylinder, «Osterr. Ing.
Archiv», B. 8, № 2—3, 1954.
22.	M i c h e 1 s e n H.. The behaviour of thin cylinders shells after buckling under axial
compression. «J. of the Aer Sci.», v. 15, № 12, 1948.
23.	T s i e n H. S., Buckling of a column with nonlinear supports. «J. Aer. Sci», 9, № 4, 1942..
24.	T s i e n H. S., Lower buckling load in the nonlinear buckling theory for thin shells,
«Quart, of Appl. Math.», v. 5, № 2, 1947.
25,	Z о e 1 1 у R., Dissertation, Zurich 1915.
ПРИЛОЖЕНИЕ
СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКИМ КОЭФФИЦИЕНТАМ
КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ, ВОЗНИКАЮЩИХ В СВЯЗИ
С ОСОБЕННОСТЯМИ ФОРМЫ ДЕТАЛЕЙ
ВВЕДЕНИЕ
Современная техника требует максимального снижения веса конструкций.
, Возможность удовлетворения этого требования тесно связана с пониманием действитель-
ного распределения внутренних сил, возникающих в деталях машин в эксплуатационных
условиях.
В прикладной теории упругости (сопротивлении материалов) выясняются законы распре-
деления внутренних сил в телах правильной формы (брус, пластина, оболочка).
Точное определение напряжений даже при простых нагрузках в деталях сложного очерта-
ния представляет весьма трудную задачу, которая решается экспериментально, путем моде-
лирования (см. том II, главу IV); однако для ряда случаев методами теории упругости решены
задачи о действительном распределении внутренних сил в телах сложной формы.
Установлено, что значительное отклонение действительных напряжений от подсчитанных
элементарными методами прикладной теории упругости в значительной степени обусловлено
особенностями формы тел.
Резкие изменения формы деталей, вызывающие всплески в распределении внутренних
сил. называются геометрическими концентраторами напряжений.
В главе XI § 6 настоящего тома подробно рассмотрен вопрос об особенностях местных напря-
жений и даны определения величин, характеризующих распределение внутренних сил в окрест-
ности концентратора.
' К числу этих величин в первую очередь относятся теоретический коэффициент концентра-
ции напряжений k и градиент изменения напряжений.
Наличие концентраторов напряжений должно приниматься во внимание при расчете дета-
лей машин; однако не следует думать, что коэффициент запаса детали с концентратором
в k раз меньше, чем той же детали без концентратора.
Вопрос о величине предельной нагрузки детали с концентратором весьма сложен. Этот
вопрос не может быть разрешен в отрыве от ряда факторов и в первую очередь от строения
материала детали (способности его к пластическому деформированию), закона изменения напря-
жений во времени и т. п. Подробно об этом см. главу XI настоящей книги.
Напомним определения величин, характеризующих местные напряжения, и рассмотрим
некоторые особенности их распределения.
Номинальным называется напряжение, вычисленное или в предположении отсутствия кон-
центратора, или без учета влияния возмущения поля внутренних сил, вызванных концентра-
тором.
В первом случае номинальные напряжения обозначаются буквами а или т, во втором
и
Теоретическим коэффициентом концентрации напряжений называется отношение наи-
большего местного напряжения к номинальному напряжению, подсчитанному по обычным
расчетным формулам сопротивления материалов.
ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ МЕСТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Местные напряжения локальны: достигая большой величины в непосредственной близости
от концентратора, они очень быстро уменьшаются по мере удаления от него.
Градиент изменения напряжений в районе концентратора во много раз превышает градиент
изменения напряжений в сечениях, удаленных от зоны местных напряжений.
Напряженное состояние в окрестности концентратора, как правило, сложнее напряжен-
ного состояния материала, удаленного от концентратора.
Чем выше наибольшее напряжение около концентратора, тем резче затухает пик напря-
жений при удалении от очага местных напряжений. Особенно резко уменьшаются напряжения
в том случае, когда в районе концентратора возникает трехосное напряженное состояние.
Подчеркнем еще одну существенную особенность местных напряжений: их величина
в основном зависит от геометрии концентратора (например, от радиуса закругления входящего
угла выточки или галтели) и лишь в малой степени от формы и генеральных размеров детали;
с другой стороны, напряженное состояние основной массы материала детали не зависит от осо-
бенностей концентратора (например, от радиуса закругления входящего угла выточки).
Приложение
1079
Наличие в непосредственной близости от концентратора еще одного концентратора может
оказать существенное влияние на характер распределения местных напряжений. Поэтому
конструкторы располагают около концентратора разгружающие канавки, пазы и выточки
(см. § 13 главы IX настоящего тома).
При выборе профиля выточек, вырезов, пазов и т. п.
следует учитывать законы затухания местных напряжений.
Как было указано, решающее значение имеет геометрия
только той части концентратора, около которой возникают
наибольшие напряжения. Незначительное влияние на рас-
пределение напряжений оказывают выходящие углы. Так,
например, наибольшие напряжения в случае, представленном
на фиг. 1*, а, почти не отличаются от напряжений в рлучае,
представленном на фиг. 1*, б.
фиг. 1*, б.
НАИБОЛЕЕ
ТИПИЧНЫЕ КОНЦЕНТРАТОРЫ
Фиг. 1*. Пример, иллюстри-
рующий незначительное
влияние геометрии выходя-
щих углов на прочность де-
тали: а — выходящие углы
скруглены радиусом Т?2‘,
б — нескругленные выходя-
щие углы.
И ИХ ПОДРАЗДЕЛЕНИЕ
К числу наиболее часто встречающихся концентраторов
в первую очередь следует отнести отверстия, вырезы, выточки
и выступы, а также резкие изменения сечений деталей.
На фиг. 2* представлены типичные геометрические кон-
центраторы напряжений Концентраторы могут быть разде-
лены на группы по основным характеризующим их приз-
накам.
В зависимости от формы и размеров концентраторы (например, вырезы и выточки) можно
разделить на: 1) мелкие и глубокие (фиг. 2*, / и //); 2) внешние и внутренние (фиг. 2*, III и./V);
3) единичные и многократные (фиг. 2*, III и V); 4) скругленные и острые (фиг. 2*, Z и VI).
fa>25t3at46t56t6a
1а, 26, За, Ча, 5а, 66
Фиг. 2*. Примеры классификации типичных концентраторов напряжений
1 а — мелкий б — глубокий	2 а — внешний б — внутренний	3 а — единичный б — многократный
4а — скругленный б — острый	5 а — плоский б — объемный	5 а — осесимметричный б — симметричный в — несимметричный
В зависимости от вида напряженного состояния, возникающего около концентраторов,
будем различать: 1) плоские концентраторы, когда напряженное состояние в районе концентра-
тора двухосное (фиг. 2*, /, II). и 2) объемные концентраторы, когда возникающее напряжен-
ное состояние трехосное (фиг. 2*, ///, V).
В зависимости от симметрии поля внутренних сил концентраторы можно разделить на:
3) осесимметричные, например, кольцевые выточки на круглом брусе при растяжении (см.
1080
Приложение
фиг. 2*, III, V); 2) симметричные относительно осевой плоскости (фиг. 2*, VI, VII); 3) несим
метричные относительно осевой плоскости (фиг. 2*, /, II).
Кроме того, встречаются и другие концентраторы, имеющие сложную форму, например,
концентраторы, изображенные на фиг. 2*, VIII и IX. Эти концентраторы не могут быть отне’
сены к перечисленным выше и должны рассматриваться особо.
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ОКОЛО ВЫРЕЗОВ И ВЫТОЧЕК ЛЮБОЙ ГЛУБИНЫ
Напряженное состояние растянутой пластины при отсутствии концентратора является
одноосным однородным. Наличие мелкого выреза М (фиг. 3*) вызывает возмущение поля внут-
ренних сил в окрестности концентратора. Коэффициент концентрации в этом случае зависит
от глубины выреза t и радиуса кривизны в глубине выреза г. Ширина пластины 2В и размер 2Ь
не оказывают существенного влияния на ве-
личину коэффициента концентрации. Сказан-
ное является справедливым в том случае,
если размер t значительно меньше ширины 2d.
Предельное значение, к которому стремится
коэффициент концентрации при безграничном
увеличении размера 26, представляет собой
коэффициент концентрации для мелкой вы-
точки kM.
Зависимость коэффициента kM от пара-
I I I I I I I
Фиг. 3*. Связь между коэффициентом кон-
центрации k и коэффициентами концентрации
при глубоком ks и мелком kM вырезах [12].
метра — представлена графиком, располо-
женным в правой части фиг. 3*.
Если на пластине имеются глубокие вы-
резы Г, коэффициент концентрации зависит
в основном от ширины пластины в узкой
части 2Ъ и от радиуса г. Предельное значе-
ние, к которому стремится коэффициент кон-
центрации, в этом случае при беспредельном
увеличении ширины пластины 2В обозна-
чим k2. Зависимость коэффициента k2 от
отношения ~ представлена кривой, изобра-
женной слева.
Теория упругости позволяет вычислить
оба предельных коэффициента либо точно,
либо с достаточным приближением. Чтобы
по предельным значениям коэффициентов ks
и kM определить значения коэффициентов
концентрации для вырезов произвольной глу-
бины, следует [12] воспользоваться зависи-
мостью
(fc-1)2	(^-1)2	’
(1)
Поскольку при ——>0 коэффициент k3-> 1, а при — -» 0 коэффициент	то, как
следует из выражения (1), lim k = kM и lim k — ks.
k^i	kM> 1
Уравнение (1) представлено на фиг. 3* кривой k, сливающейся слева и справа с кривыми
и kM соответственно.
При вычислении коэффициента концентраций для вырезов произвольной глубины необхо-
димо в основу расчета положить то же самое номинальное напряжение, что и при глубоком
вырезе. В частности, и для мелкого выреза номинальное напряжение рассчитывается по наимень-
шему (опасному) сечению.
Приведенный ниже справочный материал по теоретическим коэффициентам концентрации
расположен в трех разделах.
Раздел I посвящен данным, характеризующим напряженное состояние пластины и бруса
при растяжении (сжатии). В этом разделе рассмотрены также случаи возникновения местных
напряжений в пластине с отверстием при двухосном напряженном состоянии.
В разделе II приведены данные, позволяющие вести расчеты при изгибе.
Раздел III содержит сведения о местных напряжениях, возникающих при кручении.
В конце приложения приведен список литературы.
Приложение
1081
Фиг. 4*. Пластина с круглым отверстием
при двухосном напряженном состоянии.
I. РАСТЯЖЕНИЕ
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ОКОЛО ОТВЕРСТИЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ
Наличие в напряженной пластине отверстия является причиной возникновения мест-
ных напряжений'
При одноосном напряженном состоянии резкая концентрация возникает в окрестности
точек, в которых касательная к контуру параллельна направлению главных нормальных
напряжений.
В случае, если в пластине имеются отверстия прямоугольной, квадратной и треугольной
формы, резкая концентрация возникает также и около углов.
Величина наибольших напря-
жений в основном зависит от ра-
диуса закругления входящих углов
отверстия и от ориентации углов
по отношению к направлению
главных напряжений.
Следует помнить, что напряже-
ния в угловой точке могут быть
меньше, чем в точках, находящихся
в непосредственной близости от
угла. Следовательно, данные, при-
веденные в справочной литературе
и относящиеся к величине местных
напряжений, возникающих в угло-
вых точках, часто не отражают
в полной мере величины наиболь-
шего напряжения около концен-
тратора.
§ 1. Общий случай двухосного
напряженного состояния пластины
с круглым отверстием (фиг. 4*)
Для этого случая нагружения
теория упругости дает аналитиче-
ское решение (задача рассмотрена в работах [29] и [49]). Полученное в указанных работах
решение справедливо для пластин очень большой ширины (теоретически — бесконечной
ширины) по сравнению с диаметром отверстия. Практически это решение может применяться
для пластин при В > 4d (ошибка получается в сторону преувеличения наибольшего
напряжения).
В табл. I приведены результаты, полученные для основных случаев нагружения.
Таблица I
Напряжения в пластине с круглым отверстием при двухосном напряженном состоянии
Случай нагружения		Точка А		Точка В	
I	+°1‘>	+ °2	Of — 3©! — а2	_	_ 3<Ji — a2 Tmax —	2	Gt — 3a2 — Cj	_		3a2 — aT Tmax	2
II	4-®1! —<»2	Cf — Заг + a2		 3^1 ~b g2 umax	2	Gt~ —3a2—a*		 3a2 4~ gi Tmax —	2
III	+ gl = + g2=g	Gt = 2a	Tmax= °	Gt — 2a	Tmax ~ g
IV	-1-а1= — а2 = | а |	Gt = 4a	Tmax — 2©	Gt = — 4a	Tmax — 2a
V	+	а2 = 0	= 3a	3 Tmax — 2 °	Gt — — a	__ a Tmax — ~2~
Особенно интересен с точки зрения практической значимости случай V. Этот случай ниже
будет разобран подробно. Напряженное состояние пластины в случае IV представляет собой
так называемый «чистый сдвиг». Аналогичное напряженное состояние получается, например.
1082
Приложение
при кручении круглого полого цилиндра с тонкими стенками (см. раздел III, § 1). В этом слу-
чае k = 2 (коэффициент концентрации наибольших тангенциальных напряжений).
Необходимо указать, что опыты дают для пластин конечных размеров, выполненных
из реальных материалов, значения k несколько ниже теоретических. Чем однороднее материал
и больше размер В, тем ближе результаты испытаний к теоретическим.
При значении В < 4d концентрация напряжений снижается. Так, например, при В = 2d
выкладки [28] дают в случае V значение k = 2,15 вместо k = 3.
По опытным данным [4] при В = 1,04/2 коэффициент k & 2.
Район концентрации местных напряжений невелик, так например, на расстоянии от края
отверстия в случае V (точка С) коэффициент k = 1,22 (фиг. 4*), тогда как в точке А коэффи-
циент k = 3 (при очень широкой пластине) (см. табл. I).
§ 2. Растяжение в одном направлении пластины с круглым отверстием (фиг. 5*)
Рассмотрим более подробно этот случай, так как, с одной стороны, он весьма типичен,
а с другой, — весьма хорошо изучен' как теоретически, так и опытным путем.
По теоретическим данным [29], для пластины безграничной ширины нормальные напря-
жения изменяются по оси у согласно следующему закону (фиг. 4* и 5*, при а2 — 0)
1	. 3	d*\
2 ai(2+ 4z/2 + 16 ' у* J '
Фиг. 5*. Пластина с круглым отверстием
при одноосном напряженном состоянии.
Фиг. 6*. Значения коэффициента концен-
трации для пластины конечной ширины
с отверстием при растяжении.
Ниже приведены значения коэффициента концентрации в точках опасного сечения пла-
тины с отверстием при одноосном растяжении (см. фиг. 5*):
d	1,0	2,0	3,0	10
k	3,00	1,22	1,07	1,01
Приведенные данные подтверждают правильность сделанного выше замечания о быстром
уменьшении местных напряжений по мере удаления от очага концентрации.
Эпюры напряжений и подробный анализ напряженного состояния пластины приведены
в § 6 главы XI настоящего тома.
Наибольшее напряжение сжатия имеет место на оси х в точках В (см. фиг. 5* и случай V
в разделе 1, § 1), где at= — gj. Чем меньше ширина В по сравнению с d, тем менее равно-
мерно распределяются напряжения по сечению AD (фиг. 5* и 6*). При В = 2d, согласно тео-
ретическим данным [28], ар= 0,375а. При-В, близком к d, в точке D напряжение почти
равно нулю, а атги = 2а (с достаточной степенью точности можно считать в этом случае, что
эпюра распределения по оси у прямолинейная).
В направлении AD возникают также напряжения растяжения аг, равные нулю в точках А
a D. Напряжения эти незначительны по величине и редко достигают значения 0,5а.
Приложение
1083
На фиг. 6* приведены значения коэффициента k в зависимости от отношения Случай,
D
d Л	Л
когда близко к 1, следует рассматривать как предельный.
§ 3.	Растяжение широкой пластины с круглым отверстием, расположенным
недалеко от края (фиг. 7*)
В этом случае [18] наибольшая концентрация напряжений возникает в точке /. При b > 4г
можно с достаточной точностью считать отверстие удаленным от края и случай сводится к разоб-
ранному в разделе I, § 2. При малых значениях b в точке 111 могут возникать напряжения сжа-
тия (отрицательные значения k). На фиг. 7* даны зависимости напряжений в сечении пип
b
от отношения -у- .
§ 4.	Пластина с двумя круглыми отверстиями при растяжении (фиг. 8*)
В случае, если широкая пластина (фиг. 8*) имеет ряд отверстий, далеко отстоящих от краев
пластины (Ь > 3d) и друг от друга (X >3), можно считать (погрешность при этом не превы-
шает 6%), что закон распределения напряжений, полученный для безграничной пластины
с одним отверстием, будет справедливым и для пластины с несколькими отверстиями.
Приведенные в табл. II данные характеризуют влияние взаимного расположения двух
отверстий на напряженное состояние -пластины.
Таблица 11
Напряжения в пластине с двумя отверстиями при растяжении.
Значения—; —; — (фиг. 8*)
’ а2 а
Л	СГ1 0 а2 = 0	а2 0 □ 1 — 0		at = а2 = а	
	В	D	А	D	А
1,0	2,57	ОО	3,87	ОО	2,89
1,5	2,62	3,26	3,15	2,89	2,56
2,0	2,70	3,02	3,07	2,41	2,16
3,0	2,83	2,99	3,02	2,16	2,08
5,0	2,93	3,00	3,00	2,05	2,03
8,0	2,97	3,00	3,00	2,02	2,01
оо	3,00	3,00	3,00	2,00	2,00
Представляют интерес случаи (фиг. 9*), когда отверстия соприкасаются или даже накла-
дываются друг на друга. На графике (фиг. 9*) приведены значения напряжений в характерных
точках в зависимости от взаимного расположения отверстий. Следует иметь в виду, что напря-
жения величина которых дана на фиг. 9*, не всегда являются наибольшими. Так, например,
в точке В при Л < 0 теоретически = оо. В реальной пластине в острых входящих углах
возникнут пластические деформации или, если материал весьма хрупок, трещины.
§ 5.	Пластина с бесконечным рядом круглых отверстий при растяжении (фиг. 10*)
В случае, если отверстия расположены в один ряд вдоль направления растягивающей силы,
наибольшие напряжения возникают в точках А. Коэффициенты концентрации приведены
в первой части табл. III (а2 = 0; 0 = 90°). Там же даны значения отношения напряжений
ai
в различных точках контура отверстия.
Когда отверстия близки друг к другу > 0,1^, становится заметным разгружаю-
щее действие двух смежных концентраторов.
В случае, если ряд отверстий расположен поперек действующих усилий (ai = 0), наиболь-
шие напряжения возникают в точках В.
1084
Приложение
Фиг. 7*. Пластина, растянутая в одном направлении
с цилиндрическим отверстием у края.
Фиг. 9*. Пластина с двумя отверстиями при растяжении [4], [15]:
1 — значения --- в точках А при at = а2 = ст; 2 — значения --- в точках В
при =f= 0; а2 = 0; 3—значения —— в точках А при а2 ф 0;	= 0.
Приложение
1085
В табл. III приводятся также значения отношений —— в точках по контуру отверстия
02
О’	X Т“Г
« значения отношения в зависимости от -у- . Последние данные характеризуют нормаль-
ные напряжения в опасном сечении тт (фиг. 10*).
Фиг. 10*. Пластина с бесконечным рядом круглых отверстий
при растяжении [15].
Таблица III
Напряжения в пластине с бесконечным рядом круглых отверстий
при растяжении (к фиг. 10*)
Значения	в точках по контуру. а2 в 0.									
е°		4-«			4 = 0,15			4=°’25	
0 15 30 45 60 75 90		—1,00 —0,73 0,00 • +1,00 +2,00 +2,73 +3,00			—0,74 —0,54 +0,05 +0.86 +1,69 +2.31 +2,54			—0,39 —0,30 +0,02 +0.62 +1,33 +1,92 +2,16	
Значения —~ в точках по контуру. = 0. а2									
0°		4=°				4=°-25			
0 15 . 30 45 60 75 90		+3,00 +2,73 +2,00 + 1,00 0,00 —0,73 —1,00				+3,24 +3,03 +2,41 +1,46 +0,44 —0,33 —0,61			
!	a	d Значения 	в точках по сечению тт. а< == 0;	— 0,25 ®2	21									
X	0,25		0,30	0,35		0,40	0,45		0,50
, о "о?	3,24		2,36	1,94		1,74	1,64		1,61
1086
Приложение
§ 6.	Эллиптическое отверстие в пластине при растяжении (фиг. 11*, 12* и 13*)
Теория упругости дает решение для случая распределения местных напряжений в очень
широкой пластине с произвольно ориентированным эллиптическим отверстием.
Если отверстие расположено так, как это показано на фиг. 11 *, то наибольшие напряжения
возникают в точках А (на сторонах оси. перпендикулярной к направлению действующей силы).
Коэффициент концентрации может быть вычислен по формуле
‘“1+2/^-1+24>
где b — длина оси, перпендикулярной к направлению действующей силы;
а — длина оси, параллельной направлению растяжения;
г =	---радиус кривизны в точке А (фиг. 11*).
В точках В на концах оси, параллельной действующей силе, возникают напряжения сжа-
тия, численно равные основному напряжению о. Это решение будет справедливым для пЛастин
при В > 4Ь (ошибка получается в сторону преувеличения k).
На фиг. 12* представлена пластина с эллиптическим отверстием; ширина пластины и раз-
мер b соизмеримы (глубокий концентратор). Как указано на фиг. 12*, напряжение в точке А
может быть подсчитано путем умножения номинального напряжения ан на коэффициент кон-
центрации, который может быть приближенно подсчитан [12] по формуле
k == ki 4- 0,8Z?2>
где коэффициенты ki и k2 определяются соответственно по фиг. 27* и 46* в зависимости от вели-
t
чины -----.
г
На фиг. 13* представлены данные, позволяющие рассчитывать пластину с малым овальным
отверстием (мелкий концентратор).
В случае, изображенном на фиг. 14*э / (чистый сдвиг)
'	c<naX=''(i+4')>
Наибольшие напряжения возникают на концах большой оси эллипса в площадках, накло-
ненных под углом 45° к оси х. Наибольшие нормальные напряжения в точках А направлены
параллельно оси х и равны численно 2х.
Приложение
1087
1088
Приложение
Если оси эллипса ориентированы под углом 45° к направлению главных нормальных напря-
жений (фиг. 14*,//), то на концах осей эллипса напряжения становятся равными нулю. Наи-
большие тангенциальные напряжения возникают в точках А в площадках, наклоненных под
углом 45° к касательным к эллипсу, проведенным в точках А. Положение точек А определяется
углом TQ, отсчитываемым от большой оси эллипса,
х о
Построение, при помощи которого определяется положение точек Л, показано на фиг. 14*.
Наибольшие нормальные напряжения в точках А направлены по касательным к эллипсу
в этих точках. Они равны 2ттах. Напряжение ттах определяется по формуле
_J_ (a+W
тах~ 2 ab
В случае, если а = Ь, эллиптическое отверстие обращается в круглое (см. раздел I, § 1).
Фиг. 15*. Приведение отвер-
стия со скругленными краями
к эллиптическому отверстию.
§ 7.	Приведение к эллипсу отверстия, изображенного
на фиг. 15*
В случае, если отверстие имеет форму, изображенную
на фиг. 15*, то можно для определения концентрации напря-
жений в точках А с достаточной степенью точности заменять
его эллиптическим отверстием одинаковой ширины с одина-
ковым радиусом кривизны в точке А, В этом случае размер
второй полуоси	___
а = V2br.
§ 8.	Концентрация напряжений около прямоугольного отверстия со скругленными
углами при растяжении (фиг. 16*)
Наибольшие напряжения возникают около углов В. Как следует из графика, напряжения
в середине стороны, параллельной направлению растяжения, значительно меньше напряжений
в углах.
Фиг. 16*. Пластина с прямоугольным отверстием
при растяжении [15].
бв~квб
Наибольшие напряжения в основном зависят от величины радиуса закругления г.
Следует иметь в виду, что напряжение в угловой точке контура может быть меньше, чем
в точках, находящихся в окрестности угла. Данные, приведенные на графике фиг. 16* (пунктир-
ная кривая), должны рассматриваться лишь как ориентировочные, не отражающие в полной
мере величины наибольших напряжений.
Приложение
1089
На фиг. 17* приведены значения коэффициента концентрации для определения наиболь-
ших напряжений, возникающих в пластине с квадратным отверстием (углы отверстия скруг-
лены).
Фиг. 17*. Пластина с квадратным отверстием при растяжении [15].
В табл. IV приведены значения отношения напряжений at на контуре отверстия к номи-
нальному напряжению о.
Таблица IV
Напряжения на контуре квадратного отверстия
со скругленными краями при растяжении.
Значения (к фиг. 17 *)
В случае, если отверстие расположе-
но так, как это показано на фиг. 18*,
наибольшие напряжения возникают
в угловых точках 4. Величина напряже-
ний а^, возникающих в точках по контуру,
может быть получена по данным табл. V.
0°	V = 0,0600	V » 0,0245	v =0,0140
0	—0,81	—0,94	—0,87
35	—0,27	—0,54	-/0,0
40	+0,98	+0,61	+0,26
45	+3,00	+4,37	+5,76
50	+3,86	+4,46	+4,23
55	+3,37	+.2,89	—1-2.2
90	+1,47	+1,76	+1,62
Таблица V
Напряжения на контуре квадратного отверстия
со скругленными краями. Значения
(кфиг. 18 *)
0°	v = 0,0600	v = 0,0245
0	0,33	0,41 •
35	3,88	6,56
40	6,22	9,67
45	7,80	11,5
Фиг. 18* . Пластина с квадратным
отверстием при растяжении [15].
§ 9.	Концентрация напряжений около треугольного отверстия со скругленными краями
при растяжении (фиг. 19*)
На фиг. 19* и в табл. VI приведены значения напряжений возникающих в точках около
контура треугольного отверстия.
69 Пономарев 5 08
1090
Приложение
Как следует из рассмотрения данных, приведенных в табл. VI, расположение отверстия
в случае а более опасно, чем в случае б (см. фиг. 19*). Наибольшее напряжение в сильной сте-
пени зависит от величины радиуса закругления угла А.
Фиг. 19*. Пластина с треугольным отверстием
при растяжении [15].
Таблииа VI
Напряжения на контуре отверстия треугольной формы
е°	at а	е°	at а	0°		0°	at
к фиг. 19, а		к фиг. 19, б		к фиг. 19, а		к фиг. 19, б	
0	+11,о	0	—1,00	115	—1,12	115	+8,41
10	+3,88	10	—0,04	120	+2,00	120	+8,00
30	+0,28	15	+0,22	125	+4,12	125	+3,06
90	—1,00	30	+0,49	135	+3,00	135	—0,67
100	—1,82	90	+1,77	180	+ 1,40	180	—1,00
§ 10.	Растяжение бруса с отверстием, ось которого перпендикулярна оси бруса
(фиг. 20*)
На фиг. 20* приведены коэффициенты концентрации для вычисления наибольших напря-
жений в брусе с отверстием. Для сопоставления приведены значения коэффициентов концентра-
ции напряжений в пластине конечной ширины с отверстием (кривая в). Кривая в построена
на основе зависимости, иллюстрированной графиком на фиг. 7*.
§ 11.	Растяжение тонкостенной трубки с рядом радиальных отверстий (фиг. 21*)
Для вычисления наибольших напряжений можно использовать данные по расчету растя-
нутой полосы с рядом отверстий, расположенных по оси, перпендикулярной к направлению
усилия (фиг. 10*, при ai = 0).
§ 12.	Тонкостенная трубка с радиальным отверстием, материал которой находится
в двухосном напряженном состоянии (фиг. 22*, а)
Такого рода напряженное состояние может возникнуть, например, если на трубку дейст-
вуют растягивающая сила и скручивающий момент.
Приложение
1091
Фиг. 20*. Брус круглого и квадратного сечения с отверстием при растяжении [17].
с JV
Фиг. 21*. Тонкостенная
трубка с радиальными
отверстиями при растяже-
нии.
Фиг. 23*. Пластина
с круглым отверстием,
усиленная втулкой, при
растяжении [17].
Фиг. 22*. Тонкостенная трубка с радиальным
отверстием, материал которой находится в двух-
осном напряженном состоянии.
69*
1092
Приложение
В случае, если диаметр отверстия значительно меньше диаметра и длины трубки, можно
произвести расчет на основе данных, приведенных в § 1. Методика расчета для этого случая
подробно рассмотрена в § 6 главы XI настоящей книги.
§ 13.	Пластина с круглым отверстием, усиленная втулкой при растяжении (фиг. 23*)
Напряжения в точке А могут быть определены по данным, приведенным на фиг. 23*.
По исследованиям С. П. Тимошенко [19] коэффициент концентрации в рассматриваемом
случае можно принимать согласно кривой на фиг. 24*. Наибольшие напряжения концентри-
руются в точках А.
Фиг. 24*. Растянутая пластина с цилиндрическим отверстием, усиленным
втулкой [18].
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ОКОЛО ВЫРЕЗОВ И ВЫТОЧЕК
ПРИ РАСТЯЖЕНИИ
Как указано во введении к приложению, величина наибольших местных напряжений
в основном зависит от величины наименьшего радиуса кривизны выреза. Так, наибольшее
Фиг. 25*. Влияние профиля выреза на наибольшее местное напряжение.
местное напряжение в случае, представленном на фиг. 25*, а, лишь незначительно превышает
напряжение в конструкциях, изображенных на фиг. 25*, б и в.
§ 14.	Пластина с вырезами при растяжении
На фиг. 26* и 27* приведены значения коэффициентов концентрации напряжений, возни-
кающих около входящего угла глубоких двусторонних (фиг. 26*) и одностороннего (фиг. 27*)
вырезов. На фиг. 26* показаны эпюры распределения нормальных напряжений ах и ау в опас-
ном сечении пластины. Данные фиг. 27* справедливы, если линия действия растягивающей
силы проходит посредине наиболее узкого сечения.
На фиг. 28* даны значения коэффициентов концентрации для случая, когда на пластине
имеются неглубокие двусторонние или односторонний вырезы.
Из рассмотрения графика видно, что скругление краев выреза незначительно уменьшает
величину наибольшего напряжения.
Приложение
1093
Фиг. 26*. Пластина с глубоким двусторонним вырезом,
при растяжении [12].
Фиг. 27*. Пластина с односторонним глубоким вырезом,
при растяжении в случае, если линия действия силы прохо-
дит посередине наиболее узкого сечения [12].
л	напряжение
ко* ° bs б сечении тт
Фиг. 28*. Пластина с неглубокими вырезами (односторонним
и двусторонним), при растяжении [12]:
А — вырез со скругленными краями; Б — вырез с нескругленными краями.
1094
Приложение
§ 15.	Растяжение цилиндрического бруса с выточкой
На фиг. 29* представлены расчетные данные, характеризующие напряженное состояние
цилиндрического бруса с глубокой выточкой.
Напряженное состояние в узкой части — трехосное растяжение. Напряженное состояние
точек А —двухосное растяжение. Коэффициент Пуассона принят равным р = 0,30.
На фиг. 30* приведены формулы для расчета полого цилиндрического бруса с внешней
и внутренней выточками, когда опасная точка А находится на большом расстоянии от оси
бруса.
Фиг. 30*. Глубокие внешняя и внутренняя выточки
при большом расстоянии точки А от оси бруса при
растяжении [12].
5 А7 по $иг 21 *
к2 по сриг *
На фиг. 31* даны формулы для определения напряжений в цилиндрическом брусе при
наличии внешней или внутренней мелкой выточки. Формулы применимы в случае, если наиболее
напряженная точка находится на большом расстоянии от оси бруса.
Кунтце [30] предложена эмпирическая формула для пересчета коэффициентов концен-
трации, полученных для плоского образца применительно к образцам цилиндрической
формы (см. фиг. 32*)
АР = О.ТбА:1—1 + 0,25.	(2)
Зависимость Кунтце следует рассматривать как весьма приближенную.
На фиг. 32* зависимость Кунтце сопоставлена с данными Афанасьева [2].
Приложение
1095
Фиг. 31*. Мелкие внешняя
и внутренняя выточки при
большом расстоянии точки А
от оси бруса, при растяже-
нии [12].
N
&тах = К6;	(&тах~б);
6~jTCD2~-d2) ’
Фиг. 32*. Зависимость между
коэффициентами концентра-
ции местных напряжений для
круглых и плоских образ-
цов.

Фиг. 33*. Коэффициенты
концентрации в резьбе болта
при растяжении [17].
Р
а ~ nd*
4
1096
Приложение
§ 16.	Стержень болта при растяжении (фиг. 33*) (резьба)
Ориентировочно можно считать коэффициент концентрации для треугольной стандартной
резьбы со скругленной впадиной (например, метрическая резьба) равным k = 3,6 -ь 4,2 (в сред-
нем k & 3,9). На фиг. 33* приведены соответствующие данные [17].
КОНЦЕНТРАЦИЯ В МЕСТАХ РЕЗКОГО ИЗМЕНЕНИЯ СЕЧЕНИЯ БРУСА
ПРИ РАСТЯЖЕНИИ
§ 17.	Пластина с галтелями при растяжении
На фиг. 34* представлены графики для определения коэффициентов концентрации напря-
жений около галтели при растяжении ступенчатой пластины. Данные применимы как для глу-
бокого (Ъ < В), так и для мелкого (h < b) концентраторов.
§18. Цилиндрический брус с галтелями при растяжении
В D
В этом случае можно пользоваться данными для пластин (фиг. 34*), у которых -у = -у,
где D и d — больший и меньший диаметры бруса, а радиусы галтелей одинаковы.
Коэффициент концентрации, опре-
деленный по данным фиг. 34*, следует
пересчитать по формуле Кунтце или по
данным Афанасьева (см. фиг. 32*).
Л/
/77
Напряжение
°~bs б сечении тт
§19.	Растянутая пластина с небольшими
двусторонними выступами (фиг. 35*)
Фиг. 35*. Пластина с небольшими двусторонними
выступами, при растяжении [12].
Расчетные данные приведены на
фиг. 35*.
§ 20.	Бурты на цилиндрическом стержне
при растяжении
В этом случае можно пользоваться
данными раздела I, § 3. Коэффициент k
в этом случае мало зависит от радиуса
скругления г, изменяющегося в пределах,
указанных в разделе I, § 3.
Приложение
1097
§ 21.	Напряжения около головки болта при растяжении
Кокер [4] произвел опытное исследование напряженного состояния плоского образца
соответствующей формы. Ширина головки В = 2,16 Ь\ высота головки И — 0,846; радиус
закругления г = 0,046, где b — ширина основной части образца. Согласно этим испытаниям,
коэффициент концентрации £$»4. В опасном сечении (сечение образца у начала закругления)
возникают также радиальные напряжения, наибольшее значение которых не превышает
~0,55а. В работе [4] указывается, что аналогичная концентрация имеет место и в цилиндри-
чёском образце. Изменяя г в большую сторону, можно значительно снизить k.
§ 22.	Цилиндрический брус с мелкой внутренней полостью при растяжении (фиг. 36*)
В окрестности входящих углов возникает трехосное растяжение. В опасных точках
(точка А) напряженное состояние двухосное. Данные для определения наибольших напряже-
ний ах и а/ приведены на фиг. 36* Коэффициент Пуассона принят равным р. = 0,30.
Фиг. 36*. Цилиндрический брус с мелкой внутренней полостью,
при растяжении [12].
ОСОБЫЕ СЛУЧАИ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ
§ 23.	Напряжения в полосе с цилиндрическим отверстием, закрытым пробкой,
вставленной в отверстие свободно, но плотно (фиг. 37*)
В этом случае при растяжении пластины в направлении х контакт между пластиной
и пробкой около точек В нарушается, но возникают радиальные давления аг вблизи точек А
Концентрация напряжений в этом случае меньше, чем в случае
незаполненного отверстия. В случае широкой полосы и пробки из
того же материала, что и полоса, k & 2. Чем тверже материал
пробки по сравнению с материалом пластины, тем больше в точке А
напряжение аг, тем меньше а^, т. е. тем меньше соответствующий
коэффициент концентрации. Случай этот разобран теоретически
и проверен экспериментально [4].
§ 24.	Концентрация напряжений около щелей и трещин
при растяжении
Из рассмотрения данных раздела I, §6 видно, что вытянутое
эллиптическое отверстие с большой осью, перпендикулярной к на-
правлению растягивающего усилия, вызывает очень большую кон-
центрацию напряжений. Случай, когда большая ось параллельна
направлению действующей нагрузки, значительно менее опасен.
Говоря о концентрации напряжений около трещин, можно сравни-
Фиг. 37*. Растянутая
пластина с цилиндри-
вать трещину с очень вытянутым эллипсом.
Действительная концентрация напряжений около краев
трещины, перпендикулярной к действующей силе, весьма велика
(острый входящий угол).
ческим отверстием,
закрытым пробкой,
вставленной свободно,
но плотно.
1098
Приложение
При возрастании нагрузки у краев щели возникают пластические деформации или, если
материал хрупкий, образуются трещины.
Заметим, что в случае сжатия пластины с тонкой щелью
последняя может сомкнуться, что в значительной степени
изменит распределение напряжений в сторону их умень-
шения.
Ниже приводятся некоторые данные опытов Кокера [4],
выясняющие роль отверстий на концах трещин. Отверстия
эти иногда делаются для предотвращения увеличения тре-
щин. На фиг. 38* изображены: узкая щель со скругленными
концами /, щель со сверлениями на концах II и щель
с эллиптическими отверстиями на концах IIL
Соотношение между основными размерами щелей В =3,1/;
5 = 4г/; d = 48; Л= 85.
10
Для перечисленных случаев были найдены следующие
значения коэффициента концентрации: =3,70;	=2,85;
= 2,10.
Фиг. 38*. Щели различной формы в плоской растянутой
пластине.
II. ИЗГИБ
ОТВЕРСТИЕ В БАЛКЕ ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ
В работе [11 ] приведено общее решение вопроса о напряжениях в изгибаемой в своей пло-
скости пластине (балке прямоугольного сечения) с эллиптическим, треугольным или квадрат-
ным отверстием со скругленными определенным радиусом углами (в указанной работе решена
задача распределения напряжений в балке с отверстием в виде криволинейного треугольника
и квадрата; здесь будет рассмотрен только частный случай, когда стороны этих криволинейных
фигур с достаточной степенью точности можно считать прямолинейными). Хорошее совпа-
дение результатов этой работы с экспериментом подтверждается опытными данными [47].
§ 1. Эллиптическое и круглое отверстие
в плоской балке при чистом изгибе
(фиг. 39*)
В случае, представленном на
фиг. 39*, /, наибольшее нормальное
напряжение концентрируется в точ-
ке А. Согласно данным [11] напряже-
ние в этой точке
<3>
где J — момент инерции сечения, не
ослабленного отверстием;
Величина т в зависимости от отношения — принимает следующие значения-
ь а	1	2	3	4	5*	. оо
т	0,000	0,333	0,500	0,600	0,667	1,00
В случае, представленном на фиг. 39*, III (большая ось эллипса перпендикулярна нейт-
ральному слою);
=	+	(4)
Значения т прежние (см. выше).
Приложение
1099
Исследуем эти формулы. Если подставить в уравнение (3) т = 1, то мы получим щель,
параллельную нейтральному слою; концентрации напряжений в этом случае не возникает.
При подстановке того же значения т в уравнение (4) получаем ад = оо; иными словами,
на концах щели, перпендикулярной к нейтральному слою, возникают очень большие напря-
жения.
При т = 0 оба уравнения дают один и тот же результат, который соответствует круглому
•отверстию:
° А =	Ш + АЬ	(5)
Фиг. 40*. Пластина с малым отверстием, при изгибе.
Если в уравнениях положить у = ht что допустимо в случае очень малого по сравнению
с размерами балки отверстия (в этом случае нормальные напряжения изгиба в поперечном сече-
нии в точках А и В можно с достаточной степенью точности считать одинаковыми), то фор-
мулы (3) и (4) дают результаты, совпадающие с приведенными в разделе I, § 6.
Формулы (3) и (4) выведены для случая изгиба пластины безграничной высоты, но, как
показывают испытания, их можно применять даже в том случае когда наиболее близкая к краю
’балки точка отверстия отстоит от края на расстоянии, равном половине наибольшего размера
отверстия.
Возмущение напряженного состояния, вызываемое отверстием, очень быстро сглаживается
по мере удаления от него и практически уже не чувствуется на расстоянии от края отверстия,
равном его наибольшему размеру.
Особый интерес представляет случай, когда h — 0, т. е. когда центр отверстия лежит в нейт-
ральном слое. Коэффициенты концентрации в этом случае можно получить, пользуясь данными
фиг. 40*. Из рассмотрения последних можно заключить следующее: если желательно макси-
мально облегчить балку отверстиями, подобными изображенным на фиг. 40*, не увеличив
наибольших нормальных напряжений в поперечном сечении, следует принять половину
q
наибольшего размера отверстия, перпендикулярного к нейтральной оси, равной где
В — высота балки, a k—соответствующий коэффициент концентрации.
На фиг. 41* и 42* представлены расчетные данные, характеризующие два предельных слу-
чая, когда в изгибаемой пластине прорезано большое — глубокий концентратор (фиг. 41*)
и малое — мелкий концентратор (фиг. 42*) — отверстия.
§ 2.	Отверстия треугольной и квадратной формы в плоской балке при чистом изгибе
(фиг. 43*)
В случае, если в балке сделан один из прорезов указанной на фиг. 43* формы, с центром
на нейтральной оси, наибольшая концентрация напряжений возникает в точке А соответствую-
щего отверстия. Для определения наибольшего местного напряжения следует пользоваться
данными таблицы на фиг. 43* и указаниями, сделанными в разделе II, § 1.
Напряжения в точках В и Е можно найти, умножив а на соответствующий коэффициент
концентрации k (см. таблицу на фиг. 43*).
При подсчете а ослабление сечения отверстием не учитывается.
1100
П риложение
6^K0H; к=к^0,8к2, к, посриг 27* } в зависимости
к2 по(риг.46*1 от
При малом t
При весьма малом I
т Him
/ = в
л __Т напряжение
°н Sf в сечении тт
Фиг. 41*. Пластина
с большим отверстием,
при изгибе [12].
$H=s(B3- I3) напРЯжение & сечении тт
6
Фиг. 42*. Пла-
стина с малым
поперечным
овальным отвер-
стием, при изги-
бе [12].
Справедливо, если с&утах
Фиг. 43*. Квадратное
и треугольное отвер-
стия со скругленными
углами в прямоуголь-
ной балке, при чистом
изгибе.
В
г		0,059 В	0,059 В	0,128 В	0,128 В
Х7	к	4,40	3,50	1,63	3,30
В		1,12	• —	1,32	—
Е	...А.	—	——	0,60	—
бл^к6, бл*к£; б£=Н2б
б - напряжение на расстоянии утах от
нейтрального слоя в сечении тт 6 9
Приложение
1101
Для того чтобы максимально облегчить балку, не повысив наибольшего нормального напря-
жения в поперечном сечении, следует принимать наибольший размер отверстия из расчета,
чтобы r/max (см. фиг. 43*) был равен где Н — высота балки, a k — соответствующий коэф-
фициент концентрации.
§ 3.	Сквозное радиальное сверление в цилиндрическом валу в плоскости изгиба
при чистом изгибе (фиг. 44*)
Согласно опытным данным [39] для получения наибольшего напряжения в этом случае
нужно напряжение ак, определенное с учетом ослабления сечения отверстием, умножить
на коэффициент k согласно данным фиг. 44*.
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ОКОЛО ВЫРЕЗОВ
ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ
§ 4.	Глубокий и мелкий вырезы в плоской балке при изгибе (фиг. 45*, 46* и 47*)
На фиг. 45* представлен график для определения коэффициентов концентрации напря-
жений в случае балки, имеющей вид пластины с двусторонними глубокими вырезами, и эпюры
напряжений ах и ау в узком сечении балки.
На фиг. 46* приведены расчетные данные для балки в виде пластины с односторонним
глубоким вырезом.
В случае, если на балке имеются мелкие двусторонние или односторонние вырезы
(фиг. 47*), коэффициенты концентрации можно определять по данным фиг. 28*.
§ 5.	Концентрация напряжений около выточек при чистом изгибе цилиндрического
бруса (фиг. 48*, 49* и 50*)
Если в цилиндрическом брусе имеется глубокая выточка, то в узкой части его возникает
трехосное растяжение, а в опасных точках А — двухосное напряженное состояние. Этот слу-
чай подробно рассмотрен в § 6 главы XI настоящего тома. На фиг. 48* приведены расчетные
данные, позволяющие определять напряжения и ах в точке А. Данные получены для мате-
риала, коэффициент Пуассона которого равен р = 0,30.
В случае, если наиболее напряженная точка А находится на большом расстоянии от оси
бруса и на брусе имеется глубокая внешняя или внутренняя выточка, следует пользоваться
расчетными данными, приведенными на фиг. 49*; если имеется мелкая выточка, то необходимо
руководствоваться формулами, представленными на фиг. 50*.
Н. Н. Афанасьев [2 ] дает приближенную формулу для определения коэффициента концен-
трации напряжений в этом случае Для определения коэффициента концентрации удобно пользо-
ваться кривыми (фиг. 51*), которые позволяют переходить от коэффициента концентрации
круглого образца при растяжении к коэффициенту концентрации того же образца при изгибе.
Кривые (фиг. 51*) даны Н. Н. Афанасьевым на основании выведенных им приближенных фор-
мул
§ 6.	Концентрация напряжений около резьбы болта при изгибе (фиг. 52*)
По справочным данным [17] наибольшее напряжение определяется согласно указаниям,
приведенным на фиг. 52*
1102
Приложение
Фиг. 46*. Пластина с односторонним глубоким вырезом,
при чистом изгибе [12].
I------^Мцзг

_ГП
^Напряжение
б сечении тт
0*= Кб;	напряжение в сечении тт
7Г
Коэффициент К по графику фиг. 25*
Фиг. 47*. Пластина с неглубокими вырезами (односторонним
и двусторонним) при изгибе [12]:
А — вырез со скругленными краями; Б — вырез с нескругленными краями.
Приложение
1103
Фиг. 48*. Цилиндрический брус с глубокой кольцевой выточкой,
при изгибе (12].
к = к1 + 0,дк2, к, по фиг 27*,
к2 по фиг 46*,
^таи~	(6тах~&н)* 6we »
Фиг. 49*. Глубокие внешняя и внутренняя выточки, при большом
расстоянии точки А от оси бруса, при изгибе [12].
Фиг. 50*. Мелкие внешняя и внутренняя выточки,
при большом расстоянии точки А от оси бруса, при изгибе [12].
1104
Приложение
Фиг. 51*. Зависимость между коэффициен-
тами концентрации местных напряжений для
круглых образцов при растяжении и изгибе.
Фиг. 52*. Коэффициенты концентрации
напряжений в резьбе болта при чистом
изгибе [17].
§ 7.	Круглый брус с мелкой внутренней полостью при изгибе
Рассматриваемый концентратор является объемным. В окрестности полости возникает
трехосное напряженное состояние. На фиг. 53* приведены эпюры напряжений в точках, распо-
ложенных на оси у. Напряжения и <зх в точке А могут быть определены при помощи коэф-
фициентов п и k (см. графики на фиг. 53*).
РЕЗКОЕ ИЗМЕНЕНИЕ СЕЧЕНИЯ БРУСА ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ
§ 8.	Резкое изменение сечения прямоугольной балки при чистом изгибе (фиг. 54*)
Наибольшие напряжения в этом случае возникают в точках А (фиг. 54*).
Для определения максимальных напряжений пользуемся данными [25], [26], приведен-
ными на фиг. 54*.
§ 9.	Резкое изменение сечения круглой балки при чистом изгибе
В этом случае в качестве первого приближения следует использовать коэффициенты кон-
центрации раздела II, § 8, пересчитав их по формуле (2), приведенной в разделе 1, § 18
(см. фиг. 33*).
ОСОБЫЕ СЛУЧАИ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ
§ 10.	Концентрация напряжений у ножки зуба (изгиб поперечной силой) (фиг. 55*)
При элементарном расчете зубьев часто пользуются формулой Льюиса1
Р == cbt кг,
где с — расчетный коэффициент;
с = у [а]2 т кг/см?',
у — коэффициент, зависящий от числа зубьев и их профиля;
[а]2— допустимое напряжение с учетом концентрации напряжений у ножки;
1О]2=3/Сг/Сл2:'
— предел прочности материала зуба;
пь — коэффициент запаса по разрушению, обычно принимаемый равным от 3 до 4;
,,	А
т — коэффициент скорости; т —	;
коэффициент А = 3 -т- 6;
v — окружная скорость вращения колеса в м!сек\
k — коэффициент концентрации, который можно принимать согласно кривой на фиг. 55*.
1 См., например, Е. Бакингэм, Руководство по проектированию зубчатых передач,
Машгиз, 1948.
Приложение
1105
Фиг. 53*. Круглый брус с мелкой внутренней полостью, при изгибе [12].
Фиг. 54*. Пластина с галтелями, при изгибе [21].
Фиг. 55* Концентрация
напряжений у ножки зуба.
70 Пономарев
508
1106
Приложение
Из рассмотрения кривой видно, что при г = — s концентрация напряжений может не при*
ниматься во внимание. При г > s распределение напряжений столь благоприятно, что можно
даже повысить допустимое напряжение (k< 1). При меньших значениях г ^если г < —
коэффициент k растет довольно быстро. Кривая составлена согласно данным С. П. Тимо-
шенко [23], проверенным экспериментальной лабораторией Ленинградского университета.
§ 11.	Напряжения, возникающие в месте сопряжения брусьев (фиг. 56*)
В месте сопряжения брусьев прямоугольного сечения возникают местные напряжения.
Как видно из данных, представленных на фиг. 56*, наибольшие напряжения возникают
в точке А, близкой к линии пп. Величина напряжений а/ в точках на контуре закругления
может быть вычислена при помощи кривых, представленных на фиг. 56*.
°? = ро.
III. КРУЧЕНИЕ
ОТВЕРСТИЯ В БРУСЕ, ПОДВЕРЖЕННОМ КРУЧЕНИЮ
§ 1.	Радиальное отверстие в тонкостенной трубе при кручении (фиг^ 22*)
При кручении тонкостенной трубы можно пренебрегать изменением тангенциальных напря-
жений, возникающих в поперечном сечении, считая их постоянными по толщине стенки трубы.
Напряженное состояние материала трубы в этом случае в качестве первого приближения может
быть уподоблено рассмотренному в разделе I, § 1. случаю IV («чистый сдвиг»). В этом случае,
как было указано fe разделе I, § 1, наибольшие тангенциальные напряжения концентрируются
около точек пересечения контура отверстия с диаметром, наклоненным под углом 45° к оси
трубы. Наибольшее тангенциальное напряжение ттах = &т, где т — наибольшее напряжение,
подсчитанное без учета ослабления сечения отверстием. Коэффициент концентрации в этом слу-
чае k — 2. Отмечаем, что диаметр отверстия должен быть значительно меньше диаметра трубы.
§ 2.	Эллиптическое отверстие в тонкостенной трубе при кручении
В этом случае могут быть применены результаты, полученные для чистого сдвига в раз
деле I, §6. Коэффициент концентрации следует брать согласно фиг. 14*. / и II. Размеры отвер
стия должны быть значительно меньше диаметра трубы
§ 3.	Радиальная прорезь в тонкостенной трубе при кручении
(форма прорези — см. фиг. 15*)
Как было указано в разделе I, § 7, отверстие подобной формы может быть заменено эквива
лентным эллиптическим и к нему могут быть сведены данные, относящиеся к эллиптическому
отверстию. Отмечаем, что подобного рода расчет является лишь первым приближением. Приме-
нять его можно лишь в случае, изображенном на фиг. 14*, I (большая ось прорези под углом 45°
к оси трубы) для прорезей, размеры которых значительно меньше диаметра трубы.
§ 4.	Аксиальное отверстие в сплошном цилиндрическом брусе при кручении (фиг. 57*)
Наибольшее тангенциальное напряжение возникает около отверстия тгаах =	т =
J р
см. фиг. 57*); Jp подсчитывается без учета ослабления вала сверлением. Согласно теоретиче-
ским данным [31 ] коэффициент концентрации в этом случае k = 2. Отверстие предполагается
очень малым и достаточно удаленным от поверхности бруса.
§ 5.	Аксиальное отверстие эллиптической формы в сплошном цилиндрическом брусе
при кручении (фиг. 57*)
Наибольшие тангенциальные напряжения концентрируются около точки А. Значения k
можно принимать согласно графику на фиг. 57*. Определение т: производится так же, как
в разделе III, § 4. Из рассмотрения графика следует что отверстия, у которых большая ось
эллипса направлена радиально, вызывают значительно большую концентрацию напряжений,
чем круглые отверстия, а также отверстия с малой осью эллипса, направленной по радиусу.
Данные относятся к очень малым отверстиям, достаточно удаленным от поверхности бруса.
ВЫРЕЗЫ В БРУСЕ, ПОДВЕРЖЕННОМ КРУЧЕНИЮ
§ 6.	Аксиальная канавка (продольный паз) на поверхности вала (фиг. 58*)
Согласно данным [12], коэффициенты концентрации можно определять по фиг. 58*.
Приложение
НОТ
Фиг 56*. Сопряжение брусьев прямоугольного сечения при чистом
изгибе [17].
Значения коэффициента р равны отношению напряжения ана контуре
закругления к номинальному напряжению а.
Фиг. 57*. Аксиальные отверстия
в сплошном цилиндрическом
брусе, при кручении [19].
Фиг. 58*. Круглый брус с продольным пазом, при кручении [12].
70*
1108
Приложение
§ 7.	Аксиальная канавка (продольный паз) на поверхности тонкостенного бруса
при кручении (фиг. 59*)
Если на поверхности тонкостейного бруса (фиг. 59*) имеется продольная канавка (паз),
наибольшие касательные напряжения в поперечном сечении возникают в точке А.
„ Вычисление этих напряже-
ний следует производить в слу-
чае мелкого паза (фиг. 59*, а)
и в случае глубокого паза
(фиг. 59*, б) по данным фиг. 59*.
Если паз средней глубины, то
можно воспользоваться прие-
мом, описанным во вводной ча-
сти приложения [см. фор-
мулу (1)].
Яв7*
б) В случае глубокого паза
Л =
Фиг. 59*. Брус тонкостенного замкнутого профиля
с продольным пазом, при кручении [12].
У а) В случае мелкого паза
§ 8. Шпоночная канавка
со скругленными входящими
углами (фиг. 60*)
На фиг. 60* приведены
данные для расчета полого и
сплошного валов со шпоноч-
ными канавками. Соотношения
размеров шпоночной канавки и
диаметра вала довольно близки
к соотношениям, принятым ^ГОСТом. При определении наибольшего тангенциального
напряжения, напряжение т подсчитывается по формуле
^кгах
Фиг. 60*. Вал со шпоночным вырезом, при кручении [8] и [17].
При г 0 напряжения во входящих углах неограниченно растут. В действительности
рост этот смягчается появлением пластических деформаций.
§ 9. Выточки в круглом брусе при кручении (фиг. 61*, 62* и 64*)
Задача определения наибольшего напряжения, концентрирующегося около выточки скруг-
ленной формы, решена теоретически [42].
Приведем формулу для определения коэффициента концентрации в этом случае:
(d + 2r)2(D — d + 2r) + 4r2(D — d — 2r) .
D(d + 4r)-2r
если D — d—2r, имеем
k= ,?D
2D — d'
Приложение
1109
i6
Фиг. 61*. Цилиндрический брус с глубокой выточкой',
Фиг. 62*. Глубокие внешняя и внутренняя
выточки при большом расстоянии точки А
от оси бруса, при кручении [12].
Фиг. 64*. Мелкие внешняя и внутренняя выточки при большом
расстоянии точки А от оси бруса, при кручении [12].
Фиг. 63*. Круглый брус с глубокой
кольцевой выточкой при большом рас-
стоянии точки А от оси, при кручении
(к фиг. 62*).
3110
Приложение
Для определения ттах следует помножить k на вычисленное для ослабленного сече-
ния тт. Наибольшее напряжение возникает в глубине выточки.
На фиг. 61*—64* приведены расчетные данные [12] по определению коэффициентов кон-
центрации для сплошного вала с глубокой выточкой (фиг. 61*), полого вала с глубокими внеш-
ней и внутренней выточками (фиг. 62* и 63*) и вала с мелкими внешней и внутренней выточ-
жами (фиг. 64*).
В случае выточки средней глубины следует применять формулу (1).
РЕЗКОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БРУСА ПРИ КРУЧЕНИИ
§ 10. Ступенчатый цилиндрический брус при кручении
Этот случай разобран тем же автором [42],что и предыдущий случай (раздел III, § 9). Коэф-
фициент концентрации может быть определен по формуле
. = 1 Г 3 (d + 2г) (d 4- 4r) (D —2r)(d + 12г) 1 .
2D [ d н- 6г ’	6г	J ’
^если D — d — 2г, имеем
3(2D-d)
2 (3D — 2d) *
Для определения наибольшего напряжения, возникающего в точках А, увеличиваем в k
(раз напряжение т, вычисленное для части вала меньшего диаметра.
Фиг. 65*. Резкое изменение поперечного сечения круглого
бруса, при кручении. Входящий угол скруглен [8].
Коэффициенты k, вычисленные по приведенным формулам, довольно хорошо совпадают
«опытными данными, иллюстрированными на фиг. 65* при значениях 1,25. При больших
D
значениях — коэффициенты k, вычисленные. по формулам, преувеличены.
§ 11. Круглый брус с небольшой внутренней полостью при кручении (фиг. 66*)
На фиг. 66* представлены данные для вычисления напряжений в точке А в случае, если
внутри круглого бруса имеется полость в форме эллипсоида вращения. Несмотря на то, что номи-
нальное напряжение в точке А значительно меньше напряжения в точке В, при достаточно
малом радиусе г наибольшее напряжение может возникать в точке А. Именно такой случай
доказан на приведенной эпюре.
Приложение
1111
Фиг. 66*. Круглый брус с мелкой внутренней полостью,
при кручении [12].
Фиг. 67*. Тонкостенный трубчатый брус:
а — внешние и внутренние углы скруглены; б—скруглены
только внутренние углы.
Фиг 68*. Кручение брусьев с сечением в виде
уголка, двутавра и швеллера.
1112
Приложение
ВХОДЯЩИЕ УГЛЫ ПРИ КРУЧЕНИИ БРУСЬЕВ
§ 12. Брусья трубчатого сечения с тонкими стенками при кручении (фиг. 67*)
Как известно, брусья такого сечения рассчитываются по формуле
Мкр
2/6 *
При расчетах следует, однако, иметь в виду, что во всех входящих углах имеет место кон-
центрация напряжений. Для определения ттах следует умножить т, найденное по приведенной
формуле, на коэффициент концентрации k.
Для определения k С. П. Тимошенко [18] предлагает следующую формулу, выведенную
на основании гидродинамической аналогии*
Q
.	1	Sr
~	1„Д	+ 2''
г
где S — длина осевой линии сечения;
f — площадь, ограниченная осевой линией сечения;
6—толщина стенки трубчатого бруса. '
Формула применима, если г является величиной того же порядка, что и R.
Значения k, подсчитанные по этой формуле, довольно точны для случаев, аналогичных
изображенному на фиг. 67*, а. Формула может быть использована и для случаев, аналогичных
представленному на фиг. 67*, б. Точность в последнем случае будет меньшей.
§ 13. Кручение брусьев профилей, изображенных на фиг. 68*
При расчете брусьев, сечение которых изображено на фиг. 68*, следует руководствоваться
теорией, изложенной в томе I, главы IX. Следует иметь в виду, что во входящих углах профи-
лей концентрируются напряжения, в k раз большие расчетных. Для определения коэффи-
циента концентрации k для уголка известна [46] формула
*=1,74	-j-.
В случае, если профиль образован прямоугольниками с различной толщиной с, то в фор-
мулу вводится наибольшее значение с. На фиг. 68* дана кривая, иллюстрирующая приведен-
ную выше формулу.
Следует помнить, что приведенная формула дана для уголка с бесконечно длинными сто-
ронами, поэтому значения k по этой формуле тем менее точны, чем больше г по сравнению
с размерами сторон уголка.
Согласно теоретическим исследованиям [5], для уголков, предусмотренных ГОСТом,
k & 1,6 (при — яй 0,75 -т- 1,6), что довольно близко совпадает с данными, приведенными
в работе 1461.
С. П. Тимошенко распространяет результаты, полученные для уголка, также на другие
профили, представленные на фиг. 68*.
ЛИТЕРАТУРА
1.	А н т р о п о в В. А.. Исследование концентрации напряжений в пластинках, ослаб-
ленных круговым или прямоугольным центральным отверстием при растяжении, Изд. Ленин-
градского электротехнического института, 1950.
2.	Афанасьев Н. Н., Приближенный расчет коэффициента концентрации напря-
жений, «Журнал технической физики», т. VI, вып.<7. 1936.
3.	Афендик Л. Г. и Ершов А. М.. Определение напряжений в пластинках
с отверстием оптическим методом, .«Горный журнал» № 14, 1937.
4.	Кокер Э. иФайлон Л., Оптический метод исследования напряжений, ОНТИ,
1936.
5.	Лоповок Б. Н., Применение разностного метода для расчета прокатного уголка
на кручение, «Труды МАИ» № 17. 1952.
Литература к приложению
1113
6.	Лехницкий С. Г., О влиянии кругового отверстия на распределение напряжений
в балках, в кн. «Оптический метод изучения напряжений в деталях машин», ОНТИ, 1935.
7.	Лехницкий С. Г., О некоторых случаях изгиба изотропной пластинки, ослаб-
ленной круговым отверстием, «Вестник инженеров и техников» № 12, 1936.
8.	Лихарев К. К., Расчетно-справочные данные по местным напряжениям, изд.
МММИ им. Баумана, 1940.
9.	Л я в А., Математическая теория упругости, ОНТИ, 1935.
10.	Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории
упругости, изд. АН СССР, 1949.
11.	Найман М. И., Напряжения в балке с криволинейным отверстием, «Труды ЦАГИ»,
вып. 313, 1937.
12.	Н е й б е р Г., Концентрация напряжений, ГИТТЛ, 1947.
13.	С а в и н Г. Н., Концентрация напряжений возле малых отверстий в неоднородно-
напряженном плоском поле, «Труды Днепровского инженерно-строительного института»
№ 20, 1937.
14.	С а в и н Г. Н., Обобщенная задача G. Kirsch’a, «Доклады АН УССР»№ 3—4, 1946.
15.	С а в и н Г. Н., Концентрация напряжений около отверстий, ГИТТЛ, 1951.
16.	Соляник-Красса К- В., Кручение валов переменного сечения, ГИТТЛ г
1949.
17.	Справочник машиностроителя, т. 3, Машгиз, 1955.
18.	Т и м о ш е н к о С. П., Теория упругости, ГИТТЛ, 1934.
19.	Тимошенко С. П., Курс сопротивления материалов, ГИТТЛ, т. 1, 1945; т. II,.
1946.
20.	У ф л я н д Я- С., Биполярные координаты в теории упругости, ГИТТЛ, 1950.
21.	Фрохт М. М., Оптический метод исследования напряжений, изд. АН УССР,.
1936.
22.	Ф р о х т М. М., Фотоупругость, ГИТТЛ, т. I, 1948; т. II. 1950.
23.	В a u d R., Beitrage zur Kenntniss der Spannungsverteilung, 1934.
24.	E d wa r ds R. H.. Stress Concentrations around Spheroidal Inclusions and Cavities,
«Journal of Applied Mechanics», Vol. 18, № 1, 1951.
25.	F г о c h t M. M., Factors of Stress Concentration Photoelus4ically Determined,
«Transaction of the ASME», Vol. 57, 1935.
26.	F г о c h t M. M. and Hill A. N., Stress-concentration Factors around a Central
Circular Hole in a Plate Loaded through Pin in the Hole, «JAM», Vol. 7, № 1, 1940.
27.	G r i f f i t h A. A., The Phenomena of Rupture and Flow in Solids, «Philosophical
Transactions of the Royal Society of London», Vol. 221, 1920.
28.	H о w 1 a n d R. C. J., On the Stresses in the Neighbourhood of a Circular Hole in a?
Strip under Tension, «Philosophical Transactions of the Royal Society of London», Vol. 229,
29.	Kirsch G., Die Theorie der Elastizitat und die Bedurfnisse der Festigkeitlehrer
«VDI», Bd. XXXII, № 29. 1898.
30.	К u n t z e W., Neuzeitliche Festigkeitsfragen, «Der Stahlbau», H. 2, 1935.
31.	L a rm о u r I., The Infuence of Flaws and Air-cavities on the Strength of Materials,.
«Phil. Mag.», Vol. XXXIII, January 1892.
32.	Lehr Е.» Spannungsverteilung in Konstruktionselementen, VDI-Verlag, Berlin 1934.
33.	Leon A. und Z i d 1 i с k у R.. Die Ausnutzungskoeffizienten fiir symmetrisch angeord-
nete halbkreisformige Kerben, «VDI», Bd. 58, № 16, 1914.
34.	L e о n A., Uber die Spannungsverteilung in der Umgebung einer halbkreisformigen’
Kerbe und einer viertelkreisformigen Hohlkehle. «Osterreichische Wochenshrift f. d. offentli-
chen Baudienst», XIV, H. 29, 1908.
35.	Nishihara Toshio, Fujii Taichi, Reduction of Stress Concentration
by Additional Notches., Proc. 4 th. Japan Nat. Congr. Appl. Meeh., 1954, 1955.
36.	N i s h i h a r a Toshio, Fujii T a i c h i, The Effect of Additional Notch.,
Proc. 5 th. Japan Nat. Congr. Appl. Meeh., 1955, 1956.
37.	О k u b о H. and T a k a i K., Stress Concentration Factors in Shafts Containing
Transverse Holes and Subjected to Bending, «JAM»», Vol. 23, № 3, 1956.
38.	О k u b о H., Kikuchi S., Stress Cpncent rat ion Factors in Shafts, «J. Appl. Meeh.»,
24, № 2. 1957.
39.	Peterson R.E. and Waal A. M., Two and Three-Dimmensional Cases of Stress-
Concentration, and Comparison with Fatigue Test, «Journal of Applied Mechanics», Vol. 3, № 1,
1936.
40.	P re uss E., Versuche uber die Spannungsverteilung in gelochten Zugstaben, «Mit-
teilungen uber Forschungsarbeiten», H. 126, 1912.
41.	P re uss E., Versuche fiber die Spannungsverteilung in gekerbten Zugstaben, «Mit-
teilungen uber Forschungsarbeiten», H. 134. 1913.
42.	S о n n t a g R., Zur Torsion von runden Wellen mit veranderlichen Durchmesser
«Zeitschrift f. Angew. Math, und Meeh.», Bd. 9, H. 1. 1929.
70	508
1114	Приложение
43.	Т a m a t е O samu, The Effect of a Circular Hole on the Pure Twist of and Infinite
’Strip, «J. Appl. Meeh.», 24, № 1, 1957.
44.	T h e о c a r i s P. S., The Stress Distribution in a Strip Loaded in Tension by Means
of a Central Pin, «JAM», Vol. 23, № 1, 1956.
45.	T h u m A. und В a u t z W., Zur Frage der Formziffer, «VDJ», Bd. 79, № 43, 1935.
46.	T r e f f t z E., Uber die Wirkung einer Abrundung auf die Torsionsspannungen in der
inneren Ecke eines Winkeleisens, «Zeitschrift f. Angew. Math, und Meeh.», Bd. 2, H. 4, 1922.
47.	T u z i Z., Effect of a Circular Hole on the Stress Distribution in a Beam under Uni-
form Bending Moment, «Philosophical Magazine and J. of Science,» Vol. 9, № 56, 1930.
48.	W a h 1 A. M. u. В e e u w к e s R., Stress Concentration Produced by Holes and Not-
ches, «Transactions ASME," Vol. 56, № 8, 1934.
49.	W e b e r C., Spannungsverteilung in Blechen mit mehreren kreisrunden Lochern,
-«Zeitschrift f. Angew. Math, und Meeh.», Bd. 2, H. 4, 1922.
Предисловие .................................................................. 3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Раздел первый
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
Глава /. Методы расчетов на прочность движущихся элементов конструкций............. 7
§ 1.	Основные положения.............................*.......................... 7
§ 2.	Расчет быстро вращающегося тонкого обода со спицами...................... 10
§ 3.	Расчет на прочность звеньев плоских шарнирных механизмов на примере
расчета тела шатуна..................................................... 17
§ 4.	Расчет вращающихся радиально расположенных пружин........................ 25
§ 5.	Расчет вращающихся дисков постоянной толщины............................. 32
§ 6.	Расчет равномерно вращающихся пустотелых и сплошных длинных цилин-
дров	 ............................................................ 38
§ 7.	Расчет	вращающихся тонкостенных осесимметричных оболочек................. 41
§ 8.	Расчеты на прочность элементов конструкций при плавном пуске их в ход
или при	торможении................................................... 47
Литература.................................................................... 54
Глава II. Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть рабочих лопаток турбома-
шин ........................................................................ 56
§ 1.	Определение внутренних сил в поперечных	сечениях	рабочих	лопаток	.	56
§ 2.	Деформация лопатки.................................................. 72
§ 3.	Проектирование безмоментной лопатки ..................................... 76
§ 4.	Определение геометрических характеристик поперечных сечений лопаток .	.	.	81
§ 5.	Растяжение лопаток.................................................. 90
§ 6.	Изгиб лопаток....................................................... 98
§ 7.	Расчет рабочих лопаток на ползучесть................................ 99
Литература................................................................... 107
Г лава III. Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть дисков турбомашин.	109
§ 1.	Основные уравнения расчета ............................................. 109
§ 2.	Неравномерно нагретые диски постоянной толщины.......................... 116
§ 3.	Диски прямолинейного профиля (конические диски)......................... 121
§ 4.	Поверочный расчет на прочность вращающегося неравномерно нагретого
диска переменной толщины................................................ 127
§ 5.	Расчет дисков графическим способом...................................... 159
§ 6.	Расчет посадки диска на вал и определение освобождающего числа оборотов .	172
§ 7.	Расчет дисков на ползучесть ............................................ 188
Литература .................................................................. 202
Раздел второй
КОЛЕБАНИЯ И УДАРНЫЕ НАГРУЗКИ
Глава I V. Колебания упругих систем с одной степенью свободы............ 205
§ 1.	Степени свободы упругой системы................;............... 207
§ 2.	Уравнение движения системы с одной степенью свободы............ 208
§ 3.	Свободные колебания ........................................... 210
§ 4.	Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы......... 212
$ 5, Внезапное приложение постоянной нагрузки....................... 214
1116
Оглавление
§ 6.	Гармоническая возмущающая сила. Резонанс............................... 215
§ 7.	Периодически возмущающая сила, изменяющаяся не по гармоническому
закону.................................................................... 217
§ 8.	Затухание свободных колебаний.......................................... 220
§ 9.	Затухание, вызванное потерями на внутреннее трение..................... 230
§ 10.	Воздействие гармонической возмущающей силы	на систему с затуханием . .	235
§11.	Колебания при проходе через резонанс................................... 239
Литература................................................................... 242
Глава V. Колебания упругих систем с несколькими степенями свободы............... 244
§ 1.	Свободные колебания систем с несколькими степенями свободы............. 244
§ 2.	Свободные колебания многомассовых систем. Определение собственных частот
крутильных колебаний по методу остатков................................... 257
§ 3.	Ортогональность нормальных колебаний.................................. 262’
§ 4.	Определение свободного движения многомассовых систем по начальным усло-
виям ..................................................................... 264
§ 5.	Вынужденные колебания систем со многими степенями свободы.............. 268
Литература.................................................................. 279
Глава VI. Колебания стержней с распределенной массой........................... 280*
§ 1.	Продольные колебания	прямолинейных	стержней........................... 280
§ 2.	Крутильные колебания	валов............................................ 290
§ 3.	Изгибные колебания балок .............................................. 294
§ 4.	Вынужденные колебания стержней с распределенной массой..........  .	323
§ 5.	Колебания, вызываемые подвижной нагрузкой......................' . .	328
Литература.................................................................. 333
Глава VII. Приближенные методы определения частот собственных колебаний ....	334
§ 1.	Метод	Рэлея............................................................ 335
§ 2.	Приближенная	формула	Донкерли...................................... 344
§ 3.	Метод	последовательных	приближений.................................... 346
§ 4.	Метод	Ритца............................................................ 355
§ 5.	Метод спектральной функции С. А. Бернштейна........................... 359*
Литература.........................................•........................ 366
Глава VIII. Колебания систем с нелинейными характеристиками и характеристи-
ками, изменяющимися во времени................................................ 367
§ 1.	Изгибные колебания стержня под действием периодической продольной
силы .................................................................... 368
§ 2.	Колебания систем передачи	спарниками ................................. 374
§ 3.	Квазигармонические колебания	кривошипного механизма................... 377
§ 4.	Нелинейные колебания ................................................. 380
Литература.................................................................  385
Г лава IX. Колебания элементов конструкций...................................... 386
§ 1.	Колебания фундаментов ................................................ 387
§ 2.	Защита от вибрации (виброизоляция).................................... 398
§ 3.	Колебания винтовых цилиндрических пружин.............................. 402
§ 4.	Критическое число оборотов вращающегося вала.......................... 412
§ 5.	Расчет крутильных колебаний коленчатых валов двигателей............... 428
§ 6.	Демпферы колебаний ................................................... 440
§ 7.	Колебания лопаток турбин и компрессоров............................... 452
§ 8.	Колебания пластин .................................................... 465
§ 9.	Расчет турбинных дисков на осевую вибрацию............................ 474
Литература.................................................................. 477
Глава X. Расчеты на ударную нагрузку........................................... 479»
§ 1.	Введение............................................................. 479*
§ 2.	Ударное нагружение упругой системы с одной степенью свободы........... 484
§ 3.	Ударное нагружение упругой системы с несколькими степенями	свободы ...	498
§ 4.	Ударное нагружение упругой системы с распределенной массой............ 502
§ 5.	Местные деформации при ударе.......................................... 537
§ 6.	Пластические	деформации	при ударе.................................... 553-
§ 7.	Упрощенные	методы	расчета	на удар................................. 571
Литература ............................................................... 579»
Оглавление
1117
Раздел третий
РАСЧЕТЫ НА ВЫНОСЛИВОСТЬ
Глава XI. Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени.......	581
§ 1.	Предварительные соображения........................................ 581
§ 2.	Физические основы усталостной прочности . . ;...................... 581
§ 3.	Общие соображения о влиянии на прочность детали типа напряженного
состояния, способа нагружения и характера изменения напряжений во вре-
мени .................................................................. 586
§ 4.	Прочность материалов при переменных напряжениях в случае одноосного
напряженного состояния................................................. 589
§ 5.	Прочность материалов при переменных напряжениях в случае чистого
сдвига................................................................. 616
§ 6.	Влияние концентрации напряжений	на прочность деталей машин........ 618
§ 7.	Прочность деталей при переменных напряжениях в зависимости от. каче-
ства и механических свойств поверхностных слоев материала деталей . . .	652
§ 8.	Влияние на предел выносливости частоты изменения напряжений, пере-
грузок, температуры и размеров детали.................................. 67^
§ 9.	Расчеты на прочность при одноосном напряженном состоянии и чистом
сдвиге................................................................. 694
§ 10.	Расчеты на прочность при переменных напряжениях в случае неодноосного
напряженного состояния.................................................. 703
§ 11у	К вопросу определения коэффициента	запаса......................... 721
§ 12...................................................................\ Расчеты на прочность при нестационарных режимах изменения напряже-
ш сний.................................................................. 738
§ 13.	Конструктивная прочность	деталей	машин......................... 742
Литература......................................................|. . . .	758
Раздел четвертый
РАСЧЕТЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
Г лава XII. Критические значения нагрузок при плоских формах равновесия сжатых
стержней......................................................... 763
§ 1.	Элементы теории устойчивости сжатых стержней...................... 764
§ Зависимость между нагрузкой и перемещениями для криволинейной формы
. равновесия . ...................................................... 768
3 . Однопролетные стойки постоянного сечения............................ 772
/ Стойки постоянного сечения с промежуточными опорами.................... 777
j 5. Однопролетные стойки переменного сечения.......................... 788
•	6. Результаты экспериментальных исследований и расчет на устойчивость
за пределами пропорциональности.................................... 795
§ 7.	Примеры расчетов на устойчивость сжатых стержней.................. 799
§ 8.	Приближенный энергетический метод определения критического значения
нагрузки...........................................’................... 806
§ 9.	Устойчивость витых пружин сжатия ................................. 814
Литература.............................................................. 831
Глава XIII. Критические значения нагрузок при пространственных и плоских формах
равновесия элементов конструкций ................................ 836
§ 1.	Элементы геометрии пространственных криволинейных стержней........ 837
§ 2.	Основная система дифференциальных уравнений упругой линии двоякой кри-
визны.................................................................. 846
§ 3.	. Устойчивость прямолинейных естественно закрученных стержней при их
t ! сжатии . ........................................................... 861
§ 4.	Устойчивость скрученных стержней ................................. 875
§ 5.	Устойчивость сжато-скрученных стержней............................ 891
§ 6.	Устойчивость круговых колец, нагруженных равномерно распределенными
радиальными силами .................................................... 904
§ 7.	Устойчивость плоской формы изгиба прямолинейных и криволинейных балок 917
Литература............................................................. 935
Глава XIV. Расчеты на устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля . . .	939
§ 1.	Основная система дифференциальных	уравнений	устойчивости.......... 940
§ 2.	Устойчивость центрально сжатых стержней........................... 947
§ 3.	Устойчивость	внецентренно	нагруженных	стержней.................... 957
Литература............................................................. 962
1118
Оглавление
Глава X V. Расчеты на устойчивость тонких прямоугольных пластин.................. 96$
§ 1.	Основное дифференциальное уравнение устойчивости пластин................ 965
§ 2.	Прямоугольная пластина, опертая по всему контуру и сжатая силами,
равномерно распределенными по двум взаимно противоположным сторо-
нам ...................................................................... 969
§ 3.	Прямоугольная пластина, опертая по трем сторонам, четвертая сторона
свободна.................................................................. 974
§ 4.	Приближенный энергетический метод исследования устойчивости пластин . .	979»
Литература................................................................... 987
Г лава X VI. Расчеты на устойчивость тонких круглых и кольцевых пластин......... 989*
§ 1.	Дифференциальное уравнение срединной поверхности пластины и его интегри-
рование .................................................................. 989
§ 2.	Полярно-симметричные формы равновесия сплошных пластин.................. 995
§ 3.	Формы равновесия, не имеющие осевой симметрии........................... 997
§ 4.	Пластины с подкрепленным центром ...................................... 1002
§ 5.	Кольцевые пластины .................................................... 1009
Литература.................................................................. 1013
Глава XVII. Расчеты на устойчивость тонкостенных оболочек....................... 1015
§ 1.	Общая и местная устойчивость оболочек.................................. 1015
§ 2.	Основные линейные уравнения устойчивости цилиндрической оболочки ...	1016
§ 3.	Устойчивость цилиндрической оболочки под действием осевой силы и равно-
мерно распределенного* нормального давления............................. 1022
§ 4.	Устойчивость цилиндрической оболочки, испытывающей кручение ....	1031
§"5.	Устойчивость подкрепленной цилиндрической оболочки..................... 1035
§ 6.	Об устойчивости в большом и об устойчивости в малом.................... 1045
§ 7.	Уравнение больших перемещений пологих несимметричных оболочек . . .	1049
§ 8.	Устойчивость прямоугольной цилиндрической панели при внешнем равно- *
мерно распределенном давлении .......................................... 1054
§ 9.	Устойчивость цилйндрической оболочки при равномерном осевом сжатии . .	1064
§ 10.	Устойчивость сферической оболочки под действием внешнего равномерно
расппеделенного давления ................................................ 1071
Литература.................................................................. 1076
Приложение.
Справочные данные по теоретическим коэффициентам концентрации напряжений^
возникающих в связи с особенностями формы деталей................................1078
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Стр.	Строка		Напечатано	Должно быть
35	14-Я	сверху	а	at
103	1-я	снизу	ч	4
			nQl2	nQl2
105	2-я	>'		Jxiyi
246	4-я	сверху	2/721ГГ22	— §^2)	(8n 822 — 8^2)
246 ’	11-я			m-S^P2
		и	1	^1^12Р2	1 —
533	7-я	снизу	Ро =	Po =
556	3-я	»	напряжение	направление
			т	m
741	7-я	сверху	2 (атах)П^	2 (amax)z
			Z=»l	Z=1
838	21-я	»	|v7|	1 aF|
922	25-я	V	D=-^	D==-grn/
1029	1-я	снизу	a — N —	N — izR2p
1055	1-я	»	/ dw\2 \dy)	fdW\2 \dy)
1059	3-я	сверху	12p2tt2n2	12p2an2
1063	11-я	снизу	1	1
1067	3-я		2	2
		к		a4p4
С. Д. Пономарев н др. т. Ш. Зак. 508.