Author: Черных К.Ф.
Tags: испытания материалов товароведение силовые станции общая энергетика машиностроение механика теория упругости
Year: 1986
Text
К.Ф.ЧЕРНЫХ
НЕЛИНЕЙНАЯ
ТЕОРИЯ
УПРУГОСТИ
В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ
РАСЧЕТАХ
Ленинград
«Машиностроение»
Ленинградское отделение
1986
/ДК 620.173.262.3
Рецензент акад. В. В. Новожилов
Черных К. Ф.
Нелинейная теория упругости в машиностроительных
расчетах. — Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние,
1986. — 336 с., ил.
Рассмотрены общие вопросы нелинейной теории упругости, плоская и анти-
плоская деформации, деформация стержней с кинематическими ограничениями,
новый вариант теории оболочек, мягкие, пневматические оболочки, проблемы упру-
гой устойчивости. Описаны различного рода резиновые мембраны, конические и
арочные (мостичные) амортизаторы, пневмоконструкцин и др.
Книга предназначена для научных работников, занимающихся прочностными
расчетами, и инженеров, использующих гибкие элементы и резинотехнические
изделия.
Табл. 2, ил. 139, библногр. 106 назв.
2702000000-038
038 (01)-86
•38-86
© Издательство «Машиностроение», 1986 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ АКАДЕМИКА В. В. НОВОЖИЛОВА
Примерно до середины нашего века термин «теория упругости»
практически совпадал с термином «линейная теория упругости».
Это не означает, что нелинейной теории тогда не существовало.
Всегда было ясно, что все формулы теории упругости, строго
говоря, нелинейны. Более того, уже в начале века были заложе-
ны основы современной нелинейной теории. Однако практический
интерес к ней возник лишь лет сорок назад, и поддерживало его
вначале все большее внедрение гибких элементов, .способных
работать в закритической области при упругих деформациях.
Так «пошла в дело» геометрически нелинейная теория упругости,
справедливая при малых деформациях, но допускающая большие
повороты. Параллельно с ней развивалась и физически нелиней-
ная (но геометрически линейная) теория, в которой рассматрива-
лись проблемы, где источником нелинейности являлись механи-
ческие свойства материалов. Задачи теории упругости, и геометри-
чески и физически нелинейные, до поры до времени приходилось
обходить, так как отвечающие им уравнения из-за своей сложности
не позволяли получать даже грубые решения.
Только с появлением ЭВМ и развитием численных методов
открылись подступы к этому наиболее общему классу задач,
где не налагаются никакие ограничения ни на перемещения, ни
на углы поворота, ни на деформации. Однако, как хорошо изве-
стно, и при использовании ЭВМ многое зависит от того, как
хорошо подготовлена задача и насколько глубок предварительный
анализ ее общих свойств.
Восполняя пробел в монографической литературе, К- Ф. Чер-
ных уделяет глубокое внимание описанию механических свойств
резиноподобных материалов (эластомеров). В книге содержатся
аналитические (эталонные) решения задач нелинейной теории
упругости, проливающие свет на их характерные свойства. Полу-
ченные разрешающие соотношения показаны «в работе», на при-
мерах решений ряда задач, возникающих при рассмотрении
реальных изделий и конструкций.
По моему мнению, монография К- Ф. Черных будет встречена
с большим интересом машиностроителями, использующими в кон-
струкциях гибкие элементы и резинотехнические изделия. Книга
значительно расширяет традиционные границы проблематики
теории упругости.
В. В. Новожилов
1*
ОТ АВТОРА
Бурное развитие техники ставит перед Конструктором все
iee сложные задачи. Решить их зачастую можно, лишь принимая
члые решения, связанные с использованием новых рациональ-
х форм и резервов применяемых материалов. При этом, есте-
>енно, возрастает роль прочностных расчетов. Последние часто
:е невозможно выполнить традиционными методами сопромата,
юительной механики и линейной теории упругости. Все шире
тользуется нелинейная теория упругости.
Нелинейная теория упругости долгое время (да и сейчас)
ввивалась как теоретическая дисциплина. Характерными для
»го направления были работы итальянской школы, подытожен-
е в книге Л. И. Кутилина [31 ]. Из более поздних теоретических
эот следует отметить [14, 32, 50, 102].
Вместе с тем уже в основополагающих работах классиков
цественное место занимали прикладные вопросы. В книге
Лява [33], являющейся в известной степени итоговой, большое
•шание уделено гибким телам: стержням, пластинам, оболочкам.
Мощным стимулом для дальнейшего развития прикладного
правления в нелинейной теории упругости послужила в 50-х го-
< необходимость расчета резинотехнических изделий. Из много-
членных работ этого направления можно выделить [17, 44,
85, 86, 93, 94].
Большое влияние на поворот нелинейной теории упругости
прикладным проблемам оказало появление книги В. В. Ново-
лова [38], в которой предельно ясно были изложены основы
>рии и выяснен ряд принципиальных вопросов. Много сделали
я приложений теории механики Казанской школы X. М. Муш-
)и, К. 3. Галимов, А. В. Саченков, М. А. Ильгамов. И. Г. Те-
гулов и др. [11], В. В. Болотин [8], Э. И. Григолюк [15],
А. Ильюшин [21], Л. А. Толоконников [47, 48] и многие
угие.
Цель этой книги — доступно для инженера (в широком пони-
нии этого слова), кратко, но систематически изложить нелиней-
ю теорию упругости. При отборе материала приоритет предоста-
ялся вопросам, возникающим при рассмотрении прикладных
облем. Естественно, что большее внимание уделено тем разделам
>рии, в которых активно работал автор. Представление о содер-
>нии книги^можно составить из подробного оглавления. Оста-
вимся лишь на наиболее характерных ее особенностях.
При написании книги большое значение отводилось матема-
ческому аппарату. Точка зрения автора на этот вопрос обыч-
я — аппарат должен быть адекватным излагаемому материалу,
к, общая теория излагается в прямоугольных декартовых
ординатах. И лишь при рассмотрении криволинейных тел
•ержней, оболочек) требуется знание основ тензорного анализа,
необходимые сведения о котором приводятся в параграфе 6.1
и гл. 10. В остальном используемый аппарат не выходит в основ-
ном за рамки программ технических вузов. Приведенные в книге
соотношения облегчат читателю процесс ознакомления с жур-
нальными публикациями, в том числе с зарубежными, по нелиней-
ной теории упругости и ее приложениям. Из-за прикладного
характера книги автор не ставил целью использовать математи-
чески строгие формулировки и утверждения.
В машиностроении широко распространены эластомеры (рези-
ноподобные материалы). Отсутствие соответствующих монографий
побудило автора включить в книгу гл. 5, в которой данократкое
систематическое изложение физических основ упругости эласто-
меров. В книге вообще большое внимание уделяется расчету
резинотехнических изделий — разделу механики деформируемого
тела, набирающему силы в наши дни.
В гл. 9 подробно изложен предложенный автором вариант
нелинейной плоской деформации. Использованный подход поз?
волил получить компактные легко обозримые зависимости и
рассмотреть различные упрощенные варианты.
В гл. 11, посвященной нелинейной теории оболочек, харак-
терным является применение модифицированной геометрической
гипотезы Кирхгофа, двойного тензора напряжений и линейного
закона распределения напряжений по толщине. Принятые пред-
положения позволили получить сравнительно простую общую
нелинейную теорию упругих оболочек. По разработке и детали-
зации предложенная «рабочая» теория мало в чем уступает линей-
ной теории оболочек.
В гл. 12 простота соотношений позволяет рассмотреть по-
дробно безмоментную теорию, нелинейный краевой эффект и ряд
приложений применительно к арке-полоске.
Материалы гл. 13 посвящены симметричной деформации обо-
лочки вращения и решению ряда задач, возникающих в машино-
строении (резиновые мембраны, вытеснители, амортизаторы).
В гл. 14 рассматривается безмоментная теория оболочек.
Исследуются вопросы, связанные с мягкими оболочками (сопря-
жение одно- и двухосных зон, задача раскроя оболочки в условиях
больших деформаций и т. п.), с прямоугольной мембраной.
В гл. 15 изложена нелинейная теория тонких (кирхгофовских)
стержней, испытывающих большую деформацию оси. Рассмотрено
сопряжение стержня и оболочки при больших деформациях.
Проблеме упругой устойчивости посвящена гл. 16. Вначале
на примере продольно сжатого стержня выясняются различные
аспекты этой проблемы. В последующих параграфах кратко
изложены основы общей теории упругой устойчивости.
В гл. 17 рассматривается упругость анизотропных тел, в том
числе при условии несжимаемости материала и в плоском напря-
женном состоянии. Излагаются результаты автора (симметричные
коэффициенты Пуассона, наитеснейшие границы изменения упру-
5
гих постоянных и т. п.). Рассматривается анизотропия материала
при больших деформациях. Основное внимание уделяется орто-
тропному материалу. Описаны ортотропные нелинейные обо-
ючки.
В гл. 18, посвященной проблеме армирования эластомеров
яерастяжнмыми и малорастяжимыми волокнами, рассмотрено
1рмирование срединной поверхности оболочки двумя семействами
эавнонаклоненных волокон.
В книге не излагаются численные методы решения рассмотрен-
тых классов задач. Считается, что знакомство с ними является
тепременным атрибутом современного технического образования.
Цаются лишь краткие характеристики использованных методов.
Рассмотренные в книге примеры заимствованы в основном из
эасчетов реальных конструкций, проведенных автором с учени-
<ами: С. А. Кабрицем, Е. П. Колпаком и С. С. Прасниковой.
Ряд ценных замечаний сделали при просмотре рукописи
Г. М. Бартенев, В. А. Шамина, А. А. Вакуленко. В оформлении
<ниги участвовали М. А. Греков, В. А. Курочкин, К. М. Кылат-
1анов, 3. Н. Литвиненкова, Л. А. Милякова, В. А. Родионова,
7. А. Рябова, Л. В. Слепнева, М. П. Чаунин, Е. А. Юркова.
Зсем им автор выражает глубокую благодарность.
Глава 1. О ТЕНЗОРАХ ВТОРОГО РАНГА
В этой книге рассмотрены в основном тензоры второго ранга.
Кратко изложена теория таких тензоров. Для простоты исполь-
зованы прямоугольные декартовы координаты. Читателя, жела-
ющего более обстоятельно ознакомиться с теорией тензорных
функций, отсылаем к работам [9, 12, 45].
1.1. Вектор
Отнесем пространство (обычное) к прямоугольным декартовым
координатам х2, хэ. Координатные векторы — орты et, е2, е3
удовлетворяют условиям ортонормированности
eie'=e"=U <1л>
Вектор — величину, обычно ассоциируемую с направленным
отрезком в пространстве, удобно представить в виде следующего
разложения:
а — + а2е2 -j- п3е3 = ааеа, (1.2)
где at — компоненты вектора, представляющие вектор в выбран-
ной системе координат или, как говорят, в ортонормированном
координатном векторном базисе en е2, е3.
Кроме того, для краткости записи принимается следующее
правило суммирования: по каждому повторяющемуся грече-
скому (не по латинскому!) индексу производится суммирование
от 1 до 3.
Наряду с xlt х2, х3 рассмотрим еще одну, также прямоуголь
ную декартову систему координат х[, х2, х3 с координатным век-
торным базисом е], е2, е3, связанным со старым соотношениями
ej = eaqaf (qif = е, • ej). (1.3)
Применяя условия ортонормированности (1.1) к старым и но-
вым ортам, получаем
е«’е/ = = QfiiQaj (®Р-еа) = = ?pi?P/>
т. е. косинусы углов qi} связаны условиями ортонормированности
(второе из них выводится аналогично)
— qtaQja = йц- (1.4)
Отсюда и из соотношений (1.3) следуют обратные выражения
для старых ортов через новые. Прежде всего = еа (qa.jQkj)-
Суммируя эти равенства по / = 0 от 1 до 3, получаем ер^р =
= ®а (^oP^fcp) = ~ Т. в.
= <7лр®р- (1-5)
7
Подстановка полученного выражения в разложение (1.2)
>иводит к закону преобразования компонент вектора
а/ = Оа9а/, (1-6)
«падающему с законом преобразования координатных ортов
.3).
Отметим, что зависящие от выбора системы координат компо-
;нты вектора а} представляют вектор — величину инвариантную
. е. не зависящую от выбора системы координат). С помощью
'отношений (-1.6), (1.4) нетрудно проверить, что величина
П = ~у Ct{ -|- 0.2 “I- а3 = аааа
кже является инвариантом. Это, конечно, ясно и без проверки,
•скольку а — длина вектора.
Пару векторов а = паеа и b = Ьрер можно скалярно пере-
южать. При этом согласно (1.1)
а-b = ааЬ^ (еа-ер) = ааМа₽ — ааЬа-
Изложенные в этом параграфе и, конечно, хорошо известные
:тателям зависимости позволяют по аналогии рассмотреть ин-
риантный объект более сложной структуры — тензор.
1.2. Тензор второго ранга
По аналогии с вектором тензор второго ранга введем как ин-
риантный объект, представляемый в данном ортонормированном
юрдинатном векторном базисе разложением
Т = ^J2ele2 Ч~ ^1361.63 /а1е2е1 Ч~ ^22е2е2 Ч~
-j- /23е2е3 -j- ^31е3е1 Ч- ^32е3е2 Ч~ ^336363 = Ах0еаеВ- (1 -7)
Величины е;е7- называют координатными диадами, а само
[писанное выражение — диадным представлением тензора. Ранг
нзора определяется числом индексов у его компонент. В на-
нести, вектор можно считать тензором первого ранга, а ин-
риант — нулевого. Ниже рассматриваются в основном лишь
нзоры второго ранга, так что будем называть их просто тензо-
ми. Из представления (1.7) усматривается, что в выбранном
ординатном базисе тензор второго ранга определяется девятью
э компонентами ti}.
Подстановка выражений (1.5) в (1.7) приводит к закону пре-
разования компонент тензора
tij — tkl — lb 0-8)
горые выражения выводятся из первых с учетом (1.4)]. Обычно
венства (1.8) и принимают в качестве определяющего свойства
1зора, а сам тензор задают, указывая его компоненты в кон-
етной системе координат (координатном базисе).
Тензоры можно скалярно перемножать. Пусть наряду с Т (1.7)
имеется еще один тензор S = 5и¥еиеу. Тогда с учетом (1.1) по
определению
T-S = (eP’®n)®v = ~ ^a(Js0v®aev» (1 -®)
т. е.
(T-S)w = tiftSfij.
Таким образом, при диадном представлении тензоров в скаляр-
ном произведении скалярно перемножаются соприкасающиеся (со-
седние) векторы диад. При компонентном же задании суммируются
по соприкасающимся индексам произведения компонент. При
этом в отличие от векторов существен порядок следования пере-
множаемых тензоров. Так, в общем случае
S • Т #= Т • S, т. е. hpSpj.
Итак, скалярное произведение двух тензоров приводит к тен-
зору. Аналогично скалярное произведение тензора и вектора дает
вектор. При этом
Т.а = ь,
а-Т = с, avtvJ==Cj.
При помощи формул (1.8) и (1.4) можно проверить, что тензор
имеет следующие главные инварианты'.
If — /ц -|- /22 ^33>
^11^12 ^22^23 13
Иг = ^21^22 + /32^33 + /sii f33
Шг = |^| =
/п/12^13
^21^22^23
^31^32^33
ОН)
Из зависимостей (1.10) усматривается, что тензор можно рас-
сматривать как оператор, переводящий вектор в некоторый дру-
гой. Наибольший интерес представляют векторы, претерпева-
ющие при этом минимальные изменения. Эти так называемые
главные (собственные) векторы тензора а удовлетворяют соотно-
шению
Т-а = /а. (1.12)
Масштабный множитель t называют главным знамением (соб-
ственным или характеристическим числом) тензора.
Согласно (1.10) векторное равенство (1.12) можно записать
в виде следующей линейной однородной системы уравнений:
(t ^11) Щ ^12^2 ^13^3 ~ 0;
—^2i^i (^ ^22) ®2 ^2з®з = 0; (1.13)
^31^1 ^32®2 “Ь ^зз) &3 ~ 0.
9
Из курсов алгебры известно, что необходимым и достаточным
/словием существования ненулевого решения является равенство
гулю определителя:
Д(0 =
t — tu — tls — tis
---- ^21/ — ^22 — ^23
----^31 — ^32^ — ^33
= |йм-/м| = 0.
(114)
С учетом (1.11) это соотношение, называемое характеристи-
1еским уравнением, можно записать и так:
(Д (0 =) ts - м2 + ПТ1 - Шт = 0. (1.15)
Поскольку коэффициенты характеристического уравнения
гнварианты, инвариантами являются и его корни — главные
шачения tlt t2, t3. Как увидим ниже, главные значения и опре-
хеляют структуру тензора; поэтому им и уделяется такое большое
внимание. При найденных главных значениях главные векторы
определяются из системы (1.13).
Сопряженным с Т называют тензор [ср. (1.7)]
Т —Т. е. tjj — t ц, (1.16)
Таким образом, сопряженному тензору отвечает перестановка
зекторов в диадах или, что то же, транспонирование матрицы,
доставленной из компонент тензора.
Из (1.11) усматривается, что
1у* = 1у, Пу. = Пу, Шу* = Шу,
i по (1.15)
tl = tl.
г. е. сопряженный тензор имеет те же главные значения и ин-
зарианты.
Переходя к компонентам, нетрудно проверить справедливость
следующих свойств сопряженного тензора:
(Т • S)* = S* Т*; (1.17)
Т..а = аТ*, Т*-а = а-Т. (1.18)
Операция векторного умножения вектора на тензор вводится
следующим образом:
Т х ® = tafPa (ее х ®), ю X Т = (ft> х еа) е₽. (1.19)
1.3. Каноническое представление тензора
Операция комплексного сопряжения над характеристическим
/равнением (1.15) приводит, с учетом вещественности инвариантов,
: соотношению
?3 - 1у?2 + Ilyf - Шу=0,
гоказывающему, что наряду с t характеристическому уравнению
удовлетворяет и I. Поэтому для корней кубического уравнения
0
(1.15) имеются лишь две возможности: а) все главные значения
вещественны; б) два главных значения комплексно сопряжены,
а третье вещественно.
Будем считать вначале, что все главные значения различны
(некратны). Подставляя их в равенство (1.12), получаем
Т-а^^ах, Т-а2 = ^2а2> Т-аз = /заз- (1.20)
Покажем, что главные векторы линейно независимы, т. е.
соотношение
С1Д1 -|- ^2^2 “I- сзаз = 0 _ (1.21а)
не может выполняться при постоянных ct, не равных нулю одно-
временно. Скалярно умножая это векторное равенство слева на Т,
а затем еще раз на Т, получаем, используя (1.20),
Ч- ^^2^2 Ч- ^з^заз — 0, (1.216)
ЛС1а1 -|- Ч- ЬсзЯз — 0. (1.21в)
Определитель системы (1.21)
1 1 1
4 h
% t}
отличен от нуля в силу предположенной некратности главных
значений. Отсюда следует, что равенство (1.21а) выполняется лишь
при = с2 = с3 = 0. А это и означает линейную независимость
главных векторов.
Как известно, линейная независимость означает, что рассма-
триваемые главные векторы не лежат в одной плоскости; поэтому
их можно принять в качестве векторного базиса. Пусть i ф j.
Тогда по (1.20) и (1.18)
Та,= /,аь агТ* = ^. (1.22)
Скалярно умножим первое уравнение слева на ajt второе
справа — на аг и вычтем из первого второе. В результате получим
полезное соотношение
ar(T - T*) at =(Zf - Z,)ara,. (1.23)
Рассмотрим симметричный тензор, для которого (по опре-
делению)
Т* = Т, т. е. tl} = tjt. (1.24)
Для него при tt t} из соотношения (1.23) следует а4 -а^ = 0,
т. е. имеет место ортогональность главных векторов. Из (1.20)
усматривается, что последние определяются с точностью до ска-
лярных множителей. Поэтому можно считать главные векторы
не только взаимно ортогональными, но и единичными, т. е. ор-
тами.
11
Далее из (1.22) находим
JrT aj = ttarat = tt |а{ |а.
Левая часть этого равенства
арТ-а^СаОа/арСаОа»
— Ка()а (al)a + (ai)p ifa (al)al ==
~ ~ ^ap l(ai)a (ai)₽ 4“ (ai)a (ai)pl
вещественна, а значит, вещественны и главные значения. Из (1.13)
при этом следует вещественность главных векторов аг.
,ej Заменим обозначения аг на ег,
I __ и будем называть elt е2, е3 главным
векторным базисом тензора. Выше
Ч-СХ. была установлена его ортонормиро-
Zz | Х । ванность. Если компоненты тензора
,__l___W_______________} зависят от координат, главный век-
е’ V. I I ) торный базис может поворачи-
ваться при переходе от точки
XCV~/r S' к точке.
Из формул (1.20), (1.7), (1.1) не-
Рис- Ы посредственно усматривается, что
в своем главном векторном базисе
или, как говорят, в своих главных осях симметричный тензор
имеет так называемый канонический вид:
Т — /^е^е^ /2е2е2 4~ ^з®з®з* (1.25а)
Выше мы предположили некратность главных значений. Те-
перь можно отказаться от этого ограничения. Так,
Т = ti (е^вх -|- е2е2) /зе3ез (при = /2), (1.256)
Т = h (ejer 4- е2е2 + е3е8) (при t± = t2 = t3). (1.25в)
Для наглядности с симметричным тензором сопоставляют
трехосный эллипсоид (рис. 1.1). При t2 = tx он становится эллип-
соидом вращения. Поэтому тензор (1.256) называют тензором
вращения. При = t2 = t3 эллипсоид переходит в шар, и тензор
(1.25в) называют шаровым.
Итак, симметричному тензору отвечает случай а) вещественных
корней. На долю несимметричных тензоров остается случай
б) комплексно-сопряженных корней
4 = X + ip, t2 = X — ip, t3 (1.26)
(X, p, ts вещественны). Поскольку tr и t2 = комплексно сопря-
жены, таковыми же являются определяемые из (1.13) главные
векторы а2 = щ. Внося в (1.20) ах = aj 4- га2, выражения (1.26)
12
и разделяя вещественные и мнимые части, приходим к веществен-
ным зависимостям:
Т • ах = Хах — Т * а2 = рах -|- Ха^ Т • а3 = /3а3. (1.27)
Как и в случае а), показывается, что главные векторы можно
считать ортами. Заменяя, как и выше, обозначения а4 на е4, усма-
триваем из (1.27), (1.7) и (1.1) каноническое представление не-
симметричного тензора
Т = X (ехех 4- е2е2) + р (е^ - e2ej) + t3e3e3 (1,28а)
и по (1.16)
Т* = X (е^ + е2е2) — р (ехе2 — е2ех) 4- /3е3е3. (1.286)
Кососимметричным (антисимметричным) называют тензор со
следующим определяющим свойством:
К* = — К, т. е. kji = — ku. (1.29)
Согласно (1.28) ему отвечает каноническое представление
К = © (exe2 — e^). (1.30)
Ортогональным называют тензор с определяющими свойствами:
Q.Q* = Q*.Q = 1, (1.31)
где
1 = ехех е2е2 4~ е3е3 — (1.32)
единичный тензор, обладающий [как нетрудно проверить с по-
мощью соотношений (1.9), (1.1)] свойством
Т1 = 1Т = Т. (1.33)
Согласно представлениям (1.28) и (1.1)
Q • Q == Q • Q == (X 4“Н) (®i®i Н- ®2®г) 4~ ^е3е3.
Отсюда и из соотношений (1.31), (1.32) следует
X = cos со, р = sin со, t3 = ±1.
Поэтому различают ортогональный тензор первого рода
Q = cos <й (ехех 4- е2еа) 4- sin <в (ехе2 — е2ех) 4- е3е3 (1.34)
и ортогональный тензор второго рода
Q = cos <» (ejCi 4- е2е2) 4- sin <в (ехе2 — е2ех) — е3е3.
Для невырожденного тензора (т. е. тензора с Шг = | =£ 0)
можно ввести обратный Т тензор, определяемый соотношением
ТТ-^Т-СТ^ 1 (1.35)
и удовлетворяющий следующему соотношению:
(Т • S)-1 = S-1 • Т-1. (1.36)
Справедливость последнего можно проверить, умножая ска-
лярно левую и правую части на Т-S и учитывая (1.35).
13
Сопоставление зависимостей (1.31) и (1.35) приводит к харак-
терному для ортогонального тензора равенству
Q* = Q-1. (1.37)
Отметим часто используемое свойство тензоров: свертка (двой-
ное скалярное произведение) симметричного и кососимметричного
тензоров равна нулю. Покажем это. Пусть S = sapeae₽ — сим-
метричный, а К = kyytfy — кососимметричный тензор. Тогда
с учетом (1.1), (1.9) и определения симметричного и кососимме-
тричного тензоров
S . К = (вр ’ С?) (ба ' Сц) == 5ар&ра =
= V2 (saP^Pa + spa^ap) =
= */г saP (^Ра 4~ &ар) = 0- (1.38)
1.4. Классические тензорные функции
Обычные скалярные функции допускают естественное обобще-
ние на случай, когда аргумент и значение функции являются
тензорами (у нас — второго ранга). Переходя к этому обобщению,
будем считать вначале, что главные значения тензора-аргумента
некратные и вещественные. Итак, примем для тензора канони-
еское представление (1.25а). Из него и (1.9) вытекает следующее
представление для k-и степени Т:
Т — ti ejej /гвгвг 4~ /3 е ез.
Теперь с произвольным скалярным полиномом
ё (0 = S yktk
можно сопоставить тензорный полином
i
ё (Т) = S ТьТ* = ё (М eiei J- ё (М е2е2 + g (*») е3е3. (1.39)
k=O
Рассмотрим так называемый характеристический полином
А (/) = /з _ Irp + Пг/ _ IIIr(
обращаемый в нуль согласно (1.39) главными значениями тен-
зора (1.15)
Д (/2) = о (i = 1, 2, 3).
С учетом этого, полагая в (1.39) g (/) = Д (/), приходим к то-
ждеству Г амильтона — Кэли
(Д (Т) =) Т3 - 1ГТ2 + II/T - шг1 = о. (1.40)
Тождество Гамильтона — Кэли позволяет снижать (редуци-
ровать) порядок любого тензорного полинома до второго. Таким
образом, по существу можно ограничиться рассмотрением тензор-
ных полиномов второго порядка.
14
Будем называть классической тензорной функцией f (Т) тен-
зорный полином второго порядка g (Т), удовлетворяющий соот-
ношениям
gtft) = 1,2,3). (1.41)
Таким образом, отвечающий тензорному полиному скалярный
полином второго порядка должен совпадать с порождающей
скалярной функцией f (t) на множестве (спектре) главных значе-
ний тензора-аргумента.
Нетрудно проверить, что условию (1.41) удовлетворяет так
называемый интерполяционный полином Лагранжа — Сильвестра
п (/\ _ ^з) f (t \ I ^1) f (f \ I
8 (0 - f (/1) + (h-h) f +
I (1 — h) О М f tf \
+ (<8-<l) (<»-<») П
и, стало быть, по данному определению классической тензорной
функции (Т° = 1)
(T-M)-(T-U) Cf4, , (Т — /8|).(Т — /11) ,/М1
f (T)-(4 — /.) f «—)'f (*2) +
I (T-MHT-M) f (4\ (1 42)
Представление функции получено нами, исходя из канони-
ческого разложения (1.25а). Но оно справедливо для любого
тензора с некратными главными значениями [12, 45].
В качестве приложения полученных зависимостей подсчитаем
/(К) = ек, где К — кососимметричный тензор (1.30). Составляя
для К характеристическое уравнение (1.14)
t —<й О
находим
— Zco, /2 — —i (о, /3 — 0,
/(10 = 6'“, f(/2) = e-‘“, Ж)=1,
и по (1.42)
ек = 1
sin со IZ , 1 — cos о)
ш * "I to5
Подставляя сюда тензоры (1.30), (1.32) и К2 = —<о2 (е^ 4-
4- е2е2), получаем
ек = cos со (е^! 4- е2е2) 4- sin <в (eje2 — е^) 4- е3е3.
Сопоставление полученного выражения с (1.34) показывает,
что ек — ортогональный тензор первого рода. Таким образом,
15
ортогональный тензор первого рода Q выражается через косо-
симметричный К соотношением
О___ । , sin to j, , 1 — cos ш
4 Т ш ш2
к2. (1.43)
С вектором большого поворота абсолютно твердого тела
<» = со^х 4- co2es 4- ю,е3 (1-44)
обычно связывают кососимметричную матрицу 0 —<о3 (о2
/С = со3 0 —©х . —со2 0 (1-45)
Подставляя ее в отвечающее (1.43) матричное равенство (I —
единичная матрица, <в = + <в|)
q = i + 2!1S-K + L^K!,
получаем
Я11 Я12 Я13 1 0 0
Язх Я22 Язз = cos со 0 1 0 4-
Ям Язз Язз 0 0 1
0 - —со3 со2 2 (01 (0](02 (01 (Оз
। sin ш + со (о3 0 —(Bj 4- — — cos со CD8 COjCOj й>2 (02(0з . (1 46)
—со2 coj 0 (О](Оз СО2СО3 2 ©3
Выясним геометрический смысл величин qtJ. Для этого напра-
вим третью координатную ось вдоль оси поворота. При этом
со, = со, = О, со, = со и соглас-
но (1.46)
cos со — sin со О
<2 =
sin (О
О
cos со О
О 1
Отсюда и из рис. 1.2 усматри-
вается, что Q — матрица косину-
Рис. 1.2 сов углов поворота, отвечающих
вектору углов поворота (1.44).
Поэтому ортогональный тензор первого рода можно рассматри-
вать как тензор поворота. Для абсолютно твердого тела компо-
ненты тензора поворота — постоянные величины. Для деформи-
руемого же тела компоненты могут зависеть от координат. В этом
случае следует говорить о повороте материальной частицы.
16
Из (1.46) усматриваются полезные зависимости
cos (0 = (fhi + Ч22 + Чзз - 1),
т1 _ Чз2 — <?23 т2 _ 913 — ?31 ©3 _ ?21 — 912
© 2 sin© ’ © 2 sin © ’ ш 2 sin © ’
определяющие вектор поворота по известным косинусам углов
поворота.
1.5. Полярное разбиение тензора
Выявим структуру тензора. Прежде всего по (1.17)
(Т* • Т)* = Т* • (Т*)* т* • т
т. е. тензор Т*Т симметричен. А тогда, как было показано
в предыдущем параграфе,
(Т*-Т).а2 = Хга;, (1.47)
где Xj — вещественные главные значения; а2 — главные векторы
тензора Т*Т.
Отсюда и из (1.18)
[(Т*-Т)-а2]а2 = [Т*-(Та2)]-а2 =
= [(Т.аг)-Т].аг = (Т.аг)(Т.а2)^О.
Но по (1.47)
ЦТ* • Т) • аг] • аг = Х2а2а2.
Сопоставление двух последних выражений показывает, что
все главные значения тензора Т*Т неотрицательны.
Ограничимся рассмотрением невырожденных тензоров, для
которых, как уже говорилось выше, Шг у= 0. По (1.11) и хорошо
известным свойствам определителей
ПЬ..г = I nataj I = IМ tij | = (Шт)2 > 0.
Но тогда из характеристического уравнения (1.15), записан-
ного для тензора Т* Т,
X? — 1т*тХ? + Пг».rXi — Шу».г = 0
следует, что Х; 0. Выше была установлена неотрицательность
%,-. Стало быть,
Xi > 0. (1.48)
Пусть Л — симметричный тензор, для которого
Л-а2 =/хга^-
Для него
Л2-аг = Л-(Л-а2) = /х1Л-а2 = х2а2,
17
и сопоставление с (1.47) дает
А = /Т*Д. (1.49)
Таким образом, Л — симметричный тензор с положительными
главными значениями. Такие тензоры называют иногда положи-
тельно-определенными .
Имеется следующее предложение: произвольный невырожден-
ный тензор с вещественными компонентами представим в виде
так называемого полярного разложения:
T = QA, (1.50)
где Л = j/T*-T — положительно-определенный, a Q — орто-
гональный тензор.
Действительно, при Л, определенном выражением (1.49),
равенству (1.50), очевидно, удовлетворяет тензор Q = T A'1.
Остается убедиться, что при этом последний ортогонален. Из
(1.49) и (1.36)
Т* • Т = Л2 Л“2 = (Т* • Т)-1 = Т’1 • Т*-1
Но по (1.17)
Q* = (Т-А-1)* = Л_1*-Т* = Л-1-Т*,
Q*-Q = А-1-(Т*-Т)-А-1 = А1 А2 А1 = 1,
QQ* = ТДА^.Л-^.Т* = (T-T^HT^-T*) = 1,
и предложение доказано. Из доказательства усматривается и
единственность полярного разложения.
Глава 2. ОСНОВНЫЕ КИНЕМАТИЧЕСКИЕ
И ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
В этой главе рассматриваются кинематика, деформация и ди-
намика движущейся материальной частицы тела. Движение опи-
сывается в пространственной прямоугольной декартовой системе
координат. Используется материальный (лагранжев) способ опи-
сания движения, при котором как бы следят за движущейся мате-
риальной частицей. Рассматриваемые величины относятся как
к текущей (деформированной), так и к исходной (недеформирован-
ной) конфигурации тела. Все вопросы, поднятые в этой главе,
рассмотрены с геометрических (кинематических) либо статических
(динамических) позиций вне зависимости от механических свойств
материала.
18
2.1.
Движение и деформация материальной частицы
Пусть
xt = xt (хи хг, х9; t) (i = 1, 2, 3) — (2.1)
движения материальных точек тела в пространстве,
уравнения
отнесенном к выбранной системе прямоугольных декартовых
координат. Здесь хх, х2, х3 — пространственные координаты
движущейся точки, a хх, х2, х3 — материальные координаты,
выделяющие (индивидуализирующие) материальную точку.
Обычно в качестве материальных координат принимают простран-
ственные координаты материальной точки в некоторый фиксиро-
ванный момент времени t = to, т. е. х, = X; |<=<0.
Дифференцирование выражений (2.1) по материальным коорди-
натам приводит к связи между дифференциалами пространствен-
ных (текущих) и материальных координат
dxt = dxa.
дха
Введем в рассмотрение радиусы-векторы
dR = dxpep,
dR = dxYev
(2.2)
и тензоры
R = хвее,
R = xYev,
(2-3)
„ дХИ
F = -т-
dxv
дх,,
F* = еА,
dxv
F~i — dXa
Ь e»e»’
To, что F-1 является в
обратным F, проверяется
F-F-1 = —-
dxv
dxn dxa
F"1* = F*’1 = -^epee.
(2-4)
соответствии с обозначением тензором,
непоср едствен но:
. . _ дхц дха е _ _
dxjT (е*е“) еР — ~g~ Ova^Cf) —
= еие₽ ~ еиеР = °и₽еие₽ = еВе₽ = 1
С помощью соотношений (2.3), (2.4) зависимость (2.2) запишем
так:
dR = FdR. (2.5)
Геометрический смысл введенных величин усматривается
из рис. 2.1: R и R — радиусы-векторы движущейся материальной
точки в начальный и текущий моменты времени; dR и dR —
векторы, определяющие положение произвольной точки малой
19
ЧасТиЦЫ относительно ее центра в начальный и текущий моменты
времени.
Из (2.5) следует, что тензор F определяет локальное движение
(относительно своего центра) точек материальной частицы. Будем
называть его градиентом движения. За рубежом используют
термин deformation gradient, причем deformation имеет более
широкий смысл, чем деформация. Эквивалентом последней яв*
ляется термин strain.
Применяя к градиенту движения полярное разложение (1.50)
и зависимости (1.17), (1.36), (1.37), получаем
F = QA, F* = AQ*,
(2.6)
F1 = А"1 • Q*, F-1* = F*-1 = Q • A1.
Напомним, что здесь A = -j/F*-F —симметричный тензор
с положительными главными значениями, a Q — ортогональный
тензор: Q-1 = Q*.
В механике деформируемого тела под деформацией понимают
движение тела, сопровождаемое изменением расстояний между его
материальными точками. Если указанных изменений не проис-
ходит, тело движется как жесткое тело (абсолютно твердое тело).
Обозначим через
ds = |dR |, ds = | dR |
длины элемента материального волокна в начальный момент
времени (до деформации) и в текущий (после деформации). Тогда
по формулам (2.5), (2.6), (1.17), (1.31)
(ds)a = dR-dR = dR-(F*-F)-dR =
= dR-A-(Q*-Q)-A-d°R = dR-Aa-dR,
т. е.
(ds)2 = dR-A2-dR.
(2.7)
20
Отсюда видно, что тензор X определяет изменение расстояния
между точками материальной частицы, т. е. деформацию.
Рассмотрим движение, дляТ которого F’= Q, т. е. X = 1.
Из выражения (2.7) при этом следует ds = ds, т. е. движение без
деформации — поворот частицы как жесткого целого. Таким
образом, тензор Q определяет поворот материальной частицы
в полном соответствии со сказанным о нем в параграфах 1.3, 1.4.
Пусть еп ё2, е3 — главный (ортонормированный) векторный
базис тензора А. С учетом (1.25а), (1.9)
А = Хаеаеа, А2 = Х«еаеа. (2-8)
В t-м главном направлении тензора dR = ds^i, и по выраже-
нию (2.7)
(dSi)2 = Ц (dsr)2 (е,- • ев) (еа • е.) = (dsrf,
т. е.
Xi = dsi/(dst). (2.9)
Таким образом, главные значения тензора X являются крат-
ностями удлинений материальных волокон, следующих главным
направлениям тензора. Поэтому А будем называть тензором
кратностей удлинений.
Наряду с А используется тензор
A = QAQ* (A==Q*-A-Q). (2.10)
При этом согласно (2.8), (2.10) и (1.18)
А = X(X(Q,ee) (ea-Q*) = Aa (Q-ea) (Q-ea).
Если ввести в рассмотрение орты
= (ё; = О*.еЛ, (2.11)
то
/ А = Хаеаев. (2.12)
Таким образом, А — тензор с теми же, что и у X, главными
значениями, но другими главными осями (направлениями), повер-
нутыми тензором поворота материальной части Q, определенным
полярным разложением градиента движения F (2.6). Далее
А2 = Q-A(Q*- Q)AQ = Q-A’Q*. (2.13)
21
Поскольку произвольная классическая тензорная функция
представляет собой тензорный полином второй степени
(см. параграф 1.4), то исходя из (2.10), (2.13), (1.42)
f(A) = Q.f(A)-Q* f(A) = Q*.f(A).Q. (2.14)
Из сказанного вытекает, что в качестве тензоров деформации
могут быть выбраны в принципе любые из следующих пар клас-
сических тензорных функций f (А) — f (Л), имеющих общие
инварианты — так называемые меры деформации f (kt) — и глав-
ные оси, связанные зависимостями (2.11). При этом указанные
тензорные функции имеют канонические представления
f (Л) = f (Х«) еаеа, f (Л) = f (Ха) еаеа. (2.15)
Приведем наиболее часто используемые тензоры деформации:
Л, Л — кратностей удлинений,
С — Л2, С = А2 — Коши,
Е = (Л2 - 1), Е = 4- (А2 - 1) - Грина,
0 = -4- (1 — Л-2), 6 = -4- (1 — Л"2) — Алманси,
In Л, In А — логарифмических (истинных) деформаций.
(216)
Выбор того или иного тензора деформации (меры деформации)
определяется в конечном счете соображениями удобства рассмо-
трения конкретной проблемы. Разговор об этом впереди, в после-
дующих главах.
Отметим, что внутри каждого из семейств (2.15) тензоры соосны
между собой. Иногда, чтобы четче различать одноименные тен-
зоры обоих семейств, добавляют к первым имя Лагранжа, а ко
вторым — Эйлера. Например, С — тензор деформации Коши —
Лагранжа, а С — Коши — Эйлера. Отметим также, что нет
установившихся названий тензоров деформации: по-разному на-
зывают одни и те же тензоры и, наоборот, одинаково разные тен-
зоры. Помочь здесь может лишь «визитная карточка» (2.15).
Из (2.6) и (2.10) следует также
F = A Q, F* = Q*A,
F-1 = Q*.A-X, F-1* = F*"1 = A-1Q.
C = F*-F, C = FF*, C1 = F^-F'1*, C"1 = F-1*-F-1. (2.17)
22
С учетом соотношений (2.1) и (2.3) векторы скорости и ускоре-
ния материальной точки подсчитывают по формулам (' = d/dt)
V = К = t\ev, Vi = dXi/dt,
w = v = R" — a\e?, Wt = d^Xtldf2.
2.2. Основные деформационные соотношения
Получим необходимые в дальнейшем геометрические зависи-
мости. Прежде всего вдоль i-й главной оси тензора деформации
согласно (2.5), (2.6), (2.8), (2.11) и (1.1)
dR<° = F.dR(0 =
= Q • [Aaea * ^i)] dxi == А/ (Q • dxfii. (2.18)
Обозначим
dV = dR(1) -(dR(2) x dR(3)), dV = dR(1,-(dR(2) x dR(3)).
Объемы материальной частицы до и после деформации находим
с учетом (2.18):
О О О О О О О ООО
dV — dxi dx2 dx^ • (e2 x e3) = dx± dx2 dx3,
dV — K-idx-^dx^dx^-^ x e3) = XjX2X3 dxidx2dx3.
Отсюда и следует выражение для
кратности изменения объема
J = dV/dV = №^3. (2.19)
Рассмотрим элементарный тетраэдр
вырезанный из недеформированного тела
(рис. 2.2) с гранями, проходящими через
главные оси деформации. Обозначая
через dSt площади его граней, через
о °
dSn — площадь основания, а через п —
единичный вектор нормали к основанию,
находим
2dSnn = PiP2 X PiP3 = (dx2e2 — dx^j) х (dx3e8 — dx^) =
= dx2 dx3e1 + dx3 dx^2 4- dxt dx2e3 = 2 dSaea, (2.20)
t. e.
ndSn = tadSa, ntdSn = dSi. (2.21)
Пусть n, dSn, dSt — соответствующие величины в деформиро-
ванном тетраэдре. Очевидно, для него можно использовать
23
соотношение (2.20), произведя в нем замену согласно (2.18):
ег -► ei( dxt -> dxt = Хг dxt.
В результате получаем
2 dSnn = (Х2 dx2) (Х3 dx3) ej -j- (X3 dx3) (Xj dx-i) ea -|-
4* (Xi dxi) (X3 dx%) e3 — 2Х1Х2^з [dSiXi ei -j-
dSzkz 'e2-j- dSfa Ie3] = 2JdSa^alea. (2.22)
Согласно же (2.6), (2.15), (1.18)
e,-F~' = (erA-').Q’ = X"' (erea) (ea.Q‘) =
= X; 1 (et-Q ) = Xf 1 (Q^ef) = Xf *е;.
Отсюда и из (2.21), (2.22) следует равенство
ndSn = n-JF-idS*, (2.23)
известное в зарубежной литературе как теорема Нансона.
Пусть V, 5П — часть тела и окружающая ее поверхность до
деформации, а V и Sn — после деформации. Соотношения (2.19),
(2.23) позволяют переходить от интегрирования по деформиро-
ванному объему и поверхности к интегрированию по исходным,
недеформированным. Так, для произвольной функции W
j WdV = [ JWdV.
v v
(2.24)
Введем в рассмотрение набла-векторы
^ = ^4-, V = ev^-, (2.25)
связанные согласно (2.4) соотношениями
V=F-i*.V, V = F*.V. (2.26)
Известные формулы Гаусса — Остроградского
J dV= \^-dV= J ntWdSn
V ^xi Sn V Sn
после умножения на постоянный вектор et- и суммирования по i
принимают с учетом (2.25) следующий вид:
jv№dV= JnIV'dSn, JvU7dV= J nllZ dSn.
° ° V sJ
V Sn n
24
Напомним, что W — произвольная величина. Если же И? =
= Т — тензор, то, производя под знаком интеграла операцию
скалярного умножения, получаем с учетом (2.23)
J n-TdSn= J V-TdE =
Sn v
= jnJF-WT}dSn= Jv-|F-WT}dV. (2.27)
Согласно правилу подсчета определителя произведения матриц
и соотношениям (2.6) и (1.11) имеем
= Шла = | д21 = | F*-F | = | F* 11 F | = | F |2.
Отсюда и из (2.4) следуют полезные равенства
2.3. Напряжения. Уравнения движения
Из деформированного тела мысленно вырежем часть V, ограни-
ченную поверхностью Sn. Обозначим через р его плотность. Ба-
ланс количества движения выделенной части тела записывается
так:
JfpdV+ JandSn=JvpdV, (2.28)
V sn V
где f — интенсивность действующей на выделенный объем массовой
силы; an = on (R, п) — вектор интенсивности поверхностной
нагрузки, действующей через поверхность Sn и являющейся
функцией двух векторов: радиуса-вектора R точки на Sn и еди-
ничного вектора внешней нормали к ней n = nvev. Вектор ап
называют вектором напряжения. Вектор напряжения, предста-
вляющий возникающие вследствие деформации внутренние силы,
имеет свойство
а(_„) = —ап, (2.29)
являющееся по существу записью закона Ньютона.
Поскольку pdV = dm — элемент массы, интеграл в правой
части интегрального равенства (2.28) — это скорость изменения
количества движения выделенного материального объема. Левая
же часть (2.28) является .главным вектором массовых и поверхно-
стных сил, приложенных к тому же объему. Равенство обеих
частей и есть баланс количества движения. Другими словами,
действующие на выделенную часть тела внешние силы уравнове-
шиваются силами инерции в случае движения или равны нулю
при равновесии.
25
Равенство (2.28) должно выполняться для любого материаль-
ного объема. Применим его к элементарному тетраэдру (рис. 2.3).
Поскольку
dV = 1/6(dr1dx2dx3), dSt = l/2(dxldx2dx3)/dxi,
объемными интегралами, имеющими третий порядок малости,
можно пренебречь по сравнению с поверхностным второго порядка
малости. В результате приходим к равенству
<?п dSn -J- <У(—а) dSa — 0.
Используя равенства (2.29) и (2.21), записанные для деформи-
рованной конфигурации, получаем
Од === (2.30)
Представим веторы at разложениями
аг = (2.31)
и запишем их в виде
ori = erS> (2.32)
где
2 = °а₽е<хе₽— (2.33)
так называемый тензор истинных напряжений Коши или просто
тензор напряжений. Знание его позволяет определить вектор
Рис. 2.3
напряжений на площадке любой ориентации. Действительно,
подставляя (2.31)—(2.32) в (2.30), находим
On = П- s = МЛ (стп), = пааа]. (2.34)
Используя соотношения (2.31) и (2.29), покажем на элементар-
ном прямоугольном параллелепипеде (рис. 2.4) положительные
направления компонент тензора напряжений. Из рисунка ясно,
почему компоненты с одинаковыми индексами называют нор-
мальными напряжениями, а с разными — тангенциальными на-
пряжениями.
Подсчитаем главный момент приложенных к рассматрива-
емому параллелепипеду поверхностных сил относительно оси,
26
проходящей через центр параллелепипеда параллельно оси х3:
(ai2dx2dxa) dx2 — (а2у1ху1ха) dx.2 = (a12 — o2]) dxylxgdxg.
Поскольку главный момент должен равняться нулю, отсюда
следует первое условие симметричности тензора напряжений
°21 = °32 — СТ23> 013 = °31 : Ojj = Uji, 2* =
Остальные выводятся аналогично.
Вернемся к соотношению (2.28). Согласно (2.34) и (2.27) по-
верхностный интеграл в нем можно записать так:
jondSn= Jn-SdSn= j n-JF"1-J 2) dSn. (2.35)
Sn Sn sn
Если ввести вектор напряжений в расчете на единицу исходной
недеформированной материальной частицы
о о = (о„ dSn)/dSn = (dSn/dSn) ап, (2.36)
то, очевидно,
J Од dSfi ==: J о о dSn-
о оJ П
П Sn
Сопоставление последнего равенства с (2.35) дает
Oo = n.{F"CJ2b (Oo)/=na|E-1-J2U/- (2-37)
Несимметричный тензор {F-1.J21 называют номинальным
тензором напряжений, сопряженный с ним тензор —
первым (несимметричным) тензором Пиала — Кирхгофа, a J2 —
тензором напряжений Кирхгофа.
Получим уравнения движения материальной частицы. Со-
гласно (2.34) и (2.27)
jOndsn= Jn-2dsn= Jv-2dv.
sn sn v
Подставляя это выражение в (2.28), получаем с учетом произ-
вольности объема и соотношений (2.33), (2.25) уравнения движения
в деформированной конфигурации тела
да ,
V-S + p(f-w) = O, + = (2.38)
Пусть р — плотность материала в недеформированной кон-
фигурации. Для материальной частицы существует закон сохра-
нения массы
(dm=)pdV = pdV, (2.39)
27
констатирующий сохранение массы деформируемой материальной
частицы. Из него и (2.19) следует другая форма записи закона
сохранения массы:
р « p/J. (2.40)
Вернемся к равенству (2.28). Из (2.35) и (2.27) следует
f<TndSn = fvjF-W^dV.
Sn у
Подставляя это выражение, а также (2.40) в (2.28), получаем
с учетом (2.24) и произвольности объема уравнения движения
в недеформированной конфигурации
v4F-wzHp(f-w) = o, + =
дха
(2-41)
2.4. Работа напряжений
Подсчитаем работу, совершаемую действующими на тело
внешними силами на вариациях координат материальных точек
6хг. Обозначая через 8W плотность этой работы в расчете на еди-
ницу массы, получаем интегральное выражение
(6 HZp dV = ((оп)р dSn + f /рбхрр dV — [ пУр dx$p dV,
v sn . v v
где (оп) рбхр, /рбхр, —йУрбхр — плотности работ поверхностных,
массовых и инерционных сил.
При помощи соотношений (2.24), (2.39) и (2.36) перейдем к ин-
тегрированию по недеформированным объему и поверхности:
J 6№р dV = J (о») бхр dSn + J (fp - гор) 6х₽р dV. (2.42)
О О * Л “ О
V sn V .
С учетом уравнений движения (2.41) и (2.4) преобразуем пос-
ледний интеграл:
[ (/р - Шр) бхрр dV = - [ dy =
о о ЙХф
V V
J дха J дхл
V V
= - jna^-1--/2}a(»6xpdSn+ J {F’1-JZ^F^dV.
Sn V
SB
Подставляя предыдущее выражение в (2.42), получаем с учетом
(2.37)
f p6 W = f {F-l.J
V V
В силу произвольности объема и (1.9) имеем
рб№ = {F^-J^bF^ = J (F-%v<M6f₽a- (2.43а)
Согласно (2.6)
(F 1)ау = (Л 1)av Qvf = (Л 1)av Qyvi
Ра = ® О/РцЛця) — Лца 4“ 6Ли(1
И
рб№ = J [(A-1)av q^ + ^рцбАцц,)]. (2.436)
Преобразуем подчеркнутую в (2.436) сумму:
[Лца 1)avl Pyp9vv®9pli ~ ®uvpyp9vv®^Pi* = ОуР^да^/Рц-
Варьирование условий ортогональности (1.4) q^tn = бодает
<7?ц^7рц = —9pn^9w Отсюда находим, меняя индексы суммирова-
ния и используя симметричность тензора напряжения,
Р?Р?УЦ^Р11 ~ °уР<7рЦ^?УИ==
= ~стРАи6<7Ри = ~ Рур?уц&7рц-
Таким образом, подчеркнутая в (2.436) сумма равна нулю,
и с учетом (2.6) и (1.9), (1.16)
рбЦ7 = [J (Л 9v?p?p9pii] =
= {A-^Q*.JS.Q}a|l6A11a =
= {F"1.J2.Q}:6A. (2.44)
2.5. Сопряженные пары тензоров
Вернемся к соотношению (2.44). Разбивая с учетом (1.17)
тензор F-1-J2’Q на сумму его симметричной и антисимметрич-
ной частей и учитывая свойство (1.38), запишем (2.44) в виде
рб«7 = 7, {F"1-J 2• Q + Q*. J 2 • Г»}: 6Л.
В левой части полученного равенства — плотность (в расчете
на единицу недеформироваиного объема) работы напряжений.
Следуя Р. Хиллу [55], будем называть тензоры, свернутые в пра-
29
вой части, сопряженной парой тензоров. Таким образом, нами
получена четвертая из следующих пяти сопряженных пар тен-
зоров
э э
2 Е
I F-WS-F-i* i/2C = i/2A2
или Е — */8 (А2 — 1)
II F*-J£.F ^1/2С-1=:-1/2Л-2
ИЛИ 6 — !/2 (1 — Л-2)
III Q*J£Q т
iv 1/2(F'1^2-Q + Q*-/S-F"1*) л или л —1
v 1/2(F*.7£.Q+Q*-.72.F) —Л-1 или 1 — Л-1, (2.45)
удовлетворяющих соотношению (6Е = Е'6/)
р6№ = J : Е'6/ (2.46)
и представляющих собой как бы пару обобщенная сила — обобщен-
ное перемещение. Остальные пары выводятся путем аналогичных
преобразований.
Тензор F-1-J2'F-1* называют в зарубежной литературе
симметричным (вторым) тензором Пиала — Кирхгофа, a ^(F-1 X
X J2 Q + Q* -F-1*) — симметричным тензором Био.
Систематический вывод (которому мы следовали) дан Р. Хиллом
[55]. Пятая и, по-видимому, последняя пара получена автором.
Что касается тензора Т, то он определяется соотношением
О 0 0 о о
г = 1/2 (Л'-Л-14-Л-1-Л').
Для изотропно упругого материала и деформации с сохране-
нием главных осей можно принять Т = 1п Л.
Используя соотношение (2.43а), можно прийти к шестой
(номинальной) паре сопряженных тензоров
Э 3
2 Е
VI F-W2 F
Таким образом, шестую пару сопряженных тензоров соста-
вляют тензор номинальных напряжений и градиент движения.
В отличие от первых пяти последняя пара сопряженных тензоров
зависит не только от деформации, но и от поворота материальной
частицы.
Отметим, что значительно ранее вопрос о сопряженных парах
тензоров был рассмотрен в работе В. В. Новожилова [39],
30
2.6. Вектор смещения
В механике деформируемого тела широко используется вектор
смещения
u = R — R
= ыа(Х1, х2, х8; 0е<х> (2.47)
характеризующий (в полном соответствии со своим названием)
смещение материальных точек в процессе движения (деформации).
Согласно (2.3), (2.4) отсюда следует
Xi = х, + щ (Xi, ха, х3; t), (2.48)
/» дии \ / „ duv X
F — I ~ I F* = I ®[ivH ° I (2.49)
\ дху/ \ дхц /
Если ввести в рассмотрение градиент смещений (тензор дистор-
сии)
° а“|»
Vll 5
dxv
ТО
F = 1 + Vu, F* = 1 + (Vu)*. (2.50)
Введем в рассмотрение тензоры
E = 1/a(F + F*)— 1, й = Va (F — F*), (2.51)
играющие фундаментальную роль в линейной теории упругости.
Подстановка выражений (2.49), (2.50) в (2.51) приводит к соотно-
шениям
Е = 1/2 [Vu + (Vu)*]
(ди. ди. X
5 I о I ’ (2.52)
дх} dxt /
Й = Va [VU - (VU)*]
/ ди. ди. X
= ®apeaep, <s>l} = Va -5-------Л . (2.53)
\ dxj dxf / '
Из зависимостей (2.51) и (2.6) следуют соотношения
F = 1 + Е + fl, F* = 1 + Е - Й, (2.54)
Е = ^(Q.A + A.Q*)- 1, fl = 1/a(Q-A-A-Q*), (2.55)
связывающие имеющие явный (выявленный выше) геометрический
(кинематический) смысл тензоры F, Q, А с тензорами Е, Й,
линейно связанными с производными смещений.
31
Наконец, согласно (2.16), (2.17), (2.50)—(2.52)
° о о ди dun
Е = Е + % (Vu)*• Vu, ег; = ei} + V2 -Л □-
dxt дх^
2.7. Малые смещения.
Геометрически линейные зависимости
При рассмотрении широкого круга проблем теории упругости
можно считать смещения малыми, так что по (2.48), (2.25) можно
принять
xt = xit V = V. (2.56)
Таким образом, при написании различных зависимостей можно
не различать положения материальных точек до и после дефор-
мации. При этом по (2.53)
—‘/.(-Й-Й-). ».-*/.(£-».
“• = *'(-§-—S')' »“*/.rota.
Малость перемещений уточняется [40] требованием для соА
и вц быть величинами одного порядка малости. При этом
Е = Е,
Л« 1 + Е,
еи = еИ'
Л"1 « 1 - Е
(2-57)
или более общо по формуле Тэйлора
f (Л) « f (1) 1 + г (1) Е, f (Л) « / (1) 1 + f (1)Е. (2.58),
Из (2.57) следует
кг«1+ег (6i«l),
(2.59)
где ег — главные значения линеаризованного тензора деформации
dut
дх.
Е — eapeaeg, в(-у — V2
Согласно (2.59) имеем
1(Ля-1)/Л l£> П(Л«-1)/п
где
п£, ш(лП_1)/л«шд,
Е = е1 + е2 + е3
е11
e2i
еи
б21
е31
HS ---- 61^2 -|- 63^! —
шя =
= еп + е22 + е33,
е12
е22
е12
е22
в32
е11 е13
е31 е33
е13
е23 .
е33
ев2 ^23
е82 е33
32
Далее с учетом равенств (2.19), (2.59) |s-§
J tv (1 + ej (1 + е2) (1 + е3) ~ 1 + (et + е2 + ^з)» —-1
т. е.
J 1 - = 1Е. (2.60)
dV
Таким образом, в геометрически линейной теории первый
инвариант (линейного) тензора деформации отождествляется с от-
носительным изменением объема. С принятой точностью в соотно-
шениях, где J входит множителем, а не в комбинации J — 1,
следует положить J — 1.
С учетом (2.56) уравнения движения (2.38) записываются
в виде
cta„,
V-S + p(f--g-)=O,
Задавая на части поверхности Su значения смещений, а на
— напряжений, получаем [см. (2.34) ] геометрические гранич-
ные условия
Ut = gi (хъ х2, х3) (xt С Su),
силовые (статические) граничные условия
naGaj = fi (хъ Х2, Х3) (Xt £ S„).
Глава 3. ЗАКОН УПРУГОСТИ
В этой главе дается вывод закона упругости с учетом больших
деформаций. Рассмотрен случай внутренних связей. При этом
большое внимание уделяется практически наиболее важному виду
внутренних связей — условию несжимаемости.
3.1. Градиентальные и квазиградиентальные функции
симметричного тензора
Рассмотрим симметричный тензор А с главным векторным ба-
зисом еп е2, е3, в котором имеется каноническое представле-
ние (1.25):
А = Oie1ejl | - а2е2е2 | - а3езе3.
С учетом (1.9), (1.1) находим отсюда
*22 ,2 ,2
А = tZiejCi -|- 02^2^2 “Г £36363.
Добавим сюда единичный тензор (1.32):
1 = е^! | -е2е2 | -е3е3.
2 Черных К- Ф. 33
Нетрудно проверить, что при некратных главных значениях
(A_a.l).(A-aftl)
(ai-ai) (ai~ak)
(»=/= i ¥= k=t= i).
Таким образом, классические тензорные функции (1.42) сим-
метричного тензора-аргумента имеют вид
f (А) = f («1) ел + f (а2) е2е2 + f (а3) е3е3. (3.1)
Рассмотрим тензорные функции более общего вида. Пусть
Ф (ahl) — некий инвариант тензора А. Рассмотрим величины
дФ/datj. При переходе к новым (со штрихом) координатам имеем
согласно (1.8) a.ki = Поэтому с учетом известного
правила дифференцирования сложных функций
ЭФ ___ ЭФ Эа7е ___ ЭФ
да'И ~ Эа?6 Эа;.у — Эат6
Отсюда и из (1.8) следует, что величины дФ/дац являются
компонентами тензора
ЭФ _ ЭФ
ЭА ~ ЭааЭ е“еР’
(3-2)
который будем называть градиентной тензорной функцией.
В главном векторном базисе тензора A atj = и
ЭФ ЭФ .ЭФ .ЭФ
~dh ~ ~д^ eiei + ~д£ е2®2 + ~даГ езвз' (3,3)
Последовательно принимая в качестве инварианта Ф главные
значения а2, а3, получаем
ЭЭ2 Эо2 Эоч .л ,.
= <3’4)
Согласно же (1.11)
Э1л _ 1 ЭНл т
да.[ ’ дсц А ‘ ’
Отсюда и из (3.3), (3.4) получаем
вания сложной функции
4т-=1, = U1 - А,
аА dA л ’
Пл — О1О2 -|- О2О3 -|- О3О1, П1л — О1Й2^3>
= Шла?1.
да,
по правилу дифференциро-
441 = ИЦА’1.
ЭА' л
(3-5)
Из (3.3) и (3.1) усматривается, что рассмотренные в гл. 1
классические тензорные функции симметричного тензора яв-
ляются частным видом градиентальной функции, отвечающей
Ф = J f («1) Лец + J f (а2) da2 + J f (а3) da3
34
С учетом выражений (3.1) и (3.3) можно ввести в рассмотрение
и более общие квазиград ментальные тензорные функции симметрич-
ного тензора:
/(А)~ = -^--/(А) =
' ' 7 яА дА 1 v 7
г / \ дФ । г / \ дФ г £ \ дФ
= f («1) -g^ ел + f («2) -g^ е2е2 + f (а3) ~g^ е3е3. (3.6)
Отметим, что все три рассмотренные типы тензорных функций
симметричного тензора А соосны ему.
3.2. Закон упругости для изотропного материала
Рассмотрим две деформированные конфигурации (1) и (2).
Переход из первой во вторую сопровождается плотностью работы
напряжений
(2) о
р61Г. (3.7)
(Г)
Эта работа, вообще говоря, зависит от пути деформирования,
т. е. от того, как изменяется деформация при переходе от первой
к второй конфигурации.
Характерным свойством упругого материала является то, что
для него работа напряжений определяется начальной и конечной
деформированными конфигурациями, вне зависимости от пути
деформирования.
Как следует из (3.7) и (2.46), независимость интеграла (3.7)
от пути деформирования влечет
р6№ = 6Ф (8Лг) = Ф'б/, (3.8)
9
где Ф (е*;) — некоторая функция компонент тензора деформации
из пары сопряженных тензоров (2.45), называемая плотностью
(в расчете на единицу недеформированного объема) энергии де-
формации. В случае упругого материала сопряженные пары
тензоров можно называть энергетическими парами тензоров.
В дальнейшем будем считать, что аргументы (равные между
э э
собой) 8ц и ел входят в плотность энергии симметричным об-
разом.
Выберем в качестве энергетического тензора деформации
тензор кратности удлинений X. Тогда
ф = ф(Х*г),
и по (3.8)
pSIF^-^-SA^.
2*
35
Отсюда и из (2.44)
J (Л 1)av
дФ '
^Лца
6Лца = 0.
(3-9)
В силу произвольности вариаций 6Л,у следует равенство
нулю всех скобок
г /л-1\ / . \ дФ
J (Л 1)1V (flvvffvpflpy)-------в—
ало-
дФ \
дДц )
(З.Ю)
Плотность энергии деформации можно записать и так:
Ф = Ф (Х1; Х2, Х3; а, р, у),
где а, 0, у — углы, определяющие направление главных осей
тензора кратностей удлинений.
Такая форма записи подчеркивает то обстоятельство, что
накапливаемая телом энергия деформации зависит не только
от значения деформации (определяемой главными кратностями
удлинений Хп Х2, Х3), но и от направления деформации. Такую
зависимость от направления называют анизотропией механиче-
ских свойств материала, а сам материал — анизотропным. Анизо-
тропны многие как естественные, так и искусственные материалы
(кристаллы, текстуры, древесина и т. п.).
Существуют и широко используются материалы, анизотропией
механических свойств которых можно пренебречь ввиду ее ма-
лости. Такие материалы называют изотропными. Примером могут
служить поликристаллические металлы, стекло, резины и т. п.
Для изотропных материалов
Ф = Ф (Хх, Х2, Х3) (3.11)
и, стало быть, применимо сказанное в параграфе 3.1 относительно
квазиградиентальных функций. Так, из (3.10) следует
A-1.((F.JS.Q) = -^-
dA
или после скалярного умножения слева на А
Q*.J£.Q = к~. (3.12)
ал
В главных осях тензора А согласно (2.8), (2.11), (3.3) и (1.18)
^ = Q-[^-^-ea(ea.ep) ep].Q* =
= К «ар (Q-M (вр-Q*) = Xe (Q-^) (Q-ee) = Ха еаеа
36
Отсюда и из (2.15) усматривается, что для изотропного упру-
гого материала тензор напряжений соосен с тензором деформации
/ (Л). При этом
Jgi = ^~. (313)
Для изотропного упругого материала замена X, X; должна»
в силу равноправности осей, влечь за собой замену at оу
Из (3.11), (3.13) при этом усматривается, что Ф (Х1; Х2, Х3) должна
симметричным образом зависеть от своих - аргументов. Этому
требованию удовлетворяет
Ф = Ф(1/(Л), П/(л)> П1/(Л)),
где
If (л) = ИМ) + /(Х2) + /(М.
Hf(A) = f(M/(M + /(^)/(^) + /(M/(M. (3-14)
IIIf(A) = /(X1)f(M/(U
При этом согласно (3.13), (3.6) и (3.5)
= (А)-Л =
W)
<ЭФ
~ д[ (АД f
5Ф . т <ЭФ \ -
Щ Г Ч (Л) ат т I *
011f(A)/
- -jH— f (Л) + ш, (Л) г (Л))-г (Л)• л.
0И/(Л) °Uf(A) /
Скалярно умножая это равенство слева на F-1 = Л-1. Q*
и используя (2.14), получаем
(3.15)
(3.16)
дФ , т ёФ
дТ^ + ч^-дй^
а11ЦЛ.)
Л(Т) ° 1 °
+ III/(A)^— г (Л) -f(A).Q*. (3.17)
Olllf(A) J
Часто употребляются тензоры деформации А", Л" (меры
деформации f (Xz) = %?). Для них соотношения (3.15)—(3.17)
переходят в следующие:
= (3.18)
С7Л,-
r Vi Г / дФ I т \ Ал А2л I Т Т Т 1 1 •
J^i~n I 51 П + 1дл ан А — эп Л + ШЛ„ эш 1 ,
\ Л Л / Л“ Art
(3.19)
37
-a^7i2n + IIIA"^fr71l-F-1- (3-20)
A Az*
В частности, для тензора кратности удлинений Л и Коши
IF-WSI - ( "-+ 1л^г)0‘-^Р<+Шд Д-Г>, (3.21)
IF’*- /SI = 2 + !с F* - С- F* + ШсГ*] .
(3.22)
Введем в рассмотрение тензоры
2 = (Q*.JrS’Q).A~1-f(A)"1, Е = /(Л). (3.23)
Считая для простоты, что главные оси тензоров не поворачи-
ваются (е, постоянные), имеем согласно (3.12), (3.6)
2 = — 7(A) г= f М 11Г-еаеа,
dX
э о о Э. ,о о (3.24)
Е = f (Хр) ервр, Е ---f (Хр) Хрврвр.
Отсюда и находим
Это равенство может быть получено и для подвижных главных
осей.
Согласно равенствам (3.8) и (2.46) из последнего соотношения
следует, что величины (3.23) можно рассматривать как пары об-
общенная сила — обобщенное смещение. Поэтому пары величин
(3.23) можно называть энергетическими парами: энергетический
тензор напряжений — энергетический тензор деформации
(выше эти термины фактически уже использовались).
В параграфе 2.5, где не предполагались изотропия и упругость
материала, было введено пять пар сопряженных тензоров. Из
(3.23) усматривается, что для изотропного упругого материала
число сопряженных пар — теперь энергетических — неизмеримо
возрастает. Нетрудно видеть, что четыре из пяти пар (2.45) входят
в множество (3.23). Можно показать, что для изотропного упругого
материала тензор f в (2.45) можно заменить на In Л.
Из (3.24) следует
4 _ дФ (Лй) ° ° _ <ЭФ [f (ЛО1 ; °
Г (М дка е“е“ ~ df (Ла) е“е“-
38
Отсюда и из (3.3), (3.23)
X дФ 4 dd>
ЗЕг dE
(3.25)
т. е. энергетические тензоры связаны градиентной зависимостью.
3.3. Внутренние связи
Вернемся к соотношению (3.10). Оно было получено из равен-
ства (3.9) в силу произвольности 8Atj. Последние, однако, не яв-
ляются произвольными в случае, если на деформации наложены
некоторые внутренние связи. Рассмотрим три типа таких связей,
наиболее часто используемых.
1) . Несжимаемость. Варьируя условие* несжима-
емости материала ША — 1=0, получаем с учетом (3.5)
S (ШЛ - 1) = 6Лца = III (Л"1)ца 6Лца = (Л-1)ца 6Лца = 0.
(3.26)
Умножая полученное условие на произвольную вещественную
функцию (—р) и прибавляя к равенству (3.9), находим (J = 1)
(Л ')«v Р (А ')ца
с)Ф
дЛца
8Лца — 0.
Из-за связи (3.26) здесь уже нельзя считать все бА^- линейно-
независимыми: одна из них линейно зависит от всех остальных.
Выберем функцию р так, чтобы скобка перед зависимой вариацией
была равна нулю. Поскольку остальные вариации линейно-
независимы, равны нулю и остальные скобки, т. е.
о „о ЛП>
(Л ),v (flvvO'vP^p/) Pt(A ')г/ = ;—
ал,-;
или
о о /7(Т)
A-i.(Q*.S.Q)-pA-i = —
dk
либо, наконец,
Q*.(S — pl)-Q = А-—.
dX
Таким образом, для несжимаемого материала тензор напряже-
ний определяется с точностью до произвольного всестороннего
давления. В упругом же законе необходимо провести замены
S^-S-pl, —pF-1. (3.27)
39
2) . Сохранение прямого угла. Пусть 1 и m
ортогональные между собой малые векторы, так что Ьт = 0.
Согласно (2.5) они переходят в векторы F-1 и Fm. Пусть послед-
ние остаются ортогональными;
(F-l)-(F-m) = 0,
т. е. определяемый векторами 1 и m прямой угол не скашивается
при деформации. С учетом зависимостей (1.18), (2.6) это условие
можно преобразовать к виду
(F-l)-(F-m) = l-(F*-F)-m = 1Л2т = = 0.
Варьируя это условие и меняя индексы суммирования, полу-
чаем
Zg (&АцаЛа.у 4“ Аца 6Аа^,) Шу — (/цЛа^/Пу —/уЛ^/Пц) 6Лца = 0.
Умножая эту связь на произвольную вещественную функцию
(—р) и прибавляя полученную зависимость к равенству (3.9),
находим, как и выше,
/ (Л x)iv (flvyO’vpflp/) р (liA.i7mv ,
т. е.
A-HQ^S-Q)-?!! (A.m) + m(A°-l)] = —
dk
или с учетом (2.6)
Q*. (JS - р [(F• 1) (F-m) + (F• т) (F-1)]} • Q = А--^-.
dA
Таким образом, для материала с неискажаемым прямым углом
тензор напряжений определяется с точностью до произвольной
тангенциальной компоненты в осях, определяемых сторонами
этого угла. В упругом же законе необходимо произвести замены
JS -> JS - р [(F• 1) (F• m) + (F• т) (F• 1)],
{F-1-JS) (Г1-JS) - р [l(F-m) + m(F-l)].
3) . Нерастяжимость в данном направле-
нии. Будем считать, что материальное волокно в направлении,
определяемом малым вектором 1, нерастяжимо. В процессе де-
формации вектор 1 переходит в F.1, и условия нерастяжимости
имеют вид
(F-l)-(F-l) = 1-1
или с учетом (1.18), (2.6)
(F.l).(F-l) = b(F*-F).l = БАМ = ZUA,JUV = Z^.
40
Повторяя преобразования, проделанные в случае 2), получаем
Q*-[72 — р (F-1) (F- 1)]-Q =
dX
Таким образом, для материала, не растяжимого в данном
направлении, тензор напряжений определяется с точностью до
произвольной нормальной компоненты, отвечающей направлению
нерастяжимости. При этом в законе упругости необходимо про-
вести замены
72^-72-p(F-l) (F-l),'
}F"1-72}-^{F-1-72} — pl (F-l).
(3.28)
В последующих главах будет показано, что обусловленные
внутренними связями произвольные функции определяются из
динамических (статических) зависимостей.
3.4. Закон упругости
для несжимаемого изотропного материала
Для несжимаемого изотропного упругого материала
J = ХД2Х3 = | Ftj | = | dxtldXj |=1,
и, поскольку П1Л„ = Jn = 1, можно считать Ф = Ф (1Д„, 11лП).
Используя замены (3.27) и включая в произвольную функциюр
член пШдпдФ/дШдп, получаем из соотношений (3.18)—(3.22)
« п дФ ,
СТ/ = ПЛ/------— -г- р,
&kni г
(3.29)
2 = п
<ЭФ
5Ил«
Л2"
+ Ph
{F-- • 72} = и Г + 1л„ Л" - Л-1 • F-> + pF-.,
Да" л” / лп
{F-..J2} = ia^L)q*__^_F* + pF-\ (3.30)
\ Л л / л
{F-..J2} =2 [(-|£+ Ic-^)F*--^-C.F*]+pF-i. (3.31)
Сопоставление полученных соотношений с соответствующими
зависимостями в параграфе 3.2 показывает, что соотношения для
несжимаемого материала могут быть определены из соответству-
ющих равенств для сжимаемого материала путем замен
7->1, ШЛ„->1, дФ/дШл„-> р/п. (3.32)
41
3.5. Закон Гука и его обобщение
на большие деформации
Будем считать деформации малыми. С учетом упрощений
(2.58), (2.57) выражение (3.16) для f (Л) — Л — 1 можно записать
в виде
S да (~ + 1Е 1 - Е + ШЕ-^- Е~*.
\<Э1е 1 Л <ЭПе / д! 1е ЭШе
В силу малости компонент ei} сохраним в написанном соотно-
шении лишь линейные по ним слагаемые. Для этого следует
прежде всего отбросить подчеркнутый член. Структура оставшихся
членов показывает, что упругий потенциал может содержать
инвариант 1Е в степени, не выше второй, а ПЕ — не выше первой,
так что
ф = AI2e + CIe h ВПе, 2 = (24 + В) IeI - BE + С1.
Пусть при отсутствии деформации равны нулю и напряжения,
т. е. отсутствуют начальные напряжения. При этом, очевидно,
С = 0. Заменяя обозначения постоянных В -> —2ц, А -> 1/2(Х +
+ 2ц), приходим к закону Гука для изотропного материала
2 = МЕ1 4-2цЕ, (3.33)
отвечающему квадратичному по компонентам деформации упру-
гому потенциалу
Ф = 1/2(^ + 2ц)1е - 2ц11е. (3.34)
Здесь X, ц — упругие постоянные Ламе, связанные с модулем
Юнга Е, коэффициентом Пуассона v, модулем сдвига G и модулем
объемной деформации К соотношениями
H = G= 2(1+v) ’ 1 =(l+v)(l-2v) =/С(1 “If)’
-Ж ’
Вернемся к упругим законам, установленным в параграфах
3.2, 3.4. Естественно потребовать, чтобы при малых деформациях
они переходили в закон Гука (3.33). Выявим ограничения на упру-
гие потенциалы, обеспечивающие автоматическое выполнение
этого требования. При малых деформациях согласно (2.59), (2.60)
ОЛ( \ дк; /Xfe=l 1 \ dt.i ока 7
и закон упругости (3.13) приводится к виду
42
В силу предположенной в параграфе 3.2 симметричности
потенциала по его аргументам
/ дФ \ _ / ОФ \ _ / ОФ \
\ ОЛ.! — \ 0Х2 />.й-1 ~ \ дк3 /zft=i ’
/ д2Ф \ _ / 02Ф \ _ / 02Ф \
X ОХ? /хй=1 — X дЦ Ай=1 ~ \ дЦ Afe=i ’
/ (РФ \ _ / 02Ф \ _ / 02Ф \
X dAiOA.2 /Хй=1 — X <ЭХ2 <?Л.3 Лй=1 ~~ v <ЭХ3 <ЭЛ1 /лй=1
и предыдущие равенства преобразуются к виду
Закон Гука в главных осях имеет вид [см. (3.33)]
о, = XIЕ + 2рег. (3.37)
Сопоставление равенств (3.36) и (3.37) приводит к ограниче-
ниям на упругий потенциал сжимаемого материала
Для несжимаемого материала закон Гука записывается в виде
ог = р + 2цег
и сопоставление с выражением (3.36) приводит к ограничению
на потенциал для несжимаемого материала
. д2Ф \ _ / 02Ф \ . / дФ\
. dtf /xfe=i х ОХ15Х2 /хй=1 \ 0X1 /лй=1
(3.39)
С учетом выражений (3.14) нетрудно записать полученные
ограничения в терминах главных инвариантов. Так, для сжима-
емого материала соотношения (3.38) переходят в следующие:
Ф? + /(1) <1>2 = 2ц/(1)/Г(1), Фг+/(1) Фз = —2p./f'! (1),
Ф?, + 4/(1) Ф?2 + 2/2 (1) Ф?3 + 4/2 (1) Ф^2 + 4/3 (1) Ф23 +Z4 (1) Фзз =
= (X + 2ц)//'2 (1),
где использованы обозначения
фО _ / д® \ (DO / 02Ф \
I О!,,., h ’ 12 — I <ЭЕ ...511,... L
\ I (Л) /^=-1 \ / (Л) / (Л) / = 1
43
в частности, для степенных мер деформации (/ (Л) = Л", f (1) =
= 1,/' (1) = п)
Ф? + = 2цц-2, Ф°2 4 Ф? = -2рГ2,
Ф11 + 4Ф?2 + 2Ф?з + 4Ф22 + 4Ф°23 + Ф^з = (Л 4 2р)/п2.
Для несжимаемого материала ограничение (3.39) переходит
в следующее:
Ф? + Ф° = 2цп~2 = 2/3Еп~2. (3.41)
Согласно первому из равенств (2.58) тензор (Л" — 1)/п пере-
ходит при малой деформации в линейный тензор деформации Е.
Поэтому, подставляя его инварианты в упругий потенциал, отве-
чающий закону Гука, получаем так называемый стандартный
материал п-го порядка, определенный для произвольной дефор-
мации и переходящий в закон Гука при малой деформации. При
этом согласно (3.34), (3.19), (3.20)
Ф = % + 2р) 1(Лл_!)/п — 2рП(лп_1)/л =
= [>/2 (X + 2р) (1Л„ - З)2 4 4И (1Л„ - 3) - 2р (Пдп - 3)] п-\
JZ = п-1 {[X (1лп — 3) - 2р] Л" + 2рЛ2п), (3.42)
{F-1 • JS} = п-1 ([X (1Л„ _ з) - 2р] Л" 4- 2рЛ2Д • F-1.
Стандартный материал 1-го порядка (n = 1) называют мате-
риалом Джона [81] или полулинейным [32]. Для него согласно
(3.42) и (2.6)
Ф = V2 (X + 2И) (1Л - З)2 4- 4И (1л - 3) - 2р (Пл - 3),
J2 = [X (1л _ 3) - 2р] Л 4 2рЛ2, (3.43)
{F-1-= [Х(1Л - 3) - 2р] Q* + 2pF*.
Для практического использования обычно более удобен стан-
дартный материал 2-го порядка (п = 2), для которого согласно
(3.42) и (2.6), (2.16)
Ф = % (X + 2р) (1с - З)2 4 И (1с - 3) - 1/2Н (Пс - 3),
«72 = [%Х(1с - 3) - ц]С 4 рС2, (3.44)
{F-1 - = р/2Х(1с — 3) -- ц] F* 4- рС • F* = XIeF* + 2pE-F.
Отметим, что стандартные законы не являются линейными по
компонентам деформации |см. вторые выражения в (3.42)—(3.44)],
несмотря на то что упругий потенциал связан с законом Гука
44
Объясняется это тем, что в приведенных соотношениях связы-
ваются величины, не являющиеся энергетическими парами.
Умножим скалярно последнее из выражений (3.44) справа
на F-1*. В результате приходим к первому из следующих, выводи-
мых аналогично, соотношений:
I. {F-W2-F-1*} ==Х1е14-2цЕ;
П. {F*-JS-F} ==Х1в1
III. =XIinAl + 2filnX; (3.45)
IV. V2 (F-1-J2-Q + Q*. JS.F’1*) = Mca-oI + 2И(X — 1);
V. »/2 {F*-JS-Q + Q*- JS-F} = XI(i-a-«)1 + 2ц (1 - A-1).
Из полученных выражений, а также из (2.45) усматривается,
что для энергетических пар упругие законы линейны относи-
тельно компонент тензора деформации. К сожалению, выявленные
пары (3.45) не содержат входящие в уравнения движения тен-
зоры 2 и (F-1. JS). Это в значительной мере обесценивает
стандартные материалы.
Более того, вряд ли стандартным материалам отвечают какие-
либо реальные материалы. В литературе имеется и прямое указа-
ние на «нефизичность» материала Джона при некоторых видах
деформации. В частности, он, вообще говоря, не определен при
v = 1/2, т. е. для несжимаемого материала. Широкое использо-
вание материала Джона в отечественных работах по нелинейной
теории упругости объясняется, по-видимому, вполне объяснимым
желанием избавиться в сложной нелинейной задаче от физической
нелинейности.
Как представляется автору, область применимости стандарт-
ных материалов следует ограничить случаем малых деформаций
при больших (не малых) углах поворота. Этот случай реализуется
для гибких тел (стержней, пластин, оболочек), где, кстати, значе-
ние v = V2 уже не вызывает осложнений. Существенно, что в вы-
деленном случае вследствие больших поворотов линейный тензор
Е (ец) не характеризует деформацию, в то время как стандартные
материалы при своей структурной простоте содержат характе-
ристики деформации. Стандартный материал 2-го порядка осо-
бенно удобен для использования в криволинейной материальной
системе координат (см. гл. II—15).
45
Глава 4. КОМПЛЕКСНЫЕ КООРДИНАТЫ
И КОМПОНЕНТЫ
В предыдущих главах использовались прямоугольные декар-
товы координаты. В этой главе будут введены комплексные коор-
динаты и компоненты векторов, тензоров. Комплексные величины
упрощают промежуточные выкладки и дают более компактные
и обозримые окончательные зависимости. Для некоторых классов
задач удобно вводить функции комплексной переменной. Ком-
плексную запись можно рассматривать как аналог векторной.
Материалы гл. 4 следует рассматривать как дальнейшее развитие
комплексного метода Г. В. Колосова [27].
д _ . /_а___________а_\.
дх2 ~ di Г
д . д _ 9 д (4’2)
дхг д°х2
Т = /авеае« удобно ввести ком-
4.1. Приведение к комплексным координатам
и компонентам
Введем комплексные координаты
l = x1 + ix2, l=x2-ix2,
z = Xi + ix2, z = Xj - ix2. ' ‘ '
Рассматривая теперь аргументами функций комплексные коор-
динаты, переходим к интегрированию по ним с помощью следу-
ющих из (4.1) формул:
д Э , Э .
дхг “ ' аГ
_L + l-_L = 2-t;
dxt дх2
Для тензора второго ранга
плексные комбинации компонент, называемые комплексными ком-
понентами'.
1\~ ^11+ ^22 + i (7.2 - <21); Т2 = tn - £22 + i (tin + 71)',
T3 = t13 + it23, Ti = t31 + it32; T3 = t33. (4-3)
Разовьем необходимый в дальнейшем аппарат. Пусть 5 =
= sv6eve6 еще один тензор второго ранга. Расписывая скалярное
произведение TS = iapSP6eae6 (1.9), получаем, используя (4.3),
(7-S)1 = 72(71S1 + 72S2) + 73S4,
(7-s)2 = v2 (ад + ад)+ад,
(Т S)3 = 1/2 (ЛЗз + T2S3) + T3Sb, (4.4)
(7-S)4 = 7 г + 74S2) Ц- Т5S4,
(Т’ 3)s = 7 г (7tS3 ф- 74S3) 75S5.
46
Из (4.3) для сопряженного тензора Т* усматривается
ТГ = Т1, Л = Т2, Т$ = Т4, П = Т3, П = (4.5)
Для единичного тензора 1 = еаеа [см. (1.32), (4.3)]
1, = 2, 12 = 13 = 14 = 0, 16 = 1.
Полагая в (4.4) S = Т"1, T S = 1 и решая полученную си-
стему, находим
(Т-1)! = (7\Т\ - TST^D, (Т-1)2 (Т3Т4 - ТгТ6)Ю,
(Т-^з = (Т2Тз - TyT2)I2D, (Т-1), = (Т2Т4 - 7\Т4)/2О,
(Т-1), = (7\7\ - T2T2)/4D, (4.6)
4D = (7’1Т1-7’2Т2)76+(727;зТ4 + Т27’8Т4)-(7’17’з7;4+7;1Т87’4)
По формулам (1.11) и (4.3) подсчитываем выражения для ин-
вариантов тензора через его комплексные компоненты:
1г = 1/2(Л + Л) + 7’5;
Пг = 74 (Т.Т. - Т2Т2) - - У2 (ЛЛ + Т3Т4) +1/2 (Л + Л) Ть-, (4.7)
Шг = у4 (Т1Т1 - Т2Т2) Т5 - 1/4 (Т.ТзТ, + ЛТ3Т4) +
+ 74(7’27;зТ4 + Т27’87’4).
Сопоставление последнего выражения с последним из (4.6)
дает
D = Шг. (4.8)
Для симметричного тензора А = аа₽еаер
А4 — я44 я22, А2 = ац — д22 -|- i2di2,
А3 = А4 = а13 -)- ia23, А& — а33, (4.9)
1д = А] Аз, Пл — у4 (А? — А2А2) — А3А3 А1А5,
Шл =1Д (-41 — А2А2) As — У2А1А3А3 Д-1/4 (А2А3 А2Аз). (4.10)
Выпишем в заключение следующие из (4.2) полезные зависи-
мости
_ЛГ=4 “ JL,
d°X1J v°xJ 1
—----1-----------------------”--\-i——==4—^.
(54)2 (34)2 agag (54)2 (5^)а (д^
47
4.2. Кинематические соотношения
С учетом зависимостей (4.3) и (1.46) получаем для тензора
поворота Q
шУсйУ v шУ2
Qi = 2 cos со 4- т , —--i2©2 , Q2 = -7—г-"------:,
1 1 + cos со z 1 4- cos со ’
Л ( шУ I V „ | шУ I v
Q3 ~ 1—i------— i I ®i > Qi — 11—i-----------1~ i I (Oi >
a \ 1 + cos co / \ 1 + cos co 1 /
шУшУ
Q5=b-^±J—, (4.11)
° 1 + cos co ' ’
где
tt>lV = (sin G>/(0) («1 4- i®2), C02 = (sin tt)/tt>) О>з(с01''ш/ -} ®2 2 = sin2 co) —
(4.12)
комплексные компоненты так называемого вектора конечного по-
ворота
,, sin со sin со , . , ,
®v = —— ® = —— («св! + со2е2 + ®3е3).
Из (4.11) следуют компактные зависимости
= (i/2) (Q3 - Q4), ®2' = (i/4) (Qi - Qi),
1 + 2 cos tt> = 1/2(Q1 + Qx) + Q5.
Для вектора a = aaea введем комплексные компоненты
ax + ia2, a3.
Получим формулы преобразования комплексных компонент
тензора и вектора при повороте координатных осей. Согласно (1.8)
Используя дважды формулы (4.4), получаем с учетом (4.5)
Т\ = V4 [Q1Q1Т1 + Q2Q2T1 Q&T2 4’ Q1Q2T2] +
+ 7г [Q4 (Qa74 4- 01Гз) + Qi (31Л + Q2T 4)] + Q4Q4T6,
Т2 = 74 [Q1Q2 (Ti + Г,) + q^2 + QiT2] 4-
+ 72Q4 [Qi (T3 + T4) + Q2 (T3 + T4)J + Q1T5,
T3 = 74 [Оз (Q2^i + Qi^2) + Q3 (Qif 1 + Q2T2)1 +
4- V2 [Qa (ОхТ'з 4- Q2T 3) Q4 (Q3T 4 4" Q3T 4)14" &> (4.13)
T\ — 74 [Q3 (QiT14- 2) 4" Оз (Q2T14~ QiT2)] 4~
Ч- 72 [Q4 (Q3T 3 + Qs^ 3) 4 Qe (01^4 4 4)] Q4Q571 &>
48
т5 = v4 [Q3Q3 (Л + Г,) 4- qIt2 ф- QlT2] +
гШШ + Л) : Q> (Тз+ TLOl-FQsTV
Аналогично с помощью формул (4.3) и (1.6) находим
а\ 4- ia2 = ’/2 [Qj («1 4- io,) -ф Q2 (cii ф- ia2)] 4- Q^,
а3 = х/2 [Оз («1 4 ia2) ф- Q3 (at ф- ia2)] ф- Q5a3.
(4.14)
Из соотношений (2.4), (4.2), (4.3), (4.5) и (4.6)
Fi = 2
F’=2<-
J (/=->), = 2
\ дх3
дг дх3 \
di I ’
дх3 ’ /
4 = 2|, fJ = 2^|-,
dt di,
дг
dx3
п &г Г*
F3 = —, F3
дх3
F4 = 2-^,
ar
_ 2 -^2-
dt, ’
n* dz
Г 4 ~ -------
d°x3
y ag dx3 a£ Qx3
дг дг дг дг
г- Г ’ '
’ дх3
дг дх3
а? д* ~ ~д^
J (F_,)3 = -------------
’ dZ dx3
r __ 9 / az dx3
(4-15)
дх3 р* дх3 дг дг дг дг
АГ F‘=~& -
где величина
дг дг
аГ"а?
дг дг \ дх3 / дх3 дг
аГ”¥/ \~аГ1[
дх3 дг \ дг ,
1фГ
дх3 дг
as
дх3 дг \ дг
7Г3
(4-16)
является согласно (4.7), (4.8) кратностью изменения объема.
Рассмотрим важный частный случай поворота вокруг третьей
координатной оси:
(Од = со2 = 0, о>3 = со.
При этом согласно (4.11), (4.12), (4.15) и (4.14)
Qx = 2e-<“, Q2 = Q3 = Q4 = O, Q5 = 1, (4.17)
T', = Th T2 = e-i2aT2, Т3 = е~£шТ3, = T'5 = T5,
(4.18)
а\ ia2 = е'и (a} + ia2), а3 = а3. (4-19)
49
4.3. Динамические соотношения
Прежде всего по (2.41)
3{Р-1-;2}ц 3{F-i-JS)31
dxi дх2 дх3
, dlF-'.J^ 3{F-i-JS}32
d°xi d°x2 dx3
3{F-i-JS}13 3{F-i.JS}23 3{F-i-JS}33
О ' _.° ‘ _O
0X1 dx2 dx3
Умножая второе выражение на i и складывая с первым, полу-
чаем с учетом (4.2) и (4.3) комплексную запись уравнений движе-
ния
djF-'-Wi , 3{F-i-JS}2 d{F-^.J2}i ь ° (f ь _ FFz \ __ n
dl Ф di +
3/2
dxs
(4.20)
3{F-i-JS}3 , 3{F-i-JS}3
3£ + ЗС - х- ,
Совершенно аналогично из соотношений (2.37) следует комплек-
сная запись силовых граничных условий
(ni Wa) |F 1 (tii irh) {F *• ^S}2 -J- 2/is (F T- J2}4 —
— 2(oo + iOo ), (4-21)
\ nt n2)
(tii 1^2) {F 1 • >72}з -}- (tii i^a) {F 1 • <72}з 4- 2из {F JS}6 — 2о„ .
Из
Рассмотрим цилиндр с образующими, параллельными оси х3.
Пусть g — граничный контур области £2, полученной при пересе-
чении цилиндра перпендикулярной к оси плоскостью. Из рис. 4.1
следует (на боковой поверхности будем полагать n = v)
Vi = /а = cos У = dx2/ds,
va = — ti — — sin y— — dxjds (v3 = 0),
(4.22)
у и । , d d ° d , ° d
h ——!- h —r~ > ~~z~ ~ vi ----h v2 -7— >
dx2 dsv dxY dx.2
ruftd/ds и d/dsv — производные вдоль контура и по нормали к нему.
Отсюда и из (4.1), (4.2) следует
d
ds
d
dXi
Vi -|- <v2 = = —i dtjds,
d. / ° 3 ° Л \
— = i ( e‘v - e-'v -4 ),
d°s \ /
Vi + iv2 = e-^ = i dtjds, (4.23)
_£ = e-v±±e-U. (4.24)
d°sv k ’
50
Из (4.21) и (4.23) получаем на части поверхности So, где заданы
напряжения, силовые граничные условия
{F-1-JS}1 + {F-1-JS}2e-‘-2v = 2e-'2vra (S°, х3)ia„ (s, х3)1,
VI V2 I
1 о J (4.25)
{F-1-JS}3e~‘v4- {F-‘-JS}3 e~'v = 2ao (s, x3) (s, x3ese).
Vo
На части боковой поверхности Su, где заданы геометрические
граничные условия, последним можно придать очевидную ком-
плексную форму
z = z(s°, х3), x3 = x3(s, х3) (s, х3 С <SU), (4.26)
Согласно (4.24) из (4.26) следуют деформационные граничные
условия *
e-«v = _ je-»? dz (*’ *з)
'
(4-27)
= -»e-'v -^(s. х3) (‘ е §и).
1 ’ 3 с и!
Наиболее важным случаем геометрических условий (4.26)
является условие заделки
2 = L Х3 = х3>
которому, согласно (4.24), отвечают условия жесткого края
4L__4-e-'2?= 1, =
* Название дано по аналогии с введенными автором в теории оболочек
деформационными граничными условиями [58].
51
В случае многосвязной области они отличаются от условия '
заделки тем, что частичные контуры могут смещаться как жесткие
целые.
Подсчитаем компоненты главного вектора и главного момента
напряжений, действующих на цилиндрическую поверхность (в рас-
чете на единицу ее недеформированной высоты), проходящую че-
рез кривую L (рис. 4.2):
81 = . Оо ds, 39?! = , go х2 ds,
Jь vl ь v3
82 = j L ds, Ш?а = J L o„ (—X,) ds,
83 = 1 г о о ds, 3= \. (Go Xr — Go x2'\ds.
J b V3 j ь ( v2 Vl /
Используя эти выражения, а также (4.23), находим
8i + = х/2 J£ [{F-1 • J2}x e>? + |F“’ • J2|2 e-«?] ds
= -(i/2) ^[{F-i.JS^dt- {F-i.J2(2<J, (4.28)
83 = Re J£ {F-i • J2 }3 e-vds = - Im J£ (F-1 J2}3 <%,
+ i®?2 = - (i/2) J£ z [{F-i.J2(3 e«v + |F-' • J2}3 е~*?] ds
= V2 J£z[- {^72}3 < + {F-i. J2}3 <],
ЭЯ3 = x/2 Im j £z [{F-1 • J2|x ezv (F"1 • J2}2 e-‘v] ds
= - */2Re J£?[{F-i.J2|1^- (F-i.J2}2<
В поперечных сечениях цилиндра (со стороны положительного
направления оси х3)
«1 = П2 = О, П3 = 1
и согласно (4.21) действующим напряжениям отвечают главный
вектор и главный момент с комплексными компонентами
Si + 18г == fo (F-1-J2|4dQ, 8з =
г о г » (4-29)
3»! + i®?2 == ь к zlF-1-J2)6dQ, 9W3 = Im . z IF"1-J214dQ.
4.4. Комплексная запись закона упругости
Получим комплексную запись закона упругости. Поскольку
соотношения (4.3) пригодны для любого тензора 2-го ранга, при-
меняя его к выражениям (3.21), (3.22), (3.31), (3.30),
52
получаем (i = 1, 2, 3, 4, 5) для сжимаемого материала
<4.30)
|F" Л|' = + ,Л жг)Qi ” Ж г ‘+ "1л
(4-31)
а для несжимаемого
lf" •JS1' = 2 [ (ж + 'с-яъ)F! ~ Ж <6'F
If” -JS\< = «-+1л о: - f:+Р
4.5. Ортогональные криволинейные координаты
Рассмотрим поперечное сечение цилиндра & с границей g (см.
рис. 4.1) и введем ортогональную систему координат, для которой
g — одна из координатных линий второго семейства. Обозначим
через too, tco(, ... физические компоненты тензора во вновь введен-
ной системе координат, и пусть
Т1 -- to О -)- too “I- i (too - too\, T2 — to о - too i (too -f- to о)
vv tt \ vt nJ VV tt Vt tVj,
(4.32)
T3 = to +ito, T(’ = to + ito, Tl = t33.
v3 /3 3v 3/
о °
В рассматриваемом случае поворота вокруг оси х3 на угол у
(= со) имеем согласно (4.18) и (4.19)
F? = Ti, т1 = Т*Г12у°, т1=т3е~1?, = Т1=Т5,
(4.33)
ао + ia о = («1 + ia2) (4-34)
Применим полученные выражения к (4.25). Прежде всего
{F-1. Ж + {F’1- JS)2e-Z2°v= {F-HjSjf + ==
= грг"1-J2}ovo + i (F-1-(4.35)
{F-,.JS}3e-‘?+ {F-‘.J2} e-'v° = 2 {F-‘.J2}o ,
e~‘^ (во 4- io о ) = Go о 4- icoo,
l vl v21 vv vt
53
и зависимости (4.25) записываются так:
{F-1 • J2}„ „ i {F-1 • J2(„ = о» о (s, х3) ф- ta„.. (s, °х3),
(S’ *з) ((S, Д) е Sa).
Отнесем рис. 4.1 к деформированному контуру, заменяя у на у
ds на ds и £ на г. Тогда по аналогии с (4.23) dz/ds — ie‘v. Отсюда
следует
—ie-‘v = е‘ . (4.36,
ds ds
Нетрудно видеть, что первая из величин
Ду = у — у, Хг = ds/ds (4-37)
является поворотом касательной к контуру, а вторая — крат-
ностью его удлинения. С учетом этого соотношение (4.36) раскры-
вает геометрический смысл правой части первого из деформацион-
ных граничных условий (4.27). В то же время записанное в виде
e^vx(==-|-------------------------^e-«v (4.38)
соотношение (4.27) определяет через основные комплексные функ-
ции поворот и кратность удлинения контура.
Отметим, что выведенные выше формулы применимы к любой
кривой в Й, а не только к ее граничному контуру.
Для компонент вектора смещения материальной точки
+ iu2 = z — £ (4.39)
имеем согласно (4.34)
г = £ + е<’» (4.40)
где
«о = «х cos у 4~ «2 sin у, и» = — sin у 4- м2 cos у. (4.41)
4.6. Использование конформного отображения
Для решения краевых задач можно использовать конформное
отображение единичного круга на рассматриваемую (односвязную)
недеформированную область, осуществляемое функцией
£=*(%)> 1x1 < 1- (4-42)
54
При этом функции переменных Ё преобразуются к новым
переменным х, % по формуле *
X (С, f) = X h (X), Г® 1 = X (х, X)- (4-43)
Поскольку
д _ д д _ д
Qi ~ (х) <эх ’ dt ~ уПх) ах ’
из (4.43) следует
ах (5, Й ах[х(х), х(х)] 1 ах (х, х)
ас х' (X) ах х' (х) ах
Из рис. 4.3 усматривается, что вдоль первого семейства линий
d£ = e‘x|d£|, d% = e^|dxl> % = re‘‘§,
_ _2L_ = х' (X) rfx = <в° х' (х) = х х' (х)
I di | | х' (х) 11 dx I I X' (X) I ; IX' (х) I ’
е^° = 21 = Jl ХМ-. (4.44)
Г2 X' (X) >«' (X) г2 х' (X)
На единичной окружности, точки которой будем обозначать
через о,
г—\, а = е~{^ = о~1, о~1 - о, (4.45)
и согласно (4.44) вдоль контура области, отвечающего единичной
окружности,
* Для функции X (х> х) следовало бы ввести новое обозначение. Во из-
бежание пестроты обозначений не будем, однако, этого делать.
55
Далее из зависимостей (4.40), (4.42) и (4.44)
2(Х, X) = х (х) + у j^))|-(«r + i«e)- (4.47)
При определении концентрации напряжений обнаруживается,
что последняя существенно зависит от кривизны контура области
К = dylds. Дифференцируя по s выражение для е‘2,° (4.44), полу-
чаем с учетом (4.45) и (4.46)
К =
4
ds
1
I х' (а) |
1 +Re
ах" (а)
х' (а)
(4.48)
Глава 5. УПРУГИЕ СВОЙСТВА ЭЛАСТОМЕРОВ
Эластомеры (натуральный и синтетический каучук, полиуре
таны, материалы биологического происхождения и т. п.) — кау-
чукоподобные вещества, обладающие уникальным механическим
свойством — большой (высокоэластичной) деформацией (да
1000 %), после соответствующей технологической переработки
широко используются в технике и медицине в качестве конструк
ционных материалов.
Трудно даже просто перечислить типы изделий из эластомеров
это мембраны и оболочки, силовые и уплотнительные элементы
резинометаллические шарниры, тонкие резинометаллические
эламенты, муфты, шины, амортизаторы и виброгасители, надув-
ные сооружения и антенны, клеи, пленки, изоляционные и токо-
проводящие материалы, трансплантационные материалы и многие
многие другие.
Велика роль эластомеров и в живой природе. Например, белок
резелин существенно уменьшает энергетические затраты при полете
членистоногих. Упругий белок эластин облегчает работу сердечно
сосудистой системы, разгружает мышечную систему. Многообе-
щающие перспективы использования эластомеров при создании
искусственных органов.
Как правило, эластомеры обладают малой теплопроводностью.
В связи с этим при динамических знакопеременных режимах ре-
зиновые изделия подвергаются саморазогреву. Поскольку меха-
нические (в том числе и упругие) постоянные существенно зависят1
от температуры, вопросы деформации и теплопроводности тре-
буется рассматривать совместно. Деформация реальных эласто
меров зависит от скорости и времени приложения нагрузок
К этому следует добавить необходимость учитывать геометриче-
скую и физическую нелинейность. Строго говоря, в общем случае
расчет изделий из эластомеров сводится к решению задач (как
56
правило, для сложных областей) физически и геометрически
нелинейной связной теории термовязкоупругости.
Вместе с тем в длительно работающем изделии из эластомера
успевают отрелаксировать все неупругие эффекты, и оно практи-
чески находится в упругом состоянии. Более того, вклад упругой
(высокоэластичной) деформации, по-видимому, всегда составляет
не менее 80 % общей величины. Таким образом, неупругость для
эластомеров является эффектом второго порядка, и теория упру-
гости дает надежную основу для прочностных расчетов изделий
и сооружений из эластомеров.
В рамках темы этой книги рассмотрена лишь упругость эласто-
меров. В первых двух параграфах кратко изложены вопросы,
связанные со структурой полимеров и их механическими (физи-
ческими) свойствами. Избранная форма изложения рассчитана
на читателя, четко не отличающего винипласт от Винипуха.
Последующие параграфы, отвечающие традиционному для меха-
ников феноменологическому подходу, изложены в более строгой
манере.
5.1. Структура полимеров
Термином полимер (от греч. polus — много и meros — часть)
объединены вещества, молекулы которых построены из большого
числа мономерных звеньев, соединенных химическими связями
в длинные цепи.
К наиболее простым по структуре полимерам относится поли-
этилен. Образуется он путем раскрытия двойной связи в молекуле
этилена СН2 = СН2 и последующего объединения мономерных
звеньев —СН2—СН2 — в цепочку
—СН2—СН2—СН2—СН2—.
Схематически полученную цепочку обозначают так:
(СН2—СН2)П.
Более сложен натуральный каучук (НК)
/ —СН2- СН2=С—СН2 \
\ СН3
мономерным звеном которого является изопрен. Этот полимер от-
личается от полиэтилена наличием боковой (обрамляющей) группы
СН3 (метиловой группы) и двойных связей в цепи. Последние силь-
но влияют на химическую активность каучука, в частности на
процесс вулканизации (о котором речь пойдет дальше).
Некоторые полимеры (например, найлон) образуют цепочку
из регулярно чередующихся мономерных звеньев (Л), (В):
- (Л)—(В)—(Л)—(В)—(Л)—(В)—.
57
Для многих синтетических каучуков (СК) характерен случай
ный порядок чередования мономерных звеньев, например
-(Л)-(В)-(В)-(Л)-(Л)-(Л)-(В)-.
Такие полимеры (обоих типов) называют сополимерами.
Перечисленные полимеры относят к линейным, имеющим четко
прослеживаемую главную цепь, окаймленную боковыми группами
Рис. 5.1
Существуют и так называемые разветвленные полимеры, типа
показанного на следующей схеме:
/И) -(В)
(А)-(В)-(А)-(В)-(A)-(B)'
-(Л)-(В/ \Л)-(В).
\(Л)-(В)-(Л)-(В)-(Л)
В физике полимеров различают еще плоские и пространствен-
ные сетчатые полимеры, подразделяемые в зависимости от частоты
сшивки на макро- и микросетчатые. К макросетчатым полимерам
(рис. 5.1, а) относятся, например, резины (умеренно сшитые кау-
чуки), к микросетчатым (рис. 5.1, б) — полностью сшитые кау-
чуки (например, эбонит), эпоксидные смолы, кварцевое стекла
и т. п.
По химическому составу полимеры делятся на органические
элементоорганические и неорганические. Органическими назы-
вают полимеры, в главную цепь которых входят углерод или его
комбинации с кислородом, азотом, серой и фосфором (т. е. веще-
ства, образующие органические соединения). По своему проис-
хождению они могут быть как природными, так и синтетическими.
Элементоорганическими называют полимеры с неорганической
главной цепью, но органическими обрамляющими группами. На-
конец, неорганические полимеры имеют неорганические главные
цепи и обрамляющие группы.
58
Для реальных полимеров число молекулярных звеньев цепи
имеет порядок 103—10®, что отвечает огромным молекулярным
массам: 1,4-10* — 5-106. Поэтому полимеры часто называют
высокополимерами, а их молекулы — макромолекулами. О размерах
макромолекул можно судить, например, по молекуле полиэтилена
с молекулярной массой 3,5.105, диаметр которой равен 5Л (1Л =
== 10-8 см), а длина вытянутой цепи превышает диаметр в 6000 раз.
Макромолекулу не следует отождествлять с этаким длинным
жестким стержнем. На самом деле она состоит из громадного числа
звеньев, отождествляемых с простыми связями макромолекулы.
Примем простейшую модель свободно сочлененной цепи, со-
стоящей из п. звеньев одинаковой длины I, направления которых
произвольны, не зависят друг от друга (рис. 5.2). Простейшие
статистические предположения приводят к следующему наиболее
вероятному (квадратичному) значению расстояния между кон-
цами цепи:
Гц в ~ П.
Длина растянутой цепи (контурная длина) равна
Гшах •
Модель свободно сочлененной цепи неточно воспроизводит гео-
метрию реальной молекулы. Прежде всего соседние звенья (про-
стые связи) сочленяются под определенным (валентным) углом
₽ 109,5° (рис. 5.3). Кроме того, вращение звена по конусу со-
седнего звена заторможено вследствие действия обрамляющих
(боковых) групп цепи. Уточненный расчет дает
гкв = 2 1 + ч 1-/ п, гшах = 0,82/п,
где т) — параметр заторможенности вращения по конусу.
59
Можно уточнить приведенные формулы и на случай звенье
различной длины.
Из полученных формул следует, что при большом числе звенье'
расстояние между концами макромолекулы много меньше ее кон
турной длины. В своей обычной (наиболее вероятной) конформа
ции гибкая цепь напоминает спутанный клубок шерсти. При это»
расстояние между концами увеличится во много раз. После топ
как мы (опять же мысленно) отпустим концы, макромолекула по
действием теплового движения начнет сокращаться, снова превра
щаясь в клубок.
Указанное объясняет природу неотъемлемого фундаменталь
ного свойства гибкой макромолекулы — ее высокоэластичность
т. е. возможность испытывать большие обратимые деформации
При этом деформация связана с изменением внешней формы ма
кромолекулы — с ее, как принято говорить, конформацией.
Совокупность макромолекул образует материал — полимер
Макромолекулы в материале (или, как говорят, в конденсирован
ном состоянии) ведут себя несколько иначе, чем отдельная свс
бодная макромолекула. Объясняется это межмолекулярным взаи
модействием соприкасающихся частей разных макромолекул
С межмолекулярным взаимодействием связано появление различ
ных надмолекулярных и надсегментальных структур, спонтанн*
возникающих и разрушающихся в различных местах полимер
ного тела.
При понижении температуры или приложении сил (усиливаю
щих упорядоченность структуры) надмолекулярные структурь
способствуют кристаллизации полимера. При этом кристалл»
зуются полимеры с макромолекулами, имеющими правильное
регулярное строение. Кристаллизация в связи с нерегулярностью
строения макромолекул не бывает полной.
Перепутанность макромолекул способствует превращению и"
совокупности в некую пространственную сетку. Более устойчивь
и прочны поперечные химические связи между макромолекулами
Применительно к каучукам их можно получить путем вулканизм
ции — термохимическим процессом, при котором образуются
поперечные связи (мостики) между макромолекулами. Обычш
каучуки вулканизируют серой. От количества последней завися
механические свойства вулканизата. Так, умеренно вулканизи
рованные (1—5 % S) каучуки — резины — обладают отменным*
упругими свойствами. Вулканизат же с содержанием серы 30—
50 % — эбонит — является жестким конструкционным матери»
лом.
Большое применение имеют наполнители, составляющие о
25 до 400 весовых частей на 100 частей каучука. Так, добавлени
технического углерода (сажи) улучшает прочностные свойств
резины и делает более мягкой характеристику на механическо
диаграмме сг~е. Ниже приведена прочность полученных н
основе важнейших эластомеров резин при растяжении (в МПа)
60
Вулканизат
Эластомер ненаполнен- с наполнение
ный ем сажей
Натуральный каучук..................... 21,1 28,1
Цнс-полнизопрен........................ 21,1 28,1
Цис-полибутаднен ....................... 5,6 21,1
Каучук:
бутадиенстирольный ..................... 3,5 24,6
бутадненннтрильный ................. 4,9 28,1
полихлоропреновый.................. 24,6 24,6
бутиловый.......................... 17,6 21,1
этиленпропиленовый.................. 3,5 21,1
полиалкенсульфидный ................ 7,0 21,1
полиакрилатный.................. 2,1 17,6
полиуретановый .................... 35,2 —
полисилоксановый.................... 7,0 —
Фтороуглеродные эластомеры......... 17,6 —
Полифторселикоиовый каучук......... 7,0 —
Хлорсульфонированный полиэтилен 28,1 24,6
При добавлении минеральных масел облегчается переработка
высокомолекулярных жестких каучуков. Кроме того, значительно
удешевляется стоимость резины. Добавление 50 частей масел на
100 частей каучука не влияет на свойства вулканизата.
Рис. 5.4
Иногда наполнители (такие, как каолин, мел, окись железа) да-
же ухудшают свойства материала. На это, однако, идут по эконо-
мическим соображениям. Существуют наполнители, усиливающие
различные специальные свойства полимеров. Отметим, что напол-
нители делят на неактивные (не вступающие в химические реак-
ции с каучуком) и активные.
Таким образом, реальные полимеры представляют собой весьма
сложные структурные образования, своеобразные микрокомпозиты.
61
На рис. 5.4 видны надмолекулярные структуры с активным напол-
нителем. Усматриваются надмолекулярные структуры, серные
мостики, частицы активного наполнителя с адсорбированным на
них каучуком и неупорядоченные сегменты макромолекул [4].
5.2. Механические свойства полимеров.
Эластомеры
Механические свойства полимера, состоящего из рассмотрен-
ных в предыдущем параграфе гибких линейных либо слабо раз-
ветвленных макромолекул, существенно зависят от температуры.
В определенных температурных интервалах полимеры могут на-
ходиться в четырех физических состояниях — кристаллическом
(частично) и трех аморфных: стеклообразном 1, высокоэластич-
ном II и вязкотекучем III (рис. 5.5).
Рассмотрим образец из аморфного полимера при постоянной
нагрузке. Схематически кривая 1 зависимости деформации от тем-
пературы выглядит так, как показано на рис. 5.5. При низких
температурах до температуры стеклования ТСТ полимер, нахо-
дясь в застеклованном состоянии, деформируется как твердое упру-
гое тело. Выше температуры стеклования появляется высоко-
эластичная деформация (на рисунке имеется высокоэластичное
плато). Выше же температуры течения Ттеч начинается вязкое
течение с накоплением необратимой остаточной деформации. Рас-
смотрим подробнее каждый из перечисленных температурных
интервалов.
При низких температурах, меньших некоторой условной тем-
пературы хрупкости Т-ц» тепловое движение недостаточно велико
для того, чтобы преодолеть действие молекулярных сил и произ-
вести переориентацию сегментов макромолекул в направлении
приложения силы. Тепловое движение обусловливает лишь тор-
сионные (крутильные) колебания звеньев. Поэтому слабая на-
грузка вызывает малые упругие деформации при больших значе-
ниях модулей упругости. При этом деформация связана с изме-
62
пением средних межатомных и межмолекулярных расстояний в по-
лимере и с деформацией валентных углов в макромолекулах.
Большая же нагрузка приводит к хрупкому разрушению. В общем
полимер ведет себя как обычное низкомолекулярное неорганиче-
ское стекло.
При температурах, больших 7\р, но меньших Тст, полимер
еще застеклован. Но более интенсивное тепловое движение при-
водит к совместным (кооперативным) торсионным колебаниям
соседних звеньев, активизированным приложенной нагрузкой.
Из-за слабой подвижности звеньев тепловое движение еще не
может преодолеть действие межмолекулярных сил. При этом обра-
зец все же получает большую деформацию, связанную с конфор-
мацией макромолекул. Назвать эту деформацию высокоэластич-
ной нельзя из-за ее необратимости: при снятии нагрузки деформа-
ция (опять же по причине малой подвижности звеньев) не исчезает.
Для снятия ее необходимо нагреть образец. Описанную деформа-
цию называют вынужденноэластичной. Вынужденноэластичная
деформация приводит к ориентированному состоянию полимера
с анизотропией механических (физических) свойств. Все химиче-
ские волокна и пленки находятся в этом состоянии. Таким обра-
зом, застеклованный полимер отличается (при Т > ТХр) от низко-
молекулярных неорганических стекол возможностью вынужден-
ноэластичной деформации и тем самым отсутствием хрупкости.
Именно поэтому можно использовать застеклованные пластмассы
в качестве конструкционных материалов в температурном интер-
вале ТХр < Т < Тст.
При температуре выше Тст полимер получает высокоэластич-
ную деформацию, превышающую упомянутую упругую на три-
четыре порядка и отвечающую малому модулю высокоэластично-
сти (£«0,14-1 МПа).
Наконец, при температуре, превышающей температуру тече-
ния ТТЁЧ, появляется вязкая, необратимая деформация. Послед-
няя обусловливается взаимным проскальзыванием макромолекул
и приводит к накоплению остаточной деформации. Предотвратить
вязкотекучесть можно, сшив полимер. При этом узлы сетки пре-
пятствуют проскальзыванию полимерных цепей. Поэтому сшитый
полимер «игнорирует» температуру течения. Интервал высокоэла-
стичности расширяется, и его верхней границей становится тем-
пература химического разложения полимера ТХИм (см. кривую 2
на рис. 5.5). Последнее свойство наиболее характерно
для слабосшитых макросетчатых вулканизатов каучуков —
резин.
Наличие в линейном полимере кристаллической фазы приводит
к тому, что ниже температуры плавления—кристаллизации Т\,р
он находится в твердом состоянии (кривая 3 на рис. 5.5), но обла-
дает меньшей жесткостью при Т > Тст. Последнее объясняется
взаимодействием кристаллической фазы с аморфной частью поли-
мера. При Т > Ткр кристаллическая фаза плавится и кривая
63
почти скачкообразно достигает высокоэластичного плато кривой 1,
характерной для аморфных полимеров.
Многочисленные полимерные материалы (всевозможные марки
резин и пластмасс) можно условно разделить на шесть групп по
соотношению их Тхр и Тст с комнатной температурой Тк.
1. Исходные линейные полимеры-каучуки высокоэластичны
при комнатной температуре. Температура стеклования (а тем бо-
лее хрупкости) значительно меньше комнатной. Так, например,
для натурального каучука Тсг = —70 °C, для силиконового кау-
чука Тст = —125 °C.
2. Резины (умеренно сшитые каучуки) также имеют низкие
температуры стеклования. Так, морозостойкая резина может
быть использована в температурном интервале (—40, +50 °C).
3. Эбонит (сильно сшитый каучук) застеклован (а иногда даже
хрупок) при комнатной температуре.
4. Линейные полимеры, образующие пластмассы, отличаются
от каучуков большим межмолекулярным взаимодействием. По-
этому изготовленные из них термопласты, как правило, застек-
лованы уже при комнатной температуре.
5. Добавление пластификаторов ослабляет межмолекулярное
взаимодействие и приводит к пластикатам — материалам, высо-
коэластичным при комнатной температуре.
6. Густосшитые микросетчатые полимеры — реактопласты —
имеют еще большую температуру стеклования. В отличие от тер-
мопластов они при комнатной температуре хрупки. С высокой
температурой стеклования связано их основное свойство — теп-
лостойкость.
Отметим, что хотя при классификации полимеров мы рассма-
тривали комнатную температуру, оценивать механические свой-
ства полимеров следует при температурах, близких к эксплуата-
ционным. Далее, проведенная классификация относится к обыч-
ной продолжительности воздействия (минуты, часы). При быстрых,
ударных нагрузках высокоэластичный материал ведет себя как
застеклованный и даже хрупкий. Наоборот, продолжительное
воздействие приводит к тому, что застеклованный материал ведет
себя как высокоэластичиый и даже вязкотекучий, если он
не сшит.
После всего сказанного определим эластомеры как полимер-
ные материалы, проявляющие высокоэластичные свойства в широ-
ком температурном интервале, включающем температуры, харак-
терные для земных условий.
Остановимся еще раз на основных механических свойствах эла-
стомеров (в высокоэластичном состоянии).
1. Высокоэластичная деформация, достигающая сотен процен-
тов, носит сдвиговый характер. Модуль сдвига (в зависимости от
степени наполнения эластомера) меняется примерно в пределах
0,1—15 МПа. Поэтому эластомеры относят к низкомодульным
материалам.
64
2. При деформации эластомеров проявляются вязкие свойства
(ползучесть, релаксация напряжений), связанные с разрушением
связей и надмолекулярных образований, возможно, с деформацией
наполнителя. Обратимость высокоэластичной деформации носит
геометрический характер: тело восстанавливает форму. Однако
вследствие отставания деформации от напряжений (широкая петля
гистерезиса) часть энергии теряется, выделяясь в виде те-
плоты.
3. При всестороннем сжатии эластомер ведет себя как всякое
низкомолекулярное тело (твердое либо жидкое), поскольку при
этом меняются межмолекулярные расстояния, а конформация це-
пей не реализуется. Модуль объемного сжатия эластомеров имеет
порядок 102—103МПа. Сопоставление модулей объемного сжатия
и сдвига показывает, что последний на два-три порядка меньше,
эластомер значительно «охотнее» изменяет форму, чем объем. От-
сюда и следует обычно используемое предположение о несжимае-
мости эластомеров. По величине же сжимаемость эластомеров
имеет тот же порядок, что и у жидкости (см. рис. 5.15).
Отметим, что эластомеры и по некоторым другим свойствам
близки к жидкостям и газам. Так, коэффициенты термического
объемного расширения эластомеров и жидкостей близки между
собой (3-гб- Ю-4 °C-1), но намного больше, чем у твердых тел
(34-6) 10"8 °C-1).
Природа высокоэластичной деформации, связанная, как уже
упоминалось выше, с изменением под действием напряжений кон-
формации гибких цепей, имеет энтропийный характер. В этом она
аналогична кинетической (энтропийной) природе упругости газов.
Так, полученному путем простейших статистических рассмотре-
ний неогуковскому закону отвечает упругий потенциал
Ф = % (NkT) (X? 4- х! + % - 3),
где k — постоянная Больцмана; N — число цепей в единичном
объеме.
Отсюда усматривается, что, как и давление идеального газа
в фиксированном объеме, напряжение в деформированном эласто-
мере пропорционально абсолютной температуре Т. Этот хорошо
подтвержденный экспериментами факт был первым триумфом
статистической теории эластомеров. В то же время вклад в дефор-
мацию собственно упругой составляющей (связанной с внутренней
энергией тела, обусловливаемой межатомными межмолекуляр-
ными расстояниями) обычно пренебрежимо мал.
В последовавшие за выводом неогуковского закона годы дела-
лись неоднократные попытки улучшить его, привести в лучшее
соответствие с экспериментальными данными. Ограничимся упо-
минанием лишь двух из них. Так, Г. М. Бартенев и Т. Н. Хазано-
вич предложили статистическую теорию высокоэластичности,
3 Черных К- Ф. 65
учитывающую влияние поля напряжений и межмолекулярного
взаимодействия и приведшую к упругому потенциалу
ф = (4£-?“)(х1+^+хз-3)’ (5Л)
где т — объем свободно сочлененного сегмента цепи; ?0 — сред-
нее значение относительного растяжения цепей в недеформиро-
ванном состоянии [4 ].
В работах И. М. Дунаева [19, 20] построена статистическая
теория упругости эластомеров с учетом их структуры. Получен-
ный при этом упругий потенциал имеет вид
3 3
ф=2 2 {~3) ~DkT lhan(fn (М ~3]+
л —1
+ -k/~ [(<ЗДп Оа-3]},
где <рп (Хг) — функции, зависящие от скорости деформации и типа
надмолекулярных структур эластомера; постоянные К, В, D свя-
заны со статистическими характеристиками пространственной
сетки цепей.
При написании двух последних параграфов были использо-
ваны материалы, заимствованные в основном из книг [5, 10, 49,
98, 100, 101). В них приведены списки литературы по затронутым
вопросам.
5.3. Феноменологический подход
В последующих параграфах будет изложен феноменологиче-
ский подход к описанию упругих свойств эластомеров. Основан-
ный на принятии тех или иных формальных зависимостей, он поз-
воляет с необходимой точностью описывать аналитически наблю-
даемую в экспериментах деформацию эластомеров.
Необходимо, конечно, помнить об ограниченности феномено-
логического подхода. Не будучи непосредственно связанным (в от-
личие от статистического) со структурным, молекулярным строе-
нием эластомеров, он не позволяет понять физическую картину
деформации эластомеров. Отсюда, в частности, следует, что за
пределами феноменологического подхода остается и важная про-
блема создания материалов с заданными (требуемыми) механиче-
скими свойствами. Далее, формальный характер феноменологиче-
ского подхода заставляет с большей осторожностью (чем при ста-
тистическом) относиться к экстраполяции полученных с его по-
мощью зависимостей за пределы экспериментальных данных.
Вместе с тем феноменологический подход позволяет уверенно
применять полученные из простейших экспериментов сведения об
упругих свойствах материала к расчету конструкций, в которых
подчас реализуются довольно сложные напряженно-деформиро-
ванные состояния.
66
Ниже рассмотрим лишь наиболее известные варианты законов
упругости. Следует отметить, что их детальное сопоставление за-
труднено. И дело здесь не только в том, что само по себе такое со-
поставление является огромной работой. Необходимо помнить,
что эксперименты проводились на резко различающихся по своим
механическим свойствам материалах, в разное время и на разных
уровнях экспериментальной строгости. Кроме того, сами авторы
иногда интересовались лишь отдельными напряженно-деформи-
рованными состояниями (например, одноосным растяжением), под-
бирая соответствующим образом и структуру закона. Разные ре-
жимы испытаний приводили к тому, что на их результаты оказы-
вали влияние неупругие эффекты, так что полученные деформа-
ции нельзя с уверенностью считать равновесными, особенно при
умеренных значениях деформации.
В силу необходимой краткости изложения оставляем в сто-
роне вопросы приоритета (зачастую весьма запутанные). Кроме
того, опускаются более или менее убедительные соображения ав-
торов в пользу принятия предлагаемых ими упругих потенциалов.
Подробнее с рассматриваемым вопросом можно ознакомиться по
обзорным работам [17, 44, 66, 71, 87, 88, 93, 94].
По-видимому, исторически первым был предложенный Муни
[85] упругий потенциал
ф =Х/4Н [(1 + Р) (Lv - 3) + (1 - Р) (ПЛ. - 3)] =
= [(1 + Р) (1д« - 3) + (1 - Р) (1А-. - 3)]. (5.2)
Напомним, что в силу несжимаемости материала ПЛ2 = 1Л*,
а р = £73 — модуль сдвига линейной упругости. Константа Р —
постоянная материала. При Р = 1 потенциал Муни переходит
в неогуковский
Ф = 1/2Н (1д« - 3) = Чр (1£ - 3), (5.3)
полученный, как уже упоминалось в параграфе 5.2, статистиче-
скимJ путем.
Хорошо зарекомендовал себя потенциал Исихары, Хашицумы,
Татибамы [80]
ф = С1 (1Л, - 3) + С2 (Пл. - 3) + Сз (1д. - З)2. (5.4)
Близок к нему использовавшийся в отечественных работах до
последнего времени четырехконстантный потенциал Бидермана [7 ]
Ф = С, (1А. - 3) + С2 (ПЛ. - 3) + Сз (1д. - З)2 + С4 (1А. - З)3. (5.5)
Харт-Смитом был предложен [78] потенциал
ф = р[| (’Л!-3)г dIA. 4- k2 In (ПА, - 3)]. (5.6)
3*
67
Рассматривая зонды из неопреновой пленки, Александер
предложил [71J два потенциала:
/ II., —3 + у \
Ф = Ci (1Л, - 3) + с2 In (-^--------- ) + Сз (Пл. - 3); (5.7)
Ф = 4[с, ( ?('л’-3)' dIA. + С2In (-IIa’^3 + T ) + Сз(ПА« - 3) .
(5.8)
Представление о «точности» приведенных потенциалов дает
рис. 5.6, заимствованный из работы Александера [71 ]. Кривые на
рис. 5.6, а, б относятся к двуос-
ному симметричному растяжению,
а на рис. 5.6, в, г — к одноосному
растяжению. Из них усматри-
вается, что потенциалы Муни
и Бидермана плохо описывают сим-
метричное двуосное растяжение.
О эксперименты Трелоара
68
Валанис и Ландел предложили удобную для практического
использования форму потенциала [1051
Ф = w + w (Х2) + w (Х3).
В работе Огдена [881 была предложена следующая ее конкре-
тизация:
Ф = (Нп/ап) [ I a 3V
п \Л 11 )
где цп, ап — постоянные материала.
Интересен потенциал Блатца, Шарды и Чоэгла [74]
Ф = (2р/п) 1(лп_.!)/п + (5-9)
где р., В, п, т — постоянные материала.
5.4. Однородные деформации
несжимаемого материала
Наиболее простыми деформациями являются однородные, не
зависящие от координат тела (образца). В этом параграфе рассма-
триваются основные их типы, сохраняющие объем. Материал
считаем несжимаемым, так что [см. (3.29) при п = 1 ]
°^^Sr + P- (5Л0)
Если S первоначальная (до деформации) площадь поперечного
(i-й главной оси) сечения тела (образца), то текущая площадь —
Sj = 5г (7Аг). С учетом несжимаемости материала нормальная
сила равна
fi = = S°f (JAj) ог = (5.11)
Рассмотренное ниже используется при обработке результатов
экспериментов над эластомерами.
1. Одноосное растяжение, при котором = Л > 1, Х2 = Х3 -
= V1/2, оу = о, о2 = Оз = 0- Отсюда и из (5.10) следует
„ , ЭФ , и ЭФ . , ЭФ ЭФ
Q Л ДА Р> 0 А/ /2 "да-----------1— Р, (J А/ "дА---Л ДА (5. 1 2)
dAi 1 дк3 1 r dlt дк3 v '
или с учетом (5.11) для условного напряжения
= (5.13)
\ ЭЛ* ЭЛ3 / ' '
2. Двуосное несимметричное растяжение: > Х2 > 1, Х3 =
= Оз = 0. При этом аналогично предыдущему
, ЭФ , ЭФ
°1 = Л1 -gjj— -j- р, 02 = Л2
, эф эф
G1==xw-M *2
( ЭФ Л —2л —1 ЭФ
^_+р, 0 = xrV<- + p,
, ЭФ .—1—1 ЭФ
= -эХГ’
Z2/S2=^-XrV-^-. (5.15)
(5-14)
69
При экспериментах на двуосное растяжение используют уста-
новку типа «крест» (рис. 5.7).
3. Двуосное симметричное растяжение, при котором = Л2 =
= Л > 1, Л3 = Л"2, Oj = о2 = о, о3 = 0. Из (5.14)—(5.15) следует
п — 1 &® — х-s д®
С/Л| ОЛд
(5.16а)
(5.166)
Двуосное симметричное растяжение может быть приближенно
воспроизведено при раздувании защемленного по краю тонкого
круглого резинового листа по-
стоянной толщины под дей-
С———Д—ствием перепада давления.
I I I I I I Г Используется также установка
"-1 [-41 типа «крест».
~„ 4. При рассмотрении одноос-
~ ~ , ново сжатия можно было бы
—»—.— —.—,—Л—U воспользоваться соотношениями
Д- 1 1 —1. 1 1, п. 1 при Л < 1. Однако прямые
эксперименты по одноосному
сжатию при больших деформа-
Рис. 5.7 циях трудно осуществимы из-за
потери устойчивости образца.
Поэтому обычно поступают иначе, используя эквивалентность
(для несжимаемого материала) одноосного сжатия и двуосного
симметричного растяжения. В самом деле, сопоставление выраже-
ния (5.12) с (5.16) показывает, что первое переходит во второе
при заменах:
X-*V2, о->—о, (5.17)
Используя отмеченное обстоятельство, можно из эксперимен-
тальной кривой (5.166) пересчитать кривую (5.13).
Отметим, что Фостер [76], создав жидкую прослойку между
торцами сжимаемого образца и нажимными плитами, избежал боч-
кообразное™ образца и получил прямые экспериментальные дан-
ные по одноосному сжатию.
5. Чистый сдвиг, для которого = Л > 1, Л2 = 1, Л3 = X-1,
о3 = 0 и согласно (5.10), (5.11)
, дФ vl йФ ~ дФ а®
’ °2 ~ дКг К дкз ’
Эксперименты по чистому сдвигу, введенному, по-видимому,
А. Лявом [33], производятся путем растяжения широкой полосы
вдоль коротких кромок. В дали от последних в полосе реализуется
чистый сдвиг. Имеются специальные приспособления, устраняю-
щие при этом искривление коротких кромок [36].
70
S.5. Простейшие законы упругости
Большинство из рассмотренных выше упругих потенциалов
«претендует» на описание деформации эластомера во всем ее ин-
тервале. При расчете резинотехнических изделий (РТИ), работаю-
щих при умеренно больших деформациях (до X = 2-4-3), большое
значение имеет простота потенциала. И дело здесь не столько в ма-
лом числе подлежащих определению постоянных, сколько в ана-
литической простоте потенциала, позволяющей существенно упро-
стить основные зависимости.
С этой точки зрения предпочтительны следующие четыре по-
тенциала (5.2), (5.3), (5.1) и предложенный автором:
I. Ф = VaP (X2 + Х2 4- Хз — 3) — неогуковский, (5.18)
II. Ф = [(1 + Р) (Xi -f- Xf -|- Хз — 3) -|-
+ (1 - Р) (ХГ2 4- ХГ2 + Хз-2 - 3)] - Муни, (5.19)
III, Ф = 2р (Xi + Х2 + Хз—3) — Бартенева—Хазановича, (5.20)
IV. Ф = р [(1 -|- Р) (Xi -f- Хг -f- Хз — 3) -|-
+ (1 — Р^ХГ’-рХГ1 + ХГ1 — 3)] — автора. (5.21)
Предложенный двуконстантный потенциал (5.21) соотносится
с одноконстантным потенциалом Бартенева—Хазановича, как по-
тенциал Муни с неогуковским. Все четыре потенциала при малой
деформации переходят согласно (3.41) в потенциал линейной тео-
рии упругости (при условии несжимаемости материала).
Рассмотрим подробнее потенциал IV. Для него в случае пло-
ского напряженного состояния сг3 = 0 и
о, = р [(1 + р)Х1 - (1 - Р)ХГ‘] + А
°2 — Р [(1 + Р) Х2 — (1 — Р) Х2 *] р,
0 = р[(1+Р)Х3-(1-Р)Х3-1] + р.
Исключая отсюда р, находим
= Р [(I + Р) (X; - Х3) - (1 - Р) (ХГ1 - ХГ1)] (i=l, 2). (5.22)
Для получения по экспериментальным данным входящих сюда
постоянных р и Р удобно использовать хорошо известный экспе-
риментаторам метод спрямляющих координат. Применительно
к закону упругости (5.22) он состоит во введении координат
(X,- Ху4) — (X, — ХГ1)
х‘ = Uxr’)-fa+4-) • *=o,+v')-(W) • (S'23>
Эти координаты позволяют записать соотношения (5.22) в виде
прямых
Vi = Р (*i + Р). (5.24)
71
Полученные зависимости дают возможность сводить воедино
результаты экспериментов различных типов. Нанося согласно
(5.23) экспериментальные точки на плоскость х, у и проводя через
них с помощью метода наименьших квадратов прямую, мы тем
самым находим входящие в (5.24) постоянные р и р.
С учетом зависимостей предыдущего параграфа рассматрива-
лись следующие однородные напряженно-деформированные со-
стояния:
а) одноосное растяжение
Хх = X, Х2 = Х3 = X-V2, (5.25)
= а = р [(1 + р) (X — Х-1/2) + (1 — Р) (X1/2 — X-')], а2 = 0;
б) двуосное несимметричное растяжение
X] =Д Х2, Хз = Xi *Х2
Q1 = н [(1 + ₽) (м ~ XrV) + (1 - ₽) (Х1%2 - ХГ1)], (5.26)
°2 = н [(1 + Р) (х2 — Xi 'х2') + (1 — Р) (XjX2 — х2')];
в) двуосное симметричное растяжение
Xj = Х2 = X, Х3 = X-2,
О1 = о2 - о = р [(1 4- Р) (X - х-2) + (1 — Р) (X2 — х-1) 1; (5.27)
г) чистый сдвиг
Хх = X, Х2 = 1, Х3 = X-1, (5.28)
= 2р (X - X-1), о2 = р [(1 + Р) (1 - X-1) + (1 + Р) X
X (Хх— 1)1.
Обратим внимание на то, что в выражение для при чистом
сдвиге не входит постоянная р.
Поэтому при определении постоян-
ных р, р эксперименты на чи-
стый сдвиг не использовались.
Кстати, сказанное относится и
к потенциалу Муни (5.19).
Для анализа предложенного
потенциала были использованы
экспериментальные данные по
14 типам резин. Таким обра-
зом, пригодность предложен-
ного потенциала апробирова-
лась на разнородных материа-
лах, испытываемых в разных
режимах нагружения [66].
Для всех 14 типов резин по
формулам (5.23), (5.25)—(5.27)
подсчитывались спрямляющие координаты экспериментальных
точек и наносились на плоскость х, у. На рис. 5.8 пока-
заны точки для одной из резин (ИРП-2052). Крестики означают
72
одноосное растяжение, кружки — двуосное симметричное растя-
жение, треугольники и квадраты — двуосное несимметричное.
Через точки «визуально» проводилась прямая и отбрасывались
точки (заключенные в овал), для которых потенциал перестает
быть справедливым. Для оставшихся точек методом наименьших
квадратов определяли постоянные р, 0 спрямляющей прямой.
Для контроля, проделанного по найденным постоянным, для
всех напряженно-деформируемых состояний (5.25)—(5.28) строили
теоретические кривые и на-
носили экспериментальные
точки. Описанную процедуру
применяли и к остальным
трем потенциалам (5.18) —
(5.20). Кривые на рис. 5.9
относятся к одноосному рас-
тяжению, на рис. 5.10—
к двуосному симметрично-
му, на рис. 5.11 —к двуос-
ному несимметричному и на
рис. 5.12 — к сдвигу. На всех
четырех рисунках сплошная линия соответствует нашему потен-
циалу, штрихпунктирная — потенциалу Бартенева—Хазановича,
штриховая — потенциалу Муни, пунктирная — неогуковскому.
Кружки означают экспериментальные точки.
Из кривых (типичных для эластомеров) на рис. 5.9—5.12 усма-
тривается, что при умеренно больших деформациях предложен-
73
ный двухконстантный потенциал (материал) «работает» несколько
лучше остальных трех. Там же видны и примерные пределы при-
менимости рассмотренных потенциалов.
Ниже будут использованы трехконстантный потенциал
Ф = ц/Г2 [(1 + Р) (X? + Х2Л + Х3П - 3) +
+ (1 -p)(xr'I + X2-n + VI-3)] (5.29)
либо следующий из него при р = 1 двухконстантный
Ф = 2цп"2 (X? + X? + Хз" - 3) = (X? + Х2 + Хз — 3), (5.30)
где ц, п, Р — постоянные материала.
5.6. Законы сжимаемости сплошных эластомеров
Рассматривая малосжимаемые (сплошные) эластомеры, введем
величину
. 1 dV I _ 1 dJ 1 Qn
kr~ TdP"|r- Tdp|r’ <5,31)
называемую термодинамической (истинной) сжимаемостью. Здесь
V объем деформированной материальной частицы, Р — всесторон-
нее давление, J — кратность из-
менения объема. Символ |г озна-
чает, что указанная величина рас-
сматривается при постоянной аб-
солютной температуре Т. Из ана-
лизируемых ниже эксперимен-
тальных данных следует, что
обратную сжимаемости величину —
модуль объемного сжатия К. —
можно считать линейным образом
зависящим от всестороннего сжа-
тия Р:
k? = K(T, P) = K0(T) + k(T)P.
(5.32)
Подставив выражение (5.32) в
(5.31), приходим к уравнению
d In J = К'1 d In (Ko + kP),
интегрирование которого (от 1 до J и от 0 до Р) приводит к закону
сжимаемости Мурнагана
-Р = (Kjk) (1 - J~k). (5.33)
Для умеренных значений Р можно положить К. = Ко. При этом
из (5.32) и (5.31) следует закон сжимаемости при умеренных давле-
ниях
(5.34)
—Р = Ко 1пу.
74
При малых давлениях In J « J — 1 и из (5.34) следует упро-
щенный закон сжимаемости
-Р = K0(J - 1). (5.35)
Наряду с термодинамической (истинной) сжимаемостью исполь-
зуют и условную сжимаемость
1 diz I dJ I
dP |r dP |т ’
Предположение о линейной зависимости Р?1 от Р приводит
к закону сжимаемости Тэта
~P = (Kot/kt)(l
(5.36)
Пределы применимости полученных законов усматриваются из
их сопоставления с экспериментальными данными Адамса и Гиб-
сона [70], Скотта [95], Бриджмена [75], Вуда и Мартина [106].
Из этих данных методом наименьших квадратов определялись
[67] значения постоянных, входящих в формулы (5.33)—(5.36).
На рис. 5.13—5.14 проведено сопоставление теоретических кри-
вых^при^найденных значениях постоянных) с экспериментальными
данными. Эти кривые показывают, что законы Мурнагана и Тэта
одинаково хороши вплоть до давления 2500 МПа. Упрощенные же
законы (5.34), (5.35) приемлемы примерно до давлений 40—50 МПа.
На'рис 5.15 произведено сопоставление значений условной сжи-
маемости для резин А (27,4 % S), В (10 % S), С (4 % S), поташа,
соли, жидкости (этилового спирта) и стали [70]. Эксперимен-
75
тальные данные, полученные для сплошных эластомеров, пока-
зывают, что
Рис. 5.13
И/Ко ~ 10-’ 4- 10-3,
(5.37)
т. е. модуль сдвига на 3—4 порядка меньше модуля объемного
сжатия. Этим и объясняется (как уже говорилось выше) закон-
ность принятия в большин-
стве случаев предположения
о несжимаемости эласто-
меров.
5.7. Учет малой
сжимаемости сплошных
эластомеров
Примем систему инвари-
антов
lY =
/2 = I3 = X3V ^’> J•
(5.38)
Нетрудно видеть, что за-
мены -> ski, связанные
с деформацией всестороннего
расширения—сжатия, не из-
меняют инварианты Ц. Таким
образом, инварианты /г ха-
рактеризуют деформацию из-
менения формы (деформацию
сдвига). При этом в силу
очевидной связи l-J,^ = 1 в (5.38) три независимых инварианта.
Введем упругий потенциал
Фу (li, 1з, h; J) = Ф (*ь ^2, *з).
(5.39)
Из (5.38), (3.13) находим
г , ОФ 1,1 ЭФ , ЭФ /Г- л Г\\
jGi= i~dTi ~дГ~ (1=1>2>3)- (5-40)
Отсюда для среднего нормального давления о = 1/3 (<h + сг2 -ф
-ф сз) = 1!3 (<*н + ^22 + азз) и главных значений компонент
ог = ог — о
девиатора напряжений
Do = S - al
имеем
, ЭФУ 1 , ЭФ7
J°l — li dlt 3 Z“ dla ‘
(5.41a)
(5.416)
76
Приведем несколько соображений по выбору упругого потен-
циала (5.39). Прежде всего будем считать, что в силу малой сжи-
маемости материала разыскиваемый упругий потенциал близок
к некоторому опорному потенциалу несжимаемого материала Ф
и переходит в него при J = 1, т. е.
Ф7(/ъ 4, /3; 1) = Ф (%i, Л2, М + А, (5.42)
где А — несущественная для потенциала постоянная.
Рассмотрим деформацию всестороннего сжатия, при которой
l\ = /2 = 13 — 1 и согласно (5.41)
~ ~зГ ~dTt dlj дЦ~/(.т—1>2,3),
поскольку разыскиваемый потенциал должен удовлетворять есте-
ственным условиям симметрии:
дФ7 дФ7 ‘т=1~ ‘m=l a®7 dl3 ‘m-1'
а2®7 а2®7 a2®7
dll Zm=1 ” dl* lm=l a/^ - ; (5.43) m
а2®7 | а2Ф7 I а2®7 |
dli dl2 I/ =1 ~ д1г dl3 z =1 — dl3 д1± / =1'
tit fit щ
Таким образом, о; = о — —Р, где Р — величина всесторон-
него сжатия, и по (5.41а)
Заменяя здесь Р его значениями из (5.33)—(5.35) и интегри-
руя, находим
Ф7(1, 1, 1; J) = ср (/) + В, (5.44)
где В — несущественная постоянная.
При этом для закона Мурнагана
Ф (/) = (ЗД [(/ - 1) + (k - I)-1 (J1-* - 1)1,
для закона умеренных давлений
Ф (/) = Ко U In J — (J — 1)1
и для упрощенного закона
Ф (J) = U (J - I)2.
Для всех трех вариантов
Ф (1) = ф' (1) = 0, ф" (1) = Ко- (5.45)
77
Рассмотрим условия перехода при малых деформациях отве-
чающегоФ7 упругого закона в закон Гука (3.37). С учетом зависи-
мостей (3.35), (5.39), (5.43), (5.38) условия (3.38) переходят в сле-
дующие:
/ 32Ф7 <32Ф7 , ЗФ7 \ Q
\ ал-f а^
Из соотношений (5.44), (5.45) усматривается выполнение пер-
вых двух условий. Последнее же согласно (5.42) записывается
в виде
/ а2Ф а2Ф , дФ \ । _ 9
\ дц дал' axJk^i- и
и выполняется в силу условия накладываемого на опорный потен-
циал несжимаемого материала Ф. Таким образом, упругий закон,
удовлетворяющий условиям на потенциал Ф7 (5.42) и (5.44), при
малых деформациях переходит в закон Гука.
5.8. Конкретизации закона упругости
По-видимому, первая попытка учесть малую сжимаемость ре-
зины была предпринята в работе Блатца [72], в которой был пред-
ложен потенциал
ф=1/2И [(1дг - 3) - + -г^- (J - 1)] . (5.46)
Блатц и Ко приняли [73]
ф « V2H { ₽ (1л* - 3) + (1 - Р) (1л-. - 3) +
-ф [р (J-2V/(1-2V) _ 1) _J_ (1 _ р) (J2v/(l-2v) - 1)] } . (5.47)
Из экспериментов по одноосному растяжению полиуретана
было найдено р = 1, v « 0,46.
В работе Левинсона и Буржеса [83] был использован потен-
Ф = 1/2Ц [Р(1л.-3) + (1 -Р)(1л-.-3) +
+ 2 (1 - 2Р) (J - 1) + (2р + 4^ (J - - I)2)] (5.48)
и проведен качественный анализ выражений (5.46)—(5.48).
В работе Огдена [87] был предложен потенциал
Ф = Zj (р-п/«л) -ф Х“п -ф — 3) -ф ф (7).
п \ '
78
Шарда и Чоэгл приняли [96]
Ф = Jy I(2p/n2) (X? + %2n + %? - 3) 4-
(B/nm) (%” 4^2 4^з ~ 3) ] 4“ Ф GO-
Наконец, Пенг и Ландел предложили [89]
Ф7 = Ф (Ь, 1Ь) +W (b/Ib)V - 1А
где lLn = 1лП/Г/3 = 1пх + 1п2 + /3% IIL„ = 11л„/У2"/3 = № + /2"/з 4-
4- /з I” = 1Тп + /Г” + /Г" — предложенные Пенном [901 инварианты.
Представляется разумным принять
ФД/i, /2, /3; J) = g (J) Ф (к, /2. и + Ф (/) (5.49)
с очевидными условиями
Ф(1, 1, 1) = 0, g(l) = 1, (5.50)
обеспечивающими переход отвечающего потенциалу (5.49) закона
упругости при всестороннем сжатии в соответствующий закон
сжимаемости, а при J = 1Гв опорный^закон для несжимаемого
материала.
Из соотношений (5.49), (5.40), (5.41) находим
J<h = S U) (h х/з/« 4- J (g' (J) Ф + Ф' (J)), (5.51а)
о = g' (J) Ф (Л, /2, /3) + ф' (J), (5.516)
= W (/) (2/г - 1^ - lk (i^j^k^ i). (5.51в)
Для определения связующей функции g (J) рассмотрим одно-
осное растяжение, для которого имеем с учетом (5.38)
а1 = °*> О2 = °3 = == ^2 = ^з = ^-1/2/1/2,
/х = X7“1/s, /2 = 13 = 1~чЧч*. (5.52)
Введем растягивающую силу
/ ~ а*$ = 5X^30^=SJK 1ст*.
Поскольку для одноосного растяжения о = Чзв*, из (5.516)
и (5.52) находим
Ф(Х/-1''3, %_,/2J,/e) ’ (5-53)
Для определения связующей функции можно использовать два
пути.
79
1. Растягивая сплошной образец, измерять одновременно X,
/ и J, так что в результате экспериментально определяются функ-
ции
f = f (7), X = X (7). (5.54)
Отсюда и из (5.53) определяется связующая функция g (7).
2. Растягивается тонкостенный цилиндрический образец. При
этом
Xj = X, А.2 = Хз = Хн, 7 = ХдХ,
где Хн — кратность изменения наружного диаметра образца.
Измеряя X, Х„ и f, опять приходим к зависимостям (5.54) и
определяем из (5.53) g (7).
Глава 6. ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ
В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
В предыдущих главах в основном использовались прямоуголь-
ные декартовы системы координат. При рассмотрении же криво-
линейных тел (оболочки, кривые стержни и т. п.) более удобны
криволинейные координаты.
В параграфе 6.1 хотя и кратко, но систематически изложены
основы тензорного анализа. В параграфах 6.2—6.5 полученные
в предыдущих главах основные зависимости «переписываются»
в криволинейных координатах. Особенностью изложения является
использование двойных тензоров, один из индексов компонент
которых отнесен к недеформированным материальным координат-
ным осям, а другой — к деформированным. Использование двой-
ного тензора напряжений дает возможность провести дифферен-
цирование и удовлетворить силовым граничным условиям в неде-
формированной конфигурации тела, положение которой заранее
известно. При этом полученные зависимости (без дополнитель-
ного перепроектирования) отнесены к более удобным во многих
случаях деформированным материальным осям. Симметричность
компонент двойного тензора облегчает формулировку статико-
геометрических гипотез.
В параграфах 6.6.—6.8 выявляются преимущества применения
использованного подхода к изучению возмущения равновесной
конфигурации. Так, соотношения закона упругости для возмуще-
ний связывают лишь возмущения компонент деформации и напря-
жений (не содержат возмущений углов поворота). При следящей
нагрузке уравнения равновесия и статические граничные условия
не содержат возмущений углов поворота.
80
6.1. Криволинейные координаты
Пусть
R = *lgl + + XSgS = Xaga -
радиус-вектор материальной точки в деформированной (текущей)
конфигурации тела, a g; — орты пространственной прямоуголь-
ной декартовой системы координат. Введем материальные криво-
линейные координаты а/ связанные
с декартовыми законом
xt = Xi (а1,
Векторы
а2, а3) (i= 1,2,3).
dR дха
да1 да1 а
(6.1)
касательны к координатным линиям
а1 (рис. 6.1) и имеют длины — так на-
зываемые параметры Ламе —
А,
дх„
а______а
да1 да1
(6.2)
Величины
Рис. 6.1
дх
ег = Ri/Ai = —ga (i, а = 1, 2, 3) - (6.3)
Aida1
единичные координатные векторы, в общем случае неортого-
нальные.
Разрешая систему уравнений (6.3) относительно g^, находим
gfe = (M/H)e₽,
где
_ дх2 дх3 дх2 дх3 .
~ А2 да2 А3 да3 А3 да3 А2 да2 ’
_ дх2 дх3 дх2 дх3 ,
^12 “' А3 да3 At да1 41 да1 А3 да3 ’
— дх* дх3 — дХз дхз •
^13 да1 А2 да2 А2 да2 4Х ба1 ’
_____ дх3 дх! дх3 .
^21 А2 да2 А3 да3 А3 да3 А2да2 ’
_ дх3 дх± дх3 dXj .
^22 A3da3Atdal Atdal А3да3'
— дХз дХ1____дХз дХ1 •
^23 Запада2 Л2йааД1да1’
(6.4)
_ &xi dxa dxi дх2 .
^31 ~ А2 да2 А3 да3 А3 да3 Агда2 '
__ dXj дх2 dxt дх2 .
Иза — (fos ,4Х dai jai Дэааэ ’
_ дх± дх2 дх± дх2 .
^33 ~ 41 да1 А2 да2 А2 да2 Aida1 ’
dxi дх2 дх3
да1 Ai да1 Ai да1
dxi дх2 дх3
А2 да2 А2 да2 А2 да2
dxi дх2 дх3
А3 да3 А3да3 А3 да3
Р =
81
При использовании криволинейных координат наряду с основ-
ными координатными векторами
R1 — Ra ~ Rs = -^3®3
рассматриваются также взаимные координатные векторы
pi______ RaXRs pg ________ R3XR1 рз R1XR2
П Rr(R.XR3) ’ ~ RHRaXRa) ’ “ Rr(R2XR3) ’ ;
связанные с основными легко проверяемыми условиями взаимности
R»R' = 8’t = { ! при 1 i (6.6)
Подстановка выражений (6.1) в (6.5) дает с учетом (6.4)
Л-R/ = (МН) ga- (6-7)
Наконец, используя условия взаимности (6.6) и (6.7), нетрудно
убедиться в справедливости выражений
= (6-8)
Введем в рассмотрение величины
g,7=RrR/, ^=RrR' = 6(, ^=r'.r/, (6.9)
связывающие основные и взаимные координатные векторы:
Ri = giaR“, R' = gWRp. (6.10)
(Справедливость последних соотношений проверяется непосред-
ственно. Например, скалярно умножая первое из них на Ry, прихо-
дим к зависимости RrR/ = gtaR“-R/ = giatf = gy, справед-
ливой в силу определения (6.9).) Сопоставление выражений (6.2) и
(6.9) дает
At = Vgii- (6-11)
Используя координатные векторы и диады, можно представить
векторы и тензоры разложениями
u = uaR“ = u“Ra,
T = Z“₽RaRp = /apRaR₽ = /Q₽R“Rp =/apR“Rp.
Коэффициенты разложений с верхними индексами называют кон-
тр авариантными, с нижними — ковариантными, с теми и дру-
гими — смешанными компонентами. В смешанных компонентах
точки указывают порядок следования индексов. В симметричных
тензорах порядок следования индексов несуществен, и точки опу-
скают.
82
Используя формулы (6.10), получаем из (6.12) следующие связи
между разнотипными компонентами одного и того же тензора
(вектора):
= giaua, и’ = £'₽«₽;
a = giat> = (6.13)
tij = giataj = g,^tf = giagif^-
Получим формулы преобразования компонент векторов и тен-
зоров при переходе от одной системы координат (а‘) к другой (а''),
связанных законом
а'/ = а'/(а!, а2, а3) (/= 1, 2, 3).
Прежде всего с учетом (6.1)
dR __ dR да'® _ да'^
да‘ ~~ да® да‘ ~ да‘ ₽
Таким образом получено первое из следующих соотношений:
R.-^-^Rp, R'- = J^R'v.
да1 да 7
Справедливость второго проверяется с помощью формул (6.6).
Далее имеем
да^1 да Р
и = и^ = ии-^- R7, u = u^-Rjx = ui1 —2-— Rp.
да 7 dav'
Сопоставление полученных выражений с представлениями вектора
в новых координатах u = «vR v = H PRp дает первые две из
искомых формул пересчета компонент векторов и тензоров
— Уц
да»
да 1
и'1 =
да’
да»
__________ . да» dav ,'ij___________ mi da-i да'’
ij — llLV ,t , t —t „ —~
da 1 da ’ да» dav
j ,-v да*1 да ’ ,4 ,y, da'‘ dav
11 da'1 dav ’ ’ V да’1 da'1 ’
w4:k - • = w“pv-
да1 da’ day
даа 5a₽ да к
83
Остальные выводятся аналогично. Также получаются
формулы
и обратные
и, =
да1
, ___ За11 да”11
tii - -~j-,
,.j .'-v За'*1 да'
1 11 da{ dav ’
Скалярно умножая первое
ходим с учетом (6.6) и (6.9)
/ 'ц да'
, 1С = 1Г —г- ,
да'1
.if _ /nv да* да'
да11 dav ’
i ,-ц да1 da'v
’ V5a'»* да’ ’
да1 да' да 7
да'а да'?’ дак
из соотношений (6.10)
(6.15)
на
R/, на-
w‘.h.'k • • =
giagal = S{’.
(6.16)
(6-17)
Тензор
1 = ga₽R“R₽ = RaRa = RaR“ = ^₽RaR₽ = G
называют единичным, поскольку согласно (6.12) и (6.16)
т 1 = 1 т = т.
Его же называют метрическим, поскольку с помощью компонент
gtj можно совершать различные метрические операции. Так,
ds2 = dRdR = Rp. RTdaP dav = gpvdap day. (6.18)
В частности, для элемента дуги t-й координатной линии (da‘‘ =/= 0,
da/ = da* = 0 при i j k =/= i)
dst =-/ga da‘. (6.19)
Нетрудно видеть также, что угол между двумя элементами каса-
тельных к пересекающимся кривым dR (da1, da2, da8) и SR (Sa1,
Sa2, Sa3) подсчитывается по формуле
cos V = dR6R = Mfea6(xP___________________
I dR | | 6R I daa dafl уgapSaa6a3
Отсюда, в частности, усматривается, что угол между j-й и /-й коор-
динатными линиями определяется формулой
cosх<*> = i).
V gag}}
Введем дискриминантный тензор, определяя его ко -и контра-
вариантные компоненты равенствами
= Rr (R;XRft), e‘7ft = R'.(R/xR‘).
(6.20)
84
Как известно из курсов алгебры,
IR1-(R2xR3)]2 =
Ri'Ri Ri Ra RfRs
Ra'Ri Ra'Ra Ra'Rs
Rs'Ra R3' Ra R3 ‘ Rs
gll gl2 gl3
g21 gi2 g23 — I glj I-
g3l gsi g33
Отсюда с учетом усматриваемой из (6.20) кососимметричности тен-
зора имеем
£ць = ejfti = eft0, е‘7* = tdki = е«/,
Вил = Е/п — 0, е‘‘к = е‘“ = 0,
' (6.21)
е123 — е231 = 6312 — — 8132 = — ^321 = — е213 = V g >
е123 = е231 = е312 = _ gl32 = _ g321 = _ g213 = l//g .
Остальные компоненты равны нулю. С помощью соотношений
(6.20) и (6.5) проверяется справедливость следующих часто ис-
пользуемых равенств:
Ri X R, = eOaR“; R‘X R' = e'/“Ra.
(6.22)
Теперь уже нетрудно подсчитать
площадь элементарной координат-
ной площадки. Так, по (6.22) и (6.9)
dSj = | R2da2xR3da3| =
= I 82saR“|da2da3 = e28i|R4da2da3 =
= у g g11 da2 da3.
Аналогично рассматриваются дру-
гие площадки. Таким образом, пло-
щадь i-й (а1 = const) элементарной координатной площадки равна
dSt = Ygg‘‘ dal dak (i =/= i). (6.23)
Подсчитаем объем элементарного параллелепипеда — элемента
объема
dV = R1daI-(R2da2xR8da3) = R1-(R2XR3)da1da2da3>
и по (6.20), (6.21)
dV = Yg da1 da9 da3.
(6.24)
Рассмотрим элементарный тетраэдр P1P2P3P (рис. 6.2)
PjP2X PiP3 = (R2 da2 — Rida!)x(R8 da3 — Rida1) =
= R2XRj da2 da8 + R3 X Rida3 da1 + Ri X R3 da1 da8.
Каждое слагаемое в этом равенстве представляет собой удвоенное
произведение площади соответствующей грани на единичный
85
dSt
вектор нормали к ней. Поэтому, обозначая через п единичный век
тор нормали к скошенной грани, получаем
ndSn = (R“//i““)dSa, nt = —.
/,п
Для дифференцирования векторов и тензоров необходимс
иметь формулы дифференцирования координатных векторов.
Прежде всего пусть
(6.25
да‘ -G,;Ra.
(6.26
Отсюда с учетом (6.6)
разложении равны
находим, что коэффициенты в выписанно?
da*
(6.27;
При этом симметричность полученных величин по паре нижних
индексов следует из очевидных равенств dRj/da1’ = дгЯ/да’да‘ =
= dRt/dai. Согласно (6.26) и (6.6)
3R* » a(Rfe-Rf) nk dRj r_k
да’ 1 dcd да’ ll
Отсюда и следует с учетом (6.6)
3R* na
W - - °/«R
Коэффициенты разложения G;;- называют символами Кристоф'
феля второго рода. Более удобны для подсчета символы Кристоф
феля первого рода
da
(6.28
связанные согласно (6.26) и (6.10) соотношениями
Glj = gkaGa, ti. (6.29-
Символы Кристоффеля первого рода довольно просто выра
жаются через компоненты метрического тензора. В самом деле
дифференцируя первое из выражений (6.9) по а* и производ»
циклическую перестановку индексов, получаем
р । dR, dgt.
dak ( dak ’ dak ’
dRfe p । dRj p _ d8jk
da da1 da
dR; q [ dRfc _ _ dgki
да' к да’ f da’
86
Вычитая первое выражение из суммы второго и третьего, получаем
с учетом отмеченной выше симметричности символов Кристоффеля
G - 1 (д8* । д8*
к> 1 2 У да1 да* дак )
и по (6.29)
& _ 1 (д8* д_ dgK dSu
(6.30)
dap
При рассмотрении общих вопросов теории упругости часто ис-
пользуют ковариантные производные компонент векторов и тен-
зоров. Так, величины
Vt-«; = -^-~ GtjUy, Ъи1 = -§- + G!^,
да' да'
(6.31)
(6.32)
= -А- - + G'^t?,
W-f = S’ + G1^., - Gyiktl.y,
Utt
v/z = -^r+G,ykel+g'/t,
dtt
dak
Vbtif = "S’ ~ G‘ktyi ~
являются ковариантными производными различного типа компо-
нент вектора и тензора второго ранга. Ковариантное дифференци-
рование добавляет в компонентах тензора ковариантный (нижний)
индекс, делая их компонентами тензора, имеющего ранг на еди-
ницу больший, — так называемого градиента тензора [см. (6.12)]:
VT = (v/aP) RTR“Re = (vv*“₽) RTRaRp = • • •
Ковариантная производная обладает рядом примечательных
свойств. Так из формул (6.26), (6.28), (6.9), (6.20) и из известного
правила дифференцирования произведения следует, что
VjR/ = O, ViR' = 0,
Vftgi/ = 0, V*6/ = 0, Vftg‘' = 0,
Vft8i>( = 0, Vft8G/=0.
Таким образом, координатные векторы, компоненты метрического
и дискриминантного тензоров при ковариантном дифференциро-
вании можно считать постоянными. Кроме того, как нетрудно
видеть, на ковариантное дифференцирование распространяется
правило обычного дифференцирования произведения. Отметим, что
операция ковариантного дифференцирования введена для компо-
нент вектора и тензоров. Сами же векторы и тензоры являются ин-
(6.33)
87
вариантными величинами, для которых ковариантная произвол-,
ная совпадает с обычной.
Сказанное о ковариантной производной позволяет теперь на-
писать
= Viu - Vi (uvRv) = (ViUv) Rv = (V^W*) Rv =
= (Vi^)gMvRv = (Vi^) Rg.
= ViT = Vi (/apv:: R“RpRv. - •) - Vi (/a₽v::) R“RPR?- • - (6'34)
oct
Используя (6.31), (6.32), нетрудно проверить, что
vftvm(-) = vrovft(-)>
т. e. (в обычном, эвклидовом пространстве) можно менять порядок
ковариантного дифференцирования.
Получим несколько необходимых ниже соотношений. Из вы-
ражения, предшествующего (6.30), находим
G&, tj + Gy, th = dgjklda1- (6.35)
Дифференцирование определителя g = |gi/| дает
-Д- = ga₽; (6.36)
да1 da1
где g‘i — алгебраическое дополнение элемента gt} в определи-
теле g. По известной теореме теории определителей ga^gafi = g.
Сопоставление последнего соотношения с (6.16) дает g‘i = gg4,
а тогда из (6.35), (6.36), (6.29)
(Ga. Pi + Gp. ai) = g (Gp₽i + G“i) = 2gG“f.
oCt
Отсюда и следует требуемое равенство
Из соотношений (6.31), (6.32), (6.37) получаем
Vvuv= ’ (6.38)
Vg da?
= -±= (d^' + G'₽ZF • (6-39)
Предпоследнее из соотношений (6.33) можно записать с учетом
(6.21) в виде
vft(/g) =о.
88
С учетом этого тождества (6.38), (6.39) можно записать и так:
v,№^;
V, (/g <”') = </? '”)
Udv
(6.40)
В приложениях часто используются ортогональные коорди-
наты, для которых координатные векторы е{ (6.3) являются орто-
гональными, так что ег • в! = е2 • е2 = е3 • е3 = 1, ег • е2 = е2 • е3 =
= е3-е! = 0, ejxe2 = е3, е2 х е3 = е1( е3 х ег = е2.
С учетом этого из (6.3), (6.5), (6.11) следует
Rj = ei/i7. R'= «///&;• (6.41)
Компоненты векторов и тензоров в представлениях
U = W(a)£a, Т — ^(аР)вавр,
W = И)(ар...у)еа^₽- • >Су
называют физическими. Сопоставление этих представлений с (6.12)
приводит к следующим связям:
U(O = ^v'gii = «,//ga',
hi) = tciiVgngjj= gaga = t'rfga/gii = Wgiiigu; (6-42)
waj... fe) = wh;_ k У gaga ...gkk
6.2. Деформационные соотношения.
Двойные тензоры
Пусть
R — xlgl + х2§2 + xags = xaga<
rpext = xt (а1, а2, а3) — радиус-вектор материальной точки в не-
деформированной конфигурации тела. Зависимости для недеформи-
рованной конфигурации получим из соответствующих соотноше-
ний параграфа 6.1 с добавлением индексов в виде кружочков.
Так, по формулам (2.4), (6.1), (6.8)
Г — ~Т~ gagp — ( -7-7 ga I —— gp = R?RV-
dxp V ®aV z \ dxp j
Таким образом получено первое из следующих выводимых анало-
гично соотношений:
F = R?RV; F’ = RVRV;
F-1 = RUR^; F-1’= F*-1 = R^.
89
С учетом условий взаимности (6.6) отсюда следует
Ri = FRf, RJ = F-‘.Rb
(6.44)
R/ = F-“-R/, R' = F‘R'
(например, F • R, = Rv (Rv• R() = Rv6/ = R^).
При помощи формул (6.10) получаем из (6.43)
F = gavR“Rv, F* = i^RuRv, (б 45)
F1 = guvRuRv, F-1‘ = F'-’ = gPvRPRv.
Для тензора деформации Коши—Лагранжа имеем согласно (2.17)
(6.43) и (6.9)
С = F*-F = Rv(Rv.Rp)RP = g?pRvR₽, (6.46)
т. е.
°сц = ёц. (6-47)
Двойными называют [102] тензоры второго ранга, диады кото-
рых составлены из векторов, взятых из разных векторных базисов.
Из соотношений (6.45) усматривается, что в них тензоры F, F-1,
F*, F*"1 = F-1* рассматриваются как двойные тензоры дефор-
мации. Существенно, что эти несимметричные тензоры, рассматри-
ваемые как двойные, имеют симметричные компоненты. Отметим,
что одни и те же ковариантные компоненты gl} имеют: тензор де-,
формации Коши—Лагранжа (6.46), двойной тензор — градиент
движения F (6.45) и единичный (метрический) тензор 1 = G (6.17).
gg Введенный соотношением (3.2) в прямоугольных декартовых
координатах градиент симметричного тензора естественным путем
обобщается на случай криволинейных координат:
d<I> дФ р р d<b
dk - дау6 д
Согласно (2.23) и (6.43)
дф Р R
—— KvKe-
dciyQ
(6.48)
(dSn/dSn) n = Jn- F-1 = J (n- Ru) R^ = Jn^,
t. e.
(dSn/dSn) n = Jn^, (dSn/dSn) nt = J°nt. (6.49)
С учетом формул (6.34) и (6.9) соотношения параграфа 2.6
преобразуются к виду
R - R = u = HaR“,
Ri = Ri + (Vi°ua) R“,
gu = R, • R, = °gij + ViU; + V,-«t +
(6.50)
90
°eU = 7г (gij ~ gij) = °?ij + 72ga₽ViUaV,Up, (6.51)
eij = 1/2(ViuJ + vA)-
Можно представить вектор смещения и разложением в дефор-
мированных материальных осях
R — R = u = uaRa.
При этом
Rj = Ri - (ViUa) R“,
gii = Ri • R; = gij - (ViUj + VjUi) + ga₽ViUaVjUp,
eu = 72 (gtj - gtj) = etj - ^g^ViU^jUfr (6.52)
?ц = Ч2 (УМ + V^). (6.53)
В заключение приведем следующие из соотношений (2.16),
(2.17), (6.43), (6.45), (6.51), (6.52) зависимости
Ё = % (gap - gap) R“RP = MR“R₽,
0 = 72 (gap - gap) R“R₽ = eapR“R₽>
показывающие, что тензоры деформации Грина—Лагранжа и
Альманси—Эйлера имеют равные ковариантные компоненты.
При этом согласно (6.44)
0=F-,‘.fe.F-t, E = F*-0-F.
6.3. Двойной тензор напряжений.
Динамические соотношения
Исходя из представления тензора истинных напряжений
S=o“₽RaRp (6.54)
получаем с учетом (6.44) выражение
{F-'.J S) =Jo“P(F-1-Ra) Rp = Jo“PRaRp, (6.55)
из которого усматривается, что номинальный тензор напряжений,
Рассматриваемый как двойной, имеет симметричные компоненты
/о1/.
Введем набла-вектор недеформированной конфигурации и еди-
ничный вектор нормали к недеформированной граничной поверх-
ности
V = Rvd/dav, n = nvRv. (6.56)
91
С учетом соотношений (6.55), (6.56), (2.37), (2.41) получаем первы
два из следующих соотношений краевой задачи:
Rv • (^а₽М₽) + pf = 0 е V);
оаг
n.(Ja«₽RaRp) = (а*) (а* 6 $а);
u = u (a*) (R = R (а*)) (ак 6 Su). (6.57
При написании граничных условий для простоты было принят*
S = So + где — часть недеформированной граничной по
верхности, на которой заданы напряжения (a? (а*)), а на Su —
смещения (конфигурация), т. е. u (a*) (R (а4)).
Используя соотношения (6.26), (6.27), (6.32), (2.39) и следую
щее из (6.24) выражение для кратности изменения объема
J = dV/dV = V g/g, (6.5»
записываем задачу (6.57) в компонентном виде:
+ p/Ff =0 (<? £ V);
oct*
Пу-/g av/ =]^g (o?) (ak C so);
u1 — ni (a*) (a4 E Su)- (6.59
Отметим, что в силу тождества (6.39) первое из соотношений крае
вой задачи можно записать и так:
V? (FF ffV/) + Р Fg Л = ° (“Ч И- (6.59а
В случае, если поверхностной нагрузкой является нормально
давление, an = —qn и по (2.36), (6.49), (6.58), (6.10)
о» = (dSn/dSn)<jn =-- — qJn^ = — qJn^^,
" г- _ (6-69
Kg -q/e
Согласно (6.44) и (6.54) для симметричного тензора Пиала-
Кирхгофа получаем следующее представление:
F-,-JS-F-1* = Ja“₽RaRB. (6.61
Из соотношений (6.54), (6.55), (6.61) следует, что одни и те же kof
травариантные компоненты Jali имеют три тензора: тензор Кирх
гофа JS, рассматриваемый как двойной номинальный тензор напря
жений и симметричный тензор Пиала—Кирхгофа.
92
6.4. Закон упругости
Рассмотрим первую энергетическую пару в таблице (2.45)
F-'-JS-F"1* = = V-jC,
связанную градиентальной зависимостью (3.25). Из последней,
а также из выражений (6.61) и (6.48), записанных для тензора
А = С (6.46), получаем искомый закон упругости для сжимае-
мого материала
jati = 2 • (6.62)
Для несжимаемого же материала согласно (3.27) следует провести
замену
F-1 • J2 • F-1* F1 J2 • F-’* — pF"1 • F1*
или с учетом (6.61), (6.43), (6.45) (J = 1)
Ja{i -> аЧ — pg'!-
Таким образом, для несжимаемого материала
= + (6.63)
Заметим, что полученные законы справедливы для любого анизо-
тропного материала.
Нетрудно видеть, что dg/dgy — g4, где g‘i — алгебраическое
дополнение элемента в определителе g = Соотношение
(6.16) свидетельствует о том, что g‘i — приведенное алгебраиче-
ское дополнение, т. е. g4 = g4lg. Сопоставление этого выраже-
ния с предыдущим дает
= (6.64)
Рассмотрим величины [см. (6.47)]
Ic = ia₽ga₽, Пс/Шс = ga₽£ap. Шс = g/g- (6.65)
С помощью соотношений (6.14) можно убедиться, что выписанные
величины—инварианты. Будем считать материальные коорди-
наты ортогональными в недеформированной конфигурации. Тогда
с учетом (6.16) имеем
= = g = °gug22- (6.66)
Обозначим через [см. (6.42)]
gift) = gal К gaga (6.67)
93
физические компоненты тензора С относительно материальных
координатных осей в недеформированной конфигурации. С учетом
соотношений (6.64), (6.66) и (6.67) инварианты (6.65) принимают
вид
IС = £f<l 1> + g&2) + £<зз>.
£<n> gM)
g(2i) g<22>
£(11) gw
£(31) £(33)
Я<11> gam £<13)
Шс= £(21) £(22) £<23) = |£<</>|-
£<31> £(32) g{33)
Сопоставление полученных выражений с (1.11) и (6.47) показывает,
что величины (6.65) — главные инварианты тензора деформации
Коши—Лагранжа С, записанные через его физические компоненты
в криволинейных материальных координатах.
Получим несколько необходимых в дальнейшем соотношений.
Согласно (6.65) и (6.21)
II 1с = ^^g^g^.
Отсюда с учетом (6.21) находим
= ’/ae‘"VeivpWw> = ^4i‘Pgw. (6.69)
Используя следующие из (6.21) и (6.65) соотношения
gifem = IJ{C giAm,
легко проверяемое тождество
gikmgjln — g{/gklgmn __gijgkngml gingkjgml _gingklgm' Ц-
g{!gkngmi ~ gllgk>'gmn
Пс =
£<22) Я<23)
£(32) g(33) ’
(6.68)
и формулы (6.64), (6.16), получаем
Подстановка сюда выражения Шс = J2 дает
= 4- Jg11, -^1— = 4- J (gligkl -
dgi} 2 s dSkidSa 4 S )
Из соотношений (6.64), (6.65), (6.69) и формул (6.70)
Ис = 4-
(6.70)
(6.71)
(6.72)
следует
(6.73)
= gligkt ~ gilg’k- (6.74)
94
Наконец, по (6.65)
При помощи соотношений (6.69), (6.74) и (6.75) получаем из
(6.62) следующую форму записи закона упругости для сжимае-
мого изотропного материала:
Jali = 2 sl'! + (№₽ - gtag®) g<# + П10 •
В частном случае стандартного материала второго порядка [см.
(3.44), (6.62)] (1 =£<ЧЛ, 4
Ja(i = (Xg'/g«₽ + 2ц,^“^'Р) 8°аР.
Для несжимаемого изотропного материала находим из (6.63)
°1/ 2 s11 + “шг ~ slas^) £“₽] + ps{,‘
Ф = Ф(1С, Пс): 1с = 5а₽Яа₽. Пс==£ар£“₽, Шс=1.
В частности, для неогуковского закона (5.3)
о*7 = jxg</ 4- pgii.
Из (6.62), (6.63) и основных соотношений этого параграфа сле-
дует, что для перехода от сжимаемого материала к несжимаемому
следует использовать замены
Jo*/-> о*/— pg*7, дФ/дШс->-0. (6.76)
6.5. Вариационное начало Лагранжа
Вариационным началом (уравнением) Лагранжа назовем сле-
дующее интегральное равенство:
J (6Ф - pf 6u)rfiZ - Joo.6udS°„ = 0. (6.77)
о о
v Sc
Под вариацией вектора смещения
6u = 6uvRv (6.78)
будем понимать произвольную гладкую геометрически допусти-
мую, т. е. удовлетворяющую условию
би = 0 (а* Е 5°и), (6.79)
малую функцию.
В (6.77) 6Ф (gki) — отвечающая би вариация упругого потен-
циала. При этом согласно (6.62), (6.52), (6.53) с учетом малости
95
вариаций и симметричности компонент тензора напряжений
(tin = 0)
6ф = 8gati = 2 = Jo“P 4 <V“SuP + V₽6ua) =
oga₽ ogap z
= Jo“PVa6«p- (6.80) .
Согласно соотношениям (6.34), (6.78)
-^ = Vv(6uvRv) = RvVT6uv. \
С учетом этого выражения, а также (6.79), (6.80), (6.6), (2.27), '
(6.56) :
J 6Ф dV = j Jo“₽Va6u₽ dfr = j Rv. (Jo“PRaRp) ~ '
V v v j
= [ Rv-44t(/aapkttRs)'Suldfr~ [ *Y- dJg°**aRp -eudfr= *
J даУ J даУ i
V v ?
= jn.(Jo“₽RaRp).fiud^- J Rv. dJg^gRP ’
s0 V
Подстановка полученного выражения в (6.77) приводит ко второй :
форме записи вариационного уравнения Лагранжа:
„ f +-t1.6uJi> +
J V даУ
+ jo [n-(Joa₽RaRp) — Ooj6udS°n — 0.
Ее равносильность с уравнениями равновесия и статическими гра-
ничными условиями (6.57) следует из произвольности би.
Нами был рассмотрен сжимаемый материал. В случае же не-
сжимаемого материала вектор би уже не является произвольным,
будучи связанным условием несжимаемости. Получим эту связь.
Варьируя для этого условие несжимаемости Шс = 1, записанное
в виде In Шс = 0, находим с учетом (6.71), (6.52), (6.53)
0 = б (% In Шс) = 7,11 IF1 6gap = W^gap =
ugap
= g“₽1/2 (Va6up + Vp6ua) = r₽Va6«p.
Таким образом, искомая связь имеет вид
= 0. (6.81)
Вариационное уравнение (6.77) заменим следующим:
j v [б (ф + V2p In 11 Ic) - pf • би] d\l - Js Сто • би dSn = 0.
96
Здесь р — множитель Лагранжа — произвольная функция, меха-
нический смысл которой тот же самый, что и в упругом законе
(6.63), — всестороннее давление. С учетом соотношений (6.63) и
(6.81) имеем
6Ф + рб (*/2 In Шс) = (2 + РГЭ) VaSr/p = o“PVa6iz3.
Сопоставление полученного выражения с (6.80) показывает, что
вторая форма записи вариационного уравнения для несжимае-
мого материала имеет вид
doa|iRgRp
даУ
+ pf -6ud|/ + j о V2 In IIIc6pdV +
+ [о [n-oa₽RaRp — Ool-6udSn = 0. (6.82)
J l nJ
В силу произвольности 6p отсюда следует и условие несжимае-
мости In Шс = 0. Таким образом, условие несжимаемости выпол-
няется «в. среднем» или, как говорят, является естественным для
вариационного уравнения. Это позволяет при использовании ва-
риационного уравнения (6.82) не заботиться о том, чтобы вектор
смещений удовлетворял условию несжимаемости.
6.6. Возмущение равновесной конфигурации
Вернемся к краевой задаче (6.57)
Rv.-^-(Joa₽RaR₽) ф- pf = 0 (a* £ V),
n-(Joa₽RaR₽) = Оо (a*) (a* £ So), (6.83)
u = u(a*) (a* £ S°u),
добавив к выписанным соотношениям для сжимаемого материала
закон упругости (6.62)
Jai/ = 2 ‘С’ (у °" = (6-84)
а для несжимаемого — закон упругости (6.63) и условие несжи-
маемости
J = /IIIC = У gig = 1,
Jaii = 2-gg + pgli (у F(2 • (6.85)
Наряду с величинами
u, Rf, Ju‘1, о0, f, ...,
п
4 Черных К- Ф.
97
определяющими деформированную (невозмущенную) равновес-
ную конфигурацию, тела, рассмотрим величины
и 4- u, Ri -f- Ri, + Joil, CT„ 4- Сто, f 4- T, ...
n n
возмущенной равновесной конфигурации. При этом возмущения
u, Rj, ... будем считать малыми и, стало быть, связанными между
собой линейными соотношениями типа
UV = UV + UV,
чТёи) = 'Р + Ён) - 'Р (gtj) = g^-
Кроме того, следует помнить, что величины с кружочками, отно-
сящиеся к недеформированной конфигурации, не возмущаются,
и операции возмущения и дифференцирования переставимы. Так,,
из соотношения R = R + u следует [см. (6.34)1
R = й = wvRv, Rft = VfeUvRv, Rl = - glv^uvR^. (6.87)
Последнее выражение получено возмущением равенства (6.6).
Далее
gij = Ri • Ry = VjU, 4- VjUi = 2ev,
~gil = Ri. R/ = — (g‘>g/v givg/H) V(tuv = _ (gi»giv 4- givgi») e^.
(6.88)
Для сжимаемого материала находим из (6.84), (6.86) и (6.88)
Тй‘7 = (/g7ст‘7 =]Лg (6.89)
где
(6.86);
касательные (текущие) модули упругости со следующими
ствами симметрии:
£ilkl — £jlkl — £tjlk _ £klij_
Для несжимаемого материала согласно (6.85) и (6.88)
ст‘7 = [£i/uv — (g^g/v givg/u) /?] 4- g‘'p =
== [£'^v - (gitlgiv 4- g^s1^ p] 4- g(ip.
К последнему соотношению необходимо еще добавить возму
щение условия несжимаемости. Прежде всего согласно (6.71)
и (6.88)
/2 = 2JJ = Шс = g,v = 2IIIcg^v.
(6.90)
свой*
(6.9Г
(6.92;
98
Таким образом,
J = Jg^'ejlv = Jg^^iy, (у g = Yg g^V^wJ. (6.93)
Отсюда и из условия несжимаемости J — 1=0 следует искомое
возмущение условия несжимаемости
= 0. (6.94)
Возмущение краевой задачи (6.83) приводит к следующей крае-
вой задаче для возмущений при сжимаемом материале:
(L -f- рМ) и = — рК (а* £ V);
(N — Р) и — (ак 4 5а); (6.95)
и = 0 (ak у S°u),
где
L = R7~[(£a₽liv + ^a^₽v)vu(Rv-)RaRp];
N = n-[(£«₽wv + ja^g^ V|1(Rv.) RaR₽]; (6.96)
F = Mu + к, Сто = Pu 4-
n n
Для несжимаемого же материала согласно (6.92)
(L 4- р№) и 4- Sp — — рК (a* £ V),
(N - Р)и4-Т/? = ст£ (ak С 5О),
и = 0 (а* С Su),
где
L = RT.-^- {[EaPnv _ («₽v +gav^)/7 ^gfiv] V(t(Rv.) RaRp);
N = П • {[£“₽nv _ (gaug₽v + gavgfi^ p Vu (Rv •) RaRp} J
S = R?• ( )RaR₽]; f = Mu + r;
т = n • [g“P ( ) RaRpl; Go = Pu 4- Go .
В приведенных соотношениях через ГЛ и g^ обозначены части
п
внешних нагрузок, не зависящие от и и р. Для мертвых нагрузок
(так называют нагрузки, не зависящие от и и р)
М = Р = 0, (6.97)
4* S9
Получим необходимые в дальнейшем интегральные соотноше- j
ния. Прежде всего из (6.96)
[о L w • v dV = f о R •’ • ((Ea^v -4- Jo^gf*) V^\RaRP] • v dV =
•l v j v Qa'
= Jowg^^&aR^\dV + I,
J v da7
где с учетом (6.34) и (6.6)
1 = ~ J°VR14(E“₽11V + Ja“^₽v) Vg^RaRpb-^ydV =
Подставляя полученное выражение в предыдущее, получаем с уче-
том формул (2.27) и (6.96) искомое интегральное соотношение для
сжимаемого материала
j^Lw-vdb— Nw-v dSn = — J (E“₽nv J a^gt'^ V№wv^av^ dV.
(6.98)
Аналогично для несжимаемого материала
(Lw +Sp)-vdV- (Nw 4-Tp)-vdSn =
= — JV {[Ea₽ixv — (g^g^ -h g“vgey) p -h V^v + ga₽p} x
XVa»s dV.
6.7. Консервативность внешних сил.
Вариационное уравнение и принцип стационарности
полной энергии для возмущений
Преобразуем очевидное в силу краевой задачи (6.95) интеграль-
ное равенство
- Joy [(Ь + рМ)Ъ + рГ].^ + JsJ(N-P)i?-a£].^n = 0.
Используя тождество (6.98) при w = v = и и (6.95), получаем
отсюда
JV(E“^V +vu«vVa«pdV -
— jp.p(Mu*u -ff''-u)dV' — (Pu-u + ab’U)d°Sn ~ 0. (6.99a)
Пусть u(1) и u<2> — произвольные, с требуемой гладкостью,
геометрически допустимые (т. е. удовлетворяющие граничным
100
условиям (6.95)1 смещения. Внешние силы, удовлетворяющие
тождеству
p(Mu(1)-u(2) - Mu<2>-u<>>)dy _|_
+ [% (Pu*1 > • й(2> - Pu(2>-u(l))dSn = 0, (6.996)
называют консервативными.
Покажем, что при консервативных внешних силах выражение
п (Б) =4- f ь (£a3uv + v^v^dv -
— Jp(Mu-u + 2f''-u)dVr — J§ (Pu-u + 2o£-u)dS°nJ (6.100)
является полной энергией для возмущения равновесной конфи-
гурации тела, т. е. условие ее стационарности
8П~=0 (6.101)
(при Su = 0 на Su) равносильно краевой задаче (6.95).
Прежде всего
М = -±- Jo (Е«№ + J<^v) dV -
— Jo, (Mu + f"') 6u dV — J^ (Pu + o£)-SudSn +
Ц- J J^p(Mu-Su — MSu-u)dV + Jo (Pu-Su — PSu*u)dS°nJ.
В силу предположенной консервативности внешних сил (равенство
(6.99) при u(1 > — u, u(2) — Su) сумма в квадратной скобке равна
нулю. Используя далее симметричность текущих модулей (6.91),
получаем
677 = Jo, (E«₽uv vuuvvaSupdV -
— J^,p(Mu f'J-SudV — J^ (Pu + o£)-SudSn. (6.102)
Тождество (6.98) позволяет преобразовать последнее равенство
к виду
6П = - J = [(L + °рМ) и + °рГ] • Su ctf + J[(N- Р)Б - of] • бБdSn.
(6.103)
В силу оговоренной произвольности Su отсюда и из (6.101) следуют
уравнения равновесия и силовые граничные условия (6.95). Оче-
видно и обратное: из соотношений (6.95) следует стационарность
полной энергии.
Для нахождения стационарности полной энергии можно ис-
пользовать хорошо разработанные прямые методы математической
101
физики. При этом методу Ритца отвечает вариационное уравне-
ние (6.101), (6.102), а методу Бубнова—Галеркина — (6.101) и
(6.103).
Все сказанное выше относится к сжимаемому материалу. Для
несжимаемого же материала вместо (6.100), (6.102), (6.103) совер-
шенно аналогично получаем следующие соотношения:
П (Й, р) = V2{ j [£“₽HV (gaM-grPv g<™g№) р +
-г- CT“^₽V] VuMvVaMP dV + jf, pg“₽Va«p dV -
— J “vp (Mu-u -|- 2f"-u)dV — Jo (Pu-u 4- 2cr£ u)d§nJ;
6/7 = [£«Pt*v _ (g“Hg-Pv . I- gaVgrPH) p CTaPgPv] VMuvVa6up dV 4-
-I- Jf> [(g“eVaHp) 6p 4- Pg“₽Va6Mp] dV -
— Jp (Mu 4 f ~) • 6u dV - Js (Pu + erf) • 6u d°Sn;
8П - - Jj, [(L4-pM)u4-pr].6udV-4
4 Jp (g“₽Vawp) 6/? dV 4- J[(N — P) u — of ] • 6u d§n.
Таким образом, для несжимаемого материала из стационарности
полной энергии следует и условие несжимаемости для возмуще-
ния (6.94).
Возвращаясь к условию консервативности внешних сил (6.996),
отметим, что оно согласно (6.97) заведомо выполняется для мерт-
вых внешних нагрузок. В остальных случаях требуется специаль-
ное рассмотрение.
6.8. Структура уравнений для возмущений
Получим отвечающие векторным соотношениям (6.95), (6.96)
скалярные эквиваленты. Прежде всего возмущение уравнения
(6.59) дает с учетом (6.58) и (2.39)
У F 0^ + Vg 0^ 4- Р КИ' = 0- (6-104)
Подсчитаем с учетом формул (6.27), (6.28), (6.32), (6.86), (6.87)
Glh~~^T R-----------------R +14^ 8 V“WtiR
102
В силу симметричности по индексам у и v и выражения (6.88)
G(,v/F = (^'VvVyUu) /F (fv = gw v ~g ffvv [v7 (VvUji+VjiUv) —
— 4- vn (Vv«v + Vv«v)] = [2Vv^v - VgevV] =
= V"g [- g*1^ + W
Подстановка этого выражения в (6.104) приводит к первому из
следующих выводимых аналогично выражений:
-i- G’v + V g [- g^v -h + /'o’l4 v +
+ pKgf'=-0 (aft € V);
nvVV °V’ = Vg On (a* E &);
ut = uf(ak) (ak £ Su). (6.105)
Используя соотношение (6.40), можно записать первое из этих со-
отношений в виде
Vv(/Т^О + Vg [ -g^v + + gv/CTHV] V[Av +
о 1 Г о —-
+ р У g f> = о.
Из соотношений (6.105), (6.89), (6.92) усматривается, что лине-
аризованные уравнения равновесия и силовые граничные условия
не содержат возмущений углов поворота, коль скоро их не содер-
жат f ’ и ai, т. е. при
V = V(ehi), (6.106а)
°'п = а°п(ёк'}' (6.1066)
Рассмотрим второе условие. Прежде всего согласно (6.60),
(6.88) и (6.93) для следящей нагрузки — нормального давления —
= - ^ /Г 1Л + ? IZ'f” - W -г «““/')] ё„,|.
и условия (6.106) выполняются. Иначе обстоит дело с мертвой по-
верхностной нагрузкой (не зависящей от возмущений), для кото-
рой [см. (6.59)—(6.60)] Оо = OoRp не зависит от возмущений сме-
щений и, стало быть, согласно (6.86), (6.87)
do = (о! + gV₽0^V|A'| Rp = 0,
т. е. Сто = — gv/a£VuUv, и условия (6.1066), вообще говоря,
не выполняются. Аналогично для мертвой массовой силы
V = -
и условия (6.106а) также не выполняются.
103
Несколько обобщая данное в монографии В. В. Болотина 18,
с. 52] определение, назовем следящей массовую силу, в каждой
дочке тела следующую в'процессе деформации в направлении,
определенном материальным волокном. Пусть направление по-
следнего определяется до деформации вектором k = &?RV. По-
ложение его после деформации определяет согласно (6.44), (2.5)
(при dR -► к) вектор к = F-k — ^?R?.
Таким образом, следящая массовая
сила имеет вид
f = fk=^?Rv, fi = fk',
и условия (6.106а) выполняются.
Заметим, что сказанное полностью
относится и к материальному волокну
поверхности тела.
Из отмеченного выше выясняется
примечательная роль следящих нагру-
зок: для них линеаризованные урав-
нения равновесия и силовые (статические) граничные условия не
содержат возмущений углов поворота, а записываются через ком-
поненты линеаризованного тензора деформации.
о
6.9. Цилиндрические координаты
В цилиндрической системе координат (рис. 6.3)
а1 = г, а2 = &, а3 — °х3; °xr = г cos §, х2 =°r sin 0.
Отсюда из соотношений (6.1), (6.5), (6.9), (6.13) и (6.30) находим
Ri = R1 = cos0gr + sin 4g2, R2 ~ r2R2 ~ r(-~ sin 0gi +
Cos 0g2), Ra R3 = ga,
gn — 1> ga ~ > ёзз — 1> £12 = gis — £23 = 0>
g.11 __ g.22 __ g33 — j, g-12 _ g-13 — g.23 — Q,
Pu ~ И22 — COS0, Ц21 — — Pi2 = Sin&, Paa = 1, P13 ~ P31 = p22 =
= p32 = 0, p = 1.
Отличны от нуля лишь следующие символы Кристоффеля:
G22 = —г, О]2 = г-1 В деформированной же конфигурации =
= г cos 0, х2 = г sin 0, и из тех же соотношений находим
„ ( &г п . п <Э0 \ , / дг . п , „а д0 \ .
R1 = (лГcose-rs,n0 л?-)81 + (15"s,n0 +'cos0w)ь +
+ 1Т"8"’
да1
104
а. дг dr I r2 00 00 I дХз дХз
da1 da1 da.1 daJ da1 daJ ’
\ 00 dx3 dx3
\ d& dx3 dx3 d& /
V dx3
. / дв dx3
1 l о о
X dx3 dr
dr dr dx3
00 dx3 X n
----O---f-JrcosQ,
dr dx3 /
>M2H13 = Mr—-------------—~
X dr 0& 0$ dr
. / 00 dx3 dx3 00 \ a
+ I —:------г------2--I r COS 0,
X dr 0§ 0& dr /
Л1ЛзИ21 = (— ----
X dx3 d& 0$ dx3
/ dx3 dQ_________dx3 00 \
- f- 10 О Q О I
\ dx3 00 00 dx3 /
л л „ _ / dr dx3 dr dx3
Лз^Нгг — I —;------;-------;----r
\ dr dx3 dx3 dr
. / dx3 00 dx3 00 \
\ dr
dx3
0x3
dr
Л1Л2Ц23 =
dr
dx3
dr
dr
0r
dx3 00
dfi dr
dx3 00
dr d§
A A u — r ( dr 50 dr 00
Л2Л3И31 — r --------- ;----
\ 00 dx3 dx3 00
A.A^„ = rl-^- *
\ dx3
dr
dr 09
dr dx3
dr
0r 0§
dr___00
d§ dr
АЛНзз = r (
o4___ p*. p/__ ^at^aj f-ii ___j
g _ К к - л<л^2 > ;
dg/p
da1
•₽h
105
Глава 7. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
В нелинейной теории упругости широко используются полу-
ченные полуобратным методом так называемые универсальные
решения. Некоторые из них приводятся ниже. Подробно с уни-
версальными решениями можно ознакомиться из публикаций
[17, 32, 97].
7.1. Цилиндрический изгиб прямоугольной пластины
Рассмотрим длинную прямоугольную пластину (рис. 7.1)
с размерами —а < х, < п, —1/2Л < х3 < 1/2Л, испытывающую
цилиндрический (не зависящий от х2) изгиб. При этом срединная
линия поперечного сечения (х3 = 0), изменяя свою длину, пере-
ходит в дугу окружности радиусом R, линии х3 = const — в ок-
ружности г = const, а прямые хх = const — в радиусы 0 =
= const. Пусть нейтральной (не изменяющей своей длины) линии
отвечают х3 = х* и г = г*. Из рис. 7.1 усматривается
0 = Xi/r*. dd = dxjr*.
(7.1)
Считая материал несжимаемым, имеем
dx1dx2,dxs = (rdQ) drdx2.
Отсюда и из (7.1) следует
dx3 = rdr (dd/dxj) = rdr/г*, x3 + C = r2/2r*.
106
С учетом того, что г)» ^ = Й, находим (рис. 7.1)
r/R = /1 + 2x^jRz, rjR^Vx-hrJR*,
rjR = V 1 + hr JR*. (7.2)
Из рис. 7.1, условия несжимаемости АДд = 1 (Х2 = 1) и того,
что г* отвечает нейтральной оси (Ах = 1), находим
Ai = ('•/''*)> ?-з = (г/г*)"1., (7.3)
Подставляя выражение (3.29)
* п ОФ I
О/ = nXt- —— + р
dVf
в уравнение равновесия [см. (6.59) и параграф 6.91
получаем
Принимая двухконстантный потенциал (5.30)
Ф = (2 р//?2) (X” -j- Х2 -f- Х3 — З),
получаем из (7.5), (7.3) и (3.29)
Р = Ро + (2ц/п2) [(r/r*)n - (п - 1) (г/г*)-"],
= Ро + (2р/п2) [(» + 1) (г/г*)п ~ (П - 1) (г/г*)-"1,
<Тз = Ро + (2р/п2) [(/•//*)'’ +(/•/г*)’"’],
где р0 — постоянная интегрирования.
Считая лицевые поверхности пластины (х3 = свобод-
ными от напряжений, т. е.
«з (rj = о3 (г2) = 0 (гт = г (—1/2й), r2 = r (V^)), (7.7)
получаем из (7.6)
Ро = —(2ц/п2) 1(Г1/г*)п + (гА)-п ]
= -(2p/n2) l(rjrj- + (/А)-'1!- (7-8)
Растягивающее усилие (в расчете на единицу длины линии х2)
с учетом равенств (7.4) и (7.7) равно нулю. Действительно,
Т = j a1dr =
j = Г2СТЗ Г1°3 = °’
107
Тем самым рассматривается случай чистого (цилиндрического)
изгиба. Далее для изгибающего момента (также в расчете на еди-
ницу длины линии х,) находим с учетом (7.6) и (7.8) (М —
Г1 \
— J а/ dr I
ft /
М
_ ( 1 Г/А.У+2_ /2гУ+21
й \n + 2 Lx Г» / X г* / J
7M(tr+!-(trnU,- (7.9)
(п-2).
Полагая в первом из соотношений (7.2) г = г*, х3 = х*, на-
ходим для величин г* и х*, определяющих положение нейтраль-
ной оси,
xJR = V2 [гJR- (гJR)-1]. (7.10)
Из соотношения (7.8) усматривается, что при произвольном п
оно выполняется при
Г1Г2 = г3,.
Подстановка сюда выражений (7.2) приводит к соотношению
4=[(-5гГ-(-5г)!Г
Задаваясь теперь отношением (rjR), находим из (7.11) hlR,
а значит, и hl г*. Затем из (7.2) определяем rj°h и rjh, а из (7.10)
xjh. Теперь из (7.9) можно определить функцию Л4/рЛ2 =
= (Rih), а по (7.6), (7.8) о^/р, = (Rih), ст2/р — f3 (Rlii). Из со-
отношений (7.11), (7.10) видно, что г* < R п х* < 0. Таким
образом, в рассматриваемой задаче, как и следовало ожидать,
нейтральная ось (х8 = х*) располагается ниже (материальной)
срединной (х3 = 0).
Рассмотрим тонкую пластину, для которой
hIR « 1
г JR = 1 - (R - rJlR ((R - rJlR «1),
(тг)M‘ - V1)*«> - * m
108
Подстановка последнего выражения в соотношения (7.10), (7.11)
дает
x*/R « —(R - r*)/R « -V4 (h/R)2.
Отсюда следует, что для тонкой пластины можно положить
г* = R, (7.12)
т. е. отождествлять срединную и нейтральную линии. При этом
выражения (7.2) принимают вид
и приближенно
(r/R)k « 1 + k (x3/R) + '/2k (fe-2) (x3/R)2.
Подстановка этого выражения в (7.6), (7.8), (7.3) дает с учетом
(7-12)
К 1 + x3/R ~ (x3/R)2,
U « 1 - xJR + 3/2 (x3!R)2, (7.13)
0^/4(i = x3/R — x/2 (x3!R)2 — x/g (h/R)2.
Соотношения (7.13) могут быть использованы для обоснования
статико-геометрических гипотез в теории тонких оболочек (см.
параграф 11.9), поскольку после отбрасывания в них подчеркну-
тых членов, мы получаем зависимости теории тонких оболочек.
7.2. Толстостенная труба
Рассмотрим полый круговой цилиндр (см. рис. 6.3) из несжимае-
мого материала. Примем в цилиндрической системе координат
г — rQ (г), 0 = ё, х3 = Хх3 + w (г). (7.14)
Постоянная X определяет растяжение трубы, Q (г) — раздувание,
a w (г)—ее продольный (осевой) сдвиг.
Используя соотношения (7.14) и зависимости параграфа 6.9,
последовательно находим
gn=l, £22 = А £33=1, £12 = £1з = £23 = 0, g = r2,
(7.15)
£ii = (rQ)'2 + w'2, £22 = (rQ)2, £ss = X2, (7.16)
£is = Хоу', £12 = gi3 = 0, £ = l(rQ)' (rQ) ХР.
109
Из условия несжимаемости материала J = у gig = (rQ)' Qk — 1
следует
(rQY = ViQ-1, (7.17a)
Q' = r1 (k-'Q-1 - Q). (7.176)
Интегрирование последнего уравнения дает
Q2 = к-1 + Cr°-2.
где С — постоянная интегрирования.
С учетом (7.17а) находим из (7.16)
gn = k~2Q-2 + w'2, g22 = (rQ)2, g33 = X2,
gi3 = kw', g}2 = g23 = 0, g = r2.
Отсюда и исходя из того, что g{i является приведенным алге-
браическим дополнением элемента gtj в определителе g — jg^l
(см. параграф 6.1), находим
g11 = X2Q2, g22 = (rQ)~2, g33 = к-2 + Q2w’2,
g13 = —kQ2w’, g12 = g23 = 0.
По формулам, приведенным в параграфе 6.1, подсчитываем отлич-
ные от нуля символы Кристоффеля
G 1 =- г~' (1 - X-1Q-2), Си = - rkQ2,
G22 = rk~'Q~2, G?, = - (1 - X!Q2) w + k^w,
G?22 = °rQ2w. (7.18)
Введем в недеформированных материальных осях физические
компоненты тензоров
o<i/> = / К gaga, g(ij> = gn V gaga-
Согласно (7.15)
о11 = O(ii), о22 = г~2а{22), а33 = а(33), о43 = а(13>.
Подстановка этих величин в однородные уравнения равновесия
(6.59) приводит с учетом (7.18) к уравнениям
/• —4~ (2 — X 2) о(1 j) — XQ2O(22> = О,
dr
о da о <719)
г—+о(13)+[— X-1(l— X-1Q-2) a/VrX"W']o(ii)+Q2a/o(22)=0.
dr
НО
Согласно (6.63)
2^ + ''w я‘»=2^+ рСГ-
= 2 "<х”+QW’>- °™ - [2 - "«1ta’
(7.20)
Исключая из (7.19) ст(22>, получаем с учетом (7.20)
(гоу'ст(11> + А,гст(1з>)' = 2
дФ
d£(ii)
+ Х2
<ЭФ ,\
-5---------- | W Г
°£<31)£(13) /
= 0.
Интегрирование этого уравнения приводит к следующему нели-
нейному алгебраическому уравнению для функции w':
/ дФ , «« дФ \ , .
1 -5----к X2 =--------I w = Аг
\ О£(31)£(13) /
Определяя отсюда ш', получаем из (7.20) и первого уравнения
(7-19)
о
Р = А - 2?-г jрЛ (+ (2 - ГЧГ) —
/ L dr \ ^<п) / ^(И)
-XQ2-/^-W,
^(22) J
где использовано одно из следующих обозначений: ri = r(ri) =
= ;1Q1; Г2=г (;2) = ;2q2; q?=$ (;,) = %-> + с;л $ = q2 (;2) =
= 1-1 + СгГ2; р\ = р(ri); р2 = р (г2)-
Пусть на внешней поверхности нормальное давление равно qlt
а на внутренней — q2. Тогда
Ог<11>(/'1) = — <71, СГ(11)(Г2) = — ^2-
Если наружная поверхность взаимодействует с упругим основа-
нием, то при г = г2 имеет место условие упругого сопряжения
<72 = X (г2) = % (r2Q2),
где % ta) — податливость упругого основания. В случае линей-
ного — Винклеровского — основания
X (r2) = k (r2 — r2) = kr2 (Q2 — 1),
где k — коэффициент постели (податливости) основания.
111
Рассмотрим поперечное сечение цилиндра со стороны возра-
стания координаты х3. На нее действует растягивающая сила
F = j a(33)dS = 2 л j? о<33/dr.
Осевая сдвигающая сила, действующая на внутреннюю поверх-
ность цилиндра единичной (до деформации) длины, равна
Р = 2лг1О(1з).
Глава 8. ОБОБЩЕННАЯ АНТИПЛОСКАЯ
ДЕФОРМАЦИЯ
Обобщенной антиплоской деформацией (продольным сдвигом)
называют деформацию, при которой [17]
= Xxi, х2 = 1х2, х3 = 1~2х3 + w (1хь 1х2). (8.1)
Таким образом, при обобщенной антиплоской деформации на
сохраняющее объем равномерное двуосное растяжение наклады-
вается неоднородноеХсмещение вдоль оси х3.
8.1. Основные геометрические
и деформационные зависимости
Прежде всего согласно (8.1) и (4.1), (4.2)
z = 1£, (8.2а)
-^ = 1, Д_ = о, _^ = 0, к <й8 &x3 _ 1/ Q dx3 2 > о dx3 = I"2, (8.26)
где ПС, £) = 2-^- = dw . . dw - L-1 . dXi dx2 (8-3)
Из (4.15), (4.16) находим
Ft = 21, Ft = 21, (F-1)! = 21-\
Ft = 0, F2* = 0, (F-x)2 = 0,
F3 = 0, Ft = Q, (Г^з^О, (8-4)
F4 = Q, Ft = 0, (F’1)^ - IQ,
F6 = X-a, F5*-l-2 , (F-1)5 = i2,
1.
112
Таким образом, рассматриваемая обобщенная антиплоская де-
формация происходит с сохранением объема.
Из (8.4), (4.4), (4.5), (4.11) (А = Q* F)
Aj = ( 2 cos со + + 12^} X + (-----------i}
1 X 1 1 - cos a ' z / 1 \ 1 4- cos co /
A2 = X + ---h C ®rs,
1 4- cos co 1 \ 1 4- cos co 1 /
л3 = (.,мг -hWx-2,
° \ 1 4- cos co 1 / 1
A4 = ( tt^----------®ГХ + (1 - , ") Q,
4 \ 1 4- cos co J 1 X 1 4- cos co /
A, = (1 -, Mr“r ) x-2.
“ X 1 4- cos co /
С учетом симметричности тензора А и соотношений (4.3) имеем
Im А4 = О, А3 = А4, т. е. согласно (4.12)
Г, М'Г (Х~2 -X) + i(X-2+ X)] = (cosco L ^lL-W
L 14-COS со' ’ 1 ' 1 7 J x 1 14-cos со/ ’
2ХсоГ + Im - i) ®Гй) = 0. (8.5)
Исключая отсюда ш/ и опять используя соотношения (8.5), (4.12),
приходим к соотношению
/f cos со 4- -j—--~) = 0,
/X 1 1 4-cos со/
из которого следует
= 0, т. е. соз = 0. (8.6)
Таким образом, если в плоской деформации отличен от нуля
угол (о3, то здесь не равны нулю углы (о1э со2. Этим, собственно, и
оправдывается термин — антиплоская деформация.
С учетом (8.6) из соотношений (8.5) следует
v . cos сой
®1 — l х-2 ,
C0j Im о со2 Ией . _ |Q| ,й
со |Й| ’ со — |Й| ’ tg Х-24-Х'
Согласно (8.3) 5Q/5£ = 2d2w/dt,d^ — вещественная функция.
Поэтому равенство
т дй л
Im-яг- = 0
113
является условием вещественности прогиба w. По найденной
функции Й прогиб определяется согласно (8.3) квадратурой
8.2. Использование тензора деформации
Коши—Лагранжа
К наиболее простым соотношениям приводит использование
тензора деформации Коши—Лагранжа С = F*-F. Прежде всего,
используя соотношения (8.4), (4.4), находим
di = 2V + ЙЙ, С2 = йа, дз = С4 = ГаЙ, С6 = Г4. (8.8)
Отсюда и из (4.10)
1с = 2Х2 + Х-4 + ЙЙ, Пс = X4 + 2Г2 + Х2ЙЙ, Шс=1. (8.9)
Используя еще раз зависимости (4.4), (8.4), (8.8), подсчитываем
= 2Х3 + ХЙЙ, (d-F*)2 = W2, (д-г*)4 = Г4Й,
о _ о _ (8.10)
(С-Г*)3 = (Ха + Х-4 + ЙЙ)Й, (С-Г*)5 = Х-6 + Х-аЙЙ.
А теперь по соотношениям (4.30), (8.4), (8.9)—(8.10) находим
(F-./2I, = 4Х^. + 2Х(а« + а-+ Ой)^-+4Х-^,
+ (8.11)
[F-1-JY]b = 2Va + 4^- + 2Xa
1 10 ale dllc ollie
С учетом того, что входящие сюда величины не зависят от х3,
получаем из (4.20), (4.25), (4.27), (8.11), (8.2) уравнения равно-
весия
i [«
А [41-^- + 21(21а + 2Г4 + ЙЙ) -^-+ 4V4^-] -
L ole 1 v ' 1 ’ dllc 1 ollie J
- i [2W2~w] + +*Ь) = °> <8-12)
114
статические граничные условия
21 + % (2V + 2V* + 0Q) -
ale ' ' ollc dll 1с
— Хйа ,?? e~z2v = стоо (s) iffo (s), (8.13)
vl Ic w ' vt 4 ' '
(т+О(&,,+Н-9®.
деформационное граничное условие
Йе1'? - Qe-‘v = - i2 . (8.14)
ds
(Второе деформационное условие в полном соответствии с (8.2а)
сводится к подобному увеличению контура.)
Выписанные соотношения позволяют сформулировать краевые
задачи для разрешающей функции й. Отметим, что в общем случае
задача переопределена, поскольку искомая комплексная функция
й (£, £) или, что то же, две вещественные функции Re й и Im й
должны удовлетворять трем вещественным уравнениям и трем
вещественным граничным условиям (8.13). Так что, вообще го-
воря, сформулированная с помощью соотношений (8.12)—(8.14)
задача имеет решение не всегда.
В тех случаях, когда решение задачи все же есть, с помощью
соотношений (4.4), (8.11) и (8.4) находим для тензора истинных
напряжений S = J-1F-(J = 1)
А = 4X2 +2X2 <2X2 +2X’4 + + 4 W ’
W - - = = 2^ (ж + w) ’ (8.15)
= 2 (%- + ЙЙ) + 2 (2Гa + 1айй) + 2 .
Для перехода к несжимаемому материалу следует согласно
(3.40) в выписанных выше соотношениях провести замену
дФ/дШср/2. (8.16)
Дополнительная вещественная функция р снимает оговорен-
ную выше переопределенность задачи.
Что касается X, то она связана с осевой силой соотношением
(4.29)
8з= J
о
Q
115
8.3. Неогуковский материал
Для неогуковского материала
ЗФ _ ,и ЗФ _ п ЗФ р /О
31С ~ 2 ’ ЗПс ’ ЗШс 2 •
При Л = f2 = 0 разрешающие уравнения (8.12) принимают вид
-^- = 0, - 2_/3. (8.18)
dt, dt, dt, р. 7
С учетом соотношений (8.3) второе уравнение можно записать
в виде
4_^=_-L/s(C, t).
3£3£ н /3 '
Пусть ш0 — некоторое частное решение этого уравнения. Тогда
w = w0 + V2 № (□ -ЬФ(С)]>
Q = ф' (О -I- 2-^ = W) + 2 , (8.19)
3$ 3£
где ф (С) — произвольная функция своего аргумента.
Если ввести новую функцию
V (С) = Ф' (р, (8.20)
то
Q = W) + 2^-,
ш = ’/2[| 4WS + J ВД] (8.21)
Далее из первого уравнения (8.18) р = С (£). Но функция
комплексной переменной может быть вещественной лишь будучи
постоянной. Таким образом,
Р = Ро, (8.22)
где р0 — вещественная постоянная. Подстановка выражений
(8.17) в первое из статических граничных условий (8.13) дает
Хц Х-1р0 — По о (s) + in о о ($).
vv vt
Слева здесь вещественная постоянная. Следовательно, в рассма-
триваемом случае
Ооо = ffo = const, ff.. = 0,
vv vt
и исходя из предыдущего равенства
р0 = —рХ2 + Хо0. (8.23)
116
Второе из статических граничных условий (8.13) с учетом Вы-
ражений (8.21) принимает вид
Те'? 4- Те'? = — 2 . (8.24)
ds
Деформационное же граничное условие записывается так:
Те'? — Те'? = t‘2 -fao(s).. 4- . (8.25)
\ ds ds I
По найденной из сформулированных краевых дадач функции
напряжения согласно (8.15), (8.17), (8.21) подсчитывают по фор-
мулам
S1 = 2Xo0, Х2 = 0, 2з = ^=|А(чЧ0+2-^),
. г , п г_____ , ,/ (8.26)
- V + [У (?) + 2 4^-] (С) + 2 + ^о-
Из последних выражений усматривается, что на тело действует
всестороннее нормальное давление %о0, отвечающее
0Ц - (У22 = 033 ~ ^°0-
Наконец, из (8.11), (8.16), (8.17), (8.22), (8.23) имеем для растяги-
вающей силы на поперечном сечении цилиндра
Р = 8з = И (Ь-2 - V + *Ч/Н) 5. (8.27)
8.4. Бесконечная область с отверстием
Пусть поперечное сечение имеет малое отверстие. При опре-
делении концентрации напряжений возле отверстия можно счи-
тать область Й бесконечной и краевые условия на внешнем кон-
туре заменить условиями на бесконечности. Будем также счи-
тать, что массовые силы отсутствуют, т. е. f3 = 0 и, значит,
= 0. (8.28)
При этом согласно (8.26), (4.3)
013 — 1023 = 0зз = Р- (^"4 - V + YT) + А,о0,
0Ц “ 022 = Л,0О, 012 0. (8.29)
Статические условия (8.24) принимают вид
Те'? + Те‘? = 2о^/р, (8.30)
а деформационные (8.25)
Те'? - Те'? = - t2-^(s) -. (8.31)
ds
117
Представление
1И£) = ао + -тк + 11Ш. T0(Q=4^-+4i-4-... (8.32)
И *0
обеспечивает конечность напряжений в рассматриваемой беско-
нечной области (рис. 8.1). При этом согласно (8.29)
Яо = (*и-ЙТ2з)(р%)-1. (8.33)
Далее согласно (8.21) и (8.32)
w = Re {«_! In + однозначная функция.
Из полярного разложения £ = ге1’’ следует
Re In = — <р Im a_r + In г Re а_г.
Отсюда видно, что условие однозначности w приводит к равенству
Im а_г = 0. (8.34)
Далее согласно (8.2), (8.17), (8.21), (8.28), (4.28) для цилин-
дрической поверхности единичной высоты, отвечающей контуру L,
5з = р1т
г _ _ (8-35)
= ЧгЦЬ J L С (- Т dC + Т dQ.
Рассмотрим окружность, содержащую внутренний контур
(рис. 8.2). На ней
£ = Re‘T, £ = Re-‘T, dg = i Re^ dy, dt = —i Re-‘vdy. (8.36)
Подставляя эти выражения, а также (8.32) в интегралы (8.35),
получаем после интегрирования по у от 0 до 2л
Reo->=~ <8-37)
В силу отсутствия массовых сил (f3 = 0) и необходимости урав-
новешения части области, заключенной между двумя кривыми,
118
охватывающими внутренний контур, компоненты главного век-
тора и главного момента $s, SDlj, отвечают любому контуру,
охватывающему внутренний, в том числе и самому внутреннему
контуру.
8.5. Прямолинейный разрез
Рассмотрим область с разрезом по вещественной оси (рис. 8.3):
—а < хг с а, х2 = 0. Считая, что нагрузка на разрезе самоурав-
новешена, т. е. = 0, = ЭЯ2 = 0, получаем из (8.33), (8.34),
(8.37)
Величины, относящиеся к верхнему берегу разреза, будем сна-
бжать значком +, к нижнему — значком ". С учетом равенств
(8.38), (8.37), а также того, что на разрезе (рис. 8.3)
е£т+ = - i, e‘v- = j, С = С = Л.
и принимая получаем из (8.30) статические гра-
ничные условия
%+ (xi) - %+ (х,) = i2p-‘ (°°3 + %-1а2“3).
_______ (8.39)
YcT (Л) - W* ft) = i2p-‘ (- % + rtg),
где WJ (xi), Wo (xi) — предельные значения функции W0(S) при
£ -> XJ соответственно при приближении к верхнему и нижнему
берегам разреза.
Введем функцию Wo (£), определяемую равенством
зд = таГ),
т. е. принимающую в точках, симметричных относительно ве-
щественной оси, значения, комплексно сопряженные с Wo (£).
119
Очевидно, что
т0+ (*1) = т0- (Д), %- (Л) = т0+ Gi).
При помощи этих равенств условия (8.39) записываются в виде
[% &) + То &)]+ - [% (хг) + То &)]- = 1КГ-
Vo
(То (х,) - % (Xj)]- + [То (*0 - То (Х1)Г =/4а2оозИ“1Х-1.
Решения этих краевых задач при весьма общих предположениях
о правых частях даются формулами [35]
(8.40)
— 2га СТ?,ч (х1) 0
4'.(t)+'F.«)=^r Ltt dXt-
xi — £
— 2oS 1 fa %
To (o - To (^ = i —\ Ia54 dXl.
и и лцХ у- a2J—а ° £
Рассмотрим подробнее случай свободного от напряжений
разреза, т. е. о°3 = 0. При этом с учетом того, что [35]
^4 = Я(/^Ч),
J~a Xi —£
находим из (8.40), (8.32), (8.38)
/?2 - “2
Г1.
Интегрируя, получаем
W = (- /Р^5) + 4 + А.
Н [Л
Теперь согласно (8.29), (8.19), (8.27), (8.7) имеем
• • оо / С \ , со
013 — 1О2з — '---------’ " -
(8.41)
/£2-а2
2*L = r4-X2+ i
н L
а;
/£2-а2 /
х ; ( Ё L
\ £2 __д2 / Р-А,
Оц = Ogg = A>Oq, Oja
цш = О03 [Im — а2 Г1] ф- о?з%~ + С,
(Oj ImV <о2 Re T _ T
co — | У | ’ co | Т| ’ g V» + X
о»
(8.42)
. (8.43)
Ё
120
На торце цилиндра
8з = И (V2 - V + Vao/H)^- (8-44)
Получим асимптотические выражения для напряжений смеще-
ний и углов поворота в окрестности правого конца разреза.
Вводя полярные координаты (см. рис. 8.3), находим
£ = а + г呧 « а, / £2 — а2 = / (£ а) (£ — а) яй 2аг 呧/2.
Отсюда и из (8.41)—(8.43) получаем искомые формулы
- 1/-^c°s (9/2), тЦ- ~ 1/Л sin (0/2),
°23 V 2r ff23 V 2г
<*88 у-2 ( ff23 \ /_в_\
<*2~ ~ ' к 2г ) ’
w ~ 2ar sin (0/2) + А,
cos (0/2), sin (0/2),
- >-ОО Z-—
1 ff23 _ Г а
tg<0~ %_а + х их |/ 2= •
Изложенная задача была рассмотрена Ноулсом при X = 1.
Ее можно рассматривать как схематизацию напряженно-дефор-
мируемого состояния, реализующегося в цилиндре с малым пло-
ским разрезом, параллельным оси цилиндра и свободным (при
п0 = 0) от напряжений. При этом вдали от разреза имеет место
равномерный (так называемый продольный) сдвиг. На описанное
состояние налагается осевое растяжение силой §3 и равномерное
всестороннее давление а0.
Рассмотрим теперь цилиндр с разрезом, в который вставлена
скрепленная с материалом жесткая пластина. Цилиндр дефор-
мируется «сдвигами на бесконечности». Осевая растягивающая
сила и массовые силы отсутствуют. Таким образом, с учетом (8.44)
§з = о, эг1 = а»а = о, о0 = о, f3 = o,
w0 = 0, x3(s) = const, Х = 1,
и из деформационного условия жесткого края (8.25) получаем
совершенно аналогично тому, как это было проделано в предыду-
щей задаче,
[% (х,) + То (х,)]+ + [То (х,) + % (х,)]~ = - 4оГз/|х(
[То (х,) - % (Л)]+ - [Ч'о (А) - % £)Г = 0,
121
_ 1 Г“ = <3 / g _
цл Kg2-aa J-fl xx-g 1 и \ /g2-a2
_oo oo
If /П — —11_J? ___< 21
M V^-a* 1 H ’
№ = ^/F=^--^-C + A .
П13 — 1023 = g 13 ->:-==== 1023,
1/ /2 — a*
1
_caj _ _ w
<*38 _ gi3 g_____________________t- _^23
H L H /g2 — a2 M
_OO S —OO
ff13 g|_ °23
M ^/g2 — a2 И
u> = -^Re/^; + ^Lxa + ^
H r
Mi _ Imy m2 - Re y tarn-VI VI
co — |¥| ’ co” |Y| ’ Tgffl~ /2lTl-
Имеется следующая асимптотика возле правого конца разреза:
8.6. Резииометаллический шарнир
Рассмотрим полый резиновый цилиндр с радиусами (г\ < г8).
Считая его деформацию осесимметричной, имеем из рис. 8.4
(0 = 0)
у = 0, е^ = е1'^ (при г = г2)
(8.45)
о о о .о оо \ /
у = л 0, e‘v = — е‘б (при г = гг).
Считая, что массовыми силами можно пренебречь, т. е.
f3 = 0, ау0 = О,
получаем в силу (8.45) из (8.25) на обоих граничных контурах
xpef§ — Veig = 0.
122
Нетрудно видеть, что выписанному условию удовлетворяет функ-
ция
В полярной системе координат (рис. 8.5)
ar = cos Offij -f- sin 0<о2, <о0 = — sin OtOj cos 0<о2
и
сог = 0, соо = о), tg со = vrfy •
Из соотношений (8.19), (8.20), (8.46) следует
w = (о/2) (In £ ф- Щ) = a In г 4- Ь. (8.47)
Введем в рассмотрение величину поступательного движения
пальца шарнира
Дш = w (г2) — w (rj,
равную согласно (8.47) выражению
Ди» = a In (r2/r\).
Из (8.26), (4.32), (4.33), (8.46) получаем, заменяя v, t, у со-
ответственно на г, 0, &,
<тгг — Oqq = Хоо, <угд = 0, аг3 = |лХ (р/т),
Одз = о, СТ33 = |Л [X 4 — X2 4" (О/f)2] 4- Л.О’о-
Согласно (8.27) для растягивающей силы Р на торцевой стенке
резинового цилиндра имеем
Р = м (X-2 - V 4- Ь3°о/м) л (rl - Г1).
123
В случае самоуравновешенности (или отсутствия) торцевой на-
грузки Р = 0 и
о0/|х = % — А,-5.
Осевая сила, действующая через палец шарнира (рис. 8.6) на
внутреннюю поверхность цилиндра, имеющего недеформирован-
ную длину I, равна согласно (8.35), (8.36), (8.46)
Q = = р/ Im [— гР1'г1е*^ йб] — — ц!2па,
т. е. Q =-- —2пр!а.
Согласно формулам (8.1)
г = V, n/rj = Га/^г = А.. (8.48)
Таким образом, нами рассматривается так называемый сборный
шарнир специального вида. Для него предварительное поджатие
(X < 1) одинаково для обеих цилиндрических поверхностей.
С учетом (8.48) предыдущие соотношения записываются так:
(8.49)
0,.r = 000 = Хо0 = р, (V — V4) (Р = 0); (8.50)
<8-51»
Если после запрессовки шарнира связь между металлом и ре-
зиной обеспечивается лишь силами трения покоя, необходимо
выполнение очевидного условия | стг3 [ < /< | стгг |, где К — коэф-
фициент трения резины по металлу. Согласно (8.50)—(8.51) это
условие накладывает следующие ограничения снизу на величину
предварительного поджатия:
V _ 1 > 1 1п-1 / I АНтах_..
К \ Г1 / <1
Рассмотрим тонкостенный шарнир, для которого
r2 — rt = h < rlt г at In (га/Г1) « Л/г*.
124
Упрощая с учетом этих зависимостей соотношения (8.49)—(8.51),
получаем
со0 = - со, tg со = > (8-52)
°ГГ _____ Р60 ______ у2 ___ ^-4 °33 ____ ^2 / &W V РгЗ ______________ ^2
ц ~ ц — ’ р ~ \ Л / ’ Ji — Л ’
(8.53)
Q = — 2лц/Г1-^-.
Исключая из соотношений (8.52), (8.53) kwlh, получаем
or3 = 2р„ tg со, рк = и 1 , (8.54)
где рк — кажущийся модуль сдвига для имеющего место напря-
женно-деформированного состояния, именуемого простым сдви-
гом. Согласно первому соотношению (8.53) напряжение обжатия
при запрессовке равно
робж _^-4___
На рис. 8.7 показана зависимость кажущегося модуля от
обжатия.
Глава 9. ОБОБЩЕННАЯ ПЛОСКАЯ
ДЕФОРМАЦИЯ
Пусть
Х1 = Х1(Х1, °х2), х2 = х2(х1, х2), х3 = ХзХ3, (9.1)
т. е. материальные волокна, нормальные к плоскости х3 = О,
смещаются поступательно параллельно плоскости, удлиняясь
при этом с постоянной кратностью удлинений Хд. Отвечающую
такому движению деформацию называют обобщенной плоской.
Просто плоской деформацией называют важный частный случай,
отвечающий Х3 = 1. В этой главе представлен новый вариант
теории, изложенный в работе [57].
9.1. Основные геометрические
и динамические зависимости
Приведем соотношения гл. 4, отвечающие закону движения .
(9.1). Согласно (4.1)—(4.3) имеем, опуская здесь (как и везде
ниже) соотношения, удовлетворяющиеся тождественно,
71 = 41 + 4г + (4а — 41)»
7» = 41 4» + »(4» + 41)» Т'л ~ 4з» (9-2)
125
£ = хг 4- ix2, Z = Хг + ix2,
Z = Xi — ix2, z = Xi — ix2, (9.3)
d ,, / д д \ d ,, / d , . d \
~дГ ~~ (”7» 1 ~~ ~1 ‘
°® \ dxr dx2 / \ dxt dx2 /
При очевидном предположении об углах поворота
(01 = СО2 = 0, (03 - <0
из (4.11), (4.12) следует
Q1 = 2e-‘“ Q2 = 0, Q5=l,
Q* — 2eia, Q2=0, Qg = l.
Далее no (4.15), (4.16), (9.1)
Fi = 2-^, Ff = 2-g-, (F~!)i = 2-||-A-1,
F2 = 2-^-, F2* = 2^-, (F-i)2= -2Л-А-1, (9.5)
d£ dl
F5 = %з, Fl = X3> (F-1)5 = Хз-1,
где
A I dz I3 I dz 2 dz dz dz dz C4
Л = Ш=тгтг-1ПГ <9'6>
С учетом (2.6), (4.4), (9.4), (9.5) находим
e^Ai = 2-g-, e«“A2 = 2-^-, A6 = Xs, (9.7)
и отсюда
=>1<Г‘- <9-8>
Из соотношений (4.9), (4.10), (9.6)—(9.8)
1д = Ai 4~ ^з, Пд = A 4~ X3A1, Шд = X3A. (9-9)
Отсюда и из (9.1) усматривается, что Х3 — кратность удлинения
в направлении оси х3, а А — кратность изменения площади
элемента плоскости.
Связь между смещениями и координатами
ui = xi — х4
126
удобно записать в комплексном виде
z = С + («1 + iu-i), х3 = х3 + и3.
Упрощаются и уравнения движения (4.20):
-------------------dt----г p yi + l/2 - = °. (9-10)
В силу независимости рассматриваемых величин от °х3 вместо
цилиндрического тела можно рассматривать какое-нибудь его
поперечное сечение — область Й (рис. 9.1).
При этом по (4.25)— (4.27) на контуре 0
области g имеют место: силовое (стати- \ V
ческое) граничное условие — /
{F-‘.JS}1 + {F-1.JS}2e-«? = ( -----
° ° ° \ 3"
-2e-«v[a?i(S) + ia (s)], (9.11) \ , \\
деформационное граничное условие \ \
—д4- е~(Я = - ie—’v(9.12) \
К Ъ ds 7 4—
либо геометрическое Рис- 9,1
z = г (s).
Согласно (4.28) на цилиндрическую поверхность (единичной
высоты) с направляющей L (могущей, в частности, быть и конту-
ром области g) действуют напряжения с главным вектором и глав-
ным моментом, определяющимися соотношениями
& + i%2 = 1/2 JL [{F-1. J2 e'v + IF-1. JS }2 е-V] ds
= - i/2 JLI{F-1 - J2 }x d£ - {Z*"1 • }2 4], (9.13)
2RS = % Jm z [|F-‘ • JS U e'? + |F~l JS }2 e-'vj d°s
= % Re J£z[{^.J2}xdt - \F-i.JX\3dZ].
На поперечное же сечение цилиндра со стороны положительного
направления оси х3 действуют напряжения с главным вектором
и главным моментом, определяемыми соотношениями
8» = JalF-wsbA a»1 + i2Rs= - f&Z{F-w2Ud&
127
9.2. Изотропный сжимаемый материал
Более удобными, чем 1Л, Пл, Шд, являются
Ах, А, Х3. При этом согласно (9.9)
инварианты
д д ц д д д , <1 д
лХ ~ <Э1л ' Лздпл ’ 5Д ~дПА + Лз5Шл ’
aAj л л л л
а д । j д , д д
д/.3 ~ д!л тЛ1дцл "Г Д Эщл •
(914)
Для изотропного упругого сжимаемого материала отсюда и из
соотношений (9.4), (9.5), (9.8), (9.9), (4.31) следует (J = Х3А)
(9.15)
Для тензора же истиных напряжений
2 = J-iF • {F'1 • JS} = (АХз)'1 F • {F'1 • JS}
(9.16)
находим по формулам (4.4), (9.5), (9.14), (9.15)
V 2 Г1 d2 I аФ । л 1
А ад]’
у _ 2 г а? । az |-1 а? <эф ] 1 ао (9-17)
2 “ м ас | ас I % ] ’ CTss ~ д ах3 ’
Подстановка выражений (9.15) в соотношения (9.10)—(9.12)
дает:
разрешающее уравнение
а дг i dz 1—1 аФ ' дг д / дФ \ дг д / дФ \ . и? 1 1 аХг J ас X <эд ) ag V ад ) +
+ р(Л + ^2--^) = 0; (9.18)
силовое (статическое) граничное условие
JLI-1 _дФ_ .!_дг____9г_ f2?\ _£Ф _ » А, . • (s)T
3S I ag | ас е ] д.\ ~е 1% (S1 + l(VsH’
(9.19)
деформационное граничное условие
= - ie-'v^<L. (9.20)
\------------------------------------/ ds
Отметим, что в выписанные соотношения Х3 входит как параметр
(искомый).
128
Выявим
формациях
условия перехода соотношений (9.17) при малых де-
в закон Гука. Прежде всего из (9.14) следует
Й2Ф _ Й2® ! т Й2®
(ЙЛ> ~(б1л)г + 3 а1лаил
ЙаФ , з / ЙаФ ,
лл АЛ ~ 51АЙПА + Лз ( Й1 АйПА +
dAjdZX АЛ \ Л Л
Й2Ф Й2ф , о. Й2®
(ЙД)2 - (йПл)а +/АзЙПлЙШл
Й2Ф
, <12 й*Ф
+ 3(511л)2’
ЙаФ \ I 12 Й2Ф
RIFr 3^птл
, »2 Й2Ф
+ Лз(йШл)а'
(9.21)
Как усматривается из (9.6), (9.8), (9.1), отсутствию деформации
отвечают
= 2, А = 1, Х3 = 1.
(9.22)
Если ввести обозначения
Ф^ = -—
Л о
дХ±
• ••>фь = 42£-0 .....
ЙЛгЙД л,«=2, Д=%,=1
(9.23)
то из (9.21), (3.40) следуют (при п = 1) искомые условия перехода
упругого закона в закон Гука
Фд = 2р,, Ф1 = -2ц, Фдд + 2Фдд 4-Фдд = X 4-2р,. (9.24)
9.3. Изотропный несжимаемый материал
Условие несжимаемости материала ШЛ = J = 1 записы-
вается согласно (9.6), (9.9) в виде
А I dz I2 I dz 2 .—i
Л = “яГ — = Аз •
(9.25)
Используя его, (3.32) и вводя новую
. -1 / йФ
-Хз (-ЛТ7
\ Л
искомую функцию
, дФ
я = р + ^ ЭПа
имеем согласно (9.14)
йФ _ ЙФ
Л°Л ~ 51А *-Л8й11а ’ ЙД
ОЛ! Л Л
дФ д® । /Я л— 2\ дФ
IV — й1л +vM — Хз ) дп
” Л л
. . йФ йФ
Т" Л;
— Х3<7,
4- Хз1?-
(9.26)
5 Черных К. Ф-
129
С учетом полученных выражений находим из соотношений
предыдущего} параграфа
\F~1-J'^\1 = 2
1 dAi J
Х-=2[К1
У п дг \ дг I-1 дг
2 “2 б: | б? I
6Ф . 1
—+ <7 >
6ЛХ J
6Ф . 6Ф .
5—’ стзз — Лз-35-г <7
б? dXi
разрешающее уравнение
д [ дг I дг 1-1 6Ф ~| .
at LI I 6\J+3
(9.27)
дг dq дг dq
% б£ б|
б?
(9.28)
силовое (статическое) граничное условие
дг I дг I—1 6Ф , , / дг дг \ г
“яГ" “л?”---------F ^з<7 I -я?----— е-‘2^ ) =е~(тГао
б£ I б£ ] бА. \ б£ / L VI
6At
(s) + ‘<Vs)]-
(9.29)
Деформационное граничное условие (9.20) имеет тот же вид.
Отметим, что к разрешающему уравнению следует присоединить
условие несжимаемости (9.25).
9.4. Ортогональные криволинейные координаты.
Конформное отображение
В соответствии со сказанным в параграфах 4.5, 4.6 в ортого-
нальных координатах, связанных с граничным контуром g рас-
сматриваемой недеформированной области Q (см. рис. 9.1), для
комплексных компонент тензора [см. (4.32)]
Т1 = /о о 4“ /оо -j- i (too - too), T2 — too - too 4~ i (too 4~ too) (9.30)
имеют место зависимости [см. (4.33) ]
т\ = Ть Т°1 = Т2е“'2\ (9.31)
Далее [см. (4.35) ]
e“‘v Го-о 4- (во 1 = <Jo о + tffoo, (9.32)
1 vl v2J vv V/
где
CToo= IF-i.JS[oo, ffoo = {F-i.JS}oo - (9.33)
vv vv vt vt
130
нормальная и касательная компоненты вектора напряжения на
боковой поверхности цилиндра.
Соотношения (4.37), (4.38) раскрывают геометрический смысл
правой части деформационного граничного условия (9.20).
Отметим, что формулы (9.33) и (4.37), (4.38) применимы не
только к граничному контуру области Й, но и к любой кривой
в ней. Поэтому они дают возможность определить поворот Ау и
кратность удлинения Xt элемента любого материального волокна
(направление которого до деформации определялось углом у),
а также напряжения на поперечной площадке, определяемой упо-
мянутым элементом.
Компоненты вектора смещения
= иг cos у + ы2 sin и» = — sin у + u2 cos у
связаны с комплексными координатами соотношением
г = £ -[ [«□ + iUo) e*'v.
Пусть функция
£ = х (х), IXI < 1
конформно отображает единичный круг на недеформированную
область. Преобразуя по формуле (4.43) рассматриваемые функции
к новому аргументу, имеем
dX(Z,j)__ 1 ЗХ(х, X)
<Х> (X) Эх ’
дХ (С. С) = 1 дХ(Х, X) ,9 34)
К х'(х) д* ' ’
Из рис. 4.3 и соотношений (4.44) усматривается
X *'(х) X2 *'(Х)
х й ; IX (х) I ’ “ 577х) ’
На единичной окружности
г=1, х = а = е^, а = ст-1, а~1 =а,
и для производной вдоль контура области, отвечающего единичной
окружности, имеет место выражение (4.46). Далее при определе-
нии концентрации напряжений возле отверстий, вырезов и вклю-
чений полезно выражение для кривизны недеформированного
контура (4.48), а также (4.47).
5* 131
С учетом выписанных зависимостей, а также соотношений па-
раграфа 9.2 получаем для сжимаемого материала: разрешающее
уравнение
д Г | х' (х) I dz I дг !- дФ 1 . 1 Г dz d / дФ \ __
дх [ х' (х) 5х| дх I ] 1 х' (х) L 5х Эх \ дД /
силовое (статическое) граничное условие
। , , . . dz I dz I— 1 оФ / dz 1 дг \ дФ
Iх '•°' । до да ~^ \ до о2 до / дД
* C/Aj
= х' (ст) [стгг (0°) + iar0 (0)];
деформационное граничное условие
dz 1 dz i dz (0) .
до о2 да о ’
выражения для комплексных компонент тензора истиных напря-
жений
У v _ 2 Г 1 I dz I дФ . А дФ ~|.
1 ~ ДХ3 [ | х' (о) | | "дх" I + дД ] ’
_ 2 Г х2 [ х' (х) | dz I dz I-1 дг дФ ~1.
2 “ ДХ3 [ ;2 [х' (х)]2 дх I дх | дх ’
1 дФ
033
где теперь
* _ 1 / I dz |2 I dz 12\ г
“ IX' (х) I \ I дх I ~ I дх I / ’ 1
2 I дг I
I х' (X)I I дх I
Соотношения для несжимаемого материала следуют из вы-
писанных выше путем замен (9.25)—(9.26).
9.5. Малосжимаемый материал
Реальные сплошные (не пористые) упругие материалы мало-
сжимаемы. Поэтому естественно принять линейную зависимость Ф
от А, т. е. положить
Ф = 2И[С(МА + Т(Л1( MJ,
дФ о дЧ дФ « х
132
Подстановка полученных выражений в однородное (/г — Д = 0)
статическое (д2г!д& = 0) уравнение (9.18) приводит с учетом
(9.8) к зависимости
из которой следует
Ч=^>- 1936’
Здесь f (£) — произвольная функция своего аргумента. Пусть
= -Й-= |-|Не‘Ф-
Подстановка этих выражений в (9.36) дает
ei-<p = ei2v = f(S)/^) (9.37)
-^(2|-g-|, Хз)=|/(С)|2 = Н?)Ш. (9-38)
Запишем решение этого алгебраического уравнения в виде
|-|-| = Q(f(£)m Ч- (9.39)
Отсюда и из (9.37) следует
дг Щ/ЮЛЁ).
д£ f (£) ’
. _ (9.40)
!z = J-----„у--------+«(0.
где g (£) = g (£)— вторая произвольная функция.
Используя теперь формулы (9.19), (9.20), (9.32), (9.35), (9.36),
приходим к основным краевым задачам для введенной пары функ-
ций комплексной переменной / (£), g (£):
(Я?' ^7 . о\ 1 о о о
ЭГ - # “ =-k е~ ’[% (s> + ‘% <s|l
--V [’и й + ioW (5>1; (9-41)
II. ---------= -ie-<v-££h. (9.42)
V di J £
133
Исключая из них члены в скобках, приходим к связи между гра-
ничными значениями напряжений и координат (смещений):
-±- [<т„ ($) + Шо е (s)] + iC (13) e-‘v = р (£). (9.43)
Решив первую задачу, можно определить отсюда форму деформи-
рованного контура, а согласно (4.38) — кратность удлинения кон-
тура и поворот касательной к нему. Зная же решение второй
задачи, можно установить напряжения на контуре. Существенно,
что в полученную связь не входит вторая функция g (?).
С учетом формул (9.15), (9.17), (9.13), (9.35), (9.36) находим
21 = 4ИХГ1 Гд-1-^/2(£) + С(М],
г я л (9.44)
v . дг ,2/0, л—1 °® ' ,
12=4|дЛ3 |Д —^f (?)]» Озз = А
& + L [f2 (?) d? + C (X3) dz],
(9.45)
ЭД3 = - 2p Re j L z [? (?) d? + C (18) dz]
3£ + -^4).
Применительно к потенциалу (9.35) условия перехода упру-
гого закона при малых деформациях в закон Гука (9.22)—(9.24)
принимают вид
-^ = (2,1)= 1, -^(2,1)=Ц-^, С(1) = — 1. (9.46)
алх (аХх)2
Подстановка выражения (9.38) в (9.39) приводит с учетом (9.8)
к тождеству
о / 3W \
Aj = 2Q( —, Х3), (9.47)
\ аЛх /
из которого дифференцированием по Ах получаем
1 — о
afav/aAx) (аАх)а
Найденные выражения с учетом (9.46), (9.47), (9.22) приводят
к следующим ограничениям на выбор функций Q (/ (?) / (?), Х3)
и С (Х3):
13
9.6. Стандартный материал первого порядка
Для стандартного материала первого порядка согласно (3.43),
(9.8), (9.9), (9.35), (9.38), (9.39)
2цТ - V2X [(Ax - 2) + (Х3 - I)]2 +
+ р [-2 (ЛЛз - 1) + (Ах + Х3 - 1)4,
С(Х3) = -1, (9.48)
ЗУ _ 2 (X + 2р) I дг I __ 2 (X + р) Г . __ Х(Х3— 1) 1
~ 2р I I 2р L1 2 (X + р) J ’
О - 9и Ш«Ц2±1 Fl - X (Х3 1) )
2р 1 X + 2р L 2 (X + р) J •
Отсюда и из (9.39) усматривается, что стандартный материал пер-
вого порядка (материал Джона, полулинейный) является про-
стейшим видом материала, введенного в предыдущем параграфе.
Более удобными в рассматриваемом случае являются функции
Т (5) и S (5), вводимые равенствами
f (?) = Г (?) У , Й?) = аЖ)> (9-49)
rJBa = TW*’ *=1~ 2(». + н> -
С учетом записанного находим из (9.40)
z = a[j Г2(?)< + =>+j 'S(M|>
-^- = а[г2(?) + ^>], (9.50)
Подстановка полученных выражений в граничные условия
(9.41), (9.42) приводит к двум краевым задачам: статической
(k = 1) и деформационной (k = 2):
ДЛГ2(?)-^ + (5^)-^^Ж)е--^ = ^(4 (*=1, 2);
/71 = 77я= — 1;
Г*
gi (s) = (2ра)-1 е- ‘V (°s) + (s)]
= (2pa)-! [а.о(s) + iCT„?(s)];
g2 (S) =
i c_ii dz(s)
“ ds
135
Умножая левую и правую части этого условия на ie{^ds,
получаем с учетом (4.23)
nhr*dt - + Т(?)d£ - здТ? =
= ie^^ds.
Интегрирование по дуге граничного контура приводит к следу-
ющим вариантам краевых задач:
J г2 (?) dt - (Д*- + J s©d?) = N (s);
J х1 W J /
^1=^; Яа = -1; (9.51)
A (s) = i (гца)"1 J» [ст^ (s) + ю?2 (s)] ds =
= i (211a)"1 (§! + i§2); f2 (s) = - cr'z (°s) + Cm.
Здесь Cm — постоянные, свои на каждом т-м. контуре много-
связной области. Одну из них можно фиксировать, что, очевидно,
означает фиксирование жесткого смещения области. В частности,
для односвязной области т — 1 можно положить Сх = 0.
Исключение из условий (9.51) членов, заключенных в скобки,
приводит к связи между главным вектором действующих на /п-й
контур напряжений и координатами (смещениями) контура:
»(2ц)’1 (Si + »8а) + z (s) - Ста = (X + 2ц) Ha J Г2 (?) d?.
Аналогично соотношение (9.43) записывается с учетом равенств
(9.48), (9.49) в виде
V- kw Й + г (’)J - г’ <?)•
Далее из (9.44), (9.45), (9.15), (9.48), (9.50) получаем
^ = 2хг’ [г (Л + р.)ДА-1 -^-т'2(?) - 2ц],
s2 = гхг1 [2 (х + и) т'2 (?)],
Ст33 = Д-1 [гх|-J-| + (X + 2ц)х3 - ЗХ -- 2ц]
/л I дг |2 дг 2\
( Ы di )’
Si + = - i J J2 (X + 2р) КТ'^ (?) d? - 2ц dzj,
ЗК8 = _ Re J£ z (2 (X + 2ц) KT'2 (?) d? - 2ц dz]
136
~Ь Н yi'2 /£\ _ 71 (^) 1
. и гчо J’
И"1-^}2 = 4ра [sip - Г^Пб.].
Отметим, что зависимости этого параграфа содержат в себе ва-
риант плоской задачи, предложенной ранее А. С. Овсяниковым
9.7. Осесимметричные задачи
для несжимаемого материала
При рассмотрении кольцевых областей удобно использовать
полярные координаты (см. рис. 6.3) $ = re&, z = ге‘в. Отсюда
и из формул (9.3) следует
/Л__ 1 д
dt 2 ,°
® \ от
При осесимметричной
К 2 U
деформации
z = г (г) е^,
% 2 I dr°
приводится к виду
-н-е
дг I / dr , r \
~ 2 Ur r /’
Условие несжимаемости (9.6)
dr r
Г--- = -T-
d? Хз
). (9.52)
(9.53)
откуда
r2=^r2 + C.
^-^ = 0.
г dr
(9.55)
(9.54)
Для однородной статической задачи = f2 = (Fz/dt* = 0 и раз-
решающее уравнение (9.28) приводится к виду|3
d г дФ . .
—~ ~Т" ТЛ3
dr L дЛ1 _
Рассмотрим круговое кольцо с радиусами гх и г2 (см. рис. 6.3),
на контуры которого действуют нормальные напряжения
и </2. Тогда в расчете на единицу площади недеформированной
поверхности
о = ?,• dSifdSt = <7, (г, d0X8 dx3 j I(гг db dx3) = ^Wi/n),
— о о
= 0 (г = rj),
Оо о = (/Аз (Г1/Г1), Ое
VV 1
Оо о = <72^8 (^а). Оо J = 0 (г = г2).
1?7
С учетом этого, (9.52) и рис. 6.3 силовые граничные условия
(9.29)—(9.32) записываются в виде
дФ
aXj
дФ
aXj
Из соотношений (9.27), (9.30),
к I
+ hqrdri = Мл/п,
+ ^зЯГз!Г3 — ^зЯзГз!г2-
(9.56)
жений
0,5
Рис. 9.2
(9.31), (9.53) находим (при v -> г,
о °
2у -> 20) выражения для напря-
Огг — Хз
-1 дФ .
—Г + СТ60 =
dAj
г 5Ф । « дФ , /п с_.
= —+ CT33 = X3-gX-+<7. (9.57)
Далее для поперечного сечения с уче-
том (9.53)
dSn/d§n = (drr dff)/(drr d°9) = (dr/dr) (r/r) = Хз ’.
Поэтому для растягивающей силы имеем
5з = J стзз (dSn/dSn) dSn = 2л J? + qX3“’) г £. (9.58)
Для материала Бартенева—Хазановича [см. (5.20)1
Ф = 2р (Лх + Хз - 3)
и соотношения (9.55)—(9.58) сводятся к следующим:
q = const, 2р = Х3 (Ч1 — q) (ъ/rj,
2р = Х3 (q2 — q) (r2/r2);
arr = 2рХ?' (r/r)~1 + q, стее = 2p (r/r) Д- q, 033 = 2pX3 + q;
8з = л (2p + ХГ 'q) (r22 - rl). (9.59)
Рассмотрим задачу о концентрации напряжений в плоскости
с отверстием, растягиваемой на бесконечности всесторонним рав-
номерным напряжением q2 = ст», при отсутствии осевой силы
(напряжения). Полагая в (9.59), (9.54) qr = 0, ст33 = 0, г2 = оо,
находим при стгг (rj = 0:
q = — 2рХ3; С = rj (Х34 — Х3 *);
Стгг = 2р [Х3 \г/г) 1 — Хз]; стее = 2р [(г/г) — Х3].
138
Напряжение на бесконечности находим так:
Стоо = lim Grr = 2ц (V1/2 — Хз).
Г->00
Для коэффициента концентрации напряжений получаем выра*
жение
^00 1о о 1—2 1
М Г=П /‘-з — Ад
Л ~ а ~ 1-1/2 _ *
со Л3 Л3
На рис. 9.2 показана зависимость К — К. ((?<»).
Глава 10. ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ
И ПОВЕРХНОСТЕЙ
В этой главе дается краткое систематическое изложение основ
теории кривых и поверхностей, необходимых для понимания
последующих глав. Для более полного ознакомления с предметом
главы рекомендуем книги [26; 58, ч. II].
10.1. Геометрия кривой. Тонкий стержень
Пространственную кривую зададим уравнением
г = r(s),
где s — длина кривой, отсчитываемая от некоторой ее точки.
Пусть
ejs), e2(s), e8(s) — (10.1)
некоторая совокупность (базис) связанных с кривой ортов, так что
еге, = 6г; = { .! при ‘ (10.2)
I и I J
Дифференцируя орты по дуге кривой и учитывая, что в силу усло-
вий ортонормированности (10.2) (i =/= /)
р d&J I р ^е1 d (е1'е>) л р ____________ 1 d (е, • е^) „
г ’ ds “Г } ds ds ’ 1 ds ~ 2 ds ’
приходим к формулам
de. de. de»
- Pi2e2 - Рз1ез, Pit - е2-~^- - — ei-~dT’
= = = (10.3)
des de8 der
~dT = РзА - Ргзе2> Psi = в!— = - е8-^.
139
Примем в качестве третьего орта (е3 = t)
1 ds
(Ю.4)
единичный вектор касательной к кривой, а в качестве первого
е, = tn — единичный вектор главной нормали, лежащий в со-
прикасающейся с кривой плоскости и ортогональный к t
(рис. 10.1). Тогда второй вектор е2 = Ь — так называемый еди-
ничный вектор бинормали — определяется равенством b = t X ш.
Для выбранной системы ортов зави-
симости (10.3) переходят в известные
формулы Серре—Френе:
dt v v dt .dm
—г- = ct m; ст — m-—j—= — i--rr
ds ds ds
dm v . dm
—j—= т b — ст t; т =Ь—7— =
ds ds
db
= — m—7-
ds
db
ds
(10.5)
Здесь ctv = ctv (s) — пространственная кривизна кривой. По-
скольку орт главной нормали всегда направлен в сторону вогну-
тости кривой, ctv 5г 0. Точки кривой, в которых ctv = 0, называют
точками распрямления, поскольку для прямой t = const и по
(10.5) ctv = 0. В точках распрямления направление главной
нормали не определено. Величину tv называют пространствен-
ным кручением кривой, поскольку она характеризует кручение
соприкасающейся плоскости вокруг касательной при движении
вдоль кривой. Для плоской кривой b = const и по (10.5) xv 0,
т. е. кручение отсутствует. Напомним, что
b = txm, t = mxb, m = bxt,
tt = m m = b-b = 1, t m = m b = b-t — 0.
Представляя радиус-вектор точки кривой его разложением по
ортам gi пространственной прямоугольной декартовой системы
координат
Г (S) = *1 (S) Й1 + *2 (S) g2 + *3 (8) ЙЗ. (10.7)
получаем, используя соотношения (10.4)—(10.7) и вводя обозна-
чение ' = d/ds,
t = xigl + X2g2 + *3g3> = Xjgl + %2g2 + ^3g3,
СТ~Ь = (X2X3 — X3X2) gl + (X&i - Xix"3) g2 + (%i%2 - *2X1) g3,
= /x? + x? + x?,
«V = (x^ - xX)x~ + (xX - х'^ъ + (xpi — хХ)х,.
Выписанные соотношения дают возможность при известном пара-
метрическом задании кривой (10.7) подсчитать компоненты свя-
140
Занного с кривой нормального триэдра ортов, пространственные
кривизну и кручение. Помимо описанного нормального триэдра
в параграфе 10.3 будет рассмотрен триэдр ортов, связанный
с лежащей на поверхности кривой.
Возвращаясь к общему триэдру (10.1), рассмотрим стержень,
осью которого является упомянутая кривая. Произвольной точке
стержня отвечает радиус-вектор
R (f/i. У2, s)==r(s) + i/ie1(s) + t/2e2(s).
Здесь s определяет ортогональное оси сечение стержня, с прямо-
угольными декартовыми координатами ylt у2. С учетом (10.3)—
(10.4) подсчитываем координатные векторы стержня:
Rt = R3 = dR/tfs = (1 — р31У! + РгзУг) t - р^з^ + РиУ&г,
Ri = dR/dyr = вц; R2 = dR/dy2 = е2.
В дальнейшем будем рассматривать лишь тонкие стержни
сплошного сечения, для которых радиусы кривизны оси значи-
тельно превосходят размеры поперечного сечения. Таким образом,
для тонкого стержня
РзМ, Р12У1, РззУь с^Уь (Ю.8)
10.2. Геометрия поверхности
Пусть поверхность описывается векторным уравнением
г = г (а1, а2),
где а1, а2 — криволинейные координаты. Радиус-вектор произ-
вольной точки вблизи поверх-
ности примем равным
R (а1, а2, |) =
= г(а1, c^ + gn^a1, а2), (10.9)
где g — расстояние от точки до
поверхности по нормали к по-
следней с единичным вектором
п (рис. 10.2). Такую систему
координат называют нормально
связанной с поверхностью. Все
соотношения в выбранной си-
стеме координат можно полу-
чить, заменяя в зависимостях
параграфа 6.1 радиус-вектор выражением (10.9) и полагая a3 = g.
Прежде всего из (10.9) следует
Rj = гг 4-grij, Rs == п (гг = дг/да{, пг = дп/да*). (10.10)
(В этой главе буквенные индексы будут принимать значения 1, 2.)
Согласно (6.9) из (10.10)
gtj = aij — &bt) -|g2ni-n/, gis = 0, g33 = 1, (10.11)
141
где (n-г, = 0)
aU = rrrJ — aJb
6„ = - r,.n, = n.-^ = - r,-n, = b„.
(10.12)
В дальнейшем излагаемое в этой главе будет применено к тон*
Ким оболочкам, в которых рассматриваемая поверхность является
срединной (равноудаленной от верхней и нижней лицевых по-
верхностей). При этом
V
(10.13)
Как выяснится ниже, это сильное неравенство означает, что тол-
щина оболочки много меньше радиусов кривизны срединной по-
верхности. С этим связано, что все рассматриваемые величины
приближенно представимы в виде
^(а1, а2; g)^W(a», а2) + gW (а1, а2), (10.14)
т. е. зависимость их от £ линейна.
Так, из (10.11) следует
gij ~ gl3 = 0, g33 = 1.
(10.15)
Поскольку «о = Яц||=о, отсюда усматривается, что а1} — ком-
поненты симметричного метрического тензора срединной поверх-
ности. Как уже говорилось в параграфе 6.1, g4 — приведенные
миноры элементов gl} в определителе g, имеющем согласно (10.15)
ВИД
g =
Sil giz
gil gn
о о
о
— gllgn — glzgili
(10.16)
0
1
и, стало быть,
g11 = gzJg, g12 = S21 = —g^g, g22 = gu/g, (Ю.17)
grl3 = g31 __ gp23 __ g32 —~ Q, gr33 __ | •
Согласно же (6.18), (6.23), (10.15) и (10.17)
ds2 = (aaP — lb ад daa da?, (10.18)
dSi = -/ggtl daidl> = -/gj}daldl (Ю.19)
dS3 — Vg da1 da?.
142
Отнесем формулы (10.15)—(10.19) к срединной поверхности
(полагая в них £ = 0). При этом
а11
^22^ n12 = a21 = —a12/a, a22 = au/a, (10.20)
aU °12 (10.21)
a = #21 Й22 — а-цС122 —
dSj = 7/ a}} dai = = j/ aaa dai (i j). (10.22)
dS = dS3 |E= 3 = a da1 da2, (10.23)
cos % = cos %<3 ) |. _ “12
V а1гРгг
Здесь dst — длина элемента дуги i-й координатной линии поверх-
ности, % — координатный угол, dS — площадь элемента по-
верхности.
Соотношения (6.6), (6.9), (6.10), (6.13) на поверхности прини-
мают вид
ггг/ = ау, Г/-г‘ = 6/, г‘-г’ = а‘'
(Г:-П = Г/-П = 0, П-П=1),
„ . ,й ' (10.24)
rt = aiaTa, П = 4 7
iZj = aiaua, ui = a'^Up,
til = aiatat = = alaa^tafi, ...
Поверхностный дискриминантный тензор вводится соотно-
шениями
сц = е,/3|б=о = и-(пхгу), с‘1 = е^3|Е=0 = n-(rfxr/), (10.25)
С12 ~ — С21 ~ У а > С11 = С22 = 0,
с12 = — с21 = !/•}/а , с” = с22 = 0,
ПХ^^пх^^,
г‘ хг' •= с1’п, пхг' = с'“га. ’
Из зависимостей (10.20), (10.26) следует
a*i = ciacftaa(s, ai} = ciac}ep.a^,
a‘aaja = 6j, = 2,
cikcn = auaki — auahj, c{kc>1 = а^ак1 — ailak‘,
cikcsl = cakcal = (10.28)
143
Перейдем к дифференцированию координатных векторов.
Прежде всего согласно (6.30), (10.15)
<4___1/ / dSia 1 d8ia dgtj \ ah
Gl,~ ’
(?tl = lKati + (l-l2H)blh
G?3 = - + (1 - &H) bai] gah,
G33 = G?3 = G33 = 0,
где (см. параграф 10.4)
/( = А = я = aafib _ (Ю.29)
а аг1агг — а1гап “р v ’
инварианты: гауссова и средняя кривизны поверхности.
С учетом только что полученных выражений находим при
g = 0 из (6.26), (6.28)
-т-j- = Г“/га Ьцп, = — Г/аг“ 4- b‘jn,
да1 да'
(10.30)
да1
где
Г?/ = G?,| g = 0 = —S’) «“* - (10-31)
К да1 да1 даа}
поверхностные символы Кристоффеля второго рода. Из (6.37)
при g = 0 находим
r“i==4-TT = (10-32)
м да1 у а да1
При рассмотрении общих вопросов теорий поверхностей и
оболочек широко используются поверхностные ковариантные
производные:
V/ut = ^7- - Г“/«а; V/u' = ~ 4- Г}аиа;
да1 да1
дак
W11 = 4- гиа/ 4- гй'“; (10.33)
дак
VaG/’^’." = --------^kitaj!.'.'' — T'kjtia!.'." ± . . .;
occ
„ dw . _ du . _ T JT
^kw^~TT' V*U = ^; =
daR daR daK
144
Последняя строка показывает, что для любого инварианта (ска-
ляра, вектора, тензора) ковариантная производная совпадает
с обычной частной производной.
Из соотношений (10.30), (10.33) следует
V/rf = b{ln, V/ = b}n,
V/n = = — bfra = - biara.
Последние зависимости, соотношения (10.12), (10.25) и применяе-
мое к ковариантному дифференцированию обычное правило диф-
ференцирования произведения дают
= VAaz' = о, vftco = = 0, Vh /а = 0. (10.35)
Согласно соотношениям (10.32), (10.33)
о ди$ . I д У а о
VB«P = —з- +
р <Эар а даР
Отсюда и вытекает первое из следующих выводимых аналогично
соотношений
или согласно (10.35)
А Г~ ₽/ (Ю.36)
Применяя к вектору
и = ЦхГ* + селп == iz“ra + селп (10.37)
формулы (10.30), (10.33), получаем
= (Vfe«a - bkaw) r“ + + baku^ n
= - blw) ra + bkaua\ n.
\da /
Можно ввести и вектор — поверхностный градиент
V = r“Va. (10.38)
Пусть в пространственной прямоугольной декартовой системе
координат с ортами gt
г (а1, а2) = х1(а1, a2) gi + х2 (a1, a2)ga + xs(a1, a8)g3.
145
Прежде всего
п = -^1-ё1 + -^-ё2 + -^-ё8) (10.39)
’ За' 8 Г да1 * Г да1 s V 7
и по (10.12)
а.. = , (10.40)
7 да1 daJ да{ да1 да{ За7
sin ХП = Piagi + Цгз?2 + Нзз?з, (10.41)
, 32х, , 32х, . д2х3 ,,п
sin xbi; - His Н23 -^г + Нзз^у, (10.42)
где х — координатный угол, а
yfTTTT и - л/ТГТГ и - дХз дХ1
у апа22 р13 — да1 да2 да1 да2 , у апа22 р23 Эа2
- Эх1 5x2______дх^дх^_ sinv =
За1 да2 ’ 1 ^11^22 М-зз a<xi да2 3a2 , sin X
= 1^1*13 + и!з + Изз • (10.43)
Рассмотрим очевидные тождества
32гг З2^ д2т2 32га
3ax3a2 даАда1 ’ даАда2 даАда1 ’
32п ____ 32п
ЗаМа2 даАда1 ‘
Используя дважды соотношения (10.30), приходим к соотношениям
Кодацци
“ -Й- + <Г“Ь2“ - Г“2Ь“>) = °’ (Ю.44а)
- -+ (Г?2Ь1а - Г?2ьа2) = 0 (10.446)
и к двум следующим:
----д^г + (гГ1Гр2 — ГыГщ) + (&п&2 — &12&1) = 0;
-дщ2----дтт' + (ГагГр! — Г21Гр2) -у (&22Ь* — b2ib2) = 0.
l/uv C/GC
Свертывание (суммирование) первого из них с aft2, а второго
с ahl по индексу k = а приводит с учетом того, что по (10.29)
b = b11b22 — b12b21 = аК, к соотношению Гаусса
ЗГ“, ЗГ“ о „ о „ 1
а/( = — аа2 -----------За5- + ГцГрг — Г?2Г₽^
г аг“ ага з
= - а“* + ГИ1 “ Г2>Г₽2] • (10Л4в)
146
(10.45)
п
10.3. Линии на поверхности
С линией на поверхности Г (рис. 10.3) свяжем тройку ортов:
t — орт касательной к кривой, п — орт нормали к поверхности,
v — орт тангенциальной нормали (нормали к кривой, лежащей
в касательной плоскости). Очевидно, что
txn = v, nxv = t, VXt==n,
t-t — nn = v-v = 1, t-n — n-v = vt = 0.
Далее с учетом (10.10)
, dr dr da? da? /tn »c\ ' +
dsj da? dst dst p ' 7 r
t. e. \
tl = da.c/dst. (10.47)
Согласно же (10.45), (10.27)
V = t X n = taFa X n = /аСраГ₽. Рис- ,0-3
Отсюда следует первая из следующих выводимых аналогично
формул
vt = Civtv, Vi = ciftv, tl = C^iva, tt — ciava. (10.48)
С учетом полученных формул и (10.38) введем
-А = t-V = - V-V = Vava - (10.49)
производные вдоль касательной и тангенциальной нормали.
По аналогии с (10.3) запишем правило дифференцирования
введенных ортов в виде
Л . dn
w = atn-ptv, =
jg- = Ttv-att, Tt = v.^-, (10.50)
dv dt
-3- = p1t_<tn, pt = -V.^-.
Отсюда с учетом равенств (10.46), (10.47), (10.49), (10.24) находим
a< = - = ~ (a^b^ = b^tW.
Таким образом,
*4 = — ba^v^,
Второе и третье соотношения выводятся аналогично.
147
Для выяснения геометрического смысла этих величин сравним
(10.50) с формулами Серре—Френе (10.5). Так (ds = dst),
avm = atn — p,v. (10.52)
Из рис. 10.4 усматривается связь между введенными ортами
n, v и ортами главной нормали ш и бинормали Ь кривой:
m — ncos<р + vsinф; b = — пзитф-]-гсоБф. (10.53)
Отсюда и из (10.52) следует
Сч = <rv cos ф, — р/= <JV sin ф, ov = + р? . (10.54)
Из (10.52) усматривается, что величина р(, называемая гео-
дезической кривизной, характеризует отклонение главной нормали
п кривой на поверхности от нормали к по-
верхности. Кривую же на поверхности,
в точках которой pt = 0, называют гео-
дезической кривой. На ней по (10.52)
----------------Т at = ±av, (10.55)
/ | т. e. с точностью до знака, пространст-
ь У 1 х, венная кривизна кривой совпадает с нор-
* 1 m мольной кривизной поверхности at.
Рис. 10.4 Поясним последний термин. Для этого
в рассматриваемой точке кривой про-
ведем плоскость через нормаль к поверхности и касательную
к кривой. Она пересечет поверхность по плоской кривой — так
называемому нормальному сечению поверхности. Для него (в рас-
сматриваемой точке) очевидно выполняется условие (10.55). Таким
образом, нормальная кривизна есть кривизна нормального сече-
ния поверхности. Величину rt называют геодезическим кручением.
Величины at, xt, pt связывались нами с кривой на поверх-
ности. Из выражений (10.51) усматривается, что первые две за-
висят по существу не от конкретного вида кривой, а лишь от ее
направления в данной точке, определяемого величинами t', vi.
Поэтому правильнее говорить о нормальной кривизне at и гео-
дезическом кручении поверхности в данном направлении.
Аналогично можно рассмотреть направление тангенциальной
нормали. При этом
о\ = 6afjv“v₽, Tv = — — тъ (10.56)
Формулы (10.51) и (10.56) показывают, что величины Ьи опреде-
ляют нормальную кривизну в произвольном направлении. По-
этому их и называют (ковариантными) компонентами тензора
кривизны поверхности.
Выпишем выражения
Г| = V/V 4- ttt, Г‘ = VfV 4- tlt,
(10.57)
148
справедливость которых проверяется скалярным умножением
на v и t. Отсюда и из (10.48) следуют полезные соотношения
ац = ViVj + titj, a‘l = v^1tltl, ву = vfvy +
c¥pvvve = 1, v{tl — v't{ = c{l,
Ui — vtuv + tlub u‘ — V‘uv + ^“t>
ea = ViVj-evv
Получим, например, последнее выражение (Е = еаРг“гР)
еа = rr Е • г,- = (ytv + itt) • Е • (yv 4- tjt) =
= viv,(v-E-v) 4- Vj/yfv E-1) -|- ttVj(t -E-v) 4-
+ (t • E • t) = ViVj6vv 4- Vitjevt 4~ iivjetv 4“
Согласно (10.49), (10.50), (10.45) и (10.34)
= taVat‘ = tava (t • r‘) = r‘ + tat -Var{ =
w>l ixuj
- (ozn — pzv) • r‘ 4- tablat n = — ptv‘.
Отсюда и вытекает первое из следующих выводимых аналогично
соотношений
= ^- = (“Vav' = P,/',
*1-=/»?Л = рЛ.
(10.58)
Нетрудно видеть, что в принятой в этом параграфе системе
координат формулы (6.25), (6.23) принимают вид (рис. 10.5)
dS] = gg‘l da'd^, dSt = у/aail da1 d% (i=£j),
v| = -L=-^-, Vi = -J=^L, dSv = ds^. (10.59)
У gli dS* у at{
Здесь рассматривается нормальное сечение оболочки. При этом
индексом £ помечены величины, отнесенные к элементарной пло-
щадке, находящейся на расстоянии £ от срединной линии
(рис. 10.5).
149
Ниже нам понадобятся формулы Грина, приведенные в работе
(58, ч. II ],
da4a,
J <Эар р
s = vpi?ds,. (10.60)
j Vp(y'а ыр) da1 da2 г
s
Здесь Г — граничный контур области S поверхности, проходимый
в положительном направлении (так, чтобы область оставалась
слева по ходу).
Вернемся к равенству pt = 0, определяющему геодезическую
линию, и выпишем условия геодезичности линии. Прежде всего
для с^-линии имеем согласно (10.48), (10.47), (10.26)
t1 = day/dst, /2 = 0, V! = 0, v2 = — Yat1.
При этом из (10.51) условие геодезичности записывается в виде
pt = у7(Z1)3 = 0. Отсюда и следует первое из выводимых
аналогично условий геодезичности координатных линий:
a1: ГЬ =0, а2: ГЬ = 0. (10.61)
10.4. Ортогональные координаты.
Физические компоненты
Считая координаты а1, а2 ортогональными, введем координат-
ные орты
е{ = гг//ай. (10.62)
В силу ортогональности системы координат на поверхности имеем
с учетом (10.20), (10.21)
й" = <21/, fl2 = 022, а = ЙЦЙ22 (а12 = а12 = 0). (10.63)
Согласно (10.31) отличны от нуля следующие символы Кристоф-
феля:
pl Id )С ^11 . pl 1^ ^22 "V ^22 . pl 13 Оц ,
Г22-“"^Г да1 ’ Г12-7^ да? ’
р2 1 д #22 . р2 |/*&11 д VОц . р2 1 д #22
Г22 ~ ’ Г“- ’ Г12 - а*1 ‘
(10.64)
Из соотношений (10.62), (10.63) и (10.24) находим
И = Z«i7et, г' = ej/-/ап. (10.65)
150
С помощью этих выражений вектор (10.37) записывается в виде
U = (ыа//паа) еа + шп = (м“ /(7аа) еа + wn
= U(a)ea + wn,
где
«(») = «z/]/Ян = Ul Vйц —
(10.66)
(10.67)
так называемые физические компоненты вектора. Физическими их
называют, поскольку они являются компонентами в разложении
вектора по единичным векторам (ортам) и .е
имеют ту же физическую размерность, что ’ 2
и сам вектор. Аналогично вводятся и .X .z
физические компоненты тензоров /Уу
^(>7) = tiil^auajj = уацаП t1’ = I е?
= w'i'j'.1.." а^а^ац... (10.68)
г Рис. 10.6
Компоненты, отвечающиеединичному вектору
п, например w в разложении (10.66), сами по себе физические.
Согласно рис. 10.6 и соотношениям (10.67), (10.49)
V(l) = /(2) = cosy, V(2) = — /(1) = sin у,
vj = Уап cos у, v2 = ]/а22 sin у, = — фахх sin у, /2 = а22 cosy;
(10.69)
v1 = cos у/]/ахх, v2 = sin у/]/a22, tx = — sin y/]/axx,
/2 = cosy//o22,
d _ sin у d cosy d
dsi~ ~~ ~ 3a1 + V"a^ ’
d ___ cos у d . sin у d
/5^ 3a1 + /57 ’
(10.70)
В ортогональных координатах более употребительны обозна-
чения
1 k 1 к2 ... к
~р----------— — — 0! — — О(11), -р— =-----------— — — 02 — — 0(22),
Л1 «н Л2 «22
1 __ ^12 __ ан lS _____ Vfl22 12 _ <
Я12 /ana22” /57 2 /57 1 (12>’
(10.71)
151
где /?!, /?2, Rv, Rt — радиусы-кривизны соответствующих нор-
мальных сечений поверхности. Теперь из зависимостей (10.51),
(10.56), (10.67)—(10-69) следует
/ „ 1 _ cos2? , sin2? 2sin?cos?
1 °v~~> Rv ~ Ry R2 ~ R12
1 _ sin2 ? cos2 ? 2 sin ? cos ?
Rt Ri R2 Ri2
(10.72)
(—Tt = —Tv =)
^-='SlnTCOST(-±---^) +
cos2 ? — sin2 ?
Ria
Как и всякий симметричный тензор второго ранга (см. пара-
граф 1.3), тензор кривизны поверхности имеет взаимно ортого-
нальные главные направления, в которых
_ 1 /1 1 \ , cos2 ? — sin2 ? n
—tf = -н— = sin ? cos у (-=-н-) +---- = 0.
Avt \ Al Ag / А12
Отсюда следует, что в заданной ортогональной системе координат
главные направления кривизны определяются формулой
""-ШЧ)' <1073>
Линией кривизны называют кривую поверхности, касательная
к которой в каждой ее точке следует главному направлению
кривизны поверхности. Если в качестве координатных приняты
линии кривизны, то
1/₽и = 0, (10.74)
а величины Rr, R2 при этом называют главными радиусами кри-
визны. Выражения (10.72) позволяют проверить наличие у тензо-
ров двух инвариантов: средней кривизны
н=Ч-к+^-Ч-к+^)
и гауссовой кривизны
к = _J____1_ = _J___________1_
«vRt R\t R1R. R\2 •
Особенно важен второй инвариант. В зависимости от знака
гауссовой кривизны точки поверхности относят к трем типам:
эллиптические (К > 0), параболические (К = 0) и гиперболиче-
ские^ < 0). Вид окрестностей перечисленных типов точек показан
на рис. 10.7. Поверхность, имеющую лишь эллиптические точки,
называют поверхностью положительной (гауссовой) кривизны,
параболические — нулевой и гиперболические — отрицательной
кривизны.
152
Важную роль в теории поверхностей (оболочек) играют асимп-
тотические направления, в которых равна нулю нормальная кри-
визна, т. е.
at = l/£( = 0. (10.75)
Линию, касательная к которой в каждой своей точке следует асимп-
тотическому направлению, называют асимптотической. Пусть
координатные линии являются линиями кривизны. Тогда из
(10.75), (10.74) и (10.72)
tga у =(10.76)
Отсюда следует, что асимптотические направления существуют,
если только и Т?2 имеют разные знаки. Поэтому в эллиптиче-
к>0
Рис. 10.7
ских точках поверхности асимптотические направления отсут-
ствуют. В гиперболической точке имеются два асимптотических
направления, которым отвечают
tg у(1) = /-2?2/₽ь tg у(2) = -
Отсюда следует, что главные направления делят угол между
асимптотическими направлениями пополам. В параболической
точке одна из главных кривизн обращается в нуль. Пусть, для
определенности, 1//?х = 0. Тогда из (10.76) следует уО) = у(2) =
= 0, т. е. оба асимптотических направления совпадают с глав-
ным, имеющим нулевую нормальную кривизну.
Выражение (10.51) для геодезической кривизны преобразуется
с учетом (10.64), (10.69), (10.70) к виду
п _ dy , cosy . stay d]fa^ м(\77\
<1077)
Полагая здесь у = л/2 и у = 0, получаем из равенства pf — 0
условия геодезичности ортогональных координатных линий
al:-^T = °> Ян = (a1),
a2:-fe- = °> «аа = аа2(аа).
(10.78)
153
Наконец, из соотношений (10.44), (10.63), (10.64) следуют
соотношения Кодацци—Гаусса
д / VQ22 \ . 1__________д / \
да1 \ R2 / ' /^7 За2 \ /?12 /
1 дУам
Ri да1 ’
д / У~ай \ , 1 д / а2г \ = 1 д]Гап
да2 \ Ri / г /ам дах \ R12 ) Ra да?
д I 1 д VЙ22 \ [ д / 1 д ]Гах1 \ _
да1 \ /ай ' 5а2 \ /ай й*2 / ~
= — Yafi.ai4, (~5~5-------~ /”а11°22 К-
1 RiRz /?(2 I
Глава 11. ТОНКИЕ ОБОЛОЧКИ
В этой главе излагается предложенная в работе [601 общая
нелинейная теория тонких упругих оболочек, предназначенная
главным образом для расчета оболочек из эластомеров (резино-
подобных материалов).
11.1. Деформация оболочки
Радиусы-векторы материальной точки оболочки до и после
деформации представим выражениями
R (а1, а2;^) = г(а1, а2) + 5п(а1, а2), 01.1)
R (а1, а2; ^) = г(а1, а2)(а1, а2) [В + (а1, а2)]п(а1, а2).
Здесь г, г — радиусы-векторы проекции материальной точки на
срединную (до деформации) материальную поверхность, n, п —
единичные векторы нормалей к последней. Как выяснится ниже,
и характеризуют растяжение нормального к срединной по-
верхности материального волокна.
Используя формулы (10.14), (10.30), (6.5), (6.9), подсчитываем,
удерживая лишь члены, линейные по
О О °ГУ° ° °
Ri = г, — lb (Га, R3 = п,
R'=V + ^r“> R3 = П,
\ da1 /
R' = г1 + ^4r“, R3 = (1 + fa) п,
(П-2)
(П-З)
154
R3 = Xi’[(l _^n-gArvl,
gti = ai} - gi3 = 0, ^33 = 1,
+ M i“ = 0, ^=1,
gij == aii ~ gi3 = > Й'ЗЗ = Xj (1 + £2x£),
M (”-5)
g4 = a1' + gl3 = , /3 = X[2 (1 - g2x£).
dcr
Соотношения (11.1) являются математической записью моди-
фицированной геометрической гипотезы Кирхгофа: материальное
волокно, нормальное к материальной срединной поверхности до
деформации, остается нормальным к ней и после деформации,
удлиняясь по линейному закону.
Последняя часть утверждения следует из выражения g33 =
= (1 + £2х£) [см. (11.5)]. Связь параметров х5 с основными
компонентами деформации будет установлена ниже.
Используя соотношения (6.65), (П-4), (11.5), находим следу-
ющие выражения для главных инвариантов:
1с = я“₽аар —|— Xg -}- £2[—%£а“₽йар + аарй“^ -|- %|х£]
I Ic/111 с = aa^ + Xj2 + £2 [XEaap^₽ - Лр - Xi2xg]; (11.6)
I He = {a/а) [1 + g2 (-X£a°%p + + xj.
С учетом соотношений (10.24) введем симметричные величины
х(-у — —Ъфч V2 {ajybi aivbj) = Х;г-. (11.7)
Далее согласно (10.20), (10.21)
(а/а)а“Чр. (11.8)
Вводя теперь инварианты срединной поверхности
Л = а“₽аар, В = а°а, (11-9)
запишем с учетом выражений (11.7)—(11.9) зависимости (11.6)
в виде
1с = Л -|- Xg ^2 [а ^хар -|- XgXg],
Пс/Шс = АВ'1 +Ц2 - |2 [aapa“Ta₽vx7v + Ч4]> (П Ю)
IIIc = BXl[l+g2(a“₽xap + xE)].
Из последнего выражения следует, в частности, что условие
несжимаемости материала Шс = J2 = 1 записывается в виде
= (а/а)-1'2 = В'1/2, х6 = -а“рхор. (11.11)
155
Выясним геометрический смысл величин (11.7). Согласно (11.4),
(11.5) и (11.7)
. g«7 - gtf ” (atl - аи) + £2 {xz/ —
— У» [(g<v — Qfv) Ь/ -4- (a/у — a/v) } -
В силу соотношений (10.13) для тонких оболочек подчеркнутые
члены малы по сравнению с входящими в первую скобку правой
части. Опуская их, видим, что члены (at}—atj) определяют рав-
номерную по толщине оболочки (так называемую тангенциаль-
ную) деформацию, а х^ — деформацию, меняющуюся линейно
по толщине (изгибную). Таким образом, величины (11.7) — (ко-
вариантные) компоненты тензора изгибных деформаций.
С учетом тонкостенности оболочки примем выражения (11.4)
в следующем упрощенном виде:
gij=aif, gi^au + ^iHif, £зз = М(1+£2х$);
?/ = «'7; = а‘7 — £2а%Лх^; ^ = Xi2(l -52х6).
Нетрудно проверить, что предложенные упрощенные выражения
не изменяют величин главных инвариантов (11.10), а значит,
и определяемой последними энергии деформации (упругого по-
тенциала).
Существенно, что в выражения (11.10) и, стало быть, в упругий
потенциал не входят величины gt3, gia, так что
Ф = Ф (gij, gn) = Ф (atl + £2х0, + 2X|xs). (11.13)
Согласно (11.1) нормаль к срединной поверхности пересекает
лицевые поверхности (£ = ±х/2) в точках
R* = г + \ (±г/2А + УЛ’хО П.
Отсюда следует, что толщина деформированной оболочки h =
= | R+ — R" | связана с толщиной недеформированной оболочки °h
соотношением
Л = й^. (11.14)
11.2. Деформация нормального элемента
Введем в рассмотрение тензор (см. параграф 10.3)
Qt = vv + tt + nn, (11.15)
связанный с кривой на (материальной) срединной поверхности и
обладающий очевидным свойством
Qrv = v. Qt.t°=t, Qrn = n. (11.16)
156
Тензор Qt переводит тройку ортов v, t, п, определяющих нормаль-
ное сечение недеформированной оболочки (рис. 11.1), в тройку
ортов v, t, п, связанных с тем же (материальным) нормальным
сечением, но уже в деформированной оболочке. Поэтому тензор
является ортогональным (см. параграф 1.4). Его уместно называть
тензором поворота нормального элемента. Нормальный элемент,
в частности, может быть и
граничным. Из (11.15) следует T^'nin
также
v = v-Qt, t =
n = n-Qt. (11.17)
Естественным путём введем
тензор изменения кривизны
нормального элемента
Kt = dQt/dst. (11.18)
Если ввести кратность удлинения срединной линии нормального
элемента
о
Xj = uSf/dst
(11.19)
и учесть, что
d/dst = (dst/dst) d/dst — ldldst, (11.20)
toc помощью соотношений (11.15), (10.50) и (11.16), (11.17) найдем
Kt = —xtv (nv — vn) + xtn (vt — tv) + %/t (tn — nt)
= [—xzv (nv - vn) + xtn (vt - tv) + x„ (tn — nt)] • Qt (11.21)
О О О О о о о о о о о о
= Qt [—Xtv (nv - vn) + Xtn (vt - tv) + Xtt (tn - nt)],
где
Xtt — П7 A./ Ot, Xtv — "Г/ ^t> Xtn—Pit (11.22)
Выписанному в первой строке (11.21) кососимметричному тензору
отвечает кососимметричная матрица
0 —xtv —Xtt
Xtv Q Xtn
Xtt —Xtn 0.
и согласно (1.44), (1.45) векторы
Xt =—Х/пП — X/tV + X/Vt,' Xt = —Xtnn — XttV + Xfvt, (11.23)
имеющие одинаковые компоненты, связаны [см. (11.16) и (11.17)]
соотношениями
xt = Qrxt, x4=xrQt,
157
их можно назвать векторами изменения кривизны нормального
сечения.
Применяя формулы (10.46), (10.48), (10.26) к недеформирован-
ной и деформированной поверхностям, получаем с учетом (11.20)
V/ = cjata = У ala CjaXt = kt 1 У а/a vh
т. е.
= V?', v/ = V1 У a/а V/. (П.24)
Далее
4- 4^ Л— 12С6
t — t Гф —• Л/ t Гсь»
Умножение этого разложения самого на себя дает (t-t = 1,
П-И = ац)
kt = (a^)l/>. (11.25)
Используя теперь формулы (11.22), (11.24), (10.51), (11.7), находим
о о о о
(vv/t = v-t = 0)
х» = kt 1 (Л/ ’«ар — (kt xki 1aav — aav) bp] tat^,
= V1 [l?1 Xf1 Уa/a а₽?Хсф — V2 (У a/a — 1) Й —
— V2 Уa!a aavO?V ~ ^av«₽v) bp] /“v?, (11.26)
am = k7l [V У ala Vp/? - Vp?v] /%°?.
Пусть рассмотренный нормальный элемент является гранич-
ным. Вернемся к выражениям (11.1). Коль скоро величины к$, х^
определены деформацией срединной поверхности [например, по
формулам (11.11)], геометрические граничные условия сводятся
к заданию двух векторов
г [a1 (s°t), а2 (s°t)] = г (s°t), п [а1 (st), а2 (st)] = п &).
Далее по (11.20) и (10.46)
drjdst = kt (st) t (st).
Поэтому в качестве второго варианта граничных условий можно
принять задание величин t (st), n (st), kt (st). При этом известным
является и вектор v (st) = t (st) X n(st). Согласно (11.16) эти
три орта можно считать известными, если задан тензор поворота
Qt (st). Наконец, соотношения (11.18), (11.21), (11.23) показы-
вают, что можно задать kt (st) и х< (st). Последнюю векторную
величину можно заменить тензорной Kt &)•
15а
Таким образом, имеют место следующие три варианта геоме-
трических граничных условий:
I:r = r(sz), n = n(sz);
II: t = t(st), n = n(s°) (v = v(°s,)), X( = Ms°t);
III: nt = xz (st), l( = lt(sz).
Первый вариант является чисто геометрическим — в нем за-
дается конфигурация граничного элемента после деформации.
Третий можно назвать деформационным [58], поскольку согласно
(11.25) и (11.26) входящие в него величины определяются через
характеристики деформации срединной поверхности. Второй ва-
риант является промежуточным — в него входят деформационная
величина и неявно содержащиеся в Qt углы поворота.
Отметим, что наиболее важным вариантом деформационных
граничных условий является условие жесткого края
1/=1, x/z = xZv = ntn = 0, (11.27)
отличающееся от условия заделки краев (если их несколько, в мно-
госвязной области)
о о
г = г, п = п
лишь смещением краев как жестких
целых.
11.3 . Усилия и моменты.
Силовые граничные величины
Подсчитаем главный вектор и главный
момент напряжений, действующих на эле-
мент нормального сечения деформированной
оболочки. Пусть (см. рис. 10.5) dSy — площади элемен-
тарных площадок нормального сечения оболочки до и после
деформации, = v|R?, — единичные векторы нормали к нему,
v — орт тангенциальной нормали на срединной линии нормаль-
ного сечения. За n, п сохраним обозначения единичных ортов
нормали к срединной поверхности. При этом (рис. 11.2)
Tvd°st = ovdSy, M.vd°st = js (R — г) x avdSy, (11.28)
где Tv, Mv — векторы усилий и моментов в расчете на единицу
длины срединной линии недеформированного нормального сечения.
С учетом произведенных изменений в обозначениях имеем
согласно (2.36), (2.37), (6.55), (11.2)
щdS\ = Vs-[Jo“₽RaRp + Jo3₽R3R₽ + 7o'z3RaR3 + Ja^RaRa] =
= v|[^“₽Rp + Jaa3R3]d^. (11.29)
159
Рис. 11.2
Согласно же формулам (10.59)
= К Bio v< d§v = У g/a vidStd^ (i=£ j).
Подстановка последнего выражения в (11.29), а его в (11.28)
дает с учетом (11.1), (П.З), (10.26), (10.27)
Tv = va(T“ + 7“n), Mv — vaM“, (11.30)
Т* = 7% М‘ = n х М'% = срХ'М, (11.31)
ТЧ = V gladl, (11.32)
М“ “ IX (7ст'/ ~ G + 1/аЕЧ) Vg/a (%,
т‘п = Й/2 J°n + 5 (^W₽) V g/a dl.
Из соотношений (11.30), (11.31) следует
Tv = v-(T + T“ran), Mv=’vM,
о о \ *
т = 7“₽rar₽, М = Л4“₽га (п х ге).
Отсюда видно, что Т1> — (ковариантные) компоненты двойного
тензора усилий (см. параграфы 6.2, 6.3), М.Ч — компоненты
двойного тензора моментов, Т‘.п — так называемые перерезы-
вающие усилия.
Для тонких оболочек согласно (10.13) подчеркнутые в (11.32)
члены могут быть опущены. При этом для моментов (теперь уже
симметричных величин) имеем
МЧ = f XJali^ <%> = м'{- (11 -34)
Используя же симметричные усилия
SU=^ JoUdl = Sil, (11.35)
получаем из (11.32), (11.34)
Т1’ = Sl/ - bi^M17. (11.36)
Более подробно о симметричных условиях (введение которых
связано с именем В. В. Новожилова) сказано в работе [58, ч. I,
с. 95]. Там же обсуждается «смешанный набор» усилий Новожи-
лова
уИ £12 _ ^21 у22
обладающий существенным преимуществом — простотой.
160
Принятие геометрических гипотез Кирхгофа накладывает
внутренние связи — неизменность прямого угла между коорди-
натными осями и нормалью к срединной поверхности. Отсюда
следует (см. параграф 3.3), что компоненты о13, о23 непосредственно
не связаны с деформацией оболочки. Таковыми же являются и
выражаемые через них перерезывающие усилия Т\п * (11.32).
Последние, таким образом, относятся к силовым (статическим)
величинам.
Пусть
= (Jo‘/)(0) + g(Jo'/)U). (11.37)
Подставляя эти представления в (11.34), (11.35), находим
S1' - h М‘> = (11.38)
и; стало быть, по (11.37)
h h/2 xj/i2
Согласно же (11.10) имеем, пренебрегая изгибной составляющей,
J = ]/ П1с л? Х?В1/2 и с учетом (11.14)
В1/2стч=^. + (Ц.39)
п h/2 п
Рассмотрим вариацию работы напряжений, действующих на
нормальное сечение оболочки, проходящее через граничный кон-
тур срединной поверхности Г:
L orv-6R dSt (11.40)
J
Преобразуем выписанный интеграл, используя соотношения
(11.28)—(11.32), (11.1) и очевидное равенство пбп = 1/2б (n n) —
= l/26 (1) = 0:
м i = f([л» - бм’л"] r, +
J Г \ J —h/2 I
+ [М1 +
n -[6r 4-MS + Va^Xfc) 6n] X
X Vg/a d^dst = fo va {(?“% + T“n)-6r + ЛГ₽гэ-6п} d°st.
I J г
Вводя обозначения
Tw = vav₽T“₽, Tw = vJ3T“p, Tw = vaTan (11.41)
Mvv = vav3M“₽, Mvl =
6 Черных К- Ф.
161
запишем с учетом (10.57) предыдущее выражение в виде
6Л1== J\[(7\vv H7vnn)-6r-F (Mvvv I- AM)-6n]ds(. (11.42)
При выводе этих соотношений мы не варьировали величины
и считая их параметрами. В параграфе 11.5 будет показана
законность такого предположения.
Преобразуем подчеркнутое в (11.42) слагаемое. Используя
для этого выражения (11.20), (10.47) и очевидное равенство бп X
X dr = б (n-dr) — п.б (dr) = —n-d (бг), получаем
fo Mv/t-6n = [ бп-dr = — f ^Mytn-d (6r) =
J p J p J p
f d^'Mvin о
= ------— -6rds,.
loo »
J Г dst
Далее согласно (10.50), (11.20)
d‘MlMvtn d^Mvtn d^Mvt _ _ „ лл
------------------4----------tt ;— n d" (Tt* — °tt)
dst--------------------------dst
Подстановка полученных выражений в (11.42) дает
б Л j = [(Т vvV Ту ft -J- Т Vnn) • бг -J- MyyV' бп] dst, (11.43)
где
dkTlM .
Туу = У w Ч- T/2HV/; Тyt = Тyt — <3tMyt\ Туп ~= Tvn --;-----
dst
(11.44)
обобщенные кирхгофовские усилия.
Согласно (10.45) v-бп = (t X n)-6n = t- (n х бп). Поэтому
выражение (11.43) записывается и так:
6Л1= fo[Qv.6r + Mv.(n х 6n)]ds(, (11.45)
где
Qv = T’yyv + Tytt + ТуПп, Mv = Mvvt- (11.46)
краевые векторы усилий и моментов.
С учетом соотношений (6.43), (11.2)—(И.З) введем градиент
движения срединной поверхности
f = F |5=0 = гцг^ + пп, f* = г% + пп, (11.47)
f-1 = F-1 |g=o — г?г? + nn, f_1* = f*-1 = r?r7 + пп,
обладающий очевидными свойствами
Гг4 = г<, f n = n, f-‘.n = ri, Гг п = п, (11.48)
f*.r‘ = f*-n = п, f—1*'r‘ = г‘, 1—1*-п = п.
162
Согласно (11.33), (11.48)
T=f1T, M =
где
T = 7“₽гаг₽, М = Л4“Рга (п х Гр). (11.49)
Тензор Т (11.33) является поверхностным аналогом несимме-
тричного номинального тензора напряжений {F-1-J2} (6.55).
Поэтому по аналогии с тензором истинных напряжений Коши 2
тензор Т можно назвать тензором истинных усилий. Соответст-
венно тензоры (11.33) и (11.47) можно назвать двойными поверх-
ностными тензорами.
Введем физические компоненты произвольного тензора X:
X(ij> = ХЧ ~/~ацаа', X= Х‘ i у, Xцjj = Х‘1 'у/~ацПц -
(11.50)
Здесь в соответствии с формулами (10.68) угловые скобки отве-
чают недеформированной системе (материальных) координат сре-
динной поверхности, а круглые — деформированной. И ту, и
другую считаем ортогональными. Согласно (11.50) введенные ком-
поненты связаны соотношениями
Х{ф = Xaj} YаИ/ан = Х{т V°ацаИ1ацап. (11.51)
С использованием введенных физических компонент тензоры
(11.33) и (11.49) записываются в виде
(ё; = П 1Уац, е7 = ,
Т — Т м = Л4<аР)ёа(пхер),
Т = Т(аР)вавр, Л4 = М(ар)ва (tl X вр)-
В ортогональных системах координат, старой и новой (со штри-
хами), запишем тензор истинных усилий
(Т = ) Т (ар)вавр — Т
Скалярно умножая это равенство справа на е^, а слева на е;,
получаем
T(ij) ~ ^(“₽) (ei’ea) (е; ’ ер)-
Согласно рис. 1.2 (о>—>-?)
ej-ei = ег-е2 = cos у, е{-е2 = —e^-ei — sin у,
и предыдущие равенства записываются так:
Ти = cos2 tT’ud — 2 sin у cos t>7\12) j- sin2 yT'{22d
T(i2) = sin?cosy(7;22) — 7(h)) + (cos2у — sin2?) 7(i2); (11.52)
T(22) = Sin2 ?7(11) + 2 sin ? cos ?7'(i2) + cos2 ?7;22).
6*
163
11.4. Уравнения движения
Рассмотрим условия равновесия элемента деформированной
срединной поверхности, ограниченного координатными линиями
а* 1, а1 + da1 и а2, а2 + da2. Для этого подсчитаем главный вектор
и главный момент приложенных к нему усилий, моментов и внеш-
них сил. Напомним, что введенные выше усилия и моменты от-
несены к единице длины недеформированного контура. При этом
согласно (10.47), (10.48), (10.26) на линии a1 = const, da1 = 0,
Рис. 11.3
Vjdst = у ada2, v2dst= 0. Поэтому согласно (10.48) и (10.49)
на пару сторон элемента a1 = const, а1 + da1 = const действуют
силы (рис. 11.3)
{(Г + T’nn) У a da- + [(Т1 + П„п) У a da2] da1} —
/Ti 1 тч ’ 5]/Га(Т1 + 7'1пп)
— (Т1 7\п) |/ a da- =---------------da1 da .
Добавим сюда аналогичные слагаемые для другой пары сторон
и поверхностную силу q Уadalda2, где q — интенсивность по-
верхностной нагрузки в расчете на единицу площади деформи-
рованной срединной поверхности. В результате имеем, приравни-
вая нулю полученный главный вектор,
д У а (Т1 + T?nn) d]/"a(T2+Т^п)
da1 1 да? г Ч V a
da1 da2 = 0. (11.53)
Составляя выражение для главного момента, получаем прежде
всего аналогичные слагаемые
дТЛаМ1 дУа№ 1 , , , .
—--------1--^“2— da1 da •
L да1 1 да? J
К ним необходимо добавить момент, создаваемый парами сил
(см. рис. 11.3):
ri da1 х (Т1 + г!„п) У a da2 + r2 da2 х (Т2 + Т2пп) У a da1.
164
Приравнивая нулю сумму полученных слагаемых, приходим
к условию равенства нулю главного момента:
djZaAV
да1
д 1/ аМ2 i/"o . , х
-ь +Г1 X У а (Т1 + т!пп) +
+ г2 х (Т2 + Т2пп) da da2 = 0. (11.54)
(11.55)
В это уравнение следовало бы включить и поверхностный момент
щ-j/adahla2. Обычно он мал, и мы его опускаем. После сокращения
в соотношениях (11.53), 11.54) множителя da1 da2 получаем век-
торные уравнения движения {равновесия)
а/а (Т₽ + Т?„п)
----------------------------------+/ aq = 0,
д^’^’ + X /а (Т₽ + Т?„п) = 0.
(70*
С помощью соотношений (11.31), (10.27), (10.30) получаем
отсюда систему пяти уравнений движения (равновесия):
d^aJyi + Г«₽/- ь[> V°аТ^ + <//« = 0;
Varр + qnVa = 0; (11.56)
да7
д^-'- + Г'и VаМ* - VаТ’п = 0.
Отметим, что при выводе двух последних уравнений было исполь-
зовано полученное с учетом (10.26), (10.32) равенство
_ д [/a (с^//а)] _ дУа
Шестое уравнение приводится к виду
(712 + b2aMal) - (Т21 + Ь'аМа2) = 0.
В силу выражений (11.34)—(11.36) оно выполняется тождественно.
С учетом соотношений (10.36) уравнения движения (11.56)
можно записать и так:
V? ('KIt'7') - Ы, КаТ\ + q!^a = 0;
V7 (Катг) + V~aT* + qn /а = 0; (11.57)
V7 (КaM7i) - V °аТ\п = 0.
165
Используя соотношения (10.30), (10.24), (10.36), получаем
да?
д 1ЛаМ’’ц -] г~ .... . „ .
——Гц+И йгЛ!' (ГцУга + Ьцуп)
, тДо дУ/~а (м^Уа/а)
^у— + 1^аМ ~+
Г(ц, уТа у = vv (/aMv/ У а/а) = Vv (УaMv/).
Отсюда и из последних уравнений (11.57) находим
УаТ!.п^\у(УамУ = (11.58)
даУ
Подставляя полученные выражения в первое из уравнений
(11.55), приходим к двум равносильным формам записи вектор-
ного уравнения движения (равновесия) с исключенными перере-
зывающими усилиями:
-У [УaT^ra + vv (УаМ'^) n] + /Hq = 0;
дар
Г 1Г- 1 О1-59)
+ + v^q = 0.
Практически наиболее важным видом поверхностной нагрузки
является нормальное давление
q = qn, ql = q2 = 0, qn = q. (11.60)
Перейдем к силам инерции. С учетом равенства (2.39) в эле-
менте объема деформированного тела им отвечает главный вектор
С = dldf)
— R'pdV = — R’pdV = — R"p]/”gdalda2&>.
В расчете на единицу площади деформированной срединной по-
верхности (dS = j/adodda2)
q = — J^/2 R"P КolaV°g/a(%-
Для тонкой оболочки, как и выше, подчеркнутый член можно
заменить на 1. Пренебрегая также изменяемостью по толщине
р, получаем с учетом (11.1) и (11.9) упрощенное выражение для
сил инерции
q = — ЛрВ-1/’г". (11.61)
166
К уравнениям движения добавим силовые (статические) гра-
ничные условия
VpVaTP01 + Or,V^aMP“ = T'vv (St),
^аТ*а - OfVp/aM^ = T'vi (St),
Vp o'! rfA/'v,JL.'W(!'z о
Vv (V aAW) + -----= T\-n (st),
У a dst
v₽vaM₽“ = Mw (St) (ak C ra),
(11.62)
следующие из соотношений (11.41), (11.44), (11.58). Здесь T'vv,
T'vt, T'vn, Муу — кирхгофовские краевые усилия и изгибающий
момент — заданные функции дуги недеформированного контура.
Умножая первые три уравнения соответственно на v, t, n
и суммируя их, получаем с учетом соотношений (10.50), (10.57)
и (11.46)
Vp +
nl +
а
dli 1 (v^aM“₽) " n ,
--------------- — 4V
dsf
vpvaMfi* = Mvv (st) (а^ £ f„).
11.5. Закон упругости
В параграфе 11.1 была установлена возможность принятия
первых двух из следующих приближенных равенств:
gi3 — gis — 0, gz3 — ёзз — 0, о33 — 0. (11.63)
Последнее означает принятие статической гипотезы Кирхгофа,
согласно которой
0(11), 0(22), 0(12) 0(33),
т. е. основные напряжения в нормальных сечениях оболочки зна-
чительно превышают нормальные напряжения на параллельных
поверхностях оболочки. Принятие соотношений (11.63) означает,
что в оболочке реализуется плоское напряженное состояние.
Для сжимаемого материала имеет место согласно (6.62) и (11.13)
закон упругости
Jo1' = 2
ЭФ
дёц
Jo33 = 2
ЭФ
^зз
(11.64)
167
Разлагая с учетом (11.13) производные от упругого потенциала
в ряд по £ и ограничиваясь линейными членами, находим, исполь-
зуя последнее из соотношений (11.63),
Здесь индексом «нуль» помечены величины, подсчитываемые на
срединной поверхности (при | = 0).
Обозначим через [см. (11.13)]
Ф° = Ф |6=0 = Ф <ац, Ц) (11.66)
значение упругого потенциала на срединной поверхности. Не-
трудно видеть, что
/ ЭФ \ эф9 / эф \ _ эфэ / а2Ф \ д-Ф°
\д£цЬ дац’ \^зз/о“^Г’ \dSijdSkl )о~ daijdaki ’
/ Э2Ф \ _ Э2Ф° / Э2Ф \ _ Э2ФЭ
дёцд8зз /о ~ datjdkl ’ I (^зз)2 /о - (эк|)2 ’
Используя эти соотношения, а также представления (11.37),
получаем из (11.65)
^1 = 0,
эле
(11.67)
Э2Ф“ / Э2Ф’
(</о‘')(0) = 2
ЭФ°
эа.у ’
(,/а'/)(1) = 4
Э2Ф° , Э2Ф° ,.,
ЧсЛ + Эк?Эа,.
(11.68)
Из последних трех соотношений и (11.38) получаем выражения
для усилий и моментов
Sii = 2h^, (11.69)
М‘>' = l/12h\Eiia^ (11.70)
Э2Ф° д2Ф° \ _ 4 Э2ФЭ Э2Ф,) / Э2Ф°
Эа0.Эай; + dat.dalk d^da.f d^da/i/ j (аХ|)2
(E‘ikl = E'oki = E{ilk = Eklii).
168
Величины Ecikl являются текущими (касательными) изгибными
модулями. Входящая в выписанные выражения величина
определяется из уравнения (11.67).
Для несжимаемого материала согласно (6.63), (11.13)
аЧ = 2 + pg4, а33 = 2 Ц- /?я33 = 0.
™ dg33
Исключая отсюда р, находим
ЗФ / ЗФ
Повторяя проделанный для сжимаемого материала
получаем отсюда с учетом (11.11), (11.12) и (11.9)
даи зх(
оЧ = 2
(11.71)
S‘i = 2h
вывод,
(11.72)
МЧ = 1/12Л35_,/2££/аРхар,
32Ф»
да{/ ЗЦ
ali +
з2ф° з2ф° 1 _
+ В-2 & a4akl В [aliakl + */г [aika’1 + allaik)]
\дН> dh
(E‘iki = Eilkl = E‘i‘k = Ek!ii). (11.73)
Приведенные формулы можно преобразовать с помощью соот-
ношений
=l/2
32Ф°
dakl
В = 1l’2ca^c^aavaSii = V2 (a“M6 — aa6a^) aava^6,
dBldatj = Ba‘i — (рЧсР1'* — aivaia) aa.;,
выводимых из зависимостей (10.21), (10.26), (10.28). Заметим,
что в соотношениях (11.72), (11.73) Ц определяется по первой
из формул (11.11).
(11.74)
11.6. Изотропный материал
Полученные в предыдущем параграфе соотношения справед-
ливы для любого упругого материала. Для изотропного же со-
ласно (11.66), (11.10)
ф° = ф0(1£, Ц»с, Ш£) = Ф°(Л, В, Х|), (11.75)
где
1»С = Л+Х|; Щ = В + ДХ|; Шос = ВЦ. (11.76)
С учетом соотношений (11.74) и (11.9) имеем
д^В
ЗЯ °,-. ' дВ D д2В °и°ы
з— = ач, -=— = ВаЧ, -------------5— = аЧак1 — a‘la'k.
datj да.} ^kidan
169
Теперь соотношения (11.67), (11.69) и (11.70)
мого материала записываются в виде
СП / <9ф0 ° И
S1' = 2/i -5-7- аЧ---5Б- а1' ),
\ дА дВ )
= О, МЧ = Vn^jEO-ap хаВ ,
дЧ
ДЛЯ
сжимае-
(11.77)
(11.78)
-±-ЕЧк‘ =
4
32ф0 /
(<ЭЛ)2 ~ [
i а2Ф» у / а2Ф° '
аЦ дА I I (ах|)2
а-’Ф° / а2Ф°
a‘i'akl -4
д2Ф’>
д>.[дА
а2Ф° __ / а2Ф° у
(дВ)1 Дау ав) I (ау)2
оФ» о о о о
— ^-(аЧак‘~ ailaik).
В частном случае стандартного материала второго порядка со-
гласно (3.42), (11.75), (11.76)
Ф° = % (X + 2р) (Д + Ц - З)2 -Ь и (Д + Ц - 3) -
-W + ду-3),
d2®’ д
дА дВ D
+ В2
I (5М)2
I э-Фп V / а2Ф»
(a4'akl -4 ali'akl)
ь
a4akl -|-
Xg — 1 = - X (X 4-гр)"1 (Д — 2), (11.79)
S4 - 2ц/1 { (Д - 2) + V2 ] аЧ - Ч2ВаЧ},
мч = (vF2j7 ^‘^а₽ + й‘“й/₽) ха₽-
Для несжимаемого материала выражения (11.72), (11.73) за-
писываются в виде
S4 = 2h\^-a4- + (В аЧ, (11.80)
ад дв ау )
мч =
'^ЕЧм = a4akl + [a4akl — х/2 (а1каЧ Д- ailaik] +
I Г D2 д2фВ о *Ф° | в_2
+ (дву 2 asay +
------ аЧак1 -4-
№ J +
+ (в - В-1 (аЧак‘ + аЧак‘)
( дАдВ ауад р г '
В 4 [a4akl j- l/2 (aikai! ailaik)].
ау
(11.81)
170
В частности, для неогуковского закона (5.3)
= (А + М-3),
5‘/ = рЛ( аЧ - В-'аЧ), (11.82)
М‘/ == 1/6ц1г3В~3/2 (аЧсР# ф- а1аа&) хар.
11.7. Соотношения в главных осях
Рассмотрим деформацию оболочки, при которой материальная
система координат, ортогональная на недеформированной средин-
ной поверхности, остается такой и на деформированной. При этом
согласно (10.63), (10.21), (2.9)
О; >01010 0 000 _
а = ai{\ а 2 = а12 = 0, а = atla22, (11.83)
flii — К^ац, — Kt 2fli/, fl1 = flj2 = 0, fl = A,]A,2fl, (11.84)
Kt = ds-JdSi = V ац/ац — (11.85)
главные кратности удлинений.
Имея в виду рассматриваемые ниже приложения, будем счи-
тать, что координатные оси являются главными осями кривизны и
тензора изгибной деформации. При этом согласно (11.84), (11.7),
(10.40)—(10.43), (10.68), (10.71) получаем
Иц = 2 чацМ(П'), X(ii) — 21 Rt 1 О 9 Ri (11.86)
Ьц 1 Г д-х2 , д-х3 г Из3 (ax')2 , (11.87)
ац ~ ° l2 Р-13 / L (да‘Г ’ Г Р23 (да')2
0 Ьп i ° д2Л + Р23 д2х3 1 ц, д2х3 , (11.88)
ан an Г*3 (да')2 (да')2 1 Рз3 (ax')2 j
дх2 дх3 дх3 дх2
1 ^11^22 Р13 — да1 дх3 ах1 ах2 дхг ах2 да1 да2 ’ дх3 сх3 да1 (?аа ’
~V alla22^23 =
дх± : ат дх2 да1 дх2 dxt да1 ах2
V аПа22^33 —
(11.89)
171
и аналогичные формулы с кружочками. Согласно формулам (10.31),
(11.83) и (11.84) отличны от нуля
pl* 1/ —1 d°hh pl* i/ п—1 дац ph j. —1 dfl/i/i
1 ы* = Iz^hh -—г, 1 а — — /2ahh . , 1 ih = hahh -—р ,
да дап да‘
rL=rL + ^‘^> + (11.90)
дап да1 4 '
ph ph л 2л—2 (1ц л л—2 d^i
1 ц — 1 о f^ir^h ь •
ahh
Согласно соотношениям (11.9) и (11.83), (11.84)
Д = Х? + Л,2, В = %М- (Н.91)
Теперь из соотношений (11.56), (11.83), (11.90), (11.84), (11.51)
получаем уравнения движения (i =/*/; i, j = 1, 2)
дУ~°**7а/Л<*/•) *___1_.7....._____________!__
dai 2°ajj да1 ' а£(-“/Л
да,,
1/2-^-Xz +
да'
д]/ а22Т<1> П I д V а11'Г(2> п
да1 ' да3
да' 2а.. да1 °0
//
/ ° \ ——
Ы + °а“ -ГТ М<“) - К°а^!ТФ п = 0- (11-92)
Из соотношений (11.84), (11.51), (11.87), (11.36) находим
S(ii) = °aukS{i, М(ц) = (11.93)
S(ii) = Tai) — Mai)/Ri- (11.94)
Теперь для сжимаемого материала имеем по (11.69) и (11.83)
5((i) — 2ЛА,(-
дФ°
дХ£
172
При этом по (11.67) Х5 определяется из уравнения
^- = 0.
ах(
Если с учетом (11.84) ввести
E{ukk) = V <iii(iii(ikk<ikkEttkk = auakk'kl')<?kEllkk — (11.95)
физические модули упругости, отнесенные по'первому индексу
к недеформированной материальной системе координат, а по ос-
тальным — к деформированной, то с учетом (11.93) и (11.86) со-
отношения (11.70) приводятся к виду
Р 41 Г /' Э?Ф° Э2ф° а?Ф° д2ф° ')
<likk) ~ ik д^1 (ах2)2 д% dk2t ах2 ах2 )
Для несжимаемого материала имеем по (11.72), (11.73), (11.84)
(Ч = VV)
“ 2/iXi
дФ° л —4л—2 дФ°
1 ' A/Z ЛгЬ « ч
ах? dtf
1 s
о ___। __ ।
Л4<(7) = Х2 Е<и'аа)^(аа),
г- л1 12 ( д2Ф° . -2л—:
P-(,iikk) — 1 ,----Л] Л2
I
(11.96)
52Ф° J —2 I д2Ф° Л —2 ’
ax? ах; k + ах2 ах2 1
1 5 К ъ
+ Ж + (1 + 8ik} •
ах& j
Для изотропного несжимаемого трехконстантного материала
(5.29) имеем (г k)
s(ii) = (ph/n) v1 [(I + Р) + (1 - Р) (X? - KV),
°з —1 —1 (11.У7)
tW (й) = ^/12^ ^1 ^2 £< ttact)2<(aot)»
£(««) = (H/n) V1 {(1 + Р) [(П - 2) (X? - КУ) + 2/гХГ"ХГ"] +
+ (1 - Р) [(п + 2) (Х?-ХГпХГ) + 2пХ”Х"]|,
= pv1 Ki+р) хгхг+(1 - р) т-
Нетрудно видеть, что подчеркнутые члены малы, поскольку в вы-
ражения для моментов они входят с множителями порядка (h/R)3,
в то время как эти же самые члены входят в усилия со зна-
173
чительно меньшим множителем порядка (h/R). Опуская выявлен-
ные малые члены, получаем
М<1() = 1/6[ih3'ki А,/;1 [(1 Р) n^kп И- (1 — Р) Х;Х”] (x(ii) Н- 1/гх(А'А))-
(11.98)
Согласно же (11.79), (11.91), (11.50), (3.35) имеем для стан-
дартного материала второго порядка
= 4i_v.2) IU? - 1) 1 V (Ц - 1)] (i #= k\
М<й) = 12^1'—^) №*х(<0 < vXlx(A.*)],
Если ввести физические компоненты напряжений
а а л 2
О\н) === О' ~ в
то согласно (11.39), (11.51), (11.91)
М2 ~ S<O) , g 6М<П) ~ T{il} g 6М<П) Н] пах
где, напомним,
h=h\. (11.100
11.8. Вариационное уравнение Лагранжа
Рассмотрение начнем с вывода интегрального тождества. Ин-
тегрирование по частям дает с учетом (11.59) и (10.57)
0 = — [1^аТ?,ага -4- Va [Уn] + •j'^qj-Srda1 da2 =
= - I, + (.{[Пт»“ra + Va п] • бгр — }' aq • 6г) da1 da2 —
= — Ii + Ь + {]/ a[TaPra-6rp—M“PVa(n-6rp)] — 7Zaq-6r} da1 da2,
где
T^fa H---4^ Va (V~aMa₽) n • 6r dst;
у a
2 = L [vaMa₽n]-6rpdst.
J 1
174
С учетом соотношений (10.57)
г
+ vpTP^at + -yU Va (УаМ“₽) п -6гds,
К» J
I2 — Jo (vaM“₽vpn-6v 4- vaM“₽/pn-6t] dst,
согласно же (10.46), (11.20)
n-6t = n
(11.101)
Mr л—1 dbr
П--3— = IF ----
dSt d°Sf
Интегрируя теперь с учетом (10.50) подчеркнутый член по частям,
находим
I2 = Jo
j г
—vaMa₽vpv-6n 4-
+ vaM“₽/p(—Tjv + огД)
a(V[vX%)
dsf
•бг dst. (11.102)
(Здесь было использовано очевидное в силу (10.45) тождество
n. 6v = — V- бп.)
Поскольку п.бп = 1/2б(п-п) = 1/2б1 = 0, имеем согласно
(10.30), (10.34)
— Va (п • бгр) = - • бгр — п • б (ЬарП) = ЬУаГу • бг₽ — 6feap.
оа
Теперь с учетом (11.36)
1з = У а [Т3“га.бгр - М“₽?а (n-бгр)] =
= У а [5₽7га-бгр - Л4“₽бМ- (11.103
Согласно (11.7)
бх17 =-. — ^bij — bjjb^ + */2 y^jv + fe/’ёй.у).
Можно проследить, что сохранение подчеркнутых членов добав-
ляет в энергию деформации малые в силу (10.13) члены. Опуская
их, приходим к упрощенному выражению
6xiy = — (11.104)
Далее с учетом симметричности S1’/ и (10.24)
S₽«ra • бгр = V2S₽“ (га • бгр + гр • бга) = S₽“6 (ааР/2)..
Теперь имеем по (11.103)
13 = У а [$₽*б (аар/2) + V'^xap]. (11.105)
175
Собирая вместе выражения (11.101), (11.102), (11.105), приходим
к искомому (приближенному в силу (11.104)] интегральному
тождеству
J о [S“p6 (M/2) + Af ’ЛГ^Хар] dS =
= j ° aq • 6r da1 da2 + j ° ['Vpva7’l,a 4- xtvat^M“₽] v • 6r 4-
f~ ° / —- \
+ [vp/aTPa — n(va/pM“P] t • 6r + -^=- Vv [VaM^J +
4---—----7^----- П • 6r + VaVpM“Pv • 6 n
dst
dst.
(11.106)
Пусть f = f u + f0. Здесь на части контура fu задан вектор R
(т. е. г и п), а на Г„ — обобщенные кирхгофовские усилия и
изгибающий момент. Потребуем, чтобы вариация 6R была гео-
метрически допустимой, т. е. будучи достаточно плавной функ-
цией, удовлетворяла условию
(6R = 0) 6г = 0, 6п = 0 (а* е Ги).
При этом интегральное тождество (11.106) с учетом соотношений
(И-44), (11.41) подсказывает первую форму записи вариационного
равнения Лагранжа
j i? [S“p6 (aap/2) -ф ’Af^Sxap] dS — j ° yaq • 6r da1 da2 —
— jf(j((7’vvV + T’vtt + 7\nn)-6r 4- MvVv«6n] dst = 0. (11.107)
Напомним, что здесь T'vv, T'vi, T'vn, Mvv — заданные на Га
кирхгофовские усилия и изгибающий момент.
Проводя проделанные выше преобразования в обратном по-
рядке, получаем вторую фррму записи вариационного уравнения
Лагранжа
~ (°(A[^T₽“ra4- Vv(1ЛаД4г₽) п| + da2 +
J s [ dap J
+ Jo^VaVpT^P 4- T,va/pAf“P — T;v(8/)]v-6r 4-
+ [va/₽7“P - - T'vt &)] t • 6r 4-
+ -7- VY (K«Afvn) 4. _ T'vn (St) 1 п - 6r +
_ У a
+ [vavpAf“P — Mvv (St)] V • 6nj dst = 0. (11.108)
176
В силу произвольности вариаций отсюда следуют уравнения дви-
жения (11.59) и силовые (статические) граничные условия (11.62).
Последние, таким образом, являются естественными.
Вариационные уравнения (11.107), (11.108) можно исполь-
зовать для нахождения приближенных решений краевых задач.
Для этого, как известно, следует задать геометрически допустимые
(т. е. удовлетворяющие геометрическим граничным условиям)
г = г (a*; Ci, ..., сп), где сг — произвольные постоянные. По
заданному г с помощью полученных выше формул подсчитывают
входящие в подынтегральные выражения величины. Подстановка
последних в интегральное равенство приводит после интегриро-
вания к уравнению
п
£ С](съ с2,...,сп)6с, = 0.
/=1
Из следующей отсюда (нелинейной) алгебраической системы
С7- (с1; ..., сп) = 0 (/ = 1, ..., п)
определяют постоянные с,. А это уже дает возможность найти
приближенные значения всех интересующих нас величин. При
этом первая форма (11.107) отвечает методу Ритца, а вторая форма
(11.108) — методу Бубнова—Галеркина.
Существенным при этом является то, что при выборе г (а*;
Ci, ..., сп) не надо заботиться об удовлетворении условию несжи-
маемости материала. Последнее выполнено при выборе для
выражения (11.11).
Выражение под первым интегралом в (11.107)
6Ф = V2Sa₽6na3 + V М (11.109)
представляет собой плотность вариации энергии деформации обо-
лочки в расчете на единицу площади недеформированной сре-
динной поверхности. Прежде всего имеем согласно (11.66)
дФ° s I дф° я,2
6Ф ---- “д--- бйссР -|- --6 Ал.
даа& zi’ 6
Для сжимаемого материала согласно (11.67), (11.69)
h№>° =
(11.110)
(11.111)
Для несжимаемого материала находим с учетом (11.11), (11.74)
(Н.9)
{ 4 Г в (4) = - (4 Г
\а I \ а ) \ а I
177
Подставляя это выражение в (11.110) и используя соотношение
(11.72), опять приходим к (11.111), Далее из (11.70), (11.73) и
симметричности текущих модулей Elikl находим
Af ‘Л1ар6хар = -
= i/2#£“p,1v (X|lv6xap + xaP6xgv) = '/Jrt (Ea^\^v)- (11.112)
(При переходе от предпоследнего выражения к последнему мы
не варьировали текущие модули. Нетрудно видеть, что это при-
водит для тонкой оболочки лишь к малым погрешностям.) Теперь
из соотношений (11.109), (11.111), (11.112) находим как для сжи-
маемого материала, так и для несжимаемого
ф = /1фо + 1/2#E“P^xa₽x(XV.
При этом первое слагаемое отвечает тангенциальной деформации,
а остальные — изгибной.
Обычно в вариационном подходе используют смещения. Соот-
ветствующие зависимости получаем, полагая в (11.107), (11.108)
гг6г = 6ыг, п-6г = 6цу, v-6r = 6uv, t-6r = 6j(,
v-6n = vr/60a — 6()v, Tj-Sfi — 6(oiy, Гу-6пг = — б (ViOy).
11.9. Несколько замечаний
При построении изложенной общей теории оболочек было при-
нято несколько принципиальных предположений. Так, в тради-
ционной формулировке геометрическая гипотеза Кирхгофа со-
держит предположение о нерастяжимости нормального волокна:
А,- = 1, х5 = 0. (11.113)
Введение в гипотезу параметров А.^ и х? позволяет в явной форме
учесть деформационное изменение толщины оболочки, могущее
для резиновой оболочки достигать нескольких десятков (!) раз.
Несмотря на это, некоторые авторы при построении общей теории
(пригодной по их мнению для описания больших деформаций)
принимают все же предположение о нерастяжимости нормального
элемента (волокна) (11.113).
Рассмотрим случай чистого изгиба оболочки (рис. 11.4), при
котором волокна параллельных поверхностей, лежащих по одну
сторону срединной (точнее, нейтральной) поверхности, растяги-
ваются, а по другую — сжимаются. При этом одна часть нормаль-
ного волокна сжимается, а другая растягивается. Эту неравно-
мерность деформации нормальных волокон и учитывает (простей-
шим—линейным—образом) величина х?.
Отметим, что Ал и х? являются именно параметрами, по-
скольку их введение не повышает порядок системы разрешающих
уравнений. Естественно, что и при вариационном подходе они
178
не варьируются [см. (11.104)] — не являются «энергетическими
аргументами». Существенно, что при использовании вариацион-
ных уравнений (11.107), (11.108) нет необходимости в предвари-
тельном удовлетворении функции г (а1, а2) условию несжимае-
мости материала. Последнему удовлетворяем автоматически, при-
нимая для и выражения (11.11). При традиционном же под-
ходе необходимо либо согласно (11.11) удовлетворить нелинейным
уравнениям ।
a/a=l, ааРхар = 0, (11.114) гу~ ПТ
либо усложнять вариационное ура-
внение, превращая условия несжи- * । у
маемости (11.114) в естественные. "
При построении теории был ис- ~
пользован двойной тензор напря-
жений (см. параграф 6.3). Это об- Рис- 114
легчило, формулировку гипотез, по-
зволило ввести симметричные усилия и моменты в недеформи-
рованной конфигурации (см. параграф 11.3), а основные зависи-
мости получить (без специального дополнительного перепроек-
тирования) в более удобных деформированных материальных осях.
В сравнительной простоте полученных зависимостей большую
роль сыграло предположение о линейном законе распределения
напряжений по толщине (11.37). В подтверждение возможности
принятия для эластомеров этого предположения рассмотрим в глав-
ных осях деформации закон упругости для несжимаемого матери-
ала [см. (3.29) при п=1]
л I дФ , «£ дФ ,
где [см. (11.11), (11.12), (11.84)]
= Ml h ^)> М = (W’ [ 1 - g (xi -I- х2)]-
Принятие статической гипотезы Кирхгофа = 0 приводит
к закону упругости
Не рассматривая слишком большие изменения кривизны (пере-
гибы), находим с учетом тонкостейности оболочки
|^|с|йх,./2|« 1. (11.115)
Рассмотрим двухконстантный упругий потенциал (5.30)
Ф — [(Xi)n (А.2)п + (А.|)" — 3],
179
исправно обслуживающий весь диапазон расчета резинотехниче-
ских изделий. С учетом приведенных соотношений
Gt = (2р./п) {(X" — Xi "Хг ") + fyt X] "Хг ” (%i -ф %2)] +
+ (л - 1) № - ХГ%~П (%i + х2)2] + ••.}.
Примем в качестве меры погрешности использования гипотезы
отношение первого отбрасываемого (подчеркнутого) члена к по-
следнему сохраненному. Тогда погрешность определяют вели-
чины
. 1 — + х,/х,)2"
(^) (П~1)Т + ^2^ 1+х z 2 ’
1 -Ь Л1 Л2 (* Г х2/х1)
ы
ь 1) +
l+^^^l+x^)2
Отсюда и из (11.115) усматривается приемлемость гипотезы при
не слишком больших значениях п, что обычно и выполняется
в практических расчетах.
В изложенном подходе не используются уравнения совместно-
сти деформации (неразрывности срединной поверхности) и функ-
ции напряжения. Сделано это сознательно из-за неудобств их
использования в общем нелинейном случае. Строго говоря, нельзя
полученное назвать и уравнениями в смещениях, поскольку сами
перемещения не введены. Вместо них разыскивается непосред-
ственно (так удобнее) конфигурация деформированной срединной
поверхности.
Глава 12. АРКА-ПОЛОСКА
Рассмотрение конкретных классов оболочек начнем с простей-
шего — так называемой арки-полоски.
12.1. Основные зависимости
Цилиндрическую пластину отнесем к материальным коорди-
натам (рис. 12.1) а1 = s, а2 = х2.
Будем считать
х2 = ^х2, -Д-= = О,
5а2 дх,
рассматривая тем самым одномерную, не зависящую от х2 дефор-
мацию пластины, получающей вместе с тем равномерное про-
дольное растяжение с кратностью удлинения = X = const.
Такую деформацию можно было бы назвать обобщенной плоской.
180
Поскольку напряженно-деформированное состояние не зависит
от х2, можно считать, что мы имеем дело с цилиндрической пла-
стиной единичной (по х2) ширины. Этим и оправдывается исполь-
зуемый ниже термин «арка-полоска».
Из рис. 12.2 усматривается (' = d!ds)
о ос о
Xi = cos <р, х3 = — sin <р.
Из аналогичного рисунка для деформированной конфигурации
следует
Xi==lscoS(p, х'з — —sin ср, (12.1)
где ls = ds/ds — кратность удлинения дуги поперечного сечения
срединной поверхности пластины. С учетом полученных зависи-
мостей находим из (11.84)—(11.89)
<2ц = <222 = 1, #11 = 1s, а22 — I2, (12.2)
ЯГ1 = ф , ЯГ1 = Is-*<p' (ЯГ1 = R21 = о).
Одномерная обобщенная плоская деформация цилиндрической
пластины является частным случаем рассмотренного в параграфе
11.7. Поэтому можно переписать полученные там зависимости,
используя более удобные обозначения:
Is — li, 1 = 12, xs =- Х(Ц) (Х(22> = 0), тs = Т<ц), 44 s — ЛТ^п),
Тsn = Т{2t п, Ss = 3(H), 0's = Cfii), ^(i) = 75-
Так, уравнения движения (11.92) принимают вид
T's -j- (p'Tsn + ls7s = 0,
T'sn- <pTs-|-ls7n = 0>
44s — IsT sn = 0.
В соответствии с рис. 12.3 введем величины
Тг = T'sn cos ср — Ts sin <р, qz = qn cos ср — qs sin <p,
Tx = Tsn sin cp -}- Ts cos <p, qx = qn sin <p + qs cos <p,
(12-3)
(12.4a)
(12.46)
(12.4b)
(12-5)
181
с помощью которых первые два из уравнений (12.4) преобразуются
Т'х +- Мх = 0, Т'г Мг = 0- (12.6)
Для равномерного нормального давления
qs = 0, qn — q = const, qz — q COS <p, qx — q sin <p,
и no (12.6), (12.1)
Л(«) = Л(81) -tfLMs) - XjSj)],
Tx (s) = Tx (Si) + q [x8 (s) - x3 (s01,
а с учетом (12.5), (12.1), (12.7)
Г ds = Tz (sO [xx (s) - Xi (Si)] - Tx (sx) [x3 (s) - x3 (sx)] —
J Si
— 4" ? M (s) - *1 (Si)]2 + [*3 (S) - x3 ($t)]2} .
Ho no (12.4b)
\4sTsnfc=
J Si
Сопоставление двух последних выражений дает
Ms (s) = Л4, (si) h T2 (Sx) [Xi (s) - Xt (sx)] - Tx (^) [x3 (s) - x3 ($t)] —
— ~^-q {ki (s) - x, (st)]2 4- [x3 (s) - x3(st)]2). (12.8)
Таким образом, в рассматриваемом случае усилия и моменты свя-
заны алгебраическими соотношениями с координатами деформи-
рованной арки-полоски. Квадратуры (12.7), (12.8) были получены
Е. П. Колпаком.
Рассмотрим силы инерции. Поскольку г = xt (s)gt 4 Xx2g2 4
+ Х3 (s)g3, из (11.61) следует (' = d/dt)
qx = ~ ftpV’xi’, qz — — АрХГ'хз’.
Из соотношений (12.2) и (11.86) имеем
xs = ~ <Р (Х(22)—-0). (12-9)
Согласно (11.97), (11.98), (12.3) для трехконстантного несжимае-
мого материала
V'V1, Ss = (iih/n) V* [(1 + Р) 4- (1 — Р) И (*" -
(12.10)
S<22) = (цЛ/л) V1 [(1 ф Р) ф (1 - Р) X”] (Хп - V"V"), (12.11)
182
Ms = 1 pfcV [(1 + 0) K7n^~n -I- (1-0) ОТ XS,
i . (12.12)
m<22) =4-OTms.
При этом по (11.94) и (12.2)
Ss = Ts — Xs ф Ms, S<22) = T<22).
По-видимому, всегда можно приближенно принять
Ss^Ts, S(22) ~Т<22). (12.13
Наконец, согласно (11.99), (11.100) и (12.3)
Ss , g 6Л18 _ Ts , g 6/И_.
ло8 , ~г ° hi ~ h 1 ° hi ’
Л/2 rt л h/2 n
; „ 5<22) । g 6Л1<22) ~ ^<22) , g 6iW<22)
h/2 Й/2 "
h = ftr'V1.
12.2. Безмоментное решение
Рассмотрим безмоментную деформацию арки-полоски. Для
этого положим в соотношениях предыдущего параграфа
Als = 0, Tsn = 0.
При этом из уравнений движения (12.4), принимающих при qn =
= q - const, qs — 0 вид
T°' = 0, -ф^ + Х56<7=0, (12.14)
находим
T6S - Ss6 = Т = const, фб = <7^/Т. (12.15)
Из (12.11) следует при 0 = 1
— = nT/2iih, (12.16)
Т’<22) = (2цЛ/н) - V (,!+1) V). (12.17)
Существенно, что при р, h постоянных определяемая из (12.16) X?
также постоянная величина.
Согласно (12.2) и (12.15)
R6l = R = T/q. (12.18)
Таким образом, по безмоментному решению при постоянном нор-
мальном давлении срединная линия поперечного сечения арки-
полоски является дугой окружности.
183
Будем считать арку-полоску симметричной относительно се-
чения s = 0 (рис. 12.1). Длину срединной линии до деформации
обозначим через I. Тогда
Фб (0) = 0 и из (12.15) находим
фб ($) _ _s_
Ф* //2 ’
Ф* = Фб (//2) = . (12.19)
Для показанной на рис. 12.1
пластины
Xi (0) = 0, Х1 (1/2) = 1/2,
х3 (1/2) = 0, (12.20)
Рис. 12.4
а квадратуры (12.7) с учетом (12.5) принимают вид
Т sin фб = qXi (s), Т cos фб = Т Д- q [х3 (s) — х3 (0)].
Полагая во втором из выражений s = 1/2, получаем с учетом
(12.19) Т cos ф* = 7 — qx3 (0).
184
Исключение из найденных выражений х3 (0) дает с учетом
(12.18), (12.19)
хг = R sin (<p*2s/Z), х3 — R [cos (<p*2s°//) — cos фф].
Полагая теперь в первом из выписанных выражений s = 1/2,
получаем с учетом (12.19), (12.20)
Xs sin ф. = <р,. (12.21)
Можно принять, например, следующий предложенный
Е. П. Колпаком путь решения рассматриваемой задачи. Задаваясь
значением <р*, находим из (12.21) X® (ф*), затем из (12.19) R (фф),
из (12.16) Т (ф*, X) и, наконец, из (12.18) q (ф*, X). Как следует
из (12.19), (12.16), (12.18),
Ф = f —_____________)________ (12 22)
UJ 4 (xnn-(^s)~n
Поэтому безразмерные величины X®, R/1, Т/pdi, х3 (0)//, h/h, ф*
являются функциями безразмерного давления
<7 = 4-А (12.23)
h
Их графики при различных значениях параметра п в законе уп-
ругости (12.16), (12.17) показаны на рис. 12.4.
Исключая из (12.22) и (12.21) Х®, находим с учетом (12.23)
выражение для безразмерного давления от «ведущего» пара-
метра фф:
q = А Г_ х-" ф*.
п L \ Sin ф* 1 \ sm ф* / J
12.3. Краевой эффект
Пусть рассмотренное безмоментное напряженно-деформируе-
мое состояние имеет место всюду, кроме узких зон у краев арки-
полоски. В этих зонах на безмоментное состояние накладывается
так называемый краевой эффект — быстро меняющееся состояние,
позволяющее удовлетворить общим (моментным) граничным усло-
виям. Величины, отвечающие безмоментному состоянию и крае-
вому эффекту, будем снабжать соответственно индексами б и k.
Положим
Ts = T6S + Tks, Tsn = Tksn, Ms = Mks, (12.24)
ф = ф -|- ф£, Xs — Xs, xs = xs + xs, x3 = x3 -|- x3.
Существенным здесь является предположение: краевой эффект,
носящий изгибной характер, не дает ощутимого дополнительного
растяжения (X* яг 0).
185
Подстановка выписанных выражений в первые два из уравне-
ний движения (12.4) дает
Ts + Тs 4 (фб 4~ Фа) Тsn — О,
Тsn— (фб 4~ ф&) Тs — фбТ'з — Ч>кТ* + — о.
Согласно соотношениям (12.14) из выписанных уравнений выпа-
дают подчеркнутые одной чертой слагаемые. В силу предположен-
ной плавности безмоментных величин и быстрой изменяемости
величин краевого эффекта можно пренебречь величинами, под-
черкнутыми двумя чертами, по сравнению со следующими за
ними. Теперь с учетом (12.15) имеем систему трех уравнений
Тs Г ФаТsn = 0,
T'sn — (pk^s — Ttp'k = 0, (12.25)
Tsn - 4>'kTs' — <PkTs — Tqk = 0.
Третье уравнение получено дифференцированием второго.
Исключение из выписанной системы Тк и Тк приводит к ура-
внению -Jt- TSn\ + Tsn = 0. Поскольку ~( )' = —£- =
Wk \ Wk / т А ds
d
= , уравнение
принимает вид
d*Tsn
(лРа)2
4~ Tsn = 0 с очевидным
решением
Tsn = A sin <pft 4- В cos фй.
(12.26)
Второе из уравнений (12.25) дает Тк = A cos — В sin ф* — Т,
так что по (12.24) и (12.15)
Ts — A cos tph — В sin фй. (12.27)
Теперь из (12.4), (12.12), (12.9), (12.10) при 0 = 1 имеем для двух-
константного несжимаемого материала (с учетом того, что <р",
фб < Фа)
3 ( 1 \ “{“2
Фа-------- - —-----(A sin 4- В cos ф4) = 0. (12.28)
цЛ3
Рассмотрим два варианта граничных условий:
Xl (0) = 0, ф (0) = фй (0) = О, Tsn (0) = о,
Х1 (1/2) - 1/2, Хз (1/2) = 0, (12.29)
Ф (1/2) = фЛ (1/2) + ф* = 0;
хг(0) = 0, <p(O) = <pft(O) = O, Tsn(0) = 0,
х, (1/2) = 1/2, хз (1/2) = 0, ф' (1/2) = ф^ (1/2) + 2<р.// = 0, 1 >
186
отвечающих соответственно защемленной и шарнирно-опертой
симметричным относительно среднего сечения (рис. 12.1) балкам-
полоскам. При написании граничных условий были использо-
ваны соотношения (12.24), (12.19), (12.9), (12.12) (при 0 = 1
и предположениях ср" < <pL k's « 0).
Из выражения (12.26) и граничных условий прежде всего следует
В = 0. (12.31)
Далее согласно (12.5), (12.26), (12.27), (12.24), (12.19)
Tz (s) = - Л sin (ср — <рА) = — A sin срб = — A sin (2cp*s//). (12.32)
Из (12.29), (12.30), (12.7) при = 0 имеем Т2 (st) = 0, (0) = 0,
7’z (s) = —qxx (0). Приравнивая последнее выражение к (12.32),
получаем при s = 1/2 с учетом формул (12.29), (12.30), (12.19)
и (12.18) ~ql/2 = — A sin ср, = — А (X®)“’ ср, = — AR-^-. Отсюда
и определяется
А = qR = Т. (12.33)
Вернемся к уравнению (12.28). Вводя новую безразмерную
переменную (12.23)
° п+5 n-t-2
^ = с f/2,~s. , c = /3(Xs) 2 h 2 f4-4-Y/2<71/2> (12.34)
1 \ h h I
приводим его с учетом (12.31) и (12.33) к эталонному виду
- sin <pft = 0. (12.35)
Отметим, что масштабный множитель с зависит помимо q еще н
от совмещенного геометрического параметра
/ R I \1/2 \ArI
I о ° I ° *
\ h h I h
Считая, что
с»1, (12.36)
выберем из решений уравнения (12.35) быстро убывающее по мере
удаления от края s = 1/2 — решение типа краевого эффекта.
Согласно (12.29), (12.30), (12.34) граничное условие для заде-
ланного края имеет вид
<Pfe Ь=о = — Ф.>
а для шарнирно-опертого
d<fk I _ о Ф*
1С=о с ’
187
Сопоставление этих граничных условий показывает с учетом нера-
венства (12.36), что краевой эффект при заделке края значи-
тельно интенсивнее, чем при шарнирном опирании.
Построение решения типа
краевого эффекта было про-
ведено в предположении по-
стоянства Ц = 1®. Следуя
Е. П. Колпаку, уточним
значения Ц и А. Так, со-
гласно (12.27), (12.31) и
(12.10) при р = 1 имеем
а/1—1 а—Па—П—1
Лз — Л» Лд —
= (п/2рЛ) A cos (pfe.
Находя отсюда Ц., уточняем
форму срединной линии арки-
полоски. Согласно (12.1),
(12.24)*и (12.19)
х'1 = Vcos’(<p* + ф,), х'3 = — Ц sin (ф* + ф,).
Здесь в силу медленной изменяемости фб принято вместо фб ее
значение на краю ф*. Постоянная А находится из условия
Рис 12.6
хх (1/2) = 1/2.
Полученные выше фор-
мулы позволяют выяснить,
когда возможна замена ре-
шения моментной задачи
суммой безмоментного решения и решения типа краевого
эффекта. Этот вопрос был рассмотрен Е. П. Колпаком [28].
Ниже приводятся несколько его рисунков. На них цифрой 2
помечены кривые, отвечающие безмоментному решению, цифрой
3 — сумме безмоментного решения и краевого эффекта. Цифра 1
отвечает «точному» решению моментной задачи, полученному
численно, с применением сеточных методов.
Прежде всего из рис. 12.5 видно, что шарнирно-опертая пла-
стина даже при прогибах порядка ширины пластины практически
188
остается безмоментной (при l/h > 5). Остальные рисунки относя-
тся к случаю жесткого защемления края. На рис. 12.6 и 12.7
показаны формы деформированной срединной поверхности, на
рис. 12.8 и 12.9 — распределение тангенциальных напряжений
а = Ts/3jih. При этом рисунки, расположенные слева, отвечают
безразмерной нагрузке Q = <?//ЗрЛ = 1,5, а справа—Q=l,0,
рис. 12.7,12.9 — тонкой пласти-
не (l/h = 25), а рис. 12.6, 12.8 —
более толстой (l/h = 5). Во
всех расчетах рассматривался
неогуковский материал.
189
Из приведенных рисунков видно, что сумма безмоментного
решения и краевого эффекта аппроксимирует моментное решение
тем точнее, чем тоньше пластина
В отличие от жестких оболо-
чек здесь краевой эффект влияет
на общую форму оболочки (а не
только на ее вид в окрестности
края пластины.) В первом при-
ближении можно считать, что
защемленная пластина ведет
себя как безмоментная пластина
меньшей (на величину зон крае-
вого эффекта) длины.
и меньше нагрузка.
Рис. 12.10
12.4. Арочный (мостичный) амортизатор
Внешний вид арочного (мостичного) амортизатора показан
на рис. 12.10. Для его расчета были использованы [291 соотноше-
ния: (12.6) при qx = qc = 0; (12.5), (12.11), (12.12) и (12.13) при
190
0=1; (12.1). Интегрирование системы дифференциальных урав-
нений осуществлялось модифицированным методом Эйлера. Кра-
евая задача решалась методом
стрельб.
На рис. 12.11 показано влияние
на жесткость амортизатора его тон-
костенности при фиксированном на-
чальном угле наклона <р. Через
Д = Д// обозначена безразмерная
осадка верхнего основания аморти-
затора.
На рис. 12.12 показано влия-
ние начального угла наклона при
фиксированной тонкостенности, на
рис. 12.13 — граница раздела об-
ластей мягкой и жесткой характери-
стик амортизатора при шарнирном
опирании (кривая 1) и жесткой
заделке (кривая 2). Материал везде
неогуковский.
Глава 13. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
В этой главе рассматриваются наиболее часто используемые
в приложениях осесимметрично деформируемые оболочки вра-
щения.
13.1. Основные зависимости
При осесимметричной деформации оболочка вращения перехо-
дит опять же в оболочку вращения. В качестве материальных ко-
ординат примем (рис. 13.1) длину дуги меридиана s и угол 0 не-
деформированной срединной поверхности. При этом
а1 = s, а2 = 0.
В силу предположенной осесимметричности деформации 0=0
ООО О ООООООО 0 о
И X1 = r(s)COS0, Х2 =/ (s) Sin 0, X3 = X3(s), Xi = г (s) cos 0,
х2 = г (s) sin 0°, х3 = х3 (s),
Из рис. 13.2 находим (' = d/ds)
г' -- cos ф, х3 = sin ф. (13.1)
191
Пусть Ха ( = ^1) и Х0 ( = Х2) — главные кратности удлинений вдоль
меридиана и окружного направления. Из рис. 13.1 следует
Xs — ds/ds, Х0 — г/г.
(13.2)
Используя эти зависимости, а также составленный для деформи-
рованной конфигурации рисунок, аналогичный рис. 13.2, полу-
чаем по аналогии с (13.1)
С учетом полученных соотношений подсчитываем по формулам
(10.40), (11.83)—(Н.90)
аи = 1, «12 = 0, а22 = г2, а = г2, а11—!, а12 = 0, а22—г~2,
Ь\ = —<р', fe2 = г-1 sin ф, fe* = fe2 = 0, (13.4)
Оц = XI, ai2 = 0, а22 = г2Ц, а = (rXsX0)2,
а11 = V, а12 = 0, а22 = г~2Хё2,
= —Xsfp', fei2 = 0, &22 = —rXeSintp, fei = —
fe2 — — r'Vtf sin ф, fe? — b'i = 0,
Г{i = Х;%, Г12 = r-1Xsle' cos ф, Г22 = —rX7’X0 соз’ф, (13.5)
ГЬ = Г|2 =- Г|2 = 0,
Xn = Xlxs, x22 = r2X0x0, «12 = 0,
о, o_ о (I3-6)
У xs — Х^Х^ф' — ф', xe = r 1 (Х-Хё’эшф — sln<p).
Введем более удобные обозначения
Т3 = Т(\1), Tq — T^), 35 = 3(11), 30 = 3<22),
Afs = Af(ii), Af0 = Л1<22), Tsn — Та) п, Т^п — Т^уп.
При этом согласно (13.4) и (11.36)
Ss = Тs — Х8’ф Ма, 30 = У0 — г 'Х0' sin фЛ40. (13.8)
192
В рамках принятой точности можно при необходимости считать
Ss«Ts> Se«Te. (13.9)
Положительные направления нормальных усилий Ts, Тв, изгиба-
ющих моментов Ms, М$ и перерезывающих усилий Тап, Твп
показаны на рис. 13.3. Переобозначая физические компоненты
напряжений
°s = °(11), °е — °(22),
имеем согласно (11.99), (11.100)
os«V(—+-Л—Qe«V(-
х h ft/2 ft2 ' v
6Me \ ,
ft/2 ft2 ' ’
(13.10)
6M0\
fta '
W 4+^44
i-i ( «e । I
‘ b + “w
где h = h^i- (13.11)
Для несжимаемого материала согласно (11.96)
= (13.12)
Ss = 2hls >
s s dz.? s 0 dkl
Afs = 1/j2^'l^s'^ё' (^ciiiij^s^sE
Af0 = (£<H22)^sXs 4- E(2222)/'2^0И0)>
P hi 12 I 52,1,0 1-21-2 Г 52®° 1-2 I 52®° ,-2l !
S 8 J +
+ WS + W(1 + 6ift)S-
Для изотропного несжимаемого трехконстантного материала
имеем согласно (11.97), (11.98)
Ss = (рй/rt) z;1 [(1 + 0) + (1 - Р) Ге] (Г - zrre'1),
S0 = (ph/n) гё1 [(1 + Р) + (1 - Р) Г] М - г%"),
м, = VepAVke1 Е(14- ₽)4- (1 - Р)ЬЭД X
X (r^s 4- Vz^^-O^o) > /10 141
(13.14)
М0 = [(1 4- ₽) 4- (1 ~ P) ЗД X
X (/" X0x0 4" 1/z^s^s)'
7 Черных К- Ф.
193
С учетом соотношений (13.5), (13.7) уравнения движения (11.92)
для осесимметричной деформации записываются в виде
(rTs)' — cos <рТ 0 + /°<рТ5П + °rkkeqs = О,
(rTsn)’ — sin <рТа — r<p'Ts 4- hskeqn = 0, (13.15)
(rMs)' — cos <pM0 — hsTan =- 0.
Умножим первое из этих уравнений на sin ср, второе — на (—cos ср)
и сложим. Интегрирование полученного уравнения приводит
к квадратуре
г (sin <pTs — cos ф7\„) =
= Q (Si)/2n 4“ j (<7n cos <p — qs sin <p) (X0r) Ks ds. (13.16)
о
Si
Умножая полученное равенство на 2л, усматриваем на рис. 13.4,
что левая его часть представляет собой вертикальную силу, дейст-
вующую на параллельный круг s = const (напомним еще раз, что
введенные нами усилия и моменты отне-
ез ,п сены к единице длины недеформированного
А контура). Интеграл является вертикаль-
о -S/ sn ной силой, отвечающей поверхностной на-
/ грузке в поясе s2s (ds1 = Ksds, ds2 = A,0rdO =
er = rc^> 7з = ?ncos <P — ?«sin<p). Постоянная
y'X Q (sj — вертикальная сила на круге s — sv
s es Таким образом, конечное (недифференци-
Рис. 13.4 альное) соотношение (13.16) является усло-
вием равенства нулю осевой составляющей
главного вектора всех сил, действующих на рассматриваемый
пояс деформированной срединной поверхности оболочки.
Для равномерного давления
I qn = q = const, qs = 0 (13.17)
и согласно 413.2), (13.3)
j (qn cos tp - qs sin <p) (A,0r) (\ ds) =
S1
о
= q j (M (^ cos ф ds) = q j r dr = x/2 (r2 — r2).
S r*
Теперь no (13.16)
r(sin<pTs - cos фТьП) = Q(s,)/2n i-^qfr2 - A)- (13.18)
194
Рассмотрим силы инерции. Из рис. 13.4 следует
n = е3 cos ср ег sin ср, е. = —е3 sin ср er cos ср.
Кроме того, для радиуса-вектора г = е3х3 + е,.г имеем г" =
= е3х3‘ + trr". Из полученных выражений, а также формул
(11.61), (13.4) и (13.5)
qs = —ЛрХё'Лё' (—хз' sin ср г" sin ср),
qn = — (*з cos ср -ф г" sin.cp).
Вернемся к формулам (13.1)—(13.3). С их помощью получаем
следующие полезные соотношения:
гЛё ф cos срЛ0 — cos срЛ. = 0; г = г%9, х3 -ф\sin ср = 0. (13.19)
Нетрудно подсчитать, что при заданном q в выписанную раз-
решающую систему 14 уравнений (13.15) -ф (13.13) -ф (13.14) -ф
-ф (13.8) -ф (13.6) -ф (13.19) входят 14 искомых величин: Ts,
Тв, Ss, Se, Tsn, Ms, Mq, xs, x9, \s, Л9, ср, г, x3. При этом вто-
рое из уравнений (13.15) можно заменить на квадратуру (13.16)
[см. (13.18)], а вместо соотношений (13.8) использовать (13.9).
К выписанной разрешающей системе уравнений шестого по-
рядка необходимо присоединить шесть краевых условий. Ограни-
чимся случаем, когда на каждом из краев оболочки(х1, s2) задано
по три условия следующих видов (t = 1, 2):
а) заделка
%e(s°;)=l, ср (s;) = <р (°Si), х3 (s;) = х3 (s;); (13.20)
б) скользящая заделка
М«с)=1> ср (зг) = ср (sO, x3(Si) = x3(si)~A; (13.21)
в) шарнир
%3(s;)=l, Ms(s°i) = 0, х3(5г) = Л(5г); (13.22)
г) скользящий шарнир
M.Xst) = Q, x3(s;) = ;3(Si)-А. (13.23)
В выписанных соотношениях А — осадка рассматриваемого края.
С учетом формул (13.1), (13.3), (13.6), (13.7) находим из (11.25),
(11.26), (10.69) при у = 0
Л, = Ле, xZv = 0,
+ (Л^1 ~• ^ё') sin ср/-’1 = (sin ср — sin ср) /'“'Лё1,
. din cos <р (Л;1 — >“') о о
Х(П = ~ А5- -I-----Ц---------- = — (cos (Р - cos ф) г~'^ •
ds г
(13.24)
7*
195
Отсюда условия жесткого края (11.27) записываются в виде
%0(«г)=1, <р (s,) = (хг) (13.25)
и входят составной частью в условия заделки (13.20) и скользя-
щей заделки (13.21). Как уже говорилось в параграфе 11.2, осо-
бенностью условий жесткого края (как и других деформационных
граничных условий) является то, что они формулируются в тер-
минах компонент деформации. Согласно (13.24) эта запись имеет
вид
Х0 = 1, Af х9 (^' — ^ё1) sin = 0,
+ созЖ1-^1) = Q.
ds г
13.2. Безмоментное решение
Безмоментное состояние осесимметрично деформируемой обо-
лочки вращения описывается соотношениями параграфа 13.1 при
= мв = 0, Tsn = 0. (13.26)
При этом из уравнения (13.15) и квадратуры (13.16)
о
S
Q (sA)/2jt 4- j (<7n cos ф — qs sin ф) Kurd's
О
- __ ________________Si
S о
r sin (p
(13.27)
t9 =
r dtp , гХД9
в!пф s 1 sin ф ^n’
Для равномерного давления qn = q = const, qs = 0 и согласно
(13.2), (13.3)
(2(^)/2л + 1/2ф(Х29^-4)
7 s = -------/——------:---------- — Г (SJ),
sin ф
_____Q (si)/2,t + У*7 ~ -f i) d<p . rX5ke
sin2 ф ' ** sin ф
(13.28)
Напомним, что Q (sj — вертикальная нагрузка, действующая на
диск (рис. 13.5). Введем в рассмотрение величину
P = [Q(s1)-^r2]/2n. (13.29)
Поскольку qnr} — сила, создаваемая действием нормального дав-
ления на диск, величину 2лР уместно назвать сверхдавлением
196
на диске. В случае, если на диск действует лишь нормальное дав-
ление, Р = 0 и сверхдавление отсутствует. Согласно (13.28),
(13.29)
P + 1/^2e m
---;-----, / 0 = —
r sin ф
Из (13.13) находим
[1+P + (1-P)^](%r'
[i + p+(i-₽)*?W
Наконец, по (13.19)
г + cos Ф^е — cos <pA.s = 0,
ds
Р + dtp L qr^e^s ..д др,
sin tp ’ ' ’ '
sin* tp £
- к {n+'%nVn = Ts/fih,
(13.31)
-Хё('!+1)К")/п = 7,еЙ.
°, dx3 « ,
r = r\, = —
ds
т =
(13.32)
содер-
h, Ф>
Ts, Те, %s,
Выписанная система семи уравнений (13.30)—(13.32)
жит при заданном q семь искомых величин “ “
г, х3 и имеет четвертый порядок. Таким
образом, можно удовлетворить четырем
граничным условиям. Типичным вариан-
том для оболочки с двумя краями (двух-
точечная задача) является следующий:
о о °
на краю s =Si задаются P(Q), х3 (sj и
%e(si), а на краю s = s2 — (s2). Зада-
° о
ние Р определяет статику пояса Sjcs <
< s2, а х3 (st) фиксирует его жесткое вертикальное смещение.
После решения сформулированной задачи находим согласно
(13.9)—(13.12) и (13.26) для несжимаемого материала
h = hK'K\ as = \Ts/h, ae = KeTe/h. (13.33)
13.3. Перекатывающаяся мембрана
Перекатывающаяся мембрана (рис. 13.6) в недеформированной
конфигурации представляет собой (безмоментную) коническую
оболочку вращения /. Нормальным давлением р часть мембраны
прижата к наружному (неподвижному) цилиндру и внутреннему
(подвижному) //. При опускании внутреннего цилиндра мебрана
как бы перекатывается с цилиндра на цилиндр, до предельной кон-
фигурации III. Перекатывающиеся мембраны обычно достаточно
тонки и работают при умеренно больших растяжениях (до =
= l,5-i-2). Задача упругого расчета перекатывающейся мембраны
в квазистатической постановке решена С. А. Кабрицем [23].
При расчете был принят упругий потенциал (5.29).
197
Пренебрегая толщиной мембраны, сформулируем на концах
участков прилегания мембраны (рис. 13.6) краевые условия:
S1
5 = 51^ = ^, ф = х3 = х3 (0) — j ds;
о
= (13.34)
s = s2:r = r2, ф = — */2л, х3 = — f \ ds,
При написании их использовано соотношение (13.32). Согласно
(13.32) на участке прилегания
='«/'(Si) (i=l, 2).
Согласно (13.31) при р = 1 и предположении отсутствия трения на
площадке контакта имеем на концах ^участков прилегания
Ts (Si)l2ph = [хг1 - к; <'!+1) <; (SiK)"]/« (i == 1, 2).
Поскольку усилия Ts (si) определяются из условий равновесия
мембраны, выписанные уравнения могут служить для определе-
ния Xs (s) в подынтегральных выражениях условий (13.34). Вы-
писанные соотношения определяют граничные условия для сво-
бодного участка мембраны (sj с s < s2). При этом параметры st,
s2 заранее неизвестны и определяются при решении задачи. Их
наличие позволяет удовлетворить «лишним», вторым, граничным
условиям в (13.34).
198
Сформулированная задача была решена путем прямого сведения
к нелинейной краевой задаче Коши (при использовании итераци-
онной процедуры Ньютона). Для недеформированной конической
оболочки были приняты размеры = 39 мм, г2 = 47 мм, Н =
= 39 мм, h = 0,8 мм. На рис. 13.7 показаны результаты экспери-
ментов, полученные для оболочки из резины НО-68—1, и расчет-
ные кривые при различных значениях п. По оси ординат отложено
безразмерное давление р — р/\и, по оси абсцисс — отношение те-
кущей длины меридиана к исходной 1/1. Эксперименты (проведен-
ные В. Н. Антроповой) дали при одноосном растяжении стандарт-
ных образцов р = 1,48 МПа. Найденное значение р хорошо со-
гласовалось с начальным участком диаграммы. Для достаточно
хорошего совпадения результатов расчета с экспериментом варь-
ировалась константа п. Наилучшее соответствие (в смысле
среднеквадратичного отклонения) было получено при п = 4, 6
(рис. 13.7).
13.4. Сферический вытеснитель
Пусть резиновая сферическая оболочка находится в жестком
(металлическом) сферическом сосуде. Внешний радиус оболочки
(мы его отождествляем в силу тонкостенности оболочки с радиу-
сом срединной поверхности) совпадает с внутренним радиусом ме-
таллического сосуда R (рис. 13.8). В нижней части сосуда (под
оболочкой) находится газ при исходном давлении р0, прижимаю-
щем оболочку к стенкам сосуда. Верхняя часть соединена с трубо-
проводом, находящимся под давлением р.
Описанную конструкцию называют вытеснителем. Вытесни-
тель (обычно их несколько) служит для гашения повышения дав-
ления в трубопроводах низкого давления. При повышении дав-
ления в трубопроводе оболочка прогибается, уменьшая объем ниж-
ней части сосуда, что приводит к увеличению давления газа,
сдерживающему дальнейшее выворачивание оболочки. При этом,
если V и V — объем нижней части оболочки в исходной и теку-
щей конфигурациях, для идеального газа при изотермическом
сжатии перепад давления на участке вне зоны контакта q подсчи-
тывается по формуле
q = — р + peV/V.
Считаем, что в зоне контакта трение между оболочкой и поверх-
ностью, а также р0 достаточно велики, так что оболочка не про-
скальзывает и не деформируется. В точке отрывав = s* (положение
которой заранее не известно) имеют место граничные условия для
свободного от контакта участка
s = s*:X9=l, гр = <р, х3 = *з, —= (13.35)
199
Последнее условие означает, что в точке отрыва кривизна мериди-
ана оболочки совпадает с кривизной внутренней поверхности со-
суда. Как и в предыдущем параграфе, «лишнее» — последнее
в (13.35) — граничное условие может быть удовлетворено, по-
скольку появляется неизвестный параметр — положение точки
отрыва s*.
Задача о квазистатическом расчете сферического вытеснителя
была решена С. А. Кабрицем. Построение решения было осущест-
влено на основе сочетания метода продолжения по параметру,
Рис. 13.8
квазилинеаризации Ньютона—Канторовича и ортогональной про-
гонки. На рис. 13.9 приведены зависимости максимальных зна-
чений напряжений, реализующихся в точках максимального из-
гиба (рис. 13.8), от прогиба полюса оболочки.
Другой крайний случай, когда трением можно пренебречь,
т. е. считать, что оболочка может свободно скользить по поверх-
ности сосуда, рассмотрен С. А. Кабрицем [25].
13.5. Конический амортизатор сжатия
Конический амортизатор сжатия (рис\13.10) характеризуется
тремя безразмерными геометрическими параметрами R/H, h/H,
а и значениями констант материала р и п в двухконстантном упру-
гом потенциале (5.30).
Для статического расчета амортизатора, проведенного
С. С. Прасниковой [43], были использованы зависимости, пред-
ставленные в параграфе 13.1, при условии заделки (13.20) на ниж-
нем основании ($ = $2) и скользящего шарнира (13.23) на верх-
нем (s = St). Решение полученной нелинейной краевой задачи
200
о
R
Рис. 13.10
О экспериментальные точки; —• • — по теории
Рейсснера
201
сводится к решению последовательности задачи Коши для той же
системы уравнений. В качестве «ведущего» параметра выбрана
монотонно изменяющаяся величина — осадка верхнего основа-
ния А.
Результаты численных расчетов для различных значений п,
а также по теории Рейсснера [92] сопоставлены с данными экспе-
риментов над амортизатором с параметрами R/H = 0,3, h/H =
= 0,22, а = 0,52 (рис. 13.11). В результате принято расчетное
значение п — 1, т. е. материал Бартенева—Хазановича (5.20).
В работах С. С. Прасниковой выявлено влияние различных
факторов на жесткость амортизатора. На рис. 13.12 цифрами
I—V показано, какому виду меридиана отвечает график. На
рис. 13.13 прослежено влияние нормального давления (подду-
тия). На рис. 13.14 приведены кратности удлинений, а на
рис. 13.15 — напряжения. Цифрами 1, 2, 3 на рис. 13.14 и 13.15
показано, какому значению сжимающей силы на рис. 13.11 от-
вечает данный график.
Характерной точкой диаграммы осадка — сжимающая сила
являются величины Р*, А* (рис. 13.11). Для них в результате мно-
гочисленных просчетов на ЭВМ и использования метода наи-
меньших квадратов были получены выражения
/О \0.26-0,04/1 / ° \1,37+0.13/7
-А—= (0,83 + 0,25/1) — — ^-1.13-0.08/7,
ЕН2 \ И J \Н I
/ о \-0.23-0,03п / О \ 0.9+0, In
— = (0,52 4-0,10/г) — — а-о.39-0.14,7,
Н \Н J X Н J
могущие быть полезными для прикидочных расчетов на стадии
эскизного проектирования амортизатора.
Глава 14. БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ.
МЯГКИЕ ОБОЛОЧКИ
В этой главе выводятся и анализируются соотношения безмо-
ментной теории для оболочек общего вида. Основное внимание
уделяется мягким оболочкам и заДдче,.их раскроя. На примере
оболочек вращения выявляются специфические особенности мяг-
ких оболочек.
14.1. Основные зависимости безмоментной теории
Зависимости безмоментной теории получим из моментных,
полагая в последних
Ми = 0, = (14.1)
202
т. е. пренебрегая изгибными моментами и перерезывающими
силами. При этом векторное уравнение движения (11.55) сводится
к следующему:
(14.2)
а отвечающие ему скалярные уравнения (11.56) записываются
так:
дУаТ^' l
даУ '
+ = о 0 = 1,2),
или по (11.57)
'р -hV = o,
(14.3)
ЬуР у aTVP 4-У aqn = 0.
Согласно же формулам (11.36) и (14.1)
__ gif _ g/i _ ,pji
(14.4)
Отсюда и из соотношений (11.77), (11.78) для сжимаемого изо-
тропного материала
= +
При этом кратность изменения толщины 7= определяется из урав-
нения
= 0.
Напомним (см. параграф 11.1), что
А = a^aafi = Ц + Ц,
В — а/а =
Для несжимаемого материала [см. (11.11), (11.80)1
'У = (а/ау1/2 = В~1/2,
тЧ __ nt d®0 °ч । / р дФ° г>
Т “2/г ~дАа +\В-дВ~В
(14.5а)
(14.56)
(14.6а)
(14.66)
В частности, для неогуковского материала
дХ1 / J '
[см. (11.82)1
203
Далее [см. (11.14), (11.39), (14.4)]
h = h\, ^Ва“ = Tl'/h. (14.7)
Согласно же зависимостям (10.39)—(10.43) и (10.31)
n = (1» = Мт (т= 1,2,3),
(лХ
ац = , а = ana22 - (aw)2 ==sin2% = н2>
да да1
а11 = йц/а, а12 = —а12/а, ср = а^/а, (14.8)
, &2xv
sm X = р.v3 . / ,
да да'
_ дх2 дх3 дх3 dx2 г—_ дх3 дхх дхх дх3
Т «11«22913 g^t да' 5а1 ^2 > У 011022923 ^2 ^2 ,
, / ~~ дхг дх2 дх2 dxr
Т Оца.229зз — -g^L-g^- — gai gai >
9 = Sin X == /9?з + 9гз + 9зз = /«’
ph __ 1 / , да;р ___ datj \
Z/ 2 da1 da’ daS' у
Соответствующие соотношения для недеформированной срединной
поверхности следуют из выписанных с добавлением верхнего
значка °.
Иногда удобнее проектировать уравнение движения на про-
странственные декартовы оси. При этом подстановка выражений
(14.8) в векторное уравнение (4.2) приводит к следующим урав-
нениям движения в прямоугольных декартовых осях:
[ УаТра — 'j +т/а [qa ~ + <7п—=0 (/= 1, 2, 3).
даР да“/ Г да“ Г Чп 9 ) 4 7
Рассмотрим тензор истинных усилий Т [см. (11.49)] с физи-
ческими компонентами [см. (11.50)]
T(in - (14.9)
Согласно соотношениям (14.4) рассматриваемый тензор является
симметричным и исходя из указанного в параграфе 1.2 в его глав-
ных осях _
Т’(Ц) = Л, 7^(12) = О, Т (22) = (14.10)
где /1, i.2 — главные значения тензора Т. Согласно равенствам
(14.9), (14.10) и (11.52) имеем
АцГ11 = cos2 yt± + sin2 yl2,
«22^22 = sin2 yt2 + cos2 yt2, (14.11)
V аца22Т1г = sin у cos у (/t — t2).
204
14.2. Вариационное уравнение Лагранжа
Вариационное уравнение Лагранжа для безмоментной теории
получим, полагая в соотношениях (11.107) M{i = 0. С учетом (11.41)
аТ^б (аар/2) — \ aq • 6r] dalda? — J (Tvvv 4- Tvif) -8rdst = 0.
о
га
(14.12)
Напомним, что Га — часть граничного контура Г области Q
недеформированной срединной поверхности, на которой заданы
краевые усилия [см. (11.41)]
tvv = Tvt =
При этом согласно выражениям (11.24), (11.25)
== X;1 j/'a/avt, ij = Kt = (аарИ₽)|/2.
В соответствии со сказанным в параграфе 11.8 радиус-вектор
материальной точки деформированной срединной поверхности
задается выражением
(а1, а2)+ Scftr<ft>(a', а2), (14.13)
А=1
где r(0), r<k) — выбранные координатные функции, a ck — под-
лежащие определению постоянные. Имеем
6г = 2r<«(a', a2)6cft. (14.14)
k^i
Подсчитывая по выражениям (14.13)—(14.14) входящие в (14.12)
величины, находим после интегрирования
N
S Ck (<Л, Сг, .. ., сл,) 6cft = 0.
В силу произвольности <5сй получаем отсюда систему N нелиней-
ных алгебраических уравнений для N постоянных:
Ck (cj, с2, .... су) = 0 (k = 1, 2, ..., N).
14.3. Мягкие оболочки
Мягкими называют оболочки с весьма малой изгибной жест-
костью, не воспринимающие поэтому заметных изгибающих
моментов и сжимающих усилий. Таким образом, мягкие оболочки
в отличие от «жестких» могут находиться исключительно в без-
моментном состоянии. Если в мягкой оболочке нормальные уси-
лия положительны (растягивающие), то ее расчет ничем не отли-
205
чается от расчета «жесткой» безмоментной оболочки. Напряженное
состояние с положительными нормальными усилиями называют
двуосным.
В процессе расчета мягкой оболочки могут быть выявлены зоны
сжатия с отрицательными нормальными усилиями. В силу упо-
мянутой малой изгибной жесткости оболочки зона сжатия теряет
устойчивость с образованием поперечных (направлению сжатия)
морщин-складок. При этом сжимающее усилие (и без того малое)
уменьшается, так что его можно считать равным нулю. Напря-
женное состояние в описанных зонах сжатия принято называть
одноосным. Из соотношений (14.11) усматривается, что при ра-
венстве нулю обоих нормальных усилий рассматриваемая часть
оболочки не напряжена и (оболочка ведь мягкая) не имеет опреде-
ленной геометрической формы. В последующих параграфах мы
сможем лишь кратко коснуться теории мягких оболочек. Более
подробно с ней можно ознакомиться по публикациям [2, 16,
34, 51].
14.4. Задача раскроя мягкой оболочки
Для мягкой оболочки наиболее важной является задача рас-
кроя. Состоит она в том, что требуется спроектировать (скроить)
оболочку так, чтобы она при данных внешних нагрузках и усло-
виях закрепления приняла необходимую форму. Поскольку при
этом геометрия оболочки и нагрузка заданы, система трех урав-
нений движения (14.3) относительно трех величин ]/~°аТп,
У °аТ12 = УаТ^\ / «Г22 линейна.
Пусть материал несжимаем. Тогда из соотношений (14.6) и
(14.7) получаем систему трех (существенно различных) алгебраи-
ческих уравнений для определения компонент метрического тен-
зора недеформированной срединной поверхности
а‘> 4- ( В - В-1^- й-7 = , Л/. (14.15)
дА 1 дВ ад2 у 2й /а ' ' 7
С учетом того, что по (10.20)—(10.21) Й“рйар = 2, находим из
(14.15) и (14.5)
D / дФ» \2 . л 5Ф« /_ йфо '
13 ( —д I -4- Z1 л— D —-ч г, 1 — D ,,
\ дА ) 1 5Л ( дВ у
+ (в - В-1 = a[f"f22 - (m
л4£ +2 (вт~вЧ|)<1416а>
206
С помощью второго уравнения можно несколько упростить первое:
(в - ЧП2) (^)2 = «№ - (Л2)2] - х/4 (W“₽)2- (14-166)
Напомним, что в полученной системе уравнений (14.16а, б)
согласно (14.6а) X? = В-1/2. После нахождения из этой системы
инвариантов А и В имеем по (14.15)
a^i W - (В дФ°/дВ - В~1 5Ф°/5Ц)
аИ ~ Э&ЧдА ' (141/)
и по (10.20) и (14.56)
аи = аВ-1а22, а12 = —аВ-1а12, а22 = аВ~1а11. (14.18)
Таким образом определена метрика недеформированной (раскрой-
ной) срединной поверхности.
В частном случае неогуковского закона (11.82)
А - 2И 1 = 2а^/ц.
В - Ч,Лг = |Г! 14а [/‘Г - (/”)’] -
Исключение отсюда А приводит к кубическому уравнению
Вз _ в2 2аа^ в } Q
р2 р
После определения вещественного В находим из выражений
14.17) ____
ач = В~'ач 4- -—— .
рЛ К а
Остается воспользоваться соотношениями (14.18).
14.5. Зоны сжатия
Рассмотрим зону сжатия мягкой оболочки, считая поверхно-
стной нагрузкой равномерное нормальное давление q. Из соот-
ношений (14.11) видно, что для положительности нормальных
усилий необходима и достаточна положительность главных уси-
лий. Из сказанного в параграфе 14.3 следует, что в зонах сжатия
^>0, /2 = 0 (14.19)
или
tx = 0, t, > 0.
207
Рассмотрим зону сжатия, принимая в качестве координатных
линии главных усилий, так что в выражениях (14.11) у — 0 и
по (14.19), (14.3)
т'2 = Т22 = 0, (14.20)
1 „
/НП да1 ’ да2 * ’ (14 21)
_^_]ЛаТн + /^д=0.
Второе из уравнений (14.21) дает
-4^- = 0 или ап = ап(а'). (14.22)
Согласно равенствам (10.78) это означает, что первая координатная
линия геодезическая. Из первого и третьего уравнений (14.21)
находим
= п с* <«2)
4 ’
1 __ |/" ^22
С2(а2) •
(14.23а)
(14.236)
Еще три уравнения дают соотношения Кодацци—Гаусса (10.79),
записываемые с учетом (14.22) и (14.236) в виде
д / \ ._____д / 1 \ _ д /а22
/а^да1 \ \ R12 / С2 (а2) у^ацда1
_2_ ( -/а22_..) „I-!-----=0, (и 241
*с2\С2(®2)/ \ #12 / ’
д I дУа^2 \ _ __ — /а22______1_
/ап да1 /аи да1 / 22 1.С2 (а2)/?2 (#1г)2]
Четыре уравнения (14.236), (14.24) позволяют найти четыре ве-
личины а22, R~l, R~', R~i, определяющие срединную поверхность
сжатой зоны с точностью до ее положения в пространстве. Вели-
чина а1г входит в выписанные уравнения «несущественным» обра-
зом. Можно, например, положить
ап = 1, а1 = sx,
где sx — длина дуги геодезической.
Для определения геометрии недеформированной срединной
поверхности используем соотношения из 'параграфа 14.4. Так,
согласно (14.15), (14.23) и (10.63)
pi = qc2 (а2) , р2 _ о, (14.25)
2Аахх а22
208
и, поскольку а12 = 0, из соотношений (14.17) следует а12 = 0.
Таким образом, материальные координаты являются главными
(и ортогональными) для тензора деформации срединной поверх-
ности. При этом согласно равенствам (10.63)
а11 = а“1, а'-- = а~2, у а = |/ апа22 (а1-= п]2 = 0).
Введем главные кратности удлинений [см. (11.85)]
Яц/(1ц, Л-2 = ^/fl22/^22-
и инварианты (14.5), определяемые из системы уравнений (14.16а),
(14.166), (14.25), (14.17):
= (14.26)
к = - (в В~' X; _ к + &!£>
1 у дВ dll I / ° 2Ла22 / дА
Для неогуковского материала ]см. (11.82)]
А2 = В-1, X2 = qCi В'',
рЛ у/ (222
А — 2В~Х = в - АВ~г 4- В'2 = 0.
рй / а22
Исключая отсюда А, приходим к уравнению для определения В:
В*___в-1 = (а2)
рй / а22
Рассмотрим случай, когда главные координатные линии явля-
ются и линиями кривизны. При этом [см. (10.74) ] = 0 и урав-
нения (14.26) принимают вид
д / У о22 \ V^22 д |/^д22 д / >А22 \ л
da1 \ R2 / С2 (а2) За1 ’ да2 \ С2 (а2) / ’
д~ _ 0-22
(тАа^да1)2 С2 (а2) В2
Из второго соотношения следует
/^^^(«^^(а2). (14.27)
Подстановка его в оставшиеся два уравнения дает
д /С1(а1)\ _1» dCi (а1) d2(?t (а1) _ СП®') /1 л oq\
to'UJ-'2 да1 ’ (/^М2- ' R2 • ( ’
209
Из первого уравнения, а также из (14.27) и (14.236) следует
= -2- = £ip + g-^ (a-const). (14.29)
Исключая из вторых выражений в (14.28) и (14.29) R2, приходим
к определяющему Сх (а1) уравнению
+ -^ + йСх = 0. (14.30)
Рассмотрим частный случай Rx = R — const, при котором
согласно (14.29) и (14.30)
(14.31а)
1/Т?2 = 0. (14.316)
Таким образом, круговыми в рассмотренном нами случае геодези-
ческие линии могут быть лишь на круговом цилиндре.
Возвращаясь к общему случаю линий кривизны и принимая
обозначение (14.31а), имеем
ап = аи (а1), /о2г = Ci (а1) С2 (а2),
= Сх (а1), -j- = ’/2 [сх (а1) - Л2С1(а1)] •
(14.32)
При этом ахх (а1), С2 (а2) — произвольные функции, R — произ-
вольная постоянная, а Сх (а1) — решение уравнения
7?-‘ п2- + V2 (с? - = 0. (14.33)
(vc,,dal) \ к '
14.6. Осесимметрично деформируемая
оболочка вращения (двуосная зона)
Рассмотрим задачу о раскрое осесимметрично деформируемой
оболочки вращения, полагая, что зоны сжатия отсутствуют. Ре-
шение уравнений равновесия (13.30) запишем в виде
А,0‘7\ = рЛо Г _ + f ] ,
* ‘ Lr sm <р_|
= ц/ю Г - + 2
и [_ S1I12 ф fa ।
где введены безразмерные величины
Г _ S , Р
Г- ----, 5 = --, « — ----г
г* Л* \‘2ЧГ
(14.34)
(14.35)
аг* — характерный линейный размер срединной поверхности,
210
Согласно соотношениям (13.31)
Mi ; 0 F(1 - Р)^](Х7-Г» ‘)
Ml+P + U-РЛ"Ж-£>ч) Me-
где
t _ _2±Ll_ _ ге5 Г ^_+2_2 ] •
' ® “ (2fi n) й — 2 [rsintp]’
_! (14.37)
f _ ? s ^0 = по г /? 4- г2 Ар п ~ f 1 •
'° (2,и,п)Л 2 L sin2 <р ds ' sin <р J ’
С = ^4^; £) = М'0- (14.38)
Из уравнений (14.36) получаем два следующих:
(1 + 0) (С - 2D-1) J (l - р) (2D - CD’1) = 2 (fs 4 f9);
[(1 4 |3)2 4 (1 - р)2 С 4 (1 — Р2) D ] (D — CD'1 4 D-2) =
= 4/4е. (14.39)
Определив отсюда инварианты С и D, находим из (14.36)
1'1 _ 1 / I_____As fd______ j п Ч С _________fs _______
s - /2Ь -h J _|_р + (1_р)£)-1, Л0 - /2ь 1+p +(1 —P) д-1-
(14.40)
Далее из соотношений (13.2)
r(s) = Хё1 (s') г (s), (14.41а)
ds = k-s'ds. (14.416)
Согласно же равенствам (13.1) и (14.41)
° . . dr ... d (V (s) г (s)]
cos <P (s) = — = X. (s)---T. (14.42)
ds as
Отсюда определяется cos <p (s), а значит, и sin <p (s). Из третьего
соотношения (13.32) находим затем
= — j X,(s)sin <р (s)ds. (14.43)
So
Выражения г = г (s), х3 — х3 (s) являются параметрическим
заданием недеформированной срединной поверхности. Используя
выражение (14.416), можно перейти к параметру
$ = j V (s)ds-
211
При всем при этом должны выполняться условия отсутствия
зон сжатия Ts >0, Тв > 0, записываемые в силу выражений
(14.34) в виде
>о k + f2 ri<₽ I 2 ' > 0
f sin <p ’ sin2 <p ds sin <p '
Заметим, что форму деформированной оболочки нельзя зада-
вать произвольно, так что описанная процедура, вообще говоря,
может и не привести к цели. Другими словами, заданной форме
деформированной оболочки может не отвечать никакая раскройная
форма. Покажем это на простом примере. Пусть деформированная
оболочка является сферой постоянной толщины, для которой
(см. рис. 13.1)
г = R sin ф, ха = R cos ф, s = Rq>, dcp/ds = Я-1,
так что при г* = R по формулам (14.35)
г = sin ф, s = ф, dxp/ds ~ 1.
Пусть далее k = 0, т. е. отсутствует сверхдавление [см. (13.29)].
Тогда по равенствам (14.37)
г — f — /л -
>s >в 2 \ 2цЛ / '
Согласно же соотношениям (14.40), (14.36)
Х? = Х§ = %С (O = V4C2), (14.44)
[1 + ₽ + V2 (1 — Р) С] (С — 8С-2) = 2nd.
Существенно, что определяемые отсюда кратности удлинений
— равные между собой постоянные величины. Таким об-
разом, раскройной формой является сфера радиусом RXq1.
Итак, сфера по необходимости получена из сферы. Пусть
в рассматриваемой задаче
г (Sj) = г (sj, г ($2) = г (s2)
или, что то же в силу равенства (14.41а),
Х0 (S1) = Х0 (s2) = 1 (С = 2). (14.45)
Выписанные условия отвечают жестким донышкам на краях
оболочки. В силу условий (14.45) второе из условий (14.44) не-
совместно (0 — 2nd). Отсюда и следует отсутствие решения по-
ставленной задачи. Таким образом, ни при какой раскройной форме
оболочка с жесткими донышками на краях не может превратиться
в сферическую.
212
14.7. Осесимметрично деформируемая
оболочка вращения (одноосная зона)
Рассмотрим оболочку вращения (рис. 13.1), для которой (на-
помним)
а1 = <р, а3 = 0, Уап = /?s (ф), V а22 = г (<р) = 7?0 (ф) sin <р.
(14.46)
В силу отмеченной в (14.5) произвольности функций Сг (ф) и
аи (<р) можно положить с учетом (14.46) = Rs = С~\
Уравнение (14.33) принимает при этом вид
d’Ci । /->2 _ 1
"(Зф)2 ' — R'2
с общим решением
Ci = -j/a cos ф -р b sin ф 4- R~2.
Теперь согласно равенствам (14.32)
уа22 — С2 (9) у7 a cos ф Ь sin ф 4- /?~2,
1 ____________a cos ф 4- fr sin ф_
Re 2 j/acos ф + b sin ф + R'2
Подстановка этих выражений во второе из соотношений (14.46)
дает
С2 (9) = С = const, а = О, С = 2/6, (14.47)
так что
/— n 1 /— г» 2 b sin ф + R"2
V ап = Rs =—=======^, у а22 =/?0 sin ф =-------------------.
у b sin ф + R 1 0
(14.48)
Для определения формы деформированного меридиана исполь-
зуем формулы (14.46), (14.48), (13.32) и то, что ds = Rsdq> —
= dy/У b sin ф 4- R~2'-
r = yb sin ф 4- R~2', x3 — — f - sin<P^g___. (14.49)
b r T 1 J K& sin ф +/?-«
<Pi
Наконец, с учетом равенств (11.93), (13.7), (13.9), (13.4), (14.20),
(14.23a), (14.47), (14.49) имеем
^Ts=-==£==-, V1Te = 0. (14.50)
V b sin ф + R 2
213
14.8. Двухпараметрическое семейство
оболочек вращения
Рассмотрим оболочки вращения, деформированные меридианы
которых содержатся в следующем двухпараметрическом семействе
[58, ч. I, стр. 102]:
у< — 1—гиперболоиды,
Rs = , Ro, -3 9 Y = - 1—параболоид, (14.51)
(1 + Y sm2 ф) - “
y> — 1—эллипсоиды;
Ro -------—---Г2 (v 0-сфера).
(1 + у sin2 ф) 2 ' г
Здесь
Ro — (Rs)<₽=0 — (Re)cp=-0
(14.52)
общее значение главных радиусов кривизны оболочки в ее полюсе.
Воспользуемся соотношениями параграфа 14.6. Прежде всего
при г* = Ro из выражений (14.51) и (14.46) следует
______siryp_______ йф _ ]
(1 + у sin2 ф)1-2 ’ ds ~ Rs
(1 + у sin2 ф)3- 2
R'o
(14.53)
Отсюда и из (14.34) при k = 0, т. е. при отсутствии сверхдавления,
имеем
V’n - иМ------------!----J, Й = 44 ’ (14.54)
L (1 ч-У sin2 ф),/2] 2ИЛ ’ v ’
Из последних соотношений видно, что при у < 1 оба главных
усилия положительны и зоны сжатия отсутствуют. Отсюда и
из (14.51) следует, что зоны сжатия могут быть лишь в эллипти-
ческих оболочках при у 5= 1. Рассмотрим их подробнее. Пусть
а — горизонтальная, a b — вертикальная полуоси эллипса. Из
соотношения
у = (а/b)2 — 1
и неравенства у 5г 1 следует, что зоны сжатия могут иметь место
лишь при достаточно пологих эллиптических оболочках, точнее,
при выполнении неравенства
Ь'а < 1//2« 0,707. (14.55)
Из второго выражения (14.54) следует, что при выполнении не-
равенства (14.55) зона сжатия имеет место, если меридиан содер-
жит участки с
Ф<Ф*> где sin2<p* = у-1 = [(а/Ь)2 — I]"1. (14.56)
214
Определим раскройную форму оболочки, полагая, что условие
(14.56) не выполняется и зоны сжатия отсутствуют. По формулам
(11.97), (13.7), (13.11) и (13.12) находим для двухпараметрического
упругого потенциала (5.30) при Р = 1
о, — 1 2рЛ /- f; 1 —я 'i —'i —1 'т* 2|ЛЙ /. п л —ил —
^6 * s “ ~ ^6 /> * 6 ~ ^0 h
(14.57)
-" _ 1 / с I ________sin2 ф .и __ j р пду____sin2 ф
S 2 (1 -J~ y sin2 tp)1/2 ’ 0 2 4 (1 -|-у sin2 ф)1/2
(14.58)
При этом инварианты определяются из соотношений
C = 2D-^^- 2~vsin-V
2 (1 + У sin2 ф)2
(14.59)
Е>з _ / 2g.\2 1 ~ V ф р2_ 2-- у sin2? р _ 1 Q.
X 2 / 1 + у sin2 ф 2 (1 v sin2 ф)1 2
К. М. Кылатчанов (по материалам которого и написаны
параграфы 14.9—14.11) показал *, что второе уравнение (14.59)
имеет единственный, при этом положительный вещественный ко-
рень. Тем самым задача раскроя имеет в рассматриваемом случае
единственное решение. Упомянутый положительный корень оты-
скивался методом Ньютона.
14.9. Раскройная форма
двуосной эллиптической пневматической оболочки
Если для мягкой оболочки расчетной нагрузкой является вну-
треннее равномерное давление, ее обычно называют пневматиче-
ской. Зададимся значениями внутреннего давления q, упругими
постоянными потенциалами р, п, формой и (постоянной) толщиной
деформированной оболочки. Тогда 5 = qR0/2p.h — заданная по-
стоянная величина.
Некоторые результаты расчетов по приведенным в параграфе
14.8 формулам представлены на рис. 14.1—14.6. Так, на рис. 14.1 —
14.3 приведены распределения вдоль меридиана кратностей удли-
нений и изменения толщины раскройной формы эллиптических
оболочек при у = —0,5; 0,2; 0,9. Из рис. 14.1 видно, что при
у < 0 максимальное растяжение имеет место на краю оболочки
и 7а У,. Как усматривается из рис. 14.2—14.3, для оболочек
с у > 0 5г Х0. Если к тому же у < 0,5, то Х0 5г 1. При этом
* К- М. Кылатчанов. Некоторые задачи статики мягких оболочек при боль-
ших деформациях. Автореф. дис. на соиск. учен, степени канд, техн. наук. Л.:
ЛГУ, 1984.
215
для оболочек, близких к сфере (у = 0,2), максимальное растя-
жение происходит в полюсе. Для более пологих оболочек картина
распределения кратностей удли-
нений меняется качественно. Так,
из рис. 14.3 следует, что при
у = 0,9 максимальное растяжение
меридиана происходит уже на
краю (где Х0 < 1). Таким образом,
на краю наблюдаются растяже-
ние оболочки в меридиональном
направлении и поджатие — в
Рис. 14.2
усилия остаются положительными.
На рис. 14.4—14.6 показаны раскройные формы меридиана при
у = —0,5; 0,2; 0,9. Усматривается характерное для достаточно
216
Пологих оболочек свойство (рис. 14.6) — укорочение при разду
вании.
На рис. 14.7 показаны раскройные формы оболочек вращения,
из которых при различных q (а) получается эллиптическая обо-
лочка с у = 0,5, выполненная из нео-
гуковского материала (п = 2). Из при-
веденного рисунка видно, что чем
больше значение q (а тем самым и о
при неизменных значениях остальных
параметров оболочки), тем больше
раскройная форма отличается от тре-
буемой. При этом для оболочек с у >0
область в окрестности полюса как бы
уплощается. С увеличением ст наступает
такой момент, когда кратности удлине-
ний Хо уже не удовлетворяют сле-
дующему из (14.42) неравенству:
С помощью вытекающего из второго равенства (14.53) соотношения
' = * = Rs 4- (14.60)
d<p 8 ds v 7
предыдущее неравенство можно записать в виде
♦Н-НШИ <14-61)
Невыполнение этого неравенства означает, что при данном зна-
чении q из осесимметричной оболочки уже нельзя получить тре-
буемую эллиптическую оболочку постоянной толщины.
Рассмотрим выявленное обстоятельство более подробно,
для чего получим представление ф (<р) в окрестности по-
люса.
217
Прежде всего в силу того, что Ts—Ts (A,s, А,0), Тв = Тв (Xs, Ji0),
, 1 у сф-о-Ч) r , d^lTs)r
Щ т- аке (1
f ! у а(хг%) а(хГ%)
1в> -—dKs—дГв 710'
Будем обозначать индексом «О» значения величин в полюсе обо-
лочки (при q> = 0). Согласно соотношениям (14.54) и полученным
из них дифференцированием находим
(к0 'Ts)q = (ks 'Т0)о = [Жд,
(к0~‘л)о = (V*r0)0 = О, (14.63)
= — p/ioy, (V'T^o = — Зр/шу.
Возвращаясь к системе уравнений (14.62), имеем согласно (14.57)
дЛд \ / дХ„ п \ __. ... _ п..\
дк, /о = ( дкв /о = 2р7й° п Х° )’
(14.64)
' дХГ’т, \ / dV‘Tfl \ „ _2п
® s = —- = 2рйХг kn2п,
\ дХ0 /о \ dXs /О Г и ..
где с учетом (14.58)
k'o = (k-s)o ~ (^е)о-
(14.65а)
Далее из соотношения (14.62), полученного из него дифференци-
рованием (14.63), (14.64) находим
(х;)0 = о, (is")o =
(k0)o = 0, (k0)o =
gy ^0 (^0 ^ 0 2,i)
ay \) (3XJ + 2X0 2")
“2 >.20'г+2/.-'г
(14.656)
Возвращаясь к неравенству (14.61), получаем с помощью
выражений (14.51), (14.53) и (14.65)
ф (Ф) = 1
При малых значениях д (q) неравенство (14.61), очевидно, выпол-
няется в окрестности полюса. При возрастании о (q) увеличива-
ется второе слагаемое квадратной скобки. Предельное значение о*,
при котором нарушается неравенство (14.61), находим, приравни-
218
вая нулю квадратную скобку. При этом получаем первое из
уравнений
46*? =
А2" + 2АГ"
А^ + АГ2" ’
(14.66)
4-V" = 4- (e. = 4$L),
определяющих предельное значение ст* (7*), и отвечающее ему
предельное значение кратности удлинений в полюсе А*. Второе
из выписанных уравнений
следует из (14.57).
На рис. 14.8 показаны
подсчитанные по (14.66)
предельные значения ст*
при различных п.
оболочки
зоной
14.10. Раскройная форма
эллиптической
пневматической
с одноосной
Рассмотрим
ческую
оболочку,
эллипти-
пневматическую
содержащую
как двуосную, так и одноосную зону, используя соотношения
из параграфов 14.8 и 14.7. Как уже отмечалось в параграфе
14.8, при у < 1 оболочка целиком находится в двуосном
состоянии. При 7 > 1 только часть эллиптической оболочки,
удовлетворяющая неравенству (14.56), находится в двуосном
состоянии. Для дополнения «выбывающей» ее части необходимо
добавить одноосную зону 14.7.
Рассмотрим условия сопряжения двуосной и одноосной зон,
снабжая величины из двухосной зоны значком <+>, а из одноосной
Имеют место следующие очевидные равенства:
г+^г4 ср+=ф- (^,TS)+=(V17’S)-. (14.67а)
Второе условие обеспечивает плавность сопряжения зон, обу-
словливающую отсутствие в месте сопряжения перерезывающих
сил, уравновесить которые в безмоментном состоянии нечем.
Третье условие при выполнении второго обеспечивает передачу
через линию сопряжения (параллельный круг) вертикальной осе-
вой силы.
Согласно второму из соотношений (13.2) естественное требова-
ние г+ = г~ (обеспечивающее непрерывность раскройной формы)
равносильно равенству AJ = Ад. Третье из условий (14.67а) при
ц+ = р- дает согласно первому соотношению (14.57) AJ = А;,
и с учетом этого по второму из выражений (14.57) (А;17’0)+ =
= (^Т'Т’е)-- Последнее равенство с учетом второго из соотношений
219
(14.54) и второго из выражений (14.50) свидетельствует о том,
что сопряжение двуосной и одноосной зон возможно лишь при
<р = «р* (14.56). При этом условии сопряжения (14.67а) согласно
формулам (14.49), (14.50), (14.53), (14.54) и (14.56) сводятся к ра-
венствам
А /Ьу"1/2 + -
Ь г ' 1 /2
1________/?о
/fry-l/2 + r~2 2 /2 ’
из которых следует R 2 = 0, b = 8у1/2Т?02. Отсюда и из соот-
ношений (14.48)
2/2 /sin ф ’
Г = Яд Sin ф =
ЯоУ-1/4 /--
-^=-/51Пф
Хз= “ "^2/Г" IL 1/sin ф d(p’ (14.676)
_ 9#оУ 1/2 1
0 5 2/Г
АГ'Тд = 0.
Отсюда и из выражений (14.51), (14.56) вытекает, что Я? = ЯГ>
т. е. на линии сопряжения непрерывна и кривизна меридиана.
Далее отсюда и из соотношений (14.54) имеем
(аг'л)" = = А, (ктв)- = (Asre)+ = 0.
Эти соотношения и упругий закон (14.57) дают
Ag" = Ag = А„, Ks~ — As = А„ 2,
Ау2'1^-А"=-^. (14.68)
* *2/2
Далее, подсчитывая с помощью соотношений (14.62), (14.676),
(14.68) и (14.57) величины (А^)*, (Ад)*, находим
' S ( s' 2/2 А2пЧ-2А7п ’
о /у — 1 А« (за; + 4ЛГ2п)
(14.69)
«>+“— F/T-
(Х*)_ = ^/2 1!.“ + 2ХГ" '
А2п + 2А7П
А*+1
Таким образом, непрерывные на линии сопряжения величины As
и Ад имеют там разрывные производные. Из соотношения (13.19)
видно, что разрывность Ад означает излом меридиана на раскрой-
ной форме. На рис. 14.9 показана оболочка вращения, соответ-
ствующая у — 3. Кривой 1 отвечает поверхность двухпараметри-
220
ческого семейства (14.51), кривой 2 — составная оболочка (с дву-
и одноосной зонами), составной оболочке — раскройная форма
(кривая 3). На рис. 14.10 видны выявленные выше разрывы Х^,
Хд на линии сопряжения.
В работах К. М. Кылатчанова (см. сноску на стр. 215) рассмо-
трены и другие вопросы раскроя мягких оболочек: случай h —
=const, связь с оболочками рав-
ного сопротивления и т. п. Сле-
дуя ему, рассмотрим в парагра-
фе 14.11 один из этих вопросов.
14.11. Раскрой двуосной эллиптической оболочки
из плоской мембраны
В параграфах 14.9 и 14.10 считалось, что помимо геометрии
срединной поверхности деформированной оболочки известна и ее
толщина. Рассмотрим задачу раскроя в несколько иной поста-
новке. Будем считать, что надо найти такое распределение тол-
щины недеформированной оболочки, при котором последняя при
заданной нагрузке и условиях закрепления перешла бы в обо-
лочку с требуемой геометрией срединной поверхности.
Для рассматриваемой задачи используем соотношения (14.54),
(14.57):
?_ 1 i-i'r I- 1 — v sin3 qp
\ 2цй /
А 1 гр 2|4-/l / А п А 11 А II \ А 1 гр 2|l/l / А П А Л Л
Д0 ;s==——(As — As Ле J, 1 ——(Ле— Л-s Ле ),
Г dxe е Хе о (14.70)
xtt==cos<p~-vcos<p-
Последнее уравнение получено из соотношений (13.19) и (13.2).
В принятой постановке можно произвольно фиксировать <р=
— <f(s), принимая тем самым желаемую раскройную форму.
221
Наиболее интересным является случай <р = 0 — плоская раскрой-
ная форма. Рассматривая в дальнейшем именно ее и исключая из
системы уравнений (14.70) величины Ts, Т(), о, приходим к раз-
решающей системе уравнений
— К + (tf — V”7e~") у sin2 <р = 0,
Г dXg Ла
^cosq,-^-.
(14.71)
из которой определяются главные кратности удлинений, а значит,
и (плоская) раскройная форма. Приравнивая первое и третье из
уравнений (14.70), получаем, используя (13.33), выражение для
толщины раскройной пластины:
1 = gRyti_____________ЛДе____________
4ц (к»-(1 +п!п2ф)Ь2 •
Систему уравнений (14.71) нетрудно преобразовать
(14.72)
к виду
COS ф — х
Лдг + >/"л9п—4Л0У Sin2(p (1 — у sin2 ср) 1/П
2Лд (1 — у sin2 ср)
?>е" + /?49" — 4*0V sin2 <р (1 - у sin2 <р)
2 (1 — у sin2 ф)
(14.73)
Знак + перед корнем выбран по условию, что в полюсе оболочки
(при ф = 0) (Х4)о = (Х0)о = Хо.
Таким образом, сформулированная задача раскроя эллипти-
ческой оболочки вращения из плоской мембраны в случае отсут-
ствия одноосных зон сводится к решению задачи Коши [см.
(14.73)]:
/ (^е, $)> А.0 (s0) = А.о. (14.74)
К. М. Кылатчанов показал, что для эллиптической оболочки
с у < 0,5 задача Коши (14.74) имеет единственное решение.
В частном случае, когда деформированная оболочка является
сферой (у = 0), имеем из первого соотношения (14.73) и (14.72)
*s = *8 = *. Л = С, cos2(?/2), =
В частности, для сферы, заделанной по краю (ф = ф #= л/2),
1 = [cos (ф/2)/соэ (ф/2) ]2.
В общем случае задача Коши (14.74) решалась методом Рунге—
Кутта четвертого порядка. В качестве примера были проведены
расчеты оболочек, у которых в полюсе (Х5)о — (А.э)0 = %0 = 3.
222
На рис. 14.11, а показано распределение h (<р) (при фиксирован-
ных q!\i и /?0) вдоль меридиана при различных п и у, а на
рис. 14.11, б — отвечающее ему распределение кратностей удли-
14.12. Прямоугольная мембрана
В декартовых координатах рассмотрим нагруженную нормаль-
ным давлением q шарнирно-опертую прямоугольную мембрану
(рис. 14.12). Для достоверности решения этой задачи были ис-
пользованы два подхода. Первый, разработанный С. А. Кабри-
цем, состоял в использовании изложенного в параграфе 14.2
вариационного подхода. Применительно к рассматриваемой задаче
вариационное уравнение Лагранжа (14.12) принимает вид
(а, р - 1,2, у = 1, 2, 3).
223
Здесь для несжимаемого материала
(<!>»-
7-!!=2Л[ф»+(Ф^-0-2фу 0„],
Т~= -2Л[(Ф”-а-’ф^)^].
Л = 6Z11 -|- «22, В = ац(?22 — #12,
Ф°А = дФ°/дА, Ф°в = дФ°/дВ, Ф% - дФ%4
дХу дх^ дх2 дхз дх3 дх2
d-з — , Ui =----------------------—:— -- —,
1J О О ' • •* о О о о '
dxi dXj dxt дх2 дхг дх2
_ дх3 дхг дхх дх3 _ dxt дх2 дх2 дхх
О О О О > Из о о о о
дхх дх2 dxi дх3 dxt дх2 dxi дх2
Искомые декартовы координаты точек деформированной сре-
динной поверхности задаются выражениями (k = 1, 2, 3)
= Wft. Л>),
i=i /=1
где ckij — искомые константы, а х\' = sin[2nixi/a] cos [л (2/ — 1)Х
ХХг.Ф], xtf = cos [л (2i — 1)х\!а] sin [2л/х2/&], х‘3‘ = cos [л (2t — 1) X
X X\la\ cos [л (2/ — 1) х2/Ь]— координатные функции, удовлетво-
ряющие условиям шарнирного опирания. Подробно была рас-
смотрена квадратная пластина (а=Ь).
При проведении расчета было при-
нято N{ = N\ = TV'2 = N22 = N* =
= IVg — N. При этом, как показали
результаты расчетов, достаточно
положить N == 3.
Эта же задача была рассмотрена
Е. П. Колпаком методом сеток.
Использовалась консервативная раз-
ностная схема второго порядка ап-
проксимации. Полученная при этом
система нелинейных алгебраических уравнений решалась методом
простой итерации. Отвечающие сеткам 20x20 и 30x30 значения
прогибов и напряжений практически совпали вплоть до проги-
бов порядка длины стороны квадрата.
Решения, полученные двумя описанными методами, практи-
чески совпали. На рис. 14.13 показана зависимость безразмерного
давления от безразмерного прогиба центра мембраны для различ-
ных материалов [значений п в упругом потенциале (5.30)]. На
224
Рис. 14.12
рис. 14.14 дан профиль сечения мембраны х2 = 0, а на рис. 14.15—
xi = х2 (по диагонали) при различных значениях внешнего на-
гружения. На рис. 14.16 представлено распределение напряже-
ний в сечении х2 = 0, а на рис. 14.17 — в сечении х2 = х2. Из
рис. 14.17 следует, что при умеренных нагрузках максимальные
напряжения реализуются на некотором расстоянии от центра
мембраны. С ростом нагрузки местоположение максимальных
напряжений приближается к центру мембраны. Из рис. 14.17
8 Черных к. ф. 225
усматривается наличие одноосных зон (зон сжатия) в углах, не
имеющих в рассматриваемой задаче практического значения. Для
уточнения решения в углах необходим дополнительный анализ.
Зависимость напряжений в центре мембраны от прогиба центра
показана для п = 1, 2 на рис. 14.18.
Глава 16. ТОНКИЕ СТЕРЖНИ
В этой главе изложена общая теория тонких сплошных (кирх-
гофовских) стержней. В основу последней положены модифици-
рованные гипотезы Кирхгофа, аналогичные использованным
Рис. 15.1
в гл. 11 при построении теории обо-
лочек. Полученные соотношения при-
годны для описания больших дефор-
маций. Выведены условия сопряжения
края оболочки с подкрепляющим ее
стержнем.
15.1. Деформация тонкого стержня
Рассмотрим тонкий стержень [см.
(10.8)] сплошного сечения. Пусть
(рис. 15.1)
R (У1, Уг\ «) = г («) + у(к («) + У^2 (s'),
(15.1)
R (yi, У21 S) = г (°$) 4- Л (s) [(#1 + V2X11 (S) yi + Х12 (s) У1У2 +
+ Х/гХ22 (s') У2) в) (s) 4“ (У2 + Х/аР 11 (s) У\ 4- Р12 (s) У\У2 4-
4-V2P22 (S) Z/2) е2 (S)] - (15.2)
радиусы-векторы материальной точки стержня до и после дефор-
мации, ух, у2 — материальные прямоугольные декартовы коорди-
наты на поперечном сечении недеформироварнного стержня, г, г—
радиусы-векторы материальной точки оси стержня, $ — текущая
длина недеформированной оси, ех (s), е2 (s), (s), е2 (s) — коорди-
натные векторы.
Используя формулы (10.3), (10.4), (10.8), (6.5), имеем по (15.1)
о о о О о О О О о о О о
R1 = e1, R2 = е2, R1 = ej + p12y2t, R2 = е2 - р12у^,
Rs = (1 - Р31У1 + РззУз) t - рмУгЪ. + РиУ&ь (15.3)
R3 = (1 4- рзхУх - РгзУз) t
226
Напомним, что здесь
t = dr/ds = et хе2 — (15.4)
единичный вектор касательной коси недеформированного стержня.
Принимая во внимание, что
d __ ds d _____, d
£ ~ ds ~ Sds
(15.5)
где Xs = ds/ds — кратность удлинения оси стержня, находим из
соотношений (15.2), (6.5), (10.3), (10.4) с учетом (10.8)
Ri = X [(1 4- Xngi + Xi2*/2) е1 + (PuX/i + Pi2%) ег].
R2 — [(X12Z/14~ Х22У2) ei 4* (1 4- P12Z/14- Р22У2) ег)> (15.6)
R3 = Ks [(1 — ^рз1У14- ^р^зУз) 14- (— fy>12y2 4*
4" Xs У\) в] 4- (Xpi2^i 4“ Xs *Х У2) ег]>
R1 = X 1 [(Я,р12^2 — *Х У\) t 4~ (1 — Xiif/i — %12#г) ei —
(X12Z/14~ Х22У2) е2]>
r2 = х 1 [ — (хр12//14* xs *х Уз) t — (рп//14~ Р12Х/2) ei 4-
4- (1 — Р12У1 — Р22У2) 62] >
R3 = Xs 1 [1 4" ХрзхУх — крззУг] t.
Отсюда и из (15.3), (6.9) получаем
gll = g11 = §22 gM = 1. gl2 = g12 = 0,
g13 = - gl3 = Р12У2, §23 =-g23= Р12У1,
§33 — 1 — %рз1У1 4- 2p23f/2> §33 = 1 4“ ^Рз1У1 — 2ргзУ2>
gu = № (1 4- 2xnZ/i 4~ 2X12^2), §22 — X2 (1 4~ 2pi2«/i 4- 2p22f/2)>
gi2 ~ ((Xi2 4~ Ph) У1 4~ (X22 4~ P12) У2
£13 = (—• ^P12^2 4- #1)> g23 = (^Pl2f/1 4“ У2),
g33= (1 — 2%P31^1 + ^Р2зУг)>
gii = X'2 (1 — 2xuz/i — 2%12y2), §22 = X"2 (1 — 2p12yt — 2p22y2),
g12 = — h-2 [(X12 4- Ph) У1 + (X22 + Pi2) Z/2L (15.7)
S’13 = %s1 (%pi2f/2 — У1), = — As *A 1 (Xpi2f/i 4~ f/г)»
g33 = Xs 2 (1 4* 2Xpi3g] — 2%р2з^г).
8*
227
Подставляя данные выражения (в (6.65), приходим к следу-
ющим значениям для главных инвариантов тензора деформации
Коши:
1с = 1° ~г 2Х2 [(хи + P12) У\ + (xi2 4~ P22) Уг] + 2ХД (— Х2Я1 4~
4* Xjg2) — 2A,pi2 (Хх< -J- XsPiz) (У1 -ф #2); (15.8а)
Пс/Шс = — 2Х 2 ((%]] 4- р12) yt 4- (Х12 P22) У2] +
4~ 2XS X (x2gi — xig2) — 2XS X Р12 (^Х/ -j- Xspi2) (У1 “р Уз); (15.86)
Шс = 111° {1-|-2 (хп 4- pi2 — X%s *x2) У\ 4- 2 (х 12 4~ P22 +
4-Us‘xi) t/2}, (15.8в)
где
1° = 2Х2 + Х2; П^ = 2Х2Х24-Х4; Illg = ХЧ2; (15.9)
X/ = (^12 — '^12); Х2 = (Рз1 — ‘р31);
Х1 = Я-s (р23 — 'р2з)- (15.10)
Нетрудно проверить, что принятие вместо (15.7) приближен-
ных выражений
о о о о о о о о
Ян =Яи = Я22 = g22 = Язз = Я33 = 1 > Я12 = Я12 = 0>
Я13 = - Я13 = Р1202- Я23 = ~ Я23 = РиУ1>
Яи = *2 (1 + 2Хн«/1 + 2xia«/2), Я22 = (1 + 2р1аг/х 4- 2р22у2),
Я12 = № [(Х12 + Р11) У1 + (%22 + P12) »21, Я13 = —№ЩУ2,
Я23 = k2Xtyi, Язз — (1 — 2'кХзХИ2у\ 4* 2XXs'xi^2), (15.11)
Я11 = Г2 (1 — 2%!!#! — 2х12(/2), g22 = Г2 (1 — 2р12г/! — 2р22г/2),
Я*2 = — 2 [(Х12 4- Ри) У\ + (%22 4“ P12) У2], я'3 = ^s2X/Z/2,
Я23 = ~ ^s2X/gi, Я33 — ^«2 (1 4“ 2A.XS 1 x2gi — 2XXS 'х 1 z/2)
приводит к выпадению в (15.8) лишь малых [в силу (10.8)] под-
черкнутых членов. Таким образом, принятие приближенных вы-
ражений (15.11) практически не меняет главные инварианты,
а значит, и энергию деформации стержня. Это и оправдывает
использование в дальнейшем выражений (15.11).
Из (15.8в) и (15.9) следует, что условие несжимаемости мате-
риала 1ПС = 1 приводит к соотношениям
Х = Х,1/2, Хи 4“ Pis = ХЛ/хг, Х12 4~ Раз = —XXs’xj. (15.12)
228
Соотношения (15.1)—(15.2) представляют собой математиче-
скую запись обобщенной геометрической гипотезы Кирхгофа (ги-
потезы плоских сечении). Принятое обобщение позволяет учесть
деформационное изменение размеров поперечного сечения стержня
как вследствие его равномерного растяжения (X), так и изгиба
(Хм> РлО- При этом, как и в изложенной в гл. 11 теории оболочек,
введение указанных параметров не увеличивает порядка разре-
шающей системы дифференциальных уравнений.
15.2. Закон упругости -
Для сжимаемого материала примем в соответствии с (10.8)
следующие представления:
gki = gki -{- gkVyi + gkt}y2;
Jak‘ = (Jakl)W + (jCTw)(D У1 + (JCT^)(2) y2- (15.13)
= ф°; л- ф°;, (g$yx + g$y2) (k, I, p, v = 1, 2, 3),
где
цлО _ дФ | . _0 _ д2Ф | ,]r- ...
k! dght |y,=o ’ kl’sp dghidgsp |y,=o‘ )
4*2=0 y2=o
Подстановка выражений (15.13) в упругий закон (6.62) дает
(уст«)(о) = 2Ф°;, (15.15а)
^)(1) = 2фо, (15.156)
(/Gft/)(2) = 2ф0й; ^(2). (15.15в)
Отсюда и из (15.11) находим
= 4 (%2 [Ф°/, 11%11 Д- Ф°Ь1, 22Р12 +
+ Х/г (Ф&1. 12 + 21) (Х12 + Рп)] ~Г Х/г (Фй/, 23 "Ь Ф°/, зг) —
- Ф°к1. ззАДх2}, (15.16)
(joftZ)<2) = 4 {%2 [Ф°/, 11X12 4- Ф°ь1, 22Р22 +
+ V2 (Фй/, 12 + Ф°к1, 21) (Х22 4- P12)] — % (Фй1, 13 4-
+ Ф/г1, 31)^< X/ -|- Фй/, 33^s^Xi}.
Примем статическую гипотезу Кирхгофа, согласно которой О(Ц),
0(22), 0(12) < о(з3), т. е. напряжения на продольных (параллель-
ных оси) сечениях стержня значительно меньше нормального
напряжения на поперечном сечении. При нашем подходе гипотеза
сводится к девяти приближенным равенствам:
(Jo'/)(0) = 0, (Уст'/)<1> = 0, (Jct'/)<2) = 0 (i, j = 1, 2). (15.17)
229
Первые три согласно (15.15а) записываются в виде
ф°, = о, ф£2 = О, Ф?2 = 0.
С учетом (15.14) и (15.11) усматривается, что последнее равенство
удовлетворяется тождественно, а второе совпадает с первым.
Таким образом, существенным является лишь одно равенство,
определяющее X:
Ф?!=0. (15.18)
С учетом выражений (15.16) оставшиеся в (15.17) шесть урав-
нений дают
Xi 1 = Pi2 = — Х22 = [Ф?1, зз/(Ф?1, п + Ф?1,22)] «2,
Р11 = — Х12 = — р22 = XSX 1 [Ф11, Зз/(Ф?1, 11 + Ф°1, 22)] «1-
Отсюда и из (15.11) следует, в частности, что
Я12 = 0, g12 = 0.
Таким образом, материальные координаты на деформированном
поперечном сечении ортогональны везде, а не только на оси, как
предполагалось вначале.
Используя оставшиеся в (15.15) и (15.16) соотношения, нахо-
дим с учетом (15.14)
(7о33)(0) = 2Ф°3, (7ст13)(0) = (Jo23)(0) = 0,
(Jo33)(1) = 4U[2^^r<-----------------Фзз.зз]*2’
L ^ll. 11 ’И1. 22 J
_ 4XSX Г2 -ф0-(Ф-^----------Фзз.зз] «ь (15.20)
L ^11. 11 I ^111 22 J
(JCT13)(1) = 0, (Jo»3)(2) = _ 2Х2Ф°3 31MZ,
(JCT23)(1) = 2Х2Ф°3> 31x/( (Jct23)(2) = 0.
Перейдем в полученных соотношениях к упругому потен-
циалу, рассматриваемому как функция от % и Xs. Прежде всего
из (6.65), (15.11) и (15.14) находим, выписывая лишь отличные
от нуля производные,
Ф?1 = Ф22 = Ф° + (X2 + X2) Ф?1 + Х2Х2Ф1п,
ф°3 = ф? + 2Х2Ф?1 + Х4Ф°ц (Ф?Л kl = Ф°й/, г/),
Ф?1, ц = Ф22,22 = Ф?, 1 4" 2 (X 4" Xs) Ф?, и 2Х Х5Ф?, hi “Ь
-j- (X2 + X2)2 Фи. и + 2Х2Х2 (X2 X2) Ф°1, ш 4- Х^Фщ. in,
Ф11,22 = Ф11,11 Н-Ф11 Н-Х2Ф]ц, (15.21)
230
Ф?1, 33 = ®22, 33 = ®1, 1 + (ЗХ2 X2) Ф1, п f- X2 (х2 X2) Ф1, 111 4'
+ 2X2(V -h X2) Ф?1. ц-1-
Ч~ (3XS И- ) Фп, in Ч~ А. А.5Ф1п, in -j- Фи -j- л Фш>
Фзз, зз = Ф1,1 Н~ 4Л Ф1, п -j- 2Х Ф1, in -|-
4%4Ф11, и 4Х6Фп, in Х8Ф1ц, in,
Ф12, 12 = — (ф?1 + ^Ф?п), Ф13, 13 = Ф°3, 23 = — (ф?1 ^2Ф111),
где
31с
О _ 32Ф°
11 — aigaug ’ •
(15.22)
Из (15.9) следует
d^=1 а11с =2V ашс =V
ах2 ’ дд.2 ’ дц
(15.23)
д}с =2
ах2
^- = 2(v+a
aiug
~д№~
= 2П,|.
Из соотношений (15.21)—(15.23) находим
Ф°!=^Ф°х2, Ф:з = <К2. Ф?1,11 + Фи,22 = 1/2Ф^2, (15.24)
фзз, 33 = <%- фп, 33 = 1/2фх2М- Ф?3,31 = К2 - ’АФх2) I(bs -
где
фо ____ дФ'1 ф0 _______ а2Ф° Л 5 251
фь2-“ар-’ • • • ’ - ~дцдм ’ • • • <15-25)
Теперь зависимости (15.20) для сжимаемого материала записы-
ваются так:
(Уст33)40’ = 2Ф°2, (Jct,3)10) = (Jct23)<0) --= О,
(Уст33)(1)/х2 = - (Ja33)(2)/X! = 4XsX | KV|2 /Ф“Ч2 - Ф°2?Д
(JCT13)(1) = (JCT23)(2) = 0> (1526)
_ (jg13)<2> = (Ja23)(1) = %2 [2Ф°2 - Ф°2) xz^%2 - %2),
a (15.18) в виде
Ф^ = 0. (15.27)
231
Для стандартного материала второго порядка согласно (3.44),
(3.35) и (15.9)
ф" = (2V+« - 3>‘+
+ 2(2%2 + %i-3)-(2X2%l + X4-3) ] . (15.28)
Отсюда и из (15.26), (15.27) находим
V _ 1 = _ v (^ _ 1), (15.29)
Jcr = Е [х/г (^s — 1) Ь (~• ^21/1 + М1У2)],
J°"=- 2(|£+v) •'°”= 2(l£+v)
Рассмотрим несжимаемый материал, добавляя к представле-
ниям (15.13) следующие:
pqkl = (pqkl)(V + (pqklyv> yi + (pqkl)™ y2,
p = p(o) + ра)У1 + pMy2 (k, 1=1,2, 3).
Из них прежде всего вытекает
(„Лихт „Wja (1
(РЯ ) = P \pq ) = P ’q(i} + /г ’9(0)
(£ = 1,2). (15.30)
Как было установлено в параграфе 6.4, при переходе к несжи-
маемому материалу можно использовать соответствующие зави-
симости сжимаемого материала, производят в них замены (6.76).
Так, из соотношения (15.15а) получаем с учетом первого из ра-
венств (15.17), (15.7), первого из соотношений (15.12), (15.24),
(15.30)
р<°> = - 2Ф?1Х,Я = - %;'Фк
*?о> = 2Ф12 - ^о3) = <о3) = °- (15.31)
Используя отвечающие k, I = 1, 2 соотношения (15.16), находим
из (15.17), (15.11) и в силу того, что отсутствующие в (15.21)
производные равны нулю, р12 = %п, р22 = %12. При этом из (15.12)
следует
Ь = К'/г, %Ц = Р12 = гАЛ7’/2Х2> %12 = Р22 = — VA7,/s>«i-
Теперь из тех же соотношений
Р11 “ %22 = Vg^s Xj,
- p^/tt2 = р(2)/^ = %;‘/2 - 2Ь*Ф°2Х. + Ф°2].
* А в I 5 Л Л 5 Л Ag 1 Л I
232
Из оставшихся зависимостей (15.16) находим [с учетом все той же
замены (6.76)]
— СГ(?)/Х2 = 0(2)/Х1 =
- 2V - ф;ч +
- 2 [(ф’м - ft - V)-1+
<$, = «&=<>. . (15.32)
Для трехконстантного потенциала (5.29)
Ф’ = (|*/л>) ((1 + ₽) [2 (Х’)’« + «)"'= - 3] +
+ (1 - W [2 (>’)"'’ + W)’”'* - 3]| (15.33)
соотношения (15.31) дают
0^ = (£/3n) V [(1 + р) + (1 - р) v/2] (Is - ХГ/2),
-13 „23 П
0(0) — 0(0) — ">
- 0(1)/н2 = a(2)/xt = (£/3n)%;7/* {(1 + р) [s/2nV/2 + (15.34)
+ (n - 2) - V/2)] + (1 - р) [%n^/2 -
-(2 + н)%Г/2(1?- V/2)]}.
Нетрудно проверить, что подчеркнутые члены вносят для тонкого
стержня значительно меньший вклад, чем аналогичные члены,
входящие в (15.34). Опуская их, получаем
- о^/х2 = = 1/2£Х;’/’ [(1 + р) v/2 + (1 - Р) Л?/2]. (15.35)
Наконец, из оставшихся в (15.32) соотношений находим
Л~3
— 0(2) = 0(1) = Х| —X;’ [(1 + Р) + (1 ~ Р) ^s”/2] (^s — ks"/2) X/,
0(1) = 0(2) = 0. (15.36)
Для неогуковского материала (п = 2, р = 1, ц = 1!^Е)
033 = Е [Vs (1 - V) + I?’72 (~ Х2!/! + Х,02)],
о13 = - 1/з£Л!/2, 023 = 1/зДЛ^1. (15.37)
15.3. Силы и моменты. Уравнения движения
Действующим в поперечном сечении стержня напряжениям
отвечают главный вектор и главный момент (рис. 15.2)
F=Json;dS, М = Js(R-r)X0ndS. (15.38)
233
Согласно соотношениям (2.36), (2.37), (6.55), (15.3) и (15.6)
оп dS = t • [RaRe/o“3 + R3ReJa3₽ + RaR3^“3 + R9R3/a33l dS =
~ (1 — PsiPi ~l~ Р23У2) {^7a31 [1 -|~ Х11У1 4~ Х12У2) ei 4“ (Puj/i 4~ Р12#2)ег]~Ь
+ °32 l(Xi2*/i Х22У2) e2 + (1 + Р12У1 ~Ь Р22У2) ег1 +
+ Xs J a33 [(1 — A,p3ij/i ЛР23//2) t + (— A,pi2//2 4~ j/i) ei +
~b (^Pi2j/i 4- VX yi) ©2} dyi dyz. (15.39)
A no (15.2)
R — г = X [(l/i 4- УгХиУ! + Х12У1У2 4~ УгХггУг) ei 4~
+ G2 4" УгРпУ? ~H P12Z/1Z/2 ~ h УгРггУг) во]. (15.40)
Будем считать, что координатные оси поперечного сечения
являются центральными главными, так что
[oi/idS= [о i/2 dS — 0, Joi/jJ/adS == О,
V о V О * О
(15.41)
JodS = S, Jo^dS=f2> = f!t
где S — площадь, a Ix, I2 — главные моменты инерции недефор-
мированного поперечного сечения.
Для получения возможно более простой связи между усилиями-
моментами и компонентами деформации оси стержня опустим
в (15.39) и (15.40) подчеркнутые члены, малые для тонкого стержня.
Подставляя упрощенные выражения в (15.38), получаем с учетом
(15.13) и (15.41)
Ft = SXs (Jo33)»0», Mt = X2 [/2 (Ja23)<” - Zi (Za13)<2)],
Mj, = hMs(Ja33)^», = - f2XX,(Jo33)P). (15.42)
234
Выписанные величины являются компонентами векторов сил и
моментов
F = F& + F2e2 + Ftt, М = Ma -j- M2e2 + Mtt. (15.43)
Входящие сюда перерезывающие силы и F2 непосредственно с де-
формацией стержня не связаны и являются чисто силовыми (ста-
тическими) величинами. Объясняется это тем, что отвечающие им
81 32
напряжения ст(0), а(0) в силу наложенных геометрической гипо-
тезой Кирхгофа внутренних связей (сохранение прямых углов
на оси стержня) определяются с точностью до произвольных
функций (см. параграф 3.3).
Рассмотрим условия равновесия части деформированного
стержня, ограниченного смежными сечениями s и s + ds. Из
рис. 15.3 следует, что на выделенную часть действует сила
(F + -^ds) - F = -%-ds.
\ ' ds / ds
Сюда надо добавить вектор внешних сил
Ч ds = + g2e2 + qtt) ds.
Приравнивая нулю сумму этих сил, приходим к условию равен-
ства нулю главного вектора всех сил, действующих на выделен-
ный элемент стержня:
4F ! л
——и q = °-
ds '
Аналогично подсчитывается главный момент (относительно точки О
на рис. 15.3) сил и моментов:
-^-ds-i-tdsxF.
as 1
Добавляя сюда вектор момента внешних сил
m ds = (/вд + т2е2 ф- mtf) ds
и приравнивая нулю сумму, приходим к условию равенства
нулю главного момента всех сил и моментов:
4г + t X F + гл = 0.
Используя в дальнейшем обозначения ' = d/ds, запишем век-
торные уравнения движения (равновесия) в виде
F' + q-O, M' + txF + m = 0. (15.44)
Используя же формулы (15.43) и (10.3), получаем отсюда систему
скалярных уравнений движения (равновесия)
F\ — puFz + psiFt + qi = 0,
F’z + P12F1 — P23Ft -)- q2 = 0,
Ft — Ps\F\ + p^F2 + qt = 0, (15.45)
235
м; — Р12М2 + PaiMt — F2 + mi = О,
Л4г 4~ Р12Л11 — p2aMt Fj + m2 = 0,
M’t — p3iMi + P23M2 + mt = 0.
Нетрудно видеть, что силы инерции представляются векторами
С = d/dt)
q = _ JsPR"dS, m = - Jsp(R-r)xR"dS. (15.46)
Используя же соотношения (15.42), (15.13) и принимая, с учетом
(15.8) и (15.9), для кратности изменения объема упрощенное
выражение J ж получаем для основного напря-
жения
^*0(33) = Х%о33 = ’ /----^Ух + 41^2\ . (15.47)
SK \ 12 )
15.4. Край оболочки, подкрепленный стержнем
Рассмотрим край оболочки, подкрепленный тонким стержнем.
Для простоты считаем, что граничный контур срединной поверх-
Рис. 15.4
ности можно отождествить
с осью стержня (рис. 15.4).
Из рисунка следует
ег = n cos ф — v sin ф,
е2 = n sin ф + v cos ф,
(15.48)
00 000
ej = n cos ф — v sin ip,
О О О О о
еа = и sin х|) + v cos ф.
Введем тензор
Q = efe! + е2е2 + tt, (15.49)
связанный с осью стержня и обладающий очевидными свойствами
Q-e1 = e1, Q«e2 = e2, Q-t = t. (15.50)
Тензор Q переводит орты en е2, t в орты ех, е2, t и, стало быть,
является ортогональным (см. параграф 1.4). Его уместно назы-
вать тензором поворота поперечного сечения стержня (точнее, его
части, примыкающей к оси). Из (15.49) следует также
erQ = е1; ea-Q = е2, t-Q = t. (15.51)
Тензор изменения кривизны оси стержня вводим соотношением
K = dQ/ds. (15.52)
236
Дифференцируя по дуге выражение (15.49), находим с учетом
того, что d/ds = (ds/ds)d/ds = X^d/ds, и соотношений (10.3), (15.10),
(15.50) и (15.51)
К = - [Х12 + (Г1 - х;1) Pi2](eie2 - e2ei) -
— [xi + (X 1 — Xs’) p23](ejt — 1ег) — [хг + (^ 1 — ^s') P3i] (tej — ejt).
(15.53)
Используя теперь то важное обстоятельство, что стержень де-
формируется совместно с подкрепляемым им краем оболочки,
из (15.48) и (15.49) находим
Q = cos (ф — ф) (пп + vv) + sin (ф — ф) (nv — vn) + tt.
Будем считать ф = ф, т. е. в процессе деформации положение
главных осей стержня относительно края оболочки не меняется.
Тогда из выписанного равенства и из (11.15) следует
Q = Qt.
Поскольку ds = dst, отсюда и из (11.18), (15.52) имеем
К = Kt-
Очевидно также
= Xt. (15.54)
Далее, подставляя выражения (15.48) в (15.53) и сравнивая
полученное соотношение с (11.21), находим
Х12 = X/v + *) Р12,
X] = — cosipx/„ — 81пфхн + (Xj1 — X-1) р23, (15.55)
х2 — — sin фх/п — cos фх» + (К?1 — V1) рз1-
Обозначим через Fc и Мс главный вектор и главный момент
(подсчитываем относительно точки пересечения поперечного сече-
ния с осью) напряжений в сечении стержня. Согласно соотно-
шениям (15.44) (где индекс с не использовался)
-?- + ч = 0’ Т + tx Fc + m = 0. (15.56)
Здесь с учетом соотношения (11.46) и третьего закона Ньютона
q = — Qv + qH, m = — Mvvt + mH.
При этом величины — Qv, —A4wt отвечают контактным воздей-
ствиям края оболочки на стержень, a qH, шн — внешним воздей-
ствиям, приложенным непосредственно к стержню.
237
Интегрируя уравнения (15.56) по дуге оси стержня (отожде-
ствляемой с граничным контуром срединной поверхности обо-
лочки), находим
Fc = Fq + F — FH, Ме = Mg + М - Мн.
Здесь
F = J*o dvds', М = j^(Mvvt' + Fxt')ds',
FH = qHds', MH = (mH 4- FHx t')ds', (15.57)
a Fjj, Mfj — значения главного вектора и главного момента
в точке контура s = s0.
Величины
Ft = t-Fc = t-(Fg + F - F”), Mt = t-Mc = t(MS + M - M”),
Mi = e! • Mc = e, • (MS + M - M”), M2 = e2- Mc = e2 • (MS + M — MH)
представляют собой осевую силу и компоненты момента, отвеча-
ющие внутренним напряжениям в стержне. Подставляя в послед-
ние соотношения выражения (15.57), какой-либо из вариантов
(15.42), (15.26)—(15.29), (15.31), (15.32), (15.34)—(15.37) закона
упругости, а также (15.54)—(15.55), получаем связь между крае-
выми усилиями — моментом и компонентами деформации края
оболочки. При этом в получаемых описанным способом соотно-
шениях подкрепляющий край оболочки стержень представлен
лишь своими жесткостными характеристиками.
Так, для стандартного материала второго порядка [см. (15.42)
и (15.29)]
1/2ESKt (X? - 1) = t-(Fg + F - FH),
e (ij + i2) tav + U71 - V1) p12] = -1 - (MS + м - mh),
E1°iX2X?[—cos^xM + sin^xz? Ц- (X;1 — X"’)p23] = er(MS -j-M — Мн),
Е12Х2Х?[— 51пфх/„ — совфх» ф- (XJ1 - X~‘)p3i] = e2-(MS + М—Мн).
15.5. Малое удлинение оси. Нерастяжимая ось
В приложениях обычно используются жесткие стержни, крат-
ность удлинения оси которых мало отличается от 1. Для них
в полученных выше соотношениях следует положить
X, = Xs = J = 1, X*—l=fos (es<l), (15.58)
где еа = X,s — 1 = (ds — ds)/ds — относительное удлинение оси
стержня.
238
При этом согласно (15.42), (15.29)
Ff = ESea, Mi = El,'^, M2 = EI2x2, Mt = g q _|_ (h -|~ M xi2,
(15.59)
a no (15.10)
° о о
= Ргз — Pz3> X2 — Рз1 -- Р31> Х12 — Рк2 - Р12-
Соотношения (15.44)—(15.46) не меняются, а (15.47) с учетом
(15.58) и (15.59) принимают вид
офзз) = — ~^-Ук~}- У2 = Е (es ~ к2уг + К1у2}. (15.60)
S 18 11
В силу малости е3 условия (15.54), (15.55) записываются с учетом
равенств (15.58) и - 1 ф 8S, es ф 1 в виде
es = — 1, %i = — cos фх(Л -ф- sin
«12 = X(v> «2 = — sin фх(п — cos фх(/.
В гибких стержнях изгибная деформация обычно значительно
превышает осевую. Поэтому часто пренебрегают es, считая тем
самым (см. параграф 3.3) Ft силовой (статической) величиной,
определяемой из уравнений движения. При этом в соотношениях
(15.60) изымаются первые члены, а в (15.59) — первая зависимость.
15.6. Определяющие углы
Пусть
г (s) = Хг (s) gj ф- х2 (s) g2 + х3 (s) g3, (15.61)
где xt, gk — пространственные прямоугольные декартовы ко-
ординаты и отвечающие им (постоянные) орты. Из (15.61) следует
(' = dlds)
t = dr Ids = x{g! + x'2g2 + *збз- (15.62)
Введем в рассмотрение углы, определяющие положение мате-
риальных осей. Из рис. 15.5 усматриваем
t = sin у (cos ag! -ф- sin ag2) -ф- cos yg3.
Сопоставление полученного выражения с (15.62) дает
xi = sin у cos а, х2 = sin у sin а, Хз = созу. (15.63)
К единичному вектору t присоединим еще два (к и 1 на рис. 15.6,
15.7):
t = sin у (cos agT -ф- sin ag2) -ф- cos yg3,
к = — sin ag! + cos ag2, (15.64)
1 = — cos у (cos agx + sin ag2) + sin yg3.
239
Нетрудно проверить, что введенные векторы — орты и
1 = t X k, k gs = 0.
Из рис. 15.7 усматриваются для ортов е1( е2 следующие вы-
ражения:
ег = cos <рк + sin <pl, е2 = — sin фк + cos <pl;
1 , t , 1 - (15.65)
к = cos <рет — sin сред, I = sin фет 4- coscpe2.
Отсюда и из (15.64) находим
er gj = — cos ф sin а — sin <р cos у cos а,
ei • ёг = cos ф cos а — sin ф cos у sin а,
e2-g2 = sin ф sin а — cos ф cos у cos a, ...
6 (15.66)
e2 • g2 = — sin <p cos а — cos <p cos у sin a,
t • gi = sin у cos a, t-ga = sin у sin a,
егёз = sin <p sin y, e2>gs = cos ф sin y, t-g3 = cosy.
Дифференцируя по дуге эти выражения и используя очевидные
формулы
^•es = -i^-(es-gv)(?=l. 2,3),
получаем из (10.3) (' = d/ds = X;1 d/ds)
р2з = sin ф sin ya' 4- cos фу', К~гр2> = sin ф sin ya' 4- cos фу',
Psi = соэф sin ya' — sin фу', X-1p31 = cos ф sin ya'— sin фу', (15.67)
о О О e
р12 = COS ya' 4- ф\ X-1p12 = cos ya' 4- ф'-
Проекции векторных уравнений движения (15.44) на про-
странственные декартовы оси приводят к следующим уравне-
ниям движения:
РXi + Ях1 = 0, MXi Ц- (t • gz) FXt — (t • g3) FXl 4- mXl ~
Fx,-\~4xt = ®> Mxt + (t’ g3) FXl— (t-gi) Fx, mXt — 0; (15.68)
+ Ях, — MXt (t • gi) FXt — (t • gz) FXl 4- mXi — 0.
240
Здесь согласно (15.43)
fl Fa Ft
мХ{ M2 Mt
(el’gi) + (e2'gi) + (t-gi)
~ (h Qz 4t
my m2
(z = 1, 2, 3). (15.69)
15.7. Комплексная форма записи -
Получим широко используемую в теории стержней комплекс-
ную форму записи основных соотношений. Прежде всего из
(15.68), (15.69) и (15.66) находим комплексные уравнения движения
(F xt + iF х2)' + (qX1 + iqxJ = О,
Fx, + qx. = О,
(MXt + iMx,)' + i cos у (FXl 4- iFx,) —
— i sin ye‘aFx3 + (tnXl + imX2) = 0,
Mx, + у i sin у [e‘'“ (FXt + iFX1) - e~ia (FX1 + Fx>)] + тХз = 0,
где
FXi + iFX2
i/И_г2
. 1 + COS V
t —Lel<₽
Fi ~У iF2
Ml -I- iM2 +
1—cosy .... Fy + iF. . Ft
---—Le~ »<p 4-sin у ,
2 My + zM2J Mt
X»
Mx>
= sin у
_ez<₽ fl + ,'f2l+cosv Ft .
My + iM2 My 4- zM2J Mt
Далее по формулам (15.42), (15.26), (15.29), (15.31), (15.32),
(15.34)—(15.37)
A4j iM2 = [(IT 12) (Xt + ix2) -7- (Ii I2) (xi + *и2)]
Mt = (Ix -f- Ia) Bnt.
При этом для сжимаемого материала
А = 2X4s (Ф°2Х2 — Ф°2Х21 Ф^г),
В = 2X4Xs (Xs2 - X2)-1 ( Ф°2 — -J- ’
F. = 2S1 Ф%
* s
241
(Xs определяется из урвнения Ф>4 = 0). В частности, для стандарт-
ного материала второго порядка
А = 4- В = (Е/2 (1 + v)) ,
Ft = -A- ESks (X2 - 1) (X2 = 1 - v (М - 1)).
Для несжимаемого материала
А = 4" V4(D°v + 2Чф°м - + -г Ч Зф°2’
в = 2V1 (х2 - X2)-1 (ф°2 - 4- Ф»2) 4- х;3Ф’2)
Ff = 23 (ф°2-4-Х;3Ф°2).
В частности, для трехконстантного потенциала [(15.33) при
Н = £73]
А = 4-Е^2 К1 + Р) Vn/2 4- (1 — Р)
Г, 1—3/гп__ п/2\
B = i ’ С,-. » + (' - ₽>
^5 ^8
Ft = зхг* (К - V/2) [(I + ₽) (1 - Р) V/2]-
При этом согласно (15.10) и (15.67)
%! + *х2 = (i sin ya' 4- у ) е1<? — К-1 (i sin ya 4- У ) e~t<p,
Х( = (cos ya' 4- ф') — X-1 (cos ya 4- ф')-
Линеаризуем полученные зависимости. Считая ось нерастя-
жимой, имеем
s яг s, к яг ks яг 1.
Из малости угла у следует с учетом выражений (15.63)
cos у яг 1, sin yeia яг (xx ix2)', (isinya' }-y')eia = 1хг)".
Принимая во внимание эти зависимости, находим из полученных
выше соотношений для стандартного материала второго порядка
(при fх = f2 = I, а = у = ф = 0)
(Fxt 4~ iFx2) 4- (qXl 4- iqx,,) — 0>
Fx, 4- Qx, = 0,
(Mx, + + i (FXl + iFXt) -
— i (Xi 4- ix2)' Fx, 4- (/и*, 4- imXt) = 0,
242
М'х. 4 -J- [4i 4 ix2y (FXt 4 iFXt) —
— (*i 4 1x2)' (FXl + IFX,)] + mx, = 0,
MXt 4 iMx, = iEI (xj 4 ix2)",
MXt = -r^—
1 + V 1
Здесь со/ « (a + <p)' — крутка стержня, т. e. скорость закручи*
вания стержня при продвижении вдоль его оси.-Это следует из
предпоследней группы соотношений в параграфе 15.8.
15.8. Энергия деформации.
Вариационное уравнение Лагранжа
Подсчитаем энергию деформации стержня. Используя для
этого соотношение (6.62), имеем
6W = [ 6Ф dV = [ (бяав 4 б£зр + 8ga3 4
J J? \ dgap s“p г dgs|5 S3p г dga3 ааз ~г
Sg33) = Jo° [L (7G“P 8ga&+7g3₽ 6^зр+
4 Ja“3 6ga3 4 Ja33 6g33) di/j dy^ ds.
Из представлений (15.13), статической гипотезы Кирхгофа (15.17)
и зависимостей (15.41), (15.11) находим
6Г = J'’6Ods, (15.70)
где
6Ф = ± (Лт33)<°> б^ + [f2 (Ja23)(I) - f, (JaI3)(2)] б (%Ч) +
4 ft (Ja33)(2) 6 (nsXi) - I2 (Ja33)(1) 6 (Hsx2) «°SXs (Ja33)«>) 6XS 4
4 b2 [I2 (7a23)(I) - I°i (Jal3)<2>] 6x( 4 IjH, (Ja33)<2> 6xj -
- 12HS (Ja33)(I) 6x2.
В проделанных преобразованиях не варьировались подчеркнутые
члены. Можно проследить, что их варьирование добавило бы
малые для тонкого стержня члены [см. (10.8),(15. 10)]. Теперь
с учетом (15.42) находим
6Ф = Ft 6%s 4 6xi + бх2 4 бхе (15.71)
Преобразуем полученное выражение. Так, согласно (15.14),
(15.11), (15.25)
6Ф° = Ф%б%2 4 ф£. 6Х2, (15.72)
лз
243
а по (15.27), (15.42) и первому из выражений (15.26) находим
S5<D° = Ff6V (15.73)
В проделанных выше преобразованиях использовались соотноше-
ния для сжимаемого материала. Но полученные зависимости
справедливы и для несжимаемого материала. Так, из первого
условия несжимаемости (15.12)
-4-v3m2. (15.74)
Используя выражения (15.74), (15.72), (15.42), (15.31), опять-таки
приходим к соотношению (15.73). Запишем далее
Ali = “ I2F2X2, Mf = (I2 -f- (2) (15.75)
где согласно (15.42), (15.26), (15.29), (15.32), (15.35)—(15.37)
для сжимаемого материала
в, = в,= [ф^ - ««.».]•
В, =>.* (%’ - X’)-' [2®;. - ф’м]. (1576>
в частности, для стандартного материала второго порядка
В1 = в2 = eVx2, Bt = -20T^j- О5-77)
для несжимаемого материала (X2 = X;1)
Bi = В2 = 2XS 2 ^"2"^s 3Фмл.г — Ф°2Л.2 4" 2Х2Ф°2Х2 4_ 4" >
Bt = 2ХГ2 [(Ф°2 - 4 ф°‘) ~ + Т^2ф°*] ; <15-78>
в том числе для трехконстантного потенциала
Bi — В2 = 4" £+~3 [(1+0) ^п/2 + (1 - 0) ьгп/2Ь
~ [(1 + 0) + (1 - 0) V/2L (15.79)
в том числе для неогуковского материала
Bi = В2 = ЕКТ*, Bt = ±- EKT4’ (15.80)
О
Используя соотношения (15.73), (15.75), находим из (15.70),
(15.71)
Ф = ^Ф04-4*(В1И? + В2^4-^х?)- (15-81)
244
Здесь Ф — плотность энергии деформации стержня в расчете на
единицу длины оси недеформированного стержня, 5Ф° =
= 5ф|^1=И1=о—энергия растяжения стержня. Остальные
слагаемые относятся к энергии изгиба стержня. Отметим, что,
строго говоря, соотношения (15.71), (15.81) согласуются лишь при
неварьировании модулей Ви В2, Bt. Варьирование последних,
однако, приводит к появлению малых слагаемых того же порядка,
что и пренебреженные выше члены.
Вариационное уравнение Лагранжа примем в виде
Jo [Ft 4" 4" —
— Gy/ei + <?2Ve2 4-9fVt) • ds = 0, (15.82)
где 7/ = <?i — m2 — pi2ffzi, q% = q? 4- mi — РиРЪ, q^ =q< + Рэзггц +
4" Psim2-
Используя следующие из формул (15.5), (10.3), (15.10) за-
висимости
Zs = T’ = ^- = v'T’ ^ = е‘-бе‘ = 0’
as as as
M = = —, t«8e» = —erfit, erfie2 = — e2-6ex,
de, .
= РиЪ - Pait,
6X1 « 6 (V23) = 6 I — e2 • —
\ ds
de2 ,
= /W — Pwei,
dt _
— P31el — P23e2>
6x2« 6 (Xsp31) = fi (ex • —
\ ds
6x,« 6 (X.sp12) = 6 f e2 • ~-
l ds
преобразуем уравнение (15.82). Так, интегрирование по частям
дает
J1= ^Ftbbads = j'° Ftt-(t6XS + Xs fit)ds = j'c F<t-fi (M) ds =
l°Ftt.^Lds = Ftt-^- p^.fir^ =
0 ds ' Jo £
245
lo Г dMje,
o
ds —
J2 = Г'° Mi fijq ds = — [Z“ Mj6 (e2 • ——ds —
Jo 1 1 Jo Ц d° )
= - PMj fe2- -^-4 4- 6ea\ds = -Mie2-St^ +
•' ° ds ds I
St + M^ (—p31er 4- p23e2) • 6e2
ds
-(—M,e,.»t + -8г)|' + J' [- -Ar+p,,M,«,-««,]<ls.
Аналогично подсчитываем
J3 = lo M26z2ds = (A42er8t — -^rL,8r)^ +
4 J * [ ~Й~ 'Sr + PaM'A 6e2 ] ds,
Ji = MtdKtd°s = [Л4/е2-6е! 4 Mt (p23ei --P3ie2)-Sr] |q 4
i f' \ firj ds
ds
ds
Подставляя полученные выражения в (15.82), находим
— j0 ([— (М2 PiaAfi - Р2зМ() — р\ч (Мj — pi2M2 PstMt) -р
+ P3iFt + <?У] ei • Sr 4- [(Mi — p12M2 4- p3iMt)’ —
— Pi2 (м2 Ц- pi2Mi — P23M/) — PziFt Ц- 92 ]e2‘8r 4
4 + Рз\ (^2 + P12M1 — ргзМ/) 4 P23 (Mi — p12M2 4 Рз1А11) 4
4 7/]t-6r4[M^ — рз1М1+р23М2 + mt} e2-Sei \ds 4
+ [—(4^-pi2M1 + p23^0ei‘Sr4(4jr + Р12М2~р31М^еа-8г +
4 Fft-Sr 4- М(е2-6е! 4 M2ej-St — M^a-St]' == 0. (15.83)
Для того чтобы лучше понять смысл полученного уравнения,
введем вектор смещения
и = г — г.
Отсюда следует (Зг = 0)
6г == би: е1-8г = 8и1, e2-Sr = Su2, t-Sr = 6u(.
246
Далее с помощью соотношений (15.64)—(15.66) находим
ex-6t -= sin у cos ср 6a — sin фбу,
e2-6t = —(sin у sin <p6a + cos фбу), (15.84)
e2-6e! = 6ф 4- cos y6a.
Из рис. 15.5, 15.7 следует, что вектор вариаций поворотов следует
ввести так:
би = 6ag3 + бу gs3. + Sept.
Отсюда и из (15.66)
6®! — боге, = sin у sin фба + cos фбу,
6(o2 = 6o)-e2 — sin у cos фба — sin фбу,
6o)z = 6(o-t = cos уба 4- 6ф.
Сопоставление полученных соотношений с (15.84) дает
e2-6e1 = 6®t, ex-6t = бю2, —e2-6t = 6o)j.
Теперь видно, что левая часть второй формы уравнения Лаг-
ранжа (15.83) представляет собой как бы сумму пар произведений
обобщенных сил на вариации отвечающих им обобщенных сме-
щений. Согласно (15.45) заключенные в простые скобки величины
представляют собой перерезывающие силы.
Из произвольности вариаций под интегралом следуют четыре
уравнения равновесия, получаемые из (15.45) исключением из
них перерезывающих сил. Из произвольности же вариаций на
концах стержня следуют условия свободных концов, являющиеся,
таким образом, естественными для вариационного уравнения.
Нетрудно написать уравнения, дающие ненулевые концевые
условия.
15.9. Плоский изгиб стержня
Рассмотрим изгиб стержня в плоскости его наименьшей же-
сткости. Полагая
а = а = 0, ф = (p = —n/2, (15.85)
имеем согласно (15.66)
ei-gi = cosy, ei’g2 -0, ei-g3 = — sin y,
e2-gi = 0. e2 ' g2 — 1 > e2g3 = 0> (15.86)
t-gi = siny, t-g2 = 0, t-g3 = cos y. 247
Таким образом, ось стержня деформируется в плоскости хгх3
(рис. 15.8) и
ei = cos у gi - sin у g3, t = sin? gi +cosy g3, ea = g2.
Далее no (15.67), (15.10) находим
Рз1 = y'> X-1p31 = *2 = Xs (у — У)'
(Рзз = Pm = Р& = Дм = хх = xf = 0). (15.87)
Вводя обозначения
12 = 1, х, = х, хз = z, FXl = Fx, Fx, = Fz,
МХз = M2 = — М, qXl = qx, qX3 = qz,
находим из (15.86) и (15.69)
Fx = cos yFr + sin yFt,
9X = cos y9i-|-sin У9Ь
Положительные направления
P.~-MyP, + a*yF„
qz = — sin T9! + cosyF(.
усилий и моментов показаны
на рис. 15.8.
Согласно (15.45), (15.69), (15.88) и
(15.87) уравнения движения могут быть
записаны в любой из следующих
форм:
F\ + y'Ft 4- 91 = 0,
Ft - у'Л 4- qt = 0,
М' - Fi = 0;
Fx 4- Ях = 0, Fz qz
М' — cos yFx 4- sin yFz = 0.
Далее из
(15.26), (15.27), (15.29),
(15.89)
(15.90)
соотношений (15.42),
; (15.31),
(15.34)—(15.37), (15.75)—(15.80) имеем: для сжимаемого мате-
риала Ft = (X — определяется из уравнения Ф°2 = 0),
м - 4ЪЛЛ [(Ф°1??)7 Ф°Л2 - Ф^|] (/ - V )•
В частности, для стандартного материала второго порядка
Ft = ~ ESK (X* - 1), Л4 = - (у - у)' (X2 - 1 =-v (X2-1)).
(15.91)
Для несжимаемого материала
Ft = 2SXs (Ф°2 — 4 Л),
Mt =-f [ХГ4Фк« + 4Х^Ф°2Х2 - 2ХГ'Ф°2Х2 - ЗХГ3Ф°м] (у - у)'-
248
В том числе для трехконстантного материала
Ft = (Е/Зп) 5° [(1 + р) + (1 - р) Vn/2] (Ы1 - V (п/2+1))>
м = - 4 Ж“2 [(1 + Р) Vn/2 + (1 - Р) Ь?/2] (у - У)'-
В частности, для неогуковского закона
Ft = 4 Е§ (ls - V2). М = -ElV3 (У - У)'-
Для силы тяжести
qx = 0, qz = — pg-SV1; (15.93)
для сил инерции
qx — —pSXs х , qz = p*^Xs 2 •
Из формул же (15.63), (15.5) имеем
x’=siny, z = cos у, х' =V1siny, г = V1cosy. (15.94)
Если же ввести смещения
w = х — х, и = г — г,
то
w = sin у — ХГ1 sin у, и — cos у — ХГ1 cos у. (15.95)
Из соотношений (15.81) следует выражение для энергии де-
формации стержня
W = j'0[sO° + 4BA2(y'-y)2]ds°. (15.96)
В частности, для стандартного материала второго рода имеем
с учетом (15.77), (15.28), (15.29)
W = J'° {4 ES (Х2 - !)2 + 4 [ 1 - V (X2 - 1)] (у' - у )2} ds.
(15.97)
При малых удлинениях оси
X«l, Xs«l, Xi-l«2es«l, s«s, 1«I (15.98)
и выражения (15.97), (15.91) упрощаются:
w = 4 К+£I - ^)2] ds; (15-99)
Ft = ESes, es = u', M = — El (у — у)'.
249
Если к тому же мал и угол поворота,
sin у х у, cos у « 1—(15.100)
и уравнения (15.90), (15.95) несколько упрощаются:
+ = F; + fc = 0, М' - Fx + yFz = 0;
, о ! о (15.101)
w = у-у, и =-?-(у* — у2).
15.10. Деформация стержня кругового сечения
в цилиндрической полости
Следуя работе Л. А. Рябовой, рассмотрим стержень кругового
сечения длиной I, сжимаемого осевой силой Р в цилидри-
ческой полости радиусом R. При этом
Хг QXi Fz = —Р = const (Р > 0). (15.102)
---- /z В местах контакта стержня со стенкой
—- полости сила отпора Q направлена к оси
/ Qz \ стержня. Примем простейшую модель
/ Л, \ винклеровского основания, согласно кото-
1-------А------Н; рой сила отпора Q = |Q| пропорцио-
\ j нальна величине вдавливания стержня в
\ у полость (рис. 15.9):
----Д = + (15.103)
т. е.
Рис. 15.9 / Д>0\
<2 = дДб(ДЦб(Д) = |0 при д<.0|>
(15.104)
где q — коэффициент податливости основания (коэффициент по-
стели). Согласно рис. 15.9
qXt — — Q cos ф = — Q — = —q - 1 — Д 6 (Д),
Чхг = —Q sin ф = —Q = —q А б (Д), (15.105)
} хг ф л2 К *1 Т *2
Ях, + iqX1 = —q (КX? + х! - 7?) б (Д).
У Х1 ~Г Х1
Введем в рассмотрение безразмерные величины
Xi^Xi/Т?, х.г = x^R, s = s[l, q—qP/E\, Д = Д/7?.
Исключая теперь из первого, третьего и пятого выражений си-
250
стемы уравнений, последней в параграфе 15.7, величины (15.102),
(15.105), FXi + iFXi и MXl + 1МХг, приходим к нелинейному
комплексному уравнению
Т^г (X, + «,) л’ ( (*. + Из) +
Г Л1 "Г Л2
Л2/2
Здесь Рэ = —gq первая Эйлерова сила, при которой шар-
нирно опертый прямой стержень теряет устойчивость. Разделяя
здесь вещественную и мнимую части, приходим к искомой системе
уравнений
rf4X, , 2 / Р X d?X, . - X, 2 , ~2 i \ л
(ds)* +л (dsy + ? (УХ1+Х2- 1) 6(A)-о,
w+"2 w-+q -1) 6 (А) = о.
\ / \as) у xf + Х.5 v F '
(15.106)
К полученной системе уравнений восьмого порядка остается до-
бавить условия шарнирного опирания на концах стержня:
Xi (0) = хг (0) = Xi (1) = Х2 (1) = 0;
х[(0)= Х2(0) = хГ(1) = Х2(1) = 0.
(15.107)
Численное решение двухточеч-
ной нелинейной краевой задачи
(15.106)—(15.107) искалось сочета-
нием методов квазилинеариза-
ции Ньютона—Канторовича и ор-
тогональной прогонки.
На рис. 15.10—15.12 показаны
проекции деформированной оси
стержня на плоскость XjX2;
рис. 15.10 отвечает случаю, когда
Рис. 15.10
сжимающая сила только что превысила Эйлерову Р/Рэ х 1 для
q= 1,5-103, 1,5-105 и 1,5-107. Величины вдавливания А равны
при_ этом соответственно 0,55, 0,085 и 0,013. При Р/Р9 х 1,5
и q = 1,5-iO5, 1,5-107 имеем соответственно (рис. 15.11) А ==
— 0,33, 0,043. Начиная с Р/Р9 х 5 при «ожесточении» стенки
(q= 1,5-107 , 7,5-107) наблюдается участок отхода стержня от
стенки полости (рис. 15.12) и А =0,088, 0,044.
251
Отметим, что при q 1,05-Ю8 использованный алгоритм
перестает сходиться. Этот момент отвечает практически жесткой
Рис. 15.11
стенке полости (скважины). При этом вдавливание практически
отсутствует. Имеются лишь две точки касания и участок отхода
между ними стержня от стенки.
Глава 16. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГОГО ТЕЛА
Излагая теорию упругости, нельзя не остановиться на таком
важном ее разделе, как упругая устойчивость. Во многих совре-
менных гибких конструкциях и сооружениях лимитирующим тре-
бованием является их устойчивость. Забвение этого требования
может привести к неприятным последствиям, вплоть до катастроф,
которыми так богата история техники. Вместе с тем надлежащим
подкреплением конструкции, не приводящим к существенному
ее утяжелению, можно избежать потери устойчивости. Но для
этого надо знать «механизм» этого «коварного», характерного для
гибких тел свойства.
Проблеме упругой устойчивости посвящено множество книг
и статей. Вместе с тем имеется сравнительно небольшое число
работ, позволяющих понять суть проблемы. В отечественной
литературе следует прежде всего отметить монографию В. В. Но-
вожилова [38], в которой ясно изложены концепция упругой
бифуркационной устойчивости и два подхода к отысканию кри-
тической нагрузки: определение собственных чисел линеаризо-
ванной системы уравнений равновесия и использование энерге-
тического критерия. В книге В. В. Болотина [8] проведено со-
поставление статического и динамического подходов к отысканию
критических нагрузок, подробно рассмотрен вопрос о неконсер-
вативных нагрузках, изложены решения ряда важных приклад-
252
ных проблем. Интересная попытка систематизации задач устой-
чивости предпринята в книге Г. Циглера [56]. Монография
А. Н. Гузя [18] посвящена обобщению теории устойчивости упру-
гих трехмерных тел на случай больших деформаций. Представляет
значительный интерес работа Р. Хилла [79].
16.1. Понятие упругой устойчивости
Читателю, несомненно, не раз приходилось встречаться с яв-
лениями потери устойчивости — внезапным значительным изме-
нением формы тела при действии сжимающих сил. Это и искрив-
ление сжимаемой линейки, и изогнутый при забивании гвоздь,
и ямка на мячике, и многое, многое другое.
Трудно дать строгое исчерпывающее определение устойчиво-
сти равновесия ввиду сложности и многогранности этого явления.
Для наших целей вполне достаточна следующая формулировка:
равновесная конфигурация тела устойчива, коль скоро малые
возмущения конфигурации вызывают и малые отклонения от по-
ложения равновесия. При этом, уменьшая возмущения, можно
сделать эти отклонения сколь угодно малыми. И наоборот, кон-
фигурация неустойчива, если сколь угодно малые возмущения
могут вызывать немалые отклонения.
Поясним данное определение. Прежде всего под возмуще-
ниями следует понимать отклонение от расчетных величин и
способов приложения внешних сил (условий закрепления), изме-
нения формы тела (погиби, отступления от номинальных разме-
ров, искривление оси и т. п.).
Далее, потеря устойчивости может происходить статически,
путем перехода в смежную равновесную конфигурацию. В этом
случае применимы статические методы определения критических
нагрузок (значений внешних воздействий, при которых происхо-
дит потеря устойчивости). Однако смежные равновесные конфи-
гурации могут и не существовать либо возмущения иметь динами-
ческий характер. В этом случае следует использовать более об-
щий (и более сложный) динамический подход, сводящийся к ана-
лизу малых колебаний возле равновесной конфигурации.
16.2. Изгиб стержня в плоскости
Рассмотрим изгиб стержня в плоскости его наименьшей же-
сткости х, г. Для этого воспользуемся соотношениями параграфа
15.9. Так, согласно (15.89) имеем уравнения движения (см.
рис. 15.8) (' = d/ds)
Fi + <7* = О, ^z + <k = 0, М' — cosyFx sin yFz — 0. (16.1)
Для силы тяжести [см. (15.93)1
qx =0, q2 = — ря&Г1,
253
для сил инерции (’ = d/dt)
qx=~ pSVx", qz = — р^ХГ’г". (16.2)
Перемещения
w = х — х, и = г — г (16.3)
определяются из соотношений (15.95):
w' — sin у — ХГ1 sin у, и = cos у — ХГ1 cos у. (16.4)
Из рис. 15.8 усматривается [см. (15.88)1
Fx = cos уЕх + sin yFt, Fz = —sin yF^ + cos yFt.
Для стандартного материала второго порядка [см. (15.91)1
Ft = 4 E§ks № - 1), Л4= -Е1Х2Х2 (у - у)',
(X2- 1 = -v(X2- 1)).
Для несжимаемого трехконстантного материала [см. (15.92)]
Ft = (Е/Зп) SX71 [(1 + Р) + (1 - Р) Vn/2] (X" - ХГП/2),
м = - 4- Еixr2 [(1 + Р) Vn/2 + (1 - Р) ь?/2] (у - ?)'•
Для стандартного материала второго порядка выражение для
энергии деформации стержня имеет вид [см. (15.97)]
W {4- № - I)2 + 4- [1 - V (XI - 1)] (у' - у')21 ds.
При малых деформациях оси [см. (15.98)]
X«XS«1, XI- 1 »2es<l, °s«s, S«S, 1« I, l0^l
и выражения упрощаются [см. (15.99)]:
W = 4 J' + El (y - y')2] ds; (16.5)
Ft = ESes, es = u, M = —£1 (y - y)'. (16.6)
Если к тому же мал и угол поворота, то [см. (15.100)]
sin у» у, cosy«l—^у2»! (16.7)
и уравнения (16.1), (16.4) несколько упрощаются:
F'x + qx = Q, Fz + qz = Q, М' — Fx + уЕг = 0; (16.8)
а/=у —у, и' =4 (у2 — Уа). (16.9)
254
При рассмотрении плоского изгиба стержня часто вводят
радиус инерции поперечного сечения г соотношением
г2 = EI/ES = I/S. (16.10)
Так, для прямоугольного сечения со сторонами а > b, S = ab,
, ab3
Z 12" И
г = Ь//12 « 0,3b. (16.11а)
Для стержня кольцевого сечения (гв — внутренний, а гн — на-
ружный радиус кольца)
г = 4-Гн/ 1 + (''вЛн)2- (16.116)
Величину Иг называют гибкостью стержня.
Иногда пренебрегают растяжимостью оси стержня. При этом
в выписанных соотношениях следует положить es = 0, а вели-
чину Ft считать чисто статической.
16.3. Эластика Эйлера
z
'М-
Рис. 16.1
Рассмотрим деформируемый в плоскости стержень, шарнирно
опертые концы которого сближаются под действием сжимающих
сил Р (рис. 16.1). Стержень считаем первоначально прямым (у =
= 0, х = 0) и свободным от распределенной наг-
рузки (qx = ^ = 0). При этом имеем согласно
(16.1), (16.6) и (16.4)
F'x = 0, F',= 0,
М' — cosyFx 4- sinyFz — 0, (16.12)
М = —Ely', (16.13)
w = sin у, и' = cos у—1. (16.14)
Пренебрегая растяжением оси стержня, считаем
Fx, Fz, Ft чисто статическими величинами.
Из первых двух уравнений в (16.12) и из
рис. 16.1 усматриваем
Гж = 0, Fz = -P (Р>0). (16.15)
Теперь с учетом (16.13) третье уравнение запи-
сывается в виде
у" + х2 sin у = 0, (16.16)
где введено обозначение
х2 = Р/ЕЦп2 > 0). (16.17)
Согласно выражению (16.13) условия шарнирного опирания
(отсутствия изгибающих моментов на концах стержня) записы-
ваются следующим образом:
(0) = у (/) = 0. (16.18)
255
Наконец, для смещений концов стержня имеют место очевидные
условия
W (0) = w (/) = 0, « (0) = 0. (16.19)
Вернемся к разрешающему уравнению (16.16). Умножая его
на 2у' и интегрируя от 0 до s, получаем
у'2 = 2х2 [cos у (s) — cos у (0) ], (16.20)
поскольку cos у (s) — cos у (0) = 2 [sin2 (у (0)/2) — sin2 (у (s)/2) ],
= ±2х 1/ sin2 -Л - sin2 . (16.21)
as г л £
(16.22)
обозначе-
(16.23)
(16.24)
Ф — л/2.
нем знак
Из равенства (16.20) и следующего за ним вытекает у (0) 2s у (s)
(это же усматривается и из рис. 16.1), так что законна замена
переменных
sin (у/2) = sin (у (0)/2) sin ф,
откуда следует также
cos (у/2) d (у/2) = sin (у (0)/2) cos ф dtp.
Подставляя полученные выражения в (16.21) и вводя
ние
т = sin (у (0)/2),
находим
dS — ± — .
х К1 — tn2 sin2 <р
Значению s = 0 отвечает у = у (0), и по (16.22)
Интегрируя равенство (16.24) от л/2 до ф и выбирая в
минус (дуга s — положительная величина), получаем
s = - — [Ф __ .
х J я/2 у 1 — tn2 sin2 ф
Эллиптический интеграл Якоби первого рода
х ГФ сГ'Ф
F((p, m) = r -------------11
v ’ Jo /1 _m2 sin2 ф
является табулированной функцией [1 ]. С его помощью преды-
дущее равенство принимает вид
xs = F (л/2; т) — F (ф; т).
При s = 1/2, у = 0 (см. рис. 16.1) и согласно (16.22) ф = 0. По-
этому
(F (л/2, т) = ) [Я/2 г . • (16.25)
v V 1 ' ’ Jo У1— m2 sina ip 2 v >
256
Далее согласно (16.14), (16.22), (16.24)
dw = sin у ds = —sin ср d<p,
du = (cos у — 1) ds — — [-7 — j/l — /и2 sin2 <p ] dtp.
z L V 1 — m2 sin2 <p J
Интегрирование этих выражений с учетом концевых условий
(16.19) приводит к следующему параметрическому заданию оси
стержня:
2т
w — —— соэф;
и = -^- {[£ (л/2; т) — Е (<р; т)] [(£(л/2; т) — £(ф; «)]} —
к так называемой эластике Эйлера [33]. Здесь
Е (<р; т) = jg pzl — т2 sin2 ф dip —
эллиптический интеграл второго рода — также табулированная
функция.
Вернемся к равенству (16.25). Оно согласно (16.17) и (16.23)
устанавливает связь между сжимающей силой Р и углом пово-
рота на конце стержня у (0). Нетрудно видеть, что левая часть
равенства (16.25) не может быть меньше л/2. Поэтому, коль скоро
х/ < л, равенство (16.25) нарушается, и, стало быть, рассматри-
ваемая изогнутая форма равновесия оси стержня существовать не
может. Имеется лишь исходная прямолинейная форма равнове-
сия у (s) = 0, очевидно удовлетворяющая однородной задаче
(16.12)—(16.19) при любом значении Р.
Изогнутая форма равновесия становится возможной, коль
скоро и1 = л, т. е. согласно (16.17) при достижении сжимающей
силой Р критического значения — так называемой первой эйлеро-
вой силой
Р = Ркр = Л = EI (л//)2. (16.26)
При критическом значении сжимающей силы возможно существо-
вание двух форм равновесия: прямолинейной и изогнутой. Такие
точки ветвления решения называют точками бифуркации реше-
ния. Какую же из двух возможных конфигураций «изберет»
стержень при Р > Ркр? На этот вопрос рассмотренный метод
непосредственного интегрирования нелинейного уравнения ответа
не дает. Более или менее интуитивно ясно, что при Р > Ptp
стержень изогнется. При увеличении Р прогиб растет довольно
быстро.
16.4. Статический метод Эйлера
Рассмотрим ту же задачу, но уже в предположении малости
угла поворота. При этом согласно (16.7), (16.12) — (16.15)
М' — Ру = 0, М = —Ely', w' = у.
9 Черных к. ф. 257
Подстановка второго выражения в первое приводит к разреша-
ющим уравнениям
у" + х2у — 0, w’ — у, (16.27)
где, как и в предыдущем параграфе,
х = 1 Р/Е\ (х>0). (16.28)
Имеют место также концевые условия
у' (0) = 0, у (/) - 0, w (0) •=-- 0, w (/) - 0. (16 29)
Таким образом, рассматриваемый случай свелся к краевой за-
даче (16.27)—(16.29).
Общее решение первого из уравнений (16.27) имеет вид
у == A cos xs + В sin xs.
Подчиняя его первым двум из концевых условий (16.29), находим
В --- 0, A sin х/ 0.
Поскольку разыскивается нетривиальная изогнутая форма рав-
новесия, А 0. Отсюда следует sin х/ — 0, т. е.
х„ = пп 7 (« = 1, 2, ...). (16.30)
Рассматривая еще не использованные в (16.27)—(16.29) соотно-
шения, определяем прогиб
wn ~ (Ап/пл) sin (nns//). (16.31)
Таким образом, типичная линейная задача на собственные зна-
чения (16.27)—(16.29) имеет собственные значения (16.30), отве-
чающие согласно (16.28) собственным значениям сжимающей
силы — так называемым эйлеровым силам
Рп - п- (л7/)2 £/ == n2Pj (п = 1, 2, ...), (16.32)
при которых имеют место бифуркации (ветвления) решений.
Нетрудно подметить недостатки полученного здесь решения
линеаризованной задачи по сравнению с решением нелинейной
задачи предыдущего параграфа. Так, согласно (16.31) оно не дает
никакой информации относительно амплитуды синусоиды, яв-
ляющейся собственной формой выпучивания стержня. Далее, по-
лученное решение дает физически неправдоподобную картину:
искривленная форма равновесия возможна лишь при Р — Рп',
при Рп < Р < Рп+1 стержень должен «возвращаться» к прямоли-
нейной форме равновесия. Из текста предыдущего параграфа
более или менее ясно, в чем тут дело. После прохождения крити-
ческого значения сжимающей силы амплитуда выпучивания быс-
тро возрастает и линеаризованные зависимости (полученные в пред-
положении малости углов поворота) уже не описывают прогрес-
сирующего выпучивания стержня — так называемой его закри-
тической деформации.
258
Очевидно и основное преимущество линеаризованного реше-
ния — простота его получения по сравнению с нелинейным. При
этом сопоставление (16.26) с (16.32) показывает, что критическое
значение сжимающей силы — первая эйлерова сила — опреде-
ляется точно. Последнее, очевидно, связано с тем, что в момент
потери устойчивости угол поворота еще невелик и, стало быть,
линеаризованные зависимости применимы.
Как и для решения предыдущего параграфа, из наличия бифур-
кации решения линеаризованной задачи не следует вывода, что
стержень «предпочитает» изогнутую форму равновесия, т. е.
потеряет, устойчивость.
Отметим, что значение критической (первой эйлеровой) силы
существенно зависит от вида концевых условий:
Рг = Л<р -= k (л,7) EI.
Значения коэффициента k для различных вариантов концевых
условий могут быть получены так же, как и в рассмотренном
выше случае.
Можно ввести критическую и первую эйлерову деформации,
определяя их соотношениями
£кр = £! = Py'ES.
С учетом (16.26) и (16.10) получаем отсюда выражения введенных
величин через гибкость (Z/r)
екР = = л2 (/ г)’2.
16.5. Энергетический подход
Используем для решения рассмотренной в предыдущем пара-
графе задачи энергетический подход. Для этого введем понятие
полной энергии стержня. Прежде всего из (16.14) и рис. 16.1
видно, что работа сжимающей силы на сближении концов стержня
равна
— Р[«(0) -u(l)] = -Pj' (cos у - 1) ds. (16.33)
Под полной энергией П тела принимают разность энергии де-
формации тела и работы действующих на тело сил (см. параграф
16.15). Согласно данному определению и соотношениям (16.33)
и (16.5) имеем, пренебрегая энергией растяжения (es = 0),
/7=4 J'[£I(V'-V°')2-2P(cosY- l)]ds. (16.34)
С учетом малости угла у, второго из соотношений (16.27) и (16.28)
имеем при у = 0
77 = 4£I J' [(“''Т ~ «2 (“''Л ds- (16.35)
9*
259
Полная энергия прямолинейной формы равновесия (w = 0)
равна нулю. При растяжении стержня х2 < 0 (Р < 0) и П > 0,
т. е. при изогнутой форме равновесия полная энергия больше,
чем при прямолинейной. Считая, что стержень из двух смежных
равновесных конфигураций «выбирает» отвечающую меньшей пол-
ной энергии, следует положить, что при растяжении стержня
устойчива неизогнутая форма равновесия.
При возрастании сжимающей силы х достигает значения х*
такого, что при х > х* полная энергия изогнутого стержня ста-
новится отрицательной. Это означает, что прямолинейная форма
равновесия, обладающая большей (нулевой), чем изогнутая,
полной энергией, становится неустойчивой. Согласно (16.35)
началу потери устойчивости отвечает П = 0, т. е.
х* = \l0(Wyds/[\‘0(wyds]. (16.36)
Добавляя сюда геометрические концевые условия
w (0) = w (/) = 0, (16.37)
можно рассматривать соотношения (16.36), (16.37) как экстремаль-
ную здачу: на множестве непрерывных с непрерывной производной
функций, удовлетворяющих концевым условиям (16.37), найти
w (s), отвечающее минимальному значению выражения (16.36).
Поскольку минимальное значение является, вообще говоря,
и стационарным, рассмотренной экстремальной отвечает и вариа-
ционная задача: определить стационарное значение выражения
(16.36) на множестве непрерывных с непрерывной производной
вариаций 8w, удовлетворяющих геометрическим концевым усло-
виям
(16.38)
Поскольку
Jo (w')*ds
приравнивание нулю полученного выражения дает с учетом (16.36)
искомую запись вариационной задачи
Jo [ay" 8w" — х2и/ 6йу'] ds = 0,
(16.39)
w (0) = w (I) = 0.
Интегрирование по частям с учетом концевых условий приводит
к другой форме записи вариационной задачи:
Jo [o>IV + х^ш”] dwds + w' 6w |o = 0, (16.40)
w (0) = w (I) = 0.
260
В силу произвольности Sw на оси стержня и Sw' на ее концах
из (16.40) следуют уравнение
w'-v + = 0 _ (16.41)
и концевые условия
ш" (0) = W" (/) = 0. (16.42)
Нетрудно видеть, что соотношения (16.41), (16.42) по существу
совпадают с (16.27), (16.29). Тем самым показана эквивалентность
вариационного подхода и рассмотренного в параграфе 16.4 ста-
тического метода Эйлера. Так что х* = xx и вариационный метод
приводит опять же к первой эйлеровой силе. Но при этом вариа-
ционный метод показывает устойчивость изогнутой формы рав-
новесия.
Вариационное уравнение (16.39) или (16.40) дает возможность
отыскать приближенное значение критической сжимающей силы
Р* = Рг. При этом конкурирующие (координатные) функции w (s)
и их вариации должны удовлетворять геометрическим концевым
условиям (16.37)—(16.38). Что касается динамических концевых
условий (16.42), то им можно заранее не удовлетворять. Они сле-
дуют (как было показано выше) из вариационного уравнения и
являются (как говорят) естественными. Сказанное относится
и к экстремальной задаче.
Примем, например, выражение
w (s) = s (I — s), (16.43)
удовлетворяющее условиям (16.37). Его подстановка в (16.36)
дает
Р* = 12Е///2 = 1,22Е/ (л//)2 = 1,22РХ,
где, напомним, Рх — первая эйлерова сила. Точность определе-
ния критической силы не так уж и плоха, если учесть грубость
задания прогиба выражением (16.43).
Примем далее выражение
w (s) = sin (ns/Г), (16.44)
также удовлетворяющее геометрическим концевым условиям
(16.37). Подстановка его в выражение (16.36) дает
Р* = El (л//2) = 1 Рр
То, что здесь получено точное значение критической силы, не
случайно, поскольку выражение для прогиба (16.44) было «уга-
дано» точно [ср. (16.31) при п = 1].
Значение критической силы (16.43) можно уточнить, прини-
мая для прогиба, например, выражение
N
w(s) — s(l — s) S ansn,
n=0
261
где ап — подлежащие определению из вариационного уравнения
(16.39) или (16.40) константы. Более подробно о применении вариа-
ционного метода к определению критических значений внешних
сил для упругих систем см. в работе [81.
16.6. Метод несовершенств (деидеализации)
Рис. 16.2
Рассмотренная в предыдущих параграфах задача, безусловно,
носит идеализированный характер, поскольку предполагаются
идеально прямая форма оси стержня, строго осевая направлен-
ность сжимающих сил, идеальные условия закрепления концов
стержня и т. п. В реальных задачах, схематизи-
руемых продольно сжатым стержнем, всегда су-
ществуют возмущения (отклонения от) прини-
маемой идеальной схемы. Выясним, как сказы-
ваются возмущения на критической сжимающей
силе и что, собственно, следует понимать при
этом под последней?
Для этого рассмотрим задачу параграфа 16.4,
осложнив ее, например, наличием малых экс-
центриситетов приложения сжимающих сил.
Из рис. 16.2 видно, что
Л40 = Ра0, М, = Pat. (16.45)
Составляя условия равенства нулю главного мо-
мента всех действующих на стержень сил и мо-
ментов, находим
Fo = (Л4; - M0)/l = Р (а1- а0)!1.
Уравнения (16.8), (16.6) при у = 0 и (16.9) принимают вид
М’ — Fo — Ру = 0, М = —Ely', w’ = у.
Из второго соотношения (16.45), (16.17) следует
у (0) = — М (0)/Е1 = —х2а0, у' (Z) -= —х2а(.
Полученные соотношения приводят к следующей неоднородной
задаче:
у" + х2у — —х2 (а( — (16.46)
у' (0) -= —х2а0, у' (/) = —х2а,; (16.47)
w' = у; (16.48)
w (0) w (Z) = 0. (16.49)
Общее решение уравнения (16.46)
у — A cos xs + В sin xs — (az — a0). l,
подчиненное концевым условиям (16.47), дает
В —ха0, А = х (а, — а0 cos xZ) sin xZ.
262
Интегрирование уравнения (16.48) при концевых условиях (16.49)
приводит к следующему выражению для прогиба:
/ sin xs s \ , / cos х/ . , s
= Ч ЖГ - т) -Ь «О (COS xs - J- sin xs + т - 1). (16.50)
Вводя постоянные
е =-^-(а, га0), А =-у (а; - а0),
преобразуем (16.50) к виду
w = _ 1] _НД _2±+ 11.
L cos (xZ/2) J 1 L shi (x//2) / ' J
Рассмотрим частный случай а0 — 0, at — а. При этом из (16.50)
следует
w (s) _ sin xs s w (1/2) __ 1 / 1 . \
а — sin х/ I ’ а ~ 2 \ cos (х//2) 1‘
Из выполненного по последней формуле рис. 16.3 видно, что
в отличие от рассмотренного в параграфе 16.4 идеального случая
изгиб стержня начинается сразу же
после приложения сжимающей силы Р.
Прогиб резко увеличивается при х/ ->л,
т. е. при приближении сжимающей
силы к первой эйлеровой силе. Таким
образом, для рассматриваемой несовершенной (деидеализирован-
ной) системы в качестве критической следует принимать сжима-
ющую силу, при которой резко возрастает прогиб стержня.
Любопытным является случай антисимметричного возмуще-
ния а0 = — at ~ а (рис. 16.4). При этом е --- 0, А = —а и
w (s) __ sin х (s — /,2) _ 2 -_____1
а ~ sin х (х//2) ‘ I
Для амплитуды прогиба имеем отсюда
--------А (16.51)
а 2 \ cos (х/;4) ) ' '
263
Отвечающий этой формуле рис. 16.5, а не имеет никаких осо-
бенностей при и1 — п = kJ, т. е. при первой эйлеровой силе.
Другими словами, приложение сколь угодно малой концевой
пары аР позволяет «пройти» первую эйлерову силу — результат,
физически явно неправдоподобный. В книге [42, стр. 88] Я- Г. Па-
новко «восстанавливает в правах» первую эйлерову силу, рас-
сматривая устойчивость решения (16.51). Еще проще этот вопрос
можно решить, заметив, что (16.51) не является полным решением
задачи. Нетрудно видеть, что к решению задачи (16.46)—(16.49)
можно добавить ряд
S Ah cos (kns/l) 6 (х — xft) (k = 1, 2, . . .).
k
[1 x = 0
Здесь 6W=|0 ХчЬ0.
В рассматриваемом нами интервале изменения х (0 < х с 2л)
к решению (16.51) добавляется слагаемое у?! cos (ns/Z) 6 (х — хх),
где, как и в параграфе 16.4, At — произвольная константа. Та-
ким образом, имеет место уже хорошо известная читателю ситуа-
ция, показанная на рис. 16.5, б: бифуркация решения возможна
и для неидеальной (возмущенной) конфигурации.
Отметим, что рассмотренный случай антисимметричного воз-
мущения ничуть не умаляет значимости метода несовершенств
(деидеализации). Напомним, что смысл метода состоит в отходе
от идеальной постановки задачи, а только что рассмотренный
-случай является новой (антисимметричной) идеализацией: аг =
= —а0 (точно!). Видимый парадокс появился в результате
введения новой идеализации.
Другим проявлением несовершенств может служить началь-
ная погибь оси стержня. Считая погибь x(s) малой и симметрич-
ной относительно середины оси, имеем с учетом (15.94)
^ = 0, Ft — —P, у = х'.
264
Отсюда и из соотношений (16.8), (16.9) и (16.17) получаем урав-
нение
w" Ц- х2а/ = —х2хз- (16.52)
Используем следующие разложения по собственным формам про-
гиба идеального (без начальной погиби) стержня:
w/l = 2 Сп sin (nns/Г)-, x/l = 2 Сп sin (nns/l). (16.53)
n—1 л=1
Подставляя их в (16.52) и сравнивая коэффициенты’при каждой
гармонике, приходим с учетом (16.28) и (16.32) к
Сп
Спх2
Сп = ~ X2 - (ПП//)2 = Рп/Р - 1 *
При Р -> Pi определяющим в выражении для w/l (16.53) является
первое слагаемое. Так что можне считать
^^^^brSinW).
(16.54)
Для определения коэффициента Сх может служить экспери-
ментально теоретический метод Саусвелла [3, стр. 1331, основан-
ный на следующей из (16.54) линей-
ной связи между Р и левой частью
выражения
Pl Р
(16.55)
Измеряя дополнительный прогиб
середины стержня w (1/2) при нес-
кольких значениях Р, можно про-
вести прямую (рис. 16.6). Согласно
(16.55) прямая отсекает отрезки
Р± и Pi/Cfj. Отсюда и следует выражение для безразмерной
амплитуды начальной погиби
Сх = tg а.
Изложенный метод позволяет проводить неразрушающее испыта-
ние стержня на сжатие. Определив по начальному этапу нагру-
жения Рх и можно, используя формулу (16.54), прогнозиро-
вать поведение стержня при дальнейшем возрастании нагрузки.
Отметим, что, как и в случае эксцентриситета приложения
сжимающей силы, метод несовершенств (деидеализации) и здесь
приводит [см. формулу (16.54)] к критическому значению сжима-
ющей силы, равному первой эйлеровой силе.
265
16.7. Динамический подход
Рассмотрим малые поперечные колебания продольно сжатого
стержня. Учитываем лишь поперечные инерционные силы. Счи-
таем стержень первоначально прямым, шарнирно опертым и сво-
бодным от распределенной нагрузки. С учетом сказанного находим
из (16.8), (16.9), (16.2) и (16.3)
F'x^=pSw", Fz = —Р = const,
Ely" + Fx + Ру = 0, у — w',
у' (0) = у’ (/) = 0, w (0) = w (/) - 0.
Дифференцируя по дуге третье уравнение и исключая с помощью
остальных из полученного FA, Fz и у, приходим к разрешающему
уравнению
-j- Pw~ 4- Spay" = 0. (16.56)
При этом прогиб w (s, t) должен удовлетворять следующим кон-
цевым условиям:
w (0, /) = w (I, I) — 0; w" (0, t) = w" (I, t) = 0. (16.57)
Общее решение задачи (16.56)—(16.57) ищем в виде наложения
так называемых собственных колебаний
w„(s, /) = sin-^eiw^ (о = 1, 2,...), (16.58)
каждое из которых удовлетворяет концевым условиям. Подста-
новка этих выражений в разрешающее уравнение (16.56) приводит
к формулам
. pS(o;,= («=1,2,...) (16.59)
для круговых частот собственных колебаний а>п.
Пока все скобки положительны, <оп вещественны и выражения
(16.58) имеют ограниченные во времени амплитуды, определяемые
начальными условиями (возмущениями). Если хотя бы одна из
скобок отрицательна, отвечающие ей значения частот становятся
чисто мнимыми: con = ±to (о > 0). А тогда из пары собственных
колебаний (16.58), имеющих вид
амплитуда первого неограниченно растет со временем и колебания
становятся неограниченными при сколь угодно малых возмуще-
ниях.
Заметим, что неограниченное возрастание амплитуды имеет
место уже при равенстве скобки нулю. В самом деле, при этом урав-
266
пение (16.56) принимает вид
£1 [<v 4- (—рУ w j J- Spa.’,/ = О,
и ему удовлетворяет решение
tt'n(s. t) — t sin— (16.60)
с монотонно возрастающей амплитудой.
Таким образом, коль скоро какая-либо из скобок (16.59) пере-
стает быть положительной, решение уравнения (16.56) при сколь
угодно малых возмущениях неограниченно растет во времени.
А это и означает неустойчивость положения равновесия.
Из сказанного и выражений (16.59) следует, что положение
равновесия устойчиво пока Р < EI (п‘1)2 = и неустойчиво
при Р 5г Рр т. е. при достижении сжимающей силой значения
первой эйлеровой силы.
Из содержания этого и предшествующих параграфов следует,
что применительно к рассматриваемой задаче использованные
статические и динамический подходы дают одно и то же критиче-
ское значение сжимающей силы — первую эйлерову силу. Но
так бывает далеко не всегда. Это обнаруживается уже в следующем
параграфе.
16.8. Стержень, сжимаемый следящей силой
Рассмотрим стержень, сжимаемый силой Р, все время направ-
ленной по касательной к оси стержня (рис. 16.7). Такие силы от-
носят к следящим. Считая стержень первоначально прямолиней-
ным (у = 0) и свободным от распределенной
нагрузки (qx = qz = 0), получаем из (16.8),
первого уравнения (16.9) и третьего соот-
ношения (16.6)
F'x = 0, F'z — 0, w' = у,
Ely" + Fx - Fzy = 0 (16.61)
при следующих из рис. 16.7 концевых ус-
ловиях:
щ (0) - 0, у (0) = 0, у (0 = 0, у" (0 = 0,
Fx (0 = -Ру (0, Л (0 -= -Р- (16.62)
Третье и четвертое условия означают, что
верхний конец стержня свободен от изгибаю-
щего момента и перерезывающей силы.
Прежде всего из (16.61) и (16.62) следует Fx (s) = —Ру (/),
Fz (s) — —р. с учетом этого и обозначения (16.28) последнее из
уравнений (16.61) записывается в виде у" х2у — х2у (/).
267
Подчиняя его общее решение
у (s) — A cos xs + В sin xs + у (/)
второму, третьему и четвертому из условий (16.62), приходим
к однородной системе уравнений
Л+ +т(0 = о
—х sin х 1А + х cos х IB =0
—х2 cos и1А — x2 sin xZB = 0
с определителем Д = x3, отличным от нуля. Отсюда следует
А = В = у (/) = 0, т. е. отсутствие искривленных форм равно-
весия. Отсутствие искривленных форм равновесия можно не-
посредственно усмотреть из рис. 16.7. Выделяя на нем элемент
изогнутой оси, нетрудно видеть, что следящая сила приводит
к моментам, направление которых противоположно направлению
искривления элемента.
Из отсутствия искривленной равновесной конфигурации оси
можно сделать вывод об устойчивости прямолинейной формы рав-
новесия при любом значении сжимающей силы Р. Этот вывод,
однако, неверен, поскольку, как показал Бекк [8, стр. 97],
возможна динамическая форма потери устойчивости.
Покажем это путем рассмотрения малых поперечных колеба-
ний сжатого стержня. Вводя в соотношения (16.61), (16.62) попереч-
ные силы инерции, приходим к динамической задаче
F'x — = 0, F'z — 0, w' — у,
Ely" + Fx — yFz = 0,
w (0) = 0, у (0) = 0, у' (0 = 0, у" (/) = 0, Fz (/) = — Р.
Дифференцируя по дуге четвертое уравнение, получаем с по-
мощью остальных динамическую задачу:
Efw™ + Pw" + р5ш" = 0, (16.63)
w (0) = 0, w’ (0) = 0, w" (0 = 0, wm (I) = 0. (16.64)
Обычным в теории колебаний путем разыскиваем решение
в виде
w (s, t) = V (s) eiQt. (16.65)
Подставляя это выражение в (16.63) и вводя безразмерную ве-
личину
со = Q jZpS/El,
приходим к уравнению
yiv + Х2Г _ = о
с общим решением
7 = 0! sin pxs + С2 cos pys + С3 sh p2s + C4 ch p2s,
где pl = % (x2 + У+ 4co2), pl = 7г (—x2 + ]/"x4 + 4co2).
268
Удовлетворение концевым условиям (16.64) приводит к одно*
родной системе уравнений
С а + С4 = О, + Csp2 = О,
—С\р\ sin pil — С2Р1 cos pit -j- C3P2 sh p^i -j- C4p2ch p^l — 0,
—Cipl cos pil 4_ CzpS sin pil -j- C3P2 ch P2I 4~ Cip2 sh P2I — 0.
Приравнивая нулю ее определитель, приходим уравнению
Д (со, х2) = (х2)2 + 2®2 +
4- х2(о sin ptl sh рг14~ 2(o2 cos pvl ch p2l.
(16.66)
Поведение его наименьших корней
показано на рис. 16.8, б. При отсут-
ствии сжимающей силы х2 = 0 и
корни уравнения (16.66) веществен-
ны. При возрастании х2 (Р) корни
сближаются и при х2 = х2 стано-
Рис. 16.8
вятся кратными. При дальнейшем увеличении корни уже ком-
плексно сопряженные. Один из них имеет отрицательную
мнимую часть. Согласно (16.65) амплитуда колебания растет
во времени. Таким образом, х2 отвечает критической сжимающей
силе Р* = EI (л/Z)2 (х2/2/л2). Ьекк, первым получивший коррект-
ное решение этой задачи, подсчитал: (х2/2/л2) = 2,03.
Таким образом, динамический подход в отличие от статического
привел в рассматриваемой задаче к правильному результату:
P*JPr = 2,03.
16.9. Условия применимости статического подхода
Выявим условия, при выполнении которых к задаче о потере
устойчивости стержня применим статический подход. Все рас-
смотренные выше задачи содержатся в дифференциальном урав-
нении
Lw = o»IV 4- х2о»" 4-- Cw = f (s), (16.67)
интегрируемом при соответствующих концевых условиях.
Пусть ш»(1) и W(2) — две произвольные гладкие функции, удов-
летворяющие концевым условиям рассматриваемой задачи. За-
дача называется самосопряженной, если обращается в нуль выра-
жение
Д = Jp (o>(2)Lu’(1) — w{i)Lw{2))ds ~ 0. (16.68)
Подставляя сюда выражения для Lw^ (16.67) и интегрируя по
частям, получаем
(Д = ) - <2)“’(1)]о - 1>(1А2) - “’(2)^1)]о 4-
+ (P/£I) [ау'(d^) - ffi’(2)ffi’(i)]o = 0. (16.69а)
269
При у н О М — —EIw”, Q =-- М' — —Elw'", & ---- —го', где
Q — перерезывающая сила, а О — угол поворота. С учетом при-
веденных выражений (16.69а) можно записать в виде
— [<2(l)w(2) ’ Q(2)W{ I )lo + ['W(I) ’<1(2) — Л/1(2)1'Ь I )]o +
+ [(Z>0-(1))ш(2> - (P&(2>) ^(i>]o = 0. (16.696)
Нетрудно видеть, что выписанное соотношение является законом
взаимности Бетти 140] для концевых сил. Оно же является 18]
условием потенциальности концевых сил.
Считая задачу самосопряженной, рассмотрим отвечающее
(16.67) уравнение поперечных колебаний [ср. (16.56)]
Lw + (pS EI)w" — f (s). (16.70)
Ищем его решение в виде
w (s, /) =- u?0 (s) Т W (s) e'l,)Z, (16.71)
где (s) — некоторое частное решение уравнения (16.70). Под-
становка выражения (16.71) в (16.70) приводит к уравнению
LW — (pS/ЕГ) or Г 0.
Умножим его на комплексно сопряженную величину W и про-
интегрируем по s. В результате имеем
(pS/EI) со2 J' WW ds =
= |'(ГБГ-г WLW)ds-'r1/2\‘0(WLW - WLW)ds.
В силу условия самосопряженности задачи [см. (16.68)] при
&У(1) = Weib>t, г£\2) = второй интеграл равен нулю и
со — вещественное число.
Согласно (16.71) переходу от устойчивого состояния к неустой-
чивому отвечает переход от положительных со2 к отрицательным.
В силу непрерывной зависимости со2 от Р моменту потери устой-
чивости отвечает со = 0. При этом уравнение (16.70) переходит
в (16.67) и потеря устойчивости происходит статическим (дивер-
гентным) путем с монотонно увеличивающейся амплитудой про-
гиба [ср. (16.60)].
Таким образом, при консервативных (потенциальных) внешних
силах возможно использование статического подхода. Отвечающее
этому случаю типичное поведение собственных частот показано
на рис. 16.8, а. Кружочками показаны отвечающие х = 0 соб-
ственные частоты йена груженного стержня. При возрастании х
частоты движутся, как показано стрелками, проходя при х = х*
через нуль, что и отвечает потере устойчивости статическим путем.
Потере устойчивости динамическим путем отвечает рис. 16.8, б.
В этом случае нарастание амплитуды прогиба имеет колебательный
характер. При неконсервативных внешних силах возможны оба
270
типа потери устойчивости. Ясно, что в случае динамической
потери устойчивости статический подход неприменим.
Вернемся к рассмотренным в предыдущих параграфах случаям.
Во всех из них, кроме рассмотренного в параграфе 16.8, условия
самосопряженности (16.696) выполняются и статический подход
применим. Для рассмотренной в параграфе 16.8 следящей силы
имели место концевые условия
w (0) - w' (0) - 0, w" (/) - w”' (0 - 0. (16.72)
И из условия (16.69а) следует равенство
да;,, (/) w(2) (/) - w'(2) U)a'(n (/) = о,
не удовлетворяющееся при произвольных дар), u’(2), подчиненных
концевым условиям (16.72). Как было выяснено в параграфе 16.8,
неконсервативность концевых сил отвечает в данном случае
колебательной форме потери устойчивости и неприменимости ста-
тического подхода.
16.10. Закритическая деформация
сжимаемого стержня
Использованные в параграфах 16.4, 16.5 подходы правильно
определяли значения критических нагрузок, отвечающих началу
потерн устойчивости стержня. Однако они не дали информации
о деформации после потери устойчивости — о так называемой
закритической деформации. Желательно, конечно, знать, как
будет вести себя стержень после потери устойчивости. Полную
информацию о закритической деформации дают, конечно, соотно-
шения параграфа 16.3. Однако о деформации, следующей сразу же
за потерей устойчивости, можно составить представление и более
простым путем.
Естественно считать, что в окрестности критической нагрузки
х = х* = Х1 (16.73)
форма изогнутой оси близка к первой собственной форме выпучи-
вания (16.31):
у = CtY! (s), Yj (s) — cos (л$/7). (16.74)
Ограничиваясь рассмотрением закритической деформации, при
которой углы поворота сравнительно невелики, примем
cos у — 1 — 1 z2y2 -1- 1/2ty4.
Подставляя это выражение в (16.34), получаем при у ~ 0
277(C,)/£I = J' [C?yi2 + 2х2 (—'/2С?у? 4- 1/24С?уО] ds.
Из условия стационарности полной энергии dnidCi находим
2С, J' у'2 ds -4- 2х2 [-С, Д у? ds + ytds] = 0.
271
Отсюда с учетом (16.36), (16.9) и (16.73)
Для выражения (16.74)
применимости изложенного
деформации стержня.
Сх = 2 /2"/1 - (хх/х)2. (16.75а)
Согласно (16.23), (16.74) и (16.75а)
т = sin (у (0)/2) = sin (Сх/2). (16.756)
Подсчитанная отсюда зависимость
tn — т (х) сопоставлена на рис. 16.9
с точной, следующей из (16.25).
Поскольку т определяется макси-
мальным значением угла поворота
стержня, по рис. 16.9 можно соста-
вить представление об области
способа определения закритической
16.11. Потеря устойчивости
при растяжении стержня
Не следует думать, что потеря устойчивости стержня может
быть лишь при его сжатии. Покажем, следуя Циглеру [56, стр. 77 ],
что под действием растягивающей силы Р (рис. 16.10) стержень
может потерять устойчивость — выпу-
читься.
Итак, пусть стержень, шарнирно опер-
тый на нижней опоре, растягивается через
Рис. 16.10
жесткий стержень д
а, касательный к оси стержня на
верхней опоре (рис. 16.10). При этом
Fx = Fn = const, Fz = P > 0.
Согласно формулам (16.8), (16.9), (16.6) при у = 0 имеем
у" — v?y = —FJEI, у = w'.
272
Дифференцируя первое уравнение и используя второе, приходим
к разрешающему уравнению
ш1'1' — k'-w" —- О
с общим решением
w (s) = A ch xs + В sh xs + С + Ds. (16.76)
К очевидным концевым условиям
w (0) = 0, w" (0) = 0, w (0 = 0 (16.77)
добавим следующее из рис. 16.10
М (0 = — ау (/) Р = —aPw' (/). ’
Но согласно (16.6) и (16.28)
М (/) = — Ely' (0 = —Elw" (/) =- —(Р/х2) w" (/).
Сопоставление полученных выражений приводит к четвертому
концевому условию
w" (/) — xW (I) = 0. (16.78)
Подчинение общего решения (16.76) концевым условиям (16.77)
приводит к выражению
w = В [sh xs — (s/Z) sh х/ ].
Его подстановка в четвертое концевое условие (16.78) приводит
к характеристическому уравнению
thx*/ = -rrV (16.79)
На рис. 16.11 показано, что это трансцендентное уравнение имеет
единственное нетривиальное (ненулевое) решение, зависящее от
На. При а I прямая на рис. 16.11 направлена к оси абсцисс
под малым углом, так что thxZ » 1. А тогда из (16.79) следует
х*/ ~ 1 -ф На На и
Р* ж Е\!сР = Е\ (пПу (Нпа)2 = Рг (Нпа)2.
Таким образом, при all -+ 0 критическое значение быстро растет
и в пределе Р* -> оо, т. е. следует привычный вывод: стержень
при растяжении устойчивости не теряет.
16.12. Влияние докритического сжатия стержня
Изложенный в параграфе 16.4 статический метод Эйлера можно
использовать при рассмотрении мягких и приведенных стержней
(стержни из эластомеров, пружины, сильфоны и т. п.). При этом,
однако, надо учитывать докршпическое изменение геометрических
характеристик стержня.
Пусть к — постоянная вдоль оси стержня ее кратность удли-
нения (при X < 1 —сжатия). Снабжая кружками значения вели-
Ю Черных К. Ф.
273
чин до деформации, будем считать
/ = /%, £S = £S/1(X), £I = £f/a(%), (16.80)
~ES~ ~ ~Ё~
(наличие минуса связано с тем, что здесь Р > 0 — сжимающая
сила). Согласно (16.26) имеем для критической силы шарнирно
опертого стержня выражение
РЕ = £1 (л//)2.
Подставляя сюда выражения (16.80) при отвечающей РЕ кратности
удлинения Л — кЕ и вводя радиус инерции сечения недеформи-
рованного стержня [см. (16.10)1
о _ о о
Г2 = I/S,
приходим к уравнению
'2 I I /
определяющему кЕ в зависимости от гибкости недеформирован-
ного стержня (1/г).
Рассмотрим стержень из эластомера, принимая условие не-
сжимаемости. Считая, что поперечное сечение в силу изотропии
упругих свойств деформируется во всех поперечных направлениях
одинаково, находим из условия несжимаемости J = XtX2X3 = 1:
Х3 = X < 1, = Х2 = X-V2. (16.82)
При этом согласно (16.80) и (16.82)
ft (к) = (Х->/2)2 = х-1, (X) = (X-V2)4 = х-2. (16.83)
Далее, согласно (3.29) при п = 1
аг = Хг-^-+р, (16.84)
где р—функция типа всестороннего давления. Пренебрегая
малыми напряжениями Oj, ст2 по сравнению с основным ст3 (см.
параграф 15.2), имеем из 16.84)
, <ЭФ , п , 6Ф , п . дФ ।
= = 0 = Х2-^+р, 0 = Л11Х- + р.
Исключая отсюда р, получаем
<16-85>
(7Лз (7Л1
Рассмотрим двухпараметрическое семейство упругих потен-
циалов (5.30)
ф = + + 3), (16.86)
Oil
274
для которого по (16.85), (16.82), (16.80) и (16.83)
о = Е±- (Х3" - X?) = Е (Г - Х-"/2),
ин од
(16.87)
На рис. 16.12 показаны зависимости безразмерного истинного
напряжения о/Е и условного аи/Е от кратности удлинения для
различных значений п.
Из (16.87) и (16.80) находим
ф = -~Скп- V"''2). (16.88)
Подстановка выражений (16.83) и (16.88) в соотношение (16.81)
приводит к искомому уравнению
(2/Зп) (^п/2 - X3/”) = л2 (1/г)~2. (16.89)
На рис. 16.13 для п = 1 показана зависимость между гибкостью
недеформированного стержня и эйлеровой деформацией. Из ри-
сунка видно, что предельнее значение гибкости, при которой еще
возможна потеря устойчивости, равно (//г)* = 9,3 и что предель-
ное значение гибкости мало зависит от п, изменяясь в пределах
9 < (1/г)* < 10(рис. 16.14). Согласно (16.10) и (16.11) для прямоуголь-
ного сечения с меньшей стороной b 2,7 < (1/Ь)* <3, адля кругового
радиусом R 4,5 < (1/R)* < 5.
Таким образом, получен любопытный результат: в рамках
кирхгофовской теории стержней шарнирно опертый стержень
10* 275
из эластомера, подчиняющегося закону (16.86), с гибкостью
меньше 9 не может потерять устойчивости при сжатии.
Согласно (16.80) и (16.83) имеем
РЕ = Е1л2Д2 = Е1 (л//)2 f2 (X) Г2 = РД"4,
где Pj — первая эйлерова
нагрузка, подсчитанная по размерам
недеформированного стержня. Вид-
но, что она быстро увеличивается
(А, < 1) при возрастании докрити-
ческого сжатия.
Рис. 16.13 Рис. 16.14
16.13. Растяжение стержня. Предельная точка
Рассмотренный в предыдущем параграфе стержень будем не
сжимать, а растягивать. Прежде всего для растягивающей силы
F = —Р имеем согласно (16.87)
F (К)/Е§ = (2/Зп) - I- («/2+1)). (16.90)
При некоторых значениях п (ниже будет выснено, при каких
именно) зависимость F (А)
имеет вид, показанный на рис. 16.15.
Предельные значения F = F* харак-
теризуют предельную нагрузку стер-
жня на растяжение. Если нагруже-
ние осуществляется путем монотон-
ного увеличения растягивающей
силы (так называемое мягкое нагру-
жение), то при F = F* (и отвечаю-
щем ему X = А,*) длина стержня
неограниченно увеличивается. Это
неравновесное состояние показано на рис. 16.15 штриховой линией.
При указанном способе нагружения падающая ветвь не реали-
зуется. Нагружение может вестись и кинематическим путем (жест-
кое нагружение) при монотонно возрастающем растяжении и пада-
ющих значениях растягивающей силы. При этом проходится как
восходящая, так и нисходящая ветвь равновесной диаграммы.
Жесткое нагружение осуществляется, например, в разрывных
машинах с винтовым силовозбудителем.
Точку (F*, А,*) называют критической точкой предельного
типа (выше мы рассматривали критическую точку бифуркацион-
276
ного типа). Положение предельной точки найдем согласно (16.90)
из условия
^гЧ=Кв= ES (%) {(п - 1)ХГ2 + (п/2 + 1) V(',/2+2) 1 = 0.
Отсюда следует А.зп/2 = (п/2 1)/(1 __ пу Поскольку X > 1, пре-
дельная точка имеет место лишь при —2 < п < 1. Согласно же
(16.90)
FK/ES - (2/Зп) (Х?-1 - Х~(п/2+1)),
___ / л/2 1 \ 2/3/1
* ~~ \ 1 — п /
Из соотношения
Я2 Г I о
следует, что при X = X* действительно
F* = F (XJ = max F (X),
т. е. имеет место предельная точка.
Критическая точка предельного типа тесно связана с потерей
цилиндрической формы стержня (образованием шейки). Действи-
тельно, пусть в стержне имеется небольшой участок с меньшей
площадью поперечного сечения. Растягивающая сила одна и та же
во всех сечениях, а напряжения разные. Таким образом, при
прохождении восходящего участка диаграммы деформация основ-
ной части стержня возрастает, отставая, однако, от деформации
суженной. После достижения в последней критического значения
растягивающая сила начинает убывать при монотонно нараста-
ющей деформации суженной части. В основной же части растяги-
вающая сила, так иде достигнув своего критического значения,
начинает убывать, проходя в обратном направлении восходящий
участок диаграммы. При этом, естественно, деформация в основной
части уменьшается. Результатом этого будет образование шейки
на участке интенсивной деформации. Таким образом, имеет место
потеря устойчивости цилиндрической формы стержня.
В предыдущих параграфах на примере простого объекта —
продольно сжатого стержня — были выяснены основные особен-
ности упругой потери устойчивости. В последующих параграфах
проблема будет рассмотрена в более общем виде.
16.14. Энергетический критерий устойчивости
Пусть
би = бымИи- (16.91)
малая вариация вектора смещения. Потребуем, чтобы она, будучи
достаточно гладкой функцией, была и геометрически допустимой,
277
т. е. удовлетворяла условию
би = О (a.k£Su).
В остальном это произвольная функция.
Из равенства R = R + и и (16.91), (16.34) следует
6R = 6u, 6Re = Vj6u^R^.
Снабжая штрихом возмущенные величины и отбрасывая в даль-
нейшем малые выше второго порядка, имеем [см. (6.6), (6.9),
(6.1)1
Ri = Rf + V^R11,
g'ii = (Ri + Vi6MX) • (R; + V;6mvRv) =
= gn + (V/бМу + V;-6u0 +
Используя далее формулу Тэйлора, находим
Ф' = Ф {gi} + (Vfiuj + Vjbut) + =
= Ф + -5^- (Va6up + Vp6Mj + g^cfiu^ffiuj +
+ x/2 ag^-- (Va6«₽ + V36Wa) (y^uv + Vv6^).
Отсюда и из (6.84)—(6.90) получаем для сжимаемого материала
Ф'— Ф - 6Ф + б2Ф, (16.92)
где
6Ф = Лг“р7а6м3, (16.93)
б2Ф = Ч2 (£“^v + 7а6Мр7>Ж - (16.94)
первая и вторая вариации упругого потенциала. При этом вари-
ации смещения би отвечает приращение энергии деформации
тела
( (ф'_ф)^=( ЬФдУ + ( б2Ф^. (16.95)
J v j р j у
Далее в процессе малой дополнительной деформации массовые
силы изменяются от f до f + 6f со средним значением f + V26f.
Среднее же значение поверхностной силы — о ° + 1/2бо». Поэтому
работа внешних сил на (малой) вариации смещения подсчиты-
вается по формуле
f Р (f + V26f) • 6u dVj (оо+ 1/26oo)-6ud^n. (16.96)
V §0\ п п/
Сформулируем теперь энергетический критерий устойчивости
равновесия тела: равновесие тела устойчиво, коль скоро отвеча-
278
ющее произвольной геометрически допустимой вариации смещения
приращение энергии деформации больше совершаемой на ней
работы внешних сил.
Согласно (16.95), (16.96) сформулированный критерий записы-
вается в виде
Л "
сто 6u dSn
п
’( 62ФйЙ —V2 f p6f-6udV -Va [ 6oo-6udSn
J О J О J о 2
L v v i ~
• + Г J 60W - j pf-6udV - J •
. v v so
0.
С учетом вариационного начала Лагранжа (6.77) вторая квадрат-
ная скобка равна нулю. Подставляя в первую выражение (16.94),
приходим к окончательной форме записи энергетического кри-
терия устойчивости равновесия тела при сжимаемом материале:
2&П= [ (E“₽gv + Jo“g/v)v^6«vVa6«pdV -
J о
V
— J p6f-6udV- j 6uo-6udSn>0. (16.97)
V so »
При этом критерий должен выполняться для любого, не равного
нулю тождественно, геометрически допустимого би.
Поясним использование в (16.97) обозначения —б277. Для
этого рассмотрим случай потенциальных внешних сил
_pZ/= -a'=-£L, (16.98)
ди^ п ди, v '
где ф (uft), ф (uft) — потенциалы массовой и поверхностной внеш-
них сил. В частности, для «мертвых» сил
Ф = аа (а*) иа, ф = Ьа (а*) иа.
Согласно (16.98)
— pf • би = &иа — dq, —сто-би = бф. (16.99)
OUa, п
Меняя затем в (6.77) порядок интегрирования и варьирования
(это можно делать в силу независимости У и S от uh), приходим
к условию стационарности
677 = 0 (16.100а)
полной энергии тела
/7 = f (Ф 4-ф) dV h [ ф dSn, (16.1006)
Jo J Q
У 4
представляющей собой потенциальную энергию системы, в кото-
рую помимо тела включены материальные объекты (в том числе
поля), реализующие внешние силы.
279
Используя соотношения (16.92)—(16.94), (16.99), а также вы-
ражения
ф' = Ф («к + 5«л) = ф -F Г 7г (>иа8и&,
*' = (Mft + 6Mfe) = ф + -g- 8иа + V2 6ua 6иЭ,
получаем из (16.100) выражение для второй вариации полной
энергии:
62/7 = ГГ - П - 6/7 =
= i/2 ([ (E“PliV 4- Vu6nvVa6«e dV +
Г
+ <I6JOI>
Согласно (16.98)
— p6f-6u = - p6f₽6«P = ~^8и^игх,
— 6o -Su-- 6Oo6«fi = 5 д-ft— 6ua6ua.
° n 1 диади& P “
Теперь нетрудно видеть, что выражение (16.101) совпадает с так
же обозначенным выражением левой части неравенства (16.97).
Таким образом, в рассматриваемом случае потенциальной
внешней нагрузки энергетический критерий устойчивости (16.97)
отвечает минимуму полной энергии тела, обеспечиваемому поло-
жительностью второй вариации полной энергии.
16.15. Единственность и бифуркация решения
линеаризованной задачи
Выявим условие единственности решения линеаризованной
задачи (6.95). Пусть имеются два решения этой задачи: и(1) и и<2).
Обозначая u = u<1) —и(2>, находим, что рассматриваемой раз-
ности решений отвечает однородная задача (6.95) при = о7 = 0.
При этом согласно первому соотношению (6.99) выполняется инте-
гральное равенство
Jo(E^v4-Ja“^)VuMvVaMpdV
v
— j pMu-udl/ — j Pu • u dSn == 0.
$
Сопоставление полученного равенства с неравенством (16.97)
[см. также (6.96)1 показывает, что выражения в левых частях
280
совпадают при би = и, т. е. коль скоро в качестве би принят
вектор разности и (являющийся, очевидно, геометрически допусти-
мой функцией). Поскольку энергетический критерий (16.97) дол-
жен выполняться при любой геометрически допустимой вариации,
из сказанного следует, что при выполнении критерия (16.97),
т. е. при устойчивом равновесии, и = и(1) — и(2) = 0 и решение
линеаризованной задачи (6.95) единственно.
Хорошо известно, что при малых внешних нагрузках (описы-
ваемых линейной теорией упругости) равновесные конфигурации
тела устойчивы. В шестимерном пространстве деформаций
gtj (= Sa) °ни занимают'некоторую область, содержащую неде-
формированную конфигурацию. Точки предельной поверхности
этой области устойчивости, отвечающие равенству
J о V>vVa6«p dV -
V
— j p6f-6udV — [ 6oo-6udSn = 0
V • Sn n
хотя бы при одном значении би, будем называть (следуя Р. Хиллу
[79]) равновесными конфигурациями на пределе устойчивости.
Из сказанного вытекает, что неоднозначность возмущения
равновесной конфигурации может появиться лишь на пределе
устойчивости. При этом отвечающая (6.95) однородная краевая
задача имеет нетривиальные собственные решения лишь при
определенных (собственных) значениях входящих в нее параметров
внешних нагрузок — при критических нагрузках. Собственные
решения задачи (6.95) уместно называть собственными возмуще-
ниями конфигурации тела. Появление собственных возмущений
означает пересечение в рассматриваемой точке (конфигурации)
различных решений, т. е. бифуркацию решений.
16.16. Малые колебания
возле равновесной конфигурации тела
Вернемся к системе уравнений для возмущений (6.95). Считая
ее однородной (И=оС = 0) и^выделяяТиз’массовых сил силы
инерции, приходим к краевой задаче о малых колебаниях возле
равновесной конфигурации:
Lu-к-р(мй—= 0 (a4v).
(N Р)й=0 (аЧ5а), (16.102)
и—0 (afc£S„).
281
Отвечающая ей статическая задача
Lu + рМй = 0 (а* ЕЙ),
(N-P)u = 0 (aft€So), (16.103)
й = 0 (а* С •$«)
является, как уже говорилось выше, задачей о собственных зна-
чениях.
Ищем решения системы уравнений (16.102)—собственные
формы колебаний — в виде
u = U (с?) е‘% (16.104)
где Q — частоты (вообще говоря, комплексные величины) соб-
ственных колебаний. Подстановка выписанного выражения
в (16.102) приводит к краевой задаче
LU + p(MU + Q2U) = 0 (a*€V),
(N-P)U = 0 (a*€So), (16.105)
U = 0 (<?£$„).
Как известно [8], условием самосопряженности задачи (16.105)
является выполнение с учетом граничных условий задачи ин-
тегрального равенства
[ {[LU(1) + p(MU(1> +Q2U(1))]-U(2) -
" V
- [LU(2) + p(MU(2) 4- Q2U(2))]- U(1)} dV = 0 (16.106)
при производных UO), U<2>, удовлетворяющих геометрическим
граничным условиям задачи. С использованием тождества (6.98)
и граничных условий задачи приводим (16.106) к виду
( p(MU(1)-U(2) -MU(2)-U(1))dV 4-
J о *
V
--L ( (PU(1)-U(2) -PU(2)- U(1))dS\ = о,
J о
совпадающему с учетом равенства (16.104) с условием консерва-
тивности внешней нагрузки [второе соотношение (6.99)1. Таким
образом, самосопряженность краевой задачи (16.105) обеспечи-
вается консервативностью внешней нагрузки.
Однородная задача (16.105) может иметь нетривиальные реше-
ния при определенных — собственных — значениях величины й2.
Для самосопряженной задачи й2 вещественно. В самом деле,
282
умножая первое уравнение (16.105) на U (здесь---знак ком-
плексного сопряжения) и интегрируя по объему тела, получаем
— Й2| pU-LW = Jo(LU-U + pMU-U)dV =
v V
= V2 f [LU.U + LU.U + p(MU-U + MU-U)]dV +
v
-p/J [(LUH-pMU)-U-(LU + pMU)-U]dK (16.107)
J v
Последний интеграл равен нулю в силу условия самосопряжен-
ности (16.106) (подчеркнутые члены в последнем, очевидно, упра-
здняются и остается положить U(1) - U, U<2> = U). Оставшиеся
в (16.107) интегралы вещественны и, стало быть, й2 вещественно.
Пусть й2 > 0. Тогда й вещественна и, согласно (16.104),
амплитуда колебания не возрастает во времени, т. е. положение
равновесия устойчиво. И наоборот, при й2 < 0 Qj — i| й|, й2 —
— —i |й| чисто мнимы. Из (16.14) видно, что при этом имеется
решение (собственная форма колебания) с возрастающей во вре-
мени амплитудой, т. е. положение равновесия неустойчиво.
В силу непрерывной зависимости й2 от внешних сил моменту
потери устойчивости отвечает прохождение величиной й2 нуле-
вого значения (из интервала устойчивости й2 > 0 в интервал
неустойчивости й2 < 0). При этом потеря устойчивости проис-
ходит по типу статической неустойчивости, характеризуемой
монотонным нарастанием амплитуды смещения [ср. (16.60)].
Поскольку при й2 = 0 задача о малых колебаниях (16.105)
переходит в задачу о собственных значениях (16.103), из сказан-
ного выше следует: при консервативных внешних силах для отыска-
ния критических значений внешних сил вместо динамического
метода можно использовать (более простой) статический.
При консервативных внешних силах типичным при возраста-
нии нагрузки будет поведение частот собственных колебаний,
показанных на рис. 16.8, а (®->й). При неконсервативных
внешних силах возможна потеря устойчивости по типу динами-
ческой (колебательной) неустойчивости, связанной с переходом
частоты собственных колебаний в правую полуплоскость при
Jm й =0: 0 (рис. 16.8, б). В этом случае статический подход, оче-
видно, неприменим. Неприменим он и при динамических (напри-
мер, пульсирующих) воздействиях.
16.17. Условия консервативности
при нормальном давлении
В параграфе 16.8 приводился пример неконсервативности
следящих нагрузок. Последние могут быть консервативными
лишь при выполнении некоторых специальных условий. Получим
283
эти условия для практически наиболее важного вида следящей
нагрузки — нормального давления.
Прежде всего, возмущая выражения (6.60), находим с учетом
равенств (6.87), (6.93)
оо = - V {^R*1 + - ^PR“) Vau₽),
п
Р = - V^(^pR^-^pR“)va(R₽.),
of = -
Массовые силы будем считать «мертвым и». Тогда условия кон-
сервативности внешней нагрузки (6.99) записываются с учетом
(6.49) в виде
I = J n^Jq {w^jVccU^i) — — «0)Va«(2) 4"
к
+ w“i;VaU(2j) dSn = [ n^q {U(2)Vaw“ij — w<2)VaU^i) -
so
— й0)\7ай(2) 4“ u“i)V«W(2j} dSn = 0.
Введем систему координат, в которой граница деформирован-
ного тела является координатной поверхностью а3 = | = const,
а £ — длина, отсчитываемая по внешней нормали от поверхности
тела. При этом
zij = п2 = 0, п3 = 1, й3 = w, V3 = д/д%,
aw — возмущение точек поверхности по нормали к ней. Во вве-
денной системе координат
7= L <?Vp (й>(1)«Р2) — ш(2)йР1))б/5„ = 0.
Рассмотрим важный случай, когда Sa = SJ + S; и на каж-
дой части нормальное давление постоянно (q+ и q~). При этом по
формуле Грина (10.60) получаем (рис. 16.16)
I = q+\ ?р(ш0)й(Р2) — +
4
+ <Г| Vp (гй(1)«(Р2) — w^ufi^dSn =
==9+f+ + (“’(i)“v> - w^u^ds +
J Г+Ч-Ь+
+ ^-[_ _ (®(i)«v2) -- w^iiv^dS, (16.108)
J Г 4-L
284
где uv = vpi/P — возмущение точек контура в направлении тан-
генциальной нормали (нормали к контуру, касательной к поверх-
ности).
Следуя совету В. В. Новожилова, автор рассмотрел (рис. 16.17)
трехмерный аналог задачи Бекка (см. параграф 16.8). При этом
будем считать боковую поверхность цилиндра свободной от
напряжений: q~ = 0. Нижний то-
рец считаем заделанным по его
контуру, так что на Г йх = w = 0.
Сжимающую осевую нагрузку
Рис. 16.16
(силу) создает нормальное давление q+ = q на верхнем торце.
С учетом сказанного из (16.108) следует условие
= 0,
J L+
не выполняющееся при произвольных гй(1), • Таким образом,
трехмерный аналог, как и собственно задача Бекка, являются
несамосопряженными.
Нетрудно видеть, что при всесторонне равномерном давлении
(L+ отсутствует) и заделке нижнего основания условие консерва-
тивности внешней нагрузки выполняется и задача самосопряжена.
Глава 17. АНИЗОТРОПИЯ УПРУГИХ СВОЙСТВ
Трудно найти область человеческих знаний, в которой в той
или иной степени не использовались бы соображения симметрии.
Широко ими пользуются и в теории упругости при рассмотрении
как естественных, так и искусственно созданных анизотропных
сред. В параграфе 17.1 приводятся сведения о преобразованиях
симметрии, необходимые для выяснения структуры закона упру-
гости для анизотропных тел. В параграфах 17.2—17.8 излагается
круг вопросов, связанных с законом Гука для анизотропных
материалов. Особое внимание уделяется несжимаемому ортотроп-
ному материалу в плоском напряженном состоянии. Оригиналь-
285
ним здесь является подход к рассмотрению вопроса о пределах
изменяемости упругих постоянных, введение симметричных коэф-
фициентов Пуассона. В последних параграфах рассматривается
нелинейно анизотропный материал при больших деформациях.
Полученные зависимости применены к ортотропным оболочкам.
17.1. Симметрия анизотропных сред
Механические, в том числе и упругие, свойства сред во многом
определяются наличием у структуры материала отдельных эле-
ментов симметрии конечных тел. Рассмотрим какую-нибудь трех-
мерную фигуру. Речь об ее симметрии может идти только в случае,
если фигура разбивается на несколько одинаковых частей, рас-
положенных в некотором правильном порядке. Правильность
определяется преобразованиями симметрии, переводящими равные
части фигуры друг в друга. Если при этом не различать одинако-
вые части фигуры, то можно сказать, что преобразования сим-
метрии совмещают фигуру саму с собой.
Несложные геометрические построения показывают [69], что
преобразованиями симметрии могут быть: а) отражения в пло-
скостях, б) повороты вокруг осей симметрии, в) зеркальные по-
вороты.
Отражение в плоскости показано на рис. 17.1. Здесь изобра-
жена фигура, состоящая из двух тетраэдров с основаниями,
лежащими в плоскости чертежа. Отражение в плоскости симме-
трии, проходящей через общее ребро тетраэдров перпендикулярно
к плоскости чертежа, переводит части фигуры друг в друга.
Плоскость симметрии будем обозначать символом т.
На рис. 17.2 показана фигура, имеющая ось симметрии, про-
ходящую через точку соприкосновения тетраэдров перпендику-
лярно к плоскости чертежа. Ось поворота именуется осью симме-
трии п-го порядка, если п — число самосовмещения фигуры при
полном повороте. Ось симметрии n-го порядка обозначим симво-
лом п. Если фигура совмещается при повороте на любой угол,
говорят, что имеет место ось симметрии бесконечного порядка
и обозначают ее символом оо.
Сущность операции зеркального поворота демонстрируется
на рис. 17.3, где показана зеркальная ось 4-го порядка. Прямую
называют зеркальной осью п-го порядка, если для самосовмещения
фигуры необходимо повернуть ее вокруг прямой на угол 2л/п,
а затем отразить в плоскости, перпендикулярной к прямой.
Зеркальную ось n-го порядка обозначают символом п.
Кроме перечисленных основных преобразований симметрии
употребляются и некоторые другие, например инверсия — отра-
жение в точке. Но они уже не являются самостоятельными пре-
образованиями, а могут быть получены через рассмотренные
выше. Так, из рис. 17.4 видно, что инверсия эквивалентна
зеркальному повороту 2-го порядка.
286
Симметрия кристаллов и анизотропия их физических свойств
определяются кристаллической решеткой, в узлах которой рас-
полагаются атомы, ионы или молекулы. Периодическая решетка
у кристаллов существенно уменьшает число допустимых элемен-
тов симметрии. Покажем, например, что не каждая ось симметрии
допустима. Пусть через узел А (рис. 17.5)^проходит2перпенди-
кулярно к плоскости чертежа ось симметрии n-го порядка. Через
любой узел решетки, в частности через В, проходит ось того же
порядка. Совершая поворот вокруг узла А на угол <рп = 2л/п,
мы должны, очевидно, совместить решетку саму с собой. При
этом узел В переходит в некоторый узел В'. Аналогично при
повороте вокруг В на тот же угол, но в противоположном напра-
влении узел А переходит в узел А'. Отсюда следует, что отрезок
В'А' должен быть кратен периоду решетки а, т. е.
а 4- 2а sin (<рп — л;2) , о
—--------= 1 - 2 cos р,
где р — целое число. Отсюда следует, что cos <pn = q/2, где q —
= 1 —р — также целое число. Поскольку | cos <р„ | <1, из
этого неравенства следует, что имеются лишь пять значений
(отвечающих q = 0, ±1, ±2): 0, 180, 120, 90 и 60°. Таким обра-
зом, в кристаллах возможны оси симметрии лишь 1,2, 3,4 и
6-го порядков.
Показано [69 ], что существуют 32 существенно различных
кристаллических класса, отнесенных к семи кристаллическим
системам — сингониям. Все они сведены в табл. 17.1; в третьем
287
столбце ее помещены порождающие элементы симметрии, комби-
нации которых позволяют получить все преобразования симметрии
кристаллического класса. В четвертом столбце помещены по-
рождающие элементы симметрии, которые с дополнительным
преобразованием инверсии позволяют получить все преобразова-
ния симметрии кристаллического класса.
Таблица 17.1
Сингония Но- мер клас- са ПО Гроту Порождающие элементы симметрии Сингония Но- мер клас - са по Гроту Порождающие элементы симметрии
Триклинная 1 2 1 2 1 1 Тригональ- ная (ромбо- эдрическая) 16 17 18 19 20 3 6 3 : 2 3-т 6-т 3 3 3 : 2 3 : 2 3 : 2
Моноклин- ная 3 4 5 2 т 2 : т 2 2 2
Гексаго- нальная 21 22 23 24 25 26 27 3 : т т-3 : т 6 6 : 2 6 : т 6- т т-6 : т 6 6 : 2 6 6 : 2 6 6 : 2 6 : 2
Ромбиче- ская 6 7 8 2 : 2 2-т т-2 : т 2 : 2 2 : 2 2 : 2
Тетраго- нальная 9 10 11 12 13 14 15 4 _4 4- т 4 : 2 4 : т 4-т т-4 : т 4 4 4 : 2 4 : 2 4 4 : 2 4 : 2
Кубическая 28 29 30 31 32 3/2 3/4 6/2 3/4 6/4 3/2 3/4 3/2 3/4 3/4
В третьем и четвертом столбцах точка сопровождает плоскость,
параллельную оси, а двоеточие — перпендикулярную. Косая
черта сопровождает следующую за ней ось симметрии, равно-
наклоненную к координатным осям.
Кроме перечисленных кристаллических классов имеются семь
классов — текстур, сведенных в табл. 17.2. При этом во второй
строке приведены их порождающие элементы I, а в третьей —
порождающие элементы, дающие с преобразованием инверсии все
преобразования симметрии II. Как видно из приведенной таблицы,
текстуры являются средами, имеющими среди своих элементов
симметрии ось симметрии бесконечного порядка оо.
Из обеих таблиц усматривается, что кристаллические классы 4,
5, 7, 11, 13, 14, 19, 20, 21, 25, 26 и текстуры оо-т, оо/оо-т имеют
одну плоскость симметрии. Имеют ее и многие искусственные
материалы.
Ортотропными называют материалы, имеющие три взаимно
ортогональные плоскости симметрии. Ортотропными являются
288
кристаллические классы 8, 15, 22, 27 и текстура т- оо ; т. К ним
же относятся и многие искусственные материалы: фанера, бумага,
композитные материалы регулярного строения.
Таблица 17.2
Текстура Номер текстуры
1 2 3 4 5 6 7
I co co : tn OQ‘tU m-oo : tn oo : 2 co oq. oo/oo-m
II co oo : 2 co 'co
Трансверсальная изотропия характеризуется наличием поворот-
ной оси симметрии бесконечного порядка. Согласно табл. 17.2
трансверсальной изотропией обладают все текстуры.
Изотропными называют среды, содержащие в качестве элемен-
тов симметрии всевозможные повороты и отражения.
В механике анизотропных сред используют принцип Неймана,
согласно которому симметрия рассматриваемого физического (ме-
ханического) свойства не может быть ниже симметрии среды. При
этом физическое свойство может обладать и более высокой сим-
метрией. Так, например, кубические кристаллы в отношении
свойств, описываемых тензорами второго ранга (в частности,
оптических), ведут себя как изотропные тела. Далее, свойства,
описываемые тензорами четных рангов (например, упругость),
инвариантны относительно преобразования инверсии.
Читатель, знакомый с началами современной алгебры, без
сомнения, давно уже догадался о том, что сказанное в этом пара-
графе имеет самую тесную связь с теорией групп (группы сим-
метрии). Мы сознательно избежали использования соответству-
ющей (конечно, более точной) терминологии, имея в виду приклад-
ную направленность книги и скромный объем необходимых для
дальнейшего сведений. Более подробно ознакомиться с затрону-
тыми вопросами симметрии можно по книгам [69, 52].
17.2. Закон Гука для анизотропных материалов
Для анизотропного материала в ортогональных, координатах
физические компоненты тензора напряжений и линеаризованного
тензора деформации связаны законом Гука (i, j, k, I, a, p = 1, 2, 3)
°(‘i) = (17.1a)
При этом
E(ijkl) = E(fikl) ~ E(nlk) — E(k!ip- (17.16)
289
При переходе к другой ортогональной системе координат модули
упругости преобразуются по формуле
E(ijkl) — » (17.2)
где qtj — косинусы углов поворота, подсчитываемые по форму-
лам (1.3).
Получим ограничения на выбор модулей упругости, обусловли-
вемые симметрией механических свойств материалов. Для этого
удобно использовать комплексные комбинации
2Хц = £(11Ц) + 2£(ц22) £(2222),
2 У 2S12 — £(1111) — £(2222) + i2 (£(1112) + £(2212)),
4«22 = £(1111) — 2£(Ц22) -|- £(2222) — 4£(1212) + *4 (£(1112) — £(2212)),
4X23 = £(1111) — 2£(Ц22) Т £(2222) + 4£ (1212),
У 2X14 = £(1113) + £(2213) + i (£(1123) + £(2223)),
2X24 = £(1113) — £(2213) — 2£(i223) + I (2£(1213) + £(1123) £(2223)),
2X25 = £(1113) ~ £(2213) -Г 2£( 1223) + I (2£(1213) ~ £(1123) + £(2223)),
Х44 = £(1313) — £(2323) + 1’2£(1323), Х45 = £(1313) + £(2323),
V 2X16 = £(1133) -|- £(2233), 2X26 = £(1133) — £(2233) + *£(1233)»
Х46 = £(1333) + *£(2333)» S66 = £(3333) (17-3)
и обратны е им зависимости
£(1П1) — Vzsn 4" V2 Re Х]2 Vz Re s22 Ч~ Vzs23,
£(2222) = 1/asi 1 — У 2 Re Х12 + Vz Re s22 + Vzs23,
£(1122) — V«s!l — Vz Rex22 — VzS23,
£(1212) = — Vz Re s22 -7- Vzs23,
£(1112) = Vz V 2 Jm X12 + V2 Jm x22,
£(2212) = Vz V 2 Jm Xu — Vz Jm x22,
£(1113) = Vz У 2 Re X14 + Vz Re $24 + Vz Re s25,
£(2213) = Vz 1V 2 Re X]4 — Vz Re$24 — Vz Re s2s, цу
£(ii23) = V2y 2 Jm хи + y2 Jmx24 — ’/2 Jms25,
£(2223) = Vz y' 2 Jm X14 — Vz Jm s24 -}- V2 Jm x23,
£(1223) = — Vz Re s24 ’/2 Re x25,
£(1213) = Vz Jm x24 У2 Jm x25,
£(1313) — Vz (Re S44 X45), £(H33) = Vz V2si6 V- Re x26,
£(2323) = Vz (— Rex44 S45), £(2233) — Vz V2si6 — Re x2e,
£(1323) — Vz Jmx44, £(1233) = Jm x2e,
£(1ззз) = Re X46, £(2333) — Jm X16, £(3333) = S66-
290
Рассмотрим поворот вокруг 3-й оси на угол ю.
гласно (1.46)
При этом со-
COS О)
— sin со О
юз = О),
CDj = 0)2 = О,
(17.5)
Отсюда и из (17.2), (17.3) находим
cos ® О
О 1
(17-6)
si6
5бб
si6
s66
с _____ с л с ______ с р
д22 — д22е , г>24 — д21е
Для оси второго порядка (2) ш = л и требование инвариантности
величин Stj относительно рассмотренного поворота приводится
согласно (17.6) к требованиям, сведенным в первую строку следу-
ющей таблицы:
2 s24 = s25 = s14 = s46 = 0;
4 s24 = s25 = s14 = s46 = s]2 = s26 = $44 = 0;
3 s12 = s22 = s26 = s44 = s14 = s46 = 0;
6 s12 = s22 = s2e = s44 = s14 = s46 ” s25 = 0.
Остальные ограничения выявляются аналогично. Согласно (17.4)
выявленные ограничения можно записать и так:
2 £(1123) = £(1113) = £(2223) = £(2213) = £(3323) — £(3313) =
= £(1223) = £(1213) — 0;
4 £(1123) = £(1113) = £(2223) = £(2213) = £(3323) = £(3313) =
= £(1223) ~ £(1213) = £(3312) = £(2313) = 0, £(2233) = £(1133),
£(2222) = £(1111), £(2212) = — £(1112), £(1313) = £(2323)5
(17.7)
3 £(1112) = £(2212) = £(1312) = £(3323) = £(3313) = £(2313) = 0,
£(2222) = £(1111), £(2233) = £(1133), —£(2223) = £(1123) = £(1213),
£(2213) —’ — £(1113) = £(1223), £(1313) = £(2323),
£(1212) = % (£(1111) — £(1122)5
6 £(1112) = £(2212) = £(3312) = £(3323) = £(3313) = £(2313) =
= £(1ПЗ) = £(2213) = £(1223) = £(1123) = £(2223) = £(1213) = 0,
£(2222) = £(1111), £(2233) = £(1133), £(1313) = £(2323),
£(1212) = '/г (£(1111) ” £(1122)).
291
Рассмотрим поперечную поворотную ось 2-го порядка (: 2),
считая ее совпадающей с 1-й координатной осью («х = л, о>2 =
= w3 = 0). Нетрудно видеть, что ограничения на упругие модули
можно получить из ограничений для оси 2 в (17.7) путем замены
индексов: 3—>- 1, 1 —2, 2 —3. При этом с учетом (17.1)
: 2 £(1112) — £(1113) = £(2212) = £(2213) = £(3312) =
= £(3313) = £(1223) = £(2312) — 0- (17.8)
Рассмотрим, наконец, равнонаклоненную к координатным
осям ось симметрии третьего порядка (/3). Нетрудно видеть, что
поворот вокруг этой оси на угол 2л/3 = 120° переводит первую
координатную ось во вторую, вторую в третью и третью в первую.
Неизменность модулей упругости имеет место при
£(1111) -• £(2222) = £(3333), £(1122) = £(2233) = £(1133),
/3 £(1112) = £(2223) = £(3313), £(2212) = £(3323) = £(1113),
£(312) = £(1123) = £(2213), £(1212) = £(2223) = £(1313),
£(1213) = £(2312) = £(1323)- (17.9)
Соотношения (17.7)—(17.9) и четвертый столбец в табл. 17.1
позволяют получить ограничения на вид модулей для всех кри-
сталлических классов и текстур. Напомним, что четвертым столб-
цом можно пользоваться с учетом сделанного в конце параграфа
17.1 замечания об инвариантности компонент тензора четного
ранга относительно преобразования инверсии. С учетом сказан-
ного в параграфе 17.1 и руководствуясь следующим правилом
замены пар индексов
(11)^(1), (22) — (2), (33) —(3),
(17.10)
(12) —(4), (23) —(5), (13) —(6),
соберем существенно различные модули в симметричные матрицы
шестого порядка. Для сингоний (кристаллических систем) имеем
£(1П1) £(1122) £(1133) £(1112) £(1123) £(1113)
триклинная £(222?) £(2233) £(3333) £(2212) £(2223) £(2213) £(3312) £(3323) £(3313) £(1212) £(1223) £(1213) £(2323) £(2313) £(1313),
£(Ш1) £(1112) £(1133) ООО
£(2222) £(22"3) ООО
292
ромбическая £(зззз> ООО (17.П)
£(1212) О О
£(2323) О
£<1313)!
£(11Н) £(1112) £(пзз) £(1112) О О
£(Ш1) £(изз) —£(Ш2) О О
£(зззз) ООО
£(1212) О О.
тетрагональная £<2323) 0
(классы 9, 10, 13) £(2323),
£(Ш1) £(1122) £(пзз) ООО
£(1П1) £(пзз) ООО £(зззз) ООО £(1212) 0 0
тетрагональная Е ^зззу 0
(классы 11, 12, 14, 15) £(2323),
£(1111) £(1112) £(1133) 0 £(1123) £(шз)
£(1111) £(1133) 0 —£(1123) —£(П13)
£(зззз) 0 0 0
тригональная V2 (£(iui) — £(1122)) £(шз) £(1123)
(классы 16, 17) £(2323) 0 £(2323),
£(1111) £(1122) £(1133) 0 £(1123) 0
£(111!) £(1133) 0 —£(1123) 0
тригональная £<зззз) 0 0 0
(классы 18, 19, 20) V2 (£(ini) ~ £(1122)) 0 £(1123)
£(2323) 0 £(2323),
£(1111) £(1122) £(1133) 0 0 0
£(ПП) £(цзз) 0 0 0
£(зззз) 0 0 0
293
гексагональная */2 (£(1111) — £(П: 22)) 0 0
оо, оо : т, оо -т £ (2323) 0
т-оо : т, оо : 2 £(2323)
•E(iiii) £(1122) £(1122) 0 0 0
£(11П) £(1122) 0 0 0
кубическая £(ип) 0 0 0
£(2323) 0 0
£(2323) 0
£(2323).
Из соотношений (17.4), (17.6) и матрицы гексагональной син-
гонии усматривается, что в последней «уцелели» лишь модули,
инвариантные относительно произвольного поворота вокруг 3-й
оси. Поэтому текстура с осью поворота бесконечного порядка (оо)
в отношении упругих свойств ведет себя как кристаллы гекса-
гональной сингонии.
Гиротропная (оо/оо) и изотропная (оо/оо-т) среды должны,
очевидно, обладать симметрией как гексагональной, так и куби-
ческой сингонии. Сопоставление их матриц приводит к матрице
£(11П) £(1112) £(1122) 0 0 0
£(1111) £(1122) 0 0 0
£(11П) 0 0 0
гиротропная V2 (£(1111) — £(1221)) 0 0
изотропная ’А (£(Ш1) — £(1112)) 0
V2 (£(11П) — £(2222))' (17.12)
17.3. Главные оси анизотропии
Следуя работе В. В. Новожилова [40, стр. 149], введем
главные оси анизотропии. Для этого рассмотрим деформацию
(чистого) изменения объема e(i/) = 1/3Ie6j/-, где 1е = е(ц) 4- е<22> +
+ е(зз) — относительное изменение объема. Рассматриваемой де-
формации отвечает тензор напряжений
Q(ij) — = £(//ааДг/3-
Отсюда видно, что величины
= (17.13)
можно рассматривать как компоненты тензора объемных модулей.
В силу равенств (17.1) — это симметричный тензор второго ранга.
294
Его главные направления уместно называть главными осями
анизотропии. Из (17.13) следует, что в главных осях анизотропии
12) — 0 : £(1211) 4" £(1222) 4~ £(1233) = О,
£(23) = 0 : £(2311) ~Ь Е(2!322) + £(2333) = 0, (17.14)
/((13) = 0: £(1311) + £(1322) £(1ззз) = 0-
Вернемся к таблице модулей (17.11). Так, для триклинной
сингонии в главных осях анизотропии в силу (17.14) имеются
лишь 18 существенно различных модулей упругости.. Для моно-
клинной сингонии из условий (17.14) остается лишь первое, так
что существенно различных модулей — 12. При этом нетрудно
отыскать главные оси анизотропии. Согласно (17.2), (17.13),
(17.5) и матрице модулей для моноклинной сингонии имеем
£(12) = £(12cta) = 1/2 [£(22аа) £(11аа)] 81П 2(0 4" £(12аа) COS 2(0.
Приравнивая нулю полученную величину, приходим к выра-
жению
1g 2(0 = 2E(i2aa)/[£(llaa) £(22аа)], (17.15)
определяющему поворот вокруг третьей координатной оси, пере-
водящий координатные оси в главные оси анизотропии.
С учетом соотношений (17.14) из таблицы (17.11) усматри-
вается, что остальные сингонии уже отнесены к главным осям
анизотропии. Далее аналогично (17.15) находим, что в тетра-
гональной сингонии поворот
tg 4(о — 4E(iц2)/[£(1 111 > — £(1122) — 2E(i2i2)] дает £(Ш2) = О,
а для тригональной
tg Зю = - £( 1113)/£( 1123) дзет £(шз) = 0.
При этом в двух последних сингониях матрицы модулей унифи-
цированы внутри сингоний. Таким образом, в тригональной
и тетрагональной сингониях по шести существенно различных
модулей. Наконец, из (17.11) и (17.12) усматриваются: в ромби-
ческой сингонии 9, в гексагональной 5, в кубической 3, а в изотроп-
ной среде 2 существенно различных модуля.
Заметим, что сказанное в параграфах 17.2, 17.3 целиком отно-
сится и к коэффициентам податливости вводимым соотно-
шением
£((/) — tt(i/aP)<T(aP) (17.16)
и удовлетворяющим условиям симметрии
— O-(/i'A:() — &(ljlk) — . (17.17)
295
17.4. Пределы изменяемости компонент
положительно-определенной симметричной матрицы
Рассмотрим для определенности квадратную симметричную
матрицу шестого порядка Т = || Согласно известному кри-
терию Сильвестра необходимым условием положительной опре-
деленности симметричной матрицы является положительность
всех главных миноров ее определителя. В частности, tu > 0,
t66 > 0. Используя эти неравенства, введем обозначения
= 1).
при помощи которых симметричной матрице Т можно придать вид
^11 V12 1^11^22 V13 Е^п^зз v14 >^/ц^44 ^15 ^11^55 vie V ^1Увб
^22 V23 V ^22^33 V24 У ^22^41 V25 У ^22^55 ^26 ^22^66
Езз V34 j/ ^33^44 V35 /^33^55 ^36 /^33^66
^44 v45 'V V46 V
v&b V^55^66
tw-
Наряду с Т рассмотрим вспомогательную матрицу
1 v12 Vis V14 V15 Vie
1 v2s v24 v28 v2e
1 V34 V35 v38
1 V.s V.. (Ч.18)
1 'Vse
1
тл « rml i ]-m—1\
Используем обычную [12] запись D ми-
\Л / + т- 1 /
нора, полученного из определителя матрицы (17.18) путем вы-
черкивания первых I — 1 строк, / — 1 столбцов и последних
п — (i + m — 1) строк, п — (j + m — 1) столбцов. При ука-
занном вычеркивании образуется минор m-го порядка с элемен-
том v(f+m_i)(/+m_i) в правом верхнем углу. Если через
/1, ..., i + m — 1 \
ит обозначить аналогичный минор для мат-
\/> .... j + пг — 1 /
рицы Т, то нетрудно убедиться в справедливости следующего
тождества:
l'i, ... , i 4- m — Г\ I 1 i, ... , i 4- m — 1\
Dr / D =
... , i i-m — 111 \i, ... , i |ml '
— tn ... 1 j. (17.19)
296
Будем последовательно рассматривать элементы, расположен-
ные на первой наддиагонали (v12, v5e), на второй — (v]3, v40)
и т. д., предполагая на каждом шагу, что элементы предыдущих
наддиагоналей известны. Используем положительность главных
миноров. При этом из (17.19) и положительности ti( следует воз-
можность ограничиться рассмотрением матрицы (17.18). Прежде
всего
II, ... , i + т — 1 \ 2 /i + 1, ... , i 4- т — 2
D\i, ... , i Н- т - 1 / = ~Vc V + 1, ... , i + т _ 2
, 2с ir+*v • Dv( +
.. li, ... , i 4-т — 1\
+ Dv . . , ,
\i, ... , i т — 1 /
(17.20)
1
V(i+m-2) (i+D ••
где
.. / i, ... , i 4- т — 2\
Dv =
\i 4-1> • • • , i 4-т ~ 1/
0
V(i+1) (i+m-2) V(i+1) (Г+m-l)
1 2) (i'+m—1)
.. , i 4 m — 1 \
.. ,
i l i \-m- 2) 0
v(»+l) <‘+m—2) v(i'+l) (i+m—1)
1 V(i+m—2) (l+m—1)
1
1 v> (i+l) • • .
1
Требование положительности минора (17.20) приводит к сле-
дующим выражениям для элементов (т — 1)-й наддиагонали:
Vj (t+m-1) = 0i (i-pm-l) +
+ Pi (Z-4-m- l) Sill <Pi (/+m-l) (— г/2Л < <Рц1±т -1) < Vz11),
„ . / i, ... , i 4- m — 2\
Oiii+^^Hlf-'DH 7 , (17.21)
\ t ~1 } t • • ) ( —r- lit 1 /
Pi (i+m—1) —
/ i, ... , i 4- m — 2\2
Dv , 4-
\i + 1, ... , i 4- tn — 1 /
i -I- 1, ..., i4-m — 2\ (i....i4-m— 1\Г/;
Dv
i -j- 1, ..., i -]-m — 2/ \i, ..., 1/,
297
Используемый критерий Сильвестра является, как известий;
и достаточным. Так что изменение величин в найденных для
них пределах гарантирует положительную определенность ма-
трицы.
Отыскание возможно более тесных границ изменения элементов
положительно определенной матрицы было предметом многих
работ. По-видимому, наиболее полным и интересным является
исследование П. Бехтерева [6]. По его терминологии найденные
выше интервалы изменения элементов — наитеснейшие (неулуч-
шаемые) [6, ч. I, стр. 81 ].
Элементы двух первых наддиагоналей имеют следующие ком-
пактные представления:
V; (1’4-2) = Sin <Pi (i'4~l) ( ЧъЛ-
Vi (f-4-2) — sin <р( (i+I) sin <P(i4-i) (,’4-2) +
+ COS <p( (£4-1) COS <P((4-1) (£4-2) sincpi (£4-2)- (17.22)
Отсюда видно, что при нашем подходе интервалы изменения
элементов, принадлежащих рассматриваемой наддиагонали, зави-
сят от «наполненности» интервалов (ниш), установленных для
элементов предшествующих наддиагоналей.
17.5. Пределы изменяемости упругих постоянных.
Объемные и сдвиговые деформации
Руководствуясь правилом замены индексов (17.10), запишем
закон Гука (17.1а, б) в виде
а(0 = /EiEyv^e^ (v1£ =1; i, 0 = 1, ... , 6). (17.23)
Для упругого потенциала (плотности энергии деформации) Ф =
= 1/2сГ(СХр) е(сг,0) имеем выражение
2Ф — у ЕаЕ$va$e(а^е— у txatzgpag<T(a)O’(p), (17.24)
где с учетом (17.16), (17.17) имеем аналогично (17.23)
e(i) = 4 а;арр.гро(&) (уц = 1; 1,0=1..........6). (17.25)
Отождествляя величины Eit vtj (ai( р^) с рассмотренными
в параграфе 17.4, видим, что выполнение условий Et > 0 (аг > 0),
(17.21), (17.22) и аналогичных для уц автоматически обеспе-
чивает положительность упругого потенциала при произвольных
(малых) деформациях и напряжениях. Величины Et можно рас-
сматривать как обобщенные модули Юнга, a vl} = v}l — как
обобщенные симметричные коэффициенты Пуассона различных
порядков (под порядком будем понимать величину |/—t|).
Тензор деформации можно представить в виде суммы
е(£/) = + *(£/)• (17.26)
298
Первое слагаемое — шаровая часть
= 'Ми (1е = е = е(П} у к е^) (17.27)
определяет деформацию изменения объема, а второе слагаемое —
девиаторная часть
e(ip = e(ip А!з1 = о)
характеризует деформацию формоизменения при сохранении
объема.
Подстановка суммы (17.26) в (17.23) приводит к соответству-
ющему разбиению тензора напряжений
СТ(О) = а(О') "Г стО/)>
где
— y^Ei (j^Ei Н- >/<^2Vi2 “г У^-Ез^з) Л/3;
0(22) — V Е2 (f/fiVi2 -f- у^Е2 -|- j/ U3V23) Л/3;
О(зз) — j/ E3 (y^£,v13 -|- j/*E2V23 -|- j/"£3) £/3;
0(12) = 1/£4 (/£1V14 + -/£^24 + YE3V34) Ie/3',
0(23) = VЕз(УEiVi5 + VE2V25 + VE3V35) Ie/3;
0(13) = (/£(V16 -f- T/r£2V26 + VЕ3Узб) £/3;
d v
°(ij) = 0(1/) — O(i/).
При деформации всестороннего сжатия имеем для среднего
нормального давления
oJ = VsOfw) = (£1 -|- £2 ~г Ез ф- 2 "|Л£i£2V]2 -|-
-|- 2 E2E3V23 Ч- 2 у^~Е\ЕзУ\з) /с/3.
Отсюда и из (17.23)—(17.24) находим
2Ф = avIe = ave.
Из полученного выражения для (положительного) упругого по-
тенциала следует, что при деформации всестороннего сжатия
(е < 0) среднее нормальное напряжение отрицательно.
Заметим, что для анизотропного материала полученный ре-
зультат, вообще говоря, не совпадает с утверждением, что все-
стороннее нормальное напряжение уменьшает объем. Для дока-
зательства последнего вернемся к соотношениям (17.26), (17.27).
При всестороннем нормальном давлении
~ °$ij (° = < 0)
и аналогично предыдущему из (17.24)
2Ф = ае°,
299
где
6° = [ai 4- а2 + а3 + 2 (/ах012р12 Ц- ]/а2а3р23 у7 OjOtsp^J о —
всестороннему обжатию изменение объема. Отсюда
что всестороннее нормальное давление уменьшает
отвечающее
и следует,
объем.
17.6. Несжимаемый материал
Рассмотрим несжимаемый материал. Подсчитывая по выраже-
ниям (17.25) инвариант Ie = e(vv) и требуя, чтобы равенство
1в = 0 выполнялось при произвольных напряжениях, приходим
к условиям несжимаемости материала
У^а1 4" V«гМчг h У7"азР1з — 0> Vа1Ии h V«2И21 h У^ОзИз* = 0>
V«iHiz 4" У^а2 h У7"«зНгз = 0, у4а^р15 -|- j4012Р25 Н- У^ОзНза = О»
У^ОзМаз Н- У^ОгНгз Н- 14«з — 0> y^OiMae Н- У^ОгРгв И У^«зРзв = 0>
из коих следует
Р12 = («з — «1 — a2)/2 j4 a!Oi2,
p23 = (oij — аг — a3)/2 a2a3,
Р1з = (“2 — a3 — «i)/2 / «1«з>
УЛазРз4 =
У^ азН35 —
V азНзв =
у7" «1Р14 —
У"" «1Р15 — У^ «2^25,
— Z а1Н16 — V а2И26-
(17.28)
из шести выражений
лишь пять. Опуская
e(vv) ~ О
являются
В силу использованной связи
(17.25) линейно независимыми
поэтому третье и подставляя в оставшиеся пять соотношения
(17.28), получаем
6(11) = «1 (О(Ц) — <Г(зз>) 4" 7г («з — «1 — 02) (<т(22) — О(зз)) 4"
4" Vа1а4р.14а(12) -|- у7а^рцо^з) Ц- Vа^бРчбО^з),
6(22) = 7г (“з — а] — а2) (о(ц) — а(зг)) + аг (o(22) — О(зз)) 4"
4" У «2«4Р24О(12) + У" 02«5р.2б0(23) 4" V ОгОбРгбОцЗ)»
6(12) = V«i«4Pi4 (О(Ц) — 0(33)) -|- -j/ 0^0^24 (0(22) ~ О(зз)) 4"
4" a4a(i2) 4" у7а4а5р45О(2з) 4" у7а401бЩбО(1з), (17.29)
6(23) = y^ajasPls (0(11) — О(ЗЗ)) 4" Vа2а5Р25 (0(22) — 0(33)) 4"
«4015^450(12) + «50(23) 4" j4«501бР5бО(13)>
б(1з) = Vai«6M-i6 (О(Ц) — О(зз)) 4“ V«гОСбРйб (О(22) — о(зз)) -|-
4" ]/а401бР4бО(12) + 015016^560(23) Ц- абО(1з).
300
Выражение для упругого потенциала (17.24) с учетом (17.28)
и (17.10) принимает вид
2Ф = щ (Ст(1 и — сГ(зз))2 -|- (аз — ai — аг) (0(и> — 0(зз>) (0(22) — 0(зз> 4
4~ аг (сГ(22) — <У(33))а 4~ 2 (сГ(Ц) — <У(зз)) Уа1 [У<а4Р140(12) 4~
+ Va5pi5a(23) + YавР-1бОГ( 13)] 4~ 2 (0(22) — 0(зз>) Vаг а4Ц240(12) 4
+ V a5fx250(23) + У а6р.гбСТ1з] +
4- а4О(12) + 2 уЛа4а5р.45СТ(12)О(2з) 4" 2 Va4a6p460(i2>cr<i3) 4-
“Г as<j(23) "г 2}/a5«61^56°r(23)cr(i3) + абст(1з>-' (17.30)
По известным теоремам высшей алгебры из положительной опре-
деленности квадратичной формы (17.30) (упругого потенциала)
следует разрешимость системы уравнений (17.29), так что
0(11) — 0(33) = Рцб(11) 4~ 012е(22) 4“ Р14е(12) 4" Р15е(23) 4“ Р16е(13),
0(22) ~ 0(33) = Р12в(11) 4- Рг2^(22) + Р(24)^(12) + Рг5^(23) + Р26^(13)>
0(12) = Р14е(Ц) 4- р24е(22) + Рч4е( 12) + Р45^(23) + Р46^(13).
0(23) = PlS^d 1) + Р25^(22) + Р45в(12) + Рь5^(23) + Рьб^ЦЗ).
0(13) = Р16е(11) + Ргбе(22) 4" Р46е(12) 4“ Рзбб(23) 4- Рб6е(13)- (17.31)
Отсюда усматривается, что нормальные напряжения ст(ц), сг<22>,
0(33; определяются с точностью до произвольной функции типа
всестороннего давления р. Пользуясь этим, можно придать соот-
ношениям (17.31) (и притом не единственным способом) симме-
тричную относительно о(11) форму (см. параграф 17.8). Форма
записи (17.31) особенно удобна в случаях, когда в рассматрива-
емой задаче имеется предпочтительное (третье) направление (на-
пример, плоское напряженное состояние, см. параграф 17.7).
Из (17.31) также следует, что общему случаю несжимаемого ма-
териала отвечают 15 независимых упругих постоянных.
17.7. Плоское напряженное состояние
(линейный случай)
Плоское напряженное состояние определяют равенства
0(зз) = 0, в(13) = 6(23) = 0. (17.32)
Отсюда и из (17.23), (17.10) следует
/^ЗЗ = — (/£1V136(11) 4- /2^23^(22) 4- У ^34в(12)), (17.33)
0(11) = Е\е\\ 4 •£l£2'V12e(22) 4" £1£3V136(12)>
022 = ]/^ ^1 ^2V12^(11) 4~ ^2^22 4” I/1”•^2-^3V23e(12)> (17.34)
0(12) = £*2'v13e(l 1) 4“ ^2Е'Л^23е{22) 4~ -£зе(12)>
301
где
£. = £i(i -v?3); £2 = £2(1 - v23); £3 = £1(i-v|4);
7, _ v12 ----Vj-jVng . - У24 - V23V34
Vi о = - — ------ — T V24 = -------- ------ — ,
l-V23 ]Л-'’2зК1-г’34
V14 — У13У34
(17.35)
Согласно же (17.34) и (17.22) положительность упругого потен-
циала
2Ф = Е^!!) 2 j/” Е\Е2V12^(11 )^(22) 4“ £г6(22) 4~
4~ 2 j/"EiE^v^^ii^^) г 2 j/”E2E2v2зе22е(зз) 4~ Ее\\з) (17.36)
обеспечивается соотношениями
£i>0, £2>0, E3Z>^,
v12 = sin ф12, v23 = sin ф2з (— V2n < <p,fe < v2n),
v13 = sin <p12 sin <p23 + cos <p12 COS ф23 Sin ф13.
Последние зависимости можно заменить неравенствами
IV12] < 1,
|v23|< 1,
V13---V12V23
/ 1-Ч2К !-^з
<1.
(17.37)
(17.38)
(17.39)
17.8. Ортотропный материал (линейный случай)
Как уже было сказано в параграфе 17.1, ортотропный материал
в отношении упругих свойств «ведет себя» как кристаллы ромби-
ческой сингонии. Поэтому из третьей матрицы (17.11) и соотно-
шений (17.10), (17.23)—(17.25) следуют две формы записи закона
Гука и выражение для упругого потенциала
О(И) = Е 16(11) + •/ Е\Е2 ^12^(22) + У^Е[Ез vi3e(33),
0(22) = Vх fi-Ег vi26(ii) + £26(22) + Р £г£з ¥236(33),
------------------ ,------ (17.40)
°(33) = V E\E3v\3fi(\\) ф- у Е2ЕзУ2зё(22) 4~ E3e^)z
<Г(12) = £46(12), 0(23) = £56(23), <Г(13) = £б6(13),
6(11) -- аЮ(Ц) 7/а;«2 Р12О(22) ф- у ai«3 Р13о(зз),
6(22) = Vai»2 Pi2CT(i 1) + а2О(22) 4- а2азр2зст(33), ц?
6(33) — Vоь1СХз р1зО(Ц) -|- 7/агазр2зО(22) Ц- ^зО(зз),
6(12) = ®4<Г(12), 6(23) = »зО(23), 6(13) = Oi6CT(13),
2Ф = £16(11) £26(22) + £36(33) + 2 []ЛЕ\Е2 V[2e(11)6(22) +
4- уЛ£г£з V236(22)6(33) + V Е\Е3 ¥136(11)6(33) 4“
4- £46(12)6(21) + £56(23)6(32) £б6( 13)6(31)1-
302
При этом сопоставление соотношений (17.40) и (17.41) дает
Е[ = а2а3 (1 — Н(23))М, /Е[Е2 vI2 = а3-j' ai«2 (р13р23 — Ц1г)/Д,
Е2 = аз«1 (1 — Ц(13))/Д> V £2£3V23 = аг/а2а3(Р12Ц13 — Цгз)/Д,
Е3 = aia2 (1 — Ц12)/Д, •/£j£3 vi3 = а2 /а3а! (игзрЧг — И1з)/Д>
Д — aja2a3 [1 4- 2р42р23Ц13 — (р?2 Ц- р23 4* Щз)]-
Согласно (17.22) положительность упругого потенциала обеспе-
чивается соотношениями
Ег > 0, .... Ев > 0,
v12 = sin ср12, v2S = sin <р23 (—1/2п < (fij < Vjn),
v13 = sin <p12 sin <p23 + cos <p12 cos <p23 sin <p]3.
Последние зависимости можно заменить неравенствами
|V12|<1, |V23|<1, Ь-т—<L
I V 1 — vf2 V 1 — Vg3
Аналогичные ограничения имеют место и для aft,
Для несжимаемого материала согласно (17.29), (17.31)
б(П) — «1 (о( п) — ^(зз)) + ’/г (а3 — ai — a2) (О(22> — о(33)),
6(22) = !/г (®з — ai — аг) (О(Ц) — о(33)) 4~ а2 (о(22) — о(33)),
6(12) = а4о( i2), е(23) = а5о(23), e(i3) = абО(13),
(б(з3) = — б(11) — е(22)),
О(Ц) — о(з3) = £ie(H) 4- у' Е\Е2 vi2e(22),
о(22) — Ст(зз) = у7Е\Е2 vi2e(n) 4~ ^2б(22), (17.42)
O(i2) = £4e(i2), о(23) = Е5е(2з), 0(13) = Еве^;
причем
Д’ _ ^2 _ 1
1 ~ — !/< (а3 — оц — а2)2 ’ а’ Ег (1 — vf2) ’
Р _ _______________ai____________ „ _ 1
а1а2 - % (а3 - ai - а2)г ’ £2(l-v?.2) ’
рр __________________14 (g3 ~ gi аг)а
1 1 2 12 — ai(Z2 _ _ Ю1 _ а2)2 »
V2 (аз - aj - а2) = - % --,
V EiE2(1 — vf2)
£4а4 = 1, £5а5 = 1, £6а6 = 1.
С учетом этих связей находим из (17.30)
2Ф = ой (о( 11) — О(33))2 + V2 (а3 — ai — а2)(о(ц,— о(33))(о(22) — о(33)) 4-
'4 а2 (о(22) — О(33))2 4- а4О02) 4- а3О(23) 4- ОбОцз) =
= £16(Ц) 4~ 2 У £i£2 vi2e(H)e(22) 4- £26(22) +
4" £46(12) 4" £56(23) Г ^66(13)-
303
Таким образом, для несжимаемого ортотропного материала имеем
шесть независимых упругих постоянных. При этом
Ех > О, Е2 > 0, Et > О, Е-а> 0, £в > 0, | v121 < 1.
Нетрудно проверить, что закону Гука (17.42) можно придать
и симметричную форму:
0(11) = Р + Т1е(11) + 746(22) 4“ Тб^(33>; 0(12) = Ejfiiyz)',
0(22) = Р + 74е(11) + 726(22) + ?5е(33); 0(23) = Etfyv",
0(33) = Р г 766(11) - г 75^(22) 'Г ?3е(33); 0(13) = £66(13)-
Здесь р — произвольная функция, у4 = 1/,(71 + ?2 — £] — Ег 4*
+ 2 г ExE2v^, -= + уз — Е2), у6 = 4- у3 — EJ,
а коэффициенты ух, у2, у3 могут фиксироваться произвольным
образом.
Для плоского напряженного состояния имеем согласно (17.34)—
(17.39)
0(11) = £16(Ц) + V7ElEz V126(22),
0(22) = Г £1£2 Vi26(1i) £2^22), 0(12) = £36(12), (17.43)
2Ф = £16(11) 4” 2 Г EiE? vi26(H)<?(22) 4” £26(22) 4” £36(12),
£1= £1(1-4), £2 = £2 (14), £з = £4,
V,n = V12 — v13v23
12 -
В приведенных соотношениях только четыре упругие постоянные.
При этом
£->0, £2>0, £з>0, |7i2|<1.
Согласно же (17.33)
V £36(33) = — (4£1 vi3tf(и) 4- Т7 £2 v236(22))- (17.44)
Отсюда видно, что при определении с(33) необходимо знать уже
семь постоянных.
Наконец, из (17.42) и (17.32) находим для несжимаемого мате-
риала в плоском напряженном состоянии
0(11) = £16(11) 4* V Е\Е1 Vl26(22), 0(12) = £46(22), (17.45)
0(22) = 4£1£2 V126(11) £26(22)-
При этом
£х > 0, £2 > 0, £.] >0, | v121 < 1.
Соотношения (17.45) по существу не отличаются от (17.43).
Различие состоит лишь в том, что е(з3) = —с(ц) — е(22) и необ-
ходимо знать лишь четыре упругие постоянные. Как видно из
304
(17.44), при поперечном модуле Е3 того же порядка, что и Ех,
Е2, б(зз) является малой того же порядка, что и 6(Ц), е^. Пре-
небрежение ею устраняет по существу различие между сжима-
емым и несжимаемым материалами. Если же Е3 значительно
меньше (как, например, в пластине с мягким заполнителем),
пренебречь величиной е<зз) уже нельзя.
17.9. Закон упругости
для нелинейного анизотропного материала
Материальную систему координат будем считать ортогональ-
ной в недеформированной конфигурации. Для тензора деформации
Коши — Лагранжа имеем согласно (6.46), (6.47), (6.41)
где
° 0 ° /у ° R 0 оо
С = CxfjR R = с<ар>еаер,
c<ij> —
СИ __ Slj
О О ._ / о о
giigjj ' giigjj
= g<ij> ~
(17.46)
физические компоненты по отношению к недеформированным
материальным осям. Обозначение ( ) сохраним для физических
компонент по отношению к деформированным материальным
осям. Из (17.46) находим, в частности, что
дг<ц
dgki
/"о о
sag а
(17.47)
Запишем упругий потенциал в виде [17]
Ф = Ф [V, (g<kl>), ..., (^<Аг>)], (17.48)
где Vj — инварианты рассматриваемого анизотропного материала.
Согласно (6.62), (17.47) и (17.48) в главных осях анизотропии
дФ 9 дФ d'Vv ^<сф-> _ 2 дФ
dgl} ~ ^<к3> dgij / o-y dg<ij> '
r giigjj
(17.49)
Введем физические компоненты тензора напряжений
/ о о
г giigjj
о<ц> = °1' Кgiiii- (17.50)
Отсюда и из (17.49) следует
Ат<17>=2 -dsJ^ (Т=1,..., т). (17.51)
В частности, для тензора деформации Грина с физическими ком-
понентами
6<</> = % (g<ij> — &ij) (17.52)
п Черных к. ф. 305
можно ввести потенциал [ср. (17.24), (17.23)1
2Ф — 1 £«£|3 ’Va|5!’<a>8<|5 > (yii — 1),
которому отвечает стандартный анизотропный материал (17.10):
Jo vt-0e<(3> (/, p = 1,. .., 6). (17.53)
Соотношения для несжимаемого материала можно получить из
(6.63), (6.71), (17.47), (17.50):
9 дФ гЖ,, L anic (17.54)
dg<ij> ’ Р dg<ij> •
По аналогии с (17.53) можно ввести несжимаемый стандартный
материал, заменяя в (17.31) на и на e(t-p.
В произвольной системе координат
Ja'ii = 2-^- = 2 .
dgij dgafl dg(i dgij
Согласно же (6.15)
_ ' даа да.® dgM __ да'1 да'1
gkl I ! . £ 1
дак да.1 dgij daR да1
Отсюда и из соотношений (17.49), (17.50) следует, что в новых
координатах предыдущее равенство записывается следующим
образом:
g'ug'n даУ да.'! дФ дУу
**" '
17.10. Нелинейное плоское напряженное состояние
Нелинейное плоское напряженное состояние с учетом (17.32)
определим равенствами
ст<зз> = 0, £<1з> = g<23> — 0. (17 55)
При этом для сжимаемого материала имеем согласно (17.51)
Ша<зз> = ) =0 (у = 1, . . ., т). (17.56)
°s<33>
Отсюда ^(зз) определяется через остальные искомые величины.
Далее
= 2 7=1........”)• (17-57)
306
где g<i3) = g<23> = 0, a gr<33> заменено его выражением из (17.56).
Согласно (6.68) и (17.55)
Hie = (g<ll>g<22> — g(12>g(21>) g(33>- (17.58)
Для несжимаемого материала отсюда и из условия несжима-
емости Шс = 1 следует
g<33> = (g<ll>g<22> -g<i2>) '• (17.59)
Далее из первого соотношения (17.55), (17.58) и (17.54) находим
__________2____________с)Ф fWv
S<ll>g<22> ^<12> ^<33>
(17.60)
Из оставшихся в (17.54) выражений, (17.58) и (17.60) получаем
СТ<11> ” 2
^<11>
в( 22 > дЧГу
(§<11>«<22> ~ §<12>)2 ^<33>
(17.61)
==о_5Ф_Г_^Ч\__________________g(11>________
<22> [ ^<22> (g<ll>g<22>-^12>)2 ^<33>
__ n д® ЭУУ ________________g< 12 >________д*Ру
+ *<зз>
17.11. Нелинейно-упругий ортотропный материал
Ортотропия — наиболее распространенный в природе и тех-
нике вид анизотропии. Она и будет рассматриваться ниже. При
преобразовании отражения в плоскости, перпендикулярной
к третьей оси, имеем, очевидно,
g<ll> — g<ll>> g<22> = g<22>, g<33> = g(33>,
g<12> = g<12>. g<13> = — g(13>> g(23> = — g<23>-
Нетрудно видеть, что упругий потенциал не меняет своего вида
при рассмотренном преобразовании, коль скоро его аргументами
являются комбинации
g<H>> g<22>, g(33>, g(12>, g<13>> g(23>» g<13>g<23>- (17.62)
Совершенно аналогично при преобразованиях отражения в двух
других плоскостях инвариантность упругого потенциала обеспе-
чивается соответственно комбинациями
g<U>» g<22>» g<33>, g<23>, g(12>> g(13>, g< 12>g< 13>, (17.63)
g<ll>> g<22>. g<33>> g<13» g<23>> g<12>, g<23>g<12>- (17.64)
Ортотропный материал, имея в каждой своей точке три орто-
гональные между собой плоскости симметрии, должен содержать
в качестве аргументов упругого потенциала инвариантные комби-
11* 307
нации, общие для (17.62)—(17.64). Таким образом,
Ф==Ф(^<Ц>, g<22>, g<33>, g<12>> g<23>> g<13>, g<12>g<23>g<13>)- (17.65)
Согласно (6.68)
Шс = 2g<12>g(23>g<13> + g<ll>g<22>g<33> —
2 2 2
— g’<33>g’< 12> — g( 11 >g<23> — g(22>g< 13>- (17.00)
Сопоставление выписанного выражения с аргументами упругого
потенциала (17.65) показывает, что подчеркнутый аргумент можно
заменить на Шс, так что (в симметричном по индексам виде)
можно принять
= g’<n>> 4r2 = g(22>» % = g<33>, ^4 = g(12>g<21>,
4*5 = g<23>g<32>, 4'6 ~ &<13>g<31>, 4*7 = IIIC. (17.67)
Отсюда и из (17.51) получаем для сжимаемого материала с криво-
линейной ортотропией
Лт<11> = 2 + "зШс ^<22>£<33> ~’ §'<23>) >
Г п ЗФ . ЗФ ( 2 \1
Jo^> = “ g' 13>-’] ’
^°<зз> — 2 ЗФ ЗФ / 2 \1 СО\ !' ЗШс fe<‘>>£<22> g<12>)|, (17.68)
-7<T(12> = 2 ЗФ , ЗФ , .] [3"(g<I2>g<2i>) ^<I2> 1 ЙПС™<13> gr<i2>Sf<33>)j J
•7<т<2з> = 2 ' дФ . d(g<23> 1 ЗФ , J £<32>) ^<2Л> ЗШс (£<13>^<12> g’<23>g<n>) >
•/°<1з> =2 за .д (£<31 , ЗФ , .1 £<13>) ^<l3> dlllc lg’<12>g’<23> s< 13>g<22>) •
Потребуем, чтобы при малых деформациях выписанный закон
переходил в закон Гука (17.40). Прежде всего согласно (17.52)
имеются переходы
J->1+IE, Шс-> 1-ф 21я, (17.69)
е<//>-> 1 -|-2е(Ц), g<i/>^-2e(iy),
g<.ii>gkk — g<M> —>» 1 -J- 2 [Ije — е(п)],
ЗФ
ЗФ
Mile
(17.70)
/ ЗФ \ Г / 32Ф \ ! / 32Ф \ j
\ dg(l7> /q \ dg<aa> /0 (“a) \3g< ,7)111(7 /о
Ш»+2
32Ф \ , / 32Ф \ у
5nic3g<aa> /oe<aa’ Ч ЛПС /о
ЗФ / ЗФ \
д (Saipan) I d(g<inS4i>) )0'
308
Индексом «нуль» обозначены значения величин при gi} = gtj,
т. е. при отсутствии деформации.
Подстановка полученных выражений в (17.68) дает при сохра-
нении членов, линейных по
СТ(Ц) =
А<и> V UlIIc /оП j/ ^<н> 5Шс/0 +
Э2Ф \ _ х Г/ ЭФ \ / дФ \ , л(( д2Ф \
дШ* Д /2[\^<11> /() \ дШс /о]р(И) ' ^<22> /о
_1_ / д2ф \ । / «ф \ । / д2ф \ _ х Г / дФ \ _
^(11>Э1пД \dg(22> дП1с/0 \ /0 2[\^<11>/о
_ / аФ 11 । д ( / д2ф \ I / д2ф \ ।
к «Ис Л] Г22+ \^<п> Я”с /о +
+ \^<33>5ШС /21\^<11>/о UlIIc/о])е<33’
0(12) = 4
дФ \ _ / дФ \ 1
^<12>?(21> /0 ' дШс /0] <12>
Сопоставление полученных выражений с (17.40) приводит к соот-
ношениям, обеспечивающим переход закона упругости при малых
деформациях в закон Гука:
д® \ ( <К> \ =1/Р-
^<12>^<21> /о V «11С Jo
аф \ / ЭФ \ =i/E.
<23> ^<32> / \ ЭШс /0 45
^1='^
309
По аналогии с (17.40) можно ввести ортотропный сжимаемый
стандартный материал
-/<Т<11> = £\®<11> + l^ElE? V12S(22> + Е\Ез V13S<33> ,
7<Т(22> — V Е1Е2 V12S(11) £26(22) “I* V' E2E3 V236(33>,
>^ст<33) = E1E3 V13B( Ц ) -}- ’j/ E2E3 V238<22) + Езе^зз-),
>^CT<12) — £<6(12), Jcs^} — Ез^^З), 13) = E^W,
отвечающий упругому потенциалу
2Ф = £16(Ц) £26(22) + £36(33) 2 [j/£i£2 V)26( 11 )6(22) 4"
“Г I £г£з ^236 ( 22 ) 6 ( 33) V £1£з V136( 11 )6(33)] р
-1- 2 [£46(12)6(21) ~г £56(23)6(32) + £бб<13>б(31)].
Несжимаемый материал с криволинейной ортотропией имеет
согласно (17.Й4) и (17.66) следующий закон упругости:
0 дФ । / 2 \.
Ст<“> ~ 2 ~да------1 Р (£<22)gr<33) — g<23)J»
°£<11)
ст<22) = 2 -ч------И р (g(33)g<ll) — g<13))l
°s<22)
о дФ I / 2
СТ<33> = 2 ~dg-----Г Р (gr<ll)gr<22) — g<12>',
о cXD <М> <17-71)
СТ< 12) — 2-й- -------^<12) + Р (gr<23)g<13) — gr(12)gr<33));
°«<12)S<21>
0 ЙФ . , .
tf<23> = i 'dg<23>g<^> ^<23) +P(£<i3>£<12> ~ £<23>g<n));
0 ЭФ 1 . .
CT< 13) = gg(31)g'(13> + P(£<12>£<23) — g( 13)<gr(22>)-
Исключая с помощью третьего уравнения p, используя соотно-
шения (17.69), (17.70) и (17.42), приходим, как и выше, к усло-
виям перехода закона упругости (17.71) при малых деформациях
в закон Гука (17.42):
/ 2 / &Ф \ / ^Ф \ 2 / ^Ф \
\ dg<n> /о \ ^(И) dg<33>/о ( 5g233> )о \^<зз>/о
/ а»Ф \ 2 / &Ф \ / &Ф \ 2 / ЭФ \
\^<22) /0 \ 5’<22>^(33> /0 \ 5g<3>) /о \ 5g<33) /О
310
(17.72)
/ д2ф \ _ / Э2Ф \ __ / #Ф
\ ^g<ll>^g<22> /0 \ dg(ii> Э#(33> /0 ^g<22> ^<33>
/ Э2Ф \ / ЭФ \ ,, ТГ-ЕГ-
+ I ~~2--- j ( Tkj- ) ~~ '4 У EtE2 V12.
\ д2<гз> }0 X dg<33> /о
/ дФ \ / ЭФ \ =1/Е.
\ ^g<12>g<21> /О \ ^<33> /О * *’
/ \ = 1/ Е .
\ ^g<23)S<32> /0 \ ^g<3!> /0 4
/ \ 4. / \ :=!/£.
\ dg(3i)g(i3> /О 1 \ ^g<33> /О 46
С учетом (17.42) и (17.52) можно ввести ортотропный несжима-
емый стандартный материал'.
0(11 > — а<зз> ~ £ie<n> + Г' EiE? vi2e<22>’,
<Г<22> — о<33> ~ VE1E2 Vi2e< 11 > + ^2е<22>;
°<12> = ^4е<12>1 а<23> — -^5е<23>; ®< 13> ~ ^6е< 13}
Для сжимаемого ортотропного материала в плоском напряжен-
ном состоянии имеем согласно (17.56)—(17.58) и (17.67):
, ог ЭФ , ЭФ 1.
/а<11> ~ ГСТГ -ашг^<22>^<33>]’
Ja<22) ~2 [ig^r эшг£<11)‘§г<33)]’
Г ЭФ ЭФ 1
[*«>««>
5^7 т - Вт) = °-
Последнее уравнение служит для определения g^-
Для несжимаемого ортотропного материала в плоском напря-
женном состоянии имеем согласно (17.61), (17.67) (при опущенном
^7 = 1):
•/о<12> = 2
ЭФ
ЭФ
g<22>
ЭФ
^<п> (g(ll>g<22> g<12>) ^g<33>
g< 11 > ЭФ
ЭФ
^S(22)
ЭФ____________________________________
^<12>^<21> ’’’ (g<n>g<22> ”8<12>)2 Й§<33>
Здесь согласно (17.59)
£<33> = (§< 11 >g'<22> — g<12>) '•
а<22> — 2
О<12> = 2
(§<11>§<22>-?<12>)2 dg<33> J ’
I ЭФ 1
(17.73)
= 2
£< 12> •
311
Нетрудно проверить, что соотношения (17.72) при опущенных
двух последних обеспечивают переход при малых деформациях
уравнений (17.73) в закон Гука (17.45).
17.12. Пример конкретизации упругого потенциала
Для несжимаемого криволинейно-ортотропного материала при-
мем следующую конструкцию упругого потенциала:
ф= ^1 (^<11) — 1) + А2 (g(22> ” 0 + Аз — 1) г
+ ^4^<12>g'<21> + ^ogr<23>gf<32> + Лб£<13>£<31 > •
Подстановка этого выражения в первые три из условий (17.72)
дает с учетом того, что по (17.46) g’dijo = 1,
Ai = A/nlt А2 = Л/п2, А3 = А/п3.
Таким образом, рассматривается семиконстантный (степенной)
материал
Ф= А [л, ' — 1) -f- «21 (g(222) — 1 ) + п3 1 (^"зз> — 0] +
+ Aig{ i2>gf<2i > + A5g( 23>gr< 32> + Aeg< i3>g<3i >, (17.74)
особенностью которого является независимость вклада каждого
компонента деформации в упругий потенциал и квадратичность
по компонентам g^ ( = gqi))-
Подстановка выражения (17.74) в оставшиеся зависимости
(17.72) приводит к следующим связям между константами и упру-
гими постоянными закона Гука:
A (tti ~Г Из) — Ei, А (п3 и3) = Е3, Ап3 = д/ EiE3 vj2;
Л4 + Ч2А = ’/4£4; Л5 + 1/2Л = */4Е5; Л8 + ’/2Л =
- 1/4£6. (17.75)
17.13. Закон упругости для ортотропных оболочек
Рассмотрим ортотропные оболочки. Согласно (11.12) физи-
ческие компоненты приближенно можно считать отнесенными
к координатам (ортогональным) на недеформированной срединной
поверхности. При этом исходя нз (17.59), (11.50), (11.20) и (11.28)
"1/" ° ° .. a — SjaSjp
aij = aei} V aaaih a<‘ = a(afl) ———==— >
И «"«77
S‘i = S(ij)/Vaifln, M‘i = M(ijy /Уацйц,
fn • • L П f 0 0 0 0 1 d
Еч i = E^jkiy у ацаПаккац , ,
1 У ацал
°<зз> = = (я<п>й<22> — я<12>) = (a/a) *. (17.76)
312
С учетом соотношений (17.67), (17.73) и (11.5) для несжима-
емого ортотропного материала в плоском напряженном состоянии
Ф° = Ф|5=о является функцией четырех инвариантов
Чг1 = а<ц>, 4*2 = о<22>> ¥3° — '1Г? = a<i2>a<2i>>
так что, в частности,
дф° ЗФ°
5а<12> “ ^<12>а<21> а<2‘ >‘
Подставляя зависимости (17.76) в соотношения (11.72), (11.73),
приходим к соответствующим выражениям для несжимаемого
ортотропного материала
(17.77)
S(i2> = 2/г
дФ° / а \2 ЭФ0
5а<12>“<21>
M(ij) = 1/12hi(a/a)~1^ £<0-ар>х<аР>,
{kkkk} —
д3Фэ ~ / а \ д2Ф°
(da(kk>)2 \ а / da(kk>dXl йа1)
1/4^< kk.ll > —
а \4 д2Ф°
°) W
3 дф<>
(17.78)
д2ф°
да(*А> *<//>
дФ°
a(kkf
д2Ф<>
^<//>^1 а<‘!)
4 <Э2фО ,
I /Д,2\2"а<^^>а<»> Г
а \3 дФ” г . 2 1
if у ^2 1“<**>а<«> + a<ftZ>J>
ц р _ ( ^Ф9
• ^-^^klkky { аЛ Л а_
1 оа<12>а<21>
2 ^2ф0
^kkidk:
д2Ф°
^а<12>а<21>
4 д2фо
3 дФ9
a<ZZ> > а( 12>>
313
l/4-£<t212> —
52Ф° , о / а \2 <Э2Ф»
——<5- -+- 2 ( — I ------
(5а<12>а<21>)2 2 \ a ) да<12>а<21 > <ЭЛ|
4 дФ° , „, / а \ дФ°
+ Ы -рцг+'Ц-г |j
+ <‘ = '»
\ ** • ОК*
1 /
а < 12> + /2
^а< 12>а<21 >
Здесь согласно (11.7)
x<i/> — —1 (а/а)~1/г Ь<(/> 4~ х/г (fl<»v>&</v> + a</v>^<zv>).
V • • h • i ° О ,• *1 / О о
*<И> = -iL_ , b<iiy = —^==-, baj> = bjV а((/аи.
У аааЛ у апац
Для упругого потенциала [см. (17.74)]
Ф° = А [пГ1 (a?ii2> - 1) 4- «2-1 (ап^у - 1) }- (ьГ/2 - Ш +
(17.79)
и согласно (17.75)
А («1 4- п3) = Ех, А (п2 4- п3) = £2, Ап3 = УЕ)Е2 v12,
Ai 4~ 1/2Л.= i/'iEi-
Соотношения (17.77), (17.78) принимают вид
5<n> = ^[flX1)/2-(«/«)-,,,3+2)/2«<22>L
S<22> = Afi MKI>/2 - («/«Г ("’+2>/2а<н>1
S<i2> = Л°[2Л4 4- А (а/а)~ <«^+2)/2] а<12>,
E{kkkk-> = А [(пд, — 2) a\kky 4~ (tt3’4“ 2)(a/a)
E<kizii) = А (а/а) (,!а+4>/2 [пзй<^^>а<//> 4~a<J:z>]>
E^kikk-) = —А («з 4- 2) (а/а)- *,!з+4>'2я<//>а<12>1 (17.80)
Д<1212> = А (а/а) <п'1^2>'2 [(из-j-1) а<12> 1 а<п>а<22>] р2Л4.
17.14. Соотношения в главных осях
В главнях осях (тангенциальной и изгибной) деформации
в соотношениях предыдущего параграфа необходимо положить
согласно (11.84), (17.76)
Я<11> —(a^ij) — 0).
314
Используя, кроме того, соотношения (11.51), (11.95), получаем
из (17.76), (17.80), (17.78) (а/а = (М2)2)
5<П) = ЛЛХГ1 [х? - (Х1М”"Ч (17.81)
(А4Х2) 1 £'<П*аа)^(аа)»
E(iiii) “ AXf [(flt — 2)Х/ 4~ («3 ~h 2) (Л4Х2) 3j ==
= Л1Г1 {(nc - 2) p - (Xikr"8] + («< b «3) (WT"3},
E(iikk-> — AKt 1 { m (AA2) }•
Подчеркнутая комбинация входит в (17.81) с гораздо большим
множителем и, как в параграфе 11.7, может быть опущена. При
этом (г Ф А’)
^<«) — llnA (nt + лз) А.» 1 (^1X2) (п’+,) f-}- ’ Х(*б) i.
L ni “г "3 J
(17.82)
Нетрудно проверить, что при = п2 = п3 = п и А = 2р/п
потенциал (17.79) переходит в двухконстантный потенциал не-
сжимаемого изотропного материала (5.30). Соотношения же (17.81)
и (17.82) переходят в (11.92), (11.98) при 0 = 1.
Глава 18. АРМИРОВАНИЕ ВОЛОКНАМИ
В этой главе рассматриваются резиноподобные материалы,
армируемые нерастяжимыми и малорастяжимыми волокнами.
Основное внимание уделено армированию срединной поверх-
ности оболочки двумя семействами равнонаклоненных нитей.
18.1. Материал, армированный семействами
нерастяжимых нитей
Рассмотрим материал, армированный семействами нерастяжи-
мых нитей, направление которых до деформации определяется
единичным вектором
I = I (а1, а2, а3).
Будем считать, что нити абсолютно гибки и расположены доста-
точно часто, так что можно пренебречь неравномерностью де-
формации между ними. Кроме того, нити прочно соединены с ма-
териалом — изотропным эластомером.
315
С учетом сказанного нерастяжимые нити можно рассматривать
как внутренние связи материала и воспользоваться соотношениями
параграфа 3.3. Так, условие нерастяжимости в направлении нити
определяется соотношением
(F-l).(F-f)-1-1 = 0. (18.1)
При этом согласно (3.28) необходимо провести замену
{F-1-|F-1-- <?1 (F-°l), (18.2)
где q = q (a1, a2, a3) — функция, определяемая в процессе реше-
ния задачи.
Пусть f = /PRp. Тогда с учетом (6.44) имеем
О О О О ООО О. О
F -1 = /Р (F • R₽) = /PR₽) 1 (F-1) = /aZPRaRp.
Отсюда и из (6.55) усматривается, что замена (18.2) сводится для
сжимаемого материала к следующей:
Jali ->• Jg4 — qll°li. (18.3)
С учетом условия несжимаемости
J = 1, (18.4)
эта замена применима и к несжимаемому материалу. В случае N
семейств нерастяжимых нитей имеем замену
N
Ja‘i^Jo4 _ a2; (i, /= 1, 2, 3). (18.5)
Вернемся к условию нерастяжимости (18.1). Согласно (1.18)
и (6.46)
(F • 1) • (F • 1) = 1 • (F* - F) • 1 = (1 • R“) (RP -1°) = ^р°/“/Р,
i-f = MP(Ra-Rp) = ^pWP,
и k-e условие нерастяжимости (18.1) принимает с учетом (17.52)
вид
(gafl — gafl) tfk)l(k) = 0 ИЛИ eap/“j.)/^) = 0. (18.6)
Определяющий направление нерастяжимых волокон вектор 1 =
= ZaRa переходит после деформации в вектор [см. (2.5), (6.44)1
1 = Z“Ra = F °1 = la (F- Ra) = Z"Ra- Отсюда следует
/«• = /<• (i= 1,2,3).
(18-7)
316
18.2. Армирование малорастяжимыми волокнами
Более реальным является предположение о малой растяжи-
мости армирующих волокон. При этом условие нерастяжимости
(18.1) заменяется на следующее:
(F Л)-(F Л)/(в| Л) = (1 + 8)2 « 1 + 2б (8 « 1).
Вместо (18.6) имеем для k-го семейства
(Sap — gap) = 2e(4)^ap^)Z^) (18.8)
ИЛИ, ПОСКОЛЬКУ gap?“fe)/^) = ?(*)•!(*) = 1
= (k= 1, ..., N). (18.9)
Силы в волокнах k-го семейства определяются соотношением
P(k) — S(k)G(k) (»(*)),
отражающим упругие свойства материала. Это не обязательно
закон Гука, при котором
= S^')E(h')£(k') — S(£)a(*)- (18.10)
Существенно, что жесткость материала волокон значительно
больше жесткости матрицы — эластомера.
18.3. Армирование срединной поверхности
нерастяжимыми волокнами
Рассмотрим оболочку, срединная поверхность которой арми-
рована двумя семействами нерастяжимых нитей. Материал обо-
лочки — эластомер считаем изотропным и несжимаемым. В отли-
чие от изложенного в параграфе 18.1 армируется лишь срединная
поверхность, так что
l\k) = T(k} (a1, a2), qk = qk (a1, a2) (i, k = 1, 2), (18.11)
Соотношения (18.6) необходимо заменить на следующие из них
при ^ = 0 [см. (11.12)1:
(flap — flap) = о или еа(5^)/^)=0 (/г, а, 0 = 1, 2). (18.12)
Здесь уже
ёц = V2 (a(j - ai}) - (18.13)
компоненты тензора тангенциальной деформации.
С учетом соотношений (18.4), (18.5) и (18.11) закон упругости
для несжимаемого материала (11.64) заменяется на
а о дФ рЧ <ЭФ . °,/ . ?>•
° = 2 № ~ J+ ‘71Z(1)Z(1) + ‘72/(2)/(2)‘
317
Поскольку последний отличается от (11.64) лишь слагаемыми,
не зависящими от £, нетрудно проследить, что соотношения (11.80)
заменяются на следующие:
с£/ ni Г дФ° । /о d®0 о-i йФ°\ о] । £1 ?/ । »» ?/ 1
•$ ~дА~а + (В ~дВ------------В $7/ Р1 (1) (1) + ^2?(2)42>].
(18.14)
Выражения для моментов (11.81) остаются без изменений. В ча-
стности, для неогуковского материала [см. (11.82)1
S“' = ц/г (а1' ' — В 'п:‘;) +/г (<71?(1)?(1)-р ^(2)^(2))»
о (1 о. 1Ь)
Л4'/ = 1/e[ih3B~3/‘ 4~ а‘аа&) хаР.
Напомним, что [см. (11.9)1
А = ааРалР, В — а/а.
Возвращаясь к условиям нерастяжимости (18.12), введем
с учетом соотношений (10.68) физические компоненты
о ° *1 Г ° о о / *1 Г ° о
/<>> = В у ац , е(<7> = е(7/К (18.16)
Как и выше, значок < > означает, что физические компоненты
отнесены к ортогональным материальным координатам на не-
деформированной срединной поверхности. Согласно рис. 10.6
(v -> 1<‘>, у -> а()
/(D^cosai, /<_/>= sinai, Z<i> = cosa2, /<2> = sina2. (18.17)
4- sin2 aie<;.2> = - sin 2a1e<i2>,
-j- sin2 a2e<22> = — sin 2a2e(i2>
С учетом выписанных соотношений условия нерастяжимости
(18.12) представимы в виде системы двух уравнений
о ° °
cos- aie^ij
cos2 a2e( id
с определителем
Д = cos2 aj — cos2 a2 — J/2 (cos 2oq — cos 2a2). (18.19)
Рассмотрим случай, когда Л^О. Для него из (18.18) следует
е<ц> = [sin2(ai — a2) - (sin2ai — sin 2a2)l (2Л)’1 eO2>,
О О О ООО (10.20)
e<22> = [sin 2 (ai — a2) 4- (sin 2ai — sin 2a2)] (2Д)-1 e<i2>.
В случае же Д — 0 из (18.18) и (18.19) находим
s<12> = о,
cos2ae(H) 4“ sin2ae<22> = 0.
ai = —a? = a,
(18.21)
318
Таким образом, второму случаю отвечают равнонаклоненность
семейств армирующих волокон к координатным осям и совпадение
последних с главными осями тангенциальной деформации. Соот-
ветственно, первый случай отвечает разнонаклоненным семей-
ствам волокон.
Начнем с более интересного случая равнонаклоненных семейств
волокон. Для него исходя из (18.21) материальные координаты
ортогональны и на деформированной срединной поверхности,
и согласно (10.68) и рис. 10.6 (v -> 1(1), у -> аг)
= - (18.22)
/Ji) = cos oti, /{г) = sin otj, ^(i)— cos о&2, 1(2) = sin o&2* (18.23)
Напомним, что значок ( ) отвечает физическим компонентам по
отношению к материальным координатам, ортогональным на
деформированной срединной поверхности.
Из (18.22), первого соотношения (18.16), (11.85) и (18.7) имеем
/(<)//<<> = К а"/ац = Ki, (18.24)
а по (18.17), (18.23)
a COS (Z a sin (Z /1 о ЛЕ\
= —а2 = a, лх —-----------— , а2 =------7 • (18.25)
cos а sin а
Из соотношений (18.14), (18.16), (18.17) и (18.21) видно, что
учет двух равнонаклоненных семейств нерастяжимых волокон
сводится к заменам
$” _> S11 _ h cos2 a (<7i -L q2) яП1,
S22-> S22 -hsin2a(qI + q2)a^', (18.26)
$ ->S — /i sin a cos a (</i — q2) у ац а22
и к принятию соотношений (18.25), равносильных [как нетрудно
проверить с учетом равенства е(и> = — 1)1 условиям не-
растяжимости волокон (18.21). Соотношения (18.26) можно запи-
сать с учетом (11.50) и (18.24) и так:
$<п> -> $<10 — h cos2 а (</1 + q$
$<22) $<22) — h Sin" ОС (<71 -[- (72)
$<12) -> S<i2) ~ 7г sin а cos а (</1 — q2)K2, (18.27)
$<2i) ->$<2i) — h sin а cos a (q} — q2)
Для случая двух разнонаклоненных семейств нерастяжимых
волокон имеют место согласно (18.14) замены
$‘7->$" - h 4-qJ^{2}\.
319
Условия же нерастяжимости в направлениях армирования сво-
дятся согласно (18.13) и (18.16) к следующим выражениям для
компонент метрического тензора:
“7^ — 1 +2е<и>, = 1 + 2е<22>, 21— — 2е<12>,
а11 а22 У 011022
в которых выражаются через е<12> формулами (18.19)—
(18.20).
18.4. Армирование срединной поверхности
малорастяжимыми волокнами
Рассмотрим оболочку, срединная поверхность которой армиро-
вана двумя семействами малорастяжимых волокон. Сопоставление
соотношений (18.6) и (18.18) показывает, что система уравнений
(18.18) заменяется следующей:
cos2ai6(H) + sin2aie<22> = — Sin2ai6<i2> + e(i),
(18.28)
cos2 a2s(и> -H sin2 «26(22) = — sin 2x2e<i2> + 8(i)
с тем же определителем
A = cos2 oq — cos2 a2 = l/2 (cos 2ax — cos 2a2). (18.29)
В случае Ay=0 имеем из (18.28)
2 AedD = [sin 2 (ai — a2) — (sin 2ai — sin 2a2)] ®<12> +
+ 2 (sin2a28(i) — sin2 aie(2)),
2 Ae<22> = [sin 2 (ai — a2) + (sin 2«i — sin 2tz2)] e<I2> —
— 2 (COS2 «28(1) — COS2 «16(2)).
В случае же A = 0 из (18.28), (18.29) следует
°
ax - —a2 = a,
e<12> = (8(1) — 8(2))/2 sin 2a, (18.30)
cos2ae<iI> + sin2ae^) = V2 (ea) e(2)).
Таким образом, второму случаю, как и в предыдущем параграфе,
отвечают равнонаклоненные семейства армирующих волокон.
Соотношениям (18.30) удовлетворим тождественно, полагая
28(11) = “----1 + (8(1) + 6(2)), 28(12)=—-------
S'"2“ (18.31)
n° sin2 a . 1 , , , х '
26(22) —----;---1 + (6(1) + 6(2)).
sin2 a
320
В силу малости e(i) и е(2) можно считать для связующего ма-
териала (эластомерной матрицы)
о cos2 а . о sin2 а . п /1ООП.
2е<ц> — ; 1, 2е<22> =----;----1, е<12> = 0, (18.32)
cos2 а sin2 а
полагая тем самым, что для связующего материала координатные
оси являются главными осями тангенциальной деформации. При
этом, поскольку = Х/2(Х,| — 1), из (18.32) следуют те же
соотношения (18.25):
= = (18.33)
cos a sin а
Определим усилия, к которым
сводятся действующие в волокнах
силы. Из рис. 18.1, отвечающего
деформированной оболочке, усмат-
ривается для k-ro семейства воло-
кон
dh = ah sin ah = bk cos ah. (18.34)
Аналогичные зависимости имеют
место и для недеформированной
оболочки:
= ak sinaft = bkcos ah. (18.35)
Поскольку в рассматриваемом случае координатные линии отве-
чают главным осям тангенциальной деформации,
= ^i, bk/bk = к2. (18.36)
Из рис. 18.1 имеем теперь с учетом соотношений (18.33)—
(18.36) и (11.51), «размазывая» силу по полосе периода,
7*<11) = ^-1 (Р(k) COS CLk)/bk = Р(k) COS =
= {P(k)ldk) COS ak COS ак (ХЛ2)-1 = (P(k)/dk (K^y1 cos2
Таким образом, получено первое из следующих выводимых оди-
наково выражений для усилий, отвечающих Л-му семейству
малорастяжимых нитей:
Т’(П) — (J3(ki/dk) ААг) 1 cos2 аДр,
Т’си) = (P(k)!dk) АА2) 1 sin2
^U2) = (P(k)/%k) ААг)-1 sin cos aA’J
T\21) (P(k)ldk) АД2Г1 sin ak cos aAt
321
Для двух равнонаклоненных семейств волокон (at = —а2 = а)
Т<П) = (P(i)/di Р(2)1^г) (XiX2)-1 cos2 аХь
Т (22) — (Р (1)/^1 ~F Р (2)Л4) (^ita)-1 Sin2 txX2,
Та2) = (Л1)/^1 — P(2)/d2) (XiX2)-1 sin а cos аХ2,
T(2i) = (Л1Д — Лг>/Яг) (XiX2)-1 sin а cos аХь
Сопоставление полученных выражений с (18.27) при Тцр = S<^)
показывает, что при переходе от нерастяжимых волокон к мало-
растяжимым (равнонаклоненным) следует провести замены:
hq\ (P[\)!d\) (ММ-1; hq2 (Р()\.ik2)~1. (18.37)
18.5. Растяжение армированной
цилиндрической пластины
Рассмотрим цилиндрическую пластину (рис. 18.2), растягива-
емую на криволинейных кромках равномерно распределенными
осевыми силами Q. Отнесем ее недеформированную поверхность
к прямоугольным декартовым коорди-
натам, для которых
ац = ail = 1,
а12 = я12 = 0, а—1. (18.38)
Введенные координатные линии бу-
дут следовать (как установлено в па-
раграфах 18.3, 18.4) главным осям
тангенциальной деформации. По смыслу
задачи изгибная деформация отсутст-
вует, поэтому можно воспользоваться
соотношениями из параграфа 11.7.
Вначала будем считать, что армирующие волокна нерастя-
жимы,. При этом для неогуковского закона имеем согласно (11.82),
(11.50), (11.84), (18.38) и замене (18.27)
S<ц) — рЛ (Xi — Xi Х2 ) hcos” a (<yi q2) М»
S<22) = n/г (X2 — ХГ%Г3) + h sin2 a (</i q2) M (18.39)
S<i2) = /1 sin a cos а(<?1 — q2')'k2, S<2i) = h sin a cos a(qi — </2)Xi.
Исключая из первых двух соотношений вторые слагаемые, полу-
чаем
^<П) (^-1 ~^i 3^2 2)
5<22)
= ctg2aXiX2
(18.40)
322
Примем на сторонах пластины граничные условия
^(22) — О, S( 12) = О, 21) — О,
которые в силу очевидной однородности напряженно-деформиро-
ванного состояния выполняются во всей пластине. Далее, по-
скольку усилия по первому индексу отнесены к недеформирован-
ному контуру (см. параграф 11.3),
Q = bS<II). (18.41)
Подстановка выписанных величин в соотношение (18.40) дает
зависимость
Q/pfcA - М - ХГ3Х2 2 - ctg2 а (X) - ХГ'ХГ4). (18.42)
Добавляя сюда равенства (18.25)
cos а
cos а
sin а
— .........
& о
sin а
(18.43)
растягивающей силы QJyibh
Рис. 18.3
получаем зависимость безразмерной
от «ведущего» параметра а — текущего значения угла наклона
волокна к образующей
пластины (а — начальное
значение угла наклона).
Для физической компо-
ненты напряжения имеем
с учетом (11.84) и (18.41)
следующее выражение:
СГ(И)/Р- = (Q/p&ft)X,.
На рис. 18.3 показана
зависимость безразмерной
растягивающей силы Q/рЛ/г
от кратности продольного
удлинения пластины ХР
На рис. 18.4 приведены
значения безразмерного
напряжения о(ц)/р в зави-
симости от Xj (а — 45°).
Отметим, что значения
сдвигающих напряжений не входят
в полученное решение. Из последних двух выражений (18.39)
видно, что изменение S<i2) и S<>i) приводит к изменению вели-
чины — q2, т. е. к перераспределению сил в нерастяжимых
волокнах. В рассматриваемом ниже случае малорастяжимых
волокон эта особенность решения будет более понятной.
Переходя к рассмотрению малодеформируемых волокон, заме-
тим сразу, что в соотношения (18.42), (18.43) не входят величины
Qi и q2. Таким образом, при заменах (18.37) найденные значения X.!
323
И Х2 не изменяются. Что касается напряженно-деформированного
состояния волокон, то для рассмотренной задачи следует положить
<7i=<72 = <7> Р(\) = Р(2) = Р, 5(1) = ^(2) = d,
S(i) = S(2> = S, £1 = £2 — E, £(i) = S(2) = e
(предполагая дополнительно, что волокна обоих семейств одина-
ковы и расположены одинаково густо). Из (18.9), (18.44), (18.37)
и второго соотношения (18.39) при S<22> = 0 находим
_ ст й hd М-гО — X] 2^2 4)
е- Е ~~ E~S *
Отсюда видно, что добавочная деформация пластины [см. (18.31)],
обусловливаемая растяжением волокон (е), определяется отноше-
нием жесткостей эластомера и материала волокна (р/£) и степенью
о о
армирования (fid/S).
18.6. Круговая цилиндрическая оболочка,
армированная малорастяжимыми волокнами
Следуя работе С. А. Кабрица, рассмотрим круговую цилиндри-
ческую оболочку (рис. 18.5), армированную по срединной по-
Рис. 18.5
верхности двумя семействами равнона-
клоненных (под углом а к образующей)
малорастяжимых волокон. В соответствии
со сказанным в параграфе 18.4 и исходя
из соотношений (13.1)— (13.9), (13.13)—
(13.15) задача для неогуковского мате-
риала (f3 = l, п = 2) сводится к рас-
смотрению разрешающей системы уравне-
ний (' = dlds, ф = ЧгЛ, 0 < s < Г)
(г-г)' = — Ks sin (ср - ф),
(Хз - х3)' = — AsCOS(<f - <р) 1,
(ф — ф)' — 'kl'keKs,
Ms = ~мвг~' Sin (ф — ф) h Рsn^s
P'sn = Т(Г 1 COS (ф — ф) 4- ТSX1X0XS — ? SX0<7,
T's = — Tor 1 sin (ф — ф) —
T’s = рЛ (Zs — V3^?2) + cos2 a (X2 cos2 a -j- /4 sin2 a — 1),
Те = pA (Xe — Xs 2Xe3) + Xs 1 sin2 a (X2 cos2 a -(- X| sin2 a — 1),
Afs = ^0 (Xs Vaxe), Ale = VspA Ze (x0 4“ */2X5),
Хе =;-’[ХГ1^2С08(ф — ф) — 1]. (18.45)
324
В соответствии с рис. 18.5 принимаем на краю s = 0 условия
заделки, а при s = I — условия скользящей заделки:
(s = 0) г — г — 0, <р — <р = 0, х3 — х9 = 0;
(s = /) г — г = 0, <р — <р = О, Ts = Pj2nr.
(18.46)
Выражая из выписанных уравнений неизвестные функции
Tfj, ks, х0, Mq через г—г, <р—<р, Ms, Ts, Xs, приходим к нелиней-
ной двуточечной краевой задаче для системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений и к ассоциированному с ней транс-
цендентному уравнению относительно функций г — г, х9 — х9,
Ф — ф, A4S, Ts, Tsn, V Сформулированная краевая задача реша-
лась численно на основе сочетания методов продолжения по
параметру, квазилинеаризации Ньютона — Канторовича и орто-
гональной прогонки Годунова. В качестве расчетных были при-
няты следующие значения безразмерных параметров: °Цг = 2;
hl г = 0,1; а = 43,5°. В силу очевидной симметрии относительно
середины цилиндрической оболочки рассматривалась лишь ее
половина.
На рис. 18.6 показаны жесткостные характеристики цилиндри-
ческой оболочки на растяжение (q = 0). При различных значениях
меры армирования k -- ES/phd. По оси ординат отложена без-
размерная растягивающая сила Р = P/^hr, а по оси абсцисс —
относительное расхождение торцов оболочки (Щ — 1).
На рис. 18.7 приведена зависимость относительного расхожде-
ния торцов цилиндра от меры армирования при фиксированном
значении растягивающей силы Р = 7,68. Штриховой линией
325
Показан результат расчета для предельного случая нерастяжи-
мых волокон (k = оо).
На рис. 18.8 представлено распределение изгибных и цепных
напряжений при Р = 7,68 и k = 200. В окрестности заделанного
Рис. 18.8 Рис. 18.9
края имеется большой краевой эффект (значительно более ин-
тенсивный, чем в неармированной оболочке).
На рис. 18.9 показаны распределения кратностей удлинений
для той же оболочки.
18.7. Конический амортизатор,
армированный нерастяжимыми волокнами
Следуя работе С. С. Прасниковой, рассмотрим конический
амортизатор (см. рис. 13.10), армированный по срединной поверх-
ности двумя семействами нерастяжимых волокон, равнонаклонен-
ных к меридиану. В соответствии со сказанным в параграфе 18.3
и исходя из соотношений (13.1)—(13.9), (13.13)—(13.15) задача
для материала Бартенева — Хозановича (0 = 1, п = 1) сводится
к рассмотрению следующей разрешающей системы уравнений
(' = d/ds, tp' = 0):
Хз — Xs sin <р;
qZ = XsXexs; (18.47)
326
COS ф /р СО5ф /р ,
у s =-----J Q------— I s — ф 1 sn,
r r
т'п = тв —Ts + (pTs - xsM;
r r
M's = Me - Ms -r KTsn;
r r
Ts = 2рЛ (1 — V^tT1) + h COS2 a (<71 q2) As;
Те = 2|i/i(l - V1^2) -b h sin2 a + q2) Xe; (18 48)
Ms = ’/3p#W2 (xs + V2X0);
Me — 1/3^h As 2A0 3 (xe H~ Vz^s);
x9 = r~' (V'^e"2 sin (p - - sin (p);
A0 = r/r,
(18.49)
.9 9° «9 9° «
ks cos a A® sin a = 1.
За основные неизвестные примем А0, ср, хя, Ts, Tsn, Ms. Вы-
ражая через них с учетом равенств (18.48), (18.49) остальные ис-
комые величины и подста-
вляя последние в (18.47), f
приходим к определяю-
щей системе уравнений.
Рассмотрим случай,
когда усеченная коничес-
кая оболочка находится
под действием сжимающей
осевой силы Р и внутрен-
него давления q. При этом
будем считать, что нижнее
основание (s = s2) заде-
лано, а на верхнем
° 0 01
(s = Sj)—скользящий шар-
нир, т. е.
(s = s°!) Хэ=1, х3 = Хз-Д, Л4Я = О,
(s = s°2) А0 = 1, х3 = х3, ср = ср,
(18.50)
где Д — осадка верхнего основания. Отметим, что из условий
А0 (sj А0 (s2) — 1 и последнего равенства (18.49) следует As (s,) =
= Ая (s2) = 1. Таким образом, в силу принятых граничных усло-
вий и армирования нерастяжимыми волокнами на краях оболочки
327
отсутствуют тангенциальные деформации, а значит, и цепные
напряжения.
Сформулированная нелинейная двухточечная краевая задача
решалась численно методом прямого сведения к задаче Коши
(методом «стрельб»).
На рис. 18.10 приведена зависимость безразмерной осевой
Д = Д/Я для подвергнутого внутреннему давлению q = 0,01 Е
амортизатора с параметрами ср = 60°, = 0,217, R/& = 0,875.
Сплошные линии отвечают амортизаторам с различными значе-
ниями угла армирования а, линии с кружками — неармирован-
ному амортизатору. Заметим, что вследствие внутреннего давле-
ния вертикальная сила F не совпадает со сжимающей Р.
На рис. 18.11 показано изменение диаграммы F — Д в зави-
симости от значения угла конусности (ср = 60, 70°) при фиксиро-
ванном угле армирования (а = 45°). Здесь также сплошные
линии отвечают армированным амортизаторам, а линии с круж-
ками — неармированным.
Армирование оболочек из эластомеров нерастяжимыми (метал-
локорд) и малорастяжимыми волокнами позволяет варьировать
в широких пределах их жесткостные характеристики, а также
облегчать условия работы тонкостенных изделий из эластомеров.
Примером этому могут служить протезы кровеносных сосудов
и тонкостенные амортизаторы при действии на них внезапно
приложенных интенсивных давлений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.:
Наука, 1979 , 636 с.
2. Алексеев С. А. Основы общей теории мягких оболочек. — В кн.: Расчет
пространственных конструкций. М : Стройиздат, 1967, вып. II, с. 31—52.
3 Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.:
Машиностроение, 1978. 312 с.
4. Бартенев Г. М., Зеленев Ю. В. Курс физики полимеров. Л.: Химия,
1976. 288 с.
5. Бартенев Г. М., Хазанович Т. Н. О законе высокоэластичных деформа-
ций сеточных полимеров. — Высокомолекулярные соединения, 1960, т. 2, № 1,
с. 20—28.
6. Бехтерев П. Аналитическое исследование обобщенного закона Гука.
Ч. I и II. Пг., 1924.
7. Бидерман В. Л. Вопросы расчета резиновых деталей. — В кн.: Расчеты
на прочность. М.: ГНТИ, 1958, вып. 3.
8. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости.
М.: Фнзматгиз, 1961. 340 с.
9. Бондарь В. Д. Об одном представлении тензорной функции. — ДАН
СССР, 1961, т. 141, № 1.
10. Волькенштейн М. В. Конфигурационная статистика полимерных цепей.
М.: Л.: АН СССР, 1959. 466 с.
11. Галимов К- 3. О некоторых направлениях развития механики деформи-
рованного тела в Казани. — В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек.
Казань. Изд-во Казан, ун-та, 1976, вып. 12. с. 3—26.
12. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.
13. Годунов С. К- Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978.
304 с.
14. Гольденблат И. И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука,
1969. 336 с.
15. Григолюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек. М.; Наука,
1978. 359 с.
16. Григорьев А. С. Равновесие безмоментной оболочки вращения при боль-
ших деформациях —ПММ. 1961, вып. 6, т. 25.
17. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная ме-
ханика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 455 с.
18. Гузь А. Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. Киев:
Наукова думка, 1973. 272 с.
19. Дунаев И. М. Обобщенный упругий потенциал для расчета конструкции
из эластических полимеров. — Изв, вузов. «Строительство и архитектура», 1975,
№ 10, с. 52—59.
20. Дунаев И. М. Статистическая теория упругости эластомеров с учетом
элементов их структуры. — В кн.: Вопросы механики и процессов управления.
Вып. I «Актуальные проблемы нелинейной механики сплошных сред». Л.: ЛГУ.
1977, с. 36—52.
21. Ильюшин А. А. Механика сплошных сред. М.: МГУ, 1978. 287 с.
22. Ишлинский А. Ю. Рассмотрение вопросов об устойчивости равновесия
упругих тел с точки зрения математической упругости. — Укр. матем. журн.
1954, т. 6 № 2, с. 140—146.
23. Кабриц С. А. Об одном алгоритме упругостатического расчета перека-
тывающихся мембран. — В кн.: Механика эластомеров. Краснодар, 1978, № 2,
с. 63—68.
24. Кабриц С. А., Терентьев В. Ф. О численном построении диаграмм на-
грузка — перемещение в одномерных нелинейных задачах теории стержней и
оболочек. — В кн.: Вопросы механики и процессов управления. Л.: ЛГУ, 1977.
№ 1, с. 155—171.
25. Кабриц С. А., Черных К. Ф. Выворачивание сферических резиноподоб-
ных оболочек при наличии односторонних ограничений. — В кн.: Судовые мяг-
кие и гибкие конструкции. Владивосток: ДВИМУ, 1983, с. 51—55.
329
26. Кагйн В. Ф. Основы теории поверхностей. Ч. I. М.; Л.: ГИТТЛ, 1947.
27. Колосов Г. В. Применение комплексной переменной в теории упру-
гости. М.: Л., 1935.
28. Колпак Е. П. О краевом эффекте в нелинейной теории тонких оболочек. —
В кн.: Механика эластомеров. Краснодар: КПИ. 1981, с. 87—95.
29. Колпак Е. П. Устойчивость мостичного амортизатора из резиноподоб-
иого материала. — В кн.: Теория и методы расчета нелинейных пластин и обо-
лочек. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1981, с 43—45.
30. Кочии Н. Е. Векторное исчисление. М.: АН СССР, 1959.
31. Кутилии Л. И. Теория конечных деформаций. М.: Гостехиздат, 1947.
32. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
33. Лив А. Математическая теория упругости. ОНТИ, 1935. 676 с.
34. Магула В. Э. Судовые эластичные конструкции. Л.: Судостроение, 1978.
264 с.
35. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической тео-
рии упругости. М.: АН СССР, 1954 . 647 с.
36. Никифоров В. П. Деформационные свойства сшитых каучуков и техни-
ческих резин в различных видах напряженного состояния: Автореф. дне. на
соиск. учен, степени канд. техн. наук. Л., 1973.
37. Новожилов В. В. О принципах обработки статических испытаний изо-
тропных материалов.—ПММ, 1951, т. 15, вып 6. с. 709—722.
38. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостех-
издат, 1948.
39. Новожилов В. В. О формах связи между напряжениями и деформациями
в первоначально изотропных неупругнх телах (геометрическая сторона воп-
роса). — ПММ, 1963, т. 27, вып. 5, с. 794—812.
40. Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1956. 372 с.
41. Овсяников А. С. К решению задач плоской деформации полулинейной
упругой среды. — Прикладная механика, 1972, т. 8, вып. 10.
42. Паиовко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих си-
стем. М.: Наука, 1979. 384 с.
43. Прасинкова С. С. Статический расчет амортизатора вращения. — В кн.:
Механика эластомеров. Краснодар: КПИ, 1980, с. 24—29.
44. Ривлин Р. С. Большие упругие деформации. — В кн.: Реология. М:.
ИЛ, 1962.
45. Седов Л. И. Введение в механику сплошных сред. М.: Физматгиз, 1962.
284 с.
46. Тимошенко С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.:
Наука, 1971. 808 с.
47. Толоконников Л. А. О связи между напряжениями и деффрмациями в не-
линейной теории упругости. — ПММ. 1956, т. 20, вып. 3, с. 439—444.
48. Толоконников Л. А. Уравнения нелинейной теории упругости в переме-
щениях. — ПММ, 1957, т. 21, вып. 6, с. 815—822.
49. Трелоар Л. Введение в науку о полимерах. М.: Мир, 1973. 238 с.
50. Трусделл К- Первоначальный курс рациональной механики сплошных
сред. М.: Наука, 1975. 592 с.
51. Усюкин В. И. Об уравнениях теории больших деформаций мягких обо-
лочек.— МТТ. 1976, № 1, с. 70—75.
52. Федоров Ф. И. Теория упругих волн в кристаллах. М.: Наука, 1965.388 с.
53. Феодосьев В. И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению мате-
риалов. М.: Наука, 1967. 376 с.
54 Флори П. Статистическая механика цепных молекул. М.: Мир, 1971.
440 с.
55. Хилл Р. Об определяющих неравенствах для простых материалов. —
Механика, 1969, № 4 (116), с. 94—118.
56. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкции. М.: Мир, 1971.
192 с.
57. Черных К- Ф. Большие деформации упругого тела. — В кн.: Механика
деформируемых тел и конструкций (к 60-летию акад. Ю. Н. Работнова). М.:
Машиностроение, 1975, с. 508—516.
330
58. Черных К- Ф. Линейная теория оболочек. Л.: ЛГУ, ч. I, 1962, 273 с ;
ч. II, 1964, 396 с.
59. Черных К. Ф., МиляковаЛ. В. Тонкие резииометаллическпе элементы. —
Вестник Леинигр. ун-та, 1981, № 19, с. 88—96.
60. Черных К. Ф. Нелинейная теория изотропных упругих тонких оболо-
чек. — МТТ, 1980, №2, с. 148—159.
61. Черных К. Ф- О векторе вращения осей деформации. — В кн,: Теория
пластин и оболочек. М.: Наука, 1971, с. 278—279.
62. Черных К- Ф. О постулате устойчивости анизотропного материала. —
В кн.: Избранные проблемы прикладной механики (к 60-летию акад. В. Н. Че-
ломея). М.: Наука, 1974, с. 721—730.
63. Черных К. Ф. Определяющие неравенства упругих тел. — В кн.: Меха-
ника сплошной среды и родственные проблемы анализа (к 80-летию акад.
Н. И. Мусхелишвили). М.: Наука, 1972, с. 623—633.
64. Черных К. Ф. Основные зависимости нелинейной теории упругости. •—
В кн.: Актуальные проблемы нелинейной механики сплошных сред. Л.: ЛГУ,
1977, с. 52—67.
65. Черных К- Ф- О функциональных связях между соосными симметрич-
ными тензорами второго ранга. — В кн.: Проблемы механики твердого деформи-
рованного тела (к 60-летию акад. В. В. Новожилова). Л.: Судостроение, 1970,
с. 481—486.
66. Черных К- Ф-, Шубина И. М. Законы упругости для изотропных мате-
риалов (феноменологический подход). — В кн.: Механика эластомеров. Красно-
дар: КПИ, 1977, т. 1, вып. 242, с. 54—64.
67. Черных К- Ф., Шубина И. М. Об учете сжимаемости резины. — В кн.:
Механика эластомеров. Краснодар: КПИ, 1978, т. 2, вып. 268, с. 56—62.
68. Шамина В. А. Некоторые аналогии в задаче об определении вектора пере-
мещения по тензору деформации. —МТТ, 1974, № 3, с. 76—83.
69. Шубников А. В. Симметрия и антисимметрия конечных фигур. М.
АН СССР, 1951.
70. Adams L. G., Gibson R. Е. The compressibility of Rubber. T. Washington
Acad. Sci., 1930, v. 20, N 12, p. 213—223.
71. Alexander H. A. Constitutive Relation for Rubber-like materials. — Int.
J. Engng. Sci., 1968, N 6, p. 549—563.
72. Blatz P. J. Application of Finite Elastic Theory in predicting the perfor-
mance of solid propilance rocket motors. Calif. Inst, of Techn. GALCJISM, 1960,
p. 60—125.
73. Blats P. J., Ko W. L. Application of Finite Elastic Theory to the Defor-
mation of Ruberry Materials — Trans. Soc. Rheology, 1963, v. 1, p. 223—251.
74. Blatz P. J., Sharda S. C., Tschoegl N. W. Strain Energy Function for
Rubber-like materials Bazed on Generalized Measure of Strain. — Trans. Soc.
Rheology, 1974, v. 18, N 1, p. 145—161.
75. Bridgman P. W. The Compression of Sixty-one Solid Subtances to
20 000 kg/cm2, Determined by New Rapide Method. — Proc. Amer. Acad. Arts a.
Sci., 1945, v. 76, N 1, p. 9—24.
76. Foster M. J. Unilateral Compression of Rubber. —J. Appl. Phys., 1955,
v. 26, N 9, p. 1104—1106.
77. Green A. E., Zerna W. Theoretical Elasticity. Oxford, 1968. 156 p.
78. Hart-Smith L. J. Elasticity Parameters for Finite Deformations of Rubbei-
like materials. — Z. Angew. Math. Phys., 1966, v. 17, N 5, p. 608—626.
79. Hill R. On Uniqueness and Stability in the Theory of Finite Elastic
Strain — J. of the Mechanics and Physics of Solids, 1957, v. 5, N 4, p. 229—241.
80. Isihara A., Hashitsume N., Tatibama M. Statistical Theory of Rubber-
like Elasticity IV (Two-dimentional Stretching)..— J. Chem. Phys., 1951, N 19,
p. 1508—1512.
81. John F. Perfectly Elastic Bodies of Harmonic Type. — In: Proc. Int.
Symp. on Applications of the Theory of Functions to Cont innum Mechanics. Tbi-
lisi, 1963, p. 17—23.
82. John F. Plane strain problems for a perfectly elastic material of harmonic .
type. — Comms. Pure. Appl. Math., 1960, v. 13, N 2, p. 239—296.
331
83. Levinson M., Burgess I. W. A comparasion of some simple constitutive
relations for slightly compressible rubber-like materials. — Int. J. Meeh. Sci.,
1971. v. 13. p. 563—572.
84. Lo К- K- Finite-deformation Grack in an Infinite Body Under Anti—plane
Simple Shear. — Int. J. Solids Structures, 1977, v. 13, p. 1219—1223.
85. Moony M. A. Theory of Large Elastic Deformation.—J. Appl. Phys.,
1940, N 11, p. 582—592.
86. Murnaghan F. Finite Deformation of an Elastic Solids. N. Y.: John Wiley
a. Sons, 1951.
87. Ogden R. W. Large Deformation of Isotropic Elasticity: On the Corre-
lation of Theory and Experiment for Compressible Rubber-like Solids. — Proc
Roy. Soc., London, 1977, A328, p. 567—583.
88. Ogden R. W. Large Deformation of Isotropic Elasticity: On the Corre-
lation of Theory and Experiment for Incompressible Rubber—like Solids. — Proc.
Roy. Soc, London, 1972, A326, p. 565—584.
89. Peng S. T. J., Landel R. F. Stored Energy Function and Compressibility
of Compressible Rubber—like Materials Under Large Strain.—J. Appl. Phys.,
1975, v. 46, N 6, p. 2599—2604.
90. Penn R. W. Volume Changes Accompanying the Extension of Rubber. —
Trans. Soc. Rheology, 1970, v. 14, N 4, p. 509—517.
91. Reissner E. A. Note on Two-dimensional Finite—deformation Theories of
Shells. —Int. J. Non—Linear Mechanics, 1982, v. 17, N 3, p. 217—222.
92. Reissner E. On the Theory of Thin Elastic Shells. Reissner Anniversary
Volume, Ann. Arbor, Michigan, 1949, p. 231—246.
93. Rivlin R. S., Saunders D. W. Large Elastic Deformations of Isotropic
Materials—VII. Experiments on the Deformations of rubber, Phill. Trans. Roy.
Soc., 1951, A243, p. 251—288.
94. Rivlin R. S. Some Topics in Finite Elasticity Structural Mechanics.
Pergamon Press, 1960.
95. Scott A. H. Specific Volume, Compressibility and Volume Thermal Expren-
sivity of Rubber-Sulfer Compaunds. T. Research NBS, 14, 99, RP760, 1935.
96. Sharda S. C., Tschoegl N. W. A Strain Energy Density Function for
Compressible Rubber-like Materials. — Trans. Soc. Rheology, 1976, v. 20, N 3,
p. 361—372.
97. Spencer A. J. H. The static theory of finite elasticity. —J. Inst. Math.
Apples, 1970, v. 6, N 2, p. 164—200.
98. Treloar L. R. G. The Elasticity and Related Properties of Rubber, Rep,
Prog. Phys., 1973, N 36, p. 755—826.
99. Treloar L. R. G. The Elasticity of a Network of Long Chain Molecules
(I, II). — Trans. Faraday Soc., 1943, N 39, p. 59—70.
100. Treloar L. R. G The Mechanics of Rubber Elasticity. — J. Polimer
Sci.: Polimer Simposium, 1974, N 48, p. 107—123.
101. Treloar L. R. G. The Physics of Rubber Elasticity. Oxford University
Press, 1958, p. 91—97.
102. Truesdell C. The non-linear field theories of Mechanics. — In. Encyclo-
pedia of physics. Berlin-N. Y.: Springer-Verlag, 1965, v. III/3.
103. Tschoegl N. W. Constitutive Equations for Elastomers. — J. Polym.
Sci., 1971, A-l, v. 9, N 7, p. 1959—1970.
104. Valanis K- S. Closed-form Solution of the Finite Torsion Problem by
Use of the Form of Strain-Energy Function. —J. Polimer Sci., 1967, v. 10.
105. Valanis К- C., Landel R. F. The Strain—Energy Function of a Hype-
relastic Materials in Terms of the Extension Ratios. — J. Appl. Phys., 1967, N 38,
p. 2997—3002.
106. Wood L. A., Martin G. M. Compressibility on Natural Rubber at Pres-
sures Belone 500 kg/cm2. — T. Research. Burean. Stand., 1964, v. 68A, N 3,
p. 259—268.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие академика В. В. Новожилова ............................. 3
От автора .......................................................... 4
Глава 1.0 тензорах второго ранга.................................... 7
1.1. Вектор ............................................. —
1.2. Тензор второго ранга ............................... 8
1.3. Каноническое представление тензора................. 10
1.4. Классические тензорные функции..................... 14
1.5. Полярное разбиение тензора ........................ 17
Глава 2. Основные кинематические и динамические зависимости ... 18
2.1. Движение н деформация материальной частицы .... 19
2.2. Основные деформационные соотношения ............... 23
2.3. Напряжения. Уравнения движения .................... 25
2'4. Работа напряжений ................................. 28
2.5. Сопряженные пары тензоров ......................... 29
2.6. Вектор смещения ................................... 31
2.7. Малые смещения. Геометрически линейные завнснмостн 32
Глава 3. Закон упругости .......................................... 33
3.1. Градиентальные и квазиградиентальные функции сим-
метричного тензора ................................ —
3.2. Закон упругости для изотропного материала....... 35
3.3. Внутренние связи ................................. 39
3.4. Закон упругости для несжимаемого изотропного мате-
риала .................................................. 41
3.5. Закон Гуками^его обобщение на большие деформации . . 42
Глава 4. Комплексные координаты и компоненты....................... 46
4.1. Приведение к комплексным координатам и компонентам —
4.2. Кинематические соотношения ........................ 48
4.3. Динамические соотношения........................... 50
4.4. Комплексная запись закона упругости................ 52
4.5. Ортогональные криволинейные координаты............. 53
4.6. Использование конформного отображения.............. 54
Глава 5. Упругие свойства эластомеров.............................. 56
5.1. Структура полимеров ............................... 57
5.2. Механические свойства полимеров. Эластомеры .... 62
5.3. Феноменологический подход ......................... 66
5.4. Однородные деформации несжимаемого материала ... 69
5.5. Простейшие законы упругости........................ 71
5.6. Законы сжимаемости сплошных эластомеров.......... 74
5.7. Учет малой сжимаемости сплошных эластомеров .... 76
5.8. Конкретизации закона упругости .................... 78
Глава 6. Основные зависимости в криволинейных координатах ... 80
6.1. Криволинейные координаты .......................... 81
6.2. Деформационные соотношения. Двойные тензоры ... 89
6.3. Двойной тензор напряжений. Динамические соотноше-
ния ................................................... 91
6.4. Закон упругости .................................. 93
6.5. Вариационное начало Лагранжа ..................... 95
6.6. Возмущение равновесной конфигурации .............. 97
6.7. Консервативность внешних сил. Вариационное уравне-
ние и принцип стационарности полной энергии для воз-
мущений ............................................... 100
6.8. Структура уравнений для возмущений............... 102
6.9. Цилиндрические координаты ........................ 104
333
Глава 7. Простейшие задачи.......................................... 106
7.1. Цилиндрический изгиб прямоугольной пластины ... —
7.2. Толстостенная труба ............................... 109
Глава 8. Обобщенная антиплоская деформация.......................... 112
8.1. Основные геометрические и деформационные зависимости —
8.2. Использование тензора деформации Коши—Лагранжа 114
8.3. Неогуковский материал ............................. 116
8.4. Бесконечная область с отверстием ............ 117
8.5. Прямолинейный разрез........................... 119
8.6. Резинометаллический шарнир..................... 122
Глава 9. Обобщенная плоская деформация ............................. 125
9.1. Основные геометрические и динамические зависимости —
9.2. Изотропный сжимаемый материал..................... 128
9.3. Изотропный несжимаемый материал.................... 129
9.4. Ортогональные криволинейные координаты. Конформ-
ное отображение.......................................... 130
9.5. Малосжимаемый материал ............................ 132
9.6. Стандартный материал первого порядка............... 135
9.7. Осесимметричные задачи для несжимаемого материала 137
Глава 10. Геометрия кривых и поверхностей........................... 139
10.1. Геометрия кривой. Тонкий стержень................... —
10.2. Геометрия поверхности............................. 141
10.3. Линии иа поверхности ............................. 147
10.4. Ортогональные координаты. Физические компоненты 150
Глава 11. Тонкие оболочки .......................................... 154
11.1. Деформация оболочки................................. —
11.2. Деформация нормального элемента................... 156
11.3. Усилия и моменты. Силовые граничные величины . . . 159
11.4. Уравнения движения ............................... 164
11.5. Закон упругости................................... 167
11.6. Изотропный материал .............................. 169
11.7. Соотношения в главных осях........................ 171
11.8. Вариационное уравнение Лагранжа .................. 174
11.9. Несколько замечаний .............................. 179
Глава 12. Арка-полоска ............................................. 180
12.1. Основные зависимости................................ —
12.2. Безмоментное решение ............................. 183
12.3. Краевой эффект.................................... 185
12.4. Арочный (мостичный) амортизатор .................. 190
Глава 13. Осесимметричная деформация оболочек вращения.............. 191
13.1. Основные зависимости................................ —
13.2. Безмоментное решение ............................. 196
13.3. Перекатывающаяся мембрана ........................ 197
13.4. Сферический вытеснитель .......................... 199
13.5. Конический амортизатор сжатия..................... 200
Глава 14. Безмоментная теория. Мягкие оболочки...................... 202
14.1. Основные зависимости безмоментной теории .... —
14.2. Вариационное уравнение Лагранжа................... 205
14.3. Мягкие оболочки .................................... —
14.4. Задача раскроя мягкой оболочки ................... 206
14.5. Зоны сжатия....................................... 207
14.6. Осесимметрично деформируемая оболочка вращения
(двуосная зона) ................................... 210
14.7. Осесимметрично деформируемая оболочка вращения
(одноосная зона) .................................. 213
334
14.8. Двухпараметрическое семейство оболочек вращения 214
14.9. Раскройная форма двуосной эллиптической пневмати-
ческой оболочки ....................................... 215
14.10. Раскройная форма эллиптической пневматической
оболочки с одноосной зоной ........................ 219
14.11. Раскрой двуосной эллиптической оболочки нз плоской
мембраны ..................................... 221
14.12. Прямоугольная мембрана............................ 223
Глава 15. Тонкие стержни ..................................... 226
15.1. Деформация тонкого стержня........................... —
15.2. Закон упругости ................................... 229
15.3. Силы и моменты. Уравнения движения................. 233
15.4, Край оболочки, подкрепленный стержнем _..... 236
15.5. Малое удлинение оси. Нерастяжимая ось.............. 238
15.6. Определяющие углы ................................. 239
15.7. Комплексная форма записи........................... 241
15.8. Энергия деформации. Вариационное уравнение Лаг-
ранжа ................................................... 243
15.9. Плоский изгиб стержня ............................. 247
15.10. Деформация стержня кругового сечения в цилиндри-
ческой полости .......................................... 250
Глава 16. Устойчивость упругого тела ............................... 252
16.1. Понятие упругой устойчивости ...................... 253
16.2. Изгиб стержня в плоскости ........................... —
16.3. Эластика Эйлера............................... 255
16.4. Статический метод Эйлера...................... 257
16.5. Энергетический подход ............................. 259
16.6. Метод несовершенств (деидеализации)........... 262
16.7. Динамический подход ............................... 266
16.8. Стержень, сжимаемый следящей силой............ 267
16.9. Условия применимости статического подхода .... 269
16.10. Закритическая деформация сжимаемого стержня . . 271
16.11. Потеря устойчивости при растяжении стержня . . . 272
16.12. Влияние докритического сжатия стержня........ 273
16.13. Растяжение стержня. Предельная точка......... 276
16.14. Энергетический критерий устойчивости......... 277
16.15. Единственность и бифуркация решения линеаризо-
ванной задачи ........................................... 280
16.16. Малые колебания возле равновесной конфигурации
тела..................................................... 281
16.17. Условия консервативности при нормальном давлении 283
Глава 17. Анизотропия упругих свойств .............................. 285
17.1. Симметрия анизотропных сред ...................... 286
17.2. Закон Гука для анизотропных материалов.......... 289
17.3. Главные оси анизотропии .......................... 294
17.4. Пределы изменяемости компонент положительно-опре-
деленной симметричной матрицы.......................... 296
17.5. Пределы изменяемости упругих постоянных. Объем-
ные и сдвиговые деформации ............................ 298
17.6. Несжимаемый материал .............................. 300
17.7. Плоское напряженное состояние (линейный случай) 301
17.8. Ортотропный материал (линейный случай)........... 302
17.9. Закон упругости для нелинейного анизотропного ма-
териала ................................................. 305
17.10. Нелинейное плоское напряженное состояние .... 306
17.11. Нелинейно-упругий ортотропный материал............ 307
17.12. Пример конкретизации упругого потенциала .... 312
17.13. Закон упругости для ортотропных оболочек .... —
17.14. Соотношения в главных осях ....................... 314
335
Глава 18. Армирование волокнами .............................. 315
18.1. Материал, армированный семействами нерастяжимых
нитей .................................................. —
18.2. Армирование малорастяжимымн волокнами.......... 317
18.3. Армирование срединной поверхности нерастяжимыми
волокнами..........................................• —
18.4. Армирование срединной поверхности малорастяжи-
мыми волокнами ....................................... 320
18.5. Растяжение армированный цилиндрической пластины 322
18.6. Круговая цилиндрическая оболочка, армированная
малорастяжимыми волокнами ....................... 324
18.7. Конический амортизатор, армированный нерастяжи-
мыми волокнами ....................................... 326
Список литературы................................................ 32g
Климентий Феодосьевич Черных
НЕЛИНЕЙНАЯ
ТЕОРИЯ
УПРУГОСТИ
В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ
РАСЧЕТАХ
Редактор В. И. Важенко
Художественный редактор С. С. Венедиктов
Технический редактор Т. Н. Жилич
Корректоры: А. И. Лавриненко, Н. Б. Старостина
Переплет художника А. А. Парушкина
ИБ № 4404
Сдано в набор 25.11.85. Подписано в печать 14.04.86. М-14468. Формат 60X90*/ie* Бумага
типографская № 1. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 21,0.
Усл. кр.-отт. 21,0. Уч.-изд. л. 17,83. Тираж 3300 экз. Заказ № 291. Цена 3 руб.
Ленинградское отделение ордена Трудового Красного Зиамеии
издательства «МАШИНОСТРОЕНИЕ».
191065, Ленинград, ул. Дзержинского, 10.
Ленинградская типография № 6 ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома прн Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10.
q