Text
Г. И.Епифанов, Ю.А.Мома
Твердотельная
электроника
учебник
для eyjae
ББК 22.37
Е 67
УДК 539.2
Рецензенты:
кафедра физики твердого тела Белорусского государственного универси-
тета им. В. И. Ленина; проф. Т. Д. Шермергор (Московский институт элект-
ронной техники)
Епифанов Г. И., Мома Ю. А.
Е67 Твердотельная электроника: Учеб, для студентов вузов. —
М.: Высш, шк., 1986. — 304 с.: ил.
В пер.: 1 р. 10 к.
В учебнике рассмотрены тепловые, электрические, оптические и магнитные свойства твердых
тел и электрические свойства пленок. Для облегчения восприятия материала громоздкие мате-
матические построения опущены. Широко используются упрощенные модели с сохранением дос-
таточно строгого уровня изложения.
1704060000—144
001(01)—86
ББК 22.37
531.9
© Издательство «Высшая школа». 1986
ПРЕДИСЛОВИЕ
Партия и правительство поставили перед советским народом
задачу интенсификации народного хозяйства на базе ускорения
научно-технического прогресса. В связи с этим перед вузами
страны еще более настоятельно встала задача подготовки высо-
коквалифицированных кадров специалистов, способных использо-
вать современные достижения науки и техники для создания’ вы-
сокоавтоматизированного производства с применением манипулято-
ров и промышленных роботов, встроенных систем автоматического
управления на базе микропроцессорной техники.
В решении этих задач исключительно велика роль электроники,
которая по праву считается катализатором технического прогрес-
са. Находясь на стыке многих наук и научно-технических направ-
лений, электроника использует новейшие достижения фундамен-
тальных и прикладных наук и прежде всего физики, физико-химии,
математики и др. При этом ведущее положение в ней на протя-
жении последних десятилетий занимала и продолжает занимать
физика твердого тела, определяющая, по существу, генеральное
направление ее развития.
За последние годы по физике твердого тела, физике полупро-
водников и полупроводниковых приборов и другим смежным дис-
циплинам издан ряд хороших учебных пособий и монографий со-
ветских и зарубежных ученых. Тем не менее потребность в учебной
литературе, в том числе и по твердотельной электронике, не только
не иссякает, а, наоборот, растет,' поскольку эта область знания
стремительно развивается. Это побудило авторов написать данный
учебник. В его основу положены ранее изданные учебные пособия
Епифанова Г. И. «Физические основы микроэлектроники» (М.,
1971) и «Физика твердого тела» (М., 1977), Епифанова Г. И. и
Момы Ю. А. «Физические основы конструирования и технологии
РЭА и АВА» (М., 1979), а также курс лекций, который читается
авторами на протяжении многих лет для студентов, специализи-
рующихся по твердотельной электронике.
Учебник написан в полном соответствии с новой программой
курса «Твердотельная электроника» для университетов. Этот курс
создает общефизический фундамент для последующих спецдис-
циплин. Как и прежние учебные пособия, учебник может быть
использован во втузах с радиоэлектронным уклоном и быть полезен
для широкого круга читателей, работающих в электронной, радио-
технической и других отраслях промышленности.
При подготовке учебника авторы использовали замечания и
пожелания по содержанию и стилю изложения предыдущих учеб-
ных пособий, высказанные в письмах советских и зарубежных
читателей. Как и в прежних пособиях, основное внимание при
изложении материала уделяется выяснению физической сущности
явлений и процессов в твердых .телах, лежащих в основе работы
твердотельных электронных приборов и устройств, и физике работы
этих приборов.
Авторы выражают свою признательность рецензентам учеб-
ника — кафедре физики твердого тела Белорусского государствен-
ного университета им. В. И. Ленина и проф. Т. Д. Шермергору за
труд по рецензированию, критические замечания и советы, которые
помогли улучшить содержание и стиль изложения многих разделов
учебника. Авторы благодарны 3. И. Епифановой и А. И. Катуниной
за большую помощь в техническом оформлении рукописи.
Учитывая трудности написания учебника, авторы далеки от
мысли, что им удалось их полностью преодолеть. Поэтому они
будут признательны читателям за критические замечания и пожела-
ния, направленные на совершенствование книги.
Авторы
ВВЕДЕНИЕ
По характеру и значению электрической проводимости (электро-
проводности) все вещества можно разделить на три класса: ме-
таллы, диэлектрики и полупроводники.
Наиболее высокой электропроводностью обладают металлы.
Удельное сопротивление чистых металлов лежит в интервале
10-8—10“7 Ом- м, удельное сопротивление металлических сплавов
выше: 10-7—10~6 Ом- м. Носителями свободных зарядов, обу-
словливающими электропроводность металлов, являются электро-
ны, концентрация которых по порядку величины равна 1028 м~5 и
практически не зависит от температуры. С повышением температу-
ры удельное сопротивление чистых металлов растет примерно
пропорционально температуре. Вблизи О К удельное сопротивление
или перестает зависеть от температуры, стремясь к предельному
значению, обусловленному наличием в них примесей (остаточное
сопротивление), или скачкообразно падает практически до нуля
при переходе металла в сверхпроводящее состояние.
Типичные диэлектрики при комнатной температуре в полях,
далеких от пробойных, являются изоляторами; их удельное со-
противление на 15—25 порядков выше удельного сопротивления
металлов и колеблется примерно от 108 до 1017 Ом- м. Проводи-
мость имеет, как правило, ионный характер и обусловлена или
ионами, входящими в состав диэлектрика (например, в случае
галоидных соединений щелочных металлов, стекол и других тел),
или ионами примесей, как это обычно имеет место для полимеров.
С повышением температуры вследствие увеличения подвижности
ионов удельное сопротивление диэлектриков падает.
Полупроводники по удельной электропроводности занимают
положение, промежуточное между металлами и диэлектриками:
интервал удельных сопротивлений полупроводников простирается
примерно от 10-6 до 108 Ом- м, перекрываясь с удельным сопро-
тивлением металлов и диэлектриков.
Однако главным признаком полупроводников является не
значение их электропроводности, а ее активационная природа:
при О К чистые полупроводники являются такими же изоляторами,
как и диэлектрики, что свидетельствует о том, что концентрация
свободных носителей заряда в них равна нулю. С повышением
температуры происходит возбуждение свободных носителей (акти-
вация процесса проводимости), концентрация которых экспоненци-
ально растет с ростом температуры. Это принципиально отли-
чает их от металлов, концентрация свободных носителей заряда
в которых практически не зависит от температуры. Рост концентра-
ции свободных носителей заряда с повышением температуры
приводит к тому, что с увеличением температуры удельное сопро-
тивление полупроводников не растет, как у металлов, а экспонен-
циально падает. Проводимость полупроводника можно возбудить
и действием других факторов — облучением светом, электронами и
другими частицами высоких энергий, инжекцией («впрыскива-
нием») через контакты свободных носителей заряда и т. д. При
этом проводимость полупроводников может изменяться на много
порядков.
Удельная электропроводность полупроводника может быть
резко увеличена (в миллионы раз и более) путем введения в них
небольших количеств (долей процентов) примесей, способных
поставлять свободные носители заряда. По мере увеличения кон-
центрации таких примесей в полупроводнике возрастает концент-
рация свободных носителей заряда и ее зависимость от темпе-
ратуры постепенно утрачивается. При концентрации примеси
порядка 1026 м-3 концентрация свободных носителей заряда в
полупроводнике, как и в металле, практически перестает зависеть
от температуры — полупроводник переходит в вырожденное со-
стояние.
Полупроводниковыми и диэлектрическими свойствами обладает
огромное количество материалов — кристаллических, стеклообраз-
ных и органических. Из химических элементов полупроводниковыми
свойствами обладают, например, элементы группы IVB таблицы
Менделеева (кремний, германий, серое олово) и группы VIB (се-
лен, теллур и др.). Широкое практическое применение получили
полупроводники, представляющие собой химические соединения
элементов различных групп таблицы Менделеева: соединения типа
А111—Bv (арсениды, фосфиды и антимониды галлия, индия, алю-
миния); А" — BVI (сульфиды и селениды свинца и др.); стекла и
многочисленные оксиды металлов. Полупроводниковыми свойствами
обладают многие органические соединения с большим числом так
называемых сопряженных связей, например, полициклические аро-
матические углеводороды (нафталин, антрацен, пентацен и др.),
органические красители и пигменты, многие полимеры.
Несмотря на то что интенсивно и систематически исследовать
полупроводники начали относительно недавно, результаты этих
исследований сыграли определяющую роль в развитии теории
электрических, оптических и других свойств твердых тел. Развиты
электронная теория полупроводников, диэлектриков и металлов,
позволившая понять механизм электропроводности, фотопроводи-
мости, термоэлектрических, гальваномагнитных и других явлений,
закономерности влияния примесей на свойства полупроводников,
диэлектриков и металлов, механизм выпрямляющего действия
контакта двух полупроводников с различным типом проводимости
и контакта металл — полупроводник, усиления и генерации СВЧ-
колебаний, стимулированного когерентного излучения, вторичной
6
электронной эмиссии, электрического пробоя и многих других
явлений. Открыты явления сегнетоэлектричества и новый класс
сегнетоматериалов — титанатов различных металлов, а также класс
полупроводников, обладающих магнитными свойствами (ферриты).
Большой вклад в развитие этих направлений внесли советские
ученые и прежде всего академик А. Ф. Иоффе и его школа.
Фундаментальные физические исследования полупроводников и
диэлектриков послужили основой для возникновения новых тех-
нических направлений, развивающихся невероятно быстро вслед-
ствие своего исключительного значения для народного хозяйства:
твердотельной силовой электроники; микроэлектроники, позволив-
шей создать ЭВМ различных поколений; квантовой электроники
с ее широким спектром практического применения; акустоэлектро-
ники; криогенной электроники и т. д. Трудно переоценить ту роль,
которую играют в настоящее время полупроводники и диэлектри-
ки как в самой физике, так и в технике.
Настоящий курс охватывает широкий круг вопросов, состав-
ляющих физические основы современной твердотельной электрони-
ки. В нем рассмотрены структура идеальных кристаллов и основ-
ные дефекты реальных кристаллических тел, тепловые колебания
решетки и тепловые свойства тел, основы зониой теории и ста-
тистика равновесных й неравновесных носителей заряда в полу-
проводниках, кинетические явления, магнитные свойства твердых
тел и оптические и фотоэлектрические явления в них, контактные
явления и электронно-дырочный переход. На этой основе рас-
смотрена физика работы основных твердотельных электронных
приборов.
ГЛАВА 1 СТРУКТУРА КРИСТАЛЛОВ
Подавляющее большинство твердотельных нрнборов строится на основе предельно
чистых монокристаллических тел, в первую очередь полупроводниковых моно-
кристаллов, локально легированных определенными примесями. Поэтому для пони-
мания физики работы таких нрнборов необходимо иметь четкие представления о
структуре кристаллов, методах .ее описания н экспериментального исследования, а
также о силах связи, определяющих эту структуру. Краткому изложению этих
вопросов н посвнщена данная глава.
$ 1.1. Кристаллическая решетка
При сближении атомов и молекул между ними возникают силы
взаимодействия. Их общий характер показан на рис. 1.1, а: на
относительно больших расстояниях возникают силы притяжения fnp,
возрастающие с уменьшением расстояния г между частицами
(кривая /); на небольших расстояниях возникают силы отталки-
вания for, которые с уменьшением г возрастают значительно быст-
рее, чем fnp (кривая 2). На расстоянии г=г0 силы отталкивания
уравновешивают силы притяжения и результирующая сила f
(кривая 3) обращается в нуль, а энергия взаимодействия частиц (/
достигает минимального значения, равного —(/св (рис. 1.1, б). Поэто-
му состояние частиц, сближенных до расстояния г0, является
состоянием устойчивого равновесия, вследствие чего под влиянием
сил взаимодействия они должны выстраиваться в строгом порядке,
образуя' тело с правильной внутренней структурой — кристалл.
Ддя описания такой структуры удобно пользоваться понятием
кристаллической решетки. Различают трансляционные решетки
Бравэ и решетки с базисом.
Решетки Бравэ. С геометрической точки зрения правильное
периодически повторяющееся размещение частиц в кристалле
можно описать с помощью операции параллельного перемещения
(или трансляции). На рис. 1.2, а показана решетка, полученная пу-
тем трансляции частицы вдоль трех осей: вдоль оси ОХ — на
отрезки а, 2а, За, .... та, вдоль оси OY — на отрезки b, 2Ь, ..., nb
и вдоль оси OZ — на отрезки с, 2с, .... рс, где т, п, р — целые
числа. Положение любой частицы в такой решетке определяется
вектором
г ;= ma + nb + рс. (1.1)
Векторы а, b, с, называют основными
векторами трансляции, их Модули — пе-
риодами трансляции.
Решетку, построенную путем парал-
лельного перемещения какого-либо узла
по направлениям трансляции, называют
трансляционной решеткой нли решеткой
Бравэ. Наименьший параллелепипед, по-
строенный на векторах а, Ь, с, называют
элементарной ячейкой кристаллической
решетки (рис. 1.2,6). Все элементарные
ячейки, составляющие решетку, имеют
одинаковую форму и объем; во всех вер-
шинах ячеек располагаются одинаковые
атомы или группы атомов. Поэтому все
вершины ячеек эквивалентны друг другу.
Их называют узлами решетки.
Для характеристики элементарной
ячейки необходимо задать в общем слу-
чае шесть величин: три ребра ячейки а,
Ь, с и три угла между ними а, 0, у. Эти
величины называют параметрами ячейки.
Рис. 1.1. Зависимость си-
лы (а) и энергии U
взаимодействия (б) час-
тиц от расстояния г меж-
ду ними
Часто за единицу длины в решетках при-
нимают отрезки а, Ь, с, их называют осе-
выми единицами. По форме различают
семь типов элементарных ячеек: триклин-
ную, моноклинную, ромбическую, ромбо-
эдрическую, гексагональную, тетраго-
нальную и кубическую. Характеристики этих ячеек ^приведены в
табл. 1.1. Этим семи формам соответствуют семь кристаллографи-
ческих систем координат и семь систем симметрии (сингоний),
с помощью которых описывают кристаллы.
Простые и сложные решетки. По числу узлов в элементарной
ячейке решетки делят на простые и сложные. В простой решетке
на одну ячейку приходится один узел, в сложной — несколько
узлов. Так объемно центрированная решетка (ОЦ) является двух-
Рнс. 1.2. Простая решетка (а) и элементарная ячейка этой
решетки (б)
9
Таблица 1.1
Тил решетки Сингония
Триклинная Моноклинная Ромбическая Тетрагональная Тригональная Чксагональная кубическая
Примитивный z*l ! Г 1 а*ь*с at=Je=e=90’ 0 GL&WO* Я а=Л=с * * —Л 1 1 1 1 1 ‘ -1 |/ |/ £ 4г Q=bsC a^ysw9
Базоцентри- рованйый г-2 еМ йг а*ь*с МШфм9 a=i=c
Объемно цен- трированный г=2 а*ь*с d=fi=2-90° 0 Q=b-C а=#^=90° 0 а^ь^с (X^=^9Q°
Гранецен- трироВонный а*ь*с а^^до* IQI |O| a=b*c a^e=j=90°
узельной, гранецентрированная (ГЦ) — четырехузельной, базо-
центрированная (БЦ) — двухузел ьной (табл. 1.1). Однако если
сложная решетка является решеткой Бравэ, то ее элементарная
ячейка всегда может быть выбрана примитивной, содержащей один
Рис. 1.3. Четырехузел ь-
ная гранецентрированная
решетка (обведена пунк-
тиром) и отвечающая ей
одноузельная простая ре-
шетка (обведена сплош-
ными линиями)
•
л!-----•
а)
6)
Рис. 1.4. Форма элементарной ячейки:
« одноузельная квадратная ячейка ABC.D.
- двухузельная квадратная ячейка ABCD,
которой соответствует одноузельная ячейка
AEFD
10
Рис. 1.5. Решетка с ба-
зисом:
и плоская решетка с базисом
\О()' базис решетки); б — объ
емкая решетка с базисом — ре
тетка типа алмаза с тетраэдри-
ческим расположением атомов
(тетраэдр выделен штриховыми
линиями)
атом. В качестве примера на рис. 1.3 пунктиром показана четы-
рехузельная ГЦ-решетка, сплошными линиями — отвечающая ей
одноузельная простая решетка. Поэтому ГЦ-, как и БЦ- и ОЦ-ре-
шетки, является решеткой Бравэ.
Форму элементарной ячейки сложных решеток выбирают всегда
таким образом, чтобы симметрия ячейки была не ниже симмет-
рии кристаллической структуры. Так, в случае, показанном на
рис. 1,4, а, максимальной симметрией обладает одноузельная
квадратная ячейка ABCD, а в случае, показанном на рис. 1.4, б, —
двухузельная квадратная ячейка ABCD, которой соответствует
примитивная одноузельная ячейка AEFD.
Можно строго доказать, что существует 14 и только 14 различ-
ных решеток Бравэ, которые в зависимости от степени симметрии
делятся, как указано выше, на 7 систем симметрии.
Решетки с базисом. Не всякую решетку можно получить
путем трансляции одного узла. В качестве примера на рис. 1.5, а
показана двумерная решетка общего типа. Легко видеть, что при
построении такой решетки с помощью векторов трансляции а, b
ее ячейка не может быть выбрана одноузельной. Такую решетку
можно представить в виде двух вставленных.друг в друга решеток
Бравэ, каждая из которых определяется трансляционными векто-
рами а и Ь. Смещение решеток друг относительно друга описы-
вается дополйительным вектором А, называемым базисным. Число
таких векторов в общем случае может быть любым. Однако обычно
выбирают их минимальное число, необходимое для построения
данной решетки.
Решетку общего типа называют решеткой с базисом. Ее можно
построить с помощью тех же трансляций, что и каждую из состав-
ляющих решеток Бравэ, только транслировать надо не узел, а
базнс, задаваемый совокупностью базисных векторов. Так, решет-
ку, показанную на рис. 1.5, а, можно получить путем трансляции
базиса, состоящего из узлов О и О'. В качестве примера трехмер-
ной решетки с базисом на рис. 1.5, б показана решетка алмаза. Ее
можно образовать двумя вставленными одна в другую ГЦК-решет-
ками, смещенными по пространственной диагонали на ‘/4 длины
диагонали. Каждый атом углерода окружен четырьмя ближайшими
соседями, расположенными в вершинах тетраэдра, выделенного
на рис. 1.5, б пунктиром.
I)
§ 1.2. Обозначение узлов, направлений
и плоскостей в кристалле. Индексы Миллера
Познакомимся кратко с общепринятыми обозначениями узлов,
направлений и плоскостей в решетке.
Индексы узлов. Положение любого узла решетки определяется
заданием трех координат (рис. 1.6, а) : х, у, z. Для простой решетки
эти координаты можно выразить так:
х=та, y=nb, z=pc, (1.2)
где а, Ь, с — параметры решетки; т, п, р — целые числа. Если за
единицу длины принять параметры решетки, то координатами узла
станут числа т, п, р. Эти числа называют индексами узла и запи-
сывают следующим образом: [ [гтг/гр] ]. Для многоузельных ячеек
т, п, р не обязательно являются целыми числами.
Индексы направления. Для описания направления в кристалле
Рис. 1.6. Индексы узлов и направлений в кристалле (а); индексы основных
направлений в кубическом кристалле (б); индексы Миллера некоторых плоско-
стей в кубическом кристалле (в)
12
выбирают прямую, проходящую через начало координат. Ее на-
правление однозначно определяется индексами [ [тпр]] первого
узла, через который она проходит (рис. 1.6, а). Поэтому индексы
узла одновременно являются и индексами направления. Индексы
направления обозначают так: [тпр]. В качестве примера на
рис. 1.6, б приведены индексы основных направлений в кубическом
кристалле.
Если числа т, п, р не целые, то их приводят к целым значе-
ниям, которые и принимают за индексы направления. Например,
в ГЦ-решетке первый узел в направлении диагонали грани имеет
координаты типа 0, */г, '/2. Приводя эти числа к целым, получим
следующие индексы направления: [011].
Индексы плоскости. Пусть кристаллографическая плоскость
отсекает на осях координат отрезки т, п, р. Уравнение такой
плоскости в отрезках имеет вид
— + —= 1. (1.3)
т п р " '
Приводя все члены уравнения к общему знаменателю D и ос-
вобождаясь от него, получим
hx-\-ky-\-lz—D, (1.4)
где /г, k, I — целые числа, называемые индексами Миллера. Плос-
кость, определяемую этими индексами, обозначают так: (hkl):
Например, если плоскость отсекает на осях координат отрезки
3, 2, 1, то ее уравнение имеет вид x/3-}-y/2-}-z/\ — 1. После при-
ведения к общему знаменателю получим 2х-|- Зу -j-6z=6. Отсюда
находим: Л=2, k=3, l=Q. Такую плоскость обозначают так: (2 3 6).
Плоскости, параллельные друг другу, для которых отсекаемые
отрезки равны, например, 1,2,3; 2,4,6; 3,6,9 и т. д., обозначают
одними и теми же индексами Миллера (12 3). К этой же совокуп-
ности параллельных _плоскостей относят и плоскости с отрицатель-
ными индексами (12 3). Таким образом, индексы Миллера (hkl)
определяют не одну плоскость, а совокупность параллельных
плоскостей. Такую совокупность кристаллографически и физически
эквивалентных плоскостей обозначают {hkl}, а физически эквива-
лентных направлений— (тпр). В качестве примера на рис. 1.6, в
показаны некоторые плоскости кубической решетки и их индексы.
Из соотношений (1.3) и (1.4) следует, что индексы Миллера
обратно пропорциональны отрезкам, отсекаемым плоскостью на
осях координат.
Приведем некоторые кристаллографические соотношения, по-
лезные для дальнейшего изложения материала.
Период идентичности I — расстояние между идентичными ато-
мами вдоль данного направления — определяется как расстояние
от начала координат до точки [ [тпр] ]. В общем случае он оп-
ределяется параметрами а, Ь, с, а, 0, у и числами т, п, р. Для про-
стой кубической решетки
13
1=^/ т2 + п2 + р2. (1.5)
Из (1.5) следует, что чем меньше индексы направления, тем
чаще расположены .атомы вдоль этого направления.
Межплоскостное расстояние в общем случае определяется
индексами плоскостей (hkl) и параметрами элементарной ячейки.
Для кристаллов кубической системы
а ----. (1.6)
у *«+*•+/»
Из (1.6) видно, что чем выше индексы плоскостей, тем ближе
эти плоскости расположены друг к другу.
§1.3. Обратная решетка
Понятие об обратной решетке. Плоскости (hkl) отсекают на
кристаллографических осях решетки отрезки a/h, b/k, с/1. Пред-
ставим каждую систему плоскостей (hkl) этой решетки точкой
[ [hkl] ] таким образом, чтобы радиус-вектор г* (hkl), проведен-
ный из начала координат в эту точку, был перпендикулярен плос-
костям (hkl), а его длина была бы равна величине, обратной
расстоянию d(hkl) между плоскостями:
\r*(hkl)\=\/d(hkl). (1.7)
Мы получим множество точек [ [hkl] ], которые образуют узлы
новой решетки. Эту решетку называют обратной. .
Рассмотрим некоторые свойства обратной решетки. Пусть
прямая решетка образована векторами а, Ь, с. Тогда векторы
а* — у (be], Ь* - у [са], с* = у [ab], (1.8)
где V — объем элементарной ячейки прямой решетки, являются
элементарными векторами обратной решетки. Это следует из того,
что векторное произведение, например "[Ьс], равно площади парал-
лелограмма, построенного иа векторах Ь и с. Если эту площадь
умножить на межплоскостное расстояние d (100), получим объем
элементарной ячейки прямой решетки. Поэтому
|а*| = 1/d (100), |Ь*| = 1/rf (010), |c*| = l/d(001). (1.9)
Объем элементарной ячейки обратной решетки |/*= [а*Ь*]с* = у,
а произведение VV*=1.
Без доказательства отметим, что прямой ГЦК-решетке соот-
ветствует обратная ОЦК-решетка, и наоборот.
Дифракция волн в кристалле и обратная решетка. Вульфом
и Брэггом было установлено, что при падении рентгеновских
лучей с длиной волны А на систему атомных плоскостей [hkl]
дифракционные максимумы наблюдаются в направлениях, удовлет-
14
Рис. 1.7. Построение Эвальда в обратной
решетке
координат О обратной решетки век-
воряющих следующему со-
отношению, носящему на-
звание закона Вуль-
фа — Брэгга:
2d(ftft/)sin0=nX, (1.10)
где d(hkl) — расстояние
между атомными плоскостя-
ми (hkl); 0 — угол между
лучами и атомными плоско-
стями (hkl); п — порядок
дифракции. Из формулы
(1.10) следует, что дифракция
в.,кристалле возможна лишь
для длин волн A.^2dsin0.
Пользуясь представлени-
ем об обратной решетке,
Эвальд предложил следую-
щую геометрическую интер-
претацию закона Вульфа —
Брэгга. Проведем к началу
тор Sn падающего луча длиной |5П|=|ЛО|= 1/Х и опишем этим
вектором сферу с центром в точке А (рис. 1.7). Тогда возможные
направления дифракции отвечают точкам пересечения проведен-
ной сферы с узлами обратной решетки. В частности, дифракцион-
ный максимум для луча Sn наблюдается в направлении АВ, обра-
зующем с направлением Sn угол 20. В самом деле, после отражения
от плоскостей (hkl) луч пойдет в направлении S0Tp, образующем
с плоскостью (hkl) угол 0. Перенеся этот вектор параллельно са-
мому себе так, чтобы его начало совпало с точкой А, и соединяя
концы векторов Sn и S0Tp, получим вектор S, характеризующий рас-
стояние луча при отражении. Вектор S называют вектором рассея-
ния. Как видно из рис. 1.7, его модуль равен модулю вектора
обратной решетки: ]S|= l/d(hkl), отвечающему системе плоскостей
{hkl}. С другой стороны, из рис. 1.7 следует, что |S|=2|Sn|sin0=
=2sin0/X= \/d(hkl). Отсюда находим
2d (hkl) sin0 = X.
Мы. получили закон Вульфа — Брэгга. Если ft, ft, / содержат
общий множитель п, то, согласно (1.6), расстояние между плоско-
стями (tth, nk, nl) в п раз меньше, чем между плоскостями (hkl),
а вектор обратной решетки в п раз больше вектора 1 /d(hkl).
Поэтому 2sin0/X=n/d (hkl). Отсюда находим,
2d (hkl) sin0 = nX,
что совпадает с (1.10). Таким образом, дифракционный пучок
можно рассматривать или как отражение n-го порядка от плоско-
стей решетки с минимальными индексами Миллера (hkl), или как
отражение первого порядка от системы плоскостей кристалла,
15
отстоящих друг от друга на расстояниях, в п раз меньших расстоя-
ния между плоскостями (hkl).
Удобно в направлении падающего луча откладывать его вол-
новой вектор к с модулем |к|=2л/А, а в направлении отраженного
луча - - его волновой вектор к', который при упругом рассеянии
имеет модуль, также равный 2л/Х. Тогда
k' —k = G, или k' = k-|-G, (1 11)
где G = 2nS. Вектор G также называют вектором обратной решет-
ки. Его модуль
\G\ = 2n/d(hkl). (1.12)
Возведя правую и левую части соотношения (1.11) в квадрат,
получим к2 = (k + G)". Так как k'2=k2, то
k2= (k'-J-G)2, (1.13)
или
2kG + G2==0. (1.14)
Соотношения (1.13) и (1.14) эквивалентны брэгговскому условию
отражения волн в кристалле. Поэтому их рассматривают как иное
выражение закона Вульфа — Брэгга.
Так как импульс фотона
рф=Йк, (1.15)
то пространством, обратным прямой решетке, будет также прост-
ранство импульсов. Умножая (1.11) на К, получим следующую
формулу:
p'=p + /?G. (1.16)
Она выражает изменение импульса фотона при упругом рассеянии.
§ 1.4. Экспериментальные методы определения
структуры кристаллов
Из закона Вульфа — Брэгга слздует, что дифракционная кар-
тина, возникающая при прохождении рентгеновских лучей через
кристалл, непосредственно связана с его структурой. На этом
основаны дифракционные методы ьзучения структуры кристаллов.
При этом вместо рентгеновскгх лучей можно применять пучки
ускоренных электронов, медленных нейтронов и других частиц.
Рассмотрим кратко основные методы ’ структурного анализа
кристаллов.
Метод Лауэ. В методе Лауэ узкий пучок «белых» (полихро-
матических) рентгеновских лучей, содержащих все длины волн в
достаточно широком интервале ДА, направляют на монокристал-
лический образец К, закрепленный в специальном держателе
(рис. 1.8). Из этого пучка дифракцию испытывают лишь лучи
с теми длинами волн X, которые падают на соответствующие
16
Рис. 1.8. Метод Лауэ:
SO — первичный пучок «белых>
рентгеновских лучей; D — кол-
лиматор; К — кристалл; ММ —
след кристаллографической плос-
кости; 0 — угол брэгговского от-
ражения; KL — «отраженныйэ
луч; АВ — рентгеновские плен-
ки; О — центр рентгенограммы
атомные плоскости ММ под углом 0, удовлетворяющим закону
Вульфа — Брэгга. На рентгеновской пленке А возникают дифрак-
ционные максимумы для лучей, прошедших через кристалл (пря-
мая съемка) или отраженных от кристалла в обратном направ-
лении и попадающих на пленку В (обратная съемка). Лауэграм-
ма, пример которой показан на рис. 1.9, состоит из ряда законо-
мерно расположенных пятен, характеризующих симметрию кри-
сталла. Если пучок проходит в направлении оси, например, 4-го
порядка, лауэграмма обладает осью симметрии 4-го порядка. При-
веденная на рис. 1.9 лауэграмма получена при пропускании пучка
лучей через кристалл кварца вдоль оси симметрии 6-го по-
рядка.
Метод Лауэ широко используется для определения ориента-
ции кристаллов и редко для исследования их структуры, гак
как большое число отражений от одной и той же атомной плос-
кости приводит к наложению пятен, полученных в результате
отражения от различных атомных плоскостей, что резко затрудняет
расшифровку пятен и определение структуры кристалла.
Метод вращения кристалла. Монокристалл К (рис. 1.10) за-
крепляют в специальном держателе по оси цилиндрической ка-
меры, на стенках которой помещена пленка. На образец направ-
Рис. 1.9. Лауэграмма кристалла
кварца
Рис. 1.10. Метод вращения кристалла:
К — монокристалл; 1 — цилиндрическая камера; 2 — держа
тель кристалла; 3 — шкив для приведения кристалла во
вращение
I 17
1 5 4 ? 7 /8 R
Рис. 1.11. Метод порошков:
О — образец из порошка или мелкозернис
того поликристалла; П — пленка, помещен
пая в цилиндрическую камеру; Ki, К2 -
коаксиальные конусы, по которым лучи, от-
раженные под углами Брэгга, распространя-
ются в прямом направлении; Кз — конусы, по
которым лучи, отраженные под углами Брэг-
га. распространяются в обратном направле-
нии; 1.2.3— линии пересечения конусов с
цилиндрической пленкой
ляют узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения.
При вращении образца вокруг оси изменяется угол 0 между лу-
чами и данной атомной плоскостью. Если этот угол становится
таким, что при заданной длине волны X удовлетворяется условие
Вульфа — Брэгга, возникает дифракционный максимум, который
фиксируется на пленке. Очевидно, что вертикальные атомные
плоскости дадут дифракционные максимумы, расположенные в
горизонтальной плоскости.
Разновидностью метода вращения является метод качания
монокристалла, в котором кристалл поворачивают вокруг оси в
определенном йнтервале углов. Это уменьшает вероятность нало-
жения дифракционных максимумов, полученных от различных
плоскостей. Если синхронно повороту кристалла поворачивать и
пленку, то можно практически полностью исключить наложения
пятен. Для регистрации дифракционных максимумов в некоторых
спектрометрах используют различного рода счетчики, позволяющие
определять не только положения, но и интенсивность дифракцион-
ных максимумов.
Метод порошков (метод Дебая). При съемке рентгенограмм
по методу порошков монохроматический пучок рентгеновских лу-
чей направляют на мелкокристаллический образец (рис. 1.11).
Если кристаллики образца достаточно мелки и ориентированы
беспорядочно, то среди них всегда найдутся такие, атомные плос-
кости которых образуют с падающим лучом брэгговские углы.
В разных кристалликах такие углы будут образовывать атомные
плоскости, имеющие в общем случае различные индексы (hkl).
Поэтому одновременно наблюдают все отражения, которые можно
было бы получить от монокристалла того же вещества при враще-
нии. «Отраженные» лучи вследствие полной симметрии возможных
отражений относительно первичного пучка направлены вдоль
семейства коаксиальных конусов, осью которых является направле-
28
Рис. 1.12. Дебаеграмма кристаллического порошка
ние первичного пучка, а углы раствора равны 40, где 0 — угол
брэгговского отражения.
Образец укрепляют в центре цилиндрической камеры, на внут-
ренней поверхности которой помещают пленку. Конусы пересе-
каются с пленкой по кривым 4-го порядка, пример которых схема-
тично приведен на рис. 1.12. Измерив расстояние (2s) между ли-
ниями, можно определить углы отражения рт различных атомных
плоскостей и с помощью уравнения Вульфа — Брэгга вычислить
соответствующие межплоскостные расстояния.
§1.5. Классификация, кристаллов по типам связи
Кристаллическая структура и свойства твердых тел в значи-
тельной мере определяются характером сил связи между частицами
тела. Рассмотрим кратко основные виды связи в твердых телах
и их типичные кристаллические структуры.
Ионные кристаллы. Атомы, стоящие в периодической системе
Менделеева вблизи инертных газов, сравнительно легко могут
принимать конфигурацию их электронных оболочек, отдавая или
принимая электроны. Так, у атомов щелочных металлов, стоящих
непосредственно за инертными газами, валентный электрон дви-
жется вне заполненной оболочки и связан с ядром относительно
слабо, вследствие чего энергия ионизации этих атомов низка (по-
рядка 5 эВ). У галогенов, стоящих непосредственно перед инерт-
ными газами, недостает одного электрона для создания устойчивой
электронной оболочки благородного газа. Поэтому они обладают
высоким сродством к дополнительному электрону (порядка 3 эВ).
Связь между такого рода атомами, т. е. между сильными ме-
таллами и галоидами, осуществляется следующим образом. Снача-
ла происходит перезарядка обоих атомов: электрон от атома ме-
талла переходит к атому галоида. При этом атом металла пре-
вращается в положительно заряженный ион (катион), атом гало-
гена — в отрицательно заряженный ион (анион). Эти ионы взаимо-
действуют по закону Кулона как два разноименных заряда. Такую
связь называют ионной или гетерополярной.
Энергия притяжения ионов, отстоящих друг от друга на рас-
стоянии г, составляет Unf,= — е2/(4леог), где е — заряд
При достаточном сближении ионов между ними возникает
кивание, энергия которого равна, по Борну, Um=B/rn, где В
постоянные. Результирующая энергия взаимодействия
Гп 4певг
Равновесное расстояние г0 между ионами получим, приравняв
нулю производную от U по г (рис. 1.1):
I
(4леояВ
иона,
оттал-
и п —
(1.17)
19
Подставив в (1.17) найденное отсюда значение В, получим
и=-исв =-------—
4яе0г0
(1.18)
Энергия решетки, построенной из W пар ионов,
л
V^-NA-Z-
(1.19)
где А — постоянная Маделунга, учитывающая тот факт, что взаи-
модействие данного иона происходит не только с ближайшим
соседом, но и с другими ионами решетки;
В ионных кристаллах не существует отдельных молекул: каж-
дый положительно заряженный ион окружен соответствующим
числом отрицательно заряженных ионов, и точно так же каждый
отрицательно заряженный ион окружен таким же числом поло-
жительно заряженных ионов. Число z ближайших соседей, окру-
жающих ион (атом) в решетке, называют координационным чис-
лом. Для ионных решеток оно зависит от отношения радиуса
катиона гк к радиусу аниона га, т. е. от R = t\lrz. При /?>0,73, что
имеет место, например, у CsCl, z = 8; при 0(41</?<0,73, как у
NaCl, z=6; при /?<0,41, как у Lil, z=4.
На рис. 1.13 показана кубическая решетка кристалла NaCl,
Рис. 1.13. Кубическая ре-
шетка хлористого натрия
с координационным чис-
лом 2=6
Рис. 1.14. Кубическая решет-
ка хлористого цезия с коор-
динационным числом 2=8
Рис. 1.15. К объяснению природы ковалент-
ной связи в молекуле водорода:
а — схематическое изображение атомов водорода; б —
распределение электронной плотности в системе из двух
атомов водорода: 1 — распределение электронной плот-
ности в изолированных атомах водорода; 2 — электрон-
ная плотность, которая получалась бы при простом
наложении электронных облаков изолированных атомов,
сближенных до расстояния г(1, 3 — действительное распре-
деление электронной плотности в молекуле водорода
20
в которой каждый ион хлора окружен шестью ионами Na+, а
каждый ион натрия — шестью ионами С1_. На рис. 1.14 показано
расположение восьми ионов цезия вокруг иона хлора в решет-
ке CsCl.
Ионная связь — это сильная связь с энергией от сотен до
тысяч килоджоуль на моль. Поэтому твердые тела с ионной связью
обладают значительной прочностью и твердостью, имеют высокие
точки плавления и теплоты сублимации. Электропроводность их
имеет ионную природу и резко зависит от температуры. Многие
ионные кристаллы прозрачны в широком диапазоне длин волн.
Атомные (ковалентные) кристаллы. Для иллюстрации природы
ковалентной связи рассмотрим простейший пример взаимодействия
двух атомов водорода: А-и' В (рис. 1.15, а). Вследствие того что
плотность электронного облака, описывающего состояние электрона
в атоме, очень быстро уменьшается с удалением от ядра, при
значительном расстоянии между атомами вероятность обнаружить
электрон 1 вблизи ядра Ь, а электрон 2 вблизи ядра а пренебре-
жимо мала. Поэтому атомы А и В можно рассматривать как изо-
лированные, а энергию системы, состоящей из двух атомов, при-
нимать равной 2£о, где £о — энергия изолированного атома.
По мере сближения атомов вероятность перехода электронов
к «чужим» ядрам увеличивается. При г«0,2 нм наступает за-
метное перекрытие электронных облаков этих атомов и частота
перехода достигает значения ~1014 с-1. При дальнейшем сближе-
нии степень перекрытия облаков растет и частота обмена атомов
электронами увеличивается настолько, что теряет смысл говорить о
принадлежности электрона 1 атому А и электрона 2 атому В.
Это соответствует возникновению нового состояния, не свойствен-
ного системе, образованной двумя изолированными атомами. Оно
замечательно тем, что электроны в этом состоянии принадлежат
одновременно обоим ядрам, или, как говорят, обобществлены.
Обобществление электронов сопровождается перераспределе-
нием электронной плотности и изменением энергии системы по
сравнению с суммарной энергией 2£о изолированных атомов.
Перераспределение состоит во «втягивании» электронных облаков
в пространство между ядрами: на небольшом расстоянии от ядра
вне этого пространства плотность облаков уменьшается по срав-
нению с плотностью облаков в изолированных атомах, в то время
как в пространстве между ядрами она повышается по сравнению с
плотностью, которая могла бы получиться от сложения в этом
пространстве облаков изолированных атомов (рис. 1.15,6).
Появление состояния с повышенной плотностью электронного
облака, заполняющего межядерное пространство, вызывает всегда
уменьшение энергии системы и приводит к возникновению снл
притяжения. Образно говоря, электронное облако повышенной
плотности, которое образуется в межъядерном пространстве
обобществленной парой электронов, как бы стягивает ядра, стре-
мясь максимально приблизить их друг к другу.
21
Квантово-механический расчет показывает, что при переходе от
изолированных атомов Н к молекуле На происходит следующее:
— энергия притяжения электронов к ядрам изменяется на
— 4260 кДж/моль;
— возникает энергия отталкивания электронов, равная
4-1540 кДж/моль;
— возникает энергия отталкивания ядер, равная 4~ 1905 кДж/моль;
— увеличивается кинетическая энергия электронов на
4-402 кДж/моль.
Результирующая энергия должна составлять, таким образом,
Ucb= — 413 кДж/моль, что близко к экспериментальному значе-
нию, равному —456 кДж/моль.
Энергию связи, возникающую в результате попарного обоб-
ществления электронов, часто называют обменной, так как она
возникает в результате как бы обмена атомов электронами. В дей-
ствительности она является электростатической энергией взаимо-
действия электронного облака повышенной плотности, формирую-
щегося между атомами, с ядрами этих атомов. Приближенно ее
можно представить следующим выражением:
(7о6м = —2J(S, • S2), (1.20)
где Si, S2 — спины обобществляемых электронов; J — так называе-
мый обменный интеграл, который выражает результат наложения
электронных облаков сближенных атомов. По знаку J в молекулах
является, как правило, отрицательным. Для того чтобы при этом
t/обм была отрицательной, т. е. между атомами возникала сила
притяжения, спины у спариваемых (обобществляемых) электронов
должны быть антипараллельными. При параллельном направлении
спинов {/обм>0 и атомы отталкиваются друг от друга вследствие
того, что плотность электронного облака в межъядерном простран-
стве в соответствии с принципом Паули оказывается близкой к
нулю.
Характерными особенностями ковалентной связи являются ее
насыщаемость и направленность. Насыщаемость состоит в том,
что каждый атом способен образовать ковалентную связь лишь с
определенным числом соседей (этим определяется координационное
число решетки, в которой действует эта связь). Ковалентная связь
образуется в том направлении, в котором расположена наибольшая
часть электронного облака, соответствующего валентным электро-
нам. При этом осуществляется максимальное перекрытие облаков
связующих электронов. Это и означает, что ковалентная связь
имеет направленный характер, который играет большую роль в
определении пространственного расположения атомов в решетке.
Типичным примером кристаллических структур с ковалентной
связью является структура типа алмаза, решетка которого по-
казана на рис. 1.5, б. Такую решетку имеют и другие химические
элементы подгруппы IVB таблицы Менделеева — кремний, гер-
маний, серое олово. Атомы этих элементов имеют четыре валент-
ных электрона, которые они обобществляют (спаривают) с электро-
22
нами четырех соседних атомов,
как схематично показано на
рис. 1.16. Поэтому каждый атом
в решетке окружен четырьмя бли-
жайшими соседями, расположен-
ными в вершинах тетраэдра, вы-
деленного на рис. 1.5,6 пункти-
ром.
Энергия ковалентной связи
высока — порядка сотен кило-
джоуль на моль. Поэтому кова-
лентные кристаллы обладают вы-
сокой прочностью, твердостью,
имеют высокие точки плавления и
теплоты сублимации. В электри-
ческом отношении они являются
диэлектриками вблизи О К и полу-
проводниками при Т>0 К- Мно-
гие из них прозрачны в длинно-
волновой части спектра.
Рис. 1.16. Образование ковалентной
связи в кремнии путем попарного
обобществления электронов
Металлические кристаллы. Внешние валентные электроны в ато-
мах металлов связаны относительно слабо. При образовании твер-
дого состояния атомы располагаются настолько близко друг от друга,
что валентные электроны приобретают способность покидать свои
атомы и свободно перемещаться внутри решетки. Такое обобществле-
ние электронов приводит к однородному распределению их в ре-
шетке металла. Связь возникает вследствие взаимодействия поло-
жительных ионов решетки с электронным газом: электроны, нахо-
дящиеся между ионами, «стягивают» их, уравновешивая силы от-
талкивания, действующие между самими ионами.
Металлическая связь присуща типичным металлам и многим
интерметаллическим соединениям. Энергия этой связи также высо-
ка (сотни килоджоуль на моль). Характерными решетками для ме-
таллов являются ГЦК, ОЦК и гексагональная плотной упаковки.
Металлы обладают высокой электро- и теплопроводностью, вы-
званной наличием свободных электронов, и высокой пластично-
стью, обусловленной характером связи, позволяющей смещаться
одной части решетки относительно другой на значительные рас-
стояния без разрушения. Наличием свободных электронов объясня-
ются также непрозрачность и высокая отражательная способность
металлов.
Молекулярные кристаллы. Наиболее общим видом связи, воз-
никающим между любыми атомами и молекулами, является связь
Ван-дер-Ваальса. В почти чистом виде она проявляется между мо-
лекулами с насыщенными химическими связями (Ог, На, СН< и др ),
а также между атомами инертных газов. В общем случае эта связь
включает в себя дисперсионное, ориентационное и индукционное
взаимодействие.
Дисперсионное взаимодействие. Рассмотрим простейший пример
23
Атомы гелия
Атомы гелия
Мгновенные диполи
/притяжение)
Рис. 1.17. Ван-дер-ваальсова связь:
а. б — дисперсионное взаимодействие; в — ориентационное взаимодейст-
вие; г — индукционное взаимодействие
взаимодействия двух атомов гелия (рис. 1.17). Распределение
электронной плотности в атоме" гелия обладает сферической сим-
метрией, вследствие чего его электрический момент равен нулю.
При сближении атбмов происходит их поляризация и в движении
электронов устанавливается корреляция (согласование), которая и
приводит к возникновению сил взаимодействия. Если движение
скоррелировано так, как показано на рис. 1.17, а, то между мгно-
венными диполями возникает притяжение, приводящее к появлению
сил связи между атомами; при корреляции, показанной на рис.
1.17,6, между атомами возникает отталкивание. Так как при реа-
лизации корреляции, показанной на рис. 1.17, а, энергия системы
понижается, то эта конфигурация является более вероятной и осу-
ществляется наиболее часто, что и обусловливает появление по-
стоянно действующей силы притяжения. Такое взаимодействие,
впервые рассмотренное с квантово-механической Точки зрения
Лондоном, называют дисперсионным. Энергия этого взаимодей-
ствия
и
Диеп — . . I
4 г*
где г — расстояние между молекулами; а — их поляризуемость;
/ — энергия возбуждения молекул.
Ориентационное взаимодействие. Если молекулы обладают по-
стоянным дипольным моментом М, т. е. являются полярными, то
между ними возникает электростатическое взаимодействие, которое
стремится упорядочить расположение диполей (рис. 1.17, в). Такое
упорядочение сопровождается уменьшением энергии системы и воз-
24
никиовением сил притяжения. При высоких температурах энергия
ориентационного взаимодействия
у =_______________L
°Р 24n«eg*T г*
где г — расстояние между молекулами.
Индукционное взаимодействие. У полярных молекул, обладаю-
щих высокой поляризуемостью, под действием постоянных диполей
соседних молекул может возникать наведенный (индуцированный)
момент (рис. 1.17, г; штриховой линией показаны индуцированные
диполи). Энергия взаимного притяжения между жестким диполем
первой молекулы и индуцированным диполем второй молекулы,
как показал Дебай,
8п»Е2 f
где г — расстояние между молекулами.
Ваи-дер-Ваальсова связь является наиболее слабой — ее энер-
гия порядка единиц килоджоуль на моль. Поэтому все структуры,
обусловленные этой связью, малоустойчивы, летучи и имеют низкие
точки плавления. В электрическом отношении они являются ди-
электриками. Многие кристаллы этого типа прозрачны для электро-
магнитного излучения вплоть до далекой ультрафиолетовой обла-
сти спектра..
В заключение следует подчеркнуть, что в реальных кристаллах
каждая из рассмотренных связей в чистом виде встречается редко.
Практически всегда имеет место наложение двух (и более) типов
связи. Одна из них имеет, как правило, превалирующее значение,
определяя структуру и свойства тела.
ГЛАВА 2. ДЕФЕКТЫ В КРИСТАЛЛАХ
В отличие от идеальных кристаллов, имеющих правильную строго периодическую
структуру, реальные кристаллы содержат различного рода дефекты, оказывающие
сильное влияние практически на все их свойства.
Дефекты в кристаллах принято подразделять на точечные, линейные, поверхност-
ные и объемные. Рассмотрим кратко природу этих дефектов.
§ 2.1. Точечные дефекты
Дефекты по Френкелю. Распределение энергии между атома-
ми твердого тела, как и между молекулами газа и жидкости, явля-
ется неравномерным. При любой температуре в кристалле имеются
атомы, энергия которых во много раз больше или меньше среднего
25
Рис. 2.1. Образование дефектов по Френкелю (а) и по Шот-
тки (б)
значения, определяемого температурой кристалла. Атомы, обладаю-
щие в данный момент достаточно высокой энергией, могут не
только удаляться на значительные расстояния от положения рав-
новесия, но и преодолевать потенциальный барьер, созданный со-
седними атомами, и переходить в новое окружение, в новую ячейку.
Такие атомы приобретают способность как бы «испаряться» из
своих узлов и «конденсироваться» в междоузлиях (рис. 2.1, а). Этот
процесс сопровождается возникновением вакантного узла (вакан-
сии) и атома в междоузлии (дислоцированного атома). Такого
рода дефекты решетки называют дефектами по Френкелю.
Дефекты по Шоттки. Помимо внутреннего испарения возможно
полное или частичное испарение атомов с поверхности кристалла.
При полном испарении атом покидает поверхность кристалла и
переходит в пар, при частичном испарении он с поверхности пере-
ходит в положение над поверхностью (рис. 2.1,6). В обоих слу-
чаях в поверхностном слое кристалла образуется вакансия. Путем
замещения глубже лежащим атомом вакансия втягивается в
кристалл. Такое образование вакансий не сопровождается одно-
временным внедрением атомов в междоузлия, т. е. появлением дис-
лоцированных атомов. Подобного рода вакансии называют дефек-
тами по Шоттки. Их источником могут быть и всевозможные не-
совершенства кристалла: недостроенные атомные плоскости, гра-
ницы блоков и зерен, микроскопические трещины и т. д.
Равновесная концентрация дефектов в кристалле зависит преж-
де всего от температуры, так как с ростом температуры увеличи-
вается число атомов, энергия которых оказывается достаточной
для преодоления связи с соседями и образования дефекта. В соот-
ветствии с законом Больцмана число таких дефектов пропорцио-
нально ехр[—U/(kT)], где U — энергия образования дефекта; Т —
термодинамическая температура кристалла. Как показывает расчет,
равновесное число дефектов по Френкелю в кристалле, содержащем
N узлов и 7V1 междоузлий, определяется следующим соотноше-
нием:
Л/ф = /Ж’ехр[-1/ф/(2^7')]. (2.1)
Равновесное число дефектов по Шоттки
Vm=^/exp[t/m/(^T)], (2.2)
26
где t/ф, t/ш — энергии образования дефектов по Френкелю и по
Шоттки соответственно.
При образовании дефектов по Френкелю атому, переходящему
из узла в междоузлие, необходимо не только разорвать связи с
соседними атомами, но и раздвинуть их, внедряясь между ними.
Это требует затраты значительной энергии и может происходить
практически лишь в кристаллах, состоящих из атомов двух сортов,
сильно различающихся своими размерами, например в ионных кри-
сталлах, в твердых растворах внедрения и т. д. В кристаллах же
с плотной упаковкой однотипных атомов, например металлических,
дефекты по Френкелю возникать практически не могут и основными
являются дефекты по Шоттки. Расчет показывает, что в кристалле
меди при Г=1000°С концентрация вакансий 7Vm//V?^10 4, концент-
рация дефектов по Френкелю N<t>/А«10-39.
Наряду с одиночными вакансиями могут возникать небольшие
скопления из них, в частности дивакансии, а иногда и тривакансии,
так как это часто оказывается энергетически выгодным. В самом
деле, при образовании одиночной вакансии атом, удаляющийся
из узла решетки, преодолевает связь с г соседей (z — координа-
ционное число решетки). При образовании дивакансии второму
атому, удаляющемуся из соседнего узла, приходится преодолевать
связь с меньшим числом соседей. Поэтому энергия, необходимая
для образования дивакансии, должна быть меньше энергии, необ-
ходимой для образования двух изолированных вакансий.
В полупроводниковых соединениях, например AH1BV, возникно-
вение вакансий одной из компонент приводит к нарушению стехио-
метрии состава и появлению избытка атомов другой компоненты.
При этом избыточные атомы компоненты А111 ведут себя в кристалле
как акцепторы, а избыточные атомы Bv — как доноры.
Примеси. Твердые тела сколь угодно высокой степени чистоты
всегда содержат примеси. В зависимости от их природы и количе-
ства они могут находиться в кристалле или в растворенном со-
стоянии, или в виде более или менее крупных включений. Процесс
растворения состоит в том, что примесные атомы внедряются в
промежутки между атомами кристалла (рис. 2.2, а) или замещают
часть этих атомов, размещаясь в узлах решетки (рис. 2.2,6).
Рис. 2.2. Примесные атомы внедрения (а) и заме-
щения (б)
27
Рис. 2.3. Схема модели /•'-центра,
представляющего собой анионную
вакансию, захватившую электрон
В первом случае твердый раствор называют раствором внедрения,
во втором — раствором замещения. Так как чужеродные атомы по
своей физической природе и размерам отличаются от атомов основ-
ного кристалла, то их присутствие вызывает искажение решетки.
Примеси могут оказывать существенное влияние на все свой-
ства твердых тел. Они являются эффективными центрами рассея-
ния, обусловливая электрическое сопротивление металлов, не исче-
зающее при О К (если металл не переходит в сверхпроводящее
состояние). В полупроводниковых кристаллах примеси создают
новые энергетические уровни и приводят к появлению примесной
проводимости.
Современные методы очистки позволяют получать материалы с
содержанием примесей до 10-9% (1011 атомов примеси в 1 см3).
Однако требования к дальнейшему повышению степени чистоты
непрерывно растут и уже в ближайшем будущем потребуются ма-
териалы с содержанием примесей 10_,°—10-|2%. Это относится
прежде всего к материалам, используемым в установках по термо-
ядерному синтезу, к материалам для микроэлектроники и др. Такие
материалы трудно не только получать, но и сохранять в них до-
стигнутую степень чистоты, особенно если они подвергаются какой-
либо обработкё.
Центры окраски. Если прозрачный кристалл галоидного соеди-
нения, например NaCl, нагревать в парах натрия, то он приобре-
тает характерную желтую окраску; кристаллы КС1, нагретые в
парах калия, становятся красными, и т. д. Окраска обусловлена
появлением в кристаллах особых точечных дефектов — центров
окраски, поглощающих свет в видимой области спектра.
Простейшими центрами окраски являются так называемые
F-центры, которые возникают следующим образом. При нагрева-
нии NaCl в парах натрия в кристалле возникает избыточное (про-
тив стехиометрии) количество атомов Na, концентрация которых
может достигать 1016—1019 см-3. Нарушение стехиометрии приводит
к возникновению анионных вакансий (рис. 2.3) и появлению вокруг
них нескомпенсированного положительного заряда катионов. Подоб-
ный положительно заряженный центр захватывает свободный
электрон ионизированных атомов натрия, образуя систему, в из-
вестной мере напоминающую атом
водорода и способную при возбуж-
дении поглощать свет, а при пере-
ходе в нормальное состояние — ис-
пускать его. Для кристаллов натрия
максимум полосы поглощения соот-
ветствует энергии 2,7 эВ (Х=460нм),
для хлористого калия — 2,2 эВ
(Л=565 нм).
Е-центры могут образовывать
комплексы, состоящие из двух F-
центров, трех F-центров и т. д. Такие
комплексы называют соответственно
М- и /?-центрами.
При избытке в кристалле атомов галоида образуются катион-
ные вакансии, которые могут захватывать дырки, образуя центры
окраски, называемые V-центрами, и комплексы из них.
Центры окраски в кристалле могут быть созданы не только вве-
дением в них избыточных (против стехиометрии) атомов той или
иной компоненты соединения, но также путем бомбардировки
кристаллов ускоренными частицами — электронами, нейтронами
и др., облучения рентгеновскими и у-квантами.
§ 2.2. Линейные дефекты
К линейным дефектам относят краевые и винтовые дислокации.
Краевые дислокации. Представим себе, что одна из атомных
плоскостей (плоскость М на рис. 2.4) простирается не через весь
кристалл, а обрывается внутри него. Край этой плоскости обра-
зует линейный дефект (нарушение решетки), который называют
краевой или линейной дислокацией, а саму плоскость М-экстрапло-
скостью. На рис. 2.4, б показано расположение атомов в плоскости,
перпендикулярной краевой дислокации. «Лишняя* атомная пло-
скость ОМ является экстраплоскостью, а точка О, где она обрыва-
ется, представляет собой центр дислокации. Атомный ряд /, про-
ходящий через точку О, содержит на один атом больше, чем атом-
ный ряд 2, расположенный ниже. Поэтому расстояние между
атомами ряда 1 у центра дислокации О меньше нормального,
вследствие чего решетка здесь сжата; расстояние же между ато-
мами ряда 2 у точки О больше нормального, вследствие чего
решетка здесь растянута. По мере перемещения от центра дисло-
кации вправо и влево, вверх и вниз искажение решетки постепенно
уменьшается и на некотором расстоянии от О в кристалле восста-
навливается нормальное расположение атомов. В направлении,
перпендикулярном плоскости рисунка, дислокация проходит через
весь кристалл, выходя на его поверхность.
м
а) 6) в) м
Рис. 2.4. Схема краевой дислокации:
« — край плоскости М, обрывающийся внутри кристалла, образует краевую дислокацию; б —
расположение атомов у центра О положительной дислокации; в — то же, у центра отрицательной
дислокации. Пунктиром обозначена область, охваченная дислокацией
29
Если экстраплоскость расположена в верхней части кристалла,
как показано на рис. 2.4, б, дислокацию считают положительной
и обозначают значком ±; если же в нижней части кристалла
(рис. 2.4, в) — отрицательной и обозначают значком Т. Одно-
именные дислокации, находящиеся в одной атомной плоскости,
отталкиваются друг от друга, разноименные — притягиваются.
Количественно дислокации описывают с помощью контура и
вектора Бюргерса. На рис. 2.5, а показано построение этого кон-
тура для области кристалла, не содержащей дислокации: выходя
из точки А и совершив п атомных перемещений в направлении—х,
затем tn в направлении —у, затем п, в направлении -|-х и m в на-
правлении +у, попадем снова в точку А, описав замкнутый кон-
тур ABCDA. Проделав такой же обход области кристалла, содер-
жащей краевую дислокацию (рис. 2.5,6), получим незамкнутый
контур ABCDE. Вектор Ь, необходимый для замыкания этого кон-
тура, называют вектором Бюргерса, а сам контур — контуром
Бюргерса. Дислокации, вектор Бюргерса которых равен или цело-
кратен вектору трансляции, называют полными; дислокации с век-
тором Бюргерса, меньшим вектора трансляции, — частичными.
Из рис. 2.5, б видно, что у краевой дислокации вектор Бюргер-
са перпендикулярен оси дислокации.
Винтовые дислокации. Представим себе, что под действием ка-
сательных напряжений т по плоскости Р произведен сдвиг одной
части кристалла относительно другой, как показано на рис. 2.6, а.
Из рисунка видно, что в подавляющей части кристалла сдвиг осу-
ществлен на одно атомное расстояние, вследствие чего вдали от
линии 00', до которой распространился сдвиг, сохраняется пра-
вильное размещение атомов, свойственное ненарушенному кристал-
лу. Вблизи же линии 00' атомы атомных плоскостей, лежащих
правее и левее плоскости сдвига Р, смещены друг относительно
друга. Это смещение вызывает местное (локальное) искажение ре-
шетки, которое называют винтовой дислокацией. Линию 00' назы-
вают осью дислокации.
На рис. 2.6, а показан контур Бюргерса. Как видно из рисунка,
для замыкания эт^го контура необходимо введение дополнитель-
ного вектора Ь=ЕЛ, параллельного оси дислокации. Этот вектор и
Рис. 2.5. Построение кон-
тура и вектора Бюргерса:
а — контур Бюргерса ABCD4
для области кристалла, не со
держащей краевой дислокации.
б — контур Бюргерса ABCDE
для области кристалла, содер-
жащей краевую дислокацию; Ь
вектор Бюргерса
б) х
30
является вектором Бюр-
герса. В отличие от
краевой дислокации, у
которой b перпендику-
лярен оси дислокации,
у винтовой дислокации
b параллелен оси.
Различают правую
и левую винтовые дис-
локации (рис. 2.6,6).
Перемещение их в про-
тивоположных направ-
лениях приводит к
сдвигу одного знака.
Так как кристалли-
ческая решетка в обла-
сти дислокации иска-
жена, то в этой обла-
сти возникают упругие
напряжения аДиСЛ и за-
пасается упругая энер-
гия деформированной
решетки Едисл- Для кра-
евой дислокации их
можно выразить сле-
дующими приближен-
ными формулами:
^дисл ® » (2,3)
где G — модуль сдви-
га; b — модуль вектора
Бюргерса; г — рас-
Рис. 2.6. Контур Бюргерса ABCDEF и вектор Бюр-
герса Ь для винтовой дислокации (а); б—правая
и левая винтовые дислокации
6=3-10 10 м, получим ЕдиСЛ=4 эВ на каж-
стояние от оси дисло-
кации до рассматри-
ваемой точки; L —
длина дислокации. При-
нимая G=2-1O10 Па и
дый отрезок дислокации, равный межатомному расстоянию; упру-
гие напряжения на расстоянии г=100нм («300 атомных расстоя-
ний) от оси дислокации составляют Одисл«107Па («100 кгс/см2).
Наличие вокруг дислокаций силового поля приводит к взаимо-
действию их между собой, с примесными атомами и другими точеч-
ными дефектами. В частности, к сжатым областям решетки, возни-
кающим у дислокаций, диффундируют примесные атомы с малым
радиусом, к растянутым — атомы с большим радиусом. В резуль-
31
Рис. 2.7. Возникновение дислокаций в кристалле:
а — при пластической деформации (сдвиге одной части решетки относительно
другой под действием касательных напряжений т); б — на границах блоков
монокристаллов и зерен поликристалла (в — угол между блоками); в — при
«захлопывании» вакансий
тате этого дислокации оказываются часто «окутанными» облаками
примесных атомов, так называемыми облаками Коттрела, которые
могут играть существенную роль в определении свойств кристал-
лов, в характере микрораспределения примесей в них и т. д. Дисло-
кации являются стоками для вакансий.
Дислокации возникают в процессе роста кристаллов, при пла-
стической деформации (рис. 2.7, а), на границах блоков моно-
кристаллов и границах поликристаллов (рис. 2.7,6), из скоплений
вакансий (рис. 2.7, в) и т. д. В настоящее время разработан ряд*
методов экспериментального наблюдения дислокаций: электронно-
микроскопический с использованием специальной методики; метод
декорирования, состоящий в осаждении на дислокациях примес-
ных атомов, делающих дислокации видимыми в микроскоп, и др.
Выход дислокаций на поверхность кристалла можно установить
методом травления. При травлении поверхности кристалла спе-
циальными травителями в первую очередь протравливаются уча-
стки, в которых решетка искажена наиболее сильно, так как атомы
этих участков обладают избыточной свободной энергией и хими-
чески более активны. Такими участками являются как раз места
выхода дислокаций на поверхность, которые после травления вы-
являются в виде ямок травления.
32
За ! оличественную характеристику числа дислокаций прини-
мают ппотность дислокаций, равную числу дислокационных линий,
пересекающих единичную площадку поверхности кристалла. В наи-
более совершенных кристаллах кремния и германия плотность
дислокаций составляет примерно 102—103 см-2, в хорошо выра-
щенных недеформированных металлических кристаллах — 10®—
— 106 см-2, в сильно деформированных кристаллах — 1011—1013 см-2
§ 2.3. Дислокационный механизм пластической деформации
кристаллов
Теоретическая прочность кристаллов иа сдвиг. Основным меха-
низмом пластического течения кристаллов является сдвигообра-
зование. Долгое время считалось, что оно происходит путем жест-
кого смещения одной части кристалла относительно другой одно-
временно по всей плоскости скольжения (рис. 2.8, а). Произведем
грубую оценку касательного напряжения, необходимого для осуще-
ствления такого сдвига.
В неискаженной решетке атомы двух соседних атомных пло-
скостей занимают положения, отвечающие минимуму потенциаль-
ной энергии. Сила взаимодействия между ними равна нулю. При
постепенном сдвиге одной атомной плоскости относительно другой
возникают касательные силы, препятствующие сдвигу и стремя-
щиеся восстановить нарушенное равновесие. Принимая для этих
сил синусоидальный закон изменения т в зависимости от смеще-
ния (рис. 2.8,6), сопротивление сдвигу можно выразить следую-
щим образом:
т=А sin(2nx/6), (2.5)
где х — смещение атомов от положения равновесия; А — постоян-
ная, которую можно определить из следующих соображений. Для
малых смещений sin (2лх/6)«2лх/6, поэтому т«Л(2лх/6). С другой
стороны, для малых смещений справедлив закон Гука: r=G(x/d),
где G — модуль сдвига; d — расстояние между атомными плоско-
Рис. 2.8. К расчету теоретической прочности кристаллов на сдвиг:
о — при сдвиге одной атомной плоскости (В|) относительно другой (В?) возникают
касательные напряжения т, стремящиеся восстановить нарушенное равновесие; б —
синусоидальный закон изменения т с расстоянием х
2-671
33
стями Bi и В %. Приравнивая правые части двух последних ра-
венств, получим A=Gb /{2nd). Подставляя это в (2.5), находим
Gb
2nd
sin
2пх
Ь
При х=6/4 напряжение т достигает максимального значения:
Tmax=G6/(2nd). Полагая b—d, получаем
Ттах«0/(2л). (2.6)
Из (2.5) следует, что теоретическая прочность кристаллов на
сдвиг, вычисленная из предположения, что смещение одной части
кристалла относительно другой происходит одновременно по всей
плоскости сдвига, должна составлять «0,1G, т. е. быть величиной
порядка 109—10*° Па (104—105кгс/см2). Более строгий учет ха-
рактера сил взаимодействия между атомами приводит к незначи-
тельному уточнению этой величины.
Опыт, однако, показывает, что реальная прочность кристаллов
на сдвиг примерно на 2—4 порядка ниже этого значения, что сви-
детельствует о том, что сдвиг в кристаллах происходит не путем
жесткого смещения атомных плоскостей друг относительно друга, а
осуществляется таким механизмом, при котором в каждый момент
времени смещается лишь относительно небольшое количество ато-
мов. Это привело к развитию дислокационной теории пластиче-
ского течения кристаллов.
Дислокационный механизм пластического течения кристаллов.
Дислокационная теория исходит из предположения, что процесс
скольжения начинается всегда в местах локализации дислокаций и
осуществляется путем перемещения их по плоскостям скольжения.
Для того чтобы понять, почему для осуществления сдвига путем
перемещения дислокации требуются значительно меньшие силы,
чем для осуществления жесткого сдвига, обратимся к роликовой
модели дислокации, показанной на рис. 2.9. В верхнем ряду роли-
ков, располагающихся нормально во впадинах нижнего ряда,
Рис. 2.9. Роликовая модель дислокации
Рис. 2.10. Схема
преодолевания пре-
пятствия D дисло-
кацией АВ
34
произведено «нарушение» структуры: на участке АВ, который рань-
ше занимали шесть роликов, размещено ,только пять. Такое нару-
шение приводит к возникновению сил, стремящихся вернуть роли-
ки /, 2, 4, 5 в устойчивые положения (силы Fb F2, F4, F5). Силы,
приложенные к роликам 1 и 5, 2 и 4, равны по модулю и направ-
лены в противоположные стороны. Поэтому если ролики верх-
него ряда соединить друг с другом упругими пружинами, играю-
щими роль связей, то силы F, и F5, F2 и F4 скомпенсируют друг
друга и система будет находиться в равновесии.
Однако при небольшом смещении дислокации в плоскости
скольжения симметрия в расположении атомов относительно центра
дислокации нарушается, вследствие чего появляется сила, препят-
ствующая движению дислокации. Из рис. 2.9 видно, что эта сила
не может быть большой, так как она создается небольшим количе-
ством роликов и перемещение роликов 4, 5 в новое положение рав-
новесия происходит в значительной мере под влиянием сил F4, F5.
Расчет показывает, что касательное напряжение, необходимое для
того, чтобы сдвинуть дислокацию, т«10-4 G. По порядку величины
оно совпадает с экспериментальными значениями напряжения
сдвига, вызывающего пластическую деформацию в кристаллах.
Таким образом, сдвигообразование в кристалле под действием
внешней силы представляет собой движение дислокаций по плоско-
стям скольжения и выход их на поверхность кристалла. Однако
если 'бы сдвигообразование происходило только за счет выхода
дислокаций, уже имевшихся в кристалле, то процесс пластиче-
ского деформирования приводил бы к истощению дислокаций и
переходу кристалла в более совершенное состояние. Это противо-
речит эксперименту, который показывает, что с ростом степени
деформации искажения решетки не уменьшаются, а, наоборот,
растут; следовательно, растет и плотность дислокаций. Поэтому
в настоящее время принято считать, что дислокации, обусловливаю-
щие пластическую деформацию, генерируются в процессе самого
сдвигообразования под действием внешних сил, приложенных к
кристаллу.
Низкая прочность кристаллов на сдвиг обусловлена наличием
в них уже готовых дислокаций и генерированием их в процессе
сдвигообразования. С другой стороны, известно, что по мере раз-
вития пластической деформации и роста количества дефектов
кристалл упрочняется. Сущность такого упрочнения состоит во
взаимодействии дислокаций друг с другом и с различного рода
дефектами решетки, приводящими к затруднению перемещения их
в кристалле. В самом деле, предположим, что дислокация, пере-
мещающаяся в плоскости скольжения под действием касательного
напряжения т, встречает на своем пути неподвижное препятствие D.
Таким препятствием может быть пересечение дислокации с другой
дислокацией, атом примеси и другие дефекты. На рис. 2.10 показа-
на схема преодоления препятствия: при приближении К D дислока-
ция АВ постепенно искривляется и образует петлю, огибающую
2*
35
препятствие; за препятствием петля замыкается и снова становится
прямолинейной А'В'.
Огибание дислокацией препятствия связано с увеличением ее
длины, что, согласно (2.4), требует затраты работы. Поэтому на
участке преодоления дефекта дислокация испытывает значительно
большее сопротивление перемещению, чем в неискаженных обла-
стях решетки.
§ 2.4. Поверхностные дефекты
Свободные поверхности. Для любого атома, находящегося в
объеме кристалла, характерна симметрия сил, действующих на него
со стороны соседних атомов. Подобная симметрия нарушается для
атомов, размещенных на поверхности, так как его соседи распола-
гаются по одну сторону от этой поверхности. Это приводит к
искажению типа упаковки поверхностных атомов — изменению
расстояния между ними и смещению их относительно положений,
которые занимают атомы в атомных слоях в объеме кристалла,
параллельных поверхности. При этом связи, характерные для объе-
ма кристалла, могут нарушаться и заменяться специфическими
поверхностными связями. Так, на поверхности (100) кремния, гер-
мания, алмаза происходит разрыв двух хр3-гибридных связей
с образованием двух свободных электронов на атом. Обобществле-
ние этих Электронов приводит к дополнительному попарному со-
единению поверхностных атомов и сближению их друг с другом.
Границы. Реальные кристаллы часто имеют мозаичную струк-
туру: они состоят из блоков правильного строения, расположен-
ных лишь приблизительно параллельно друг другу. Размеры бло-
ков колеблются примерно от 10 6 до 10-4 см, значения углов между
ними — от нескольких секунд до нескольких минут. Так как решет-
ки в соприкасающихся блоках ориентированы слегка различно, то
в переходных областях возникают дислокации (рис. 2.7,6), плот-
ность которых тем выше, чем больше угол разориентировки блоков.
Еще большие углы разориентировки решеток (до десятков граду-
сов) возникают у границ зерен поликристаллов, вследствие чего
плотность дислокаций здесь еще выше.
Границы блоков и зерен являются носителями избыточной сво-
бодной энергии, обусловливающей повышенную скорость протека-
ния химических реакций, полиморфных превращений, диффузии
и т. д. Они являются также эффективными центрами рассеяния
свободных носителей заряда, определяющими значительную долю
электрического сопротивления тела.
Дефекты упаковки. Дефектами упаковки называют любые от-
клонения от нормальной, присущей данному типу кристалла после-
довательности в расположении атомных плоскостей. В качестве
примера на рис. 2.11, а показана нормальная последовательность
наложения атомных слоев по плоскостям {111} кубического гране-
центрированного кристалла. В заштрихованных лунках нижнего
атомного ряда А (кружки, ограниченные сплошными линиями) раз-
36
Рис. 2.11. Дефекты упаковки:
а. б — нормальная последовательность упаковки атомных плоскостей !111[ Г ПК-ре-
шетки: в — дефект упаковки типа вычитания; г — дефект упаковки, приводящий к
двойникованию
мешаются атомы следующего слоя В (кружки, обведенные пункти-
ром); незаштрихованные лунки остаются свободными. Атомы
третьего слоя С (кружки, ограниченные точками) размещаются
в лунках слоя В, находящихся над незаштрихованными лунками
нижнего слоя А. Четвертый слой, располагающийся над слоем С
(кружки, ограниченные двойными сплошными линиями), повторяет
слой А, и т. д.
Таким образом, нормальное расположение атомных слоев мож-
но изобразить схемой, показанной на рис. 2.11,6. Однако при
росте кристаллов или их деформации возможно нарушение подоб-
ной последовательности в расположении атомных слоев, присущей
идеальным кристаллам. Простейшее из них показано на рис. 2.11, в:
после слоя А идет не слой В, а слой С. Такой дефект упаковки на-
зывают дефектом типа вычитания. На рис. 2.11, г показан дефект
упаковки, приводящий к возникновению двойниковых образований.
Возможны и другие типы дефектов упаковки.
Объемные дефекты. К объемным дефектам относят различного
рода поры, выделения микрообразований, включения и др.
ГЛАВА 3 ТЕПЛОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ АВТОМОВ КРИСТАЛЛА
Атомы твердых тел совершают тепловые колебания около положений равновесия.
Вследствие их сильного взаимодействия между собой характер этих колебаний
оказывается весьма сложным и точное его описание представляет огромные труд-
ности. Поэтому прибегают к приближенным методам н различного рода упроще-
ниям в решении этой задачи. Прежде всего будем считать, что при измеиеинн
расстояния а между соседними атомами от равновесного на некоторое значение и
между ними возникает сила F, пропорциональная и и направленная в сторону,
противоположную и:
F = —fiu. (3.1)
Такое допущение оправдано для небольших изменений межатомных расстояний
от положения равновесия, как легко видеть из рис. 1.1. В сущности, кристалл сво-
37
Рис. 3.1. Модель кристалла в гармоническом приб-
лижении
дится при этом к набору частиц, соединенных между собой идеальными пружин-
ками (рис. 3.1). В такой структуре атомы не могут двигатьсн независимо друг от
друга — колебания любого из них передаются соседним атомам и распространя-
ются по кристаллу в виде унругой волны.
§ 3.1. Колебания и волны в одномерной решетке
из одинаковых атомов
Для простоты рассмотрим плоскую продольную упругую волну,
распространяющуюся вдоль направления [100] в кубическом кри-
сталле. В этом случае атомы в каждой из плоскостей, нормальных
к направлению [100], т. е. в любой плоскости (100), смещаются
синфазно. Для некоторой плоскости $ уравнение движения имеет
вид
Л’„ ЛИщ = =ЛГ„(3.2)
где Л .. число атомов в плоскости: Л4 — масса атома; —
сила, действующая на плоскость s со стороны соседних плоскостей;
Fs — сила, действующая на один атом со стороны его соседей.
Сократив правую и левую части этого уравнения на Nn.h получим
уравнение движения для атома s в линейной цепочке атомов
(рис. 3.2, а, б).
Сила Fs в такой цепочке определяется разностью смещений из
положений равновесия атома $ и атомов $—1 и s-f-1 :
Fs=М us—p(us+1—us)— p(u,—u, _ i )= 0( us+1 — 2«s+its— i). (3.3)
Ищем решение этого уравнения в форме бегущей волны:
и4=Ле'*ме-'"" (3.4)
где а — равновесное расстояние между атомами в цепочке; k—
38
ВГО(ЯПГО6ШОВ7
а;
Рис. 3.2. Колебания линей-
ной цепочки атомов:
и — равновесное положение атомов;
б — смешения атомов в продольной
волне; в — дисперсионная кривая
для линейной цепочки одинаковых
атомов
а ш ляягоото{ооо1|япяяяя!^^
б)
= 2л/Х— модуль волнового вектора; ш— угловая частота колеба-
ний атомов; А — амплитуда колебаний. Подставляя (3.4) в (3.3),
подучаем.
—о)2Л4Де'*'ме_'ш'=рД(е|Ла,Л+'>—2е'Л''+е,ь"'’'')е_'"'. (3.5)
После сокращения на Де'^'е "”' имеем
Л!а)2=^₽(е*й+е :*в—2). (3.6)
Отсюда получаем связь между частотой колебаний и волновым век-
тором, т. е. д и с п е р a-и он ное соотношение
ш2 — (1 —cos>ka) = sin® — , (3.7)
или _________
(3-в|
Зависимость со от k приводится на рис. 3.2, в.
Первая зона Бриллюэна. На самом деле не имеет смысла брать
диапазор изменения k больше чем 2л/а (например, больше чем от
—л/а до 4-л/а), так как все возможные физически различные
волны в цепочке атомов охватываются этим набором волновых
векторов. Эту область значений k называют первой зоной Брил-
люэна.
Поясним сказанное на примере, когда соседние атомы колеб-
лются в противофазе. Как показано на рис. 3.3, такое движение
39
Рис. 3.3. Представление одного и того же ко-
лебания атомов в виде волны длиной 2а
(сплошная линия) и длиной 2/за (штрихо-
вая линия)
можно описать с помощью
волны с параметрами Х=2а;
k=n/a (сплошная линия)
или с помощью волны с па-
раметрами X=’/3a; fe=3n/a
(штриховая линия). Значе-
ния k отличаются здесь друг
от друга на 2л/а. Точно
так же можно показать,
что то же самое движение
атомов можно описать вол-
ной с k, отличающимся на ±(2л/а)л, где п — любое целое число.
Действительно, подставив в (3.4) вместо k величину й±(2л/а)п,
получим
us=/le''““e'2nsne~~ll'’( =Де^ае'-|ш' (3.9)
Периодические граничные условия. Уравнение (3.3) справед-
ливо для любого атома только в том случае, если рассматривается
бесконечный кристалл. Для кристаллов же ограниченных размеров
необходимо задать поведение атомов на поверхностях — ввести
граничные условия. Введение граничных условий может изменить
вид получаемых решений. Например, в линейной цепочке атомов
со свободными концами бегущие волны типа (3.4) распространять-
ся не могут, вместо них существуют стоячие волны, т. е. комбина-
ции бегущих навстречу друг другу волн с одинаковыми волновыми
векторами. Кроме того, меняется и спектр возможных значений k —
вместо непрерывного он становится дискретным. Набор получаемых
решений очень велик — их количество равно числу степеней сво-
боды всех атомов кристалла. Под действием теплоты в кристалле
одновременно возбуждается огромное количество различных типов
колебаний, отличающихся друг от друга и частотами, и направле-
нием распространения, и поляризацией. Одновременное участие
каждого ид атомов во всех этих колебаниях и приводит к полной
хаотичности их движения.
Если изменить вид граничных условий, то характер движения
атомов, близких к поверхности, изменится, но для основной их
массы движение останется столь же хаотичным, как и раньше.
Вследствие этого и средние величины, характеризующие тепловое
движение, не изменятся. Это обстоятельство позволяет выбирать
граничные условия, не заботясь об их реальной выполнимости,
а стремясь лишь к облегчению математических выкладок. В физике
твердого тела обычно используют периодические граничные усло-
вия. Например, вместо ограниченной цепочки длиной L рассматри-
вают бесконечную цепочку, разбитую на отрезки длиной L, в каж-
дом из которых картина колебаний в любой момент времени в точ-
ности повторяется. Таким образом, смещения атомов, находя-
щихся в точке х н в точке x-j-L, должны всегда совпадать друг
с другом:
u(x)=u(x4-L),t. е. е'*х=е'*(х+£). (3.10)
40
Из (3.10) следует, что
е'*д=1,т. е. k=0- ±2n/L; ±4n/L; ....
(З.И)
§ 3.2. Оптические колебания
Рис. 3.4. Линейная цепочка из атомов двух сортов
(а), акустические (б) и оптические (в) колебания
в такой цепочке и их дисперсионные кривые (г):
Рассмотрим теперь цепочку, состоящую из атомов двух сортов,
правильно чередующихся друг с другом (рис. 3.4, а). Обозначим М
массу более тяжелых атомов и т — более легких. В такой цепочке
возможно появление двух типов колебаний, показанных на рис.
3.4, б, в. Колебания, показанные на рис. 3.4, б, ничем не отличаются
от колебаний однородной цепочки: на длинных волнах соседние
атомы колеблются практически в одной фазе и waK=0 при й=0.
Такие колебания называют акустическими, так как они включают
весь спектр звуковых колебаний цепочки. Они играют основную
роль в определении тепловых свойств кристаллов — теплоемкости,
теплопроводности, термического расширения и т. д.
В случае колебаний, показанных на рис. 3.4, в, соседние атомы
колеблются почтй в противоположных фазах. Эти колебания можно
рассматривать как колебания друг относительно друга двух подре-
шеток из однородных атомов, вставленных одна в другую. Их на-
зывают оптическими колебаниями, так как они играют основную
роль в процессе взаимодействия света с кристаллом.
На рис. 3.4, г пока-
заны дисперсионные
кривые для акустиче-
ских и оптических нор-
мальных колебаний це-
почки, состоящей из
двух сортов атомов.
В то время как для
акустических колеба-
ний частота растет с
ростом водного вектора
и достигает максималь-
ного значения при
Лтах=л/а, для оптиче-
ских колебаний <отах
имеет место при fe=.O;
с ростом k частота этих
колебаний уменьшает-
ся и становится мини-
мальной при femax=n/a.
Оптические колеба-
ния возникают не толь-
ко в цепочке, состоя-
щей из разнородных
атомов, но и в том слу-
чае, когда цепочка со-
41
стоит из двух (и более) простых цепочек, составленных из одина-
ковых атомов и вставленных одна в другую, как показано на
рис. 3.4, д. В элементарной ячейке такой цепочки содержится два
атома. Оптические колебания возникают в результате колебаний
одной подрешетки относительно другой.
§ 3.3.. Колебания трехмерной кристаллической
решетки
Рассмотрим теперь колебания в кристалле кубической формы
размером Z.XZ.XZ., грани которого параллельны граням элемен-
тарных ячеек. Введем периодические граничные условия вдоль каж-
дой из осей х, у и г. Теперь эти условия означают, что простран-
ство разбивается на кубы размером Z-XZ-XZ. и картина колебаний
в рассматриваемом кубе в точности повторяется в каждом из
остальных кубов. Смещения атомов в синусоидальной плоской
волне, распространяющейся в некотором направлении в кристалле,
задаются теперь в виде:
u(r)=Uoe-i,','eikr=uoe-iM'eLt‘xei*'i'ei*‘2, (3.12)
где Uo — амплитуда смещения атомов в волне; kx, ky, kz — проек-
ции волнового вектора к на координатные оси.
Применив периодические граничные условия совершенно анало-
гично тому, как это было сделано для линейной цепочки атомов,
найдем разрешенные значения проекций kx, ky, k? волнового век-
тора к на координатные оси, равные 0, ±2n/L, ±4n/Z- и т. д.,
вплоть до максимальных значений zfcn/a (a — постоянная кристал-
лической решетки).
Первая зона Бриллюэна кубического кристалла представляет
собой теперь куб с длиной ребра 2л/а в так называемом к-про-
странстве. На рис. 3.5 точки изображают разрешенные значения
волнового вектора к.
Полное число мод. На каждое разрешенное значение к в к-про-
странстве приходится объем (2л/£)3=8л3/У, где V — объем кри-
сталла. Поделив объем первой зоны Бриллюэна 8л3/а3 на этот эле-
ментарный объем, получим полное число различных разрешенных
значений волнового вектора к. Оно равно V/a3. Так как а3 не что
иное, как объем элементарной ячейки кристалла, то V/a3 равно
числу N атомов в кристалле. Волны в кристалле, однако, могут
различаться не только своими волновыми векторами к, но и направ-
лением смещений атомов в волне относительно к, т. е. направле-
нием вектора Uo в (3.12). Это направление определяет поляриза-
цию волны. Волну с произвольной поляризацией всегда можно
представить в виде суммы трех волн со взаимно ортогональными
поляризациями: одной продольной и двух поперечных. Синусои-
дальную волну, имеющую одно из этих трех направлений поляри-
зации и некоторое разрешенное значение волнового вектора к, на-
зывают нормальным колебанием или модой. Из вышесказанного
следует, что полное число различных мод в кристалле равно 3W.
42
Рчс. 3.5. Разрешение значения волнового векто-
ра к в кристалле размером Z-X tX L
Рис. 3.6. Дисперсионные кривые
для акустических колебаний в
кристалле
Интересно отметить, что если рассматривать кристалл как на-
бор N атомов, движущихся независимо друг от друга с тремя сте-
пенями свободы каждый, то полное число степеней свободы такого
набора равно 3W. На самом деле атомы связаны между собой си-
лами взаимодействия и образуют единую колебательную систему.
Однако число степеней свободы у нее сохранилось. Теперь в кри-
сталле могут существовать 3W разных нормальных колебаний,
каждое из которых играет роль степени свободы кристалла.
Дисперсионные кривые. Частота нормальных колебаний в трех-
мерном кристалле зависит в общем случае не только от длины
волны, но и от ее поляризации и направления распространения.
Таким образом, вместо одной дисперсионной кривой для линейной
цепочки атомов теперь для любого направления волны в кристалле
существуют три дисперсионные кривые (рис. 3.6). В кубическом
кристалле кривые для двух поперечных поляризаций совпадают,
так что остается одна кривая для поперечных и другая — для
продольных волн (более высокочастотных). Для решеток с базисом
кроме акустических колебаний возникают также оптические коле-
бания, соответствующие колебаниям друг относительно друга раз-
личных подрешеток. '
Частотный спектр колебаний решетки. Разрешенным значениям
волновых векторов к соответствуют некоторые разрешенные ча-
стоты колебаний (рис. 3.7). Для многих задач теории твердого тела
важно знать, сколько различных типов колебаний, мод соответ-
ствуют тому или иному диапазону частот колебаний. Так как
число всевозможных мод для кристалла макроскопических разме-
ров астрономически велико, то на шкале частот разрешенные
значения укладываются очень густо и удобно ввести функцию плот-
ности распределения мод по частотам g(w). Значение величины
43
Рис. 3.7. Связь между разре-
шенными значениями волно-
вого вектора и частотным
спектром колебаний решетки
Рис. 3.8. К расчету функции
плотности мод
g((i))dw равно числу мод в интервале частот от <о до со—|—dco, а зна-
чение g(o)) — числу мод в единичном интервале частот.
Задача вычисления функции плотности мод для трехмерного
кристалла в общем случае очень сложна. Поэтому обычно ее
существенно упрощают, вводя следующие допущения: прежде
всего считают, что частота колебаний зависит только от модуля
волнового вектора и не зависит от направления распространения
волны. Тогда некоторому интервалу частот dw соответствует ин-
тервал волновых чисел dfe — сферический слой в трехмерном к-
пространстве (рис. 3.8). Число различных значений волнового
вектора к, попадающих в этот слой, получим, поделив объем
слоя 4nfe2dfe на элементарный объем 8л3/У- Таким образом, это
число
dg=W2dfe/(2n2). (3.13)
Теперь нужно заменить k на <о согласно закону дисперсии to(fe) и
dfe на dw, тогда мы получим чцсло мод в интервале частот dm.
Часто пользуются простейшими законами дисперсии:
(о=ии/г (3.14)
для продольных волн и
u=vLk (3.15)
для обеих поперечных. Тогда соответствующая замена переменных
дает
dg„ = —e)8d“):
" 2Tt’t>3
V(o2
g^)
(3.16)
(3.17)
44
Для двух поперечных поляризаций
волн
Vo?
Полная функция плотности мод име-
ет тогда вид
(3.18)
/1 2 \
«(•)=7ТН- + -Г - <3-19) Рис. 3.9. Функции плотности мод
2к2 I дЗ ^3 I В приближении Дебая для зоны Бриллюэна
\ II 1 / в виде сферы (сплошная кривая), для куби-
ческой зоны Бриллюэна (штриховая кри-
Проведенное выше рассмотре- ',aя,
ние, однако, справедливо, пока
сферические поверхности в k-пространстве не начнут выходить за
грани куба первой зоны Бриллюэна. Чтобы избежать этого ослож-
нения, Дебай предложил рассматривать вместо кубической зоны
Бриллюэна сферическую с тем же объемом и, следовательно, с тем
же полным числом мод ЗЛ\ Радиус этой сферы ko тогда опреде-
ляется из соотношения
4 /злйд=8л3/а3.
(3.20)
Дебаевскому волновому вектору ko соответствуют максималь-
ные частоты колебаний для продольных и для поперечных волн.
Иногда совсем упрощают рассмотрение, полагая v«=ux. Тогда
(3.19) принимает вид
. . 3Vo?
а (и>) -----
(3.21)
для частот от нуля до (од=3/бл2и3М/У. Наконец, используя по-
следнее выражение для шо, формулу (3.21) можно привести к
виду
ёЧ = л. (3.22)
Функция плотности мод (3.21) представлена на рис. 3.9 вместе
с функцией плотности для кубической зоны Бриллюэна. Следует
отметить, что в любом случае функция плотности мод достигает
максимального значения вблизи ша и, когда для грубых оценок
нужна некоторая средняя частота колебаний решетки, ее берут
близкой К (ОД.
§ 3.4. Энергия нормальных колебаний. Фононы
До сих пор все выводы о движении атомов в кристаллах дела-
лись на основании классических законов движения. Однако, когда
речь заходит о возможной энергии нормального колебания, необ-
ходимо более .корректное, квантово-механическое, рассмотрение.
45
С точки зрения классической теории энергия нормального колеба-
ния может быть любой и изменяться плавно на сколь угодно малые
значения. Квантовая же механика утверждает, что энергия нор-
мального колебания Е„.к с частотой <онк может принимать только
дискретный ряд значений:
£„к=й<оНк(п+72) (п=0, 1,2,...). (3.23)
где Й — постоянная Планка, деленная на 2л.
Такая же формула справедлива и для энергии одного гармони-
ческого осциллятора. Из этого важного соотношения непосредст-
венно следуют два вывода: минимальная энергия нормального ко-
лебания, моды, не равна нулю, а равна '/гЙЫнк; энергия моды мо-
жет изменяться только порциями Й<онк, называемыми фононами.
Первый из этих выводов можно сформулировать еще и так: в при-
роде не существует неколеблющихся кристаллических решеток,
неколеблющихся осцилляторов.
Колебания с минимальной энергией '/гЙШн к называют нулевыми.
Изъять энергию нулевых колебаний можно лишь разрушив кри-
сталл. При рассмотрении очень многих процессов в кристалле энер-
гию нулевых колебаний, как не меняющуюся величину, можно не
принимать во внимание и вместо (3.23) пользоваться более про-
стым выражением
£нк=пй<онк. (3.24)
Пользуясь понятием фонона, можно, вместо того чтобы гово-
рить, что нормальное колебание возбуждено до n-го колебатель-
ного уровня, сказать, что в кристалле присутствуют п фононов
с энергией й<о„ к каждый. Фонон в этом случае выступает как квази-
частица с определенной энергией. Так как в кристаллической ре-
шетке могут возбуждаться нормальные колебания с самыми разны-
ми частотами, то и фононы могут обладать различными энергиями
(см. рис. 3.7).
3.5. Теплоемкость твердых тел
Проверить правильность теоретических представлений о тепло-
вых колебаниях кристаллических решеток можно, сопоставляя
выводы теории с экспериментами по измерению теплоемкости твер-
дых тел.
Классическая теория. Проще всего рассматривать кристалл как
совокупность большого числа N атомов, колеблющихся незави-
симо относительно своих положений равновесия в трех ортогональ-
ных направлениях, т. е. считать, что каждый атом кристалла пред-
ставляет собой шарик, закрепленный на трех пружинках. Тогда
каждому атому можно поставить в соответствие три независимых
осциллятора, а весь кристалл представить как совокупность 3W не-
зависимых осцилляторов. Каждый из них обладает одной сте-
пенью свободы движения, а весь кристалл — 3W степенями сво-
боды.
46
Согласно классической статистической физике, на каждую сте-
пень свободы движения системы в тепловом равновесии приходится
средняя кинетическая энергия
ЁКИн=72*Г, (3.25)
где k — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая темпе-
ратура*. Классическая же механика показывает, что средняя ки-
нетическая энергия осциллятора равна его средней потенциальной
энергии. Таким образом, на каждую степень свободы кристалла
приходится полная энергия kT, а полная энергия колебаний всего
кристалла
EKp—3NkT. (3.26)
Отсюда следует, что теплоемкость кристалла (при постоянном
объеме) равна
cv = = 3Nk. (3.27)
В это выражение входит лишь полное число N атомов тела. Что
это за атомы, неважно. Иными словами, теплоемкости разных твер-
дых тел, содержащих одинаковые числа атомов, одинаковы.
Действительно, существует эмпирический закон Дюлонга
и Пти (1819), согласно которому теплоемкость любого твердого
тела, содержащего 1 моль простого вещества (для сложных ве-
ществ полное число атомов должно быть равно постоянной Аво-
гадро А/а ), составляет ЗМд/г«25 Дж/(моль-К). Однако этот закон
выполняется лишь для температур порядка комнатной и выше.
При низких температурах теплоемкость твердых тел уменьшается и
стремится к нулю при Т-+-0.
Отметим, что закон Дюлонга и Пти следует из классической
теории и в том случае, если учитывается взаимная связь атомов в
решетке. Действительно, как уже говорилось в предыдущем пара-
графе, в этом случае число степеней свободы кристалла по-преж-
нему равно 3W. Разница состоит лишь в том, что теперь каждой
степени свободы соответствует одно независимое нормальное коле-
бание, мода. Кинетическая энергия такого колебания — это та
часть кинетической энергии всех атомов кристалла, которая соот-
ветствует их движению в рассматриваемой волне,: а потенциаль-
ная — соответствующая часть энергии упругой деформации кри-
сталла.
Квантовая теория Эйнштейна. Объяснить падение теплоемкости
твердых тел до нуля при понижении температуры удалось лишь на
основании квантовой теории. Эйнштейн показал, что если исходить
из формулы для энергии (3.24), то в тепловом равновесии средняя
энергия нормального колебания
* В публикациях по физике твердого- тела вместо термина «термодинамиче-
ская температура» иногда употребляют термин «абсолютная температура».
47
где (Он.к — частота нормального колебания. Из (3.28) и (3.24) сле-
дует, что в такой моде существует в среднем п фононов:
п = 1 / (еЛ“н.к/*г— 1). (3.29)
Если предположить, что все 3W мод кристалла имеют одну и
ту же частоту колебаний о>, то энергия колебаний кристалла и его
теплоемкость составляют
^-3^.,^-;^—-. (3.30)
cv _ 3Nk (-£)* (3.31)
\ kT J ( —1)2
Рассмотрим эти выражения в двух крайних случаях:
а) высокие температуры, Тогда
fia>/(kT) , . Йо
е «1-4----------,
kT
EKV « 3NkT\ cv « 3W.
Таким образом, при высоких температурах теория Эйнштейна
удовлетворяет закону Дюлонга и Пти;
б) низкие температуры, йТ-СЙш. В этом случае согласно (3.31)
имеем си~ехр [—Й<в/(ЙТ)|. Это выражение стремится к нулю при
Т->-0. Таким образом, теория Эйнштейна качественно правильно опи-
сывает ход теплоемкости и при низких температурах. Однако экс-
перимент дает закон изменения теплоемкости в этой области cv~T3.
Это противоречие было устранено Дзбаем, который учел, что час-
тоты нормальных колебаний не одичаковы, а занимают весьма ши-
рокий интервал спектра.
Теория Дебая. Число нормальных колебаний, приходящееся
на спектральный интервал dm, равно g(<o)d<o. Умножая это число
на среднюю энергию нормального колебания, получим суммарную
энергию нормальных колебаний, заключенных в интервале d<o:
df«p=Енк^(оз) dw.
Проинтегрировав это выраже ше по всему стектру нормальных ко-
лебаний, т. е. в пределах от 0 до wd, получим энергию тепловых
колебаний решетки твердого тела:
Со _ со
D D
Екр = f K.Kg (<») d«> = f ' 9AZ<°2d<°- (3-32)
48
Здесь для g(w) было ис-
пользовано _ выражение
(3.22), а для £„.к — (3.28).
Теплоемкость получим,
продифференцировав (332)
по температуре.
В области высоких тем-
ператур, когда feT'>ft<oD,
для любого нормального
колебания EK K—kT и Cv=
=3Nk, т. е. вновь под-
тверждается закон Д го-
лонга и Пти.
При низких температу-
рах, когда ин-
тегрирование (3.32) дает
Рис. 3.10. Зависимость теплоемкости твердых тел
от температуры по Дебаю (сплошная кривая) и
экспериментальные данные для ряда материалов
(3.33)
где To=ti4>D/k. Дифференцируя (3.33) по температуре, найдем
с (Л-П
' 5 \ 1 D /
(3.34)
На рис. 3.10 сплошной линией показана теоретическая кривая
зависимости теплоемкости твердых тел от температуры, точками —
экспериментальные данные для серебра, алмаза, алюминия, меди
и каменной соли. Согласие теории с опытом вполне удовлетвори-
тельное не только с качественной, но и с количественной стороны.
Зависимость концентрации и средней энергии фононов от тем-
пературы. Из (3.29) следует, что в области высоких температур в
каждой моде среднее число фононов растет пропорционально тем-
пературе. Следовательно, и полное число фононов Пф в единичном
объеме кристалла (т. е. их концентрация) пропорционально Т:
п$~Т. (3.35)
Средняя же энергия фонона не зависит от Т:
<£ф>=£кр/пф=сопз((Г). (3.36)
Здесь угловые скобки означают усреднение по коллективу.
При низких температурах, как показывает расчет,
Пф-Г3; <£д>~7-. (3.37)
Поясним причину такой зависимости. На рис. 3.11, а изображе-
на зависимость от температуры отношения энергии нормального
колебания по Эйнштейну (3.28) к классическому значению этой
энергии kT. Грубо (штриховая линия на рис. 3.11, а) эту зависи-
мость можно интерпретировать так: нормальное колебание возбуж-
дено при температурах йГ>А(он.к, при более низких температурах
49
Рис. 3.11. Зависимость отношения энергии нормального колебания Е„ ,
к классическому значению kT от температуры (а) и возбуждение нор-
мальных колебаний при низких температурах (б)
оно возбуждено слабо. На рнс. 3.11,6 изображены энергетические
спектры колебаний с наинизшей частотой Ш1 и более высокими
частотами, которые взяты равными 2wi, 3(0i н т. д. (как для линей-
ной цепочки). Нижняя штриховая прямая показывает среднюю
энергию kT\ этих колебаний прн некоторой небольшой температуре
Гь верхняя — при 7’2=27’1. Видно, что в модах, уже возбужденных
прн 7’=7’|, число фононов с повышением температуры удвоилось и,
кроме того, теперь возбудились н новые, более высокочастотные
типы колебаний с большими энергиями фононов (между kT\ и
kT2). Поэтому <£ф> растет с температурой, а пф растет быстрее,
чем Т. При T>Td все возможные типы колебаний уже возбуждены
и дальнейший рост Т приводит лишь к пропорциональному увели-
чению числа фононов в каждой моде.
Еще раз подчеркнем, что отклонение зависимости Cv(7’) от клас-
сического закона связано с квантовым характером возбуждения
колебаний, с тем, что колебание с частотой ш не может появляться
постепенно, а для своего возбуждения требует сразу порцию энер-
гии Йш. Поэтому прн низких температурах высокочастотные ко-
лебания, для которых требуются большие порции энергии возбуж-
дения, практически отсутствуют. Рассмотрим, например, как при-
ходит в тепловое равновесие кристалл, обдуваемый холодным
инертным газом. На поверхности кристалла происходит обмен
энергией между колеблющимися атомами кристалла н ударяющи-
мися о кристалл атомами газа. Прн этом низкочастотные типы ко-
лебаний могут возбуждаться практически любым атомом газа, а
высокочастотные — только атомами, обладающими повышенной
энергией. Принять же энергию возбужденных высокочастотных мод
н погасить их колебания может любой ударяющийся о кристалл
атом. Такой «неравноправный» обмен энергией высокочастотных
мод с газом и приводит к тому, что онн слабо возбуждаются.
Для низкочастотных же мод обмен «равноправен», и они, как н час-
тицы газа, имеют по '/ikT кинетической энергии на каждую сте-
пень свободы движения.
50
§ 3.6. Тепловое расширение твердых тел
При рассмотрении тепловых колебаний кристаллической решет-
ки нами было введено гармоническое приближение (3.1), согласно
которому сила, возникающая при смещении частицы из положения
равновесия, пропорциональна смещению. Построенная при таком
допущении теория решеточной теплоемкости .твердых тел достаточ-
но хорошо согласуется с опытом. Однако с точки зрения гармони-
ческого приближения оказалось невозможным объяснить ряд хоро-
шо известных явлений, таких, например, как тепловое расширение
твердых тел и их теплопроводность.
В самом деле, обратимся к кривой зависимости потенциальной
энергии U частиц твердого тела от расстояния г между ними
(рис. 3.12). При выполнении условия (3.1) эта кривая — парабола
а'Ьс', уравнением которой является
(/(г-го)=Ци)=-(/о + 72Э«2- (3.38)
Здесь обозначено и=г—г0. При Г—О К частицы располагаются
на расстояниях го, отвечающих минимуму энергии взаимодейст-
вия U (т. е. на дне потенциальной ямы а'Ьс'). Эти расстояния опре-
деляют размер тела при Т=0 К. С повышением температуры части-
цы начинают колебаться около положений равновесия г0. Ради про-
стоты допустим, что частица 1 закреплена неподвижно и колеблется
лишь частица 2. Колеблющаяся частица обладает кинетической
энергией, достигающей наибольшего значения Еосц в момент про-
хождения ею положения равновесия го- На рис. 3.12 энергия Ё„сц
отложена вверх от дна потенциальной ямы. При движении части-
цы 2 влево от положения равновесия кинетическая энергия расхо-
дуется на преодоление сил отталкивания ее от частицы 1 и перехо-
дит в потенциальную энергию ваимодействия частицы. Отклонение
влево происходит до тех пор, пока вся кинетическая энергия части-
цы Еосц не перейдет в потенциальную энергию. Аналогичным обра-
зом происходит движение частицы 2 вправо от положения равно-
весия. Так как парабола (3.38) симметрична относительно верти-
кали bd, проходящей через
точку Го. то максимальные
отклонения частицы 2 вправо
(и2) и влево (и() одинаковы.
В действительности же
потенциальная кривая abc
является, как видно из
рис. 3.12, несимметричной от-
носительно точки го: ее левая
ветвь Ьа поднимается значи-
тельно круче правой ветви Ьс.
Это означает, что колебания
Рис. 3.12. Зависимость потенциальной энер
гии взаимодействия частиц тела от расстоя
ния между ними (сплошная кривая)
частиц в твердом теле явля-
ются ангармоническими (не-
гармоническими). Для учета
51
асимметрии потенциальной кривой необходимо в уравнение (3.38)
ввести дополнительное слагаемое — у«3/3, выражающее эту асим-
метрию (у — коэффициент пропорциональности). Тогда (3.38) и
(3.1) примут следующий вид:
U(r-r0)==U(u)=-U0+ 72₽«2- '/Зу«3, (3.39)
f(r_ro) = F(u) = --^- = -pu + Yu\ (3.40)
ои
При отклонении частицы 2 вправо (и>0) слагаемое уи3/3 вычи-
тается из 0и2/2 и ветвь Ьс идет положе ветви be'-, при отклонении
влево (и<0) слагаемое уи3/3 прибавляется к 0«2/2 и ветвь Ьа идет
круче ветви Ьа'.
Несимметричный характер потенциальной кривой приводит к
тому, что отклонения частицы 2 вправо (и2) и влево («1) оказы-
ваются неодинаковыми: вправо частица отклоняется сильнее, чем
влево (рис. 3.12). Вследствие этого среднее положение частицы 2
(точка Г|) уже не совпадает с положением равновесия г0, а смеща-
ется вправо. Это соответствует увеличению среднего расстояния
между частицами на и.
Таким образом, с нагреванием тела средние расстояния между
частицами должны увеличиваться и тело должно расширяться.
Причиной этого является ангармонический характер колебаний
частиц твердого тела, обусловленный асимметрией кривой зависи-
мости энергии взаимодействия частиц от расстояния между ними.
Произведем оценку коэффициента теплового расширения а.
Среднее значение силы, возникающей при смещении частицы 2 от
положения равновесия,
р=_рй_|-7£?. (3.41)
При свободных колебаниях частицы Г=0, поэтому уи2=07г. Отсюда
находим
й=уй2/р. (3.42)
С точностью до величины второго порядка малости потенциальная
энергия колеблющейся частицы определяется соотношением (3.38).
При возникновении колебаний она увеличивается в среднем на
MJ = йот= (3.43)
Так как среднее значение потенциальной энергии осциллятора
равно среднему значению его кинетической энергии или половине
его полной энергии Еоса, то
рг?=£'осц; (3.44)
“ - ? - Е°°"- (3-45>
р р
Относительное линейное расширение, представляющее собой от-
ношение изменения среднего расстояния й между частицами к нор-
мальному расстоянию г0 между ними, составляет
52
(3.46)
(3.47)
a =
« _ Т р
~ BV 00Ц’
Гв р ' о
а температурный коэффициент линейного расширения
а _ 1 _ 7 <l£ocu = 7 СУ ,
г„ АТ р»г0 АТ ЗЯ ’
где cv/(SN) — теплоемкость, отнесенная к одной степени свободы
частицы. Таким образом, температурный коэффициент линейного
расширения оказывается пропорциональным теплоемкости тела.
В качестве примера на рис. 3.13 показана зависимость температур-
ного коэффициента линейного расширения и теплоемкости меди от
температуры, подтверждающая наличие связи между а и Cv.
В области
приходящаяся
одной из осей,
частице, равна
почки атомов
1k
0% ’
Подстановка числовых значений у, k, 6 и г0 для различных твердых
тел дает для а значения порядка 10~*—10-5, что удовлетворитель-
но согласуется с опытом. Опыт подтверждает также, что в области
высоких температур а практически не зависит от температуры
(рис. 3.13)..
В области низких температур а ведет себя подобно cv: умень-
шается с понижением температуры и при приближении к О К стре-
мится к нулю.
В заключение отметим, что формула, подобная (3.46), была
впервые предложена для металлов Грюнайзеном и имела вид
(3.48)
высоких температур энергия колебаний частицы,
на одну степень свободы, т. е. на колебания вдоль
равна в среднем kT, теплоемкость Cv, отнесенная к
k. Поэтому коэффициент расширения линейной це-
8x
Рис. 3.13. Зависимость температурного коэффициента
линейного расширения а и теплоемкости cv меди от
температуры
53
где х — коэффициент сжимаемости металла; V — объем, занимае-
мый одним атомом; 6 — постоянная Грюнайзена, принимающая для
разных металлов значения от 1,5 до 2,5.
§ 3.7. Решеточная теплопроводность твердых тел
Вторым эффектом, обусловленным ангармоническим характером
колебаний атомов, является тепловое сопротивление твердых тел.
Оно не могло бы возникнуть, если бы атомы совершали строго
гармонические колебания, распространяющиеся в решетке в виде
системы не взаимодействующих между собой упругих волн. Отсут-
ствие взаимодействия между волнами позволило бы им распро-
страняться в кристалле не рассеиваясь, т.е. не встречая никакого
сопротивления, подобно распространению света в вакууме.
Если в таком кристалле создать разность температур, то атомы
горячего конца, колеблющиеся с большими амплитудами, должны
передавать свою энергию соседним атомам. Фронт тепловой волны
в этом идеализированном случае распространялся бы вдоль крис-
талла со скоростью звука. Так как эта волна не встречала бы
никакого сопротивления, теплопроводность такого кристалла была
бы очень большой.
В реальных кристаллах при не слишком низких температурах
колебания атомов носят ангармонический характер, учитываемый
в (3.40) вторым слагаемым. Появление ангармоничности приводит
к тому, что упругие волны в решетке утрачивают независимый
характер и при встречах взаимодействуют друг с другом, обмени-
ваясь энергией и меняя направление своего распространения (рас-
сеиваясь друг на друге). Именно вследствие протекания таких про-
цессов взаимодействия упругих волн становятся возможными пе-
редача энергии от колебаний одной частоты к колебаниям другой
частоты и установление в кристалле теплового равновесия.
Поясним, почему рассеяние упругих волн друг на друге обус-
ловлено энгармонизмом колебаний. Дело в том, что нелинейность
зависимости силы от смещения (3.40) означает, что модуль упру-
гости зависит от смещения атомов из положения равновесия.
Поэтому область кристалла, охваченная одной волной, восприни-
мается другой волной как область с другими упругими характе-
ристиками, т. е. как неоднородность.
Описание процесса рассеяния нормальных колебаний друг на
друге удобно вести на языке фононов, рассматривая термически
возбужденный кристалл как ящик, заполненный фононами. В гар-
моническом приближении, в котором нормальные колебания решет-
ки являются независимыми, фононы образуют идеальный газ (газ
невзаимодействующих фононов). Переход к ангармоническим коле-
баниям эквивалентен введению взаимодействия между фононами,
в результате которого могут происходить процессы расщепления
фонона на два и более и образования одного фонона из двух.
Такие процессы принято называть фонон-фононным рассеянием.
Рассматривая процессы рассеяния фононов как '•оударения
54
частиц, удобно представлять себе фонон как движущийся по крис-
таллу волновой пакет. На самом деле фонон как квант энергии
нормального колебания распространен на весь кристалл. Волновой
же пакет является суперпозицией нормальных колебаний. В частно-
сти, он не может быть охарактеризован одним волновым векто-
ром к. Однако если пакет не слишком узок, то диапазон волновых
векторов, формирующих его, невелик. Тогда можно говорить о
волновом векторе к фононного волнового пакета и его энергии
йы(к). Распространение же теплоты в пространстве можно предста-
вить как диффузионное движение фононных волновых пакетов,
обменивающихся друг с другом импульсом н энергией.
В кинетической теории газов показано, что коэффициент тепло-
проводности газа
(3-49)
где / — длина свободного пробега молекул; v — скорость их тепло-
вого движения; cv — теплоемкость единичного объема газа.
В применении к фононному газу под Cv следует понимать тепло-
емкость единичного объема кристалла, под /— длину свободного
пробега фонона, под v — скорость (групповую) фононных волновых
пакетов. Приближенно скорость фононов можно считать не завися-
щей от нх волновых векторов и равной скорости распространения
низкочастотных колебаний решетки, т. е. скорости звука.
Проанализируем температурную зависимость коэффициента теп-
лопроводности, следующую нз формулы (3.49).
В области высоких температур cv практически не зависит от Т.
Что касается длины свободного пробега фононов, то, если фононы
рассеиваются друг на друге, она должна быть обратно пропорцио-
нальна их концентрации. Так как n$~T, коэффициент теплопровод-
ности должен быть обратно пропорционален термодинамической
температуре, что качественно согласуется с опытом.
При температурах ниже дебаевской концентрация фононов рез-
ко уменьшается при понижении Т, вследствие чего их длина свобод-
ного пробега резко возрастает и достигает значения, сравнимого
с размером кристалла. Поскольку стенки кристалла обычно отра-
жают фононы в произвольном направлении (диффузно), дальней-
шее понижение температуры не приводит к увеличению /, так как
последняя определяется просто размерами кристалла. Температур-
ная зависимость теплопроводности решетки в этом диапазоне тем-
ператур определяется зависимостью от Т теплоемкости кристал-
ла cv. Так как в области низких температур Cv~T3, то и 1 должна
быть пропорциональна Т3:
к~Т3. (3-50)
Этот вывод также качественно подтверждается опытом. Для при-
мера на рис. 3.14 показана зависимость теплопроводности искус-
ственного сапфира от температуры. В области низких темпера-
тур Cv действительно примерно пропорциональна Т3.
Аналогичная картина должна наблюдаться в аморфных диэлек-
55
Рис. 3.14. Зависимость теплопро-
водности сапфира от температуры
Рис. 3.15. К объяснению влияния
«процессов переброса» на движение
фононов
триках, у которых размеры областей правильной структуры по по-
рядку величины сравнимы с атомными. Рассеяние фононов на гра-
ницах таких областей должно преобладать при всех Т, й поэтому
/ не должна зависеть от Т. В силу этого коэффициент теплопро-
водности таких диэлектриков должен быть пропорционален Т3 в об-
ласти низких температур и не зависеть от Г в области высоких тем-
ператур, что и наблюдается на опыте.
Квантовая теория теплопроводности. Теория показывает, что
при рассеянии фононов должны выполняться одновременно законы
сохранения энергии н импульса фононов. В роли импульса фонона
выступает величина Йк. Например, если два фонона с энергиями
и ЙШ2 и импульсами Йк) и Йкг образуют при столкновении один
фонон, то его энергия и импульс соответственно должны составить
Лй>з=Лй>1-|-Л(1)2 и йк3=Лк1-|-Йк2.
Сложение двух низкочастотных фононов, распространяющихся
в одном направлении, можно наблюдать непосредственно на экспе-
рименте, возбуждая две волны с частотами и <02 с одного конца
кристаллического стержня и наблюдая на другом его конце колеба-
ния С ЧаСТОТОЙ <0з=(014-<02-
Требование одновременного выполнения закона сохранения
энергии и импульса при взаимодействии фононов является весьма
жестким. Например, сложение двух фононов большой энергии
невозможно, если новый фонон должен иметь энергию больше
максимально возможной /адтах. В то же время именно взаимодей-
ствие фононов большой энергии должно приводить к ограничению
теплопроводности. Поясним это на примере линейной цепочки.
Сложение двух фононов с малыми импульсами дает новый фо-
нон, движущийся в ту же сторону, что и два исчезнувших, и имею-
щий энергию, равную суммарной энергии исчезнувших фононов.
Таким образом, поток энергии сохраняется. При сложении же двух
фононов с импульсами Лй1,2>л/(2а) образуется фонон с импуль-
сом Ййз>л/а, который лежит за пределами первой зоны Бриллюэ-
на. Это так называемый «процесс переброса».
Как было показано в § 3.1, любое колебание с волновым век-
тором, выходящим за пределы первой зоны Бриллюэна, может
56
быть с тем же успехом описано с помощью волны с волновым век-
тором, отличающимся на величину 2л/а или кратную ей величину
и попадающим в первую зону Бриллюэна (штриховая стрелка на
рис. 3.15). Иными словами, импульс фонона Лк определен с точно-
стью до любого вектора обратной решетки (см. § 1.3). Поэтому
величину Лк часто называют не импульсом, а квазиимпульсом
фонона.
Как видно из рис. 3.15, волновой пакет с импульсом ЛЛз=
=ЛЛз—2п/а имеет групповую скорость, направленную в сторону,
противоположную ЛЛ1 и ЛЛ2. (Групповая скорость определяется
как d<o/d£ при рассматриваемых значениях Л.) Таким образом,
такое взаимодействие должно бы приводить к изменению направле-
ния потока энергии. Однако, как сказано выше, при сложении таких
фононов невозможно выполнить закон сохранения энергии.
В трехмерном кристалле, с учетом наличия нескольких по-
ляризаций волн и зависимости энергии фоноиов не только от
величины волнового вектора, но и от его направления, возможно-
стей для рассеяния фононов больше. Кроме того, следует прини-
мать во внимание процессы с участием большого числа фононов
одновременно.
Теория теплопроводности оказывается вследствие этого весьма
сложной, и пока она не в состоянии предсказать не только точное
значение, но даже порядок величины теплопроводности решетки Л..
ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
В основе современной электронной теории твердых тел лежит зонная теория. Только
на ее базе оказалось возможным объяснить электрнческне свойства металлов,
диэлектриков и полупроводников.
§ 4.1. Энергетические уровни электрона в изолированном атоме
В начале XX в. физики убедились в том, что атомные явления
не могут быть описаны нн как движение частиц, нн как чисто вол-
новые процессы. Микрочастицы — электроны, протоны, атомы
и т. д. — органически сочетают в себе корпускулярные и волновые
свойства. Они регистрируются всегда как частицы, а их движение
описывается волновым уравнением Шредингера.
Для микрочастицы массы т, движущейся в силовом поле и обла-
дающей в нем потенциальной энергией U(x, у, z, f), уравнение
Шредингера имеет вид
.. «Ж Л2 / dW , ... ли, ..
- I/, 2, /)Т. (4.1)
dt 2т \ дхг ду2 дг2 /
Функцию Т(х, у, z, t), являющуюся решением этого уравнения,
называют волновой функцией. Она имеет следующий физический
57
смысл: произведение У на функцию V*, комплексно сопряженную
с Т, и на объем dV есть вероятность обнаружить частицу в мо-
мент t в выделенном элементе объема dV.
Потенциальная энергия U, входящая в уравнение Шредингера,
является в общем случае функцией координат и времени. Однако
для многих практически важных задач она является функцией
только координат и не зависит от времени. В этом случае сущест-
вует набор независимых решений уравнения Шредингера, для ко-
торых не зависит от времени. Такие состояния микрочастиц
называют стационарными.
Нахождение стационарных состояний — очень важная задача,
так как любое другое состояние, в том числе нестационарное,
может быть представлено как суперпозиция стационарных волно-
вых функций. К сожалению, строгое решение уравнения Шредин-
гера получено лишь для некоторых простых систем, в частности
для атома водорода. Решение уравнения Шредингера для электро-
на в кулоновском поле протона дает бесконечное множество воз-
можных стационарных состояний. Их энергия, отсчитанная от
энергии свободного, не связанного с ядром электрона, определя-
ется формулой
e*m 1
8&*
(4.2)
где е0 — диэлектрическая проницаемость вакуума; h — постоянная
Планка; е и т— заряд и масса электрона; п=1,2, 3,... — так
называемое главное квантовое число.
Единственный электрон в атоме водорода занимает наиннзшее,
основное, состояние (и=1). На более высокие уровни энергии его
можно перевести, передав ему извне соответствующую порцию
энергии. В многоэлектронных атомах каждый электрон взаимодей-
ствует не только с ядром, но и с другими электронами. Вследствие
этого уравнение Шредингера сильно усложняется, что не позволяет
получать его точные решения. Поэтому прибегают к приближен-
ным методам решения. Волновую функцию системы электронов.
J 0 7/2
---------------- 7 О 1(2
П I /
Рис. 4.1. Уровни энергии элект-
ронов в многоэлектронном атоме
зависящую теперь от координат всех
электронов атома, представляют в виде
комбинации функций, каждая из кото-
рых зависит от координат лишь одного
электрона. Вид каждой из этих функций
и соответствующая ей энергия электро-
на в атоме определяются не только
главным квантовым числом п, как в ато-
ме водорода, но и орбитальным момен-
том 1, а также полным моментом j, полу-
чающимся в результате векторного сло-
жения орбитального и спинового момен-
тов. На рис. 4.1 приведена (не в масш-
табе) схема энергетических уровней
одиннадцатиэлектронного атома (Na).
58
Одну и ту же энергию в атоме могут иметь два (и более) элек-
трона с разными волновыми функциями. Иными словами, несколько
энергетических уровней могут совпадать. Такие уровни называют
вырожденными. Так, уровень с /=,/2Й- является двукратно вырож-
денным. На таком уровне могут находиться два электрона, волновые
функции которых отличаются проекцией полного момента j на вы-
деленное направление. Эти проекции (в единицах /г) могут прини-
мать значения от —j до +/ с интервалами 1. Таким образом, при
/=1/2 эти проекции могут быть равны—1/2 или +1/2. При /=3/2
они могут принимать значения —3/2, —1/2, 1/2, 3/2. Это означает,
что на уровне с /=1/2 могут располагаться два электрона, этот
уровень является двукратно вырожденным; уровень с /=3/2 явля-
ются четырехкратно вырожденным и т. д. (рис. 4.1).
§ 4.2. Обобществление электронов в кристалле
В твердом теле расстояния между атомами настолько малы,
что по крайней мере валентные электроны каждого атома оказы-
ваются в достаточно сильном поле соседних атомов. Если в первом
приближении посчитать, что ядра атомов твердого тела неподвижно
закреплены в узлах кристаллической решетки, то уравнение Шре-
дингера для отыскания стационарных состояний системы валентных
электронов принимает вид
2m дх2 ду2 J +
+ и (х4, У1, хг, у2, г2,...) Т = EV, (4.3)
где х„ yi, Zi — координаты 7-го электрона, а Е — энергия всей
электронной системы. Волновая функция системы V зависит от
координат всех электронов:
Ц/ = 'Р(Х|> у', Zi, х2, У2, z2,...). (4-4)
В выражение для потенциальной энергии U входит не только
энергия взаимодействия каждого электрона в поле всех ионов ре-
шетки, но и энергия кулоновского взаимодействия электронов друг
с другом. Столь сложное уравнение, как (4.3), не может быть
решено в общем виде. Как и в случае многоэлектронного атома,
волновую функцию электронной системы пытаются получить,
комбинируя волновые функции ф(, зависящие от координат только
одного электрона и являющиеся решениями одноэлектронных урав-
нений:
2т \ дхг ду2 дг* ) ' ’' 7
где Е/ — энергия t-ro электрона.
Даже в этом так называемом одноэлектронном приближении
задача остается очень сложной, так как потенциальная энергия
59
каждого электрона Ut(x, у, z) зависит от состояний всех других
электронов. К счастью, многие выводы о поведении электронов
в кристалле можно сделать на основании общих рассуждений.
Будем рассматривать электроны в идеальном кристалле, т. е.
в кристалле с идеально правильной, бездефектной структурой, не
имеющем чужеродных атомов и не совершающем тепловых коле-
баний. В таком кристалле ионы создают идеально периодическое
распределение потенциала. Рассмотрим движение валентного элек-
трона в таком силовом поле на примере кристалла натрия.
Расположим сначала W ионов натрия так, чтобы они образовы-
вали пространственную решетку, свойственную кристаллу натрия,
но находились на столь большом расстоянии друг от друга, что
взаимодействием между ними можно было пренебречь. Тогда рас-
сматриваемый электрон может находиться возле любого из ионов
решетки бесконечно долго, так как его удерживает потенциальный
барьер, созданный кулоновским полем иона (рнс. 4.2, а). При сбли-
жении ионов до нормальных расстояний в кристалле потенциальные
кривые (штриховые линии на рис. 4.2,6) частично налагаются друг
на друга и дают результирующие кривые, показанные на рисунке
4.2, б сплошными линиями. При этом высота барьера между ионами
может оказаться ниже первоначального положения энергетического
уровня валентного электрона. В таком случае электрон получает
возможность практически беспрепятственно перемещаться по крис-
таллу от атома к атому. Его волновая функция делокализуется
на весь кристалл. Валентные электроны, таким образом, обобщест-
вляются, каждый из них принадлежит теперь всему кристаллу.
Если бы даже потенциальные барьеры при сближении атомов
Рис. 4.2. Изменение состояния электронов при сближении
атомов:
а — энергетические уровни валентных электронов атомов натрия, удаленных
на расстояние, значительно превышающее параметр решетки; б — энергети-
ческая зона, образовавшаяся при сближении атомов в кристалле
60
Рис. 4.3. Расщепление энергетических уровней и об-
разование энергетических зон в кристалле
понизились не настолько, что они оказались бы ниже уровня энер-
гии электрона в атоме, обобществление электронов все равно про-
изошло бы вследствие так называемого эффекта туннелирования,
«просачивания» электрона сквозь потенциальный барьер. Эффект
этот существенно квантовый, в нем проявляется волновая природа
микрочастиц.
Вероятность туннелирования резко уменьшается с ростом вы-
соты и ширины барьера. Поэтому для электронов более глубоких
уровней, в принципе, также появляется возможность перемещения
от атома к атому, но скорость такого движения не может быть
велика.
Таким образом, обобществленные электроны в кристалле в опре-
деленной степени становятся похожими на свободные электроны.
В рассматриваемом примере до образования кристалла валентные
электроны 3s атомов Na имели одну н ту же энергию, но каждый
из них находился у «своего» атома. В твердом же теле каждый из
этих электронов стал принадлежать всему кристаллу и электроны
по этому признаку стали неотличимы друг от друга. Однако теперь
они могут различным образом (в разных направлениях и с разны-
ми скоростями) поступательно перемещаться по кристаллу. Вслед-
ствие этого и энергии различных электронов становятся различны-
ми. Происходит размытие узкого энергетического уровня в зону
разрешенных энергий. Чем большие скорости поступательного дви-
жения могут иметь обобществленные электроны, тем шире соответ-
ствующая энергетическая зона. Поэтому из глубоких энергетиче-
ских уровней атомов образуются узкие энергетические зоны, раз-
деленные широкими интервалами запрещенных энергий. Верхние
же уровни атомов образуют широкие зоны с узкими интервалами
запрещенных энергий, эти зоны могут даже перекрываться друг
с другом. Общий характер энергетического спектра электронов
в кристалле представлен на рнс. 4.3.
61
§ 4.3. Волновая функция электрона в кристалле.
Зоны Бриллюэна
В пределах каждой элементарной ячейки кристалла волновая
функция электрона должна быть более или менее близка к волно-
вой функции электрона в атоме. В то же время она должна быть
похожей и на волновую функцию свободного электрона, поступа-
тельно перемещающегося в пространстве. Последняя для стацио-
нарного состояния имеет вид
i|? = Ce',kr “‘Л (4.6)
где С—постоянный коэффициент, а к — волновой вектор электро-
на, определяющий его скорость и энергию.
Согласно теореме Блоха, волновая функция стационар-
ного состояния электрона в кристалле всегда может быть представ-
лена в виде
ф(г,/)=w(r)ei(kr-“'), (4.7)
где м(г)—периодический множитель с периодом решетки. Эта
функция имеет явное сходство с волновой функцией свободного
электрона (4.6), так как в обеих функциях присутствует множи-
тель е'*кг-“''. Отличие же между ними заключается в том, что
функция Блоха и (г), определяющая вероятность нахождения
электрона в той или иной области кристалла, зависит от координа-
ты в пределах каждой элементарной ячейки, хотя и повторяется
от ячейки к ячейке. В пределах каждой ячейки функция Блоха
может быть весьма близка к волновой функции электрона в атоме,
особенно для электронов глубоких зон. При одних и тех же значе-
ниях к эта функция не одинакова для электронов различных зон,
образовавшихся из различных атомных уровней. Таким образом,
ее следует снабдить индексом п, указывающим номер зоны. С дру-
гой стороны, функции Блоха одной и той же зоны для электронов
с разными значениями водного вектора могут отличаться друг от
друга. Таким образом, эта функция в общем случае зависит еще
и от параметра к:
м(г)=м„.к(г). (4.8)
Тогда координатную часть волновой функции (4.7) следует пере-
писать как
фп,к(г)=и„.к(г)е'кг. (49)
Первая зона Бриллюэна. Разбиение волновой функции элек-
трона на два сомножителя и(г) и е'кг — операция неоднозначная.
Покажем это на примере одномерной волновой функции электрона,
движущегося в направлении х кристалла, в котором период крис-
таллической решетки равен а:
^n,k=un,ke,kx. (4.10)
Умножим теперь правую часть этого тождества на е-'<2л/“>хх
Хх^,Ц2п/а)х-1.
62
Рис. 4.4. Простейшие дис-
персионные кривые для
двух энергетических зон
Рис. 4.5. Дисперсионная
кривая для двух зои крем*
ния в направлении [100]
[мпЛ(х)е-!(2я/а,Ч е'(*+2л/а,х.
Сомножитель, выделенный квадратными скобками, удовлетворяет
требованию к функции Блоха, так как он является произведением
функции un.k (х) — периодической с периодом а — и функции
ехр(—Ц2л/а)х] —тоже периодической с периодом а. Таким обра-
зом, теперь та же самая функция (4.10) представлена как волно-
вая функция электрона с волновым вектором не k, а Л-}-2л/а
и с другим блоховским множителем, который можно теперь обо-
значить как
Мп,*4-2л/а(х) = мп,*(х)е-'(2л/“)х,
и который является периодической функцией с периодом кристал-
ла а. Точно так же можно было бы изменить k в (4.10) на —2л/а;
±4л/а; ±6л/а и т. д.
Эгга неоднозначность определения волнового вектора электрона
в кристалле может быть устранена, если условиться рассматривать
волновые векторы в пределах только от —л/а до 4-л/а, т. е. в пре-
делах первой зоны Бриллюэна. Аналогичный прием был использо-
ван при рассмотрении колебаний кристаллической решетки (см. § 3.1
и 3.3). Таким образом, набор значений к в пределах первой зоны
Бриллюэна исчерпывает все физически различные значения волно-
вых векторов электрона в кристалле.
Дисперсионные кривые. В каждой энергетической зоне энергия
электрона является функцией его волнового вектора: E=En(k).
На рис. 4.4 представлены простейшие дисперсионные кривые для
двух энергетических зон. В общем случае энергия электрона зави-
сит не только от модуля его волнового вектора, но и от направления
к и дисперсионные кривые имеют более сложный вид, чем на
рис. 4.4. Для примера на рис. 4.5 приведены дисперсионные кривые
для кремния в направлении [100].
63
§ 4.4. Поступательное движение электронов
в кристалле
Вероятность того, что электрон находится в момент времени t
в элементе объема dl/, определяется величиной i|n|>*dV. Для свобод-
ного электрона в стационарном состоянии, согласно (4.6), она не
зависит ни от времени, ни от координаты:
Ijnp*d V=C2dV. (4.11)
Интеграл $ фф*бV, взятый по всему пространству, должен быть
(V)
равен единице, так как он выражает достоверный факт, что
микрочастица находится в этом пространстве:
J ФФ*аи = с2и= 1.
(V)
Отсюда С= 1 / ^V.
Из ф-функций стационарных состояний (4.6) с близкими зна-
чениями волновых векторов к можно сформировать нестационарное
состояние — волновой пакет, перемещающийся в пространстве,
подобно тому как ограниченный во времени импульс тока, напри-
мер, может быть представлен как суперпозиция бесконечных во
времени синусоид.
Скорость перемещения такого волнового пакета в простран-
стве — групповая скорость электрона — связана с его волновым
вектором соотношением
(4.12)
(ИЗ)
Й 1.
Vrp - *>
где zne=9,l • 1СГ31 кг — масса электрона. Энергия свободного элек-
трона
с __ р ___ теу*___йайа
— кии — 2 — 2т^
Следовательно, дисперсионная кривая для свободного электрона
представляет собой параболу (рис. 4.6, а). Зависимость игр(Л) для
такого электрона представлена на рис. 4.6, б.
Для электрона в кристалле из волновой функции (4.7) с близ-
кими к также можно составить волновой пакет. Скорость его пере-
мещения по кристаллу определяется выражением
vrP= 4“gradk£-
Отсюда компонента скорости в направлении оси х
vrp=J-^-.
гр й dkx
Аналогично находят компоненты скорости вдоль осей у и z.
(Отметим, что из формул (4.14) и (4.13) можно получить выра-
(4.14)
(4.15)
64
Рис. 4.6. Дисперсион-
ная кривая (а) и за-
висимость групповой
скорости от волнового
вектора (б) свободно-
го электрона
Рис. 4.7. Простейшая
дисперсионная кривая
(а) и зависимость
групповой скорости
(б) и эффективной
массы (в) электрона
в кристалле от волно-
вого вектора
жение (4.12) и для групповой скорости свободного электрона.) Для
примера на рис. 4.7, а приведена простейшая дисперсионная кривая
для электрона в кристалле, а на рис. 4.7,6 — зависимость vtfx(kx).
Следует обратить внимание, что при приближении kx к л/а
энергия электрона увеличивается, а его скорость уменьшается.
Дело в том, что энергия электрона зависит не только от скорости
его поступательного движения по кристаллу, но и от скорости дви-
жения электрона вокруг иона в каждой элементарной ячейке.
В эту энергию входит также потенциальная энергия электрона в
периодическом электрическом поле кристалла. Все эти компоненты
энергии могут изменяться с изменением к, что и приводит к более
сложным дисперсионным кривым для электрона в кристалле по
сравнению с электроном в'свободном пространстве.
§ 4.5. Движение электрона в кристалле
под действием внешней силы
В отсутствие внешнего поля в идеальном кристалле состояния
электрона (4.9) с любыми значениями к являются стационарными,
Т. е. электрон может находиться в любом из них бесконечно долго.
3-671 65
Внешнее электрическое поле приводит к изменению волнового век-
тора к. Закон изменения к со временем можно получить из закона
сохранения энергии: изменение энергии d£ электрона под действием
внешней силы F, направленной вдоль групповой скорости электро-
на, составляет
dE=Fdx=Fvrpdt.
Воспользовавшись (4.14), получим
d£ = — — d/,
ft dk
откуда
±(M) = F. (4.16)
или в общем случае
-^0k) = F. ‘ (4.17)
Как видно из этих соотношений, величина Йк для электрона
в кристалле изменяется со временем под действием внешней силы
точно так же, как импульс- р частицы в классической механике:
dP F
dt
Однако, как было показано в § 4.2, для электрона в кристалле
в отличие от электрона в свободном пространстве существует не-
однозначность в определении самой величины к (ее можно изме-
нить, например, в направлении kx, ky или kz на величину ±2л/а;
±4л/а и т. д.). Поэтому Йк называют квазиимпульсом электрона.
Найдем теперь ускорение а, приобретаемое электроном под дей-
ствием внешней силы (для простоты вновь считаем, что сила дей-
ствует вдоль направления движения):
dt»™, d / 1 d£ \
а = —— = — I---------1.
dt dt \ h dk J
Так как энергия зависит от времени как сложная функция: Е—
=E(k(t)), то получаем
1 d*E dk
а = — -------- --.
ft dk* dt
Выразив, наконец, dk/dt через £, получим окончательно
aeJ__£Lf. (4.18)
ft’ dk*
В этом выражении величина (1/Й) d2£/dft2 играет ту же роль, что
1 /ш (где m — масса частицы) во втором законе Ньютона. Иными сло-
вами, под действием внешней силы электрон в периодическом поле
66
кристалла движется в среднем так, как двигался бы под действием
этой силы свободный электрон, если бы он обладал массой
/Пэф=—------• (4.19)
Величину т-,ф называют эффективной массой электрона. Приписы-
вая электрону, находящемуся в периодическом поле кристалла,
массу ш3ф, мы можем считать этот электрон свободным и описы-
вать его движение во внешнем поле так, как описываем движение
обычного свободного электрона.
Однако эффективная масса, отражая особенность движения
электрона в периодическом поле кристалла, является весьма свое-
образной величиной. Прежде всего она может быть как положи-
тельной, так и отрицательной; по числовому значению она может
быть как во много раз больше, так и во много раз меньше массы те
покоя электрона. Кроме того, эффективная масса электрона в крис-
талле может изменяться с изменением его волнового вектора.
Сказанное иллюстрируется рис. 4.7, в.
Для электронов, располагающихся у дна зоны, энергия £дно=
=£тт+ДдЛ2, вторая производная от нее по k равна й2Е/йк2=2АЛ.
Подставляя это в (4.19), получим следующее выражение для эф-
фективной массы электрона, которую мы обозначим через тп:
mn=h2/(2Aa).
Так как Дд>0, то тп>0. Таким образом, электроны, располагаю-
щиеся у дна энергетической зоны, обладают положительной эффек-
тивной массой. Поэтому во внешнем поле, созданном в кристалле,
они ведут себя нормально, ускоряясь в направлении действующей
силы. Отличие таких электронов от свободных состоит в том, что их
эффективная масса может значительно отличаться от массы покоя.
Чем больше Дд, т. е. чем шире разрешенная зона, тем меньше
эффективная масса электронов, располагающихся у дна этой зоны.
Для электронов, находящихся у вершины зоны, энергия £верш=
=£max—Аъ(я/а—k), вторая производная от Е по k d2E/dk2=—2Ae
и эффективная масса, которую мы обозначим через т'п, составляет
т'п — — Й2/(2ДВ).
Она является величиной отрицательной. Такие электроны ведут
себя во внешнем поле, созданном в кристалле, аномально: они
ускоряются в направлении, противоположном действию внешней
силы. Числовое значение т'п и в этом случае определяется шириной
энергетической зоны: чем шире зона, тем меньше \т'п\.
Выясним теперь, чем обусловлено столь «странное» поведение
электрона в кристалле.
Для свободного электрона вся работа А внешней силы идет на
увеличение кинетической энергии поступательного движения
3'
67
Дифференцируя Екип дважды по k, получим d2E/dk2—h2/me. Под-
ставляя это в формулу (4.19), найдем т^=те. Таким образом,
эффективная масса свободного электрона равна просто его массе
покоя.
Иначе может обстоять дело с электроном в кристалле, где ои
Обладает не только кинетической энергией поступательного движе-
ния по кристаллу, ио и потенциальной энергией. При движении его
под действием внешней силы F часть работы этой силы может
перейти в кинетическую энергию Ета, другая часть — в потенциаль-
ную энергию U, так что Д=Л£кнн+Д{/. В этом случае кинетическая
энергия, а следовательно, и скорость движения электрона возраста-
ют медленнее, чем у свободного электрона. Электрой становится
как бы тяжелее, двигаясь под действием силы F с ускорением
меиьшим, чем свободный электрон.
Одиако в кристалле может реализоваться и случай, когда при
движении электрона под действием внешней силы F в кинетическую
энергию переходит ие только вся работа внешней силы, ио и часть
потенциальной энергии электрона U, так что Д£Кнн=Л + Д[/. У такого
электрона £"нн и скорость v растет быстрее, чем у свободного элек-
трона. Ои становится как бы легче свободного электрона, обладая
эффективной массой тЭф<то.
Если вся работа внешней силы переходит в потенциальную
энергию U электрона, т. е. Д=ДС/, то приращения кинетической
энергии и скорости движения электрона ие происходит — электрон
ведет себя как частица с бесконечно большой эффективной массой.
Наконец, если при движении электрона в потенциальную энергию
переходит ие только вся работа внешней силы F, ио и часть кине-
тической энергии £Кнн, имевшейся у электрона, так что Д[/=Л + Д£кнн,
то по мере движения скорость такого электрона в кристалле умень-
шается, ои замедляется, ведя себя как частица, обладающая отри-
цательной эффективной массой. Именно так и ведут себя электро-
ны, располагающиеся у вершины энергетической зоны.
У диа зоны (вблизи Л=0), пока с увеличением k энергия E(k)
электрона растет примерно пропорционально k2, скорость поступа-
тельного движения электрона y~d£/dfe увеличивается пропорцио-
нально k, ускорение движения положительно и эффективная масса
тЭф~(б2£/бЛ2)-1 сохраняет постоянное положительное значение тп.
В точке А перегиба кривой E(k) вторая производная d2£/dfc2=0,
а первая производная dE/dk достигает максимума. Поэтому при
приближении к этой точке /п,ф->-оо, а у-*-утах- За точкой перегиба
dE/dk начинает убывать, поэтому убывает и и; ускорение стано-
вится, таким образом, отрицательным, что при сохранившемся на-
правлении действия внешней силы F эквивалентно изменению зна-
ка эффективной массы с положительного иа отрицательный. У вер-
шины зоны E(k) снова становится квадратичной функцией k и эф-
фективная масса достигает постоянного отрицательного значе-
ния т'п.
$ 4.6. Заполнение зон электронами и деление тел
на металлы, диэлектрики и полупроводники
Число состояний в зоне. В каждой энергетической зоне со-
стояния электронов отличаются друг от друга значением к. Для
кристалла ограниченного размера только определенные, дискрет-
ные, значения к удовлетворяют граничным условиям для уравне-
ния Шредингера. По тем же причинам, что и для упругих волн
(см. § 3.1), эти граничные условия обычно выбирают периодически-
ми, и тогда эти разрешенные значения волновых векторов электро-
нов такие же, как и для волновых векторов колебаний кристал-
лической решетки (см. рис. 3.5). Полное число различных значе-
ний к в первой зоне Бриллюэна равно тогда числу N атомов крис-
талла. Каждому значению к электрона, однако, соответствует ие
одно, а два состояния, различающихся спином электрона. Таким
образом, в энергетической зоне содержится 2W состояний электро-
на. Согласно принципу Паули, в такой зоне может находиться ие
более 2W электронов. Отметим, что пока N атомов находились
вдали друг от друга, на соответствующем энергетическом уровне
каждого атома могли находиться два электрона с противополож-
ными спинами, так что если этот уровень в атоме был заполнен-
ным, то в кристалле теперь заполнена образовавшаяся из этого
уровня энергетическая зона.
Связь заполнения зон с электрическими свойствами твердых
тел. При ограинчеииом числе электронов, содержащихся в твердом
теле, заполненными окажутся лишь несколько наиболее низких
энергетических зон.
По характеру заполнения зои электронами все тела можно раз-
делить иа две большие группы.
К первой группе относят тела, у которых иад целиком заполнен-
ными зонами расположена зона, заполненная лишь частично
(рис. 4.8, а). Такая зона возникает в том случае, когда атомный
уровень, из которого оиа образуется, заполнен в атоме ие пол-
ностью, как это имеет место, например, у щелочных металлов.
Частично заполиеииая зона может образоваться такя$е и вслед-
Рис. 4.8. Заполнение зон электронами в металлах (а, б),
диэлектриках (в) и полупроводниках (г)
69
ствие наложения заполненных зон на пустые или частично запол-
ненные, как это имеет место у бериллия н щелочио-земельных
элементов (рис. 4.8,6).
Наличие зоны, заполненной лишь частично, присуще металлам.
Ко второй группе относят тела, у которых над целиком запол-
ненными зонами расположены пустые зоны (рис. 4.8, а, г). Типич-
ным примером таких тел являются химические элементы IV группы
таблицы Менделеева — углерод в модификации алмаза, кремний,
германий и серое олово, имеющее структуру алмаза. К этой же
группе тел относятся многие химические соединения — оксиды
металлов, нитриды, карбиды, галогениды щелочных металлов и т. д.
Согласно зонной теории твердых тел, электроны внешних энерге-
тических зон имеют практически одинаковую свободу движения во
всех телах независимо от того, являются они металлами или ди-
электриками. Электрические же свойства этих тел, в частности
удельная электропроводность, различаются у них на много поряд-
ков: у металлов а«107 Ом_'-м-1, у хороших диэлектриков
a<l(r" Ом-1-и-*.
Таким образом, наличие свободных электронов, способных пе-
ремещаться по кристаллу, является лишь необходимым, но еще
не достаточным условием появления у тел проводимости. Для
того чтобы сформулировать и достаточное условие, рассмотрим
поведение во внешнем поле электронов, находящихся в частич-
но заполненных и в целиком заполненных энергетических зонах
кристалла.
Создадим в кристалле внешнее поле 8. На каждый электрон
это поле действует с силой F=—е8, которая стремится нарушить
симметрию в распределении электронов по скоростям: электроны,
движущиеся против направления силы, тормозятся, а электроны,
движущиеся в направлении действия силы, ускоряются. Ускорение
или замедление электрона неизбежно связано с изменением его
энергии, а это означает переход электрона в новые квантовые со-
стояния с большей или меньшей энергией. Такие переходы могут
осуществляться, очевидно, лишь в том случае, если в энергетиче-
ской зоне, к которой принадлежат данные электроны, имеются
незанятые состояния, т. е. если зона укомплектована не полностью.
В этом случае уже слабое электрическое поле способно сообщить
электронам достаточный добавочный импульс, чтобы перевести их
на близлежащие свободные уровни. В теле появится преимущест-
венное движение электронов против поля, обусловливающее воз-
никновение электрического тока. Такие тела должны быть хороши-
ми проводниками, что и имеет место в действительности.
Теперь представим, что верхняя из занятых электронами зон
кристалла заполнена целиком. Такую зону называют валентной.
Пусть она отделена от следующей, свободной, зоны широкой
энергетической щелью Eg (рнс. 4.8, а). Этот интервал запрещен-
ных энергий в кристалле называют запрещенной зоной. Находящая-
ся над запрещенной свободная зона в таких телах носит название
зоны проводимости, как и частично заполненная электронами
70
энергетическая зона металла, обусловливающая его высокую
электропроводность. Внешнее поле, приложенное к такому кристал-
лу, не в состоянии изменить характер движения электронов в
валентной зоне, так как оно не способно поднять электроны в выше-
лежащую свободную зону. Внутри же самой валентной зоны, не
содержащей ни одного свободного уровня, оно может вызывать
лишь перестановку электронов местами, что н.е нарушает симмет-
рии их распределения по скоростям. Поэтому в таких телах внеш-
нее электрическое поле не способно привести к появлению направ-
ленного движения электронов, т. е. к появлению электрического
тока, вследствие чего они должны обладать практически нулевой
электропроводностью.
Таким образом достаточным условием появления у тел высокой,
проводимости является наличие в их энергетическом спектре энерге-
тических зон, укомплектованных электронами лишь частично,
как это имеет место у типичных металлов (рис. 4.8, а, б). Отсутст-
вие же таких зон в энергетическом спектре твердых тел второй
группы делает их непроводниками, несмотря на наличие в них
электронов, перемещающихся по всему кристаллу.
По ширине запрещенной зоны тела второй группы условно
делят на диэлектрики и полупроводники. К диэлектрикам относят
тела, имеющие относительно широкую запрещенную зону. У типич-
ных диэлектриков Е„>ЗэВ. Так, у алмаза Eg=5,2 эВ; у нитрида
бора Eg=4,6 эВ; у AI2O3 Eg=7 эВ и т. д.
К полупроводникам относят тела, имеющие сравнительно узкую
запрещенную зону (рис. 4.8, г). .У типичных полупроводников
EgS\ эВ. Так, у германия Ее=0,66 эВ; у кремния £s=l,08 эВ;
у антимонида индия Eg=0,17 эВ; у арсенида галлия Eg=l,43 эВ
и т. д.
Рассмотрим эту группу тел более подробно.
§ 4.7. Собственные полупроводники. Понятие о дырках
Собственные полупроводники. Химически чистые полупроводни-
ки называют собственными полупроводниками. К ним относят ряд
чистых химических элементов (германий, кремний, селен, теллур
и др.) и многие химические соедииеиия, такие, например, как
арсенид галлия GaAs, арсенид индия InAs, антимонид индия InSb,
карбид кремния SiC и т. д.
На рис. 4.9, а показана упрощенная схема зонной структуры
собственного полупроводника. При Т’==ОК его валентная зона
укомплектована полностью, зона проводимости, расположенная над
валентной зоной на расстоянии Eg, является пустой. Поэтому при
Т=0 К собственный полупроводник, как и диэлектрик, обладает
нулевой проводимостью.
Однако с повышением температуры вследствие термического
возбуждения электронов валентной зоны часть из них приобре-
тает энергию, достаточную для преодоления запрещенной зоны
и перехода в зону проводимости (рис. 4.9, б). Это приводит к появ-
71
валентная
Юна
а)
дано
проводимости
в)
Рис. 4.9. Заполнение зон электронами
в полупроводнике при Т=0К (а) и пе-
реходы электронов в зону проводимо-
сти при повышении температуры' (б)
Рис. 4.10. К пояснению понятия дырки
лению в зоне проводимости свободных электронов, а в валентной
зоне — свободных уровней, на которые могут переходить элек-
троны этой зоны. Если к такому кристаллу приложено внешнее
поле, в нем возникает направленное движение электронов зоны
проводимости и валентной зоны, это приводит к появлению элек-
трического тока. Кристалл становится проводящим.
Чем уже запрещенная зона и выше температура кристалла,
тем больше электронов переходит в зону проводимости и тем более
высокую электропроводность приобретает поэтому кристалл. Так,
у германия, имеющего £g=0,66 эВ, уже при комнатной темпера-
туре концентрация электронного газа в зоне проводимости дости-
гает значения п/«1019 м-3 и удельное сопротивление составляет
всего лишь Q,» 0,48 Ом-м. В то же время у фосфида галлия, имею-
щего Ек=2,24 эВ, при комнатной температуре оказывается
» 10-6 м-3 и q,»2 • 1013 Ом-м. Но уже при Т=900 К концентрация
электронного газа в фосфиде галлия увеличивается на много по-
рядков и удельное сопротивление становится того же порядка, что
и у германия при комнатной температуре.
Из изложенного вытекают следующие два важных вывода.
1. Проводимость полупроводников является проводимостью
возбужденной: она появляется под действием внешнего фактора,
способного сообщить электронам валентной зоны энергию, доста-
точную для переброса их в зону проводимости. Такими факторами
могут быть нагревание полупроводников, облучение их светом и
ионизирующим излучением.
2. Разделение тел на полупроводники и диэлектрики носит в
значительной мере условный характер. Фосфид галлия, являю-
щийся диэлектриком при комнатной температуре, приобретает
заметную проводимость при более высоких температурах и может
считаться также полупроводником.
72
Понятие о дырках. Рассмотрим теперь более подробно поведе-
ние электронов в валентной зоне, в которой возникли свободные
уровни вследствие перехода части электронов в зону проводимо-
сти (рис. 4.9, б).
Под действием внешнего поля электроны валентной зоны теперь
имеют возможность переходить на свободные уровни и создавать
в кристалле электрический ток.
Вклад в плотность тока одного электрона, движущегося со ско-
ростью у, в проводнике единичного объема, составляет
ij = —evj.
Все электроны валентной зоны создают плотность тока
i = -e2v/,
i
где суммирование проводится по всем состояниям, занятым элек-
тронами.
Дисперсионные кривые в любой энергетической зоне симмет-
ричны, т. е. разрешенные состояния электронов можно сгруппиро-
вать в пары с противоположными направлениями скоростей. Одна
из таких пар состояний со скоростями vs и —vs показана на
рис. 4.10, а. Таким образом, сила тока, создаваемого электронами
полностью укомплектованной зоны, равна нулю.
Теперь представим, что в валентной зоне заняты все состояния,
кроме одного, характеризующегося скоростью vs. Суммарная плот-
ность тока в такой зоне
i = — е 2v/=—e2vj + ev«-
i
Так как первое слагаемое правой части равно нулю, то
i =eys.
Таким образом, суммарный ток всех электронов валентной зоны,
имеющей одно вакантное состояние, эквивалентен току, обуслов-
ленному движением одной частицы с положительным зарядом +е,
помещенной в это состояние. Такую фиктивную частицу называют
дыркой.
Рассмотрим теперь, как движется дырка под действием внеш-
него электрического поля. Прежде всего отметим, что в состоянии
теплового равновесия электроны стремятся занять наинизшие энер-
гетические состояния, так что дырка оказывается на потолке ва-
лентной зоны, где ее скорость равна нулю (рис. 4.10, а). Приложим
теперь внешее электрическое поле в направлении оси х. Тогда сила,
действующая на положительную частицу — дырку, также направ-
лена по оси х, и если эффективная масса дырки положительна, то
через некоторое время дырка должна была бы двигаться со ско-
ростью, направленной по оси х. Посмотрим, в каком направлении
Движется дырка в действительности.
Внешнее поле действует на электроны в направлении — х,
стремясь изменить их волновой вектор в этом направлении. Поэто-
73
му электроны смещаются все одновременно по дисперсионной
кривой в направлении, показанном стрелкой на рис. 4.10, а, так что
через некоторое время дырка оказывается в состоянии — kj
(рис. 4.10,6), где ее скорость v-t действительно направлена по
оси х, т. е. так же, как и действующая на нее сила. Следовательно,
дырке следует приписать положительную эффективную массу, чис-
ленно равную отрицательной эффективной массе электрона у потол-
ка валентной зоны.
$ 4.8. Ферми-поверхности металлов
Верхний из заполненных (при Г=0 К) уровней зоны проводи-
мости металла называют уровнем Ферми, а его энергию — энергией
Ферми ц.. Энергии Ферми соответствуют определенные значения
волновых векторов электронов к, определяемые дисперсионным
соотношением Е=Е(к). Такие значения сосредоточены на некото-
рой поверхности в пространстве волновых векторов (к-простран-
стве), называемой поверхностью Ферми. Вид этой поверхности
существенно сказывается на многих электрических, магнитных и
других свойствах металла. Проще всего поверхность Ферми выгля-
дит для одновалентных металлов. Вернемся для примера к рассмот-
рению зоны проводимости натрия (см. § 4.1). Эта зона возникает
из энергетических уровней 3s атомов Na. Она содержит 2N состоя-
ний, где W — число атомов в кристалле (см. § 4.6), а заполняют ее
W электронов — по одному от каждого атома. В таком случае эта
зона занята наполовину. В металлах энергия электрона не зависит
от направления его волнового вектора и приблизительно связана
с модулем этого вектора соотношением (4.13) (приближение сво-
бодных электронов). Тогда для фермиевских электронов, т. е.
электронов с энергией Ферми ц., модуль волнового вектора
6ф— ^2mep/tl.
Поверхность Ферми в этом случае является сферой с радиусом fe<t>
в k-пространстве (рис. 4.11).
Сложнее обстоит дело в случае кристаллов двухвалентных
Рис. 4.11. Сферическая по-
верхность Ферми одновалент-
ного металла
Рис. 4.12. Перекрытие энер-
гетических зон в металлах
74
Рис. 4.13. Поверхность Фер-
ми (пунктирный контур) вто-
рой из перекрывающихся зон
в А1 (первая зона занята
полностью)
элементов, например Be. На первый
взгляд, такие кристаллы должны быть ди-
электриками, так как число валентных
электронов (2/V) в них как раз равно
числу состояний в соответствующей энер-
гетической зоне. Однако зона валентных
электронов щелочно-земельных элемен-
тов перекрывается частично со следую-
щей, свободной, зоной (рис. 4.8, б). Это
перекрытие происходит у границ зоны
Бриллюэна в некоторых направлениях в
k-пространстве (дисперсионные кривые 1
и 2 на рис. 4.12). В таком случае часть
электронов валентной зоны оказывается
в следующей, свободной, зоне. В валент-
ной зоне образуется таким образом не-
которое количество свободных состоя-
ний — дырок, а в зоне проводимости —
электронов. В отличие от полупроводников
дырок в таких металлах не обусловлено тепловым возбуждением,
но, как и в собственных полупроводниках, ток в этих металлах
переносится частицами двух знаков — отрицательно
электронами и положительно заряженными дырками.
Аналогичные явления наблюдают и в металлах
появление электронов и
заряженными
с еще более
высокими валентностями, где валентные электроны могут полно-
стью или частично занимать и более двух энергетических зон.
Для перекрывающихся зон поверхности Ферми могут иметь весьма
сложный вид. Для примера на рис. 4.13 приведена поверхность
Ферми для алюминия (отнюдь не самая сложная). Зона Бриллюэна
в этом случае не является кубом, так как А1 имеет гранецентриро1
ванный, а не простой кубический тип кристалла.
§ 4.9. Локальные уровни в запрещенной зоне
Полупроводники любой степени чистоты содержат всегда при-
месные атомы, создающие свои собственные энергетические уровни,
получившие название примесных. Эти уровни могут располагаться
как в разрешенных, так и в запрещенной зонах полупроводника на
различных расстояниях от вершины валентной зоны и дна зоны
проводимости. В ряде случаев примеси вводят сознательно для
придания полупроводнику необходимых свойств.
Рассмотрим основные типы примесных уровней.
Донорные уровни. Предложим, что в кристалле германия часть
атомов германия замещена атомами пятивалентного мышьяка.
Германий имеет решетку типа алмаза, в которой каждый атом окру-
жен четырьмя ближайшими соседями, связанными с ним валент-
ными силами (рис. 4.14, а). От каждого из четырех соседей атом
германия принимает на свои свободные орбитали по одному элек-
трону и в свою очередь делится своими четырьмя валентными
75
5-й электрон
мышьяка
7= ОК
О)
Свободный
примесный
электрон
Зона
проводимости
Донорные
уровни
7>ок
валентная
зона
S)
проводимости
Донорные
уровни
валентной
в) эона
Рис. 4.14. Донорный атом в полупро-
воднике при 7=0 К (а) и при 7>0 К
(в); заполнение электронами донор-
ного уровня при 7=0 К (б) и
7>0 К (г)
Рис. 4.15. Акцепторный атом в полупро-
воднике при 7 = 0 К (а), при 7>0К (в)
и заполнение акцепторного уровня при
7= ОК (б) и 7>0 К (г)
электронами с соседними атомами. Таким, образом, все восемь орби-
талей валентной оболочки германия оказываются занятыми. Атом
мышьяка в решетке германия также устанавливает связи с че-
тырьмя ближайшими атомами германия. При этом пятому элект-
рону валентной оболочки мышьяка уже не остается места на этой
оболочке и он вынужден перейти на более удаленную орбиту.
Однако при этом между ним и ионом мышьяка теперь находятся
легко поляризующиеся электронные облака валентных связей (от-
носительная диэлектрическая проницаемость германия, обеспечи-
ваемая этими облаками, е=16). Притяжение электрона к иону
мышьяка ослабляется в е раз, и его орбита еще увеличивается.
На большом удалении поле иона мышьяка практически сов-
падает с полем точечного заряда -|-е. Тогда уравнение Шредин-
гера для рассматриваемого электрона в поле иона выглядит так же,
как для электрона в атоме водорода, с тем отличием, что вместо
диэлектрической проницаемости Ео в нем должна фигурировать
величина еео и вместо реальной массы электрона — его эффектив-
ная масса в зоне проводимости. Действительно, ведь рассматри-
ваемый электрон движется по кристаллу вне системы валентных
связей, т. е. как электрон зоны проводимости.
В таком случае энергия Ed связи электрона с ионом выража-
ется формулой, аналогичной (4.2):
Еd = -е*т^- . (4.20)
d 8 («„)» Л1
76
Если учесть, что в германии тп=О,22то и е=16, то получаем
Ed«0,01 эВ. Если электрону сообщить такую энергию, он оторвется
от атома и приобретет способность свободно перемещаться в ре-
шетке германия, превращаясь таким образом в электрон проводи-
мости (рис. 4.14, в).
На языке зонной теории этот процесс можно описать следую-
щим образом. Между заполненной валентной, зоной и свободной
зоной проводимости расположены энергетические уровни пятых
электронов атомов мышьяка (рис. 4.14,6). Эти уровни размещены
непосредственно у дна зоны проводимости, отстоя от нее на рас-
стоянии Ed~0,01 эВ. При сообщении электронам таких примесных
уровней энергии Ed они переходят в зону проводимости (рис. 4.14,г).
Образующиеся при этом положительные заряды локализуются на
неподвижных атомах мышьяка и в электропроводности не участ-
вуют.
Примеси, являющиеся источником электронов проводимости,
называют донорами, а энергетические уровни этих примесей —
донорными уровнями. Полупроводники, содержащие донорную при-
месь, называют электронными полупроводниками или полупровод-
никами п-типа\ часто их называют также донорными полупро-
водниками.
Акцепторные уровни. Предположим теперь, что в решетке гер-
мания часть атомов германия замещена атомами трехвалентного
индия (рис. 4.15, а). Для образования связей с четырьмя ближай-
шими соседями у атома индия не хватает одного электрона. По-
этому около него одна связь должна быть укомплектована непол-
ностью (рис. 4.15, а). На самом деле эта неукомплектованная связь
не обязательно должна оставаться непосредственно у атома индия.
Ведь электроны валентной зоны вовсе не закреплены каждый в
определенной связи, а перемещаются по системе валентных связей.
Таким образом, пока ясно лишь, что в системе валентных связей
имеется вакансия. Но, как было показано в § 4.7, в этом случае
поведение всех остальных электронов эквивалентно поведению
одной квазичастицы — дырки. Итак, введение атома Ш группы
в германий привело к возникновению дырки в валентной зоне.
Однако эта дырка должна быть связана с атомом примеси. Дейст-
вительно, когда около атома индия все связи оказываются уком-
плектованными, атом становится отрицательно заряженным ионом
(рис. 4.15, в) и притягивает к себе положительно заряженную дыр-
ку. Так как связь дырки с ионом ослабляется за счет поляризации
кристалла, эта связь довольно слабая. Легко видеть, что существу-
ет полная аналогия в рассмотрении электрона, обращающегося
вокруг положительного ион^ в полупроводнике, и дырки, вращаю-
щейся вокруг отрицательного иона. Энергию связи дырки с ионом
примеси получим, заменив пг„ на пгр в (4.20). При сообщении свя-
занной дырке энергии, равной энергии ее связи Еа«0,01 эВ, она
отрывается от иона индия и становится свободной. Этот .процесс
иллюстрирует рис. 4.15, б, где показана зонная структура германия,
содержащего примесь индия. Непосредственно у вершины валент-
77
ной зоны на расстоянии Еа« 0,01 эВ расположены незаполнен-
ные уровни атомов индия. Близость этих уровней к валентной
зоне приводит к тому, что уже при относительно невысоких тем-
пературах электроны из валентной зоны переходят на примесные
уровни (рис. 4.15, г). Связываясь с атомами индия, они теряют спо-
собность перемещаться в решетке германия и в проводимости не
участвуют. Носителями заряда являются лишь дырки, возникаю-
щие в валентной зоне.
Примеси, захватывающие электроны из валентной зоны полу-
проводника, называют акцепторными, а энергетические уровни
этих примесей — акцепторными уровнями. Полупроводники, содер-
жащие такие примеси, называют дырочными полупроводниками или
полупроводниками p-типа; часто их называют акцепторными полу-
проводниками.
Атомы примесей из других групп таблицы Менделеева обра-
зуют донорные уровни, расположенные вдали от зоны проводи-
мости, и акцепторные, расположенные далеко от валентной зоны.
Поэтому они не оказывают существенного влияния на электропро-
водность полупроводников. Зато они сильно влияют на процессы
генерации и рекомбинации электронов и дырок (см. гл. 8). То же
относится к примесным атомам, расположенным не в узлах крис-
талла, а в междоузлиях (атомы внедрения). Вакансии и другие
дефекты кристаллической решетки также создают энергетические
уровни в запрещенной зоне полупроводника, которые могут быть
как донорными, так и акцепторными и расположены, как правило,
достаточно глубоко в запрещенной зоне.
Волновые функции электронов (или дырок) иа примесных уров-
нях локализованы вблизи соответствующих атомов или дефектов
структуры. Поэтому такие уровни называют локальными. Однако
примесных атомов связанные с ними
электроны получают возможность
перемещаться от одного атома при-
меси к другому и локальные уровни
сливаются в примесную зону.
Зонная теория аморфных полу-
проводников. Кроме кристаллов по-
лупроводниковыми свойствами мо-
гут обладать и аморфные вещества.
В аморфных твердых телах отсут-
ствует дальний порядок в располо-
жении атомов, присущий кристал-
лам, но характер связей и рас-
стояния между соседними атомами
остаются такими же, как и в кри-
сталлах. Иными словами, факторы,
приводящие к обобществлению ва-
лентных электронов и делокализа-
ции их волновых функций, сохра-
няются. Поэтому, как и в кристал-
при большой концентрации
•= Зона провоОимости
Валентная зона ' —
Рис. 4.16. Энергетическая диаграм-
ма аморфного полупроводника
78
лах, энергетический спектр обобщественных электронов имеет зон-
ный характер. Однако в запрещенной зоне аморфных полупровод-
ников имеется большое количество локальных уровней. Происхож-
дение таких уровней можно понять, если вспомнить, что и в кри-
сталлических полупроводниках дефекты структуры создают локаль-
ные уровни в запрещенной зоне, а аморфное вещество можно
рассматривать как предельно дефектный кристалл. Схематически
энергетический спектр аморфного полупроводника представлен на
рис. 4.16, где сплошными линиями изображены состояния обобщест-
вленных электронов, а черточками — локализованные состояния.
§ 4.10. Квантование энергии электрона
в магнитном поле. Уровни Ландау
Если электрон имеет компоненту скорости, нормальную к векто-
ру индукции магнитного поля, на него действует сила Лоренца, из-
гибающая его траекторию. В плоскости, нормальной полю, элек-
трон должен совершать движение по окружности, радиус которой
пропорционален скорости электрона н обратно пропорционален
индукции магнитного поля. Циклическая частота обращения по
окружности такого электрона (так называемая циклотронная час-
тота ©с) составляет
(ос=еВ/те, (4.21)
где В — индукция магнитного поля; пге — масса электрона.
Кинетическая энергия движения электрона в плоскости, нор-
мальной к В, определяется равенством
Ех = '/2ГПег2^, (4.22)
где г — радиус орбиты электрона.
Так как с классической точки зрения радиус электронной орбиты
может принимать непрерывный ряд значений, то и энергия Е±. мо-
жет быть любой. Квантово-механическое рассмотрение приводит к
выводу, что энергия Е± может принимать лишь дискретный ряд
значений:
Е±=(п-|-,/2)Л(0с, (4.23)
где п=0, 1,2,... (аналогичная формула (3.23) определяла энергию
нормального колебания решетки).
Так как на электрон, движущийся вдоль поля В, сила Лоренца
не действует, то энергия такого движения Ец определяется по-преж-
нему соотношением [см. (4.13)]
•£.=4^-, (4.24)
где ki — компонента волнового вектора электрона в направлении
магнитного поля. Таким образом, полная кинетическая энергия
электрона в магнитном поле
Е = Е± 4-Е|( = 4-й<ос +1. (4.25)
79
Зона
Картина движения электрона зоны прово-
димости кристалла в магнитном поле может
существенно отличаться от описанной выше,
так как электроны в реальных кристаллах
постоянно рассеиваются, меняют направление
своего движения из-за взаимодействия со
всевозможными дефектами решетки. Однако в
достаточно сильном магнитном поле длина
окружности, описываемой электроном в клас-
сическом представлении, или локализация его
волновой функции в направлении, нормальном
к В, в квантовой теории могут стать много
меньше длины свободного пробега и тогда при-
веденные выше представления и формулы
становятся справедливыми. Следует только за-
менить реальную массу электрона те на эф-
фективную т„.
На рис. 4.17 схематически представлены за-
Рнс. 4.17. Дис- висимости энергии электронов кристалла в
персиоииые кривые сильном магнитном поле от волнового вектора
каЯв ГХУьПнРом°маг согласно выражению (4.25). При фмксиро-
нитном поле ванном значении я(, например при kt=0, для
каждой зоны получается система дискрет-
ных эквидистантных уровней — уровней Ландау.
Расстояние йюс между уровнями Ландау на самом деле вовсе
не так велико, как это показано на рис. 4.17. В полях ~1 Тл оно
составляет ~10~4эВ. Каждая из дисперсионных кривых, приведен-
ных на рис. 4.17, расщепляется еще на две: для спина электрона,
ориентированного по полю, н для спина, ориентированного против
магнитного поля (на рис. 4.17 это расщепление не показано).
ГЛАВА 5 СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Любое твердое тело представляет собой систему, или коллектив, состоящий из
огромного числа микрочастиц. В таких системах проявляются специфические,
так называемые статистические, закономерности, являющиеся иредметом изучения
статистической физики. На основании этих закономерностей в настоящей главе
будут получены очень важные для практических применений выражения для кон-
центраций свободных носителей заряда (электронов и дырок) в полупроводниках,
их распределения по энергиям и т. д.
§ 5.1. Функция распределения в статистике
Ферми—Дирака
В классической механике состояние каждой частицы коллекти-
ва описывается заданием трех ее координат и трех составляющих
импульса. Составляя уравнения движения для частиц и решая их,
можно, казалось бы, получить полные сведения о поведении сис-
темы и предсказать ее состояние в любой момент времени. Однако
80
подобного рода расчеты не только чрезвычайно сложны, но и бес-
полезны. Сложность задачи видна из того, что для описания пове-
дения молекул газа, заключенных в 1 м3 при нормальных условиях,
пришлось бы решать примерно 1026 связанных между собой урав-
нений движения с учетом начальных условий, что практически
сделать невозможно. Однако если бы такое решение и было про-
ведено, оно оказалось бы бесплодным, так как свойства системы,
пришедшей в равновесие, не только не зависят от начальных
значений координат и составляющих импульса, но и вообще оста-
ются неизменными с течением времени, несмотря на то что коорди-
наты и импульсы частиц непрерывно изменяются. Отсюда следует,
что коллектив как целое является системой, качественно отличной
от отдельных частиц, и его поведение подчиняется иным законо-
мерностям по сравнению с поведением отдельных частиц. Речь
идет о статистических закономерностях. В их существовании можно
убедиться на следующих примерах.
Скорость отдельной молекулы газа является величиной слу-
чайной, предсказать которую заранее не представляется возмож-
ным. Несмотря на это, в газе, состоящем из большого числа таких
молекул, наблюдается в среднем четкое распределение их по ско-
ростям: вполне определенная часть молекул обладает в среднем
скоростью, заключенной, например, между 100 и 200 м/с, между
400 и 500 м/с и т. д.
Попадание данной молекулы газа в выделенный элемент объема
является делом случайным. Несмотря на это, в распределении мо-
лекул по объему наблюдается четкая закономерность: в равных
элементах объема содержится в среднем одинаковое число молекул.
Здесь дело обстоит примерно так же, как и в случае бросания
монеты. Выпадание герба или решки при каждом бросании
является событием случайным. Тем ие менее при большом числе
бросаний выявляется вполне определенная закономерность: в сред-
нем в половине бросаний выпадает герб и в половине — решка.
Такого рода закономерности и называют статистическими.
Основной особенностью статистических закономерностей явля-
ется их вероятностный характер. Они позволяют предсказывать
лишь вероятность наступления того или иного события или реализа-
ции того или иного результата.
Так, в примере с бросанием монеты предсказываемая вероятность выпадания
той или иной стороны равна '/г. От этого значения вероятности могут быть и обя-
зательно существуют отступления в отдельных испытаниях, причем тем большие,
чем меньше таких испытаний. В пяти подряд проведенных бросаниях монеты герб
может появиться 3, 4 и даже 5 раз. Однако чем больше испытаний, т. е. чем больше
членов коллектива, тем определеннее и точнее становятся статистические пред-
сказания.
Расчет показывает, что для системы, состоящей из W частиц,
относительное отклонение наблюдаемой физической величины М
от ее среднего значения М обратно пропорционально /У:
/(ДЛф_______1_
м Vn ’
81
С увеличением N это отношение стремится к нулю и М->-М. При
достаточно большом N получим МхМ.
Возьмем для примера в качестве М число молекул воздуха, попадающих в
выделенный объем. В 1 м3 воздуха при нормальных условиях содержится в сред-
нем 2,7-1025 молекул. Относительное отступление от этого числа в среднем состав-
ляет 1 //77«2-10-13. Это настолько ничтожное отклонение, что его практически
можно не учитывать и считать распределение молекул по объему равномерным
Следует, однако, подчеркнуть, что отступления от среднего зна-
чения не только могут, но и обязательно должны быть. Такие
отступления называют флуктуациями.
Среднее число частиц системы с энергией от Е до f-j-df опре-
деляется полной статистической функцией распределения N(E)dE.
Полную функцию распределения можно представить в виде про-
изведения числа состояний g(E)dE, приходящихся на интервал
энергий df, на вероятность заполнения этих состояний частицами.
Обозначим последнюю f(E). Тогда
N(E)dE=f(E)g(E)dE. (5.1)
Функцию f(E) называют просто функцией распределения. Как
указано выше, она выражает вероятность заполнения частицами
данных состояний.
Если, например, на 100 близко расположенных состояний приходится в среднем
10 частиц, то вероятность заполнения этих состояний f(E)=O,l. Так как на каждое
состояние приходится в среднем 0,1 частицы, то f(E) можно трактовать как среднее
число частиц, находящихся в данном состоянии.
Таким образом, задача об отыскании полной функции распре-
деления частиц по состояниям сводится к отысканию функции
g(E)dE, описывающей распределение состояний по энергиям, и
функции f(E), определяющей вероятность заполнения этих состоя-
ний частицами.
Функция распределения для фермионов, в частности электро-
нов, имеет вид
(5.2)
где Т — термодинамическая температура, ар — химический потен-
циал системы, играющий роль параметра распределения и назы-
ваемый энергией Ферми.
Функцию (5.2) называют функцией Ферми—Дирака. Рассмот-
рим сначала ее вид при Т-»-0. В этом случае f(Е)= 1 для любой
энергии Е, меньшей ц, и f(E)=O для (рис. 5.1). Таким обра-
зом, при Т=0 К все состояния с энергией fCp заняты электронами,
состояния с Е>р. свободны. Иными словами, при Т-Д) К электроны
стремятся занять наинизшие энергетические уровни. С повышением
температуры электроны подвергаются тепловому возбуждению
и переходят на более высокие энергетические уровни, вследствие
чего меняется характер распределения их по состояниям. Однако
тепловому возбуждению могут подвергаться электроны лишь узкой
полосы ~kT, непосредственно расположенной у уровня Ферми
(рис. 5.2, а; возбужденные состояния показаны штриховкой, стрел-
ками обозначены направления спинов электронов). Электроны бо-
82
fit
1
0 t
Рис. 5.1. Функция Ферми — Дирака
при Т — О К
Рис. 5.2. Возбуждение электронов
выше уровня Ферми ц при Т>0 К
(а) и функция распределения Фер-
ми-Дирака при Г>0К (б)
лее глубоких уровней остаются практически незатронутыми, так
как энергия kT теплового движения недостаточна для их возбуж-
дения (для перевода за уровень Ферми).
В результате теплового возбуждения часть электронов, имев-
ших энергию, меньшую и, переходит на уровни с энергией, боль-
шей р., и устанавливается новое их распределение по состояниям.
На рис. 5.2, б показана кривая распределения электронов по со-
стояниям при Г>0 К. Из рис. 5.2, б видно, что повышение темпера-
туры вызывает размытые распределения на глубину ~kT и появле-
ние «хвоста» распределения, располагающегося правее р. Чем выше
температура, тем более существенному изменению подвергается
функция распределения.
§ 5.2. Функция плотности состояний
Определим теперь функцию плотности состояний электронов
g(F). Поскольку разрешенные значения волновых векторов к элек-
тронов в каждой энергетической зоне кристалла совпадают со зна-
чениями волновых векторов для упругих волн в кристаллической
решетке, функция плотности состояний электронов gi(F) аналогична
плотности распределения мод по частотам g(«) (см. § 3.3). В част-
ности, число различных значений к в интервале от k до
согласно (3.13), равно Vk2dk/(2n2). Различие состоит в том, что
каждому разрешенному значению к соответствуют два состояния
электрона с противоположными спинами, а не три моды с разными
поляризациями для упругих волн. Вследствие этого число состоя-
ний в интервале длин волновых векторов dfe
dg==Vk2dk/n2. (5.3)
Кроме того, дисперсионные соотношения для электрона (E(kJ)
существенно иные, чем для упругих волн («•(&)). В частности, у
83
дна энергетической зоны (зоны проводимости, например) диспер-
сионную кривую всегда можно представить в виде параболы
(рис. 4.7, а):
E=#k2/(2mn), (5.4)
где т„ — эффективная масса электрона. Действительно,
Из (5.4) получаем
kdk = d£; Л= 1 / •
й2 у й*
Подставив эти выражения- в (5.3), получим окончательно
V V^E
dg = — -—2— d£
s 1t2 Й3
или
ТС* Л8
(5.5)
В этих формулах энергия отсчитывается от дна зоны.
У потолка энергетической зоны дисперсионная кривая также
близка к параболе. В частности, у потолка валентной зоны полу-
проводника
£<‘>—Е‘—<’«>
где тр — эффективная масса дырки.
Воспользовавшись этой формулой, можно получить тогда для
верхней части валентной зоны
где £„= —Eg — энергия потока валентной зоны.’
Функции (5.5) и (5.7) представлены на рис. 5.3.
§ 5.3. Концентрации электронов и дырок в полупроводнике
Концентрация электронов в полупроводнике. Концентрацию
электронов в зоне проводимости можно получить, проинтегриро-
вав полную функцию распределения (5.1) по всем энергиям зоны
проводимости:
£ потолка зоны
п= J n(£)d£ = J g(£)/(£)d£. (5.8)
(по зоне пров.) О
84
Рис. 5.3. Функция плотности состояний у
диа зоны проводимости н потолка валент-
ной зоны
Рис. 5.4. Функция распределения f(E')
(а) и полная функция распределения
для невырожденного газа
Здесь п(Е)— функция N(E) при V=l.
Интегрирование можно распространять до оо, так как подынте-
гральная функция f(E) быстро (по экспоненте) спадает с ростом
энергии (при Е>р,), a g(E) медленно (по степенному закону)
растет. Согласно (5.2) и (5.5),
з/о 00 г—
п = — — С-------d£---------- (5.9)
2it* Л3 J (Е-н)/(*Г) ' '
0 е "Г 1
Если уровень Ферми р расположен много ниже дна зоны прово-
димости Ёс=0, так что (Ё—р.) ^>kT, то единицей в знаменателе
функции Ферми—Дирака можно пренебречь и тогда для энергий
в зоне проводимости
/ (Е) = ------------«е е . (5.10)
V ’ е(Д-Н)/(ЛТ)+ j v >
В этом случае степень заполнения любых состояний в зоне про-
водимости очень мала:
f(E)«l. (5.11)
Условие (5.11) называют условием невырожденности электрон-
ного газа.
Полная функция распределения электронов по энергиям для
невырожденного газа принимает вид
п (£) ЛВ ж VT е"'"1 e'£/,,n d£. (5.12)
2тс2Й3
Это так называемое распределение Больцмана. Полное число час-
тиц невырожденного газа пропорционально е|1/<*'Г), а их относи-
85
тельное распределение по энергии определяется множителями
/£е~£/< . Оно не зависит от полного числа частиц, но зависит от
температуры газа. Функции распределения f(E) для невырож-
денного газа представлена на рис. 5.4, а, а полная функция рас-
пределения п(£) — на рис. 5.4, б. Здесь же штриховой линией
изображена функция плотности состояний g(E). Для невырожден-
ного газа кривая п(£) всегда расположена существенно ниже g(E).
Она*достигает максимума при энергии E=kT/2 и быстро спадает
при E>kT. Проинтегрировав (5.12) по энергии, получим теперь
полное число электронов п в зависимости от энергии Ферми ц:
п _ 2 (2rcmnfeT)3/2 н/(*Г) _ v-nkTi
— ha ~ с
Величину Nc называют эффективным числом состояний, приве-
денным ко дну зону проводимости. По порядку величины Ne близка
к числу состояний в интервале энергии 7nkT от дна зоны, т. е.
к числу состояний, сколько-нибудь существенно заполненных элек-
тронами. Энергия Ферми ц для невырожденного газа — величина
отрицательная. Чем ниже расположен уровень Ферми, тем меньше
электронов в зоне проводимости при той же температуре.
Зависимость концентрации дырок от энергии Ферми. Вероят-
ность fp(E) того, что состояние с энергией Е не занято электроном,
составляет
(5.13)
/,(£) = !-/(£) =---------!------. (5.14)
' Р ’ ' ' ' , . (v—E)/(kT)
1 +е
Газ дырок валентной зоны будет невырожденным, т. е. /р(£)^1,
если расстояние от уровня Ферми ц до вершины валентной
зоны £v будет хотя бы в 2—3 раза превышать величину kT. Тогда
/р (£) « е~ <и-£,/(*г> = e-^-ev)/(*r>e-(£v-£)/(*r> (5 15)
Видно, что заселенность состояний валентной зоны дырками
убывает экспоненциально в глубь валентной зоны.
Концентрацию дырок получим, проинтегрировав полную функ-
цию распределения дырок fp(E)g(E) по энергии:
2(2~ПрАТ)3/2 -(H-£V)/(^T) -(1H-Eg)/(*T)
Р = --------------е =Луе (5.16)
Здесь Nv — так называемое эффективное число состояний валент-
ной зоны, приведенное к потолку зоны.
Если условие невырожденности для электронного газа в зоне
проводимости или дырочного в валентной зоне не выполняется,
то вычисление интегралов типа (5.9) следует производить численно
или пользоваться таблицами.
86
§ 5.4. Положение уровня Ферми и концентрация
свободных носителей заряда
в собственных полупроводниках
В собственном беспримесном полупроводнике положение уровня
Ферми можно найти из условия, что количество электронов в зоне
проводимости равно количеству дырок в валентной зоне:
п<=р(, (5.17)
индекс i здесь и далее обозначает принадлежность к собственному
полупроводнику.
Условие (5.17) приводит к тому, что уровень Ферми должен
располагаться приблизительно посередине запрещенной зоны. Если
уровень Ферми расположить ближе к зоне проводимости, то в
таком полупроводнике электронов будет много больше, чем дырок,
так как степень заполнения (ДЕ)) состояний у дна зоны проводи-
мости существенно больше, чем степень их незаполненности
(1—ДЕ)) у потолка валентной зоны. Функция распределения ДЕ)
для этого случая представлена на рнс. 5.5, а, где для удобства
сопоставления с энергетическими схемами ось энергий направлена
вверх. Наоборот, если поместить уровень Ферми вблизи валентной
зоны (рис. 5.5, б), то дырок в валентной зоне станет много больше,
чем электронов в зоне проводимости. Таким образом, обеспечить
равенство количеств электронов и дырок можно только в том слу-
чае, если расположить уровень Ферми посередине запрещенной
зоны. В общем случае, однако, уровень Ферми в собственном полу-
проводнике расположен лишь приблизительно посередине запре-
щенной зоны. Дело в том, что функции плотности состояний в зоне
проводимости и валентной зоне могут отличаться друг от друга.
Например, если тп>тр, то согласно (5.5) и (5.7) плотность состоя-
ний в зоне проводимости выше, чем в валентной зоне (при одина-
ковом расстоянии рассматриваемых интервалов энергии от краев
соответствующих зои). В таком случае для выравнивания концен-
траций электронов и дырок следует несколько опустить уровень
а) б)
Рис. 5.5. Функции распределения f(E) в полупроводниках п-типа
(п>р) (а) и p-типа (р>п) (б)
87
Рис. 5.6. Зависимость энергии Ферми (щтрих-пуик-
тириая линия) от температуры в собственном полу-
проводнике
Рис. 5.7. Зависимость
концентрации свобод-
ных носителей тока от
температуры в собст-
венном полупровод-
нике
Ферми к валентной зоне. Наоборот, если тр>тп, то уровень Ферми
должен быть несколько выше середины запрещенной зоны.
Точное значение энергии Ферми в собственном полупроводнике
получим, приравняв п(р.) [выражение (5.13)] к р(р) (5.16):
=^е-(^)/,ЛГ);. (5.18)
+ — In +— kT\n^-- (5-19)
2 2 2 4 тп
При Т->-0 К уровень Ферми расположен посередине запрещен-
ной зоны, при повышении температуры он смещается к той зоне,
где меньше плотность состояний (рис. 5.6). Так как обычно тп
не очень сильно отличается от тр, то для полупроводников с ши-
риной запрещенной зоны Egml эВ или больше можно считать
lii^—Eg/2. Для узкозонных же полупроводников смещение уровня
Ферми от середины запрещенной зоны нельзя не учитывать.
Подставив полученное выражение для щ в (5.13), найдем кон-
центрацию свободных носителей тока в собственном полупро-
воднике:
е-£,/В.Г,. (5 20)
Л3
Из (5.20) видно, что равновесная концентрация носителей тока
в собственном полупроводнике определяется шириной запрещенной
зоны и температурой полупроводника, причем зависимость п, от Т
и Eg очень резкая. Так, уменьшение Eg с 1,12 эВ (кремний) до
0,08 эВ (серое олово) приводит при комнатной температуре к
увеличению п, на 9 порядков; увеличение температуры германия
со 100 до 600 К повышает щ на 17 порядков.
88
Прологарифмируем выражение (5.20):
1ппг = 1п (5.21)
Так как In ^NJ^ зависит от температуры гораздо слабее, чем
по степенному закону, то график зависимости Inn, от 1/Т пред-
ставляет собой приблизительно прямую линию с угловым коэффи-
циентом —Eg/ (2k) (рис. 5.7).
Для узкозонных полупроводников при повышенных температу-
рах уровень Ферми может оказаться слишком близко (ближе, чем
на (2-т-З) kT) к одной из зон или даже к обеим зонам. В таком
случае-пользоваться выражениями п(р) и р(р) для невырожденных
газов электронов и дырок нельзя и уравнение (5.17) следует решать
численно.
§ 5.5. Статистика электронов
в примесных полупроводниках
В примесном полупроводнике электроны могут переходить
в зону проводимости не только из валентной зоны, но и с донорных
уровней, дырки же могут возникать при переходах электронов из
валентной Зоны на акцепторные уровни.
Выражение для концентрации электронов на примесном уровне
в статистике Ферми—Дирака можно получить, если концентра-
цию примесных атомов Л'пр умножить на функцию, аналогич-
ную (5.2):
”Р 1+«ехр[(£пр-|л)/(йПГ
где Епр — энергия примесного уровня, a g — так называемый фак-
тор вырождения, зависящий от природы примесного центра. Для
мелких доноров g='/2, для мелких акцепторных уровней g=2.
Если в полупроводник введена донорная примесь с малой энер-
гией ионизации Ел, то при низких температурах число электронов,
попавших в зону проводимости с донорных уровней (рис. 5.8, а),
может на много порядков превышать число электронов, возбужден-
ных из валентной зоны. В таком случае переходами из валентной
зоны можно пренебречь и найти энергию Ферми, приравняв число
электронов проводимости п к числу свободных мест на донорных
уровнях Nt.
Если концентрация доноров не слишком велика, то, несмотря на
увеличение концентрации электронов проводимости по сравнению
с чистым, собственным полупроводником, электронный газ в зоне
проводимости остается невырожденным. Тогда концентрация элек-
тронов определяется выражением (5.13).
Число свободных мест на донорных уровнях (энергия донорного
уровня равна —Ed)
N+ =-. Nd [ 1 _ f E )] ------------------ (5.23)
d d' 1+2exp[(Ed + n)/(fc7')]
89
Рис. 5.8. Энергетическая диаграмма (а) и зависимости энергии Ферми (б) и кон-
центрации электронов в зоне проводимости донорного.полупроводника (в) от тем-
пературы (£(— середина запрещенной зоны)
Приравняв п и Nt, получаем уравнение для определения р.:
дг evn = ____________________—________________ (5 94)
с Р kT 1 + 2 exp [p/(*T)J exp [ЕйЦЬТ)] ' ' ' ’
Очень низкие температуры. Уравнение (5.24) можно упростить,
если учесть, что при достаточно низких температурах доноры
ионизированы слабо (Nt С Nd) и знаменатель в правой части
выражения (5.23) много больше единицы. Тогда
N* = exp ( - . (5.25)
<1 2 \ kT /
а уравнение (5.24) принимает вид
2ЛГС ехР 77 = ( — §9 ехР ( — 77) • (5-26)
й/ \ й/ / \ Й/ /
Отсюда
1л=—= —4-— 1п---------------------------------^-зд. (5.27)
р 2 2 2УС 2 2 4 (2ктп kT)3/2
Таким образом, при 7->-0К уровень Ферми стремится к середине
между дном зоны проводимости и донорным уровнем (рис. 5.8,6).
При повышении температуры от ОК энергия Ферми сначала уве-
личивается, так как при достаточно низких температурах знамена-
тель дроби под логарифмом в. (5.27) меньше числителя. При даль-
нейшем повышении Температуры, однако, энергия Ферми, достиг-
нув максимума, начинает уменьшаться и при некоторой температуре
7s уровень Ферми пересекает уровень доноров —E<j. При приближе-
нии к этой температуре пользоваться выражением (5.27) уже
нельзя, так как оно получено в предположении, что Nt С Wd,
а если уровень Ферми совпадает с уровнем доноров, то Nt = Wd/3.
В этой области температур следует определять р. из более общего
уравнения (5.24).
90
Температуру Ts называют температурой истощения примеси.
Ее можно найти из уравнения
Nc exp £ =^ехр( - . (5.28)
Отсюда
tp ___ £d_____
kln(3Nc/Nd)
Из этого выражения видно, что чем больше энергия ионизации
примеси Ел, тем выше температура истощения, что вполне естест-
венно. Странным, на первый взгляд, кажется то, что температура
истощения зависит от концентрации 1 примеси. Объясняется это
тем, что при любой температуре происходит обмен электронами
между донорным уровнем и нижними уровнями зоны проводимости,
лежащими в интервале энергии порядка нескольких kT. Чем больше
доноров, тем больше вероятность захвата на них электрона из
зоны проводимости и тем выше температура истощения примеси
Л. Температуры истощения невелики. Например, для примеси с
£\1 = 0,01 эВ в германии 7^ = 30 К при М= 1016 см-3.
Концентрацию электронов в зоне проводимости при очень
низких температурах получим, подставив выражение для ц (5.27)
в (5.13):
(5.30)
Прологарифмировав это выражение, получим
lnn=lnlZ —
у 2 2k Т
(5.31)
Так как логарифмическая зависимость от температуры первого
слагаемого в правой части этого выражения гораздо слабее сте-
пенной в левой его части, зависимость Inn от \/Т в области очень
низких температур приблизительно линейная с угловым коэффици-
ентом —Ел/(2k) (область 1 на рис. 5.8, в).
Область истощения примеси (2 на рис. 5.8, б, в). При небольшом
повышении температуры над Ts практически все электроны пере-
ходят с примесных атомов в зону проводимости и тогда
п = Nd.
Энергию Ферми в этой области температур найдем из уравнения
Л/,1=Мехр[ц/(ЛТ)]. (5.32)
Она составляет
Р=ЛТ1п-^- = ЛГ1п
Arc
Ndh»
2(2itm„ kT)312
(5.33)
91
Так как Л/с становится больше уже при Тх Ть, то из (5.33)
следует, что уровень Ферми понижается с ростом температуры.
Область собственной проводимости. В конце концов при повы-
шении температуры заметный вклад в концентрацию начнут давать
электроны, перешедшие в зону проводимости из валентной зоны.
Концентрация электронов вновь начнет расти (область 3 на
рис. 5.8, в) и станет практически равной концентрации п, в собст-
венном полупроводнике. За температуру У, перехода к собственной
проводимости принимают температуру, при которой концентрация
носителей в собственном полупроводнике совпадает с концентра-
цией электронов в донорном полупроводнике в области истощения
примеси:
ni(Tl) = Ni,
т. е., согласно (5.20),
/^exp(-w)=JVd-
Отсюда
k In (NCNV/N2d)
Согласно этому уравнению, чем шире запрещенная зона полупро-
водника Eg и чем выше концентрация примеси Nd, тем выше темпе-
ратура перехода к собственной проводимости. При AZd= 1016 см-3,
например, Т, в германии равна 480 К, в кремнии же она составляет
~650 К- Значение Т, определяет предельную температуру работы
большинства полупроводниковых приборов.
Акцепторный полупроводник (рис. 5.9, а). Формулы для энергии
Ферми и концентрации носителей в пролупроводнике, легированном
акцепторами, получают аналогично. Они имеют тот же вид, что
Рис. 5.9. Энергетическая диаграмма (а) и зависимость энергии Ферми от
температуры (б) для акцепторного полупроводника (Е, — середина запре-
щенной зоны)
92
и для донорного полупроводника, если вместо Мс писать в них Л\,
вместо Ел писать £а и вместо энергии Ферми р, отсчитанной от дна
зоны проводимости вверх по шкале энергий, писать ц' — энергию
Ферми, отсчитанную вниз от потолка валентной зоны. Зависимость
энергии Ферми от температуры в акцепторном полупроводнике
приведена на рис. 5.9,6. Зависимость же 1пр от 1/Г совершенно
аналогична кривой для донорного полупроводника (см. рис. 5.8, в).
Закон действующих масс. Перемножив концентрацию электро-
нов (5.13) и дырок (5.16), получаем важное соотношение
-Е KkT}
np=NcN^ (5.35)
Из (5.35) и (5.20) видно, что
np = nl(T). (5.36)
Полученные формулы носят название закона действую-
щих масс. Его можно сформулировать так: произведение
концентрации электронов и дырок в полупроводнике не зависит от
его легирования, а зависит только от температуры; это произве-
дение равно квадрату концентрации носителей в собственном
полупроводнике.
Прологарифмировав (5.36), получим
(1пп4-1пр)/2 = 1пп/. (5.37)
Это соотношение использовано при построении графиков на
рис. 5.8, в, где штрих-пунктирная линия — 1пп(, а пунктирная —
1пр. В области примесной проводимости концентрация неосновных
носителей (в донорном полупроводнике — дырок) оказывается
намного меньшей, чем в собственном полупроводнике. Объясняется
это тем, что равновесные концентрации устанавливаются в резуль-
тате не только генерации носителей, нр и их рекомбинации. Когда
в зоне проводимости кроме электронов, возбужденных из валентной
зоны, имеется большое число примесных электронов, освобождаю-
щиеся уровни в валентной зоне гораздо быстрее вновь занимаются
электронами, что и приводит к резкому уменьшению концентрации
дырок.
Следует подчеркнуть, что так как (5.13) и (5.16) справедливы
только для невырожденных газов, то и закон действующих масс
справедлив только для невырожденных полупроводников.
Сильно легированные полупроводники. С увеличением степени
легирования кривая зависимость Inn от 1/Г в области примесной
проводимости смещается вверх. Угловой коэффициент прямой в
области очень низких температур при этом остается неизменным,
так как он определяется энергией ионизации Ed отдельного донор-
ного атома и не зависит от их концентрации. Так происходит,
однако, лишь до тех пор, пока концентрация примесей не достигнет
некоторого уровня, выше которого наклон прямой Inn к оси 1/Г
начинает уменьшаться (кривая N'j на рис. 5.10, а), а затем стано-
вится вообще равным нулю (кривая W3")-
93
Рис. 5.10. Зависимость концентрации электронов в зоне проводимости
от температуры для полупроводников, содержащих различное количе-
ство донорной примеси (а); уровень примести в запрещенной зоне (б);
образование примесной зоны из примесного уровня при высокой кон-
центрации примеси (в); перекрытие примесной зоны и зоны проводимо-
сти (г) и функция плотности состояний (д) в вырожденных полупро-
водниках
Уменьшение наклона рассматриваемых прямых начинается прн
таких концентрациях примеси, когда волновые функции электронов
на соседних примесных атомах начинают перекрываться. Тогда
вместо отдельных энергетических уровней для каждого атома при-
меси (рис. 5.10,6) возникает примесная энергетическая зона
(рис. 5.10, в). При еще большей концентрации примеси эта зона
сливается с зоной проводимости, образуя единую зону разрешенных
энергий (рис. 5.10, г). Возникновение примесной зоны приводит к
уменьшению энергии активации примесной проводимости Ed, а при
слиянии этой зоны с зоной проводимости энергия активации стано-
вится равной нулю.
Зависимость плотности состояний от энергии у дна зоны прово-
димости при слиянии с ней примесной зоны приобретает вид,
показанный на рис. 5.10, д. Образуется так называемый хвост
плотности состояний.
Как видим, образование примесной зоны происходит так же,
как образование энергетических зон вместо узких уровней при
сближении атомов основного вещества (см. гл. 4). Однако при-
месный уровень размывается в зону заметной ширины, когда расстоя-
ния между соседними атомами примеси еще намного больше
межатомных расстояний для атомов основного вещества. Объяс-
няется это тем, что «орбита» слабо связанного с атомом примеси
электрона имеет очень большой радиус и перекрытие электронных
оболочек примесных атомов наступает при сравнительно большом
расстоянии между ними. В германии, например, энергия ионизации
мелких доноров заметно уменьшается, начиная с концентрации
Wd« Ю16 см-3, когда расстояния между соседними примесными
атомами приблизительно равны 50 нм.
Электронный газ в сильно легированном полупроводнике может
быть вырожденным, особенно при температурах намного ниже тем-
ператур перехода к собственной проводимости Т,. С приближением
94
к Tt уровень Ферми £с--------------- £с---------- £с"
стремится к середине — — — - - — —
запрещенной зоны и,
если полупроводник не
узкозонный, вырожде- ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ -» ♦
ние снимается. ——— £у————— £у
Акцепторные уров- а) 6) в)
ни также размываются
В ЗОИу С увеличением Рис- 5.11. Энергетические диаграммы компенсиро-
концентрации акцепто- ванных полупроводников:
ров a— Nfl^Na, б— Ni>Na-, e — n<i<N,
Компенсированные
полупроводники. Часто в полупроводнике одновременно присут-
ствуют и донорная, и акцепторная примеси в сопоставимых коли-
чествах. Такие полупроводники называют компенсированными.
Рассмотрим сначала случай полной компенсации, когда концен-
трации Nd доноров и Na акцепторов совпадают. Энергетическая
диаграмма такого полупроводника показана иа рис. 5.11, а. Соглас-
но статистике Ферми — Дирака, при Т-^-ОК электроны занимают
наинизшие. энергетические состояния. В таком случае все акцеп-
торные уровни окажутся занятыми электронами, а все донорные —
свободными. С повышением температуры электроны переходят из
валентной зоны в зону проводимости и практически только за счет
таких переходов возникают свободные носители зарядов — электро-
ны и дырки. В таком полупроводнике, следовательно, концентра-
ции свободных носителей такие же, как в собственном, иеле-
гированном.
Если Nd>Na (рис. 5.11,6), то при Г-»-ОК все акцепторные со-
стояния заняты электронами и при повышении температуры
принимать электроны из валентной зоны, как и в рассмотренном
выше случае, они не смогут. Но в отличие от полной компенсации
(Ad — Na) доноров сохраняют свои электроны при Т— ОК и смогут
отдавать их в зону проводимости с повышением температуры.
Следовательно, такой полупроводник ведет себя как донорный с
концентрацией доноров (Nd — Na).
Если Nd<Na (рис. 5.11, в), то полупроводник ведет себя как
акцепторный с концентрацией акцепторов (Аа —Ad).
На самом деле при низких температурах существуют некоторые
отличия в положении уровня Ферми и в концентрациях носителей
по сравнению с некомпенсированными полупроводниками. Здесь,
однако, мы не будем их рассматривать.
§ 5.6. Статистика электронов в металлах
Как известно (см. § 4.5), в металлах верхняя из занятых элек-
тронами энергетических зон, зона проводимости, заполнена элек-
тронами частично.
При ОК электроны занимают все нижние состояния зоны про-
водимости (по одному в каждом состоянии) вплоть до уровня
95
j g (Е) dE. (5.38)
Ферми ц (см. рис. 4.8, а, б). Так как число электронов проводимо-
сти в металле иам известно (для одновалентных металлов, напри-
мер, оно равно числу атомов), то энергию ц можно определить,
отсчитав от дна зоны число состояний, равное числу электронов:
п =
Здесь п — концентрация электронов.
В металлах функция плотности состояний g(E) имеет вид (5.5)
не только у дна, но почти по всей зоне проводимости и та практи-
чески совпадает с массой свободного электрона те. Подставив
(5.5) в (5.38), получим
я=_к (5.39)
Зя» \ й» } •
Отсюда
р = — У'3. (5.40)
2m, \ /
В Li, например, расчет по формуле (5.40) дает ц=4,72 эВ, а экспериментальное
значение ц=5,22 эВ. Это неплохое совпадение, учитывая сделанные выше до-
пущения.
Зная ц, можно вычислить максимальную скорость движения
электронов по кристаллу:
Umax = (5.41)
Она составляет ~106 м/с. А ведь это при ОК, когда, согласно
классическим представлениям, всякое движение должно прекра-
щаться! Это результат действия чисто квантовых законов движе-
ния — принципа Паули, согласно которому электроны, обла-
дающие столь большими скоростями, не могут их потерять, так
как при этом они должны опуститься на уже занятые состояния
с меньшей энергией. Такое неклассическое поведение электронного
газа в металле сказывается, как будет показано ниже, на электро-
проводности, теплопроводности, теплоемкости и других характе-
ристиках металлов и на их зависимостях от температуры. Аномалии
в поведении электронного газа наблюдаются не только в металлах,
но и в сильно легированных полупроводниках и вообще в любом'
коллективе электронов, в котором хотя бы нижние энергетические
состояния плотно укомплектованы, т. е. для которых
f(£c)«l.
В этом случае электронный газ называют вырожденным.
При температурах выше 0 К электроны с уровней в интервале
энергии ~/гГ вблизи уровня Ферми переходят на более высокие
уровни (рис. 5.12, а). Заполнение состояний электронами в этом
случае иллюстрируется рис. 5.12,6. Так как kT всегда много
96
меньше ц (при комнатной
температуре, ' например,
/г7’«0,025 эВ), то энергия
изменяется с повышением
температуры лишь у не-
большой части электронов.
Положение уровня
Ферми при 7’>0 К можно
отыскать из условия, что
полное число электронов
проводимости должно ос-
таваться неизменным при
любой температуре:
Рис. 5.12. Тепловое возбуждение электронов ме-
талла (а) и их распределение л(£) по энергиям
при Т>0 К (б)
« = J n(E)dE-J g(£)f* (£)dE.
о о
(5.42)
В последнем интеграле
распределения f(E) зависит
индекс ц показывает, что функция
от энергии Ферми как от параметра.
Этот интеграл ие может быть представлен в виде аналитической
функции. Приближенно энергия Ферми ц оказывается равной
р(Т)=1*(0)
л* / kT yi
12 \Р(О)Л’
(5.43)
где ц(0) —энергия Ферми при Т = 0 К, вычисляемая по формуле
(5.40).
Согласно (5.43), энергия Ферми очень мало изменяется с темпе-
ратурой. Так, при комнатной температуре для металла с р.(0) =
= 5 эВ изменение ц составляет ~10-5 эВ. Энергия Ферми несколь-
ко понижается с температурой, так как плотность состояний g(E)
увеличивается вблизи уровня Е=ц. Если бы уровень Ферми остал-
ся на прежней высоте, то увеличение заселенности уровней с
£>ц в интервале \E^kT не компенсировалось бы уменьшением
заселенности менее густо распределенных уровней с и полное
число электронов возросло бы;
Полученные выше выражения справедливы для одновалентных
металлов, у которых все валентные электроны частично заполняют
лишь одну энергетическую зону. В многовалентных металлах ситу-
ация сложнее (см. § 4.8), но и там электронный газ является
вырожденным и его состояние очень мало меняется с температурой.
Малость изменения распределения электронов металла по энер-
гии с повышением температуры приводит к тому, что средние
величины, характеризующие газ электронов (средняя энергия,
средние скорости и т. д.), практически не зависят от температуры.
Вследствие этого электронный газ в металлах имеет характеристи-
ки, существенно отличные от классических характеристик невы-
рожденных газов. Рассмотрим для примера, как влияет вырожде-
ние на теплоемкость газа.
4-671
97
§ 5.7. Теплоемкость электронного газа в металлах
и полупроводниках
В металлах помимо ионов, образующих решетку и колеблю-
щихся около положений равновесия, имеются и свободные элек-
троны, число которых в единичном объеме одновалентного металла,
например, такое же, как и число атомов. Поэтому темплоемкость
металла Си должна складываться из теплоемкости решетки Cpeu,
и теплоемкости электронного газа Сзл. Оценим порядок вели-
чины Сзл.
Как указывалось в § 5.2, при нагревании металла до температу-
ры Т термическому возбуждению подвергается лишь небольшая
группа электронов в интервале энергии ~/гГ вблизи уровня
Ферми ц. Если для упрощения задачи считать, что уровни энергии
распределены по зоне проводимости равномерно, то доля возбуж-
денных электронов составляет величину, примерно равную kT/ц.
Считая, что каждый из этих электронов получил энергию возбужде-
ния в среднем 3/zkT, получим изменение энергии электронного
газа Еэл, обусловленное нагреванием его до температуры Т:
Езл = 3/2N (kT)2/ц, (5.44)
где N — число электронов проводимости металла. Теплоемкость
такого газа
C3JI»3Nk(kT/n). (5.45)
Более строгая теория дает для Сэл выражение
(5Л6)
2 \ Н /
Отметим, что, согласно классическим представлениям, каждый
свободный электрон металла должен иметь среднюю кинетическую
энергию 3/2kT, полная энергия электронного газа должна быть
равной 3/2NkT, а теплоемкость C31l = 3/2Nk, т. е. составлять 50%
от теплоемкости кристаллической решетки [см. (3.27)]. Сравнивая
же (5.46) с (3.27) и учитывая, что для металлов ц измеряется
единицами электрон-вольт, a kT = 0,025 эВ при Т = 300 К, получаем
Сэл « 0,01 Среш-
Таким образом, вследствие того что при обычных температурах
термическому возбуждению подвергается лишь незначительная
часть свободных электронов металла, темплоемкость электронного
газа составляет единицы процентов от теплоемкости решетки^
что является следствием вырождения электронного газа в металлах.
В полупроводниках (для определенности будем рассматривать
донорные полупроводники) теплоемкость электронного газа в об-*
щем случае зависит не только от средней энергии электронов в зоне
проводимости, но и от их концентрации. В температурной области
истощения примеси концентрация электронов в зоне проводимости
ие зависит от температуры и равна концентрации примеси Mi.
Если при этом полупроводник легирован не сильно, так что элек«
98
тронный газ не вырожден, его теплоемкость определяется класси-
ческим выражением
С,Л = 3/2Л^. (5.47)
Для вырожденного газа темплоемкость в рассматриваемой области
меньше, чем следует из (5.47). При сильном вырождении, когда
р kT, электронная темплоемкость хорошо описывается формулой
(5.46). Правда, даже сильно легированные полупроводники с точки
зрения химии являются очень чистыми веществами. Так, даже при
/Vd=10M см-3 концентрация примеси составляет всего лишь
~0,2%. Поэтому и число электронов в зоне проводимости всегда
мало по сравнению с числом атомов решетки, так что Сэл Среш-
В области собственной проводимости электронная теплоемкость
полупроводника становится существенно больше значения, опреде-
ляемого (5.47). Это происходит потому, что концентрация свобод-
ных носителей тока (теперь и электронов, и дырок) резко возраста-
ет при переходе к собственной проводимости, а на образование
каждой новой пары носителей требуется энергия Ее kT. В этой
области электронная теплоемкость полупроводника составляет
существенную часть его полной теплоемкости, особенно при темпе-
ратурах, близких к температуре плавления.
ГЛАВА 6. КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
На основании развитых выше представлений зонной теории, статистики свободных
носителей зарнда в полупроводниках н металлах, теории тепловых колебаний
кристаллической решетки в настоящей главе изложены основы современных пред-
ставлений о природе электропроводности твердых тел,. нключая сверхпроводимости,
и природе основных гальваномагнитных явлений.
§ 6.1. Распределение электронов по скоростям
От функции распределения электронов по энергиям п(Е)АЕ
легко перейти к функции распределения по модулю скорости,
воспользовавшись соотношениями
Е = mnu2/2; dE = mnvdv.
Для невырожденного электронного газа тогда получаем
из (5.12)
п (о) do = —е о*е * dv. (6.1)
Выразив еи/(*Г) через полное число электронов п с помощью (5.13),
получаем классическую функцию Максвелла для распределения
частиц газа по скоростям:
99
Рис. 6.1. Максвелловское распределение электронов по скоростям
(а); распределение электронов по одной из компонент скорости
(vs) для вырожденного (кривая /) и невырожденного (кри-
вая 2) электронных газов (б)
n(o) du = 4ял (- т" У72 o’e т"° /<2*r>da (6.2)
\ 2itkT )
Функция п(и) представлена на рис. 6.1, а.
Распределение электронов по компонентам вектора скорости
удобнее получать, рассматривая заполнение разрешенных состоя-
ний в «пространстве скоростей». Используя связь между скоростью
электрона v и его волновым вектором к
т„у = Йк,
получим, что для х-компоненты скорости, например,
««
и тогда соседние разрешенные значения проекций вектора v на оси
vx, Оу, ог разделены интервалами й/ (Lmn) (см. рис. 3.5). Для
кристалла единичных размеров (L=l) эти интервалы равны
h/mn. Таким образом, число состояний в некотором выделенном
интервале скоростей равно 2duxdt»!/duz/(/i3/m3n), где множитель 2 появ-
ляется вследствие того, что любому разрешенному значению v
соответствуют два состояния с противоположными спинами.
Вероятность заполнения любого состояния зависит только от
его энергии. Для невырожденного газа, согласно (5.10), она
составляет
/(£)“ехрШ ич>(-гг)-ехр(^)х
(6.3)
\ 2kT / ' ’
Помножив эту функцию на число состояний в выделенном эле-
менте пространства скоростей, получаем
100
n(vx, vv, oz)dosdo„doz =
2mn [ V- \ Г
~ехрШ-ехр1
^(3 + <$ + <0j<4dP,<tox,
(6.4)
где n(vx, vy, v?) — функция плотности распределения электронов
по скоростям.
Выразив ехр[ц/(kT) ] через концентрацию электронов п,
получим
«(»х. vy> ox)=n(-g-]3/2 ехр Г--(o’ 4- o’4-o’) 1. (6.5)
\ 4К1 9 J
Наконец, проинтегрировав эту функцию по vy и иг от —оо до
-|-со, получим функцию распределения электронов невырожденного
газа по одной компоненте скорости vx:
-4-00
n(os)dos = doa. JjMo„ vy, vz)dvvdvz =
—ao
= n
x*
(6.6)
Эта функция представлена кривой 2 на рис. 6.1,6.
Электроны вырожденного газа при Т— О К полностью заполня-
ют все состояния внутри сферы радиусом оф = /2ц/тл (рис. 6.2).
Таким образом, функция плотности распределения электронов по
скоростям внутри этой сферы Ферми совпадает с функцией плотно-
сти состояний:
n(vx, vy, vz) = 2mn/h3. (6.7)
число
Vx в
Распределение электронов по одной компоненте скорости (ох)
легко получить из следующих соображений. Выделим в простран-
стве скоростей область от некоторого значения ох<Оф до ox4-dox
(рис. 6.2). Сфера Ферми вырезает из этой области диск объемом
л(рф — ox)dox. Число состояний, прихо-
дящееся на этот объем, и есть
электронов, имеющих скорости
выделенных пределах:
2m3
П (Vx) do, = ~ «(o’, -o’) do,.
Эта функция представлена верхней
кривой на рис. 6.1,6. При Г>ОК
небольшая часть электронов со ско-
ростями v,. немного меньшими оф,
приобретает скорости, несколько боль-
шие оф, и кривая п(ох) изменяется
так, как это показано на том же
Рисунке штриховой линией.
(6.8)
Рис. 6.2. К вычислению фер-
миевского распределения элект-
ронов по скоростям
101
Как и следовало ожидать, распределения электронов как
вырожденного, так и невырожденного газов симметричны относи-
тельно о=0, так что средняя их скорость в состоянии теплового
равновесия всегда равна нулю (Sv, = O).
Состояние равновесия устанавливается и поддерживается в ре-
зультате обмена энергией и импульсами между электронами и
кристаллической решеткой. (При больших концентрациях электро-
нов начинает играть существенную роль также взаимодействие
свободных носителей заряда друг с другом.) Процессы, приводящие
к изменению энергии и импульса электрона при взаимодействии
их с кристаллической решеткой (нли друг с другом), называют
процессами рассеяния.
Рассеяние идет только на дефектах, искажающих правильный
периодический потенциал кристалла. Как отмечалось в гл. 4,
состояния электрона в идеальной решетке являются стационарны-
ми, и в них электрон должен пребывать бесконечно долго. (Влия-
ние идеальной решетки на поведение электрона учитывается вве-
дением понятия эффективной массы.) Основные дефекты, приводя-
щие к рассеянию электронов в кристаллах, — это примесные
ионизированные атомы и тепловые колебания решетки.
Рассеяние на ионах примеси можно представлять себе клас-
сически как отклонение свободного носителя заряда в поле иона,
мимо которого он пролетает (рис. 6.3, а). Следует лишь помнить,
что это должен быть чужеродный ион, чтобы поле вокруг него
действительно отличалось от поля собственных ионов решетки или
вследствие другого значения заряда этого иона, или из-за других
размеров и другой структуры электронных оболочек примесного
иона.
Рассеяние же на тепловых колебаниях кристалла кажется на
первый взгляд процессом гораздо более загадочным. Действитель-
но, почему электрон не рассеивается на неподвижных ионах или
атомах кристалла и рассеивается на колеблющихся, ведь скорости
движения этих колеблющихся тяжелых частиц все равно на не-
сколько порядков меньше скоростей электронов? Дело в том, одна-
Рис. 6.3. Схемы рассеяния электронов е ионизированным атомом приме-
си И (а) и оптическими колебаниями решетки полярного кристалла (б):
До — направление первоначального движения электрона; v0 — скорость этого движения;
Си — направление движения электрона после рассеяния; v — скорость этого движения;
vo — составляющая скорости в направлении первоначального движения
102
ко, что с появлением упругой волны в кристалле всегда появляется
и дополнительное электрическое поле. Особенно наглядно это видно
на примере поперечных оптических колебаний ионных кристаллов
(рис. 6.3, б) нлн на примере продольной волны в металле, когда
в областях сжатия возникает повышенная концентрация ионов,
а в областях разрежения — пониженная. Но и в неполярных кри-
сталлах с упругими волнами связаны дополнительные электриче-
ские поля, хотя там это эффект второго порядка малости и причину
его трудно представить наглядно. В любом случае именно на этих
дополнительных электрических полях в кристаллах и идет рассея-
ние электронов. При таком рассеянии энергия электрона изменяется
на где со — частота колебания решетки, т. е. величину, рав-
ную энергии фонона. Иными словами, происходит поглощение или
испускание фонона электроном. Импульс электрона изменяется на
±^йфон, где кф0Н — волновой вектор колебания решетки (Лкфон —
квазиимпульс фонона).
$ 6.2. Дрейф свободных носителей заряда
в электрическом поле
Простейший подход к определению поведения свободных носи-
телей заряда во внешнем электрическом поле состоит в том,
что их рассматривают как шарики, совершающие хоатическое
тепловое движение, на которое при включении поля накладывается
направленное движение — дрейф.
Хаотическое тепловое движение частиц характеризуется средней
скоростью движения <v>, средним путем, проходимым частицей
между соударениями, т. е. длиной свободного пробега <.%> и
средним временем свободного пробега <т>. Эти величины связа-
ны между собой очвидным соотношением
<т>= <Х>/<о>. (6.9)
Внешнее электрическое поле сообщает свободным заряженным
частицам ускорение по направлению поля для дырок и в противо-
положном направлении для электронов. Однако вследствие соуда-
рений частиц (рассеяния) их движение вновь становится нена-
правленным, хаотичным.
Под действием поля с напряженностью S частица с эффективной
массой т* н зарядом е движется с ускорением
а = -£-g.
т*
Если считать, что после каждого соударения частица с равной
вероятностью может лететь в любом направлении, т. е. что направ-
ленность движения частиц полностью уничтожается через время
одного свободного пробега <т>, то средняя скорость направлен-
ного движения (скорость дрейфа)
(610)
103
Роиеяние
Рис. 6.4. К объяснению вычисления
дрейфовой скорости
Рнс. 6.5. Сдвиг функции распределе-
ния электронов по скоростям (v„ —
= уг = 0) во внешнем электрическом
поле для вырожденного газа
Сказанное иллюстрируется рис. 6.4, где по оси ординат отло-
жена только дополнительная (по отношению к тепловой) скорость
движения частицы под действием внешнего поля.
На самом деле, однако, описание процессов рассеяния выглядит более сложно.
Прежде всего, даже если рассматривать микрочастицы как заряженные шарики,
нельзя точно определить сам факт рассеяния электрона и дырки, а следовательно,
и определить <т> и <Х>. Например, электрон, пролетая мимо иона, может
изменить направление своего движения на 180, 90, 1° или меньше, н непонятно,
сколь малое отклонение от первоначального направления движения следует счи-
тать свидетельством рассеяния частицы. Тогда следует ваоднть вероятность рас-
сеяния в пределах определенного телесного угла, а она различна для разных
механизмов рассеяния и направлений углов рассеяния и т. д. Ясно поэтому,
что если скорость дрейфа и будет определяться выражением типа (6.10), в
него войдет некоторая эффективная величина <т>, которую можно лишь условно
называть временем свободного пробега.
Время релаксации функции распределения. Более аккуратно
дрейф электронов во внешнем электрическом поле, а также другие
кинетические явления рассматриваются с помощью так называемо-
го кинетического уравнения Больцмана. Это уравнение описывает
изменения функции распределения электронов по скоростям под
действием внешних полей и процессов рассеяния. Возникновение
дрейфа электронов под действием внешнего электрического поля
напряженностью ^приводит к смещению на идр их функции распре-
деления по скоростям в направлении действующей на электроны
силы F (рис. 6.5). После выключения поля в результате рассеяния
функция распределения возвращается к равновесной, происходит
процесс релаксации. Обычно полагают, что процесс релаксации
описывается уравнением
I - (*-МЛ,
Ara (vx) = Ага (цх) |/, е
где t0 — момент выключения поля, трел — время релаксации. За вре-
мя трел отклонение функции распределения от равновесного значе-
ния н скорость дрейфа электронов уменьшаются в е раз. Из реше-
ния кинетического уравнения Больцмана следует, в частности, что
Одр — хрел
(6.11)
104
Сравнивая (6.11) и (6.10), мы видим, что трел играет ту же роль,
что время свободного пробега <т> в простейшей теории. Поэтому
в дальнейшем будем опускать индекс у <т> в (6.11) и, как это
часто делают, называют эту величину как* временем релаксации,
так и временем свободного пробега.
Подвижность носителей. Величину, равную отношению скорости
дрейфа к напряженности поля, называют подвижностью носителей:
(6J2>
Иными словами, подвижность — это дрейфовая скорость, приобре-
таемая электронами в поле единичной напряженности.
Оценка показывает, что для таких металлов, как медь, т«
«2 • 10“14 с, подвижность электронов, вычисленная по формуле
(6.12), и«3 • Ю~3 м2/(В • с), скорость дрейфа в полях обычной
напряженности (8= 10-2 В/м) составляет идр«0,3 м/с. Эта вели-
чина на много порядков ниже скорости движения электронов в
отсутствие поля (иф = 1,6 • 106 м/с), вледствне чего с приложением
поля средняя скорость электронов в проводнике остается практи-
чески неизменной.
Удельная электропроводность. Так как в состоянии тепло-
вого равновесия суммарная скорость электронов равна нулю, то
ее можно не учитывать при вычислении плотности электрического
тока и удельной электропроводности проводника, принимая во вни-
мание только скорость дрейфа электронов идр.
Построим мысленно в объеме проводника цилиндр с основани-
ем, равным единице, и образующей, равной идр и направленной
вдоль дрейфа (рис. 6.6). Все электроны, заключенные в этом ци-
линдре, в течение 1 с пройдут через основание и образуют ток
плотностью
i = — епуар = еипп8, (6.13)
где п — концентрация электроно!
i — oT. Отсюда
о = епип.
Для дырок
о= ер ир.
Подставляя в (6.14) и из (6.12),
подучим
9 = . (6.15)
тп тп
Эта формула выражает удельную
электропроводность проводника
через микроскопические парамет-
ры, характеризующие электрон-
ный газ в нем. Время релаксации
в проводнике. По закону Ома,
(6.14)
Рис. 6.6. К выводу выражения для
плотности тока
105
Трел в общем случае зависит от энергии электронов. Поэтому оно
должно усредняться по коллективу электронов, причем по-разному
для невырожденных и вырожденных газов.
В случае невырожденного газа плотность заполнения
зоны проводимости электронами настолько мала, что их поведение
не может ограничиваться принципом Паули. Электроны являются
полностью свободными в том смысле, что на движение любого из
них другие не оказывают заметного влияния. Все электроны прово-
димости невырожденного газа принимают независимой друг от дру-
га участие в создании электрического тока и в формировании элект-
ропроводности проводника. Поэтому в выражение для электропро-
водности невырожденного газа должно входить среднее время ре-
лаксации <трел) всех свободных электронов, полученное путем
усреднения трел по всему коллективу. Учитывая это, выражение
для подвижности и удельной электропроводности невырожденного
(например, электронного) газа необходимо записать следующим
образом:
и =
тп <ия>
а =
пе* <МЕ)>
тп тп
(6.16)
(6.17)
Усреднение производится по определенным правилам, которые
мы здесь рассматривать не будем.
Иная картина наблюдается для вырожденного газа.
В таком газе основная масса электронов, энергия которых меньше
фермиевской хотя бы на 0,1 эВ, не может принимать участия в
процессах рассеяния. Дело в том, что такие электроны могут
рассеиваться, переходя в свободные состояния, лишь при одновре-
менном увеличении их энергии за счет энергии частиц, с которыми
они сталкиваются. Но фононы в кристалле обладают энергией, не
превышающей нескольких сотых долей электрон-вольт, а рассея-
ние на ионах примеси вообще идет практически без изменения
энергии электрона. Поэтому участие в рассеянии могут принимать
лишь электроны с энергией, близкой к энергии Ферми (фермиев-
ские электроны).
Под действием внешнего электрического поля все электроны
металла изменяют свой волновой вектор в направлении силы
[согласно (4.17)] и распределение электронов сдвигается в v-npo-
странстве, как это показано на рис. 6.S. Однако чем больше этот
сдвиг, тем больше фермиевских электронов перебрасывается вслед-
ствие процесса рассеяния справа налево, стремясь вновь устано-
вить равновесное распределение электронов по импульсам, симмет-
ричное относительно начала координат. В результате совместного
действия на электроны внешнего поля и процессов рассеяния вся
сфера Фермн оказывается сдвигутой на
тп Уф
(6.18)
106
Значение одр определяется уже не средними значениями <т> или
<Х> и <о>, как в случае невырожденного газа, а временем
релаксации тф или длиной свободного пробега Аф и скоростью
движения оф фермиевских электронов. С точки зрения количествен-
ного расчета проводимости важен лишь сам факт смещения распре-
деления электронов по скоростям под действием поля, а не его
физический механизм. Поэтому электропроводность вырожденного
газа по-прежнему может быть записана в виде
ле1 ле*
— ч=-------•
«п тп
(6.19)
где п — полная концентрация электронов зоны проводимости.
§ 6.3. Подвижность свободных носителей заряда.
* Зависимость подвижности от температуры
Рассмотрим теперь зависимость подвижности носителей заряда
от температуры. Рассмотрение проведем отдельно для областей
высоких и низких температур.
В области высоких температур основное значение имеет
рассеяние электронов на тепловых колебаниях решетки — на фоно-
нах. В неполярных кристаллах рассеяние идет преимущественно
на акустических фононах, концентрации которых выше, чем опти-
ческих. Как показывает квантово-механическое рассмотрение,
длина свободного пробега при этом не зависит от энергии рассеи-
вающегося электрона или дырки, а зависит лишь от концентрации
фононов: Так как, согласно § 3.5, в области высоких
температур n$~T, то 1/Т. Подставляя это значение А
в (6.16) и в (6.18), получим следующие выражения для подвиж-
ности электронов:
<A>/(v> /Т1' — Т~3/s (невырожденный газ), (6.20)
и~Аф/оф~Т_| (вырожденный газ), (6.21)
так как от температуры практически не зависит, а для невы-
рожденного газа
Таким образом, в области высоких температур, в которой основ-
ное значение имеет рассеяние на тепловых колебаниях решетки,
подвижность носителей невырожденного электронного (дырочного)
газа обратно пропорциональна Т3/‘, подвижность носителей вырож-
денного газа обратно пропорциональна Т.
В области низких температур часто основное значение имеет
рассеяние на ионизированных примесных атомах. Процесс рассея-
ния состоит в том, что ноны примеси отклоняют электроны, прохо-
дящие вблизи них, меняя направление скорости их движения
(см. рис. 6.3, а). Это рассеяние практически столь же хаотично, как
и рассеяние на колебаниях решетки, так как электроны пролетают
на различных расстояниях от заряженных центров и отклоняются
на различные углы.
107
Задача о рассеянии заряженных частиц заряженными центрами
была впервые решена Резерфордом при исследовании рассеяния
а-частиц ядрами химических элементов. Формула, полученная Ре-
зерфордом для длины свободного пробега А, в применении к наше-
му случаю рассеяния электронов на ионах примести имеет следую-
щий вид:
<6-22>
/V Л \ j
где N„ — концентрация ионов; v — скорость электронов; е — ди-
электрическая постоянная кристалла; Ze — заряд рассеивающего
иона.
Качественно этот результат понятен: чем выше скорость носи-
телей заряда, чем больше их эффективная масса и чем сильнее
ослабляется поле иона в кристалле (чем выше е), тем слабее откло-
няются носителя от направления первоначального движения, тем
больший путь им необходимо пройти, чтобы компонента скорости
их движения в этом направлении обратилась в нуль; с увеличением
же заряда рассеивающего иона Ze значение А должно, естествен-
но, уменьшаться.
Подставляя (6.22) в (6.16) и (6.18), получим
и~ <А>/<ц> ~ <ц>3 ~ Т3,г (невырожденный газ), (6.23)
и~Аф/иф Цф= const (Т) (вырожденный газ). (6.24)
Как видим, подвижность носителей заряда в области низких
температур, обусловленная рассеянием на ионизированных приме-
сях, пропорциональна Т3/‘ для проводников с невырожденным
электронным газом и не зависит от Т для проводников с вырож-
денным электронным газом.
При одновременном действии нескольких механизмов
рассеяния подвижность можно найти из следующих соображений.
Величина w—\/i представляет собой среднее число столкновений
электрона за единичное время. При одновременном действии не-
скольких независимых механизмов рассеяния полное число столк-
новений за единичное время равно сумме чисел столкновений,
обусловленных разными механизмами рассеяния — электрон-фонон-
ными w$, электрон-примеснымн w„ и т. д.:
ау = ауф + w„ + ... . (6.25)
Так как подвижность, согласно (6.12), пропорциональна времени
свободного пробега т, т. е. обратно пропорциональна w, то соотно-
шение (6.25) можно записать в виде
U Оф «п
(6.26)
где Иф и и„ — подвижности, обусловленные только рассеянием на
фононах и примесях соответственно. Из (6.26) видно, что решаю-
108
Рис. 6.7. Теоретические (а) и экспериментальные (б) зависимости
подвижности от температуры в полупроводнике
unfit)
д|----1----1----1---1----
10” 10” 1D1’ 10” 10° П.м'1
Рис. 6.8. Экспериментальные за-
висимости подвижности от кон-
центрации легирующей примеси
в Ge
щим в определении подвижности явля-
ется механизм рассеяния, обусловливаю-
щий наиболее низкую подвижность.
Так, если Иф=1 м2/(В-с), a u„= 10-2 м2/
(В-с), то в выражении 1/и= 1/1-|-1/10-2 пер-
вым слагаемым можно пренебречь и считать
и~и„ = ю~2 м2/(В-с).
На рис. 6.7, а показаны теоретиче-
ские зависимости подвижности от тем-
пературы в полупроводнике для не-
вырожденного и вырожденного элек-
тронных газов, а на рис. 6.7, б —
соответствующие экспериментальные
кривые для кремния, содержащего раз-
личные количества N„ легирующей
примеси. Из рис. 6.7 видно, что эксперимент в основном подтверж-
дает выводы развитой выше теории.
Рассмотрим теперь зависимость подвижности в полупроводнике
от степени его легирования при фиксированной температуре, напри-
мер комнатной. При малом уровне легирования подвижность долж-
на определяться рассеянием на колебаниях решетки и, следователь-
но, не должна зависеть от легирования. При высоких же уровнях
легирования она должна определяться рассеянием на ионизирован-
ной легирующей примеси и уменьшаться с ростом концентрации
примеси. На рис. 6.8 приведены экспериментальные зависимости
подвижности в Ge от концентрации легирующей примеси.
§ 6.4. Электропроводность полупроводников
В общем случае удельная электрическая проводимость полу-
проводника определяется как электронами (га), так и дырками (р):
a=<Jn + op — enun-{-epUp. (6.27)
109
Рис. 6.9. Зависимости удельной
электропроводности от температуры
полупроводников с разной степенью
легирования (схематично)
слабой н не меняет в целом
Однако в области ниже температуры
перехода к собственной проводимо-
сти Tt (см. рнс. 5.8, в) концентрация
носителей одного знака (основных)
много выше концентрации носителей
другого знака (неосновных), и в
выражении (6.27) есть смысл оста-
вить только слагаемое, соответству-
ющее основным носителям.
За исключением температурной
области истощения примеси, кон-
центрация свободных носителей за-
ряда в полупроводниках очень рез-
ко — экспоненциально — зависит от
температуры. По сравнению с этим
степенная зависимость подвижности
от температуры выглядит весьма
<д зависимости In о от 1/Т по срав-
нению с зависимостью Inn от 1/Т. Практически не изменяются и
угловые коэффициенты соответствующих зависимостей. Преобла-
дающим механизмом рассеяния как в области собственной про-
водимости, так и в области очень низких температур (ниже Ts)
является рассеяние на фононах. При низких температурах это объ-
ясняется резким уменьшением концентрации ионизированной примеси.
В области истощения примеси (от Т5 до Т/) электропроводность
уменьшается с ростом температуры для слаболегироваиных полу-
проводников, так как в этом случае основным механизмом рассе-
яния является рассеяние на фононах (кривая 1 на рис. 6.9). Для
более сильного легированного полупроводника вначале может пре-
обладать рассеяние на примесях, а с ростом температуры —на коле-
баниях решетки (кривая 2 на рис. 6.9).
Для сильно легированного полупроводника, в котором элект-
ронный газ является вырожденным почти вплоть до температуры
перехода к собственной проводимости Ti, подвижность не зависит
от температуры и лишь вблизи Tt она начинает уменьшаться с рос-
том температуры. При этом вместе с переходом к фононам преоб-
ладающей роли в рассеянии электронов происходит снятие вырож-
дения электронного газа и показатель степени в зависимости
подвижности от температуры плавно изменяется от 0 до —3/2.
Вплоть до Tt концентрация основных носителей тока в таком полу-
проводнике не зависит от температуры, а все изменение а обуслов-
ливается изменением подвижности. Этот случай иллюстрируется
кривой 3 на рис. 6.9.
§ 6.5 Электропроводность металлов
Так как в металлах концентрация п электронного газа не за-
висит от температуры, то зависимость удельной электропровод-
110
ности а от температуры полностью определяется температурной
зависимостью подвижности и электронов вырожденного электрон-
ного газа. В достаточно чистом металле концентрация примесей
невелика и подвижность вплоть до весьма низких температур опре-
деляется рассеянием электронов на колебаниях решетки.
В области высоких температур подвижность электронов, со-
гласно (6.21), обратно пропорциональна Т. Подставив (6.21) в
(6.14), получим
<т~1/7’. (6.28)
Удельное сопротивление
Q=l/a~T. (6.29)
При температурах ниже дебаевской эта зависимость нарушается.
В области низких температур концентрация фононного газа,
согласно § 3.5, пропорциональна Т3. Поэтому длина свободного
пробега электронов, обусловленная рассеянием их на фононах,
должна быть обратно пропорциональна Т3:
Х~Т~3.
Однако это соотношение не учитывает следующего важного обстоя-
тельства. При низких температурах средний импульс фононов
оказывается настолько малым по сравнению с импульсом фермиев-
ских электронов металла, что для уничтожения движения электро-
на в данном направлении требуется не один, a v актов рассеяния
его на фононах. Как показывает расчет, v~T~\ Поэтому эффектив-
ная длина свободного пробега Х-,ф электрона, на протяжении кото-
рой происходит хаотизация его движения, составляет
^=vX—Т~3. (6.30)
Подставив (6.30) в (6.19), получим
q-T5. (6.31)
Отметим, что при рассеянии на фононах электронов в полупровод-
никах в нем всегда принимают участие только фононы с малыми
импульсами, так как у самих электронов импульсы сравнительно
малы. Концентрация же таких фононов пропорциональна темпера-
туре и при температурах много ниже дебаевской.
При температурах, близких к О К, концентрация фононов умень-
шается настолько, что основное значение приобретает рассеяние
на примесных атомах, всегда содержащихся в небольших количе-
ствах даже в самых чистых металлах. В соответствии с (6.24)
подвижность электронов в этом случае не зависит от Т, поэтому
удельное сопротивление g приобретает постоянное значение, кото-
рое называют остаточным удельным сопротивлением g0CT.
На рис. 6.10, а показана схематическая кривая зависимости
Удельного сопротивления чистых металлов от температуры, доста-
точно хорошо подтверждаемая экспериментально (рис. 6.10,6).
Так как g—1/u, то, согласно (6.26), при температуре, отличной
111
Рис. 6.10. Зависимость удельного сопротивления чистого металла от
температуры:
а — теоретическая кривая; б — зависимость относительного сопротивления /?//?290к дли
натрия
от 0 К, к остаточному сопротивлению QOcT=Qn добавляется сопро-
тивление Оф, обусловленное рассеянием на тепловых колебаниях
решетки. Общее сопротивление проводника в этом случае
е=(?п+Оф. (6.32)
Это соотношение выражает известное правило Матиссена
об аддитивности сопротивления.
§ 6.6. Явление сверхпроводимости
В 1911 г. голландский физик Каммерлинг-Оннес, изучая темпе-
ратурную зависимость удельного сопротивления ртути в области
низких температур, обнаружил удивительное явление: при темпе-
ратуре 4,2 К сопротивление ртути практически скачком падало до
нуля (рис. 6.11). Ртуть переставала оказывать сопротивление про-
хождению электрического тока. Это явление получило название
сверхпроводимости. В настоящее время установлено, что сверх?
проводимость можно наблюдать у сотен веществ — чистых метал?
Рис. 6.11. Скачкообразное изме-
нение удельного сопротивления
проводников при переходе в
сверхпроводящее состояние
в
Рис. 6.12. Эффект Мейсснера—Ок-
сенфельда (выталкивание магнит-
ного поля из проводника при пере-
ходе его в сверхпроводящее состоя-
ние)
112
лов, металлических сплавов и интерметаллических соединений и
даже у некоторых вырожденных полупроводников. Температура
перехода в сверхпроводящее состояние, которую называют крити-
ческой температурой перехода, колеблется у разных веществ от
сотен долей кельвин до ~20 К-
Подчеркнем следующее важное обстоятельство. Как указыва-
лось в § 6.5, если бы металлы удалось освободить от примесей,
то при приближении к О К их сопротивление должно было бы по-
степенно падать до нуля, так как бездефектная решетка, имеющая
строго периодический потенциал, не способна рассеивать свобод-
ные носители заряда. Однако такое поведение металлов не являлось
бы сверхпроводимостью, так как, во-первых, переход вещества в
сверхпроводящее состояние не связан в принципе с наличием в
нем примесей, во-вторых, такой переход происходит не плавно по
мере понижения температуры, а скачкообразно при достижении
веществом критической температуры перехода Ткр.
Более того, как показали исследования, сверхпроводимость не
исчерпывается только обращением в нуль электрического сопро-
тивления проводника (идеальной проводимостью). Не менее фунда-
ментальным свойством вещества в сверхпроводящем состоянии
является идеальный диамагнетизм: Это свойство, открытое Мейс-
снером и Оксенфельдом (1933), состоит в том, что вещество, по-
мещенное в магнитное поле (рис. 6.12, а), при переходе в сверх-
проводящее состояние не «замораживает» находящееся в нем маг-
нитное поле, как это должно было бы быть при простом переходе
вещества в состояние с нулевым сопротивлением, а выталкивает
его из своего объема (рис. 6.12,6), что присуще идеальным диа-
магнетикам, обладающим нулевой магнитной проницаемостью. Это
явление получило название эффекта Мейсснера — Оксенфельда.
Таким образом, сущность сверхпроводимости состоит в приоб-
ретении веществом двух не связанных друг с другом фундамен-
тальных свойств: идеальной проводимости и идеального диамагне-
тизма.
Природа сверхпроводимости. Несмотря на большие усилия, за-
траченные многими исследователями на изучение сверхпроводи-
мости, ее физическая природа была понята лишь в 1957 г. с созда-
нием Бардиным, Купером и Шриффером микроскопической теории
этого явления, получившей впоследствии название БКШ -теории.
В основе ее лежит представление, что между электронами прово-
димости металла могут действовать силы притяжения, воз-
никающие вследствие поляризации ими кристаллической
решетки.
Мы привыкли считать, что два электрона, как одноименно заря-
женные частицы, должны испытывать лишь кулоновское отталки-
вание друг от друга. Подобная ситуация, справедливая для элект-
ронов, находящихся в свободном пространстве, может существенно
измениться в кристалле из-за наличия в нем других электронов и
положительно заряженных ионов, в среднем компенсирующих отри-
цательные заряды электронов. В таких условиях между электро-
на
нами помимо сил отталкивания могут возникать косвенные силы
притяжения. В самом деле, электрон, движущийся в решетке, при-
тягивает к себе положительно заряженные ионы, несколько сбли-
жая их, и тем самым создает вдоль пути своего движения избы-
точный положительный заряд .поляризованной решетки, к которому
могут быть притянуты другие электроны. Это эквивалентно возник-
новению силы притяжения между электронами, только действую-
щей не непосредственно, а через поляризованную решетку.
С этой точки зрения, сверхпроводимость следует ожидать преж-
де всего у тех металлов, у которых имеет место сильное взаимо-.
действие электронного газа с решеткой, приводящее в обычных
условиях к относительно низкой электропроводности. И действи-
тельно, из чистых металлов лучшими сверхпроводниками оказа-
лись наиболее высокоомные — свинец, ниобий, олово, ртуть и др.
В то же время у таких высокопроводящих металлов, как медь и
серебро, у которых электронный газ имеет большую подвижность,
сверхпроводимости не наблюдается.
Превалирование сил притяжения между электронами в решетке
над силами отталкивания делает электронный газ в металлах не-
устойчивым к процессу образования из электронов электронных
пар, которые называют куперовскими парами по имени Купера,
впервые показавшего, что образование таких пар является энерге-
тически выгодным.
У связанных в пару электронов импульсы Лк, как и должно быть
для связанных друг с другом одинаковых частиц, как бы «вращаю-
щихся» друг возле друга, в каждый момент времени равны по мо-
дулю и противоположны по направлению. Точнее, волновая функ-
ция пары является суперпозицией состояний с противополож-
ными к, близкими по значению к фермиевским значениям ЛФ. По-
следнее утверждение обусловлено тем, что в вырожденном газе
фермионов взаимодействовать друг с другом могут лишь те части-
цы, вблизи энергетических уровней которых имеются свободные
состояния. Ведь всякое взаимодействие требует изменения состоя-
ния частиц, что невозможно, если все соседние состояния заняты
другими частицами.
Наличие притяжения между фермиевскими электронами приво-
дит к понижению их полной энергии. (Эта энергия должна быть
отведена от электронного газа при переводе его в сверхпроводя-
щее состояние.) Тогда в энергетическом спектре электронов проис-
ходит образование энергетической щели, как это показано иа
рис. 6.13, а, б. В наличии такой щели можно убедиться экспери-
ментально. Один из таких экспериментов состоит в изучении спект-
ра поглощения сверхпроводником электромагнитных волн в субмил-
лиметровой области. При температурах, близких к О К, поглоще-
ния энергии в сверхпроводнике не происходит до тех пор, пока
энергия квантов падающего излучения не превысит ширину щели
2Д, после чего поглощение быстро возрастает до его значения
в нормальном металле, так как теперь электроны могут переходить,
поглощая фотон, в энергетические состояния над щелью. Энергия
114
Рис. 6.13. Возникновение щели в энергетическом спектре металла
(а) при переходе его в сверхпроводящее состояние (б) и зависи-
мость ширины энергетической щели от температуры (в)
2Д затрачивается иа разрыв пары (по Д иа каждый электрон).
Эти электроны становятся независимыми друг от друга, т. е. «нор-
мальными:».
Пары могут разрушаться и за счет энергии тепловых колебаний
решетки. Поэтому при Т>0 К появляются электроны в состояниях
над щелью. Одиовремеиио идет и обратный процесс восстановления
пар — переход электронов в свободные состояния под щелью. Та-
ким образом, при каждой температуре устанавливается некоторая
равновесная концентрация «нормальных:» электронов. Картина эта
аналогична тепловой генерации электронов и дырок в собственном
полупроводнике (см. § 4.7 и 5.4). Существенное отличие, одиако,
состоит в том, что, как показывают и теория, и эксперимент, шири-
на 2Д энергетической щели в сверхпроводнике зависит от количе-
ства иеспареииых электронов, уменьшаясь с ростом концентрации
последних, а следовательно, с ростом температуры. Зависимость
ширины энергетической щели от температуры представлена иа
рис. 6.13, в.
Наличие щели в энергетическом спектре сверхпроводника объяс-
няет, почему в ием могут течь незатухающие токи. Действительно,
вернемся к рассмотрению рис. 6.5, иа котором стрелкой показано,
как идет процесс релаксации функции распределения электронов
нормального металла по скоростям (модификацией этого рисунка
является рис. 6.14, а). В сверхпроводящем металле такие процессы
невозможны. Дело в том, что, для того чтобы изменить импульс
электрона, в нормальном металле может вообще ие требоваться
затрата энергии, импульс может изменяться только по направле-
нию. В сверхпроводнике же любое изменение импульса только одно-
го электрона неизбежно вызовет его отрыв от другого электрона
пары, т. е. приведет к разрушению пары, иа что требуется энергия
по крайней мере 2Д. При низких температурах, при которых суще-
ствует сверхпроводимость, число фоиоиов с энергией Й<Оф>2Д,
способных разрушать пары (которые затем вновь восстанавлива-
ются), крайне невелико.
115
Рис. 6.14. К объяснению природы незатухающих токов в сверх-
проводнике
Рассмотрим теперь, почему пара не может рассеяться как целое
(без разрушения). Для этого обратимся к рис. 6.14,6. Предпола-
гаемое изменение импульсов электронов пары изображено на нем
стрелками 1 и 2. При таком изменении импульсов суммарная
кинетическая энергия частиц пары не изменяется, но пара в целом
движется после рассеяния в противоположном направлении. Легко
видеть, однако, что при таком рассеянии электрон 2 должен попа-
дать в уже занятое состояние (занятые состояния на рисунке
заштрихованы), что запрещено принципом Паули. Таким образом,
весь коллектив остальных электронов не позволяет осуществиться
такому рассеянию и поддерживает незатухающий ток.
Наконец, рассмотрим процесс рассеяния одного электрона
пары, при котором его кинетическая энергия уменьшается (рис.
6.14, в), когда он перебрасывается из правой части распределения
в левую. Если это уменьшение кинетической энергии достаточно
для разрыва пары, то такой процесс возможен и тогда сверхпрово-
дящее состояние исчезнет. Оценим, при какой скорости дрейфа
электронов это может произойти. Так как скорость рассматривае-
мого электрона изменяется с (иф-|-идР) на (уф—идр), его кинетиче-
ская энергия изменяется на
Д£кин=т(цф-|-Цдр)2/2—т(уФ—идр)2/2=2тиФидр. (6.33)
Минимальная скорость дрейфа идр.кр, необходимая для разруше-
ния пары, определяется соотношением
2тифЦдр.кР=2А, (6.34)
а критическая плотность тока, соответствующая цдркр, составляет
1др=епидркр—епЛ/(тиф). (6.35)
Для типичных значений п=3- 1028 м-3, Уф=106м/с и 2Д=3 мэВ
имеем iKp=1012 А/м2, что соответствует току 106 А через проводник
сечением 1 мм2. Эксперимент показывает, однако, что через сверх-
проводник такого сечения удается пропускать лишь токи ~100А.
Ошибка была допущена нами не при оценке критической плотности
тока, а при переходе от плотности тока к току, когда было сделано
негласное допущение, что ток распределяется равномерно по сече-
нию сверхпроводника. При таком распределении тока внутри сверх-
проводника существовало бы магнитное поле. Сверхпроводник же,
116
как упоминалось выше, является идеальным диамагнетиком и вы-
талкивает магнитное поле из своего объема. В таком случае токи
должны течь лишь по поверхности сверхпроводника. Теория пред-
сказывает, что эти токи текут в слое толщиной 104-100 им. На
эту глубину проникает в сверхпроводник и магнитное поле убывая
с расстоянием х от поверхности по закону
_В(х)=В(0)ехр(-х/А), . (6.36)
где В(0) — индукция поля у поверхности.
Сверхпроводимость разрушается, когда плотность тока у поверх-
ности i(0) достигает критического значения. При Х=35 им площадь
сечеиия приповерхностного слоя проводника диаметром 1 мм, по
которому течет ток, равна ~10-4мм2. При критической плотности
тока 1Кр«10|2А/м2 такой проводник способен пропустить ток
~100А, что соответствует действительности.
Сверхпроводимость может быть разрушена также магнитным
полем, что иепосредствеиио вытекает из существования iKp. В са-
мом деле, при помещении сверхпроводника в магнитное поле В
в поверхностном слое наводится незатухающий ток, создающий
в объеме проводника поле Ввн, направленное противоположно В
и компенсирующее его. При увеличении В плотность тока в сверх-
проводнике и компенсирующее поле Ввн растут. Одиако при неко-
тором значении В, называемом критическим полем, наведенный
в сверхпроводнике ток достигает критического значения и сверх-
проводимость разрушается. При повышении температуры сверх-
проводника Вкр понижается. Согласно теории БКШ, это понижение
описывается следующим Соотношением:
Вкр(Т)=Вкр(0)[1-(Г/Гкр)2], (6.37)
где ВКр(0) — критическое поле при ОК- На рис. 6.15 показаны
экспериментальные кривые Вкр(Т) для свинца и олова, подтверж-
дающие эту зависимость. Из рисунка видно, что при температурах,
Рис. 6.15. Изменение индукции крити-
ческого магнитного поля с температу-
рой для свинца и олова. Сплошные
кривые соответствуют формуле (6.37)
Рис. 6.16. Схематическое изоб-
ражение вихревых нитей в
сверхпроводниках второго рода
117
близких к критическим, достаточно приложить слабое магнитное
поле, чтобы разрушить сверхпроводимость, что важно для кон-
струирования сверхпроводящих электронных устройств.
Величина X, называемая глубиной проникновения, зависит от
температуры и материала сверхпроводника. В тонких пленках
толщиной меньше к значение критического поля Вкр, разрушаю-
щего сверхпроводимость, оказывается на порядок больше, чем в
массивных образцах. Тем не менее существование критического
поля и критических плотностей тока в сверхпроводниках ограничи-
вает возможности их практического применения.
Существенный прогресс в этой области был достигнут, когда
были получены так называемые сверхпроводники второго рода,
к которым относят многие сплавы и некоторые однородные
сверхпроводники. Теория сверхпроводников второго рода была раз-
работана советскими физиками А. А. Абрикосовым и Л. П. Горько-
вым в 1957—1959 гг. В этих материалах возникающие во внешнем
магнитном поле сверхпроводящие токи / текут не только по поверх-
ности, но и в толще проводника (рис. 6.16).
Цилиндрические области (вихревые нити), в которых текут эти
токи, пронизывают весь сверхпроводник. В центре таких нитей
куперовских пар нет и сверхпроводимость отсутствует. По этим
нитям внешнее магнитное поле и проникает в сверхпроводник
второго рода.
В настоящее время получены сверхпроводники второго рода
с критическим полем более 20 Тл (200 000 Гс), в то время как у
сверхпроводников первого рода оно не превышает 0,1 Тл (1000 Гс).
Представляет интерес рассмотрение поведения сверхпроводника
в высокочастотном поле. Так как сверхпроводник практически
всегда содержит сверхпроводящие (nJ и нормальные (п„) элект-
роны, то в переменном электрическом поле ускоряются не только
куперовские пары, но и нормальные электроны и ток имеет сверх-
проводящую и нормальную составляющие. Так как и те и другие
электроны обладают массой, то вследствие их инерции ток отстает
напряженности высокочастотного поля. Куперовские
пары не рассеиваются, т. е. движутся в среде как
бы без трения. Согласно классической механике,
в этом случае скорость частиц отстает по фазе от
действующей на них периодической силы на л/2.
Поэтому сверхпроводящая составляющая высоко-
частотного тока отстает от напряженности поля
на л/2. Это означает, что куперовские пары создают
чисто реактивное сопротивление. Нормальные же
электроны рассеиваются, двигаясь как бы в среде
с трением. Поэтому они создают как реактивное,
так и активное сопротивление сверхпроводника.
Это позволяет представить сверхпроводник экви-
валентной схемой, показанной на рис. 6.17. Левая
ветвь состоит из индуктивности £с сверхпроводя-
щих электронов; активное сопротивление этой ветви
по фазе от
Рис. 6.17. Экви-
валентная схема
сверхпроводника
на переменном
токе
118
равно нулю. Правая ветвь содержит индуктивность £н, обусловлен-
ную инерцией нормальных электронов, и активное сопротивле-
ние /?н, возникающее из-за рассеяния нх на дефектах решетки.
Следует отметить, что на частотах v<;2A//i активное сопротив-
ление сверхпроводника очень велико по сравнению с реактивным.
Кроме того, оно увеличивается с понижением температуры, так как
уменьшается концентрация неспаренных электронов.
Эффекты Джозефсона. Выше упоминалось, что волновая функ-
ция куперовской пары является суперпозицией состояний с проти-
воположными к, близкими по значению к k®. Все волновые функ-
ции пар полностью совпадают. Такое совпадение запрещено для
фермионов принципом Паули даже для двух частиц, но в куперов-
скую пару объединяются электроны не только с противоположными
импульсами, но и с противоположными спинами, образуя новую
квазичастицу с полным спином, равным нулю, т. е. бозон. Правда,
в обычном газе бозонов существует статистическое распределение
частиц по энергиям. Куперовские же пары находятся все в одном
квантовом состоянии и описываются одной волновой функцией, в
которой от числа частиц зависит только ее амплитуда. Теорети-
ческий анализ этого обстоятельства привел английского физика
Д. Джозефсона в 1962 г. к предсказанию двух интересных явлений,
получивших название эффектов Джозефсона. В настоящее время
эти эффекты не только подтверждены экспериментально, но и ис-
пользуются в практических целях, в частности в микроэлектронике.
Рассмотрим кратко суть эффектов Джозефсона. Подсоединим
к сверхпроводнику источник напряжения, амперметр А и вольт-
метр V (рис. 6.18, а). При замыкании цепи
в сверхпроводнике возникает ток /, реги-
стрируемый амперметром. Так как сопро-
тивление сверхпроводника равно нулю, то
напряжение на его концах также равно
нулю. Теперь разрежем сверхпроводник на
две части и проложим между ними диэлек-
трическую прослойку толщиной dx 1 нм,
т. е. сделаем в сверхпроводнике узкую по-
перечную щель. Как предсказал Джозефсон,
при включении такого сверхпроводника в
цепь может наблюдаться один из следую-
щих двух эффектов.
1. Через сверхпроводник по-прежнему
протекает постоянный ток, и разность по-
тенциалов на его концах равна нулю. Иначе
говоря, ток может течь без сопротивления
не только через сверхпроводник, но и через
щель в нем, если она достаточно узка
(рис. 6.18,6). Это явление называют ста-
ционарным. эффектом Джозефсона.
2. На концах сверхпроводника со
щелью может возникнуть постоянная раз-
Рис. 6.18. К объяснению
эффектов Джозефсона
119
ность потенциалов И и тогда из щели излучается высокочастотная
электромагнитная энергия (рис. 6.18, в). Иначе говоря, в этом
случае в цепи течет не только постоянный, но и высокочастотный
переменный ток. Это явление называют нестационарным эффектом
Джозефсона.
Эффекты Джозефсона обусловлены туннелированием электрон-
ных пар из одного куска сверхпроводника в другой через узкую
щель, разделяющую эти куски. Как следует из теории, направле-
ние и сила туннельного тока определяются следующим соотноше-
нием:
/=/osin<p, (6.38}
где <р — разность фаз волновых функций, описывающих куперов-
ские пары по обе стороны барьера; /0 — максимальный ток через
барьер, пропорциональный площади туннельного перехода и про-
зрачности барьера. Его значение может быть изменено и магнит-
ным полем, направленным вдоль плоскости джозефсоновского
перехода перпендикулярно потоку пар, туннелирующих из одного
куска сверхпроводника в другой. С увеличением напряженности
Н этого поля постоянный джозефсоновский ток испытывает перио-
дические изменения.
Соотношение (6.38) можно пояснить на модели маятников, связанных слабой
пружиной. Связь приводит к тому, что, когда колебание одного маятника опере-
жает колебание другого по фазе, энергия передается от первого маятника ко вто-
рому. При этом поток энергии достигает максимума при разности фаз л/2. Если
с опережением колеблется- второй маятник, то энергия от него передается первому.
В джозефсоновских контактах от одного проводника к другому
переходят куперовские пары. При этом сила и направление тока
определяются теми же фазовыми соотношениями, что и для слабо-
связанных механических колебательных систем.
При пропускании через джозефсоновский переход тока / от
внешнего источника разность фаз ф автоматически изменяется та-
ким образом, чтобы выполнялось условие (6.38). При этом сила
тока / не должна превышать /0. При больших токах на переходе
возникает разность потенциалов V, вызывающая туннелирование
через переход неспаренных электронов.
При наличии разности потенциалов между двумя сверхпровод-
никами энергия куперовскнх пар по обе стороны от барьера
отличается на 2еУ (где 2е — заряд пары). Так как между энер-
гией частицы и частотой волн де Бройля существует связь E—hv,
то по обе стороны от перехода существует разность частот де
Бройля Av=2eV//i и разность фаз ф волновых функций непрерывно
увеличивается:
Ф=2лЛх)/=2л/(2е V//i). (6.39)
Подставив это значение ф в (6.38), получим следующее выраже-
ние для сверхпроводящей составляющей тока, текущего через
переход:
120
I = /oSin I —-----t J .
(6.40)
Теперь этот ток — переменный, а частота его колебаний равна,
таким образом, 2eV/h. При V— 1мВ она составляет 485 ГГц, что
соответствует длине волны Х«0,6 мм.
§ 6.7. Гальваномагнитные эффекты
Эффект Холла. Эффектом Холла называют явление, состоящее
в том, что при пропускании тока вдоль проводящей пластинки,
помещенной перпендикулярно линиям внешнего магнитного поля,
в ней возникает поперечная разность потенциалов вследствие
взаимодействия носителей заряда с магнитным полем.
Предположим, что по проводнику, имеющему форму прямо-
угольной пластины, протекает электрический ток / (рис. 6.19).
В отсутствие магнитного поля разность потенциалов между точ-
ками С и D, лежащими на одной из эквипотенциальных поверх-
ностей, равна нулю. Если образец поместить в магнитное поле,
индукция которого В перпендикулярна направлению тока и плоско-
сти образца, то между точками С и D возникает разность потен-
циалов Ух, называемая холловской э. д. с.
Как показывает опыт, Ух при не слишком сильных полях про-
порциональна индукции поля В, силе тока / и обратно пропорцио-
нальна толщине пластины Ь:
Vx=RxBI/b=RxBia. (6.41)
Здесь i — плотнйсть тока
в образце; а — ширина об-
разца. Коэффициент пропор-
циональности Rx является
константой материала, ее на-
зывают постоянной Холла.
Она имеет размерность L3/Q
(L •— длина, Q — электри-
ческий заряд) и выражается
в кубических метрах на ку-
лон.
Рассмотрим физическую
природу эффекта Холла. При
протекании тока в направле-
нии, указанном на рис. 6.19,а
стрелкой, электроны совер-
шают дрейф со скоростью v
в противоположном направ-
лении. На каждый такой
электрон действует со сторо-
ны магнитного поля В сила
Лоренца
б)
Рис. 6.19. К объяснению эффекта Холла в
полупроводниках n-типа (а) и p-типа прово-
димости (б)
121
Рл=—e[vB], (6.42)
где е — заряд электрона. Направление этой силы определяется
правилом буравчика. Так как угол между v и В равен 90°, то мо-
дуль силы Лоренца составляет
Fn=evB. (6.43)
Под действием силы Лоренца электроны отклоняются к внешней
границе пластины (штриховая линия на рис. 6.19, а), заряжая
ее отрицательно. На противоположной грани накапливаются не-
скомпенсированные положительные заряды. Это приводит к появ-
лению электрического поля Bx—Vx/a, направленного от С к D.
Здесь Vx — разность потенциалов между точками С и D (э. д. с.
Холла).
Поле действует на электроны с силой F=—е 8х, направ-
ленной против силы Лоренца. При F=Fn поперечное электриче-
ское поле уравновешивает силу Лоренца и дальнейшее накопление
электрических зарядов на боковых гранях пластины прекращается.
Из условия равновесия
evB—— е (6.44)
находим
$х=уВ. (6.45)
Учитывая, что плотность тока в проводнике i— env, где п — кон-
центрация электронов, получаем v=i/(en). Подставив это выраже-
ние в (6.45), найдем
Vx=[l/(en)]Bia. (6.46)
Теория приводит, таким образом, к выражению для Vx, совпа-
дающему с (6.4), установленному экспериментально. Постоянная
Холла при этом имеет значение
/?х=1/(еп). (6.47)
При выводе формулы (6.45) мы учитывали лишь скорость на-
правленного движения электронов (дрейфовую скорость). Этр
естественно, так как хаотическое тепловое движение носителей
заряда не может привести к их направленному перемещению в
магнитном поле. Кроме того, мы молчаливо допускали, что все
носители в проводнике обладают одной и той же дрейфовой ско-
ростью. Такое допущение может быть оправдано для металлов и
вырожденных полупроводников, в которых ток переносится электро-
нами, практически обладающими одной и той же энергией (фер?
миевской), и неприменимо к невырожденным полупроводникам,
в которых носители, имеющие различную энергию, могут обладать
и различной скоростью дрейфа из-за зависимости их подвижности
от скорости теплового движения (точнее, от времени свободного
пробега). Например, при рассеянии на заряженных примесях дрей-
фовая скорость высокоэнергетических носителей (носителей, обла-
122
дающих высокими скоростями теплового движения) больше, чем
низкоэнергетических; при рассеянии же на тепловых колебаниях
решетки, наоборот, дрейфовая скорость высокоэнергетических
электронов ниже, чем низкоэнергетических. Более строгая теория,
учитывающая это обстоятельство, приводит к следующему выраже-
нию для постоянной Холла:
/?х=Л/(еп),
(6.48)
где А — константа, которая для атомных решеток равна 1,17 при
рассеянии носителей на тепловых колебаниях и 1,95 при рассеянии
на ионизированных примесях.
Для полупроводников p-типа направление дрейфа носителей
заряда совпадает с направлением тока. Сила Лоренца и в этом
случае направлена от С к D, так как изменяются одновременно и
знак заряда, и направление дрейфа носителей (рис. 6.19,6). Одна-
ко теперь эта сила действует на положительно заряженные ча-
стицы, поэтому точка D оказывается под положительным потен-
циалом относительно точки С. Следовательно, по знаку холловской
э. д. с. можно определить знак носителей тока. Условились счи-
тать знак постоянной Холла положительным, когда ток переносит-
ся дырками, и отрицательным, когда он переносится электронами.
С учетом этого правила постоянную Холла записывают так:
/?х=Л/(ер)
(6.49)
для полупроводников р - т и п а с концентрацией дырок, равной р, и
/?х=--Л/(еп)
(6.50)
для полупроводников п - т и п а с концентрацией электронов, рав-
ной п.
Для полупроводников со смешанной проводимостью, когда
концентрации электронов и дырок сравнимы друг с другом, по-
стоянная Холла вычисляется из следующего соотношения:
А чгрР-«2п п
е (рир+пип)*
(6.51)
Эта формула переходит в (6.49) при p~%>n н в (6.50) при п^>р.
Для собственных полупроводников, в которых n=p=rii, (6.51)
приобретает вид
d
Х ent ир + ип '
(6.52)
Так как обычно подвижность электронов выше подвижности дырок,
то знак постоянной Холла, как правило, является отрицательным.
Эффект Холла является мощным экспериментальным средством
изучения свойств носителей заряда в полупроводниках. Измерив
постоянную Холла /?х, можно определить концентрацию носителей,’
а по направлению э. д. с. Холла определить их знак.
123
Ч)
Рис. 6.20. Зависимость концентра-
ции носителей заряда (а) и посто-
янной Холла (б) для полупровод-
ников и-типа (кривая /) и р-типа
(кривая 2) от температуры
Умножив постоянную Холла
/?х на удельную электропровод-
ность с=епи„, получим
/?хо=4ил. (6.53)
Из этого соотношения, зная А,
можно вычислить подвижность
носителей и„.
Особую ценность имеют изме-
рения зависимости постоянной
Холла от температуры. Они поз-
воляют установить температурную
зависимость концентрации носи-
телей заряда, а в совокупности
с измерениями удельной электро-
проводности — температурную
зависимость подвижности. По тем-
пературной зависимости концен-
трации или достоянной Холла в
области слабой ионизации приме-
си можно определить энергию
ионизации ЕПр, а в области соб-
ственной проводимости — ширину
запрещенной зоны Eg. На рис. 6.20,
показана зависимость от темпера-
туры концентрации носителей за-
ряда (рис. 6.20, а) и постоянной Холла (рис. 6.20,6) в соответст-
вующих координатах, когда этн зависимости имеют вид прямых
линий. Кривая 2 на рис. 6.20, б соответствует полупроводнику
p-типа. В области примесной проводимости постоянная Холла в
таком полупроводнике положительна, в области собственной про-
водимости — отрицательна. При переходе к собственной проводи-
мости /?х меняет знак, переходя через нуль, а логарифм /?х устрем-
ляется при этом к — ОО.
В начале параграфа было указано, что холловское напряже-
ние пропорционально индукции магнитного поля для полей не
слишком высокой напряженности. Как показывает расчет, крите-
рием «слабости» поля и, следовательно, применимости полученных
выше выражений для холловской э. д. с. и постоянной Холла явля-
ется следующее требование:
Ви«С2л, (6.54)
где В — индукция поля; и — подвижность носителей. Соответст
вующие оценки показывают, что в германии и кремнии, в которых
подвижности равны соответственно 0,38 и 0,16 м2/(В-с), слабыми
являются поля с индукцией В<16Тл и В<40 Тл, а в InSb с ип=^
=8м2/(В-с) слабыми могут считаться поля с В<0,8 Тл. Причина
изменения постоянной Холла с ростом В состоит в том, что в маге
124
Рис. 6.21. Изменение траектории носителей заряда в
магнитных полях различной индукции (В4>Вз>
>S2>S|)
нитных полях очень высокой напряженности носители заряда за
время свободного пробега не просто отклоняются от направления
своего первоначального движения, как показано на рис. 6.19, а за-
кручиваются вокруг линий магнитного поля (иа рис. 6.21 это
происходит при поле В<)-
Пропорциональность между э.д.с. Холла и индукцией магнит-
ного поля (для слабых полей) позволяет использовать полупро-
водниковые образцы в качестве датчиков для измерения напряжен-
ности магнитного поля. Размеры таких датчиков могут быть доста-
точно малыми (например, 0,5X0,5 мм), так что с их помощью мож-
но вести измерения с хорошим пространственным разрешением.
Инерционность эффекта Холла определяется максвелловскими
временами релаксации, т. е. она чрезвычайно мала. Это позволяет
применять датчики Холла для измерения высокочастотных магнит-
ных полей, для определения силы тока по значению созданного
им магнитного поля и т. п.
Как видно из соотношения (6.41), холловская э.д.с. пропор-
циональна произведению силы тока, текущего через датчик, иа
индукцию магнитного поля. Это позволяет
Холла для перемножения двух сигналов, что
необходимо, например, в измерителях мощ-
ности, фазовых детекторах, счетио-решаю-
щих устройствах.
В последние годы круг применения дат-
чиков Холла резко расширился, охватив
многие области радиотехники и электроники.
Эффект Эттингсгаузена. Эффект Эттиигс-
гаузеиа сопутствует эффекту Холла и со-
стоит в том, что при пропускании тока /
через проводник, помещенный в поперечное
магнитное поле В (рис. 6.22), в направле-
нии, перпендикулярном магнитному полю
и току, возникает градиент температуры.
Наибольшее значение этот эффект имеет
в собственных полупроводниках. Как было
показано выше, в таких полупроводниках
электроны и дырки отклоняются магнитным
использовать эффект
Рис. 6.22. Схема возник-
новения эффекта Эттингс-
гаузена в собственном
полупроводнике
125
полем в одну и ту же сторону (к грани С на рис. 6.22). Вследствие
этого на одной грани образца концентрация электронов и дырок
оказывается выше равновесной и рекомбинация превалирует там
над тепловой генерацией носителей, а на другой грани (на грани D,
рис. 6.22), наоборот, концентрация носителей заряда ниже равно-
весной и тепловая генерация преобладает над рекомбинацией.
Вследствие этого теплота расходуется на генерацию электронно-
дырочных пар в одной части образца и выделяется в результате их
рекомбинации в другой части этого образца — в образце возникает
разность температур Т\— Тг (рис. 6.22).
Эффект Эттингсгаузена наблюдают и в области примесной
проводимости полупроводников. В этом случае причиной его воз-
никновения является различие времен свободного пробега носите-
лей заряда, обладающих разными скоростями теплового движения,
и вследствие этого различными скоростями дрейфа «холодных»
и «горячих» носителей.. Согласно формуле (6.44), холловское
поле 8х компенсирует действие силы Лоренца лишь для носителей
заряда, движущихся с некоторой средней дрейфовой скоростью.
Носители, дрейфующие быстрее, отклоняются в сторону силы
Лоренца, а дрейфующие медленно — в противоположную сторону.
Какие из этих носителей являются более «горячими», зависит от
преобладающего механизма их рассеяния. Например, если преобла-
дает рассеяние на тепловых колебаниях решетки, «горячие» элек-
троны имеют меньшую подвижность по сравнению с «холодными»
и поэтому отклоняются к грани D (рис. 6.19, а) пластины и эта
грань нагревается; грань С, к которой отклоняются «холодные»
электроны, охлаждается.
Эффект Эттингсгаузена может быть использован в устройствах
кондиционирования воздуха, охлаждения, термостатирования и т. п.,
где требуется перекачка теплоты.
Гальваномагнитные эффекты не исчерпываются приведенными
выше. Однако наибольшее практическое значение имеют рассмот-
ренные эффекты Холла и Эттингсгаузена. Сведения об остальных
эффектах можно найти практически в любом учебнике по физике
полупроводников.
§ 6.8. Термомагнитные эффекты
Термомагнитные эффекты возникают при воздействии магнит-
ного поля на проводник, в котором имеется градиент темпера-
туры.
Пусть, например, в образце (рис. 6.23) существует градиент
температуры вдоль образца от верхней грани В к нижней А (Тв<3
<7л). Тогда от грани А к грани В возникают направленные, ре-
зультирующие потоки свободных носителей заряда. Они обуслов-
лены тем, что на горячем конце образца средние скорости хаотичен
ского теплового движения выше, чем на холодном (термодиф-
фузия), а также тем, что на горячем конце образца концентрация
носителей может оказаться выше, чем на холодном (диффузия).
126
Перетекание свободных носителей тока к хо-
лодному концу приводит к возникновению
разности потенциалов между холодными и
горячими концами образца — так называе-
мой термоэлектродвижущей силы, термо-э.д.с.
(подробнее о ней см. § 10.6). Эта разность
потенциалов приводит к возникновению
встречного по отношению к термодиффузи-
онному и диффузионному потокам дрейфо-
вого потока носителей. Например, если об-
разец представляет собой полупроводник
м-типа проводимости, термодиффузия и
диффузия электронов приводят к появлению
отрицательного заряда на верхней и поло-
Рис. 6.23. Схема возник-
новения эффекта Риги—
Лелюка
жнтельного на нижней гранях образца (рис. 6.23). Тогда от верх-
ней грани к нижней пойдет дрейфовый поток электронов. Термо-
э.д.с. нарастает до тех пор, пока дрейфовый поток не сравняется со
встречным тепловым потоком. Эти два потока, однако, переносятся
электронами с разными средними скоростями теплового хаотиче-
ского движения. В тепловом потоке средняя скорость хаотического
движения носителей выше, чем в дрейфовом. В поперечном магнит-
ном поле эти потоки отклоняются к противоположным граням С
и D. Вследствие этого грань С, к которой отклоняется тепловой по-
ток, окажется более горячей, чем грань D, и возникает поперечный
градиент температуры, пропорциональный продольному, — эффект
Риги — Ледюка.
Из-за разных средних скоростей хаотического теплового дви-
жения во встречных продольных потоках носителей они отклонятся
магнитным полем несколько по-разному и в поперечном направле-
нии также возникает некоторая разность потенциалов (поперечный
эффект Нернста — Эттингсгаузена).
Искривление траекторий электронов в магнитном поле приводит
к тому, что несколько изменяется и значение термо-э.д.с. между
гранями А и В (продольный эффект Нернста — Эттингсгаузена).
Изменяется также коэффициент теплопроводности вдоль образца
(эффект Маджи — Риги — Ледюка).
ГЛАВА 7. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Широкое применение в твердотельной электронике получили элементы и устройства,
основанные на использовании магнитных явлений в твердых телах, — парамагнит-
ные усилители, ферритовые магиитопроводы в технике СВЧ, элементы магнитной
памяти иа ферритах, тонкие магнитные пленки и запоминающие устройства иа них,
криотрониые магнитные устройства, магнитные интегрирующие элементы и устрой-
ства, основанные иа управлении перемещением магнитных домеиов, постоянные
магниты для подмагничивающих систем и многие другие.
В настоящей главе приведены основные сведение о магнитных свойствах твердых
тел и их физической природе, необходимые для понимания физических принципов
работы подобных устройств.
127
§ 7.1. Классификация твердых тел
по их магнитным свойствам
Магнитные характеристики сред. Поместим в однородное
нитное поле напряженностью Н и индукцией В—цоН (ро — магнит-
ная проницаемость вакуума, называемая магнитной постоянной)
изотропное тело объемом V. Под действием поля тело намагничива-
ется, приобретая магнитный момент М. Отношение этого момента
к объему тела называют намагниченностью тела Jm:
= (7.1)
Намагниченность является величиной векторной. В изотропных маг-
нетиках вектор Jm направлен параллельно или антипараллельно И.
В СИ магнитный момент выражается в амперах на квадратный
метр, намагниченность — в амперах на метр. Отношение /т к на-
пряженности поля Н называют магнитной восприимчивостью:
(7.2)
Намагниченное тело, находящееся во внешнем поле, создает
собственное поле В;=ро/т=11ох//=хВо, которое в изотропных маг-
нетиках направлено параллельно или антипараллельно внешнему
полю Во. Результирующее поле в магнетиках
В= Во+ В(=(1+х)Во=ро(Я+Лп). (7.3)
Величину
р,= 1+х (7.4)
называют относительной магнитной проницаемостью. Подставляя
(7.4) в (7.3), получаем
В = рВо = |ЛорЯ- (7.5)
В СИ величина Н выражается в амперах на метр, индукция —
в теслах.
По значению и знаку магнитной восприимчивости все тела мож-
но разделить на три группы: диамагнитные, парамагнитные и фер-
ромагнитные. В табл. 7.1 приведены значения магнитной восприим-
чивости различных материалов в слабом внешнем поле при ком-
натной температуре.
Таблица 7.!
Диамагнетики х-105 Парамагнетики х-105 Ферромагнетики X
Висмут -18 СаО 580 Железо 1000
Медь —0,9 FeCls 360 Никель 240
Г ерманий —0,8 NiSO* 120 Кобальт 150
Кремний —0,3 Платина 26
128
Рис. 7.1. Зависимость намагни-
ченности Jm от напряженности
магнитного поля Н
.1 для диамагнетиков (/) и для пара-
магнетиков (2) прн не слишком силь-
>nix полях и при обычных и высоких
температурах; б — для парамагнетиков
при низких температурах и сильных
полях
Магнитные свойства диамагнитных и парамагнитных тел. У диа-
магнитных тел магнитная восприимчивость |х|<С 1, она отрицательна
и не зависит от напряженности внешнего поля и температуры.
Такие тела намагничиваются в направлении, противоположном
полю, вследствие чего они выталкиваются из областей с более
сильным полем.
У парамагнетиков также |х|<С1, но значения х положительны.
Парамагнетики намагничиваются в направлении, параллельном
внешнему полю. На рис. 7.1, а показана зависимость намагничен-
ности Jm от Н для дна- и парамагнетиков. В обоих случаях Jm~H,
что свидетельствует о независимости х от Н. Однако у парамагне-
тиков такая зависимость наблюдается лишь в относительно слабых
полях и прн высоких температурах; в сильных полях и при низких
температурах асимптотически приближается к предельному
значению /5, соответствующему магнитному <насыщению> пара-
магнетиков (рис. 7.1,6). Кроме того, х у парамагнитных тел зави-
сит от температуры:
*=С/Т. (7.6)
Эта зависимость была установлена Кюри, ее называют законом
Кюри, а постоянную С — постоянной Кюри.
Магнитные свойства ферромагнитных тел. У ферромагнитных
тел, типичным представителем которых является железо, х также
Рис. 7.2. Намагничение ферромагнитных тел. Зависимости от напря-
женности магнитного поля Н:
а -пкдукиии В; б — намагниченности /П| (справа показан в увеличенном масштабе
отрезок кривой намагничения); в—магнитной восприимчивости у
129
Рис. 7.3. Петля гистере-
зиса
положительна, но она значительно больше,
чем у парамагнетиков, н зависит от Н. По-
мимо железа в эту группу входят никель;
кобальт, гадолиний и др., а также ряд спла-
вов. Закономерности намагничения ферро-
магнетиков были впервые исследованы Сто-
летовым. На рис. 7.2 показана зависимость
от Н индукции В, намагниченности Jm и маг-
нитной восприимчивости X мягкого железа.
С увеличением напряженности намагничи-
вающего поля В и Jm растут вначале быст-
ро, затем нх рост замедляется, а начиная
с некоторого значения Из намагниченность
достигает практически предельного значения /8. Это состояние Сто-
летов назвал магнитным насыщением. Индукция В=|хо(Д+Лп')
после достижения магнитного насыщения растет пропорционально IL
На рнс. 7.3 показана кривая полного цикла перемагничения-
ферромагнетика. Из рнс. 7.3. видно, что при перемагннченин изме-
нение В отстает от изменения И н прн //—0 оказывается, что В рав«
но не нулю, а Вг. Явление такого отставания В от И называют маг*
нитным гистерезисом, а индукцию Вг — остаточной индукцией или.
остаточным магнетизмом. Для ее компенсации необходимо прило»
жить размагничивающее поле Нс, которое называют коэрцитивной
силой. Замкнутую петлю ABrHtA'B'rH'A, описывающую цикл пере-
магничения, называют петлей гистерезиса. Площадь петли пропор-
циональна работе перемагннчення единичного объема ферромагне-
тика. В процессе перемагннчення эта работа целиком переходит в
теплоту. Поэтому в переменных магнитных полях повышенной час-
тоты ферромагнетики могут сильно нагреваться.
В зависимости от формы н площади петли гистерезиса ферро-
магнетики разделяют на магнитомягкие и магнитотвердые. Маг-
нитомягкне материалы обладают низкой коэрцитивной силой и вы-
сокой проницаемостью. У лучших сплавов этого типа //. составляет
~0,3 А/м, а |х достигает значения ~105. Магнитотвердые материа-
лы характеризуются высокой коэрцитивной силой (//С~Ю44-
4-105 А/м) и, как правило, большим остаточным магнетизмом
(Вг«1,5 Тл).
При нагревании ферромагнитных тел их магнитные свойства
изменяются — уменьшаются х, р., Jm. Для каждого ферромагнетика
существует такая температура 0С, при которой он утрачивает свои
ферромагнитные свойства. Эту температуру называют ферромагнит-
ной точкой Кюри. В качестве примера приведем значения точек
Кюри (°C) для железа, кобальта н никеля:
Железо ...............•................................. 770
Кобальт .......... ... 1150
Никель ...................................................300
Выше 6с ферромагнетики становятся парамагнетиками с ха-
рактерной для ннх линейной зависимостью 1/х от Т. Эта зависи-
мо
мость приближенно передается законом Кюри — Вейсса;
х=С/(7’-8с), (7.7)
где С — постоянная Кюри.
§ 7.2. Природа диамагнетизма
Как известно, если ось быстро вращающегося волчка не совпа-
дает с вертикалью, то он помимо вращения вокруг своей оси
совершает также вращение вместе с осью вокруг вертикали
(рис. 7.4, а). Это дополнительное движение называют прецессией.
Оно происходит под действием силы тяжести Р вокруг направления
этой силы.
Аналогичная картина наблюдается при помещении атома в
магнитное поле Н (рис. 7.4,6). Электрон, движущийся по орбите,
создает замкнутый ток, обладающий магнитным моментом. Магнит-
ное поле стремится развернуть орбиту электрона перпендикуляр-
но Н, что вызывает прецессию ее вокруг направления поля. Расчет
показывает, что угловая частота такой прецессии составляет
(oL = [e/(2zne)]p.o//,
где е, те — соответственно заряд и масса электрона. Частоту (Од
называют ларморовой частотой.
Прецессия электронной орбиты с частотой ov эквивалентна до-
полнительному движению электрона вокруг поля Н, приводящему
к возникновению замкнутого тока \I=evL—eb>Ll (2л) = [е2/(4лт) ] рю//,
обладающего магнитным моментом
Др = Д/5 = [рое23/(4лт)]//,
где S — площадь контура, который описывает электрон вследствие
прецессии вокруг Н. Итак, мы установили, что в магнитном поле
каждый электрон приобретает индуцированный магнитный момент,
направленный противоположно Н. Появление этого момента и обус-
ловливает диамагнетизм.
Диамагнетизм присущ всем веществам, но часто незаметен на
Рис. 7.4. Прецессия волчка (и): прецессионное движение
электрона и его орбитального момента L: (б): магнитный
момент М и его проекция Мн на направление поля Н (в)
131
фоне более сильных пара- и ферромагнетизма. В чистом виде он
встречается у веществ, результирующий магнитный момент атомов
которых равен нулю.
Свободные носители заряда в твердых телах, имеющие от-
личную от нуля компоненту скорости, перпендикулярную магнит-
ному полю, описывают круговые орбиты (см. § 4.11) и создают
магнитное поле, направленное навстречу внешнему полю. Поэтому
газ свободных носителей обладает диамагнетизмом, который назы-
вают диамагнетизмом свободных носителей или диамагнетизмом
Ландау. По порядку величины он сравним с диамагнетизмом элек-
тронных оболочек.
Как было показано в $ 4.10, в магнитном поле изменяется и
энергетический спектр электронов и дырок — появляются уровни
Ландау. Если на кристалл падает электромагнитная волна с энер-
гией квантов /1ш, равной расстоянию между соседними уровнями
Ландау Лшс, то она вызывает переброс электронов на более высокие
уровни, сопровождающийся сильным поглощением энергии излуче-
ния. Это явление называют циклотронным резонансом. (Слабый
пик поглощения наблюдается и при Лю=2Л(ос.) Так как Лис=
=heB/mn,To по частоте резонансного поглощения можно опреде-
лить эффективную массу свободных носителей заряда. Вследствие
того что рассеяние электронов приводит к уширению энергетических
уровней, циклотронный резонанс отчетливо наблюдается лишь в до-
статочно совершенных кристаллах при низких температурах и в
сильных магнитных полях (fiSrl Тл), способных раздвинуть сосед-
ние размытые уровни Ландау на расстояния, при которых они ие
перекрываются. Для таких полей юс попадает в область сверхвысо-
ких частот (при В=1 Тл частота юс=2-1012 с-1, что соответствует
длине волны Х»0,1 см). Как показывает опыт, для достижения
циклотронного резонанса на таких частотах удобнее изменять не
частоту ю падающего излучения, а индукцию В магнитного поля.
Метод циклотронного резонанса оказался мощным средством ис-
следования структуры энергетических зон твердых тел.
7.3. Природа парамагнетизма
Парамагнетизм диэлектриков. Парамагнетизм наблюдается у ве-
ществ, атомы которых обладают отличным от нуля результирующим
магнитным моментом, т. е. представляют собой элементарные маг-
нитные диполи, взаимодействие между которыми пренебрежимо
мало. Примером таких веществ могут служить газообразные О2 и
NO2, водные растворы и кристаллогидраты солей переходных элементов
группы железа и редких земель и другие вещества. В водных
растворах и кристаллогидратах ионы переходных элементов, обла-
дающие нескомпенсированными магнитными моментами, отделены
друг от друга молекулами воды и взаимодействуют между собой
весьма слабо, что является необходимым условием для проявле-
ния парамагнетизма.
Напомним кратко природу магнитных моментов атомов. Каждый
132
электрон, движущийся вокруг ядра, создает замкнутый ток /=ev,
где е — заряд электрона, v — частота обращения его по орбите.
Магнитный момент тока Af=/S=evS, где S — площадь орбиты.
Так как 5=лг2 и v=v/(2лг), где v — линейная скорость движения
электрона по орбите, то
М = уч —ver/2. (7.8)
Магнитный момент электрона, обусловленный движением его во-
круг ядра, называют орбитальным магнитным моментом. Направ-
лен р/ перпендикулярно плоскости орбиты противоположно меха-
ническому моменту импульса, имеющему значение
Xi = mevr, (7.9)
где m — масса электрона. Из сравнения (7.8) и (7.9) находим
е &
Н/ = — г— #1-
2m е
В соответствия с законами квантовой механики Xi может при-
нимать лишь следующий ряд значений: Xi=h /(/-)-1),
где / — орбитальное квантовое число. Поэтому
Hz = - У/(/+1) = - НВ/МЛ- О. (7.Ю)
где
цв = еЛ/(2/Пе)=9,27-10”24 А • м2 (7.11)
называют магнетоном Бора.
Электрон, как известно, обладает собственным механическим
моментом — спином X., с которым связан спиновый магнитный
момент Проекция этого момента на иапоавление напряженности
магнитного поля может принимать лишь два значения: |Хв«=±рв.
Зная орбитальные и спиновые магнитные моменты отдельных
электронов и используя правила пространственного квантования,
можно определить результирующий магнитный момент атома в це-
лом Mi. При этом получается выражение, подобное (7.10):
М/ = £ц.в y^U + l), (7.12)
где J — внутреннее квантовое число атома, которое определяется
через орбитальные и спиновые квантовые числа электронов; коэф-
фициент g называют множителем Ланде. Он равен 1 для чисто
орбитального магнетизма и 2 для чисто спинового магнетизма.
По законам квантовой механики проекция Му на направление Н
Мщ =—mig№' (7.13)
где
= —(7—1),.... 0, 1, 2, .... / (7.14)
представляет собой магнитное квантовое число атома. Из (7.14)
следует, что mj при данном 1 может принять всего 27-J-1 значений.
133
В магнитном поле Н, атом, имеющий магнитный момент М/, об-
ладает магнитной энергией
— [lqHMj cosQ — — (7.15)
где 0 — угол между М/ и Н (рис. 7.4, в). Минимального значе-
ния Um достигает при 0=0. Поэтому все атомы, как магнитные
диполи, стремятся ориентироваться в направлении поля. Результи-
рующий магнитный момент вещества складывается из проекций
магнитных моментов отдельных атомов на направление Н. Так как
значения этих проекций cos0= — mjgp,B, то задача коли-
чественного расчета намагниченности вещества сводится к вычисле-
нию среднего значения Mjh, отвечающего равновесию между
ориентирующим действием поля и дезориентирующим действием
теплового движения. Эта задача была решена методами классиче-
ской статистики Ланжевеном и методами квантовой статистики
Бриллюэном.
Рассмотрим идею квантовой теории парамагнетизма Бриллюэна.
Как указано выше, магнитный момент атома может ориентировать-
ся в магнитном поле 2J-J-1 способами, которым отвечают раз-
личных проекций момента на направление поля. Вероятность реали-
зации каждой такой ориентации определяется законом Больцмана:
а>=Сехр [цоМунТ/Д/гГ)], где С — коэффициент пропорциональности.
Среднее значение Мт равно
j
(Mjh)= . (7.16)
V ехр p0H/(kT)]
-j
Вычисление этих сумм приводит к следующему результату:
<;Иуя>=§/цвВ7(Р), (7.17)
где
f> = JgpBp0H/(kT\ (7.18)
Bj (3) = 27 + 1 cth ? — — cth -t- . (7.19)
w 2J 2J r 2J 2J
Функция By(p) называется функцией Бриллюэна.
Намагниченность и магнитная восприимчивость соответственно
равны
Jm= <Мун>и = п§7р.вВу(₽), (7.20)
х = ^в Bj (?)> (7.21)
где п — число атомов в единице объема. При р<С 1
Bj и
134
Jm
”йУв 7 + О
злг
МЛ
(7.22)
”e*i4 7 (J + 1) н,
3kT
(7.23)
В полном согласии с опытом Jm оказывается пропорциональной Н
и обратно пропорциональной Т. Формула (7.23) выражает закон
Кюри: -л=С!Т. Постоянная Кюрн С— ng2$J (J + 1) р.о/ (3/г). При
цо//~1Тл рвроЯ«10-23 Дж; для 7=300 К /г7^4-10’~21 Дж.
Таким образом, условие 0-С 1 выполняется практически почти
всегда. Только при очень сильных полях и низких температурах
1 и прямая пропорциональность между Jm и Н нарушается;
при р-^оо cth 1 ft-*-1, cth^j-->-l, Ву(Р)->1 и намагничение
достигает насыщения:
= Js = ngJ[iB. (7.24)
Парамагнетизм электронного газа. Спин свободных электронов
металлов может ориентироваться в магнитном поле или вдоль,
или против него. В соответствии с этим каждый уровень Ландау
(см. § 4.10) расщепляется в магнитном поле на два подуровня.
Так как энергия электронов со спином, направленным вдоль напря-
женности поля, меньше энергии электронов со спином, направлен-
ным против напряженности поля, то в состоянии теплового равнове-
сия на нижнем уровне находится больше электронов, чем на верх-
нем. Поэтому электронный газ в целом приобретает магнитный
момент, направленный вдоль поля и обусловливающий его парамаг-
нетизм. Как показывают расчет и опыт, парамагнетизм электрон-
ного газа в металлах не зависит от температуры. Он определяет
парамагнитные свойства многих металлов (Li, Na, К, Rb и др.).
Парамагнитный резонанс. Если на парамагнетик, находящийся
в постоянном магнитном поле, воздействовать переменным электро-
магнитным полем, то можно вызвать переходы атомов с низких
уровней на более высокие. Согласно спектроскопическим правилам
отбора, разрешенными переходами являются лишь такие, при
которых магнитное квантовое число меняется на единицу: Дт/ =
= ±1, —т. е. переходы между соседними подуровнями с раз-
ностью энергий, равной §р.вро//о- Такие переходы может вызвать
электромагнитное поле, кванты энергии которого
Кы = £рв|Ао#о- (7.25)
Поэтому при выполнении условия (7.25) наблюдается интенсивное
поглощение энергии электромагнитного поля.
Соотношение (7.25) выражает условие электромагнитного ре-
зонанса (ЭМР). Явление резонанса состоит в интенсивном погло-
щении веществом электромагнитной энергии определенной частоты.
Поэтому такое поглощение называют резонансным. Его частота,
как видно из (7.25), зависит от напряженности постоянного маг-
135
Исходный
уровень
/77,
----3/2
9МьРоно
—//г
МА
--1/2
9^Мв
!---3/2
а)
I *
I магнит
д)
Рис. 7.5. Магнитный резонанс:
а — разделение исходного уровня энергии свободного атома на подуровни в магнит*
ном поле; б — принципиальная схема установки для наблюдения явлений парамагнит-
ного резонанса
нитиого поля Но. При р.оЯо=1 Тл и g=l vpe3=15 ГГц, что соот-
ветствует длине волны >.=0,016 м.
Условие резонанса (7.25) относится к отдельным изолирован-
ным атомам, имеющим иеспареиные электроны и обладающим
магнитными моментами. Однако оно остается справедливым й для
тел, состоящих из большого числа атомов, если магнитное взаимо-
действие между ними пренебрежимо мало. Такими телами являют-
ся парамагнетики. Поэтому рассмотренный резонанс неспарениых
электронов называют электронным парамагнитным резонансом
(ЭПР). Первые удачные опыты по ЭПР были проведены Завойским
(1944). На рис. 7.5,6 показана принципиальная схема установки
для наблюдения этого явления. Образец помещают в постоянное
магнитное поле Но, созданное наконечниками N и S электромагни-
та. На образец накладывают созданное генератором высокочастот-
ное электромагнитное поле, вектор напряженности которого перпен-
дикулярен Но. Изменением частоты ш электромагнитного поля или
напряженности постоянного поля Но можно достичь резонансного
поглощения высокочастотной энергии образцом.
Аналогично этому можно наблюдать ядерный магнитный резо-
нанс (ЯМР), обусловленный магнитным моментом ядер. В случае,
например, протонов при ц0//0==1 Тл ядерный резонанс наблюда-
ется на частоте vPe3=8 МГц, что соответствует длине волны
электромагнитного излучения 10 м. Первые опыты по ядерному
резонансу были проведены Торри и Паундом (1945).
Магнитный резонанс получил исключительно широкое практи-
ческое применение. ЯМР является основным и наиболее точным
методом измерения магнитных моментов атомных ядер. С его
помощью удалось собрать обширный материал по структуре жид-
костей, диэлектрических кристаллов, металлов, полупроводников и
полимеров. ЯМР является основным методом исследования струк-
туры органических молекул. С помощью ЭПР впервые были иссле-
дованы состояния с инверсионным заполнением уровней, использу-
емые в квантовой электронике и т. д. Этим методом можно изу-
чать частицы, обладающие неспаренными электронами, и про-
136
цессы, в которых они участвуют. Такими частицами являются
электроны проводимости, свободные радикалы, многие атомы и
ионы. ЭПР успешно применяют для изучения механизма хими-
ческих реакций, для исследования влияния ионизирующего излу-
чения на вещество - и живые ткани, для исследования электрон-
ного состояния твердых тел и во многих других областях науки
и техники.
§ 7.4. Природа ферромагнетизма
Спиновая природа ферромагнетизма. Ферромагнетизм присущ
только твердому состоянию вещества. Свободные атомы ферромаг-
нетиков не обладают какими-либо особыми магнитными свойствами.
Магнитные моменты атомов ферромагнитных элементов по порядку
величины такие же, как и магнитные моменты атомов парамаг-
нитных элементов. Однако индукция в ферромагнетиках уже в
в слабых магнитных полях достигает единиц тесла, в то время как в
парамагнетиках в таких же полях она не превышает 10~5Тл.
Для объяснения ферромагнитных свойств ферромагнетиков
русский физик Розинг и французский физик Вейсс высказали
предположение, что в ферромагнетиках существует внутреннее
молекулярное поле, под действием которого они даже в отсутствие
внешнего поля намагничиваются до насыщения. Внешне такая
спонтанная намагниченность не проявляется потому, что тело раз-
бивается на отдельные микроскопические области, в каждой из
которых магнитные моменты атомов расположены параллельно
друг другу. Сами же области ориентированы друг относительно
друга хаотично, вследствие чего результирующий магнитный мо-
мент ферромагнетика оказывается равным нулю. Такие области
спонтанной намагниченности называют доменами. В настоящее
время существует ряд экспериментальных методов прямого наблю-
дения доменов и определения направления их намагниченности.
Введением внутримолекулярного поля удалось объяснить широ-
кий круг явлений, наблюдаемых в ферромагнетиках, однако при-
рода самого поля и вопрос о том, какие магнитные моменты
атомов — орбитальные или спиновые — ответственны за ферромаг-
нетизм, оставались долгое время неясным. И только после тщатель-
ных опытов Эйнштейна и де-Гааза, Барнета, Иоффе и Капицы
было доказано, что ферромагнетизм обусловлен спиновыми маг-
нитными моментами атомов. Поэтому именно спиновые магнитные
моменты электронов, не скомпенсированные в атомах, являются
элементарными носителями ферромагнетизма.
Этот вывод согласуется и. с электронной структурой атомов
химических элементов, обладающих ферромагнетизмом. Так как
магнитные моменты заполненных оболочек равны нулю, а внешние
валентные электроны в металле обобществляются, то ферромагне-
тизмом могут обладать лишь переходные элементы, имеющие
недостроенные внутренние оболочки. Такими элементами яв-
137
ляются переходные металлы группы железа с недостроенной 3d-o6o-
лочкой и редкоземельные элементы с недостроенной 4/-оболочкой.
Так как, с другой стороны, орбитальные магнитные моменты этих
оболочек из-за сильного взаимодействия соседних атомов практи-
чески «заморожены» и их вклад в магнитные свойства вещества
весьма мал, то ферромагнетизм элементов этих групп может быть
обусловлен только спиновыми магнитными моментами атомов, кото-
рые у них достигают больших значений.
Оставался неясным и такой вопрос: под действием каких сил
спиновые магнитные моменты электронов выстраиваются внутри
домена параллельно друг другу? Сначала предполагали, что эти
силы имеют сугубо магнитное происхождение: они возникают в
результате обычного взаимодействия магнитных моментов спинов
(спин-спиновое взаимодействие). Энергия такого взаимодействия
по порядку величины равна t/m« — роцв/а3, где а — расстояние
между атомами в решетке ферромагнетика. Подставив цв==
= 9,27-10~24 А-м2, а = 3-10~'° м, получим —10-23 Дж.
Это примерно на два порядка меньше энергии теплового движений
атомов решетки при комнатной температуре, стремящегося разрУ;
шить упорядоченное расположение спинов. Отсюда следует, что
магнитное взаимодействие спинов не способно обеспечить их параЛт
лельиую ориентацию, характерную для ферромагнетиков ниже тем-
пературы Кюри, и что молекулярное поле, приводящее к такой
ориентации сйинов, должно иметь немагнитную природу!
Этот вывод был впоследствии доказан прямыми опытами Дорфмана,
В 1928 г. Френкелем было высказано предположение, что
молекулярное поле имеет электростатическую природу
и возникает в результате обменного взаимодействия
электронов внутренних недостроенных оболочек атомов. Поясним
это на примере ковалентной связи в молекуле водорода. Если не
учитывать в уравнении Шредингера магнитные взаимодействия?
то его решения, т. е. стационарные волновые функции, могут быть’
представлены в виде произведения функций ф(Г|, г2), где п й
г2 — координаты электронов, на функции, зависящие только от
спинов электронов. Согласно принципу Паули в его математй-
ческой формулировке, полная волновая функция Ч* должна изме1!
нять знак при. перестановке электронов. Это изменение знакй
может происходить или за счет изменения знака спиновой части
Ч'-функции, или координатной. Таким образом, стационарные ко-
ординатные волновые функции для молекулы водорода могут быть
симметричными, и тогда спины электронов направлены в противо-
положные стороны, а могут быть антисимметричными, и тогда
спины электронов направлены в одну сторону. Разные координат-
ные волновые функции соответствуют состояниям с различной
энергией (электростатической, так как магнитные взаимодействия
вообще не учитывались). Разность энергий наинизших состояний
с антисимметричными и симметричными координатными волновымй1
функциями определяет энергетическую выгодность параллельно#
ориентации спинов, а следовательно, и магнитных моментов элек1’
1 зк
тронов по сравнению с антипараллельной. В молекуле водорода
эта разность отрицательна и спины ориентированы антипараллель-
но. Для некоторых же атомов эта разность оказывается положи-
тельной, и тогда их спиновым моментам энергетически выгодно
выстраиваться параллельно. Как раз этот случай н реализуется
у ферромагнетиков.
В приближенной теории изменение энергии электронной систе-
мы, состоящей из двух атомов или ионов, при изменении взаимной
ориентации их спиновых моментов записывают следующим об-
разом:
(7ОЙМ = — 27 (S,- S;). (7.26)
Величину ,Un6M называют обменной энергией, J — обменным интег-
ралом; S„ S/ — результирующие спиновые моменты взаимодейству-
ющих атомов. Обменный интеграл может быть как положительным,
так и отрицательным. Это зависит от соотношения размера d
электронных оболочек, участвующих в образовании обменной свя-
зи, и расстояний а между атомами (параметров решетки). В ка-
честве примера на рис. 7.6, а показана зависимость J от отноше-
ния a/d для ряда элементов. Из рисунка видно, что у элемен-
тов, у которых отношение a/d>-l,5 (Fe, Со, Ni, Gd), обменный
интеграл положительный, а у элементов с a/d<l,5 (Мп,. Ст)
обменный интеграл отрицательный, причем он тем больше по
модулю, чем меньше отношение a/d.
Как уже указывалось, знак обменного интеграла определяет,
какая ориентация спинов у электронов, участвующих в образова-
нии обменной связи, является выгодной — параллельная или анти-
параллельиая. При положительном знаке обменного интеграла
(7>0) обменная энергия отрицательна и энергия системы в целом
уменьшается в том случае, если спины атомов S, и S, параллельны
друг другу (SillSi). Как видно из рис. 7.6, а, это должно иметь
Рис. .7.6. Спонтанное намагничение ферромагнетика:
и — зависимость обменного интеграла от отношения параметра решетки а к диа-
метру d внутренних недостроенных оболочек некоторых элементов; б — ориентация
спинов электронов внутренних недостроенных оболочек в ферромагнетиках
139
место у железа, кобальта и никеля. Спинам электронов недостро-
енных Зб/-оболочек этих атомов энергетически выгодно выстраи-
ваться параллельно друг другу, вызывая предельное магнитное
насыщение домена (рис. 7.6,6). Поэтому Fe, Со, Ni являются
ферромагнетиками. У Мп и Cr J<0, вследствие чего выгодным
является антипараллельное расположение спинов у соседних ато-
мов решетки. Поэтому Мп и Сг не обладают ферромагнитными
свойствами. Если, однако, постоянную решетки Мп слегка уве-
личить так, чтобы отношение a/d оказалось порядка 1,5, то можно
ожидать, что он станет ферромагнетиком. Эксперимент подтвержда-
ет это. Так, введение в Мп небольшого количества азота вызывает
увеличение параметра решетки и приводит к появлению ферро-
магнетизма. Ферромагнитными являются также сплавы Мп-Си-А1
(сплавы Гейслера) и соединения MnSb, MnBi и др., в которых
атомы марганца находятся на расстояниях больших, чем в решетке
кристалла чистого марганца.
Таким образом, наличие в атоме внутренних недостроенных
оболочек и положительный знак обменного интеграла, обусловли-
вающий параллельную ориентацию спинов, являются теми условия-
ми, при которых возникает ферромагнетизм.
Если спины взаимодействующих атомов равны по модулю
(Si=Sj=S) и образуют друг с другом угол G, то выражение
(7.26) можно переписать так:
С7„вм = — 2JS2cos0. (7.27)
Магнитная кристаллографическая анизотропия. Согласно упро-
щенному подходу, развитому выше, для энергии состояния элек-
тронов важна лишь параллельность или антнпараллельность спи-
новых моментов соседних атомов в кристалле, определяющая со-
ответственно антисимметричность или симметричность координат-
ной части их волновой функции. На самом же. деле, как показы-
вают эксперимент и теория, учитывающая спин-орбитальное взаи-
модействие, отнюдь не безразлично, как направлены относительно
кристаллографических осей параллельные или антипараллельные
спиновые моменты. В кристалле существуют направления ориента-
ции магнитных моментов с минимальной обменной энергией —
оси легкого намагничения и оси с максимальной энергией — оси
трудного намагничения. Например, в кристалле железа осями
легкого намагничения являются направления (100), трудного
намагничения — (111).
Изменение энергии кристалла при повороте вектора намагни-
ченности относительно оси легкого намагничения называют энер-
гией магнитной анизотропии. Для кубических кристаллов эта энер-
гия может быть записана в виде
t/ц = Ki (a2Ct2 4“ 0203 4“ Оз О?) 4“ /(2010203, (7.28)
где Ki и Лг — константы анизотропии, а си, аг, аз — направляю-
щие косинусы вектора намагниченности относительно осей кри-
сталла. Константы анизотропии зависят от температуры и умень-
140
шаются до нуля при Г—►Ос. Для железа при комнатной температуре
Ki = 4,2- 1 Сг Дж/м3. /<2=1,5’ 104 Дж/м3. Для гексагональных
кристаллов
UK = Kfsin2 0 + /Gsin4 0, (7.29)
где 0 — угол между спонтанной намагниченностью Jm и гексаго-
нальной осью кристалла, являющейся для него осью легкого намаг-
ничения. Для кобальта при комнатной температуре К( =
= 4,1- 105 Дж/м3, К2 — 1,0- 105 Дж/м3.
Антиферромагнетизм. Как уже указывалось, при отрицательном
знаке обменного интеграла энергетически выгодной становится
антипараллельная ориентация спинов соседних атомов решетки.
В этом случае расположение спинов может быть также упорядо-
ченным, ио спонтанная намагниченность не возникает, так как
спиновые магнитные моменты соседних атомов решетки направлены
антипараллельно и компенсируют друг друга. В качестве примера
на рис. 7.7, а показана магнитная структура МпО, определенная
методами нейтронной спектроскопии (на рисунке показаны лишь
магнитоактивиые атомы Мп). Ее можно рассматривать как
сложную структуру, состоящую из двух подрешеток, намагни-
ченных противоположно друг другу. Такая структура возможна
лишь ниже некоторой температуры, называемой антиферромагнит-
ной температурой Кюри или температурой (точкой) Нееля TN.
При 0 К магнитные моменты подрешеток компенсируют друг
друга и результирующий магнитный момент аитиферромагнетика
во внешнем поле, направленном вдоль магнитных моментов подре-
шеток, равен нулю. При повышении температуры аитипараллель-
ное расположение спинов постепенно разрушается и намагничен-
ность антиферромагнетика повышается (рис. 7.7,6); максималь-
ного значения она достигает в точке Нееля, в которой упорядочен-
ное расположение спинов полностью утрачивается и антиферро-
магнетик становится парамагнетиком. С дальнейшим повышением
температуры намагниченность уменьшается, как и для любого
парамагнетика.
Понятие о ферримагнетизме. В антиферромагиетиках магнитные
моменты подрешеток равны по модулю и противоположны по
направлению, вследствие чего они полностью компенсируют друг
друга. Однако возможны случаи, когда магнитные моменты под-
Рис. 7.7. Магнитная струк-
тура антиферромагнети-
ка (МпО) (а) и зависи-
мость его намагниченно-
сти от температуры (б)
141
Рис. 7.8. Схема расположения маг-
нитных моментов в ферримагнети-
ках (а); расположение магнитных
моментов ионов Fe’" и Г’е ” в ре-
шетке магнетита FeO • Fe..Oj: / -
решеток неодинаковы, например,
вследствие неодинакового количест-
ва или разной природы атомов, об-
разующих эти подрешетки (рис.
7.8. а). Тогда появляется «тлиМная
от нуля разность магнитных .момен-
тов подрешеток, приводящая к спон-
танному намагничению кристалла:
Такой нес ком пеней рова н-
н ы й антиферромагнетизм назы-
вают ферримагнетизмом.
Ферримагнетик ведет себя внеш-
не подобно ферромагнетику, но в
силу их внутреннего различия тем-
в октаэдрических узлах,// — в тет- пературная зависимость споитан-
раэдрических узлах иод намагниченности у них может
быть совершенно различной. При-
мером ферримагнетика может слу-
жить магиетит FeO-РегОз Он имеет кристаллическую структу-
ру шпинели, элементарная кубическая ячейка которой содер-
жит 8 ионов Fe2+ и 16 Fe3+, занимающих соответствующие
тетраэдрические (II) и октаэдрические (I) узлы решетки. На-
правления магнитных моментов этих ионов схематически пока-
заны на рис. 7.8, б. Из рисунка видно, что магнитные моменты
ионов Fe3+ попарно аитипараллельны друг другу, вследствие
чего они взаимно компенсируются. Поэтому результирующий
магнитный момент решетки определяется лишь нескомпенси-
рованными магнитными моментами ионов Fe2+. Двухвалентные
ионы железа могут быть замещены ионами других двухвалентных
металлов, например Mg, Ni, Со, Си и т. д., так что общей формулой
веществ этого класса, получивших название ферритов, является
МеО-Ре2Оз, где Me означает двухвалентный металл.
Большой интерес представляют так называемые смешанные
ферриты, в состав которых входят оксиды нескольких двухвалент-
ных металлов, например NiO и ZnO, МпО н MgO, MgO и ZnO
и т. д. Изменяя природу этих оксидов и их соотношения, можно
в широких пределах изменять магнитные и другие свойства
ферритов. В частности, можно получать магнитомягкие и магнито-
жесткие ферриты, ферриты с прямоугольной петлей гистерези-
са и т. д.
Замечательной особенностью ферритов является их высокое
электрическое сопротивление, превышающее сопротивление метал-
лических ферромагнетиков в 105 — 1015 раз. Эта особенность
позволила разрешить, казалось бы, совершенно непреодолимую
трудность, возникшую в технике высоких и сверхвысоких частот
(ВЧ- и СВЧ-техника), в вопросе использования магнитных мате-
риалов. Дело в том, что в большинстве радиотехнических уст-
ройств, в которых применяют магнитные поля, для усиления этих
полей в катушки с током помещают сердечники (магнитопроводы)
142
из ферромагнитных материалов. При питании катушек постоянным
током сердечники можно изготовлять из сплошного ферромагне-
тика, например железа, пермаллоя и др. При питании же пере-
менным током, особенно повышенной частоты, такие сердечники
уже непригодны, так как при перемагиичеиии в них возникают
сильные вихревые токи, которые не только увеличивают потери
энергии и снижают к.п.д. устройств, ио и могут настолько нагревать
сердечник, что устройство перестает работать илн даже выходит
из строя. Поэтому сердечники изготовляют из тонких листов и
мелких частиц ферромагнетиков, изолированных друг от друга.
Это позволило значительно уменьшить вихревые токи, ио не сияло
всех трудностей, связанных с потерями, скин-эффектом н т. д.,
особенно сильно проявляющихся на высоких и сверхвысоких ча-
стотах. Успех был достигнут лишь с разработкой ферритов, соче-
тающих в себе магнитные свойства ферромагнетиков с электри-
ческими свойствами диэлектриков.
Для изготовления сердечников катушек, трансформаторов, дрос-
селей, магнитных антенн и различного рода высокочастотных
магнитопроводов используют магнитомягкие ферриты, обладаю-
щие высокими магнитной проницаемостью р, и индукцией насыще-
ния Bs и остаточной индукцией Вг, низкими коэрцитивной силой Яс
и тангенсом потерь tg6. К таким ферритам относятся марганцево-
цинковые, никель-цинковые, литий-цинковые и др.
Магиитожесткие ферриты (железокобальтовые, бариевые и др.),
имеющие большую коэрцитивную силу Н< и остаточную намагни-
ченность Вг, применяют для изготовления постоянных магнитов.
Высокое электрическое сопротивление таких ферритов позволяет
применять их в СВЧ-технике для подмагничивающих систем.
§ 7.5. Доменная структура ферромагнетиков
Возникновение домеиов. Как уже указывалось, ферромагнетик
в иеиамагниченном состоянии самопроизвольно (споитаиио) раз-
бивается иа домены, намагниченные до насыщения вследствие
параллельной ориентации в ннх спиновых магнитных моментов,
происходящей под действием обменных снл. Причину такого деле-
ния легко понять из рис. 7.9. На рис. 7.9, а показан одиодомеииый
кристалл, спонтанно на-
магниченный в направле-
нии Jm. Такой кристалл
обладает высокой магнит-
ной энергией, обусловлен-
ной возникновением иа
его торцах «магнитных
полюсов». При делении
кристалла иа два домеиа
с противоположно направ-
ленными векторами спон-
танной намагниченности
Рис. 7.9. Разделение кристалла ферромагнетика
на дочени
143
I 9=180° Я
llllilttt
IlllitlH
llllltltl
/I \л
♦ I I/4\l I ♦
H tt
♦ ♦ tt
HI//^-^^A\ltt
♦ ♦i/x b xxitl
H--------H
8)
Puc. 7.10. Границы между доменами (доменные стенки):
а при противоположном направлении спинов на границе двух доменов обменная энергия
границы раздела максимальна; 6, в — постепенное изменение направления вектора намаг-
ниченности при нерел.мс <н одного домена к другому н образование доменных стенок Бло-
ха ((5) и Нееля (н)
(рис. 7.9,6) магнитная энергия кристалла уменьшается примерно
в два раза, так как часть магнитного потока, выходящего из одного
домена, замыкается на другой домен; при делении кристалла на
четыре домена (рис. 7.9, в) магнитная энергия уменьшается при-
мерно в четыре раза, и т. д.
Таким образом, деление ферромагнитного кристалла на домены
является следствием стремления системы уменьшить свою свобод-
ную (магнитную) энергию. Однако это деление не может происхо-
дить беспредельно, так как появление границ между соседними
доменами I и II, у которых угол в между спинами возрастает до
180° (рис. 7.10, а), должно неизбежно привести к увеличению
обменной энергии. Деление протекает до тех пор, пока уменьшение
магнитной энергии, вызванное делением кристалла на домены, не
компенсируется увеличением обменной энергии границ раздела
между доменами. Дальнейшее деление энергетически невыгодно,
и этим определяется нижний предел оазмера домена. Как показы-
вают расчет и эксперимент, для железа поперечный размер доме-
нов составляет ~0,01-?0,1 мкм.
При скачкообразном переходе от одного домена к другому,
показанному на рис. 7.10, а, обм?нная энергия увеличивается с
— 2JS2 до + 2ZS2, т. е. на максимально возможное значение
4ZS2. Как показывают расчет и опыт, энергетически более выгод-
ным является постепенный переход от ориентации спииов в одном
домене к противоположной ориентации в другом домене, протекаю-
щий на протяжении некоторой области, называемой доменной
стенкой. Структуры двух типов таких стенок — стенки Блоха и
стенки Нееля — показаны на рис. 7.10, б, в. Могут существовать
стенки и более сложного тип; . Чем толще доменная стенка, тем иа
меньшее суммарное значение изменяется обменная энергия при
переходе от одного домена к другому. По этой причине толщина
доменной стеики должна, казалось бы, неограниченно расти. Одна-
ко этому препятствует магнитная анизотропия. Кристалл железа
имеет шесть направлений [100] легкого намагничения. При спон-
танном намагничении спиновые магнитные моменты располагаются
по одному из этих направлений, вследствие чего энергия магнитной
144
анизотропии оказывается минимальной. В доменных стенках спино-
вые магнитные моменты отклоняются от направления легкого
намагничения и энергия магнитной анизотропии увеличивается,
причем тем сильнее, чем толще стенка. Поэтому толщина стенок
растет до таких значений, при которых уменьшение обменной энер-
гии, вызванное их появлением, не компенсируется возрастанием
энергии магнитной анизотропии. Расчет показывает, что для железа
стенки Блоха должны иметь толщину порядка 300 атомных рас-
стояний.
Еще большего, чем на рис. 7.9, в, понижения магнитной энергии
можно достичь, замыкая вертикальные домены горизонтальными
«клиновидными» доменами (рис. 7.9, г). Однако, так как в направ-
лении легкого намагничения железо несколько удлиняется (магни-
тострикция), то горизонтальные домены должны оказаться упруго-
сжатыми. Равновесная магнитная структура достигается тогда,
когда уменьшение магнитной энергии вследствие появления замыка-
ющих доменов компенсируется ростом упругой энергии кристалла,
вызванным деформациёй этих доменов.
Доменная структура сильно зависит от формы образца. Так,
если образец имеет форму узкого стержня с осью легкого намагни-
чения, направленной вдоль стержня, то ему вообще невыгодно
разбиваться на домены. Важное значение имеет и кристаллическая
структура образца.
Намагничение ферромагнетиков. Процессы намагничения фер-
ромагнетиков в значительной мере объясняются изменением их
доменной структуры во внешнем поле. Рассмотрим, например, про-
цесс намагничения монокристалла, в котором в отсутствие внеш-
него поля домены ориентируются так, что магнитный момент фер-
ромагнетика в целом равен нулю (рис. 7.11, а). При наложении
поля Н ферромагнетик намагничивается, приобретая отличный от
нуля магнитный момент. По характеру физических явлений, про-
текающих в ферромагнетике, процесс намагничения можно разде-
лить на три стадии.
1. Процесс смещения границ. Поместим кристалл, показанный
на рис. 7.11, а, в магнитное поле. Ориентация вектора J,n различных
Рис. 7.11. Процессы, про-
текающие при намагниче-
нии ферромагнитного
кристалла:
а — границы четырех доменов,
на которые разбился монокрис-
талл. Стрелками показано нап-
равление вектора /П); б - сме-
щение границ и рост наиболее
благоприятно ориентированного
домена 1 при увеличении намаг-
ничивающего поля Н; в—вра-
щение вектора намагниченности
Jm в направлении к полю Н
(пунктирной стрелкой показан
вектор Jm после завершения про-
цесса смешения границ доменов,
сплошной — вектор /п1, поверну-
тый к Н на некоторый угол)
145
Рис. 7.12. Кривая намагничения ферромагнетика:
/ участок, соответствующий смешению границ доменов; // —
участок, отвечающий вращению вектора намагниченности; /// —
участок, соответствующий парапроцессу
домеиов по отношению к Н не одинакова: наименьший угол с Н
образует Jm первого домеиа, наибольший — третьего домена. При
усилении Н энергетически выгоден рост наиболее благоприятно
ориентированного домена 1 за счет доменов 2, 3 и 4 (рис. 7.11,6).
Этот рост происходит путем смещения границ доменов. Поэтому
первая стадия намагничения получила название процесса смеще-
ния. Он происходит до тех пор, пока первый домен ие распростра-
нится на весь кристалл. На рис. 7.12 показана кривая намагничения
монокристалла. Процессу смещения соответствует на этой кривой
участок ОА. При небольших Н намагничение происходит плавно
и обратимо, в средних полях — скачкообразно и необратимо,
обусловливая так называемый эффект Баркгаузена.
2. Процесс вращения. При дальнейшем увеличении поля начи-
нается поворот вектора спонтанной намагниченности J,n в направле-
нии к полю (рис. 7.11, в). Процесс намагничения здесь протекает
значительно медленнее, чем на первой стадии, и завершается тогда,
когда вектор J,n располагается вдоль поля. Намагниченность при
этом достигает технического насыщения (участок АВ на
рис. 7.12).
3. Парапроцесс. После достижения технического насыщения
рост намагниченности с увеличением Н хотя и резко уменьшается,
ио не прекращается совсем. Объясняется это тем, что при темпера-
туре, отличной от О К, спины ориентированы ие строго параллельно
друг другу. Сильное внешнее поле уменьшает разориентирующее
действие теплового движения.
Магнитный гистерезис. Несовпадение кривой повторного пере-
магничения ферромагнетика с кривой ОА (рис. 7.3) первичного
его намагничения, приводящее к гистерезису, обусловлено необрати-
мыми процессами, протекающими при намагничении. Рассмотрим
кратко сущность этих процессов.
1. Необратимость при смещении границ доменов. Наличие в
ферромагнетике различного рода неоднородностей — примесей, не-
магнитных включений, напряженных областей и т. д. — может
оказывать сильное влияние на энергию стенок Блоха, повышая
или понижая ее, т. е. создавая для этих стенок потенциальные
ямы, которые они проходят при своем смещении на первой стадии
намагничения. При размагничении часть стенок может «застревать»
в этих ямах, вследствие чего домены, которые были намагничены
вдоль поля, сохраняются и после его снятия, вызывая остаточную
намагниченность В, (см. рис. 7.3). Для компенсации этой намагни-
ченности необходимо действие поля Н противоположного иаправле-
146
ния. Регулируя факторы, определяющие кривую намагничения и
размагничения, можно в широких пределах менять форму и разме-
ры петли гистерезиса. В однородных ферромагнетиках, содержа-
щих минимальное количество дефектов, петля гистерезиса может
быть очень узкой.
2. Задержка роста зародышей перемагничения. При достижении
технического насыщения намагниченность доменов практически
совпадает с направлением намагничивающего поля. При изменении
направления поля на противоположное, для того чтобы началось
перемагничение ферромагнетика, в нем должны возникнуть заро-
дыши перемагничения, которые, разрастаясь, приведут к перемагни-
чению ферромагнетика в целом. Появление таких зародышей
требует достаточно высокого так называемого стартового поля
Нет Поэтому если после достижения технического насыщения
уменьшать намагничивающее поле до нуля, а затем приложить
постепенно увеличивающееся поле противоположного направления,
то перемагничения не произойдет и остаточная намагниченность
будет сохраняться неизменной до тех пор, пока поле обратной на-
пряженности не достигнет стартового значения Н„. При этом
значении напряженности в образце возникают зародыши перемаг-
ничения, растущие с большой скоростью (сотни м/с), ферромагне-
тик перемагничивается почти мгновенно и петля гистерезиса имеет
практически прямоугольную форму. В частности, такая петля
наблюдается у одиоосно напряженных образцов пермаллоя. В об-
щем же случае вследствие неоднородности образца и наличия
размагничивающего поля зародыши перемагничения могут возни-
кать в разных местах ферромагнетика и при самых различных
внешних полях. Поэтому петля гистерезиса может сильно отличать-
ся от прямоугольной.
3. Намагничение высокодисперсных частиц. При уменьшении
размера частиц ферромегнетика растет доля энергии, приходящая-
ся на стенки Блоха. Поэтому начиная с некоторого размера
частиц энергетически выгодным становится их однодоменное со-
стояние. Для сферических частиц железа переход к однодоменной
магнитной структуре происходит при радиусе частиц ~0,1 мкм.
Так как домен намагничен до насыщения, то каждая такая частица
представляет собой очень маленький постоянный магнитик. Если
большое число подобных частиц распределить в неферромагнитной
среде и намагнитить в одном направлении, то можно получить
сильный постоянный магнит. Для этого используют обычно много-
компонентные сплавы, выделяющие при понижении температуры
высокодисперсиые фазы, из которых по крайней мере одна является
магнитной. Примером таких сплавов могут служить многокомпо-
нентные сплавы Al, Ni, Fe с добавками кремния и кобальта (спла-
вы альни, альниси, альнико и др.). Магнитные частицы у них
имеют обычно форму стерженьков, и их размеры столь малы, что
они являются однодомениыми с осью легкого намагничения,
направленной вдоль оси стерженька. Если охлаждение сплава
ведется в магнитном поле, то домены-стерженьки ориентируются
147
своими осями вдоль поля, создавая анизотропию структуры и на-
магниченности, Такая структура обладает прямоугольной петлей
гистерезиса, характеризующейся большой остаточной намагничен-
ностью и высокой коэрцитивной силой, что как раз важно для
создания постоянных магнитов.
$ 7.6. Практическое применение ферромагнетизма
Магнитные запоминающие устройства на ферритах. Ферро-
магнетизм в настоящее время очень широко применяют в электрон-
но-вычислительной аппаратуре. Ферриты с прямоугольных петлей
гистерезисза применяют при конструировании магнитных запоминаю-
щих устройств ЭВМ, магнитных усилителей, линий задержки и т. д.
Одним из основных параметров, характеризующих пригодность
ферритов’ для этих целей, является коэффициент прямоугольности
их петли гистерезиса, равный отношению остаточной индукции
Вг к максимальной индукции Втах, измеренной при Н = 5//с:
к„=вг7втах.
Необходимо, чтобы К„ как можно меньше отличалось от единицы.
Кроме того, феррит должен иметь низкую коэрцитивную силу.
Такими свойствами обладают, в частности, магний-марганцевые
ферриты, у которых Ап~ 0,88 4-0,96 и //с = 84-40 А/м.
Физический принцип, лежащий в основе магнитной «памяти»,
состоит в следующем. Предположим, что феррит с прямоугольной
петлей гистерезиса намагничен” до Втах полем Н, направленным слева
направо (рис. 7.13). При уменьшении этого поля до нуля индукция
падает до значения В,, которое для прямоугольной петли гистере-
зиса мало отличается от Втах, При изменении направления поля Н
на противоположное индукция сохраняется почти неизменной
вплоть до Н= — Нс. При Н= — Нс индукция скачкообразно меняет
знак на обратный, достигая при этом почти предельного значения
— Втах, мало меняющегося при дальнейшем росте Н. Если теперь
это поле уменьшать, то при H=Q остаточная индукция феррита
окажется равной —Вг. Таким образом*
Рис. 7.13. Прямоугольная петля
гистерезиса
при напряженности внешнего поля
H=Q феррит может находиться в двух
устойчивых состояниях: с В=-}-Вг и
В =—Вг в зависимости от «предысто-
рии» своего намагничения. На этом
свойстве ферритов «помнить» предше-
ствующее состояние намагничения и
основывается действие магнитных за-
поминающих устройств.
На рис. 7.14, а показана принципи-
альная схема ячейки памяти на ферри-
товом сердечнике. На сердечник наде-
ты три обмотки: записи 1, опроса 2 н
148
Рис. 7.14. Принцип устройства ячеек памяти (а, б) и матрицы памяти
(в) на ферритовых сердечниках
считывания 3. Запись ведется в двоичной системе: «1» и «О». При
записи «1» через обмотку 1 посылают импульс тока, способный на-
магнитить сердечник в положительном направлении до Втв]1. После
прекращения действия импульса индукция падает до 4-Вг
(см. рис. 7.13). При записи «О» через обмотку 1 пропускают им-
пульс тока противоположного направления, после прекращения
действия которого остаточная индукция сердечника оказывается
равной —В.. Для считывания записанной информации через об-
мотку 2 пропускают импульс тока, который создает магнитное поле
ЯопР>Яс в направлении, переводящем сердечник в состояние «О».
Если в элементе была записана информация, отвечающая «1», то
опрашивающий импульс, перемагничивая сердечник из состояния
+ВГ в состояние —Вт, создает в нем переменный поток магнитной
индукции, наводящий в обмотке считывания 3 импульс тока. Чем
дальше отстоят точки 4-Вг и —Вт друг от друга и чем круче пере-
ход от 4-Вг к — Bt, т. е. чем ярче выражена прямоугольность петли
гистерезиса, тем больший импульс тока возникает в обмотке 3 при
перемагничении. Поэтому для ячеек памяти используют ферриты
лишь с прямоугольной петлей гистерезиса.
Если*в элементе был записан «О», то перемагничения сердеч-
ника опрашивающим током не происходит и в обмотке считывания
сигнал не появляется. Каждая ячейка памяти заключает один
элемент информации (бит), содержащий одно утверждение из двух
возможных: «да» («1») или «нет» («О»),
На рис. 7.14,6 показана схема ячейки памяти, выполненная
несколько иначе, чем на рис. 7.14, а. Здесь обмотки 1, 2, 3 заменены
тремя проводами (шинами): х, у и шиной считывания, — пропу-
щенными через ферритовое кольцо. При записи информации по
проводам х и у пропускают импульсы тока /х = /и/2 и 1у = 1й[2,
где /о — сила тока, необходимая для того, чтобы вызвать перемаг-
ничение сердечника. Поэтому перемагничение сердечника может
произойти лишь при одновременном действии совпадающих по
направлению импульсов Д и 1У.
Из таких ячеек памяти набирают матрицы (одна из схем пока-
зана на рис. 7.14, в). Шина считывания С является общей у всех
ячеек матрицы. При записи, например, «1» в правую верхнюю ячей-
ку памяти через .г, и у3 посылают совпадающие по направлению
149
импульсы тока Л>/2 в каждой шине. При записи «О» или при счи-
тывания «1» по этим шинам пропускают совпадающие импульсы
— /о/2, которые перемагничивают сердечник и наводят в шине считы-
вания электрический сигнал. Так можно записать информацию в
любую ячейку памяти и впоследствии воспользоваться ею.
Размер ферритовых сердечников у современных запоминающих
устройств ЭВМ доведен до 0,3 мм для внешнего диаметра и до
0,15 мм для внутреннего.
Тонкие магнитные плеики. Под тонкими магнитными пленками
понимают слои магнитного вещества толщиной ~0,1 мкм, нанесен-
ные на немагнитную подложку. Наиболее широкое применение по-
лучили пленки пермаллоя, содержащие ~20% Ni и ~80%Fe.
На подложку их наносят методами термического испарения, катод-
ного или ионно-плазменного распыления.
В пленках толщиной меньше толщины стенок Блоха могут
возникать, очевидно, лишь стенки, перпендикулярные плоскости
пленки; по толщине такие пленки являются однодоменными. Если
нанесение пленки на подложку производится в магнитном поле,
действующем в плоскости пленки, то пленка приобретает одно-
осную магнитную анизотропию с осью легкого намагничения,
направленной вдоль поля. Подобную анизотропию можно получить
отжигом уже напыленных пленок в достаточно сильном магнитном
поле, а также напылением пленки молекулярным пучком, направ-
ленным под углом к подложке.
Рассмотрим процесс намагничения пленок более подробно.
Поместим пленку, намагниченную до насыщения вдоль оси легкого
намагничения, в магнитное поле Н. Под действием этого поля
вектор намагниченности пленки Jm отклонится от оси легкого на-
магничения на некоторый угол 0 (рис. 7.15, а). Это приведет к по-
явлению в пленке энергии магнитной анизотропии U,. Зависи-
мость UK от 0 хорошо описывается выражением
b’K = Xsin20. (7.30)
где К — константа анизотропии.
Помимо энергии анизотропии (7.30) намагниченная пленка,
находящаяся в магнитном поле Н, обладает магнитной энергией
Um, обусловленной взаимодействием Jm с Н:
Um = — p.oHJm= — p,o/A7mCOS0 — ЦоЯт7mSin 0, (7.31)
Рнс. 7.15. К объяснению намагничения тонких пленок
150
Рис. 7.16. Зависимость
энергии тонкой маг-
нитной пленки от нап-
равления вектора на-
магниченности J,„ от-
носительно поля Н:
а — поле направлено вдоль
осн легкого намагничения
и меньше ttK. Штриховая
кривая соответствует слагае-
мому №sin2H в выражении
(7.33); кривая, изображен-
ная точками. -- слагаемому
(io///mcos9; сплошная кри-
вая — результирующей энер
тин пленки; б — то же. но
при // > Нк; в — Н перпенди-
кулярна оси легкого намаг-
ничения и меньше Нк Штри-
ховая кривая соответствует
слагаемому №sin2 0 выра-
жения (7.36), кривая, изо
браженная точками. - сла-
гаемому р .///шч|пО; г - то
же, ио при Н > Нк
где Нл и Нт — составляющие внешнего поля вдоль о,сей легкого
и трудного намагничения. Полная энергия пленки
U = R+ a. = /<sin20 — pof/XcosO — goWJmSin 0. (7.32)
Пусть к пленке, намагниченной вдоль оси легкого намагничения
(0=0), прикладывается .внешнее поле Нл, направленное противо-
положно Jm. Тогда зависимость энергии пленки от 0 приобретает
вид
(7=Ksin20~|-n.o//Zracos 0. (7.33)
Для относительно слабого внешнего поля Н эта зависимость пред-
ставлена на рис. 7.16, а. Видно, что при 0 = 0 функция U(0) имеет
минимум (хотя и не абсолютный), поэтому энергетически выгодным
является сохранение первоначального направления вектора нама-
гниченности Jm (противоположно полю Н). В существовании такого
минимума можно убедиться, продифференцировав (7.33) по 0:
— = 2/(sin 0 cos 9 — vL0HJm sin б = sin 9 (2К cos 9—fx0ZAZm). (7.34)
de
Из (7.34) следует, что при 0 = 0 производная d(7/d0 = O, что явля-
ется, как известно, условием экстремума (в нашем случае — мини-
мума) функции (7(0).
В достаточно сильном внешнем поле при 0=0 будет уже не
минимум, а максимум функции (7(0) (рис. 7.16, б). Переход от
минимума к максимуму происходит при таком поле /А, при котором
вторая производная от функции (/(0) при 0 = 0 становится равной
нулю:
—I х=2Л-|ХоЯк7,п=О. (7.35)
d0 le=o
Таким образом, как только Н превысит значение Як = 2/(/ (цо/т),
минимум энергии при 9 = 0 исчезает и происходит переворот Jm
в направление 9 = л.
На рис. 7.15, б показана петля гистерезиса такой пленки. При
НЛ>НК (правее точки F) намагниченность Jni направлена вдоль
оси легкого намагничения (на рис. 7.15, б — вверх), совпадая с на-
правлением Нл. При уменьшении Нл до нуля и последующем увели-
чении поля обратного направления Jm сохраняется неизменной
вплоть до точки G. При переходе через точку G намагниченность
скачкообразно меняет свое направление на обратное (на
рис. 7.15, б — вниз), которое сохраняется далее неизменным при
сколь угодно высоких |ЯЛ|>Як.
Аналогичная картина наблюдается и прн обратном цикле:
вплоть до точки F вектор Jm направлен влево (на рис. 7.15, б —
вниз), в точке F он скачкообразно перебрасывается вправо
(на рис. 7.15, б — вверх). В результате описывается прямоугольная
петля гистерезиса с двумя устойчивыми состояниями: -j-Br и — Вг.
Приложим теперь к пленке, намагниченность Jm которой направ-
лена вдоль оси легкого намагничения, внешнее поле Н, направлен-
ное вдоль оси трудного намагничения. Тогда (7.32) примет следую-
щий вид:
U= /(sin29 — цоЯ/mSin 9. (7.36)
Эта функция изображена на рис. 7.16, в. Видно, что теперь энергия
пленки оказывается минимальной при 9=0n,in>-O. Чтобы опреде-
лить О,,,,,,, продифференцируем (7.36) по 9 и приравняем производ-
ную нулю:
’=’mln = 2А* Sin 9mln COS 9mln ~ НсДЛп COS 9m =
= cos 9mIn (2K sin 9mIn - ИоЯ/га) = 0. (7.37)
При Я<Як = 2Я/(р0/т) равенство нулю d(//d0 обеспечивается при
sin 0т]П = роЯ/т/(2/(). (7.38)
При Я=Я„ sinOmin= 1 и положение минимума будет наблюдаться
при 0min = n/2. Оно сохранится также и при Н>НК.
Намагниченность пленки вдоль оси трудного намагничения
JmT = 1 n,sin0mi„ = Л,цоН/ (2Я). (7.39)
Она растет пропорционально Я (рис. 7.15, в) вплоть до точки А,
отвечающей Я=ЯК- При Я=Я« намагниченность JmT достигает
максимального значения
/п>г1„ах = 72п1|х0Як/(2Л)=7Л1 (7.40)
и сохраняется неизменной при Я>ЯК (горизонтальный участок АВ
кривой рис. 7.15, в).
152
dU I
dfl
Аналогичная картина наблюдается при приложении поля Н
противоположного направления (участок кривой OCD на
рис. 7.15, в).
Процессы перемагничения тонких пленок идут так, как описано
выше, при быстром приложении к пленке магнитного поля Н. Тогда
наблюдается одновременное, когерентное, вращение спинов и век-
тора намагниченности. Перемагничение может происходить очень
быстро — за время порядка нескольких наносекунд. При помеще-
нии намагниченной пленки в постепенно усиливающееся магнитное
поле, направленное противоположно вектору намагниченности
пленки, в ней при некоторой напряженности возникают зародыши
обратной намагниченности, увеличивающиеся по мере роста Н, что
в конце концов приводит к перемагничению всей пленки. Это отно-
сительно медленный процесс, требующий для своего завершения
единиц микросекунд.
Интерес к магнитным пленкам определяется тем, что на их осно-
ве могут быть разработаны запоминающие устройства (ЗУ) для
ЭВМ, обладающие рядом преимуществ перед ЗУ на ферритовых
сердечниках. На рис. 7.17 показана одна из возможных схем эле-
мента памяти иа магнитных пленках. Элемент состоит из напылен-
ной на подложку пермаллоевой или ферритовой пленки 2 и трех
напыленных металлических шин: разрядной 4, числовой 1 и считы-
вания 3. Элемент конструируется так, чтобы поле числовой шины
было параллельно оси трудного намагничения пленки, а поле раз-
рядной шины — параллельно оси легкого намагничения. При запи-
си информации импульс тока пропускается через разрядную шину,
намагничивая пленку вдоль оси легкого намагничения. В зависи-
мости от направления этого импульса после прекращения его дей-
ствия пленка остается намагниченной нлн до +ВГ, что соответству-
ет «1», или до —Вг, что соответствует «О» (см. рис. 7.15, б). При
считывании импульс тока подается в числовую шину. Магнитное
поле этого тока поворачивает вектор иамагиичеиности и уменьшает
магнитный поток вдоль оси легкого намагничения. Уменьшение
этого потока наводит в шине считывания соответствующий сигнал.
Рис. 7.17. Принцип устройства
ячейки памяти на плоской маг-
нитной пленке
Рис. 7.18. Принцип работы ячейки памяти на
цилиндрической магнитной пленке:
а — запись информации; б — хранение информации
153
Наряду с плоскими магнитными пленками применяют «цилинд-
рические» пленки (2 на рис. 7.18), нанесенные на посеребренные
стеклянные трубки или проволоки 3. Пленка формируется так, что-
бы ось легкого намагничения была направлена по окружности
пленки. Пленку охватывает числовая шина 1. При записи информа-
ции через эту шину пропускают импульс тока 1\, поворачивающий
Jm в направлении трудного намагничения (вертикальная стрелка
на рис. 7.18, а). Одновременно пропускают импульс тока /г па про-
волоке (разрядной шине) 3, поворачивающий JIT1 вправо или влево
от вертикали (штриховые стрелки на рис. 7.18, а) в зависимости
от направления этого импульса. После протекания импульсов век-
тор Jm устанавливается вдоль оси легкого намагничения или впра-
во, что соответствует записи «1», или влево, что соответствует запи-
си «О» (рис. 7.18, б). При считывании информации импульс тока
подают по числовой шине /, вызывая поворот вектора Jm из поло-
жения легкого намагничения и тем самым индуцируя в проволоке
сигнал считывания. ЗУ на таких ячейках по ряду параметров вы-
годно отличаются от ЗУ на плоских пленках, их широко используют
начиная примерно с 1966 г.
Запоминающие устройства на тонких магнитных пленках имеют
ряд преимуществ перед ЗУ на ферритовых сердечниках, что обус-
ловило интенсивное проведение работ по их созданию. К таким
преимуществам, в частности, относятся следующие: перемагничение
пленок требует гораздо меньшей энергии, чем перемагничение сер-
дечников; трудоемкая операция «нанизывания» отдельных сердеч-
ников заменяется напылением одновременно большего числа ячеек
со всеми необходимыми шинами и соединениями; использование
когерентного вращения вектора намагниченности в однодомеииых
по толщине пленках позволяет заметно увеличить быстродействие
ЗУ.
Цилиндрические магнитные домены (ЦМД). Рассмотрим теперь
тонкую (от долей до нескольких микрометров) ферромагнитную
монокристаллическую пленку с единственной осью легкого намагни-
чения, направленной перпендикулярно плоскости пленки. Материа-
лом для таких пленок служат обычно одноосные гранаты. Сами
пленки выращивают методом эпитаксии на немагнитных подложках.
В размагниченном состоянии площадь, занятая доменами с од-
ним направлением намагниченности, равна площади доменов с про-
тивоположным направлением намагниченности, а сами домены
представляют собой узкие полоски произвольной формы
(рис. 7.19, а).
Приложим теперь к размагниченному образцу внешнее магнитное
поле (поле смещения), перпендикулярное плоскости пленки. При
постепенном увеличении напряженности поля, как всегда при на-
магничении ферромагнетика, происходит смешение стенок Блоха
и домены с намагниченностью, направленной вдоль внешнего поля,
расширяются за счет сужения доменов с противоположной намаг-
ниченностью (рис. 7.19, б). В конце концов при достаточно высокой
напряженности поля смешения домены с намагниченностью, проти-
>54
в>
Рис. 7.19. Доменная структура пленки с осью легкого намагниче-
ния, перпендикулярной поверхности:
а • в размагниченном состоянии: б • и присутствии поля смещения; в -- при поле
смещения, соответствующем области существования ЦМД
воположной полю, исчезают совсем и достигается полная намагни-
ченность пленки вдоль поля.
Интересным оказывается, однако, то обстоятельство, что в неко-
тором диапазоне полей смещения, меньших поля полной намагни-
ченности, энергетически более выгодной становится не полосовая
форма узких доменов, а цилиндрическая, показанная на
рис. 7.19, в. Поэтому при некоторой напряженности поля смещения
вместо полосовых доменов обычно образуются хаотично располо-
женные цилиндрические магнитные домены (ЦМД). Они существу-
ют в материале до тех пор, пока поле смещения не увеличится до
так называемого поля коллапса, при котором, став очень малыми,
ЦМД исчезают.
Если теперь сделать поле смещения ниже поля коллапса, то
ЦМД не появятся, так как для этого необходимо образование заро-
дышей, происходящее лишь при приложении к пленке обратного
поля, напряженность которого выше напряженности поля коллапса.
Если такое поле приложить ко всей пленке, то она просто перемаг-
ничивается в обратном направлении. Если же, сделав прямое поле
смещения ниже поля коллапса, обратное поле приложить л о-
к а л ь н о (например, пропустив импульс тока через небольшую
проводниковую петлю, расположенную над пленкой), то под петлей
образуется ЦМД, который останется и после прекращения импуль-
са тока. Этот ЦМД является, таким образом, элементом памяти:
его наличие свидетельствует о том, что через петлю был пропущен
импульс тока. Радиус ЦМД в тонких пленках таких материалов,
как магнитоодноосные гранаты, составляет всего лишь доли микро-
метра, так что плотность записи информации может быть очень
высокой.
Замечательным является то, что для записи информации не
нужно продвигать пленку под петлей записи, так как ЦМД можно
вывести из-под нее и перемещать по пленке. Это можно сделать
с помощью, например, вращающегося дополнительного внешнего
магнитного поля, направленного вдоль пленки, если на поверхности
последней нанести островки специальной формы (аппликации) из
ферромагнитного материала (обычно пермаллоя), намагничиваемо-
го вдоль пленки (рис. 7.20).
155
Направление продвижения
Рис. 7.20. Пример структуры, про-
двигающей НМД
Не рассматривая здесь вопро-
са о механизме продвижения ЦМД
под аппликациями, укажем лишь,
что в настоящее время размер
ячейки памяти определяется не
размером ЦМД, а размером эле-
ментов аппликации. При изготов-
лении схем с периодом около 3 мкм
методами электронной литографии
достигается плотность записи ин-
формации 107 бит/см2 и выше.
Считывание информации о наличии или отсутствии ЦМД можно
производить, пропуская через пленку (она обычно прозрачная)
поляризованный свет. Прохождение его через пленку вызывает
поворот плоскости поляризации в ту или другую сторону в зависи-
мости от направления намагниченности пленки (эффект Фарадея).
Другой способ регистрации ЦМД состоит в том, что при прохожде-
нии домена под тонкой пермаллоевой аппликацией меняется ее
электрическое сопротивление. Для регистрации ЦМД может быть
использован также эффект Холла в малом полупроводниковом об-
разце, расположенном над пленкой, и т. д.
ГЛАВА 8. НЕРАВНОВЕСНЫЕ НОСИТЕЛИ ЗАРЯДА
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Быстродействие очень многих полупроводниковых приборов определяется скоростью
протекании процессов возннкяовення и исчезновения свободных носителей заряда.
Настоящая глава посвящена рассмотрению основных факторов, контролирующих
темп этих процессов. Здесь же обсуждены явления диффузии и дрейфа свободных
носителей заряда при их неравномерном распределении по полупроводнику. Эти
процессы определяют параметры таких приборов, как транзисторы, фотодиоды и т. д.
§8.1. Равновесные и неравновесные носители
заряда. Квазнуровни Ферми
Понятие о неравновесных носителях. При температуре, отличной
от 0 К, в полупроводнике происходит тепловое возбуждение (гене-
рация) свободных носителей заряда. Если бы этот процесс был
единственным, то концентрация носителей непрерывно возрастала
бы с течением времени. Однако вместе с процессом генерации воз-
никает процесс рекомбинации: электроны, перешедшие в зону про-
водимости или на акцепторные уровни, вновь возвращаются в ва-
лентную зону или на донорные уровни, что приводит к уменьшению
концентрации свободных носителей заряда. Динамическое равнове-
сие между этими процессами при любой температуре приводит к
установлению равновесной концентрации носителей, описываемой
156
формулами (5.13) и (5.16). Такие носители называют равновес-
ными.
Помимо теплового возбуждения возможны и другие способы
генерации свободных носителей в полупроводниках: под действием
света, ионизирующих частиц, инжекции их через контакт и др. Дей-
ствие таких агентов приводит к появлению дополнительных, избы-
точных по сравнению с равновесными свободных носителей. Обо-
значим п полную концентрацию электронов, ар — полную концен-
трацию дырок. Тогда концентрации избыточных, или неравновес-
ных, носителей
Дп = п —по, Др=р —ро, (8.1)
где по, ро — концентрации равновесных носителей.
При неизменной интенсивности внешнего агента концентрация
избыточных носителей растет вначале быстро, а затем вследствие
увеличивающейся скорости рекомбинации ее рост замедляется и
в конце концов устанавливается стационарное состояние, при кото-
ром скорость генерации носителей равна скорости их рекомбинации.
Квазиуровни Ферми. Равновесная концентрация электронов и
дырок в полупроводнике определяется равновесным уровнем Ферми
и температурой и описывается формулами (5.13) и (5.16). Важно
подчеркнуть, что в равновесных условиях электроны и дырки, рас-
полагающиеся в зонах и на локальных уровнях, имеют единый уро-
вень Ферми (рис. 8.1, а). Для равновесных носителей выполняется
закон действующих масс (5.36).
В неравновесных условиях концентрации электронов и дырок
отличны от равновесных. Из (8.1) имеем
П = По + Дп, р = ро + Др.
(8-2)
На какие бы высокие уровни в зоне проводимости ни возбужда-
лись электроны под действием света, ионизирующих частиц и т. д.,
они очень быстро (за ~10-11 —10-12 с) опускаются к дну зоны про-
водимости и распределяются по
энергиям так же, как и равновес-
ные носители; неравновесные дыр-
ки соответственно поднимаются к
потолку валентной зоны. Поэтому
свойства избыточных носителей
практически ничем не отличаются
от свойств равновесных носите-
лей. В частности, если появление
избыточных носителей не изменя-
ет невырожденного характера газа
свободных носителей, то для опи-
сания его распределения по энер-
гиям можно пользоваться равно-
весной функцией распределения
(5.12). В ней следует лишь изме-
нить значение энергии Ферми ц,
Рис. 8.1. Уровень Ферми для полупро-
водников, содержащих только равно-
весные носители заряда (а), и ква-
зиуровни Ферми для полупроводников,
содержащих избыточные электроны и
дырки (б)
157
так как от нее зависит полное число свободных носителей в зоне
проводимости и в валентной зоне, которое теперь стало иным.
Вместо (5.13) и (5.16) следует писать
п — пп + &n = Nrexp [р.п/(6Т)], (8.3)
р = р0 + Др = Nv ехр ( — t). (8.4)
Здесь и (их называют квазиуровнями Ферми) играют роль
уровней Ферми для электронов и дырок. Они не совпадают между
собой и с равновесным уровнем Ферми (рис. 8.1, б). Для неравно-
весных носителей не выполняется также закон действующих масс:
пр^= n'j\
§ 8.2. Время жизни
Процесс генерации носителей характеризуют скоростью генера-
ции, выражающей число носителей (или число пар носителей), еже-
секундно возбуждаемых в единичном объеме полупроводника.
Процесс рекомбинации характеризуют скоростью рекомбинации,
которая выражает число носителей (число пар носителей), ежесе-.
кундно рекомбинирующих в единичном объеме полупроводника.
Каждый свободный носитель заряда, появившись в соответствую-
щей зоне вследствие генерации, проводит там до рекомбинации
в среднем некоторое время, называемое временем жизни т. Ско-
рость рекомбинации, концентрация носителей и их время жизни
связаны соотношениями
/?п = п/тл, Rp=p/tp, (8.5)
где Rn, Rp и тп, тр — скорости рекомбинации и времена жизни для
электронов и дырок соответственно.
Если электроны и дырки возникают в полупроводнике парами,
то они и рекомбинируют парами и в стационарном состоянии их
скорости рекомбинации равны друг другу. Тогда
п/т„=р/тр. (8.6)
Обычно п'^=р и, следовательно, тл=#тР.
Как видно из (8.6), время жизни основных носителей больше
времени жизни неосновных носителей заряда. Кроме того, сами эти
времена изменяются с изменением концентрации неравновесных
носителей Ап и Др. Пусть, как это часто бывает, Дп = Др. Тогда из
(8.2) и (8.6) следует, что
по + __ р0 + An (g yj
тп ~р
При по=/=ро это равенство может быть удовлетворено для разных
Ап только если тл и тр изменяются с Ап. Чтобы избежать возникаю-
щих вследствие этого осложнений, условились выделять равновес-
ные носители по и р0 в отдельную группу с временами жизни тл и
158
тр, обеспечивающими равенство равновесных скоростей рекомби-
нации
/?о = по/т,1 = ро/тр, (8.8)
и считать, что времена хп и тр, а следовательно, н скорости рекомби-
нации равновесных носителей не зависят от Дп. Неравновесным же
носителям приписывается свое время жизни т, определяющее ско-
рость их рекомбннацнн:
R = —11^1 = + —. (8.9)
dt т
Знак минус указывает на то, что в процессе рекомбинации концен-
трация носителей уменьшается.
Предположим, что под действием света в полупроводнике воз-
буждены избыточные носители Дпо = Дро. После выключения света
эти носители рекомбинируют н нх концентрация постепенно умень-
шается. Интегрируя уравнение (8.9), получаем
Дп = Дпоехр (—1/т). (8.10)
Из уравнения (8.10) видно, что Дп = Дп0/е при / = т.
Таким образом, среднее время жизни избыточных носителей
равно времени т, в течение которого их концентрация вследствие
рекомбинации уменьшается в е раз.
Процесс перехода электрона нз зоны проводимости в валентную
зону при рекомбннацнн может протекать нли непосредственно через
всю запрещенную зону Es, как это показано стрелкой 1 на
рнс. 8.2, нлн сначала на примесный уровень Ел (стрелка 2), а затем
с примесного уровня в валентную зону (стрелка 3). Первый тип
рекомбинации называют межзонным, второй — рекомбинацией
через примесный уровень. Рассмотрим их более подробно.
Межзоииая рекомбинация. В условиях теплового равновесия
скорость межзонной рекомбинации /?о пропорциональна концент-
рации электронов по и дырок р<> н должна быть равна скорости
генерации g0:
Rtt = yn(>po=^nf = go. (8.11)
Коэффициент пропорциональности
Y = go/n? (8.12)
называют коэффициентом рекомбинации.
При действии на полупроводник внешнего
фактора, вызывающего увеличение скорости
генерации носителей на g, увеличится н ско-
рость их рекомбинации на R., Стационарная
концентрация электронов п=по + &п н дырок
р— ро + &р установится тогда, когда суммар-
ная скорость рекомбинации Rn + R сравняется
с суммарной скоростью генерации go + g:
Рис. 8.2. Схема
межзонной реком-
бинации и реком-
бинации через ло-
кальный уровень в
запрещенной зоне
159
tfo + tf = Y(no + ArtXPo + Ap)=go + g- (8.13)
Подставив сюда у из (8.10), получим
go + g = (go/ntyjiopo + п0Ьр + pobn + bn/bp). (8.14)
При низком уровне возбуждения полупроводника внешним аген-
том, когда An, Ар <с (по + Ро), последним слагаемым правой ча-
сти (8.14) можно пренебречь; учитывая, кроме того, что Ап = Ар,
пора = п?, находим
/? = g = (go/n?X«o + po)An. (8.15)
Из (8.15) видно, что в этих условиях скорость рекомбинации
избыточных носителей заряда пропорциональна их концентрации.
Такую рекомбинацию называют линейной. Время жизни неравно-
весных носителей при линейной рекомбинации
т = \n/R — \n/g = n?/[go(no + Ро)] (8.16)
ие зависит от иитеисивиости возбуждения и определяется сте-
пенью легирования полупроводника (по или ро), убывая обратно про-
порционально концентрации легирующей примеси. Наибольшего
зиачеиия т достигает в собственных полупроводниках, для которых
по = ро = п£. В этом случае (8.16) примет вид
Tf = n(/(2g0). (8.17)
При высоком уровне возбуждения, когда Ап = Ар» (п0 + ро),
последнее слагаемое в правой части (8.14) становится преобла-
дающим и тогда
R = -v (Ап)2, (8.18)
ni
т. е. скорость рекомбинации избыточных носителей оказывается
пропорциональной квадрату их концентрации. Такую рекомбина-
цию называют квадратичной. Время жизни неравновесных носите-
лей при квадратичной рекомбинации
Дп Дп п? 1
т = — = — = — —
R g g0 Дп
обратно пропорционально их концентрации.
Выделение энергии при межзонной рекомбинации может проис-
ходить или в виде кванта света hv, или в виде теплоты (фоионов).
В первом случае рекомбинацию называют излучательной, во вто-
ром — безызлучательной. Как показывают расчет и эксперимент,
межзоиная излучательная рекомбинация может иметь существенное
значение для полупроводников с узкой запрещенной зоной при
относительно высоких температурах (комнатной и выше). Для
полупроводников же с широкой запрещенной зоной основным
механизмом, ответственным за рекомбинацию, является безызлу-
чательная рекомбинация через примесные уровни. Однако при
некоторых условиях и в таких полупроводниках можно достичь
160
(8.19)
относительно высокого уровня излучательной рекомбинации. Как
видно из (8.16) и (8.19), этому способствует, в частности, повы-
шение концентрации избыточных носителей в полупроводнике и
увеличение степени его легирования.
Рекомбинация через локальные уровни. Механизм рекомбина-
ции через локальные уровни состоит в том, что электрон из зоны
проводимости переходит сначала иа локальный уровень в запре-
щенной зоне, а затем на свободный уровень в валентной зоне
(рис. 8.2). Такая двухступенчатая рекомбинация оказывается
часто гораздо более вероятной, чем непосредственная рекомбина-
ция электрона и дырки, рассмотренная выше.
Локальные уровни в запрещенной зоне полупроводника могут
быть эффективными центрами рекомбинации, если они располо-
жены вдали от дна зоны проводимости и потолка валентной зоны,
в противном случае они играют роль уровней прилипания, так как
захваченный ими носитель через некоторое время выбрасывается
в свою зону. Центры рекомбинации часто называют ловушками,
а процесс перехода электрона- из зоны проводимости иа свободный
уровень рекомбинации — захватом электрона ловушкой. Диалогич-
но этому переход электрона с ловушки иа свободный уровень в
валентной зоне и освобождение уровня ловушки называют захва-
том дырки ловушкой.
Рассмотрим эти процессы несколько более подробно. Выделим
в полупроводнике плоскопараллельный слой толщины dx, перпен-
дикулярный направлению движения электрона (рис. 8.3,а). Обо-
значим Л/я концентрацию ловушек. В смысле захвата электрона
каждую ловушку можно уподобить сфере радиуса г, при попада-
нии в которую электрон испытывает столкновение и захватывается
ловушкой. Если условно посмотреть на выделенный слой «иа про-
свет», то ловушки представятся как бы в виде дисков площадью
Ап = яг2 (рис. 8.3, б). Если электрон, проходящий через слой,
попадает в один из таких дисков, он захватывается ловушкой.
Поэтому Ап называют сечением захвата электрона.
Рис. 8.3. К выводу соотношения для вероятности
захвата носителей ловушками
Рис. 8.4. Схема рекомбинации
через уровень ловушек в полу-
проводнике с ярко выраженной
проводимостью н-типа
6—671
161
Обозначим S площадь выделенного слоя. Объем этого слоя
равен Sdx, число ловушек в нем Лл.своб5бх, где Л^.своб — концент-
рация не занятых электронами ловушек (только такие ловушки
способны захватывать электроны). Суммарная площадь захвата
этих ловушек
^эахв АЯЫ„ .caoftSdx.
Вероятность того, что электрон, проходя через слой, испытывает
столкновение с ловушкой, равна, очевидно, отношению Зэахв к S:
d Wn = Sbbxb/S = Л Ллсвс^Х.
Так как dx = vndt, где vn — скорость электрона, то
d Wп АЯЫ.n.cBoG^nd/.
Поделив правую и левую части этого соотношения на df, получим
dUZ
= ЛЛл.своб V», (8.20)
где 9Я — вероятность захвата электрона ловушкой, отнесенная к
единичному времени.
Аналогичное выражение может быть получено для вероятности
захвата дырки:
== АрМл.заит>р, (8.21)
где Ар — сечение захвата дырки ловушкой; Л^л.зян — концентрация
занятых электронами ловушек (свободных для захвата дырок);
vp — средняя скорость дырок.
Следует отметить, что в общем случае АП=#=АР; значения этих
сечений лежат обычно в пределах от 10-17 до 10~25 м2.
Кроме процессов захвата электронов и дырок на ловушки сле-
дует учесть и обратные процессы — тепловое возбуждение элект-
ронов с уровней ловушек в зону проводимости и из валентной
зоны на свободные уровни ловушек. Последний процесс можно
рассматривать как тепловой выброс дырок с уровней ловушек в
валентную зону. На энергетической диаграмме (см. рис. 8.2) эти
процессы можно было бы изобразить стрелками, противополож-
ными 2 и 3.
В некоторых частных случаях рекомбинации через ловушки
легко получить выражения для времени жизни носителей тока.
Будем рассматривать полупроводник, в котором имеется только
один уровень ловушек, расположенный вблизи середины запрещен-
ной зоны. В этом случае в достаточно сильно легированном полу-
проводнике n-типа проводимости в условиях теплового равновесия
уровень. Ферми р располагается на много kT выше уровня лову-
шек Ел н все ловушки оказываются заполненными электронами
(рис. 8.4). Такие ловушки не могут захватывать электроны из зоны
проводимости, но они способны отдавать свои электроны в валент-
ную зону, т. е. захватывать дырку (сплошная стрелка на рис. 8.4).
В среднем для захвата одной дырки любой ловушкой требуется
время
162
тро = 1 /J’po = 1 /(A pNnVp), (8.22)
где ^ро обозначена вероятность захвата дырки ловушками, отне-
сенная к единичному времени (8.21), в условиях, когда все ло-
вушки заняты электронами, т. е. когда N„,зан = Мл.
Как только ловушка окажется свободной, она будет мгновенно
занята одним из электронов зоны проводимости, которых в сильно
легированном полупроводнике n-типа очень много (штриховая
стрелка на рис. 8.4), и акт рекомбинации закончится.
Выражение (8.22), таким образом, определяет время жизни не-
основных носителей — дырок — в условиях теплового равновесия.
При небольшом уровне возбуждения полупроводника, когда к рав-
новесным электронам и дыркам добавляются неравновесные,
ловушки по-прежнему заняты электронами и условия захвата ими
дырок не изменяются. Следовательно, формула (8.22) определяет
также и время жизни неравновесных дырок, т. е. просто время
жизни неравновесных носителей.
Аналогичным образом легко получить выражение для времени
жизни неосновных и неравновесных носителей в сильно легирован-
ном полупроводнике p-типа проводимости:
т„о = 1 /^о = 1/(А„Алип). (8.23)
В общем случае, когда степень легирования полупроводника
не очень велика, рассмотрение процессов-генерации—рекомбина-
ции может оказаться довольно громоздким. Для одного уровня
ловушек Холл, Шокли и Рид провели соответствующий анализ и
получили для скорости рекомбинации неравновесных носителей
в стационарных условиях выражение
__(”о 4~ Д”) (р0 4~ Др) — ПрРр ,g 24)
(л0 4* Дй + Лл) тро + (Ро +Д Р 4* Рл) тпо
где По, ро—равновесные концентрации электронов в зоне прово-
димости и дырок в валентной зоне; пл, ,рл — равновесные концент-
рации электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне,
когда уровень Ферми совпадает с уровнем ловушек Ел, а тр0 и тло
определяются выражениями (8.22) и (8.23) соответственно.
При рекомбинации через ловушки Дп может не совпадать с Др,
так как часть неравновесных электронов или дырок может ока-
заться на ловушках, изменяя степень их заселенности. Однако
если ловушек не слишком много, а степень возбуждения полупро-
водника не слишком мала, так что выполняется условие 4; Дп,
Др, то Дп«Др и тогда формула (8.24) принимает вид
R = --------("o + Po)4>L+(W------- . (8 25)
(п0 4- пл 4- Дп) Трд 4- (Ро 4* Рл4-Дл)хпо
Наконец, если одновременно выполняются условия Дп <С (по 4- пл),
(Ро + рл), (по4-ро), выражение (8.25) переходит в
/? =--------. (8.26)
(п0 + пл) tpg 4- (Ро 4- Рл) тпо
6 163
Рис. 8.5. Изменение времени жизни неравно-
весных носителей в зависимости от концент-
рации основных носителей тока
Тогда, воспользовавшись
соотношением (8.9), можно
определить время жизни не-
равновесных носителей:
___Д'» _ «в + »л _ ।
г — — — ------------------тро +
/? п, + р.
+ (8.27)
"• + ₽•
Прн сильном легировании,
например для полупроводни-
ка n-типа, когда по»пл,
рл, ро, из (8.27) получаем,
что т=тро- Аналогично, для
полупроводника p-типа т=
=ты). К этому выводу мы уже приходили и выше [см. (8.22) и (8.23) ].
Для таких полупроводников время жизни не зависит от степени леги-
рования мелкими донорами или акцепторами, а определяется лишь
концентрацией ловушек N* и их типом (величинами Ап и Ар).
На рис. 8.5 представлены зависимости времени жизни от степени
легирования полупроводника для двух концентраций ловушек (для
примера взято тяо<Стро)- Максимального значения время жизни
достигает в собственном полупроводнике.
При очень высоком уровне возбуждения из (8.25) и (8.9) по-
лучаем
т — ТрО + ТпО
(8.28)
При наличии нескольких возможных путей рекомбинации,
не зависящих друг от друга, вероятность рекомбинации должна
быть равна сумме вероятностей рекомбинации через отдельные
каналы, а эффективное время жизни т должно определяться сле-
дующим соотношением:
(8.29)
где тл — время жизни, определяемое k-м каналом рекомбинации.
Эффективное время жизни определяется, таким образом, наимень-
шим из этих <частных» времен жизни.
$ 8.3. Уравнение непрерывности
Изменение концентрации свободных носителей заряда в тех или
иных областях может происходить не только за счет их генерации
или рекомбинации, ио и за счет перемещения их по кристаллу,
т. е. за счет протекания токов. Рассмотрим, например, как меня-
ется число дырок в некотором выделенном элементе объема крис-
талла dV = dxdydz (рис. 8.6) из-за дырочных токов плотностью
164
ip=lp(x, у, г). Через грань /
площадью dydz за малое
время d/ в рассматриваемый
элемент объема войдет за-
ряд 1рх(х, у, z)dydzdt, т. е.
войдет некоторое количество
дырок dPi, равное
dPi= /Ря (х, у, г) dy dz di.
За то же время через грань
2’ выйдет d₽2 дырок:
Рис. 8.6. К выводу уравнения непрерывности
dPt= ip, (х + dx, у, г) dy dz dt
Изменение концентрации дырок вблизи точки с координатами х, у, г
получим, вычтя d₽2 из dPi и поделив полученную разность иа
объем dV. Таким образом,
dp = — Tipx (х, у, г) — iPx (х + dx, у, z) ] dZ/dx -- dt.
e L J e dx
Аналогичные вклады в изменение концентрации дырок дадут ком-
поненты дырочного тока вдоль осей у и г. В итоге получим
\ dt Ji е \ dx dy dz / е 1
р
(8.30)
где (dp/dt)ip обозначено изменение концентраций дырок вслед-
ствие протекания дырочных токов.
Изменение концентрации электронов
= —divin.
dt )in е
(8.31)
Теперь можно написать выражение для изменения концентра-
ций с учетом всех факторов:
~~— gp Rp ~
01 с
£-«.-R. + 4-divi..
(8.32)
Эти соотношения называют уравнениями непрерывности. Так как
значения равновесных скоростей генерации и рекомбинации (go
и Ro) равны, то в (8.32) можно учитывать только скорости гене-
рации неравновесных носителей. Кроме того, можно использо-
вать (8.2) и (8.9) н переписать уравнение непрерывности в более
165
удобном виде:
±<М =g_A£.__Ldivip;
dt ip е
+ J_div in.
<W tn *
(8.33)
Здесь g — скорости дополнительной генерации электронов и дырок
(генерацию считаем межзонной), а тп, тр— времена жизни нерав-
новесных электронов и дырок соответственно.
§ 8.4. Совместная диффузия неравновесных носителей
Электронный и дырочный токи в полупроводниках возникают
вследствие дрейфа свободных носителей заряда в электрическом
поле и из-за их диффузии. Плотности дрейфовых токов опреде-
ляются выражениями
= iMP = epupS, (8.34)
где ип и ир — подвижности электронов и дырок. Плотности же
диффузионных токов составляют
киф = eDngradra; 1рд„ф = —eD„gradp, (8.35)
где Dn и Dp — коэффициенты диффузии электронов и дырок соот-
ветственно. Полные электронные и дырочные плотности токов
определяются суммой их дрейфовых и диффузионных компонент:
•л — 1ддр 4" Ь|днф> ip = ipap 4" 1рднф- (8.36)
Коэффициенты диффузии носителей заряда связаны с их подвиж-
ностями. Для невырожденных газов носителей эта связь устанав-
ливается соотношением Эйнштейна:
D — — u. (8.37)
е
В общем случае подвижности, а следовательно, и коэффи-
циенты диффузии, электронов и дырок различны. Так, в германии
и кремнии подвижность электронов приблизительно вдвое больше
подвижности дырок.
Электрическое поле В, входящее в (8.34), не обязательно созда-
ется сторонними зарядами, оно может возникать и из-за наруше-
ния электронейтральности в самом полупроводнике. В частности,
если к полупроводнику не приложена внешняя разность потен-
циалов, но в нем в некоторой области (неравномерно по образцу)
генерируются неравновесные носители, в полупроводнике автома-
тически возникает «встроенное> электрическое поле, уравновеши-
вающее электронные и дырочные потоки.
Рассмотрим этот процесс более подробно. Пусть иа поверх-
ность полупроводника падает свет с энергией квантов ftv > Eg.
Такой свет сильно поглощается в полупроводнике, генерируя в нем
166
Рис. 8.7. К пояснению причины совместной диффузии не-
равновесных носителей
электронно-дырочные пары. Так как неравновесные носители не
являются неподвижными, а участвуют в хаотическом тепловом
движении наравне с равновесными, они диффундируют в глубь
полупроводника и по пути рекомбинируют. Коэффициенты диффу-
зии электронов D„ и дырок Dp отличаются (обычно Dn>Dp) и,
казалось бы, вследствие этого концентрации электронов Ал и
дырок Др должны спадать в глубь от поверхности, как показано
на рис. 8.7, а. Однако в этом случае, как видно нз рис. 8.7, а,
возникают объемные заряды и, следовательно, электрическое поле.
Но если в полупроводнике создается электрическое поле, то возни-
кает дрейф носителей в этом поле, стремящийся уничтожить объем-
ные Заряды, выровнять концентрации избыточных носителей в
каждой точке полупроводника. В результате неравновесные носи-
тели распределяются, как показано на рис. 8.7, б, как если бы они
диффундировали с некоторым одинаковым эффективным коэффи-
циентом диффузии Оэфф. Определим этот эффективный коэффици-
ент диффузии. В стационарных условиях в любом сечении суммар-
ная плотность электронного и дырочного токов должна быть равна
нулю:
(8.38)
Комбинируя (8.34) и (8.35) с учетом того, что и диффузия, и дрейф
в рассматриваемом случае идут вдоль одного направления —
вдоль оси х, перепишем (8.38) в виде
епип 8 + eDn + ерир8 — eDp = 0. (8.39)
ах ах
Здесь 8 — напряженность встроенного» поля, автоматически
возникшего из-за разности коэффициентов диффузии электронов
и дырок. В (8.39) производные от п и р можно заменить на про-
изводные от Дп и Др. Будем считать, кроме того, что практически
Дп = Др. Тогда из (8.39) следует
8 = (D, - Dn) . (8.40)
dx (пип + рир)
167
С учетом этого электронная компонента плотности тока in может
быть записана в виде
In = e/iun(Dp-Dn)^
dx
1
(пип + pup)
+ е^п
d (An)
dx
(nun Dp + pup Dn) d (An)
= e----------------- ------. (8.41)
(nun + pup) dx
Полученное выражение формально можно интерпретировать как
чисто диффузионный ток [сравните с (8.35)], если множитель
перед d(An)dx принять за эффективный коэффициент диффузии
неравновесных электронов. Точно такое же выражение получается
для эффективного коэффициента диффузии неравновесных дырок.
Заменив подвижности в (8.41) на коэффициенты диффузии по со-
отношению Эйнштейна (8.37), получим
О,ФФ= (п+р) <8-42)
Г XJJp Lfn /
Для собственного полупроводника £)Эфф = 2£>„DP/(D„ 4-ОД т. е.
является промежуточным между коэффициентами диффузии элек-
тронов и дырок. В полупроводниках же с ярко выраженным типом
проводимости эффективный коэффициент диффузии равен коэффи-
циенту диффузии неосновных носителей. Так, D3^ = DP при
п р и Дэфф = Dn при р п. В этих случаях объемный заряд
неосновных носителей легко компенсируется многочисленными
основными носителями, все время сследящими» за диффунди-
рующими неосновными носителями.
Найдем теперь стационарное (d(&n)dt = 0) распределение не-
равновесных носителей за слоем, в котором идет заметная гене-
рация электронно-дырочных пар светом. Координату конца этого
слоя удобно принять за нуль. Уравнение непрерывности при х>0,
где g = 0, имеет тогда вид
_^L + _Ld±.=_^L + D3(M)^ = 0. (8.43)
т е dx т dx2
Здесь т — время жизни неравновесных носителей. Решение этого
уравнения имеет вид
Ап (х) ч= А п (0) е_х//Х>эффТ = An(0)e~*/L, (8.44)
где
L = ДЭффТ (8.45)
— так называемая диффузионная длина. Она определяет среднюю
глубину проникновения неравновесных носителей из областей,
где идет генерация электронно-дырочных пар.
Отметим, что если бы через плоскость х = 0 шла инжекция,
впрыскивание в полупроводник только неосновных носителей за-
ряда, в нем возникал бы объемный заряд. Для его компенсации
из глубины полупроводника очень быстро подходили бы основные
носители и распределение избыточных электронов и дырок при
х > 0 было бы таким же, как получено выше.
Сделаем теперь некоторые числовые оценки для обоснования
приведенных доводов. Рассмотрим, например, n-Si с концентра-
цией электронов по=1О16 см-3. Концентрация носителей при ком-
натной температуре в собственном материале п( » 1О10 см-3. Тогда,
согласно закону действующих масс, ро~Ю4 см-3. Пусть теперь
под действием освещения вблизи поверхности создана избыточная
концентрация носителей Дп = Др=1014 см-3. Если время жизни
неравновесных носителей равно 1 мкс, то диффузионная длина
составляет L ж 0,0035 см. Тогда градиент концентрации при х = 0
равен &n/L ж 3-1016 см-4, а согласно (8.40) напряженность встро-
енного» поля составляет ~0,05 В/см. В таком поле дрейфовая
компонента плотности тока неосновных носителей — дырок — со-
ставляет 1рдр« 3,5 • 10-4 А/см2 (подвижности ип и ир взяты рав-
ными соответственно 1300 и 500 см2/(В-с)], а диффузионная —
г'рдиф « 6-10-2 А/см2.
Отсюда видно, что неосновные носители фактически «не чув-
ствуют» возникающего электрического поля и их движение чисто
диффузионное. Для основных носителей ситуация иная. Так как их
гораздо больше, то и их дрейфовые токи намного больше дрейфо-
вых токов неосновных носителей.
Посмотрим теперь, насколько хорошо выполняется предполо-
жение о том, что концентрации неравновесных электронов и дырок
практически совпадают, т. е. Дп = Др вследствие выравнивания их
потоков «встроенным» полем. Для того чтобы существовало поле 8,
на самом деле необходима неполная компенсация электронов дыр-
ками. Заряды и поля связаны уравнением Пуассона-.
_ dg __ р (х) (8.46)
dx* dx ге0
где р(х)—плотность объемного заряда, V—потенциал’электри-
ческого поля, а еео для Si составляет 10-12 Ф/см. Так как в отсут-
ствие неравновесных носителей в однородном полупроводнике
всюду выполняется условие электронейтральиости, то объемный
заряд возникает, если Дп#=Др:
р(х) = е( Др — Дп). (8.47)
В рассматриваемом примере |d£/dx| максимальна при х = 0
и равна 10 В/см2. Из (8.46) и (8.47) получим тогда, что
|(Др — Дп)|» 10* см-3. Это действительно много меньше, чем сами
избыточные концентрации, равные ~1014 см-3.
Рассмотрим, наконец, сколь быстро происходит компенсация
заряда носителей одного знака, инжектированных в полупровод-
ник. Пренебрежем рекомбинацией носителей во время рассмат-
риваемого процесса. Тогда уравнения непрерывности в одномерном
случае принимают вид
169
d(bp) _______1_ dip
dt е dx
д (Ал) =
dt e dx
(8.48)
Скорость исчезновения объемного заряда, плотность которого
р(х) = е(Др — Дп), получим, вычтя из первого уравнения (8.48)
второе:
\е (Ьр — Дп)] = -J- = — A (ip + in). (8.49)
at L J . dt dx
Пока нестационарные объемные заряды р(х) существенно выше
стационарных, создаваемое ими электрическое поле сравнительно
велико и можно считать, что токи в полупроводнике в основном
дрейфовые. Тогда
I = ip (8.50)
где о — удельная электропроводность полупроводника. Если уро-
вень инжекции мал, т. е. (Дп + Др) <С (по + ро), можно считать,
что <у — <Уо, и тогда
Л _ dS
dx 0 dx ‘
Выразив d£/dx через. плотность объемного заряда по уравнению
Пуассона (8.46), получаем
А=_21_о (8.52)
dt ее,
Решение этого уравнения имеет вид
Р (0 = р (0)е = р (0) е (8.53)
Здесь q(0) обозначена начальная плотность объемного заряда, а
тм = еео/оо (8.54)
— так называемое максвелловское время релаксации.
Для Si даже со сравнительно низкой удельной электропро-
водностью <Уо = 1 Ом '-см'1 время релаксации тм « 10-12 с. Таким
образом, времена релаксации объемных зарядов в проводниках
очень малы. Это оправдывает, кстати, допущенное выше пренебре-
жение рекомбинацией неравновесных носителей за времена релак-
сации. Следует отметить, что хотя максвелловское время релакса-
ции не зависит от того, инжекция каких носителей — основных или
неосновных — привела к возникновению объемного заряда, эта
релаксация происходит всегда за счет токов основных носителей.
Поэтому, когда инжектируются неосновные носители, к ним под-
тягиваются основные и компенсируют нх заряд. Прн инжекции же
основных носителей происходит рассасывание, перераспределение
170
их заряда. В первом случае через время тм повышенная концент-
рация неосновных носителей сохраняется и к ним подтягиваются
из глубины полупроводника или из внешней цепи основные носи-
тели, так что Дп = Др, во втором случае неравновесные носители
распределяются пс всему образцу нли уходят во внешнюю цепь
н Дп = Др — 0.
ГЛАВА 9. ОПТИЧЕСКИЕ И ПЛАЗМЕННЫЕ ЯВЛЕНИЯ
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Оптические эффекты в полупроводниках используют в разнообразных фотоприеВ-
никах, преобразователях солнечной энергии в электрическую, полупроводниковых
источниках излучения и в ряде других оптоэлектронных приборов. Основные виды
этих приборов будут рассмотрены в последующих главах. В настоящей главе
рассматриваются природа наиболее важных оптических процессов — поглощения
и излучения света — и принцип действия простейшего (ио практически очень важ-
ного) типа фотоприемвиков — фоторезвстора.
Во второй части главы рассмотрены акустоэлектрические эффекты н эффекты
разогрева электронного газа в сильных электрических нолях, также активно ис-
пользуемые в современной электронике.
$ 9.1. Поглощение света
Коэффициент поглощения света. Направим на однородный полу-
проводник пучок света мощностью Wo (рнс. 9.1). Проникая внутрь
полупроводника, свет постепенно поглощается и его мощность
уменьшается. Выделим на глубине х от поверхности полупровод-
ника тонкий слой dx. Мощность световой энергии dW\ поглощае-
мой слоем dx, пропорциональна мощности света W, падающего на
этот слой, и его толщине:
d№=- aWdx. (9.1)
Знак минус.указывает на уменьшение мощности. Коэффициент про-
порциональности а называют коэффициентом поглощения. При
dx=l имеем <х = — dW/W. Следовательно, коэффициент поглоще-
ния численно равен относительному изменению мощности света на
Рис. 9.1. К объяснению закона
поглощения света в веществе
Рис. 9.2. Схема собствен-
ного поглощения света в
полупроводниках
171
единичном пути, проходимом им в поглощающей среде. Размер-
ность коэффициента поглощения обратна длине (м-1, см-1).
Интегрируя (9.1) ,с учетом отражения от поверхности, получаем
W = U70(l (9.2)
где г — коэффициент отражения света. В неоднородных средах
происходит не только поглощение, но и рассеяние света на порах,
включениях и т. п., однако такие среды мы в дальнейшем рассмат-
ривать не будем.
Рассмотрим природу различных механизмов поглощения света
в полупроводниках.
Собственное поглощение. При собственном поглощении энергия
света, попадающего в полупроводник, расходуется на возбуждение
электронов нз валентной зоны в зону проводимости (рис. 9.2).
Ь соответствии с законом сохранения энергии такое поглощение
может происходить лишь в том случае, если энергия световых
квантов Лш не меньше ширины запрещенной зоны Eg:
Йы Eg. (9-3)
Из этого условия можно определить максимальную длину волны
A™, собственного поглощения:
Ащах ~~ 2лС/(0 = 2лСЙ/£&, (9.4)
где с — скорость света. Для кремния, например, имеющего
Eg « 1,1 эВ, Аалах ~ 1,13 МКМ.
Квантово-механическое рассмотрение процесса поглощения
света показывает, что кроме закона сохранения энергии должен
выполняться закон сохранения импульса:
Рп = Рр + Рфот- (9-5)
Здесь рл==йкп — импульс электрона, переброшенного в зону прово-
димости; рр — импульс дырки, возникшей в валентной зоне; рф0Т —
нмпульс фотона (кванта света), вызвавшего переход электрона.
В пределах первой зоны Бриллюэна проекции импульса элект-
рона на кристаллографические осн лежат в пределах от —hn/a
до 4-Ял/а, где а — параметр решетки (а«3-10-8см, Лл/а«108Л).
Импульс фотона равен 2лЙ/Х н для А,«5-10-5 см составляет ~105Й.
т. е. примерно на три порядка меньше импульса электрона. Поэтому
можно считать, что при оптических переходах импульс электрона
практически не изменяется:
Йкл« йкр. (9.6)
На энергетической диаграмме такие переходы (их называют пря-
мыми) изображают вертикальными стрелками (/, 2 на рис. 9.3, а).
Теоретический расчет коэффициента собственного поглощения
для прямых переходов в полупроводниках с экстремумами зон,
расположенными при одном и том же значении к (рис. 9.3, а),
приводит к следующему выражению:
172
Рис. 9.3. Прямые (а) и непрямые (б) переходы при собственном погло-
щении света
е1 [2mnmp/(ffln + m,,)]372 1/8 ____
*с =---------------------- (Й ш-Ев) , (9.7)
4* псп* е( mt
где п — коэффициент преломления полупроводника. Принимая
п = 4, а эффективные массы электронов тп и дырок тр равными
массе свободного электрона и выражая Йы и Eg в эВ, а Ос — в см-1,
получаем
Ос«2,7-105 (aw-Eg)7*.
Действительно, в области собственного поглощения ск достигает
значений ~104-=-105 см-1, т. е. свет поглощается уже на глубине
~ 1,0 4-0,1 мкм от поверхности.
Если дно зоны проводимости £с расположено при ином значе-
нии к, чем потолок валентной зоны Е„ (рис. 9.3,6), как это имеет
место, например, в германии и кремнии, то расстояние Ego по вер-
тикали между зонами больше ширины запрещенной зоны Eg—
= Ес — Ev. Тогда прямые оптические переходы могут возбуждаться
лишь квантами света с энергией, превышающей Egoi
Йш > Ego. (9.8)
Величину Ego называют оптической'шириной запрещенной зоны,
она равна минимальному расстоянию по вертикали между зонами.
Помимо прямых переходов в таких полупроводниках могут про-
текать и непрямые переходы, показанные на рис. 9.3, б наклонной
стрелкой 2. Они происходят с участием третьей квазичастицы—
фотона. В этом случае законы сохранения энергии и импульса
приобретают следующий вид:
Еп = Ер4~ Л<1>±Еф0Н, (9-9)
Рп = Рр + Рфот ± Рфон (9.10)
Знак плюс относится к процессам, протекающим с поглощением
173
фонона, знак минус — к процессам с испусканием фонона. Так как
энергия фононов в полупроводниках не превышает сотых долей
электрон-вольт, a fito ж 1 эВ, то Ефон в выражении (9.9) можно
пренебречь по сравнению с Лы. Импульс же фонона Йкф0Н лежит
в тех же пределах первой зоны Бриллюэна, что и импульс элек-
трона. Поэтому при переходах с участием фононов импульс элек-
трона может изменяться в широких пределах, что графически вы-
ражают проведением наклонных стрелок, характеризующих такие
переходы (рис. 9.3,6).
Вследствие того что вероятность протекания процессов с уча-
стием трех частиц много меньше вероятности двухчастичных про-
цессов, коэффициент поглощения в области непрямых переходов
значительно ниже, чём в области прямых. С понижением темпера-
туры процессы с поглощением фонона идут реже и коэффициент
поглощения для непрямых переходов уменьшается.
Край собственного поглощения в полупроводниках несколько
смещается под действием давления, вызывающего изменение по-
стоянной решетки, а вместе с ней и энергетической структуры
полупроводника. При всестороннем сжатии изменение Eg может
быть и положительным, и отрицательным. Поэтому край собствен-
ного поглощения может смещаться и в длинноволновую, и в ко-
нто
ние
Рис. 9.4. Эффект Фран-
ца—Келдыша
ротковолновую части спектра.
Этот же эффект обусловливает и изменение зонной структуры
полупроводников при изменении температуры, приводящем к сме-
щению края собственного поглощения.
Поглощение вблизи края собственной области изменяется также
во внешнем электрическом поле. Это явление, получившее назва-
ние эффекта Франца—Келдыша, объясняется наклоном энергети-
ческих зон во внешнем электрическом поле /Г(рис. 9.4) и туннель-
ным просачиванием электронов на глубину хз—Xi от точки xi
вправо и на расстояние х?— Хз от точки х2 влево. Из рис. 9.4 видно,
в точке хз электрон может перейти из состояния Ер в состоя-
Еп, поглотив квант света Йы = Еп— Ер < Eg.
Рассмотрим влияние легирования полупро-
водника на собственное поглощение. До тех
пор пока уровень легирования не слишком
высок и полупроводник остается невырожден-
ным, легирование практически не сказывается
на спектре собственного поглощения. Объясня-
ется это тем, что в невырожденных полупро-
водниках степень заполнения электронами со-
стояний в зоне проводимости очень мала, так
что они практически не мешают переходам
электронов из валентной зоны. С другой сто-
роны, в невырожденных полупроводниках
даже p-типа степень заполнения состояний в
валентной зоне близка к единице и вероятность
оптических переходов из этих состояний не за-
висит от степени легирования.
1 ?4
Иная ситуация имеет место в вырожденных полупроводниках.
Слабое вырождение приводит к уменьшению коэффициентов погло-
щения на частотах, близких к краю собственного поглощения.
Сильное же вырождение вообще сдвигает край поглощения в сто-
рону более коротких волн. Этот эффект называют сдвигом Бур-
штейна. Он отчетливо проявляется в полупроводниках с малой
плотностью состояний у дна зоны проводимости (или у потолка
валентной зоны), в которых сильное вырождение достигается при
сравнительно малых уровнях легирования. Так, в InSb легирова-
ние донорами (концентрации 5-102* м-3) приводит к сдвигу длинно-
волновой границы собственного поглощения с 7,1 до 3,5 мкм. Во
многих же случаях сдвиг Бурштейна маскируется другим эффектом
сильного легирования — изменением плотности состояний у краев
энергетических зон. Это изменение происходит вследствие размытия
примесных уровней в примесную зону и слияния последней с зоной
проводимости или с валентной зоной.
Кроме того, вблизи атомов примеси кристаллическая решетка
оказывается сжатой нли растянутой в зависимости от соотношения
радиусов основных и примесных атомов. Так как ширина запре-
щенной зоны Eg изменяется с давлением, то это должно приводить
к флуктуации Eg по кристаллу и изменению спектра поглощения.
Наконец, электрическое поле вблизи ионизированных атомов
примеси должно приводить к сдвигу края поглощения в длинно-
волновую область вследствие эффекта Франца—Келдыша.
Экситоны. При собственном поглощении света электроны из ва-
лентной зоны перебрасываются в зону проводимости и становятся
свободными. Однако возможно и иное течение процесса, когда
возбужденный электрон не разрывает связи с дыркой, возникающей
в валентной зоне, а образует с ней единую связанную систему.
Такая система была впервые рассмотрена Я. И. Френкелем и на-
звана им экситоном. Экситон сходен с атомом водорода: в обоих
случаях около единичного положительного заряда движется элект-
рон и энергетический спектр является дискретным (рис. 9.5). Уров-
ни энергии экситона располагаются у дна зоны проводимости.
Так как экситоны являются электрически нейтральными систе-
мами, то их возникновение в полупроводнике
не приводит к появлению дополнительных но-
сителей заряда, вследствие чего поглощение
света не сопровождается увеличением прово-
димости полупроводника. При столкновении
же с фононами, примесными атомами и други-
мн дефектами решетки экситоны нли рекомби-
нируют, или «разрываются». В первом случае
возбужденный электрон переходит в валент-
ную зону, а энергия возбуждения передается
решетке или излучается в виде квантов света;
во втором случае образуется пара носителей —
электрон и дырка, которые обусловливают по-
вышение электропроводности полупроводника.
Зона
проводимости
Зкситон-
\ные сос-
тояния
валентная
зона
Рнс. 9.5. Экснтонное
поглощение света
175
Поглощение света свободными носителями заряда. Свет может
вызывать переходы свободных носителей заряда с одних уровней
зоны на другие (рис. 9.6, а). Так как при таких переходах должен
существенно изменяться импульс носителя, то они могут идти лишь
с участием третьего тела.
С классической точки зрения, поглощение света свободными
носителями происходит следующим образом: носители заряда
ускоряются в электрическом поле световой волны и, рассеиваясь
иа дефектах кристаллической решетки, передают им свою энергию.
Иными словами, энергия световой волны переходит в теплоту
вследствие эффекта Джоуля — Ленца. Классическая формула для
коэффициента поглощения свободными носителями имеет следую-
щий вид:
acB=e3nX,2/(nc3Uo/nn4n2eo), (9.11)
Рис. 9.6. Поглощение света сво-
бодными носителями заряда при
переходах внутри одной подзоны
(а), между подзонами зоны про-
водимости (б) и валентной зо-
ны (в) кремния
Рнс. 9.7. Спектр поглощения
света арсенидом галлия п,-
типа проводимости
176
где с — скорость света в вакууме; п — показатель преломления
полупроводника; — подвижность носителей заряда на постоян-
ном токе; во — диэлектрическая проницаемость вакуума.
Эксперимент подтверждает, что ск, пропорциональна концент-
рации свободных носителей п до тех пор, пока с увеличением леги-
рования не начинает изменяться подвижность ио; для ряда полу-
проводников оправдывается и зависимость ск,~Х2.
Переходы между подзоиамп. Зона проводимости и валентная
зона реального полупроводника имеют более сложные структуры,
чем приводившиеся выше. Они представляют собой наложение не-
скольких зон (или, как их чаще называют, подзон), так что для
каждой зоны имеется не одна, а несколько дисперсионных кривых,
иногда пересекающихся. Свободные носители заряда — электроны
в полупроводнике n-типа и дырки в полупроводнике p-типа прово-
димости — могут переходить между этими подзонами, поглощая
свет, как это показано на рис. 9.6, б, в. В таком случае в спектре
поглощения появляются полосы, накладывающиеся на спектр (9.11).
Форма и интенсивность этих полос зависит от степени легирования
полупроводника. На рнс. 9.7 для примера приведены спектры по-
глощения n = GaAs с ^d=l,310l7 и 5,4-101® см-3.
Примесное поглощение. В примесных- полупроводниках под
действием света может происходить переброс электронов с примес-
ных'уровней в зону проводимости (рис. 9.8, а) и из валентной зоны
на примесные уровни, расположенные в запрещенной зоне
(рис. 9.8,6). Такое поглощение света называют примесным. Гра^
ница этого поглощения сдвинута в область длинных волн тем силь-
нее, чем меньше энергия соответствующего перехода.
Следует, однако, иметь в виду, что если примесные атомы уже
ионизированы, то примесное поглощение наблюдаться не будет.
Так как температура истощения примеси падает с уменьшением
энергии ее ионизации, то для наблюдения длинноволнового при-
месного поглощения необходимо охладить полупроводник до доста-
точно низкой температуры.
Так, например, спектр примесного поглощения германии, легированного золо-
том (энергия ионизации примеси £,=0,08 эВ, граница поглощении Хт,х~9 мкм),
наблюдается при температуре жидкого азота. (77 К), в то время как при легиро-
вании германия сурьмой (£,=0,01 эВ, ^„=135 мкм) примесное поглощение можно
наблюдать лишь при гелиевых температурах (4 К).
Коэффициент примесного поглощения a„ при XCkmax зависит
от X и пропорционален концентрации примеси N„. Поэтому примес-
ное поглощение удобно ха-
рактеризовать сечением по- | £f
глощения о„: ♦ ♦ ♦ ♦
ап=ап(Х)/А„. (9.12)
Максимального значения о„
достигает вблизи края при-
месного поглощения. В мак-
симуме о„« 10 164-10 15 см2
177
и a„ « 1 4- 10 см-1 при N„ = 1016 см~3. Получить большие значе-
ния On иногда не удается из-за низких предельных растворимостей
примесей в полупроводниках. Например, предел растворимости
золота в германии как раз равен ~1016 см-3.
$ 9.2. Излучение света полупроводниками
Рекомбинация электронно-дырочных пар в полупроводниках
может сопровождаться излучением света (см. § 8.2). Процессы из-
лучения обратны процессам поглощения и в состоянии теплового
равновесия полупроводник излучает ровно столько же и таких же
квантов света, сколько поглощает. Появление в полупроводнике
избыточных, неравновесных носителей заряда приводит к преоб-
ладанию процессов излучения над процессами поглощения и полу-
проводник начинает светиться.
Излучение света может происходить как при межзониой реком-
бинации, так и во время первого и второго (или и первого, и вто-
рого) этапа рекомбинации через ловушки (стрелки 2 и 3 на
рис. 8.2). Однако наиболее часто излучательными оказываются
межзонные переходы или переходы между мелким донором и ва-
лентной зоной или между зоной проводимости и мелким акцеп-
торным уровнем (рис. 9.9, а, б, в соответственно). Наибольшую
вероятность такие переходы имеют в прямозонных материалах,
таких, как арсенид галлия, хотя и в германии, и в кремнии также
можно обнаружить рекомбинационное свечение.
Как было показано в $ 9.1, свободные электрон и дырка могут
связаться в экситои. Если после этого электрон и дырка реком-
бинируют в экситоне и экситон аннигилирует, то такой процесс,
как правило, сопровождается испусканием кванта света (рис. 9.9, г).
Экситоны могут быть как свободно перемещающимися по кристал-
лу, так и связанными со всевозможными дефектами кристалличе-
ской структуры. В качестве таких дефектов могут выступать атомы
легирующей примеси, т. е. мелкие доноры и акцепторы, а также
атомы нейтральной примеси, например атомы азота, замещающие
в фосфиде галлия атомы фосфора. В связанном состоянии энер-
гия экситона меньше, чем в свободном, вследствие чего такие экси-
тоны меньше разрушаются тепловым движением и рекомбинация
через связанные экситоны может резко увеличить долю актов ре-
Рис. 9.9. Схемы излучательных переходов в полупроводниках:
а — межзонный; б — переход с мелкого донора в валентную зону; в — из эоны проводимости на
акцепторный уровень; г — аннигиляция экситона; д — переход с донора на акцептор
178
комбинации, происходящей с испусканием света, особенно в непря-
мозонных полупроводниках.
Наконец, излучательными могут быть и переходы электрона
с донорного на акцепторный уровень (рис. 9.9, <?). Для этого, одна-
ко, полупроводник должен быть сильно легирован, чтобы атомы
доноров и акцепторов часто оказывались на достаточно близком
расстоянии друг от друга.
$ 9.3. Фотопроводимость полупроводников
Эффекты поглощения света в полупроводниках находят практи-
ческое применение при создании модуляторов световых потоков,
фотоприемников и преобразователей световой энергии в электриче-
скую.
Для модуляции световых потоков можно использовать зависи-
мость коэффициента поглощения у края собственной полосы от
давления, внешнего электрического поля и концентрации свобод-
ных носителей заряда или зависимость поглощения света свобод-
ными носителями от их концентрации.
При собственном и примесном поглощениях возникают избы-
точные свободные носители заряда, их наличие приводит к увели-
чению проводимости полупроводника. Процесс внутреннего осво-
бождения электронов под действием света называют внутренним
фотоэффектом. Добавочную проводимость, приобретаемую полу-
проводником при облучении светом, называют фотопроводимостью.
Основную же проводимость, обусловленную тепловым возбужде-
нием свободных носителей заряда, называют темновой. Приборы,
позволяющие регистрировать световое излучение с помощью явле-
ния фотопроводимости, называют фоторезисторами.
На рис. 9.10 показаны устройство фоторезистора и схема его
включения. Чувствительный элемент фоторезистора представляет
собой брусок или пленку монокристаллического или поликристалли-
ческого полупроводника с двумя омическими контактами. Его под-
ключают к источнику смещения Vo через нагрузочное сопротив-
Рис. 9.10. Схема устройства и
включения в цепь фоторезнстора
Рнс. 9.11. Кривая нарастания
фотопроводимости при облуче-
нии полупроводника светом и
спада фотопроводимости после
прекращения облучения
179
леиие /?н- Чувствительный элемент должен быть достаточно тол-
стым, чтобы в нем поглощался практически весь свет Wo(1—г),
прошедший через освещенную поверхность (Wo — мощность па-
дающего света; г — коэффициент отражения поверхности). Это
требование легко выполнить для собственных фоторезисторов и
часто трудно выполнить для примесных. Если оио выполнено, то
число носителей (или пар носителей при собственном поглощении),
генерируемых светом в единичное время в чувствительном элементе
при Х<Хл1„, составляет
G=U70(l-r>i/(M. (9.13)
где т) — квантовый выход внутреннего фотоэффекта, равный числу
носителей (пар носителей), рождаемых в среднем каждым погло-
щенным фотоном. Он может быть больше 1, если при поглоще-
нии одного фотона высокой энергии рождается две (и более)
электронио-дырочиых пары, и меньше 1, если часть фотонов погло;
щается свободными носителями заряда.
Под действием напряжения Vo, приложенного к фоторезистору,
созданные светом носители заряда совершают дрейф и создают
в цепи ток, который называют фототоком 7ф. Его легко опреде-
лить из следующих соображений. Каждый носитель заряда за
время своей жизни т проходит Через резистор т//пр раз, где /пр — вре-
мя пролета, или, точнее, время дрейфа носителя через резистор*. Оно
равно длине I чувствительного элемента резистора, деленной на
скорость дрейфа одр:
<n₽=//wA₽=//(«S)=/2/(«V), (9.14)
где и — подвижность носителей. Сила фототока /ф равна произ-
ведению числа носителей G, ежесекундно генерируемых в полу-
проводнике под действием света, отношения т/<Пр и заряда элект-
рона е:
I*=eGT/t^=eGTuV/P=ebNuV /?, (9.15)
где ^N—Gt—число избыточных носителей в фоторезисторе. Если
свет генерирует пару носителей, то вместо и следует писать сумму
подвижностей «„+«₽.
Подставив в (9.15) значение G из (9.13), получим
/ _Г0(1— r)ei)tuV _ Го(1— г)е-гр\иУ
Отношение
к. д — 22- tytukV (9.17)
Г, hcP v '
характеризует чувствительность фоторезистора, которая пропорцио-
нальна длине волны падающего света (вплоть до Хтах), приложен-
* Вообще говоря, когда носитель заряда выходит из резистора, вместо него
через второй контакт входит другой, но это не меняет сути дела.
180
иому напряжению V, времени жизни носителей т и их подвижно-
сти и и обратно пропорциональна квадрату длины чувствительного
элемента фоторезистора.
Время жизни носителей т определяет не только чувствитель-
ность, но и инерционность фоторезистора: чем больше т, тем выше
чувствительность, но тем выше и инерционность прибора. Действи-
тельно, рассмотрим, например, характер спада фотопроводимости
фоторезистора после выключения источника света (рис. 9.11).
Вследствие протекания процесса рекомбинации концентрация избы-
точных носителей убывает по закону [см. (8.10)]
Дл=ь=Длое_(/_/“)/т,
где to — момент выключения света. По такому же закону проис-
ходит и спад фотопроводимости полупроводника (кривая ВС на
рис. 9.11):
аф=афое-('-',)/т, (9.18)
где o*o — стационарная (установившаяся) фотопроводимость в ус-
ловиях постоянной освещенности фоторезистора.
Из (9.18) видно, что чем больше время жизни избыточных
носителей, тем медленнее происходит спад фотопроводимости; сле-
довательно, тем более инерционен фотоприемннк излучения.
Легко показать, что касательная, проведенная к кривой спада
фотопроводимости Оф(/) в точке to, отсекает на оси времени отрезок,
численно равный т — времени жизни избыточных носителей. Это
часто используют для экспериментального определения т.
На рис. 9.11 показан также характер нарастания фотопроводи-
мости полупроводника после включения светового импульса (кри-
вая ОВ), описываемого следующим уравнением:
Оф=офо(1— е~'/т). (9.19)
И в этом случае касательная, проведенная к кривой аф(<) в начале
координат, отсекает на прямой АВ отрезок, численно равный т.
Следует указать, что в поликристаллических фоторезнсторах
чувствительность часто определяется процессами на границах
монокристаллических зерен, а не процессами в объеме полупро-
водника; в этом случае соотношение (9.17) неприменимо.
9.4. Акустоэлектронные явления
Взаимодействие электронов с длинноволновыми акустическими
колебаниями решетки. Рассмотрим взаимодействие электронов с
длинноволновыми звуковыми колебаниями, возбуждаемыми в кри-
сталле. Механизм этого взаимодействия может быть различным
в зависимости от природы кристалла.
В качестве простейшего примера рассмотрим одномерный ме-
таллический кристалл — цепочку положительно заряженных ионов,
погруженных в электронный газ (рис. 9.12, а). Возбудим в таком
кристалле продольную бегущую волну
181
Рис. 9.12. Взаимодействие упругих волн со сво-
бодными электронами кристалла:
а — цепочка положительно заряженных нонов металла; б -
смешение ионов S и изменение относительного расстояния
между ионами 6 при прохождении унругой волны (верти-
кальной штриховкой показаны области максимального сжатии
цепочки); в — колебание потенциала поля V н потенциальной
энергии U, г — колебание напряженности электрического
поля 6; стрелками показано направление поля
Sx=4cos2n(//7'—х/Х), (9.20
где sx — смещение иона,
отстоящего от начала ко-
ординат на расстоянии х;
X — длина волны; Т —
период; А — амплитуда
колебаний. Смещение
ионов происходит вдоль
оси х. На рис. 9.12,6
сплошной линией показа-
ны смещения ионов $ в
фиксированный момент
времени I (для простоты
примем I равным нулю).
Штриховой кривой пока-
зано относительное изме-
нение расстояния между
ионами
8= ±_ = Л —X
dx X
X Sin 2л (-L--0.(9.21)
Максимального отрица-
тельного значения 6 до-
стигает в точках х=Х/4,
5(Х/4), .... Здесь цепочка
сжата и расстояние меж-
ду ионами меньше равновесного. Максимального положительного зна-
чения 6 достигает в точках х=3(Х/4), 7(Х/4), ... Здесь решетка мак-
симально растянута и расстояние между ионами больше равновес-
ного. Изменение плотности распределения ионов вдоль цепочки
при возбуждении в ней продольной волны вызывает повышение
плотности положительного заряда в сгущениях волны н уменьшение
ее в разрежениях. Это приводит к возникновению электрического
поля с максимальным положительным потенциалом в сгущениях
волны и минимальным — в разрежениях. Характер изменения
потенциала V вдоль цепочки для фиксированного момента вре-
мени показан на рис. 9.12, в штриховой кривой, а потенциальной
энергии электрона в поле волны (£/=— eV) — сплошной кривой.
На рис. 9.12, г приведена кривая напряженности электрического
dV
поля волны: б——(сплошная кривая). Она максимальна в
местах, в которых смещения $ минимальны, и, наоборот, мини-
мальна в местах, где $ максимально; горизонтальными стрелками
показано направление S.
Таким образом, бегущая звуковая волна в металле вызывает
электрическую волну, распространяющуюся с той же скоростью.
182
Экранирование поля этой волны происходит путем Перераспреде-
ления свободных электронов: в местах минимума потенциальной
энергии концентрация электронов повышается, в местах максиму-
ма — понижается. Электроны «стекают» в потенциальные ямы,
образуя «электронные сгустки». При распространении волны по-
тенциальные ямы перемещаются вдоль цепочки со скоростью зву-
ка Рэв, увлекая за собой электроны, находящиеся в них. Поэтому
этот эффект называют эффектом увлечения электронов длинно-
волновыми акустическими фононами.
Аналогичное явление наблюдается и при распространении длин-
новолновых акустических волн в таких кристаллах, как германий,
кремний и др., однако механизм возникновения его иной. При сжа-
тии и растяжении решетки изменяются расстояния между атомами,
что приводит к изменению ширины запрещенной зоны Eg. В част-
ности, у германия и кремния с увеличением внешнего сжимающего
давления р ширина запрещенной зоны растет примерно пропорцио-
нально давлению: AEg=Pp, где ₽—коэффициент пропорциональ-
ности, называемый константой деформационного потенциала.
У германия и кремния он относительно мал и заметное изменение
Ея наблюдается лишь при относительно высоких давлениях.
Прохождение через кристалл продольной упругой волны приво-
дит к возникновению мест сжатия, где ширина запрещенной зоны
несколько увеличивается, и мест растяжения, где Eg несколько
уменьшается по сравнению с недеформированным кристаллом.
В результате этого энергии дна зоны проводимости и вершины
валентной зоны изменяются с периодом, равным длине звуковой
волны, как схематично показано на рис. 9.13. В пространстве,
таким образом, появляются периодически распределенные потен-
циальные ямы для электронов (и дырок), что приводит к пере-
распределению электронов и повышению их концентрации в местах
расположения потенциальных ям. При распространении упругой
волны вдоль кристалла перемещаются и потенциальные ямы,
частично увлекая за собой электроны.
Потенциальные ямы
для электронов
Потенциальные ямы
для дырок
Рис. 9.13. Изменение ширины запре-
щенной зоны полупроводника под
влиянием упругой волны:
— ширина запрещенной зоны в не дефор-
мированном кристалле; £<jc—в местах сжа-
тия решетки
Рис. 9.14. Акустоэлектри-
ческий эффект
183
Особенно сильное взаимодействие электронов с длинноволно-
выми фононами имеет место в полупроводниковых кристаллах,
обладающих пьезоэлектрическими свойствами (в CdS, CdSe, InSb
и многих других). Так как упругая деформация пьезоэлектриче-
ских кристаллов вызывает их поляризацию, то распространение,
через кристалл продольной звуковой волны сопровождается воз-
никновением электрической волны, распространяющейся to ско-
ростью звука и увлекающей электроны.
Акустоэлектрический эффект. Увлечение электронов звуковыми
волнами приводит к важному явлению, получившему название
акустоэлектрического эффекта.
Возбудим в пьезокристалле n-типа проводимости акустическую
волну (рис. 9.14). По мере распространения в кристалле она
постепенно затухает, отдавая свою энергию увлекаемым ею элект-
ронам (затухания волны вследствие поглощения ее решеткой мы
не рассматриваем). Вместе с энергией волна отдает электронам
и свой механический импульс. Поэтому на электроны в направле-
нии распространения волны будет действовать некоторая сила F.
Эта сила заставляет их перемещаться из левой части кристалла
(рис. 9.14) в правую. В результате в кристалле возникает электри-
ческое поле, приводящее к дрейфу электронов справа налево.
В стационарном состоянии при разомкнутой цепи напряженность
поля 8 должна быть такой, чтобы в любом сечении кристалла
поток электронов, увлекаемых звуковой волной, компенсировался
встречным дрейфовым потоком.
Будем рассматривать волну как поток фононов, имеющих
энергию А<о и импульс Л<о/изв (<о — циклическая частота колеба-
ний атомов в волне). Выделим в кристалле в направлении рас-
пространения волны цилиндр с единичной площадью основания и
длиной, равной изв (рис. 9.15). Все фононы, находящиеся в этом
цилиндре, в течение 1 с пройдут через основание S и перенесут
энергию
W=n$vMhti> (9.22)
и импульс
p=W/v3B, (9.23)
где Пф — концентрация фононов. В
слое кристалла толщиной dx
Рис. 9.15. К выводу соотношений
для акустоэлектрического напряже-
ния и тока
Рис. 9.16. Зависимость коэффи-
циента электронного поглоще-
ния звука от соотношения меж-
ду скоростью дрейфа электро-
нов Одр и скоростью звука езв
184
(см. рис. 9.15) ежесекундно поглощается энергия UZydx, где у —
коэффициент поглощения энергии волны электронами. Электроны,
находящиеся в этом слое, получают в соответствии с (9.23) им-
пульс, равный ylFdx/VaB. По второму закону динамики, изменение
импульса в единицу времени равно средней силе, действующей на
электроны со стороны звуковой волны:
-г = Ffifflx.
Озв
Эта сила, согласно сказанному выше, должна уравниваться
силой — е Snodx, действующей на электроны в слое dx со стороны
возникшего в кристалле электрического поля. Таким образом,
т — dx — е«Ло<к=0. (9.24)
®ЗВ
Отсюда находим S :
g=—(9.25)
«Лв»зв «зв
где и — подвижность электронов; а — удельная электропроводность
кристалла. На концах кристалла длиной L возникает разность
потенциалов
V = — f«dx =— l. (9.26)
Если концы кристалла замкнуть, то по цепи потечет ток
[=V/R=-uyWS/v3B, (9.27)
где 7?=q-|-—сопротивление кристалла с площадью поперечного
сечения S. Плотность тока
i= —“2!Е. (9.28)
°3в
Таким образом, эффект увлечения электронов звуковой волной
приводит к возникновению на концах разомкнутого пьезоэлектри-
ческого кристалла разности потенциалов, а в замкнутой цепи
кристалла — тока I. Это явление получило название акустоэлект-
рического эффекта; V и / называют акустоэлектрическими напря-
жением и током.
Усиление ультразвуковых волн. Нами рассмотрено взаимодей-
ствие электронов с упругой волной в отсутствие в кристалле внеш-
него электрического поля. Теперь представим себе, что звуковая
волна распространяется в пьезоэлектрическом кристалле, в кото-
ром создано внешнее электрическое поле, вызывающее дрейф
электронов со скоростью идр, причем направления распространения
185
волны и дрейфа совпадают. И в этом случае электроны взаимо-
действуют с упругой волной, но результат взаимодействия суще-
ственно зависит от отношения скорости дрейфа цдр к скорости
волны рзв. На рис. 9.16 показана зависимость коэффициента элект-
ронного поглощения звука от отношения Цдр/ц3в. При идр=0 (внеш-
нее поле отсутствует) коэффициент поглощения равен некоторой
величине уо. С ростом идр коэффициент поглощения у вначале рас-
тет и при некотором значении отношения идр/изв достигает макси-
мального значения
Утах=С<0, (9.29)
где С — коэффициент пропорциональности, зависящий от механи-
ческих и электрических параметров материала; <о — частота. При
дальнейшем росте цдр коэффициент у начинает быстро падать, об-
ращаясь в нуль при цдр/цзв=1 и становясь отрицательным при
Рдр/^звЗ> 1.
Физически это означает следующее. Если скорость дрейфа
электронов цдр равна скорости звуковой волны, то электроны не
взаимодействуют с волной, так как, собранные в виде сгустков
в потенциальных ямах (рис. 9.17, а) они дрейфуют вместе с волной.
Коэффициент электронного поглощения звука в этом случае равен
нулю. При цдр<цзв электроны отстают от звуковой волны, а следо-
Рис. 9.17. Взаимодействие электронов с
звуковой волной при различных соотно-
шениях между скоростью дрейфа элект-
ронов и скоростью распространения
волны (стрелки изображают силу,
действующую на электроны со стороны
волны)
Рис. 9.18. Принципиальная схема уста-
новки для исследования электронного
усиления и поглощения звуковых воли
186
вательно от электрического поля, созданного этой волной в кри-
сталле. Это поле начинает тянуть (ускорять) электронные сгустки,
передавая электронам энергию звуковой волны. Волна при этом
затухает (рис. 9.17,6), что соответствует положительному значе-
нию коэффициента электронного поглощения звука. При идр>изв
электроны опережают звуковую волну, вследствие чего электриче-
ское поле, созданное волной, стремится тормозить электронные
сгустки, отбирая у них часть энергии и передавая ее звуковой
волне. Коэффициент электронного поглощения у в этом случае бу-
дет величиной отрицательной, что соответствует эффекту усиления
звуковой волны за счет энергии дрейфующих электронов, а точнее,
за счет энергии электрического источника, поддерживающего дрейф
электронов; амплитуда звуковой волны при этом нарастает
(рис. 9.17, в). Этот эффект относительно мал для волн звуковой
частоты. С увеличением частоты <о он растет [формула (9.29)] и
для ультразвуковых волн (v« 14-10 МГц) достигает заметного
значения. Так, утая«18 см~ для CdS при частоте волны v=
=30 МГц; при распространении этой волны в пластине длиной
0,5 см интенсивность ее увеличится в ео,518«1О4 раз. Как видно из
рис. 9.16, это усиление будет наблюдаться при идр=1,5и3в. Для по-
лучения такой скорости дрейфа к кристаллу CdS необходимо при-
ложить внешнее поле напряженностью
S = 22 = = ,.Ь5-<»340» см/с 3>2 кВ/см>
и и 200 см*/(В-с)
где изв=4,3-10s см/с— скорость продольных волн в CdS, а и=
=200 см2/(В-с) — подвижность электронов в CdS.
На рис. 9.18 показана принципиальная схема эксперименталь-
ной установки для исследования электронного поглощения и уси-
ления ультразвука. К образцу О с нанесенными металлическими
электродами 31 и Эг прижимаются два электромеханических пре-
образователя П\ и /?2, представляющие собой обычно кварцевые
пластины, вырезанные в пьезоактивном направлении и покрытые
снизу и сверху металлическими пленками. С генератора Г подаются
электрические колебания, имеющие частоту, равную частоте собст-
венных колебаний пластины П\. Преобразователь П\ преобразует
их в ультразвуковые колебания (обратный пьезоэффект), которые
в виде ультразвуковых волн распространяются в образце О. Эти
волны воспринимаются преобразователем /7г, который преобразует
их в электрические колебания, регистрируемые электронным осцил-
лографом ЭО. К электродам Э\ и Э? прикладывают напряжение,
создающее в образце тянущее поле So, вызывающее дрейф элект-
ронов в направлении распространения волны. Чтобы избежать
сильного нагревания образца, поле So создается короткими пря-
моугольными импульсами напряжения. Меняя напряженность поля
So, а следовательно,скорость дрейфа vaj)=u So, можно пройти всю
кривую зависимости коэффициента электронного поглощения у от
отношения идр/изв.
Эксперименты показывают, что при пдр<пзв действительно идет
187
интенсивное электронное поглощение звука и амплитуда сигнала
на выходе, регистрируемая осциллографом, может быть значитель-
но меньше амплитуды колебаний, поступающих в преобразова-
тель /7ь При скоростях же дрейфа идр>изв наблюдается усиление
ультразвуковых волн и сигнал на выходе может значительно пре-
восходить сигнал, поступающий в преобразователь П\.
Как указывалось ранее, эффект увлечения электронов звуко-
выми волнами имеет место и в непьезоэлектрических полупровод-
никах. Поэтому и в таких полупроводниках в принципе можно
достигать усиления ультразвука. Однако, вследствие того что
взаимодействие электронов с упругой звуковой волной в непьезо-
электрических полупроводниках значительно слабее, чем в пьезо-
электрических, эффект усиления в них много ниже и наблюдается
лишь при очень высоких частотах звуковых волн (гиперзвук).
Поверхностные акустические волны. Особый интерес и практи-
ческую важность рассмотренные явления приобретают для случая
поверхностных акустических волн (ПАВ). Такие волны концент-
рируются непосредственно у поверхности пьезоэлектрического кри-
сталла в пределах нескольких длин волн (для волн частоты v«
«300 МГц глубина проникновения составляет в случае кварца
примерно 30 мкм). Для их генерации используют встречно-шты-
ревые (гребенчатые) электромеханические преобразователи П\ и
Пг, схематически показанные на рис. 9.19. Преобразователи пред-
ставляют собой металлические полоски, нанесенные на поверх-
ность пьезокристалла н образующие как бы две гребенки, встав-
ленные одна в другую. На эти гребенки от генератора электри-
ческих колебаний Г| подают переменное напряжение, возбуждаю-
щее в пьезокристалле поверхностную акустическую волну. Частота
переменного напряжения должна быть такой, чтобы длина воз-
бужденной волны была равна периоду гребенки. Преобразование
механических колебаний звуковой волны в электрические колеба-
ния осуществляется точно таким же электромеханическим преоб-
разователем /7г-
Для усиления поверхностных акустических волн дрейфом элект-
ронов на поверхность пьезоэлектрического кристалла наносят два
электрода 31 и в виде параллельных металлических полосок,
на которые подают импульсное напряжение от генератора Г2.
Это напряжение создает
Рис. 9.19. Принципиальная схема установки
иля исследовании усиления поверхностных аку-
стических волн
тянущее поле, вызываю-
щее дрейф электронов в
направлении распростра-
нения ПАВ. При идр>изв
наблюдается эффект уси-
ления этих волн.
Акусто - электронные
явления на ПАВ позволи-
лн разработать ряд твер-
дотельных приборов и
устройств. Низкая ско-
188
рость распространения ПАВ по сравнению со скоростью света
(узВ« 10-s с) позволила создать на ПАВ малогабаритные линии за-
держки (ЛЗ), применяемые в радиолокационных системах, систе-
мах связи, телевидении, в цифровых вычислительных машинах и
т. д. Рабочая частота ЛЗ определяется шагом электродов электро-
механического преобразователя, время задержки — расстоянием
между входным и выходным преобразователями, полоса пропуска-
ния — протяженностью преобразователя (числом штырей). В УВЧ-
диапазоне длина ПАВ составляет «20 мкм. Линия задержки дли-
ной 1 см на таких волнах позволяет получить такую же длитель-
ность задержки, как коаксиальный кабель длиной в 1 км. Важным
является то, что потери в ЛЗ на ПАВ можно компенсировать за
счет энергии дрейфующих электронов.
Дисперсионные линии задержки, в которых время задержки
линейно меняется с частотой, позволили создать фильтры сжатия
и расширения сигналов с коэффициентом сжатия до 104.
Двойное преобразование — электрический сигнал — звуковая
волна и звуковая волна — электрический сигнал — положено в
основу создания усилителей и генераторов электрических колеба-
ний, в том числе с перестраиваемой частотой.
$ 9.5. Эффект Ганна
Возникновение отрицательной дифференциальной проводимости
в однородных полупроводниках под действием сильного поля.
В сильных электрических полях подвижность носителей заряда
начинает зависеть от напряженности приложенного поля: и=и(8).
Вследствие этого статическая проводимость полупроводника <у0=
=епи, входящая в закон Ома (i=enu£=oo 8), сохраняясь поло-
жительной, может существенно изменять свое значение с измене-
нием напряженности поля. В зависимости от характера этого изме-
нения дифференциальная проводимость полупроводника
”джФ= •— = епи+ еп8 = +— (9.30)
dg dg \ и dg /
может оказаться как величиной положительной, так и отрицатель-
ной.
Первый случай реализуется тогда, когда с ростом напряжен-
ности поля 8 подвижность носителей и увеличивается, так что
——— >0, или уменьшается настолько слабо, что хотя — —
и dg 3 и dg
<0, но абсолютное значение-------— < 1, вследствие чего выра-
| и d g I
жение, стоящее в скобках (9.30), сохраняет положительный знак.
Второй случай реализуется тогда, когда с ростом 8 подвиж-
ность носителей заряда падает, причем настолько резко, что выпол-
£ du п 1 g du <
няется не только условие------<0. но и условие I---------> 1.
и dg I и dg
Тогда выражение, стоящее в скобках в (9.30), становится отрица-
тельным, что и приводит к отрицательному значению аДНф.
189
Реализация отрицательной дифференциальной проводимости
под действием сильного поля в арсениде галлия. Рассмотренный
случай возникновения под действием сильного поля отрицательной
дифференциальной проводимости легко реализуется в кристаллах
арсенида галлия. На рис. 9.20 показана энергетическая структура
зоны проводимости арсенида галлия. Эта зона имеет два минимума:
первый из них (/) располагается в середине зоны Бриллюэна, вто-
рой (ZZ) — на расстоянии 3/4л/а от центра зоны. По оси энергий
второй минимум стоит выше первого на ~0,35 эВ. Плотность со-
стояний Nci в нижнем минимуме примерно в 1500 раз меньше, чем
в верхнем Nc2 (т. е. 1500), подвижность электронов в ниж-
нем минимуме и примерно в 40 раз больше, чем в верхнем (ui/u2«
«40).
В отсутствие внешнего поля электроны, перешедшие с донорных
уровней в зону проводимости, находятся в термодинамическом
равновесии с решеткой полупроводника, обладая общей с ней тем-
пературой То. Они могут занимать энергетические уровни как в
нижнем, так и в верхнем минимуме этой зоны. Концентрации их
в этих минимумах соответственно составляют
щ = Afcle,‘/(t7“> и n2=Afc2e(’‘_0,35)/(*7’>,
где —р, — расстояние от дна зоны проводимости (нижнего уровня)
до уровня Ферми (см. рис. 9.20). Отношение
= (Vc, 1500е"°’38,(‘П).
«1
Для 7’о=ЗООК имеем Л7’о=0,026эВ и n2/ni=2,5-10-3.
Таким образом, хотя электронам статистически выгодно нахо-
диться в верхнем минимуме, имеющем значительно большую плот-
ность состояний, тем не менее при 7о=ЗОО К они туда попасть не
могут, так как не обладают достаточной для этого энергией. Поэто-
му практически все они (~99,8%) располагаются в нижнем мини
муме.
Рнс. 9.20. Энергетическая схема зоны про-
водимости арсенида галлия
Рис. 9.21. N-образная вольт-ампер-
ная характеристика полупроводни-
ка с отрицательным дифферен-
циальным сопротивлением, возни-
кающим под действием сильного
электрического поля
190
На рис. 9.20 показана больцмайовская кривая распределения
электронов зоны проводимости по энергиям при Т=300К (кри-
вая /). Она практически не простирается в область энергий, отве-
чающую верхнему минимуму.
Рассмотрим теперь, какое влияние на характер распределения
электронов по энергиям может оказать сильное поле. Электриче-
ское поле, заставляя дрейфовать электроны, передает им энергию.
В результате рассеяния электронов эта энергия переходит в энер-
гию нх хаотического теплового движения — электронный газ «разо-
гревается». В сильном поле его температура Те может значительно
превосходить температуру решетки То. В соответствии с этим-повы-
шается энергия электронов и кривая их распределения по энергиям,
деформируясь, простирается в область высоких энергий (рис. 9.20,
кривая 2). Это приводит к появлению все большего числа электро-
нов, способных переходить из нижнего минимума в верхний. На
рнс. 9.20 область кривой распределения, отвечающая заполнению
верхнего минимума, заштрихована, а сами переходы электронов из
минимума / в минимум // показаны горизонтальной стрелкой.
Расчет показывает, что для арсенида галлия
Т,~ (9.31)
причем начиная с полей 5»3- 10s В/м коэффициент у>1. Поэтому
в полях с напряженностью S >3-105 В/м температура электронного
газа начинает резко увеличиваться с ростом S и уже прн 8 «
«З.бХ^В/м достигает значения Т»»600 К. При такой темпера-
туре электронного газа отношение n2/n.istl,75. Это означает, что
прн в^З.б-105 В/м большая часть электронов зоны проводимости
оказывается не в нижнем, а в верхнем минимуме. Так как подвиж-
ность электронов в верхнем минимуме значительно меньше
(в 40 раз), чем в иижием, то переход большого числа электронов
из нижнего минимума в верхний должен сопровождаться резким
уменьшением их эффективной подвижности, а следовательно, и
уменьшением плотности тока, протекающего через полупроводник,
которая в этом случае описывается следующей формулой:
i=e(niui+n2u2)6. (9.32)
На рнс. 9.21 прямой OD показана зависимость t'i(&), вычерченная
в предположении, что все электроны зоны проводимости находятся
в нижнем минимуме (л|=л; п2=0), обладая подвижностью Ui. Эта
прямая наклонена к осн абсцисс под углом си. На этом же рисунке
приведена прямая ОС, выражающая зависимость i2( 8) в предполо-
жении, что все электроны находятся в верхнем минимуме («1=0;
п2=п), обладая подвижностью и2. Прямая наклонена к оси абсцисс
под углом а2<аь
Проследим теперь, как меняется плотность тока в полупровод-
нике по мере увеличения напряженности поля 8. До тех пор, пока
£ оказывается недостаточной, чтобы вызвать существенный разо-
грев электронов, все они остаются в нижнем минимуме и зависи-
мость «(£) описывается прямой OD. Одиако по мере рдста 8 все
191
большее число электронов приобретает энергию, достаточную для
перехода из нижнего минимума в верхний. Так как этот переход
сопровождается падением подвижности электронов, то он приводит
к уменьшению плотности тока. Поэтому начиная с некоторой на-
пряженности 81 нарастание тока i с ростом £ сначала замедля-
ется, а при 8 = $хр полностью останавливается. При дальнейшем
увеличении 8 переход электронов в верхний минимум протекает
столь интенсивно, что I не только не сохраняется постоянным, а
падает с ростом 8 (участок ВМ). В соответствии с этим диффе-
ренциальная проводимость полупроводника на этом участке оказы-
вается величиной отрицательной: оДНф= <0. Падение i с рос-
том 8 продолжается до напряженности $пор, при которой подав-
ляющее число электронов переходит в верхний минимум. После
этого зависимость 1(8) снова приобретает линейный характер
с углом наклона прямой i( 8), равным аг-
Вольт-амперную характеристику такого типа, содержащую уча-
сток с отрицательной дифференциальной проводимостью, назы-
вают N-образной. Она представляет большой интерес для радио-
электроники, так как системы с такой характеристикой могут быть
использованы для усиления и генерации электромагнитных колеба-
ний и других целей.
Возникновение электростатических доменов. Рассмотрим одно
общее свойство, присущее всем полупроводникам, обладающим
в сильных полях N-образной вольт-амперной характеристикой
(ВАХ).
Пусть через однородный и достаточно длинный кристалл течет
ток от источника питания, создающего в полупроводнике поле £0,
причем 5кр< So< (рис. 9.21). Пусть это поле является одно-
родным, так что его напряженность во всех точках кристалла оди-
накова, как показано на рис. 9.22, а. Предположим далее, что на
небольшом отрезке кристалла, заключенном между xt и х2, поле
случайно возросло на небольшую величину 6 8. Как следует из
ВАХ (рис. 9.22,6), в области xi<x<x2 плотность тока окажется
меньшей, чем в областях x<xt и х>х2. Вследствие этого электроны
начнут скапливаться вблизи Xi, создавая здесь отрицательный за-
ряд, и отрываться от х2, оставляя нескомпенсированный положи-
воднике в месте флуктуации электрического поля, средняя нап-
ряженность которого S.,>£Kp
192
тельный заряд. Между точками xt и х2 образуется дипольный
слой, обедненный свободными носителями. Этот слой называют
электростатическим доменом. Внутри домена возникает внутреннее
поле $вн, которое может значительно превосходить среднее поле
в кристалле So. У образца, питаемого от генератора напряжения,
образование домена сопровождается падением среднего поля
в остальной части кристалла (рнс. 9.23).
Перемещение доменов и возникновение колебаний тока. Опи-
санный выше процесс формирования домена происходит в коллек-
тиве электронов, дрейфующих от электрода, находящегося под
отрицательным потенциалом (катода), к противоположному (ано-
ду). Поэтому домен перемещается как единое целое в направлении
от катода к аноду со скоростью одр, равной для арсенида галлия
приблизительно 105 м/с.
Критической напряженности поле достигает прежде всего в тех
областях кристалла, где в силу особенностей их выращивания
удельное сопротивление имеет наиболее высокое значение. Практи-
чески такие области всегда располагаются у электродов, так как
в результате вплавления контактов эти области полупроводника
оказываются наиболее неоднородными.
Зарождаясь вблизи катода, домен перемещается к аноду и там
распадается. С распадом одного домена на катоде формируется
другой домен и процесс приобретает периодический характер с
частотой
y = v^/L, (9.33)
где L — длина кристалла. Так как в области домеиа концентрация
свободных электронов понижена, то возникновение его в кристалле
сопровождается повышением сопротивления образца н уменьше-
нием силы тока в цепи.
На рис. 9.24 показан характер изменения тока в цепи образца
с течением времени. В момент to зарождения домена в цепи течет
ток /0. По мере формирования домена (область /) ток в цепи умень-
шается и достигает минимального значения /д,1п в момент tt, отве-
ряжения, образование доме-
на сопровождается умень-
шением поля вне домена
Рис. 9.24. «Пичковый» характер изменения
силы тока в полупроводнике при образо-
вании и распаде электростатического до-
мена
7-671
193
чающий завершению процесса формирования домена. В области //
протяженностью —6=А/цдр домен перемещается от катода к ано-
ду и сила тока в цепи сохраняется неизменной и равной В мо-
мент 6 домен подходит к аноду и начинает распадаться (об-
ласть ///). Распад завершается к моменту времени /з и сопровож-
дается увеличением тока от /т|1) до первоначального значения /о.
Эффект возникновения колебаний тока в цепи полупроводника,
связанный с прохождением домена, впервые экспериментально
наблюдался на арсениде галлия n-типа Ганном; он получил назва-
ние эффекта Ганна. Приборы, основанные на этом эффекте, назы-
вают генераторами Ганна или диодами Ганна.
Эффект Ганна открыт в 1963 г. В 1966 г. был создан промыш-
ленный образец генератора СВЧ-колебаний с рабочей частотой
порядка ЗГГц и выходной мощностью 100 Вт в импульсном режи-
ме. Конструктивно диоды Ганна представляют собой пластину из
однородного кристалла арсенида галлия n-типа с двумя невыпрямляю-
щими контактами. Как следует из формулы (9.33), частота колеба-
ний, генерируемых диодом, определяется толщиной пластины.
Современная технология изготовления таких пластин позволяет
получать диоды толщиной порядка единиц микрометров, что соот-
ветствует частоте генерации в десятки гигагерц. Мощность гене-
рации в непрерывном режиме современных диодов Ганна дости-
гает сотеи милливатт, в импульсном режиме — сотен ватт. Из-за
наличия неоднородностей в кристалле образование доменов может
происходить не только у катода, но и в других областях пластины,
вследствие чего диоды Ганна, особенно с относительно толстыми
пластинами (сотни микрометров), обладают достаточно высокими
частотными и амплитудными шумами.
ГЛАВА 10. КОНТАКТ МЕТАЛЛ—ПОЛУПРОВОДНИК
Важную роль в твердотельной электронике играют явления, протекающие в кон-
тактах металл—металл, металл—полупроводник, металл—диэлектрик, полупровод-
ник—полупроводник, полупроводник—диэлектрик.
Контакты металл—металл используют для образования соединений между элемен-
тами приборов и подсоединения их к внешним цепям. Контакты металл—полупро-
водник по своему характеру могут быть омическими и выпрямляющими. Омиче-
ские контакты широко используют в диодах, транзисторах и пассивных полупро-
водниковых элементах интегральных схем. Выпрямляющие свойства контактов
металл — полупроводник используют для построения диодов и транзисторов.
Контакты металл—диэлектрик и полупроводник—диэлектрик применяют для
построения тонкопленочных приборов, работающих иа основе токов, ограниченных
пространственным зарядом (ТОПЗ), и эффекте поля.
Контакты металл—полупроводник и полупроводник—полупроводник лежат также
в основе построения термоэлектрических генераторов и холодильных устройств и
многочисленных полупроводниковых приборов (диодов, транзисторов и др.).
Настоящая глава посвящена рассмотрению физических свойств контактов ме-
талл— металл, металл—полупроводник, металл—диэлектрик. Свойства же контакта
полупроводник—полупроводник, используемые длп создании широкого класса полу-
проводниковых приборов, будут рассмотрены в последующих главах.
194
§ 10.1. Работа выхода
В гл. 4 было показано, что при сближении атомов и образова-
нии из них кристалла потенциальные барьеры для электронов,
отделяющие соседние атомы, понижаются и сужаются (см. рис.
4.2, б). Потенциальный же барьер у поверхности кристалла (у внеш-
ней его границы) остается практически столь же высоким, как и
у изолированных атомов (рис. 10.1, а). Поэтому электроны в крис-
талле находятся как бы в потенциальной яме, выход из которой
требует затраты работы по преодолению силы, действующей на
них со стороны кристалла. В случае металлов выражение для этой
силы определяется из следующих соображений.
Электрон, вышедший из металла и находящийся у его поверх-
ности на расстоянии х (рис. ‘10.1, б), индуцирует в металле за-
ряд +е. Этот наведенный заряд действует на вышедший электрон
так, как если бы он был сосредоточен под поверхностью металла на
глубине х в точке, симметричной той, в которой находится электрон.
Индуцированный заряд -|-е называют поэтому электрическим изоб-
ражением заряда —е. Он притягивает электрон с силой
Г=-е2/(16леох2), (10.1)
называемой силой электрического изображения.
На расстояний хо от поверхности кристалла порядка или меньше
межатомного довольно трудно определить силы, удерживающие
электрон в кристалле, и выражение (10.1) для х<х0 неприменимо.
Рис. 10.1. Выход электронов из металла:
а — потенциальный барьер для электронов у поверхности кристалла,
б — электрическое изображение заряда у поверхности металла; в —
изменение потенциальной энергии U(x) электрона с удалением его от
поверхности металла
т
195
Нулевой уровень
Рис. 10.2. Выход элект-
ронов из полупровод-
ника:.
Хо — термодинамическая ра-
бота выхода; хвн — внешняя
работа выхода; х< — работа
выхода электрона из глуби
ны валентной зоны
Ионы кислороОа
Ионы цезия
в)
Ионы вольфрама .
о)
Рис. 10.3. Образование двойного элект-
рического слоя при нанесении пленки
цезия на поверхность кристалла (а) и
при адсорбции атомов кислорода на
поверхности вольфрама (б)
Но, к счастью, для большинства практически важных задач доста-
точно знать лишь полную высоту барьера, отсчитанную от дна
зоны проводимости Ес, которую называют внешней работой выхода
Хвн нлн электронным сродством (рнс. 10.1, в), высоту барьера, от-
считанную от уровня Ферми ц, которую называют термодинамиче-
ской работой выхода хо (рис. 10.1, в), наконец, потенциал силы
зеркального изображения прн х>хо, который может быть найден
путем интегрирования выражения (10.1).
Для полупроводника или диэлектрика (рис. 10.2) термодина-
мическая работа выхода хо не соответствует работе выхода какого-
либо реального электрона, если уровень Фермн лежит в запрещен-
ной зоне и не совпадает ни с каким уровнем прнмесн.
Большое влияние на работу выхода оказывают мономолеку-
лярные адсорбционные слон. На рнс. 10.3, а условно показан одно-
атомный слой цезия, покрывающий поверхность вольфрама. Цезий
является щелочным металлом. Его внешний, валентный, электрон
связан с ядром значительно слабее, чем валентные электроны
в вольфраме. Поэтому прн адсорбции атомы цезия отдают вольфра-
му свои валентные электроны и превращаются в положительно
заряженные ноны. Между этими нонами и их электрическим изоб-
ражением в вольфраме возникает сила прнтяження, удерживаю-
щая ионы на поверхности вольфрама. Таким образом, если вольф-
рам покрыть одноатомным слоем цезия, то возникает двойной
электрический слон, внешняя сторона которого заряжена положи-
тельно. Поле двойного слоя помогает выходу электрона из вольф-
рама, поэтому в присутствии слоя цезия работа выхода электро-
нов из вольфрама уменьшается с 4,52 до 1,36 эВ. Подобно цезию
действуют одноатомные слои других электроположительных метал-
лов — барня, церия, тория н т. д.
Уменьшение работы выхода под влиянием адсорбции электро-
положительных элементов находит широкое практическое приме-
196
пение при изготовлении катодов электронных ламп, фотокато-
дов и т. п.
Совершенно иначе действует, например, кислород, адсорбиро-
ванный поверхностью металла. Связь валентных электронов в ато-
ме кислорода значительно сильнее, чем в металлах. Поэтому при
адсорбции атом кислорода не отдает, а наоборот, получает элект-
рон от металла, превращаясь в отрицательно -заряженный ион.
В результате этого внешняя сторона двойного электрического слоя
оказывается заряженной отрицательно (рис. 10.3,6), вследствие
чего электрическое поле тормозит выход электронов из металла и
работа выхода увеличивается. '
§ 10.2. Термоэлектронная эмиссия
Ток эмиссии; формула Ричардсона—Дешмеиа. На рис. 10.4
показаны энергетическая схема вольфрама и кривая распределе-
ния электронов по энергиям при 7=0 К и при высокой темпера-
туре. Из рисунка видно, что при повышении температуры «хвост»
кривой распределения заходит за нулевой уровень потенциальной
ямы, что свидетельствует о появлении некоторого числа электронов,
обладающих кинетической энергией, превышающей высоту потен-
циального барьера. Такие электроны способны выходить из метал-
ла («испаряться»). Поэтому нагретый металл испускает электроны.
Это явление получило название термоэлектронной эмиссии. В за-
метной степени оно наблюдается лишь при высокой температуре,
когда число термически возбужденных электронов, способных выйти
из металла, оказывается достаточно большим.
Поместив вблизи нагретого металла проводник и создав между
ним и металлом поле, собирающее электроны, можно получить
термоэлектронный ток. Подсчитаем плотность этого тока, предпо-
лагая, что все эмиттированиые электроны по внешней цепи возвра-
щаются к поверхности, так что электрод, испускающий электроны,
остается в целом электронейтральным. Для этого необходимо.
Рис. 10.4. Энергетическая схема вольфра
ма (а) и кривые распределения электро-
нов по энергиям п(Е) при Т — 0 К (не
прерывная кривая) и при высокой темпе-
ратуре (штриховая кривая) (б)
Рис. 10.5. К расчету плотности
термоэлектрического тока
197
вновь рассмотреть распределение электронов по скоростям внутри
металла. Число электронов в единичном объеме металла, состав-
ляющие скорости которых лежат в интервалах от vx до vx-j-dvx,
от Vy до и от Vi до Vj4-dvz, получим, умножив число со-
стояний электрона в этих интервалах на степень их заполнения.
Как было показано в § 5.2, разрешенные значения волнового век-
тора электрона к в к-пространстве распределены равномерно, так
что иа каждое значение к приходится объем 8л3 (при V=l). Если
мы воспользуемся соотношением mnv=ftk, которое для электронов
зоны проводимости приближенно выполняется, то получим, что
разрешенные значения вектора скорости электрона равномерно
распределены в пространстве скоростей с плотностью Шп / (8л3/г)=
= rrin/h. Плотность состояний с учетом спина электронов имеет
вдвое большее значение 2/п3/й3. Вероятность заполнения состояний
электронами, согласно § 5.1, зависит только от их энергии: /ф_д=
= 1/{ехр[(Е—p.)/(fe7')]-(-1}. Тогда число электронов в интервале ком-
понент скоростей-dvxdvudvz составит
п (ох. vy, vz) dvxdvydvz = д, <eicp|<£_|fc)/<JkT>J_hIj • (Ю-2)
Выделим на поверхности металла единичную площадку и по-
строим на ней, как на основании, прямоугольный параллелепипед
с боковым ребром vx (рис. 10.5). Число электронов в параллеле-
пипеде, составляющие скорости которых заключены в указанных
выше пределах, составляет
2m^vxdvJcdOydvz
» - <”- ”«• ’> dv-d0«<to-" *Т,ехр[(ё_и1/(>П|+п • <>° з>
Покинуть металл могут лишь те электроны, у которых кинетиче-
ская энергия в направлении х, равная mnv2x/2, будет не меньше вы-
соты барьера %в„, т. е. те, у которых скорость в направлении оси х
ие меньше чем пхо= /2%вя/тл.
Интегрируя (10.3) по vy и и? в пределах от —оо до 4-оо (пре-
делы, в которых могут теоретически меняться vy и vz) и по vx в пре-
делах от vxo до оо, получим число электронов, ежесекундно поки-
дающих единичную площадку нагретого металла:
з о© 4-0® 4"00
N = f f f -----------------________________• (Ю.4)
ft» J J J exp [(E-н)/(kT)] + I
Вычисление этого интеграла для случая, реализуемого обычно на
практике, когда приводит к следующему результату:
N = 2 Т®ехр (- . (10.5)
Умножив N на заряд электрона е, получим плотность тока:
198
i = АГ exp (- = АГ exp (-
где
Д=4летлА!2/й3.
(Ю.ф
(Ю.7)
Соотношение (10.6) называют формулой Ричардсона—Дешмена, а
коэффициент А — постоянной Ричардсона. Логарифмируя (10.6),
получаем
1п_£_=1пЛ-^ J_. (10.8)
Т* k т
График этой функции изображен на рис. 10.6. Он представляет
собой прямую, по наклону которой можно определить термодина-
мическую работу выхода хо. Экстраполируя эту прямую до пересе-
чения с осью ординат, можно найти постоянную Ричардсона А.
При mn — me А должна быть равна 1,2-106 А/(м2-К2).
Из формулы (10.6) следует, что плотность термоэлектронного
тока определяется температурой эмигрирующей поверхности и рабо-
той выхода. Так как обе эти величины стоят в показателе экспо-
ненты, то зависимость тока от них очень сильная. Так, если темпе-
ратуру вольфрамового катода повысить от 1000 до 2500 К, то плот-
ность тока эмиссии возрастет примерно на 16 порядков; покрытие
вольфрамового катода одноатомным слоем цезия, уменьшающим
работу выхода с 4,52 до 1,36 эВ, вызывает увеличение плотности
тока примерно на 14 порядков. Поэтому в настоящее время катоды
из чистых металлов практически не применяют (кроме катодов
специального назначения).
Из (10.7) видно, что постоянная Ричардсона не должна зави-
сеть от природы металла. В действительности же у разных метал-
лов она различна, что отчасти связано с различной степенью про-
зрачности их потенциальных барьеров для электронных волн, пре-
ломляющихся при вылете электронов из металла в вакуум, но в
основном определяется особенностями функции плотности состоя-
ний конкретных металлов вблизи нулевого уровня.
Рис. 10.6. Зависимость
плотности термоэмиссион-
ного тока от температуры
Рис. 10.7. Направление внешнего
поля S и силы F, действующей на
электрон, при задерживающем (а)
и ускоряющем (б) напряжении на
аноде
199
Рис. 10.8. Зависимость тока от напряжения на аноде (а) и влияние внешнего-
поля на высоту и форму потенциального барьера на границе металл —
вакуум (б, в)
7 = AST«exp(— 'Lss=^r
(Ю.9)
Если между эмиттером (термокатодом К', рис. 10.7, а) и коллек-
тором (анодом Л) создать разность потенциалов V, препятствую-
щую движению электронов к коллектору, то на коллектор смогут
попасть лишь те электроны, которые вылетели из эмиттера с запа-
сом кинетической энергии, не меньшим — eV(V<0). Для этого их
энергия в эмиттере должна быть не меньше %вн—eV. Замений в вы-
ражении (10.6) ]^вн на Хв„—eV, получим следующее соотношение
для тока, текущего в цепи:
= 70ехр
где S — площадь поверхности, эмиттирующей электроны; 70 — ток
эмиссии. Логарифмируя это выражение, находим
ln/=ln/o+eV7(A!7'). (10.10)
На рис. 10.8, а показан график зависимости In 7 от V. Для V<0
он представляет собой прямую, отсекающую на оси ординат (V=0)
отрезок 1п/0.
При положительном потенциале на коллекторе (рис. 10.7,6)
все электроны, покидающие эмиттер, попадают на коллектор. По-
этому ток в цепи меняться не должен, оставаясь равным току на-
сыщения /о (штриховая кривая на рис. 10.8, а).
Следует указать, что подобная ВАХ наблюдается лишь при
относительно малых плотностях тока эмиссии и высоких положи-
тельных потенциалах на коллекторе, когда вблизи эмиттирующей
поверхности не возникает сколько-нибудь значительного объемного
заряда электронов, не успевших достичь коллектора. При наличии
же такого заряда вольт-амперная характеристика описывается уже
уравнением Чайльда—Лэнгмюра, согласно которому 7~V3/2.
Эффект Шоттки. Вывод о независимости / от V при V>0 не
совсем точен. Ускоряющее поле у эмиттирующей поверхности, дей-
ствуя на электрон с силой F= — e8 (рис. 10.7,6), совершает
на пути х работу Fx= — е8х и тем самым уменьшает потенциаль-
ную энергию электрона на |1/^|=е^х. На рис. 10.8,6 показана
зависимость от х потенциальной энергии электрона во внешнем
200
поле Ug (штрих-пунктнрная прямая), в поле сил электрического
изображения (7ИЗ (штриховая кривая) и результирующей потен-
циальной энергии электрона U (непрерывная кривая). Из рнс.
10.8, б видно, что ускоряющее поле, действующее у эмнттнрующей
поверхности, пони ж а е т потенциальный барьер на ДХ. Расчет
показывает, что для полей не слишком высокой напряженности
ЛХ= )/е3<? /(4ле0) ~ /Г. (10.11)
Понижение потенциального барьера под действием внешнего
поля называют эффектом Шоттки. Он приводит к тому, что с ростом
положительного потенциала на коллекторе ток эмиссии не сохра-
няется постоянным (/о), а несколько увеличивается (непрерывная
кривая на рнс. 10.8, а).
Холодная эмиссия электронов. Внешнее ускоряющее поле вызы-
вает не только понижение потенциального барьера, но и уменьше-
ние его толщины d (рнс. 10.8, в), что в полях высокой напряжен-
ности (~109 В/м) делает такой барьер достаточно прозрачным для
туннельного просачивания электронов и выхода нх из твердого
тела. Это явление получило название холодной эмиссии электро-
нов. Плотность тока прн холодной эмиссии электронов резко растет
с увеличением напряженности ускоряющего поля:
/=С $2ехр(—а/ 8 ), (10.12)
где Сна — постоянные, характеризующие потенциальный барьер.
§ 10.3. Контактная разность потенциалов
Рассмотрим процессы, происходящие прн сближении и контакте
двух электронных проводников, например двух металлов, энергети-
ческие схемы которых показаны на рнс. 10.9, а. В изолированном
состоянии электронный газ в этих проводниках характеризуется
химическими потенциалами рц и р,2 н работами выхода %i и хг- При-
ведем проводники в контакт, сблизив нх до такого расстояния, при
котором возможен эффективный обмен электронами. Из рнс. 10.9, а,
на котором показано, как заполнены электронами уровни метал-
лов прн 7'=0К, видно, что в зоне проводимости проводника 2 за-
а) б)
Рнс. 10.9. Возникновение контактной разности потенциалов между дву-
мя металлами
201
няты все состояния вплоть до уровня Ферми р.2, причем против этих
состояний расположены занятые уровни зоны проводимости провод-
ника 1. Поэтому электроны из проводника 2 не могут переходить
в проводник 1. При температуре, отличной от О К, электроны про-
водника 2, термически возбужденные на уровни, расположенные
выше р.2, могут переходить в проводник /, но число таких электро-
нов при обычных температурах, невелико, вследствие чего их поток
«21 является слабым.
Иная картина складывается для проводника /. В нем зона про-
водимости также укомплектована вплоть до уровня Ферми pi, но
вследствие меньшей работы выхода (xi<X2) против занятых со-
стояний этого проводника, располагающихся выше уровня Фер-
ми р2, размещаются свободные уровни зоны проводимости провод-
ника 2. Поэтому при наличии контакта (даже при Г=0К) элект-
роны с занятых уровней проводника / переходят на свободные
уровни проводника 2, образуя поток «12, на первых порах значи-
тельно превосходящий поток «гь
Теперь рассмотрим, как устанавливается равновесие между
проводниками. Проводник /, теряя электроны, заряжается положи*
тельно, проводник 2, приобретая избыточные электроны, заряжа-
ется отрицательно. Возникновение этих зарядов вызывает смеще-
ние друг относительно друга энергетических уровней обоих' про-
водников. в проводнике 1, заряженном положительно, все уровни
опускаются вниз, а в проводнике 2, заряженном отрицательно;
все уровни поднимаются вверх относительно своих положений в
незаряженном состоянии этих проводников (рис. 10.9,6). Это легко
понять из следующих простых рассуждений. Для перевода элект-
рона, например, с нулевого уровня 01 металла / на нулевой уро-
вень 0г • металла 2, находящегося под отрицательным потенциа-
лом V относительно металла /, необходимо совершить работу, чис-
ленно равную eV. Эта работа переходит в потенциальную энергию
электрона. Поэтому потенциальная энергия электрона, находяще-
гося иа нулевом уровне отрицательно заряженного проводника,
на \U=eV больше потенциальной энергии электрона, расположен-
ного на нулевом уровне положительно заряженного проводника.
А это означает, что нулевой уровень проводника 2 располагается
на \U=eV выше нулевого уровня положительно заряженного про-
водника.
Подобное смещение претерпевают все энергетические уровни
проводников 1 и 2, в том числе и уровни Ферми р.| и р.2-
Как только непрерывно понижающийся уровень Ферми провод-
ника 1 (pi) и непрерывно повышающийся уровень Ферми провод-,
ника 2 (цг) оказываются на одной высоте, причина, вызывавшая
преимущественное перетекание электронов из проводника / в про-
водник 2, исчезает, так как против заполненных уровней провод-
ника / располагаются теперь заполненные с той же степенью засе-
ленности уровни проводника 2. Между проводниками устанавлива-
ется равновесие, которому отвечает равновесная разность потен-
циалов между ними
202
VK=4-(X»-X1). (10.13)
называемая контактной разностью потенциалов. Как видно из
(10.13), К определяется разностью работ выхода электронов из
контактирующих проводников. Значение VK может достигать еди-
ниц вольт. Из рис. 10.9, б следует, что контактная разность потен-
циалов создает для электронов, переходящих в проводник с боль-
шей работой выхода, потенциальный барьер высотой eVK.
Полученный результат справедлив для любых способов обмена
двух материалов электронами, в том числе и путем термоэлектрон-
ной эмиссии в вакуум, через внешнюю цепь и т. д.
Контактная разность потенциалов может играть большую роль
в работе электровакуумных приборов, электроды которых (катод,
анод, сетки и др.) изготовляются, как правило, из разных метал-
лов. Контактная разность потенциалов, возникающая между таки-
ми электродами, складывается с внешней разностью потенциалов
и оказывает непосредственное влияние на ВАХ приборов. Измене-
ние контактной разности потенциалов может привести к неста-
бильности работы этих приборов. Контактные явления лежат также
в основе работы многих полупроводниковых и других твердотель-
ных приборов и устройств.
Оценим теперь количество электронов, перетекающих из одного
металла в другой при возникновении контактной разности потен-
циалов Ук. Будем считать, что между контактирующими металлами
остается зазор шириной d, а заряды концентрируются в узких слоях
у поверхностей. Тогда значение заряда Q на каждой из поверхно-
стей, необходимого для создания разности потенциалов Ук, можно
определить из формулы для плоского конденсатора Q=CVK, где
С — емкость конденсатора. В рассматриваемом случае C=zoS/d
(здесь S — площадь контактирующих поверхностей, ео — диэлект-
рическая постоянная вакуума). Отсюда получаем
Q=Se0VK/d.
Так как расстояние между металлами d не может быть меньше
параметра решетки ас^О.З нм, то максимальная плотность заряда
на контактирующих поверхностях при контактной разности потен-
циалов Vk«1 В равна Q/S^3-10“2 Кл/м2. Это соответствует
^2-1017 электронам на 1 м . На 1 м2 в одноатомном слое металла
размещается ~5-1018 атомов. Полагая, что каждый из них отдает
в электронный газ по одному валентному электрону, для поверхно-
стной плотности электронного газа получим ns—5-1018 м-2. Таким
образом, для создания контактной разности потенциалов в нашем
примере потребовалось всего лишь —4% электронов из одноатом-
ного слоя у поверхности металлов.
Столь незначительное изменение концентрации электронного
газа в контактном слое, с одной стороны, и малая толщина потен-
циального барьера на границе раздела металлов, обеспечивающая
прозрачность его для туннелирования электронов, с другой сторо-
ны, не могут привести к сколько-нибудь заметному изменению
203
электропроводности этого слоя по сравнению с металлом в объеме.
Через контакт двух металлов электрический ток идет так же легко,
как и через сами металлы.
§ 10.4. Контакт металла с полупроводником
Блокирующий контакт. Рассмотрим контакт металла с полупро-
водником. Пусть металл М, имеющий работу выхода Хом* приведен
в контакт с электронным полупроводником П, имеющим работу вы-
хода хоп (рис. 10.10). При хом>Хоп электроны будут перетекать из
полупроводника в метадл до тех пор, пока химические потенциалы
рм и рп не выравняются и не установится равновесие. Между
металлом и полупроводником возникает контактная разность по-
тенциалов Vk, имеющая примерно тот же порядок величины, что
и в случае контакта двух металлов (порядка I В). Для получения
такой разности потенциалов необходимо, чтобы из полупроводника
в металл перетекло примерно такое же число электронов, как и при
контакте двух металлов.
Если параметр решетки полупроводника аяа0,5 нм (германий), а концентра-
ция электронного газа в нем л«102Г м -3, то на 1 м2 его поверхности в одноатомном
слое находится ns«1014 электронов. Поэтому перетекание Ап~2-1017 электронов
должно быть связано с «оголением» ~103 атомных слоев полупроводника.
Таким образом, прн контакте металлов с полупроводником
выравнивание химических потенциалов может происходить только
путем перехода на контактную поверхность металла электронов
из граничного слоя полупроводника значительной толщины d
(рис. 10.11) и вся контактная разность потенциалов приходится
на полупроводник, а не на зазор между полупроводником и метал-
лом. Ионизированные атомы примеси, остающиеся в этом слое,
образуют неподвижный объемный положительный заряд. Так как
этот слой практически лишен свободных электронов, то его назы-
вают обедненным, а контакт металл - обедненный слой полупровод-
ника, обладающий высоким сопротивлением, называют блоки-
рующим.
Рис. 10.10. Схема контакта металл — полупроводник
Рис, 10.11. Распреде-
ление зарядов в бло-
кирующем контакте
металл — полупровод-
ник
204
Влияние контактного поля на энергетические уровни полу-
проводника. Контактная разность потенциалов Ук, возникающая
между металлом и полупроводником, формируется на протяжении
всей толщины обедненного слоя d (рис. 10.11). Если постоянную
решетки принять а«0,5 нм, число «оголенных» слоев приконтактно-
го слоя полупроводника ~103, то для толщины этого слоя получит-
ся значение d«0,5-103 нм = 5-10-7 м. При К = 1 В напряженность
контактного поля VK/d^2 • 10® В/м. Это по крайней мере иа
три порядка ниже напряженности внутреннего поля кристалла,
определяющего энергетический сцектр полупроводника. Поэтому
контактное поле не может замет'йо повлиять на структуру этого
спектра (ширину запрещенной зоны, энергию активации приме-
сей и т. д.). Его действие сводится лишь к искривлению всех энерге-
тических уровней полупроводника. Поясним это.
При отсутствии контактного поля энергетические уровни в ме-
талле и в полупроводнике изображаются горизонтальными прямы-
ми (см. рис. 10.10, а). Этим выражается то, что энергия электрона,
находящегося на данном уровне, например на дне зоны проводи-
мости, во всех точках полупроводника одна и та же. Она не за-
висит от координат электронов. При наличии контактной разности
потенциалов картина меняется: в слое, в котором сосредоточено кон-
тактное поле, на электрон действует сила, стремящаяся вытолкнуть
его из слоя. На преодоление этой силы необходимо затратить ра-
боту, которая переходит в потенциальную энергию электрона.
Поэтому по мере перемещения электрона внутри слоя объемного
заряда его потенциальная энергия <р(х) увеличивается, достигая
максимального значения фо=е|Ук| на границе полупроводника
(см. рис. 10.10,6). Это означает, что контактное поле вызывает
изгиб энергетических зон полупроводника.
Для определения вида функции <р(х) воспользуемся уравне-
нием Пуассона (8.51):
d’V р(х)
dx2 ' ее0
где е — диэлектрическая проницаемость полупроводника.
Целесообразно перейти от потенциала V(x) к потенциальной
энергии электрона <р(х) = —eV(x) и записать уравнение Пуанссона
для <р(х):
(10.14)
При вычислении объемной плотности q(x) заряда будем считать,
что в обедненном слое все донорные атомы Wd ионизированы и все
электроны ушли в металл. Тогда Q—eNa. Подставив значение р,
в уравнение Пуассона, получим
dx1 ese
(10.15)
205
Так как на расстоянии x^d контактное поле в полупроводнике
отсутствует, то граничные условия для этого уравнения можно за-
писать в виде
Интегрирование уравнения (10.15) с граничными условиями (10.16)
приводит к следующему результату:
<p(x)=v^-(d~*)a- 0°-17)
Из (10.17) видно, что с возрастанием х потенциал контактного
поля в полупроводнике убывает по параболическому закону. Для
х=0 получим <ро=Хом—Х°п. Подставив значение <ро в (10.17), най-
дем толщину d обедненного слоя:
= /?£•' <10,8>
где п„о — концентрация электронов (основных носителей) в п-полу-
проводнике, равная
Из fiO. 18) следует, что толщина d обедненного слоя увеличи-
вается с ростом контактной разности потенциалов <ро/₽, определяе-
мой разностью работ выхода, и уменьшается с повышением кон-
центрации основных носителей в полупроводнике. В табл. 10.1 при-
ведены результаты вычисления d по (10.18) в предположении, что
фо= 1 в И £=10.
Таблица 10.1
п„о, М"» d, м
10м 3 10-»
10я» 3-10"7
10»° 3-10-»
Если работа выхода из электронного полупроводника больше
работы выхода из металла, то электроны перетекают из металла
в полупроводник и образуют в его контактном слое отрицательный
объемный заряд. По мере перемещения к поверхности полупровод-
ника энергия электрона <р(х) в этом случае не увеличивается, ча,
наоборот, уменьшается, вследствие чего искривление энергетиче-
ских зон происходит в противоположную сторону (рис. 10.12).
Концентрация подвижных зарядов в контактном слое полупровод-
ника в этом случае повышается. Поэтому такой слой называют
обогащенным. У границы раздела полупроводника p-типа с метал-
лом также могут возникать как слои обеднения, так и обогащения
дырками.
206
Выпрямление на контакте полупровод-
ника с металлом. Замечательным свой-
ством блокирующего контакта является
резкая зависимость его сопротивления от
направления внешней разности потенциа-
лов, приложенной к контакту. Эта зави-
симость настолько сильна, что приводит
практически к односторонней (униполяр-
Рис. 10.12. Энергетическая
диаграмма невыпрямляюще-
го контакта металл — полу-
проводник л-типа проводи-
мости
ной) проводимости контакта: контакт
легко проводит ток в так называемом
прямом направлении и значительно хуже
в противоположном (обратном) направ-
лении. В этом состоит выпрямляющее
действие контакта полупроводника с
металлом. Рассмотрим его более подробно.
На рис. 10.13, а показана зонная структура контакта электрон-
ного полупроводника с металлом в равновесном состоянии. Потен-
циальный барьер для электронов, переходящих из металла в полу-
проводник, равен разности хом—Хвн.п; для электронов, переходящих
из полупроводника в металл, он составляет <p0=e|VK|. В состоянии
равновесия поток электронов, переходящих из металла в полупро-
водник, равен встречному потоку электронов, идущих из полупро-
водника в металл, так что результирующий ток через контакт равен
нулю. Обозначим ts плотность тока, отвечающую равновесным плот-
ностям электронных потоков. Она равна 1 /ienno{vn), где —
средняя скорость теплового движения электронов в полупро-
воднике.
Приложим к контакту внешнюю разность потенциалов в направ-
лении, совпадающем с контактной разностью потенциалов VK,
зарядив полупроводник положительно относительно металла
(рис. 10.13,6); такое направление называют обратным. Условимся
считать, что знак внешнего смещения V, приложенного в обратном
направлении, отрицателен. Так как сопротивление контакта обычно
РиС. 10.13. Энергетическая диаграмма выпрямляющего коитакта металл —
полупроводник в равновесии (а) и при обратном 1'о6 (б) и прямом I',,,,
(в) смещениях (стрелками изображены потоки электронов)
207
на несколько порядков выше сопротивления остальной части цепи,
то практически вся приложенная разность потенциалов V сосре-
доточивается на нем. Энергетические уровни в полупроводнике,
заряженном положительно, смещаются вниз на eV относительно
начальных положений. На это расстояние сместится вниз и уровень
Ферми |л. На рис. 10.13,6 дно зоны проводимости Ес и вершина
валентной зоны Е, построены с учетом нового положения уровня
Ферми. Из рисунка видно, что внешняя разность потенциалов V,
приложенная в обратном направлении, вызывает повышение по-
тенциального барьера для электронов, переходящих из полупро-
водника в металл, до
ф(О)=<ро — eV (При V<0). (10.19)
Согласно (10.18), такому барьеру соответствует обедненный слой
толщиной
d = I /~2*.Ч&£7еЧ (при V < 0). (10.20)
У
Таким образом, внешнее поле, приложенное к контакту в обрат-
ном направлении, повышает потенциальный барьер для электронов,
переходящих из полупроводника в металл, и увеличивает толщину
обедненного слоя.
Иная картина наблюдается, если к контакту приложено поле
в прямом направлении (рис. 10.13, в). В этом случае у отрицатель-
но заряженного полупроводника все уровни, в том числе и уровень
Ферми р,, смещаются вверх на eV, что приводит к понижению на
eV энергетического барьера для электронов, переходящих из полу-
проводника в металл. Барьер становится равным
ф(О)=фо — eV (при V>0). (10.21)
Соответственно толщина слоя объемного заряда уменьшается до
d = i/~-2ttdfr-eY) (при V>0) (10.22)
У е*Япв
Изменение высоты потенциального барьера под действием внеш-
ней разности потенциалов приводит к нарушению равновесия меж-
ду потоками электронов, текущими через контакт. Если к контакту
приложить внешнюю разность потенциалов V в обратном направ-
лении, плотность тока i„M уменьшится в ee|vl/<ftr) раз, так как, соглас-
но закону Больцмана, барьер высотой фо+^1 VI способно преодолеть
в ее|и|/(*г) раз меньшее число электронов, идущих из полупроводника
в металл, чем в случае равновесного барьера фо- Поэтому плотность
тока электронов, идущих из полупроводника в металл, становится
равной
i„M=ise₽v/(tr) (при V<0). (10.23)
Плотность же встречного тока гмп останется равной 4, так как
208
внешнее поле не влияет на высоту барьера для электронов, пере-
ходящих из металла в полупроводник: он по-прежнему сохраняется
равным разности работ выхода /ом—
Результирующая плотность тока, текущего в обратном направ-
лении,
/=/se'’v/(tr) —is=is(e'’v/(tT)—1) (при У<0). (10.24)
Ток направлен из полупроводника в металл. При увеличении об-
ратного напряжения V экспонента eeV/(>lT) быстро стремится к нулю,
а плотность обратного тока — к предельному значению, равно-
му —is. Плотность тока is называют плотностью тока насыщения,
a /s=Sis — током насыщения (S — площадь поперечного сечения
контакта металла с полупроводником).
Если внешняя разность потенциалов V приложена в прямом
направлении (рис. 10.13, в), потенциальный барьер для электронов,
текущих из полупроводника в металл, понижается на eV, вследст-
вие чего плотность тока i„M, образованного этими электронами,
pV/(kT\ г г
увеличивается в е а ; раз по сравнению с ts:
intt=i#eV/W (при У>0).
Плотность же тока iM„ по-прежнему равна i5. Поэтому в прямом
направлении (из металла в полупроводник) протекает ток плот-
ностью
i = i„M-iMn=is(eeV/(Ar)-l) при (У>0). (10.25)
Он экспоненциально увеличивается с ростом V. Объединяя (10.24)
и (10.25), получаем
i=is(eeV/(tr)-l).
(10.26)
При этом для прямого смещения У>0, для обратного V<0.
Формула (10.26) представляет собой уравнение вольт-амперной
характеристики (ВАХ) выпрямляющего контакта полупроводника
с металлом. На рис. 10.14 приведен вид ВАХ такого контакта.
Из рисунка видно, что контакт полупроводника с металлом действи-
тельно обладает выпрямляющим действием: он пропускает ток
в прямом направлении и почти не пропускает
Отношение силы тока, текущего в прямом
направлении, к силе тока, текущего в обратном
направлении, отвечающее одной и той же раз-
ности потенциалов, называют коэффициентом
выпрямления. Для хороших выпрямляющих
контактов он достигает значения десятков и
сотен тысяч.
Потенциальный барьер, возникающий в
выпрямляющем контакте полупроводника с ме-
таллом, называют часто барьером Шоттки,
а диоды, работающие на его основе, — диода-
ми Шоттки.
в обратном.
Рис. 10.14. Вольт-ам-
перная характеристика
диода Шоттки
209
§ 10.5. Токи, ограниченные пространственным зарядом
Невыпрямляющие контакты полупроводника и металла, при
образовании которых в приконтактной области полупроводника
образуется слой, обогащенный основными носителями тока, не вно-
сят дополнительного сопротивления протеканию тока и называются
омическими. Омические контакты необходимы для подсоединения
полупроводниковых областей приборов к внешним электрическим
цепям. На самом деле при такой полярности тока через контакт,
когда основные носители движутся от контакта в полупроводник,
происходит даже уменьшение сопротивления полупроводника за
счет втягивания (инжекции) основных носителей из приконтакт-.
ной области в объем полупроводника. Этот эффект особенно заме-
тен в структурах металл—диэлектрик—металл (МДМ), где ток
часто переносится именно инжектированными, а не малочисленными
собственными носителями.
Рассмотрим случай, когда толщина диэлектрика d много боль-
ше толщины обогащенных слоев L, возникающих у металлических
контактов (рис. 10.15, а, б).
Идеальный диэлектрик. Рассмотрение начнем с «идеального»
диэлектрика, не содержащего примесей и центров, способных за-
хватывать электроны. Концентрация собственных носителей заряда
злектроны
в обогащенных
а) 6)
Рис. 10.15. Токи, ограниченные пространственным зарядом:
а — МДМ-структура; б — энергетическая диаграмма МДМ-структуры в состоянии
равновесия; в — ВАХ МДМ-структуры с диэлектриком без ловушек и с диэлектриком,
содержащим мелкие ловушки, г — ВАХ МДМ-структуры с диэлектриком, содержащим
глубокие ловушки
210
в таком диэлектрике ничтожно мала. Поэтому внешнее напряже-
ние V, приложенное к подобной структуре, практически полно-
стью падает на диэлектрике и именно на той его части, в которую
не заходят слои обогащениями создает в нем электрическое поле
(в дополнение к внутреннему полю у контактов). Обогащенный
слой прикатодной области, не имея резкой границы, распростра-
няется в глубь диэлектрика, образуя объемный заряд переменной
плотности; из прианодного обогащенного слоя электроны уходят
во внешнюю цепь. Возникающий при этом электрический ток,
как и в случае вакуумного диода при больших плотностях тока
эмиссии, ограничивается пространственным зарядом носителей, рас-
пределенных в диэлектрике. Поэтому его называют током, ограни-
ченным пространственным зарядом (ТОПЗ).
Оценим по порядку величины число электронов, втянутых таким
образом в диэлектрическую пленку. Заряд Q в пленке связан с при-
ложенной разностью потенциалов V соотношением
Q = CV, (10.27)
где С — емкость системы. Если бы дополнительные заряды образо-
вывались лишь у границ диэлектрической пленки, то емкость со-
ставила бы
C=ee0S/d, (10.28)
где S — площадь контактов. С другой стороны, если бы электроны,
инжектированные в пленку, распределялись по ней равномерно,
то вместо d в выражении (10.28) следовало бы записать d/2,
так как среднее расстояние между «плюсами» и «минусами» в этом
случае было бы вдвое меньше. Тогда
C=2ee0S/d. (10.29)
Можно показать, что в действительности распределение элек-
тронов в диэлектрике является промежуточным между рассмотрен-
ными крайними случаями и значения емкости лежат между eenS/d
и 2ee0S/d. Для оценки порядка величины С можно воспользо-
ваться любым из этих значений, например (10.29). Тогда
Q=2ee0SV/d. (10.30)
Этот заряд связан с концентрацией электронов п в диэлектрике
соотношением
4
Q = eS f п(х) dx.
Средняя концентрация электронов в диэлектрике
4
п = — \ п (х) dx = ——
d J ' ' eSd
2eefl у
e d,2 ’
(10.31)
21!
а проводимость диэлектрика
G «<jS/d=enunS/d,
где ст — средняя удельная электропроводность, созданная в диэлею
трике; ип — подвижность электронов в нем. Подставляя сюда п
из (10.31), получаем
G«2eeoU„SV/d3. (10.32)
Через диэлектрик будет течь ток
/=GV«2ee0HnSV7d3. (10.33)
На самом деле электроны распределены по толщине пленки не-
равномерно: их концентрация у катода выше, но зато здесь ниже
напряженность электрического поля. Это обеспечивает постоянство
плотности тока в любом сечении пленки.
Более точный расчет, основанный на решении уравнения Пуас-
сона и уравнения непрерывности тока, дает вместо (10.33) следую-
щее выражение:
/=9/8ее0ил5 V2/d3. (10.34)
Это так называемый квадратичный безловушечный
закон, согласно которому ток, ограниченный пространственным
зарядом, пропорционален квадрату напряжения, приложенного к
МДМ-структуре. ВАХ такой структуры в логарифмических коорди-
натах показана на рис. 10.15, в.
Неидеальный диэлектрик. Если в пленке до приложения внеш-
него смещения существовали свободные носители с концентрацией
По (неидеальный диэлектрик или полупроводник), то ток через плен-
ку будет складываться из тока, переносимого этими носителями,
и тока носителей, втянутых в пленку из обогащенного слоя. При
малых смещениях, пока концентрация последних мала по сравне-
нию с «о, ток пропорционален приложенному смещению. При боль-
ших смещениях, когда число инжектированных носителей становит-
ся больше числа равновесных, наблюдается квадратичная зависи-
мость тока от смещения (рис. 10.15, в). Напряжение Кер, при ко-
тором происходит переход от закона Ома к квадратичной зависи-
мости / от V, тем выше, чем больше начальная концентрация но-
сителей п0.
Диэлектрик с ловушками. В запрещенной зоне диэлектрика
часто существуют локальные уровни, созданные примесными атома-
ми или дефектами решетки, которые могут захватывать электроны,
инжектированные в пленку. Ловушки могут быть расположены
на разной глубине в запрещенной зоне. Мелкими считаются ловуш-
ки, расположенные настолько близко к зоне проводимости, что
даже у самого контакта они находятся существенно выше уровня
Ферми и слабо заселены электронами (рис. 10.15,6). Между таки-
ми ловушками и зоной проводимости идет постоянный обмен элек-
тронами. Если обозначить б отношение времени пребывания элект-
ронов в зоне проводимости, в течение которого они могут участво-
212
вать в формировании тока, к полному времени пребывания их
в диэлектрике, то силу тока в диэлектрике при наличии ловушек
можно определить, умножив (10.34) на б:
/=9/86eeoUnSV2/d3. (10.35)
Так как б<1, то при прочих равных условиях ток в диэлектрике
с ловушками будет меньше, чем в диэлектрике без ловушек, хотя
по-прежнему /~V2 (рис. 10.15, в).
Глубокие ловушки у контакта с металлом заселены полностью,
но вдали от контакта они могут быть свободны (рис. 10.15,6).
Электроны, втянутые в диэлектрик при приложении внешнего сме-
щения, захватываются такими ловушками и хорошо ими удержива-
ются. Они очень редко переходят в зону проводимости. Поэтому,
пока инжектируемые носители не заполнят этих ловушек, ток в
диэлектрике определяется в основном его собственными носителя-
ми. После того как при некотором напряжении Уп.з.л происходит
полное заполнение ловушек, инжектируемые носители поступают
только в зону проводимости и ток резко нарастает. При сущест-
венном превышении эл концентрация носителей в зоне проводи-
мости становится много выше их концентрации на ловушках и ВАХ
структуры описывается квадратичным безловушечным законом
(рис. 10.15, г).
Двойная инжекция. До сих пор мы рассматривали лишь инжек-
цию электронов в диэлектрик, т. е. считали, что оба контакта явля-
ются инжектирующими для электронов и запирающими для дырок
или оба являются инжектирующими для дырок и запирающими
для электронов.
Картина прохождения тока через диэлектрическую пленку су-
щественно меняется, когда один из контактов в ней является
инжектирующим для электронов, другой — для дырок. Энергетиче-
ская диаграмма такой структуры изображена иа рис. 10.16, а.
В принципе ее можно изготовить, взяв для правого контакта металл
Рис 10.16. Двойная инжекция:
• энергетическая схема МДМ-структуры, в которой правый контакт является
инжектирующим для электронов, левый--для дырок; б - ВАХ МДМ-структуры при
двойной инжекции
213
с работой выхода меньшей, а для левого — большей, чем работа
выхода из диэлектрика. Тогда правая приконтактная область будет
обогащена электронами, левая — дырками.
Подобная структура обладает несимметричной ВАХ. Если к пра-
вому контакту подсоединить «+» источника смещения, а к лево-
му — «—>, то сопротивление структуры становится очень большим.
Наоборот, если «-|-> источника подсоединить к левому, а «—»
к правому контакту, электроны и дырки будут втягиваться в глубь
диэлектрической пленки из приконтактных областей, обеспечивая
заметную электропроводность. Как и в рассмотренном ранее случае
инжекции в диэлектрик носителей одного знака (монополярная
инжекция), заряд инжектированных носителей ограничен значени-
ем CV, где С — емкость структуры, V — приложенное к ней сме-
щение. Однако теперь объемные заряды возникают в пленке лишь
в результате различия в концентрациях инжектированных электро-
нов и дырок. На сами же эти концентрации ограничений не накла-
дывается. Поэтому ток при двойной (биполярной) инжекции зна-
чительно больше, чем при тех же разностях потенциалов в условиях
монополярной инжекции, и, как показывает расчет, определяется
следующим соотношением:
l=2w0u2SxV3/d5 ~xV3/d5. (10.36)
где т — время жизни носителей заряда.
Из (10.36) видно, что если время жизни носителей заряда не
изменяется с уровнем инжекции, то ток через диэлектрическую
пленку пропорционален V3 (кривая 2, рис. 10.16, б). В тех случаях,
когда время жизни носителей существенно зависит от уровня их
инжекции в пленку, зависимость /~У3 нарушается. При этом, если
время жизни т уменьшается с ростом концентрации инжектиро-
ванных носителей п, ток с напряжением меняется медленнее, чем
V3 (кривая 3, рис. 10.16,6); если т увеличивается с ростом и, то /
растет быстрее, чем V3. В последнем случае, если время жизни
растет с током достаточно быстро, на ВАХ структуры может по-
явиться участок с отрицательным дифференциальным сопротивле-
нием, а сама ВАХ приобретает S-образный вид (кривая 1 на
рис. 10.16,6).
§ 10,6. Термо-э.д.с.
Контактные электродвижущие силы не могут привести к возник-
новению тока в замкнутой цепи, если все ее элементы находятся
при одной и той же температуре. Действительно, рассмотрим,
например, цепь, состоящую из трех разных материалов (рис. 10.17,а).
Будем для определенности считать положительными э.д.с., которые
должны приводить к возникновению тока в цепи, направленного
по часовой стрелке. Обозначим термодинамические работы выхода
из рассматриваемых материалов Xoi, Х02 и хоз. Тогда
214
Рис. 10.17. К объяснению эффекта термо-э.д.с. Рис. 10.18. Зависимость тер-
мо-э,- д. с. акцепторного и до-
норного полупроводников от
температуры
еУк12=Хо1 —Х02;
еУк2з=Хо2 — Хоз! (10.37)
еУк31=Хоз — Хзь
Просуммировав правые и левые части (10.37), получим, что алгеб-
раическая сумма всех контактных э.д.с. равна нулю. Этот вывод,
однако, неверен, если контакты цепи находятся при различных
температурах. Действительно, изменим, например, температуру кон-
такта 1-2. Так как энергии Ферми, а вместе с ними и термодинами-
ческие работы выхода зависят от температуры, то значение К12
изменится. Все же остальные значения VK останутся неизменными.
Следовательно, сумма VK перестанет быть равной нулю и в цепи
появится результирующая разность потенциалов .э.д.с., называемая
термоэлектродвижущей силой.
Причиной возникновения термо-э.д.с. является не только изме-
нение с температурой контактных разностей потенциалов, но и воз-
никновение термодиффузионных и диффузионных потоков свобод-
ных носителей заряда при наличии перепада температуры вдоль
проводников (см. § 6.8). Дальнейшее рассмотрение проведем на
простейшем примере цепи из двух материалов, разомкнутой в месте
одного из контактов (рис. 10.17, б). В разрыв цепи для измерения
термо-э.д.с. включим вольтметр, обладающий большим внутренним
сопротивлением. Так мы исключим из рассмотрения дополнитель-
ные эффекты, связанные с протеканием тока по цепи, в которой
существуют перепады температуры.
Как показывает теория, в относительно узком интервале темпе-
ратур в цепи, где температура Т? одного из контактов (контак-
та 2-1 на рис. 10.17, б) отличается от температуры Т\ всех осталь-
ных контактов, термо-э.д.с.
Ут.э.д.с.=(а1-<Х2) (Т’г-Т’,). (10.38)
Коэффициенты а| и аг зависят от параметров материалов 1 и 2
соответственно. Их называют дифференциальными термо-э.д.с.
215
Для невырожденного полупроводника n-тнпа проводимости
..---(>Ч-2—£). (10-39)
Здесь г — показатель степени в формуле зависимости длины сво-
бодного пробега к от энергии электрона Е:
к~Ег. (10.40)
Показатель г зависит от механизма рассеяния: при рассеянии
на акустических тепловых колебаниях решетки г=0, при рассеянии
на ионах примеси г—2 и т. д.
Для невырожденного полупроводника p-типа проводимости
ар = 4-/г+2_.(Ю.41)
е \ к/ /
где —ц' — расстояние от уровня Ферми до потолка валентной зоны.
Для металла с параболической зависимостью энергии от волнового
вектора
= — • (10-42)
Зе р
Оценим значения ам и anjI. Для типичных металлов, иапрнмер для меди,
ц«7 эВ; при Г=300К feT=0,025 эВ. Подставляя это значение kT в (10.42) и пола-
гая г=0, получаем а„а;1 мкВ/K, что удовлетворительно согласуется с экспери-
ментом.
Для n-полупроводника, например для n-Si, с концентрацией донорной примеси
/V,i=102° м-3 при Г=ЗООК имеем р„«—0,3 эВ. Подставляя это в (10.39), находим
a„»l,2 мВ/K, что примерно иа три порядка выше, чем у металлов. Поэтому для
цепи, состоящей из полупроводника н металла, долей, вносимой в термо-э.д.с. ме-
таллом, можно пренебречь и считать, что вся термо-э.д.с. обусловлена полупровод-
ником.
Для полупроводников со смешанной проводимостью, электричес-
кий ток в которых переносится одновременно электронами и дыр-
ками, термо-э.д.с. определяется следующим соотношением:
an,p—(anUnn+apupp')/(nun+ рир). (10.43)
Для собственных полупроводников п=р=гц и
а;=(алыл+арЫр)/(ып+ир). (10.44)
В собственном полупроводнике —£g/2, и если ширина запре-
щенной зоны порядка 1 эВ, то слагаемыми (г + 2) в выраже-
ниях (10.39) и (10.41) можно пренебречь по сравнению с n/(kT).
Тогда получаем
as »---и,? ~ц< . (10.45)
2еТ и„ + ир
Так как обычно ип>ир, то щ в собственном полупроводнике явля-
ется величиной отрицательной. В акцепторном полупроводнике при
216
переходе к собственной проводимости происходит смена положи-
тельного знака термо-э.д.с. на отрицательный.
На рис. 10.18 показана зависимость термо-э.д.с. а акцепторного
полупроводника от температуры. В области низких температур,
в которой энергия Ферми относительно слабо меняется с темпера-
турой (см. рис. 5.9,6), —p'/(kT) приблизительно обратно пропор-
ционально температуре Т. Поэтому и удельная термо-э.д.с. ар~\/Т
(участок АВ кривой на рис. 10.18). В области истощения примеси
— р! /(kT)=\n(NN/Na)=inNv—InNa. Так как Nv~T3/2, то в этой об-
ласти ар слегка растёт с ростом температуры (участок ВС). Нако-
нец, в области перехода к собственной проводимости ц' становится
величиной практически постоянной и равной ц/, поэтому ар
снова уменьшается с ростом температуры и кривая должна была
бы идти так, как показано отрезком CD на рис. 10.18. В действи-
тельности же, вследствие того что в этой области концентрации
электронов и дырок практически сравниваются, термо-э.д.с., резко
падая, проходит через нуль и становится отрицательной (отре-
зок СЕ).
С дальнейшим повышением температуры модуль термо-э.д.с.,
согласно формуле (10.45), уменьшается (кривая EF для соб-
ственного полупроводника).
В нижней части рис. 10.18 показана кривая изменения термо-
э.д.с. ап донорного полупроводника с температурой. В области
собственной проводимости она сливается с кривой для р-полупро-
водника.
Термоэлектрический эффект получил широкое практическое при-
менение, в том числе и в радиоэлектронике. Он позволяет непо-
средственно преобразовывать тепловую энергию в электрическую,
что используется в термогенераторах. Теория таких генераторов
была разработана А. Ф. Иоффе. Согласно этой теории, к.п.д.
преобразования тепловой энергии в электрическую определяется
величиной а2<тД, где к — коэффициент теплопроводности полу-
проводника; и — удельная электропроводность.
Качественно это можно понять из следующих соображений.
В термогенераторах стремятся получить наибольший перепад тем-
ператур между горячим и холодным концами полупроводника при
возможно меньшей затрате тепловой энергии. Для этого выгодно
применять полупроводники, обладающие низкой теплопроводно-
стью, так как уменьшение теплопередачи от горячего конца к хо-
лодному за счет удлинения полупроводника вызывает увеличение
внутреннего сопротивления термогенератора и падение его к.п.д.
По этой же причине выгодно, чтобы удельная электропроводность
и полупроводника были максимальной. Tajt как с увеличением
степени легирования полупроводника а падает, а к и о растут,
то для каждого полупроводника существует оптимальная степень
легирования, обеспечивающая максимальное значение отношения
а2и/к, а следовательно, и максимальный к.п.д.
Первые термогенераторы были разработаны перед Великой
Отечественной войной и во время войны использовались для пита-
217
ния радиоаппаратуры. В 1953 г. был выпущен промышленный об-
разец термогенераторов мощностью около 1 кВт и выше. В настоя-
щее время ведутся разработки генераторов на сотни кило-
ватт.
В середине 70-х годов появились термогенераторы, использую-
щие теплоту, выделяющуюся при радиоактивном распаде хими-
ческих элементов. Примером такого генератора служит установка
«Бета-1» мощностью 150—200 Вт, работающая на радиоактивном
изотопе церия-144. Она предназначена для питания радиоэлектрон-
ной аппаратуры автоматических радиометеорологических станций,
искусственных спутников Земли н т. д.
В 1964 г. был построен экспериментальный атомный реактор-
преобразователь «Ромашка» мощностью 500 Вт, в котором тепло-
вая энергия преобразуется непосредственно в электрическую.
К.п.д. полупроводниковых термогенераторов в настоящее время
достигает 15% и в ближайшем будущем, по-видимому, превы-
сит 20%.
Термоэлектрический эффект используют также для определе-
ния температур (термопары) и при других измерениях, которые
могут быть сведены к измерению температуры. В тепловых фото-
приемниках (термоэлементах) свет, поглощаясь, нагревает зачер-
ненную приемную площадку, к которой присоединен спай термо-
пары. По значению возникающей при этом термо-э.д.с. можно
определить мощность светового потока. В тепловых амперметрах
ток проходит через спай термопары и нагревает его. По значению
возникающей при этом термо-э.д.с. определяют силу тока. В вакуум-
метрах через металлический проводник, к середине которого присое-
динен спай термопары, пропускают фиксированный ток. Темпера-
тура спая зависит от теплопроводности окружающего газа. По-
следняя же определяется давлением газа. Поэтому, измеряя воз-
никшую термо-э.д.с., можно определить давление газа. Этим мето-
дом удобно измерять давления в диапазоне 10“‘—10 Па.
В технике измерения электрофизических параметров полупро-
водников термоэлектрический эффект используют для определения
преобладающего типа проводимости (по знаку термо-э.д.с.) и ши-
рины запрещенной зоны [по формуле (10.45)].
§ 10.7. Эффект Пельтье
Эффект Пельтье состоит в том, что прн пропускании тока через
контакт двух разнородных материалов в дополнение к джоулевой
теплоте в контакте выделяется или поглощается теплота, количе-
ство Qn которой пропорционально заряду It, прошедшему через
контакт:
Qn=±n//. (10.46)
Коэффициент пропорциональности П называют коэффициентом
Пельтье.
Поясним природу этого эффекта на примере нейтрального кон-
218
Рис. 10.19. К объяснению эффекта Пельтье:
а - энер!етическая диаграмма цепи металл — полупроводник — металл с
нейтральными контактами в состоянии равновесия; б — то же, при пропуска-
нии тока
такта полупроводника с металлом. Нейтральным называют кон-
такт двух материалов, обладающих одинаковыми работами выхода.
В таком контакте отсутствуют слои обогащения или обеднения,
нет изгиба зон. На рис. 10.19, а показана энергетическая диаграмма
нейтрального контакта металла с п-полупроводником. В равновес-
ном состоянии уровни Ферми металла цм и полупроводника цп рас-
полагаются на одной высоте, а дно зоны проводимости полупро-
водника находится выше уровня Ферми металла на —цп, так что
для электронов, переходящих из металла в полупроводник, су-
ществует потенциальный барьер высотой —цп.
Приложим к такому контакту внешнюю разность потенциалов,
как показано на рис. 10.19,6. Под действием этой разности потен-
циалов в полупроводнике, на котором падает практически все при-
ложенное напряжение, в направлении от левого контакта к правому
происходит постепенный подъем на высоту eV уровня Ферми, дна
зоны проводимости и других энергетических уровней. В системе
возникает ток, направленный слева направо; поток электронов
(показан на рис. 10.19,6 стрелками) направлен справа налево.
Из рис. 10.19,6 видно, что электроны, переходящие в левом
контакте из полупроводника в металл, обладают в полупроводнике
энергией, большей, чем в металле, на —цп+(£„), где ——
высота барьера, с которого скатываются электроны, поступающие
из полупроводника в металл; (Еп) — средняя энергия электронов
в полупроводнике, учзствующих в создании тока. Она не равна
средней тепловой энергии электронов 3/ikT, как может показаться
с первого взгляда, так как относительная роль быстрых электронов
в формировании электрического тока выше, чем медленных. Для
невырожденного электронного газа расчет показывает, что
<£„> =(г-|-2) ЛТ, (10.47)
где г — показатель степени в соотношении (10.40).
Таким образом, каждый электрон, переходящий в левом кон-
такте из полупроводника в металл, переносит избыточную энергию
Д£,= -цл+(г-Ь2)ЛТ, (10.48)
которая выделяется в этом контакте в форме дополнительной
(джоулевой) теплоты. Эта теплота и представляет собой теплоту
219
Пельтье. Поделив (10.48) на заряд электрона е, получим коэффи-
циент Пельтье
|л| = А (г+ 2 4--^) Т. (10.49)
е \ kT /
В правом контакте электроны переходят из металла в полупро-
водник, преодолевая потенциальный барьер — Кроме того, для
установления равновесия этих электронов с электронным газом в
полупроводнике им необходимо приобрести еще энергию (Еп)', всю
эту энергию они черпают из решетки, охлаждая ее в правом кон-
такте.
Явление охлаждения контакта при прохождении тока особенно
важно, так как позволяет создавать термоэлектрические холодиль-
ные устройства — домашние холодильники, устройства для охлаж-
дения бортовой радиоэлектронной аппаратуры, микрохолодильники
для биологических целей, всевозможные термоэлектрические термо-
статы, микроскопные столики с охлаждением и нагреванием и т. д.
Удобным является то, что, меняя направление тока, можно превра-
щать холодильник в нагреватель и, наоборот, нагреватель в холо-
дильник.
Легко видеть, что эффект Пельтье является обратным эффекту
термо-э.д.с. (эффекту Зеебека). В первом случае пропускание тока
по цепи приводит к возникновению в контактах разности темпе-
ратур, во втором — создание разности температур в контактах
вызывает появление в цепи термо-э.д.с. и, следовательно, электриче-
ского тока. Сравнение (10.47) с (10.39), как и термодинамическое
рассмотрение этих явлений показывают, что между коэффициен-
том Пельтье и удельной термо-э.д.с. существует следующая простая
связь:
П=аГ. (10.50)
Наиболее эффективными материалами для создания как термо-
электрических холодильников, так и термогенераторов являются
материалы с максимальным значением сгоД. Для термоэлектриче-
ского охлаждения необходим материал с высокими значениями
коэффициента Пельтье и удельной электропроводности. Последнее
требование обусловлено тем, что в добавление к теплоте Пельтье
всегда выделяется и джоулева теплота и, чтобы эффект джоулева
нагревания не перекрыл эффект охлаждения, необходимы материа-
лы с хорошей электропроводностью. С другой стороны, при одном
и том же количестве теплоты, выделяющийся вследствие эффекта
Пельтье на одном контакте и поглощающейся на другом, разность
температур между контактами будет тем больше, чем меньше тепло-
передача от горячего конца проводника к холодному, т. е. чем мень-
ше коэффициент теплопроводности.
ГЛАВА II. ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ДИОДЫ
Одним из наиболее широких классов твердотельных приборов являются полу-
проводниковые дподы, предпазпачепные для осуществления пелппейпых преобра-
зований электрических сигналов (выпрямлеппе, детектяроваппе, модулпцпя, генери-
рование н т. д.), преобразовании электрической эяергпп в излучение (светодиоды,
лазеры) я, наоборот, преобразовании излучения в электрическую эпергпю (фото-
преобразователи, солнечные элементы) я многих других фупкцпй. Подавляющее
большинство диодов использует уникальные свойства контакта двух примесных
полупроводников с различным типом проводимости. Такой контакт называют
электронно-дырочным переходом яля р-п-переходом. Поэтому дапнап глава
посвящена рассмотрению свойств р-п-перехода и физических принципов работы
основных типов диодов, использующих эти свойства.
§ 11.1. Равновесное состояние р-п-перехода
Получение р-п-перехода. Получить р-п-переход непосредствен-
ным соприкосновением двух полупроводников практически невоз-
можно, так как их поверхности, как бы тщательно они ни были очи-
щены, содержат огромное количество примесей, загрязнений и все-
возможных дефектов, резко меняющих свойства полупроводников.
Поэтому успех в освоении р-п-перехода был достигнут лишь тогда,
когда его научились получать в виде внутренней границы в моно-
кристаллическом полупроводнике.
Рассмотрим наиболее широко используемые в настоящее время
методы получения р-п-переходов.
Диффузионный метод. Электронно-дырочный переход может
быть получен путем диффузии акцепторной примеси в полупровод-
ник донорного типа или донорной примеси в полупроводник акцеп-
торного типа. Диффузию примеси проводят при высоких темпера-
турах (1000—1300°С) или из твердого диффузанта, нанесенного
на поверхность полупроводниковой пластины, или из газа-носителя,
содержащего необходимую легирующую примесь, пропускаемого в
виде потока над пластинами. На рис. 11.1, а схематически представ-
лено распределение акцепторной примеси после диффузии ее в
донорный полупроводник (Na — концентрация доноров в полупро-
водниковой пластине). У поверхности пластины тип проводимости
Рис. 11.1. Распределение примесей в диффузионном (а)
и эпитаксиальном (б) р-м-переходах
221
определяется акцепторной примесью, концентрация которой здесь
Аа>Ан. По мере перемещения в глубь пластины концентрация Na
уменьшается и на некоторой глубине х„ становится равной концен-
трации донорной примеси в пластине. В этой плоскости и образует-
ся р-п-переход. За ним Аа<А<1 и быстро падает по мере удаления от
р-п-перехода. Такие переходы называют плавными.
Эпитаксиальный метод. Этот метод состоит в осаждении на
монокристаллическую подложку, например кремния л-типа, моно-
кристаллической пленки p-типа. На границе этой пленки и подлож-
ки образуется р-л-переход. Само осаждение эпитаксиальной пленки
может производиться из газовой или жидкой фазы.
Примером газовой эпитаксии может служить выращивание пле-
нок кремния на кремниевых подложках из тетрахлорида кремния
SiCU. С этой целью через кварцевую трубу, в которую помещены
пластины кремния, нагретые до температуры около 1200°С, про-
пускают поток водорода, насыщенный парами SiCU. Проходя над
кремниевыми пластинами,- SiCU восстанавливается до атомарного
кремния (SiCl4-|-2H2->-4HCl + Si), который осаждается на пластинах
в виде монокристаллической эпитаксиальной пленки кремния. Для
легирования пленок акцепторной примесью к SiC14 добавляют бро-
мид бора ВВгз, для легирования донорной примесью добавляют
хлорид фосфора РС1з.
Примером жидкостной эпитаксии может служить выращивание
эпитаксиальных пленок GaAs на GaAs-подложке из раствора арсе-
нида галлия в расплавленном металлическом галлии. Количество
GaAs в растворе подбирают таким, чтобы выше некоторой тем-
пературы 7"i он находился в ненасыщенном состоянии, а ниже
Т\ — в перенасыщенном. Раствор нагревают до температуры Т\ и
покрывают им пластины арсенида галлия, нагретые до этой же
температуры. После этого температуру печи делают ниже Т\ и из
пересыщенного раствора арсенида галлия на поверхности подложек
начинают расти монокристаллические пленки GaAs. Для легирова-
ния таких пленок в раствор вводят соответствующие легирующие
присадки.
На рис. 11.1, б показано идеализированное распределение
акцепторной примеси (концентрация Аа) в эпитаксиальной пленке,
выращенной на подложке, легированной донорной примесью (кон-
центрация Ad). Такое распределение отвечает так называемому
резкому р-п-переходу. В действительности фронты распределения
легирующих примесей являются несколько размытыми вследствие
протекания процесса диффузии. Чем ниже температура и меньше
время протекания эпитаксии, тем более резкими получаются р-п-
переходы.
В последнее время развивается и метод эпитаксии в вакууме
(10~7—10-8 Па), когда на подложку направляется поток атомов
осаждаемого вещества. Если осаждается сложное соединение (на-
пример, GaAs или GaxAli^xAs), то каждая компонента поступает
на подложку из отдельного источника. Таким способом получившим
наименование молекулярно-лучевой эпитаксии, можно создавать
222
пленки контролируемого состава очень малой толщины, вплоть до
нескольких нанометров.
Наконец, все более широкое распространение находит метод по-
лучения р-п-переходов с помощью ионного легирования, когда на
полупроводниковую подложку данного типа проводимости направ-
ляется пучок ионов примеси противоположного типа. Энергия ионов
в пучке составляет десятки—сотни тысяч электрон-вольт. Эти
ионы застревают в приповерхностном слое полупроводника, правда,
в основном в электрически неактивном состоянии (в междоузлиях).
Чтобы сделать имплантированную примесь электрически активной
(перевести ее в узлы решетки), необходим отжиг, т. е. прогрев
пластин в течение некоторого времени (обычно десятков минут).
При отжиге происходит не только активация примеси, но и восста-
новление нарушенной при имплантации кристаллической решетки.
Если отжиг производится при не слишком высокой температуре
(для кремния — ниже 1000°С), то р-п-переход получается доста-
точно резким.
Равновесное состояние р-п-перехода. Пусть внутренней границей
раздела двух областей полупроводника с различным типом прово-
димости является плоскость ММ (рис. 11.2, а) : слева от нее нахо-
дится полупроводник p-типа (например, р-германий) с концентра-
цией акцепторов Na; справа — полупроводник n-типа (п-германий)
с концентрацией доноров Na. Для простоты будем считать, что
Na = Mi = 1022 м~3 На рис. 11.2, б показано изменение концентра-
ции акцепторных и до-
норных атомов при пе-
ремещении вдоль оси х,
перпендикулярной пло-
скости ММ. В точке О,
лежащей в этой плос-
кости, концентрация
акцепторов Na скачко-
образно падает до ну-
ля, концентрация доно-
ров скачкообразно уве-
личивается от нуля до
(Vd.
Для n-области ос-
новными носителями
являются электроны,
для р-области — дыр-
ки. Основные носители
возникают почти цели-
ком вследствие иониза-
ции донорных и акцеп-
торных примесей. При
не слишком низких тем-
пературах эти примеси
ионизированы практи-
223
чески полностью, вследствие чего концентрацию ппо электронов в
n-области можно считать практически равной концентрации донор-
ных атомов Wd (т. е. nnoxN,i), а концентрацию рро дырок в р-обла-
сти можно считать равной концентрации акцепторных атомов Na
(т. е. рро~АМ-
Помимо основных носителей эти области содержат неосновные
носители: п-область — дырки (рпо), р-область — электроны (про).
Их концентрацию можно определить, пользуясь законом действую-
щих масс (5.36):
Я'ПоРпо=== РроПро== П-Ь (11.1)
где п( — концентрация носителей в собственном полупроводнике.
При nno = ppo= 1022 м-3 и п;=1019 м-3 (в Ge) получаем рто =
= Про= Ю16 м~3.
Как видим, концентрация дырок в p-области на шесть порядков
выше их концентрации в n-области, точно так же концентрация
электронов в n-области на шесть порядков выше их концентрации в
p-области. Такое различие в концентрации однотипных носителей
в контактирующих областях полупроводника приводит к возникно-
вению диффузионных потоков электронов из n-области в р-область
и дырок из p-области в n-область. При этом электроны, перешедшие
из n-области в p-область, рекомбинируют вблизи границы раздела
этих областей с дырками p-области; точно так же дырки, перешед-
шие из p-области в n-область, рекомбинируют здесь с электронами
этой области. В результате этого в приконтактном слое п-области
практически не остается свободных электронов и в нем формируется
неподвижный объемный положительный заряд ионизированных
доноров (рис. 11.2, а).
В приконтактном слое p-области практически не остается дырок
и в нем формируется неподвижный объемный отрицательный заряд
ионизированных акцепторов. На рис. 11.2, в показано распределе-
ние свободных носителей заряда в области р-п-перехода, а на
рис. 11.2, г — неподвижные объемные заряды, образовавшиеся
в этом переходе (р— объемная плотность этих зарядов). Обозна-
чим dp и dn толщины слоев объемного заряда соответственно в
p-области и в n-области, ad — общую толщину слоя объемного
заряда.
Неподвижные объемные заряды создают в р-п-переходе кон-
тактное электрическое поле с разностью потенциалов К, локализо-
ванное в области перехода и практически не выходящее за его
пределы. Поэтому вне этого слоя, где поля нет, свободные носители
заряда движутся по-прежнему хаотично и число носителей, ежесе-
кундно наталкивающихся на слой объемного заряда, зависит
только от их концентрации и скорости теплового движения.
Если в слой объемных зарядов влетает неосновной носитель
(электрон из p-области или дырка из n-области), то контактное
поле подхватывает его и перебрасывает через этот слой. При этом
часто (в так называемых узких р-п-переходах) вероятностью ре-
комбинации носителя за время его пролета через область простран-
224
ственного заряда можно пренебречь. Тогда каждый неосновной но-
ситель, налетающий на р-п-переход, проходит через него. Наоборот,
основные носители тока (электроны из n-области и дырки из р-об-
ласти) могут перелетать через слой объемных зарядов лишь в том
случае, если кинетическая энергия их движения вдоль оси х доста-
точна для преодоления контактной разности потенциалов, т. е. если
она больше е IVJ. Поэтому, как только образуются объемные заря-
ды у границы раздела ММ, потоки основных носителей, пересекаю-
щих эту границу, уменьшаются. Если, однако, эти потоки все еще
превышают встречные потоки неосновных носителей, остающиеся
неизменными, объемный заряд будет увеличиваться. Это увеличе-
ние продолжается до тех пор, пока потоки основных носителей,
уменьшаясь, не сравняются с потоками неосновных носителей.
Таким образом устанавливается динамическое равновесное состоя-
ние перехода.
Итак, при равновесии через р-п-переход, текут равные между
собой потоки электронов из n-области в p-область и из p-области в
n-область, а также равные между собой потоки дырок из р-области
в n-область и из n-области в p-область. Равенство этих потоков
обеспечивается наличием определенной контактной разности потен-
циалов Ук, уменьшающей потоки основных носителей, пересекаю-
щих переход, до уровня потоков неосновных носителей. Восполь-
зовавшись максвелловским распределением частиц по скоростям,
можно показать, что число свободных носителей тока, налетающих
за единичное время на слой объемного заряда, равно '/* произве-
дения концентрации носителей на среднюю скорость (и) их тепло-
вого движения и на площадь S р-п-перехода. Например, число
электронов, налетающих за единичное время на переход со стороны
p-области, равно '/4npo<.vn>S, а число электронов, налетающих
на переход со стороны n-области, равно ' /tnn0<iVn>S. Контактное
поле уменьшает потоки основных носителей, преодолевающих раз-
ность потенциалов Ук, в ехр[4-е|Ук|/(£7')] раз, так что поток элек-
тронов из п- в p-область полупроводника становится равным
l/tnM{Va)Se ‘lV«l/(W=V№o<vn}S. Отсюда находим (H.2)
n -‘IV,, (/(«•) . — Яро» (H.3)
e | Vk | = k TI n (n„op₽o / n?). (11.4)
Последнее выражение получено с noi цью закона действующих
масс (11.1). Приравнивание встречных потоков дырок, пересе-
кающих р-п-переход, дает:
D e-‘lvK!/<«» . Рмг — Pno> (H.5)
е | | = kT ln-^ = kT In(пя9Рро/ nJ). (11.6)
Pna
8—671
225
Сравнивая выражения (11.4) и (11.6), видим, что встречные
потоки электронов и дырок выравниваются при одной и той же кон-
тактной разности потенциалов Ук. Из (11.4) и (11.6) видно также,
что потенциальный барьер тем выше, чем больше различия в кон-
центрациях носителей одного знака в п- и p-областях. Отсюда же
следует и тот факт, что при контакте двух полупроводников соб-
ственной проводимости (Ппо—рро — nt) потенциального барьера не
возникает. Поэтому при достижении температуры собственной про-
водимости р-л-переход исчезает.
На рис. 11.2, д показана зонная диаграмма р- и п-областей
полупроводника в момент мысленного их соприкосновения, т. е.
до установления равновесия между ними. Энергетические уровни
изображаются горизонтальными прямыми. Это выражает тот факт,
что энергия электрона, находящегося на данном уровне, например
на дне зоны проводимости, во всех точках полупроводника одина-
кова. После установления равновесия образуется р-п-переход с
потенциальным барьером для основных носителей <po=e|VJ. Элект-
роны, переходящие из п- в-p-область, преодолевая этот барьер,
увеличивают свою потенциальную энергию на <po=e|VK|. Поэтому
все энергетические уровни полупроводника, искривляясь в области
р-п-перехода, поднимаются вверх иа фо, как показано на рис. 11.2,е.
При этом уровне Ферми и устанавливаются на одной высоте.
Действительно, для невырожденного полупроводника
А/с с > — АГсе^ , (!!•')
где Ne — эффективная плотность состояний у дна зоны проводи-
мости; цп и — уровни Ферми в п- и p-областях соответственно.
Подставив (11.7) в (11.4), получим
Фо=р.л — М.р. (11-8)
Для определения вида функции ф(х), характеризующей измене-
ние потенциальной энергии электрона при переходе его из п- в p-об-
ласть (или дырки при переходе ее из р- в n-область) воспользуемся
уравнением Пуассона
с'9»
в котором р(х) представляет собой объемную плотность зарядов,
создающих поле. Будем полагать, что донорные и акцепторные
уровни ионизированы полностью и слой dn покинули практически
все электроны, а слой dp — все дырки. Тогда в n-области при
0<x<d„ объемная плотность зарядов р(х)«е№«еп„о, а в р-облас-
ти при —dp<x<0 она составляет р(х)«—eNa=—ерро. Подста-
вив это в (11.9), получаем
Д.Дк.ил.я»,
dx1 «в
226
N& (для x<0).
d*? =
dx1
Так как на расстояниях x~^dn и — dp контактное поле в полу-
проводнике отсутствует, то граничными условиями для этих уравне-
ний являются
(11.11)
JS-I =0,
dx x=tf
Г л
ф(х)|* — чр = Фо!
dy
~dx
(11.12)
= 0.
'р
Решение уравнений (11.10) и (11.11) с граничными
(11.12) и (11.13) приводит к следующим результатам:
(11.13)
условиями
z = — tf,
Ф= -— Na(dn — X? (для 0<x<dn);
2ec 0
ф = Фо — т—- N* (dP + *)* (для — dp < х< 0);
(И.14)
(11.15)
2teo?o Na + ^a\'/2 _ ( 2eztyt «по + Рро '/2 ।
NaNA
nmPpt
dn/dp=-Na/NA.
(11.17)
Из уравнений (11.14) и (11.15) видно, что высота потенциаль-
ного барьера <р(х) является квадратичной функцией координаты х.
Толщина слоя объемного заряда, согласно (11.16), тем больше, чем
ниже концентрация основных носителей, равная концентрации
легирующей примеси. При этом глубина проникновения контактного
поля больше в той области полупроводника, которая легирована
слабее. При Mi^iVa, например, практически весь слой локализуется
в п-области:
= (И. 18)
Так, для германия при Wd = 1021 м-3, М> = 1023 м-3, dp=8-10 9M
dn=8-10~“7 м.
Произведенный расчет толщины слоя объемного заряда-относит-
ся к резкому р-п-переходу, в котором концентрация примесей
меняется скачкообразно (см. рис. 11.1, б и 11.2). В случае диф-
фузионных переходов изменение концентрации примеси в переходе
протекает плавно (см. рис. 11.1, а и 11.3). Считая, что это измене-
ние происходит по линейному закону, получаем из решения урав-
нения Пуассона следующее выражение для толщины слоя объем-
ного заряда:
d0 = [128еОфо/(^а)]1/3, (11.19)
8*
227
a)
S)
Рнс. Л 1.3. Плавный р-п-пере-
ход:
а — распределение нескомпенснро*
ванной примеси в области перехода.
б — распределение плотности объем-
ного заряда
Рис. 11.4. Переходные про-
цессы (а) и стационарное со-
стояние (б. в) диода под об-
ратным смещением
где а — коэффициент пропорциональности в выражении линейного
закона изменения концентрации некомпенсированной примеси
Na—Nd в переходе: Na—Nd=a(xo—x) (см. рис. 11.1, а).
§ 11.2. Барьерная емкость р-п-перехода
Электронно-дырочный переход является основным элементом
самых разнообразных полупроводниковых приборов, простейшим
из которых (по конструкции) является диод. В диоде к п- и р-об-
ластям полупроводника с помощью омических контактов подсоеди-
нены металлические электроды для пропускания тока через при-
бор. Переходное сопротивление хорошо изготовленного омического
контакта является линейным и невелико по сравнению с сопротив-
лением р-л-перехода диода.
228
Рассмотрим явления, происходящие в диоде, к которому прило-
жена разность потенциалов от внешнего источника смещения. Сме-
щение, при котором плюс источника подсоединен к n-области, а
минус — к p-области (рис. 11.4), называют обратным.
После замыкания ключа К к омическим контактам диода прите-
кают по внешней цепи заряды, создающие в объеме диода электри-
ческое поле SBH. Это поле вызывает дрейф основных носителей
тока в направлениях, указанных стрелками на рис. 11.4, а. Таким
образом, вся масса электронов n-области и дырок p-области отхо-
дит от р-п-перехода, обнажая при этом новые слои ионизированных
доноров и акцепторов, т. е. расширяя область объемного заряда
до размеров do + &d (рис. 11.4. б).
Перетекание электронов и дырок к омическим контактам проис-
ходит до тех пор, пока они
практически полностью ие
скомпенсируют заряды, соз-
данные внешним источником
э.д.с. После этого все прило-
женное напряжение V пада-
ет на р-п-переходе, сопро-
тивление которого иа много
порядков выше сопротивле-
ния п- и p-областей. Приня-
то считать напряжение V
при обратном смещении от-
рицательным, а вольт-ам-
перную характеристику р-п-
перехода при этих смеще-
ниях называть обратной вет-
вью ВАХ.
Как видно из рис. 11.4, в,
высота потенциального
барьера при обратном сме-
щении увеличивается иа
—eV.
При прямом смещении
(плюс источника напряже-
ния подсоединяется к р-об-
ласти, а минус — к п-обла-
сти; (рис. 11.5, а) возникаю-
щее в объеме п- и р-областей
электрическое поле вызыва-
ет приток основных носите-
лей к области объемного
заряда р-п-перехода. Этот
процесс продолжается до
тех пор, пока контактная
разность потенциалов иа
ttHtw
Рис. 11.5. Переходные процессы (а) и стацио-
нарное состояние (б, в) диода под прямым
смещением
229
р-п-переходе ие уменьшится до значения VK— V. При этом заряды,
созданные вначале внешним источником э.д.с. иа омических кон*
тактах, оказываются перенесенными на границы области объемного
заряда и она сужается до размеров do—t±d. Как видно из рис. 11.5, в,
высота потенциального барьера при прямом смещении умень-
шается иа eV.
Таким образом, когда к диоду прикладывают внешнюю раз-
ность потенциалов, во внешней цепи в первый момент времени воз-
никает импульс тока, обеспечивающий в конечном счете увеличение
или уменьшение объемных зарядов у границ р-п-перехода. Поэтому
р-п-переход ведет себя подобно емкости. Эту емкость называют
барьерной (или зарядовой), так как она связана с изменением
потенциального барьера между р- и n-областями. Ее величина со-
ставляет
где dQ — изменение заряда р-п-перехода; dV—изменение разно-
сти потенциалов на нем. Из рис. 11.4, б и 11.5; б видно, что плоский
р-п-переход подобен плоскому конденсатору. Поэтому значение
барьерной емкости можно определять по формуле для плоского
конденсатора:
C6=eeoS/d, (11.21)
где S — площадь р-п-перехода; е — относительная диэлектриче-
ская проницаемость полупроводника; d — толщина слоя объемного
заряда, играющая роль расстояния между обкладками конден-
сатора.
Отличие от обычного конденсатора здесь состоит в том, что d
в выражении (11.21) не является величиной постоянной, а зави-
сит от внешнего смешения:
Г 2ее,(у,-еУ) ЛГа+ЛМ]1/2 = [2^о (?. - еП пп, + Рр, W
-[ е» NaNt J L * 'W’po J (И 22)
Таким образом, барьерная емкость р-п-перехода является нелиней-
ной. Это означает, в частности, что выражение (11.21) можно
применять лишь для малых сигналов, не изменяющих существенно
значения d. Такой сигнал, в частности, может быть наложен иа
постоянное внешнее смещение V. Выражение (11.22) упрощается
для асимметричного р-п-перехода, одна из областей которого ле-
гирована гораздо сильнее другой. Пусть, например, N^Na, тогда
Г 2ее» (% — eV) V/2- ,,,
[ *Nt ] • (И.23)
Подставив (11.23) в (11.21), получим
С6= S Г-Ч^£-]1/2. (11.24)
® L2 (<рв—«!/)] 1 '
230
Это выражение справедливо для резкого р-п-перехода, в котором
концентрации донорной и акцепторной примесей меняются скачком.
Для плавных (диффузионных) р-п-переходов барьерная
емкость
С = 5 Г (“°)* g2q ]1Д
(11.25)
§ 11.3. Прямой и обратный токи р-п-перехода
По окончании процесса заряда или разряда барьерной емкости
ток через диод не спадает до нуля, так как изменение высоты по-
тенциального барьера для основных носителей тока при приложе-
нии к р-п-переходу внешней разности потенциалов приводит к на-
рушению равенства встречных потоков носителей, пересекающих
переход, и возникновению тока через него. Силу тока легко подсчи-
тать в случае достаточно большого обратного смещения (—
>4ЛТ/е«0,1 В), когда потоки основных носителей через р-п-пере-
ход практически исчезают, а остаются лишь потоки неосновных
носителей, для которых барьера нет.
Неосновные носители, например электроны в p-области, возни-
кают вследствие тепловой генерации электронно-дырочных пар.
За счет хаотического теплового движения неосновные носители
успевают за время своей жизни отойти от точки, где они «роди-
лись:»,_на расстояние, равное в среднем диффузионной длине
L= yDr, где D — коэффициент диффузии.
На самом деле путь, проходимый носителем за время его жизни,
на много порядков превышает L. Если граница слоя объемного
заряда расположена от точки генерации носителя ближе, чем иа
диффузионную длину, то вероятность того, что этот носитель хотя
бы раз попадает в слой объемного заряда и будет втянут его
полем, близка к единице. Такие носители создают обратный ток
р-п-перехода. Конечно, часть носителей при этом может прореком-
бинировать, не дойдя до р-п-перехода, но зато часть носителей,
возникших на расстояниях, больших L, может дойти до него. Поэто-
му при подсчете силы обратного тока можно рассматривать генера-
цию носителей только в слое толщиной L, но считать, что все они
доходят до перехода.
Скорость тепловой генерации g0 (число носителей, генерируе-
мых в единичном объеме за единичное время) можно найти из
условия ее равенства скорости рекомбинации Ro при тепловом рав-
новесии. Последняя же равна концентрации носителей, деленной
на время их жизни:
go=/?o=npo/Tn (в р-области), (11.26)
£о = р»о/тр (в п-области).
Помножив эти величины на объемы тех частей полупроводника,
231
которые дают вклад в обратный ток, т. е. на SLn и SLP(S— площадь
р-л-перехода), и на заряд электрона е, получим ток неосновных
носителей через р-л-переход:
\ V
Знак минус означает, что ток течет от n-областн к p-области соглас-
но принятому выше правилу знаков.
Переброшенные полем через р-л-переход неосновные
носители становятся в соответствующих областях основными.
Связанный с ними заряд, как это всегда происходит с зарядом
основных носителей, практически мгновенно рассасывается и исче-
зает вследствие ухода носителей во внешнюю цепь. Из (11.27)
следует, что ток через переход при достаточно больших смещениях
не зависит от V, сохраняя предельное значение /s. Поэтому /s
называют током насыщения. Стремясь отразить его физическую
природу, Is иногда называют током термогенерации.
В состоянии равновесия (прн V=0) н прн прямом смещении
(V>0), приложенном к р-л-переходу, в полупроводнике под дей-
ствием теплоты генерируется такое же количество носителей, как
н в случае, когда к переходу приложено обратное смещение. С той
же вероятностью эти носители могут дойти до р-п-йерехода и быть
втянутыми его полем. Поэтому через р-п-переход всегда течет ток
термогенерации —/s. В равновесных условиях этот ток компенси-
руется встречным током основных носителей -f-/s, так что результи-
рующий ток — /s-|-/s = 0.
Но потоки основных носителей, как видно нз выражения (11.2),
зависят от высоты потенциального барьера ф. Для равновесного
барьера фо поток основных носителей пропорционален если
к переходу приложить прямое смещение V, высота барьера снижа-
ется до значения фо—eV и поток основных носителей увеличивается
в eeV/(*r) раз. Ток основных носителей становится равным /осн=
= /seeV/(‘r). Результирующий ток
/=-/s + /seeV/(‘r) = /s(eeV/(‘r)-l). (11.28)
Следует подчеркнуть, что ток, созданный основными носителями,
намного меньше их потока, умноженного на заряд электрона
l4Senno*^vn> n '/4Seppo<vp>), так как вклад в прямой ток дают
только те основные носители, которые, перейдя через р-п-переход,
прорекомбиннруют в соответствующих областях, не вернув-
шись назад. Основная же часть носителей за время своей
жизни как раз успевает вновь пересечь границу р-п-перехода н,
втягиваясь его полем, возвращается назад (электро-
ны— в n-область, дырки — в р-область).
На рис. 11.6 схематично представлены потоки электронов через
232
равновесный р-п-переход. Из
p-области течет поток электро-
нов Д появившихся в этой об-
ласти вследствие тепловой ге-
нерации и продиффундировав-
ших до области объемного
заряда. Навстречу ему идет
такой же поток электронов 3,
которые рекомбинируют в р-об-
ласти. Кроме того, р-п-переход
пересекает поток электронов 4,
идущий из n-области и вновь
возвращающийся в эту область
в виде потока 2, возникающего
вследствие того, что электроны,
испы.тав в p-области ряд столк-
новений, случайно попадают в
ваются им в п-область.
Рис. 11.6. Потоки электронов через равно-
весный р-п-переход
поле объемного заряда и выталкн-
Как следует из (11.28), вольт-амперная характеристика (ВАХ)
р-n- перехода имеет такой же вид, как и ВАХ барьера Шоттки
(см. рис. 10.14), хотя выражения для Д в этих случаях сущест-
венно разные.
Полученное нами выражение для ВАХ полупроводникового
диода справедливо при не слишком больших прямых смещениях,
когда потенциальный барьер еще существует (еУ<фо) и сопротив-
ление р-п-перехода еще много больше, чем сопротивление приле-
гающих к нему п- и p-областей диода. При обратном смещении
выражение (11.28) справедливо для напряжений, меньших пробив-
ных. Кроме того, при выводе выражений (11.27) и (11.28) мы пре-
небрегли тепловой генерацией и рекомбинацией носителей в самом
слое объемного заряда, считая его узким. Наконец, при практиче-
ском использовании выражения (11.28) следует иметь в виду, что
температура Т, входящая в него,— это температура р-п-перехода
и прилегающих к нему областей, которая в процессе работы диода
может существенно отличаться от температуры окружающей среды.
Ток насыщения Д в выражениях (11.27) и (11.28) резко зависит
от Т, так как с ростом температуры резко растет скорость тепловой
генерации. Действительно, по закону действующих масс
_ "г . „
м V ’ ПО ------------- — "77” »
Рро лп0 Мд
Поэтому с повышением температуры обратный ток резко растет
и выпрямляющие свойства р-л-перехода ухудшаются. С ростом
температуры понижается также и равновесная высота потенциаль-
ного барьера фо=^7'1п(рро/рло)=^Г1п(пло/про) • При температуре,
при которой п„о«про«п,, переход исчезнет совсем.
233
$ 11.4. Импульсные и высокочастотные свойства р-п-перехода
Импульсные свойства. Весьма широкой областью применения
полупроводниковых диодов являются импульсные схемы радио-
электроники, вычислительной техники и автоматики. Основным
параметром, определяющим пригодность диодов для этой цели,
является их быстродействие, характеризуемое длительностью пере-
ключения р-п-перехода с прямого смещения на обратное и, наобо-
рот, с обратного на прямое.
Рассмотрим, какими процессами, протекающими в р-п-переходе,
определяется этот параметр. На рис. 11.7, а схематически показано
распределение основных и неосновных носителей в р- и п-областях
полупроводника при равновесном состоянии р-п-перехода. При по-
даче на диод прямого смещения V потенциальный барьер перехода
понижается на eV и поток основных носителей через р-п-переход
увеличивается в exp [eV/fkT)] раз, вследствие чего концентрации
дырок у границы 2 п -области и электронов у границы 1 р-области
(рис. 11.7,6) возрастают до
р«(0)=рлоехр [еV/(kT) ]; п₽(0)= Проехр [eV/(kT)].
Диффузия "ftt) PnW Диффузия
S)
Рис. 11.7. Инжекция неосновных
носителей заряда в прямосмещен-
иом р-п-переходе
234
Рис. 11.8. К объяснению импуль-
сных свойств р-п-перехода
Дырки, перешедшие в «-область, и электроны, перешедшие в р-об-
ласть, становятся в этих областях неосновными носителями.
Таким образом, под действием прямого смещения происходит
как бы «впрыскивание» неосновных носителей через границы р-п-
перехода в соответствующие области полупроводника. Это явление
получило название инжекции неосновных носителей.
Дырки, инжектированные в «-область, притягивают к себе
электроны из объема этой области, вследствие чего концентрация
электронов вблизи р-п-перехода повышается по сравнению с кон-
центрацией в объеме (рис. 11.7,6). Отрицательный заряд притяну-
тых электронов экранирует положительный заряд избыточных
дырок. Такая же картина наблюдается и в p-области: положитель-
ный заряд притянутых дырок экранирует отрицательный заряд
инжектированных электронов. Поэтому избыточные дырки и элек-
троны, инжектированные соответственно в п- и в p-области, не
создают в них нескомпенсированных объемных зарядов, которые
своим полем могли бы препятствовать движению неосновных но-
сителей в объем полупроводника. Перемещение этих носителей
в глубь полупроводника осуществляется исключительно путем
диффузии, скорость которой пропорциональна градиенту концентра-
ции дырок dp„/dx в «-области и градиенту концентрации электро-
нов d«p/dx в р-области.
На рис. 11.8, а показано изменение распределения дырок, инжек-
тированных в n-область, с течением времени. В начальный момент
после включения прямого смещения (момента на рис. 11.8,6)
градиент концентрации дырок у границы 2 очень высок (кривая 1
на рис. 11.8, а), так как дырки, инжектированные в «-область,
сосредоточиваются в тонком слое у этой границы. Поэтому прямой
ток в диоде оказывается большим, он ограничивается практически
лишь сопротивлением г его пассивных областей (полка 1 на
рис. 11.8, в). По мере же диффузии дырок в «-область и их ре-
комбинации градиент концентрации падает (кривая 2, рис. 11.8, а),
вследствие чего падает и прямой ток (рис. 11.8, в). За время,
примерно равное времени жизни избыточных дырок тр, устанавли-
вается их стационарное (не меняющееся во времени) распределе-
ние в «-области (кривая 3, рис. 11.8, а) и прямой ток достигает
своего нормального значения.
Аналогичные явления протекают и в p-области, в которую
инжектированы электроны: переходные процессы и установление
стационарного прямого тока завершаются здесь за время, пример-
но равное Тл-
При мгновенном переключении диода с прямого на обратное
направление (момент tz на рис. 11.8,6) обратный ток в начальный
момент будет очень высоким, так как высокой является концентра-
ция неосновных носителей на границах 2 и 1 (кривая /, рис. 11.8,г);
сила этого тока ограничивается фактически сопротивлением г пас-
сивных областей диода (полка 2 на рис. 11.8, в). С течением «вре-
мени избыточные неосновные носители у границ 1 и 2 постепенно
рассасываются за счет их перехода в соответствующие области
235
полупроводника и за счет рекомбинации. Градиент концентрации,
обусловливающий диффузию их к этим границам, при этом падает
(кривые 2, 3, 4, рис. 11.8, г) и обратный ток уменьшается
(рис. 11.8, в). За время, примерно равное тр для дырок и хп для
электронов, устанавливается стационарное распределение неоснов-
ных носителей у границ р-п-перехода (кривая 5, рис. 11.8, г) и об-
ратный ток достигает своего нормального значения /s (рис. 11.8, в).
Таким образом, при переключении диода в нем протекают пе-
реходные процессы (накопление неосновных носителей при прямом
смещении и рассасывание их при обратном смещении), которые
и ограничивают его быстродействие. Так как эти процессы заверша-
ются в основном за время жизни избыточных неосновных носите-
лей т, то это время и определяет быстродействие импульсных
диодов.
Диффузионная емкость р-п-перехода. Из рассмотренной картины
следует, что относительно'переключения диод ведет себя как сопро-
тивление R, созданное областью объемного заряда и зашунтнро-
ванное емкостью Сд, обусловленной накоплением заряда неоснов-
ных носителей при прямом смещении и рассасыванием его при об-
ратном смещении. Эту емкость называют диффузионной емкостью
р-п- перехода. При подаче прямого смещения ток в диоде в на-
чальный момент представляет собой в основном ток заряда емко-
сти Сд и его значение может быть большим. При переключении
диода в обратное направление обратный ток представляет собой
в начальный момент в основном ток разряда емкости Сд — он также
может быть большим.
Как показывает расчет, для малого переменного сигнала
Сд = 1(4 + /р,) Тр + (4 + 4,) ТЯ], (11.29)
где, как следует из (11.28), /p-f-/ps=/Psexp [eV/(kT)] и /„+/«=
= /nsexp [eV/(kT)] (здесь V — постоянное смещение на р-п-пере-
ходе). Так как уже при незначительных обратных смещениях
exp [eV/(kT)] — 0, то и Сд=0. При прямых смещениях 1Р^1Р^ и
Ingins, поэтому
Сд«-т^-(/рТр + 4т„). (11.30)
Для сильно несимметричного р-п-перехода с N^Na (рро^ппО)
суммарные токи / и /s, текущие через переход, практически равны
/р и Ips, поэтому
Сд» -тгтг (4 + 4s)хр » (/ + /,)хр- (П-31)
4к1 Z/ZI
Из (11.29) — (11.31) следует, что для уменьшения Сд и по-
вышения быстродействия диодов необходимо уменьшать время жиз-
ни избыточных неосновных носителей т, легируя п- и р-областн
примесью, создающей эффективные рекомбинационные центры.
236
Такой примесью является, в частности, золото в германии и крем-
нии, легирование которым позволяет снизить т до нескольких
наносекунд.
Другим способом повышения быстродействия диодов является
создание в областях, прилегающих к объемному заряду перехода,
«встроенного» электрического поля, «поджимающего» неосновные
носители к р-п-переходу. Такое поле можно. получить, легируя
р- и n-области так, чтобы концентрация нескомпенсированной
легирующей примеси возрастала по мере удаления от р-п-пере-
хода (см. рнс. 11.1, а н 11.3, а). В этом случае концентрация элек-
тронов в n-областн (nno^NA) вдали от перехода будет выше, чем
у самого перехода. Поэтому электроны будут диффундировать к
переходу, повышая здесь концентрацию и уменьшая ее в областях,
удаленных от перехода. Перетекание электронов к переходу про-
исходит до тех пор, пока возникающее «встроенное» поле SBCT
(рис. 11.9, а) не уравняет их встречные потоки.
Аналогичный процесс протекает с дырками в p-области, что
приводит к возникновению «встроенного» поля &вст в этой области.
Из рис. 11.9, а видно, что встроенные поля препятствуют сво-
бодной диффузии неосновных носителей, инжектированных через
р-п-переход (дырок в глубь n-области н электронов в глубь р-об-
ласти), поджимая их к границам р-п-перехода. Вследствие этого
рассасывание неосновных носителей после переключения диода
с прямого смещения на обратное заканчивается очень резко
(рис. 11.9,6). Это позволяет использовать выброс обратного тока
диода для формирования импульсов с очень крутым («10~12 с)
фронтом. Такие диоды получили название диодов с резким вос-
становлением обратного сопротивления или duodoe с накоплением
заряда (ДНЗ).
Наконец, можно вообще избавиться от диффузионной емкости,
используя, например, выпрямляющий контакт металл—полупровод-
ник n-тнпа. Подобный контакт обладает такой же нелинейной
ВАХ, как н р-п-переход (см. § 10.4), но в нем отсутствует инжек-
ция неосновных носителей через переход. При приложении прямого
смещения высота потенциального барьера для электронов, идущих
из полупроводника в металл, понижается (см. рис. 10.13, в), поток
электронов из полупроводника в металл резко возрастает и через
контакт идет прямой ток. При обратном смещении ток насыщения
обусловлен электронами, перелетающими из металла в полупровод-
ник n-типа (см. рнс. 10.13,6). В обоих случаях избыточные элек-
троны, перелетевшие через контакт, мгновенно (за время «10-12 с)
«рассасываются», так как внесенный ими заряд создает поле, прак-
тически мгновенно перегруппировывающее электроны металла или
п-полупроводника.
Диоды с выпрямляющим контактом металл — полупроводник
называют диодами Шоттки. Время переключения в таких диодах
удается довести до 10~” с. Это время определяется временем
перезарядки барьерной емкости. В принципе, барьерную емкость
237
1 2
Рис. 11.9. Диоды со
«встроеииым> по-
лем:
а — схема формирова-
ния встроенного поля пу-
тем неравномерного рас-
пределения легирующей
прнмеси по диоду; 6 —
характер восстановления
обратного тока диода со
встроенным полем при
переключении его с пря-
мого иа обратное сме-
щение
Рис. 11.10. Эквивалентная схема
диода
Рис. 11.11. Зависимость актив-
ного сопротивления, диффузион-
ной и барьерной емкостей р-п-
перехода от частоты
нужно учитывать и прн переключении р-п-перехода, но прн работе
с импульсами прямого тока она много меньше диффузионной.
Высокочастотные свойства р-п-перехода. Рассмотрим теперь
работу диода при малом переменном сигнале, наложенном на
постоянное смещение V. Днод может быть представлен следующей
упрощенной эквивалентной схемой: параллельно нелинейному ак-
тивному сопротивлению р-п-перехода /?а включены нелинейная
диффузионная Сд н барьерная С« емкости; последовательно с этой
цепочкой подключено сопротивление г пассивных областей диода
(рис. 11.10). Для выяснения особенностей работы диода на высо-
ких частотах проанализируем более подробно эту схему.
Активное сопротивление р-п-перехода малому переменному
сигналу низкой частоты определяется соотношением
• = 1 = kT 1
а dl/dV е / + /, '
(11.32)
Прн этом под низкой частотой понимается такая угловая частота
сигнала со, для которой период колебаний много больше времени
жизни инжектированных носителей; тогда 1/а£>тр. В этом случае за
время ~1/<о в переходе успевают протекать все переходные про-
цессы и диффузионная емкость описывается соотношением (11.31),
а барьерная— (11.24).
238
По мере повышения со времени 1/со оказывается все в большей
мере недостаточно для завершения переходных процессов. Это
должно приводить к уменьшению числа носителей, инжектирован-
ных в положительный полупернод сигнала, н тем самым к умень-
шению диффузионной емкости. Кроме того, инжектированные носи-
тели не успевают проднффундировать в глубь пассивных областей
диода на диффузионную длину, сосредоточиваясь с большим гра-
диентом в тонком слое у границ р-п-перехода, что должно при-
водить к увеличению прямого тока, т. е. к уменьшению активного
сопротивления р-п-перехода.
В отрицательный полупернод сигнала вследствие высокой кон-
центрации неосновных носителей, не успевших проднффундировать
в глубь пассивных областей и локализованных в тонком слое у
границ р-п-перехода, должно также происходить увеличение об-
ратного тока, а следовательно, уменьшение активного сопротивле-
ния обратносмещенного перехода.
Таким образом, повышение частоты сигнала, подаваемого на
р-п-переход, должно приводить к уменьшению активного сопротив-
ления /?а и диффузионной емкости Сд. Как показывает расчет,
для несимметричного р-п-перехода
kT /2~________________1________
« ' + /1 + (1 + <О«х2)1/2
е(/+Л) _____________Z_P_________
КГ kT + (1+<о»г2)‘/2
(11.33)
(11.34)
Для низких частот ((о<С1/тр) эти выражения переходят в (11.32)
и (11.31). Для высоких частот (шЗ>1/тр) единицами в подкоренных
выражениях (11.33) н (11.34) можно пренебречь по сравнению
с ыхр. Тогда
R kT _1Х_
‘ е(/+Л) К^ ’
Г' %) t /~ZP
Сд“ кг*7 у ~
(11.35)
(11.36)
Проводимости, соответствующие сопротивлению /?а и емкости Сд,
составляют
1 = ^ (/ + /,)
Ла /Г kT
V ,
(11.37)
/2 kT
(11.38).
Как внднм, они равны друг другу: 1/7?а=шСд.
Так как 1-\-Ц==Ц exp [eV/ (kT) ], а /5=Лррпо/тр=р„о-\/Dpxp/xp~ \-\[х~р
239
то активное сопротивление р-п-перехода на высоких частотах
не зависит от времени жизни инжектированных носителей и умень-
шается обратно пропорционально /со:
Яа~1//^. (11.39)
Аналогично ведет себя и сопротивление диффузионной емко-
сти Сд:
1/(а>Сд)~1//®. (11.40)
На рис. 11.11 схематически представлена зависимость /?а и Сд
от частоты сигнала; штриховой прямой показана барьерная ем-
кость р-п-перехода, не зависящая от (о. Из рисунка видно, что на
высоких частотах барьерная емкость становится больше диффу-
зионной, вследствие чего ее проводимость шСб превышает проводи-
мость диффузионной емкости и равную ей активную проводимость
р-п-перехода.
Уменьшение на высоких частотах сопротивления р-п-перехода
приводит к тому, что все большая часть напряжения, приложенного
к диоду, падает не на переходе, а на сопротивлении пассивных
областей диода. На частотах, на которых сопротивление р-п-пере-
хода становится много меньше г, ток как при прямом, так и при
обратном смещениях определяется уже не им, а г, вследствие чего
диод теряет свои детектирующие свойства. За предельную частоту
работы диода (шпред) принимают частоту, при которой эквивалент-
ное сопротивление р-п-перехода (между точками 1 и 2, см.
рис. 11.10) оказывается равным сопротивлению пассивных обла-
стей г. Так как на высоких частотах эквивалентное сопротивление
р-п-перехода определяется барьерной емкостью l/(toC<s), то при
определении предельной частоты шпреД необходимо сравнивать г
с сопротивлением барьерной емкости С6 и оценивать с>пРеД из соот-
ношения
Г—— ((ОпредСб).
(11.41)
Из (11.41) следует, что для увеличения предельной частоты
работы диода необходимо уменьшать произведение гС6. Сопротив-
ление г можно уменьшать, улучшая качество омических контактов
Рис. 11.12. Схема точечного
диода:
/ - металлический контакт; 2 —
р-п-переход; 3 — полупроводник
к п- и p-областям диода и уменьшая тол-
щину этих областей. Казалось бы, далее,
что повысить (опред можно также умень-
шением площади S р-п-перехода, так как
при этом должна уменьшаться емкость
С6. Однако таким способом можно до-
стичь повышения (Опрел только у точечных
диодов. В самом деле, для плоских пере-
ходов C«~S и r~l/S, поэтому гСб не
зависит от S. Для точечных же диодов
r=Q/(na)~ 1/ /S , где q — удельное
сопротивление полупроводника;
а — радиус полусферического контакта;
240
S = 2лсг — площадь перехода (рис. 11.12). Так как C6~S, то
Cr.r~^S и а>пред~ 1 /д/S . Поэтому уменьшением S можно достичь
повышения (Опред.
К увеличению шпред приводит и уменьшение удельного сопро-
тивления q пассивных областей диода. Действительно, например,
для несимметричного р-п-перехода с высокоомной п-областью
г~1/ппо» a C6~l/d-~/пТо [см. (11.24)], поэтому гС6~1//п^~
~ /q , где q — удельное сопротивление n-областй. Следует, однако,
помнить, что с увеличением степени легирования пробивное напря-
жение р-п-перехода падает и в конце концов мы получаем харак-
теристику сначала обращенного диода (наиболее высокочастот-
ного), а при еще более сильном легировании — туннельного диода,
уже непригодного для детектирования (см. ниже).
$ 11.5. Пробой р-п-перехода
На рис. 11.13 показано изменение обратного тока р-п-перехода
с ростом обратного напряжения. При определенном значении
|/<)(i=Vnpo6 наблюдается резкое увеличение обратного тока. Это
явление получило название пробоя перехода, а напряжение Vnpo6,
при котором происходит пробой, называют напряжением пробоя.
В зависимости от характера физических процессов, обусловли-
вающих резкое возрастание обратного тока, различают четыре
основных типа пробоя: туннельный, лавинный, тепловой и поверх-
ностный.
Тепловой пробой. При протекании обратного тока в р-п-пере-
ходе выделяется теплота и его температура повышается. Увеличе-
ние температуры определяется качеством теплоотвода, характери-
зуемым тепловым сопротивлением Rt>. Это сопротивление равно
приросту температуры перехода АТ в расчете на единичную мощ-
ность W, выделяющуюся в нем, так что A7’=/?eW. Увеличение
температуры вызывает увеличение обратного тока, что, в свою
очередь, приводит к новому росту температуры и обратного тока
и т. д. При определенной мощности W, тем большей, чем меньше
тепловое сопротивление прибора /?в, ток начинает нарастать лавин-
но и наступает тепловой пробои р-п-
перехода. При тепловом пробое на
вольт-амперной характеристике мо-
жет наблюдаться участок отрица-
тельного дифференциального сопро-
тивления, когда рост тока сопровож-
дается уменьшением напряжения на
диоде (кривая 1 на рнс. 11.13).
Лавинный пробой. В достаточно
широких р-п-переходах при высоких
обратных напряжениях неосновные
носители могут приобретать в поле
перехода настолько большую кине-
тическую энергию, что оказываются
Рис. 11.13. Пробой р-п-перехода:
/ — тепловой; 2 — туннельный; 3 — лавинный
9—671
241
Рис. 11.14. Ударная ионизация в р-п-переходе
Рис. 11.15. Схема развития лавинного пробоя
способными вызывать ударную ионизацию полупроводника. Про-
цесс этот схематически представлен на рис. 11.14. Ударную иониза-
цию могут производить как электроны (рис. 11.14, а), так и дырки
(рис. 11.14, б). В том и другом случае электрон 1 теряет энергию,
оставаясь в прежней энергетической зоне. Эту энергию он передает
электрону 2 валентной зоны, переводя его в зону проводимости
и создавая таким образом новую электронно-дырочную пару.
В этом случае может происходить лавинное нарастание обратного
тока, приводящее к лавинному пробою перехода.
Пусть, например, электрон из p-области диода попадает в об-
ласть объемного заряда р-п-перехода, находящегося под обратным
смещением (стрелка 1 на рис. 11.15). Если это смещение достаточ-
но велико, то до выхода из перехода этот электрон создает новую
электронно-дырочную пару, после чего вместе с вновь образовав-
шимся электроном он выходит из р-п-перехода в n-область. Возник-
шая при этом дырка движется в поле р-п-перехода к р-облйсти
диода (стрелка 2 на рис. 11.15). До выхода из области объемного
заряда она может создать еще одну электронно-дырочную пару;
электрон этой пары будет двигаться к n-области (стрелка 3), и т. д.
Таким образом, вместо одного электрона, вошедшего в р-п-пере-
ход, из него выходит много электронов и дырок — обратный ток
резко растет. В области пробоя изменение обратного тока с ростом
242
напряжения является очень крутым (кривая 3 на рис. 11.13). Этот
эффект используют для стабилизации напряжения. Диоды, пред-
назначенные для работы в таком режиме, называют стабилитро-
нами. Их изготовляют из кремния, так как кремниевые диоды
имеют весьма крутую ветвь ВАХ в области пробоя и в широком
диапазоне рабочих токов у них не возникает теплового пробоя.
Расчет показывает, что напряжение лавинного пробоя зависит
от степени легирования его р- и n-областей, уменьшаясь с ростом
концентрации легирующей примеси. В диодах с высокой концен-
трацией примеси, у которых пробой наступает при напряжениях,
меньших 4—8 В (для кремниевых диодов), раньше лавинного (при
меньших напряжениях) развивается другой вид пробоя — тун-
нельный.
Туннельный пробой. При приложении к р-п-переходу достаточно
высокого обратного смещения заполненные уровни валентной зоны
p-области полупроводника располагаются против незаполненных
уровней зоны проводимости n-области (рис. 11.16, а). В этом случае
возможен прямой туннельный переход электронов из валентной
зоны p-области в зону проводимости n-области, просачивающихся
сквозь потенциальный барьер толщиной х и высотой, меняющейся
от Eg в точках %, до 0 в точке Х2. С увеличением Voe толщина
барьера уменьшается (рис. 11.16, а) и напряженность поля £
в нем растет. Следует подчеркнуть, что речь идет не о ширине
области пространственного, заряда (она растет с увеличением об-
ратного смещения), а о барьере на пути туннелирующих электро-
нов. Если р-п-переход достаточно тонок, то уже при сравнительно
невысоком Кб поле 8 достигает такого значения, при котором на-
чинается интенсивное туннелирование электронов сквозь р-п-пе-
реход и его пробой. Для германия это происходит при <?„Роб~
«3-107 В/м, для кремния — при $прОб« 10® В/м. Такой пробой
называют туннельным. Обратная ветвь ВАХ перехода, отвечающая
этому типу пробоя, показана на рис. 11.13 (кривая 2).
Выясним, от чего зависит напряжение туннельного пробоя.
Напряженность поля в резком р-п-переходе можно найти из (11.14)
и (11.15) дифференцированием <р по х:
Рис. 11.16. Туннельные переходы в диоде при обратном
смещении
Рис. 11.17. Вольт-
амперная ха-
ракгеристика об-
ращенного дио-
да
9
243
s = -JL = -LJr. (П.42)
dx e dx
Нетрудно убедиться в том, что максимального значения до-
стигает на границе раздела между р- и n-областями, где
(11.43)
еев
Считая для простоты р-п-переход асимметричным со слаболегиро-
ванной n-областью, подставляя dn^d из (11.23) в (11.43) и.воз-
водя в квадрат правую и левую части (11.43), получаем
$max=2(<po+eV06)/(eeoWd). (11.44)
Здесь вместо —V записана положительная величина V06- Прирав-
няв ^тах к $иРоб, найдем напряжение туннельного пробоя:
^проб===( ^проб Фо)/е. (11.45)
Из (11.45) следует, что напряжение туннельного пробоя ли-
нейно уменьшается с ростом концентрации примеси NA в слабо-
легированной области диода. При некоторой концентрации тунне-
лирование может начинаться уже при Уоб=0. Вольт-амперная ха-
рактеристика такого диода изображена на рис. 11.17. Это так называе-
мый •обращенный диод. Он имеет резко нелинейную вольт-амперную
характеристику при напряжениях, близких к нулю, и используется
обычно для детектирования малых сигналов высокой частоты.
При еще большей степени легирования получают так называе-
мые туннельные диоды.
Поверхностный пробой. Заряд, локализующийся на поверхности
полупроводника в месте выхода р-п-перехода, может вызывать
сильное изменение напряженности поля в переходе и его ширины.
В этом случае более вероятным может оказаться пробой приповерх-
ностной области р-п-перехода.
§ 11.6. Туннельные диоды
Туннельные диоды (они были созданы в 1958 г.) изготовляют
из сильно легированных полупроводников, находящихся в вырож-
денном состоянии. Уровень Ферми в таких полупроводниках рас-
полагается не в запрещенной зоне, а внутри зон: внутри зоны
проводимости — для n-области и внутри валентной зоны — для
p-области. На рис. 11.18, а показана энергетическая схема туннель-
ного перехода в равновесном состоянии.
Из рис. 11.18, а видно, что имеет место перекрытие зон: ва-
лентная зона p-области частично перекрывается зоной проводимо-
сти n-области. Это делает возможным туннельное просачивание
электронов из р- в n-область (переходы 1) и из п- в p-область (пере-
ходы 2). Поток / создает обратный туннельный ток, поток 2 — пря-
мой туннельный ток. В отсутствие" внешнего поля эти токи равны
и результирующий ток через переход равен нулю.
244
Рис. 11.18. К объяснению ВАХ туннельного диода
При приложении к р-«-переходу обратного смещения перекры-
тие зон увеличивается (рис. 11.18,6), вследствие чего число элек-
тронов, переходящих слева направо, оказывается больше числа
электронов, переходящих справа налево, и в переходе возникает
обратный ток, увеличивающийся с ростом обратного смещения.
При подаче на переход прямого смещения степень перекрытия
зон уменьшается, вследствие чего поток электронов справа налево
начинает превышать поток электронов слева направо и в переходе
возникает прямой туннельный ток (рис. 11.18, в), растущий с уве-
личением прямого смещения. Максимального значения этот ток до-
стигает при таком смещении, при котором дно зоны проводимости
n-области располагается на одном уровне с уровнем Ферми р-обла-
сти. При дальнейшем росте прямого смещения число занятых со-
стояний «-области, лежащих против свободных состояний р-обла-
сти, уменьшается, что вызывает уменьшение числа переходов
электронов справа налево и, как следствие этого, уменьшение пря-
мого тока. Прямой ток достигает минимального значения при таком
смещении, при котором дно зоны проводимости «-области распола-
гается на одной высоте с вершиной валентной зоны р-области
(рис. 11.18, г).
Дальнейшее увеличение прямого смещения вызывает инжекцию
неосновных носителей заряда, как в обычном диоде, и появление
в р-«-переходе диффузионного тока, растущего по экспоненте с рос-
том прямого смещения (рис. 11.18, <?).
Из рис. 11.18, д видно, что основной особенностью вольт-ампер-
ной характеристики туннельных диодов является наличие падаю-
щего участка, на котором диод обладает отрицательным диф-
ференциальным сопротивлением. Это свойство туннельных диодов
позволяет использовать их для генерирования электромагнитных
245
колебаний, а также в качестве переключателей, смесителей и т. д.
Так как в области туннельных токов накопление и рассасывание
неосновных носителей у этих диодов практически отсутствуют, то
они обладают более совершенными частотными характеристиками
и быстродействием по сравнению с обычными диодами.
§ 11.7. Лавиино-пролетные диоды
Явление лавинного пробоя р-п-перехода лежит в основе работы
лавинно-пролетных диодов — генераторов сверхвысокочастотиых
(СВЧ) колебаний. Для построения генератора необходим элемент с
отрицательным дифференциальным сопротивлением, т. е. элемент,
в котором увеличение напряжения приводит к уменьшению тока
и наоборот. Примером такого элемента является рассмотренный
выше туннельный диод. Более широкое применение нашли, однако,
лавиино-пролетные диоды. Хотя иа стационарной вольт-амперной
характеристике диода с лавинным пробоем (см. рис. 11.13, кри-
вая 3) нет участка с отрицательным наклоном, иа переменном токе
определенной частоты изменение напряжения на диоде оказывается
в противофазе с изменением тока и для этого сигнала диод стано-
вится элементом с отрицательным сопротивлением.
Покажем, как это происходит. Прежде всего следует отметить,
что так как электрическое поле в р-п-переходе неоднородно и дости-
гает максимума у границы раздела между р- и n-областями, то
именно там электроны и дырки «разогреваются» достаточно сильно
для ударной ионизации, поэтому там и развивается пробой. Осталь-
ную часть области объемного заряда носители тока пролетают без
Рис. 11.19. Области пробоя и
пролета при лавинном пробое
р-п-перехода
Рис. 11.20. К объяснению
принципа работы лавинно-
пролетного диода
246
ионизации. Эти две области р-п-перехода — область лавинного про-
боя и области пролета — представлены на рис. 11.19, который явля-
ется уточненным вариантом рис. 11.15.
Рассмотрим переходные процессы в таком диоде в случае, когда
на постоянное обратное смещение диода, несколько меньшее напря-
жения пробоя Кров, наложен такой импульс, что смещение на диоде
становится выше пробивного (рис. 11.20, а). В этом случае ток
через диод будет ограничен последовательным сойротивлением дио-
да и внешним сопротивлением цепи. На переднем фронте рассмат-
риваемого импульса ток устанавливается за время развития лавины
в области пробоя (т. е. в центральной части р-п-перехода) и время
заряда барьерной емкости р-п-перехода. После окончания импульса
ток спадает за время разряда барьерной емкости и, главное, за
время пролета носителей заряда, возникших в области пробоя,
через области пролета. В целом «центр тяжести» импульса тока
оказывается сдвинутым относительно импульса напряжения
(рис. 11.20,6), т. е. происходит задержка импульса тока относи-
тельно импульса напряжения. Если теперь на постоянное смещение
наложить не импульсный, а синусоидальный сигнал (рис. 11.20, в),
то возникает сдвиг фазы между первой гармоникой тока и напря-
жением, превышающий для достаточно высокочастотного сигна-
ла л/2. Этого уже достаточно для того, чтобы мощность перемен-
ного тока на рассматриваемой частоте не поглощалась в диоде,
а выделялась (величина IV cosq>, где <р— сдвиг фазы между током
и напряжением, становится отрицательной). Генерация СВЧ-коле-
баний при лавинном пробое германиевых приборов была впервые
обнаружена в 1959 г. в СССР.
В настоящее время лавинно-пролетные диоды изготовляют в
основном из кремния и арсенида галлия. Структура их обычно
более сложная, чем структура простого резкого р-п-перехода. Она
включает в себя удлиненную область пролета из слаболегирован-
ного полупроводника, прилегающего к узкой области пробоя из
более сильно легированных р- и n-слоев. Промышленность выпус-
кает генераторы на лавинио-пролетных диодах, обеспечивающие
выходную мощность около 1 Вт в 3-сантиметровом диапазоне длин
волн. При этом к.п.д. преобразования мощности постоянного тока
в сверхвысокочастотную мощность достигает 60%.
§ 11.8. Фотоэлектрические явления в р-л-переходе
Фотогальванический эффект. При освещении р-п-перехода или
прилегающих к нему областей светом, способным вызывать генера-
цию электронно-дырочных пар (см. гл. 9), через переход протекает
ток, называемый первичным фототоком. Этот эффект называют
фотогальваническим. Рассмотрим его физическую природу.
На рис. 11.21, а показан диод, p-область которого освещается
световым потоком мощностью 1^0, вызывающим генерацию элек-
тронно-дырочных пар. Число G таких пар, ежесекундно появляю-
щихся в полупроводнике, определяется выражением (9.13). В зави-
247
Рис. 11.21. Фотоприемник с р-n-переходом:
а — структура и схема включения; б — энергетическая диаграмма вентильного
фотоэлемента; в — вольт-амперные характеристики при различных уровнях осве-
щения (W2>Wi).
симости от соотношения между глубиной проникновения света в полу-
проводник 1 /а, расстояния w до слоя объемного заряда р-п-пере-
хода и толщины d этого слоя свет поглощается в основном в
освещенной области диода, в слое пространственного заряда
или за ним. Предположим для определенности, что свет поглощает-
ся в узком слое у поверхности, от которого носители диффундируют
совместно в глубь полупроводника. Если р-п-переход расположён
на глубине w<L, где L — диффузионная длина, то значительная
часть носителей дойдет до области объемного заряда перехода.
Электроны, подошедшие к р-п-переходу, подхватываются контакт-
ным полем <?к, направленным от п- к p-области, и перебрасываются
в n-область, заряжая ее отрицательно (рис. 11.21, б). Обусловлен-
ный ими первичный фототок
/Ф=ерО, (11.46)
где 0 — коэффициент собирания, равный относительной доле
неравновесных носителей, доходящих до р-п-перехода не рекомби-
нируя. Дырки, подошедшие к р-п-переходу, не способны преодо-
леть потенциальный барьер q>0 и остаются в p-области, заряжая ее
положительно. Вследствие этого на переходе формируется прямое
смещение Уф, вызывающее понижение потенциального барьера до
значения фо—е¥ф и появление прямого тока. Если внешняя цепь
248
разомкнута, то Уф будет увеличиваться до тех пор, пока прямой ток
через р-п-переход Isexp[eV$/(kT)— 1] ие уравняет фототок /ф.
Возникающую при этом разность потенциалов Кф называют фото-
э.д.с. (рис. 11.21, б).
Таким образом, в установившемся состоянии через • разомкну-
тый р-п-переход течет в прямом направлении ток основных носите-
лей /sexp \eVty/(kT)~\ и навстречу ему обратный.ток —Ц и фото-
ток —/ф. Полный ток через р-п-переход равен нулю:
/,ееКф/(АП —У, —/ф = 0.
Из этого соотношения легко определить фото-э.д.с.:
(Ц.47)
(11.48)
При включении р-п-перехода иа нагрузочное сопротивление RK
только часть носителей, возбужденных советом и переброшенных
через р-п-переход, возвращается обратно, другая же их часть
создает ток —У, протекающий во внешней цепи. В этом случае соотно-
шение (11.47) необходимо переписать следующим образом:
IfieV«>l(kT) (11.49)
Из этого соотношения можно определить фото-э.д.с. Уф:
(11.50)
При коротком замыкании р-п-перехода практически все носите-
ли, сгенерированные светом, поступают во внешнюю цепь, вслед-
ствие чего Йф«0, а ток в цепи, как следует из' (11.49), равен /ф.
При подаче иа освещенный р-п-переход внешнего смещения V
через него протекают темновой ток Ц [ехр (eV/(kT)]—1], как через
обычный диод, находящийся под смещением и первичный фототок
—/ф, зависящий от мощности светового потока И70. Суммарный ток
через переход
/=д (е'и//<АГ^1)—/ф. (11.51)
ВАХ освещенного р-п-перехода показаны на рис. 11.21, в. Они полу-
чаются сдвигом ВАХ неосвещенного диода вниз по оси токов
на /ф.
Распределение напряжения Vo источника смещения между со-
противлением нагрузки /?„ и диодом можно определить либо под-
ставив в выражение (11.51) вместо V величину Уо—//?„ и решив
численно полученное таким образом уравнение относительно /, либо
графически с помощью нагрузочной прямой АВ (рис. 11.21, в).
Явление изменения силы тока во внешней цепи или напряжения
на нагрузочном сопротивлении R„ при освещении р-п-перехода
используют для регистрации и измерения мощности светового
249
излучения. Приборы, использующие этот принцип, выполняют роль
фотоприемников.
Режим работы диода, при котором на него подается отрица-
тельное смещение и оно остается отрицательным и при освещении
диода, называют фотодиодным. Если же фотоприемник использует-
ся без внешнего смещения, то говорят о его работе в режиме
фотоэлемента. Некоторые р-п-переходЫ не могут работать при
сколько-нибудь существенном обратном смещении и их используют
только как фотоэлементы (селеновые, переходы на узкозонных
полупроводниках и др.).
Вентильные фотоэлементы. Возникновение в освещенном р-п-
переходе фото-э.д.с., а во внешней цепи электрического тока позво-
ляет с помощью фотоэлементов осуществлять прямое преобразова-
ние световой энергии в электрическую. Такой принцип лежит в
основе устройства солнечных батарей, используемых для питания
космической и бортовой радиоаппаратуры и в наземных энергети-
ческих установках. Мощность, которую можно снять с фотоэлемен-
та, составляет
W=IV*.
Она зависит от нагрузочного сопротивления /?„ и при некотором его
значении достигает максимального значения. Отношение этой мощ-
ности к мощности падающего излучения представляет собой к.п.д.
преобразователя. К.п.д. зависит от степени перекрытия области
спектральной чувствительности фотоэлемента н спектра солнечного
света, от внутреннего сопротивления фотоэлемента и других факто-
ров. Световая характеристика фотоэлемента, выражающая зависи-
мость силы тока в цепи от мощности светового потока, в общем
случае нелинейна.
Основными полупроводниковыми материалами, применяемыми
промышленностью для изготовления солнечных батарей, являются в
настоящее время кремний и арсенид галлия. Расчет показывает,
что предельный (теоретический) к.п.д. кремниевых преобразовате-
лей должен быть равен ~20%; практически достигнут к.п.д. «19%.
Помимо использования фотоэлементов как преобразователей
солнечной энергии в электрическую их применяют также в качестве
чувствительных датчиков, реагирующих на изменение интенсивно-
сти светового потока. Широкое применение для этой цели получили
германиевые, медно-закисные, селеновые, сернисто-серебряные, сер-
нисто-таллиевые и другие элементы. Интегральная чувствитель-
ность их примерно на 2—3 порядка выше, чем у элементов
с внешним фотоэффектом. Для ее повышения фотоэлементы конст-
руируют так, чтобы возможно большее число носителей, возникаю-
щих прн освещении, достигало р-п-перехода. С этой целью базу
элемента w (рис. 11.21, а) делают как можно тоньше, а полупровод-,
никс'вый материал выбирают с возможно большей диффузионной
длиной носителей L, чтобы выполнялось соотношение w^L.
Основным недостатком вентильных фотоэлементов является от-
носительно большая инерционность. Это ограничивает область
250
применения таких элементов в качестве датчиков световых пото-
ков, модулированных высокой частотой.
Фотодиоды. При фотодиодном режиме работы фотоприемника
на диод подают обратное смещение V. В этом случае при освеще-
нии диода его обратная ветвь опускается вниз на /ф, как показано
на рис. 11.21, в, и на нагрузочном сопротивлении появляется
сигнал АУ=/ф7?н, который и регистрируется. В. отличие от фото-
элемента фотодиод имеет линейную световую характеристику и,
как правило, обладает более высокими частотными свойствами.
У современных фотодиодов быстродействие доведено до ~10-9 с.
11.9. Светодиоды
При пропускании прямого тока концентрация неосновных носи-
телей у границ р-п-перехода резко повышается и становится значи-
тельно выше равновесной. К инжектированным неосновным носи-
телям подтягиваются основные носители, и их концентрации у гра-
ниц перехода становятся также выше равновесной. Диффундируя
в глубь полупроводника, неравновесные носители рекомбинируют,
проникая в среднем иа расстояние диффузионной длины от слоя
объемного заряда р-п-перехода. Если при этом существенная доля
актов рекомбинации происходит с излучением света, то, создав
условия для выхода этого света наружу, полупроводниковый
диод можно использовать как источник излучения. Такой диод на-
зывают светодиодом.
Эффективность светодиода определяется прежде всего его внут-
ренним квантовым выходом г]вн, представляющим собой отношение
числа квантов, испускаемых при рекомбинации, к числу инжекти-
рованных неосновных носителей. Если бы рекомбинация была
только излучательной, то г]Вн=1. Одиако наряду с излучательной
рекомбинацией всегда протекает процесс безызлучательной реком-
бинации. Поэтому в общем случае т]вн<1 и квантовый выход опре-
деляется следующим соотношением:
7}вн ------__________________1______, (11.52)
^изл "Ь ^беаызл 1 -Е^беаызл/Ривл
где Риал, Рбезызл — вероятности излучательной и безызлучательной
рекомбинации, отнесенные к единичному времени.
Из (11.52) следует, что для получения максимальной внутрен-
ней эффективности стотодиода следует по возможности увеличить
отношение вероятности излучательной рекомбинации к безызлуча-
тельной. Вероятность безызлучательной рекомбинации можно
уменьшить, очистив полупроводник от глубоких рекомбинационных
центров. Сделать это очень трудно, так как сечеиие захвата носи-
телей некоторыми примесными центрами, например медью, велико
и требуется очень высокая степень очистки от таких примесей.
Поэтому качество светодиодов в значительной мере зависит от степе-
251
ни очистки исходных материалов и со-
вершенства технолог*™ изготовления
диодов.
Другой серьезнойй фоблемой при
создании светодиодог'В является вывод
излучения наружу. /Цело в том, что из-
за высокого показа-теля преломления
полупроводников (и =3,5) у них очень
мал угол полного внутреннего отраже-
ния (0„.в.о):
©n.B.o=arcsin ( 1/m). (11.53)
Так, в GaAs 0Пво~17°. Лишь ~2% испускаемого излучения падает
на плоскую, поверхность полупроводника под углами, меньшими
бп.во, и может выйти наружу, испытав лишь час-тичное отражение
от границы раздела полупроводник — воздух. Остальное излучение
полностью отражается от поверхности внутрь полупроводника.
Если коэффициенты поглощения для рекомбинащионного излуче-
ния велики, то свет, отразившийся от поверхноости, поглотится в
материале .диода. Если же они малы, то можн о «спасти» часть
излучения, не вышедшего сразу наружу, обеспечгив его отражение
от внутренних поверхностей диода и еще раз направив его к наруж-
ной поверхности под углами, меньшими 0п.в.о.
В радиотехнике светодиод в сочетании с фотоприемником
(рптронная пара) может служить трансформатор ом, осуществляю-
щим электрическую «развязку» цепей (рис. 11.22)< - Быстродействие
светодиодов достигает ~10~9 с. Фотоприемники могут обеспечить
столь же малые постоянные времени фотоответя, так что такой
трансформатор обладает уникальными частотными характеристи-
ками. Применяя гальваническую или оптическую обратную связь и
используя нелинейность характеристик фотоприемников и светодио-
дов, можно создавать разнообразные оптронныд логические эле-
менты.
Средняя мощность излучения светодиода в непрерывном режиме
невелика — порядка нескольких милливатт. Увеличить ее за счет
повышения прямого тока не удается из-за разогрева р-п-перехода,
резко снижающего внутреннюю эффективность. Однако и такие
мощности позволяют использовать светодиоды для направленной
оптической связи в пределах прямой видимости. Так как размер
светящейся области светодиода невелик, его излучение легко собрать
в слаборасходящийся пучок.
Весьма перспективным является использование светодиодов в
качестве источников излучения в оптико-волоконных линиях связи.
Светодиоды используют также в качестве малогабаритных све-
товых индикаторов. В этом случае одним из основных параметров
светодиода является его яркость, как она воспринимается челове-
ческим глазом. Выбирая для светодиода полупроводники с различ-
ной шириной запрещенной зоны, можно получать различные цвета
свечения диода.
252
§ 11.10. Полупроводниковые лазеры
Вынужденное (индуцированное) излучение. В лазерах — прибо-
рах для генерации монохроматического узконаправленного свето-
вого излучения — используется явление вынужденного испускания
света. Это явление состоит в переходе электрона с верхнего энер-
гетического уровня Еп (рис. 11.23, а) на свободный нижний уровень
Ер под действием световой волны с частотой
v = (En-E,)/ft. (11.54)
При этом освобождающаяся энергия Еп — Ер передается вызвавшей
переход световой волне, увеличивая ее амплитуду. Происходит
усиление света.
Вынужденное испускание обратно процессу поглощения света,
когда электрон с нижнего уровня Ер переходит на свободный верх-
ний уровень Еп, поглощая энергию световой волны (рис. 11.23,6).
Если в среде электронами заселены как верхние, так и нижние
состояния( то усиление света будет преобладать над его поглоще-
нием тогда, когда заселенность верхних уровней выше, чем нижйих
(инверсная населенность). В противном случае свет будет погло-
щаться. В условиях теплового равновесия степень заселенности
нижних энергетических состояний всегда выше, чем верхних,
и такими системами свет всегда поглощается. Получить инверсную
заселенность можно лишь выведя систему из теплового равнове-
сия. Среду, в которой достигнута инверсная заселенность уровней,
называется активной.
В лазерах световая волна многократно проходит через актив-
ную среду, отражаясь от зеркал (рис. 11.24). Если световая волна
теряет при отражении от зеркала- меньше энергии, чем приобре-
тает при прохождении через активную область, то ее интенсивность
будет непрерывно нарастать. Происходит лавинообразное увеличе-
ние интенсивности световой волны, возникает генерация. Так как
при каждом отражении часть света проходит сквозь зеркало, то с
ростом интенсивности световой волны в активной среде растет и
интенсивность света, выходящего из лазера наружу.
Рис 11.23. Схема индуцированного испускания (а) и поглоще-
ния (б) света
253
Зеркало
Зеркало
Оптическая
ось лазера
Рис. 11.24. Схема, многократного прохож-
дения света через активную среду в ла-
зере
Рис. 11.25. Энергетическая диаграмма
лазерного диода в состоянии равнове-
сия (а) и в рабочем режиме (б)
Полупроводниковые лазеры. Для решения многих задач радио-
электронники и вычислительной техники большое значение имеют
полупроводниковые лазеры, в которых используется явление инду-
цированного излучения, возникающего при излучательной реком-
бинации электронно-дырочных пар. Наиболее широкое практиче-
ское применение получили инжекционные лазеры на арсениде
галлия, в которых инверсная заселенность достигается инжекцией
неосновных носителей через р-п-переход в вырожденные области
полупроводника. Применяют также арсенид индия, фосфид индия,
антимонид индия и ряд твердых растворов например InGaAsP,
AlGaAsP и т. п.
На рис. 11.25, а показан равновесный р-п-переход между двумя
вырожденными областями полупроводника. Уровень Ферми в р-об-
ласти (рр) расположен ниже вершины валентной зоны £„, а в
n-области (|*п) — выше дна зоны проводимости Ес. Такое распо-
ложение уровней Ферми свидетельствует о том, что состояния
вблизи вершины валентной зоны p-области с вероятностью, близкой
к 1, свободны (заполнены дырками), а состояния вблизи дна зоны
проводимости n-области с той же степенью вероятности заполнены
электронами. Если к такому р-п-переходу приложить прямое сме-
щение V, резко снижающее потенциальный барьер, то в нем по-
явится область А с инверсным заполнением зон: над практически
свободными уровнями валентной зоны расположатся полностью
заполненные уровни зоны проводимости (рис. 11.25,6). В этих
условиях спонтанно возникшие кванты вследствие рекомбинации
электронно-дырочных пар вызывают стимулированное испускание
излучения.
Этот принцип и положен в основу работы полупроводниковых
лазеров, схема устройства которых показана на рис. 11.26. Крис-
талл с p-n-переходоМ имеет форму параллелепипеда или непра-
вильной пирамиды: две противоположные грани делают строго
параллельными друг другу и перпендикулярными плоскости р-п-пе-
рехода; они выполняют роль оптического резонатора, заставляю-
254
Рис. 11.26. Схема устройства
полупроводникового инжекцион-
ного лазера
Рис. 11.27. Зависимость
мощности излучения ла-
зерного диода от тока:
] — спонтанное излучение; 2 —
стимулированное излучение
щего стимулированное излучение, возникшее в плоскости перехода,
проходить через него многократно. Две другие грани могут быть
направлены под углом к основанию и оставляются грубо обрабо-
танными, вследствие чего не могут выполнять роль оптического
резонатора. Когерентное излучение выводят через одну из граней
оптического резонатора.
Коэффициент отражения света от граней кристалла составляет
0,3—0,35. Кроме того, световая волна, распространяющаяся вдоль
р-п-перехода, проходит не только через активную область, но и
через пассивные области диода. Поэтому для возникновения гене-
рации необходимо создание такой инверсной заселенности зон, при
которой усиление света в активной области перекрывало бы все
его потери, связанные с прохождением через диод и малым отра-
жением его зеркальных граней.
Ток /ПоР, при котором выполняется это условие и возникает
генерация, называют пороговым. До порогового тока лазер рабо-
тает как обычный светодиод, испуская спонтанное излучение с
равномерной плотностью во всех направлениях (в телесном угле
4л стерадиан). Лучи, не попавшие на отражающие грани крис-
талла, полностью поглощаются в нем. Кроме того, лучи, упавшие
на эти грани под углом 0> 17°, испытывают полное внутреннее
отражение и в конечном счете также поглощаются в кристалле.
Поэтому из светодиода выходит всего около 2% излучения, воз-
никшего в нем в результате излучательной рекомбинации.
При переходе же к режиму генерации практически все излуче-
ние концентрируется в плоскости р-п- перехода, распространяясь
перпендикулярно отражающим граням. Кроме того, при / > /пор
вследствие роста вероятности вынужденных оптических переходов
увеличивается отношение вероятностей излучательной рекомбина-
ции к безызлучательной. Все это приводит к резкому росту мощ-
ности излучения Н7ИЗЛ и излому кривой зависимости ТС'изл от тока /
при / = /П0р (рис. 11.27).
Существенным недостатком полупроводниковых лазеров являет-
ся сильна? зависимость их параметров от температуры. С повы-
255
шением температуры, происходящим из-за разогрева диода значи-
тельным прямым током, изменяется ширина запрещенной зоны,
что приводит к изменению спектрального состава излучения и
смещению его максимума в сторону длинных волн. Но главное
состоит в том, что с увеличением температуры резко растет поро-
говый ток /„op, так как при неизменном токе инжекции и, следо-
вательно, при неизменной концентрации инжектированных носите-
лей вблизи р-п-перехода их распределение по энергиям становится
более размытым — увеличивается интервал энергий (по порядку
равный kT), в пределах которого свободные носители заряда рас-
пределяются в энергетических зонах. Так как коэффициент усиле-
ния света зависит от степени заполнения электронами и дырками
состояний соответственно в зоне проводимости и в валентной зоне,
то при том же уровне инжекции коэффициенты усиления падают
с ростом температуры. Это означает, что для достижения порого-
вого значения коэффициента усиления при повышенных темпера-
турах необходим больший ток /пОр- Поэтому проблема отвода теп-
лоты от р-п-перехода для полупроводниковых лазеров имеет
первостепенное значение.
Применение когерентного излучения. Высокая степень монохро-
матичности и малая расходимость когерентного оптического излу-
чения определяют области его практического использования.
Излучение с высокой временной когерентностью может быть ис-
пользовано для передачи информации на оптических частотах, при
решении задач, связанных с оптической интерференцией (измере-
ние расстояний, линейных и угловых скоростей, деформаций по-
верхностей и т. д.), и в качестве стандарта частоты. Высокая
направленность пространственно-когерентного излучения обуслов-
ливает ряд его преимуществ перед некогерентным излучением:
малость энергетических потерь, связанных с расходимостью пучка,
высокое угловое разрешение, позволяющее точно направить, луч
на малый объект и существенно сократить помехи, возможность
пространственной фильтрации при приеме сигналов. Отсюда сле-
дует, что узконаправленное оптическое излучение может быть
эффективно использовано при передаче информации на большие
расстояния, при оптической локации удаленных объектов (особенно
для выделения объекта среди друг ix целей), при измерении углов
и расстояний по принципу, на котором основаны светодально-
меры, в системах наведения по .учу, при передаче световой энер-
гии на большие расстояния, для концентрации энергии в световом
пучке (оптическая резка, сварк ) и т. д.
Оптически связанные полупроводниковые лазеры могут быть
применены для построения оптических логических элементов высо-
кого быстродействия. В настоящее время практически реализованы
логические элементы на полупроводниковых лазерах с быстродей-
ствием порядка 10 10 с, на основе которых могут быть созданы
сверхбыстродействующие устройства ЭВМ, обладающие макси-
мальной развязкой входа и выхода и высокой помехоустойчиво-
стью.
256
ГЛАВА 12 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ РАБОТЫ ТРАНЗИСТОРОВ
Основным н наиболее аажным элементом полупроводниковой электроники является
транзистор — твердотельный прибор, предназначенный для усиления электрических
сигналов, преобразования энергии источника питания в энергию электромагнитных
колебаний (генерации колебаний), быстрого переключения (коммутации) и выпол-
нения многих других важных функций. В настоящее время транзисторы являются
важнейшими компонентами быстродействующих вычислительных машин, практиче-
ски всех средств связи н бытовой электронной аппаратуры. Биполярные тран-
зисторы были изобретены в 1947 г. В 1948 г. был создан точечно-контактный
транзистор. В 1949 г. Бардин опубликовал работу по плоскостным транзисторам.
В 1952 г. был предложен полевой транзистор с р-п-переходом, а затем полевой
транзистор с изолированным затвором.
Настоящая глава посвящена рассмотрению физических принципов работы различ-
ного типа биполярных и полевых транзисторов.
§ 12.1. Принцип работы биполярного транзистора
Биполярный транзистор состоит из двух близко расположенных
друг к другу р-п-переходов. По своей структуре такой транзистор
может быть р-п-р- или n-p-n-типа. Для примера рассмотрим тран-
зистор, типа п-р-п (рис. 12.1, а). Его энергетическая диаграмма в
Рис. 12.2. Работа транзистора в схеме с
общей базой (а) и его энергетическая
диаграмма в рабочем режиме (б)
Рис. 12.1. Структура пгр-п-тран-
зистора (а) и его энергетическая
диаграмма (б)
257
состоянии равновесия, т. е. без внешних смещений, представлена
на рис. 12.1,6. Центральную область транзистора называют ба-
зой (Б), к ней прилегают эмиттерная (Э) и коллекторная (К) об-
ласти.
Рассмотрим режим работы транзистора в так называемой схеме
с общей базой (рис. 12.2, а). На эмиттерный переход подают пря-
мое смещение, на коллекторный — обратное. Электроны из эмиттер-
ной области инжектируются через понизившийся потенциальный
барьер эмиттерного перехода (стрелки 1' на рнс. 12.2, а, б) в базо-
вую область транзистора. Как и в обычном диоде (см. § 11.2),
внешнее смещение Гэ падает практически все на области объемного
заряда перехода эмиттер — база, а Ук — на переходе баз.а — кол-
лектор и на внешнем сопротивлении /?„. Таким образом, электри-
ческое поле в базе отсутствует и электроны, инжектированные в
базу через эмиттерный переход, диффундируют к коллекторному
переходу. Их концентрация у эмиттерного перехода повышена по
сравнению с равновесной в exp[eV3/(fe7')] раз, а у границы обратно-
смещенного коллекторного р-п-перехода она практически равна
нулю. В том случае, если толщина базовой области w намного
меньше диффузионной длины электронов в базе, электроны доходят
до коллекторного перехода, практически не рекомбинируя в базе.
Когда электроны вследствие хаотического теплового движения
попадают в область объемного заряда коллекторного перехода,
они подхватываются полем перехода и перебрасываются в коллек-
торную область транзистора (стрелки / на рис. 12.2). Таким обра-
зом, электронный ток эмиттерного перехода /пэ транзистора течет
не через базовый его вывод, а через коллектор и далее через со-
противление нагрузки R„. Геометрия транзистора выбирается такой,
чтобы лишь небольшая часть электронного потока ответвлялась в
базовую цепь (стрелка 2). Включение транзистора с общей базой
позволяет получить усиление напряжения в выходной цепи тран-
зистора (на сопротивлении нагрузки /?„) по сравнению с напряже-
нием Квх в его входной цепи. Действительно, небольшое переменное
напряжение ГВх в цепи прямосмещенного эмиттерного перехода
существенно изменяет его ток (ток р-п-перехода в прямом смещении
изменяется в е раз, когда смещение меняется на fe7'/e«25 мВ).
Этот ток, проходя по сопротивлению нагрузки /?н, если оно выбрано
достаточно большим, вызывает появление на нем напряжения, го-
раздо большего Квх. Соответственно увеличивается и мощность пере-
менного тока, выделяющаяся в нагрузке, по сравнению с мощностью,
потребляемой на входе транзистора. При этом, для того чтобы кол-
лекторный переход оставался под обратным смещением несмотря
на протекание по сопротивлению нагрузки тока, необходимо, чтобы
напряжение VK источника смещения было достаточно велико.
§ 12.2. Параметры и выходные характеристики транзистора
Параметры транзистора. Основным параметром транзистора
является коэффициент усиления по току а, который выражает
отношение изменения тока коллектора к вызвавшему его изменению
тока эмиттера при постоянном напряжении на коллекторном
р-п-переходе (т. е. при /?„ = 0 на рис. 12.2, а):
а=(д1к/дЦ)ук. (12.1)
Коэффициент а называют внешним параметром транзистора.
Он определяется через три внутренних параметра: эффективность
эмиттера у, коэффициент переноса р и эффективность коллек-
тора а*.
Ток эмиттера складывается из электронной (/пэ) и дырочной
(/рэ) компонент. В п-р-п-транзисторе эффект усиления достигается
только за счет электронной составляющей тока эмиттера. Эффек-
тивность у эмиттера равна отношению изменения электронной ком-
поненты эмиттерного тока к изменению полного тока эмиттера /э:
l = (dZn9/dZe)yK. (12.2)
Согласно (11.27) и (11.28),
4э = S9e Lp {ехр [eVjkT)} - 1} «
тр
£pexp[eVe/(W)], (12.3)
где S9 — площадь эмиттерного перехода.
Воспользовавшись связью £ = От, выражение (12.3) можно
также представить в виде
In*S#Dp exp[eVB/(kT)]. (12.4)
Электронная компонента эмиттерного тока определяется форму-
лой, отличной от (12.3). Дело в том, что, в то время как дырки,
инжектируемые в эмиттер из базы, распределяются от перехода
на глубину Lp, электроны, инжектируемые в базу из эмиттера,
распространяются в ней лишь на расстояние w <z Ln (где w —
толщина базовой области). Так как движение электронов в базе
имеет чисто диффузионный характер, то значение электронной
компоненты тока эмиттера определяется градиентом концентрации
электронов
£n8 = S8eDn|-^-|, (12.5)
где ось х направлена от эмиттера к коллектору.
Определим градиент концентрации электронов в базе. У эмит-
терного перехода их концентрация
259
n(O) = nP8exp
Ki
у коллекторного п(и>) = 0. Следовательно,
I dn I ~ n(0) — n(w) _ tipo eV9
I dx | w w kT
Подставляя (12.7) в (12.5), получаем
г с r\ nPQ еУэ
In. = S^Dn — exp-^-
(12.6)
(12.7)
(12.8)
Учитывая, что 7Э = /Пэ + 1рз, и комбинируя (12.2), (12.4) и (12.8),
получим для эффективности эмиттера выражение
т = Л _|_ ^"0
Лрф Dn Lp
(12.9)
Выразив коэффициенты диффузии через подвижности из соотноше-
ния Эйнштейна (8.42) и концентрации неосновных носителей
через концентрации основных из закона действующих масс (5.36),
выражение (12.9) можно переписать в следующем практически
более удобном виде:
7 =
°р w
ап Lp
(12.10)
Для того чтобы приблизить эффективность эмиттера к единице,
необходимо, как видно из (12.10), легировать эмиттер намного
сильнее, чем базу (о„» ор), и делать базу тонкой (w << Lp). По-
следнее требование необходимо и для увеличения коэффициента
переноса р, равного доле электронов, инжектирированных из
эмиттера и достигающих коллекторного переход
р = (й/пкМ/пэ)Ук. (12.11)
Этот коэффициент меньше единицы, так как часть электронов по
пути к коллектору рекомбинирует. Чем уже база по сравнению
с диффузионной длиной электронов, тем меньше р отличается от
единицы. Для узкой, базы (w Ln) расчет показывает, что
(12.12)
Эффективность коллектора, определяемая как
а*=(^к/^лк)ук, (12-13)
может превышать единицу, если в коллекторном р-п-переходе про-
исходит ударная ионизация. В обычном же режиме, когда Ук КрОб,
значение а практически равно единице.
Из (12.1), (12.2), (12-11) и (12.13) следует, что
260
a = ура*.
(12.14)
Подставив сюда значения у и р из (12.10) и (12.12), положив
а* = 1 и отбросив слагаемые второго порядка малости, получим
Из (12.15) следует, что в схеме с общей базой усиления по
току не происходит (а< 1).
Выходные характеристики транзистора (рис. 12.3) выражают
зависимость тока коллектора от напряжения коллектор—база. При
их построении обратное смещение и обратный ток коллекторного
перехода обычно считают положительными. Эти характеристики
имеют некоторый положительный наклон, обусловленный ростом а
с VK. Дело в том, что увеличение обратного смещения вызывает
расширение области объемного заряда коллекторного р-п-перехода
и сужение базы транзистора w. Это и приводит, согласно (12.15),
к росту а.
Коэффициент а зависит также от тока эмиттера. Схематически
эта зависимость показана на рис. 12.4. Малые токи эмиттера
соответствуют малым напряжениям на эмиттерном р-п-переходе,
когда часть прямого тока обусловлена не инжекцией носителей
через переход, а их рекомбинацией в слое объемного заряда р-п-пе-
рехода. Так как транзисторный эффект обеспечивается только
носителями, инжектированными в базу, то их рекомбинация в
р-п-переходе приводит к понижению эффективности эмиттера у и
коэффициента усиления а.
К инжектированным неосновным носителям подтягиваются по
цепи базы основные носители для компенсации инжектированного
объемного заряда. При больших токах эмиттера в базу инжек-
тируется настолько много неосновных носителей (электронов в
п-р-п-транзисторе), что концентрация основных носителей у эмит-
Рис. 12.3. Выходные характеристики
транзистора в схеме с общей базой
Рис. 12.4. Зависимость коэф-
фициента усиления транзис-
тора по току а от тока эмит-
тера
тера заметно повышается. Это приводит к росту тока инжекции
основных носителей из базы в эмиттер, т. е. к уменьшению
эффективности эмиттера у.
При наличии в цепи коллектора сопротивления нагрузки RH на-
пряжение на коллекторном переходе изменяется при изменении тока
коллектора. Эти изменения могут быть определены с помощью
нагрузочной прямой (штриховая линия на рис. 12.3). Если в базу
инжектируется на£только много носителей, что падение напря-
жения на нагрузке lKRn превышает напряжение источника сме-
щения Усм, то коллекторный р-п-переход оказывается в прямом
смещении. В этом случае говорят, что транзистор работает в
области насыщения. Хотя поле в коллекторном р-п-переходе в этой
области по-прежнему существует и, следовательно, инжектиро-
ванные из эмиттера в базу неосновные носители выбрасываются
этим полем в коллектор, теперь и из коллектора через низкий
барьер р-п-перехода идет встречный поток носителей. Как видно из
рис. 12.3, увеличение тока эмиттера при этом практически не ме-
няет напряжение на коллекторе.
Схема с общим эмиттером. Очень часто транзистор включают
так, как показано на рис. 12.5,0. В такой схеме он работает как
усилитель тока. Здесь входным током является не ток эмиттера,
а ток базы /6. Изменения токов базы, эмиттера и коллектора свя-
заны между собой соотношением
d/K = d/3 —d/e. (12.16)
С другой стороны,
dA = ad/,. (12.17)
Комбинируя (12.16) и (.12.17), получаем
(12.18)
d/K=7JL-d/6 = 50dZc,
1 —а
Рис. 12.5. Включение (а) и выходные характеристики (6) транзисто-
ра в схеме с общим эмиттером
262
где Во обозначен коэффициент уси-
ления по току в схеме с общим
эмиттером. Так как в транзисторе
а«1, то ВоЗ>1. Например, в хоро-
шем транзисторе а = 0,995. Тогда,
согласно (12.18), Во = 2ОО.
Поясним физическую природу
усиления тока в схеме с общим
эмиттером. Пусть, например, через
омический контакт в базу поступило
некоторое количество дырок АР.
Они понижают потенциальный барьер
эмиттерного р-п-перехода и для ком-
пенсации их заряда из эмиттера
инжектируется \N-\P электронов.
Рис. 12.6. Энергетическая диаграм-
ма п-р-п-траизистора при «проколе»
базы
Так как инжектированные электроны участвуют в хаотическом
тепловом движении, они доходят до коллекторного р-п-перехода и
втягиваются его полем. Тогда на место электронов, ушедших из
эмиттера, поступают новые электроны. Процесс продолжается до
тех пор, пока постепенно введенные в базу дырки АР не прореком-
бинируют с диффундирующими через базу электронами из эмитте-
ра. Каждая прошедшая через базовый контакт дырка, таким об-
разом, заставляет пройти через эмиттерный и коллекторный пере-
ходы много электронов.
Выходные характеристики транзистора в схеме с общим эмит-
тером представлены на рис. 12.5, б. Они имеют существенно боль-
ший наклон, чем в схеме с общей базой, так как небольшое уве-
личение а с ростом Ук из-за сужения базы приводит, согласно
(12.18), к гораздо большему росту Во-
Пробой коллекторного р-п-перехода может происходить так же,
как и в обычном диоде. Кроме того, резкое возрастание тока кол-
лектора может быть вызвано так называемым «проколом базы»
транзистора, когда слои объемного заряда коллекторного и эмит-
терного р-п-переходов смыкаются. Тогда дальнейшее увеличение
напряжения на коллекторе приводит к понижению потенциального
барьера эмиттерного перехода, как это показано на рис. 12.6,
и, следовательно, к росту тока из эмиттера в коллектор.
§ 12.3. Переходные процессы в транзисторах.
Дрейфовые транзисторы
Рассмотрим переходные процессы в транзисторе на примере
п-р-п-транзистора в схеме с общей базой (рис. 12.7, а). Пропустим
через эмиттерный переход прямоугольный импульс тока (рис. 12.7, б).
Импульс коллекторного тока достигает стационарного значения,
определяемого выходными характеристиками транзистора, не сразу,
а за некоторое время переходного процесса (рис. 12.7, в). Точно
так же после окончания импульса тока эмиттера ток коллектора
уменьшается не мгновенно, а постепенно. Длительность переходных
263
Рис. 12.7. Схематическое представление переходных процессов в тран-
зисторе (а); импульс тока эмиттера Л/, (б); импульс тока коллектора
Л/к (в)
процессов определяется временем перезарядки барьерных емкостей
эмиттерного и коллекторного р-п-переходов и временем-диффузии
инжектированных носителей через базу.
Увеличение тока эмиттера должно сопровождаться увеличением
прямого смещения на эмиттерном р-п-переходе и, следовательно,
уменьшением ширины области его пространственного заряда. Как
было показано в § 11.2, сужение области пространственного заряда
р-п-перехода происходит за счет смещения к нему электронов
n-области и дырок p-области (стрелки 1 и Г на рис. 12.7, а). Таким
образом, в начале импульса эмиттерный ток расходуется не на
и'нжекцию электронов через р-п-переход, что должно вызывать
появление коллекторного тока, а на компенсацию объемного заряда
примесей у границ перехода, т. е. на заряжение барьерной емкости
эмиттерного р-п-перехода. Время заряда этой емкости равно
/?послС6.э, где Сбэ — барьерная емкость эмиттерного р-п-перехода,
а Лпосл — сопротивление эмиттерной и базовой областей транзис-
тора, контактов к цим и внешнее сопротивление эмиттерной цепи.
Собственное последовательное сопротивление транзистора часто
определяется сопротивлением его базовой области, так как носи-
телям тока приходится подтекать к эмиттерному р-п-переходу для
зарядки его барьерной емкости от базового контакта через узкую
базовую область (ток /эар на рис. 12.7, а).
По мере уменьшения высоты потенциального барьера эмиттер-
ного р-п-перехода из эмиттерной области электроны начинают
инжектироваться в базу и диффундировать к коллектору (стрел-
ка 3). Так как процесс диффузии определяется хаотическим теп-
ловым движением носителей; то некоторым из них удается до-
стигать коллектора очень быстро, другим же для этого требуется
большее время. Поэтому, даже если бы эмиттерный ток сразу стал
током инжекции, ток коллектора нарастал бы постепенно за харак-
терное время диффузии средней массы носителей через базовую
область. Оценим время диффузии, исходя из того, что за время
264
жизни т неосновные носители диффундируют в среднем иа рас-
стояние длины диффузии L, которое связано с т соотношением
L = 7 Dr.
Отсюда следует, что иа глубину w электроны продиффундируют
за время
/диф = ^7£>п. (12.19)
Так как w < L„, то /диф <т.
Когда электроны доходят до коллекторного перехода, оии по-
падают в его поле и выталкиваются в коллекторную область. Это,
однако, еще не означает, что в коллекторной цепи сразу же по-
явится соответствующий ток А/к. Дело в том, что увеличение тока
коллектора иа А/к должно вызвать увеличение падения напряжения
иа нагрузке иа /?ИА/К. На столько же должно уменьшиться обратное
смещение иа коллекторном р-п-переходе, т. е. должен сузиться слой
его объемного заряда. Это сужение происходит за счет того, что
электроны, переброшенные через коллекторный переход, идут ие
во внешнюю цепь, а остаются у р-п-перехода, уменьшая его объем-
ный заряд со стороны коллекторной n-области (стрелка 2 иа
рис. 12.7, а). Со стороны базы объемный заряд уменьшается за
счет дырок, поступающих через базовый контакт из эмиттериой
цепи (стрелка 2' иа рис. 12.7, а). Изменение заряда иа коллектор-
ном переходе должно в конце концов составить
AQ = C6.kAV„ = C6.J?hA/k. (12.20)
Так как оио происходит за счет тока А/к, иа это требуется время
/эар = AQ/A/k = С6.к/?н. (12.21)
Здесь Сб.к — барьерная емкость коллекторного р-п-перехода.
После окончания импульса тока эмиттера ток в коллекторной
цепи поддерживается за счет разряда через иее барьерных емко-
стей эмиттерного и коллекторного переходов и сбора к коллектору
инжектированных за время импульса носителей.
Длительность переходных процессов определяется наибольшим
из рассмотренных времен. Часто таковым оказывается время диф-
фузии носителей через базу (12.19). Для его уменьшения необ-
ходимо делать базу как можно более тонкой. Кроме толщины
базы w в (12.19) входит также коэффициент диффузии неосновных
носителей тока в базе — электронов в п-р-п- и дырок в р-п-р-траи-
зисторах. Так как коэффициент диффузии электронов больше
коэффициента диффузии дырок (вдвое в германии и кремнии и в
20 раз в GaAs), то при прочих равных .условиях п-р-п-траизисторы
имеют меньшие времена переключения, чем приборы р-п-р-типа.
Времена переключения существенно уменьшаются также в так
называемых дрейфовых транзисторах, где в базе транзистора
существует «встроенное» поле, ускоряющее движение неосновных
носителей от эмиттера к коллектору. Такое поле, как и в импульс-
ных диодах (см. § 11.4), создается неравномерно распределенной
265
Рис. 12.8. Структура дрейфового тран-
зистора:
а — распределение легирующей примеси (х —
расстояние от поверхности Afdt — первоначаль-
ная концентрация доноров, A<d2. — концентра-
ции проднффундировавшнх с поверхности доно-
ров и акцепторов соответственно); б — распре-
деление нескомпенсированной примеси; в — рас-
пределение заряда и «встроенное» поле (направ-
ление поля показано стрелками)
Рис. 12.9. Эквивалентная схема
транзистора
Рис. 12.10. Представление
транзистора четырехпо-
люсником
легирующей примесью в базе транзистора. Эмиттерная и базовая
области дрейфового транзистора создаются диффузией донорной
и акцепторной примесей в пластину n-типа проводимости (п-р-п-
транзистор), как показано на рис. 12.8, а. На рис. 12.8,6 пред-
ставлено распределение нескомпенсированной примеси в структуре
дрейфового транзистора. Диффузия дырок в базе из областей с
повышенной концентрацией нескомпенсированных акцепторов со-
здает объемные заряды, изображенные на рис. 12.8, в. Легко ви-
деть, что такие заряды создают «встроенное» поле в базе, тормо-
зящее инжектируемые из эмиттера электроны в небольшой области,
примыкающей к эмиттеру, но ускоряющее их движение к коллек-
тору в основной части базовой области.
266
За количественную характеристику частотных свойств тран-
зистора принимают такую предельную частоту усиления по току va,
при которой квадрат модуля коэффициента усиления по току умень-
шается вдвое по сравнению с квадратом коэффициента усиления
по току |ао|2 на низкой частоте: |а|2/|а0|2 = 0,5. Расчет показы-
вает, что
va = V3/(2л/яиф), (12.22)
где /ДНф определяется выражением (12.19).
Диффузионная планарная технология изготовления транзисто-
ров, в которой диффузионные процессы проводятся с одной стороны
пластины, позволяет изготовлять структуры с очень точно выдер-
жанными и очень малыми толщинами базовой области. Поэтому
в современных дрейфовых высокочастотных транзисторах время
пролета носителей через базу столь мало, что временами, опре-
деляющими длительность переходных процессов в них, становятся
времена перезарядки барьерных емкостей эмиттерного и коллек-
торного р-п-переходов.
Простейшая эквивалентная схема транзистора представлена на
рис. 12.9. Процесс накопления носителей в базе транзистора,
определяющий время их диффузии /ДИф через базу, имитируется
диффузионной емкостью эмиттерного перехода Сдэ. Тот факт, что
неосновные носители базы, дошедшие до коллекторного перехода,
подхватываются его полем и перебрасываются в коллектор, отра-
жается включением генератора тока а/э параллельно коллектор-
ному р-п-переходу. Активные сопротивления эмиттерного и коллек-
торного р-п-переходов представлены резисторами /?р.ла и Rp.nK со-
ответственно, сопротивление базовой области — резистором R6,
барьерные емкости р-п-переходов — конденсаторами Съ.3 и Св.к.
Элементы эквивалентной схемы транзистора нелинейны; входя-
щие в нее активные и реактивные сопротивления изменяются с
изменением напряжений и токов в них. Поэтому такую схему
удобно применять в основном для малых сигналов, когда токи и
напряжения связаны линейными соотношениями. Тогда транзистор
формально можно рассматривать как линейный четырехполюсник
(рис. 12.10). Существует несколько систем параметров четырех-
полюсника, связывающих между собой значения малых переменных
напряжений и токов на входе (V) и Л) и напряжение и ток на вы-
ходе (Р2И /г). Наиболее часто используют так называемую систему
h-параметро в:
Vi — hu hltVt,
(12.23)
. ^2 = ^21 A "t" 8‘
Для определения параметра Ап необходимо измерить перемен-
ные напряжение и ток на входе транзистора при переменном на-
пряжении на его выходе Уг = 0. Это условие легко • выполнить,
замкнув выход конденсатором достаточно большой емкости. Для
267
определения значения hi2 необходимо подать переменный сигнал V2
на выходные клеммы четырехполюсника и измерить напряжение
на его входе вольтметром с достаточно высоким внутренним со-
противлением, так чтобы можно было считать, что /]=0. Пара-
метр й|2, таким образом, являетсякоэффициентом обратной связи
по напряжению. Наконец, h2x = 72/h при V2 = 0 и h22 = T2/V2
при 71= 0.
Кроме системы й-параметров применяют также системы z- и
у-параметров:
Vi — Znli-i- za lt,
, V г — z2i 7i 4- zt2 /,;
(12.24)
Л = f/ii/i + yltV2,
. ^2 = i/21^1 4" УмУ2.
(12.25)
Связь различных систем параметров друг с другом легко найти.
Так, выразив Vi, в (12.23) через h и /2:
у1=(лц- +
\ П22 / “22
(12.26)
и сравнив полученное выражение с первым уравнением (12.24),
находим
_______и Й12Л21 . _ й12
гп — Л11 -- . Z12— —
rlgg »22
(12.27)
Следует указать, что параметры четырехполюсника зависят от
схемы включения транзистора — с общей базой или общим эмитте-
ром. Связь между ними легко установить, учитывая, что
4- Т6 4- Тк = 0,
Ук.,= fire-V..6.
(12.28)
В (12.28) положительными считаются токи, втекающие в базо-'
вую область транзистора. Для схемы с общей базой I\ = h,V\ — Рэ.б,
/2=/к, У2=Ук.б; для схемы с общим эмиттером /i=76, Vi = —Уэ6,
/2=7к, V2=Vk9. Таким образом, чтобы перейти, например, от
й-параметров в схеме с общей базой к /^параметрам в схеме с об-
щим эмиттером, необходимо выразить 7, через 7о и Л, а Кк 6 —
через Кк.э, воспользовавшись соотношениями (12.28), подставить
полученные величины в (12.23) и привести (12.23) к виду
-V^ = hlJ6 + h12VK.9, (12.29)
. 7К = й12/к + й22Ук8,
где htk обозначены й-параметры в схеме с общим эмиттером.
268
§ 12.4. Фототранзисторы
Транзистор может быть использован в качестве фотоприемника
с внутренним усилением первичного фототока. Фототранзистор
представляет собой обычный транзистор, базовая область которого
может облучаться светом (рис. 12.11, а). На рис. 12.11,6 показана
наиболее распространенная схема включения транзистора с общим
эмиттером и свободной базой (часто в фототранзисторах вообще
не делают базового вывода). В отсутствие светового потока 1Е0
через транзистор протекает темновой ток. При освещении базовой
области фототранзистора, например n-p-n-типа, светом с энергией
кванта hv>Eg в базе возникают электронно-дырочные пары.
Диффундируя совместно по базовой области, эти пары доходят
до коллекторного перехода и разделяются его полем. При этом
электроны перебрасываются в коллекторную область, создавая так
называемый первичный фототок, а дырки остаются в базе и созда-
ют здесь положительный пространственный заряд. Из-за возник-
новения этого заряда потенциальный барьер эмиттерного р-п-пере-
хода понижается и через него инжектируются в базу электроны,
вновь компенсирующие заряд дырок. Участвуя в хаотическом
тепловом движении, т. е. диффундируя в базе, электроны «свали-
ваются» в коллекторную область, на их место приходят новые
электроны из эмиттера и т. д., пока созданные светом избыточные
дырки в базе не прорекомбинируют с электронами. За время жизни,
таким образом, в расчете на каждую дырку через коллекторный
переход пройдет несколько электронов — происходит усиление пер-
вичного фототока.
Ток коллектора /к складывается из тока тепловой генерации /5К,
первичного фототока /ф и тока электронов а/э, инжектированных
через эмиттерный переход. В то же время в схеме с разомкнутой
базой /к = /э = /. Таким образом,
/ = /5к + /ф = а/. (12.30)
Отсюда
/ = (Лк + /Ф)/(1-а).
(12.31)
Токи ISK/(1 — а) и /ф/ (1 — а) представляют собой соответственно
темновой ток и первичный фототок, усиленный в 1/(1 — а) раз.
Если а = 0,995, то 1/(1 — а) = 200. Чувствительность фототран-
зистора, таким образом, мо-
жет намного превышать чув-
ствительность фотодиода.
Следует отметить, однако,
что этот выигрыш в чувстви-
тельности сопровождается
проигрышем в быстродейст-
вии. Действительно, время
фотоответа фототранзистора
определяется временем жиз-
Рис. 12.11. Устройство (а) и схема включения
в цепь (б) фототранзистора
269
ни т неравновесных носителей в его базовой области, в то время
как в фотодиоде оно определяется временем диффузии носителей
от области их генерации светом до р-п-перехода, которое много
меньше т, или лишь временем их пролета через область объемного
заряда р-п-перехода, если фотогенерация идет в основном в самом
р-п-переходе.
§ 12.5. Полевые транзисторы
В последние годы большое место в электронике заняли при-
боры, использующие явления в приповерхностном слое полупро-
водника. Основным элементом таких приборов является структура
металл — диэлектрик—полупроводник (МДП) (рис. 12.12): В каче-
стве диэлектрической прослойки между металлом и полупроводни-
ком часто используют слой оксида, например SiOz. Такие структуры
носят название МОП-структур. Металлический электрод обычно
наносят на диэлектрик вакуумным распылением. Этот электрод
называется затвором.
Если на затвор подать некоторое напряжение смещения отно-
сительно полупроводника, то у поверхности полупроводника воз-
никнет область объемного заряда, знак которого противоположен
знаку заряда на затворе. В этой области концентрация носителей
тока может существенно отличаться от их объемной концентрации.
Заряжение приповерхностной области полупроводника приводит
к появлению разности потенциалов между нею и объемом полупро-
водника и, следовательно, к искривлению энергетических зон. При
отрицательном заряде на затворе энергетические зоны изгибаются
вверх, так как при перемещении электрона нз объема на поверх-
ность его потенциальная энергия увеличивается (рис. 12.13). Если
затвор заряжен положительно, зоны изгибаются вниз.
На рис. 12.13 показана зонная структура п-полупроводника
при отрицательном заряде на затворе и приведены обозначения
основных величин, характеризующих поверхность; ф5 — разность
потенциалов между поверхностью и объемом полупроводника;
<ps = —— изгиб зон у поверхности; Е( — середина запрещенной
зоны. Из рис. 12.13 видно, что в объеме полупроводника расстояние
от дна зоны проводимости до уровня Ферми (—р.) меньше рас-
стояния от уровня Ферми до потолка валентной зоны (—р/). По-
этому равновесная концентрация
электронов по больше концентрации
дырок: по>ро, как и должно быть у
n-полупроводников. В поверхност-
ном слое объемного заряда проис-
ходит искривление зон и расстояние
от дна зоны проводимости до уровня
Ферми по мере перемещения к по-
верхности непрерывно увеличивает-
ся, а расстояние от уровня Ферми
Рис. 12.12. Схема МДП-структуры
270
до потолка валентной зо-
ны непрерывно уменьша-
ется. В сечении АА эти
расстояния становятся
одинаковыми (—щ =
= — рд) и полупроводник
становится собственным:
п=р=п1. Правее сечения
АА |р|>|р'|, вследствие че-
го р>п и полупроводник
становится полупроводни-
ком p-типа. У поверхности
образуется в этом случае по-
верхностный р-п-переход.
Часто изгиб зон у по-
верхности выражают в
единицах kT и обознача-
ют Ks. Тогда
Ys=etys/ (kT) = — <ps/ (kT)
(12.32)
Слои объемного
заряда
Поверхность полупроводнику^'
Рис. 12.13. Изгиб зон у поверхности полупровод-
ника n-типа при отрицательном заряде иа зат-
воре
При формировании
приповерхностной области полупроводника могут встретиться три
важных случая: обеднение, инверсия и обогащение этой области
носителями заряда. Эти случаи для полупроводников п- и р-типа
представлены на рис. 12.14.
Обедненная область появляется в том случае, когда заряд
затвора по знаку совпадает со знаком основных носителей тока
(рис. 12.14, а, г). Вызванный таким зарядом изгиб зон приводит
к увеличению расстояния от уровня Ферми до дна зоны проводи-
мости в полупроводнике n-типа и до вершины валентной зоны в
полупроводнике p-типа. Увеличение этого расстояния сопровожда-
ется обеднением приповерхностной области основными носителями.
При высокой плотности заряда затвора, знак которого совпа-
дает со знаком заряда основных носителей, по мере приближения
к поверхности расстояние от уровня Ферми до потолка валентной
зоны в полупроводнике n-типа оказывается меньше расстояния до
дна зоны проводимости. Вследствие этого койцентрация неосновных
носителей заряда (дырок) у поверхности полупроводника стано-
вится выше концентрации основных носителей и тип проводимости
этой области изменяется, хотя и электронов, и дырок здесь мало,
почти как в собственном полупроводнике. У самой поверхности,
однако, неосновных носителей может быть столько же или даже
больше, чем основных в объеме полупроводника. Такие хорошо
проводящие слои у поверхности с типом проводимости, противо-
положным объемному, называют инверсионными (они показаны на
рис. 12.14, б, д). К инверсионному слою вглубь от поверхности
примыкает слой обеднения.
271
Обогащенный
слой
Обедненный
слой
Обогащенный
слой
р-полупроводник
Рис. 12.14. Образование приповерхностного слоя объемного заряда под
затвором в полупроводниках п- и р-типа
п-полупроводник
Если знак заряда затвора противоположен знаку заряда основ-
ных носителей тока в полупроводнике, то под его влиянием проис-
ходит притяжение к поверхности основных носителей н обогащение
ими приповерхностного слоя. Такие слои называют обогащенными
(они показаны на рис. 12.14, в, е).
При слабом обогащении или обеднении приповерхностной об-z
ласти полупроводника ее размер определяется так называемой
дебаевской длиной экранирования:
_ / ее„6Г
|/ е2л0
(12.33)
где е — диэлектрическая проницаемость полупроводника; по —
концентрация основных носителей тока в нем. На протяжении
слоя Ld напряженность электрического поля, потенциал и изме-
нение концентрации носителей тока относительно объема полупро-
272
Рис. 12.15. К объясне-
нию работы МДП-
транзистора:
j - структура МДП-транзи
с ора; б -• образованные ка-
нала между истоком и сто
ком; в — сужение канала
при повышении напряжения
между истоком и стоком.
— перекрытие канала
водника уменьшается в е раз по сравнению с их значениями на
поверхности.
В случае сильного обеднения толщину обедненного слоя можно
рассчитать по формуле для обедненного слоя в барьере Шоттки
(10.18), заменив в ней <р0 на <ps. Наиболее сложно рассчитать
структуру приповерхностного слоя с инверсионной областью.
В интегральной электронике МДП-структуры широко исполь-
зуют для создания транзисторов и на их основе различных интег-
ральных микросхем. На рис. 12.15 схематически показана струк-
тура МДП-транзистора с изолированным затвором. Транзистор
состоит из кристалла кремния (например, n-типа), у поверхности
которого диффузией (или ионной имплантацией) в окна в оксиде
формируются p-области, как показано на рис. 12.15, а. Одну из
этих областей называют истоком, другую — стоком. Сверху на них
наносят омические контакты. Промежуток между областями по-
крывают пленкой металла, изолированной от поверхности кристал-
ла слоем оксида. Этот электрод транзистора называют затвором.
На границе между р- и «-областями возникают два р-п-перехода —
иетоковый и стоковый, которые на рис. 12.15, а показаны штри-
ховкой.
На рис. 12.15,6 приведена схема включения транзистора в цепь:
к истоку подсоединяют плюс, к стоку — минус источника напря-
жения Уст, к затвору — минус источника У3. Для простоты рас-
смотрения будем считать, что контактная разность потенциалов, за-
ряд в оксиде и поверхностные состояния (см. ниже) отсутствуют.
Тогда свойства приповерхностной области в отсутствие напряже-
ния на затворе ничем не отличаются от свойств полупроводников
в объеме. Сопротивление между стоком и истоком очень велико,
так как стоковый р-п-переход оказывается под обратным смеще-
нием. Подача на затвор отрицательного смещения сначала приво-
273
10—671
дит к образованию под затвором обедненной области, а при неко-
тором напряжении УЗПоР называемом пороговым, — к образованию
инверсионной области, соединяющей p-области истока и стока
проводящим каналом. При напряжениях иа затворе выше Узпор
канал становится шире, а сопротивление сток — исток — меньше.
Рассматриваемая структура является, таким образом, управляемым
резистором.
Однако сопротивление канала определяется только напряжением
на затворе лишь при небольших напряжениях на стоке. С увеличением
Уст носители из канала уходят в стоковую область, обедненный слой
у стокового р-п-перехода расширяется и канал сужается
(рис. 12.15, в). Зависимость тока /ст от напряжения на стоке Уст
становится нелинейной.
При сужении канала число свободных носителей тока под
затвором уменьшается по мере приближения к стоку. Чтобы ток в
канале был одним и тем же в любом его сечении, электрическое
поле вдоль канала должно быть в таком случае неоднородным, его
напряженность должна расти по мере приближения к стоку. Кроме
того, возникновение градиента концентрации свободных носителей
тока вдоль канала приводит к возникновению диффузионной ком-
поненты плотности тока.
При некотором напряжении на стоке Устперекр канал у стока
перекрывается, при еще большем смещении канал укорачивается к
истоку (рис. 12.15, г). Перекрытие канала, однако, не приводит к
исчезновению тока стока, поскольку в обедненном слое, перекрыв-
шем канал, электрическое поле тянет дырки вдоль поверхности.
Когда носители тока из канала вследствие диффузии попадают
в эту область, они подхватываются полем и перебрасываются к
стоку. Таким образом, по мере увеличения напряжения на стоке
чисто дрейфовый механизм движения носителей тока вдоль канала
сменяется диффузионно-дрейфовым.
Механизм протекания тока в МДП-транзисторе при сомкнутом
канале имеет некоторые общие черты с протеканием тока в обратио-
смещенном р-п-переходе. Напомним, что в р-п-переходе неоснов-
ные носители тока попадают в область пространственного заряда
перехода вследствие диффузии и затем подхватываются его полем.
Как показывают теория и эксперимент, после перекрытия
канала ток стока /ст практически насыщается (рис. 12.16). Значе-
ние тока насыщения зависит от напряжения на затворе У3: чем
выше У3, тем шире канал и тем больше ток насыщения (на рисунке
1Узз1>|УЭ21>1Уз11)• Это типично транзисторный эффект — напряже-
нием на затворе (во входной цепи) можно управлять током стока
(током в выходной цепи). Характерной особенностью МДП-траи-
зисторов является то, что его входом служит конденсатор, обра-
зованный металлическим затвором, изолированным от полупровод-
ника. Токи утечки затвора типичных МДП-транзисторов составляют
~10_|5А и могут быть уменьшены до 10_|'А. В рассматриваемом
транзисторе используется эффект поля, поэтому такие транзисторы
называют полевыми. В отличие от транзисторов типа р-п-р или
274
Рис. 12.16. Вольт-амперные ха-
рактеристики МДП-транзистора
Спаи
окисла
= = \ Поверхностные
состояния
Запрещенная
Зона акисла
Рис. 12.17. Поверхностные состояния
п-р-п, в которых происходит инжекция неосновных носителей тока
в базовую область, в полевых транзисторах ток переносится только
основными носителями. Поэтому такие транзисторы называют так-
же униполярными.
На границе раздела полупроводник — диэлектрик в запрещен-
ной зоне полупроводника существуют энергетические состояния,
называемые поверхностными или, точнее, состояниями границы раз-
дела (рис. 12.17). Волновые функции электронов в этих состояниях
локализованы вблизи поверхности раздела в областях порядка
постоянной решетки. Причина возникновения рассматриваемых
состояний состоит в неидеальности границы раздела полупровод-
ник—диэлектрик (оксид). На реальных границах раздела всегда
имеется некоторое количество оборванных связей и нарушается
стехиометрия состава оксидной пленки диэлектрика. Плотность и
характер состояний границы раздела существенно зависят от тех-
нологии создания диэлектрической пленки.
Наличие поверхностных состояний на границе раздела полу-
проводник — диэлектрик отрицательно сказывается на параметрах
МДП-транзистора, так как часть заряда, наведенного под затвором
в полупроводнике, захватывается на эти состояния. Успех в созда-
нии полевых транзисторов рассматриваемого типа был достигнут
после отработки технологии создания пленки SiOz на поверхности
кремния с малой плотностью состояний границы раздела Si—SiC>2.
В самом оксиде кремния всегда существует положительный
«встроенный> заряд, природа которого до сих пор до конца не
выяснена. Значение этого заряда зависит от технологии изготовле-
ния оксида и часто оказывается настолько большим, что если в ка-
честве подложки используется кремний p-типа проводимости, то у
его поверхности образуется инверсионный слой уже при нулевом
смещении на затворе. Такие транзисторы называют транзисторами
со встроенным каналом. Канал в них сохраняется даже при подаче
на затвор некоторого отрицательного смещения. В отличие от них
в транзисторах, изготовленных на n-подложке или на сильно леги-
рованной р-подложке, в которой для образования инверсионного
слоя требуется слишком большой заряд оксида, канал возникает
Ю’ 275
Сток
Рис. 12.18. К объяснению
принципа действия ка-
нального транзистора с
управляющим р-л-перехо-
дом:
а — смешение на стоке равно
нулю; б — перекрытие канала
при увеличении смешения на
стоке
только при подаче на затвор напряжения У3, превышающего неко-
торое пороговое напряжение УзпОр.. По знаку это смещение на за-
творе должно быть отрицательным для транзисторов с п-подложкой
и положительным в случае р-подложки.
К униполярным транзисторам относят также транзисторы с
управляющим р-п-переходом, структура которых схематически
представлена на рис. 12.18, а. Канал проводимости в таких тран-
зисторах представляет собой узкую область в исходном полупровод-
нике, не занятую обедненным слоем р-п-перехода. Шириной этой
области можно управлять, подавая на р-п-переход обратное смеще-
ние. В зависимости от этого смещения меняется начальное сопротивле-
ние сток — исток. Если при неизменном напряжении на р-п-перехо-
де смещение сток — исток увеличивать, канал сужается к стоку и
ток стока растет с напряжением медленнее, чем при малых смеще-
ниях. При перекрытии канала (рис. 12.18, б) ток стока выходит на
насыщение. Как механизм протекания тока по каналу такого
транзистора, так и его выходные характеристики весьма близки к
характеристикам МПД-транзистора.
Входное сопротивление полевых транзисторов на низких часто-
тах является чисто емкостным. Входная емкость Сзи образуется
затвором и неперекрытой частью
I »v3S канала со стороны истока. Так
/ как для заряда этой емкости ток
/ должен протекать через непере-
крытую часть канала с сопротив-
.у лением /?к, то собственная посто-
f / янная времени транзистора равна
I CiURK. Это время, однако, очень
/ мало, и в интегральных схемах,
применяемых, например, в цифро-
L, ****^^ вой вычислительной технике, дли-
Г - —тельность переходных процессов
о у ам-noi- определяется не им, а паразит-
ными емкостями схемы и входны-
Рис. 12.19. Характеристики пробоя тн МИ емкостями других ТраНЗИСТО-
пичного МДП-транзистора ров, подключенных к выходу дан-
276
ного. Вследствие этого при изготовлении таких схем стремятся
сделать входную емкость как можно меньшей за чет уменьшения
длины канала и строгого совмещения границ затвора с границами
истока и стока.
При больших напряжениях на стоке МДП-транзистора область
объемного заряда от стоковой области может распространиться
настолько сильно, что канал вообще исчезнет. Тогда к стоку устре-
мятся носители из сильно легированной истоковой области, точно
так же как при «проколе» базы биполярного транзистора (см. § 12.2
и рис. 12.6).
При достаточно большом напряжении на стоке может также
возникнуть обычный пробой обратносмещенного стокового р-п-пере-
хода. Выходные характеристики МДП-транзистора, включающие
участки пробоя, представлены на рис. 12.19.
§ 12.6. Приборы с вольт-амперной характеристикой S-типа
Диоды с длинной базой. Большое место в схемах автоматики
и вычислительной техники отводится приборам с S-образной вольт-
амперной характеристикой (рис. 12.20). При определенным образом
подобранных напряжениях смещения lzCM и сопротивлении нагрузки
(оно определяет наклон прямых на рис. 12.20) в цепи с таким при-
бором имеется два устойчивых состояния (/ и 3 на рис. 12.20;
можно показать, что состояние 2«является неустойчивым). В со-
стоянии 1 основная часть напряжения смещения падает на диоде
и в цепи течет малый ток Л, в состоянии 3 основная часть смеще-
ния приходится на нагрузку и в цепи течет большой ток /3- Пере-
ход из состояния с высоким сопротивлением S-днода (/) в состоя-
ние с низким сопротивлением (3) происходит при повышении на-
пряжения смещения до напряжения переключения У,1ер, как пока-
зано стрелкой на рис. 12.20.
Рис. 12.20. S-образная
вольт-амперная характе-
ристика
Рнс. 12.21. Вольт-амперная характеристи-
ка динистора
277
Таким образом, прибор с S-образной ВАХ является электронным
переключателем.
Наиболее простыми приборами, которые могут иметь ВАХ
S-типа, являются диоды с длинной базой (толщина высокоомной
области в таких диодах превышает диффузионную длину неоснов-
ных носителей в ней). Неосновные носители, инжектируемые через
р-п-переход при прямом смещении, уменьшают сопротивление
р- и n-областей диода, что способствует перераспределению напря-
жения иа диоде в пользу р-п-перехода. Увеличение напряжения
на р-п-переходе приводит к увеличению тока инжекции и
еще большему уменьшению последовательного сопротивления
и т. д. Анализ показывает, однако, что участок с отрицательным
дифференциальным сопро-
тивлением на ВАХ диода
Рис. 12.22. Распределение объемных зарядов
н концентраций неосновных носителей в базах
гиристоря в равновесном (а), выключенном
(б) и включенном (s) состояниях
возникает в том случае, ког-
да проводимость базовой об-
ласти диода растет не про-
порционально току инжек-
ции, а более резко.
Существует несколько
механизмов, которые могут
приводить к сверхлинейному
росту проводимости с током
инжекции. Один из них —
увеличение времени жизни
неравновесных носителей с
увеличением их концентра-
ции при рекомбинации через
уровень ловушек (см. §8.2).
К дополнительному увеличе-
нию проводимости базовой
области приводит и погло-
щение в ией межзонного
излучения, испускаемого при
рекомбинации неравновес-
ных носителей в прямозон-
ных полупроводниковых ма-
териалах типа арсенида гал-
лия.
Наибольшее распростра-
нение среди элементов с
S-образной вольт-амперной
характеристикой получили,
однако, многослойные полу-
проводниковые структуры —
динисторы и тиристоры.
Динисторы. Вольт-ампер-
ная характеристика неуп-
равляемого тиристора (ди-
278
нистора) приведена на рис. 12.21, а его структурная схема пред-
ставлена на рис. 12.22, а. Прибор имеет три р-п-перехода. Крайние
переходы называют эмиттерными, а центральный — коллекторным.
Средние области структуры, называемые базовыми, сравнительно
слабо легированы. Крайние (эмиттерные) области имеют более
высокую концентрацию примесей. При прямом смещении плюс
источника напряжения подсоединяют к крайней pi-области, а ми-
нус — к области п2. При этом переходы р\-п.\ й р2-п2 оказываются
включенными в прямом направлении, а центральный переход
П1-р2 — в обратном (рис. 12.22, б). Так как сопротивление обратно-
смещенного П1-р2-перехода велико, то практически все приложенное
к прибору напряжение падает на этом переходе, а прямое смещение
на переходах pi-n} и р2-п2 невелико. В соответствии с этим мал и
ток через прибор. Определим его значение. Наиболее удобно это
сделать, рассматривая ток /к перехода ni-p2.
Так как этот переход находится при обратном смещении, основные
носители тока не могут преодолеть его высокий потенциальный
барьер и ток через переход переносится неосновными носителями.
Неосновные носители тока возникают в результате тепловой гене-
рации, а также инжектируются в области п( и р2 через переходы
pi-ni и р2-п2 (эти переходы Находятся при прямом смещении).
Значительная часть инжектированных носителей доходит до кол-
лекторного перехода, так как области и р2 делают тоньше диф-
фузионных длин неосновных носителей Lp и L„ соответственно.
Таким образом, ток коллекторного перехода /к складывается из
тока термогенерации /KS, тока дырок /кр и тока электронов /кп,
инжектированных через эмиттерные переходы и дошедших до
коллектора. Два последних тока можно определить из следующих
соображений. Ток дырок, инжектируемых через переход pi-ni,
составляет часть полного тока Ц, текущего через этот переход. Он
равен Y1/1, где у] — коэффициент инженкции эмиттерного перехода.
Ток электронов через переход р2-п2 равен у2/2, где /2 — полный ток
перехода р2-п2, а у2 — коэффициент инжекции этого перехода.
Ток дырок 1кр, инжектированных через переход р\-п} и дошедших
до коллектора, ие успев прорекомбинировать, равен Piyi/i.
Здесь Pi—коэффициент переноса дырок через область щ.
Аналогично этому, ток электронов /кп, дошедших через область р2
до коллекторного перехода, равен 02у2/2, где р2—коэффициент
переноса электронов через эту область. Таким образом,
/кр=р1Т1/1, (12.34)
1кп—^2Уц12. (12.35)
Полный ток коллектора
/k = /ks + /кр + /кл = /к5 + P1Y1/1 + P2Y2/2 (12.36)
Динистор находится в устойчивом состоянии, когда полные токи
через все три р-п-перехода равны друг другу:
/1==/к = /2 = /. (12.37)
279
Тогда
/=/kS+(PiYi + M2)/- (12.38)
Разрешая это уравнение относительно /, получаем
7 =-------bss._____, (12.39)
1 — (PiTi + PssTs)
Динистор изготовляют таким образом, чтобы параметр (Р1У1 + Р2У2)
в закрытом состоянии был меньше 1. Однако по мере увеличения
напряжения на динисторе и, следовательно, на коллекторном
переходе коэффициенты переноса 01 и р2 растут, так как расши-
ряется область объемного заряда этого перехода (рис. 12.22,6) и
уменьшаются расстояния, которые должны проходить инжектиро-
ванные через эмиттерные переходы неосновные носители. Согласно
(12.39), рост Pi и 02 приводит к увеличению тока / через динистор.
Кроме того, ток через динистор может возрастать из-за ударной
ионизации в коллекторном переходе, начинающейся при больших
отрицательных смещениях. (Этот эффект в формуле (12.36) не от-
ражен).
С ростом тока / растут также коэффициенты инжекции у] и
у2 (см. § 12.2). Таким образом, с ростом приложенного к динистору
напряжения параметр (Piyi+Р2У2) растет. При некотором значе-
нии напряжения на динисторе он должен стать равным единице
и тогда ток через прибор, согласно (12.39), должен устремиться
к бесконечности.
Однако еще до этого режим работы динистора становится
неустойчивым и начинается процесс его переключения. Действи-
тельно, при (01Y1+ P2Y2) -*• 1 сумма электронного и дырочного
токов, собираемых коллекторным переходом, начинает превышать
ток /э, протекающий через эмиттерные переходы:
/к=Лз + (Pi у> + Р2У2) (12.40)
Иными словами, через коллекторный переход в область рг теперь
перебрасывается больше дырок, чем нужно для рекомбинации с
инжектируемыми в эту область электронами, а в область п.\ пере-
брасывается избыточное количество электронов.
Это означает, что вблизи перехода П\-рг начинают накапливать-
ся нескомпенсированные носителями противоположного знака элек-
троны и дырки. Избыточные дырки, поступающие на границу между
областью объемного заряда коллекторного перехода и областью рг,
и избыточные электроны на другой стороне перехода п.\-рг сужают
область объемного заряда этого перехода. При этом высота потен-
циального барьера коллекторного перехода непрерывно понижается
и, следовательно, уменьшается обратное падение напряжения на
этом переходе, а прямое смещение на эмиттерных переходах растет.
Если уменьшение р, обусловленное уменьшением напряжения на
переходе пррг, не компенсируется увеличением у за счет роста
прямого смещения эмиттерных переходов, то параметр (Piyi + Р2У2)
280
уменьшается и прибор вновь находится в стационарном состоянии.
Это состояние, однако, соответствует большему току при падении
напряжения на структуре, уменьшенном вследствие уменьшения
обратного смещения на коллекторном переходе. (Некоторый рост
прямого смещения эмиттерных переходов роли не играет).
При дальнейшем повышении тока в базовых областях динисто-
ра происходит добавочное накопление основных носителей, заряд
которых не скомпенсирован зарядом неосновных, и, следователь-
но, обратное смещение на коллекторном переходе еще понижается.
Таким образом, на ВАХ динистора появляется участок отрицатель-
ного сопротивления. На некотором этапе (часто даже когда ВАХ не
вышла на участок отрицательного сопротивления) процесс накопле-
ния заряда основных носителей в базах прибора начинает разви-
ваться неуправляемо, так как параметр (P1T1+P2Y2) все время
остается близким к единице или превышает ее. Переходный про-
цесс продолжается до тех пор, пока высота потенциального барье-
ра коллекторного перехода не станет близкой к равновесной, а
затем и меньше равновесной. (Иными словами, этот переход ока-
жется под прямым смещением). При этом коллекторный переход
уже не может сдержать дырки в области рг и электроны в области
«1 и они начинают заполнять области п( и р2 соответственно.
В итоге в этих областях вместо распределения неосновных
носителей, представленного для выключенного состояния динистора
(на рис. 12.22, б), возникает распределение, характерное для его
включенного состояния (рис. 12.22, в). В этом состоянии все три
р-п-перехода динистора находятся под прямым смещением. Облас-
ти «| и р2 оказываются сильно «залитыми> неосновными носите-
лями заряда, вследствие этого коэффициенты инжекции у эмит-
терных переходов уменьшаются. Ток через области «| и р2 пере-
носится теперь не только вследствие диффузии неосновных носи-
телей в них, но и вследствие дрейфа основных и неосновных носи-
телей, концентрации которых теперь не сильно отличаются в этих
областях.
Включенное состояние динистора вновь устойчиво, так
сумма (Piyi + Ргуг) теперь меньше еди-
ницы: уменьшились у и ухудшилось раз-
деляющее действие коллекторного пере-
хода. Сопротивление всего динистора в
целом во включенном состоянии мало
(кривая 2 на рис. 12.21), и, для того
чтобы не допустить протекания через него
слишком больших токов, необходимо
последовательно с прибором включать
ограничительное сопротивление. Ток ди-
нистора во включенном состоянии опре-
деляется напряжением источника смеще-
ния и сопротивлением цепи, как это ил-
люстрируется рис. 12.23. Если ток, про-
текающий через включенный дннистор,
уменьшать, то будет уменьшаться и ко-
как
Рис. 12.23. Включение н
лючение диписторв
и
вык-
281
Упр.
а)
Рис. 12.24. Устройство (а) и вольт-амперные характеристики (б) управ-
ляемого тиристора
личество неосновных носителей, инжектируемых через эмиттеры.
Когда при некотором токе /ВЫкл их станет недостаточно для того,
чтобы поддерживать прямое смещение на коллекторном переходе,
сопротивление этого перехода возрастет и он вновь окажется
под обратным смещением. В этом случае напряжение смещения
на динисторе перераспределится, на эмиттерных переходах будет
падать лишь его малая часть и прибор перейдет в выключенное
состояние.
Процессы включения и выключения динистора являются неста-
ционарными. Они развиваются лавинообразно, неуправляемо. Поэ-
тому ВАХ динистора состоит из двух отдельных участков (/ и 2 на
рис. 12.21 и 12.23), соответствующих его стационарным, устойчи-
вым, состояниям. Токи же и напряжения на динисторе во время его
переключения зависят от сопротивления цепи, напряжения источ-
ника смещения, емкостей и индуктивностей в цепи.
При обратном смещении (минус на pi-области) ток динистора
определяется сопротивлением эмиттерных переходов. Он мал
вплоть до напряжения пробоя этих переходов (кривая 3 на
рис. 12.21).
Динисторы применяют в радиотехнике и автоматике как ключе-
вые элементы. Это своеобразное электронное реле, срабатываю-
щее по достижении на нем напряжения включения Увкл.
Напряжением включения тиристора можно управлять с по-
мощью дополнительного, третьего, вывода — управляющего элек-
трода (клемма упр. на рис. 12.24, а). Смещение на управляющий
электрод подают в такой полярности, чтобы увеличить ток ин-
жекции близлежащего эмиттерного р-п-перехода и, следователь-
но, увеличить ток тиристора в целом. На рис. 12.24, б изображено
семейство вольт-амперных характеристик триодного тиристора при
различных токах /у через управляющий электрод.
Ток через закрытый тиристор можно увеличить и заставить
прибор включиться, освещая базовые области тиристора; такой
прибор называют фототиристором.
В последние годы в интегральной электронике в качестве
переключающих элементов применяют тонкие (около 1 мкм) пленки
стеклообразных полупроводников, например Fe5oAs3oSiiOGeiO. Их
электропроводность при комнатных температурах составляет
282
10° -10'8 Ом”1- см во включенном же состоянии она возрастает
на много порядков. Одним из объяснений подобного эффекта яв-
ляется проплавление каналов между электродами и изменение их
кристаллической структуры, приводящее к образованию проводя-
щих «мостиков» в стекле. Однако до сих пор исчерпывающего
объяснения возникающих эффектов не существует, хотя во всем
мире таким переключателям уделяется большое внимание.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ МИКРОЭЛЕКТРОНИКИ
Развитие современной науки и техники потребовало создания эффек-
тивно действующих сложных радиоэлектронных устройств, содержащих
сотни тысяч, а порой десятки миллионов элементов, объединенных в схему
сотнями тысяч соединений.
На электронное оборудование часто приходится основная доля затрат,
расходуемых на производство современных машин и летательных аппара-
тов. Подсчитано, например, что свыше 76% стоимости современного управ-
ляемого снаряда и свыше 50% стоимости современного бомбардировщика
падают на электронное оборудование.
Создание столь сложных и дорогостоящих радиотехнических устройств
потребовало решения ряда трудных вопросов, и прежде всего, резкого
уменьшения массы, габаритов и потребляемой мощности, увеличения на-
дежности и уменьшения стоимости таких устройств.
Если бы радиотехнические устройства монтировались из деталей, кото-
рые выпускала промышленность 30—40 лет тому назад, то масса таких уст-
ройств достигала бы порой десятков тонн, объем — десятков кубометров,
потребляемая мощность - сотен киловатт. Уже одно это делало бы их
совершенно непригодными для практического использования во многих
областях народного хозяйства.
Но дело не только в этом. По мере усложнения радиотехнических уст-
ройств резко падает их надежность, которая во многих случаях, особенно
в оборонной технике, вычислительных машинах, автоматических устройст-
вах и тд., играет первостепенную роль.
Немаловажным является также вопрос стоимости аппаратуры, сниже-
ния которой можно достичь лишь путем широкой автоматизации произ-
водственных процессов, требующей разработки соответствующей техноло-
гии и оборудования.
Изыскание путей решения этих проблем привело к созданию миниатюр-
ных электронных элементов и узлов на основе твердого тела и к микроми-
ниатюризации радиоэлектронной аппаратуры, на базе которой возникло
новое направление в электронике — микроэлектроника, основной задачей
которой является создание высоконадежных, экономичных микроминиа-
тюрных электронных схем и устройств.
Решение этой задачи ведется не только методами простого уменьшения
габаритов отдельных радиокомпонентов с сохранением традиционных спо-
собов сборки из них соответствующих функциональных устройств, но
также разработкой качественно новых принципов конструирования и изго-
товления электронных схем в целом, при которых ее активные, пассивные
284
и соединительные элементы создают в микрообъемах полупроводникового
кристалла или на поверхности диэлектрической подложки в ед ином техноло-
гическом процессе. Сформированную таким образом электронную схему,
предназначенную для выполнения определенной функции, называют интег-
ральной схемой. Входящие в нее элементы (транзисторы, диоды, конденса-
торы, резисторы и др.) не имеют внешних выводов и не могут рассматри-
ваться как отдельные изделия. Схема в целом имеет общую герметизацию
от механических воздействий и защиту от влияния окружающей среды.
По своему функциональному назначению ИС разделяют на логические
{цифровые) и линейно-импульсные {аналоговые).
Логические ИС работают в режиме ключа и используются в ЭВМ, систе-
мах автоматики и устройствах дискретной обработки информации. При
этом вся информация представляется для обработки в виде чисел в двоич-
ной системе, т.е. посредством нуля (0) и единицы (1). Для перевода таких
чисел в электрическую форму требуется лишь два состояния электронной
схемы: состояние с низким уровнем напряжения, отвечающее 0, и состоя-
ние с высоким уровнем напряжения, отвечающее 1. Передача и обработка
информации осуществляется с помощью специальных логических функций,
реализуемых с помощью инверторов, триггеров и логических элементов
типа И и ИЛИ . Эти элементы имеют в простейшем случае два входа и
один выход. Смысл функции И состоит в следующем: 1 на выходе появ-
ляется только в том случае, если на обоих входах Присутствует 1. Функции
ИЛИ соответствует появление на выходе 1 в том случае, когда на любом
из входов присутствует единица. Инвертор в простейшем случае имеет
один вход и один выход и осуществляет функцию инверсии (отрицания):
если на вход подана 1, то на выходе появится 0, и наоборот.
Основными электрическими параметрами логических ИС являются
потребляемая мощность, время задержки распространения сигнала, уровень
выходных напряжений, соответствующих логическому нулю и единице,
коэффициент объединения по входу и разветвления по выходу и др. При
этом между быстродействием схемы и потребляемой мощностью сущест-
вует прямая связь: чем выше быстродействие, тем больше должна быть
потребляемая мощность. В соответствии с этим разработаны различные
системы построения логических элементов: резисторно-транзисторная
логика (РТЛ), диодно-транзисторная логика (ДТЛ), транзисторно-транзис-
торная логика (ТТЛ) и другие.
Линейно-импульсные (аналоговые) ИС работают в линейных режимах
усилителей, генераторов или осуществляют нелинейные преобразования
входных сигналов в схемах смесителей, детекторов и тд. Многие схемы
усилителей и преобразователей строятся по базовой схеме операционного
усилителя.
С точки зрения интеграции схем, т.е. объединения в них большого числа
элементов, ИС принято характеризовать следующими параметрам: плот-
ностью упаковки и степенью интеграции.
Плотность упаковки определяется числом элементов, приходящихся
на единичный объем (1 см3) ИС. Естественно, что рост плотности упаковки
связан с уменьшением размера элементов ИС. Это особенно важно для
' 285
цифровых схем ЭВМ, так как уменьшение элементов ИС приводит к повы-
шению их быстродействия и уменьшению рассеиваемой мощности. В усили-
тельных схемах уменьшение длины межэлементных соединений приводит к
уменьшению паразитных индуктивностей выводов, а малый размер элемен-
тов уменьшает паразитные емкости, что способствует повышению рабочей
частоты при малых рассеиваемых мощностях.
Степень интеграции определяется числом элементов, входящих в ИС.
ГОСТ 17021—75 предусматривает следующую градацию ИС по степени
интеграции (табл. 1).
Таблица 1
Степень интеграции Число элементов в ИС Название схемы
Первая До 10 ИС малого уровня интеграции (МИС)
Вторая От 10 до 100 ИС среднего уровня интеграции (СИС)
Третья От 100 до 1000 ИС большого уровня интеграции (БИС)
Четвертая Свыше 1000 ИС сверхбольшого уровня интеграции
Пятая Свыше 10000 (СБИС)
Увеличение степени интеграции ИС позволяет повышать качество и на-
дежность радиоэлектронной аппаратуры и снижать ее стоимость. Повыше-
ние надежности достигается вследствие резкого уменьшения числа внеш-
них соединений, являющихся наиболее уязвимыми и ненадежными местами
схем. Снижение стоимости обусловлено значительным сокращением числа
корпусов, в которые герметизировались дискретные компоненты обычных
схем, уменьшением числа сборочных операций и внутрисхемных соедине-
ний, а также применением комплексного метода изготовления различных
элементов схемы в едином технологическом процессе.
В зависимости от технологии изготовления интегральные схемы делят
на полупроводниковые, пленочные и гибридные.
Полупроводниковые ИС представляют собой микросхемы, элементы
которых выполнены в объеме и (или) на поверхности полупроводникового
кристалла. Чаще всего для этих целей используют монокристаллические
пластины кремния. Формирование элементов схемы проводится по планар-
ной технологии, включающей следующие основные операции.
1. Окисление поверхности кремния, которое обычно проводится в спе-
циальных печах в атмосфере сухого или увлажненного кислорода при тем-
пературах 900—1200°С. При этом на поверхности кремния образуется плен-
ка диоксида кремния SiO2, обладающая следующими важными свойствами
с точки зрения использования ее в производстве ИС. Во-первых, пленка
SiO2 являемся прекрасным диэлектриком и поэтому может быть использо-
вана для изоляции металлизации, нанесенной на поверхность окисла, от эле-
ментов ИС, сформированных в объеме или на поверхности кристалла. Во-
вторых, она является практически непроницаемой для многих легирующих
286
примесей, используемых при изготовлении элементов ИС. Поэтому SiO2
может успешно применяться в качестве маски для защиты необходимых
областей кристалла от проникновения легирующих примесей при проведе-
нии процесса диффузии. Толщина оксида составляет обычно 100-1000 нм в
зависимости от температуры и длительности проведения диффузии и приро-
ды примеси.
2. Для изготовления ’’рисунка” будущей ИС, т.е. получения изображе-
ния активных и пассивных элементов схемы, контактных площадок, сое-
динительных дорожек и тд., применяется процесс фотолитографии, кото-
рый в какой-то мере напоминает процесс обычной фотографии. На окис-
ленную поверхность кремниевой пластины наносится тонкий (несколько
сот нанометров) слой специального лака — фоторезиста, чувствительного к
ультрафиолетовому свету. После сушки фоторезиста к нему в специальной
установке плотно прижимается стеклянный фотошаблон, несущий на себе
негативное изображение того рисунка, который необходимо перенести на
пластину кремния. Через этот фотошаблон незакрытые участки фоторези-
ста засвечиваются ультрафиолетовым светом и впоследствии удаляются
специальным травителем, обнажая в образовавшихся ’’окнах” оксидный
слой. Другим травителем, растворяющим оксидную пленку, но не дейст-
вующим на фоторезист, во вскрытых окнах удаляется оксидная пленка и
обнажается поверхность кремния. После удаления оставшегося фоторезиста
рисунок, который был на фотошаблоне, переносится в оксидную пленку в
виде вскрытых в ней окон и областей, закрытых (маскированных) остров-
ками оксидного слоя.
3. Через вскрытие окна проводится локальная диффузия легирующих
примесей для придания слоям кремния, лежащим под этими окнами, соот-
ветствующих электрофизических свойств (необходимого типа проводи-
мости, концентрации носителей и др.).
Для пояснения сказанного обратимся к рис. 1, на котором приведена
схема формирования изолированных островков кремния л-типа с помощью
разделительных р-л-переходов. Исходным материалом являлась пластина
кремния p-типа с наращенной на ней эпитаксиальной пленкой и-типа. На их
границе возникает р-л-переход. Для получения отдельных изолированных
друг от друга островков «-кремния поверхность эпитаксиальной пленки
окисляется и с помощью описанного процесса фотолитографии в слое
оксида вскрываются окна, как показано на рис. 1,а. Через эти окна прово-
дится диффузия акцепторной примеси (например, бора) на всю толщину
эпитаксиальной пленки. После удаления маскирующего оксидного слоя в
пластине остаются островки эпитаксиальной пленки кремния л-типа, отде-
ленные от кремния p-типа изолирующими р-л-переходами (рис. 1,6). В та-
ких островках и формируются отдельные элементы ИС.
На рис. 2 показана технология получения диэлектрической
изоляции элементов будущей схемы. На поверхности кремния л-типа об-
разуют оксидную пленку (рис. 2,а), вскрывают в ней методами фотоли-
тографии окна, через которые проводят глубокое травление (рис. 2,6).
После повторного окисления (рис. 2,в) наращивают слой поликристал-
лического кремния толщиной 100—200 мкм (рис. 2,г). Сверху монокрис-
287
n-Si
Сзпитоксиольиый
слой)
Рис. 1. Схема формирования изолирован-
ных островков с использованием эпитак-
сиальной пленки
Рис. 2. Формирование островков, изолн
ров энных оксидом
таллический кремний удаляется вплоть до оксидной пленки. В результате
образуются островки, изолировал :<ые друг от друга пленками SiO2
(рис. 2,д).
Теперь рассмотрим сами элементы полупроводниковой ИС.
Биполярный транзистор ИС. На рис. 3 показана структура биполярного
транзистора полупроводниковой ЙС, сформированного на одном из остров-
ков пластины. Транзистор изготовлен последовательным чередованием про-
цессов окисления, фотолитографии и локального легирования. Сначала в
оксидной пленке, полученной на поверхности кремния, методом фотоли-
тографии вскрывалось окно под базу S, через которое проводилась диф-
фузия акцепторной примеси. Между p-областью базы и «областью коллек-
тора К возникал коллекторный р-п-переход. После получения базы оксид-
ный слой стравливался, а затем наращивался вновь. Во вновь выращенной
оксидной пленке методом фотолитографии вскрывалось центральное окно
под эмиттер Э и окно над коллектором К. Через эти окна проводилась диф-
фузия донорной примеси до получения сильно легированной п+ -области
эмиттера и п+-области коллектора, через которую он может присоединяться
к алюминиевой контактной площадке. Для этого прежний оксидный слой
стравливается с поверхности пластины и выращивается новый. В новом
слое методом фотолитографии вскрываются окна над змиттером, базой и
н* областью коллектора. В эти окна и на поверхность пластины напыляется
пленка алюминия, на которой методом фотолитографии оставляют изоли-
рованные друг от друга контактные площадки, показанные на рис. 3. По-
средством этих площадок транзистор можно соединять с другими элемен-
тами ИС или с внешними выводами.
288
Диффузионные резисторы. В
качестве резисторов в полупровод-
никовых ИС используют обычно ба-
зовые области транзисторов. Недо-
статком таких резисторов являют-
ся ограниченный диапазон возмож-
ных значений сопротивлений и не-
возможность соблюдший жестких
допусков на них, высокие темпе-
ратурные коэффициенты сопротив-
ления, возможность образования
паразитных элементов, ограничение
Рис. 3. Структура биполярною тран-
зистора
на прикладываемое напряжение.
Диоды ИС имеют, как правило,
транзисторную структуру, позволяющую варьировать способы их включе-
ния в зависимости от требований, предъявляемых к параметрам (быстро-
действие, пробивное напряжение, значение прямого тока и тл.).
Диффузионные конденсаторы. В качестве конденсаторов в полупро-
водниковых ИС обычно используют емкости р-и-переходов транзисторных
структур (эмиттерного или коллекторного). Добротность таких конден-
саторов (величина, обратная тангенсу диэлектрических потерь), как прави-
ло, много ниже добротности дискретных конденсаторов с пленкой ди-
электрика.
МДП ИС формируют на основе полевых транзисторов (см. рис. 12.15) с
изолированным затвором. Транзисторы используются и в качестве актив-
ных элементов и в качестве нагрузочных резисторов, что обеспечивает вы-
сокую технологичность изготовления таких ИС. В МДП ИС с одинаковым
типом проводимости канала не требуется изоляции элементов, так как их
р-и-переходы всегда находятся под обратным смещением. Размеры полевых
транзисторов примерно на порядок меньше размеров биполярных. Это по-
зволяет достигать более высокой плотности упаковки. Поэтому МДП
структуры находят широкое применение при конструировании СБИС.
Как биполярные, так и МДП ИС изготовляют по планарной технологии
групповым методом. На одной пластине диаметром 100 мм и более одно-
временно формируют до нескольких тысяч ИС. После их изготовления в
едином технологическом цикле пластина разделяется на отдельные кристал-
лы (чипы), каждый из которых представляет отдельную ИС. После провер-
ки на функционирование и отбраковки ИС монтируют в корпуса.
Гибридные ИС. Как мы видели, пассивные элементы полупроводнико-
вых ИС обладают рядом существенных недостатков, которые можно в зна-
чительной мере ослабить, используя для их изготовления пленочную тех-
нологию.
Пленочные резисторы изготовляют в виде полосок той или иной конфи-
гурации методом вакуумного напыления чистых металлов (хрома, тантала
и др.), металлических сплавов (нихрома и др.) и металлокерамических
материалов (керметов). Толстые пленки получают методом шелкографии.
По сравнению с диффузионными резисторами они обладают рядом сущест-
венных преимуществ: низким термическим коэффициентом сопротивле-
289
пения, широким диапазоном номинальных значений и возможностью точ-
ной подгонки к номиналам, отсутствием паразитных элементов, высокой
временнбй стабильностью.
Пленочные конденсаторы изготавливают путем нанесения на подложку
тонкой металлической пленки, затем тонкого диэлектрического слоя, по-
том снова тонкой металлической пленки. Для увеличения емкости часто
используют многослойные структуры с параллельным соединением обра-
зующихся конденсаторов. По своим параметрам пленочные конденсаторы,
как правило, существенно превосходят диффузионные.
Совмещенная технология. Значительно более высокие параметры пас-
сивных элементов, получаемых методами пленочной технологии, заставили
в ряде случаев перейти к изготовлению ИС по совмещенной технологии,
в которой формирование активных элементов ИС производится в объеме
полупроводникового кристалла, а пассивных — на поверхности кристалла
(защищенного обычно оксидом) методами пленочной технологии. Совме-
щенная технология особенно часто используется при создании аналоговых
ИС, к которым предъявляются жесткие требования по параметрам.
Гибридная технология. Параллельное развитие пленочной и полупро-
водниковой технологии привели к развитию гибридной технологии и
созданию широкого класса гибридных интегральных схем (ГИС).
Гибридная интегральная схема изготавливается следующим образом.
На стандартизованную по размерам диэлектрическую подложку (обычно
из стекла, ситалла или поликора) методами пленочной технологии наносят-
ся пассивные элементы и коммутационные соединения. Затем монтируются
навесные активные элементы — транзисторы, диоды, ИС и др. Основными
достоинствами гибридных пленочных ИС по сравнению с полупроводнико-
выми являются*:
’’Возможность создания широкого класса цифровых и аналоговых ИС
при сравнительно коротком цикле их разработки;
универсальность метода конструирования микросхем, обеспечивающая
возможность использования активных компонентов, различающихся по
функциональному назначению и конструктивному исполнению (бескорпус-
ные ИС, МДП-транзисторы, диодные и транзисторные сборки и др.);
возможность получения пленочных пассивных элементов широкой но-
менклатуры с жесткими допусками;
высокая экономическая эффективность изготовления небольших пар-
тий схем;
сравнительно высокий процент выхода годных схем вследствие воз-
можности отбраковки компонентов перед сборкой”.
Поэтому ГИС нашли широкое применение в конструировании микро-
электронной аппаратуры.
Состояние и тенденции развития микроэлектроники**. Развитие совре-
менной электроники началось, по существу, с открытия в 1948 г. транзис-
* Фомин А.В., Боченков Ю.И., Соропуд В.А. Технология, надежность и автомати-
зация производства БГИС н микросборок. М., 1981.
•♦Этот раздел составлен по материалам, любезно предоставленным авторам
проф. Я.А. Федотовым.
290
торного эффекта. В 1949 г. фирма ’Ъелл”, где был создан первый точечный
транзистор, на примере имитатора морского боя, в состав которого входи-
ло 20000 точечных транзисторов, показала несомненные преимущества
этого направления в электронике. Это резко инициировало работы в облас-
ти полупроводниковой электроники. Вскоре были разработаны плоскост-
ные транзисторы, сплавной метод изготовления р-и-переходов был практи-
чески вытеснен диффузионным, основным полупроводниковым материа-
лом стал кремний, была разработана планарная технология. Примерно в
середине 60-х годов появились первые ИС, ознаменовавшие зарождение в
электронике нового направления — интегральной электроники, наш. микро-
электроники.
Все последующее развитие микроэлектроники шло по пути совершен-
ствования ИС, увеличения степени их интеграции и плотности упаковки,
так как это обеспечивало повышение надежности микроэлектронной ап-
паратуры, уменьшение массы и габаритов, потребляемой мощности и уде-
шевления аппаратуры. За период с 1966 по 1980 г. степень интеграции
возросла с 50 до 100000 транзисторов на кристалле (примерно в 2000 раз).
Рост степени интеграции происходил за счет увеличения площади кристалла
и главным образом за счет уменьшения площади отдельных элементов
ИС, т.е. за счет увеличения плотности упаковки. В настоящее время на од-
ном кристалле может размещаться 150—200 тыс. транзисторов, а в отдель-
ных случаях и до миллиона. Эта тенденция сохранится и в дальнейшем.
При этом имеется два пути достижения цели: увеличение площади кристал-
ла и уменьшение топологического размера элементов ИС.
Первый путь не представляется особенно перспективным, так как с
ростом площади кристалла резко увеличивается вероятность появления на
кристалле дефектов при выполнении над ним многочисленных технологи-
ческих операций. Это может свести процент выхода годных ИС практически
до нуля. В одном из конкретных случаев уменьшение площади кристалла
(при одном и том же количестве элементов на ием) с 5x5 до 2x2 мм
привело к возрастанию процента выхода годных с 0,5 до 10%. Именно это
является основной причиной того, что размеры кристалла растут относи-
тельно медленно и для серийных приборов составляют 30—40 мм2 и лишь в
отдельных случаях приближаются к 1 см2.
Поэтому основное внимание уделяется втррому пути — уменьшению
топологического размера элементов ИС. В настоящее время наиболее
распространенным размером элемента в производстве является 2—3 мкм.
Задача состоит в переходе к микрометровому и субмикрометровому раз-
мерам. Естественно, что это будет связано с решением сложнейших техно-
логических и других проблем.
Бурно развивается твердотельная СВЧ-техника. Еще 15—16 лет тому
назад номенклатура твердотельных приборов СВЧ ограничивала» в основ-
ном диодами. Мощные СВЧ-транзисторы находились лишь в стадии разра-
ботки. Трудность их создания может быть проиллюстрирована следующим
примером. Первый отечественный транзистор с рассеиваемой мощностью
12 Вт работал на частоте 400 МГц. Плотность мощности в нем составляла
45000 кВт/см3, что эквивалентно мощности 150000 электроутюгов,
’’втиснутых” в объем 1 см3. И эти проблемы успешно решались, и в настоя-
291
щее время номенклатура полупроводниковых приборов СВЧ весьма широ-
ка. Она включает в себя смесительные диоды с барьером Шоттки, переклю-
чающие диоды, генераторные диоды Ганна, лавинно-пролетные диоды, тран-
зисторы на основе кремния и арсенида галлия, биполярные и полевые
транзисторы и др. Современные мощные биполярные транзисторы способ-
ны отдавать 1—2 Вт на частоте 5 ГГц и около 0,2 Вг на частоте 7 ГГц. В диа-
пазоне 500 МГц для этого типа транзисторов при усилении в 8 дБ и клд.
55% может быть достигнуто значение отдаваемой мощности в 100 Вт. Поле-
вые кремниевые транзисторы на этой частоте обеспечивают выходную мощ-
ность около 40 Вт при усилении 11 дБ и клд. 45%. В устройствах, состоя-
щих из нескольких кристаллов арсенида галлия, на частоте б ГГц отдава-
емая мощность составляла 80 Вт, а на частоте 20 ГГц - 2 Вт (в обоих слу-
чаях — в непрерывном режиме).
Интегральная СВЧ-злектроника с самого начала использовала гибрид-
ную технологию, поэтому, по существу, она является гибридной интег-
ральной электроникой. В настоящее время прорабатывается проблема
создания монолитных СВЧ ИС на арсениде галлия.
Ограничения степени интеграции. Интеграция уже сейчас достигла та-
кого уровня, что в одном кристалле воплощаются-сложные электронные
устройства — часы, микрокалькуляторы, микропроцессоры, микроЭВМ и
др. Естественно возникает вопрос: существуют ли принципиальные (т.е.
физические) ограничения на минимальный размер элемента ИС? Безус-
ловно существуют. Рассмотрим некоторые из них. *
Все физические и математические модели, лежащие в основе расчета
транзисторных и других структур, исходят из представления о твердом
теле, как теле макроскопическом с характерными для него закономернос-
тями протекания различных физических процессов: диффузии примесей и
распределения примесных атомов, возбуждения свободных носителей, рас-
пределения их по энергиям и в пространстве и тд. Как показывают опыты
по молекулярной эпитаксии и получению сверхрешеток, предельная тол-
щина пленок, еще сохраняющих свойства объемного вещества, состав-
ляет десятки нанометров. Поэтому физически мыслимый нижний размер
элемента ИС должен, вероятно, иметь порядок 0,05 мкм. Кубик кремния с
таким ребром содержит примерно 10б атомов. Но достичь такого размера и
получить высококачественный элемент ИС невозможно по следующим
причинам.
1. Ширина и толщина соединительных полосок не могут быть выбра-
ны сколь угодно малыми, так как уже при плотности тЬка порядка
105 А/см2 идет интенсивный электроперенос металла и быстрое разрушение
металлизации.
2. В полевых транзисторах и при изоляции элементов разделительными
р-п-переходами ограничивающим фактором может оказаться протяжен-
ность области пространственного заряда р-п-перехода, тем более что для
обычных транзисторов и диодов невозможно использовать сильнолегиро-
ванные полупроводники с тонкой (тысячные доли микрометра) областью
пространственного заряда из-за туннельного пробоя.
3. Туннельный эффект должен ограничивать и толщину слоя диэлектри-
ка в полевых транзисторах и других элементах, так как уже при напряже-
292
нии порядка десятых допей вольта диэлектрик толщиной порядка 1 мм
оказывается достаточно прозрачным для электронов. При напряжениях, ис-
пользуемых в настоящее время, толщина слоя диэлектрика должна быть
не ниже 50 нм.
4. Серьезным ограничивающим фактором для биполярных транзисто-
ров является неравномерность фронта диффузии легирующей примеси, ко-
торая в транзисторах с тонкой базой приводит к разбросу параметров тран-
зисторов. Оценка, произведенная рядом исследователей, показала, что этот
фактор не позволит повысить плотность упаковки биполярных транзисто-
ров выше 108 см'2.
По ряду оценок, минимальный топологический размер (ширина полос
или зазор между ними) должен составлять приблизительно 0,2 мкм.
Следует иметь в виду, однако, что дальнейшее уменьшение размеров
ИС неизбежно потребует существенного совершенствования или даже пере-
хода к принципиально новым технологическим процессам и оборудованию.
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Физические постоянные
Постоянная Обозначение Значение
Постоянная Больцмана к 138 • 10~23 Дж/К = 8,63
X 10"5 эВ/К
Постоянная Планка h 6,63 • 10-34 Дж • с
И 1,055 • 10-34 Дж-с
Диэлектрическая проницае-
мость вакуума ео 8,85 • 10"12 Ф/м
Магнитная проницаемость ва-
куума Мо 1,26 • 10-6 Гн/м
Скорость света в вакууме С 3 • 10* м/с
Заряд электрона е 1,6 • 10 1 Кл
Масса электрона гп 9,11 10-31 кг
Магнетон Бора мв 9,27 • 10'24 А • м2
Магнетон ядерный мяд 5,05 • IO’27 А • м2
2. Свойства германия и кремния
Физическая величина Германий Кремний
Атомный номер 32 14
Молярная масса, г 72,59 28,08
Температура плавления, °C 936 1420
Постоянная решетки, нм 0365 0,543
Концентрация атомов, см 4,4 1022 5 •1022
Плотность при 300 К, г/см3 5,327 2,329
Ширина запрещенной зоны при 300 К, эВ 0,67 1,1
Подвижность электронов в собствен- ном полупроводнике при 300 К, см2/ (В-с) 3800 1350
То же, для дырок 1800 480
Коэффициент диффузии электронов в собственном полупроводнике при 300 К, см2/с 93 35
294
Продолжение
Физическая величина Германий Кремний
То же, для дырок 44 12,5
Эффективная масса плотности состо- яний в зоне проводимости 0,55 те Цт
То же, в валентной зоне 0,39 те 0,59 те
Концентрация собственных носите- лей при 300 К, см'3 2,4 1013 1,5 Ю10
Удельное сопротивление собственного полупроводника при 300 К, Ом см 50 2,5 • 105
Относительная диэлектрическая про- ницаемость 16 12
Показатель преломления 4 3,5
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. М., 1977.
Буккелъ В. Сверхпроводимость. М., 1975.
Зи С. Физика полупроводниковых приборов. М., 1984.
Киттелъ Ч. Введение в физику твердого тела. М., 1978.
Панков Ж. Оптические процессы в полупроводниках. М., 1973.
Пасынков В.В., Чиркин Л.К. Полупроводниковые приборы. М., 1986.
Смит Р. Полупроводники. М., 1970.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Анизотропия магнитная кристаллогра-
фическая 140,141
Антиферромагнетизм 141
Атом внедрения 78
- дислоцированный 26
Барьер Шоттки 209
Быстродействие диода 234 - 237
Вектор Бюргерса 30,31
- обратной решетки 16
- рассеяния волны в кристалле 15
- трансляции 9
Взаимодействие дисперсионное 23 — 24
- индукционное 25
- - обменное 138
- электронов с колебаниями решетки
181 - 184
Волны в кристалле упругие 38, 182
- поверхностные акустические 188 -
189
Вольт-амперная характеристика динис-
тора 278 - 282
--диода Шоттки 209
--МДП-транзистора 274,277
--обращенного диода 243
— р-п-перехода 233
--S-образпая 277
--структуры металл-днэлектрик-ме-
талл 212,214
— транзистора биполярного 261,263
--туннельного диода 244 - 246
--управляемого тиристора 282
--фотодиода 248
Восприимчивость магнитная 128
Вращение спинов когерентное 153
296
Время жизни 158, 159
- релаксации максвелловское 170
— функции распределения 104, 105
Выход квантовый внутреннего фото-
эффекта 180
--светодиода внутренний 251
Газ носителей заряда вырожденный 96
--невырожденный 85, 86
- фононный 54
Генератор Ганна 194
Генерация носителей заряда 156
- света 253
Гистерезис магнитный 130, 146-148
Глубина проникновения магнитного по-
ля в сверхпроводник 118
Границы зерен 36
Дефекты линейные 29- 33
- объемные 37
- поверхностные 36, 37
- по Френкелю 25 - 26
- по Шоттки 26, 27
- примесные 27, 28
- типа вычитания 37
- упаковки 36, 3?
Деформация кристалла 33 - 36
Диамагнетизм 131, 132
- сверхпроводников ИЗ
Дивакансии 27
Динисторы 278 - 282
Диоды полупроводниковые 228
- Ганна 194
- лавинио-пролетные 246, 247
- обращенные 244
- с длинной базой 277,278
- с накоплением заряда 237
- туннельные 244 - 247
- Шоттки 237
Дислокации винтовые 30, 31
- краевые 29, 30
- полные 30
- частичные 30
Дифракция волн в кристалле 14
Диффузия носителей совместная 166 -
171
Длина диффузии 168
- экранирование Дебая 272
Домены магнитные 137,143 - 145
--цилиндрические 154 - 156
-электростатические 192,193
Доноры 77
Дырки 73
Емкость барьерная 230, 231
- диффузионная 236
Закон Вульфа-Брэгга 15, 16
- Гука 33
- действующих масс 93
- Дюлонга и Пти 47
- Кюри 129
- Кюри-Вейсса 131
Закоио мерности статистические 81
Заселенность инверсная 253
Заполнение зон электронами 69-71
Зона Бриллюэна 39, 62, 63
- валентная 70
- запрещенная 70
- примесная 94
- проводимости 70
- энергетическая 61
Излучение рекомбинационное 178, 179
Индексы Мнллера 13
- Направления 12
- плоскости 13
- узла ! 2
Инжекция носителей 210, 235
--монополярная 214
- двойная 213, 214
Интеграл обменный 22, 139
Кнаэиимиульс фоиоиа 57
- электрона 66
Кваэиуровни Ферми 158
Колебания атомов тепловые 37
- решетки акустические 41
— нормальные 42
--нулевые 46
--оптические 41
Константа анизотропии магнитной 140
- деформационного потенциала 183
Контакт двух металлов 201 - 204
- нейтральный 219
- металла и полупроводника 194, 2(»4
-----блокирующий 204
-----невыпрямляющий (омический)
206,207,210
Контур Бюргерса 30, 31
Концентрация равновесная дефектов ре-
шетки 27
--носителей заряда в собственном по-
лупроводнике 87 - 89
-----в примесном полупроводнике
90-95
--фононов 49, 50
Коэффициент выпрямления 209
- диффузии эффективный 167, 168
- линейного расширения температурный
53
- Пельтье 218, 220
- переноса носителей через базу 259,
260
- прямоугольности петли гистерезиса
148
- поглощения света 171, 172
- рекомбинации 159
- собирания 248
- теплопроводности 55
- усиления транзистора по току 259 -
262
Кривые дисперсионные для колебаний
решетки 39, 41,43
— для свободного электрона 65
--для электрона в кристалле 63, 65
Кристалл 8
- атомный (ковалентный) 22
- идеальный 60
- ионный 19
- металлический 23
- молекулярный 23
297
Лазеры 253 - 256
Легирование ионное 223
Ловушки 161
- в диэлектрике 212, 213
Магнетон Бора 133
Масса эффективная дырок 73, 74
--электронов 67, 68
Методы определения структуры крис-
талла 16 - 19
- получения р-п-перехода 221 - 223
Множитель Ланде 133
Мода (нормальное колебание) 42
Модель дисклокации роликовая 34
Намагниченность 128
- насыщения 129, 130
- спонтанная 13 7
Носители заряда неравновесные 157
Облака Котрелла 32
Область инверсии 271
- обеднения 271
- обогащения 272
Обобществление электронов 21,60
Ось дислокации 30
-намагничения (легкого, трудного) 140
Оптрон 252
Парамагнетизм диэлектриков 132 - 135
- электронного газа 135
Параметры кристаллической ячейки 9
Парапроцесс 146, 147
Пары электронные (куперовские) 114
Переход электронно-дырочный (р-п)
221-222
-----, равновесное состояние 223 - 228
Переходы оптические между подзонами
177
— прямые и непрямые 172, 173
Период идентичности 13
- трансляции 9
Пленки тонкие магнитные 150 - 156
Плотность дислокаций 33
- распределения мод по частотам 43
298
- тока критическая в сверхпроводнике
116, 117
Поверхность Ферми 74, 75
Поглощение света примесное 177
--свободными носителями заряда 176,
177
--собственное 172-175
Подвижность носителей заряда 105,
107 - 109
Поле коллапса 155
- магнитное критическое в сверхпровод-
никах 117
- стартовое 147
Полупроводник акцепторный (дыроч-
ный, р-тнпа) 78
- аморфный 78,79
- донорный (электронный, и-тнпа) 77
- компенсированный 95
- собственный 71
- стеклообразный 282, 283
Постоянная Кюри 129
- Маделунга 20
- Ричардсона 199
- Холла 121
Правило Матнссена 112
Прецессия 131
Приближение гармоническое 38
- одноэлектронное 59
Принцип Паули 22,69, 96, 119, 138
Примеси внедрения 27
- замещения 27
Пробой коллекторного перехода 263
- р-п-перехода лавинный 241 - 243
--поверхностный 244
- - тепловой 241
--туннельный 243, 244
Проводимость дифференциальная отри-
цательная 189 - 192
- примесная 28
Проницаемость магнитная 128
Процесс вращения (вектора намагниче-
ния) 146
- смещения границ доменов 145
Процессы переброса 56
Прочность теоретическая 33, 34
Пьезоэффект 187
Работа выхода 196
Разность потенциалов контактная 201 -
204
Распределение Больцмана 85
- электронов по скоростям 99-101
Рассеяние электронов на примесях 102
--на тепловых колебаниях решетки
102,103
- фоион-фониое 54
Расстояние межплоскостное 14
Раствор внедрения 28
- замещения 28
Расширение тепловое 51-53
Резонанс циклотронный 132
- электромагнитный (электронный па-
рамагнитный) 135 - 137
- ядериый магнитный 136
Рекомбинация носителей заряда 156
- излучательная и безызлучательная 160
- линейная и квадратичная 160
- межзоииая 159 - 161
Решетка Браве 8
- кристаллическая 8-14
- обратная 14
- с базисом 11
Сверхпроводимость 112
теория 113
Сверхпроводники второго рода 118
Светодиод 251, 252
Связь Ван-дер-Ваальса 23 - 25
- ионная (гетерополярная) 19
- ковалентная 22
- металлическая 23
Сдвигообразование 33
Сдвиг Бурштейна 175
Сечение захвата 161, 162
- поглощения света 177
Сила термоэлектродвижущая 215
- электрического изображения 195
Сингония 9,10
Системы параметров транзистора 267,
268
Скорость генерации, рекомбинации 158
- дрейфа 103
- электрона групповая 64
Слой обеднения 204
- обогащения 206
Соотношение дисперсионное для одно-
мерного кристалла 39
- Эйнштейна 166
Сопротивление отрицательное 245
- остаточное 111
Состояния границы раздела 275
- поверхностные 275
- стационарные 58
Спектр частотный колебаний решетки 43
Спин электрона 133
Стенка доменная 144
Структура мозаичная 36
Сфера Эвальда 15
Схема с общим эмиттером 262
- с общей базой 258
- эквивалентная диода 238
--транзистора 266
Температура Дебая характеристическая
49
- истощения примесн 91
- критическая сверхпроводника 113
- Кюри 130
- Нееля (Кюри антиферромагнитная)
141
- перехода к собственной проводимости
92
Теорема Блоха 62
Теория Бардина-Ку пера-Шриффера 113
- дислокационная пластического тече-
ния 34 - 36
- парамагнетизма Бриллюэна 134,135
- теплоемкости решетки Дебая 48, 49
-----Эйнштейна 47, 48
-----классическая 46, 47
- теплопроводности квантовая 56, 57
Теплоемкость решетки 49
- электронного газа 98, 99
Теплопроводность решеточная 54 - 56
Термогенератор 217, 218
Течение кристалла пластическое 34 - 36
Тиристор 282
Ток насыщения диода Шоттки 209
--р-л-перехода 232, 233
-, ограниченный пространственным за-
рядом 210 - 214
299
- пороговый лазерного диода 253
- прямой диода Шоттки 209
--р-п-перехода 232
Транзисторы 257
- биполярные 257 - 268
- дрейфовые 265, 266
- полевые (МДП) 270 - 277
- с управляющим р-и-лереходом 276,
277
— со встроенным каналом 275
- униполярные 275
Трансляция 8
Тривакансия 27
Увлечение электронов фононами 184
Узлы кристаллической решетки 9
Уравнение кинетическое Больцмана 104
- непрерывности 164 - 166
- Пуассона 169
- Чайльда-Лэнгмюра 200
- Шредингера 5 7
Уровень Ферми в металле 74
--в примесном полупроводнике 90 -
93
--в собственном полупроводнике 87 -
89
Уровни акцепторные 77, 78
- доиориые 75 - 77
- Ландау 80
- локальные 78
- примесные 75
Усиление света 25 3
- ультразвуковых волн 185 - 188
Условие невырожденности 85
Условия граничные периодические 40
Устройства термоэлектрические холо-
дильные 220
Ферримагнетизм 141 - 143
Ферромагнетизм 129 - 131, 137 - 141
Флуктуации 82
Фононы 46
Фотодиод 251
Фотопроводимость 179 - 181
- темновая 179
Фоторезистор 179
300
Фототиристор 282
Фототок 180
- первичный 247
Фототранзистор 269, 270
Фотоэлемент 250
Фотоэффект внутренний 179
Формула Грюнайзена 53
- Ричардсона-Дешмена 197 -- 199
- Холла-Шокли-Рида 163, 164
Функция Бриллюэна 134
- волновая 5 7
- плотности распределения мод 43-45
--состояний 83, 84
- распределения для фермионов (Фер-
ми-Дирака) 182
--Максвелла 99, 100
--полная статистическая 82
Хвосты плотности состояний 94
Центры окраски 28, 29
Частота дебаевская характеристическая
45
- ларморова 131
- предельная работы диода 240
--усиления транзистора по току 267
- циклотронная 79
Число квантовое главное (внутреннее)
58,133
- координационное 20
- магнитное квантовое 133
- орбитальное квантовое 133
- состояний в зоне 69
-----эффективное 89
Ширина запрещенной зоны 71
-----оптическая 173
Щель энергетическая в сверхпроводнике
114, 115
Экситон 175
Электрическое изображение 195
Электропроводность удельная 105
--диэлектриков 70
--металлов 70, 110, 111
--полупроводников 109, 110
Эмиссия термоэлектронная 197
- электронов холодная 201
Энергия взаимодействия атомов 19
- нормальных колебаний 45,46
- обменная 22, 139
- отталкивания (по Бориу) 19
- связи иоииой 21
--ковалентной 23
- фононов 46
--средняя 49, 50
Эпитаксия 222
Эффект акустоэлектрический 184, 185
- Баркгаузена 146
- Ганна 194
- Мейссиера-Оксеифельда 113
- Пельтье 218 - 220
- термо-э.д.с. (Зеебека) 214-218
- туннелирования 61
- увлечения электронов фононами 183
- Фарадея 156
- фотогальванический 247
- Франца-Келдыша 174
- Холла 121 - 125
- Шоттки 200, 201
- Эттингсгаузена 125,126
Эффективность эмиттера 259, 260
- коллектора 260
Эффекты Джозефсена 119-121
- термомагнитные 126, 127
Ячейка элементарная 9
- памяти на ферритовом • сердечнике
148 - 150
--иа магнитной пленке 153, 154
--иа цилиндрическом магнитном до-
мене 156
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................................... 3
Введение.................................................................. 5
Глава 1. Структура кристаллов............................................. 8
§ 1.1. Кристаллическая решетка................. 8
§ 1.2. Обозначение узлов, направлений и плоскостей в кристалле.
Индексы Миллера...................................................... 12
§ 1.3. Обратная решетка.............................. 14
§ 1.4. Экспериментальные методы определения структуры кристал-
лов 16
§ 1.5. Классификация кристаллов по типам связи....................... 19
Глава 2. Дефекты в кристаллах............................................ 25
§ 2.1. Точечные дефекты.............................................. 25
§ 2.2. Линейные дефекты.............................................. 29
§ 2.3. Дислокационный механизм пластической деформации кристал-
лов ................................................................. 33
§ 2.4. Поверхностные дефекты......................................... 36
Глава 3. Тепловые колебания атомов кристалла............................. 37
§ 3.1. Колебания и волны в одномерной решетке из одинаковых
атомов............................................................... 38
§ 3.2. Оптические колебания........................... 41
§ 3.3. Колебания трехмерной кристаллической решетки... 42
§ 3.4. Энергия нормальных колебаний. Фононы.... 45
§ 3.5. Теплоемкость твердых тел................ 46
§ 3.6. Тепловое расширение твердых тел......... 51
§ 3.7. Решеточная теплопроводность твердых тел. 54
Глава 4. Основы зонной теории твердых тел................................ 57
§ 4.1. Энергетические уровни электрона в изолированном атоме .... 57
§ 4.2. Обобществление электронов в кристалле......................... 59
§ 4.3. Волновая функция электрона в кристалле. Зоны Бриллюэна ... 62
§ 4.4. Поступательное движение электронов в кристалле................ 64
§ 4.5. Движение электрона в кристалле под действием внешней силы . 65
§ 4.6. Заполнение зон электронами и деление тел на металлы, диэлект-
рики и полупроводники ............................................... 69
§ 4.7. Собственные полупроводники. Понятие о дырках.................. 71
§ 4.8. Ферми-поверхности металлов.................................... 74
§ 4.9. Локальные уровни в запрещенной зоне........................... 75
§ 4.10. Квантование энергии электрона в магнитном поле. Уровни
Ландау............................................................... 79
Глава 5. Статистика электронов и дырок в полупроводниках................. 80
§ 5.1. Функция распределения в статистике Ферми-Дирака............... 80
§ 5.2. Функция плотности состояний................................... 83
§ 5.3. Концентрации электронов и дырок в полупроводнике.............. 84
§ 5.4. Положение уровня Ферми и концентрация свободных носителей
заряда в собственных полупроводниках................................. 87
§ 5.5. Статистика электронов в примесных полупроводниках............. 89
§ 5.6. Статистика электронов в металлах.............................. 95
302
§ 5.7. Теплоемкость электронного газа в металлах и полупровод-
никах ............................................................... 98
Глава 6. Кинетические явления................................................................................... 99
§ 6.1. Распределение электронов по скоростям................................................................. 99
§ 6.2. Дрейф свободных носителей заряда в электрическом поле .... 103
§ 6.3. Подвижность свободных носителей заряда. Зависимость подвиж-
ности от температуры................................................ 107
§ 6.4. Электропроводность полупроводников................................................................... 109
§ 6.5. Электропроводность металлов........................................................................... НО
§ 6.6. Явление сверхпроводимости............................................................................ 112
§ 6.7. Гальваномагнитные эффекты............................................................................ 121
§ 6.8. Термомагиитные эффекты............................................................................... 126
Глава 7. Магнитные свойства твердых тел........................................................................ 127
§ 7.1. Классификация твердых тел по их магнитным свойствам .... 128
§ 7.2. Природа диамагнетизма................................................................................ 131
§ 7.3. Природа парамагнетизма............................................................................... 132
§ 7.4. Природа ферромагнетизма.............................................................................. 137
§ 7.5. Доменная структура ферромагнетиков................................................................... 143
§ 7.6. Практическое применение ферромагнетизма.............................................................. 148
Глава 8. Неравновесные носители заряда в полупроводниках....................................................... 156
§ 8.1. Равновесные и неравновесные носители заряда. Квазиуровни
Ферми............................................................... 156
§ 8.2. Время жизни......................................................................................... 158
§ 8.3. Уравнение непрерывности............................................................................. 164
§ 8.4. Совместная диффузия неравновесных носителей......................................................... 166
Глава 9. Оптические и плазменные явления в полупроводниках.................................................. 171
§ 9.1. Поглощение света............. 171
§ 9.2. Излучение света полупроводниками............. 178
§ 9.3. Фотопроводимость полупроводников............. 179
§ 9.4. Акустоэлектроииые явления............. 181
§ 9.5. Эффект Ганна............. 189
Глава 10. Контакт металл—полупроводник......................................................................... 194
§ 10.1. Работа выхода.............. 195
§ 10.2. Термоэлектронная эмиссия.............. 197
§ 10.3. Контактная разность потенциалов.............. 201
§ 10.4. Контакт металла с полупроводником.............. 204
§ 10.5. Токи, ограниченные пространственным зарядом.............. 210
§ 10.6. Термо-э.д.с.............. 214
§ 10.7. Эффект Пельтье.............. 218
Глава 117 Полупроводниковые диоды.............................................................................. 221
§ 11.1. Равновесное состояние р-п-перехода.............. 221
§ 11.2. Барьерная емкость р-п-перехода.............. 228
§ 11.3. Прямой и обратный токи р-п-перехода.............................. 231
§ 11.4. Импульсные и высокочастотные свойства р-п-перехода. 234
§ 11.5. Пробой р-п-перехода.............. 241
§ 11.6. Туннельные диоды.............. 244
§ 11.7. Лавннно-пролетные диоды.............. 246
§ 11.8. Фотоэлектрические явления в р-п-переходе.............. 247
§ 11.9. Светодиоды. ............................................................................ 251
§ 11.10. Полупроводниковые лазеры........................................................................... 253
Глава 12. Физические принципы работы транзисторов.............................................................. 257
§ 12.1. Принцип работы биполярного транзистора.............................................................. 257
§ 12.2. Параметры н выходные характеристики транзистора..................................................... 259
303
§ 12.3. Переходные процессы в транзисторах. Дрейфовые транзи-
сторы ........................................................... 263
§ 12.4. Фототранзисторы............................................ 269
§ 12.5. Полевые транзисторы . . . ................................. 270
§ 12.6. Приборы с вольт-ампериой характеристикой S-типа............ 277
Заключение. Элементы микроэлектроники................................. 284
Приложения............................................................. 294
Рекомендуемая литература............................................... 295
Предметный указатель . 296
Георгий Иванович Епифанов, Юрий Андреевич Мома
ТВЕРДОТЕЛЬНАЯ ЭЛЕКТРОНИКА
Зав. редакцией учебно-методической литературы по физике и математике
Е. С. Гридасова
Редактор С. А. Крылов
Младший редактор С. А. Доровских
Художник В. Н. Хомяков
Художественный редактор В. И. Пономаренко
Технический редактор Ю. А. Хорева
Корректор Г. И. Кострикова
ИБ № 5423
Изд №ФМ-8Н Сдано в набор 27.08.85. Подп. в печать 03.02.86. Т 05 > 45. Формат 60X90J/i6. Бум. офс.
№1 Гарнитура литературная. Печать офсетная. Объем 19 усл печ л. 19 усл. кр.-отт. 19.59 уч -изд. л
Тираж 10 000 экз. Зак. №671. Цена 1 р. 10 к.
Издательство «Высшая школа*. 101430. Москва. ГСП-4. Неглинная ул . л 29'14
Ярославский полиграфкомбинат Союзполи! рафпрома при Государственном комите те СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. 150014. Ярославль, ул. Свободы. 97.