Author: Пименов А.Б.
Tags: физика механика теоретическая механика классическая механика учебное пособие для студентов
Year: 2016
Text
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени М.В.Ломоносова
физический факультет
А. Б. ПИМЕНОВ
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
учебное пособие
| АБОНЕ ГЕНТ
Москва
2016
Пименов А. Б. Методика решения задач по теоретиче-
ской механике. — М.: Физический факультет МГУ, 2016. —
192 с.
Методическое пособие представляет собой учебное руководство по ре-
шению задач по основным разделам курса теоретической механики и
знакомит читателя с методами исследования механических систем. В нем
представлены наиподробнейшие решения около полусотни задач, позво-
ляющих читателю, по мнению автора, освоить основные понятия и мето-
ды классической механики «с нуля». Перед каждой темой даются общие
методические рекомендации, способные сориентировать читателя при са-
мостоятельном изучении материала и решении задач. Учебное пособие
предназначено для студентов 2-го и 3-го курсов физического факультета
МГУ, изучающих курс теоретической механики.
Александр Борисович Пименов
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКЕ
Рецензент: профессор В. И. Денисов
Редактор: О. С. Павлова
Оригинал-макет: А. Б. Пименов
Подписано в печать 07.12.2015
Объем 12 п. л. Тираж 100 экз. Заказ 112
Отпечатано в отделе оперативной печати
физического факультета МГУ
© А. Б. Пименов, 2016
Содержание
Предисловие 4
1 Кинематика материальной точки 6
2 Метод Лагранжа 15
2.1 Функция и уравнения Лагранжа.......................... 15
2.2 Интегралы движения в методе Лагранжа ..................25
2.3 Движение заряженных частиц в электромагнитном поле . . 40
2.4 Одномерное движение. Качественное исследование движе-
ния 54
2.5 Движение в центральном поле............................61
2.6 Задача рассеяния ..................................... 76
2.7 Малые колебания........................................88
2.8 Динамика твердого тела................................111
3 Метод Гамильтона 134
3.1 Функция и уравнения Гамильтона........................134
3.2 Скобки Пуассона.......................................140
3.3 Интегралы движения в методе
Гамильтона............................................146
3.4 Канонические преобразования...........................155
3.5 Метод Гамильтона-Якоби................................162
3.6 Переменные «действие-угол». Адиабатические инварианты 175
Список рекомендованной литературы 191
3
Предисловие
Данное учебное пособие написано автором на основе многолетнего
опыта преподавания общего курса теоретической механики на физиче-
ском факультете МГУ имени М. В. Ломоносова студентам-физикам 2-го
и 3-го курсов. Сборник содержит максимально подробно разобранные ре-
шения свыше 50 задач по основным разделам курса, которые позволяют
на достаточно глубоком уровне познакомить читателя с основными по-
нятиями и методами классической механики. Основу пособия составля-
ют наиболее типичные классические задачи по теоретической механике,
позволяющие ярко продемонстрировать их применение. Пособие созда-
валось, прежде всего, как методическое руководство для самостоятель-
ной работы студентов в процессе подготовки к семинарским занятиям,
коллоквиумам, зачетам и экзаменам. Перед каждой темой кратко при-
ведены общие методические рекомендации для решения задач, которые
в дальнейшем на конкретных примерах максимально детально поясня-
ются. Все вычисления и выкладки проведены детальнейшим образом,
чтобы показать красоту используемого математического аппарата и тео-
ретических конструкций, с одной стороны, и простоту излагаемых мето-
дов. с другой стороны. Пособие составлено с расчетом того, что читатель
уже ознакомлен с основными фактами из теоретического материала по
изучаемой теме (на основе лекционного курса, учебников и пр.), детали
которого и прорабатываются в данном руководстве на конкретных при-
мерах. Автор не ставил цели написания всеобъемливающего издания.
Книга ориентирована прежде всего на студентов 2-го и 3-го курса
физического факультета МГУ. Автор надеется, что данная книга ока-
жется полезным дополнением к существующим учебным пособиям по
теоретической механике не только для учащихся, но и для аспирантов,
проходящих педагогическую практику, а также преподавателей, веду-
4
щих семинарские занятия по теоретической механике.
Автор выражает огромную признательность своему коллеге доцен-
ту Ольге Серафимовне Павловой, взявшей на себя нелегкий труд вни-
мательного чтения рукописи и ее корректуру, за обстоятельный разбор
работы и ряд интересных предложений, касающихся методических осо-
бенностей сборника, ценных советов и полезных замечаний, во многом
способствовавшим улучшения данного пособия.
Автор будет признателен внимательному читателю, обнаружившему
опечатки, неточности в тексте книги. Просьба все замечания и предло-
жения по содержанию данного учебного пособия присылать на электрон-
ный адрес: ab.pimenov@physics.insu.ru.
Глава 1
Кинематика материальной
точки
Общие рекомендации.
Большинство кинематических задач посвящены нахождению закона
движения механических систем и решаются путем составления системы
дифференциальных уравнений. Для этого, сначала необходимо опреде-
литься с выбором координат, в которых удобно будет решать задачу.
Общих и универсальных рецептов выбора координат, наверное, не суще-
ствует. Зачастую приходится действовать методом проб и ошибок: вы-
брать, к примеру, декартовы координаты, попытаться составить систему
уравнений: если система оказывается сложной для дальнейшего реше-
ния, можно попробовать выбрать какие-либо криволинейные координа-
ты. Тем не менее очень часто соображения симметрии, детали и данные
в условии задачи интуитивно наводят на рациональный выбор системы
координат. Когда координаты выбраны, необходимо позаботиться о вы-
ражениях для кинематических векторных величин (радиус-вектор, ско-
рость, ускорение и т.д.) в виде разложения по локальному базису соответ-
ствующей системы координат. Система дифференциальных уравнений
получается путем приравнивания коэффициентов разложения заданных
в условии задачи векторных величин при соответствующих ортах вы-
бранной системы координат.
6
Задача 1.1. Точка движется в плоскости так, что угол между ее
вектором скорости и радиус-вектором все время остается постоянным и
равным а. Найти уравнение траектории точки.
Решение.
Будем решать задачу в полярных координатах. Изобразим на рисун-
ке радиус-вектор г, вектор скорости v, орты ер, локального базиса.
Вспомним известное выражение для вектора скорости в виде разложе-
ния по базису полярной системы координат:
(1-1)
v = рёр + рфё^р.
Из рисунка находим, что проекция вектора скорости v на орт ер локаль-
ного базиса (радиальная составляющая вектора скорости)
vp = и cos а.
а проекция на орт ер (трансверсальная составляющая)
= -v sin а.
Приравнивая их коэффициентам при ер. ёр в разложении (1.1), получаем
систему дифференциальных уравнений:
Г p = vcosa.
| рф = sin а. ' ' '
Поделим одно уравнение на другое с целью избавления от времени, ко-
торое фигурирует в дифференциале dt в производных р. ф:
(1.3)
рф pa'p/di ра<р
7
Разделяя переменные (помня, что а = const), имеем
dP J 4-
— = -a^ctga.
Р
Элементарное интегрирование приводит к
In р = -(^ctga + С. (1.4)
Аддитивная константа С интегрирования может быть найдена из на-
чальных условий (заметим, в условии задачи они явно не заданы, но
всегда подразумеваются!):
р(*о) = Ро, <р(*о) = <0о-
Полагая t = t0 в (1.4), находим
С = In ро 4- poctga.
В итоге, после подстановки найденной аддитивной константы интегри-
рования в (1.4) уравнение траектории примет вид:
р(<₽) = рое~^ - ^)ct6a
Задача 1.2. Заяц бежит по прямой со скоростью Vi. Его начинав!'
преследовать со скоростью и2 собака, которая в ходе погони всегда бежит
в направлении строго на зайца. В начальный момент времени расстояние
между ними равно а и направления их движения ортогональны. Найти
уравнение траектории собаки в системе отсчета, связанной с зайцем.
Решение.
В системе отсчета, связанной с зайцем, введем оси декартовой систе-
мы координат так, чтобы заяц находился в начале координат. Задачу
будем решать в полярных координатах. Вектор скорости собаки в си-
стеме отсчета, связанной с зайцем, согласно классическому принципу
сложения скоростей, может быть записана как
#3 = v2 - V1- (1.5)
8
Последовательно проецируя равенство (1.5) на орты локального базиса
ер и найдем составляющие вектора v3:
v3p = -t’2 + vi sin a, (1.6)
Уз* = -Vicos a. (1.7)
С другой стороны, радиальная и трансверсальная составляющие вектора
в полярных координатах, как известно, могут быть записаны соотвест-
венно как
v3/) = р. (1.8)
vs* = РФ- (1-9)
чг Зтг , .
Учитывая, что а = —— р, имеем систему дифференциальных уравне-
ний:
Г р= -V2 - V1COSP, 10)
I рф = vi sin у>. \ ' f
Поделив одно уравнение на другое, получим дифференциальное уравне-
ние с двумя переменными:
ДД = - (— ф— + Ctg^) . (1.11)
ра<р \V] sin^ /
Разделяя переменные и интегрируя, получим
[ — = - / d'p (— -Д— + ctg<p) . (1.12)
J р J \vi smp J
Интегралы в полученном равенстве вычисляются стандартным образом.
Интеграл слева:
[— =lnp + Ci, (1.13)
J р
9
Первый интеграл справа берется домножением числителя и знаменате-
ля подынтегральной функции на sin^? и введением новой переменной
интегрирования у = cos р
/dp f sin p dp
sin p J sin2 p
Г dy =
J (l + jf)(l-y)
dcosp
1 - cos2 р
/ 1 1
у = cos р
l+l/i , iln 1 + С2 = - In 1 “У! 2 1 + cos р 1 — cos р 4- С2,
(1-14)
Второй интеграл справа:
f , f cos p , г d sin p , . . .
ctgpdp= I —-----dp = /—------= In sma? 4- C3. (l.lo)
J J sin p J smp
Собирая аддитивные константы Сь C2, C3 в одну С, запишем результат
интегрирования уравнения (1.11) в виде:
1пр= -Мп --'-Г.-Г
2vi 1 — cos р
— In |sin + С.
(1-16)
Константу интегрирования С найдем из начальных условий. По условию
сказано, что в начальный момент времени t = to направления движения
зайца и собаки перпендикулярны, что означает
= у
и расстояние между ними равно а, что эквивалентно
p(t0) = а.
Поэтому, полагая в (1.16) t = t0, найдем
С = Ina.
Окончательно, искомое уравнение траектории примет вид:
/
р(^) = аХ.
\
1 4- cos р
1 — cos р
V2
2vi
(1-17)
10
Задача 1.3. Точка описывает кардиоиду р = 2а cos2 таким обра-
зом, что ее радиус-вектор вращается с постоянной скоростью и. Найти
вектор скорости и вектор ускорения точки как функции угла р.
Решение.
Постоянство угловой скорости вращения радиус-вектора эквивалентно
условию
(1-18)
Перепишем уравнение траектории в эквивалентном виде, понизив сте-
пень тригонометрической функции:
р = а(1 4- cos р). (1.19)
Вектор скорости в полярных координатах, как известно, имеет вид:
v = рер +рфёу,. (1.20)
Дифференцируя уравнение траектории (1.19) по времени, имеем:
р=-ар sin р (1.21)
Учитывая соотношения (1.18) и (1.21), вектор скорости (1.20) как функ-
цию угла р запишем как
v(p) = — ao/sin^Cp + a(l + cos^cue^. (1.22)
Для нахождения вектора ускорения необходимо продифференциро-
вать полученное выражение (1.22) для скорости.
a = v — (—acu sin рёр + а(1 4- cos р)и = -аир cos рёр —
at
—аи sin р ер — аир sin р ё^ 4- а(1 4- cos р)и ё^. (1.23)
11
Принимая во внимание условие (1.18), имеем:
а = -aw2 cos у? ер - aw sin <р ер - aw2 sin </? + а(1 + cos <p)w e^. (1.24)
Далее необходимо выяснить, чему равны производные по времени от век-
торов ер, локального базиса полярной системы координат. Для этого
вспомним, что они раскладываются по базису декартовой системы коор-
динат следующим образом:
ер = cos р ёх 4- sin р ёу,
ёц, = ~ sin р ёх + cos р ёу
(1-25)
(1-26)
Поскольку орты декартовой системы координат ёх, ёу не изменяются со
временем, то есть их производные ёх = ёу = 0, с учетом условия (1.18),
будем иметь:
ёр =-фзтрёх + фcos рёу = фёр = шё^, (1-27)
ё^ =-фсоърёх - psmpey =—фёр =-шёр. (1-28)
Тогда выражение (1.24) для вектора ускорения как функции угла р при-
нимает вид:
а((/?) = —ао>2(1 + 2 cos 92) ёр — 2аи2 simp ё.р. (1.29)
Задача 1.4. Частица движется по эллипсу, заданному уравнением
„.2
+ F = 1 (L3°)
так, что вектор ее ускорения все время остается направленным парал-
лельно оси у. Найти величину ускорения w(t') точки в тот момент, когда
ее ордината z/(t') = 6/3, если в начальный момент х(0) = 0, у(0) = 6,
|v(0)| = v0.
Решение.
Очевидно, что в точке эллипса с координатами х = 0, у — Ъ, задающей
начальное положение частицы, вектор ее скорости направлен параллель-
но оси х (см. рис.). Предположим, что в этот момент частица движется
12
в положительную сторону оси х. Тогда в начальный момент времени
имеем:
(1-31)
Вектор ускорения w в декартовых координатах, как известно, может
быть записан в виде:
w = хех + уёу. (1.32)
По условию задачи он все время остается направленным вдоль оси у.
что означает равенство нулю в любой момент времени его составляющей
вдоль оси х:
i(t) = 0.
(1.33)
Это, в свою очередь, приводит к выводу, что проекция вектора скорости
на ось х остается постоянной и равной, согласно заданным начальным
условиям (1.31) г»о:
i(i) =±(0) = v0. (1.34)
Поэтому наша задача сводится к нахождению значения у в момент tf:
|w(t')| = |y(f)|. (1.35)
Продифференцируем уравнение траектории (1.30) по времени:
а2 б2
что, принимая во внимание условие (1.34), может быть записано как:
x(t)v0 , y(t)y(t)
а2 Ь2
(1.36)
(1.37)
13
(1.38)
Продифференцировав по времени еще раз, будем иметь:
, V2(t) + y(t)y(t)
a2 62
Условие (1.34) позволяет переписать последнее соотношение в виде:
y2(t) + y(t)y(t) _
а2 Ь2
Именно отсюда мы имеем возможность выразить вторую производную
ординаты частицы у:
(1.39)
_ 1 Ро1
У y(t) \ &
Величину y(t) найдем из равенства (1.37):
b2v0 x(t)
ЖЖ
(1-40)
(1-41)
Поэтому
. 1 (v°b2 + р2^°У х2(*Л _ 1 vofc2 Л . &2®2w\
У[> y(t) la2 \ a2 ) y\t) I v(t) a2 V «2 V2tf) J ’
Выражая х2 из уравнения эллипса (1.30), окончательно находим:
У() j,(t) a2 (1+ j/2(t) ) a2y3(t) ( ' 2)
(1-43)
Значит, в момент времени в который y(tf) = Ь/3, будем иметь:
a23/3(t') а2
То есть модуль вектора ускорения в этот момент, согласно соотношению
(1-35),
27vgfr
а2
(1-44)
14
Глава 2
Метод Лагранжа
2.1 Функция и уравнения Лагранжа
Общие рекомендации.
Решение любой задачи в рамках лагранжевого фомализма начина-
ется с построения лагранжиана (функции Лагранжа) рассматриваемой
системы. Для этого необходимо прежде всего ответить на два вопроса:
1) сколько степеней свободы имеет система?
2) какие обобщенные координаты рационально выбрать для однозначно-
го задания положения тел системы?
Для ответа на первый вопрос формально можно применить соотно-
шение для числа степеней свободы: s = ЗАГ — К, где N — число матери-
альных точек, из которых состоит система, К — число уравнений голо-
номных связей. Но для этого, в частности, придется явно выписывать все
уравнения голономных связей. Чаще всего к этому вопросу подходят ме-
нее строго: число степеней свободы — это минимальное число независи-
мых координат, необходимых для однозначного задания положения всех
тел системы в любой момент времени. На интуитивном уровне необхо-
димо понять, сколько и какие нужно ввести координаты в минимальном
количестве, чтобы фиксировать положения всех тел системы в каждый
момент времени. Для ответа на второй вопрос, в принципе, нет ника-
ких ограничений, лишь бы введенные координаты были независимыми,
и их число совпадало с числом степеней свободы системы. Однако не
стоит забывать о соображениях рациональности, учитывающих, к при-
15
меру, симметрии системы. От удачного выбора обобщенных координат
зависит успех решения задачи.
Для построения функции Лагранжа необходимо рассмотреть произ-
вольное отклоненное состояние системы, для которого следует записать
кинетическую и потенциальную энергии ее тел, например, сначала в де-
картовых координатах. Затем, чаще из чисто геометрических сообра-
жений, устанавливая связь декартовых координат с выбранными обоб-
щенными, в конечном итоге, необходимо кинетическую и потенциальную
энергии переписать в терминах обобщенных координат.
Следует также помнить о том, что наличие в системе диссипативных
сил (сил трения, сопротивления) не отражается на виде лагранжиана си-
стемы. Поэтому при построении функций Лагранжа таких систем можно
забыть про их присутствие. О них необходимо вспомнить при составле-
нии уравнений движения: силы трения дают о себе знать в правых частях
уравнений Лагранжа в виде обобщенных диссипативных сил выра-
жения для которых следует строить отдельно согласно их определению
и, в конечном счете, представить как функции независимых выбранных
обобщенных координат и их первых производных.
Функция Лагранжа является функцией обобщенных координат qi и
обобщенных скоростей (и, вообще говоря, и времени t). Поэтому при
построении лагранжиана следует проследить, чтобы никакие другие ко-
ординаты и переменные, кроме обобщенных, не остались в окончатель-
ном выражении.
Задача 2.1.1. Построить лагранжиан математического маятника мас-
сой m с длиной нити I. совершающего плоское движение в однород-
ном и постоянном поле тяжести д под действием силы сопротивления
Fconp = Записать уравнение Лагранжа.
Z/ZZZ
р
те
16
Решение.
Совершенно очевидно, что для задания положения точечной массы,
совершающей плоское движение на нити постоянной длины, достаточно
ввести одну координату, например, угол отклонения нити от вертикали.
Это означает, что данная система имеет одну степень свободы.
Однако для полноты картины поясним, почему рассматриваемая си-
стема имеет именно одну степень свободы, подходя к вопросу чисто фор-
мально. Для этого необходимо явно выписать все уравнения голономных
связей. Выберем оси системы координат так, чтобы точка крепления ма-
ятника находилась в начале координат. Пусть плоскость рисунка соот-
ветствует значению координаты z = 0 (ось z направлена «на нас»).
Поскольку маятник совершает плоское движение, координата z его оста-
ется всегда постоянной и в рассматриваемой системе координат равной
нулю. Нерастяжимая нить обеспечивает постоянство расстояния между
точечной массой и точкой крепления нити, так что координаты х и у
маятника в любой момент удовлетворяют соотношению:
х2 + у2 = 12.
Таким образом, уравнения связей, наложенных на рассматриваемую ме-
ханическую систему, имеют вид:
то есть число уравнений голономных связей К = 2. А поскольку система
состоит из одной материальной точки (N = 1), поэтому имеем:
s = ЗАГ - К = 3 - 2 = 1,
то есть математический маятник имеет одну степень свободы.
17
Выберем в качестве единственной обобщенной координаты указан-
ный угол отклонения нити а. Следует помнить о том, что, как и любая
координата, введенный нами угол а имеет определенное направление от-
счета. Поэтому необходимо его фиксировать для себя, поскольку, знаки
координат будут существенными при построении лагранжиана. Пусть
положительные значения угла а соответствуют отклонению маятника
вправо от вертикали, отрицательные — влево.
Для построения лагранжиана маятника рассмотрим произвольное от-
клоненное от вертикали его состояние, например, изображенное на ри-
сунке. Связь декартовых координат ж, у с обобщенной а устанавливается
чисто геометрически:
J z = fsina,
\ У = —I cos а. \ /
Для рассматриваемого положения маятника, в силу нашей договорен-
ности о направлении отсчета обобщенной координаты, а < 0, при этом
х < 0, у < 0. Поэтому для согласованности знаков а. х. у в правых частях
(2.2) для х поставлен знак «+», для у — знак «—».
Дифференцируя (2.2)по времени,
(2-3)
для квадрата вектора скорости маятника будем иметь:
V2 -- х2 -И у2 = 12а2. (2.4)
А потому кинетическая энергия маятника
Т=^ = ±т12а2. (2.5)
Потенциальная энергия U маятника в поле тяготения может быть
найдена из определения потенциальных сил. как сил, которые могут
быть представлены в виде градиента скалярной функции, называемой
потенциалом или потенциальной энергией:
18
Fp = -VU. (2.6)
В нашем случае потенциальная сила
Fp = тд = — тдёу.
Поэтому равенство (2.6), определяющее потенциальную энергию, приме-
нительно к нашему случаю, в декартовых координатах принимает вид:
dU _ dU _ dU
дхei+ ду бу+ dzбг
Приравнивая коэффициенты при независимых ортах ёх. еу. е2 в разложе-
ниях в левой и правой частях, получаем систему уравнений
-тдеу = -
dU
ду
(2.7)
одним из наиболее простых решений которого является
и = тду. (2.8)
Отметим, что знак потенциальной энергии жестко связан с направлени-
ем осей системы координат. Следует понимать, что поскольку потенциал
U задается системой дифференциальных уравнений в частных производ-
ных, мы не можем его определить однозначно: вообще говоря, к найден-
ному решению (2.8) можно добавить произвольную функцию времени
/(£), не нарушив при этом требований уравнений (2.7). Неоднозначность
нахождения потенциала полностью согласуется с неоднозначностью в
определнии лагранжиана. Поэтому, конечно же, имеет смысл выбирать
наиболее простые по виду и структуре частные решения системы (2.7)
для потенциала.
Однако для подстановки найденного потенциала в функцию Лагран-
жа прежде необходимо его переписать в терминах обобщенной коорди-
наты а с учетом (2.2):
U = —mgl cos а. (2.9)
19
Поэтому лагранжиан математического маятника имеет вид:
£ — Т —U = ^ml2a2 + mgl cos а. (2-10)
Для составления уравнения движения необходимо построить обоб-
щенную диссипативную силу. Напомним, что в самом общем случае она
определяется равенством
(2-11)
3=1 u4i
где индекс i нумерует степени свободы и пробегает значения от 1 до s (в
нашем случае s = 1 и обобщенная сила имеет только одну компоненту),
суммирование ведется по индексу /3, нумерующему материальные точки
с радиус-векторами г#, из которых состоит система: (3 = 1. N (в нашем
случае N = 1). Поэтому для нашего маятника обобщенная диссипатив-
ная сила
Qd = Fd • (2.12)
’ да
где ньютонова сила трения Fd = -Jv. Для дальнейшего вычисления
распишем скалярное произведение в (2.12) в декартовых координатах, а
затем перейдем от декартовых координат к обобщенной а:
Q4 = Fd^ + Fd^-. (2.13)
да J да
С учетом (2.2)
дх .
— = I cos а.
да
ду j .
— = I sin а.
да
Компоненты ньютоновой диссипативной силы с учетом (2.3)
Fd = ~/Зх = -fflacosa, (2.14)
Fd = —/Зу — -plasina.
Собирая все вместе, окончательно для диссипативной силы будем иметь
Qd = — Jia cos а -1 cos а - /31а sin а • I sin а = —pl2 а. (2.15)
20
Напомним, что уравнения Лагранжа в общем случае записываются
следующим образом:
dtdqi dqi '
и представляют собой систему дифференциальных уравнений (г = 1, s).
Применительно к рассматриваемой нами механической системе с одной
степенью свободы, ее динамика описывается одним уравнением Лагран-
жа:
dt да да
(2-П)
Дифференцирование лагранжиана (2.10) дает
дС >2 •
— = ml а
да
дС
—— = —mgl sma.
да
Поэтому уравнение движения (2.17) с учетом найденного выражения для
обобщенной диссипативной силы (2.15) примет вид
(ml2 а) + mgl sin а = - JI2 а
что после деления на ml2 эквивалентно переписывается в виде:
д g
а Н--а + - sin а ~ 0.
т I
(2.18)
(2-19)
Задача 2.1.2 Тело массой т^. прикрепленное к пружине жесткости
k. может совершать колебательное движение только вдоль вертикальной
стороны жесткого прямого угла. Тело массой т2 прикреплено к первому
телу с помощью невесомого стержня длиной I и может двигаться вдоль
горизонтальной стороны прямого угла. Система вращается вокруг вер-
тикальной оси в поле тяжести g = —дег с постоянной линейной частотой
I/. Построить лагранжиан системы.
21
к
l/mi
у
Решение.
Для начала определим число степеней свободы системы. Очевидно,
что для однозначного задания положения первого тела, движущегося
вдоль вертикальной прямой, достаточно ввести одну координату вдоль
этой прямой. Задав положение тела массой mj, тем самым мы задаем ко-
ординаты точки крепления невесомого стержня, к которому прикреплен
второй шарик. Шарик массой m2 совершает, вообще говоря, трехмерное
движение, которое, согласно принципу суперпозиции движений, мы мо-
жем разложить на две составляющие: плоское движение в вертикальной
плоскости рисунка и чисто вращательное движение вокруг вертикаль-
ной оси с постоянной угловой скоростью ш = 2тп/. Вторая составляющая
движения полностью определена и для описания вращения шарика не
требуется введения каких-либо обобщенных координат, поскольку мы за-
ранее знаем, на какой угол повернется тело вместе с плоскостью прямого
угла вокруг вертикальной оси к любому моменту времени t:
^г(<) = ut -I-
При плоском движении (вторая составляющая движения) тело оста-
ется на одном и том же расстоянии от точки крепления стержня, коор-
динаты которой мы уже фиксировали. Следовательно, для однозначного
задания положения второго тела помимо уже упомянутой координаты
для первого тела необходимо ввести еще одну. Таким образом, рассмат-
риваемая система имеет две степени свободы.
Сразу же становится очевидным рациональный выбор обобщенных
координат. Введем систему координат так, чтобы точка крепления пру-
жины оказалась в начале координат. В качестве первой обобщенной ко-
ординаты выберем qi = z — декартова координата первого тела, а вто-
рой д2 = а — угол отклонения стержня от вертикали. Отметим, что
в выбранной нами системе координат координата z все время остается
отрицательной (z < 0).
22
Кинетическая энергия первого тела, совершающего одномерное дви-
жение вдоль оси z.
Т1 = i m^z2. (2.20)
Для построения кинетической энергии второго тела воспользуемся
известным результатом для квадрата вектора скорости в цилиндриче-
ских координатах:
т2 = i тп21г2 = | т2 (рг + Р202 + £) • (2.21)
Выразим цилиндрические координаты второго тела через введенные обоб-
щенные координаты z. а:
р2 = I sin а.
< р2 = wt + (2.22)
z2 — z — I cos а
(помня при этом, что z < 0). Дифференцируя по времени,
р2 = lot cos а,
’ <£2 = ад (2.23)
z2 — z -I- la sin а
и подставляя в (2.21), получим
= ~ m2 (l2&2 cos2 а -I- l2w2 sin2 а + (z + la sin а)2) =
= i т2 (l2a2 + l2w2 sin2 a + 2lza sin а + z2) . (2.24)
23
Потенциальная энергия первого тела в поле тяготения
Ui = Tn^gz (2.25)
(в правой части ставим знак «+», так как ось z направлена вверх, см.
задачу 2.1.1).
Потенциальная энергия второго тела в поле тяготения
U2 = rri2gz2 = m2g(z — I cos a). (2.26)
Потенциальная энергия упругой деформации пружины
Uk = ±k(bL)2, (2.27)
где удлинение пружины представляет собой, как обычно, разницу длин
деформированной L и недеформированной Lo пружины
AL = L - Lo,
В случае нашего выбора обобщенных координат
L = z.
Стало быть,
Vk = ^k(z-Lo)2. (2.28)
Собирая вместе результаты для кинетических (2.20), (2.24) и потен-
циальных энергий (2.25), (2.26), (2.28), запишем функцию Лагранжа рас-
сматриваемой системы
Г = 7\ 4- Т2 - Ugl - Ug2 - Uk (2.29)
в виде:
£ = i (mi + m2)z2 + | m2 (l2a2 + l2u2 sin2 a 4- 2lza sin a) -
—(mi 4- m2)gz 4- m2gl cos a - k(z — L0)2- (2.30)
24
2.2 Интегралы движения в методе Лагранжа
Общие рекомендации.
Метод интегралов движения является удобным методом решения за-
дач на нахождение закона движения систем. Вместо того, чтобы решать
систему дифференциальных уравнений второго порядка, коими являют-
ся уравнения Лагранжа, решаем систему уравнений, составленную из
интегралов движения — дифференциальных уравнений первого поряд-
ка. Однако надо понимать, что не всегда удается использовать с успехом
этот метод. Успех его применения, прежде всего, зависит от того, су-
меем ли получить замкнутую систему из интегралов движения, то есть
сумеем ли мы найти столько интегралов движения, сколько степеней
свободы имеет система. Для некоторых систем это сделать не удается
в принципе. Для других, если интегралы движения не очевидны сразу,
возможно, имеет смысл как-то преобразовать лагранжиан, привести его
к такому виду, который позволил бы найти недостающие интегралы. К
таким действиям с функцией Лагранжа, к примеру, можно отнести:
1) преобразование обобщенных координат (возможно, что при выборе
других обобщенных координат лагранжиан запишется так, что станут
очевидными новые интегралы движения);
2) использование свойства неоднозначности определения функции Лагран-
жа: возможно, какие-то члены из лагранжиана могут быть представлены
в виде полной производной по времени t) от функции обобщенных
at
координат и времени, а потому отброшены.
Не стоит думать, что метод интегралов движения никоим образом
не связан и не имеет отношения к уравнениям движения. Интегралы
движения являются следствием уравнений Лагранжа. Именно это об-
стоятельство позволяет эквивалентным образом заменить необходимость
решения уравнения Лагранжа на решение системы из интегралов дви-
жения.
Задача 2.2.1. Построить выражение для обобщенной энергии и урав-
нение движения для одномерной системы, описываемой лагранжианом
£ = ——h a e~yt (х — ---—, (а, 7 = const). (2.31)
25
(2.32)
Найти, если возможно, интегралы движения.
Решение.
Поскольку в лагранжиане фигурирует одна обобщенная координата
х, система имеет одну степень свободы. Следовательно, динамика данной
системы описывается одним уравнением Лагранжа:
d дС дС „
= °.
dt ох дх
Тривиальное дифференцирование лагранжиана дает:
— = тх + ае 7 ,
дх
дС и
— = —ауе — кх
ох
и уравнение Лагранжа принимает вид
(2.33)
(2-34)
тх — aye 7t 4- aye 7t 4- kx,
mx + kx = 0,
в котором мы узнаем уравнение одномерного гармонического осцилля-
тора.
Видно, что слагаемые из функции Лагранжа (2.31), содержащие экс-
поненту e-7t, не проявляются в уравнении движения. И в этом нет ничего
удивительного! Несложно заметить, что эти слагаемые сворачиваются в
полную производную по времени
а е--*4 - ух) - (ахе~"У = j-f(x, t). (2.36)
v 7 at4 7 at
а потому, в силу неоднозначности функции Лагранжа, не оказывают вли-
яния на динамику системы и могут быть отброшены из нее. Следователь-
но, функция Лагранжа
~ тх2 кх2
с= — ~— (2.37)
описывает ту же систему, что и лагранжиан (2.31)!
26
При этом оказывается, что обобщенная энергия, построенная по функ-
ции Лагранжа (2.31)
„ д^ г / , -tt/- \ кх2
Е = х—— С = х (тх + ае 71)-----------а е 7 (х — ух) -t- - =
ох 4 7 2 4 7 2
7ПХ2 /п ЛПХ
= + а7яе + — (2-38)
не является интегралом движения, поскольку построена по лагранжиа-
ну, явно зависящему от времени (для нее — 0). В то время как обоб-
щенная энергия, построенная по функции Лагранжа (2.37), не зависящей
явно от времени (для нее — = 0),
~ . дС ~ тх2 кх2 тх2 кх2
Е = з:— - £ = - — + — = — + (2.39)
ох 2 2 2 2
напротив, является интегралом движения.
Таким образом, исследуемая система имеет интеграл движения (2.39),
неочевидный по виду исходной функции Лагранжа (2.31).
Задача 2.2.2. Бусинка массой mi может без трения скользить по
горизонтальной спице. К бусинке с помощью невесомого стержня длины
L который может совершать колебания в вертикальной плоскости, при-
креплена другая бусинка массой т2. Система находится в вертикальном
однородном и постоянном поле тяжести д. Найти закон движения буси-
нок в квадратурах.
Решение.
Во-первых, определим число степеней свободы системы. Очевидно,
что для задания положения первой бусинки, движущейся по горизон-
тальной прямой, достаточно ввести одну координату, например, ее де-
картову координату вдоль горизонтальной оси. Задав положение этой
27
бусинки, мы тем самым в некотором смысле фиксируем положение точки
крепления нити. Следовательно, положение второй бусинки, подвешен-
ной на нити в фиксированной точке и совершающей плоское движение,
может быть задано еще одной координатой, например, углом отклонения
нити от вертикали. Итак, система имеет две степени свободы.
Во-вторых, выберем с качестве обобщеных координат: qi = х — де-
картова координата первой бусинки (оси декартовой системы координат
указаны на рисунке, начало координат ее находится где-то на горизон-
тальной спице), д2 = а — угол отклонения нити от вертикали. При этом
зададим правило отсчета угла а: отклонению нити вправо пусть соот-
ветствуют значения а > 0, влево — значения а < 0.
Для построения функции Лагранжа системы бусинок рассмотрим
произвольное состояние, например, изображенное на рисунке (согласно
нашей договоренности, этому положению тел системы соответствует зна-
чение угла а < 0).
Декартовы координаты бусинок
Х1 = X.
У1 = о,
х2 = х 4-1 sin а.
у2 = -/cos а.
(2.40)
(поскольку для рассматриваемого положения бусинок а < 0, то здесь
понимается sin а > 0, cos а < 0 и расстановка знаков в правых частях
осуществлена из соображений, что должно быть х2 < х, у2 < 0).
Дифференцируя (2.40) по времени, имеем:
28
ii = i,
У1 = 0,
x2 = x + /dcosa.
y2 = la sin a.
(2-41)
Тогда кинетическая энергия системы
7 = + yl) + ±т2(х% + =
= | mix2 4- i m2 (х2 + l2a2 4- 2lax cos а). (2.42)
Потенциальная энергия системы
U = 7П1РУ1 4- т2ду2 = —m2gl cos а.
(2.43)
Стало быть, лагранжиан системы бусинок, как разность кинетиче-
ской и потенциальной энергий,
£ = |(mi + ^2)х2 4- i т2 (l2d2 + 2Zdicos а) + m2gl cos а. (2.44)
Для нахождения закона движения воспользуемся методом интегра-
лов движения. С этой целью найдем два интеграла движения, чтобы
получить замкнутую систему двух дифференциальных уравнений отно-
сительно двух обобщенных координат х, а.
Очевидно, что лагранжиан (2.44) явно не зависит от времени:
дС
dt
= 0
и поскольку отсутствуют диссипации, то обобщенная энергия Е системы
является интегралом движения. Построим ее по определению:
г. .дС г
Е - х— 4- а-т-г - £ =
дх да
= х • ((mi 4- т2)х 4- m2la cos а) 4- а • m2(l2a 4- lx cos а) — £ =
— +пг2)±2 4- ^m2(Z2d2 4- 2Jdicosa) -
—m2gl cos a = const. (2.45)
29
Очевидно, что обобщенная координата х для системы с лагранжиа-
ном (2.44) является циклической:
£=0,
что с учетом отсутствия диссипаций означает сохранение обобщенного
импульса рх, соответствующего этой координате. Выражение для этого
интеграла движения найдем по определению:
дС (
рх = — = (mi -I- т2)х + m2lacosa = const.
дх
Значения констант Е и рх мы можем однозначно найти из начальных
условий, задающих значения обобщенных координат х. а и их первых
производных по времени х,а в начальный момент времени t = to- Для
этого положим t = to в полученных для интегралов движения выраже-
ния (2.45) и (2.46):
(2-46)
Е = E[x(t0), d(t0), a(t0)),
Рх = Px(i(to), d(to). o-(to)).
Теперь будем считать известными значения найденных интегралов дви-
жения несмотря на то, что явно начальные условия не заданы.
Объединяя равенства (2.45) и (2.46) в систему уравнений, приступим
к нахождению закона движения. Для этого выразим из (2.46) обобщен-
ную скорость X'.
Рх — тп21а cos а
х =--------------
+ т2
(2.47)
и подставим в выражение (2.45) для обобщенной энергии:
_ (рт — m2la cos а)2 1 .2.2 px-m2la cos а
Е = + н т212а2 + т21а —--------cos а ~
2(mi + т2) 2 mi + т2
-m2gl cos а,
(2-48)
что после элементарных преобразований запишется как
р2 m2Z2(mi + 7n2sin2а\
Е = ----------г Н---------------г---- о? - m2gl cos а.
2(тп! + т2) 2(тП1 + т2)
(2.49)
30
Полученное равенство представляет собой дифференциальное урав-
нение относительно одной обобщенной координаты а с разделяющимися
переменными. Выразим из него а:
da
п = й = ±
/ Л2 \
2(mi + m2) Е - 7^----2---г + m2gl cos а
----------(,"1+тг '------------------
m2Z2( mi + т2 smz а )
откуда, разделяя переменные, и интегрируя обе части, приходим к ра-
венству
----—-------—da 2----------------- , +С. (2.51)
2(mi + т2) Е - -------------г 4- m2gl cos а
____________\ ~Ь т2) у
m2l2 (mi -|- m2 sin2 а)
Вместо того, чтобы приписывать аддитивную константу интегриро-
вания, можно эквивалентно записать полученную квадратуру в виде ин-
тегралов с пределами: на нижних пределах стоят начальные значения
переменных t-Q, ct0 интегрирования, на верхних — мгновенные (текущие)
их значения.
/Л = ±/
to CIO
da
/ р2
2(mi + m2) Е - -----------г + m2gl cos а
___________\ 2(mi + m2)
m2l2 (mi + m2 sin2 a)
(2.52)
Формально данный переход можно понимать так: сумма значений
интегралов на нижних пределах, представляющих некоторые конкрет-
ные константы, и есть исходная аддитивная константа интегрирования
в (2.51).
Равенство (2.52) представляет собой квадратуру, определяющую за-
висимость а = a(t) неявно.
Если бы нам удалось найти явным образом зависимость a(t), мы под-
ставили бы ее в равенство (2.47) и смогли бы его проинтегрировать, най-
дя, пусть хоть неявную, но зависимость x(t). Однако в нашем случае
равенство (2.47) не может быть проинтегрировано.
31
Для нахождения закона изменения обобщенной координаты х рас-
смотрим отношение обобщенных скоростей х и а:
± = dx/dt _dx
а ~ da/dt da' 1 ’
Принимая во внимание равенства (2.47) и (2.50), получим
dx
dot
(Рх — m2la cos a)/(mi 4- m2)
/ p2
2(mi 4- m2) E - ----------r 4- m2gl cos a
__________\ 2(mi 4- m2)
m2l2(mi 4- m2 sin2 a)
(2-54)
Подставляя сюда еще раз равенство (2.50) для а в числителе основ-
ной дроби, получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными:
Px
Px T m2/ cos a
dx __
da
2(mi 4- m2) [ E — ———----- 4- m2gl cos a
__________\_____2(mi 4- m2)__________
m2l2 (mi 4- m2 sin2 q)
±(mi 4- m2)
( P2
2(mi 4- m2) IE - --------г 4- m2gl cos a
___________\ 2(mi 4~ m2) _____________(
m2l2 (mi 4- m2 sin2 a)
Разделяя переменные и интегрируя, получаем квадратуру, определя-
ющую неявную зависимость х = х(а):
Jdx =
Xq
(2.55)
ao
Px =Fni2ZcosQ
( Р2
2 (mi 4- m2) \E - --------r 4- m2gl cos a
___________\ 2(mi 4- m-2)______________
m2Z2 (mi 4- m2 sin2 a)
f p2 \
2(mi 4- m2) E — -----------г 4- rn2gl cos a
___________\_____2(mi 4~ m2) )
m2l2 (mi 4- m2 sin2 aj
±
32
Равенства (2.52) и (2.55) и представляют собой закон движения буси-
нок в квадратурах.
Выбор знаков «±» в этих выражениях определяется направлением
движения бусинок. В самом деле, знаки «±» определяют знак обобщен-
ной скорости а согласно (2.50). Поэтому в случае, если система движется
так, что угол а увеличивается (в этом случае а > 0), в равенствах (2.52)
и (2.55) необходимо брать верхние знаки. В случае, когда система дви-
жется так, что угол а уменьшается (в этом случае а < 0), необходимо
брать нижние знаки.
Задача 2.2.3. Материальная точка массой т движется по сфере ра-
диуса R в однородном поле тяготения д — -gez. Найти интегралы дви-
жения и закон движения точки в квадратурах. В качестве обобщенных
использовать цилиндрические координаты.
Решение.
Поскольку точка не сходит с поверхности сферы, это единственное
ограничение на ее движение означает наличие связи, что, в свою оче-
редь, подразумевает, что система имеет две степени свободы. В условии
задачи предлагается решать задачу в цилиндрических координатах. Но
прежде необходимо выяснить, какие две из трех р. <р. z могут быть вы-
браны в качестве обобщенных координат: необходимо одну из них исклю-
чить на уравнении связи (то есть учитывая уравнение связи). В качестве
последнего выступает уравнение сферы в цилиндрических координатах,
которое очевидно из чисто геометрических соображений (см. рис.):
(2.56)
р2 + z2 = R2.
33
Из него удобно выразить р (ведь всегда р > 0 в отличие от z, поэтому, вы-
разив р и, тем самым, объявив независимой z, не придется задумываться
о возможных знаках координаты р):
р = VR2 - z2. (2.57)
Итак, в качестве обобщенных координат выбираем qx = z и <?2 = <Р-
Продифференцировав (2.57) по времени, получим
= 2 7я2-г2 (~ 2zi) = ~^Ri_zi- (2 58)
Поэтому кинетическая энергия точки
(2'2 \
-±^+р2ф2+^ =
т / R2z2 2 Л _ .
- 2 (я^ + Л / (2 М>
Потенциальная энергия точки в однородном поле тяготения
U = mgz. (2.60)
Поэтому функция Лагранжа рассматриваемой системы имеет вид:
£ = Т-[/ = ^^^+(й2-г2)^-тдг. (2.61)
Далее займемся поиском интегралов движения. Функция Лагранжа
(2.61) явно не зависит от времени I — = 0 ). И так как по условию зада-
\ ot /
чи отсутствуют диссипации, обобщенная энергия Е является интегралом
движения. Построим ее по определению:
_ .дС .дС „ mR2z /_2 2\ . _
Е = г— + ср— - £ = z —-- + <р • m\R2 - z2)p - £ =
oz dip R2 - z2 v 7
m R2z2
= T M----2 + V (Д ~ z )'*’ + mSZ = COnSt- (2-62)
Z rt — z* z 4 7
34
Далее, очевидно, обобщенная координата р является циклической
(дС \
—— = 0 , а потому обобщенный импульс, ей соответствующий, явля-
/
ется интегралом движения
Рч> =
— = 771 fЯ2 - z2\p = const.
dip v 7
(2.63)
Значения констант Е, однозначно определяются начальными усло-
виями
E = E(z,p.z)
t=to
Pip = Py>(0! *)
t=t0
Для решения системы дифференциальных уравнений, состоящей из
равенств (2.62) и (2.63), выразим из (2.63) обобщенную скорость ф
Ф m(R2- z2)
(2-64)
и подставим в обобщенную энергию (2.62):
р*
_ mR2z2 . v
E 2(R2 - z2) + 2m(R2 - z2) + m9Z'
(2.65)
откуда выражаем обобщенную скорость z:
. _ dz
Z= dt inff
ft
2(R2-z2)(v
Е 2m(^-z2) m9Z)'
(2.66)
Разделяя переменные и интегрируя, получаем квадратуру, определя-
ющую неявную зависимость z = z(t):
2(R2 - z2)
mR2
Pl
2m(R2 - z2)
(2.67)
- mgz
35
Для нахождения закона изменения обобщенной координаты р рас-
смотрим отношение обобщенных скоростей
р _ dp/dt _ dp _ p^/m(R2 — z2)
z dz/dt dz 2(R2 - z2) (- p2
±\ m№ “ 2m(fl2 _ 22) ~ mgz
откуда после разделения переменных и интегрирования найдем квадра-
туру
2
j dp = ± У dz
^0 2Q
p^/m(R2 - z2)
2(Я2 - г2)
mR2
V2
Е ~ 2т(№- z2) “ m9Z
(2.69)
которая определяет неявную зависимость р = p(z).
В выражениях (2.67) и (2.69) верхние знаки надо брать в том случае,
когда точка движется по поверхности в сторону увеличения координаты
z (при этом z > 0), нижние знаки — когда движется в сторону уменьше-
ния z (при этом z < 0).
Равенства (2.67) и (2.69) и определяют закон движения точки на по-
верхности сферы в квадратурах.
Задача 2.2.4. Стержень массы т и длины I шарнирно закреплен в
верхней точке и может совершать плоское движение в вертикальном по-
ле тяжести д. Построить лагранжиан системы. Найти закон движения в
квадратурах в общем виде для произвольного движения стержня. Запи-
сать уравнения Лагранжа. Рассматривая частный случай малых откло-
нений стержня от вертикали, найти частоту малых линейных колебаний.
36
Решение.
Эта задача ярко демонстрирует, как умение описывать динамику од-
ной материальной точки позволяет проводить исследование систем, ко-
торые материальной точкой не являются. Какой бы ни была система
(даже сплошная среда!), мы всегда можем ее мыслить как набор (пусть
даже и бесконечный) материальных точек.
Очевидно, что для однозначного задания положения стержня с за-
крепленным концом и совершающего плоское движение, достаточно вве-
сти угол его отклонения от вертикали, то есть рассматриваемая система
имеет одну степень свободы. В качестве обобщенной координаты выбе-
рем указанный угол а. Договоримся, что отклонению стержня влево от
вертикали соответствует значение угла а > 0, вправо — значение а < 0.
Для построения функции Лагранжа стержня представим его состо-
ящим из бесконечного числа малых элементов (то есть материальных
точек) длины da и массой dm. Тогда кинетическую и потенциальную
энергии стержня найдем суммированием соответсвующих энергий мате-
риальных точек, из которых он состоит.
Введем оси системы координат гак, как показано на рисунке. Рас-
смотрим малый элемент стержня da, находящийся на расстоянии а от
точки его крепления. Его декартовы координаты, как следует из чисто
геометрических соображений, могут быть записаны через обобщенную
координату а следующим образом (для изображенного на рисунке по-
ложения, согласно нашей договоренности, а > 0, в то время как обе
координаты ха и уа отрицательны):
ха = — a sin о, (2.70)
37
ya = -a cos а. (2-71)
Дифференцируя по времени, находим:
ха — -ad cos а. (2.72)
уа- ad sin а. (2.73)
(Отметим, что для данного элемента расстояние а остается постоянным,
поэтому его не нужно дифференцировать.) Поэтому кинетическая энер-
гия dT малого элемента da стержня
^=^(^ + ^) = ^aW. (2.74)
Полная кинетическая энергия стержня, как сумма бесконечно малых
вкладов dT, сводится к интегралу:
Т= I dT = [^а2а2. (2.75)
Перейдем от интегрирования по массе к интегрированию по длине ис-
пользуя тривиальную пропорцию (масса dm приходится на длину da, в
то время как вся масса m стержня распределена по его длине /):
dm = ^da. (2.76)
Тогда, поскольку введеное нами расстояние а от верхней точки стержня
до малого элемента ограничено условием
О < а < I,
интеграл по длине — определенный интеграл:
Т = [dT=^ [ da а2 а2 = | ml2 а2. (2.77)
J 21 J 6
о
Потенциальная энергия малого элемента da
dU = dmgya = -dmga cos а. (2.78)
38
Суммируя, находим потенциальную энергию всего стержня
U = j dU = — j dmga cos a. (2.79)
Переходя к интегралу по длине с помощью соотношения (2.76), имеем:
U — —- д J daa cos а = — -mgl cos а. (2.80)
о
Стало быть, лагранжиан стержня
£ = ^ml2a2 + ^-mt/Zcosa. (2.81)
6 2
Закон движения стержня найдем методом интегралов движения. По
виду функции Лагранжа очевиден интеграл движения — обобщенная
энергия (функция Лагранжа явно не зависит от времени и отсутствуют
диссипации). Выражение для нее построим по определению:
дС
Е = а—-£ =
оа
= а • - ml2 a - £ — - ml2a2 — -mgl cos а = const. (2.82)
3 6 2
Выражая отсюда обобщенную скорость а
(2.83)
и разделяя переменные, получаем квадратуру, определяющую неявную
зависимость а = a(t):
(2.84)
Уравнение Лагранжа для стержня
£д£ _
dt да да
(2.85)
39
после тривиального дифференцирования лагранжиана (2.81) запишутся
как
-Ь ^mgl sin а = 0, (2.86)
или, что то же самое,
3(7
d + -у sin о = 0, (2.87)
В случае малых колебаний стержня, что подразумевает малость от-
клонения от положения равновесия (от вертикали) угол а можно считать
бесконечно малым:
о -> 0.
Тогда, воспользовавшись асимптотической формулой
sin а ~ а.
перепишем уравнение движения (2.87) в виде:
Зр
«+^а = 0,
(2.88)
что представляет собой уравнение гармонических колебаний с цикличе-
ской частотой
2.3 Движение заряженных частиц в электро-
магнитном поле
Общие рекомендации.
Для построения лагранжиана заряженной частицы, движущейся в
электромагнитном поле, прежде всего необходимо найти векторный и
40
скалярный потенциалы электромагнитного поля. Если речь идет об одно-
родных и постоянных электрическом и магнитном полях, то можно сразу
использовать известные результаты для потенциалов в различных калиб-
ровках при различном выборе обобщенных координат. Конечно же, как и
всегда, не стоит забывать об учете связей, наложенных на рассматривае-
мую систему, делая соответствующие изменения в применяемых резуль-
татах в соответствии с уравнениями связи. Если же электромагнитное
поле неоднородно, то надо отдельно найти векторный и скалярный по-
тенциал. При этом необходимо помнить, что потенциалы электромагнит-
ного поля определены неоднозначно. Эта неоднозначность согласуется с
неоднозначностью в определении лагранжиана. Данное обстоятельство
позволяет находить для уравнений, определяющих потенциалы, наибо-
лее простые частные решения: чем проще оно будет, тем проще будет
выглядеть функция Лагранжа! Теперь успех решения задачи зависит
не только от удачного выбора обобщенных координат, но и от удачного
выбора калибровки (то есть частных решений) потенциалов электромаг-
нитного поля. Поэтому, если, скажем, решая задачу методом интегралов
движения, не удается найти необходимое количество интегралов движе-
ния, возможно, следует попытаться найти иное частное решение для по-
тенциалов, то есть использовать другую калибровку, в которой функция
Лагранжа теперь, к примеру, будет иметь новую циклическую коорди-
нату, что позволит найти недостающий интеграл движения.
Задача 2.3.1 Бусинка массой т и зарядом е нанизана на тонкое
кольцо радиуса R. которое вращается с постоянной угловой скоростью
и вокруг своего вертикального диаметра в вертикальных однородных и
постоянных поле тяжести д и магнитном поле И. Составить лагранжиан
частицы и найти закон ее движения в квадратурах.
Решение.
Сначала выясним, сколько степеней свободы имеет бусинка. Если бы
кольцо не вращалось, то для однозначного задания положения бусинки
достаточно было ввести одну координату в виде, например, угла ее по-
ворота вдоль кольца вокруг его центра. Вращение кольца вокруг своего
вертикального диаметра не приводит к увеличению числа степеней сво-
боды, поскольку вращение равномерное с заданной угловой скоростью,
а это значит, что мы заранее знаем, на какой угол повернется плоскость
41
кольца к любому наперед заданному моменту времени t:
HnW = wt + По-
следовательно, система имеет одну степень свободы. В качестве обоб-
щенной координаты выберем q\ = а — угол отклонения бусинки от вер-
тикали в плоскости кольца (см. рис.).
Лагранжиан бусинки в электромагнитном и потенциальном полях
устроен следующим образом:
1 е
£ = -тт2 + - А • f- etp - U. (2.89)
Как и всегда, наличие электромагнитного поля приводит к появле-
нию в функции Лагранжа двух характерных членов с потенциалами А
и и- Воспользуемся известными результатами для них в сферических
координатах г. 9. Ис, а потом перейдем от них к обобщенной координате
а. Несложно сообразить, что сферические координаты г, 9. ис бусинки
выражаются (чтобы не путать обозначения скалярного потенциала и с
утлом Пс сферической системы координат, у последнего приписываем
индекс «с»):
г = В, (2.90)
9 = а, (2.91)
Ис = + Ио- (2.92)
Так кинетическая энергия бусинки запишется следующим образом:
Т = у (г2 + г292 + г2 sin2 9ipty = у (B2d2 + B2w2 sin2 а). (2.93)
42
Далее займемся нахождением потенциалов А и электромагнитного
поля с заданными напряженностями:
Н = Ё = 0.
Векторный потенциал А может быть найден из соотношения
Н = rot А (2.94)
Запишем ротор в декартовых координатах в виде определителя:
^0^2 —
ех ёу е2
А А А
дх ду dz
Дх Ау Аг
(2.95)
и разложим его по верхней строке. Тогда, приравнивая коэффициенты
при независимых ортах еж.еу,ег, получим систему уравнений для ком-
понент векторного потенциала АХ.АУ, Аг:
ех : дА- ду (2.96)
дАх dz -^ = 0. (2-97)
е г : дАу дх _ — it ду Hv' (2.98)
Пользуясь неоднозначностью векторного потенциала, попробуем ис-
кать частное решение этой системы с
Аг = 0.
(2.99)
Тогда уравнение (2.96) приводит к тому, чтобы при этом компонента Ау
не зависела от z:
8 А
= О, Ау * Ay{z\ (2.100)
Второе уравнение системы приводит к аналогичному требованию неза-
висимости компоненты Ах от z:
ад
-^ = О, Ах/ Ax(z). (2.101)
43
В итоге, нетривиальным остается только равенство (2.98). Путем подбора
находим одно из его возможных частных решений:
Ах = - | Ноу, Ay = i Нох, (2.102)
которое, как несложно видеть, удовлетворяет условиям (2.100) и (2.101).
Тогда в используемой калибровке векторного потенциала
А = ^Н0(-уёх + хёу)
соответствующее слагаемое из лагранжиана в декартовых координатах
может записано в виде:
• г = ~^г(хУ - УХУ (2.103)
Вспоминая связь декартовых координат х,у со сферическими г. 0. <рс:
х = г sin в cos 9?с,
у = г sin0sin9?c, (2.104)
Z = г cos 0,
после подстановки в (2.103) и преобразований, немедленно получаем:
|-4 • г = г2 sin2 0 фс. (2.105)
С учетом соотношений (2.91)—(2.92), окончательно запишем:
f= ^wsin2 а. (2.106)
Поскольку электрическое поле отсутствует, и в выбранной калибров-
ке векторный потенциал не зависит явно от времени, то
E(f, t) = t) - = -V^(f. t) = 0, (2.107)
что позволяет выбрать частное решение для скалярного потенциала, рав-
ное нулю:
<p(f, t) = 0.
44
Потенциал бусинки в однородном поле тяготения
U — mgz = mgR cos а. (2.108)
Собирая все вместе, для лагранжиана заряженной бусинки будем
иметь:
£ = ~ R? (d2 + a;2 sin2 a) -I- R2lj sin2 а — mgR cos а. (2.109)
Построенная функция Лагранжа, очевидно, не зависит явно от време-
ни ( — = 0 1. И, поскольку диссипации отсутствуют, стало быть, обоб-
щенная энергия Е является интегралом движения
Е = а-^- — £ = d • mR?a — £ — — #2d2 —
да 2
772» у.*? 1 о ухО • 5
—— R «г sin а —— Кш sm a -I- mgR cos а — const. (2.
Как и всегда, значение константы Е однозначно определяется началь-
ными условиями. Выражая из (2.110) обобщенную скорость а
da . 2 /г I 771 02 2 • 2 , еНи 02 -2 о
а = — — ±\/ —т ( Е + — W2 sm а 4- -г— sin а - mgRcos а
at у тл,2 \ 2 2с
и разделяя переменные, получаем квадратуру, определяющую неявную
зависимость а — а(1\
/<Й= (2.111)
to
? da
J 2 m ™ . 9 eHn
0 \ —( E 4- R2jj2 sm2 a 4- -r-— 551112 Q ~ mgR cos a
V mR? \ 2 2c
Знак «+» перед квадратурой следует брать в том случае, когда бу-
синка движется так, что при этом угол а возрастает, в противном случае
следует брать знак «—».
45
Задача 2.3.2. Частица массой т и зарядом е движется по поверхно-
сти параболоида az = х1 2 + у2 (а = const) в постоянных и однородных по-
ле тяжести д = —gez, электрическом и магнитном полях, напряженности
которых соответственно Е — —EQez и Н — H$ez. Записать лагранжиан
и найти закон движения частицы в квадратурах.
Решение.
Поскольку частица может двигаться только по поверхности парабо-
лоида (не может «сойти» с его поверхности), число ее степеней свободы
s — 2. Очевидно, что система имеет цилиндрическую симметрию. Это
приводит к мысли о рациональности использования цилиндрических ко-
ординат. Однако надо определиться, какие две из трех цилиндрических
координат р. <р. z могут быть объявлены независимыми. Уравнение пара-
болоида
2 . 2
az = х -i- у
в цилиндрических координатах может быть записано следующим обра-
зом:
az = р2.
Отсюда следует, что мы можем в качестве обобщенных координат вы-
брать р и при этом координата z будет зависимой:
Z = р2/а. (2.112)
Функция Лагранжа рассматриваемой заряженной частицы устроена
следующим образом:
1 * g
£ = -mr 2 + ~ (2-113)
46
Далее воспользуемся известными результатами для каждого из слагае-
мых в ней и исключим зависимую координату z в соответствии с урав-
нением связи (2.112).
Кинетическая энергия точки в цилиндрических координатах
T = + (2.114)
Дифференцируя (2.112) по времени
z = 2рр/а (2.115)
и подставляя вместе с (2.112) в кинетическую энергию, получим
Д—) J = у (р + J. (2.116)
Потенциальная энергия в однородном поле тяготения
U = mgz = тдр2/а. (2.117)
В калибровке векторного потенциала (см. предыдущую задачу)
А = ^Н0(-уёх + хёу)
для однородного постоянного магнитного поля, направленного вдоль оси
2, слагаемое из лагранжиана в цилиндрических координатах
(2.118)
С 2с
В случае однородного и постоянного электрического поля скалярный
потенциал
— —Eq'T = Eoz — Eqp2/а. (2.119)
В итоге, лагранжиан заряженной частицы принимает вид:
с = т О’2 f1 + “т)+ р2’^2')+ р2*’ “ + е£°) “• (2-120)
2 \ \ а£ ) ) 2.С 4 7 а
47
Функция Лагранжа явно не зависит от времени
, коорди-
ната является циклической I — = 0 |, поэтому обобщенная энергия Е
\д<р /
и обобщенный импульс являются интегралами движения:
г. .дС ,
Е = р— + <р— - С =
др дф
т / .2 (, 4р2 *\ 2 -зА /
= V Р 1 + — + Р Ф + (mg
2 \ \ а ) /
д£ 2 . , еН0 2
= тгт = трр + —— р = const.
оф 2с
Для нахождения закона движения частицы выразим из (2.122) обоб-
щенную скорость 0:
(2.122)
(2.123)
( gHq 2\ , 2
ч> = v * ~ р ) !тр
и подставим в обобщенную энергию (2.121):
е=0+++ н+еЕ°^- (2-124)
Выражая отсюда р
dp
Р = ТГ_________________________
= ± —/ 2Х (е - (р* - р2) - (mg + еЕо)—),
I, 4/г\ \ 2тр2 \ 2с/ 4 ' а /
m 1 + 4Р м ’
\ \ а2 /
(2.125)
разделяя переменные и интегрируя, получаем квадратуру, определяю-
щую неявную зависимость р = p(i):
(2.126)
to
Р
p<j
dp
2 (г 1 (г, еН° А2
Л 4р2^ \ ^’р2 f 2с р 2
т 1 + -v 4
\ а2 /
48
Вторая квадратура, определяющая закон изменения обобщенной ко-
ординаты р. стандартно найдем, рассмотрев отношение обобщенных ско-
ростей
р _ dp/dt dp
р ~ dp/dt dp'
(2.127)
С учетом (2.125) и (2.123) получаем дифференциальное уравнение с
разделяющимися переменными
C-fTo 2^ / 2
-2^P)/mp
“Г7
»2 )
dp _
dp
.2
2 1 { _еНо .
( 4р2\ \ 2ТП02 И 2с Р
т l + -v Х
\ о2 J
интегрируя которое находим квадратуру, определяющую неявную зави-
симость р = р((/?):
*
(2.128)
<£о
р
PQ
dp (р. - р2) /тр2
2 (Z ~( еЯ0 2\2
/ 4р2\ ( 2тр2 \ 2с /
mH-----—
\ о2 /
Равенства (2.126) и (2.128) определяют закон движения заряженной
частицы в квадратурах.
Задача 2.3.3. Частица массой т и зарядом е движется в магнитном
поле, напряженность которого
Н = Но e-btx4^ez.
Найти закон движения частицы в квадратурах.
49
Решение.
На движение частицы никаких ограничений не наложено, поэтому
она имеет три степени свободы. В качестве обобщенных координат вы-
берем цилиндрические, поскольку, очевидно, магнитное поле обладает
цилиндрической симметрией.
Функция Лагранжа заряженной частицы в электромагнитном поле,
как нам известно, имеет вид:
1 в--
£ =-тг2 +-А г —ер. (2.129)
Заданное магнитное поле
Я = Яое-6<,Ч
не является однородным, поэтому для построения лагранжиана необхо-
димо прежде всего найти его потенциалы А. р.
Векторный потенциал А определяется равенством
Н = rot А
Записывая ротор в цилиндрических координатах, будем иметь равен-
ство:
Яое-^е, = 1
Р
€р ре.^ ez
AAA
др др dz
Ар P-Ар Az
(2.130)
Раскладывая определитель по верхней строке и приравнивая коэффици-
енты при независимых ортах ep.ep.ez, получим систему уравнений для
компонент векторного потенциала Ар, А.^ Аг\
ер : 1 । Р ’ (ЭАг дАЛ п др dz ) (2.131)
(dAz дАо\ (2.132)
: — \ др dz ) ’
ez : 1 (д(рА^,) дАД Ь2 я,. = Я«е • (2.133)
50
Пользуясь неоднозначностью векторного потенциала, будем искать
частное решение этой системы с двумя равными нулю компонентами:
Ар = Az = 0.
Тогда уравнение (2.132) выполняется тождественно, уравнение (2.131)
приводит к требованию, чтобы компонента А.* не зависела от z\
^ = 0. dz Равенство (2.133) приводит к уравнению (2.134)
_ н -ьр* Р др (2.135)
Производная в левой части, согласно правилу дифференцирования слож-
ной функции, может быть записана как
- 1^! JL - 2—
рдр р др др2 др2 ’
Поэтому уравнение (2.135) записывается как
д{рА^) _ тг -Ьр2 2 др1 ~н°е и допускает разделение переменных: (2.136)
d(PAJ = ^H0e-^dp2. (2.137)
Интегрируя последнее равенство, получим
(2.138)
Аддитивную константу С интегрирования мы имеем полное право поло-
жить равной нулю. Ведь наша задача состоит в том, чтобы найти хоть
какое-нибудь частное решение для потенциалов! В принципе, подойдет
любое, но чем проще оно будет, тем лучше. Тети проще будет выглядеть
51
лагранжиан. Таким образом находим искомую компоненту векторно-
го потенциала:
(2.139)
Zbp
Отметим, что найденное решение (2.139) удовлетворяет требованию (2.134).
Итак, мы нашли векторный потенциал
(2.140)
Вспоминая, что вектор скорости материальной точки в цилиндриче-
ских координатах имеет вид:
v = рер + рф + z ez,
раскроем скалярное произведение в слагаемом в лагранжиане, содержа-
щем векторный потенциал:
= (2.141)
С £Up £0
Найдем скалярный потенциал электромагнитного поля </?(г, £). Урав-
нение, его определяющее, как известно, имеет вид:
E(r, t) = -V?(f. t) - 7^^, (2.142)
С ot
где напряженность электрического поля Е = 0. И поскольку найденный
векторный потенциал (2.140) явно от времени не зависит
^(f,t) _ »
dt
уравнение для скалярного потенциала приобретает простой вид:
V^(f.t) = 0. (2.143)
Поскольку, по-прежнему, нам требуется найти максимально простое част-
ное решение, возьмем
(^(f,t)=O. (2.144)
52
Поэтому лагранжиан рассматриваемой заряженной частицы имеет
вид:
£ = + (2.145)
Закон движения частицы найдем методом интегралов движения. Оче-
видно, что функция Лагранжа (2.145) явно не зависит от времени
(дС \ (дЕ л дС \
= 01, координаты ср и z являются циклическими = 0. -т— = 0 |
\ at ) \др dz J
следовательно обобщенная энергия Е и обобщенные импульсы р^,р2 яв-
ляются интегралами движения:
_ .д£ ,д£ .д£ „ т/.2 2-2 -2\ /л ,
Е = р— + р— + z— - £ = —(р2 + р2'р2 4- г2) = const, (2.146)
op оф oz 2 4 7
Р^ = = тпр2ф - e~bp2 = const. (2.147)
о<р 2 ос
pz = = mz = const. (2.148)
Выражаем обобщенные скорости ф и z из (2.147) и (2.148) соответ-
ственно
^=^(р*+^е'Н- (2Л49)
тпр2 \ 2ос /
z = — (2.150)
m
и подставляем в равенство (2.146) для обобщенной энергии, получим
уравнение:
_ тр2 1 / еЯ0 „-ЬрЛ2 , Р2 ,9 , ,
Е~ — + 2^1^+2Ь7е ) +2^- (2Л01)
откуда
dp
dt
(2.152)
Разделяя переменные и интегрируя, получаем квадратуру, определя-
ющую неявную зависимость р = p(t):
(2.153)
53
Для нахождения закона изменения координаты 0, рассмотрим отно-
шение обобщенных скоростей
-1 (р. + е~ е“Ь/Н
ф _ dy/dt _ rfy? ___________тр2 \ 26с_____/_________
р ~ dp/dt ~ dp |2/^ 1 / , еЯо Р2Л
±\ т V 2mp2 V* + 2Ьсв ) 2т)
где приняты во внимание (2.152) и (2.149). Разделяя переменные и инте-
грируя, находим квадратуру, определяющую неявную зависимость р =
p&Y
(2.154)
Для нахождения закона изменения обобщенногй координаты z можно
сразу проинтегрировать равенство (2.148):
z(Z) — —— t + Zq. (2.155)
Закон движения частицы задается равенствами (2.153), (2.154) и (2.155).
2.4 Одномерное движение. Качественное ис-
следование движения
Общие рекомендации.
При решении задач на одномерное движение, прежде всего, необхо-
димо провести качественное исследование движения, чтобы выяснить, в
области каких значений обобщенной координаты возможно движение, и,
54
заодно, характер этого движения. То есть метод качественного исследо-
вания движения позволяет сформировать (качественное) представление
о движении тела еще до непосредственного нахождения закона движе-
ния. Проведение этого исследования является очень важнььм и полезным
при решении задачи. Соображения о том, каков тип движения реализует-
ся в системе, в какой области значений обобщенных координат система
будет эволюционировать, могут помочь, к примеру, подобрать замену
переменных при взятии интеграла, определяющего Закон движения, или
понять, в каком виде необходимо искать решение дифференциального
уравнения, если имеется необходимость решать уравнения Лагранжа.
Для проведения качественного исследования движения необходимо,
во-первых, используя начальные условия, вычислить значение обобщен-
ной энергии, которая является интегралом движения. Во-вторых, по-
строить график потенциала, как функции обобщенной координаты, и
в этих же осях изобразить прямую, соответствующую сохраняющему-
ся значению энергии. Далее необходимо отметить, если имеются, точки
поворота — точки пересечения графика потенциала и прямой для энер-
гии. Классически разрешенная область движения определяется условием
того, что потенциал должен быть не больше обобщенной энергии: мно-
жество значение обобщенной координаты (абсцисс точек на iрафике),
для которых график потенциала лежит ниже прямой энергии, и есть та
область, где одномерная система может находиться. В зависимости от
того, ограничивают ли эту область слева и справа точки поворота, мож-
но сделать вывод о том, является движение финитным или инфинитным,
периодическим или апериодическим.
Задача 2.4.1. Чему равен период финитного движения частицы мас-
сой т в поле с потенциалом
[/(я) = ( ~a/x^x>L’
V [ ОС; х < L.
а - некоторая положительная константа.
Решение.
Для того, чтобы понять, при каких условиях возможно финитное
движение частицы, проведем качественное исследование. Построим гра-
фик потенциала U(x). Условию классически доступной области движе-
55
ния удовлетворяют значения энергии, большие минимального значения
потенциала (в точке х = L). Поскольку нас интересует финитное перио-
дическое движение, область движения должна быть слева и справа огра-
ничена точками поворота. Очевидно, этому требованию удовлетворяют
значения энергии -a/L? < Е < 0 (см. рис.). Далее запишем Е = -|Е|,
чтобы явным образом выделить факт отрицательности значения энер-
гии и не забыть об это в дальнейшем (от знака энергии зависит, чему
будет равен интеграл!).
Период финитного движения, как известно, определяется соотноше-
нием:
Т = 2/ dX (2.156)
где точки поворота z1? Х2 определяются равенством обобщенной энергии
и потенциала:
Е = С/(т). (2.157)
В нашем случае Xi = L, Х2 =
Интеграл, фигурирующий в (2.156), вычисляется элементарно. В об-
ласти интегрирования между двумя точками поворота потенциал
U(x) = а/х2. Приведем к общему знаменателю выражение, стоящее
под корнем
*2
Т-2/
Х1
dx— 2 [
56
___ х2 , .__ Х2 - п
— 2 [ Х&Х — I™ [
* 2 х/ У-|£|г2 + а » 2 / у/-\Е\х2 + а
Г— 1 _______________ 2'2 = л/а/1 /п -----------
= -<iEivC№r^|ii=l = W
Задача 2.4.2. Найти закон движения частицы массой т в потенци-
альном поле
U(x} = -Eq cos
а
если в начальный момент времени z(0) = z(0) = 0 (Lo, а > 0).
Решение.
Прежде чем непосредственно заняться вычислением квадратуры, опре-
деляющей закон одномерного движения, проведем качественное иссле-
дование, чтобы заранее иметь представление о том, какой тип движения
реализуется, и чего ожидать от ее вычисления в результате.
Используя начальные условия, вычислим значение обобщенной энер-
гии Е, которая является интегралом движения:
Е = (iтх2 + U(x)\I = i2(O)H-tZ(x(O)) = —-Uu = Uo. (2.158)
\2 / lt=o 2 m
Далее построим график зависимости U(x) и укажем значение энергии
Е в виде горизонтальной прямой. На рисунке точкой со стрелкой вдоль
прямой энергии символически указана частица в первоначальном поло-
жении и направление ее движения. Метод качественного исследования
движения указывает на то, что частица будет двигаться все время влево
в направлении к точке максимума потенциала х = —тга, лишь асимпто-
тически при t —> оо приближаясь к ней.
57
Закон одномерного движения, как известно, дается квадратурой:
Г dx
‘-'•iJ-R----—
(2.159)
В нашем случае to = 0, х0 = О, Е = Uq. Частица движется влево, поэтому
перед интегралом оставляем только знак минус:
(2.160)
В области интегрирования -тга < а; < 0: cos — > 0, поэтому
2а
+ cos^-.
2а
Тогда
(2.161)
Домножая числитель и знаменатель подынтегрального выражения на
X X
cos — и вводя новую переменную интегрирования и = sin —, будем иметь:
2а 2а
х . , 7 . х \
Uq J cos2 _. у J 1 — sin2 — L 2а
58
---- u(z) --- u(z)
ТП /• du _ 1 m r / 1 1 \ _
у Uo J (l-u)(l + u) 2y[/0 J U\l+u^l-u/
V u(z=O) ’ u(z=O)
1 + sin
____ ... £f.Qt
1 • x
1 - sm —
2a
1 + sin
________2&
-< x
1 — sin —
2a
В области движения частицы — тга < х < 0:
-1 < sin < 0.
2а
поэтому модуль под логарифмом можно убрать. В итоге.
t =
1 + sin
In---------
1 — sin —
2а
Задача 2.4.3. Частица массой т движется в потенциале
t/(x) =
a —fc|x|, |ж| < а/к.
0, |х| > а/к.
(2.162)
(2.163)
(а. к > 0) с энергией Е > а. На какое время эта частица отстанет от
другой такой же частицы, которая движется в потенциале U(x) = 0
и имеет те же начальные условия, после прохождения над потенциаль-
ным барьером? В начальный момент времени частицы имеют координату
xq < ~а/к и положительную проекцию вектора скорости.
Решение.
Время прохождения частицей области xq < х < +оо при наличии
потенциального барьера может быть определено с помощью квадратуры
59
(2.159), в которой перед интегралом следует выбрать знак «+», посколь-
ку частица движется в сторону увеличения обобщенной координаты х:
(2.164)
хо — а/к О а/к х
и
В случае движения свободной частицы (U = 0) время прохождения
г dx
= J /~2 (2.165)
х° \~~Е
V т
Каждый из интегралов (2.164), (2.165) расходится, однако нас интересует
значение не каждого интеграла по-отдельности, а их разность:
Т — Atj — Д^2-
Разобъем область интегрирования < х < -кос на три
<х < —а/к. —а/к < х < а/к. а/к < х < ос
и представим интегралы в (2.164), (2.165) в виде суммы трех:
эс -а/к а/к ос
У dx — У dx + У dx + У dx.
so —а/к а/к
Очевидно, что при вычитании (2.164) и (2.165) интегралы по областям
•Ео < % < —а/к и а/к < х < ос сократятся, поскольку в указанных
областях потенциал U — 0. Поэтому искомое время
а/к а/к
/dx г dx
7Г= ’ J li " <2'166)
~‘,ккЕ
60
Первое слагаемое в этом выражении:
(2.167)
Второй интеграл, в силу четности потенциала U, может быть сведен к
интегралу по области 0 < х < а/к, где потенциал U(x) = а - кх:
a/к а/к
f —2 у* —
-Л -Д (£-!/(*)) ° + M
у m4 7 у m v 7
Л [т 2 / _ , \ 1/2 а^к 2 \/2т / _, /9 .
= 2 \Jу - а + Ь-) = —— (£1/- - (Е - а)1/2). (2.168)
Поэтому искомое время задержки, обусловленное потенциальным ба-
рьером.
а /2т 2 v2m / mi /9 , m \i/9\
Т=кУ~Ё-----------~(Е ~№~а) )• (2-169)
2.5 Движение в центральном поле
Общие рекомендации.
Прежде чем приступать к нахождению закона движения тела в цен-
тральном поле, а также расчету различных кинематических величин (на-
пример, время движения, угловое смещение и т.д.), необходимо провести
качественное исследование, которое позволяет, в общем-то, без каких-
либо значительных усилий и громоздких вычислений выявить законо-
мерности и особенности в движении тела. Делается это в полной анало-
гии с одномерным движением, однако имеется несколько важных отли-
чий. Во-первых, необходимо построить график зависимости не физиче-
ского потенциала, а эффективного потенциала как функции радиальной
61
координаты (представляющей собой расстояние между телом и силовым
центром). Используя начальные условия, необходимо вычислить значе-
ние сохраняющейся обобщенной энергией, и на графике эффективно-
го потенциала изобразить горизонтальную прямую, соответствующую ее
значению. Далее следует отметить точки пересечения (если таковые име-
ются) прямой энергии с графиком — точки поворота. Классически разре-
шенная область значений радиальной координаты определяется услови-
ем того, что обобщенная энергия должна быть не меньше эффективного
потенциала: те области на графике, где кривая эффективного потенци-
ала лежит выше прямой, соответствующей сохраняющемуся значению
энергии, запрещены, там тело ни при каких условиях оказаться не мо-
жет. В зависимости от того, окружают ли данную разрешенную для дви-
жения область точки поворота, делается вывод о том, будет движение
финитным или инфинитным, периодическим или апериодическим, бу-
дет ли падение на силовой центр или нет. Во-вторых, не стоит забывать,
что помимо радиальной координаты, движение тела также определяется
и угловой координатой. Особенностью ее изменения является монотон-
ность: она либо постоянно и непрерывно увеличивается, либо уменьшает-
ся, что определяется направлением движения тела в начальный момент
времени. Фактически изменение угловой координаты приводит к «нама-
тыванию» траектории вокруг силового центра. Накладывая найденные
сведения о движении тела в радиальном направлении на выявленную
особенность движения в угловом, можно (качественно) представить тра-
екторию движения.
Задача 2.5.1. Частица массой т движется в центральном поле
Определить, при каких значениях энергии Е и момента импульса L
возможно финитное движение частицы без падения на силовой центр
(а.З>0).
Решение.
Данная задача решается исключительно путем применения метода
62
качественного исследования движения. Эффективный потенциал
»2 Т2 /у ( Г2 \ 1
+ 2^> = + 2^ = -р + Р * 2т/ (2170)
где L = \L\ — модуль момента импульса частицы, который является
интегралом движения.
L2
Если —/3 + -— = 0, то эффективный потенциал
2m
^eff (Р) = -~р
всюду отрицательная и монотонная функция.
Ueff\ Е > О
В таком случае невозможно финитное движение без падения на силовой
центр. В самом деле, при Е > 0 нет ни одной точки поворота (точек пере-
сечения прямой энергии с графиком эффективного потенциала), стало
быть, если частица движется в сторону к силовому центру (в сторону
уменьшения р), реализуется финитное движение с падением на силовой
центр; если частица движется в сторону от силового центра (в сторону
увеличения р), — инфинитное движение. При Е < 0 имеется одна точка
поворота, препятствующая частице уйти на пространственную бесконеч-
ность. Поэтому реализуется финитное движение с падением на силовой
центр.
Таким образом, чтобы обеспечить финитность движения без паде-
ния на силовой центр, необходимо, с одной стороны, «запретить» ча-
стице приблизиться к силовому центру, то есть слева разрешенная об-
ласть должна ограничиваться точкой поворота, с другой стороны, справа
63
должна быть точка поворота, запрещающая частице оказаться на про-
странственной бесконечности. Это может быть достигнуто требованием
L2
-3 + — >0. (2.171)
2т
Асимптотики эффективного потенциала в этом случае
= °°’ ^effW = 0
и график эффективного потенциала имеет требуемый вид.
Финитное движение без падения на силовой центр в этом случае воз-
можно при отрицательных значениях энергии, больших минимального
значения эффективного потенциала:
(Mmin<£<0- (2-i72)
Условие (2.171) дает ограничения на значения момента импульса (ко-
торый, напомним, определяется исключительно начальными условия-
ми):
L > (2Jm)1/2. (2.173)
Для непосредственного ответа на вопрос о том, какие значения мо-
жет принимать энергия Е, необходимо вычислить минимальное значение
(^eff)min эФФективного потенциала в (2.172). Для этого стандартным
образом подчиним условию экстремума эффективный потенциал:
Т W = 4 - 2 (-^ + £-} А = °- (2-174)
dp р2 \ 2т) (F
64
откуда найдем точку экстремума функции
2
Ро = -
а
2т )
(2.175)
Вычисляя значение эффективного потенциала в найденной точке экс-
тремума, находим
at2
(t/eff)extr = ^eff(A)) ~ / 2ТТ+
2-^ + 5-
у 2т)
2 а2
Т2\2~ ( L2 \
2т) \ 2т)
/ о L2
+ (-Р+
\ 2т.
(2.176)
Условие минимума функции (р)
$Ceff(Po)>O
проверяется тривиальным образом.
Таким образом, финитное движение без падения на силовой центр
возможно, если момент импульса частицы имеет значения (2.173), а энер-
гия ее при этом
а2
К слову сказать, траектория движения в исследуемом случае будет
иметь вид, изображенный на рисунке.
65
Задача 2.5.2. Найти время падения частицы массы т на силовой
центр поля
если в начальный момент она находилась на расстоянии R от него и по-
коилась. Момент импульса и энергия частицы удовлетворяют условию
L2 < 2та, Е > 0 (а > 0).
Решение.
Сначала проведем качественное исследование. Эффективный потен-
циал
V2 L2 / Г2 \ 1
W - ад + - «'(Pl + Sib (2177)
при условии L2 < 2та, сформулированном в задаче, всюду отрицателен
и имеет вид, изображенный на рисунке. Становится понятным, что, дей-
ствительно. при заданных значениях энергии Е > 0 возможно падение
частицы на силовой центр.
Определим значения интегралов движения Е. L из начальных усло-
вий. Поскольку в начальный момент частица была на расстоянии R от
силового центра и покоилась, это означает, что в полярныйх координа-
тах:
р(*о) = (2.178)
р(*о)=о: Ж) = 0- (2.179)
Обобщенная энергия
E-^^ + pVJ + b-W- (y(₽" + />V)- Ь! (2.180)
66
а момент импульса
L = = rnp2(^|t_t = 0. (2.181)
Поэтому при заданных начальных условиях эффективный потенциал
совпадает с физическим потенциалом:
^ff(p) = "^- (2-182)
Время падения т может быть вычислено при помощи квадратуры,
определяющей неявную зависимость р = p(t):
(2.183)
Здесь энергия Е определяется равенством (2.180), а эффективный потен-
циал — (2.182); перед интегралом следует выбрать знак , поскольку
при падении частица движется в сторону уменьшения обобщенной коор-
динаты р. На нижнем пределе интеграла необходимо положить ро = R
согласно начальному условию (2.178), а на нижнем р = 0.
Таким образом, время падения
(2.184)
Для вычисления интеграла приведем к общему знаменателю выра-
жение, стоящее под корнем:
,__ о , .. ,__ о , 2
рп [ pdp 1 Гт г dp1 _
Т~ \2aRJ 2V2a У
R R
67
Задача 2.5.3. Найти уравнение траектории частицы массой т в цен-
тральном поле
Щт) = - —, а > 0.
г
Решение.
Уравнение траектории определяется квадратурой, дающей неявную
зависимость р = р(<р):
. [ ZV dp
- (Ро = ± / ----о , ......—
J тр2 о / х
(2.186)
Не будем конкретизировать, в каком направлении движется частица,
прописывая всюду далее знаки «±» перед интегралом, а также началь-
ные условия, определяющие р$. ро- Эффективный потенциал
р2
Интеграл в получающемся выражении
р
- <ро --- ± [ -р=
J тр2 п
РО
а I Р<р
р 2тр2
dp
г» п2
частицы
(2.187)
(2.188)
будем брать, вводя новую переменную интегрирования
<4-
Поскольку
dp =-<!£.
то
ем
^(ро) . Е +
У 2т
2т
2т \ р\
Чро) |-f2 + ^
2т Е
р2
. (2.189)
68
Выделяя полный квадрат в подкоренном выражении.
2тпа „ 2т Е
-<2+—е+—5- =
р£ р*
(2.190)
и записывая меру интеграла d£ = d И-----— . приходим к табличному
\ Р* )'
интегралу вида
г dx х
/ г-/- 9 = arccos
J а2 — х2 а
Поэтому
, / та \
Г~2~ ~^Г~ d U------г
_ р£ . 2т г \ р$ )
’ \Р*е(Д) I Л пга\ 2тД та\
\ V Р£ / Pv \ Р2 /
= arccos
1Р
(2.191)
1 та
Р р1
2тЕ (та\2
Р?> \ Р2 /
Ра
Объединяя подстановку на нижнем пределе с <ро в левой части в новую
константу получаем
1 та
Р
р* \ P2V
Выражаем явным образом р:
2тЕ (та\2 . ~ .
— cos(<p - ^о).
р*)
(2.192)
0 =---
та
Р2
2тЕ
N
1
2
cos (<р - ^о)
(2.193)
Деля числитель и знаменатель дроби на та/р^, в итоге для уравнения
траектории получаем равенство
. (2.194)
/ 2Етг
1 + у 1 +----7 cos - фо)
V та2
69
Для более компактной записи введем обозначения:
_ рч>
Р ~ та
V та2
Тогда уравнение траектории (2.194) запишется в виде
1+£COs(^-£q)
(2.195)
(2.196)
(2.197)
и представляет собой уравнение конического сечения. Величина р, опре-
деляемая равенством (2.195), называется параметром орбиты, величина
£, даваемая соотношением (2.196), — эксцентриситетом. В зависимости
от значения последнего, уравнение (2.197) может описывать окружность,
эллипс, параболу и гиперболу.
При е = 0 уравнение конического сечения (2.197) представляет собой
уравнение окружности радиуса р:
р('Р) = Р-
Из (2.196) следует, что 5 = 0 при
та2
Е--ч
Несложно убедиться в том, что это значение энергии в точности совпа-
дает с минимальным значением эффективного потенциала (2.187):
При 0 < £ < 1 уравнение конического сечения (2.197) представляет
собой уравнение эллипса. Из (2.196) следует, что эллиптической траекто-
рия движения будет при значениях энергии, удовлетворяющей двойному
неравенству
70
или, что эквивалентно,
При с = 1 уравнение конического сечения (2.197) представляет собой
уравнение параболы. Движение по параболической траектории возмож-
но, как это следует из (2.196), при значениях энергии Е = 0.
При с > 1 уравнение конического сечения (2.197) представляет собой
уравнение гиперболы. Движение по гиперболической траектории воз-
можно, как это следует из (2.196), при значениях энергии Е > 0.
Все возможные рассмотренные выше ситуации, соответствующие раз-
личным значениям энергии частицы, отражены на следующих рисунках.
71
Задача 2.5.4. Найти период финитного движения частицы массой
т в центральном поле с кеплеровым потенциалом:
7(г) =
а > 0.
Решение.
Как мы выяснили в предыдущей задаче, финитное движение в рас-
сматриваемом центральном поле возможно при отрицательных значени-
ях энергии
2
поэтому далее при вычислениях, принимая во внимание знак энергии
частицы, запишем ее в виде
Е --\Е\. (2.198)
Предложим два варианта нахождения периода финитного движения.
Первый способ основывается на непосредственном вычислении ин-
теграла в общей формуле, определяющей период финитного движения в
произвольном центральном поле [/(г):
Р2
Т 2У , Р - , (2.199)
₽1
где точки поворота piy2 определяются равенством обобщенной энергии и
эффективного потенциала (2.187):
В = (2-200)
С учетом (2.198) уравнение для точек поворота примет- вид:
~iE|--;+W (2-2га)
или
2т|£'|р2 - 2тар + = 0,
72
откуда находим значения расстояний от силового центра до частицы в
точках поворота:
(2.202)
Приступим к вычислению интеграла в (2.199). Принимая во внимание
(2.187) и (2.198), запишем
Р2
Т-Й
Р1
dp
— (-\Е\ + — — —
\ m \ ' р 2m р2)
Вынося из-под корня за знак интеграла — \Е|. приводя к общему зна-
тп
менателю и выделяя полный квадрат в подкоренном выражении, будем
иметь:
Представим в числителе
— ( а \ а
р = v _ ад) + ад:
73
введем новую переменную интегрирования
Р 2|Е|
и разобьем интеграл на два:
~~~ /
2|Е| ./
С(Р1)
Беря получившиеся табличные интегралы, получаем
£(Рз)
Значения переменной интегрирования £ в точках поворота (2.202)
2
С(Р1.г) • Р1.2 2|Е| ^2|£|
2тп!ЕГ
В результате обе подстановки для первого слагаемого дают нулевые ре-
зультаты, и период
/2т а / , , /2т сттг \ т
Т ’ У1ё|ВД (“““1 ’ щ ад = ’"У адад
74
Второй способ вычисления периода финитного движения основан
на использовании уже полученных в предыдущей задаче результатов о
движении частицы в кеплеровом потенциале.
В полярных координатах, как известно, модуль вектора секторной
скорости
Рч>
2m
Интеграл движения р^ при этом выражается в полярных координатах
плоскости Лапласа как
Рч> = тр2ф.
Стало быть, секторная скорость
(2.203)
и сохраняет свое значение. Именно это свойство секторной скорости,
как площади, заметаемой радиус-вектором в единицу времени, позво-
ляет рассчитать период Т финитного движения: за время Т заметается
площадь эллипса
S = тгаЬ.
по которому движется частица (а. Ь — большая и малая полуоси эллипса):
m тгаЬ 2тп'каЬ
Т =-----=--------
(2.204)
Полуоси эллипса а. Ъ могут быть легко найдены по известным из
предыдущей задачи значениям параметра р (2.195) и эксцентриситета
г (2.196). Связь р. £ с а, Ь, напомним, имеет вид:
Ь2
г =
откуда
а —
Р
1-£2’
Ь =
Р
Vi - е2
75
Поэтому период финитного движения, определяемый соотношением (2.204):
_ 2тгт р2
~ (1-^/2-
Подставляя сюда выражения (2.195) и (2.196) для параметра и эксцен-
триситета соответственно, получаем для периода движения частицы тот
же результат:
/ 2 \ 2 _
2ят ( P# \ 1 1т
pv \та) /2Ер^\3/2 У 2|Е|3/2’
\ та2 )
2.6 Задача рассеяния
Общие рекомендации.
Решение задач на нахождение дифференциального сечения рассея-
ния сводится к нахождению прицельного параметра как функции угла
рассеяния. Делается это на основе квадратуры, определяющей уравне-
ние траектории частицы пучка, движущейся в поле силового центра, на
котором происходит рассеяние. При этом в квадратуре эффективный
потенциал необходимо записать через прицельный параметр. Задачи на
нахождение сечения падения частиц на силовой центр сводятся к на-
хождению предельного прицельного параметра, имея который частица
выходит асимптотически на круговую орбиту.
Задача 2.6.1. Найти дифференциальное сечение рассеяния пучка
частиц на силовом центре, потенциал которого
[/(г) = - (а < 0).
Г
76
Решение.
В задаче 2.5.3 для случая притягивающего силового центра (а > 0)
было найдено уравнение траектории (2.197) в виде уравнения кониче-
ского сечения. При этом в зависимости от значения энергии Е частицы
эксцентриситет (2.196) мог принимать различные значения, что опреде-
ляло, по какой траектории будет двигаться частицы: окружность, эл-
липс, парабола или гипербола.
Для случая отталкивающего силового центра (а < 0) эффективный
потенциал
Q р2
= <2-205>
всюду положителен (см. рис.), и движение возможно только при значе-
Все проведенные в задаче 2.5.3 вычисления, как несложно сообразить,
остаются в силе. Однако, теперь, в силу положительного значения энер-
гии Е1 эксцентриситет траектории, определяемый соотношением (2.196),
что говорит о том, что траекторией движения частиц при рассеянии на
силовом центре, будет гипербола при любом разрешенном значении энер-
гии Е.
Связь прицельного параметра р с углом рассеяния 9 может быть
установлена на основе квадратуры, определяющей уравнение траекто-
рии (2.186).
77
Обозначим через Др1 — изменение угловой координаты <р при дви-
жении частицы из пространственной бесконечности, где р = оо, до точ-
ки максимального сближения с силовым центором, в которой р = pmin\
Д<р2 — изменение угла при обратном движении на пространственную
бесконечность. Выражения для Д^ и Др2 могут быть непосредственно
найдены из (2.186). где для Др] перед интегралом следует взять знак
«-», поскольку на этом участке движения координата р уменьшается
(при этом на нижнем пределе интеграла необходимо поставить р = оо,
как значение начальной координаты, на верхнем — р = pmin, как конеч-
ной); в выражении для Др2 перед интегралом следует взять знак «+»,
поскольку на этом участке движения координата р увеличивается (при
этом на нижнем пределе интеграла будет р — р1ГыП1 как значение началь-
ной координаты, на верхнем — р = оо, как конечной):
Pmin
J тр2
dp
Д<^2 = У
Pmin
Рм>dp
(2.206)
(2.207)
Очевидно, — Др2-
Из рисунка видно, что угол рассеяния в удовлетворяет соотношению:
7Г ~ в — Д<Р1 -ь Др2-
78
Поэтому
.-S.2 7
Pmin
Рч>dp
(2.208)
Эффективный потенциал здесь следует записать через прицельный
параметр р стандартным образом:
Ed2 ct Ed2
UeS(p) = U(p) + ^ = U(p)+ (2.209)
Imp* p* p p*
При этом в (2.208) необходимо также выразить оставшееся в подынте-
гральном выражении (вне эффективного потенциала) через прицель-
ный параметр р на основе соотношения:
= Ер2- (2.210)
2т
(Стоит отметить, что значения интегралов движения р^, как модуля мо-
мента импульса, и энергии Е могут быть найдены из начальных условий:
9
тп/п*
pv = mpv^, Е = —^£., (2.211)
где иж — модуль вектора скорости частицы на пространственной беско-
нечности в начальный момент времени. Потенциал U(p), предполагается,
убывает на бесконечности так, что
lim U(p) = 0.
р—>эо
Соотношение (2.210) получается из формул (2.211).)
Интеграл, фигурирующий в (2.208), нами был уже вычислен в задаче
2.5.3: см. формулу (2.191), в которой необходимо заменить р^ на осно-
ве (2.210) и поставить соответствующие нашему интегралу пределы. В
итоге,
1 а
л о Р 2Ер?
7г — и = 2 arccos —=======
П/ \2
1 I а \
\ р2 + \2Ер2 )
Pmin
79
( Q \ 1 a
= 2 arccos _ 2 arccos ^==^=2==. (2.212)
1 / a \2 , 1 / a \2
\ p2 + \2£tf J \р* + уТЁр5J
Минимальное до силового центра расстояние pmjn находим из равен-
ства, определяющего точки поворота:
(У Ev2
UeSM = ~ — + -S— = E, (2.213)
Pmin Pmin
которое решаем как квадратное относительно l/pmin- Помня, что в нашем
случае а < 0, а координата р всегда неотрицательна, убеждаемся, что
это уравнение имеет единственное решение
1 _ a J_ / Pmin — 2£р2 + р2 + \ Подставляя (2.214) в (2.212), находим: / а ' \2 2^?) ' <2-214’
0 = 2 arccos , 4 - — 2 arccos 1
= 2 arccos — \р'2 откуда j а \ . 20 \2Ер2/ sm 0 - —7 2 2 1 — V р2 + \2Ер2 J (2.215) / а \ + К2ЁР2/ (2.216)
80
Домножая числитель и знаменатель на р4,
(2.217)
окончательно находим:
(2.218)
Дифференциальное сечение рассеяния может быть найдено по фор-
муле:
d<7 = 7r|dp2(0)l=7r:^-l^|d6»=?r(^;) • 2ctg| • —iy • 1 dO. (2.219)
1 1 ас/ । / 2. . 2 и £
' sin* 2
Записывая дифференциал dO через элемент телесного угла dft
2тг sin в'
окончательно приходим к соотношению
(2.220)
/ а \2 dQ
называемому формулой Э. Резерфорда.
Задача 2.6.2. Пучок частиц массой т с энергией Е упруго рассеи-
вается на жесткой сфере радиуса R. Найти дифференциальное и полное
сечение рассеяния.
Решение.
Рассеяние пучка на жесткой сфере можно интерпретировать как рас-
сеяние на силовом центре, находящемся в центре сферы и создающем
поле
г > Я,
г < R.
81
Тем не менее для нахождения прицельного параметра как функции угла
рассеяния, нет необходимости анализировать квадратуру, аналогичную
(2.208) в предыдущей задаче. Данная зависимость находится из чисто
геометрических соображений.
В самом деле, изобразим траекторию движения одной частицы при
рассеянии. Поскольку вне сферы никаких сил на частицу не действу-
ют. она движется до и после удара о сферу прямолинейно. Абсолютная
упругость удара приводит к тому, что угол падения а совпадает с углом
отражения /3 (см. рис.):
о = /3.
При этом угол а может быть выражен через угол рассеяния 0 очевидным
образом:
а = (тг-0)/2. (2.221)
В качестве прицельного параметра р частицы выступает отезок АВ
(см. рис.), равный длине перпендикуляра, опущенного из точки падения
частицы на сферу на ее диаметр, параллельный первоначальному на-
правлению движения частицы. Из прямоугольного треугольника ДАО В
с гипотенузой ОА= R, находим:
p^^sina. (2.222)
С учетом (2.221), зависимость прицельного параметра от угла рассеяния
имеет вид:
p(0) = Rcos|. (2.223)
82
Дифференциальное сечение рассеяния тогда:
do = 2тгр(0) dO =
du
О 0 1 1
= 2тг • R cos - • R sin - • - dO = - irR2 sin 0 dO.
2 2 2 2
(2.224)
Угол рассеяния 0 принимает возможные значения
О < 0 < 7Г.
При этом значение 0 = тг соответствует «лобовому» столкновению части-
цы со сферой, когда она движется в направлении вдоль горизонтального
диаметра сферы и после удара о нее продолжает двигаться в диамет-
рально противоположную сторону; значение 0 = 0 соответствует ситу-
ации, когда частица, имея прицельный параметр р = R, лишь касается
поверхности сферы и не испытывает изменения направления движения.
Полное сечение рассеяния <7tofoz получается интегрированием диффе-
ренциального da по всем возможным значениям угла рассеяния:
1 * J 7Г
(^totai = I da — - ttR2 I sin 0 dO = - - ttR2 cos 0 = 7r/?2 (2.225)
J 2 о 2 о
и представляет собой поперечную площадь препятствия, которое встре-
чают частицы пучка при рассеянии, в нашем случае — площадь круга
радиуса R.
Задача 2.6.3. Найти дифференциальное сечение рассеяния частиц,
скорость которых до рассеяния параллельна оси х. на гладкой упругой
поверхности, образованной вращением графика функции
У = /(я) = ая1/2, 0 < х < b (а > 0. b > 0)
вокруг оси х.
83
Решение.
По аналогии с предыдущей задачей, упругое рассеяния на поверх-
ности вращения можно переформулировать как рассеяние на силовом
центре с потенциалом
{О вне поверхности вращения,
оо на и под поверхностью вращения.
При этом, в силу очевидной симметрии, этот воображаемый силовой
центр находится где-то на оси симметрии, в качестве которой выступа-
ет ось х. Более конкретной информации о местонахождении его сказать
невозможно, но, как мы увидим, этого достаточно для решения задачи.
В частности, знание того, что силовой центр находится где-то на оси т,
позволяет прийти к выводу о том, что в качестве прицельного парамет-
ра каждой частицы налетающего пучка выступает ордината точки ее
падения на поверхность (см. рис.):
Р = У-
Изобразим траекторию движения частицы при упругом столкнове-
нии с поверхностью. Из рисунка находим, что угол падения а связан с
углом рассеяния очевидным соотношением:
(2.226)
а = (тг — 0)/2.
Проведем в точке А падения касательную к поверхности и обозначим
через 7 угол ее наклона. Тогда значение производной функции f(x) —
84
ах^2 в этой точке, как известно, определяет значение тангенса угла на-
клона касательной:
tg7 = 4; Л*) = \ах 1/2
ах 2
(2.227)
Из чисто геометрических соображений установим связь углов а и 7.
На рисунке
ZNAB = £ - a. ZABC = 7
и ZXAB = ZABC как накрестлежащие, стало быть
7 = J - а- (2.228)
Сравнивая (2.226) и (2.228), находим:
7 = |- (2.229)
Поэтому равенство (2.227) принимает вид:
tg| = |ox-1/2, (2.230)
откуда
1/2 ®
х ' = 2Ct^2’
а прицельный параметр
p=/(J;)=aa:1/2 = yctg|=p(6»). (2.231)
Дифференциальное сечение рассеяния
da = do = 2тг (у) ctg|—Ц-
av \ 2 / 2 . 2 "
4 7 sm -
2
^d0. (2.232)
Записывая дифференциал d0 через элемент телесного угла dQ по анало-
гии с (2.220) получаем
a4 dQ
а 16 sin40/2'
85
Определим для полноты картины, в каких пределах изменяется угол
рассеяния 0 частиц пучка. Для этого необходимо рассмотреть две «пре-
дельных» точки х = 0 и х = Ъ, ограничивающих поверхность вращения.
После столкновения частицы с поверхностью вращения в точке с абс-
циссой х = 0, она будет двигаться в диаметрально противоположную
сторону, что соответствует значению угла рассеяния 0 = тг. При рассея-
нии в точке с абсциссой х = b угол рассеяния 0ь может быть определен
из соотношения (2.230):
tgy = (2.233)
откуда
Очевидно, что при рассеянии во всех остальных точках поверхности вра-
щения искомый угол рассеяния меняется в пределах:
0ь < 0 < 7Г.
Итак, дифференциальное сечение рассеяния частиц на заданной по-
верхности вращения
, a4 dQ 0 Л 1 ,_1/2
Задача 2.6.4. Найти сечение падения на силовой центр для частиц
массой т, движущихся в потенциале
с энергией Е ((а. /3 > 0)).
Решение.
Нахождение сечения падения на силовой центр <7Пад сводится к на-
хождению предельного прицельного параметра реи поскольку
^пад = itp20- (2.235)
86
По определению предельный прицельный параметр — это такое зна-
чение прицельного параметра, имея который частицы пучка асимптоти-
чески выходят на круговую орбиту вокруг силового центра. Его значение
может быть найдено из условия равенства значения энергии частиц пуч-
ка максимальному значению эффективного потенциала, что может быть
сформулировано в виде выполнения следующих условий:
Е = UeS(p0,p0).
— Uoa(p. р) = 0.
дР ^ ^о.₽=РО ' (2.236)
д2 I
г 'р=ро,р=ро
Эффективный потенциал частиц пучка
czeff(P- Р) = Щр) + = ~р + (Ер2 - 3) . (2.237)
Дифференцируя его, запишем систему (2.236) явным образом:
E=-^ + l(Epg-3).
Ро Ро 4 7
< - J" 7(ЕРо-'3)=°= (2-238)
Ро Ро
Из второго равенства системы (2.238) находим, что
Ро = (Ер20 - 0) (2.239)
Подставляя последнее выражение в первое уравнение системы (2.238),
получаем:
а2 а2 а2
2(Ер2о-0) + 4(Epg-,i) = ” 4(Ер§-3)' (2’240)
87
откуда находим значение предельного прицельного параметра:
2 _ £ _
Р° £ 4£2’
(2.241)
Проверим выполнение третьего условия в системе (2.238):
2а
Ро
_ q4
= 8(£р§-3)3
2а4
8(Ер§- З)3 4
2 1
^(Ер*-3) = (2.239) =-
= из(2.240): =-— =
6а4
16(Epg-3)3 =
8Е3 „
"<0-
Поэтому, подставляя найденное предельное значение прицельного па-
раметра (2.241) в соотношение (2.235), для сечение падения окончательно
получаем:
/ /3 а2
<7пад = 7Г I £ - 4£2
(2.242)
2.7 Малые колебания
Общие рекомендации.
При решении задач на малые колебания прежде всего необходимо
убедиться в возможности существования колебательного движения в си-
стеме. Для этого необходимо проверить ее потенциал на наличие точек
минимума. Колебания будут происходить вблизи той точки минимума,
в окрестности которой задано начальное положение системы. Эта точ-
ка определяет положение равновесия системы при заданных начальных
условиях. Далее необходимо стандартным образом построить функцию
Лагранжа колебательной системы. При этом не нужно думать над вопро-
сом рационального выбора обобщенных координат: в качестве таковых
выбираются отклонения от найденного положения равновесия, которые
впоследствии будут считаться малыми. Для нахождения закона малых
88
линейных свободных колебаний необходимо произвести разложение по-
строенной функции Лагранжа в ряд Тейлора по малым отклонениям от
положения равновесия, сохраняя члены не более второго порядка ма-
лости. Последнее обеспечивает линейность дифференциальных уравне-
ний, описывающих колебания. Далее составляется система уравнений
Лагранжа, к решению которой стандартными математическими мето-
дами сводятся дальнейшие действия. В частности, требование нетриви-
альное™ решения однородной системы дифференциальных уравнений
приводит к характеристическому уравнению, позволяющему найти соб-
ственные частоты. Надо понимать, что у каждой колебательной системы
ровно столько собственных частот, сколько степеней свободы она име-
ет. При этой каждой собственной частоте (моде колебаний) соответству-
ет строго определенная амплитуда (комплексный столбец амплитуд). В
случае вынужденных колебаний наличие внешних потенциальных сил
производится на уровне лагранжиана: необходимо построить добавку к
функции Лагранжа в виде их потенциала. Система уравнений Лагранжа
в этом случае будет неоднородной и решается по-прежнему стандартны-
ми математическими методами. Напомним, общее решение неоднородной
системы представляет собой сумму общего решения однородной и част-
ного решения неоднородной систем.
Задача 2.7.1. Колебательная система описывается лагранжианом
. Ч ( 1 \
£ = о 92 91 +91 9г - —+ 91+92 •
2 \ / \919г )
Найти закон малых линейных колебаний, возможных в такой системе.
Решение.
Во-первых, убедимся в возможности существования колебательного
движения в системе. Для этого исследуем потенциал системы (члены
лагранжиана, не зависящие от обобщенных скоростей и взятые с
обратным знаком)
1/(91,92) = —+ 91+92- (2-243)
<71 <72
Вычисляя первые частные производные и приравнивая их к нулю,
SU 1 . ~
_— _---------р 1 _ о,
^<72 <71 4.2
(2.244)
89
dU 1 . a
д— ~-------2 +1 — 0)
dq2 Q1Q2
(2.245)
находим точку экстремума потенциала:
Qoi — 1) <702 = 1-
(2.246)
Чтобы убедиться в том, что она является точкой минимума, проверим
выполнение условий критерия Сильвестра: все угловые миноры матри-
цы, состоящей из вторых частных производных потенциала
U,i
ложительны:
вычисленных в точке экстремума должны быть по-
Un U12
'2 =
I ^21 ^22
2 1
9192 qlql
1 2
9192 919г
(2.247)
= |1 J | = 3 > 0. (2.248)
91=92=1
Итак, найденная точка (2.246) является точкой минимума потенциала
системы, а потому в ее окрестности возможно колебательное движение.
Для дальнейшего решения введем новые обобщенные координаты
*1 = 91 -901 = 91 - 1, *2 = 92 -902 = 92 - 1, (2.249)
которые представляют собой отклонения от положения равновесия.
Подставим
Q1 = 1 +?1,
<12 = 1 + ^2
в лагранжиан и, считая xi и х2 малыми, используя асимптотическое
соотношение
(1+х)
i->0
90
произведем разложение в ряд Тейлора до второго порядка малости:
£ = | ((1 + *•;) + (1 + *1) ilj ~
“ ((l + ^Xl + хг) + (1 + Х1) + (1 + Z2)) =
= + Х2 + • • • ) - (1 - + X? + . . . ) (1 - Х2 + Х-2 + . • • ) -
—2 - Xi - х2 = 4-х2 + ...)-
- (1 - Xi + я2 - х2 + xix2 4-х24-...)-
-2 - Xi - х2 = ^(х2 4- х2) - (xi + xix2 4- х2) - 3 4-, (2.250)
где многоточие означает члены более высокого порядка малости, кото-
рыми мы пренебрегаем. Принимая во внимание неоднозначность в опре-
делении лагранжиана, аддитивную постоянную 3 можно опустить.
Таким образом, функция Лагранжа рассматриваемой колебательной
системы в квадратичном приближении по малым отклонениям от поло-
жения равновесия принимает вид:
£(2) = ~(х2 4- х2) - (х2 + Х]Х2 + х2) • (2.251)
Система уравнений Лагранжа для построенного лагранжиана запи-
сывается как
Х'1 4- 2хх 4- х2 — 0,
х2 4- 2х2 4- Xi = 0
(2.252)
и представляет собой однородную систему линейных дифференциальных
уравнений второго порядка.
Будем искать решение системы в виде:
n(t)
т2(<)
) = Re ) еш‘
/ \ А2 /
(2.253)
с комплексными амплитудами А± и А2.
Подстановка (2.253) в систему (2.252) приводит к однородной системе
алгебраических уравнений:
-и2 4- 2
1
1 И Л1
—Cv’2 4- 2 J I А2
(2.254)
91
Полученная система имеет нетривиальное решение лишь при условии,
что определитель ее матрицы равен нулю (характеристическое уравне-
ние):
(2.255)
(2.256)
|-"2 + 2 1
I 1 -^ + 2 -°’
откуда
(-ш2 + 2)2 = 1,
-о;2 + 2 = ±1
и собственные частоты ситемы
Ld(l) = 1. IV(2) = >/3
Далее найдем столбец комплексных амплитуд, соответствующих каж-
дой из собственных частот.
Полагая iv = 1 в алгебраической системе (2.254), получаем, как и по-
ложено (ведь определитель ее равен нулю!), систему из двух зависимых
уравнений (в данном случае повторяющих друг друга):
(; <2-2и>
В итоге, для компонент столбца комплексной амплитуды, соответству-
ющей первой собственной частоте, имеем одно уравнение с двумя неиз-
вестными:
4- А2 — О,
общее решение которого может быть записано как
Ai = -А2 = Ci. (2.259)
где Ci — произвольная комплексная константа, а потому столбец ком-
плексных амплитуд первой моды колебаний
92
Следовательно, первое частное решение системы (2.252), соответству-
ющее собственной частоте iv^) = 1
(XS)"’=ReC‘ (-!)'“ (2-261)
Аналогично, полагая в (2.254) и = х/З, вновь приходим к системе с
двумя зависимыми уравнениями:
(22бг|
Общим решением оставшегося независимого одного уравнения
Al — А2 = О
будет
А1=А2 = С2 (2.263)
с произвольной комплексной константой С2. Столбец комплексных ам-
плитуд второй моды колебаний
/ а \('2) / 1 \
( 2 ) = С2 ( ; ) . (2.264)
Второе частное решение системы (2.252), соответствующее собственной
частоте oj(2) =
( У = ReC2 ( J (2.265)
\ Т2\Ч / \ J- /
Закон малых линейных колебаний системы как общее решение систе-
мы уравнений (2.252) представляет собой линейную суперпозицию най-
денных частных решений (2.261) и (2.266):
( х2). ) =Re(cj ( +
\ х2{4 J \ \ -1 у \ 1 / J
(2.266)
93
Две комплексные константы СД и С2 (или что то же самое, четыре ве-
щественные Re С]. Ini Ci, Re С2 и Im С2) могут быть однозначно найдены
из четырех начальных условий:
ii(0) = х01,
£1(0) = £01,
х2(0) = х02,
±2(0) = ±02-
Задача 2.7.2. Найти закон малых линейных колебаний трех буси-
нок массой т каждая, нанизанных на гладкое горизонтальное кольцо
радиуса R и связанных друг с другом тремя одинаковыми пружинами
жесткостью к каждая. Пружины в положении равновесия бусинок неде-
формированы.
к
Решение.
Для начала построим лагранжиан рассматриваемой колебательной
системы. Очевидно, что система имеет три степени свободы, поскольку
положение каждой из трех бусинок на окружности может быть задано
одной координатой (например, углом). А так как пружины одинаковы
и в положении равновесия системы они недеформированы, положением
равновесия является любое состояние, в котором бусинки делят кольцо
на три равные части. В качестве обобщенных координат выберем уг-
лы отклонения 01,02? <^з бусинок от одного из возможных положений
равновесия. Договоримся о направлении отсчета введенных обобщенных
координат: отклонению г-той бусинки по часовой стрелке от ее поло-
жения равновесия соответствует значение угла аг > 0, против часовой
стрелки - значение аг < 0.
94
Для построения функции Лагранжа системы рассмотрим произволь-
ное ее состояние, например, изображенное на рисунке.
1
Модуль вектора скорости г-ой бусинки может быть записана через
обобщенную скорость аг как
Vi = dtiR.
следовательно, кинетическая энергия системы
_ mvi mvi mvi mR2 /. 2 9
T = + -y1 = — + a32). (2.267)
Потенциальная энергия системы представляет собой сумму энергий
упругой деформации трех пружин:
£7 = £7]2 + £^23 + £71з-
Рассмотрим, к примеру, пружину, соединяющую первую и вторую бу-
синки. Ее энергия
17» = (2-268)
где Д/12 — удлинение пружины,— необходимо выразить через введенные
обобщенные координаты. Для этого обратимся к рисунку. Очевидно, оно
представляет собой сумму длин дуг окружностей, вдоль которых откло-
няются бусинки:
Д/12 = R l«i| + R |a2|. (2.269)
Но поскольку, согласно, нашей договоренности о знаках обобщенных ко-
ординат ог, в изображенном на рисунке состоянии первая бусинка от-
клонена по часовой стрелке, вторая — против, то Qi > 0,a2 < О- И,
раскрывая модули в (2.269), получаем
Д/12 = Ясц - Ra2. (2.270)
95
Следовательно,
1712 — _ аг)2- (2.271)
Совершенно аналогично, энергии двух оставшихся пружин
= ^(а2 - а3)2, (2.272)
U13 = ^(^ - а3)2. (2.273)
Собирая все вместе, запишем потенциальную энергию всей системы как
и = - а^2 + (°2 - Q3)2 + - Q3)2} (2-274)
Окончательно, функция Лагранжа колебательной системы
£ = ^(d2^2+d2)-
~ Q2)2 + (а2 ~ а'^2 + ~ °3^)' (2-275)
Построенный лагранжиан сразу оказался квадратичным по малым от-
клонениям от положения равновесия, поэтому не требуется совершать
каких-либо дополнительных действий по приведению его к такому виду.
Составим систему уравнений Лагранжа:
mdi 4- /с(2а! - а2 - аз) = 0.
< та2 + к(2а2 - ац — а3) — 0, (2.276)
md3 4- к(2а3 — - а2) = 0.
Делая подстановку
( oiW \ ( Ах\
a2(t) = Re I А2 е“‘, (2.277)
\ с*з(4) / \ Аз /
переходим к однородной системе алгебраических уравнений
—тп(а/^А1 4“ /с(2А1 — А2 — Д3) ~ 0,
< -тш2А2 + к(2А2 - А1 - А3) --= 0, (2.278)
—тш2А3 4- fe(2A3 — Ai — А2) = 0
96
или, что то же самое, в матричном виде:
-тш2 4- 2к
—к
-к
—к
—ты2 4- 2к
—к
-к \ / Л \
—к А2 = 0.
—та)2 + 2к ) \ А$ /
(2.279)
Характеристическое уравнение возникает1 вследствие требования нетри-
виальное™ решения:
—тш2 4- 2к —к —к
-к — тш2 + 2к -к = 0.
—к —к -тш2 4- 2к
(2.280)
Расписывая определитель, например, по правилу треугольников, имеем
( — тш2 4- 2kj — 2к3 — Зк2 ( — тш2 4- 2к^ =
= -mu;2 (mu;2 - ЗА:)2 = 0, (2.281)
откуда собственные частоты колебательной системы
IV(1) = 0. CJ(2) = (J(3) =
Далее найдем комплексные амплитуды Д, соответствующие каждой
из них. Положим й/' = 0 в системе (2.279):
(2к —к —к \ / А] \
—к 2к —к II А2 1—0.
-к -к 2к / \ Аз )
(2.282)
Очевидно, одно из этих трех уравнений есть линейная комбинация двух
других (к примеру, если сложить первые два уравнения и домножить
результат на (-1), получим третье уравнение). Поэтому, будем иметь си-
стему двух уравнений с тремя неизвестными (оставим в системе первые
два уравнения)
2А1 — А2 — A3 — 0,
—Ai 4- 2А2 — Аз = 0.
(2.283)
Вычитая одно уравнение из другого, найдем, что
Ai = А2.
97
Тогда, заменяя А2 в первом уравнении на найдем
= A3.
Следовательно, общее нетривиальное решение системы уравнений (2.283)
Ai = А2 — A3 = Ci,
где Ci — произвольная комплексная константа. Столбец комплексных
амплитуд при этом
Л2 = Ci = G 1
A3 / \ Ci / \ 1
(2.284)
Для характеристического корня сиц) = 0 временная зависимость част-
ного решения, как известно из теории дифференциальных уравнений,
не может быть записана в виде elu}t, иначе вообще теряется зависимость
решения от времени t В этом случае временная зависимость дается ли-
нейной функцией времени:
ai(t) \(1)
a2(t) = Re 1 (C;t + C7)= 1 (Cnt + Cn), (2.285)
аз(«)
где Си = Re Ср С\2 = Re С". Отметим, что элементарное движение,
соответствующее моде колебаний с нулевой частотой, представляет собой
равномерное вращение бусинок по окружности с одинаковыми угловыми
скоростями, при котором пружинки остаются недеформированными.
Для нахождения частного решения системы (2.278), соответствующе-
го кратной частоте W(2) = и>(з), положим w = ^Sk/m в системе (2.279)
—к
-к
-к
—к
—к
—к
-к \ ( Аг \
-А: А2 = 0.
-к Д А3 )
(2.286)
Двойная кратность характеристического корня приводит к тому, что
в данной системе два зависимых уравнения. Для нахождения общего
нетривиального решения одного оставшегося уравнения
Ai 4- А2 + Аз = 0
98
с тремя неизвестными, положим
Al = С2.
А2 — Сз,
где С2, Сз — произвольные комплексные константы. (Отметим, что общее
решение алгебраической системы из одного уравнения с тремя неизвест-
ными не может быть выражено посредством одной произвольной кон-
станты.) Тогда
Л3 = — С2 — С*з
и столбец комплексных амплитуд
/ А, \ (2'3) / Сг \ / 1 \ / ° \
А2 = С3 = С2 0 + С3 1 . (2.287)
\ А} / \ ~&2 ~ С3 / \ — 1 / \ — 1 /
Следовательно, частное решение системы (2.278), соответствующее крат-
ной частоте iv = ^Ък/т
/aiW\(2’3) f / 1\ ( 0\]
a2(t) = Re < С2 I О +C3 1 (2.288)
\ o3(t) / I \ -1 / \ “I / J
Для полноты картины отметим, что, вообще говоря, как известно из
теории линейных дифференциальных уравнений, в случае кратных соб-
ственных частот (кратных корней характеристического уравнения)
вид соответствующего частного решения однородной системы зависит
от соотношения между кратностью 2V частоты и,(п) и числом К линей-
но независимых собственных векторов vi, v2...., vk матрицы системы
(определяемое ее рангом г), в которой частота iv положена равной ис-
следуемой кратной частоте W(n):
К = з - г,
где .9 - размер матрицы системы (з х з), который совпадает с числом
степеней свободы колебательной системы, что эквивалентно числу урав-
нений в однородной алгебраической системе.
Если К = N, то соответствующее частное решение строится анало-
гично (2.277) с амплитудой, равной линейной комбинации собственных
векторов ъ\‘.
/ / N \ \
(t) = Re 52 Civ} ; (2.289)
99
Если К < N, то решение системы, согласно общей теории, должно
искаться в виде произведения многочлена по времени t степени (N — К)
на elW(n)t:
Xi — Re(an 4- 4-... 4-
(2.290)
xs = Re(asJ + aa2t + ... + as(Ar_A-)t;v“A’)e’u’<’>)t.
Однако, в свое время немецкий математик Карл Вейерштрасс в самом
общем случае показал, что каждому корню характеристического урав-
нения кратности N соответствует ровно N линейно независимых реше-
ний линейной системы алгебраических уравнений (то есть для каждой
собственной частоты TV-ой кратности можно найти N линейно независи-
мых столбцов амплитуд), то есть случай К < N для уравнений, описы-
вающих колебательные системы, невозможен. Следовательно, в случае
кратных частот соответствующее частное решение всегда записывается
в виде (2.289).
Невозможность частному решению для кратных частот иметь вид
(2.290) понятна с физической точки зрения: наличие в законе колебаний
членов, содержащих наряду' с экспоненциальными также и степенные
временные множители, противоречило бы закону сохранения энергии.
В нашем решении мы непосредственно убеждаемся в том, что. дей-
ствительно. кратность корня характеристического уравнения ш = ^Зк/т
совпадает с числом линейно независимых собственных векторов матри-
цы системы (2.323), в которой положено ш = у/зк/т\ комплексная ам-
плитуда (2.287) состоит из двух столбцов
Итак, закон малых линейных колебаний системы трех бусинок пред-
ставляет собой линейную комбинацию найденных частных решений (2.285)
и (2.288):
( \ ( 1 \
агВД I = I 1 I (C'nt 4- С12) 4-
\ «з(0 / \ 1 /
100
4- Re
1 \ / 0 \
o + cd I
-i у \ -i /
ety/^t (2.291)
Две вещественные константы Сц, Ci2 и две комплексные С2, С-з (или,
что эквивалентно, четыре вещественные ReC2, Im С2, Re С3, ImC3) могут
быть найдены однозначно на основе шести начальных условий:
<>г(0) = CEOi,
(г = 1,3)
Задача 2.7.3. Найти закон малых вынужденных колебаний системы,
состоящей из двух шариков массами 2т и ти двух пружин с жесткостя-
ми 2к и к, если на шарик массой 2т действует внешняя горизонтальная
сила
F = FosinQt. Считать, что поле тяжести отсутствует.
2к 2т к т
ртЛРфШГф
Решение.
Рассматриваемая система, очевидно, имеет две степени свободы. По-
ложением равновесия является положение шариков, при котором пру-
жины недеформированы. В качестве обобщенных координат выберем от-
клонения Т1,т2 тел от их положения равновесия.
Функция Лагранжа колебательной системы, подверженной действию
внешних потенциальных сил, представляет собой сумму функции Лагран-
жа £о свободной колебательной системы и добавки обусловленной
наличием внешних воздействий на систему:
Г - Го + ДГ.
Лагранжиан свободной системы, как несложно понять, имеет вид:
1 к
= тх2 + - min — кх* — —(т2 - Xi)2. (2.292)
101
Добавка Д£ к лагранжиану представляет собой взятый с обратным
знаком потенциал внешних потенциальных сил Uext(q. t), который может
быть найден непосредственным интегрированием равенств
Q, = -(г = М). (2.293)
В частности, если внешние обобщенные силы = Qi(t) зависят только
от времени и не зависят от обобщенных координат,
Д£ = -Ге«(д. t) = £ (2.294)
г=1
(s — число степеней свободы системы).
Напомним, что обобщенная сила определяется равенством
= (2.295)
о=1
где N — число материальных точек, из которых состоит система, Fa
— ньютонова сила, действующая на точку под номером а с радиус-
вектором fQ.
В случае нашей задачи
А = exFosinS2i, Г2 = 0. (2.296)
Тогда первая компонента обобщенной силы
Декартова координата х?ек первого шарика отличается от обобщенной
координаты на некоторую аддитивную константу (см. рис.):
Х-Г = Х1 + const.
где константа const определяет координату положения равновесия пер-
вого шарика.
А потому производная
дх\
102
и
равновесия
Qi = Fix = Fu sin Ш.
(2.298)
Аналогично, вторая компонента обобщенной силы
- аг, _ аг-
Ц/1 — Г1 • п— — •** 1х * “3 •
дх2 ох2
Декартова координата XjeK, как мы уже выяснили, не зависит от х2,
следовательно производная
(2.299)
_ 0
дх2
и обобщенная сила
«2 = 0.
(2.300)
Стало быть, обусловленная наличием внешних сил добавка к функции
Лагранжа
Д£ = Xi • Fo sin Qi.
(2.301)
(2.302)
Итак, полный лагранжиан рассматриваемой колебательной системы
1 к
£ = mil + - mi? - кх} — ~(х2 — xj2 + FqXi sin
Заметим, построенная функция Лагранжа автоматически оказалась квад-
ратичной по малым отклонениям от положения равновесия. Динамика
системы шариков описывается системой уравнений Лагранжа
2тit + 3/cx'i - кх2 = FosinQt,
тх2 + кх2 - k,xi = 0.
(2.303)
103
которая представляет собой неоднородную систему дифференциальных
уравнений. Ее решение есть суперпозиция общего решения однородной
системы и частного решения неоднородной.
Общее решение однородной системы
2тх\ + З/cx'i - кх2 = О,
тх2 + кх2 - kxi = О
(2.304)
будем искать в виде:
Xi(t)
X2(t)
общ.одн. / .
= Re ( 7
\ Л
(2.305)
еш‘
Подставляя (2.305) в (2.304), приходим к однородной системе алгебраи-
ческих уравнений:
-2mcv2 4- 3/с
—к
~к WxO = o
-та}2 + к J А2 J
(2.306)
Требование равенства нулю определителя этой системы приводит к ха-
рактеристическому уравнению
I 2maj + Зк к \— 2т2и/ — omkaj2 + 2к2 = 0, (2.307)
-к -maS + к \ 4 7
откуда находим собственные частоты
Ш(1)" Ш(2)" (2-308)
Полагая ш =
в системе (2.323),
-к -к \( А \ _
-к -к )\А2 ) ~
(2.309)
находим независимое уравнение для комплексных амплитуд первой моды
колебаний:
А\ + А2 — 0,
(2.310)
104
общим решением которого является
= -Л2 = СЬ (2.311)
где Ci — произвольная комплексная константа. Столбец комплексных
амплитуд, соответствующий первой собственной частоте,
/ Л \(1) / 1 \
(л;) =сЧ-1)- (2-312)
/ к
Полагая \ -— в системе (2.323),
V 2m
( “ i/2 ) U ) ’ °' (2'313>
для комплексных амплитуд второй моды колебаний независимое урав-
нение будет иметь вид:
2АГ - А2 = 0, (2.314)
общим решением которого является
А2 = 2Ai = 2С2 (2.315)
с произвольной комплексной константой Сг- Столбец комплексных ам-
плитуд, соответствующий второй собственной частоте,
/ д V2) / 1 \
(aJ = 4 2 Л <2-316)
Поэтому общее решение однородной системы дифференциальных урав-
нений (2.304) будет иметь вид:
(/ \ Общ.ОДН. / / ч __________ / 1 \ ____ 1
w ) = Re Н И + с2 Ч . (2.317)
/ I \ — 1 / \ ^ / J
Теперь найдем частное решение неоднородной системы (2.303). Пред-
ставим неоднородность системы следующим образом:
Fo sin nt = Re (-iFoein‘) . (2.318)
105
Частное решение неоднородной системы
+ 3fcxi — кх2 = Re (—гГоегП‘) ,
тпх2 4- кх2 — kxi = О
(2.319)
будем искать в виде:
*1(*)
T2(f)
части.неодн. /
= Re( о
\ Ь>2
(2.320)
где П — частота внешней периодической силы, фигурирующей в неод-
нородности системы. Подстановка (2.320) в систему (2.319) приводит
к неоднородной системе алгебраических уравнений относительно ком-
плексных амплитуд Di и D2:
~2тП2 + Зк -к
—k —mfl2 4- к J у D2 J
-iF0
0
(2.321)
Обращая матрицу (2 x 2) системы согласно соотношению
\ — 1 1 /
аИ Я12 | 1 [ а22 —<112
а21 <122 ) А \ “<121 <111
(2.322)
где А — аца22 — <ii2<i2i — ее определитель, получим:
\ ___ 1 / -mQ2 4- к
D2 ) А \ к
к \ / — iFo \
—2mQ2 4- Зк j у 0 у
_ 1 / iFo(m$t2 — к)
А у -ikFQ
(2.323)
Определитель системы (2.321) может быть записан следующим образом:
А = ( - 2тпП2 + 3&) ( - mQ2 4- к^ - к2 =
= 2т2 (Q2 - ^1}) (Q2 - ^2)), (2.324)
где о>(1). х?(2) — собственные частоты системы (2.308). Отметим, что при
стремлении частоты Q внешнего воздействия к одной из собственных
частот , а,’(2) определитель А стремится к нулю, и амплитуды D2
106
неограниченно возрастают: режим резонанса. Однако, в действительно-
сти, амплитуды колебаний не могут быть бесконечными, даже в усло-
виях резонанса! Полученное нами решение соответствует приближению
малых отклонений от положений равновесия, что перестает выполняться
в режиме резонанса. Для нахождения закона колебаний в околорезонанс-
ной области следует отказаться от приближения малости колебаний.
Таким образом, частное решение неоднородной системы (2.303) имеет
вид:
x>(t) Re / iF0(mn2 - fc) \ ,
J " 2т2 (О,2 - u?) (п2 - ц>22) \ J '
Окончательно, закон малых вынужденных колебаний системы шари-
ков дается суммой найденных общего решения (2.317) однородной систе-
мы и частного решения (2.325) неоднородной системы:
, п __________1_________( iF0(mtf -к)\ Ш(
2m2 (И2 - w?)(Q2 -w|) \ “l/cFo )
(2.326)
Задача 2.7.4. Найти нормальные координаты и привести к нормаль-
ному виду лагранжиан колебательной системы, состоящей из двух шари-
ков массами 2т и т и двух пружин с жесткостями 2к и /с, изображенной
на рисунке. Поле тяжести отсутствует.
2к 2т к т
Решение.
В задаче 2.7.3 построена функция Лагранжа
1 к
£ = mi2 + - тх22 - кх{ - — (х'2 - х )2. (2.327)
107
и найдены собственные частоты данной колебательной системы:
[2к ПГ
Ш(1) = V т’ = V W
и соответствующие им столбцы комплексных амплитуд:
А(1) = ( J ) > л(2) = ( 2 ) '
На основе имеющегося выражения для кинетической энергии систе-
мы
1 1 2
Т = mi2 + 2 : 2
(2.328)
составим матрицу Т ее квадратичной формы
£12 | _ ( 2m, О
£21 £22 / \ 0 тп
(2.329)
(заметим, множитель 1/2 не входит в коэффициенты t^!).
Для построения нормальных координат придерживаемся стандарт-
ного алгоритма.
1. Построим нормированные на единицу (с весом Т) комплексные ам-
7(fc)
плитуды А-
A(i)7TAw = рк (2 ,ззо)
Для этого представим нормированные амплитуды в виде:
Л(1) = ci (
и найдем нормировочные коэффициенты cj. с2 из требований
Д(1)тТд(1) = 1; ^(2)ГТд(2) = J (2.331)
В частности, для
= cl 3m = 1, (2.332)
108
откуда
1
У 3m
(2.333)
Совершенно аналогично для А^:
(?2 ( 1 2 ) ( 2™ ° ) ( ’ ) = с22 ( 2т 2т ) ( * ) =
2 V ' \ О т J \ 2 J 1 V \^ )
= с? • 6m = 1,
(2.334)
откуда
1
С2 = ~7Г=‘
V 6m
Поэтому нормированные амплитуды имеют вид:
(2.335)
А(1) = -4= I !
(2.336)
2. Построим матрицу А из компонент столбцов нормированных ам-
плитуд А:
А =
/ __1______1_\
х/Зт. х/6т
_____1 2
\ х/Зт \/6т /
(2.337)
3. Нормальные координаты £г вводим преобразованием обобщенных
координат
Х1) = а(М =
Хг ) \ /
(2.338)
или, что то же самое,
(2.339)
109
Подставим (2.339) в лагранжиан (2.327)
_ .9 1 .9 fc . х 2
£ = тх} + - тх2 — кх\ — -(т2 - xi) =
Раскрывая р'^ки, легко убеждаемся в сокращении перекрестных членов
и £/ шеся слагаемые дают лагранжиан
= (2^1 “ 2 wW^i) + (2^ “ 2 w<2>^) ’ (2-341)
представляющий собой сумму лагранжианов одномерных гармонических
осцилляторов с частотами, совпадающими с собственными частотами
^(1)? ^(2) колебательной системы.
Матрица А удовлетворяет условию:
АтТА = I.
(2.342)
откуда
А’1 = АтТ, (2.343)
что позволяет обратить (2.338) и окончательно записать:
110
Итак, нормальные координаты
41 = \/у(2а:1 -*2),
. <2 = 2^?(Х1+а:2)-
(2.345)
2.8 Динамика твердого тела
Общие рекомендации.
При решении задач на динамику твердого тела прежде всего необ-
ходимо построить его лагранжиан. Следует помнить, что произвольное
твердое тело может иметь максимум шесть степеней свободы. Различ-
ные ограничения, накладываемые на возможные типы движения твер-
дого тела (связи), естественно, приводят к уменьшению числа степеней
свободы.
Лагранжиан твердого тела, как обычно, представляет собой разность
его кинетической и потенциальной энергий.
Кинетическая энергия твердого тела состоит из двух частей. Первая
— кинетическая энергия его поступательного движения. Вторая — кине-
тическая энергия его вращательного движения вокруг оси, проходящей
через центр инерции. При этом следует помнить о том, что в выражении,
определяющем эту энергию фигурируют компоненты тензора инерции,
подсчитанные в системе координат, жестко связанной с твердым телом,
с началом в его центре масс, и компоненты вектора угловой скорости в
этой же системе координат.
Потенциальная энергия твердого тела в поле тяготения может быть
определена по положению его центра масс.
Задача 2.8.1. Однородный полый полуцилиндр массой т и радиуса
R находится на шероховатой горизонтальной поверхности и может co-
lli
вершать линейные плоскопараллельные колебания. Найти период этих
колебаний.
Решение.
Очевидно, что полуцилиндр имеет одну степень свободы и его поло-
жение может быть задано одной координатой, поскольку при движении
его ось остается всегда горизонтальной и параллельной самой себе, и от-
сутствует проскальзывание между нижней поверхностью полуцилиндра
и горизонтальной поверхностью. Выберем в качестве обобщенной коор-
динаты угол его поворота вокруг своей оси.
Для нахождения функции Лагранжа полуцилиндра построим отдель-
но его кинетическую Т и потенциальную U энергии.
Кинетическая энергия представляет собой сумму энергий поступа-
тельного движения Тпост и энергию вращения Твр. Первая может быть
записана как
Тпост — + 2/ц.м.)- (2.346)
где х’ц.м., {/ц.м. — координаты центра масс (точка С на рисунке) в непо-
движной системе координат.
Заметим, что, в силу условия отсутствия проскальзывания, длина
отрезка 00' совпадает с длиной дуги АО', при этом ^АО' = RОбо-
значим через I расстояние от центра масс полуцилиндра до его оси (это
112
расстояние мы рассчитаем далее). Из рисунка видно, что длины отрезков
CN = I sin (/?, MN = I cos 99, а координаты центра масс:
хц.м. = 00' - CN = Ry — Ismy, (2.347)
2/ц.м. = МО' - MN = R - I cos (/?. (2.348)
Дифференцируя, находим:
±ц.м. = Rp - l<p cos </?, (2.349)
Уц.м. = /0sin^. (2.350)
Тогда, подставляя в (2.346),
Тпост = у ^2(Я2 + I2 -2RIcos^). (2.351)
Кинетическая энергия вращения полуцилиндра
1 3
гвр = — Jzj (2.352)
2 »j=i
определяется по компонентам тензора инерции подсчитанного в си-
стеме координат, жестко связанной с ним, с началом координат, совпа-
дающим с центром масс. Выберем оси последней так, как показано на
рисунке.
В этом случае, очевидно, что вектор угловой скорости ориентирован
вдоль оси z' и его компонента вдоль этой оси и3 — 0, а потому из всей
двойной суммы «выживает» только слагаемое с компонентой .J33 тензора
инерции:
113
t^ = \j^2
(2.353)
Для того чтобы найти компоненту тензора инерции J33 в системе ко-
ординат, жестко связанной с полуцилиндром, с началом координат, сов-
падающим с центром масс, воспользуемся теоремой Штейнера. Дело в
том, что нам проще расчитать компоненты тензора инерции в другой
системе координат, а именно в той, начало координат которой находится
на геометрической оси полуцилиндра (точка М на рисунке). Напомним,
что, согласно теореме Штейнера, компоненты тензора инерции в про-
извольной системе координат, жестко связанной с твердым телом, могут
быть выражены через компоненты тензора инерции подсчитанного
в системе координат с началом в центре масс, следующим образом:
Jij = + m(a26ij - а{а^. (2.354)
где аг — компоненты вектора а, на который отстоит начало данной си-
стемы координат от центра масс (начало вектора а совпадает с центром
масс). Тогда необходимая нам компонента тензора инерции J33 в (2.353)
(в наших обозначениях J33 = а компоненты тензора инерции в си-
стеме координат с началом в точке М обозначим через J")
«J33 == «J33 <533 ОзОз^ • (2.355)
И так как вектор а = ёу4, то есть ai = 0, 02 = Ц °з = 0, то
Лз = J33 “ та2^зз = */33 - ml2. (2.356)
Компонента тензора инерции в системе координат с началом в
точке М считается тривиальным образом. В самом деле, поскольку со-
гласно определению,
= У dm(r26tj - XiXj^. (2.357)
полагая i = j1 = 3, будем иметь
J'^ = /dm(r"2 - (2")2) = Jdm((x")2 + (2.358)
114
Поскольку все точки полуцилиндра равноудалены до его оси,
(z")2 + (?/")2 = R2
И
J''3 = mR2.
Подставляя в (2.356), находим:
Лз = m(#2 - Z2).
(2.359)
(2.360)
Теперь найдем положение центра масс полуцилиндра, рассчитаем рас-
стояние I. Напомним, что координата т/ц.м. центра масс может быть най-
дена используя соотношение
2/ц.м. = - fdm(r")y", (2.361)
т J
где dm(f") — масса элемента твердого тела с радиус-вектором f". тп —
масса всего твердого тела. Из рисунка следует, что
у" = — I sin а
Масса dm элемента полуцилиндра, который опирается на угол do, най-
дем из пропорции (вся масса m приходится на площадь поверхности по-
луцилиндра 7тЛ • Я, где Н — длина полуцилиндра вдоль его оси, а масса
элемента dm приходится на полоску вдоль образующей полуцилиндра
площадью Rda • Н):
m _ 7гЯ • Н
dm Rda • Н'
(2.362)
115
откуда
dm = — da, (2.363)
7Г
причем 0 < а < тг. Тогда
1 jm. _ . R j. 2R
3/ц.м. =---/ — da • R sm а =-----/ da sin а =----. (2.364)
то о я
Однако, с другой стороны, как следует из рисунка,
Уц.м.= I- (2.365)
Стало быть,
I = —. (2.366)
7Г
Поэтому компонента тензора инерции J33 (2.360) и кинетическая энер-
гия вращения ТВр (2.353) могут быть записаны соответственно:
7зз = mR2 (1 - ^) , (2.367)
Твр = ДпЛ2(1-Д) ё2- (2-368)
2 \ 7ГХ /
Кинетическая энергия поступательного движения (2.351) при этом
Тпост = -7 Я2ф2 (1 + Д - - COS </). (2.369)
2 \ 7ГХ 7Г /
Собирая вместе (2.368) и (2.369), для кинетической энергии полуци-
линдра будем иметь:
(2 \
1----cos . (2.370)
тг /
Потенциальная энергия полуцилиндра
£7 — тдуп.м. (2.371)
с учетом соотношений (2.348) и (2.366) может быть записана как
/2 \
U = mgR (1------cos р) . (2.372)
\ 7Г /
116
Поэтому функция Лагранжа полуцилиндра будет иметь вид
/2 \ / 2 \
£ = Т - U = mR2^2 (1---cos <р ) — mgR (1---cos 99 j . (2.373)
\ 7Г / \ 7Г J
И поскольку слагаемое mgR в потенциале, представляющее собой кон-
станту, может, в силу неоднозначности определения функции Лагранжа,
отброшено, окончательно имеем:
_ —о о ( 2 \ 2tttqR
С = mRrtp2 I 1--cos 92 ) Ч-----cos tp. (2.374)
\ 7Г / 7Г
Для нахождения периода малых колебаний произведем разложение
построенного лагранжиана в окрестности положения равновесия — 0.
Для этого воспользуемся асимптотическим соотношением для косинуса
Поскольку необходимо ограничиться квадратичным приближением, в
кинетическом члене запишем:
• 2 -2
ф COS <р = ф -ь-. . . .
В итоге лагранжиан в квадратичном приближении по малым откло-
нениям от положения равновесия
(2.375)
\ 7Г/ 7Г \ 2 /
Отбрасывая константу 2тдт1ъ в потенциальном члене, окончательно
Г(2) = тЯ202 (1 - |) - (2.376)
Уравнение Лагранжа
_ дС_
dt дф д<р
очевидно, может быть записано в форме уравнения гармонических ко-
лебаний
<2 378>
117
с собственной частотой
U,
V Я(тг - 2)
и периодом
2тг /Я(тг - 2)
Т = --- = Z7T а /--------
Си’ V 9
(2.379)
(2.380)
Задача 2.8.2. Построить лагранжиан и найти закон движения в
квадратурах для однородного симметричного волчка массой m с непо-
движной нижней точкой, если расстояние от нее до центра масс волчка
I. а главные моменты инерции - J2 и J3. В качестве обобщенных ко-
ординат использовать углы Эйлера.
Решение.
Как известно, произвольное твердое тело имеет шесть степеней сво-
боды. Однако условие неподвижности нижней точки автоматически при-
водит к уменьшению числа степеней свободы до трех (она не имеет воз-
можности двигаться ни по вертикали, ни в одном из двух направлений в
горизонтальной плоскости). В качестве обобщенных координат выберем
углы Эйлера 0. и тр.
Выберем неподвижную систему координат xyz так, чтобы начало ко-
ординат совпадало с нижней точкой волчка (см. рис.). Оси системы ко-
ординат x’y'z'. жестко связанной с волчком (ее начало необходимо совме-
стить с центором масс С), ориентируем так, чтобы они совпадали с осями
инерции (в данном случае ось Oz' выберем вдоль оси симметрии волчка).
В таком случае тензор инерции будет диагональным (Л? — 0, для всех
i j ), диагональные элементы его совпадают с главными моментами
инерции:
Ju — J22 = J2, J33 = J3. (2.381)
Кинетическая энергия волчка, согласно теореме Кенига, есть сумма
энергии движения центра масс Тц.м. и энергии чисто вращательного дви-
жения Твр.
Кинетическую энергию центра масс найдем, как энергию точки с мас-
сой, равной массе волчка, и помещенной в центра масс С волчка:
Т^ц.м. = + ?/ц.м. ^ц.м.) • (2.382)
118
Используя рисунок, выразим координаты центра масс через углы Эй-
лера:
•£ц.м. — ОС • cos \2* ~ 1C°S \*2 + j = — -Zsin0siny?, (2.383)
2/ц.м. = ОС' • sin ( 4- = 1 sin 0 cos р. (2.384)
-ц.м. = 1 cos 0. (2.385)
Дифференцируя, находим, что
Хц.м. = -I (0 cos 0 sin у 4- ф sin 0 cos . (2.386)
З/ц.м. = I (0 cos 0 cos - ф sin 0 sin , (2.387)
гц.м. - —Z0sin0. (2.388)
Возводя в квадрат и складывая, приводя подобные слагаемые, для ки-
нетической энергии (2.382) центра масс будем иметь
_ ml2
цм' ~ ~2~
((0cos0sin<^ + 9? sin 0 cos +
119
+ (в cos в cos - ф sin в sin 4- 02 sin2 6 j =
= (ф2 sin2 в 4- 02). (2.389)
Кинетическая энергия вращательного движения с учетом (2.381) мо-
жет быть записана как
^вр = 2 52 = 2 *А (^1 + ^2) + Q ^з^'з: (2.390)
где cui, си2 и сиз — проекции вектора угловой скорости волчка на оси систе-
мы координат x’y'z'. жестко связанной с ним. Они могут быть выражены
через углы Эйлера 6, <р, ф с помощью кинематических уравнений Эйле-
ра:
cui = сих/ = 0cos ф 4- 99 sin 0 sin ф. (2.391)
cj2 = шу> = -0sinV> I 92 sin 0 cos V;5 (2.392)
сиз = cu2' — ф 4- ф cos 0. (2.393)
Подставляя в (2.390), будем иметь:
Твр = 2 Л ( (0 cos ф 4- ф sin 0 sin ф^ 4- (—0 sin ф 4- ф sin 0 cos V’) 4-
4-2 J3 (V; + 9?cos0)2 = 2 Ji sin2 0 4- 02) + 2 J3 (ф + 0cos0)2 . (2.394)
Объединяя c (2.389), для кинетической энергии волчка получим вы-
ражение:
Т - 2 J' sin2 0 4- 02) 4- 2 J3 (ф -|- ф cos 0)2 , (2.395)
где введено обозначение
J'^J^ml2. (2.396)
Потенциальная энергия волчка в вертикальном однородном поле тя-
готения определяется положением его центра масс (2.384):
U = тдуцлл. = mgl cos0. (2.397)
120
Как следствие, для функции Лагранжа волчка будем иметь:
£ = i sin29 + 02) + i J3 (^ф 4- 0cos0) -mglcosO. (2.398)
Закон движения волчка найдем методом интегралов движения. По-
(д£ г\
скольку лагранжиан не зависит явно от времени — = 0 , интегралом
\dt )
движения является обобщенная энергия
-д£ ,дС дС п
Е = 9—- + <р— + ф—г - С =
д9 дф дф
= | (<р2 sin2 9 4- 92^ + i J3 [ф 4- ф cos fl) 4- mgl cos 9 = const. (2.399)
* (дС дС \
Обобщенные координаты ф и ф являются циклическими —— = — = 0 ,
\ др дф J
стало быть, соответствующие им обобщенные импульсы р^ и pv сохра-
няют свои значения:
= 3[фsin2 9 4- J3 (ф + Ф cos0) cos 9 = const, (2.400)
д (L
Рф = —г = J3 (ф 4- р cos fl) = const. (2.401)
дф v 7
Как обычно, значения констант Е, р^ и рф могут быть найдены из на-
чальных условий полагая t = tQ в равенствах (2.399), (2.400) и (2.401),
их определяющих.
Найденные три интеграла движения для рассматриваемой механиче-
ской системы с тремя степенями свободы позволяют найти закон движе-
ния в квадратурах. В самом деле, выражая из (2.401)
Ф 4- ф cos 9 =
J3
и подставляя в (2.400), найдем:
р^ = J[<p sin2 9 4- Рф cos 9.
откуда выражаем обобщенную скорость ф:
. _ р^ - Рф cos 9
sin2 9
(2.402)
(2.403)
(2.404)
121
Подставляя (2.402) и (2.404) в выражение (2.399) для обобщенной энер-
гии, получим дифференциальное уравнение относительно одной обоб-
щенной координаты 0:
1 , о (р* - Рф cose}2 pl
Е=? + • V/db д + тг+тз1 cos в- <2-405>
Z Zc/j sin и
откуда находим:
dt
2 / (р^ -p^cosO}2 pl \
17 E----------2 J'sin2 g - 27 - mg/ cos 6 . (2.406)
l/। I ZJ1 Sin и j
Разделяя переменные и интегрируя, получаем квадратуру, определяю-
щую неявную зависимость 0 = 6(t):
е
t - t0 = ± I
#0
-------——---------------
I 2J{sin20 2J3 * I
Рассматривая отношение обобщенных скоростей ф и ё с учетом получен-
ных ранее соотношений (2.404) и (2.406)
£
ё
Ру ~ Рф COS 0
dip
dO
sin2 0
(ру - Рф cosfl)2
2.7{ sin2 0
Р2
—7— mgl cos 0
2J3
, (2.408)
после разделения переменных получаем квадратуру, которая определяет
зависимость <р = <р(0):
Q
- у90 =• ± / de------- ---- X
./ sm 0
( 2 / (ру - Рф COS в}2
XZ I I Я, Д________________i
2J[sin20
А
2Л
mgl cos О
(2.409)
122
И, наконец, записывая отношение обобщенных скоростей v и в (при этом
1/’ выражаем из соотношения (2.402), куда подставляем равенство (2.404),
определяющее обобщенную скорость ф)
Рч> п
i J I -------V COS V
'Ф = ^_ = J-> =
0 d6 dd
Рл (р^-р^со8 0\
—--- ,, : ~ „— cos в
J3 \ J\ sin v
2 (г -Pwcos/?)2
л Е
sin2 в
. (2.410)
Р* , п
п т, . ?---—— mgl cos U
2J{sm20 2J3 *
±
после разделения переменных, найдем третью квадратуру, определяю-
щую зависимость = ф (в):
в
Ф ~-фи = ± У
Оо
cos в
sin2 О
(Р/ - Р* cos 0)
(р<₽ -p^costf)2
2 J[ sin2 в
(2.411)
mgl cos 6
Соотношения (2.407), (2.409) и (2.411) определяют закон движения волч-
ка в квадратурах.
Задача 2.8.3. Монета массой m и радиуса R может двигаться произ-
вольным образом по горизонтальной поверхности. Построить лагранжи-
ан монеты и найти закон ее движения в квадратурах. Главные моменты
инерции монеты Л — J2 = Л) и J3 — J.
Решение.
На движение монеты наложено единственное ограничение: ее нижняя
точка не должна отрываться от горизонтальной поверхности, имея воз-
можность перемещаться лишь по горизонтальной поверхности. Поэтому
из шести степеней свободы, максимального числа степеней свободы про-
извольного твердого тела, остаются только пять. В качестве обобщенных
123
координат выберем координаты центра монеты в горизонтальной плоско-
сти Тц.м. = х, = у и три угла Эйлера в, и V’- При этом направление
осей неподвижной xyz и жестко связанной с монетой (с началом в центре
монеты) x'y'z' систем координат выберем так. как показано на рисунке
(оси х', у' лежат в плоскости монеты, а ось z' перпендикулярна ей).
Поскольку координата как несложно увидеть из рисунка.
2ц.м. = ftsinfl.
(2.412)
то кинетическая энергия движения центра масс
Гц.м. = у (±ц.м. + Й.м. 4- i2 м.) = J (х2 + у2 + R262 cos2 (?). (2.413)
Так как оси выбранной нами системы координат, жестко связанной с
монетой, совпадают с главными осями инерции, тензор инерции в этой
системе координат диагоналей, так что диагональные элементы
Ju — J22 = Jo. j33 = J.
Поэтому кинетическая энергия вращательного движения монеты вокруг
оси, проходящей через центр масс, может быть записана как:
1 з 1 ।
Твр = — “i" ^2) + 2 '^3’ (2.414)
где компоненты иц, и вектора угловой скорости вдоль осей системы
координат x'y'z’ могут быть стандартно выражены через углы Эйлера
124
в соответствии с равенствами (2.391). (2.392) и (2.393) из предыдущей
задачи, так что, по аналогии с (2.394),
Твр = “ Л)(<р2 sin2 9 + 92^ 4- i J (w 4- (£cos#)2. (2.415)
Как следствие, для полной кинетической энергии монеты будем иметь:
Т = Тц.м. 4- Твр = у (т2 + у2 + R292 cos2 0) +
4у Л)(02 sin2 9 4- + 0COS#)2. (2.416)
Ее потенциальная энергия:
U = = mgR sin 9. (2.417)
Стало быть, лагранжиан монеты
С = Т - U = у (т2 4- у2 4- R292 cos2 0) + Л)(^2 sin2 9 4- 92^ 4-
4у J 4- ф cos 9^ - mgR sin 9. (2.418)
Закон движения монеты найдем используя метод интегралов движе-
ния. Поскольку лагранжиан не зависит явно от времени, а обобщенные
координаты х, у. ф и ф являются циклическими, то интегралами движе-
ния являются обобщенная энергия Е и соответствующие перечисленным
координатам обобщенные импульсы ру. р^ и р^\
Е~ дС ,дС АдС X-ZT + У^т + 6—^ + дх ду д9 . дЕ дс
тп = т (х2 4- у2 4- R292 cos2 9 ) ч-1 Jo (ф2 sin2 9 4- 02) 4-
+1 J (ф 4 ^cos$y 4- mgRs\n9 = const, (2.419)
Рт = дС — = mx = const. их (2.420)
Ру = дС —- = ту — const, оу (2.421)
Р<Р = 7 • • 2 Л 7 / — = sm 9 4- J Ф 4- :/?COS0) COS0 --- const. (2.422)
Р^ = = J (ф 4- (jpcos#) дф v ' = const. (2.423)
125
Значения этих интегралов движения однозначно определяется началь-
ными условиями.
Равенства (2.420) и (2.421) моментально интегрируются, что позво-
ляет найти явные зависимости от времени х = x(t) и у = ?/(£):
z(t) = t + х0, (2.424)
y(t) = %-t + y0. (2.425)
т
С учетом равенства (2.423) соотношение (2.422) может быть записано
в виде:
sin2 в 4- cos 9. (2.426)
откуда выразим обобщенную скорость ф:
. _ - р^ cos 9
Jo sin2 6
Тогда, выражая из соотношения (2.423) обобщенную скорость ф с
учетом последнего равенства, имеем:
У = ^ - ycosfl = - C0S2 -p»cosfl). (2.428)
J J Jq Sin (7 4 '
Подставляя х и у, выраженные соотвественно из (2.420) и (2.421), а
также выражения (2.427) и (2.428), в обобщенную энергию (2.419), полу-
чим дифференциальное уравнение относительно одной обобщенной ко-
ординаты 9:
1-о/ «, о \ (р<р ~ PyCosfl)2
Е = - 92 ( Jo + mR2 cos2 в} 4- -———-2 ' 4- mgR sin 9 4-
2 2 J о sin О
+1(4 + й+!!Г), (2.429)
2 ( J m mJ
откуда находим
2 / (р* - Pib cos 9) \
= ± J -T-------™„ T . 2 и - m9R sin 3 • (2-43°)
Jo 4- mR2 cos2 9 \ 2 Jo sm2 9 /
126
где с целью сокращения записей введено обозначение
Е1 = Е -- (
2 у J т mJ
(2.431)
Разделяя переменные, находим квадратуру, определяющую неявную за-
висимость 9 = 0(f):
е
t-ta = ± J de
Go
Jo + mR2 * * cos2 9
( , (k,-pvcos0) \
2 E' - > * -Ч--9 - mgR sin 9
V 2Josin20 * J
Рассматривая далее отношение обобщенных скоростей ф и 9 с учетом
соотношений (2.427) и (2.430)
ф _ dp
7) = d9
Ру, - Ру cos 9
_____________________Jo sin2 9______________________
2 ( (ру,-p^cosflV \
±х -7------V - т 2 „ 7 - mgRsin 9
\ Jo 4- mR2 cos2 9 \ 2 Jo sin2 9 J
после разделения переменных получаехМ квадратуру, которая определяет
неявную зависимость р = р(9):
a
. [,nP? ~p^cos9
p - Po = ± d9 ——- 2--— X
J Jo sin 9
Go
2
* _______________/ _ (ру,-Pv-cose)2
I Jo + mR2 cos2 9 \ 2 Jo sin2 9
\ -уч
mgRsmO \ I (2.433)
Наконец, вычисляя отношение обобщенных скоростей у и 9. согласно
равенствам (2.428) и (2.430)
Ргр COS 9 / ч
у_#_.
о de / ч2
2 (p^-pveose) . \
\ “7--------Т7 Е “ ----;—: о ---mgRsm9
Jo + mR2 cos2 9 \ 2 Jo sin2 9 J
127
Разделяя переменные, находим третью квадратуру, определяющую неяв-
ную зависимость тр = 'ф(в):
v - = ± [de [ - cos 2 - р№cose)) х
J Jq sin2 в
Соотношения (2.424), (2.425), (2.432), (2.433) и (2.434) определяют закон
движения монеты.
Задача 2.8.4. Определить моменты инерции однородного параболо-
ида вращения высотой Л и радиусом а плоской поверхности в системе
координат с началом в центре масс.
Решение.
Сначала нам удобней будет подсчитать компоненты тензора инерции
в системе координат с началом в вершине параболоида.
Как известно, уравнение параболоида в этой системе координат мо-
жет быть записано в виде
z = с(х2 + у1).
128
Коэффициент С найдем из данного в условии задачи размера параболо-
ида: при х2 + у2 = С2 (уравнение окружности плоской его поверхности)
координата z = h. то есть
а2
Таким образом, уравнение параболоида
z = -^(x2 + j/2) (2.435) ст 4 '
Поскольку ось тензор инерции z мы направили вдоль оси симметрии параболоида,
Jzj = У dmff^j — xtx^ (2.436)
будет диагональным (Jij7 = 0 для ? / j).
Элемент массы dm удобно записать через элемент объема dV:
dm = р1П dV,
(2.437)
где Рт — объемная плотность параболоида. Его, в свою очередь, запишем
в цилиндрических координатах:
dV = dx dy dz — dpdpdz
D{p.^p.z)
(2.438)
с якобианом перехода от декартовых координат к цилиндрическим
D(x, у, г)
D(p.p.z)
То есть
d.m — рт pdpdpdz.
(2.439)
(2.440)
причем 0 < р < а, 0 < р < 2тг, 0 < z < h.
Напомним, что связь декартовых координат т, у с цилиндрическими
координатами имеет вид:
х = pcos р.
у = psin р.
(2.441)
(2.442)
129
Полагая в (2.436) значения индексов г = j = 1, находим
Ju = у dm(f* - т2) = У dm(y2 4- z2^. (2.443)
Подставляя сюда соотношения (2.440) и (2.442), запишем
•А1 — Ртп
f pdpdpdz (p2 sin2 р 4- z2).
(2.444)
причем заметим, что для значений координаты z в пределах 0 < z < h
координата р пробегает значения в пределах 0 < р < ayjz/h^ то есть, пра-
вильно расставляя пределы интегрирования, приходим к необходимости
вычисления следующего интеграла:
27Г h ay/Tjh
Jn = Pm У d<p У dz у pdp(p2 sin2 + z2),
oo о
(2.445)
«Внутренний» интеграл по координате р
У pdp(p2 sin2 <p 4- z2) =
о
14 -i 2
Д 9.9 1 О о 9
=-----Z Sin CZ? 4-ZD.
4 h? * 2 h '
p4sin2<p + |z2,
p=ay/z/h
р=0
Тогда
t 2f J L fl4 2 2 1 °2 3
Ju = Pm dp dz\- — zl sin2 p 4- - —zJ
J J \4 2 h
о о 4
(2.446)
Вычисляя интеграл по координате z, имеем:
27Г
J 11 = Pm J 1
0
Id о . о 1 CL л
T2^"smv5 + iV
z~h.
z=0
27Г
= pml'
0
a4, h sin2 p 4- | a2/i3^ . (2.447)
130
Наконец, вычисляя последний интеграл по углу получим:
Л1 = Рт (^ а4 h(<p - i sin 2<р) + | а2Л3^)
= 7 (|а2 + /i2) • (2.448)
4 \ 3 /
Для нахождения объемной плотности рт вычислим объем параболо-
ида:
2л h ‘V*/'»
V = I dV = f dxdydz = j pdp dp dz = j dp j dz j pdp =
i >p=ay/z/h
= 2тг • h • - p21
2 I p=0
оо о
= i тга2Н. (2.449)
Поэтому
_ M _ 2M
P™ V ira2h''
(2.450)
где M — масса параболоида.
Подставляя (2.450) в (2.448), окончательно получаем для компоненты
Ju тензора инерции следующее выражение:
•7н = ^Л/(|а2 + Л2). (2.451)
Полагая значения индексов i = j = 2 в (2.436), для компоненты </22
получим интеграл
Л2 = Idm^r2 - t/2) = у dm(x2 + г2) -
2л h
= Рт У dp У dz У pdp(p2 cos2 p + г2). (2.452)
оо о
который, как несложно сообразить, приводит к тому же результату, что
и интеграл (2.445), а потому, так же как и компонента <7ц,
- 1м (1а! + 4
(2.453)
131
Наконец, полагая значения индексов г = j -- 3 в (2.436), для компо-
ненты J33 будем иметь интеграл
2тг h ay/zfh
J33 = У dm (г2 - z2) = j dm(x2 + у2} = pm j dp j dz j pdpp2 =
00 0
л j |р=аг47л la4? 1
= pm-2n- j dz-p4l =-pmn — J z2dz =-pmna4h. (2.454)
b 'p=° b
Подставляя сюда выражение (2.450) для плотности рт, окончательно
запишем
J-33 = I Ма2. (2.455)
О
Теперь остается преобразовать найденные компоненты тензора инер-
ции в систему координат х'у'z' с началом в центре масс параболоида при
помощи теоремы Штейнера. Но для этого необходимо знать, на сколь-
ко начало одной системы координат отстоит от начала другой. Другими
словами, нам необходимо рассчитать положение центра масс параболои-
да в системе координат xyz. Совершенно очевидно, что его координаты
£ц.м. = 3/ц.м. = 0- (2.456)
А вот координату гц.м. придется вычислять по определению:
1 1 1 2тг h
2ц.м. = Т7 dmz = — рт dV Z = — рт dp dz / pdpz =
MJ MJ M J J J
оо о
1 o- (J 1 2p=a'^P' pma2v hf J 2 _ pma2nh2 ,п
~MPm JdZZ'2P 0 " Mh)dZZ- 3M (2'457)
0 P=° 0
Подставляя в последнее равенство выражение для плотности рт согласно
(2.450), окончательно запишем
2
£ц.м. = 2 (2.4о8)
Другими словами, начало системы координат x'y'z' отстоит от начала
системы xyz на вектор
2
a = --hey (2.459)
О
132
(начало вектора находится в центре масс).
Согласно теореме Штейнера, компоненты тензора инерции в си-
стеме координат с началом в центре масс могут быть найдены по компо-
нентам тензора Jij в другой системе координат, начало которой отстоит
от начала первой на вектор а, по формуле:
4С) = - М (а2<50 - а^). (2.460)
Поскольку компоненты вектора ai = а2 = 0. то, очевидно, компонента
г(с).
J11 .
= Jn - Ma2 = iM (|a2 + h2} - (|h\ =
= j M (a2 + hi2} .
o \ □ /
Совершенно аналогично, компонента J$:
= Л2 - Ma2 = \м(а2 + .
6 \ 3 /
А компонента тензора инерции :
Лз’ = Лз - м(а2 - a2) = Лз = | Ма2.
(2.461)
(2.462)
(2.463)
133
Глава 3
Метод Гамильтона
3.1 Функция и уравнения Гамильтона
Общие рекомендации.
Для построения функции Гамильтона необходимо, как говорят, под-
вергнуть функцию Лагранжа преобразованию Лежандра. При этом надо
помнить о том, что гамильтонов формализм развивается на множестве
так называемых канонических переменных Pi,q2 — обобщенных импуль-
сов и обобщенных координат, функцией которых гамильтониан и явля-
ется, поэтому необходимо проследить, чтобы все обобщенные скорости
(в частности, фигурирующие в лагранжиане) были выражены через них
и только через них. Так же как и в лагранжевом формализме, наличие
сил трения никоим образом не отражается на виде функции Гамильтона.
Поэтому, при построении гамильтониана диссипативных систем просто
забываем про наличие таковых сил. О них необходимо вспомнить на эта-
пе построения уравнений движения: силы трения дают о себе знать в
правых частях одной из групп уравнений Гамильтона.
Необходимо всегда помнить, что по своему смыслу гамильтониан пред-
ставляет собой обобщенную энергию системы, записанную в терминах
канонических переменных.
Задача 3.1.1. Построить гамильтониан системы, которая описыва-
ется лагранжианом
134
£ = ^(r2 + r232 + r2sin20^2) + ^^r2 sin2 Зф.
Решение.
Перед тем как непосредственно провести преобразование Лежандра
представим обобщенные скорости как функции канонических перемен-
ных. Для этого, используя заданную функцию Лагранжа, построим обоб-
щенные импульсы, откуда и выразим обобщенные скорости через обоб-
щенные импульсы о координаты.
Обобщенный импульс рт:
д£
рг = — = mr.
or
откуда
. Рт
г = —.
m
Обобщенный импульс ре:
д£ Ч
Ре = —г — тгЗ.
до
откуда
mr2
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
Обобщенный импульс р^:
р<- = = mr2 sin2 Оф -h ^^-r2 sin2 0. (3.5)
оф 2с
откуда
ф ~ ----7 " 2 л (Р'Р “ sin2 0) . (3.6)
v mr2 sin2 3 V * 2с 7 v '
Теперь запишем преобразование Лежандра:
Н = ргт + реО + Р*Ф - £ =
= Рт-—+Ре-^2+Рч.----Д-Тд (р,; - sin2(?) - Г. (3.7)
m mr2 mr2sm в \ 2с 7
135
Подставим сюда выражение для лагранжиана, заменяя в котором обоб-
щенные скорости на выражения согласно равенствам (3.2), (3.4) и (3.6):
»* Ч+- £ -
т тг mr sin и \ 2с / 2т
Рв 1 ( еНо 2 • 2 д\
2mr2 2mr2sin2(? v’’ 2с Г Sm 7
_^0r2 sin2 0 . 1 (p _ ^°r2 sin2
2c mr2siTrO \ 2c
Приводя очевидные подобные слагаемые, вынося общий множитель в
третьем и последнем слагаемых, перепишем:
Я- Рг I ! 1 (Р
2т 2mr2 rnr2sm20 \ 2с
1 ( eHQ 2 . 2/Д2
sm в)
= Рг + Рв + 1
2т 2mr2 2mr2 sin2 6
(3.8)
r2 sin2 0^ . (3.9)
Задача 3.1.2. Построить лагранжиан системы, которая описывается
гамильтонианом
,2
1 ( еН0 2\2 р2
2т'2^\Р*-—р) +2m+mpZ
Решение.
Прежде чем проводить обратное преобразование Лежандра для по-
строения функции Лагранжа, выразим обобщенные импульсы через обоб-
щенные скорости и координаты на основе первой группы уравнений Га-
мильтона:
п и _
, (г = 177). (3.10)
Для нахождения обобщенного импульса рр запишем уравнение Гамиль-
тона
136
откуда
рр = тр.
Аналогично из уравнения Гамильтона
дН 1 ( еН» Л
др^ тр2 2с ? J
находим
2 • и
р^ = тр р + —
Наконец, из уравнения Гамильтона
• = =
dpz т?
следует, что
pz = mz.
(3-12)
(3.13)
(3-14)
(3.15)
(3.16)
Далее запишем обратное преобразование Лежандра:
£ = ррр + Рч>р + Pz? - Н =
( 9 • 0 9 \ • — —
= тр - р + Imp р + —— р ) • + mz • z — Н. (3.17)
Подставим сюда заданный гамильтониан, заменяя в котором обобщенные
импульсы согласно соотношениям (3.12), (3.14) и (3.16), будем иметь:
г - 2\ 2 (тр)2
L — тр + I тгьр р И- ~— р ) р 4“ ttiz — ——--------—
\ 2с / 2т
2 (mz)2
+ —------mgz
2т
( 2 •
-w((mp7’+
= у (р1 + Р2^2 + Z2) + р2 Ф - mgz-
(3.18)
Задача 3.1.3. Построить гамильтониан и составить уравнения Га-
мильтона бусинки массой т. нанизанной на спицу, изогнутую в форме
137
параболы у — ах2, и совершающей движение в вертикальной плоско-
сти в однородном поле тяготения д иод действием силы сопротивления
^сопр — —$v.
Решение.
Очевидно, что данная система имеет одну степень свободы. В каче-
стве обобщенной координаты выберем абсциссу х бусинки.
Для построения гамильтониана необходимо сначала построить функ-
цию Лагранжа, а затем подвергнуть ее преобразованию Лежандра.
Кинетическая энергия бусики, совершающей плоское движение в плос-
кости ху,
T^{i2^y2\ (3.19)
Дифференцируя урвнение связи, коим является уравнение параболы
9
у = ах .
у = 2ахх, (3.20)
находим
•2
Т = ^(1 + 4а2х2). (3.21)
Потенциальная энергия бусинки в однородном ноле тяготения
9 = -деУ
U — тду = тдах2. (3.22)
138
Поэтому лагранжиан рассматриваемой системы, как разность кине-
тической и потенциальной энергий,
• 2
£ = -у- (1 + 4а2х2) - тдах2. (3.23)
Отметим еще раз, что наличие силы сопротивления, действующей на
бусинку при движении, никак не отражается ни на виде лагранжиана,
ни на виде гамильтониана.
Подвергнем построенную функцию Лагранжа (3.23) преобразованию
Лежандра. Для этого выразим обобщенную скорость х через канониче-
ские переменные рх,х. Обобщенный импульс, согласно определению,
(л л 2 2\
рх = — = тх(1 4- 4а х),
ox v 7
откуда
• ______Рх
X — 111
mfl 4- 4
(3.24)
(3.25)
Поэтому гамильтониан
Рх Pz ,_____________2
——т* \ ч “I- тдах —
m(l 4- 4a2x2J 2т(1 4- 4а2х2)
- ----7----------г 4- mqax2.
2m (1 4- 4а2.х2 J
Н = рхх - С = рх
Pz
(3.26)
Далее построим обобщенную диссипативную силу Qd, которая в урав-
нениях Гамильтона позволяет учесть действие на бусинку силы сопро-
тивления Fconp = — 3v. Согласно определению (2.11),
Qd = Fd • = F*^ + Fd (3.27)
OX ox y ox
С учетом уравнения связи у = ах2,
ду
— = 2ах.
ох
Компоненты ньютоновой диссипативной силы с учетом (3.20)
Fd = -fa
Fd = —/Зу = —2&ахх.
(3.28)
139
Стало быть,
Qd = -0х(1 -I- 4а2х2).
(3.29)
Однако, поскольку мы работаем в гамильтоновой формулировке, необ-
ходимо все физические величины выразить через канонические перемен-
ные. Принимая во внимание (3.25), перепишем обобщенную диссипатив-
ную силу
Qd = --Pz-
т
(3.30)
Тривиальное дифференцирование гамильтониана (3.26) позволяет за-
писать систему уравнений Гамильтона
дН
дрх
(3.31)
в виде
т(1 4- 4а2х2)
4л2.тп2
О/тдах Pi'
т
(3.32)
3.2 Скобки Пуассона
Общие рекомендации.
Скобки Пуассона от двух функций канонических переменных мож-
но всегда считать по определению, явно расписывая их определяющую
сумму. Однако, если известен явный вид функций, часто технически бо-
лее простым оказывается вычисление путем сведения исходной скобки
140
Пуассона к так называемым фундаментальным скобкам Пуассона. Это
достигается применением основных свойств скобок Пуассона, таких как
билинейность, некоммутативность и аналог правила Лейбница.
Задача 3.2.1. Вычислить скобку Пуассона для компонент момента
импульса и импульса материальной точки {Lz,px} .
Решение.
Прежде чем приступить к вычислению скобки Пуассона, представим
компоненту момента импульса Lz в виде функции канонических пере-
менных. Для этого векторное произведение радиус-вектора и импульса
запишем в виде определителя и раскроем его разлагая по первой строке:
£ = [г х р] =
Cj/
X у z =
Рх Ру Pz
= ёх (ypz - зр„) + ёу (zpx - xpz) + ё; (zp;, - урх~),
(3.33)
откуда находим
= хру - урх. (3.34)
Используя свойство линейности скобки Пуассона по первому аргу-
менту, представим искомую скобку в виде суммы двух:
{Lz,px} = {xpv - урх.рх} = {хру,Рт} - {yPx,Pt}
Далее расписывая каждую из двух скобок по правилу Лейбница, сво-
дим их к фундаментальным скобкам Пуассона:
{£2.Рх} = Х{ру,рх} + {Х.,Рх}Ру - У{Рх,Рх} ~ {У:Рх}Рх-
Нетривиальной оказывается только скобка во втором слагаемом:
{Х-.Рх} = - {Рх-.х} = -1.
Таким образом,
{Lz.Px} = ~Ру-
141
Задача 3.2.2. Вычислить скобку Пуассона компонент момента им-
пульса материальной точки {Lx, Lz} .
Решение.
Используя выражение (3.33), запишем аргументы искомой скобки
Пуассона явным образом в виде функций канонических переменных:
Lx = ypz ~ zpy. Lz = xpy - ypx.
Используя свойство линейности по первому аргументу, запишем
{Lx, Lz} = {yPz - zpy, хру - урх} = {ypz, хру - урх} -
- {zpy.xpy - урх} . (3.35)
Используя свойство линейности по второму аргументу, каждую из двух
появившихся скобок также распишем в виде суммы двух:
{Lx, Lz] = {ypz, хру} - {ypz,ypx} - {zpy, хру} + {zpy, ypx} . (3.36)
Далее каждую из четырех скобок распишем по правилу Лейбница, сво-
дя их к фундаментальным. Так при вычислении первой скобки сначала
применим правило Лейбница для первого аргумента
{УРг-ХРу} =y{pz.xpy} + {у. xpy}pz, (3.37)
а затеям в каждой из двух образовавшихся скобок — привило Лейбница
для второго аргумента:
{УРг-.ХРу} = У(х {Pz:Py} + {Pz: l}Py) + (*{?,₽!,} + {У: *} Ру)рг- (3.38)
Из четырех фундаментальных скобок Пуассона, к которым мы пришли,
нетривиальной является лишь одна:
{у-.Py} = -{Pv^y} = -1-
Поэтому
{yPz, хру} = -xpz. (3.39)
142
Аналогично расписываем оставшиеся три скобки в (3.36):
{УРг-.УРх} = у(у{Рг-Рх} + {Pz,P}Pz) + (y{y,Pz} +
+ {У,У}Рх)Рг = 0, (3.40)
{zp^zp,,} = z(x{py,pv} + {pv,x}py} + (x{z.pv} +
+ {z,x}py)py = 0, (3.41)
{zpy.ypz} = z(y{py.px} + {pv.y}px) + (у{г!р1) +
+ {*• У} Pz)py = z {pv, p} px = zpx. (3.42)
В итоге,
{Дс? Lz} — zpx xpz — Ly.
(3.43)
Задача 3.2.3. Для классической частицы массой m, движущейся в
произвольном электромагнитном поле, вычислить скобку Пуассона ком-
понент вектора скорости {±. у}. Ответ выразить через напряженность
магнитного поля.
Решение.
Представим компоненты вектора скорости классической частицы в
виде функций канонических переменных. Для этого, например, вспом-
ним, как выглядит ее функция Лагранжа:
1 е _ .
С — -ж2 (3-44)
где A. ip — векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля.
Обобщенный импульс частицы
_ дС е j
р = —г- = тг + -А, (3.4а)
дт с
откуда выражаем вектор скорости:
?= — (3.46)
т \ с /
143
Поэтому аргументы скобки Пуассона, которую нам предстоит подсчи-
тать,
i = -— (рх — ? У — ~ (ру ~ ~Ау) • (3-47)
т \ с / т \ с /
Используя свойство билинейности, представим искомую скобку Пуас-
сона в виде суммы четырех:
{*• = i {Рх “ lAxPv ~ =
11Ъ X, Ь U J
1 / р р / е \ 2 \
= ~2 {Pz-Ы - - {Px.AJ - 7 {A,ps} + (-) {А, А} <3.48)
Скобка в первом слагаемом фундаментальна и равна нулю. Последняя
скобка
1А А 1 - V (_ дАЭЛЛ
{А,А}-1Д9р; a^apj-0’ (ЗЛ9)
поскольку векторный потенциал А = A(f, t) не зависит от импульсов и
потому производные
дАх дАу _
dp, dpi
Скобку Пуассона во втором слагаемом в (3.48) распишем по опреде-
лению:
г л л /дрх дАу дрхдАу\ .
р°”
Производная —— = 0 для всех значений i = 1,3. А производная
^Pi
отлична от нуля и равна единице лишь для i = 1. Поэтому из всей суммы
по индексу г «выживает» только одно слагаемое со значением индекса
суммирования i = 1:
{Pl.Av} = gi^ = ^. (3.51)
cfpx OX OX
Совершенно аналогично, в скобке Пуассона в третьем слагаемом в
(3.48)
= (3-52)
“1 \ OPi OXi OXi OPi )
144
производная также «выживаег» только одно слагаемое со значением ин-
декса суммирования i = 2:
{Ах,ру} =
ду дру ду
(3.53)
Собирая все вместе, для искомой скобки Пуассона получаем:
,. ., е / д Ау дА,
{х, у} =---J I - —
ст2 \ дх ду
(3.54)
Вспоминая, что напряженность магнитного поля определяется рото-
ром векторного потенциала,
Н = [V х а] =
Сх С*. €-2
д_ д_ д_
дх ду dz
А: •
(3.55)
А/
А.
несложно сообразить, что разность производных компонент векторного
потенциала в (3.54)
дАу _ дАг
дх ду
Окончательно,
(3.56)
(3.57)
145
3.3 Интегралы движения в методе
Гамильтона
Общие рекомендации.
Часто случается так, что в силу тех или иных причин непосредствен-
ное решение дифференциальных уравнений Гамильтона затруднено. Так
же как и в лагранжевом, в гамильтоновом формализме на помощь мо-
жет прийти метод интегралов движения: вместо того, чтобы решать си-
стему дифференциальных уравнений движения, можно решать систе-
му, составленную из интегралов движения. При этом система уравнений
должна быть замкнутой: число уравнений должно совпадать с числом
неизвестных обобщенных координат, нахождение которых как функции
времени и является целью, то есть необходимо найти столько интегралов
движения, каково число степеней свободы имеет рассматриваемая систе-
ма тел. Однако интеграл движения в гамильтоновом формализме пред-
ставляет собой функции канонических переменных (то есть обобщенных
импульсов и координат), поэтому, чтобы превратить его в дифференци-
альное уравнение первого порядка только по обобщенным координатам,
необходимо, используя уравнения Гамильтона, выразить обобщенные им-
пульсы через обобщенные скорости и подставить в найденные интегралы
движения.
Следует понимать, что существование интегралов движения являет-
ся следствием уравнений движения Гамильтона, что и делает решение
системы уравнений, составленной из интегралов движения, эквивалент-
ным решению системы уравнений движения.
Задача 3.3.1. Найти закон движения в квадратурах для системы,
которая описывается лагранжианом (а=const)
771 / .о 9 . 9\ d COSG2
Решение.
Отметим, что используя известные на данный момент методы, по ви-
ду функции Лагранжа можно найти только один интеграл движения —
146
обобщенную энергию. Циклических координат нет, поэтому ни один из
обобщенных импульсов не является интегралом движения. В го время
как рассматриваемая система имеет две степени свободы. Однако следу-
ет допускать, что невозможность найти недостающий интеграл движе-
ния по виду функции Лагранжа, не означает вовсе, что он не существует.
Перейдем к гамильтонову описанию системы. Подвергнем заданный
лагранжиан преобразованию Лежандра и построим функцию Гамильто-
на. Для этого сначала выразим обобщенные скорости через канонические
переменные.
По определению, обобщенный импульс рр:
дС
^ = Тр=тр-
(3.58)
откуда
Р = В- (3-59)
т
Аналогично, обобщенный импульс
р = ^ = тр^ф, (3.60)
откуда
Ф = (3.61)
тр2
Функция Гамильтона
н = ррр+р,ф-£=р1>-&+р1<>-^-
т ((Рр\2 Рр\1\ . aC0S^ Р2р . Р2р , aCQ&'P <> со,
2 \ \т/ утр2/ J р2 2т 2тр2 р2
Построенная функция Гамильтона не зависит явно от времени
(дН Л
—— = 0 , и отсутствуют диссипации, она сама является интегралом
\ at )
движения:
Н = const = Е.
(3.63)
147
(Поскольку гамильтониан по своему смыслу есть обобщенная энергия
системы, значение его имеех смысл обозначить константой Е.) Для на-
хождения второго интеграла движения, перепишем функцию Гамильто-
на следующим образом:
Рп 1 / р^, \
Я=^- + - f^+acos^ . (3.64)
2т р \2т )
Такая форма записи гамильтониана позволяет сделать вывод о том, что
выражение, стоящее в скобках, есть функция пары канонически сопря-
женных переменных р^. ср
р2
р) = + acosip. (3.65)
которые нигде более, как в ней, не встречаются в функции Гамильто-
на. В этом случае говорят о том, что имеет место факторизация зави-
симости функции Гамильтона от пары канонически сопряженных пере-
менных в функцию /, а потому последняя является интегралом
движения:
р2
—+ a coscp = С = const. (3.66)
2т
При этом сама функция Гамильтона, как интеграл движения, теперь
может быть записана как
р2 С
Н = ^ + - = Е. (3.67)
2т р2
Согласно общему алгоритму, далее необходимо, используя уравнения
Гамильтона
р= —= ^,
дрр т
. дН = Plf
V др<р тр2
выразить обобщенные импульсы рр. р^ через обобщенные скорости р. ф
и переписать интегралы движения (3.66) и (3.67) в виде дифференциаль-
ных уравнений. Однако, поскольку исходно задача была сформулирова-
на в лагранжевом формализме, и мы совершили переход к гамильтонову,
148
необходимые нам выражения (3.58), (3.60) уже имеются. Подставляя их
в найденные интегралы движения, получим систему:
' _ тр2 С С = - тр1ф2 + acostp. (3.70)
Выражая из первого уравнения р
Р
dp. 2 (р СЛ
\ - I 1-J — I
dt т \ р2 J
(3.71)
и разделяя переменные, получим квадратуру, которая определяет неяв-
ную зависимость р = p(t):
ht-±i
to РО
(3.72)
Выразим из (3.66) обобщенную скорость ф:
1 /2
ф = ±—»/— (С - acosip).
р2 v т
(3.73)
Рассмотрим далее отношение обобщенных скоростей р и ф. которое
согласно равенствам (3.71) и (3.73) может быть записано как
Р = dp
ф d'p
(3.74)
±-za/— (С — acosp)
р2 у тп
Разделяя переменные, получаем квадратуру, определяющую неявную за-
висимость р = р(<р):
J - = ±[ ..dp
J \/С — a coscp J п I С
¥>О PV р\ Е-----------
у р2
(3.75)
149
Выбор знаков «±» осуществляется исходя из следующих соображений.
Знак перед интегралом по углу р слева определяет знак обобщенной
скорости ф (3.73): знак «+» берется в том случае, когда при движении
происходит возрастание угла р, знак «—» — в случае уменьшения угла
р. Знак перед интегралом по переменной р в правой части определяется
знаком обобщенной скорости р (3.73): знак «+» необходимо поставить,
если при движении координата р возрастает, в противном случае ставим
знак «—».
Зная координаты р. р и их первые производные р. ф в начальный
момент и полагая t = tQ в равенствах (3.70), найдем однозначно значения
констант Е и С.
Итак, закон движения систвхмы с заданным лагранжианом определя-
ется равенствами (3.72) (3.75).
Задача 3.3.2. Частица описывается лагранжианом
С = у (г2 + г202 + r2sin20p2) — acpcostf.
Найти закон движения частицы в квадратурах (я = const).
Решение.
Отметим, что по виду лагранжиана можно установить два интеграла
движения: обобщенная энергия и обобщенный импульс, соответствую-
щий циклической координате р. Однако их нам недостаточно для на-
хождения закона движения системы с тремя степенями свободы.
Подвергнем лагранжиан преобразованию Лежандра и перейдем к га-
мильтонову описанию. Выразим обобщенные скорости через канониче-
ские переменные.
По определению, обобщенный импульс рг:
д£
Pr = -fr= mr, (3.76)
откуда
150
Обобщенный импульс р$:
откуда
рд = = тг 0.
ои
0 = А-
тг
Аналогично, обобщенный импульс
д£>
= —— = mr2 sin2 Оф - a cos 0.
dtp
откуда
0 = —2Гд + acosfl).
mr2 sm 0 4 7
(3.78)
(3.79)
(3.80)
(3.81)
Функция Гамильтона
Рт рд (+ a COS 0)
я = м + М + - £ = Рг - + — + р. ^тог2 s.ni в ; -
-? |W+г* (Р1\2+r2sin2(? (feq.acff)\2)...
2 \\mj \mr2/ I mrsin 0 I I
((pu> + acos0)\
2 • 2/ COS9 =
mr2 sm 0 j
2 2 j о
= 2 + ---2 ’ 2д {p'P + a C0S • (3.82)
2m 2rnr2 2mr2siiru\ * /
Построенная функция Гамильтона явно не зависит от времени:
dt
а потому она са^ма является интегралом движения
Н = const = Е. (3.83)
Обобщенная координата <р является циклической:
dtp
151
а потому обобщенный импульс р^, ей соответствующий, является инте-
гралом движения:
р^ = const = Р. (3.84)
Перепишем гамильтониан следующим образом:
Н = & + 2^ (Р* + + aC°S<?)2) • (3’85)
Выражение, стоящее в скобках, может быть интерпретировано как функ-
ция двух пар канонических переменных ре. О и (координата <р, как
уже было сказано, является циклической, потому эта функция реально
не зависит от нее; тем не менее, не будет ошибкой, если мы скажем так),
в которую факторизуется зависимость гамильтониана от этих канониче-
ских переменных:
0; р^ <р) = р$ + -7^-0 (р-р + а cos в)2- (3.86)
Действительно, вне этих скобок перечисленные канонические перемен-
ные в функции Гамильтона нигде не встречаются. Следовательно, эта
функция и представляет собой необходимый нам третий интеграл дви-
жения:
f(pe-, ^) = const = С. (3.87)
С учетом этого интеграл движения (3.83) перепишем как
Н = = Е.
2т 2тг2
(3.88)
Далее перепишем систему из интегралов движения (3.88), (3.84) и
(3.87) в виде системы дифференциальных уравнений. Для этого, в самом
общем случае, необходимо было бы из уравнений Гамильтона
’ r = ^L = ?L
дрг т‘
Q=dH_=Po_
дре тг2
дН 1 / х
Р — л — 2 • 2 л \Рф + & COS @ )
др^ mr2 sm вv 7
(3.89)
152
выразить обобщенные импульсы через обобщенные скорости. Однако эти
выражения у нас уже получены при проведении преобразования Ле-
жандра. С учетом (3.76), (3.78) и (3.80) перепишем интегралы движения
(3.88), (3.84) и (3.87) в виде:
Етг\ с
2 2тг2"
Р = mr2 sin2 0ф — a cos 0.
(3.90)
(Р + a cos
sin2 0
С = т2тА02 4-
Ну, а дальше решаем эту систему стандартным образом. Первое уравне-
ние допускает разделение переменных и может быть сразу проинтегри-
ровано. В самом деле, выразим из него г:
(3.91)
откуда после разделения переменных, получаем квадратуру, определяю-
щую неявную зависимость г = r(t):
ldt~ ±rf
to r0
dr
(3.92)
Выразим из третьего уравнения системы (3.90) 0\
тгл \
(Р + a cos
sin2 0
(3.93)
и рассмотрим отношение обобщенных скоростей г и 0. В соответствии с
равенствами (3.77) и (3.79),
г _ dr
0 = d0
(3.94)
153
Разделяя переменные, получаем квадратуру, которая позволяет найти
неявную зависимость г — г(0):
Наконец, рассмотрим отношение обобщенных скоростей 0 и ф. Прини-
мая во внимание соотношение (3.93) и выражая ф из второго уравнения
системы (3.90),
0
dd
dip
(Р + а cos
______sin2 е
—V- (Р + a cos
sin 0 4 7
(3.96)
найдем третью квадратуру, позволяющую определить неявную зависи-
мость е = е(р):
V о
^0 00
(P + acostf) dO
sin2 , Tv ’
( P + a cos#)
\ sin2 0
(3.97)
Значения констант E. P и С однозначно определяются начальными
условиями: полагая t = t0 в (3.90), находим их. Закон движения частицы
определяется квадратурами (3.92), (3.95) и (3.97). Знаки «±» в этих вы-
ражениях перед интегралами по переменным г и в следует выбирать из
следующих соображений. Знак перед интегралом по т определяется зна-
ком обобщенной скорости т в соответствии с равенством (3.91), поэтому
в случае движения частицы в сторону увеличения обобщенной коорди-
наты г перед интегралами по г в равенствах (3.92) и (3.95) следует брать
«-(-», в противном случае -- знак «-». Аналогичным образом, знак пе-
ред интегралом по 0 определяется знаком производной 0 согласно (3.93).
Следовательно, если частица движется так, что при этом угол 0 воз-
растает, перед интегралами по 0 в полученных квадратурах, необходимо
оставить знак «+», иначе — знак « —».
154
3.4 Канонические преобразования
Общие рекомендации.
Также как и в лагранжевом формализме, в методе Гамильтона успех
и простота решения той или иной задачи может зависеть от выбора пе-
ременных, что часто приводит к необходимости совершения их преобра-
зования. Поскольку в гамильтоновом формализме независимыми пере-
менными являются не только обобщенные координаты, но и обобщенные
импульсы, необходимо задавать закон преобразования и для координат
и для импульсов, причем закон преобразования для одних автоматиче-
ски не задает закон преобразования для других (в лагранжевом фор-
мализме дело обстоит иначе: задавая закон преобразования обобщенных
координат, автоматически задается закон преобразования обобщенных
скоростей, которые на пару с обобщенными координатами объявляются
независимыми переменными в лагранжевом формализме). Переходя от
одних переменных к другим, важным является необходимость сохране-
ния вида уравнений движения -- уравнений Гамильтона, уже хотя бы
потому, что заранее будет известна форма уравнений движения, а также
будут действующими все методы, развитые на базе канонической формы
уравнений Гамильтона (например, метод интегралов движения). Чтобы
этого добиться, имеет смысл рассматривать только те преобразования
канонических переменных, которые в определенном смысле согласованы.
Такие преобразования называются каноническими. Согласованность за-
конов преобразования обобщенных координат и импульсов выражается
выполнением ряда требований, заложенных в две теоремы: необходимое
и достаточное условие каноничности и критерий каноничности.
Необходимое и достаточное условие каноничности утверждает, что
для всякого канонического преобразования существует хотя бы одна из
четырех возможных производящих функций, удовлетворяющих опред-
ленным соотношениям (формулам канонических преобразований). На-
оборот, каждая производящая функция соответствует строго определен-
ному закону канонического преобразования. При нахождении произво-
дящей функции одного из четырех классов прежде всего необходимо
проверить условие ее существования (в виде неравенства нулю гессиана
— определителя, составленного из частных производных - своего для
каждого класса производящих функций), чтобы не тратить время и си-
лы на поиски решения системы уравнений для производящей функции
155
в случае, если таковая все же не существует.
Знание производящей функции позволяет найти вид «новой» функ-
ции Гамильтона — гамильтониана исследуемой системы в «новых» кано-
нических переменных. Тем самым, подбирая то или иное каноническое
преобразование, можно повлиять на вид функции Гамильтона, напри-
мер, пытаясь ее привести к максимально простому виду.
Критерий каноничности позволяет проверить, является ли данное
преобразование канонических переменных каноническим без нахожде-
ния производящей функции. Для этого необходимо подсчитать ряд ско-
бок Пуассона от «новых» каноническим переменных по «старым». При
этом скобки Пуассона для двух любых «новых» импульсов или для двух
«новых» координат должны быть равными нулю, а скобки Пуассона
для всех пар канонически сопряженных «новых» импульса и коорди-
наты должны быть равны одной и той же константе, для канонически
несопряженных — нулю. Дополнительным «бонусом» применения этого
критерия является возможность найти валентность канонического пре-
образования.
Задача 3.4.1. Доказать, что преобразование (р. q) —> (Р, Q) является
каноническим и найти его производящую функцию:
I Q=pq~l-
Решение.
Для доказательства каноничности преобразования применим крите-
рий каноничности. Для этого необходимо подсчитать скобки Пуассона
всех «новых» канонических переменных, как функций «старых», по «ста-
рым» переменным. Скобки Пуассона
$Р(Р, 9: О -Р(Р, Я: *) | =0. | Q(p, Я: t), Q(p, Я; t) 1 =0.
I ) p,q I J Piq
в силу свойства некоммутативности. Подсчитаем скобку обобщенного им-
пульса с координатой. По определению,
/Л дРд® дРд®
156
= (g 4 • 4p3) (-pg 2) - (—4p4g 5 - g) • g 1 = 1. (3.98)
Поскольку в результате мы получили константу (а не функцию), отлич-
ную от нуля, согласно критерию каноничности, это означает, что, во-
первых, заданное преобразование переменных является каноническим,
и, во-вторых, валентность преобразования
с = 1.
Проверим условие существования производящей функции класса
Fi(Q.g,i). Должно выполняться требование:
det (^) 0.
\ VP] /
В нашем случае данный гессиан сводится к частной производной
dQ
др $
/0.
что означает возможность объявить переменные (Q, q) независимыми
и построить на их множестве производящую функцию Fi(Q.g,t). Найти
ее можно путем интегрирования формул канонического преобразования,
которые в общем случае для производящей функции класса Fi имеют
вид:
(3.99)
dQt
При этом необходимо левые части этих равенств (неоднородности) выра-
зить через независимые переменные (Q. q). Используя заданный в усло-
вии задачи закон преобразования, находим:
p(Q,q) = Qq, P{Q-.q) = Qi ~\q2
Поэтому система принимает вид:
(п dF
Qq = ~dT
(3.100)
V 2 9 dQ
157
Интегрируя первое уравнение системы (при этом помним, что перемен-
ные Q и q не зависят друг от друга), находим
fi(c?,g,t) = |o92 + /,(Q.t); (З.Ю1)
где /i(Q,0 произвольная функция указанных переменных. Интегри-
рование второго уравнения системы (3.100) дает
FAQ,q.t) = ^Qq2-{Q5 + h(q..t). (3.102)
с произвольной функцией /2(д,t).
Сравнивая (3.101) и (3.102), убеждаемся, что совпадения результатов
для производящей функции можно добиться, положив
t) = |з5 + = ^(t),
0
где g(t) — произвольная функция времени.
Таким образом, производящая функция искомого канонического пре-
образования
Fi(Q,9.t) = |Qg2-iQ® + 9(t). (3.103)
Для простоты можно положить g(t) = 0.
Задача 3.4.2. Подвергнуть одномерный гармонический осциллятор
с гамильтонианом 2
Я = тш2д2
2m 2 4
преобразованию (p.q) (P.Q):
(3.104)
Доказать, что преобразование является каноническим. Найти его про-
изводящую функцию. Построить «новый» гамильтониан К. Записать
158
«новые» уравнения Гамильтона и их решить. Зная решения последних,
записать решения «старых» уравнений Гамильтона.
Решение.
Для доказательства каноничности преобразования применим крите-
рий каноничности. Скобки Пуассона для двух «новых» импульсов и для
двух «новых» координат в силу свойства некоммутативности автомати-
чески оказываются равными нулю:
? =о,
1 P<Q
<2(p,?.t)!Q(p,q;t) > =о.
J p.q
Скобка Пуассона для канонически сопряженной пары Р, Q:
Р(Р-. 9. t), Q(P: 9: <) >
> p.q
dP^dQ__dP_dQ_
dp dq dq др
e ГиЛ тше^
ттые ie^
1/0,
(3.105)
что означает, что заданное преобразование является каноническим и
унивалентным (валентность с = 1). Согласно необходимому и достаточ-
ному условию каноничности, существует по крайней мере одна произво-
дящая функция. Условие существования производящей функции класса
FAQ.q.t)
det л- = ± 0
\ dpj) др \/2тпш
выполнено (в нашем одномерном случае гессиан сводится просто к част-
ной производной). Для интегрирования формул канонического преобра-
зования
dF}
dQ
(3.106)
выразим из заданного в условии задачи закона преобразования пере-
менные Р. р, неоднородности уравнений, через переменные Q. q. кото-
рые считаются независимыми при нахождении производящей функции
159
Fi(Q,q.t):
p(Q,q,t) = —i (Qy/2mwe ш‘ - rruqj , (3.107)
P(Q, Q, 0 = >----(2mu;g - V2majQe~lu}t) . (3.108)
v2mcu 4 7
Тогда, интегрируя первое уравнение системы (3.106), получим:
Fi(Q-. = Jp(Q, q, t) dq + /i(Q, t) =
= —i I dq ^Q\/2mLje~tuJt - mwq) + fi(Q,t) =
= (^QqV2mwe~iu}t - jTwq^ + /i(Q,t), (3.109)
где /i(Q,t) — произвольная функция.
Интегрирование второго уравнения в (3.106) дает:
Fi(Q,g,f) = ~ f P(Q..q,t) dQ + f2(q.t) =
= - -L;— [ dQ (2mojq - V2mcjQe~lut} + f2(q. t)
y/2muj J v 7
= - - - (2muQq - y/2mujQ2e~XUJt\ + /2((M)- (3.110)
\J2mw \ 2 /
где f2(q. f) — произвольная функция.
Сравнивая (3.109) и (3.110), выбирая в качестве Д и f2
fAQ-t^l-Q2e-2i^.. h{q,t^^q2,
находим производящую функцию:
Fi(Q,g,t) = -г\/2тш Qqe~Mt + ^mwq2 + Q2e~2iujt. (3.111)
Для нахождения «новой» функции Гамильтона К воспользуемся со-
отношением
К = сН + ^.. (3.112)
где предполагается, что все слагаемые в правой части в конечном итоге
будут выражены через «новые» канонические переменные Р, Q с помо-
щью заданного закона канонического преобразования.
160
Дифференцируя равенство (3.111) по времени, находим:
= -uJx/^Qqe-^1 +ajQ2e~2iut. (3.113)
Подставим (3.107) в исходный гамильтониан, временно выразив его
через переменные Q, q для удобства сложения с только что подсчитанной
частной производной:
Н = —I- i mw2q2 = — (Qy/2mwe~zut — mwq] + mw2q2 =
2т 2 2т 4 ' 2
= -cj Q2e-2iwt + Qq (3.114)
В итоге «новый» гамильтониан оказывается равным нулю:
dF
K = H+-^=G. (3.115)
ot
С таким гамильтонианом «новые» уравнения Гамильтона выглядят
максимально просто:
• дК Л
Q =----— 0.
' Р=-Рж=п (3116)
dQ °
и имеют решение в виде констант Qo и Pq:
QW=Qo, P(t) = PQ. (3.117)
Зная закон движения системы (3.117) в «новых» канонических пе-
ременных, найдем закон движения в исходных, «старых», переменных.
Для этого подставим решения «новых» уравнений Гамильтона в закон
преобразования (3.104):
Ро = —т== (mwq - ip)e-,wt.
' (3.118)
Qo = /--* [mwq +
k v2ma> x 7
и выразим «старые» переменные р, q как функции времени t:
’ g(t) = (Qoe-^ - iPoe™}
V2nw2 (ЗЛ19)
p(<) = (9°е~м + iP°e“') •
161
Отметим, в частности, что первое соотношение, действительно, представ-
ляет собой закон колебаний одномерного осциллятора, правда записан-
ный в комплексном виде. Беря вещественную часть, для вещественной
переменной х, описывающей движение осциллятора, получим, как и по-
ложено, линейную комбинацию sin cut и coscut:
z(t) = Re q(t) = A sin cut 4- В cos cut, (3.120)
где вещественные константы An В представляют собой определенные
комбинации вещественных и мнимых частей комплексных констант Ро и
Оо-
Данная задача на примере простейшей системы одномерного гармо-
нического осциллятора демонстрирует всю суть метода канонических
преобразований: всегда есть возможность перейти к «новым» канони-
ческим переменным, совершая некоторое каноническое преобразование,
подбирая его из соображений, чтобы «новый» гамильтониан выглядел
максимально просто. Тогда, решив «новые», простые по виду и структу-
ре. уравнения Гамильтона, используя явный вид преобразований канони-
ческих переменных, легко находим закон движения системы в терминах
«старых» переменных.
3.5 Метод Гамильтона-Якоби
Общие рекомендации.
Метод Гамильтона-Якоби основан на идее о принципиальной возмож-
ности для любого гамильтониана подобрать некоторое каноническое пре-
образование, приводящее к «новому» гамильтониану К = 0.
Для нахождения закона движения методом Гамилльтона-Якоби необ-
ходимо:
1. Записать уравнение Гамильтона-Якоби.
2. Методом разделения переменных найти частное решение уравне-
ния — полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби (переменные де-
лятся суммой: производящая функция, как функция всех обобщенных
162
координат и времени, ищется в виде суммы функций, каждая из кото-
рых зависит только от одной переменной).
3. Дифференцируя найденный полный интеграл по неаддитивным
константам и приравнивая производную к другим произвольным кон-
стантам, находим закон движения (явно или неявно). Значения введен-
ных констант могут быть однозначно найдены из начальных условий.
4. Смысл и значения неаддитивных констант, возникающих при на-
хождении полного интеграла, определяют путем дифференцирования
полного интеграла по обобщенным координатам и приравнивая полу-
ченные производные к соответствующим канонически сопряженным им-
пульсам. Затем, выражая, по возможности, неаддитивные константы яв-
ным образом, полагают t = t0 и, используя начальные условия, находят
их значения.
Следует понимать, что успех применения метода Гамильтона-Якоби
для нахождения закона движения системы определяется возможностью
полного разделения переменных. То есть, к великому сожалению, дан-
ный метод не может быть применен к абсолютно произвольной систе-
ме! Однако всегда имеется шанс удовлетворить этому условию (условию
полного разделения переменных), например, переходя к «новым» кано-
ническим переменным, в которых, возможно, оно будет выполнено.
Задача 3.5.1. Методом Гамильтона-Якоби в сферических координа-
тах найти закон движения в квадратурах для частицы, движущейся в
центральном поле С/(г).
Решение.
Лагранжиан частицы, движущейся в центральном иоле U(r) в сфе-
рических координатах, имеет вид:
£ = у (г2 + т2в2 + г2 sin2 вф2^ - U(г). (3.121)
Для проведения преобразования Лежандра выразим обобщенные скоро-
сти через импульсы. Для этого последние построим по определению:
Рг = -ф- = гпт, (3.122)
от
рв = = тпт20. (3.123)
163
2 • 2 л
= — = тпт sm 0<р,
оф
(3.124)
откуда
Рт
г = —.
т'
О =
тг21
Р*
mr2 sin2 в'
(3.125)
(3.126)
(3.127)
Тогда функция Гамильтона
Н = ртг + рв9 + pvp - С = рт • + р9 + pv------
m mr2 mr2 sin 6
Pv V")
mr2sin20J )
Pr , Pe P* uf }
2m 2mr2 mr2 sin2 в
+ U(r) =
(3.128)
В уравнении Гамильтона-Якоби:
dF (dF \
+ (3-129)
первый аргумент функции Гамильтона в виде частной производной озна-
чает, что в функции Гамильтона необходимо все обобщенные импульсы
заменить на частные производные по соответствующим обобщенным ко-
ординатам:
dF dF dF
Рг^-&- р°^1ё' р*^др (злзо)
В нашем случае уравнение Гамильтона-Якоби принимает вид:
dF 1 (dF\2 , 1 pF\2 1 (dF\2
dt 2m \ dr ) 2mr2 \ dd ) + mr2 sin2 в ( dip )
Согласно теореме Якоби, для нахождения закона движения частицы,
требуется найти частное решение этого дифференциального уравнения
под названием полный интеграл. Это решение ищется методом разделе-
ния переменных. Представим функцию F(t. г. 6. ^) в виде суммы четырех
функций одного аргумента:
F(L г, 0, ср) = T(t) + R(r) + 0(0) + Ф(<р). (3.132)
164
Подстановка в уравнение (3.131) дает:
г'(<)+Л(д'(г))2+тЧ(е'^))2+ 21- 2Д(ф'(у))2+^) = 0. (3.133)
2?т1Л 7 2тт2 v 7 mr2snr0v 7
Здесь штрих означает производную функции одной переменной по ее
аргументу.
Начнем далее последовательно отделять переменные t.r.0,(p друг от
друга. Для этого перепишем последнее равенство:
-Г(Ч = ^(/Г(< + ^(9'(< +
<3’34)
В левой части тем самым мы собрали всю зависимость от переменной t,
правая часть зависит от всех остальных. Две функции разных и неза-
висимых аргументов равны друг другу при любых значениях их аргу-
ментов тогда и только тогда, когда обе они равны одной и той же по-
стоянной. Так мы ввели неаддитивную константу /Зу и приходим к двум
уравнениям:
T'(t) = (3.135)
i ((w)2 + ~^(Ф'И2) + (3-136)
2т4 ' 2тг* \х 7 sm и4 7 /
Первое уравнение тривиально интегрируется:
T(t) = —pit + Cx. (3.137)
где Ci — произвольная аддитивная константа. В уравнении (3.136) про-
изведехм отделение переменных в. р от г переписав его следующим обра-
зом:
(W))2 + ^(Ф'И2 = 2тог2(& - 2^(Д'М)2 - (3’138>
Левая часть равенства представляет собой функцию двух переменных
в.р, правая — функцию переменной г. Эти две функции независимых
переменных равны друг другу, если каждая из них равна константе. Так
165
мы вводим вторую неаддитивную константу /32. В итоге получаем два
уравнения:
(А^ + ^(фМ2 = й- (3.139)
2тг2(л - тЦя'М)2 - tf(r)) = Л- (3.140) у 2т4 7 j
Последнее уравнение позволяет найти функцию Я(г):
Я(г) = ± [dr. 2т (д - тгЧ ~ + С2, (3.141) ./ \ у j
где С2 — произвольная аддитивная константа.
Наконец, в уравнении (3.139) произведем отделение переменной 0 от
переменной р, переписав его следующим образом:
/ / х х 1/2
Ф'(<р) = ±Н/32-(@'(0))2кт201 = &. (3.142)
И вновь мы обе части этого соотношения приравняли к новой неаддитив-
ной константе 53 вследствие равенства друг другу двух функций неза-
висимых аргументов 0 и Интегрируя возникающие два уравнения
ф'(¥>) = (3.143)
(e'w)2+^=^ (З-144)
находим:
Ф(^) — 03<Р + Сз:
г I ЗУ-
0(0) = ± / + с4;
J V sin 0
(3.145)
(3.146)
где С3, С4 — произвольные аддитивные константы.
Собирая все вместе, объединяя четыре произвольных аддитивных
константы С\. С2, С2 и С4 в одну 34, находим полный интеграл (3.132)
уравнения Гамильтона-Якоби
F(L г. 0, ±
02 rrf Л ,
166
Как и положено полному интегралу для системы с тремя степенями сво-
боды, найденное решение зависит от трех неаддитивных констант З2?
Зз и одной аддитивной константы Зд- Последняя не оказывает влияния
на динамику систему, поэтому зачастую ее просто не выписывают.
Прежде чем непосредственно находить закон движения, выясним
смысл и найдем значения неаддитивных констант. Для этого, соглас-
но теореме Якоби, необходимо вычислить частные производные от най-
денного полного интеграла по обобщенным координатам и приравнять
результат дифференцирования соответсвующим канонически сопряжен-
ным обобщенным импульсам.
Рг = ~ ±г2т G| - t/(r)Y dr \ \ 2mr2 J (3.148)
₽я дО ±]Г2 sin20’ (3.149)
_ OF _ р^~ Зз' (3.150)
откуда, выражая неаддитивные константы, находим:
(3.151)
(3.152)
Зз = (3.153)
Мы видим, что выписанные комбинации канонических переменных со-
храняют свои значения со временем, то есть являются интегралами дви-
жения. Чтобы иметь возможность найти их значения, выразим обобщен-
ные импульсы через обобщенные скорости на основе уравнений Гамиль-
тона:
ОН рг г = 4“ = —, (3.154)
орг тп
дре тг2' (3.155)
= Р* (3.156)
дрц, mr2 sin2 0 ’
167
в которых мы узнаем ранее уже полученные при проведении преобразо-
вания Лежандра выражения (3.125)-(3.127). Соответственно, обобщен-
ные импульсы выражаются через обобщенные скорости согласно равен-
ствам (3.122)-(3.124). Стало быть, неаддитивные константы
0з = mr2 sin2 вф.
(3.157)
(3.158)
(3.159)
И вот теперь, полагая в этих равенствах t = t0 и зная из начальных
условий (которые в данной задаче явным образом не заданы, но они все-
гда подразумеваются!) значения обобщенных координат и обобщенных
скоростей, мы сможем найти значения неаддитивных констант:
0i = 0i . (3.160)
t=to
Перейдем к нахождению закона движения. Согласно теореме Якоби,
для этого необходимо результат дифференцирования полного интегра-
ла по неаддитивным константам приравнять к другим произвольным
константам, которые в дальнейшем могут быть найдены из начальных
условий.
Вычислим производную от найденного полного интеграла уравнения
Гамильтона-Якоби (3.147) по неаддитивной константе fa, рассматривая
зависимость его от 0^ как параметрическую, и приравняем результат к
какой-то произвольной постоянной оц:
dF
д0!
----7“—Г = О1’
2V31 " 2^2 “
у Zmr
(3.161)
Полученное соотношение уже представляет собой неявную зависимость
координаты г от времени t. Однако перепишем его несколько иначе, что-
бы лишний раз не заниматься нахождением значения константы с^:
(3.162)
168
Переход от (3.161) к (3.162) можно понимать так: константу ct] была
разделена на две части. Первая есть to, а вторая представляет собой
подстановку значения интеграла на нижнем пределе.
Далее вычислим производную от полного интеграла по константе &
и приравняем результат к произвольной константе о2-
dF
д/32
\ 2тг-) Д (31и)
2</а - 5^5 -
V 2mrz у sm 0
которую вновь разобъем на две части, каждую из которых представим
как результат подстановки значений обоих интегралов на нижних пре-
делах:
Л
2тг2
Я
sin2 0
d#
(3.164)
Данная квадратура представляет собой неявную зависимость г = г(0).
Наконец, вычислим производную от полного интеграла по константе 03
и приравняем результат к новой произвольной константе о3:
dF
(- 2А
\ sin2 0 )
—Г ......п = Q2-
21/& -
(3.165)
Разбивая константу о3 на две части: и значение подстановки интегра-
ла на нижнем пределе, запишем
е
?-<f>0 = ±J
00
З3 d0
sin2 0
(3.166)
что представляет собой зависимость 9? = #(0).
Соотношения (3.162), (3.164) и (3.166) задают закон движения части-
цы в квадратурах.
169
Отметим, что интеграл в соотношении (3.166) может быть легко вы-
числен, а получающееся выражение будет представлять собой уравнение
плоскости, что говорит о том, как мы знаем, что движение в любом цен-
тральном поле является плоским.
Выбор знаков «±» в полученных квадратурах осуществляется стан-
дартным образом и определяется исключительно направлением движе-
ния частицы.
Задача 3.5.2. Система описывается гамильтонианом
Pi + р1
- 4.2
Методом Гамильтона-Якоби найти закон движения системы в квадрату-
рах.
Решение.
Сразу скажем, что эту задачу мы не смогли бы решить методом ин-
тегралов движения, используя известные нам правила нахождения их
по виду гамильтониана. В самом деле, по виду функции Гамильтона мы
заключаем, что интегралами движения являются: сам гамильтониан (он
не зависит явно от времени), а также функция
/(Рз,«з) =Рз +-
9з
(3.167)
в которую факторизуется вся зависимость функции Гамильтона от пары
канонически сопряженных переменных р3, q3. Однако этих двух инте-
гралов для системы с тремя степени свободы недостаточно, чтобы найти
закон движения. И как мы уже отмечали, невозможность найти инте-
грал движения по виду функции Гамильтона (или функции Лагранжа)
не означает вовсе, что их больше не существует для данной системы. Сей-
час мы увидим, как метод Гамильтона-Якоби воспроизведет этот недо-
стающий интеграл движения весьма элегантным образом.
Запишем уравнение Гамильтона-Якоби:
dt +2 yydgi/ \dq2) j
1
--------------F
<71 “ 9'2
170
dF\2 \
м +iH91+92)
= 0. (3.168)
Полный интеграл этого уравнения будем искать методом разделения
переменных, для чего представим функцию F(qi, д2,9з? 0 в виде суммы
четырех функций:
^(9ь92,9з, t) = T(t) H- Qi(qi) + <32(92) + <Эз(9з)-
Результатом подстановки в уравнение (3.168) будет:
((Q'l(qi))2 + (<Ш))2) +
/ 7 91 - 92
+ ((Оз(9з))2 + ~2 ) (91 + 9:
T'(t) + i
Переменная t моментально отделяется:
-n*) = U((Qlto))2 + (Q2rf)
91 - Яг
+ ( (Фз(*?з))2 + ('
= 0.
= Л:
(3.169)
(3.170)
(3.171)
1
откуда временная зависимость полного интеграла
T(t) = -^ + C1;
где Ci — произвольная аддитивная константа.
В оставшемся уравнении
| [((Q'i(9i))2 + ШЧ2))2) —^—+
2 L 7 91 “ 92
+ Г(<?з(9з))2 + “д') (91
(3.172)
(3.173)
легко отделить переменную дз, для чего перепишем его следующим об-
разом:
1
(Q'3te))2 + =
= 2^-(((?;(gi))2 + (Q'(g2))2)
L v 7 9i - 92 J q\ + 92
1 = 32. (3.174)
171
Следовательно, интегрируя первое уравнение (левая часть равна /32),
Оз(9з) = ± [ dqdfa - 1 + С2 (3.175)
7 V Яз
(С2 — произвольная постоянная).
Во втором уравнении в (3.190) (правая часть равна З2) произведем
разделение переменных q1 и q2, собирая в левой части все слагаемые,
зависящие от первой, в левой — от второй координаты:
(Qi(gi))2 - 23191 + fall = - (Qjfe))2 + fall ~ 23192 = /З3, (3.176)
откуда находим функции Qi(^i) и Q2(<72):
Qi(9i) = ±/4?1\Мз + 23x91 - fall + С3, (3.177)
Q2(Qz) — i [ <^92\/~Зз ~ 23192 + Зг92 + ^4- (3.178)
В итоге, полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби будет иметь
вид:
F’(9i- 9г, 9з, t) = ~33 ± I <^91\/Зз + 23x91 - Зг9? ±
± У с*92\/-Зз - 23192 + Зз92 ± / Йз^З-х - + 34, (3.179)
где аддитивная константа Л представляет собой сумму ранее введенных
С\, С*2, С3 и С*4*
Закон движения найдем путем дифференцирования полного интегра-
ла по неаддитивным константам и приравнивая результат к произволь-
ным постоянным.
Дифференцирование по ,31 дает квадратуру, которая выражает неяв-
ную зависимость между переменными t. qi и q2:
dF =_t± /' ri9i2gi ±
' 2^/33 + 23x91 - 329?
± f . = (3.180)
2 у — Зз ~ 2/?iQ2 + 02Я2
172
которую тут же перепишем, разбив произвольную константу си на три
части (одна представляет собой t0, две другие — результат подстановки
обоих интегралов на нижних пределах):
Я1 j
. Г dqi
qh + 2/?i9i - 32q\.
<72 J
T [ --------------------------------- (3.181)
<702 V
Дифференцирование по неаддитивной константе /32 приводит к квад-
ратуре, выражающей неявную зависимость между тремя обобщенными
координатами tfi, дг и Q3:
— = ±[ ± f dq2 qj ±
•< 2у//33 + 2:3^1 - ;32qj 2^/-Зз - V3iq2 + &2ql
(3-182)
2\г2 ~
которую перепишем в виде, учитывающем начальные условия:
± f dqj q2 dq2q2 ±
goi + 231^1 — faQi <7o2 ~ 23x^2 4- /32q2
± / - dQ3 (3.183)
\ ^2- -^2
V 7з
Наконец, дифференцирование по неаддитивной константе Зз приво-
дит к квадратуре, устанавливающей неявную зависимость между обоб-
щенными координатами qi и q2'.
± f__________dqi________± f ________
^3 2^/ 63 + 2Jiqi — 32qj ' 2\J—0-i — 2l3\q2 + 32<^
= a3. (3.184)
Разбивая произвольную константу на Две части, представляющие под-
становки интегралов на нижних пределах, запишем ее в форме:
, -------------------------- = ± / ----------------------------- (3 185)
goi у^з + 2/31<71 -/?2Qi дог V - 2/3]g2 + З2Ч2
173
Соотношения (3.181), (3.183) и (3.185) устанавливают закон движения
системы в квадратурах.
Для полноты картины выясним смысл и получим выражения, поз-
воляющие определить значения неаддитивных констант /32 и 03, Для
этого последовательно продифференцируем найденный полный интеграл
уравнения Гамильтона-Якоби (3.179) по обобщенным координатам qr, q2
и q3:
dF I-----------------------
Pi = ч— = ±V Зз + 23191 - Зг9? >
»9i
dF !----------------------------
Pi = -x— = ±\/-Зз - 23192 + Зг9г:
<792
РЗ 02 о -
&9з V 7з
(3.186)
(3.187)
(3.188)
откуда после нехитрых преобразований находим выражения для неад-
дитивных констант:
31 - у (91 + 9г) + ?1 Р\-. (3.189)
2 2(9! +
32=pl + ^ (3.190)
9з
Зз = -319192 + Р^2+Р"71. (3.191)
92 - 91
Константа 02, как несложно видеть, воспроизводит собой ранее упомя-
нутый интеграл движения (3.167), который мы нашли по виду гамильто-
ниана. С учетом (3.190) константа 31 представляет собой гамильтониан
системы, который также, как мы выяснили в самом начале решения,
также является интегралом движения. Константа 03, определяемая ра-
венством (3.191), представляет собой новый, неизвестный нам интеграл
движения, который мы не смогли найти ранее.
Чтобы иметь возможность найти значения интегралов движения
(3.189)-(3.191), необходимо найти выражения для обобщенных импуль-
сов pi, Р2 и рз, выразив их через обобщенные скорости и обобщенные
координаты. Сделать это можно на основе уравнений Гамильтона:
эн pi
91 — 3— —---------,
<7pi 91 ~ 92
(3.192)
174
. дН р2
др2 <71 ~ ’
дН / X (3.194)
откуда, выражая импульсы, находим:
Pi = (91 - 92)91, (3.195)
Р2 = (91 - 92)92, (3.196)
Рз = —. (3.197)
+ Q2
Так что теперь, зная значения обобщенных координат qi(to) и обобщен-
ных скоростей 7i(^o) в начальный времени, находим значения обобщен-
ных импульсов Рг(^о) при t = to- Далее, полагая t — to в соотношениях
(3.189)-(3.191), найдем значения неаддитивных констант 3i.
3.6 Переменные «действие-угол». Адиабати-
ческие инварианты
Общие рекомендации.
Переменные «действие-угол» — это особые канонически сопряжен-
ные переменные, которые могут быть введены не для всякой системы.
Система должна удовлетворять ряду требований, среди которых, в част-
ности: совершение системой периодического движения, консервативность
системы и возможность полного разделения переменных. Переход к этим
каноническим переменным представляет собой каноническое унивалент-
ное преобразование с производящей функцией, представляющей собой
координатную часть полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби.
Сама переменная «действие» дается интегралом по периоду изменения
соответствующей координаты. Важной особенностью переменных
«действие-угол», как канонических переменных, является то, что га-
мильтониан, записанный в этих переменных, зависит только от пере-
менных «действие» и не зависит от переменных «угол».
175
В случае систем с медленно меняющимися параметрами переменные
«действие» являются адиабатическими инвариантами, то есть сохраня-
ют свои значения неизменными несмотря на незамкнутость системы. В
этом случае переменные «действие», как адиабатические инварианты,
представляют собой некоторые комбинации несохраняющих со временем
свои значения энергии системы и меняющихся параметров.
Если в задаче речь идет о медленно меняющихся параметрах, то в
первую очередь необходимо заняться вычислением переменных «дей-
ствие», чтобы затем выразить через них энергию системы.
Задача 3.6.1. Используя переменные «действие-угол», найти соб-
ственную частоту одномерного гармонического осциллятора с гамильто-
нианом
и _ Р , ™4х2
Решение.
Данная простейшая задача иллюстрирует возможность нахождения
частот систем, совершающих периодическое движение. Согласно общей
теории, искомые частоты даются частной производной гамильтониана
H(J). записанного в терминах переменных «действие-угол» (при этом
гамильтониан оказывается зависящим только от переменных «действие»)
по переменным «действие» У,:
(3.1Э8)
UJi
Поэтому задача сводится к нахождению функции Гамильтона осцилля-
тора, выраженного через переменную «действие». Последняя, как из-
вестно, определятся интегралом по периоду изменения координаты:
J ~ <fp(x)dx. (3.199)
176
Для осмысления интеграла «с кружочком», проведем качественное
исследование движения. График потенциала осциллятора
L/(x) =
2 2
2
приведен на рисунке. Движение возможно при любом положительном
значении энергии Е > 0. Классически доступной областью движения
является область
< Я < Z2
между двумя точками поворота х± и z2- Поэтому интеграл «с кружоч-
ком» в (3.199) представляет собой сумму интегралов по двум областям:
от Xi до Х2 и обратно от Х2 и 11, тем самым будет «покрыт» полный
период изменения координаты х. Однако следует отметить, что выраже-
ния для импульса р(х) как функции координаты несколько отличаются
в этих двух областях. В самом деле, поскольку гамильтониан есть обоб-
щенная энергия Е, запишем
откуда
р2 тгш2х2
Е=2^ + ^~
р= ±
2т (Е -
ти$х2
2
(3.200)
(3.201)
Несложно понять, что знаки «±» в конечном счете определяются на-
правлением движения. Действительно, согласно одному из уравнений
Гамильтона,
ЯН
др т
(3.202)
177
Поэтому знак «4-» перед корнем в (3.201) соответствует движению в
сторону увеличения координаты х (в этом случае х > 0), знак «—» соот-
ветствует движению в сторону уменьшения координаты х (в этом случае
х < 0). Следовательно, представляя интеграл «с кружочком» в (3.199) в
виде суммы интегралов по двум областям: от zi до и от х% до х1?— в
подынтегральном выражении для первой области следует для импульса
записать
для второй —
. (тип х2 \
р = +^2т ---—) ,
(_ тшпХ2 \
Е----2 )'
То есть переменная «действие»
Тем самым мы свели интеграл «с кружочком» к обычному определен-
ному интегралу, который можно вычислять любым известным способом.
К примеру, произведем его вычисление используя геометрический смысл
определенного интеграла. Обозначим подынтегральную функцию
у = * 2т I Е —
mujQX2
(3.204)
что эквивалентно можно переписать в виде уравнения эллипса:
X2 у2
2Е \ ' 2гпЕ
ttiUq )
(3.205)
с полуосями
(3.206)
178
Точки поворота xi, х2, пределы интегрирования в (3.203), определя-
ются условием равенства потенциала и энегрии
Е = С/(х),
(3.207)
откуда
(3.208)
И поскольку |xi | = х-2 = а, делаем вывод о том, что значение опре-
деленного интеграла в (3.203) численно оказывается равным площади
полуэллипса:
1.1s
% 2дэлл
1 irab
1 /2Е
2 у mcjQ
VZmE =
Е
Cu'o
(3.209)
Отсюда находим, что
Е = J ujq.
(3.210)
И поскольку обобщенная энергия и функция Гамильтона по смыслу од-
но и то же, получаем выражение для гамильтониана осциллятора, за-
писанного через переменные «действие-угол» (реально, как видим, он
оказывается зависящим только переменной «действие»):
Я( J) -
(3.211)
Поэтому собственная частота осциллятора согласно соотношению
198),
w = = “°- (3.212)
OJ
179
Задача 3.6.2. Шарик массой т, двигаясь по гладкой наклонной
плоскости АВ в однородном поле тяжести д, в нижней точке А испыты-
вает упругое столкновение со стенкой. Найти, как со временем изменяют-
ся энергия и максимальная высота подъема шарика при адиабатически
медленном изменении угла а наклонной плоскости.
Решение.
Общая идея решения этой и подобных задач заключается в постро-
ении адиабатического инварианта, который представляет собой некото-
рую комбинацию меняющихся со временем энергии E(t) и параметра
a(t). Именно отсюда представляется возможным нахождение закона из-
менения энергии со временем.
Можно было бы попытаться записать выражение для энергии шарика
и, зная закон его движения, подставить зависимость его координат от
времени в него. Однако это представляется практически невозможным,
хотя бы потому, что мы не знаем явного закона изменения параметра
а со временем, что затруднит решение дифференциального уравнения
движения с целью явного нахождения закона движения.
Очевидно, система имеет одну степень свободы (положение шарика
на наклонной плоскости можно однозначно задать, введя одну коорди-
нату, поскольку угол наклона ее считается известным в любой момент
времени: a(t) — заданная функция). И так как нам в дальнейшем при-
дется находить максимальную высоту подъема, рациональным будех в
качестве обобщенной координаты выбрать ординату у шарика в системе
координат, оси которой изображены на рисунке.
180
Для построения адиабатического инварианта, коим является пере-
менная «действие»
J = У P(y)dy, (3-213)
нам необходимо найти обобщенный импульс р как функцию обобщен-
ной координаты у. Сделать это можно, например, построив лагранжиан
системы.
Кинетическая энергия шарика, совершающего плоское движение,
Т = ^(±2+У2)- (3-214)
Координату х необходимо выразить через обобщенную координаты у. Из
чисто геометрических соображений (см. рис.),
z = 3/ctga. (3.215)
Дифференцируя по времени,
х = i(yct&a} - i/ctgQ - ya г - (3.216)
at' ' sin a
Однако не стоит забывать, что угол а меняется со временем очень мед-
ленно, что позволяет считать второе слагаемое, содержащее а. ничтожно
малым по сравнению со слагаемым, содержащим у, тогда
i = z/ctga. (3.217)
Сей факт позволяет считать медленно меняющиеся параметры фикси-
рованными (константами) при построении лагранжиана системы. Вспо-
минать о том, что они все же изменяются со временем, необходимо при
составлении уравнений движения по построенному лагранжиану.
Итак, кинетическая энергия шарика
• 2
т = у у2(1 + ctg2a) = (3.218)
2 v 7 2 sm a
Потенциальная энергия шарика
U = mgy. (3.219)
181
Стало быть, функция Лагранжа рассматриваемой системы
2^?------т9у- (3'220)
Обобщенный импульс
д£ г‘ъ = ту sin2 а ’ (3.221)
обобщенная энергия
ду W2 . = о i + т-ЗУ- 2 sm а (3.222)
Выражая у из (3.221) и подставляя в (3.222), запишем
„ р2 sin2 а
Е = —— + тду,
2т
(3.223)
откуда находим импульс р(у) как функцию обобщенной координаты у:
р = ±\ -TY (Е - тду}. (3.224)
V sin а 4 '
Поэтому переменная «действие» (3.213):
J = ± f dyJ^-(E-m^\. (3.225)
2тг J у sm о. v 7
В предыдущей задаче мы выяснили, что данный интеграл «с кружоч-
ком» сводится к удвоенному определенному интегралу, пределами ко-
торого являются точки поворота, ограничивающие область финитного
движения:
1/2
„ 1г, 2т \
J = - / dyx —^-lE -тду).
7г./ V sin2 av 7
i/i
(3.226)
Левой точкой поворота является pi = 0 (она обусловлена барьером в
нижней точке наклонной плоскости). Правая точка поворота р2 опре-
деляется стандартно условием равенства потенциала (3.219) и энергии
Ё:
(3.227)
Е
182
Интеграл в (3.226) как интеграл от степенной функции,
2 1 / 2m \1/2/ \3/2
з7^ж) -М
У2=Е/тд
1/1=0
2 /2\
Зтп; \т)
1/2 £.3/2
sin а '
(3.228)
И поскольку найденная переменная «действие» является адиабати-
ческим инвариантом, полученная комбинация меняющихся со временем
энергии Е и угла а сохраняет свое значение неизменным:
2 /2_\1/2 B3/2(t)
Зтг<7 \т) sina(t)
= const,
(3.229)
откуда находим, что энергия меняется со временем пропорционально сте-
пени 2/3 синуса угла а:
E(t) ~ sin2/3 а(/).
(3.230)
Максимальная высота подъема Дтах по сути есть точка поворота j/2.
определяемая равенством (3.227), поэтому изменение ее со временем
Amax(t) = — ~ ^(t) ~ Sin2/3 a(t).
mg
(3.231)
Задача 3.6.3. Определить, как со временем меняется энергия систе-
мы, описываемой лагранжианом
£ = у (*1 + *2) “ 1(^1 + хг + х2),
при адиабатически медленном изменении параметра а (0 < а < 1).
Решение.
«Лобовой» и стандартный путь решения, подразумевающий нахож-
дение выражения для обобщенной энергии по функции Лагранжа и под-
становки в него закона движения Ti(i), x2(t) обречен на неудачу по при-
чине невозможности нахождения аналитическими методами последнего
183
(к примеру, мы не знаем явного вида функции Поэтому, как и
предписывают нам общие рекомендации поведения при анализе систем
с медленно меняющимися параметрами, построим адиабатические инва-
рианты, переменные «действие», J2 и через них выразим искомый
закон изменения энергии E(t) со временем.
Однако сразу переходить от лагранжевого описания в координатах
Xi, х2 к гамильтонову с целью построения переменных «действие» нель-
зя. Причиной тому является перекрестный член каххх2 в потенциале.
Напомним, что переменные «действие-угол» могут быть введены не
для всякой системы, а лишь для систем, удовлетворяющих определен-
ным требованиям, среди которых, в частности, имеется условие суще-
ствования набора канонических переменных, допускающих полное раз-
деление переменных. Указанный перекрестный член будет присутство-
вать и в гамильтониане, и именно он не позволит разделить переменные
при нахождении полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. По-
этому прежде нам необходимо, находясь в лагранжевом описании, подо-
брать такие обобщенные координаты, которые были бы лишены упомя-
нутых проблем, и функция Лагранжа была бы диагональной.
Рассматриваемая система, являясь системой, совершающей колеба-
тельное движение, имеет особые обобщенные координаты & — нормаль-
ные координаты, в которых лагранжиан удовлетворяет желаемому тре-
бованию: он диагоналей и представляет собой сумму лагранжианов од-
номерных гармонических осцилляторов с частотами, совпадающими с
собственными частотами системы:
£ = 04? - | *(1)£?) + 0 4? - 14)<г) • (3-232)
На данный момент задача свелась к нахождению собственных частот
х’ф системы. Как мы уже отметили в предыдущей задаче, при совер-
шении каких-либо действий на уровне лагранжиана (а мы, фактически,
хотим совершить преобразование обобщенных координат Xi —> & имен-
но в функции Лагранжа) можно считать медленно меняющиеся со вре-
менем параметры постоянными. Так и мы будем искать стандартным
образом, описанным ранее в параграфе 2.7, собственные частоты, поза-
быв об изменении параметра а со временем. Для этого составим систему
184
уравнений Лагранжа,
mxi 4- кх± 4- акх2 — О,
т±2 4- кх2 4- акх\ = О
(3.233)
и, считая а = const, ищем решение ее, как системы с постоянными ко-
эффициентами, в стандартном виде:
(3.234)
с комплексными амплитудами Ai и А2.
Результатом подстановки в систему дифференциальных уравнений
будет однородная система алгебраических уравнений:
—тш2 4- к
ак
ак W А ) а
—тш2 + к I \ А2 )
(3.235)
Полученная система имеет нетривиальное решение лишь при условии,
что определитель матрицы ее равен нулю (характеристическое уравне-
ние):
—тш2 + к ак
ак —тш2 4- к
= ( — niw2 + fc)2 — (afc)2 = 0, (3.236)
откуда собственные частоты
(3.237)
Итак, теперь будем работать с лагранжианом (3.232) в нормальных
координатах Проводя преобразование Лежандра стандартным обра-
зом. построим гамильтониан:
н-гдс+едс с-
11 — Q1—: г С'2—: —
%
2 2 J \2 2 )'
(3.238)
Обозначим
„2 . ,2 С2
= Л, (3.239)
d + = з2; ' (3.240)
185
тогда энергия Е системы (гамильтониан по смыслу есть энергия)
E = fa+/32. (3.241)
Величины fa, /?2 представляют собой энергии осцилляторов.
Далее введем переменные «действие»:
Ji = f Pi , J2 = / Р2 <%2- (3.242)
2тг J Z7T J
Выражая импульсы р2 через координаты из соотношений (3.239) и
(3.240), перепишем их в виде:
Л = \/2А - “(V’’ j2 = ^f (3.243)
Ну, а эти интегралы вычисляем совершенно аналогично интегралу (3.199)
в задаче 3.6.1 (только теперь вместо энергии Е у нас фигурирует Д). В
итоге,
Ji = —, Ji = — • (3.244)
CJ(1) О>(2)
Переменные «действие», Ji, являются адиабатическими инварианта-
ми, сохраняя свои значения неизменными:
171,2 = const. (3.245)
Выражая из (3.244) Д, 32 и подставляя их в (3.241). находим, что энергия
системы
Е = i71LU(1) + *72Си(2). (3.246)
Вспоминая выражения (3.237) для частот o>(i), Ш(2), окончательно нахо-
дим закон изменения энергии со временем:
E(t) = Ji 7±(l + a(t)) + J2 Д(1-а(<)). (3.247)
Задача 3.6.4. Выяснить, как со временем меняется радиус орбиты
частицы массой т и зарядом е в магнитном поле Н = Hq6z при адиаба-
тически медленном изменении его напряженности Hq =
186
Решение.
Запишем функцию Лагранжа заряженной частицы, движущейся в
однородном постоянном магнитном поле Н = HGez. в цилиндрических
координатах (отметим, что напряженность Но магнитного поля в ней мы
рассматриваем как параметр, который далее будет считаться медленно
меняющимся):
r=y(p2 + pV + i2) + ^p^ (3.248)
2 х 7 2С
и подвергнем ее преобразованию Лежандра, построив стандартным об-
разом функцию Гамильтона (см. задачу 3.1.2.):
-£+-±-
2т 2тр2
2с Р ) 2гг
(3.249)
Отметим, что поскольку обобщенные координаты 99, z являются цик-
лическими, канонически сопряженные им обобщенные импульсы явля-
ются интегралами движения:
Рф — const, pz = const.
(3.250)
При этом сам гамильтониан, представляющий собой энергию Е частицы:
Н = Е,
не является интегралом движения, поскольку зависит явно от времени
по причине изменения со временем напряженности магнитного поля Но.
р2
Слагаемое = const в гамильтониане (3.249) обозначим
2т
р2
Е-^-^Е,.
2т
Введенная величина Е± по смыслу представляет собой энергию движе-
ния в поперечном магнитному полю направлении и, согласно (3.249) мо-
жет быть записана как
Рр , 1 / еН0 2\2
2т 2тр2 V * 2с /
(3.251)
(3.252)
откуда
187
Переменная «действие»
J»~ 2тг fp»dp~
<зж»
является адиабатическим инвариантом:
Jp - const.
(3.254)
Интеграл в (3.253) может быть вычислен, например, при помощи тео-
рии вычетов, переходя к контурному интегралу в комплексной плоско-
сти. Однако для наших целей нет необходимости знать его значение. Вы-
несем из-под корня множитель 1/р, после чего выделим в подкоренном
выражении полный квадрат:
В интеграле
2тсЕ±
еН0
2тсЕ±
еН0
(3.255)
совершим замену переменных
еЯ0 о f2mcE± \
(3.256)
(за новую переменную мы обозначаем выражение, стоящее под полным
квадратом в подкоренном выражении). Беря дифференциал от обеих ча-
стей,
. du с
dP =-----7Г'
р eHQ
(3.257)
188
найдем закон изменения меры интеграла (3.255):
dp _ 1 du
р 2 2
(3.256)
1 du
2 /2тсЕ^ ;
(3.258)
Стало быть,
du
f 2тсЕ±
'2тсЕ}
\2 \1/2
+ pv) -pl)
(3.259)
Совершенно неважно, чему равен этот интеграл. Важно, что, во-первых,
значение его есть константа (3.254), и, во-вторых, он параметрически
зависит от комбинации
Поэтому можно схематично записать
Jp = f + \ _ const (3.260)
\ еп$ /
где f — некоторая функция. Тогда, поскольку сама функция f есть кон-
станта, моментально заключаем, что и ее аргумент
2тсЕ±
—77-----= const. (3.261)
e/io
Поскольку = const, то и
2тсЕ±
——— = const. (3.262)
ело
то есть
= const. (3.263)
#0
Таким образом, энергия движения частицы в направлении, ортогональ-
ном магнитному полю, меняется со временем пропорционально модулю
вектора его напряженности:
~ Яо,
(3.264)
189
что перепишем в виде:
Е± = СЯ0, (3.265)
где С — некоторая константа. С другой стороны, эту энергию можно за-
писать как кинетическую энергию вращения по окружности некоторого
о х еЯ0
радиуса R с циклотронной частотой а,0 =----:
тс
mv2 гл, \2 т (еНо „\2
= —= (3.266)
Сравнивая (3.265) и (3.266), имеем
(3.267)
откуда
H0H2(t) = const. - (3.268)
что может быть интерпретировано как неизменность потока магнитного
поля
Ф = Но • 7гЛ2 (3.269)
через поверхность, ограниченную траекторией движения частицы, кото-
рой является окружность радиуса R.
Таким образом, при медленном изменении напряженности магнитно-
го поля Но радиус R окружности, по которой движется частица, меня-
ется так, что остается неизменным поток магнитного поля через поверх-
ность, ограниченную траекторией частицы.
190
Список рекомендованной
литературы
1. А. Б. Пименов. Задачник по теоретической механике. - М.: Физи-
ческий факультет МГУ, 2015.
2. Г. Голдстейн. Классическая механика. - М.: Наука, 1975.
3. Ф. Р. Гантмахер. Лекции по аналитической механике. М.: Физ-
матлит, 2005.
4. Ю. Г. Павленко. Лекции по теоретической механике. - М.: Физмат-
лит. 2002.
5. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Механика. - М.: Физматлит, 2004.
6. И. И. Ольховский. Курс теоретической механики для физиков. -
М.: Лань, 2009.
7. В. В. Петкевич. Теоретическая механика. - М.: Наука, 1981.
8. Г. Л. Коткин, В. Г. Сербо, А. И. Черных. Лекции по аналитической
механике. -- М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010.
9. Г. Голдстейн, Ч. Пул, Д. Сафко. Классическая механика. - М.: Ин-
ститут компьютерных исследований, 2012.
10. В. И. Арнольд. Математические методы классической механики. -
М.: УРСС, 2003.
19]