И. И. ПРИВАЛОВ
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебника
длп студентов высших учебных заведений
ИЗДАНИЕ ТРИНАДЦАТОЕ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 8 4

22.161.5
П75
УДК 517.63
П р и в а л о в И. И. Введение в теорию функ-
функций комплексного переменного. — Изд. 13-е. —
М.: Наука, Главная редакция физико-математи-
физико-математической литературы, 1984. — 432 с.
Кинга является одним из старейших и хо-
хорошо себя зарекомендовавших учебников для
высших учебных заведений по теории функций
комплексного переменного.
Илл. 156.
Рецензент
доктор физико-математических наук профессор Л. Д. Кудрявцев
Пеан Иванович Привалов
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Редактор В. В, Абгарян
Теин, редактор И, Ш. Аксельрод. Корректор Н. Б. Румянцева
ИБ № 12518
Сдано в набор 20.12.83. Подписано к печати 27.ОН.84. Формат 60X90'/i«.
Бумага книжно-журнальная. Литературная гарнитура. Высокая печать.
Условн. печ. л. 27. Условн. кр.-отт. 27. Уч.-изд. л. 30,49. Тираж 23 000 екэ.
Заказ № 37. Цена 1 р. 30 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ленинградская типография № 6Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградского объединения «Техническая книга» нм. Евгении Соколовой
Союэполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли,
193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10
1702050000-121 .
1 053@2)-84 й4~й4

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловия 10
Введение П
ГЛАВА I
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Комплексные числа и действия над ними 16
1. Понятие комплексного числа A6). 2. Сложение и умножение ком-
комплексных чисел A6). 3. Вычитание и деление комплексных чисел A8).
§ 2, Геометрическое изображение комплексных чисел. Теоремы о мо-
модуле и аргументе 19
1. Геометрическое изображение комплексных чисел A9). 2. Геоме-
Геометрическое истолкование сложения и вычитания комплексных чисел
B0). 3. Понятие о модуле и аргументе B0). 4. Теоремы о модуле и ар-
аргументе B1). 5. Геометрическое изображение числа 1/аB3).6. Геоме-
Геометрическое построение произведения и частного комплексных чисел B4).
§ 3. Пределы 25
1. Основной принцип теории пределов B5). 2. Понятие предельной
точки B6). 3. Ограниченные и неограниченные последовательности
комплексных чисел B7). 4. Теорема Больцано— Вейерштрасса B7).
5. Понятие сходящейся последовательности комплексных чисел B8).
6. Основные теоремы теории пределов B9). 7. Критерий Коши B9).
§ 4. Числовая сфера. Бесконечно удаленная точка 31
1. Изображение комплексных чисел на сфере. Бесконечно уда-
удаленная точка C1). 2. Формулы стереографической проекции C2).
3. Основное свойство стереографической проекции C3). 4. Сохра-
Сохранение углов C4). ^
§ 5. Ряды " 35
1. Понятие сходящегося и расходящегося ряда C5). 2. Необходимый
признак сходимости ряда C6). 3. Понятие абсолютно сходящегося
ряда C6). 4. Сложение и вычитание рядов C8). 5. Теорема о двой-
двойных рядах C8). 6. Перестановка членов ряда D0). 7. Умножение
рядов D1).
Упражнения к гл. I 43
глава п
КОМПЛЕКСНОЕ ПЕРЕМЕННОЕ И ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
f 1. Функции комплексного переменного 45
1. Понятие функции комплексного переменного D5). 2. Понятие
области. Линия Жордана D6). 3. Непрерывность функции ком-
комплексного переменного D9). 4. Теорема о равномерной непрерыв-
непрерывности. Лемма Гейне — Бореля E2).
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Ряды функций 54
1. Понятие pamiowetjHO сходящегося ряда E4). 2. Теорема о не-
непрерывности суммы ряда E6). 3, Признак равномерно сходяще-
сходящегося ряда E7).
§ 3. Степенные ряды 58
1. Понятие области сходимости степенного ряда E8). 2. Первая
теорема Абеля E8). 3. Круг сходимости E9). 4. Понятие наиболь-
наибольшего предела (СГ). 5. Определение радиуса сходимости F3). 6. Рав-
Равномерная сходимость степенного ряда F6). 7. Вторая теорема
Абеля F7).
§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Элемен-
Элементарные функции 69
1. Понятие производной F1). 2. Понятие функции, аналитической
в области G0). 3. Понятие дифференциала G1). 4. Условия Кошм —
Римана G2). 5. Сопряженные гармонические функции G6). 6. Диф-
Дифференцирование степенных рядов G7). 7. Показательная функция.
Функции тригонометрические и гиперболические G8). 8. Однолист-
Однолистные функции. Обратные функции (82). 9. Радикал, логарифм и аркси-
арксинус (84). 10, Ветви многозначных функций. Понятие о точках развет-
разветвления (86). П. Понятие о римановой поверхности (92).
§ 5. Конформное отображение 97
1. Геометрический смысл аргумента производной (97). 2. Геометриче-
Геометрический смысл модуля производной (99). 3. Конформное отображение
A00). 4. Конформное отображение II рода A00). 5. Геометрический
с,;ысл дифференциала A02). 6. Главная часть отображения w =
== / (г) A03).
Упражнения к гл. II 105
ГЛАВА III
ЛИНЕЙНЫЕ И ДРУГИЕ ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
(¦ 1. Линейная функция 108
I. Целая линейная функция A08). 2. Функция ш=Л1г A09). 3. Об-
Общая линейная функция A10). 4. Круговое свойство линейной функ-
функции A11). 5. Параметры и инвариант линейного преобразования A12).
6. Отображение верхней полуплоскости на самое себя A15). 7. Ин-
Инвариантность пары взаимно симметричных точек при линейном пре-
преобразовании A16). 8. Отображение круга на верхнюю полуплоскость
A17). 9. Отображение круга самого в себя A17). 10. Представление
литейного преобразования посредством симметричных отображе-
отображении A18). 11. Различные типы линейных преобразований A19).
12. Природа двойных точек A23). 13. Геометрическая интерпретация
эллиптического преобразования AД>). 14. Характер преобразования
круга самого в себя A25).
§ 2. ,пин;:нние преобразования и геометрия Лобачевского 127
1, Евклидово изображение геометрии Лобачевского в круге A27).
2. Вычисление неевклидова расстояния двух точек с дачными аффик-
аффиксами A28). 3. Неевклидова окружность A29). 4. Неевклидова длина
кривой A29). 5. Неевклидова площадь A30). 6. Горициклы A30).
7. Гиперциклы A30). 8. Евклидово изображение геометрии Лоба-
Лобачевского на полуплоскости A31). 9. Неевклидова длина окружности
A32). 10. Угол параллелизма в геометрии Лобачевского A33).
II. Неевклидовы площади круга и треугольника A34).

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 3. Некоторые элементарные функции и отображения, даваемые ими 135
1. Степенная функция и радикал A35). 2. Показательная и логариф-
логарифмическая функции A38).
Упражнения к гл. Ш 141
ГЛАВА IV
ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ
§ 1. Интегралы по комплексному переменному 143
1. Понятие интеграла по комплексному переменному A43). 2. Ос-
Основные свойства интеграла по комплексно.-лу переменному A45).
3. Интегрирование равномерно сходящегося ряда A46). 4. Теорема
Кош и A48).
§ 2. Теорема Коши 149
1. Основная лемма A49). 2. Приведение доказательства теоремы
Коши к простейшему случаю A51). 3. Доказательство теоремы Коши
A52). 4. Понятие неопределенного интеграла в комплексной области
A55). 5. Распространение теоремы Коши на случай сложных кон-
контуров A58). 6. Логарифмическая функция A60). 7. Лекш A63).
8. Обобщение теоремы Коши A64).
§ 3. Интеграл Коши 166
1. Формула Коши A66). 2. Распространение формулы Коши па слу-
случаи сложных контуров A68). 3. Интеграл типа Коши A69). 4. Сущест-
Существование производных всех порядков для функции, аналитической
в области A72). 5. Теорема Морера A73). 6. Различные точки зрения
в построении теории аналитических функций A73). 7. О предельных
значениях интеграла типа Коши A74). 8. О предельных значениях
интеграла типа Коши в случае, когда граничная функция удов-
удовлетворяет условию Гёльдера —Липшица A79). 9. Интеграл Пуассона
A85).
Упражнения к гл. IV 188
ГЛАВА V
РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ, РАЗЛОЖЕНИЕ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННОЙ РЯД
§ 1. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций 190
1. Первая теорема Вейерштрасса A90).
§ 2. Ряд Тейлора 195
1. Приложение теоремы Вейерштрасса к степенным рядам A95),
2. Разложение аналитической функции в степенной ряд A96). 3. По-
Понятие голоморфной функции и его эквивалентность с понятием ана-
аналитической функции A99). 4. Свойство единственности .аналитиче-
.аналитических функций B00). 5. Принцип максимального модуля B03). 6. Нули
аналитической функции B06). 7. Порядок нуля B07). 8, Неравенства
Коши для коэффициентов степенного ряда B07). 9. Теорема Лиу-
вилля B08). 10. Вторая теорема Вейерштрасса B08),
Упражнения к гл. V 209
ГЛАВА VI
ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНОЙ
ФУНКЦИИ
§ I. Ряд Лорана 211
1. Разложение аналитической функции в ряд Лорана B11). 2. Пра-
Правильная и главная части ряда Лорана B13). 3. Единственность раз-
разложения Лорана B14).

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Классификация особых точек однозначной функции 215
1. Три чипа изолированных особых точек B15). 1. Устранимая особая
точка B15). 3. Полюс B16). 4. Связь между нулем и полюсом B17).
5. Существенно особая точка B18). 6. Поведение функции в окрест-
окрестности изолированной особой точки B20).
§ 3. Поведение аналитической функции в бесконечности 22^1
1. Окрестность бесконечно удаленной точки B21). 2. Разложение
Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки B22). 3. Поведение
функции в окрестности бесконечно удаленной точки B23). 4. Усло-
Условия обращения интеграла типа Коши в интеграл Коши B24).
§ 4. Простейшие классы аналитических функций 224
I. Целые функции B24). 2. Меро.морфные функции B26). 3. Раз-
Разложение рациональной функции на простейшие дроби B27). А. Ос-
Основная теорема алгебры B27).
§ 5. Приложения к гидродинамике 227
1. Невихревой и свободный от источников поток жидкости B27).
2. Характеристическая функция потока B29). 3. Обтекание круглого
цилиндра потоком без циркуляции B30). 4. Чисто циркулярный по-
поток B32). 5. Общий случай B33).
Упражнения к гл. VI 234
ГЛАВА VII
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
§ 1. Общая теория вычетов 237
1. Вычет функции относительно изолированной особой точки B37).
2. Основная теорема о вычетах B38). 3. Вычисление вычета
функции относительно полюса B39). 4. Вычет функции относительно
бесконечно удаленной точки B40). 5. Вычисление интеграла
§ 2. Приложения теории вычетов 244
1. Основная георема алгебры B44). 2. Теорема Руше B45). 3. Прило-
Приложения теории вычетов к вычислению определенных интегралов B46).
Разложение ctg z на простейшие дроби B51).
Упражнения к гл. VII . • 255
ГЛАВА VIII
ТЕОРЕМА Л И КАРА
§ 1. Предложение Блоха 256
I. Теорема об обращении голоморфной функции B56). 2. Доказа-
Доказательство предложения Блоха B57)
§ 2. Теорема Ландау 259
1. Доказательство теоремы Ландау B59). 2. Малая теорема Пикара
B60).
§ 3. Неравенство Шоттки 261
1. Вывод неравенства Шоттки B61). 2. Обобщенное неравенство
Шоттки B62).
§ 4. Общая теорема Пикара 263
Упражнения к гл. VIII 264

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
Г Л А В А IX
БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ ИХ
К АНАЛИТИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ
§ 1. Бесконечные произведения 269
1. Сходящиеся и расходящиеся бесконечные произведения B65).
2. Основной критерий сходимости бесконечного произведения B66).
3. Изображение голоморфной функции в виде бесконечного про<
изведения B70).
§ 2, Приложения бесконечных произведений к теории целых функций 271
1. Формула Вейерштрасса B71). 2. Изображение целой функции в вида
бесконечного произведения B74). 3. Изображение мероморфной
функции в виде отношения двух целых функций B76). 4. Задача
Миттаг-Леффлера B77).
§ 3. Обобщение теоремы единственности аналитических функций. . . . 278
1. Возможные обобщения теоремы единственности аналитических
функций B78). 2. Формула Якоби и Иенсена B79). 3. Доказательство
теоремы единственности B81). 4. Невозможность дальнейшего обоб-
обобщения теоремы единственности для ограниченных функции B82).
Упражнения к гл. IX 283
ГЛАВА X
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
§ 1. Принцип аналитического продолжения 285
1. Понятие аналитического продолжения B85). 2. Понятие полной
аналитической функции в смысле Вейерштрасса B86). 3. Распростра-
Распространение функции действительного переменного на комплексную об-
область по принципу аналитического продолжения B90).
§ 2. Примеры 290
1. Примеры однозначных функций B90). 2. Примеры многозначных
функций B91).
Упражнения к гл. X 293
ГЛАВА XI
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
| I, Общие свойства эллиптических функций 294
1. Определение эллиптической функции B94). 2. Параллелограммы
периодов B95). 3. Основные теоремы B96). 4. Эллиптические функ-
функции второго порядка C01).
$ 2. Функции Вейерштрасса 303
1. Лемма C04). 2. Функции а, ? и f C04).
§ 3, Простейшие аналитические представления произвольной эллип-
эллиптической функции 311
, 1. Представление эллиптической функции в виде суммы простейших
' элементов C11). 2. Представление эллиптической функции в виде от-
отношения произведений элементарных множителей C13).
§ 4. Функции а/с • 314
§ 5. Эллиптические функции Якоби 317
§ 6. Функции тэта 319
1. Разложение целой периодической функции C19). 2. Функция 9 C20).
3. Функции 9ft C23). 4. Свойства функций тэта C26).

g ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 7. Представление эллиптических функций Якоби посредством функ-
функций тэта 330
§8. Формула сложения для эллиптических функций Якобн 331
Упражнения к гл. XI., 333
ГЛАВА XII
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
§ 1. Условия, определяющие конформное отображение 336
1. Отображение единичного круга самого на себя C36). 2. Условия,
определяющие единственность конформного отображения C38).
§ 2. Основные принципы теории конформного отображения 339
i. Принцип сохранения области C39). 2. Принцип взаимно однознач-
однозначного соответствия C44). 3. Принцип симметрии Римана — Шварца
C45). 4. Обобщение принципа симметрии C50). 5. Принцип Шварца
аналитического продолжения C51). 6. Принцип симметрии для гар-
гармонической функции C52). 7. Приложение принципа симметрии C54).
§ 3. Общие преобразования единичного круга во внутреннюю область 355
). Аналитическое выражение голоморфной функции, преобразующей
круг |z|<l do внутреннюю область C55). 2. Лемма Шварца C58).
3. Приложение леммы Шварца к оценке произзодной функции,
удовлетворяющей условиям леммы C60). 4. Общая форма леммы
Шварца C61). 5. Существование двойной точки преобразования C62).
§ 4. Единственность аналитических функций 363
1. Однозначное определение аналитической функции по ее гра-
граничным значениям C63). 2. Обобщение теоремы единственности C64).
§ 5. Конформные отображения на верхнюю полуплоскость областей,
ограниченных линиями второго порядка 365
1. Равносторонняя гипербола C65). 2. Парабола C67), 3. Гипербола
и эллипс C71). 4. Отображение внутренности эллипса на полуплос-
полуплоскость C75).
§ 6. Конформное отображение односвязных областей 376
1. Упрощение постановки теоремы Римана C78). 2. Вспомогательная
фуцкция и ее основные свойства C79). 3. Основная лемма C80).
4. Доказательство предложения Римана C81).
§7. Соответствие границ при конформном отображении 383
1. Постановка задачи C85). 2. Доказательство предложения о соот-
соответствии границ C86).
§ 8. Отображение прямоугольника и произвольного многоугольника
на верхнюю полуплоскость •. 389
!. Прямоугольник C89). 2. Эллиптическая функция Якоби C93).
'Л. Многоугольник C95). 4. Треугольник D00). 5. Отображение внеш-
внешней об.ч.'.сти многоугольника на верхнюю полуплоскость D04). . .
Упрл.кпешмт к'гл. XII 406
ГЛАВА XIII
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Проблема коэффициентов 407
1. Внутренняя теорема площадей D08). 2. Внешняя теорема площа-
площадей D10). 3. Верхняя граница для модуля коэффициента при 22 в раз-
разложении однолистной функции D11). 4. Константа Кебе D12). 5. Тео-
Теорема искажения D12). 6. Границы для модуля однолистной функции
D13). 7. Теорема вращения D15). 8. Общая граница для модулей

ОГЛАВЛЕНИЕ 9
коэффициентом ь разложении однолистной функции D16). 9. Общая
граница для модулей действительных коэффициентов в разложении
однолистной функции Di7).
§ 2. Границы выпуклости и зис.чдиобразносги 418
1. Граница выпуклости DКЦ). 2. Граница знездообразноаи D!9).
§ 3. Снойства функций, дающих однолистные конформные отображения
единичного круга на области специального вида ......... 420
1. Звездообразные и выпуклые функции D20). 2. Bepxi- не границы
модулей коэффициентов в разложениях выпуклой и звездообраз-
звездообразной функции D21).
§ 4. Экстремальные свойства функции, отображающей область на круг 423
1. Лемма D23). 2. Первая экстремальная проблема D25). 3. Вторая
экстремальная проблема D26).
Предметный указатель 429

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
В настоящем издании моей книги «Введение в теорию функций
комплексного переменного» частично переработан и дополнен текст
предыдущего издания. В этой работе принимал участие А. И. Мар-
кушевич, которому я выражаю глубокую благодарность.
И. Привалов
ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ
Существенным отличием этого издания от предыдущего яв-
является включение отдельной главы XI, посвященной изложению
элементов теории эллиптических функций.
И. Привалов
При подготовке девятого издания А. И. Маркушевич вновь
просмотрел весь текст книги и внес в него необходимые уточне-
уточнения и поправки.
Тринадцатое издание печатается без изменений.

ВВЕДЕНИЕ
Те операции, которые приходится рассматривать в матема-
математике, можно разделить на два класса: прямые и обратные. Так,
действию сложения соответствует обратное действие — вычита-
вычитание, умножению — деление, возведению в целую положитель-
положительную степень — извлечение корня.
Производя действие сложения над двумя любыми целыми поло-
положительными числами, мы в результате этого действия получим
всегда число также целое положительное; другими словами, от-
отправляясь от натурального ряда чисел, мы с помощью прямого
действия сложения не выходим за пределы этого ряда. Обратное
действие — вычитание — выводит нас за пределы совокупности
натуральных чисел и становится всегда выполнимым лишь после
присоединения к натуральному ряду нуля и целых отрицатель-
отрицательных чисел. Следующее обратное действие—деление — требует
для своей выполнимости дальнейшего обобщения понятия числа,
которое совершается путем введения дробных чисел. Совокуп-
Совокупность чисел целых и дробных, называемых рациональными чис-
числами, будет замкнутой по отношению к первым четырем основным
действиям алгебры: сложению, вычитанию, умножению и делению,
т. е. при выполнении любого из этих действий над двумя любыми
рациональными числами (кроме деления на нуль) мы в результате
получаем элемент той же совокупности — число рациональное.
Наконец, обратное действие — извлечение корня — даже в про-
простейшем случае квадратного радикала дает нам примеры, с одной
стороны, чисел действительных, но не рациональных, называемых
иррациональными числами, а с другой стороны, чисел вида
у \^—1, где у обозначает действительное число. Числа вида
у V~'—1. гДе .(/ — любое действительное число, не равное нулю,
называют чисто мнимыми.
Уже на приведенных примерах видно, что обратные операции
приводят нас к необходимости постепенного расширения понятия
числа. Если мы перейдем к обратной операции, более сложной,
нежели извлечение квадратного корня, — решению квадратного
уравнения вида аг2 + Ьг + с = 0, где a, b и с суть действительные
числа, то увидим, что корнями его будут числа вида х + у V—'»
где через х и у обозначены числа действительные. Такие числа
называются комплексными. В случае у = 0 комплексное число

12 ВВЕДЕНИЕ
обращается в действительное, при у Ф О оно называется мнимым,
а при х = О, у Ф О оно будет чисто мнимым. Совокупность
комплексных чисел содержит в себе действительные числа и пред-
представляет собою область, замкнутую по отношению ко всем мате-
математическим операциям. Так, например, из алгебры известно, что
корнями любого уравнения п-й степени с комплексными коэффи-
коэффициентами служат числа комплексные. Возможность производить
все математические операции в области комплексных чисел, не
выходя за пределы этой области, в значительной степени опреде-
определяет собою то огромное значение, какое эти числа имеют в мате-
математике.
В настоящей книге мы будем заниматься изучением свойств
функций комплексного переменного г = х + у V—1, где х и у
суть действительные независимые переменные. Функции комплекс-
комплексного переменного находят себе многочисленные приложения, с од-
одной стороны, в различных прикладных математических дисципли-
дисциплинах, как-то! теоретическая физика, гидродинамика, теория упру-
упругости, небесная механика, с другой стороны, в различных отделах
чистой математики, как-то! алгебра, аналитическая теории чисел,
дифференциальные уравнения и др. Кроме того, теория функций
комплексного переменного представляет собою логически строй-
стройное и гармонически связное здание, и знакомство с основными во-
вопросами этой теории, бесспорно, является необходимым элемен-
элементом математического образования.
Чтобы отметить мощность методов функций комплексного пере-
переменного, я ограничусь указанием лишь на некоторые крупные
достижения, сделанные в области чистой математики с помощью
этих методов: труднейшие проблемы распределения простых чи-
чисел ставятся в зависимость от распределения нулей некоторой
функции комплексного переменного; проблема Варинга об изоб-
изображении всякого целого положительного числа в виде суммы
ограниченного числа любых степеней решена на основании мето-
методов функций комплексного переменного; труднейшая проблема
небесной механики, так называемая задача «о трех телах», в об-
общем виде разрешена путем привлечения методов комплексного
анализа. Наконец, можно указать многочисленные примеры из
основных отделов математики, хорошо знакомых читателю,
с целью мотивировать то громадное значение и ту исключитель-
исключительную роль, которые свойственны функциям комплексного перемен-
переменного.
Ограничимся приведением лишь немногих примеров. Так,
предложение о том, что всякое алгебраическое уравнение имеет
по крайней мере один комплексный корень, является основным
в алгебре. Далее, из интегрального исчисления хорошо известно
о значении, какое имеют комплексные числа при интегрировании
рациональных функций и решении линейных дифференциальных
уравнений g постоянными коэффициентами. Необходимо также

ВВЕДЕНИЕ 13
указать, что многие вопросы классического анализа получили
ясное очертание и нашли свое полное решение лишь благодаря
обращению к комплексному анализу. Так, известное тождество
Эйлера eix = cos x -f- i sin x позволило ему раскрыть парадоко
И. Бернулли и Лейбница, заключающийся в следующем.
Замечая, что
разложим дробь i , xi на простейшие дроби *)
= ' / ¦ L_\
li \x — i x + i Г
и, проинтегрировав, найдем:
1 , X — (
Полагая здесь х = 1, получим:
--5Г1п(-1J = ^-1п1=0, т.е. -^ = 0.
Зйлер раскрыл этот парадокс, показав периодичность показа-
показательной функции ег. Действительно, заменяя в тождестве Эйлера
х через — iz, получим:
ег — cos (—iz) + i sin (—iz) = cos iz — i sin iz. (I)
Заменяя в последнем равенстве г через г + 2ш, имеем;
?2+2л: = cos (iZ _ 2л) — i sin (iz — 2л) == cos iz — i sin (г = e2 2),
т. е. функция е2 не меняет своего значения при замене г на г + 2я;,
иными словами, 2т' есть период этой функции. Определяя нату-
натуральный логарифм z — In w из равенства ег — w, мы видим вслед-
вследствие периодичности е2, что определенному значению w соответ-
соответствует бесчисленное множество различных значений z = In w,
разнящихся друг от друга на кратное 2ш. Если w > 0, то одно
значение г = 1п w действительное, все остальные мнимые; в случае
1) В дальнейшем символом i обозначается -j/—1.
2) Здесь мы воспользовались периодичностью синуса и косинуса от ком-
комплексного переменного. Это будет доказано в гл. II, § 4, п. 7.

14 ВВЕДЕНИЕ
Же w < 0 все без исключения значения г — In w суть мнимые.
Таким образом, логарифмическая функция есть многозначная, и
парадокс исчезает, если примем In ! = 2ш.
Тождество Эйлера вскрывает зависимость между функциями
тригонометрической и показательной. Далее,, из формулы A) за-
заменой z на — г получаем:
е-* = cos iz + i sin iz. B)
Путем сложения и вычитания тождеств A) и B) находим!
, ег + е-г . . ег~е-г
сп г = —^ = cos jz, sin 2 = т = —( sin tz,
что дает выражения гиперболических синуса и косинуса через три-
тригонометрические и, таким образом, позволяет получить все фор-
формулы гиперболической тригонометрии, отправляясь от формул
обычной тригонометрии.
Укажем еще на один факт из теории степенных рядов, полное
объяснение которого может быть дано лишь с точки зрения функ-
функций комплексного переменного. Из анализа известно, что разло-
разложение
-_L_ = 1 _ г + X4 - Xй + . ¦ .
имеет место лишь при значениях х, удовлетворяющих неравенству
| а: | < 1. Оставаясь в области действительного переменного я, мы
не в состоянии раскрыть связи между природой функции и фактом
сходимости изображающего ее ряда лишь при значениях х, удов-
удовлетворяющих условию —1 < х < +1. В самом деле, функция
1
i определена для всех значении х в промежутке от —оо до
+ оо, и значения независимого переменного —1 и +1 не являются
для нее исключительными. Отсюда нельзя понять, почему ряд
1 — х2 + л:4 — х6 + • ¦ • перестает сходиться при значениях х,
удовлетворяющих неравенствам х <; —1 и х^ + 1. Картина
этого явления, однако, вполне выясняется, если рассматривать его
в комплексной области. Действительно, знаменатель дроби t x%
обращается в нуль при х = ±(, и следовательно, эти два значения
независимого переменного являются особыми для нашей функции.
Изображая комплексное число а = а + Ы точкой на плоскости
с координатами а и Ь и замечая, что расстояния вышеотмеченных
особых точек от начала координат равны единице, мы заключаем:
данная функция не имеет особых точек внутри круга с центром
в начале координат радиуса единица, в то время как на его окруж-
окружности имеются особые точки этой функции. Это обстоятельство,

ВВЕДЕНИЕ 15
как далее обнаружим, обусловливает расходимость данного ряда
для значений х, модуль которых больше единицы
В заключение несколько слов о плане настоящего курса. В пер-
первых главах мы будем заниматься развитием в комплексной области
известных из действительного анализа основных понятий и опера-
операций, как-то: предела, производной, интеграла; таким образом,
будем строить по аналогии с действительной областью аналитиче-
аналитический аппарат для исследования функций комплексного перемен-
переменного. Построив этот фундамент, мы перейдем к выяснению основ-
основных свойств класса дифференцируемых функций комплексного
переменного, называемых аналитическими, т. е. изложим наиболее
важные отделы теории таких функций.

ГЛАВА I
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1.Комплексные числа и действия над ними
1. Понятие комплексного числа. Комплексным числом а назы-
называется пара действительных чисел а и Ь, взятых в определенном
порядке: а = (а, Ь). Если 6 = 0, соответствующую пару мы усло-
условимся кратко обозначать через о, полагая (а, 0) = а. Таким обра-
образом, совокупность всех действительных чисел является частью
совокупности всех комплексных чисел. После введения понятия
комплексного числа как пары действительных чисел определим
основные операции над этими числами.
Так как совокупность всех действительных чисел является
частью области всех комплексных чисел, то при установлении
основных арифметических операций над комплексными числами
мы должны потребовать, чтобы эти операции, будучи применены
к действительным числам, давали в результате те же числа, какие
получаются в арифметике действительных чисел. С другой сто-
стороны, если мы хотим, чтобы комплексные числа имели универ-
универсальное применение в вопросах анализа, мы должны потребовать,
чтобы вводимые основные операции над ними удовлетворяли
обычным аксиомам арифметики действительных чисел,
2. Сложение и умножение комплексных чисел. Сложение двух
комплексных чисел а = (a, b), р1 = (с, с/) мы определим с по-
помощью равенств
а + р = (а + с, Ъ + d). (Г)
Применяя это определение к двум действительным числам а и с,
найдем:
(а, 0) + (с, 0) = (а + с, 0) = а + с,
т. е. первое требование, накладываемое нами на вводимые опера-
операции, выполняется в отношении сложения.
Умножение двух комплексных чисел а и р1 определим с по-
помощью равенства
ар = (ac — bd, ad + be). (II)
Это определение, будучи применимо к двум действительным чис-
числам а и с, дает (а, 0) (с, 0) = (ас, 0) = ас, т. е. действие умноже-

§ 11 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 17
ния не приводит к противоречию с арифметикой действительных
чисел. Пользуясь определениями (I) и (II), легко проверить, что
операции сложения и умножения комплексных чисел подчиняются
известным пяти законам арифметики:
1) коммутативность сложения: а + р1 = {) -f- а,
2) коммутативность умножения: оф = \5а,
3) ассоциативность сложения: а + (?> -f v) =: (а "Ь Р) + У,
4) ассоциативность умножения: а фу) = (ар) у,
5) дистрибутивность умножения относительно сложения;
а ф + у) = ар + аТ.
Читателю рекомендуется проверить справедливость всех этих за-
законов в области комплексных чисел.
В операциях с комплексными числами особую роль играет
число, изображаемое парой @, 1) и обозначаемое буквой L Воз-
Возводя эту пару в квадрат, что сводится к умножению ее на самое
себя, получаем в силу определения (II):
(О, 1) @, 1) - (-1, 0) = -1,
т. е. г = —1, откуда берет свое начало обозначение i=-\f—Ь
Заметив это, мы,всякое комплексное число можем записать так!
а = (а, Ь) = (а, 0) + @, Ь) = (а, 0) + (Ь, 0) @, 1) = а + Ы,
т. е. всякое комплексное число а = (а, Ь) может быть предста-
представлено в виде суммы действительного числа а и чисто мнимого
числа Ы.
Принято называть а действительной частью комплексного
числа а и обозначать через R (а) (от французского слова reelle),
b — коэффициентом при мнимой части числа а и обозначить через
/ (а) (от французского слова imaginaire). Очевидно, если / (а) =
= 0, то комплексное число а обращается в дейстЕ.ительное число,
если R (а) = 0 — в чисто мнимое. Два комплексных числа, по
определению, называются равными, если равны между собой их
действительные части и равны их мнимые части.
Два комплексных числа, имеющих одну и ту же первую ком-
компоненту, но противоположные по знаку вторые компоненты, на-
называются сопряз/сенными и обозначаются так:
а = а -\- Ы, а — а — Ы.
Как частный случай равенства (II) отметим закон умножения
двух сопряженных чисел а-а = а2 -f b".
В арифметике модулем сложения называется такое число, от
прибавления которого результат не меняется — число 0; анало-
аналогично 1 есть модуль умножения, т. е. число, от умножения на
которое результат не меняется. Покажем, что в области всех ком-
комплексных чисел имеется один модуль сложения — число 0 и один
модуль умножения — число 1.

18 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА (ГЛ. 1
Действительно, пусть б есть модуль сложения, т. е.
а + б = а, A)
где а — произвольное комплексное число. Покажем, что такое
число б существует и притом единственное. Прибавляя к обеим
частям равенства A) число — а ~ а- —1, получим: 6 = 0.
Пусть, далее, е есть модуль умножения, т. е.
аг = а, B)
где а Ф0. Умножая обе части равенства B) на число р = д2 " а ,
получим:
1 _ 1
'а2 + Ь* 'att'e~'a2 + fc2 'aa"
Так как а а = а2 + Ь2, то отсюда следует: е = 1.
На основании определения (II) произведение двух комплекс-
комплексных чисел есть нуль, если хотя бы один из сомножителей равен
нулю. Справедливо и обратное положение: если произведение двух
комплексных чисел равно нулю, то по крайней мере один из сомно-
сомножителей есть нуль. В самом деле, пусть сс-? == 0, а Ф 0. Умножая
обе части этого равенства на число р = ¦ 2 .2 , получим: 1 = 0.
3. Вычитание и деление комплексных чисел. Вычитание опре-
определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух ком-
комплексных чисел р = с + di и a = а + Ы мы называем, по опре-
определению, число г, удовлетворяющее равенстЕ;у
a + г = р. C)
Покажем, что операция вычитания однозначно выполняется
в области комплексных чисел. Прибавим к обеим частям равенства
C) число —а, получим:
г = Р + (—а) = р — а = с — а + (d — b) i.
Наконец, деление есть действие, обратное умножению. Так,
1
под символом — (афО) мы, по определению, понимаем число г,
удовлетворяющее равенству
a.-z = 1. D)
Умножая обе части равенства D) на число ¦ д2 " 2 , найдем!
a
а2 + ь2 •
л
Частное двух комплексных чисел р и а мы обозначим через -?-,
полагая
а

$2] ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ.КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 19
Итак, деление, за исключением деления на нуль, всегда и при-
притом однозначно выполняется в области комплексных чисел.
Равенства
(а - Ы) + (с - di) = (а + с) - ф + d) i,
(а — Ы) (с — di) = {ас — bd) — (ad + be) I,
будучи срав-нены с равенствами (I) и (II), показывают, что если
в сумме или произведении двух комплексных чисел заменим сла-
слагаемые или сомножители сопряженными им числами, то в резуль-
результате получим числа сопряженные. Так как вычитание и деление
являются действиями, обратными по отношению к сложению и
умножению, то то же заключение справедливо и в отношении этих
действий. Таким образом, если каждому комплексному числу мы
приведем в соответствие его сопряженное число, то получим ото-
отображение системы всех комплексных чисел на самое себя с тем
свойством, что уравнения
ft
« + P = V. a —p = v, a-P = Y. ^ '¦= V
остаются справедливыми, если заменить входящие в них числа им
сопряженными. Отсюда, в частности, вытекает, что всякое равен-
равенство между комплексными числами, обе части котэрого содержат
действия сложения, вычитания, умножения и деления, не нару-
нарушается, если каждое из комплексных чисел заменить сопряжен-
сопряженным с ним числом.
§ 2. Геометрическое изображение комплексных чисел.
Теоремы о модуле и аргументе
1. Геометрическое изображение комплексных чисел. Всякое
комплексное число а = (а, Ь) мы можем изображать как точку на
плоскости с координатами аи b (рис. 1). Число а
называют аффиксом этой точки. В дальнейшем
точку с аффиксом а мы часто будем обозначать
через а. Плоскость, точки которой изобра-
изображают комплексные числа, называют комплекс-
комплексной числовой плоскостью. Начало координат,
которому соответствует число 0, называют ну-
нулевой точкой. При таком изображении комп-
лексных чисел действительные числа изобража-
изображаются точками оси абсцисс, точки же оси ординат Рис- '•
представляют чисто мнимые числа. Поэтому ось
абсцисс называют действительной осью, ось ординат ¦— мнимой
Осью. Комплексное число а можно также изображать вектором,
начало которого находится в нулевой точке, а конец — в точке а
(рис. 1). При таком изображении комплексного числа его действи-
к

20
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
[ГЛ. I
тельная часть а и коэффициент при мнимой части b являются проек-
проекциями изображающего вектора на действительную и мнимую оси.
2. Геометрическое истолкование сложения и вычитания ком-
комплексных чисел. Чтобы дать геометрическую интерпретацию суммы
двух комплексных чисел а и р, представим эти числа в виде соот-
соответствующих векторов. Тогда сумма а + C изобразится вектором,
компоненты которого равны суммам соответствующих компонент
векторов а и Р (согласно определению сложения), т. е. число а + J3
представится диагональю параллелограмма, построенного на век-
векторах аир как сторонах (рис. 2).
1*
Л
¦J3-CC
Рис. 2.
Рис. 3.
Заметив, что р1 — а = (i + (—а), мы должны сложить по пра-
правилу параллелограмма два вектора р н —а; в результате полу-
получится вектор, изображающий разность р — а (рис. 3).
3. Понятие о модуле и аргументе. Прежде чем дать геометри-
геометрическое истолкование операций умножения и деления, мы позна-
познакомимся с представлением комплексного числа в тригонометри-
тригонометрической форме. Расстояние г точки а от нулевой точки, т. е. длина
вектора а, будет
г = -|/д2 -f- ft2 =
o: ¦ а.
Это положительное число г называется модулем комплексного
числа ос и обозначается через | а |; в случае действительного числа
а модуль, очевидно, совпадает с абсолютной величиной а. Числа,
имеющие один и тот же модуль г, изображаются, очевидно, точ-
точками окружности радиуса г с центром в нулевой точке. Число О
есть единственное комплексное число с модулем, равным нулю.
Направление Еектора а определяется с помощью угла ср между
положительным направлением оси Ох и направлением этого
вектора; следовательно, <р изображает угол, на который нужно
повернуть положительное направление оси Ох, чтобы оно совпало
с направлением вектора а, считая этот угол положительным, если
вращение совершается против часовой стрелки, и отрицательным—
в противном случае. Это число ф называется аргументом ком-

§ 2] ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 21
плексного числа а и обозначается через argot (рис 4). Очевидно,
что
ь I' а
Для каждого числа а его аргумент ф имеет бесконечное мно-
множество значений, отличающихся друг от друга на кратное 2л.
Число 0 есть единственное комплексное ;/ х
число, аргумент которого неопределен-
неопределенный. Так как г и ф являются полярными
координатами точки а = (а, Ь), то имеем:
а — г cos ф, b — г sin ф, и, следовательно,
а = г (cos ф + i sin ф).
Эта форма комплексного числа носит название тригонометриче-
тригонометрической.
4. Теоремы о модуле и аргументе. Составляя произведение двух
комплексных чисел
а — г (cos ф + i sin ф), Р = р (cos а|) + / sin \|з),
получим;
ар = ф (cos ф -f- i sin ф) (costp -f- i sinxj;) =
= ф [cos (ф + i|)) -f- / sin (ф -f-1|))].
Отсюда заключаем;
т. е. модуль произведения двух комплексных чисел равен произведе-
произведению их модулей, аргумент произведения двух комплексных чисел
равен сумме аргументов сомножителей.
Пользуясь векторами для изображения комплексных чисел,
можно сказать, что вектор произведения ар получается из вектора
множимого а путем поворота последнего на угол arg P и растяже-
растяжения в | р" | раз. В частном случае, когда | ji | = 1, умножение сво-
сводится к простому повороту: так, например, умножению на ('соот-
('соответствует поворот на 90°, а умножению на —1 — поворот на 180°.
В случае, когда arg fi = 0 ф — число положительное), умноже-
умножение сводится к одному лишь растяжению.
Равенства E) легко распространяются на случай произведе-
произведения сф7 ... ^ произвольного числа комплексных сомножителей.
Для такого произведения имеют место равенства
|ар?..-Я| = |а|.|р|.М-.'|Н
arg («p ...?„) = arg a + arg p -f-. \- arg I,
и, в частности, если все сомножители равны между собой,
|ал| = |а|", arg (а") = п arg а. F)

22 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1ГЛ. I
Равенства F) выражают так называемую формулу Муавра:
[г (cos ф + i sin ф) ]" = г" (cos пц> -\- i sin mp). F')
Полагая а = г (cos ф + i sin ф), мы определим \' а, как комплекс-
комплексное число, которое, будучи возведено в степень п, равно а. Модуль
этого числа, очевидно, будет равен у г, аргумент же будет равен
———, где k — любое целое число. Давая к значения 0, 1,2, ...
..., п — 1, получим п различных значений аргумента выражения
у а; следовательно, у а имеет п различных значении согласно
формуле
у а =-1/ г (^cos-2-^ 1-tsin-i^ j (A = 0, 1, 2, .... п~ 1).
F")
Геометрически эти п значений выражения уЛа, очевидно, изобра-
изобразятся вершинами некоторого правильного л-угольника, внисан-
П г-
ного в окружность, с центром в нулевой точке, радиуса у г.
Заметив, что по определению частного
Р =-?-•«
находим из E):
откуда
i
| ее I
т. е. модуль частного двух комплексных чисел равен частному их
модулей, и
(?) (8)
т. е. аргумент частного двух комплексных чисел равен разности
аргументов делимого и делителя.
Из рис. 2 мы усматриваем, что модуль суммы двух комплексных
чисел меньше или равен сумме модулей слагаемых, так как в тре-
треугольнике любая сторона меньше суммы двух других сторон
(знак равенства может быть в случае, когда треугольник обра-
обращается в отрезок);
(9)
Из рис. 3 мы видим, что разность р — а двух комплексных чи-
чисел может быть изображена вектором, начало которого находится
в точке а и конец в точке р, так как такой вектор эквивалентен

§ 2] ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 23
вектору с началом в нулевой точке и концом в точке р* — а. Сле-
Следовательно, модуль разности Р — а равен расстоянию между
точками а и р; далее, модуль разности двух комплексных чисел
больше или равен разности их модулей:
|Р-а|^|Р|-|а|, A0)
так как в треугольнике Осф (рис. 3) сторона ар больше разности
двух других сторон (равенство может быть в случае, если треуголь-
треугольник обращается в отрезок).
5. Геометрическое изображение числа —« Покажем, как из
точки а можно получить точку —. С этой целью построим сначала
точку, изображающую число Р = -^;
так как IPHy^ или |а|.|Р|=1 и
arg p = —arg a = arg а, то точка р по-
получается из точки а путем применения
преобразования инверсии, состоящего
в следующем; на луче Оа отыскиваем
точку Р на расстоянии от О,
Если |а| < 1, то это построение можно р11С> 5.
выполнить так. Описывая из нулевой
точки как центра окружность радиуса
единица, соединяем прямой линией ее центр с точкой а и вос-
восставляем в этой точке перпендикуляр к проведенной прямой
до пересечения в точке Т с окружностью; проводя, наконец, каса-
касательную к окружности в точке Т, получим в пересечении ее с пря-
прямой Оа искомую точку р (рис. 5).
I ft I
Действительно, из треугольника ОТР (рис. 5) находим: J-p- —
— -r^j, или |а|-|Р| = 1; с другой стороны, очевидно, имеем!
arg р = arg а.
Такие две точки аир называют взаимно симметричными отно-
относительно окружности с центром в нулевой точке радиуса единица1).
Заметив, далее, что — = 6, мы должны выполнить симметриче-
ское отображение точки р относительно действительной оси,
чтобы получить искомую точку — (рис. 5).
Ч Беря окружность в центром в нулевой точка радиуса R и выполняя
то же построение, мы получим из точки а точку (J = —.
Точки а и Р называются взаимно симметричными относительно упомя-
вутой окружности.

24
КОМ 11Л Е КС, К Ы Е Ч МСЛ А
I Л. I
6. Геометрическое построение произведения и частного ком-
комплексных чисел. Рассмотрим шесть комплексных чисел а, а', а",
Р, Р', Р"> связанных условием
"" — а _ Р" — Р /in
а'_« ~ р'-Р " AU
Числа а, а', а" служат вершинами одного треугольника; числа
Р, р", р"" являются вершинами другого треугольника (рис. 6).
Условие A1) выражает тот факт, что эти два треугольника по-
подобны между собой и одинаково расположены. Действительно,
из условия A1) следует, если мы вычтем по 1
из его обеих частей:
а" —а' В" —В'
а' — а р' — р
Переходя к модулям получим следующее
соотношение:
I
I f I
| ct — а |
| а —а | =
т. е. стороны треугольника аа а пропор-
пропорциональны соответствующим сторонам тре-
р»^- "• угольника РР'р", что доказывает подобие
треугольников. Докажем теперь, что наши
треугольники одинаково расположены, т. е. если угол при вер-
вершине а. в треугольнике аа'а" отсчитывается от стороны аа' к сто-
стороне аа" по направлению часовой стрелки (или против направ-
направления часовой стрелки), то и угол при вершине р в треуголь-
треугольнике РР'Р" отсчитывается от стороны РР' к стороне РР" в том же
направления. Действительно, из условия A1) следует:
arg (а" — а) - arg (а' - а) = arg (Р" - р) - arg ф' - Р).
Но левая часть изображает по величине и направлению угол при
вершине а в треугольнике аа'а", отсчитываемый от стороны аа'
к стороне аа", а правая часть изображает также по величине и на-
направлению угол при вершине р в треугольнике РР'Р", отсчитывае-
отсчитываемый от стороны РР' к стороне РР". Из этого равенства и следует
наше утверждение.
Если из точек а, а', а", р, Р', Р" даны, например, первые пять
точек, то легко построить шестую:
а — а
а' — а
A1')
Для этого необходимо построить треугольник РР'Р" с данной д
роной РР', который был бы подобен и одинаково расположен с тре-
треугольником аа'а'.

§ 3]
ПРЕДЕЛЫ
25
Принимая, в частности, f> = 0, а = 0, с' — 1, мы получим
построение произведения fi'-a", а выбору р = 0, р" = 1, a = О
будет соответствовать построение частного -^V.
§ 3. Пределы
1. Основной принцип теории пределов. После того как мы
ввели понятие комплексного числа и определили основные
алгебраические операции для комплексных чисел, мы должны
заняться рассмотрением основной операции анализа бесконечно
малых — перехода к пределу в комплексной области. Вся теория
пределов действительных чисел может быть построена на одном
принципе, который в своей геометрической форме выражается
таким образом.
Пусть дана на числовой прямой последовательность отрезков
*ii h> •¦•• i'n. •••¦ из которых каждый содержит следующий, и
пусть длины этих отрезков стре-
стремятся к нулю при неограниченном
возрастании номера п. Существует
одна и только одна точка, ко-
которая принадлежит всем от-
отрезкам данной последовательности
(рис. 7).
Заметим, что две различные
точки s и s' не могут принадлежать
а у
Рис. 7.
n
0
-
-H
i i
I 1 i
1 1 1
] ]
i i i
i
!
Р*с. 8.
всем отрезкам: действительно, в противном случае длины всех
отрезков in были бы не меньше положительного расстояния между
точками s и s', что невозможно, так как с неограниченным возрас-
возрастанием п длина отрезка in стремится к нулю. Следовательно, двух
точек, общих всем отрезкам нашей последовательности, существо-
существовать не может; существование же одной такой точки доказывается
в теории иррациональных чисел. Этот принцип выражает свой-
свойство непрерывности числовой прямой.
Этот ^принцип легко распространяется на случай комплексной
числовой плоскости. Пусть дана на плоскости последовательность
прямоугольников i\, гг, ..., гп, ... со сторонами, параллельными
осям координат, из которых каждый содержит следующий, и пусть
диагональ прямоугольника гЛ стремится к нулю при неограничен-
неограниченном возрастании номера п (рис. 8). Существует единственная
точка, принадлежащая всем прямоугольникам данной последова-
последовательности.

26 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. t
Для доказательства этого принципа рассмотрим проекции всех
прямоугольников гп на действительную и мнимую оси. На дейст-
действительной оси мы получим последовательность отрезков iu iit ...
..., in, ..., из которых каждый отрезок содержит следующий;
на мнимой оси мы также получим последовательность отрезков
/i. /2. •••• in, ••• таких, что каждый отрезок содержит следующий.
Так как по условию диагональ прямоугольника гп стремится
к нулю при неограниченном возрастании п, то длины отрезков in
и \п должны также стремиться к нулю. По вышеупомянутому прин-
принципу на действительной оси существует одна точка а*, принадле-
принадлежащая всем отрезкам in; по тому же принципу на мнимой оси су-
существует единственная точка Ь*, принадлежащая всем отрезкам /'„.
Очевидно, точка плоскости с координатами а*, Ь* принадлежит
всем прямоугольникам гп.
Такая точка есть единственная, т. е. не может существовать
двух различных точек, принадлежащих всем прямоугольникам
гп. Действительно, расстояние между этими точками было бы не
больше диагонали прямоугольника гп, что невозможно, так как
по условию эта последняя стремится к нулю при неограниченном
возрастании п.
Этот принцип мы положим в основу теории пределов комплекс-
пых чисел.
2. Понятие предельной точки. Пусть имеем бесконечную по-
последовательность комплексных чисел
гь гг, ..., гп, ... A2)
Мы назовем число г предельным числом для данной последователь-
последовательности A2), если оно удовлетворяет условию: при любом положи-
положительном сколь угодно малом е неравенство
\г — г„ | < е выполняется для бесконечного
множества натуральных чисел п. Этому
определению предельного комплексного числа
можно придать геометрическую форму, если
числа гъ г2, ..., гп, ..., г рассматривать как
точки числовой плоскости. Будем называть
_ любой круг с центром в точке г окрестностью
Т Т этой точки. Заметив, что|;г — гп | есть расстоя-
и ' .' ние между точками г и гп, мы скажем, что
точка г есть предельная точка для последова-
последовательности точек zlt z2, ..., zn если в сколь угодно малой
окрестности точки z лежат точки, изображающие' бесконечное
множество членов данной последовательности A2). Другими
словами, около предельной точки г образуется сгусток точек иа
последовательности гъ z2, ..., zn, ... (рис. 9).
Примечание. Числа последовательности A2), равные между собок^
изображаются одной и той же точкой, называемой кратной,точкой. Кратности
точки равна числу равных чисел, изображением которых она является; в ^

$ 3] ПРЕДЕЛЫ 27
ноети, кратность точки может оказаться бесконечной, если среди чисел данной
последовательности имеется бесконечное множество равных уежду собой. Каждая
точка считается за столько точек, какова ее кратность. Так, например, последо-
последовательность точек 1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, ..., имеет единственную предельную точку 0.
Может случиться, что последовательность точек не имеет предельной точки,
как, например, последовательность 1, 2, 3, ..., п, ... Бывают случаи, когда
последовательность имеет несколько предельных точек, как, например, после-
последовательность 1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 4/5, ..., которая имеет две пре-
предельные точки: 0 и 1, причем первая точка не принадлежит последовательности,
вторая же есть элемент последовательности.
3. Ограниченные и неограниченные последовательности комп-
комплексных чисел. Пример последовательности 1, 2, 3, ..., п, ...,
не имеющей предельной точки, харак- у
терен тем, что точки этой последова-
последовательности уходят в бесконечность. Мы
будем называть последовательность
комплексных чисел ограниченной, если
модули всех чисел этой последователь-
последовательности остаются меньше некоторого по-
положительного числа Mi
\2а\<М.
В противном случае последователь-
последовательность чисел носит название неограни- Рис 10.
ценной. Заметим, что в случае ограни-
ограниченной последовательности точек существует круг с центром в ну-
нулевой точке достаточно большого постоянного радиуса М, внутри
которого лежат все точки данной последовательности (рис. 10).
Неограниченная последовательность точек, как мы видели на
примере, может не иметь предельной точки. Этого обстоятельства
не может представиться в случае ограниченной последователь-
последовательности точек, как это следует из теоремы Больцано—Вейерштрасса.
4. Теорема Больцано—Вейерштрасса. Всякая бесконечная огра-
ограниченная последовательность точек имеет по крайней мере одну
предельную точку. Это положение теории пределов мы докажем,
воспользовавшись вышеустановленным принцилом вложенных
прямоугольников (п. 1).
Пусть имеем ограниченную последовательность точек
гъ г2, ..., гп, ... A2)
Все точки этой последовательности лежат внутри некоторого
прямоугольника г1 со сторонами, параллельными осям координат.
Разделив стороны прямоугольника г1 пополам л соединяя сере-
середины противоположных сторон, мы разобьем прямоугольник г,
на четыре конгруэнтных прямоугольника (рис. 11). Среди этих
четырех прямоугольников имеется по крайней мере один, содер-
содержащий бесконечное множество точек данной последовательности
A2), так как в противном случае в прямоугольнике ^ было бы

28 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. I
конечное число точек последовательности A2). Назовем этот пря-
прямоугольник Го и разделим его снова тем же способом на четыре
конгруэнтных прямоугольника. По крайней мере в одном из них,
назовем его г3, будет снова лежат бесконечное множество точек
данной последовательности A2). Снова разделив его на четыре
конгруэнтных прямоугольника, найдем новый прямоугольник г4
и т. д. Продолжая этот процесс неограниченно, мы получим бес-
бесконечную последовательность пря-
прямоугольников л,, г2, га, .., каждый
из которых содержит следующий,
с диагоналями, стремящимися к нулю,
и таких, что каждому прямоуголь-
прямоугольнику гп принадлежит бесконечное
множество точек данной последо-
Рис. п. вательностн (каждая точка считается
столько раз, какова ее кратность).
На основании принципа вложенных прямоугольников (п. 1) мы
заключаем, что существует точка, принадлежащая всем прямо-
прямоугольникам гп. Эта точка будет предельной для данной последо-
последовательности точек. В самом деле, описав около этой точки как
центра окружность произвольно малого радиуса е, мы видим, что,
начиная с некоторого достаточно большого п, все прямоуголь-
прямоугольники*/^ будут лежать внутри этой окружности, и так как в каждом
прямоугольнике гп имеется бесконечное множество точек данной
последовательности, то и внутри проведенной окружности будет
находиться бесконечное множество таких точек. Следовательно,
построенная точка есть предельная для данной последователь-
последовательности точек A2), чем и доказывается наша теорема.
5. Понятие сходящейся последовательности комплексных чисел.
Мы только что показали, что всякая ограниченная последователь-
последовательность чисел имеет по крайней мере одно предельное число.
Если ограниченная последовательность чисел
г у, г.г, ..., гп, ... A2)
имеет единственное предельное число г, то говорят, что эта после-
последовательность сходится к числу г, и символически это обозначают
так:
lim г„ = г.
п-*оо
Следовательно, согласно определению сходящаяся последователь-
последовательность точек удовлетворяет двум условиям:
1) зта последовательность ограничена;
2) эта последовательность имеет единственную предельную
точку.
Вспомнив определение предельной точки (п. 2), легко выразить
с помощью неравенства сходимость последовательности чисел A2)
к числу г: при любол1 сколь угодно малом положительном е неравен-

$ з] предслы 29
ство \г — гп\ < е удовлетворяется, начиная с некоторого доста-
достаточно большого п, или, что то же,
lim | г — г„ | = 0.
Геометрически; последовательность точек, гп сходится к точке
г, если все точки этой последовательности, кроме, быть может,
конечного числа точек, лежат внутри сколь угодно малой окрест-
окрестности точки г.
6. Основные теоремы теории пределов. Пользуясь установлен-
установленным понятием предела последовательности комплексных чисел, мы
можем перенести в комплексную область известные теоремы о пре-
пределах последовательностей действительных чисел. Так, если две
данные последовательности комплексных чисел
г[, 22, . . ., гп . . .; г\, z2 г,',, , . . A3)
сходятся соответственно к числам г и г', то, образуя новую после-
последовательность чисел
wx, w2, ..., wn, ..., A4)
где положено wn ~ гп ± z'n или wn = гп-г'п, или wn — -г- (в по-
гп
следнем случае г'п ф 0), мы убеждаемся, что эта последователь-
последовательность A4) сходится и имеет своим пределом w, причем w ~ г ± 2
или w = z-г', или w — -4- (в последнем случае предполагается
г' Ф 0), т. е.
lim (г„ ± г„) = lim zn ± Hm z'n;
lim гпг'п ~ lim гп- lim г'п;
На доказательстве этих элементарных теорем теории пределов мы
не останавливаемся, так как оно проводится аналогично доказа-
доказательству соответствующих предложений теории пределов действи-
действительных чисел.
7. Критерий Коши. Как известно из основ теории пределов,
Кошм дал критерий, характеризующий сходящуюся последова-
последовательность чисел.Этот признак Коши состоит в следующем: условие,
необходимое и достаточное для сходимости последовательности
комплексных чисел
заключается в том, чтобы при всяком сколь угодно малом положи-
положительном е существовало натуральное число N ¦¦= N (е) такое,
что неравенство \ ?N+m — г^ | < е выполняется, каково бы ни было
натуральное число т.

30 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. I
Геометрически этот критерий означает, что последовательность
точек гп будет сходящейся лишь в том случае, если все ее точки,
начиная с номера N, N = N (е), лежат внутри круга о центром
в точке zN радиуса е.
Необходимость этого условия доказывается весьма легко.
В самом деле, если lim гп = г, то найдется такое число N =
п-*оо
= N (-х-), что при га 5= Л/Y-j-) имеет место неравенство
Заметив, что zN+m — zN = (zN+m — г) + (z — zN), имеем!
I zN+m — ZN | < I zN+m — z I 4~ I Z — ZN \-
По условию будем иметь:
| ^ — ZN\ <Z -g-, | Z[f+m Z I ••^. -g-,
сле::;.й;.тсльно,
— ZN \ <- ~2 ' 2~ == S
при всяком m ^ 0, что и нужно.
Покажем достаточность признака. Предполагая условие Коши
выполненным, мы видим, что все точки последовательности A2),
начиная с точки zN, лежат внутри круга радиуса в с центром в этой
точке. Следовательно, последовательность точек
A2) есть ограниченная. Остается показать, что
она не может иметь двух различных предельных
точек А и В. В самом деле, допуская против-
противное, примем е < -н- АВ. Этому числу е соот-
соответствует натуральное число N — N (г) такое,
что абсолютная величина разности | zN+m —
— гц | < е, т. е. все точки последовательности
A2), начиная с точки г^, лежат внутри круга
с центром в точке z^ радиуса е (рис. 12).
Вне этого круга может находиться лишь
Рис. 12. конечное число точек данной последователь-
последовательности, и, следовательно, обе предельные
точки А и В должны лежать внутри круга или на его окружности.
В таком случае расстояние между ними АВ должно быть не больше
диаметра 2е, а мы приняли АВ >2е, откуда следует противоречие.
Итак, при выполнении условия Коши последовательность точек
A2) сходится, так как она ограничена и не может иметь более од-
одной предельной точки, а значит, — по теореме Больцано—Вейер-
штрасса (п. 4) — имеет одну предельную точку.

ЧИСЛОВАЯ С<ГЕРА. БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННАЯ ТОЧКА
31
§ 4. Числовая сфера. Бесконечно удаленная точка
1. Изображение комплексных чисел на сфере. Бесконечно
удаленная точка. Последовательность точек
ги гг гп, ... A2)
называется, как известно, неограниченной, если имеются точки
этой последовательности, лежащие вне круга с центром в нулевой
точке сколь угодно большого радиуса. Неограниченная последо-
последовательность точек, как мы видели, может не иметь предельных
точек. В этом случае условимся говорить, что последовательность
чисел A2) стремится к бесконеч-
бесконечности, что символически будем
записывать так:
lim г„
оо.
A5)
Рис. 13.
Последнее равенство выражает,
что бесконечная последователь-
последовательность чисел A2) не имеет предель-
предельного числа.
Чтобы дать равенству A5)
простое геометрическое истолко-
истолкование, будем изображать комп-
комплексные числа точками на сфере.
С этой целью возьмем сферу, касательную к плоскости в нулевой
точке О (рис. 13). Диаметр сферы ОР, проходящий через точку О,
будет перпендикулярным к плоскости; вторую точку его пересече-
пересечения со сферой, точку Р, назовем полюсом. Всякое комплексное
число г изображается точкой на плоскости; соединяя эту точку
с полюсом прямой линией Рг, получим в пересечении этой прямой
и сферы единственную точку (отличную от Р), которую примем за
изображение комплексного числа г. Итак, каждое комплексное
число изображается некоторой точкой сферы; обратно, каждой
точке сферы, кроме полюса Р, соответствует единственная точка
на плоскости, получающаяся в пересечении с плоскостью луча,
проходящего через Р и рассматриваемую точку; таким образом,
всякая точка сферы, кроме полюса Р, изображает некоторое ком-
комплексное число. Итак, мы устанавливаем взаимно однозначное и
взаимно непрерывное соответствие между точками плоскости и
точками сферы (с выключением точки Р). Эта сфера, из которой
выкинута точка Р, является изображением совокупности всех ком-
комплексных чисел. Посмотрим, каково взаимное отношение точки Р
с другими точками сферы. Если последовательность чисел г„ стре-
стремится к бесконечности, lim zn = оо, то изображающие их точки на
П-*ао
сфере неограниченно приближаются к точке Р. Естественно при-
принять точку Р за изображение бесконечности, а соответствующую

32 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. I
ей единственную точку плоскости назвать бесконечно удаленной
точкой этой плоскости.
Итак, на комплексной числовой плоскости мы принимаем един-
единственную бесконечно удаленную точку (изображаемую на сфере
точкой Р) в отличие от плоскости проективной геометрии, где рас-
рассматривается бесконечно удаленная прямая, т. е. бесконечное
множество различных бесконечно удаленных точек.
Таким образом, путем указанного преобразования, называе-
называемого стереографической проекцией, мы устанавливаем взаимно
однозначное соответствие между точками сферы и точками пло-
плоскости, включая ее единственную бесконечно удаленную точку.
Эта сфера, точки которой изображают совокупность всех комплекс-
комплексных чисел и бесконечности, носит название комплексной числовой
сферы, или сферы Римана. Преимущество изображения комплекс-
комплексных чисел на сфере вместо плоскости состоит в том, что здесь на-
наглядно изображается единственная бесконечно удаленная точка
плоскости.
Если под окрестностью точки Р на сфере понимать часть по-
поверхности сферы, содержащую точку Р и ограниченную любой
окружностью, плоскость которой перпендикулярна к ОР, то под
окрестностью бесконечно удаленной точки плоскости нужно будет
понимать стереографическую проекцию этой части сферы, т. е.
внешность любого круга, с центром в начале координат. Тогда
условие сходимости последовательности точек A2) к бесконечно
удаленной точке может быть выражено в форме, совершенно ана-
аналогичной условию п. 5 § 3: последовательность точек zn сходится
к бесконечно удаленной точке, если все точки этой последователь-
последовательности, кроме конечного числа точек, лежат внутри произвольной
окрестности бесконечно удаленной точки.
Во всем дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем
обозначать буквой г любую обыкновенную точку плоскости и со-
совокупность таких точек будем называть плоскостью комплексного
переменного. Плоскость комплексного переменного вместе с бес-
бесконечно удаленной точкой будем называть расширенной плоскостью
комплексного переменного. Заметим, что бесконечно удаленная
точка плоскости, подобно нулевой точке, не имеет определенного
аргумента.
2. Формулы стереографической проекции. В предыдущем
пункте мы дали геометрическое определение стереографической
проекции; теперь мы займемся выводом формул этого преобразова-
преобразования, т. е. решим задачу: зная комплексное число, определить коор-
координаты соответствующей точки сферы, и обратно. Для решения
этой задачи выберем систему пространственных осей координат
О|,ijt таким образом, что оси 0| и On. совпадают соответственно
с осями Ох и бу на числовой плоскости, а ось ОС направлена по
диаметру ОР (рис. 13). Величину диаметра сферы для простоты
примем за единицу.

$ 41 ЧИСЛОВАЯ СФЕРА. БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННА;! ТОЧКА 33
Комплексное число г ~ х + yl изображается на плоскости точ-
точкой с координатами х, у, на cdjepe пусть это число изобразится
точкой с координатами 1, i], ?. Т*ак как центр сферы лежит в точке
О, 0, -к-) и радиус ее равен — -, то ?, п, 'С должны удовлетво-
удовлетворять следующему уравнению сферы:
!* + л2 + (S —tJ == 4- ИЛ1! ^+'r-?,(l-t)- A6)
Далее, так как три точки @, 0, 1), (|, г\, ?) и (х, у, 0) лежат
на одной и той же прямой линии, то их координаты должны удо-
удовлетворять соотношениям
х — 0 I/ — 0 0 — 1 '
Из этих равенств A7) можно выразить х и t/ через ?, т], ^. Так,
сравнивая первое отношение с третьим, а затем второе с третьим,
найдем:
Эти формулы A8) дают выражения координат точки плоскости
через координаты соответствующей точки сферы. Для получения
обратных формул заметим, что
откуда находим:
2 2
зная же t, из формул A8) немедленно определяем \, и Г|>
Формулы A9), A9') и A9") дают выражения для координат
точки сферы через компоненты х и у комплексного числа.
3. Основное свойство стереографической проекции. Теперь мы
докажем следующее весьма важное свойство стереографической
проекции: при стереографической проекции всякая окружность пло-
плоскости переходит в окружность сферы и обратно. Необходимо за-
заметить, что в этой сокращенной формулировке теоремы слово
«окружность» нужно понимать в его широком смысле, включая
сюда и прямую линию как окружность с бесконечно большим ра-
радиусом.
Действительно, уравнение любой окружности на плоскости ху
имеет вид
А (л-2 + у2) + Вх + Су + Г) - 0, B0)
2 И. И. Попиалов

34
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
1ГЛ. !
где А, В, С и D — действительные числа. В частности, при А == О
уравнение B0) определяет прямую линию. Чтобы определить соот-
соответствующую линию на сфере, ааменим в уравнении B0) х и у их
выражениями через |, т), С; по формулам A8) и A8') найдем:
или
Полученное уравнение B1), будучи первой степени, определяет
плоскость. Таким образом, координаты ?, т|, С удовлетворяют двум
уравнениям: A6) и B1), и следовательно, точки (|, т\, ?) лежат
на пересечении сферы A6) с плоскостью B1), т. е. образуют окруж-
окружность на числовой сфере.
Легко видеть, что, обратно, всякая окружность сферы A6)
перейдет в окружность числовой плоскости, так как, пользуясь
произволом чисел А, В, С и D, мы можем представить уравнение
любой плоскости в виде B1). Очевидно, окружность сферы перехо-
переходит в прямую линию плоскости в том случае, если эта окружность
проходит через полюв сферы, так как плоскость B1) при А — О
проходит через точку Р @, 0, 1).
Этот факт, впрочем, очевиден и геометрически! окружность
сферы, соответствующая прямой линии плоскости, должна про-
проходить через точку Р, соот-
соответствующую бесконечно уда-
удаленной точке плоскости.
4. Сохранение углов. Рас-
Рассмотрим две кривые на сфере,
пересекающиеся в какой-либо
точке М, и пусть касательные
к этим кривым в этой точке
образуют угол а (рис. 14).
Покажем, что касательные
к стереографическим проекциям
Рис. 14.
этих кривых в точке М', явля-
являющейся проекцией точки М, также образуют угол а, т. е. что
величины углов при стереографической проекции сохраняются.
Для этого заметим сначала, что когда секущая к кривой стремится
к совпадению с касательной к этой кривой, то проекция секущей
стремится к совпадению с проекцией касательной и в то же время
стремится к совпадению с касательной к проекции кривой. Отсюда
следует, что проекция касательной к сферической кривой есть каса-
касательная к проекции этой кривой. Продолжим теперь касательные
к сферическим кривым до пересечения в точках Л и Б с касатель-
касательной плоскостью к сфере в точке Р. Очевидно, что треугольник
АРВ равен треугольнику АМВ, так как сторона АВ — общая
для этих треугольников, АР = AM как касательные к сфере, про-

§ 5] РЯДЫ 35
реденные из одной и той же точки, и ВР = ВМ по той же причине.
Поэтому АРВ = АМВ = а. Но касательные к проекциям кривых
параллельны прямым АР и ВР, так как эти касательные по преды-
предыдущему являются прямыми пересечения плоскостей РАМ и РВМ
с плоскостью проекций. Следовательно, угол между ними равен
АРВ = а, что и требовалось доказать.
§ 5. Ряды
1. Понятие сходящегося и расходящегося ряда. Рассмотрим
бесконечный ряд
u. + u.-l i -ип+---, B2)
все члены которого суть комплексные чпслз, и образуем сумму
первых п членов этого ряда:
s,, = мх + и.г -\ 1- «„. B3)
Давак я значения 1, 2, 3, ..., мы получаем бесконечную последо-
последовательность комплексных чисел sb s2, ¦••, sn, ..., соответствую-
соответствующую ряду'B2). Обратно, зная последовательность чисел sn, легко
написать соответствующий ей ряд, для которого сумма первых п
членов равна s,,:
Sl + (So — SX) H h (Sn — Sn.j) -i
Мы условимся говорить, что ряд B2) сходится, если соответ-
ствующая ему последовательность чисел sn сходится, и в этом
случае назовем суммой ряда B2) предел указанной последователь-
последовательности. Следовательно, ряд B2) называется сходящимся, если су-
существует предел lira sn = s. Число s есть сумма данного бесконеч-
H-+OQ
ного ряда. Если последовательность чисел B3) не сходится, то
ряд B2) называют расходящимся.
В случае расходящегося ряда может случиться, что либо сумма
sn первых п его членов стремится к бесконечности, либо sn
не стремится ни к какому определенному пределу. В первом слу-
случае ряд называют собственно расходящимся, во втором — колеб-
колеблющимся. Из изложенного следует, что вопрос о сходимости или
расходимости ряда B2) эквивалентен вопросу о сходимости или
расходимости соответствующей последовательности комплексных
чисел B3). Например, ряд ] + q + ф +••¦+<?" -\ сходится
при | q | < 1 и есть собственно расходящийся при \q\ > 1. Дей-
Действительно, сумма s,, первых п членов этого ряда представляется
так:

36 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1ГЛ, 1
Так как | q" \ — \ q \п, то в случае | q | < 1 число qn стремится
к нулю при неограниченном возрастании п, а в случае |^| > 1
стремится к бесконечности. Следовательно, имеем:
ПРИ Ы<1. Hmsn==oo при \q\>l.
Tl7
п -*<х> ' /1-юо
2. Необходимый признак сходимости ряда. Предполагая
ряд B2) сходящимся, легко показать, что его общий член ип стре-
стремится к нулю при неограниченном возрастании номера п. Действи-
Действительно, так как последовательность чисел sn сходится, то
lim (s,,+1 — sn) = lim u,1+1 = 0,
liin sn+i = s и lim sn = s,
n-*oc n-*ac
или. что то же,
lim u, = 0. B4)
П-ЮО
Итак, 60 всяком сходящемся ряде общий член стремится к нулю при
неограниченном возрастании его номера п. Равенство B4) выражает
необходимый признак сходимости бесконечного ряда; следова-
следовательно, в тех случаях, когда этот признак не выполняется, ряд
расходится. Так, например, ряд 1 + q + q2 + ¦ ¦ •+ qn + • ¦ ¦
расходится при | q \ ^г 1, так как в этом случае его общий член
с/п не стремится к нулю при неограниченном возрастании п: при
| q | > I число q" стремится к бесконечности, при | q \ — 1 модуль
этого числа qn все время равен единице. В предыдущем пункте
мы видели, что этот ряд есть собственно расходящийся, если | q \ >
> 1; при j q | = 1 этот ряд будет, вообще говоря, колеблющимся
(за исключением q = 1, когда он собственно расходящийся),
потому что в этом случае сумма первых п его членов sn = -j-—-
(q ф 1) не стремится к бесконечности при неограниченном возрас-
возрастании п.
Установленный признак сходимости B4), будучи необходи-
необходимым, не является достаточным, т. е. этот критерий может выпол-
выполняться и в случае расходящегося ряда, как это показывает при-
пример известного из анализа гармонического ряда
3« Понятие абсолютно сходящегося ряда, Ъ теории рядов с ком-
комплексными членами весьма важным является понятие абсолютно
сходящегося ряда. Рассмотрим вместе с рядом B2) новый ряд,
членами которого являются модули членов ряда B2)i
---+Ы+-" B2')

§ 5] РЯДЫ 37
Исследование сходимости ряда B2) с положительными членами
представляет задачу более простую, нежели исследование сходи-
сходимости ряда B2). В самом деле, сумма первых п членов ряда B2') —
обозначим ее оп — не убывает с возрастанием п и, следовательно,
либо остается ограниченной при любом п, либо стремится к беско-
бесконечности при неограниченном возрастании п. В первом случае
последовательность неубывающих чисел о,, имеет единственный
предел, и, следовательно, ряд B2') сходится; во втором случае
этот ряд расходится. Таким образом, сходимость ряда с поло-
положительными членами характеризуется тем фактом, что суммы
первых п его членов образуют ограниченную последовательность
чисел. Пользуясь этим замечанием в теории рядов выводят раз-
различные достаточные признаки сходимости таких рядов.
Что же касается зависимости между рядами B2) и B2'), то она
устанавливается при помощи следующей теоремы:
Если ряд B2'), образованный из модулей члены данного ряда
B2), сходится, то сходится и данный ряд B2); короче, из сходи-
сходимости ряда B2') вытекает сходимость ряда B2).
При доказательстве теоремы воспользуемся необходимым и до-
достаточным признаком сходимости Кошн (§ 3, п. 7|. Заметив, что
I sN+m — % | — I UJV+J ~f~ нЛ'+2 ~f~ ' ' * ~Ь uN+m I <
представим последнюю сумму в виде разности оЛЧ;п — aw; полу-
получим:
I sN+m — % I < aiV + m —" aN- B5)
По условию теоремы ряд B2') сходится, следовательно, в силу
необходимости признака Кошп, при любом, сколь угодно малом,
положительном е найдется такое N = Лг (е), что оЛ.+„, — оЛ, < е,
где т — произвольное целое положительное число. Из равенства
B5) следует:
причем последнее неравенство имеет место при всяком е > О,
Л' = Л' (е), независимо от т ^ 0. В силу достаточности признака
Кошн отсюда следует сходимость данного ряда B2).
Условимся называть ряд с комплексными числами B2) абсолютно
или безусловно сходящимися, если сходится ряд B2'), составленный
из модулей его членов. Доказанная теорема убеждает нас в том, что
всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящийся. Было бы
ошибочным обратное заключение: иначе говоря, существуют ряды
сходящиеся, но не абсолютно. Такие ряды назовем условно сходя-
сходящимися. Примером условно сходящегося ряда может служить
ряд 1 — 1/2 -f 1/3 — 1/4 + ¦ ¦ ¦ Из теории рядов известно, что

38 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. I
этот ряд сходится; ряд же из модулей его членов, будучи гармони-
гармоническим, расходится. Примером абсолютно сходящегося ряда может
служить ряд 1 — 1/22 + 1/32 — 1/42 Н
Абсолютно сходящиеся ряды имеют важное: значение в анализе,
так как основные операции над ними, как мы это далее обнаружим,
подчиняются тем же законам, что и действия над конечными сум-
суммами.
4. Сложение и вычитание рядов* Пусть нам даны два ряда
с комплексными членами!
«1 + «2 Н Ьи„+"«, B2)
и'\ + «2 + • • • + и'п + • • • B6)
Складывая (или вычитая) соответствующие члены этих рядов, мы
образуем новый ряд;
(«I ± и\) + (ы2 ± u'i) + • • • + (иа ± и'п) + • ". B7)
называемый суммой (или разностью) двух данных рядов. Если дан-
данные ряды сходятся и имеют соответственно суммы s и s', то ряд
B7) сходится и имеет своей суммой S = s db s'. В самом деле,
обозначая через sn и sn суммы первых п членов рядов B2) и B6),
имеем:
s = lim sn, s = lim s'n,
откуда следует-
s±s' = lim (sn ± s'n).
П-ЮО
Последнее равенство убеждает нас в спраЕедливости вышеска-
ванного утверждения, так как
Sn ±Sn == («1 ± Щ) + («2 ± «2> + ' • ' + ("л ± Мл)
является суммой первых п членов ряда B7).
Итак, всякие два сходящихся ряда можно почленно складывать
или вычитать. Операции сложения и вычитания распространяются,
следовательно, на класс всех (условно или безусловно) сходя-
сходящихся бесконечных рядов. Иначе будет обстоять дело с операцией
умножения, которую, вообще говоря, нельзя применять к условно
сходящимся рядам.
5. Теорема о двойных рядах. Из данного бесконечного ряда
их + и2 + ы8 + -. •+«„+¦•• B2)
возможно образовать — и притом бесконечным множеством раз-
различных способов — бесконечное множество рядов таких, что каж-
каждый член ип первоначального ряда входит в один и только в один

I BJ РЯДЫ 39
ИЗ новых рядов. Например, таким разложением ряда B2) на бес-
бесконечное множество рядов будет:
Иа -Г «3 + Ua + «12 Н
«с + «а + 3 -+ ,
«ю + «14 i .
В общем случае такое разложение ряда B2) на бесконечное
множество рядов обозначим в виде таблицы
"а, ~г ио-г \ «а,- "г
, + «р.- + "р, +
"V. + '"Чг + «V, "Г
B8)
Докажем, следующее предложение: если ряд B2) абсолютно
сходится и имеет своей суммой s, то каждый из рядов B8) также
абсолютно сходится; если суммы рядов B8) обозначим ссотвгт-
ственно через sb s.it ss, ..., то ряд
s, + s2 + s3 + • ¦ ¦ B9)
абсолютно сходится и имеет своей суммой s.
Замечание. Свойство, выражаемое этом теоремой, верно для беско-
бесконечного ряда лишь при условии его абсолютной сходимости. Для условно
сходящегося ряда, вообще говоря, нельзя утверждать, что его часть сходится.
Например, ряд 1 — 1/2+1/3—1/4+... сходится; однако ряды 1+1/3+ 1/5+,,.,
—1/2—1/4—1/6— ... расходятся.
Докажем, что ряд |м?,| + | иа, \ +••• есть сходящийся. Дей-
Действительно, его частичные суммы (суммы любого числа первых
членоз) остаются меньше конечного числа
+ |и-.| + !Ц
Следозэтглько, первый из рядов (Г'8) абсолютно сходится; анало-
аналогично докажем, что каждый из рядов B8) абсолютно сходится.

40 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА №Л, |
Покажем теперь, что ряд B9) абсолютно сходится. Складывая
неравенства
ПОЛуЧИМ!
так как последнее неравенство верно при любом т, то отсюда сле-
следует абсолютная сходимость ряда B9).
Остается показать, что сумма абсолютно сходящегося ряда B9)
совпадает с суммой s первоначального ряда B2). Для этого доста-
достаточно показать, что разность s — (sx + s2 + • • •+ sm) стремится
к нулю при неограниченном возрастании т. Оценим модуль этой
разности. Так как s есть сумма данного ряда B2), а sb s2, ...
. . ., sm — суммы первых т рядов таблицы B8), то мы можем утвер-
утверждать, что
| -S — (Sx + Sj + • • • + Sm) | « | «v, I + | «v, H >
где индекс:,! \\, v2, ... суть номера всех тех членов данного ряда,
которые не входят ни в один из т первых рядов таблицы B8).
Обозначая через п произвольное натуральное число, выберем т
столь большим, чтобы все индексы \\, v2, ... были больше п.
В этом случае, очевидно, имеем: | s — (s1 + s2 -\— ¦+ sm) | <i
< I "n+i I + | «n+2 !+•¦•; так как данный ряд абсолютно схо-
сходится, то, считая п достаточно большим, мы вправе утверждать!
I «л+114-1"/.+»Н <Е'
где е — сколь угодно малое положительное число. Итак, мы ви-
видим, что, начиная с достаточно большого т, выполняется нера-
неравенство
] s — (si + s2 H 1- sm) | < е,
что доказывает сходимость ряда B9) к сумме s.
6. Перестановка членов ряда. В абсолютно сходящемся ряде
возможно произвольно переставлять его члены, не меняя суммы
J) Теорема о том, что модуль суммы не больше суммы модулей слагаемых,
легко распространяется на случай абсолютно сходящихся рядов. Действительно,
полагая
о = »! + оя + о3 + • • • + в„ + • •. и а„ = В] + уа + • • • + vn,
имеем:
Юп|«?Ы + Ы+ ¦•¦ +К|.
и с тем большим основанием
I О„ | SS | О! | +| 02 | + • • • + | »„ | + | Vntl \+ ...
при любом п, откуда | о | ^ | щ | + | уа | + • • • + | vn \ + | уп+11 + • •.

S el РЯДЫ 41
ряде
ряд
ряда. Действительно, переставив члены ряда B2), получим новый
«а,-(- "а, + «аа Н , C0)
где аъ а2, а3, ... обозначают совокупность всех натуральных чи-
чисел, написанных в каком-либо порядке. Полагая sl = uOLi, s2 =*
= Uaa, .... мы видим на основании доказанной в предыдущем
пункте теоремы, что если ряд B2) абсолютно сходится, то абсо-
абсолютно сходится и новый ряд C0), причем сумма нового ряда равна
по-прежнему s.
Из теории рядов известно, что в ряде, условно сходящемся,
вообще говоря, нельзя переставлять члены без изменения его
суммы. Более того, существует предложение, в силу которого
условно сходящиеся ряды с комплексными членами разбиваются
на две группы. Для каждого из рядов первой группы существует
такая прямая, что путем перестановки членов ряда можно полу-
получить из него новый сходящийся ряд. сумма которого изображается
любой точкой прямой; при этом невозможно получить ни одною
ряда, сумма которого изображается точкой, не лежащей на одной
прямой. Для ряда второй группы путем перестановки членов
можно получить новый сходящийся ряд, имеющий любую напе-
наперед заданную сумму. Примером ряда первой группы может слу-
служить известный ряд 1 — 1/2 + 1/3 — 1/4 +¦••, примером ряда
второй группы — ряд 1 + i — 1/2 — i/2 + 1/3 + G3 — 1/4 —
— j74 -I
7. Умножение рядов. Пусть даны два ряда
ы, + и8 + и3 +¦••, B2)
ы| + «2 + "а + ' • • B6)
Образуем новый ряд:
+ ••• +("l"n + U2»/.-l+- •• + «л«!)Н , C1)
называемый произведением двух данных рядов.
Докажем следующее предложение: если данные ряды B2) и B6)
абсолютно сходятся и имеют своими суммами соответственно s и s',
то новый ряд C1) также абсолютно сходится и имеет суммой
число S = s-s'.
Для доказательства рассмотрим попарные произведения всех
членов рядов B2) и B6)
. . . C2)
и покажем, что ряд, членами которого являются числа C2), абсо-
абсолютно сходится. Для этого достаточно доказать, что любая сумма
вида | u\u\ | -j- | uyu'i | -f-1 u2u\ | + • • • + | Wt"s | остается меньше по-
постоянного числа. Обозначая через п наибольший номер входя-

42 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА СГЛ. I
щих в рассматриваемую сумму членов рядов B2) и B6), легко
усматриваем, что она не больше произведения!
(I  1 + I  | + • • • + | Un |) (| U[ | + | U2 | + • « + | U'n |),
а следовательно, и подавно меньше ста', где положено! а — | их | -Ь
+ | 1 + | «з I +••-; о' = | «1 | + || + |изЦ . Итак, к ряду,
членами которого служат числа C2), можно применить доказан-
доказанную в п. 5 теорему о двойных рядах, положив;
Sl = U[U[, S2 = +
Sn = UiU'n -j- Ы2ИЙ-1 + ¦ • • + "n"i, . . .
На основании этой теоремы ряд C1) абсолютно сходится. Оста-
Остается показать, что сумма ряда C1) равна ss'. С этой целью
иначе группируем члены C2), а именно полагаем si = «i«i +
-f- U\Vl'i-\- Ui«3+ • ••; S2 = M2«I-j-и'2«2 + «2«3 + • • « И Т. Д. РЯДЫ
Si, s2, ... абсолютно сходятся на основании общей теоремы
п. 5. Вынося в первом ряде и1 за скобку, убеждаемся, что его
сумма s1 равна и^'. Аналогично будем иметь: s2 = u2s' и т. д. На-
Наконец, ряд s, + s2 + ¦ • ¦ или «js' + u.2s' + • ¦ ¦ есть абсолютно схо-
сходящийся, сумма которого, очевидно, равна;
(«! + U2 + ¦ ¦ •) S' = SS'.
В силу теоремы п. 5 эта сумма совпадает с суммой ряда C1).
Итак, мы видим, что основные операции над конечными сум-
суммами, как-то; перестановка порядка слагаемых и умножение таких
сумм, распространяются на бесконечные ряды при условии их
абсолютной сходимости.
Перемножая два условно сходящихся ряда, мы можем в ре-
результате получить, вообще говоря, расходящийся ряд. Таким об-
образом, теорема об умножении рядов неприменима к условно сходя-
сходящимся рядам. Однако, как мы увидим далее, эта теорема может
быть распространена на условно сходящиеся ряды, если a priori
известно, что в результате их умножения получается сходящийся
ряд.
При изложении теории рядов мы ограничились рассмотрением
основных свойств сходящихся рядов. Расходящиеся ряды имеют
также обширные применения в математическом анализе. Подобно
тому как со всяким сходящимся рядом связывается определенное
число, называемое его суммой, можно дать различные регуляр-
регулярные процессы, с помощью которых определяются суммы для более
или менее широких классов расходящихся рядов. Однако изло-
изложение теории расходящихся рядов выходит за пределы настоя-
настоящего курса.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. I 48
Упражнения к главе Г
1. Выразить cos nx и sin nx через степени sin x и cos x, пользуясь форму-
формулой Муавра.
Отв.
cos nx — cos" х — I " j cos"ж sin2x + / " j cos" *sin4x— •••
sin nx — n cos" л sin * — I „ j cos" x sin3 л: + f j cos': ЛС sin6^ — " >
2. Где лежат точки z, для которых |z|-f R (z) ^ 1?
1
Omfl. Внутри параболы г = -;—|— и на ней.
1 + cos ф
3. Представить в комплексной форме выражение Y^\ -\- I.
Отв. V
i = ±V2 (cos -^ + i sin -|-) .
4. Определить д: и (у, если х-\- yl= \f а -\- Ы.
-, / /а2 + й2 4- о -. /"
е. х = ± I/ ^ ! > J/=-± I/
п -, / /а + й 4 о -. /^о + й2 —а .
Оте. х = ± I/ ^ ! > J/=-± I/ : р ~—'» знаки нуж-
нужно взять одинаковые, если Ь положительное, и разные, если Ь отрицательное,
5. Где лежат точки г, для которых:
о) |2|sc2; б)|г|>2; в) R (г) > 1/2; г) R (г"-) - а;
— 1 = о>0;
г— 1
г+ 1
s; 1; ж)
— г2
= 1?
От«. г) Гипербола, пара прямых при а = 0, д) Лемниската, е) Правая
полуплоскость, включая границу, ж) Прямая, перпендикулярная в середине
отрезка Zit2.
6. Когда три точки zi, z2, г3 лежат на прямой линии?
Отв. Отношение разисктен B! — г3)/(г2 — г;() должно быть действительным
числом.
7. Когда четыре точки ?!, г,, г3, ?4 лежат па окружности?
Ошв. Двойное отношение — — : — действительное число.
г2 — Ч Н — ?4
8. Проверить тождество |г!+г2|г+|г1 — 22|2 = 2 (I 2] |2 + | z2\). Какое
геометрическое предложение выражает это уравнение?
Отв. В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна удвоенной
сумме квадратов смежных сторон.
9. Какая точка г делит отрезок ?j22 в отношении У-.\ : Я2?
Ств. г =
/., Н- Л.
H. Треугольник и?,:еет вершины 2i, г2, гч. Где лежит его пептр тяжести, если
а) в каждой вершине помещена масса Л, 6) в вершинах помещены массы Хц,
11. Показать, что центр тяжести системы материальных точек с массами
?!, л2, ..., Яп, находящихся в геометрических точкахгх, z2, ..., г„, лежит в точке
12. Для трех точек гь г2, zs выполняются условия
h + Ч + Ч --= ° и I 2i | = | г21 = | гг |

44 комплексный числа [гл. i
Показать, что zj, 22, га суть вершины вписанного в единичный круг равно-
равностороннего треугольника.
13. Показать, что если г\ + г2 + га + г4 = 0 и | 2\ | = | г21 = | г3 | = |г4 | =
= 1, то четыре, точки г-г являются вершинами вписанного в единичный круг пря-
прямоугольника.
14. Пусть гь г2, .,,, гп, ... — произвольная последовательность точек, г„ —
ее предельная точка. Показать, что из последовательности zt можно всегда вы-
выбрать частичную последовательность г[, г'„, .... так, чтобы г'п -у ziy
15. Из условия гA -*¦ г0 показать, что г'п = —-— ——-» zQ, Верно
ли это, если г() = оо?
со
16. Доказать, что бесконечный ряд ^ сп сходится тогда и только тогда,
когда при произвольном выборе целых положительны): чисел ръ р%, .,., рп, ...
имеем:
limi (с„+] + с„+2 -(-¦¦¦+ Сп+р„) == 0.

ГЛАВА II
КОМПЛЕКСНОЕ ПЕРЕМЕННОЕ
И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. Функции комплексного переменного
1. Понятие функции комплексного переменного. Рассмотрим
множество Е комплексных чисел и условимся, что комплексное
число г = х -f yi может быть отождествлено с каждым числом
этого множества Е; в таком случае мы назовем г комплексным пере-
переменным, а Е — его областью изменения. Геометрически область
Е изменения комплексного переменного г изобразится посредством
множества точек в комплексной числовой плоскости или на число-
числовой сфере. По-прежнему мы будем обозначать это множество точек
через Е и будем его называть областью изменения комплексного
переменного г. Если мы воспользуемся для изображения чисел
множества Е числовой сферой, то нет необходимости исключать
случай, когда бесконечно удаленная точка принадлежит к Е, т. е.
когда среди чисел множества Е имеется бесконечность. Мы назо-
назовем, w функцией независимого комплексного переменного г, если
каждому значению, которое может принимать г, т. е. каждому
числу множества Е, соответствует определенное комплексное
числовое значение w = и -{¦ т. Символически это обозначается так:
w = f (г). Если г = х + yi, то и и v суть действительные функции
для действительных переменных х, у. Таким образом, задание w
как функции комплексного переменного г сводится к заданию
двух функций и и v переменных хну. Может случиться, что каж-
каждому значению комплексного переменного z соответствует не-
несколько различных значений переменного w. В этом случае w на-
называется многозначной функцией комплексного переменного г,
тогда как в первом случае она называется однозначной функцией.
В дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем иметь дело
лишь с однозначными функциями.
Каждой точке множества Е, которое служит областью измене-
изменения переменного г, соответствует определенное комплексное число
w. Изображая последнее как точку в числовой плоскости или на
числовой сфере, мы получаем множество точек ?'. Итак, задание w
как функции комплексного переменного г геометрически сводится
к установлению соответствия между множествами точек Е и E't

45 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. 1С
в силу которого каждой точке множества Е отвечает определенная
точка множества Е'. В этом случае говорят, что множество точек
Е отображается на множество точек Е'. При этом некоторые точки
множества Е' могут оказаться кратными, что будет тогда, когда
различным значениям г соответствует одно и то же значение w.
Рассматривая соответствие между точками множеств Е и Е' как
отображение множества Е' на множество Е, мы получаем для каж-
каждого значения комплексного переменного w, изменяющегося на
множестве точек Е', одно или несколько (конечное или бесконеч-
бесконечное множество) значений г. Следовательно, обратно, г можно рас-
рассматривать как функцию комплексного переменного w. Такая
функция носит название обратной функции по отношению к функ-
функции ш ¦¦— f (г). Если различным значениям комплексного перемен-
переменного 2 соответствуют различные значения функции w, то отображе-
отображение множества Е и Е' будет взаимно однозначным, т. е. тг.ким, что
каждой точке множества Е отвечает единственная точка множе-
множества ?" и, обратно, каждой точке множества ?" — одна точка
множества Е. В этом случае г, рассматриваемое как обратная функ-
функция w, будет также однозначной функцией. В общем же случае
функция, обратная однозначной функции, может быть многознач-
многозначной и даже бесконечнозначной. Более того, функция, обратная
однозначной, может иметь при каждом значении независимого
переменного бесконечное множество значений, образующих не-
непрерывную линию. Например, w = | г | есть однозначная функция
комплексного переменного г. Рассматривая же г как функцию w,
мы видим, что данному значению w = с отвечает бесконечное мно-
множество значений г, для которых | г | = с, т. е. целая окружность.
Впрочем, явления такого рода не могут иметь места для класса диф-
дифференцируемых функций, изложение теории которых представляет
главную задачу настоящего руководства.
2. Понятие области. Линия Жордана. В предыдущем пункте
мы считали функцию комплексного переменного w = f (г) опре-
определенной на некотором произвольном множестве точек Е. В даль-
дальнейшем мы почти исключительно будем принимать за множество
точек Е, на котором изменяется независимое переменное г, так
называемую область плоскости, определение которой мы и должны
теперь дать. Предварительно выясним понятие внутренней точки
множества.
Точку Р называют внутренней точкой множества Е, если все
точки достаточно малого круга с центром в точке Р принадлежат
этому множеству Е. Так, например, рассматривая все точки, за-
заключенные между двумя концентрическими окружностями, мы
получаем множество, состоящее из одних внутренних точек. При-
Присоединяя же к этому множеству точки, лежащие на окружности
(на одной или обеих), мы будем иметь множество, которое содер-
содержит точки, не являющиеся для него внутренними: такими будут
все точки, расположенные на окружностях.

6 fj ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 47
Областью мы называем множество G точек плоскости, удовле-
удовлетворяющее следующим двум условиям:
1) G состоит из одних внутренних точек,
2) любые две точки множества можно соединить, ломаной с до-
достаточно большим числом звеньев так, чтобы все точки этой линии
принадлежали самому множеству.
Так, вышеприведенный пример множества представляет об-
область; во втором же случае мы не имеем области. Когда дана об-
область G, то все точки плоскости можно разделить на два класса
по отношению к этой области. К первому классу мы отнесем все
точки области G, ко второму — точки, не принадлежащие G.
Очевидно, точка Q, не принадлежащая области G (точка второго
класса), может быть двоякого типа: либо все точки достаточно
малого круга с центром в этой точке Q не принадлежат области G,—
такую точку Q мы назовем внешней точкой области G, — либо, при
сколь угодно малом круге с центром в точке Q, в этом круге будут
всегда точки области G,— такую точку Q мы назовем граничной
точкой области G. Совокупность всех граничных точек области G
называют ее границей. Единственным примером области без гра-
границы служит вся расширенная плоскость комплексного перемен-
переменного. Таким образом, отвлекаясь от этого случая, можно сказать,
что всякая область G имеет границу. Существенно отметить, что
не всегда существуют внешние точки области G; так, например,
совокупность всех точек плоскости, не лежащих на отрезке дей-
действительной оси [—1, +1], представляет область, не имеющую
внешних точек.
Множество, состоящее из области G и ее границы, называется
замкнутой областью и обозначается через G.
Выяснив понятие области, перейдем к определению понятия
непрерывной линии в смысле Жордана. Пусть х (/) и у (t) суть
действительные непрерывные функции переменного t, изменяю-
изменяющегося на отрезке а < t < р\ Два уравнения
х = х (/), y = y(t) (a< t< [I) A)
дают параметрическое изображение непрерывной линии. Если мы
потребуем, чтобы двум различным значениям параметра t (за
исключением, быть может, значений t = а и t = p, соответствую-
соответствующих началу и концу линии) соответствовали всегда две различные
точки линии, то наша линия не будет иметь кратных точек. Такую
линию мы будем называть линией Жордана или просто непрерыв-
непрерывной линией. Если мы положим г —¦ х + iy, так что г (t) = х (t) +
4- iy (t), то ее аналитическое изображение может быть записано
с гюмощыо одного уравнения:
2 =-- ?<;) (а <: t < Р). (Г)
Когда г: раметр / изменяется, возрастая на отрезке [а, E ], точка
г списывает линию Жордана, началом которой служит точка г (а)

48 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. ГГ
и концом точка г (E); тем самым на линии (Г) устанавливается
положительное направление.
Геометрически линия Жордана, очевидно, представляет мно-
множество точек плоскости, являющееся взаимно однозначным и не-
непрерывным отображением прямолинейного отрезка. Если начало
и конец линии Жордана совпадают между собой, т. е. г (а) — z ф),
то она называется замкнутой. Как показал Жордан, непрерывная
замкнутая линия без кратных точек делнт плоскость на две разные
области; одну, не содержащую бесконечно удаленной точки, назы-
называемую внутренней по отношению к данной линии, другую, со-
содержащую бесконечно удаленную точку и называемую внешней по
отношению к данной кривой. Для обеих этих областей данная ли-
линия является границей. Мы будем предполагать, что вышеуказан-
вышеуказанное положительное направление на линии выбрано так, что вну-
внутренняя часть кривой лежит слева от точки г (/), движущейся
в это:,? направлении. Замкнутую линию Жордана геометрически
мы можем рассматривать как взаимно однозначный и непрерывный
образ окружности. Действительно, не уменьшая общности, мы
можем положить а = 0, р1 = 2к и рассматривать параметр t как
аргумент точки окружности. Область, лежащая внутри замкну-
замкнутой линии Жордана, обладает одним замечательным свойством:
какую бы замкнутую непрерывную линию мы ни провели в этой
области, ее внутренняя часть также принадлежит данной области.
Вообще, всякую область, обладающую этим свойством, мы
назовем односвязной, а области, не обладающие упомянутым свой-
свойством,— многосвязными. Так, например, часть плоскости, лежа-
лежащая внутри многоугольника, есть односвязная область, границей
которой служит этот многоугольник: наоборот, часть плоскости,
лежащая вне многоугольника, будет многосвязной, так как вну-
внутренняя часть замкнутой жордановои кривой, окружающей много-
многоугольник, не вся принадлежит данной области. Точно так же мно-
многосвязной будет область, состоящая из точек г кругового кольца
г < \г — z0 | <R.
Для областей, лежащих в расширенной плоскости, понятие од-
односвязности несколько обобщается. Именно, такая область назы-
называется односвязной, если для замкнутой жордановои кривой,
принадлежащей области, либо внутренняя, либо внешняя часть
(включая и бесконечно удаленную точку) принадлежит этой об-
области. Например, внешняя часть многоугольника является здесь
односвязной или многосвязноп, смотря по тому, включаем ли мы
в нее бесконечно удаленную точку или же исключаем.
Мы уже отметили, что часть плоскости, лежащая внутри произ-
произвольной замкнутой линии Жордана, есть односвязная область,
границей которой служит эта линия Жордана. Рассматривая об-
области, границы которых состоят из нескольких замкнутых линий
Жордана, мы будем иметь примеры многосвязных областей. Так,
пусть /0, /j, ..., /п суть замкнутые линии Жордана, такие, что

8
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
49
Рис. 15.
каждая, из линий 1Ъ /2, ..., i„ лежит вне остальных и все они рас-
расположены внутри /0 (рис. 15).
Множество точек плоскости, лежащих одновременно внутри
линии /,, и вне всех линий /1( /.,, ..., /„, будет представлять об-
область, границей которой служит совокупность точек линий /0,
/х, ..., /,-,. Например, множество точек г, удовлетворяющих нера-
неравенству г < | г — 2„ | < R, представляет область, граница кото-
которой состоит из двух окружностей радиусов г и R с общим центром
в точке г,,. При п = 0 мы имеем
прежний простейший случай
односБязнон области. Наобо-
Наоборот, в случае п > 0 в области
существуют такие непрерывные
замкнутые линии, внутренние
части которых не целиком при-
принадлежат области. Таким об-
образом, область, граница кото-
которой состоит из нескольких
п -f 1 замкнутых линий, бу-
будет мпогосвязнсч! п именно
п 4- \-cfi.'i'iHou. Например, мно-
множество точек, лежащих внутри
кругового кольца, —двухсвяз-
—двухсвязная область; область, изображенная на рис. 15,
ная я т. л,
Область натыкается ограниченной, если все ее точки лежат
внутри некоторого круга с центром в нулевой точке достаточно
большого постоянного радиуса. В противном случае область
называется неограниченной. В дальнейшем, если не оговорено
противное, под словом «область» мы будем понимать произвольную
ограниченную пли неограниченную область плоскости, односвя-
зную пли многосвязную, не содержащую бесконечно удален-
удаленной точкр;, и будем ее обозначать через G. Множество точек, со-
состоящее из точек области G и ее граничных точек, мы будем назы-
называть замкнутой областью и обозначать через G.
3. Непрерывность функции комплексного переменного. Пусть
дана однозначная функция w = / (г) комплексного переменного,
определенная в области G плоскости. Мы скажем, что функция
I (г) стремится к пределу А, когда z стремится к точке z0 области
G, если она удовлетворяет исло-зшо: для каждого произвольно малого
поло?:: (>тельного числа и можно определить положительное число
о = о (о), такое, что имеет место неравенство | / (г) — А\ < е
для всех z (гфгп), удовлетворяющих неравенству \z — гй \ < 6'.
Символически это записывают так;
трехсвяз-
lim / (?) = А.
B)

50 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ГГЛ. П
В частности, если А = / (z0), функция / (г) называется непрерыв-
непрерывной в точке 20, т. е., по определению, / (г) непрерывна в точке га,
если для каждого сколь угодно малого положительного числа е
существует положительное число б = б (е),
такое, что выполняется неравенство
|/(г)-/(го)|<Е C)
для всех z, удовлетворяющих неравенству
| г — г01 < 6, D)
или, короне:
l\m f (г) = f(z0). B')
г-*г0
Геометрически это определение означает,
llCl что для всех точек г, лежащих внутри круга
| г — 201 < б с центром в точке г0 доста-
достаточно малого радиуса 6, соответствующие значения функции w =
= / (г) изображаются точками, лежащими внутри круга | w —
— w0 | < е с центром в точке w0 — f (z0) сколь угодно малого ра-
радиуса е. Мы можем формулировать короче определение непре-
непрерывности таким образом: функция w = / (г) называется непрерыв-
непрерывной в точке г0, если для всех точек достаточно малой окрестности
точки г„ соответствующие значения функции лежат в произ-
произвольно малой окрестности точки w0 — f (г0).
Функция, непрерывная в каждой точке области G, называется
непрерывной в этой области. Например, w = г" непрерывна
в каждой точке г0 плоскости. Действительно, полагая wu = z{|,
имеом:
г- _ 2» = (г _ го) (г»
-1
переходя к модулям, мы получим следующее неравенство:
w-w,\ = \z- zb\-\zn-1 + г"-2г0 .j 4-zS"' I <
где положено: | z | = г, | z0 | = г0. Рассматривая теперь окрест-
окрестность 6 точки г0, мы видим, что для всех точек z это{'1 окрестности
имеет место очевидное неравенство г — \ г \ < ОМ = г0 + б
(рис. 16). Поэтому будем иметь:
" + (г + 6)"
| а> - и>о | < | z - Zo | |(г0 + б)" + (г0 + 6)
0
Отсюда ясно, что мы можем б выбрать столь малым, чтобы \w — ьеу, |
был меньше любого наперед заданного положительного числа г.
Итак, w = 2" есть функция, непрерывная во всей плоскости ком-
комплексного переменного г.

§ I] ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 51
Так как определение непрерывности функции комплексного
переменного с формальной стороны аналогично соответствующему
определению для функции действительного переменного, то дока-
доказательства теорем об операциях над непрерывными функциями
остаются теми же в комплексной области, что и е, действительном
анализе. Так, сумма, разность и произведение двух функций f (г)
и ф (г), непрерывных в точке z0 (в области G), есть функция, непре-
непрерывная в той же точке (в той же области); также частное таких
функций есть функция, непрерывная в точке г„ (в области G), если
Ф (г0) Ф 0 [если ф (г) Ф 0 в области G]. Пользуясь этим предло-
предложением, мы можем, например, заключить, что любая целая рацио-
рациональная функция ии — aoz" -Ь a-Lzn~{ -\- ¦¦¦-[- а„ непрерывна во
всей плоскости комплексного переменного г; далег, всякая рацио-
рациональная функция w = —" + ul"—-Р—- а'л непрерывна в каждой
Ьлг п- Ь\2 -г ¦ ¦ ¦ "Г Jm
точке плоскости комплексного переменного г, за исключением
тех значений г, при которых знаменатель равен нулю.
Примеры. 1. / @) = 0; / (г) = ф, если г = г (cos cf -f- i sin (p), где г > 0,
0s;9< 2я. Это есть функция, однозначно определенная во иг-ей плоскости
комплексного переменного г, непрерывная во всякой точке, отличной от точек
действительной положительной осн. Будет ли функция непрерывно!! g stux послед-
последних точках? Очевидно, нет, так как в противном случае для всех точек г доста-
достаточно малой окрестности точки г = г должно быть | / (г) — / (/) | < е, т. е.
| / (г) | < е, что не выполняется, если точка г находится на луч?, для которого
Ф > е. Замети:.', что если г приблмжатся п точке 2,,= r вцру.ъ положительной
действительной оси (tp = 0), то условие непрерыв-
непрерывности выполняется, так как для таких точек все
время |/¦ (г0) — / (г) | = 0 и, значит, \Нч) —
— / (г) | < е. Однако определение непрерывности
функции w в точке ^ требует, чтобы при произ-
произвольном приближении точки г к точке г0 значение
функции w стремилось к wn.
2. ш = |г]= \г х-+ if. Эта функция кс-пре-
рывна во всей плоскости комплексного перемен-
переменного г, так как, очевидно, Игл | г | = |го|.
3. а)= arg г. Это есть функция, определенная во
всей плоскости комплексного переменного г, кроме Рис. 17.
г= 0, многозначная, потому что каждый вектор имеет
бесконечное множество различных направляющих углов, разнящихся друг от
друга на кратное 2-х. Когда точка г описывает окружность, внутри которой лежит
начало координат, то при одном положительном обходе этой окружности w =
= arg г возрастает на 2я, при л-кратно.м обходе — на 2я/г. Если же точка г опи-
описывает окружность, для которой нулевая точка будет внешней, то ш = arg г
после обхода принимает первоначальное значение. Действитгльно, после обхода
окружности {рис 17) qi = arg г может принять лишь таког значение, которое
разнится от начального значения на кратное 2л. Однако вектор г все время
остается в угее, образованном двумя касательными к окружности, проведенными
из точки г = 0; следовательно, arg г не может принимать значения, которые отли-
отличались бы от начального его значения больше, чем па угол чежду обеими каса-
касательными. Так как этот угол меньше л, то при обходе указанной окружно-
окружности аг« должен вернуться к первоначальному значению. Отсюда следует, что
w = arg z можно рассматривать как однозначную непрерывную функцию в окрест-

52 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
ностн любой точки г (г Ф Q) плоскости, не содержащей нулевой точки. Аналогично
можно показать, что w = arg г есть функция, однозначная и непрерывная во
всякой односвязной области, не содержащей нулевой точки.
Иногда функция w — f (z) рассматривается определенной также
и в граничных точках области G, т. е. во всей замкнутой области G.
Тогда под непрерывностью функции в граничной точке г0 области G
понимают следующее: условия непрерывности C) и D) выполня-
выполняются для всех точек г, принадлежащих области G, т. е. точки г,
лежащие вне области G, оставляют вне рассмотрения. Функция,
непрерывная во всех точках замкнутой области G, называется
непрерывной в G.
Подобным же образом говорят также о непрерывности вдоль
кривой, понимая под этим, что условия непрерывности C), D)
выполняются только для точек, лежащих на рассматриваемой кри-
кривой, не обращая внимания на значения функции в других точках.
Так, в примере 1 функция / (г) непрерывна вдоль действитель-
действительной положительной оси во всякой точке этой линии, так как в этих
точках она все время равна нулю, несмотря на то, что эта функция
че будет просто непрерывной ни в какой ToviKe этой линии.
4. Теорема о равномерной непрерывности. Лемма Гейне—Бо-
реля. Функция w = f B), непрерывная в замкнутой ограниченной
области G, обладает свойством, которое выражается следующей
теоремой:
Каково бы ни было малое положительное число е, существует
число й = 6 (е) такое, что для любых двух точек г' и г" области G,
расстояние между которыми \г' — z" \ < 6, разность соответ
ствующих значений функции удовлетворяет неравенству
\w'-w"\ = \f(z')-f(z")\<e.
Это свойство выражает, как говорят, равномерную непрерыв-
непрерывность функции в замкнутой области G. Теорема, следовательно,
утверждает, что любая функция, непрерывная в замкнутой области
G (т. е. непрерывная во всякой точке области G), равномерно
непрерывна в области G. _
Из условия непрерывности функции в каждой точке г области G
следует, что при любом е > 0 существует круг с центром в точке z
радиуса р2 такой, что для любых двух точек г' и г", лежащих
внутри этого круга, имеем: | / (г') — / (г") | < е. С изменением г
радиус р2 изменяется, и возникает вопрос: не будет ли он стано-
становиться меньше сколь угодно малого числа? Формулированная
теорема утверждает, что радиус этого круга можно считать боль-
большим некоторого постоянного положительного числа. Доказатель-
Доказательство эт ой теоремы будет основано на следующем вспомогательном
предложении, известном под именем леммы Гейне — Бореля:

5 }] ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 53
Если каоюдая точка г замкнутой и ограниченной области G
есть центр круга /<,, то существует конечное число этих кругов,
покрывающих область G, т. е. таких, что есякая точка области О
лежит внутри по крайней мере одного из этих кругов.
Для доказательства заключим область G внутрь квадрата Q{
со сторонами, параллельными осям координат, и разделим этот
квадрат на четыре конгруэнтных квадрата. Предполагая утвержде-
утверждение неверным для области G, мы должны допустить, что оно неверно
для множества точек области G, лежащих хотя бы на одном из этих
четырех квадратов. Обозначим такой квадрат через Q2 и разделим
его снова на четыре конгруэнтных квадрата; получим квадрат Q3.
Продолжая такое разделение дальше, мы получим последователь-
последовательность квадратов Qllt каждый из которых содержит часть области G,
для которой наше утверждение неверно, т. е. для которой необхо-
необходимо покрытие бесконечно многими кругами /{,. Пусть z() есть
точка, принадлежащая всем квадратам Q,, (гл. I, § 3, п. 4). Если п
достаточно большое, то в произвольной окрестности точки га
лежат квадраты Qn и, следовательно, точки области G. Таким
образом, гачка г0 принадлежит сама области G и является, следова-
следовательно, центром круга К^„. Обозначим радиус этого круга через р.
Выбирая п столь большим, чтобы диагональ квадрата Qn была
меньше (>, мы видим, что все точки области о, принадлежащие
такому Q,,, покрываются с помощью одного круга Д",о, в то время
как, по предположению, для покрытия этих точек необходимо
бесконечное множество кругов системы Kv Полученное противо-
противоречие убеждает нас в справедливости леммы.
3 а м е ч а н и е. Лемма, очевидно, остается верной, если вместо области G
возьмем непрерывную кривую или вооС'.ще любое ограниченное замкнутое множество
точек плоскости. Множество точек плоскости называется ограниченным, если оно
целиком лежит в конечной части плоскости; оно называется, сверх того, замкну-
замкнутым, если содержит все сбои предельные точки, т. е. точки г плоскости, в произ-
произвольных окрестностях которых находятся точки множества, отличные от г.
Обращаясь к доказательству теоремы о равномерной непрерыв-
непрерывности, рассмотрим идя каждой точки г области G круг с центром
ч г радиуса (>г такой, что для любых прух точек г' и г", лежащих
шгутрн Е*;?.яо круга, iwieT у.есто. неравенство |/ (z!) —/ (г") j < г;
зю следует непосредственно кз непоерывчогтк функции / (г)
в каж;;ой точке г области B. Как в лемме. Fein'/i—Бор.^ля , поставим
и соответствие каждой точке г области G круг с центром в этой
точке радиуса - - р.. На основании леммы существует система
конечною числа i.:;khx кругов, покрывающая область G. Пусть
рядну;- наименьшего среди этих кругов равен б; мы утверждаем,
[<го это число о удовлетворяет условиям доказываемой теоремы.
Ь самом доле, еслч | г' — г" | < б н точка г' лежит внутри круга

54 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. 11
с центром в точке ? радиуса -yPj, то о « -к-pt и, следовательно,
точки г' и г" лежат внутри круга с центром в точке ? радиуса рЕ;
отсюда следует: |/ (г') — / B") | < е, что и требовалось доказать.
§ 2, Ряды функций
1, Понятие равнсмерно сходящегося ряда. Пусть имеем ряд
Щ (г) + Щ (г) + ... + ип (г) + ..., E)
все члены которого суть однозначные функции комплексного пере-
переменного г, определенные в некоторой области G; предположим, что
этот ряд сходится во всякой точке г области G. В этом случае
сумма s ряда E) будет однозначно определена в каждой точке 2
области G и, следовательно, будет представлять однозначную функ-
функцию s (г) в области G. Предположим, что все члены сходящегося
ряда E) суть непрерывные функции в области G; тогда возникает
вопрос: не будет ли и сумма ряда непрерывной функцией? Легко
дать примеры, когда сходящиеся ряды непрерывных функций
представляют разрывные функции. Возьмем сначала пример
из области действительного переменного. Предполагая 0 < х < 1,
образуем ряд, сумма первых п членов которого sn (л) равна х".
Это будет ряд
х + (х2 — х) -\- • • • + (хп — х"-1) + • • •
Если 0 <g х < 1, tos,, (х) = х" стремится к нулю при неограничен-
неограниченном возрастании п\ если же х = 1, то sn A) == 1 и lim sn A) = 1.
/1->оо
Следовательно, сумма рассматриваемого ряда s (x) равна нулю
при 0 < х < 1 и равна единице при х = 1. Итак, сумма s (x)
имеет точку разрыва при х — 1, несмотря на то, что данный ряд
сходится в каждой точке отрезка 0 < х < 1 и все его члены —
непрерывные функции. Этот пример можно, конечно, рассматри-
рассматривать и с точки зрения комплексного переменного, если заметить,
что х = R (г).
В качестве другого примера возьмем ряд
предполагая | г | < 1 или г = 1. Если | г \ < 1, то сумма его пер-
первых п членов sn B) = 2" стремится к нулю при неограниченном
возрастании п, потому что \sn (г)\ = \г\". Если же 2=1, то
sn A) = 1, и lim sn A) = 1. Итак, сумма рассматриваемого ряда
II-»-СО
s (г) равна нулю во всякой точке г, лежащей внутри круга \г\ < I,
и равна единице в точке г — 1 окружности этого круга. Здесь, как

$ га ряды функций ¦ 55
и в первом примере, функция s (z) оказывается разрывной при
z = 1 и изображается в виде суммы сходящегося ряда непрерыв-
непрерывных функций.
Итак, для того чтобы сумма сходящегося ряда непрерывных
функций была непрерывной функцией, нужно на этот ряд наложить
дополнительное ограничение. Таким ограничением может служить
условие равномерной сходимости ряда. Обозначая
через sn B) сумму первых п членов данного ряда E), сходящегося
в области G, рассмотрим разность s B) — sn (г), которая вследствие
сходимости ряда стремится к нулю при неограниченном возраста-
возрастании п для любой точки г области G. Это значит, что выполняется
неравенство
\s(z)-sn(z)\<z, F)
где е — сколь угодно малое положительное число, если п^Ы(г, z).
При изменении точки г в области G может случиться, что
N (ч, г) принимает сколь угодно большие значения. В этом случае
нельзя найти такое число /V = N (е), начиная с которого выпол-
выполнялось бы неравенство F) во всей области G. Другая возможность
состоит в том, что Л' (е, г) для всех точек области G остается меньше
некоторого числа Л' = N (г). В этом случае неравенство F) выпол-
выполняется для всех рассматриваемых точек z при п ^ N = N (s);
в этом случае говорят, что данный ряд F) сходятся равномерно
в области G к функции s B).
Итак, ряд E), по определению, сходится равномерно в области G
к функции s (z), если для всякого сколь угодно малого положитель-
положительного числа г можно найти такое натуральное число N = N (е),
что при всех п ^ N выполняется неравенство \ s (;:) — sn B) | < е,
какова бы ни была точка г в области G.
Иными словами, в случае равномерной сходимости ряда его
сумму можно аппроксимировать с любой степенью точности в
посредством суммы одного и того же числа п первых членов, при-
принимая п ^- N = N (г).
В предыдущем примере | s B) — sn B) | = | г" | = | г |", если
|г| < 1. Для того чтобы выполнялось неравенство | s B) —
— sn B) I < е, нужно потребовать, чтобы было|г|"<Се, откуда
я > In — / In —j—р. Обозначая через N (г, г) наибольшее целое
число, содержащееся в количестве 1п —/ln-p—j--f 1, мы видим,
ь / I г1
что для выполнения неравенства F) необходимо, чтобы было
п 2> N (в, г). Когда | г | стремится к единице, то N (г, г) стремится
к бесконечности, и, следовательно, нельзя указать натуральное
число N, которое было бы больше, чем N (г, г), для любого г,
| г | < 1. Следовательно, этот ряд не будет равномерно сходиться
в круге, | z\ <c 1. Однако этот ряд будет равномерно сходящимся

Б6 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1ГЛ. II
во всяком круге | г | < г, т < 1. В самом деле, так как In
?й in -jj- , ТО
In — In —
К Е
In -Л- In
и, следовательно, обозначая через N = N (г) наибольшее нату-
натуральное число, содержащееся в выражении In — /in — + 1,
ji.vjoM: ,V (g, г) < M — N (e), каково бы ни было г, | г | <: г.
2. Теорема о непрерывности суммы ряда. Если ряд E) схо-
сходится равномерно в области G и все члены этого ряда суть непре-
непрерывные функции в точке г0 области, то и сумма ряда будет непре-
непрерывной функцией в той же точке.
Для доказательства теоремы обозначим через гй + h любую
точку области G и посмотрим, как изменяется сумма рядах (г),
когда мы переходим от точки г0 к точке г0 + /г, т. е. оценим модуль
разности s (г„ + К) — s (г0).
Обозначая через sjV (г) сумму первых N членов ряда E), пред-
представим эту разность так:
s (г(, -+¦ /г) — s (г,) = \s (г0 + h) — siV (г0 + h)\ -|-
I- [sN (г0 + /i) — Sjv (г0)] + [sN (г0) — s (гоIш
откуда получаем:
I i (г„ -|- Л) - i (г„) | < | s (г0 -f К) — sN (г0 + Л) | +
+ I sw (г0 + h) - 8Я (г0) | + | s (г0) - sN (г0) |. G)
Вследствие равномерной сходимости данного ряда мы можем при
любом е > 0 выбрать натуральное число /V — /V (и/3) так, чтобы
выполнялось неравенство |s B) — % B) | <; е/3, какова бы ни была
точка 2 области G. В частности, полагая здесь г = г0 и г = гп + /г.
имеем два неравенства:
| s (г0) — s^ (г0) | < е/3, (8)
| s (г„ + А) - sjV (г0 + ft) | < е/3. (9)
С другой стороны, заметим, что sN (г) как сумма конечного числа
функций, непрерывных в точке г0, есть функция, непрерывная
в этой точке (гл. II, § 1, п. 3). Следовательно, считая | h | достаточно
малым, | h | < 6 = б (е/3), можно написать:
|swBo + A)-M2o)l<e/3. (Ю)
Наконец, из неравенства G) путем сложения неравенств (8),
(9) и A0) следует:
\s(zo + h) — s (г„) | < е/3 + «/3 + е/3 = е,

§ 2] РЯДЫ ФУНКЦИЙ 57
если | h | < 6, что доказывает непрерывность функции s (г)
в точке 2а.
Следствие. Ряд функций, непрерывных в области G,
равномерно сходящийся в этой области, изобраокает функцию,
непрерывную в той же области.
Действительно, так к а и ьсе члены ряда суть непрерывные
функции в каждой точке области G, то согласно теореме сумма ряда
должна быть непрерывной функцией в каждой точке области О,
т. е. всюду в области.
3. Признак равномерно сходящегося ряда. Весьма часто можно
заключить о равномерной сходимости ряда E) на основании сле-
следующего простого признака:
Если все члены ряда E) в области G удовлетворяют условию
\ип(г)\<а„, (П)
еде ап — постоянные положительные числа, причем числовой ряд
aL + а2 + ... + я„ + ... A2)
сходится, то данный ряд E) сходится равномерно (и притом
абсолютно) в области G. Действительно, ряд
сходится во всякой точке г области G, так как его члены не больше
соответствующих членов ап сходящегося ряда A2). Следовательно,
данный ряд E) абсолютно сходится в каждой точке г области G.
Обозначая через s (г) и sn (г) соответственно сумму ряда E) и сумму
первых п его членов, получим:
I s (г) - sn (г) | < | «я+11 + | ып+г Н < ая+1 + <W -\ A3)
Так как ряд A2), по условию, сходится, то его сстаточный член
an+i + Од+2 + ••• будет меньше е, каково бы ми было е > 0, начи-
начиная с достаточно большого п ^ N = N (е).
Таким образом, нз неравенства A3) получаем:
]s(г) — snB)|<e при п =s N = N((•),
независимо от точки г области G, что и доказывает равномерную
сходимость ряда E) в области G. В качестве примера рассмотрим
ряд
2.. 4-B" - 2"-') + • ' ' .
равномерную сходимость которого мы уже обнаружили при
| г | < г, г <\
(гл. II, § 2, п. 1). Здесь ип (г) = г" — г"-1, следовательно:
| «й (г) | = 12" - г"-11 = | г I"1 г - 11 < г" (г -\- 1) = аа.

58
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
[ГЛ. 1Г
Так как ряд с общим членом ап = г"-' (г + 1) при г < 1 сходится
как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, то на
основании доказанного признака рассматриваемый ряд должен
сходиться равномерно (и абсолютно) при | г | «• г, г < 1.
§ 3. Степенные ряды
1. Понятие области сходимости степенного ряда, В теории
функции комплексного переменного особо важное значение имеет
класс гак называемых степенных рядов.
Степенным рядом называется ряд вида
с0 + ctz + 6V2 + ... + спг" + ..., A4)
где коэффициенты с0, q, ..., е„, ... суть постоянные комплексные
числ-i, а г — независимое комплексное переменное.
Ряд A4) представляет собой частный случай общего ряда E)
функций, когда общий член ип (г) — сигп. Областью сходимости
степенного ряда A4) назовем множество всех точек г плоскости,
в которых этот ряд сходится. Очевидно, всякий ряд вида A4)
сходится при г = 0, т. е. нулевая точка принадлежит всегда об-
области сходимости. Естественно возникает вопрос: существуют ли
такие степенные ряды, области сходимости которых состоят из
единственной нулевой точки? Примером такого ряда может слу-
служить ряд
1 + 2 Ч- 22г2 + ... + п"г!1 + ....
оГмцп;"! член которого n"z" е случае любого z Ф- 0 стремится к беско-
бесконечности при неограниченном возрастании а, так как, начиная
с некоторого достаточно большого п, оудет п.
г \ > 2 и, следоза-
у > 2". Итак, этот
тельпо, | ппгп \ — (я |
ряд расходится при любом г Ф- 0. Остав-
Оставляя в стороне класс таких рядов, предпо-
предположим, что ряд A4) сходится в некоторой
точке ?„, отличной от нулевой точки;
в этом случае имеет место следующая
теорема:
2. Первая теорема Абеля. Если сте-
степенной ряд A4) сходится при г = г0, то
он сходится, и притом абсолютно, прц,
всяком г, для которого \г\ < | гр |.
В терминах геометрии это предложение
Абеля может быть формулировано так:
если степенной ряд A4) сходится в точке z0, то он абсолютно схо-
сходится во всякой точке, лежашрй внутри окружности с центром
в нулевой точке, проходящей через точку za (рис. 18).
Вследствие условия ряд
Рис. 18.
Су
Zj -f- С2Г0 -j-
¦ спг0 -}-

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
59
сходится, и, следовательно, lim с.23 = 0 (гл, I, § 5, п. 2). Послед-
нее равенство показывает, что точки, изображающие числа спгпй,
лежат в некоторой окрестности нулевой точки, т., е., каково бы
ни было п, имеем:
№\<g, A5)
где g — постоянное положительное число. Перепишем данный ряд
A4) в виде
и заметим, что в силу A5) будет:
I сатГ I =
с А
где положено k —
и
причем k < 1, так как по
условию |г| < | г„ |. Итак, модули всех членов данного ряда A4)
меньше соответствующих членов геометрической прогрессии
Так как знаменатель этой прогрессии k < 1, то она сходится и,
следовательно, сходится ряд, составленный из модулей членов дан-
данного ряда; отсюда следует абсолютная сходимость самого данного
ряда A4).
3. Круг сходимости. Пользуясь данной в предыдущем пункте
теоремой Абеля, можно выяснить структуру области сходимости
произвольного степенного ряда. Во-первых, как мы уже знаем,
существуют степенные ряды, область сходимости которых состоит
из одной нулевой точки. Во-вторых, существуют степенные ряды,
сходящиеся во всякой точке плоскости, т.е. имеющие областями
сходимости всю плоскость. На основании теоремы Абеля такие
ряды должны абсолютно сходиться во всякой точке плоскости.
Возьмем, например, ряд
Каково бы ни было г, модуль общего члена этого ряда
= (-L^-L) будет меньше, чем (-5-) . начиная с л, для которого
-— <С-у. И гик, все члены нашего ряда, кроме конечного числа
первых членов, по модулям меньше соответствующих членов беско-
бесконечно убывающей прогрессии
1 l Ь Ь

60 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
следовательно, рассматриваемый ряд абсолютно сходится при
ВСЯКОМ 2.
Наконец, к третьему типу мы отнесем всякий степенной ряд, не
принадлежащий ни к первому, ни ко второму типу. Исследуем
область сходимости ряда последнего вида. Такой ряд имеет, с одной
стороны, точки сходимости, отличные от нулевой точки, а с другой
стороны, он имеет точки расходимости. Проведем из нулевой точки
произвольную полупрямую и отметим на ней какую-нибудь точку
сходимости А ряда, отличную от нулевой точки, и какую-нибудь
точку расходимости В нашего ряда. Так как наш ряд принадлежит
к третьему типу, то на основании теоремы
.,„ Абеля точки А и В на полупрямой суще-
существуют. Обозначим через /j отрезок АВ.
Разделим отрезок Ц пополам, и пусть А{
есть его середина. Возможно одно из двух:
либо в точке Ах ряд сходится, либо расхо-
расходится. В первом случае за второй отрезок /2
примем А^В, во втором случае А А,. По-
Подобно отрезку /i отрезок /., имеет левым
рис j9. своим концом точку сходимости ряда, а
правым — точку расходимости ряда. Затем
снова делим пополам отрезок /2, и если его середина есть точка
сходимости ряда, то за отрезок /3 принимаем правую его половину,
а если середина отрезка f2 есть точка расходимости ряда, то за
отрезок /3 принимаем левую половину отрезка 1г. Продолжая этот
процесс неограниченно, получим бесконечную последовательность
о:резков 1Ъ 1.г, /3 У, таких, что каждый отрезок принад-
, дл. /i
лсгант предыдущему, причем длина отрезка /„, равная -——,
стремится к нулю, когда п неограниченно возрастает. Кроме того,
отметим, что всякий отрезок 1п имеет своим левым концом
точку сходимости ряда, а правым — точку расходимости ряда.
На основании принципа вложенных отрезков (гл. I, § 3, п. 1)
существует точка, общая всем отрезкам /„; обозначим ее
через М.
Гкюседя через точку М окружность с центром в нулевой точке
(рис. 19), мы видим, что данный ряд,абсолютно сходится во всякой
точке, лежащей внутри этой окружности. Действительно, пусть
г' — любая точка, расположенная внутри проведенной окруж-
окружности. Выберем на радиусе ОМ внутреннюю точку М', служащую
левым концом отрезка /.,, так, чтобы Ог' < ОМ'. Так как в точке
М' данный ряд сходится, то по теореме Абеля он будет абсолютно'
сходящимся ti точке г'. Во всякой точке г", лежагцей вне построен-
построенной окружности, данный ряд расходится. В самом деле, выберем
вне радиуса ОМ иг луче ОМ точку М", служащую правым концом
отрезка /„, так, чтобы Ог" > ОМ". Так как в точке М" ряд расхо-
расходится, то по теореме Абеля он будет расходящимся и в точке '/'.

? 30 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 61
Полагая ОМ = R, мы можем все сказанное резюмировать в таких
словах:
Существует круг с центром в нулевой точке радиуса R такой,
что данный степенной ряд сходится (и притом абсолютно) внутри
этого круга и расходится вне этого круга.
Чтобы это предложение было верным для любого степенного
ряда, остается включить сюда ряды двух первых типов. В первом
случае (область сходимости состоит из одной нулевой точки)
нужно, очевидно, положить R = 0, а во втором случае (ряд схо-
сходится во всей плоскости) нужно положить R = -[--<х>.
Этот круг радиуса R называют кругом сходимости степенного
ряда, а число R — его радиусом сходимости. Согласно изложенному
всякий степенной ряд имеет определенный радиус сходимости R,
причем 0 < R <; -Ь°о. Что касается точек, лежащих на окруж-
окружности круга сходимости @ < R < +оо), то в одних из этих точек
ряд может сходиться, в других расходиться.
Мы показали, что всякий степенной ряд A4) имеет круг сходи-
сходимости определенного радиуса R. Задача, которую мы теперь поста-
поставим, состоит в том, чтобы определить радиус сходимости степенного
ряда в зависимости от его коэффициентов. Полное решение этой
задачи может быть дано с помощью понятия о наибольшем пределе
последовательности действительных неотрицательных чисел, како-
каковое мы и должны предварительно выяснить.
4. Понятие наибольшего предела. Пусть дана последователь-
последовательность действительных неотрицательных чисел 5):
Cj, аг, а3, ..., ап, ... A6)
Может случиться, что последовательность чисел A6) неограничен-
неограниченная, т. е. среди чисел A6) найдутся числа, большие любого наперед
заданного положительного числа. В этом случае условимся го-
говорить, что наибольший предел / последовательности чисел A6)
равен +оо. Второй случай будет тот, когда последовательность
чисел A6) ограниченная, ап < А, т. е. все точки, изображающие
числа A6), лежат на конечном отрезке [О, А ]. Как мы знаем, огра-
ограниченная последовательность точек имеет по крайней мере одну
предельную точку (гл. I, § 3, п. 4); вообще говоря, множество всех
предельных точек нашей последовательности A6) будет бесконеч-
бесконечным множеством (обозначим его через Е), лежащим на отрезке
!0, А ]. Когда мы имеем конечное число точек отрезка, то среди
них имеется одна точка, лежащая правее всех остальных. В случае
бесконечного множества точек, расположенных на конечном от-
отрезке, может случиться, что у множества нет самой правой точки.
Например, множество точек отрезка [0, 1 ]: 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ...,
') Мы ограничиваемся рассмотрением наибольшего предела последователь-
последовательности неотрицательных чисел, так как для дальнейших приложений нам этого
достаточно

62 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. If
не имеет точки, которая была бы расположена правее всех осталь-
остальных. Однако такого обстоятельства не может быть для рассматри-
рассматриваемого множества Е предельных точек.
Действительно, легко показать, что среди точек множества В
предельных точек ограниченной последовательности A6) сущест-
существует точка, лежащая правее всех остальных. С этой целью разделим
отрезок ОА, который мы обозначим через 1{, пополам, и пусть Ai
есть его середина. Возможно одно из двух: либо отрезок АХА
содержит бесконечное множество точек данной последовательности,
лппо пет. В первом случае за второй отрезок /2 примем АгА, во
втором случае ОАУ. Подобно отрезку /{ отрезок 1г содержит беско-
бесконечное множество точек данной последовательности. Затем снова
делим пополам отрезок 1г, и если правая его половина содержит
бесконечное множество точек данной последовательности, то за
отрезок /3 принимаем правую его половину, а если правая половина
спреяка /., содержит конечное число точек последовательности
\в частности, совсем лишена точек A6)), то за отрезок /3 принимаем
левую половину отрезка /2. Продолжая этот процесс неограни-
неограниченно, получим бесконечную последовательность отрезков Ju />,
/:i. ..., /„, ... таких, что каждый отрезок принадлежит предыду-
предыдущему, причем длина отрезка/„, равная—-~, стремится к нулю,
ког;!л и неограниченно возрастает. Кроме того, отметим, что всякий
отрезок /„ содержит бесконечное множество точек данной последо-
последовательности, причем правее его может находиться лишь конечное
число таких точек.
На основании принципа вложенных отрезков (гл. I, § 3, п. 1)
существует точка, общая всем отрезкам /,, которую мы обозначим
через Аь.
Докажем теперь, что Л* есть самая правая предельная точка
данной последовательности. Для этого мы покажем, во-первых, что
никакая точка, лежащая правее А%, не может быть предельной
точкой для данной последовательности и, во-вторых, что А есть
предельная точка. Действительно, пусть А' лежит правее А*.
Выбирая п достаточно большим, мы можем считать, что точка А''
лежит правее отрезка /„. Но вправо от отрезка /„ может нахо-
находиться лишь конечное число точек данной последовательности и,
следовательно, точка А' не может для нее быть предельной. Сама же
точка А#, очевидно, есть предельная для данной последователь-
последовательности, потому что произвольная окрестность этой точки содержит
отрезок 1п (если п достаточно велико), на котором лежит бесконеч-
бесконечное множество точек данной последовательности.
Итак, множество Е предельных точек ограниченной последова-
последовательности A6) имеет точку, лежащую правее всех остальных точек
множества Е. Число, соответствующее этой «самой правой» пре-
предельной точке, будет предельным числом данной последователь-
последовательности чисел A6), наибольшим среди всех предельных чисел этой

f 3] СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 63
последовательности. Таким образом, мы доказали существование
конечного числа /, наибольшего среди предельных чисел ограничен-
ограниченной последовательности A6) неотрицательных чисел. Согласно
предыдущему всякая последовательность неотрицательных чисел
имеет наибольший предел I, конечный или равный +оо, т. е.
О <: / < +оо. Символически это записывают так: / = Игл ап.
Так как любое предельное число последовательности неотрица-
неотрицательных чисел не меньше нуля, то в случае / = 0 данная последова-
последовательность чисел A6) должна сходиться к нулю.
5, Определение радиуса сходимости. Отправляясь от коэффи-
коэффициентов степенного ряда A4), образуем последовательность чисел!
ы, vT^T. fra. ущ> •••
Все члены этой последовательности рассматриваются как действи-
действительные неотрицательные числа.
Обозначим через I наибольший предел последовательности чисел
A7) / = lim |/| сп |. Тогда радиус сходимости R степенного ряда
П->оо
A4) определяется по формуле
tf = -f. A8)
Эта формула носит название формулы Коши—Адамэра.
Замечание. В случае / = 0 в формуле A8) нужно положить R = +оо,
в случае / = +оо необходимо принять R = 0.
При выводе формулы A8) мы рассмотрим отдельно три случая
1) 1=+ао (Д = 0),
2) / = 0 (/? = +«>),
3) 0</<+оо (Л=1//).
В случае 1) (/ = +оо) последовательность чисел A7) неограничен-
неограниченная. Нам нужно доказать, что степенной ряд A4) расходится во
всякой точке г, отличной от нулевой точки. Допуская противное,
предположим, что ряд A4) сходится в некоторой точке гпф0.
Тогда имеем: lim спгп0 — 0 (гл. 1, § 5, п. 2); следовательно, сущест-
вует постоянное положительное число g такое, что выполняется
неравенство | спг2 | < g (п == 0, 1, 2, ...). Мы можем предполагать
число g большим единицы. Из последнего неравенства путем извле-
извлечения из обеих его частей корня /г-й степени следует: }/\ сп | X
X I гп | < / g, или V\cn\ < -г|-р. так как ^"g < g (g > 1).
Таким образом, последовательность чисел A7) оказывается огра-
ограниченной. Полученное пропшоречие убеждает нас в расходимости
ряда A4) при любом г Ф 0.

64 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
В случае 2) (/ = 0) нам нужно показать, что ряд A4) сходится
в любой точке г = г0. Так как последовательность чисел A7)
сходится к нулю, то, начиная с достаточно большого п, имеем:
например
откуда
или, по возведении в степень п:
Так как ряд с общим членом 1/2" сходится, то абсолютно сходится
и ряд с общим членом cnznr
Если, наконец, / есть конечное число, отличное от нуля, то
доказательство формулы A8) сводится к следующему: ряд A4)
абсолютно сходится при любом z — zlt для которого |Zj| < III,
и расходится для каждого г —- гг, для которого | г., | > Ml.
Так как I есть наибольший предел последовательности чисел
A7), то имеем, начиная с достаточно большого п:
где е — сколь угодно малое положительное число. Заметив, что
/ | Zj | < 1, положим е = 1~2!1'1,^ • Неравенство A9) примет вид
2 | 2i | 2 |
ИЛМ
Возводя обе части неравенства B0) в степень п, найдем:
|е„||г||"<<7!, или |c,,2i'|<7'!. B1)
Так как ряд с общим членом qn, q < 1, сходится, то в силу B1)
абсолютно сходится данный степенной ряд при г — zL.
С другой стороны, из определения / как предельного числа
последовательности чисел A7) следует, что при бесконечно многих
значениях п имеем:
У\сп\>1-е,
где е — сколь угодно малое положительное число.

§ 3] СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 65
Заметив, что I \ г., \ > 1, положим е = —Ц^Ц-—. Неравен-
I г2 I
ство B2) перепишется так:
-\/\с,1\>-Щ-, ИЛИ /|с„| -|22|> 1,
что по возведении в степень п дает:
\сп |-| 221" > 1, или |с„г"|>1.
Так как последнее неравенство имеет место для бесконечного мно-
множества значений п, то cnz", не может стремиться к нулю при неогра-
неограниченном возрастании п. Отсюда следует расходимость данного
ряда A4) при z = г., (гл. I, §5, п. 2).
Примеры. 1. Радиус сходимости ряда 1 -f г + г4 + г9 + ... равен единице.
В самом деле, здесь с„. = 1, если /г — квадрат целого числа, и равно 0 в противном
случае. Таким образом, j/ | с„ | = 1 или 0, смотря по тому, имеем ли мы первый
или второй случай. Предельные числа последовательности A7) будут 0 а 1. Следо-
Следовательно, / = 1 и R = 1.
2. Радиус сходимости ряда
г г2
рааен единице. Действительно,
s Inn
Так как стремится к нулю при п —> сю, то уЛ|Сд| стремится к единице.
Следовательно, /= 1 и R= 1.
3. Ряд 1 + -р + 4у + • ¦ • Н — + • ¦ ¦ сходится во всей плоскости
комплексного переменного г. Действительно, (/г!J = (\-п) ['?. (п— 1)] ... (я-1).
Каждая скобка правой части последнего равенства не меньше: п, так как имеем:
а {и — а + 1) — п = (а — 1) (и — а) > 0 (а = 1, 2, ..., п).
Следовательно, получаем (л!J > п", пли п\ >• \угп) , далее yOi! > 1^л, т. е.
1/ —г- <—-==-, откуда lim У'| с„ | =0, т. е. / = 0.
Г « ! ]/ /J п -1-го
Следовательно, /? = со.
4. Аналогичным образом можно показать, что ряды
1 2F+ "Ti • * •' г~~ + ~5Г"-"
сходятся во всей плоскости комплексного переменного г, а ряд 1 + г + 21 г2 +
Ц- ... + и! г" + ... сходится лишь в нулевой точке (R = 0).
3 И. И, Привалов

€6 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО (ГЛ. 11
Мы указывали, что на окружности круга сходимости степенной
ряд в разных случаях может вести себя различно. Так, взяв пример
2 при S = 0, 1 и 2, получаем три ряда, для которых R = I:
Первый ряд расходится во всех точках окружности |г| = 1;
последний сходится во всех точках этой окружности, а второй ряд
сходится в одних точках этой окружности (например, при z — —1)
и расходится в других (при 2=1) ').
Исследованию вопроса о сходимости степенного ряда на окруж-
окружности его круга сходимости посвящены многочисленные работы,
в которых дается освещение этой проблемы с различных точек
зрения.
6. Равномерная сходимость степенного ряда. Мы видели, что
степенной ряд
с0 + CjZ + с^ + ... + cnzn + ... A4)
абсолютно сходится во всякой точке внутри его круга сходимости.
Возникает вопрос: не будет ли ряд A4) равномерно сходя-
сходящимся внутри его круга сходимости, т. е. при | г | < R? На вопрос
в такой формулировке нужно ответить отрицательно; так, ряд
не будет равномерно сходящимся при |г| < 1. В самом деле,
с одной стороны, имеем | 1 4- г 4- г2 -|- ... + zN | < Л' -f 1 незави-
независимо от г, если | г | < 1. С другой стороны, когда г стремится к еди-
единице, |z|< 1, функция -: стремится к бесконечности. Таким
1 — 2
образом, модуль разности _ — A + г + z2 + ..+ z-v) не
может оставаться меньше любого наперед заданного положитель-
положительного числа независимо от г, \г\ < 1. Однако всякий степенной ряд
равномерно сходится в круге \г\ <. г, если г < R. Действительно,
I с,?11 | = I си 1121" «? | сп I''", и Т2К как числовой ряд с общим членом
\сп | /"• сходится (г < R), то в силу признака равномерно сходя-
сходящихся рядов (гл. II, § 2, п. 3) данный ряд сходится равномерно.
Заметив, что члены степенного ряда A4) суть непрерывные
функции, из доказанного мы заключаем [на основании теоремы
о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда (гл. II, § 2,
п. 2I:
Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная при \ z | <: г
каково бы ни было г, г < R, а, значит, и при \z\ < R, т. е. внутри
всего круга сходимости. Итак, степенной ряд, для которого R > О,
изображает непрерывную функцию внутри его круга сходимости.
') Можно'было бы показать, что этот ряд расходится: лишь при г = 1, в осталь-
остальных же точках окружности |г| = 1 сходится.

$ 3] СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ ¦ . 67
7. Вторая теорема Абеля. Мы видели, что степенной ряд
Р (г) = со + слг + с^ + ... + cnzn + ... A4')
может сходиться в точках, лежащих на окружности его круга схо-
сходимости. Во всякой такой точке z0, \zo\ = R, функция Р (г) имеет
определенное конечное значение, и возникает вопрос: каким обра-
образом это значение Р (z0) связано со значениями Р (г) в точках г,
внутренних к кругу сходимости?
На этот вопрос дает ответ следующая теорема, принадлежащая
Абелю:
Если степенной ряд A4') сходится в точке z0 окружности его
круга сходимости, то его сумма Р (z) стремится к пределу Р (г0),
когда точка г стремится к г0, оставаясь на радиусе 0z0:
Другими словами, сумма Р (z) -ряда A4') есть функция, непре-
непрерывная в точке z вдоль радиуса Ozu.
Не уменьшая общности теоремы, мы можем предполагать ра-
радиус сходимости равным единице и z0 = 1. Действительно, полагая
z --¦= z,,.?. получим Р (z) = P (zu'Q = Q (?), причем радиус сходи-
сходимости преобразованного ряда Q (Q будет единица, потому что
неравенство |г| < | г0 | равносильно неравенству |?| < 1; точке
z -- г„ будет соответствовать точка ? = 1. Так как по условию ряд
A4') сходится при z = ги, то ряд Q (С) будет сходящимся при
? = 1. Далее, мы можем ради простоты предполагать Р A) — О,
так как в противном случае вместо Р (г) взяли бы Р (г) — Р A).
Итак, пусть данный ряд A4') имеет радиус сходимости R — 1
и сходится в точке z = 1 к значению 0. Нужно доказать, что
lim P (г) = 0, B3)
если г остается положительным и г < 1. Рассмотрим вспомога-
вспомогательный ряд
1 , ,
1 —
z>- + • ¦ ¦ + г'Ч . B4)
радиус сходимости которого тоже равен единице. Перемножая ряды
A4') и B41: что возможно в силу их абсолютной сходимости при
[z | < 1, потучим:
-Г=Т = (с° + с^г + с^ +•¦•)( 1 + 2 -f z2 -+-¦¦¦) =
= Со + (с0 + Ci) z + (с0 + Ci + с2) г2 -\ ,
или
^L = So + Slz -\- s,z°- H 1- snz" -\ , B5)
где sn — ca + c1 -[- t.2 + ... + cn представляет частичную сумму
ряда Р A). Ряд B5) имеет радиус сходимости, равный единице.
3*

(j8 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ХЛ. 11
В самом деле, его радиус сходимости R не может быть, очевидно,
меньше единицы, так как этот ряд получился в результате умноже-
умножения рядов A4') и B4) с радиусами сходимости, равными единице;
с другой стороны, R не может быть больше единицы, так как в про-
противном случае ряд
Р B) = A-2) ? SnZ» ^26)
/1=0
имел бы радиус сходимости больше единицы, что невозможно.
Желая оценить Р (г), обозначим через m натуральное число,
пока произвольное, и перепишем B6) в виде
m ас
Р B) = A - 2) • ? SnZ» + A - 2) Ц 8„2". B7)
/1 = 0 /1=:Ш-И
Пусть г — данное сколь угодно малое положительное число. Выбе-
Выберем m столь большим, чтобы при п > m имело место неравенство
| s-,, | < е/2, что возможно, так как lim sn = 0. Из равенства B7)
находим, вспомнив, что г — положительное число, меньшее
единицы:
\P(Z)\<{\-z)M+-%- A-2)
где
со
и, следовательно, не зависит от z. Так как /, 2" = ~j > то
m+l
последнее неравенство имеет вид
| Р (г) |< A - 2) М + 4- z+1 < A - г) М + 4- • B8)
До сих пор z было произвольным положительным числом,
меньшим единицы. Считая теперь 1 — z < e/BM), из B8) будем
иметь:
| Р (г) | < с/2 + в/2 = е,
что убеждает нас в справедливости теоремы.
Анализируя это доказательство, читатель обнаружит, что
теорема справедлива и в том случае, когда z любым образом при-
приближается к гй, оставаясь внутри какого-либо угла раствора,
меньшего я, с вершиной в точке z0 и с биссектрисой вдоль радиуса
OzB.
Теорема Абеля имеет в анализе многочисленные приложения.
Так, известно, что 1п A + х) = х — ~ -j- 4 ... (—1 <
< х < -И). При х = 1 этот ряд будет 1 —о"+"э— ••• и>

§ 4] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ f,9
следовательно, сходится. По доказанной теореме Абеля сумма
последнего ряда равна:
lim In A + л'! = In 2, т.е. In 2 = 1 — ~ + ~ — • • •
*¦-» i
С помощью теоремы Абеля можно распространить теорему об
умножении абсолютно сходящихся рядов на случай рядов, условно
сходящихся. Действительно, имел два сходящихся ряда с ком-
комплексными членами:
s = ы, + иг + и3 Л Ь «п Л . \
S' = ll[ ~j- M2 + U'\ Н- • • • + «/I +'",J
составим их произведение:
Wl + Wi+--.+wn+.-., C0)
где положено: wn = «:«,', + «2«'i-i + ... + и„и\.
Предположим, что ряд C0) сходится, и обозначим его сумму
через S. В этом случае можно доказать, что S = s-s', т. е. два
любых сходящихся ряда B9) можно перемножить по известному
правилу (гл. I, § 5, п. 7), если в результате получается сходящийся
ряд C0).
Для доказательства образуем два степенных ряда:
? ипг" и J unz\ B9')
п--Л п.—I
Так как при z = 1 по условию оба эти ряда сходятся, то они абсо-
абсолютно сходятся при |г| < 1 (гл. II, § 3, п. 2). Вследствие этого
мы можем их перемножить но известному правилу (гл. I, §5, п. 7):
? ипг" ? ипгп= J ш/. C1)
П---[ П--- 1 П—I
Так как ряды B9) и C0) сходятся согласно условию, то по второй
теореме Абеля имеем:
СО ОО OCj ОО ОО ОС
lim ? u,,z" = ? un, Hm ? u,,zn ~ ? un, lim ? wnzn = ? wn.
2-»l ii—-I Пг-Л z-clii — l П---1 г-»1 П----1 ii--1
Заметив это, из равенства C1) путей перехода к пределу получим:
оо оо оо
? Un ? Un = ? Wnt ИЛИ Ai'' =5,
§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного.
Элементарные функции
1. Понятие производной. Пусть w — f (г) есть однозначная
функция, определенная в области G плоскости комплексного пере-
переменного г. Определение дифференцнруемостн по комплексному

f/О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
переменному с формальной стороны совершенно аналогично соот-
соответствующему определению для функций действительного пере-
переменного. Мы скажем, что функция w = / B) дифференцируема
в течке 2 области G, если отношение
h<S> I (г + h) - ,' (!)
еде 2 ~Ь h — любая точка области, стремится к определенному
конечному пределу, когда Az — h любим образом стремится к пилю
при постоянном, г. Предел этого отношения C2) мы назовем произ-
производной функции f (г) в точке г и обозначим через /' (г), так что
Лг?| 1-Гп / (г + /') - / П .;,Л
lim -дт- = lim г == / (*)¦
h°
Равенство C3) означает следующее: при любом сколь угодно
малом е > 0 и данном z найдется соответствующее положительное
число Ь = Й (р.) такое, что неравенство ' '' "' '. ~ — /' (г) <ji,
iif/сет место для всех h. для которых | h \ < 6.
Ф1 нк;п!Я w -=/(:-¦), дифференцируемая ei точке 2, называется
монпгсг'.ной в это)"] точке.
2. Понятие фуккцни, аналитической в области. Если функция
ic -— / (?) является .мопогепной в каждой точке области G, то мы
скажем, что она аналитическая в области G. Следовательно, по
определению олнозначная (функция и.а^ыЕается аналитической
в области G, если в каждой точке этой области она имеет определен-
определенную <Х'КгЧ!;\ю ппоизвоцную.
Таким образом, функция может быть аналитической только
е некоторой области', однако и о каждой отдельной точке 'кл.ол
области говорят, что е ней наша функция аналитическая. При ьтсм
важно заметить, что функция, аналитическая в точке, по ¦определе-
¦определению должна быть аналитической в некоторой окрестности этой
точки. Так, например, функция w = zR (z), непрерывная во всей
плоскости, имеет в точке 2 = 0 производную, равную нулю, потому
Лю hR (h) n ,, ч
что отношение —— = —у-1- = И (и) стремится к нулю вместе
с Л. Эта функция, моногенная в нулевой точке, не будет аналити-
аналитической в этой точке, так как б любой другой точке плоскости эта
фупкния не будет дифференцируемой. В самом деле, отношение
,' (г i- /i) - / (г) B + Л) R (z -Ь h) - zR (z)
h

Ml ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 71
при г Ф 0 не стремится к определенному пределу, когда;/! стремится
к нулю. Это будет очевидным, если положим h = 1:л -\- /?.,_/ и за-
заметим, что отношение
R (г + h) — R B) h,
имеет предел, равный единице при h2 ~ О и hu стремящемся к нулю,
и это же отношение стремится к нулю при /г, = 0 и tu, стремя-
стремящемся к нулю.
Приеденный пример дает функцию, непрерывную во всей пло-
плоскости и нигде не дифференцируемую, кроме г = 0. Взяв w =
—- R (z). аналогично предыдущему мы показали бы., что эта функ-
функция, непрерывная во нсей плоскости, нигде не дифференцируема.
Другим примером непрерывной и нигде не дифференцируемой
функции гложет служить: и: = z = х — yi. Таким образом, мы
видим, что весьма легко образовать примеры непрерызных функций
комплексного переменного, лишенных производных в каждой точке
илсскссти. Простота образования таких функций объясняется
тем, что требование дпфференцируемсстн функции в точке по
комплексному переменному гораздо более сильное, нежели по
действительному переменному. Действительно, предполагая дпф-
ферепцируемссть функции uj = f (г) в точке г, мы считаем, что
/ (? -г h) — f (г) ,
предел отношения :-^——-. L— будет одним и тем же числом
независимо от направления, по которому переменная точка г + h
приближается к постоянной точке г. Еще более сильным будет тре-
требование дифференцируемое™ функции в каждой точке области; от-
отсюда становится понятным, что функции, аналитические в области,
должны обладать рядом специфических свойств, присущих только
им одним среди множества всех функций комплексного перемен-
переменного. Основная задача настоящего руководства и состоит в том,
чтобы выявить основные замечательные свойства таких функций.
Так как определение производной функции комплексного перемен-
переменного совершенно аналогично с формальной стороны соответствую-
соответствующему определению для функции действительного переменного, то
все известные из дифференциального исчисления правила диффе-
дифференцирования легко могут быть перенесены в комплексную об-
область. Отсюда, в частности, следует, что целая рациональная функ-
функция есть аналитическая во всей плоскости; функция рацио-
рациональная- есть аналитическая во всей плоскости комплексного пе-
переменного, кроме точек, в которых ее знаменатель обращается
в нуль.
3. Понятие дифференциала. Подобно производной понятие
дифференциала для функций комплексного переменного с формаль-
формальной стороны аналогично соответствующему понятию дифферент
циала функции действительного переменного.

72 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
Вспомнив, что производная функции комплексного переменного
w = f (г) в точке b определяется как
имеем:
-?"=/' (*) + Л. C4)
где г| стремится к нулю вместе с Дг. Из равенства C4) находим:
Дш = f'(z)-Az + у|Дг. C5)
Последняя формула C5) показывает, что бесконечно малое прира
щение функции Дш есть сумма двух бесконечно малых величии:
/' (z) Дг и г|Дг. Эти две бесконечно малые величины разной при-
природы. Первая из них равна произведению Дг на величину /' (г),
не зависящую от Дг, и при /' (г) Ф 0 является бесконечно малой
того же порядка, что и Дг; отношение же второй величины к Дг,
равное 1], стремится к нулю вместе с Дг, т. е. второе слагаемое фор
мулы C5) всегда есть бесконечно малая величина высшего порядка
относительно Дг.
Первое слагаемое формулы C5) /' (г) Дг называется линейной
частью приращения Дш, или, иначе, дифференциалом функции w,
и обозначается так:
dw = /' (г) Дг. C6)
В частности, при ш = г из равенства C6) находим: dz .?= 1 • Дг,
т. е. дифференциал независимого переменного совпадает с его
приращением. Заменяя в формуле C6) Аг через dz, получаем:
dw = /' (г) dz, C6')
откуда
т. е. дифференциал функции равен произведению ее производной
на дифференциал независимого переменного; производная же равна
отношению дифференциала функции к дифференциалу независи-
независимого переменного.
Формула C5) получена в предположении, что функция w =
= / (г) в точке г имеет конечную производную. Из этой формулы
усматриваем, что при Дг бесконечно малом Aw тоже бесконечно
мало, а это значит, что данная функция непрерывна в точке г,
т. е. всякая функция, дифференцируемая в точке, необходимо
непрерывна в этой точке.
4. Условия Коши—Римана (С —R.). Пусть w = / (г) = и +
+ vi есть однозначная функция комплексного переменного г =
= х + г/г, определенная в области G. Эта функция будет известна,
если даны две функции и и v двух действительных переменных

ДИ<:'<!.КРВНПМРО!,ЛМИг. SJIEMI: II I АРНЫЕ ФУНКЦИИ
73
х, у. Если функции и и v взять независимо друг от друга, то функ
цня / (г), вообще говоря, не будет дифференцируемой, несмотря
на то, что обе функции и ц v имеют каждая частные производные
относительно х и у.
Так, в вышеуказанном примере w = z = х — yi — непрерыв-
непрерывной, нигде не дифференцируемой функции, и — х, v ¦= —у имеют
каждая частные производные но х и у. Следовательно, в случае
дифференцируемое™ функции / (г) ее действительная часть и
и коэффициент при мнимой части v должны быть выбраны не
независимо, а так, чтобы выполнялись некоторые условия. Выво-
Выводом этих условий мы теперь и зай-
займемся.
Итак, пусть функция / (г) в неко-
некоторой точке г имеет определенную
конечную производную. Таким об-
образом, имеем:
м + ' Дц = f i2)
Л г Л- i\ ,, I \ Г
Да-->0
lim -т— = lim
Дг
Ах -}- i'A у
C8)
Рис. 20.
Так как Дг = A.v -|- iAy может
стремиться к нулю по произволь-
произвольному закону , то, в частности, мы можем считать Дг/ = 0 и Ах
стремящимся к нулю. Геометрически (рис. 20) это означает, что мы
заставляем точку г + Дг приближаться к точке г по прямой линии,
параллельной действительной осп. При этом условии равенство
C8) нам даст:
,. Аи -4- ' Av г, , .
Дх-0 йХ
или
,. Ди .
11Ш -: I
Лл;-0
-дГ =/'(z).
что мо/iiCT Силтъ записано в виде
«U
C9)
Аналогично, принимая Дл' = 0, т е. заставляя точку г -f Аг
пр;;бли>:<.атьс?.к. точке, г (рис. 20) по np.-iv/ii'i линии, параллельной
оси, получим из равенства C8):
. ^'1 , г-... At .-, , ч
lim .'
is !/-MI '¦ "
п гп — 1
что
^ашч'гхь т-:к' .
<jy
C9')

74 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО . [ГЛ. П
Так как правые части равенств C9) и C9') равны между собой, то
должны быть равны и левые части этих равенств:
*L + i *L = __idu+*L D0)
Ox ' дх ду ' ду v '
Сравнивая между собой в обеих частях последнего равенства
D0) действительные и мнимые части, получаем:
ди до ди да .„ р .
дх ~ ду ' ~ду~ ЪТШ (Ь. —К.)
Итак, мы видим, что если функция w = и + vi дифференци-
дифференцируема в точке г — х + yi, то в этой точке существуют частные
производные функций и и и, причем эти последние связаны между
собой условиями (С.—R.). Эти условия носят название условий
Коши—Р имена 1).
Мы показали, что условий (С.—R.) необходимы для
того, чтобы функция w = / (?) была моиогенной в точке г. Покажем,
что эти условия достаточны при дополнительном условии,
что функции и и v Д1!ффере1-;т:рус-з,1Ы б рассиатрпзаемой точк^
г - А" + yi,
т. е. чуо
Аи -- ——- а к А at; А- г.,, а с = — fl.v -i аг/ + п.,,
где )], и т|,, — бесконечно мплые величины ьысшг:о порядка, чем
/ах- -х- dtf.
За у/лив э;о, мы, може»д наг!л',са1ь'.
dv
Ass А:/ + : Л о
Си '.и I dv , dv . \
ах -\ di/ + 1 ( —— ах -}—¦— dy \
Дг Дл -j- l Ay dx + t й i ¦ dx -\- i dg
Заменяя здесь — и — по формулам (С.—R.) и замечая, что
отношение ^—-"r~=4s есть величина бесконечно малая
вместе с \f dxr + dtf, мы для отношения -^- получим следующее
выражение:
д" j dv . ¦''о , , .ди
л — die т- ау4-1 — ах ¦{¦ i — du
Ло/ ()i дх ок г)к , ks ди , . йо ,
Д.2 di + 1 dy ' "' Дг дх ' Ox r '3
х) Так как эти условия были найдены значительно раньше в работах Далам-
бера и Эйлера, то их называют та|\же условиями Дашмбсра—Эйл.-ра.

$ А] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 75
Переходя в последнем равенстве к пределу при Дг, стремящемся
к нулю (или, что то же, при | Дг | = } dxl -f- du\ стремящемся
к нулю), получим:
д2->0 "' ил 11Л
Из предыдущего вытекает, что для функшш w = / B), аналити-
аналитической в области G, условия (С.—R.) выполняются в каждой
точке этой области; и обратно: если условия (С.—R.) имеют место
повсюду в области G и функции аио дифференцируемы в области,
то функция w = и 4- vi будет аналитической в G.
Естественно, возникает вопрос: не будет ли выполнение условий
(С.—R.) повсюду в области G (без дополнительных условий диффе-
ренцируемостн функций и и v) достаточным для того, чтобы функ-
функция w = и + vi была аналитической в области G? На простом
примере легко показать, что это не так. В самом деле, пусть
е 2* при 2 Ф О,
О при 2 = 0.
Во всякой точке г плоскости, отличной от нулевой точки, функция
ну дифференцируема, а потому во всякой такой точке выполняются
условия (С.—R.). Легко показать, что и в нулевой точке условия
(С—R.) выполняются.
Действительно, при 2 = 0 имеем;
Си . . dv ,. е <л*L ,. 1 „
-^—\- i -г- = пт г—— = lira :— = 0,
ох ^л _ц „„-, „
откуда
\ дх /о \ дх /о
Аналогично находим при г — 0:
ди , . cv ,. е 1А'->1' у 1
дц ^^ ду д л Ау ло ^ '
откуда (-=—) = (""л/ =0. Итак, в нулевой точке все четыре
частные производные функции и и v равны нулю и, следовательно.,
условия (С.—R.) остаются в силе. Таким образом, для рассматри-
рассматриваемой функции условия (С.—R.) выполнены во всей плоскости
комплексного переменного г, в то время как наша функция не будет
аналитической повсюду в плоскости, потому что в нулевой точке

76 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. И
она не будет даже непрерывной. Чтобы это показать, достаточно
приближать точку z к нулевой точке по прямой линии у = х; тогда
г = х -{- yi = A -\- i) х, г4 = A + О1 *4 = -4.V1, е~~ = е~\
когда х стремится к нулю, последнее выражение стремится к беско-
бесконечности. В рассмотренном примере сама функция не является
непрерывной повсюду в плоскости, хотя во всякой точке плоскости
она удовлетворяет условиям (С.—R.).
Если предполагать, что и и v и е п р е р ы в и ы е функции, то
можно доказать, что выполнение условий (С. — R.) повсюду в области
G необходимо и достаточно для того, чтобы данная функция была
аналитической в области G х). Однако доказательство этого поло-
положения выходит за пределы настоящего руководства.
5. Сопряженные гармонические функции. В дальнейшем мы
убедимся в том, что функция, аналитическая в области G, имеет
производные всех порядков. В частности, для такой функции и и v
имеют непрерывные частные производные второго порядка в обла-
области G. Посмотрим, как нужно выбирать и и у для того, чтобы функ-
функция и 4- vi была аналитической в рассматриваемой области.
Дифференцируя первое из условий (С.—R.) относительно х,
а второе относительно у, получим:
д2и _ д2и д2и д-а
дх'1 ~ дхду ' ду- ду Ок '
складывая эти равенства, имеем:
Ды- —-*-— — () (И)
Уравнение Аи — 0 носит название уравнения Лапласа п всякая
функция, удовлетворяющая этому уравнению, называется гармони-
гармонической. Итак, и есть гармоническая функция в области G. Покажем
также, что и v является гармонической функцией в области G.
Для этого нужно продифференцировать первое из равенств
(С. —R.) относительно у, второе же относительно х и вычесть
результаты:
. d"v . d-v л
Av = -г-?- 4- -т-г- = 0.
дх2 ' ду2
Однако, если взять за и и v две произвольные функции, гармо-
гармонические в области G, то и -(- vi не будет, вообще говоря, аналити-
аналитической функцией в этой области. Для того чтобы и + vi была
функцией, аналитической в области G, нужно, очевидно, поступить
таким образом: взяв за одну из этих функций, например и, про-
х) Попытку доказать эту теорему сделал Лгаман A923), но его доказательство
содержало пробел. Полное доказательство теоремы было получено Д. Е. Мень-
Меньшовым A933).

S 4] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 77
извольную гармоническую функцию, определить затем v ив урав-
уравнений
dv ди dv ди „ „ .
~дГ~ ~~ду~' ~ду~~~ЬТ- ((-.—K.J
Заметим, что выражение
dv , . dv , ди , ди ,
—— ах 4- -т— аи — — ах + ^— ял1
(Эж ' ду J О у ' дх J
есть полный дифференциал, так как Дм = 0; следовательно, v
определяется квадратурами с точностью до произвольного по-
постоянного слагаемого:
ди , . ди
С ди , . ди ,
J бг/ ' дх у
Так определяемая гармоническая функция и называется сопря-
сопряженной с гармонической функцией и.
6. Дифференцирование степенных рядов. Как мы уже указы-
указывали, всякий многочлен является аналитической функцией во
всей плоскости комплексного переменного. Покажем теперь, что
всякий степенной ряд, по отношению к которому многочлен явля-
является лишь весьма частным случаем, представляет собой аналити-
аналитическую функцию внутри круга сходимости, причем производная от
этой функции может быть получена путем почленного дифферен-
дифференцирования степенного ряда. Заметим сначала, что ряд ср (г) =
— сх + 2c:z + Зс32- + ..., полученный почленным дифференциро-
дифференцированием данного ряда: / (г) = с0 + c,z + c2z2 + г,г3 + ..., имеет
тот же радиус сходимости, что и данный ряд. В самом деле,
h™V\(nJr\)cn+1\ = Пт[(а+ l)T-(n+Y\cZr\)~\ =
= hni у \сп+]\ = limy |?ч| t
откуда по формуле Коши—Адамара следует, что радиусы сходи-
сходимости обоих рядов одинаковы. Пусть теперь г0 — произвольная
точка внутри круга сходимости. Опишем внутри того же круга
окружность \z\ — г так, чтобы точка г0 лежала вн\три нее, и пусть
г, — какая-либо другая точка, лежащая внутри этой окружности.
Выражение ¦—;— - можно представить в виде
(fM + с,?, -|- с.,г\ -|- erf -|- • • •) — (с, -!, с,2A -'¦- с.г,-. -}-- c,.z% + ¦ ¦ ¦) _
= C\ -j- ?.''l(Zi -\- Z,) -Jr С) (г, -j-
Выбирая число п настолько большим, чтобы сумма
I» +1I c,i+i i' ¦' т (" г '*) I ;"-^21 ';1+i -v (" + 3) Iс «4» I ^

78 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. П
была меньше е/3, представим ^ _г ф (г0) в виде
([с, + с, (г, + го) + • • • + Сп (г?'1 + А~\ + ¦ • • + О1 -
- (с, + 2с2г0 Н г «rf')l + (c"+i B? + 2""'го Н h г") -f
— {(га + 1) cn+\z" + (п ~f- 2) c,t+22g1+ _[_ ...).
Первая из фигурных скобок стремится к нулю, когда гх -+ г0, и
поэтому может быть сделана по модулю меньшей е/3, если только zt
лежит в достаточно малой окрестности точки zg. Чтобы оценить
модуль второй скобки, перейдем к модулям отдельных слагаемых
и заменим | Zi | и | г0 | большим числом г. Получим тогда, что этот
модуль меньше, чем (га + 1) | сп+1 \ г'1 + (п + 2) | c,l+2 \ r"+i + ...,
т. е, меньше, чем е/3. Точно так же, переходя от модуля суммы
к. сумме модулей и заменяя | ги | большим числом г, получим, что
модуль третьей фигурной скобки также меньше, чем е/3. Итак,
С е, если 2j находится в достаточно малой
окрестности точки г0, откуда следует, что lim — !. _' - существу-
существует и равен ф (г0), т. е.
/ (г0) = ci -\- 2c2Za -f- Зс3г0 + • • "
7. Показательная функция. Функции тригонометрические и
гиперболические. Мы видели, что степенные ряды
сходятся абсолютно во всей плоскости комплексного переменного г
(гл. II, § 3, п. 5). Суммы таких рядов будут, как мы только что
видели, функциями комплексного переменного г, аналитическими
во всей плоскости. Из анализа известно, что если г принимает
действительные значения х, то суммы этих рядов суть соответ-
соответственно е*, sin х, cos x. Условимся при любом комплексном значе-
значении г суммы наших рядов обозначать соответственно через ег,
sin г, cos г, т. е. положим:
Таким образом, мы определим три функции комплексного перемен-
переменного г, аналитические во всей/плоскости. Покажем, что известные

$ 4] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 79
в случае действительного z свойства этих функций распространя-
распространяются на случай любого комплексного г.
Так, формула умножения показательной функции
ег-е' = ег+* D2)
доказывается для любых комплексных г и t посредством умноже-
умножения соответствующих рядов. Заметив, что
21+ + |+ '1+++
получаем:
Ряд, стоящий в правой части последнего равенства, получается из
ряда для е2 заменой г на г + i; следовательно, его сумма равна
е2+1, и формула D2) доказана. Полагая в формуле D2) t = —г,
найдем:
откуда
ег*=-±т. D3)
Пользуясь формулой D3), легко вывести формулу деления показа-
показательной функции:
е* = ez-?-< = ?*-'
—— с t — с ,
е'
т. е.
-J- = е-К D4)
В действительной области тригонометрические функции sin г,
cos г не связаны с показательной функцией с2. Рассматривая эти
функции в комплексной области, Эйлер установил замечательное
соотношение между ними:
е'2 = cos г + i sin г. D5)
Для доказательства тождества D5) заменим в ряде для е2 букву
г через iz и соберем отдельно члены, не содержащие i, и члены,
содержащие /; получим:
е — 1 2! ~Г 4! +
Заметив, что ряд, стоящий в скобках, выражает sin г, а ряд, стоя-
стоящий вне скобок, определяет cos г, получаем тождество D5). Так как

80 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. [[
ряд для cos 2 содержит лишь четные степени г, а ряд, выражающий
sin г, — лишь нечетные степени г, то имеем:
cos (—г) = cos z, sin (—z) — —sin z.
Заменяя в тождестве Эйлера D5) z на —z, получаем:
е~'2 — cos г — I sin г. D5')
Складывая тождества D5) и D5'), находим:
^ . D6)
Вычитанием же их получаем:
i!lzL?!l. D6')
Эти формулы также носят имя Эйлера.
Пользуясь тождеством Эйлера, легко доказать, что показатель-
показательная функция ег имеет период 2л. i. Действительно, с одной стороны,
по формуле D2) имеем: е2+ьи = ег-еЫ1, с другой стороны, в силу
тождества D5) имеем: ё1п' ~ cos 2л + i sin 2л = 1. Следова-
Следовательно, получаем: ег+2л' = г-', т. е. функция ег не изменяет своего
значения при прибавлении к независимому переменному постоян-
постоянного числа 2л/.
Наконец, пользуясь тождеством Эйлера, получаем так называе-
называемую пока°,;пельпую фор&;у для представления любого комплекс-
комплексного числа:
г = г (cos <р -|- ( sin ср),
откуда
z=re*<. D7)
Известные из тригонометрии формулы сложения и вычитания
синуса и косинуса
cos (г ±. I) = cos г cos t =F sin z sin <, D8)
sin (г ± 0 = sin г cos / ± cos г sin t D9)
распространяются и на комплексную область.
В самом деле, по формуле D2) имеем: е1 B+/) = eiz-elt, otkvai
в силу тождества Эйлера получим:
cos (г + t) -f i sin (z + i) = (cos z 4- i sin z) (cos / + i sin t). E0)
Изменяя в тождестве E0) знаки у г и t, найдем:
cos (г -f t) — i sin (г + t) — (cos г — t sin г) (cos t — i sin 0- E1)
Раскрывая скобки в равенствах E0) и E1) и складывая их между
собой, получим:
cos (г + t) = cos г cos t — sin г sin t\

§41 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ. С'ЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 81
вычитанием же равенств E0) и E1) найдем:
sin B + f) — sin z cos t + cos z sin i'.
Итак, мы вывели формулы сложения для косинуса и синуса. Фор-
Формулы вычитания получатся из формул сложения заменой t на —t.
Наконец, полагая в формулах сложения t = 2я, получим:
cos (г + 2я) = cos г cos 2л — sin г sin 2я = cos г,
sin B -f- 2л) == sin г cos 2л + cos 2 sin 2я = sin г,
т. е. число 2л есть период синуса и косинуса и в комплексной
области; полагая же в формуле косинуса разности D8) t = z,
найдем:
cos 0 = cos2 г + sin2 г, пли sin2 z + cos2 г = 1. E2)
Таким образом, мы видим, что все формулы тригонометрии
остаются в силе и для комплексной области.
Отметим еще, что показательная функция е2 не обращается
в нуль нигде на плоскости. В самом деле, полагая z = х + yi,
имеем: ег — ex-el/i = ex (cos у + i sin у), откуда следует, что
модуль функции ег равен ех. При любом действительном значении
х выражение ех не равно нулю, а следовательно, | ez | не может
сделаться нулем.
Определим, наконец, все те точки плоскости, в которых sin г
и cos г обращаются в нуль. В силу формулы D6') равенство sin г =
= 0 равносильно уравнению еСг = е~Сг, или е?'2 = 1. Полагая
г=а + Pi, находим:
е'2(а+ро = 1, или е-2В.е2'а= 1. E3)
В уравнении E3) справа стоит единица, а слева — комплексное
число, модуль которого равен е~2$, аргумент же 2а. Следовательно,
имеем: е~2р = 1, 2а = Ink, где k — целое число, откуда находим:
р = 0, а = nk. Итак, нули sin 2 будут: z = а + Pi = jik, где
к — любое целое число. Аналогично покажем, что все пули cos 2
ту
будут: ~ + л/г, где k — любое целое число.
Заметим, что для комплексных значений аргумента уже нельзя
более утверждать, что | sin г | <: 1 и | cos 2 | < 1. В самом деле,
например, sin i = l,17520i, cos i = 1,54308.
Согласно определению гиперболические синус и косинус будут:
-
E4)

?2 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
Сраыжвая формулы E4) и E5) соответственно с формулами
D0') и D6), получим:
sh 2 = —i sin iz, E6)
ch 2 = cos iz. E7)
Эти формулы показывают, что гиперболические синус и косинус
могут быть выражены посредством круговых синуса и косинуса,
если воспользоваться комплексными числами. Записав формулы
E6) и E7) в виде
sin iz = i sh 2, cos iz = ch r
и полагая iz = г', имеем:
sin z' = i sh г, cos г' = ch z. E8)
Отсюда вытекает следующее: любое соотношение между триго-
тригонометрическими функциями sin 2 и cos г переходит в соответствую-
соответствующее соотношение между гиперболическими функциями sh 2 и ch г,
если в этом соотношении мы заменим sin z через i sh z, a cos z
через ch z.
Таким образом, параллельно формулам обычной тригонометрии
мы получаем все формулы гиперболической тригонометрии.
Отметим еще формулы дифференцирования введенных нами
функций. По доказанному в п. 6 этого параграфа производную от
суммы степенного ряда можно получить, почленно дифференцируя
степенной ряд, т. е.
Аег 2 г3 г3
— = 1 -I- — 4- — -1- — 4- ••• = ег
dz * 11 ' 2! ' 3! ' '
d sin z . г2 г4
1 + ••• =COSZ,
dz 21 ' 4!
й cos г i г3
sh 2
dz ~ ' 3! ' 5! '
Таким образом, формулы дифференцирования, установленные
для действительных значений аргумента, остаются в силе и для
комплексных значений аргумента.
8. Однолистные функции. Обратные функции. Пусть / (г) =
= и (х, у) + iv (х, у) — функция, аналитическая в некоторой
области G и, кроме того, принимающая в разных точках области
разные значения, т.е. такая, что / (zi) ф f (z2), если Zi =^ 2,.
Такая функция называется однолистной в области G. Предположим
еще, что производная /' (г) этой функции непрерывна и не обраща-
обращается в нуль внутри области G (впоследствии мы увидим, что произ-

§ 4] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 83
водная однолистной функции обладает этими свойствами). Рас-
Рассмотрим теперь наряду с плоскостью комплексного переменного г
плоскость комплексного переменного w и пусть ? — множество
всех точек w = / B) этой плоскости, соответствующих точкам
области G. Покажем, что это множество есть область, т. е. что
оно, во-первых, состоит из одних лишь внутренних точек, и,
во-вторых, — связное.
Действительно, пусть г0 = хп + iy0 — какая-либо точка обла-
области G и w0 — и0 + iv0 = / (г0) — соответствующая ей точка мно-
множества Е. К уравнениям и — и (х, у) = 0, v — v (х, у) = 0 можно
применить теорему существования неявных функций, так как
левые части этих уравнений обращаются в нуль при х = х0, у =
= у0, и = и0, v = vg, непрерывны по всем четырем переменным и
имеют непрерывные частные производные, причем якобиан
ди ' ди
дх ду
dv ди
дх ду
__ ди dv ди ди / ди \2 _j_ / ди \3 , ,, ,ч
— Их Ту d~i~dT ~~ \~дТ) ' \~ду I ~-' ^'
не равен нулю. Поэтому существуют две непрерывные в некоторой
окрестности точки (иа, v0) функции х = х (и, v) и у = у (и, о),
удовлетворяющие уравнениям и — и (к, у) = 0, v — v (х, у) = О
и обращающиеся соответственно в х0 и уа в точке (и0, v0). Если
взять окрестность точки (ы0, vit) достаточно малой, то точки [х (и,
v), у (и, v) 1 будут сколь угодно близки к (х0, у0), т. E. будут лежать
в области G. А это значит, что некоторая окрестность точки (н0, t/0)
целиком состоит из точек, соответствующих точкам области G
в силу уравнений и — и (х, у) = 0, v — v (х, у) = 0, пли, что то
же, в силу уравнения w = / B), т. е. вся состоит из точек множе-
множества Е. Иными словами, всякая точка w0 множества Е является
внутренней для этого множества. Чтобы доказать связность Е,
возьмем две любые точки wl и ш2 этого множестЕ;а и пусть гх и
z2 — соответствующие им точки области G. Соединим z1 и г2 дугой
Жордана, лежащей внутри G. Если точка г будет описывать эту
линию от гх к г2, то точка w = / B) опишет линию Жордана от wt
к w->. Последняя линия принадлежит к множеству Е по самому
определению этого множества. Итак, Е действительно является
областью.
В силу уравнения w = / B) каждой точке w области Е соответ-
соответствует одна и только одна точка г области G [только одна, потому
что двум разным точкам г в силу однолистности / (;») должны соот-
соответствовать разные точки до]. Поэтому z можно рассматривать как
функцию от w, определенную в области Е. Эта функция — обозна-
обозначим ее через z = F (w) — является обратной по отношению к функ-
функции w — f (z). Из того, что мы вывели выше, пользуясь теоремой
о неявных функциях, следует, что эта функция непрерывна [в са-
самом деле, функции х = х (и, v) и у = у (и, v) непрерывны относи-

?4 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. И
тельно и и v]. Покажем, что функция г = F (су) — аналитическая
в области Е.
Действительно, если точкам w0 и a-'i области Е соответствуют
точки г0 и Zi области G, то, переписывая отношения J _^
в виде и замечая, что, когда шл -> w0, га также стре-
W1 Wg
i 0
мится к 20, найдем:
Hill — = Ьш
Ww
/ (г0)
т. е. производная от г = f (да) существует и равна F' (w) = ^? ,
что II требовалось доказать.
9. Радикал, логарифм и арксинус. Применим результаты п. 8
к функциям 2" (л — целое положительное число), ez и sin г. Для
этого мы должны будем установить для каждой из этих функций
области однолистности, т. е. такие области, в различных точках
которых функция принимает различные значения. Таких областей
можно найти бесчисленное множество.
Рассмотрим, например, функцию ег. Если г1 = хг + iy1 и
^2 =; х-г -\- itji, то | ег' | = еХ: и. | с7' \ ~ е^2; поэтому eZi не может
равняться ег', если A'L =^= ^2. Положим х1 — хг =¦¦- х и yt Ф уг.
Тогда
е*' — ё- =ех (е'"' — е'"') =tl [(cos ^ -f- isinyx) — (cos y2 + i sin //.J| —
— сл —2 sin -^-у— s:,n - 2 ¦ - -V 2i cos •' 2' sin ai 2 У2 =
= 2» sin »'~y» cV~2~.
Это выражение может обратиться в нуль в том и только в том
случае, если sin -' „ 'h ¦= 0, т. е. уу — у2 = 2/>л. Поэтому, если
мы выберем область в виде полосы шириной 2л, со сторонами, па-
параллельными действительной осп, то внутри нее, в двух различных
точках гг и 22, функция е'~ будет необходимо принимать различные
значения. Аналогичным образом можно подобрать области о.чно-
лнетпости и для других функций.
Мы возьмем сначала для функции г" область. О < ar^.z <^ 2l\,ii,
для функции ег — область 0 < / (г) < 2л и для функции sin z —
область —л/2 <# (г) < я/2 (рис. 21, а, б, в). Определим теперь
ьпд областей, которые описываются переменными w = z1', w = ег
к w ¦ -¦ sni z, в то время, когда точка z описывает соответствующую
область плоскости г. Для примера рассмотрим функцию w = sin z.
Представляя ее в виде и + ш =- sin (x -{- iy) = sin x cos iy -\-

§.4)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ. ЭЛЕМЕНТЛРНЫЕ ФУНКЦИИ
85
+ cos х sin iy = sin x ch у -\- i cos x sh у, получаем: и =
= sin x ch y, v = sh г/ cos *, откуда следует, что, в то время как
точка г описывает прямые х = с, точка w описывает линии и =
= sin с ch у, v =¦- cos с sh у. Если с = 0 (что в плоскости г соот-
соответствует мнимой оси), то и = 0 и v = sh г/ меняется от —оо до
+ оо, т. е. в плоскости w мы получаем также мнимую ось и = 0.
Если же с Ф О (—я/2 << с <; я/2), то, исключая параметр г/,
получаем уравнение гиперболы -А; ^— = 1 с полуосями
| sin с | и | cos с |; при этом отрицательным значениям с
соответствуют левые ветви гипербол, а положительным — правые
ветви, так как знаки и и с в силу уравнения и = sin с ch у совпа-
совпадают. Когда с изменяется от —я/2 до +я/2, то в глоскости z мы
получаем совокупность прямых х = с, заполняющих собой всю
ш
Щ
У///'/////'//
Ууу'/уу^
(Ш)
///у/ 'У/У/
ушу
уУУУ/
' 6)
Ууу
I-,
Р:
У/У
Pi:c. 22.
вертикальную
гипербол ^
1
полосу
sin2 с cos2 с
рую можно получить, выбрасывая
й 1 1
а в плоскости w — совокупность ветвей
=1, заполняющих область ?,, кото-
1
из плоскости w части действи-
действиру у р
тельной осп от —со до —1 и от -|-1 до ~оо (рис. 22, в). Аналогично
можно определить вид областей, описываемых течками w — г11
и w = е2. Последние две области будут одинаковы: они состоят из
всех точек плоскости w, не принадлежащих положительной части
действительной оси (рис. 22, а, б).
На основании п. 8 в каждой из указанных областей определена
соответствующая обратная функция. Именно в области Е — функ-

86
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕЛ1ЕННОГО
1ГЛ. II
цня 2 = У w (радикал), обратная по отношению к функции w =
— г", и функция 2 = !п ш (логарифм), обратная по отношению
к функции w =¦- е2; в области ?\ — функция 2 = arcsin w (аркси-
(арксинус), обратная по отношению кш = sin 2.
Все эти функции являются аналитическими в соответствующих
областях, причем производные от них вычисляются по формулам
d (у7 w ) _ 1 _ у/ ш d (in w) __ 1 _ 1
dw nzn~^ '^ ' ^^ вг ш '
d (arcsin w) _ I _ 1
dw
cos г Y \ :jd2
совпадающим с формулами, известными для действительных
значении переменных.
10. Ветви многозначных функций. Понятие о точках развет-
разветвления. Мы уже отмечали, что для каждой из функций г", ег, sin z
существуют области однолистности, отличные от выбранных нами.
В частности, для функции w = z" в качестве таких областей можно
взять любой угол с вершиной в начале координат и раствором -^ ;
для функций е2 — любую полосу ширины 2я со сторонамн, парал-
параллельными действительной оси, для функции sin г — любую полосу:
Bk— l)-^-</?B)< Bk-\- 1L- F = 0, ±1, ±2, . . .).
Эти области можно выбирать так, чтобы они, не налегая друг на
друга, заполнили собой всю плоскость (как это уже имеет место
для указанных областей однолистности sin z). Такой Еыбор произ-
произведен на рис. 23. Каждая из изображенных здесь областей преобра-
преобразуется посредством соответствующей функции (zn, e2 или sin 2)
в области, указанные на рис. 22. Обратно, если w изменяется в од-
одной из этих последних областей, то z можно считать изменяющимся
в любой из соответствующих областей рис. 23, благодаря чему
можно было бы говорить не об одной, а об п функциях,обратных

§4]
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
87
функции г'1, определенных в области Е, и о бесконечном множестве
функции, обратных функциям е2 и sin 2, определенных в областях
Е и ?\ соответственно. Эти функции рассматриваются как различ-
ныв ветви многозначных функций у г, In z и arcsin г, причем пер-
первая из этих функций имеет га ветвей (п-значная функция), а послед-
последние две — бесконечное множество ветвей (бесконечнэзначные функ-
функции). Чтобы фиксировать какую-либо из ветвей, достаточно лишь
указать, в какой из областей рис. 23 должно изменяться г. В соот-
соответствии с обозначениями на этой фигуре мы будем пока пользо-
пользоваться следующими обозначениями для ветвей наших функций:
(y'w)a, \Vw)v ¦¦¦, [yw)n-{, •••» (In оу)_2, (In w)_u Aпоу)о, (In w)lt
(In »),, ...; ..., (arcsin u))_2, (arcsin w)_lt (arcsin wH, (arcsin w)lt
(arcsin &)¦>, ... Здесь, например, (In w)_2 обозначает ту ветвь лога-
логарифма, значения которой попадают внутрь полосы g_2, рис. 23, б.
Необходимо иметь в виду, что понятие ветви тесно связано
с определенным выбором областей однолистности. Так, для функ-
функции w = zn можно было бы брать области однолистности: Yo.
Yi, Ya 7л-1» представленные на рис. 24, а. Это — углы: 2nk/n —
— nl/i <5 arg z <5 2nk/n -+- л/л (k = 0, 1,2 п — 1), заключен-
заключенные между биссектрисами углов рис. 23, а. Если z изменяется
I
>ч
5)
Рис. 24.
в любой из этих областей, то w = zn описывает одну и ту же область
&, изображенную на рис. 24, б. В самом деле, когда точка z =
= ре':а описывает луч arg z = а = const, то точка w = z" = р"е'па
описывает, очевидно, луч arg w — па = const, и если а меняется
от Inkln — л/л до 2nk/n + л/n, то луч arg z = а, вращаясь против
часовой стрелки, пробегает всю область yk, в то время как соответ-
соответствующий ему луч arg w — па, вращаясь в том же направлении —
от луча arg w — 2л/е — л ~ —л до луча arg w = 2л/е + л ~ л, —
пробегает всю область ё.
В области & также может быть определена функция, обратная
функции w = z", и притом л различными способами, сообразно п
различным областям Yoi Vi. Y2. ••¦, Y,i-i- Иными словами, в области
& также могут быть определены п ветвей функции г ~ у w-

f>8 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
Если фиксировать одну из областей у0, ylt у2, ¦¦¦, уп-и например
у0, то мы получим одну определенную ветвь функции z — у1 w.
При этом, когда w находится в верхней полуплоскости @ <<
<< arg w <з я), точка z будет находиться внутри угла: 0 <^ arg z <j
<-^-i т. е. в части плоскости z, принадлежащей как области fo.
так и области g0, а когда w будет находиться в нижней полупло-
полуплоскости (—я <3 arg w <С0), то точка z будет находиться внутри
угла: —я/л <• arg г <10, т. е. в части плоскости г, принадлежащей
как области Yo> так и области gn_j_.
А это значит, что рассматриваемая нами ветвь функции будет
в части области <S (в верхней полуплоскости) совпадать с ранее
определенной ветвью h/ w\Q, а в другой части области е> (в ниж-
нижней полуплоскости) будет совпадать с другой из ранее оиределеп-
ных ветвей, именно с \у w)n_y Итак, было бы неправильно рас-
рассматривать ветви одной и той же многозначной функции как отдель-
отдельные функции; в нашем примере при изменившемся выборе областей
('"/—\ (" /~\
однолистности две ветви [у w )ои \у да 1Л_Р рассматривавшиеся сна-
сначала как различные, определяют одну и ту же ветвь.
/Мы установили наличие различных ветвей функций j w,
In w и arcsin w, пользуясь понятием областей однолистности.
К тому же результату легко прийти и иным путем. Так, полагая
w = re'v и 2 = peia, выводим последовательно из уравнения
w = z":
(k = 0, ±1, +2, . . .),
откуда р — у г (имеется в виду арифметическое значение ради-
радикала) и а = ф/л + 2kn/n. Придавая здесь k значения 0, 1,2, ...
..., л — 1, получим л различных значений функции |/ w, соответ-
соответствующих л различным ветвям этой многозначной функции:
_ • JL ¦ -A'-'!i
__ '\/~г . g п + ' " п
Значения эти имеют один и тот же модуль; аргументы их представ-
представляют арифметическую прогрессию с разностью 2л/л. Очевидно, что
точки zh по одной размещаются в областях рис. 23, а или 24, а.
Фиксируя какое-либо исходное значение радикала г,п =
= [у w 1 , заставим точку w в плоскости ю описать некоторую
замкнутую кривую. Если эта кривая не заключает внутри начала
координат, то непрерывно изменяющийся аргумент w вернется
к прежнему значению, когда точка вновь примет исходное поло-
положение. Соответственно с этим и значение ч/ w останется прежним.

§ 4] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 89
Не то будет, если точка в плоскости ш опишет замкнутую кривую,
заключающую внутри начало координат. После полного обхода
аргумент w либо увеличится на 2л, когда обход делался против
часовой стрелки, либо уменьшится на 2л, когда обход делался по
часовой стрелке. В соответствии с этим непрерывно меняющееся
п, In ,—\
по мере обхода значение у' w в первом случае перейдет от [у w \m
к ('|/ш)ш+1 \[\/w]п следует полагать равным [/да H], во вто-
ром случае — от [у w \т к [у w Jm_, Цу w\_[ следует полагать
))
равным ))
Повторяя обход вокруг начала координат в том или в другом
направлении достаточное количество раз, мы можем перейти от
(пг—\
значения [yw\ к любому другому значению радикала в той же
точке h/да L. Точка, обладающая тем свойством, что обход вокруг
нее переводит от одной ветви многозначной функции к другой ветви,
называется точкой разветвления этой функции (или критической
точкой). Таким образом, точка w = 0 является точкой разветвле-
разветвления для функции г = уА w. Так как полный поворот на угол
±2я около начала координат в то же время является и полным
поворотом около бесконечно удаленной точки (для лучшего уясне-
уяснения этого факта следует вместо плоскости w представить себе рима-
нову сферу), то бесконечно удаленная точка также является
точкой разветвления функции у' w. Других точек разветвления
эта функция не имеет, так как обход в плоскости w по любой
кривой, не заключающей внутри начала координат, не изменяет
значения радикала. Заметим, что точка z = \ it», в то время как
точка w делает полный оборот около начала координат, описывает
незамкнутую дугу, соединяющую точки гт и zm+i (или г,„ и гт_х)
двух соседних областей однолистности. Новому обороту (в прежнем
направлении) соответствует движение точки z вдоль новой незамк-
незамкнутой дуги 2„1+1 2,„+2 (или zm_! z,,,_2) и т. д. После п оборотов точки w
около начала координат точка г сделает один оборот около начала
координат. В случае же, когда точка w описывает замкнутую
кривую, не содержащую внутри начала координат, то точка г
описывает также замкнутую кривую, не содержащую внутри на-
начала координат. (На своем пути она может выходить из первона-
первоначальной области однолистности и побывать во всех остальных
сколько угодно раз; в конце пути она займет первоначальное
положение.)
Переходя к функции 2 = In iz\ рассмотрим соотношение ay = е\
Полагая здесь г — х -\- iy, w — г<?''|;, получаем: ге'ч> -- ех-е:у,
откуда
ех = г, у — ц> -{- 27m (k = 0, ±1, ±2, ±3, ...)

90 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
или л; = 1п г (подразумевается действительное значение логарифма
положительного числа г), у = <р + 2/ел. Таким образом,
гк = (in w)h = In r + (ср + 2/гл) I (к = 0, ±1, ±2, ...).
Разным значениям к соответствуют разные значения zk; таким обра-
образом, мы имеем здесь бесконечное множество разных значений In w,
соответствующих бесчисленным ветвям этой многозначной функ-
функции. Значения ztl имеют одну и ту же действительную часть;
коэффициенты при i образуют арифметическую прогрессию с раз-
разностью 2л. Очевидно, что точки с аффиксами ?.h размещаются по
одной во всех областях рис. 23, б. Фиксируя какое-либо исходное
значение гт = (!n w)m, заставим точку плоскости w описать замк-
замкнутую кривую, начальной и исходной точкой которой является w.
Рассуждая, как и выше, придем к заключению, что точка ш = 0,
а также и точка w = оо являются точками разветвления функции
2 = In w. Именно, если точка w делает около начала координат к
оборотов, то значение (In w)m переходит в значение (In w)m+ll,
когда обороты делаются против часовой стрелки, и в значение
(In &¦)„,,;<, когда обороты делаются по часовой стрелке. Таким обра-
образом, путем достаточного числа оборотов около начала координат,
совершаемых в должном направлении, можно перейти от одного
значения логарифма в точке w к любому другому значению в той же
точке.
Отличие от предыдущего случая заключается в том, что, про-
произведя обороты вокруг начала координат в одном и том же направ-
направлении, мы никогда не вернемся к исходному значению, но всегда
будем ;:олучать новые. Это отличие характеризуют, говоря, что
точка а = 0 является для функции г = у w точкой разветвления
конечного порядка, а именно порядка п — 1, в то время как для
функции г == In w та же точка служит точкой разветвления беско-
бесконечного порядка. Говорят также, что в первом случае точка раз-
разветвления является алгебраической, а во втором — трансцендент-
трансцендентной. Других точек разветвления, кроме w = 0 и w — оо, функция
z = In w не имеет. Заметим, что если w описывает замкнутую
кривую вокруг начала координат, то точка г = In w описывает
незамкнутую дугу, соединяющую точки (In w)m и (In w)m+1 (или
(In w)m и (in w)m.i) двух соседних областей однолистности функции
ш — ег. Сколько бы оборотов вокруг начала координат ни делала
точка w (в одном и том же направлении), соответствующая дуга,
описываемая точкой z = In w, никогда не замкнется (с каждым
оборотом ордината точки z увеличивается или уменьшается на 2я).
Если же точка ш описывает замкнутую кривую, не заключающую
внутри точки w = 0, то точка z = In w также описывает замкнутую
кривую.
Обратимся, наконец, к функции arcsin w. Прежде всего из
е
уравнения w = гр имеем: ezi — e'2i — 2iw = 0, откуда

$4] ,ЛПФ<1 ГРЕНШ1РОЕАНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ uyHKl'.HIi <>,]
еЪ{ — Ihiv*' — 1=0. Решая это уравнение относительно е:'-,
получим: czi = гх1 -± ]' 1 — ^2 ii далее г —- -f- In (iw ~t t' s — гг-).
Так как произведение выражений ?, = is: -)- у Г— г v, г-л =
= iw — у' 1 — zc'~ равно — 1, то | 1г \ ¦ \ 'Сг \ = 1, a .'.rg ^ -\- z~i{ 1.2 =
= Bk — 1) л (k — целое число). Считая, что яргу;и.ез!ть'. "Ij i!. 'C2
не i-ревосходят я по абсолютной величине, мы получаем лгчць две
позмояоюсти: arg ?л -'- arg 1Л= л и агр, ta -f ar^L^ —- —тт., откуда
слгдует, что оба аргумента либо неотрицательны, либо гл';,опожи-
тельны п что по крйпней мере одни из них ire больи:е -^-поаСсо-
лютнон 2ел1:чш;е. Обозначая через !; то из чисел 1Л., 1Л, аргумент
которого а не больше -^-, получаем для другого значение—р,
в соответствии с чем г —— me, ;u'.oo z — — !n( -\, откуда
г = 4"!~ 1п|Г. |-ai-[-B/L2-ir iW'J
/ 1 \ \
так как nrg ( j -= — с. i^j. зги фигаг;;аы можно г
ш-;ть в одну:
А -= (—!)'¦' (^ — 1 1п | ;|) -f /:л.
При наших обозначениях значение г„ = а — г In | ^J попадает
спутрь сблги") п. ?', pj:c . 2,3 ,d (или па границу ее при а=-tr—2) •
(>галь?:ие точки расп(;лагаютоя по одно)! в областях g,., так что
точк!! в соседних (областях симметричны относительно точек
.v - B/-: -I- 1) 4 (•¦ =; °> -+J . +2- ••¦)¦
Мъ-у.\но проверить, подобно тому как это было сделано выше, что
для функции 2 — isresin ш точками разветвления будут т;^чки w =
= —1 , ic> — +1 и ш -— со . В самом дезе , при обходе ю какой-либо
замкнутой кривой, заключающей внутри одну ij-lточек —I и -Ы
и не заключающей другой, выражение у 1 — s? изменит знак
(для nei'o каждая из точек —1 п +1 является точкой разветвления
п притом первого порядка). Но это означает, что корень 'Сл квадрат-
лого уравнения перейдет в t3 — — и наоборот и, следова-
тельно, z — — In t перейдет вг = -^-1п( ~), что соответствует
переходу от первоначальной точки г к точке, симметричной ей
относительно соответствующей точки х = Bk -f- 1) -^-. Е,слн же w
описывает замкнутую кривую, заключающую внутри обе точки

92
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
[ГЛ. [I
—1 и +1, что можно рассматривать как обход вокруг одной лишь
точки w = оо, то аргумент выражения ? = iw ± -у/1 — w2
изменится на 2л, вследствие чего -г- In ? изменится на 2л, что
соответствует сдвигу точки г в направлении действительной оси ,
на расстояние 2л.
П. Понятие о римановой поверхности. Чтобы получить нагляд-
ное представление о взаимоотношении ветвей функции \/
w,
Г
а)
В)
Рис. 25.
заметим, что половинам углов gh или yk соответствует в плоскости
w попеременно то верхняя, то нижняя полуплоскости. Именно,
когда мы проходим одни
за другим эти полууглы
в направлении против ча-
часовой стрелки, начиная
с полуугла О <С arg г <i
< л/л, то в плоскости w
получаем поочередно сна-
сначала верхнюю полупло-
полуплоскость, затем нижнюю.
Представим себе, что
мы имеем по п экземпля-
экземпляров верхних и нижних
полуплоскостей, которые для наглядности будем предполагать
бумажными листами неограниченных размеров. Склеивая тогда
верхнюю и нижнюю полуплоскости вдоль отрицательной по-
полуоси (а края вдоль положительной полуоси оставляя свобод-
свободными), мы получим область Е рис. 22, соответствующую полу-
полууглам, образующим область g0. Если теперь ко второму полууглу
присоединить следующий, то эти полууглы составят область yL,
которой соответствует в плоскости w область &, изображ енная
на рис. 24. Эта последняя образована нижней и верхней полупло-
полуплоскостями, соединенными вдоль положительной оси, и нам остается
лишь приклеить к свободному краю нижней полуплоскости новый
экземпляр верхней полуплоскости. Получим область, образован-
образованную тремя полуплоскостями, соответственно трем полууглам
плоскости г. При этом две полуплоскости (верхние), соответствую-
соответствующие первому п третьему полууглам, будут находиться одна над
другой. Это отвечает тому факту, что в нервом и третьем полууглах
функция w = г" принимает одни и те же значения (именно в точках
2л,
ре и ре
где
я ¦
п ¦
Отрицательная полуось третьей полуплоскости и положитель-
положительная полуось первой будут оставаться свободными (рис. 25, а, на
котором полуплоскости для наглядности деформированы). Далее,
мы можем присоединить в плоскости z четвертый полуугол, кото-
которому должна соответствовать нижняя полуплоскость. Так как

< 4\ .ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ. ЭЛЕМШНТАРПЬП: ФУНКЦИИ 93
третий и четвертый полууглы вместе образуют область glt а ей
отвечает область Е рис. 22, состоящая нз верхней и нижней полу-
полуплоскостей, соединенных вдоль отрицательной полуоси, то мы
должны приклеить к свободной отрицательной полуоси третьей
(верхней) полуплоскости новый экземпляр нижней полуплоскости.
Положительная полуось этой последней останется свободной
(рис. 25, б). Продолжая далее этот процесс присоединения новых
полууглов и соответствующих им полуплоскостей, мы дойдем до
последнего полуугла, которому будет соответствовать нижняя
полуплоскость; ее положительная полуось, так же как и положи-
положительная полуось первой (верхней) полуплоскости, остается свобод-
свободной. Но последний и первый иолууглы вместе образуют область у0
(рис. 24, а).
Соединяя эти полууглы, мы, с одной стороны, получим полную
плоскость г, а с другой — должны будем соединить последнюю
(нижнюю) и первую (верхнюю) полуплоскости вдоль положитель-
положительной полуоси, благодаря чему получим замкнутую я-листную
поверхность, называемую римановой поверхностью функции г —
= У W.
Заметим, что на нашей модели последнее склеивание не удается
произвести фактически, так как нижний и верхний полулисты
будут разделяться п — 1 лежащими между ними листами. Поэтому
последнее склеивание нужно понимать лишь в том смысле, что мы
мысленно отождествляем точки свободных положительных полу-
полуосей с одинаковыми абсциссами.
Имея перед глазами рнманову поверхность, легко составить
себе полное представление о функции w =: г" и ей обратной функ-
функции г -- Iх w. То обстоятельство, что риманова поверхность имеет
п листов, соответствует тому факту, что одно и то же значение w
принимается в п различных точках плоскости г, или, иными сло-
словами, что каждому значению ш соответствует п различных значении
z (исключая точки разветвления w = 0 и w = со, которым соответ-
соответствует лишь по одной точке: z — 0 и z —¦ оо).
Если точка z, переходя из одного полуугла в другой, опишет
замкнутый контур вокруг начала координат, то точка т, переходя
из одной полуплоскости на другую и побывав, таким образом, на
всех листах, опишет также замкнутый контур. Оставаясь на рима-
римановой поверхности, мы можем любую точку At соединить непрерыв-
непрерывной кривой с любой другой точкой А.,_. Эти дне точки, в частности,
могут лежать одна над другой, т. е. иметь один и тот же аффикс.
Заставляя точку А двигаться толь этой кривой, от у\1 к /U, мы
заставим соответствующую точку г непрерывно перейти от значе-
значения гг, соответствующего AL, к значению z.,, соответствующему
А2, т. е. мы можем непрерывным изменением .перейти от одной
ветви функции z -¦- \ гик другой. Если, наконец, мы выделим на
римановой поверхности какую-либо область, не содержащую

94 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. П
взаимно налегающих частей, т. е. не содержащую точек с одинако-
одинаковыми аффиксами, то, оставаясь в пределах такой области, мы для
каждого w будем иметь единственное соответствующее ему значе-
значение г, т. е. можем говорить об определенной ветви функции z ===
= ]/ w (область плоскости z, соответствующая этой области
римановой поверхности, будет областью однолистности функции
w = г").
Аналогичным образом можно построить рнмановы поверхности
и для функций 2 == In w и г = arcsin w. Для функции 2 = In w
построение будет буквально тем же, только здесь верхние и нижние
полуплоскости будут соответствовать уже не: полууглам, а по-
полосам:
Ы < / (w) <k{k + 1) я (k = ..., —2, —1, 0, 1, 2, ...),
вдвое более узким, чем первоначальные. Так как среди этих полос
нет ни первой, ни последней, которые могли бы граничить между
собой, как граничили между собой перзып и последний полууглы
предыдущего примера, то и среди полуплоскостей не будет ни
первой, ни последней, края которых следовало бы склеивать
между собой, как мы это только что делали. Романова поверхность
функции г = In w является бесконечнолистной. Также бесконечно-
листной будет и риманова поверхность функции z = arcsin w;
однако связь отдельных листов здесь сложнее, чем в предыдущих
случаях. Когда г меняется в области g0 (рис. 23, а), то, как мы
видели, w описывает всю область ?\. Из равенства и = sh у cos х
(п. 9 этого параграфа) следует, что знак v соЕшадает со знаком у,
т. е. что заштрихованной полуполосе (у > 0) соответствует верх-
верхняя, а незаштрихозанной полуполосе (у < 0) — нижняя полу-
полуплоскость плоскости w. Если теперь точка z будет описывать
область gh: kn — л/2 < R (г) < kn + л/2 (k == 0, ±1, ±2, ...), то
точка г — kn будет описывать область g0 и именно: верхнюю полу-
полуполосу, когда г описывает верхнюю полуполосу области gk, и
нижнюю полуполосу, когда z описывает нижнюю полуполосу
области gh. Но sin (z — kn) = (—1)* sin z. Поэтому при k четном,
верхней полуполосе области убудет соответствовать, как и в случае
области g0, верхняя полуплоскость w, а нижней полуполосе —
нижняя полуплоскость; при k нечетном верхней полуполосе, будет
соответствовать нижняя полуплоскость, а нижней полуполосе—
верхняя. (На рис. 23, в полуполосы, которым соответствуют верх-
верхние полуплоскости плоскости w, заштрихованы.) Каждая полу-
полуполоса граничит вдоль части прямой с одной из трех полуполос и
притом заштрихованная граничит с иезаштрихованными и неза-
штрихованная с заштрихованными. Отсюда следует, что, присоеди-
присоединяя к полуполосе любую из этих соседних трех, мы получим об-
область однолистности функции sin z. В самом деле, внутри одной и

-/ 1
г
/
$ 4] ДИ4ФРРЕМ1ЛИГОЕАНИЕ. S.T\ F.ME 1' Т Л Р15 Ь! Е ФУНКЦИИ -05
той же полуполосы sin z принимает разные значения в разных
точках; если же одна из двух точек находится в одной, а другая
в другой из двух соседних полупслое, то соответствующие точки
w = sin 2 лежат одна в верхней, а другая в нижней полуплоскости
w, т. е. также различны. Мы уже з:.-,т;:еи область . которую спксьшает
w = sin z, когда z описывает область gn (или одну из полос g^).
Остается лишь отметить, что парам двух соасдллх верхних к ли
двух соседних нижних полуполос соответствует одна из областей
?2 »ли Е3 р11 с. 26: Еп состоит из верхней и нижней полуплоскостей,
склеенных вдоль части действительной осп от -\-\ до -f-oo, а Е3 —
из верхней и нижней полуплоскостей, склеенных вдоль части
действительной осп от —со до —1. В самом деле, когда точка 2
описывает полупрямую г = B к — 1) -у + \у (у, сохраняя знак,
меняется от 0 до ±оо).
по которой граничат h
полуполосы, то точка ;¦>/ J
w — sin z = (—i)*~' ch у ; < t, y
должна описывать ли- .,.,. |. ,.., .. .,
нию, по которой склей- "' i 4' ,
ваются полуплоскости - •
ю; при к нечетном полу- "" ] ' I
чаем часть действитель- рис 26.
ной оси от +1 до -гсо,
при к четном — часть
действительной осн от—оо до—1. Желая получить рнмаиову по-
поверхность функции г = arcsin re. мы построим для большей нагляд-
наглядности сначала часть этой поверхности, соответствующую верхней
полуплоскости г, затем — нижней и, наконец, обе части соединим
вместе. Начав с верхней полуполосы области g0, будем присое-
присоединять к ней одну за другой верхние полуполосы, лежащие вправо
от нее; для переменного hj мы будем получать при этом поочередно
то верхние, то нижние полуплоскости, причем они должны скреп-
скрепляться между собой то вдоль части действительной оси от -f 1 до
+ оо, то от —оо до —1. При этом каждый раз будут оставаться
свободными части действительных осей между —1 и +1. Кроме
того, останется свободной часть от —оо до —1 действительной оси
первой (верхней) полуплоскости, соответствующая левому свобод-
свободному краю верхней полуполосы gn. Если мы к этому краю присоеди-
присоединим соседнюю левую верхнюю полуполосу, то к свободной части
действительной осн первой полуплоскости придется приклеить
новую нижнюю полуплоскость. Продолжая в плоскости z при-
присоединять одну за другой верхние полуполосы, лежащие слева от
начальной, мы должны будем соответственно приклеивать к уже
построенной части римановой поверхности все новые и новые полу-
полуплоскости, скрепляя две соседние поочередно то вдоль отрезка
(—оо, —1), то вдоль отрезка (+1, +оо). В итоге получим часть

96 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. |[
римановон поверхности функции z — arcsin а\ соответствующую
верхней полуплоскости г; она состоит из бесконечного множества
листов, среди которых нет ни первого, ни последнего. На каждом
из них остаются свободными (несклеенными) два края отрезка
[—1, +11: одни край принадлежит верхней, другой — нижней
полуплоскости. Если мы заставим точку двигаться по этой поверх-
поверхности так, чтобы ее проекция на плоскость w описывала круг
с центром в начале координат, то точка не сможет описать более
половины оборота, если радиус круга меньше единицы: она оста-
остановится у несклеенных краев. В случае же, когда радиус круга
будет больше единицы, точка будет описывать неограниченное
множество кругов, лежащих друг над другом на разных листах.
При этом, отправляясь от некоторого начального положения точки
и двигаясь все время в одну и ту же сторону, мы побываем лишь
па части листов, соответствующих
верхним полуполосам, лежащим, на-
например, вправо (или влево) от некото-
некоторой из них; чтобы побывать на всех
остальных листах, пришлось бы, вер-
вернувшись к начальному положению,
двигаться в противоположном направ-
направлении.
Совершенно аналогичную струк-
структуру имеет часть римановой поверх-
!'ис- 27- ностн г = arcsin ни, соответствующая
нижней полуплоскости г (нижним по-
полуполосам). Чтобы получить из этих двух частей всю рима-
нову 'поверхность, достаточно заметить, что, соединяя две
полуполосы, верхнюю и нижнюю, в одну область gh, мы должны
соответствующие им полуплоскости w соединить вдоль отрезка
[—1, +11, тогда получится область ?\ рис. 22. Таким образом,
мы должны приклеить к каждой полуплоскости первой части рима-
римановой поверхности соответствующую ей полуплоскость второй
части вдоль остающихся свободными отрезков [—1, +1]. При
этом соответствующими считаются полуплоскости (верхняя и
нижняя), отвечающие полуполосам одной и той же области gl:.
Заметим, что последние склеивания на модели из бумажных листов
(по необходимости ограничиваясь конечным числом их) не удастся
фактически провести, так как, склеив два каких-нибудь края от
— 1 до 4-1, мы создадим преграду для склеивания свободных краев,
находящихся по разные стороны от заклеенного листа. На рис. 27
представлено схематически склеивание двух соответствующих
листов обеих частей римановой поверхности. (Верхняя полупло-
полуплоскость верхнего листа склеена с нижней полуплоскостью нижнего
листа вдоль отрезка [—1, +1]; вдоль того же отрезка склеены
между собой нижняя полуплоскость верхней и верхняя полу-
полуплоскость нижней плоскости.)

S 5]
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
97
§ 5. Конформное отображение
1. Геометрический смысл аргумента производной. Пусть
до = f (z) есть функция, аналитическая в области G. Значения функ-
функции w = и 4- vi будем изображать точками в плоскости ни. Каждой
точке z = х + yi в плоскости независимого переменного г будет
соответствовать одна точка w = и -\~ vi в плоскости функции w
(рис. 28 п 29). При движении точки z в плоскости ху по некоторой
линии С соответствующая ей точка w будет описывать в плоскости
мо линию Г, являющуюся образом линии С. Пусть z0 — произволь-
произвольная точка области С и С — линия, данная вместе со своим направ-
направлением, выходящая из этой точки и имеющая определенную каса-
касательную в точке 20. Предположим, что /' (.?,,) Ф 0. В плоскости ии
Рис. 28.
Рис. 29.
образом линии С будет линия Г, выходящая из точки w0 — / (г„).
Если уравнение произвольно выбранной линии С есть г = г (t)
@ < t < 1), то уравнение линии Г получим, если заменим в ра-
равенстве w == / (г) переменное г через z (t): w = / [г (t) ] = w (t)
@ < t < 1).
Чтобы выяснить геометрический смысл производной /' (z0),
представим комплексное число /' (г0) в тригонометрической форме:
f (z0) = r (cos a + i sin а), и выясним геометрическое значение
аргумента а производной и ее модуля г. Возьмем произвольную
точку zg + Аг0 на линии С и обозначим через w0 + Дт0 соответ-
соответствующую ей точку на плоскости uv, лежащую на линии Г. При
стремлении точки га + Аг0 по линии С к точке г0 соответствующая
ей точка w0 + Aw0 движется по линии Г к точке w0, причем Дг0
и Aw0 одновременно стремятся к нулю. Из равенства
f (г0) = lim -^г- = r (cos a -\- i sin а)
4 И. И. Привалов

98 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
находим:
Jim
= г. E9)
= а F0)
(с точностью до кратных 2л). Здесь входит требование, чтобы
/' Bо) Ф 0, так как в противном случае угол а не имел бы опреде-
определенного значения. Рассмотрим ближе равенство F0). Таи как аргу-
аргумент дроби равен разности аргументов числителя и знаменателя, то
arg-~ = arg Aw0 — arg Az0,
и равенство F0) примет вид
lim arg Aw0 — lim arg Дг0 = а. F0')
Выясним геометрический смысл равенства F0'), пользуясь
рис. 28 и 29. Очевидно, Аг0 = (г0 + Дг0) — г„ изображается векто-
вектором, соединяющим точку г0 с точкой z0 + Az0; также Aw0 есть
вектор, идущий от точки w0 к точке w0 + Aw0. Следовательно,
arg Лг0 есть угол ф между положительным направлением оси Ох
и соответствующим вектором Аг0, a arg Aw0 есть угол Ф оси Ои
с вектором Aw0. Таким образом, равенство F0') будет вида
lim Ф — lim ф = и. F0")
В пределе направление вектора Az0 совпадает с направлением
касательной к линии С в точке z0 (рис. 28), а направление вектора
Аш0 — с направлением касательной к линии Г в точке w0 (рис. 29),
которая необходимо должна существовать Е;следствие равенства
F0"). Обозначая через if и f углы осей Ох и Ои соответственно
с касательными к линиям Си Гв точках г0 и w0, перепишем F0")
таким образом:
V — хр = а, или ? = \р + а. F1)
Будем считать положительные направления осей Ох и Он
совпадающими между собой. Тогда из равенства F1) усматриваем,
что а есть угол, на который поворачивается касательная к линии С
в точке z0 при отображении w = / (г), или, иначе, а есть угол
между первоначальным и отображенным направлениями. Сущест-
Существенно важно заметить, что линию С мы берем произвольной; при
изменении направления линии С будут изменяться if и W, но а
остается постоянным. Следовательно, проводя из точки г0 другую
линию С и обозначая соответствующую ей линию, выходящую из
точки w0, через Г' (рис. 28 и 29), мы можем заключить, что равен-
равенство F1) остается в силе для этой пары линий. Оно примет вид
Т = Ц' + а, F Г)

S'5] КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 99
где \|з' и Ч*' суть значения соответственно ty и У для линий С" и Г'.
Вычитая F1) из равенства FГ), получим:
W — ? = ip' — \р. F2)
Заметив, что i|/ — \|; обозначает угол между касательными в точке г„
к линиям С и С, а У' — Ч1" — соответствующий угол для Г и Г',
усматриваем из равенства F2) следующее: две произвольные ли-
линии, выходящие из точки г0, отображаются в две соответствующие
линии, выходящие из точки w0 = f (z0), так что угол между каса-
касательными к данным и отображенным линиям будет один и тот же
как по величине, так и по направлению. Это значит, что если поло-
положительное направление линии С в точке z0 переводится в положи-
положительное направление линии С" путем поворота на некоторый угол
в определенном направлении, то соответствующее направление
линии Г переходит в направление линии Г' путем поворота на
тот же угол и в том же направлении. Итак, отображение с помощью
аналитической функции обладает свойством сохранения (консерва-
(консерватизма) углов во всех точках, где производная /' (г) не равна нулю.
2. Геометрический смысл модуля производной. После того
как мы выяснили геометрический смысл аргумента производной,
обратимся к рассмотрению ее модуля. Равенство E9) может быть
записано так:
lim |Aa1
|Дго| ~Г- ^У >
Геометрически | Лг„ | обозначает длину вектора Лг„, т. е. рас-
расстояние между точками г0 и г0 + Дг0 (рис. 28); аналогично | Дш„ |
есть расстояние между соответствующими точками w0 и w0 + &Щ
(рис. 29). Равенство E9') показывает, что отношение бесконечно
малого расстояния между отображенными точками к бесконечно
малому расстоянию между первоначальными точками, в пределе
разное г = | /' (г„) |, не зависит от направления линии С. Из этого
ясно, что г — | /' (г0) | можно рассматривать как величину мас-
масштаба в точке г0 при изображении с помощью функции w = f (г).
Если г > 1, то масштаб увеличивается, т. е. происходит растяже-
растяжение произвольного бесконечно малого элемента, выходящего из
точки г0; если г <С 1, то, наоборот, происходит сжатие; при г = 1
масштаб остается неизменным, т. е. бесконечно малый элемент,
выходящий из точки 20, заменяется ему эквивалентным бесконечно
малым элементом, выходящим из точки w0.
Так как г — \ f (z0) | зависит только от z0 и не зависит от на-
направления линии С, то масштаб — его обычно называют искаже-
искажением в данной точке z0 — будет одним и тем же независимо от
направления. Таким образом, можно сказать, что изображение
с помощью аналитической функции w = / (z) обладает в каждой
точке г0, где /' (г0) Ф 0, растяжением, не зависящим от направ-
направления.

100
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
[ГЛ. II
3. Конформное отображение. Итак, всякое аналитическое ото-
отображение, т. е. изображение, устанавливаемое с помощью аналити-
аналитической функции w = f (г), обладает в каждой точке г0, где/' (г0) Ф
Ф 0, двумя свойствами:
1) консерватизма углов,
2) постоянства растяжений.
Если мы возьмем в плоскости комплексного переменного г
бесконечно малый треугольник, одна из вершин которого нахо-
находится в точке г0, то ему в плоскости переменного w будет соответ-
соответствовать бесконечно малый криволинейный треугольник с верши-
вершиной в точке wQ (рис. 30 и 31). Соответственные углы в этих треуголь-
треугольниках будут равны в силу свойства консерватизма углов; отноше-
отношения же соответственных сторон с точностью до бесконечно малых
а
Рис. 30.
Рис. 31.
будут равны одному и тому же постоянному числу г Ф 0. Такие два
бесконечно малых треугольника называются подобными между
собой. Итак, аналитическое отображение будет отображением
подобия в бесконечно малом [вблизи каждой точки, где/' (г) Ф 0).
Отображение, обладающее свойством консерватизма углов и свой-
свойством постоянства растяжений, называется конформным отобра-
отображением.
Резюмируя исследование, произведенное в пп. 1 и 2, мы скажем:
всякое отображение, устанавливаемое с помощью аналитической
функции w = f (г), есть конформное во всех точках, где производ-
производная этой функции не равна нулю. Из предыдущего легко видеть,
что и обратно, если однозначная функция w == / (г) дает конформ-
конформное отображение, то функция / (г) будет аналитической с производ-
производной, не равной нулю.
4. Конформное отображение II рода.; При аналитическом ото-
отображении углы между соответствующими направлениями сохра-
сохраняются не только по величине, но и по направлению отсчета.
Всякое отображение плоскости комплексного переменного г
(или ее части) на плоскость w, при котором углы сохраняются
по величине, направление же их отсчета меняется на обратное,
обладающее, сверх того, свойством постоянства растяжений,
называется конформным отображением II рода в отличие от ана-

§5] КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ДО1
литических отображений, называемых конформными отображе-
отображениями I рода. Все такие отображения устанавливаются с помощью
функций, тесно связанных с аналитическими функциями.
Пусть нам дано отображение w = z. Будем изображать пере-
переменное w в той же плоскости, что и г; мы видим, что при рассма-
рассматриваемом отображении всякая точка г переходит в точку, ей
симметричную относительно действительной оси. Ясно, что при
таком отображении всякие два направления, выходящие из
точки г и образующие между собой некоторый угол а, перейдут
в два соответствующих направления, симметричных с первыми,
угол между которыми будет —а, т. е. величина углов сохраняется,
направление же их отсчета меняется на об- „
ратное (рис. 32). Далее, это отображение
обладает свойством постоянства растяже-
растяжений, так как при нем не происходит вообще
никакого изменения масштаба. Следова-
Следовательно, рассматриваемое отображение w = z
есть конформное отображение II рода.
Предполагая теперь / (г) аналитической
функцией, мы можем заключить, что отобра-
отображение w = / (г) будет конформным II рода.
В самом деле, это преобразование может
быть разбито на два последовательных ото-
отображения: ? = / (г) и w = Z. При первом рис 32.
преобразовании углы сохраняются как по
величине, так и по направлению; при вто-
втором же — направление отсчета углов меняется на обратное. Сле-
Следовательно, в результирующем отображении углы сохраняются
по величине, но направление их отсчета меняется на обратное.
Кроме того, данное отображение обладает свойством постоянства
растяжений, так как это последнее свойство присуще обоим соста-
составляющим преобразованиям.
Итак, мы доказали, что всякое преобразование, устанавливаемое
с помощью функции, значения которой являются сопряженными
со значениями аналитической функции, есть конформное II рода.
Обратно, всякое конформное отображение II рода осуществляется
с помощью функции, сопряженной с некоторой аналитической
функцией. В самом деле, если w — F (г) устанавливает конформное
отображение II рода, то w = F (г) должно определять конформ-
конформное отображение I рода, и следовательно, F (г) есть функция,
аналитическая в рассматриваемой области; F (г) = / (г), откуда
следует:
F B) = f(ij.
Мы видели, что аналитическое отображение характеризуется
двумя свойствами; консерватизмом углов и постоянством растя-

102 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
женнй. Естественно поставить вопрос: всякое ли непрерывное
отображение, обладающее свойством консерватизма углов, будет
аналитическим, т. е. свойство сохранения углов влечет ли по-
постоянство растяжений? Или другой аналогичный вопрос: непре-
непрерывное отображение, обладающее постоянным растяжением не
будет ли всегда конформным I или II рода? Не касаясь разбора
этих вопросов, мы лишь заметим, что обе поставленные задачи
решаются в положительном смысле и притом элементарными ме-
методами, если a priori предполагать для данного отображения
ш = «т vi непрерывность частных производных функций и
и v. Решение тех же проблем становится гораздо более трудным,
если рассматривать произвольное непрерывное преобразование
a priori, не предполагая существования частных производных
функций и и v. Однако за последнее время сделаны большие успехи
в решении указанных проблем и в их общей постановке. Так
доказано, что всякое непрерывное и взаимно однозначное отображе-
отображение, обладающее консерватизмом углов, необходимо есть анали-
пшчсское 1).
вопрос о том, будет ли требование взаимной однозначности
преобразования существенным для справедливости теоремы или
же предложение остается в силе и без этого ограничения, не
разрешен еще до конца. Что касается второй проблемы, то она
решена исчерпывающим образом 2). Доказано, что всякое непре-
непрерывное и взаимно однозначное отображение, обладающее постоян-
постоянством растяжений, необходимо должно быть конформным I или
U рода. С другой стороны, на простом примере легко показать,
что здесь требование взаимной однозначности отображения ;:в-
ляется существенным. Действительно, легко дать пример непре-
непрерывного отображения с постоянным растяжением, которое не
будет конформным ни I, ни II рода. С этой целью возьмем следу-
следующее преобразование: w = г, если точка г находится в верхней
полуплоскости, w = z, если точка г лежит в нижней полупло-
полуплоскости (на действительной оси г и z совпадают). Очевидно, это
отображение будет непрерывным во всей плоскости комплексного
переменного г, будет обладать постоянным растяжением и тем
не менее оно не будет ни аналитическим во всей плоскости, ни
сопряженным с аналитическим во всей плоскости. Вторая про-
проблема, следовательно, получает отрицательное решение, если
рассматривать однозначные, но не взаимно однозначные отобра-
отображения.
5. Геометрический смысл дифференциала. Возвращаясь к обо-
обозначениям п. 1, предположим, что линия С, данная вместе со свои'5д
1) М е п s с h о f I D., Sue la representation coniorme. de-, domaines plsncs. —
Math. Ann., 1926.
2) В о h r H , Uber streckentreue und coniorme AbbiJdung. — Math. Zeitsc.hr.,
Bd. I, 1918, S. 403.

$ 51 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ЮЗ
направлением, puxoimit и:: точки z0 и имеет определенную каса-
касательную в этой течке. В плоскости w, w = / (г), линии С будет
соответствовать как ее образ линия Г, выходящая из точки w0 =
= /(г0). Предположим, что /' (г0) ф 0. Если ураЕ;нение произ-
произвольно выбранной линии С есть z = г (t) @ < t < 1), то уравне-
ние линии Г получим, если заменим в равенстве w = / (г) пере-
переменное г через г (t):
w = f [г (/)] = w(t).
Заметим, что
(dz)a = (dxH + / (dyH = (cos ф + i sin 41) (dsH == ef* (dsH
и аналогично
(da;H = (duH + 1 {dvH = (cos V + i sin V) (af0>o = eiV (doH,
где я|) и Чг — углы с осями Ох и Ои касательных к линиям С и Г
соответственно в точках z0 и w0, a (dsH и (daH суть дифферен-
дифференциалы дуг линий С и Г, образованные в тех же точках г0 и w0.
Рассматривая написанные выше уравнения, мы видим, что
геометрически (а'г)„ изображается вектором длины (ds)a, напра-
вленкым по касательной к линии С в точке г0, аналогично (dw)n
есть вектор длины (do\,, направленный по касательной к линии Г
в точке ц.'(|. Отсюда, в частности, получаем:
dz )o ~ (^)u (ds)lt e
т. e. I/'B0) I —-yj-p-есть отношение дифференциала отображенной
дуги к дифференциалу первоначальной дуги в соответствующих
точках.
Мы можем сказать также, что | f (z0) | есть предел отношения
элемента (Да)„ отсбргженной дуги к элементу (AsH первоначаль-
первоначальной дуги в соответствую:щих точках, что совпадает с результатом
п. 2. Из выражения производной /' (z0) мы, далее, усматриваем,
что
arg/'Bu) =4f-^,
т. е. arg f (га) есть угол между первоначальным н отображенным
направлениями (считая положительные направления осей Ох
и Он совпадающими между собой). Это заключение также совпа-
совпадает с соответствующим результатом п. 1.
6. Главная часть отображения w = f(z). Предположим, что
функции и (х, у) и v (х, у) имеют полные дифференциалы в точке
z<t = х0 + iy0; рассмотрим линейную часть отображения w =
= и + iv бесконечно малого круга с центром в точке г0. Под
линейной частью отображения и = и (х, у), v = v (x, у) мы по-
понимаем
и — ио = а(х — хо)-\-Ь(у — уо) |

104 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. П
где величины, входящие в F3), имеют следующие значения!
, I ди \
vu = v (x0, y0), ах =
Окружность радиуса р с центром в точке г0
х — х0 = р cos ф, у — у0 = р sin ф
переходит на плоскости (и, v) в кривую
и — и0 = р (a cos ф + b sin ф), v — v0 = р (ох cos ф + b, sin «p).
Исключив ф из этих равенств, получим:
[«! (и - иа) -a(v- v0) ]2 + 16Х (и — uo) — b(v — v0) ]2 = б2р2, F4)
где положено: б = abt — аф. Уравнение F4), очевидно, предста-
представляет эллипс с центром в точке («„, vQ), являющийся образом нашей
окружности радиуса р, причем этот эллипс вырождается в двойной
прямолинейный отрезок, если 6 = 0.
Посмотрим, при каких условиях этот эллипс превращается
в окружность, т. е. при каких условиях преобразование' F3)
переводит окружность плоскости (х, у) в окружность же пло-
плоскости (и, v).
Условия обращения эллипса F4) в окружность будут:
а? + Ь\ = a2 -f b'2, aai-\-bbi = 0, F5)
причем при 6 = 0 вместо окружности мы получим точку. Дей-
Действительно, в этом последнем случае, пользуясь тождеством
(о, + b'i) (ai2 + b'2) - (aai + bb{f = (ah - сцЪJ,
видим, что при 6=0 условия F5) обращаются в такие: а = b =
= Gj = bx = 0, и следовательно, преобразование F3) вырождается
в следующее:
и = и0, v = v0 или w = / (г) = ы>0.
Очевидно, этот частный случай соответствует обращению в нуль
производной /' (г) в точке гс.
Обращаясь к исследованию общего случая б Ф 0, из условий
F5) находим:
аг = —kb, bx = ka, k2 (a2 + b2) --= a2 + b2.
В данном случае а2 + Ь'г Ф 0, потому что б Ф 0, и сокращая
последнее соотношение на а2 + Ь2, получим к2 = 1, откуда k =
= ±1, и следовательно, условия F5) примут вид
а, = -Ъ, Ьх = а, F6)
или
ах = b, bx = —а. F7)

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. II Ю5
Первая группа F6) представляет условия Кошн — Римана для
точки (а-0, г/0), и при этих условиях преобразование F3) будет:
и — w0 = а (х — х0) + Ь(у — г/о). v — v0 = — b (х — х0) +
-т а(у — г/0),
или
w — wo = (a — ib) B — г0).
С геометрической точки зрения это линейное преобразование
сводится к параллельному переносу, вращению и подобному
изменению, т. е. действительно всякая окружность радиуса р
плоскости г с центром в точке г0 переходит в окружность с центром
в точке щ, причем направление обхода сохраняется.
Итак, условие, необходимое и достаточное для того, чтобы
однозначная функция / (г), имеющая полный дифференциал в точке
г0, обладала производной по комплексному неременному, отлич-
отличной от нуля, заключается в следующем: если ограничиться рас-
рассмотрением лишь линейной части отображения w = / (г), то
всякому кругу плоскости г с центром, в точке г0 соответствует
круг плоскости w с центром в точке w0 = / (г0) и тем же напра-
направлением обхода.
Очевидно, в этом случае мы имеем постоянство растяжений
в точке г0 и консерватизм углов, т. е. конформность отображения,
что вполне согласуется с результатом п. 3. Обращение в нуль
производной /' (г) в точке г0 характеризуется тем геометрическим
фактом, что круг плоскости z с центром в точке г0 с помощью
линейной части отображения w = f (г) переходит в точку w0
и, таким образом, в этом случае конформность нарушается.
Заметим, наконец, что при условиях F7) преобразование F3),
очевидно, будет: и< — w0 = (а + ib) (z — z0), т. е. сопряженным
с предыдущим линейным преобразованием. С геометрической точки
зрения это преобразование характеризуется тем, что круг пло-
плоскости г с центром в точке г0 переходит в круг плоскости w с цен-
центром в точке w0, причем направление обхода изменяется на обрат-
обратное. Таким образом, случаю F7) соответствует конформное отобра-
отображение II рода (п. 4).
Упражнения к главе И
1. Будет ли дифференцируемой функция |г|?
Отв. Нет.
2. Установить выполняемость условий Коши — Римана для функций / (г) =
= г, г2, z", e2, sin г cos г.
3. Если функция f (г) в каждой точке области удовлетворяет условию /' (г) =
= 0, то доказать, что f (г) есть постоянное в этой области.
4. Написать условия Коши — Римана в полярных координатах.
ди 1 dv dv 1 ди
or r dip дг г дф

106 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
5. Показать, что функция ш = In г + <pi :—я < ф <; я), где г = » (cos <p +
+ 1 sin tp), есть аналитическая всюду, кроме нулевой точки
6. Определить радиус сходимости ;яда j anzn, если ап = ——, ап =
л—J пп
п=\
= л'" "> с„ = -—, й„ = л".
О/пл. R ¦= оо, I, е, 0.
7. V] ааг" имеет радиус сходимости /¦ и ?, да гп — радиус сходимости г'.
П^=') /I=J
Какой радиус сходимости R имеют рнды
(В последнем случае псе а,; т^ 0).
Oina. В первих двух случаях R не меньше наименьшего из чи".ел .г и /¦'.
I. e. R ^- ¦ ¦ — -. В третьем случае R > ""' и в четвертом R tsc—-.
S. Ряд ^j а;1г" имеет радиус сходимости лив некоторой точке г„ окружности
/1 = 0
круга сходимости абсолютно сходится, ['.оказать, что этот ряд сходится абсо-
абсолютно и равномерно для всех г, | > j г^ г.
9. Коэффициенты аи, аи а21 ... степенного рядя V anz" — действительные
положительные числа, монотонно стремящиеся к нулю. Показать, что: а) его
радиус сходимости г не меньше единицы; б) есчи г = I, то он сходится во всех
граничных точках его круга сходимости, кроме, быть может, г= 1.
10. йудет ли функция / (г) =* -j внутри единичного круга непрерывна?
Буд«г ли она равномерно непрерывка?
Отв. Непрерывна, но не равномерно непрерывна.
11. Функция / (г) определена при | г | < 1 и не только непрерывна, но и рав-
равномерно непрерывна. Доказать, что если г„->- гц, где | гп | < 1, а г,, — граничная
точка, то существует lim / (г„) и имеет значение, зависящее только от ги-
П-*оо
12. Доказать, что при условии задачи 11 однозначно определенные гранич-
граничные значения / (ги) образуют непрерывную функцию вдоль окружности | г| = 1.
13. Для 0 < | г | < 1 доказано, что — | г | < j ег — 1 | < -L-1 г |.
14. Для любого г показать, что \ег — I | =5 е'г' — 1 ^ | г |t;'г'.
15. Пусть г движется по лучу, выходящему из начала координат, и по мо-
модулю неограниченно возрастает. Для каких напразлений этого луча существует
lim e!, для каких нет?
Отв. При 2"<argz<-*--|-, |е*|-юо; при -^- < arg г < -j- л,
ег -*¦ 0, когда arg г — ±я/2, предела нет.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. U 107
16. Чему равны значения e2+I, cos E — i), sin (I—5i)?
Отв. f2+l = e2 (cos , + (- sin ]) = 3i992 + /6,218,
cos E — i) = cos 5 - +2e 1 + i sin 5 € ~^ ' = 0,438 -f П , 127,
sin A — 5«) = sin 1 ¦ ^ + e 5 — ( cos 1 e"~oe ' = E2,45 — /40,09.
17. Какая зависимость существует между a) arccos z и In 2; 6) arclg 2 и In г?
Отв. a) arccos г = — i In (г + yrzi—\)', 6) arclgz = ~ In -: —.
Z 1 -f- 12
18. Дано w = и + iv -¦= In (г — с). Полагая z = x -\- yi, с = a-\- ti, найти
и и v. Проверить условия Коши — Римана в любой точке.
Отв. и = In V(x — a)'1 + («/— *)ai о = arctg -^— .
19. Переменное г= .v + i/j описывает отрезок х= 1, —1 ^/угс + 1. Чему
равна длина линии, получающейся при отображении этого отрезка в плоскости
w = г2?
Сям. 2 /2 + 1и C + 2 1/2).
20. Какую линию описывает w = г2, когда 2 изменяется в лределях R 'г) =
= 1, — 1 < 1 (г) <-^1?
О»гв. Дугу параболы i/2 =4A-— х), эрключенную между течками @, —2)
и @, 2).
21. Если элемент площади плоскости г есть с<я, то как выразится глемеит
площади отображенной плоскости w = / (г)?
Отя. |/' (z)\2-du>, где г — точка элемента d(?>.
22. Если г списывает область G, то чему ргвна площадь области D, полу-
получающейся при отображении G с помощью аналитической функции w = / (г)?
Gme. |/' (г) | s<li- rf;/, где интеграл распространен на область G.
23. Если w = г2 и г описывает область, определяемую условиям» 1 sg | г | ^
=Si 2, —я/4 sc arg г ^ -hn'4, то чему равна площадь области, описываемой при
этом точкой wi
Отв. 7,;ж.

ГЛАВА III
ЛИНЕЙНЫЕ И ДРУЕИЕ ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
При выяснении геометрического смысла производной (гл. II,
§ 5, п. 3) мы видели, что отображение, устанавливаемое с помощью
функции w = / (г), аналитической в некоторой области G, яв-
является конформным во всех точках г, для которых /' (г) ф 0.
Настоящую главу мы посвятим рассмотрению некоторых отобра-
отображений, выполняемых с помощью простейших аналитических
функций.
§ 1. Линейная функция
I. Целая линейная функция. Мы начнем с исследований линей-
линейной функции вида
w = аг + Ь, A)
где а и b — некоторые постоянные комплексные числа {а ф О)-
Очевидно, что отображение A) будет конформным во всей пло-
плоскости комплексного переменного г (о/ = а Ф 0) и притом вза-
взаимно однозначным. Рассмотрим сначала
" тш три частных случая, причем ради простоты
г и ш будем изображать точками на одной
плоскости.
a) w = г + Ь. Ясно, что при таком ото-
отображении точка г переносится в точку w
в направлении вектора b на расстояние, рав-
ное его длине (рис. 33). Полагая w = и 4-
4- ш, г = х 4- yi, b = bx 4- bj, мы запишем
Рис. 33. преобразование A) в виде двух формул: и =
= х 4- bu v = у 4- Ь-2- Два последних ра-
равенства представляют собой известные формулы параллельного
переноса осей координат
б) w == eaiz. В таком случае имеем; | w \ = | г |, arg аи = arg г 4-
+ а, т. е. точка г переходит в точку w при помощи поворота век-
вектора г около нулевой точки на угол а (рис. 34). Таким образом,
отображение б) есть не что иное, как вращение около на-
начала координат и а угол а. Кроме того, можно написать w =
= и -|- vi = (х + yi) (cos a + i sin а), откуда находим! и =

б И
ЛННПЙПАЯ ФУНКЦИЯ
109
¦= х cos а — у sin а, v = х sin a + у cos а. Два последних
равенства являются известными формулами поворота осей коор-
координат.
в) w = гг, где г — действительно положительное постоянное
число. В данном случае имеем: \w\ —- r\z\, arg w = arg г, т. е.
ш точка г преобразуется в точку w,
лежащую на прямой Ог на рас-
расстоянии от точки О, равном г раз
У
Рис. 34.
Рис. 35.
У
0
л
Рис. 36.
взятому расстоянию точки г. Это — так называемое преобразова-
преобразование подобия с центром подобия в точке О и коэффициентом по-
подобия г (рис. 35).
Общее преобразование w = аг + b производится путем трех
простейших вышеописанных отображений. В самом деле, пусть
а = ге"Л. Повернем сначала вектор Ог
на угол а: г' =еа'-г. Изменим, далее,
| г | в г раз: г" = гг'. Наконец, сделаем
параллельный перенос точки г": w =
= г" + Ь. Проверка дает: ги = г" +
•!- Ъ = гг' -\- b = reai-z + b - аг + b.
Однако можно рассматривать отобра-
отображение, даваемое функцией w = аг + Ь,
с несколько иной точки зрения.С этой
целью найдем комплексное число А, удовлетворяющее следу-
следующему условию:
w — А = а (г — А), (Г)
откуда вытекает: А —аА = b и, следовательно, А=—.——.
Если а Ф 1 (когда а — 1, отображение будет простым параллель-
параллельным переносом), то преобразование (Г) представляет собой вра-
вращение около точки А, соединенное с отображением подобия.
Итак, мы можем точку z перевести в точку w либо с помощью
параллельного переноса (а = 1), либо (а Ф 1) при помощи одного
вращения около точки А — -т—— и отображения подобия
(рис. 36).
2. Функция w—i/z. Соответствие, даваемое этой формулой,
взаимно однозначно во всех точках плоскости, причем нулевой

ПО ЛИНЕЙНЫЕ И ДРУГИЕ ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. Ш
точке г = О (или w = 0) соответствует бесконечно удаленная
точка w = оо (или г = оо). Для исследования отображения, дава-
даваемого этой функцией, проще всего ввести полярные координаты,
полагая г = re^n, w = ре0''. Легко видеть, что в данном случае
будет:
р = l/r, 9 = -ф. B)
Опишем из нулевой точки, как центра окружность С радиуса
единица. При преобразовании B) эта окружность переходит сама
в себя, а именно каждая ее точка преобразуется в симметричную
точку относительно действительной оси.
Преобразование B) удобно разбить на л,ва более простых:
г = \lr, q/ = Ф; ([)
Р = Л 8 = -ф'. (II)
При первом из этих преобразований аргумент сохраняется,
а модуль изменяется иа обратный. Точка г, находящаяся внутри
окружности С, преобразуется в точку ш', находящуюся вне окруж-
окружности и лежащую па продолжении отрезка Ог, причем произведе-
произведение расстояний от точки О до отображенной и первоначальной
точки равно единице. Такое отображение мы называем инверсией
относительно окружности С (гл. I, § 2, п. 5). Точки г и к/, пере-
переходящие одна в другую с помощью преобразования (I), мы на-
называли взаимно симметричными относительно окружности С.
Геометрическое построение точки ш' по данной точке г (или
обратно) было указано в гл. I, § 2, п. 5. Следует заметить, что
отображение (I) может быть записано в виде
w' = 1/г; (Г)
оно не будет, следовательно, аналитическим преобразованием
и принадлежит к классу конформных отображений II рода (гл. II,
§ 5, п 4). При таком отображении углы хотя и сохраняются по
абсолютной величине, но имеют разные направления.
Преобразование (II) можно записать в виде w = w . Очевидно,
это преобразование также есть конформное II рода, переводящее
каждую точку в точку, ей симметричную относительно действи-
действительной оси. Совокупность двух неаналитических (конформных
II рода) отображений (I) и (II) дает аналитическое (при г Ф 0)
отображение ш = 1/г. Это отображение будет сохранять углы во
всех точках плоскости г, включая г — 0 и г = оо, если под углом
двух линий при г = оо мы будем понимать угол, образованный
отображенными линиями посредством функции w = Мг в пло-
плоскости w при w = 0.
3. Общая линейная функция. Общее линейное преобразование
имеет вид

i И ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Ml
где a, b, с и d — постоянные комплексные числа и притом такие,
что ad — be Ф О, так как в противном случае наша линейная
функция C) не зависела бы от г. Обратно, г можно выразить
через ш:
г= '1ш~Ь ¦ D)
Соответствие, даваемое функцией C), будет, следовательно, вза-
взаимно однозначным. Точке г = —idle будет соответствовать бес-
бесконечно удаленная точка плоскости w, а точке w = ale будет
соответствовать бесконечно удаленная точка плоскости г. Общее
линейное преобразование C) сохраняет углы во всех точках
расширенной плоскости комплексного переменного г. Действи-
Действительно, производная
dw _ (сг + d) a — (аг -f b) с _ ad — be
dz ~ (cz + dJ (cz + dF
есть конечное число, не равное нулю во всякой точке г, г ==? —die,
z Ф оо, откуда следует инвариантность углов во всех упомянутых
точках г. В бесконечно удаленной точке углы также сохраняются,
так как, выполнив подстановку г — \1г', мы найдем, что функция
в точке г' — = 0 есть аналитическая, если с ф 0, и имеет
ad — be „ п
производную ^ , не равную нулю. Ьсли же с = и, то мы
обнаружим то же самое, рассматривая функцию ——г при г =
= сю. Наконец, при z = —die мы также немедленно обнаружим
л. сг -\- d
консерватизм углов, рассматривая функцию .
Изучим состав общего линейного преобразования C). Покажем,
что это преобразование совершается при помощи вышерассмотрен-
ных отображений. Действительно, выполняя деление, мы найдем:
аг-\-b а . be — ad ,г>,\
Введя новое переменное г' — с (сг + d), мы убеждаемся в дока-
доказываемом.
4. Круговое свойство линейной функции. Перейдем теперь
к рассмотрению свойств общего линейного преобразования. Оно
обладает одним замечательным свойством, характеризующим это
преобразование. Это свойство состоит в следующем. Если точка z
описывает окружность на плоскости комплексного переменного г,
то точка w на ш-плоскости описывает тоже окружность или пря-
прямую линию. Если же точка г описывает прямую линию, то w
описывает прямую или окружность. Считая прямую линию аа

П2 ЛИНЕЙНЫЕ И ДРУГИЕ ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. Ш
окружность бесконечно большого радиуса, мы можем описанное
свойство формулировать короче: при линейном преобразовании
окружность переходит в окружность, т. е. при таком преобра-
преобразовании имеет место инвариантность системы всех окружностей.
Как обнаружить это свойство? Очевидно, для этого достаточно
показать справедливость доказываемого свойства по отношению
к преобразованиям пп. 1 и 2.
Что касается преобразований а) и б), то згго совершенно ясно
из их геометрического смысла (и. 1). Перейдем к преобразова-
преобразованию в). Уравнение окружности имеет вид
А {х- + if) + тх + пу + I = 0. E)
При /4=0 уравнение E) определяет прямую линию. Подставляя
в уравнение E) вместо х и у их значения и/г и vlr, мы получаем
в плоскости w опять уравнение окружности. Итак, в этом случае
окружность переходит в окружность. Перейдем, наконец, к пре-
преобразованию W = 1/2 (И. 2).
Уравнение E) можно записать в таком виде:
Аи -\- Ъг + Вг + С = 0,
где А и С — действительные постоянные. При преобразовании
w= l/г получаем; А——-j 1—— -I- С = 0, или, приводя
к общему знаменателю и отбрасывая его, находим:
А + Bw -[- Bw + Cww = 0. E')
Уравнение же E') определяет окружность в плоскости w. [При
С = 0 уравнение E') представляет прямую линию. 1
Итак, мы видим, что при всех четырех преобразованиях,
пп. 1 и 2, окружность переходит в окружность, а потому то же
свойстео будет присуще и общему линейному преобразованию,
которое представляет собой комбинацию только что указанных
преобразований.
5. Параметры и инвариант линейного преобразования. Общее
- п? 4- b
линейное преобразование w = ¦ ¦. зависит от трех пара-
параметров, за которые могут быть приняты, например, отношения
чисел а, Ь, с и d к одному из них. Чтобы определить эти пара-
параметры, а вместе с ними и самое преобразование, нужны три
уравнения между а, Ь, с и d. Мы получим их, указав точки wu
w2 и ы'з, в которые искомым преобразованием переводятся какие-
либо три точки zlt z2 и гй. Задавая точки ги гъ и z3 произвольно,
получаем уравнения
Э <*-1.2.3). F)

8 11 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 113
Чтобы исключить а, Ь, с и d из этих уравнений и из уравнения
w = ~ ~~ , образуем разности
(ad — be) (z — -J (ad — 6с) (г — ?,)
Деля почленно первое из этих уравнений на второе и третье на
четвертое, затем полученные таким образом равенства снова деля
почленно друг на друга, получим:
w— ч'1 . w., — а, _ г —?! _ га — zt ,~
w — w.2 оу3 — &'2 г — г.2 " г3 — г2 ^ '
Это и есть искомое линейное преобразование. Отметим, что пре-
преобразование G) будет единственным линейным преобразованием,
переводящим точки ги г2 и г3 в точки ши w2 и w3, так как к этому
преобразованию мы пришли, допустив только, что общее линейное
преобразование подчиняется условиям F).
Так как за гг, г2, г3, г и ши wit w3, w могут быть приняты
любые четверки точек, соответствующих друг другу при линейном
преобразовании, то полученное соотношение выражает следующее
общее свойство линейного преобразования: отношение?—- : -—-
г — *2 Ч — гг
сохраняется при линейном преобразовании, т. е. является его
инвариантом. Это отношение называется двойным или ангармо-
ангармоническим отношением четырех точек и обозначаемся через (ги г2,
г, г3). Выясним геометрический смысл ангармонического отно-
отношения в том случае, когда четыре точки гъ г2, г и г., лежат на одной
окружности (в частном случае — на одной прямой). Пусть точки
гь г2, г, г3 лежат на прямой
I = So + teia (-00 < t < +00),
проходящей через точку Со н пересекающей ось х под углом а.
Тогда имеем:
откуда
(г1| г2> Zi гз) == ('l> '2> *> 'з)>
т. е. ангармоническое отношение четырех точек, лежащих на
прямой, есть действительное число, равное взятому с надлежащим
знаком отношению расстояний от одной из них (г) до двух других
(Zi и г2), деленному на отношение расстояний от четвертой точки
(г3) до тех же двух (zL и г2). Пусть теперь точки zx, z%, г и zj
лежат на окружности ?, — to + rei4> @ < ф < 2а) с центром ?0
радиуса г. Тогда имеем:
e"p«, г =

114 ЛИНЕЙНЫЕ И ДРУГИЕ ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1ГЛ. III
и, следовательно,
(*1, 22, 2, 23) = -^Г
в"*" — е
'«Pi
¦2/ sin
<P —«Pi
Фя+Ф,
•2i sin -
•2/ sin
ф —
¦2i sin
Фэ — Фа
2 sin
Ф —Ф1
2 sin-
— 4>i
2 sin-
2 sin
Фз —Фз
Мы видим, что и здесь ангармоническое отношение является
действительным числом, равным взятому с надлежащим знаком
отношению длин хорд (или дуг окружности), соединяющих одну
из точек (г) с двумя другими (Zj и z2), деленному на отношение
длин хорд (дуг), соединяющих четвертую точку г3 с теми же двумя.
Соединяя полученный в начале этого пункта результат с фак-
фактом инвариантности окружностей при линейном преобразовании,
мы приходим к следующему выводу. Возьмем в плоскости г три
Рис. 38.
• точки а, р, у. Через эти точки можно провести окружность и
притом только одну. Точно так же в плоскости w зададим три
точки а', Р', у', которые определяют проходящую через них
окружность. На основании предыдущего мы можем сказать, что
существует единственная линейная функция, которая
переведет первую окружность во вторую, причем точкам а, C
и у будут соответствовать точки а', Р', у'.
Так как окружность а'C'у' служит границей двух различных
областей (внутренности и внешности окружности), то нужно еще
выяснить, в какую из этих двух областей перейдет внутренность
окружности офу. Для этого достаточно проследить, куда перейдут
точки внутренней нормали к окружности аРу- Но нормаль к ару
переходит в нормаль к a'PV; остается лишь из двух направлении
нормали к a'P'v' выбрать такое, чтобы угол между ними и окруж-
окружностью отсчитывался бы в том же направлении, в каком отсчиты-

S П
ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
115
вается угол между внутренней нормалью к ар*у и самой окруж-
окружностью офу. Различные случаи представлены на рис. 37 (внутрен-
(внутренность круга afty переходит во внутренность круга a'PV) и 38
(внутренность переходит во внешность).
6. Отображение верхней полуплоскости на самое себя. Верх-
Верхнюю полуплоскость можно рассматривать как частный случай
круга бесконечно большого радиуса. Займемся вопросом: какова
должна быть линейная функция, переводящая верхнюю полу-
полуплоскость плоскости 2 в верхнюю полуплоскость плоскости w?
Из предыдущего пункта ясно, что для этого надо перевести дей-
действительную ось, ограничивающую верхнюю полуплоскость, са-
самое в себя.
Отметим на действительной оси плоскости г три точки а, р, у
и предположим, что при нашем преобразовании они переходят
О
Рис. 40.
соответственно в точки 0, 1, оо. В силу п. 5 получаем: если, на-
например, а < р" < у, то верхняя полуплоскость плоскости г с по-
помощью формулы F) перейдет в верхнюю же полуплоскость пло-
плоскости w (рис. 39); если же, например, у < р < а, то верхняя
полуплоскость плоскости г перейдет в нижнюю полуплоскость w
(рис. 40).
Линейное преобразование G), переводящее верхнюю полу-
полуплоскость самое в себя, можно представить в виде
w =
аг -f Ь
сг + d
(Щ
где а, Ь, с, d — действительные вполне произвольные числа, удо-
удовлетворяющие условию
ad — bc> Q. (9\

]16 ЛИНЕЙНЫЕ И ДРУГИЕ ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. Ш
,-, , dw ad — be
В самом деле, из формулы —г— = -,— . 2 мы усматриваем, что
dm
при действительном г производная —-т— имеет положительные
значения при условии ad — be > 0.
Если же ad — be < 0, то тогда функция (8) будет отображать
верхнюю полуплоскость плоскости г на нижнюю полуплоскость
плоскости а), а нижнюю 2-полуплоскость Е; верхнюю ^-полу-
^-полуплоскость.
7. Инвариантность пары взаимно симметричных точек при
линейном преобразовании. Пусть имеем окружность произвольного
радиуса R. Две точки Р и Р' мы называем взаимно симметричными
относительно этой окружности, если они лежат на одной полу-
полупрямой, выходящей из центра, так, чтсГпро-
изведение их расстояний от центра окруж-
\р' ности равно квадрату радиуса R (гл. I, § 2,
п. 5). Возьмем любую пару точек, взаимно
симметричных относительно данной окруж-
окружности. Отображая эту окружность с помощью
произвольного линейного преобразования,
мы докажем, что пара взаимно симметрич-
симметричных точек перейдет в пару точек, взаимно
симметричных относительно отображенной
окружности.
р 4] Предварительно покажем, что пара вза-
взаимно симметричных точек Р и Р' характе-
характеризуется тем свойством, что пучок окруж-
окружностей, проходящих через эти точки, является ортогональным
к основной окружности (рис. 41). В самом деле, через точку Р
и произвольную точку А основной окружности можно провести
окружность, ортогональную к основной, и притом только одну
(эта окружность превращается в прямую ОР, если точка А лежит
на этой прямой). Рассматривая точку пересечения Р' построенной
окружности с полупрямой ОР, из рис. 41 получаем:
АО1 = ОР-ОР', или А'2 = ОР ОР',
т. е. точки Р и Р' являются взаимно симметричными относи-
относительно основной окружности. Таким образом, любая окружность,
проходящая через точку Р ортогонально к основной, принадле-
принадлежит пучку окружностей, проходящих через точки Р и Р'. Об-
Обратно, произвольная окружность этого пучка пересекает основную
окружность в некоторой точке А (ибо точка Р лежит внутри,
а точка Р' — вне основного круга) и, следовательно, совпадает
с некоторой окружностью, ортогональной к основной.
Обращаясь теперь к доказательству теоремы настоящего
пункта, заметим, что линейное преобразование переводит данную
окружность и пучок ортогональных к ней окружностей, проходя-

J1] ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 117
щих через точки Р и Р', в некоторую другую окружность (п. 4)
и пучок ортогональных к ней окружностей, проходящих через
соответствующие точки Q и Q'. По доказанному, точки Q и Q'
взаимно симметричны.
В частности, если данная окружность переходит при линейном
преобразовании в прямую, то центры всех окружностей преобра-
преобразованного ортогонального пучка лежат на этой прямой. Отсюда
следует, что соответствующие точки Q и Q' симметричны к этой
прямой.
8. Отображение круга на верхр!юю полуплоскэсть. Найдем
преобразование, которое переводило бы круг с центром в нулевой
точке единичного радиуса в верхнюю полуплоскость. Это пре-
преобразование мы ищем в виде
с? -\- d v '
Точки 0 и оо являются взаимно симметричными относительно
окружности | ш | = 1; соответствующие им точки z = —Ыа и г =
== —die по доказанному в предыдущем пункте должны быть
симметричными относительно действительной оси, т. е., полагая
—Ыа = р\ имеем: —die = р. [Очевидно, с Ф 0, так как бес-
бесконечно удаленной точке плоскости г должна "соответствовать
конечная точка плоскости w, а именно точка, лежащая на окруж-
окружности единичного радиуса. ] Пользуясь введенными обозначе-
обозначениями, перепишем равенство A0) в виде
а г — Й ....
w = —'—. A1)
с г-р V '
Так как при г = 0 | w | = 1, то из равенства A1) следует;
| а/с | = 1, или а/с = е°".
Окончательно получаем:
w = e*illzJL. A2)
г р
В каком случае наш круг будет переходить в верхнюю
полуплоскость? Центру круга w = 0 будет соответствовать в силу
формулы A2) точка г = {5. Отсюда видно, что, для того чтобы круг
переходил в верхнюю полуплоскость, надо, чтобы точка р лежала
в верхней полуплоскости, т. е. / ф) > 0.
9. Отображение круга самого в себя. Пусть дан круг с центром
в нулевой точке единичного радиуса. Предположим, что при
отображении круга | г \ < 1 на круг | w \ < 1 некоторая точка
z = а (а Ф 0, | а \ < 1) переходит в нулевую точку w = 0. Точка,
симметричная с нулевой точкой относительно окружности | w | =*

]]8 ЛИНЕЙНЫЕ И ДРУГИЕ ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГГЛ. 111
= 1, будет, очеви-дно, бесконечно удаленной точкой. Таким
образом, вследствие теоремы п. 7 мы должны иметь:
W = оо при 2 = Ш.
Итак, искомое преобразование будет иметь вид
где k — постоянное число.
Перепишем формулу A3) в виде
w = ka 2~a. = ?'-f=lg- A3')
аг — 1 1 — аг v '
и заметим, что \lz = z при | г | = 1 и, следовательно, 11 — аг\ =
= | 1/г — а | = | z — а | == \г — а |. Так как окружности | г = 1
соответствует окружность \w\ — 1, то выводим, что | k' =1
и, следовательно, k' = ei(i. Итак, формула A3') примет вид
(И)
1 — аг
Очсьидно, результат A3') распространяется и на случай а — 0.
Окончательно: линейное преобразование, переводящее круг
| г | < 1 самого в себя, будет иметь вид
1 — аг
причем |а| <С 1; если же \а\ > 1, то формула A5) перевесит
в;и;п,р°нкость круга |г| < 1 ео внешнюю часть круга |, iaj < 1.
10. Представление линейного преобразования посредством сим-
симметричных отображений. Мы знаем, что всякое линейное преобра-
преобразование C) может быть разложено на следующие элементарные
преобразования: 1) параллельный сдвиг, 2) вращение, 3) подо-
подобие, 4) преобразование вида ш = \1г. С другой стороны, мы ви-
видели, что преобразование 4) эквивалентно двум последовательным
симметричным отображениям относительно окружности и дей-
действительной оси. Что касается преобразования 1), то, очевидно,
оно равносильно двум последовательным симметричным отобра-
отображениям относительно двух параллельных прямых (расположен-
(расположенных перпендикулярно к направлению сдвига на расстоянии др\ г
от друга, равном половине сдвига). Преобразование 2) — враще-
вращение эквивалентно двум последовательным симметричным отобра-
отображениям относительно двух пересекающихся прямых (с точкой
пересечения в центре вращения и углом, равным половике угла
вращения). Наконец, преобразование 3) — подобие равносильно
двум последовательным инверсиям относительно двух концентри-
концентрических окружностей (с центром в центре подобия и отношением
квадратов радиусов, равным коэффициенту подобия).

$ 11 ЛИНЕПНАЯ ФУНКЦИЯ 119
Таким образом, всякое линейное преобразование B) эквива-
эквивалентно четному числу симметричных отображений относительно
прямых и окружностей. Это справедливо также и для бесконечно
удаленной точки, если за соответствующую ей точку будем, при-
принимать при симметрии относительно прямой ее самое, а при
инверсии относительно окружности — центр этой последней.
Покажем, что справедливо обратное предложение, т.'е. четное число
последовательных симметрии представляет некоторое линейное
преобразование.
В самом деле, симметричное отображение [г, ы> I 1) относи-
относительно окружности с центром в точке о/, и радиуса R может быть
аналитически записано так:
to - а = ==-,
ИЛИ
W-rx = S—. A6)
г — a v
Чтобы представить аналитически преобразование симметрии
относительно прямой, произведем вслед за рассматриваемой сим-
симметрией [г, и)\ две последовательные симметрии относительно
параллельной прямой, проходящей через начало координат; затем
две последовательные симметрии относительно действительной
оси; все это не изменит рассматриваемого преобразования [г, ш\\
но, с другой стороны, группируя две первые симметрии, мы полу-
получим параллельный сдвиг [г, z + /il, группируя две следующие,
мы получим вращение вокруг начала координат [г + к, (г +
+ h) е'л\, и тогда, чтобы получить ы>, остается выполнить симме-
симметрию относительно действительной оси, т. е.
или
w = e-i6z + е-'°Я, A7)
ч-то и выражает симметрию относительно прямой.
Из рассмотрения формул A6) и A7) немедленно вытекает, что
произведение двух любых симметрии есть линейное преобразо-
преобразование. Заметив, с другой стороны, что линейные преобразования
образуют группу (т. е. произведение двух линейных преобразова-
преобразований есть снова линейное преобразование), мы заключаем, что
четное число последовательных симметричных отображений экви-
эквивалентно произведению некоторого числа линейных преобразо-
преобразований, а значит, одному линейному преобразованию.
II. Различные типы лмненных преобразований. Всякое линей-
линейное преобразование ш = . , отличное от тождественного
1) Символ [г, w] обозначает, что г преобразуется в w — f (г).

120 ЛИНЕЙНЫЕ И ДРУГИЕ ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. Ш
w = г, имеет не более двух неподвижных точек, т. е. точек, кото-
которые при линейном преобразовании переходят сами в себя: в самом
деле, эти точки определяются как корни уравнения
ИЛИ
«2 + (d-aJ-fc = 0. A8)
Решая квадратное уравнение A8), мы получаем две неподвижные
точки данного линейного преобразования:
а — d ± V (а — dJ + 46с
Эти точки совпадают между собой, если (а — dJ -(- 4йс = 0;
в противном случае мы имеем две различные неподвижные точки.
Замечание. В частности, может случиться, что неподвижной точкой
будет бесконечно удаленная точка плоскости комплексного переменного г. Оче-
Очевидно, это будет только в том случае, когда с = 0, т. е. для целого линейного
преобразования. Наконец, обе неподвижные точки сливаются с бесконечно уда-
удаленной точкой, когда с = 0 и d = о, т е в случае параллельного переноса.
Рассмотрим ближе линейное преобразование L с двумя различ-
различными неподвижными точками, которые обозначим через гх и za.
Для большей ясности мы будем изображать z и w точками в одной
плоскости. Перейдем к вспомогательной плоскости, в которой
мы будем изображать переменные v и ?, где положено:
w — г-. г. / \ <- z — г, о / >
v = = S (w), t = = .Ь (г).
w — г2 v - г — Zj, v y
В случае г2 = оо нужно принять:
v = ау — гх = S (w), t, = z — zt — S (г).
Из формул v == S (w), w — L (z) и z = S~l (Q E означает
преобразование, обратное S) вытекает: v = SLS (Q.
Для линейной функции SLS'1, устанавливающей зависимость
между v и ?, неподвижными точками будут 0 и оо; поэтому эта
зависимость должна быть вида v = /(?, где /( — некоторое ком-
комплексное постоянное. Отсюда вытекает, что данное линейное пре-
преобразование L можно представить в виде
w — z2 г — г2
или (в случае г2 = оо)
Это есть так называемая нормальная форма линейного преобра-
преобразования с двумя различными неподвижными точками. Постоян-
Постоянное К легко может быть выражено через первоначальные коэф-

$]] ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 121
фициенты, если заметим, что /( = ——~—-——*- не зависит от г.
^ w — г2 г — Zj
Полагая 2 = 0, w ----- bid, мы найдем'.
В случае г2 = сю имеем:
К = aid.
Мы будем различать три случая:
1) /С — число действительное и положительное,
2) К = eai (а ф 0),
3) К = re0"' (а ?= 0, г Ф 1).
В первом случае данное преобразование A9) мы назовем гипер-
гиперболическим., во втором — эллиптическим и в третьем — локсо-
локсодромическим.
Что касается геометрического смысла этих преобразований,
то он усматривается немедленно в специальном случае
v = К1 B1)
Так, гиперболическому преобразованию соответствует преобразо-
преобразование подобия, эллиптическому — вращение и локсодромиче-
локсодромическому — преобразование, соединенное из вращения и подобия.
В случае преобразований B1) первого и второго типов особую
роль играют две системы линий: с одной стороны, система прямых
линий, проходящих через нулевую точку, с другой стороны,
система окружностей с центром в этой точке ? -- 0. Оба эти семей-
семейства линий остаются неизменными при наших отображениях.
В случае гиперболических преобразований B1) каждая из упомя-
упомянутых прямых переходит сама в себя, в то время как окружности
переставляются между собой. В случае же эллиптических пре-
преобразований B1), наоборот, каждая из упомянутых окружностей
переходит сама в себя, а прямые переставляются.
Чтобы перейти к общему случаю A9), остается ввести в рас-
рассмотрение два семейства окружностей, которые получаются в пло-
плоскости г из предыдущих семейств с помощью отображения:
или S = z-
Это, очевидно, будут два семейства линий, из которых первое
состоит из всех окружностей, проходящих через две неподвижные
точки гх и г2, а второе—из окружностей, им ортогональных
(рис. 42). В случае г2 — оо первое семейство линий состоит из
пучка прямых с центром в точке zx, а второе — из окружностей
с центром в гх.
При гиперболическом преобразовании каждая из окружностей
первого семейства переходит сама в^себя и сами е себя переходят

122 ЛИНЕЙНЫЕ И ДРУГИЕ ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОГ.РДЗОИАНИЯ [ГЛ. lit
тельным числом.
также и области, ограниченные этими окружностями; при эллип-
эллиптическом преобразовании то же имеет место по отношению
к окружностям второго семейства. Заметим, что при локсодроми-
локсодромическом преобразовании не существует прямых или окружностей,
которые бы переходили сами в себя вместе с ограниченными ими
областями. Достаточно рассмотреть преобразование вида v —
= /(?, где | Л' | Ф 1 и К не является действительным положи-
Так как окружность (прямая) Л?? + Bt, -\-
+ Ж + С = 0 (Аи С —
действительные числа)
преобразуется в Aw 4-
4 B~Kv + BK~v + СКК = 0.
то для совпадения образа
с прообразом мы должны
потребовать пропорцио-
пропорциональности соответству-
соответствующих коэффициентов в
этих уравнениях. При
А ф 0 получаем: ВК = В,
ВК = В, СКК = С, от-
откуда В = 0 и С = 0, т. е.
неподвижная окружность
вырождается в точку ? =
= 0. При /1=0 следует
предположить сначала,
что В Ф 0 (иначе получим
другом случай вырождения неподвижной окружности — точку
?_-= оо); тогда из ВК : В = ВК : В = СКК: С получим, что
К — К. т. е. что К — действительное (отрицательное) число,
и далее, что С = 0. Таким образом, в этом специальном случае
сами з себя переходят прямые, проходящие через начало коорди-
координат. Но здесь преобразование v — Д'? сводится к соединению
подобия относительно начала координат и поворота на 180°,
благодаря чему полуплоскости, ограниченные указанными пря-
прямыми, не переходят сами в себя, по попарно меняются местами.
Этим и заканчивается доказательство нашего утверждения, кото-
которое легко было бы усмотреть и чисто геометрически, минуя вы-
выкладки.
Переходя теперь к рассмотрению линейных преобразований
с одной неподвижной точкой га, мы назовем их параболическими.
Снова будем г и w изображать точками одной плоскости. Полагая
v = . ' . . С = . перейдем к вспомогательной плоскости
w - г, 3 г — г0
v. В случае г0 = оо нужно считать:
== w,
= г.
B2)

S 1)
ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
газ
Преобразование, связывающее ? и а, имеет единственную непо-
неподвижную точку в бесконечности, а потому оно будет вида v =
= l, + /1. Отсюда в общем случае нормальная форма параболи-
параболического отображении запишется так:
или
ау == г Н- А.
B3)
Специальным случаем параболического преобразования, к кото-
которому приводится общий случай, будет, таким образом, пресбрГа-
зованпе переноса. Прямые
линии плоскости Z, парал-
параллельные Бектору /г, перехо-
переходят при таком преобразова-
преобразовании каждая отдельно сама
в себя, в то время как их
ортогональные линии, обра-
образующие другое семейство
параллельных прямых, пе-
переставляются ,МсЖДу ССОО'Л.
Роль только что упомянутых
двух семейств прямых линий
принимают в плоскости z со-
соответствующие им два орто-
ортогональных семейства окруж-
окружностей, которые проходят
через точку 2„. '
Окружности к а ж,'1.о го се-
семейства, будучи изображе-
изображениями параллельных прямых, должны иметь одно н то же на-
направление в точке zn, т. е. должны в этой точке касаться одной
и то:"] же прямой (рис. 43).
Здесь сами в себя переходят окружности одного из указанных
семейств, причем ограничиваемые ими области переходят сами
в себя.
12. Природа двойных точек.. Пусть t — двойная точка пре-
преобразования |г,/(гI, т. е.
Рнс
лежащая па конечном расстоя;п!П. Назовем точку ? притягива-
притягивающей, если в достаточно малой ее окрестности имеет место не-
неравенство
г — с

124 ЛИНЕЙНЫЕ И ДРУГИЕ ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. III
Будем называть ее отталкивающей, если в достаточно малой ее
окрестности выполняется неравенство
/ (г) -
Наконец, назовем двойную точку безразличной, если модуль
указанного отношения имеет предел, равный единице, когда г
стремятся к ?. То же определение возможно распространить и на
двойную бесконечно удаленную точку, заменяя предыдущее отно-
2
шенне через
/(*)
• Считая преобразование [г, / (г) ] аналитическим, рассмотрим
производную /' (?) = s; число s называют множителем двойной
точки. Очевидно, имеет место следующее заключение:
если 151 <> 1, ? — притягивающая двойная точка, так как в ее
окрестности | / (г) — ?, | < | z — ? | (| s | + е);
если | s | > 1, 'С — отталкивающая двойная точка, потому что
в ее окрестности | f (г) — 1,\ > | г — 'С, \ (| s | — е);
если | s ! -= 1, t — безразличная двойная точка.
Обращаясь теперь к линейному преобразованию, предположим,
что оно имеет две двонные точки на конечном расстоянии. При-
Приведя его к нормально!! форме A9)
W — 2
мы получаем:
откуда следует:
lim
и.1 — г..
г^ W ?¦>
Z —
ИЛ11
Аналогично найдем:
lim-^=^
_
dw
Таким образом, двойные точки эллиптического преобразования —
безразличные. В преобразованиях гиперболическом и локсо-
локсодромическом двойные точкн имеют множители К и Ш(: одна точка
будет притягивающей, другая — отталкивающей. Наконец, из
г
нормальной формы параболического преобразования
w —г0
— гп
¦ -\- h следует:
откуда
^
= i

§ ti ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 125
т. е. двойная точка параболического преобразования есть без-
безразличная. Все эти результаты легко распространить на случай,
когда двойная точка лежит в бесконечности.
13. Геометрическая интерпретация эллиптического преобразо-
преобразования. Рассмотрим произвольную сферу, расположенную таким
образом, чтобы неподвижные точки zx и гг эллиптического пре-
преобразования были стереографическими проекциями концов не-
некоторого диаметра сферы.
Легко видеть, что семейству окружностей плоскости, про-
проходящих через z1 и г2, будут соответствовать большие круги сферы,
проходящие через концы диаметра (меридианы), и семейству
окружностей плоскости, ортогональных к первым, будут соот-
соответствовать круги сферы, плоскости которых перпендикулярны
к диаметру (параллели). При эллиптическом преобразовании
окружности первого семейства переходят друг в друга, а окруж-
окружности второго семейства переходят сами в себя. Следовательно,
точки сферы, соответствующие точкам плоскости, перемещаются
с меридиана на меридиан, оставаясь на одних и тех же параллелях.
Это преобразование сферы в самое себя может быть получено
путем поворота ее как одного целого вокруг рассматриваемого
диаметра. В самом деле, углы между меридианами в силу свойства
стереографической проекции, указанного в § 4 гл. I, равны
углам между соответствующими окружностями первого семе иства,
но угол между любой из этих окружностей и полученной из нее
линейным преобразованием в силу конформности один и тот же
и равен а. Поэтому и угол между любым меридианом и получен-
полученными из него после преобразования также равен а. А это и зна-
значит, что преобразование сферы, соответствующее в силу стерео-
стереографической проекции эллиптическому преобразованию, сводится
к повороту сферы около диаметра на угол а.
14. Характер преобразования круга самого а себя. Всякое
линейное преобразование, которое сохраняет окружность вместе
с ограниченной ею областью, необходимо должно быть эллипти-
эллиптическим, гиперболическим или параболическим (но не локсо-
локсодромическим). Обратно, для всякой окружности можно найти
линейные преобразования этих различных видов, которые сохра-
сохраняют эту окружность и не обращаются в бесконечность внутри нее.
В самом деле, достаточно сначала произвольно выбрать двой-
двойные точки, симметричные относительно данной окружности или
расположенные на окружности (различные или слившиеся в одну),
затем определить параметр К или h так, чтобы линейная под-
подстановка обращалась в бесконечность в точке, заданной вне
окружности. Тогда, очевидно, внутренности окружности будет
соответствовать она сама, и положительное направление на кон-
контуре сохраняется. В эллиптическом преобразовании двойные
точки будут симметричными относительно данной окружности.
Окружности пучка, для которых двойные точки являются сим-

126 ЛИНЕЙНЫЕ И ДРУГИЕ ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. lit
метричными, будут инвариантными, а также инвариантными
будут кольца, ограниченные двумя из них (рис. 44).
С точки зрения проективной геометрии в этом случае на ин-
инвариантной окружности устанавливается проективное соответ-
соответствие с мнимыми двойными точка-
точками, так что точки окружности пере-
перемещаются в одном и том же направ-
направлении (по часовой стрелке или проткз
часовой стрелки).
Если преобразование гиперболи-
гиперболическое, то двойные точки находятся
на основной окружности, и окруж-
окружности пучка, проходящего через эти
двойные точки, будут инвариантны;
следовательно, будут неизменяемыми
луночки, ограниченные двумя дугами
окружностей с оконечностями в двой-
двойных точках Zj, z2 (рис. 45).
С геометрической точки зрения
на инвариантной окружности уста-
устанавливается проектпзное соответствие с действительными двой-
двойными точками 2j и г2. На всякой дуге zxzt преобразование
осуществляет перемещение точек окружности з направлении
от 2t к г,, если гх — отталкивающая точка, а гг — притягивающая.
Окружности, касательные к основной в каждой из дзойных точек,
переставляются между собой. Очевидно, в отталкивающей точке
Рис. 44.
Рис. 45.
Рис. 46.
достаточно малые окружности увеличиваются при помощи пре-
преобразования, в притягивающей же точке — уменьшаются.
В силу исследования соответствия на инвариантной окружно-
окружности заключаем, что предыдущее предложение справедливо для всех
окружностей, внутренних к основной и касательных в двойной
точке, а не только для достаточно малых.
Если преобразование параболическое, то имеется одна двой-
двойная точка на окружности, и касательные к ней окружности в двои-

$ 2] ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО 127
ной точке являются неизменяемыми. Следовательно, будут не-
неизменяемыми также круговые луночки, ограниченные двумя со-
соприкасающимися в двойной точке окружностями (рис. 46). С гео-
геометрической точки зрения на инвариантной окружности уста-
устанавливается проективное соответствие со слившимися двойными
точками; преобразование осуществляет переменное перемещение
все время в одном направлении.
§ 2. Линейные преобразования и геометрия Лобачевского
1. Евклидово изображение геометрии Лобачевского в круге. Известно, что
аксиоматика геометрии Лобачевского отличается от аксиоматики геометрии
Евклида только в одном пункте, а именно: вместо постулата Евклида о парал-
параллельных прямых «через точку, внешнюю к прямой, можно провести прямую
и притом только одну, не встречающуюся данной прямой», вводится следующий
постулат Лобачевского «через точку, внешнюю к прямой, проходит бесконечнее
множество прямых, не встречающих данной прямой; эти прямые заполняют
некоторый угол, стороны которого — граничные
прямые—называются параллельными данной пря-
прямой». При этом «свойство параллелизма двух пря-
прямых не зависит от точки, выбранной на одной или
другой прямой».
Чтобы выполнить евклидово изображение этой
геометрии, мы будем рассматривать в части евкли-
евклидова пространства евклидовы геометрические эле-
элементы и операции, которые заставим соответство-
соответствовать элементам и операциям геометрии Лобачев-
Лобачевского, обозначая их тем же названием с присоеди-
присоединением эпитета «неевклидов»; мы установим, что
эти элементы обладают свойствами, выражающи-
выражающимися в указанных терминах посредством фунда- Рне-
ментальных предложений геометрии Лобачевского.
Обозначим через G внутреннюю часть евклидовой окружности Г, называ-
называемой фундаментальней. Условимся за неевклидову течку принимать течку
внутри Г, за неевклидову прямую — часть окружности, ортогональной к Г,
расположенную на G. Через две точки А, В проходит единственная меЕклидсва
прямая Д (рис, 47); эта окружность А встречает Г в точкгх а и р. По онге-
делению неевклидово расстояние между точками А и В будет логариф.ч ангар-
ангармонического отношения четырех точек а, р\ В, А окружности А с точностью
до множителя k, которому можно приписать произвольное положительное число-
числовое значение:
D (А, В) = k In (а, р\ В, А) > 0. B4)
Легко видеть, что неевклидово расстояние D (А, В) неограниченно возра-
возрастает, когда одна из точек А или В стремится к а или р. Таким образом, окруж-
окружность Г может Сыть рассматриваема как изображение множества бесконечно
удаленных точек неевклидовой плоскости. По определению неевклидов угол
между двумя неевклидовыми прямыми будет угло\>. между тву-мя соответству-
соответствующими окружностями. Неевклидовы перемещения будут линейными преобразо-
преобразованиями, сохраняющими внутренность окружности Г.
Чтобы показать, что эти определения yjx-влетворяют постулатам геометрии
Лобачевского, констатируй, не входя в детали, лишь следующее'.
а) Неевклидовы перемещения сохраняют неевклидовы прямые, расстояния
и углы. Это очевидно в силу свойств линейных преобразований, сохраняющих
внутренность окружности Г.

128 ЛИНЕЙНЫЕ И ДРУГИЕ ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. ИГ
б) Неевклидовы расстояния складываются из неевклидовой прямой, т. в.
если А, В, С — три точки на неевклидовой прямой, то
D (A, C) = D (A, B)
(В, С).
B5)
Действительно, обозначим через а, р\ а, Ь, с аффиксы в комплексной плоскости
точек а, р1, А, В, С окружности Д и покажем, что
(а, р, с, а) + (я, р, Ь, а) (а, р, с, Ь).
Справедливость последнего равенства легко прове-
проверить, написав его в раскрытом виде:
с — а а — 8
с —
Ь —
ft — a a — P с —
ft — p" ' ~a — a c— p ft— a '
телын
Рис. 48.
неевклидовой
умножая на &,
параллельных
*, яр, касательные
Логарифмируя это равенство и
найдем B5).
в) Постулат Лобачевского о
выполняется.
Рассмотрим неевклидовы прямые, выходящие
из точки Я, и изучим их расположение относи-
прямой Д, не содержащей Я. Вводя окружности
к Д в точках а, В, мы видим, что неевклидовы пря-
прямые, выходящие из Я, разделяются на два класса: встречающие Д и ее не встре-
встречающие; последние принадлежат некоторому углу, заштрихованному на рис. 48,
ограниченному прямыми Ра, Яр, параллельными прямой Д. Так как условие
параллелизма выражается при изображении условием встречи в точке фунда-
фундаментальной окружности евклидовых окружностей, ортогональных к основной
окружности, то отсюда становится очевидным фор-
формулированное выше свойство параллелизма.
2. Вычисление неевклидова расстояния двух то-
точек с данными аффиксами. Обозначим аффиксы дан-
данных точек через 2i, г2 и выполним неевклидово пере-
перемещение, переводящее zi в центр О окружности Г
(рис. 49). Если I1 есть единичная окружность,
а w2 — точка, соответствующая точке г2, и | w21 =
= г, то
D{zi, г2) = D (О, Mi2) =
= 6 In (—1, +1, г, 0)=k In
1 +г
Рис. 49.
В самом деле, при неевклидовом перемеще-
перемещении неевклидова прямая zi22 переходит в прямую
0а>2, причем D (гь г2) = D (О, ил,). С другой стороны, посредством вращения
около точки О точка w2 переходит в точку с аффиксом г и, значит, D (О, aia) =
= D @, г).
Окончательно находим:
D {2Ъ га) = D (О, г) =-- k In (—1, +1, г, 0) = k In
1 +г
1 —г
что и нужно было доказать.
Итак, чтобы выразить D (г\, г2) через аффиксы точек z\ и г2, остается сделать
ЭТО ДЛЯ /¦= | И12|.

5 8J ЛИКВ|Ц1ЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО 129
Заметив, $to линейное преобразование, переводящее ц в центр окружно-
окружности Г и сохраняющее эту окружность, есть
находим: wt ¦¦
—г,
-, и, значит, г = | оу2 | =
. Итак, мы
получили следующую формулу для вычисления неевклидова расстояния между
двумя точками с1 данными аффиксами zi и г^.
где
D (гь г2) = Л; In
г2 — i
B6)
3. Неевклидова окружность. По определению неевклидовой окружностью на-
назовем место точек, неевклидово расстояние которых до данной точки есть по-
постоянное число d (d > 0). На основании формулы B6), если Zi есть данная точка,
то неевклидова окружность есть евклидова кривая, имеющая уравнение
или
1-ггх
г-г,
+ 1
— \
Из последнего уравнения мы усматриваем, что она изображает окружность,
внутреннюю к фундаментальной, принадлежащую к пучку окружностей с точ-
точками Понселе г\_ и 1/zj, симметричными относительно Г. Точками Понселе пучка
окружностей называют две точки, симметричные относительно каждой окруж-
окружности пучка, или, что то же, основание пучка, ортогонального к данному. Всякая
внутренняя к Г окружность может быть, очевидно, рассматриваемая и притом
однозначным способом как неевклидова окружность. Точка zi называется не-
неевклидовым центром, неевклидовы прямые, выходящие из zi, — неевклидовыми
радиусами. Легко видеть, что они ортогональны к неевклидовсй окружности и ко
всем окружностям с тем же неевклидовым центром. В самом деле, это будут
окружности, ортогональные к Г и проходящие через гь а значит, они будут
ортогональны ко всем окружностям пучка с точками Понселе zi и 1/zj.
4, Неевклидова длина кривой. Длина дуги кривой в геометрии Лобачев-
Лобачевского определяется, как и в евклидовой геометрии, посредством вписанной в нее
ломаной линии и перехода к пределу. Отсюда следует, что для определения не-
неевклидовой длины дуги кривой нужно взять точки деления на евклидовом изоб-
изображении, образовать сумму неевклидовых расстояний всех пар последователь-
последовательных точек и перейти к пределу. Мы знаем, что неевклидово расстояние точек z
и г «f Дг равно k In т~, где
г = ¦
|Дг|
Считая Дг бесконечно малым, мы видим, что это расстояние эквивалентно
2k | Дг|
2kr =
11 - (г + Дг) г |
6 И. М. Привалов

130 ЛИНЕЙНЫЕ И ДРУГИЕ ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОЕЛН-ИЯ [ГЛ; III
и следовательно,
(Дг)
Таким образом, мы получаем, что
D (г, г + Аг) =
Ik \ Аг |
1 — |г|
A +«),
где в стремится к нулю вместе с | Az | равномерно относительно г во всякой
замкнутой области, расположенной внутри О. Отсюда непосредственно видно,
что неевклидова длина дуги ?, внутренней к Г, будет:
Ids
— 1г1»
B7)
5. Неевклидова площадь. Площадь области d в геометрии Лобачевского
определяется? как и в евклидовой геометрии, посредством вписанного в d ква-
дрильяжа и перехода к пределу. Отсюда следует, что для определения неевкли-
неевклидовой площади нужно взять на евклидовом изображении d квадрильяж из окруж-
окружностей, ортогональных к Г, образовать сумму неевклидовых площадей всех его
элементов и перейти к пределу.
Из п. 4 мы усматриваем, что элемент неевклидовой площади имеет выра-
4ft3 Ло
жение -j j—jj-j-, где da> — элемент евклидовой площади. Отсюда мы заключаем,
что неевклидова площадь области d, внутренней вместе со своей границей к G,
будет:
J J (i-l-IT J J (i-|*
d d
\2
B8)
6. Горицнклы. Рассмотрим семейство неевклидовых параллельных
между собой прямых, изображаемых на рис. 50 окружностями, орто-
ортогональными к Г в точке а. Их ортогональные тра-
траектории изображаются окружностями, касатель-
касательными к Г в точке а, и называются горициклами-
Легко показать, что неевклидова длина частей
неевклидовых прямых, заключенных между двумя
определенными горициклами, будет одна и та же
для всего семейства неевклидовых прямых, соответ-
соответствующих одной и той же точке а. Действительно,
выполним линейное преобразование, переводящее
точку а в бесконечно удаленную. При этом об-
область в перейдет в полуплоскость,неевклидовы пря-
прямые, проходящие через а, перейдут в полупря-
полупрямые, перпендикулярные к границе Г] полупло-
полуплоскости, два горицикла преобразуются в две прямые,
параллельные с Tj, наконец, неевклидова длина
частей неевклидовых прямых, заключенных между
горнциклами, становится равной неевклидовой длине соответствующих
параллельных прямолинейных отрезков, заключенных между параллельными
прямыми, откуда вытекает, что эта длина сохраняет неизменное значение для
всего семейства.
7. Гиперциклы. Мы видели, что ортогональными траекториями неевклидо-
неевклидовых прямых, выходящих из одной точки, служат неевклидовы окружности
(окружности, внутренние к Г); в предыдущем пункте мы обнаружили, что орто-
ортогональные траектории семейства параллельных неевклидовых прямых будут
горициклы (окружности, касательные к Г).
Итак, мы рассмотрели, с одной стороны, семейство неевклидовых прямых,
изображаемых пучком окружностей, ортогональных к Г, с двумя действитель-
действительными центрами, с другой стороны, семейство параллельных неевклидовых пря-
прямых, изображаемых пучком окружностей, ортогональных к Г, с одним центром.
Рис. 50.
двумя

3] ЛИМЕЙНЬШ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
Теперь естественно рассмотреть семейство неевклидовых прямых иного вида,
изображаемых пучком окружностей, ортогональных к Г, с мнимыми центрами.
Точки Понселе а, Р этого пучка, очевидно, действительные и лежат на Г- они
служат центрами пучка окружностей, ортогональных к рассматриваемому пучку.
Внутренние к Г части окружностей, проходящих
через а, р\ назовем гиперциклами (рис. 51).
Мы видели, что неевклидова окружность есть
геометрическое место точек, неевклидово расстоя-
расстояние которых до данной точки — центра — есть
величина постоянная. Покажем, что гиперцикл
есть геометрическое место точек, неевклидово рас-
расстояние которых до данной неевклидовой пря-
прямой оф есть величина постоянная.
С этой целью выполним линейное преобразова-
преобразование, переводящее а в бесконечность. Тогда область G
внутренняя к Г, преобразуется в полуплоскость,
Г — в прямую Гх границу этой полуплоскости,
неевклидова прямая оф — в полупрямую, перпен-
перпендикулярную к Г[ в точке рх (рис. 52). Вопрос сво-
сводится к тому, чтобы найти в полуплоскости геомет-
геометрическое место точек М таких, что на окружности
с центром Pi, проходящей через М, ангармоническое отношение (и, v, M,
w) имело данную постоянную величину, где и, v — точки на Гх, w — точ-
точка на полупрямой.
Мы получим два геометрических места в зависимости от того, будет ли точка
с одной или с другой стороны от полупрямой. Чтобы определить эти геометри-
геометрические места, нужно ввести в рассмотрение четыре луча: uw, uM, uv и касатель-
касательную к окружности в точке и, и заметить, что их ангармоническое отношение
должно быть неизменным; это будет лишь в том случае, когда угол иРх/И сохра-
сохраняет неизменную величину и, значит, точка М должна лежать на полупрямой
pjM. Итак, искомые геометрические места точки М в полуплоскости будут две
симметричные относительно полупрямой Р]Ш полупрямые.
Рис. 51.
Р
Рис. 52.
Рис. 53.
Возвращаясь к рис 51, мы получаем два гиперцикла, проходящие через
а, Р, где они составляют равные углы с окружностью оф, ортогональной к Г
(рис. 53).
Резюмируя, мы скажем: часть любой окружности С, внутренняя к Г, есть
неевклидова окружность, горицикл или гиперцикл, смотря по тому, будет ли С
внутренней, касательной или секущей окружностью с Г. Эти классы линий ин-
инвариантны при неевклидовом перемещении. Очевидно, неевклидова прямая есть
частный вид гиперцикла.
&. Ешлидоао изображение геометрии Лобачевского на полуплоскости.
того, чтобы изображать геометрию Лобачевского ла внутренности G
5*

132 ЛИНЕЙНЫЕ И ДРУГИЕ ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. 111
единичного круга, как мы это делали до сих пор, можно выполнить это изобра-
изображение на верхней полуплоскости. Для этого достаточно совершить линейное
преобразование области G единичного круга на верхнюю полуплоскость (z) и за
новое изображение всех элементов геометрии Лобачевского принять им соответ-
соответствующие элементы при этом линейном преобразовании.
Таким образом, неевклидовыми точками будут тачки верхней полупло-
полуплоскости, бесконечно удаленными неевклидовыми точками будут точки действи-
действительной оси и бесконечно удаленная точка плоскости (г). Далее неевклидовы
прямые изобразятся полуокружностями и полупрямыми, ортогональными к дей-
действительной оси, неевклидовы окружности — окружностями, лежащими в верх-
верхней полуплоскости, горициклы — окружностями, касательными к действитель-
действительной оси, и прямыми, ей параллельными; наконец, гиперциклы изобразятся
лежащими в верхней полуплоскости дугами окружностей, проходящих через
любые две точки а, |3 действительной оси, а также пучками полупрямых верхней
полуплоскости, выходящими из любой точки действительной оси. Что касается
формул, выведенных выше для неевклидовых расстояний между двумя точками,
длины |и площади, то они примут более простой вид. Их выражения можно полу-
получить, отправляясь от ранее полученных, производя нышеуказанное линейное
преобразование:
w =
г —р
где / ,Р) > 0.
Так, из формулы B6) мы получим
D(zu
потому что г =
ln
—г,
1
1
+
*2 —
*2 —
*2 —
г2 —
•гт
г.
B6')
в силу линейного преобразования.
2 х
Полагая в формуле B6') г± = z, г, = г -f- Дг и считая Аг бесконечно малым, по-
, ds _
лучим для элемента дуги неевклидову длину в —. В самом деле,
D (г, г + Аг) = k In
1 +
1 —
Дг
2 и/ + Дг
Дг
2iy + Дг
Дг
2iy + Дг
Таким образом, неевклидова длина дуги L, лежащей в верхней полуплоскости!
будет:
\±-. B7')
Наконец, вместо формулы B8) для неевклидовой площади области d, лежа-
лежащей вместе со своей границей в верхней полуплоскости, найдем}
B8')
9, Неевклидова длина окружности. Рассмотрим неевклидову окружнооть
с центром в А радиуса г и определим ее длину (рио. 64). По условию дли

2] ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ГЕОМЕТРИЯ ЛО5АЧЕВСКОГО J33
D (С, С) k , 1С
радиуса г имеем: г= ;—^ — = — In _ , потому что ангармоническое
отношение четырех точек /, оо, С, С на прямой 1С равно 1С/1С.
Для сокращения письма положим:
1С = d, 1С = d',
так что d'/d = е2г/к.
: ' Долуокружность имеет неевклидову длину:
т. е.
имеем:
Обозначая через R евклидов радиус окружности,
/= d + R A — cos со), ds = R day,
и, значит,
Рис. 54.
: — cos ш)
d + d' d'—d
cosw
Последний интеграл легко вычислить, если положить tg-^-= и;
~о~ = 2^ I —т—,—., = — arctg I/ —— и == ——¦—.
^ j a + uii' \f da" L г а Jo I/dd'
Исключая R, получим: — = —I 1/ — 1/ -—р ) я. Заметив, что d'/d =
= е2г/*, окончательно найдем:
L = kn {erlk — e-r'k) = 2Ы sin -^-. B9)
10. Угол параллелизма в геометрии Лобачевского. Неевклидов перпендику-
перпендикуляр АН, опущенный из точки А на неевклидову прямую К, образует с двумя
Рис. 55.
Рис. 56.
неевклидовыми параллельными прямыми один и тот же угол, как мы это дока-
вкем; этот неевклидов угол называется неевклидовым углом параллелизма (рис. 55).
Задача настоящего пункта состоит в том, чтобы вычислить значение этого угла
П (р) в функции р = D [А, Н).

]34 ЛИНЕЙНЫЕ И ДРУГИЕ ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. Ш
Не уменьшая общности, ради простоты мы можем посредством неевклидова
перемещения, т. е. линейного преобразования, сохраняющего верхнюю полу-
полуплоскость, изобразить неевклидову прямую К в виде прямой Кь перпенди-
перпендикулярной к действительной оси.
Очевидно, две неевклидовы параллельные прямые, проходящие через точку А,
изобразятся тогда посредством прямой Д, перпендикулярной к Ох, и полуокруж-
полуокружности, касательной в точке / к Ki (рис. 56).
Неевклидов перпендикуляр, опущенный из At н;а Ki, ивобразится полу-
полуокружностью с центром в /, проходящей через At.
Проведем прямолинейный отрезок 1А\ и обозначим через а угол А\1Н\.
Очевидно, тогда имеем из рис. 56: Ь.А{Г = я/2 — а, Т1 Ail = а и, значит,
ТА\Т = я/2 — а = Ь.А{Г = П (р), чем доказывается равенство углов, обра-
образованных А\Н с И]Д и Ail. С другой стороны, мы видели, что П (р) = л/2 — а.
Вычислим р = D (At, И{)= k [ —. Очевидно, получаем:
J У
л,н,
я/2 я/2
* J
П (р) П <р>
или
откуда
П. Неевклидовы площади круга и треугольника. Пользуясь обозначениями
п. 8 (рис. 54), для неевклидовой площади круга получаем выражение
dxdy _ f f pdpdffl
J J
Г Г dxdy _ f f
JJ Уа "" J J
(d + R-
Выполняя внутреннее интегрирование no to в пределах от —я до -f-я, а наруж-
наружное по р в пределах от 0 до R и заменяя в результате J? через (d1 — d)l2, найдем
для S следующее выражение:
или
г г
« * _
— е 2" / = 4я&2 sh2
Займемся вычислением неевклидовой площади треугольника. Она будет
выражаться следующим двойным интегралом:
dxdy
где интегрирование берется по области криволинейного треугольника ABC
(рис. 57).
Полагая в формуле Грина
S
с
Р = —, Q = 0, получим для S выражение
ЛВС

t 3}
НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ 135
Чтобы вычислить, интеграл C2), подсчитаем сначала его значение вдоль
дуги АВ. Принимая за начало координат цеитр окружности АВ (параллельный
перенос вдоль оси Ох, очевидно, не меняет интеграла), найдем:
г- * = tfcos9, y = RsmQ, -^-=—dQ.
Таким образом, интеграл равен вариации 6 вдоль АВ с противоположным
знаком, т. е. вариации с противоположным знаком а вдоль АВ, где а означает
угол между положительными направлениями касательной к дуге АВ и оси Ох
(рис. 58). Искомый интеграл, следовательно, есть сумма вариаций а вдоль трех
сторон треугольника, взятая с противоположным знаком. Полная вариация,
этого угла а, когда точка описывает контур в положительном направлении,
отправляясь от какой-либо его точки и возвращаясь в нее, очевидно, равна 2я.
А
Рис. 57.
Рис:. 58.
В эту полную вариацию входит сумма, которая нас интересует, и сумма вариаций
в вершинах А, В, С, каковые будут л — А, к — В, я — С. Таким образом,
окончательно получаем:
ABC lAB ВС С А
= — [2я — (я — А + я — В + я — С)] =-- я — (А + В 4- С).
В силу своего геометрического смысла, определяемого ([юрмулой C2), этот
интеграл существенно положителен, т. е. я — (А + В -f- С) > 0, откуда мы
заключаем: сумма углов неевклидова треугольника меньше я. Кроме того> мы
видим, что неевклидова площадь треугольника равна избытку я над суммой трех
его углов, умноженной на ?2.
В частности, неевклидова площадь любого треугольника не может превзойти
конечной величины я/г2. Эта максимальная неевклидова площадь, равная яА2,
очевидно, будет у треугольников, у которых все три угла равны нулю. Легко
видеть, что изображения всех вершин такого треугольника лежат на фундамен-
фундаментальной окружности, т. е. все три вершины будут бесконечно удаленными точ-
точками плоскости Лобачевского.
§ 3. Некоторые элементарные функции и отображения,
даваемые ими
1. Степенная функция и радикал. Рассмотрим функцию
w = z", C3)
где п есть натуральное число, большее единицы. Функция, обрат-
обратная этой, есть
г = Yw. C3')
Функция т = г" имеет производную, отличную от нуля во всякой
конечной точке плоскости, кроме начала координат. Следова-

ЛИНЕЙНЫЕ И ДРУГИЕ ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. Щ
тельно, во всякой такой точке сохраняются углы при отображении
с помощью функции w = гп.
Посмотрим, как ведет себя наша функция в окрестности нуле-
нулевой точки. Для этого введем полярные координаты:
w = ре*',
после чего равенство C3) даст:
Р = Гп, 0 = /2ф.
C4)
Из второго равенства C4) видно, что углы в нулевой точке не
сохраняются, а увеличиваются в п раз. Консерватизм углов
Рис. 59.
нарушается и в бесконечно удаленной точке плоскости г, потому
что функция ——^ в окрестности 2 = 0 совпадает с данной функ-
A)
цией. Точки 0 и оо будут точками разветвления функции г =
= tyw (гл. II, § 4, п. 10).
Особенность точек 0 и оо, а также название их точками раз-
разветвления будут еще более ясными, если мы заметим, что каждой
точке плоскости ш, кроме этих двух, соответствует п различных
точек плоскости г. Из соотношений C4) видно, что окружности
с центром в нулевой точке плоскости переменного г (г — const)
переходят на плоскости w тоже в окружности (р = const); полу-
полупрямым, выходящим из нулевой точки (ф = const), будут соот-
соответствовать тоже полупрямые @ = const).
Возьмем на плоскости переменного z угол величины 2п/п,
образуемый положительной действительной осью и полупрямой,
выходящей из нулевой точки (рис. 59). Этот угол 0 « ф « 2л/п
с помощью функции C3) отобразится на всю плоскость перемен-
переменного w, разрезанную на положительной полуоси (рис. 60). Дей-
Действительно, при ф = 0 угол 0 = 0; при <р = 2п/п угол 0 = 2л.
Рассмотрим теперь некоторые простейшие отображения, свя-
связанные с функцией w = zn. Совершенно ясно, что эта функция
дает возможность отобразить угол величины л/л, 0 <¦ ф < nln
(рис. 61), на верхнюю полуплоскость (рис. 62).

$ 3] НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ 137
Зададимся задачей отобразить полукруг с центром в нулевой
точке радиуса единица на верхнюю полуплоскость. Сначала
отобразим отрезок от —1 до +1 в положительную действительную
полуось так, чтобы точке —1 соответствовала точка 0, а точке
+ 1 — точка оо. В качестве отображающей функции можно взять:
2+1 C5)
w = —
2— 1
Легко видеть, что действительно такая функция удовлетворяет
требуемым условиям, так как при изменении 2 от —1 до +1 функ-
функция w' пробегает, возрастая, все значения от 0 до + °о.
и
ё
Рис. 61.
Рис. 62,
Посмотрим, во что эта функция будет переводить полуокруж-
полуокружность. Имеем:
w = —
-CD I 1 1
t -\~ x
Ф
e2
_Ф_
i
e
e.
q> .
2
Ф ,
T '
1
i
tg
1
9
i
Ф
C6)
Когда точка z пробегает полуокружность от 1 до —1, то ф ме-
меняется от 0 до я, значит, w' будет изменяться по положительной
мнимой полуоси. Заметим, что когда точка z описывает полу-
полуокружность в положительном направлении (рис. 63), то область
-1
о
Рис. 63.
Рис. 64.
полукруга остается слева. Из предыдущих формул C5) и C6)
нетрудно видеть, каково будет направление соответствующего
обхода на плоскости w'. На нашем чертеже (рис. 64) оно обозна-
обозначено стрелками. Так как отображенная область должна нахо-
находиться также слева при обходе переменным w' полуоси Ov' и полу-
полуоси Он', то отсюда заключаем, что наш полукруг с помощью

138 ЛИНЕЙНЫЕ И ДРУГИЕ ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. Ш
функции C5) отобразится на координатный угол плоскости w'.
Для того чтобы преобразовать полученный координатный угол
в верхнюю полуплоскость, нужно взять: ,.
Итак, искомая функция напишется таким образом: '!
,37»
Как отобразить сектор с углом, равным п/п, радиуса единица
на верхнюю полуплоскость? Очевидно, что функция w' = 2" будет
переводить этот сектор ei полукруг. Этот же
последний с помощью уже знакомой нам
функции C7) мы можем отобразить на верх-
верхнюю полуплоскость. Таким образом, искомая
функция есть
Как отобразить область, заключенную
Рис. 65. между двумя пересекающимися под углом п/п
окружностями на верхнюю полуплоскость?
Обозначая через а и Ь вершины данного двуугольника (рис. 65),
берем линейную функцию
Эта функция переведет точку а в точку 0, а точку Ь в оо. Следо-
Следовательно, одну дугу окружности линейная функция C9) переведет
в один луч, выходящий из нулевой точки, другую дугу окруж-
окружности в другой луч, составляющий с первым угол п/п, так как
функция C9) в точке а имеет производную, отличную от нуля.
Остается отобразить угол, ограниченный двумя только что упо-
упомянутыми лучами, на полуплоскость. Это мы умеем делать. Итак,
искомая функция имеет вид
w
- (¦?*¦)"• <«>
2. Показательная и логарифмическая функции. Рассмотрим
теперь показательную функцию
w = е\ D1)
;т, как известно, логарифмическая
In о/. D1')
Обратная этой функции будет, как известно, логарифмическая
функция

f 3] НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ 139
Представим г в декартовых координатах, a w — в полярных:
г = х + yi, w = re*'. Равенство D1) заменится следующими двумя
формулами:
г = е*, ф = у. D1")
Из последних равенств D1") видно, что прямой х --= const на пло-
плоскости w соответствует окружность г = const, а прямой у = const
соответствует полупрямая <р = const (рис. 66 и 67).
У
0
чэ
ё
о
Ц
у¦= const
л
Рис. 66.
Рис. 67.
Возьмем на плоскости z полосу, заключенную между действи-
действительной осью и прямой у = 2л : 0 < у < 2л.
Эта полоса отобразится с помощью функции D1) на всю пло-
плоскость переменного w. Действительно, нижней границе нашей
полосы, т. е. действительной оси плоскости г, по предыдущему
будет соответствовать положительная действительная полуось
плоскости w, верхней границе полосы — та
же полуось.
Возьмем теперь полосу на плоскости z
шириной л, ограниченную действительной
осью и прямой г/ = л:0<г/<л.С помощью
показательной функции D1) эта полоса ото-
отобразится на верх'нюю полуплоскость v ^ 0.
Верхнюю полуплоскость, как мы знаем
(§ 1, п. 8), можно отобразить на круг с по-
помощью линейного преобразования. Если нам
дана полоса какой угодно ширины и как-
либо расположенная на плоскости z, то,
применяя уже знакомые нам операции переноса, вращения и по-
подобия (§ 1, п. 1), мы ей придадим предыдущий вид, а затем ото-
отобразим на верхнюю полуплоскость, последнюю же преобразуем
в круг. Итак, мы видим, как любую полосу можно отобразить
на круг.
Как отобразить область, заключенную между двумя сопри-
соприкасающимися окружностями, на круг (рис. 68)? При помощи
одной н той же линейной функции мы можем отобразить наши
Рис. 68.

140 ЛИНЕЙНЫЕ И ДРУГИЕ ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. III
окружности на прямые, заставляя отвечать точке соприкосновения
точку сю. Эти прямые будут параллельны, так как окружности
соприкасаются. Итак, мы можем отобразить, заданную область
на полосу, а следовательно, по предыдущему и на круг.
Рассмотрим еще два примера. Пусть в плоскости w дан криво-
криволинейный четырехугольник, две стороны которого суть кон-
концентрические полуокружности радиусов г и 1 (г > 1), а две дру-
другие стороны — прямолинейные отрезки оси Ои (рис. 69). Когда
Ьпг' х
Рис. 70.
точка w движется по большой полуокружности от т до —г, то
соответствующая точка г = In w будет описывать прямолинейный
отрезок длины я, параллельный оси Оу и отстоящий от нее на
расстоянии In г (ибо z — In г + <pi). Когда w движется по оси Ои
от —г до —1, т. е. когда w = r'eni, где г' меняется от г до 1,
то 2 движется по отрезку АВ, параллельному оси Ох (рис. 70).
Далее, когда точка z движется по малой окружности от —1 до +1,
то точка 2 движется по мнимой оси от В до О. Наконец, когда w
описывает ось Ои от 1 до г, то z изменяется по действительной оси
от 0 до In г. Итак, g помощью логарифмической функции нащ
криволинейный четырехугольник отображается на обыкновенный
прямоугольник.
В качестве последнего примера возьмем гюлуполосу шириной
л, которая ограничена: 1) положительной полуосью Ох, 2) полу-
полупрямой у — л, простирающейся от мнимой полуоси до бесконеч-
бесконечности, и 3) мнимой полуосью (рис 71, а). Как отобразить ее на

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. III 141
верхнюю полуплоскость? Возьмем функцию w' = —е~2 и по-
посмотрим, во что она переведет нашу полуполосу н плоскости и/.
Пусть z описывает полупрямую у = я от оо до оси Оу. В этом слу-
случае значение w' будет:
ц|' = д- (*+Л|) __ е-*_
Когда х изменяется от +оо до 0, то w', следовательно, будет
изменяться от 0 до 1. Пусть, далее, z движется го оси Оу от ш
до 0; w' примет вид w' = —e-yl, откуда | w' | «= 1. Следовательно,
точка w описывает при этом полуокружность от точки +1 до
точки —1, так как у меняется от я до 0 (рис. 71, б). Наконец,
когда точка г движется по оси Ох от 0 до оо, то w'= —e'x изме-
изменяется по оси Ои' от —1 до 0. Итак, функция w' — —е~г отобра-
отображает полуполосу на полукруг. Так как мы уже отображали полу-
полукруг на верхнюю полуплоскость (п. 1) с помощью функции w =
—, ' . 1 , то мы можем данную полуполосу перевести на верх-
верхнюю полуплоскость посредством преобразования
W =
Упражнения к главе III
1. Выполнить графически инверсию прямой относительно окружности.
Указание. Следует отдельно рассмотреть случаи, когда прямая пересе-
пересекается с основной окружностью, имеет касание и не пересекается с ней.
2. Выполнить графическое построение инверсии окружности, проходящей
через полюс. Указание. Построение будет обратным построению задачи 1.
3. Выполнить графически инверсию окружности, не проходящей через
полюс. Указание. Следует отдельно рассмотреть случаи, когда окруж-
окружность пересекается с основной окружностью, касается ее и не пересекается с ней.
4. Зная центр а и радиус г окружности, определить положение центра
и величину радиуса окружности, являющейся инверсией дайной, принимая
полюс в начале координат и радиус инверсии равным R.
<"»•
б. Написать линейное преобразование единичного круга самого в себя,
1 5 3
вная двойные точки —, 2 и точку — -] I, переходящую в бесконечность.
Отв.
w — 2 2 — 2 '
в. Написать линейное преобразование единичного круга самого в себя,
вная двойные точки i, —i и точку 2/, переходящую в бесконечность.
~ w — i г — 1
w + i г + I
7. Написать линейное преобразование единичного круга самого в себя,
•ная его двойную точку 1 и точку 1 + i, переходящую в бесконечность.
Отв ' _ 1 _ . _ (t — l)z-j- 1

142 ЛИНЕЙНЫЕ И ДРУГИЕ ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СГЛ. III
8. Составить линейное преобразование верхней полуплоскости на единич-
единичный круг, переводящее точки действительной оси —1, Q, +1 в точки +1, i, —1
окружности.
Отв. w = (г — 0 : Aг — 1).
9. Пользуясь изображением геометрии Лобачевского на полуплоскости,
решить задачу: зная евклидовы центр 2о = *о ~Ь '</¦ и радиус р окружности, найти
ее неевклидовы центр г и радиус R.
Оть. г==*0 + » Кг/3 —Р2> tf = -o-ln-77 7Г •
1 Уо — Р
10. Решить задачу 9 построением.
11. Отобразить на верхнюю полуплоскость единичный круг с купюрой,
идущей от центра по радиусу действительной оси.
Оте.
12. Область задачи 11 отобразить на единичный круг так, чтобы точки —1,
0 и I перешли в точки i, —i и 1.
Ото. ? = т=~»
i (г +• 1) +2 /z

ГЛАВА IV
ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ
§ 1. Интегралы по комплексному переменному
1. Понятие интеграла по комплексному переменному. Перей-
Перейдем к определению понятия интеграла в комплексной области.
Пусть w = f (z) есть произвольная непрерывная функция ком-
комплексного переменного г, определенная в некоторой области G
плоскости переменного г, и С —
произвольная гладкая линия, лежа-
лежащая в этой области, с началом в
точке г0 и концом в точке Z (рис.
72) *). Разобьем дугу z0Z линии С на
произвольное число п частичных дуг
с помощью точек г0, гъ г2, ..., zn_lt
г„ = Z, расположенных последова-
последовательно в положительном направле-
направлении линии С. Каждой частичной
дуге приведем в соответствие число
/ (zh) Azh, полученное от умножения
значения данной функции в левом
конце этой дуги на соответствующее этой дуге приращение Azk
переменного г : Azh = zk+l — zh. Составим, далее, сумму всех
таких произведений, распространив ее на все частичные дуги:
Рис. 72.
*=л—1
s
A)
Заставляя максимум длин всех частичных дуг стремиться к нулю,
докажем, что выражение A) стремится к определенному конечному
пределу, не зависящему от того закона, по которому все частич-
') Линия Жордана называется гладкой, если она имеет непрерывно изменя-
изменяющуюся касательную. Аналитически гладкая линия может быть представлена
уравнением г = г (t) (a =g: t =g P), где г' (t) непрерывна и отлична от нуля, при-
причем г (<i) =j= г (/2), если /i Ф tt, кроме, быть может, случая t± =- a, t2 = Р. Линия
Ж°РДана называется кусочно-гладкой, если она состоит из конечного числа глад-
гладких дуг (простейший пример кусочно-гладкой линии — контур многоугольника).

144 ТЕОРЕМА КОШИ, ИНТЕГРАЛ КОШИ [ГЛ. IV
ные дуги стремятся к нулю. С этой целью, введя обозна-
обозначения
Azk = Axk + iAyk,
представим выражение A) в виде
k—n—1 fr=n—1
? /Bft) 2ft = S («* + ffcO (А** + »АУй) =
k=n—1 h=n—I
= S («ftAJffc - илДЫ + * S (WfcAJfft + UftA^k). B)
ft=0 /(-==0 '
Заставляя максимум длин всех частичных дуг стремиться к нулю,
мы видим, что обе суммы правой части последнего равенства B)
стремятся соответственно к пределам
\ udx — vdy и ilvdx + udy,
с с
следовательно, левая часть равенства B) стремится к определен-
определенному конечному пределу, когда длины всех частичных дуг по
произвольному закону стремятся к нулю. Этот предел мы [назовем
интегралом от / (г) dz вдоль линии С и обозначим через \ f (z)dz.
Итак, имеем:
J/(z)dz=j udx — vdy + t \vdx-\-udy. C)
Эта формула дает выражение интеграла по комплексному пере-
переменному через два действительных криволинейных интеграла.
Формулу C) легко запомнить, если написать в таком виде:
\}{z)dz= \{u + vi){dx + idy). C')
с с
Что касается фактического вычисления интеграла по комплекс-
комплексному переменному, то, предполагая уравнение линии С в виде
z — z (t) (а «¦ t <; Р), имеем:
J /(г) dz = \\u [z @J *' @ - v [z @1 у'- (t)\ dt +
С а
+ i \ {v [г № х' @+ и [г @] у1- {t)\ dt = J / [г (*)] г'- (t) dt, D)
а
ИЛИ
J

§ I] ИНТЕГРАЛЫ ПО КОМПЛЕКСНОМУ ПЕРЕМЕННОМУ ,145
где R (t) и / (t) суть соответственно действительная часть и коэф-
коэффициент при мнимой части выражения f\z (t) \-z' (t). На основании
формулы D') вопрос вычисления интеграла по комплексному
переменному приводится к вычислению обыкновенных определен-
определенных интегралов.
До сих пор мы предполагали, что путь интегрирования О
есть гладкая линия. Если мы имеем произвольную кусочно-
гладкую линию Г, состоящую из гладких линий Clt С2, ..., Сп,
то по определению полагаем:
\f{z)dz = \f{Z)dZ-\- J/(z)&+...+ \f{z)dZ. E)
r ci e2 cn
Очевидно, формула D'), выражающая интеграл по комплекс-
комплексному переменному с помощью обыкновенных определенных ин-
интегралов, остается в силе и для интеграла, взятого вдоль ли-
линии Г.
Замечание Определение интеграла по комплексному переменному,
очевидно, остается в силе, если данная функция / (г) непрерывна лишь вдоль
линии Г.
Пример. Пусть Г — произвольная кусочно-гладкая линия, соединяющая
две точки г„ и Z. Тогда интеграл
если п есть целое число, отличное от —1. (При отрицательном п линия Г на
должна проходить через точку г = 0.) В самом деле, пусть г — г (t) (a ^ f ^ Р)
есть параметрическое изображение линии Г; тогда имеем:
[/.Л«[л'(/,Лв[ ' '
J J } n -\- I at
Га а
Таким образом, значение интеграла от функции г" (п Ф —I.) не зависит от пути
интегрирования. В частности, если Г есть замкнутый контур, то I = г„ и
1 dz = 0.
2, Основные свойства интеграла по комплексному перемен-
переменному. Отметим теперь ряд простейших свойств интеграла по ком-
комплексному переменному, непосредственно вытекающих из его
определения:
dz = —
где Г+ и Г" обозначают один и тот же путь, проходимый соответ-
соответственно в положительном и отрицательном направлениях.
2) J af(z) dz — a J / (z)dz (a — постоянное),

ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ
[ГЛ. IV
3)
йг = j /(г)
J[ f(z)
/(г)
если путь интегрирования Г описывается движущейся точкой,
проходящей последовательно его части 1\, Га, ..., Гп.
4) J l/i(г) + Ш+•••
г
(z)dz+jft(z)d2+...-\-jfn(z)d2.
Все эти четыре свойства немедленно доказываются, исходя из
определения интеграла как предела суммы, аналогично соответ-
соответствующим свойствам обыкновенных интегралов.
5) Если вдоль линии Г имеет место неравенство |/ (г) | < М,
где М есть постоянное число, то, обозначая через / длину ли-
линии Г, имеем:
II
f(z)dz
Ml.
Действительно:
*=п—1
*=о
ft=O ft=O
так как J] | Azh | обозначает длину ломаной, вписанной в Г.
Переходя к пределу, из последнего неравенства получим:
' f(z)dz
II'
6) Неравенство 5) может быть выведено также из более точного
неравенства
' "f(z)dz
Последнее вытекает из неравенства
п—1 л—1 и—1
zh|<S 1/(**)|Л%
переходом к пределу.
3. Интегрирование равномерно сходящегося ряда* Свойство 4)
предыдущего пункта показывает, что интеграл от суммы конеч-
конечного числа слагаемых равен сумме интегралоЕ! от слагаемых. Из
интегрального исчисления известно, что, вообще говоря, нельзя
интегрировать почленно бесконечный ряд функций, даже если он
сходится к непрерывной функции. Однако интеграл суммы рав-

$ 111 ИНТЕГРАЛЫ ПО КОМПЛЕКСНОМУ ПЕРЕМЕННОМУ 147
щмерно сходящегося ряда непрерывных функций может быть
определен через почленное интегрирование.
Как известно (гл. II, § 2, п. 2), сумма равномерно сходяще-
сходящегося на линии Г ряда непрерывных функций
s (г) = и, (г) + и, (г) + ... + ип (г) Н- ... F)
есть функция, непрерывная на Г. Из условия равномерной сходи-
сходимости ряда F) вдоль линии Г следует, что при любом е (е > 0)
существует число N = N (г) такое, что сумма п первых членов
ряда F) sn (г) = иу (г) + и2 (z) + ... + ип (г) отличается от
суммы ряда s (г) по модулю меньше, нежели на е, вдоль Г, как
только п ?» N = ./V (е) (гл. II, § 2, п. 1).
Следовательно, если положим:
s (г) = sn(z) + гп(г), G)
то вдоль Г имеем:
I Гп B) | < Е. (8)
Обозначая через / длину линии Г, получаем в силу (8), на основа-
основании свойства 5) (п. 2):
II
[s(z)-sn(z)\dz
= \\ra(z)dz
г
или
Ir
т. е.
\\s(z)dz-\uy{z)dz-\ub{z)dz-...-\un(z)dz
\ s{z)dz = \\m\\ Ul{z)dz + \иг{г) dz +...-{- \un{z)dz\. (9)
г п-*аа [г г г J
Равенство (9) иначе может быть записано в таком виде:
\s(z)dz=\u±(z)dz+ Jua(z)dz + ... +Jun<z)dz+... A0)
г г г г
Доказанное предложение может быть еще формулировано таким
образом: если вдоль пути интегрирования последовательность
непрерывных функций sn (z) сходится равномерно к функции s (г),
то имеем:
lim [snB)af2= f lim sn{z)dz= f s(z) dz. A0')
Примечание. Это предложение может быть расширено следующим
Образом. Пусть равномерно для всех точек г, принадлежащих, пути интегрирова-
интегрирования Г, имеем lim / (z, t) = f {г), где / (г, t) и f (г) суть функции, непрерывные
t

148 ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ (ГЛ. IV
вдоль Г. Другими словами, для любого сколь угодно малого е (е > 0) сущест-
существует число б = б (е) такое, что [/ (z, t) — f (г)] < е при условии | t — т | < б,
считая г произвольной точкой на Г.
Поступая аналогично предыдущему доказательству, получим:
lim
im f / B, t)dz= [ I (г) dz.
4. Теорема Коши. Из определения интеграла от непрерывной
функции / (г) следует, что его значение зависит, вообще говоря,
не только от подынтегральной функции, но и от пути интегриро-
интегрирования Г. Иными словами, соединяя точки г0 и Z двумя различ-
различными линиями Г и Г', принадлежащими односвязной области d
и вычисляя j / (г) dz вдоль каждой из этих линий, мы получим,
вообще говоря, разные числа. Естественно возникает вопрос:
каким условиям должна удовлетворять функция / (г) для того,
чтобы значение ее интеграла не зависело от пути интегрирования,
а определялось лишь положениями начальной и конечной точек
этого пути? Легко показать, поступая так же, как в случае дей-
действительных криволинейных интегралов, что эта задача об усло-
условиях независимости интеграла от пути интегрирования равно-
равносильна задаче нахождения условий, при которых данный инте-
интеграл, взятый по любому замкнутому контуру, равен нулю. Ре-
Решение этой задачи мы можем поставить в зависимость от соответ-
соответствующей задачи для действительных криволинейных интегралов
вследствие того, что интеграл по комплексному переменному вы-
выражается через два действительных криволинейных интеграла.
Итак, предположим, что функция / (г) == и (х, у) + v (x, у) i,
аналитическая в односвязной области G, имеет в каждой точке
этой области непрерывную производную. Отсюда следует, что
функции и и v непрерывны в области G вместе с их частными про-
производными, которые удовлетворяют уравнениям (гл. II, § 4,
п. 4)
Зи dv да dv ,„ р .
Обозначая через Г произвольный замкнутый контур, лежащий
в области G, и замечая, что в силу формулы C)
\ f (z)dz = \ udx — vdy + I \ vdx + udy, A1)
]^ Г Г
мы имеем на основании известной теоремы 1)i
[ и dx — v dy = 0, (IS)
1) См., например, Посее К. Д. Кура интегрального исчисления
М.: ОНТИ, 1935, гл. VI, § 2 (изд. 2-е), или Смирнов В. Ц- Куре "
шей математики. — М.: Гостехиздат, 1950, т. II, п. Т\ (над. 10-е).

i 2] ТЕОРЕМА КОШИ . 149
так как
ТЕОРЕМА
ди
ду ^
коши
dv
dx
\udy = 0, A2')
так как
dv ди
ду ~ дх
Вследствие равенств A2) и A2') формула A1) принимает вид
|/ B)^ = 0. A3)
г
Итак, мы доказали, что если функция f (г), однозначная в одно-
связной области G, имеет в каждой точке этой области непрерыв-
непрерывную производную, то интеграл от этой функции, взятый вдоль
любого замкнутого контура, принадлежащего области G, равен
нулю. Это предложение является основным в теории аналитиче-
аналитических функций и называется теоремой Коши. В изложенном до-
доказательстве теоремы Коши существенно предположение не-
непрерывности производной функции /(;г). Однако это
ограничение не является необходимым для справедливости этой
теоремы, и в следующей главе мы изложим другое доказательство
теоремы Коши, предполагая лишь существование в области G
конечной производной функции /(г). Таким образом, мы установим
предложение Коши для любой функции /(г), аналитической в об-
области G.
§ 2, Теорема Коши
1. Основная лемма, Пусть /(г) есть непрерывная функция,
определенная в некоторой области G плоскости комплексного пе-
переменного г, и Г — произвольная кусочно-гладкая линия, лежа-
лежащая в этой области. При любом сколь угодно малом е (е > 0)
существует ломаная линия Р, вписанная в Г, целиком лежащая
в области G, такая, что
\\f{z)dz-\f{z)dz
| Г Р
<в, (И)
т. е. значение интеграла I /(г) dz можно аппроксимировать с лю-
r
бой степенью точности посредством значения того же интеграла,
взятого вдоль ломаной линии Р, вписанной в Г и лежащей в об-
области G.

ISO
ТЕОРЕМА КОШМ. ИНТЕГРАЛ КОШИ
[ГЛ. IV
Для доказательства рассмотрим замкнутую область D, часть
области G, содержащую внутри линию Г. Так как по условию
функция / (г) непрерывна в каждой точке области D, то она рав-
равномерно непрерывна в этой области (гл. II, § 1, п. 4). Следова-
Следовательно, при любом сколь угодно
малом е (е > 0) существует число
б •= б (е) такое, что
I/(*')-/(*') |< е,
если | г' — z" | <5 б, причем г' и г*
суть любые две точки области D.
Разобьем линию Г на и дуг s0,
Si, ..., Sn-i. длина каждой из кото-
которых была бы меньше 6, и впишем
в линию Г ломаную линию Р,
звенья которой 10, 1Х, ..., 1п_г стягивают эти дуги. Обозначим
вершины ломаной линии Р через г0, г1( ..., ;>„_!, гп (рис. 73).
Так как длина каждой дуги sh меньше б, то расстояние между лю-
любыми двумя точками одной и той же дуги и подавно меньше б.
То же самое будет для наших звеньев lk. Сравним теперь значение
I / (г) dz со значением того же интеграла вдоль ломаной линии Р.
г
С этой целью рассмотрим сумму, являющуюся приближенным
значением J / (г) dz:
г
Рис. 73.
S = / (г0) Дг0 + / (г,) Az, + ... + /
A5)
Заметив, что Azk = J dz, представим выражение A5) в виде
\
A5')
С другой стороны, интеграл j / (z) dz можно представить как
г
сумму интегралов, взятых по дугам sk:
j f{z)dz=\ f(z)dz+ J f(z)dz + ... + J f(z)dz. A6)
Производя почленное вычитание равенств A6) и A5'), получим:
J (f{z)-f(zn.1))dz.
Sn-I

ТЕОРЕМА КОШИ
Замечая, что> на каждой дуге sk имеем: |/ (г) — f (zk)\
лучаем:
f{z)dz-S
es0 + est+ ..; + es,,.! = el,
151
по-
A7)
где I есть длина всей линии Г.
Поступая аналогично, оценим модуль разностш J / (г) dz — 5.
р
Заметив, что ДгА = J dz, представим выражение A5) в виде
S = | / B0) dz + J / (гх) Л + ... + J / Bn_!) dz. A5*)
С другой стороны, интеграл J / B) dz можно представить как
сумму интегралов, взятых по звеньям lh:
[f{z)dz=\fXz)dz-{.\Hz)dzJr...+ J f(z)dz. A6')
* 'о к ln.l
Вычитая почленно из равенства A6') равенство A5"), получим:
•п-1
Так как на каждом звене lk имеем \f (z) — / (гл) | <^ е, то находим:
f(z)dz-S
\1
/. A8)
Из неравенства A7) и A8) получаем:
f{Z)dZ-\f{z)dZ
p
S-\f[z)dZ
p
< e/ + б/ = 2еЛ
Итак, всегда возможно вписать в линию Г ломаную линию Р
так, что разность значений J /(г) dz вдоль Г и вдоль Р будет по
модулю меньше произвольно малого положительного числа.
2. Приведение доказательства теоремы Коши к простейшему
случаю, Теорема Коши может быть формулирована таким обра-
образом: если f (z) есть функция, аналитическая в некоторой односвяз-

152
ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ
[ГЛ. IV
ной области G, то \ f (z) dz, взятый вдоль любого замкнутого кон-
контура Г, лежащего в G, равен нулю.
Если мы допустим, что предложение Коши доказано в случае
произвольной замкнутой ломаной линии Р, принадлежащей об-
области G, то эта теорема будет верна для любой замкнутой кусо-
кусочно-гладкой линии Г. Действительно, предполагая е (е > 0)
сколь угодно малым числом, впишем в замкнутый контур Г на
основании леммы п. 1 замкнутую ломаную линию Р так, чтобы
иметь:
\\f(z)dz-\f(z)dz <e.
Так как по допущению имеем: J / (z) dz = 0, то из последнего
неравенства следует:
f[z)dz
;е, т. е [f(z)dz = O.
Итак, первое упрощение доказательства теоремы Коши со-
состоит в том, что мы сводим его к случаю, когда контуром интегри-
интегрирования является замкнутая ломаная линия.
Покажем теперь, что доказательство этого случая приводится
к случаю, когда линией интегрирования служит периметр тре-
треугольника. В самом деле, разбивая данный
многоугольник с периметром Р диагона-
диагоналями на треугольники (рис. 74), представим
f(z) dz как сумму интегралов, взятых по
периметрам треугольников, на
разбит данный многоугольник:
\f(z)dz= J + \ + J
которые
A9)
ЛВСА
ACDA
ADEA
так как интегрирование по каждой диаго-
диагонали совершается два раза в противополож-
противоположных направлениях, а потому уничтожается.
Таким образом, если мы допустим, что предложение Коши дока-
доказано для случая, когда контуром интегрирования служит периметр
произвольного треугольника области С, то оно вследствие равен-
равенства A9) будет тем самым доказано для замкнутой ломаной линии
Р, а значит, и для линии Г.
3. Доказательство теоремы Коши. На основании предыдущего
пункта доказательство теоремы Коши приводится к доказатель-
доказательству следующего предложения: если / (г) есть функция, аналити-
аналитическая в односвязной области G, то интеграл I f{z) dz, взятый

§2]
ТЕОРЕМА КОШИ
153
вдоль периметра А произвольного треугольника, принадлежащего
области G, равен нулю.
Положим И / (г) dz = М и докажем, что М = 0.
I 4
Разделив стороны данного треугольника пополам, соединив
попарно полученные точки деления, мы разобъем данный треу-
треугольник, на четыре конгруэнтных треугольника с периметрами
Д1( Д2, Д3, Д4 (рис. 75). Очевидно, имеем:
\f{z)dz=\ +J + J +J, B0)
Д Д, Дг Да Д«
так как интегрирование по каждому отрезку,
соединяющему точки деления, совершается
два раза в противоположных направлениях
и потому уничтожается. Так как | | | = М,
А
то из равенства B0) следует, что найдется Рис. 75.
хотя бы один периметр Ah (k = 1, 2, 3, 4),
модуль интеграла по которому будет не меньше, чем М/4. Пусть,
например, это будет периметр Дх:
4- B0
С этим треугольником периметра Дх поступим так же, как
с первоначальным, разбив его на четыре конгруэнтных треуголь-
треугольника. Следовательно, опять найдется такой треугольник с пери-
периметром Д<2>, принадлежащий треугольнику с периметром Дь
что имеем:
,B)
М
B2)
Очевидно, этот процесс можно продолжать до бесконечности.
Таким образом, мы получим последовательность треугольников
с периметрами Д = Д<°>, Дх = ДA>, ДB', ..., Д(">, ..., из кото-
которых каждый содержит следующий, и таких, что имеют место
неравенства
^- (л = 0, 1, 2,...).
B3)
Обозначая длину периметра Д через U и замечая, что длины
периметров Д*1', Д<2>, ...4 ДС), ... суть соответственно U/2,
UI22, <.., Ш2п, ..., мы оценим величину модуля j / (г) dz. Так
л со
как мы имеем последовательность треугольников, из которых ка-

154
ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ
[ГЛ1 IV
ждый содержит все следующие и длины периметров которых стре-
стремятся к нулю при неограниченном возрастании п, то вследствие
основного принципа теории пределов (гл. I, § 3, п. 1) существует
точка 20, принадлежащая всем треугольникам указанной после-
последовательности. Эта точка лежит в области G, где функция / (z)
есть аналитическая, т. е. в точке 20 функция / (г) имеет конечную
производную. Таким образом, при любом сколь угодно малом
е (е > 0) существует число б = б (е) такое, что имеет место не-
неравенство
— I \zo) <-. е>
г — г„
B4)
если
| 2 - 2П |< б. B5)
Неравенство B4), будучи умножено на | г — г0 |, запишется в виде
| /(г) - /(г„) - (г - г0) Г (го) |< е | г - го| . B5')
Неравенство B5') выполняется при условии B5), т. е. для лю-
любой точки г, лежащей внутри круга с центром в точке 20 радиуса б.
Начиная с достаточно большого п, периметр А(п) лежит внутри
этого круга, и следовательно, мы можем еюспользовэться при
оценке интеграла I /B) dz неравенством B5'). Заметим, что
д(п>
так как
\ f(z)dz = \ [/ (г) - / (г0) - B - г„) f B0) ] dz, B6)
(О д(">
J dz = 0 и | г^г = 0(§ 1, п. 1). Из равенства B6)
С) (
\
д('О
получаем в силу неравенства B5'):
f(z)dZ
J E|2-20||d2|.
B7)
Так как | г — г01 есть расстояние любой точки г периметра А(п)
треугольника от точки г0, лежащей на этом треугольнике, то имеем:
| г — г01 < G/2".
Следовательно, из неравенства B7) получим:
/'«
dz
и и и*
— • — = б
2" 2" 4"
B8)
Сравнивая неравенства B3) и B8), находим:
М/4" <
или
откуда следует: М = 0, так как е — число сколь угодно мало С*

I 2] ТЕОРЕМА КОШИ 155
Замечание. При доказательстве теоремы Коши мы воспользовались
тем, что интегралы I dz и I zdz, взятые вдоль любого замкнутого контура, ра-
равны нулю. Этот факт может быть обнаружен непосредственно, исходя из опре-
определения интеграла. В самом деле, согласно определению инеем:
л—I
\ dz = llm V Azh = 0,
*о
*=0
я — !
так как ^ Дг& = 0, если гп = г0;
п—1 я—1
| zdz = lim
*=О к~О
откуда следует:
п—1 л—1
л—1
так как
4. Понятие неопределенного интеграла в комплексной области.
Из доказанной теоремы Коши, как было указано в § 1, п. 4, вы-
вытекает следующее предложение:
Если функция f B) есть аналитическая в односвязной области G,
то значение интеграла I / (z) dz, взятого вдоль произвольной
кусочно-гладкой линии Г, принадлежащей области G, не зависит
от линии Г, а определяется лишь положениями начальной и ко-
конечной точек этой линии. Другими словами, значение интеграла
J f(z) dz не изменится, если мы будем произвольно деформиро-
г
вать линию Г, не выходя за пределы области G, оставляя ее начало
и конец неподвижными.
Рассмотрим выражение
2
F{z)=\f(Qdi, B9)
где за путь интегрирования можно взять произвольную кусочно-
гладкую линию Г, соединяющую точки z0 и z, лежащую в данной
односвязной области G. Вследствие вышеупомянутого предложе-
предложения значение функции F (г) не будет зависеть от пути интегриро-
интегрирования и, следовательно, F (г) есть однозначная функция, опреде-
определенная в области G. Покажем, что в каждой точке z области G
функция / (г) имеет производную, равную / (г). Действительно,

156
ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ
[ГЛ. IV
обозначая через г + h любую точку области G, лежащую в про-
произвольно малой окрестности точки г, рассмотрим разность
г+h
+ h)-F(z)= \
г+h
C0)
г„
причем за путь интегрирования в последнем интеграле можно
взять прямолинейный отрезок, соединяющий точки ги г + h
(рис. 76). Разделив равенство C0)
на h, находим:
г+h
Заметив, что
г+h
_
C0')
г+h
Рис.76. . ¦ C1)
вычтем из равенства C0') равенство C1); тогда мы получим сле-
следующее:
г+h
+
- / (г) = -т J (/ @ - / (г)) d?.
C2)
Вследствие непрерывности функции / (г) в точке г, при любом
сколь угодно малом е (е > 0) существует число б = б (е) такое,
что имеем: | / (Q — / (г) | <3 е, | t, — г | <^ 6. Следовательно, если
считать, что |/t|<6, то модуль подыинтегральной функции в ин-
интеграле C2) будет меньше е. Таким образом, из равенства C2)
находим:
при
h
<
б,
F
Т.
(г + К) -
ft
е.
lim —
-F
"(г
B) / (г)
+ h) — F B)
ИЛИ
(г) = / (г).
C3)
Итак, интеграл от функции / (г), аналитической в односвязной
области G, рассматриваемый как функция своего верхнего предела,
есть функция, аналитическая в той же области, производная ко-
которой равна подынтегральной функции.

§ 2] ТЕОРЕМА КОШИ 157
'Замечание. Это доказательство основано лишь ка двух свойствах
функции / (г):
1) / (г) есть непрерывная функция в области G,
2) / (г) dz, взятый вдоль любого замкнутого контура, лежащего в G, ра-
равен нулю.
2
При этих условиях F (z) — f (?) dt, есть функция, аналитическая в об-
ласти G, причем F (г) = / (г). Этим замечанием мы впоследстпии воспользуемся.
Назовем неопределенным интегралом или примитивной функцией
от / (г) всякую функцию Ф (г), удовлетворяющую Е;сюду в области
G условию
Ф' B) = / B). C4)
Согласно изложенному F (г) = I / (С) dt, является примитив-
го
ной функцией для функции / (г). Покажем, что любая примитив-
примитивная функция Ф (г) будет иметь вид
Ш^ + С, C5)
где С есть произвольное постоянное.
Действительно, из равенств C4) и C3) путем их вычитания сле-
следует:
(Ф (Z) - F B))' = 1|/ B) = 0, C6)
где через \|) (z) обозначена разность Ф (г) — F (г).
Полагая i|>(z) = и (х, у) + v (х, у) i и замечал, что \|/ (г) =
= Ж + Ж 1 = % ~ i (Гл# П> § 4- п> 4)> П0ЛУ'!аем вследствие
равенства C6);
ди до ди dv „
дх дх ду ду
в области G. Следовательно, функции и и v суть постоянные в об-
области G, а потому имеем:
\р (г) = и + vi = С или Ф (г) — F (г) --= С,
откуда
Ф(г) = F (г) + С. C5)
Таким образом, понимая под Ф (г) одну из примитивных функ-
функций для функции / (г), перепишем равенство C5) в виде
(г). C5)

158 ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ [ГЛ. IV
Полагая здесь z = z0, получим: С = Ф (г(|). Заменяя в равенстве
C5) постоянное С найденным значением, получим:
J.
C7)
Формула C7) выражает определенный интеграл через неопреде-
неопределенный. Итак, ограничиваясь функциями, аналитическими в од-
носвязной области G, мы видим, что подобно обыкновенным инте-
интегралам интегрирование по комплексному переменному можно рас-
рассматривать с двух точек зрения: 1) как процесс суммирования,
2) как действие, обратное дифференцированию.
5. Распространение теоремы Коши на случай сложных кон-
контуров. Пусть Г есть произвольная замкнутая кусочно-гладкая
линия и / (г) — функция, аналитическая внугри Г, а также в ка-
каждой точке линии Г. В этом случае имеем:
[f(z)dz = O. C8)
г
Действительно, около каждой точки, лежащей внутри Г или на Г,
можно описать, как около центра, круг, внутри которого данная
функция / (г) есть аналитическая. В силу леммы Гейне—Бореля
(гл. II, § 1, п. 4) существует конечное число таких кругов, со-
содержащих внутри себя все точки замкнутой области с границей Г.
Совокупность точек, лежащих внутри этих кругов, представляет
область G, содержащую линию Г вместе с внутренними точками.
В области G функция / (г) есть аналитическая, причем внутри Г
нет граничных точек области G, а потому вследствие теоремы
Коши имеем равенство C8).
Рассмотрим теперь п + 1 замкнутых кусочно-гладких линий
Го, 1\, ..., Гп таких, что каждая из линий Гх, Г2, ..., Гп лежит
вне остальных и все они расположены внутри Го. Множество точек
плоскости, лежащих одновременно внутри Го и вне линий 1\,
Г2, ..., Тп, будет представлять п + 1-связную область D, граница
которой состоит из линий Го, Гх, ..., Г„. В этом случае мы ска-
скажем, что граница области D представляет собой сложный контур
Г = Г? + Гг + ... + Тп, состоящий из линии Го, проходимой
в положительном направлении, и остальных линий Гх, Г», ...
.... Г„, проходимых в отрицательном направлении. Другими сло-
словами, если точка движется по сложному контуру Г, то точки об-
области D остаются с левой стороны (рис. 77). Предполагая функцию
/ (г) аналитической в замкнутой области D, мы покажем, что
J'
(г) dz = 0, C9)

i 21
ТЕОРЕМА КОШИ
.159
где положено:
J-J+J
J-
В этом заключается обобщение теоремы Коши на случай слож-
сложного контура.
Для доказательства соединим линии Го, Гх, ..., Гп в цикли-
циклическом порядке с помощью вспомогательных линий (рис. 77):
ab, cd, ef и рассмотрим две замкнутые линии: 7 = amfendcpba
и у' — abp'cdn'eftn'a. Так как функция / (г) согласно условию
будет аналитической как внутри, f
так и на каждой из этих линий у
и 7', то по доказанному имеем: т'
(z)dz = 0, j /(z)d2 = 0.
v v'
Складывая между собой послед-
последние два равенства, окончательно
получим:
\ I (г) dz = О,
Рис 77.
потому что интегрирования по
вспомогательным линиям (ab, cd,
ef) совершаются два раза в противоположных направлениях,
а потому уничтожаются.
Доказанное равенство C9) можно также записать в виде
C9')
где интегрирование совершается в положительном направлении
линий Го, 1\, ..., Г„. В самом деле, заметим, что в силу равенства
C9) имеем:
/B)?fe+ J
i
C9")
перенесем все члены равенства C9"), кроме первого члена, в пра-
правую часть и изменим в этих членах направление интегрирования;
тогда получим формулу C9').
В частности, если замкнутая линия Го содержат внутри себя
замкнутую линию Fj и функция / (г) будет аналитической как
между этими линиями Го и Гц так и на самих линиях, то значение
интеграла I /(z) dz вдоль любой из этих линий будет одним и тем
же числом.

160
ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ
[ГЛ. IV
6. Логарифмическая функция. Если нулевая точка лежит вне
замкнутого контура, то f -Z-, взятый вдоль этого контура, равен
нулю, потому что функция \1г есть аналитическая всюду в пло-
плоскости комплексного переменного z, кроме 2 = 0. Если же нуле-
нулевая точка лежит внутри замкнутого контура, то на основании
предыдущего (п. 5) 1—, взятый вдоль этого контура, имеет
определенное постоянное значение, не зависящее от формы кон-
контура. Чтобы вычислить это значение, достаточно принять за кон-
контур интегрирования окружность С с центром в нулевой точке
произвольного радиуса R. В этом случае имеем:
z = Re1*, dz = Rie^ d<p и Ц- == i dtp.
Следовательно, получаем:
2Л
~ = J
= 2ш.
D0)
Полученное число 2nt представляет значение интеграла f-—
вдоль любого замкнутого контура, окружающего нулевую точку.
Рассмотрим теперь функцию
D1)
где интегрирование может совершаться по любой линии, соединя-
соединяющей точку 1 с точкой z (рис. 78). Если г есть действительное по-
положительное число х и путем интегрирования служит отрезок
0 1
Рис, 78.
т
Рио. 79.
[1, х] действительной оси, то w = In x. Естественно, считая г
произвольным комплексным числом, положить ш == In 2, Таким
образом, мы определяем здесь логарифмическую функцию в пло-
плоскости комплексного переменного z иным способом, чем в гл. II,
§ 4, п. 9.

t Si TROfliMA КОШИ 161
2
Изучим ее свойства. Прежде всего заметим, что In г — \-j-
i
будет многозначной функцией, имеющей в каждой точке г беско-
бесконечное множество различных значений соответственно различным
путям интегрирования, соединяющим точки 1 и z. Так, обозна-
... с d'c
чая через (In 2H значение интеграла — -, взятого вдоль пути,
i
не окружающего нулевую точку (ряс. 78), мы видим, что значение
того же интеграла, взятого вдоль пути, окружающего одни раз
в положительном направлении пулевую точку, будет (\пг)п-\-2т,
потому что имеем (рис. 79):
- = J Л- + j-f = 2m.
— + J ¦
Если путь интегрирования делает п оборотов в полижпп/лымл
или отрицательном направлении около нулевой точки, то, оче-
очевидно, к значению (lnzH прибавляется (или отнимается) число
2лт. Таким образом, при всяком гфЬ имеем:
= J-^ = In z = (In гH + 2ju?, D1)
где к обозначает любое целое число, т. е. все значении Inz отли-
отличаются друг от друга на кратное 2ni.
Если z — число, действительное положительное, то одно из
этих значений будет действительным (lnzH, все остальные — мни-
мнимыми. Это действительное значение Inz и рассматривается в ана-
анализе. Если же z — число отрицательное или мнимое, то все зна-
значения 111 Z будут МНИМЫМИТ'
Таким образом, функция w —In г, определенная во всей пло-
плоскости комплексного переменного z, кроме z -- 0, является бес-
конечнозначной. Чтобы иметь возможность рассматривать эту
функцию как однозначную, очевидно, нужно выбрать такую
область плоскости, в которой нельзя провести замкнутой линии,
окружающей нулевую точку. Так, если мы разрежем плоскость
вдоль отрицательной действительной оси, то любой замкнутый
контур, лежащий в этой «разрезанной плоскости», будет оставлять
вне себя нулевую точку. В этой «разрезанной плоскости» w — \n z
может быть рассматриваема как однозначная функция комплек-
комплексного переменного г.
Докажем теперь, что функция ю = In z является обратной
относительно показательной функции
ew = z. D2)
С П. и. Приьал 'В

162 ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ [ГЛ. IV
Так как показательная функция ew во всей плоскости пе-
переменного w отлична от нуля (гл. II, § 4, п. 7), то значение
2 = 0 мы оставляем вне рассмотрения. Пусть г есть данное число,
отличное от нуля: г = реф; (—л <3 <р < + л). Из уравнения
D2) мы получаем, полагая w = и -f- vi: е"еы ¦¦= pevl, и, следова-
следовательно, должны иметь:
еи = Pi v = ф + 2я?, D3)
где /г — любое целое число.
Когда и, возрастая, пробегает все действительные значения, то
р = е" возрастает, принимая всевозможные положительные зна-
значения. Таким образом, уравнение е" = р имеет единственное дей-
действительное решение и = In р.
Итак, если z = реф' (—л << ф < л), то общее решение уравне-
уравнения D2) будет: w = lnp + <pt + 2ягЛ, где ^ — любое целое число.
Если г изменяется в «разрезанной плоскости» (& = 0), то, очевидно,
функция ш будет однозначной. Итак, существует функция w —
= lnp -f- срг, однозначная в «разрезанной плоскости», удовлет-
удовлетворяющая уравнению D2). Дифференцируя тождество е — г
,, dw . dw I
относительно г, получим еЛ ~т— = 1, откуда — — —.
Таким образом, в «разрезанной плоскости» w должна быть при-
примитивной функцией для функции 1/г, обращающейся в нуль при
2=1. Отсюда на основании п. 4 можно написать: ш= \-у-$
1
где интегрирование совершается по любому пути, соединяющему
точку 1 и г, лежащему в «разрезанной полуплоскости».
Если мы заставим переменное z изменяться во всей плоскости,
то, очевидно, общее решение w уравнения D2) будет совпадать
2
с функцией In г = |-р. где интегрирование производится по
любому пути между точками 1 и г. Итак, мы доказали, что ло-
логарифмическая функция, определенная нами посредством инте-
интеграла, совпадает с обращением показательной функции.
г dz
В заключение заметим, что вычисление интеграла ,
Г
взятого вдоль замкнутого контура Г, содержащего внутри себя
точку г0, приводится с помощью подстановки г = го+ ? к вычисле-
нию -—, где замкнутый контур 1 содержит внутри себя
Г'
нулевую точку. Следовательно, значение f —'¦'-— равно 2ш. Оче-
J г — го
г
видно, этот интеграл равен нулю, если точка г0 лежит вне замкну-
замкнутого контура интегрирования, потому что подынтегральная функ-

I 21 ТЕОРЕМА КОШИ 163
1
ция является аналитической всюду в плоскости комплекс-
ного переменного z, кроме точки z = zu.
7. Лемма. Чтобы придать теореме Кошп более общую форму, мы докажем
в настоящем пункте вспомогательное предложение, касающееся непрерывной
функции с ограниченным изменением *).
Пусть / (х) есть непрерывная функция с ограниченным изменением в ин-
интервале а ^ х ^ b, a T — ее полная вариация. Обозначим через к (у) число,
которое указывает, как часто значение у принимается функцией / (х) в интервале
a ^l х гд: Ь, т. е. к (у) есть число корней уравнения / (х) = у. заключенных в ин-
интервале a SJ х ^ Ь. Очевидно, к (у) может равняться бесконечности. Тогда
имеет место следующая формула:
Т =
- { k(y)dy,
где интеграл берется в смысле Лебега.
При доказательстве, не уменьшая общности, можем считать а = О, Ь= I.
Разделим интервал 0 =5 х s; l на 2" равных интервалов
^~^Х<-^Г (г=1, 2, 3...., 2")
и обозначим через к„ (у) число, которое показывает, во скольких из этих ип-
тервалоз функция / (х) принимает значение у.
Очевидно,
/'пи (У) > kn (//),
т. е. при измельчании разбиения число интервалов, в которых функция прини-
принимает данное значение у, не может убывать. Покажем, что
lim kn (//)= It (у).
П->оо
Действительно, если k (у) равно нулю или единице, то /г„ (у) = k (ц) для
каждого п. В случае 1 < k (у) < оо пусть х\, х.2, ¦¦¦, х>, (у) — решения уравне-
уравнения / (лг) = (/; заключенные в интервале 0 г^ х < 1, и б — наименьшее из чисел
хг —*r_i [г ~ 2, 3, ..., k{y)\. Тогда, очевидно, kn (у) = I: (у) для каждого п,
для которого 1/2" < Й, и, значит, при всех достаточно больших п. Наконец, в слу-
случае k (у) = оо обозначим через т произвольное целое число >1. Тогда сущест-
существуют числа хъ х-2 хт: 0 ^ xi < дг2 < ... < хт < 1 такие, что f (xt) =
— f (x±) = ... = I (x,n) = у. Пусть б — наименьшее из чисел хТ — хг_г (г =
= 2, 3, .... т). Очевидно, что km (у) ^ m для каждого га, для которого — <.
< й, я, значит, начиная с достаточно большого гп, т. е. lim kn (у) = оо. Итак,
доказано, что всегда
lim kn (У) = k (у).
') Относительно функций с ограниченным изменением см., например,
А л е к с а н д р о в П. С. и Колмогоров А. Н. Введение в теорию функ-
функций действительного переменного. — М.: ГОНТИ, 1938.

lf,4 ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ ГРЛ. IV
Обозначим теперь через kn,, {у) функцию, равную единице, еели f (х) при-
принимает значение у в интервале (г — 1)/2" =5 х <5 /72", и равную нулю в против-
противнем случае Очевидно, можем написать:
/гп(У)~ ? *n,rfe). (I)
СгЪзиичн.м через /Иц, ,¦ и mn» г верхнюю и нижнюю границу функции / (х) в ин-
интерпале {/ — 1)/2'1 sg * </72"; тогда будет:
0 {у <тл_ г)
и поэтому 1 kn.r(<j)dy = М-пч—nin,r, а следовательно, в силу A)
J kn {у) dy = ^ (Aln>T — mn> r).
С другой стороны, вследствие определения
Сопоставляя два последних равенства н замечая, что кп (/у) — возрастающая
последовательность функций, имеющая своей предельной функцией к (у), полу-
получим-;
ее оо
Г= lirn [ ka(y}d(j= f к (y)dy,
что и нужно.
Из доказанной леммы выюкаюг два red при1, 'счпх следствия:
1) Если С — произвольная ciu 1>ия iasi яи'ич I>о[ члн. , то множество чи-
чисел с, для которых прямая «=hik l iui <Jn' о лыого оч> ic, общих с кривой С,
есть 'множество меры пуль по ЛебС] \
Действительно, пусть х =- f it), // -= г \ г< -.' 1-А.Ь) — уравнения снркч-
ляемоп линии Жордана С, где , .,• <> — г и, f ; ,ы* фупкппи с ограниченным
изменением. Число к (с), которо' покозьшгкл, Krit ''acrj ф;нкиия f (t) в интервал?
a iCl I ё^ b принимает значение „ [ drill» ч Э'ю i ^ii"i,ie -i'.kjiv общих точек пря-
прямой а: = с с кривой С. По док^-шноп ri чюл nyjiuTe лр' мс 'функция /г (с) сумми-
суммируема, и, значит, множество чисел с, ;,пя кото] ых ^ (с) — о-., имеет меру нуль.
2) Каждому положительному числу 6 соответствует число а такое, что
на каждой прямой
х — а -\- mt> [rn— 0, ±1, ±2, ...)
может лежать лишь конечное число точек кривой С.
Для доказательства и ям достаточно [(оказать, что множество чисел а, ко-
которое не имеет требуемого свойства, представляет собой не все числа. Это мно-
множество чисел а, не имеющих требуемого свойства, есть меры пуль, так как оно
есть соединение счетного числа множеств, котооые получаются из нуль-мно-
нуль-множества следствия I) посредством сдвигов с' = с — mo' (rn = 0, +1, ±2, ...).
8. Обобщение теоремы Кошн. Пользуясь последним результд-а?., >'л\'люу.<г.о
придать теореме Кошн следующую форму:

$ 2] ТЕОРЕМА КОШИ 1G5
Если / (г) есть функция, аналитическая в области D, внутренней к oicopfia-
ноеой спрямляемой кривой С, и, кроме того, j (г) непрерывна о зам1О1штгЛ области D,
то
J / (г) с1г = 0.
<;
Пусть е — произвольно малое положительное число. Согласно условию
f (г) — функция, равномерно непрерывная на D. Следовательно, существует
число 6'@<6'<1) талое, что имеет место неравенство | / B,) — / (z2) | < е
для любой пары точек ,?lt г., области D, удовлетворяющей условию | jj — г21 <!
< 26. Согласно следствию 2) леммы п. 7 выбираем число а и соответственно ji,
так что па каждом прямой х = а- -г тЬ и (/= Р-j- mb (т = 0, ч-1, чг2, ...)
может лежать лишь ко]:ечь:се число точек, общих с кривой С. Прямые х = а 4*
-j- »ifi, // = Р + nib делят D, область, внутреннюю к С, па конечное число обла<
степ, из которых каждая ограничена жордановой спрямляемой кривой. Обозна'
чп.м эти кривые Сг, С2, ..., СГ. Очевидно, имеем:
B) d2 = ^ j / B)
где все пути интегрирования проходятся в положительных направлениях. Из
кривых Сь С2, ..., С, пусть первые q, и только они, содержит точки С. Осталь-
Остальные будут тогда квадраты, расположенные внутри С, и для них I / B) dz =
= 0 вследствие теоремы Коши (п. 2). Итак,
j f(z)dz. (II)
=' Сп
Ц
Обозначая через I и /п длины кривых С и С„, заметим, что ?] !.„ — /не прево-
II--:.- !
сходит суммы периметров тех квадратов сети, стороны которых содержат точки С.
Число этих квадратов не превосходит 4A/6+ I); следоЕ;ательно,
1
н — 1
так как б< 1. Возвращаясь теперь к равенству A1), оценим модуль интеграла
j / й А:
| f (г) di = j I/ (г) — / (.?„)! лг,
где ?„ — постоянная точна, выбранная на Сп. Так как диаметр линии Сп не пре-
превосходит б |/А2 < 26, то пока г находится на Сп, имеем:
и, значит,
[ / (г) * < J I / (г) - /<го) 11 * К i

166 ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ [ГЛ. IV
Из равенства (II) после этого получаем:
ч
< 8 J] /„ < е A7/ + 16).
я=1
1
I J / (г) dz < J j / (г) dz
I С п=1 С„
Так как е — сколь угодно малое положительное число, а 17/+ 16 — вполне
определенное постоянное, то правая часть — произвольно малое положитель-
положительное число. Левая же часть последнего неравенства есть определенное постоянное
число, не отрицательнее. Отсюда это число может быть лишь нулем, т. е.
I j / B) йг = 0, или j / (г) dz = О,
I с с
что и нужно было доказать.
§ 3. Интеграл Коши
1. Формула Коши. Пусть G есть односвязная область, ограни-
ограниченная произвольной кусочно-гладкой линией Г, и / (г) — функ-
функция, аналитическая в замкнутой области G. Это значит, что функ-
функция / (г) имеет определенную конечную производную в каждой
точке некоторой области С, содержащей G. Формула Коши, к вы-
выводу которой мы сейчас перейдем, выражает значение функции
/ (г) во всякой точке, внутренней к линии Г, через значения этой
функции на контуре Г. Отсюда вытекает, что значения аналити-
аналитической функции тесно связаны между собой, так как ее значения
вдоль замкнутого контура Г вполне определяют ее значения
внутри Г. Эта формула Кошн имеет вид
.«>
где г — любая точка внутри Г, и интегрирование совершается по
контуру Г в положительном направлении.
Для доказательства, обозначив через z произвольную точку
области G, рассмотрим функцию
ФЮ-ЦС^Ш.. D5)
Эта функция (р (?) есть аналитическая во всех точках замкнутой
области G, кроме точки ?, — z. Описывая около точки г, как центра,
окружность у произвольно малого радиуса р, целиком лежащую
в области G, мы видим, что (р (?) будет аналитической функцией
во всех точках, лежащих между контурами Г и у, включая и
самые контуры (рис. 80). Следовательно, на основании теоремы
Коши (§2, п. 5) имеем:
j ср (?) dl = } Ф (?) dt. D6)

t 31
ИНТЕГРАЛ КОШИ
167
Равенство D6) показывает, что значение I ф (?) dt, не зависит
v
от радиуса р вспомогательной окружности у, будучи постоянным
числом, равным значению I <р (?) dt,. Чтобы определить это по-
г
стоянное значение j ф (?) dt,, заметим, что функция <р ('Q стре-
v
мится к определенному конечному
пределу, когда точка t, стремится
к точке г. Действительно, из равен-
равенства D5) следует:
lim ф @ = lim
= /' (г).
Следовательно, если принять /' (г)
за значение функции ф (?,) в точке
t, = z, то ф (?) становится непрерыв-
непрерывной функцией всюду в замкнутой
области G, и мы можем предполо- ?ис 80.
жить: | ф (t) j < М, где М — посто-
постоянное, какова бы ни была точка t области G. Пользуясь послед-
последним неравенством, получаем:
СМ-2лр,
откуда следует, что I ф (?) dt, = 0, так как р можно принять
v
сколь угодно малым, а значение нашего интеграла есть постоянное
число.
Обращаясь к равенству D6), перепишем его так:
f Ф (?) dl = 0.
D6)
Заменяя в последнем равенстве <р (Q по формуле D5), получим:
I —т—;—dt, = O, пли - " =/(z) I ,.'"-• D7)
Г Г Г
Так как в силу § 2, п. 6 имеем: |-^— = 2ni, то формула D7)
г
примет зид
Ъп, или }(г) = -^-:
что II нужно доказать.

168
ТЕОРЕЛ'.А КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ
ГГЛ. IV
2. Распространение формулы Коши на случай сложных кон-
контуров. В предыдущем пункте мы предполагали область G одно-
связной. Легко показать, что установленная в предыдущем пункте
формула Коши может быть распространена на случай многосвяз-
многосвязной области G. Итак, рассмотрим многосвязпую область G, гра-
границей которой является сложный контур Г, состоящий из конеч-
конечного числа кусочно-гладких замкнутых липни. Предполагая / (г)
аналитической функцией в замк-
замкнутой области G, установим фор-
формулу Коши
/ю-Ы
D8)
где г — любая точка области G,
а интегрирование совершается
вдоль сложного контура Г в поло-
положительном направлении (рис. 81).
рис. 81. Для доказательства окружим
точку 2 замкнутым контуром у
(например, окружностью с. центром в точке г), настолько малым,
чтобы все точки этого контура 7 вместе с его внутренними точками
принадлежали области G (рис. 81). Рассмотрим сложный контур
Г' = Г -f у, полученный от присоединения к первоначальному
контуру Г линии у, проходимой в отрицательном направлении.
Область, ограниченную контуром Г', обозначим через G'. Оче-
Очевидно, функция . Jj будет аналитической в замглнутой области G',
а потому на основании теоремы Коши (§ 2 , и . 5) имеем'.
f
: (I)
— О, или
^ — 2
откуда находим:
/ (I) JZ,
(Ю)
где интегрирование совершается но контурам Г и у в положитель-
положительном направлении. Так как функция / (г) есть аналитическая но
всех точках, внутренних к контуру у, включая и точки самого
контура, то на основании предыдущего пункта имеем:
Внося последнюю формулу в равенство D9), получим оконча-
окончательно:

<S 3j ИНТЕГРАЛ КОШИ ]69
ИЛИ
/B> = !SrJW- D8)
г
Выоажеиие
где / (г) есть функция, аналитическая в замкнутой области G,
границей которой служит контур Г, называется интегралом Коши.
По доказанному интеграл Коши изображает данную функцию
/ (z) во всякой точке г, внутренней к контуру Г, т. е. лежащей
в области G. Очевидно, во всякой точке z, лежащей вне замкнутой
области G, интеграл Коши равен нулю. В самом деле, функция
4 _' есть аналитическая во всех точках замкнутой области G,
если точка z лежит вне зтой области G. Следовательно, на основа-
основании теоремы Коши (§2, п. 5) имеем:
1 f / (?) & _ л
3. Интеграл типа'Коши. Пусть L есть произвольная кусочно-
гладкая линия, замкнутая или незамкнутая, и ср {г) — определен-
определенная вдоль L непрерывная функция. Выражение
имеет определенное значение для каждой точки г, не лежащей на
L, н, следовательно, определяет однозначную функцию F (г) во
Есех точках z, не принадлежащих L, Если L есть замкнутая линия
и функция ср (г) — аналитическая повсюду, внутри L п на L,
то, как известно, выражение E0) раино ср (г), если ючка z
лежут внутри L, и рзвао нулю, если, точка г л^клг Г'А>? L.
В этом случае выражение E0) мы назвали интегралом Коши.
Естественно назвать выражение E0) при общих вышеуказанных
предположениях относительно функции ср (г) и и т е г \) а л о м
т и п а К о ш и. При образовании интеграла типа Коши нужио,
следовательно, a priori задать функцию ср (г) лишь на контуре ин-
интегрирования L. Непрерывность ср (С) мы требуем лишь для того,
чтобы интеграл E0) наверное имел смысл.
Т е о р е м а 1. Функция F (г), определенная интегралом типа
Коши E0), есть аналитическая во всякой односвязной области G,
не содержаний точек линии L, и для ее производной имеет место
формула

170 ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ [ГЛ. IV
Доказательство. Пусть г есть произвольная точка
области G. Теорема будет доказана, если мы покажем, что функция
F (г) имеет в этой точке производную, определяемую по формуле
E1). Обозначим через z + h любую точку области G и рассмотрим
отношение
Заставляя h стремиться к нулю при zпостоянном, мы покажем, что
отношение E2) стремится к конечному пределу, определяемому
по формуле E1). С этой целью преобразуем отношение E2) таким
образом:
F (г Jrk)-F(z) =J_("J_ | Ч- (О dj 1_ г <t(Qdr 1
h h 2ni J l — z—h 2л; J J - г
L ?> I- J
_ J_ f Ф (» dl ,r~
~ 2я! J (С-г-¦ А)E-г) ' ^"'
Заставляя /г стремиться к нулю и переходя к пределу под знаком
последнего интеграла, мы получили бы из равенства E3):
Остается доказать, что выполненный нами формально переход
к пределу действительно возможен. Для доказательства составим
1 г Ф (О dt,
разность между нашим выражением к—. -^ г и его
L
предполагаемым пределом ^. ,^_г)а и покажем, что эта раз-
разность стремится к нулю вместе с h. Действительно, эта разность
имеет вид
J_ Г Ф Ю d? 1_ Г 9@4 _ 1 (¦ /.ср (g) rf:
2я< J (С —г —А)(?— г) 2л! J (t - г)- 2л! J (t, - г - ft) (? - гJ"
E4)
Оценим модуль разности E4). Очевидно, имеем:
1 f • hyjQdt. \h\_ t м | dC | ,rr,
2m- J (; -г -h)(l- z)' ^ 2я J | ; - г -/i | \t, - г {' > (oo>
где предположено, что | ф (t) | < M, так как ф (Q по условию есть
непрерывная вдоль L функция. Обозначая через 2d (d > 0) рас-
расстояние от линии L до точки г, т. е. минимум всевозможных рас-
стояний между точками, из которых одна принадлежит L, а другая
есть точка zf имеем | I — г | > d, \ Z, — z — h \ > d, если | h \

{ 3] ИНТЕГРАЛ КОШИ 171
достаточно мало, какова бы ни была точка ?, принадлежащая L.
Заметив это, видим, что правая часть неравенства E5) меньше, чем
\1ЦМ1 т.
2nd' ' ^Ь>
где через / обозначена длина линии L. Выражение E6) стремится
к нулю вместе ей, следовательно, и разность E4) стремится к нулю
вместе с h.
Таким образом, разность между отношением E2) и интегралом
E1) стремится к нулю вместе с h, что и доказывает нашу теорему.
Формула E1) показывает, что для получения производной
функции F (г) нужно выполнить формальное дифференцирование
по параметру г в интеграле типа Коши E0), посредством которого
определяется эта функция F (z).
Аналогично доказывается, что это дифференцирование можно
повторить второй раз и вообще сколь угодно большое число раз.
Теорема II. Функция F (г), определяемая интегралом типа
Коши E0), имеет в каждой точке z, лежащей вне L, производные
всех порядков, для которых имеют место формулы
и еооСще
E8)
Чтобы доказать формулу E7), воспользуемся формулой E1);
тогда получим:
F (г + h) - F (г) 2! f rp (t) clt =
h 2ni j (t — ?)a
E9)
Вопрос сводится к тому, чтобы доказать, что интеграл, стоя-
стоящий в правой части последнего ревекства, стремится к нулю
вместе с h. Квадратная скобка под этим интегралом, равная
, Зд-г)-Oh
имеет модуль, меньший, чем | h | Mv где Mt не з;эвисит от ?, так
как
Я (Г -Л ЗД
(С - г)" (С - г - А)"

172 ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ [ГЛ. IV
при достаточно малых значениях /г, какова бы ни была точка %
на L. Таким образом, модуль интеграла, стоящего во второй части
равенства E9), меньше, чем ' lJ ¦ ММХ (где М и / имеют те же
значения, что в теореме I), и, следовательно, стремится к нулю
вместе с h. Применяя метод полной индукции, аналогично дока-
докажем справедливость формулы E8) для любого натурального чис-
сла п. Читателю рекомендуется выполнить самостоятельно соот-
соответствующие вычисления.
4. Существование производных всех порядков для функции,
аналитической в области. С помощью результатов предыдущего
пункта мы може.м доказать важное свойство аналитических функ-
функций. До сих пор мы называли однозначную функцию комплексного
переменного 2 аналитической в области, если она имеет в каждой
точке этой области конечную производную. В случае функции
действительного переменного из факта существования конечной
производной не следует непрерывности этой производной. В слу-
случае же функции комплексного переменного имеет место исключи-
исключительно важное предложение: если однозначная функция f {z)
комплексного переменного г имеет всюду в области G первую про-
производную, то она имеет в этой области и производные всех выс-
высших порядков.
Замечание. Очевидно, эта теорема утверждает не только существова-
существование производных любого порядка для функции, аналитической в области О,
но и непрерывность этих производных.
Доказательство. Пусть г есть произвольная точка
области G и С — кусочно-гладкий замкнутый контур, окружа-
окружающий точку z, лежащий вместе со всеми своими внутренними точ-
точками в области С Применяя формулу Коши (и. 1), имеем:
с
С другой стороны, на основании предыдущего пункта функция
/ (г), изображаемая интегралом Коши, дифференцируема в точке г
произвольное число раз. Следовательно, функция f (z) имеет про-
производные всех порядков повсюду в области G, так как точка z
была взята произвольно в области G.
Наряду с основной формулой Коши (п. 2) имеет место — в слу-
случае приложимости этой формулы — следующее равенство:
г
Итак, мы видим, что требование дифференцируемое™ функции
комплексного переменного гораздо более сильное, нежели соот-
соответствующее требование для функции действительного перемен-
переменного: из существования конечной производной первого порядка

(s 8] ИНТЕГРАЛ KOIIJH 173
в каждой точке обласш вытекает существование, а следовательно,
и непрерывность производных всех порядков в той же области.
В частности, отсюда следует, что производная функции, ана-
аналитической в области G, есть функция, аналитическая в той же
области.
5. Теорема Морера. В § 2 этой главы (пп. 1—3) мы доказали
основное предложение теории аналитических функций, в силу
которого для всякой функции / (г), аналитической в одиосвязной
области G, имеет место равенство j / (z) dz = 0, где Г есть про-
г
извольный куеочно-гладкий замкнутый контур, лежащий в об-
области G. Как показал итальянский математик Морера (Могега),
это основное предложение обратимо:
Если функция / (г), непрерывная в односвязной области G, для
всякого кусочно-гладкого замкнутого контура Г, лежащего в этой
области, удовлетворяет равенству J / (г) dz = 0, то / (z) есть
г
аналитическая функция в области G.
Действительно, мы видели (§ 2, п. 4, замечание), что при
условиях этой теоремы выражение j / (Vj dt, не зависит от пути,
соединяющего точки г0 и г в области G, и определяет функцию
F (г), аналитическую в области G, причем имеем: F' (г) = / (г).
Так как на основании предыдущего пункта F' (г) как производная
функции, аналитической в области G, есть функция, аналитическая
в G, то / (z) = F' (г) есть функция, аналитическая в области G.
Примечав и е. Для справедливости этой теоремы нет необходимости
предполагать, что f B) dz равен пулю, будучи взят по любсму. кусочно-гладкому
замкнутому контуру Г. Достаточно предположить, что / (г) dz = 0 вдоль пе-
периметра произвольного треугольника, лежащего в области G.
Действительно, поступая, как § 2, п 2, мы покажем, что интеграл
/ (z) dz равен пулю, будучи взят вдоль периметра любого многоугольника
области G, так как всякий многоугольник можно разбить на треугольники. Да-
Далее, зная, что / (г) dz = 0 вдоль периметра любого многоугольника, мы дока-
докажем, применяя основную лемму (§ 2, п. 1), что этот интеграл будет оставаться
нулем, когда за путь интегрирования возьмем произвольную замкнутую кусочно-
гладкую линию Г.
6. Различные точки зрения в построении теории аналитиче-
аналитических функций. При построении теории аналитических функций
можно отправляться от различных эквивалентных между собой
определений аналитической функции в области G. Так, во-первых,
мы можем назвать функцией, аналитической в области G, одно-
однозначную функцию комплексного переменного, дифференцируе-
дифференцируемую в этой области. Это определение, основанное на дифференци-

174 ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ [ГЛ. IV
альных свойствах функции, принадлежащее Коши, мы приняли
за исходное определение при составлении настоящего руководства.
Исходя из этого определения, мы доказали основное во всей те-
теории предложение Коши, в силу которого для аналитической функ-
функции в односвязной области G (в указанном смысле) интеграл по
любому замкнутому контуру Г, принадлежащему области G,
равен нулю. Отсюда мы имели возможность убедиться в существо-
существовании для аналитической функции производных всех порядков.
С другой стороны, мы видели (гл. II, § 4, п. 4), что условия,
необходимые и достаточные для того, чтобы функция / (г) = и +
+ ui была аналитической в области G, заключаются в существова-
существовании уравнений Кошн—Римана:
ди dv
(C-R.)
ди dv
ду дх
где частные производные функций и и v можно предполагать не-
непрерывными функциями в каждой точке области G. Этот путь при-
приводит к одновременному рассмотрению двух сопряженных гармо-
гармонических функций и и v в области G, связанных уравнениями
(С. — R.), и определению аналитической функции в виде и +
+ vl. Построением теории аналитических функций, где отправным
пунктом является пара сопряженных гармонических функции,
занимался Риман.
Наконец, возможно стремиться получить все основные свой-
свойства аналитических функций, назвав функцией, аналитической
в односвязной области G, всякую непрерывную функцию / {г)
комплексного переменного, для которой интеграл J /B) dz,
взятый вдоль любого замкнутого контура этой области (достаточно,
например, брать лишь периметры треугольников), равен нулю
(п. 5). Рассмотрением свойств аналитических функций с этой
третьей точки зрения впервые занимался Осгуд. Предыдущее из-
изложение нас убеждает в равноправности указанных точек зрения
при построении теории аналитических функций, так как все три
вышеупомянутых определения равносильны между собой.
7, О предельных значениях интеграла типа Коши. Пусть С
есть произвольная гладкая замкнутая линия и функция <р (г) —
аналитическая на линии С, т. е. в каждой точке этой линии;
тогда интеграл типа Коши
ш J -Т=т- <60)
с
представляет функцию F (г), аналитическую всюду внутри кон-
контура С, и функцию Ft (г), аналитическую всюду вне С.

$3]
ИНТЕГРАЛ КОП1И
175
Мы докажем, что функция
- ' Г
— ini J
F0')
стремится к определенному конеч-
ному пределу, когда точка z приближается, оставаясь внутри С
(или вне С), к произвольной точке гй контура С. Эти предельные
значения интеграла типа Коши F0') образуют, следовательно,
функцию цч (г0), определенную во всех точках г„ контура С (со-
(соответственно функцию фе (г0), если точка г приближается к точке
г0, оставаясь вне С), которая, как мы покажем, будет аналитиче-
аналитической во всех точках г0 и тесно связана с граничной функцией ф (г,,).
В интеграле типа Коши
Рис. 82.
под 2 мы понимаем точку, лежащую
внутри контура С. Естественно
возникает вопрос, можно ли рас-
рассматривать значение интеграла
типа Коши на контуре С, т. е. ка-
какой смысл имеет выражение
1 Г Ц1 (t) dl An
При обычном понимании процесса интегрирования формула
F1) лишена смысла, так как функция f не интегрируема,
вообще говоря, вдоль С, когда точка г0 находится на линии С.
Поэтому мы должны прежде всего определить смысл выражения
F1). С этой целью опишем из точки г0, как центра, окружность
сколь угодно малого радиуса е и обозначим через а наименьшую
дугу линии С, отсекаемую этой окружностью, содержащую то-
точку г0 (рис. 82). Выкидывая из линии С дугу а, обозначим остав-
оставшуюся часть линии С через С?. Выражение
1 f ф <t) dl
'Ini J I — г0
F2)
<P (I)
имеет смысл при любом е > 0, так как функция у-^- есть непре-
рывная вдоль Се. Заставляя г стремиться к нулю, покажем, что
выражение F2) стремится к определенному конечному пределу,
который мы примем за значение интеграла F1).
Действительно, замкнем линию Сг с помощью луги сг построен-
построенной окружности, лежащей вне С (рис. 82). Таким образом, ми по-

176 ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ [ГЛ. IV
лучим кусочно-гладкий замкнутый контур Га = Сй + са, для
которого точка га будет внутренней. Рассмотрим теперь интеграл
типа Коши:
с
где г — точка внутри контура С.
Так как функция *р_ есть аналитическая на контурах G
II Ге = Са + сг, а также между ними, то по теореме Коши имеем:
\~1 2я« J ^ — 2 2я1 J t — г "^ 2п( J ? — г '
Переходя в этом равенстве к пределу при z -н- г0, получим:
Эта формула показывает, что предельные значения ф,; (г0) инте-
интеграла типа Коши существуют в каждой точке контура С и обра-
образуют функцию аналитическую на контуре С.
Чтобы найти зависимость функции <рг (z0) от граничной функции
Ф (г0), мы должны в формуле F3) перейти к пределу, заставляя е
стремиться к нулю. Предварительно вычислим тот предел, к кото-
1 f ф Ю dl
рому стремится при этом интеграл f— - __ »
Полагая в последнем интеграле
? — г0 = ее»1
вдоль дуги с окружности, имеем: dt, = n,iea'dQ. Кроме того, по-
положив
Ф @ = Ф (г0) + т].
мы видим, что на с? модуль г\ стремится к нулю вместе с е. Итак,
получаем:
2ш
f ф@< = 1 f
J ? — г0 2да J
2л
Так как
lim J dQ = n, lim} }]dQ~\
то найдем:

§ 3] ИНТЕГРАЛ КОШИ 177
Переходя к пределу при б -*¦ 0, из равенства F3) мы усматри-
усматриваем, что выражение ¦*—. f ?, " * стремится при этом к опреде-
с,
ленному конечному пределу, который мы условились обозначать
через 7г~. \ % и называть значением интеграла типа Кош и
Z71L J с, 2ц
С
в точке 20 контура С. Таким образом, мы видим, что интеграл
f?iy_J> 1Шеет ВПолне определенный смысл, н формула F3)
Ml J l, — 20
с
после перехода к пределу при е -»- 0 становится следующей:
^f+ -г«г<*.). (I)
Формула (I) дает выражение предельных значений ф; (г0)
интеграла типа Коши изнутри контура С через значения самого
интеграла на контуре и данную граничную функцию ср (z0).
Чтобы получить аналогичную формулу для <p,j(z0), рассмотрим
контур Гя == Се + с'г, полученный после замыкания линии Се
посредством дуги с'Е маленькой окружности, лежащей внутри С
и проходимой в отрицательном направлении (рис. 82).
Так как функция J1 'м , где точка г вне С, есть аналитическая
& — го
на контурах С и Т'е, а также между ними, то по теореме Коши
имеем:
с /-л _ ' f Ф (?) dg _ I f ф Ю dt I f ф (О dr
1 W ~ 2ni J ? — * ~" 2я; J <; — 2 2л/ J 4 — г *
Переходя в этом равенстве к пределу при z -> го, получим:
§f. F5)
Из последнего равенства мы усматриваем, что предельные значе-
значения ф,. (гп) подобно ф; (г0) образуют на контуре аналитическую
функцию.
Замечая, что по формуле Кошн будет:
2я1 J ?-г0 ^ 2m J ? - г0 ~
получим отсюда переходом к пределу при е ->¦ 0 вследствие F4)
такой результат:

J78 ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ [ГЛ. IV
Следовательно, заставляя е стремиться к нулю, из равенства F5)
мы получим:
с
Формула (II) выражает внешние предельные: значения фе (г0) ин-
интеграла типа Коши через граничную функцию ф (г„) и значения
интеграла на контуре.
Складывая доказанные формулы (I) и (II) и деля полученное
равенство пополам, находим:
Ф (t) dt _ Ф/ B0) + ц>е (г„)
2га
f ф (l) dt, _
т. е. значение интеграла типа Коши в любой точке контура ин-
интегрирования равно среднему арифметическому его предельных
значений. Вычитая формулы (I) и (II), мы получим:
ф B0) = ф; B0) — ф6 B„), (II')
т. е. значение граничной функции в любой точке контура равно
разности предельных значений в этой точке интеграла типа Коти.
Эти формулы (Г) и AГ) эквивалентны прежним формулам (I)
и (II). В частности, если функция ф (г) будет аналитической всюду
внутри контура интегрирования С, так же как и на С, то интеграл
типа Коши становится интегралом Кошн; его предельные значе-
значения ф,- (г0) и фе (г0) в этом случае будут соответственно ф (г(})
и 0 [ср. формулу AГI, и значение самого интеграла Коши в то-
точке г0 контура интегрирования С согласно формуле (Г) будет ра-
равно Х/2ф B0).
Формулы (I) и (II) настоящего пункта впервые были получены
русским математиком Ю. В. Сохоцким в 1873 г. при более
общих предположениях относительно функции ф (?) (см. п. 8
этого параграфа). Они называются формулами Сохоцкого.
Пример. Пусть контуром интегрирования С служит окружность с цен-
центром в нулевой точке радиуса единица, а ф (?) = 1/?. В этом случае интеграл
типа Коши
1 Г dj _ 1 1_ Г ?_ J_J_ r _%__ i_ _1_ =Q
2ni )l(l — z) Ш г ) I ^ 2га г J t—z г Л~ г
С ' С
если точка г лежит внутри окружности С; если же точка г лежит вне С, то рассма-
рассматриваемый интеграл типа Коши равен —1/г. Следовательно, для данного слу-
случая имеем:
Ф; (гA) = 0, фе (г0) = — 1/г0.
Отсюда по формуле (Г) получаем:
лП 1A - 20) = ~ 17 "

t 3] ИНТЕГРАЛ КОШИ 179
Примечание. Мы исследовали предельные значены интеграла типа
Коши, предполагая граничную функцию ф (С) аналитической ео всех точках зам-
замкнутого контура интегрирования С, между тем как интеграл типа Коши имеет
смысл в случае, если <р (Z) есть произвольная непрерывная функция вдоль контура
интегрирования L (замкнутого или нет) и даже разрывная при условии
^е интегрируемости вдоль L. Естественно поставить вопрос о том, как ведет
себя интеграл типа Коши при этих общих условиях, когда то^ка г приближается
по нормали к точке г0 контура интегрирования. Для исследования пашей про-
проблемы в такой общей постановке необходимо привлечь наиболее сложные и
тонкие методы современной теории функций действительного переменного,
и мы поэтому лишены возможности изложить указанный вопрос с исчерпываю-
исчерпывающей полнотой на страницах настоящего руководства. Однако заметим, что даже
в случае непрерывной граничной функции предельные значения интеграла типа
Кошк ф; (г0) и фе (z0) не будут, вообще говоря, существовать во всех без исклю-
исключения точках г0 контура интегрирования. Множество таких исключительных
точек контура интегрирования, где не существуют функции ф,- (г0) или фе (г0),
есть, по терминологии теории множеств, так называемое «пупъ-мпожество», т. е.
это множество исключительных точек г0 может быть покрыто с помощью конечной
или бесконечной последовательности неперекрывающихся открытых дуг, сумма
длин которых как угодно мала. Можно доказать, что формулы (I) и (II) остаются
в силе для самого общего интеграла типа Коши, если пренебрегать «пуз'^-уло-
жествами». Кроме того, можно обнаружить в этом случае, чте предельное значе-
значение tpj (г0) [пли фе (z0)] остается одним и тем же, если мы будем приближать то-
точку г к точке г0 по любому пути, не касательному в точке г„ к контуру интег-
интегрирования. Исчерпывающее решение этих вопросов чита/сль может найти
в наших книгах <И',!тег]>ал Cauchy» (Научные записки Саратовского универ-
университета, 1918), а также «Граничные свойства однозначных аналитических
функций» (изд. 2-е, Гостехиздат, М.—Л., 1950).
S. О предельных значениях интеграла тина Коши в случае, когда граничная
функция удовлетворяет условию Гёльдера—Липшица. Пусть С есть произволь-
произвольная гладкая замкнутая линия и функция ф (?) задана па линии С и удов-
удовлетворяет условию Гёльдера—Липшица-.
\4(li)-<P(b)\<r<\Zi-b\at (A)
где 0 < а < I, /< — некоторое постоянное, a ti и ?.2 — любые две точки ли-
линии С. Интеграл типа Коши
2т J ? —
(СО)
представляет функцию F (г), аналитическую всюду внутри контура С, и функцию
Fj (г), аналитическую всюду вне С
Мы докажем, что функция
стремится к определенному конечному пределу, когда точка г приближается,
оставаясь на внутренней нормали линии С (или на внешней нормали С), к про-
произвольной точке г0 контура С Ц. Эти предельные значения интеграла типа Коши
') Можно было бы доказать, что предельное значение интаграла типа Коши
существует при любом стремлении точки г к точке г0 изнутри С (или извне С).
См. статью Привалов И. И. Об интегралах типа Komi. — ДАН СССР,
1939.

180
ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ
[ГЛ. IV
образуют, следовательно, функцию <fi (г0), определенную во всех точках г0,
контура С (соответственно функцию (ре (г0), если точка 2 приближается к точке zaj
оставаясь вне С), которая, как мы покажем, будет удовлетворять условию
Гсльдера—Липшица вида (А) и тесно связана с граничной функцией ф (г0).
В интеграле типа Коши F0') под z мы понимаем точку, лежащую внутри кон-
контура С. Естественно, возникает вопрос, можно ли рассматривать значение ин-
интеграла типа Коши на контуре С, т. е. какой смысл имеет выражение
J ?-*„
с
При обычном понимании процесса интегрирования формула F1) лишена смысла,
так как функция .. неинтегрируема, вообще говоря, вдоль С, когда точка Zq
находится на линии С. Поэтому мы должны прежде всего определить смысл вы-
выражения F1). С этой целью обозначим через s0 значение дуги s контура С,
соответствующее точке Zq, а через Се — часть линии С, оставшуюся после уда-
удаления из С наименьшей дуги, концами которой служат точки t, (s0 —е)
и ? (Ео + 8)- Под выражением F1) мы будем понимать предел выражения
[ g>(?)
i I -
при е, стремящемся к нулю, т. е. положим:
с с„
F6)
показав, что последний предел существует и есть конечное число. В самом деле,
Ф (О d? _ 1 (' ф (С) — ф (г0) ,т 1 , Г dt
с* ^ '° ' Се
откуда при ? -> 0 найдем:
J_ f ф (?)<<?
2л( J ? — г0 2;
и, следовательно,
1 f_?L__
,-ЗГР ?
е-0
г: (s0 + s) — g (s0)
к
; (sp - в) - % (s0)
—6
2я
L±i=5L=
— в)— г0 2

§81
ИНТЕГРАЛ КОШИ
181
Кроме того,
1 ,¦ f Ф (?) — Ф (го) j- ' Г ф i-) — <р Ы ,*
2я« ,,.^0 J - — zi " ^л' J - —?'
Последний интеграл существует вследствие абсолютной ишегрируемостн под-
интегрального выражения, что мы усматриваем из неравенства
вытекающего из условия /А) или из равносильного ему неравенства
Последнее неравенство равносильно с предыдущим, потому что на гладком контуре
имеем:
где а — некоторое постояннее, зависящее от контура.
Наша ближайшая задача состоит н том, чтобы установить формулы
(I)
(г0) = lim Ft (z, = -J- f V^ J- Ф
(И)
дающие выражения предельных значений ф; (г0) (соответственно Фо (г^)) интеграла
типа Коши изнутри контура С (соответственно извне С) чергз значения самого
интеграла на контуре и данную граничную <',у нкцшо. Очевидно, формула (II)
вытекает из формулы A), если изменить направление пу"н интегрирования.
Для вывода формулы A) возьмем z нл нормали г„, полагая г = z0 + sic'", где
Фи — угол между положительными направлениями осп абсцисс и касательно»
к контуру С в точке г,., и рассмотрим разность
F (е- z ) = — Г f Ф W dr- _ f 5JQJL
' '2т J 1 — 2 I I — z0
Очевидно, вследствие F6) мы установим формулу (I), если докажем, что
разность /¦' (е; г0) стремится к пределу, равному — сп (г0), когда е стремится к
нулю.
Заметив, что
@7)
2л/
Ф (Q — ф (z0)
- Ф (го) ,,, Г 'I- (Q - Ф
- аъ — —
— г j г — г(
F8)
мы докажем паше утверждение, если обнаружим стремление к нулю при е ->- О
Dbip;i.'iii.-iiHa, заключенного в квадратные скобки. Для этого заметим, что
S - ги = Г (s) - ги = (S - s,,) [е'ч>- + /г]
¦ 2 — Г (с) ? piJ^' — 1ч с 1 f/i'f"
, (С — t, \ъ) — г0 — eie — ^i — by) la

182
ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ
[ГЛ. IV
где | й| < к], сколь угодно малого положительного числа, если \s so| < h =
= h (x\), и кроме того, положим: <р (Q = ф & (s)) = / (s), cp B„) = ф & (s0)) =
= / («о). dl = е'Ф ds, где ф — угол между положительными направлениями
оси абсцисс и касательной к контуру С в точке t, (s).
После этого легко получим:
f Ф Ю — Ф (го) j,. f [/ (s)
J ? — 2 ' J Is —
ds
so)(l
F9)
Полагая далее s—sc = о и обозначая для сокращения ke 'фо = /л, причем
I  | < 11 для |o|<ft выражение F9) перепишем таким образом:
Г Ф (?) - Ф B0) di _ f
Ф (a) da
A + m) a — f.i '
G0)
где ф(о)=/<(Р-Ч'»)(/E)-/Eо)).
Выражение, стоящее между квадратными скобками в формуле F8), перепи-
перепишется в виде
Ф (fc) — Ф (г0)
Г Ф @ — Ф (?о) dl _ ( ф (?) — Ф |
Г Ф (?) - Ф (?») /Г _
J V-=^~ Ъ ~
ф (t) - ф BЛ)
[фЩ-ф(гсI(г - Ч) йг
«-*)(?-г„) d?
Ф (е) — ф (!,)
<-;ф (о)
т) о — ei] A + /л) а
h
<f (о) do
A + m) a — ei'
G1)
Покажем сначала, что предел второго слагаемого формулы G1) при е
нулю. С этой целью заметим, что
|(] + т) a —ti | > /о2 — е'2 — | a|>-— г (с
читая 1] <
-^ ) ,
и, значит,
f Ф (о) do
J (I — т) a — si
2 г
; —^- | ф (а) | do ~» 0. Последнее заключе-
ние сделано на основании того, что функция | ф (о) | = | j (s0 + a) — j (sc) | непре-
непрерывна и равна нулю при a = 0. Теперь нам остается доказать, что предел при
е->0 первого слагаемого формулы G1) равен пулю. Разбивая интервал интеграции
в исследуемом интеграле на части (—к, —е), (в, h), C^, мы видим, что наш ин-
интеграл, взятый но С/,, стремится к нулю вместе с е. Вопрос приводится, таким об-
образом, к исследованию суммы:
h -Е
[ f-1'ф (О) dO Г
J 1A +m)a-ei](l + т) а ^ J
t -ft
G2)
Замечая, что
h
r.i<? (о) do
[A
-(-ш)о
G3)

$ 31 ИНТЕГРАЛ КОШИ 183
а
положим Ф (а) — | ф (а) | da и перепишем правую чисть неравенства G3) а виде
- = 2е
2е \ Ф (а)
02 +Е2_ _.а\ )Л02
Обынтегрированный член стремится к нулю вместе с е. Последний лее интеграл
представится так:
h h
da 3 f (D(a)da ,_,.
Политя здесь Ф (о) = г (о)-ст и заменяя через ели чипу, уСокдим
что выражение G4) меньше, чем
2Е Г ' ^
и, значит, подавно меньше, чем
2е , ^ i da , ^ , , f rfo"
, > Г do , . , . С da
г (а) —j- + 6в sup л (а) —г- =
О е
= 8е sup '(о)\——т-\ <8 sup л (а).
Так как sup г (а) можно считать сколь угодно малым вместе с V], то последнее вы-
0<<ft
ражение сколь угодно мало вместе с г).
То же заключение можно сделать относительно второго слагаемого суммы
G2). Таким образом, справедливость формулы A) доказана.
Примечание. Из произведенного анализа легко усмотреть, что, во-
перпых, формула F6) имеет место равномерно относительно г0, во-вторых, выра-
выражение F8) стремится к — ср (г0) при е -*¦ 0 равномерно относительно z0. Следо-
Следовательно, предельные значения ф; (г0) и фе (Zg) интеграла типг, Коши, определя-
определяемые формулами (I) и (II), существуют по нормалям равномерно относительно
точки 2ц, а это равносильно утверждению, что интеграл типа Коши стремится
к своим предельным значениям ф; (г0) и фе (г0) в любой точке 2q контура С,
когда точка г приближается к точке га произвольным образом соответственно
изнутри С и извне С.

184
ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ
[ГЛ. IV
Складывая установленные формулы (I) и (II) и доля полученное равенство
пополам, находим:
(С) d? %¦ (го) + ФДго)
1 г Ф (С) d? %¦ (го) + ФДго)
с
т. е. значение интеграла тина Киши в любой точке контура интегрирования
раено среднему арифметическому его предельных, вначенай. Вычитая формулы
(!) и (II), мы получим:
Ф (?<>) = Ф; (?о) — Ч'е (г0), (И')
т. с значение граничной функции в любой точке контура раиио разности предель-
предельных, значений в нтой точке интеграла тина Коши.
Установив формулы (I) и (II), дающие выражения для предельных значений
ЧЧ (го) и Фе (го) интеграла типа Коши, докажем теперь, что зтн предельные, зна-
значения удовлетворяют условию Гсльдера—Липшица с тем оке показателем а,
если а<; 1, и с показателем, сколь угодно близким к единице, если а= 1 *).
Согласно формуле (II') теорему достаточно доказать для предельных зпаче-
, , „ \ t dt, 1 ,
нии гре (г0). Замечая, что ——- -z—2— = -^-/этот интеграл понимается как
С ч
¦7Г^\\т | ' ¦ \ , перепишем формулу (II) в виде
J.ni ?_,.() J L, — 2й I
^ I
Таким образом, задача заключается в исследовании интеграла
как функции ?0. Давая дуге s,3 приращение As,-,, полупим:
С
откуда
? (^о ~Ь Azq) — g (Ztj) =
— Ф
G5)
Интегрируем сначала от sa— е до s0 + е, считая е= 3|Aso|. Воспользоваьчшсь,
условием (Л), найдем, что ьта часть интеграла G5) по модулю меньше, ч^.л
j (I- - *o - A% Г7'"' + I s - % Г' 1
К21 Asu ia.
(- C)
так как
1 >,
?1 ~ '2
I
s,-s, |
> a > 0.
J) См. Привалов И. И. Интеграл Коши. ~ Научные записки Сяр.
ун-та, 1918; Об интегралах типа Коши. — ДЛН СССР, 1939.

$ 3] ИНТЕГРАЛ КОШИ 185
Остается выполнить интегрирование по дугеСе, полученной из С, путем выкиды-
выкидывания дуги (sa — е, s0 + и). Предварительно преобразуем подынтегральную
функцию в интеграле G5) к виду
[ф (?) - Ф (^ + A?o)b . . ,г'2° 7 171 - [ф (-'о + А*о) - Ф Wlp^— • G8)
(t — го) (т. — гв — А~а) fe — го
Замечая, что
</1, где Л — некоторое постоянное, мы заключаем:
интеграл от функции G8), взятый вдоль липни Се, по модулю будет меньше, чем
Ка I As,; Г" 4- Д-4 I Aso la. если а < 1; G9)
в случае же а = 1 меньше, чем
/<51 As01 In -г-гЦ- + Kt | Д-Ч, |<А',| As0 I1, (80)
где т| > 0 сколь угодно мало. При выводе оценок G9) и (80) мы воспользовались
неравенствами (А) и G7). Объединяя оценки G6) и G9), соответственно G6) и
(80), мы видим, что
\gfo+ A*o) - 8 Ы К С, | As0 |г/, если а < 1,
\g (г„ + А?о) - g (ze) |< С21 As0 | In
где r| > 0 сколь угодно мало, если а= 1. Последние неравенства могут быть
заменены в силу G7) им эквивалентными:
| g (г0 + Дг0) — g (г0) I < С-11 Дг0 |а, если а<1,
и
| ?(гA + Дг0) - g (г0) | < Cj | 4г01'-4, если а ¦= 1.
Итак, высказанная выше теопеыа полностью докаганз.
9. Интеграл Пуассона. Пусть /(г) есть функция, аналити-
аналитическая внутри и на границе круга /< радиуса R (за центр круг?, мы
примем, например, начало координат). Для произвольной точки
2 = re14', лежащей внутри Д', мы имеем по формуле Кошн:
Рассмотрим точку г*, симметричную относительно К с точкой г,
R'2 R2
т. е. 2* = —у- = —— el<f. Так как точка г* лежит вне К, то
функция -,.__" ф будет аналитической внутри и на границе круга /(,
а потому по теореме Коши иолучим:

186 ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ
Вычитая из (81) равенство (82), находим:
[ГЛ. IV
которое после элементарных преобразований примет вид
j
= «, + iv =
±
. (83)
Сравнивая действительные части слева и справа последнего ра-
равенства, получим формулу
'2л
и С Ф) = i J и
которая носит название интегральной формулы Пуассона. Та;:
как каждая гармоническая функция и может быть рассматриваема
как действительная часть аналитической функции, то с помощью
этой формулы выражается значение любой гармонической функции
внутри круга через ее граничные значения.
Заметим еще, что мы получим из формулы (84) частные произ-
производные функции и относительно г и ср (или х и у) для внутренней
точки круга, если продифференцируем выражение, стоящее под
знаком интеграла.
Формула (84) Пуассона принимает особенно простой вид
при /¦ = 0; тогда будет:
2Л
т. е. значение гармонической функции в центре круга равно сред-
среднему арифметическому ее значений на окружности этого круга.
Пользуясь формулой Пуассона, можно доказать следующее
предложение о сходимости последовательности аналитических
функций, которым нам придется в дальнейшем пользоваться:
если последовательность функций /х (г), /2 (г), ..., fn (г), ..., ана-
аналитических в области G, в точке z — 0 этой области сходится
к нулю, а действительные части ип этих функций сходятся рав-
равномерно к нулю во всей области G, то функции f1 (г), /2 (г), ...
•¦¦> U (г), ... сходятся равномерно к нулю во всякой замкнутой
области, принадлежащей G.
В самом деле, пусть G* — произвольная замкнутая область,
принадлежащая G. Обозначим через R число такое, что замкну-
замкнутый круг радиуса R с центром в любой точке G* целиком лежит
в области G. Произвольную точку Р в области G* примем за центр

ft 3]
ИНТЕГРАЛ КОШИ
187
круга радиуса R; прилагая формулу (84), дифференцируем ее йог
и полагаем затем г = 0; тогда получаем:
2л
'-In @, (!) If /г, n
' ",i (R, xj;) cos D5—
Обозначим через Мп верхнюю границу | ип | в области G, т. е,
| ип | < Мп. Вследствие равномерной сходимости к нулю в обла-
области G функций ип мы заключаем, что Мп -> 0, когда я неограни-
неограниченно возрастает. С другой стороны, сравнивая последнюю фор-
формулу с равенством -~— = ¦ """ cos ф -\—jirrsin <p, мы видим,
что
0ип (Р) __ 1
дх
un
cos
1Л
sin
Так как /„ (г) =
Следовательно, в каждой точке Р области G* имеем:
'2Мп
* R
¦ i
О у
R
ду
то
Чтобы оценить /п (г), воспользуемся формулой
Заметив, что каждая точка множества G* есть центр круга ради-
радиуса Я, принадлежащего G, мы можем по лемме Гейне—Бореля
найти конечное число N таких кругов, покрывающих все множе-
множество G*; к этим кругам присоединим еще круг с центром в точке
2 = 0. Тогда интегрирование от нуля до z можно будет вести вдоль
ломаной, звенья которой соединяют центры двух имеющих общие
точки кругов. Последнее звено будет соединять центр соответству-
соответствующего круга с точкой г (лежащей внутри этого круга). Длина
такой ломаной будет меньше, чем 1R (N + 1). В каждой ее точке
2
выполняется оценка \f'n (?)
к
Мп> следовательно,
Так как Мп -> 0 и | /„ @) | -> 0, то отсюда и вытекает равно-
равномерная сходимость к нулю последовательности {/„ (г)\ на мно-
множестве G*.

188 ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШМ [ГЛ. IV
Упражнения к главе i'V
2+t
1. Вычислить J R (z) dz, если путем интегрирования служит прямолинейный
о
отрезок z --= B+ i) t @ sg: / s? 1); вычислить этот же интеграл, приняв за путь
интегрирования ломаную, первое звено которой есть прямолинейный отрезок
[О, 2], а второе — отрезок [2, 2+ /).
Ото. 2 + i; 2 A + О-
2 2
2. Вычислить интегралы dz, zdz для произвольного пути интегрирова-
интегрировало 2„
ния процессом суммирования.
Отв. г-г0; --=^-.
3. Вычислить (г— го)';' dz (ш — целое), если путем интегрирования слу-
служит: а) окружность с центром в точке г0 радиуса R, 6) эллипс с центром в то-
точке z0 и осями, параллельными осям координат, в) периметр квадрата с центром
в точке г0 и сторонами, параллельными осям координат.
Отв. О, если т > 0 или /п<—1; 2т' при /п = —1.
-И
4. Вычислить [ | г | <?г, когда путями интегрирования служат: а) пря-
-1
молинейный отрезок, б) верхняя половина окружности: радиуса единица, в) ни-
нижняя половина этой окружности.
Отв. а) 1; б) 2; в) 2.
5. Функция /(г) непрерывна при \г— гй\>г0. Обозначим через М (г)
максимум | / (г) I на окружности | г — г01 = г > г0 и предположим, что
гМ (г) -*¦ 0.
Доказать, что / (г) dz -*¦ 0 при г -*¦ оо, егли k,- есть окружность | г — ги | =
= л.
6. Функция / (г) непрерывна при 0 < | г — z01 < R. Обозначим через М (г)
максимум | / (г) | на окружности | г — г„ | = г < R и предположим, что /-Л1 (г) -*¦ 0.
Доказать, что | / (г) dz -*¦ 0, когда /¦-»-0, если Av есть окружность
|г-го|= л<^.
7. Обозначим через L радиус единичного круга. Для каких амплитуд этого
радиуса имеет смысл интеграл \e~l'pdz?
Отв. Абсолютно сходится, если—л/2-< arg г < я/2, расходится при я/2 <3
<С arg г ¦< Зя/2; сходится, если arg г = ч^п/2.
8. Доказать формулу /("'(г) =-577 I \ ,'+[" при произвольном целом
L ~~
положительном п, если положено:
; — г

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. IV 189
9. Вычислить интегралы I cos .v-t/.v: и sin х- clx, отправляясь от функции
e'z' и принимая за путь интегрирования границу кругового сектора рплнуса
R Q углом я/4.
Оше. 4 /4-
10. Полагая az = ezln", исследовать эту функцию. Чтз означает t'?
11. Исследовать функции arctg г = | , У2 п arcsin г == \ -
12. Выразить arctg г через логарифмическую функцию.
Ош. --г-г In — .
1i t + г
13. С помощью интеграла Коши вычислять три интеграла \ ^* а, если С
с
обозначает окружности: а) | г—i\— 1, б) |г+«'|= 1, в) |г|=2, проходи-
проходимые в положительных направлениях.
Отв. а) я; б) —к; в) 0.
1
14. Какие значения может иметь I . ¦ г, если за nyTii интегрирования
о
принимать любые пути, вдоль которых подынтегральная фунхция непрерывна?
зх
Ото. — + kn, где к — целое число.

ГЛАВА V
РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ, РАЗЛОЖЕНИЕ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННОЙ РЯД
§ I. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций
1. Первая теорема Вейерштрасса. Пусть мы имеем бесконеч-
бесконечный ряд
Л(г) + Л(г) + ... +/„(г) + ••-, A)
все члены которого суть функции, аналитические в некоторой об-
области G. Предположим, что ряд A) сходится в каждой точке г
области G, и обозначим его сумму через / (z). При каких условиях
сумма сходящегося ряда аналитических функций будет сама
функцией аналитической?
Таким условием является условие равномерной сходимости
ряда A) в области G или ио крайней мере во всякой замкнутой
области G', целиком лежащей в области G. Это устанавливается
теоремой Вейерштрасса, состоящей из двух частей.
Итак, предположим, что ряд A) сходится равномерно во вся-
всякой замкнутой области G', целиком лежащей в области G, и дока-
докажем, во-первых, что ряд A) изображает функцию f (г), аналити-
аналитическую в области G, во-вторых, что после дифференцирования ряда
A) произвольное число раз получается новый ряд, который будет
также равномерно сходящимся во всякой замкнутей области G',
внутренней к G, и будет изображать соответствующую произ-
производную функции /(г), или, короче: ряд A) можно почленно диффе-
дифференцировать сколько угодно раз.
Замечание Такой простой теоремы мы не имеем в действительной
области, так как известно, что равномерно сходящийся ряд функций действитель-
действительного переменного, вообще говоря, нельзя почленно дифференцировать.
Для доказательства первой части теоремы заметим, что в силу
равномерной сходимости ряда A) его сумма /' (г) есть непрерывная
функция во всякой замкнутой области G', внутренней к области G,
а значит, и всюду в области G (гл. II, § 2, п. 2). Нам достаточно
показать, что во всякой точке г0 области G функция / (г) имеет ко-
конечную производную. Окружим точку 20 замкнутым, кусочно-

4 П
РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ
191
гладким контуром G так, чтобы все его внутренние точки вместе
с точками самого контура принадлежали области G (рис. 83).
Данный ряд A) по условию будет сходиться равномерно на кон-
контуре С. Обозначая через t, произвольную
точку контура С, а через г любую точку
внутри С, разделим все члены ряда A) на
? — 2. Полученный ряд
Hi) = hit) [ ME) | | ME) |
B)
будет равномерно сходящимся для всех
точек ?, принадлежащих С. Такой ряд воз-
возможно почленно интегрировать вдоль ли-
липни С (гл. IV, § 1, п. 3).
Производя интегрирование вдоль С и деля все члены получен-
полученного в результате ряда на 2ш, получим:
1 f /(?)<% = 1 Г U it)dl , 1 г h(V)dt ¦ >#>
2л« J t — г 2я1 J i — z ' 2ni } t — г ~
с G t¦ "
Рис. 83.
2ni J : — г "Т
C)
Так как функции fn (г) по условию суть аналитические всюду
внутри С, включая точки самого контура С, то, пользуясь форму-
формулой Коши, перепишем ряд C) в виде
2)+---+.M2)+-" C')
В первой части ряда C') стоит данный ряд A), сумма которого
равна / (г); следовательно, имеем:
2т
Q — г
C")
Так как функция / (г) для всех точек г, внутренних к контуру С,
изображается интегралом типа Коши C"), то во всех этих точках г
она имеет конечную производную (гл. IV, § 3, п. 3). В частности,
функция / (г) должна иметь конечную производную в точке z =
= zn. Вспомнив, что под г„ мы понимаем любую точку области G,
мы заключаем отсюда, что / (г) есть функция, аналитическая
в области G, чем и доказывается первая часть теоремы Вейер-
штрасса.
К тому же заключению можно прийти иначе, воспользовав-
воспользовавшись теоремой Морера (гл. IV, § 3, п. 5). В самом деле, во-пер-
во-первых, мы видели, что / (г) есть функция, непрерывная в области G,

192 РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V
во-вторых, вследствие равномерной сходимости ряда A) на кон-
контуре С, его можно проинтегрировать почленно вдоль линии С\
", D)
с
где под С достаточно понимать любой кусочно-гладкий замкну-
замкнутый контур, принадлежащий некоторой окрестности точки zfl.
Так как функции fn B) суть аналитические всюду внутри С, вклю-
включая точки самого контура С, то по основной теореме Коши имеем:
.,{1) dt, = O (п= 1, 2, 3,...),
а, следовательно, из равенства D) получаем:
Итак, сумма ряда A) есть непрерывная функция в области G,
для которой имеем: J / (?) d'C, = 0; интеграл берется вдоль про-
с
извольного замкнутого контура С, принадлежащего некоторой
окрестности точки 20. В силу теоремы Морера функция / (г) дол-
должна быть аналитической в указанной окрестности точки г0. Вспо-
Вспомнив снова, что под г0 мы понимаем любую точку области G, за-
заключаем отсюда о справедливости нашего положения.
Перейдем теперь к доказательству второй части теоремы. По-
прежнему окружим произвольную точку г,, области G кусочно-
гладким контуром С, все внутренние точки которого, включая и
точки самого контура С, лежат в области G. Обозначая через ?
произвольную точку контура С, а через z любую точку внутри С,
разделим данный ряд A) на (? — гJ; получим ряд, равномерно
сходящийся на контуре С:
(S-zJ (i - ZJ "т cq _ zyi ". " ' r- (? _ 2J t- vw
Проинтегрировав ряд E) почленно вдоль линии С и 'разделив все
члены полученного ряда на 2т, найдем:
() ' J (t-zy + "Г 2я« J (?-?)a ^ l '
г; " с " с
Применяя формулу Коши, перепишем ряд F) так:
/' (г) = /[ (г) + /2 (г) + .. • + А (г) + • • •, F')
т. е. мы видим, что ряд, составленный из производных членов
данного ряда A), сходится к производной от суммы данного

Ml РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ (93
ряда A) во всякой точке г, лежащей внутри С, i\ частности при
г = гп. Вспомнив, что г„ есть любая точка области G, мы убеж-
убеждаемся в возможности почленного дифференцирования ряда A)
в каждой точке области G. Остается показать, что ряд F'), состав-
составленный из производных членов данного ряда A), сходится рав-
равномерно во всякой замкнутой области С, целиком лежащей
в области G.
Действительно, пусть га — любая точка области С. Опишем
около точки г0, как центра, окружность Г столь малого радиуса
Id, чтобы она вместе со всеми внутренними точками принадле-
принадлежала области С Рассмотрим окрестность ог„ точки га : | г — га | <
< d. Когда точка ? описывает окружность Г, а точка г остается
в окрестности oZli, расстояние между ними | ? — г | остается все
время больше положительного числа d. Так как данный ряд A)
сходится равномерно на окружности Г, то при любом сколь
угодно малом к >• 0 имеем:
I /n+i @ + /n+J (ОН К е, если n^N = N (г),
какова бы ни была точка ? с Г.
Заметив это, рассмотрим все члены ряда (8'), начиная с
(п + 1)-го:
fn+i (г) + /;+2 (г) + • • • = гиг J ^<ь)+/^рн---- с (?)
г
Из равенства G) получаем:
Последнее неравенство показывает, что остаточный член производ-
производного ряда F'), начиная с достаточно большого номера, будет по
модулю меньше любого сколь угодно малого положительного
числа независимо от точки г, принадлежащей окрестности а2а.
Другими словами, мы доказали, что ряд F') равномерно сходится
в окрестности oZa произвольной точки 20) za cz G. В силу леммы
Гейне—Бореля (гл. II, § 1, п. 4) область С может быть покрыта
конечным числом окрестностей а, в каждой из которых по дока-
доказанному производный ряд равномерно сходится. Следовательно,
ряд F') равномерно сходится во всей области G'.
Заметив, что производная аналитической функции есть функ-
функция аналитическая (гЛ. IV, § 3, п. 4), мы видим, что ряд F')
есть ряд функций, аналитических в области G. равномерно схо-
сходящийся во всякой замкнутой области G', целиком внутренней
к G. Применяя к этому ряду последовательно доказанное поло-
положение, мы получаем:
Г (г) - П (г) + /2 (г) + • • • -|- fn (г) г • • '. (8)
7 И. И. Привалов

194 РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V
и вообще
Г (г) = /!Р) (*) + /Г B) + -.. + /Г (г) + • •', (?')
причем все получаемые ряды суть равномерно сходящиеся во
всякой замкнутой области G', целиком внутренней к области G.
Замечание. Если данный ряд A) сходится равномерно в области G,
то в силу доказанного производный ряд F') будет равномерно сходящимся во
всякой замкнутой области G', целиком внутренней к О. Ошибочно было бы за-
заключить, что производный ряд F;) сходится равномерно в области G. В самом
деле, ряд ——\- -^- -|- • • • Н <г + • • • сходится равномерно в круге | z | < 1.
Его производный ряд
7 7- 2П'Х
i+|+v + ++
равномерно сходящийся по доказанному при | г | < г (г < 1),пе будет равномерно
сходиться в круге |г| < 1.
Вследствие доказанной теоремы Вейерштрасса равномерно сходящиеся ряды
аналитических функций имеют особо важное, значение, так как их суммы яв-
являются функциями аналитическими. Отсюда весьма важное значение приобре-
приобретает проблема об изыскании критериев, более или менее широких, достаточных
для равномерной сходимости ряда аналитических функций. Цикл вопросов,
сюда относящихся, имеет следующую постановку: предполагая ряд (I) сходя-
сходящимся на бесконечном множестве точек Е в области 0, имеющем по крайней
мере одну предельную точку внутри G, найти условия, которые нужно наложить
на последовательность функций
*П B)= /!(*)+/,(*) +...+ /» B), (9)
для того чтобы ряд A) был равномерно сходящимся во всякой замкнутой области,
целиком внутренней к G. Такими условиями будут, например: I) равномерная
ограниченность последовательности функций (9) во всякой замкнутой области,
целиком внутренней к G'); 2) выпуск двух различных постоянных значении"
всеми функциями последовательности (9) в области G1I, 3) возможность взаимно
однозначного обращения каждой функции последовательности (9) ?) и др.
С другой стороны, заметим, что условие равномерной сходимости ряда A)
является лишь достаточным для того, чтобы сумма ряда была функцией анали-
аналитической; это условие далеко не есть необходимое, т. е. функция, аналитическая
в области О, может быть изображена в виде суммы ряда функций, аналитических
в G, сходящегося в этой области, но сходящегося не всюду равномерно. Есте-
Естественно определить понятие сходимости ряда A) «в особом смысле» так, чтобы
это понятие было необходимым и достаточным условием для аналитичности в об-
области G суммы ряда A). Эта задача отчасти разрешена за последнее время. В связи
с этим весьма ценной является проблема об изыскании структурных свойств
функции / (г), являющейся суммой произвольного сходящегося ряда A) анали-
аналитических функций. Эта весьма трудная проблема в полном виде еще не разре-
разрешена до настоящего времени.
*) См., например, Маркушевич А. И. Теория аналитических функ-
функций. — М.: Гостехиздат, 1950, стр. 294 — 295 и 689—6(,Ю или Г о л у з и н Г. М.
Геометрическая теория функций комплексного переменного. — М,: Гостехиздат,
1952, стр. 22—23, 77—79.
2)Priwaloff J., — Comptes Rendus, 1924,

§ 2] РЯД ТЕЙЛОРА 195
§ 2. Ряд Тейлора
1. Приложение теоремы Вейерштрасса к степенным рядам.
Мы уже видели, что всякий степенной ряд
сп + с, (г - а) + б-, (г - аJ + ¦ • • + сп (г — а)" + ..., A0)
радиус сходимости которого R > 0, изображает функцию / (г),
аналитическую внутри круга сходимости, и что производная /' (г)
этой функции может быть получена путем почленного дифферен-
дифференцирования ряда (гл. II, §4, п. 6). Очевидно, что все эти резуль-
результаты могут быть получены так же, как простое следствие теоремы
Веперштраеса. В самом деле, с одной стороны, мы знаем, что ряд
A0) сходится равномерно во всяком круге \z — а \ < г (г < R),
целиком внутреннем к кругу сходимости (гл. II, § 3, п. 6); с дру-
другой стороны, все члены этого ряда суть функции, аналитические
во всей плоскости комплексного переменного г. Следовательно,
на основан1,!:: тсоремь". Вейерштрасса (§ 1) сумма ряда A0) должна
быть функцией, аналитической внутри круга сходимости. Приме-
Применяя вторую часть теоремы, мы видим, что степенной ряд A0)
можно почленно дифференцировать сколько угодно раз.
В результате мы получаем степенные ряды:
Г (г) - с, + 2с, B - а) 4- ?и:3 (г — а)* + • .. + пс„ (г — а)'1-}-...,
Г (г) = 2с2+ 2-Зс3(г - а) + •••
... + (п- \)псп (г-я)"-2+ -.., A2)
и вообще
f{p) (z) = 2-3 ... рс„ + 2-3 .. . р(р -|- 1) cl/+l(z -a)..., A3)
радиусы сходимости которых R, т. е. круги их сходимости будут
совпадать с. кругом сходимости данного ряда A0). В самом деле,
радиус сходимости производного ряда A1) не может быть меньше R,
но он в то же время не может быть больше R, так как в противном
случае радиус сходимости первоначального ряда A0), получаемого
почленным интегрированием производного ряда A1), был бы
тоже больше R.
Таким образом, радиус сходимости производного ряда равен R.
В частности, полагая в рядах A0), A1), A2) и A3) z~a, получим:
Степенной ряд A0), коэффициенты которого ср определены по
этим формулам, называется рядом Тейлора.
Таким образом, мы видим, что всякий степенной ряд с поло-
положительным радиусом сходимости есть ряд Тейлора.
Кроме формул A4) для коэффициентов ср степенного ряда A0)
можно дать другие выражения. Обозначая через С произвольную

196
РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. V
окружность с центром в точке г = а, лежащую внутри круга
сходимости ряда A0), и применяя формулу Коши, найдем:
?^, A5)
1
откуда дифференцированием по параметру г получим!
' (г)~ш\ (i-zy+l A6)
(гл. IV, § 3, п. 3).
В формулах A5) и A6) г обозначает любую точку, лежащую
внутри С; полагая в этих формулах, в частности, г = а, найдем:
A5')
A6')
Отсюда для коэффициентов ср степенного ряда мы получаем
на основании формул A4) следующие интегральные формулы:
с> = -шЦ^ (/> = 0,1.2....). A7)
с
2, Разложение аналитической функции в степенной ряд.
В предыдущем пункте мы видели, что сумма всякого степенного
ряда A0) о положительным радиусом
сходимости есть функция, аналитиче-
аналитическая внутри его круга сходимости.
Докажем теперь обратное предложе-
предложение: функция, аналитическая внутри
некоторого круга, разлагается в сте-
степенной ряд.
Пусть / (г) есть функция, анали-
аналитическая внутри некоторой окруж-
окружности К с центром и точке а, радиуса R.
Обозначим через г произвольную точку
внутри окружности К и опишем из
точки а, как центра, окружность С ра-
радиуса р (р < R) так, чтобы точка г находилась внутри этой окруж-
окружности (рис. 84).
Так как согласно условию функция [(г) есть аналитическая
внутри окружности С, включая точки самой окружности, то ее
значение в точке г можно представить по формуле Коши
Рис. 84.

S 2] РЯД ТЕЙЛОРА 197
Наша задача состоит в том, чтобы интеграл A8) выразить
в виде суммы степенного ряда относительно z — а.
С этой целью преобразуем выражение -=—— таким образом:
1 ' ' A9)
Какова бы ни была точка ? на окружности С, модуль дроби
и = -у—-— будет равен постоянному положительному числу q
(q < 1), так как имеем: \и\ = °~д = ~ - = <7<С 1- Сле-
довательно, выражение ~ можно рассматривать как сумму
бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
откуда, заменяя и его значением j—.—> получаем;
1 г-Д
B0,
Подставляя выражение B0) в формулу A9), находим:
1 _ ' , г-а (г-а)* ,
Ряд B0), а значит, и ряд B1) сходятся равномерно при постоян-
постоянном 2, какова бы ни была точка ? на окружности С, потому что
модули его членов представляют бесконечно убывающую геоме-
геометрическую прогрессию, знаменатель которой q не зависит от ?
(гл. II, § 2, п. 3). Умножая ряд B1) на / (Q, мы, не нарушая
его равномерной сходимости, получим:
Ш _ /(?) , (г - а) / (S) , (z-oJ/(?) , /9СМ
? — z С — а ^ (^ — аJ "f" (С — а):! " к '
Интегрируя почленно ряд B2) вдоль окружности С, что мы
вправе сделать вследствие его равномерной сходимости (гл. IV,
§ 1, п. 3), и деля все члены ряда, полученного посте интегрирова-
интегрирования, на 2ni, находим:
1 f f(Qdj
2ni J 5, — z
4
с с с
или, пользуясь формулой A8), перепишем последний ряд так;
/ (г) = с0 + с, (г - а) + с2 {z - af + ..., B3)

198 РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V
где положено:
Сп — ] [ I ^) ^ (п — о, 1, 2, . . .). B4)
с '
Коэффициенты сп ряда B3), определяемые по формуле B4), не
зависят от 2, потому что за путь интегрирования С в интеграле
B4) мы можем принять любой замкнутый контур, окружающий
точку а, лежащий внутри окружности К, не изменяя при этом
значений сп. Коэффициенты сп ряда B3) на основании предыду-
предыдущего пункта могут быть выражены также формулами:
с0 = / (а), сп = -!^f±- (n =1,2,3,...). v24')
Итак, мы доказали, что во всякой точке г внутри окружности /<
функция / (г) изображается в виде суммы ряда B3), степенного
относительно г — а.
Мы называли функцию f (г) аналитической в точке а, если эта
функция является аналитической в некоторой окрестности этой
точки, т. е. если существует круг с центром в точке а сколь угодно
малого радиуса, внутри которого/ (г) есть аналитическая функция.
Короче, мы будем называть такую точку а правильной точкой
данной функции, а всякую неправильную точку функции / (г)
будем называть ее особой точкой. Например, для функции -j——
всякая точка г (г =^= 1) будет правильной; точка же г — 1 будет
особой.
В предыдущем пункте мы видели, что степенной ряд внутри
своего круга сходимости изображает аналитическую функцию
/ (г), т. е. все точки, лежащие внутри этого круга, являются пра-
правильными точками для функции / (г), изображаемой этим рядом.
Что же касается окружности круга сходимости, то на ней будет
по крайней мере одна особая точка функции / (г). В самом деле,
допустив противное, мы должны предполагать, что все точки окруж-
окружности круга сходимости степенного ряда суть правильные точки
для его суммы / (г). В этом случае каждая точка окружности
круга сходимости является центром некоторого круга k, внутри
которого функция / (г) будет аналитической. По лемме Гейне—
Бореля (гл. II, § 1, п. 4) можно выбрать конечное число этих кру-
кругов k, образующих область G, так, чтобы каждая точка окружности
круга сходимости находилась внутри по крайней мере одного
из этих кругов. Обозначая через р наименьшее расстояние от
окружности круга сходимости до границы области G, мы видим,
что функция / (г) будет аналитической внутри круга, концентри-
концентрического g кругом сходимости, радиуса R + р. На основании
результата настоящего пункта ряд Тейлора функции / (г) должен
сходиться внутри этого круга радиуса R + р, т. е. радиус схо-

§ 21 РЯД ТЕЙЛОРА 199
димостн данного ряда по крайней мере равен R -\- (>, что невоз-
невозможно, так как согласно условию он равен R.
Итак, если точка а есть правильная точка финкиии / (г), то
эта функция разлагается в ряд, степенной относительно z—а
в окрестности этой точки, причем окружность крцга сходимости
ряда имеет центр в точке а и проходит через ближайшцю к точке а
особую точку функции / (г).
Это предложение устанавливает тесную связь между радиу-
радиусом сходимости степенного ряда, с одной стороны, и природой
функции, изображаемой этим рядом, с другой стороны; оно пока-
показывает, что теория степенных рядов получает полную ясность
лишь r комплексной области. Так, например, оставаясь в области
действительных чисел, нельзя понять, почему ряд
перестает сходиться при значениях х < —1 и х :>= Ч~ 1 > в то время
I
как функция у——j определена для всех действительных значении
независимого переменного л, причем значения х == -fcj не яв-
ляются для нее исключительными. Картина этого явления, однако,
вполне уясняется с точки зрения комплексного переменного.
Действительно, функция у—j имеет особые точки при г — ±t,
а потому радиус сходимости рассматриваемого ряда равен единице.
Пример. Как бь;ло ранее показано (гл. IV, § 2, п. G), функция In г =
г
I
I -
есть аналитическая во исякоп односвязиой области, не содержащей
!
нулевой точки, в частности, например, всюду справа от мнимой оси. Следова-
Следовательно, In г можно разложить п степенной ряд в окрестности, например, г = 1,
причем радиус сходимости этого ряда будет равен единице. Заметив, что
получаем отсюда при г= 1:
с0 =/(!)= О, cI = /'(l) = I, с2=>
•¦¦' Сп
и, следовательно, находим:
3. Понятие голоморфной функции и его эквивалентность
с понятием аналитической функции. Условимся говорить, что
функция / (г) есть голоморфная в точке а, если она в некоторой

200 РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V
окрестности этой точки разлагается в степенной ряд относи-
относительно г—а. На основании предыдущего это свойство голоморф-
голоморфности функции в точке а эквивалентно свойству ее аналитичности
в той же точке. Действительно, если функция / (z) есть голоморф-
голоморфная в точке а, то согласно определению существует круг k с цен-
центром в точке а некоторого радиуса р, внутри которого / (г) разла-
разлагается в степенной ряд относительно г — а. На основании п. 1
функция / (г) как сумма степенного ряда должна быть аналити-
аналитической внутри этого круга k, а следовательно, и в точке а.
Обратно, если / (г) есть функция, аналитическая в точке а, то
существует круг k e центром в этой точке некоторого радиуса р,
внутри которого / (г) будет аналитической функцией. Вследствие
п.2 / (г) как функция, аналитическая внутри этого круга k,
может быть представлена в виде суммы ряда, степенного отно-
относительно г — а, сходящегося внутри k. Следовательно, / (г) будет
функцией, голоморфной в точке а.
Функцию, голоморфную в каждой точке области G, мы будем
кратко называть голоморфной в этой области.
Сказать, что функция / (г) есть голоморфная в некоторой
области G, очевидно, равносильно утверждению, что эта функ-
функция есть аналитическая в той же области G.
Таким образом, отправляясь от определения функции, ана-
аналитической в области, как однозначной функции, имеющей в каж-
каждой точке этой области конечную производную, мы показали, что
такая функция будет голоморфной в той же области, т. е. в не-
некоторой окрестности каждой точки этой области функция раз-
разлагается в степенной ряд.
В случае функций действительного переменного разложение
в степенной ряд не всегда возможно, даже если функция имеет
производные всех порядков; для функций же комплексного пере-
переменного возможность такого разложения следует из существова-
существования лишь первой производной всюду в рассматриваемой области.
4. Свойство единственности аналитических функций. Из тео-
теоремы Кош и и полученного g ее помощью разложения аналитиче-
аналитической функции в степенной ряд мы можем извлечь весьма важные
следствия, которые нам позволят уяснить сущность аналитиче-
аналитических функций. Определение произвольной функции комплекс-
комплексного переменного является настолько общим, что из поведения
такой функции в некоторой части области G плоскости комплекс-
комплексного переменного ничего нельзя заключить об ее поведении в дру-
других частях области G. Так, например, пусть / (г) определена
во всей плоскости комплексного переменного г, причем f (г) = i
при |г| < 1. Отсюда мы ничего не можем сказать относительно
значений функции / (г) при | г.| > 1, так как для этих значений г
мы можем определить произвольно функцию / (г). Несколько
иначе обстоит дело, если функция / (г) должна быть непрерывной;
тогда в последнем примере значения функции / (г) в точках,

i 2J РЯД ТЕПЛОРА 201
бесконечно близких к окружности |z|= 1, должны со своей
стороны бесконечно мало отличаться от i. В этом случае значения
функции соединены между собой посредством некоторого, хотя
еще весьма общего, закона. Это внутреннее свойство соединяет
между собой функциональные значения так, что, зная значения
функции в одной части г-плоскости, возможно делать более или
менее точное заключение о поведении функции в других частях
плоскости; очевидно, это свойство будет тем более сильным,
чем более специальный класс функций мы будем рассматривать.
Например, ограничиваясь рассмотрением целых рациональных
функций 4-й степени:
у = а0 + ахх + агхг + а^ + аххх B5)
(ак, х, у действительны), мы знаем, что такая функция вполне
определяется посредством немногих заданий. Так, если мы знаем
значения функции у для пяти значений независимого перемен-
переменного х, то наша функция B5) вполне, т. е. однозначно, определена,
причем пять значений независимого переменного х мы можем
брать как угодно близко друг от друга. Таким образом, зная
поведение функции у на сколь угодно малом интервале, мы мо-
можем судить о поведении ее при всех значениях независимого
переменного х. Класс целых рациональных функций 4-й степени
обладает, следовательно, очень сильным внутренним свойством,
посредством которого соединяются между собой различные зна-
значения такой функции.
Особенно замечательным является тот факт, что класс функ-
функций, выделенный нами из совокупности общих функций комплекс-
комплексного переменного посредством лишь одного требования их диф-
ференцнруемости в области, названных нами функциями, анали-
аналитическими в этой области, обладает таким сильным внутренним
свойством, которое позволяет, зная поведение такой функции
в сколь угодно малой частичной области, сделать определенное
заключение о ее поведении во всей основной области. Или, более
точно, функция, аналитическая в области, будет вполне, т. е.
однозначно, определена в этой области, если известны значения
этой функции на сколь угодно малой дуге линии. В этом отноше-
отношении уже формула Коши нам показывала, что мы можем определить
все значения аналитической функции внутри замкнутого кон-
контура С, если известны ее значения на этом контуре. На основании
теоремы о разложении аналитической функции в степенной ряд
(п. 2) мы будем в состоянии обнаружить указанное свойство един-
единственности аналитических функций в общем виде. Это свойство
вследствие его громадного значения для построения всего здания
теории аналитических функций наряду с интегралом Коши
должно быть рассматриваемо как основное в этой теории.
Это свойство мы формулируем в общем виде таким образом:
если две функции f (г) и ф (г), голоморфные в некоторой области G,

202 РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V
имеют равные значения на бесконечном множестве точек Е в этой
области, причем множество Е допускает по крайней мере одну
предельную точку, лежащую внутри G, то эти функции равны
между собой всюду в области G.
Мы докажем сначала это предложение для случая, когда
область G есть круг, центр которого а является предельной точкой
множества Е. Итак, пусть
/ (г) = с0 + q B — а) + сг (г — аI + ....
Ф (г) = с'о + с[ (г — а) + с2 (г — af +...
суть разложения данных функций, которые имеют место во всякой
точке 2 круга G. Чтобы доказать совпадение функций f (г) и ф (г)
всюду внутри круга G, достаточно показать, что коэффициенты сп
и с'п равны между собой при любом п ( п ^ 0) .^Согласно условию,
если точка z принадлежит множеству Е, то имеем:
/ (г) = ф (г). B6)
Так как точка а есть предельная точка множества Е, то можно вы-
выбрать последовательность точек гк этого множества, сходящуюся
к точке а.
Из условия
f (г,) = Ф (г*) B6')
путем перехода к пределу, вследствие непрерывности функций
/ (г) и ф (г) в точке а получаем: / (а) = ф (а), или с0 — с'а.
Заметив это, равенство B6) перепишем в виде
С1 (г - а) + с2 B - af -\ = с\ (г - а) + с'2 (г - af -\ , B6")
где г обозначает любую точку множества Е. Сокращая это равен-
равенство B6") на 2 — а, получим:
й + с2 (г — а)+ • • • = с[ + с'% B — а) -\ B6'")
Последнее равенство имеет место для всех точек г множества Е,
в частности при г = zk. Переходя к пределу в предположении, что
lim zk = а, аналогично предыдущему получим: С{ = с[. Поступая
так далее, найдем: сг = с'?, ... и вообще сп == с'п при любом п.
Пусть теперь две функции f (г) и ф (г), голоморфные в области G,
имеют равные значения на бесконечном множестве точек Е этой
области, причем множество Е допускает предельную точку а,
лежащую внутри G. Мы докажем тождественность наших функ-
функций всюду в области G, если покажем, что они имеют равные зна-
значения в произвольной точке b области G. С этой целью соединим
точки а и Ь произвольной непрерывной линией L, лежащей в об-
области G (рис. 85). Обозначим через d (d > 0) расстояние линии L
до границы области G, т. е. минимум всевозможных расстояний
между двумя точками, из которых одна принадлежит линии L,

§2] РЯД ТЕЙЛОРА 203
а другая — границе области G. Очевидно, круг с центром в любой
точке линии L радиуса d/2 целиком лежит в области G. Вслед-
Вследствие разобранного выше частного случая данные: функции совпа-
совпадают между собой всюду внутри круга с центром в точке а ра-
радиуса d/2, так как точка а есть предельная точка множества Е
(рис. 85). Заставляя центр круга радиуса d/2 непрерывно дви-
двигаться по линии L от точки а до точки Ь, мы видим, что наши
функции должны совпадать все время между собой внутри круга,
каково бы ни было положение этого движущегося круга. Следо-
Следовательно, в частности, имеем: /(Ь) —
---= ср (Ь), что и нужно.
Итак, мы доказали, что функция
/ (г), голоморфная в области G, опре-
определена единственным образом, если
известны ее значения на бесконечной
последовательности точек zk, имеющей
хотя бы одну предельную точку
внутри G. Однако остается до сих пор Рис. 85.
нерешенным вопрос, как нужно a priori
выбирать значения / (zk) функции в точках заданной бесконечной
последовательности для того, чтобы они были значениями не-
некоторой функции / (г), голоморфной в области G.
Как следствие доказанной теоремы отметим, что две функции
/ (г) и ср (г), голоморфные в области G, тождественно равны между
собой в этой области, если:
1) / B) = Ф B) всюду в произвольно малой окрестности неко-
некоторой точки области G,
2) / (z) = ф (г) на произвольно малой линии, целиком лежа-
лежащей в G.
Это есть одно из замечательных свойств аналитических функ-
функций, не присущее произвольным непрерывным функциям комплекс-
комплексного переменного: в случае произвольной функции комплексного
переменного, непрерывной в области G, значения ее в окрестности
одной точки области G никоим образом не определяют ее значений
во всех точках этой области.
5. Принцип максимального модуля. Формула Кош и D4)
(гл. IV, § 3, п. 1) принимает особенно простой е;ид, когда Г есть
окружность | ? | = R и г ¦= 0. Полагая ? = RehK dt, = iRe1* d^,
найдем:
D4')
т. е. значение голоморфной функции в центре круга равно сред-
среднему арифметическому ее значений на окружности этого круга.
Пользуясь формулой D4'), можно установить весьма важный
принцип теории аналитических функций, называемый принципом

204 РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V
максимального модуля. Согласно этому принципу модуль функции,
голоморфной в открытой области G, ни в какой точке этой области
не может достигать своего максимума, за исключением случая,
когда функция есть тождественное постоянное!.
В самом деле, обозначим через М верхнюю границу модуля
переменной функции / (г), аналитической в области G, и предполо-
предположим противное принципу, что в некоторой точке z0 области G
модуль функции / (г) равен своему максимуму, т. е. |/ (z0) | = М.
Применим формулу D4') к кругу с центром в точке z0, принад-
принадлежащему вместе со своей периферией области G; тогда получим:
2 л
откуда вытекает;
2л
^j B7)
о
Так как
|/(г„+ /?*'¦) |<М, a \f(zo)\=-.M,
то из неравенства B7) усматриваем, что | f (г0 + Re1*) | = М при
любом г|). Действительно, если бы мы при некотором значении
^ = ^0 имели
имели
то вследствие непрерывности | / (г) | неравенство \f (г0 + Rei}i') \ <
< М осуществлялось бы в некотором достаточно малом про-
промежутке
1|э0 — е < гр < t|H + e,
вне же этого промежутка
| / (го + Re'*) | < М.
При таких условиях правая часть неравенства B7) была бы
меньше, чем М, в то время как левая равна М, чего быть не может.
Итак, мы показали, что |/(г)| = М на всякой достаточно
малой окружности с центром в точке г0, или, что то же, в доста-
достаточно малой окрестности точки г0. Покажем теперь, что |/ (г) | =
= М всюду в области G. С этой целью соединим точку га с про-
произвольной точкой гх области G непрерывной линией L, лежащей
в области G. Обозначим через d (d > 0) расстояние линии L
до границы области G, т. е. минимум всевозможных расстояний
между двумя точками, из которых одна принадлежит линии L,
а другая — границе области G. Очевидно, круг с центром в любой
точке линии L радиуса d>2 целиком лежит в области G. Вследствие

* 2] РЯД ТЕПЛОРА 205
доказанного равенство | / (г) \ — М имеет место всюду внутри
круга с центром в точке z(, радиуса d.12. Заставляя центр круга
радиуса d/2 непрерывно двигаться по линии L от точки г0 до точки 2{,
мы видим, что равенство \f (z)\— M должно выполняться все
время внутри круга, каково бы ни было положение этого движу-
движущегося круга. Следовательно, в частности, имеем: |/ (г,) | = М.
Так как гх — любая точка области G, то мы доказали справедли-
справедливость равенства | / (г) | = М всюду в области G. Отсюда же легко
вывести, что / (г) есть постоянное число.
В самом деле, функция In / B) имеет постоянную действитель-
действительную часть, так как действительная часть логарифма равна ло-
логарифму модуля. Вследствие условий Коши—Римана (гл. II,
§ 4, п. 4) голоморфная функция In /(г) с постоянной действитель-
действительной частью есть постоянное число, а значит, и / (г) есть постоянное
число в области G, что невозможно.
Из доказанного принципа вытекает: если / (г) есть функция,
голоморфная в области G и непрерывная в замкнутой области G,
то максимальное значение ее модуля необходимо достигается на
границе области G при условии, что / (г) не есть постоянное число.
В самом деле, функция |/ (г) |, будучи непрерывной в замкнутой
области G, в силу известной теоремы классического анализа при-
принимает свое максимальное значение М в некоторой точке г0 этой
области. В силу доказанного точка г0 не может лежать в области G,
следовательно, она расположена на границе области G.
Дадим еще другое доказательство основной теоремы этого
пункта. Допустив, что модуль функции / (г), голоморфной в обла-
области G, достигает своего максимума во внутренней точке а этой
области, мы можем, очевидно, считать, что f (а) — а0 Ф О, так как
иначе / (г) тождественно равнялась бы нулю. Пусть в некоторой
окрестности точки а
f (z) = а0 + ah B - af + ah+1 (z - a)k+] -f- .. •,
где акф0. Выберем число б настолько малым, чтобы круг \г — а\ <з
< б лежал внутри области G и чтобы в нем выполнялось нера-
неравенство
Iа*+1 B - fl) + ah+2{z-af-\ 1 < -1 Iah |.
Обозначая, далее, одно из значений arg — через ф (например,
значение, удовлетворяющее неравенству 0 < arg — < 2л), по-
ложим z=? = a-f-6e *. Тогда будем иметь:
arg [ah (? - а)*] = arg ah + k arg (? - a) = arg ah + arg -g- = arg o0,

206 РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V
и, следовательно,
^ К + afc(S - a)* | - | cft+1 (? - aL+l H 1 =
= | a01 + | ak | 6* - 6* | aA+1 (? - a) + • • • | >
Итак,
> I ao I + I «ft | 6* 2~ I «л | Й* = | a01 + — | oft | б4.
что противоречит сделанному допущению. Таким образом, модуль
голоморфной функции не может достигать максимума внутри
области, где функция голоморфна.
Рассуждая, как и в начале этого пункта, и пользуясь формулой
(84') гл. IV, § 3, п. 9, читатель легко покажет, что функция, гар-
гармоническая в некоторой области, не может достигать во внутрен-
внутренних точках ни максимума, ни минимума (если она отлична от
постоянной). Отсюда, в частности, следует, что функция, непре-
непрерывная в замкнутой области, гармоническая внутри и сохраня-
сохраняющая постоянное значение на границе, должна быть постоянной
во всей области, ибо ее максимум и минимум, принимаемые на
границе, совпадают.
6. Нули аналитической функции. Мы называем нулем функции
/ (z), голоморфной в области G, всякую точку z0 этой области,
в которой имеет место равенство
f (*о) = 0.
Множество всех нулей нашей функции f (г), лежащих в обла-
области G, может быть конечным или бесконечным. Однако никакая
точка области G не может быть предельной точкой множества
нулей функции / (г), если / (г) не есть тождественный нуль (п. 4).
Следовательно, все предельные точки множества нулей функции
/ (г) должны находиться на границе области С. Отсюда, в частно-
частности, следует, что около всякого нуля функции / (г) можно опи-
описать, как из центра, окружность достаточно малого радиуса
так, что внутри этой окружности не имеется других нулей, кроме
центра.
Легко видеть далее, что множество всех нулей функции / (г)
(/ (г) ф. 0), лежащих в области G, где данная функция является
голоморфной, можно рассматривать в виде последовательности
точек, т. е. все нули можно перенумеровать а помощью натураль-
натуральных чисел.
Действительно, обозначим через G'n (п = I, 2, 3, ...) систему
замкнутых областей, целиком лежащих в области G, и таких,
что каждая из них содержится в следующей, причем расстояние

§ 2] РЯД ТЕЙЛОРА 207
границы области G'n до границы области G пусть равно 1/«, т. е.
1/п есть минимум расстояний между точками границы области Gn
и всевозможными точками границы области О. В каждой замкну-
замкнутой области G'n имеется лишь конечное число нулей функции / (г),
так как в противном случае существовала бы предельная точка
этих нулей, лежащая в области G, что невозможно. Заметив это,
рассмотрим сначала все нули функции / (г), лежащие в обла-
области G[; обозначим их через гъ г2, ..., zkl; затем рассмотрим те
нули, которые лежат в G'i и вне G[; обозначим их через zkl+u
zkl+2, ..., zki и т. д. В результате мы получим последователь-
последовательность точек гъ г2, ..., г„, ..., исчерпывающую все различные нули
функции / (г), лежащие в области G, так как каждый нуль на-
находится на определенном положительном расстоянии_от границы
области G и, следовательно, принадлежит области G'n, начиная
с некоторого п. Все вышеупомянутые заключения о расположе-
расположении нулей аналитической функции остаются в силе для множе-
множества тех точек области G, в которых функция / (г), голоморфная
в G, принимает постоянное значение с, так как точки, в которых
/ (г) = с, суть нули функции / (г) — с.
1, Порядок нуля. Если функция /(г) (/(г) щкО), голоморфная воб-
ласти G, равна нулю в точке а этой области, то разложение ее для
некоторой окрестности точки а имеет вид
/ (г) = сх (г - а) + с2 (г - of + .... B8)
так как с„ = / (а) = 0.
Очевидно, все коэффициенты сп разложения B8) не могут
равняться нулю, так как в этом случае функция / (г), равная
нулю всюду в некоторой окрестности точки а, была бы по теореме
единственности (п. 4) тождественным нулем в области G. Следова-
Следовательно, среди коэффициентов сп (п = 1, 2, 3, ...) имеются отлич-
отличные от нуля; обозначим через т (т гэ 1) наименьший номер таких
коэффициентов.
Тогда имеем:
с, = сг = ... = ст_! = 0, стф 0,
и следовательно, разложение B8) принимает вид
/ (г) = cm(z- а)т + с„1+1 (г - а)т+х + • • •, B8')
где ст Ф 0.
В этом случае мы скажем, что точка а есть нуль по-
порядка т. для функции / (г). Если т — 1, то нуль называют
простым, при т > 1 — кратным.
8. Неравенства Коши для коэффициентов степенного ряда.
Если степенной ряд
t (г) = с0 + схг + с^ + ... + спгп + ... B9)

208 РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1ГЛ. V
сходится в круге \ г \ < R и изображает в нем функцию f (г), модуль
которой все время меньше М, то имеют место неравенства
\сп\ < M/R» (п = 0, 1, 2, ...). C0)
Неравенства C0) получаются немедленно, если воспользо-
воспользоваться интегральными формулами для коэффициентов степенного
ряда (гл. V, § 2, п. 1)!
где интегрирование совершается по произвольной окружности
| i | = р (р < R). Оценивая \с„\, находим:
Так как последнее неравенство имеет место для всех р (р < R), то
путем перехода к пределу при р, стремящемся к R, находим окон-
окончательно!
\cn\^MaR\ C1)
¦ 9. Теорема Лиувилля. Если функция f (г), голоморфная во всей
плоскости, является ограниченной по модулю, то она есть тожде-
тождественное постоянное.
Действительно, в рассматриваемом случае разложение
f (z) = с0 + сгг + с^- + ... + спгп + ... C2)
имеет место во всякой точке г плоскости. Пользуясь неравен-
неравенствами Коши (п. 8), имеем)
|cB|<№ (п = 0, 1, 2, 3,...),
где М есть постоянное число, a R можно считать сколь угодно
большим. Следовательно, имеем сп = 0, если п ^ 1, и, значит,
вследствие C2) будет: / (г) = с0.
10. Вторая теорема Вейерштрасса. Пусть дан ряд
h W + ft (г) + ... + /„ (г) + .... C3)
все члены которого суть функции, голоморфные в области Си
непрерывные в замкнутой области G. При этих условиях мы дока-
докажем, что если ряд C3) сходится равномерно на границе области О,
то он сходится также равномерно во всей замкнутой области G.
Действительно, обозначая через ? произвольную точку гра-
границы области G, по условию имеем;
(С) + • • • + /n+p (О I < e C4)
при любом сколь угодно малом е > 0, если N = N (е) и р g* 1.
Так как функция [fN+1 (г) + fN+2 (г) + ... + fN+p (z)] есть
О"
голоморфная в области G и непрерывная в замкнутой области О",
то неравенство C4) должно иметь место также во всех точках г

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. V 209
области G (п. 5). Таким образом, неравенство C4) остается в силе,
если под ? понимать любую точку замкнутой области G, откуда
следует равномерная сходимость ряда C3) во всей области G
(гл. II, § 2, п. 3).
Упражнения к главе V
1. Разложить главное значение j/~2 в степенной ряд в окрестности г= 1;
отдельно при т = 2.
Ото. 1+ —(г— l)-| ( Л-
2!
2. Доказать, что модуль голоморфной функции / (г) не может иметь в точке %
минимума, пе равного нулю.
3. Рассматривая аналитическую функцию еи (JCr *' ~*~tj '*' *', где и (к, у)
и v (х, у) — гармонические сопряженные функции, покгзать, что гармо-
гармоническая функция и (х, у) ие может принимать во внутренних точках области ни
максимума, ни минимума.
4. Разложить главные значения функций arctg г и arcsln г в степенные
ряды в окрестности нулевой точки.
п г3 г5 , 1 ., , 1-3 . , ЬЗ-5 , ,
О,пв. г-—+ --...; гН-_г<+1т:1]-тг5 + 1^-7г' + ...
оо
5. Определить область сходимости ряда \ -.
Отв. При |г|< 1 абсолютно сходится; при [г|>1 расходится.
6. Определить, в какой части своей области сходимости ряд задачи 6 схо-
сходится равномерно.
Отв. При |г|< 1 — б F>0).
7. Доказать, что если ряд 2 I fn (z) | равномерно сходится в области G и
fn (г) — аналитические функции в С, то 2 1/« (г) I сходится ранно.мерно в каждой
замкнутой области, принадлежащей G.
8. Вычислить первые четыре коэффициента степенного ряда для функций
a) el'z; б) sin —i— ; в) In (l +ez).
sin j—у = a + тг + ^т —
"T —a)
где a = sin 1, т = cos I;
в) In A + ег) = In 2 + ^-

210 РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ХЛ. V
A \2
'п ~ги—) '
б) sin2 2 и cos2 г.
ос
urne. a)
п=1
п—\
10. Если / (z) в односвязной области G есть аналитическая функция (не
равная постоянному числу), то любой замкнутый контур С, принадлежащий О,
содержит внутри себя только конечное число корней уравнения / (г) = а.
11. Существует ли функция, аналитическая в нулевой точке, которая в точ-
точках г= 1/п (п = 1, 2, 3, ...) принимает значения:
а) 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...; б) 0, 1/2, 0, 1/4, 0, 1/6, ...;
в) 1/2, 1/2, 1/4, 1/4, 1/6, 1/6, .,.; г) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ...
Отв. а) нет; б) нет; в) нет; г) да, . .
1 -+¦ 2
12. В точке г,, аналитическая функция / (г) имеет нуль порядка а. Какое
поведение имеет в точке г0 функция F (г) = ] / ({) d?? Какое поведение
в точке г0 имеет функция Ф (г) = | / (Q dt,, если zi лежит в окрестности г0,
г,
в которой / (г) — аналитическая функция, и путь интеграции расположен в этой
окрестности?
Отв. F (г) имеет нуль порядка а + 1; Ф (г) — 1 / (?) d? = F B),

ГЛАВА VI
ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
ОДНОЗНАЧНОЙ ФУНКЦИИ
§ 1. Ряд Лорана
1. Разложение аналитической функции в ряд Лорана. Пусть
/ (г) есть функция, голоморфная внутри кругового кольца, гра-
граница которого состоит из двух окружностей К и к с общим цен-
центром в точке а. Обозначим радиусы этих окружностей соответ-
соответственно через R и г (рис. 86). Мы образуем ряд, расположенный
по положительным и отрицательным степеням z — а, который
сходится к функции /(г) в каждой точке
2, лежащей внутри кольца, т. е. при усло-
условии /¦ < | г — а | = р < R. С этой
целью выберем два радиуса г' и R'
так, чтобы г < /' < р < R' < R, и
обозначим через б'и С окружности этих
радиусов с центром в точке й(рис. 86).
Согласно условию функция / (z) бу-
будет голоморфной в кольце между этими
окружностями, включая и сами окруж-
окружности с и С. Применяя формулу Коши
(гл. IV, § 3, п. 2), получаем:
- ' Г Ш^ 1 f /(SHE
2ni J ?-2 2ni J ?-2 •
Риг. 86.
где пути интегрирования Сие проходятся оба в положительном
направлении.
Замечая, что в первом интеграле формулы A| ? обозначает
точку окружности С, имеем:
B - а\п
B)
Полученный ряд B) сходится равномерно для всех точек
на окружности С, потому что имеем:
(ср. гл. V, § 2, п. 2).
R,

212 ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ [ГЛ. VI
Во втором интеграле формулы A) ? обозначает точку окруж-
окружности с; заметив, что имеем:
получаем ряд C), равномерно сходящийся для всех точек ?, на
окружности с, так как
г-1 р
Подставляя разложения B) и C) в интегралы формулы A)
и выполняя почленное интегрирование, что возможно сделать
вследствие равномерной сходимости относительно ?, получим:
/(»(г-а)" АУ . V 1 f/(»(?-в)"
2j
A=0
;• D)
Полагая ради сокращения письма:
iFlX&T (« = 0,1,2,...), E)
J
fl)""'d^ ("= l> 2> 3> ••¦)• F)
перепишем равенство D) в виде
/(*)=? с« B - af + Е Ьп (г -- а)"\ D')
Формулы E) и F) для е„ и fcn можно объединить в виде одной
формулы
\^^ (« = 0,1,2,...,-!, -2,...), G)
где контур интегрирования <у есть произвольная окружность
с центром в точке а, лежащая внутри данного кольца.
В самом деле, так как подынтегральные функции формул E)
и F) суть голоморфные всюду внутри данного кольца, то, не изме-
изменяя значений сп и Ьп, мы можем принять в них за путь интегриро-
интегрирования любую окружность 7 с центром в точке а, лежащую внутри
этого кольца; с другой стороны, имеем:
~ 2HTJ (t_fl)-"+i ~°-п ^П~' ' ' ¦••)#

$ 11 РЯД ЛОРАНА 213
Отсюда, в частности, следует, что коэффициенты с„, определяемые
формулой G), не зависят от точки г, так как под у мы вправе по-
понимать любую окружность с центром в точке а, лежащую внутри
данного кольца.
Разложение D') на основании введенных обозначений мы
можем записать так:
1(г) = %сп(г-а)п+%с_п(г-а)-п. D")
п=0 '1=1
ИЛИ
Г(г)= +?cn(z-a)n. (Г)
Таким образом, мы получили изображение функции / (г), спра-
справедливое для всех точек г, лежащих внутри данного кольца,
посредством ряда D"), состоящего из двух частей; первая его
часть, ? сп (г — «)", есть ряд, расположенный по
ющим степеням z — а (степенной ряд, относительно г — а);
вторая часть, 2 сп (z — а)п» представляет ряд, расположен-
ный по убывающим отрицательным степеням г — а (степенной
ряд относительно ——— Y Оба эти ряда сходятся в к;аждой точке г,
лежащей внутри данного кольца. Ряд D") носит название ряда
Лорана.
2. Правильная и главная части ряда Лорана. Рассмотрим от-
отдельно те два ряда, из которых состоит ряд Лорана D"). Первый
ряд XI сп B — а)п есть обыкновенный степенной ряд, который,
следовательно, сходится для всех точек г, лежащих внутри окруж-
окружности К, и изображает функцию /г (г), голоморфную всюду внутри
окружности К. Этот первый ряд, входящий в разложение Лорана
D"), называется правильной частью ряда Лорана. Второй ряд
оо
? с_п (г — а)~п можно также рассматривать как обыкновен-
п=1
ный степенной ряд, если положить:
с_„ = Ьп, т+гт^г1'. (8)
В новых обозначениях этот ряд примет вид
S ЬЛгп. (9)
Ряд (9) будет сходящимся, очевидно, при -^- < | г' \ < —, так
как первоначальный ряд сходится, если г < | г — а \ < R.

214 ИЗОЛИРОВАННЕЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ [ГЛ. VI
Следовательно,ряд (9), будучи степенным относительно г', схо-
сходится для всех точек г', для которых имеем |г| < Mr, и изобра-
изображает функцию переменного г , голоморфную при | г' | < Mr.
Возвращаясь с помощью (8) к старому переменному г, мы
видны, что ряд ?¦ с_п (г — а)~п сходится при всех г, для которых
имеет место неравенство \г — а \ > г, т. е. во всех точках г,
лежащих вне окружности k, и изображает функцию /2 (г), голо-
голоморфную всюду вне k. Второй ряд, входящий в разложение D"),
носит название главной части ряда Лорана. Итак, функция / (г)
представляется в виде суммы
/ (г) = h (г) + f2 (г),
где /-, (г) есть функция, голоморфная внутри окружности /{,
а /2 (г) есть функция, голоморфная вне окружности k. Внутри
кольца, заключенного между окружностями К и к, обе функции
/i (г) и /г (?) СУТЬ голоморфные.
3. Единственность разложения Лорана. Подобно разложению
Тейлора, найденное разложение D") Лорана есть е д и н с т-
в е н н о возможное для данной функции f (г) (в данном круговом
кольце).
Действительно, допустим, что во всех точках г, внутренних
к некоторому кольцу, одновременно имеют место два разложения:
/ (г) = ? сп (г -а)а= S с'п B - а)". A0)
Умножая оба разложения A0) на (г — а)~к~] и интегрируя
вдоль произвольной окружности с центром в точке а, лежащей
внутри кольца, на которой оба ряда равномерно сходятся, полу-
получим:
2nick = 2nick, или ск = с'„ (/г = 0, ± 1, ± 2, .. .).
Из изложенного в пп. 1 и 2 вытекает, что точная область схо-
сходимости ряда Лорана D'") есть круговое кольцо с центром
в точке а, внутри которого функция / (z) голоморфна и на каждой
окружности К и k которого имеется по крайней мере по одной
особой точке этой функции. В частности, если внутри К функ-
функция / (г) не имеет особых точек, то ее разложение Лорана обра-
обращается в ряд Тейлора.
Пример. Нетрудно получить разложение
(?~ - - ь=,
B-l)(Z —2)
Л=2
W = ~lir+r~2jTi если 1<|г'<2;
если 2 < | г | < + оо.

§ 2] КЛАССИФИКАЦИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК 215
Здесь мы имеем два различных разложения Лорана для одной и той же функ-
функции; однако это обстоятельство нисколько не противоречит теореме об един-
единственности разложения, так как указанные разложении имеют место для раз-
разных круговых колец.
§ 2. Классификация особых точек однозначной функции
1. Три типа изолированных особых точек. Особенного внима-
внимания заслуживает случай, когда внутри окружности К ее центр а
есть единственная особая точка однозначной функции / (г). Раз-
Разложение Лорана
/(г)= +?сп(*-а)п (И)
П = ОО
в этом случае сходится во всякой точке г, лежащей внутри окруж-
окружности К, кроме точки z = а, и изображает функцию / (г), голо-
голоморфную всюду внутри окружности К, кроме ее центра. Точка а
называется в этом случае изолированной особой точкой функ-
функции / (г), изображаемой всюду в окрестности такой точки (кроме
г = а) разложением вида A1). В основу классификации изолиро-
изолированных особых точек однозначной функции / (г) мы положим
способ ее разложения в окрестности таких точек. Возможны
три случая:
1. Разложение Лорана A1) содержит бесконечное множество
отрицательных степеней г — а. В этом случае точка а называется
существенно особой точкой функции / (г).
2. Разложение A1) содержит лишь конечное число отрицатель-
отрицательных степеней г — а. В этом случае точку а назовем полюсом
функции / (г).
3. Разложение A1) совсем не содержит отрицательных сте-
степеней г—а. В этом случае точка а называется устранимой особой
точкой функции / (г).
Распределив изолированные особые точки однозначной функ-
функции на три типа, выясним теперь характер поведения функции
в окрестности особой точки каждого из указанных типов (под
окрестностью изолированной особой точки а мы понимаем сово-
совокупность всех точек г, удовлетворяющих условию О < | г — а | <
< R, где R выбрано столь малым, чтобы функция / (г) была
голоморфной во всех точках г).
2. Устранимая особая точка. Начнем с рассмотрения особой
точки третьего типа. В этом случае разложение A1) обращается
в обыкновенный степенной ряд и, следовательно, сходится всюду
в окрестности точки я, включая и саму точку а; его сумма будет
представлять функцию, голоморфную всюду в окрестности
точки я, включая саму точку а. Данная функция f (г) совпадает
с суммой нашего ряда, если г Ф а. Следовательно, мы сделаем
данную функцию / (г) голоморфной в точке я, если положим:
/ (а) = Со-

216 ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ [ГЛ. VI
Итак, особая точка третьего типа исчезает, если мы надлежащим
образом определим нашу функцию в этой точке. Из предыдущего
следует, что если а есть устранимая особая точка, то имеем:
lim / (z) = с0: в частности, существуют положительные числа М
и \\, такие, что имеем:
|/B)| < М при 0 <|г —а| <я- A2)
Наличие неравенств A2) мы кратко выразим словами: в доста-
достаточно малой окрестности устранимой особой точки данная
функция ограничена. В дальнейшем мы увидим, что обратно,
если функция ограничена в окрестности изолированной особой
точки, то эта точка есть устранимая особая точка.
3. Полюс. Перейдем теперь к анализу особой точки второго
типа, названной нами полюсом. В этом случае разложение A1)
содержит конечное число отрицательных степеней г—а. Обозна-
Обозначая через т наивысшую степень {г-~)< входящую в разложение
Лорана A1), получим:
где с_„, Ф 0. Если т — 1, то полюс а называют простым, при
т > 1 его называют кратным; число т называется порядком
полюса. Умножая обе части разложения A1'') на (z — а)т (г Ф а),
находим:
B - af f (z) = S cn B - a)n+m + Cj B -
/1=0
A3)
В правой части полученного равенства A3) стоит обыкновен-
обыкновенный степенной ряд, свободный член которого с.т отличен от нуля.
Следовательно, точка а для функции (г — d)m f (г) является
устранимой особой точкой, причем имеем:
с_,п=?0. A4)
2->а
В частности, из равенства A4) следует:
lim|2-a|'"|/B)H|c.m|. A5)
z-ia
Обозначая через q произвольное положительное число, мень-
меньшее, чем | с_т |, мы можем найти вследствие A5) достаточно малое
положительное число ч\, такое, что будем иметь:
|г-оП/(г)|>9. если 0<|г-а|<я,

i 21 КЛАССИФИКАЦИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК '217
ИЛИ
VB)\> |г_^г при 0 < | г — о j < -п. A6)
Последние неравенства A6) показывают, что | / (г) | стремится
к бесконечности, когда точка г стремится к точке а, что символи-
символически записывают таким образом:
= oo. A5')
Короче можно сказать, что в полюсе функция обращается в беско-
бесконечность.
4. Связь между нулем и полюсом. Пусть функция / (г) имеет
в точке а нуль порядка т. Как известно (гл. V, § 2, п. 7), в неко-
некоторой окрестности такой точки а функция f (г) может быть пред-
представлена в виде степенного ряда
/ (г) = ст(г- а) -|- ст+1 (г - а)т f'+•¦•> A7)
где ст Ф О, или
/ (г) = (г- а)'" <р (г),
при этом функция ср (г) есть голоморфная в точке о и не равная
нулю. Обратная величина у—т представляется вследствие A7)
следующим образом:
(г - а)т <Р (г) (г - а)
причем функция ij; (г) = —j-r будет голоморфной в точке а
и отличной от нуля. Заметив, что имеем:
Ц)B) = ф (а) + ф'(а) B - а) + .-.,
получаем из A8) в окрестности точки а (г Ф а):
)
fB) B — а)'" (г - а)
откуда следует, что точка а является полюсом mro порядка для
функции -—.
Обратно, предполагая точку а полюсом порядка яг для функции
/ (г), мы имели бы в окрестности такой точки (г Ф а)\
где функция ф (z) стремится к пределу, отличному от нуля, когда
точка г стремится к точке а (п. 3) и, следовательно, может быть
рассматриваема как функция, голоморфная в точке а и не равная

218 ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ [ГЛ. VI
нулю [полагая ф (а) равной указанному пределу (п. 2)]. Составив
с помощью равенства A9) выражение
W^it'^^^iz-ar-nz) B0)
и произведя те же вычисления, что выше, найдем1
-J- = Ч, (а) (г - а)т + Ч>' (а) (г - а>— -\ ,
где г|) (а) Ф 0, откуда следует, что точка а является нулем по-
,1 1а
рядка т для функции уту, если положим у--у = U.
Итак, резюмируя изложенное, мы приходим к выводу: если
точка а есть нуль порядка т. для функции } (г) {или полюс по-
порядка т), то та же точка для функции —щ- будет полюсом
порядка т (соответственно нулем порядка т при условии у—г = О j .
Из изложенного следует, что если функция / (г) не обращается
в нуль, то она имеет точку а существенно особой точкой одновре-
одновременно с функцией ТУТ'
Пример. Рациональная функция, изображаемая несократимой дробью
рпгп + Plz"-' Н +рп
имеет полюсами нули знаменателя, причем порядок каждого полюса равен по-
порядку соответствующего нуля.
5. Существенно особая точка. Остается исследовать поведение
функции f (г) в окрестности существенно особой точки. Мы ви-
видели, что в случае устранимой особой точки а функция / (г) стре-
стремится к определенному конечному пределу с0, когда точка г
стремится к точке а (п. 2); в случае полюса функция стремится
также к определенному пределу, равному бесконечности (п. 3).
Если же а есть существенно особая точка, то здесь имеет место
следующая теорема, принадлежащая Ю. В. Сохоцкому: каково бы
ни было постоянное число А, конечное или бесконечное, существует
последовательность точек гъ г2> ..., гп, .... сходящаяся к суще-
существенно особой точке а, такая, что имеем: lim / (гп) = А.
Короче это можно формулировать так: в сколь угодно малой
окрестности существенно особой точки функция / (г) принимает
значения, сколь угодно близкие к любому наперед заданному
числу, конечному или бесконечному.
Замечание. Чтобы дать геометрическую характеристику теоремы
Сохоцкого, будем изображать точками плоскости w значения функции ш = / (г),
принимаемые ею в сколь угодно малой окрестности 0 < | z — а|<6 суще-
существенно особой точки а. Теорема Сохоцкого утверждает, что любая точка А

<5 2] КЛАССИФИКАЦИЯ ОСОБЫХ ТОЧЫч 2! >
плоскости w япляется предельной точкой для множества значений, принимаемы»
функцией w = ! (г) в сколь угодно малой окрестности точки а.
Переходя к доказательству теоремы Сохоцкого, предположил
сначала, что А — со. Покажем, что существую: последователь-
последовательность точек гп, lim гп = а, таких, что имеем: lim / (г,.) -= со.
V"
¦V
Обозначая для сокращения через Р (г — а) правильную часть
разложения Лорана A1), содержащую положительные степени
г — а и свободный член, а через q( _ J его главную честь,
содержащую отрицательные степени г — а, можем переписать
A1) в виде
\±) A1*)
Что касается правильной части Р (г — а), то при любом стрем-
стремлении точки г к точке а имеем:
lim Р (г — а) = с0. B1)
Полагая в главной части Q (——- J:
будем иметь:
Q (—¦—) = Q (г1) = с хг' -\-с .,г'2 -I \-с пг'п + • • • B3)
Так как ряд Q ( j сходится всюду, кроме точки z = a (§ 1,
п. 2), то ряд B3), очевидно, будет сходящимся во всей плоскости
комплексного переменного г'. Функция Q (г') по теореме Лиу-
вилля (гл. V, § 2, п. 9) не может быть ограниченной во всей пло-
плоскости комплексного переменного г', т.е., какое бы натуральное
число N мы ни взяли, найдется точка z'N, | z'N \ > N, такая,
что будем иметь | Q (гд/) | > N. Заставляя N пробегать значе-
значения 1, 2, 3, ..., п, ..., мы получим последовательность точек г[,
?2, г'3, ..., г'п, ..., стремящуюся к бесконечности н такую, что будем
иметь:
lira Q(z'n) = oo.
Возвращаясь к прежнему переменному г, мы видим на основании
B2), что последовательность точек z'n преобразуется в последова-
последовательность точек гь гг, ..., гп, ..., сходящуюся к точке а, такую,
что имеем

220 ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ [ГЛ. VI
Заставляя точку г стремиться к точке а, проходя последователь-
последовательность точек гп, усматриваем из равенства A1") на основании
равенств B1) и B4):
Нт/Bя) = оо.
Пусть теперь А есть произвольное конечное комплексное число.
Может случиться, что в произвольно малой окрестности точки а
существует точка г такая, что имеем / (г) = А. В этом случае теорема
Сохоцкого справедлива. Таким образом, мы можем предположить,
что в достаточно малой окрестности точки а функция / (г) не
равна А. Если так, то функция <р (г) = , j будет голоморф-
голоморфной в этой окрестности точки а, кроме точки г = а, которую она
имеет в качестве существенно особой точки [потому что г — а —
существенно особая точка для f (г) — А]. По доказанному суще-
существует последовательность точек г„, сходящаяся к точке а, такая,
что имеем: lim ф (г„) = оо, откуда следует: lim / (г„) = А, что
гпГа °тСа
и нужно.
6. Поведение функции в окрестности изолированной особой
точки. Мы исследовали поведение однозначной функции в окре-
окрестности изолированной особой точки каждого из трех вышеука-
вышеуказанных типов и видели, что в достаточно малой окрестности
устранимой особой точки функция ограничена, в достаточно ма-
малой окрестности полюса она сколь угодно Е;елика (по модулю)
и, наконец, в сколь угодно малой окрестности существенно особой
точки функция становится неопределенной. Резюмируя это иссле-
исследование, мы видим, что, и обратно, изолированная особая точка
будет устранимой, полюсом или существенно особой точкой,
смотря по тому, будет ли в окрестности такой точки данная функ-
функция ограниченной, бесконечно большой или неопределенной.
Примеры. 1. Функция й1/г имеет при 2=0 существенно особую точку,
Разложение Лорана в окрестности этой точки будет:
. , sin г , cos г
2. Функции tg г = и ctg г = —— имеют полюсы соответственно при
нулях cos г и sin 2. Легко показать, что это будут полюсы первого порядка.
Напишем, например, разложение Лорана для функции ctg г в окрестности
Полюса г = 0. Разделив формально степенные ряды для cos г и sin г, получим,
ограничиваясь первыми членами, выражение
, 11 1 ,
Вследствие единственности такого разложения полученный ряд есть ряд Ло-
Лорана для функции ctg 2, сходящийся в окрестности нулевой точки: 0 < | г \ < п.
Из этого разложения усматриваем, что 2=0 есть полюс первого порядка,

$ в] ПОВЕДЕНИЕ В БЕСКОНЕЧНОСТИ 221
Мы оставляем вне рассмотрения случаи неизолированных
особых точек однозначной функции, а также случаи особых то-
точек, в окрестности которых данная функция не является одно-
еначной (например, 2 = 0 для функций In г и ]Лг). Простейшим
типом неизолированной особой точки однозначной функции будет
тот случай, когда точка а является предельной для полюсов,
например г = 0 для функции —; . ¦ . Легко показать, что
теорема Сохоцкого остается в силе для такой особой точки а.
В самом деле, предположим, что функция / (z) в достаточно малой
окрестности точки а не равна А; легко видеть, что функция <р (г) *=
= у—т—т в точке г = а имеет изолированную существенно
I (Z) — Л
особую точку, если мы положим ф (г) = 0 во всех полюсах функ-
функции / (г). Таким образом, вопрос приводится к доказанной тео-
теореме Сохоцкого.
Примечание. Теорема Сохоцкого послужила началом весьма глубо-
глубоких исследований о поведении однозначной функции в окрестности существенно
особой точки. Предложение Сохоцкого показывает, что в сколь угодно малой
окрестности существенно особой точки функция принимает значения, сколь
угодно близкие к любому наперед заданному числу. Пикар (Picard) доказал
более общее и глубокое предложение: в сколь угодно малой окрестности суще-
существенно особой точки функция / (г) принимает (и притом бесконечное число
раз) любое конечное значение, ва исключением, быть может, одного. Доказа-
Доказательство этого предложения будет изложено в гл. VIII.
§ 3. Поведение аналитической функции в бесконечности
1. Окрестность бесконечно удаленной точки. До сих пор,
исследуя поведение однозначной функции в окрестности изолиро-
изолированной особой точки, мы предполагали, что эта точка является
конечной. Окрестностью изолированной особой точки а мы на-
называли множество всех точек г, отличных от точки а, лежащих
внутри круга с центром в точке а столь малого радиуса, чтобы во
всех таких точках г функция была голоморфной. Опишем из ну-
нулевой точки, как центра, окружность радиуса R и допустим, что
при достаточно большом R данная функция / (г) не имеет особых
точек вне круга радиуса R. В этом случае мы скажем, что беско-
бесконечно удаленная точка является изолированной особой точкой
для данной функции. Множество всех точек плоскости, лежащих
вне этого круга радиуса R (или радиуса, большего, чем R), мы
назовем окрестностью бесконечно удаленной точки. Итак, пред-
предположим, что данная функция / (г) есть голоморфная в окрест-
окрестности бесконечно удаленной точки, т. е. при | z | > R. Полагая
2 =s 1/2', МЫ ВИДИМ, ЧТО фуНКЦИЯ
Ф (г') = / A/г') = / (г) B5)
определена и голоморфна при | г' | < 1/R, за исключением точки
в' — 0. Следовательно, окрестности бесконечно удаленной точки

222 ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОЗЫЕ ТОЧКИ [ГЛ. VI
плоскости г соответствует окрестность нулевой точки плоскости г',
причем в соответствующих точках г и г' функции / (г) и (р (г)
имеют равные значения.
Отсюда естественно условиться называть бесконечно удален-
удаленную точку существенно особой точкой функции / (г), полюсом
порядка т или устранимой особой точкой в зависимости от того,
будет ли нулевая точка для функции <р (г') существенно особой
точкой, полюсом порядка т или устранимой особенностью.
2. Разложение Лорана в окрестности бесконечно удаленной
точки. Чтобы получить разложение Лорана для функции / (г)
в окрестности бесконечно удаленной точки, напишем соответ-
соответствующее разложение для функции ц> (г') в окрестности нулевой
точки:
Ф(О= ?\г"\ B6)
П=- — CG
и, полагая zf = —, будем иметь на основании B5):
/ (*> - f спг'\ B7)
! \ ^и: — ОС
где положено: сп — Ь_п (а = 0, ±1, ±2, ...).
Заметим, что разложение B7) будет содержать бесконечнее
множество положительны х степеней г, конечное число
этим степеней или совсем их не будет содержать в зависимости
от того, будет ли разложение B6) Содержать бесконечное мно-
множество отрицательных степенен г', конечное число этих степеней
или иозеем их не будет содержать. Отсюда в силу § 2, п, I мы
заключаем, что бесконечно удаленная точка является для функ-
функции г (г):
а) существенно особой точкой, если разложение B7), содержит
бесконечное множество положительных степеней г;
б) полюсом порядка т, если в разложение B7) входит конечное
число положительных степеней г, причем ст есть последний при
них коэффициент, отличный от нуля (т 5г 1);
з) устранимой особой точкой, если в разложении B7) совсем
нет положительных степеней г.
В этом последнем случае, принимая с0 за значение функции
/ (г) в бесконечно удаленной точке, мы уничтожаем эту особен-
особенность, так как <р (г') будет при этом голоморфной функцией в ну-
нулевой точке. Поэтому в случае в), если f (оо) = с0, говорят, что
/ (z) есть голоморфная функция в бесконечно удаленной точке.
Примеры. 1. Функция И2) ~ ГЦ—имееТ в бесконечности устранимую
особу» точку, так как при | г | > 1 имеем:
_!_
г" *

$ 3] ПОВЕДЕНИЕ В БЕСКОНЕЧНОСТИ 223
Приняв/(ос) = 0, мы можем сказать, что функция /(г) имеет в бесконечности
нуль первого порядка.
2. Целая рациональная фулкшш степени ?'" иу.еет бесконечно удялемкую
точку полюсом порядка т.
3. Функции е', dn г, cos.2 1шеют в бесконечности существенно cccfyie
точку.
3. Поведение функции в окрестности бесконечно удаленной
точки. Так как определение характера поведения функции / (г)
в окрестности бесконечно удаленной точки приводится с помощью
новых обозначений к исследованию поведения функции <р (г')
в окрестности нулевой точки (п. 1), то все заключения § 2 немед-
немедленно переносятся на случай бесконечно удаленной точки.
Так, если функция / (г) имеет в бесконечности полюс, то, каково
бы ни было большое положительное число С, существует окрест-
окрестность бесконечно удаленной точки, для всех точек которой имеем:
I / (г) I > С> или короче: lim / (г) = оо (ср. § 2, п. 3).
2-»оо
Далее, теорема Сохоцкого для случая бесконечно удаленной
существенно особой точки выразится так: каково бы ни было
постоянное число А, конечное или бесконечное, существует после-
последовательность точек ги гг, ..., гп, ..., стремящаяся к существенно
особой точке оо, такая, что имеем: lim / (г„) = А, или короче;
в произвольной окрестности бесконечно удаленней существенно
особой точки функция f (г) принимает значения, сколь угодно
близкие к любому наперед заданному числу (ср. § 2, п. 4).
Наконец, в достаточно малой окрестности устранимой беско-
бесконечно удаленной особой точки функции / (г) эта функция является
ограниченной, т. е. существуют два постоянных положительных
числа R и М таких, что имеем: | / (г) | < М при Eicex г, \ г I > R
(ср. § 2, п. 2).
Так как, с другой стороны, три типа указанных особенностей
являются единственно возможными для изолированной особой
точки, то и, обратно, функция / (г), для которой бесконечность
есть изолированная особая точка, имеет здесь:
а) полюс, если она в достаточно малой окрестности этой точки
становится сколь угодно большой (по модулю);
б) существенно особую точку, если / (z) в сколь угодно малой
окрестности бесконечно удаленной точки становится неопреде-
неопределенной;
в) устранимую особую точку, если в достаточно малой окрест-
окрестности этой точки функция / (г) ограничена.
4. Условия обращения интеграла типа Кошм в интеграл Коши. В гл. IV,
§ 3, п. 8 мы изучили предельные значения интеграла типа Коши
«

224 ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ [ГЛ. VI
предполагая, что С есть произвольная гладкая замкнутая линия, а ф (?) —
функция, заданная во всех точках линии С и удовлетворяющая условию Голь-
дера—Липшица.
В частности, мы установили, что функция F (г), голоморфная внутри С,
будет непрерывной вплоть до контура С, причем ее значения ф; (г0) на С опре-
определяется формулой (I) (гл. IV, § 8) и, вообще говоря, не совпадают с граничной
функцией ф (г0).
Условимся говорить, что интеграл типа Коши B8) обращается в интеграл
Коши, если его предельные значения изнутри С совпадают с граничной функцией,
т. е. если фг (z0) = <р (г„) для всех точек г0. Так как ф (г0) = ф; (г0) — фе (г0) (см.
формулу (II') гл. IV, § 3, п. 8), то наше определение интеграла Коши равно-
равносильно условию фе (г0) = 0, или, что то же, требованию обращения в нуль инте-
интеграла типа Коши всюду вне С. Последнее заключение сделано на основании
принципа максимума модуля аналитической функции, примененного к функции,
изобразимой интегралом типа Коши вне С. Когда интеграл типа Коши обра-
обращается в интеграл Коши, то мы будем также говорить, что функция F (г), голо-
голоморфная внутри С, представима интегралом Коши. Возникает вопрос, какие
условия нужно наложить на граничную функцию ф (?) для того, чтобы соот-
соответствующий ей интеграл типа Коши обращался в интеграл Коши. Ответ на
этот вопрос дают условия, достаточные для того, чтобы существовала функ-
функция F (z), голоморфная внутри С и принимающая на контуре С заданные зна-
значения ф (?). Легко показать, что для того, чтобы интеграл типа Коши B8)
обращался в интеграл Коши, необходимо и достаточно наличие условий
J S" «<Е = 0 (п = 0, 1, 2 ). B9)
В самом деле, разлагая интеграл типа Коши B8) в окрестности бесконечно уда-
удаленной точки в ряд Лорана, получим:
2ni J ?— z 2л i ?j 2"+i J ч " ^ '
с ii=o с
откуда видно, что условия B9) необходимы и достаточны для того, чтобы инте-
интеграл типа Коши B8) вне контура С всюду равнялся нулю и, следовательно,
обращался бы в интеграл Коши.
§ 4. Простейшие классы аналитических функций
1. Целые функции. На основании характера особых точек
можно определить различные классы функций. Так, например,
известно, что всякая целая рациональная функция
имеет единственную особую точку в бесконечности, которая
служит для нее полюсом.
Обратно, если однозначная функция / (г) имеет в бесконеч-
бесконечности единственную особую точку — полюс, то такая функция
есть целая рациональная. В самом деле, разложение Лорана
функции / (г) для окрестности бесконечно удаленной точки со-
содержит лишь конечное число положительных степеней г (§ 3,
п. 2). Обозначим через Аргр + Ар_-,гр'1 + •¦• + Агг часть этого
разложения Лорана, содержащую положительные степени г

J-4] ПРОСТЕЙШИЕ КЛАССЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ЛУНКЦИЙ 225
(главная часть функции / (г) в окрестности бесконечно удаленной
точки), и вычтем ее из данной функции. Полученная разность
F (z) = / (г) - (Аргр + Л,^гр-1 -\ Ь А,г) C0)
будет голоморфной функцией во всякой точке г; в бесконечности
она имеет устранимую особую точку, так как ее разложение Ло-
Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки в силу един-
единственности такового не будет содержать положительных степе-
степеней г. Мы можем считать функцию F (г) голоморфной во всей
«расширенной» плоскости комплексного переменного г, если по-
положим;
Такая функция, будучи ограниченной равномерно во всей
плоскости, по теореме Лиувилля (гл. V, § 2, п. 9) есть тождествен-
тождественное постоянное с. Следовательно, имеем:
F (г) = / (г) - {А/ + Лр.12р-' + • • • + V) = с,
откуда следует:
/ (г) = с + А,г + A..Z1 + ... + А^\
т. е. f (г) есть рациональная функция.
Далее, функцию, изображаемую бесконечным степенным ря-
рядом с радиусом сходимости R — оо, мы называем целой транс-
цендентной функцией. Очевидно, такая функция имеет единствен-
единственную особую точку в бесконечности, которая является для нее
существенно особой точкой (§ 3, п. 2). Легко видеть, что и об-
обратно: всякая однозначная функция f (г), имеющая единственную
особую точку в бесконечности в качестве своей существенной
особенности, есть целая трансцендентная функция. В самом
деле, обозначая через Axz + Azz2 + ... + Avz" + ... главную
часть функции / (z) в окрестности бесконечно удаленной точки,
образуем разность:
F (z) = f (z) - (Atz + А^+...). C1)
Как и ранее, заключаем, что эта функция F (г) должна быть
ограниченной равномерно во всей плоскости, а потому по теореме
Лиувилля есть постоянное число с. Следовательно, имеем: F {z) =
= с, откуда в силу равенства C1) следует:
/ B) = с + A,z + A2z2 + ....
т. е. / (г) есть целая трансцендентная функция.
Соединяя изложенное, мы можем назвать целой функцией
всякую функцию, голоморфную во всей плоскости, за исключе-
исключением бесконечно удаленной точки, причем эта функция будет
трансцендентной, рациональной или постоянным числом, смотря
8 И, И. Привалов

226 ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ [ГЛ. Vr
по тому, будет ли бесконечно удаленная точка существенно особой
точкой, полюсом или устранимой особенностью.
2. Мероморфные функции. Более общим, чем класс целых
функций, будет класс так называемых мероморфных функций.
Мероморфной функцией называют всякую однозначную функцию,
не имеющую в конечной части плоскости других особых точек,
кроме полюсов. В частности, всякая рациональная функция
принадлежит к этому классу.
В самом деле, рациональная функция
pazn + р^-1 -\ +Рп
во всей «расширенной-» z-плоскости может иметь лишь полюсы
в качестве своих особых точек (при п >т бесконечно удаленная
точка есть полюс порядка я — т, при п <g m бесконечно удален-
удаленная точка будет устранимой особенностью и, следовательно, мо-
может считаться правильной точкой при надлежащем определении
функции в этой точке).
Покажем, что существует обратное предложение: если одно-
однозначная функция в «расширенной» плоскости не имеет других
особых точек, кроме полюсов, то она есть функция рациональная.
Доказательство. Так как данная функция / (г)
в бесконечности может иметь лишь полюс, то она в некоторой
окрестности бесконечно удаленной точки |г| > R есть голоморф-
голоморфная функция. В круге | г \ <, R может существовать лишь конеч-
конечное число полюсов этой функции, так как в противном случае
предельная точка полюсов была бы особой точкой, не принад-
принадлежащей к полюсам, что по условию невозможно. Итак, все
возможные полюсы функции / (г) имеются в конечном числе;
обозначим их через гъ г2, ..., zk\ кроме того, бесконечно удаленная
точка может быть также полюсом. В окрестности каждого полюса
мы разложим функцию / (г) в ряд Лорана и обозначим ее главную
часть для точки z*, через
са) c(h) c^l
Мг)=^ + 17^+.--+^, (Х=1.. 2,...,*),
а для точки оо — через g (г) = Агг + А2гг + ... -f Аргр.
Вычитая рациональную функцию R (г) == ht (г) + h2 (г) +...
... + hk (г) + g (г) из данной функции / (г), мы получим:
F (г) = / (г) - R (г). C2)
Функция F (г) будет иметь своими единственными особыми точ-
точками точки гх, г2, ..., zk и бесконечно удаленную точку; каждая
из этих точек является устранимой особенностью функции F (z),
так как ее разложение Лорана в окрестности любой из этих точек
в силу единственности этого разложения не будет содержать глйв-

1 51 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГИДРОДИНАМИКЕ 227
ной части. Следовательно, функцию F (г) можно считать голоморф-
голоморфной всюду в «расширенной» плоскости комплексного переменного г,
рели надлежащим образом назначить ее значения в устранимых
Особых точках. Наконец, по теореме Лиувилля мы заключаем, что
F (г) тождественно равно постоянному числу с. Итак, имеем F (z) =
?= с, откуда в силу равенства C2) следует: / (z)~ R (г)+ с, т. е. / (г)
есть рациональная функция, что и нужно.
3. Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
Заметив, что hx B) есть простейшая дробь (притом единственная),
соответствующая полюсу г% рациональной функции / (г), мы
из п. 2, сверх того, заключаем: всякая рациональная функция по
выделении ее целой части может быть разложена на простейшие
дроби и притом единственным образом.
4. Основная теорема алгебры. С помощью теоремы Лиувилля
(гл. V, § 2, п. 9) легко обнаружить справедливость основной
теоремы высшей алгебры: всякая целая рациональная функция
g (z) = aozn + axzn-1 -I \-ая (п > 1)
имеет по крайней мере один нуль.
В самом деле, допуская противное этой теоре:ме, мы должны
положить, что функция g (г) не равна нулю ни в какой точке г
плоскости. В этом случае фунция / (г) = \lg (г) будет голоморф-
голоморфной во всей плоскости. Заметив, что имеем:
... +ап/гп)'
мы отсюда заключаем:
lim / (г) = 0.
г-юа
Следовательно, бесконечно удаленная точка будет нулем
функции / (г), если принять / (со) = 0. По теореме Лиувилля
такая функция / (г) должна быть равна тождественно постоянному,
а именно нулю, так как lim / (г) = 0. Полученное противоречие
z-*a°
убеждает нас в справедливости основной теоремы алгебры.
§ 5. Приложения к гидродинамик»
1. Невихревой и свободный от источников поток жидкости. Будем отправ-
отправляться от рассмотрения векторного поля в области G плоскости ху, т. е. система
двух непрерывных функций р (к, у) и q {x, у), определенных в области О,
которые мы примем за компоненты вектора W:
Wx= p (х, у), Wu=q (к, у).
Это векторное поле можно интерпретировать гидродинамически, принимая его
аз распределение скорости установившегося плоского потока несжимаемо*
жидкости.

228 ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ [ГЛ. VI
Считая жидкость G односвязной, мы предположим поток свободным от источ-
источников, т. е. что ни в какой части области G жидкость не возникает и не исчезает;
это значит, что в каждой частичной области, принадлежащей G, с течением вре-
времени происходит изменение состояния жидкости исключительно посредством
притока или утечки жидкости через границу этой частичной области. Это пред-
предположение приводит к условию, которому должен удовлетворять вектор ско-
скорости №.
Рассмотрим произвольную замкнутую кусочно-гладкую кривую Г в обла-
области G и обозначим Wn нормальную к Г компоненту вектора №, считая поло-
положительное направление нормали идущим от Г внутрь области. Тогда выраже-
выражение Wn ds будет пропорционально увеличению количества жидкости, проис-
г
ходящему за единицу времени в области, ограниченном кривой Г. Вследствие
предположения об отсутствии источников это выражение дожно быть равно нулю,
какова бы ни была линия Г, принадлежащая 0. Заметив, что
Wn = P cos (n, х) ??
мы получаем условие
На основании известной теоремы анализа мы отсюда заключаем: свободный
от источников поток жидкости характеризуется равенством
%- = -%-. C3)
ах ду к '
Равенство C3) должно иметь место в каждой точке односвязной области 0, в ко-
которой нет источников у рассматриваемого потока жидкости.
Обозначим через Wa компоненту вектора скорости W в направлении каса-
касательной к кривой Г, считая за положительное направление кривой то на-
направление, при котором область, внутренняя к Г, остается слева.
Выражение I №6 ds называют циркуляцией потока вдоль кривой Г. Поток
г
жидкости называется невихревым в G, если его циркуляция вдоль произволь-
произвольной замкнутой кривой Г, принадлежащей G, есть нуль. Заметив, что
VFs = pcos(s, x) + qcos(s, у) = р -^ + q -? ,
условие невихревого потока запишем так:
Мы, таким образом, получаем: невихревой поток жидкости характеризуется
равенством
ЁВ--Й. /34)
ду ~ дх ' (d4j
Равенство C4) должно выполняться повсюду в области G при отсутствии в этой
Области вихрей у потока жидкости.

$ Б] ПРИЛОЖЕНИЯ К ГИДРОДИНАМИКЕ 229
Рассмотрим ближе условие C4) невихревого потока жидкости. Это условие
показывает, что р и q суть частные производные некоторой функции, которая
может быть найдена квадратурами. Итак, имеем:
ди ди
р = —, Я = -т- • C5)
дх ' ду
Функция и носит название потенциала скоростей данного потока. Зиая эту
функцию, мы определяем компоненты скорости потока согласно формулам C5).
Очевидно, величина скорости равна
Если невихревой поток свободен от источников, то внося выражения C5) в урав
нение C3), найдем:
. д2и д2и А
Таким образом, каждый невихревой и свободный от источников поток жидкости
обладает потенциалом скоростей и (х, у), удовлетворяющим дифференциальному
уравнению C6).
Кривые и = const называются линиями уровня. Вдоль этих кривых не имеется
движения жидкости, так как жидкость течет всюду к ним перпендикулярно.
Действительно, обозначая через Ws компоненту скорости W в произвольном
направлении s, очевидно, имеем:
dy
1Ш
Следовательно, в силу C5) получаем:
„, _ ди dx ди dy _ ди
s~lx4s+~dyls~~d7'
откуда, в частности, вытекает: вдоль линии и = const компонента скорости равна
нулю.
2. Характеристическая функция потока. Дифференциальное уравнение
траекторий потока, очевидно, будет:
dx dy dx dy
— = — , или -з— = —?— .
р q ди ди
~Ыс ~3у
Перепишем это уравнение в виде
ди ди ,
-г- dy г- dx = 0.
дх 3 ду
В силу условия C6) левая часть последнего уравнения представляет собой
полный дифференциал некоторой функции v (x, у), т. е.
*-|*-?*-0 C7,
есть дифференциальное уравнение траекторий потока.
Следовательно, уравнение о= const изображает траектории нашего потока,
которые согласно замечанию, сделанному в конце п. 1, будут ортогональными
по отношению к линиям уровня и = const, Функция f {x, у) носит название

230 ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ [ГЛ. VT
функции потока. Из уравнения C7) вытекает, что функции и и v связаны соотно-
соотношениями
аи dv ди до
ох ду ду ох
Таким образом, потенциал скоростей и функция потока в области С связаны
условиями Коши—Римана (гл. II, § 4, п. 4) и представляют, следовательно,
две сопряженные гармонические функции в этой области. Зная эти функции,
мы можем полностью охарактеризовать соответствующий им поток.
Чтобы охарактеризовать поток жидкости в односвязной области G, мы мо-
можем гместо пары функций и (х, у) и v (x, у) ввести в рассмотрение одну функ-
функцию комплексного переменного г, г= х -\- yi, а именно: / (z) = и (х, у) -\-
+ iv (х, у). Согласно условиям (С.—R.) функция / (г) есть аналитическая в об-
области С (гл. II, § 4, п. 4); она носит название характеристической функции
потока. Итак, всякому невихревому и свободному от источников в односвязной
области G потоку жидкости соответствует характеристическая функция / (г),
являющаяся аналитической в области G; обратно, задание любой функции / (г),
аналитической в односвязной области G, определяет в этой области невихревой
и свободный от источников поток жидкости.
Вводя аналитическую функцию / (г) как характеристику потока, мы можем
применять теорию аналитических функций к изучению плоского течения жид-
жидкости.
Заметим, что скорость потока в любой точке z= x-\-yi определяется по
величине и направлению парой р (х, у) и q (x, у), или, что то же, комплексным
числом: р + lq. С другой стороны, мы имеем:
,, , . ди . dv ди . ди
1 <)+'' P
Таким оСразсм, величина скорости в точке z равна:
|/'(г)|, таи как | /' (г) | = Vpr+1'2,
направление же скорости образует с положительным направлением оси х угол,
равный и противоположный по знаку с аргументом /' (г). Иными словами, ско-
скорость потока в точке г вполне определяется комплексным числом /' (г), т, е.
числом, сопряженным со значением производной /' (г) в этой точке.
Итак, мы пришли к гидродинамическому истолкованию модуля и аргумента
производной функции комплексного переменного, а именно: рассматривая за-
заданную в одпосвязной области аналитическую функцию / (г) как характеристи-
характеристическую функцию соответствующего потока жидкости, мы можем утверждать, что
|/' (z) | равен величине скорости течения в точке г, a arg/' (г) с обратным зна-
знаком определяет направление этой скорости.
3. Обтекание круглого цилиндра потоком без циркуляции. Рассмотрим дви-
движение в покоящейся жидкости круглого цилиндра, который движется справа
налево с постоянной скоростью а. Придавая всей системе движение в обратную
сторону со скоростью о, мы получаем поток жидкости, имеющий в бесконечности
скорость а, обтекающий неподвижный цилиндр.
Помещая начало координат в центре поперечного сечения цилиндра, примем
это сечение за плоскость ху, выбрав положительное направление оси х совпада-
совпадающим с направлением скорости а. Характеристическую функцию потока ю —
= f (г) мы предположим однозначной в области |г|>/?, внешней к сечению
цилиндра.
Согласно теореме Лорана
A=1

g 51 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГИДРОДИНАМИКЕ 231
Очевидно, мы должны удовлетворить двум условиям: а) вектор скоростк
жидкости при г = оо направлен по оси х и равен а; б) контур цилиндра \г\= R
есть часть траектории потока.
„ . . / dw\
Мы знаем, что скорость р-\- iq= l-r- 1, т. е,
-lq=% папгп-1 -
н=1
Так как бесконечно удаленная точка должна быть правильной точкой этого
разложения, которое в этой точке принимает значение а, то имеем ап — 0 при
я > 1, ai = а.
Следовательно, условие а) приводит к такому виду характеристической
функции:
/1=1
где мы отбросили свободный член Ьа, так как его прибавление к w не влияет на
величины компонент скорости р, q и на траекторию потока.
Полагая Ьп = рпе " , г = /¦/*', получим:
и -\~ vi :=l= are 4~ /1 Риг & >
откуда находим:
оо
и = ar cos 0 4- 2j Pnr~" cos (a« ~ "в)'
СЮ
» = ал sin 9 4- J] pn''""'1 sin (an — пв).
Второе условие б) дает нам, что а должно сохранять постоянное значение
при г = R, т. е.
Л,г
= 0.
Дифференцируя вторую из формул C8) по в и подставляя затем г = Rt
получим:
оо
aR cos 9 — ? pnrt#~" cos (an — nf), = 0.
Заметив, что
cos (an — n9) = cos an cos пв + sin an sin «9.
приравниваем нулю коэффициенты при отдельных cos п9 н sin пв и, таким обра-
образом, получаем:
aR — Pi/? cos at = 0, PiR'x sin at — 0,
npnR~n cos art = яри/?"" sin «n = 0 (n = 2, cl, ,..),
откуда рп = 0 (п = 2, 3, ...), Pi = +aR2, o^ = 0. Следомтельно, окончатель-
окончательный вид характеристической функции w будет:
, aR* / R* \
w=,az-\r -j- = a \г 4- — j.

232
ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
(ГЛ. V4
Функции же и u v выразятся формулами
(R2 \ I R2 \
т -1 1 cos б, v = а 1г j sin б.
Траектории потока имею"; уравнение
и —С, или (г ^-^sin0 = C.
Так как т > R, то при С > 0 имеем sin 6 > 0, т. е. траектории расположены
в верхней полуплоскости; отрицательным же значениям С соответствуют траек-
траектории, идущие в нижней полуплосковти
(рис. 87). Для С =• 0 имеем линию
('-4-)
sin 6 = 0,
Точки
так как
которая распадается на две: sin 9 = 0, г =•
= R, т. е. соответствующая траектория идет
справа по положительной части оси х F = 0)
до встречи в цилиндром в точке г =* R, 6 = О,
затем по окружности цилиндра, переходя
в точке г — R, 0 = л снова на ось *, нона
отрицательную ее часть F = я).
, 0) замечательны тем, что в них скорость обращается в нуль,
Рис. 87.
dw
= а —
Эти точки носят название критических точек потока. Траектория в кри-
критических точках не имеет определенной касательной и разветвляется на две:
прямую и окружность.
Для С =j= 0 траекториями течения будут линии третьего порядка, и их урав-
уравнение в декартовых координатах имеет вид
Каждая из этих линий симметрична относительно оси у и имеет асимптоту у =С.
Потенциальная функция потока и является однозначной не только во вся-
всякой односвязной области, занятой потоком, что обусловлено отсутствием вих-
вихрей, но и во всей области | г | > R. Это последнее обстоятельство показывает, что
циркуляция потока вдоль контура С, окружающего цилиндр, есть нуль, так
как
I p dx -\- q dy = I du = 0,
С С
Поэтому рассмотренный поток называют потоком без циркуляции.
4. Чисто циркулярный поток. Простейший пример течения с циркуляцией
вокруг цилиндра представится в случае, когда характеристическая функция ш
имеет вид
w = -n-r In г.
2га
Полагая г — re'6, определим функции и и и:

15)
откуда
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГИДРОДИНАМИКЕ
° = -Т>я-|пл
2ЭЭ
Таким образом, траекториями течения будут v— const или г — const, т. е.
концентрические окружности. Компоненты р и q скорости определяются по
формуле
dw
II
; i (б+л/2)
Т. е. величина скорости во всех точках окружности радиуса г, равная g—,
обратно пропорциональна г, направление же течения — против часовой стрелки.
Циркуляция потока вдоль контура С, окружающего цилиндр, будет:
2л
j pdx + qdy = j du = -L- J dQ = 1.
Итак, характеристическая функция w соответствует потоку жидкости вокруг
цилиндра, причем частицы жидкости текут по окружностям против часовой
стрелки и скорость течения обратно пропорциональна расстоянию частицы от
центра цилиндра.
5. Общий случай. Складывая оба движения, изученные в пп. 3 и 4, мы полу-
получим обтекание цилиндра потоком жидкости, имеющим в бесконечно удаленной
точке скорость а, с циркуляцией /.
Характеристическая функция в этом общем случае будет:
C9)
Траектории течения изображены на рис. 88. В этом случае критические
точки потока будут смещены по сравнению со случаем п. 3, когда не было
циркуляции. Эти точки определяются из
условия *~5* ¦—*~
dw —*- . *"
р — iq = —з— = О,
dz
или
т. е.
Н
' 2ш
Это квадратное уравнение опреде-
определяет две точки г:
Рис. 88.
Считая циркуляцию / не очень большой, а именно / < 4яа#, мы получим
для г два комплексных значения, отличающихся лишь знаком действительной
части и по модулю равных R. Таким образом, в этом случае (рис. 88) критические
точки лежат на самом цилиндре симметрично относительно оси у и радиус-
вектор к ним образует с положительным направлением оси л угол 6, определяе-
определяемый по формуле sin 9 = -—Е. С увеличением / обе критические точки сбли-
4ЛСУ<

234
ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
[ГЛ. V!
жаются и при / = 4naR они совпадают и оказываются в точке @ = п/2) пе-
пересечения оси у с контуром цилиндра (рис. 89). При дальнейшем увеличе-
увеличении /, если / <.4naR, мы получаем для г два чисто мнимых значения, из
Рис. 89.
Рис. 90.
которых одно по модулю меньше R, другое же больше R. Следовательно,
в этом случае мы имеем только одну критическую точку, лежащую ыа оси у
(рис. 90).
Упражнения к главе VJ
i
1, Разложить в ряд Лорана функцию в'"г при | г | > 1.
Отв. 1 —
1
1
1
1
Z- 6гЗ +24г4 120г6
2. Разложить в ряд Лорана функцию кг-, ;т при I г |
(г — I) (г — ci)
Отв. —^- Ч -^- + —т- т—те"
3. Определить особенности при г = оо для функций
соз г — sin г.
О/па. Существенно особые точки.
4, Обнаружить справедливость теоремы Сохоцкого для функции е1/г, ис-
исследуя ее значения на лучах, выходящих из нулевой точки в окрестности г = 0.
Каково будет множество точек г, в которых е1/г = с, с ф О?
Отв. Бесконечное множество, имеющее нуль предельной точкой.
5. Функции / (г) и Ф (г) имеют в точке г = а полюсы соответственно m-ro
порядка и п-го порядка. Что можно сказать о характере точки г = а для функций:
а) / U) ф (г), б)
JM
в) f (z) + Ф (г)?
Отв. а) Полюс порядка т+п. б) Полюс порядка т — п, если т>п;
если т < л, то нуль порядка и — /л, при т = п — правильную точку, в) Полюо
порядка, равного наибольшему из чисел т., я; при т == л полюс порядка г?т
или правильную точку.
8. Относительно степенного ряда / (г) = 2а«г" изв<:стно, что изображаемая
им функция / (г) имеет на окружности круга сходимости только одну особую

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. VI 235
точку ?0 — полюс первого порядка. Показать, что в этом случае
и, следовательно,
г, где г— радиус сходимости.
7. Внутри замкнутого контура Ci лежит другой замкнутый контур Cg.
Функция / (г) есть аналитическая в области G между контурами С\ и С2.
В этом случае можно положить:
/ (г) = /, (г) + U (г).
где / (г) — аналитическая функцня внутри Ci, а /2 (г) есть политическая функ-
функция вне С2, включая бесконечно удаленную точку. Функции /j B) и /2 (г) этим
разложением определяются однозначно с точностью до аддитивного постоянного.
8. Разложить в ряд Лорана Y (г — 1) (г — 2) для |г|>2.
Г с с 
Отв. ± с„г — с, + — -v + • " . w
Г С 
V — С] + -j ^§- + • • • j ,
9. Разложить в ряд Лорана —¦ — при 0<|о|<|г|<|6|
(г—и) (г — о)
для |г | > | Ъ \.
6a _ fls
10. Разложить в ряд Лорана 1л-j при |г|> 1.
Отв. Невозможно, так как функция не однозначна при |г|> 1.
11. Какие особенности имеют функции: a) el/z при 2 = 0; б) sin
1 —г
при 2=1; в) при г = 2ш?
1 — е2
Отв. а) Существенно особая точка; б) то же; в) полюс первого порядка.
г2 i 4
12. Какие особенности имеют функции при г == сю: а) ;
б) VB— l)(z —2); в)е"~; г) ^; ; д) sin -у~—?
Отв. а) Существенно особая точка; б) полюс первого порядка; в) правиль-
правильная точка; г) предельная точка полюсов; д) нуль первого порядка.
13. Какое существенное различие имеется между поведением действительной
функции
е~]/х* для х^О,
0 для х = 0
и функции комплексного переменного w — е'^2* в окрестности нулевой точки?
Отв. Функция у и все ее производные при лг = 0 равны пулю. Кривая у =
= / (х) в нулевой точке имеет с осью х соприкосновение, лучике, чем любая па-
парабола у = х". Функция w имеет в нулевой точке сущеетиенную особенность,
т. е. стремится к любому наперед заданному числу, когда г-*-0.

236 ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ [ГЛ. VI
14. Функция / (г) — аналитическая в окрестности | г | > R бесконечно уда-
z
ленной точки. При каких условиях F (г) = / (?) d? будет однозначной ана-
г0
литической функцией в области \г\> R, если г0 и путь интеграции лежат
в этой области? Что можно сказать о поведении F (z) ei бесконечно удаленной
точке из поведения / (г) в этой точке?
00
Отв. Когда а_х = 0 в разложении / (г) = ^апгп. Если это условие выпол-
— оо
нено и f (г) при г = оо имеет полюс порядка C, то /: (г) будет иметь полюс
порядка Р + 1; в частности, F (г) будет иметь полюс первого порядка, если
f (г) при г = оо — правильная функция и ФО.
Если / (г) при г = оо имеет нуль порядка а (а > 2), то F (г) имеет нуль
порядка а — 1.
Если / (г) при г = оо имеет существенно особую точку, то F (г) — то же.
Если oj ^=0, то F (г) — ai In г будет при I 2 | > R однозначной анали-
аналитической функцией.
15. Плоский поток определяется характеристической функцией w = / (г).
Найти траектории потока и указать направление течения в случаях: a) w = г;
б) w = l/z; в) w = г + l/z.
/ 1 V 1
0ms. а) у = const, слева направо; б) х2 + (г/ + -^- J = -j^-, тече-
течение налево; в) у (хг + !/2) — (/ = с (*2 + г/2), течение направо.
16. Определить скорости потока в случаях предыдущей задачи 15.
у2 Х2 2X11
Отв а)р=1, , = 0; б) р = ^-р^ ; ^-—-j-^,
17. Характеристическая функция потока ш= In г.
Определить траектории потока, их направление и скорость движения жидко-
жидкости. Чем является для потока г = О?
Отв. Считая г = ret6, уравнение траекторий будет: 6 = const; движение
направлено от точки 2=0, которая является источником. Скорость по величине
равна \1г и направлена от точки г = 0. Точка г = 0 есть источник потока.
18. Чему равно количество жидкости, вытекающей ei единицу времени через
замкнутый контур, окружающий точку 2=0 предыдущей задачи?
Отв. 2яр.
19. Характеристическая функция потока w = ^—¦. In г.
Найти траектории потока, их направление и скорость движения жидкости.
Чем является точка г = О?
Отв. Если г = rel(>, то уравнение траекторий будет: г = const. Движе-
Движение направлено против часовой стрелки. Величин;) скорости равна ^—•
Точка z= 0 является вихрем.
20. Чему равна циркуляция потока вдоль замкнутого контура, окружа-
окружающего точку 2=0 предыдущей задачи?
От. 1.

ГЛАВА VII
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
§ 1. Общая теория вычетов
1, Вычет функции относительно изолированной особой точки.
Если функция / (г) есть голоморфная в некоторой точке а, то по
теореме Коши (гл. IV, § 2, п. 3) имеем:
{z)dz = O, A)
где путем интегрирования С служит произвольный, гладкий замк-
замкнутый контур, содержащий внутри себя точку а и малый настолько,
что функция / (г) остается голоморфной всюду внутри этого кон-
контура, включая точки самого контура. Если же а будет изолиро-
изолированная особая точка функции / (г) и замкнутый контур С целиком
лежит в окрестности этой точки а, то значение нашего интеграла
J / (z)dz будет, вообще говоря, отличным от нуля. Это значение,
как следует из теоремы Коши (гл. IV, § 2, п. 5), не зависит от
формы контура С и легко может быть вычислено. В самом деле,
в окрестности точки а (О <> | z — а \ <± г) функция / (г) может быть
разложена в ряд Лорана (гл. VI, § 2, п. 1):
который будет равномерно сходящимся на линии С, так как кон-
контур С лежит в окрестности точки а. Интегрируя почленно ряд B)
вдоль линии С, получим:
{z)dz = c_v2m, C)

238
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
[ГЛ. VII
так как имеют место равенства
j \{г-а)т dz = 0 (m = 0, 1,2,...) (гл. IV, § 1, п. 1),
а
J "ГГ7 = 2ni <гл> 1V' § 2' "• 6)'
с
J (г-V =° (П = 2' 3>"') (ГЛ- IV> § lf "• XY
Значение интеграла s-r | / (z) dz условимся называть вычетом
с
(residu) функции / (г) относительно особой точки а. Согласно ра-
равенству C) вычет функции / (г) относительно особой точки а
равен c_i, т. е. коэффициенту при первой отрицательной степени
разложения Лорана B). Отсюда непосредственно вытекает, что
вычет функции с_х может быть отличным от нуля только в том
случае, если а есть полюс или существенно особая точка (гл. VI,
§ 2, п. 1); для устранимой особой точки вычет непременно равен
нулю (гл. IV, § 2, п. 1).
2. Основная теорема о вычетах. Пусть / (г) есть функция,
голоморфная во всякой точке области G, кроме конечного числа
особых точек alt аг, ..., ак. Обозначим через Г произвольный ку-
сочно-гладкчй замкнутый контур,
содержащий внутри себя точки аъ
atl .... ak и целиком лежащий в об-
области G. При этик условиях ^ [f(z)dz
с
равен сумме вычетов функции f (г)
относительно alt aa, •.., ак. Это
утверждение представляет собой
основную теорему в теории вычетов.
Для ее доказательства опишем
из точек a-L, аг ah как центров,
окружности Yn Va У*» настолько малые, чтобы они попарно
не пересекались и целиком лежали внутри Г (рис. 91). Так как
функция / (г) будет голоморфной в каждой точке замкнутой об-
области, ограниченной сложным контуром
Рис. 91.
то по теореме Коши (гл. IV, § 2, п. 5)
D)

S П ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ 239
где интегрирование совершается по контурам Г, уи у-2, ,.., yk
в положительном направлении. Последнее равенство доказывает
основную теорему о вычетах, так как в правой части этого равен-
равенства стоят вычеты функции / (г), соответствующие точкам alf
fl2, ..., ak.
Очевидно, доказанное предложение представляет собой
обобщение основной теоремы Коши (гл. IV, § 2, п. 2).
3. Вычисление вычета функции относительно полюса. В при-
приложениях основной теоремы о вычетах мы должны сначала опре-
определить вычеты всех особых точек аг, а2, ..., ak, лежащих внутри
контура Г, после чего легко вычисляется на основании теоремы
о вычетах значение интеграла j / (z) dz. Поэтому весьма важно
г
дать более простой способ вычисления вычетов, не требующий
в каждом отдельном случае разложения Лорана. Такой способ
возможно дать, если точка является полюсом функции. Пусть
сначала точка а есть простой полюс функции / (z). В этом случае
главная часть разложения Лорана содержит лишь одну первую
отрицательную стенень (г — а):
.+CnB-fl)n + ... + 7?f17. E)
Умножая обе части разложения E) на (г — а) получаем:
(г-a)f (г) = с_г + са (г - а) + сх (г - а? + ... E')
Так как правая часть последнего равенства есть обыкновенный
степенной ряд, то его сумма будет непрерывной функцией в точке а.
Следовательно, переходя в равенстве E') к пределу при г, стре-
стремящемся к а, получим:
. F)
Формула F) позволяет быстро определить вычет функции отно-
относительно простого полюса.
Точка а есть простой полюс функции / (г) = "^Т, , если
Ф (г) и i|) (г) суть голоморфные функции в точке а, причем ф (а) Ф
Ф 0, \р (а) = 0, г|з' (а) ф 0. По формуле F) вычет функции / (г)
относительно точки а определяется в этом случае так:
z — а г — а
так как согласно условию имеем: \|з (а) = 0. Заметив, что
lira ф B) = ф (й),
г— а

240 ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ СГЛ. VII
окончательно получаем!
Так, например, для определения вычета функции ¦ отно-
относительно ее простого полюса а = Bп + 1)-тр применим формулу
G):
1 1
sin a
sin I
Полученное значение с_х равно +1 или — 1, смотря по тому,
будет ли п числом нечетным или четным.
Таким образом, имеем:
Формулу F) можно обобщить на случай произвольного по-
полюса гс-го порядка. В этом случае разложение Лорана будет!
(8)
Умножив обе части этого разложения (8) на (г — a)rt, получим:
(г - a)" f (г) = с_п + с_п+1 (г - а) + ... + с_г(г - о)»-1 +
+ Со(г~а)» + с1(г-а)»+Ч-... (8')
Продифференцировав равенство (8') п — 1 раз, мы получим в пра-
правой части обыкновенный степенной ряд, свободный член которого
будет: c_j (п — 1)!. Следовательно, имеем:
откуда находим:
Формула (9) позволяет вычислять вычет функции относительно
полюса а порядка п; при п = 1 она обращается в формулу F),
если считать условно: 01 = 1.
4, Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки.
До сих пор, рассматривая вычет функции относительно особой
точки а, мы предполагали, что точка а является конечной. По-
Понятие вычета можно распространить на случай бесконечно уда-
удаленной точки.
Предположим, что бесконечно удаленная точка является изо-
изолированной особенностью функции / (z), и обозначим через С

§ С] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОЭ 241
произвольный замкнутый контур, лежащий целиком в окрест-
окрестности этой точки, например, за С можно взять окружность доста-
достаточно большого радиуса. По-прежнему условимся называть вы-
вычетом функции / (г) относительно бесконечно удаленной точки
значение интеграла j-. \ f (z) dz с той лишь разницей, что интегри-
с-
рование совершается теперь по контуру С в отрицательном нап-
направлении, так как контур С нужно проходить по часовой стрелке,
чтобы бесконечно удаленная точка оставалась все время с левой
стороны. В окрестности бесконечно удаленной точки разложение
Лорана для функции / (г) будет (гл. VI, § 3, п. 2):
/(г) = с0 + i=L + c-f- -4- . . . + Clz + с^ + ... A0)
Так как этот ряд A0) сходится равномерно на контуре С, то мы
можем интегрировать почленно вдоль С"; замечая при этом, что
все члены, кроме второго, после интегрирования обратятся в нули,
находим:
J c_12ni,
с- с-
откуда следует:
-гНГ J /B)dz = -c_x, A1)
с-
т. е. вычет функции относительно бесконечно удаленной точки
равен коэффициенту при первой отрицательной степени разло-
разложения Лорана, взятому с противоположным знаком.
В случае устранимой особой точки, лежащей на конечном
расстоянии, вычет всегда равен нулю. Этого может не быть в
случае бесконечно удаленной точки. Так, например, функция
— в бесконечности имеет устранимую особенность, а соответствую-
соответствующий вычет равен —1. Пользуясь понятием вычета функции отно-
относительно бесконечно удаленной точки, легко убедиться в спра-
справедливости, теоремы:
Если f(z) есть функция, голоморфная во всякой точке расши-
расширенной плоскости комплексного переменного z, кроме конечного
числа особых точек, то сумма вычетов относительно всех ее осо-
особенностей (включая и бесконечно удаленную точку) всегда равна
нулю.
В самом деле, опишем из нулевой точки, как центра, окруж-
окружность С столь большого радиуса, чтобы все особые точки функции
(кроме бесконечно удаленной точки) лежали внутри этой окруж-
окружности. По основной теореме о вычетах значение интеграла
2^- \ f (г) dz равно сумме вычетов относительно всех особых точек
с

242 ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ [ГЛ. VII
функции / (г), лежащих внутри С. С другой стороны, вычет той же
функции относительно бесконечно удаленной точки изобразится
через ^ [ / (г) dz. Следовательно, сумма всех вычетов будет равна!
с-
2ni
с c-
5. Вычисление интеграла ^—. f <р (г) j—, dz. Пусть /(г)—
г
функция, голоморфная внутри замкнутого кусочно-гладкого кон-
контура Г и на самом этом контуре, исключая, может быть, конечное
число полюсов, расположенных внутри Г. Мы предположим еще,
что / (г) не обращается в нуль на Г. Тогда, обозначая через ау,
а3, ..., ак нули / (г) внутри контура Г, через ау, аг, ..., ak— по-
порядки этих нулей, через Ьу, Ъг Ьт и р1( р2, ..., рт — соот-
соответственно полюсы / (г) внутри Г и порядки этих полюсов, будем
иметь для любой функции ф (г), голоморфной внутри Г и на Г,
формулу
A2)
Результат, стоящий в правой части, можно прочитать как разность
между суммой значений ф (г) в нулях /(г) и суммой значений ф (г)
в полюсах / (г); при этом нужно только помнить, что каждое зна-
значение берется слагаемым столько раз, какова кратность соответст-
соответствующей точки (нуля или полюса). Для доказательства формулы
A2) применим к интегралу ^—г [ tp (z) , - dz основную тео-
r
рему о вычетах. Особые точки функции F (г) == ф (г) ¦, внутри
Г могут лежать либо в нулях, либо в полюсах / (г). Рассмотрим
сначала нуль at. В его окрестности имеем разложения в ряды
Тейлора:
/(г) = At (г - apt + .... /' (z) = Ага% (г - а,)"-1 + ....
причем А-, Ф 0. Отсюда для F (г) получаем:
г /,х _ [<p(Q,) + ...]-\Aja.i + ..-I
Это означает, что F (г) имеет в точке z = at полюс первого по-
порядка (при ф (а,) Ф 0). Вычет F (г) относительно аь находим по
формуле G):

§ I] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ 243
Заметим, что при ф (at) = О F (z) голоморфна в точке г = ait
но тогда и найденный нами вычет обращается в нуль; поэтому,
применяя основную теорему о вычетах, мы можем не делать раз-
разницы между случаями <р (а,) Ф 0 и <р (аг) = 0. Совершенно так
же находим вычет F (г) относительно полюса bj функции f (г).
В окрестности точки bj имеем разложения в ряды
f(z) = В,{г- b,)-».i + .... /' (г) = - Bffi,(z - bt)-»rl + ....
причем Bj Ф 0. Отсюда для F (г) получаем:
(после умножения членов дроби на (z — &/)р/+|)- Это означает,
что F (г) имеет в точке bj полюс первого порядка (при ф (bj) Ф
Ф 0). Вычет F (г) относительно Ь,- находим снова по формуле G):
Таким образом, сумма вычетов F (г) относительно всех ее особых
точек внутри Г равна
S
(=1
что и дает нам формулу A2).
Отметим важнейшие частные случаи этой формулы. Положим
прежде всего ф (z) = 1. Тогда формула A2) принимает вид
k
Здесь ? at = N представляет число нулей функции / (z) внутри
контура Г, а ? Ру= Р — число полюсов той же функции, причем
/='
каждый нуль или полюс считается столько раз, какова его крат-
кратность. Называя интеграл
У W А,
_LfL!
2Я( J /|
г
логарифмическим вычетом функции f (г) относительно конт ур* Г
(название это связано с тем, что ¦, * представляет логарифми-
логарифмическую производную/(г): —т— [In/ (г)]), приходим к следующему
предложению:
Логарифмический вычет функции f (г) относительно замкну-
замкнутого контура Г равен разности между числом нулей и числом

fi4'4 ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ 1ГЛ. VU
полюсов f (z) внутри Г, причем каждый нуль и каждый полюс счи~
тается столько раз, какова его кратность.
Применяя это предложение к функции / (г) — а, где а — произ-
произвольное комплексное число, находим, что интеграл ^-. [ ДгГ_ * »
Г
еде f (г) — функция, голоморфная внутри замкнутого контура Г
и на нем, за исключением, быть может, конечного числа полюсов
внутри Г, причем f (г) не обращается в а на контуре Г, равен раз-
разности между числом корней уравнения f {z) = a, лежащих внутри Г,
и числом полюсов? (г) внутри Г. В частности, когда/ (г) голоморфна
г. * 1 Г /' (г) dz
во всех точках внутри I без исключения, интеграл ^ , . _ д
г
дает число корней уравнения / (г) = а, лежащих внутри контура Г.
Другой важный частный случай формулы A2) получим, по-
полагая ц> (г) «= г. Тогда будем иметь:
22А- (И)
Правая часть этой формулы дает, очевидно, разность между
суммой нулей функции f (z), лежащих внутри Т, и суммой полю-
полюсов той же функции, причем каждый нуль и каждый полюс бе-
берется слагаемым столько раз, какова его кратность. Наконец,
полагая ср (г) = г", отметим еще формулу
1=1 /==1
дающую разность между суммами п степеней нулей и полюсов
/ (г), лежащих внутри Г.
§ 2. Приложения теории вычетов
1. Основная теорема алгебры. Формула A3) имеет многочис-
многочисленные приложения. Мы ограничимся лишь одним приложением
этой формулы, показав, что всякая целая рациональная функция
п-й степени
/(г) = аог" + ахг^ + ... + а„ (п ^ 1)
имеет п нулей, считая каждый нуль столько раз, каков его порядок.
Мы знаем, что целая рациональная функция степени п имеет
единственную особую точку — полюс порядка п в бесконечности
(гл. VI, § 4, п. 1), т.е. имеем: lim/(z) ~ оо. Следовательно,
2-ио
существует круг с центром в нулевой точке радиуса R такой, что
во всех точках, удовлетворяющих условию | г \ Зг R, функция
/ (г) по модулю больше единицы; таким образом, все нули нашей

I 2]
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
245
функции / (г) лежат внутри этого круга: | г| <J /?. На основании
формулы A3) предыдущего пункта число всех нулей данной функ-
функции будет!
4W
где интегрирование совершается по окружности С упомянутого
круга. Остается показать, что jV = п. С этой целью мы заметим,
что
1 /• у /г)
~Ы\ /(г) 2~~~
С
изображает вычет функции -уту- относительно бесконечно уда-
удаленной точки, а следовательно, Л^ равно этому вычету с обратным
знаком. Так как
исключая бесконечно удаленную точку, то отсюда получаем:
/' (г) d inf,, п ф' (г) п ,,
где г|з (г) — функция, имеющая в бесконечно удаленной точке
нуль не ниже второго порядка. Из соотношения A7) следует, что
вычет функции . ' для бесконечно удаленной точки есть
—п. Таким образом, имеем: N = п, что и нужно было доказать.
2. Теорема Руше. Пользуясь теорией вычетов, можно доказать
весьма полезное положение, известное под незнанием теоремы
Руше: если две функции гр (г) и ф (г), аналитические внутри и
на контуре Г, удовлетворяют на Г условиям ф (г) ф 0 и \ ty (г) | <|
<51 <р (г) |, то внутри Г функции ф (г) и ф (г) + ф (г) имеют оди-
одинаковое число нулей.
В самом деле, согласно § 1, п. 5 число нулей, лежащих внутри
Г, функции ф (г) + ip (г) будет:
так как функция ф (г) +1(; (г) — аналитическая Е1нутри и на са-
самом контуре (согласно условию на контуре она не имеет нулей).
С другой стороны, этот интеграл возможно представить так:
2ni

246 ТЕОРИЯ ВЫЧНТОВ ГГЛ. VII
Полагая ад = 1 + ¦ . ;—, мы видим, что последний интеграл равен
1
г,
J w '
где интегрирование распространяется по контуру 1\, описывае-
описываемому точкой w — 1 Н— . , когда z описывает Г.
Вследствие условия на Г имеем:
JL
Ф
и потому контур 1\ лежит целиком внутри круга с центром в точке
w = 1 радиуса единица. Так как этот круг не содержит внутри
себя начала координат, то
) Г dw =Q
2m J w
Г,
Итак, мы установили равенство
= I fiEld2>
которое и есть аналитическое выражение предложения Руше.
В качестве примера приложения теоремы Руше покажем,
что производная функции, однолистной в некоторой области,
т. е. принимающей разные значения в разных точках области,
не может обращаться в нуль в этой области. Допустив противное,
положим, что /' (а) = 0, где а — некоторая точка области. Тогда
/ (г) в окрестности точки а представляется степенным рядом / (г) =
= по + ak (г — а)к + ам(г — д.)А-+' + ..., где ак ф 0 и к :=. 2. Вы-
Выберем настолько малое число р, чтобы при | г — а \ <; р/' (г) не об-
обращалась в нуль в точках, отличных от точки а, и чтобы не об-
обращалась в нуль сумма ряда ак + ад.+1 (г — а) + ... Обозначая
через т (т>0) минимум величины \ak(z — a)k — а.м (г — а)*+! + ¦ I
при | г — а | = р, имеем по теореме Руше для всякого комплексно-
комплексного числа —а, модуль которого меньше чем т, что функции
—а + ак (г — а)к + аш (г — fl)*+1 + ... и ak(z — a)''-\-
+ fl/i+i (z — a)*+1 + ... имеют одно и то же число k нулей в круге
1 г —а\ <Ср. Но это значит, что уравнение /(г) ~ я„ -Ь
+ак(г—а)к + ... =а0 + а имеет k корней в этом круге, причем корни
простые, так как}' (г) Ф 0 при г Ф а. Мы пришли, таким образом,
к выводу, что значение д0 + а принимается функцией / (г) в
k (k 5= 2) различных точках, что противор€:чит предположению
об однолистности / (г).
3. Приложения теории вычетов к вычислению определенных
интегралов. Как мы видели в предыдущих пунктах, теория выче-
вычетов может быть приложена к решению вопросов теоретического

$ 2] ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ 247
характера. В настоящем пункте мы остановимся: на некоторых
приложениях теории вычетов к вычислению определенных интег-
интегралов.
Пусть / (г) есть функция, голоморфная всюду в верхней полу-
полуплоскости, включая действительную ось, за исключением конеч-
конечного числа особых точек alt ait ..., ak, лежащих сверху от действи-
действительной оси. Кроме того, предположим, что бесконечно удаленная
точка является нулем функции / (г) порядка по крайней мере
второго. В этих условиях имеет место формула
I /(х)dx = 2л/ У] res. J) относительно аи crS)..., ah. A8)
В самом деле, разложение Лорана функции / (;?) в окрестности
бесконечно удаленной точки будет:
Опишем из нулевой точки, как центра, полуокружность К,
лежащую в верхней полуплоскости, радиуса R столь большого,
чтобы все особые точки а1, а2, ..., ак находились внутри полукруга,
граница которого состоит из полуокружности К и отрезка
(—R, -\-R) действительной оси (рис. 92). В силу основной
теоремы о вычетах (§ 1, п. 2)
J,
= 2nt 2j res. относительно alt a2 ak.
B0)
Покажем теперь, что j / (г) dz стремится к нулю, когда ра-
радиус R стремится к бесконечности. В самом деле, во всех точках
полуокружности К имеем на основании A9):
Выражение в скобках неравенства B1) может быть сделано сколь
угодно малым, например меньше единицы, начиная с достаточно
большого R. Следовательно, из неравенства B1) получаем:
B2)
Читать: сумма вычетов.

248 ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ 1ГЛ. VH
всюду на полуокружности К, начиная с достаточно большого R.
Пользуясь неравенством B2), оценим величину модуля интеграла
\f(z)dz:
' ' f(z)dz
I*
т. е. имеем:
II"
lim f/B)d? = 0.
Заметив это, из формулы B0) переходим к пределу при R,
стремящемся к бесконечности, получим:
I / (x) dx = 2ni 2j res. относительно^, a2,...,ah,
—oo
что и доказывает формулу A8).
+ 00
Примеры. 1. Вычислить интеграл I у——j. Подынтегральная функция
-оо
¦с——-j- есть голоморфная всюду в верхней полуплоскости, кроме точки г = i, где
она имеет простой полюс с вычетом, равным , так как A -f- г?)' = 2z, и, сле-
следовательно, искомый вычет будет:
1 1
(§ 1, п. 3)
В бесконечности наша функция имеет нуль второго порядка, если примем
1 *. / ии
Таким образом, искомый интеграл вычисляется по формуле A8):
+»
J 1 + х- 2i
Jdx
д , где п ^ 1. Подынтегральная функция
2 t удовлетворяет, очевидно, условиям приложимости формулы A8),
причем имеем в верхней полуплоскости полюс (п + 1)-го порядка в точке г~ i.
Чтобы найти соответствующий вычет, образуем выражение
= ^1 :^~' (г + (Jn+1 *

ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
249
Переходя к пределу в этом выражении при г, стремящемся к i, получим значе-
значение искомого вычета (§ 1, п. 3):
2)...2я
B/1) )
п I B/Jл+1
Следовательно, по формуле A8) будем иметь:
{n\)l2Zn2i '
I
dx
= я-
Bя)!
(п\J22п'
3. Иногда удастся с помощью простои подстановки так преобразовать искомый
интеграл, что преобразованный интеграл вычисляется на основании основной
формулы Коши или формулы, полученной из нее путем дифференцирования.
2л
Так, например, чтобы вычислить интеграл cos2"* dx, сделаем подста-
о
новку exl = t, которая переводит отрезок действительной оси 0 < х ^: 2л в
окружность С с центром в нулевой точке радиуса единица плоскости ?. Та-
Таким образом, получаем соотношение
2я 2я
о о
Из основной формулы Коши находим:
+ С2J'1 dt 2m
г,'J'1 d:
B3)
Bя) I
1
Заметив, что —
t2n
есть коэффициент при tf в разложении
бинома (l + ?2J", находим для него значение
2л Bл— ])...(« + I) Bл) I
1-2.../1
(л IP-
-г
'¦/¦
Рис. 93.
Внося его в формулу B3), окончательно
получим:
2я ""
С Bя)!
J COS 2" XdX = 2n 22л ,п ,р ~
и
-2 ьз'5---Bп — ')
2-4-6...2/1
ао
4. В заключение вычислим еще интеграл | dx. Из наших рассуж-
о
дений будет также следовать существование этого интеграла. Мы будем отправ-
ляться от интеграла \ —— dz, принимая за путь интегрирования замкнутый
контур, указанный на рис. 93.

250 ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ СРЛ. Vir
Так как внутри контура интегрирования подынтегральная функция имеет
единственную особую точку при г = 0 с вычетом, равным единице, то по основной
теореме о вычетах (§ 1, п. 2) имеем:
-г R
t>xi С pzi Г exi С '"
+
Отметив очевидное равенство
-г R
С exl , С e-xl .
\ dx = — \ dx,
~R r
соединим первый и третий интегралы равенства B4) в один!
-г R R
-Я
после чего равенство B4) примет вид
R
С е*1 . , С е*1 . „.Г sine .
\ dx + \ dx = 2i \ dx,
J x J x J x
2, [sm_x_dx+ ( ?lLd2+ Г ~Л = 2п/. B4')
r -r, +r
Чтобы найти интеграл I dx, заставим теперь г стремиться к пулю, a R —
sin х
б
к бесконечности. Покажем, что интеграл \ —dz стремится при этом к
-R. +R
нулю.
В самом деле, разложим интеграл
\ -j- dz = ( e~R sln <р+'я cos ф dip (г =
-я, -t-я
й я-3 л
на три части: + + > причем 6 (б > 0) выберем столь малым, чтобы
о о п-а
6 л
оба интеграла [ и [ по модулю были меньше, чем в/3, где е > 0 — сколь угод-
J J&
Это возможно сделать, так как
б д
f e-R sin Ф+ tfcosip dq> ^ f й-«
о
ио малое число. Это возможно сделать, так как, например, имеем;
а
' sin

5 e)
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧНТОВ
251
потому что e'R sln '^ 1, и, следовательно, достаточно взять 6 = е/3. После того
кан мы фиксировали постоянное б, рассмотрим интеграл
я-6
^ф?-Я Si ncp+l/? COS ф_
Очевидно, имеем:
Так как при
J d(f,
,—R sin f-{-iR cos <f
я—в
d((e-R sin ц>1
л— б будет: sin ф^ sin 6, то имеем
е~R sin <р ^ р—Я sin
Поэтому получаем:
t~R ?ln «
(л — 26)
что будет меньше s/З, начиная с достаточно большого R. Итак, мы показали}
I 4
при достаточно больших значениях R, т. е.
С e?i
Л-*оо J T" Z ~
B5)
-Я,
Остается найти предел интеграла
2Л
-Г+Г
,—г sin (p+iV cos q;
dtp
при г, стремящемся к нулю, что будет равно л/, так как подынтегральная
функция ё~ r sln ф + и со* У стремится при г-»-0 к единице равномерно относи-
относительно (р.
Таким образом, формула B4') в пределе при R -*¦ с>о , г->0 нам дает:
f sin x j . f sin.v
ax -\- ni = 2ж, или
J X J X
л
4. Разложение ctg г на простейшие дроби. Мы применим сей-
сейчас основную теорему о вычетах к задаче разло;кения функции
ctgz в бесконечный ряд простейших дробей.
cos г
Прежде всего заметим, что функция ctgz = —г— есть меро-
S111Z
морфная с полюсами в тех точках, где sin2 обращается в нуль.
Вспомнив, что все нули функции sin 2 будут вида zk — kn

252
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
[ГЛ. VII
(k = 0, ±1, ±2, ...) (гл. II, §4, п. 7) и замечая, что в этих точках
(sin г)' = cos г не обращается в нуль, мы заключаем: функция
ctg г будет иметь простые полюсы в точках zk с вычетами rk, вычис-
вычисляемыми по обычной формуле
COS 2
(sin г)'
= 1.
Таким образом, главная часть функции ctg г в полюсе г = kn
будет:
г — kn
±1, ±2,...).
В частности, в полюсе 2 = 0 главная часть будет 1/г, причем
lim (ctg г — 1/г) = о. B6)
Заметив это, покажем, что функция ctg г будет ограничена по
модулю на всей плоскости, если мы выделим из плоскости кружки
| г — kn | < р с центрами в точках kn одного и того же радиуса
р, где р — произвольное заданное по-
положительное число (рис. 94).
Так как функция ctg г имеет период
л, то достаточно рассмотреть ее зна-
значения в замкнутой полосе S, ограни-
ограниченной прямыми х — 0 и х — л (рис.
94), причем из этой полосы удалены
внутренности полукружков с центрами
в точках г = 0 и г = л радиуса р.
Во всякой ограниченной части по-
полосы S наша функция ctg z непрерыв-
непрерывна, а следовательно, ограничена по
модулю. Таким образом, нам остается лишь показать, что'модуль
jctg2 | остается ограниченным, когда точка z = х + iy любым
образом удаляется в бесконечность, оставаясь в полосе S, т. е.
при 0<;х<ли1/->+оо или г/-* —оо. С этой целью отправ-
отправляемся от формулы
Рис. 94.
ctg г = i
= (¦
,—lx
е1Х — elJe
заменяя здесь модуль числителя суммой модулей, а модуль знаме-
знаменателя абсолютной величиной от разности модулей, имеем:
откуда легко усматриваем, что при у -*¦ ±со правая часть пос-
последнего неравенства стремится к пределу 1.
Таким образом, при всех достаточно больших по абсолютной
величине значениях у мы вправе принять, например, |ctgz| <<2.

ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ 253
Проведем теперь окружности Сп с центром в начале координат
и радиусами (п + 1/2)я. Считая р достаточно малым, например
р = л/4, мы видим, что наши окружности Сп не будут проходить
через выделенные на плоскости кружки, и, таким образом, по
только что доказанному на этих окружностях | ctg 2: j будет огра-
ограниченным:
|ctgz|<Af. B7)
Рассмотрим интеграл вида
где интегрирование совершается по окружности С, в положитель-
положительном направлении, а г — любая точка внутри Сп, отличная от
полюсов функции ctg2. Чтобы применить к интегралу B8) основ-
основную теорему о вычетах, заметим, что подынтегральная функция
внутри контура С„ имеет полюсы в точках z и zh = kn (k = О,
±1, ±2, ..., ±л) с вычетами, соответственно равными
, 1 1
ctfiZ и Th—г==~7=Тп-
Следовательно, применяя основную теорему о вычетах, будем
иметь:
п
1
J_ f _?liLdr-cte2 —
Сп k=-n
где штрих у знака суммы показывает, что надо исключить сла-
слагаемое, соответствующее k = 0. Заставляя в последней формуле
г стремиться к нулю, воспользовавшись соотношением B6), найдем:
1 г
2я« J
1
кл
Вычитая это равенство из предыдущего, будем иметь:
г
Покажем теперь, что интеграл, стоящий в левой части последнего
равенства, стремится к нулю при неограниченном возрастании п.
В самом деле, принимая во внимание B7) и замечая, что
найдем:
J_ f ctgg
2ш J 1A —
г)
nn- I г|

254 ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ [ГЛ. VU
откуда вытекает стремление к нулю интеграла левой части соот-
соотношения B9) при п-уоо. Переходя, наконец, к пределу при
/г->-оо, из соотношения B9) получим:
ИЛИ
lt=—oo
Существенно отметить, что согласно выводу формулы C0) в беско-
бесконечном ряде C0) мы должны соединять в один член два слагаемых,
соответствующих индексам k и —k. Однако мы можем рассмат-
рассматривать в формуле C0) бесконечный ряд обычным образом, так
как легко показать, что он абсолютно сходится и, следовательно,
его сумма не зависит от порядка членов. Действительно, покажем,
что наш ряд сходится абсолютно и равномерно во всякой ограни-
ограниченной области, если отбросить конечное число первых слагае-
слагаемых, имеющих полюсы в этой области. Заметив, что общий член
ряда будет _ *п)ы , мы будем иметь:
(г
Ц | k |
так как во всякой ограниченной области \z\ < L.
Коэффициент при I//?2 при неограниченном возрастании | k \
стремится к конечному пределу —^, а ряд N -р-, как известно,
fc=-oo
сходится. Следовательно, ряд C0) сходится абсолютно и равно-
равномерно в любой ограниченной области плоскости, если пренебречь
конечным числом первых его членов. Группируя попарно слагае-
слагаемые, относящиеся к значениям k, одинаковым по абсолютной
величине, но различным по знаку, мы можем переписать формулу
C0) в виде
ИЛИ

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. VII 255
Упражнения к главе VII
1. Вычислить с помощью теории вычетов интегрялы
со 4"°° Ч~ °°
С sin х dx Г cos xdx С cos x dx
J J J '
J x(x*+ I)
0 »-OC
Г cos xdx С
2 ' J 1 +x" * J
an, -J(.-i);
2. Вычислить вычеты функцип:
б) г— при г = гг и при г = г2
()т()
в) е1 2 при г = 1;
г) при г =
1 — ег
Отв. а) + 1 и - 1; б) ?2 и ^—-; в) 1; г) - 1.
(г2-г:)т (z2-?i)'n
3. Функции /(г) и g (г) голоморфны в точке Zo, причем f (г0) Ф 0, a g (г)
имеет при г = ^ нуль второго порядка. Какой вычет имеет •! в точке г0?
Ояи. й'&2~йЛ , где av = -i- / (v) (г0) и *v = -L g (v) (г0) (v = 1, 2, 3).
OO ¦
4. Зная, что e~'2 dt = -=• 1^я, вычислить интегралы Френеля
о
ОС ОС
| cos (Z2) dt = \ sin (/2) dt — -q-I/ -5-, отправляясь от функции е'*г и нптег-
(I О
рпруя ее вдоль замкнутого пути С, который идет от 0 по действительной оси до
. я
, затем вдоль | г | = /? до точки /?е 4 и отсюда по прямой к точке 0.
5. Вычислить igmdz, где С есть окружность j г | = и {и = 1, 2, ...).
G
G
Ome. — Ani.

ГЛАВА VHl
ТЕОРЕМА П ИКАРА
В гл. VI, § 2, п. 6 мы исследовали поведение однозначной функции в окрест-
окрестности существенно особой точки, установив предложение Сохоцкого. Эта теорема
показывает, что в сколь угодно малой окрестности существенно особой точки
функция принимает значения, сколь угодно близкие к любому наперед заданному
числу, Как было там же упомянуто, Пикар доказал более общее и глубокое пред-
предложение: в сколь угодно малой окрестности существенно особой точки функция
f (г) принимает (и притом бесконечное число раз) любое конечное значение, за
исключением, быть может, одного. Эта замечательная теорема будет устанозлена
в конце настоящей главы.
§ 1. Предложение Блоха
1. Теорема об обращении голоморфной функции. Рассмотрим функцию ш =
= F (г), голоморфную при I г| ^ R, причем I F (г) I г^ М. Пусть F @) = 0 и
| F' @) | = а > 0.
Тогда существует такое число Ф, зависящее толькс от М и от произведения
aR, что в круге | w | •< Ф функция, обратная w = F (г) , будет однозначной и
по модулю меньшей, чем R.
Для доказательства этой теоремы будем исходить из разложения F (г) в
ряд Тейлора:
Коэффициенты разложения удовлетворяют неравенствам Коши (гл, V, § 2, п. 8)
1"лК-^- (А =1,2,3 ),
откуда, в частности,
а=|в,|<-^-. (I)
На окружности |z|= r @<r^iR) для модуля | F (г) | получаем оценку
Т
При г= р = R I 1 — 1/ jj-r—к) функция ф (г) имеет максимум, равный
ф = ф (р) = М + (aR -f М) — 2VM (aR + М) = (l^aR + М — У~МJ > 0.
B)

§ 1 ] ПРЕДЛОЖЕНИЕ БЛОХА 257
Последнее число удовлетворяет всем условиям теоремы. Действительно, для
всякого w, меньшего по модулю, чем Ф, уравнение F (г) — w — 0 имеет по тео-
теореме Рушс в круге \z\ < ¦> столько же корней, сколько их имеет в этом круге
уравнение F (г) ~ 0. Но !мследцог> н.меиг только одг.-м корень z — 0, ибо при 0 ¦<
> | г ] (,« - | и, I р _ | <>,, | (>2 -...)> | г | -^- > 0.
Кроме того, Ф предстаиляот функцию от М и н/?._Итак, для псякого oj, принад-
принадлежащего кругу \w\<. Ф -- (VaR -'.- iVi — И' -М)", уравнение F (z) =-¦ а»
имеет одно п только одно удовле! нориющее нерааеисгву | г \ < р < /? решение.
Теорема доказана.
Заметим, что в силу равенства (I)
V Mj М.(\/2 + \У GM
(так как (Vl + if = 3 + 2 У2 < G).
Следовательно, выражение B) можно заменить более простым и также удов-
удовлетворяющим условию теоремы выражением
Ф(/И, aR) =¦—• C)
2. Доказательство предложении Блоха. Предложение, уст,! нов ленное в п. I,
геометрически может быть формулировано следующим образом. Рассмотрим
семейство функций
w = F (г) = г -f й2г2 + ..., D)
голоморфных в круге | z\^R и таких, что | /¦' (г) |^cr. M. Какова бы ни была функ-
функция семейства D), существует в плоскости w круг с цептро.м в начпеь/оердипа т
А12
радиуса Ф (М, R) = т^ть который с помощью фупкцчи w = F (z) взанччо од-
однозначно отображается на некоторую область, лежащую вчутри |z|</?.
Очевидно, радиус Ф этого 1\р)тга уменьшили; ,ес1и мы рс ширин н^ше се-
семейство функций путем увеличения М. Естественно ожидать, что для семейства
функции D), модуль которых не ограничен никаким постоянным числом в круге
|г| sc R, вообще не может существовать и плоскости w круга с центром в начале,
координат постоянного радиуса, котор-ый покрывался бы значениями любой
функции этого семейства.
Действительно, это легко обнаружить на примере. Пусч,
wB = ?, {е1;Е — 1) — г -]- ...
Так как ezt не раппо нулю ни при каком г и в (н > 0), то w не принимает зна-
значения — е. Таким образом, какой бы малым1 крут постоянного радиуса с. центром
в начале координат плоскости w мы пи в.чяли, внутри него при достаточно малом
е найдется точка —е, которая заведомо не будет значением соответствующей
функции Sa нашего семейства.
Однако, варьируя в зависимости от фупшпш семепстад. центр круга плос-
плоскости w, сохраняя при этом радиус его неизменным , мы можем выбирать пою-
9 11. И. Прнвалоа

258 ТЕОРЕМА ПИК.АРА [ГЛ. VI11
жение этого круга так, что он будет сплошь состоять из точек, изображающих
значения функции данного семейства. Более того, мы сейчас докажем теорему
Бло.ча, обобщающую только что высказанное утверждение, а именно:
Какова бы ни была функция семейства
w — F (?) — 2 + игг* -|- ...,
голоморфная при \г\ ¦< R, существует круг плоскости w с центром в некоторой
точке, который взаимно однозначно отображается не некоторую область, ле-
лежащую внутри | 2 ! < /?. Радиус этого круга не зависит от функции, т. е. неко-
некоторой постоянное (зависящее только от R).
Не уменьшая общности, мы можем принять R — 1. В самом деле, образуем
вспомогательную функцию
Эта функция будет голоморфной в круге | л-1 s^ 1. Допустим, что мы доказали
нашу теорему для функции <р (х) и получили для нее круг в плоскости ср с цент-
центром в некоторой точке абсолютно постоянного рлдиуса В, который взаимно одно-
однозначно отображается на некоторую область внутри | х | < 1. Тогда, возвращаясь
к общему случаю и замечая, что | F (Rx) | = /? ] ф (л:) |, мы заключаем: существу-
существует круг плоскости w = F с центром в некоторой точке, взаимно однозначно ото-
отображающийся на некоторую область внутри \z\<R. Радиус этого круга
равен ER.
Для доказательства введем вспомогательную величину
<>(«) = 17 шах |ф'(*)| (()<¦»< 1).
|*|<1-в
Q ($) как функция 0 обладает свойствами:
1) Q @) = 0; 2) Q A) = 1; 3) Q ({)) непрерывна. Таким образом, существует
00> 0 такое, что Q F1О)= 1. п то время как при О < гH имеем: й@)< 1. Обо-
Обозначим через ; (| \ | = 1 — ©о) точку, в которой | ф' (х) \ достигает максимума
для значении | х I <; 1 — #0.
Тогда
l«p'(S)| = l/*e-
В круге | х — ? | < 00/2 имеем: | ф' (х) \ ^ 2/О0, так как этот круг составляет
часть круга | * | <=: 1 — f)(l/2, и согласно определению Q @) получаем:
Отметим теперь формулу
X
w* = Ф (х) - ф A) = J ф' (/) dt.
Так как в круге | х — 11 ^ QJ2 все время | ф' (д^) [ ;g 2/#0, то в этом круге будет:
| w* | = | ф (х) — ф (|) | < — 2/*„-О„/2 = 1. Итак, функция w* = ф (х) — ц> (?)
есть голоморфная в круге | д:— Е ] < —, причем | w* \ <: 1, ш* (?) = 0, | аи*' (|) | =
= I Ф' (I) | = 1/во.
Применяя результат п. 1 к функции w*, получим:
а = |ш*'(?I=1/во, «а = ©„/2.1/*0=1/2, М=*\.
Отсюда следует вследствие результата п. 1, что обратная функция для ш*=
= ф (х) — ф (|) есть однозначная внутри круга
(l, -g-) = в.

§ 2] ТЕОРЕМА ЛАНДАУ 259
Иными словами, круг с центром в точке ср (|) плоскости ф радиуса В взаимно
однозначно отображается на некоторую область, лежащую внутри круга | х —
— ? | < tto/2, т.е. на область, внутреннюю к кругу | х j <; 1.
Примечание. Очевидно, предложение Блоха останется в силе, если
рассматривать функции, голоморфные лишь внутри круга \х\ < 1. В этом слу-
случае абсолютное постоянное В должно быть заменено постоянным В1} считая В± <.
< В. Действительно, достаточно применить результат Блоха к области | *! ¦< 1 —в
(е > 0), в которой данные функции голоморфны. Радиус круга Блоха будет
Bi ~ В (I — е), т. е, любое постоянное, меньшее В.
§ 2. Теорема Ландау
1. Доказательство теоремы Ландау. Обращаясь теперь к приложениям
результата Блоха (§ 1, п. 2), рассмотрим функцию w = / (г), голоморфную внутри
круга | г | < 1 и выпускающую два значения 0 и 1. Построим вспомогательную
функцию
Эта функция F (г) будет голоморфной внутри круга | z| < 1, так как данная
функция / (г) в этом круге не равна пулю и не равна единице. Кроме того, функ-
функция /" (г) выпускает значения вида ± In \\f п — V п — 1] -)- 2inni (ft ^ 1 —
целое, m — любое целое), которые образуют а плоскости F множество точек Е.
В самом деле, разрешая уравнение E) относительно / [г), найдем:
E')
и, следовательно, полагая F (г) равным любому значению множества Е, имели
бы:
4г К V'n:pK/TriJ+( Vn± У7Г=1)*\ ~ A./1-2)
1(г) = — е> = — е2 = 1,
что невозможно.
Каждая точка плоскости F отстоит от множества точек Е (т. е. от ближайшей
точки этого множества) на расстоянии, меньшем Ь, где Ь — некоторое постоянное,
что непосредственно вытекает из равенств
— In {Vn — VrT^'l) = In —— ' = In (V"h + VrT^\) ->- oo
у ft — F n — 1
In (Vn-\-l+ Vn) - In (V n + Vn - 1) = In ' ' '-Z-^- -y 0.
У ft + V~n— 1
Предполагая F' @) ф 0, рассмотрим функцию
F(z)-F@)
F'@) Z + lh! +•••
Для этой функции существует в силу результата Блоха (§ 1, п. 2) круг с центром
в некоторой точке ее плоскости, постоянного радиуса Bj, сплошь покрываемый
ее значениями. Следовательно, для функции F (г) будет существовать круг с
центром в некоторой точке плоскости F радиуса В^ \ F' @) |, сплошь покрывае-
покрываемый значениями F (х). Так как этот круг не может содержать точек множества Е,
то должно выполняться неравенство
Bi I F' @) | < Ь, или | F' @) | < Ь/В1ш
9*

260 ТЕОРЕМА ПИКАРА [ГЛ. VIII
Последнее неравенство получено в предположении, что F' @) Ф 0, но если
F' @) -— 0, то это неравенство подавно справедливо.
Итак, имеем:
\F'@)\<bjB1 = C1, F)
где Ct — постоянное, не зависящее от функции F (г). Возвращаясь к данной функ-
функции / (г), определенной формулой E'), пользуясь установленным неравенством
F), получим:
|/'@)|<L[/@)], G)
где L — символ определенной операции, не зависящей от вида функции /. По-
Последнее неравенство непосредственно приводит нас к теореме Ландау, которая
может быть сформулирована таким образом:
Если /(г) = a -f- pz + a2z? + ... (р ф 0) есть голоморфная функция внутри
круга \z\<R, не принимающая вначений 0 и 1, то имеет место неравенство
R<Q(a, p1),
где Q (а, Р) зависит только от а и р.
В самом деле, полагая ф (г) = / (Яг), получаем функцию ф (г), голоморфную
при |г| < 1 и выпускающую два значения: 0 и 1. Применяя к этой функции до-
доказанное неравенство G), получаем: | ф' @) | < L [ф@)], или, возвращаясь
к данной функции /, перепишем последнее неравенство так:
R [/' @)] < L [/ @I, или R | р | < L (а),
откуда вытекает:
«<-
г
2. Малая теорема Пикара. Задолго до открытия Ландау Пикаром была уста-
установлена следующая теорема для целых функций': всякая целая фрикция, не рав-
равная тождественно постоянному, принимает любое конечное значение, кроме,
Сыть может, одного.
Иными словами, уравнение / (г) = А, где /(г) есть целая функция, имеет
корень при венком конечном значении комплексного числа А, кроме, быть может,
одного исключительного значения. Примером целой функции с исключительным
значением может служить е', которая не равна пулю ни при каком г. Примером
целой функции, не имеющей исключмтельшго лмчеикя, иожет ?\лужь'ть любая
целая рациональная функция или sin г. Рассматриваемое предложение Пикара
яаляется частным случаем теоремы Ландау, установленной в п. 1. Б самом деле,
предполагая, что целая функция / (г) выпускает два цкзличных конечных зна-
значения а и 6 и ие равна тождественно постоянному, мы немедленно придем к про-
противоречию на основании теоремы Ландау.
Образовав функцию F (г) = —-1——, мы видим, что она голоморфна во
О О.
всей плоскостиj ие npniiHsiaei значений 0 и 1 и не равна тождественно постоянному.
Следовательно, найдется такая точка — примем ее за начало координат, — в ко-
которой производная F' @) — Р не равна нулю. Пусть разложение нашей функции
в степенной ряд будет:
F(z) = a+ Рг+а2гЧ- ...
Так как функция F (г) голоморфна и не принимает значений 0 и 1 внутри круга
произвольного радиуса R: \z\<R, то по теореме Ландау имеем:
Ж О (а, Р).
Противоречу: зость этого неравенства очевидна, так как в левой его части
стоит произвольно большое число J?, а в правой — постоянное число Q (а, Р),

§ 3] НЕРАВЕНСТВО ШОТТКМ 261
§ 3. Неравенство Шоттки
1. Вывод неравенства Шоттки. Для установления так называемой большой
Теоремы Пикара, содержание которой было формулировано в начале этой главы,
нам необходимо вывести одно неравенство, известное под наз?;апием неравенства
Шоттки. Вывод этого неравенства мы выполним на основании результата Бло-
Блоха (§ 1, п.2), пользуясь методом, аналогичным примененному в § 2 (и, I) для
доказательства теоремы Ландау.
Рассмотрим функцию / (г), голоморфную внутри круга | z \ < 1 и выпускаю-
выпускающую значения 0 и 1. Переходя к вспомогательной функции F (г), определенной
формулой E) в § 2 (п. 1), рассмотрим выражение
где | 2 | ~ г. Это выражение будет голоморфной функцией ? внутри крута | ? ! <
<С 1, причем ф @) -: 0, ф' @) = 1. В силу результата Блоха (\ !, и.2) для этой
функции существует круг с центром в некоторой точке плоскости ф абсолютною
радиуса В|, который сплошь покрывается ее значениями. Следовательно, в плос-
плоскости F найдется круг с центром в некоторой точке радиуса BL A — г) \ F' (г)\,
сплошь покрываемый значениями функции F \z-\- A — г) t\ при | ?| < I,
а потом1.1 и подавно значениями /•' (?) при s_| ¦< !. Так как, с другой стороны,
функция F Q при | ?| < 1 выпускает значения, изображаемые точками множе-
множества Е (См. § 2, п. 1), то имеет место неравенство
BIA - r)\F' (г)\<Ь,
где Ь — абсолютное постоянное, большее расстояния любой точки плоскости F
до множества точек Е.
Последнее неравенство перепишем в виде
Это неравенство выведено в предположении F' (г) Ф 0, но ь случае F' (г) = 0
оно очевидно. Итак, неравенство справедливо при всяком 2, |г|= г< I.
Отметим очевидное тождество
г
F(z) = F @) + j F' (/) dt.
о
Так как
то считая за путь интегрирования прямолинейный отрезок длины г, соединяющий
точки 0 и г, получаем из последнего тождества неравенство
: I '¦ @) 1 + 4-
В 1 — г "
Возвращаясь к данной функции / (г), связанной с / (г) формулой E'), и пользуясь
Лоследним неравенством, получим:
|/B) |</. [ПО), Г\,
или, замечая, что F @) выражается через f @), окончательно находим:
|/B)| <О |/@), г], (9)
где Q зависит только от / @) и /¦ = |г|.

262
ТЕОРЕМА ГШКАРА
[ГЛ. VMI
Вследствие голоморфности функции / (г) установленное неравенство ('"¦),
очевидно, остается в силе при | 2 | < г. Неравенство (9), принадлежащее Шсттин,
показывает, что если семейство функций, голоморфных и выпускающих двг гна-
чеиия, 0 и 1, внутри круга | г | ¦< 1, имеет один и тот же свободный член / @),
то модуль любой функции этого семейства в круге | г [ < г (г<. 1) остается меньше
некоторого постоянного числа, зависящего только от г. К этому предложению
можно привести общий случай, когда рассматриваемая функция / (г) будет голо-
голоморфной и выпускающей значения 0 и 1 внутри круга |г|</?.
В самом деле, полагая ср (х) = / (Rx) =-/ B), мы получаем функцию, удов-
удовлетворяющую условиям доказанного неравенства (&), причем <р @) = / @).
Следовательно, вследствие неравенства (9) будет:
I Ф (х\ | < Q [/ @), г] при | х | ^ г < 1,
| / (г) |< Q [/ @), г] при I z |
Яг.
Итак, если / (г) есть функция, голоморфная и выпускающая значения 0 и
1 внутри круга |г| < R, то в круге |г|< R-fJ (Ф < 1] имеет место неравенство
, 0].
A0)
Примечание. Из неравенства A) вытекает также оценка снизу | / (г) |
в круге |г| •< Rd. В самом деле, функция -,—- удовлетворяет всем условиям
теоремы Шоттки, а потому тугуГ *^ ^ f nr ^ ПРИ I 21 ^ ^®- Отсюда
следует:
1
= «I I/ @),
A0')
Неравенство A0') справедливо в круге 121 sj/?§.
2. Обобщенное неравенство Шоттки. При доказательстве теоремы Пнкзра
нам придется пользоваться неравенством Шоттки в обобщенном виде. По дока-
доказанному в предыдущем пункте модуль функции / (г), голоморфной и выпускающей
два значения, 0 и 1, внутри круга \г\ < R, на круге ! z | s? /<f), заключен между
двумя пределами, которые зависят только от значения функции в центре круга
и числа Q, представляющего отношение радиусов наружного и внутреннего кру-
кругов. Предполагая а <: |/ @) | s~ P, покажем, что эти пределы можно считать за-
зависящими лишь от а, р и 0. В этом и будет заключаться нужное нам обобщение
неравенства Шоттки.
Для этого, возвращаясь к рассуждениям п. I, заметим, что наше утверждение
будет оправдано, если мы покажем справедливость неравенства
где F вспомогательная функция п. 1, а I (а, |3) зависит только от а и (J. Заметив,
что
F 10) =
немедленно получаем:
If @I
In | / @) ||
'2п
In ; / @) jj
2n
2я.

$ 4] ОБЩАЯ ТЕОРЕМА ПИКАРЛ 263
Обозначив через 1п+<т число 1па, если о> 1, и нуль, если о < 1. Тогда,
очевидно, справедливо равенство
| In а | < 1п+0 -4- 1п+ — ,
и неравенство
ln+0<jln+0', если
Так как
a<|/@,|<P, то -1
и, следовательно, можно написать:
откуда становится очевидным неравенство
|F@)|</(a, р).
Получив верхний предел для модуля функции / (г) в круге | г| <! Rft, зави-
зависящем лишь от a, P и 4, мы для определения нижнего предела применим полу-
полученное неравенство к функции 1// (г), как это было сделано в примечании к п. 1,
замечая, что в данном случае модуль значения в центре заключен между числами
1/р и I/a. Итак, обобщенное неравенство Шоттки формулируется в следующем
виде: если / (г) есть функция, голоморфная и выпускающая два значения, 0 и 1,
внутри круга \z\ < R, причем a < | / @) | «г Р, то в круге | z|< Rb выполняется
неравенство
Й^а, р, 0)<|/(г) |< О (а, р, 0). A1)
§ 4. Общая теорема Пикара
Пользуясь предложением Шоттки, мы в состоянии доказать общую теорему
Пикара, формулированную в начале этом главы. Таким образом, теперь должно
быть доказано, что функция f (z), голоморфная в некоторой окрестности существен-
существенно особой точки, моокет выпускать о ней не более как одно конечное значение.
Допуская противное, мы примем, что / (г) выпускает два конечных значения, за
которые можно считать 0 и 1. Путем линейного преобразования независимого
переменного мы можем достигнуть того, что существенно особая точка будет
бесконечно удаленной точкой,а функция / (г) будет голоморфной и отличной от
нуля и единицы при \г\^ 1/2.
На основании теоремы Сохоцкого (гл. VI, § 2, и. 5), углублением которой и
является доказываемое предположение, возможно задать бесконечную последо-
последовательность точек Хп, сходящуюся к бесконечно удаленной точке lim "кп = оо,
П-*оо
так, чтобы имело место неравенство
1/2 <|/(*„) |< 1,
каково бы ни было п.
Функции /„ (г) = f (>.,,z) для больших значений п голоморфны в области | г | :>
> 1/2, причем 1/2 < \fn A)| < 1.
Прилагая теорему Шоттки (§ 3, п. 2) к кругу с центром в точке г = 1 радиуса
1/2, мы видим, что эти функции в круге с центром г= 1 радиуса 1/4 по модулю
заключены между двумя постоянными. Отправляясь от круга с центром z = I
радиуса 1/4, возможно построить цепь из конечного числа кругов радиуса 1/4
с центрами на окружности | г\ = 1 так, чтобы центр каждого следующего круга
лежал внутри предыдущего круга, и так, чтобы они в своей совокупности покры-
покрывали окружность | г | = 1. Последовательное многократное приложение обоб-
обобщенной теоремы Шоттки к кругам радиуса 1/2, концентрическим с звеньями цепи,

264 ТЕОРЕМА Г1ИКАРЛ [ГЛ. VIII
нам показывает, что в области, выметаемой кругами радиуса 1/4, все функции
/„ (г) ио модулю заключены между двумя постоянными числами. В частности,
зги функции на окружности |z|= 1 ограничены по модулю. Это утверждение
равносильно тому, что функция I (г) на всех окружностях [г|=|/.п| имеет модуль,
меньший постоянного числа. Так как функция, голоморфная в кольце, включая
и его границу, достигает максимума своего модуля на границе, то |/ (г) | в области
| z | ;> 1/2 меньше этого же постоянного числа. Это язляется противоречием с
теоремой Сохоцкого, что и доказывает справедливость общей теоремы Пнкара.
Прилагая доказанное к функции / (г/о) (о < 1), мы видим, что/ (г) в области
\2\^> 1/Bо) принимает все конечные значения, за исключением, быть может,
одного. Но так как функция / (г) обладает этим свойством в каждой области
| г | ^> 1/Bо), то она принимает все конечные зг.ачекад, кроме исключительного,
бесконечное число раз.
Упражнения к главе VIII
1. Целая функция, которая каждое значение принимает только один раз,
есть целая линейная функция.
2. Функция, обратная целой функции, не может быть целой функцией, кроме
случая линейной функции.
3. Доказать теорему Лиувилля, пользуясь интегральной формулой Коти.
4. Существуют ли целые трансцендентные функции, которые па каждом
луче, выходящем из нулевой точки, по модулю стремятся к -j- oo?
Отв. Да; пример: е* + г.
5. Показать справедливость теоремы Пикара для функнич е', т. е. опре-
определить корни уравнения ег = А (А Ф 0).
6. Какое исключительное значение имеет функция e'-f 1?
7. Показать, что ch г и sh г принимают все значения.
8. Проверить теорему Пикара для функции <? вблизи г -- 0.

ГЛАВА IX
БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ ИХ
К АНАЛИТИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ
§ 1. Бесконечные произведения
1. Сходящиеся и расходящиеся бесконечные произведения.
Наряду с бесконечными рядами бесконечные произведения яв-
являются весьма ценным аналитическим аппаратом для изобра-
изображения функций. Прежде чем воспользоваться этнм аппаратом
для изображения голоморфных функций комплексного переменного,
мы должны дать краткий очерк теории бесконечных произведений.
Рассмотрим произведение рп произвольного ^мсла п числовых
множителей, отличных от нуля, которые будем обозначать соот-
соответственно через
A + «i), A + и,), ..., A + ип),
где иъ и2, ..., и и суть комплексные числа:
Рп = A + щ) A -!- и2) ... A + ип). (I)
Давая л значения J, 2, 3, ..., :лы получим последовательность
комплексных чисел /;1; р2 рп, ..., отличных от нуля, причем
могут представиться лишь три случая:
1) Последовательность чисел рх, р-,, ..., рп, ... сходится к ко-
конечному числу р, отличному от пуля, т. е. \ипрп ~ р (р Ф 0).
2) Последовательность чисел ри р2, ..., рп, ... сходится к числу
0, т. е. !im рп — 0.
3) Последовательность чисел /;х, р2, ..., р:1. ... расходится,
т. е. не стремится ни к какому конечному пределу.
В первом случае бесконечное произведение
A + и,) A -)- иг) ... A + ип) ... B)
называется сходящимся, а число р принимают зг. значение этого
произведения B). В обоих последних случаях произведение B)
называют расходящимся. Например, бесконечное произведение
1 '1Г=Т ' W-Л 71^1

266 БЕСКОНЕЧНЫ!; ПРОИЗВЕДЕНИЯ [ГЛ. IX
сходится, так как в данном случае имеем:
, 22 .3- 42
B+1) B-1) C+1) C-1) D+1) D-1)
(и — IJ »3 2п
п (и —'2) (и +• 1) (/I— 1) п + 1
и, следовательно, lim p:i = 2.
П ->оо
Бесконечные же произведения
_L.J_...J_
2 3 л
' .3- ' -4- ' •
оба расходятся. В первом из них имеем:
Pn ~ 1 ' 2 ' 3 ' ' ' n ~ n\
И
lim pn = О (случай 2);
r 1 П +3
во втором будет: рп = 1, если л — число четное, и /э„ =—к—•
если л. — нечетное; следовательно, последовательность чисел рп
расходится (случай 3).
Данное понятие сходимости бесконечного произведения можно
выразить с помощью неравенств. В самом деле, пусть произве-
произведение B) сходится к числу р:
Р = {\+ и,) A + «О ... A + «„) ... C)
В этом случае отношение —— стремится к единице при неогра-
Рп
ниченном возрастании п, так как имеем:
1 ¦ р Р Р
п^оо Рп I'm рп Р
Очевидно, что, обратно, если это отношение plpn стремится к
единице при неограниченном возрастании п, то произведение B)
сходится к числу р. Другими словами, бесконечное произведение
B) называется сходящимся к числу р (р ф С1), если при любом
сколь угодно малом е > 0 найдется число N = N (е) такое, что
имеет место неравенство
— 1 <е при п^М,
2. Основной критерий сходимости бесконечного произведения.
Основной задачей в теории бесконечных произведений является
вопрос о том, как, зная элементы бесконечного произведения,

§ 1] БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 267
т. е. его множители, узнать, сходится оно или расходится. Мы
ограничимся установлением лишь одной общей теоремы, которая
позволяет привести исследование сходимости бесконечного про-
произведения к рассмотрению сходимости соответствующего ряда.
Теорема. Если ряд
щ + и* + ... + ип + ... D)
абсолютно сходится, то сходится и произведение
A + и,) A + Ыа) ... A + и„) ... B)
Доказательство. По условию теоремы ряд
|Ы1| + |ы2| + ... +|ы„| + ... D')
есть сходящийся. При доказательстве теоремы мы вправе пред-
предполагать, что все ип по модулю меньше единицы, потому что из
сходимости ряда D') следует: lim| ип | = 0, и, значит, среди чисел
ип может быть лишь конечное число и„, модули которых не меньше
единицы; отбрасывая же конечное число множителей, мы не нару-
нарушаем сходимости или расходимости произведения.
Мы докажем сначала нашу теорему, предполагая, что все числа
ип суть действительные; обозначим их через ап.
Итак, предполагая, что ряд
К1 + Ы+ ... +KI+ ••• E)
сходится, докажем сходимость произведения
A +а,) A + а2) ... A + ап) ... F)
Среди чисел ап будут, вообще говоря, как положительные, так и
отрицательные. Первые из них обозначим через b1: Ь2, ..., а вто-
вторые — через — съ — с2, ...
Рассмотрим отдельно два произведения:
A + М A + й2)- G)
A-CxHl-c,)... (8)
Если мы покажем, что оба эти произведения сходятся, то, очевидно,
тем самым будет доказана сходимость произведения F).
По условию ряды Ьг + Ь2 + ... G') и сг + с2 + ... (8') суть
сходящиеся. Заметив, что имеем:
1пA + Ьп) <Ьп фп <1),
убеждаемся в сходимости ряда
In A + bL) + In A + b2) + ....
откуда следует, что выражение
In (I 4- bx) + In A + b2) 4- ... 4- In A 4- bn) =
= in [A + b])(l + b2) ... A 4-6»)]

268 БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1ГЛ. IX
стремится к определенному конечному пределу, когда п неогра-
неограниченно возрастает. Следовательно, произведение
(I + Ь,) A -I- ft,) ... A + Ьп)
стремится к определенному конечному пределу, отличному от
нуля, когда п стремится к бесконечности, что и доказывает схо-
сходимость произведения G). Аналогично докажем сходимость про-
произведения (8), показав, что ряд с общим членом In A — сп) схо-
сходится. Действительно, заметив, что имеем:
убеждаемся в сходимости ряда с общим членом . _"<)—, так как
ряд с общим членом с„ по условию сходится, а отношение сп:
-.—^— = 1 — дс,,, начиная с достаточно большого п, остается
1 — г) с я
заключенным между 1 —ей 1, каково бы ни было е > 0.
Остается распространить нашу теорему на тот случай, когда
числа ип суть комплексные. Мы докажем, что комплексное число
рп = A + Mi) (I -f- u-i) ... A + ип) при неограниченном возрас-
возрастании а стремится к определенному конечному пределу, отличному
от нуля, если обнаружим, что | р„ | стремится к конечному пре-
пределу, не равному нулю, и arg/э,, стремится к определенному ко-
конечному пределу. Другими словами, нужно доказать, во-первых,
что произведение
|1+Ы1||1+н.2|...|1+«п|... (9)
сходится и, во-вторых, что ряд
arg A + «J + arg (I + Ыя) + ... A0)
сходится, так как имеем:
I Рп | = 11 -г «111 1 + «а I • • ¦ I 1 + и„ I
н
arg рп = arg A + Ui) + arg A + ut) + ... + arg A + un).
Бесконечные произведения с общими множителями | 1 -\- ип \
и | 1 + и„ Р одновременно сходятся или расходятся, а потому для
сходимости произведения (9) достаточно обнаружить сходимость
произведения
|1+«1Н1+ия|а....|1+и„|*... (9')
Это же последнее сходится в силу уже доказанной первой части
нашей теоремы, так как мы имеем:
11 -}- ип |2 = | 1 + осп + pni |2 = A + ап)'- + р?, = 1 + (*» + Рй + 2а„),

§ 1] БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 269
и ряд с общим членом | ot;? + P?i + 2сс„ | по условию сходится
вследствие неравенства
| а% + ря + 2а„ | < | ип Г2 + 2 | ип |.
Наконец, ряд A0) с общим членом.
Рп
arg A -|- ип) = arcsin
/О+«„)- + !
сходится вследствие сходимости ряда с общим членом | р\, | (| рп I ¦•*
< | ип |) и неравенства
arcsin
которое имеет место, начиная с достаточно большого п (так как
-— в первой четверти остается меньше —)¦
Предполагая в бесконечном произведении
A + и,) A + иг) ... A -!- н„) ..,
все и„ действительными числами одного знака, легко показать,
00
что сходимость ряда ?j un будет условием не только достаточным,
/1=1
но и необходимым для сходимости произведения. В самом деле,
если числа ип положительны и наше произведение сходится, то
последовательность чисел рп = A + нх) A -j- "а) ¦¦• П + ип),
возрастая, должна оставаться меньше некоторого постоянного
положительного числа М. Раскрывая скобки в выражении /?„,
мы видим, что сумма «1 + и2 ~г ... + ип и подавно будет меньше
оо
М, каково бы ни было п, а это значит, что руд S н„ сходится.
/1-1
Если числа ип = -—сп отрицательны, то, предполагая расходи-
оо ос
мость ряда ?j сп, докажем расходимость произведения П A — сп).
/i=i ;i=i
Действительно,
In рп = In A — сх) + In A — с) + ... + 1п A — с„)
стремится к отрицательной бесконечности! когдг п неограниченно
возрастает, так как ряд с общим членам 1пA —с,,) = -.—-^
1 —
—-^г,—
— vcn
расходится (мы считаем, что сп < 1, начиная с некоторого п;
в противном случае расходимость произведения очевидна, так
как среди чисел р„ будет бесконечное множество как положитель-
положительных чисел, так и отрицательных). Отсюда следует, что рп стремится
к нулю при неограниченном возрастании п и, следовательно, наше
произведение расходится.

270 БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ [ГЛ. IX
Условимся называть произведение
A + и,) A + и,) ... A + «,,) ... B)
абсолютно сходящимся, если сходится произведение
A + |н1|)A + |и2|)...A + |ил|)--- B')
Вследствие доказанного сходимость бесконечного произведения
B') эквивалентна сходимости ряда
+---+К1 + -" D')
Следовательно, в нашем определении абсолютно сходящегося
произведения B) можно заменить требование сходимости произ-
произведения B') требованием сходимости ряда D').
Доказанная выше теорема убеждает нас в том, что всякое аб-
абсолютно сходящееся произведение есть произведение сходящееся.
Было бы ошибочным обратное заключение; иначе говоря, сущест-
существуют произведения сходящиеся, но не абсолютно. Такие произ-
произведения назовем условно сходящимися. Примером условно схо-
сходящегося произведения может служить произведение
Действительно, это произведение сходится, потому что для него
имеем: рп = -^-^—, если п — нечетное, и рп — 1, если п — четное,
и, значит, lim рп = 1. С другой стороны, ряд 1 -f- -г + -~- + • • •
расходится.
3. Изображение голоморфной функции в виде бесконечного
произведения. Пусть мы имеем бесконечное произведение
[1 + ах (г)] [1 + и, (гI ... И + ип (г)] .... A1)
причем все ип (г) суть функции 1), голоморфные в некоторой об-
области G. Предположим, что при любом п имеет место неравенство
\un{z)\<an, A2)
какова бы ни была точка z области G, и пусть числовой ряд
а, + а, + ... + ап + ... A3)
сходится. В этом случае произведение A1) в силу предыдущего
пункта сходится во всякой точке z области G и изображает, следо-
следовательно, некоторую функцию / (г) комплексного переменного г,
не равную нулю ни в какой точке области G. Мы докажем, что
/ (г) есть функция, голоморфная в области G.
*) Все множители произведения (И) отличны от нуля для любой точки г
области G

S 2]
ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
271
Действительно,
fn (г) = [1 + Ul B)] [1 + ut (г)] ... [1 + un (г)];
нам достаточно доказать на основании первой теоремы Вейершт-
расса (гл. V, § 1, п. 1), что последовательность функций /„ (г),
голоморфных в области G, сходится равномерно в этой области
к функции / (г). Введя обозначения
A + а,) A + ая) ... A + ап) = Рп, A + а,) ([ + fl2) ... = р
(последнее произведение сходится по условию в силу п. 2), оценим
модуль разности / (г) — fn (z):
A4)
/я (г)
- 1
<Р„
/я (г)
так как
С другой стороны, справедливо неравенство
A5)
при любом п, какова бы ни была точка г области G. Действительно,
>^ - 1 = [I + иш (г)] [1 + un+i (z)
«я+а (г) Н h «^+h
откуда следует;
+ «,+h (г)] - 1 =
«+i (г) ««+2 (г) +
"«+1 (г) ««+2 (г) • • • «„+;, (г),
/я+л (г)
/я (г)
- 1
f
I t Pn + h i
Последнее неравенство справедливо при любом /г; переходя к пре-
пределу при k —v оо , получаем неравенство A5).
Вследствие неравенства A5) неравенство A4) примет вид
|/(г) — /„(г) | -<рп (р/рп — 1) = р — рп <Се при ii^N(e), A6)
какова бы ни была точка г области G, Последнее; неравенство до-
доказывает равномерную сходимость в области G последовательности
голоморфных функций /п (г) к функции / (г), что и нужно.
§ 2. Приложения бесконечных произведений к теории
целых функций
1. Формула Вейерштрасса. Одной из фундаментальных задач
алгебры является вопрос о разложении целой рациональной функ-
функции на произведение линейных множителей. Рассматривая про-

272 БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ (ГЛ. IX
извольнуюцелую функцию, естественно поставить задачу об изобра-
изображении этой функции в виде произведения множителей, благодари
которому становятся очевидными все нули этой функции. Частично
этот вопрос рассматривал Кошн, но только Вейершрассу удалось
распространить основную теорему алгебры на любые целые функ-
функции.
Пусть имеется бесконечная последовательность комплексных
чисел
аъ а2, .. ., а„, .... , A7)
расположенных в порядке возрастания их модулей и таких, что
имеем:
limTi-r = 0. A8)
Если некоторые из чисел A7) имеют одинаковый модуль, то мы эти
числа располагаем в произвольном порядке. В силу самого опре-
определения понятия предела и условия A8) ясно, что при любом
сколь угодно большом R имеется конечное число величин ап,
модули которых меньше чем R. Заметив это, мы докажем, что
можно образовать целую функцию G (z), имеющую своими нулями
числа ап и только эти числа.
Если некоторые из чисел ап равны между собой, то нуль будет
иметь кратность, равную числу этих равных между собой ак.
При доказательстве вышеуказанной теоремы мы будем сначала
предполагать, что среди чисел ап не имеется равных нулю.
Рассмотрим выражение
2 4--L/ 2 V+ • i ' I 2 V4''1
Предполагая, что | z | < | av |, мы можем положить;
v \ й, / т в, т 2 \ и» / т ' v-1 \в
считая In М — j однозначной голоморфной функцией внутри
круга с центром в нулевой точке радиуса | ov | и равной нулю
при 2 = 0. Следовательно, будем иметь:
У"' , B0)
откуда находим:
\v+i
j A9')
Мы теперь покажем, что бесконечное произведение
«! . иг ... uv ... B1)

§ 2)
ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ФУИКЦПП
273
сходится во всякой точке z (г =/= а..) плоскости комплексного
перемен.-юго и изображает целу;о (функцию G (г) с пулям?! aL,
a*...., an, ... С это;": целью докажем, что произведение B1) изоб-
изображает функцию, голоморфную внутри круга С, с центром в ну-
нулевой точке радиуса | а,. |, каково бы пи было v. Достаточно,
очевидно, считать
K-il < К!-
Оставляя вне рассмотрения конечное число множителей
имеющих нули внутри круга С\, мы имеем:
Наше утверждение будет доказано, если мы покажем, что ряд
сходится при | г | < | av | к голоморфной функции.
Каждый член ряда B3) есть функция, голоморфная внутри
круга Cv. Его сумма по первой теореме Веиерштрасса (гл V, § 1,
п. 1) будет также голоморфной функцией внутри круга Cv, если
ряд B3) сходится равномерно во всяком круге | z \ < A — е) | ах. |,
где е (е > 0) — сколь угодно малое число.
Действительно, при | г| < A — в) | av | имеем:
1 / ¦- У1 | ' / ?
/г V ап I ' п + 1 V а„
1
1
/1+1
<^(i-«0"
A
<
Лак как числовой ряд с общим членом
сходится, то ряд
B3) сходится равномерно при | г | <: A — е) | av |.
Таким образом, мы убедились, что ряд B3) изображает функцию,
голоморфную внутри круга С\. Следовательно, произведение
B1) изображает функцию,также голоморфную внутри этою круга;
эта функция обращается в нуль при г = o.v, д.., ..., с^_х и не имеет
других нулей внутри этого круга. Вспомнив, наконец, что целое
число v можно взять сколь угодно большим, мы видим, что про-
произведение B1) изображает функцию целую, имеющую нулями
данные числа а,, и не имеющую других пулен.
Множители uv ргазываются первоначальными факторами; перво-
первоначальный фактор ttv содержит, кроме лпненнэго множителя
П J~)> показательный фактор. Благодаря присутствию этих

274
БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
1ГЛ. IX
дополнительных показательных множителей произведение B1)
оказывается сходящимся.
До сих пор мы предполагали, что среди данных чисел A7)
нет равных нулю. В случае, когда 2 = 0 должно быть нулем по-
порядка к искомой целой функции, мы поставим перед построенным
произведением B1) множитель гК. Получаемая формула
л-1
A)
носит название формулы Вейсоштрасса.
При выводе этой формулы мы предполагали лишь, что заданная
последовательность чисел A7) стремится к бесконечности при не-
неограниченном возрастании номера п. В некоторых частных слу-
случаях оказывается возможным употреблять первоначальные фак-
факторы более простого вида.
Так, предположим, что ряд с общим членом
где р —
некоторое постоянное натуральное число, сходится. В этом случае
можно взять за uv выражение
В самом деле, согласно предыдущему анализу вопрос сводится
к тому, чтобы доказать равномерную сходимость ряда
B3')
ап I ' р+\ \ ап
'J--V
при | г | < A — е) j av j. Заметив неравенство
±(_Ц>+'-(_?_у+1+..
р \ап 1 ' р -f 1 \ ап 1
± (l-
1 —
мы убеждаемся в справедливости сказанного, ибо числовой ряд
-^-A — e)"|av|
/1=V
по условию сходится.
2. Изображение целой функции в виде бесконечного произве-
произведения. В предыдущем пункте мы задавали a priori последователь-
последовательность чисел A7), удовлетворяющую условию A8), и показали,
что существует целая функция G (г), изображаемая формулой (I)

§ 2] ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЯ 275
Вейерштрасса, для которой данные числа служат нулями.
Обратно, если мы имеем целую функцию Gt (г) с бесконечным мно-
множеством нулей, то эти нули, как известно (гл. V, § 2, п. 6), не
могут иметь никакой предельной точки, т. е. могут быть распо-
расположены в порядке возрастания их модулей в виде: последовател:.-
ности аи аг, ..., ап,.., стремящейся к бесконечности при неогра-
неограниченном возрастании п. Построив по формуле Вейерштрасса A)
целую функцию G (г), имеющую те же нули с той же степенью
кратности, мы видим, что отношение
будет изображать целую функцию ср (г) [принимая q: (an) = lim cp (г)],
не обращающуюся в нуль. В этих условиях выражение . будет
также целой функцией. Следовательно, мы имеем: ср (г) = ен (z),
где Н (г) означает некоторую целую функцию.
Наконец, из равенства B4) находим:
G1(z) = eH^-GB), B4')
или
+ )+ + ( )
G, (г) = си <*>. 2>- fj A - -i-) са" '' '^ я« 1 '-' I °« J . (Г)
Практически могут представляться значительные трудности
при определении функции Н (г) по данной функции Gt (г). Так,
например, пусть Gx (г) = sin г. Нули sin г будут: г — пп, где
п — любое целое число. Следовательно, согласно формуле (Г) мы
можем написать:
где произведение распространяется на целые значения п, положи-
положительные и отрицательные. Здесь мы можем взять первоначальный
фактор в упрощенном виде, потому что ряд
сходится при р = 2.
Последнюю формулу для sin г мы можем, далее, упростить,
группируя по два первоначальных фактора, соответствующих
значениям п, равным и противоположным по знаку. Такая группи-
группировка вполне возможна, потому что нули пп, будучи расположены
в порядке возрастания их модулей, следуют в такой последователь-
последовательности:
п, — п, 2я, — 2л, ..,, пк, —пп, ...

276 БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1ГЛ. IX
Таким, образом, получаем:
Что касается определения целой функции Я (г), то оно может
быть сделано следующим образом. Составим логарифмические
производные от обеих частей последней формулы
и сравним полученное соотношение с формулой C0') гл. VII,
дающей представление функции ctg г в виде бесконечного ряда
простейших дробей. Тогда мы получим Н'(?) = 0, откуда
И (z) = const. После этого формула для sin г примет вид
Чтобы определить, наконец, постоянную С, образуем отношение
= с П A --?т
1 I \ "л2
и перейдем к пределу при г -> 0. Тогда найдем: \ — С. Следо-
Следовательно, окончательная формула, представляющая sinz в виде
бесконечного произведения, имеет вид
sin г =;
3. Изображение мероморфной функции в виде отношения
двух целых функций. Одним из замечательных приложений фор-
формулы Вейерштрасса A) является изображение мероморфной функ-
функции / (г) с помощью целых функций.
Пусть / (г) есть однозначная функция во всей плоскости, не
имеющая на конечном расстоянии других особенностей, кроме
полюсов. Мы можем образовать целую функцию G (г), имеющую
своими нулями полюсы мероморфной функции / (г) о теми же сте-
степенями кратности.
Произведение Gx (г) = / (z)-G (г) будет изображать целую
функцию Gx (г), если для всякого полюса а функции / (г) положим:
G1(u) = lim Gi(z).

§2| ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ Ц1:л Ы \ ФУ II К1ДПЙ 277
Следовательно, будем иметь:
т. е. мероморфная функция f (z) может быть предетавлена в виде
отношения двух целых функций.
Заметим, что функции G (г) и G, (г), полученные в предыдущем
пункте, не имеют общих нулей, тик как при пулях функции G (г)
произведение G, (z) -—f (г) ¦ G (.?) имеет значения конечные и
отличные от нуля.
Пример. Мероморфные функции tg г и ctgz могут быть представлены в виде
отношении двух целых функций.
Например, можно положить:
sin ? cos г
tgz = , cte 2 =
ь cos г '
sin г
4. Задача Миттаг-Леффлера. Пусть даны особые точки (по-
(полюсы н существенно особые изолированные точка)
и соответствующая каждой особой точке ап главная часть
G,,( ) Юп (Q есть целая функция от ?1 неизвестной функции
f (г). Требуется образовать однозначную во всей плоскости функ-
функцию / (г), имеющую все свои особенности в точкгх ап, и такую,
чтобы разность
была функцией, голоморфной в точке ап. В этом заключается
проблема, поставленная и разрешенная Мнттаг-Леффлером.
Не касаясь рассмотрения этой задачи в общем виде, отметим
лишь ее частный случай, непосредственно связанный с формулой
Веперштрасса. Это будет тот случай, когда все точки ап являются
простыми полюсами с вычетами, равными единице, т. е.
г - ап
Образуем по формуле Вейерштрасса целую функцию G (г),
имеющую своими нулями точки а„:
_il.'i_V-'+ ' ' ( г V'
G (г) = f| ( 1 - —) е "" ' > \ ап I " "-1 \ап) .
Взяв логарифмическую производную от G (г), получим:
ею
/(г) = 4~ In 6' (г) = V Г—! 1~ _L + — + . . . -и ?

27S БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ [ГЛ. IX
Полученный ряд рациональных функций изображает мерсморф-
ную функцию/ (z) с простыми полюсами в точках ап и соответствую-
соответствующими вычетами, равными +1.
§ 3. Обобщение теоремы единственности
аналитических функций
1. Возможные обобщения теоремы единственности аналитических функций.
При доказательстве теоремы единственности (гл. V, § 2, п. А) мы предгшл.'глли,
что множество Е точек области О, в которых дне функции / (г) и ф и), гслочог^/лме
в G, имеют равные значения, допускает по крайней мере одну предельную тг.чку,
лежащую внутри G. Естественно возникает вопрос: не будет лп верна эта
основная теорема, если бесконечное множество Е не имеет предельных точек
внутри G? Легко видеть, что в тякоп форме это предложение, вообще п.Есря,
неверно. В самом деле, функция / (г) = sin-; есть голомер'фиая внутри круга
с центром в нулевой точке радиуса единица и равная нулю на бесконечном мно-
множестве точек 2/t = 1 :— (k= I, 2, 3, ...), лежащих внутри этого круга. Од-
Однако sin не есть тождественный пуль. Таким образом, если мы хотим рас-
распространить теорему единственности на тот случай, когда множество точек Е не
имеет предельной точки внутри области G, то мы должны ограничиться рассмо-
рассмотрением того или иного семейства голоморфных функций. Наиболее важные се-
семейства функций, голоморфных в области G, суть:
1) семейство функций равномерно ограниченных по модулю в области G;
2) более общее семейство функций, не принимающих нигде в области G
значений, образующих линии;
3) семейство функций, из которых каждая дает взаимно однозначное отобра-
отображение области G.
Однако всегда можно построить две функции, принадлежащие к семейству
I), имеющие равные значения на бесконечном множестве точек Е области G.
Следовательно, желая распространить теорему единственности, мы должны, огра-
ограничиваясь рассмотрением одного из вышеуказанных семейств функций, нало-
наложить в то же время ограничение на распределение точек множества Е в области G.
Так, в случае, когда G есть круг, таким ограничением может служить требование,
чтобы расстояние точек множества Е до окружности этого круга образовали
расходящийся ряд.
Было доказано х), что если две функции, голоморфные внутри круга | г\ < 1
и принадлежащие одному из вышеупомянутых семейств, имеют равные значения
со
Е (г/.), таких, что ряд S] A — | 2/, \) их расстояний до он-
ружности | 2 | = 1 расходится, то такие две функции тождественно равны между
собой.
В п. 3 этого параграфа мы докажем справедливость этой теоремы для функ-
1 °°
ций семейства 1). В вышеприведенном примере sin-: выражение ^ С — l2hl)
г *=J
оо
обращается в } —и представляет расходящийся ряд, однако для этой функции
на множестве точек
!) Blaschke W. — Leipz. Berichte, 1915, стр. 194; Priwalow 1.—
Math. Ann., 1924, стр. 149.

§ 3J ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ 279
теорема единственности кьзерна, так как sin у не буцет ограниченной функ-
функцией внутри круга jz[ < 1 и вообще не принадлежит ни к одному из трех ука-
указанных семейств.
2. Формула Якоби и Иенсена. Для доказательств теоремы единственности,
формулированной в предыдущем пункте, нам придется воспользоваться одной
замечательной формулой, принадлежащей Якобн и Иенсену. Вывод этой формулы
будет основан на известном (гл. V, § 2, п. 5) свойстве голоморфных функций:
значение голоморфной функции в центре круга рато среднему арифметическому
ее граничных значений, т. е.
2 л
/@)=-^ j f((*°')dQ, B5)
о
где f (г) есть функция, голоморфная в круге | г | -~с р.
Полагая в формуле B5)
/ (Ре»_1) = и (р, 0) + tu(p, 0),
получим:
2л
"@> 0) = -w J"(р>
т. е. указанное свойство остается в силе для гармонических функций.
Пусть F (г) есть функция, голоморфная в круге | г | ^ р, не равная нулю на
окружности |г| = р. Обозначим нули этой функции *), лежащие внутри круга
| г | < р, через 2j, г2 гп и предположим, что F @) Ф 0. При этих условиях
имеет место формула Якоби—Иенсена
Доказательство. Очевидно, функция
| причем Ф (г^) = НтФ (г) | есть голоморфная в круге |г| ^р и нигде не рае
ная нулю. Следовательно, функция / (г) = 1пФ(г) будет голоморфной всюду
в круге | г | <: р, Применяя формулу B5 ) к действительной чзсти функции / (г),
получим:
2Л
In | Ф @) | = ~ J In | Ф (peei) | <ffl. B7)
ii
Подставляя в формулу B7) вместо Ф (г) ее значение B6), будем иметь:
in а 2л
k=\ 0
Кратный нуль выписывается столько раз, какова его кратность,

280 БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ [ГЛ. IX
где положено \ = ре . Остается вычислить каждый из интегралов:
n|?-zft|de (й=1, 2 п).
С этой целью обозначим через г'к = p2/zfe точку, симметричную с точкой zft
относительно окружности | ? | = р (гл. I, § 2, п. 5). Когда точка Z движется по
окружности 11.1 = р, отношение ее расстояний до точек гк, г'к сохраняет постоян-
постоянную величину. В самом деле, имеем:
| С - 2к | 11 - 2h | [ ? - г„ | I С - гл |
так как tl = р2. Отсюда выводим:
Tt rr = — г- ri =" —-— > i28)
что ii доказывает наше утверждение.
Прологарифмировав равенство B8), получим:
!П 11 — гк | = и, | г _ г'к I + In Щ^- . B8')
Вследствие соотношения B8') можем написать:
'2 л 2 п.
J_ j in | I — zk | are = -^ f In 11 - г), | JO + In i-^i. -;29)
11 0
Интеграл, стоящий в правой части равенства B9), немедленно вычисляется,
если заметим, что функция In (Z, — z'k) есть голоморфная в круге \t,\ < p, так как
точка z'i, лежит вне этого круга. Применяя формулу B15'), находим:
и из равенства B9) получим значение искомого интеграла
2я
Возвращаясь к соотношению B7;), перепишем его таким образом:
откуда окончательно получаем:

$ 3] ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ 281
3. Доказательство теоремы единственности. Пусть две функции / (г) и
ср (г), голоморфные внутри круга | г | < 1, будут равномерно ограниченными в этом
круге: | / (г) | < М, | (р (г) | < М, если | г | < 1.
Рассмотрим множество точек Е {z/J, | г и \ < 1, таких, что ряд
S О - I ** |) <3°)
к — \
их расстояний до окружности | г | = 1 расходится. Предположим, что во всех точ-
точках множества Е функции / (г) и <р (г) имеют равные значения. Тогда мы докажем,
что функции / (г) и ср (г) равны тождественно друг другу.
Полагая F (z) = / (z) — ф (г), мы получаем функцию F (г), голоморфную
внутри круга |г|< 1, равномерно ограниченную в этом круге: | F (г) | < 2М,
если | г! < 1, равную нулю на множестве точек Е. Наша теорема будет доказана,
если мы обнаружим, что функция F (г) есть тождественный нуль.
Допуская противное, мы предположим, что функция F (г) не есть тождест-
тождественный нуль. Как известно (гл. V, § 2, п. С), множество ее нулей, лежащих
внутри круга | г | < 1, можно перенумеровать с помощью натуральных чисел,
расположив их в порядке возрастания модулей. Мы можем считать, что последо-
последовательность точек Е {z/,} представляет совокупность всех нулей функции F (г),
так как от прибавления ко множеству ? новых элементов ряд C0) остается расхо-
расходящимся.
Итак, ?i, г2, ..., 2],, ... суть всевозможные нули функции F (г), расположен-
расположенные в порядке возрастания их модулей, причем каждый кратный пуль записы-
записывается в этой последовательности столько раз, какова его кратность. Не умень-
уменьшая общности теоремы, можно предполагать F @) ф 0, так ка1.-: в противном слу-
случае достаточно рассматривать Ф (г) = -4-s где к — кратность клоня 0. [Для
zh
\г\<\ имеем: |Ф (г) | < 2М, Ф (г) = 0 при г = ц, г.,, ... и Ф @) ф 0|.
Рассмотрим окружность | г | = р произвольного радиуса р < I, не проходя-
проходящую ни через одну из точек zi, гъ ..., г/ь ..., и обозначим через п число точек г;,.,
лежащих внутри этой окружности. По формуле Якоби—Иепсеиа (п. 2) имеем:
j I | F(tii) | J6 = In j| F @) |-[j -jj-j- j @ < ,> < !}. (II)
~ j
Так как по условию | F (г) | < 2М при |г| < 1, то из формулы (II) вытекает не-
неравенство
или, что то же,
Неравенство C1) справедливо при любом р < 1 и соответствующем п. Покажем,
что это неравенство останется в силе, если п будем считать постоянным, а р —
сколь угодно близким к единице, т.е. обнаружим- справедч;шогть
где 1 > р' ^ р.

282 БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ [ГЛ. IX
Действительно, обозначая через п' число нулей ги, лежащих внутри окруж-
окружности |г| = р', перепишем C1) так:
If @I- ., | .. f ¦- ¦ <2M. C2,
I I |"| Z2 | • ¦ • | "' I
Из неравенства 32) вытекает искомое неравенство (ЗГ):
так как имеем:
-П
/.¦=1
< 1.
Считая « постоянным, перейдем в неравенстве (ЗГ) к пределу при р, стремящемся
к единице. Получим в результате:
или
I /7 /Л\ I
I *i | • | z21 . . . | г„ | > —^vj— • (•" I
Последнее неравенство справедливо при всяком п.
Следовательно, будем иметь:
оо
т. е. мы доказали, что бесконечное произведение П I гд | сходится (так как по-
положительные числа Рл = | Zj |-|zj |-"I zn | убывают, оставаясь больше положи-
положительного постоянного) (§ 1, п. 1).
Заметив, что | г^ | = 1 — A — | Zf, |), мы в силу § 1, п. 2 заключаем о сходи-
ОО
мости ряда Jj A — 1^1). Полученное противоречив убгждает нас в справедли-
справедливости теоремы.
4. Невозможность дальнейшего обобщения теоремы единственности для
ограниченных функций. В предыдущем пункте мы доказали теорему единствен-
единственности для ограниченных функций, налагая на множество точек Е {z^} условие}
ряд 2] A — |Zft|) расходится. Возникает вопрос: не будет ли верна эта теорема
оо
для ограниченных функций в тех или иных случаях сходимости ряда ^ A —
— | гь |)? На этот вопрос мы ответим отрицательно, показав, что какова бы нц
была последовательность точек zj, z2, .,.@<|zft|< 1), для которой ряд

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. IX
283
V <\ — ) г^ ]) сходится, существует функция / (г), не тождегтснно равняя пулю,
голоморфная и равномерно ограниченная внутри круга | г | •< 1, равная нулю в
каждой точке данной последовательности.
Такая функция может быть определена с помощью формулы
C3)
Действительно, предполагая числа _-i ?2, ... расположенными в порядке возра-
возрастания их модулей, уь! покажем сначала, что функция / (г) есть голоморфная
при | г ! < \2;, |, равная, пулю внутри круга |г| < |г;< | лишь в точках гл, г2, .... 2/,_j
при любом It (мы впсаис, очевидно, предположить | ?;,,_, | < | 2;4 ]).
С зтой целью рассмотрим произведение
ii
C4)
все множители которого отличны от пуля всюду внутри круга \z\ < | z/; |. Отме-
Отметив неравенство
l-\zn\2 ^ 2A -\гп])
1 —
I 1 - ггп
- I
мы в силу сходимости числового ряда ¦
I
/ С — \гп \\ заключаем пя ос-
основании § I, п. 3, что произведение C4) сходится к функции, голоморфной и от-
отличной от нуля при |г|<|г; |. Следовательно, произведение C3) будет изображать
функцию / (г), голоморфную и равную нулю в точках гь г2, ..., 2;,..i внутри круга
|г| < |zj|. Так как |г/,| -»¦ 1 при неограниченном возрастании А, то / (г) будет
функцией, голоморфной внутри круга | г | <. 1 и р-аоноГ, ы «яю лишь в точках
!'i, ?2, •••
Остается доказать, что / (г) есть функция, ограниченная при |z|< 1. Для
этого оценим модуль произвольного множителя произведения C3) при |г|= 1:
1 - гг,
г — г,.
г — zh
TFT
<¦
Это неравенство остается в силе и при |г| < 1 (гл. V, § 2, п. 5), так как функция
,'k - гь есть голоморфная при |г| < 1. Следовательно, имеем: |/(г)|< I,
если ]z | < 1.
Упражнения к главе IX
1. Доказать сходимость и определить значения произведений:
0 = 1
Отв. а) 2. б) 1/3.
п=1

284 БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ [ГЛ. [X
2. Разложить в бесконечные произведения функции
ег — 1, соз г, sin г — sin г0.
(г-г.) J | [1- яМ2,г_1J] ' [ 1 ~ я» Bя)» J •
л=1
Указание. Воспользоваться известным разложением для sin г;
sin г = г
3. Доказать, что имеет место формула
sin 'г = eh (гI
где h (г) — целая функция. Как нужно выбрать h (г)?
Отв. к (г) = — г — In 2 + -2-1.
4. Определить область абсолютной сходимости следующих произведений!
ОО <AJ ОО ОО
а) XI 0 -г")' б) П (' +?2"). в) Д A +с„г), если J] | с„ | сходится.
/1=; п=-0 а=о /i^o
О/;и. а) и б) |г | < 1; в) вся плоскость.
5. Функции /„ (г) (п = 1, 2, ...) — аналитические в круге \г\< г, и ряд
Е|/п(г)| равномерно сходится в каждом круге | г \ < р -< г. Доказать, что
ОО
F (г) = Д [1 + !п (гI есть голоморфная функция при | г | < л.
0. Показать, что г = A + г) A + г2) A + г4) A + г8) ... при |г| < 1.
7. Пользуясь задачей 6, показать, что

ГЛАВА X
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
§ I. Принцип аналитического продолжения
I. Понятие аналитического продолжения. Одним из основных
свойств аналитических функций является свойство их единствен-
единственности, рассмотренное в гл. V. Если две аналитические функции
совпадают между собой в сколь угодно малой окрестности точки
или даже на сколь угодно малом куске линии, то они вполне тож-
тождественны друг другу (гл. V, § 2, п. 4). Другими словами, функ-
функция, аналитическая в области, вполне определяется в этой об-
области посредством ее значений на сколь угодно малом куске ли-
линии (или даже на бесконечном множестве
точек области, имеющем по крайней мере
одну предельную точку внутри области).
Постараемся теперь более подробно проана-
проанализировать это основное свойство аналити-
аналитических функций вместе с вытекающими пз
него следствиями.
Пусть нам даны две функции Д (г) и
/2(г), из которых первая голоморфна в об- Рнс. 95.
ласти Gu а вторая — б области G2 (рис. 95).
Допустил;, кроме того, что области 6\ и Gt имеют в качестве об-
общей части некоторую область g, н пусть в области g функции
Д (z) и /г (z) совпадают. Очевидно, в этом случае функции Д (г)
и /2 (г) взаимно определяются вполне однозначным способом.
В самом деле, вследствие теоремы единственности не существует
никакой другой функции, кроме /2 (г), которая была бы голоморф-
голоморфной в области G-, и имела бы те же значения в области g. Таким
образом, функция Д (г) вполне определяется через своп значения
в области g, или, что то же, через функцию Д (г); также и функ-
функция Д (z) вполне определяется посредством Д (г).
Следовательно, мы можем сказать: если две области Gx и G2
имеют вышеуказанное положение и функция Д (г) есть голоморф-
голоморфная в G1, то либо не существует никакой функции, голоморфной
в G2 и совпадающей с Д (г) в области g, либо существует только
одна такая функция.

286
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
[ГЛ. X
В этом последнем случае мы скажем, что заданная в области Gx
функция аналитически продолжается в область G2. Функция /., (г)
называется аналитическим продолжением функции f1 (z) в область
G2. Очевидно, также /х (z) является аналитическим продолжением
функции /2 (г) в область G^ Вообще говоря, нет никаких основа-
оснований рассматривать функции /х (z) и /2 (z) как различные функции.
Вследствие полной однозначной определимости одной через дру-
другую естественно рассматривать обе функции как элементы одной
и той же функции F (z), которая будет голоморфной во всей об-
области G, составленной из областей GL и G2:
G = Gt + G,.
Поясним сказанное на примере. Примем
за Gx круг с центром в нулевой точке ра-
радиуса единица: |z| < 1, а за G2 — круг
с центром в точке t радиуса -/ 2: | г — i' | <
< у^ 2 (рис. 96). Пусть в области Gx дана
функция
= ? **
A)
Нужно построить функцию /2 (г), голо-
голоморфную в области G, которая совпадала
бы с /[ (г) во всех точках области g\ Мы знаем, что если такая
функция существует, то она единственная. Этой функцией будет:
/2 (г) - yztt 2j (т^т
п=п
так как последний ряд сходится при
при
1 — 1
B)
1, или, что то же,
-I | <. у г, и его сумма равна -т-^~.
Следовательно, имеем: /2 (z) = /t (z) во всех точках области g.
Таким образом,/! (z) и /2 (z) суть аналитические продолжения друг
друга, обе они суть элементы одной и той же функции F (z) =
= . _ , голоморфной в полной области G -= Gx + G2.
2. Понятие полной аналитической функции в смысле Вейер-
штрасса. Пусть дана функция /х (г), голоморфная в области G^
Обозначая через zx произвольную точку области Glt разложим
данную функцию fL (z) в окрестности этой точки в степенной ряд
п=0
C)
В частности, может случиться, что радиус сходимости Rt
этого ряда равен.бесконечности, т. е. ряд C) сходится в каждой

S 1J ПРИНЦИП АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ 287
точке z плоскости комплексного переменного. В этом случае сумма
ряда C) представляет функцию, голоморфную во всей плоскости,
служащую аналитическим продолжением данной функции fx (г)
за область Gt. Вследствие единственности продолжения невозможно
получить никакой другой функции посредством продолжения
fi <*)•
Поясним сказанное примером. Пусть
-z о п 1
Т ;- :> л ' п
1
Этот ряд сходится во всей плоскости. Положим, далее:
/г (г) = 1 + z + г2 -\ \- z" H
Этот ряд имеет радиус сходимости R = 1. Определим функ-
функцию /j (г) в круге Gx с центром в нулевой точке радиуса единица:
| г | < 1, положив:
Mz)=g(z).ft(z). D)
Посредством формулы D) функция fx (z) определена лишь при
| г | < I. Если же мы разложим функцию f1 (г) в окрестности нуле-
нулевой точки B] = 0) в степенной ряд, то получим посредством пере-
перемножения рядов g (г) и h (z):
так как, очевидно, имеем:
2! 31 ' ' ' 7ii = ~пГ ^п ~ '' "' ' ' '
Таким образом, мы получили для данной функции разложе-
разложение E), справедливое во всей плоскости комплексного перемен-
переменного.
Если радиус сходимости разложения C) не равен бесконеч-
бесконечности, то он есть конечное положительное число. Выберем точку г2
внутри круга сходимости ряда C), отличную от центра, и составим
разложение для окрестности точки z2:
S CT (z - г2)", F)
где положено:
W2) _1_ ,-(/1) , ч
Радиус сходимости R2 этого разложения по крайней мере ра-
равен расстоянию точки г2 до окружности первоначального круга,
т. е. R2 5s Ri — | г2 — Zj |. Если R.2 = Ri — \ z2—2j |, то ряд F)
дает значения функции только в тех точках, в которых она уже
определена посредством ряда C) (рис. 97). В этом случае точка
касания окружностей кругов сходимости рядов C) и F) будет осо-

288 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. X
бой точкой функции, определенной через fl (г). Если же /?2 >
> Ri — j z-i—г, |, то новый круг сходимости выходит за перво-
первоначальный, и мы имеем тогда функцию fL (г) продолженной за
старый круг сходимости в направлении радиуса (ги zz) (рис. 98).
Итак, если вообще возможно продолжение в опэеделенном направ-
направлении, то оно будет осуществлено с помощью этого степенного
ряда.
Вообразим себе теперь, что мы продолжили первый элемент C)
функции по всем возможным направлениям; также пусть новые
Рис. 97. Рис. 98.
элементы в свою очередь продолжены по всем возможным направ-
направлениям и т. д. Таким путем мы получаем, отправляясь от первого
элемента C), функцию, голоморфную, вообще говоря, во все бо-
более и более увеличивающейся области. Однако может случиться,
что продолжение первого степенного ряда C) невозможно ни по
какому направлению. В этом случае, следовательно, не сущест-
существует никакой функции, которая была бы голоморфной в области,
большей, чем первый круг сходимости. Мы скажем тогда, что
функция непродолжаема и окружность круга сходимости есть ее
естественная граница.
Пример.
,(г)=?г«'вг + г2Н-г6+...+гпЧ- G)
Радиус сходимости R ряда G) равен единице. Если бы функция / (г) была
продолжаема за круг сходимости данного ряда G), то некоторая дуга его окруж-
окружности состояла бы сплошь из правильных точек функции / (г). На такой дуге
2lti-i-
имеются в бесконечном множестве течки вида г-, = е " , где р и q — целые по-
положительные числа. Если мы покажем, что точка вида ze не может быть правиль-
правильной точкой функции / (г), то тем самым будет доказана невозможность продол-
продолжения функции / (г).
Положим: г ="р'г0, где 0 < р < 1-
f(z)= S inl-\~ S р"!, G')
так как при п ^ q имеем: гп] == (р2о)п! = рл|.

§ 1]
ПРИНЦИП АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ
281
Таким образом, полагая М = 2q -\- N, где N — произвольно большое целое
положительное число, имеем:
м <?—1
S p"!-
I г I"
(M -q +
(8)
Рис. 95.
Когда р стремится к единице, то правая часть неравенства (8) стремится к значе-
значению М — 1q -j- 2 = ЛЧ- 2. Следовательно, при надлежащем подборе р0 для всех
значений о (о0 < о < 1) необходимо должно иметь: | / (г) | > Л'. Вспомнив, что .V
обозначает произвольное большое число, заключаем: при радиальном прибли-
приближении к точке 20 модуль функции / (г) стремится к бесконечности. Отсюда сле-
следует, что точки г0 не может быть
правильной точкой функции / (г).
Другой крайний случай,
когда степенной ряд продол-
продолжаем по всем направлениям
за круг сходимости, не может
иметь места. Действительно,
мы знаем, что на окружно-
окружности круга сходимости имеется
по крайней мере одна особая
точка (гл. V, § 2, п. 2), ко-
которая никогда не может по-
попасть внутрь нового круга
сходимости, что, однако,
должно было бы случиться,
если бы степенной ряд допускал продолжение по всем направлениям.
Используя указанный метод продолжения, выделим множе-
множество /VI точек плоскости, из которых каждая может быть заключена
внутрь некоторого круга сходимости; в достаточно малой окрест-
окрестности каждой такой точки функция, следовательно, будет голо-
голоморфной.
Может случиться, что при продолжении мы попадем снова
в первый круг с помощью нового круга. Так, например, на рис. 99
первоначальный круг сходимости есть круг с центром в нулевой
точке радиуса единица, причем на его окружности имеется един-
единственная особая точка 2 = +1. При последовательном продол-
продолжении этого начального элемента пятый крут имеет с первоначаль-
первоначальным общую часть; значения нового степенного ряда в точках
первоначального круга сходимости, принадлежащих указанной
общей части, могут совпадать со значениями первоначального
степенного ряда, а могут и не совпадать. В первом случае функ-
функция будет однозначной в области, через которую она была про-
продолжена, во втором — многозначной.
Предполагая для простоты функцию все время однозначной,
мы можем сказать, что множество W всех правильных точек та-
такой функции обладает двумя свойствами:
1) какова бы ни была точка множества W, все точки достаточно
малого крута с центром в этой точке принадлежат тому же мно-
10 И. И. Привалов

290 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. Я
жеству, т. е. говоря кратко, каждая точка множества W есть
внутренняя точка;
2) любые две точки множества W можно соединить непрерыв-
непрерывной линией, все точки которой принадлежат тому же множеству,
т. е., короче, W есть связное множество.
Это множество W всех правильных точек функции называют
ее областью существования. Очевидно, каждой правильной точке
соответствует определенное значение функции.
По определению мы понимаем под полной аналитической функ-
функцией в смысле Вейерштрасса совокупность значений функции,
которые соответствуют указанным образом всем правильным
точкам.
3. Распространение функции действительного переменного на
комплексную область по принципу аналитического продолжения.
Изложенный в п. 1 принцип аналитического продолжения был
основан на том факте, что аналитическая функция единственным
образом определяется через ее значения в сколь угодно малой
частичной области. Однако известно, что для полного однознач-
однозначного определения аналитической функции достаточно знать ее
значения на сколь угодно малом куске линии. Пусть имеется
в плоскости комплексного переменного г кусок линии L и каж-
каждой его точке z соответствуют значения функции <р (г). Рассматри-
Рассматривая произвольную область G, содержащую L, мы в состоянии встре-
встретиться лишь с двумя возможностями: либо не существует никакой
функции / (z), голоморфной в области G, которая совпадала бы
с ф (г) на L, либо существует только одна такая функция. В по-
последнем случае эта функция однозначно определяется через
свои значения на L. Мы можем сказать тогда, что функция ф (г),
заданная вдоль L, аналитически продолжается в область G. В ча-
частности, принимая за L кусок действительной оси х0 <: х < хг
и обозначая через ф (х) соответствующие его точкам значения функ-
функции (которые могут быть действительными или мнимыми), мы мо-
можем говорить об аналитическом продолжении функции дей-
действительного переменного х. Если такое продолжение удается, то
говорят, что функция ф (х) продолжена в комплексную область.
Из предыдущего следует, что если функция действительного пере-
переменного х вообще продолжаема в комплексную область, то это
возможно только единственным образом.
§ 2. Примеры
1. Примеры однозначных функций. Показательная функция ех
и тригонометрические функции sin x и cos x при действительном х
.разлагаются в ряды
... ; Bл)! •
/1=0 ч=0 п—0

i 2] ПРИМЕРЫ 291
Заменяя в этих рядах формально х через комплексное перемен-
переменное z, мы получим степенные ряды
п=0 П—0 п--0
сходящиеся во всей плоскости (гл. II, § 3, п. 5). Эти ряды изобра-
изображают функции, голоморфные во всякой точке г-плоскостп. Так
как функции /\ (г), /2 (г) и /3 (г) при г — х совпадают соответственно
с ех, sin л: и cos x, то они являются аналитическими продолже-
продолжениями последних функций в комплексную область. Поэтому
/х (г) называется показательной функцией и обозначается че-
через сг, f-i (z) и /3 (г) обозначаются через sin z, cos 2. Таким образом,
чисто формальное определение функций е\ sin z, cos г становится
совершенно естественным: оно будет единственно возможным, если
мы требуем дифференцируемость их в плоскости комплексного
переменного.
2. Примеры многозначных функций. Изложенный в § 1, п. 2
метод аналитического продолжения Вейерштрасса, основанный па
пользовании степенными рядами, является общим, и в этом его
громадное теоретическое значение. Однако в большинстве кон-
конкретных случаев к той же цели мы можем прийти гораздо проще
с помощью других аналитических аппаратов.
Так, в гл. IV, § 2, п. 6 мы определили In z с помсщью интеграла,
2
положив: In z = \—г-, и видели, что эта функция является голо-
i *
морфной во всякой ограниченной односвязной области, не со-
содержащей нулевой точки. Так как при положительном х нату-
х
ральнын логарифм может быть определен формулой 1пд-=-[-;Д-,
то мы видим, что In 2 есть аналитическое продолжение In x в ком-
комплексную область. Как мы знаем, функция In z бесконечнознач-
ная, причем все ее значения получаются из одного путем прибав-
прибавления к нему числа, кратного 2ш. Каждое из этих значений об-
образует однозначную голоморфную функцию во всякой ограничен-
ограниченной односвязной области, не содержащей нулевой точки, назы-
называемую ветвью многозначной функции. Так, например, в окрест-
окрестности точки z = + 1 одна из этих ветвей разлагается в степей,
ной ряд
с радиусом сходимости, равным единице. Можно было бы, отправ-
отправляясь от этого степенного ряда как элемента, определяющего
функцию, получить все свойства логарифмической функции,
10*

?92 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИИ [ГЛ, X
применяя общий метод § 1, п. 2; однако такой путь практически
был бы более сложным.
В качестве второго примера рассмотрим функцию / (z) = \г г.
Эта функция является продолжением в комплексную область по-
положительной действительной функции действительного перемен-
переменного х (х > 0) : •)/ х. В самом деле, / (г) = еп "* есть функция,
голоморфная в каждой точке z, отличной от нулевой точки, много-
многозначная в окрестности 2 = 0. Выбирая произвольную односвяз-
ную область G, не содержащую нулевой точки, например всю
плоскость, за исключением действительной отрицательной оси
(л; < 0), мы знаем, что каждая ветвь In г будет в этой области од-
однозначной функцией. В частности, взяв ту ветвь In z, — обозна-
обозначим ее через In г, — которая при г = + 1 имеет значение нуль,
а следовательно, для всех х (х > 0) равна действительному зна-
значению In х, мы получаем функцию, голоморфную в области G:
/.<*) = Л Ln\
п.—
которая является аналитическим продолжением функции у х,
так как имеем: /0(jc) = e" =хп—ух.
Поэтому функцию / (я) мы обозначим через У г, причем f0 (г)
будет одной из ее ветвей. Согласно этому определению функ-
функция У г является n-значной. В самом деле, все значения 1п г
содержатся в формуле
In г = Ln г + 2kni (k = 0, ±1, ±2, ...),
так что имеем:
2i.SU 2kni
2
е " =е » /,,(г). (9)
Множитель, стоящий перед /0 (г) в формуле (9), имеет только п
различных значений, так как для двух значений k, отличаю-
отличающихся на кратное п, он имеет одно и то же значение. Поэтому п
ветвей функции ]/ г получаются из основной ветви /0 (г) путем
умножения на постоянные множители. Чтобы получить все п
ветвей функции /(г) = У г, достаточно дать k значения: 0, 1,
2,..., п—1. Таким образом, из формулы (9) находим:
- Lll 2
e"
Итак, мы видим, что положительная действительная функ-
функция Y х (х > 0) продолжаема в комплексную область, причем
получаемая функция ]/ г является п-значной.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. X 293
Во всякой ограниченной одпосвязиой области, не содержа-
содержащей нулевой точки, каждая ветвь \ z является голоморфной
функцией. Наконец, в силу определения \ z, очевидно, имеем:
3 а м е ч а и и е. Можно определить функцию г"' при любом постоянном т,
полагая: гт=--е'"'п?. Читателю рекомендуется, поступая аналогично ш}едмцу-
щему, исследовать свойства этой функции.
Упражнения к главе X
1. Продолжить аналитически в комплексную область функции действи-
действительного переменного: arclg х, arcsin х.
2. Показать, что степенные ряды
не продолжаемы за круг сходимости. _
3. Будет ли действительная функция F (х) = j/х2, определенная в области —
— оо < х <-f- оо, продолжаема в комплексную плоскость?
Отв. Нет.
4. Будет ли действительная функция / (х), определенная при —1 <С к < I
посредством равенств
/' (х) = с'1''х° для хф О
и
/ (л) =0 для х = 0,
продолжаема в комплексную плоскость?
Отв. Мет.
5. Пусть функция j (г) есть аналитическая в нулевой топке и удовлетворяет
в окружности этой точки уравнению
/Bг)= 2/(г)-/' (г).
Показать, что f (г) продолжаема на всю плоскость. _
6. Какие из функций, определенных формулами а) \ ег; б) )/cos г;
в) У 1 — sin- г; г) In гг; д) In sin г; е) —~—, будут однозначными и какие миого-
Уг
значнылп;?
Отв. я) Две однозначные функции е2'2 и — е2''2.
б) Двузначная функция с точками разветвления г= BЛ+ 1)-^-.
в) Дие однозначные функции -(-cos г н —cos г.
г) Бесконечное множество однозначных функций г 4" Sltni.
д) Одна бесконсчнозиачиая функция с точками разветвления 0, ±л, ±2я, .,.
е) Однозначная функция.
7. Доказать, что если / (г) непрерывна! в сОлйгти G и ди^^ренцируема в каж-
каждой точке области G, кроме точек прямолинейного отрезка, принадлежащего G,
то / (г) — аналитическая по рхей области О..
8. Дг.е области G'i п CU примьпшот дцуг к ддугу вдоль прямолинейного от-
отрезка. Функция fi (г) — йнилитнческая в области C-i, f« (z) — в G2. Показать, 4fo
если/, п /а иа отрезке принимают одни ячежс граничные значения, то они являются
аналитическими продолжениями друг друга.

ГЛАВА XI
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Общие свойства эллиптических функций
1. Определение эллиптической функции. Эллиптической функ-
функцией называется мероморфная функция, допускающая периоды,
которые все могут быть образованы посредством сложения и
вычитания из двух первоначальных периодов 2со и 2ш', имеющих
мнимое отношение
т = со' : со.
Короче говоря, мероморфная функция называется эллипти-
эллиптической, если она двоякопериодическая с периодами 2« и 2«>',
отношение которых т есть мнимое число. Такая функция / (г)
удовлетворяет соотношениям
/ (г + 2со) = / (г), / (г + 2со') == / (г), A)
откуда вытекает, что
/(г + 2/пи + 2/гсо') = /(г), B)
где т и п обозначают любые целые числа, положительные, отри-
отрицательные или нули.
Одна из наших задач будет заключаться в том, чтобы построить
посредством того или иного аналитического аппарата элементы,
с помощью которых можно выразить в конечном виде все эллип-
эллиптические функции. Иными словами, мы ставим проблему дать
аналитическое представление любой эллиптической функции,
отправляясь от вышеформулированного ее дескриптивного оп-
определения. Для рациональных функций мы имеем два аналитиче-
аналитических представления. В основе первого из них лежит задание по-
полюсов рациональной функции и соответствующих им главных
частей, что приводит нас к разложению рациональной функции
на простейшие дроби. В основе второго аналитического представ-
представления рациональной функции лежит задание ее нулей и полю-
полюсов, что дает нам возможность представить ее в виде отношения
произведений линейных множителей.
Аналогично при решении вышеупомянутой задачи для эллип-
эллиптической функции мы установим две формулы, из которых одна

s i:
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
295
будет давать ее разложение на сумму простейших элементов с
явным выделением ее полюсов и их главных частей, а другая
будет представлять эллиптическую функцию посредством отно-
отношения произведений элементарных множителей с явным выделе-
выделением ее нулей и полюсов. Прежде чем приступить к осуществле-
осуществлению этой задачи, мы установим ряд общих свойств эллиптической
функции.
Замечание. При определении эллиптической функции мы предпола-
0)'
гали отношение т = ее первоначальных периодов мнимым числом.
Можно было бы доказать, что если это отношение есть число действительное,
то функция является просто периодической или приводится к постоянному. Кроме
того, во всем дальнейшем мы будем считать коэффициент при мнимой части от-
ш'
ношения т = — положительным, так как этогг; мы всегда можем достигнуть
ш
путем изменения знака у одного из первоначальных периодов.
2. Параллелограммы периодов. Чтобы дать геометрическое
истолкование двоякой периодичности, рассмотрим в плоскости
комплексного переменного четыре точки:
20, 20 + 2@, 20 + 2@ + 2A)', 20 + 2(о',
считая г0 произвольным комплексным
числом.
Так как отношение т = ш'/ш есть
мнимое число, то эти четыре точки изо- ^
бражают вершины некоторого парал-
параллелограмма Р.
Полагая "и
2о-20 + 2т(о + 2по/ р"е' 1Ои'
(тип — целые числа), мы видим, что четыре точки
г'о,
2@,
г'о + 2(о'
суть вершины параллелограмма Рт„, который может быть полу-
получен из основного параллелограмма Р = Рт посредством некото-
некоторого сдвига.
Придавая т. и п всевозможные целые значения, мы получим
сеть параллелограммов Ртп, конгруэнтных между собой и покры-
покрывающих всю плоскость (рис. 100).
Чтобы любые два параллелограмма нашей сети не имели об-
общих точек, условимся причислять к каждому параллелограмму Ршп
лишь часть его границы, а именно стороны
2о,
за исключением концов
г'о, + 2ы и 2о + 2ю\

296 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. XI
Что же касается двух сторон параллелограмма Р,пп, мы их
будем рассматривать принадлежащими к смежным параллело-
параллелограммам с Ртп. Тогда любая точка плоскости принадлежит одному
и только одному из этих параллелограммов, например Рт-П'.
Точки вида
2 + 2ц to + 2v©',
где (I н v — любые целые числа, называются конгруэнтными или
эквивалентными с точкой г; в параллелограммах Рт-+ц, n'+v
они занимают то же положение, что и точка я в Р,„-п-.
Среди этих эквивалентных точек имеется одна точка, которая
принадлежит основному параллелограмму Р (эта точка z—2т'ы—
— 2л'©').
Итак, мы можем сказать, что всякая точка плоскости экви-
эквивалентна некоторой и притом единственной точке основного па-
параллелограмма Р. Будем называть параллелограммы Ртп парал-
параллелограммами периодов; выбор среди них основного параллело-
параллелограмма Р, очевидно, произволен. Теперь мы можем геометрически
истолковать соотношение B). Они выражают, что функция f(z)
принимает одно и то же значение во всех эквивалентных точках.
Следовательно, достаточно изучить эллиптическую функцию в од-
одном из параллелограммов, чтобы знать ее поведение во всей плос-
плоскости.
3. Основные теоремы. Теорема 1. Производная эллипти-
эллиптической функции есть также функция эллиптическая. В самом деле,
дифференцируя соотношения A), имеющие место при любом г,
мы получаем:
/' (г + 2@) = /' (г), /' (г + 2(й') == /' (г).
Таким образом, производная /' (г) имеет те же периоды 2(о и 2(о',
что и первоначальная функция. С другой стороны, будучи одно-
однозначной, как и / (z), f (z) не может иметь на конечном расстоянии
других особых точек, кроме полюсов, так как если / (г) голо-
голоморфна в некоторой точке, то производная /' (z) тоже голоморфна
в этой точке, а если / (г) имеет полюс в некоторой точке, то и
/* (г) будет иметь полюс в этой точке. Следовательно, /' (z) есть
мероморфная функция, допускающая два периода 2ш и 2а»', и
согласно определению она будет эллиптической функцией с теми
же периодами, что и первоначальная функция.
Теорема 2. Эллиптическая функция, отличная от постоян-
постоянного, имеет по крайней мере один полюс в параллелограмме пе-
периодов.
Действительно, допуская противное, мы имели бы целую
функцию, отличную от постоянного. Ее параллелограмм перио-
периодов есть ограниченная часть плоскости и в этой области, включая
ее границу, наша функция голоморфна, а значит, и подавно
непрерывна, а потому и ограничена. Следовательно, существует

§ 1] ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 297
такое положительное число М, что во всем основном параллело-
параллелограмме периодов имеем:
|/B)| <М.
Так как во всех остальных параллелограммах сети значения
функции /(г) повторяются, то неравенство |/(г)| < М будет
справедливо для всех точек z плоскости. Итак, мы имеем целую
функцию / (г), ограниченную во всей плоскости. Согласно теореме
Лиувилля отсюда заключаем, что / (г) приводится к постоян-
постоянному. Полученное противоречие убеждает нас в справедливости
теоремы.
Следствие 1. Если две эллиптические функции с одинако-
одинаковыми периодами имеют в параллелограмме периодов одни и те же
полюсы с одинаковыми главными частями, то они отличаются
лишь постоянным слагаемым.
В самом деле, положим, что Д (z) и /2 (г) суть две эллиптические
функции с одинаковыми периодами 2<и и 2со', имеющие в парал-
параллелограмме периодов одни и те же полюсы с одинаковыми глав-
главными частями. Тогда их разность fl (г)—/2 (z) будет двоякоперно-
днческой функцией с периодами 2ш и 2оУ, без полюсов, а значит,
по доказанной теореме эта разность равняется тождественно
постоянному.
Следствие 2. Если две эллиптические функции с одина-
одинаковыми периодами имеют в параллелограмме периодов одинаковые
нули и полюсы одной и той же кратности, то они отличаются
лишь постоянным множителем.
Действительно, положим, что /х (г) и /2 (г) суть две эллиптиче-
эллиптические функции с одинаковыми периодами 2ш и 2со', имеющие в па-
параллелограмме периодов одинаковые нули и полюсы одной и
той же кратности.
Тогда их отношение ^ |г| представляет двоякопериодическую
функцию с периодами 2со и 2со', причем это отношение не имеет
полюсов. Следовательно, по доказанной теореме это отношение
равно тождественно постоянному.
Т е о р е м а 3. Сумма вычетов эллиптической функции от-
относительно всех полюсов, расположенных в параллелограмме пе-
периодов, равна нулю.
Прежде всего заметим, что если на границе параллелограмма
периодов имеются полюсы эллиптической функции, то мы можем
немного сдвинуть этот параллелограмм так, чтоо'ы все полюсы,
расположенные на первоначальном параллелограмме периодов,
оказались бы внутри сдвинутого параллелограмма. Обозначим
вершины этого параллелограмма через
г0, ?0 + 2м, ?0 + 2и + 2<о', г0 + 2а:';
на его сторонах нет полюсов функции / (г). Согласно общей тео-
теореме о вычетах мы получим сумму вычетов 5 относительно всех

298 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯ [ГЛ. XI
полюсов, лежащих внутри параллелограмма, если вычислим ин-
интеграл -я—г Г f (г) dz, распространив его на периметр этого парал-
параллелограмма, проходимый в положительном направлении. Таким
образом, имеем:
га+2ш
го+2ю
4
4u J
где все интегрирования совершаются по прямолинейным отрез-
отрезкам, соединяющим указанные точки. Объединяя первый и третий
интегралы, делаем в этом последнем подстановку
г = г' + 2о>'
г0 г„
= ТЕГ J tV + MXb'^-Sti \ f(z')dz\
и, пользуясь периодичностью, находим:
к'
го+2ш+2«' г„+2п) г,.-\-2а>
Таким образом, сумма первого и третьего интегралов выраже-
выражения C), равная
*о+2ю г„
есть нуль потому, что интегрирования совершаются по одному
и тому же отрезку в противоположных направлениях.
То же самое можно утверждать относительно суммы второго
и четвертого интегралов, если в первом интеграле совершить
подстановку г = г' + 2ш. Возвращаясь к формуле C), мы убеж-
убеждаемся, что 5 = 0.
Теорема 4. Эллиптическая функция принимает в парал-
параллелограмме периодов всякое значение (конечное или бесконечность)
одинаковое число рае. Пусть а — произвольное комплексное число.
Покажем, что число корней уравнения / (г) == а, лежащих в па-
параллелограмме периодов, совпадает с числом полюсов функции
/ (г), расположенных в этом параллелограмме. Само собой разу-
разумеется, что при счете числа нулей функции / (г) — а или ее полю-
полюсов мы каждый нуль или полюс считаем столько раз, какова его
кратность. Для доказательства нашего утверждения прежде всего
заметим, что если на границе параллелограмма периодов имеются
нуля или полюсы функции / (z) — а, то мы можем немного сдви-
сдвинуть этот параллелограмм так, чтобы все нули и полюсы, располо-

$ 1] ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 299
женные на первоначальном параллелограмме периодов, оказа-
оказались бы внутри сдвинутого параллелограмма.
Обозначим вершины этого параллелограмма через
г0, г0 + 2<о, z0 + 2со + 2и', г„ + 2<а';
на его сторонах нет нулей и полюсов функции / (г) — а.
Образуем вспомогательную функцию
которая будет эллиптической с периодами 2<о и 2со', причем на сто-
сторонах рассматриваемого параллелограмма периодов она не будет
иметь полюсов. Применяя к этой функции предыдущую теорему 3,
мы имеем:
^[ ^\ ГУ} dz = О, D)
I (г) — а.
где интегрирование распространено в положительном направле-
направлении по контуру упомянутого параллелограмма. С другой сто-
стороны, как известно, интеграл
'2ni J
l(z) -a
dz
изображает разность между числом нулей и полюсов функции
/ (г) — а, лежащих внутри контура интегрирования (гл. VII,
§ 2, п. 5).
Так как согласно формуле D) этот интеграл равен нулю, то,
следовательно, число корней уравнения / (г) = а, лежащих
внутри параллелограмма периодов, совпадает с числом полюсов
функции / (г), расположенных внутри того же параллелограмма.
Таким образом, теорема доказана.
Если f (г) принимает в параллелограмме периодов всякое зна-
значение s раз, то она называется эллиптической функцией порядка s.
В силу теоремы 3 не может существовать эллиптической функ-
функции, имеющей в параллелограмме периодов одни простой полюс.
Таким образом, всегда s ^2 2, т. е. не существует эллиптических
функций первого порядка. В дальнейшем мы фактически построим
эллиптические функции второго порядка. Существуют, конечно,
и эллиптические функции более высокого порядка.
Т е о р е м а 5. Разность между суммой всех нулей и суммой
всех полюсов эллиптической функции, расположенных в параллело-
параллелограмме периодов, равна некоторому ее периоду, т. е.
где ah — нули, a p\ — полюсы, расположенные в параллело-
параллелограмме периодов. Само собой понятно, что при образовании суммы
нулей или суммы полюсов каждый нуль или полюс нужно повто-

300 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. XI
рить слагаемым столько раз, какова его кратность. Для доказа-
доказательства прежде всего заметим, что если на границе параллело-
параллелограмма периодов имеются нули или полюсы эллиптической функ-
функции, то путем небольшого сдвига этого параллелограмма мы мо-
можем достигнуть того, чтобы все нули и полюсы, расположенные
на первоначальном параллелограмме периодов, попали бы внутрь
сдвинутого параллелограмма. Обозначим через
г0, z0 + 2@, г0 + 2со + 2со', га + 2а>'
вершины этого параллелограмма;'на его сторонах нет нулей и по-
полюсов функции /(г). Тогда, как известно (гл. VII, § 1, п. 5),
искомая разность между суммами всех нулей и полюсов, располо-
расположенных внутри упомянутого параллелограмма, изображается
в виде интеграла
d2
где интегрирование совершается по периметру параллелограмма
в положительном направлении. Таким образом, имеем:
При интегрировании вдоль периметра параллелограмма сумма
[2г,+2а
2л
Иг) ""J
приводится посредством перемены во втором интеграле г на
г + 2<и' и использования периодичности к следующему выражению:
г„Н-2ш
так как / (г0 + 2ш) = / (г0), то число в скобке есть нуль или вида
— 2vni, где v — целое; таким образом, сумма двух рассматривае-
рассматриваемых интегралов вообще равна 2va>'. Аналогично сумма двух ос-
остальных интегралов
'I f ¦' (г) ? ''' (г)
приводится посредством того же рассуждения к 2цо, где р, — це-
целое. Возвращаясь к формуле E), перепишем ее в виде
2j ah ~ S P/i ^ 2(.io) -(- 2vw',
что и требуется доказать.

в соотношении F) z = -к- К, получим:
§11 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУК КЦИЙ 301
Замечание. Применяя доказанную теорему к функции / (г) — а,
где а — произвольное комплексное число, мы видим, что сумма корней уравне-
уравнения / (г) = а, расположенных в параллелограмме периодов, контруэнтна с сум-
суммой полюсов функции / (г), лежащих в этом параллелограмме, относительно ее
первоначальных периодов 2ш и 2ш'.
4. Эллиптические функции второго порядка. Сделаем предва-
предварительно два замечания:
а) Если эллиптическая функция / (г) с периодами 2ш и 2со'
удовлетворяет соотношению
/ (г) = - / (/< - г), F)
где К — некоторое постоянное, то числа
_L/r _La-co 1 К + ы' и ' К А со 4- со'
будут нули или полюсы функции / (г). В самом деле, полагая
_1_
2"
откуда следует, что -у К есть нуль или полюс функции / (г).
Полагая г = -~- К + со, найдем:
1 IS | \ __ с I I и \ __ г / I if |
1 1 1
откуда вытекает, что -g- /С + со, а значит, -у/С+со и-у-/С +
+ «о + to' суть нули или полюсы функции / (г). Числа со, со',
со + со' и им конгруэнтные называются полу пер йодами.
Предполагая К = 0, т. е. что / (г) удовлетворяет соотношению
/ (г) = — / (—г), мы будем иметь нечетную эллиптическую функ-
функцию.
В силу доказанного для такой функции точки г = 0, а следо-
следовательно, все периоды, равно, как все полупериоды, будут ну-
нулями или полюсами.
б) Если эллиптическая функция / (г) с периодами 2со и 2со*
удовлетворяет соотношению
f{z) = f{K- 2), G)
где К — некоторое постоянное, то числа
1 К —КА- —КА-' ' К Х- А- '
будут нули или полюсы производной /' (г). Действительно, диф-
дифференцируя соотношение G), мы видим, что производная /' (г)
удовлетворяет соотношению вида F), откуда и следует наше ут-
утверждение вследствие замечания а).

302 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ |ТЛ. ХГ
В частности, если К = 0, т. е. если / (г) — четная функция
[/ (г) = / (—г) ], то ее производная будет нечетной и будет иметь
нули или полюсы в точках, изображающих периоды и полупе-
полупериоды. Приложим теперь эти замечания к эллиптическим функ-
функциям второго порядка.
Обозначим через рх и р2 полюсы такой функции, расположен-
расположенные в параллелограмме периодов. Пусть сначала рх ф Р2, т. е.
оба полюса простые. В силу теоремы 5, если f (г) = f (Zx), то
г + Zj а Рх + р2, откуда вытекает соотношение вида G):
/ (г) = / (Pi + h - z);
следовательно, по замечанию б) точки
(8)
будут нулями или полюсами производной /' (г). С другой стороны,
мы знаем полюсы производной /' (г); она имеет в точках pj и ра
полюсы второго порядка. Так как, очевидно, точки рх и р2 на
будут конгруэнтными с точками (8), то производная /' (г) должна
обращаться в нуль во всех четырех точках (8). Образуем теперь
функцию
F (г) = [/ (г) - / (Ьг) ] [/ (г) - / (Ь2)} I/ (г) - / ф3) J [/ (г) - f ф4)\,
которая будет эллиптической с теми же периодами, что и / (г),
восьмого порядка; эта функция имеет два полюса четвертого по-
порядка в точках р! и р2 и нули второго порядка в четырех точ-
точках (8).
Последнее заключение сделано потому, чтэ в точках (8) функ-
функция F (г) обращается в нуль вместе со своей производной. Заме-
Заметив, что /'- (г) есть эллиптическая функция с теми же периодами,
что и F (г), того же порядка и с темп же нулями и полюсами, мы
на основании теоремы 2 (следствие 2) заключаем:
Г1 (z) = CF (г),
откуда
f (г) = /СЩГ). (9)
Полагая
/ (г) = w, CF (г) = R (а|,
найдем:
г=
где R (и/) — полином 4-й степени относительно w. Таким образом,
эллиптическая функция второго -порядка w ¦¦= f (z) может быть
рассматриваема как обращение, эллиптического интеграла первого
рода A0).

§ 28 ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА 303
Пусть теперь Рх = Р2, т. е. эллиптическая функция второго
порядка / (г), имеет в точке рх двойной полюс. В sitom случае / (г)
удовлетворяет соотношению
/ B) = / Bр! - 2);
точка $>! будет полюс третьего порядка для /' (г), ее нули располо-
расположены в точках
й] = Pi + ю. ?2 = Pi + «/, а3 = рх + со + со'.
Образуем функцию
Ф B) = I/ B) - / (ch)] [/ B) - / (а2) 1 [/ (г) - / (а3) ],
которая будет эллиптической с теми же периодами, что и / (г),
шестого порядка; эта функция имеет полюс шестого порядка в точ-
точке р! и нули второго порядка в точках аъ аъ а3. Последнее заклю-
заключение сделано потому, что в точках оь а2, а3 функция Ф (г) обра-
обращается в нуль вместе со сЕоей производной.
Заметив, что /'2 (г) есть эллиптическая функция с теми же пе-
периодами, что и Ф (г), того же порядка и с теми же нулями и по-
полюсами, мы на основании теоремы 2 (следствие 2) заключаем:
Г (г) = СФ (г),
откуда
Г(г) = у'СФ(д. A1)
Полагая
/ (г) = w, СФ (г) = /?! И,
найдем:
2=
= [-М=, A2)
где /?! (-л') — полином третьей степени относительно до. Таким об-
образом, эллиптическая функция второго порядка w = / B) и в слу-
случае двойного полюса может быть рассматриваема как обращение
эллиптического интеграла первого рода вида A2).
§ 2. Функции Вейерштрасса
В главе IX, § 2, п. 2 мы установили формулу для представле-
представления целой функции sin z в виде бесконечного произведения с яв-
явным выделением ее простых нулей вида Ы. В тесной связи с этой
формулой стоит представление ее логарифмической производной
= ctg2, мероморфиой функции, имеющей в точках kn
sin 2
простые полюсы, в виде бесконечного ряда простейших дробей
с явным выделением всех ее полюсов и их главных частей (гл. VII,
§ 2, п. 4). Наконец, путем дифференцирования разложения для
cig 2 мы можем получить представление . 2г = — (ctg г)' меро-

304 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. Xt
морфной функции, имеющей в точках kn двойные (толюсы, в виде
бесконечного ряда простейших дробей о явным выделением всех
ее полюсов и их главных частей.
Наша ближайшая задача заключается в том, ччГобы, поступая
аналогично только что сказанному, ввести в рассмотрение три
функции, принимая в качеаве исходного элемента простейшую
целую функцию, имеющую нули первого порядка в точках вида
w = '1пш> 4- 2я.со< (т, п — целые),
причем
Для построения этой функции мы воспользуемся формулой
Вейерштрасса бесконечных произведений (ui. IX, § 2, п. 1).
1. Лемма. Ряд
абсолютно сходится для каждого положительного числа а, боль-
большего 2.
Символы ?' и П' обозначают соответственно ряд и произведение, распростра-
распространенные на все w, за исключением w = 0 (т = 0, п = 0).
Д.Л5: доказательства леммы рассмотрим параллелограммы Р{,
Ро Рп, ... с общим центром в точке 2 = 0, еторонамп, парал-
параллельными векторам оз и ю' и имеющими одну из вершин соответ-
соответственно в точках
2со 4- 2со', 4со 4- 4ш', ..., 2п (со 4" ш'), ...
На периметре параллелограмма Рг лежит восемь точек w, на пери-
периметре Р2 находится шестнадцать таких точек и вообще на пери-
периметре Р„ лежит 8« точек ш. Обозначая через '5 минимальное рас-
расстояние от начала координат до периметра параллелограмма Ри
мы видим, что расстояние от г — 0 до периметра Рп будет пЬ.
Заметив это, имеем:
8п 8 V^ I
6 б 2j л
11=1
откуда при а > 2 вытекает сходимость ряда, стоящего в левой
части неравенства, а значит, абсолютная сходимость ряда A3).
2. Функции о, l и р. Теперь мы в состоянии построить целую
функцию, имеющую нуля первого порядка в точках w. 'Гак как
Si \
,.s сходится, то по фор-
муле Вейерштрасса (гл. 1-Х, § 2, п. 1) бесконечное произведение

$ 2] ФУНКЦИИ Е1ЕИЕРШТРАССА 30")
изображает целую функцию е простыми нулями в точках w --.
е= 2та> + 2тй'. Обозначим ее, следуя Вейерштрассу, через а (г).
Таким образом, имеем:
оB) = гП'A ~-^)е~ + ~- (И)
Если мы хотим явно выразить зависимость а (г) от постоянных 2о)
и 2ш\ то ее следует записывать в виде о (г; 2со, 2oj').
Соединяя н произведении A4) два множителя, относящихся
к w и —W, перепишем A4) в виде
где произведение распространено на значения w = 2mco -f- 2/ш',
соответствующие целым гп и я:
ш > 0; /г — любое; т -=0, л > 0.
Из формулы (И') усматриваем, что о (г) есть нечетная функ-
функция, т. е.
а (—г) = —о (г),
и что а (г) есть однородная функция степени единица относительно
г, ю, а', т. е.
а (/гг; 2/гю, 2/?ю') = Ла (г; 2со, 2оз').
Из формулы A4') мы легко получаем разложение функции а (г)
в степенной ряд, сходящийся во всей плоскости
г (г) - г - с*? - с7г'. , A5)
откуда мы усматриваем, что
а @) = 0, а' @) = 1, о" @) = а'" @) = ап @) = 0.
Так как ряд, полученный логарифмированием формулы A4),
равномерно сходится во всякой конечной части плоскости, если
пренебречь конечным числом его первых членов, соответствую-
соответствующих точкам w, лежащим в этой части плоскости, то по теореме
Вейерштрасса мы можем образовать разложение логарифмической
производной функции о (г), обозначаемой через 'Q (г).
Таким образом, получаем:
Функция ? (г) — мероморфная, все полюсы которой первого
порядка и находятся в точках и>\ в каждом из этих полюсов вы-
вычет равен единице. Из формулы AС) мы усматриваем, что при
умножении г, о, ш! на /г функция ? умножается на -г-, т. е.

306 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. XI
i (kz; 2/г(о, 2k<o') = -j-l (г; 2@, 2<в'). Таким образом, I, (г; 2й, 2со') —
однородная функция относительно г, (о, ш' порядка — 1.
Выражение A6) позволяет легко получить разложение функ-
функции ? (г) —в степенной ряд, радиус сходимости которого ра-
равен расстоянию от начала координат до ближайшей из точек w.
Si ]
—— при о. целом и нечетном
W
равен нулю, то, положив > ——¦ = 9 °" . ., получим;
откуда, в частности, следует, что функция il (г) есть нечетная.
Разложение A6) равномерно сходится во всякой конечной
части плоскости, если пренебречь конечным числом первых чле-
членов, соответствующих точкам w, лежащим в этой части плоскости,
а потому оно может быть продифференцировано почленно. Обозна-
Обозначая через f (г) производную от функции ? (г) <: обратным знаком,
получим:
J2'(^L) A8)
Функция (р (г) есть мероморфная с полюсами второго порядка
в точках w; в каждой из этих точек вычет ранен нулю. Очевидно
из A8), что эта функция есть четная, т. е.
Дифференцированием ряда A7) мы получим:
Р (г) = 1/г2 + й.2г2 + аяг< -\ + авг2"-» -f- • • •, A9)
причем степенной ряд A9), изображающий f (г) — 1/г2. будет
иметь тот же круг сходимости, что и ряд A7), представляющий
I B) - 1/2.
Дифференцируя формулу A8), мы сначала образуем:
что может быть переписано в виде
Г (г) = ~2Y> (г-w)* '
где суммирование распространено на все значения w без исклю-
исключения.
Отсюда легко заключаем, что
Р (z + 2(о) = Р (г), р (г + 2<о#) == Р' (г).

§ 2Я ФУНКЦИИ ВЕПЕРШТРЛССЛ 307
Интегрируя, имеем:
V (г + 2со) = р (г) + Си 9 (г + 2(о') = р (г) + С2;
наконец, полагая соответственно г = —со, г = —со' и воспользо-
воспользовавшись четностью функции f (г), найдем:
d = о, с2 = о
и, значит,
р(г-!-2со) = Р(г), Р (г -f 2со') = р (г). B0)
Следовательно, функция f (г) есть эллиптическая второго
порядка с основными периодами 2со и 2со', имеющая полюсы вто-
второго порядка в точке г = 0 и со всех эквивалентных с ней точ-
точках w.
Если мы хотим явно выразить зависимость функции f (г)
от периодов, то следует ее обозначить через f (г; 2со, 2со').
Из формулы A8) следует:
&»(&; 2*(о, 2Аи') = -р-р(г; 2со, 2со').
Это соотношение показывает, что {р (г; 2со, 2со') — функция од-
однородная порядка — 2 относительно г, со, со'.
Производная jp' (г) функции f (г) есть эллиптическая функция
третьего порядка с теми же периодами 2со и 2со', имеющая трой-
тройные полюсы в точках, конгруэнтных с z = 0; в силу п. 4 § 1 она
имеет три простых нуля в параллелограмме периодов, а именно,
таковыми будут точки, конгруэнтные с со, со' и со + со', т. е. все
полупериоды. Как известно из того же п. 4, эллиптическая функ-
функция <р (г) второго порядка с двойным полюсом должна быть свя-
связана со своей производной соотношением
Г' (г) = С W (г) - 9 (<о)] fP (г) - J? (со + со')] fp (г) - р (оУ)]. B1)
С другой стороны, мы можем установить зависимость между
f (?) и f' B) непосредственно, отправляясь от ряда A9). В самом
деле,
Р (г) = ~4г
откуда
где Р1 есть сумма одних положительных степеней г. Аналогично
находим.
P3(z) = 4- + ir + 3a, + /\,
где Р2 — также сумма одних положительных степеней г.

308 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. XI
Следовательно, можем написать:
f'" (г) - 4р B) + 2Qa2f B) = -28а, + Ря,
где Я3 — сумма одних положительных степеней г.
Левая часть последнего соотношения представляет собой эл-
эллиптическую функцию с периодами 2oi и 2«', и, как показывает
правая часть этого соотношения, эта эллиптическая функция не
имеет полюсов. Следовательно, она должна быть постоянной, что
возможно лишь при Р3 = 0.
Итак, имеем:
р<2 B) = 4f (г) - 20аар (г) -
или в других обозначениях
где положено;
?2 = 20я2 = 60?'^, g3 = 28a3~ 140 J1^. B3)
Формула B2) представляет в развернутом виде формулу B1).
Полагая f (z) = и, из формулы B2) заключаем: и — $ (г)
есть обращение эллиптического интеграла первого рода в форме
Вейерштрасса:
J
V 4u» — g2u —
B4)
Очевидно, полином, стоящий под радикалом,не имеет кратных
корней, так как в противном случае интеграл B4) выражался бы
в элементарных функциях. Можно показать и наоборот, что при
любом выборе g2 и g3 таких, что полином, стоящий под радикалом,
не имеет кратных корней, обращение интеграла B4) приводит
к функции f (г). Корни полинома 4jp? — g2f—gs, стоящего
в правой части B2), обозначим через е{, ег, es; тогда формула B2)
примет вид
Г2 (z) = 4Г B) - g? (г) - g3 = 4 (F B) - в,) (F (z) - е%) (j? B) - е3).
B5)
Сравнивая последнюю формулу в B1), находим:
«i = P(<o). «1 = 1Р((о + и'). «« = ?(«'). B6)
Как было выше отмечено, числа е{, eit es различны между собой
Путем сравнения между собой двух частей формулы B5) полу-
получаем соотношения
«1 + <?г + е3 = 0, ехе2 + егеа + е#Л = — g.,/4, еге2е3 == g3IA B6')

§ 2Л ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА 309
Функции Z (z) и о (г) не могут иметь перископ 2со и 2о)', так
как первая имеет а параллелограмме периодов лишь один про-
простой полюс, а вторая совсем не имеет полюсов. Однако из периодич-
периодичности функции f (г) = — ?' (г) следует для ? свойство, аналогич-
аналогичное периодичности, а именно:
t (г + 2ш) = ? (г) + 1>п,
? (г + 2а') = ? (г) 4- 2,|', B7)
где т]и г)' — некоторые постоянные или вообще
I B + 2//Н.0 + 2/гсо') = ? (г) -[- Ъпщ -V 2rti|', B3)
считая /7t и я любыми целыми числами. Числа г| и i]' можно рас-
рассматривать как частные значения функции I. Для этого положим
в формулах B7) z — —со \\ z — —и', соответственно получим:
г(<а) = ?, (-«) + 2т). I («') - и (-со') + 2»)',
и, пользуясь нечетностью функции ?, найдем:
^ = U«), n'- = С (со')- B9)
Последние формулы показывают, что т| и п' однородны относи-
относительно со, со' измерения — 1, что следует из свойства однород-
однородности функции ?. Эти числа х\ и п/ связаны с полупернодами со
и со'- замечательным соотношением, которое выводится следую-
следующим образом.
Прежде всего сдвинем немного параллелограмм периодов
¦так, чтобы полюс г — 0 оказался внутри сдвинутого параллело-
параллелограмма.
Обозначим вершины этого параллелограмма через
г„, г0 + 2со, г„ + 2со + 2со', г„ + 2со';
на его сторонах нет полюсов функции I (г).
Так как вычет функции Z, относительно полюса г = 0 paeeti
единице, то, интегрируя функцию ? (г) вдоль периметра нашего
параллелограмма, будем иметь:
C0)
где все интегрирования совершаются по прямолинейным отрез-
отрезкам, соединяющим указанные точки. Объединяя первый и третий
интегралы, делаем в этом последнем подстановку
г = и + 2а/

310 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. XI
и, пользуясь B7), находим;
& (и + 2со') — I (и)] du = — 2г)'2со.
Аналогично, объединяя второй и четвертый интегралы соотно-
соотношения C0), найдем, что их сумма равна
2п-2со'.
Енося в соотношение C0), получим:
2г)-2со' — 2г)'.2со = 2ш
или
Ц(А — Г) СО = — . C1)
Это — так называемое соотношение Лежандра. Соотношения B7)
можно переписать в виде
о' B + 2<о) а' (г)
о (г + 2ш) о(г)
о'(г+2<о') а'(г)
а (г+2со') а (г)
Интегрируя, получим:
In а (г + 2со) = In о (г) + 2тJ + In С,
In а B + 2со') = 1п а B) + 2г)'г + In С,
или
о B + 2со) = Сё2ч*о (г), 0 (г + 2со') = С'е2ч'*о (г).
Остается определить постоянные С и С. Для зтого полагаем в по-
последних тождествах г — —со и г — —со' и находим:
о (со) =--- Се-2>ао (—со), 0(со') = C"e2i''o (—со'),
откуда, пользуясь нечетностью функции 0 (г), получим:
Следовательно, окончательно находим:
оB + 2со') = -е2п<^-HB)>
откуда
О B -|- 2@ -f 2(О') = —eBi]+2n') <2+ю+й>'H ^^
если принять во внимание C1). Согласно формулам C2) функция
о (г) приобретает множителей показательного типа при прпбявле-

$ 3] ПРОСТЕЙШИЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 311
нии к аргументу чисел 2ы и 2со'. Функции а (<), ? (г) и jp (г)
впервые были введены Вейерштрассом. Можно показать, что сся-
кая эллиптическая функция с периодами 2со и 2со' является рацио-
рациональной относительно <р (г) и jp' (г). Таким образом, совокупность
рациональных функций от jp (г) и р' (г) представляет собой всю
совокупность эллиптических функций с периодами 2со и 2ш\
§ 3, Простейшие аналитические представления
произвольной эллиптической функции
1. Представление эллиптической функции в виде суммы про-
простейших элементов. Пусть / (г) есть эллиптическая функция по-
порядка s с простыми полюсами fii, (i2, ..., p"s, лежащими в парал-
параллелограмме периодов. Обозначая через Вк вычет функции относи-
тельно полюса \')h, мы имеем, что S В,, = 0 (§ 1, п, 3, теорема 3).
Образуем теперь выражение
В силу свойства функции ?, выражаемого соотношениями B7),
мы находим:
4=1
k = l
s
Так как S Bk = 0, то последние формулы примут вид
F (z + 2а>) = F (г), F (г + 2со') = F (г).
Таким образом, F (г) есть эллиптическая функция с основными
периодами 2со и 2ш'. С другой стороны, легко вядеть, что функ-
функция F (г) имеет в точках р\ простые полюсы с вычетами Bk. Следо-
Следовательно, данная эллиптическая функция / (г) может отличаться
от F (г) лишь постоянным слагаемым (§ 1, п. 3), т. е.
Г/-Л Г" I N1 R fly ft \ fi4\
I V / — ^ ~Р i-J *-'ftt \^ — Pk/i 100^
где постоянное С определяется по значению функции / (г) в точке,
не совпадающей с ее полюсом.
Из вывода мы усматриваем, что, обратно, всякое выражение
вида C3), в котором р4 — любые s различных точек в параллело-
параллелограмме периодов, a Bh — любые s чисел, подчиненные условию

312 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. XI
J] Вк — О, всегда изображает эллиптическую функцию порядка s
с простыми полюсами fii, р2 ps и соответственными главными
частями:
Обобщим теперь формулу C3) на случай кратных полюсов. Пусть
/ (za) есть эллиптическая функция порядка s с полюсами р^,
Р2, ..., fiq, лежащими в параллелограмме периодов. Обозначим
через
В hi i Bh2 i i l<sh /Q4\
————^— —(— ^^——^—— —+— • • • J ^— ——~—— IO"/
главную часть нашей функции относительно полюса р;„ порядок
которого есть sk (sx + s2 + • • •+ sQ = s).
Образуем теперь выражение
р /z\ __ V^ \ о г /-, а \ \ d in /^ а \ Вкя
Так как 2 Bftj = 0, то из предыдущего анализа, принимая во
внимание периодичность, функции $э и ее производных, вытекает,
что F (г) есть эллиптическая функция с периодами 2со и 2оэ\
С другой стороны, из выражения функции F (z) мы усматриваем,
что в точках р\ она имеет полюсы порядков sk с главными частями
C4). Следовательно, данная эллиптическая функция / (г) может
отличаться от F (г) лишь на постоянное слагаемое (§ 1, п. 3),
т. е.
C5)
где постоянное С определяется по значению функции / (г) в точке,
не совпадающей с ее полюсом.
Обратно, всякое выражение вида C5) всегда изображает эл-
эллиптическую функцию порядка s с полюсами в точках pft и соот-
соответствующими главными частями C4), если постоянные Bhi
я
подчинены условию J] Bhl = 0, а р\ — любые: <? точек параллело-
*=i
грамма периодов.

§ 31 ПРОСТЕЙШИЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 313
2. Представление эллиптической функции в виде отношения
произведений элементарных множителей. В предыдущем пункте
мы получили формулу, изображающую эллиптическую функцию
в виде суммы простейших элементов, которая может быть рас-
рассматриваема как аналог разложения рациональной функции на
простейшие дроби. Мы выведем теперь другую формулу, при по-
помощи которой можно представить всякую эллиптическую функ-
функцию; эта формула будет аналогична представлению рациональ-
рациональной функции в виде дроби, числитель и знаменатель которой раз-
разложены на линейные множители.
Пусть / (г) есть эллиптическая функция, имеющая в параллело-
параллелограмме периодов нули в точках аи а2 аа и пэлюсы в точках
Pi. Рг< ¦•-. Ps. причем эти точки могут быть различными или ча-
частично совпадающими (в случае кратных нулей или полюсов).
В силу § 1, п. 3 имеем:
& aft=?p
4=1 fc=l
Примем вместо pft число
тогда, очевидно, будет:
а, + a, _j ^ as = Р, + р2 -| 1- ps_, -f ft. C6)
Образуем теперь выражение
,, v _ о (г — а-,) а (г — at) ... a (г — as)
a(*-p,)aG-P2) ... a(z-tT) '
которое будет представлять мероморфную функцию с нулями
в точках ah и им эквивалентных и с полюсами в точках p/t и им
эквивалентных.
Покажем, что F (г) есть эллиптическая функция с основными
периодами 2со и 2а'. В самом деле, воспользовавшись свойствами
функции а, выражаемыми формулами C2), имеем:
F (г + 2ы) = e^AF (г), F (г -)- 2со') = e^'AF(z),
где
—А = cci + а2 И [- as — Pi — р2 — • • • — Pi = О
и, значит,
F (г + 2oj) = F (г), F {г + 2со') = F (г).
Итак, две эллиптические функции / (г) и F (г) с одними и теми же
периодами имеют в параллелограмме периодов одни и те же нули
и полюсы одинаковой кратности, а потому они могут отличаться
друг от друга лишь постоянным множителем (§ 1, п. 3). Следова-
Следовательно, имеем:

314 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. XI
Постоянное С определяется либо путем задания функции / (г)
в точке, не являющейся ее нулем или полюсом, либо посредством
разложения в ряды левой и правой части и отождествления соот-
соответствующих членов.
Очевидно, из доказательства вытекает, что, обратно, всякое
выражение вида C7) всегда изображает эллиптическую функцию
порядка s с нулями в точках аь а.,, ..., as и полюсами в точках
р\, р2, ..., (ij, если aL, a», ..., ccs, рх, ft,, ..., f.s_i — любые точки
(частично совпадающие или все различные) параллелограмма
периодов, а
Р; = ос, + а2 Н f- ocs - ft - р2 Ps-i-
В качестве приложения выведенной формулы C7) рассмотрим
функцию f (г) — р (и), имеющую полюс второго порядка в точке
2 = 0 и нули при 2 — ±и. Следовательно, по формуле C7) имеем!
Чюбы определить постоянную С, рассмотрим разложения обеих
частей в ряды по степеням г, а затем сравним ко:эффициешы при -^-.
Имеем:
а (г + и) = о (и) + га' (и) + ..,,
о (г - и) =о (—ы) + га' (-и) + ...,
а1-(г) = 2?+...,
а (—и) = —а (м).
Поэтому коэффициент при -^ в правой части будет равен —Со2 (//),
а в левой он равен единице. Отсюда следует, что
и, значит,
*&-п«)=-а{г??°Лт-- C8)
§ 4. Функции ак
В § 2, п. 2 мы вывели формулу B5), представляющую f2 (z)
в виде произведения трех множителей. Согласно этой формуле про-
произведение, стоящее в правой части, является квадратом однознач-
однозначной аналитической функции. Оказывается, то же самое можно
утверждать относительно каждого из трех множителей <р (г) — вк
(k — !, 2, 3). Чтобы в этом убедиться, положим сначала в формуле
C8) и — со; тогда получим:

j 411 ФУНКЦИИ ek 315
В силу формулы C2) мы можем написать:
а B -j- со) = о B — со + 2(о) = —б21' <г-м+'°)а (г - со),
т. е.
0B + со) = — е2"-го(г — со). D0)
Заметив это, перепишем C9) в виде
f (г) — ?] = е-''1г—2 2 = | —————;
Полагая в формуле C8) и = со + со' и и = со' и поступая ана-
аналогично, мы представим дне другие разности также в виде квад-
квадрата частного двух целых функций. Таким образом, будем иметь:
8э(г) — е h = —т— D1)
или
yfiz\ — eh = "'< у> D1')
где положено:
1V ' о (со) ' 1К ' а (со + w') '
"'W-^^rksr-- D2)
Уравнения D1') определяют три квадратных радикала как од-
однозначные функции г. Отметим некоторые свойства функций
°* (г).
Все три функции ah (г), очевидно, целые, и, полагая 2 = 0
в формулах D2), найдем:
о„ @)= 1 (k= 1, 2, 3).
Заменяя в формуле D0) г на — г и пользуясь нечетностью функ-
функции а (г), перепишем D0) в виде
о (м — г) = е-2чга (со -\- г),
а значит,
и то же самое для функций а2 (г) и а3 (г), т. е. функции ok (г)
суть четные. Изменяя г, со, а)' на kz, ka>, ftco' и пользуясь свойства-
свойствами однородности ст (г; 2м, 2со') и т| Bсо, 2со'), мы заключаем: функ-
функции ah (г; 2со, 2со') однородны относительно г, со, со' измерения
нуль.

316 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. Xt
Подставляя выражение D1) в формулу B5) и извлекая квадрат-
квадратны и корень, будем иметь;
// /,\ , О СТ1 B) °2 B) 03 B)
JJ B) = +Z ^-^—|y-r— - .
Остается лишь определить знак в последней формуле. Для
этого, помножив обе части этой формулы на г3, заставим затем г
стремиться к пулю. Так как
2;У(г)->— 2, стА@)=1, а@) = 0, а'@)=1,
то отсюда мы заключаем, что в предыдущей формуле следует
брать знак —, т. е.
f' (г) = —2 —' 2 аз ^) ^ ф D3)
Наконец, посмотрим, как изменяются функции ой (г) при при-
прибавлении к аргументу периода. Чтобы придать выводимым фор-
формулам однообразный вид, введем следующие обозначения:
COj = СО, С02 = СО + СО*, С03 == 0)
и соответственно:
Л! = Л- Ла = Л + Л'. Лз = Л';-
Тогда формулы D2) в этих обозначениях будут:
ак (г) = -grV °дг(~"'<) (k = 1, 2, 3). D4)
Формулы же C2) примут вид
0(г4-2со,?) = -е2'М^)а(г). C2')
Отправляясь of формулы D4), используя C2') и тождество Ле-
жзндра C1), легко найдем:
о„ (г + 2М„) = - е2"" (z+(D">ah (г) (А ==1,2, 3) D5)
и
(кфН \
а„ (г + 2(о„) = е211л (г+м^ aft (г)U = 1, 2, 3 |. D6)
\А= 1, 2, З/
Как следствие формул C2'), D5) и D6) мы получаем:
а,, (г + 2со,() а,, (г) а„ (г +• 20)^, ff,; (г) , ,
а (г -|- 2щ) а (г) ' аЦ-(-'2ш^) а (г) '
И
а/, (г + 2@/) _ а/, (г) а/, (г -|- 2а)/,) а/г (г)
ал (г + 2ю,) — я/, (г) ' о.;, (? + 2Ы,,) ал (г) '
где k,-li и / могут принимать значения 1, 2, 3, различные между
собой.

$ ED ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ 817
§ 5, Эллиптические функции Якоб и
Будем называть эллиптическими функциями Якоб и три функ-
функции, определяемые формулами
Щ Щ D9)
(г) а3 (г)
где и — г уel — e3 ').
Пользуясь формулами D7) и D8), мы усматриваем, что это
будут эллиптические функции: sn и имеет основные периоды
4со уге1 — е3, 2со' у ех — е3, а сп и имеет основные периоды
4« уге1 — е3. Bсо -f- 2w') yfех — es и fin и имеет периоды 2ш у7^ — е8,
4©' /^ — еа.
Зная нули функций о (г) и ah (г), мы можем написать нули и
полюсы эллиптических функций Якоби в виде таблицы
sn и
en и
6пи
Bт
[Bш 4
[Bт+1)
Нули
ш + 2п<?>') \fe
1) (D + 2/1(о']
ш + Bн + 1)ш
1— е3
Уег-е3
Полюсы
[2н1ш + Bл + [) ш'
[2тш + B/г+ 1)ш'
[2то) + Bи+ 1)ш'
]V*i-e,\
\У el — ез
Очевидно, в основном параллелограмме периодов лежат два
простых нуля и два простых полюса каждой функции Якоби.
Таким образом, это будут эллиптические функции второго по-
порядка. Так как а — функция нечетная, а а,, — четные, то sn и —
нечетная функция, сп и и 6п и — функции четные. Далее, sn 0 =
= 0, сп 0 = !, бпО = 1.
Не изменяя величины и, умножим аз = ю' на произвольное
число k; тогда г умножится на k, так как у ег — е3 разделится
на k (е1 и е3 однородны относительно (о, и' порядка — 2).
Отсюда, принимая во внимание свойства однородности функ-
функций о (г) и o/t (г) относительно г, и, «', мы выводим заключение;
функции Якоби sn и, сп и, бп и не изменяются, если умножить «
на ш' на произвольное число. Другими словами, эти функции нуле-
нулевого измерения относительно а>, а>', т. е. зависят от и и отноше-
@'
ния т = —.
ш
J) Под Y «1 — е3 мы можем понимать любое из двух возможных его значе-
ний, так как формулы D9) не изменяются при перемене гтака ^ радикала
V е1 — «з вследствие нечетности функции а и четности функции од.

318 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯ [ГЛ. XI
Поэтому, если мы хотим явно выразить зависимость функций
Якоби от периодов, то их следует обозначать через
sn (и; т), сп (и; т), бп (и; ':).
Из известных формул f (г) — eh = ( h . ) путем исключе-
исключения функции f B) получим два соотношения, связывающих три
функция Якоби:
sn2 и -f- сп2 и = 1, Cl ~йз sn- и -\- сп2 и = 1,
или, полагая
(k называется модулем наших функций), получим:
сп2 и = 1 — sn2 и, .fin'2 и = 1 — k2 sn2 и. E0)
Пользуясь функциями Якоби D9), перепишем известное соотно-
соотношение D3)
.„' /,ч о °i (г) g2 (г) оа (г)
jp B) = -2 ^^
в виде
р'(г) = -2(е,-^-^^. E1)
С другой стороны, дифференцируя относительно и соотношение
найдем:
а
p'(z) = -2(ei-es)~-HL^- E2)
Сравнивая E2) и E1), получим:
(sn н)' = сп и бп «. E3)
Дифференцируя теперь тождества E0) и пользуясь E3), по-
получим формулы производных для двух других функций Якоби:
(сп и)' = —sn и 5п и, (бп и)' = —kl sn и сп и. E4)
Чтобы получить дифференциальное уравнение для функ-
функции sn и, возведем в квадрат соотношение E3) и воспользуемся
формулами E0); тогда получим:

« 6 В ФУНКЦИИ ТЭТА 319
или, полагая х = sn и, будем иметь:
причем при и = О следует считать х = О и радикал, стоящий
справа, равным единице, так как sn' @) = 1 в силу E3).
Разделяя переменные и интегрируя, найдем:
X
"={' 2 dX • E5)
о
Отсюда мы видим, что функция sn и получается в результате
обращения эллиптического интеграла первого рода в форме Ле-
жандра.
Можно показать и наоборот, что, задавая произвольное ком-
комплексное число Ыг, отличное только от нуля и единицы, получим
в результате обращения интеграла E5) функцию Якоби sn и.
Это означает, что элементом построения для функций Якоби
вместо т может служить число k. В дальнейшем мы подробно ис-
исследуем интеграл E5) с точки зрения конформного отображения
для того частного случая, когда число k действительное и заклю-
заключается между нулем и единицей.
Мы увидим, что в этом случае один период будет действитель-
действительным, а другой — чисто мнимым. Заметив, что при z = со, т. е.
при и = со \/ег — <?а, функция сп и обращается в нуль, а значит,
sn и равна единице, поэтому
'"^W- -* - E6)
I)
V il -*a И-Л2)
Интеграл, стоящий в правой части E6), выражает, следовательно,
четвертую часть периода функции sn и.
§ 6. Функции тэта
I. Разложение целой периодическо-i функции. Эллиптические функции
Якоби мы представили в виде отношений целых функций а и а^. Эти последние
не имеют периода: однако, как мы увидим, путем присоединения к ним некоторых
показательных факторов можно из них получить целые функции, обладающие
периодом.
Благодаря такому изменению функции а и о/,, эллиптические функции
Якоби представляются в виде отношений новых целых периодических функций.
Преимущество такого нового представления функций Якоби сравнительно
с прежним будет заключаться в том, что вводимые вместо о noj периодические
целые функции могут быть разложены в ряды Фурье, быстро сходящиеся.
Предварительно в этом пункте мы рассмотрим общий случай целой функции
с периодом и выведем разложение Фурье для такой функции. Пусть целая функ-
функция ф (г) имеет основной период 2<о, т. е.
<р (г + 2<о) = ф B). E7)

320
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. XI
Построив mi начала координат вектор 2м и две прямые АВ и CD, перпенди-
перпендикулярные к этому вектору и проходящие через его начало и конец, мы получим
полосу периодичности функции ср (г) (рнс. 101). Сторона CD получается из АВ
путе« преобразования г = г-\- 2со.
, . zni
Выполняя над плоскостью z преобразование /= , мы вместо нашей
полосы получим на плоскости I полосу шириной 2л, ограниченную действитель-
действительной осью и прямой, ей параллельной.
Положим теперь Z = е'. Как известно (гл. III, { 3, п. 2), нашей полосе
в плоскости 2 будет соответствовать вся плоскость с разрезом вдоль положитель-
положительной действительной оси, причем два берега разреза являются образами двух сто-
сторон полосы, Тжпм образом, полоса плоскости z, ограниченная прямыми АВ
и CD, отображается на плоскости Z в разрезанную
вдоль положительной действительной оси плоскость, при-
причем точки этого разреза с одним и тем же аффиксом япля-
готся образами точек плоскости г, связанных соотноше-
соотношением г' = г + 2A). В силу периодичности наша функ-
функция ср (г), рассматриваемая как фупкния от 2, будет
иметь одинаковые значения на обоих берегах разреза,
2(д т. е. она будет однозначной аналитической функцией во
всей плоскости Z, кроме точек Z = 0 и Z = ос. Поэтому
мы можем для нее написать разложение Лорана, схо-
сходящееся во всякой конечной точке 2 =/= 0 плоскости Z,
а именно:
В $ +оо +оо "'-' п
Рис. 101. ФB)= S cnZn = 2 спе м .
Так как значение Z= 0 выпускается функцией Z = е ш , то последний
ряд будет абсолютно сходящимся при любом г, причем сходимость будет равно-
равномерной во всякой ограниченной части плоскости г.
Таким образом, мы доказали теорему: всякая целая функция <р (г) с периодом
2« может быть представлена на всей плоскости комплексного переменного г рядом
вида
Ф
с„е
E8)
Последнее разложение можно записать в другой форме, если сгруппировать
в нем члены, соответствующие значениям и, одинаковым по величине и противо-
противоположным по знаку, воспользовавшись формулами Эйлера.
Таким образом, мы получим:
Ф (г) = с0 + > [ап cos — + bn sin
ппг
—
\
E9)
где
Й. Функция 0. Поставим задачу ввести в рассмотрение вместо функции
о (г) другую целую функцию 9 ( -т—), имеющую период 2со. С этой целью до-
\ 2(Л I
бавим к функции а (г) показательный множитель
ф(г)=--^+'га(г)
и, пользуясь соотношениями C2), выберем числа я и 6 "ак, чтобы новая функция
Ф (г) имела период 2ш.

§ б] ФУНКЦИИ ТЭТА 321
Вследствие C2) мы имеем:
m !¦> Л- Of,, 1 -_ еа (г+2О)J-)-Ь B4-2а)+2ц \г+ы) , ¦. __
ф \с -р ^ш) -- —е и {?) —
Ф (г + 2@) ^ _йа Bй<о+г|) (л-ык-г/.й, F0)
Ф(г)
и аналогично получаем:
ф (г + 2(о') _ j Bаш- + ц-) (z-|-o)')f2i(u' /gjj
Ф (г)
Чтобы обратить правую чисть формулы (GO) в единицу, полэжим:
а = ~~Тп7' =7о~"
Тогда, пользуясь соотношением Лежапдра C1), формуле F1) придадим вид
л/ G'' л /г
Ф (г + 2ш') - —- (^+»')+¦-'¦ -^- = _ - -J3~ ^_ _ г2
ф (г)
где положено:
!'Л2
-^-=». «'- - — --*. F2)
Итак, для функции
Ф (г) =¦ е ~^~ 2@ а (?) = е 2<J xa (г) F3)
имеют место равенства
Ф (г + 2ш) --= (р (г), ф (г + 2ш') = — х~2ц> (>). F4)
Так как ф (г) есть целая функция с периодом 2@, то для tee в силу предыду-
предыдущего пункта цу.еет место разложение вида
Ф (г) = V Спе и = ^ '«*2" •
/г^=—ос и——со
С другой стороны, добавление к z числа 2ш' равносильно добавлению к о числа
т = со7(о или умножению л на
<? = е'п\ F5
и вторая из формул F4) дает нам:
^z= ОС rt=e ОО /1^:—'Л1
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим:
И. И, Привалов

322 ЭЛ1.МЕНТЫ 1ЕОРИ1: ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1ГЛ. XI
,:ЛИ
I \2
Q сп+\ — I—Ч Q сп-
Отсюда мы пилим, что выражение
(-1)"? 1 " ' с„
ii'i.i/i<no г:ох().ч[i.v-ti. одно и то же значение при всех целых значениях п. Полагая
где С — некоторая постоянная, будем иметь:
и, следовательно,
Ф(Г) = о 2 (-i)"'/"""l/2)^2fl. (Об)
'J ~- — (X)
Функция же о (г) согласно формуле F3) примет вид
Сопоставляя лве последние формулы, мы, естественно приходим к введению
новой функции
b(v) = i ? (-DV-'^V"-1, F7)
которая связана с о (г) следующим соотношением:
¦, (г) = е 2ы СО (а). @8)
Остается определить постоянную С. Для этого заметим, что 2= 2ше п силу
последней формулы d @)— 0 и, значит, —~ стремится к 0' ((!), кпгл<! о ->¦- 0,
Деля обе части формулы F8) на :- и усцк'мляя за гам г к нулю, получим:
отсюда С = ,у и, значит,
оB)=е ¦¦'¦' -^^-tifu). F9)
Преобразуем теперь степенной ряд @7) для функции 0 (и) в тригонометриче-
тригонометрический ряд. С этой целью, обозначая через положительное почетное число, ;п;1чала
положим:
v =¦ 'In — 1 [п= 1, 2, 3, .,.),
откуда п= (\ -\- \I'2, а затем
v= —Ъ\-\- 1 (п= 0, —], —2, .,.),

§ 6] ФУНКЦИИ ТЭТА 32.4
откуда п = (—v + 1)/2, после чего формула F7) переписывается в виде
¦'!. 5, ... v+l v" I, ,4, 5, ... _ll_L v'~
Z_\ ( i) Я % г 7_i ( "'Ч Я *
где гуммирование ц каждой из сумм производится но нечетным положительным
значениям v. Заметив, что
V-)- 1 —V-+-I _.у.;.| V--I
мы придадим предыдх ineii ij-ог.мулс для 0 (i1) следующий вид:
l,3,s, ... izL 11
в <ц) = t ^ (- 1) '2 q 4 (A--v.-)tv)
v
ИЛИ
1. 3, 5, ... у—I v^_
О (ч) = 2 2j (—1) 2 <7 '' sin v«b =
V
= 2 [ql'A sin яо — r79/4sin Зло -|- q2<J/4 sin 5яо . . .]¦ G0)
Эта функция 6 (и) есть нечетиая целая функция, которая для своего построе
ния требует знания числа т = (и'1ш, лежащего в верхней полуплоскости, причем
q — й'лт. Поэтому ее иногда обозначают 9 (у; т). Очевидно, ряд G0) быстро схо-
сходящийся, так как | q \ < 1.
3. Функции вл. В представлениях эллиптических функций Якоби входя-!
наряду с функцией о еще три функции о>. Желая выразить эллиптические функ-
функции Якоби в виде отношений целых функций, изображаемых быстро сходящимися
рядами, мы должны наряду с функцией 6 ввести в рассмотрение еще три функ-
функции 6д. Эти целые функции 6), будут соответствовать трем целым функциям о,,,
подобно тому как рассмотренная в предыдущем пункте функция 8 отвечала
функции а. Как известно,
112 ° (Ш 2)
си (г) = е ' 1-т—
1 у ' о (со)
и, значит, согласно формуле F8)
с ,12 + JL (U1_2,>
или
а, (г)-С,е т 0A/2 -о), G1)
где С] — новая постоянная.
Выведем теперь разложение в тригонометрический ряд для функции
Й ( -jj и J . В силу нечетности функции 6 (v) мы имеем:
9 A/2 — v) = —0 (у — 1/2).
11-

324 SJIRMFHTbl 'FROPHl' ЧЛЛИПТИЧРСКИХ ФУНКЦИЙ 1ГЛ. XI
Заметив, что вычитание из г числа 1/2 равносильно умножению * = сЬ
на —I, мы получим вследствие F7):
п= — o
В связи с этим положим:
послр чего формула G1) примет вид
Для определения постоянной С\ положим v = 0. Тогда 2=0 и о, @) = I и,
следовательно,
1 = С ,0,@) или
Таким образом, окончательно имеем:
112»
Остается степенной ряд G2) для функции 0, (г>) преобразовать в тригонометри-
тригонометрический ряд, что делается так же, кяк и для 6 (у).
Выполнив это преобразование, найдем:
Hj (о) = 2 [<//4 cos яг + Яц;4 cos Зпь + fl25'4 cos 5яь + •••]. G5)
В дальнейшем для сокращения письма мы ме будем писать аргумента и = 0,
так что
Н, = 2 (<//4 + /|/4 + <!№/А + ¦¦•}, 6' = 2лV4 - З^'4 -Н й^4 |. G6)
Эти ряды быстро сходятся, гак как \q\ <C 1, и суммы этих рядов суть функции,
голоморфные относительно т, определенные в верхней полуплоскости. Заметив,
что
°2(г)-е а «о,) '
где Т|а = т) + г)', ш2 = со Н- »', согласно формуле F8) мы получим:
или
I).'2 / , , <*'
а2 B) = 6V *i' ' "' I 8 A/2 + т/2 -1>),
и в силу соотношения Лежандра:
Hi:
о, (г) - Са? ""V^ A/2 + т/2 - v).

8 6j ФУНКЦИИ ТЭТА 325
Поступая аналогично, мы плйдем:
о, (?) =¦ С3е 2<" л—1 0 (т -2 ¦- v). G8)
Выведем теперь разложения ,1ля функций 0A/2-}-т/2— v) и 0 (т/2 — у)
в тригонометрические ряды. В силу нечетности функций 0 (v) имеем:
9A/2 + г/2 - v) =-- — б (и — 1 /2 — 1,2).
Заметив, что вычитание из г числа 1/2+ т/2 равносилию умножению х =
= елк' на —iq~ /2, мы получим вследствие F7):
или, заменяя переменную суммирования п на п -\- 1:
и точно так же
\ ' П-~-~оо
Сопоставляя последние две формулы с выражениями G7) и G8), введем
новые функции 62 (и) и 83 (v)
е»(о)= S (-i)VVn (82)
rt ——оо
и перепишем формулы для оа (г) и аа (г) в виде
_ _!]?
о, (г) =С2й2ш82(у), (83)
_П?_а
о3 (г) = Ся« 2Ш 0я (v), (84)
где С, и Са — некоторые новые постоянные. Для их определения положим 2=0,
а значит, и у = 0; тогда найдем:
1 = СА @), 1 =¦ Са03 @),
т. е. _
С, = 1/6а, С3 = 1/ва.
Таким образом, окончательно имеем:

326 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ЕЛ. XI
ряды (81) и (82) для функций 92 (v) и % (у) могут быть легко пре-
преобразованы в тригонометрические ряды, как мы это уже делали для функций
G (v) и G, (у).
В результате мы получим:
62 (и) = 1 + 29 cos 2ли + 2qi cos 4лс + 'V cos бяи + ...,
9а (v) = 1 — 2? cos 2лц + 2<?4 cos 4яь - г?9 cos бли + .
В частности, при и = 0 будем иметь'
02= 1 + 2?+ 2^+2^+...,]
63= 1 -29 + 2^-2^ + ... J
Эти ряды очень быстро сходятся, так как по усло!зию \q\ < 1, и суммы этих
рядов будут функции, голоморфные относительно г, определенные в верхней
полуплоскости.
4. Ccoiici о;! функций тэта. Введенные в предыдущих пунктах четыре функции
тэта суть целые функции независимого переменного и, причем каждая из них
зависит от параметра т, являющегося комплексным числом из верхней полупло-
полуплоскости. Поэтому, когда хотят явно выразить зависимость этих функций от т,
их обозначают таким образом:
6 (и; т), 6/, (v; т) (А= 1, 2, 3).
Как показывают тригонометрические разложения функций тэта, первая
из них 0 (о) есть нечетная, а остальные 0/, (v) — четные. Исходя из тригонометри-
тригонометрических разложений функций тэта, мы непосредственно можем узнать, как эти
функции изменяются при прибавлении к аргументу и числа 1/2:
О {v + 1/2) = 0, (и), <)i (v + 1/2) = —6 (и);
е2 {v + 1/2) = е3 (v), о» (V + i/2) = е2 (v).
Чтобы узнать изменении функций тэта при прибавлении к аргументу и числа
с/2, будем отправляться от представления их в виде степенных рядов, замечая,
что пгтбяЕлепне к аргументу v числа т/2 равносильно умножению х на q'/2. Таким
образом, в силу №7)
Ь (о г- 42) = 1 J] (~ ')" </"-1/2) V
т. е. пеледстиие (82)
6 (v + т/2) = ДОз (и),
где
/= tr1/4.t-' =q-u*e~im'. (88)
Поступая аналогично, покажем, что
fi,(i>+ t/2) = ДО2(и), 02(ь + г/2) = №, (о), Ня (у 4- х/2) = G0 (и)
Отсюда можно получить и другие формулы преобразования. Так, например,
в, (v + т) = вх (у + т/2 + т/2) = fl-1/^-'1 <t-t-l/2>e2 (г- + т/2) =
1 ( г] {%
т. е.
в, (и + т) = рЬг (у),
где
о = <Г1х-г. (89)

j 6] ФУНКЦИИ ТЭТА
Полученные результаты запишем в виде следующей таблицы
327
0
<ь
° + 7
-9
• + т
«70а
/02
/0,
1/9
¦+т+т
/0.
-I/O,
/70
/0,
V+ 1
-0
-е,
б2
-р0
pft,
ро2
К -f- 1 + X
р0
—P0i
р92
-ре,
(90)
Чтобы определить нули функций тэта, найдем сначала таковые для функции
а (г). Вспомнив, что функция 0 (v) отличается от функции о (г) множителем пока-
показательного типа, который в нуль никогда не обращается, и что нули функции
а (г) будут: г = 2/псо + 2ла>', мы делением на 2ш получим нули функции G (v):
v = т + /п.,
где т, п — любые целые числа. Пользуясь первой строкой предыдущей таблицы,
мы можем зятем получить нули остальных функций тэта. Тач, например,
%(v)= —U-iQ(v+-i/2),
вследствие чею нули функции 03 (v) определяются из равенства
v -f- т/2 = т-\- т,
т. е.
v = т + (л — 1/2) т,
где т, л — любые целые числа.
Нули функций тэта запишем в виде таблицы
р
т -f ni
02
m + "t + -j- + —
т + ni -)- -!?¦
(91)
Последняя таблиця показывает, что различные функции тэта не имеют оди-
накопых нулей, а из пятого столбца предыдущей таблицы к\л усматриваем, что
функции 02 (v) 11-О3 (и) имеют период 1, функции же 0 (v) н 9: (у) имеют период 2-
Отметим формулы, связывающие функцию Вейерштрасса й (г) с функциями
тэта, Как известно (§ 4),
о'(г)

328 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1ТЛ. XI
Заменяя здесь функции еигмг черен функции тэта, согласно формулам F9),
G4) и (85) будем иметь'
Полагая в этих формулах г— со, т.е. и = 1/2, и затем г = со -|- со', т.е.
о = 1/2 + т/2, мы получим-
l'^-^- 2^7Т)Г 0A/2)' ' - '!~ 2@ б* 0A/2 + т/2)"
Пользуясь же таблицей (90), содержащей форм} ль, приведения для функций
тэта, получим:
, _ 1 9Ч)а ,/—1— 1 ti'fl2 r _ 1 б'б!
" *'~ *2 ~ Ш"ё7»Т' •/(!|~ея" 2со 0^1, ' "" вя~ 2<о fl,B:1 '
Последние формулы можно записать в более простой форме, если восполь-
воспользоваться следующим тождеством:
в' = яв^абя, (93)
к доказательству которого мы сейчас пергйдем.
Согласно этому тождеству предыдущие формулы примут вид
^г °з' / v=^, = -%т «I /«F^ = -йг е?. 04)
Обращаясь к доказательству тождества (93), предварительно выведем диф-
дифференциально? уравнение, которому удовлетворяет каждая функция тэта, если
ее рассматривать как функцию двух аргументов у и т.
Каждая функция тзта является целой функцией относительно и при всяком
заданном числе с из верхней полуплоскости', при всяком же заданном комплекс-
пом числе v она есть голоморфная функция от т в верх (ей полуплоскости, что не-
непосредственно вытекает из равномерной сходимости рядов G0), G5) и (86) при
условии |д | < р < 1.
Покажем теперь, что все четыре сЬушшнн тэта k;ik функции двух аргумен-
аргументов v и т удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению вто-
второго порядка:
^iL-^^L. (95)
Проверим ато уравнение, например, для функции 63 (о). Общий член ряда
(86), определяющего функцию 63 (v), имеет вид
( ) y = 2(— 1)"е'я"'х cos2niro.
Дифференцируя его дважды по у, получим
что совпадает с результатом, получающимся путем дифференцирования общего
члена един раз по т и умножения на 4ш-.
4т [2 (— 1)" (л/гУ""': cos 2rmv\ --„ - 8 (- 1)" %2n2einn'x cos 2nnv.
Почленное же дифференцирование ряда (86) законно вследствие его равно-
равномерной сходимости иг. основании георемы Вейерштрасса . Аналогично можно

61
ФУНКЦИИ ТЭТА
329
проверить справедливость уравнения и для остальных функций тэта. Возвра-
Возвращаясь теперь к доказательству тождества (93), будем отпраилятьгя от соотноше-
соотношения (92):
из которого мы получим, разлагая функции тэта в ряд Маклорена и используя
нечетность 0 (v) и четность 9>, (и):
— eh =
2<о
или
6" о3
—1Г
в,- 1 9"'\ у*
liT "IT )~2~
Так как разложение <з (г) в окрестности 2 = 0 не ''одержит свободного члена,
то отсюда находим:
1 / 1 О"
откуда
потому что
4AJ \ 3 С/ " О/, I '
L = A. h. А.
.1' Г» I П ' " /J '
(96)
.-, + <-, + е, = П.
С другой стороны, урявиение (95) при v — 0 дает:
94 = 4л/^А (А = 1.2,3),
дифференцируя же уравнение (95) по у, а затем полагая v = 0, получим:
fl'" = 4ni -Ц— .
Пользуясь двумя последними соотношениями, перепишем формулу (96)
в виде
TF ~дт ~ "ЙГ ~5т + 'Й7 "^Г 03 (Эт '
откуда в результате интегриронапин но т цапаем;
где С — постоянная, не зависящая от г, г. е. от ц. Для ее определения подставим
в обе части последнего тождества разложения Gfi) и (87):
Сравнивая коэффициенты при младших членах, сол"-1)жашнх q'/4, мы полунш
С = п, что доказывает искомое тождество (93).

330 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. XI
§ 7. Представление эллиптических функций Якоби
посредством функций тэта
В § 5 мы определили три эллиптические функции Якоби посредством формул
где
и = г V е\ — ез ¦
Заменяя в этих формулах функции сигма через функции гэга согласно фор-
формулам F9), G4) и (85) и выражая V С]—е3 из соотношения (94), мы получим:
где
и = п9^. (98)
В § 5 мы назвали модулем эллиптических функций Якоби число к, определни
его условием k2 — — -. В силу формул (94) последнее рявенство примет вид
k2 = Q\IQ\. (99)
Введем еще так называемый дополнительный модуль, определив ого формулой
k" = %\lPi\. A00)
Путем сложения первого и третьего соотношений (94) и использования второго
из них находим:
и, значит,
№+ к'2= 1. A01)
Формулы (99) и A00) определяют к'г и k'2 в пиде квадратов некоторых одно-
однозначных функций от т, и мы можем принять:
k=--ti\l\)l, k = ^!$}. A02)
Замечая, далее, что 0т и Щ суть одпот.ппые функции от х, мы должны Vк
и У'k' рассматривать таковыми же и можем принять:
откуда

» 8]
ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ
331
так как
9' = no,fi2e9.
Таким образом, формулы (97) примут вид
, и- L 1Ш. -и У* н'{v)
(ЮЗ)
В § 5 были указаны периоды, нули и полюсы эллиптических функций Якоби.
Используя таблицу (90), дающую формулы приведения функций тэта, мы можем
состапить аналогичную таблицу для эллиптических функций Я кэби. С этой целью
заметим, что прибавление к v слагаемого 1/2 или т/2 равносильно прибавлению
к и слагаемого
<?,—«,= -т— 9; или оз
У «I
Отсюда, пользуясь основными соотношениями A03), пол/чим ит таблицы
(90) для функций тэта таблицу A04), дающую формулы приведения эллиптиче-
эллиптических функций Якоби.
Sn
\
-
3
3
СП «
О 1 /(
S1I Ы
6п ц
ft'
1
6п и
1
я
1
3
3
1
sn и
Oil U
-.11 И
СП 11
1
3
-\-
(ш
f
1 on и
к сп ?(
. /г' 1
/г en u
>п '/
on и
1
3
3
5п к
а.
1
а,
**"
3
сч
3
hn It
1
Г
+
t
Йп и
it 04)
§ 8. Формулы сложения для эллиптических функций
Якоби
Считая и произвольным параметром, рассмотрим три функции перемен-
переменного и:
/i (и) = зп и sn (и + и), /2 (и) «= сп и сп (и + у), f3 (и) = fin и Sn (и + и).
Из таблицы A04) мы усматриваем, что все эти функции имеют периоды
2@ )fi'\—с3 н 2(о' |Лс1-е3. Эллиптическая функция /i (ц) имеет простые полюсы
в тех точках, где sn и или sn [и -4- а) имеют таковые.
Из таблицы § 5, дающей полюсы sn к, мы видим, что это будут точки, аффиксы
которых отличаются от со' \/rei~n3 или — к -+- <в' Vel— e, на периоды, т.е. на
числа вида
Bm<o + 2n(o') \fei—e3,

332 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯ ГГЛ. XI
где т, п — любые целые числа. Следовательно, в основном параллелограмме
периодов, построенном па векторах 2о) )f с\—^з и 2ш' \'сг—еа, таких точек будет
только две. То же заключение справедливо и в отношении функций /2 (и) я /3 (и).
Таким образом, наши три функции //, (и) суть эллиптические функции второго
порядка с одинаковыми периодами и с двумя одинаковыми простыми полюсами
в параллелограмме периодов.
Очевидно, возможно подобрать постоянные А и В так, чтобы две функции
Fj (и) = U (") + Ah (и) и F, (и) = h <a) + Щ-, (и)
ие имели полюса и — <о' Vе\— е3. При таком выборе постоянных А и В две функ-
функции Ft (и) и Fj (и) будут эллиптическими первого порядка, т. е. константами.
Итак, при определенном выборе постоянных А и В имеют место соотношения
сп и сп [и + v) + A sn и sn. (/: + о) = С, 1
йп и Sn (и + и) + В sii н sn (и Н- о) = D, J
где А, В, С, D, будучи постоянными относительно и, зависят от v. Чтобы опреде-
определить эти постоянные, положим в формулах A05) и = 0, тогда найдем:
С = сп v, D = 6м и.
Дифференцируя соотношения A05) по о и полагая затем и = 0, будем иметь
в силу E3) и E4):
en' v -\~ A sn v = 0, 6л' у + В sn ц = 0,
откуда вследствие E4)
А = Sn v, В = /г2 сп у.
Подставляя найденные величины постоянных в соотношения A05), перепи-
перепишем их в виде
СП II СП (U -\- V) + 6п V ЯП (,' S!l (U + o'l = СП У, 1
fill U бп (U + с) -f k- СП О "=[1 Ы -,П (U + У) = fill V. )
Эти соотношения представляют собой тождества относительно и и v. Заменяя
и на —и и v на и -\- у, получим из нчх:
сп и сп а — Sn (м ~\- v) я\ и sn с = сп (и + v),
Sn ы Sn г; — k" см (u -j- v) sn и sn r.i = fin (u -f- и).
Из последних двух тождеств им идем см (и + с) и Vi (ы + ч), что и даст нлм
формулы сложения функций Якоби сп и >'.п. Внося зпччение en (u + v) в первое
из равенств A00), найдем sn (u + ч), т. е. формулу сложения sn.
Итак, в результате указанных эле>.:сптарних вычислений будем иметь'.
. sn и сп v fn v f sn о сп и бп и
Sll (Н 4- U) = j — ¦—; '
СП U СП V — sn II S11 с1 бп U бп V
СП (« f У) = 7Г— — -—
„ fill H СП О — к1 ЪП ii 5Г1 V СП .J СП V
on (u -)- у)
A07)
I — A'2 sn- и sn2 u
Известно, что sn u можно рассматривать как обращение эллиптического
интеграла первого рода, откуда мы усматриваем, что при к = 0 функция sn и
вырождается в sin и. С другой стороны, из формул E0; мы видим, что при k = 0
функции сп и и бп и обращаются соответственно в cos и. и I. Таким образом, если
I? формулах A07) принять к = 0, то первые два из этих равенств будут выражать
известные теоремы сложения для sin и cos, а последнее обратится в тождество
1=1, что объясняется отсутствием для бп и аналога среди тригонометрических
функций.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XI
Упражнения к главе XI ')
3.33
1. Считая м' —*- ею конечным и отличным от нуля, доказать следующн1-.
формулы:
sin2
(¦?)
—
2@
'2ft'
О' B) _ _Л_
о (г) 2(о
82
гя
-( —
S \ ,'01
а(г) = г
(i \ 20)
cos
2to '
02(z) = 0Я (г) =е
2. Доказать, что определи 1ель
i- f—
6 ^ 2хо
А =
<p(u) jp(u)
^j (и) р (и)
где и, v, w — три независимые переменные, имеет значение
2о (v — jd) a (w — и) а (и — v) а (и 4- '> ¦+- ^
Указание. Определитель А, рассматриваемым как функция и, есть
эллиптическая функция третьего плряцка, имеющая тройные полюсы r точке
и = 0 и ей жвивалентпых точкнх. Нули этой функции будут в точках v, w,
—(v + mi) и им эквивалентных.
Таким образом, получим: А -= 6 — —5—=— . где С не
aJ (u)
зависит от и. Далее определяем С путем умножения обеих частей па uJ и перехода
к пределу при и -*¦ 0.
Из установленной формулы следует , что при и + и -Ь- w = 0 определи iель А
есть тождественный нуль. Зто дает нам теорему сложении функции <р (и).
3. Уранпепия
определяю! гри квадратных радикала как однозначные функции or
1) Приводимые ниже упражнения взягы из книги: А р р е I el L а с о и г,
Principes de !а the'orie Jer ioiictions elliptiques ei applications.

.334 SJlFMM-ITb) ТГОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. XI
Давая послед, :>а le.ibiio переменному г значения со, со -¦(- со' и со', получим
равенства
) ,/-
„') ' ' *i
а (со).а (со')
2 е' а
_
а (@ +1I') а (со) а (си -f- ш') '
,-——- __ o3(oj f-co')
2 '3~"
- ел =
а (со i-co') а (и)') и (w -f «') '
о, (со') е~'10)'о (со f о)')
ст(со') о (со) а (со')
2 ст((о') ci (w') а (со + со1')'
посредством которых однозначно определены значения нести кв'адратных ради-
радикалов. Между этими радикалами имеют место соотношения
— е2 = — i V«г — ра,
e;( — ел = —
|/с2 е, = — 1 V Ч —ег-
4. Пос|)едстном исключения и (г) из соотношений
ус гановн'1 ь формулы
а^ (г) - а^ (г) +- (е2 - е3) '">2 (?) = О,
v\(z)-a\{z) f (e3-e,),i2B) = 0.
af (г) - 0-2 (г) -|- (г, - е2) ог (г) - О,
(«2 - ез) а? B> + (гЗ - ei) °2 (г> + («1 - е2) 4 i?) °-
5. Получить из формулы
,о Г?) = - 9 °к (г) O(J B) ° B)
о (г) а (г) а (г)
яля функций
о(г) ам (г) ax(z)
ол (г) ' fiv (г) ' а (г)
¦-¦ледующие дифференциальные уравнения:
_d_ в(?) о-ц (г) _0v_(?)_ _d_ aM (г) _ дд (?) af?)
d? ак (г) ал (г) о,, (г) ' dz а,, (г) l M vJ av (г) Ttv (г)
A- ^Il^L = JhLfdL _?v_(?)_
с/г а (г) " ~ а (г) а (г)

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XI 335
6. Установить формулы
! JP'^ i;/ ("> «'_<?)_ d ч аЛ(г)
2 ^(г)-ёХ а}, (г) 'V(?| " rf? '' о (О '
7. Докячать, что существует линейное и однородное соотношение между
функциями
а (г + а) а (г — а), п (? + Ь) а (г — ft), п [г + (;) а (г — с).
Указание. Функция
Аа (г -f 1>) о (г — h) + Во (г -(•• с) <т (.» — с)
о (г -+- а) а (г — и!
есть эллиптическая с двумя простыми полюсами в параллелограмме периодов.
Если определить отношение, постоянных А и В так, чтобы числитель обращался
в нуль при 2 = а, наша функция будет тождественно равнг> постоянному.

ГЛАВ А XII
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ
КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
§ I. Условия, определяющие конформное отображение
1. Отображение единичного круга самого на себя. В гл. III,
§ 1, п. 4 мы показали, что всякое линейное преобразование обла-
обладает свойством отображать окружность и окружность. Теперь мы
п.-'К ^жем, что это свойство характеризует линейные преобразова-
преобразование. Действительно, предположим, что ш ¦¦¦= f (г) есть взаимно
однозначное конформное отображение, переводящее один круг
в другой, и покажем, что оно будет линенпьы.
Прежчс всего пусть L есть линейное преобразование, перево-
переводящее данный круг плоскости г в единичный круг плоскости т,
a Lx линейное преобразование, переводящее данный круг пло-
плоскости vj в тот же единичный круг плоскости т. Тогда преобразо-
преобразование 5 = L.JL будет отображать единичный круг плоскости т
па самого себя; доказав его линейность, мы заключим отсюда,
что и преобразование
/ - l:]sl
будет также линейным.
Итак, вопрос сцедится к изучению характера взаимно одно-
однозначного н конформного преобразования единичного круга самого
на себя.
Линейное преобразование единичного круга самого на себя,
как известно из гл. III, § 1, п. 9, будет вида
- аг
где | с. | <; 1 и 0 —любое действительное число. Оно содержит
три произвольных действительных параметра и. следовательно,
однозначно определяется но трем условиям.
Условимся называть элементом совокупность точки и выходя
щего из нее направления. Если нам задан элемент, состоящий им
точки а и направления — 0, выходящего из этой точки, то линей-
линейное преобразование, переводящее этот элемент в элемент, обра-
образованный из начала координат и направления положительной

§1] УСЛОВИЯ. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЙ КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 337
действительной оси, однозначно определяется сэормулой A).
Аналитически начальные данные могут быть записаны так:
ш (а) =0, arg w {a) =¦¦= 0. B)
Чтобы доказать, что преобразование A) есть единственное
взаимно однозначное и конформное преобразование единичного
круга самого на себя, удовлетворяющее начальным условиям B),
достаточно показать, что взаимно однозначное л конформное
отображение w = / B) единичного круга самого на себя при на-
начальных условиях
/ @) = 0, /' @) > 0 C)
есть тождественное преобразование.
В самом деле, пусть w — F B) есть взаимно однозначное и кон-
конформное отображение единичного круга самого на себя, удовлетво-
удовлетворяющее условиям B). Обозначая через L линейное преобразова-
преобразование A), рассмотрим вспомогательное преобразование вида FL у,
которое, очевидно, удовлетворяет условиям C) и переводит еди-
единичный круг сам в себя. Доказав тождественность этого преобра-
преобразования, мы отсюда усматриваем, что F (г) = L (г), что и нужно.
Итак, нам остается показать, что взаимно однозначное и кон-
конформное отображение w = [ (г) единичного круга самого на себя
при условиях C) есть тождественное.
Мы докажем справедливость следующего, более общего пред-
предложения1, если функция f (г), удовлетворяющая условиям / (а) = а
/' {т.) > 0, отображает взаимно однозначно и конформно область G,
лож щцю в конечной части плоскости и соде/'Ж.чщ/ю точку а,
на самое себя, то [ (г) н г.
При доказательстве этого предложения мы можем считать, что
а = 0 (к этому можно прийти путем преобразований ? = г — а,
Ф @ ~ / (? "г к) — «¦, которые мы будем предполагать выполнен-
выполненными); кроме того, можно считать, что /' @) = а. j-г 1, гак как
в случае f @) <С 1 мы могли бы вместо f (г) рассматривать ее об-
обратную функцию. Далее, заметим, что вместе с функцией/ (г) =
= [1 (г) также все ее итерации /2 (г) =--f \ft (г)|,/я (г) — / [/г(г)], ...
выполняют отображение области G на самое себя, причем все
время fn @) = 0, /;, @) 2? 1.
В окрестности нулевой точки функция / (z) имеет разложение
/ (г) = аг + Ьг* +...,
где у>2ия^ I. Очевидно, в окрестности точки г = 0 разложе-
разложение в степенной ряд функции /„. (г) будет вида
fn (г) = апг + ¦ ¦ ¦
Предположим сначала, что а > 1. Это значит, что производная
/„ @) = а" при достаточно батыиомм мо;л\ет быть сделана болыче
любого наперед ?/<шнного числа 4 . Обачиачим шч^ез VI радиус
круга с центром в начале координат, который содгржит целиком

338 ЛРИН1ЧП1Ы ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ (ГЛ. XII
область G; тогда в области G будет | /„ (г) | •< М; далее, пусть р
есть радиус круга с центром в нулевой точке, который целиком
вместе со своей границей лежит в области G; тогда имеем (на осно-
основании гл. V, § 2, п. 8):
ап = /,; @) < М/р.
Так как это неравенство должно иметь место для каждого значе-
значения п и а > 1, то оно невозможно. Следовательно, остается допу-
допустить, что а = 1.
Тогда из разложения
f (г) =-- г + bzv + ...
следует
/2 (г) = г + 2bzv + ...
и вообще
/п (г) =- г + nbzv + ...
Заметив, что n\b\ < Al/pv (гл. V, § 2, п. 8) и что в правой
части этого неравенства стоит число, не зависящее от п, мы видим,
что /; -- 0. Таким образом, / (г) не может быть отличным от г ,
что и нужно было доказать.
2. Условия, определяющие единственноеть конформного ото-
отображения. Пусть дана некоторая односвязная область О пло-
плоскости комплексного переменного г. Спрашивается, существуеч ли
такая функция w =-- / (г), голоморфная в области G, которая ото-
отображала бы взаимно однозначным образом область G на круг,
данный в плоскости w?
Эта основная проблема теории конформных отображен.ин была
поставлена Риманом и в дальнейшем получила полное разрешение
и утвердительном смысле (для областей, граница которых содер-
содержит более одной точки).
Допуская существование одной функции w = / B), мы легко
замечаем, что таких функций будет бесконечное множестио.
Действительно, как известно, мы можем преобразопывать круг
сам на себя бесконечным множеством линейных функций. Так,
например, если ш = / (г) есть функция, которая отображает об-
область G на круг | w | <; 1, то тогда функция ы\ — we'0 будет
также отображать G на круг | w \ < 1 при любом 0.
Пели нам заданы два соитветепщющих элемента: один \ об-
области G и другой внутри крцга \it)\ < 1, то аще^пщет только
одна функция w — f (z), дсипщая взаимно однозначное конформное
отображгние области G на круг \w\ < 1, при котором заданные
элементы переходят друг а друга (рис. 102).
Пусть функции w = / (г) и w — F B) конформно отображают
область G на круг так, что некоторый элемент этой области при
обоих отопри жен иях переходит в один и тог же элемент круга.
Тогда функция ф (ю) = fp-1 (;i.) отображает круг сам на себя, при-

§ 2] ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ 339
чем некоторый элемент круга переходит сам в себя. Обозначая
через а аффикс точки, входящей в этот элемент, имеем:
Ф (а) = а и ф' (а) > 0;
поэтому по теореме п. 1 ф (w) = fF~l (w) = w. Подставляя сюда
w -= F (г), получаем окончательно:
/ (г) = F (г),
что н требовалось доказать.
Все то, что было здесь сказано относительно отображения одно-
связно;"! «Алясти G на круг, можно повторить и дл* отображения
Рис. 102. Рис. 103.
области G на некоторую другую односвязную область А (рис. 103).
В самом деле, мы можем взять промежуточным звеном между
этими отображениями круг; отображаем сначала область G на
круг, а затем уже круг на А.
§ 2. Основные принципы теории конформного отображения
1. Принцип сохранения области. В гл. II, § 4, и. 8 мы видели,
что аналитическая функция w -~ / (г), однолистная в некоторой1
области G плоскости г, всегда отображает эту область также на
некоторую область /; плоскости ш, причем между точками обеих
областей устанавливается взаимно однозначное соответствие.
Чтобы распространить это предложение на произвольные аналити-
аналитические функции, нужно обобщить понятие области. К необходи>
мости такого обобщения мы пришли еще в гл. II, § 4, когда рас-
рассматривали функции г", с2 и sin г. Именно в качестве образа
плоскости г в преобразовании, осуществляемом посредством эти.х
функций, мы построили многолистные рпманоиы поверхности,
образовав их путем склеивания полуплоскостей вдоль соответ-
соответствующих частей действительной осп. Это! метод образования об-
области изменения аналитической функции из иол у плоскостей не
годится в общем случае и его видоизменяют, составляя область
из кружков однолистных и многолистних Ограничиваясь для
простоты однозначными функциями, рассмотрим функцию / (г),
аналитическую и некоторой области G, и пусть и — какая либо
конечная точка области. Если /' (а) Ф 0, ю можно выбрат

340 ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 1ГЛ. XII
настолько малую окрестность точки а, что в ней функция / (г)
будет однолистна. В самом деле, полагая / (г) = а0 + ах (г — а) +
+ а-2 (z — аJ + ... (а! ф 0), выберем р настолько малым, чтобы
было: | ах | — 2|аа|р — 2|а3|р2 — ... > 0. Тогда для любых двух
точок zl и z2 (zx Ф z2), лежащих внутри круга | z — а | < р, имеем,
полагая гх — а = ?i и z2 — а — ?2:
I / (-7i) - / (г2) | = | г, -
2
> | z, - г, | (| а, | - 2 | оэ | р - 3 | ая | р2 ) > 0,
что и требовалось доказать.
Таким образом, функция w — / (z) отображает круг \г — я| <j
•< р взаимно однозначно на некоторую область плоскости ал
содержащую внутри точку ап. Если мы теперь опишем круг с цен-
центром а„, лежащий внутри этой области, то ему в плоскости z
будет соответствовать некоторая область, лежащая внутри круга
\г — а|<р и содержащая точку а. Итак, для всякой точки а,
в которой /' (я) Ф- 0, можно найти такую заключающую ее об-
область ^(J, что функция w = / (г) отобразит эту область взаимно
однозначно на некоторый круг с„ плоскости ш с центром в точке
/ (it) — аA. Предположим теперь, что/' (а) = 0. Тогда в некоторой
окрестности этой точки / (г) можно представить в виде
/ (z) = аи + «, (г - а)* + а,.,, (г - о)*+| Н (а* =?& 0, А > 2).
Полагая ф (г) = 1 + -^- (г - а) + -^^- (г — аJ + .... выбе-
рем настолько малую окрестность |г — а \ <С Р точки а, чтобы
в ней было: | ф (г) — 1 | < 1/2. R 5той окрестности | ф (z) | > 1/2,
—я/6 <J arg ф (г) < я/6 и, следовательно, ij1 (г) = (г — a) iA(> (г) =
= (г — а) ]/| ф (z) |е * будет однозначной аналитической
функцией, производная которой ф'(г) ="(/ф (<¦)-[- (z — a)—h ф ,-¦
)-" *1/ф(г)]'"
Так как г|з (а) = 0 и \Jj' (<з) = 1, то \|; (г) = (г — а) + а2 (г — аJ +
+ я8 (z — аK + ... По доказанному выше найдется область ga,
содержащая точку а, которая функцией L, == \(з (г) будет взаимно
однозначно отображаться на некоторый круг с'а с центром в точке
? = 0 и радиусом г'. Когда точка t, описывает этот круг, точка ?*'
описывает круг с тем же центром и радиусом г'*. При этом каждой
точке нового круга (отличной от центра круга) будет соответство-
соответствовать k различных точек круга с'а, размещенных в вершинах пра-
правильного ^-угольника, с центром в начале координат. Когда
точка ? описывает какой-либо сектор раствора 2n/k круга с'а,
точка IJ1 описывает полный круг, так что всему кругу с'а соответ-
соответствует А-кратный круг. Мы будем мыслить его как k наложенных

§ ^] основные принципы 341
друг на друга одинаковых кругов, надрезанных вдоль радиусов,
направленных по положительной оси и скрепленных вдоль надре-
надрезов так, что нижний край надреза нижележащего круга соеди-
соединяется с верхним краем надреза круга, непосредственно над ним
лежащего, а нижний край надреза самого верхнего круга —
с верхним краем надреза самого нижнего круга.
Замечая, что w = f (г) =«= а0 + ah [ф {z)\k = ап + akt,k, мы
можем утверждать теперь, что для точки а, в которой f (a) = О,
существует область ga, заключающая точку а и такая, что преоб-
преобразование w = / (г) переводит эту область в /г-кратный (или k-
листный) круг са с центром в точке аа = / (а). Соответствие между
точками области ga и точками са будет взаимно однозначным
[Для любой точки из ga, отличной от а, можно указать еще k — 1
точек из той же области, в которых w — f (г) принимает одно
и то же значение. Однако соответствующие точки будут распола-
располагаться на разных листах fe-лнстного круга сп (дэуг над другом.)
и потому должны рассматриваться как различные. I
Покажем теперь, как следует соединять между собой различные
простые н кратные кружки са, чтобы получить из них много-
листную область (риманову поверхность) изменения функции
w = / (г). Чтобы установить известный порядок в соединении
кружков, вообразим себе неограниченную последовательность
областей Gn (п = 1, 2, 3, ...), содержащихся в области G (С„ с:
с: G), вложенных одна в другую (G,,+] с: Gn) и аппроксимиру-
аппроксимирующих область G в том смысле, что каждая ее точка а, начиняя
с некоторого п, будет лежать внутри всех Gn. Такую последова-
последовательность можно получить, например, подразделяя плоскость г
последовательно на квадратики с неограниченно убывающими
длинами сторон и объединяя в одну область С„ те квадратики
«.-го подразделения, которые вместе с непосредственно к ним
примыкающими квадратиками того же подразделения лежат
внутри G.
Так как каждая точка а замкнутой области Gt принадлежит
области G, то для нее можно найти область ga, целиком лежащую
внутри G, содержащую внутри точку а и такую, что функция
w --= [ (г) преобразует g:1 в простой или многолистный круг са
с центром в точке f (а) — ап. По лемме Гейне—Бореля можно
укачать конечное множество областей gin целиком покрывающих
G, Если они не покрывают области G2, то, применяя те же рассу-
рассуждения к замкнутой области Gj—Ga, присоединим к уже выбран-
выбранным областям конечное число новых, так что расширенное таким
образом множество областей ga, оставаясь конечным, будет по-
покрывать всю область G.j. Продолжая этот процесс дальше, мы
получим счетное множество областей ga таких, что любую об-
область G,, покрывает конечное множество областей g,,. При этом
мы допустим для упрощения дальнейших рассуждений, что лю!ые

342 ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ (ГЛ. ХП
две области ga, соответствующие многолистным кругам, не имеют
общих точек. Этого всегда можно достичь, так как, во-первых,
внутри каждой области Gn содержится лишь конечное множество
точек а, в которых /' (а) -- 0 (в силу свойства единственности ана-
аналитических функций), а во-вторых, области gu могут быть взяты
сколь угодно малыми. Перенумеруем теперь области gn тяк,
чтобы две области с последовательными номерами имели общую
часть, и снабдим такими же номерами соответствующие им про-
простые или кратные кружки са. Если мы будем последовательно
брать области ga, склеивая между собой те из них, которые имеют
общую часть, вдоль этой части (независимо от того, будут ли но-
номера соседними или нет), то мы будем получать области, лежащие
внутри G и заключающие при достаточно большом числе облас-
областей g,, любую область Gn. Иными словами, области, полученные
путем такого склеивания, будут аппроксимировать область G.
Всю область G можно рассматривать как образованную путем
склеивания бесконечного (счетного) множества областей ga.
Аналогичным образом можно построить над плоскостью w об-
область изменения функции w = f (г). Именно, беря кружки с.и
в порядке номеров, мы будем встречать среди них такие, для ко-
которых соответствующие области ga будут 4меть общую часть
(это, наверное, будет для кружков с соседними номерами, но и
не только для них). В силу однозначности функции w — / (?)
этой общей части будут соответствовать одинаковые (конгруэнт-
(конгруэнтные) области на каждом из двух таких кружков Налагая послед-
последние один на другой так, чтобы эти области совпали, склеим кружки
вдоль этих областей. Два кружка, для которых области gn не
имеют общей части, не должны склеиваться между собой непо-
непосредственно. Однако любые две области g{rn> и g(n) (п > т) сое-
соединяются между собой цепью областей g{m), g<-m+[), ... , g('"..
из которых каждые две соседние имеют общую часть; поэтому
и любые два кружка cim) и с{п) соединяются между собой цепью
кружков с''1, б'('"+1), ... , с(г1), из которых каждые два соседних
склеены между собой. Увеличивая число кружков, мы будем по-
получать новые и новые обобщенные — многолистные — области,
которые все будут содержаться в обобщенной области изменения
функции w = f (г) и будут ее аппроксимировать в том смысле,
что при достаточно большом числе кружков мы получим любую
наперед указанную точку области. Что получаемые нами путем
склеивания множества точек действительно можно называть
областями (в обобщенном смысле), следует из того, что они об-
обладают двумя характерными свойствами обычных однолистных
областей. Во-первых, каждая точка принадлежит множеству
вместе с некоторой ее окрестностью, причем под окрестностью
следует понимать либо простой круг (соответствующая точка
называется тогда обыкновенной), либо />-листный круг (соответ-
твующая точка называется тогда точкой разветвления порядка

§ 21
ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ
343
k — 1). Во-вторых, любые две точки множества могут быть сое-
соединены непрерывной линией, все точки которой принадлежат
множеству. Последнее непосредственно следует из существования
конечной цепи кружков, соединяющей любые два кружка. Все,
что мы до сих пор говорили, может быть распространено без из-
изменения и по отношению к бесконечно удаленным точкам. Именно
в случае, когда а = оо , предшествующие разложения следует
писать в виде/ (г) — аа + ahz~k -\- ak+]z''-1 + ..., если / (оо) =
= а0 конечное, и в виде f (z) = ahz'! + ah_zl:~{ f ... (k ^ 1),
если / (оо) == оо. Окончательно
мы можем высказать следующий
Рис. 10).
принцип сохранении области: однозначная аналитическая функ-
функция отображает область своего определения снова на область
(однолистную или многолистную).
Как непосредственное приложение принципа сохранения об-
облает рассмотрим георему о максимальном модуле (гл. V, § 2,
п. S).
Пусть w = / (г) —функция, голоморфная в области 0 и не
равная тождественно постоянному. Когда г описывает достаточно
малую область б, окружающую точку г„ области G, w --¦ /' (г)
оппсывиет элемеш поверхности Римана Д (однолистный или
М1ыголнстный круг) с центром w() = / (z0), со взаимно однознач-
однозначным соответствием обеих областей (рис. 104). Следовательно,
функция | / (г) | не может достигать своего максимума в точке г„,
так как о А имеются точки, более удаленные от нгчала координат,
нежели / (гп). Итак, максимум модуля функции / (г), голоморф-
голоморфной в области G, не может достигаться во внутренней точке области.
3 а м е ч а и и е. Доказательство не предполагает, что точка г0 находится
in конечном расстоянии; г0 может быть бесконечно удаленней точкой при непре-
непременном условии, что она — внутренняя т^чка области.
Мы предполагали, что/ (г) не есть постоянное. Следовательно,
если модуль функции / (г), голоморфной в области G, достигает
максимума во внутренней точке, то функция есть постоянное.

344 ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ГГЛ. XII
Наконец, отметим, что доказательство остается в силе, если
функция / (г) подчинена в области G более общим условиям:
1) / (г) голоморфна в окрестности каждой точки области G,
2) | / (z) | — однозначная функция в области G.
2. Принцип взаимно однозначного соответствия. Пусть зам-
замкнутый контур Г есть гладкая или по крайней мере кусочно-
гладкая линия; предположим, что функция iv — f (г) будет голо-
голоморфной всюду внутри Г, включая точки самого контура Г.
Допустим, далее, что контур Г с помощью этой функции ш = j (г)
отображается взаимно однозначным образом на некоторый замкну-
замкнутый контур Г'. Иначе говоря, различным точкам контура Г соот-
соответствуют различные же точки контура Г'. При этих условиях
мы докажем, что область, ограниченная контуром Г, отобра-
отобразится, взаимно однозначно на область, ограниченную контуром Г'.
Доказательство. Обозначим через G область, ограни-
ограниченную контуром Г. По условию контуру Г соответствует контур
Г', который будет делить плоскость w на две части: в н у т р е н-
н ю ю и вне ш н ю ю.
Мы покажем, что ни одна из точек, лежап.их вне Г', не может
предетлплять значений, принимаемых / (г) внутри Г, с другой
стороны, каждпя точка, лежащая внутри Г", представляет одно
из значений, принимаемых / (г) внутри Г и притом только для
одного значения г. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы
показать, что уравнение / (г) — wn = 0 для wn, лежащего вне Г',
не имеет ни одного корня внутри Г, а для гю„, лежащего внутри Г',
:;мгет один и только один корень г внутри Г, По геореме о ло-
логарифмическом вычете (гл. VII, § 1, п. 5) искомое число корней
уравнения / (г) — w0 = 0 равно интегралу
1 f П*) dz
2я/ J /(г)-и1„ аг'
где интеграл берется по контуру Г в положительном направлении.
Полагая здесь / (г) = w, преобразуем этот интеграл к виду
_i_ r dw 4,
1т J w — w,, v '
Г'
Последний равен нулю, если wu лежит вне Г', и ±1 (в зависимости
от направления интегрирования по Г'), если wn лежит внутри Г'.
Но значение — 1 исключается по самому смыслу интеграла D),
ранного D'). (Напомним, что / (г) голоморфна внутри Г.) Итак,
интеграл D) равен нулю, если wa лежит вне Г, и равен +1, если w(l
лежит внутри Г'.
Теорема доказана. Из доказательства следует, в частности, что
когда точка г обходит контур Г в положительном направлении, то
точка w -- / (z) обходит контур Г' также в положительном направ-
направлении [иначе интеграл D') имел бы значение — I |. Иными ело-

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ
345
вами, при соответствии, устанавливаемом между контурами Г
и Г' посредством функции, голоморфной внутри Г, необходимо
сохраняется направление обхода.
Доказанная теорема остается верной и для неограниченных
областей, так как с помощью элементарных взаимно однозначных
преобразований можно неограниченную область заменить огра-
ограниченной областью.
3. Принцип симметрии Римана—Шварца. Пусть даны две обла-
области Gx и Ga, прилегающие друг к другу вдоль общего куска у их
границ, причем область G2 целиком лежит вне области Gt (рис. 105).
Предположим, что / (г) есть функция, голоморфная в области G^
Рис. 105.
Рнс. 106.
Если существует функция F (г), голоморфная в области G = G± -\-
+ G-2 + у, составленной из областей GL, G* и точек открытой
дуги у, совпадающая с данной функцией / (г) во всех точках
области Gj, то говорят, что функция F (г) является аналитиче-
аналитическим продолжением функции / (г) через дугу у. Известно (гл. X,
§ 1, п 1), что если такое продолжение функции / (г) возможно,
то оно единственное. Основной вопрос, который здесь возникает,
состоит в том, чгобы по данной функции / (г) узнать, можно ли
ее продолжать через некоторый кусок границы области G,, и
если да, то как осуществить это продолжение. Если рассматривае-
рассматриваемый кусок у границы области Gx представляет дугу некоторой
окружности и если значения функции f (г) в течках этой дуги
суть действительные числа, то наша функция может быть ана-
аналитически продолжена через дугу у. [Под значениями функции
/ (г) на дуге у мы понимаем непрерывную последовательность
предельных ее значений изнутри области GJ. Доказывая это
предложение, мы вместе с тем дадим очень простой процесс по-
построения для продолжения данной функции. v
Допустим сначала, что дуга у, через которую мы хотим про
должить функцию / (г), есть часть АВ прямой, параллельной
действительной оси (рис. 106).
Функция f (г) определена с одной стороны от АВ и в точках
внутри отрезка АВ, где она принимает действительные значения.
Возьмем дугу А1М1В1, лежащую в области Gt> где / (г) опреде-
определена, и ей симметричную относительно АВ дугу А ^М2В1} лежащую
вне Gx (рис. 107). Определим функцию ц> (г) в области, ограничен-

346
ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. XII
ной замкнутым контуром AiMiBlAl, следующим образом: во
всякой точке гг этой области, симметричной относительно АВ
с точкой zlt положим:
Эта функция ф (г) будет голоморфной в области, ограниченной
контуром А1М2В1А1. В самом деле, обозначая через б одновре-
одновременные приращения и замечая, что бг, и б.?, сопряжены между
собой (так как А В параллельна
действительной оси), имеем:
6г,
_ ND) _ / fi/ (г,) \
F)
Переходя в равенстве F)к пределу
при бгх (а значит, и 6г2), стремя-
стремящемуся к нулю, получим
lim
Рис. 107.
6г.,
пли
ф' (гг) = /' (г,).
Таким .образом, функция <р (г) имеет конечную производную
в каждой точке области, ограниченной контуром AiM2B1A1,
и, следовательно, есть функция, голоморфная в этой области.
Пусть теперь C1D1 и C>D2 — две хорды, параллельные и сим-
симметричные относительно АВ, расстояние между которыми сколь
угодно мало. Обозначая через г любую точку области, ограни-
ограниченной замкнутым контуром C1D]MlC1, имеем по формуле Коши:
dz
' (г) dz
о=
, i>iAi,C,
4>(z)dz , f (p(z)dz
D..C,
I Ф W аг
J г-г' '
G)
Заставим каждую из хорд C^/^ и C2D2 стремиться к АхВу. Первый
интеграл первого равенства G) стремится к значению j } ,.
В самом деле, обозначая через t, проекцию па А В точки г, лежащей
на C,D1, имеем:
= _/_B)_--_/_(D / @ (? - г)
г-г' ' (г - /) (С- г') '
(8)

§ s[ основный принципы 347
Считая г' постоянной точкой, мы видим, что | z—г' | и | ?, — г' \
остаются больше некоторого положительного постоянного числа;
с другой стороны, функция / (г) есть ограниченная. Следова-
Следовательно, модуль выражения (8) может быть сделан как угодно
малым; то же самое будет и для его интеграла вдоль CjDj. Таким
образом, имеем:
,и„ J U2?- J ???. (9,
CtD, AtB,
Так же покажем, что будет:
lin, [ ±<?>*.=- f P±$. (9')
J 2 — г' J ? — г' у '
D2C, В,А,
Вспомнив же, что / (?) имеет действительные значения на АВ,
заключаем: / (Q = ф (?) на A^Bi. Итак, равенства G) в пределе
примут вид
j т1"-
Ч> Н d!
L — Z J 2 — 2
В ХА , /1 tM2B ,
G')
Складывая последние равенства, получим:
2ш7B')= ( Ш?-+ j -^1. A0)
j
,4,Л12В,
Обозначая через F (г) функцию, определенную на всем контуре
Г - Bj/VIHi + /11 /V/,.JS1, равную /(г) на дуге А^М-^В^ и равную
(}• (г) на Л,/V/аSх, перепишем A0) в виде
2ш J г - г
г
Очевидно, принимая за г' точку области, ограниченной контуром
/4j.• VBВ,Дi_, мы получили бы:
Г
Так как функция, изображаемая интегралом типа Кош и
I f F(z)dz
2ni J г-г' '
г
есть голоморфная всюду внутри Г, то из равенств? A0') заключаем,
что эта функция является аналитическим продолжением через AxBi

348
ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРЛЖПНИЯ 1ГЛ. XII
данной функции / (z). С другой стороны, равенство A0") показы-
показывает, что это аналитическое продолжение получается, принимая
<>го значения в точках, симметричных относительно АВ, сопря-
сопряженными между собой.
Заметив, наконец, что А1В1 есть любой отрезок, внутренний
к АВ, мы убеждаемся в справедливости принципа.
То же положение может быть обосновано иначе, если восполь-
воспользоваться вместо интеграла Кошн теоремой Морера (гл. IV, § 3, п. 5).
Действительно, обозначив через F (г) функцию, равную / (г)
внутри контура АгВ1М1А1, равную ф (z) внутри контура А1М2В1А1
и, наконец, равную их общему предельному
' значению в любой точке отрезка АХВХ, мы
получим, очевидно, функцию, непрерывную
внутри контура A1MtBiM1A1. Согласно тео-
теореме Морера для доказательства голоморф-
\Д, ности функции F (г) достаточно обнаружить,
у^ что интеграл от нее, взятый по контуру лю-
любого треугольника, лежащего внутри области,
где эта функция непрерывна, равен нулю.
Если треугольник afjy не пересекается
AiBlt то он лежит целиком внутри области,
где функция F (г) голоморфна, и следова-
риг 108. тельно, по теореме Коши интеграл J F (z)dz
равен нулю.
Если же сф-у пересекается /4,6^ то, проведя по обе стороны
fix прямые C1D1 и С2Ог, параллельные AiBl (рис. 108), получим:
j F(z)dz = j F(z)dz + j F(z)dz +
F(z)dz. A1)
j
c,dtyc,
Первый и последний из этих интегралов равны нулю в силу тео-
теоремы Коши; поэтому
\F{z)dz= j F(z)dz.
A2)
Замечая, что внутри и на контуре ару модуль \ F (z) \ остается
меньшим некоторого числа М, и выбирая, далее, прямые CLDi
и C2D-2 столь близкими к /IjBj, чтобы для любой пары точек С
и Cii расположенных соответственно по CXDX и CZD9 и притом так,
что отрезок ??х параллелен ау, выполнялось бы неравенство
| F (?) — F (^)| < s, будем иметь:
dz- J F(z)dz)+ j F(z)dz +
\F(z)dz-\- f r

8 21 ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ 349
Правая часть неравенства сколь угодно мала, так как е про-
произвольно мало и, кроме того, сумма длин отрезков с{&2, 67/2 и ii1dl
может быть сделана сколь угодно малой при ClD1 и C2D2, доста-
достаточно близких к А1Вг. Так как, далее, в силу A2) величина
J F(z)dz\ = \\ F(z)dz
не зависит от положения прямых C1D1 и C2D2, то она равна нулю,
чем и заканчивается доказательство.
Если воспользоваться обобщением теоремы Кэши, данным
в гл. IV, § 2, п. 8, то последний анализ становится излишним.
В самом деле,
( F(z)dz = j F(z)dz-f { F(z)dz.
Так как функция F (z), голоморфная внутри каждого контура abya
и а$Ьаа, остается непрерывной на них, то в силу обобщенной
теоремы Крши оба интеграла правой части последнего равенства
будут нулями, откуда следует:
«Pv
При доказательстве мы существенно предполагали, что прямо-
прямолинейный отрезок А В расположен параллельно действительной
оси. Остается теперь освободиться от этого ограничения. Пусть
дуга у, через которую мы хотим продолжить функцию / (г), есть
какой-нибудь прямолинейный отрезок АВ Этот случай немедленно
приводится к предыдущему, если выполним вращение z — zfi1,
посредством которого отрезок АВ становится параллельным дей-
действительной оси. Ясно, что значения аналитического продолже-
продолжения функции / (г) будут сопряженными в точках, симметричных
относительно отрезка АВ. .;
Наконец, если у есть дуга некоторой окружности, то этот слу-
случай сводится к только что рассмотренному, если выполним линей-
линейное преобразование г' = аг ~\_ ., посредством которого дуга у
преобразуется в прямолинейный отрезок АВ. Известно (гл. III,
§ 1, п. 7), что при таком преобразовании паре точек г, симметрич-
симметричных относительно дуги окружности у, будет соответствовать пара
точек, симметричных относительно прямолинейного отрезка АВ.
Следовательно, значения аналитического продолжения функции
/' (z) в точках, симметричных относительно у, будут сопряженными
между собой.
Итак, мы можем формулировать принцип симметрии в таком
виде: функция f B), голоморфная в области G, граница которой
содержит дугу окружности у (или прямолинейный отрезок у),
принимающая во всех точках внутри у непрерывные (изнутри дг)

350 ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ГГЛ. XII
действительные значения., аналитически продолжается через у.
Значения этого аналитического продолжения функции / (?) вне
области 6\ будут сопряженными с / (г) в точках, симметричных
относительно у.
Этот принцип имеет многочисленные приложения в теории кон-
конформных отображений. Действительно, пусть дана область G1( гра-
граница которой содержит дугу окружности у (в частности, прямоли-
прямолинейный отрезок у), такая, что область С2, симметричная с G,
относительно у, целиком лежит вне Gl. Если функция w --= / B)
дает конформное отображение области Gt ка верхнюю полупло-
полуплоскость, то мы получаем согласно принципу симметрии аналитиче-
аналитическое продолжение через у функции / (г), приписывая ему взаимно
сопряженные значения в двух точках, являющихся взаимно сим-
симметричными относительно у. Следовательно, функция w -- / (?),
будучи продолжена через у, дает конформное отображение об-
области G — Gl -(- G2 + у, составленной из областей Glt G2 и точек
открытой дуги -у. на плоскость w, из которой выкинуты точки
действительной оси, за исключением тех точек, которые лежат
внутри отрезка, являющегося отображением дуги у Легко видеть,
как обобщается формулировка принципа Рнмана—Шварца, если
функция w == / (г) дает конформное отображение на круг.
В приведенной выше формулировке принципа симметрии зна-
значения, принимаемые / (г) на дуге окружности у, располагались
на отрезке действительной оси. Легко обобщить этот принцип на
случай, когда значения, принимаемые / (г), сами располагаются
на дуге некоторой окружности С. В самом деле, выполняя над
w = f (г) линейное преобразование, переводящее С в действитель-
действительную ось, мы сведем этот случай к разобранному выше. Так как
при этом линейном преобразовании точкам, симметричным отно-
относительно действительной осп, будут отвечать точки, снмметричьгые
относительно окружности С, то можно утверждать, что точкам г,
симметричным относительно у, отвечают значения / (г), симметрич-
симметричные относительно С.
4. Обобщение принципа симметрии. Будем называть дугу кривом аналити-
аналитической, если ее текущие координаты х, у являются функциями параметра / в ин-
интервале а < t < b, разложимыми в степенные ряды в окрестности всякой точки t.
Назовем аналитическую дугу правильной, если она не имеет кратных точек,
причем х' и у' не обращаются п нуль одновременно.
Предположим, что / (г) есть функция, голоморфная в области G, граница
которой содержит правильную аналитическую дугу у. Под значениями функции
f (г) на дуге у мы понимаем непрерывную последовэтельность предельных ее
значений изнутри области G, какоиые по условию существуют. В п. 3 мы видели,
что если кусок у границы области О представляет д>гу некоторой окружности
и если значения функции / (г) в точках этой дуги изображаются точками, лежа-
лежащими на прямой или окружности, то наша функция может быть аналитически
продолжена через дугу у, причем был дан весьма простой закон этого продол-
продолжения.
Задача настоящего пункта — дать обобщение этого предложения, показав,
что если кусок у границы области представляет любую правильную аналитиче-
аналитическую дугу и если значения функции f B) в точках этой дуги изображаются mm-

« 25 ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ 351
хами, лежашими на прямой или окружности, то наша функция может <'ыть
аналитически продолжена через дугу у.
Действительно, отправляясь от параметрических уравнений дуги у, опреде-
определим 2 = х + iy как голоморфную функцию переменного t вдоль интервала дей-
действительной оси (а, Ь) и в столь узкой его окрестности, чтобы обратная функция t
была голоморфной от г в окрестности соответствующей дуги [это ле.гко вытекает
из того фактм, что —г- не обращается в нуль на (а, Ь) и дуга не имеет кратных
точек (см. п. 2)].
Функция ф @ -- / [г (t)\ голоморфна с одной стороны интервала (а, Ь)
и принимает в точках этого интервала те же значения, что и / (г) в соотретству-
ющих точках дуги у, следовательно, значения функции ф (/) па интервале (и. Ь)
действительной оси изображаются точками прямой или окружности Г. Вследствие
принципа симметрии Римана—Шварца (п. ,3) эта функция <р U) может быть ана-
аналитически продолжена через интервал (а, Ь), причем значения ее аналитического
продолжения в точках, близких к действительной оси и симметричных относи-
относительно (а, Ь), будут симметричными относительно Г.
В вышеопределенной окрестности дуги у две точки г назовем симметричными
относительно этой дуги, если они соответствуют двум точкам t, симметричным
относительно действительной оси. Это определение становится вполне естествен-
естественным, если заметить, что свойство симметрии двух точек относительно правильной
аналитической дуги-у инвариантно при всяком голоморфном преобразовании пара-
параметра 9 = >, @, >.' (I) ф 0, сохраняющем действительную огь и приводящем
к другому параметрическому изображению правильной аналитической дуги у.
Заметим это, рассмотрим лва пути, симметричных относительно дуги у,
выходящих из одной ее точки, и им соответствующие пути в плоскости /. Из воз-
возможности аналитического продолжения функции ср (t) через интервал (а, Ь) и
отмеченного выше ого свойства следует, во-первых, возможность аналитического
продолжения функции / (г) через лугу у и, во-вторых, следующее свойство этого
продолжения: ч деух точках, симметричных относительно дут у, аназшпнчески
продолженная фунг.ция / {г) принимает значения, являю:/ неся аффиксами двух
точек, симметричных относительно1 Г.
Итак, при ;м!.члп1ическом продолжении функции / (г) через дугу у получаем
для двух тчче.к г симметричных относительно ;vvn;, дье соответствующие точки
/ (г), симметричные относительно Г.
5. Поплин;' Шварц,» 'аналитического продолжения. Как и в предыдущем
пункте, предположим, что / (?) есть функция, голоморфная п области G, граница
которой сомц1>г',ит [1.р-чы',льную аналитическую дугу (открытую) у:
1= z(t) (a < t < b).
Под значениями функции / (г) на Дуге -у мы понимаем последовательность предель-
предельных ее значений Р (t) изнутри области G, которые по условию существуют.
Задача настоящего пункта — доказать, что если граничные значения F (I)
функции I (г) (', точках дуги у предстаплшт аналитическую функцию параметра t,
то наша фцнкцпч может быть аналитически продолжена через дугу у. В этом
заключается г.ршпшп Шварца аналитического продолжения функций комплекс-
комплексного перемеппиго и еги оСщен форме.
Докажем сначала что пцедаоженсе в частном случае , когда дугой у служит
интермд а <с х <. ft действительно!! осн. Так как граничные значения F (х)
пашен функции представляют функцию, аналшическую в окрестности каждой
точки х„ интерпала а ¦< х < Р, то вблизи точки хп имеет место разложение
f (х} ~ с„ ¦+ с, (х - х„) + с2 (х — х„)> + ...
Полагая г— х ~f iy и заменяя в атом разложении действительное переменное х
через комплексное г, мы получим функцию Ф (г), голоморфную в окрестности
точки %¦
Ф. (г) ^ б„ -|- с, (г -- л-„) -|- с2 (г - х,)" -|- ...

352 ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. XII
Разность Ф (г) — / (г) будет голоморфной в части окрестности х0, принадле-
принадлежащей области G; на диаметре этой окрестности, расположенном по действитель-
действительной оси, она имеет предельные значения, равные нулю. Следовательно, вследствие
принципа симметрии Римана—Шварца (п. 3) эта разность Ф (г) — / (г) аналити-
аналитически продолжается на всю упомянутую окрестность точки х0 и, будучи функцией,
голоморфной в этой окрестности, равной нулю на интервале, внутреннем к ней,
должна быть тождественным нулем по всей окрестности (гл. V, § 2, п. 4). Итак,
в окрестности точки xt мы имеем: / (г) = Ф (г), что доказывает возможность ана-
аналитического продолжения функции / (г) через интервал а < х < р вблизи точки
Х(У Заметив же, что х„ есть любая точка интервала с: < х <С р, мы заключаем
о возможности аналитического продолжении функции / (г) через интервал а <
< X < |1
Обращаясь теперь к общим условиям теоремы Шварца, представим гранич-
граничные значения F (/) функции / (г) в виде
F (/) = с0 + <-, (/ - g + сг (I - !ОУ- + ...,
где /0 — любая точка интервала (а, Ь) и ia — р < / < '„ + р, р достаточно мало.
Так как г (/0) ф О, то можно выбрать р столь малыи, чтобы круг / —<ol< P
при помощи функции г {(] отображался взаимно однозначно на некоторую об-
область g с внутренней точкой гс = г (/0); обозначим через yi часть дуги у, принадле-
принадлежащую g. Функция ф (/) = / [г @1 голоморфна е одной стороны интервала
(/0 — р, /,, -4- р) и принимает в точках этого интервала те же значения, что и
/ (г) в соответствующих точкам дуги v-i\ следовательно, значения функции ср (/)
на интервале (/0 — р, t0 + p) действительной оси представляют аналитическую
функцию /• (/). По доказанному в начале этого пункта функция ф (t) может быть
аналитически продолжена в круг |/ — /0|< р посредством функции F (/). Заме-
Заметив, что (р (/) -~ / (г) в соответствующих точках, мы отсюда заключаем, что и
функция / (г) аналитически продолжается в область g, т. е. череа дугу yt. Тяк
как /„ есть любая точка интервала а < / < й, а значит, г0 = г (/0) — любая
точка дуги у. мы видим, что / (г) может быть анали'"ическн продолжена через
Дугу у.'
6. Принцип симметрии для гармонической фупки.ии. Как известно, функ-
функция V {х. //) начинается гармонической в облясти, если она однозначна и этой об-
области, пбладает непрерывными производными до второго порядки включительно
и удовлетворяет уравнению Лапласа
AV — -г-г- -+- -^-j- — 0.
дх2 ' дуг
Мы знаем также (гл. II, § 4, п. 4), что если известна функция V, гармоническая
в одпосиязной области, то возможно определить с точностью до аддитивного по-
постоянного функцию U-\- iV комплексного переменною г = х -\~ iij, аналитиче-
аналитическую в этой области; функция U будет также гармонической.
Условимся называть аналитическим продолжением гармонической функции,
определенной в области G, гармоническую функцию, определенную в области
6'i, содержащей G, если эта функция совпадает с данной функцией па области G ').
Рассмотрим теперь функцию V (х, у), гармоническую в окрестности пра-
правильной аналитической дуги у (открытой) и равную нулю на этой дуге. Возможно
х) Очевидно, если возможно аналитически продолжить гармоническую функ-
функцию, то это можно сделать только единственным образом. В самом деле, пусть
две функции V и Vi, гармонические в некоторой области, совпадают на частичной
области. Разность v— V—V\ будет гармонической в данной области и равной
нулю в некоторой ее части. Образовав функцию комплексного переменного
г = х -\- iy вида и -\- iv, аналитическую в окрестности каждой точки данной
области, мы заключаем, что она равна действительной постоянной в части данной
области; отсюда следует, что v = 0 и V = \\.

« 2] ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ 353
построить в этой области функцию U + iV, голоморфную относительно г —
— х-\- iy. Когда точка г описывает дугу у, эта функция U -\- iV r.ir г.рсмя имеет
действительные значения, т. е. точка U -f- (V остается на действительной оси.
Вследствие п. 4 мы заключаем, что в точках, симметричных стиосительно дуги.
значения функции U -)- iV будут симметричными относительно действительной
оси, а значит, значения функции V противоположны по знаку.
Теперь естественно формулировать такой принцип аналитического продол-
продолжения гармонической функции:
Если V есть функция, гармоническая в области G, граница которой содг/'-жит
правильную аналитическую дугу у (открытую), кроме того, непрерывна на мно-
множестве G -\- у и равна нулю на у, то она может быть продолжена аналитически
через у, если придавать ей значения, противо-
противоположные по знаку и точках, симметричных
относительно у.
Результаты, установленные в предыду-
предыдущих пунктах, недостаточны, чтобы дока-
доказать это предложение, и необходимо специ-
специальное доказательство. Возможно привести
доказательство формулированного принципа
к частному случаю, когда дугой у является
интервал действительной оси. Для этого по- ' >ъ /
ступим следующим образом. Пусть г~ z (t) ' _,/
(а < / < Ь) есть уравнение дуги у. Считая I
за комплексное переменное, мы видим, что Рис. 109.
существует функция z (/), голоморфная в окрес-
окрестности интервала (а, Ь) действительной оси и дающая взаимно однозначное соответ-
соответствие между этой окрестностью и окрестностью дуги у; когда t описывает интер-
интервал (а, Ь), точка z описывает дугу у. Образовав функцию U -\- iV, голоморфную
относительно z в части окрестности дуги у, принадлежащей G, мы видим, что она
будет как функция t голоморфна с некоторой стороны интервала (а, Ь) действи-
действительной оси. Следовательно, V есть функция, гармоническая от координат точки i
с одной стороны интервала (а, Ь) действительной оси и принимающая значение
пуль на этом интервале. Если мы предположим теорему верной в этом частном
случае, то V аналитически продолжается через (о, й), когда мы ей придаем зна-
значения, противоположные по знаку в точках, симметричных относительно интер-
интервала (а, Ь). Таким образом, V становится гармонической функцией во всей окрест-
окрестности интервала (о, Ь) и, значит, U-\- iV, голоморфной относительно t в этой
окрестности. Возвращаясь к переменному z, мы заключаем, что U -f- iV будет
голоморфной относительно г в окрестности дуги у и, следовательно, V, гармониче-
гармонической от координат точки г в этой окрестности.
Итак, нам достаточно установить следующее предложение: если V есть функ-
функция, гармоническая внутри полукруга с диаметром ab на действительной оси,
непрерывная на этом полукруге, включал его границу, и равная нулю на диаметре
ab, то она совпадает с Функцией, гармонической енутри всего круга (рис. 109).
Определим функцию и (х, </) в круге С, включая его границу, посредством
условий:
1) и (х, у) = V (х, у) в первом полукруге (например, верхнем),
2) " (х, у) = —V (х, у) во втором полукруге, и покажем, что и (х, у) есть
функция, гармоническая внутри круга С радиуса R.
В самом деле, во-первых, очевидно, что и (х, у) есть функция, непрерывная
внутри круга С, потому что ее значения на диаметре, равные нулю, совпадают
с предельными как из верхней, так и из нижней половины круга, в остальных же
точках круга С она совпадает либо с V (х, у), либо с —V (х, у). Во-вторых, легко
обнаружить, что значение ее в каждой точке, внутренней к кругу С, равно сред-
среднему арифметическому ее значений на окружности любого достаточно малого
радиуса с центром в этой точке. Действительно, это будет для точек, лежащих
над диаметром, потому что в этой области и (х, у) = V (х, tj, и V естьфункцш:
гармоническая (гл. IV, § 3, п. 8); то же самое очевидно для точек, лежащих по^
1^ И. И. Привалов

354 ПРИНЦИПЫ TFOPMH КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ГГЛ. XII
диаметром, так как здесь и (х, у) ~ - V {>:, у), и, значит, и есть функция гар-
гармоническая; наконец, в точке (*•„, ijn), лежащей на диаметре, и равно нулю, и
легко показать, что
2л
О = и (х0, у0) = г— j и (ха 4- Р cos ф, уа -\- Р sin ф) dtp,
о
так как подынтегральная функция в пределах (я, 2я) имеет значения, противо-
противоположные по знаку с ее значениями в пределах @, я).
Итак, функция и (х, у) будет непрерывной внутри круга Сив каждой его
точке удовлетворяет условию
2 л
1 /¦
« (Ч> Уи) -¦='- if— | " (хо + i> cos Ф> Уи + (> sin Ф) "Ф-
Этого же достаточно для заключения о том, что и {к, у) есть гармоническая функ-
функция внутри С1).
Возможно, наконец, обобщить доказанное свойство об аналитическом про-
продолжении через правильную аналитическую дугу гармонической функции V,
заменяя условие обращения в нуль на дуге тем условием, что функция, определен-
определенная с одной стороны от дуги, принимает на дуге, сохраняя непрерывность, зна-
значения, образующие аналитическую функцию параметра t, входящего в уравнение
дуги.
Действительно, определим достаточно малые окрестности дуги у и интервала
(о, ft), которые взаимно однозначно отображаются при помощи функции z = z (i).
Пусть ф (t) — данная аналитическая последовательность значений; очевидно,
ее мы можем рассматривать как голоморфную функцию от t в указанной окрест-
окрестности интервала (a, ft), беря эту окрестность достаточно узкой. Полагая g (z) =
= ф [t (г)], мы получаем функцию g (z), голоморфную в окрестности дуги у и
принимающую на этой дуге у действительные значения ср (t), данные по условию.
Если g (г) = Р (х, у) + iQ (х, у), то Р и Q будут гармоническими в окрест-
окрестности дуги у, причем на дуге у функция Р принимает значения ф (t). Следова-
Следовательно, разность V (х, у) — Р (х, у) есть функция, гармоническая с одной стороны
от дуги у, обращающаяся, сохраняя непрерывность, в нуль на этой дуге; по
доказанному она может быть продолжена через дугу у и следовательно то же
заключение можно сделать относительно V (х, у).
Доказанный в п. 5 принцип Шварца аналитического продолжения функции
комплексного переменного является частным случаем только что установленного
предложения о продолжении гармонической функции. Более того, мы можем
теперь сказать, что для аналитического продолжения функции комплексного пере-
переменного достаточно, чтобы ее действительная или мнимая часть принимала на
дуге аналитическую последовательность значений. В этом случае действительная
или мнимая часть функции будет функцией гармонической, продолжаемой через
дугу, и отсюда заключаем, что и сама функция комплексного переменного обла-
обладает тем же свойством.
7. Приложение принципа симметрии. При установлении в ¦; 1 условий, опре-
определяющих единственное конформное отображение, ма видели, что основным
для этой цели является следующее предложение', всякое взаимно однозначное кон-
конформное преобразование круга I г|< 1 самого в себя есть линейное. Эта фундамен-
фундаментальная теорема была нами доказана в § 1, п. 1 посредством метода итераций
и даже в более общей форме.
Теперь МЫ ДаДИМ Другое Доказательство этого предложения, воспользовав-
воспользовавшись принципом симметрии. Сначала заметим относительно функции / (г) тео-
теорему, что ее модуль | / (г) | принимает значение единиц.' па окружности, т.е.
1) II р и в г. л о в И. И. Sur les tonctions harrnoriiunes, Математический сбор-
сборник, т. XXX) 1.

<5 3] ПР1ЮБРА30ПЛНИЯ ЕДИНИЧНОГО КРУГА 355
когда расстояние 1 — |г| точки с до окружности стремится к нулю, то |/(z)|
стремится к единице.
Действительно, предполагая противное и замечая, что |/ iz) | всюду в круге
|г|< I меньше единицы, мы можем найти последовательность точек гп(\гп\-*
-»¦ 1) такую, что |/(гя)| не стремится к единице, оставаясь меньше единицы.
В таком случае существовала бы для точек / (гп) предельная точ:<а X внутри круга.
Тогда можно было бы выбрать из последовательности гп последовательность
г'п такую, чтобы f (z^j стремилось к).. Заметим теперь, что точ-са X соответствует
некоторой точке t, внутренней к кругу вследствие взаимно однозначного преоб-
преобразования / (г), т. е. / (С) — X. В силу непрерывности, когда f (z^) стремится к X,
то г'п должна стремиться к ? (| С j < 1). Полученное противоречие с предельным
равенством I г'п I -*¦ 1 убеждает нас в справедливости высказанного положения.
Рассмотрим любую дугу окружности. Вблизи этой дуги функция 1п / (г)
есть голоморфная, причем ее действительная часть In |/ (z) | принимает значение
куль на этой дуге. Поэтому вследствие п. 6 ее можно аналитически продолжить
через дугу. Иначе говоря, In / (г), а значит, и / (г), есть голоморфная функция
на дуге. Отсюда усматриваем вследствие произвола дуги, что / (г) есть функция,
голоморфная в круге \г\ < 1; с другой стороны, когда г описывает окружность
|г|= 1, точка /(г) остается на той же окружности. Применяя принцип симмет-
симметрии (п. 4), мы видим, что продолженная за круг функция ! (г) в точках., симмет-
симметричных относительно единичной окружности, принимает значения, симметрич-
симметричные относительно той же окружности. Отсюда непосредственно вытекает, что
продолженная функция в расширенной плоскости комплексного переменного
имеет только одну особую точку — простой полюс — и од:лн простой нуль.
Следовательно, / (z) есть функция рациональная (гл. VI, § 4, п. 2), имеющая
один простой полюс и один простой нуль, т. е. линейная функция.
§ 3„ Общие преобразования единичного круга
во внутреннюю область
1. Аналитическое выражение голоморфной функция, преобразующей круг
| z | < 1 во внутреннюю область. Изучим аналитическое представление функ-
функции w = f (z), определенной и голоморфной внутри единичного круга и по мо-
модулю меньшей единицы. Мы можем предполагать, что начало координат не есть
нуль функции, потому что в противном случае мы разделили бы функцию па
соответствующую степень г. Расположим все нули функции в порядке неубыва-
неубывающих модулей, причем записываем пуль k риз, если он имеет кратность k. Пусть
ai, а», ..., ап — полученная таким образом последовательность пулей, которую
мы предполагаем пока конечной. Образуем функцию
i
Так как линейные функции -j —г- преобразуют единичный круг сам и себя,
то они удовлетворяют условию: каково бы ни было малое положительное число г,
можно построить окружность Се радиуса, достаточно близкого к единице, так,
чтобы на этой окружности было:
> 1 ((= 1, 2, . , ., п\.
-Zuj
Следовательно, на окружности С8 будет выполняться неравенство
12*

356 ПРИНЦИПЫ 1LOPMH КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ТЛ. XII
С другой стороны, имеем |/(г)|<2 1, и, следовательно, неравенство
'1-е
удовлетворяется на окружности Сг, а значит, и внутри, потому что функция fig —
голоморфная внутри единичного круга, и максимум ее модуля в круге с окруж-
окружностью Се достигается на границе. Заставляя е стремит >ся к нулю, из последнего
неравенства получаем для всякой точки 2 (| z | < 1):
|//g|s?l. A3)
Равенство в формуле A3) возможно только р том случае, когда fig есть тожде-
тождественное постоянное, которое, имея модуль, равный единице, будет вида е' ;
это заключение имеет место потому, что модуль голоморфной функции не может
достигать своего максимума во внутренней точке области, если функция не есть
постоянное.
Итак, отношение fig есть функция, голоморфная знутри единичного круга,
не имеющая нулей и по модулю не превосходящая единицы. Следовательно, \'ы
можем написать:
/ (z)/g (г) = ev <2), A4)
где \ (г) Гудет функцией, голоморфной и единичном круге и удовлетворяющей
условию R [у (г)] ^ 0.
Внося в формулу A4) вместо g (г) ее выражение в вице произведения, получим:
'(г) =
Наконец, если начало координат есть нуль функции / (г) кратности X, то
вместо A4) будем иметь более общую формулу
04")
Разберем теперь случай, когда функция / (г) имеет бесконечное множество
нулей О], а2, ..., ап, ..,, которые мы расположили в порядке неубывающих моду-
модулей, повторяя каждый нуль столько раз. какова его кратность. Иа гл. IX, § 3,
п. 3 мы знаем, что если ря/i ^ [1—| ап |] расходится, то функция, имеющая
нулями точки о„ и ограниченная внутри круга, есть тождественный нуль. Поэтому
ОС
необходимо предположить, что ряд ^ [1 — |йл|| сходится..
Предполагая ато, мы показали г. гл. IX, ¦; 3, п. 4, что функция
есть голоморфная внутри единичного круга, не равная тождественно нулю.
ос
Заметив, что ай = | ай \11а,, а П | о/, I сходится, перепишем A5) в виде

§3] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕДИНИЧНОГО КРУГА 357
Откидывая постоянный множитель Y\_ I аь ! формулы A5'), рассмотрим функцию
A6)
которая будет голоморфной внутри единичного круга, не равной тождественнс
нулю; нули этой функции g (*) совпадают с пулями данной функции / (г). Чтобы
сравнить / (г) и г; (г), образуем отношение fig, которое будет представлять голо-
голоморфную функцию внутри единичного круга, не имеющую нулей, и покажем,
что это отношение по модулю не превосходи' единицы.
Действительно, полагая gn (г) = ["] -——: '—— , мы покажем, как в
начале настоящего пункта, что для всякой точки г (| г | < 1) имеет место нера
венство
Из последнего неравенства A7) к пределе при п -*¦ оо получим:
\flg\^l A7')
причем знак равенства для точки г (| г | < 1) возможен только в том случае,
когда f/g есть тождественно постоянное вида е .
Итак, отношение fig есть функция, голоморфная внутри единичного круга,
не имеющая нулей и по модулю не превосходящая единицы. Следовательно, мы
можем н'шисать:
B)/й(г)=--вгB>, A8)
гд!- Г (г) б^де1 (функцией, голоморфной внутри единичного круга и удовлетворя-
удовлетворяющей условию /? (Г (г)) «СО. Внося в формулу A8) вместо g (г) ее выражение A6)
в виде бесконечного произведения получим:
М.^ги.р^М. A9)
Наконец, если начало координат есть нуль функции I (г) кратности X, то вместо
A9) будем иметь более общую формулу
где Г (г) —функция, голоморфная при |г| ¦< 1, имеющая действительную часть,
все время отрицательную или все время равную нулю.
Это аналитическое представление фуь.чциц голоморфной внутри единичного
круга и по модулю меньшей единицы, указывает явно на все нули этой функции.
Кроме того, обратно, если ап есть любая последовательность точек |ап|<1
to ОО
такая, что ряд V [1 — \ап\] или TJ | ап \ сходится, то выргжение B0) изобра-
" ---=) П=1
жает функцию, голоморфную внутри единичного круга и по модулю меньшую
единицы,
Таким образом, мы получили имеете с тем условие, необходимое и достаточ-
достаточное для того, тгобы точки ап бит-, т.'лнмн -Ьучкцин, голо\,орфнон, не равной

358
ПРИНЦИПЫ ТРОРИИ КОНФОГМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. XII
тождественному нулю и ограниченной в круге |z| < I, заключающееся в следу-
л-
ющем: ряд V A — \а„ |) сходится, или, что то же, если отбросить нулевую точку,
гг.—!
оо
TJ I ап | сходится. Впрочем, этот последний результат был установлен ранее
(гл. !Х, § 3, пп. 3, 4).
2. Лемма Шварца. Если функция w= /(г), голоморфная ь круге |г|< 1,
удовлетворяет условиям I @) = 0 и | / (г) | < 1, при \ г | < 1, то мы имеем
| / (г) | s^ | г | всюду в круге \г\< 1. Кроме того, если равенство имеет место
котя бы в одной енутренней точке, то оно имеет место повсюду, и тогда / (г) -—
= еГЛ'г. Иначе гоноря, лемма Шварца утверждает, что при отображении с помощью
функции ю= f (г) всякая точка либо приближается к началу координат, либо
наше отображение представляет вращение около начала координат.
Переходя к доказательству, заметим, что всюду внутри рассматриваемого
круга | г| < 1 имеем:
,! B)= аХ2+ а^+ ..., B1)
f f-\
- представляет функцию,
так как согласно условию / @) = 0. Отношение ——
голоморфную внутри указанного круга, если принять
причем имеет место разложение
Ж-о,
B2)
Возьмем внутри нашего круга радиуса единицг, концентрический круг
радиуса р (р <; 1). Мы знаем, что максимум модуля функции, голоморфной
в замкнутой области, достигается на границе этой области (гл. V, § 2, п. 5).
Поэтому для неех точек г, лежащих в круге | z \ ^ р, будет иметь место неравен-
неравенство
I
Заставляя р стремиться к единице, считая г постоянным мы видим, что во всякой
точке z, лежащей внутри круга |г|< 1, будем иметь:
I / (г) I < I г |
Итак, первая часть леммы Шварци доказана.
Допустим теперь, что хотя бы при одном а (| а | < 1) справедливо равенство
(а) | ;= \а |. Рассмотрим функцию
/(г)
, голоморфную в окрестности точки а.
В самом точке а, по предположению, имеем:
1. Поэтому, если
не есть тождественное постоянное, то должны найтись точки г t|z| •< 1), в кото-
/B)
рых
>
что невозможно согласно доказанной первой части. Следова-
Следовательно, имеем:
const всюду внутри круга |г|< 1. Так как при г = а

§3]
функция
т , 1
f
B)
B)
г
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
имеет модуль, равный
const = eia.
ЕДИНИЧНО
единице, то
"О
z
КРУ
ГА
= 1
359
тождественно.
Лемма Шварца имеет большое число обобщений. Оставаясь в предположе-
предположениях доказанной классической формулировки леммы, мы ладим сначала два
простых уточнения этого предложения.
Во-первых, если начало координат есть нуль кратности А. для функции / (г),
то можно рассматривать функцию -!—г—, и отсюда получаем аналогично разоб-
разобранному случаю:
I f (?) К I г |\ B3)
причем равенство возможно лить в том случае, если
/ (г) = eaizk.
Таким образом, мы имеем в этом частном случае ограничение;, меньшее, нежели
в предыдущей формулировке.
Во-вторых, возможно получить ограничение, еще более тонкое, используя
модули всех нулей функции. Действительно, пусть at — нули функции /, располо-
расположенные в порядке неубывающих модулей, начало координат есть нуль кратности X.
В п. I настоящего параграфа мы получили формулу
B4)
Обозначим через Н (г) и М (г) максимумы модулей функций ег <г) и / (г) в круге
радиуса г (л < 1), т. е. при | г | ^ г; из формулы B4) мы тогда находим:
М (г) < rkll (r) f]
п=1
1 — 70
B5)
где г — любая точка круга | г | г=с г.
Найдем максимум общего члена произве-
|г— а I
дения. Выражение — —- изображает
отношение расстоянии точки г до
точек ап и \1ап, симметричных относи-
относительно единичной окружности. Когда г р
описывает окружность радиуса г, ьто от-
отношение достигает своего максимума при
прохождении точки г через точку А, которая является противоположным концом
радиуса, идущего к пп (рис. ПО). Величина этого максимума будет: . " ,
где гн — \ап\, что, очевидно, меньше единицы. Следовательно, имеем:
-an 1„ ' -г'п .
I — гап ^ ! + ггп '
после этого формула B5) примет следующий вид:
М(г)<Г>-Н(г)
B6)
что и дает ограничение модуля функции и круге | z j

зад
ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ГГЛ. XII
Из формулы B6) возможно получить оценку менее толкую, но более удобную,
если отбросить множитель // (/¦), который не превосходит единицы, и ограни-
ограничиться п первыми членами бесконечного произведения:
М (г)
B7)
Заметим, что если отбросить все п множителей произведения, то формула B7)
перейдет з формулу B3).
3. Приложение леммы Шварца к оценке производной функции, удов1етворяю-
щей условиям леммы. Рассмотрим максимум модуля функции —-— на окруж-
окружности | г | = г, предполагая, что —— не есть постоянног. Обозначим этот мак-
максимум через q (r), тогда
q (г) < 1, потому что согласно лемме Шварца
1 Функция q (r) возрастает вместе с г, потому что, будучи неубыва-
неубывающей функцией, она могла бы сохранять постоянное значение в силу принципа
/(z)
максимального модуля только в том случае, когда —;— есть постоянное, что
исключается.
Заставляя г стремиться к нулю, из равенства —-— < q (г)<. I получаем:
I/' @)|< 1,
потому что q (r) (q (г) < 1) убывает с убыванием г. Если наконец, есть
постоянное а, то по лемме Шварца | я | =$ 1, и, очевидго, имеем в этом случае:
|/' @)|= |о|<1,
т. е. |/' @) | <Г 1, причем знак равенства имеет место только в том случае, если
а = е°", т. е. / (г) -- eaiz. Итак, при условиях леммы Шварца всегда имеет место
неравенство
| Г @) | *: I, ' B8)
причем знак равенства будет лишь в том случае, когд.а / (z) = en'z.
Если начало координат есть нуль функции f (г) кратности к, то, применяя
предыдущие рассуждения к функции
/(г)
/л @)
¦, получим:
1,
B9)
причем знак равенства будет лишь в гом случае, когда / (г) = е 'г'.
Резюмируя, мы можем сказать, что для функции, удовлетворяющей условиям
леммы Шварца, первый ненулевой коэффициент ее разложения в степенной ряд
по модулю не превосходит единицы, причем он по модулю равен единице лишь
в том случае, когда это разложение приводится к своему первому члену.
Чтобы найти опенку для I /' (z) \ в любой точке z0 (| z01 < 1), выполним два
линейных преобразования плоскостей 2 и ш = / B), сохраняющих единичный круг
и переводящих точки 20 и w0 — I Ы соответственно в начало координат:
w — f (г,,)

§ 31 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕДИНИЧНОГО КРУГЛ
Приллгйи лемму Шварца к функции со = гр (I), находим:
361
- / (г„)
откуда следует:
' (г) - / (?о)
г - - ?ц
гг„ - 1
/ (г)! (г„) - I
Заметив, что | / (г) / (г0) | < 1 и, значит, | / (г) f (г,,) — 1 |
неравенства C0):
/(?)-/ (г„)
C0)
2, находим из
или, полагая \г\=г, \ z01 = г0, получаем:
' (г) - / (г„)
г - .<„
1 — ГГп
C1)
Заставляя г стремиться к г0, находим из C1):
2
I Г
Однако можно получить лучшую оценку для |/' (г0) |, если отправляться от
неравенства C0). Действительно, замечая, что вторая часть неравенства C0)
при г —*¦ г0 стремится к значению
мы найдем:
1 —
1 -
/(г<>)
- 1 г0 I2
^ 1 - 1
Н< '
1 ^ ! -
C2)
Нераненствя C1) и C2) были с успехом использованы Каратеох.ори (Caratheodory)
в проблеме конформного отображения.
4. ОЯщая форма леммы Шварца. Лемм;] Шварца и свооГ; первоначальной
форме предполагает, что функция обращается в нуль в начале координат. Чтобы
ПОПЯТЬ ИСТИННЫЙ СМЫСЛ ЭТОГО Предложения, НУЖНО ОСВОбОЯНТЬСЯ ОТ ЭТОГО VC3OBIW .
Пусть ф (и) — функция, голоморфная внутри круга С (или на полуплоскости),
и ее значения изображаются точками, лежащими внутри круга Г (или полупло-
полуплоскости). Для двух пар соответствующих точек l«i, ср (их)] и [к2, ср (и2I неевкли-
неевклидово расстояние между и\, и2 относительно С не меньше неевклидова расстояния
между (j (iii), ф (и±) относительно Г. Равенство имеет место лишь в случае линей-
линейного преобразования С в Г:
Ог [ср (Uj), Ф (иа)] :
C3)
В этом заключается общая формулировка леммы Шварца.
Для доказательства выполним линейные преобразования Си Г в единичный
круг с, переводящие Ui и ср (и{) в начало координат. Пусть эти преобразования
будут и = I (z), w = h (Q; тогда функция w = ср (и) преобразуется в функцию
? = f (z) = /7'ф' (г)| удовлетворяющую условиям классической леммы Шварца.
Для установления общей формы леммы Шварца достаточно доказать, что
Dc LO, /fe)]^Dt [0, г3|,

362 ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. XI)
причем равенство имеет место только в случае, когда / (г) есть вращение, потому
что ангармоническое отношение является инвариантом линейного преобразова-
преобразования и, значит, Dc[0, / (г,)] = Lv [ф (uj, ф (и,)] и Dc @, *,] = ?>с [и,, «,|.
Последнее же вытекает из леммы Шварца в ее первоначальной форме | f (г) | йС
 | г | и из того факта, что неевклидово расстояние точки до начала координат
k In —-— есть возрастающая функция ее евклидова расстояния г. Поэтому из
1 — т
неравенства
I /(г) | < | г | C4)
следует:
или
Dc[0, /B)]<О, 10, г], C5)
причем знак равенства в C4) и C5) имеет место одновременно, т. е. только в слу-
случае, когда / (г) есть вращение.
Если принять С и Г за единичные круги, то доказанную общую форму леммы
Шварца можно формулировать геометрически следующим образом:
Если w = / (г) остается внутри круга \ w | < 1 при | г \ < 1 и одновременно г
находится внутри неевклидова круга у с центром г0 и неевклидовым радиусом р,
то w остается внутри неевклидова круга у' с центром w0— / (г0), того Же неевкли-
неевклидова радиуса р; если г стремится к точке 2t на окружности у, то w стремится
к точа- !?>!=/ (zt), причем Wi лежит на окружности у' только в том случае,
когда / (г) линейно зависят от г; преобразование (г, w) есть тогда неевклидово
перемещение внутренности единичного круга.
Заметим, что, пользуясь леммой Шварца, можно немедленно получить
теорему § 2, п. 7. Действительно, если (г, w) есть взаимне однозначное конформное
отображение внутренности круга (или полуплоскости) самого на себя, то вслед-
вследствие доказанного предложения для двух пар точек мы должны иметь:
D (!»ь w2) -кг D (zi, z2)
и, если рассматривать обратно г как функцию w:
D (zi, z2) «с D (ffi'i, owj),
откуда вытекает, что D (wj,, w.,) = D lz±, z2), а это будет только в том случае,
когда наше преобразование (z, w) есть линейное.
5. Существование двойной точки преобразования. Рассмотрим функ-
функцию / (г), голоморфную внутри круга | г \ < 1 и преобразующую его внутрен-
внутренность D на множество точек Д, вполне внутреннее к D, т. е. такое, что точки
множества Д вместе с его предельными принадлежат D. Докажем, что существует
двойная точка z0 и притом единственная в D, и в этой точке имеем: | /' (г0) | < I.
Другими словами, мы должны доказать, что существует а области D единственный
простой пуль функции / (г) — г и что эта двойная точка преобразования (г, / (г))
есть притягивающая (гл. Ill, § 1, п. 12).
Предварительно заметим следующее: гипотеза, поставленная a priori, о том,
что множество Д не только содержится в U, по, вполне внутреннее к D,
является существенно необходимой. В самом деле, налример, w— rz, где 0 <С
< г < 1, преобразует подобно круг, окружность которего проходит через начяло
координат, в круг, внутренность которого принадлежи! первоначальному кругу,
а граница в начале координат соприкасается с окружностью первоначального
круга. Двойными точками этого преобразования являются только начало коор-
координат и бесконечно удаленная точка; обе не лежат внутри круга. Таким образом,
если граница множества Д не лежит внутри D, то может и не существовать в D
двойных точек.
Приступая к доказательству нашего предложения, проведем окружность у
с центром в начале координат радиуса, меньшего единицы, внутренность которой

4)
ЕДИНСТВЕННОСТЬ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
363
содержит Д (рис 111). Такую окружность у всегда можно построить, потому что
расстояние граничной точки Л до окружности Г имеет положительный минимум.
Если существуют нули функции / (z) — z, то они принадлежат А, а значит, лежа!
внутри у.
Функции / (г) и —г голоморфны внутри и па окружности -у, причем —г не
обращается в нуль на у.
Так как на этой окружности | / (г) I < | — г |, то в силу предложения Рушс
(гл. VII, § 2, п. 2) сумма этих функций / (г) — г имеет внутри у одинаковое числ:>
нулей с функцией —г. Заметив, что —г
имеет один простой нуль, мы видим, что
f (г) — г также имеет единственный про-
простой нуль внутри Y- Этим доказана пер-
первая часть теоремы о существовании един-
единственной двойной точки преобразования
(г, / (г)) внутри области D.
Доказан существование единственной
двойной точки г0 в области D преобразо-
преобразования (г, / (г)), выясним теперь природу
этой двойной точки.
Выполним линейное преобразование
2, = / (г), перенодящее точку гп в начало
координат и сохраняющее единичный'
круг; при этом преобразовании область Д
перейдет в область Ai, целиком вместе
со своей границей принадлежащую D.
Пусть z = L (I) — преобразование, об-
обратное относительно L — I (?). Тогда
функция / {/ [L (t)\) — ф (V) преобразует область D в множество Д], причем
двойной точкой этого преобразования является начало координат. Заметим, что
ф' (I) = Г (w) /' (z) U (с), откуда, полагая ? = 0 и вспомнив, что при этом г =
= 20, w = / (г0) = г0, находим:
<Р' @) = /' (г0) /' (г„) V @) = /' (г„),
потому что /' (г0) L' @) = 1 как произведение производных обратных функций
и соответствующих точках. Таким образом, вместо оценки /' (z0) нам достаточно
оценить ф' @).
Обозначая че[)ез у' окружность с центром в начале координат, заключенную
между у и Г, радиуса т и применяя формулу Коти, получим:
Рис. 1Л.
Когда %. описывает окружность у', то (|, (Г) остается на множестве Д] и, значит,
|ф (О I < Г (Д1 лежит внутри круга радиуса г); с другой стороны, |? |= г. Заме-
Заметив это, из последней формулы находим:
что и нужно.
I /' B0) I = I Ф' @) К 2JJ- • -рг 2яг' = — < 1,
§ 4. Единственность аналитических функций
1. Однозначное определение аналитической функции по ее граничным зна-
значениям. Одним из основных свойств аналитических функций, как мы знаем
(гл. V, § 2, п. 4), является свойство их единственности, в сил> которого аналити-
аналитическая функция однозначно определяется по ее значениям в точках сколь угодно
малой дуги, лежащей внутри области ее голоморфизма. Пусть теперь нам дани

,'j(j4 ПРИНЦИПЫ 1Е0РИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. XII
функция / (г), голоморфная в области G, принимающая на некоторой дуге у гра-
границы области G определенные непрерывные значения (изнутри G). Естественно
возникает вопрос: будет ли такая функция единственная или же сущестпует
другая функция <р (г), голоморфная в области G, принимающая на у те же Не-
Непрерывные значения?
Полагая F (г) = f B) — ф (г), мы будем иметь функцию, голоморфную
в области G и принимающую равномерно изнутри G значение нуль на у, т. е. эта
функция F (г), равная нулю на у, будет непрерывной (изнутри G) во всех точках у.
Поставленный вопрос решается в положительном смысле, если мы покажем, что
F (г) есть тождественный нуль. Эта задача немедленно решается на основании
принципа симметрии (§ 2, п. 3), если у есть дуга окружности. В самом деле,
в этом случае по принцип)' симметрии функция F (г) аналитически продолжается
через дугу у и, следовательно, будучи голоморфной во всех точках, внутренних
к у, равна и них пулю. Такая же функция есть тождественный нуль вследствие
основной теоремы единственности (гл. V, §-2, п. 4). Указанный вопрос решается
положительно и в общем случае, когда ф есть дуга произвольной непрерывной
линии, как это видно из нижеследующих рассуждений.
Возьмем две пока произвольные точки % и zi внутри дуги у. Полагал
г' — za = B —20) eai, мы видим, что линии у и области G соответствуют линия у'
и область G', которые получаются , если повернем у и G на угол а вокруг точки г0.
Для области С определим функцию
Аналогично положим:
B) = F [z0 + B - г0).
г" — 2i = (г — 21)
тогда линия у и области в соответствуют у" и G". В обласи G" определим функцию
F, (z)= F |г, -I- (г — 2t)e Р'1.
Считая точки z0 и Z\ достаточно близкими, можно аыбрагь углы а и (S так, чтобы
области G, С , G" имели обшуга
часть /, ограниченную чястямп
линий у, у', у" (рис. 112) ')
Рассмотрим теперк произ-
произведение
Ф B) == F (z) Ft (z) F2 (г). C6)
Функция Ф (г) есть голоморф-
голоморфная в сбласти /, так как F (?)
будет голоморфной nfi, F, (г) —
в G' и F2 B) — п 0". Кроме
рис. 112. того, это произведение Ф (г),
будучи непрерывной 1,*ункци ей
в замкнутой области /, обращается в нуль на замкнутом контуре i обла-
области /. Так как | Ф (г) | достигает своего максимума па границе i (гл. V, * 2,
п. Ь), то Ф (г) равно тождественно нулю з области /. Отсюда следует,
что по крайней мере один из трех множителей" произведения C6) равен щп'о
в области /, а следовательно, все три множителя этого произведения раппм
нулю в области /. Таким образом, функция F (г), равная нулю в области /, есть
тождественный нуль в области G.
2. Обобщение теоремы единственности. Теорема единственности была уста-
установлена (п. 1) в предположении, что граничные значения функции/ (г) существуют
во всех точках некоторой дуги у, причем уги значения образуют непрерывную
J) о. — поло/ммельпыч. , а C — отрицательный тупые углы,

<j Б] КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ НА ВЕРХНЮЮ ПОЛУПЛОСКОСТЬ 365
функцию изнутри области G. Естественно возникает вопрос: останется ли теорема
единственности в силе, если отказаться от непрерывности граничных значений
функции, причем рассматривать эти значения в точках некоторого a priori задан-
заданного множества? Более точно общая постановка проблемы единственности ана-
аналитических функций может быть формулирована так. Дана гладкая линия С
и функция F (г), голоморфная с одной стороны от линии С1). Под значением
функции F (?) в точке г0 линии С условимся понимать предел, если таковой суще-
существует, к которому стремится F (г), когда точка г приближается к точке г0, сле-
следуя по любому пути, не касательному к линии С. Предположим теперь, что функ-
функция F (г) равна пулю во всех точках г0 некоторого множества ?, лежащего на С.
Кэг.им условием лолжно удовлетворять множество Е, чтобы всякая такая функ-
функция F (г) была тождественным нулем?
Мы не будем давать решение .-итих вопросов, так как оно достигается мето-
методами, выходящими за пределы элементарного руководства, и у кажем лишь неко-
некоторые главнейшие результаты, здесь полученныег). Можно построить пример
функции /(г), голоморфной и ограниченной внутри круга |г|<1, не равной
тождественно нулю, граничные значения котор он равны пулю на множестве
точен Е мощности континуума и всюду плотной па окружное и |z|= 1, причем
это множество Е может быть как первой, так н второй категории. Во всех такого
рода примерах мера множества точек Е непременно нуль. Если же Е есть произ-
произвольное множество точек линии С положительной меры, то функция F (г) есть
тождественный нуль. Другими словами, теорема единственности остается в силе
в случае любого множества точек Е положительной меры. Можно, с другой сто-
стороны, построить пример функции / (г), голоморфной внутри круга | г| < 1 , не
тождественно равной нулю, стремящейся к нулю для всякой точки ги некоторого
множества Е, mes Е= 2я, окружности, когда точка г п ри бтижается к точке %
по радиусу @, з,)' Таким образом если под. значением функции в точке г0 окруж-
окружности мы будем понимать ее предельное значение по радиусу, то теорема един-
единственности, вообще говоря, не верна даже в случае, если мера множества точек?
р;тна «лине окружности. Однако во всех такого рода примерах множество Е
«¦¦радиальных пулей» есть первой категории. Предполагая же множество Е «ра-
диальннх нулей» функции F (г) второй категории на некоторой дуге а окружности
и положительной меры на всякой части этой дуги, можно доказать, что F (г)
равна тождественно нулю. Следовательно, для множества точек ? указан ной
структуры теорема единственности остается в силе и в том случае, когда под
значением функции в точке г0 множества Е мы понимаем ее предел по радиусу,
R частности, функция F (г), голоморфная внутри круга | г | < 1, стремящаяся
к нулю, когда/- приближается по радиусу к любой точкеЦ, ''.коль угоано малой
дуги а окружности |г|= 1, равна тождественно нулю внутри круга.
§ 5. Конформны* отображения на верхнюю полуплоскость
областей, ограниченных линиями второго порядка
1. 1Ранностсфоння* гипербола. Пользуясь принципом симметрии, мы рас-
рассмотрим отображение областей, ограниченных линиями второго порядка, пл
верхнюю полуплоскость. Естественно ожидать, что д.ая этого нам придется рас-
рассматривать многочлен второй степени.
Рассмотрим сначала функцию
w = г1, C7)
') Под линией С можно понимать любую линию Жордаьа, имеющую конеч-
конечную длин>. Такие линии называются спрямляемыми.
-(Привалов И. И. Интеграл Cauchy. — Изз. Сар. ун-та, 1918; L ц-
s i м N. et P г i w a 1 о П [., Sui I unicile" el la niultipiicitc des fonctions analy-
tiques. — Annale> de I Ecole Noimale. 1925, стр. 143. Привалов И. И.
Граничные свойства однозначных функций. — изд. 2-е. -- М'. Гостехиздат, 1950.

¦i№
ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. XII
причем совершенно очевидно, что г как функция ш есть функция двухзначная и
что ее точками разветвления будут 0 и оо (гл. III, § 3, п. 1). Введем действитель-
действительные переменные, положив
г = х + yi, w = и-\- vi,
и, следовательно,
и = хГ- — у*, 0 = 2ху. C7') Ч\Ч / \ /У/о О
Из соотношений C7') сейчас же
вытекает, что если возьмем прямую
и = с (рис. 113а), то на плоскости г
и
0
и.
б)
Рис. 113.
Ж
(рис. 1136) этой прямой будет соответствовать равносторонняя гипербола,
уравнение которой есть'
х2 — у1 = с.
Прямым v = с будут соответствовать также гиперболы, имеющие асимптотами
оси координат и пересекающиеся с предыдущими гиперболами под прямыми
углами (ибо при конформном отображении углы
сохраняются) (рис. 1136).
Две прямые и = с, которые лежат в двух
разных листах, преобразуются в две ветви гипер-
гиперболы, имеющие общей точкой со. То же самое
можно сказать и относит ел но прямых v—' a
Отсюда уже нетрудно видеть , что мы можем отобра-
отобразить взаимно однозначно и конформно с помощью
функции w = г1 внутренность одной ветви равно-
равносторонней гиперболы на верхнюю полуплоскость.
В самом деле, возьмем внутренность правой ветви
равносторонней гиперболы, имеющей осью действи-
действительную ось Ох. (рис. 114). Как мы уже видели,
этой ветви гиперболы соответствует прямая и = с.
Спрашивается, какая полуплоскость, имеющая
границей и ~ с, будет соответствовать рассматри-
рассматриваемой внутренности гигерболы? Очевидно, та,
которая не содержит начала координат, потому
что его не содержит рассматриваемая внутренность
гиперболы. Кроме того, рассматриваемые области
не содержат критических точек, поэтому отображение будет взаимно однозначным
и конформным. Если !'.яять внутренность левой ветви гиперболы, то она с помощью
функции w = 2а отобразится взаимно однозначно и конформно на ту же полу-
полуплоскость, что и внутренность правой ветви. Нашу полуплоскость с помощью
линейной функции можно преобразовать в верхнюю полуплоскость. Итак, можно
отобразить внутренность какой-либо ветви равносторонней гиперболы на верх-
верхнюю полуплоскость.
Что касается отображения внешней области гиперболы на верхнюю полу-
h-1'jckoctii, то заметим пока, что функция ш = г1 не дае • возможности его выпол-
Рис. 114.

§51 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ НА ВЕРХНЮЮ ПОЛ/ПЛОСКОСТЬ 367
нить взаимно однозначным и конформным образом, ибо в точхе О консерватизм
углов нарушается.
2. Парабола. В предыдущем пункте мы исследовали, что будет соответство-
соответствовать в плоскости 2 координатным линиям плоскости w, т. е. прямым и = с и v = с.
Зададимся теперь обратным вопросом, именно посмотрим, что будет соответ-
соответствовать в плоскости w прямым х = const п}= const.
Когда точка г движется по прямой х = с (рис. 115), тогда и и v будут функ-
функциями одного только параметра у. Из второго уравнения C7) для этого случая
имеем: // = -^—. Подставляя в первое уравнение ц
C7') это выражение у, мы получим:
и = с2 —
4 с2
или окончательно:
„2 ;т, 4с2(с:2 ~ «)•
Последнее ураннение представляет собой урав-
уравнение параболы, причем ось Оа служит осью
симметрии параболы. Вершиня этой параболы на-
находится в точке (сг, 0); фокус же (который отстоит
Рис. 115.
от вершины на расстоянии р/2, если у2 = 2рх)
находится в начале координат (рис. 116). Если мы возьмем прямую у = с, то
ее отображение в плоскости ш будет тоже параболой. Действительно, исключая
из уравнении C7') х, получаем:
или
v- = <1ca (u + с2).
Эта парабола имеет фокусом начало координат, а вершиной (—с2, 0) (рис. 116).
и .¦¦¦.
Рис. Мб.
Рис. 117.
Следует заметить, что каждая из этих двух парабол двойная; одна — на одном
листе риыановой поверхности, другая — на другом. Возьмем внешнюю часть
параболы (рис. 117), даваемой уравнением
v2 = 4с2 (и + с2).
Так как внешняя часть параболы не содержит критической точки, т. е. нуля, то,
следовательно, наша функция г = ]/~w будет отображать взаимно однозначно и

368
ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. XII
конформно внешнюю часть этой параболы на верхнюк полуплоскость, ограни-
ограниченную прямой у — с.
Зададимся задачей отобразить внутреннюю часть параболы на верхнюю
полуплоскость. Очевидно, что нам здесь будет мешать критическая точка — на-
начало координат. Рассмотрим сначала область, ограниченную верхней половиной
параболы и действительной осью (рис. 118л).
с1 О
Как мы видели, вся рассматриваемая парабола соответствует прямой у — с.
Дли верхней дуги параболы мы имеем v ~^> . О, следовательно, х = —х—> О
(с > 0); поэтому верхней дуге параболы соответствует полупрямая у = с от
мнимой оси до бесконечности (рис. 1186).
Посмотрим теперь, что будет соответствовать прямолинейной границе рас-
рассматриваемой области (рис. 118<з). Сначала найдем, что будет соответствовать дей-
действительной положительной полуоси Ои (здесь v = 0, а ц^О). Из уравнении
C7') легко заключить, что в таком слу-
случае у = 0, а и = хг. Отсюда ясно, что леи-
а)
ствительной положительной полуоси плоско
"ти w будет соответствовать действительная
A
(I
Рис. 119.
и положительная полуось плоскости г. Теперь посмотрим, что будет соот-
соответствовать прямолинейному отрезку от вершины параболы до фокуса, т. е.
когда v = 0, а и меняется от 0 до —с?. Из формулы C7') мы видим, что в таком
случае х = 0, а у меняется от 0 до с. Итак, рассматринаемая область с помощью
формулы г = V w взаимно однозначно и конформно отображается на полуполосу
ширины с (рис. 1186).
Разрежем теперь рассматриваемую область от вершины параболы А
(рис. 119а) до ее фокуса — начала координат — и применим принцип симметрии.
Из него следует, что разрезанной указанным способом внутренности параболы
будет соответствовать полуполоса ширины 2с (рис. 1196). Если же разрезать
данную область вдоль действительной положительной оси Ои (рис. 120а) и при-
применить принцип симметрии, продолжая функцию за мнимую ось, то найдем, что
так разрезанная внутренность параболы с помощью функции г = \fw отобра-
отобразится на полосу, ограниченную действительной осью Ох и прямой у=с
(рис 1206). Следует заметить, что в двух последних случаях отображение будет

8 51 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ НА ВГ.РХНЮЮ ПОЛУПЛОСКОСТЬ 369
взаимно однозначным и конформным, так как критическая точка О находится
па границе области (именно на разрезах).
Как отобразить взаимно однозначно и конформно внутренность параболы
(неразрезанную) на верхнюю полуплоскость? Какова будет функция, выполня-
выполняющая это отображение? С этой целью
возьмем снова область, ограниченную
верхней половиной параболы и ее осью
симметрии (рис. 118а). Она, как мы уже
ИР
ш
0
!§§§§§
X
Рис. 120.
видели, с помощью функции z = \fw отображается взаимно однозначно и кон-
конформно на полуполосу (рис. 1186). Отобразим эту полуполосу на полукруг с по-
помощью подстановки:
г = е
(гл. III, § 3, п. 2).
C8)
Проверим это. Действительно, когда точка z движется по примой у = с, то под-
подстановка C8) принимает вид
г' = — е
¦ — (x+yi) ~— (ДС+Ci) _Л?
с — — е ' — — е .е = е
C8')
Отсюда видно, что когда х изменяется от оо до нуля, то г' изменяется от нуля до
единицы. На отрезке О А' (рис. 1186) имеем х— О, у меняется от нуля до с; сле-
следовательно, -Z— будет меняться от нуля до еди-
единицы. Подстановка C8) дает: г' =—е ° . От-
Отсюда видно, что когда точка г движется по А'О,
то г' описывает полуокружность радиуса еди-
единица (ибо |г' |= 1) от точки 1 до —1, причем
из сохранения направления отсчета углов
следует, что полуокружность будет в верх-
верхней полуплоскости переменного г . Наконец,
когда точка г движется по действительной
оси от пуля до оо, то у = 0, а к изменяется
0 ——
Рис. 121.
от нуля до сю; г' =
= — с с будет меняться в таком случае от —1 до нуля (рис. 121).
Итак, мы можем отобразить область, границей которой служит верхняя поло-
половина параболы и ось симметрии, на полукруг. Отобразим полученный полукруг
на верхнюю полуплоскость. Для этого мы возьмем такую функцию
Эта линейная функция, очевидно, переведет отрезок от —1 до -J-1 в депствитель-
13 и. И. привалов

370
ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ (ГЛ. XII
ную положительную полуось, а полуокружность — в мнимую положительную
полуось (гл. Ill, § 3, п.' 1). Таким образом, рассматриваемая линейная функция
C9) переводит полукруг на координатный угол (рис.122).
Совершенно ясно, что подстановка
(гл. Ill, § 3, п. 1) отобразит на ui полукруг на верхнюю
полуплоскость (рис. 123).
Следя за всеми предыдущими преобразованиями,
верхняя ;.уга параболы отобра-
I й
р у р р
I в виде полупрямой, лежащей
плоскости С
(рис. 123).
положительной оси
от единицы до оо
^ _ мы замечаем, что
0\ зится в плоскости
на действительной
рис_ 122. н простирающейся
Воспользуемся теперь принципом симметрии. По
этому приншшу внутренность всей параболы (без разреаа) отобразится на плос-
плоскость I, разрезанную по действительной оси от единицы до ос, причем верх-
верхний берег разреза соответствует верхней дуге параболы, нижний — нижней дуге.
Остается рассеченную плоскость (рис. 124) перевести в верхнюю полуплоскость.
Для этого, очевидно, можно воспользоваться формулой \f\ — 1 или же такси
формулой:
w-~vh' D0)
Замечая теперь, что вся парабола отобразится взаимно однозначно
на действительную ось плоскости W, мы заключаем на основании § 2, п. 2, что
внутренность параболы с помощью функции IV отобразится взаимно однозначно
и конформно на верхнюю полуплоскость.
Рис. 123. Рис. 124.
Итак, задача решена; остается написать функцию IV в раскрытом виде
г = V w, г' = е ° t
e* _ e-x
Так как „ = ihx,
= ch.t, то имеем:
С =

$5] КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ НА ВЕРХНЮЮ ПОЛУПЛОСКОСТЬ 371
Наконец, получаем:
1/4. , = . ¦ г, -г = ТТт^—^ = 'с о^ • ' '
Такова функция, которая отображает взаимно однозначно и конформно внутрен-
внутреннюю часть параболы на верхнюю полуплоскость.
3. Гипербола и эллипс. В настоящем пункте мы решим задачу об отображении
на верхнюю полуплоскость областей, ограниченных гиперболой и эллипсом.
Для этого нам придется изучить функцию
и обратно
2
ZlL. D2')
-+-
U
Таким образом, соотношение D2) дает отобра-
отображение плоскости г на двулистную риманову
поверхность. Критические точки легко полу-
получить, взяв производную от функции D2) и
приравняв ее нулю:
1-_L=O, откуда г=±1. Рис- 125-
г2
Итак, критическими точками будут w = 2 и w = —2. Разрезав листы пере-
переменного w по действительной оси от —2 до 2 (рис. 125), мы для получения римано-
вой поверхности связываем нижний берег 1-го листа с верхним 2-го, а нижний
2-го с верхним 1-го.
Для того чтобы более детально исследовать это отображение, мы введем
действительные переменные следующим образом:
w = и + vi, г — ре н.
Принимая во внимание соотношение D2), имеем:
— \ cos8 + t /р — — ^ sin0,
+ р +
откуда следует, что наше соотношение D2) эквивалентно двум таким:
и = (р + 1/р) cos 0, v = (р — 1/р) sin 9. D3)
Будем брать семейства координатных линий плоскости г. Возьмем одно семейство
(окружности): р = с.
Посмотрим, что будет соответствовать этим окружностям. Для этого заме-
заменяем р в уравнениях D3) через постоянное с. Тогда уравнения D3) представят
собой параметрические уравнения эллипса.
Исключая из них 0, найдем:
(с + 1/с)» + (с-1/с)*
D4)
Центр этого эллипса будет находиться в начале координат. Большая полуось
его по длине равна с-\- Не, а малая с — Мс (предполагая с > 1). Фокусы будут
иметь координатами (—2,0) и B,0) (рис. 126). Так как координаты фокусов не
зависят от с, то ясно, что, меняя с, мы будем получать софокусные эллипсы.
Далее, легко видеть, что двум разным окружностям (в плоскости г) радиусов
р = с и р = lie (рис. 127а) (предполагая с ф^ 1) будет соответствовать один и
тот же эллипс (рис, 1276). Этот эллипс — двойной: один лежит на одном листе
13*

372
ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ (ГЛ. XII
римановой поверхности, другой — на другом. Поэтому эллипсу, лежащему на
одной плоскости или листе, будет соответствовать окружность, скажем, радиуса с,
а лежащему на другом листе — окружность радиуса \1с. Но будет и исключитель-
исключительный случай, именно, когда с— 1, т. е. когда радиус р окружности (в плоскости г)
равен единице. Тогда, как показывают уравнения D3), наша окружность будет
переходить в двойной отрезок от —2
до + 2 действительной оси.
Отсюда мы можем прийти к сле-
следующему заключению. Допустим, что
мы рассматриваем в плоскости w об-
область, внешнюю к эллипсу (рис. 1276).
Эта область ш: содержит критических
точек; поэтому с помощью функции 2 =
w + V
— 4
она отображается
Рис. 126.
взаимно одноз! ачно и конформно на об-
область, огранлченную окружностью
р = с, не содержащую точек —1 и+ 1.
Итак, внешняя к эллипсу область отобразится на внешность окружности
радиуса с (с >• 1), если наш эллипс соответствует этой окружности, и на внутрен-
внутренность окружности радиуса \1с, если эллипс соответствует окружности р= Не
(рис 127а).
Посмотрим теперь, что будет соответствовать другому семейству координат-
координатных линий плоскости 2, т. е. полупрямым 9 = а.
Рис. 127.
Исключая р из уравнений D3), найдем:
н2 и2
4 cos2 a
4 sin- a
= 1.
D5)
Это есть уравнение гиперболы с полуосями 2|cosa| и 2|sina|, фокусы кото-
которой имеют координаты (—2,0)- и B,0). Таким образом, мы видим, что прямой,
наклоненной к действительной оси Ох под углом а, соответствует гипербола;
точно так же прямой, образующей с осью Ох угол —а, соответствует та же ги-
гипербола. Далее, приняв во внимание уравнения D3), легко заключить, что полу-
полупрямой 6 = а будет соответствовать правая ветвь гиперболы
W>0, если а
ЛЛ
2 /'
а полупрямой б = п — а — левая ветвь гиперболы, лежащая в том же листе,
так как, вращая полупрямую от В = а до 0 = я — а, мы не перейдем через
критическую точку. Аналогично, полупрямые 6 = я -(¦¦ а и 6 = 2я — а (или,
что то же, 6 = —а) соответственно отобразятся на левую и правую ветви гипер-
гиперболы, лежащей на другом листе,

$ 5] КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ НА ВЕРХНЮЮ ПОЛУПЛОСКОСТЬ 373
Из этих рассуждений сейчас же вытекает, что при помощи функции z =
w -i_ \f w'1 4
! внешняя область гиперболы (рис. 128а) отображается взаимно
однозначно и конформно на некоторый угол (рис. 1286). Переводя полученный
а)
Рис. 128.
угол с помощью линейной функции и функции вида г', где /¦ — действительное
число, на верхнюю полуплоскость, мы решаем задачу: перенести внешнюю об-
область гиперболы на верхнюю полуплоскость.
Допустим теперь, что мы хотим отобразить взаимно однозначным и конформ-
конформным образом внутреннюю область правой ветви гиперболы на верхнюю полу-
полуплоскость (рис. 129).
Чтобы исключить точку разветвле-
разветвления, мы рассмотрим сначала отображение
области, ограниченной верхней частью
гиперболы и осью симметрии. Всей нашей
ветви гиперболы будт соответствовать,
как мы знаем, полупрямая выходящая
из начала координат плоскости z и накло-
наклоненная к дейстпителыюй оси под углом а.
Рис. 129,
Рис. 130.
Из уравнений D3) нетрудно видеть, что верхней дуге пашей ветви гиперболы
будет соответствовать та же полупрямая, но начинающаяся от точки А', находя-
находящейся от О на расстоянии, равном единице (рис. 130). Далее, из тех же уравне-
уравнений D3) видно, что когда точка ш будет двигаться по действительной оси (следова-
(следовательно, v = 0), начиная от точки А до точки В (рис. 129), то соответствующая
точка г будет описывать дугу окружности радиуса единица, выходя из точки А'
и приходя в точку В' (рис. 130). И, наконец, когда точка w движется по действи-
действительной оси от точки В до оо, то точка г движется по действительной оси от еди-
единицы до оо, Таким образом, области, ограниченной верхней частью гиперболы

374
ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ГГЛ'. XII
я осью симметрии, будет соответствовать внешняя часть кругового сектора с уг-
углом, равным а (рис. 130).
Разрежем внутренность нашей гиперболы по АВ. Применив к этой разрезан-
разрезанной внутренности гиперболы принцип симметрии, мы легко найдем, что разрезан1-
ная по АВ внутренность гиперболы отобразится па внепнюю область кругового
сектора радиуса единица и с углом, равным 1а (рис. 131). Если же разрезать об-
область, внутреннюю к гиперболе, от В до оо и применить принцип симметрии, то
придем к заключению, что разрезанная таким образом внутренность гиперболы
отобразится на внутреннюю часть угла величины а (рис. 132). Но нашей задачей
является отобразить взаимно однозначно
и конформно всю внутреннюю область
гиперболы на гростейшую область —
верхнюю полуплоскость (или круг). Для
X
Рис. 131.
Рис. 132.
этого снова возьмем область, границей которой служат Еерхняя половина гиг.ер-
болы и ось симметрии. С помощью изучаемой функции она отображается вза-
взаимно, однозначно и конформно па внешнюю часть кругового сектора с углом а
(рис. 130). Сделав подстановку
Рис. 133.
мы отобразим нашу область на область, строение которой ясно из рис. 133. Пре-
Преобразуем эту область далее, полагая г" = г' + Мг'. Мы видели ранее, что с по-
помощью этой функции окружность радиуса единица переходит в отрезок действи-
действительной оси от —2 до+2. Следовательно, граница рассматриваемой области перей-
перейдет в действительную ось плоскости г". Кроме
того, ясно, что в нашей области функция г' +
+ 1/г' голоморфна.
Таким образом, в силу теоремы § 2, п. 2
область (рис, 133) отобразится взаимно одно-
однозначно и конформно на верхнюю полуплоскость,
и, следовательно, первоначальная область, огра-
ограниченная верхней полониной гиперболы и осью
симметрии, будет отображена на верхнюю по-
полуплоскость. С другой стороны, следя за всеми
сделанными нами преобразованиями, мы замечаем, ч"о образ верхней дуги
гиперболы на плоскости г" есть полупрямая, лежащая на действительной оси
и простирающаяся от —2 до —оо.
Применим теперь принцип симметрии. Из пего следует, что наша функция У
отобразит взаимно однозначно и конформно всю внутреннюю область гиперболы
на плоскость г", разрезанную по действительной оси от —2 до —оо, причем верх-
верхний берег разреза будет соответствовать верхней дуге гиперболы, нижний —
нижней дуге.
Вводя преобразование г" = г" + 2, мы преобразуем разрезанную плоскость
if' в плоскость г"', разрезанную по действительной оси от нуля до —ос. Далее,
применив подстановку 1/V", мы разрезанную плоскость г*' переводим в правую
полуплоскость. Остается эту полуплоскость перевести и верхнюю, повернув ее

i 51 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ НА ВЕРХНЮЮ ПОЛУПЛОСКОСТЬ 375
с помощью множители е1П^ = { на прямой угол. Итак, функция
будет переводить взаимно однозначно и конформно внутреннюю область гипер-
гиперболы на верхнюю полуплоскость.
Напишем теперь функцию VI" в раскрытом виде:
W = i Vz" = i Vz" + 2 --.= l
+
+ 2 = (
2 =
-<l/(-^
или окончательно:
Ч(-
— 4
|
_ 4
я /а
-4
+ 2,
D6)
Такова функция, выполняющая взаимно однозначное и конформное ото"
бражение внутренней области правой ветви гиперболы на верхнюю полуплоскость.
4. Отображение внутренности эллипса на полуплоскость. Пользуясь тем же
самым методом, мы можем отобразить внутренность эллипса на верхнюю полу-
полуплоскость.
Возьмем эллипс, определяемый уравнением
(с +
Как мы уже видели в предыдущем пункте, этому эллипсу будет соответство-
соответствовать окружность радиуса с.
Берем область, ограниченную верхней половиной эллипса и его осью симме-
симметрии (рис. 134). Верхней дуге эллипса соответствует верхняя полуокружность
на плоскости г (рис. 135). Действительно, когда г = ре0' меняется по этой полу-
полуокружности, то из уравнений D3) видно, что v будет больше нуля (с > 1); когда
Рис. 134.
0 *\
Рис. 135.
точка ш движется по DA (рис. 134), то точка г движется по действительной оси
от —с до —1 (рис. 135). Когда точка ш движется по отрезку от —2 до +2, то г
движется по полуокружности радиуса единица от —1 до + 1. И, наконец, когда т
описывает BE, то г движется по действительной оси от +1 до с. Короче говоря,
рассматриваемая область отображается на криволинейный четырехугольник,
границей которого служат две окружности радиусов 1 и с и два отрезка действи-
действительной оси (рис. 135). Разрезая внутренность рассматриваемого эллипса \v, дей-
действительной оси от —2 до +2 (рис. 136а)), мы заключаем по принципу Шварца,
что при помощи нашей функции г= г (w) так разрезанная внутренность эллипса
отобразится взаимно однозначно и конформно на область, ограниченную двумя
концентрическими окружностями радиусов единица и с (рис. 1366)),

376
ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. XII
Если же разрезать эллипс по DA и BE (рис. I37al), то он отобразится на
криволинейный четырехугольник, ограниченный окружностями радиусов с
и \1с и двумя отрезками действительной оси фнс. 1376)). Но нас интересует ото-
отображение всей внутренности эллипса.
Рис. 136.
Мы уже видели, что верхняя половина этой внутренности эллипса отобра-
отображается на криволинейный четырехугольник (рис. 135), Такой криволинейный
_! 0+1
Рис. 137.
четырехугольник мы в гл. 111, § 3, п. 2 преобразовали в прямолинейный прямо
угольник (рис. 138), полагая г' = In z = In p + Qi.
Итак, нам удалось отобразить верхнюю часть внутренности эллипса на пря-
прямоугольник. Остается этот прямоугольник перевести на иерхнюю полуплоскость.
Эту задачу мы решим в одном из следующих параграфов. Мы
найдем функцию /, которая будет отображать взаимно одно-
однозначно и конформно прямоугольник на верхнюю полуплоскость.
i ч-| Функция же
U
0\
U\c
будет, очевидно, переводить взаимно однозначно и конформно
верхнюю часть внутренности эллипса на иерхнюю полуплоскость.
Применяя принцип симметрии, мы увидим, что эта же функция
будет отображать взаимно однозначно и конформно внутрен-
Рис. 138. ность всего эллипса на плоскость, разрезанную вдоль некоторого
отрезка действительной оси. Остается затем лишь преобразо-
преобразовать эту разрезанную плоскость в верхнюю полуплоскость, чтобы иметь
взаимно однозначное и конформное отображение внутренности всего эллипса
на верхнюю полуплоскость.
§ 6, Конформное отображение односвяз;ных областей
Мы знаем, что отображение области G плоскости г на плоскость
w, выполняемое с помощью функции w = f (г), аналитической в G,
будет конформным во всех точках г, где производная /' (г) не равна

S 6] КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ 377
нулю. Это отображение области G будет взаимно однозначным,
если различным точкам ?х и г2 области G всегда соответствуют две
разные точки т\ и w., на плоскости w. В этом последнем случае каж-
каждой точке z односвязной области G соответствует определенная
точка w некоторой односвязной области Т плоскости w, и, обратно,
каждой точке области Т отвечает единственная точка в области G.
Другими словами, при взаимно однозначном отображении обла-
области G па область Т функция, обратная однозначной аналитической
функции w — f (г), будет в свою очередь однозначной функцией
в области Т. Естественно возникает вопрос: может ли в случае
взаимно однозначного соответствия производная /' (г) обращаться
в нуль и, таким образом, нарушаться конформность отображения?
На этот вопрос мы уже ответили отрицательно, показав, что при
взаимно однозначном отображении области G производная /' (г)
нигде в области G не равна нулю (гл. VII, § 2, п. 3).
Следовательно, в случае взаимно однозначного отображения
области G на область Т производная /' (г) не может обращаться
в нуль нигде в области G, а потому отображение будет конформным
всюду.
Основная задача теории конформных отображений состоит
в следующем: даны две односвязные области G и Т соответственно
в плоскостях г и w; найти функцию w =/ (?). аналитическую
в области G, которая осуществляла бы взаимно однозначное (а сле-
следовательно, и конформное) отображение этих областей друг на
друга.
При решении этой задачи, не уменьшая ее общности, мы можем
принимать, что одна из данных областей, например Т, есть круг
с центром в начале координат и радиусом, равным единице, так
как, чтобы осуществить взаимно однозначное и конформное ото-
отображение двух произвольных односвязных областей друг на друга,
достаточно получить взаимно однозначные и конформные отобра-
отображения каждой из данных областей на такой круг.
Тогда имеет место следующая теорема, известная под названием
предложения Римана, принадлежащая к важнейшим результатам
теории функций: каждая односвязная область G, отличная от пол-
полной плоскости или от плоскости с высключеннои точкой, может
быть с помощью аналитической функции отображена взаимно
однозначно и конформно на внутренность единичного круга и при-
притом так, что произвольно заданным в G точке и направлению в этой
точке будут соответствовать нулевая точка и направление положи-
положительной действительной оси.
Дополнительно к этому предложению мы заметим, что при по-
поставленных начальных условиях функция, выполняющая искомое
отображение, будет единственная, как это следует из § 1, п. 2 этой
главы. Таким образом, в предложении Римана мы имеем
общий геометрический принцип для образования аналитических
функций.

378 ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. ХН
1. Упрощение постановки теоремы Римана. Пусть Т — еди-
единичный круг плоскости w, известно, что путем линейного преобра-
преобразования можно единичный круг отобразить сам на себя так, чтобы
при этом два заданных линейных элемента (т. е. две точки и на-
направления через каждую из них) переходили друг в друга. Поэтому,
если мы вообще отобразим область G на единичный круг, то всегда
возможно это отображение нормировать так, чтобы заданный линей-
линейный элемент в области G переходил в нулевую точку единичного
круга и направление положительной действительной оси. Если мы
теперь — а это не представляет никакого ограничения общности —
область G расположим в плоскости z так, что заданный линейный
элемент совпадает с нулевой точкой и направлением положитель-
положительной действительной оси плоскости г, то это для отображающей
функции w = f (г) равносильно требованию
/ @) = 0, /' @) > 0.
Чтобы подчеркнуть общность теоремы Римана, покажем, что
область G не может быть конформно отображена на внутренность
единичного круга в двух случаях, а именно, когда G есть полная
плоскость или плоскость с выключенной точкой. Рассмотрим функ-
функцию w = / (г), относительно которой мы допустим, что она дает
взаимно однозначное и конформное отображение на внутренность
единичного круга целой плоскости z или плоскости с выключен-
выключенной точкой. Эту последнюю точку мы можем считать за бесконечно
удаленную точку плоскости г, так как этого всегда возможно до-
достигнуть путем линейного преобразования. Очевидно, функция
/ (г) должна быть целой функцией; но, с другой стороны, эта функ-
функция ограничена, так как выполняет отображение на единичный
круг плоскости w. Таким образом, согласно предложению Лиу-
вилля (гл. V, § 2, п. 9) / (г) есть постоянное, что невозможно.
Следовательно, исключая эти два случая, мы должны будем
предположить, что отображаемая область G имеет на границе по
крайней мере две различные точки (соответствующие числовым
значениям z = а и г — Ь), а следовательно, благодаря односвяз-
односвязности она обладает связным граничным множеством, соединяющим
обе эти точки.
При помощи преобразования
мы можем область G конформно отобразить на область G* плоско-
плоскости г*, причем кусок плоскости г* будет вне области G*. В самом
деле, мы можем рассматривать область G как часть, расположен-
расположенную в одном листе двулистной римановой поверхности с двумя
точками разветвления г = а и г = Ь\ эта риманова поверхность,
включая ее точки разветвления, переходит о помощью вышеопи-
вышеописанного преобразования в полную плоскость.

$ 6] КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОД1ЮСБЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ 379
Пусть с есть точка плоскости г*, которая лежит вместе со своей
достаточно малой окрестностью \ z* — с | < р вне области G*.
Тогда мы получим посредством линейного преобразования ? =
= -—¦— из области G* новую область, которая будет целиком ле-
жать внутри конечного круга. Ясно, что путем параллельного
переноса и подобного преобразования этого круга мы нашу область,
наконец, переведем в область, лежащую внутри единичного круга
и содержащую начало координат внутри себя.
Поэтому при доказательстве предложения Римана мы, не
уменьшая его общности, будем предполагать, что отображаемая об-
область G лежит внутри единичного круга и содержит нулевую точку.
2. Вспомогательная функция и ее основные свойства. При
доказательстве теоремы Римана мы воспользуемся простой вспо-
вспомогательной функцией, которая конформно отображает дважды
покрытый единичный круг с точкой разветвления вне его центра
на простой единичный крут.
Чтобы определить эту вспомогательную функцию, вообразим
себе единичный круг плоскости t с разрезом, идущим от точки Р,
расстояние которой от нулевой
точки равно [I (A < 1), к гра-
границе этого круга; пусть два друг
на друге лежащих экземпляра
такого круга обычным способом
соединены друг с другом вдоль
разреза (рис. 139). Допустим, что
функция
,,. , ч Рис. 139.
т = ф @ = qv (О
конформно отображает этот дважды покрытый круг плоскости t
на единичный круг плоскости т так, что при этом для одного листа
выполняются условия
Ф @) = 0, ср' @) > 0.
Нет необходимости давать для этой функции явное аналити-
аналитическое выражение. Заметим только, что мы можем се построить,
если сначала с помощью линейного преобразования единичный
круг переведем сам в себя так, чтобы точка разветвления Р пере-
перешла в начало координат, затем образуем квадратный корень из
полученной линейной функции и, наконец, посредством нового
линейного преобразования достигнем заданного соответствия ли-
линейных элементов в нулевых точках. Обратная функция для
функции т = ф (/) — обозначим ее через t = гр (т) — будет олно
аначной и голоморфной в единичном круге.
Так как г|з @) = 0, то очевидно, -^-^ в круге I т | <: 1 есть
также голоморфная функция. Заметив, что
во всех точках

380 ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТО5РАЖЕИИЯ 1ГЛ. XII
окружности | т | = 1 имеет значение, равное единице, мы убеж-
убеждаемся по принципу максимума модуля аналитической функции
(гл. V, § 2, п. 5) в справедливости неравенства для внутренних
точек т, | т | < 1:
где точно имеет место знак <, потому что функция '- не есть
постоянное. [То же заключение мы получили бы, воспользовавшись
леммой Шварца (§3, п. 2) для функции г|>(т).]
Итак, мы доказали: между переменными /их всегда сущест-
существует неравенство | т | > | 11, если |/| < 1, или точнее говоря, для
всех значений t, для которых | 11 < \х, имеет место неравен-
неравенство | т | 5г Я (М-) I 11. гДе Я (р) обозначает число, большее единицы,
зависящее только от ц. Легко видеть, что q (u) является непре-
непрерывной функцией от р. (ц < 1), сохраняющей значения, боль-
большие, чем единица.
Б силу доказанного свойства функции х = i[) (t) вытекает: если
в единичном круге плоскости t лежит область G, которая содержит
внутренность круга радиуса р (р < ц < 1), то эта область посред-
посредством ветви функции т = % (t) отображается на область G*, при-
принадлежащую единичному кругу плоскости т, причем G* содержит
внутренность круга радиуса р* = q (р) р > р. При этом нулевая
точка и направление положительной действительной оси остаются
неизменными.
3. Основная лемма. Для доказательства теоремы Римана нам
придется воспользоваться следующим вспомогательным предло-
предложением: если последовательность функций
h B). /а (*). .... /п (г), ....
аналитических и однолистных в области G, сходится равномерно
в каждой замкнутой области, принадлежащей G, к предельной
функции f (г), отличной от постоянного, то предельная функция
f (г) также однолистна.
Для доказательства допустим противное, что существуют две
различные точки гх и г2 области G, в которых аналитическая функ-
функция / (г) равна одному и тому же числу w0. Проведем в области G
замкнутый контур Г, содержащий внутри себя точки г^ и г2, так,
что на этом контуре / (г) не равна w0; это возможно сделать, ибо
согласно условию / (г) не есть постоянное. Тогда (гл. VII, § 1, п. 5)
/' (^ da
1 Г l'(z)dz
2я/ J /(г)-к

f 6] КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫ.Х ОБЛАСТЕЙ 381
где v есть целое число, не меньшее 2 (v ^ 2). Так как из равно-
равномерной сходимости функций /п (г) к функции / (г) следует равно-
равномерная сходимость /,', (г) к /' (?) (гл. V, § 1, п. 1), то интеграл
' ( /» (?) dz
2ni J fn (г) - w0
Г
при неограниченно возрастающем п стремится к пределу v. С дру-
другой стороны, по условию каждое уравнение fn (г) = w0 в области
G либо не имеет корней, либо имеет один простой корень (в случае
кратного корня производная /,', (г) должна обращаться в нуль, что
противоречит взаимной однозначности отображения w — fn (г)).
Следовательно, последний интеграл, имеющий значения нуль или
единица, не может при неограниченном возрастании п стремиться
к числу v ^ 2. Полученное противоречие убеждает нас в справед-
справедливости леммы.
4. Доказательство предложения Римана. При доказательстве
теоремы Рнмана, формулированной в начале этого параграфа,
мы можем согласно п. 1 предполагать, что отображаемая область
G лежит в круге | г | < 1 и содержит нулевую точку. Искомую
функцию w = / (г) мы можем подчинить условиям
/ @) = 0, /' @) > 0. D7)
Условимся через р (Я) обозначать радиус наибольшего круга
с центром в нулевой точке, внутренность которого принадлежит
целиком области Н.
Мы построим последовательность функций
h (*), h (г) /« (г), ... D8)
аналитических в области G, удовлетворяющих условиям fn @) =
— 0, fn @) > 0 и таких, что каждая функция fn (г) отображает
взаимно однозначно и конформно область G на некоторую область
Нп, лежащую внутри единичного круга, причем соответствующий
радиус р (//„) возрастает вместе спи стремится к пределу единица.
Другими словами, область G взаимно однозначно и конформно
отображается с помощью функции /n (z) на некоторую область H,,t
которая при достаточно большом п сколь угодно близко подходит
к единичному кругу.
За первый элемент последовательности D8) примем функцию
/i B) = Фр0 B) (п. 2), где Ро = р (G), которая отобразит область G
взаимно однозначно и конформно на некоторую область Нх, при-
принадлежащую единичному кругу, причем Pi = p (Яг) будет больше,
чем ро<? (р0) (п. 2). Применяя к области Нг преобразование с по-
помощью функции фР1 (г), мы получим область Я2 с радиусом р2 >
> Pi<? (Pi) > Pi. где р2 = р (#2). Очевидно, функция /2 (г) =
— Фр, 1фр„ (г) ] будет давать взаимно однозначное и конформное
отображение области G на область Н2. Продолжая этот процесс
итерации функций срРп далее и обозначая вообще через рп радиуо

382
ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕМИЯ' 1ГЛ. XII
для области Нк, мы получим функцию fn (г) = <pPfl _, lfn-i(z)\,
которая будет взаимно однозначно и конформно отображать пер-
первоначальную область G на область Нп радиуса рп, причем р„ >
> Pn-i<? (pn-i) > Pn-i- Остается показать, что Игл р„ = 1.
Я-*оо
Допустим, наоборот, что lim р„ = \i < 1. Выполняя переход
П-*оо
к пределу в неравенстве р„ > p?1_i<7 (pn_i), поручим! ц ^ \iq (\л).
Последнее невозможно, так как q \\i) > 1 при ц < 1. Очевидно,
построенные функции fn (г) удовлетворяют условиям /„ @) = 0,
fn. @) > 0, так как функции %п этим условиям удовлетворяют.
Теперь покажем, что последовательность функций /„ (г) при
неограниченном возрастании п сходится к искомой функции ото-
отображения / (г). С этой целью рассмотрим отношение //?
Эта
функция есть аналитическая и отличная от нуля в области G.
Таким образом, ее модуль в любой точке г области G заключен
между минимумом и максимумом ее модуля на границе, откуда
имеем неравенство
/п+р (г)
/п(г)
D9)
которое выполняется для точек г области G. Следовательно, рав-
равномерно в области G будет:
lim .'„+„(*) =1) E0)
так как lim pn = 1.
Заметив, что отношение - "+^ : при г = 0 имеет действитель*
In \z)
ное положительное значение, рассмотрим функцию
In (г)
In (г)
Вследствие E0) действительные части функций Fn (г) сходятся
равномерно во всей области G к нулю, в то время как в нулевой
точке будет:
lim С /П\ Urn In In + V @)
/n@)
= 0.
Применяя к последовательности функций Fn (г) предложение из
гл. IV, § 3, п. 9, мы заключаем, что эта последовательность схо-
сходится к нулю равномерно в каждой замкнутой области, принад-
принадлежащей G, т. е. lim п(+р. ^ = 1, откуда вытекает! lim l/n+D (г) —
1П \П> П — оо
— fn (г) 1 = 0. Таким образом, последовательность функций /п (г)
сходится равномерно в каждой замкнутой области, принадлежа-
принадлежащей G, к предельной функции / (г), которая будет согласно теорема

5 7] СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ ПРИ КОНФОРМНОМ ОТОБРАЖЕНИИ 383
Вейерштрасса (гл. V, § 1, п. 1) аналитической в области G. Так как
fn @) = 0, f'n @) > 0, то, очевидно, предельная функция / (г) удо-
удовлетворяет условиям
/ @) = 0, /' @) ^ 0.
Заставляя в неравенстве D9) р неограниченно возрастать при
п постоянном, получим в пределе:
1
Рп
Так как | / (z) | при достаточно большом пив достаточной близости
от границы области G произвольно мало отличается от единицы,
a lim р„ = 1, то из последнего неравенства вытекает: в достаточ-
Л-»оо
ной близости от границы области G модуль функции / (г) пронз-
еольно мало отличается от единицы. Следовательно, функция / (г)
не есть постоянное, так как / @) = 0. Таким образом, по основной
лемме п. 3 эта функция / (г) отображает область G взаимно одно-
однозначно на некоторую область Т, откуда, в частности, вытекает,
что /' @) строго больше нуля. Эта область Т лежит целиком в еди-
единичном круге, так как из неравенств | /„ (г) | < 1 следует | / (г) \ <g
< 1. Вспомнив, наконец, что в достаточной близости от границы
области G модуль функции /(г) сколь угодно близок к единице,
мы заключаем о совпадении области Т с единичным кругом. Таким
образом предложение Римана доказано.
§ 7. Соответствие границ при конформном отображении
При доказательстве теоремы Римана о конформном отображе-
отображении односвязной области G на внутренность единичного круга мы
оставляли вне рассмотрения граничные точки области G и точки
единичной окружности. Пусть w = / (г) есть функция, выполняю-
выполняющая взаимно однозначное и конформное отображение области G
на внутренность единичного круга | zl< | < 1. Рассмотрим произ-
произвольную последовательность точек wlt it'.,, ..., wn, ..., лежащих
внутри единичного круга, сходящуюся к точке wu, лежащей на
окружности \w\ = 1. Относительно последовательности соответ-
соответствующих точек г1, г,2, ..., гп, ... области G в общем случае можно
утверждать лишь, что все ее предельные точки принадлежат гра-
границе области G. В самом деле, такая предельная точка не может
быть внешней, так как в любой ее окрестности лежат точки г„,
принадлежащие области. Однако она ие может быть и внутренней,
иначе некоторая ее окрестность отображалась бы посредством
функции w = / (г) в некоторую область, целиком лежащую вну-
внутри единичного круга. Но окрестность предельной точки содержит
бесконечное множество точек ?„; следовательно, и соответствую-
соответствующая ей область внутри круга содержит бесчисленное множество
точек wn, что противоречит предположенной сходимости последо-

384 ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. XII
вательности точек wu до2, ..., wn, ... к точке на единичной окруж-
окружности. Итак, предельные точки множества г,, г2, ..., гп, ... все
принадлежат к границе области G. В частной случае последнее
множество может иметь лишь одну предельную точку г0, т. е.
последовательность ги г2, ..., гп, ... будет сходиться к г0. Если,
однако, вместо последовательности одг, до2, ..., доп, ... в единичном
круге взять другую последовательность w\, ЕУг, ..., до,',, ..., схо-
сходящуюся к той же точке w0,to может оказаться, что соответствую-
соответствующая ей внутри области G последовательность г\, г~2, ..., г'п, ...
уже не будет сходящейся или будет сходиться к точке г'о, отлич-
отличной от 20. Мы будем говорить, что точке до0, окружности | ш | = 1
соответствует в силу конформного отображения w = f (г) точка
г0 границы области G, если для любой последовательности точек
\wn\, сходящейся к w0, последовательность \гп\ соответствующих
им точек области G сходится к гй.
Предположим, что такое соответствие имеет место для каждой
точки окружности | до | = 1. Тогда функцию z = ср (до), обратную
функции mj = / (г),можно определить в каждой точке окружности,
полагая ср (ш0) = г0. Легко видеть, что доопределенная таким об-
образом функция будет непрерывной в замкнутом круге. Достаточно
доказать ее непрерывность в точках w0 окружности | до | = 1, т. е.
доказать, что для любого е > 0 можно указать б (е, ш0) > О
такое, что будет | ф (до) — о? (до0) | < е, если | до — w01 < 6 и
| w | < 1. Допустив противное, предположим, что существует
последовательность точек wL, до2, ..., до„, ..., сходящаяся к w0 и,
однако, такая, что | ф (wn) — ф (до0) | ^ а, гд<; а — некоторое по-
положительное число. Очевидно, что точки wn можно считать лежа-
лежащими на окружности | до | = 1, так как для всякой последователь-
последовательности внутренних точек должно быть: ф (до,,) -¦ ф (до„). Но для
каждой точки wn можно выбрать точку w'n, лежащую внутри еди-
единичного круга и такую, что, во-первых, | w'n — wn \ < 1/п, а, во-
вторых, | ф (до„) — ф (до;,) | < с'/2. Тогда будем иметь: | ф (до/,) —
— Ф (щ)\ ^г а/2 > 0, что невозможно, так как последовательность
до!, ..., wn, ... состоит из точек, лежащих внутри единичного
круга, и сходится к w0. Итак, функция ф (w) действительно непре-
непрерывна в замкнутой области.
Когда w описывает окружность |до| = 1, точка г — ф (до)
описывает непрерывную кривую S, состоящую из граничных
точек области G, Покажем, что эта кривая исчерпывает всю гра-
границу G. Допустив противное, обозначим через г' граничную точку
G, не принадлежащую к 5, и пусть г{, г'и ..., г,',, ,., —последо-
—последовательность внутренних точек G, сходящаяся к точке г . Ей в еди-
единичном круге соответствует последовательность w[, w'%, ..., до«, ...,
все предельные точки которой принадлежат к окружности. Если
мы, фиксируя одну из этих предельных точек wQ, извлечем из по-
последовательности \w'n\ последовательность \wn\, сходящуюся

S 71 СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ ПРИ КОНФОРМНОМ ОТОБРАЖЕНИИ 385
к точке w0, то соответствующая в области G последовательность
|г„} должна сходиться к точке г0 = ср (w0) кривей S, в то время
как она, по предположению, сходится к другой точке г' (г' Ф г0).
Таким образом, в случае, когда каждой точке окружности в силу
конформного отображения г = ср (w) соответствует одна гранич-
граничная точка области G, граница области G представляет непрерыв-
непрерывную кривую S. Кривая S может иметь кратные точки, т. е. разным
точкам w окружности | w | = 1 может отвечать одна и та же точка
г кривой S. Для того чтобы устанавливаемое посредством конформ-
конформного отображения соответствие между окружностью и границей
области было взаимно однозначным, необходимо, следовательно,
чтобы граница области G была непрерывной кривой без кратных
точек, т. е. кривой Жордана. Мы покажем сейчас, что последнее
условие является также достаточным, т. е. справедлива такая об-
общая теорема; пусть G есть область плоскости г, ограниченная ли-
линией Жордана S; допустим, что функция w = / (г) отображает
взаимно однозначно и конформно эту область на внутренность
единичного круга плоскости w с окружностью 2., Тогда посредст-
посредством той же функции w = f (г) границы S и 2 преобразовываются
друг на друга взаимно однозначно и непрерывно. В настоящем пара-
параграфе мы дадим доказательство этого общего предложения.
1. Постановка задачи. Прежде всего заметим, что из факта
взаимно однозначного соответствия границ S и 2 вытекает уже
равномерная непрерывность функции / (г) в области G и ее обрат-
обратной функции в круге \w\ < 1, а следовательно, и взаимная не-
непрерывность соответствия этих границ.
В самом деле, мы уже видели, что функция г = ср (ш) непре-
непрерывна, а следовательно, и равномерно непрерывна в круге | ш | «¦
<: 1. Допустив, что функция /(г) не является равномерно непре-
непрерывной в области G, мы установим, что некоторой граничной точке
Р области G будут отвечать по крайней мере две различные точки
Qi и Qo на окружности \w\ = 1. Применяя этот результат к об-
обратной функции, мы убедимся в справедливости высказанного
положения. Итак, допустим, что f (г) не является равномерно не-
непрерывной функцией в области G. В этом случае в области G су-
существует последовательность пар точек г'п, г"п (п — 1, 2, ...) та-
таких, что lim | г'а — z',', | == 0, в то время как расстояние
между соответствующими отображенными точками остается все
время больше постоянного положительного а. Вследствие пред-
предложения Больцано—Вейерштрасса о предельной точке (гл. 1,
§ 3, п. 4) мы можем (опуская надлежащие пары точек) принять,
что эти пары точек г'п, z"n имеют единственную предельную точку
Р, в то время как их образы w'n, w", имеют две предельные точки Q'
и Q", расстояние которых должно быть не меньше, чем а. Эти пре-

386
ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
1ГЛ. XII
дельные точки Р н Q', Q" должны лежать соответственно на гра-
границах 5 и 2, так как функция / (г) в достаточно малой окрестности
всякой внутренней точки области G есть равномерно непрерывная.
Итак, мы знаем, что из взаимной однозначности соответствия
границ S и S следует и взаимная непрерывность этого соответст-
соответствия, так как функция / (г) и ей обратная будут равномерно непре-
непрерывными в соответствующих областях. Обратно, если / (г) вместе
со своей обратной функцией равномерно непрерывны соответст-
соответственно в областях G и | to | < 1, то, очевидно, отображение границ
5 и 2 будет взаимно однозначным и взаимно непрерывным. Таким
образом, геометрическая постановка задачи о взаимно однознач-
однозначном и непрерывном соответствии границ S и 2, сделанная в начале
этого параграфа, эквивалентна следующей аналитической поста-
постановке: доказать, что функция w = / B) равномерно непрерывна
в области G, а ее обратная — в области | w | < 1.
2. Доказательство предложения о соответствии границ.
Прежде чем приступить к доказательству, мы должны будем от-
отметить одно свойство областей, ограниченных замкнутыми кри-
кривыми Жордана, — свойство, которым
эти области вполне характеризуются.
А именно, любую граничную точку та-
такой области можно соединить с любой
внутренней или внешней точкой по-
посредством некоторой жордановой дуги,
которая не имеет с границей области
других общих точек, кроме рассмат-
рассматриваемой. Мы не будем здесь приводить
доказательство этой теоремы, относя-
относящейся к теоретико-множественной топо-
топологии. Укажем только простейший
пример области, не обладающей этим свойством (граница такой
области необходимо будет нежордановой кривой). Такую область
(рис. 140) можно получить, выбрасывая из квадрата 0 < х < 1,
0 < у < 1 точки бесконечного множества отрезков:
*=1/2, 0<у<2/3; х=1/22, 1/3 < у < 1; , . .;
-г = l/22*-i, 0 < у < 2/3; х = 1/22*; ]/3 < у < 1; . . .
Оставшееся множество представляет собой область, граница ко-
которой состоит из периметра A BCD квадрата и всех указанных
отрезков. Очевидно, что никакая граничная точка М, принадле-
принадлежащая отрезку AD, не может быть соединена кривой Жордана
с какой-либо внутренней точкой N области. Действительно, допу-
допустив противное, мы должны считать ординату точки кривой,
соединяющей точки N и М, непрерывной функцией некоторого
параметра /, принимающей при t = /п значение у0, равное орди-
ординате точки Л/, а при t — t-i — значение уъ равнее ординате точки М
Рис. 140.

§ 7] СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ ПРИ КОНФОРМНОМ ОТОБРАЖЕНИИ 387
Таким образом, когда / стремится к tL, ордината точки кривой
должна стремиться к пределу уи что невозможно, так как она бес-
бесконечное множество раз должна принимать значения, большие 2/3,
и значения, меньшие V3.
Точки границы области, которые можно соединить дугой Жор-
дана с внутренней точкой области (эта дуга не должна иметь с гра-
границей области других общих точек, кроме данной граничной точки),
называются достижимыми (изнутри) точками; точки, не обладаю-
обладающие этим свойством, — недостижимыми. В нашем примере точки
отрезка AD — недостижимые, а все остальные граничные точки —
достижимые. Упомянутое нами свойство областей, ограниченных
жордановыми кривыми, можно сформулировать следующим обра-
образом: каждая граничная точка такой области достижима (изну-
(изнутри и извне).
Чтобы доказать теорему, сформулированную в начале этого
параграфа, мы согласно п. 1 должны убедиться в равномерной не-
непрерывности функции / (г) в области G и ее обратной внутри еди-
единичного круга. С этой целью, допустив, что / (г) не есть равно-
равномерно непрерывная функция в области G, мы должны будем
прийти к противоречию. Как следует из п. 1, при таком допущении
на границе области G, линии Жордана S, существует точка Я,
которой соответствуют на окружности | w | = 1 две различные
точки Q' и Q", отстоящие друг от друга на расстоянии, не мень-
меньшем 2а. Отметим на рис. 141 эти точки, а также точки г'п, г"п, стре-
стремящиеся к точке Я, и им соответствующие точки w'n и w",u имеющие
пределами Q' и Q". Расстояние между точками w'n и w"n мы можем
считать все время большим а.
Принимая точку Р за полюс, введем полярные координаты г
ибис их помощью следующим образом определим принадлежа-
принадлежащую точке Р последовательность друг в друга Е;ложенных одно-
связных областей Кп лежащих в G: произвольно выбранную по-
постоянную точку Ро области G (например, точку г = 0) соединим
непрерывной кривой L, лежащей в G, с точкой Р. (В силу сказан-
сказанного выше это возможно, так как область G ограничена кривой
Жордана.) Очевидно, эта кривая L, идущая от Ро к Р, будет пере-
пересекать окружность радиуса г с центром в точке Р, если только
г < Р0Р. Идя по кривой L в направлении от Рц к Я, мы встретим
эту окружность, вообще говоря, несколько раз (быть может, беско-
бесконечное число раз). Отметим последнюю точку встречи кривой L
с окружностью радиуса г и, отправляясь от этой точки, отметим
по обе стороны от нее дугу сТ окружности до первой точки встречи
этой дуги с границей 5 области G. Обозначим через Кт часть об-
области G, ограниченную этой дугой радиуса г и той частью границы
S, на которой лежит точка Я (рис. 141).
Заметим, что, каково бы ни было е (е < Р0Р), точки г'„ и гп
должны быть, начиная с достаточно большого п, Ешутренними точ-
точками области КЕ (рис. 141). Действительно, допустив противное,

388
ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. XII
мы придем к заключению, что бесконечное множество точек из
последовательностей \г'„\ и \z'n\ лежит внутри области Ge, получае-
получаемой из области G путем удаления всех точек Kt и внутренних
точек дуги сг. Так как Р есть граничная точка G, предельная для
\гп\ и \z'n\, то отсюда будет следовать, что Р есть граничная точка
для Се. Поэтому точка Р одновременно принадлежит двум дугам,
на которые концы се разби-
разбивают S. Так как Р отлична
от концов этих дуг, то Р
должна бьть кратной точкой
для S, что противоречит
определению жордановой
кривой 5.
Пусть Q1 и Q2 — произ-
произвольно вьбранные постоян-
постоянные точкк внутри единич-
единичного кругг Т, а Рх и Р2 —
им соответствующие точки
в области G. Соединим точку Qx с w,',, Q2 с w",, посредством линий
ГА и Т"п так, чтобы обе эти кривые находились на расстоянии друг
от друга, не меньшем, чем а. Пусть R — такое число, что точки JP1
и Р2 лежат вне области KR\ тогда образы линий Г,', и Г'„ пересе-
пересекают дугу окружности, входящую в границу области Кг, при каж-
каждом г < R, если п достаточно велико, так как они соединяют точки
Рг и Р.2 соответственно с г,] и г'п.
Таким образом, на дуге ст найдутся две точки гх и г2 такие, что
Рис. 141.
а
E1)
где интеграл распространен на соответствующую часть гхг2 дуги ст.
В анализе важное значение имеет так называемое неравенство
Буняковского, которым мы должны сейчас воспользоваться. Это
неравенство состоит в следующем: пусть g \\ h — две действитель-
действительные функции, определенные в одномерной urn многомерной об-
области D, и йы — элемент интеграции D; тогда имеем:
(jgh daf < | g2 da • J hr da.
Это неравенство немедленно вытекает из замечания, что квадрат-
квадратный трехчлен относительно действительного параметра I, а именно,
? + hf da, = A,2 j g2 da + 2% \ gh do + J h2da
не может иметь отрицательных значений.

$ 8] ОТОБРАЖЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА И МНОГОУГОЛЬНИКА 3§9
Применяя неравенство Буняковского к интегралу правой ча-
части E1), положив при этом g = | /' (г)\г, h ~ 1, иолучим:
а? < (J | /' (г) | г mf < 2л J "| Г (г) |*
или
Интегрируя последнее неравенство относительно г в пределах
от г = е до г = R, найдем:
сб21п-|-« 2л \\\f'{z)\-rdrdQ<2n { \\f'{z)\irdrdQ,
где последний интеграл распространен на всю область К% и пред-
представляет площадь той области, которая является отображением
Kr. Таким образом, заведомо имеем:
\\\r{z)\*rdrdQ<_n,
потому что п есть площадь всего единичного круга, и окончательно
получаем:
a2 In -|- < 2я2.
Это неравенство привело нас к противоречию, так как при е -*¦
-> 0 левая его часть неограниченно возрастает. Полученное про-
противоречие и доказывает равномерную непрерывность функции
f (г) в области G. Так как аналогичное рассмотрение может быть
проведено для обратной функции, то и обратная функция будет
равномерно непрерывной в области 7.
Другими словами, согласно п. 1 мы показали, что при взаимно
однозначном и конформном отображении области G, ограниченной
линией Жордана, на внутренность единичного круга Т границы S
и 2 областей G и Т отображаются взаимно однозначно и непре-
непрерывно.
§ 8. Отображение прямоугольника и произвольного
многоугольника на верхнюю полуплоскость
1« Прямоугольник. Чтобы отобразить прямоугольник на верх-
верхнюю полуплоскость, нам надо рассмотреть эллиптический инте-
интеграл вида
E2)
где k — действительное число, удовлетворяющее условию 0 <
< k < 1. Будем предполагать, что верхний предел г зллиптиче-

390 ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. XII
ского интеграла есть комплексное число,лежащее в верхней полу-
полуплоскости.
Другими словами, мы будем интегрировать по некоторому пути,
лежащему в верхней полуплоскости комплексного переменного г,
выходящему из начала координат. Тогда наш интеграл представит
собой функцию комплексного переменного г, которую мы обозна-
обозначим через Z, (г).
Легко видеть, далее, что подынтегральная функция имеет сле-
следующие четыре особые точки, которые все лежат на действительной
оси:
t = +1, / = -1, t = \lk, t = — \!k.
Так как z мы рассматриваем в верхней полуплоскости, то при вся-
всяком пути интеграции мы не встретим ни одной особой точки. От-
Отсюда следует, что результат интегрирования не будет зависеть от
пути.
Итак, ? (г) есть голоморфная функция г, когда г лежит в верх-
верхней полуплоскости. Кроме того, то же самое будет и для действи-
действительных значений г, кроме указанных особых точек. Эти особые
точки, очевидно, являются критическими точками подынтеграль-
подынтегральной функции.
Мы сейчас увидим, что когда z меняется и верхней полупло-
полуплоскости, то ? будет меняться внутри некоторого прямоугольника.
Для того чтобы обнару-
обнаружить это обстоятельство,
естественно заставить точ-
точку г описать действитель-
действительную ось и смотреть при
этом, какой путь будет
описывать ?. При этом пробеге точка г четыре раза перейдет
через особые точки. Мы их можем исключить, описывая около
них полуокружности радиуса р и заставляя z двигаться по
пути, строение которого ясно из рис. 142. Сейчас же мы
можем заметить, что радиус р построенных полуокружностей
можно уменьшить до нуля (р -> 0), так как подынтегральная
функция при этом становится бесконечно большой величиной
порядка V2.
Итак, допустим, что точка z отправляется от нуля и движется
вправо по действительной оси. Когда z находится в промежутке
0 < х < 1, то подынтегральная функция все время остается по-
положительным действительным числом. Поэтому, когда г, оставаясь
в указанном промежутке, возрастает от нуля и стремится к еди-
единице, то ? увеличивается от нуля и стремится к значению
dt
J iAi _ t2)(l —

§ 81
ОТОБРАЖЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА И МНОГОУГОЛЬНИКА
391
Как мы уже заметили, этот интеграл имеет определенное конечное
значение. Обозначим его через а^2. Итак,
i
Щ_ _ Г
2 J
У(I — t*) (I —
Далее, точка г пройдет по полуокружности, описанной около
единицы. Посмотрим, что произойдет^ ?. В подынтегральной функ-
функции под знаком радикала имеются такие множители:
\ — t,\ + t, 1 — kt, I + kt.
Посмотрим, что произойдет с аргументами этих факторов, когда
точка г опишет полуокружность около единицы. Ясно, что аргу-
аргументы трех последних множителей в результате такой операции не
Рис. 143.
Рис. 144.
изменятся. Но аргумент первого множителя уменьшается при этом
на л, что ясно из рис. 143, так как arg A — t) изменяется от нуля
до —л. Отсюда следует, что аргумент радикала уменьшится на
л/2, а аргумент всей подынтегральной функции увеличится на я/2.
(рис. 144). Поэтому функцию ?, после обхода полуокружности
можно записать так:
г
dt
E4)
1
где г находится в промежутке
1 < г< I/ft.
Когда г увеличивается в только что указанном промежутке, то
интеграл формулы E4) тоже увеличивается и при г -*—г- стре-
стремится к определенному пределу, который мы обозначим через щ,
т. е. положим:
со,
dt
E5)
Отсюда следует, что, когда z -> \!k, то t,
ш2.

392 ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ.XII
Далее, когда точка z описывает полуокружность около точки
Ilk, то подобно предыдущему заключаем, что вектор ? — (coj/2 +
-f t(o2) должен повернуться на угол л/2 (рис. 144). Следовательно,
после обхода переменным z нашей полуокружности функция i
запишется следующим образом:
I = _^ + to. = ( —=?=- E6)
2 J vA(<2 — 1) (ft2,;2 — 1) '
Когда z изменяется от 1/й до оо, то последний интеграл все
время увеличивается, а следовательно, действительная часть
функции ? все время убывает. В пределе, когда z = оо, последний
интеграл можно записать так:
ос
J v * {)
Легко видеть, что этот интеграл равен (aJ2. Действительно,
сделаем подстановку t = l/(kx), где т — новое переменное. Тогда
последний интеграл примет вид
Г dx
г
0
О),
Подводя в подынтегральной функции последнего интеграла ki2
под знак радикала, мы убеж-
_г. даемся в справедливости до-
-—-t-;i ' — ^-' ¦' казываемого предложения.
Такик образом, когда
z -> оо, то t, ->w2t (рис. 144),
при изменении г от —оо
до —'рис. 142) точка 'С,
очевидно, придет из ш2 в
Рис- 145- точку — cui/2 -|- iw.j. Когда г
будет двигаться от —\lk до
— 1, точка ? опишет прямолинейный отрезок от—tOj/2 ~i-fco..! до —
—ch/2, и, наконец, когда z изменяется от —1 до нуля, то функ-
иия ь изменяется по действительной оси от — со,/2донуля (рис. 145).
Таким образом, мы видим, что при помощи эллиптического
интеграла мы можем отобразить верхнюю полуплоскость на пря-
прямоугольник со сторонами, равными о^и со2. При этом это отобра-
отображение будет взаимно однозначное и конформное (вследствие §2,
п. 2).
Если же мы рассмотрим обратную функцию г = s (?), то эта
функция будет давать отображение внутреннссти прямоугольника
на верхнюю полуплоскость.

8 8] ОТОБРАЖЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА И МНОГОУГОЛЬ НИКА 393
Примечание. В этом пункте мы видели, что с помощью эллиптического
интеграла ? = •— верхняя полуплоскость взаимно одно-
однозначно и конформно отображается на прямоугольник плоскости ?, стороны
которого параллельны осям координат и равны Wi и со2, где положено:
/
г. Г dt С
to, = 2 \ — -. со., =
J tf(\ _ fi)(\ - ?2/2) }
/
dt С dt
_ fi)(\ -
Естественно возникает вопрос: каким образом отобразить на
верхнюю полуплоскость a priori данный прямоугольник?
Легко видеть, что это отображение может быть Е;ыполнено с по-
помощью функции вида At (г) + В, где А и В — постоянные. Дей-
Действительно, выберем параметр k так, чтобы coj/ioo равнялось отно-
отношению сторон данного прямоугольника. Тогда соответствующая
этому значению k функция Z, (г) будет давать отображение верхней
полуплоскости на некоторый прямоугольник, отношение сторон
которого ©1 и oj.2 равно отношению сторон данного прямоуголь-
прямоугольника. Выполняя перенос и вращение, мы достигнем того, что цен-
центры этих прямоугольников совпадут, а стороны будут параллельны.
Но так как отношения сторон в обоих прямоугольниках одина-
одинаковы, то для их полного совмещения достаточно выполнить пре-
преобразование подобия относительно их общего центра. Послед-
Последние же элементарные преобразования (перенос, вращение и по-
подобное изменение) производятся надлежащим выбором комплекс-
комплексных постоянных А и В.
2. Эллиптическая функция Якоби. Чтобы выяснить свойства
введенной нами функции s (?), мы воспользуемся принципом сим-
симметрии Шварца.
Обозначим стороны полученного выше прямоугольника через
1, II, III и IV (рис. 146, а)). Каждой стороне этого прямоугольника
а) ш
6)
III , II/ , / , I , // , 11!
1 -1 0+1,1
Рис. 146.
соответствует некоторый отрезок на действительной оси плоско-
плоскости 2. Обозначим их соответственно теми же римскими цифрами
(рис. 146, б)).
Отобразим наш прямоугольник симметрично относительно сто-
стороны I. Внутренность нового (двойного) прямоугольника (рис. 147)
отобразится с помощью продолжения s (I) взаимно однозначно и

394
ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТО13РАЖЕНИЯ [ГЛ. XII
конформно на плоскость z, разрезанную по действительной оси
от 1 до оо и QT —оо до —1. Но можно отображать прямоугольник
относительно любой его стороны; мы опять получим отображение
на всю плоскость z, но разрезанную иначе. Продолжая строить,
в плоскости t, все новые и новые симметричные прямоугольники,
W
Ш
/
1L
Ш
Ш
т
if
и
Рис. 147.
Рис. 148.
мы в конце концов покроем всю плоскость ? сетью таких прямо-
прямоугольников (рис. 148) и, следовательно, определим функцию s (?)
во всей плоскости.
Для того чтобы установить взаимно однозначное соответствие
всей плоскости ? с переменным г, надо приготовить вместо пло-
плоскости г бесконечнолистную риманову поверхность. Эта риманова
поверхность будет иметь точками разветвления 1, \lk, —\lk, —1;
листы этой поверхности бу-
будут сьязаны так же, как
соответствующие им пря-
N 11 IV п моуго/ъники.
Из предыдущего легко
подметить весьма важное
свойство функции s (?),
I".
II!
И
IV
с,
I
Рис- 14Э- именно, свойство двояко-
пернодичности этой функ-
функции. Возьмем один из прямоугольников плоскости ?. Отобразим его
сначала относительно стороны II, затем полученный таким обра-
образом новый прямоугольник отобразим в свою очередь относительно
стороны IV (рис. 148). Далее, возьмем какую-нибудь точку t,i
внутри первоначального прямоугольника. Эта точка в результате
двукратного отображения по первоначальному направлению
перейдет в точку ?2. Из рис. 149 ясно, что ?2 = ?х 4- 2(оь ибо
сторона I по длине равна ых.
Допустим, кроме того, что точке ?х на плоскости г соответствует
точка zb т. е. гх ~ ь (?i). При рассмотренном первом отображении
прямоугольника точка zx перейдет в симметричную относительно

ОТОБРАЖЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА И МНОГОУГОЛЬНИКА
303
оси Ох точку г[. При втором отображении точка г[, переходя в сим-
симметричное положение, очевидно, попадает в точку гг.
Итак, мы установили, что s (t, + 2<s*i) = s (t). Если же мы бу-
будем отображать наш прямоугольник по вертикальному направ-
направлению, то аналогичным образом найдем, что s (t. -f 2«y2i) = s {'С).
Вообще, как легко видеть, мы будем
иметь:
N
'V
I
A
t4
0
tt
H
in
в
1
Рис. 150.
+ 2/u.o.2f) = s(Q,
где h и к — любые целые числа. Ко-
Количества 2(Oj и 2(o2i будут периодами
функции s (?).
В прямоугольнике периодов функ-
функция s (?) имеет два простых полюса
(o.2i и сл1 -{- со„1 (точки А и В на
рис. 150) и два простых нуля в точ-
точках О и с»),. Таким образом, функ-
функция s (t), однозначная во всей пло-
плоскости С, не имеет на конечном расстоянии других особых
точек, кроме полюсов. Это есть марчзморфная функция. Сравни-
Сравнивая построенную функцию s (?) а первой эллиптической функ-
функцией Якоби (гл. XI, §5), образованной для тех же периодов
2@, и 2<oui, мы видим, что они совпадают, так как имеют одинако-
одинаковые нули и полюсы и производные их в начале координат равны
единице. Итак, функция s (?), отображающая внутренность пря-
прямоугольника на полуплоскость, есть эллиптическая функция
Якоби: s (?) = sn Z.
3. Многоугольник. Займемся задачей более общей: отобра-
отобразить взаимно однозначно и конформно /г-угольник на верхнюю
полуплоскость.
Рис. 151.
Пусть в плоскости переменного w имеется «-угольник
(рис. 151, д), внутренние углы которого равны а,л, агя. сил, ...,
а„я, где аь аъ ..., ап—действительные числа, причем каждое
из них, очевидно, не превышает 2 и, кроме того, ах-\ \- ап =
«= п — 2. Покажем, что функция w = f (г), конформно отсбра-

396 ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. ХИ
жающая верхнюю полуплоскость / (г) > О на внутренность много-
многоугольника, имеет вид
w
= С \ (t - fll)«i-' ...(/- aj'n-1 dt -f Cu E7)
где alt аг, ..., я„ — точки действительной оси, соответствующие
вершинам многоугольника, а С и С, — некоторые комплексные
числа (в частности, Сх должно, очевидно, представлять точку на кон-
контуре многоугольника, соответствующую 2 = 0). Формула E7) назы-
называется формулой Христоффеля—Шварца. Функция, отображаю-
отображающая полуплоскость на прямоугольник, изученная в п. 1, является
частным случаем E7): именно, ее можно представить в виде
= т J (< + т)"*"' « + О- << -
Здесь ах = а2 = а3 = а4 = 1/2, аг = —1//г, а, = —1, а3 = 1,
о4 = 1//г, С = 1/fe и Ci = 0.
Чтобы освоиться с общей формулой E7), предположим сначала,
что аь аа, ..., ап — заданные a priori действительные числа, рас-
расположенные, например, в порядке возрастания: ах < аг <...< ап.
Пусть аь а2 ап — также a priori заданные действительные
положительные числа, не большие 2, сумма которых равна п — 2;
a, -f- а2 + • • • + а„ = п — 2. E8)
Условимся под (г — а/,H1'1 понимать в верхней полуплоско-
полуплоскости ту ветвь соответствующей многозначной функции, которая на
действительной оси при z — х > ак принимает действительные
положительные значения. Тогда формула
-a^-1 . . . (/ - anfn-Ut E7')
определит в замкнутой верхней полуплоскости однозначную не-
непрерывную функцию, аналитическую при / (г) > 0. В этих утвер-
утверждениях нуждается в проверке только непрерывность функции
E7') в точке г = оо. Но подынтегральная функция может быть за-
записана в виде

§ 8] ОТОБРАЖЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА И МНОГОУГОЛЬНИКА 397
откуда следует, что интеграл
J
о
сходится. При этом его значение не зависит от пути ннтегрирова- •
ния, целиком принадлежащего верхней полуплоскости и соеди-
соединяющего точки 0 и оо. В этом убеждаемся путем предельного пере-
перехода, опираясь на интегральную теорему Коши. Отсюда и выте-
вытекает непрерывность функции E7') в точке г = оо. Заставим теперь
точку 2 описывать всю действительную ось в положительном на-
направлении. Тогда соответствующая точка ? опишет непрерывную
замкнутую линию, которая вообще может самопересекаться и
иметь кратные точки (рис. 151,6)). Покажем, что отдельные звенья
этой линии, соответствующие отрезкам действительной оси ah_xah,
представляют прямолинейные отрезки, описываемые каждый в од-
одном и том же направлении (без попятных движении точки ?,). Для
этого достаточно установить, что аргумент производной
^- = B-^-'... (г-а,/*
не изменяется, когда z описывает отрезок ah_ia,,, причем произ-
производная не обращается в нуль во внутренних точках отрезка. Но
все это непосредственно очевидно.
Таким образом, кривая, описываемая точкой 'С, есть л-звенная
ломаная с вершинами
Ак = J (/ -
dt {k =
Убедимся, что угол в вершине А,, между звеньями AhA,,^ и
AhAh+ равен а,м. В самом деле, векторы Ak_iAb и A!tAh+l вы-
выражаются комплексными числами
[ (t - afi-1 ...(/- anfn-1 dt
(t - a,p-1 ...(/- anP'] dl,
аргументы которых совпадают соответственно с аргументами
подынтегральных выражений (остающихся постоянными на от-
отрезках интегрирования). Но в первом случае аргумент подынтег-
подынтегрального выражения характеризуется числом (ah — 1) л Н Ь
+ (ап — 1) л, во втором случае — числом (ah+1 — 1) я Н Н
4- (ап — 1) п. Поэтому угол между векторами ЛЛ_Х и AhAM

398 ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. XII
есть — (<хк — 1) л = л — лал, т. е. угол между АкАк_^ и АкАм
есть пак.
Итак, посредством функции E7') действительная ось отобра-
отображается на замкнутую л-звенную ломаную с углами о^л, ..., апп.
Длины звеньев этой ломаной зависят от выбора точек av ап.
При произвольном выборе этих точек ломаная, как мы уже указы-
указывали, может самопересекаться и поэтому не является границей
области — многоугольника (рис. 151, б). Однако, если самопере-
самопересечений нет, то функция E7'), аналитическая в верхней полупло-
полуплоскости и устанавливающая взаимно однозначное и непрерывное
соответствие между точками действительной оси и точками кон-
контура многоугольника, должна давать конформное отображение
полуплоскости на внутренность многоугольника. Переход от фор-
формулы E7') к более общей формуле E7) равносилен линейному пре-
преобразованию
w = Ct, + Сх. E9)
Пользуясь им, мы можем прийти к любому многоугольнику,
подобному многоугольнику, полученному с помощью формулы
E7') и притом произвольно расположенному в плоскости w. Таким
образом, весь вопрос обоснования формулы Христоффеля—Шварца
сводится к вопросу о том, можно ли при любых ах а„, 0 <
< а,, < 2, ах 4— • + «,! = п — 2 так подобрать действительные
числа аи ..., й„в формуле E7'), чтобы посредством этой формулы
действительная ось переходила бы в многоугольный контур,
подобный любому a priori заданному контуру (с внутренними
углами о^л, ..., а„л). Так как длина стороны АкАм изобра-
изображается числом
"Л+1
j С — '
то все сводится к вопросу о возможности решения системы и — 1
уравнений:
К : К : - : К = к • h • - : L, F0)
где 1Ь ..., /„ — стороны заданного многоугольника (неизвест-
(неизвестными служат аь я.2. ..., ап). Оставляя в стороне фактическое ре-
решение такой системы, мы ограничимся лишь доказательством воз-
возможности решения, причем пойдем другим путем, опирающимся
на теорему существования Римана. Именно, по этой теореме су-
существует функция w = / (г), конформно отображающая верхнюю
полуплоскость на заданный многоугольник Р. При этом по § 7
она устанавливает взаимно однозначное соответствие между точ-
точками действительной оси и точками контура многоугольника,
В частности, мы имеем право говорить о точках аъ ..., ап дейст-
вительной оси, соответствующих вершинам многоугольника (ah

<S fl] ОТОБРАЖЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА И МНОГОУГОЛЬНИКА 399
соответствует вершине с внутренним углом ahn). Остается пока-
показать, что С и С, в формуле E7) (при этих значениях аи ..., ап
и аъ ..., ап) могут быть выбраны так, чтобы формула E7) пред-
представила бы функцию w = / (г).
Рассмотрим функцию
г
о
которая переводит верхнюю z-полуплоскость на некоторый много-
многоугольник Р' плоскости ?, причем точке at соответствует вершина
угла а,я этого многоугольника. Тем самым устанавливается ото-
отображение многоугольника Р на многоугольник Р', считая за соот-
соответствующие точки многоугольников Р и Р' те, которые являются
образами одной и той же точки г-полу плоскости. Аналитически
это соответствие дается функцией w — F (?,), которая получгется
путем исключения г из равенств w = f (г) и ? = \|з (г). Мы покажем,
что F (?) = С1 + С,.
Для доказательства исследуем функцию w -- F (?) вблизи
вершин многоугольника Я'. Обозначим через ?л и ш;, = F (?*)
соответствующие вершины многоугольников Р' и jd и введем вме-
вместо ? и w вспомогательные переменные ins при помощи соотно-
соотношений
?-?д = А, ro-a.ft = s^. F1)
Очевидно, при помощи этих операций окрестности вершин ?,,
и wh, принадлежащие многоугольникам Р' и Р, отображаются на
области Q' и Q плоскостей / и s, границы которых содержат прямо-
прямолинейные отрезки, проходящие через начало координат. Отобра-
Отображение w = F (?) и формулы F1) определяют преобразование
области Q' в область Q:
s = (w- wkfak = [F (S) _ /7 (Sft)|i/«ft = [F (tk + /-ft) _ F (t}t)fr%
Правую часть последнего равенства обозначим через g ((), т. е.
положим s = g (t):
g(t)= [F(th + Pk)= F (?ft) ]¦/«*.
В силу принципа симметрии отображение области Q' на область Q,
устанавливаемое с помощью функции s = g (t), может быть рас-
распространено на полные окрестности нулевых точек плоскостей г и s,
а следовательно, g (t) = aj + a2i2 -(-¦••, где ах =/= 0, так как соот-
соответствие между t и s взаимно однозначное.
С помощью функции g (t) соответствие между ?иш может быть
записано так:
где t = (L - 1,

400 ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. Х1[
и dw
Теперь легко исследовать поведение произзоднои —j,— в окре-
окрестности вершины t,i, ¦ В самом деле:
dw dw dt /ivi°'"/(~l ' n\ ' /-- y \*Г~~'
-d7 = -dT-lE = a"^iin S(t)—(*-th)k ,
или
Последнее равенство нам показывает, что —-р—, рассматриваемая
как функция /, непрерывна в точке / —- 0 и, следовательно, и
остается непрерывной, когда точка ?, подходит к вершине t,h, оста-
оставаясь внутри многоугольника Р'. Таким обргзом, функция
dt '
аналитическая внутри многоугольника Р' и на его сторонах
(в силу принципа симметрии), будет непрерывной во всей замкну-
замкнутой области Я'. Кроме того, нигде не обращается в нуль.
dw
dw
dw
. Рассмотрим функцию ц>A) = In-тр = In
литическую в области Р', непрерывную в Р'. Коэффициент при мни-
мнимой части этой функции сохраняет постоянное значение на контуре
многоугольника Р', так как в точках сторон многоугольника Р'
arg -?г означает угол поворота соответствующей стороны при
отображении на Р (эти углы для всех сторон одинаковы вследствие
попарного равенства углов многоугольников Р' и Р).
Итак, гармоническая функция arg-^-, будучи постоянной
на контуре, есть постоянное (ср. гл. V, § 2, п. 5). Сопряженная ей
функция In -р- , как это следует из условий Коши—Римана,
CtL,
будет также постоянной, а потому <р (С) = const, откуда вытекает,
что
-^- = С, или w = CZ,-\-Cu
что и требовалось доказать.
4. Треугольник. Задача отображения решается непосредственно
в наиболее простом случае, именно, когда мы имеем треугольник.
Итак, допустим, что нам дан треугольник с углами, равными
atn, а2п, а3п. Ясно, что ах + а.2 + а3 = 1- Допустим, далее, что
мы хотим этот треугольник отобразить на верхнюю полуплоскость.
Возьмем формулу E7); в рассматриваемом случае она примет вид
2
I = C\(t- flj)".-1 (/ - а2)«.-1 (/ - из)'» -' dt + С., F2)

S 81 ОТОБРАЖЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА И МНОГОУГОЛЬНИКА 401
где аи a-it c;, — действительные числа. Займемся упрощением фор-
формулы F2); для этого дадим at такие значения: аг—0, а2-= 1,
а3 = оо.
Для того чтобы ая перевести в бесконечность, надо, как легко
видеть, в подынтегральную функцию ввести новое переменное и
следующим образом:
t = _i/T + а3.
Формула F2) примет вид
1 х
—+ аа-яа) ( ^) ir + Ca. F2')
Выиося под знаком интеграла 1/т за скобки и замечая, чю
aL — 1 + a.2 — 1 + a3 — 1 = —2,
будем иметь:
2
? = Г J (т - /?!)"•;-1 (т - b2)^ -1 dr -f С,. F2")
in
Возьмем линейную подстановку: т = ат' + Ь, где а и b подби-
подбираем так, что когда т = Ьь то т' =0, и когда т = Ьъ то т' = 1.
Интеграл формулы F2") напишется так:
2
? = d J т«' -1 A - xf* -1 dx -U С,.. F3)
to
Вот к какой канонической форме мы привели интеграл F2).
Здесь без доказательства видно, что функция F3) будет давать
отображение верхней полуплоскости z на любой заранее данный
треугольник. В самом деле, функция F3), в которой мы положили
С1 = 1, Сг = 0, при надлежащих значениях ол и я., дает отобра-
отображение верхней полуплоскости на треугольник, подобный данному.
Поэтому, чтобы получить отображение верхней полуплоскости
на наш треугольник, остается преобразовать треугольник, полу-
получаемый с помощью функции F3), в наш. Этого легко добиться пере-
перенесением вершины получаемого треугольника в одну из вершин
данного треугольника вращением п, наконец, подобным измене-
изменением, что сводится к надлежащему рыйору множителя С1 и адди-
аддитивной постоянной С- в формуле F3).
Функция I (z), определяемая формулой F3) (при Ci = 1 и
С- = 0), дает взаимно однозначное н конформное отображение
верхней полуплоскости г via внутренность треугольника, лежащего
в плоскости ?. Она определена, пока z лежит в верхней полупло-
полуплоскости .
14 И. И. Привалов

402
ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ГГЛ.
Прямолинейный отрезок I плоскости ? (рис. 152, а)) переходит
в прямолинейный же отрезок I действительной оси плоскости г
(рис. 152, б)). Следовательно, можно применить принцип симме-
симметрии. Применим его, отображая наш треугольник относительно,
например, стороны II, получим некоторый четырехугольник
(рис. 153, б)). Таким образом, разрезанная указанным на рис. 153,а)
способом плоскость z отобразится на полученный выше четырех-
четырехугольник, находящийся в плоско-
а) I \ ста ? (рис. 153, б)).
Принцип симметрии Шварца
111 \Ш мы м°жем лрименять дальше»
Ш
1
II
Рис. 152.
причем отображение каждого треугольника, очевидно, можно
производить относительно любой из его сторон. В результате вся
плоскость Z покроется сетью треугольников, вообще говоря,
перекрывающихся. Для того чтобы получить взаимно однознач-
однозначное соответствие плоскости ? с переменным z, надо вместо плос-
плоскости z взять бесконечнолистную рнманову поверхность; при этом,
конечно, указанное взаимно однозначное соответствие будет воз-
можно в том случае и только в том, если треугольники на плос-
плоскости Z, не перекрываются.
Рис. 153.
Каковы же будут необходимые и достаточные условия для того,
чтобы треугольники не перекрывались?
На рис. 154 ясно, что для этого, например, необходимо, чтобы
2^-^ равнялось целому числу. Точно так же должно быть и для
других углов.
Дальше ясно, что это и достаточно. Итак, искомые условия
можно записать следующим образом:
1A*i = rlt 1/аа = гг, 1/а3 = г3,
где rit г2) г3 — целые числа.

в 8]
ОТОБРАЖЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА И МНОГОУГОЛЬНИКА
403
Итак, только в этом случае функция ? = ? (г) обратима в одно-
рначную функцию z = г (?), которая и будет давать взаимно одно-
однозначное отображение плоскости ? на риманову поверхность. Но
мы видели, что ах + а2 + az — 1- Следовательно,
1
F4)
Решив это уравнение, мы найдем все возможный значения для
h, гъ г-л- Можно считать, что
гх <
.> < г3.
Очевидно, что гх в таком случае
не может быть больше 3. Далее,
легко видеть, что все возможные
случаи запишутся в следующей
таблице:
г, |,3 2 2 2 1
г, | 3 4 2 3 оо F5)
г., j 3 4 оо 6 оо
Какие же будут треугольники при таких значениях г? Возьмем
пятый столбец табл. F5). В этом случае треугольник имеет углы
л, 0, 0. Это будет полоса. Формула F3) запишется так (для крат-
краткости полагаем С\ = 1, С2 = 0):
Рис. 15-i.
__ f
1 - 2
Получилась уже знакомая нам функция.
Возьмем третий столбец табл. F5). В этом случае треугольник
будет иметь углы -к-, ~^- и 0, т. е. мы будем иметь полуполосу.
Формула F3) для данного случая примет вид
= J
ch
-г)
= arc sin Bг — 1),
или 2,г — 1 = sin ?. Получим опять элементарную функцию, даю-
дающую отображение полуполосы на верхнюю полуплоскость.
Остается рассмотреть три остальных случая, даваемых табл.
F5). Легко видеть, что это будут:
1-й случай — равносторонний треугольник.
Нетрудно видеть, что формула F3) в данном случае примет вид
J
та а _
14*

404
ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. XII
2-й случай — равнобедренный прямоуголь-
прямоугольный треугольник. Здесь формула E3) напишется так»
0 г
3-й и последний случай — прямоугольный тре-
треугольник с углами в 30 и 60°. Формула F3) нам даст!
dx
Итак, мы исчерпали все возможные случаи. Как в трех послед-
последних случаях, так и в предыдущих двух элементарных функция
2 = z (t) будет определена во всей плоскости переменного ? и при-
притом будет однозначной функцией.
Читателю рекомендуется, поступая аналогично п. 2, доказать
двоякую периодичность функции г (?) в каждом из трех последних
случаев, а также обнаружить принадлежность их к классу меро-
морфных функций.
5. Отображение внешней области многоугольника на верхнюю
полуплоскость. В п. 3 была разобрана задача о взаимно одно-
однозначном и конформном отображении внутренности произвольного
многоугольника на верхнюю полу-
полуплоскость (рис. 155).
Теперь мы рассмотрим задачу
о взаимно однозначном и конформ-
конформном отображении внешней области
(содержащей бесконечно удаленную
точку).
Здесь для суммы углов о^п, ...
апк внешней области будем иметь,
очевидно, агп + • ¦ • -|-апя = (п + 2) л,
т. е,
Рис. 155.
«1 Н Ь «п = п 4-
Числа ос1( ..., аа по-прежнему положительны ;i не превосходят 2.
Сохраняя обозначения п. 3 и обозначая, кроме того, через р (/ (|3) >
> 0) точку верхней полуплоскости, соответствующую бесконечно
удаленной точке, имеем для функции w = / (г), конформно ото-
отображающей верхнюю полуплоскость на нашу область, формулу
w = С f ('~
J
l
(I - anfn
_ pja (t -
F6)
Исследование этой формулы можно провести по плану п. 3, Мы
предоставляем это читателю.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XII
405
Упражнения к главе XII
1. Исследовать отображение верхней полуплоскости па реуголышк, рыпол-
няемое с помощью функции
, = ! (г _ af—1 (г — bf~l (г
в случае вырождения у= 1.
Отв. Угол величины ал.
2. То же, если у = 1, а = 0, р = 0.
Отв. Полоса ширины -? .
о — а
3. Пользуясь задачей 2, отобразить полосу ширины -г
Ь — а '
ную между двумя параллелями действительной оси, на единичный круг.
Отв. w = arctg t + const.
4. Отобразить многоугольник на единичный круг.
Указание. Воспользоваться формулой E7), положив т = :
заключен-
Отв. l,= С I (т — О,H1'
где
5. Отобразить внешнюю область многоугольника на единичным круг.
t Ч
t —
Указание. Воспользоваться формулой F6), положив т = — '-
t —р
Отв. 'С = С
. . . (т - б/'»"'^Г +С2, где | 0г | = 1 и
6. Отобразить на единичный круг выпуклый правильный многоугольник.
2
Указание, В формуле задачи 4 нужно положить вес at равными I •
и 6; корнями n-i'i степени из единицы. Затем пока-
показать, что различным дугам окружности G;9j+1 соот-
соответствуют равные стороны многоугольника.
Отв. s =
"" J <\-tn)-'n
если центру круга
соответствует центр многоугольника.
7. Отобразить на единичный круг звездооб-
звездообразный десятиугольник, изображенный на рис. 156.
Отв. ^ =
если
центру
" Рис. 156.
круга соответствует центр десятиугольника.
8, Отобразить па верхнюю полуплоскость эллипс с купюрами, идущими из
каждого фокуса к ближайшей вершине.
У Казани е. Отправляясь от г = sin и, отобразить данную область на
прямоугольник и затем воспользоваться § 8, п. 1.

406 ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ (ГЛ. XII
9, Отобразить на верхнюю полуплоскость внутренность эллипса, пользуясь
задачей 8.
10. Отобразить на верхнюю полуплоскость и на единичный круг параболу
9
р = -р— q купюрой, идущей из фокуса к вершине.
ail
Отв. u = sin —- \fz, w = —
sin
sin-^-
-j- У г -\-
11. Отобразить на верхнюю полуплоскость внутренность параболы р ¦
пользуясь задачей 10.
1 + cos со
Отв. w = i cos— V2.
12. Отобразить на единичный круг область, внешнюю к квадрату.
Указание. Воспользоваться задачей 5, приняв В; равными корням чет»
вертой степени из единицы.
Отв. I = i

ГЛАВА XIII
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть ш = / (г) — функция, которая выполняет взаимно однозначное и кон-
конформное отображение круга |г1< 1 на односвязную область D плоскость ш.
В этой главе мы будем предполагать, что область D не. содержит бесконечно уда-
удаленной точки, т. е. что бесконечно удаленная точка не является внутренней"точ-
внутренней"точкой области D. Иными словами, мы будем предполагать функцию [ (г) голоморф-
голоморфной а единичном круге |г|< I.
Возможно, не уменьшая общности, считать / @) = 0, потому что в противном
случае мы рассматривали бы / (г) — / @), что геометрически сводится к сдвигу
области D. Так как точка г = 0 будет внутренней для круга | г \ <. 1, то соответ-
соответствующая точка w = О будет внутренней для области D, Нашу функцию w = / (г)
можно, очевидно, представить в виде ряда
w = OjZ + а2г2 Н ,
и это разложение будет справедливо во всем круге |г|< !, потому что в этом
круге функция w голоморфна. Так как соответствие между г и w есть взаимно
однозначное, то —;— не равна нулю в круге | г \ < 1. В частности, полагая г = 0,
мы видим, что коэффициент ai = f @) не равен нулю. Таким образом, при изуче-
изучения можно ограничиться рассмотрением функции.
ш а.,
— = г -1 i- г- + ¦ ¦ ¦
Результаты, которые мы при этом получим, могут быть обобщены, если рассма-
рассматривать а,/ (г) вместо f (г), т. е. если подвергнуть область D вращению и подоб-
подобному изменению.
Итак, мы будем изучать функцию
w= f (г)= г+а.2г2-\ , (I)
голоморфную в круге I г | < 1, однолистную в этом круге, ранную нулю при г = 0
и имеющую в своем разложении коэффициент при г, равный единице.
Ради краткости функцию, удовлетворяющую условиям / @) = 0, /' @) = I,
будем называть нормированной. Замечательным является то обстоятельство, что
возможно найти общие границы, между которыми заключен модуль любой нор-
нормированной функции. Возможно также найти границы для | /' (г) | и | arg f (г)|.
Мы получим эти результаты после того, как определим верхние границы для мо-
модулей коэффициентов.
§ 1. Проблема коэффициентов
Чтобы получить верхние границы моделей коэффициентов разложения функ-
функции, голоморфной в круге \г\ < 1, однолистной в этом круге и нормированной,
нам необходимо установить два вспомогательных предложения, известных иод
названием внутренней и внешней теорем площадей.

408 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ 1РЛ. ХШ
1. Внутренняя теорема площадей. Пусть
ш= /(г)= г+а222+а323+... B)
— функция, голоморфная в круге |г|< 1. Рассмотрим круг | г | ^ г (г < 1) и
область Dr, которая получается в результате отображения этого круга с по-
помощью функции ш= f (г). Вообще говоря, если данная функция не является од-
однолистной, область Dr будет многолистной. Наша задача состоит в том, чтобы
определить величину площади этой области DT. Эта последняя выражается ин-
интегралом
г 2л
J J I /' (?) I2 P dp d<p,
о о
в, таким образом, вопрос сводится к вычислению этого интеграла.
Заметив, что | /' (?) |2 = /' (?) ТЩ), получаем:
г 2л
J j
г 2я
j J
о о
= J 2лрA + 41«2 |V + 9k IV + ••• +«2|а»12Р2"-2+ -)dP.
и
Выполняя оставшуюся квадратуру, получаем для площади области ?>,., следую-
следующее значение:
я (г2 +2\а, |2 г1 + 3 | а3 \2 rG + . •. + /i | 0I |'; г'2п +...). C)
По определению за площадь области D, получаемой в отображении круга
|г^| < 1 с помощью функции w = / (г), мы примем предел, к которому стремится
площадь области Dr, когда г стремится к единице. Так как при иоьрастании г
площадь области D,-, выраженная формулой C), возрастает, то возможны лишь
два случая:
1) площадь области D,-, т. е. выражение C), при г ->¦ 1 стремится к опреде-
определенному конечному пределу, который и будет величиной площади области D;
2) площадь области Dr, т. е. выражение C), при г -*¦ 1 неограниченно возрас-
возрастает; в этом случае площадь области D бесконечна.
дится. В самом деле, сумма ряда J] п I ап Р /'2" ограничена при 0<г< 1,
потому что она согласно условию, возрастая, стремится к конечному пределу.
ос
Предполагая, с другой стороны, ряд J] я|я„|а расходящимся, мы придем к
противоречию с условием ограниченности ряда ^ п \ ап \ г'1п.
/1=2

¦J 1J ПРОБЛЕМА КОЭФФИЦИЕНТОВ 409
Действительно, разность между суммами п — 1 первых членов в обоих ря-
рядах равна
6„ = 2 | а2|2 A -/)+... + п | ап |2 A - г2").
Полагая 1 — г = ¦ 4 , покажем, что 6?1 ограничено, каково бы ни было п.
Для этого заметим, что
l-r" = (l-r)(l+r+rl+...+ г") < р A - г),
откуда найдем:
бп < A — г) [2 ¦ 4 | а212 + • ¦ • + п ¦ 2п | оп |2]
и, внося 1 — г = 4, получим:
0п < —^ г ••¦ ~) ^— < —22 Н ¦ • • "Г —^г г •
Следовательно, б;1 заведомо меньше суммы последнего ряда, который сходится,
потому что |ап | ограничены в своей совокупности вследствие ограниченности
выражения C) при 0 <С г < 1.
Итак, если бы 2 | а312 -\ Ь п \ап\2 неограниченно возрастало вместе с и,
то же самое было бы и для выражения 2 | а212 г'1 -|- • • •+ я 1 оп |2 /•*", где г = 1 —
;t-j-, а значит, и подавно сумма ряда
2 | й212 г4 + . ¦ • + /I | о„ |2 г2" + • • •
неограниченно возрастала бы, когда г = 1 — ^—j стремится к единице, что
противоречит условию.
Итак, в рассматриваемом нами случае 1), когда область D имеет конечную
со
площадь, ряд ^\ и | ап |2 сходится. Поэтому мы имеем (гл. 11, § 3, п. 7)
п-—2
Переходя к пределу при г-*¦ \ в выражении C), представляющем площадь об-
области DT, мы, следовательно, для площади области D получим значение
(XI
я + я ^ и | о„ р. E)
/1=2
Что касается случая 2), когда область D имеет бесконечную площадь, то и
вдесь формула E) для площади области D остается в силе, так как в этом случае
входящий в нее бесконечный ряд ^ п \ ап ]2 расходится. Действительно, при
Я—2
оо
сходимости ряда ^\ п\ап |2 выполнялось бы соотношение D) и, значит, выра-
»;ение C) стремилось бы к конечному пределу, когда г-*¦ \\ этот предел в силу
определения равен величине площади областиD, что находится в противоречии с
гипотезой бесконечной площади области D.

410 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ СРЛ. ХШ
Итак, мы полностью доказали следующее предложение, известное под име-
именем внутренней теоремы площадей.
Если ш = / (г) = г + агг1 + • • • есть нормированная функция, полиморфная
в круге \г\ < 1, то она выполняет конформное отображение круга \г\ < 1 на
область D (вообще говоря, многолистную) с площадью, определяемой форму-
формулой E).
В частности, отсюда вытекает, что среди всего семейства функций / (z), удо-
удовлетворяющих условиям теоремы площадей, минимальное по площади отображе-
отображение выполняет лишь функция w = г, т. е. минимум площади отображенной об-
области D достигается, когда D совпадает с первоначальной областью — единич-
единичным кругом.
2. Внешняя теорема площадей. Предложение, носящее название внешней
теоремы площадей, заключается в следующем: если
есть функция, однолистная в области | ? | > 1 и голоморфная всюду в этой обла-
области, на исключением бесконечно удаленной точки, где она имеет простой полюс, то
п=[
Это предложение называют теоремой площадей, потому что оно представляет
аналитическое выражение для следующего геометрического факта.
Однолистное отображение внешней части единичного круга |^| > 1, выпол-
выполняемое с помощью функции w = ф (?), оставляет непокрытым множество точек
плоскости w, площадь которого больше или равна нулю.
Из этого геометрического пояснения немедленно вытекает способ доказа-
доказательства.
Проще всего провести доказательство так: окружность |?| = г (г > 1) ото-
отображается в замкнутую правильную аналитическую кривую, уравнение которой
будет w = w (9) = ф (ге'ь), если положить ? = rei{).
Вычислим площадь А конечной области, ограниченной этой кривой, полагая
w= u + iv:
2л 2.1
2 2(
О
2я
¦\\-
\
2rn {
J
Производя вычисления и замечая, что в результате интегрирования пропадут
все члены, которые содержат е'ь в целой степени, отличной от нулевой, получим:

(S ]f| ПРОБЛЕМА КОЭФФИЦИЕНТОВ 411
Очевидно из геометрических соображений, что А > 0, т. е.
V я|°"|а<*. F)
on
Поступая, как в п. 1, мы убедимся, что ряд J] п \ ап |2 сходится, и переходом к
пределу при г -*¦ 1 из неравенства F) найдем:
3. Верхняя граница для модуля коэффициента при Z- в разложении одноли-
однолистной функции. Пусть w = / (г) = г + a2z2 -+- ¦ • • выполняет однолистное ото-
отображение круга |z|< 1. Тогда легко показать, что
/• B) = VTW) = 2 + 4" "*" + '"'
выполняет также однолистное отображение круга |г|< 1. Для этого докажем,
что если F (Zx) = F (z2), то необходимо Zx = z2.
В самом деле, из равенства F (?i) = f (г2) следует: [F '2!)]2= [F (z2) ]2 или
/ (г|) = / (zS). Так как / (г) — однолистная функция, то из последнего равенства
вытекает: z] = z\, т. е. либо z{ = г2, либо 2] = —z^. Последняя же гипотеза про-
противоречит условию F (zi) = F (г2), потому что вследствие нечетности функции
F (г) имели бы при этой гипотезе F (zj) = —F (z2). Таким образом, F (?) — дей-
действительно однолистная функция в круге \г\ < 1.
Возможно то же самое обнаружить и другим путем. Посредством функции
г2 круг | г | < ] переходит в двухлистный единичный круг с точкой разветвления
при 2=0, затем с помощью / (г2) этот последний отображается на область, та-
таким же образом разветвленную вокруг 2=0. Наконец, при переходе к [Л/ (<2)
это разветвление устраняется.
Очевидно, что функция Ф (l) = тгггтт однолистно отображает внешнюю
область единичного круга | ? | > 1 и имеет следующее разложение, справедливое
при | l | > 1:
Согласно внешней теореме площадей (п. 2) имеем: -у- | <з21 =?= ', откуда | а2 \ =S 2.
Итак, мы доказали предложение: если ш = г -\- а2г2 + • • • есть функция голоморф-
голоморфная и однолистная в круге | г \ < 1, то | о21 ^ 2.
Замечательным фактом является то обстоятельство, что эта граница не мо-
может быть улучшена. Действительно, она достигается функцией
• = г2 -f 2г2 + Зга ¦
так как последняя функция отображает однолистно круг |z|< 1 на область,
полная граница которой образована из сегмента действительной оси между — 1/4
и —оо.
Чтобы это показать, достаточно вместо / (г) = -j -j- рассмотреть функ-
цию (р (I) = = '*' = ? + 1/? — 2 и обнар>гжить, что она одно-

412 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ ХШ
лнстно отображает | I | > 1 на область, полная граница которой образована из
сегмента действительной оси между —4 и 0, что было уже показано в гл. XII,
§ 5, п. 3.
4. Константа Кебе. Рассмотрим снова в круге | г | <2 1 голоморфную к од-
однолистную функцию
w = / (г) = г + aaz- +. • •
Предположим, что / (г) ф с в круге |г| < 1. Тогда при ; ф 0 функция /j (г) =
¦= М~г — т -г ( сь -\ ) г2 -j- • • • в круге | г | < 1 однолистна и голо-
морфна. Вследствие п. 3, следовательно, имеем: | а7 + \l,r: | sg: 2, т.е. |с|^1/4,
так как j а21 =S 2. Отсюда следует: нет никакой гранич.чой точки области, яв-
являющейся отображением е диич а гочрц^а посредегыж да-=- / (?) катордя имела бы
расстояние аи начала координат меньше 1/4 .Другими стонами, граница всякой
области оюбражения единичного круга с помощью функции w = f (г) имеет рас-
расстояние от начала координат, по крайней мере равное 1/4.
Найденная граница 1/4 не может быть улучшена, потому что существуют
функции, для которых она доствгяется. Примером такой функции будет снова
-^—, граница области отображения которой, как мы видели в конце п. 3,
имеет расстояние от начала координат, в точности равное 1/4. Найденная граница
1/4 носит название константы Кебе.
5. Теорема искажения. Перейдем теперь к рассмотрению так называемой
теоремы искажения. Пусть снова
/ (г) = г + а,г' + •¦•
в круге | г | ¦< 1 голоморфна и однолистна. Образуем выражение/ ( .s .. 1 ,
которое, если его рассматривать как функцию ?, будет представлять функцию,
голоморфную и однолистную в единичном круге |1| < 1, потому что л именное
преобразование ¦ у_ переводит взаимно однозначно единичный круг сам в сеия.
Нормируя это выражение, рассмотрим функцию
Ш
8(U /' (г) A —гг. '
голоморфную и однолргтную в круге | ? | < 1, обладающую разложением в сте-
степенной ряд
По формуле Тейлора для коэффициента р\, получим:
/" (г) A — ?г)
Так как в силу п. 3 имеем/ | р\ |<: 2, то ту—-
на 1 — гг и умножив на (г|, получим:
г/" (г) 2|г|* I ,. 4|г
iz
¦< 4. Разделан
откуда следует:
Г (г) 1-|г|2 |^ 1 — 1 г р '
4 1 г | / г!" (г) \ 2 | г |» ^ 4|г|
/ г! (г) \ 2 | г
Ч Г (г) I 1-|

{ I j) ПРОБЛЕМА КОЭФФИЦИЕНТОВ 413
ИЛИ
—^ЧТШ^ • G)
Заметив, что
г/" (г) _ d In /' (г) = a In /' (г) ^_ d In /' (г)
/'(г) ~" rflnr dln|z| ' ' д\г\ '
из последнего неравенства G) найдем:
2\г\*-Цг\ д R] ,1()^ 2|2|»+ 4|г1
или по сокращении на |г | и замены R In /' (г) = In |/' (г) |:
Наконец, интегрируя неравенство (8) в пределах от нуля до | г |, найдем!
Таковы нижняя и верхняя границы, между которыми заключен |/'(г)|. Эти
границы наилучшие, так как они достигаются функцией -j ^- производная ко-
1 +2
торой равна _ .
Неравенства (9) выражают собой так называемую теорему искажения (Ver-
zerrungssatz). Она показывает, что, какова бы ни была голоморфная и однолист-
однолистная в круге | г \ < 1 функция / (г), нормированная в начале координат, изменение
масштаба в точке г при отображении с помощью этой функции заключено между
конечными числами, зависящими только от |г|.
Вместо неравенства (9) теорему искажения возможно представить в несколько
иной форме.
Так как /' | г | в круге | г | < г < 1 не имеет нулей, то минимум и максимум ее
модуля для | г | ^ г достигаются на окружности |г|= г. Следовательно, из пе-
равенстна (9) следует:
если
Наконец, если z^ и г2 — две точки круга | г | < т, то имеем:
откуда получим:
(г^)Л<|пй|<(гйL * A1)
6. Границы для модуля однолистной функции. Заметив, что |/(г)| =
J /' B) rfz ,
где интегрирование совершается вдоль радиуса точки г, получим;
i
о
hi
|/^)|s= j |/'(г)|й'|г|.
с

414 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. ХШ
Пользуясь второй частью неравенства (9), найдем:
|2|
Чтобы найти нижнюю границу, проведем через точку z окружность С с цен-
центром в точке 0 и пусть Г — кривая, в которую функция f (г) преобразует эту
окружность. Соединяя точку / (г) с точкой / @) = 0 отрезком прямой, отметим
ближайшую к началу координат точку пересечения отрезка с Г. Если г± — соот-
соответствующая точка С, то аффикс найденной точки будет f (zt). Обозначая через
t=t (s) уравнение кривой, соединяющей точки 0 и г±, которую функция / (г) пре-
преобразует в радиус-вектор точки / (zi), получим:
*i)| = Jl/' (t)\\dt\,
где интегрирование производится вдоль кривой t=t (s). В силу неравенства (9)
I /' (О I > ,. _, , ¦ ,.3 и, следовательно,
I / (г) I
A+|/1)* |И '* J
о о
Заметив, что 12i | = | г |, получим:
Объединяя оба неравенства A2) и A3), окончательным результат запишем так:
Установленные границы для | / (г) | наилучшие, потому что они достигаются функ-
Левая часть неравенства A4) содержит известный уке из п. 4 результат о
положении граничных точек, так как при ] г | -¦¦ 1 нижня я граница | f (г) | стре-
стремится к 1/4. Правая часть неравенства A4) ограничивает рост функции, голо-
голоморфной и однолистной в единичном круге.
При приближении к окружности модуль функции может становиться беско-
бесконечно большим только как вторая степень обратной величины расстояния от
окружности. Отсюда возможно заключить о справедливости следующего общего
предложения: пусть D — произвольная однолистная область, содержащая точку
г= О, и j (г) — голоморфная функция в области D, которая отображает одно-
однолистно область D. Пусть, далее, G — произвольное замкнутое множество точек,
принадлежащее области Di тогда существует число М, 'Зависящее только от D
и G, но не зависящее от f (г), такое, что всюду на G будет:
|/(г)|<|/@)| + |/'@)|Л1.
Для доказательства заметим, что
есть функция, Голоморфная и однолистная в D.

S 1] ПРОБЛЕМА КОЭФФИЦИЕНТОВ 415
Для достаточно малого круга с центром 2=0 возможно использовать нера-
неравенство A4), именно, если круг | г \ <С R принадлежит об/асти D, то в круге
|г|<в# @ < 6 < 1) имеем:
и, значит,
1/(гI<|/@I + |/'@)|A ^(|J. A5)
Теперь, поступая так же, как при аналитическом продолжении, покроем дан-
данное множество цепью из конечного числа кругов, отправляясь от круга с центром
г = 0. Во втором круге цепи, центр которого ?„ принадлежит первому кругу,
имеем:
/ (г) - / (г„) I ^ 0
/'(го) И A-6)*'
и, значит,
Так как
I/(го) К 1/@) |
/@)| _^
то получаем:
I / Й К | / @) | + | /' @) |
Сравнивая неравенства A5) и A6), мы видим, что одновременно в обоих кругах
цепи имеет место неравенство A6). Продолжая этот процесс далее, мы убеждаемся
в справедливости неравенства
I / (*) К I / @) | + | /' @) | М
па всей системе кругов цепи, т. е. и подавно на множестве точек G, причем число М
не зависит от вида функции / (г).
7. Теорема вращения. Из установленного в п. 5 неравенства
г/" (г) 2|г|2
/' (zT ~ 1 - | г |»
. 4|г|
1-И-'
где / (г) — нормированная голоморфная и однолистная функция в единичном
круге |г|<1, получаем:
4 I г | _ , / zf" (г) \ _ 4 М |
1-Й2-- V /'W
Заметив, как это было уже отмечено в п. 5, что
1 In /' (г)
Г (г)
мы найдем:
¦ = г
потому что
/ 1.1 /' (г) = arg /' (г).

416 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. ХШ
Таким образом, мы имеем:
4 д
¦arg/'
Производя интегрирование относительно |г|, получим теорему вращения
2)|<2 1ni^ijJ|'). A7)
Это предложение представляет собой естественное дополнение к теореме
искажения, так как оно регулирует изменение направлений при однолистном
отображении.
8. Общая граница для модулей коэффициентов в разложении однолистной
функции. Возвратимся снова к функции / (г), голоморфно» и однолистной в еди-
единичном круге | г | < 1, предполагая ее нормированной посредством условий
/@)= 0, /' @)= 1:
f(z)= г+а2г2 + ---+апгп+-->
При любом г (г < 1) имеем:
и, значит,
2я
|fl"'г"^4г JI' (ге''ч)'d<p = ш JI;
где положено г = р2. Далее имеем:
О (I
2я
о о
Полагая f (?) = )// (С2), g = ре1* = ^ ли, перепишем A8) н виде
теперь
F(S)= Н-«2 + --- (&•= 1).
Тогда A9) можно представить так:
1=1 if A=
1) Эта оценка не является наилучшей из возможных. Наилучшая оценка была
получена Г. М. Голузипым и И. Е. Базилевичем. См. Г о л у з и и Г. М. Гео-
Геометрическая теория функции комплексного переменного. — М.." Гостехиздат,
1952.

§ I) ПРОБЛЕМА КОЭФФИЦИЕНТОВ 417
Подынтегральная функция в последнем интеграле, очевидно, равна площади
области, получающейся в отображении круга | ? | «г р с помощью функции F (?),
деленной па лр (п. 1). Заметив же, что площадь этой области заведомо не превос-
превосходит площади круга радиуса, равного максимуму | F (?) | для круга | ? | < р,
получаем:
С
| пп |,-" < 2 \ ~п шах I Г (?) |2rfp. B0)
J Л,0 |?|=p
о
,,2
Так как F (с) = VI (С"! " ио тeope^;e и. 6 I / (?2) I < ^^—¦—-,—, то
A —(>-)-
После этого неравенства B0) запишется так:
или в силу равенства р = У г:
Так как г — любое число, меньшее единицы, то, полагая, в частности,
1
получим:
(л 1-Х
потому что при любом п (п ^ 2)
Полученное неравенство | ап | < еп показывает, что модуль каждого коэффи-
коэффициента в разложении однолистной функции имеет постоянную верхнюю границу,
не зависящую от вида функции, при условии ее нормирования в начале координат.
Еще не доказано, хотя имеются все основания предполагать, что \ап \ -^ п,
так что и здесь границы достигаются функцией jr—•—р-== / "г"- В этом
направлении, кроме результата п. 3, установлено, что \ап\ < п, если все коэф-
коэффициенты — действительные числа.
9. Общая граница для модулей действительных коэффициентов в разложении
однолистной функции. Результат, упомянутый в конце п. 8, может быть установ-
установлен при помощи следующей леммы: если f (г) = 1 + biz + Ьгг2 -\ (- bnzn -\— *
голоморфна в единичном круге \ г \ < 1 и удовлетворяет условию R f (г) :> 0, то
| 6„ | < 2 при литом п — 1,2, ... В самом деле, условие Rf (г) > 0 эквивалентно
неравенству | / (г) — 1 | < | / (г) + 1 |, из которого следует, что" функция

418 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ ГГЛ. XIII
голоморфна в единичном круге г|< 1 и удовлетворяет условию |gB)|<! 1.
Следовательно, имеем: | Ь±12 | = g' @) | < 1, т. е. | Ь\ | < 2. Обозначая теперь
через сод (k = 1,2, ..., л) все корни n-й степени из гдиницы, будем иметь:
р
/ п \
( — \ I (a>hzl/n) ] > 0, а значит, функция
\ *=1 /
удовлетворяет всем условиям леммы. В силу доказанного | bn | < 2, причем это
неравенство справедливо при любом п = 1, 2, ...
Пусть теперь / (г) = г -f- а2г2 + • • • голоморфна и однолистна в единичном
круге | 2 | < 1 и все коэффициенты ап — действительные числа.
Вследствие однолистности функции / (г) выражение
*i — Ч
п=1
при любых течках 2ц и 22 из единичного круга |г| < 1. Отсюда следует, в част-
частности, при 2i = ге1Ч>, г2 = re'i<f> (г <Z 1), что выражение F (г, ф) = 1 +
-)- > а^г —:—-1-, будучи действительным, отлично от нуля, т. е. сохраняет
знак при г< 1 и любых значениях ф. Следовательно, выражение
2 sin2 ф/7 (г, ф) = 1 + <V cos ф 4- (Лзг2 — 1) cos 2ф 4- («V2 — "г)' cos Зф 4-
+ • • • + (аУ- ап-2) '" cos (п — 1) ф Н
также сохраняет знак, а так как при г = 0 оно равно единице, то знак его будет
положительный. Заметив это, заключаем, что функция
F (г) = 1 4- агп 4- (<v2 - 1) г2 4- (<Va - oj лг3Н
голоморфна в единичном круге | г | ^ 1 и на окружности 1 г | = 1 удовлетворяет
условию RF (г) ^ 0. По принципу минимума гармонических функций неравен-
неравенство RF (г) > 0 должно иметь место также и внутри круга |2| < 1. Вследствие
леммы заключаем о справедливости неравенств
или, переходя к пределу при г-»- 1,
|а2|«2, |о3—1|<2, |а4 —Ог|<2, . . ., |ап. — a,i_.2|<2, . . .
Отсюда по индукции следует, что при любом п будет | ап \ ^ п.
§ 2. Границы выпуклости и звездообразности
1. Граница выпуклости. Обратимся к геометрическому истолкованию не-
неравенства G), установленного в § 1, п. 5 для однолистных, голоморфных в единич-
единичном круге нормированных функций:
2!

§ 23 ГРАНИЦЫ ВЫПУКЛОСТИ И ЗВЕЗДООБРАЗ ПОСТИ 419
Мы достигнем этой геометрической интерпретации, если рассмотрим отобра-
отображение окружности | г [ = г. Угол положительного направления касательной
к окружности | 2 | = г в точке г = re"' есть я/2 + ф. В отображенной точке / (г)
касательная к отображенной кривой имеет направление х = л',/2 + <р + arg /' (г).
dx dx I ds ,
Заметив, что кривизна линии есть —^ = —г- I -j-~, продифференцируем т отно-
относительно ф:
С другой стороны,
21" (г) _ dlaf (г) = I d\nf'(z)
/' (г) ~~ d In г i Зф
и, значит,
потому что In /' (г) = In |/' (г) | + i arg/' (г). Таким образом, имеем:
Знак —т— совпадает со знаком кривизны линии отображения, потому что —.— от-
отличается от кривизны лишь положительным множителем -у—. Следовательно, вы-
выражение 1 + R I ' j имеет знак, совпадающий со знаком кривизны линии
отображения.
С другой стороны, вследствие неравенства G) имеем:
» (г) \ 1 _ 4 | г | + | г |»
1 +¦
1 - I
Если теперь выражение, стоящее в левой части последнего неравенства, поло-
положительно для | z | = г, то это по предыдущему означает, что отображение окруж-
окружности |г| = г есть выпуклая кривая.
Простым вычислением мы убеждаемся, что для |г|<2—jA3=0,26...
выражение правой части нашего неравенства все время положительно, в то время
как при |г|> 2— \^3 — отрицательно. Поэтому при каждом однолистном ото-
отображении /(г) круга |z|<; 1 круг |г|<2— j/ отображается на выпуклую
область. Существует случай, когда именно круг | z | < 2—КЗ отображается
выпукло и никакой больший с ним концентрический уже не отображается вы-
выпукло. Это будет в случае функции т-, что легко можно проверить вычисле-
A Z)
нием. Найденное число 2 — j/ представляет, таким образом, наилучшую гра-
границу выпуклости для всего семейства однолистных в единичном круге и нормиро-
нормированных функций.
2. Граница звездообразности. В связи с результатом предыдущего пункта
представляется интересным ввести в рассмотрение вместо выпуклых областей так
называемые звездообразные области. Это будут однолистные области, которые со-
содержат точку г = 0 и пересекаются с каждой прямой, проходящей через точку
г = 0, только по единственному отрезку.
В силу п, 1 ясно, что должен существовать круг с центром г = 0, который
при каждом однолистном отображении переходит в звездообразную область. На-

420
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. ХШ
еовем границей звездообразное™ радиус г наибольшего из этих кругов. Можно
доказать, что r= th -j- = 0,65...!).
Если круг | z | < г переходит в звездообразную область, то на каждом луче,
выходящем из w = 0, должна лежать одна точка кривой отображения окружно-
окружности | z | = л Поэтому arg / (г) должен изменяться постоянно в одном и том же на-
направлении, когда точка г описывает окружность | г | = г. Аналитически это
выражается посредством условия
при
Итак, мы получаем такой критерий: круг | z | </• при помощи j (z) имеет
ввеадообразное отображение только в том случае, если
Г (г)
*Шг)>0'
или, что то же, если
arg
Заметим теперь, что
arg
/' B)
/(*)
Чт При
- -rg
есть угол, который образует с вектором //z вектор /' (г). Направление вектора
/' (г), т. е. arg /' (г), дает изменение направления линейного элемента в результате
отображения; направление же вектора //г, т. е. arg—-, дает изменение азимута
в результате отображения. Следовательно, формулированный выше, критерий
показывает, что различие между изменениями направления и азимута в круге
! г | < т остается меньше л/2, — факт, который ясен с геометрической точки
зрения.
§ 3. Свойства функций, дающих однолистные
конформные отображения единичного круга
на области специального вида
1. Звездообразные и выпуклые функции. Псе, что было установлено в § 1,
пп. 4, 5, 6 относительно произвольных однолистных функций, и подавно будет
справедливо для частного случая, когда функция семейства (S)
w = } (г) = г + aJ- Л V апг"
дает однолистное конформное отображение круга | г \ <. 1 на звездообразную об-
область. С другой стороны, установленные границы достигаются, как мы видели,
функцией -j rj, дающей отображение круга |z|< 1 на звездообразную область.
Поэтому эти границы будут наилучшими и для рассматриваемого теперь класса
функций.
') См. Г о л у з и п Г. М. Внутренние задачи теории однолистных функ-
функций. — Успехи математических наук, 19.39. вып. Vi, с. 1>6—89. См. также
книгу переменного Г о л у з и н Г. М. Геометрическая тегрия функций комп-
комплексного переменного. — М.: Гостехиздат, 1952.

§ 3! ОТОБРАЖЕНИЯ НА ОБЛАСТИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА 421
Полагая теперь / (г) = zF' (г) и замечая, что
г/' V) г Г (г)
¦ = 1 + -7--
I (г) т f (г) '
мы заключаем!
(^) (Я)
Так как положительный знак левой части характеризует знездообразность ото-
отображения с помощью функции / (г), а положительный знак первой части — вы-
выпуклость отображения с помощью функции F (г), то отсюда заключаем, что круг
\г\ < 1 посредством / (г) OTofwn-ae/'ся на звездообразную обметь тотько в том
случае, если этот круг посредством F (г) отображается на выпуклую область,
причем / (г) и F (г) связаны сош ношением
! (z) = zF' (г).
Отсюда найдем немедленно точные границы теоремы искажения для выпуклых
функций (К). Таким образом, н силу п. 6 получаем:
или
5 -sc | /¦'' (г) | ¦< j 5. B2)
Границы для модуля выпуклой функции получим аналогично п. 6 посредством
интегрирования неравенства B2):
т?|п-«"«'<-Г^Г
Найденные границы B2) и B3) являются наилучшими для выпуклых функций
F {г). Действительно, они достигаются функцией w = —. , которая дает выпу-
выпуклое отображение круга | z | < 1. Она отображает круг | г | < 1 на полуплоскость
Rav > —1/2. Из левой части неравенства B3) при | г \ -*¦ 1 найдем, что граница
выпуклого отображения круга | г | < 1 отстоит от начала координат на расстоянии,
по крайней мере равной 1/2, Последняя константа является точной, так как она
достигается функцией и>= — -,
2. Верхние границы модулей коэффициентов в разложениях выпуклой и
звелдсюбразной функций. Рассмотрим семейство (К) функций
ш= г-\- д2г2 + .",
дающих однолистное конформное отображение круга |г|< 1 на выпуклый об-
области, и докажем: какова бы ни была функция w (г) указанного семейства (К), имеем:
\ап\ <5 1 ' (п= 2, 3, ...).
Предположим сначала, что w (г) отображает круг | г | < 1 на выпуклую об-
область, ограниченную многоугольником, т. е.

422 ОБШИЕ СВОЙСТВА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. XIII
где 0 < aft < 1, 2] as=s —2(гл. VII, упр. 4), и покажем, что в этом случав
\ап | -< 1 (я = 2, 3, ...)• Заметив, что
и/"' СО)
оп= п1{) и м»'@)= 1,
предположим:
\w @)|<2!, |а/"@)| ==? 3! |ш<"-» @)| < (л-1)!
и докажем, что
|ш(п)@)|<п!
С этой целью, продифференцировав B4), имеем:
Взяв логарифмическую производную от последнего равенства, найдем:
w' (г) ^j г — z/,
или, полагая для сокращения
будем иметь:
а)" (г) — ш (г) ш' (г).
Продифференцировав обе части этого равенства п — 2 раз, пользуясь форму-
формулой Лейбница, получим:
ш(")B) = со1"-2> {2)w (г)+ (я — 2)(О("-З'B)аи"(г) +
+ (- (п — 2) оз'(г) да1"-2» (г) + ш (г) ю* (г). B5)
С другой стороны, очевидно, имеем:
Полагая здесь г = 0, получим:
Из равенства B5) при 2=0, пользуясь неравенствами A>6) и условиями
ш'@) = 1, \ш" @)|<2!, . . ., \w("-l) @)|=5 (л— 1I,
окончательно находим:
| ww @) | <с 2 (и - 2)! + 2 (п - 2) ! 2 I + 2 ¦<"~|2)' 3 ! + ¦¦•+ 2 (п - 1)! =
= 2 (и-2I [1 + 2 + ... +(Я-1)] = п\,
что и нужно.

$ 4J ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТИ НА КРУГ" : 423
Заметим теперь, что любую выпуклую область можно аппроксимировать
с помощью многоугольных областей и, следовательно, любую функцию / (г) се-
семейства (f\) можно рассматривать как предел функций впдг,
мы заключаем: так как по доказанному модуль коэффициента при г" в разложении
функции B7) не больше С и С вследствие нормирования должно стремиться к еди-
единице, то модуль коэффициента при г" в разложении выпуклой функции не больше
единицы.
Переходя от семейства (/\) выпуклых функций к семейству (S) звездообразных
функций с помощью соотношения
/ B) = гГ (г),
мы получим соответствующие границы для коэффициентов в разложении звездо-
звездообразной функции.
Действительно, если
/ (г) = г + а.,г- + • • • + апг" + •¦-,
F(z) =г-г Ь./+ ... -\-Ьпгп + ¦¦-,
тоап = п'ап, и так как ] Ьп | <J 1, то | ап | ^ п.
Найденные верхние границы для модулей коэффициентов в разложениях
выпуклой и звездообразной функций являются точными, потому что они дости-
достигаются соотвзтетвепно функциями
Метод, изложенный в этом пункте, может быть применен для получения точ-
точных границ модулей коэффициентов, а также теорем искажения в случае симме-
симметричных выпуклых функций. Предоставляя это сделать читателю, заметим, что
мажорантой для этого класса будет функция ш = arctg z, которая дает отображе-
отображение единичного круга на полосу ширины я/2, параллельную мнимой оси . Пре-
Преходя затем от выпуклых симметричных функций к звездообразным симметричным
функциям, установим точные границы и для этих последних. В этом случае мажо-
мажорантой будет функция w = 2, которая даст отображение единичного круга
на область, полная граница которой состоит из двух сегментов действительной
оси A/2, оа) и (— 1/2, —оо).
§ 4, Экстремальные свойства функции, отображающей
область на круг
1. Лемма. Задача этого пункта — доказать следующее Е.спомогательное для
дальнейшего предложение: если ср (г) есть функция, голоморфная в круге |г| < р,
то, полагая г — retti, имеем, каково бы ни было г @ < г < р);
2л
~ j | Ф («'е) \pdQ > | ср @) f (р > 0), B8),
о
причем равенство достигается только в случае ср (z) = const.

424 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. XIII
Сначала рассмотрим случай р = 2. Из разложения Тейлора, имеющего место
внутри круга |2 | < р:
апгп
получаем:
2я
Это выражение, очевидно, больше или равно | ot0 |а == |ф @) |2, причем равен-
равенство имеет место только, если ф (г) = сс0.
Если р — любое число, то рассмотрим функцию [ф (г) ]р12\ если ф (г) не имеет
нулей внутри круга, то arg (f будет однозначен, и различные ветви функции фр/2
будут однозначны. Выбирая одну из них, будем иметь функцию <рр/2, голоморфную
в круге | г | < р. Достаточно тогда приложить лемму к этой функции и показа-
показателю 2, чтобы распространить ее па рассматриваемый случай относительно ф (z).
Таким образом, лемма установлена при любом р, если ф не имеет нулей внутри
круга.
Переходим теперь к случаю, когда ф имеет нули внутри круга |г| <р. Мы
можем предполагать, что <р @) ф 0, потому что в этом случае справедливость
леммы очевидна. Рассмотрим круг радиуса т (г < р); если внутри него нет нулей
функции ф (г), то для этого радиуса г предложение будет установлено, если при-
приложить рассмотренный случай к кругу | г | < т. Если имеются нули внутри круга
|г | < /•, то их — конечное число; обозначим их через аь аъ ..., а,и отметив каж-
каждый столько раз, какова их кратность. Заметим, что еслиа|, а% ..., а'п — точки,
симметричные с aj, а2, ..., ап относительно окружности | г | = г, то функция
(г — ai) (г — а'>) ... (г — а»)
(г — aL) (г — а.,) ... ;г — ап)
принимает на зтой окружности значения, имеющие модуль, равный
г
l«i I I а2 I " " " I «/г I \ai_a, ... ah\~'
СледсЕ".|ельно, функции
I а,а„ . . . аа \ (г — а\) ... (г — а!,)
41 {Z> =
^ al} . . . (г -Г^Г
голоморфна н не равна нулю в круге | г | < г и принимает на окружности | г | = г
значения того же модуля, что и tp (г).
В силу леммы, установленной для epi (г),
С другой стороны,
ЯЮ2
Ы^)Ыч>(«'°)! » Iti@)|=
т. е.
Ф @) I.
|ф1@)|= '—;• й |ф(Ш|>]ф@)|.

§ 4) ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТИ НА КРУГ 425
Таким образом, будет:
2л
и предложение вполне установлено, потому что <р (г) (ср @) ф 0), имеющая нули
внутри круга |2|<г, не есть постоянное.
2. Первая экстремальная проблема. Рассмотрим все функции к (г), голо-
голоморфные в ограниченной односвязной области D, нормированные в точке г0, т. е.
удовлетворяющие условиям
Мг„)= О, А' (го)= 1. B9)
Для этого класса ставится следующая задача: показать, что интеграл
1 г, = I к (г) \р dx дм (р > 0)
У
имеет минимум для единственной функции X, и определить эту функцию.
Пусть w = / (г) выполняет при условиях B9) взаимно однозначное и кон-
конформное отображение области D на круг Д: | г | < р, a z = ф (до) есть обратная
функция, Так как
D(x, у)
D (и, v)
dz
dm
= IФ' («О |а,
IJ
А
Полагая Л (w) — ). [ф (w)'\ ч w= re1'', получим:
lp=\rdr\ |A(«'e)|"k'(«ie)|2de,
0 И
причем ф' не обрищается в нуль, и потому различные ветвм ф'2/1р однозначны.
Выберем ветвь, равную единице при w = 0; /. [q) (ш)] — функция голоморфная и
при ш = 0 имеет простой нуль. Следовательно, Л ( w) ф'2/1р (ш) голоморфна и при
ш = 0 имеет простой нуль. Положим
Л (w) ф'2/р (w)
Ф (ш) = ' w -— Ф @) # 0-,
тогда будем иметь:
( I Л («'°) |р | ф' (ле'и) |2 dQ = /р j | Ф (ге'е) |" d9,
откуда п силу леммы и. I, каково бы ни было г < р, получим:
Л (ге'н) |" | ф' (ге1й) |- d6 > 2лг" | Ф @) I*. C0)
Далее, чтобы вычислить Ф @), заметим, что

426 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЯ [ГЛ. XIII
откуда
Л (ш) = w + ¦ • •, ф/р (ш) — 1 + ¦ • •¦
и, значит, Ф (w) = 1 + ..., т. е. Ф @) = 1, Следовательно, из неравенства C0)
найдем:
2.1
и, наконец,
Итак,
2л
Если в последней формуле имеет место знак равенства, то это может быть
только в том случае, когда в формуле C0) имеется знак равенства при всяком г, что
на основании леммы возможно лишь при
Ф (w) — const = 1.
Это последнее условие означает, что /р достигает своей, нижней границы.
Условна Ф (ш) — 1 запишется так:
или
X (г) = I (г) (/' (г)}21",
принимая за [/' (z)\i/p однозначную ветвь функции, равную единице при г = ?„.
Таким образом, мы показали, что 1Р достигает своей нижней границы —" „ р
только для функции
1р(г)= !(г) [/' (г)]2/р.
Кроме того, заметим, что среднее значение [X (г)] порядка р на области D есть:
/Пр = (~Г") " (rf — площадь области D),
откуда
Г 22 V/P
причем nip -— р -—-^утт только для функции /,, (г). Когда р кеогранн-
L [Р + «J « J
ченно возрастает, то тр стремится к р, а /р (г) стремится к функции / (г).
3. Вторая экстремальная проблема. Рассмотрим все функции X (г), голо-
голоморфные в ограниченной односвязной области D, нормированные в точке г0, т. е.
удовлетворяющие условиям
А,(*о)= 0, V (?„)= 1; B9)
показать, что интеграл
^\' (p>0)
имеет минимум для единственной функции %, и определить эту функцию.

? 4] ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТИ НА КРУР 427
По-прежнему пусть w = / B) выполняет при условиях B9) взаимно однознач-
однозначное и конформное отображение области D на круг Д: | г \ < э, а г = ф (w) есть
обратная функция. Поступая аналогично п. 1, получим:
= I J | А,' [ф (mi)] \р | ф' (w)
rfu da
или, вводя полярные координаты w = re' и полагая
V [<p(ai)]= Л,(и|)= 1+".,
найдем:
р :?л
о о
Полагая
Ф, (w) = ^ (ш) ф'2/'р (пи), Ф, @) = 1,
будем иметь:
2 я 2 л
||л](Уе)|"|ф'(^е)|2^е = | К (««»)
о
откуда в силу леммы п. 1 получим:
2л
j |Aj (re'e) \" | ф' (reie) \2 dQ > 2я | ©i @) |" == 2я
о
и, наконец,
р
У р » 2л [ г dr = яр2.
Равенство имеет место только в случае, когда Ф] (w) = const = 1, т. е.
Л, {w) ф'2/р щ = 1 или I' (г) = [/' B)]2/р ([/' Bc)j2/p = I),
откуда
Такова единстр.енная функция, для которой Jp достигает с.зоей нижней грани-
границы яр2.
Среднее значение порядка р от |Х'| есть
причем /нр == (—т—) только для функции X' = [/' (г)]2/р. Когда р неогра-
неограниченно возрастает, то т'р стремится к единице и функция стремится к г — га.
Если р = 2, то Jp имеет простое геометрическое значение: J2 есть площадь
поверхности Римана, получающейся в отображении области D, Заметим, что при
р = 2 минимизирующая функция будет:
Л (г) = j /' (г) dz = / B).

428 ОБШИГ СВОЙСТВА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ ГГЛ. XIII
Итак, среди всех функций, голоморфных в ограниченной области D и нормиро-
ванных в точке г0, существует единственная функция, которая реализует мини-
минимум площади поверхности Римана, преобразованной из D; эта функция выпол-
выполняет взаимно однозначное конформное отображение области D на круг с центром
в начале координат.
Вместо того, чтобы искать минимум площади при условиях нормирования
функции, возможно по принципу взаимности наложить условие на преобразованную
площадь и искать максимум \к' (zo)\. Итак, рассмотрим все функции, |.i (z), голо-
голоморфные а области D, удовлетворяющие условиям [i (г0) ¦¦= 0, |л' (z0) ф О и преоб-
преобразующие область D в поверхность Рпмана данной площади А. Тогда функция
¦J-r-l—г преобразует область D в поверхность Римана площади, равной -,—— rr-J
Н (га) | [1 (?0) I
так как она нормирована в точке zu, то будем иметь согласно предыдущему;
I !-•' (ги) Г2 f '
где р — радиус, соответствующий точке г0 и области D. Следовательно,
I И' (го)
яр-1
Максимум | li' (г0) | достигается только, если , реализует взаимно однознач-
ное и конформное отображение области D на круг с центром в начале координат.
Если / (г) означает функцию, нормированную в точке ги, которая выполняет
это отображение, то условие, необходимое и достаточное для того, чтобы функция
ц (г) давала максимум | р/ (г0) |, следовательно, запишется так:
откуда
ц (г) = С/ (г).
По условию преобразованная площадь равна А и поэтому | Срлри == Л, откуда
Итак, искомая функция р, (г) будет вида
Функции этой формы осуществляют взаимно однознячг.се и конформное отобра-
отображение области D на круг с центром в начале координат и площади А. Отсюда ш
текает: среда функций \i (г), голоморфных в области D, (.1 (?0) = 0, |х' (г0) ^= 0,-
и преобразующих D в поверхность Римана площади А, те функции, которые реа-
реализуют максимум | [i/ (г0) |, выполняют взаимно однозначное конформное отобра-
отображение области D на круге центром в начале координат площади А.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абеля теорема вторая 67
, первая 58
Абсолютно сходящееся бесконечное про-
произведение 270
— сходящийся ряд 37
Адамара — Кошп формула 63
Алгебраическая точка разветвления 90
Алгебры основная теорема 227, 244
Аналитическая дуга 350
¦— — правильная 350
— функция в области, в точке 70
¦— — (возможные обобщения теоремы
единственности) 278
— ¦— (единственность) 201—202, 278
•— — полная в смысле Венерштрасса 286—
290
Аналитическое продолжение 286_
— — гармонической функции 352
— — (принцип Шварца) 35J
Ангармоническое отношение ИЗ
Аргумент комплексного числа 20
Арксинус 86
Аффикс точки 19
Безразличная двойная точка 121
Безусловно сходящийся ряд 37
Бесконечно удаленная точки 32
Бескокеч) юзпячная функция Ь7
Бесконечность (поведете функции в бес-
бесконечности) 223
Еескопошые произведения 205
Блоха предложение 256—2о8
Больцано — Бсперштрасса теорема 27
Бореля — Геш;е лемма 52—53
Ьу и довело г о «.ранен ui no 38<j
lierk'paiTpacc 28u—290
Венерштрасса теорема вторая 208
— — первая ISO
Вейерштрасса — Больцано теорема 27
Вейе,;штрасеа формула 271
— функция J'0.3
Вектор 19
Векторное поле 557
Ветнп мпогозпачищ фунj i^i ii 87
Взаимно однозначного соотлетствия
принцип 344
Взаимных радиусов-векторов преобразо-
преобразование 23, ПО
Внешняя теорема площадки 407, 410
— точна области 47
Внутренняя теорема площадей 407 — 408
— точка множества 46
Вращение, преобразование 108
Вращения теорема 416
Выпуклости граница 418
Выпуклые функции 4 20
Вычет функции 238
— — логарифмический 243
— — относительно бесконечно удаленной
точки 241
Вычитание комплексных чисел 18
(геометрическое истолкование) 20
— рядов 38
Гармоническая функция 7G. 352
— — (аналитическое продолжение) 352
— — (значение в центре) 186
Гейне — Бореля лемиа 52—53
Гельдера— Липшица условие 170
Геометрический смысл дифференциала 103
— — производной 9,7, 99
Геометрическое изображение ком плене -
ных чисел 19
Гидродинамика (приложения функций
комплексного переменного) 227
Гипербола (отображение) 371
— равносторонняя (отображение) 365
Гиперболические функции (синус и
косинус) 81
Гиперболическое преобразование 121
Гиперциклы 130
Главная (линейная) часть отображения
103
— часть ряда Лорана 2!4
Гладкая линия Жордана 143
Голоморфная функция в области, в точ-
точке 199, 20И
Горь циклы 130
Границ cool ветствие (при конформном
отображен!1.п) 383
Граница выпуклости 418
— (естественная) функции 288
— зкездообразпостп 419—420
— области <! 7
Гр.ышчпа я точка ооластп 47
Д;:лL-мОера — Эйлера условия 74
Дво.!"чил' AЮТОДВНЖИ-1Я) точк-1 120, 123,
¦iJG2
Дкоппо? отпо'ш'рле 13
Дионисе ряди 38
Дкоякоперпидпчеекпе функции 294
Дпу^скя.-цгап область 49
Денете, '.'ельн ;:и ось 1У
— часть комплексного чн:ла 17
Депстпптельного FiepeMeHHoro функция
(распространение на комплексную об-
область) 290
Дслс-шю. комплексных чисел 18
— (геош'трнчеО'Ое истолкование)
Дифференциал 7 2
— (геометрический смысл) 102—103
Дифференцирование степенннх рядов 77
¦— функций 69 — 70
Дифферепциру;?мость функций 70
Достшмшые точки 3U7
Дроби простейшие °JJ
Дуга аналитическая 350
— — правильная 350
Идпннчпып крут (отображение и себя) 336
— — (преобразование во внутреннюю
область) j55
Единственности теорема (аналитических
Функигн) 201—20?, 278
1 (обобщение) 36-1
Единственность конформного отображе -
пня 338

430
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Едипстиепость разложения Лорана 214
Естественная граница функции 288
Жидкости поток 22/
Жордапа линия 47
-— — гладкая, кусочно-гладкая
143
Замкнутая область 47, 53
Звездообразная область 419
Звеэдообразностн граница 419—420
Звездообразные функции 420
Иепсепа и Якоби формула 279
Изолированная особая точка 215, 220
Инвариант линейного преобразования
113
Инверсия (преобразование взаимных
радиусов-векторои) 23, 110
Ш'гегр^' Коти 166
— неопределенный (в комплексной обла-
области) ifO
— on редоленнын (приложения теории
вмчетоа) 246—243
~~ по комплексному переменному 143
¦— (интегральная формула) Пуассона 186
— тип.! К.ОШН 169, 180
— — —, предельные значения 174—185
Ht'Tcv рирое^ние равномерно сходяще-
сходящегося !>^7да 14G
Нска/r.t''.iiiiT теорема 413
Кебе константа 4 12
Комплексная числовая плоскость 19
сфера 32
Комплексного переменного плоскость 32
— — — расширенная 32
— — функция 45
Комплексное переменное 45
— число (модуль, аргумент) 20
(определение) 16
Комплексные числа 11, 16—44
Консерватизм углов 99
Константа Кебе 412
Конформное отображение 100
— — (единственность) 338
— — (общие принципы) 339
— — 1 и 11 рода 100—101
Косинус 78
— гиперболический 81
Коти интеграл 166
— критерий сходимости последователь-
последовательности. 29
— неравенства 207 — 208
— теог.еыа 148—154. 158
— — (обобщение) 164—166
— формула 166, 168
Коши — Адаиара формула 63
Каши — Римана условия 74
Кратная точка, кратность 26
Кратной нуль 207
— полюс 216
Критерии Коши (сходимости последова-
последовательности) 29
— сходимости бесконечного произведе-
произведения 267
Критические точки 89
<— — потока 232
Круг сходимости 61
Ландау теорема 260
Лапласа уравнение 76
Лежандра соотношение (тождество) 310
Ленка Гейне — Бореля 52—53
Линейная часть отображения 103
¦- — приращения 72
— функция 108
— — общая 110
-*- — целая 108
Линейное преобразование 108
— — (различны: типы) 120
Линия Жорданг 47
*— замкнутая 43
— непрерывная 47
— — гладкая 1 13
*- — кусочно-гладкая 143
'— уровня 229
Липшица — Гё'льдера условие 179
Лнупплля теорема 208
Лобачевского геометрия 127
Логарифм So
Логарифмическая функция 160
— — (конформное отображение) 138
Логарифмическь \\ вычет 243
Локсодромическое преобразование 121
Лорана разложение (в окрестности бес*
конечно удаленной точки) 222
213
конео
ряд 213
Максимального модуля принцип 203—•
204
Мероморфная функция 22S
— — (изображение в виде отношения двух
целых функций) 276—277
Мнттаг-Леффлера задача 277
Многоз1,'ачные ф.ункш'н 45, 291
— — (ветки) 87
Многосвязная область 4S
Многоугольник (отображение) 395
Множество связное 290
Множитель двойкой точки 124
Модуль комплексного числа 20
— сложения 17
— умножения 17
Морера теорема 173
M>iB7i форму:,а 22
Наибольший предел последовательно-
последовательности 62
Невихрэвой попок жидкости 223
Недостижимые точки 387
Неевклидов радиус 129
— угол параллелизма 133
— центр 129
Неевклидова длина кривой 129
окружности 132—133
— окружность 129
— площадь 13С
— — круга 134
треугольника 134
Неевклидово расстояние 127
Неограниченная область 49
— последовательность 27
Неопределенный интеграл в комплексной
области 157
Неподвижные (двойные! точки пре-
преобразования 120, 123
Непрерывная линия 47
— функция в области 50
точке 50
Непрерывность равномерная 52
— функции вдоль кривой 5'2
в замкнутой области 5:2
Неравенства Коши 207—208
Неравенство Бунякоаского 339
— Шоттки 261
— —. обобщенное 263
Нормальная форма линейного преобразо-
преобразования 120
Нормированная функция 407

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
431
Нуль кратный 207
<— простой 207
— функции 206
Нуль-множество 179
Нуля порядок 207
Области сохранения принцип 343
Область 47
— двухсвязная, трехсвяэная 4S
— замкнутая 49
<— звездообразная 419
¦— изменения комплексного переменного
45
<— многосвязпая 48
¦— ограниченная, неограниченная 49
— однолистности 83
— односвязная 48
¦— — (конформное отображение) 376
— существования функции 290
— сходимости степенного ряда 58
Обратная функция 46, 83
Обтекание круглого цилиндра 230
Ограниченная область 4!), 53
— последовательность 27
Однозначная функция 45, 290
Однозначного соответствия принцип 344
Однолистная функция 82
— — (общие свойства) 407
Однолистности область 83
Односвязная область 48
— — (конформное отображение) 376
Окрестность бесконечно удаленной
точки 32
— изолированной особой точки 221
— точки 26
Окружность фундаментальная 127
Определенные интегралы (приложения
теории вычетов) 246—248
Основная теорема алгебры 227, 244
— — о вычетах 238
Основной параллелограмм 295
Особая точка 198, 215
>— — изолированная 215
— — (существенно особая) 215, 218
устранимая 215, 223
Отношение ангармоническое 1
Отталкивающая двойная точкг
113
ка 124
Парабола 367
Параболическое преобразование 122
Парадокс Бернуллп и Лейбница 13
Параллелограммы периодов 295
Параллельные линии в геометрии Лоба-
Лобачевского 127
Параллельный перенос 105
Первоначальные факторы 273
Переменное комплексное 45
Период 294
Пикяра теорема 256, 260, 263
Плоскость комплексная 19
— комплексного переменного 32
— расширенная 32
— числовая 19
Площадей внешняя н внутренняя теопемы
407-410
Поверхность риманова 93
Поворот и растяжение 21
Подобия преобразования 109
Показательная форма комплексного
числа 80
— функция 78, 290
(конформное отображение) 138
Поле векторное 227
Полная аналитическая функция (по
Вейерштрассу) 286—290
Полюс 215, 216
— (в бесконечно удаленной точке) 223
Полюс кратный 216
— просто/! 216
Полюса порядок 216
Попселе точки 12'.)
Порядок пуля 207
— точки разветвления 90
Последовательность комплексных чисел
27
— неограниченная 27
~- ограниченная '27
— сходящаяся 28
Потенциал скоростей 229
Поток жидкости 227
Потока функция 230
— — характеристическая 230
Правильная ана.я нтпчсская дуга 350
¦— точка 198
— ч;.сть ряда Лорс.из 213
Предел последовательности {наиболь-
{наибольший) 62
— руикцнн 4У
Предельная точка 26
Предельное число 2'э
Преобразование (см. соответствующее
название преобразования)
Признак равномерной сходимости ряда
Г) 7
Примитивная функш,я 157
Принцип (см. соответствующее название
принципа)
Притягивающая точка 123
Продолжение аналитическое 286
— — гармонической функции 352
— — (принцип Шварца) 351
Произведение бесконечное 260
•— комплексных чисел, геометрическое
построение 24
— Ридов 41
Производная (геометрический смысл)
97, 99
— функции комплексного переменного 70
Производные Ei.icnnu: порядков 172
П р ос те и 1 и и е дроби 2.'.17
Простои пуль 207
— полюс 216
Прямоугольник (отображение) 389
Прямоугольным треугольник (отображе-
(отображение) 4 04
Пуассона интегральная формула 186
Равнобедренный ппямоугол.ьнмп тре-
треугольник (отображение) 404
Равномерная непрерывность 52
— сходимость ряда Е5
— — — (признак) 57
¦ степенного ряд:! 66
Равномерно сходящейся ряд (р.нтегри-
ровапие) 146
Равносторонний треугольник (отобра-
(отображение) 4 03
Равносторонняя гипербола (отображе*
нне) 365
Радикал 8S
— (конформное отображение) 135
Радиус сходимости iil, 63
Разветвление точки t!9
— (порядок) 90
Разложение аналитической функции
в степенной ряд 1!N
— рациональной функции на простейшие
дроби 227
Разность комплексных чисел 18
— рядов 38
Разрывные функции 54
Растяжение и поворот 21
Растяжении постоянство (при конформ-
конформном отображении) 100

432
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Расходящиеся бесконечные произведения
265
— ряды 3j
Расширенная плоскость комплексного
переменного 32
Рациональная функция (разложение
на простейшие дроби) 227
— целая функция 224
Римана сфера 32
— теорема 377
Римана —- Коши условия 74
Римана — Шварца принцип симме-
симметрии 345 — о Б О
— — — — (обобщение) 350
Рпмапова поверхность 93
Руте теорема 245
Ряд Лорана 213
— Тейлора 195
Ряды абсолютно сходящиеся 37
— аналитических функций 190
— двойные 38
~- (интегрирование равномерно сходя-
сходящегося ряда) 146
— колеблющиеся 35
— комплексных чисел 35. — 42
— расходящиеся 35
— собственно расходящиеся 35
— (сложение и вычитание) 38
— сходящиеся 35
— — равномерно 55
— — (необходимый признак) 36
условно 37
— (умножение) 41
— функции 54 — 58
Связное множество 290
Сигма функции 304
Симметрии принцип (Римана ^ Шварца)
345 — 350
•— — (для гармонической функции)
352—35-!
— — (обобщение) 350
Симметричные точки (относительно
окружности) 23, 110
Синус 78
— гиперболический 81
Сложение комплексных чисел 16
— — — (геометрическое истолкование)
20
— рядов 38
Соответствие границ при конформном отоЛ-
раженпп 383
Сопряженные гармонические функции 77
— комплексные числа 17
Сохоцко! о теорема о значениях функции
вблизи существенно особой точки 218
— формулы 178
Сохранение областей, принцип 343
Степени;!.! функция (конформное отобра-
отображение) 135
Степенные ряды 58
— — (дифференцирование) 77
— — (равномерная сходимость) 66
Стереографическая проекция 32
Сумма рядов 38
Существенно особая точка 215, 218
— — — (в бесконечности) 223
Сфера числовая комплексная (сфера
Рпмана) 32
Сходимости круг 61
т- область (степенного ряда) 58
Сходимость бесконечного произведения
(основной критерий) 267
— ряда (разномерная) 55
— — (признак) 57
Сходящаяся последовательность ком-
комплексных чисел 28
соответствующее название
Сходящиеся бесконечные пронзпедения 265
Сходящиеся ряды 35
— — (необходимый признак) 36
Теорема (см.
теоремы)
Трансцендентная точка разветвления 90
— целая функция 225
Треугольник (отображение) 400
Трехсвязная область 49
Тригонометрическая форма комплекс-
комплексного числа 21
Тригонометрические функции 78
Тейлора ряд 195
Тэтл-фумкцип 319
Угол параллелизма (неевклидов) 133
Умножение комплексных чисел 10
.— — — (геометрическое истолковаЕше)
2!
— рядов 41
Уравнение Лапласа 76
Уровня линии 2 29
Условно сходящийся ряд 37
Формула (см. соответствующее название
формулы)
Фундаментальная окружность 127
Функции (см. соответствующее название
функции)
Функциональные ряды 54 — 58
Характеристическая функция потока 230
Хрнстоффеля — Шварца формула 396
Целая линейная функция 108
— рациональная функция 224
— трансцендентная функция 225
Циркуляция потока 228
Числовая комплексная плоскость 19
— сфера 32
Чисто циркулярный поток 232
Шварца лемма 358, 360—362
— принцип аналитического продолже-
продолжения 351
Шварца — Рпмаиа принцип (обобще-
(обобщение) 350
— — — симметрии 345 — 350
Шварца — Христоффеля формула 396
Шотткн неравенство 261
— — (обобщенное) 263
Зплсра — Даламбера условия 74
;-)плсра тождество 13
— формулы 79 — 80
Экстремальная троблема вторая 426
— — перпая 423
Экстремальные свойства функций 423
Элемент 336
Эллипс (отображение) 371
Эллиптические гэта-фупкцип 319
— функции 294
— — (аналитические представления) 311
— — Вейерштрасса 303
— — второго порядка 301
— — (основные теоремы) 296
— — порядка s 299
Якоби 317, 326, 393
Эллиптическое преобразование 121
— — (геометрииеская интерпретация) 125
Якоби и Пепсека формула 279
— функции эллиптические 317, 326, 393