Text
Р. А. АЛЕКСАНДРЯН Э. А. МИРЗАХАНЯН
ОБША53
ТОПОЛОГИЯ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов
математических специальностей высших учебных заведений
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1979
ББК 22.152
А 46
УДК 513.3@76)
Рецензенты:
кафедра геометрии и топологии Тбилисского университета и докт.
физ.-мат. наук, лауреат Ленинской премии Постников М. М.
Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А.
А46 Общая топология: Учеб. пособие для вузов.—М.:
Высш. школа, 1979. — 336 с, ил.
В пер.: 1 р. 20 к.
Книгл содержит современное изложение понятий, результлчон и
методон общей топологии. Весь материал разбит пи три раздела. 11 мер-
мерном из mix строятся изучаемые объекты (топологические простр.п
и морфп шы (их непрерывные отображения) и, кроме того, особое
мание уделено топологическим и изотопическим инвариантам. Во нто]
описы на юте я основные операции над построенными объектами,
числе фактор-топологии, операции склеинапин, мроекчипные и i
тинные пределы топологических простраистн. IJ третьем—нее оси
классы топологических простраистн и их отображений, а также р.
сматрипаются вопросы метризуемости, непрерывной продол жимос
функции, общая теорема о разбиении единицы и т. д.
— 31—79 1702040000
Издательство «Высшая школа», 1979
ПРЕДИСЛОВИЕ
Большое и исключительно плодотворное влияние топологиче-
топологических идей па развитие математической науки является в настоя-
настоящее время общепризнанным. В особенности за последние десяти-
десятилетия топологические идеи и методы проникают, находя успешное
применение, почти во все разделы не только самой математики, по и
физики, биологии и других областей современного естествознания.
Предлагаемая вниманию читателей книга содержит современное
и вместе с тем весьма обстоятельное изложение большинства наибо-
наиболее важных понятий, результатов и методов общей топологии.
Она представляет собой расширенное изложение лекции, читанных
авторами на механико-математическом факультете Ереванского уни-
университета, а также аспирантам и сотрудникам Института матема-
математики Академии наук Армянской ССР.
Авторы надеются, что благодаря несколько большей подробно-
подробности изложения усвоение содержащегося в книге материала окажет-
окажется более доступным не только студентам и аспирантам университетов
и пединститутов, но и широкому кругу лиц, желающих ознакомить-
ознакомиться с основными идеями, результатами и методами общей топологии.
При этом особое внимание уделялось как логической стройно-
стройности и последовательности изложения, так и тому, чтобы сделать чте-
чтение независимым от других источников. Таким образом, для пони-
понимания книги с чисто формальной точки зрения никаких предвари-
предварительных знаний, кроме элементов теории множеств*', действительно,
не требуется. Однако, имея в виду достаточную абстрактность са-
самого предмета топологии, а также глубину и общность ее идей,
предварительное знакомство с первоначальными понятиями матема-
математического анализа (в пределах первого семестра обучения), конеч-
конечно, желательно.
Отметим некоторые особенности подбора, включенного в книгу
материала. В §3 гл. 1 подробно обсуждаются вопросы слабости то-
топологии относительно покрытий, критерий продолжимости тополо-
топологии, построения непрерывного глобального отображения по за-
заданным частичным отображениям и критерий непрерывности гло-
глобального отображения. Здесь же рассматриваются топологические и
изотонические инварианты, в том числе и их взаимоотношения.
Кроме того, указываются примеры и простейшие свойства ретрактов
и окрестпостных ретрактов. В§4сначала подробно излагается теория
пределов направленностей (так называемая теория сходимости по
*' Краткой изложение см. и Добавлении, с. 31G—328.
Муру и Смиту), я также теорема Биркгофа о задании топологии
и терминах пределов напранленностей. В этом же параграфе еще
более подробно налагается теперь уже вездесущая и ставшая ис-
исключительно удобным орудием не только в самой топологии тео-
теория фильтров Л. Картана, а также теория пределов фильтров,
отображений по фильтрам и их связь с непрерывностью. Здесь же
устанавливается связь теории фильтров и теории напрапленностеи.
Многие понятия и факты формулируются, а иногда и доказываются
I! терминах фильтров.
Б §2 гл. И, посвященной фактор-пространствам, подробно ил-
иллюстрируются па ряде примеров и рисунков важные частные слу-
случаи топологического отождествления, часто используемые в алгебраи-
алгебраической топологии, а именно: понятия склеенного пространства,
цилиндра отображения, букета пространств, а также понятия
обычных и приведенных конусов и надстроек. Здесь же строятся
различные модели вещественного и комплексного проективных про-
пространств. В этой главе впервые в учебной литературе подробно
излагаются некоторые основные понятия теории категорий и функ-
функторов, а затем, на всем протяжении книги, там, где это представ-
представляется нам уместным, указываются категориальный и функтори-
альный характеры рассматриваемых конструкций. Кроме того, также
впервые, дастся систематическое изложение основ теории спектров
топологических пространств, в том числе и прямых спектров (ин-
(индуктивных систем).
Глава III, посвященная основным классам топологических про-
пространств, наряду с достаточно полным изложением традиционного
материала содержит также основные свойства абсолютно замкнутых
пространств, совершенных и собственных отображений, в том чис-
числе и теорию расширений Стоуна —Чеха. Наконец, заключительный
параграф этой главы содержит достаточно полное и обстоятельное
изложение теории паракомпактных пространств, в том числе и до-
доказательство общей теоремы о разбиении единицы.
Книга содержит большое число примеров, а также рисунки,
иллюстрирующие сущность вводимых абстрактных понятий, устанав-
устанавливаемых результатов и способствующих усвоению материала. Все
параграфы снабжены задачами, среди которых имеются как легкие,
так и средней трудности; небольшое число задач повышенной труд-
трудности отмечены звездочкой. Некоторые задачи, относящиеся также
и к другим разделам математики (например, к алгебре, функцио-
функциональному анализу или теории функций), тоже отмечены звездоч-
звездочкой и адресованы лишь тем, которые знакомы с соответствующим
материалом.
Внутри каждой главы нумерация отдельная для определений,
отдельная для утверждений (лемм, предложений, теорем) и, нако-
наконец, отдельная для замечаний и предостережений, причем нумерация
всюду двойная, в которой первое число указывает номер параграфа,
а второе — номер определения (соответственно утверждения или
замечания). При ссылке па другую главу дополнительно указыва-
указывается номер главы.
4
В прпведс-пиом списке литературы мы особо выделили часть,
сравнительно больше использованную нами и предлагаемую чита-
читателю в качестве основной литературы по общей топологии, пол.
названием „Основная литература".
На протяжении всей книги мы пользуемся следующими, став-
ставшими теперь общепринятыми, обозначениями из алгебры логики.
1. Импликация А^В означает, что /1 влечет В.
2. Эквивалентность А&В означает, что /1-->/? и В^>А.
'Л. Квантор общности Vx^X читается: для любого х?Х.
4. Квантор существования Эх,, ? X читается: существует х„?Х.
Кроме того, знаками -^, ^ всюду обозначается начало и окон-
окончание доказательств. В некоторых случаях ставится знак ?, озна-
означающий окончание примера.
Некоторые основные разделы общей топологии (не вошедшие
в эту книгу из-за ее объема), а именно: элементарная теория раз-
размерности, теория пространств отображений, равномерные простран-
пространства и пространства близости, продолжение теории расширений и
теория абсолютов, а также элементы топологической алгебры —
предполагается издать в виде второй части настоящей книги.
С чувством благодарности и восхищения вспоминаем мы пре-
превосходные программные лекции академика П. С. Александрова,
прочитанные им в стенах Ереванского университета, а также лич-
личные беседы с ним, которые пробудили живейший интерес к общей
топологии и несомненно повлияли также и па характер этой книги.
Авторы
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ НЕПРЕРЫВНЫЕ
ОТОБРАЖЕНИЯ
§ 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Этот параграф посвящен определению центрального понятия
всей топологии, а именно понятия топологического пространства,
?i также описанию некоторых связанных с ним отправных поня-
понятий. Изложение этих общих и весьма абстрактных концепций
целесообразно начать с исторически более раннего и несравненно
более обозримого понятия метрического пространства (введен-
(введенного французским математиком М. Фреше в 1906 г.), играющего
исключительно важную роль во всей математике и ее приложе-
приложениях.
1.1. Понятие метрического пространства. Пусть X — произволь-
произвольное непустое множество, а р:X хХ --» R '"—отображение декартова
произведения ХхХ в множество IR+ неотрицательных веществен-
вещественных чисел.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Отображение р: Хх X-*R + называется
метрикой на X, если оно удовлетворяет нижеследующим трем
условиям, называемым аксиомами метрики:
М.1) р (хх, xi)^0^xl=^xi (аксиома тождества);
М.2) р (xt, x1)='p(xi, х2), Vxlt х2?Х (аксиома симметрии);
М..З) р(хи j,)<p(i|, x2)-|-p(x2, хя), Vxj, хг, х3 6 X (аксиома
треугольника).
Множество X, рассматриваемое вместе с заданной на нем ме-
метрикой f), называется метрическим пространством. При этом эле-
элементы множества X называются точками этого пространства,
а число p(Xj, х2)—расстоянием между точками ху, х2.
Ясно, что в одном и том же множестве X могут быть заданы
различные метрики, поэтому, чтобы различать получающиеся при
этом различные метрические пространства, иногда уместно обозна-
обозначать метрическое пространство в виде пары (X, р).
Укажем несколько простейших примеров метрических про-
пространств.
Примеры 1.1. Числовая прямая R1. Пусть X—множе-
X—множество всех вещественных чисел. Полагая для любых хи х„?Х
р (х,, х2) = |х, — хг\, легко убеждаемся, что все три аксиомы ме-
метрики выполняются. Получаемое таким образом метрическое про-
пространство называют числовой прямой и обозначают буквой К1.
1.2. Многомерное числовое пространство IR". Пусть
X — множество всех упорядоченных наборов х=я(х, х2, ..., хп),
составленных из п вещественных чисел. Расстояние между х ^=»
(л,, л,, .... х„) и у = {у1, уг у„) зададим по формуле*»
Р(*. У) V 2 (Хк — Ук)*-
Мы предоставляем читателю проверить, что при этом все аксио-
аксиомы метрики выполняются и, стало быть, множество X вместе с так
определенной метрикой р представляет собой метрическое простран-
пространство, которое называется п-мерным числовым пространством и обо-
обозначается через R".
Замечание 1.1. В этом же множестве X часто задают и дру-
другую метрику р0 по формуле ро(х, у) = max | хк — ук |.
со
Примеры 1.3. П ростр а нет во I р. Рассмотрим множество X,
элементами которого служат всевозможные последовательности
00
х --=-- (Xj, х2, .... х„, ...) вещественных чисел таких, что 2 | х,- \р <
i= 1
<-|-оо, где р^1—фиксированное число. Можно доказать, что
для произвольных элементов х = (х, х„, ...) и «/==(«/,, •¦.
ее
..., уп, ...) из X ряд 2 I*/ — У1 \р сходится, и если ввести расстоя-
i ~ 1
Г со \ 1 In
ние между этими элементами по формуле р (х, у) =< 2 I xi — У1 \р \
то аксиомы метрики будут выполнены (см., например, [35]). По-
Получаемое таким образом метрическое пространство (X, р) обозна-
обозначают через 1р. Среди пространств 1р{р^\) особую роль играет
пространство /2, которое называют координатным гильбертовым
пространством.
1.4. Дискретное метрическое пространство. Пусть
X — произвольное непустое множество. Полагая р(х,, хг) = 0, если
х, = ха, и р(х,, хг)= 1, если х,^=х2, мы, очевидно, получим метрику
на X, называемую дискретной метрикой, г пространство (X, р) —
дискретным метрическим пространством.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Метрические пространства (Х,р) и (Х\ р')
наз1Iваются изометрическими, если существует взаимно-однозначное
соответствие х*->х' между элементами множеств X и X', причем
такое, что р (х, </) = р'(х', у') для любой пары элементов х, у из X.
С точки зрения теории метрических пространств изометричпые
пространства считаются неразличимыми, т. е. эквивалентными.
Пусть теперь (X, р) — произвольное метрическое пространство,
а ? X — некоторая фиксированная точка. Шаром (открытым) с цент-
центром в точке а и радиусом г > 0 называется подмножество В (а, г) =
¦~-{х?Х; р (х, а) < г), состоящее из всех точек из X, расстояние
которых до точки а меньше г.
11од г-окрестностыо точки х0 ? X мы всегда будем понимать
открытый шар с центром в х0 и радиусом е.
*» Под корнем понимается его арифметическое значение.
Точка л'„ из подмножества А метрического пространства X на-
называется внутренней точкой множества Л, если существует с,-
окрестпость В (л',„ е), целиком содержащаяся и Л. Совокупность
нсех внутренних точек множества Л называется его внутренностью
и обозначается через Inl Л.
Подмножество А из /V называется открытым, если Inl Л - Л.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1Л. Семейство т., состоящее из всех откры-
открытых подмножеств метрического пространства (X, (>), обладает сле-
следующими тремя основными свойствами:
1) 6vx> множество X и пустое подмножество 0 ii.ptinad.ic-
оксип т;
2) объединение любого семейства множеств h;i т входит в cm тав
семейства т;
3) пересечение конечного числа множеств из т входит в состав
семейства т.
^ Выполнение свойства 1 очевидно.
Пусть теперь Л— U^f, где Л,?т для всех i из множества ин-
декеов / произвольной мощности. Пусть, далее, х„— произвольная
точка из А, тогда ясно, что найдется такое Л,- что л'0^Л,- но
поскольку Л,- ?т, то существует к-окрестность "х„, содержащаяся
в Л,-, а следовательно, и в Л. Таким образом, всякая точка мно-
множества Л является его инутрепннен точкой, т.е. Л—открытое
множество.
N
Дли доказательства свойства 3 предположим, что Л= П Л,-,
где Л,-?т при i==l, 2 ..., /V. Тогда для каждого х„ ^ Л и для
каждо['о t найдется окрестность В(х„, в,-), содержащаяся в Л,-,
поэтому, положив в == min(••./, непосредственно убеждаемся, что
(О
В(х„, к) содержится в Л, т.е. ха — внутренняя точка для Л. ^
Замечание 1.2. Во многих вопросах оказывается достаточ-
достаточным выполнение первой аксиомы метрики в ее ослабленной форме
(имеется в виду, что аксиомы М.2 и М..'5 выполняются в том же
виде). Заменив ее аксиомой М.Г: [>(х, %) —0 Vx g X, мы приходим
к более широкому классу пространств, называемых псевдометри-
псевдометрическими; при этом правило (> называется псевдометрикой. Разумеется,
всякое метрическое пространство является псевдометрическим, по
не наоборот. Тривиальный пример псевдомстрического, по не мет-
метрического пространства можно получить, положив в произвольном
множестве, содержащем не менее двух '-элементов, <> (х,, х2) -0 для
всех пар х,, х„ ? X.
Перечислим еще несколько примеров метрических пространств,
играющих весьма важную роль в самых различных разделах мате-
математики п ее приложений. В отличие от указанных выше примеров
элементами нижеследующих пространств являются не числа пли
числовые последовательности, а функции, заданные на том пли
ином множестве, поэтому эти пространства называются функцио-
функциональными.
8
Приме р ы 1.5. П р о с т р а и с т п о и е п р е р и в и ы х ф у и к-
ций С\а, Ь\. Пусть X— совокупность вещественных функций,
определенных н непрерывных на отрезке [а, Ь] числовой прямой.
Введем в X метрику р, полагая для любых функций /(/), #(/) цз
X, что р(/, #)--- шах \f(t)—g(t)\. Легко проверить, что при этом
аксиомы метрики выполняются. Получаемое таким образом метри-
метрическое пространство (X, р) называется пространством непрерывных
функции и обозначается через С\а, Ь].
1.6. Пространство Lp. Рассмотрим совокупность X ком-
плекспозначиых функций /(/), измеримых в конечном или беско-
b
печном интервале (а, Ь), и таких, что $ | / (О \р (it < + оо, где р > 1 —
а
фиксированное число. Пользуясь интегральным неравенством Мин-
Минковского
Ob \Цр / b ' у/р / b ч 1/р
\\f(t)+g(t)\Pdtj <(^Sl/(/)|"d/J +[l\g(t)\''ut),
в множестве X можно ввести (см., например, [35] или [37]) рас-
расстояние между любыми функциями f(i), g(t) из X по формуле
Тогда выполнимость аксиомы М.Г и второй аксиомы очевидна.
Что же касается третьей аксиомы, то она непосредственно следует
из того же неравенства Минковского. Таким образом, совокупность
X вместе с этим правилом [> представляет собой псевдометрическое
пространство, которое не является метрическим, поскольку из
(>(/, g)--0 следует, что / и g совпадают лишь почти всюду по мере
Лебега. Вместе с тем ясно, что если условиться отнести к одному
и тому же классу функции, различающиеся лишь на множестве
нулевой лебеговской меры, т. е. вместо множества X рассмотреть
множество X, состоящее из таких классов, то первая аксиома бу-
будет выполнена уже в усиленной форме и мы получим метрическое
пространство (X, (>), называемое пространством функции, инте-
интегрируемых с р-п степенью модуля, и обозначаемое через Lr(a, b).
Здесь тоже особую роль играет пространство L2 функций, инте-
интегрируемых с квадратом модуля.
Замечание 1.3. Описанная только что конструкция носит весьма
общий характер, поскольку в произвольном псевдометрическом
пространстве (X, р), отнеся точки, находящиеся друг от друга на
нулевом расстоянии, в один класс и определив в множестве X* ¦--
\\x\\ х?Х} получающихся таким образом классов \х\ расстояние
С* по формуле (>*([*]. [у\) = р(х, у), нетрудно убедиться, что
(•(а', лг) == 0 и (>(;/', #)=-0 влечет за собой р(х', у')-^ (> (х, //) и
поэтому р* определено корректно, а X* вместе с так определен-
иым расстоянием р* образует уже метрическое пространство
(X*, ,>*).
Замечание 1.4. Пусть А — произвольное непустое подмно-
подмножество метрического (псевдометрического) пространства (X, <>).
Полагая 1>л(х1У х.2)~р(х1, х«) для любой пары х,, х2 элементов пч
А, мы, очевидно, получим метрику (псевдометрику), называемую
индуцированной на А метрикой (псевдометрикой) о из X. При
этом (Л, (>л) называют подпространством пространства (X, <>).
Пусть теперь А, В— два непустых подмножества из (X, <>);
расстоянием между этими множествами называют число
р(А,В)— inf р (х, у). В частности, расстоянием от точки х„
х6 Л, ц€ В
до множества В называют число р (х„, В) -- inf р (х„, у). Наконец,
уев
диаметром множества М из (X, р) называют число diani Л7
= sup р (х, у); при этом М называется ограниченным, если
к, и 6 М
diam /VI < оо.
1.2. Определение топологического пространства. Глубокий ана-
анализ таких фундаментальных понятий теории метрических про-
пространств, как, например, понятия точки прикосновения, предель-
предельной точки, сходимости последовательности точек, непрерывности
отображения, а также целого ряда других понятий, показывает,
что хотя все они в конечном счете исходят из понятия метрики,
но тем не менее могут быть описаны исключительно в терминах
открытых множеств (или, что эквивалентно, в терминах окрест-
окрестностей точек). Это обстоятельство послужило основой для чрез-
чрезвычайно плодотворной идеи, заключающейся в том, чтобы исходным
считать не метрику, а само семейство открытых множеств, причем
описывать его, не опираясь на какую-либо метрику или другую
концепцию, использующую понятие числа, а посредством опреде-
определенных аксиом, отражающих лишь наиболее основные свойства
семейства открытых множеств метрического пространства, однако
все же достаточных для построения содержательной теории сходи-
сходимости, непрерывности и т. д. Именно таким путем возникло столь
фундаментальное для всей математики понятие, каким является
общее понятие топологического пространства, к определению ко-
которого мы приступаем.
Пусть Х- -произвольное множество, а т--{1/(-; i ? /}— -некото-
-некоторое семейство его подмножеств, причем допускается, чтобы мно-
множество индексов / имело произвольную мощность.
Говорят, что семейство т задает (или определяет) в множестве X
топологическую структуру или, короче, топологию, если это се-
семейство удовлетворяет следующим трем условиям:
0.1) все множество X и пустое множество 0 принадлежат се-
семейству т;
0.2) объединение любого семейства множеств из т также при-
принадлежит семейству т;
0.3) пересечение конечного числа множеств из т принадлежит т.
Эти условия называются аксиомами топологии.
i
10
ОП РЕ ДЕЛЕНИЕ 1.3. Множество X, рассматриваемое вместе
с заданной в X топологией т, называется топологическим простран-
пространством; при этом элементы множества X называются точками,
а подмножества (У,-, принадлежащие семейству т, — открытыми
множествами этого топологического пространства. Иногда само
множество X называют носителем топологии т.
Поскольку одно и то же множество X, состоящее из более чем
одного элемента, может быть превращено в различные топологи-
топологические пространства посредством задания в X различных тополо-
топологических структур, то для того, чтобы указать, что в X задана
именно топология т, соответствующее топологическое пространство
иногда обозначают в виде пары (X, т).
Приведем несколько примеров топологических пространств.
Примеры 1.7. Метрические пространства. Прежде
всего заметим, что в силу предложения 1.1 семейство т всех от-
открытых множеств метрического пространства (X, р) удовлетворяет
аксиомам топологических структур и, стало быть, задает в X не-
некоторую топологию, которую принято называть метрической то-
топологией. Ясно, что, в частности, любое евклидово пространство !R"
также является топологическим, топология которого называется
обычной или евклидовой.
Таким образом, метрические пространства образуют обширный
и весьма важный подкласс топологических пространств.
1.8. Топология Зарисского. Рассмотрим произвольное
бесконечное множество X и семейство т, состоящее из пустого
подмножества 0 и из всевозможных подмножеств U из X, допол-
дополнения которых CU ¦- X\U являются конечными подмножествами *'.
Легко проверить, что семейство т. задает в X топологию, которая
носит название топологии Зарисского.
1.9. Связное двоеточие. Пусть X—множество, состоящее
только из двух элементов а и Ь, а семейство т состоит из пустого
подмножества 0, всего X и одноэлементного подмножества {а).
Очевидно, т удовлетворяет аксиомам топологии. Возникающее таким
образом топологическое пространство (X, т), хотя и имеет весьма
простое строение, все же представляет определенный интерес и по-
поэтому имеет специальное название —связное двоеточие.
1.3. Сравнение топологий. Пусть X —множество, содержащее
более чем один элемент, а т, и т2, заданные в X,—две различные
топологии. Если т,^т2, т.е. каждое подмножество, входящее
в семейство т.,, входит также в состав семейства т2, то говорят,
что топология т., мажорирует топологию т, или что топология т,
мажорируется топологией т2. Другими словами, топология т2
мажорирует топологию т,, если всякое подмножество, открытое
п топологии tl, является открытым и в топологии т2, при этом
пишут т, s^v Если т,^т2, но т,=^т2, то говорят, что т, слабее
т, или что т., сильнее т,. Ясно, что из т,^т2 и т.2^Гт3 сле-
•) Пустое подмножество также рассматривается как конечное подмножество.
И
дуп т, -г' т.,. Кроме того, если топологии т,
и т.,-: т,, то т, - т.,, т. е. эти топологии совпадают.
II.i сказанного следует, что введенное отношение тг<х,, задает
на множестве всевозможных топологий, определенных в фиксиро-
фиксированном множестве X, структуру частичного упорядочения, кото-
которая, однако, не является линейно] упорядоченной структурой,
поскольку т, может быть не слабее и не сильнее т2, т. е. не лю-
любые две топологии и одном и том же множестве X сравнимы
в смысле введенного выше отношения порядка.
Приведем несколько примеров сравнения топологий.
Примеры 1.10. В множестве вещественных чисел топология
Зарпсского слабее обычной топологии, т. с. топологии числовой
прямой.
1.11. Тривиальная топология и дискретная т о п о-
л or и я. Рассмотрим следующий крайний случай, когда в произ-
произвольном множестве X семейство т состоит лишь из двух подмно-
подмножеств: X и 0. Очевидно, что это семейство задаст в X топологию,
которая будет слабее любой другой задавасамой в X топологии.
Эту, разумеется, мало интересную топологию принято называть
тривиальной. Если же рассмотреть другой крайний случай, когда
каждый элемент множества X, рассматриваемый как его подмно-
подмножество, является открытым в топологии т, то топология т будет
сильнейшей из всех возможных топологий, задаваемых в множе-
множестве X. В самом деле, пусть М — произвольное подмножество из X,
тогда оно, будучи объединением отдельно взятых своих точек,
являющихся открытыми подмножествами в топологии т, в силу акси-
аксиомы 0.2 само является открытым в топологии т. Эту наиболее
сильную топологию называют дискретной топологией, а простран-
пространства, наделенные такой топологией, -дискретными пространствами.
В связи с эч им тривиальную топологию, являющуюся противополож-
противоположной крайностью по отношению к дискретной, часто называют
антидискретной.
Таким образом, любая топология мажорирует тривиальную и
мажорируется дискретной. Иными словами, тривиальная топология
служит наименьшим элементом, а дискретная топология — наиболь-
наибольшим элементом в частично упорядоченном множестве всевозмож-
всевозможных топологий в фиксированном множестве X.
1.4. Замкнутые множества, окрестности и фундаментальная си-
система окрестностей. Понятие замкнутого множества, к определе-
определению которого мы приступаем, двойственно но отношению к поня-
понятию открытого множества и наряду с ним играет основополагаю-
основополагающую роль в общей топологии.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1.4. Подмножество М топологического про
странства X называется замкнутым в X, если его дополнение
СМ — Х\М открыто в X.
Примеры 1.2. Множество \x?R"; р(х„, х)<г[, где х„— не-
некоторая фиксированная точка из IR", а г — некоторое положитель-
положительное число, замкнуто в R" и называется замкнутым шаром с цепт-
12
ром в хи и радиусом г. Это множество обозначается через В{ха, г).
Вместе с тем шар с выколотым центром В (х0, г)\{хо\ (получаемый
из Ъ (хи, г) удалением его центра) уже не является ни замкнутым,
ни открытым в R".
1.13. Множество Z Rcex целых чисел замкнуто в iR1, однако
множество Q всех рациональных чисел, так же как мпожесню
Rl\Q всех иррациональных чисел, не открыто и не замкнуто в R1.
1.14. Любая кривая второго порядка на плоскости IR2 или лю-
любая поверхность второго порядка в трехмерном пространстве :;<:|
также служат простейшими примерами замкнутых множеств. Нслп
же удалить из них какое-либо конечное или счетное подмножество,
го получим примеры подмножеств, не являющихся ни открытыми,
ни замкнутыми.
Легко проверить, что семейство всех замкнутых множеств
любого пространства X обладают следующими свойствами:
F.I. Все множество X и пустое множество 0 замкнуты в X.
F.2. Пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто.
F.3. Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.
Свойство I'M непосредственно следует из определения и из аксио-
аксиомы 0.1, а свойства F.2 и F.3 — из известных в теории множеств
формул для дополнений множеств и аксиом 0.2 и 0.3 топологиче-
топологических пространств.
Часто оказывается удобным задавать топологию в множестве X
не при помощи семейства т его открытых подмножеств, а путем
выделения в нем семейства а подмножеств, называемых замкнутыми,
обладающего свойствами F.I—F.3. Если при этом рассмотреть
семейство т, состоящее из подмножеств, являющихся дополнениями
подмножеств, входящих в состав семейства а, то легко проверни),
что т будет удовлетворять аксиомам 0.1—0.3 и, стало быть, задаст
в X некоторую топологию.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5. Подмножество А топологического про-
пространства X называется окрестностью точки х„?Х, если оно со-
содержит открытое в X подмножество, содержащее точку х„.
Непосредственно из определения следует, что любое надмно-
надмножество окрестности само является окрестностью и что открытое
множество служит окрестностью для каждой своей точки. В част-
частности, все пространство X и только оно служит окрестностью лю-
любой точки из X, тогда как пустое множество 0 является единст-
единственным открытым множеством, которое не служит окрестностью.
Однако одноточечное подмножество {хи\ уже может служить
окрестностью, если оно открыто в рассматриваемой топологии;
в этом случае точка хп называется изолированной точкой соответ-
соответствующего пространства. Ясно, что в пространстве с дискретной
топологией все точки являются изолированными и, наоборот, если
все точки изолированные, то это пространство является дискрет-
дискретным.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.6. Точка ха подмножества М пространства X
называется изолированной точкой множества М, если существует
13
окрестность U этой точки такая, что пересечение состоит из самой
этой точки, т.е. U Л М- {хп\.
Пример 1.1Г). В топологии числовой прямой IR' каждая
точка т из подмножества ':", целых чисел, очевидно, является для
него изолированном точкой. Ясно также, что как множество У
рациона.'1))ПЫХ чисел, так и множество К1 4Q иррациональных чисел
лишены изолированных точек в рассматриваемой топологии.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.2. Подмножество G пространства X от-
открыто тогда и только тогда, когда оно служит окрестностью каж-
каждой своей точки.
•4 Как уже упоминалось, необходимость очевидна.
Достаточность. Пусть для каждого х из G существует ее
открытая окрестность Uх такая, что Ux содержится в G. Рассмот-
Рассмотрим подмножество G — {) U х, представляющее собой объединение
х <; f i
всех этих открытых окрестностей и потому являющееся открытым
множеством. Поскольку при всех ,v?G UxcG, то, очевидно, GcrG;
с другой стороны, каждая точка х из G содержится в соответству-
соответствующей окрестности Vх и, стало быть, в G, поэтому справедливо и
обратное включение GczG. Итак, G совпадает с открытым множе-
множеством G. >
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.7. Система f>Xii окрестностей точки х0 про-
пространства X называется фундаментальной системой окрестностей
этой точки, если для каждой окрестности U этой точки сущест-
существует окрестность V из p\.n такая, что Veil.
Из этого определения и определения окрестности непосред-
непосредственно следует, что система всех открытых окрестностей точки х„
служит примером фундаментальной сне темы окрестностей этой точки.
Пример ы. 1.16. В любом метрическом пространстве и, в част-
частности, в IR" совокупность открытых шаров с центром в точке х„
и радиусами — («=-.= !, 2, ...), очевидно, образует фундаменталь-
фундаментальную систему окрестностей точки х„.
1.17. Во всяком дискретном пространстве для каждой его точ-
точки .v0 сама эта точка уже служит фундаментальной системой окрест-
окрестностей.
1.5. Операция замыкания; теорема Куратовского. Здесь мы
опишем одну из важнейших операций общей топологии — операцию
замыкания —и докажем теорему, позволяющую в произвольном
множеств!4 X задать любую топологическую структуру с помощью
только этой операции.
011 РЕДЕЛЕНИЕ 1.8. Точка х„ пространства X называется
точкой прикосновения множества MczX, если любая окрестность U
точки х„ содержит хотя бы одну точку из М, т. е. Л'!гШ/:О-
Совокупность всех точек прикосновения множества М обозначается
через М и называется замыканием множества М, а операция пере-
перехода от множества М к множеству М называется операцией замы-
замыкания, а более подробно — операцией топологического замыкания.
14
Ясно, что если в этом определении под окрестностью точки по-
понимать лишь ее открытую окрестность, то получится эквивалентное
определение, так как каждая окрестность точки содержит в себе
открытую окрестность этой же точки; более того, здесь можно огра-
ограничиться любой фундаментальной системой окрестностей.
Примеры. 1.18. В евклидовом пространстве R." замыканием
открытого шара является замкнутый шар с тем же центром и
радиусом, а замыкание множества всех точек с рациональными
координатами совпадает со всем пространством IR".
1.19. Теорема В е й е р in т р а с с а. В метрическом простран-
пространстве С[а, Ь\ непрерывных вещественных функций, заданных на
конечном отрезке \а, Ь], замыкание множества всех полиномов сов-
совпадает со всем пространством С [а, Ь].
Непосредственно из определения замыкания следует, что замы-
замыкание пустого множества пусто, замыкание всего множества X сов-
совпадает с X, любое множество М содержится в своем замыкании М
и что из MaN следует MczN. Это последнее свойство принято
называть монотонностью замыкания.
Важно иметь в виду также, что операция замыкания идемпо-
тептна, т. е. М = М для произвольного подмножества М из X.
Поскольку МаМ, то надо проверить включение МсМ. Пусть
xtl?ffl и Uo -произвольная открытая окрестность точки х0. Так
как Uo(] М Ф 0, то, существует </о?(УопМ, поэтому, рассматри-
рассматривая Uo как некоторую окрестность точки у„, из уп?М заключаем,
что иоГ\Мф0\ следовательно, хи?М.
Переходя к другим свойствам замыкания, докажем сначала спра-
справедливость следующего предложения.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.3. Подмножество М пространства X замк-
замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замы-
замыканием М.
¦4 Необходимость. Пусть М замкнуто, т. е. его дополнение
G ¦ ¦ Х\М открыто. Докажем, что МаМ, т. е. каждая точка при-
прикосновения множества М принадлежит М. В самом деле, поскольку
множество G открыто, то в силу предложения 1.2 оно служит
окрестностью каждой своей точки и так как G Г\ М = 0, то совер-
совершенно ясно, что никакая точка х из 6" не может служить точкой
прикосновения для М и, стало быть, МаМ. С другой стороны,
как уже отмечалось, очевидно, МаМ, следовательно, М---М. Не-
Необходимость установлена.
Достаточность. Пусть теперь М---М. Докажем, что
G-A7\M будет открытым и поэтому М будет замкнутым. В са-
самом деле, пусть х0 ? G и, следовательно, хо?М. Тогда, по опреде-
определению точки прикосновения, найдется открытая окрестность Uo
точки д-0 такая, что Unf\M = 0 и, стало быть, UttaX\M-=G,
Таким образом, G служит окрестностью для любой своей точки и
поэтому открыто в силу предложения 1.2. >
15
СЛЕДСТВИЕ. Замыкание М любого множества. М u:i простран-
пространства X .'iiMKiii/nio в X. _
„Палее, оказывается, чго замыкание /VI множества М представ-
представляет с ofioi'i наименьшее замкнутое множество, содержащее исходное
множество ,\\, а именно имеет место следующее предложение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ. 1.4. Замыкание любого множества М про-
пространства X совпадает с пересечением всех замкнутых множеств,
содержащих это множество М.
¦4 Пусть М- -произвольное множество из X и пусть Л'--- f] /', где
пересечение распространено на все замкнутые множества F, содер-
содержащие множество М. По самому построению множества N оно
является частью всякого замкнутого множества, содержащего М,
и, в частности, частью /И, поскольку М замкнуто и содержит /VI.
Итак, NdM. Докажем обратное включение. Для этого рассмот-
рассмотрим произвольное замкнутое множество F, содержащее /И, т. е.
такое, что F = F и MczF, тогда в силу монотонности замыкания
будем иметь MczF = F. Таким образом, замыкание М содержится
в каждом замкнутом множестве /•", содержащем М, и, стало быть,
М содержится и в пересечении всех таких F, т. е. MczN. Итак,
М совпадает с JV, >
Докажем, наконец, что для любых двух множеств М и N про-
пространства X М [) N = М U N'. В самом деле, из очевидных включе-
включений МаМ\} N, NdM(jN в силу монотонности замыкания имеем
MczM[j N, Nс/Ии Л/, откуда М\] Nа.М[] N. С другой стороны,
М и NdM (J N, откуда в силу той же монотонности замыкания
М U N dM () N — М U N, т. е. верно и обратное включение, поэтому
Прежде чем перейти к абстрактному заданию операции замы-
замыкания, дадим еще несколько важных определений.
ОПРЕДЕЛЕНИИ 1.9. Точка х„ пространства X называется пре-
предельной тонкой множества МсХ, если любая окрестность U
ТОЧКИ Хо СОДерЖИТ ХОТЯ бы ОДНу ТОЧКу ИЗ /VI, ОТЛИЧНУЮ ОТ Л'().
Ясно, что всякая предельная точка множества является для
пего точкой прикосновения, между тем как точка прикосновения
множества далеко не всегда бывает его предельной точкой, как,
например, любая изолированная точка. _
Очевидно также, что каждая точка из М\М уже обязана быть
предельной для М. Таким образом, замыкание М любого множе-
множества распадается на точки трех типов: изолированные точки, пре-
предельные точки, принадлежащие самому множеству /И, и предельные
точки, не принадлежащие М.
Совокупность всех предельных точек множества М обозначается
через /VI' и называется производным множеством.
Из соответствующих определений легко следует, что всегда
M'dM и что множество М замкнуто тогда и только тогда, когда
M'dM.
16
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.10. Множество /И пространства X назы-
называется совершенным, если оно совпадает со своим производным
множеством, т. е. если /И ¦¦ - М'.
Ясно, что множество совершенно в том и только в том случае,
если оно, во-первых, замкнуто и, во-вторых, лишено изолированных
точек. Другой крайностью служит так называемое дискретное мно-
множество, состоящее исключительно из изолированных точек.
Простейшими примерами совершенных множеств служат замк-
замкнутый отрезок или замкнутый шар и пространстве R". Простейшим
примером замкнутого, но несовершенного и даже дискретного мно-
множества на числовой прямой R1 может служить множество Z целых
чисел. Замечательным примером совершенного множества служит
так называемый канторов дисконтинуум, обладающий мно-
многими интересными свойствами, о котором будет подробно расска-
рассказано в п. 1.9.
Относительно аддитивности операции замыкания имеют место
следующие предложения.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.5. Операция замыкания конечно аддитивна,
т. е. для любого конечного семейства {Л,, А3, .... Аа\ множеств
пространства выполняется соотношение
Это соотношение при п — 2 установлено выше, справедливость
при любом п доказывается индукцией.
Предостережение 1.5. Следует иметь в виду, что для бес-
бесконечного семейства подмножеств аддитивности операции замыка-
замыкания может и не быть. Так, например, если в несчетном множестве X,
наделенном топологией Зарисского, рассмотреть счетное семейство
{Ak\ непустых конечных множеств Ak, то, очевидно, [)Ak, будучи
к
замыканием бесконечного множества, будет совпадать с X, тогда
как объединение []А,,~ []Ak, будучи счетным множеством, не мо-
к к
жет совпадать с X.
Тем не менее для так называемых локально конечных семейств,
аддитивность операции замыкания сохраняется.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.11 (П. С. АЛЕКСАНДРОВ). Семейство
S \Aj\ /?/]• подмножеств нз X называется локально конечным,
или всякая точка х„ из X обладает окрестностью ?/0, пересекаю-
пересекающемся с не боле чем конечным числом элементов этого семейства,
т. е. (У „ Г) Л ,•----0 для всех i?l, кроме, быть может, конечного
числа индексов.
Совершенно ясно, что каждое конечное семейство локально ко-
конечно, тогда как локально конечное семейство может иметь любую
мощность.
Пример 1.20. Пусть S - - \Ат; т ? Г,\ — семейство подмножеств
из In1, состоящее из сегментов [//(, w-f-lj (т — целое), тогда легко
понять, что это семейство хотя и бесконечно, но локально конечно.
17
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.6. Для любого локально конечного семейства
S =-- {Л ,•; i? I \ подмножеств пространства X имеет место соотношение
ТГл,. .-= и л,-
, е / ie I
*4 Из очевидного включения /1,- с U Л,- и монотонности операции
_ " ie/ _
замыкания имеем Л/пс U Л,-, откуда легко заключаем, что (J Л,
" < е/ it i
тоже содержится в U Л,-. Для доказательства обратного включения
is /
допустим с целью получения противоречия, что нашлась такая
точка *„, что л-0 ? U Л,-, но хо? U /Г,.
1 Ё / f Г; /
В силу локальной конечности семейства 5 найдется окрест-
окрестность U „ точки х0 такая, что Uof]A/ — 0 для всех i ? I, кроме,
быть может, конечного числа индексов г,, i2, ..., in. Положим
л
VI)=UO\\J Ac,, которое открыто как разность открытого и з;шк-
4=1
яутого множества и, кроме того, содержит точку хп, ибо xa?Ua,
п
но по сделанному допущению, очевидно, не принадлежит и Л,4.
А' -1
С другой стороны, ясно, что Vo()Atc:UonAf, откуда легко за-
заключить, что Vof\Ai = 0 для всех /^/. В самом деле, для i-/-ik
что следует из (У„П А,— 0, а для i — ik, по самому определению Vo.
Итак, нашлась окрестность Vo точки х„ такая, что Vn Г) (U А()-—0,
/
а это противоречит тому, что х„ б U Л,. Таким образом, установ-
и i _
лепо и обратное включение: U Л с и А,. >
IS/ 16/
СЛЕДСТВИЕ. Объединение локально конечного семейства замк-
замкнутых множеств замкнуто.
^ Пусть S--{Fi\ i(zl) — локально конечное семейство замкнутых
множеств /'/ пространства X. Тогда, согласно предыдущему пред-
предложению, будем иметь U/'V— U/''/= U Z7,-- >
Перейдем теперь к абстрактному заданию операции замыкания
с помощью аксиом Куратонского. Из указанных выше свойств опе-
операции (топологического) замыкания особо выделяют следующие
четыре свойства:
K.I) AUJlV-ATuJV; K.3) М'=М\
К.2) /МсМ; К.4) 0 -0,
которые, как будет показано ниже, полностью характеризуют опе-
операцию замыкания в любом топологическом пространстве.
В самом деле, рассмотрим произвольное множество А' и допу-
допустим, что каждому подмножеству М из X по какому-либо правилу,
обозначаемому символом cl, сопоставлено вполне определенное под-
подмножество из X, обозначаемое через cl (M) так, что выполняются
нижеследующие условия:
К. 1) cl (/И и Л') = cl (/И) U cl (N) (аддитивность);
18
К. 2) Me cl (M);
К- 3) cl (cl (M)) = cl (M) (идемпотентность);
К. 4) cl@) = 0.
Эш условия называются аксиомами Куратовского, а всякое та-
такое правило cl принято называть оператором замыкания Куратоа-
ского. Иначе говоря, всякое отображение с 1:2v—>2Х множества 2х
всех подмножеств множества X в себя, удовлетворяющее указанным
аксиомам, авляется оператором Куратовского на X.
\Л\ сказанного ясно, что если в некотором множестве X уже
была задана определенная топология, то правило cl, определенное
но формуле с1(М) = /И, т. е. сопоставляющее каждому подмноже-
подмножеству М из X его (топологическое) замыкание М, является опера-
оператором Куратовского на X. Итак, с любой топологией ассоциируется
некоторый оператор Куратовского.
Весьма замечательно то, что верно и обратное, а именно: спра-
справедливо следующее важное утверждение, принадлежащее польскому
математику К. Куратовскому.
ТЕОРЕМА 1.7 (О ЗАДАНИИ ТОПОЛОГИИ ОПЕРАТОРОМ
ЗАМЫКАНИЯ КУРАТОВСКОГО). Каждый оператор Курапит-
ского cl на произвольном множестве X задает в X определены цю
топологию т, а именно семейство х ={U\, состоящее из всех, таких
подмножеств U из X, для которых c\(X\U) = X\U, причем за-
замыкание М любого подмножества М из X в этой топологии х сов-
совпадает с cl (M).
•^ Ясно, что вместо проверки аксиом топологии для семейства
т = {?/} можно проверить аксиомы F.I — F.3 для семейства а = {М\,
состоящего из всевозможных дополнений М = X\U, где U ?т,
т. е. таких множеств М, для которых с\(М) = М. Справедливость
аксиомы F.1 непосредственно следует из аксиом К.2 и К.4. Чтобы
проверить выполнение аксиомы F.2, обозначим через N = П М,- пе-
te/
ресечение произвольного семейства подмножеств М( из а и дока-
докажем, что c\(N) — N, т. е. /V тоже принадлежит а. Прежде всего
заме: им, что из аксиомы К-1 непосредственно следует монотонность
операции cl, поэтому из NaM/ при всех i ? / следует cl (N)ac\ (Л1,-)
и, стало быть, cl (N)c: П cl (M-), по поскольку с1(/И-)—/И-, то
if 1
c\(N)c П М[ = N. С другой стороны, в силу аксиомы К-2 /Vcrcl/V,
следовательно, cl (N) — N. Что же касается свойства F.3, то оно
немедленно проверяется по индукции с помощью аксиомы К-1
Докажем, наконец, что в этом построенном с помощью опера-
горл cl топологическом пространстве (X, х) замыкание М любого
множества М или, что то же самое (см. предложение 1.4), наимепь-
пюе содержащее М замкнутое множество совпадает с el (M). В самом
Леле, поскольку, но самому определению топологии т, замкнутыми
являются только те множества М, для которых cl(M) = /VT, то из
аксиом К-2 и К.З ясно, что cl (М) замкнуто и содержит М.
19
Пусть теперь F—произвольное замкнутое в (X, х) множество,
содержащее М, т. с. MczF и c\(F)-—F. Тогда в силу монотонности
оператора cl будем иметь cl (M)czc) [F) = F. ^.
Приведем простои пример, иллюстрирующий способ задания
топологии посредством операции замыкания.
Пример 1.21. Пусть X — произвольное несчетное множество.
Зададим в X операцию замыкания cl следующим образом: для вся-
всякого не более чем счетного множества М из X положим с\(М) = М.
Нслн же множество М несчетно, то положим cl(M) = X, тогда легко
проверить: все четыре: аксиомы Куратовского выполняются. Поэтому,
объявив замкнутыми в X те и только те множества из X для ко-
которых с1(/М) = /И, мы зададим в X определенную топологию.
I.e. База и предбаза топологии. Первая к вторая аксиомы счет-
ности. Для задания в множестве X определенной топологии т пет
необходимости непосредственно указывать все открытые подмно-
подмножества этой топологии. Оказывается, что достаточно указать лишь
некоторую совокупность открытых множеств, обладающую опреде-
определенным свойством и называемую базой этой топологии.
OilРЕ ДЕЛЕНИЕ 1.12. Совокупность р1 открытых множеств про-
пространства (X, т) называется базой топологии т или базой прост-
пространства X, если всякое непустое открытое множество является
объединением некоторой совокупности множеств, принадлежащих |>.
Совершенно ясно, что всякое пространство (X, т) обладает базой,
поскольку система всех открытых подмножеств, очевидно, образует
базу топологии т. Ясно также, что все изолированные точки про-
пространства X (если гаковые существуют) непременно должны входить
в состав любой базы этого пространства.
Замечание 1.6. Более широким понятием, чем база про-
пространства X, является понятие сети, введенное советским топо-
топологом А. В. Архангельским [Арх — П], а именно: система у про-
произвольных подмножеств из X называется сетью (в смысле Архан-
Архангельского) пространства X, если всякое открытое в X множество
представнмо в виде объединения некоторых множеств из системы у.
Таким образом, каждая база является сетью, тогда как сеть является
базой лишь в том случае, когда она состоит исключительно из
открытых в X множеств.
Простым примером сети в IR", не являющейся базой, может
служить совокупность всех его замкнутых подмножеств.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.8. Для того чтобы совокупность |> откры-
открытиях множеств топологии х была боной этой топологии, необходимо
и достаточно, чтобы для каждой точки х ? X и любого содержащего х
открытого множества U существовало множество V ?|3 такое, что
л-е !'<=(/¦
¦4 Необходимость. Пусть р1 —база пространства (X, т), л„ ? X,
a U,, — открытое в X множество, содержащее точку хи, тогда О',,— и V{,
где К/бр1, поэтому, очевидно, jrll?V(i,c:l'o.
Достаточность. Пусть теперь совокупность р открытых
множеств удовлетворяет условию предложения, a U — произвольное
20
множество из семейства т. Тогда для каждой точки x?l.J найдется
открытое множество Vx€fi такое, что х?Ухс11. Легко проверить,
чго объединение всех таких У совпадает с U, т.е. U-¦¦= П V'x.
XI: Г
Итак, любое открытое в X множество U оказалось иредставпмым
и виде объединения множеств из р1. ^
11 р и мер ы 1.22. Так как дли каждой точки л'„ числовой прямой
и содержащей эту точку открытого множества U существует со-
содержащий эту точку интервал [а, Ь), целиком лежащий n U, то
из доказанного предложения следует, что совокупность всевозмож-
всевозможных интервалов образует базу топологии числовой прямой. Нще
более существенно, что лишь совокупность интервалов (г,, г.,) с
рациональными копнами тоже образует базу числовой прямой л1.
1.23. Совокупность всех открытых шаров произвольного метри-
метрического пространства (X, <>) образуют базу топологии этого про-
пространства. Здесь тоже можно ограничиться лишь шарами с раци-
рациональными радиусами.
Из предложения 1.8 легко вытекают следующие два свойства
базЬ1 A топологического пространства (X, т).
СВОЙСТВО 1". Объединение тех множеств, входящих в |J>, дает
все множества X.
СВОЙСТВО 2". Для любых двух множеств U, V из |'> и для каж-
каждой /почки x?U(]V существует W из р1 такое, что х ?W czU [\V.
Таким образом, для того чтобы система A открытых подмно-
подмножеств из А' была базой в X, необходимо, чтобы система \\ обладала
этими двумя свойствами.
Оказывается, что именно эт свойства полностью характеризуют
базу любой топологии, а именно имеет место следующая важная
теорема, к тому же указывающая еще один способ задания топо-
топологии.
ТЕОРЕМА 1.9 (О ЗАДАНИИ ТОПОЛОГИИ ПОСРЕДСТВОМ
ПАЗЫ). Пусть в произвольном множестве X задана некоторая си-
система (¦'> подмножеств из X, обладающая вышеупомянутыми двумя
свойствами. Тогда в множестве X существует единственная топо-
топология т, одной из баз которой служит система A
¦^ В самом деле, пусть т—семейство, состоящее из пустого мно-
множества и всех подмножеств множества X, каждое из которых есть
обьединение подмножеств из совокупности [>. Тогда выполнение
аксиом 0.1 и 0.2 очевидно. Проверим выполнимость аксиомы 0.М,
которую, очевидно, достаточно проверить для случая пересечения
только двух подмножеств. Пусть U, U' — произвольные множества
in т и пусть U — U V,-, U' - U V], где Vh V) принадлежат \\. Рас-
Рассмотрим пересечение
uoiJ' =(ик/)п(ик;-)= и {V,nVi),
i. i
откуда видно, что нам достаточно убедиться в том, что каждое из
множеств вида V,- П V) принадлежит т. Пусть лг?У;П V/, тогда, по
свойству 2°, существует WX?\S такое, что х? WxczV{f\ У), поэтому
ввиду произвольности х^У1пУ1- будем иметь К,-ПИу= [)WX, где х
21
ппоСктает все пересечение V,-nV/. Таким образом, построенное се-
семейство г действительно образует топологию на X, п система \),
очевидно, служит для нее базой.
Что же касается единственности такой топологии, то она сле-
следует из того, что система, состоящая из всевозможных объедине-
объединении .множеств входящих в фиксированную систему |>, очевидно,
определена однозначно, и поэтому, в частности, если две топологии
имеюч одну и ту же базу, то они совпадают. ^.
Перейдем теперь к понятию так называемой предбазы топо-
топологии.
ОП РЕ ДЕЛЕНИЕ 1.13. Система y~{W\ открытых подмножеств
пространства (Х,х) называется предбамй или системой образующих
топологии х (или пространства X), если система р, состоящая из
всевозможных конечных пересечений множеств из у, образует базу
топологии т.
Ясно, что всякая база является предбазой, но не наоборот.
Выше мы видели, что не всякая система подмножеств может
служить базой некоторой топологии. Возникает вопрос: может ли
произвольная система а подмножеств из X служить предбазой
некоторой топологии в X. Другими словами, можно ли, отправ-
отправляясь от произвольной совокупности а его подмножеств, построить
топологию т так, чтобы исходная система а служила для нее пред-
предбазой, т. е. задать топологию т так, чтобы все подмножества из а
были открытыми в этой топологии и, кроме того, любое множество,
открытое в топологии т, представляло собой объединение конечных
пересечений подмножеств, входящих в совокупность а. Мы сейчас
укажем конструкцию, которая покажет, что это всегда возможно.
В самом деле, из аксиомы 0.3 заключаем, что совокупность а не-
непременно должна быть дополнена до совокупности р путем при-
присоединения к а всех подмножеств, представимых в виде пересечения
конечного числа подмножеств из а, в том числе все X, рассмат-
рассматриваемое как пересечение пустого множества подмножеств из а.
Наконец, в силу аксиомы 0.2 мы должны дополнить семейство |>
до семейства т путем присоединения всех подмножеств множества X,
представляющих собой объединение любого семейства подмножеств
из р, в том числе пустое множество, рассматриваемое как обьеди-
пенне пустого множества подмножеств из р. Легко доказать, что
возникающее таким образом семейство т удовлетворяет уже всем
аксиомам топологии и будет определять слабейшую из всех топо-
топологий, в которых все подмножества из а являются открытыми.
Сконструированную таким образом топологию т называют тополо-
топологией, порожденной исходной совокупностью а, для которой сама
совокупность а служит системой образующих пли предбазой этой
топологии, а система Р в этой конструкции служит уже базой.
Таким образом, произвольная совокупность подмножеств из А'
может служить предбазой некоторой топологии, тогда как, для
того чтобы служить базой некоторой топологии, как было указано
выше, необходимо и достаточно, чтобы она обладала свойствами
Iй—2°.
П
Замечание 1.7. Чаще оказывается удобным пользоваться сле-
следующим условием, которое является достаточным (вообще говоря,
не необходимым) для того, чтобы исходная совокупность а служила
базой некоторой топологии в X. Оказывается, что для этого до-
достаточно, чтобы объединение всех множеств из а совпадало с X и
совокупность а была замкнутой относительно всевозможных непустых
конечных пересечений. Разумеется, это условие эквивалентно тому,
чтобы непустое пересечение любых двух множеств из а принадле-
принадлежало совокупности а.
Отметим, наконец, что некоторая совокупность подмножеств
из X может служить предбазой или базой лишь для вполне опре-
определенной топологии, тогда как заданная топология может иметь
различные предбазы и базы, причем предпочтение той или иной
базе (соответственно иредбазе) отдают в зависимости от характера
рассматриваемого вопроса.
Примеры 1.24. Топология на плоскости, порожденная все-
всевозможными прямыми, очевидно, есть не что иное, как дискретная
топология.
1.25. Семейство а, состоящее из всевозможных множеств вида
{(.V, //)€К2; а<х<Ь, у?К'\ и \(x,y)?R*\ x?R\ c<y<d\, по-
порождает на плоскости ее обычную (евклидову) топологию.
1.26. Пусть X — множество всех точек некоторого замкнутого
круга с центром в начале координат и пусть р1 — семейство под-
подмножеств из X, состоящее из всех его диаметров и центра (рас-
(рассматриваемого как одноточечное подмножество). Поскольку семей-
семейство!'), очевидно, удовлетворяет обоим условиям предыдущей теоремы,
то в множестве X существует вполне определенная топология, для
которой семейство р1 служит базой. Ниже мы неоднократно вер-
вернемся к рассмотрению этой топологии, так как она обладает не-
некоторыми замечательными свойствами.
1.27. Порядковая то п о л о г и я. Пусть (X, sQ — произволь-
произвольное линейно упорядоченное множество, [J> — система всех его откры-
открытых интервалов вида
(*-, а) г-.\хеХ; х<а\, (а, —)Н*€*; х>а) и (а, Ь)~--
|.v?X; «<л'</;}, где a, b?X. Легко проверить, что система
|> удовлетворяет условиям теоремы о задании топологии посред-
посредством базы, поэтому р1 служит базой топологии в X, называемой
порядковой топологией. Ясно, что одной из предбаз порядко-
порядковой топологии служит система а, состоящая из множеств вида
{-v?X; а'< л'„} и fv?X; х>л'„}, где х0 пробегает все X. Ясно
также, что топология на числовой прямой IR1 есть не что иное,
как порядковая топология, порожденная естественным поряд-
порядком в множестве вещественных чисел.
1.28. Рациональная прямая. Множество Q рациональ-
рациональных чисел, наделенное порядковой топологией, порожденной
естественным порядком на нем, называется рациональной прямой.
1.29. Топология полуоткрытых интервалов. Пусть
(X, sQ произвольное линейно упорядоченное множество, а [У~'—
23
споч-ма всех сю полуоткрытых слева интерналов, т. е. множеств
вида (й, 1>\ --{х€Х\ а<Х'^Ь\ и (• , а) ~.{х?Х; х<га\. Нетрудно
промерить, что система (V ' служит базой некоторо]"] топологии,
называемой топологией полуоткрытых слева интервалов. Аиалш нчпо,
система (i'+l всех полуоткрытых справа интервалов, т. е. множеств
1шда [и, 1>) --{х?Х; сиС.х<Ь\ и \а, —>) = \х ? X; x^sa}, служит
базой топологии, набиваемом топологией полуоткрытых справа
интервалов.
Оказывается, что описанные топологии обладают рядом инте-
интересных «наталогпческих» свойств, которые будут отмечены в даль-
дальнейшем.
Дадим теперь определение базы и предбазы в точке.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.14. Система р\.о открытых окрестностей
точки хи называется базой (локальной базой) в точке х0, если каждая
окрестность U точки х0 содержит некоторую ее окрестность V из
системы |\о; система а^ открытых окрестностей точки х„ называется
предбсиюй в точке х„, если система, состоящая из всевозможных
конечных пересечений множеств из ах^, образует базу в точке л0.
Перейдем, наконец, к определению двух весьма важных клас-
классов топологических пространств.
Oil РЕ ДЕЛЕНИЕ 1.15. Топологическое пространство X назы-
называется удовлетворяющим второй аксиоме счетности или простран-
пространством со счетной базой, если оно обладает базой, состоящей из не
более чем счетного числа открытых множеств; пространство X
называется удовлетворяющим, первой аксиоме счетности, если в каж-
каждой ее точке существует локальная база, состоящая из не более
чем счетного числа окрестностей этой точки.
Очевидно, что если пространство X удовлетворяет второй аксиоме
счетности, то оно и подавно удовлетворяет первой аксиоме счет-
счетности. В самом деле, пусть U1,U,i, ..., Un, ...— счетная база
в X, тогда семейство \\о, состоящее из всех тех множеств этой базы,
которые содержат точку х0, очевидно, образует счетную базу в л0.
Однако существуют пространства, удовлетворяющие первой ак-
аксиоме счетности, но не удовлетворяющие второй аксиоме счетности.
Простейшим таким примером может служить произвольное несчет-
несчетное множество X, наделенное дискретной топологией. В самом
деле, удовлетворение первой аксиоме счетности очевидно, поскольку
для каждого л-„ из X одноточечное подмножество {х„\, будучи от-
открытым, уже служит базой в этой точке. С другой стороны, ясно,
что в состав любой базы такого пространства во всяком стучав
должно входить несчетное множество одноточечных подмножеств
{.у}-, поскольку {л'[ служит открытой окрестностью точки .V is ди-
дискретной топологии.
П р и м с р 1 Ж). Всякое метрическое пространство (X, (>) удовлет-
удовлетворяет первой аксиоме счетности, ибо для каждого л'о € X открытые
шары В (л'о. 1/«) с центром в .у„ и радиусом 1/п, очевидно, образуют
счетную базу в точке ,v0. Между тем если множество X несчетно,
а метрика (> дискретна, то пространство (X, о) п соответствии со
сказанным выше, конечно, не будет обладать счетной базой.
24
Докажем одно замечательное свойство пространств со счетной
базой, однако сначала дадим одно важное определение.
Система S*={/1,, i?l\ множеств /1,-с=Х называется покрытием
пространства X, если объединение (J At всех А/ совпадает с X.
Покрытие S называется открытым (соответственно замкнутым),
если каждое из множеств А( открыто (соответственно замкнуто),
ь X.
Подсистема Т покрытия .S пространства X называется подпо-
подпокрытием покрытия S, если сама система Т образует покрытие X.
ТЕОРЕМА 1.10 (ЛИНДЕЛВФ). Если пространство X обладает
счетом базой, то из любого его открытого покрытия можно вы-
выделить не более чем счетное подпокрытие.
Пусть (Jt — {Un\— некоторая счетная база пространства X, a S -
¦••-{О',•;/?/} ¦•¦произвольное открытое покрытие X. Для каждого
л¦? X обозначим через Gах, один из элементов покрытия S, содер-
содержащих точку х, и пусть Uп{х) —один из элементов базы [5, который
служит окрестностью точки х и целиком содержится в открытом
множестве Giix){x? L/hU)c6\-U)).
Ясно, что объединение отобранного нами счетного числа мно-
множеств {-/„(,., из Pi совпадает со всем X/ U U ,.(х) = Х\. Выбрав для
\хех )
каждого U 11<х) одно из содержащих его множеств G/(x), мы полу-
получим пе более чем счетную систему, являющуюся подпокрытием
покрытия i\
Замечание 1.8. В ряде случаев, когда та или иная теорема
оказывается особенно важной и удачно сформулированной, она
«удостаивается чести» превратиться в определение. Это относится
и к доказанной теореме Линделёфа, а именно: приняв ее утверж-
утверждение за определение, в общей топологии выделен важный и ин-
интересный класс пространств, называемых линёелефовыми или фи-
финально компактными, т. е. таких, в которых из любого открытого
покрытия можно выделить не более чем счетное подпокрытие. Ясно,
что этот класс шире, чем класс пространств, удовлетворяющих
второй аксиоме счетности.
К некоторым свойствам пространств Линделёфа мы вернемся
в § 2,3 гл. 111.
В заключение пункта введем еще одни важный и интересный
класс топологических пространств, определение которого основано
на понятии базы, а именно: топологическое пространство назы-
называется индуктивно нульмерным, если оно обладает базой, состоящей
из одновременно открытых и замкнутых множеств.
Некоторые свойства индуктивно нульмерных пространств ука-
указаны в задачах этого параграфа, а также в некоторых задачах
гл. 111.
1.7, Сходимость последовательности точек в топологическом про-
пространстве. К;ж уже отмечалось выше (см. также теорему Кур<ч-
товского), понятие точки прикосновения и основанное на нем по-
iisiine замыкания множества играют основополагающую роль в топо-
25
логин, поскольку любая топологическая структура полностью
описывается в этих терминах.
Вместе с тем понятие точки прикосновения в силу своей слишком
большой общности существенно сложнее родственного с ним, но
более привычного с точки зрения математического анализа понятия
предела последовательности точек. В этом пункте мы вкратце об-
обсудим существующую между этими понятиями связь. При этом,
очевидно, целесообразно выделить возможно широкий класс про-
пространств, топологическая структура которых может быть полностью
описана исключительно в терминах пределов сходящихся последо-
последовательностей.
Начнем с напоминания того, что последовательность точек (л'„)
метрического пространства (X, р) называется сходящейся к точке
хо?Х, если limp(xn, xo) = O, а это, очевидно, эквивалентно тому,
что любая окрестность G0 точки х0 содержит все точки этой по-
последовательности начиная с некоторой, т. е. существует натураль-
натуральное пи, зависящее от окрестности 00, такое, что л'„?(./„ при всех
п^п0. Последняя форма определения позволяет обобщить понятие
сходимости на последовательности точек в произвольном тополо-
топологическом пространстве.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.16. Последовательность точек (хп) тополо-
топологического пространства X называется сходящейся к точке х„ ? X,
если каждая окрестность Uo точки ха содержит все точки этой
последовательности начиная с некоторой; при этом точку .vn назы-
называют пределом этой последовательности и пишут lim .vH - ха.
п-*-з?
Тогда как, например, в любом метрическом пространстве после-
последовательность не может сходиться к двум различным точкам, в
общих топологических пространствах одна и та же последователь-
последовательность может иметь сколько угодно различных пределов.
Примеры 1.31. В любом антидискретном пространстве каж-
каждая последовательность, очевидно, сходится к любой точке этого
пространства.
1.32. Пусть бесконечное множество X снабжено топологией
Зарисского. Тогда нетрудно проверить, что каждая последователь-
последовательность, содержащая бесконечное число различных точек, сходится
к любой точке пространства X.
В дальнейшем мы увидим, что в очень важном и достаточно
широком классе пространств, называемых хаусдорфовыми, последо-
последовательность не может иметь различных пределов.
Перейдем теперь к выяснению связи между понятиями точки
прикосновения и предела последовательности точек. Прежде всего
ясно, что если последовательность точек (хп) из подмножества А
произвольного топологического пространства X сходится к точке
ло?Х, то эта точка х0 обязана быть точкой прикосновения мно-
множества А, т.е. хп?А и Нтл-„ = л:„ влечет за собой х0 6 А. Между
тем оказывается, что в общих топологических пространствах не
26
для всякой точки х0 ? А найдется последовательность (х„) из А
такая, чтобы !imxn = x0.
'(-юо
Это обстоятельство наглядно иллюстрирует нижеследующий
простой пример.
Пример 1.33. Пусть X— произвольное несчетное множество.
Зададим в X топологию, объявив открытыми пустое множество и
всякое подмножество, получаемое из X удалением не более чем
счетного числа точек (рекомендуется проверить выполнение аксиом
топологии). Докажем, что в полученном таким образом простран-
пространстве X сходящимися последовательностями являются лишь стаци-
стационарные, т. е. такие последовательности (хп), члены которых на-
начиная с некоторого совпадают. В самом деле, пусть вопреки
утверждению нестационарная последовательность (л'„) сходится к
некоторой точке х„. Тогда, взяв в качестве окрестности ,v0 мно-
множество U, получаемое из X удалением всех членов последователь-
последовательности (а'„), кроме самой точки х0 (в случае, если х„ была членом
этой последовательности), придем к явному противоречию с тем,
что U должно было содержат!) все точки последовательности (хп)
начиная с некоторой.
Рассмотрим теперь подмножество А, получаемое из X удале-
удалением, например, одной точки х0. Тогда х„, очевидно, будет точкой
прикосновении множества А. В самом деле, если U- произвольная
открытая окрестность точки хи, то, по самому определению откры-
открытых is X множеств, дополнение X\U не более чем счетно и поэтому
не может целиком содержать в себе несчетное множество/I, откуда
и '.аключаем, что А Л U Ф- 0- С другой стороны, поскольку в про-
пространстве X сходящимися являются только стационарные после-
последовательности, то из х0 ? А следует, что никакая последовательность
точек из А не может сходиться к точке прикосновения А'о?/1.
Тем не менее оказывается, что в пространстве X, удовлетво-
удовлетворяющем первой аксиоме счетности, в частности в произвольном
метрическом пространстве, любая точка прикосновения подмно-
подмножества А из X может быть получена как предел некоторой после-
последовательности точек из А.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.11. Если пространство X удовлетворяет пер-
первой аксиоме счетности, то х0 ? А тогда и только тогда, когда х„
является пределом некоторой последовательности (х„) точек и:< А.
^ Достаточность. Как уже отмечалось, непосредственно из
соответствующих определений следует, что хп?А, Шпх„ = хA, вле-
П +-00
чет за собой хо?А, причем в произвольном топологическом про-
пространстве.
Необходимость. Пусть теперь х0 g А. В случае, если хи ? А,
в качестве искомой последовательности хп, очевидно, достаточно
взять стационарную последовательность х„ — х(). Пусть теперь
х» 6 /1х А и пусть (У,, и.г, . . ., Uп, . . .— счетная база в точке л0,
причем, конечно, можно считать, что Un+laUlt при всех п?Н,
27
иначе Miii рассмотрели бы другую базу \Vn\, где V,,= П Uk. Поскольку
/; = 1
А П U„ не пусто, то, взяв в качестве л„ какую-либо точку из А П U'„,
мы получим последовательность (хп) из Л, сходящуюся к ха.
В самом деле, пусть V— произвольная окрестность точки л',„
тогда, поскольку (Uп) — база в хи, найдется такой элемент Un этой
базы, чю UlltczV. С другой стороны, при всех п.;~пи Uuc:Ulla,
поэтому при нсех таких п будем иметь хп ? А П U„а Vщ czV, а это
и означает, что \'ипхи — х0. ^
П-+Х
В дальнейшем, мы еще вернемся к более подробному обсужде-
обсуждению понятия сходимости последовательности и различных ее обоб-
П1УИПЙ ввиду их особой важности для всех разделов матемачпче-
ского анализа (см. § 4).
1.8. Понятие о внутренности и границе множеств ц топологи-
топологических пространствах. Точка хи топологического пространства К
называется внутренней точкой подмножества М из X, если х0
обладает окрестностью U„, целиком содержащейся в М. Совокуп-
Совокупность всех внутренних точек множества М называется его внут-
внутренностью и обозначается через Iul M.
Легко проверить (см. предложение 1.2), что множество М
открыто тогда и только тогда, когда \ni Л4-= М. Очевидно также,
что для любого множества М из X Int/W представляет собой
объединение всех открытых множеств, содержащихся в /И, т. е.
наибольшее открытое множество, содержащееся в /If.
Кроме того, ясно, что из М с N следует hit M с Int N, а также
и то, что Int (Int M)= Int M, т.е. операция Int перехода к внут-
внутренности монотонна и идемпотентна. Наконец, легко попять, что
для любых двух множеств М, N из X hit (M П Л/) =¦- Int M Г) hit N.
Примеры. 1.34. В топологии числовой прямой R1 Int G и
lnt(iRl\Q), где Q — множество рациональных чисел, пусты.
1.35. В бесконечном множестве X, наделенном топологией
Зарисского для любого бесконечного подмножества /И, дополнение
которого конечно, Int ЛЬ-УМ, тогда как для всякого конечного
его подмножества М hit ЛЬ-0.
Отметим еще два соотношения, выражающих свойство двойст-
двойственности операций перехода к замыканию и перехода к внутрен-
внутренности, а именно: для всякого подмножества М произвольного
пространства X
Проверку этих соотношений двойственности мы предоставляем
читателю.
Точка хп пространства X называется граничной точкой подмно-
подмножества М cz X, если любая ее окрестность содержит точки как
из М, так и из его дополнения СМ. Другими словами, точка яв-
является граничной для /VI, если она служит точкой прикосновения
как для М, так и для СМ.
Совокупность всех граничных точек множества М образует его
границу и обозначается через Г'гУИ. Таким образом, граница
любого множества М представима в виде Fr М = М П СМ и, будучи
пересечением двух замкнутых множеств, сама замкнута. Кроме
того, ясно, что Fr/W = FrCM. Далее, легко проверить, что для
границы любого множества М справедливы представления
Fr М == М\Int М = (М\М) U (M\Int М) - (М\М) U (/И П СМ),
из которых непосредственно выводится следующее простое ут-
утверждение.
IIРВДЛОЖЕНИЕ 1.12. Множество М из X открыто тогда
и только тогда, когда оно не пересекается со своей границей Fr,M,
и сомкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит в себе всю
свою границу.
Предостережение 1.9. Как уже отмечалось выше, опера-
операция замыкания и операция Int перехода к внутренности обладают
свойствами монотонности и идемпотентности. Что же касается
операции Fr перехода к границе, то она этими свойствами не об-
обладает, т. е. из М cz N не всегда можно заключить, что Fr/И с Fr /V
и что, вообще говоря, Fr (Fr М)Ф Fr M. В этом убеждает ниже-
нижеследующий простой пример.
Пример 1.36. В топологии числовой прямой IR1FrQ = R1 и
Fr(R1\Q) = IRI, между тем РгК' = 0 и поэтому хотя Q или R'\Q
суть части R1, однако ни FrQ ни Fr(IR1\Q), очевидно, не содер-
содержатся в FrIR1. Ясно далее, что Fr (Fr Qj-^FrR1 — 0Ф FrQ. По этому
поводу см. также задачу 31.
Отметим, наконец, что множество /И Л СМ, представляющее
собой ту часть границы FrM, которая содержится в М, называется
краем множества М, и поскольку М DCM = M\Int M, то край
множества М состоит из всех его невнутренних точек.
1.9. Структура открытых и замкнутых множеств на числовой
прямой. Канторово совершенное множество. Поскольку задание
топологии в некотором множестве X есть не что иное, как выделе-
выделение системы его подмножеств, объявленных открытыми (удовлетво-
(удовлетворяющих трем аксиомам топологии), то структура открытого мно-
множества в сколько-нибудь общем топологическом пространстве,
разумеется, может быть достаточно произвольной (иредбазой
топологии может служить любая система подмножеств). Более
того, в метрическом пространстве или даже в евклидовом прост-
пространстве R" при п^2 структура открытого множества может быть
Достаточно сложной, а задача ее полного (сколько-нибудь конст-
конструктивного) описания представляется как мало разумной, так и
трудной.
Что же касается числовой прямой R1, то структура ее откры-
открытых и замкнутых подмножеств вполне обозрима и исчерпы-
исчерпывающим образом описывается нижеследующими двумя предложе-
предложениями.
29
ПРИ ПЛОЖЕН И Е 1.13. Всякое открытое в К1 множество О
является объединением не более чем счетного числа попарно непере-
непересекающихся интерпалов *'.
И) этого предложения непосредственно следует справедливость
нижеследующего предложения, полностью описывающего структуру
произвольного замкнутого множества числовой прямой.
ПРЕДЛОЖЕНИИ 1.14. Всякое замкнутое в R1 множество F
может быть получено и:< R1 удалением конечного или счетного числа
попарно непересекающихся интервалов.
Л Пусть G — Rl\F и пусть 1Х — максимальный интервал из G, со-
содержащий точку x?G; тогда и силу предыдущего предложения
G = U Iх, т- <-'¦ предстаиимо в виде объединения не более чем
счетного числа попарно непересекающихся интервалов I х.
Отсюда, переходя к дополнениям, получаем /*"=^ IR'\ (J/v- ^
Замечание 1.11. Упомянутые выше максимальные интер-
интервалы Iх принято называть смежными интервалами замкнутого мно-
множества F, поэтому можно сказать, что любое замкнутое в IR1
множество F получается in IR1 удалением всех его смежных ин-
интервалов.
Замечание 1.12. Доказанные предложения о структуре от-
открытых и замкнутых множеств на числовой прямой во многих
случаях позволяют вместо произвольных открытых множеств огра-
ограничиться рассмотрением отдельных интервалов, тем самым суще-
существенно облегчив исследование очень многих важных вопросов.
Напомним, что точка хп подмножества /1 пространства X назы-
называется изолированной точкой А, если существует открытая в X
окрестность U этой точки такая, что пересечение U \~\ А ¦¦¦¦-{х,|}.
IIРЕДЛОЖЕНИЕ 1.15. Для того чтобы точка х0 замкнутого
подмножества F числовой прямой К1 была его изолированной точкой,
необходимо и достаточно, чтобы х„ была общим концом двух смеж-
смежных интервалов множества F.
Пример 1.37. Простейшим примером бесконечного замкнутого
множества па числовой прямой, состоящего исключительно из изо-
изолированных точек, может служить множество 7, целых чисел, ибо
каждое л ? Z является общим концом смежных интервалов (л —1, п)
и (п, п. !-1) замкнутого множества Z.
Может быть и совершенно противоположная ситуация (см. ниже),
когда замкнутое множество не имеет ни одной изолированной
точки, т. е. является совершенным.
Из только что доказанного предложения непосредственно выте-
вытекает нижеследующий критерий совершенности множества на В?1.
СЛЕДСТВИЕ. Замкнутое множество F числовой прямой R1
совершенно тогда и только тогда, когда его любые два смежных
интервала не имеют общего конца.
Оставшаяся часть этого пункта посвящена описании! одного
замечательного множества на числовой прямой, построенного соз-
*' Здесь к числу интерналои причисляются и иптериалы ьида (—оо, -\- оо),
(— оо, a), (b, -I- со).
30
датслсм классической теории множеств, немецким математиком
Георгом Кантором. Это множество сыграло и продолжает играть
особую роль как в самой теории множеств, так и в ряде других
разделов математики, в том числе и в топологии.
Пример 1.38. К а нто ро во совершенное множество.
Рассмотрим замкнутое множество У7,, -[0, 1] на числовой прямой R1.
Разделим этот отрезок на три равные части и удалим из немо
средний интервал A/3, 2/3) длины 1/3, а оставшееся замкнутое
множество, являющееся объединением двух отрезков [0, 1/3] и
[2/3, 1], обозначим через Fx. С каждым из двух оставшихся отрез-
отрезков поступим так же, а именно: разделим на три равные части и
удалим его средний интервал, т. е. из F, мы удаляем уже два
интервала A/9, 2/9) и G/9, 8/9), имеющие длину 1/32; объединение
оставшихся четырех отрезков обозначим через F.,.
Продолжая этот процесс неограниченно, мы получаем беско-
бесконечную последовательность вложенных друг в друга замкнутых
множеств:
F,,Df1DF!D...=)FnD Fn+l 3 ...
Замкнутое множество F~- П F,,, являющееся пересечением всех
построенных выше множеств F,,, называется канторовым совершен-
совершенным множеством или канторовым дисконтинуумом.
Нижеследующие предложения описывают некоторые из основ-
основных свойств этого замечательного множества.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.16. Канторов дисконтинуум является совер-
совершенным множеством в топологии числовой прямой.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.16'. Канторов дисконтинуум имеет мощ-
мощность континуума.
Доказательство можно найти, например в [1] и [2].
Замечание 1.13. Поскольку точки множества F, являющиеся
концами смежных интервалов, очевидно, образуют лишь счетное
множество, то из предыдущего предложения следует, что основную
массу точек капторова дисконтинуума F составляют его остальные
точки, совокупность которых имеет мощность континуума и кото-
которые служат предельными для концевых точек.
Замечание 1.14. Весьма примечательным представляется и
тот факт, что множество F получено из отрезка [О, 1J удалением
счетного числа интервалов, суммарная длина которых в точности
равна длине всего отрезка [0, 1], и тем не менее оставшееся мно-
множество - канторов дисконтинуум — обладает такой же мощностью,
что и весь отрезок [О, I].
В самом деле, суммарная длина всех удаленных интервалов,
как нетрудно подсчитать, равна сумме ряда
з I з* -I з:« "г •••¦+- 3и+1 -г з ^ V з) •
31
Говоря и терминах теории меры (см., например, |7.'ф, сказан-
сказанное выше означает, что хотя канторов дисконтинуум имеет такую
;ке мощность, что и весь отрезок [О, 1J, однако его Jieoei-омская
мера равна нулю, а мера отрезка [О, Г] равна единице.
Замечание 1.15. В дальнейшем мел докажем ряд замеча-
замечательных свойств канторова дисконтинуума, в том числе и то, что
это множество нигде не плотно (см. п. 2.2), а также вполне не
связно (см. § Г) гл. III).
1.10. Канонически открытые и канонически замкнутые множестка.
В ряде вопросов бывает уместным особо выделять специальные
классы открытых (соответственно замкнутых) множеств.
ОП РЕДЕЛЕПИЕ. 1.17. Подмножество А из X называется ка-
канонически открытым (соответственно канонически замкнутым), если
оно совпадает с внутренностью своего замыкания (соответственно
с замыканием ceoefi внутренности).
Тривиальными примерами канонически открытых и канонически
замкнутых множеств служат открытые (соответственно замкнутые)
шары в '?".
Примеры. 1 Яд. Открытым, но не канонически открытым
множеством служит открытый шар в R", из которого удалено
конечное множество радиусов (рис. 1). Ноли же к замкнутому
шару в iR" присоединить конечное число исходящих из его центра
лучен, то Miii получим пример замкнутого, но не канонически
замкнутого множества (рис. 2).
Рис. I Рис. 2
1.40. Канторов дисконтинуум служит примером не только
замкнутого, но и совершенного множества, которое не является
канонически замкнутым.
Выделенные специальные классы множества связаны с опера-
операцией cl* канонического замыкания и операцией Int* перехода к
каноническому ядру, которые определяются следующим образом:
liit» Л = Int А, с1М = 1пГЛ.
Поскольку, очевидно, А с: А, следовательно, Int Л с: ini* Л,
т. е. открытое ядро всегда содержится в каноническом ядре, то
непосредственно заключаем, что все открытые множества содер-
содержатся в своем каноническом ядре, а канонически открытыми
являются те из них, для которых Int* Л = Л, иными словами, те
32
из них, которые инвариантны относительно операции перехода
к каноническому ядру.
Аналогичным образом, поскольку очевидно, что IntЛ с И,
следовательно, с\*(А)сА, т.е. каноническое замыкание всегда
содержится в замыкании, непосредственно заключаем, что все
замкнутые множества содержат в себе свои канонические замыка-
замыкания, а канонически замкнутыми являются те из них, для которых
с1*(Л) = Л; иными словами, те из них, которые инвариантны отно-
относительно операции канонического замыкания.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.17. Подмножество А из X является кано-
канонически открытым (соответственно канонически замкнутым), если
и только если оно представляет собой внутренность замкнутого
(соответственно замыкание открытого) множества.
•*9 Пусть Л = Int Л, тогда /1 = G, где G--¦= hti А открыто. Обратно:
пусть /l = G, где G — некоторое открытое множество, тогда, оче-
очевидно, (i cz А, поэтому (i с Int Л => G с Inl А, т. с. А с Int Л, по,
с другой стороны, из hit Л с: Л следует Int Л с Л — Л и, стало
бы п., lilt Л = Л.
Переходя к доказательству параллельного утверждения, допу-
допустим, что Л канонически открыто, т.е. Л---Int Л, тогда А - Int F,
где /; = Л замкнуто. Обратно: пусть A — Int/7, где /•"--некоторое
замкнутое множество, тогда, очевидно, Лег/7, /Icf^f, следо-
следовательно, Int А с hit/7 -Л; но, с другой стороны, Л---Int/I cr Int Л
и, стало быть, Int Л-Л. >
Кроме того,оказывается, что операции Int* и cl* идемпотентны,
т. е. многократное применение этих операций равносильно их
однократному применению, а именно имеет место следующее пред-
предложение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.18. Для каждого подмножества А из X
имеют место соотношения
Inl* (Int* И) = Int* Л, cl* (cl* Л) = с1*Л.
•^ Из очевидного включения Int А с А следует hit Л с Л, откуда
Int (Int Л) cr Int Л пли hit* (hit* Л) с: Int* Л. Но, с другой стороны,
hit* Л, как к всякое открытое множество, содержится в своем
каноническом ядре, поэтому верно и обратное включение Int* Л с
с Int* (Int* Л).
Переходя к доказательству второго соотношения, прежде всего
заметим, что с1*Л, как и всякое замкнутое множество, содержит
в себе свое каноническое замыкание с1*(с1*Л). Далее, поскольку
Int Л—открытое множество, то в силу сказанного выше Int Л с
с Inl (Int Л), откуда Int Л с Int (Int Л) или elM с с1*(с1*Л), поэто-
поэтому с!*(с1*Л) --=с1*Л.
В заключение пункта проиллюстрируем введенные понятия еще
на одном примере.
А» 73
3:5
Пример 1.41. Пусть X — подмножество плоскости R", пред-
представляющее собой объединение замкнутого единичного круга и
оси абсцисс, а подмножество Л получается из Л' удалением ниж-
нижней полуокружности вместе с ее концами и верхнего вертикального
радиуса без его начала (рис. 3). Легко проверить, что при этом
А—Х, Int А— открытый круг без упо-
упомянутого радиуса, г7г Л — полная ок-
окружность, упомянутый радиус и часть
оси абсцисс, находящаяся вис круга
v - i j, край /l\Int/l представляет собой
центр круга вместе с двумя открыты-
открытыми дугами верхней полуокружности и
частью оси абсцисс, находящейся вне
замкнутого круга. Далее, Inl*/1 весь
открытый круг, a cl* А ¦- весь замкну-
замкнутый круг.
м '-..". .':. 1.11. Задание топологии с помощью
окрестностей. Опишем конструкцию,
рис з позволяющую задавать в произвольном
множестве /Y некоторую, топологию т
путем сопоставления каждому элементу
из X определенном системы подмножеств из X, называемых его
окрестностями. Такой способ часто оказывается очень удобным,
особенно в тех случаях, когда при введении топологии бывает
достаточно указания системы окрестностей лишь одного элемента:
нуля или единицы, как, например, в линейных пространствах или
группах.
Напомним, что окрестностью точки х„ в пространстве (А', т)
называется всякое подмножество А а X, для которого хп служит
внутренней точкой, т.е. существует с/?т такое, что xa?U cz А.
Основой этой конструкции служит следующее предложение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.19. Система Sx всех окрестностей точки х
топологического пространства X обладает следующими свойствами:
1") точка х принадлежит любому подмножеству из Sx\
2") если U ?SX и U czV, то V?SX, т. е. надмножество окрест-
окрестности является окрестностью;
3") Пересечение конечного числа подмножеств из Sx принадле-
принадлежит Sx\
4") Для каждого U из Sx существует V из Sx такое, что V cz V
и V ? Stl для всех у ? V.
¦^ Первые два свойства непосредственно следуют из определения
окрестности, а для доказательства свойства 3" достаточно привлечь
соответствующую аксиому топологии. Наконец, для установления
свойства 4" достаточно взять в качестве множества V существую-
существующее, по определению окрестности, открытое множество, содержа-
содержащее х и содержащееся в U. >
Оказывается, что, отправляясь именно от этих четырех свойств,
можно в произвольном множестве X задать определенную топо-
топологию, а именно имеет место следующая теорема.
34
TfiOPEMA 1.20 (О ЗАДАНИИ ТОПОЛОГИИ С ПОМОЩЬЮ
ОКРЕСТНОСТЕЙ). Пусть X— произвольное множество и пусть
каждому элементу х?Х каким-либо образом сопоставлена система
подмножеств из X так, что выполняются свойства /"—4" предыдущего
предложения, тогда в множестве X существует единственная топо-
топология г такая, что система Sx всех окрестностей в этой
топологии совпадает с системой подмножеств Sx при всех х?Х.
•4 Рассмотрим семейство т, состоящее из 0 и всех подмножеств
G с X таких, что G?SX для каждого x?G, и докажем, что это
семейство удовлетворяет всем аксиомам топологии, В самом деле,
из свойств 1°, 2° ясно, что Х$х. Пусть теперь G = и Gh где
и-1
G,?T при всех ;? /, и пусть х„ — произвольный элемент из G,
тогда хв ?(!(„, и поскольку Gtl?SXo, то G, будучи надмножеством
множества Gtli, само принадлежит S*o. Пусть, наконец, G = ("I G,.,
k = i
где псе G,(?t, а х„ — произвольная точка из G. Тогда ясно, что
Gk?SXlt при всех k—\, 2, ..., /г. Поэтому по свойству 3° заклю-
заключаем, что G тоже принадлежит SXa, откуда следует, что Ggx.
Таким образом, семейство т действительно задает в X определен-
определенную топологию.
Пусть теперь Sx—система всех окрестностей точки х тополо-
топологического пространства (X, т). Покажем, что Sx совпадает с Sx.
В самом деле, пусть G?SX, тогда существует (У?т такое,
что xQl! d G. По по построению семейства т имеем U ?SX, откуда
по свойству 2" заключаем, что G ?SX. Итак, имеем SxcSx.
Для доказательства обратного включения, рассмотрим произ-
произвольную окрестность U(zSx. Согласно свойству 4" найдется V?_SV
такое, что V с U и при всех // ? V само VQSI:, поэтому V ? т.
Итак, нашлось открытое множество V такое, что х ? V cz U, а что
н означает, что U — окрестность точки х в топологии т, т. е. U ?SX.
Заметим, наконец, что единственность такой топологии т не-
непосредственно следует из того, что если системы всех окрестностей
в двух топологиях совпадают в каждой точке, то эти топологии
тождественны. >
15 дальнейшем мы не раз будем иметь дело с заданием тополо-
топологии с помощью окрестностей, а здесь ограничимся лишь указанием,
что если в метрическом пространстве (X, (>) за систему 5А. принять
семейство всех подмножеств из X, каждое пз которых вместе с х
содержит некоторый открытый шар с центром в х, то порожденная
семейством i\. топология в X совпадет с имеющейся в X метри-
метрической топологией.
Проиллюстрируем способ задания топологии с помощью окрест-
"onu'i па следующем интересном примере.
Пример 1-'12. Рассмотрим плоскую механическую систему,
С из двух шарпирпо соединенных жестких стержней еди-
35
ничной длины, и предположим, что конец одного из них ширнирно
соединен с началом координат системы хОу. Ясно, что каждое поло-
положение ? этой механической системы однозначным образом опреде-
определяется заданием пары углов (<р, гр), образованных перчим (соответ-
(соответственно вторым) стержнем с осью Ох, если условиться рассматривать
эти стержни направленными *'.
Пусть 3— множество всевозможных положений ?--=(<(>, vp) этой
механической системы; е-окрестностью положения ?„ — (ф„, ip0) будем
считать совокупность всех положений \ \\ (гр, \р) таких, что |<|;— <г„|<!
<в и | \р -~\\\ | < е, а за систему ,§j0 примем совокупность всех под-
подмножеств из S, содержащих вместе с s0 некоторую ее е-окреетпосгь.
Легко проверить, что при этом условия теоремы 1.20 будут выпол-
выполнены. Можно доказать, что соответствующее топологическое про-
пространство 3 гомеоморфно, так называемому, двумерному тору (см.
п. 1.1 гл. П).
Замечание 1.16. В большинстве случаев можно пользоваться
несколько более простой и более важной конструкцией задания
топологии посредством окрестностей, при которой задается некото-
некоторая система Ох лишь открытых окрестностей каждой точки множе-
множества X. А именно: пусть каждому х из X сопоставлена система О,,
подмножеств из X, причем так, что выполняются три нижеследую-
нижеследующие аксиомы:
Г) точка х принадлежит любому множеству из Ох;
2°) если U, V принадлежит Ох, то существует W из Ох такое,
что W с U П V;
3°) если U ? Ох и у d U, то существует V?O;i такое, что V с (У.
Оказывается, что если рассмотреть семейство т подмножеств из
X, состоящее из пустого множества и всевозможных подмножеств G
таких, что для каждого x?G существует Ux?()x такое, что U^aCi,
то семейство т будет удовлетворят!) трем аксиомам топологии и
задаст в X некоторую топологию, для которой при каждом х исход-
исходная система Ov служит некоторой фундаментальной системой откры-
открытых окрестностей этой точки, т. е. локальной базой в этой точке,
а совокупность р\ состоящая из всех ОА.,— базой этой топологии.
Пример 1.43. Рассмотрим на комплексной плоскости множе-
множество М всех точек z~--x-\-iy с неотрицательной мнимой частью
(замкнутую верхнюю полуплоскость) и зададим на М топологию
посредством окрестностей следующим образом: если Im z ¦¦¦.-//> 0,
то в качестве 0г примем систему всех открытых кругов с центром
в точке г и целиком лежащих в открытой верхней полуплоскости;
если же г=--х, то за Ог примем систему всевозможных открытых
кругов, касающихся вещественной оси в точке х, к которым при-
присоединена сама эта точка.
Нетрудно проверить, что все упомянутые в предыдущем замеча-
замечании аксиомы выполнены, поэтому система Р подмножеств из М,
состоящая из всевозможных Ог, образует базу некоторой топологии
*' Здесь ф, \р считаются ладанными с точностью до слагаемых, кратных 2л-
36
в множестве М. В дальнейшем мы убедимся, что эта топология
интересна тем, что она служит простым примером, регулярной, но
не нормальной топологии (см. § 2 гл. III).
П р II м е р 1.44. Пусть Е— произвольное банахово пространство,
Е* -сопряженное с ним пространство (пространство линейных функ-
функционалов над Е), а хп — произвольный элемент из Е; при каждом
в > 0 и при любом конечном наборе линейных функционалов /м
/2, ...,/„ из Е* окрестностью элемента х0 множества Е назовем
подмножество из Е вида {х?Е; | /,• (х — .v0) | <(•:, i—\, 2, ..., п\ и
и качестве 0Ха примем совокупность всех таких окрестностей. Тогда
нетрудно проверить, что все аксиомы, упомянутые в предыдущем
замечании, выполнены, поэтому система подмножеств из Е, обра-
образованная из всевозможных Ох, образует базу некоторой топологии,
которую называют слабой топологией в Е (в отличие от сильной
топологии, задаваемой метрикой р (хх, х2) = \xl—x2 [¦). При этом для
каждого х из Е система Ох служит фундаментальной системой
окрестностей.
1.12. Индуцированная топология и подпространства. Оказывается,
что топология любого пространства естественным образом задает
(иидунируег) в каждом подмножестве этого пространства некоторую
вполне определенную топологию. В самом деле, пусть (X, т) — про-
произвольное топологическое пространство, А—некоторое его непустое
подмножество. Рассмотрим семейство тл — {Uл\ подмножеств Vл,
представляющих собой пересечение с Л всех подмножеств U, вхо-
входящих в состав семейства т, т.е. подмножеств вида UA~Ar\U,
где 1/?т. Легко проверить, что это семейство хл удовлетворяет
всем аксиомам топологической структуры и поэтому задает в Л
определенную топологию, которая называется топологией в А, инду-
цирошнной из пространства (X, т).
Топологическое пространство (Л, тЛ) называется подпространст-
подпространством пространства (X, т), и всюду в дальнейшем, если некоторое
подмножество А пространства X само будет рассматриваться как
топологическое пространство, мы всегда будем считать (если это не
будет особо оговорено), что в Л задана именно индуцированная
из X топология.
Предположим теперь, что множество В в свою очередь является
подмножеством множества AczX. Тогда в соответствии со сказан-
сказанным в подмножестве В окажутся заданными две топологии, а именно:
одна, которая индуцируется непосредственно из пространства (X, т),
и вторая, которая индуцируется из пространства (Л, тл). Эти две
топологии, как нетрудно в этом убедиться, совпадают, поэтому
индуцированная в В топология не зависит от того, подмножеством
именно какого объемлющего подпространства пространства (X, т)
мы его рассматриваем. Другими словами, можно сказать, что инду-
индуцирование топологий транзнтивно. Разумеется, без угого свойства
понятие индуцированной топологии не было бы корректным.
Напомним, что подмножество /Ис/1 является, по определению,
замкнутым в пространстве Л, если его дополнение до А открыто
в пространстве А.
37
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.21. Подмножество множества А налается
замкнутым в пространстве А тогда и только тогда, когда оно пред-
представляет совой пересечение с А некоторого замкнутого в X множества.
В дальнейшем вместо выражении «часть множества В, лежащая
в множестве /1» мы часто будем говорить «след В на Л» или
«порция В в Л». Итак, мы можем сказать, что индуцированная
из пространства X топология в подмножестве Л с X задается либо
следами на А всех открытых, либо следами на Л всех замкнутых
множеств в X.
Пусть А—подпространство пространства X и пусть В - некото-
некоторое подмножество в Л; тогда очевидно, что если В открыто в X,
то оно будет открытым и в подпространстве Л. Что же касается
обратного утверждения, то оно, вообще говоря, неверно.
Пример 1.45. В пространстве R:1 любой круг без ограничи-
ограничивающей его окружности открыт и несущей его плоскости, однако
не открыт как подмножество пространства (R:) и даже лишен какой-
либо внутренней точки.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.22. Для того чтобы всякое открытое в под-
подпространстве Л подмножество В было открытым в X, необходимо
и достаточно, чтобы множество А само было открытым подмно-
подмножеством в X.
4 Необходимость очевидна, так как множество Л само является
открытым множеством в подпространстве А. Пусть теперь множе-
множество А открыто в X и пусть В cz А —произвольное открытое в под-
подпространстве А подмножество, т.е. B — AftU, где U — некоторое
множество, открытое в X. Таким образом, В, будучи пересечением
двух открытых в X множеств, само является открытым в А'.
Столь же тривиально доканывается совершенно аналогичное
утверждение о том, что замкнутость множества Л в X является
необходимым и достаточным условием для того, чтобы всякое замк-
замкнутое в подпространстве Л множество было замкнутым и в X.
Легко проверить, что множество К cz Л служит окрестностью
точки хп 6 Л в подпространстве Л в том и только в том случае,
когда V-=Uf\A, где U- ¦ некоторая окрестность точки *„ в X. Ясно
далее, что окрестность V точки хи в подпространстве Л будет ее
окрестностью в X, если только само Л служит для х0 окрестностью
в X. Р-
Пусть теперь В а А с X. Тогда для множества В, очевидно,
определены два различных замыкания, а именно: замыкание В в про-
пространстве X (обозначаемое через Вх) и замыкание В в подпростран-
подпространстве Л (обозначаемое через ВЛ). Относительно связи этих двух
замыканий имеет место следующее простое предложение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.23. Для любого подмножества В множества
А а X замыкание В в подпространстве А есть след на А замыкания
В в X, т. е._ТзА--=ВхпА.
•4 Так как ВА — наименьшее замкнутое в Л подмножество, содер-
содержащее В, а ЪХ1)А, очевидно, содержит В и замкнуто в А, то
3S
ВлсВхП А. С другой стороны, по определению, ВА ¦¦-- F П Л, где F
замкнуто в X, поэтому из В с IiA с F и монотонности замыкания
заключаем, что Вх с F и, стало быть, Вх f] А cZ-Tl А — Вл. Итак,
Ъл ВХ(]Л. >
Л а м е ч а н и с 1.17. Из доказанного предложения ясно, что точка
х0 из Л является точкой прикосновения для В относительно Л,
если и только если она является таковой относительно К.
Замечание 1.18. Легко проверить, что топология, заданная
и подмножестве Л пространства X с помощью операции замыкания,
и соответствии с предложением 1.23 совпадает с индуцированной
в .1 топологией из X.
Предостережение 1.19. Поскольку в дальнейшем всякое
подмножество топологического пространства А' может без особой
оговорки само рассматриваться как пространство с индуцированной
in А' топологией, то возникает необходимость тщательно различать
те пли иные свойства точек или подмножеств, особо указывая точ-
точками пли подмножествами, какого именно объемлющего простран-
пространства мы их рассматриваем.
Так, например, всякая точка х,? Л, очевидно, является внутрен-
внутренней точкой множества Л относителыю пространства Л с инду-
индуцированной из X топологией, тогда как может оказаться, что пи
одна точка из /1 не является для нее внутренней относительно
всего пространства X, как это имеет место в случае, когда X -.-. IR2,
А -I1 сК1.
Замечание 1.20. Если |1 = {(У,-; i?[\— база (предбаза) топо-
топологии в X, то легко проверить, что (>л = {U; П Л; /? /\ будет базой
(предбазой) топологии подпространства ЛсХ. Далее, для всякой
точки хи$А след на Л любой фундаментальной системы ее окрест-
окрестностей в X является фундаментальной системой ее окрестностей
в подпространстве А.
Кроме того, нетрудно убедиться, что если S :-{/!,•; /? /[ является
открытым покрытием пространства X (т. е. Int/l, — A{, (J А{==Х),
it- (
а |>(. — база топологии подпространства Л,-, то объединение f5 всех
семейств |i, образует базу топологии пространства А.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.18. Подмножества Л и В пространства назы-
называются топологически отделенными или, короче, отделенными в А',
если пересечения А [) В и А {] В пусты.
Нетрудно доказать, что если U и (/ — произвольные открытые
(соответственно замкнутые) подмножества из А, то множества Л ¦ =
U\V и B-^V\U будут отделенными в X множествами.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.24. Пусть X ~-А[)В, причем множества
А\В и В\А отделены » X. Тогда подмножество М замкнуто « X
тогда и только тогда, когда его порции МП Л и М Г) В замкнуты
<> подпространствах Л и В.
•< Необходимость сразу следует из предложения 1.23. Для дока-
доказательства достаточности прежде всего покажем, что для любого
подмножества М из А
Э9
(
В самом деле, из Ли(В\Л)--Х следует
М -= (М п А) [} (МП (В\Л)),
поэтому М==(М~Г\~АI)(МГ\(В\А)) и, стало быть,
М П А = (ММ П Л) U (М П (В\Л) П Л).
С другой стороны, из (В\Л) П (<4\Я) -— 0 получаем (В\Л) с:
сС(Л\й), откуда МП(Д\Л) с В. Далее, из М Г\(В\А)с;М П В
следует М п (Й\Л) с /W fl В, поэтому
/Ип(В\Л) с: УИПВ П В
и тем более /МП(В\Л)Л АсМ(]В{}В.
Совершенно так же убеждаемся, что
м п в = ((МТГв) п в) и (Мп(АД) п я,
причем УИП(Л\Л) П В_с (М I) А) (} Л, поэтому из М ^ (М п Л) и
U (М П В) заключаем М = (М П Л П Л) и (Л7! П Л Г) В). Из доказанной
формулы уже легко вытекает нап:е утверждение, ибо замкнутость
следов М A Л и М [\ В в подпространствах Л и В соответственно
означает, что
(ЛПТЛпЛ) -МП Л, (М[\ВпБ)-;--М[\В,
поэтому
/И -= (М[] Л) U (/И П В) -- М П (Л U В) -- М П X = М
и, стало быть, /И замкнуто. >
СЛЕДСТВИИ. Пусть Х = А\}В и пусть Л\В и В\А отделены
в X, тогда подмножество М открыто в X тогда и только тогда,
когда М П Л открыто в Л и М fl В открыто в В.
•^ Утверждение легко следует из только что доказанного предло-
предложения, если принять во внимание, что след дополнения совпадает
с дополнением следа, т. с.
(Х\УИ)ПЛ-Л\(МП Л) и (Х\М)()В»-В\(М{)В). >
Замечание 1.21. Некоторое свойство пространства X при-
принято называть наследственным свойством, если этим свойством
обладает каждое его подпространство.
Так, например, свойство пространства удовлетворять первой или
второй аксиоме счетности является свойством наследственным, так
как мы уже знаем, что след счетной базы (счетной локальной базы)
в X на любом подпространстве Л есть счетная база (счетная локаль-
локальная база) в Л.
Наследственным является также свойство пространства быть
метрическим, так как каждое его подпространство, очевидно, также
является метрическим (иначе говоря, метрическая топология инду-
индуцирует лишь метрическую топологию).
Задачи
1. Пусть С" — множество всех упорядоченных наборо» г---(г,, г2, ..., г„),
состоящих из п комплексных чисел гь г-,, ..., г„.
Для каждой пары элементов z'=(г[ г'п) и z"-—-(zi гп) положим
p(z', z") = i/ 2( z,' — z';|". Докажите, что (С", р)—-метрическое пространство.
2. Пусть X — множество всех прямых трехмерного пространства, проходящих
через фиксированную точку, и пусть для каждой пары прямых /ь 1г из А' рае-
стоннне p('i. 'г) равно меньшему из углов, образованных этими прямыми. Дока-
Докажите, что (X, (>) — метрическое пространство.
3. Пусть ^ = {/•'}— семейство непустых замкнутых подмножеств F конечного
диаметра метрического пространства (М, ()). Докажите, что если для любой пары
'i> ^абоР определить расстояние как их уклонение, которое задается но формуле
()(/'i, Ft) max | sup j> (x, F2); sup p (x, F,\ ,
то (,'jF, ()) — метрическое пространство.
4. Приведите пример открытого шара (> (х0, х) < I в метрическом просганстве
(М, |)), замыкание которого не совпадает с замкнутым шаром р (*„, х) -^ 1.
5. Может ли шар большего ридиуса метрического пространства (М, р) ока-
оказаться строю внутри шара меньшего радиуса?
6. Пусть X — множество всех прямых трехмер\юго пространства. Для каждой
пары прямых /|, /.2 из X положим |>(/|, /2) равным меньшему из углов, образо-
образованных этими прямыми. Докажите, что р — не метрика, но псевдометрика па Хи
что соответствующее псевдометрическому пространству (X, р) метрическое простран-
пространство (см. замечание 1.3) и:юметричпо метрическому пространству предыдущей
задачи 2.
7. Пусть /: X—>№'—произвольное отображение множества X а числовую
прямую R1. Докажите, что, положив р (Х|, x2) — | /(*i) — / (x-i) |, получим некоторую
псевдометрику па X. Если же / ннъектнвно, т. е. если х1 Ф х2 влечет /' (л:,) ф j (х.г),
то р будет уже метрикой.
Н. Покажите, чт дискретная топология может быть порождена некоторой
метрикой, а тривиальная топология — некоторой псевдометрикой.
!). Перечислите всевозможные топологии и множестве, состоящем лишь из
трех элементов.
10. Пусть рь |>2 — дне метрики на одном и том же множестве X и пусть
существует постоянная с > 0 такая, что для любых хх, хг из X выполняется соот-
шенне (>i(x-[, x2) <t|J (*[, хг). Докажите, что топология Т\, порожденная метри-
метрикой о,, слабее топологии |>2, порожденной (ь.
11. Две метрики |i|, (i2 на множестве X называются эквивалентными, если
порожденные ими топологии в X совпадают. Докажите, что если существует
постоянная с > 0 такая, что для любых л:,, х2 из X выполняется соотношение
~{н(х\, х-г) ^|>i (хь ii)<t()j(X|, х.г), то j)t эквивалентно р2. Используя это,
докажите, что евклидова метрика в К" эквивалентна метрике р0 (см. п. 1.1) в R".
12. Пусть F и О — соответственно замкнутое и открытое подмножества произ-
произвольного топологического пространства. Докажите, что /;\G замкнуто, a G\F
открыто.
13*. Докажите, что, применяя к подмножеству М топологического простран-
пространства X операции замыкания и перехода к дополнению (до X), можно получить
не более чем 14 различных подмножеств; приведите пример, когда число различ-
различных подмножеств оказывается именно 14.
14. Пусть G — открытое, а Л — произвольное подмножества топологического
пространства X. Докажите, что если G[)A = 0 то, G(\A тоже пусто.
15. Покажите, что замкнутый шар в К" служит замыканием открытого шара
с темп же центром и радиусом.
И). Рассмотрим h:i плоскости R2 множество А, состоящее из точек графика
Функции у sin l/x |1|)И 0 < л:< 1/л, а также множество В, состоящее из точек
отрезка —1<(/«=;; 1 оси ординат. Докажите, что A' = A(JB.
4)
17. Пусть М, .V—произвольные подмножества из пространства Л'. Докажите,
что М f)A а /VI П Л', " прицедите пример, когда эти множества не совпадают.
18. Приведите пример подмножества М прострапстна Л, для котором!
(ЛГУ Ф ЛГ.
10. Докажите, что дли любого семейства {A,; '?/} подмножеств 7\ проарап-
стпа X hmcioi место соотношения
( и л,-\=> и л], ( п л/Ус п а].
\ir I ) ill Vie / / не /
Нсли же 1- {1, 2, ..., п}, то (Л, U /1 .U • ¦ ¦ U >!«)' — ^ i' U й-i U - • • К Л,',.
20. Докажите, что для любою иодмножесгна А пространства (X, |>) (и част-
частности, для К") верно cooiношение (А1)' С А' и что Л' замкнуто.
21. Покажите, чш система .S' открытых множеств прострапа иа X является
ба toii в А, если и только если для каждого х„?Х система 5Ло, состоящая из
всех множеств системы 6", содержащих xlh образует фундаментальную систему
окрес [ постен точки л„.
22. Докажите, что в любом пространстве со счетной базой множество июли
рованпых точек не более чем счетно.
2,\. Докажите, что в любом пространстве со счетной базой всякое семейство
непустых дизъюнктных открытых множеств не более чем счетно.
24. Пусть А' —песчешое множество, снабженное топологией Зарисского
Докажите, что пи в одной точке этого пространства не существует локальной
счетом базы.
25. Докажите, что если пространство X обладает счетной базой, то в любой
его несчетной базе \\ найдется счетная подсистема р(| системы р\ также являю-
являющаяся базой пространства А'.
20. Докажше, что пространство (X, т..) полуоткрытых слева интервалов
вещее: вен пых чисел (см. пример 1.29) не удовлетворяем второй аксиоме cmcthoci и.
27. Ilycii. Л — произвольное пространство и AlczX. Докажите, что 1-'гЛ1--:0
только в :ом случае, когда М одновременно открыто и замкнуто.
2Н. Приведите пример двух канонически открытых множеств, объединение кото-
которых уже не является канонически открытым, и пример двух канонически амк-
кутых множеств, пересечение которых уже не является канонически замкну;ым.
2Я. Докажите, что дополнения канонически открытого множеств.-! канонически
замкнуто, и наоборот.
3A. Пусть А'—топологическое пространство и пусть Л1 с -V С: Л'. Докажите,
что Intд'Л7 С lntjV/VJ, где Inl \М Aм1д'Л1) — внутренность множества Л/ «нпосп-
¦re.Ti.no X (соотве:ственно относительно пространства Л'). Приводите пример, koi да
эти внутренности различны.
31. 15 обозначениях, аналогичных обо шаченпям, принятым в предыдущем ia-
даче, докажите, чт 1тд'Л/ содержится в следе на Л' границы ГтуЛ'/, и приведите
пример, когда эти множества различны.
32. Приведите примерь! индуктивно нульмерных, но не дискретных про-
пространств.
33. Докажите, что пространство (X, т_) полуоткрытых интервалов |к, Ь)
(см. пример 1.29) индуктивно нульмерно.
§ 2. РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ ПОДМНОЖЕСТВ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
В этом параграфе изучаются некоторые специальные классы под-
подмножеств топологических пространств, играющие весьма важную
роль как в самой топологии, так и во многих других разделах
математики.
2.1. Локально замкнутые множества. L3 этом пункте мы дадим
краткое описание одного важного класса подмножеств топологи-
топологических пространств, называемых локально замкнутыми.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Подмножество М пространства X назы-
называется локально замкнутым в своей точке х0, если существует такая
42
ос окрестность U0 и X, что след М на U№ (т. е. пересечение /И П U{))
замкнут в подпространстве Uп. Нсли /VI локально замкнуто в каж-
каждой своей точке, то оно называется локально замкнутым подмно-
подмножеством пространства X.
Каждое замкнутое подмножество М очевидно и локально за-
замкнуто, ибо для каждого х?М и каждой ее окрестности U след
М П U замкнут в U (по определению индуцированном топологии).
Между тем из нижеследующего примера видно, что локальное
замкнутое множество не обязано быть замкнутым.
Примеры. 2.1. Всякое открытое, но не замкнутое множество
уже служит примером локально замкнутого, но не замкнутого мно-
множества. В самом деле, пусть G -непустое открытое множество про-
пространства X. Тогда, взяв в качестве окрестности U произвольной
точки x?G само множество G, будем иметь G(]U- G, которое за-
замкнуто в G (по определению индуцированной топологии).
2.2. Множество Q рациональных чисел, так же как и множе-
множество CQ иррациональных чисел, служат примерами множеств, не
являющихся локально замкнутыми пи в одной своей точке, так как
для каждой рациональной точки rfQ и любого содержащего ее
интервала (a, [S) замыкание следа Q П (^, Г>) относительно (а, Р),
очевидно, совпадает со всем интервалом (а, |:5), а не только с мно-
множеством рациональных точек из (а, р"). В случае множества CQ ир-
иррациональных точек ситуация вполне аналогична рассмотренной.
В дальнейшем мы еще вернемся к различным свойствам локаль-
локально замкнутых множеств (см. также задачи 1 и 2 этого параграфа),
а здесь мы ограничимся доказательством двух критериев локальной
замкнутости и приведением еще нескольких примеров.
ПРЕДЛОЖЕНИИ 2.1. Для локальной замкнутости множества М
пространства X необходимо и достаточно, чтобы М являлось от-
открытым подмножеством подпространства М.
¦4 Необходимость. Пусть М локально замкнуто в Л, a ,v() —
произвольная точка из /И. Заменяя участвующую в определении
2.1 окрестность Uu на Intc/0, легко понять, что можно без огра-
ограничения общности считать UH открытой окрестностью. Положим
V» ~ = М П Uи " докажем, что Vo является также и следом М на Uo,
т. е. что М О U„--- М (] Uo, откуда и будет следовать, что VacM
служит окрестностью точки ха в подпространстве М, т. е. х0 — внут-
внутренняя точка для М относительно М. Включение М П (У„с Л/ П Uo
очевидно.
Докажем обратное включение. Так как /И n Uo замкнуто в Uo,
то /И П Uи -- М Г) Un I) Ua. Поскольку ^„открыто, то справедлнвовклю-
чение Uo П МсМ П Ua (см. задачу 14, §1), поэтому, приняв во внима-
внимание очевидное включение M(}Unc:Ua непосредственно заключаем:
Мг\ио<=(мКЩ()ио)^мпиа.
Достаточность. Пусть М —открытое подмножество в под-
подпространстве М. Тогда, по определению индуцированной топологии,
M = M()U, где U открыто в X. Докажем, что всякое U служит
43
требуемой для локальной замкнутости окрестностью произвольной
точки х„ из М. Ясно, что xo?U, поскольку МczU, поэтому доста-
достаточно убедиться в том, что М П U замкнуто в U. В самом деле,
М П U = (УИ П U) П U = М П U, которое замкнуто в U как след за-
замкнутого в X множества М на U. ^
СЛЕДСТВИЕ. Множество М пространства X локально замкнуто
в том и только в том случае, когда множество М\М замкнуто
в подпространстве М.
•4 Поскольку замкнутость множества Л4\М равносильна открыто-
открытости М в подпространстве М, то утверждение непосредственно сле-
следует из доказанного предложения, р-
Пример 2.3. Множество М, получаемое из замкнутого в IR"
шара удалением его центра или конечного числа диаметров, слу-
служит примером не замкнутого, не открытого, по локально замкну-
замкнутого в R" множества.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2. Для локальной замкнутости множества М
пространства X необходимо и достаточно, чтобы М было предста-
вимо в виде пересечения некоторого открытого и некоторого замкну-
замкнутого мшшества из X.
¦щ Необходимость. Пусть М локально замкнуто, тогда в силу
предложения 2.1 М открыто в подпространстве М и, стало быть,
представимо в виде М = М{]11, где U — некоторое открытое п X
множество, которое и есть искомое представление, ибо М, очевидно,
замкнуто в X.
Достаточность. Пусть М F(]G, где F замкнуто, а 0 от-
открыто в X. Докажем, что это множество G служит фигурирующей
в определении локальной замкнутости окрестностью для каждой
точки .г,, из М. В самом деле, след М на О, т. е. множество М flG,
совпадает с F П G и, очевидно, замкнуто в G как след в G замкну-
замкнутого и X множества /;. >-
СЛЕДСТВИЕ. Множество М локально замкнуто в X тогда и
только тогда, коэда М представимо в виде разности двух замкну-
замкнутых (соответственно открытых) в X множеств.
^ Необходимость. Пусть М локально замкнуто, тогда в силу
предложения 2.2 M — F(]G, где F замкнуто, a G открыто. Так как
G -X\F, где F —замкнуто в X, то М -- F fl(X\F) - F\F.
Достаточность. Пусть M---F\F, где F и F замкнуты в X;
тогда М Ft)(X\F) ~~F\)G, где G--* X\F открыто в X, откуда
в силу предложения 2.2 множество М локально замкнуто.
Параллельное утверждение доказывается совершенно анало-
аналогично. ^>
Отметим, что приведенные критерии представляют широкие воз-
возможности конструирования самых различных примеров локально
замкнутых множеств.
2.2. Всюду плотные и нигде не плотные множества.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Пусть А и В -подмножества топологи-
топологического пространства X; А называется плотным в В, если замы-
44
канне Л содержит B(Az^B), т. е. если каждая точка из В явля-
является точкой прикосновения для А.
Легко проверить, что если А плотно в В, а В в свою очередь
плотно в С, то Л плотно в С. Непосредственно из определений
следует, что если А плотно в открытом в X множестве U, то
Ua Int А. Вместе с тем очевидно, что А всегда плотно в Int А. Таким
образом, оказывается, что IntЛ, т. е. каноническая внутренность
множества Л, является максимальным открытым множеством, в
иотором Л плотно.
В том частном случае, когда \ntA^=X, или, что то же самое,
А - X, говорят, что Л всюду плотно.
В другом крайнем случае, когда 1^Л —0, множество Л назы-
называют нигде не плитным. Другими словами, множество Л нигде не
плотно, если оно не плотно ни в одном непустом открытом мно-
множестве.
Примеры. 2.4. В топологии числовой прямой множество Q
рациональных чисел плотно в множестве CQ иррациональных чисел,
и наоборот.
2.5. В пространстве R" примером счетного, всюду плотного мно-
множества служит множество Q" всех точек с рациональными коор-
координатами.
2.6. Простейшими примерами нигде не плотных множеств на
R2 служат любая прямая, любая кривая второго порядка. Можно
доказать, что любая алгебраическая кривая также является нигде
не плотным множеством в IR2.
Относительно строения нигде не плотных множеств имеет место
следующее предложение, которое может служить также и опреде-
определением нигде неплотности.
ПРЕДЛОЖЕНИИ 2.3. Подмножество А топологического прост-
пространства X нигде не плотно, если и только если каждое непустое
открытое в X множество U содержит в себе непустое открытое
подмножество V, свободное от точек А.
¦4 Необходимость. Пусть Л нигде не плотно, a U — произволь-
произвольное непустое открытое в X множество. Тогда, по определению
нигде неплотности в V найдется точка .v(, ? А и поэтому найдется
открытая окрестность W точки х0 такая, что А П W •= 0. Положив
V ¦¦ UF\W, получим непустое открытое подмножество VcU, сво-
свободное от точек множества А.
Достаточность. Пусть теперь условие предложения выпол-
выполнено и пусть вопреки утверждению U — Int А ф 0. Тогда в U наш-
нашлось бы непустое открытое в X подмножество V, не пересекающе-
пересекающееся с Л, что нелепо, так как для^каждой точки х0 ? V получилоаь
бы v0 ^ Int ^4 и в то же время хо?А. >
Принято также выделять множества, называемые граничными,
т. е. такие множества, дополнения которых всюду плотны. Такие
множества характеризуются следующим предложением.
//РЕДЛОЖЕПИЕ 2.4. Множество М пространства X грани-
гранично, если и только если hit M пусто.
•^ Н е о б х од и м о ст ь. Пусть М гранично, т. с. СМ = Х\М всюду
плотно. Тогда из формулы Х\ Int М -= X \М и из Х\М-—Х не-
непосредственно заключаем, что lntM — 0.
Д о с г а т очно с т i.. Пусть lut М = 0, тогда из топ же формулы
имеем X\/V1 = A'\Int М-^ X. >•
Легко проверить, что А нигде не плотно тогда и только тогда,
когда его замыкание Л гранично. Ясно также, что всякое нигде
не плотное множество гранично, но по наоборот, как, например,
множество :Q в R1, очевидно, гранично, однако не является нигде
не плотным, а напротив, всюду плотно. Однако в классе замкну-
замкнутых множеств этого уже не может быть, т. с. если замкнутое мно-
множество гранично, то оно нигде не плотно. В самом деле, если
А-----А и Int/T-0, то Int Л тоже пусто, т. е. нигде не плотно.
Предостережение 2.1. Хотя ясно, что дополнение нигде
не плотного множества М всегда всюду плотно (из hit M =¦¦ 0 сле-
следует \п\. М--- 0, поэтому Х\Л1 -= X\lnt M -- X), однако дополне-
дополнение всюду плотного множества не всегда является нигде не плот-
плотным (множество Q всюду плотно на R1, а его дополнение также
всюду плотно на R1). Вместе с тем если всюду плотное множество
открыто, то этого уже не может быть, а именно имеет место сле-
следующее предложение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.5. Открытое множество всюду плотно, гели
и только если его дополнение нигде не плотно.
¦4 Необходимость. Пусть А = Int Л и А — X, тогда СА — Х\А,
будучи замкнутым и граничным, как мы видели выше, будет нигде
не плотным.
Достаточность. Пусть С А нигде не плотно, тогда, как от-
отмечалось выше, С(СА)--Л всюду плотно. >
Замечание 2.2. При доказательстве достаточности предпо-
предположение открытости множества Л не было использовано.
Замечание 2.3. Полезно иметь в виду, что если множество А
плотно в В, всюду плотно или нигде не плотно, то соответствую-
соответствующими свойствами обладает его замыкание, и наоборот.
Замечание 2.4. Если множество А всюду плотно, то оно не-
непременно содержит все изолированные точки пространства X. Г:сли
же топология в X является дискретной, то единственным всюду
плотным множеством является само X.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.6. Канторов дисконтинуум F является ни-
нигде не плотным подмножеством числовой прямой R1.
•^ Достаточно доказать, что Int F = Int F = 0, т. е. что множество F
лишено внутренних точек. Пусть х„ — произвольная точка из F.
Покажем, что, как бы мало ни было е>0, в интервале (х0 — к,
ло-|-е) найдется точка из множества Rl4\/\ В самом деле, пусть /;0
выбрано так, что 1/3"» < к. Тогда поскольку х0 принадлежит F,h,
которое состоит из 2''° попарно непересекающихся отрезков длины
46
],;¦}"¦¦, го л'„ будет принадлежать только одному из этих отрезков,
который мы обозначим через Л. Ясно, что этот отрезок Л неликом
содержится в интервале (.v,, — г, х„-\-г), и поскольку при построе-
построении множества F,lci+I нужно, в частности, удалить из отрезка Л его
среднюю треть, то в отрезке А, а стало быть, и в интервале
(V -I-'. *о-! *¦') найдется целым интервал из дополнения 'R'X/7,,,, M
множества F,,n+i, а подавно и из дополнения IR.1 \/; множества F.
Итак, замкнутое множество F не имеет внутренних точек. >
ПРЕДЛОЖИЛИ И 2.7. Граница любого подмножества М простран-
пространства X представима в виде объединения двух граничных множеств.
¦4 Как мы уже знаем, Fr М — (М\ М) (J (Af\Inl M); оказывается,
это и ест I) искомое представление. Для этого нам надлежит убе-
убедиться, что как Int (/М\/И),так и Int(/U\lnt M) пусты. В самом деле,
допустим вопреки утверждению, что нашлась бы точка ,v(l ? Int(/Vf\/W),
тогда нашлась бы окрестность (/„этой точки в X такая, что (/()сУИ\
\/М, и поэтому U п, очевидно, было бы окрестностью д-„ и в М. С другой
стороны, так как М всюду плотно в своем замыкании /W, то
(/„ fl М Ф 0, что нелепо, ибо UncCM.
Пусть теперь попреки утверждению .vn ? Int (Л1\1п1 УМ). Тогда
нашлась бы окрестное! ь Va точки л'„ в X такая, что VocVf\Int M с/И
и, стало быть, л„ принадлежало бы Int M, что невозможно, ибо
-v,,€ X\lnt M. >
В заключение отметим несколько свойств о всюду плотности,
нигде неплотности и граничпости относительно подпространства,
доказательство которых предоставляем читателю в качестве упраж-
упражнении.
ПРЕДЛОЖЕНИИ. 2.8. Пусть Л—подпространство пространства
X и пусть В си А; тогда: 1 ) если В впаду плотно в А и А всюду
плотно в X, то В также всюду плотно в X;
2е) если В гранично или нигде не плотно в А, то В будет таким
¦лее в X;
¦Т) если А (-ткрыто в X, В гранично или всюду плотно в X, то
В будет таким же в Л.
2.3. Сепарабельные пространстиа. Еще один важный и очень часто
встречающийся класс топологических пространств состоит из так
называемых сепарабельпых пространств, описанию которых посвя-
посвящен этот пункт.
ОЛРЕДЕЛНИНЕ 2.3. Топологическое пространство называется
сеиарабсльным, tcin в нем существует счетное и всюду плотное
подмножество.
Важнейшими примерами сепарабельпых пространств служат R",
С)а, b\, L (а, Ь)\ счетными всюду плотными множествами в них
являются: в R"—множество точек с рациональными координатами,
в С\а, 1>\ и L (а, 1>) — множество полиномов с рациональными
коэффициентами.
Тривиальным примером песепарабелыюго пространства может
с.'пжпть любое пространство с дискретной топологией, состоящее
из несчетного множества точек.
47
Пример 2.7. Пространство Бэра. Рассмотрим множе-
множество М всех бесконечных последовательностей натуральных чисел
? = («!, л2, ..., пк, ...), где Hft?N, и введем в М метрику следую-
следующим образом: для каждого |?М положим р(|, ?) = (), а для раз-
различных элементов ? = («,, л2, •••, нЛ, . ..) и г] —(т1( т.г, ...,
wft, ...) положим р(?, т])=1/Х, где Я, — наименьший индекс, при
котором П\Ф тк. Тогда нетрудно проверить выполнение аксиом
метрики. Метрическое пространство (М, р) называется простран-
пространством Бэра и служит, в частности, нетривиальным примером сепа-
рабелыюго пространства.
Счетное и всюду плотное в М множество можно построить ниже-
нижеследующим образом. Пусть Мк— множество всех последовательно-
последовательностей вида ? = («,, н2, ..., пк, 1, 1, ...), где первые /г координат
(а именно: л,, /г2, ...,nk) независимо друг от друга принимают
всевозможные натуральные значения, а все последующие коорди-
координаты равны единице. Ясно, что множество М =¦-- {} Мк счетно, как
счетное объединение счетных множеств. Оказывается, что это мно-
множество М всюду плотно в пространстве Бэра (М, р). В самом деле,
если | = (mt, т2, ..., пгк, ...) — произвольная точка из М, то, по-
положив ?ш = (/72,, тг, ..., тк, 1, 1, ...), мы получим последова-
последовательность точек ?ш из М, которая будет сходиться к точке |
в пространстве (М, р), ибо очевидно, что р(?, ^/;Х 1/(/г+1).
Пример 2.8. Пусть X — множество всех ограниченных после-
последовательностей вещественных чисел ^ = (хг, хг, . . ., хп, . . .) и пусть
р(^, ri) = sup|xft—ук\, тогда (X, р) — метрическое пространство,
(*)
которое не сепарабелыю. В самом деле, рассмотрим множество М
всех точек из X, координаты которых принимают лишь значения О
или 1, имеющее мощность континуума (см. [1|, с. 43). Совершенно
ясно, что расстояние между точками из /И в точности равно 1,
поэтому, окружив каждую из них открытым шаром радиуса 1/2,
получим несчетное множество попарно непересекающихся шаров.
Ясно также, что всякое всюду плотное в X множество непременно
должно иметь хотя бы по одной точке в каждом из этих шаров,
поэтому мощность этого всюду плотного множества должна быть
не меньше мощности континуума, что и означает нссспарабелыюсть X.
11РЕДЛО'/КЕНИЕ 2.9. Если пространство X обладает счетной
ба:«>й, то оно сепарабельно.
<$ Пусть Ux, U2, ..., Uи, ...—некоторая счетная база в X.
Образуем счетное множество М ={а„\, выбрав по одной точке а„
из Uп, и докажем, что М всюду плотно. В самом деле, пусть х0 -
произвольная точка из X, a Uo — произвольная ее окрестность.
Тогда, поскольку \UU\—база в X, найдется такое U„0, которое
целиком содержится в U0, поэтому а„п тоже принадлежит Un. Итак,
каждая окрестность Vа произвольной точки х0 содержит точку из /И,
т. с. М всюду плотно. ^
Предостережение 2.5. Обратное утверждение неверно, т. е.
сепарабельное пространство не обязано обладать счетной базой
18
(см. пример 2.8), вместе с тем ниже будет доказано, что в метри-
метрических пространствах из сепарабельности следует существование
счетной базы.
Пример 2.9. Пусть X— несчетное множество, наделенное то-
топологией Зарисского. Тогда ясно, что любое бесконечное, в том
числе и счетное, подмножество М пространства X всюду плотно,
поскольку его замыкание /VI, будучи бесконечным и замкнутым
множеством, должно совпадать со всем пространством X. Значит,
X сеиярабельно, хотя нетрудно понять, что оно не может обладать
счетной базой. В самом деле, пусть вопреки утверждению р1 — {Uп) —
счетная база в X, х0 —произвольная точка из X, а А„ — f) U„ —
пересечение всех элементов из р", содержащих х0, тогда легко
видеть, что Ао состоит лишь из самой точки х„. Для этого пред-
предположим, что существует у„бЛ0, УйФка> 1! положим V —Х\{у„},
тогда найдется множество f,,o?p" такое, что хи ? U „naV. Отсюда
непосредственно заключаем, что Ап, а стало быть, и точка уи со-
содержатся в V, что очевидным образом противоречит построению
множества V. Таким образом, доказано, что А0 — {х„}. Рассмотрим
теперь дополнение САЬ= UCU,, и заметим, что каждое подмпо-
жество CUn. состоит из конечного числа точек (так как замкнуто
в топологии Зарисского и отлиио от всего X), поэтому в правой
части этого равенства имеется счетное множество, тогда как слева
имеется несчетное множество Х\{л'„}.
Полученное противоречие доказывает, что пространство X не
может обладать счетной базой.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.10. Метрическое пространство (X, р) сспа-
рабельно тогда и только тогда, когда оно обладает счетной ба:юй.
¦ц Необходимость. Пусть (X, р) сепарабелыю и М — {ап)—
некоторое счетное и всюду плотное в X множество. Обозначим
через Sn систему всех открытых шаров с центром в точке ап и
рациональными радиусами, а через ..S — совокупность всех таких
систем при н-=1, 2, 3, ... Ясно, что система S открытых в X
множеств является счетной, так как она представляет собой объ-
объединение счетного числа счетных систем.
Докажем, что система S удовлетворяет критерию базы (см. пред-
предложение 1.8) и поэтому служит счетной базой в X. В самом деле,
пусть х0 — произвольная точка из X, a Uo—'Произвольное, содер-
содержащее х„ открытое множество. Тогда существует е > 0 такое, что
В(х„, e)czl!0. Далее, поскольку множество М всюду плотно, при
каждом г0 > 0 найдется точка а„а из М, лежащая внутри шара
B(.vA, r0). Если же выбрать в качестве г0 некоторое рациональное
число, меньшее е/2, то шар В(ап„, гп) будет содержать точку х„ и
Целиком находиться внутри шара В (х0, е). Это легко следует из
неравенства треугольника, ибо при любом х? В (а„0, /¦„) будем иметь
р (х0, х)^р (х0, а„0) -J- р (а,1д, х)< r0 + rQ < e.
49
Тпким образом, взяв в качестве Vn шар В(ап„, г,,), из системы S
будем иметь xa?VcU, чем и завершается доказательство необхо-
необходимости.
Достаточность была уже доказана в предложении 2.9, причем
для произвольных пространств. ^
Предостережение 2.0. Следует иметь в виду, что наличие
у общего топологического пространства локальной счетном базы
и каждой точке все еще недостаточно для обращения предложе-
предложения 2.9, т. с. сепарабельное и удовлетворяющее первой аксиоме
счетноети пространство все же может не обладать счетной базой
(см. пример Хелли | 11 ], с 222).
2.4. Множества нерпой и второй категории; теорема Бэра.
Нигде не плотные множества топологического пространства не
тол,ко сами, но даже их замыкания не имеют пи одной внут-
внутренней точки или, образно говоря, являются «худыми» в том смысле,
что занимают «слишком мало» места, поэтому в ряде вопросов
такими множествами оказывается возможным пренебречь. Вместе
с тем оказывается, что в большинстве из таких вопросов «несу-
«несущественными» или «худыми» целесообразно считать и более широкий
класс множеств, чем нигде не плотные.
ОН РЕДЕЛ ЕЛИ Е 2.4. Подмножество М пространства X назы-
называется множеством нерпой категории или тощим множеством, если
оно представнмо в виде объединения не более чем счетного числа
нигде не плотных множеств.
Пример 2.10. В пространстве IR" любое одноточечное под-
подмножество, очевидно, нигде не плотно, поэтому множество 0" всех
рациональных точек служит примером множества, которое хотя и
всюду плотно в R", но все же является множеством первой ка-
категории.
Легко попять, что любое подмножество множества первой ка-
категории, а также объединение не более чем счетного числа множеств
первом категории есть снова множество первой категории.
Перейдем теперь к рассмотрению множеств, являющихся в про-
противоположность множествам первой категории, образно говоря,
«массивными» и которыми в упомянутых выше вопросах уже нельзя
пренебречь.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.5. Подмножество М пространства X назы-
называется множеством второй категории, если оно не есть множество
первой категории.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.11. Числовая прямая R1 является множеством
второй категории. Допустим вопреки утверждению, что К' --пер-
--первой категории, тогда R.1-¦¦-{] А„, где каждое Л„ нигде не плотно.
(и) i
В силу нигде неплотности Л, найдется интервал /, таком, что
Л, П /i -- 0 (см. предложение 2.3). Далее, в силу нигде неплотно-
неплотности Л2 в интервале /, найдется интервал /2 такой, что Л2ПЛ> 0-
Продолжая аналогичные рассуждения, убеждаемся, что существует
бесконечная последовательность открытых интервалов ?„ таких,
что /п+1с:/„ и Л„п/„-=0 при всех п>1. Система вложенных
60
друг в друга замкнутых отрезков /,гз/.2гз. . . гэ/игэ . . . имеет в силу
известной леммы о вложенных отрезках хотя бы одну точку л'„,
которая, очевидно, не принадлежит ни одному из Ап, а стало быть,
к их объединению. Итак, в R.1 нашлась точка хи, не принадлежа-
принадлежащая объединению 1)Л„=К1, а это, разумеется, нелепо, д»-
(л)
Пример 2.11. Множество всех иррациональных точек число-
числовой прямой является множеством второй категории. В самом деле,
поскольку множество Q рациональных точек, как отмечалось выше,
первой категории, то его дополнение CQ не может быть первой
категории, ибо в противном случае вся числовая прямая К1 была
бы тоже первой категории, как объединение двух множеств первом
категории.
Замечание 2.7. Приведенное в предложении 2.11 доказатель-
доказательство опиралось на известную лемму о вложенных отрезках, кото-
которая равносильна так называемому свойству полноты числовой пря-
прямой, поэтому, как мы увидим позднее (см. п. 3.6 гл. III), любое
так называемое полное метрическое пространство (в частности, R",
С [a, l>\, Lp(a, b)) является множеством второй категории. В этом
и состоит известная теорема Бура, которая будет доказана в п. ,4.6
гл. 111.
ТЕОРЕМА (Р. БЭР). В любом полном метрическом простран-
пространстве (X, (>) пересечение счетного семейства открытых всюду плотных
множеств всюду плотно в X.
Нетрудно понять, что утверждение теоремы Бэра эквивалентно
каждому из нижеследующих утверждений:
(i) Всякое непустое открытое в X множество есть множество
второй категории.
(и) Дополнение к множеству первой категории в X всюду
плотно в X.
Предостережение 2.8. Следует иметь в виду, что если
рассматриваемые в теореме Бэра множества не предполагать откры-
открытыми, то их пересечение может быть не только не всюду плотным,
но даже пустым. В этом можно убедиться из нижеследующего
простого примера.
Пример 2.12. Рассмотрим множество Q всех рациональных
точек числовой прямой IR1 и занумеруем их в последовательность
г,, л2, ..., гп, ... Тогда легко понять, что каждое из подмножеств
Л„••-{''„, гп + ), получаемое из Q удалением первых (н —I)
точек, продолжает быть всюду плотным на !Rl, между тем их пе-
пересечение ПЛ„ = = 0.
('О
2.5. Множества типа F,, и Ой. В силу аксиом топологии объеди-
объединение любого семейства открытых множеств открыто, а пересечение
любого семейства замкнутых множеств замкнуто, тогда как самые
простые примеры показывают, что даже счетное объединение замкну-
замкнутых множеств числовой прямой уже может не быть замкнутым, а
счетное пересечение открытых множеств может не быть открытым.
Вместе с тем при многих важных построениях (в том числе клас-
51
сической теории множеств и теории меры) оказывается необходимым
рассматривать более общего типа подмножества исходного простран-
пространства, не являющиеся открытыми (соответственно замкнутыми), однако
представимые как пересечения (объединения) счетного числа откры-
открытых (замкнутых) множеств. Исторически сначала Борель (для случая
евклидовых пространств, затем Хаусдорф (для общих топологиче-
топологических пространств) выделили специальные типы множеств, к крат-
краткому описанию которых мы сейчас переходим.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ, 2.6. Подмножество М топологического про-
пространства X называется множеством типа Р„, если оно мредстаинмо
в виде объединения не более чем счетного числа замкнутых мно-
множеств, и называется множеством типа G(,, если оно представимо
в виде пересечения не более чем счетного числа открытых мно-
множеств.
Ясно, что всякое замкнутое множество — типа РП, а всякое
открытое множество — типа G6. Далее, в силу известных формул
де Моргана легко заключаем, что дополнение к множеству типа Fa
есть множество типа Об, а дополнение к множеству типа G« есть
множество типа Fa.
Нетрудно проверить также, что объединение счетного числа и
пересечение конечного числа множеств типа Fa снова есть множе-
множество типа Fn, а пересечение счетного числа и объединение конеч-
конечного числа множеств типа Gfi снова есть множество типа Go. Иначе
говоря, класс множеств типа Fa замкнут относительно операций
счетного объединения и конечных пересечений, а класс множеств
типа Ff, замкнут относительно операций счетного пересечения и
конечного объединения.
П р и м е р 2.13. В произвольном метрическом пространстве (даже
в любом 7',-пространстве (см. п. 1.1 гл. Ill)) всякое счетное мно-
множество, очевидно, является множеством типа Р„. В частности, на
числовой прямой IR1 множество О рациональных чисел — типа Fa,
откуда следует, что множество IR\Q иррациональных чисел- типа Ge.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.12. В произвольном, метрическом простран-
стае (X, (>) всякое замкнутое подмножество — типа Ge, а (-.сякое
открытое подмножество -типа Fa.
.4 Напомним, что г-окрестностью непустого подмножества А из
(X, (>) называется множество О, (А) ---¦ {х ? X | р (х, /1)<к}, и заме-
заметим, что 0е(А), очевидно, является открытым в X множеством.
Кроме того, ясно, что О?{А)^ОЕ{И) и 0?(А)= U Ое(х). Пусть
ЛГ6/1
теперь /г — произвольное замкнутое подмножество X. Тогда нетрудно
убедиться, что F— Г\01/п (F). В самом деле, включение Fc nOl/n(F)
(п) (п)
очевидно, а обратное включение следует из того, что если
х„6 \}Oi/n(F), то р(х„, F) < — при любом натуральном п и поэтому
п
п
< _
р (х„, F) = 0, т. е. х0 ? F - F. Итак, множество F представимо в виде
пересечения счетного числа открытых мно>неств О1/п(/7), а это И
означает, что множество F—типа G6.
52
Вторая часть утверждения следует из доказанного путем пере-
переходя к дополнениям. >.
Таким образом, в произвольном метрическом пространстве как
замкнутые, так и открытые множества являются одновременно как
тина ~Fn, так и типа Gb.
Пример 2.14. Рассмотрим множество М — < — , п ? N f , которое
не открыто и не замкнуто в К1, но служит примером множества,
являющегося одновременно как типа /•'„, так п типа Gfi. В самом
деле, то, что М — типа Ев, следует из того, что оно счетно, поэтому
остается доказать, что М — типа Grt. Для этого рассмотрим его
замыкание Л1 = Ми{0}, которое будучи замкнутым в R1 множеством,
представимо в виде М — П Gn —пересечения счетного числа откры-
(")
тых в R1 множеств С„. С другой стороны, ясно, что, полагая С„' ¦¦*
- 6'„\{0}, будем иметь М— r\G'n, где каждое из G'n открыто в IR1,
поскольку получается из открытого в К1 множества С„ удалением
замкнутого множества {()[. Следовательно, М —типа Gfi.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.13. Всякое множество первой категории
содержится в некотором множестве типа /¦"„, тоже являющегося
первой категории.
•4 Пусть М — произвольное множество первой категории в про-
пространстве X и пусть М— и/1„, где каждое из Ап нигде не плотно
ев
в X. Так как /1„, очевидно, также нигде не плотно а X и, кроме
того, конечно, MelJ/1,,, тв М «называется подмножеством множе-
_ {п)
ства IJ/1,,, очевидно являющегося как множеством типа /•"„, так и
со
множеством первой категории. ^
ПРЕДЛОЖИ НИИ 2.14. Если дополнение к множеству типа Fa
всюду плотно, то оно первой категории, иными словами, всякое гра-
граничное множество типа /•'„ является множеством первой категории.
¦4| Пусть множество М — \Jf,,, где каждое из /•'„ замкнуто в про-
просо
страппве X, и пусть СМ --- Х\М всюду плотно в X.
;Чокажем, что каждое из F„ нигде не плотно, откуда и будет
следовать п<".п:е утверждение. Для этого заметим, что поскольку
F„ замкнуто, то в силу предложения 2.5 достаточно проверить,
¦по его дополнение X\F,, всюду плотно, а это сразу следует из
очевидного включения X\MaX\F,l, монотонности замыкания и
из А'\/Й = Х. >¦
За мечание 2.9. В связи с этим предложением уместно отме-
отметить, чю согласно сформулированной в п. 2.4 теореме Бэра в пол-
полных метрических пространствах (в частности, в К") дополнение
всякого множества первой категории всюду плотно, т. е. в таких
пространствах всякое множество первой категории гранично.
В заключение приведем одно обобщение предложения 2.11, со-
содержащее одно замечательное свойство множеств типа С«.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.15. Пересечение не боже чем счетного числа
вснн)ц плотных на IR1 множеств типа G(, всюду плотно.
М Пусть каждое из множеств Ап (п—1, 2, 3, ...) является всюду
плотным множеством типа Grt на IR1 и, стало быть, Л„ -•- П G,,_ m,
где все GHi „-открытые в R1 множества. Тогда поскольку при
любом т ? N GMi nZD Лн, то каждое из Gmi,, тоже всюду плотно в llv1.
С другой стороны, ясно, что пересечение П Лп совпадает с пере-
сечением П Grl m не более чем счетного числа открытых и всюду
плотных множеств Gnm и в силу утверждения, эквивалентного
предложению 2.11, это пересечение всюду плотно в R1. >
СЛЕДСТВИЕ. Множество Q рациональных чисел не является
множеством типа Gf, на IR\ а множество всех иррациональных
чисел не является множеством шипа /•',,.
¦4 Допустим вопреки утверждению, что занумерованное и после-
последовательность множество Q — {/-,, г,,, ..., гк, . ..} есть множоемю
типа G,-,, тогда каждое из Лп -{/"„, /"„,,, •••} (см. предостереже-
предостережение 2.8), будучи пересечением 0 с открытым множесиюм (!„¦¦=
--Rl\{/-,, a,, ..., /•„_,}, тоже было бы множеством типа G,v
Рассмотрим теперь пересечение П Лн, которое, с o.uioii сто-
(")
ропы, очевидно, пусто, а с другой — в силу предыдущего предло-
предложения всюду плотно на IR1. Полученное противоречие доказывает,
что Q не является множеством типа Сл.
Переходя к дополнению множества Q, легко заключаем, что
множество иррациональных чисел не является множеством типа
/г„. >
2.6. Понятие о о-алгебре множеств; борелевские множества.
В этом пункте мы весьма кратко опишем некоторые специальные
классы подмножеств, естественным образом возникающие в теории
интегрирования, общей теории меры, теории вероятностен, а также
во многих других разделах математики.
В теории множеств наряду с операциями объединения, пере-
пересечения и вычитания оказывается целесообразным рассматривать
еще одну операцию, называемую симметрической разностью и обоз-
обозначаемую символом Д; для произвольных двух множеств Л и В,
по определению, принимается Л Д В -¦= (А \ В) U (В\ А).
Легко проверить, что Л Д В — (Л и В) \ (Л П В), а также и то,
что А/\В==В/\А, т. е. операция Д коммутативна.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.7. Непустая система множеств R называется
кольцом множеств, если она замкнута относительно двух опера-
операций— пересечения и симметрической разности двух множеств, т.е.
обладает следующими двумя свойствами:
1°) если A", B?R, то ЛДВ^;
2") если A, B?R, то А П В ? R.
Нетрудно проверить, что указанные две бинарные операции,
заданные на множестве R, задают на R структуру алгебраического
кольца, если в качестве операции сложении принять операцию Д,
а в качестве операции умножения — операцию П- Ясно, что что
кольцо ассоциативно, коммутативно и что его нулем служит пустое
множество 0.
Г.сли и кольце R существует единица /;", то и:! соотношения
А () К : Л для каждого /1 ? R следует, что этот элемент /; должен
содержать в качестве своего подмножества люГюе множество А из
R и, стало бить, любое их объединение, в том числе и множество
X - U Л.
Л I. R
ОПРЕДЕЛЕНИИ 2.8. Кольцо множеств R называется алгеброй
множеств, если оно обладает единицей.
Примеры. 2.1Г). Пусть R — 2х —система всех подмножеств
фиксированного множества X. Тогда легко проверить что R есть
алгебра множеств, единицей которого служит множество X.
2.10. Пусть X — произвольное непустое множество и R- — система
всех его конечных подмножеств. Тогда легко понять, что R -
кольцо множеств, которое будет алгеброй множеств тогда и только
тогда, когда X само конечно.
2.17. Пусть Х--произвольное бесконечное множество и R —
система всех его не более чем счетных подмножеств. Тогда R —
кольцо множеств, которое будет алгеброй, если исходное множе-
множество X счетно.
Замечание 2.10. Оказывается, что всякое кольцо множеств R
замкнуто относительно еще двух операции, а именно объединения
и вычитания двух множеств. В самом деле, пусть А, Я — произ-
произвольные два множества, тогда легко проверить соотношения
Аи В =.= (/1ДВ)Л(/1 П В), А \ В ,= А Л (/I П В);
поэтому в силу свойств 1" и 2" непосредственно заключаем, что
если А, B?R,*vo Аи В и А\В тоже R.
IIРЕДЛОЖЕНИЕ 2.16. Пересечение любого семейства колец мно-
множеств является кольцом множеств.
¦^ Доказательство непосредственно следует из определения и предо-
предоставляется читателю. >
Предостережение 2.11. Пересечение даже двух алгебр
множеств можег быть кольцом без единицы, т. е. не быть алгеб-
алгеброй. Вместе с тем легко понять, что если семейство алгебр мно-
множеств обладает общей единицей, то пересечение такого семейства
алгебр уже будет алгеброй.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.17. Для всякой непустой системы мно-
множеств S--{A\ существует алгебра множеств А, содерокшцая си-
систему S в качестве подсистемы.
^ Пусть X --: U А — объединение всех множеств системы S п
А 2Л система всех подмножеств множества X, тогда очевидно,
Что А есть алгебра множеств, содержащая S, в которой единицей
Служит множество X. >
Пусть теперь А—-произвольная алгебра множеств, содержащая
систему множеств S---{A\, и пусть Е — ее единица, тогда, как
было уже отмечено выше, объединение Х- U Л всегда является
.4 6 N
частью множества Е; алгебра А называется неприводимой относи-
относительно системы множеств S, если это объединение совпадает с Ё,
т. е. когда и А=Ё.
AtS
В дальнейшем, говоря об алгебре А, содержащей данную си-
систему множеств S=-{/4}-, мы будем считать ее неприводимой, так
как всегда можно ограничиться рассмотрением лишь таких алгебр.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.18. Пересечение всех алгебр, содержащих
данную систему множеств S--— {А}, является минимальной содержа-
содержащей S алгеброй.
чЛ Так как в силу предложения 2.16 совокупность всех содержа-
содержащих 5--{Л} алгебр не пуст п все эти алгебры имеют в качестве
единицы одно и то же множество X - - U А, то их пересечение,
как уже указывалось выше, будет алгеброй, которая содержит S
и, очевидно, содержится и любой алгебре, содержащей .S, т. е.
будет минимальной содержащей S алгеброй. ^
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.9. Пересечение всех алгебр, содержащих
данную систему множеств, называется алгеброй, порожденной этой
системой.
Замечание 2.12. Кольцо множеств R, очевидно, обладает
следующими двумя свойствами:
1°) ЛДЛ-0, V4(=R;
2") А[\А = А, V/1 GR.
Произвольное колыю К (не обязательно кольцо множеств) назы-
ваегея булевским кольцом, если для каждого элемента а ? К выпол-
выполняются соотношения a-fa —О, а-а--а, т. е. если любой его эле-
элемент противоположен самому себе и в то же время идемпотентен;
булевское кольцо называется булевской алгеброй, если оно обла-
обладает единицей.
Таким образом, всякое кольцо множеств является булевским.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.10. Пусть X -произвольное множество;
алгебра А подмножеств из X называется о-алгеброй на X, если
она содержит в качестве своего элемента множество X и замкнута
относительно операции счетного объединения, т. е. если из /1„?А
следует, что lMH?A.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.19. Для того чтобы система А подмно-
подмножеств из X была а-алгеброй на X, необходимо и достаточно, чтобы:
1°) если А 6 А, то С А =-- X \ А ? А;
2°) если Л„?А при всех n?N, то n/l,,
со
^ Необходимость. Свойство 1° очевидно, а свойство 2" не-
непосредственно следует из свойства 1° и формулы де Моргана
ПИ„-Х\и (Х\Ап).
Достаточность. Пусть система А обладает этими двумя
свойствами. Установим сначала, что А замкнута относительно опе-
56
рации счетного объединения. В самом деле, пусть /1„?А, тогда
из формулы де Моргана X \ U Л„= П (X \ Л„) легко заключаем,
что иЛ„бА.
со
Покажем теперь, что если А, В?\, то их симметрическая раз-
разность Л Д В тоже из А. Для этого заметим, что
и так как из А, В?А, очевидно, следует, что А П(Х\В), В f\
(](Х\А) принадлежат А, то из приведенного представления сле-
следует, что А Д В тоже принадлежит системе А. Наконец, ясно, что
все множество X также из А, поэтому система А действительно
является о-алгеброй на X. >
Замечание 2.13. Очень часто систему подмножеств множе-
множества X называют телом множеств на X, если эта система замк-
замкнута относительно операций счетного пересечения и перехода
к дополнению. Поэтому из только что доказанного предложения
следует, что о-алгебра множеств на X или тело множеств на X —
это одно и то же. Отметим также, что пересечение любого семей-
семейства о-алгебр на X, очевидно, является а-алгеброй па X и, кроме
того, для любой системы S---{A\ подмножеств из X существует
содержащая 5 минимальная о-алгебра па X.
В заключение пункта опишем кратко один важный класс под-
подмножеств данного топологического пространства, называемый
классом б о р е л е в с к и х м н о ж е с т в.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.11. Пусть X—произвольное топологическое
пространство, королевской алгеброй или борелевским телом на X
называется минимальная ст-алгебра на X, содержащая систему всех
открытых (или, что то же самое, систему всех замкнутых) мно-
множеств пространства X. Элементы борелевской алгебры называются
борасаскими множествами пространства X.
Пример 2.18. Все открытые или замкнутые множества, мно-
множества типа Fo или Gf,, а также всякое множество, получаемое из
упомянутых путем операции счетного объединения или счетного
пересечения, очевидно, являются примерами борелевских множеств.
Предостережение 2.14. Несмотря на то что класс боре-
левекпх множеств весьма обширен, тем не менее следует иметь
в виду, что даже на R1 существуют примеры (правда, весьма не-
нетривиальные) множеств, не являющихся борелевскими. Уместно
упомянуть также, что все борелевские множества универсально
измеримы в том смысле, что они измеримы по любой мере Радона
(ем., например, [73]).
Задачи
1. Прицелите пример двух локально замкнутых полмножестп, объединение
которых не янляется локально замкнутым.
2. Принедите пример локально замкнутого подмножества, дополнение к кот-
рому не ян.чяетси локально замкнутым.
3. Докажите, что конечное объединение нигде пе плотных множеетн нигде
ll1' ii.iiinin, Приколите пример счетного объединения непустых нигде пе плотных
Множили, яиляющогося всюду плотным.
Ь7
4. Докажите, что если простргшство X обладает балом fi мощности ii, то
в Л' существует всюду плотное множество мощности, mi превосходящем"! и.
5. Приведите пример неметрического сспарабелыюго пространства, у кото-
которого имеется нссенгфабелыюе подпространство, и тем самым докажиie, что
и общих пространствах сепарабельность не наследственна.
6. Докажите, что если множество А либо замкнуто, либо открыто, то его
граница Fr А нигде не плотна. Приведите пример непустого множества Л, гра-
граница которого но является нигде не плотной.
7. Пусть X — произвольное топо.-цничеекое простргшство и пусть B(Z.\dX.
Докажите, что:
a) если В—первой категории в А, то 11 — нерпой категории и в Х\
b) если А открыто в X и Ii— первой категории в X, то Д —первой кате-
категории и в Л.
Н. Докажите, что любое открытое множес! но на числовой прямом ;•:1 пред,
ставимо в виде объединения пи более чем счет но числа слре.жов (следова-
(следовательно, есть типа Н ).
9. Докажите, что дли любого подмножества М пространства X \-г М~=М
равносильно юму, что М замкнуто и нигде не плотно в X.
10. Пространство X на (ываегея pa.<[)cititi.w>tM, если в X существуй)! .тва
Bi'iiiMiio дополнительных и всюду плотных в Л множества. Докажите, что Я."
разрешимо при любом п Та 1 и что в любом разрешимом иросгргшетве .V не
существует изолированных точек.
11. Докажите, чю ргирешнмость пространства (см. задачу 10) наследуется
по открытым множествам.
\2. Докажите, что если X — '/"^-пространство и разрешимо, то всякое непу-
непустое открытое подмножество бесконечно.
13. Докажите, что пространство М, состоящее n:i всех ограниченных после-
последовательностей x=(xlt .... х„ ...) с метрикой (>(*', x") = snp {| х',—.v,,}, не
(»|
сепар;|белыю.
14. Докажите, что любое семейство попарно дизъюнктных шаров в IR" и
даже в I., не более чем счетно.
15. Пусть М — но.тдмюжеспю метрического пространства (М, ()); точка хп пазы-
в;1е1сч точкой ^ohOi'w ищи! для Л1, если в любой ее окрестности содержится
несчетное множество точек и.) /VI. Докажите, что если (М, о) — сепарабель-
ное метрическое прострапстно, а М—его несчетное подмножество, то множество
его точек конденсации не пусто.
16. Приведик* пример несчетного подмножества метрического пространства,
лишенного точек конденсгщни.
17. Докажите, что если подмножество М сеиарабельпого метрического иро-
траиства несчетно, ю его производное множество /И' тоже носчешо.
§ 3. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ГОМЕОМОРФИЗМЫ
Основополагающим для всей топологии попишем является поня-
понятии непрерывного отображения, которое играет и топологии такую
же фундаментальную роль, как, например, в алгебре понятие гомо-
гомоморфизма тех или иных алгебраических структур (групп, колеи,
модулей и т. д.).
Л.\. Непрерывные отображения топологических пространств.
В -лом пункте мы приводим определение, примеры и доказательство
простейших свойств пеирерывных отображении топологических
пространств.
Пусть X, Y—два не обязательно различных топологических
пространства.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Отображение /: X-+Y называется не-
непрерывным в точке х„?Х, если дли всякой окрестности V образа
Г,8
u =^f(xH) этой точки существует окрестность
что f{U)cV.
Ясно, что это равносильно тому, что прообраз любой окрест-
окрестности точки //„ является окрестностью точки л'„. Ясно также, что
в данном определении можно ограничиться только такими V, кото-
рис принадлежат некоторой фундаментальной системе окрестно-
окрестностей точки //„, в частности системе лишь всех открытых окрест-
окрестностей.
В топологии изучают главным образом отображения / про-
пространства X в пространство У, которые непрерывны в каждой
точке %?Х; такие отображения / называются непрерывными ото-
отображениями X в У.
Тривиальными примерами непрерывных отображений служат
постоянное отображение и, так называемое тождественное ото-
отображение \х'- X—>Х, при котором образом каждой точки х ? X
стужи 1' эта же точка.
Обратимся теперь к тому частному случаю данного определе-
определения непрерывности в точке, когда рассматриваемые пространства
являются метрическими; тогда отображение /: (X, (>,)—> (У, р.г)
непрерывно в точке х(), если и только если для всякого е > О
существует 6>0 такое, что р,(х0, х) < 6 влечет за собой (>2(/(х„),
/'(л-)) < е.
Таким образом, в случае метрических пространств общее опре-
определение непрерывности в точке представляет собой непосредствен-
непосредственное обобщение классического определения непрерывности число-
числовых функций на языке г, 6.
Примеры. 3.1. Отображение sin: R1—<-R', ставящее каждой
точке х?'г\' значение sinx, является непрерывным отображением.
3.2. Отображение arctg: R1 *->(•••-л/2, я/2) является непрерывным
и биективным отображением, причем обратное к нему отображе-
отображение 1}': ( — я/2, л/2)—"R1 тоже непрерывно.
Оказывается, что непрерывные отображения обладают следую-
следующим важным свойством, которое полностью их характеризует,
а именно имеет место следующее предложение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1. Отображение f пространства X в про-
пространства У непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз
f~'(V) любого открытого в У множества V будет открытым мно-
множеством в X.
^ Пусть f — непрерывное отображение X в К, а V—произвольное
открытое множество в У. Докажем, что множество U = f~l(V)
открыто в X. В самом деле, пусть х„ — произвольная точка, при-
принадлежащая U, а у„ = 1(х„). Тогда поскольку V является откры-
открытой окрестноегыо точки у0 в У, то в силу непрерывности отобра-
отображения f в точке х0 существует открытая в X окрестность Uv точки
Ян такая, что f(U0)c:V, откуда заключаем, что Uoc:U и, стало
быть, U открыто в X.
Пусть теперь прообраз f~l(V) любого открытого в У множе-
множества V при отображении / является открытым в X и пусть х0—
произвольная точка из X. Докажем, что отображение / неире-
рывпо и точке х„. В самом деле, пусть yo----f(xo), а V — произволь-
произвольная открытая окрестность у„\ тогда U = f~1(V) будет, по условию,
открытой окрестностью точки х„, образ которой, очевидно, целиком
содержится в V. Таким образом, отображение / непрерывно в каж-
каждом точке хо?Х, т. е. является непрерывным отображением. ^
Замечание 3.1. Из известных формул прообразов объедине-
объединения и пересечения множеств и из определений базы и предбазы
нетрудно заключить (см. предложение 3.5), что при установлении
непрерывности отображения/: X—> К можно ограничиться провер-
проверкой открытости /~'(К) при всех V, принадлежащей некоторой базе
или даже предбазе топологии пространства V.
Поскольку дополнения открытых множеств замкнуты, а про-
прообразы взаимно дополнительных множеств являются взаимно допол-
дополнительными множествами, то доказанное предложение 3.1 можно
сформулировать также и в следующей двойственной форме.
ПРЕДЛОЖЕНИИ 3.2. Отображение / пространства X в про-
пространство У является непрерывным отображением тогда н только
тогда, когда прообразы всех замкну пых в Y множеств являются
замкнутыми в X.
Предостережение 3.2. Приведенные в следующем пункте
простые примеры показывают, что образы открытых (соответственно
замкнутых) множеств при непрерывных отображениях могут быть
неогкрыгыми (соогветственно незамкнутыми) множествами.
Теперь приведем еще один часто используемый критерий не-
непрерывности отображения / в терминах образов замыкании мно-
множеств.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.3. Отображение / пространства X в про-
пространство У непрерывно тогда и только тогда, когда для любого
подмножества А из X /(Л) с/(Л).
М Пусть f непрерывно, а .«„ — произвольная точка прикосновения
множества А. Покажем, что у0 -/(х„) является точкой прикосно-
прикосновения множества f (А). В самом деле, пусть 1/ — любая окрестность
точки //„. Тогда в силу непрерывности f существует окрестность V
точки хи такая, что f(U)czV, и поскольку хо?Л, то в U должна
содержаться точка х'?/1. Вместе с тем очевидно, что у' = f (x')
принадлежит одновременно множеству f (А) и окрестности V, т. е.
W
Пусть теперь условие теоремы выполнено и пусть В — произ-
произвольное замкнутое множество в Y. Докажем, что множество
A—f~l(B) замкнуто в X. Пусть х„ — произвольная точка из Л.
Тогда /(х„)?/"(Л)с/(Л). Вместе с тем очевидно, что f(A)czB,
f (A)dB — В, поэтому f(xtl)?B и, стало быть, хо?Л. Таким обра-
образом, AczA, т. е. А замкнуто, откуда заключаем, что отображение
/ непрерывно, поскольку прообраз любого замкнутого множества
замкнут. >
Приведем теперь пример отображения весьма общего характера,
которое разрывно (не является непрерывным) в каждой точке.
60
Пример 3.3. Функция Дирихле. Пусть X —такое топо-
топологическое пространство (например, R1), в котором существуют
два взаимно дополнительных и всюду плотных множества А и В
(Л[}В = Х, /In 5=0, 7Г=/Г=Х). Тогда отображение /: Л' — R1,
задаваемое по формуле
( 0 при л ? Л,
f{X]"~\ I „,,„ Х?Ц,
будет разрывным в каждой точке х?Х. В самом деле, пусть х„—
произвольная точка из В и пусть вопреки утверждению / непре-
непрерывно в точке хп. Тогда поскольку хц?А, то / (х„) ? / (/!)<=/ (А) -=
{()} —{0}. Следовательно, / (х„) --0, что противоречит принадлеж-
принадлежности л'„ множеству В. Аналогично доказывается разрывность f
в каждой точке х?Л.
Замечание 3.3. Полезно иметь в виду следующее обстоятель-
обстоятельство. Пусть f: (X,t)-—(Y,o) представляет собой непрерывное
отображение пространства X с топологией т в пространство Y с то-
топологией а. Тогда если в X топологию т заменить более сильной
топологией т' или же в К топологию а заменить более слабой
топологией о', то это же самое отображение f, рассматриваемое
как отображение пространства (X, т.') в пространство (К, а'), ока-
окажется опять непрерывным отображением (мы рекомендуем читателю
самому убедиться в справедливости этого утверждения). Таким
образом, чем сильнее топология в X и чем слабее топология в У,
тем больше непрерывных отображений X в Y. Если же X дискретно
или К антидискретно, то уже любое отображение /: X—*Y не-
непрерывно.
Одним из наиболее важных и вместе с тем простых свойств
непрерывных отображений является то, что композиция двух,
а стало быть, и любого конечного числа непрерывных отображений
сст>, снова непрерывное отображение, а именно имеет место сле-
следующее предложение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.4. Пусть f: X — К, ц: Y-^Z-Ова непре-
непрерывных отображения, тогда их композиция h — gof-.X— *Z непре-
непрерывна.
¦4 Пусть С — произвольное открытое множество из Z. Тогда в силу
непрерывности g множество В -¦ -ц~1 (С) будет открытым в >', а
в силу непрерывности / множество А ==/-1 (В) будет открытым в X.
Имеете с тем очевидно, что
и, следовательно, /г (С) открыто в X. Таким образом, отображе-
отображение h непрерывно, поскольку прообраз произвольного открытого
множества при этом отображении есть множество открытое. >
Часто оказывается полезным следующее усиление критерия не-
непрерывности отображения / в терминах прообразов открытых мно-
множеств, которое можно рассматривать как одно из приложений
понятия предбазы топологии.
61
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.5. Для непрерывности отображения f про-
пространства X в пространство У достаточно, чтобы прообразы от-
открытых множеств, входящих в состав некоторой предбазы тополо-
топологии пространства У, были открытыми в X.
•4 Пусть а — некоторая предбаза топологии пространства У, |> —
база топологии в У, порожденная этой системой образующих,
а К — произвольное открытое множество, входящее в состав |1,
т. е. V = П V/, где V,?a.
1 = 1
По свойству прообразов пересечения множеств будем иметь
,\
/"¦"(V)= П f~l{Vi), где f~1(V{) открыты в X по условию теоремы;
i = i
поэтому заключаем, что прообразы всех множеств, входящих
в состав базы р\ тоже открыты в X. Пусть теперь W — произволь-
произвольное открытое множество из К, тогда оно должно быть представлено
в виде объединения W = U Vh где V,?\jk Тогда поскольку /'"'(№) -
--- (] f~l (V;), то f~l(W), будучи объединением открытых в А' мно-
множеств /~' (V/), само должно быть открыто в X. >
Для иллюстрации применения этого предложения приведем один
пример.
Пример 3.4. Пусть / — вещественная функция, заданная на
топологическом пространстве X, Е — некоторое вещественное число
Е{ — {х?Х; /(а')>Н}, Е~ = \х?Х; /(л1<с}; так как множества
/Г:_! н ?4 представляют собой соотретственпо прообразы интервалов
вида (S, -Ь оо) и (—оо, ?), которые, как указывалось ранее, обра-
образуют иредбазу топологии числовой прямой R1, то в силу предло-
предложения З.Г) непосредственно приходим к следующему утверждению:
заданная па X вещественная функция / является непрерывной па
А' тогда и только тогда, когда для всякого с?1\' множества Е* и
Et открыты в А.
Приведем, наконец, еще один критерий непрерывности отобра-
отображения / в терминах сходящихся последовательностей точек.
I!РЕДЛОЖЕНИЕ H.G. Для того чтобы отображение /: X-—Y
было непрерывным с, точке х„, необходимо, а если пространство X
является метрическим, то и достаточно, чтобы для любой сходя-
сходящейся к х„ последовательности хп образы /(л'„) сходились к / (х0).
¦Ц Пусть отображение / непрерывно в точке хп, а хп—произвольная
последовательность точек, сходящаяся к л„. Покажем, что какова
бы пи была окрестность V точки f (х„), все точки /(.\'„) начиная
с некоторой принадлежат этой окрестности V, т. е. последователь-
последовательность образов /"(х,,) сходится к /(.v()). В самом деле, и силу не-
непрерывности f в точке хи существует окрестность U этой точки,
образ которой f(U)czV, а поскольку хп сходится к х„, то все хп
начиная с некоторой принадлежат U, а стало быть, их образы
принадлежат V.
Пусть теперь пространство X метрическое и условие теоремы
выполнено. Тем не менее предположим, что отображение / не
является непрерывным в точке хи и, следовательно, существует
(.2
окрестность V{) точки /(*„) такая, что в каждом открытом шаре
/?(.<„, \/п) с центром хи и радиусом, равным 1/п, существует хотя
бы одна точка хп, образ f (х„) которой не принадлежит Vn. Таким
образом, при этом предположении нашлась последовательность хп,
которая, очевидно, стремится к хи, тогда как их образы f (х„)
вопреки условию стремиться к /(*„) не могут. Следовательно, паше
предположение неверно, т. е. отображение f непрерывно п точке х„. >
Замечание 3.4. Нетрудно убедиться, что в доказательстве
второй части предыдущего предложения было использовано нали-
наличие счетной локальной базы в точке %„, а не метрнчпость всей
топологии в X.
И конце пункта бегло коснемся одного важного вопроса, кото-
который будет подробнее освещен позднее (см. п. 1.6 гл. III), а именно
вопроса о том, насколько «богат» или обширен класс непрерывных
числовых функций па данном топологическом пространстве и до-
достаточен ли эгот «запас» функций, чтобы различать точки этого
пространства.
Как уже упоминалось выше, всякое постоянное отображение /:
X ¦ У непрерывно, какова бы ни была топология в X или в К;
имеете с тем топология в X может быть такой, что кроме постоян-
постоянных отображении /; X —>- IR1 никаких других непрерывных отобра-
отображении нет, хотя и множество X бесконечно (см. задачу 2).
Множество всех непрерывных отображении/': X—-Y чаще всего
снабжается так называемой бикомпактно открытой топологией,
обозначается символом КЛ, и получаемое при этом пространство
играет весьма важную роль во многих вопросах алгебраической
топологии.
3.2. Понятие об открытых и замкнутых отображениях. Здесь
мы ограничиваемся лини, приведением отдельных примеров и до-
доказательством наиболее простых свойств так называемых откры-
открытых и замкнутых отображений. Класс открыть!х, так же
как и класс замкнутых, отображений играет большую роль и и са-
самой топологии и в ряде ее важнейших приложений. Например,
теория открытых отображений лежит в основе так называемых
топологических принципов теории аналитических функций.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2. Непрерывное отображение [: X —> К
называется открытым (соответственно замкнутым), если образ
всякого открытого (соответственно замкнутого) множества прост-
пространства X является открытым (замкнутым) в Y.
Ясно, что тождественное отображение lv служит примером
одновременно открытого и замкнутого отображения, что же касается
отображения вложения i: AaX, то оно открыто (соответственно
замкнуто) тогда и только тогда, когда подмножество Л открыто
(соответственно замкнуто) в X.
Важнейшим классом открытых отображений является класс
отображений, осуществляемых голоморфными функциями комплекс-
комплексной переменной, заданными на открытых множествах.
Важный класс открытых отображений образуют также некото-
некоторые виды гомоморфизмов так называемых топологических групп.
ИЗ
Пример 3.5. Рассмотрим произвольную непрерывную функцию/:
/---¦R1, где / — отрезок [0, 1] из R1. Оказывается, что такое ото-
отображение f всегда замкнуто (это является следствием весьма общего
предложения, которое будет доказано в п. 3.2 гл. III). Далее
легко убедиться, что если функция f имеет сколь угодно малый
интервал постоянства, то отображение f не будет открытым.
Полезно иметь в виду и следующее более общее соображение.
Замечание 3.5. Непрерывное отображение/: X—>К открыто
тогда и только тогда, когда образ любой окрестности G0 произ-
произвольной точки х(| ? X является окрестностью точки f (х0) в Y.
Примеры. З.о'. Отображение проектирования р: IR2— +IR1,
определенное формулой р(х{, хг) — х„ является открытым отобра-
отображением, ибо проекция любого открытого круга с центром в точке
(а,, х.,) является интервалом с центром в точке *,. Вместе с тем
это отображение не является замкнутым, так как, например, обра-
образом гиперболы xix., = \, являющимся очевидно замкнутым подмно-
подмножеством в R2, служит незамкнутое множество IR'NJO}.
3.7. Легко проверить, что функция /: R'—>R1, заданная фор-
формулой / (х) -•- 1/A -\-х'г), представляет собой пример непрерывного
отображения, не являющегося пи открытым, ни замкнутым, так
как образ / (К1) —.¦ @,1], очевидно, не открыт и не замкнут в R1.
П РЕДЛОЖЕНИЕ 3.7. Композиция открытых (соответственно
замкнутых) отображений является открытым (соответственно замк-
замкнутым) отображением.
М Доказательство непосредственно следует из соответствующих
определений. >
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.8. Пусть /: X —> К, g: К — Z — непрерыв-
непрерывные отображения h--gof. Тогда если отображение h открыто
(соответственно замкнуто), a j надъекпшнно, то отображение g
также открыто (замкнуто).
М Пусть V — произвольное открытое множество в Y, тогда в силу
надъективности / будем иметь V — /f/ (V)], откуда
в (V) --R {f I/~J (V)]}=- (g о f) \f-l(V)]=--h [/-' (V)].
Поскольку / непрерывно, то f~l (К) открыто в X, а множество
g(V) -h I/ (I7)], будучи образом открытого множества приоткры-
приоткрытом отображении И, будет открытым в Z и, стало быть, g — откры-
открытое отображение.
Параллельное утверждение доказывается аналогично. >
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.9. Пусть /: X-^Y, g: Y-> Z —непрерыв-
—непрерывные отображения h-—-gof. Тогда если g инъекпшвно, a h открыто
(соответственно замкнуто), то отображение f также открыто
(соответственно замкнуто).
¦4 Прежде всего в силу инъективпости g для каждого BaY имеем
g~1\g(B)} ¦-¦ В, откуда, в частности, для любого открытого в X
подмножества А будем иметь
U-[h(A)\--.fi-*\g\f(A)]\ = f(A).
Вместе с тем, по условию, h(A) открыто в Z, поэтому в силу не-
прерывности g g '[Л (Л)], а стало быть, и /(Л) открытое У, т.е.
отображение / открыто.
Параллельное утверждение доказывается совершенно так же. >
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.10. Для того чтобы отображение f: X-*Y
было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы оно сохраняло
операцию замыкания, т. е. чтобы /(Л)==/(Л) для любого подмно-
подмножества А из X.
¦4 Необходимость. В силу непрерывности / для любого ЛсХ
/(Л)с/(Л) (см. предложение 3.3). Вместе с тем, очевидно,
/(Л) с/(Л), поэтому /(Л)с/(Л), и поскольку / замкнуто, то
J[A)cf(A), откуда заключаем, что /(Л) = /(Л) и, стало быть,
F
Достаточность. Непрерывность / очевидна в силу того же
предложения 3.3, а из условия /(Л)— /(Л) в случае замкнутого
АаХ будем иметь /(Л) — /(Л), т. е. образ всякого замкнутого
подмножества замкнут. >
3.3. Гомеоморфизмы и их простейшие свойства. В основе топо-
топологии как науки лежит понятие о гомеоморфном отображении то-
топологических пространств, так как с помощью именно этого понятия
решается фундаментальный вопрос о том, какие топологические
структуры следует признать неразличимыми (изоморфными).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.3. Биективное отображение / пространства X
в пространство У называется гомсоморфным отображением или
гомеоморфизмом, если как само отображение /, так и обратное
к нему отображение /~' являются непрерывными.
Топологическое пространство X мы будем называть гомеоморф-
ным или топологически эквивалентным пространству Y и записы-
записывал. Х^У, если существует хотя бы одно гомеоморфное отобра-
отображение /: X—-Y. В дальнейшем запись /': X ^ У будет означать,
что отображение / является гомеоморфизмом.
При м е р ы. 3.8. Тривиальным примером гомеоморфизма служит
тождественное отображение 1Х- Кроме того, большое число разно-
разнообразных примеров гомеоморфизмов можно получить, рассмотрев
различные строго монотонные непрерывные вещественные функции
вещественной переменной. В самом деле, легко понять, что непре-
непрерывное отображение/: А—>IR1 произвольного интервала Д числовой
прямой на его образ /(Л) является гомеоморфизмом тогда и только
тогда, когда /-строго монотонная функция, поэтому гомеоморфный
°браз любого интервала есть снова интервал.
3.9. Еще одним важным примером гомеоморфизма служит сте-
стереографическая проекция /;: S"\{jV}—-R2 сферы с удаленным
северным полюсом ;V на плоскость.
3.10. Единичный открытый шар В в R" гомеоморфен всему
прострипству R". В самом деле, отображение /: R"—> В, зада-
"аемое формулой / (,v) •--= х/A +;,*¦), где *=*=(*,, xt, ...,xn)?R",
1 № 73 66
а |'х'2 —2Х'*> очевидно, биективно, причем обратное к нему ото-
(*)
бражение /-1: B—+R.", задаваемое формулой f-i(x)*=x/(l—\\xf),
также непрерывно, поэтому / — гомеоморфизм.
3.11. Простейшими примерами негомеоморфных пространств
могут служить: плоскость IR2 и открытый в нем круг с выколотым
центром; двумерная сфера и замкнутый круг; объединение двух
дизъюнктных открытых в R1 интервалов и вся числовая прямая R1;
подпространство в R1, состоящее из всех иррациональных точек,
и само R1.
Пусть теперь пространство X гомеоморфно некоторому подпро-
подпространству Уо пространства Y, т. с. существует гомеоморфизм h:
X~*Ya. Тогда принято говорить, что X топологически содержится
в Y или что X вкладываемо в К; при этом гомеоморфизм h назы-
называют вложением X в У. Отождествляя X посредством вложения h
с его образом Кп, можно рассматривать пространство X как иод-
пространство пространства Y.
Предостережение 3.6. На первый взгляд может показаться,
что если X топологически содержится в Y, a Y топологически со-
содержится в X, то X топологически эквивалентно Y. Однако ниже-
нижеследующий простой пример показывает, что это, вообще говоря,
не так. В самом деле, пусть X -¦¦ R\ a Y | -1, -| 1 [cr:IR', тогда
поскольку функция / (.v) =• — arelg-v, очовпдпо, реализует гомеомор-
гомеоморфизм Eil па открытый интервал (-1, • I), то как Г топологически
содержится в X, так и X топологически содержится в Y, хотя,
как мы убедимся в п. 3.2 гл. Ill, X не может быть гомеоморф-
иым Y.
Кроме того, следует иметь в виду, что биективное п непрерывное
отображение не обязано быть гомеоморфизмом. В самом деле, пусть
Х- полусегмент |0, 2л) числовой прямой "\',а )' S1 - окружность
радиуса единица в Ik-. Рассмотрим отображение /: X .)', при
котором образом каждой точки .v ? X служит конец дуги длины х,
отложенной от фиксированной точки s.^.S'1 в положительном на-
направлении. Ясно, что / биективно и непрерывно, тогда как обрат-
обратное отображение /~' разрывно в -точке \.
Укажем теперь простую конструкцию, позволяющую строить
сколько угодно примеров 'таких отображений одного пространства
па другое, которые биективны п непрерывны, однако не являются
гомсоморфпымп.
Пусть в некотором множестве X заданы две топологии т, и т2,
первая из которых сильнее, чем вторая. Тогда тождественное ото-
отображение 1 х: (X, т,)--»(Х, т.,), очевидно, будет биективным и не-
непрерывным, однако обратное к нему отображение не будет иепре*
рывным.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.11. Гомеоморфное отображение [: X s^Y
является одновременно и замкнутым и открытым отображением-
^ Пусть ц: Y ¦- - X ¦ ¦об])атпое к /отображение. Тогда для каждого
Л из X, очевидно, будем иметь /(Л) -^"'(Л), т. е. образ А
CG
отображении / является прообразом А при отображении g и по-
поэтому открытость (соответственно замкнутость) / следует из непре-
непрерывности f и g. >
Предостережение 3.7. Если /: X—> У есть гомеоморфизм
но на все Y, а на некоторое его подпространство Yo, то образы
открытых (замкнутых) в X множеств, будучи открытыми (замкну-
(замкнутыми) в f(X), могут оказаться неоткрытыми (незамкнутыми) под-
подмножествами в Y. Так, например, отображение <|>: IR1 — >R-, зада-
задаваемое формулой (р (х) -.-- (х, 0), очевидно, являющееся гомеоморфиз-
гомеоморфизмом па подпространство К() -— cj (R')cr[R-, вместе с тем не является
0 1 крытым отображением R1 в R2.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.12. Открытое (соответственно замкнутое)
биективное отображение /: X—»- Y является гомеоморфизмом.
¦4 Пусть g: Y — X — обратное к / отображение, существующее
в силу биективпости f. Тогда поскольку для каждого Л из X,
очевидно, имеем g~' (Л) ----/(Л), то прообразы открытых (соответ-
(соответственно замкнутых) подмножеств из X при отображении g будут
открытыми (соответственно замкнутыми) в У по условию открытости
(замкнутости) /. >
СЛЕДСТВИЕ. Биективное отображение /: X~*Y является
гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда оно сохраняет опе-
операцию замыкания, т. е. для любого множества ДсХ образ его
¦замыкания совпадает с замыканием образа (/ (Л) ---/' (А)).
4 11 с о б х о д и м о с т [.. В силу предложении 3.11 и 3.10 непосред-
непосредствен по заключаем, что /'GГ) ==- / (Л)-
Достаточность непосредственно следует из предложений 3.10
и 3.11>. >
'Л а м е ч а и и е 3.8. Из доказанных выше предложений очевидным
образом заключаем, что, каким бы способом не задавалась топо-
топологическая структура пространства, она сохраняется при гомео-
гомеоморфизмах, поэтому гомеоморфизм представляет собой изоморфизм
топологических структур.
Для иллюстрации введенных выше понятий гомеоморфности и
негомооморфпостп пространств уместно рассматривать различные
геометрические фигуры (.пинии, поверхности и т. д.), расположен-
расположенные к евклидовых пространствах. Тогда гомеоморфность геометри-
геометрических фигур можно интуитивно представлять себе следующим
образом. А\ысленно представим себе, что все геометрические фигуры
изготовлены из тонкого эластичного материала (резины, пленки
и 1. п.), тогда если фигуру В можно получить из фигуры Л путем
Допустимой деформации, т.е. путем непрерывного пзгпба-
ни1,!, растяжения или сжатия, так, однако, чтобы при этих дефор-
деформациях не допускать пи разрывов, ни склеиваний, то эти фигуры
будут гомеоморфными.
Предостережение 3.9. Следует иметь в виду, что невоз-
невозможность такой деформации В в А еще не означает, что они не
г°меоморфпы, другими словами, не всякий гомеоморфизм можно
Реализовать в виде такой деформации. Таким образом, очевидно,
3* 67
например, что шар, эллипсоид, куб, выпуклый многогранник или
фигура, изображенная на рис. 4, гомеоморфны между собой, так
как они могут быть получены одна из
другой путем допустимых деформаций; то
же самое можно сказать о поверхностях,
ограничивающих эти фигуры.
Примеры. 3.12. Легко понять также,
что деформациями такого же типа можно
перевести друг в друга двумерный тор
(поверхность спасательного круга, рис. 5),
сферу с одной ручкой (рис. 6) или поверх-
поверхность кофейной чашки (рис. 7). Это озна-
означает, что с точки зрения тополога все эти
фигуры идентичны, поскольку они гомео-
гомеоморфны.
Рис. 4
Рис. 5
Рис. (>
Рис. 7
3.13. Нетрудно убедиться, что такие попарно ноюмеоморфпые
фигуры, как окружность, лемниската или незамкнутая линия, не
могут быть переведены друг в друга такого типа деформациями,
поскольку для этого пришлось бы либо их разорвать, либо склеить.
3.14. В дальнейшем мы увидим, что простая замкнутая лента
и так называемый лист Мёбиуса (рис. 8), получаемый из незамк-
Рис. 8
Рис. <>
нутои ленты путем склеивания коротких сторон после предвари-
предварительного скручивания ее на угол л, не гомеоморфны. Ксли же
Ап—фигура, получающаяся так же, как и лист Мебиуса, нос пред-
предварительным перекручиванием ленты на угол лл *' (рис. 9), то уже
*' Нсли п — отрицательное
тиноположиом на и ран л спи п.
целое число, то порекручишшие понимается в про-
68
нетрудно доказать, что для гомеоморфности Ат и Ап необходимо
и достаточно, чтобы /л-= п (mod 2).
Таким образом, хотя, например, Ап и А2 гомеоморфны, тем не
менее ясно, что они не могут быть переведены друг в друга допу-
допустимыми деформациями. Оказывается, что это последнее обстоятель-
обстоятельство связано с различным характером расположения этих фигур
в трехмерном пространстве и будет подробно анализировано
в п. 3.5, посвященном понятию изотопности.
3.4. Топологический тип, топологические инварианты. Предмет
топологии. Как уже отмечалось выше, понятие гомеоморфизма
играет фундаментальную роль во всей топологии, поскольку на
основе именно этого понятия решается вопрос о том, какие две
топологические структуры являются неразличимыми или эквива-
эквивалентными. Возможность классификации топологических пространств
на основе их гомеоморфности основана прежде всего на следующем
очень простом, но принципиально важном свойстве гомеоморфизмов.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.13. Отношение гомеоморфности X^Y
является отношением эквивалентности на совокупности всех топо-
топологических пространств.
Из приведенного предложения следует, что отношение гомеомор-
гомеоморфности разбивает совокупность (класс) всех топологических про-
пространств на попарно непересекающиеся классы, называемые топо-
топологическими типами топологически эквивалентных между собой
пространств. Все пространства, входящие в один и тот же класс
эквивалентности, называются пространствами с одним и тем же
топологическим типом.
Такое свойство пространства X, которое присуще всем про-
пространствам Y, имеющим тот же топологический тип, что и X,
т. е. принадлежащим вместе с X к одному и тому же классу экви-
эквивалентности, называется топологическим свойством пространства X
или топологическим инвариантом. Другими словами, топологиче-
топологический инвариант представляет собой такое свойство пространства X,
которым обладают также всевозможные его гомеоморфные образы.
Таким образом, если два пространства X и Y гомеомофны то
они имеют одинаковые топологические инварианты.
Примеры. 3.15. Свойство пространства удовлетворять первой
аксиоме счетности является топологическим инвариантом, поскольку
пространства, принадлежащие одному и тому же топологическому
типу, либо одновременно все удовлетворяют этой аксиоме, либо ни
одно из них.
То же самое относится к свойству пространства удовлетворять
второй аксиоме счетности или быть сепарабельным, т. е. свойства
обладать счетной базой или допускать счетное всюду плотное мно-
множество являются топологическими инвариантами.
3.16. Одним из важнейших топологических инвариантов является
введенная П. С. Урысоном топологическая размерность проетран-
П'на X (см. [3], гл. II), обозначаемая через diniX, откуда, в ча-
частности, следует, что IR и IR" не гомеоморфмы, если только т^п.
3.17. Очень важными топологическими инвариантами являются
69
так называемая б и ком и акт и ость пространства, которая
будет обстоятельно изучаться в § 3 гл. 111, и связность про-
пространства, которая будет изучена в § 5 гл. III.
3.18. Одним из топологических свойств числовой прямой R1
является то, что удаление из нее лишь одной (произвольной) точки
нарушает ее «связность», т. е. оставшаяся часть состоит уже из
двух «связных» частей. Вместе с тем окружность S1 или вся пло-
плоскость R2 уже этим свойством не обладают, поэтому из несовпаде-
несовпадения этого топологического инварианта следует, что К1 не гомео-
морфно пи S1 пи R-.
3.19. Свойство фигуры из R" быть ограниченной или выпуклой
связано с размером или формой этой фигуры, и поэтому эти свой-
свойства не являются топологическими инвариантами (см. пример 3.9).
Наряду с топологическими свойствами самих пространств весьма
важную роль играют так называемые топологические свой-
свойства отображений одного пространства в другое, к определению
которых мы переходим.
Два отображения f: X—> Y и f':X'—*У называются топологи-
топологически эквивалентными, если существуют гомеоморфизмы ср: X =* X'
и $:Y—Y' такие, что нижеследующая диаграмма коммутативна:
f> Y
X/ >у
т. е. f ¦¦-¦ ¦¦¦ i|' о / о <р~1. В соответствии с этим свойство отображения
j: X ¦¦¦» У называется топологическим, если этим же свойством обла-
обладает всякое топологически эквивалентное ему отображение.
Вез труда можно убедиться, что свойство отображения быть
непрерывным, открытым или замкнутым является его топологиче-
топологическим свойством, тогда как линейность пли диффереинируемость
отображения ! :"х" --¦» IR1, очевидно, не является топологическим
свойством.
Ир и мер i>i. 3.20. Пусть {:X~ + Y — произвольное отображение,
а (| :Х—>Х и ф:У— >Y — произвольные гомеоморфизмы. Тогда не-
нетрудно убедиться, что каждое из отображений / о ф, \\; о / и i|- о / о ср
топологически эквивалентно исходному отображению /.
3.21. Свойство отображения быть постоянным является его топо-
топологическим свойством.
3.22. Свойство отображения быть совершенным (см. п. 4.3 гл. III)
является топологическим свойством; то же самое относится к свой-
свойству отображения быть компактного характера, пли, что то же самое,
быть собственным отображением (см. и. 4.3 гл. III).
3.23. Свойство отображения f:X—>(К, р) быть ограниченным,
т. е. таким, чтобы диаметр образа /(X) был конечным, очевидно,
не является топологическим свойством.
3.24. Свойство отображения f:X—-Y, заключающееся в том, что
70
прообраз / 1 (у) каждой точки у?К состоит ровно из п точек,
является свойством топологическим.
Теперь уже после введенных выше понятий можно достаточно
полно охарактеризовать топологию как науку, изучающую тополо-
топологические свойства пространств и их непрерывных отображений.
Возвращаясь теперь к более подробному рассмотрению понятия
топологических инвариантов, следует иметь в виду, что многие из
этих инвариантов бывают в виде алгебраических объектов (чисел,
групп, многочленов, колец и т. п.). Это означает, что во многих
случаях оказывается возможным тому или иному топологическому
свойству пространства сопоставить вполне определенный алгебраи-
алгебраический объект и притом так, чтобы гомеэморфным между собой
пространствам были сопоставлены одинаковые (изоморфные) объекты.
Как уже отмечалось, число так называемых компонент связ-
связности геометрической фигуры (грубо говоря, число отдельных кус-
кусков, из которых эта фигура состоит) является ее простейшим топо-
топологическим инвариантом. Столь же простым топологическим инва-
инвариантом является число точек самопересечения непрерывной кривой
на плоскости или » пространстве; между тем число вершин много-
многоугольника, очевидно, не является топологическим инвариантом.
Несьма важными топологическими инвариантами являются так
называемые группы Бетти с и м п л и ц и а л ь п ы х полиэд-
полиэдров*', введенные Л. Пуанкаре в 1895 г., построение которых
положило начало применению алгебраических методов к решению
различных топологических проблем и привело к созданию одного
in важнейших разделов современной математики--алгебраической
топологии.
Как уже отмечалось выше, для установления гомеоморфности
пространств X и Y достаточно задать хотя бы одно гомеоморфпое
отображение X на V, тогда как для установления пегомеоморф-
пости этих же пространств нам надлежит решить менее обозримую
задачу, а именно доказать невозможность такого отображения.
Поэтому при установлении негомеоморфности пространств /V и К
оказывается целесообразнее пытаться отыскать один такой тополо-
топологический инвариант, значения которого для этих пространств были
бы различны.
Таким образом, в ряде случаен лишь один топологический инва-
инвариант может оказаться достаточным дли решения некоторых топо-
топологических проблем. Стало быть, нахождение каждого нового
топологического инварианта является серьезным шагом в направ-
направлении изучения топологических свойств пространств.
Пусть теперь М --совокупность топологических пространств,
замкнутая относительно всевозможных гомеоморфпых отображении,
т. v. если Х?М, то все пространства, имеющие одинаковый с X
топологический тип, также принадлежат М.
11 liiHKVii'ju'iKiin группы lirmi или, как теперь принято их начинать,
тру м п и i о м о л о г и и были определены для ирои.шольпых топологических
npDfi [lancru.
71
Пусть далее Q — некоторая система топологических инвариан-
инвариантов, определенных для всех X ? М, обладающая тем свойством, что
если для каких-либо цвух пространств X, Y из М все инварианты
из системы Q совпадают, то эти пространства гомеоморфны. Такую
систему инвариантов называют полной системой топологических
инвариантов для совокупности М.
Ясно, что, обладая полной системой топологических инвариан-
инвариантов Q, можно дать полную с точки зрения топологии классифика-
классификацию пространств из М. Именно поэтому на протяжении долгих лет
одной из важнейших задач топологии являлась задача отыскания
полной системы топологических инвариантов для того или иного
класса пространств.
Исчерпывающее решение этой проблемы для класса двумерных
многообразий (поверхностей) было получено давно. Оказалось, что
для замкнутых (без края) поверхностей лишь два инварианта, а
именно: ориентируемость и так называемая эйлерова ха-
характеристика *',— уже образуют полную систему инвариантов;
другими словами, оказалось, что две замкнутые двумерные поверх-
поверхности гомеоморфны тогда и только тогда, когда они одновременно
ориентируемы или не ориентируемы и имеют одну и ту же эйле-
эйлерову характеристику.
Что же касается класса двумерных поверхностей с краем, то
для получения полной системы инвариантов следует к указанным
выше двум инвариантам добавить еще один — число компонент края.
Для класса трехмерных многообразий задача пока еще не ре-
решена. Вместе с тем путем привлечения методов математической
логики недавно было обнаружено, что нельзя рассчитывать на пол-
полную топологическую классификацию даже такого «хорошего» клас-
класса, каким является класс так называемых «-мерных многообразий
при // 5? 4.
Что же касается так называемой гомотопической классификации,
являющейся несколько более грубой, но оказавшейся намного более
естественной по сравнению с топологической, то эта проблема по-
получила свое окончательное решение для всего класса полиэдров
в фундаментальных исследованиях М. М. Постникова [45].
3.5. Понятие об изотопии и изотопических инвариантах. Во многих
топологических задачах приходится помимо гомеоморфности фигур
учитывать еще и характер их расположения в объемлющем про-
пространстве. Это приводит к рассмотрению специального подкласса
гомеоморфизмов — класса так называемых изотопных отоб-
отображений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.4. Подмножества А и В пространства X
называются изотопными (точнее, изотопными относительно X), если
существует гомеоморфизм h:Xs±X такой, что Л (А)~ В; при этом h
называется изотопией А на В.
•> Для понерхностеп, ограничивающих многогранники п R3, эйлерова харак-
характеристика представляет собой число а.„ — а.,--а2, где йо,^, а2—соответственно
числа вершин, ребер и граней многогранника.
72
Совершенно ясно, что ограничение Л |/( этой изотопии реализует
гомеоморфизм А на В, поэтому любые изотопные подпространства
гомеоморфны; вместе с тем не всякий гомеоморфизм между А и В
может быть продолжен до изотопии А и В, следовательно, гомео-
морфные подпространства не обязательно изотопны.
Пример 3.25. Двумерный тор и поверхность кофейной чашки
изотопны в R3, тогда как фигуры Ао и Агп хотя и гомеоморфны,
но не изотопны.
Предостережение 3.10. Следует иметь в виду, что подпро-
подпространства А и В могут быть изотопными относительно простран-
пространства X, но не быть изотопными относительно более широкого про-
пространства Y, и обратно; из изотопности А и В относительно К,
вообще говоря, не следует их изотопность в XaY.
Пример 3.26. Пусть X представляет собой двумерный тор,
Y заполненный тор, т.е. сам тор вместе с частью пространства,
находящейся внутри тора, а А и В суть меридиан и параллель на
рассматриваемом торе. Можно до-
доказать, что А и В изотопы относи-
относительно X, но не изотопны относи-
относительно Y (последнее обстоятельство
связано с тем, что меридиан можно
непрерывно стянуть в точку, оста-
оставаясь все время в Y, тогда как еде- Рис. 10
лап, это с параллелью невозможно).
С другой стороны, рассмотрим X = IR2clR:1 ¦-К и пусть А, В- фи-
фигуры в X, изображенные на рис. 10. Ясно, что эти фигуры не
изотопны относительно X, однако они, очевидно, изотопны в Y.
Введенное выше понятие изотопности позволяет отличать «внут-
«внутренние» топологические свойства от так называемых изотопических
свойств, являющихся топологическими свойствами расположения
в объемлющем пространстве.
Свойство подпространства А пространства X называется его изо-
изотопическим свойством (относительно X) или изотопическим инва-
инвариантом, если этим же свойством обладают все его изотопные
образы.
Очевидно, что всякий топологический инвариант является также
и изотопическим инвариантом, но, вообще говоря, не наоборот.
Легко понять далее, что в отличие от изотопических свойств,
которые, как мы видели выше, существенно зависят не только от Л,
но и от характера его расположения в X, топологические свой-
свойства А зависят лишь от самого А, поэтому их естественно назы-
называть внутренними топологическими свойствами.
Проиллюстрируем сказанное па следующем простом примере, из
которого видно, что хотя любые две точки (рассматриваемые как
одноточечные подпространства), очевидно, всегда гомеоморфны и,
стало быть, все их топологические свойства одинаковы, однако они
Могут обладать различными изотопическими свойствами. В самом
Деле, пусть пространством X служит отрезок [а, Ь\ числовой пря-
прямой. Очевидно, что все внутренние точки этого отрезка изотопны
7о
между собой, тогда как можно доказать, что не существует изо-
изотопии, переводящей концевую точку во внутреннюю.
Другой пример гомеоморфных, по неизотопных в IR3 фигур можно
получит]), взяв за Л окружность, а за В- -заузлси-
ную замкнутую кривую, изображенную на рис. 11.
Таким образом, заузленность, будучи изотопи-
изотопическим свойством кривой в R:t, не является, однако,
ее «внутренним» топологическим свойством.
Замечание 3.11. Понятие изотоиности есте-
естественным образом обобщается на случай подмно-
|>ис- " жеств, лежащих в различных протранствах, а имен-
именно: подмножества Л и В, лежащие соответственно
в пространствах X и У, называются изотопными (относительно этих
пространств) если существует гомеоморфизм /.:X ~r. У, при котором
/г (Л). В.
3.6. Построение непрерывных отображений по заданным частич-
частичным отображениям. Пусть /•• некоторое отображение простран-
пространства X в пространство К, а А --произвольное подмножество из X.
ОПРЕДЕЛ 1:1111Е .4.5. Отображение / называется непрерывным
в точке л'„ €/1 относительно подмножества /1,если ограничение f\A,
рассматриваемое1 как отображение подпространства .-1 в У, является
непрерывным в точке .v,,.
Очевидно, что из непрерывности / в точке .\'„ относительно X
следует непрерывность / в vH относительно любого подмножества А,
содержащего .\'„. Вместе с тем отображение / может быть непрерыв-
непрерывным в точке .г,, относительно некоторого подмножества /1, но не
быть непрерывным в лон точке относительно всего пространства X.
Пример .'5.27. Пусть /1 и /^-—взаимно дополнительные всюду
плотные в пространстве X подмножества, а функция /: X - IR1
задана по формуле
Тогда, очевидно, отображение f непрерывно в каждой точке х?А
относительно Л и в каждой точке х ? В относительно И. Однако,
как мы уже видели (ем. пример .'5.3), оно не является непрерывным
ни в одной точке х^Х относительно всего X.
В связи со сказанным выше полезно иметь в виду следующий
простой факт.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.14. Пусть х„ является внутренней точкой
подмножества /1, тогда для непрерывности отображения f про-
пространства X в пространство У в точке хл относительно X необ-
необходимо и достаточно, чтобы f было непрерывно в точке х„ относи-
относительно подмножества А. Р1
.ц Необходимость условия, как уже указывалось выше, очевидна.
Пусть теперь л'„ ? lnt А и отображение f непрерывно относительно
подмножества Л, значит, для любой открытой окрестности V точки
/(х„) в пространстве У найдется открытая окрестность U точки хе
в подпространстве Л такая, что f\A(U)czV. Поскольку множество А
74
служит окрестностью точки х0 в Л", то U будет окрестностью хп и
во всем пространстве X. Таким образом, у точки х0 нашлась окрест-
окрестность U в X такая, что f(U)c:V. ^
Напомним, что семейство ?--{/!,•} подмножеств множества X,
где i пробегает некоторое множество индексов / любой мощности,
называют покрытием множества X, если объединение всех под-
подмножеств А;, входящих в S, совпадает с X, т.е. и Л,- X. При
угом каждое из подмножеств Л,- принято называть элементом по-
покрытия S.
Пусть далее S и S'—два покрытия одного п того же множества А",
причем такие, что каждый элемент покрытия 5' является в то же
время элементом покрытия S; тогда говорят, что покрытие S' яв-
является подпокрытием покрытия S; если же каждый элемент покры-
покрытия S', рассматриваемый как подмножество из X, содержится в не-
некотором подмножестве, являющемся элементом покрытия S, то
говорят, что покрытие S' вписано в покрытие S.
Пусть теперь X—топологическое пространство и S --- {Л,} ~ не-
некоторое его покрытие. Если каждый элемент А1 покрытия S является
открытым (соответственно замкнутым) в X множеством, то S назы-
называется открытым (соответственно замкнутым) покрытием простран-
пространства X. Покрытие S пространства X называется конечным, счетным
или несчетным в зависимости от того, является ли множество ин-
индексов конечным, счетным или несчетным.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.6. Покрытие S--{/!,{ называется локально
конечным, если семейство S является локально конечным.
IIPЕДЛОЖЕНИЕ 3.15. Пусть S •-- {А -\ — некоторое замкнутое
и конечное покрытие пространства X и пусть j — такое отобра-
отображение X в Y, ограничения /,• которого на каждое из подмножеств
A i ? .S непрерывны. Тогда / есть непрерывное отображение всего X в Y.
¦4 В самом деле, пусть F—произвольное замкнутое в Y множество
и пусть Е =-¦ f~l (F). Тогда, очевидно,
/У(Л-?ПЛ,. и ?-- и (ЕпА,).
if /
По условию, каждое /,-. непрерывно, следовательно, каждое из мно-
множеств f'-l(F), будучи прообразом замкнутого множества F, замкнуто
в А ¦, а поскольку множество /1,- само замкнуто в X, то fjl (F) должно
быть замкнутым в пространстве X. Таким образом, прообраз Е
множества F замкнут в X как объединение конечного числа замк-
замкнутых множеств. ^
При построении непрерывных отображений иногда бывает за-
затруднительно строить его сразу на всем пространстве X, поэтому
удобнее строить подходящим образом непрерывные порции конст-
конструируемого отображения на отдельных подмножествах простран-
пространства X. При этом совокупность этих подмножеств должна быть
некоторым покрытием пространства X, упомянутые порции должны
быть согласованы между собой, т. е. совпадать на соответствующих
пересечениях этих подмножеств. Сказанное выше можно подробнее
изложить следующим образом. Пусть S ¦= {Л,} —некоторое покрытие
75
пространства X и пусть для каждого г?/ задано некоторое ото-
отображение Л,- подпространства Л,в пространство Y, причем так, что
В этих условиях очевидно, что эти «частичные» отображения ht
однозначным образом определяют отображение / всего простран-
пространства X в К, которое задается по формуле
Это отображение f мы будем называть глобальным отображением
пространства X в пространство К, порожденным «частичными»
отображениями /i,-, t?/. Разумеется при этом, что каждое из ото-
отображений hj есть ограничение глобального отображения / на под-
подмножестве Л,-.
Вполне аналогично доказывается следующее предложение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ ЗЛО). Если покрытие S = -{A,-\ произвольного
пространства X является открытым покрытием, то глобальное
отображение /, порожденное непрерывными /г,-, есть непрерывное
отображение X в Y.
Замечание 3.12. Воспользовавшись предложением 3.14, не-
нетрудно доказать, что заключение предложения 3.16 остается спра-
справедливым и в том случае, когда внутренности элементов покрытия
5--{Л,^ также образуют покрытие пространства X.
Наконец, следующее предложение является усилением предло-
предложения 3.1.5
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.17. Если покрытие S~{A;\ произвольного
пространства X является замкнутым и локально конечным, то гло-
глобальное отображение /, порожденное непрерывными hh есть непре-
непрерывное отображение X в Y.
•4 Пусть х0 — произвольная точка из X. Тогда в силу локальной
конечности покрытия S существует такая окрестность U точки х0,
которая пересекается лишь с конечным числом элементов А1У Ла,
. . ., Л„ покрытия S. Легко проверить, что конечное число мно-
множеств Bj — U(]Aj, /—1,2, ..., образует замкнутое покрытие под-
подпространства U и что ограничения отображений /г,- на подмножест-
подмножествах /?,¦ представляют собой непрерывные отображения подпрост-
подпространств В;.
Далее, применяя предложение 3.15, заключаем, что отображение
f\u непрерывно, и, поскольку х0 является внутренней точкой под-
подмножества U, из предложения 3.14 следует, что отображение f не-
непрерывно в точке х0 относительно X. Тем самым глобальное ото-
отображение / непрерывно на всем X, поскольку х0 была произвольной
точкой из X. ^
3.7. Согласованность топологии с покрытием. Критерий непре-
непрерывности глобального отображения. В примере 3.27 показано, что
глобальное отображение /:Х—-Y может не быть непрерывным ото-
отображением, хотя все порождающие это отображение «частичные»
отображения /г,- являются непрерывными отображениями подпро-
подпространств Aj, f ?/. В связи с этим представляется важным выяснить,
70
при каких условиях, накладываемых на покрытие S-—{Л,-}, непре-
непрерывность всех «частичных» отображений /г,:Л,- - Y влечет за собой
непрерывность соответствующего глобального отображения f:X — Y.
Из доказанных в предыдущем пункте предложений следует, что
дли этого достаточно, чтобы 5 == \А;\ было произвольным открытым
покрытием (более общо: чтобы семейство {lut А,} тоже было покры-
покрытием) или замкнутым локально конечным покрытием.
Ниже мы сформулируем одно более общее предложение, тоже
относящееся к непрерывности глобального отображения, которое
основано на понятии слабости топологии относительно покрытия.
Это понятие оказывается полезным и в ряде других вопросов.
Прежде всего заметим, что по самому определению индуциро-
индуцированной топологии если подмножество М открыто в пространстве X,
то его порции во всех элементах Л,- любого покрытия S — {A,\
непременно открыты в подпространствах А,-, между тем обратное
верно не для всякого покрытия. В связи с этим становится естест-
естественным выделение такого класса покрытий, для которых верно и
обратное.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.7. Говорят, что топология пространства X
согласована с его покрытием S--\At; i?l\ (или, как иногда гово-
говорят, слаба относительно покрытия S), если из того, что М[\А(
открыто в At при всех «?/, следует, что само множество М от-
открыто в X.
Замечание 3.13. Так как для любого подмножества М из X,
очевидно, имеем (Х\М) П А,• = Л,\(М Г) Л,-), то топология в X со-
согласована с S тогда и только тогда, когда из того, что M(]At
замкнуты в Aj при всех г'?/, следует, что само М замкнуто в X.
Таким образом, согласованность топологии пространства X
с покрытием S означает, что открытыми (соответственно замкну-
замкнутыми) множествами в X являются те и только те, пересечения ко-
которых с А,- открыты (соответственно замкнуты) в подпространстве At
при всех t?/.
Пример 3.28. Пусть Л —некоторое незамкнутое подмноже-
подмножество пространства X и В — Х\А. Легко понять, что топология
и X не согласована с двухэлементным покрытием S — {А, В). В самом
деле, хотя следы множества А на элементах этого покрытия, равные
соответственно А П А = А и АГ\В-—0, замкнуты в подпростран-
подпространствах Л и В, тем не менее само А не замкнуто в X.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.18. Пусть X — произвольное множество, а
S~ \А,\ — некоторое его покрытие. Тогда любая топология в X,
при которой S является либо локально конечным замкнутым покры-
покрытием, либо произвольным открытым покрытием, либо, более общо,
таким покрытием, что внутренности его элементов тоже образуют
покрытие, будет согласована с покрытием S.
«4 Пусть топология в X такова, что S — локально конечное замк-
замкнутое покрытие пространства X. Докажем, что топология в X
согласована с покрытием 5.
Пусть М - такое подмножество из X, что след Л"!, — М Г) Л,- замк-
замкнут в А; при ьсех /?/. В силу замкнутости Л(- в X следует, что
77
все Mj замкнуты n X. Далее, очевидно, что семейство Т~{М;\—¦
локально конечное семейство, поэтому исходное множество М, будучи
обьединением локально конечного семейства замкнутых в А" мно-
множеств /И,-, само замкнуто в X (см. следствие предложения 1.6).
Пусть теперь топология в X такова, что семейство S=-{Inl/!,•)¦
тоже является покрытием пространства X и пусть М—такое под-
подмножество из X, что его следы М; — МГ\А[ открыты в подпрост-
подпространствах Л,-. Докажем, что исходное множество М тоже открыто
в X. Положим
М* — М, П Int Л,- = (.Mfl Л,-) Л Int Л,- = МГ\ Int Л,-; поскольку М{
открыты в Л,-, то M*i будет открытым в Int Л,- при всех i?l, но
поскольку Int Л,- открыто в X, то М- будет открытым в X. Далее,
так как ^Int Л ,-}¦ — покрытие X, то М — и М*, поэтому множество М
открыто в X как объединение открытых в X множеств М\.
Наконец, в том частном случае, когда S = {Л,} —открытое по-
покрытие, т.е. когда Int Л (- = Л,-, получаем, что топология простран-
пространства X согласована с любым открытым покрытием. ^
Пусть f:X->Y — некоторое отображение, а /,-:Л,- -+Y — огра-
ограничение отображения / на элементе Л,- покрытия S--- {А,.},-6/ про-
пространства X, тогда имеет место следующее важное утверждение.
ТЕОРЕМА 3.19 {КРИТЕРИЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ГЛОБАЛЬ-
ГЛОБАЛЬНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ). Если топология пространства X согла-
согласована с покрытием S, то отображение f непрерывно тогда и только
тогда, когда непрерывны его ограничения f на всех элементах этого
покрытия.
•4 Необходимость очевидна, ибо, как мы знаем, ограничения не-
непрерывного отображения непрерывны.
Достаточность. Пусть V—произвольное открытое в Y мно-
множество и пусть U --f~l (V). Тогда из U П Л(. =-/,¦' (V) к из непрерыв-
непрерывности /,¦ следует, что С/Г)Л(- открыто в Л,- при всех i?l. Но по-
поскольку топология в X, по условию, согласована с покрытием S,
то непосредственно заключаем, что U открыто в, X и, стало быть,
глобальное отображение / непрерывно. ^
Замечание 3.14. В силу предложения 3.18 топология про-
произвольного пространства X согласована (слаба) относительно любого
открытого, конечного или даже локально конечного замкнутого
покрытия, поэтому доказанные в предыдущем пункте предложения
3.15—3.17 можно рассматривать как следствия этого критерия не-
непрерывности глобального отображения.
3.8. Продолжение топологий. Рассмотрим вопрос о возможности
продолжения топологий, заданных на всех элементах некоторого
покрытия данного множества, часто оказывающийся принципиально
важным при решении самых разнообразных вопросов.
Пусть X—некоторое множество, а 5 --¦{Л,-; i?l\ — некоторое
его покрытие. Предположим далее, что в каждом подмножестве Л,-,
f ? / уже задана некоторая топология т,-, причем все эти топологии
согласованы между собой в том смысле, что но всевозможных не-
непустых пересечениях BLJ --Л,пЛу топологии т,- и ту индуцируют
78
одну и ту же топологию. Предположим, наконец, что во всем мно-
множестве X существует такая топология т, которая индуцирует в
каждом подмножестве Л,- топологию, совпадающую с т,-. Тогда мы
будем говорить, что топологии т,- допускают продолжение, а топо-
топология т является продолжением топологий т,-.
Предостережение ЗЛ5. Следует иметь в виду, что продол-
продолжение одного и того же семейства топологий, заданных на эле-
элементах некоторого покрытия, вообще говоря, не единственно. В самом
деле, пусть X ---некоторое бесконечное множество, а т —такая не-
дпекретная топология, в которой всякое конечное подмножество
дискретно (например, множество вещественных чисел с обычной
топологией). Рассмотрим покрытие S --¦--¦{Л ,}• множества X, образо-
образованное п.) конечных подмножеств Л,-. Тогда легко понять, что как
топология т, так п дискретная топология индуцируют на всех эле-
элементах этого покрытия одну и ту же дискретную топологию, а
значит, служат двумя различными продолжениями дискретных то-
топологии и каждом из А [.
ТЕОРЕМА .4.20 (О ПРОДОЛЖЕНИИ ТОПОЛОГИИ). Если
пичг'.икчш т,-, ':<адинныс пи элементах покрытия S {А;\ множе-
множества A, согласованы между cofim), а каждое u:i B; t открыто как.
е, ироетранеше.е Л,-, так и с, пространстве Лу-, то существует един-
единственная -ладанная на тем множестве X топология т, которая ео-
глшосана (с-ьюи) с покрытием S и является продол.чеенпем тоцо-
iioeuii т,..
«3 Пусть т- семейство всевозможных подмножеств t/с:.\ таких, что
для каждого < ? / пересечение U П А ; открыто в пространстве (Ai,ii).
Toi да легко проверить, что семейство т образует 15 X топологию т,
коюра',1, но самому определению этой топологии, слаба относи-
относительно покрытия .S. С др\ roii cto|iohi>i, в силу условия каждое из Л ;-
открыто в т, т.е. 5- открытое покрытие пространства (А', т).
Остается доказать, что т является продолжением топологий т,,
т. с. она ппдуинрует в каждом из Л,- топологию т,-, совпадающую
с исходной топологией т.,-. 15 самом деле, пусть Л'- произвольное
подмножество из Л,-, открытое1 в топологии т,-, т. с. N ¦¦¦-U Г\ Л(,
где ^?т. и поэтому (по определению топологии т) (У A Лу открыто
в т; при всех / и, в частности, U Г) Л,- =--- N ? т,-.
Пусть тепефь N—произвольное подмножество из At, открытое
в т,.. Тогда каждое из пересечений Nf]Aj, или, что то же самое,
N[\B^j будет открытым в подпространстве Bi%/ пространства
(/1,-, т,), а в силу согласованности топологий и из того, что мно-
множество /i,-,y открыто п в пространстве (Aj, Ту), без труда заклю-
заключаем, что /V П Лу открыто в топологии xf. Таким образом, следы N
на каждом из Aj открыты в пространстве (Aj, Ту), а это означает,
что Л'?т и, стало быть, Л/?т,-. Итак, т,- в свою очередь мажори-
мажорируется т,-, т. е. эти топологии совпадают.
Длч доказательства единственности допустим, что т*—произ-
т*—произвольная топология в X, являющаяся продолжением заданных то-
то
пологий т,- и согласована с покрытием 5 — {Л,}, тогда легко понять,
что т* совпадает с построенной выше топологией т, ибо подмноже-
подмножество U из X открыто в топологии х* тогда и только тогда, когда
каждое из множеств U[~\Aj открыто в т,-. ^
Замечание 3.15. Рассмотренное предложение и его доказа-
доказательство остаются справедливыми, если слово «открытое» всюду
заменить словом «замкнутое», л тогда каждый из элементов по-
покрытия S — \Л;\ окажется замкнутым подмножеством в топологии т .
Пример 3.29. Пусть {X,} — такая последовательность множеств,
что XncX,((.,, и пусть в каждом из Х„ задана топология т„. Рас-
Рассмотрим объединение X -- U Х„ этих множеств. Для существования
на X топологии т, являющейся продолжением всех этих топологий
т„, очевидно, необходимо, чтобы каждое из пространств (Х„, тп)
было подпространством пространства (Хп м, т,м ,). Вместе с тем не-
нетрудно понять, что это условие еще не достаточно для возможно-
возможности продолжения топологий т„ на все X. Если же каждое из Хп
является замкнутым (соответственно открытым) подпространством
в Хп + 1, то уже, согласно теореме о продолжении топологий, в X
существует топология т, являющаяся продолжением всех этих то-
топологий Т;.
Замечание 3.16. Во многих разделах топологии, а также и
в ряде других разделов математики часто приходится рассматри-
рассматривать объединение некоторого семейства топологических пространств
и вводить в этом объединении (разумеется, при выполнении соот-
соответствующих необходимых условий) топологию, согласованную с ис-
исходными топологиями.
Описанная выше общая конструкция играет большую роль, так
как она может быть с успехом использована при решении такого
типа вопросов. В частности, в алгебраической топологии при по-
построении и изучении таких важных объектов, как так называемые
клеточные полиэдры, известная топология Уайтхеда есть не что
иное, как продолжение топологий отдельных клеток с помощью
описанной только что конструкции. То же самое относится и к за-
заданию топологии, например, в тензорном произведении так называ-
называемых векторных расслоений или других достаточно сложных то-
иолого-алгебраических объектов.
3.9. Понятие прообраза топологии. В этом пункте мы опишем
еще одну очень простую, но вместе с тем весьма плодотворную
идею. Пусть /: X—-Y— некоторое фиксированное отображение
произвольного множества X в топологическое пространство (Y, а).
Ясно, что если при какой-то топологии в X отображение / оказа-
оказалось непрерывным, то после усиления этой топологии / останется
непрерывным, поэтому представляет интерес выяснить, какова сла-
слабейшая в X топология, при которой отображение / все еще непре-
непрерывно.
Решение этой задачи непосредственно приводит к понятию
прообраза топологии. Рассмотрим в X семейство т, являю-
являющееся /-прообразом семейства а, т. е. семейство всех множеств вида
80
U -:=/"' (V), где V пробегает семейство а. Легко проверить, что се-
семейство т удовлетворяет всем аксиомам топологии. В самом деле,
пусть U —объединение некоторых множеств ?/у?т, т. е. имеющих
вид Uj^f-^Vj), где VjZo; тогда
(/) V (/)
где V?<r. Так же просто убедиться, что пересечение конечного
числа множеств из х снова принадлежит т. Очевидно далее, что
прообраз пустого множества пуст, а прообраз множества Y есть
все X.
Таким образом, объявив открытыми в X те и только те под-
подмножества, которые являются прообразами открытых в Y подмно-
подмножеств, мы тем самым задаем в X некоторую топологию т, которая
обозначается через /"'(а) и называется прообразом топологии п
относительно отображения /. Ясно также, что, меняя исходное
отображение /, мы получаем, вообще говоря, сколько угодно раз-
различных топологий в X. Пользуясь соотношением Cf~' (В) -f~' (СВ),
непосредственно убеждаемся, что в прообразе т — /-1 (а) топологии
замкнутыми множествами являются те и только те множества из
X, которые представляют собой прообразы множеств из Y, замкну-
замкнутых в топологии «. Легко понять, что само исходное отображение f
окажется непрерывным отображением (X, т) в (К, а) и, более того,
прообраз х топологии о как раз и является слабейшим из всех
топологий в X, при которых отображение / является непрерывным.
В самом деле, пусть т — некоторая топология в X, при которой
отображение / непрерывно, и пусть подмножество U а X открыто
в топологии т, т. е. U ¦¦-- f'1 (V), где V?o. Поскольку, по предполо-
предположению, отображение / (X, т) в (К, а) непрерывно, то U ----- J ~' (V)
должно быть открытым в т. Таким образом, U ?х влечет 6/€т>т- е-
т мажорируется т.
Рассмотрим теперь тот частный случай, когда множество X яв-
является подмножеством пространства (Y, а), а / -отображение лло-
жепия X в К, т. е. f(x)~~x для всех х?Х. Тогда очевидно, что
для любого подмножества BcY f~' (В)~ В Г) X, поэтому подмно-
подмножество Uс X открыто в топологии х==/~1(а) тогда и только тогда,
когда U -VflX, где V?a. Таким образом, оказывается, что про-
прообраз топологии о при отображении вложения есть не что иное,
как топология, индуцированная в X из пространства (К, а).
Пусть отображение h множества X в пространство (Z, р) пред-
представлено в виде суперпозиции /i = #o/, где /'—отображение мно-
множества X в множество К, a g — отображение множества Y в про-
пространство (Z, р). Пользуясь концепцией прообраза топологии, можно
задать в множестве X две топологии: одну — как прообраз топо-
топологии р при отображении /г, а другую — как прообраз топологии
0 М~] (р) относительно отображения /. Без труда проверяется,
что эти две топологии совпадают. Именно это и имеют в виду, когд.ч
говорят, что понятие прообраза топологии обладает свойством
si
транзитивности. Легко понять, что если бы эти топологии были
различными, то определение прообраза топологии зависело бы не
только от топологии р и отображения h, но и от способа пред-
представления h в виде суперпозиции двух или нескольких отобра-
отображений п стало быть было бы некорректным.
Предостережение 3. 18. Следует иметь в виду, что образы
открытых множеств пространства (X, т) при отображении / прост-
пространства X на множество Y не образуют, вообще говоря, тополо-
топологической структуры в Y. Это происходит по той причине, что образ
пересечения нескольких множеств не всегда совпадает с пересече-
пересечением образов этих множеств. Однако легко проверить, что если /
есть биективное отображение пространства Л' на множество К, то
образы открытых в X множеств образуют в Y семейство подмно-
подмножеств, удовлетворяющее всем аксиомам топологии, причем возни-
возникающая в Y топологии есть не что иное, как прообраз топологии
пространства X при обратном отображении /'-'.
Укажем еще одно полезное приложение понятия прообраза то-
топологии, которое может служить источником самых разнообразных
примеров одновременно открытых и .замкнутых отображений.
//РЕ.ДЛО/КЕ IIIIЕ 3.21. Если топология в X .чв.ьчете.ч прообра-
:'1>м топологии пространства Y при надъективном отображении /':
Л-¦¦-)', то отображение f одновременно открыто и ммкнцто.
<| Пусть Л произвольное открытое (соответственно замкнутое)
множество из X. Тогда, по условию, оно должно иметь вид Л j' ' (В),
где В некоторое открытое (соответственно замкнутое) множество
из У. С другой стороны, в силу падьектнвпостп / будем иметь
/(¦'1) /|/~'(^)| ^> откуда утверждения доказываемого предло-
предложения вытекают непосредственно. &>
Рассмотрим теперь задачу, двойственную тон, которая привела
к понятию прообраза топологии, а именно: пусть /: Х- -Y фик-
фиксированное отображение пространства (X, т) в произвольное мно-
множество Y и пусть требуется выяснить, какова спльнеппшн в Y то-
топология, при которой / непрерывно. Оказывается, что для этого
следует объявить открытыми в Y те и только те подмножества V,
ьрообргпы которых открыты в ¦топологии т. Тогда, как и выше,
легко доказать, что совокупность о всех таких подмножеств К за-
задаст в Y некоторую топологию а, которую называют финальной
топологией, порожденной отображением f и топологией т. При этом
отображение /: (X, т) —¦ (У, а), очевидно, непрерывно. Более того,
топология а как раз и есть сильнейшая из всех топологии в К,
при которых / непрерывно. В самом деле, если /: (X, т) ¦—* (Y, о*)
тоже непрерывно, то V ?а* влечет /~1(К)?т, откуда в силу пост-
построения топологии о V ? о, т.е. «* мипорирует а.
Наконец, ясно, что замкнутыми в (К, о) будут только те под-
подмножества, /-прообразы которых замкнуты в (X, т).
В заключение отметим два двойственных .между собой критерия
г о м !¦ о м о р ф п о с т и б и е к т и в н ы х о т о б р а ж е и п и, выражен-
выраженных в упомянутых выше терминах.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.22. Биективное отображение f: (X, т)-*
82
—<¦ (К, о) является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда
выполнено одно из условий:
(i) х—слабейшая из топологий в X, при которых отображение f
непрерывно;
(ii) а —сильнейшая из топологий в Y, при которых отображение f
непрерывно.
4 Необходимость (i). Пусть / — гомеоморфизм, а т — прооб-
прообраз а при отображении /, тогда по самому определению т. ясно,
что т^т. Пусть теперь U с X открыто в топологии т, тогда V -f(U)
открыто n (Y, а) как образ открытого множества при гомеомор-
гомеоморфизме /. В силу биектипности / U --f~1(V) и, стало быть, открыто
и топологии т как прообраз открытого в (Y,a) множества V, т. е.
лС.т. Итак,т —т, и необходимость (i) доказана.
Достаточность (i) непосредственно следует из предыдущего пред-
предложения и критерия гомеоморфности 3.11, 3.12.
Доказательство (ii). Так как условие (ii) (относительно/)
имеет место тогда и только тогда, когда а —слабейшая из тополо-
топологий в Y, при которых /~1 непрерывно (см. предостережение 3.18),
то справедливость (ii) следует из справедливости (i) по отношению
к отображению /-1. ^
Для иллюстрации этих понятий приведем несколько простых
но важных примеров.
Примеры. 3.30. Пусть X — множество всех прямых на пло-
плоскости, a Y — множество всех прямых этой же плоскости, прохо-
проходящих через начало координат. Сопоставляя каждой прямой х из X
параллельную ей прямую // ? К, мы, очевидно, получаем падъектив-
ное отображение /: X *Y. Рассматривая Y как метрическое про-
пространство с метрикой (>(//,, у2), равной меньшему из углов между
прямыми у, и у.,, мы, очевидно, можем наделить X топологией т,
являющейся прообразом при / топологии а в Y, порожденной упо-
упомянутой метрикой. Согласно предложению 3.21, отображение /
окажется при этом одновременно открытым и замкнутым, по ввиду
очевидной неинъективиости от не будет гомеоморфизмом.
3.31. Пусть X — произвольное конечномерное линейное (вектор-
(векторное) пространство над полем R и пусть?,, ?2, . . ., Е„—-некоторый базис
в А'. Тогда каждое хС А'представимо единственным образом в виде
п
*•--= ^] afii, где а,-6 К.
i = i
Сопоставляя каждому х? X упорядоченную систему («,, а.,, . . ., ап)
его координат, мы, очевидно, получаем биективное отображение/:
X-->-R". Наделив множество X топологией т, являющейся прооб-
прообразом при отображении / обычной топологии в IR", мы превратим
исходное линейное пространство X в топологическое пространство,
гомеоморфное пространству R", поскольку / будет в силу предло-
предложения 3.22 (i) гомеоморфизмом.
Совершенно так же можно ввести топологию в абстрактном
Линейном пространстве над полем С комплексных чисел.
83
Рекомендуем читателю самому убедиться, что построенные то-
топологии не будут зависеть от выбора исходного базиса.
Пример 3.32. Обозначим через Ми (R) (соответственно Мп (С))
совокупность всех квадратных матриц я,,/| порядка п с элемен-
элементами aitj из R (соответственно из С). Если расположить все строки
каждой из матриц ',а!)У- последовательно одну за другой в одну
строку длины п1, мы, очевидно, можем построить биективное ото-
отображение {: Mn(R)-—>'R"\ Поэтому, наделив множество Mn(R) то-
топологией, являющейся прообразом обычной топологии в IR"" при
этом отображении /, мы превратим Mn(R) в топологическое про-
пространство, называемое пространством матриц порядка п, которое
гомеоморфно R в силу предложения 3.22 (i).
Совершенно так же строится пространство матриц МВ(С).
Замечание 3.19. Оказывается, что множество Mn(R) (соот-
(соответственно Мп (С)), состоящее из невырожденных (с отличным от
нуля детерминантом) матриц, открыто и всюду плотно в пространстве
/И„(К) (соответственно в Мп (€)) (см., например, [7J, гл. VI, § 1).
ЗЛО. Инициальная и финальная топологии. Укажем еще два
весьма общих способа введения топологии, основанных на развитии
идеи, описанных в предыдущем пункте.
Пусть X -произвольное множество, а {(У,-, т,); i' ? /} — произ-
произвольное семейство топологических пространств. Пусть, далее, для
каждого 1? / задано отображение ff. X—*Y,. Обозначим через о,
прообраз семейства х( при отображении /,-. Тогда, приняв в каче-
качестве предбазы*' топологии в X объединение всех этих семейств а,,
мы получим некоторую топологию о в множестве X, которую на-
называют инициальной топологией, порожденной семейством отобра-
отображений (/,¦) (точнее, этими отображениями и топологиями т,.).
Нетрудно понять, что инициальная топология а является сла-
слабейшей из всех таких топологий в X, при которых все отображе-
отображения /,¦ непрерывны. Очевидно далее, что понятие инициальной то-
топологии является обобщением понятия прообраза топологии, кото-
который соответствует случаю, когда семейство (/,•) состоит лишь из
одного отображения. В дальнейшем мы увидим, что такое важное
понятие, как прямое произведение любого множества топологий,
тоже является инициальной топологией.
Сохраняя введенные обозначения, докажем следующее простое,
но полезное предложение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.23. Отображение g пространства Z в про-
пространство X с инициальной топологией о непрерывно тогда и только
тогда, когда для каждого i ? / композиция /,og непрерывна.
¦^ Необходимость очевидна. Переходя к доказательству достаточ-
достаточности, допустим, что ]/¦—произвольное подмножество из предбазы
*• Нетрудно убедиться, что это объединение семейств, вообще говоря, не
обязано служить базой некоторой топологии.
84
U а,-, т. е. V принадлежит некоторому nit и, стало быть, V ~fjl (U),
(•6/
где U ^Xj . Но поскольку очевидно, что
то ?"' (V) открыто в Z как прообраз открытого множества U при
непрерывном отображении /,-,,og.
Таким образом, прообраз g~' (V) любого подмножества V из
предбазы инициальной топологии в X является открытым в Z под-
подмножеством, что, как мы знаем, достаточно для непрерывности
отображения g. ^
Укажем одно применение понятия инициальной топологии в виде
нижеследующего утверждения.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.24. Пусть в некотором множестве X задано
произвольное семейство топологий {т,-; /?/}. Тогда в X существует
топология т, являющаяся слабейшей из всех топологий в X, мажо-
мажорирующих каждую из хг
^ Пусть К, —(Х,т,)— пространство, получаемое наделением мно-
множества X топологией т,-, и пусть /у. X —<¦ К,- при всех i?/ пред-
представляет собой тождественное отображение 1^:Х—>Х.
Рассмотрим в X топологию т, являющуюся инициальной отно-
относительно семейства отображений ft, i?l, тогда легко убедиться,
что она и есть искомая топология. В самом деле, по самому опре-
определению инициальной топологии, каждое из отображений /, —
== ly:(X, т)—>• (X, Т;) непрерывно и, стало быть, т,-^т при всех
/?/. С другой стороны, если т*—топология в X, мажорирующая
каждую из -г,-, то каждое из отображений 1Х:(Х, т.*) —> (X, т,) не-
непрерывно. Но поскольку т инициальна относительно семейства /,-,
то т^т*. Итак, т—действительно слабейшая из топологий в X,
мажорирующих каждую из т,- при {'?/. ^
Замечание 3.20. Легко понять, что построенная в преды-
предыдущем предложении топология т является топологией в X, порож-
порожденной объединением семейств т, при /?/, а также и то, что т
служит точной верхней границей семейств т; в частично упорядо-
упорядоченном множестве всех топологий в X.
Выше уже отмечалось так называемое свойство транзитивности
прообраза топологии. Принципиально важно, что это свойство
транзитивности сохраняется и в случае любых инициальных топо-
топологий. Переходя к точной формулировке этого свойства, нам пред-
представляется уместным сначала рассмотреть нижеследующий специаль-
специальный случай.
Пусть {(К,-, т,-); i'(z l\ — произвольное семейство топологических
пространств, а X, Z — произвольные множества. Пусть, далее, для
каждого i ? / задано отображение g,-: Z —<• (Y/, т(), а также неко-
некоторое отображение h: X—*Z. Тогда ясно, что в X можно задать,
во-первых, топологию т*, являющуюся инициальной относительно
семейства отображений {^,о/г; i?l\, а во-вторых, топологию т*,
являющуюся прообразом при отображении /( топологии о в Z, ко-
которая инициальна относительно семейства отображений {gy, i(il\.
85
Оказывается, что топологии т и т* совпадают, причем при зна-
значительно более общей ситуации, которая описывается ниже.
Пусть {(К,-, т,-); i ? 1} —произвольное семейство топологических
пространств, \Lk\ к?К\ — некоторое разбиение индексного множе-
множества /, {Zk\ h?K\— некоторое семейство множеств и пусть для
каждого i?Lk задано некоторое отображение #,-: Zk—*Yi.
Пусть, далее, заданы произвольное множество X и отображение
hk:X—>Zk при всех/г?/<\ Положим, что/,•-;#,• о/ift для всех i ? Lk,
тогда в введенных обозначениях справедливо так называемое
с в о и с т в о трап з и т и в н о с т п и л и ц и а л ь н ой т о п о л о г и и,
а именно следующее утверждение.
II РЕ ПЛОЖЕН И Е 3.25. Пусть т — инициальная топология в X,
порожденная семейством отображений {/,¦; i(zl), и пусть ок —
инициальная топология в Zk, порожденная семейством {gy, i?Lk\,
тогда инициальная топология т\ порожденная семейством \hk\t
совпадает с исходной топологией т.
•4 Легко попять, что каждое из отображений /,:(Х, т*) — > (К,-, тг)
непрерывно как композиция непрерывных отображении hk и #,- при
/'€/-,,, поэтому т*.>т, так как топология т инициальна относительно
{/,-;<¦ €П-
Покажем теперь, что т, в свою очередь, мажорирует т*. Как
мы уже знаем, для этого достаточно проверить, что каждый эле-
элемент некоторой предбазы топологии т* является открытым под-
подмножеством и топологии т. Но так как т* инициальна относи-
относительно \hu\ k^K), то нам достаточно показать, что каждое мно-
множество U ~hkl(V), где V?ak, открыто в пространстве (X, т). Для
этого заметим, что так как ак инициальна относительно #,. при
i^Lk, то каждое такое V является объединением конечных пере-
пересечений множеств вида gi~l{Wj), где W^т-,, a i?Lh, поэтому мно-
множество U будет объединением конечных пересечений множеств вида
V (ЯГ1 (W,) - (Я,- о hk)-> (Wi) - /Г1 (Г,-).
Но ведь множества вида frl (W;) как раз и образуют предбазу
топологии т, инициальной относительно семейства /,-, поэтому О
действительно открыто в пространстве (Х,т). Итак, т*~т. >
Перейдем теперь к описанию финальной топологии, которая
в некотором смысле двойственна по отношению к инициальной
топологии. Пусть X — произвольное множество, {(V,-, т,-); i?f\ —
некоторое семейство топологических пространств и пусть для каж-
каждого i?/ задано некоторое отображение Я,:^|-—><^- Рассмотрим
в X семейство т всевозможных подмножеств U cz X таких, что
при всех i прообразы gil{U) открыты в Yt. Нетрудно проверить,
что семейство т удовлетворяет всем аксиомам топологии, поэтому
образует в X топологию, называемую финальной топологией, по-
порожденной семейством отображений (?,) (точнее, этими отображе-
отображениями и топологиями т,).
Легко убедиться, что финальная топология т—сильнейшая из
всех топологий, при которых каждое из отображений #, непрерывно.
В дальнейшем мы увидим, что такие важные понятия, как
86
фа кто р-то по л ог и я и сумма топологий, являются при-
примерами финальной топологии.
/7РЕДЛОЖЕНИЕ 3.26. Пусть X пространство с финальной
топологией т, порожденной семейством отображений g;'Y,--¦» А,
a Z — произвольное, пространство. Тогда f:X—*Z непрерывно тогда
и только тогда, когда при каждом i непрерывна композиция fog;.
¦4 Необходимость очевидна, так как все g. непрерывны, по опре-
определению финальной топологии. Переходя к доказательству доста-
достаточности, предположим, что все композиции fog; непрерывны,
а Г -произвольное открытое подмножество из Z. Тогда
открыто в К,- при любом индексе /, пли, введя обозначение U -
I '(Ю- будем иметь, что g;'(U) открыто в каждом пч )',-, стало
быть, по определению финальной топологии, U открыто в Л'.
Итак, прообраз /~'(V) любого открытого в Z подмножества V
открыт в X, т. е. / непрерывно. >
Замечание 3.21. Пусть (X, т.) —топологическое простран-
пространство, .S ¦¦ {/!,-}—некоторое семейство его подпространств /1,-. Легко
попять, что топология т слаба относительно семейства .S (т. с.
подмножество /И с А' открыто в том п 'только в том случае, когда
следы М\)Л,- открыты в А,-) тогда п только тогда, когда тополо-
топология г в X финальна относительно семейства отображений вложе-
вложении подпространств Л,- в X. Это непосредственно следует из того,
что прообраз любого множества U из X при отображении вложе-
вложении .1; в X совпадает с его следом (УпД,- в Л,-.
1$ качестве применения понятия финальной топологии приведем
одно простое предложение.
IIРПЛЛОЖЕПИЕ 3.127. Пусть в произвольном множестве X
задано некоторое семейство топологий {г,-; /?/}. Тогда в X суще-
существует топологии, являющаяся сильнейшей из всех топологий в X,
мажорируемых каждой из топологий т;- этого семейства.
Л Положим, что У,- :(А\т,-), и пусть /(.:К,.~*А является тождест-
тождественным отображением 1Ч- при каждом /?/. Рассмотрим i; А топо-
топологию т, финальную относительно семейства {/,; /?/}, и пока-
покажем, что она и есть искомая топология.
Поскольку отображения /,:(А, т,) — + (А, т) непрерывны (в силу
фипалыюсти т), то легко заключаем, что т <. т,- при всех i'? I.
Пусть теперь т" --произвольная топология в А такая, что х*-..\т
при венком <?/. Тогда, очевидно, каждое из отображений /,•:
(А, т,-) — *(Х, т*) будет непрерывным. Но поскольку т финальна
относительно семейства {/,-; i?f\, то т^т*. Итак, т—искомая
топология в А. >
Замечание 3.22. Легко понять, что построенная в преды-
предыдущем предложении топология т является пересечением П т.,-
!' 6 /
всех топологий семейства {т(.; t ?/} и служит точной нижней гранью
этого семейства в частично упорядоченном множестве всех топо-
топологий и X.
87
Замечание 3.23. Частично упорядоченное множество всех
топологий в фиксированном множестве X образует полную ре-
решетку, ибо в нем, как мы убедились выше, любое (не обязательно
конечное) семейство топологий обладает как верхней, так и ниж-
нижней точными гранями.
3.11. Понятие о ретракте и ретрагирующем отображении. Одной
ил основных задач топологии является задача о распространении
данного непрерывного отображения. Пусть X, К —произвольные
топологические пространства, А— некоторое подпространство и X,
a g:A—*Y— некоторое непрерывное отображение. Тогда задача
распространения отображения g состоит в том, чтобы выяснить,
при каких условиях будет существовать непрерывное отображение
f:X--*Y такое, что f\A—g. Частным, но весьма важным случаем
этой задачи является задача о ретракции, соответствующая тому
случаю, когда пространство К совпадает с подпространством А,
а отображение g является тождественным отображением \А.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.8. Подпространство А пространства X назы-
называется ретрактом пространства X, если существует непрерывное
отображение г: X—* А такое, что г\А — \А, т. е. если тождествен-
тождественное отображение 1^ допускает непрерывное продолжение на все
пространство X; при этом каждое такое отображение г называют
ретрагнрующим отображением или ретракцией X па Л и записы-
записывают г:Х =э А.
Ясно, что каждое одноточечное подмножество {.v0} любого про-
пространства X служит для него ретрактом, единственной ретракцией
ялн которого является постоянное отображение Х—-{хо\.
Примеры. 3.33. Легко убедиться, что как «-мерный шар В",
так и любая гиперплоскость в IR" являются простейшими приме-
примерами ретрактов для IR".
3.34. Пусть Х = [°- Ч. а А^УхХ --{О, I} —граница в R1. Тогда
легко понять, что А не является ретрактом для X, ибо при рет-
ретрагирующем отображении образ связного
множества X, а именно множество Л, обя-
обязан был бы быть тоже связным (см. § 5
гл. 111).
3.35. Пусть X — В"\{0} — шар с выколо-
выколотым центром, a .S" ¦- \х ? R" | х \ ¦¦-- 1} — огра-
ограничивающая его сфера. Тогда отображение
г: X—*S"~l, задаваемое формулой г (х) =
- -т^т-, очевидно, служит ретракцией X
Рис. 12 il*.l J У У
на S", поэтому сфера S"'1 является ре-
ретрактом для шара с выколотым центром. В частности, окружность
служит ретрактом для круга с выколотым центром.
3.36. Сфера является ретрактом для «колючей» сферы, ибо
ретракцию можно получить «вдавливанием» всех иголок (рис. 12).
3.37. Удалим из заполненного тора X, рассматриваемого как
пространственная фигура в R\ получаемая вращением диска D
вокруг оси /, его остов С (окружность, описываемую центром диска)»
88
тогда его поверхность У --- Т'г будет ретрактом для Х\С. Ретрак-
Ретракцию г: (Х\С)—i-T'1 можно построить в каждом положении вра-
вращающегося диска D с удаленным центром совершенно так же,
как и в примере 3.35.
Пример 3.38. Пусть X -¦--¦= В-у / — цилиндр над кругом В2,
а У- ¦ Ва х {()} и S1 X /—объединение его нижнего основания и
боковой поверхности. Тогда центральное проектирование из точки
М @, 0, 2) пространства X на У будет ретракцией.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.29. Ретрак/п рстракта есть ретракт.
^ Пусть A cz В — подпространства из X и пусть г,: В n А— рет-
ретракция В на А, а г2: X -. В— ретракция X на В. Тогда легко
проверить, что композиция r~rlor.i: X—«• А будет ретракцией
X на А. >
011РЕДЕЛЕНИЕ 3.9. Подпространство А пространства X назы-
называется окреапностным ретрактом для X, если оно служит ретрактом
некоторой своей (открытой в X) окрестности, т. е. если сущест-
существует открытое в X множество U з А, для которого А служит
ретрактом.
Очевидно, что каждый ретракт пространства X является также
и окрестностным ретрактом, тогда как окрестпостпый ретракт может
и не быть ретрактом.
Пример 3.39. Сфера S"~l является окрестностным ретрактом
как для R", так и для В", хотя, как отмечалось выше, она не
является для них ретрактом. В качестве содержащего S"~l откры-
открытого множества U можно взять R"\{Of, соответственно й"\{()},
причем в обоих случаях ретракцией может служить отображение
х —л-/|1х':|.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.30. Для того чтобы подпространство А
пространства X было ретрактом для X, необходимо и достаточно,
чтобы каждое непрерывное отображение #: А —> У в произвольное
пространство У было непрерывно продолжимо на все X.
¦4 Необходимость. Пусть /1—ретракт для X, г: Xd/1 — не-
некоторая ретракция; пусть, далее, g: А—> У — произвольное непре-
непрерывное отображение. Тогда f~-gor: X—-У, очевидно, будет
искомым продолжением.
Достаточность. Пусть подпространство А таково, что для
каждого непрерывного отображения g: А —* У существует" его не-
непрерывное продолжение /: X—>К. В частности, для тождествен-
тождественного отображения g~ \A: A—>Л найдется непрерывное отображе-
отображение /: X — ¦ А такое, что /|л=1л> которое и будет искомой рет-
ретракцией. >
Задачи
1. Докажите, что для всякого непустого полмножества А метрического про-
пространства (К, <>) функция /(*) = (>(*, А) непрерывна па X.
2. Докажите, что отображение /: А'—> Y непрерывно тогда и только клда,
Koi ;i;i для любою подмножества В пространства У выполнено одно из условии;
a) /-i(Inl/»)<=lttt/-J(fi). b) j-l[B)^l-*(B).
89
3. Докажите, что при любом непрерывном отображении прообраз всякого
локально замкнутого множества локально замкнут.
4. Докажите, что при любом биективном и непрерывном отображении образ
всюду плотного (соответственно граничного) множества всюду плотен (граничен).
5. Пусть п одном и том же множестве X заданы две топологии: т и о.
Докажите, что о мажорирует т в том и только в том случае, если тождествен-
тождественное отображение 1д-: (А, гт)—*(Х,х) непрерывно.
6. Пусть X — произвольное бесконечное множество, снабженное топологией
Зарисского. Докажите, что всякое непрерывное отображение /: А"- >К1 есть
постоянное отображение.
7. Пусть /: X—>¦ Y — непрерывное отображение, а р -- {Uа) — некоторая база
топологии в X. Покажите, что / — открытое отображение, если и только если
все / (Uа) открыты в Y.
8. Пусть п и т — две топологии в множестве X, причем а слабее т. Пока-
Покажите, что 1д-: (X, т) — > (X, о) хотя и непрерывно, но не является ни открытым,
ни замкнутым.
9. Пусть f: X — > У— открытое (соответственно замкнутое) отображение,
В — произвольное множество из Y, a A -f~'(B). Докажите, что ограничение
I \ Л- А- * & открыто (замкнуто).
10. Обозначим через I)j множество точек разрыва отображения /: А' —* Y.
Докажите, что
I>/ U I/'1 (V)^ Int f-'(V)\ =-- ИГ/ (/Тч/-1 @1.
где V (соответственно /¦") пробегает систему всех открытых (соответственно \змк-
нутых) множеств пространства У.
11. Докажите, что ненкнн замкнутый иыпукльш .многогранник и Я':| юмео-
морфен замкнутому шару в !v:!.
12. Привести пример пегомеоморфных пространств Л', У таких, чтобы суще-
существовали биективные н непрерывные отображения /: X --> У и #: У- -X.
13. Укажите топологический инвариант, иошолнющин топологически разли-
различить двумерную сферу .S" от двумерного гора '/'-.
14. Докажите, что подмножество А', счет нищее in всех точек двух окруж-
окружностей -v", касающихся внутренним обра him, i очеоморфно нодмиожесгвх' К,
состошцему и.( нсе.ч /o'ick дн_\х oh|)y>KHoci'eii, k;k"iio!h.ii.\cm внешним оПрплом,
причем -V не изотопно У относительно '¦<-. мня ii..oionno относи те.тыю ii\':'.
15. Докажите, что па двумерном торе '/"- чкпп юрпа.'п.нзи окружпост|| S-.)
изотопна мерпднон;!.'!! нон .S\, относи ;е.п.по самш о т пра '/"¦', но не изотопна о.чюси-
Te.i.no . аиплпенного тора, т. с, чаеш ''\ ', обра ;ов;'.нпоп тором и его BiiyipeH-
ноетыо.
Hi. Пусть N {\Ь,_\ 'L ? Л) ---локально конечное покрытие пространства X,
причем (| /Иг* .'Ии / о. Докажите, что сети /: .V >)¦'--такое отображение,
'/' Л
что каждое из сужении /а : / | .„„.. а € Л, непрерывно в точке х„ ? М„, ТО и
]\'|обч.тьпое оюбражение / непрерывно в точке .у,,.
17. Докажите, что если отражение /: |0, || - |0, || открыто, то функ-
функция / имеет лишь конечное число мкегречумоп, причем в точках минимума она
непременно равна н\.тю, а в ючках максимума равна единице, а в каждом из
промежутков между соседними экстремумами она монотомна. "
18. Непрерывное отображение /: А' •>• У называеи'м лпкильним гомеомор-
гомеоморфа, (.кои/, если у кажлоИ точки л'„ ^ X существует открытая окрестность Un такая,
что сужение /Ir»1'1" гомеоморфизм па открытую окреетпость Vu ючки / (jr0).
Докажите, что всякий локальный гомеоморфп <м есть открытое оюбражепие.
Приведите пример открытого оюбражеиня, не являющегося локальным гомео-
гомеоморфизмом.
19. Докажите, что экспоненциальное отображение ехр: К1- *-S', задаваемое
по формуле ехр (х) e.'-:i'v, есть локальный гомеоморфизм.
20. Пусть /: Л'--')' — непрерывное отображение и топология в Л есть
прообраз ТОП0ЛО1ИИ в Y при /. Докажите, что:
а) прообраз базы (соответственно предбазы) ц У есть база (предОаза) в А'
90
b) для каждого х0 ? X прообраз фундаментальной системы окрестностей точки
j (х„) есть фундаментальная система окрестностей точки х0.
21. Пусть топология н (Х,х) финальна относительно семейства /,•: Yj—*X.
Докажите, что т — слабейшая и.) исех топологий т* и X, при которых отображе-
отображение ft: (А, т*)—f 7, непрерывно, если каждая из композиций (g*>f;): Y;—> Z
непрерывна.
22. Пусть Ф--{т;; <?/}— некоторое фильтрующееся вирано семейство топо-
топологий в множестве А' и пусть каждое из пространств (Л', т,) лишено изолиро-
изолированных точек. Докажите, что если т* — точная пс-р.хняя грань семейства Ф,
то (А', х*) тоже лишена изолированных точек.
23. Докажите, что если Лей суть подпространства н А', /1—окрестностный
рстракг для В, а В — окрестноегмый ретракг для X, то Л — окрестное]ный
ретракт для А'.
24. Докажите, что всякая метрика о: X "< X —> »^ есть непрерывное отобра-
отображение.
25. Докажите, что любое метрическое пространство гомоморфно метриче-
метрическому пространству конечною диаметра.
26. Докажите, что если Л, В суть непустые, нигде не плотные совершенные
подмножества К, то они гомеоморфны.
§ 4. НАПРАВЛЕННОСТИ, ФИЛЬТРЫ И ИХ ПРЕДЕЛЫ
Хорошо известно, что пес основные понятия и конструкции
математического анализа (пепрерышюсть, дифференцируемое! ь,
интегрируемость, суммирование рядов п т. д.) основаны на поня-
понятии сходимости или предела, чем и обусловлена та фундаменталь-
фундаментальная роль, которую играет -по понятие во всей математике.
Первоначально теория была построена для последовательности
вещественных чисел, затем для последовательности точек любого
метрического пространства и лишь в начале текущего столетия -
уже для последовательности точек в произвольном топологическом
пространстве, несомненно сыграв исключительно большую роль
в очень многих вопросах математики и се приложении. Наряду
с лой эволюцией характера сходимости последовательности целым
ряд принципиально важных вопросов математики привели к необ-
необходимости развития (обобщения) понятия самой последователь-
последовательности, а затем и широкого обобщения предела функции или
отображения. Кроме того, как уже отмечалось ранее, описание
топологии достаточно общего характера пространств (не удовлет-
удовлетворяющих первой аксиоме ечетностн) посредством пределов обыч-
обычных последовательностей, вообще говори, невозможно.
В связи с упомянутыми, а также и со многими другими потреб-
потребностями еще в начале 20-х годов возникло очень естественное и
плодотворное понятие направленности или обобщенной последова-
последовательности, введенное зарубежными математиками Муром и Сми-
Смитом |40], а также советским математиком С. О. ГПатуповским,
которые в этих работах создали общую теорию пределов и а и р а в-
л е п п осте й.
Впоследствии созданная в конце 30-х годов французским мате-
математиком Л. Картаном общая теория сходимости, основанная на
введенных им принципиально новых понятиях фильтра, ультра-
ультрафильтра и их пределов, явилась универсальной теорией сходимо-
01
сти, позволяющей не только с большим успехом заменить теорию
сходимости по Муру и Смиту или получить целый ряд новых ре-
результатов в самых различных разделах математики, но и существен-
существенно упростить многие важные аспекты общей теории сходимости.
Этот параграф посвящен подробному описанию как теории схо-
сходимости по Муру и Смиту, так и теории фильтров Картана.а также
установлению тесной связи, существующей между этими теориями.
4.1. Направленности и их пределы. Напомним, что частично
предуиорядоченное множество 5 называется фильтрующимся вправо
или направленным по возрастанию, или, короче, направленным,
если для любых элементов s,, s.z из 5 существует s?5 такое, что
Примеры. 4.1. Простейшим, но важным примером направлен-
направленного множества служит множество натуральных чисел N с естест-
естественным упорядочением.
4.2. Пусть х0-—фиксированная точка топологического простран-
пространства X, a QJfo—совокупность всех окрестностей U этой точки.
Легко понять, что множество QX(i, упорядоченное по обратному
включению (L/^V, если t/r>V), является направленным, так как
для любых t/j, U2 из Qx их пересечение U — U, (} V.,, очевидно,
следует как за 1/]7 так" и за Uг. Направленное множество iix,
мы будем называть направленным множеством всех окрестностей
точки х0 пространства X.
Рассмотрим теперь произвольное множество X п некоторую
последовательность (хп) его элементов; ясно, что эту последова-
последовательность можно трактовать как отображение множества N в мно-
множество X, сопоставляющее каждому натуральному числу n^N
элемент хп этой последовательности. Обратно: если задано отобра-
отображение f:N--*X, то, положив xn — f(n), очевидно, получим после-
последовательность (%„) элементов из X. Таким образом, всякая после-
последовательность элементов множества А' может быть истолкована как
некоторое отображение множества N в множество А'.
Вместе с тем, как уже отмечалось ранее, во многих вопросах
оказывается необходимым рассматривать значительно более общую
ситуацию, получающуюся заменой множества ЛГ натуральных чисел
произвольным направленным множеством S, что и приводит к по-
понятию обобщенной последовательности или направленности.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Всякое отображение направленного мно-
множества называется направленностью или обобщенной последователь-
последовательностью*'; при этом, если f:S —> X — направленность, то направ-
направленное множество S называется областью определения направлен-
направленности /, а множество / (S) — областью его значений. В дальнейшем
направленность с областью значений в множестве X мы будем для
краткости называть направленностью в X.
Очевидно, что любая последовательность элементов из А есть
направленность в X с областью определения N.
*> Некоторые авторы направленность начинают сетью или последовательно-
последовательностью по направленному множеству.
92
Часто оказывается удобным значение /,. направленности /:
S —>-X на элементе s?S обозначить через xs, а саму направ-
направленность / представлять в виде {xs; s?S}.
Пример 4.3. Пусть Qx —направленное множество всех окрест-
окрестностей точки х0 пространства X. Выбирая по одной точке % из
каждой окрестности G?Qx0, мы, очевидно, получаем некоторую
направленность {%; U ?iixj в X.
Далее, для удобства ряда формулировок введем следующее
определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2. Говорят, что направленность f:S —* X
начиная с некоторого места принадлежит или (образно говоря)
почти вся лежит в подмножестве АсХ, если существует so?S
такое, что для всех s^s0 fs^A. Если же для каждого st?5 най-
найдется s.i^sl такое, что IS^A, то говорят, что направленность /
является частой в А (образно говоря, часто бывает в Л).
Очевидно, что если направленность f:S — >-X является частой
в Л, то она не может почти вся лежать в дополнении Х\А; обратно:
cc.ni эта направленность почти вся лежит в дополнении Х\А, то
они, очевидно, не может быть частой в А.
Следующее определение представляет собой важное обобщение
понятия предела последовательности.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.3. Направленность f:S—+X в топологи-
топологическом пространстве X называется сходящейся к точке хо? X, если
ома почти вся лежит в любой окрестности точки х0, т. е. если для
каждой окрестности U этой точки найдется элемент Sy?S такой,
что fs?U при всех s>%. При этом точку х„ называют пределом
направленности f:S—-X и пишут lim /д ^= .v0.
.s
Примеры. 4.4. Каждая сходящаяся в пространстве X после-
последовательность является сходящейся направленностью в X, причем
ее пределом служит предел этой последовательности.
4.5. Пусть {%, U?QX} — определенная выше направленность
в пространстве X. Легко понять, что эта направленность сходится
к точке х0. В самом деле, пусть Uo — произвольная окрестность
точки А'о, тогда ясно, что для всех U^U0 Хц^Иczilu, т.е. эта
направленность почти вся лежит в любой окрестности точки хп.
Как и в случае последовательностей, в общих топологических
пространствах одна и та же направленность может иметь различ-
различные пределы, однако в так называемых хаусдорфовых простран-
пространствах (см. п. 1.1 гл. III) направленность не может иметь двух
различных пределов. Более того, оказывается, что имеет место
следующее замечательное свойство сходящихся направленностей,
а именно: если в пространстве X никакая направленность не мо-
может иметь двух различных пределов, то это пространство обязано
быть хаусдорфовым (см. п. 1.1 гл. III).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.4. Направленность g:T - -X называется
поОнаправлснностью направленности f:S — -X, если существует
отображение h:T—*S такое, что g^f-h и, кроме того, для каж-
каждого su?S существует /„?'/' такое, что при всех / ^¦/„ /i(/)^is0.
9J
Первое из условий накладываемых на h означает коммутатив-
коммутативность диаграммы
Т > X
h
а второе, образно говоря, означает, что образы элементов из Т,
находящихся достаточно далеко вправо, расположены сколь угодно
далеко вправо в 6\
Ясно, что это общее определение иоднаправлепности представ-
представляет собой широкое обобщение понятия подпоследовательности и
и отличие от последнего допускает, чтобы область определения
подпаправлеппости не была частью области определения исходной
направленности. Вместе с тем ясно, что наиболее простая и часто
встречающаяся ситуация соответствует случаю, когда Т подмно-
подмножество из S, а // — отображение вложения, тогда второе условие
на /i, очевидно, оказывается равносильным требованию конфиналь-
конфинальности Т в .S.
Обратно: для всякой конфппалыюи части 7' из S и любой на-
направленности f:S—-X ограничение ц ¦¦¦-j' \т, очевидно, будет п од-
одна и ран леи ностыо направленности /.
Вместе с тем следует иметь в виду, что иногда все же ока-
оказывается необходимым рассматривать нодпаправленности, области
определения которых не являются частью области определения
исходной направленности.
Нижеследующее предложение описывает достаточно общую кон-
конструкцию, позволяющую строить такого типа поднаправлеппости,
которыми почти всегда можно обойтись.
IIPUJUlO'/KIiilllR 4.1 Пусть Ir.T -S -монотонно возрастаю-
возрастающее отображение направленных множеств, при котором //('/') яв-
является конфинальной частью S. Тогда при любой направленности
f:S > Л' композиция ц --foil :Т --- X является поОнапрпвлсниосшыо /.
4j Ясно, что нам надлежит проверить выполнимость второго
условия в определении подпаправленпости. Пусть sn — произволь-
произвольный элемент из 6\ Тогда в силу конфинальности h ('/') найдется
s?h(T) такой, что О--\|> и поскольку, очевидно, s --h(l) при
некотором t?T, то в силу монотонности h будем иметь
/i (/) >/г (O--s>s() при всех t~^i,
что и означает выполнимость проверяемого условия. ^
Замечание 4.1. В том частном случае, когда исходная на-
направленность есть просто последовательность (х„) из X, то для
любого монотонно возрастающего отображения h:N-¦¦> N, при ко-
котором li(N) — бесконечное подмножество (следовательно, конфи-
иальное), последовательность (хп (п)) будет подпоследовательностью
в обычном понимании.
94
Замечание 4.2. Непосредственно из определения следует,
что если направленность f:S—>¦ X сходится к точке хо?Х, то
любая ее поднаправленность g:T—+Х тоже сходится к точке х0,
между тем как из сходимости гюднаправленностн, вообще говоря,
не следует сходимость исходной направленности.
Укажем теперь один важный класс направленностей, обобщаю-
обобщающий класс обычных монотонных последовательностей или моно-
монотонных функций вещественной переменной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.5. Пусть X — частично упорядоченное мно-
множество. Направленность {xs\ s?S} называется монотонно возра-
возрастающей (соответственно убывающей), если отображение s—-xs —
монотонно возрастающее (соответственно убывающее). Далее, на-
направленность \xs: s?S\ называется ограниченной сверху (снизу),
если существует элемент х*?Х такой, что
xs^x* (xs^x*) для всех s?S.
Легко понять, что если рассматриваемая направленность яв-
является последовательностью или вещественной функцией, то ее
монотонность или ограниченность в смысле этих общих определе-
определений, конечно, совпадает с обычным определением этих понятий.
Пусть теперь линейно упорядоченное множество X с полным
порядком наделено своей порядковой топологией, тогда имеет
место нижеследующее утверждение.
ПРЕДЛОЖЕН ИI: 4.2. Ест {xs, s^S}—-монотонно воараепшю-
uifui и ограниченная сверху направленность в X, то эта направ-
направленность сходится к пределу, являющемуся верхней гранью множе-
множества М, сое/поящего in всех членов xs .wioi'i направленности.
-О Поскольку множество /VI непустое и ограниченное сверху мно-
множество в X, порядок которого является полным, то существует
.v * -sup /VI. Докажем, что направленность {xs; s ? S] сходится к .v*.
В самом деле, п\сть U произвольная окрестность точки .v* в X.
Нескольку конечные интервалы вида (х', х") -{.v?X; .v' ; .v ¦ .v"}
образуют базу порядковой топологии в X, то ясно, что можно
считать (У (.y', .v"). Далее, по самому определению точной верх-
верхней грани, заключаем, что существует индекс. s() ? S такой, что
.v' ¦ :. х, <,ft<x* ¦¦' х" д/1я всех sl>so.
Итак, для каждой базисной окрестности U точки х* нашелся
индекс s,,, начиная с которого все члены рассматриваемой направ-
направленности принадлежат V и, стало быть,
.у* lim Л',. ^
sf Л'
Примеры. 4.6. Пусть (X, «О -произвольное направленное
множество, а (X, с) — множество всех подмножеств множества X,
упорядоченное но включению. Тогда, сопоставляя каждому эле-
элементу хп?Х подмножество Мх ¦-- \х? X | л'^'х,,}, мы, очевидно,
получаем монотонно возрастающую направленность в подмножестве
У --{Мх |л'^Х} множества X. Нел и же каждому элементу л'„ € X
95
сопоставить подмножество Л'^ — {*? X |.v:>.v,,}, то получится мо-
монотонно убывающая направленность в подмножестве Z — {NX\ х?Х\
множества Л. Ясно, что {Мх; х?Х\ является ограниченной направ-
направленностью в X, поскольку при любом л?Х Мхс=Х.
4.7. Пусть X — произвольное множество, а X — множество всех
его подмножеств, упорядоченное по включению. Тогда, сопостав-
сопоставляя каждому подмножеству М из X его дополнение СМ-^Х\М
мы, очевидно, получаем монотонно убывающую направленность
в (X, s).
4.8. Пусть X — произвольная решетка, т. е. частично упорядо-
упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество
(следовательно, любое его конечное подмножество) обладает как
точной верхней, так и точной нижней гранями. Пусть, далее, X*—
множество всех непустых конечных подмножеств из А', очевидно,
являющееся направленным но включению. Сопоставляя каждому
конечному подмножеству М?Х* элемент sup/И, мы получим мо-
монотонно возрастающую направленность в X, которая нестрого
возрастающая и, вообще говоря, неограниченная.
Аналогично, сопоставляя каждому конечному подмножеству М
элемент inf/VJ из X, мы, очевидно, получаем нестрого убывающую
направленность в X с областью определения X*.
В заключение пункта обратимся к понятию предельной точки
направленности.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.6. Пусть {лу, s ?5}--некоторая направлен-
направленность в топологическом пространстве X. Точка х* называется ее
предельной точкой, если эта направленность часто бывает в любой
окрестности U точки х*.
Сопоставляя определения предела и предельной точки направ-
направленности, мы непосредственно заключаем, что предел всегда яв-
является предельной точкой, ибо если направленность почти вся
лежит в U, то она и подавно часто в пей бывает, тогда как пре-
предельная гочка не всегда является пределом, поскольку направ-
направленность может часто бывать в U, но не почти полностью в ней
лежать.
В связи с этим полезно иметь в виду, что имеет место следую-
следующее сравнительно простое, но важное утверждение.
IIРЕДЛОЖЕНИЕ 4.8. Всякая предельная точка направленности
яс.ьчапс.ч пределом некоторой поднаправленности.
•4 Пусть а* — предельная точка направленности {a\,:s?S} в топо-
топологическом пространстве X. Рассмотрим направленное множество
L\• тех окрестностей U точки х* пространства X. Пусть, далее,
S, 11Х-—частично упорядоченное прямое произведение, а Мг—его
подмножество, состоящее из всевозможных пар (s, U) таких, что
xs?U. Докажем сначала, что W является направленным. В самом
деле, пусть (s,, U,), (яа, L/2) —произвольные два элемента из ?
и пусть s,<v s.,0,,, U{(]иг ~-U:i. Так как х* - предельная
точка направленности \xs: s?S}, то найдется индекс sa ^> s0 такой,
96
что xSt?U.,, следовательно, пара (s3, U3)?x? и, очевидно, следует
за парами (s,, UJ и (s2, U2).
Переходя к построению искомой поднаправленности, рассмот-
рассмотрим отображение h:x?—<-5, сопоставляющее каждому элементу
E- = (s, U)?XV его первую компоненту s?S, т.е. отображение, за-
задаваемое формулой h(l) = s, и докажем, что h удовлетворяет усло-
условиям предложения 4.1, откуда и будет следовать, что композиция h
с исходной направленностью действительно будет поднаправлен-
ностыо направленности \xs\ s?S}.
.Монотонное возрастание h очевидно, ибо из (s,, Uj)^(st, U г)
следует, и частности, что s,^s2. Положим S = h(W) и покажем,
что S — конфинальная часть S. В самом деле, пусть su — произ-
произвольный элемент из S, a U — произвольная окрестность точки х*.
Тогда поскольку направленность {xs\ s?S\ часто бывает в 0, то
найдется s^s0 такой, что x~?U, следовательно, пара \-=(s, U)
будет из 4f, а ее образ ЛA)—-s будет следовать за s0, что и озна-
означает конфинальность S.
Для завершения доказательства остается убедиться, что по-
построенная поднаправленность сходится к х*, т. е. почти вся ле-
лежит в любой окрестности х*. Пусть Uo—произвольная окрестность
точки х*\ из того, что направленность {x^:s?S} часто бывает в Uа,
следует существование s0 такого, что пара H0 = (s0, U,,)^^. Пока-
Покажем, что при всех | — (s, U) из х?, следующих за |0, элемент хь и>
принадлежит ?/„, т.е. поднаправленность {xmiy, Н^Ч'} почти вся
лежит в U,„ а это и будет означать, что эта подпаправлеппость
сходится к а*. В самом деле, пусть !; = (.s, U) — произвольный эле-
элемент, следующий ча ?„ - - {.s,,, 11„). Тогда из определения порядка
в Чг заключаем, что U с LJ„ и поэтому, очевидно, xi, a) — xs 6 UaUn.
Итак, при исех ; ^i- ?,, элемент л'л а> € U „, т.е. поднаправленность
{xini)'lky\f\ сходится к х*. р.
Замечание 4.3. Легко убедиться, что утверждение предло-
предложения 4.3 можно обратить, а именно: если х* предел некото-
некоторой поднаправленности исходной направленности {^:5'?^} в про-
пространстве X, то х* — предельная точка самой направленности.
В самом деле, пусть х*— предел некоторой нолнапраплеппости
{xini)'t^T}, а (У— произвольная окрестность л* в X. Покажем,
что для любого s(l ? S найдется s^ss0 такое, что xs?U, т.е. ис-
исходная направленность часто бывает в U. Так как {Xh(o't €'Г\
сходится к х*, то существует /'такое, что при всех / ^5/'а>@ g//.
Пусть теперь $„ — произвольный элемент из S. По определению
поднаправленности, найдется t0 ^ Т такое, что при всех / ,;:-¦ /„
М0^\,. а в силу направленности Т найдется 7 из 7' такое, что
I ,i- /„ и 17^ t', поэтому ясно, что в качестве искомого индекса s
может служить 4—h(t) при любом / Гг- I.
Предостережение 4.4. В свя.чи с чамечанием 1.3 следует
иметь в виду, что предельная точка х* последовательности (л-,,),
4 v- 7з 97
вообще говоря, не обязана быть пределом некотором ее подпосле-
подпоследовательности. Однако если пространство X удовлетворяет первой
аксиоме счетности, то нетрудно доказать, что точка .** является
предельной для последовательности (х„) тогда и только тогда, ко-
когда она служит пределом некоторой подпоследовательности.
В заключение пункта уместно выделить некоторый класс на-
правленностей, называемых универсальными.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.7. Направленность {.к/, s?S\ в множестве X
называется универсальной, если, каково бы пи было подмножество
М из X, она почти вся лежит либо в /И, либо в дополнении Х\М.
Ясно, что всякая подпаиравленпость универсальной направлен-
направленности сама универсальна. Легко понять также, что если универ-
универсальная в X направленность часто бывает в некотором подмноже-
подмножестве ЛсХ, то она почти вся лежит в А. Из сказанного следует,
в частности, что если х„ — предельная точка универсальной направ-
направленности {xs, s?S\ в топологическом пространстве X, то она
является пределом этой направленности.
4.2. Описание топологии в терминах пределов направленностей.
Теорема Биркгофа. Выше уже отмечалось (см. п. 1.7), что если
А- подмножество топологического пространства X, удовлетворяю-
удовлетворяющего первой аксиоме счетности, то х„ ? А тогда и только тогда,
когда существует последовательность (х„) из А, сходящаяся к х0;
там же указывалось, что если пространство X не удовлетворяет
первой аксиоме счетности, то не всякая точка из замыкания А
обязана быть пределом последовательности точек из А.
Вместе с тем, как это следует из нижеследующего предложения,
оказывается, что если вместо последовательностей рассматривать
произвольные направленности из А, то их пределами можно ис-
исчерпать все замыкание А в произвольном топологическом про-
пространстве.
ТЕОРЕМА 4.4 (БИРКТОФ). Пусть А —некоторое подмноже-
подмножество произвольного топологического пространства X. Тогда х„ ? А
равносильно существованию направленности в А, сходшца'пя в X
к точке х0.
•41 Необходимость. Пусть х0 ? А и Их„— направленное множе-
множество всех окрестностей точки х„ (см. пример 4.2). Поскольку для
любого U ?ilv пересечение A()U-/= 0, то, выбирая по одной точке
Хц^А^и, мы, очевидно, получаем направленность {%; U ?пх)
в А, сходящуюся к точке х„ (см. пример 4.5).
Достаточность. Пусть {a^is^S} -направленность в А, схо-
сходящаяся в X к точке х„. Тогда непосредственно из определения
предела направленности заключаем, что для каждой окрестности
1/„ точки х„ найдется so?S такое, что все члены направленности х,
при s ^ s,, принадлежат U„ и, стало быть, A f| Ua ф 0, т. е. а'„ ? А. >
Переходя к эквивалентному определению непрерывности отобра-
отображения f:X ¦¦ * Y в терминах сходящихся направлепноетей, напом-
напомним (см. п. 3.1), что если пространство А обладает в точке х„
98
у,
„¦юкалыюй счетной базой, то непрерывность отображения / в точке х0
равносильна тому, чтобы х11—*х„ влекло за собой f(хп)—> /(х,1).
Оказывается, что если вместо последовательностей рассматривать
любые направленности, то это утверждение остается верным и без
предположения наличия локальной счетной базы в точке, а именно
имеет место следующее предложение.
ТЕОРЕМА 4.Г). Отображение f:X—>Y непрерывно
тогда и только тогда, когда для любой направленности \xs
сходящейся в X к точке х01 направленность {}'{xs); s?S\ сходится
a Y к точке f(x0).
^ Необходимость. Пусть f:X— >Y непрерывно в точке х0 и
\xs; s?S\ -некоторая направленность в X, сходящаяся к точке л'„.
Пусть, далее, У„ — произвольная окрестность точки / (.v0) в К. Тогда
нам достаточно убедиться, что направленность {/ (xs):s ?S\ почти
вся лежит в У„. В самом деле, в силу непрерывности / в точке Л'„
найдется окрестность Ua этой точки такая, что /((У0)сК„. Но по-
поскольку направленность \xs; s?S\ сходится к л'„, то найдется ин-
индекс ao?.S такой, что при всех s^s,, xs ? U „. (Следовательно, для
этих же индексов будем иметь f(xs)?V0, и это п означает, что
направленность \f(xs); s?S\ почти вся лежит в Уп.
Достаточность. Предположим, что условие теоремы выпол-
выполнено. Между тем / не является непрерывным в точке ха. Тогда
найдется такая окрестность УA точки / (х„), что в любой окрест-
окрестности U точки х„ найдется точка Л'(Л образ / (хи) которой принад-
принадлежит K\V'ir Рассмотрим теперь возникшую при этом направлен-
направленность {хи; U ?ilxj, где QVn —направленное множество всех окрест-
окрестностей точки л'„, очевидно, сходящуюся к точке хи. Между тем
вопреки условию направленность {/(.%); U ?ilxj никак не может
сходиться к точке /(.v(l), так как для этого она должна была почти
Бея лежать в Уи.
Подученное противоречие завершает доказательство достаточ-
достаточности. $*
4.3. Определение и примеры фильтров. Предбаза и база фильтра.
При определении направлеппостей уже отмечалось, что всякую
последовательность точек х„ (п-~\, 2, 3, ...) топологического
пространства А' можно истолковать как отображение: f-.fi—>¦ X
множества натуральных чисел N в X, если положить f (п) ¦¦-¦ х„.
Верно, разумеется, и обратное утверждение. Это обстоятельство
позволяет перефразировать определение предела последователь-
последовательности (л'„) в пространстве X, назвав ее сходящейся к точке х„,
если для любой окрестности U этой точки дополнение к прообразу
I~'(U) является конечным подмножеством из N.
Замечательным и притом принципиально важным оказался тот
факт, что 'такое истолкование допуекае.т чрезвычайно широкое
обобщение путем замены множества Щ натуральных чисел произ-
произвольным множеством Е, в котором выделено семейство tf его под-
Множеств, обладающее весьма общими свойствами. При этом ока-
оказывается возможным дать разумное определение предела, пригод-
пригодное не только для последовательностей точек пли функции вещест-
4* 90
венной переменной, но и для совершенно произвольных отображе-
отображений /: Е—уХ.
Именно такое истолкование привело А. Картана к новому и
весьма плодотворному понятию, а именно к понятию фильтра,
а также фильтрующегося множества и предела отображения по
фильтру.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.8. Говорят, что непустое семейство W под-
подмножеств из Е задает в Е структуру фильтрующегося множества,
если оно удовлетворяет следующим условиям:
(F,) всякое надмножество В множества А из W входит в состав
семейства W;
(F2) пересечение конечного числа множеств из G" принадлежит У7;
(F,,) пустое подмножество не принадлежит W. При этом само
семейство W называется фильтром в Е.
Заметим прежде всего, что (F.2) и (F,,) означают, что всякий
фильтр является центрированным семейством. Ясно, далее, что
в пустом множестве не может быть фильтров, что семейство |Г,
состоящее лишь из самого множества Е, представляет собой три-
тривиальный пример фильтра и что Е непременно входит н состав
любого фильтра.
Примеры. 4.9. В произвольном топологическом пространстве
X семейство всех окрестностей фиксированного пепусчого подмно-
подмножества А образует фильтр. В том частном случае, когда А состоит
из одной точки х0, мы получаем фильтр !ТХа, называемый фильт-
фильтром окрестностей этой точки (см. пример 4.2).
4.10. Фильтр оГ в множестве натуральных чисел N, состоящий
из всех подмножеств из N, дополнениями к которым являются ко-
конечные подмножества, называется фильтром Фреше.
Укажем, наконец, еще один важный класс филеров, на^щшемых
элементарными.
Пример 4.11. Пусть (хп) — бесконечная последовательность
элементов из множества X. Рассмотрим семейство IT всех подмно-
подмножеств МсХ, каждое из которых содержит все хи, кроме конечного
их числа. Легко проверить, что tT образует фильтр в X, назы-
называемый элементарным фильтром, ассоциированным с последователь-
последовательностью (х:1).
Легко понять, что фильтр Фреше можно рассматривать как
элементарный фильтр в N, ассоциированный с натуральным рядом.
Ниже мы увидим, что аналогичная конструкция позволяет с каж-
каждой направленностью в произвольном множестве X ассоциировать
некоторый фильтр в X.
Ясно, что в одном и том же множестве Е могут существовать
различные фильтры, т. е. множество Е может фильтроваться раз-
различным образом. Ясно также, что пересечение <Т -.-- f|T, любого
множества фильтров SFt в Е, т. е. семейство ,Т, состоящее из всех
подмножеств А, входящих в состав каждого из фильтров #",-, само
образует фильтр в Е.
Пусть of[ и <F2—два фильтра в одном и том же множестве Е-
Говорят, что аГ2 мажорирует 3"и и пишут сГу^1Тг, если семей-
100
ство G", является подсемейством семейства :Т2; если при этом
G",-^с^",, то говорят, что !Т1 слабее <Тг или ^Г2 сильнее oTj. Оче-
Очевидно, что это отношение превращает множество всех фильтров
в ? в частично упорядоченное множество, наименьшим элементом
которого служит тривиальный фильтр, состоящий лишь из самого
множества ?.
Пример 4.12. Нетрудно показать, что элементарный фильтр,
ассоциированный с последовательностью (х„), мажорируется эле-
элементарным фильтром, ассоциированным с любой подпоследователь-
подпоследовательностью этой последовательности.
Пусть теперь G — некоторое семейство подмножеств из Е. Воз-
Возникает вопрос: при каких условиях существует фильтр Т в Е,
содержащий данное семейство G? Условия (F2) и (F,,) означают,
что для этого необходимо, чтобы семейство G было центрирован-
центрированным. Оказывается, что это условие также и достаточно. В самом
деле, пусть G центрировано и G — семейство, состоящее из пересе-
пересечений всевозможных конечных наборов множеств, входящих и сос-
состав G. Тогда семейство -Т, состоящее из всех подмножеств из Е,
каждое из которых содержит хотя бы одно множество из G, оче-
очевидно, будет фильтром в Е, содержащим семейство G.
Таким образом, можно говорить о наименьшем фильтре в Е,
•содержащем данное центрированное семейство G подмножеств из Е,
понимая под этим пересечение всех фильтров в Е, содержащих
семейство G. Этот фильтр, очевидно являющийся слабейшим из
фильтров, содержащих G, принято называть фильтром, порожден-
порожденным семейством G, а само G —предбазой этого фильтра.
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.6. Всякое центрированное семейство G под-
подмножеств из X служит предбазой некоторого фильтра :Т в X.
Oil РЕ ДЕЛЕНИЕ 4.9. Система р множеств, входящих в состав
некоторого фильтра W в Е, называется базой этого фильтра, если
каждое принадлежащее фильтру -Т подмножество содержит неко-
некоторое множество из системы р.
Нетрудно доказать, что имеет место следующее предложение
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.7. Для того чтобы непустая система р
подмножеств из Е служила базой некоторого фильтра в Е, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы:
1") пересечение любых двух множеств из E содержало некоторое
множество из |>;
2°) пустое множество не входило в состав f>.
Таким образом, ясно, что если G — предбаза фильтра «Г, то
упомянутое выше семейство G служит базой фильтра 3~.
В дальнейшем всякую непустую систему р подмножеств из Е,
обладающую указанными двумя свойствами, будем называть базой
фильтра в Е.
Наконец, ясно, что данное семейство может служить предбазой
или базой только для одного фильтра, между тем как для дан-
данного фильтра могут существовать различные предбазы или базы.
101
Две базы (предбазы) фильтра принято называть эквивалентными,
если они порождают один и тот же фильтр. Ясно, что эквивалент-
эквивалентность баз р\ и р\, равносильна тому, чтобы каждое множество из
|Ji, служило надмножеством для некоторого множества из |1г, и
наоборот.
Напомним, что система S окрестностей точки х0 пространства X
называется фундаментальной системой окрестностей этой точки,
если любая ее окрестность содержит окрестность из S. Поэтому
всякая фундаментальная система окрестностей данной 'точки слу-
служит базой фильтра окрестностей этой точки, и наоборот.
Примеры. 4.13. Пусть (х,.)—бесконечная последовательность
элементов множества X, а ап --множество всех х,. при W^sn. Не-
Нетрудно проверить, что совокупность \'> подмножеств <т„ образует
счетную базу элементарного фплырл, ассоциированного с после-
последовательностью (х,.).
4.14. Пусть \xs; s ?S\ — некоторая направленность в множестве X.
Для каждого индекса su?S обозначим через /М^ подмножество из X,
состоящее из всех членов xs рассматриваемой направленности,
у которых индекс s~S^str Покажем, что семейство |J>- {Ms; s?S}
образует базу некоторого фильтра F в X. Согласно предложению
4.7, достаточно проверить выполнимость двух указанных в нем
условий, причем выполнимость условия 2" очевидна, так как для
каждого s?S Ms-/¦-¦:.]. Проверим, что пересечение Ms f) Ms любых
двух множеств из р содержит некоторый элемент из р1. И самом
деле, поскольку S фпльтрируется вправо, то существует s3^S
такое, что s,s^s,, sL,r^sn и поэтому MSic:MSi f] M4a, а это означает
выполнимость условия. Порожденный этой базой |"'> фильтр .Г на-
называют фильтром, ассоциированным с направленностью \xs; s?S\.
Легко проверить, что фильтр, ассоциированный с данной направ-
направленностью, мажорируется фильтром, ассоциированным с любой ее
подпаправленпостыо.
4.15. Пусть (X, zQ---произвольное направленное множество,
а л'„ --некоторый элемент из X. Сечением в X, определяемым эле-
элементом Л',,, называется множество A>v , состоящее из всех х?.Х
таких, что х ^i хи. Легко понять, чю система [> -\RX\ x^X\ обра-
образует базу некоторого фильтра !Т в X (проверка выполнимое!и ус-
условий базы вполне аналогична проверке, проведенной в предыду-
предыдущем примере). Построенный таким образом фплыр iT называется
фильтром сечений направленного множества (X, s.7:).
4. Hi. Рассмотрим в множестве X некоторый фильтр Т и усло-
условимся для элементов Л, В из ,7 считать Л ?-J, В, если Л id/i. Тогда
легко проверить, что I превратится в направленное множество,
которое по указанной в предыдущем примере конструкции в свою
очередь однозначно порождает новый фильтр Т, называемый фильт-
фильтром сечении исходного множества X.
4.4. Индуцированный фильтр. Ультрафильтр. Пусть G— неко-
некоторый фплыр в множестве X, а Л некоторое непустое подмно-
подмножество из X. Рассмотрим след J \Л системы .7 на А. Тогда совер-
10;!
шепни ясно, что, для того чтобы этот след образовал фильтр в мно-
множестве Л, необходимо, чтобы для каждого М?7 пересечение
М(}Лф0. Оказывается, что это условие также достаточно, а
именно имеет место следующее простое утверждение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.8. След 7 |., фильтра Т в X на подмно-
подмножество AdX является фильтром в А тогда и только тогда, когда
каждый элемент М и:> 7 имеет с Л непустое пересечение.
•4 Необходимость, как было отмечено, очевидна.
Достаточность. Для проверки аксиомы F, нам надлежит
доказать, что из Mf)A?7\A и М I) AczNcA следует, что N?7\A.
Для этого положим, что N' --¦ Ми N. Тогда Л/' ?7 (так как ..Г —
фильтр), поэтому будем иметь N' П А ? Т \л. Но, с другой стороны,
ясно, что
N'
[\А-=(М\}Щ[\А - (М П A) U (N П ,4) ¦-. (М r\A)[}N -= N,
следовательно, N?uF\A.
Выполнимость аксиомы F2 легко следует из соотношения
(М[{)А)Г\(М2ПА)-=(М1Г\М2)()А, а выполнение аксиомы 1\, пред-
предполагается в условии доказываемого предложения. ^
Перейдем теперь к описанию одного важного класса фильтров,
называемых ультрафильтрами.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.10. Фильтр 7 в множестве X называется
ультрафильтром, если он не мажорируется никаким отличным от
пего фильтром в X.
Таким образом, ультрафильтры в X представляют собой не что
иное, как максимальные элементы в частично упорядоченном мно-
множестве всех фильтров в X.
Пример 4.17. Пусть хи — некоторый элемент множества X,
а 7Ха—система всех подмножеств из X, содержащих этот эле-
элемент 'х0. Легко убедиться, что ,ТХп — ультрафильтр в X. В самом
деле, пусть вопреки утверждению" существует отличный от Г
фильтр Г', мажорирующий TV|. Тогда найдется AczX такое, что
Л ? Т', по Л ? 7 , поэтому х,^Л, т. е. {ха)пА---0. С другой
стороны, как \хи\, так п Л принадлежат фультру 7', поэтому
{х„\ [\ Аф 0. Полученное противоречие показывает, что ,ГХ. —¦
ультрафильтр. В дальнейшем этот фильтр будет называться три-
тривиальным ультрафильтром.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.9. Для того чтобы фильтр 7 с, X был
ультрафильтром, необходимо и достаточно, чтобы из {АцВ)?7
следовало, чтобы хотя бы одно из подмножеств А, В принадлежало 7 .
<4| Необходимость. Пусть 7 — ультрафильтр; предположим
попреки утверждению, что (А()В)?7, между тем как ни Л, ни В
не принадлежат 7. Рассмотрим новую систему ,'•' ', состоящую из
исс-х подмножеств М из X таких, что М' ---- A (J М ? Г. Докажем
сначала, что .'.Г'—фильтр в X. Пусть М?7' и MczNaX, тогда
поскольку (А[)М)е7 и (Л и М)а(А U Л/), то (Л U N) ? Г, следо-
следовательно," N?7', т. е. аксиома 1-\ выполняется.
103
Пусть теперь М„ УИ3 ? 3", т. е. Л (J М, = /V, 6 «Т и Л U М2 - /V, ? J;
тогда ясно, что УИ,ПЛч2 тоже принадлежит Зг', ибо
Л U (М, П Мг) = (Л и М,) п (Л U М2) =-= Л/, П Л/2 ^ <F,
а это означает, что Мх[\ M^^W; аксиома F2 выполнена.
Наконец, аксиома F3 тоже выполняется, ибо А и 0 = Л ? -7" по
предположению. Итак, <f"—фильтр в X.
Пусть теперь М — произвольный элемент фильтра Т, тогда
Л U М, будучи надмножеством для М, тоже принадлежит оТ и,
стало быть, М ? G', поэтому имеем #" =^сГ'. Но поскольку (Л и Я) € F,
значит, В?сТ', тогда как, по сделанному предположению, Л 6-Г,
следовательно, ;7'=^=<7. Итак, <7"'— отличный от р7 фильтр в X,
мажорирующий <5Г, а это противоречит тому, что 0Т — ультрафильтр.
Достаточность. Пусть для фильтра 5Т условие доказывае-
доказываемого предложения выполнено и пусть W — произвольный фильтр,
мажорирующий 3~¦ Рассмотрим произвольный элемент А фильтра <F
и положим, что В--Х\А. Тогда ясно, что В ? Я~ и тем более
В?д~. Но так как Л [} В - X ?!Т, то, по условию, именно Л должно
принадлежать f. Итак, LF совпадает с (F, следовательно , W —
ультрафильтр. ^
Во многих случаях оказывается более удобным нижеследующий
критерий, являющийся следствием доказательства предложения 4.9.
ТЕОРЕМА 4.10 (КРИТЕРИЙ УЛЬТРАФИЛЬТРА). Фильтр W
в множестве X является ультрафильтром тогда и только тогда,
когда для любого подмножества А из X либо А ?<Т, либо (Х\Л) ? JF.
Замечание 4.5. Нетрудно убедиться, что из этого критерия
и из определения базы фильтра следует: база фильтра р" является
базой ультрафильтра в X тогда и только тогда, когда для любого
подмножества Л из X либо А, либо Х\Л содержит некоторый
элемент из |1
Теперь докажем нижеследующее утверждение, имеющее прин-
принципиально важное значение в теории фильтров.
ТЕОРЕМА 4.11 (О МАЖОРАЦНИ). Для всякого фильтра W
в множестве X существует мажорирующий его ультрафильтр.
ч| Сначала докажем, что частично упорядоченное множество Г (X)
всех фильтров G" в X индуктивно упорядочено, т. е. что каждое
его линейно упорядоченное множество tl> == {«F^; '?/} фильтров
в X обладает мажорантой. Для ->того в силу предложения 4.6
достаточно показать, что объединение G всех семейств Т,-, <?/,
представляет собой центрированную систему подмножеств из Х-
Рассмотрим произвольную конечную подсистему M!t, Mijt . . ., М,„
системы G. Пусть при этом AJ,-/(tzPT;ft {k ¦••--I, 2, ..., п). Так как
семейство Ф линейно упорядочено, то можно считать, что
поэтому все М^ входят в состав одного и того же фильтра §\„
и, стало быть, обязаны иметь непустое пересечение. Итак, G —
104
центрированная система; в силу предложения 4.6 существует
фильтр (F в X, порожденный системой G, и так как каждое из #",
содержится в ЦТ, то <5Г,-^сТ при всех i?/, т. е. 3" — мажоранта
для семейства Ф и поэтому F (X) действительно индуктивно упо-
упорядочена.
Теперь уже, применив известную лемму Цорна к F(X), заклю-
заключаем, что каждый элемент из F(X), т. е. каждый фильтр в X,
мажорируем некоторым максимальным элементом из F(X), т. е.
некоторым ультрафильтром в X. >
4.5. Понятие об образе и прообразе фильтра. Произведение
фильтров. Рассмотрим вопрос о том, является ли образ или про-
прообраз фильтра снова фильтром. Пусть д~—фильтр в Е, a f:E—> /;' —
произвольное отображение. Тогда ясно, что семейство / (!Т) не обя-
обязано быть фильтром хотя бы потому, что / может быть ненадъек-
тииным отображением. Вместе с тем имеет место следующее простое
предложение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.12. Образ базиса фильтра, в частности
образ фильтра, есть базис фильтра, а образ базиса ультрафильтра
есть базис ультрафильтра.
^ Первое утверждение очевидным образом следует из того, что для
любых подмножеств А, В из Е f (Л П В)с/ (Л) Г) / (В) и образ
непустого множества не пуст.
Пусть теперь р1—базис ультрафильтра РТ в Е, /: Е—<-?' — неко-
некоторое отображение, а В' — произвольное подмножество из ?'. В силу
предыдущего предложения и замечания о базисах ультрафильтра
заключаем, что либо f~l(B'), либо /~'(СВ') содержит некоторое
множество А из р\ а следовательно либо В', либо СВ' содержит мно-
множество из f{f>), а это означает в силу того же замечания, что/(Р)
базис ультрафильтра. >
Замечание 4.6. Оказывается, что если отображение является
надъективным, то образ фильтра является фильтром, а образ ультра-
ультрафильтра—ультрафильтром.
Примеры. 4.18. Рассмотрим образ фильтра Фреше при отобра-
отображении /: N— *Х, задаваемого формулой f(n) — xn. Ясно, что этот
образ служит базисом элементарного фильтра, ассоциированного
с последовательностью (хп).
4.19. Описанную в примере 4.18 ситуацию можно обобщить.
Пусть /: 5 — > X — некоторая направленность в X и <?Т—фильтр
сечений направленного множества S. Тогда образ /(оГ) служит
базисом фильтра в X, ассоциированного с данной направленностью.
Что же касается прообраза базы (У фильтра оТ'.тоон является
базой фильтра в Е тогда и только тогда, когда все множества,
входящие в состав базы р', имеют с образом всего Е непустые пере-
пересечения. Нетрудно понять, что это условие равносильно тому, что
Прообраз f~l (М')Ф 0 для любого М' из C'. Ясно также, эти усло-
условия очевидным образом удовлетворяются, если отображение f надъ-
ективно.
4.20. Пусть Л—-непустое подмножество из Е и р"—база некото-
некоторого фильтра в Е. Тогда легко понять, что если след $А базы f> па
105
подмножестве А является базой фильтр;) в /1, то |>, есп> не что
иное, как прообраз базы \*> при отображении вложения <: A cz Е.
Отметим, что если отображение /': Е - •¦ Е' биективно, то как
образ, так и прообраз фильтра (соответственно ультрафильтра) есть
фильтр (соответственно ультрафильтр).
Перейдем теперь к описанию одной важной конструкции над
фильтрами, а именно к их произведению. Пусть X,, X., — два про-
произвольных множества, а 7 х, ,Т,- фильтры соответственно в X, и
и XL>. Рассмотрим декартово произведение X Х,хХ., и систему 6
всех подмножеств из X вида Мху.М2, где Mi^7i (i I, 2). Из
легко проверяемого соотношения
(/V!, у. М,) п (Л/, X N.,) - ¦= (М, П N,) X (М,п N,)
следует, что система (> служит базой некоторого (порождаемого ею)
фильтра (.Г в X (см. п. 4..'J), который называется произведением
фильтров (Т,, 'Т., и обозначается 7 --¦ 7Х х Т.,. Легко попять, что
для -пого фильтра 7 система у, состоящая из множеств вида
УИ,хХ, п Х,х/И2, где /И,- пробегает 7,- (i - 1, 2), образует предбазу.
Совершенно аналогично определяется произведение любого ко-
конечного числа фильтров 7и 7„, ..., 7п, заданных в множествах
X,, X , Х„. Пусть теперь задано семейство множеств X,-
с произвольным индексным множеством / и пусть в каждом из X,-
задай некоторый фильтр 71. Рассмотрим декартово произведение
X -- Ц X,- и систему у. состоящую из всевозможных подмножеств
/с /
из X вида p'i '(/И,), где i'?/, Mi^7j, a pf. X —> X, — отображения
проектирования.
Легко попять, что система у центрирована и поэтому служит
предбазой некоторого (однозначно определенного) фильтра 7 в мно-
множестве X, который называется произведением фильтров 7j,i?/,n
обозначается 7 - \ \ 7,-.
ill
Нетрудно понять, что система (i, состоящая из всевозможных
подмножеств из X вида
М--рп>(М1-<)П...Пр7п1(М<„),
где /И,- , пробегает 7s , об|)азует уже базу для произведения ?¦
Замечание 4.7. Если в предыдущем построении заменить
фильтры 71 на их базы р1,-, то возникающая при этом система. |J>
подмножеств из X (когда /И,- ?р";-) тоже служит базой дли произ-
произведения W --- Ц 7 ;.
Hi
Пример 4.21. Рассмотрим декартово произведение Z Хх^
и точку zo — (xl),yl))^Z. Произведение тривиальных ультрафильтров
<ТХо, 7„„ соответственно в множествах X, К будет ультрафильтром
7Zo в Z. В самом деле, так как одноточечные подмножества {хо\,
{//,,} служат базой соответственно для 7Хп, 7.1о, то в силу замеча-
замечания 4.7 одноточечное подмножество \х„\х{у{1\ ---(хи, //„)--?„ будет
служить базой для произведения 7Xox7,/it, но поскольку ?„- база
и для ультрафильтра 7'о, то заключаем,'что иГл„Х('>Г -3~ia-
106
4.6. Фильтры в топологических пространствах. Предел и точка
прикосновения фильтра. До сих пор мы рассматривали фильтры
и произвольном множестве, а теперь мы переходим к рассмотрению
фплыров, ладанных в топологических пространствах.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 4.11. Пусть л„—произвольная точка тополо-
топологического пространства X, а I—фильтр в множестве X. Говорят,
ч1 о фильтр <Т в пространстве X сходится к точке х„, если он
мажорирует фильтр окрестностей этой точки, т. е. если всякая
окрестность этой точки входит в состав семейства ,'.Г; при этом
точку л",, называют пределом фильтра ,Т.
Ясно, что, в частности, фильтр окрестностей 7"Vi любой точки
х„ сходится к этой точке и чт если фильтр IT сходится к х„, то
всякий мажорирующий его фильтр <>Г также сходится к л0. В то же
время простые примеры показывают, что в топологическом простран-
пространстве может существовать сколько угодно несходящихся фильтров,
а в некоторых гак называемых нехаусдорфовых пространствах могут
существовать фильтры, сходящиеся к различным точкам. В частно-
частности, если топология в А' дискретная, то фильтр 7 в X сходится
только в том случае, когда он является фильтром окрестностей
некоторой точки (это следует из того, что в силу дискретности
топологии всякий фильтр окрестностей <'ГЛ. совпадает с фильтром
всех подмножеств пз X, содержащих х„, т. е. является ультра-
ультрафильтром).
Полезно иметь в виду, что элементарный фильтр, ассоциирован-
ассоциированный с последовательностью (х„) в топологическом пространстве X,
является сходящимся к точке д-0 тогда и только тогда, когда после-
последовательность (л'„) является сходящейся к х„ в классическом смысле.
Поэтому отмеченный выше факт о том, чю если фильтр [Т мажори-
мажорирует фильтр <5Г, сходящийся к л'„, то он также сходится к хл, в слу-
случае элементарных фильтров означает не что иное, как то, что из
сходимости последовательности в классическом смысле следует схо-
сходимость любой ее подпоследовательности. Ясно также, что если
фильтр !Т сходится к х0 в пространстве (X, т.), то он будет схо-
сходиться к этой же точке и в пространстве (X, т.') с более слабой,
чем т, топологией т'.
Условимся говорить, что базис |> фильтра Т сходится к х0, если
(Т сходится к л'„. Нетрудно убедиться, что для сходимости р1 к х„
необходимо и достаточно, чтобы каждый элемент из фундаменталь-
фундаментальной системы окрестностей точки .\'„ содержал элемент пз Р>.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ -1.12. Точка .г,, топологического пространства
X называется шочкол прикосновения фильтра J в X, если л'„ ? А
Для всех /1 из .'/.
Рассмотрим произвольный базис \\ фильтра :Т. Так как каждое
А из IT является надмножеством некоторого В из ($, то, очевидно,
ха будет точкой прикосновения тогда и только тогда, когда хо?В
Для всех В из ^ или, как иногда говорят, когда х0 --точка прикос-
прикосновения базиса фильтра [>.
107
Можно доказать, что х0 является точкой прикосновения (| ильтра
iT в том и только в том случае, когда в X существует фильтр <Т,
одновременно мажорирующий как W, так и фильтр окрестностей
этой точки. Из этого непосредственно следует, что предел фильтра
всегда служит для него точкой прикосновения, тогда как можно
доказать, что обратное утверждение верно не всегда, по верно
в случае ультрафильтров.
Пусть теперь х0—точка прикосновения фильтра §~ в топологи-
топологическом пространстве (X, т). Легко понять, что х0 будет точкой
прикосновения и для любого фильтра <Т', мажорируемого фильтром
.'.Г, ибо если для каждой окрестности Uo точки х0 пересечение
V 0 п Мф 0 при всех M?!F, то совершенно ясно, что ио{]М'Ф0
при всех /И'?,?"'. Легко понять также, что если топологию т заме-
заменить более слабой топологией т', то х0 будет точкой прикосновения
фильтра (.Г и в топологическом пространстве (X, %').
П р и мс р 4.22. Пусть ,Т — элементарный, ассоциированный с по-
последовательностью (х„) фильтр. Легко понять, что каждая точка
прикосновения фильтра IT есть предельная точка последовательно-
последовательности (хп), и наоборот. Это же самое имеет место и в более общей
ситуации, а именно: если <Т—фильтр, ассоциированный с направ-
направленностью \xs; s?S\ в пространстве (X, т), то каждая точка при-
прикосновения фильтра of является предельной точкой этой направлен-
направленности, и наоборот.
Предостережение 4.8. Следует иметь в виду, что не всякий
фильтр в произвольном топологическом пространстве обладает точ-
точкой прикосновения (см. ниже пример 4.23), однако так называемые
бикомпактные топологические пространства, играющие весьма важ-
важную роль во всей математике, обладают тем свойством, что в них
каждый фильтр имеет хотя бы одну точку прикосновения.
Приме р 4.23. ПустьХ— произвольное бесконечное множество,
а оТ—семейство всех его подмножеств М, дополнение которых
конечно или пусто. Нетрудно проверить, что иТ—фильтр в X, назы-
называемый фильтром дополнений конечных множеств. Нетрудно пока-
показать, что этот фильтр свободен, т. е. пересечение Q=- Г) М пусто.
Мер
По формуле де Моргана имеем X\Q = U СМ, поэтому нам
M?
достаточно показать, что (J СМ~Х. В самом деле, для каждого
л'0?Х, положив Mn = X\{xJ, очевидно будем иметь /W0?<SF и
следовательно, х0 ? (J СМ.
Пусть теперь множество X наделено дискретной топологией.
Тогда этот фильтр <$Г в пространстве X не будет иметь ни одной
точки прикосновения, ибо Л М— П М-=0. Если же X наделено
М 6<F Me?
тривиальной топологией или топологией Зарисского, то любая
точка из X будет точкой прикосновения для оТ в каждой из этих
топологий, так как Г) М — Х, ибо в этих топологиях /И~
ВСЯКОМ М. ИЗ еГ.
103
В заключение пункта приведем одно простое предложение, отно-
относящееся к сравнению топологий в терминах фильтров.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.13. Если т,, т2— две топологии в множестве
X, то т, мажорирует т2 в том и только в том случае, если всякий
фильтр U в X, сходящийся в топологии т,, сходится и в топологии
т., и притом к той же точке.
М 11еобходи.мость уже была отмечена выше.
Достаточное! ь. Убедимся, что для любом точки Л'о ? X вся-
всякая ее окрестность 11 „ в топологии т2 служит окрестностью этой же
точки и в топологии Tj. С этой целью рассмотрим фильтры oT^J и
с?"^,1 окрестностей точки х0 соответственно в топологиях т, и т2.
Сходящийся в т, фильтр рТ!г1'. по условию, сходится к той же точке
х„ и в топологии т2, поэтому, по определению предела фильтра,
оТ'хУ мажорирует фильтр окрестностей c3"(vf, т. е. (Т^/ есть часть
'7.vl\ а это и означает, что т, мажорирует т2. >
4.7. Предел отображения по фильтру и его связь с непрерыв-
непрерывностью. Пусть /: X — * Y — произвольное отображение множества X
в топологическое пространство У, а 5" — некоторый фильтр в X.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.13. Точка уо?У называется пределом / по
фильтру ?F, если образ /(<.Т) фильтра 3~ сходится к уи; это принято
записывать так: \imf—-y0.
Далее, уо?У называется предельной точкой отображения f по
фильтру <Т, если она служит точкой прикосновения для образа
/(.Г). При этом легко понять, что если уи — предел / по фильтру t1F,
то у„ — предельная точка, по не наоборот; если же <?Т- ультра-
ультрафильтр, то верно и обратное.
Особую роль играет тот случай, когда фильтр РТ является фильт-
фильтром окрестностей некоторой точки хи, поэтому для предела отобра-
отображения / по фильтру !FXi) пользуются специальным обозначением
\imf(x)=y0, подчеркивая этим, что именно предел по фильтру
окрестностей является непосредственным обобщением классического
понятия предела вещественной функции.
Непосредственно из определений легко заключить, что если
топологию пространства Y заменить более слабой топологией или
фильтр E" заменить мажорирующим его фильтром, то у0 будет про-
продолжать быть пределом отображения /.
Легко убедиться также, что имеет место следующее простое,
но полезное утверждение.
ПРЕДЛОЖЕН ИЕ 4.14. Для того чтобы \imf = y0, необходимо
и достаточно, чтобы для каждой окрестности V точки у0 сущест-
существовало /l^if такое, что /(Л)с V, или, что то же самое, чтобы
/-'(VOOT.
В качестве простейшего примера рассмотрим снова последова-
последовательность (л„) как отображение /: f^j —X, задаваемое по формуле
л,—, Л-м. Легко попять, что предел этого отображения по фильтру
109
Фрешс совпадает с пределом последовательности (л'„) в классиче-
классическом смысле. Аналогично, если {/: S--*X} -направленность в X,
а пГ-—фильтр сечении направленного множества S, то предел отоб-
отображения / по фильтру 3" есть не что иное, как предел исходной
направленности.
Теперь уже нетрудно представить себе, что введенное выше
понятие предела отображения по данному фильтру действительно
является далеко идущим обобщением классических понятии предела
последовательности, предела вещественной функции, а также пре-
предела направленности.
Отметим, наконец, что непрерывность отображения в данной
точке может быть в равносильной форме определена в терминах
предела отображения по фильтру, а именно имеет место следующее
предложение.
ПРЕДЛОЖЕНИИ 4.15. Отображение /': А'- -V непрерывно
в точке .т„ ? X а том и тол/ ко а том случае, когда преде.i / по
фильтру окрестностей J Vi сое,па<)ает с / (.v(l).
¦^ В самом деле, пусть V',, произвольная окрестность ючкп /(х0).
В силу непрерывности / в точке л"„ f~*{Vj служит окрестностью
точки л'„ и, стало быть, f~* (Vn)?JXti, откуда в силу предложения
4.14 /(.г„) является пределом / по фильтру ,7.
Пусть теперь lim/ /(л'„), а V- произвольная окрестпост1> точки
,гЛ.п
/(л,,) в У, тогда в силу того же предложения /~'(V)G'.r Таким
образом, прообраз f~'(V) произвольной окрестности 'точки / (х0)
является окрестностью точки .vA и, стало быть, / непрерывно в точке
-V,, >
Полезно иметь в виду еще один критерии непрерывности отоб-
отображения в данной точке в терминах ультрафильтров, доказатель-
доказательство которого можно найти, например, в |6(, § 7. Согласно -лому
критерию, для непрерывности отображения /: А' — > У в точке .\0 ? X
необходимо, чтобы для каждого сходящегося к .г„ фильтра ;.Г в X
базис фильтра /('•'") в Y сходился к точке /(.\'„), и достаточно,
чтобы для каждого сходящегося к ха ультрафильтра >Г в X базис-
ультрафильтра fG) сходился к точке f(xn).
В заключение пункта введем еще одно важное понятие.
Пусть Л -- некоторое подмножество пространства X, а д',,^/4.
Рассмотрим отображение /: Л---У в произвольное пространство У
и обозначим через yVi след на Л (|;пл!.тра окрестностей ;TVi точки х„
в X. Если существует предел Пш/ уо?У, то уи называют преде-
лом отображения f в точке х„ относительно подпространства А и
пишут lim f — yo'< МРИ этом говорят также, что когда х~*х0,
х -у х0, х? А
оставаясь в Л, то /(.г) стремится к уа. В том частном случае, когда
А -= Х\{л'„}, употребляют также запись 1пп / •¦¦-уа.
_ X ¦ <¦ Х„ . X =/¦ Л „
Пусть теперь А с: В а X, хо?А, а /: В—>К —такое отображе-
отображено
inn1, что существует lim / ¦-- у0; тогда существует также м
л > л „, л- 6 Л
lim /, равный тому же элементу у0.
х . х„. .VG/1
Рассмотрим, наконец, отображение /: X—+Y и некоторую неизо-
неизолированную точку л'о пространства X. Тогда легко попять, что
отображение / непрерывно в точке л'„ тогда и только тогда, когда
lii» / = /(*,,)•
X > Л„. Л -f-- Х„
4.8. Связь фильтров и направленностей. Как уже отмечалось
и начале параграфа, существует тесная связь между понятиями
направлениостей и фильтров, заданных в одном и том же простран-
пространстве X, которая приводит к двум, но существу, эквивалентным
теориям сходимости. Остановимся более подробно па этой связи.
Прежде всего, как мы уже видели (см. пример 4.14, и. 4.3),
с каждой направленностью {л^; s?S\ в множестве А'ассоциируется
нполне определенный фильтр в X. Оказывается, что верно и обрат-
обратное, а именно имеет место следующее утверждение.
//РЕДЛОЖЕНИЕ 4.I6. Пусть IT —произвольный фильтр в мно-
множестве X. Тогда в этом же множестве существует направленность
\xs\ s?S) такая, что ассоциированный с ней фильтр совпадает
с исходным фильтром <Т.
¦4 Рассмотрим множество S всевозможных пар вида s~(x, M), где
Л/РоТ, а х?М, п гведем в <S частичное предупорядочепие, положив
(л, М)^{у, N), если М zd N (как рефлексивность, так и транзи-
транзитивность этого отношения совершенно очевидны), после чего S
превратится в направленное множество.
Зададим теперь отображение /: S—>-Х, положив для каждого
s (х, M)?S /(s)--jc. Докажем, что фильтр !f, ассоциированный
с построенной направленностью /: S—>-Х, совпадает с исходным
(фильтром (У. Пусть s0-----(х0, Мо) — произвольный элемент из 5,
а ,И5--{/(s); s^>-su\; no самому определению ассоциированного
фильтра J, система подмножеств из X вида М^, где s пробегает
все S, образует базу р1 фильтра SF. Сначала покажем, что для каж-
каждого УИ^бр7 найдется элемент из W, целиком содержащийся в Ms,
от-куда уже будет следовать, что ^^.^F. Пусть s---(x, M), тогда
оказывается, что множество Ms--- {f {t)\ t^s) в точности совпадает
с множеством /И. В самом деле, пусть у ? Ms, т. с. y^--f(t) при неко-
некотором I ¦(?, /V) Г> (х, М) --S, поэтому заключаем, что //-•¦•• г ^ N а М;
итак, MsaM. Пусть теперь г — произвольная точка из М и пусть
I* (г, М), тогда поскольку /*^js = (.v, /И),то/(/*) ~??MS, поэтому
М < \MS, откуда заключаем, что M — Ms. Таким образом, для каж-
каждого M.G I) нашелся совпадающий с ним элемент М из ;Т.
Остается показать, что верно и обратное отношение Т ^<F. Для
этого убедимся, что, каков бы пи был элемент М из IT, найдется
элемент Ms из базы \\ фильтра it, целиком содержащийся в М.
В действительности оказывается, что всякий элемент из <5Г просто
Ш
совпадает с некоторым Ms из р\ В самом деле, пусть х* — произ-
произвольный элемент из М и пусть s*~(x*, M), тогда, как и выше,
легко убедиться, что MS* = M\ итак, Pf = Pf. >
ТЕОРЕМА 4.17. Пусть ?, = {xs\ s?S] — направленность в топо-
топологическом пространстве X, a W—ассоциированный с нею фильтр.
Тогда каждый предел (соответственно предельная точка) направлен-
направленности Е является пределом (соответственно точкой прикосновения)
фильтра of, и наоборот.
¦^ Пусть ха — предел направленности \. Покажем, что фильтр „?
мажорирует фильтр -Т Хо окрестностей точки х„, т. е. .vn действительно
является пределом фильтра (Т. Пусть Uo--произвольный элемент
из <?ТЛп, т. е. некоторая окрестность точки х0 в пространстве X.
Поскольку х0 — предел направленности ТЕ., то найдется индекс s(l ? S
такой, что множество MSi) — {xs; s^ssn} целиком лежит и окрестно-
окрестности Uo. Так как УИ^ —элемент базы ассоциированного с ? фильтра
0Т, то из MSn с Uo заключаем, что ?/„?.'/. Итак, фильтр <7 мажо-
мажорирует фильтр окрестностей !Т Ха и поэтому л-„—предел фильтра вГ.
Обратно, пусть х0 — предел фильтра Т и, стало быть, любая
окрестность 1/0 точки хй служит элементом Т. Так как, но самому
определению, множества вида Ms-—-{xt; I ^ s] образуют базу филь-
фильтра of, то Uo непременно должно целиком содержать в себе неко-
некоторое множество Ms .
Итак, для каждой окрестности Uo точки х0 существует индекс
s,,^^ такой, что все члены xs направленности ? при s^sn лежат
в Un, а это и означает, что х0 — предел направленности ?.
Параллельное утверждение доказывается аналогично. >
Из изложенного выше читатель усмотрел, конечно, тесную связь
между двумя плодотворными концепциями, а именно фильтрами и
направленностями, которые, хотя и по-разному, обобщают столь
фундаментальное для всей математики понятие, каким является
понятие последовательности и ее предела, однако приводят (согласно
теореме 4.17), по существу, к эквивалентным теориям сходимости.
В заключение пункта установим также связь между универсаль-
универсальными направленностями и ультрафильтрами.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.18. Направленность в X универсальна тогда
и только тогда, когда ассоциированный с нею фильтр является
цл ьтрафил ыпром.
М Необходимость. Пусть | — {xs; s?S\ —универсальная на-
направленность в X, а 3~ — ассоциированный с нею фильтр.
Пусть /И — произвольное подмножество из X. Докажем, что
либо М, либо Х\М принадлежат W, откуда уже будет следовать
(в силу предложения 4.9), что J — ультрафильтр. Направленность ?
универсальна, поэтому она почти вся лежит либо в /И, либо
в Х\М, т. е. существует индекс sn?S такой, что множество
Мч — \xs:s"^s0} целиком содержится либо в М, либо в Х\М-
Но поскольку MSo входит в состав базы фильтра W, то либо М,
либо Х\М будет надмножеством для Мч и поэтому будет эле-
элементом вГ .
112
Достаточность. Пусть W — ультрафильтр и пусть М — про-
произвольное подмножество из X. Докажем, что р почти вся лежит
либо в М, либо в Х\М. Поскольку либо М, либо Х\М является
элементом <Т, то одно из них должно целиком содержать некото-
некоторое множество из базы фильтра Я~, т. е. некоторое множество
вида Ms,. Это и означает, что I почти вся лежит либо в М, либо
в Х\М. Следовательно, ?— универсальная направленность. ^
Задачи
1. Докажите, что если {xs\ s?S} — некоторая универсальная направленность
I! множестве X, а /: X—> Y — произвольное отображение, то {/(*s); s?S) — уни-
универсальная направленность в Y.
2. Пусть ,4f — фильтр и множестве А', а Л —некоторое непустое подмножество
и;) X; докажите, что для существования фильтра ,Т', содержащего А и мажо-
мажорирующего (У, необходимо и достаточно, чтобы А П Мфя при псех М ^ 7.
3. Пусть (х„) — бесконечная последовательность элементов и.) множества X,
а /: N — -¦ N — такое надъективное отображение, что /-'(л) конечно при всех
п ? N- Докажите, что элементарные филыры, ассоциированные с последователь-
последовательностями {х„; п ? N} и {x/<n); n ? N}, совпадают.
4. Докажите, что если множество X состоит m не менее двух элементов, то
частично упорядоченное множество всех фильтров в X не имеет наибольшего
элемента.
5. Постройте совокупность всех фильтров в множестве X, состоящем из п
элементов, и выпишете их в случае я--¦¦5.
6. Пусть X — произвольное бесконечное множество. Докажите, что система
всех подмножеств из X вида М — Х\А, где А—конечное подмножество, обра-
образует фильтр в X, не являющийся ультрафильтром.
7. Пусть А — непустое подмножество из X, a Q (А) — {М с X; Ас М). Дока-
Докажите, что: а) Я (Л) —тривиальный фильтр; Ь) И (/!)= П й (х); с) й (А)—-ультра-
хе л
фильтр, если и только если А одноточечно.
8. Пусть {$",¦; 1 ^ /} — некоторое семейство фильтров в множестве X и пусть
E"--: П of i- Докажите, что Afgpf, если и только если М --~ U /И,-, i-де /W,g"f.
it/ </)
9. Пусть {fif i\ i ? /} — некоторое семейство фильтров в множестве .V, обла-
обладающее точной верхней гранью ,',/" (в частично упорядоченном множестве всех
фильтров в X). Докажите, что М g [if, если и только если М=[\М(, где
Mi € оГ,-, у/ 6 /¦
10. Пусть Л —непустое подмножество пространства X. Докажите, что фильтр
„Тл окрестностей множества А является пересечением всех фильтров ftx окрест-
окрестностей точки х, когда х пробегает все А.
11. Докажите, что всякий фильтр fif в множестве X является пересечением
псех мажорирующих его ультрафильтров.
\2. Пусть /'(А") — частично упорядоченное множество всех фильтров в А'.
Докажите, что подмножество Ф из /•'(.?) обладает точной верхней гранью, если
и только если объединение G всех семейств ,;7~/ из Ф есть цетриропяипое
с» мепство.
13. Докажите, что если след ?[а ультрафильтра ,7" является фильтром, то
oT^i — ультрафильтр.
14. Докажите, что если фильтр ,7" в множестве X содержит некоторое одно-
одноточечное подмножество, то он тривиален, т. е. пересечение всех его элементов
не пусто.
15. Докажите, что всякий тривиальный ультрафильтр содержит в качестве
своего элемента хотя бы одно одноточечное подмножество.
113
Iti. Докажите, что фильтр ?f в множестве. X есть ультрафильтр, сели и
To.iiiKo если хогя бы один элемент любого конечного покрытие множества X
СХОДИТ И СОСТ.'Ш фильтр.) .Т.
17. Пусть /: А' - >Y - iiiMipcpiiiiinoe отображение топологических пространств.
Покажите, что если х0— -точка прикосновения фильтра (',Г и A', m </n = /(v0) —
точка прикосновения для f (-T)-
IS. Пусть /: А' — ¦ Y непрерывно в точке .*„ ? X и пусть а',,--предел отобра-
отображения ц: Z — - X по некоторому фильтру ,'J" в множестви Z. Докажите, что
Уо'--1{хо) ость предел композиции h--fog: Z—, Y по ([шльтр^ J/".
ГЛАВА II
ОПЕРАЦИИ НАД ТОПОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОСТРАНСТВАМИ
И ИХ НЕПРЕРЫВНЫМИ ОТОБРАЖЕНИЯМИ
§ 1. ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СУММА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
Настоящий параграф посвящен описанию двух основных при-
приемов, позволяющих конструировать новые топологические прост-
пространства, исходя из заданных пространств, а также сводит!) изучение
пространств, имеющих сложную топологическую структуру, к изу-
изучению более простых пространств.
1.1. Прямое (топологическое) произведение топологических про-
пространств. Сначала введем понятие прямого произведения двух
произвольных, не обязательно различных топологических прост-
пространств (X, т) и (У, о). Пусть Z- X..Y- декартово произведение
множества X па множество У, т. е. совокупность упорядоченных
нар г (х, у), где х?Х, у?У, и пусть р1-¦-совокупность всех под-
подмножеств W из Z, имеющих вид W -UyV, где 'U ?x, V?a.
Пусть W, ¦¦¦¦UlxVl, W., - и.гУ.У.г-~- произвольные множества из
системы |'), тогда из легко проверяемого соотношения
непосредственно заключаем, что пересечение W -H^fltt7., тоже из
системы р\ Кроме тою, ясно, что система |1 образует покрытие
множества Z, ибо само Z?p\ Таким образом, система р* удовлетво-
удовлетворяет условиям предложения 1.9, гл. 1 поэтому служит базой неко-
некоторой топологии fi в множестве Z, которая называется прои;н;сде-
нисм т // а и обозначается через (>---тхо\
ОПРЕДЕЛЕН И Г. 1.1. Множество Z ^ХхК, наделенное опи-
описанной только что топологией (>, т. е. пара (Z, (>), называется
прямым или топологическим произведением (X, т) и (У, а).
Ясно, что открытыми в прямом произведении (Z, <>) являются,
по-первых, псе множества вида UxV, где U ?т, V?a, а также
всевозможные объединения таких множеств.
3 а м е ч а и и е 1.1. Легко понять, что отображение X X У—>У ¦! X,
при котором точке (х, у) сопоставляется точка (у, х), является
каноническим гомеоморфизмом, поэтому операция прямого произве-
произведения пространств коммутативна, ибо гомеоморфные пространства
мы не различаем (отождествляем).
Замечание 1.2. Совокупность а всевозможных множеств
из Z вида (У х К и X х V, где U ?т, а V ?а служит предбазой для
топологии прямого произведения, ибо каждый элемент базы этой
топологии представим в виде (U :< У) Г) (А' х V) - (UxV).
Замечание 1.3. Пусть р1,-- некоторая база топологии т, а
Р2 база топологии о; рассмотрим систему р1 всевозможных подмно-
115
жести из 7. ihi.'ui 1.1 -V, где U ?f>,, V €\J>.,, и докажем, что система р
тоже служит базой топологии (>--тхо, т. с, образно говоря, про-
произведение баз сомножителей (X, т) и (К, о) есть база в их произ-
произведении. Для этого, как мы знаем, достаточно проверить, что
каждый элемент Wa—-Uuy,V0 из базы р* топологии р представим
в виде объединения множеств из fl. Пусть 17,,== U U,-, V,, — (J V,,
где /7,-GP»!, V/€(V Нетрудно проверить, что №„--••¦= и (^,--/^/),
где (L';X V,) ? р" но самому определению системы р\
Произведение любого конечного числа топологических прост-
пространств определяется совершенно аналогично случаю двух прост-
пространств, а именно: в качестве базы топологии в декартовом про-
произведении X — X, X Х2х ... X Х„ берется совокупность всех
подмножеств из X вида (У, х L/2x . . . X Оп, где U,- -¦ оп-рытое иод-
множество пространства (Xit т,). Возникшую таким образом
топологию т в X называют прямым произведением топологий т,- и
пишут т — т, хт.2х . . . Хт„, а декартово произведение X, наделен-
наделенное этой топологией т, — прямым (топологическим) произведением
пространств (X,-, т.,-).
Укажем несколько простейших примеров прямого произведения
пространств.
Примеры. 1.1. Пространство IR" представляет собой прямое
произведение п экземпляров числовой прямой R, т. е. R" =
=-RxRx ... xIR.
п
1.2. Прямое произведение п конечных открытых (замкнутых)
интервалов числовой прямой называют п-мерным открытым (замк-
(замкнутым) кирпичом. Так как замечание 1.3, очевидно, справедливо
и в случае любого конечного числа сомножителей, то совокупность
всех «-мерных открытых кирпичей образует базу топологии
в R".
1.3. Двумерный тор, рассматриваемый как пространство с ин-
индуцированной из R3 топологией, гомеоморфеп прямому произведе-
произведению двух окружностей S1, т. е. T2^SlxS1. В соответствии с этим
п-мерным тором Т" называется прямое произведение п экземпля-
экземпляров S1, т. е. 7"-S'xSlx...xS1.
/i
1.4. Прямое произведение пространства X на единичный от-
отрезок / — [0, 1] называется цилиндром над X; подмножество Хх{0}
называется нижним основанием этого цилиндра, а подмножество
Хх{1} — его верхним основанием. При этом нетрудно понять, что
каждое из оснований служит ретрактом цилиндра Хх/ с ретраги-
рующими отображениями г0: Хх/-+Хх{0} иг,: Хх/—<-Хх{1}>
задаваемыми по формулам ro(x, t) = (x, 0), л, (х, 1) = (х, 1).
1.2. Некоторые основные свойства прямого произведения. Пусть
Z--=XxY — прямое произведение пространств X и У, р: Z—-X,
q: Z—> Y — отображения, определенные по формулам р(х, у) = х€^'
116
q(x,y) = t/?Y и называемые отображениями проектирования или,
короче, проекциями на сомножители.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.1. Отображения проектирования р и q яв-
являются непрерывными и, более того, открытыми отображениями.
¦^ В самом деле, для любого открытого в X множества U p~l(U) --
U х У и, стало быть, открыто в Z, т. е. р — непрерывное отобра-
отображение. Далее, поскольку любое открытое в Z множество есть
объединение множеств вида W --- U xV, где U открыто в X, а
V -в Y, и поскольку p{W)---U, то легко заключаем, что отобра-
отображение р открыто. Непрерывность и открытость отображения q
доказываются совершенно так же. >
Предостережение 1.4. Нижеследующий простои пример
показывает, что отображение проектирования, вообще говоря, не
есть замкнутое отображение. В самом деле, пусть р: IR2 —»- R.1 —
ортогональное проектирование плоскости на ось абсцисс, тогда об-
образом гиперболы ху--\, являющейся замкнутым подмножеством
из R-, служит незамкнутое в R1 подмножество Rr\{0}.
Пусть Е — произвольное топологическое пространство. Тогда
любое отображение /: Е—>-XxV порождает отображения /Y ¦-
pof: E—>-Х и fy-qof: E—>¦ Y, которые принято называть
компонентами отображения f.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.2. Для непрерывности отображения j: E—>
—* X X У необходима и достаточна непрерывность каждой из его
компонент.
¦4 Необходимость очевидна, поскольку компоненты представляют
собой композиции непрерывных отображений.
Достаточность. Пусть отображения /Y, fY непрерывны.
Докажем, что f~x (U :<V) открыто в Е, каковы бы ни были откры-
открытое множество U из X и открытое множество V из Y. В самом
деле, так как V хК = (U хК) Г) {X >(.V) = p~l (U) П q~l (V), то наше
утверждение следует из того, что
/-1 (U XV) - /-' (р~1 (U) П q~' (V)) -/-1 (р~1 (?/)) П /-1 (q~l (V)) -
Итак, доказательство достаточности завершено, так как мно-
множества вида U х V образуют базу топологии в ХхУ. >
Как в самой топологии, так и во многих других разделах ма-
математики исключительно полезной оказывается конструкция, обрат-
обратная к только что описанной, а именно: когда, отправляясь от
заранее заданных отображений ц>: Е—> X и \\у. Е—>Y, строится
такое отображение /: Е—>XxY, компоненты которого совпадают
соответственно с q> и i|\ т.е. fx ¦¦¦-<?, fy --\\i. Такое отображение /
оказывается единственным, задается по формуле / (е) — (ц) (<?), \\>(е))
при каждом е?Е и называется диагональным произведением отоб-
отображений <с и г|) или диагональным отображением, порожденным
отображениями ц> и г|:>. Из самого бпределения отображения / сле-
117
дуст, что ди,-11 рамма
коммутативна, т.е. /; о / ¦¦((•, qof -\\i.
Предложение 1.2 означает, что диагональное произведение не-
непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывны его компоненты.
Ввиду особом роли этой конструкции она несколько подробнее
будет рассмотрена ниже и в значительно более общем ситуации.
Перейдем теперь к описанию еще одном конструкции так
называемого прямого и р о и з в е д с п и я данных отобра-
отображении. Пусть /,: X,- • )',, /,: Л,—г)',, тогда отображение
/: X, -, X, —> К, х V'.,, определяемое по формуле / (л',, л'.,) ¦ - (/", (лг),
/2(л'.,)), обозначается через /,.</., и называется прямым пртпведе-
нисм /, и /.,, а сами /, и /., сомножителями этого произведения.
I-lt vroro определения легко следует коммутативность каждой из
нижеследующих диаграмм:
X, XX_, '—-> Y, X Y,
р,
V
¦V,
V
/, х у,
Х,ХХ, '-> Y,XY,
Р,
AV
v
где /?,, (/,¦ отображения проектирования. Из этой коммутативности
ясно, что прямое произведение /¦ /, ч/2 может бьпь истолковано
так же, как диагональное произведение отображении /V, и [у.., где
/Y, -<7, о (/,:,/,) /, о/;,:Х, Х2 —К,,
/V,- </«°(Л-</аЬ=/,°/>4:Х|ХХ4-- >У*-
IIРИДЛОЖИПИЕ 1..S. Дл.ч непрерывности произведения отобра-
отображений необходима и достаточна непрерывность каж/кич* u:i его
сомножителей.
•^ Достаточность непосредственно следует из предыдущего предло-
предложения, так как компоненты /У: и /у, отображения [ ¦/,>;/.., как
мы только что видели, представимы в виде fYl /, о/7,, /У;, /, о /J-
Необходимость. Пусть отображение f непрерывно. Тогда
в силу предыдущего предложения будут непрерывными компоненты
/V, " /уг> откуда уже будет следовать, что отображения /', и \г
также непрерывны. Н самом де.1е, пусть У - произвольное открытое
множество из К,, тогда /у,1 (I7) -pV [/Г1 {V)\ представляет собой
118
открытое множество в X, X X,. Но так как отображение проекти-
проектирования р, открыто, то образ
/>. 1/v,1 (V)J -П ' (V) П 1\ (X, X X,) - /,' (V) п X, - - /,-• (I/)
будет открыт в X,, т.е. /,—непрерывное отображение. Непрерыв-
Непрерывность /., доказывается гак же. >
Перейдем теперь к описанию простейших свойств замыкания
множеств в прямом произведении пространств.
ПРЕДЛОЖЕНИИ 1.4. Пусть Z -- X у У н Л с X, йс У, н.-о.-Лг
справедлива формула А у Л : Л х В.
¦4 В самом деле, пусть г„ -.- (,г„, у0) ? Л ч /j, тогда в силу критерия
непрерывности отображения в терминах замыкания множеств
/> (г0) , х0 6 р (А х Я) - Л.
Точно так же убеждаемся, что (}(г„) ¦¦¦-[/„€ В, поэтому г„
(х„, у„) 6 Л х /1 Пусть теперь г,,-: (.v(), //,,) ? Л ;<й. Докажем, что
г„ б Л ХЙ. 15 самом деле, пусть G, I*'--открытые множества соот-
ветствепно из X и Y, причем такие, что zu?UxV, тогда, очевидно,
существуют точки х' G U П Л и ;/?l'f|#. Очевидно далее, что
точка z' - (х',у') принадлежит (A:<B)()(UxV), откуда уже заклю-
заключаем, что любое содержащее г„ открытое множество из Х\Г со-
содержит точку из Ах И, поскольку множества вида U х V образуют
базу в ХхК. Итак, г, 6 Л у. В. >
СЛЕДСТВИЕ 1. Произведение двух множеств замкнуто тогда
и только тогда, когда его сомножители замкнуты.
СЛЕДСТВИЕ 2. Произведение двух множеств всюду плотно
тогда и только тогда, когда оба сомножителя всюду плотны.
Отметим, кроме того, что справедливы следующие формулы,
доказательство которых предоставляем читателю:
Int (Л хВ) = Int./lxliit/i,
Fr (Л х В) = (Fr Л yli) U (Л х Fr В).
В копне пункта дадим определение еще одного весьма полез-
полезного и часто встречающегося понятия, а именно понятия графика
отображения.
Пусть /: X—>Y — произвольное отображение множеств. Тогда
подмножество Yf- -{(х, у); х?Х, у --/ (х)\ декартового произведения
X у Y называется графиком отображения.
Приведем несколько простых примеров иллюстрирующих вве-
введенные выше понятия.
Пример 1.5. Пусть /: X —> Y— некоторое отображение, а
/г: X —¦ X х Y- - отображение, задаваемое формулой /г (,v) --- (х, / (л)).
Тогда легко понять, что h представляет ссбоп диагональное про-
произведение отображений lv: X—-X и /': X---Y и, кроме того,
является биекцисп между X и графиком Vf отображения /.
В частности, если /: X —<¦ Y- - постоянное отображение, перево-
переводящее все X в точку yti^Y, то // будет сложением (инъекцией) X
в XxY.
П9
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.5. Отображение /: X—*Y непрерывно тогда
и только тогда, когда отображение h: X—> Tf, задаваемое по фор.
муле h(x) — (x, f(x)), является гомеоморфизмом.
¦^ Необходимость. Во-первых, ясно, что h — биекция, поэтому
надо доказать непрерывность h и h~l. Пусть /: X— >Y непрерывно,
тогда /г, будучи диагональным произведением / и тождественного
отображения \х, тоже непрерывно. Далее, так как Л~1: Г^—<-Х,
очевидно, представляет собой сужение на Т{ проекции р: XxY —<¦ X,
то его непрерывность следует из непрерывности р. Итак, /; — го-
гомеоморфизм.
Достаточность. Из непрерывности диагонального произве-
произведения h следует непрерывность его компоненты /. >
СЛЕДСТВИЕ 1. Каждый сомножитель прямого произведения
Z — XxY гомеоморфно вложен в пространство Z.
СЛЕДСТВИЕ 2. Графики всех непрерывных отображений одного
и того же пространства гомеоморфны между собой.
Примеры. 1.6 (цилиндр над отображением). Пусть
/: X—- Y- произвольное отображение, a g: I—> /--тождественное
отображение. Тогда их произведение fxg: Xx I—- Y х / называется
цилиндром над отображением f и обозначается через /х /. Ясно,
что цилиндр над / непрерывен тогда и только тогда, когда непре-
непрерывно /.
1.7. Пусть /: X—> Y — произвольное отображение. Произведение
fxf: XxX ~^Y xY отображения / на самого себя называется
квадратом отображения f и иногда обозначается через /2.
Совершенно так же вводится понятие любой натуральной сте-
степени п отображения /, а именно: /" =/х/х . . • х/: X" —> Y". Ясно,
и
что /" непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывно само /.
1.3. Тихоновское произведение пространств. Этот пункт посвя-
посвящен описанию одной важной и плодотворной конструкции, позво-
позволяющей весьма удачно задать топологию в декартовом произведе-
произведении любого семейства топологических пространств и поэтому играю-
играющей фундаментальную роль в очень многих разделах топологии
и ее приложений. Эга конструкция, давно уже ставшая классиче-
классической, была предложена и подвергнута глубокому исследованию
советским математиком Л. Н. Тихоновым еще в 1929 г. (см.
Л. Н. Тихонов 160, 61|).
Для того чтобы идея построения декартового произведения
любого семейства множеств Xh i ? / (с индексным множеством /
произвольной мощности), стала нагляднее, сначала предположим,
что множество / конечно, поэтому будем считать, что /—={1, 2,
3, ..., п\. В этом случае каждый элемент произведения X — ХХХ
хХ2х..-хХ„ представляет собой упорядоченный набор х = (х,,
х2, •••, х„), где Xj^Xj при всех г'?/. Ясно, что каждому такому
набору х можно однозначно сопоставить отображение /v: /—> /
множества индексов 1 в множество Y--•¦ U Х( по формуле fx(i)=X[-
120
Обратно, пусть /: /—>¦ Y — некоторое отображение, обладающее
тем свойством, что f(i)?Xi ПРИ каждом i ?/. Тогда, положив
X/ :(/0)> /B), •••, /(«)), мы однозначно определим некоторый
элемент х произведения X.
Пусть теперь X — совокупность всех отображений /: /—>К,
обладающих указанным свойством. Тогда из приведенных построе-
построений легко понять, что соответствие x/*-*fx является биекпией
между X и X. Таким образом, отождествив каждый набор
х --(х,, х2, . . ., х„) с порождаемым им отображением fx и тем самым
отождествив множества X и X, произведение X можно истолковать
как множество X всевозможных таких отображений /: /—>Y, при
которых /(/)?Х,- для всех г?/. Такая трактовка декартового
произведения конечного числа множеств предпочтительна тем, что
она позволяет в точности такой же форме дать корректное опре-
определение декартового произведения семейства множеств X,- с индекс-
индексным множеством / произвольной мощности.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Декартовым произведением *' семейства
множеств X,-, t?/ называется множество X всех отображений
х:1—>¦ Y —- U X;, обладающих тем свойством, что x(i) ? Х; при каж-
дом t?/, и обозначается через Х = [{Х,-.
Обозначая значения отображения х на элементе i ? / через х,-,
т. е. полагая х(г)=-х,-, мы можем, как и в случае конечного числа
сомножителей, каждый элемент произведения X (т. е. отображе-
отображение х) трактовать так же, как набор х---(х/),-6/, где х, ?Х,-; при
такой трактовке элемент х,- называется i-й координатой элемента х,
причем два набора считаются одинаковыми лишь в том случае,
когда их соответствующие координаты совпадают.
Легко понять, что если для каждого i ? / Л,-с:Х,-, то подмно-
подмножество из X, состоящее из таких элементов х = (х/),-6/, для кото-
которых х,-? Л,-, совпадает с прямым произведением Ц /1,- множеств Л,-.
В частном случае, когда все сомножители Х(- представляют
собой одно и то же множество Y (Х,---К при /?/), объединение
U X,-, очевидно, тоже совпадает с множеством V, поэтому декар-
тово произведение X---J1X,- будет представлять собой множество
всевозможных отображений индексного множества / в Y; в этом
случае JJ X, обозначается через Y1 или Kv, называется (декар-
пшвой) степенью множества Y или, подробнее, v-й степенью (пли
степенью веса v) множества К, где v — мощность множества /.
Пусть К — некоторый конечный набор индексов из /. Тогда
произведение Л=--=ЦЛ/( в котором /1, = Х,- при i ? К и Л(сХ, при
*' Пользуясь аксиомой выбора, можно локачап., ччо декартово произнеде-
in'iiycroi о ccMCiicriia непустых .мпожесто иссгда lit пусто.
121
i?K, насыпается цилиндрическим, множеством fc основанием
1ЫЛ-
Пусть теперь каждое из X,-—топологическое пространство
с топологией т,-. Рассмотрим в декартовом произведении Х-Дх.
семейство р" всех подмножеств из X, имеющих вид ЦЛ,-, где
AidXi—открытые подмножества в топологии T/t причем в каждом
таком произведении лишь конечное число сомножителей Л,- может
не совпадать с соответствующим пространством X,-, т. е. Л, = Х(.
для всех /?/, кроме конечного числа индексов. Множества, вхо-
входящие в состав семейства р1, принято называть открытыми цилинд-
цилиндрическими множествами (рассмотрение именно таких подмножеств
декартового произведения \\Х( оказывается весьма полезным и
удобным в самых различных вопросах).
Так как для любых А -ЦЛ, и 5-= Ц 5,- имеем А Л В ~
16/ 1С/
— Л (Л,- П В{), то пересечение любых двух элементов из р1, оче-
ic/
видно, снова принадлежит р" и поскольку р", очевидно, служит
также и покрытием для X, то (в силу предложения 1.9 гл. I)
семейство р1 служит базой некоторой топологии т в X, которая
называется тихоновской топологией (тихоновским произведением
топологий т,) и обозначается х—|[т,-.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Пусть'"{(X,-, т.,-); /g/} —произвольное
семейство топологических пространств. Прямым (топологическим)
или тихоновским произведением этого семейства называется топо-
топологическое пространство, получаемое наделением декартового про-
произведения Х= -ЦХ,- тихоновским произведением т -Цт,-.
ic/ hi
Таким образом, в топологии тихоновского произведения откры-
открытыми являются упомянутые цилиндрические множества (называе-
(называемые в дальнейшем открытыми цилиндрическими пли элементар-
элементарными множествами), а также всевозможные их объединения.
Рассмотрим систему у всевозможных подмножеств из X, имею-
имеющих вид И Л,-, где Л,-==Х,- при всех i-f=i0, а Л,-—некоторое
I L /
открытое множество в пространстве Xin. Тогда нетрудно убедиться,
что каждый элемент системы fi представим в виде пересечения
конечного числа элементов системы у и поэтому у служит пред-
базой топологии тихоновского произведения.
Приведем теперь несколько ставших уже классическими при-
примеров бесконечных произведений наиболее простых пространств,
играющих исключительно важную роль во многих вопросах топо-
топологии.
Примеры. 1.8. Пространство Фреше. Рассмотрим про-
произведение И Хп, где каждое из Хп есть числовая прямая R, преД-
ставляющая собой степень IRIJ--RS", элементы которой суть счет-
122
пыс последовательности v (л'„)н<Ф| -Чсiii-ти11Tt .чыii>ix чисел .v,,; про-
пространство '!vs" называется пространством Фреше.
1.9. Гильбертов куб. Произведение ЦХ„, i-де каждое из
- •; I
А'„ совпадает с отрезком / - |(), 11, т. е. пространство 1*", назы-
называется гильбертовым кубом или гильбертовым кирпичом.
1.10. Пусть /•- индексное множество мощности v. Тогда про-
произведение II X,-, где каждое из X,- совпадает с отрезком / |(), 1],
л /
т. е. пространство /v, называется тихонтиким кирпичом (или кубом)
веса v; итак, гильбертов кирпич является тихоновским кирпичом
счетного веса.
1.11. Произведение ЦХ,, в котором каждое из X, совпадает
с простым двоеточием D ¦-¦ {(I, 1), т. е. пространство Dv, где v —
мощность множества /, называется каниюроным дисконтинуумом
веса v.
Нетрудно доказать, что пространство /.)s", т. е. канторов дис-
дисконтинуум счетного веса, гомеоморфсп каиторовому совершенному
множеству (см. п. 1.9 гл. I) с ипдунпронапп.ш из числовой пря-
прямой топологией.
Рассмотрим теперь отображение р; : Ц Л,—-А',, сопоставляю-
'' /¦ /
iii.ee каждому .v (.v,-) его /,,-ю координату а',- и называемое ото-
отображением нргхктирования (пли проекцией) па сомножитель Л,-п.
Пусть Ui некоторое открытое в пространстве X,- подмноже-
подмножества. Тогда ясно, что p-itl (L/,-) = |] А;, где /1,- ~Х,- при пеех /-/-/'„,
/ /
Л.- 'U;- Отсюда заключаем, что система всех подмножеств из
А' вида ' р,г' (U;), где сУг—открытое подмножество из А',-, а I ? /,
/1.
X
в точности совпадает с системой у. 1еперь уже, по самому опре-
определению инициальной топологии, легко попять, что система у
служит предбазоп п для инициальной топологии в X ¦¦-¦ {JX,-, порож-
порожденной семейством отображений проектирования {/>,•; i?l\.
Таким образом, тихоновская топология в X - ¦¦ \\ (X,-, т,) есть
не что иное, как инициальная топология, порожденная семейством
{/'/• 1?1\ ч поэтому слабейшая из всех toiiojioi'ihi в X, при кото-
которых псе проекции р; непрерывны.
Оказывается, что все доказанные в предыдущем пункте свойства
прямого произведения двух пространств, за исключением формул,
относящихся к внутренности и границе прямого произведения,
имеют место и в случае тихоновского произведения произвольного
семейства топологических пространств.
Предостережение 1.5. Хотя прямое произведение откры-
открытых множеств открыто в топологии прямого произведения конеч-
конечного числа пространств по самому определению этой топологии,
а прямое произведение замкнутых множеств, как было отмечено
Выше, замкнуто в тихоновском произведении любого семейства
123
пространств, тем не менее произведение открытых множеств в тихо-
тихоновском произведении любого семейства пространств может быть
и не открытым подмножеством. В самом деле, пусть А-, i ? 1,— про-
произвольные непустые, открытые множества из X/, причем такие,
что А;ФХ; для бесконечного множества индексов. Тогда поскольку
А ----- ЦЛ, не может содержать в себе ни одного базисного элемента
тихоновской топологии, то lniA — 0, между тем как само А,
будучи непустым, очевидно, не может быть открытым и, стало
быть, А открыто лишь в случае, если само А — 0.
Таким образом, для того чтобы Int/4=?0, необходимо, чтобы
Л,--.-Х(- для всех индексов, кроме, быть может, конечного их числа.
Замечание 1.6. Оказывается, что для внутренности тихонов-
тихоновского произведения множеств всегда справедливо включение
причем если все Л,---Х,-, за исключением конечного числа индек-
индексов, то включение заменяется равенством.
Переходя к установлению свойства ассоциативности тихонов-
тихоновского произведения пространств, рассмотрим произвольное раз-
разбиение / — U Ii индексного множества / и образуем порождаемое
(е Т
этим разбиением новое, зависящее от индекса /?Т семейство топо-
топологических пространств в виде тихоновского произведения Yt ~
— ЦХ,, а затем уже составим тихоновское произведение этого
;¦(=/,
нового семейства, а именно пространство K=[Jk,, тогда оказы-
/е 7'
вается, что в введенных обозначениях имеет место следующее
утверждение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.6. Операция прямого (тихоновского) произ-
произведения любого семейства топологических пространств ассоциативна,
т. е. для любого разбиения индексного множества I — U // сущест-
I Г: Г
пуст канонический гомеоморфизм между пространствами
Х--=ЦХ,. и Y--\[Yt.
/ s / hi
^ Рассмотрим отображение р\ : X—-Y,, определяемое формулой
Piin(x) — pi(x)i6i . Тогда легко понять, что для каждого г?/,
pi — q'iopi, где q\: Yt—<¦ X,— отображения проектирования.
Отсюда в силу свойства транзитивности инициальной топологии
следует, что топология в X является инициальной топологией,
порожденной семейством отображений pt) и топологиями в У-
Пусть, далее, Р: X—> V — отображение, компонентами которого
служат pi, т. е. Р (х) ¦-- (pit{x)). Тогда поскольку, очевидно, pit ^
--г i о Р, где rt: Y—*Y, — отображения проектирования, то опять
в силу транзитивности инициальной топологии заключаем, что
топология в X представляет co6o:'i прообраз топологии в У- отно-
относительно отображения Р и, стало быть, является слабейшей из
топологий в X, при которых Р непрерывно.
124
Докажем теперь, что Р биективно, после чего на основании
предложения 3.22 гл. I P окажется гомеоморфизмом X на У.
В еммом деле, пусть х -(х\) и х" ¦¦ — (х"() — различные элементы из X,
тогда существует го€/() такое, что х\лФ x"in, откуда следует, что
pitx и pit х" — различные элементы в прямом произведении К, ,
так как их io-e координаты различны. Итак, Р инъективно.
Пусть теперь уп~-(у1)цт— произвольный элемент из Y, где
у" -W)i€//- Тогда ясно, что элемент х —(дг,-),-е/, где Х; — х1 для
i?lt, a /?Г служит прообразом элемента г/" при отображении Р,
т. е. Р надъективно. Итак, Р — гомеоморфизм X на Y, и поскольку
рассмотренное разбиение было произвольным, то прямые произве-
произведения, соответствующие двум различным разбиениям между собой,
гомеоморфиы, что и означает ассоциативность тихоновского произ-
произведения, р.
СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть имеется семейство пространств {X,¦;
'6 /} « пусть о: Т<-> / -бискция, тогда прямое произведение [] Х;
гомоморфно прямому произведению \\ Xa(t).
/с т
.4 Зго утверждение является частным случаем доказанного выше
общего свойства ассоциативности прямого произведения, соответ-
соответствующего одноэлементному разбиению исходного индексного мно-
множества /. ^.
СЛЕДСТВИЕ 2. Для любого пространства X и любой беско-
бесконечной мощности |.i справедливо соотношение Х^х X11 ^ А'ц зё (XмI1.
^ Эго на первый взгляд неожиданное утверждение непосредст-
непосредственно следует из следствия 1, если принят!) во внимание, что
объединение не более чем счетного числа бесконечных множеств
мощности \i снова имеет мощность ft, откуда и следует существо-
существование соответствующей биекции о. ^
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.7. Прямое произведение А -=Ц/1. произ-
произвольного семейства непустых подмножеств Ai из Х{ гранично (соот-
(соответственно нигде не плотно) в X—\\Xi тогда и только тогда,
когса хотя бы один из сомножителей граничен (соответственно
нигче не плотен).
^ Поскольку каждое А,- естественным образом вложено в произ-
произведение /1 и поэтому может рассматриваться как его подмножество,
то грипичность /1 очевидным образом влечет граничиость каж-
каждою А/.
Пусть теперь граничным является один из сомножителей, на-
например Л,-, т. е. Int/1,-a-~0. Тогда в силу замечания 1.6 будем
иметь Int А с: \\ Int /1,- - - 0, поэтому А—гранично.
Для доказательства параллельного утверждения заметим, что
необходимость условия очевидна, ибо, как и выше, можно считать
Л,, сложенным в Л, а достаточность легко следует из соотношений
I25
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.8. Фильтр 3~ в прямом произведении
X • 11 ¦Хг топологических пространств X,- сходится к /почке а =з
(¦'." /
¦(Uj)ini тогда и только тогда, когда для каждого ('?/ проекция
ргГ сходится к координате о,- в пространстве X,-.
^ Необходимость непосредственно следует из непрерывности проек-
проекций pi и предложения 4.15 гл. 1.
Л о с т а т о ч и о с т ь. Докажем, что любая окрестность U точки а
принадлежит фильтру #". Однако и силу аксиомы F, можно огра-
ограничиться базисной окрестностью U, т. е. произвольной открытой
цилиндрической окрестностью U -¦--¦ \\ U( точки а- (а,);< / с осно-
ваппем Ц (У,-. Так как для каждого <„ € К U{—окрестность точки
«,- в пространстве X,• , a p!tT сходится к aia, то существует мно-
множество Л из .Т такое, что р^Ас Uia и, стало быть, Л с/?,-"' ((У(.),
откуда в силу аксиомы 1:, заключаем, что /;,/ (V() ^ .-Г. Итак, для
каждого i ? К р,' (U ,)? Т, поэтому к силу конечности множества К.
и аксиомы !¦'., пересечение П р[' (U¦) тоже принадлежит ;Т. С дру-
i'-K
гой стороны, /?,-¦'((У,-), очевидно, есть цилиндр с основанием U,¦,
полому легко понять, что f)/;,¦' ((У,-) совпадает с (У. ^.
СЛЕДСТВИЕ. Направленность \xs: s?S\ в прямом произведе-
произведении X ¦¦¦¦Ц Х- сходится к точке а--(а^1й1 о том и только в том
,;,;
случае, если для каждого /g/ проекция \Pj(xs); s?S\ этой направ-
направленности сходится к координате а; в пространстве X,-.
^ Пусть Т — фильтр, ассоциированный с данной направленностью
\xs\ s?S\. Тогда нетрудно убедиться, что для каждого i ? / про-
проекция Pi(J) есть базис ((шльтра, ассоциированного с направлен-
направленностью \p,(xs); s?S\ в Х;. Поэтому, принимая во внимание, что
предел направленности совпадает с пределом ассоциированного
с ним фильтра, в силу предыдущего предложения убеждаемся
в справедливости нашего утверждения. ^.
Замечание 1.7. Из сказанного следует, что последователь-
последовательность л" :--= (.v")i6/ точек прямого произведения X - Л X,-топологи-
ческих пространств сходится к точке а ;(«ДС/ тогда и только
тогда, когда для каждого t?/ последовательность i'-х координат х'\
сходится в пространстве X,- к точке «,-. ;Чругимн словами, сходи-
моем, в тихоновской топологии покоординатная.
1.4. Операции диагонального и прямого произведения отобра-
отображений. Здесь мы подробнее и в значительно более общей ситуа-
ситуации опишем уже рассмотренные выше операции диагонального и
прямого произведения отображений ввиду их особой важности как
для топологии, так и для многих других разделов математики.
Пусть \Y,-; i(zl\—произвольное семейство множеств и пусть
для каждого i?l задано отображение /,¦:Х-¦¦ - Y,-, где X произ-
произвольное фиксированное множество. Тогда семейство (/,-) капониче-
126
ским образом порождает некоторое отображение, определяемое
нижеследующим образом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Отображение f:X -* У ¦= ЦК,, задавае-
м '
мое по формуле / (х) --(/,- (*)),• 6 /, называется диагональным прои:к)е-
дсиием семейства отображений (/,¦); е/ , иногда и диагональным отоб-
отображением, порожденным этим семейством; при этом каждое из
отображений /,• называют компонентой /, а само / обозначается
через Д/,..
/с /
Оказывается, что любое отображение ?:Х->1[К; можно рас-
сматривать как диагональное произведение некоторого семейства
отображений. В самом деле, положив для каждого i(l?l
/,\, ¦¦-¦Р,-„°8-Х- > У,-,' гдс Р'о:П У.- — К,-—проекция,
it /
без труда убедимся, что диагональное произведение Д/,- в точности
i t /
совпадает с исходным отображением g.
Дадим теперь определение одного важного и часто встречаю-
встречающегося понятия.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5. Говорят, что семейство отображений
{fj'.X—>Yi\i€i различает элементы множества X, если для всякой
пары различных элементов х{, х.г из X существует г0 ? / такое,
что /,•„(*,)--^/,-,(л-2).
Легко понять, что если хотя бы одно из отображений /,¦ инъек-
тинно, то уже это семейство pa3vTii4aeT элементы множества X.
Нижеследующее утверждение почти тривиально, однако все же
уместно его сформулировать в виде предложения.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.9. Если семейство {/^Х—> K,j,-e, разли-
различает элементы множества X, то диагональное отображение f — Д /,:
: X—^ITi7/ инъективно и, стало быть, является вложением.
ie /
Л Проверим, что из ххфхг следует, что f (x ,)-/= f(x.,). По опреде-
определению, f(x{)—- (/,-(х,)),с/ , /(.v.,)^ (/,¦(*.,)), но так как семейство (/',),
по условию, различает элементы из X, то найдется индекс /„ ? /
такой, что /,-D(*t) т^/,-„(*...). Следовательно, / (х,)¦-/= / (х,), т. е. f
1пп>ективпо. >
Замечание 1.8. Легко проверить, что доказанное предло-
предложение обратимо, т. с. если диагональное отображение шпк'кпшно,
то семейство {/,¦} различает элементы множества X.
Примеры. 1.12. Семейство отображении проектировании р;:
Y ¦- \\ Y[— > Yj, очевидно, различает элементы V — IiV;, причем
м. /
диагональное произведением этого семейства совпадает с тождест-
тождественным отображением У. В самом деле, если у'~(у';), /у"^-(//',:) —
различные элементы из К, то найдется /„ ? / такое, что у\ ц Ф у],
т. е. р/У' ¦-/= Pjt/', а равенство /\Pi~\y очевидно.
127
1.13. Пусть Х==--[0, rt]<rR\ где </<л, тогда семейство отобра-
отображений <[„; X —-+R1, задаваемое формулами (/•„ (х) ==s'mnx, где «?г>1
различает точки отрезка |0, о].
То же самое верно и относительно семейства \рп: X—*• R1, за-
задаваемого формулами i|;n (.*) = sign (sin/i.v), /*?N.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.10. Если диагональное произведение / = Д/,-
открыто, то все его компоненты /,¦ тоже открыты.
4 Пусть f ~- Afi'-X —* ll^i — открытое отображение. Поскольку
16/ |-С/
Ij — P/of, где р/.П Yj~- Yj — проекции, то /;. открыто как компо-
зицня двух открытых отображений: pj и f. >
Предостережение 1.9. (Следует иметь в виду, что диаго-
диагональное произведение открытых отображении может оказаться не-
неоткрытым. В самом деле, пусть f = A fi'- X — *\\ Y,, где для каж-
ik'l
дого ('?/ Yj = X, а /,• = 1 х- Тогда диагональное произведение будет
открытым тогда и только тогда, когда диагональ степени X1 (со-
(состоящая из всевозможных точек вида (х,-), где при всех i?l xt =
= х?Х) является открытым подмножеством пространства XI X, что,
f е /
конечно, не имеет места, например, в том случае, когда X есть
числовая прямая IR1.
Перейдем теперь к определению прямого произведения отобра-
отображений. Пусть заданы два семейства множеств (X,-) и (К,-) с одним
и тем же индексным множеством /; пусть далее для каждого /?/
задано отображение /,-: X,¦—> К,-. Тогда это семейство отображений
(/,),е/ каноническим образом порождает некоторое отображение,
определенное ниже.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.6. Отображение /: \\Х,-* ЦК,, сопостав-
сопоставляющее каждому л-= (*,¦),<:/ элемент у —)' (х) — («/,-), где ;/,• = //¦(*,•)
при всех i?l, называется прямым произведением семейства {fi)tei<
каждое из /,• — сомножителем этого произведения; при этом пишут
/-II/,.
¦ S /
Как и в случае прямого произведения двух отображений, легко
проверить, что для каждого /„ € / нижеследующая диаграмма, с
которой Pj, t//,—проекции,
коммутативна и что прямое произведение /=Ц/,- представляет со-
собой диагональное произведение семейства ((/,о/),6/, а также семей-
семейства (f@Pi)itl.
128
Замечание 1.10. Легко проверить, что для инъективности
(соответственно надъективности, биективности) отображения /:
11 Xi —* II ^ ; необходимо и достаточно, чтобы каждое из /• было
1 ¦ / ill
инъективным (соответственно надъективным, биективным).
Переходя к установлению основных свойств диагонального и
прямого произведения семейства непрерывных отображений, отме-
отметим, что доказанные в п. 1.1 предложения, относящиеся к непре-
непрерывности диагонального и прямого произведения двух отображе-
отображений, остаются справедливыми и в случае произвольного семейства
отображении.
В курсах математического анализа часто строится экзотический
пример отображения отрезка [0, 1] на квадрат, являющегося как
непрерывным, так и надъективным (непрерывная кривая, проходя-
проходящая через все точки квадрата); это так называемая кривая Пеано.
Располагая описанными выше конструкциями и результатами,
мы можем построить еще более экзотические примеры непрерывных
отображений отрезка, а именно так называемую обобщенную кривую
Пса но.
ПРЕДЛОЖЕНИИ 1.11. Канторов дисконтинуум D можно не-
непрерывно и надъективно отобразить на куб /к».
¦4 При доказательстве, что D имеет мощность континуума строит-
строится (см., например, 11 ]) надъективное отображение h: D —> /, которое,
как нетрудно проверить, непрерывно. Образуем ^„-степень этого
отображения, а именно /ix" :?>8° —> /s» , которое, как мы знаем, не-
непрерывно п падъективпо в силу надъективности самого /г.
С другой стороны, поскольку множество О, но самому опре-
определению, является счетной степенью двухэлементного множества
/И --{0, 2}, т. е. D - М*<> , то в силу следствия 2 предложения 1.7
будем иметь
/;»¦¦ ъ (Д1«" )*> -^м*« =sD,
и, стило быть, существует гомеоморфизм <р: D =x D*» . Теперь, уже
положив / :-/iN,i О(| :D—> /s» , мы получим искомое отображение. >
СЛЕДСТВИЕ (ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ПЕАНО). Счетная
степень /Ки отрезка /--=[0, 1] является непрерывным обра:юм от-
рака I.
¦^ Для доказательства достаточно продолжить непрерывно па весь
отрезок / построенное в предыдущем предложении отображение
/: /) - -. /х" , распространив его линейно в каждом из смежных к D
интервалов (такое продолжение возможно, ибо /х" , как нетрудно
убедиться, гомеоморфно выпуклому подмножеству, а именно гиль-
бертовому кирпичу). >
Обратимся теперь к вопросу об открытости прямого произве-
произведения семейства непрерывных отображении /,-: X,-—<• К,- топологи-
топологических пространств, где <?/; имеет место следующее утверждение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.12. Пусть /-=Ц/,-, тогда: а) если все [(
i /
i t
открыты и все они, кроме, быть может, конечного их числа, на&т>ек-
тивны, то прямое произведение / открыто;
5 л» 73 129
b) если f открыто, то все сомножители /,¦ открыты.
М я) Непрерывность / уже отмечалась выше. Далее, в силу заме-
замечания 1.1 нам достаточно проверить, что образ любого открытого
цилиндрического множества при отображении / открыто в Y ~= \\ Yh
м- /
Пусть U--\\Ui — произвольное открытое цилиндрическое множе-
1 г. /
ство из X П X,-. Тогда f (U) - Ц/,•(?/,-)• Так как все /,• открыты
i l I is/
и все они, кроме конечного их числа, падъективпы, то f (U)—
тоже открытое цилиндрическое множество в К.
Ь) Пусть теперь прямое произведение /=П// открыто, тогда
при каждом 1„ ? / из приведенной выше коммутативной диаграммы
заключаем, что композиция f,\PPin открыта, ибо она совпадает с
композицией (/,• о/ двух открытых отображений. С другой стороны,
из открытости композиции /,¦ о/)(- а также непрерывности и надъек-
тпвпостп проекции р(. в силу предложения .'3.8 гл. I заключаем,
что /'(|| открыто. >
Предостережение 1.11. Следует иметь в виду, что прямое
произведение даже двух замкнутых отображении может быть не-
незамкнутым. В самом деле, отображение проектирования /;: IR'- - * 'R1,
как мы виде..'!и выше, не замкнуто, хотя оно, как нетрудно попять,
иредставимо в виде произведения тождественного отображения и
постоянного отображения переводя'Него R1 в начало координат.
СЛ/ЩСТВИ/.:. Прямо.' праижед.'ние любого ссм-.'исшви гомеомор-
гомеоморфизмов есть гомеоморфизм.
М Это непосредственно следует из замечания 1.10 утверждения
а) предыдущего предложения и предложения 3.12 гл. I. >
Конструкция диагонального произведения отображения оказы-
оказывается особенно полезной, когда оно является вложением (инъек-
(инъекцией), т. е. гомеоморфизмом на образ. Поэтому приведенные ниже
признаки находят много приложений как в самой топологии, так
и в смежных разделах математики.
TE0PI-MA 1.13 (О ВЛОЖЕНИИ). Пусть {/,-: Х--Н,-; /?/} —
семейство непрерывных отображений. Тогда порожденное этим се-
меиепшом диагональное отображение / -¦= Д /,• является гомеоморфиз-
i с /
мом на образ в том и только в том случае, когда:
(i) семейство (/,¦) различает точки пространства X;
(ii) топология пространства X инициальна относительно семей-
семейства (/,¦).
М Необходимость. Поскольку /—гомеоморфизм па образ, то
/ ипъективио и поэтому, как уже отмечалось выше, семейство (fj)
различает точки пространства X. Далее, из той же гомеоморфно-
гомеоморфности / следует, что топология в X является прообразом топологии
подпространства /(X) при отображении /. С другой стороны, по-
поскольку тихоновская топология в 11 V,- инициальна относительно
i ¦ /
проекций pit а топология в /(X), в свою очередь, инициальна
130
относительно отображения вложения /(X) в Ц У;, то из еоотиоше-
ie l
ний fi=Piof, i?/, согласно свойству транзитивности инициаль-
инициальных топологий (см. предложение 3.23 гл. I) заключаем, что топо-
топология в X действительно инициальна относительно семейства (/,).
Достаточность. Так как семейство (/,¦), по условию, раз-
различает точки из X, то, как отмечалось выше, диагональное про-
произведение f ипъективно, т. е. является биекцией на образ /(X).
Далее, поскольку топология в X, по условию, инициальна
относительно семейства (/,•), то в силу того же свойства транзи-
транзитивности инициальных топологий топология в X будет просто
прообразом при диагональном отображении / = Д//, откуда, со-
согласно предложению 3.19 гл. 1, заключаем, что /--гомеоморфизм
па /(X). >
Наряду с приведенным критерием вложения чрезвычайно по-
полезным оказывается прицеленное ниже достаточное условие гомео-
гомеоморфности диагонального отображения, для формулировки которого
введем следующее определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.7. Говорят, что семейство отображений <5Г-=
-¦(/,¦: X —<¦ К,-; i(zl} различает точки и замкнутые множества,
если для каждого замкнутого множества FcX и любой точки х0
из его дополнения CF — X\ F существует i „ ? / такое, что
fiAxo)Jf,o{F).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.14. Пусть семейство ZT ¦¦= {f,-: X—-К,.;/?/}
непрерывных отображений различает точки, а также точки и замк-
замкнутые множества пространства X. Тогда порожденное семейством <7"
диагональное отображение / = Д/,- является гомеоморфизмом на
образ [(X).
¦4 Бпективпость / на образ /(X) следует, как и выше, из того,
что семейство е7 различает точки из X. Докажем, что отображение
/": X—>/(Х) открыто; непрерывность очевидна. Осталось пока-
показать, что образ f(Un) любого непустого открытого в X множества U„
открыт в подпространстве /(X). Для этого достаточно проверить,
что f(U0) является окрестностью в /(X) для каждой своей точки //„.
Пусть xu?Un, f{xu)---y,, п A =X\U0. Поскольку семейство nF
различает точки и замкнутые множества, то найдется /0 ? / такое,
что /,(*„) б7
/,„(„ 77д
Рассмотрим в пространстве \\ К,- открытое цилиндрическое мпо-
«б /
жество Vi^0 -- XI ^i- с основанием Vt --¦- Х/( \ //п (Л), которое, оче-
I1 <¦ /
видно, содержит точку уи — f (х„). Докажем, что пересечение Wtt П f (X)
содержится в /(?/„), откуда и будет следовать, что f(Ua), будучи
надмножеством некоторой окрестности точки / (.v,,), само является
окрестностью этой точки. В самом деле, пусть у — f (х) =-(/,- (х)I(г, —
произвольная точка из Wn(]f(X), тогда из ygli7,, легко следует,
что /,- (х)?[,- (А), поэтому х$А и, стило быть, х?Х\А =Ua.
Итак, точка /'(*) принадлежит f{U0), откуда и заключаем, что
131
Wn(]f(X)czf(Un). Таким образом, /: X—>¦ f (X) биективно и от-
открыто, следовательно, гомеоморфизм. >
1.5. Топологическая сумма топологических пространств. Пусть
{{Х;, т,)| -семейство топологических пространств, где i пробегает
множество индексов / произвольной мощности. Сначала рассмотрим
тот случай, когда множества X,- попарно дизъюнктны, т. с. попарно
не пересекаются. Образуем объединение X этих множеств и пусть
а объединение семейств т.,-, т. е. совокупность всех множеств
UdX таких, что U ?Т/ при некотором ('?/. Введем в X тополо-
топологию т, приняв за ее предбазу эту совокупность а. Возникающую
таким образом топологию т называют суммой топологии т,-, а по-
получаемое при этом пространство (X, т) — топологической суммой
пространств (X,-, т.,-). Ясно, что семейство ее замкнуто относительно
всевозможных конечных пересечений и, следовательно, служит
также базой топологии т. Таким образом, открытыми в (X, т) мно-
множествами являются всевозможные объединения открытых в Xt
множеств, или, что то же самое, множества, следы которых n Xt
при каждом ('?/ открыты в топологии т.,-.
Оказывается, что X,- при каждом /„?/является как открытым,
так и замкнутым множеством в X, поскольку оно входит в состав
предбазы а, одновременно являясь дополнением к и X,-, которое
'' Ф ''о
открыто как объединение открытых множеств. Кроме того, ока-
оказывается, что топологическая сумма обладает следующей особен-
особенностью: каковы бы ни были замкнутые в X,- подмножества /1,-, их
объединение Л - И Л,- замкнуто в X при любой мощности нндек-
сов /. Это непосредственно следует из соотношения Х\ Л —
- UlX,-\ Л,-), которое справедливо, поскольку X,- попарно не нере-
секаются.
Введем теперь понятие суммы произвольного семейства {Х(-, i ? I)
непустых множеств, не предполагая их попарно дизъюнктными.
ОПРЕДЕЛЕНИИ 1.8. Суммой или дизъюнктным объединением
семейства {X,-; i?l\ называется всякое множество X, допускающее
такое разбиение X -U X'h при котором для каждого / ? / суще-
1 С- /
ствует бпекция /,-: Х;~Х|-.
Очевидно, что сумма семейства определена лишь с точностью
до биекций и что если семейство дизъюнктное, то его суммой слу-
служит объединение этого семейства. В этом частном сл\чае сами
отображения вложения Х(- аХ---= U X,- и служат нужными биекннями.
Укажем теперь конструкцию, позволяющую строить сумму про-
произвольного семейства |Х,-; i?J\. В декартовом произведении Г х/.
где Y .-¦-.- (JX,- — теоретико-множественное (обычное) объединение всех
множеств Xt данного семейства, рассмотрим семейство подмножеств
вида Х]-~- X;X{i\, где i?l. Тогда легко понять, что для лю-
любой пары различных индексов /,, /,, Х^пХ^ — 0 и что для каждого
t?/ соответствие xi*r-?{xi, i) порождает биекцню/,-: Х(~Х\. Ясно,
132
что объединение X - U X,- будет служить суммой (дизъюнктным
объединением) исходного семейства {X,-; <?/}.
Пусть теперь {(X,-, т,); /'?/}¦— произвольное семейство тополо-
топологических пространств, X—сумма этого семейства, а /,¦: X,- ~ X]czX
суть биекцни, фигурирующие в определении суммы.
0/7 РЕДЕЛ Е if И Е 1.9. Суммой {топологической) топологий т,.,
/? I называется топология в множестве X, являющаяся финальной
относительно семейства отображений /,¦: Х,->-Х, т. е. сильнейшая
из всех топологий в X, при которых все эти отображения непре-
непрерывны; само же множество X, наделенное этой топологией т, на-
называется топологической суммой семейства пространств \{Xit т,);
Таким образом, подмножество /1 из X открыто (замкнуто) в
топологии т, если и только если /,г1(/1) открыто (замкнуто) и т,
при всех (?/. Отсюда, в частности, следует, что каждое множе-
множество Х\ одновременно открыто и замкнуто в пространстве (X, т).
Легко понять также, что каждая из биекцни /,-: Х,~Х,; является
гомеоморфизмом, п поэтому, отождествляя X,- с Х\, мы можем
рассматривать пространство (X,-, т() как подпространство в (X, т),
сводя тем самым общий ел\ чан к рассмотренному в начале пункта
дизъюнктному случаю.
Пример 1.14. Пусть X—произвольное пространство, а
S — {0,¦; i?l\ -его произвольное открытое разбиение (все U,- от-
открыты в X). Тогда топологическая сумма всех подпространств Ut
совпадает с исходным пространством X.
Более содержательные и интересные примеры, касающиеся то-
топологической суммы семейства (вообще говоря, не дизъюнктных)
пространств, будут приведены в следующем параграфе.
Отметим, что некоторые понятия и факты, относящиеся к опе-
операции прямого (тихоновского) произведения пространств и их
отображении, могут быть установлены и для операции топологи-
топологического суммирования (например, аналоги диагонального и прямого
произведения отображений), однако мы па этом не будем останав-
останавливаться.
Задачи
1. Пуст!. К" ¦— R" \ {0}. Докажите, что: я) R" гомеоморфно прямому мротно
деншо S"'1 iwi полупрямую @. ¦ оо); Ь) К" гомсоморфио Л'" R1.
2. Докажите, что произведение X -- I I Л'п не более чем счетного семемегма
проеграпстн Л'„ удоилетноряет uepnoii аксиоме счетпости, если и только ими
каждое из /Y,, обладает этим сиойстиом.
3. Докажите, ч:о не более чем счетное произведение A'--JJ.Y,, сеп.цибг.ш-
iKi, если и ю.п.ко если каждое из А'„ сеиарабетыю.
4. Докажите, что С' гомсоморфио lVin.
5. Докажите, что ес.ти точка .v, —точка прикосновения фильтра^, в про
стрлпетве Л'[, а х.,— точка прикоснонения (фильтра fl~2 в Х-,, то (х1у х2)—то;ча
прикосноиения для фильтра ('.7"i- ;Тг " А'|УЛ'2.
6. Пусп, Л— JJ.Y,- —тихоновское произведение иространсги Х,-ии>еткК —
ie/
Ш
некоторое подмножество из /. Докажите, что диагональное произнедение семей-
семейства проектиронаний р,-: X -> A'/', i?K есть открытое отображение Л n:i j JA";.
it; К
7. Пусть /= А //: X --> TTKj- — диагональное нроизнедгние семейства ото-
'«' 16/
бр;|/К1-иин //: X -»К/. Докажите, что точка y--(yj)ul есть предел отображения/
по некоторому фильтруй" в X тогда и только тогда, когда точка у,-есть предел/',•
по тому же фильтру ,/ при нсех ('?/¦
8. Докажите, что если А — ретракт для .Y, В — регракт для К, то А:<В —
ретракт для XXУ.
9. Пусть Х= ЦХ,-—-тихоновское произведение пространств X,-. Покажите,
что каждый сомножитель X,- — ретракт для X.
10. Пусть X - IT Xa , а ц—некоторое бесконечное кардинальное число. До-
ас Д
кажите, что если для всякого га?А вес А',Л-^ ii и canlAsSu, то вес Л'si ц.
И. Пусть 2 Х„, У-^Уо. Докажите, что ХхК- 2 (Х„хКй).
асД ft ( В (а' Р> е/1хВ
12. Докажите, что тихоновское произведение X -¦ JJ Хгх обладает счетной
ai А
базой, если и только если все сомножители Ха обладают счетной базой и топо-
топология всех Ха , кроме счетного их числа, тривиальна.
§ 2. ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВА
Наряду с операциями произведения и суммы весьма важным
способом конструирования новых топологических пространств явля-
является метод факторизации или топологического отождествления,-
которому посвящен этот параграф.
2.1. Фактор-топология и фактор-пространство. Опишем конструк-
конструкцию, позволяющую снабдить произвольное фактор-множество то-
топологического пространства естественной топологическоиструктурой,
и укажем простейшие своГктва таких структур.
Пусть (X, т) -произвольное топологическое пространство, а
R некоторое отношение эквивалентности в множестве X. Введем
в фактор-множестве X/R топологию, обьявив открытыми подмно-
подмножества, прообразы которых при фактор-отображении р: X—> X/R
суть открытые подмножества в (X, т).
Пользуясь формулами, относящимися к прообразам объединения
и пересечения множеств, легко проверить, что получающееся при
этом семейство объявленных открытыми множеств действительно
образует в X/R топологическую структуру, которую обозначают
через x/R и называют фактор-топологией топологии т по отноше-
отношению эквивалентности R.
ОПРЕДВЛЕНИЕ 2.1. Фактор-множество X/R, наделенное фак-
фактор-топологией T/R, называется фактор-пространством простран-
пространства (X, т) по отношению эквивалентности /\'. Принято говорить
также, что пространство X/R получено из пространства X путем
топологического отождествления /^-эквивалентных точек. При этом
134
фактор-отображение р называют отображением топологического
отождествления. В дальнейшем, рассматривая X/R как топологи-
топологическое пространство, мы всегда будем считать его снабженным
именно фактор-топологией. Очевидно, что фактор-отображение р:
X -+X/R, по самому определению фактор-топологии, есть непре-
непрерывное отображение и что замкнутыми в X/R являются те и только
те множества, прообразы которых при отображении р замкнуты в X.
Ясно также, что открытыми (замкнутыми) в X/R являются
тс и только те подмножества, которые являются образами насы-
насыщенных открытых (замкнутых) множеств из X при фактор-отобра-
фактор-отображении р.
Нетрудно убедиться, что из непрерывности композиции двух
отображений, одно из которых тоже непрерывно, не всегда следует
непрерывность другого отображения, тем не менее имеет место
следующее простое, но полезное предложение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1. Отображение h фактор-пространства
X/R в произвольное топологическое пространство Y непрерывно
тогда и только тогда, когда композиция f-hop является непре-
непрерывным отображением X в Y.
Л Пусть f — hop непрерывно и пусть W открыто и Y. Положим
V^lr]{W) и заметим, что f~'(W) -р'х(У)> а /"' (W) открыто в X
как прообраз открытого множества W при непрерывном отобра-
отображении /'. Таким образом, прообраз множества V при фактор-ото-
фактор-отображении р открыт в X и, стало быть, по определению фактор-
топологии, V открыто в X'R, т. е. отображение h непрерывно.
Другая часть утверждения очевидна, поскольку композиция
непрерывных отображений всегда непрерывна. >
Замечание 2.1. Легко попять, что фактор-топологии представ-
представляет собой финальную топологию относительно фактор-отображе-
фактор-отображении р, т. е. сильнейшую из всех топологий в X,R, при которых
р непрерывно. В связи с этим доказанное только что предложение
является частным случаем предложения 3.30 гл. I.
Пусть /: X—*Y — некоторое отображение, a R/ индуцирован-
индуцированное этим отображением отношение эквивалентности, при котором
.V, .:х2 (mod R;), если / (jc,) = /'(x2), a h: X/Rf —* Y —отображение,
которое каждому классу эквивалентности ставит в соответствие
образ некоторого (все равно какого!) представителя из этого класса
при отображении /.
Таким образом, каждое отображение / порождает вполне опре-
определенное (и уже ипъективное!) отображение /г, которое принято
называть факторизацией отображения /.
Из доказанного выше предложения 2.1 следует, что фактори-
факторизация непрерывного отображения всегда есть отображение непре-
непрерывное. При этом ясно, что если р: X—<-XjRf — фактор-отображе-
фактор-отображение, то исходное отображение / представимо в виде композиции
[--¦¦hop, называемой каноническим разложением /.
Отображение /г, являясь непрерывным и ииъективным, все же
не всегда является гомеоморфизмом, в связи с чем полезно иметь
в виду следующий простой факт.
135
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2. Пусть f: X—*Y —непрерывное отобра-
отображение, для которого существует непрерывное отображение g: Y ¦—> X
такое, что композиция fog есть тождественное отображение про-
пространства Y. Тогда факторизация h отображения f есть гомеомор-
гомеоморфизм фактор-пространства X/R/ на Y.
М В самом деле, принимая во внимание, что классами эквивалент-
эквивалентности служат прообразы f~1(y), а также то, что g(y)€.f~L(y) для
всех y?Y, легко убедиться, что pog, которое непрерывно как
композиция двух непрерывных отображений, есть отображение,
обратное к /г, и, стало быть, h есть гомеоморфизм. >
Различные примеры фактор-пространств будут приведены в ниже-
нижеследующих пунктах.
Отметим свойство транзитивности факторизации пространств.
Пусть в X заданы два отношения эквивалентности R и S, причем
R влечет за собой 5 в том смысле, что из х.-~ у (mod R) следует
х=-= у (mod S). Тогда нетрудно понять, что для любых двух точек
л',, Ло из X либо класс [x,]flC:|x.,Js., либо fx,Jw Г) |x._,J?¦¦¦- 0; иными
словами, каждый класс \xu\s представляет собой объединение неко-
некоторой совокупности классов по R.
Рассмотрим в фактор-множестве X/R повое отношение эквива-
эквивалентности 7\ при котором |x,|/v, ¦ ¦- \х.,\к (mod T) в том и только в том
случае, когда xv -^хг (mod S). Нетрудно убедиться, что, сопоставляя
каждому элементу множества X/S, а именно каждому классу |.v0L,
элемент множества (X/R)/T, представляющий собой класс по Г
элемента [хо]к множества X/R, т. е. положив h (|х„|^) -- 11а„|л>[г,
мы получим корректное отображение
h: X/S-*(X/R),T,
которое оказывается к тому же биекцней.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.'Л. Бш-кция h представляет сибш) гомеомор-
(/>:г;м фактор-пространства X/S на фактор-пространство (Л7А?), г,
что и означает транзитивность факторизации пространств.
Поскольку, как уже отмечалось, фактор-топологии является
финальном топологией, порожденной фактор-отображением, то паше
\терждепие является частным случаем свойства транзитивности
финальных топологии.
1.2. Двумерный тор, лист Мёбиуса и бутылка Клейна как
<| актор-пространства квадрата. Во всем дальнейшем при построении
фактор-пространств мы будем задавать отношение эквивалентности R
г, другой, более удобной, эквивалентной форме, а именно: б\дем
явно указывать, какие различные точки отождествляются (т. е. вхо-
входят в один и тот же класс), полагая при этом, что каждая неупо-
неупомянутая точка сама образует класс (одноточечный).
Пусть X — квадрат (подмножество точек (х,, Л'2) таких, что
Os^x,, x2^l), рассматриваемый как подпространство в R2. Отож-
Отождествим в X точки на противолежащих сторонах квадрата следую-
следующим образом: (*,,()) с (х,, 1) при всех х,?[0, Г|, а @, хг) с A,х2)
при всех х2?[0, 1]. Получаемое при таком отождествлении фактор-
136
пространство, как нетрудно в этом убедиться, гомеоморфно дву-
двумерному тору Т'г (см. рис. 5).
Совершенно так же «-мерный тор Т", т. е. прямое произведе-
произведение « экземпляров окружностей, может быть получен как фактор-
пространство «-мерного куба /", если отождествить в нем каждую
точку грани л-,.---О с координатами (х,, х.,, . .., .*,¦_,, О, Хц.и . .., х„)
с точкой, параллельной грани х,-— 1, с координатами (xlt x2, ...
..., ,v,-_,, 1, х,.,.,, ...,.\-„) при всех t —1, 2, ...,«.
Если же в том же квадрате X отождествить точки только одной
пары противолежащих сторон, причем точку @, х2) с A,1— х.,)
(а не с точкой A, х.,), как это было в случае тора), то полученное
фактор-пространство и есть так называемый лист или поверхность
Мёбиуса (см. рис. 8).
Наконец, если в том же квадрате X отождествим одну пару
противолежащих сторон так же, как в случае тора, а другую
пару -как в случае листа Мёбиуса, то получае-
получаемое фактор-пространство представляет собой еще
одну, интересную с топологической точки зре-
зрения, поверхность, называемую бутылкой Клейна
(рис. 13).
2.3. Операция склеивания. Букет, цилиндр,
надстройка. Описанная выше операция топологи-
топологического отождествления, т. е. операция построе-
построения фактор-пространства по данному отношению
эквивалентности, играет очень важную роль в
топологии, поскольку она предоставляет весьма
широкие возможности конструировать новые, ин-
интересные с топологической точки зрения, про-
пространства, исходя из пространств, имеющих про- ис- ltJ
стую топологическую структуру. Опишем один
важный частный случай топологического отождествления — one-
р а ц и ю с к л с и в а и и я.
Пусть / -произвольное отображение подмножества Л простран-
пространства X в пространство У, а /; -¦ X()Y- топологическая сумма этих
пространств. Рассмотрим в П следующее отношение эквивалентно-
эквивалентности R, при котором класс точки у ? / (Л) ¦¦¦- В состоит из самой этой
точки и ее прообраза f'](y), а классы точек из Х\Л и К В
одноточечны. Таким образом, фактор-пространство f:,'R получается
из /; отождествлением каждой точки х ? Л с ее образом/(.\). Фак-
Фактор-пространство Ii.R по этому отношению эквивалентности назы-
называется склеенным пространством, которое получено приклеиванием
X к Y посредством отображения /, и иногда обозначается чере)
X
j
3 а м е ч а п п е 2.2. Рассмотрим сужение отображения р: /; —* /; R
па подпространство Yczli. Легко убедиться, что это сужение р\у
представляет собой гомеоморфизм и поэтому позволяет не разли-
различать Y от его образа р (Y)czl:/R и рассматривать Y как подмно-
подмножество E/R. Легко убедиться далее, что если Л было замкнутым
(открытым) подмножеством в X, то Y будет замкнутым (открытым)
137
подмножеством в E/R. Кроме того, легко понять также, что р
гомеоморфно отображает подмножество Х\Л на E/R\Y.
Примеры. 2.1. Пусть X и Y -два различных экземпляра
единичного замкнутого круга В2, A:--FrX — Sl, В -FrY--.^1,
а /: Sl—>-S'--тождественное отображение. Легко понять, что
склеенное пространство X (J fY будет гомео.морф}1о двумерной сфе-
сфере S*-.
2.2. Пусть Х- двумерная сфера-с двумя открытыми дизъюнкт-
дизъюнктными дырками DL, D2 с границами Л,, А.г соответственно, a Y ~
¦-•¦S'x/. Рассмотрим отображение
/: (/1,U/I2) —(Д, иД2). где fl,-=S'x{0}, В2-=5'х{1},
Л.1,: -4,->5, и Ци: А,^Вг
суть гомеоморфизмы.
Легко убедиться, что соответствующее склеенное пространство
гомеоморфно сфере с одной ручкой (см. рис. 6).
В теории клеточных гомологии особую роль играет тот частный
случай, когда X представляет собой замкнутый «-мерный шар В",
а подмножество А ограничивающую его сферу S"~l. В этом слу-
случае принято говорить, что пространство E/R получено из Y путем
приклеивания к нему одной «-мерной клетки.
Замечание 2.3. Оказывается, что путем последовательного
приклеивания клеток различных размерностей к произвольному
дискретному пространству К можно получить любые так называе-
называемые клеточные полиэдры, образующие важный класс топо-
топологических пространств.
Опишем теперь несколько важных примеров склеенных прост-
пространств и познакомимся с понятием надстройки. Самое простое
склеенное пространство получается в том случае, когда фигури-
фигурирующее в определении склеенного пространства подмножество А
состоит из одной точки х„?Х. Соответствующее склеенное про-
пространство называется букетом пространств X, Y и обозначается
через (/Y, xlt)\/{Y, «/,,), где yn---f(xu). Таким образом, букет пред-
представляет собой не что иное, как фактор-пространство, получаемое
из топологической суммы X [J Y путем отождествления двух точек:
точки х0 с точкой у„ —/(*„).
Предостережение 2.4. Следует иметь в виду, что если при
построении букета вместо пары точек л„, /у0 взять другую пару л,, ух,
то получаемые при этом склеенные пространства, т. е. букеты,
не обязаны быть гомеоморфными. Поэтому необходимо говорить
о букете пространств с отмеченными в них точками.
Оказывается, что понятие букета без труда переносится на случай
любого множества топологических пространств с отмеченными точ-
точками \(ХО л,); ('?/}. Дли этого достаточно в топологической сумме
пространств X,- отождествить между собой все отмеченные точки;
полученное фактор-пространство также называется букетом про-
пространств (X,-, х,-) и обозначается через V (Xt, x,).
if. I
Пример 2.3. Букетом п-мерных сфер называется склеенное
138
пространство, получаемое приклеиванием к одноточечному прост-
пространству некоторого множества я-мерпых клеток.
Перейдем теперь к определению понятия так называемого
цилиндра отображения. Пусть X, Y- -топологические про-
пространства, /: X —* Y — произвольное непрерывное отображение.
Образуем топологическую сумму ?==(Xx/)U^ цилиндра над X и
пространства Y и отождествим в Е каждую точку (х, 1) верхнего
основания цилиндра над X с ее образом /(л-)?У. Получаемое при
таком отождествлении склеенное пространство называется цилиндром
отображения и обозначается через С/. Образ нижнего основания
цилиндра Хх/ при каноническом отображении р называется ниж-
нижним основанием цилиндра отображения Cf, а образ р(К)—его
верхним основанием.
Примеры. 2.4. Когда Y состоит лишь из одной точки и, стало
быть, [ -постоянное отображение, цилиндр отображения С, естест-
естественно называть конусом над пространством X с вершиной в этой
точке, который обозначается через /г(Х). Таким образом, конус
k (X) получается из цилиндра Хх/ отождествлением всего верхнего
основания в одну точку этого основания, называемую вершиной
конуса к (X).
2.5. Конус над кругом В2 есть обычный круговой конус, а конус
над окружностью Fr В2 --S1 есть боковая поверхность конуса к (В2),
которая, очевидно, гомеоморфпа В2.
2.6. Конусом над точкой, отрезком и треугольником служат
соответственно отрезок, треугольник и тетраэдр.
2.7. Конус к (В") над п-мерным шаром В" гомеоморфе» (н-!-1)-
мерному шару В"+1. Можно доказать, что конус к (S") также гомео-
морфен шару В"м.
Опишем еще одну важную конструкцию, которая находит много
применений, особенно в алгебраической топологии.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Пусть X —произвольное пространство.
Рассмотрим цилиндр Хх/ и отождествим все точки верхнего осно-
основания с одной из точек этого основания, а все точки нижнего осно-
основания— с одной из его точек. Полученное таким образом фактор-про-
фактор-пространство называется надстройкой над X и обозначается через ^?Х.
Ясно, что надстройку ^Х можно представлять себе и как
объединение двух конусов к, (X), к2 (X) с одним и тем же осно-
основанием X, но с различными вершинами А,, А,г соответственно.
Ясно, что надстройку ]У] X можно рассматривать также как фактор-
пространство конуса к(Х), получаемого в результате отождествле-
отождествления в одну точку подпространства Хх{0}сгк(Х). Это непосред-
непосредственно следует из свойства транзитивности факторизации про-
пространств.
Примеры. 2.8. Октаэдр можно рассматривать как надстройку
над квадратом.
2.9. Пусть X — квадрат, К — концентрический квадрат меньшего
размера, a Z -X\IntK, тогда надстройка ^.Z^-^.XXInt ]У]К и,
стало быть, получается из октаэдра ^У]Х удалением внутренности
меньшего октаэдра.
139
2.10. Надстройка ]?]S" над «-мерной сферой гомеоморфна
(п 1)-мерной сфере S" ' '.
А\ы уже отмечали, что но многих вопросах (особенно в гомо-
гомотопической топологии) оказывается необходимым рассматривать
пространства с отмеченными точками, т. с. пары пространен! вида
(X, л'„). В связи с этим приходится переносить на эти пространства
описанные выше конструкции произведении, конуса и надстройки,
к определению которых мы сейчас приступаем.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. Пусть (X, *„), (К,//„)¦-два пространства
с отмеченными точками Т ¦¦-- X х К, а I: ---¦ (X У, у„) U (а'„х У)а'Г —
фактор-пространство пространства 7", получаемое отождествлением
подмножества Е в одну точку, называется приведенным произведе-
произведением пространств (X, х„), (У, уи) п обозначается символом
(Л, л-0)/\(К, «/„).
Замечание 2.5. Легко понять, что букет (А', хA)\/{У, у0)
гомсоморфеп подпространству /:' пространства Т и, стало быть,
может рассматриваться как подпространство прямого произведе-
произведения X::Y. В самом деле, положив
| (г, //„), если z?X,
к ' \ (л-0, г), если z?Y,
мы получим, как нетрудно убедиться, гомеомор(|шзм h (X, x\,)\J(Y, ya)
па L. В связи с этим можно говорить, что приведенное произве-
произведение (X, л'0)Л0'. У о) получается из прямого произведения X:<Y
факторизацией по букету (X, a'JVO', y0)-
Предостережение 2.6. Следует иметь в виду, что приве-
приведенное произведение зависит не только от самих пространств, но
и от отмеченных в них точек, а также и то, что приведенное про-
произведение в большинстве случаев не гомеоморфно обычному пря-
прямому произведению.
Примеры. 2.11. Пусть (X, л„)=-(/, 1;2) и (Y, //„) --- (/, 0).
Тогда Ixl --I-, (X, a-0)V(V, уо)=- (/>:{(>}) U ({1/2[>;/), а приведен-
приведенное произведение (X, хо)Л(^, у0) гомеоморфно букету двух кругов.
2.12. Пусть (X, л0) и (К, «/„)--два различных экземпляра пары
(.S1, s,,). Тогда XxY = SlxS1 = Тг — двумерный тор, букет (X, a-0)V
V(V, yu) — объединение меридиана с параллелью, а приведенное
произведение (X, х(|)А(К, уа), как нетрудно убедиться, гомеоморфно
двумерной сфере S*.
Что же касается операции построения конуса, то в случае про-
пространства с отмеченной точкой мы приходим к понятию приведен-
приведенного конуса.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4. Приведенным конусом к(Х, д0) над про-
пространством с отмеченной точкой (X, х„) называется фактор-прост-
фактор-пространство, получаемое из цилиндра Хх/ отождествлением в одну
точку всех точек подмножества (X х {1}) U (л'„х /).
Ясно, что приведенный конус к(Х, л0) есть не что иное, как
приведенное произведение (X, л0) и отрезка / с отмеченной в нем
точкой 1.
140
Примеры. 2.13. Приведенный конус над окружностью (S\ .<¦¦„)
есть круг с. отмеченной точкой, а приведенный конус над кругом
(В-, s,,), где на (= Fr В2, есть трехмерный шар с отмеченной точкой.
2.14. Пусть X — плоская фигура типа «луночки», а л0 — общая
точка внутреннего касания. Тогда приведенный конус будет фигу-
фигурой, указанной на рис. 14.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.5. Приведенной над-
надстройкой ^](Х, л'„) над пространством с от-
отмеченной точкой (X, л'„) называется фак-
фактор-пространство, получаемое из цилиндра
X'[ 1 отождествлением в одну точку всех %&%%'//у/'//?гг7-гг$Хо
точек подмножества (Хх {()}) U ({-\'„}х/) U
Примеры. 2.15. Пусть (X, д-д)~(/,()), Рис. 14
т. с. отрезок с отмеченным левым концом.
Тогда приведенная надстройка ^ (/, 0) будет кругом с отмеченной
точкой. 1?слп же отмеченная в отрезке точка л'(, внутренняя (напри-
(например, его середина), то ~?A, х0) будет букетом из двух кругов.
2.16. Можно доказать (см., например, Спепьер Э. Алгебраиче-
Алгебраическая топология. М., 1971, с. 61), что приведенная надстройка
^{S", sa) есть (/!-•¦ 1)-мерная сфера S"+1 с отмеченной точкой.
В следующем параграфе мы снова коснемся введенных выше
понятий конуса и надстройки, распространив эти понятия на ото-
отображения, причем окажется, что эти операции порождают так на-
называемый ковариаптпый функтор в категории топологических про-
пространств.
2.4. Открытые и замкнутые отношения эквивалентности. В этом
пункте мы очень кратко опишем два специального вида отношения
эквивалентности, обладающие рядом интересных свойств и часто
находящие различные применения.
OilРЕДЕЛЕНИЕ 2.6. Отношение эквивалентности R в прост-
пространстве X называется открытым (замкнутым), если насыщение .4
по R каждого открытого (замкнутого) множества АаХ открыто
(замкнуто) в X.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.4. Отношение эквивалентности R в X от-
открыто (замкнуто) тогда и только тогда, когда фактор-отобра-
фактор-отображение р: X—>XlR открыто (замкнуто).
Ц Докажем наше утверждение только в части открытого отношения
эквивалентности R, поскольку параллельное утверждение доказы-
доказывается совершенно также.
II с об х од и м ос т ь. Пусть R — открытое отношение эквивалент-
эквивалентности и (У- — произвольное открытое в X множество. Тогда насы-
насыщение 0 ----р~' |/; ((У)], а в силу иадъективности р будем иметь
/> (U)~p (U), т. е. р — образ множества U—совпадает с образом
открытого и насыщенного по R множества (У при фактор-отобра-
фактор-отображении р и поэтому открыт в X/R.
Достаточность. Пусть р: X—*X/R открыто, U — произволь-
произвольное открытое в X множество, а 0 —его насыщение по R. По самому
141
определению, LJ = р~' (p {U)), но p(U) открыто в X/R как образ
открытого множества при открытом отображении, поэтому 0 от-
открыто в X как прообраз открытого множества при непрерывном
отображении р. >
Рассмотрим следующую интересную и имеющую многочисленные
приложения общую конструкцию. Пусть X •¦-произвольное прост-
пространство, a G— некоторая группа его гомеоморфизмов па себя,
в которой групповая операция - композиция гомеоморфизмов.
И пусть Ro— отношение в X, при котором х : у (mod R(j) равно-
равносильно существованию такого q> из G, что у ¦¦ ¦¦¦ ц--(х). Легко попить,
что Ro является отношением эквивалентности и X. В самом деле,
очевидно, А' -~= х (mod Ro), ибо можно взять t| -lv?G. Далее, если
л'^—i //(mod Л",,) и /у м|;(а'), где <|?б\ то <|~' тоже из G, поэтому
х- :Ф~' (//)> т- е- i/ ь -v(mo(J Ro). Наконец, из х -ц (nunl R(i),
у ; г (mod /?,,) следует, что j/ q (х), г - i|-•(//), где q\ ф?G, поэтому
г — v|)[<(: (х) ] ¦-¦ (фо(|>)(х)или, положив i|-o<|> - у_ € ^\ будем иметь г ¦ уДх),
следовательно, х .= г (mod/?fi).
Классы эквивалентности по /?„ называются орбитами группы
О в X, а фактор-пространство X>R0 называется пространством
орбит группы G и обозначается для краткости X/G.
В терминах только что приведенной конструкции имеет место
следующее утверждение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.5. Отношение эквивалентности Ra является
открытым в X отношением, а в случае конечной группы 0 -также
и замкнутым отношением.
¦^ Пусть А — произвольное открытое в X множество. Тогда, по-
поскольку каждый класс \х0] (т. е. орбита точки хп), очевидно, яв-
является объединением U {ф (*„)}, то насыщение Л ¦-¦¦ U ц(Л). С. дру-
ф g а ф s в
гон стороны, каждое из ф(Л) открыто как образ открытого в X
множества при гомеоморфизме q-. Итак, Л открыто в X как объеди-
объединение открытых множеств <|>(Л).
Пусть теперь группа G конечна. Тогда, если Л замкнуто в X,
то опять в силу гомеоморфности всех q- ? G будет замкнутым и
насыщение Л как объединение конечного числа замкнутых в X
множеств. >
Замечание 2.7. Из доказанного предложения ясно, что если
группа G конечна, то отношение R(; одновременно и открыто и
замкнуто. Ниже будут приведены примеры открытых, по незамкну-
незамкнутых отношений, а также замкнутых, но неоткрытых отношений.
Следует иметь в виду также, что существуют отношения R, не
являющиеся ни открытыми, ни замкнутыми (см. задачу 14).
Примеры. 2.17. Пусть X -IR1, а ^ ¦-аддитивная группа це-
целых чисел. Сопоставим каждому m ? Z отображение q'm:K'- -*Rl,
задаваемое формулой ц)т(х) ----х-1-т и называемое отображением
сдвига. Ясно, что фя — гомеоморфизм IR1 на себя, a G— {qm, m? Z},
как нетрудно проверить, образует некоторую группу гомеомор-
гомеоморфизмов К1. Очевидно, что соответствие /п*-*ц>т есть изоморфизм
142
между группами 7, и 6\ что позволяет вместо группы G рассмат-
рассматривать группу '/,. Из предложения 2.5 следует, что отношение
R- R-? — открытое. Фактор-лространство R'/Z называется одномер-
одномерным тором, обозначается через Тх и, как нетрудно доказать, го-
гомеоморфно окружности. В самом деле, рассмотрим так называе-
называемое экспоненциальное отображение ехр: К1—-S'cCi которое
задается по формуле ехр (х) — е-л''Л\ Пусть #,.х|,—отношение экви-
эквивалентности в R1, при котором л',^л\, (mod/?охр) равносильно
ехр(д-,) ехр(ха), что, в свою очередь, очевидно, равносильно
тому, что х, -^х, (mod R}/), и поэтому отношение эквивалентности
/^.¦ф совпадает с отношением эквивалентности R,^ и, стало быть,
совпадают и фактор-пространства R\'R и R'/R^, С другой сто-
стороны, поскольку для каждого .v^gR1 интервалы вида (.ve—1/7;,
*,>¦;• l/'O. "GN, образуют фундаментальную систему ее окрестнос-
окрестностей, а образ каждого из них при отображении ехр является ок-
окрестностью в S1 точки exp(.v0), то легко попять, что exp:R"—> .S1 —
открытое п надъективное отоб))ажсние (см.п.2.5).
Рассмотрим фактор-отображение p:IR' — - R'/7^oxp и (факториза-
(факторизацию /iiR'/^exp — "S1 отображения ехр: R1— *S1. Тогда из соотноше-
соотношения ехр/;о/;, открытости ехр и падъективпости /; в силу предло-
предложения 3.8 гл. I следует открытость отображения /;. Таким образом,
отображение /( биективно и открыто и, стало быть, является
гомеоморфизмом, откуда и следует, что фактор-прострапетво R'/AJcxp
и, стало быть, R'/Rfi гомеоморфно S'.
2.18. Пусть Х---Ы.",я G ¦¦-?"," — прямое произведение п — экземп-
экземпляров аддитивной группы 7,. Сопоставляя каждому /«•-¦¦-(/«,, /п2, . . .
..., ш„)?Г." отображение <|',,,:R"—> R", задаваемое по формуле
Ч-,« (-О-'У. 'VW-- х -(.v х„), у {у у„), a yk---xk\mk
(к 1, 2, ..., и), мы, очевидно, получим группу G -- {ц\я; т?7,"\
гомсоморфпзмон Ц'т. Ясно, что соответствие tn*-*4,a будет изомор-
физмом между группами G и 7,", что позволяет вместо G рассмат-
рассматривать ,']". Как и в предыдущем примере, отношение R ,,„ будет
открытым отношением, а фактор-пространство R"/Z"> называемое
и-мерным тором, будет гомеоморфно прямому произведению /; эк-
экземпляров окружностей, т. е.
S S
п
2.19. Рассмотрим в замкнутом «-мерном шаре В" отношение
эквивалентности R, при котором классом каждой внутренней
точки служит лишь сама эта точка, а классом точки х ? Гг В" --S"'1
служит вся сфера Л'". Легко понять, что это отношение R
замкнуто, но не открыто. В самом деле, пусть /1—произвольное
замкнутое в В" множество. Тогда если AcB"\S"~l, то А- А и
поэтому замкнуто в В", если же /WlS"~'=?0, то А - A\jS"~l
тоже замкнуто в В" как объединение двух замкнутых.
Рассмотрим теперь множество А ¦-¦ В" C\U (х0, к), где U (х„, е) —
открытый шар в R" с достаточно малым радиусом t > 0 и с цент-
143
ром xn?S"~l. Тогда ясно, что А открыто в В", между тем как
его насыщение Л = Ли<$"~\ очевидно, не открыто в В", ибо
точки на S"'1, находящиеся вне А, не являются внутренними для Л-
2.5. Взаимно непрерывные (факторные) отображения. Наряду
с рассмотренными ранее открытыми и замкнутыми отображениями
особо важную роль играют так называемые взаимно непре-
р ы в н ые отображения, которые тесно связаны как с факторизацией
отображений, так и с гомеоморфизмами.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.7 (АЛЕКСАНДРОВ и ХОПФ [1]). Надъек-
тивное отображение /:Х—<¦ Y называется взаимно непрерывным или
факторным, если подмножество В из Y открыто в К тогда и
только тогда, когда его прообраз f~x (В) открыт в X.
Непосредственно из определения следует, что взаимно непре-
непрерывное отображение непрерывно, тогда как обратное верно да-
далеко не всегда.
Из соотношения Х\/~' (B)---f'1 (Y\B) ясно, что надъективное
отображение / взаимно непрерывно в том и только в том случае,
когда подмножество В из Y замкнуто в Y лишь тогда, когда его
прообраз f~'(B) замкнут в X.
Примеры. 2.20. Из самого определения фактор-топологии
следует, что любое фактор-отображение p:X—+X/R взаимно
непрерывно.
2.21. Пусть /:Х --+ К — произвольное надъективное отображе-
отображение, а топология в Y финальна относительно /, тогда / взаимно
непрерывно.
Из этих общих примеров ясно, как можно строить сколько
угодно различных взаимно непрерывных отображений.
Пример. 2.22. Всякое надъективное открытое или замкнутое
отображение, в частности любой гомеоморфизм, является взаимно
непрерывным отображением.
Предостережение 2.8. Следует иметь в виду, что взаимно
непрерывное отображение может быть открытым, но не замкну-
замкнутым; замкнутым, но не открытым; наконец, ни открытым, пи
замкнутым. Это следует из того, что отношение эквивалентности R
может обладать соответствующими свойствами (см. и. 2.4).
Примеры. 2.23. Пусть т,, т2 две топологии в множестве X,
причем т, сильнее т,2. Тогда отображение [ -1V:(X, т,)--»(Х, т„)
будет непрерывным, биективным, но пе взаимно непрерывным.
12.2-1. Пусть X, Y—два равпомощпых, но не гомеоморфпых
пространства. Тогда всякое биективное и непрерывное отображе-
отображение f:X~*Y не будет взаимно непрерывным (см. ниже замеча-
замечание 2.9). В частности, если X ¦[(), 1), Y -S\ / -ехр:Х--Г —
отображение, задаваемое по формуле f (x)- ¦¦c'1:lix, то / непрерывно,
биективно, по не взаимно непрерывно, ибо [0, 1), как мы знаем,
не гомеоморфно 5'.
Замечания. 2.9. Легко проверить, что в классе биективных
отображений f:X- + Y взаимная непрерывность равносильна не-
непрерывности как /, так и /"', т. е. гомеоморфности /.
144
2. H). Из приведенных выше общих примеров м контрпримеров
читатель может без труда построить сколько угодно конкретных
примеров.
Переидем теперь к установлению некоторых простейших свойств
взаимно непрерывных отображений.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.6. Тождественное отображение, а также
композиция двух взаимно непрерывных отображений взаимно не-
непрерывны.
¦4 Доказательство очевидное и предоставляется читателю. >
Выше неоднократно отмечалось, что хотя композиция непре-
непрерывных отображений всегда непрерывна, однако из непрерывности
композиции, вообще говоря, не следует непрерывность самих отоб-
отображений. В связи с этим представляет интерес следующее простое
утверждение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.7. Если f\X — Y взаимно непрерывно, а
g:Y ¦•••->• Z-- произвольное отображение, то из непрерывности компо-
композиции h ¦-¦¦¦ gof: X—>-Z следует непрерывность g.
Л Пусть W— произвольное открытое в Z подмножество. Докажем,
что g~'(W) открыто в К, что н будет означать непрерывность g.
Так как композиция Л непрерывна, то h~l(W) открыто в X; с дру-
другой стороны, /г (W) —/"' \g~l (W)|. откуда в силу взаимной не-
непрерывности / заключаем, что g~l(W) открыто п Y. >
/7 РЕДЛОЖЕ НИ?2.8. Если /: X —> Y и композиция h -gof-.X — Z
взаимно непрерывны, то g:Y—> Z тоже взаимно непрерывно.
^ Непрерывность g следует из предыдущего предложения 2.7,
а надьективность g — из надъективности h, поэтому остается про-
проверить, что если подмножество W из Z таково, что прообраз g~l (W)
открыт в Y, то само W открыто в Z. В самом деле, из непре-
непрерывности / и из соотношения f~l \g~{ (W)\ --h~l (W) заключаем,
что li~1(W) открыто в X, а затем из взаимной непрерывности h
следует, что W открыто в Z. >
СЛЕДСТВИЕ. Если отображения [:Х ~*Y, g:Y —*Z непрерывны,
то из взаимной непрерывности одной лишь композиции h ¦¦¦-goj
следует взаимная непрерывность g.
^ Доказательство содержится во второй части доказательства пре-
предыдущего предложения. >
Выше уже отмечалось, что всякое фактор-отображение яв-
является взаимно непрерывным. Более тесная связь между такими
отображениями описывается в следующем предложении.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.9. Пусть f:X-*Y взаимно непрерывно,
Hf --индуцированное отношение эквивалентности, а X!R( —соот-
—соответствующее фактор-пространство. Тогда факторизация отобра-
отображения f реализует гомеоморфизм между X/Rf и К.
Ч Поскольку / -непрерывное и падъектннпое отображение, то
его факторизация h: X/R/- + Y будет биективным и непрерывным
Отображением. Рассмотрим фактор-отображение р: X - <¦ X/R/, ко-
которое по самому определению фактор-топологии является взаимно
•^прерывным. Тогда из соотношения [ — hop в силу следствия из
145
предложения 2.8 заключаем, что h взаимно непрерывно, поэтому
яилиетси гомеоморфизмом. >
Замечание 2.11. Из доказанного предложения 2.9 следует,
что если /: X—¦>V взаимно непрерывно, то, отождествляя К с фак-
фактор-пространством XjRf посредством гомеоморфизма /i~\ можно
отождествить отображение / с фактор-отображением p:X—+X/R,.
Другим» словами, в диаграмме (которая, очевидно, коммутативна)
склеивание правых двух вершин приведет к совпадению отобра-
отображений / и р, чем и оправдывается то, что взаимно непрерывные
отображения называются также и факторными или отображе-
отображениями отождествления.
2.6. Вещественные и комплексные проективные пространства.
Рассмотрим множество R"M---R"'M\ {()}, получаемое из IR"' уда-
удалением одно)! лишь нулевой точки, с индуцированной из R"+1
топологией. Пусть Ru— отношение эквивалентности в k" + 1, при
котором точки х~ (Х[) н у --(//,•) эквивалентны по /?„, если сущест-
существует вещественное число Кп-/-0 такое, что уг ХиХ/ при (-=0, 1,
2, ..., п. Таким образом, эквивалентность точек л\ у из R"+1
равносильна тому, что они лежат на одной и той же прямой
пространства IR1, проходящей через начало координат, и поэтому
классами эквивалентности по Ru служат «проколотые» прямые,
т. е. проходящие через начало координат прямые в R1, из ко-
которых удалено начало координат.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.8. Фактор-пространство R"M/#n называется
п-мерным вещественным проективным пространством и обозна-
обозначается через Rp". Пространство Rp1 часто называют вещественной
проективной прямой, а пространство Rp- — вещественной проектив-
проективной плоскостью.
Рассмотрим теперь единичную сферу S" пространства IR" + I,
т. с. совокупность точек х--(х0, х{, ..., х„) из К" + |, координаты
которых связаны соотношением x'i-\-х\-\- . . . J,-xf, - 1 с индуциро-
индуцированной из R"M топологией. Пусть/^„-отношение эквивалентности
па S", индуцированное отношением Ro, т. е. отношение, при ко-
котором две точки считаются эквивалентными в том и только в том
случае, если они служат концами одного и того же диаметра.
Полезно иметь в виду, что имеет место следующее утверждение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.10. Фактор-пространство S"/Rl гомсоморфно
вещественному проективному пространству Rp".
¦4 Пусть p':S"—>R.p" есть сужение на S" фактор-отображения
/?:R"+1—>Rip", которое, очевидно, сопоставляет каждой точке сферы
S" проходящую через нее «проколотую» прямую. Легко заметить, что
146
индуцированное этим отображением отношение эквивалентности
есть не что иное, как R'o, поэтому в силу предложения 2.9 до-
достаточно установить взаимную непрерывность отображения //.
Для этого, в свою очередь, достаточно рассмотреть непрерывное
отображение a:R" + 1—>S", задаваемое формулой о (х„, л',, . . ., л'„) -
I П \| 1-1
I x х \ ( V4 \
-= —А-, ••-, -г^) I г"Де '*'"( >,л1 , заметить справедлииость
соотношения р'оо--р и воспользоваться следствием из предложе-
предложения 2.8. >
3 а меча н и с 2.12. Оказывается, что пространство В" '' у ,,-RP",
полученное приклеиванием к Rp" шара /i"' посредством отобра-
отображения p':S"—+RP", гомеоморфно Rp"'11, т. е. Rp"' ' может быть
получено из Rp" приклеиванием одной (п -|- 1)-мерной клетки.
Пусть теперь S" - замкнутая верхняя полус(|)ера сферы S",
т. о. подмножество тех точек S", для которых коо])дппата хп^0.
Пусть далее p":S" —<¦ Rp"- сужение отображения p':S" - - RP'\
которое, очевидно, является надъективным отображением. /1сжа-
жем, что р" является также и взаимно непрерывным. Прежде всею
нетрудно проверить, что для произвольного BczRp" объединение
р"~1(В) с его образом при отображении симметрии относительно
начала координат (которое, очевидно, является гомеоморфизмом)
дает в точности р'~1(В). Предположим теперь, что р"~'(В) ока-
оказалось замкнутым в S'\ а стало быть, и в S", поскольку S" само
замкнуто в S". Тогда р'~^(В), будучи объединением р"~1(В) и
его гомеоморфного образа, также будет замкнутым в S", откуда
в силу взаимной непрерывности р заключаем, что В замкнуто
в Rp". Таким образом, замкнутость р"~1(В) в 5',' влечет замкну-
замкнутость В в Rp", т. е. отображение р" взаимно непрерывно.
Пусть теперь R", ¦ отношение эквивалентности в S'l, индуци-
индуцированное отображением р". Тогда в силу предложения 2.4 мы
приходим к следующей интерпретации пространства Rp".
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.11. Фактор-пространство S",.'R'a гомеоморфно
iRp", т. е. пространство Кр" может быть получено u:i n-мерной
замкнутой полусферы путем отождествления диаметрально про-
противоположных точек экватора.
С другой стороны, очевидно, что 5+ гомеоморфно замкнутому
шару В" в R" (гомеоморфизмом может служить ортогональное
проектирование), что приводит к еще одной интерпретации ес-
естественных проективных пространств.
СЛЕДСТВИЕ. Пространство Rp" получается из шара Р>'1
отождествлением диаметрально противоположных точек его гра-
границы.
М Так как R"n индуцирует в В" с помощью упомянутого гомео-
гомеоморфизма отношение эквивалентности R*, при котором класс экви-
эквивалентности каждой внутренней точки шара В" состоит лишь из
самой этой точки, а класс граничной точки состоит из самой эюп
точки и диаметрально противоположной точки, то легко заклю-
заключаем, что B"/R* гомеоморфно S'!/R"o, а стало быть, и Rp". >
М7
Замечание 2.1.4. И.ч предыдущего следствия ясно, и част-
частности, что проективная плоскость /?рг может быть получена из
квадрата отождествлением симметричных относительно его центра
точек границы. Именно эта модель оказывается удобной при изу-
изучении топологических свойств проективной плоскости.
Докажем теперь предложение, с помощью которого в дальней-
II.ем будет установлено одно из важных свойств А?р" --так назы-
называемая хаусдорфовость.
ПРЕДЛОЖЕНИИ 2.12. Отношение эквивалентности Ra в (R"+i
яс.иитсн открытым, /п. с. открыто фактор-отображение
¦^Сопоставим каждому А,? R1 •¦¦ R'\-jO} отображение /\:R" + 1—>
—>!i\"¦'¦', задаваемое но формуле /\(.v) —A.v. Тогда ясно, что как
fx, так и /?.' —взаимно-обратные гомеомор(|)измы R"M на себя.
Легко проверит!) также, что совокупность G \fi, а?'?'} обра-
образует группу относительно бинарной операции />.о/|( ¦/>..,,, ней-
нейтральным элементом которой служит тождественное отображение,
а обратным к /> является />.-'. Каждое из отображении /\ принято
называть гомотетией с коэффициентом К, а группу G — группой
гомотетий пространства К"'1.
Так как класс |'.v(l] по Rn, как легко попить, совпадает с ор-
орбитой точки л„ относительно группы G, то ,v //(mod Л",,) равно-
равносильно х '---= у (mod Ro), т. е. отношения /?0 и R(} совпадают. С дру-
другой стороны, в силу предложения 2.5 отношение эквивалентности Ra
открыто, поэтому исходное отношение Ru тоже открыто. >
Перейдем теперь к определению комплексного проективного
пространства. Рассмотрим подпространство С"м. получаемое из
С"'1 удалением нулевой точки. Другими словами, пространство C" + l
представляет собой множество упорядоченных систем г— (/„, ?,,...
..., г„) комплексных чисе.1, не равных нулю одновременно, с инду-
индуцированной из /Г;"'1 топологией. Пусть /^---отношение эквива-
эквивалентности в С'11, при котором г'- -.г" (mod Rr), если существует
комплексное Хф() такое, что г"--¦-кг]- (t - ¦¦(), 1, ..., п). Таким
образом, каждый класс эквивалентности, содержащий точку г°—
{г"„ г',1, .... г,','), состоит из всех точек вида г ¦ - (Кг", Кг", ...
..., Кг",), где К пробегает множество всех ненулевых комплексных
чисел, т. е. представляет собой проходящую через г" и начало
координат «проколотую» комплексную прямую в ГУ'11- Фактор-
пространство (;'" V/?,: называется п-мерным комплексным проектив-
проективным пространством и обозначается через О"; пространство .СР1
принято называть также комплексной проективной прямой, а Ср2 —
комплексной проективной плоскостью.
Поскольку, как мы знаем, С" + 1 гомеоморфно R22, то сферу
5а" + 1 можно представлять себе вложенной в С1 п рассмотреть
в S2"*1 отношение эквивалентности R'c, индуцированное отноше-
отношением Re- Тогда нетрудно понять, что классами эквивалентности
148
будут СЛУЖИТЬ (ЖруЖНОСТИ S1, ПОСКОЛЬКУ КАЖДЫЙ П1КОЙ КЛ.ЧСС
представляет собой пересечение ,S'-"'' с «проколотой» комплексно:!
прямой, или, что то же самое, с вещественном «проколотой» плос-
плоскостью R-. Оказывается, что фактор-пространство S'iini,'R'c гомео-
морфно Ср", аналогично тому, как (фактор-пространство S",R',,
было гомеоморфпо !к|р".
Предостережение 2.14. Следует иметь и виду, что аналоги
предложения 2.11, а также и его следствия в случае комплексного
проективного пространства уже не имеют места, т. е. Ср" нельзя
получить из шара Н'1"'1'1 путем факторизации по индуцированному
отношению эквивалентности RI-.
Замечание 2.15. Пространство Ср'1 можно получить из Ср"
путем приклеивания к нему одной Bн-'-2)-мерной клетки (см., па-
пример, Спепьер Э. Алгебраическая топология. М., 1971).
Отметим, что Ср" тоже хаусдорфово и что как Rp", так и Ср"
являются бикомпактными и связными пространствами (эти утверж-
утверждения доказываются в гл. III).
Задачи
1. Пусть R п „S — отношения эквивалентности в пространствах А' и Y соот-
соответственно, и пусть непрерывное отображение /:А—-К согласовано с отноше-
отношениями R и i", т. е. х, х-, (mod R) влечет f (xx)-.--j (.v2) (mod S).
Тогда отображение /:XIR — ¦ YIS, задаваемое формулой /(|лг|) — |/ (.v)| (убе-
(убедитесь в корректности такого определения), называется фактора.шциеп отобра-
отображения ) (относительно R и S). Докажите, что / непрерывно.
2. Докажите, что если 1-Х— -> К непрерывно и падъектнвпо, Ir.X/R <¦ Y —
(факторизация /, то h — гомеоморфизм, если и только если выполнено одно из
двух условий:
(i) /'-обра i всякого открытого и насыщенного по R множества из Л' открыт
в Y;
(и) /-образ всякого замкнутого и насыщенного по R множества из Л замк-
замкнут в Y.
3. Пусть (> — отношение эквивалентности в 5<", при котором x--(xf) у--
-¦ (///) (mod (>)ФФх/ ///(modi) (i — l,2, ...,n). Докажите, что флктор-простран-
ство R"/|>, часто обозначаемое через R"/?" и называемое /г-мерпым тором 7'",
томеоморфпо Sl XSl X . . . XSl.
н-раз
4. Докажите, что факторизация г ретрагирукнцего отображения r:Xi}A семь
гомеоморфизм X/Rr на Л.
5. Докажите, что каждый сомножитель А/ произведения А'-=ПЛ',- юмео-
морфеп (|)актор-п|)остранству X/Rn, где р,:А—»Л/—проекция.
6. Докажите, что, отождествив в цилиндре S1 X / точку (z, 0) с точкой (г, 1),
для всякого z?Sl получим пространство, гомсоморфпое двумерному тору 7'2;
если же отождествить точку (г, 0) с (г~', I), то получим пространство гомео-
морфпое бутылке Клейна.
7. Докажите, что путем приклеивания к листу Мебиуса двумерной клетки
по его границе можно получить пространство, гомсоморфное RP~.
Н. Пусть А'-- Д", Л--1-: В"- S"-\ У =={i/,,}. /:S"-' -'{//„}. Докажите, что
склеенное пространство XU/У гомсоморфно ,S", т. е. Л'" можно получить из одно-
одноточечного множества путем приклеивания одной //-мерной клетки.
а. Докажите, что 2]Д" = Д"М.
149
10. Рассм.прите октаэдральное разбиение сферы S2, т. е. разбиение ее на 8
конгруэнтных сферических треугольников. Докажите, что факторизация Л"-, при
которой отождествляются точки экватора и двух меридианных окружностей,
гомеоморфна букету из восьми сфер.
11. Докажите, что если в S" стянуть и точку его экватор S"~l, то фактор-
пространство S"iS"~> будет гомеоморфно букету из двух «-мерных сфер.
12. Докажите, что если /? — <пкрытое (замкнутое) отношение эквивалент-
эквивалентности в Л' и И--открытое (замкнутое) подмножество из X, то индуцированное
отношение /?,i — -открытое (замкнутое) в А.
13. Докажите, что если R— открытое (замкнутое) отношение и Л и А насы-
насыщено по R, то Л?,) — открытое (замкнутое) в А.
14. Пусть Л' ¦ К1 \Л, где А — множество точек вида \1п с п? ?4 {0, •• 1, -1},
к пусть R— отношение эквивалентности в А', при котором классами эквивалент-
эквивалентности являются: одноточечное множество {0}; множество всех ue.ii.ix чисел, не
равных ну.'по; двуточечные множества вида {х, I /х) с | х | < 1. Докажите, что
отношение R не открыт и не замкнуто.
15. Пусть /: .V - -У, a Rj— индуцированное отношение эквивалентности в X.
Говоря!, чго AczX насыщено относительно /, если оно насыщено относительно Rj.
Докажите, что: а) А насыщено относительно /ОЛ •¦- / ' |/М)|; Ь) пересечение
любого семейства насыщенных относительно / множеств насыщено относительно/;
с) объединение любого семейства насыщенных тоже насыщено (относительно /).
16. Докажите, что непрерывное и иадъективпое отображение /: .V - ¦<¦ Y вза-
взаимно непрерывно (факторно) тогда и только тогда, когда каждое замкнутое из Y
подмножество есть /-обра.ч некоторого насыщенною относительно / замкну юго
множества.
§ 3. КАТЕГОРИИ И ФУНКТОРЫ
Со второй четверти нынешнего столетия псе с большей отчет-
отчетливостью становилось ясным, что подавляющее большинство объ-
объектов, изучаемых в самых различных разделах математики, пред-
представляют собой различные множества, снабженные той или иной
структурой (одной или несколькими алгебраическими операциями,
топологией, упорядочением и т. п.), и что необходимо изучать эти
объекты вместе с их отображениями (морфизмами), сохраняющими
заданные в них структуры. При этом весьма замечательным и су-
существенным является то обстоятельство, что упомянутые совокуп-
совокупности объектов и их отображений, несмотря на их различное кон-
конкретное содержание, обладают определенными и весьма общими
свойствами.
В начале 40-х годов Эйленберг и Маклейп при построении аксио-
аксиоматической теории гомологии и когомологий топологических про-
пространств впервые выделили упомянутые свойства посредством
соответствующих аксиом и тем самым пришли к весьма общим и
плодотворным понятиям, а именно к понятиям категории и функ-
функторов, теория которых превратилась уже в самостоятельный раздел
науки и играет все возрастающую роль в самых различных разделах
математики.
Для дальнейшего нам необходимо еще раз подчеркнуть раз-
различие между понятием множества и класса (необходимость такого
различения возникла в связи с обнаружением известных парадоксов
классической теории множеств, связанных с рассмотрением, напри-
например, «множества всех множеств»). Для этого мы будем придержи-
150
ваться получившей широкое распространение аксиоматической тео-
теории множеств Годе л я — Бернаиса. В этой аксиоматике множество
это такой класс, который может служить элементом некоторого
другого класса. Таким образом, мы будем считать, что каждое
множество является классом, тогда как существуют классы, назы-
называемые собственными классами, не являющиеся множествами. Так,
например, классы всех множеств, всех топологических пространств,
всех групп, очевидно, не являются элементами какого-либо другого
класса и поэтому являются собственными классами, между тем
как любое множество X можно рассматривать как элемент другого
класса, например как элемент множества 2х всех его подмножеств.
В этом параграфе мы дадим лини, краткое изложение понятий
категорий и функторов.
3.1. Определение и примеры категорий. Прежде чем перейти к
общему определению понятия категории, полезно проиллюстриро-
проиллюстрировать его на двух типичных и весьма важных примерах -категории
групп 9f?G и категории топологических пространств ЖТ.
Пусть ObC"t°o) — класс всех групп п пусть для каждой упоря-
упорядоченной нары групп Л, В (т.е. элементов из 01) (ft"(j)) Мог (Л, В)
означает множество всех гомоморфизмов из Л в В. Сопоставляя
каждой паре гомоморфизмов j:A->B и g:B—>C их композицию
gof:A--C, получаем отображение
Мог (Л, В),-. Д\ог (В, С) -Мог (Л, С), определенное для каждой
упорядоченной тройки элементов А, В, С из Ob (:Ъсс,) и называемое
законом композиции.
При этом очевидно, что выполняются следующие два свойства:
(i) закон композиции ассоциативен, т. е.
f € Мог (Л, В), <г? Мог (В, С), h ? Мог (С, D) => h о (# о /) ¦
(/( og)o /;
(ii) \M ? Ob (,7tVi) существует единица, т.е. такой гомоморфизм
1 , ?Мог(Л, Л), что
У/еМог(Л, В) /о1л = / и Vg€Mor(C, Л) \Aog^--u. Когда го-
говорят, что группы и их гомоморфизмы образуют категорию, то
имеют в виду, что Ob (Ж о), {Мог (Л, В)) и закон композиции таковы,
что выполняются именно эти два свойства.
Перейдем теперь к рассмотрению второго примера. Пусть
Ob(ft'-i) — класс всех топологических пространств и пусть для каж-
каждой упорядоченной пары пространств Л, Y (т. е. элементов из Ob (Ж\))
Mor(X, Y) означает множество всех непрерывных отображений X
в Y. Тогда для каждой упорядоченной тройки X, Y, Z из Ob (:7fT)
можно задать отображение, называемое законом композиции:
Мог (X, К) х Мог (К, Z)--Mor(X, Z), сопоставляющее каждой
паре непрерывных отображений f:X~>Y и g:Y-¦ - Z их компози-
композицию go/?Mor(X, Z). Легко проверить, что здесь тоже очевидным
образом выполняются аналоги свойств (i), (ii), и поэтому принято
говорить, что совокупность топологических пространств и их не-
непрерывных отображений образует категорию.
Оказывается, что аналогичными свойствами обладают самые раз-
различные совокупности объектов во многих областях математики,
151
что, естественно, приводит к весьма общему и плодотворному по-
понятию категории.
Пусть Ob (ft*)— некоторый класс объектов произвольной при-
природы и пусть каждой упорядоченной паре объектов X, Y из Ob (ft?)
сопоставлено некоторое множество (может быть, и пустое), обоз-
обозначаемое через Мог(Х, К), подробнее Mor^(X, Y), и называемое
множеством морфизмов из X в Y, причем предполагается, что для
различных пар эти множества дизъюнктны. Пусть, наконец, каждой
упорядоченной тройке объектов X, Y, Z из Ob (ft") сопоставлено
отображение
ц: Mor(X, K)xMor(Y, Z) — >-Mor(X, Z), называемое законом ком-
композиции (если, конечно, эти множества не пусты).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Класс объектов Ob (ft*) вместе с классом
морфизмов Мог (ft?) — и Mor(X, Y) и законом композиции ц
X, УеОЬ(ЙГ)
образует категорию, если выполнены следующие два свойства, на-
называемые аксиомами категории:
К- 1) ассоциативность закона композиции: для
/?Mor(X, Y), g ? Мог (К, Z), /i?Mor(Z, T) имеет место
/г о (go/)--(/log) о/;
К. 2) существование единицы: для каждого Х?ОЬ(.7Г) сущест-
существует морфизм l.v€Mor(X, X), называемый тождественным или еди-
единичным морфизмом объекта X, такой, что для любых /'? Mor(X, Y)
и g?Mor(Z, X) имеет место
7 о 1.V---/, l.vog-g.
Из этих аксиом нетрудно вывести единственность единичного
морфизма lv для любого X из Ob (ft*). Если класс объектов кате-
категории ft* является множеством, то такая категория называется
малой, Если и категории ft" для любых его объектов X, Y
Mor(X, Y)--/= 0, то такая категория называется связанной; если же,
напротив, для любых Х^=К из Ob (ft1') Mor(X, Y) - 0, л ,\\or(X, X)
состоит только из единичного морфизма 1Y, то в этом сл\чае кате-
категория ft0 называется дискретной.
Поскольку элементы Mor(X, Y) хотя и не всегда, но все же в
большинстве случаев оказываются отображениями, то каждый мор-
фп:<м /' из Мог(Х, Y) можно представлять себе в виде стрелки и
писать /': X - - Y или X ' Y, если даже морфи.чм / вовсе и не яв-
является отображением. Пусть /: X ¦¦¦ Г, тогда объект X называется
областью определения или началом морфизма [ и обозначается через
f.0([), а объект Y -областью значений или концом / и обозначается
через А'(/); поскольку множества Мог(Х, У) для различных упо-
упорядоченных нар объектов предполагаются дизъюнктными, то #>(/)
и R(f) однозначно определяются морфизмом /. Ясно также, что
композиция go/ определена в тех и только тех случаях, когда
(/
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2. Морфизм /: X-->Y называется эквивалент-
эквивалентностью или изоморфизмом в категории ft", если существует мор-
морфизм g: Y- -X такой, что go f— lv, /og= lY. При этом g также
152
является эквивалентностью, называется обратной к / и обозна-
обозначается через /~'. Далее, если для объектов X, Y существует хотя
бы одна эквивалентность, то эти объекты называются эквивалент-
эквивалентными (пишут X ^ У).
Ясно, что как тождественный морфизм, так и композиция экви-
валентностей (если она определена) являются эквивалентностями.
Подмножество из Mor(X, У), состоящее из всех эквивалентно-
стей, принято обозначать через Iso(X, Y) (это подмножество может
быть и пустым). Далее, по аналогии с категорией групп и их го-
гомеоморфизмов, и в общей теории категорий принято Мог(Х, Л)
обозначать через find (X), а каждый его элемент называть эндомор-
эндоморфизмом обьекта X; наконец, Ьо(Х, X) принято обозначать через
Aut (X) и называть множеством автоморфизмов объекта X
Приведем теперь несколько типичных примеров категорий, при-
причем условимся, что если морфнзмы категории суть отображения,
то под композицией морфизмов понимается обычная композиция
отображении.
Примеры. 3.1. Категория 3»*м (пли Set) множеств и их ото-
отображении. Здесь Ob (Жм) ¦ класс всех множеств, Д\огG>"м) — класс
всех отображений, Мог(Х, У) — множество всех отображений Л'
в У*\ Ясно, что VX ? Ob (.Л^дО lv представляет собой тождественное
отображение множества X, а эквивалентностями этой категории
являются всевозможные биективные отображения.
3.2. Категория Ж\, групп и их гомоморфизмов. Здесь, как мы
видели выше, Ob (:^"(;)- класс всех групп, Л\ог (.We,) - класс всех
групповых гомоморфизмов, Мог(/1, /3)--множество Нош (Л, В) всех
гомоморфизмов группы Л в группу В. Ясно, что и здесь единич-
единичные морфнзмы суть тождественные автоморфизмы групп, а эквп-
ва.'кчгпюстями служат групповые изоморфизмы.
.4.3. Категория 'V t (или Тир) топологических пространств и их
непрерывных отображений. Здесь Ob(.'V-i), как мы видели выше, -
класс всех топологических пространств, Мог (!'V-|)--класс всех не-
непрерывных отображений, А\ог(Х, У)- -множество всех непрерывных
отображений пространства X в пространство У. Здесь тоже еди-
единичные морфпзмы суть тождественные отображения, а эквивалент-
эквивалентности — всевозможные гомеоморфизмы.
3.4. Категория Жо открытых множеств данного топологического
пространства (X, т). В этой категории Ob (Sfr'o) = т, Л\ог (//, I'j-¦„.¦¦.,
если U не содержится в V и состоит из единственного морфпзма —
отображения вложения i: UczV, если U содержится в V. Ясно, что
в утоп категории эквивалентностями служат лишь единичные мор-
морфпзмы \и, представляющие собой тождественное отображение от-
открытого множества U на себя; иными словами, ho (О, V) пусто,
если U не совпадает с V, a End (U) = Ant (U) и состоит из един-
единственного элемента— \и-
"] Если Л -0, то при любом У Мог (я, У) считается состоящим ил един-
спинного элемента, я именно отображения илижепия i: 0 С К, если жсУ — и,
то при любом Л' считается Мог (Л', 0) = 0.
153
3.5. Категория Жк всех модулей над фиксированным кольцом R
и их R-модульных гомоморфизмов. Здесь Ob (:Лск) класс всех
R-модулей, Mor(X, У) Нош (X, У)—множество всех R-модуль-
пых гомоморфизмов, а композиция \\> о <р морфизмов (р: X — >К и ф:
:Y—>Z определяется как обычная композиция гомоморфизмов.
В частности, если кольцо, R представляет собой кольцо Z целых
чисел, тогда каждый R-модуль оказывается просто абелевои группой и
категория Жц называется категорией абелсвых групп и обозначается
символом Жы,- Вели же кольцо R есть поле, каждый R-модуль
оказывается линейным (векторным) пространством над R, а каждый
R-модульный гомоморфизм <|: X—>¦ У является линейным отобра-
отображением пространства X в пространство У. В этом случае катего-
категория Жн называется категорией линейных пространств над R, ко-
которую мы будем обозначать символом Жи<-
3.6. Категория Ж-z частично упорядоченных множеств и их ото-
отображений; ОЬF7(%) представляет собой класс всех частично упоря-
упорядоченных множеств (/И, sQ, a Mor(/M, N) —множество всех моно-
монотонных отображений М в N.
3.7. П у СП) (if, sQ— некоторое фиксированное частично предупо-
рядоченпос множество. Обьектами конструируемой категории служат
элементы множества Е, а морфпзмамп - - всевозможн!,1е пары элементов
(,v, у) при хсС/у. Более подробно: для каждой упорядоченной пары
объектов (элементов из М) х, у Мог (х, у) состоит из единственного
морфизма (х, у) при х-'^у и является пустым множеством в про-
противном случае, т. с. когда либо х > //, либо х и у несравнимы. Что
же касается закона композиции, то композицией морфизмов (х, у)
и (//, z) считается морфизм (х, г), а единичным морфпзмом объекта х
служит морфизм (х, х). Далее, морфизм (х, у) будет эквивалент-
эквивалентностью липП) в том случае, когда (;/, х) — тоже морфизм, т. е. когда
п у^х.
Поскольку произвольное множество X можно рассматривать как
частично упорядоченное множество с тривиальным порядком, опре-
определяемым равенством (при котором х, сравнимо с х2 в том и только
в том случае, когда х,= .v2, т.е. xts^x., равносильно х, - а'„), то
в силу сказанного выше исходное произвольное множество тоже
можно рассматривать как категорию, объектами которой служат
элементы из X, а Мог(х,, х.г) пусто, если ххфх.,_ и Д\ог(л\ х) со-
состоит из единственного тождественного морфизма 1Х -- (х, х), который
можно отождествить с самим элементом х. Сказанное позволяет рас-
рассматривать произвольное множество X как категорию, объекты и
морфпзмы которой суть сами элементы этого множества. Итак,
понятие категории является принципиально иной ступенью обоб-
обобщения понятия множества.
3.8. Пусть G — произвольная группа в мультипликативной записи.
Образуем категорию, единственным объектом которой служит мно-
множество G, морфпзмамп служат все элементы группы 6', а закон
композиции определен как умножение элементов в самой группе G,
т. е. для каждых двух морфизмов g,, g., (элементов из G) их ком-
композиция совпадает с gi-g2. Легко видеть, что единичным морфиз-
154
mom 1g единственного объекта G служит единица е группы G it что
каждый морфизм этой категории является эквивалентностью. Кроме
того, нетрудно понять, что в приведенной только что конструкции
можно вместо группы G рассматривать произвольную полугруппу
с единицей, однако в этом случае эквивалентностями будут лишь
обратимые элементы полугруппы.
Читатель, по-видимому, уже обратил внимание на то, что среди
приведенных примеров категорий малыми являются лишь катего-
категории, построенные в предыдущих двух примерах, и что именно в этих
категориях морфизмы вовсе и не являются отображениями.
Опишем теперь одну конструкцию, позволяющую, отправляясь
от данной категории Ж, строить новую категорию—так называемую
категорию морфизмов исходной категории Ж, обозначаемую через Ж'-.
Объектами конструируемой категории Ж2 служат всевозможные
морфизмы X~>-Y исходной категории Ж, т.е. Ob (Ж*) =
а морфизмом объекта Х- * К в объект X'--*Y' служит такая пара
морфизмов (g, Л), где g: Х--+Х', a h: Y--+Y', при которых hof-=
/'о #. Другими словами, морфизмами в категории Ж2 служат все-
всевозможные коммутативные диаграммы вида
V
Л"
./¦
причем иод композицией диаграмм
X'
X"
f
Y'
h'
понимается диаграмма
X"
л"
,-¦ V
где #" = #' og, h" Wi'o/г.
15а
Ясно, что единичным морфизмом объекта X—*Y служит лара
(l.v, I v), I'- e. диаграмма
Легко понять, что, взяв в качестве исходной ужо построенную
категорию Ъ"-, можно построить новую категорию—категорию мор-
физмов категории Ж'1 и т. д.
Отметим также, что часто бывает полезным, отправляясь от
данной категории V, строить новые категории, обьектами которой
служат более сложные диаграммы морфизмов исходной категории.
Ниже (см. и. 3.3) мы опишем еще две конструкции такого рода,
позволяющие дать чквива ichthoj определение суммы и произведе-
произведения данного семейства объектов исходной категории.
Перейдем теперь к определению подкатегории и полной под-
подкатегории.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.3. Категория Ь':1 называется подкатегорией
категории Ж, если Ob (\°„)с:О!) (Ь°), дти лоб.лх X, У из Oi)(V0)
Д\ог,)}' (X, Y) dМог,%(Х, У), закон композиции в Жл согласован с
законом композиции в Ж, т. о. композиция gof и Ж„ морфишов
f, <> из Mor(>te(l) совпадает с их композицией в Ж и V объекта
X ?01) {Ж„), его тождественные- морфпзмы в категориях Ж„ и Ж
совпадают. Подкатегория Т^„ называется полной, если для любых
X, К из Ob(V,,) Мог.^ДХ, Y) совпадает с Mor,r(X, Y).
Приведем несколько примеров подкатегорий, предоставляя чи-
читателю самому проверит!) выполнимость соответствующих условий.
Примеры. 3.9. Категории Vac. абелевых групп, в которой
OI>CVvO представляет собой класс всех абелевых групп, а Л\ог(/1, В)—
множество По1п(/1,Д) всех гомоморфизмов, очевидно, образует
полную подкатегорию категории Же, всех групп.
3.10. Категория 'Жоу (Ж:п), обьектами которой служат тополо-
топологические пространства, а морфизмамп—открытые (соответственно
замкнутые) отображения, очевидно, является неполной подкатего-
подкатегорией категории Жг топологических пространств.
3.11. Прежде всего напомним, что пара (А',/1), где /1 -неко-
-некоторое подпространство пространства X, называется парой тополо-
топологических пространств, а непрерывное отображение /: X -••<¦ У назы-
называется отображением пары (X, Л) в пару (V, В) и записывается /:
(X, Л) >(У, В), если }'(Л)аВ.
Категория, обьектами которой служат всевозможные пары про-
пространств, а морфизмами--отображения пар, называется категорий
пар топологических пространств, полной подкатегорией которой
служит категория так называемых пространств с отмеченной точ-
точкой, т. е. пар пространств, в которых на втором месте стоят лишь
156
одноточечные подмножества. Далее, отождествив каждое простран-
пространство X с нарой (X, 0), можно рассматривать категорию .Vt как
полную подкатегорию категории пар топологических пространств.
3.2. Дуальная категория и принцип двойственности. Пусть?." —
произвольная категория. Рассмотрим новую категорию Ж"', в кото-
которой Ob (Л1*) совпадает с Ob (Ж), но тем не менее тот же объект Л',
рассматриваемый как объект из Ob (Ж1), мы будем снабжать сверху
значком •» и также будем поступать ниже с морфизма.ми. Далее,
для каждой упорядоченной пары объектовХ*, Y* из ОЬ(^*) положим
.Morjg-* (X*, Y*) ^Могд-(К, X), а закон композиции н* зададим по фор-
формуле и* (/*-«¦*)--."(?•. /')¦ (/°й)*-
Построенная таким образом категория Ж* называется дца.и.нт).
(двойственной) по отношению к исходной категории Ж. Ясно, что
дуальная к Ж* категория совпадает с исходной категорией Ж',
т. с. (Ж*)* — Ж. Ясно также, что категория, дуальная к связанном
(соответственно дискретной),сама является связанной (соответственно
дискретной).
Замечание 3.1. В приведенном определении дуальной кате-
категории Ж* с целью упрощения полагалось, что 01) (Ж*) - Ob (Vi и
Мог {Ж*) ¦¦-- Мог (Ж), между тем в общем случае следует в качестве
01) {Ж*) брать некоторый класс, элементы X* которого находится
и биективном соответствии с элементами X из Oh (Ж)\ аналогично
¦-пому должно быт\> некоторое биективное соответствие /<->/* между
классами Мог (Ж) и Мог (;ГА"*), причем такое, что если /: X -У,
то /*: Y*~>X* и (f!°f)* = -f*og*.
Примеры. 3.12. Пусть Ж[[.ц -категория, объектами которых
служат всевозможпь1е конечномерные векторные пространства X
и;:д некоторым фиксированным полем (например, над полем R пли
над полем С), Мог(Х, К)-- множество всех линейных отображений
X н У, а композиция морфпзмов определена как композиция ото-
отображений. Сопоставляя каждому векторному пространству X со-
сопряженное к нему пространство X* (пространство линейных функ-
функционалов над X), а линейному отображению /: X ' У'--пнлуцм-
роваппое (встречное) отображение /'*: К* — ¦* Х\ определенное по
формуле /'* (ц) (| о/ для любого линейного функционала ц над )',
мы, как известно, получим биективное (но не тождественное) со-
соответствие класса Ob (Ж[\. ч) (совпадающего, очевидно, с классом
Oli (/ТЛ'ч.к)) на себя, а также биективное соответствие класса
Мог (Vi-i.r) (совпадающего с классом Mor('VYi.<.:)) на себя. »гп
бпектпвп|||е соответствия, как нетрудно проверить, будут обладать
упомянутыми в предыдущем замечании свойствами.
¦ >. 13. Пусть Ж - категория, рассмотренная и примере 3.7, тогда
легко понять, что если в указанной там конструкции в множест-
множестве /VI заменить исходный порядок противоположным, то получаемая
при этом категория и будет дуальной категорией Ж'*.
3.14. Пусть Ж—категория, рассмотренная в примере 3.8. Тогда
ясно, что если в множестве О ввести другую групповую операцию,
приняв за произведение элементов a, b из 6' произведение 1>о в
157
исходной групповой операции, то указанная там конструкция при-
приведет именно к дуальной категории К.*-
Поскольку с каждой категорией ассоцируется дуальная к ней
категория, то легко понять, что каждому утверждению, относяще-
относящемуся к объектам и морфизмам данной категории К, будет вполне
однозначно отвечать соответствующее утверждение в дуальной
категории К*, называемое двойственным к исходному утверждению,
если в формулировке исходного утверждения каждый объект X из
Ob (Ж) заменить объектом X* из Ob {Ж*), каждый морфизм /: X — > Y
заменить морфизмом /*: Y*—<-Х*, а композицию gof заменить компо-
композицией f*og*. Именно это и называют принципом двойственности.
Дадим теперь определение так называемых инициальных и тер-
терминальных объектов категории.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.4. Объект Х„ из Ob (Ж) называется ини-
инициальным или универсально отталкивающим объектом категории Ж,
если для каждого К из Ob {Ж) Мог(Х„, У) состоит лишь из одного
морфизма; соответственно объект Y„ называется терминальным или
универсально притягивающим объектом этой категории, если для
каждого X из ObEf°) Mor(X,Kj состоит из единственного морфизма.
В данной категории Ж может вовсе не быть ни одного иници-
инициального объекта или может существовать бесчисленное множество
инициальных объектов; то же самое относится к терминальным
объектам, однако нетрудно убедиться, что любые два инициальных
(соответственно терминальных) объекта данной категории между
собой эквивалентны.
Примеры 3.15. В категории множеств Жы или в категории
топологических пространств Жт единственным инициальным объек-
объектом служит пустое множество, а терминальным объектом служит
любое одноэлементное множество (одноточечное пространство).
3.16. В категории, рассмотренной в примере 3.7, инициальным
является наименьший элемент, а терминальным —наибольший (если,
конечно, таковые существуют).
Замечание 3.2. Согласно принципу двойственности, если X —
инициальный (терминальный) объект категории Ж, то объект X*
(т. е. тот же объект X, рассматриваемый как элемент из Ob (Ж*))
будет терминальным (инициальным) объектом категории Ж*.
3.3. Произведение и сумма (копроизведение) семейства объектов.
Опишем конструкции, позволяющие строить произведение и сумму
объектов произвольной категории, представляющие собой весьма
широкое обобщение! таких фундаментальных для всей математики
понятий, как прямое (декартово) произведение и сумма множеств,
топологических пространств, групп, модулей и т. п.
Для упрощения дальнейших формулировок воспользуемся вспо-
вспомогательными понятиями конуса и коконуса.Всякое непустое семейст-
семейство {/,-: Y -¦' X ¦, / ? 1\ морфизмов категории Ж с общим началом У назы-
называется конусом морфизмов с вершиной Y и концами X,-. Двойствен-
Двойственным образом: всякое непустое семейство ¦[/': ХГ->У; /'?/} мор-
морфизмов категории Ж с общим концом К называется коконусомс вер-
вершиной в К и началами в X,-.
156
Далее, морфизмом конуса {/,¦: Y —*Xh i ? /} в конус {/|-: К'—+ X,-,
/?/} ^ теми же концами называется такой морфизм Л: К—«-К', что
при любом ; ? / диаграмма
> у'
коммутативна; при этом если к': У' - Y" является морфизмом конуса
¦(/,': К'-—> X,-} в конус {/;: Y"¦-¦* Х,\, то их композицией называется
морфизм к"--~.к'ok: Y--*Y", очевидно являющийся морфпзмом ко-
конусов.
Аналогичным образом вводятся понятия морфизмов и их ком-
композиции для кокопусов.
Говорят, что конусы {/,•: Y—>Х,-, <€/} и \gt: Z- >X,-; i?l\
эквивалентны, если существуют морфизмы (|: Y - >Z и i|-: Z -К
лих конусов такие, что i|-o<p-- 1у, а <|о»[: ¦¦{¦/_.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.5. Пусть {X,-, <?/} некоторое непустое
семейство об'1>ектов категории %с\ конус \р,'. У„ -*Х,} категории:)^
называется произведением этого семейства объектов, если для каж-
каждого конуса {/¦: К * X,¦} с теми же концами существует единст-
единственный морфизм g конуса {/,-: Y—* X,-} в конус {/7-: )'„ ¦ * X,-}.
При этом морфпзмы р, называются проекциями произведения. Это
произведемте обо пачается символом JJ (X,-, /7,) пли, короче, сим-
волом 1[ X,-; если же индексное множество конечно, т. е. /=-={1,
2, ...,//}, то это произведение записывают еще и так: X, ч< X., < . ..
...хХ„.
Очень часто, отождествляя (если это не может вызвать недо-
недоразумения) конус {/?,¦: К„—>Х,-}, являющийся произведением, с его
вершиной, произведением ЦХ,- называют то/п.ко обьект К„.
ic 1
Что же касается фигурирующего в определении морфи.зма g,
то он наз1>1вастся диагональным произведением морфнзмов /, и
обозначается g-- Л/,-.
1С /
Внимательный читатель несомненно заметил, что данное выше
определение произведения нуждается в проверке корректности, на
что отвечает нижеследующее предложение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1. Произведение семейства объектов произ-
произвольной категории единственно с точностью до эквивалента ¦сши
(конусов).
¦^ Пусть \р{: К„—>-Х,-} и {^,-: Zn — -»Х,-}—два произведения одного
и того же семейства объектов X,-, i?l, категории LX и пусть /':
Уо-¦ 2„ —морфизм первого конуса во второй, a g: Zn—»¦>'„ -мор-
-морфизм второго конуса в первьп!, которые существуют по определе-
определению произведения. Рассмотрим композицию gof, очевидно явл'пп-
159
my юс я морфизмом конуса {/?,-: Ко —* X [} на себя, но поскольку
этот конус — произведение, то единственным его морфизмом на
себя может быть лишь тождественный морфизм Ьо, откуда заклю-
заключаем, что/7о/--=: 1 у„. Совершенно аналогично убеждаемся, что fog -- \Zo.
Итак, нашлись морфизм f первого конуса во второй и морфизм g
второго конуса в первый, обладающие указанными свойствами,
что и означает эквивалентность исходных конусов (произведе-
(произведений). >
Примеры 3.17. В категории множеств :7tfM произведение
J] (Xh p() семейства объектов {Х,;г?/}, как нетрудно убедиться,
i<= /
может быть отождествлено с декартовым произведением множеств
{X,-, i(zJ\, и тогда роль проекций /?,- будут играть отображения
проектирования на сомножители декартового произведения.
3.18. В категории топологических пространств fftfT произведе-
произведение Ц(Х,-, Pi) может быть отождествлено с прямым (тихоновским)
a i
произведением топологических пространств Xh а проекции р.—с
отображениями проектирования на сомножители.
З.Н). В категории групп !7Л; произведение | ]((',-./?,•) может
быть отождествлено с прямым произведением групп G',-, а проекции
/?,--- с проектированием на сомножители.
3.20. Читателю, знакомому с теорией расслоенных пространств,
нетрудно убедиться, что одна из важнейших операций этой тео-
теории, называемая суммой Уитни, представляет собой не что иное,
как произведение семейства объектов в категории расслоений над
фиксированной базой.
Дадим теперь определение понятия суммы семейства объектов
произвольной категории, являющееся двойственным по отношению
введенного выше понятия произведения и потому часто называе-
называемого к о п р о и з в е д с п и е м.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ .4.6. Пусть {X[у i ? /[ — некоторое непустое
семейство объектов категории 5Н°; кокопус {о': X,-—-> 7.„\ ('?/} ка-
теюрпп Ж называется суммой (копроимеденисм) этого семейства
об ье к то в, если для каждого кокопуса {/': X,-—> Z; /?/} той же
категории и с темп же началами существует единственный морфизм
// кокопуса {«': A',--->Z,,} в кокопус {/'': Х{—*Z\, т. с. такой мор-
(])изм h: ZH—>• Z, что при любом i?/ /' = //oa'.
Подчеркивая двойственность этого понятия по отношению к
произведению, сумму семейства {X,-, i'? /} мы будем обозна-
чап. символом JJ(X/, о') или, короче, JJ Х(; если же 1 = \\,2,
i e / (б/
...,/)}, то часто употребляется также запись X, 33)Х2ф. . .фХ„.
Очень часто (если, конечно, это не может вызвать недоразуме-
недоразумения) отождествляют кокопус. {а': X,-—>-Z0J, являющийся суммой,
лишь с его вершиной и суммой называют просто объект Zo; при
этом проекции а' называются морфизмами вложения. Что же ка-
касается фигурирующего выше морфизма h, то его называют суммой
1Ь0
морфиамов f и пишут Л=Ц/' или h =/1 ф/2©. . •©/", если
.б/
/-{1,2, ...,«}.
Совершенно аналогично предложению 3.1 доказывается, что
определенная выше сумма семейства объектов единственна с точ-
точностью до эквивалентности (коконусов), чем и устанавливается
корректность данного определения.
Предостережение 3.3. Следует иметь в виду, что не вся-
всякое семейство объектов обладает произведением (соответственно
суммой), в связи с чем категория X называется категорией с про-
произведениями (соответственно суммами), если в ней любое семейство
объектов обладает произведением (соответственно суммой).
Примеры. 3.21. В категории множеств Жм, как нетрудно
убедиться, сумма семейства множеств может быть отождествлена с
их обычной суммой, т. е. их дизъюнктным объединением. Таким
образом, в категории 5f*M любое семейство объектов обладает сум-
суммой, значит, это есть категория с суммами и произведениями.
Вместе с тем в категории, объектами которой служат всевозмож-
всевозможные конечные множества, являющейся полной подкатегорией ка-
категории Э^м, суммами обладают, разумеется, лишь конечные се-
семейства.
3.22. В категории групп Же, как нетрудно убедиться, сумма
семейства объектов может быть отождествлена с так называемым
свободным произведением соответствующих групп, а в категории
9i*,\g абелевых групп—с прямой суммой абелевых групп. Таким
образом, в обеих категориях суммами обладают любые семейства
объектов, следовательно, fK?a и 5^aq — категории как с суммами,
так и с произведениями. Между тем в категории, объектами кото-
которой служат всевозможные абелевы группы с конечным числом
образующих (в категории конечно порожденных абелевых групп),
суммами обладают уже лишь конечные семейства.
3.23. В категории 9Гг топологических пространств сумма семей-
семейства объектов (пространств) может быть отождествлена с тополо-
топологической суммой этих пространств, поэтому ясно, что Э^т — кате-
категория как с суммами, так и с произведениями.
3.24. В категории топологических пространств с отмеченной
точкой (см. пример 3.11) сумма семейства объектов {(X,., x"),i?/\
может быть отождествлена с букетом V X, пространств X,, т. е.
с пространством, получаемым из топологической суммы ^Хсклеи-
вапием всех отмеченных точек х* в одну точку х*, которая и при-
принимается за отмеченную точку букета. Ясно, что и эта категория
является категорией с суммами.
В заключение пункта дадим несколько иное определение суммы
и произведения данного семейства объектов произвольной катего-
категории в терминах инициальных и терминальных объектов. Пусть
\Xj, i'?/] -некоторое фиксированное непустое семейство обьектов
категории :К:. Образуем новую категорию ^(Х,), объектами кото-
6 N, 73 161
рой служат всевозможные коконусы {/'': X,— > ZJ- категории :Ъ* с
началами в заданных объектах X,-, i ? I, а морфизмамн всевоз-
всевозможные морфпзмы таких коконусов; что же касается компошиии
морфизмов в категории :7к'(Х,), то она определяется как компози-
композиция морфпзмон коконусов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.7. Сцммоп (коироинвсдс.нием) семейства объ-
объектов \Xj,i?l} категории ?К° называется инициальный объект (если
он существует) категории '.К' (X,).
Диалогичным образом, для определения произведения по задан-
заданному семейству обьектов {X;,i?l\ образуем теперь уже другую
категорию /V'(X,), объектами которой служат всевозможные конусы
{/',-: К—> X;) исходной категории /V с концами в заданных объек-
объектах X,, /?/; морфизмамп ••• всевозможные морфпзмы таких кону-
конусов, а композиция морфизчо» в категории .7tc(X;) определена как
композиция морфизмов конусов.
011 РЕДИЛEH111: 3.8 Произведением семейства объект/»: |Х,-,
(?/} категории '!К: называется терминальный объект (если он су-
существует) категории ,9>"(Х,-).
Замечание 3.4. Легко усмотреть, что данные, только что оп-
определения суммы п произведения в терминах инициальных и тер-
терминальных объектов специальным образом построенных категорий
-жвпвалентпы приведенным ранее соответствующим определениям
в пределах исходной категории.
15.4. Ковариантные и контравариамтпые функторы. Введем по-
понятие функтора \\з одной категории в другую, представляющего
собой принципиально иную ступень обобщения, столь фундамен-
фундаментального для всей математики понятия, каким является общее
понятие функции или отображения одного множества в другое. Как
уже отмечалось выше (см. пример 3.7), любое множество можно
тривиальным образом истолковать как категорию, поэтому любое
отображение множеств оказывается возможным интерпретировать
как функтор. Вместе с тем, образно говоря, функтор представляет
собой отображение не только самих множеств, но и заданных на
них структур, подчиненное весьма общим п естественным условиям.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.9. Ковараантным функтором /•" из катего-
категории .V, в категорию :Ъ"., называется правило, сопоставляющее каж-
каждому объекту X из db(.7t"|) некоторый (вполне определенный)
объект ^(Х) из ОЬ(^2), и каждому морфизму / из Мог^ (X, У)—
некоторый (вполне определенный) морфизм /•"(/) из Moi>,-, (/•' (X),
/' (У)) и притом так, что выполняются аксиомы:
Ф,) f(l.v)-l/-(,Y)VXGOb(;7Q;
Ф.,) для произвольных двух морфизмов >': X—-Г и #• Y—>-Z
категории Ж, /;(?°Л - F(fi)oF(f).
Таким образом, функтор Е из категории Т, в категорию
можно представлять себе как отображение, точнее как пару ото-
отображений, удовлетворяющих упомянутым аксиомам.
102
2
,4 ны'к т венным образом определяется коптравариаптнып (функтор
us одной категории в другую.
Oil PEJIEJ1F.11I11L 3.10. Контравариантным функтором F из
категории .}>", в категорию :7t% называется правило, сопоставляю-
сопоставляющее каждому объекту X из Ob ('Tt",) некоторый (вполне определен-
определенный) объект /-'(X) из 01) (.й0,) и каждому морфизму / из Мог^ (X,
У) — некоторый (вполне определенный) морфизм F (f) из Mor^-, {F(Y),
F {X)) и притом так, что выполняются аксиомы:
Ф,) F(ix)-\F{X) vxeobc^):
Фз) для произвольных двух морфнзмов /: X —> У и g: Y—*Z
категории Ж, F (gof) =F(f)oF(g).
Мели F— коварнантпый (соответственно контра вариантный) функ-
функтор из категории Ж, в категорию Ж.,, то пишут F: Жх — *Ж2, при-
причем Жх называют областью определения, а г^ — областью значений
функтора F.
Примеры 3.25. Пусть Ж—категория топологических прост-
пространств или какая-либо другая категория, объектами которой слу-
служат множества, снабженные определенно]! структурой (например,
структурой группы, линейного пространства, модуля и т. п.). Со-
Сопоставляя каждому объекту X этой категории это же множество
X, рассматриваемое без какой-либо структуры, а каждому /: X—•<• V
Hi Мог (.Ъ'°)- -то же самое отображение / множества X в множест-
множество )', мы, очевидно, получаем ковариантный функтор /•': Ж - <¦ й*м
из исходной категории Ж в категорию множеств, называемый
пренебрегающим или стирающим функтором.
3.!_'(). Сопоставим каждой группе G ее фактор-группу Gj\Q, G\
по ее коммутанту [G,G\, а каждому гомоморфизму f:G— *// — по-
порождаемый им гомоморфизм j':G/[G, G]— >///[//, Н\, задаваемый
формулой / [\g]) — [/ (j?) !• Mi>[ получим ковариантный функтор
1':.Ъсс,-'Ъ"\г1 из категории групп в категорию абелевых групп,
иногда называемый функтором коммутирования.
3.27. Сопоставим каждому множеству X порождаемый им сво-
свободным Н-модул1> F(X) (см., например, |74|, с. .'50) п каждому
отображению /:Х --> У -порождаемый им Г^-модулыплп гомомор-
гомоморфизм F(f):F(X) ¦ >/'"(У/). Мы получим, как нетрудно убедиться,
коварпннтный функтор Г: fr°.\\ -<-!7i"i< из категории множеств в ка-
категорию R-моду.тен.
3.28. Пусть <7(Х) -совокупность всевозможных непрерьпшых
огображеннн (|-:Х — > \:1 топологического пространства X в чпелоиую
прямую К, которая, очевидно, образует коммутативное кольцо
с единицей относительно бинарных операций, определенных фор-
формулами (<| •¦¦¦i|:) (л'Ъ <|(.v)-i i|-(.v), (<r-i|-) (.v) ---=(| (.v)-i|-(x) для каждого
х С: Л. Далее, если /:Х ¦•> У- -некоторое непрерывное отображение
пространства X в пространство У, то, сопоставив каждому непре-
непрерывному отображению »|~: V — * IR композицию i|" о/:Х —+IR, мы, оче-
очевидно, получим отображение /•"(/): С (К) -->С(Х), которое, как легко
пр'жершь, O\:\cv кольцевым гомомор(()пзмом. Итак, сопоставляя
б* 163
каждому топологическому пространству X (объекту X из ОЬ(Тт)
кольцо С (X) непрерывных функций на X и каждому непрерывному
отображению f:X—*Y (морфизму / из Mor^j- (А", К)) — кольцевой
гомоморфизм F(f):C (Y) —>• С (X), мы получим, как нетрудно про-
проверить, контравариантншй функтор /: из категории топологических
пространств в категорию коммутативных колец с единицей.
3.29 Сопоставляя каждому объекту X категории -V объект X*
дуальной категории X* и каждому морфизму f из Mor^' (X, Y) —
морфизм /*? Мог^* (К*, X*) (см. п. 4.2), мы, очевидно, получаем
контравариаптный функтор (*):X —¦ X* из категории ,9f° в дуальную
категорию 'Tf0*.
3.30. ДВОЙСТВЕННЫЙ ФУНКТОР. Пусть F:.9j", --^-про-
--^-произвольный функтор. Функтором, двойственным к /\ называется
функтор F*:ifCl —> 5tfi , определенный таким образом, чтобы диа-
диаграмма
"i _ lr*;
была коммутативной. Ясно, что функтор, двойственны»! к кова-
риантному (соответственно к коитравариантному), сам является
ковариантным (соответственно контра вариантным).
Отметим теперь, что для произвольных двух функторов естест-
естественным образом определяется их композиция, а именно: если
/;:Х,—>9f?2, a G:3f*2 — * ЭС:), то их композиция Н -=G о F-.Ж, — *Х3
сопоставляет объекту X из Ob (Э^,) объект // (X) --- G (F(X)), амор-
аморфизму / из Мог^- (X, Y)—морфизм Н (/) --G (F(/))• При этом, как
легко проверить, композиция двух однотипных функто;;л» всегда
оказывается ковариантным функтором, а композиция двух разно-
разнотипных функторов всегда является контраиариантным функтором.
Замечание 3.5. Наличие контравариантного функтора (*):
X -+УС* позволяет каждый контравариаптный функтор Р:ХА--'Жг
превратить в ковариантный функтор, однако действующий уже из
категории 3f j в категорию Х2 или из категории ?Н°1 в категорию 'XI ,
рассмотрев вместо исходного функтора F композицию
С) F F <•>
Л>€** ^ СТ/^ @tfi TJ Till ^t^ ^i^ fX/^ *
«./)' i \Jv \ ' ' ^ iJV 9 Hi/lrl if), i * i''' 2 " * '*¦ 2 •
В следующем предложении докажем очень простое, но принци-
принципиально важное свойство функторов, которое, в частности, позво-
позволяет при классификации объектов данной категории использовать
результаты по классификации объектов другой категории.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.2. Пусть F:X,~ *k2 -произвольный (кова-
(ковариантный или контравариантный) функтор. Тогда образ /•'(/) лю-
164
бой эквивалентности / категории Л*, является эквивалентностью
в категории fft.
.4 Пусть F:TL — >.% — ковариантный функтор, a /:Х^К— неко-
некоторая эквивалентность в категории Жх. По определению эквива-
эквивалентности, существует морфизм g:Y—<¦ X такой, что gof=\Xt
f°g--\y, откуда в силу двух аксиом функтора будем иметь
F(g)oF(/) = F(gof) = F~(lx)~ lF{X)
и
Таким образом, морфизм F (f) действительно является эквивалент-
эквивалентностью.
В случае контравариантиого функтора F доказательство совер-
совершенно аналогично приведенному, р.
СЛЕДСТВИЕ. Всякий функтор переводит эквивалентные объекты
в эквивалентные.
Проиллюстрируем только что доказанное предложение рассмо-
рассмотрением одного простого примера функтора. Для этого напомним
(см. § 5 гл. III), что одним из простейших топологических инва-
инвариантов является число компонент связности пространства, которое
в случае геометрических фигур, лежащих, например, в R3, совпа-
совпадает с числом цельных кусков, составляющих данную фигуру. При
этом оказывается, что при всяком непрерывном отображении /: X —>• Y
образ каждой компоненты связности пространства X содержится
is некоторой компоненте связности пространства Y и, стало быть,
это отображение / порождает вполне определенное отображение /мно-
/множества компонент связности пространства X в множество компо-
компонент связности пространства У (точное определение компоненты
связности и его свойства изложены в § 5 гл. III).
Пример 3.31 (ФУНКТОР //„). Рассмотрим ковариантный
функтор Но, называемый нульмерным гомологическим функтором из
категории Жт топологических пространств в категорию Ж:\с, абе-
левых групп, сопоставляющий каждому X из Ob (Жт) свободную
абелеву группу #0(Х), порожденную множеством компонент связ-
связности пространства X, а каждому непрерывному отображению
/: X—>Y — порождаемый им гомоморфизм
где/* —гомоморфизм, получаемый продолжениемотображепи;! / с ба-
базы группы Я0(Х) на всю группу, а образом компоненты связности
точки х при отображении /является компонента связности точки f(x).
Покажем теперь, как просто можно топологически различить
пространства R1 и R.- (доказать их негомеоморфность), если исполь-
использовать только что построенный функтор Но. Для этого предполо-
предположим вопреки утверждению, что существует гомеоморфизм /:iRl—»¦
- >R2. Тогда ясно, что IR'X-jO} и R'2\{/@)} тоже должны быть
гомеоморфны. С другой стороны, поскольку число компонент связ-
связности пространства Rl\{0}\ очевидно, равно двум, то соответст-
соответствующая ему группа #„ (IR \ {0}) является свободной абелевой груп-
165
iioi'i с двумя образующими, между тем как группа На (R*\ {/ @)}),
очевидно, имеет лишь одну образующую, так как все пространство
R-\ {/(())} состоит из одной компоненты связности. Далее, в силу
предыдущего следствия функтор //„ должен переводить гомеоморф-
иые пространства в изоморфные группы, между тем как группы
#0(Rl\{0}) и II0 (К2\ {/@)}), очевидно, не могут быть изоморф-
изоморфными, так как имеют различное число образующих. Полученное
противоречие и доказывает, что IR1 негомеоморфно IR2.
Замечание 3.6. В алгебраической топологии строятся и изу-
изучаются функторы из различных топологических категорий (кате-
(категории пространств, пар пространств, пространств с отмеченной
точкой и т. д.) в алгебраические категории (в категории групп,
колец, модулей и т. д.), которые позволяют для решения тополо-
топологических задач привлечь методы и результаты, имеющиеся в ал-
алгебре. Так, например, наряду с функтором //„ строятся гомологи-
гомологические функторы //„ высших размерностей, а также много других
функторов (гомологических, когомологических, гомотопических),
позволяющих в ряде случаев топологически различать достаточно
сложно устроенные пространства.
В заключение отметим, что каждый такой функтор, образно
говоря, можно рассматривать как некоторое отображение или пред-
представление топологии в алгебру; при этом чем больше удается строить
таких функторов (представлений), тем адекватнее становится каж-
каждая топологическая задача совокупности соответствующих алгебраи-
алгебраических задач.
3.5. Естественные преобразования функторов. Представляющие
функторы. Для сравнения различных функторов необходимо ввести
понятие фупкторного морфизма или так называемого естественного
преобразования одного функтора в другой.
ОПРЕДЕЛЕННЫ 3.11. Пусть Flt F.,:4h\ - > <Х„--два ковариапт-
иых функтора. Естественным преобразованием функтора F^ в функ-
функтор Г.. называется правило Ф, сопоставляющее каждому объекту X
из О1) (Ж{) вполне определенный морфнзм Ф (А'):/7, (X) - -/¦'., (X),
причем так, что для любого морфизма / из Mor^- (X, Y) диаграмма
F2(X)
-^ > F3(Y)
морфнзмов категории ЧН°„ коммутативна.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.12. Пусть /•",, F.,:%%—> %*.,— два контраза-
рпантпых функтора. Естественным преобразованием /•', в /•'., назы-
называется правило Ф, сопоставляющее каждому объекту X из Ob C?i)
вполне определенный морфизм Ф (X): /•", (X) - - F.2(X), причем так,
что для всякого морфпзма / из МогЛ- (X, У) диаграмма коммута-
166
тпвма:
F](x) Фда >F2(X)
F,(Y)
Пели при этом для каждого X морфпз.м Ф(Х) оказывается зк-
вивалептност1»ю в категории Ж.,, то естественное преобразование Ф
называется естественной эквивалентностью функторов F, и F., (или
фупкторпым изоморфизмом), а сами функторы—естественно экви-
эквивалентными пли изоморфными.
Пели Ф—естественное преобразование Z7, в F.2, то это записы-
записывают Ф:/7! ~<• F2. Далее, если Ф:/7, —+ /\,, Ч':/^ —«• Ря —сстестисипые
преобразования функторов, то естественным образом вводится по-
понятие их композиции Х---¦xYo([>:Fl—> /%,, а именно: для каждого
объекта X из Ob (riTJ в качестве Х(Х) берется композиция
Ф' (X) оФ(Х), представляющая собой морфизм категории Ж„, что
и задает естественное преобразование X:F,—<-/\,, так как комму-
коммутативность соответствующей диаграммы непосредственно следует1 из
комм^тативности диаграммы
Fj(X) Ф(Х) > F2(X) V(X) > Fj(X)
F,(P
Р2Ф I': (О
F,(Y) *!L-> F2(Y) '-^-^ F3(Y)
при любом морфизме f:X—*Y.
Примеры. 3.32. Рассмотрим два функтора F,, F.,: Же, —>¦ ^; из
категории групп в себя, первый из которых 1'\—тождественный
Функтор (Ft(X) = X, /¦',(/)=/), а второй F2 есть функтор комму-
коммутирования (см. пример 3.26). Сопоставляя каждой группе X фак-
факторный гомоморфизм Ф(Х):Х--+Х/[Х, X] группы X на ее фактор
группу Х/[Х,Х| по ее коммутанту, мы получаем, как нетрудно
проверить, естественное преобразование Ф:/-1,—>¦ F2, так как диа-
диаграмма
п которой ^(^ — факторизация гомомор([)изма /, как известно,
коммутативна.
167
3.33 (двойственное естественное преобразование).
Пусть /•',, F2:X, — * Хг— произвольные функторы, а Ф:/•",••-/г2—
некоторое естественное преобразование. Сопоставляя каждому объ-
объекту Х*?ОЪ(Х1) морфизм с1)*(Х*) = (Я)(Х))*:/'в*(Х')-*/гГ(Х*), мы
получаем, как нетрудно проверить, естественное преобразование
Ф*:Р1—<¦ Ft, называемое двойственным к естественному преобразо-
преобразованию Ф.
Перейдем теперь к определению так называемых основных или
представляющих функторов, очень часто встречающихся в самых
различных разделах математики. Пусть X — произвольная катего-
категория, a Z— некоторый фиксированный объект из ОЪ(Х). Сопоста-
Сопоставим каждому X из Ob (X) множество л/(X) = Mor (Z, X), а каж-
каждому морфизму / из Mor(X, Y) — порождаемое им отображение
nz(f) = /*: Мог (Z, X)—>Mor(Z, Y), задаваемое формулой /» (ф)-=
= /o(p:Z—>Y при любом (pgMor(Z, X).
Легко проверить, что при этом мы получим ковариантный
функтор nz'-X—> Хм из категории X в категорию множеств, ко-
который и называется ковариашпным представляющим функтором,
порождаемым объектом Z.
Аналогично, сопоставляя каждому X из Ob (X) множество
nz (X) = Мог (X, Z), а каждому морфизму/ из Mor(X, Y)—отобра-
Y)—отображение
лг ф = f»: Мог (Y, Z) -> Мог (X, Z),
задаваемое формулой /* ((р) =ф о/:Х —*Z, получим контравариапт-
ный представляющий функтор, порожденный объектом Z.
3.34. Пусть Ж — категория Я*т тополо1-ических пространств, а
Z — некоторое фиксированное топологическое пространство. Тогда
представляющий функтор Лг (соответственно nz), очевидно, сопо-
сопоставляет каждому пространству X из Ob (r7s*]) множество всех не-
непрерывных отображений пространства Z в X (соответственно про-
пространства X в Z), обозначаемое символом Xz (соответственно Zx),
а каждому непрерывному отображению f:X~-*Y —порождаемое им
отображение f*:Xz—>YZ (соответственно отображение f*:ZY ~*ZX).
Эти представляющие функторы играют существенную роль, в том
числе и в гомотопической топологии.
Пусть теперь Zx и Z2 — произвольные объекты некоторой кате-
категории X. Покажем, что каждый морфизм a: Z, —> Z2 порождает
некоторое естественное преобразование Фа функтора я7а в функ-
функтор п7. Для этого каждому X из Ob (X) сопоставим морфизм
Фа (X):'nZa(X) - •+ nz (X), задаваемый соответствием ft—>/oa для
каждого морфизма / из яЛ1(Х) = Мог (Z2, X). Легко проверить, что
при этом соответствующая диаграмма оказывается коммутативной
и, стало быть, построенное соответствие X—*Фа(Х) действительно
является естественным преобразованием функтора я2з в функ-
функтор nZ(.
Аналогичным образом этот же морфизм а порождает естествен-
естественное преобразование Фа:п*<—- л7», сопоставляющее каждому объ-
объекту X из Ob (X) отображение Фа (Х):л^ (X) —* лг'(Х), задаваемое
соответствием /н»ао/ для каждого /gMor(X,Z1).
168
В ответ на вопрос о том, каким образом свойства исходного
морфизма a:Z,-->Za находят свое отражение в порожденных им
естественных преобразованиях соответствующих представляющих
функторов, мы приведем лишь следующее простое, но принципи-
принципиально важное предложение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.3. Если морфизм a\Zl—*Z.t является экви-
эквивалентностью, то порожденные им естественные преобразования Фа
и Ф"- суть функторные изоморфизмы.
¦ц Поскольку представляющие функторы п7 и nz действуют из
категории 5S* в категорию множеств !7^м, где эквивалентпостями
являются любые биективные отображения, то нам надлежит дока-
доказать, что при каждом X из Ob (fft?) отображение Фа(Х) биективно
(для отображения Ф'* (X) доказательство совершенно аналогично).
Для этой цели рассмотрим морфизм (-i:Z2—<-Z,, являющийся
обратной к а эквивалентностью, и пустьФр:п7х — * n7i представляет
собой естественное преобразование, порожденное морфнзмом р\
Очевидно, нам достаточно показать, что при любом X из Ob (Ж)
композиции
суть тождественные отображения.
В самом деле, пусть / — произвольный морфизм из nZi(X) =
= Mor(Z2, X), тогда ясно, что
Ф«(Х)(/)-/оа, а (l)p(X)(/oa)-/oaop = /olZi = /
и, стало быть,
Фр (X) О Фа (X) - 1М„гB„ X).
Аналогично убеждаемся, что
Фа(Х)оФ,., (Х)^ 1Мог(Л,. X). >
СЛЕДСТВИЕ. Эквивалентные объекты порождают эквивалент-
эквивалентные представляющие функторы.
Задачи
1. Пусть f:X—->¦ У— произвольное непрерывное отображение. Произведение
c/ = /Xl/:XX/ --»• Ух/, где /=-|0, llclK1, называется цилиндром над f. Дока-
Докажите, что, сопоставляя каждому X цилиндр Xxl, и каждому f:X ---<¦ У — ци-
цилиндр над /, мы получим конариантный функтор н.ч категории Тор и эту же
категорию.
2. В обозначениях предыдущей задачи конусом над j называется отображение
ltj:k(X)—*k(Y), представляющее ссб >й факторизацию цилиндра над / (см. за-
задачу 1 § 2). Докажите, что соотнетстиие Х\—> к (X), /i—*• kf ecu. ковариангный
функтор и.ч Тор в эту же категорию.
3. В обозначениях задачи 1 надстройкой над f:X —> У называется отобра-
отображение 2/'2j ^ —*¦ -^ У' по'1Уча1-'мое факторизацией цилиндра над / (относительно
соответствующих отождествлений). Докажите, что соответствие X^—*¦^1X,
/i—>^f есть ковариантный функтор из Тор в Тор.
4. Пусть (X, «S,), (X',«s;) — линейно упорядоченные множества, а т, т' — по-
рядконые топологии в X, X' соответственно. Докажите, что: а) если /:(X,sS)i—>
н-*-(Х', <) сохраняет порядок, то /: (X, т)—<¦ (X, х') непрерывно; в) если со-
1CJ
поставить каждому (X, <) пространство (Л', т), а каждому (сохраняющему по-
порядок) /:(A', -s;) -•-» (А'', *?) — отображение f:(X,%) -*(А'',т'), к> тиуппся
ковариантный функтор из категории линейно упорядоченных множеств в ка:его-
рню Тор.
5. Пусть ехр„ X — множество всех непустых подмножеств пространства Л', я
p"s,— ceMeiicino нодмножестг из (. хр0 А', состоящее из всевозможных подмножеств
вида exp0G, где A открыто в X. Докажите, что: а) семейство р\2 служит б а «н"г
некоторой топологии т?2 в ехр„Х; в) соответствие х\—> {х} есть топологическое
вложение А' в (ехр0 X, т,,,).
в. В обозначениях предыдущей задачи докажте, что если f:X—-*X' непре-
непрерывно, то отображение ехро/:(ехро X, xs,) —»¦ (ехр0 X', т,,) , задаваемое по фор-
формуле (expo/) (M) — f (M), тоже непрерывно.
7. В предыдущих обозначениях докажите, что соответствие Xi—> (ехр0 X, T4,)t
/—<-txp0/ есть ковариантный функтор из категории Тор в эту же категорию.
8. Пусть f:X—*Y — непрерывное и надъектиииое отображение, а ц:У
—>-^ехр,|Х, тц)—отображение, задаваемое но формуле (Л (у) =/~1 (у). Докажите,
что .(амкнутость / равносильна непрерывности р, (обозначения см. в задаче 5).
9. Пусть If — отношение эквивалентности в пространстве X. В предыдущих
обозначениях докажите, что замкнутость R равносильна тому, что фактор-топо-
фактор-топологии в X/R совпадает с топологией, индуцированной из (expn X, tlj).
§ 4. ОБРАТНЫЕ И ПРЯМЫЕ СПЕКТРЫ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
В последние годы как в самой топологии, так и во многих
других разделах математики наряду с такими основными опера-
операциями, как сумма, произведение и факторизация тех или иных
структур, все шире используются операции нового типа, а именно:
пределы так называемых прямых и обратных спектров этих струк-
структур (например, групп, топологических пространств или вектор-
пых пространств и т. д.). Эти операции оказались весьма плодо-
плодотворными, поскольку они позволяют, отравляясь от совокупности
объектов, снабженных определенной структурой, строить с по-
помощью оригинальной конструкции, основанной па предельных
переходах специального типа, широкий класс новых объектов
с той же структурой.
4.1. Обратные спектры (проективные системы) топологических
пространств и их пределы. Изложение основных понятий и фактов
теории спектров начнем с понятия обратного спектра (проектив-
(проективных систем), поскольку они играют большую роль в теории топо-
топологических пространств, чем прямые спектры (индуктивные си-
системы).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Пусть каждому элементу а (индексу)
частично предуиорядоченного множества А отнесено некоторое
множество Хп, а каждой парс индексов а, |> ? А 'таких, что а^|),
отнесено отображение л?: X»—<¦ Ха и притом так, что выполня-
выполняются условия:
(i) V«?y4 :r« — тождественное отображение Хи\
(ii) Va, [¦), у?А таких, что а^р^у ^oirj' •- л^.
Такая совокупность (X, я, А) = {X,,., л?, А) * называется обратным
*' Для крашости эту совокупность мы иногда будем обозначать {Ха, па\
или,'еще короче, (X, л).
170
спектром ii.'in проективной системой множеств (над индексным
множеством А но семейству отображений л?). При этом Ха назы-
называются элементами, а п?, -проекциями -лого спектра.
В том случае, когда все Аа—топологические пространства
(соответственно группы, векторные пространства п т. д.), а л1;--
непрерывное отображение (соответственно гомоморфизмы или ли-
линейные отображения), то (А', я) — (Аа, л.1) называется обратным
спектром топологических пространств (соответственно групп, век-
векторных пространств и т. д.).
Пример 4.1. Пусть А — множество hi натуральных чисел
с естественным порядком, А'а—единичный куб I"- в R'< (т.е. пря-
прямое произведение а экземпляров отрезка /-_|0, 1|), а проекциями
л?: /г|—>/а служат отображения проектирования, тогда легко
проверить, что совокупность (/а, ла, \Ч) образует обратный спектр
или проективную систему топологических пространств.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ А.2. Пусть (А, л) и (А", л') —дна обратных
спектра множеств над одним и тем же множеством индексов А.
Говорят, что задано отображение <р: (А, л)—>-(А',л'), если дли
каждого а ?А задано отображение <ра: Аа —*А„, притом так, что
для каждой пары индексов а, р1 таких, что ос^|) имеет место соот-
соотношение (| ,л о л? — л,'/ о фц, т. е. диаграмма коммутативна:
X.
к
В том случае, когда (X, л), (А", л') —обратные спектры топо-
топологических пространств (групп пли векторных пространств), то
отображения <р„_: Ха—>¦ Х'а, конечно, должны быть непрерывными
(соответственно гомоморфизмами или линейными отображениями).
Естественным образом определяется тождественное, отображение
спектра на себя, а также композиция отображений обратных спект-
спектров, а именно: если <ра :(фи):(А, л) ---(А", л'), a ip ¦¦(%): (А', л') -»•
-¦»(А", л"), то KO.Miio.inunei'i этих отображений называется отобра-
отображение
1 ("/<*): (А, л)-* (А", л"), где ум --= \\\ о фа.
Замечание 4.1. Если за объекты принять обратные спектры
множеств (соответственно топологических пространств, групп и
т. д.) над одним и тем же индексным множеством, а в качестве
морфизмов —определенные выше отображения спектров, то мы
получим так называемую категорию обратных спектров множеств
(топологических пространств, групп н т. д.).
Замечание 4.2. Иногда приходится рассматривать отобра-
отображение обратного спектра (А, л, А) в обратный спектр (А', л', А')
в том случае, когда множества индексов А и А' различны, и
тогда в определении такого отображения кроме семейства отобра-
171
женин (<|;а) должно быть задано сохраняющее порядок отображе-
отображение с»: А'—<• А, а именно говорят, что задано отображение цу.
(X, я, Л)—> (Х\ л', А'), если для каждого а' ? А' задано отобра-
отображение фа : Хм ion—*¦ ХаМ и притом так, чтобы для всех а',р"?/Г
и таких, что а'^|3', имело место соотношение
или, что то же самое, диаграмма коммутативна:
%
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.3. Пусть (X, я, А) = {Ха, л&, А} — обратный
спектр над А, а Ао — некоторое подмножество из А с индуциро-
индуцированным из А отношением порядка. Пусть, далее, для каждого
<х?Л0 задано некоторое подмножество Ya из Ха, причем эти под-
подмножества таковы, что для всех a, fi?Aa и таких, что
легко
выполняется условие я?(Ур) с Ка. Тогда, полагая л« = я^р
проверить, что совокупность (Уа, л|, Ао) образует обратный спектр
над Аа относительно семейства отображений л?, который назы-
называется подспектром исходного спектра.
Следует особо отметить тот частный случай подспектра, когда
Ао является собственной копфинальной частью А и для каждого
а6 А) У а совпадает с Ха. Такой подспектр будем называть конфи-
нальной частью исходного спектра (Ха, л&, А).
Далее, отображение ф-(фа): (Ха, я?, А) —->¦ (Ха, л^, А„), при
котором о) — отображение вложения i: Ао с А, а все фа—тождест-
фа—тождественные отображения, называется отображением вложения обрат-
обратного спектра (Ха, я?, А) в свой подспектр (Ха, я(^, Ло).
Перейдем теперь к определению понятия предела обратного
спектра и предела отображения обратных спектров, играющих
основную роль в теории этих спектров.
Пусть (X, я, А) — обратный спектр множеств Ха; элемент х — (ха)
прямого произведения [J Ха называют нитью данного спектра,
ас И
если яал'р = ха всякий раз, когда а^C.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.4. Подмножество X прямого произведения
II Ха, состоящее из всех нитей спектра (X, я, А), называют
as A
пределом этого обратного спектра и пишут X = lim(Xa, п&) или,
короче, X =lim Ха.
Иногда вместо X употребляют символ Х^. В дальнейшем изло-
изложении нам понадобится отображение яа: X—¦ Ха, представляющее
172
собой ограничение отображения проектирования ра: \\Хц —*Ха;
\
эти отображения па называются каноническими проекциями предела
спектра в его элементы.
Совершенно ясно, что при любых а^р1 диаграмма
коммутативна, т.е. яа = л?ояр.
Следует иметь в виду, что когда обратный спектр (X, л, А)
называют проективной системой, го построенное множество X
называют проективным пределом этой системы.
Пусть теперь совокупность отображений (ра: Ха —> Х'а залает
отображение <р: (X, л) —¦ (X1, л') обратных спектров множеств над
одним и тем же индексным множеством А и пусть X =\\т Х^,
а X' ~\\т Х'а, тогда оказывается, что существует, и притом един-
единственное, отображение ф: X—> X'', обладающее тем свойством,
что для каждого а?А выполняется соотношение фа ° яа = ла ° ф,
т. е. коммутативна диаграмма
JC >?
В самом деле, пусть х — (ха) — произвольный -элемент из X, т. е.
некоторая нить спектра (X, л). Сопоставив ей точку х'--(х1^) пря-
прямого произведения [\ Х'а, гдел:а=фа(л;а), нетрудно проверить, что эта
точка окажется нитью спектра (Х',п'), и, полагая ц;(х) — х', полу-
получаем отображение (р: X—»¦ X'', Для этого достаточно заметить, что
4
при а^Р справедливы равенства
л^х-р = л;р (фР (jfP)) = (л;11 о фВ) (хр) = (ф« о л
= Фа (л?*р) = фа (Ха) --= Х-;,
т.е. х' = (АГа) действительно является нитью обратного спектра
(Х',л').
Что же касается коммутативности упомянутой выше диаграммы,
то это следует из того, что
(Фа О Ла) (X) г= фа (пах) = фа (ДСа) = Х'а = Ла (А"') = (Ла О ф) X,
а из коммутативности этой диаграммы непосредственно следует
единственность такого отображения ф.
173
OilРЕДЕЛЕИИЕ 4.5. Построенное выше отображение <|: А -- А',
сопоставляющее каждой нити х — (ха) из X пить х'---(х'а), где
а'й ; ц'а (А'у), насыпают пределом отображения ц :(<|'J: (X, л) —>
—»(Х', л') п пишут (| -.- liin (i|'rt), а иногда и <р --¦¦ Urn (<|а).
Что же касается построения пределов обратных спектров в rex
случаях, когда Ха —топологические пространства (группы, вектор-
векторные пространства и т. д.), то принципиально важным является
вопрос о том, как именно задавать в множестве А' структуры,
соответствующие заданным в Ха структурам; однако поскольку
А — подмножество в прямом произведении | [ Ха, то вполне естест-
естественно за структуры в Л принять структуры, индуцированные из
прямого произведения, что приводит к следующему определению.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ -1.6. Пусть (X, л) - (Аа, ли) — обратный спектр
топологических пространств и пусть т—топология в А, индуци-
индуцированная из прямого произведения ЦАа, тогда пространство
ке Л
(А, т) называется пределом обратного спектра топологических
пространств (Ха, тч).
Нетрудно понять, что топология т является слабейшей из тех
топологий в А, при которых все канонические проекции ла непре-
непрерывны, т. е. представляет собой инициальную топологию, порож-
порожденную семейством отображений (ла).
Предостережение 4.3. Следует иметь в виду, что пре-
предел обратного спектра X может оказаться пустым множеством,
хотя все Ха-/~ .3 и все д? падъектнвпы. Тем не менее оказывается,
что если все А',,--непустые бикомпактные пространства, то А
непусто (см. [6|, с. 132). *~
В том случае, когда (А, л)—обратный спектр групп (соответ-
(соответственно векторных пространств), то А оказывается подгруппой
(соответственно векторным подпространством) прямого произведе-
произведения 11Аа, а канонические проекции — гомоморфизмами (соответ-
(соответственно линейными отображениями). (См., например, |7|, ч. Ill,
§ 7; [74], гл. VII1, § 3.)
4.2. Основные свойства обратных спектров и их отображений.
Изложим некоторые основные факты, касающиеся пределов обрат-
обратных спектров и их отображений.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.1. Если / — (!а) — тождественное отображе-
отображение обратного спектра (А, л) ¦- (Аа, я?) (здесь L, ¦-1Л-Ч), то I —
тождественное отображение предела Х---\'ипХп, т. с. I \х< далее,
если <р: (А, л) —(А', л'), а \\г. (А', л')—* (А", л"), то 0|-оф) = 1|>оф,
т. с. предел композиции двух отображений обратных спектров
есть композиция пределов этих отображений, взятых в том же
порядке.
174
•4 Первая часть утверждения очевидна. Для доказательства вто-
второй части предположим, что / =('/„):(X, л) —-(Л'", л")--композиция
отображении <|- и i|\ т.е. Ха':~г1'а ° <Г«. 1! пусть х-- (ха) - произ-
произвольная нить из X. Тогда непосредственно из определений будем
иметь
X (-V) - (Xa-Va) •= ('Га ° <Га) <Х) ^ t О''),
«...
1ДС Л'' - (<(>а(*а)). 40 ПОСКОЛЬКУ ф (х) =" ((Га (-\'а)) - А'\ ТО ИОЛуЧПем
X (-v) =;: >|; (Ч (а)) =¦¦: (t о .р) (.v), т. е. х - ф о <| . >
3 а м е ч а и и с 4.4. Из доказанного предложения следует, что су-
существует коварнантнып функтор из категории обратных спектров
множеств над одним и тем же индексным множеством А в кате-
категорию Set, сопоставляющий каждому обратному спектру (А', л. А)
его предел X ¦-¦¦¦¦¦ lim A'a, а каждому отображению (|. .- (<| и): (X, л, .4) *
- -. (А", л', А) --его предел ц>: Х—--Х'.
Ниже мы убедимся, что в случае обратных спектров топологи-
топологических пространств такое же сопоставление представляет собой
комарпаптный функтор из категории обратных спектров топологи-
топологических пространств п их непрерывных отображений в категорию ,Vr
(в категорию Тор).
ЛРЕДЛОЖЕНИF: 4.2. Пусть (X, л, А) -обратный спектр мно-
множеств над фильтрующимся вправо индексным множеством А, в кото-
котором все проекции л\[ инъектшшы, тогда все канонические проекции
л„ также инъективны.
¦^ Пусть х--=(хп), и -¦¦ Ц/а) ¦ -две такие нити из А, что при неко-
некотором ао? А пA,х — лаи//, т.е. хПа---у,и. Рассмотрим произвольное
|'> 6.4 и докажем, что \'ц'~-ур, т.е. .v ¦ //. 1^ самом деле, в силу
фпльтруемости вправо индексного множества А существует у?А
такое, что к„^у, f>^:y, поэтому из n%txv -х,1л и л,\'(/7 yrj, а
также из ппъективпостп л^и заключаем, что .vv---•//.„ откуда .n^'.vv ~
:\'{\уу или л-,,- --/yh. >
Замечание 4.5. Оказывается, что есш псе проекции л? бпек-
iiiiuibi, то п все канонические проекции л^ тоже биективны, между
чем аналогичное утверждение, касающееся только надъектпиностн,
ио(;б|це говоря, неверно. Имеете с тем оказывается, что если псе
А'., -непустые бикомпактные пространства п все л^ иадьективп-ы,
то и все л,, тоже падч>ектпвиы (см. § 3 гл. II!).
Приведем теперь простое доказательство одного факта, весьма
сущесч'вепиого для теории обратных спектров топологических про-
'ПРНДЛОЖЕПШ- А.\\. Пусть <| (<|.J: (А,,, л,1]) — (А,',., л,'|') -
iipnu::no.ihHoe отображение обратных спектров топологических про-
(Шранспш над одним и тем же индексным множеством А, тогда
иреде.1 (| : А - > А' .-иного отображения непрерывен.
•^ Поскольку топология и пространстве А' является инициальной
топологией, порожденной семейством канонических проекций
175
п'а: X'—i- X'a, то для непрерывности отображения ф достаточно
(см. п. 3.10 гл. I) установить непрерывность композиции л» о ip:
:Х —> Х'а для каждого а?А. Для этого, в свою очередь, доста-
* -
точно воспользоваться соотношением я^ о ф = ipao ла и принять
во внимание, что как фа, так и л.а являются непрерывными отобра-
отображениями при всех а?А. >
Рассмотрим теперь еще одну конструкцию, которая в ряде
случаев оказывается очень полезной. Пусть (X, п) ¦¦= (Ха, л?, А) - -
обратный спектр множеств, а Z—произвольное фиксированное
множество. Пусть, далее, для каждого а?А задано отображение
ga:Z —>¦ Ха, причем эти отображения таковы, что л?#M ¦ ¦¦ ga всякий
раз, когда а^р1. Тогда оказывается, что существует, и притом
единственное, отображение g: Z—*Х, обладающее свойством
лаоg — ga. ПРИ в^ех а?А. Для этого заметим, что, сопоставляя
каждому z?Z точку g{z) — x-—(xa) прямого произведения \\ Ха,
at; A
где xa~ga(z), мы получим отображение g: Z—*Х, поскольку эта
точка оказывается нитью обратного спектра (X, л). В самом деле,
непосредственно из определений имеем
ха ¦¦¦¦--- ga B) -= {п% о gp) (z) = л? (яР (г)) == л1 (Хр)
всякий раз, когда а^|1 С другой стороны, очевидно, что для
каждого г ? Z
(па о g) (z) -= па (g (z)) = ла (х) = ха = ga (z),
т. е. naog=zga, откуда непосредственно следует и единственность
такого отображения g.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.4. Если в указанной выше конструкции
(Ха, я?, А)—обратный спектр топологических пространств, Z —
произвольное топологическое пространство и все ga: Z—»• Ха суть
непрерывные отображения, то g: Z—*X — непрерывное отображение.
•4 Так как топология в X инициальна относительно семейства
отображений ла: X—*Ха и для каждого a ?A композиция naag
непрерывна, поскольку она просто совпадает с ga, то наше утверж-
утверждение непосредственно следует из свойства инициальных тополо-
топологий (см. п. 3.10 гл. I). >
Опираясь на описанную только что конструкцию, мы приведем
общего характера пример обратного спектра и его предела.
Пример 4.2. Пусть Х = ДХу -тихоновское произведение про-
извольного семейства топологических пространств Xj. Тогда оказы-
оказывается, что X гомеоморфно пределу некоторого обратного спектра,
элементами которого служат конечные произведения сомножителей
исходного произведения.
В самом деле, пусть Л —множество всех конечных наборов a
элементов из /, упорядоченное по включению, тогда А, как не-
нетрудно проверить, будет фильтрующимся вправо частично уноря-
176
доменным множеством. Положим для каждого а ? A Ya - \\Xj- и для
/есх
каждой пары а, [\ из А такой, что ос^р1 (т.е. а с р), примем
в качестве проекций л?: Кц—<¦ Уа обычные отображения проекти-
проектирования. Легко проверить, что совокупность (Ya, л?, А) образует
обратный спектр. Докажем теперь, что предел этого обратного
спектра гомеоморфен пространству X. Для этой цели заметим, что
если для каждого а?А ga: X—>-Ya определено как обычное отобра-
отображение проектирования, то njogs = ga всякий раз, когда сс<^р\
поэтому существует непрерывное отображение g: X —> Y (см. выше),
которое к тому же инъективно, поскольку семейство (ga), очевидно,
различает точки из X (т.е. ххфхг влечет ga (xj ф ga (.v2) при
некотором а?А). Для доказательства надъективности для каждой
нити у-~(уа) спектра (Ya, л?, А) укажем точку x — (Xj) из X такую,
что g{x) --=(/. Это, очевидно, будет выполнено, если за Xj принять
координату уа рассматриваемой нити, соответствующую одноэле-
одноэлементному набору а = (/), состоящему лишь из индекса j. Итак,
g — непрерывная биекция, поэтому остается доказать непрерыв-
непрерывность g~u. Y —>-X.
Для этого, заметив, что топология прямого произведения в X
инициальна относительно всевозможных проектирований pf. X—> X,-
и что каждая из композиций Pjog~l непрерывна, поскольку она,
очевидно, совпадает с канонической проекцией л{/), непосредст-
непосредственно убеждаемся в непрерывности ^-1 в силу свойства инициаль-
инициальных топологий (см. п. 3.10 гл. I).
Замечание 4.6. Нетрудно проверить, что если в предыдущих
построениях в качестве А взять какое-либо семейство наборов
(не обязательно конечных) элементов из /, фильтрующееся вправо
относительно упорядочения по включению, однако так, чтобы
объединение всех этих наборов совпадало с /, то lim (Ya, л?, А)
опять будет гомеоморфен прямому произведению Х~ \\Х.-.
/ е /
В качестве непосредственного приложения описанной выше
конструкции приведем следующий пример.
Пример 4.3. Предел У построенного в примере 4.1 обратного
спектра (/", л&, Н) гомеоморфен тихоновскому произведению /8«
счетного числа экземпляров единичного отрезка / — [0, 1| и, стало
быть, гильбертовому кирпичу. В самом деле, для этого достаточно
в качестве А взять, например, семейство всех наборов ап ¦-
--= {1, 2, 3 п) при «= 1, 2, 3, ...
Переходим теперь к изложению дальнейших свойств топологии
пределов обратных спектров, и поскольку знание базы топологии
часто облегчает установление тех или иных фактов, касающихся
исследуемой топологии, то мы начнем с нижеследующего простого,
но важного утверждения.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.5. Пусть (Ха, л&, А) -обратный спектр
топологических пространств над фильтрующимся вправо множеап-
177
вам A, X--lim Xa, тогда система всевозможных множеств вида
7\,,{(Ua), где Ua открыто в Ха, аа.?А, образует вазу топологии X.
•^ Прежде всего заметим (см. и. 1..Ч), что по самому определению
топологии прямого произведения X ¦¦-¦ \\Ха всевозможные конеч-
ч. • Л
п
ные пересечения вида f| pn'(Ur/..), где Ua. откр[>1ты и Х,х., а
ра:. X—уХгН суть обычные отображения проектирования, образуют
базу в X, а их следы па А', т. е. множества вида
образуют базу в пределе X. Далее, поскольку А фильтруется
вправо, то найдется а?А такое, что все а,-«с:а, поэтому, положив
Ни'- П (л'2 )~l (^«iI И<-'ТРУД110 проверить, что Ua окажется от-
открытым множеством ь Ха, так как каждое из отображений
л2,-: Ха—>-Ха. непрерывно. С другой стороны, из соотношения
"«,¦ - л",- о ла следует, что
= л-1 (п"( к,.)-f ((;«.)) - л-1 ((/а). >
Несколько видоизменив приведенное выше доказательство, можно
установить следующее, более сильное утверждение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.6. Если в предложении 4.5 индекс а пробе-
пробегает лишь некоторую конфинальную часть из A, a Uu -лишь не-
некоторую базу топологии пространства Хп, то система всевозмож-
всевозможных множеств вида л^'(Gа) образует базу топологии пре-
предела X.
-* —
11РЕДЛОЖЕНИЕ 4.7. Пусть Л — произвольное подмножество
и< предела X обратного спектра (Ха, л1^. А) топологических про-
пространств и пусть для каждого а ? А, Аа- яа(А) образ А при ка-
канонической проекции ла:Х— *Х.Х, тогда:
а) (А,х, л?, А) и (Ла, л||, А) образуют подспектры исходного
спектра;
U) П Ла1(А~а)=7\; с) 1пп/1„. ...--7f.
а I; А *¦¦¦¦
^ а) Непосредственно из определений и свойств проекций имеем
л?Лр - п\ (л,- (/1)) - (л!1, о л,,) (Л) == ла (Л) . Лч
и, стало быть, (А„, л!;, Л)—подспектр исходного спектра (здесь
уместно отметить, что эта часть утверждения остается справедли-
справедливой даже н 'том случае, когда (Х„, л!;, И)••¦-обратный спектр мно-
множеств). Что же касается доказательства второй части утверждения я),
17а
то здесь, пользуясь непрерывностью проекций л
л? (Лр)сл? (Zip) - Ла и, стало быть, (Ла, я?, А) тоже образует
подспсктр исходного спектра.
b) Так как очевидно, что А ел, (лГ4 (Л)) = л,~' (Л^сглп1 (Лч),
то /1с: П лач (У1Ч), но, поскольку все л~' (Ла) замкнуты в А' (и ш-
<*.. л '-¦-'_
лу непрерывности ла), непосредственно заключаем, что .1 г
cz A л-'(Ла).
¦/... /1
Докажем теперь обратное включение. Для этого рассмотрим
произвольную точку .v" (x"J из fl л^1 (Л„) и ее некоторую базисную
окрестность W в X. В силу предложения -1.5 \Г ¦ л7' (GV), где
у некоторый индекс из A, a Uy — некоторое открытое мпожепно
из A'v. Итак, докажем, что W(}A=?0. Прежде всего из
aVMv)n*7'(Uv)--V(/"ivnUv)
и из а(| ? W непосредственно заключаем, что точка лт (а1) ¦ ¦-х\. g
?Ayr\Uy и, стало быть, существует х\,? АУГ\ Uy. Поскольку
х\,?Ау-----Лу(А) ясно, что существует точка х'? А такая, что
л,, (х') -х'у. С другой стороны, из x'yZUy заключаем, что .v'?
? яv[ (Uу)-----W; таким образом, Л П W ф 0 и стало быть, .vo?/l.
c) Для доказательства достаточно проверить, что
Пп1/Га= П л (Аа).
- ¦ ос е Л
Пусть д:" = -(х?) ?lim ЛасХ, тогда поскольку для каждого
<* 6 >4 хЪ - ла (.v«) € Ла, то х« 6 л,:1 (Ла),
следовательно,
.ve п л,1 (Ла).
ГЛ.: Л
Обратно, пусть х" ? П л^1 (Ла), тогда
'х б Л
ла (а") •¦=.<(: Лгх для всех а?А,
следовательно, a" G 11Л,Л и, буд\ чп пмтыо, будет принадлежать
а • Л
li:n Ла. »¦
ТЕОРЕМА 4.8. Пусть (Ха, п%. А) -обратный спектр тополо-
топологических пространств над фильтрующимся вправо индексным мно-
множеством А (Ха, п?, Аи) — такой его подспектр, в котором Ао
образует какую-нибудь конфинальную часть А. Тогда предел X =
~\\т(Ха, л?, А) гомеоморфен пределу Xй = 1 i 111 (X.,, л';, А„).
^ Рассмотрим отображение #:X—>X", определенное следующим
образом: для каждой нити х—(ха)?Х g(х) — (ла (.v)), ocg/1,,, i;ie
ла — канонические проекции; очевидно, что д(л')?А'°. Докажем
прежде всего, что ? —инъекции. Пусть х' ¦ (х'Г1), х"~-(х','А)—две
различные нити из X, тогда найдется индекс ы„ ? Л такой, что
179
х'аиФ х'а, а в силу конфииалыюсти Ао найдется р1,, ? Д, такой, что
ао^Ро- Ясно, что лр„(л'') Ф лРA (х"), ибо в противном случае из
лро (х) = лро (х") в силу соотношения я?° о лр0 = лПо следовало бы
Ла1и')--ла11(х"), т. е. а-;о--\-;о.
Для доказательства надъективпости g рассмотрим произвольную
нить хп = (х'а) из Xй и построим нить х — (ха) из X так, чтобы
g{x)- х°. Пусть а — произвольный индекс из А, а |> — некоторый
индекс из Д, такой, что ос^р1 (Ао конфинальна), тогда оказывается,
что пить х — (хг/), где положено ха — л%.х"и будет искомом. Чтобы
убедиться в этом, сначала проверим, что так определенная а-коор-
дипата ха не зависит от произвола в выборе р1 из А„. В самом деле,
пусть [i — другой индекс из Д, такой, чтоа^р, и пусть л-а — л^л'" ?
? Ха, тогда, поскольку А фильтруется вправо, найдется индекс
у ? А такой, что P^Y- P»^=Y> I1 поэтому в силу транзитивности
проекций спектра будем иметь л^ = я^олр> и пХ = л^ол2, откуда
непосредственно получаем:
лХ4 = л« (лр4) = л
Ух = п^ (пХ а-{!) = nl (х\) = ха
и, стало быть, х„—ха.
Далее, легко проверить, что построенная таким образом точка
х — (ха) является нитью из А". Что же касается проверки того, что
g(x) — x", то для этого достаточно заметить, что в том случае,
когда а?А„, в качестве р1 можно взять само а и тогда, по опре-
определению, ха = п%х°а~х% и, следовательно, g(x) = xn.
Таким образом, g — биекция и нам остается доказать, что как g,
так и g~x непрерывны. Непрерывность g непосредственно следует
из предложения 4.4, если положить в нем Я» = ла. Для доказатель-
доказательства непрерывностиg~l:X{) —> X в силу инициальное™ топологии в X
достаточно установить непрерывность композиции anog~1:X1'—>-Xa
при всех а?А, что непосредственно следует из того, что имеют
место соотношения па og" = л? о лA для всех |^ из А таких, что
а<Ср\ В самом деле, пусть к° = (ха) — произвольная нить из Х°,
тогда непосредственно из соответствующих определений следует,
что
ла Ц (х0)) = ла (х) = Хъ - nUl = я? (л,нх°). ^
СЛЕДСТВИЕ. В том случае, когда индексное множество А об-
обратного спектра (Ха, я?, А) обладает наибольшим элементом а*
(т. е. таким элементом а*, что а<а' при всех а?А), то предел
X = lim Xa гомеоморфен пространству Ха>.
щ Доказательство непосредственно следует из доказанного предло-
предложения, поскольку одноэлементное множество Д, = {а*}, очевидно,
образует конфинальную часть А, а предел соответствующего под-
180
спектра, состоящего из единственного пространства Ха* с един-
единственной проекцией л?* = 1ха.. очевидно, совпадает с самим про-
пространством Ха*. ^
4.3. Прямые спектры (индуктивные системы) топологических
пространств и их пределы. В этом пункте мы дадим описание еще
одной важной конструкции—так называемых прямых спектров и
их пределов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.7. Пусть А— некоторое частично предупо-
рядоченное множество, называемое индексным множеством, и пусть
каждому а из Л сопоставлено некоторое множество Ха, а каждой
паре индексов а, р1 из Л и таких, что а^р1, задано отображение
Пр-.Ха—»-Хр, причем так, что выполняются условия:
(i) ,iS=lx«, Vagi4,
(ii) n!Jong-n*, Va<p<v,
тогда совокупность (Ха, л?, А) называется прямым спектром или
индуктивной системой множеств над индексным множеством А,
при этом множества Ха называются элементами, а отображения
Яр — проекциями этого прямого спектра.
П р и ме р 4.4. Пусть {К,.; i ? /} —произвольная система множеств,
Л —множество конечных наборов а элементов из /, частично упо-
упорядоченное по включению. Для каждого а?А Ха = ^ К,-, т. е.
Ха является дизъюнктным объединением множеств У., где г?а.
Ясно, что если а<р\ то XaczX1'1 и поэтому определены отображе-
отображения вложения п\\:Ха — <¦ X". Легко проверить, что совокупность
(Л"х, Лр, Л) образует прямой спектр множеств над Л.
Имея в виду рассматривать прямые спектры в качестве объек-
объектов некоторой категории, мы переходим к естественному опреде-
определению понятия отображения (морфизма) одного прямого спектра
и другой.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.8. Пусть (Ха, л?, Л) и (Х'а, я[?, Л)-пря-
Л)-прямые спектры множеств над одним и тем же индексным множест-
множеством Л и пусть для каждого а из Л задано отображение <ра:Ха—> Х'а,
причем так, что всякий раз, когда a^Cf', выполняется соотношение
<j.n о Лр = Лр* о (j;a, т. е. коммутативна диаграмма:
ХР
и ^
хт Лр > х'Р
тогда система ф = (фа) называется отображением первого спектра
во второй и записывают
ф:(Ла, л%, А)->(Х"а, лра, Л).
181
Естественным обра:шм определяется тождественное отображение
спектра, я также композиция двух отображении, именно: если
«I :-{<v*):(Xa, л;?, Л) —(Х'а, лр<\ А),
а
Ф ¦== (f):(*'". л,',\ ,4)-.,(Х"а,лра, /1),
то композицией /- = i|)o ц> этих отображении называется отображение
-/-(Х°):(Х«, л?, Л) -^Л"*, л,,-, Л),
где для каждого а?Л у/'-- -1|-."-о <| а.
После этого легко проверить, что прямые спектмм и их ото-
отображения действительно образуют категорию.
Замечание 4.7. Так же как и для обратных спектров, можно
определить отображение прямых спектров над различными индекс-
индексными множествами, мы рекомендуем сделать это читателю.
Замечание 4.8. В том случае, когда элементы спектра
являются не просто множествами, а снабжены, например, структу-
структурой топологического пространства (или группы, пли модуля над
одним и тем же кольцом п т. п.), а проекции, естественно, являются
непрерывными отображениями (или гомеоморфизмами соответствую-
соответствующих структур), то и сам спектр называется прямым спектром
топологических пространств (групп, модулей и т. п.). Ясно также,
что и при отображениях таких спектров все <|>а тоже должны быть
непрерывными отображениями (или гомеоморфизмами соответствую-
соответствующих структур), и тогда получаемая категория будет представлять
собой категорию прямых спектров топологических пространств
(или групп, или модулей и т. п.).
Пусть дан прямой спектр {Ха, п*„ А) над фильтрующимся вправо
множеством. Образуем сумму (дизъюнктное объединение) X эле-
элементов X'1 данного спектра п рассмотрим в X отношение эквива-
эквивалентности (>, определяемое следующим образом: если л', х" неко-
некоторые точки из А', причем х'? Ха', а х" ? X1*", то .у' . л"(пнк1р)
означает существование такого индекса (>, что а'<^'|>, с."- fi и
njt (л'')-- лJi (.v"). Рефлексивность и симметричность бинарного отно-
отношения <> очевидна. Покажем, что р транзитивно, т. е. xl -zs х,г (mod p)
и л'2;.. -х3 (mod (>) влекут за собой х, -.u'., (mod p). В самом деле,
пусть х, 6 X'ii, х.г?Хаг, х, (; Xa\ a [¦>,, р\, —такие индексы из А,
что яр' (х,)= лр'(х.2) и nfc (х2)=л(Ц (л-.,); поскольку А— фильтрую-
фильтрующееся вправо, то найдется такой индекс у, что р^-5П'> Г'з^Т- по-
поэтому в силу (ii) будем иметь
л*' (х.) ^ я$' WlxJ = л.Г;- (nJf> Xt) ~ n^ (х,) -
т. с. х, -^ х., (mod о). Таким образом, бинарное отношение (> дей-
действительно является отношением эквивалентности и порождает тем
самым фактор-множество Х/р иножества X по (>.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.9. Пределом (или индуктивным пределом)
прямого спектра (Ха, л,'5, А) множеств называется построенное
182
выше фактормножество Х/р, которое обозначается символом X -=¦
= 1 iin (vY^, л[?; А) или символом Х°°.
Замечание 4.9. Нетрудно проверить, что всякий раз, когда
at."|i, любая точка ,va ? Ха (> эквивалентна ее образу х" - ¦ л^х'\ т. е.
каждая точка из X находится в одном и том же классе вместе со
всеми своими образами при всевозможных проекциях спектра.
В самом деле, пусть у?А — такой индекс, что tf-iLy, fl^v, тогда
из соотношения Пу — л^опр будем иметь
что и означает р-эквпвалентность ха и Jtfl.
Замечание 4.Ю. В отличие от предела обратного спектра
ясно, что предел прямого спектра всегда не пуст, если хотя бы
одно из множеств Х'хф0.
Прежде чем определить предел прямого спектра топологических
пространств, дадим определение так называемых канонических
->
отображений. Пусть %:Х—*Х~Х/р—фактор-отображение (см.
и. 2.1); отображения па — %\ха:Ха—*Х, представляющие собой
сужения % на подмножества Ха, называются каноническими отобра-
отображениями прямого спектра (Ха, я,*, А).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.9. Пусть сГ ~ ((|a):(Xa, njf, Д) —(Х"\ л,',",
А)— отображение одного прямого спектра в другой, тогда суще-
существует, и притом единственное, отображение <| :lim Хп — >lini A"a
такое, что при каждом а?А выполняется соотношение ц о ла =*
= л'а о ([", т. е. коммутативна диаграмма
я" -*•
Ха— > X
9
X* —^ > А"
Л Пусть ?— произвольный элемент из X, т. е. некоторый класс
((-эквивалентности в X, а дЛ ? X"*—его какой-нибудь представитель,
т. е. л4 (ла) = с. Положим х'а =¦= гра-(,va) и в качестве образа исход-
исходного класса с при отображении ц>: X —> X' примем класс л\—л'а{х'а)
^[ца (ха)].Ясно, что необходимо проверить независимость этого класса
I) от произвола в выборе представителя .v" из класса ?. Пусть л:1' g X1' --
другой представитель этого же класса. Докажем, что |<(a(.vv\)|
-= [фр (xfi)], т. е. установим (/-эквивалентность (ра(ха) и ср^л:1''). Длм
этого заметим, что поскольку л'а=- .vp (mod <>), то найдется у ? А
такой, что ее^7. Р*^Т> n^.va-= л-^л;11, или, применив к обеим частим
отображение (р7, будем иметь
откуда в силу соотношений
о лу =-- л^ о срр
183
и цУ о лу =--
получим
л7(фа*а) = я;р(фрхр), т. е. фал:а^=фр;
Итак, построенное выше отображение ц:Х—+Х' определено кор-
корректно. Коммутативность упомянутой диаграммы непосредственно
следует из самой конструкции отображения <р, а единственность
отображения ф — из коммутативности этой диаграммы, если учесть,
что ла—надъективно. ^
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.10. Построенное в предыдущем предложении
¦ > ¦ ¦*- - ¦¦
отображение ц:Х—<¦ X' называется пределом отображения ц> —
^(ца):(Ха, л?, Л)-*(Х'а, лра, А) и обозначается Inn ц>г\
Иногда вместо ф употребляется запись ф°°.
Без труда доказывается, что предел тождественного отображе-
отображения является тождественным отображением предела и что предел
композиции двух отображений совпадает с композицией пределов
этих отображений. Таким образом, ясно, что прямые спектры (над
одним и тем же индексным множеством) и их отображения образуют
категорию и что переход от прямых спектров и их отображений
к соответствующим пределам представляет собой ковариантный
функтор из категории прямых спектров (над одним и тем же фильт-
фильтрующимся вправо индексным множеством) в категорию Set.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.Ю. Пусть (Ха, л?, А) —прямой спектр, а
Z-- произвольное множество и пусть для всех а?А жданы отобра-
отображения ha:Xa—-Z такие, что а^р влечет за собой № о л* - --ha.
Тогда существует, и притом единственное, отображение h:X—-Z
такое, что ltona — ha для каждого а?А.
.^ Отображение h будем строить по представителям, а именно:
каждому классу ? ? X -- Х/р отнесем точку z — haxa, где ха --какой-
нибудь представитель из класса |, и докажем, что эта точка z не
зависит от произвола в выборе представителя ха из ?, т. е. что
из ха — хр (mod р) следует haxa -=№х^. В самом деле, пусть у ? А —
такой индекс, что л^-л^х^Х7, тогда, применив к обеим частям
отображение hy, будем иметь
или (пУол«){ха)=;{11уоя
откуда в силу свойств отображений ha получим haxa = /iAxp. Итак,
отображение h:X-^Z построено корректно.
Пусть теперь ха — произвольный элемент из Ха, тогда ее образ
при каноническом отображении ла есть класс 2- точки ха и поэтому
h(l)-=haxa, т. е. 1юла-На, откуда легко следует и единствен-
единственность такого отображения h. ^
Замечание 4.10. Пусть ф = (фа):(Ха, л^, Л) — (Л"а, л/,*, А),
тогда, полагая па^ (л'а оц>а):Ха—>Z — X', легко проверить, что
семейство /ia будет удовлетворять условию предыдущего предло-
184
жепия, а порождаемое этим семейством отображение /г будет не чем
иным, как пределом ф = Ннкра.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.11. Пусть h:X —>¦ Z—построенное выше ото-
отображение, порожденное семейством отображений ha: Ха—«-Z, тогда:
(i) h надъективно тогда и только тогда, когда Z— U ha(Xa).
«е А
(ii) h инъективно тогда и только тогда, когда для каждого a?A
из х'а, х"а ? Ха и ha(x'a) — ha(x"a) следует существование ft ^ а та-
такого, что Лр (л:'а) = Лр (х"а).
^ (i). Предположим, что Ъ надъективно, а г0 — произвольная точка
из Z, тогда существует ?0 ? X такое, что h (?0) = г0. Пусть ха« ? Ха° —
какой-нибудь представитель класса ?„, тогда, по определению /г,
будем иметь /i (?„)-=/га° (%а°) = г0, откуда следует, что г0 ?/га°(Ха°),
и, стало быть, Z= (j /ia(Xa). Допустим теперь, что Z— 1) ha(Xa),
a z0 — произвольная точка из Z, тогда z0 будет принадлежать не-
некоторому/ia» (Xa«), поэтому найдется хя° ? Ха» такое, что /га»(ха°)=20.
откуда, по самому определению h, следует, что
h ([xa»]) = /ia» (ха°) = 20, т. е. /г надъективно.
(ii). Пусть h инъективно и при некотором а?А х'а, х"а ^ Ха
таковы, что ha{x'a) — /га(х"а). Положим ^' = [x'a], ?" = [x"aJ, тогда
будем иметь /? (?') = /i«(.v'a) ¦=--ha (x"a) = "h (|"), откуда в силу инъек-
тивности Л заключаем !' = ?"> что равносильно р-эквивалентиости
х'а и х"а, а это ii означает, что существует |^^а такое, что
л% (х'а) — л^ (х"а). Пусть теперь условие из (ii) выполнено и ?'•=
= [.v"] и |" = [л;р] из X таковы, что h (I1) =1гA"). Тогда поскольку
ii (lr) --= ha (ха), а h (I") = /iA (д;;!), то будем иметь /ia {xa) = /г1 (х11). Пред-
Предположим, что а^Су» P^V> и рассмотрим в Ху точки х'у — тсу(ха),
х'у — Лу1 (x[i), тогда
/,V (^) = (/,V о „a) (X«) = ha (д.а) ^ лр ^||) = (/jV 0 дИ) (хИ) = /,V (^).
Отсюда в силу условия из (ii) существует индекс б^у такой, что
п% (ху) — л1 (х'у) и, стало быть, x'v = x'y (mod (>). С другой стороны,
из х^,-=Яу(лга) и лг'^ = л§(хр) в силу замечания 4.8 имеем
ха .--= л;^, (mod р) и х^ ^ Ху (mod p),
откуда по транзитивности отношения р заключаем, что
^.-fsx^modp), т. е. ?' = [*"] = [*Р] = ?". ^.
СЛЕДСТВИЕ. Пусть (Ха) — некоторое семейство множеств,
где а пробегает фильтрующееся вправо множество индексов А, при-
причем при a^p1 Xa^Xp. Приняв за проекции л[?:Х'х—¦> X1' отобра-
отображения вложения, легко проверить, что совокупность {Хг\ л,,, А)
образует прямой спектр множеств и что X = limXa находится
в биективном соответствии с объединением Z — (j Xa.
J8R
ц| Положим в качестве ha: Хгх —¦>¦ 7. отображение вложения, тогда
ясно, что при ct'^fi /г1'о Яр =-Л", поэтому согласно предложению
4.10 существует отображение /к А—>-Z. Поскольку Z = (j Xa -=*
at A
=- 1) ha(Xa), то в силу (i) h надъективно. Пусть теперь х'а, х"а? Xе*
i L Л
таковы, что hri (х'п) = ka (х"а). Тогда в силу ип ьектнвности hn x'a -- х"сх,
поэтому при каждом [i^-a nf,x'a~n^x"a и, стало быть, в силу (ii) h
нпьективпо. Итак, h—биекцня между Хи 7.=- и Аа.^.
'tt_A
Подспектр прямого спектра определяется совершенно аналогично
случаю обратных спектров.
Отметим теперь одно важное свойство пределов прямых спект-
спектров, заключающееся в том, что, как и в случае обратных спектров,
при их вычислении можно ограничиться любой копфпналыюй
частью индексного множества рассматриваемого прямого спектра.
Пусть (Хг\ 71%, А)— прямой спектр множеств над фильтрую-
фильтрующимся вправо множеством А, (Ха, л?;, Аи) — его подспектр, а А' и Л'„ —
соответственно их пределы.
ПРЕДЛОЖЕНИИ 4.12. Если Аа—конфшшльная часть А и села
d.i.'i каждого а ? А„ ha — na:Xa—«-Х, то порождаемое (см. выше) се-
Mciicme.oM (ha) отображение. И:Х„—> -Y является виекцией, т. е.
предел X рассматриваемого прямого спектра совпадает с пределом
любой его конфинальнои части.
¦^ Для доказательства падьектинпости отображения /г в силу ус-
условия (i) предложения 4.11 достаточно установить, что {) /('"'(А'14) =
I''' Ао
¦¦ X, по поскольку левая часть, очевидно, содержится в правой,
то остается доказать обратное включение Ac U h ' (А11). Прежде
всего ясно, что
A- U l(Xa)=- U ла(А«),
ас А аи Л
где х:Х —>¦ А—-фактор-отображение.
Теперь докажем, что для каждого а?А найдется fi€At, такое,
что х {Xa)alft (А11), откуда и будет непосредственно следовать тре-
требуемое включение. В самом деле, поскольку Ав-~копфипяльная
часть А, то найдется \\?А такое, что [ij^a, и, стало Пыть, будем
иметь
л" (А«) - (л" о пЪ) (Ха) или х(Ха) = Л"(.^X'z)c/t" (A';).
/1,ля доказательства инъективиости h достаточно проверить вы-
выполнение условия (ii) предложения 4.11 для подспектра (А", л1}*, Ао),
т. е. показать, что если для некоторого а? А„ п элементов х"х, х"а
н.t X"- имеет место lia (x'a)~ha (х"а), то найдется индекс у ? Ао
такой, что Пу (х'а) — Пу {х"а). В самом деле, так как у\(х'4) ¦-¦ W- (х'а)
и у (x"a)--=ha(x"a), то из х[х'а) -¦ х (х "а) следует х'а--^¦¦ х"а (.mod ()) и
186
петому существует \\^а такое, что л[?(л-"') ¦; .ir,t (к"а) (здесь f>?A,
НО ПС 1'бяЗаПО бЫТЬ ИЗ Аа).
Далее, в силу конфинальности А„ найдется индекс у 2-Г» из Аи
поэтому в силу Лм — л^ол?, будем иметь
л'.'; (ха) = лР, (л?*) ¦="= л!" (л?,?*) - = л1? (х"),
что и означает выполнение условия (и), а следовательно, и нпьск-
тивпость h. ^.
Перейдем, наконец, к определению предела прямого спектра
топологических пространств. Пусть (Ха, п^, А) — прямой спектр
топологических пространств. Поскольку его можно рассматривать
как прямой спектр множеств Ха, для которого предел X уже был
определен выше, то остается рассмотреть вопрос о задании топо-
логин в этом пределе X. Вполне естественно задать в А' по воз-
возможности богатую топологическую структуру, однако, разумеется,
так, чтобы все канонические отображения л":А'"—<¦ X были непре-
непрерывными.
Oil РЕДЕЛИ. НИЕ 4.11. Пределом прямого спектра топологичес-
топологических пространств (Ха, л^, А) называется множество X, наделенное
финальной топологией, порожденной семейством (ла) всех канони-
канонических отображений, т. е. сильнейшей из всех топологий в X, при
которых все ла непрерывны.
4.4. Оснокные свойства прямых спектров и их отображений.
Изложение, этого пункта начнем со следующего основного предло-
предложения.
ПРЕДЛОЖИ.IIНЕ 4.1.4. Пусть <|. - (ц'х):(Ха, л?, А) —
—>(А"а, л^, А) — отображение прямых спектров топологических
пространств, тогда предел <\:Х—> X' этого отображения является
непрерывным отображением пространства X в пространство X'.
^ Поскольку топология в X финальна относительно канонических
проекций ла, то в силу предложения 3.25 гл. I для доказатель-
доказательства непрерывности ц-. достаточно установить непрерывность koviio-
зицип (рола:Ха—> А' для всех а?4, что непосредственно следует
из определения ip (a именно из соотношения фолг-л'!(о(|''] и
непрерывности каждого из отображений л'а и <ра. ^
Замечание 4.12. Из предыдущего ясно, что переход от прямых
спектров топологических пространств и их отображений к своим
пределам представляет собой ковариантнып функтор из категории
прямых спектров в категорию Тор.
IIРЕДЛОЖЕПИЕ 4.14. Пусть в условиях предложения 4.10 все
множества являются топологическими пространствами, а все ото-
отображения—непрерывными, тогда отображение /г: А—>¦/ непрерывно.
^ Так как топология в X финальна относительно семейства ка-
канонических отображений ла: А"* —» А, то в силу предложения .'5.25
187
гл. 1 нам достаточно установить непрерывность композиций
/гола:Ха—> ? при всех а?А, что непосредственно следует из оп-
определения h, a именно из соотношения hona — ha и непрерывности
отображения ha. ^
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.15. Пусть в условиях предложения 4.12 все
множества —топологические пространства, а все отображения не-
непрерывны, тогда биекция h:X0—>Х является гомеоморфизмом, сле-
следовательно, при вычислении предела прямого спектра топологических
пространств можно ограничиться рассмотрением какой-либо его
конфинальной части.
.^ Непрерывность /г доказывается почти так же, как в предыду-
предыдущих двух предложениях. Что же касается непрерывности /г :Х •- Хо,
то в силу финалыюета топологии в X относительно семейства (ла)
достаточно установить непрерывность композиции h~1ona при всех
а?А. Вместе с тем легко понять, что для каждого сс? А найдется
р" ? Ао такое, что р^а и, следовательно, ла=-я11 о Лр--/гр о л^,
откуда заключаем, что h~l о ла --- (/г о /гр) о лр*. С другой стороны,
из соотношения /гол11 — /г'1 имеем л'1==/г о № и поэтому /г о ла =
-- л" о л|j и, очевидно, непрерывно как композиция непрерывных
отображений л11 и л*р.
Замечание. 4.13. Если в условиях следствия к предложению
4.11 все множества Ха—топологические пространства и притом
такие, что при а<р X* является подпространством пространства
X" (и тем самым проекции Лр непрерывны), то, перенося в мно-
множество и Ха топологию из предела X (посредством существующей
биекции), мы превратим объединение (J Ха в топологическое про-
пространство, гомеоморфное пределу X. Таким образом, в рассматри-
рассматриваемой ситуации предел X можно представлять себе как объеди-
объединение U Ха, наделенное топологией, финальной относительно се-
«*>
мейства вложений !а, :Ха»с U Ха.
(а)
Подобные конструкции часто используются, например, в раз-
различных вопросах алгебраической топологии, общей теории меры
в бесконечномерных пространствах и т. д.
Пример 4.5. Рассмотрим отображение n''+p:R"—> R"+*!, зада-
задаваемое формулой
я||ьр(х1, х.,, ..., хп) — (хл, х2, ..., хп, 0, 0, ..., 0),
очевидно являющееся гомеоморфизмом в Rn+P, поэтому при всяком
/; ^з 1 R" можно считать подпространством в IR"+/'. Итак,
К'сгК2с:... cR"c ..., поэтому легко понять, что совокупность
(R", я",, Н) образует прямой спектр топологических пространств.
Предел X этого спектра называют бесконечномерным числовым про-
188
странством и обозначают R°°. Согласно следствию предложения
4.11, множество U IR" можно отождествить с множеством R"° и,
и=1
перенеся при этом топологию из R°°, превратить (J R" в тополо-
гическое пространство, гомеоморфное К™. Поскольку топология
в R°° финальна относительно канонических инъекции л":К"—>IR"°,
то топология в объединении U К" будет финальной относительно
(и)
семейства отображений вложения irn:Rmc: U R" и, стало быть, нод-
(")
множество М будет открытым в U R" тогда и только тогда, когда
с/)
М П К" открыто в R" при всех п. Таким образом, R™ есть не что
иное, как объединение и R" с упомянутой только что топологией,
<«>
являющейся, как легко понять, продолжением имеющихся в каж-
каждом из R" топологий (см. предложение 3.18 гл. I).
Совершенно аналогично можно построить бесконечномерное
комплексное числовое пространство С°° как индуктивный предел, со-
соответствующий последовательности вложений C'crC2cz . . . а?"с:....
Ясно, что С°° будет не чем иным, как объединением U С" с топо-
<л)
логией, в котором множество М открыто тогда и только тогда,
когда М П С" открыто в С" при всех n?N.
Примеры. 4.6. Рассмотрим отображение n"h/):S"—-S"+'', за-
задаваемое формулой
р
являющееся гомеоморфизмом на образ, и поэтому для каждого
pdU S" можно считать подпространством в S"+>'. Это позволяет,
исходя из последовательности вложений S1cS~cl . . . aS"c:. . ., по-
построить прямой спектр E", п'1„, Н) топологических пространств.
Предел этого спектра обозначают через S" и называют единичной
сферой в R°°. Как и в предыдущем примере, S можно рассматри-
рассматривать как объединение U S" с топологией, которая слаба относи*
со
телыю покрытия {S"; п?^[, и, стало быть, подмножество М
открыто в объединении \JS" тогда и только тогда, когда M()S'a
(л)
открыто в S'" при всех m?N.
4.7. По соображениям, аналогичным приведенным, в предыду-
предыдущих примерах можно считать Rp" замкнутым подпространством
пространства Rp'^f и, исходя из последовательности вложений
Rp'aRp'cz . . . czRp"c:. . ., построить прямой спектр (/?р", л;;1, Щ),
предел которого обозначают Rp°° и называют бесконечномерным
вещественным проективным пространством.
Так же как и выше, /?р°° можно отождествить с объединением
U RP", наделенным топологией, финальной относительно семейства
(л)
вложений im: Rpmc U Rp".
(n)
189
Совершенно так же, отправляясь от последовательности вложе-
вложений Ср'сСр-с: . . . cCip"cr . . ., строится пространство CIR°°, назы-
называемое бесконечномерным комплексным проективным пространством.
Замечание 4.14. Пусть (/;', <^) —произвольное направлен-
направленное множество, а Х\-. — соответствующая категория (см. пример
8.7). Тогда каждый прямой спектр множеств (соответственно топо-
топологических пространств, групп, модулей и т. п.) над направлен-
направленным множеством (/:, ^Г) представляет собой ковариантный функтор
из категории *Ъ°Е в категорию множеств ,7(?м (соответственно в 5т*т>
ЭРо, Жц и т. д.). Аналогично, каждый обратный спектр множеств
(соответственно топологических пространств и т. д.) над (/;, <;'.)
представляет собой контра вариантный функтор из SVE в 3VM (соот-
(соответственно в :Ъ°\- и т. д.).
Задачи
1. Пусть (Л, sc) —множество натуральных чисел, упорядоченное следующим
образом: «,</i:, если п., кратно «,. Пусть, далее, для каждого т ? А X'" ~Ж<
а для любых т <; п отображение :i'n':Xm -> А'" задается но (формуле д"'(р)—-—¦•/?,
где />?й. Докажите, что: а) система (А', и"', А) — прямой спектр мможести
над А; I)) предел X .-. lini X'" сстестенно отождествляется с полем рациональных
чисел.
2. Пусть (А, О — произвольное счепюе и направленное по возрастанию
миожгстно. Докажите, что существует его конфппа.п.пая часть, изоморфная на-
натуральному ряду.
3. Пусть каждое из пространен! Л'^ в обратном спектре (Л'а, лB, А) обла-
обладает счетной базой, а А содержит копфннальпую часть, и <оморфпу;о натураль-
натуральному ряду. Докажите, что предел X ¦ = lim А',4 гоже обладает счетной базой.
4*. Пусть {//а; а^Л}—-такая система подгрупп группы <";, что (i ¦.:-. [\ Цп п
(а)
для любых а, (^/1 существует у?А такое, что 11а , II''' — подгруппы //V (по-
этому А можно считать направленным, полагая а<р, если ll''-с //''). Рассмот-
Рассмотрим прямой сиекф ipymi {//a, лр, А), где .i|("://'x -//i; -- отображение вложе-
вложения. Докажите, что lim//а // естественно изоморфен гр\ппе О'.
5. Пуст]) {Л'ге, л-х, Л} — обратный спектр пространства, а {А'а, л,х, Л}—та-
Koii его подспектр, что для любого а?Л ;>а (А) а Ха. Докажите, что X гомеп-
M'.ipiN'ii пределу А" этого подспектра.
С. Пусть {Gri: л^} --обратный спектр топологических групп {:\\,_ — пепрерыи-
ные гомоморфизмы), а С"Л\\пОщ- Докажите, что топологии u (i согласована
со структурой проективного предела групп Ga. Топологическая i руина (i назы-
называется проективным прсОелом исхоОноги спектуа.
ГЛАВА III
КЛАССЫ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
§ 1. ХАУСДОРФОВЫ, РЕГУЛЯРНЫЕ И ТИХОНОВСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Из приведенных в гл. 1 примеров яидно, что существуют «на-
«настолько плохо устроенные» топологические пространства, в которых
отдельно взятая точка может оказаться незамкнутым подмпожосг-
ном, конечное множество может обладать продольными точками,
одна п та же последовательность точек может оказаться сходя-
сходящееся к двум различным точкам или даже к каждой сочке про-
пространства. Такие неправильные, с точки зрения классического ана-
анализа, «патологические» ситуации являются следствием того, что
положенные в основу определения топологического пространства
аксиомы 1°—3" слишком общи, и полому выделяют лишь наиболее
общие свойства пространств.
В связи с этим оказывается целесообразным добавлять к ука-
указанным основным аксиомам различного характера ограничения
в виде первой пли второй аксиом ечетности, а также в виде так
называемых аксиом отделимости, с. тем чтобы удовлетворяющие
¦лтнм дополнительным аксиомам топологические пространства по
своим свойствам стали ближе к метрическим или другим специаль-
специального типа пространствам, широко используемым в самых различ-
различных разделах математики пли ее приложении.
1.1. Хаусдорфовы пространства. Топологическое пространство X
называется Т„-пространством пли колмогоровским, если, каковы бы
ни были две его различные точки, хотя бы одна nt них обладает
окрестностью, которая не содержит другой точки. 1лсли же потре-
потребовать, чтобы в пространстве А' каждая из любых двух различных
точек обладала окрестностью, не содержащей другой точки, то
получится несколько более узкий класс пространств, которые на-
называются Т ^пространствами или достижимыми.
Оказывается, что уже в '/'.-пространствах некоторые из vhom>i-
путых выше «патологических» ситуаций, которые были не совмес-
совместимы с нашими интуитивными представлениями, заведомо не могут
иметь места. Так, например, легко проверить, что в произвольном
'/^-пространстве X любое одноточечное подмножество является
замкнутым, и обратно: если в топологическом пространстве любое
одноточечное подмножество замкнуто, то X есть 7',-проетранетво.
Кроме тою, можно доказать, что если х„ есть предельная точка
для множества ,VJ, то .любая окрестность л'„ содержит бесконечно
много различных точек из Л/. В самом деле, пусть нашлась ок-
окрестность U точки л'„, которая содержит лишь конечное число
точек .V,, х.г, ..., ,\'„ из М, тогда поскольку X есть 7\-иростран-
191
ство, то существует окрестность U{ точки х0, не содержащая точку х,-.
п
Положим V — Г) UI, тогда, очевидно, V окажется окрестностью хи,
i- 1
не содержащей точек из М, кроме, быть может, самой точки х„,
т. е. х0 не является предельной точкой для М. Таким образом,
в 7,-пространствах конечные множества не могут иметь предель-
предельных точек. Примером колмогоровского, но недостижимого про-
пространства может служить так называемое связное двоеточие (см.
п. 1.2 гл. I).
Очень важным классом топологических пространств является
класс пространств, удовлетворяющих второй аксиоме отделимости,
или, короче, Т2-пространств, называемых также хаусдорфовыми
пространствами, или отделимыми.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Топологическое пространство X называ-
называется хаусдорфовым (а его топология — хаусдирфовой), если любые
две различные точки из X обладают такими окрестностями, пере-
пересечение которых пусто.
Очевидно, что любое хаусдорфово пространство является 7\-про-
страпством, но не наоборот. Очевидно далее, что хаусдорфовость
является наследственным свойством, т. е. любое подпространство
хаусдорфова пространства хаусдорфово. Одним из важных свойств
хаусдорфовых пространств является единственность предела после-
последовательности точек. В самом деле, пусть последовательность точек
хп из X сходится к двум различным точкам х' и х" и пусть V и
U"—такие их окрестности, пересечение которых пусто. Тогда, по
определению предела последовательности, одна из этих окрестнос-
окрестностей может содержать лить конечное число точек из этой последо-
последовательности, что противоречит предположению.
Примеры. 1.1. Примером хаусдорфова пространства служит
любое метрическое пространство, в частности любое подпростран-
подпространство R".
1.2. Нетрудно убедиться, что топология Зарисского, будучи
достижимой, не является хаусдорфовой.
1.2. Некоторые свойства хаусдорфовых пространств. В этом
пункте приведем некоторые основные свойства хаусдорфовых про-
пространств.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.1. Пространство X хаусдорфово тогда и
только тогда, когда диагональ Д пространства ХхХ замкнута.
^ Необходимость. Предположим, что X —хаусдорфово. Дока-
Докажем, что множество М=ХхХ\Д открыто. Пусть (х0, у„)?М и,
стало быть, х^Фу,, a U, V — непересекающиеся окрестности точек
х„, у„ в пространстве X. Тогда легко проверить, что множество
U х V будет окрестностью точки (х„, у„) в ХхХ, целиком содер-
содержащейся в М. Итак, M = IntM, что и доказывает замкнутость Д
в ХхХ.
Достаточность. Пусть диагональ Д замкнута и пусть х0,
(/„—две различные точки из X. Тогда, очевидно, М — ХхХ\Д
открыто и содержит точку (х„, у0). Поскольку множества вида
192
UxV, где U, V — открытые множества в X, образуют базу топо-
топологии в ХхХ, то найдутся такие UB, Vo, что (л;0, y0)?UoxVo,
а (*/охУо)ПД-0.
Вместе с тем ясно, что эти множества U a, Vo суть непересе-
непересекающиеся окрестности точек х„, у0 в X, так как z ? Uo П Vo влечет
за собой (г, г) € (Uox V№) л Л- >
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.2. //г/с//гь /, g: X—*Y— непрерывные отоб-
отображения пространства X в хаусдорфово пространство Y, тогда
множество А — {х ? X | / (х) — g (х)\ замкнуто в X.
^ Пусть h:X—>-Кх У —отображение, задаваемое но формуле
h(x)^(f(x), g(x)), которое непрерывно в силу предложения 1.2
гл. II. Ясно далее, что множество А является прообразом диаго-
диагонали Д пространства YxY при отображении h. Но поскольку
К— -хауедорфоио, то в силу предыдущего предложения Д замкнуто
в Y:<Y, а множество А, будучи прообразом замкнутого множества
при непрерывном отображении, само замкнуто в X. ^
СЛЕДСТВИЕ 1. Если непрерывные отображения в хаусдорфово
пространство совпадают на всюду плотном множестве, то они со-
совпадают всюду.
СЛЕДСТВИЕ 2. График непрерывного отображения f:X—>Y
в хаусдорфово пространство Y является замкнутым множеством.
¦4 Рассмотрим отображения ср, \p\XxY—>-К, задаваемые по фор-
формулам (р (х, у) —у, ty(x, y) — f(x), которые, очевидно, непрерывны
(Ф — как отображение проектирования па Y, а г|> —как композиция
отображения проектирования на X и отображения /). В силу пре-
предыдущего предложения множество всех тех точек из XxY, в ко-
которых отображения q> и гр совпадают, замкнуто в XxY; вместе
с тем нетрудно попять, что это множество и есть график отобра-
отображения /, ^¦
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.3. Для хаусдорфовости пространства X
необходимо и достаточно, чтобы для каждой пары различных то-
точек х,, х, из X существовало непрерывное отображение f простран-
пространства X в хаусдорфово пространство Y такое, что f (x,)--^ f (xt).
¦^ Необходимость очевидна, так как в качестве Y можно взять
само X, а в качестве / — тождественное отображение 1А-.
Достаточность. Пусть А',, х2 — различные точки из X,
f:X—*Y — существующее, по условию, отображение, a Vx, Уг —
непересекающиеся окрестности точек /(х,), f (х.,) в пространстве Y.
Тогда, очевидно, ^У,=^~1(Г,) и U.,--f~l(V.,) будут непересекаю-
непересекающимися окрестностями точек х,, х2 в пространстве X. &¦
СЛЕДСТВИЕ. Если пространство можно непрерывно и инъек-
шивно отобразить в хаусдорфово пространство, то оно само хаус-
хаусдорфово.
Примечание 1.1. Для топологического пространства X рав-
равносильны следующие утверждения:
(i) X — хаусдорфово;
(ii) всякий фильтр в X может иметь не более одного предела;
(iii) предел фильтра в X является его единственной точкой при-
прикосновения.
7 к, 73 193
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.4. Тихоновское произведение любого семей-
семейство непустых топологических пространств хаусдорфово тогда и
только тогда, когда вес сомножители хаусдорфовы.
^ Необходимость. Пусть (Х,),е/ —произвольное семейство не-
непустых пространств, а X --|jX,-— хаусдорфово. Тогда необходи-
I С I
мость очевидна, поскольку каждое из X,- можно рассматривать как
подпространство пространства X.
Достаточность. Допустим, что все X,- — хаусдорфовы, а х' ¦¦-*
¦¦-¦ (x'i) и x"--=(x"i) — две различные точки из X. Тогда найдется ин-
индекс (?/ такой, что х[пфх'1, т.е. ри{х')фpiu{x"), где /^ — ото-
отображение проектирования пространства X па сомножитель Х!п.
Теперь уже хаусдорфовость пространства X непосредственно сле-
следует из предыдущего предложения. ^-
СЛЕДСТВИЕ. Проективнып предел хаусдорфовых пространств ¦-
хаусдорфов.
^ Пусть (X, л, Л) — \Ха, я?, Л}—-проективная система, где все
Ха—хаусдорфовы. Тогда проективный предел Х^, будучи подпро-
подпространством хаусдорфова пространства fj Ха (см. п. 4.1 гл. II),
сам хаусдорфов. ^-
В дальнейшем будет доказано, что проективный предел Х^
замкнут в произведении JJ Ха.
аеЛ
Отметим также очевидный факт, что топологическая сумма ха-
хаусдорфовых пространств хаусдорфова.
1.3. Хаусдорфовость фактор-пространства. Непосредственно из
определения фактор-топологии следует, что замкнутость в X каж-
каждого класса эквивалентности по отношению к эквивалентности R
является необходимым и достаточным условием достижимости фак-
фактор-пространства X/R и, стало быть, необходимым условием его
хаусдорфовости.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.5. Для хаусдорфовости фактор-простран-
фактор-пространства X/R необходимо и достаточно, чтобы для каждых двух раз-
различных классов эквивалентности |х,|, \хг\ существовали открытые
в X и насыщенные по R непересекающиеся множества U, V, содер-
содержащие эти классы.
.^ Необходимость. Пусть X/R — хаусдорфово п V, V — непе-
непересекающиеся открытые окрестности его двух различных точек
\х,\, \х.г\, тогда в качестве множеств U, V можно взять, например,
прообразы U', V при канонической проекции X—>Х//?.
Достаточность. Предположим, что условие предложения
выполнено, а [я,|, [.v.2|—две различные точки из X/R. Тогда из
определения фактор-топологии следует, что канонические образы
множеств U, V будут непересекающимися окрестностями точек |xj
и l.vrj в X/R. ^
В ряде вопросов оказывается более удобным следующий при-
признак хаусдорфовости.
ТЕОРЕМА 1.6. Для хаусдорфовости фактор-пространства X/R
194
необходимо, и в случае открытости отношения R также и доста-
достаточно, чтобы график отношения R был замкнут в ХхХ.
¦щ Необходимость. Предположив, что X/R— хаусдорфово,
докажем, что график VR отношения эквивалентности R замкнут
в ХхХ. В самом деле, пусть точка {xlt х»)?Гк и, стало быть,
\х,]ф[хг\.
Рассмотрим открытые и насыщенные по R множества U, V,
существующие в силу предложения 1.5. Нетрудно убедиться, что
W--UxV будет окрестностью точки (х,, х.,) в X хХ, не пересекаю-
пересекающейся с Гк, так как точки из U не могут быть эквивалентны точ-
точкам из V. Итак, l'R замкнуто.
Достаточность. Пусть VR замкнуто, отношение Л? открыто,
а |л',|, |л'.,|—два различных класса эквивалентности по R. Ясно,
что точка (х1 х.г) ? ГЛ и поэтому обладает открытой окрестностью
вида UxV, не пересекающейся с Гд. В силу открытости отноше-
отношения R насыщения О, V открытых множеств U, Сбудут открытыми
н X множествами, содержащими соответственно классы |.v,|, |л\,|.
Остается проверить, что U (]V--— 0, после чего доказательство
достаточности будет непосредственно следовать т предыдущего
предложения. Пусть вопреки утверждению х0 ? U (] V, тогда най-
найдутся точки х', х" соответственно пз U, V, каждое из которых
эквивалентно л',„ что невозможно, ибо при этом точка (х , х") ока-
оказалась бы точкой из UxV, принадлежащей Г^. ^
Прежде чем сформулировать еще один признак хаусдорфовости
фактор-пространства, условимся непрерывное отображение s:Х/;?—¦
— 'X называть сечением пространства X по отношению эквива-
эквивалентности R, если композиция р о s — Ix/r, где р:Х—*¦ XlR — кано-
каноническая проекция.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.7. Если хаусдорфово пространство X обла-
обладает сечением по отношению эквивалентности R, то фактор-про-
фактор-пространство Х/д. хаусдорфово.
.^ Доказательство вытекает из следствия к предложению 1.3, так
как сечение s очевидно инъектпвно. ^
Замечание 1.1. Поскольку сужение фактор-отображения на
подмножество s(X/k,) очевидно, является непрерывными обратным
к \ отображением, то сечение s является гомеоморфизмом на свой
образ. Далее, поскольку s(X/R), очевидно, представляет собой
множество всех тех точек, в которых 1^ и отображение яор:Х—»-Х
совпадают, то пз предложения 1.2 следует, что s(X/R) замкнуто
в X.
В заключение пункта докажем одно из важных свойств про-
проективных пространств.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.8. При любом п как Rip", так и Ср" — ха-
//(дорфовы.
¦^ Мы проведем доказательство только для пространства Rp", так
как для Ср" доказательство совершенно аналогично. Поскольку,
по определению, IRp" — К" + 1/д„, отношение Ап открыто (см. пред-
7* 195
ложение 2.12 гл. II), то хаусдорфовость Rp" непосредственно будет
следовать из теоремы 1.6, если доказать, что график Гд„ отношения
Дн замкнут в R"+LxR" + 1. Рассмотрим произвольную точку прико-
прикосновения (.v, у) множества Гд„ вК" + | хКл + 1 и покажем, что (х, у) ? Гд„,
т.е. существует вещественное число ^=7^0 такое, нгоу — Хх. Пусть
х = (х,-); тогда существует индекс /'„ такой, что координата хиф0,
и положим "k--yioxi*. Нетрудно показать, что существует такая ок-
окрестность U точки (х, у) в R"lxR" + 1, что для любой точки
(x',y')?U координата х'( точки х' не равна нулю. Пусть теперь
последовательность точек (х", у") из Гл„ сходится к точке (х, у).
Из (х", у")?1~лп следует, что для любого п существует такое ве-
вещественное число Х^ФО, что у"—'кнхп. Для достаточно больших я
точка (.V, у") будет принадлежать множеству U и, стало быть, для
таких и Л.,, ¦¦ -(/"„И,)"' Так как, по определению сходимости, в пря-
прямом произведении пространств lim А,;1 ¦ = А,, то в равенстве у" = Кпхп,
перейдя к пределу, получаем что у-=Кх. ^
1.4. Регулярные пространства. Приведем некоторые основные
свойства так называемых регулярных пространств, играющих важ-
важную роль как в самой топологии, так и в различных разделах
математики.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Пространство X называется Т.,-прост-
ранством, если любое его замкнутое подмножество А и не содер-
содержащаяся в нем точка х?Х обладают непересекающимися окрест-
окрестностями в X; пространство X называется регулярным, если оно
является как Ггпространством, так и '/'^-пространством.
Ясно, что регулярное пространство — обязательно хаусдорфово,
тогда как существуют пространства, которые, будучи хаусдорфо-
выми, не являются регулярными.
Примеры. 1.3. Любое метрическое пространство, в частности R",
служит примером регулярного пространства.
1.4. Пусть X—множество всех вещественных чисел и пусть т —
топология в X (заданная посредством окрестностей), в которой
окрестностями всех точек, отличных от нуля, служат окрестности
этих точек в топологии числовой прямой, а окрестности нуля полу-
получаются из ее окрестностей в топологии числовой прямой удалением
точек вида \/п(п--= \,2, ...). Нетрудно проверит!), что замкнутое
в (X, т) множество Л — {1/я; п ? N) и не принадлежащая ему точка
ноль не имеют дизъюнктных окрестностей и поэтому (X, т) не яв-
является регулярным. Вместе с тем легко проверить, что (X, т) —
хаусдорфово.
Ввиду важности следующего простого утверждения мы сформу-
сформулируем его в виде теоремы.
ТЕОРЕМА 1.9 {КРИТЕРИЙ РЕГУЛЯРНОСТИ). Тпрост-
Тпространство X регулярно тогда и только тогда, когда любая его точ-
точка х обладает фундаментальной системой замкнутых окрестностси,
т. е. любая се окрестность U содержит замкнутую окрестность
этой точки.
196
^ Необходимость. Пусть X регулярно, х — его произвольная
точка, a U любая се открытая окрестность. Положим F — CU,
тогда в силу регулярности X существуют окрестность V точки х
и открытая окрестность W множества F такие, что V(\W — 0,
откуда следует, что VczCW, и поэтому VeCW ---CWaCF = U.
Доста точ н ост ь. Пусть условие теоремы выполнено, х- про-
произвольная точка из X, a F-- любое, не содержащее х замкнутое
множество. Положим U CF и пусть К--замкнутая окрестность
точки .V, содержащаяся в U. Тогда W =- CV, очевидно, будет ок-
окрестностью множества F, не пересекающейся с К. >
Ясно, что эта теорема дает эквивалентное определение регу-
регулярности пространства.
Простейшими примерами 7\,-простраиств, не являющихся
'/^-пространствами и тем самым не являющимися регулярными, слу-
служат пространства с тривиальной топологией, состоящие не менее
чем пз двух элементов. Вместе с тем оказывается, что справед-
справедливо следующее утверждение.
ПРЕДЛОЖЕНИИ 1.10. Пусть X— Т ^пространство (но не 7\-
пространство), a R —отношение эквивалентности в X, при кото-
котором x = y(iucn]R) тогда и только тогда, когда {х\ = {«/}• Тогда про-
пространство X/R регулярно.
¦^ Сначала заметим, что класс эквивалентности по R точки х
есть {х} и поэтому X/R есть 7',-пространство (по определению
фактор-топологии, для этого достаточно, чтобы каждый класс экви-
эквивалентности по R был замкнут в X).
Покажем теперь, что R — открытое и замкнутое отношение
эквивалентности. Пусть G открыто в X, a G— его насыщение,
т. е. G = U \х\, тогда оказывается, что G = G, т. е. G является
JtsG
самонасыщенным. Включение GczG очевидно. Для доказательства
обратного включения положим F~X\G и пусть х„ — произволь-
произвольная точка из G. Поскольку X — 7\,-пространство, найдется окрест-
окрестность С/„ точки х0 такая, что l/on F ¦¦--¦-- 0, следовательно, UcG,
по поскольку {xa}c:Uu, то ja'JcC, откуда заключаем, что GcG.
Итак, G--=G, а это означает, что /^—открытое отношение. Оказы-
Оказывается, что каждое замкнутое в X множество F тоже самонасыщено
(F ¦¦¦¦ F) и, стало быть, R — замкнутое отношение. В самом деле,
включение FcF очевидно, а то, что Fez F, следует из того, что
для каждого x^_F, очевидно, имеем \x\czF, поэтому \x\<=F = F.
Пусть теперь p:X—+XlR—фактор-отображение, являющееся
в силу только что доказанного как открытым, так и замкнутым
отображением (см. предложение 2.4 гл. И). Рассмотрим произволь-
произвольную точку {.V,,} фактор-пространства Х/#, ее произвольную окрест-
окрестность Vn в Х/д и докажем, что Vo содержит в__себе замкнутую
окрестность точки .vu. Так как, очевидно, класс {xlt)czp~l (Vu)—U0,
а X является 7'3-пространством, то существует открытая в X ок-
197
рестность О0 точки х„ такая, что Ot)c:Uir В силу открытости р
образ p(G0), очевидно, служит открытой окрестностью точки \х„\
в Х;к, с другой стороны, имеем р (G„)с:/; (G0)сг/; (U„) Ко. Теперь
в силу замкнутости р и критерия регулярности непосредственно
заключаем, что Х/# регулярно. ^>
Переходя к свойствам регулярных пространств, прежде всего
отметим, что, как нетрудно проверить, регулярность есть свойство
наследственное, т. е. всякое подпространство регулярного прост-
пространства регулярно, откуда, в частности, следует, что если прямое
произведение непустых пространств регулярно, то и все сомножи-
сомножители регулярны. Нетрудно установить также, что тихоновское про-
произведение любого семейства регулярных пространств регулярно,
откуда, в частности, следует, что проективный предел регулярных
пространств регулярен.
Имеете с тем следует иметь в виду, что фактор-пространство
регулярного пространства не всегда регулярно, по все же оказы-
оказывается, что справедливо следующее полезное утверждение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.11. Пцсшь X регулярно, А -замкнутое в X
подмножество, a R— отношение жиишлсшпности в X, при котором
класс каждой точки х ? Л совпадает с А, а класс точки х ? Л со-
состоит лишь из самой точки х, тогда фактор-пространство X'R—
хаусдорфово.
^ Пусть |.г,], \х.,\ -два различных класса эквивалентности по R.
В силу предложения 1.5 достаточно доказать, что эти классы со-
содержатся в непересекающихся, открытых и насыщенных по R мно-
множествах. Рассмотрим сначала случай, когда х,, л'2 ^ Л, тогда в силу
регулярности X, очевидно, найдутся непересекающиеся окрестности
U, V точек л',, л\, в Х\А. Далее, остается заметить, что U, V,
очевидно, насыщены по R и открыты в X.
Допустим, теперь один из рассматриваемых классов, скажем
[х,|, совпадает с Л, тогда в силу регулярности X найдутся, откры-
открытые непересекающиеся окрестности U, V точки .v, и замкнутого
множества \х.,\, которые, как легко понять, тоже будут насыщен-
насыщенными по R. ^¦
Замечание 1.2. Хотя и всякая топология, мажорирующая
хаусдорфову топологию, очевидно, сама хаусдорфова, однако ока-
оказывается, что существуют такие топологии, которые, будучи нере-
нерегулярными, все же мажорируют регулярную топологию.
ТЕОРЕМА 1.12 (О НЕПРЕРЫВНОЙ ПРОДОЛЖИМОСТИ
ОТОБРАЖЕНИЯ). Пусть f:A — У -непрерывное отображение всю-
всюду плотного подпространства А пространства X о регулярное про-
пространство У. Тогда для существования непрерывного продолжения)
отображения f на все X необходимо и достаточно, чтобы дл я каж-
каждого А'„ ? X существовал предел / по следу уХа на А фильтра окре-
окрестностей FXi точки х0 в X, т. с. Пш '/.
х-ух„, х е Л
.^ Необходимость. Пусть f:X—*Y — непрерывное продолже-
продолжение. Поскольку каждая х„?Х является (по условию) точкой при-
198
косновенпя для А, то в силу непрерывности отображения /в точке хп
будет существовать предел Inn /ив силу п. 4.7 гл.1 будем
иметь соотношение
lim/ — Inn /.-- lim f--f(x0).
Х->-Х„. Л •/. t'n Г--.Г,,. V6/1 Х->-Х„, Д'Е/1
Достаточность. Пусть условие теоремы выполнено. Тогда
поскольку предел lim f{x), по самому определению, есть .предел
базиса (фильтра /(v.v,) R Y, то и силу хаусдорфовости У и приме-
примечании 1.1 этот предел у„-¦- liin f (x) единствен. Поэтому, положи»
Ух„
I (х„) =//,,, мы получим корректно определенное отображение /: Л -~-
¦¦«¦К, являющееся, очевидно, продолжением исходного отображе-
отображения /:/1 - »• V.
Локажем теперь непрерывность отображения / в произвольной
точке хи?Х, т. е. для каждой окрестности V() точки //,, = = /(*„) в Y
\кажем окрестность V„ точки хп в X такую, что f(U,,)czVn. Так
как Y регулярно, то найдется замкнутая в Y окрестность Fn точ-
точки //„ такая, что Fltc:Vll. Лалее, поскольку базис фильтра f(yXn)
сходится, по условию, к уИ, то FH должна содержать некоторый
элемент ил f(yXl), т.е. существует открытая окрестность Uo точ-
точки х„ в X такая, что f(Un П А)с: F. Покажем, что эта окрестность
U„ -искомая. Для этого заметим сначала, что из всюду плотно-
плотности Л и открытости Un в X следует, что каждая точка х ? Uo
является точкой прикосновения в X и для множества Ло --- Uo (I A.
Далее, по самому построению / будем иметь
Ух' у».
•'Де у",—след па Л„ (фильтра окрестностей точки х' в X. Нако-
Наконец, поскольку предел / в точке х (являющейся точкой прикос-
прикосновения для Л„) по фильтру у", в множестве Ао обязан принад-
принадлежать замыканию образа f(An) (см. и. 4.7 гл. 1), то
Итак, для каждого х из (У„ / (.v') g FnaVn, следовательно,
f(Uu)c=Va. >
Замечание 1.3. Ясно, что построенное в предыдущей теореме
непрерывное продолжение /' отображения / единственно, ибо в силу
следствия к предложению 1.2 непрерывное отображение в хаус-
дорфово пространство однозначно определяется своими значениями
в точках всюду плотного множества.
1.5. Полурегулярные пространства. Чтобы дать определение еще
одного класса пространств, который, будучи существенно шире
199
класса регулярных, все же в некоторых отношениях ему родствен,
напомним, что открытое подмножество U пространства А' назы-
называется канонически открытым, если оно служит внутренностью
своего замыкания, или, что равносильно, если V является mi ут-
утре и ноет ью некоторого замкнутого в X множества. Заметим, кроме
того, что из свойства Т3, в частности из регулярности простран-
пространства X, следует, что для каждой х?Х и любой ее окрестности U
существует канонически открытая окрестность этой же точки, со-
содержащаяся в U вместе со своим замыканием.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Пространство X называется полурегуляр-
полурегулярным, если оно обладает базой, состоящей из канонически откры-
открытых множеств; иными словами, если для каждого х ? X и любой
ее окрестности U существует канонически открытая окрестность V
этой точки, содержащаяся в U.
Таким образом, во-первых, всякое Тд-иространство, в частности
регулярное пространство, полурегулярно, а, во-вторых, полурегу-
полурегулярность отличается от свойства Т3 тем, что фигурирующая в оп-
определении канонически открытая окрестность должна входить в
в данную окрестность не обязательно вместе со своим замыканием.
Что же касается взаимоотношения между хаусдорфовостью и полу-
полурегулярностью, то классы хаусдорфовых и полурегулярных про-
пространств пересекаются.
Пусть (X, т) -произвольное топологическое пространство, а [¦»—
семейство всех его канонически открытых множеств. Поскольку р1
образует покрытие X (так как X, очевидно, входит в состав р1),
а пересечение любых двух элементов из р1 принадлежит р1, то се-
семейство р служит базой некоторой топологии т* в множестве X.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.13. Пространство (X, т!:) полурегулярно.
¦4 Прежде всего докажем, что если множество U открыто в (X, т),
то его замыкания U, U* в топологиях т и т* соответственно сов-
совпадают. В самом деле, включение UcU* очевидно, поскольку т
мажорирует х*. Пусть теперь xo?U* и предположим, что нашлась
такая ее открытая в т окрестность V, что U (]V= 0.
Легко проверить, что справедливо соотношение Irit V Л Int V -— О,
откуда из UczlntU следует, что U ftlniV = 0. Таким образом,
нашлась канонически открытая окрестность W = IntV точки хи,
которая не пересекается с U, что противоречит предположению
ха ? U*. Итак, любая открытая в т окрестность V точки л'„ имеет
с U непустое пересечение, т.е. xn?U, откуда следует и обратное
включение U*cU.
Докажем теперь, что каждое с/^р1 канонически открыто и в
топологии т.*, т.е. lni*U*--~U (здесь через Int* обозначается внут-
внутренность относительно топологии т*). Сначала заметим, что U ¦¦ ¦¦--
¦¦¦-- [ni*Vс. Int*?7*. Для доказательства обратного включения заме-
заметим, что поскольку т мажорирует т*, то для любого АсХ спра-
справедливо включение IntMclnt Л, поэтому в силу доказанного выше
200
совпадения замыканий будем иметь
Итак, р* представляет собой базу топологии т*, состоящую из кано-
канонически открытых в т* множеств, что и означает полурегулярность
пространства (X, т*). ^
Топологию х* принято называть полу регулярной топологией,
ассоциированной с топологией т.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.14. Пусть (X, т) — произвольное простран-
пространство, (X, х*) — ассоциированное с ним полурегулярное пространство,
a Y — произвольное регулярное пространство, тогда отображения
f:(X, т) — + Y и /:(X, х*)- + К непрерывны одновременно.
^ Непрерывность f :(Х, х*) — •>• К, очевидно, влечет за собой непре-
непрерывность /:(Х,х) — * К, поскольку топология т мажорирует х*.
11усть теперь отображение /:(Х, т)—> Y непрерывно, ха— произ-
произвольная точка из X, a Vv — некоторая открытая окрестность точ-
точки /(*„). Тогда в силу регулярности пространства Y найдется
замкнутая окрестность Wu точки /(*„), содержащаяся в Ко. Не-
Нетрудно проверить, что внутренность I)„ замкнутого в т множества
f~i(Wl)), являясь канонически открытым в х, служит открытой
окрестностью точки х„ в топологии х*. Таким образом, для любой
окрестности Vo точки f (х0) нашлась окрестность Uo точки х0 в х*
такая, что f(U0)czV(t, т. с. /:(Х, х*) — ->¦ Y непрерывно в точке х0. ^¦
1.6. Тихоновские (вполне регулярные) пространства. В этом
пункте мы приводим лишь первоначальные факты, относящиеся
к одному исключительно важному и плодотворному классу топо-
топологических пространств, введенному советским математиком А. Н. Ти-
Тихоновым. В дальнейшем мы обратимся и к ряду других, более
глубоких свойств этих замечательных пространств. Начнем с опре-
определении так называемой функциональной отделимости множеств,
которая наряду с отделимостью множеств дизъюнктными окрест-
окрестностями играет весьма важную роль в различных вопросах топо-
топологии.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4 (//. С. УРЫСОН). Говорят, что подмно-
подмножества А и В пространства X функционально отделимы (в X),
если существует заданная на всем X вещественная непрерывная
функция f (х) со значениями из отрезка |(), 1| такая, что / (х) .= ()
для всех х?А и /(*)--¦ 1 дли Е5сех х?В.
Ясно, что из функциональной отделимости множеств А, В м X
следует их отделимость дизъюнктными окрестностями, например
окрестностями (У = /"'([(), 1/3)), 1/ = /-' (B/3, 1J) соответственно.
Однако следует иметь в виду, что существуют примеры хаусдорфо-
вых и даже регулярных пространств, в которых каждая пара
точек функционально не отделима. Дело в том, что существуют
регулярные пространства, на которых не существуют отличные
от констант непрерывные вещественные функции (первый такой
пример был построен П. С. Урысоном). Вместе с тем оказалось,
что, несколько сузив класс регулярных пространств, можно по-
201
лучить такой класс пространств, в которых уже имеется очень
большой «запас» вещественных непрерывных функций, позволяю-
позволяющий привлекать также и функциональные методы для исследова-
исследования этих пространств.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5. Пространство X называется Т-.^,-про-
Т-.^,-пространством, если в нем любая точка х„ и любое не содержащее
эту точку замкнутое множество 1: ф 0 функционально отделимы.
Пространство X называется тихоновским или вполне регулярным,
если оно является и ^-пространством, и '/'„¦/..-пространством.
Пример 1.5. Всякое метрическое пространство, в частности
R", является вполне регулярным.
Легко убедиться, что всякое тихоновское пространство регу-
регулярно, тогда как существуют примеры регулярных, но не тихо-
тихоновских пространств.
Замечание 1.4. Ясно, что достижимое пространство X вполне
регулярно тогда и только тогда, когда для любой точки л'п ? X
и любой ее открытой окрестности U„ф X существует непрерыв-
непрерывная функция /:Х—>|0, 1J такая, что /(*„)—••(), а /(Xх V„)¦--{]].
Легко убедиться, что всякое подпространство вполне регуляр-
регулярного пространства вполне регулярно, т. е. вполне регулярность
есть свойство наследственное.
Прежде чем сформулировать одно важное свойство тихоновских
пространств, введем понятия замкнутых базы и иредбазы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.6. Система у — (А() замкнутых подмножеств
А, пространства X называется его замкнутой базой, если всякое
замкнутое в X множество иредставимо в виде пересечения мно-
множеств из системы у. Система о = (/?,¦) замкнутых подмножеств в,-
из X называется замкнутой предбазой, если всякое замкнутое в X
множество иредставимо в виде пересечения конечных объединений
множеств из системы 6.
Замечание 1.5. Ясно, что система, состоящая из дополнений
всех элементов какой-либо базы (соответственно предбазы), будет
служить замкнуто!! базой (соответственно замкнутой предбазой)
пространства, и наоборот. Следовательно каждому предложению,
относящемуся к базам или иредбазам (см. п. 1.6 гл. 1), будет
соответствовать двойственное предложение, относящееся к замкну-
замкнутым базам (соответственно замкнутым предбазам). 'Гак, например,
для того чтобы система у — {А;\ '€'} замкнутых множеств в X
служила замкнутой базой для X, необходимо и достаточно, чтобы
для каждой точки х„ ? X и для каждого не содержащего х0 замкну-
замкнутого множества /;0 существовало /1,,,?y такое, что х,> (= Л,„=>/„.
Далее, система fr~\By, /С./} служит предбазой замкнутых мно-
множеств в X тогда и только тогда, когда для каждой точки х„ ? X
и любого ие содержащего х замкнутого множества /•'„ существует
конечный набор элементов /?,-, ..., В1п такой, что х„ ? II В, .з/\>.
/.¦-. 1 *
ЛЕММА 1.15. Пространство X является Т¦^^-пространством
тогда и только тогда, когда каждая его тонка х„ функционально
202
отделима от всех не содержащих ее множеств, принадлежащих не-
некоторой замкнутой предбазе b~{Fj\ пространства X.
¦4 Необходимость очевидна, докажем достаточность. Пусть Fu —
произвольное замкнутое в X множество, не содержащее .\'(|, и
пусть У7,-,, ..., Fi:i — конечный набор элементов из б такой, что
п
xn?F— U F, гз/"',, (см. замечание 1.5). По предположению, сущеет-
вует функция fk:X—«-[О, Г|, реализующая функциональную отде-
отделимость точки л'„ и замкнутого множества F,- . Положим / (х) -=
— su p//г (х) и докажем, что функция / реализует функциональную
отделимость точки х„ и множества F, а тем более точки д-0 и мно-
множества FuaF. В самом деле, f (x0) ---supfk (х0) --Л). Далее, если
(*)
x?F, то /(л')--sup/fc (л-)--.-: 1, ибо все /j(x)^l, а из x?F следует,
что л' принадлежит хотя бы одному из /•", и, стало быть, соответст-
соответствующая Ik (х) ¦—¦ 1.
Остается доказать непрерывность построенной функции /, т. е.
для каждого х* ? X и каждого v > 0 указать окрестность U точки .v*
такую, что для каждого x?U шлполняется неравенство | f (x) —
- / (х*) | < в. В силу непрерывности fk существует окрестность U\
точки х* такая, что | fk (х)—/ft (а'*) | < к при всех х ? Uк.
п
Положим U - f] U,,, тогда для каждого x?U и любого к =»
к -. 1
¦- 1, 2, ..., и будут выполнены неравенства
f (л-)-« < /А (х) < sup fk (x) = /(*); /, (х) < /fc (х*) -!- г <
со
<sup//.(xl:);-B-/(,v*) 1-е,
со
откуда уже легко заключить, что /(**) — к < / (х) < / (х?) ,'-.•¦:. >
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.16. Тихоновское произведение любого се-
семейства непустых пространств является тихоновским тогда и
только тогда, когда все его сомножители тихоновские.
¦М Необходимость тривиальна, поскольку тихоновость пространства
есть cBoi'icrno наследственное.
Достаточность. Пусть X -- \~[ X,-, где все X,- тнхонов-
екпе, тогда нетрудно проверить, что X достижимо, так как все Х{
достижимы. Пусть теперь х" --- (.v") g X\Л, причем Л —замкнутое
в X множество вида /1--ЦЛ;, где все Л,-, кроме Л,(), совпадают
it /
с. XI. Поскольку x'J не принадлежит замкнутому в X. множеству Л(. ,
то существует непрерывная функция /,„:Х,и ->|0, 1| такая, что
/. (л")"-0, в то время как /\ (Л/о)^{1}. Зададим теперь функцию
/:Х—)-[(), 1| как композицию /~/,„о/;,„, где р,\, отображение про-
проектирования па сомножитель Х,о, тогда легко проверить, что
/(л") -0, между тем как /(Л) —{1}.
203
Итак, построенная функция / реализует функциональную отде-
отделимость указанного вида замкнутых множеств Л и не принадле-
принадлежащих им точек х". Для завершения доказательства остается за-
заметить, что такие множества образуют замкнутую предбазу, и вос-
воспользоваться предыдущей леммой. >
СЛЕДСТВИЕ. Проективный предел тихоновских пространств
является тихоновским пространством.
¦^ Доказательство очевидно, поскольку проективный предел про-
пространств является подпространством в их прямом произведении. >
Нижеследующее предложение, касающееся топологических сумм,
ввиду его простоты мы сформулируем без доказательства.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.17. Топологическая сумма регулярных, полу-
полурегулярных и тихоновских пространств является соответственно
регулярным, полу регулярным и тихоновским пространством.
Перейдем теперь к установлению некоторых свойств вполне ре-
регулярных пространств, которые полностью их характеризуют.
Пусть X— произвольное Т^/.-простраиство, а Л -множество
всех вещественных непрерывных функций f-X— +|0, 1]. Нетрудно
убедиться, что множество А различает в X точки от замкнутых
множеств, т. с. для любой точки х0 и любого не содержащего ее
замкнутого множества Fo существует /0 ? А такое, что /0 (,v0) ? /'„ (Fo).
Если к тому же исходное пространство X достижимо, т. е. X вполне
регулярно, то множество А будет различать также и точки в X,
поэтому в силу предложения 1.13 гл. II диагональное произведе-
произведение семейства всех функций / из А будет гомеоморфизмом на
образ. Таким образом, мы пришли хотя и к простому, по исклю-
исключительно важному утверждению.
ТЕОРЕМА 1.18 (О ВЛОЖЕНИИ; А. Н. ТИХОНОВ). Всякое
вполне регулярное (тихоновское) пространство гомеоморфно неко-
некоторому подпространству тихоновского куба 1^, где [1-=сагAЛ.
Замечание 1.6. Поскольку тихоновский куб любого веса
является вполне регулярным (как произведение вполне регуляр-
регулярных), то в силу наследственности вполне регулярности теорема
Тихонова допускает обращение н, стало быть, пространство X
вполне регулярно в том и только в том случае, если оно гомео-
гомеоморфно подпространству некоторого куба.
Сравнительно недавно В. И. Зайцев нашел полную внутреннюю
характеристику тихоновских пространств в терминах, не исполь-
использующих ни понятие вещественной функции, ни понятие числа. Для
краткости будем говорить, что база \\ пространства X является
Z-базой, если она удовлетворяет условиям:
(i) каждое замкнутое множество FcX есть пересечение неко-
некоторых элементов из р";
(п) если Ft, F2 — такие дизъюнктные замкнутые в X множества,
что (Х\/•",)?[}, (XXFjJ^p1, то существуют G,, G2?fS такие, что
f,cG\, FtcGt, G,nG2 = 0.
Приведем теперь без доказательства следующий критерий вполне
регулярности пространства.
204
ПРЕДЛОЖИ И И В 1.19 (КРИТЕРИЙ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯР-
РЕГУЛЯРНОСТИ; В. И. ЗАЙЦЕВ [31]). Достижимое пространство яв-
является тихоновским тогда и только тогда, когда оно обладает
Z-6a:<oii.
Замечание 1.7. В силу известной теоремы Л. С. Понтрягипа
топология любой топологической группы является Т3-топологией
и даже ТЯ1/,-топологией, поэтому любая 7',-тонологическая группа
вполне регулярна и, стало быть, на ней существует достаточно
«богатый» запас вещественных непрерывных функций.
Замечание 1.8. Все рассмотренные в этом параграфе классы
пространств образуют полные подкатегории категории топологи-
топологических пространств и их непрерывных отображений.
Задачи
I. Докажите, что X — Т„-иросгриттио, сел» и только если хотя бы одия
из любой пары различных точек не принадлежит замыканию другой.
2. Донижите, что А— 7",-проетранство, если и только если диагональ Д
п ХхХ есть пересечение некоторого семейства открытых множеств.
3. Докажите, что свойство пространства быть ^--пространством ость свойство
наследственное при j- = (), I, 2, 'Л, 31/2.
4. Докажите, что X --• ^-пространство, если и только если для каждого
ха?Х {хп} П ^, где р\ —некоторая фундаментальная система окрестностей ха.
V (- В
хп
5. Докажите, что X — хаусдорфово, если и только если для любой хо?Х
выполняется соотношение {*„} =с f\F, где F пробегает систему всех замкнутых
окрестностей х0.
6. Докажите, что хаусдорфовость X равносильна существованию у любой
точки х0 замкнутой хаусдорфовой окрестности.
7. Докажите, что любая Т,-топология п бесконечном множестве А' мажори-
мажорирует топологию Зарисского в X.
8. Пусть X1*— произвольная декартова степень пространства X (наделенная
тихоновской топологией), диагональ Д — подмножество в XI1, состоящее из всех
точек с одинаковыми координатами. Докажите, что хаусдорфовость X равно-
равносильна замкнутости диагонали Д в X*1.
9. Докажите, что любой ретракг в хаусдорфоиом пространстве Л' замкнут.
10. Покажите, что в хаусдорфовом пространстве X любая конечная система
1очск обладает попарно дизъюнктными окрестностями.
II. Докажите, что хаусдорфовость А' равносильна каждому ил следующих
условии:
(i) каждая направленность в X может иметь не более одного предела;
(и) предел любой направленности в А есть ее единственная предельная
точка;
(iii) фильтр в X не может иметь двух различных пределов.
12. Пусть f:X—> Y — непрерывное отображение X в хаусдорфово простран-
пространство К, a R/—отношение эквивалентности в X, порожденное этим f, т. е.
х, —: x2(mod ^)ф==ф f (xi) = f (х2). Докажите, что XIRj тоже хаусдорфово.
13. Докажите, что регулярность X равносильна существованию для каждого
Х замкнутой регулярной окрестности.
14. Докажите, что если X — одновременно Г0-пространство и Г3-пространство,
то оно регулярно.
15. Докажите, что А —7',-пространство, если и только если пересечение
всех замкнутых окрестностей произвольного замкнутого /:сА совпадает с F.
16. Докажите, что произведение любого семейства непустых пространств А"/
регулярно в том и только в том случае, когда каждое и.ч А,- регулярно.
17. В множестве из трех элементов задайте топологию так, чтобы она была
7",-топологией, но не была Tt-топологией.
205
18. Докажите, что пространство полуоткрытых интсрпплон (см. пример 1.29
гл. I) регулярно и даже вполне регулярно.
19. Пусть X— множество нсех рациональных чисел интернала @, 1), А—
подмножество из X чисел нида к/2", а В— подмножество и.ч А' чисел вида к/'Л",
где к— целое; пусть далее т —топология п X с предба;юн, состоящей ил всех
интервалов (а, $)СХ и множеств А, В. Докажите, что (А', т) — хаусдорфово,
полурегулярно, но не регулярно.
20. Пусть А' — пространство задачи 14, § 2, гл. II. Докажите, что график Гц
рассмотренного там отношения R в X замкнут в ХхА, однако фактор-про-
фактор-пространство X/R не хаусдорфово.
21. Пусть X —множество мощности 2^, где ц— некоторое бесконечное карди-
кардинальное число. Докажите, что на А можно задать хаусдорфову топологию веса и.
§ 2. НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРОДОЛЖИМОСТЬ НЕПРЕРЫВНЫХ
ВЕЩЕСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Этот параграф посвящен описанию основных свойств одного
весьма важного класса топологических пространств, называемых
нормальными, а также вопросу продолжимости заданных на под-
подмножествах таких пространств непрерывных вещественных функ-
функцией.
2.1. Нормальные пространства. Здесь приводятся некоторые
простейшие свойства нормальных пространств.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Пространство X называется 74-прост-
74-пространством, если для любой пары его дизъюнктных замкнутых мно-
множеств /•",, /\, существуют открытые в X множества (У,, U., такие,
что F^cUI, f2c(/j и с7,Пс/2 —0, т. е. если /•",, Р„ обладают
дизъюнктными открытыми окрестностями. Пели пространство X
является как 7\-пространством, так и ^-пространством, то оно
называется нормальным пространством.
Тривиальным примером Т4-пространства, не являющегося ни
хаусдорфовым, ни даже Г,-пространством, служит любое анти-
антидискретное пространство, состоящее не менее чем из двух точек.
Однако очевидно, что всякое нормальное пространство регулярно,
тогда как существуют регулярные и даже вполне регулярные
пространства, не являющиеся нормальными (см. задачу 4).
Замечание 2.1. В классе 7,-пространств класс '/'^/..-про-
'/'^/..-пространств занимает промежуточное положение между классом 7\,-
ирострапств и классом Т4-прострапств, чем и объясняется обозна-
обозначение 7\,i,v
В отличие от пространств, рассмотренных в предыдущем па-
параграфе, нормальные пространства не обладают свойством наслед-
наследственности, т. е. не всякое подпространство в них нормально
(см. задачу 18 § 3). Вместе с тем нетрудно проверить, что всякое
замкнутое подпространство, более того, всякое множество типа Р„
нормального пространства, нормально (см. задачу 12).
Следующее предложение позволяет дать эквивалентное опреде-
определение нормального пространства.
ЛЕММА УРЫСОНА (МАЛАЯ)- Достижимое пространство X
нормально тогда и только тогда, когда для любого замкнутого
подмножества FczX и содержащего его открытого множества U
206
существует такал открытая окрестность V множества F, что
VaU, т. е. когда каждое замкнутое подмножество обладает фунда-
фундаментальной системой замкнутых окрестностей.
•^ Необходимость. Пусть X нормально, положим /¦" - (II).
Поскольку /•' П /'" -0, то существуют открытая окрестность V
множества /" н открытая окрестность V множества F' такие, ччо
V П V -0 и, еледовательнр, VcCV, откуда
УсШ1 CV'cCF':--U.
Достаточность. Пусть условия леммы выполнены, a F и
/•"¦-произвольные непересекающиеся замкнутые множества ни X.
Положим U CF', тогда, поскольку U является открытой окрест-
окрестностью множества F, по условию леммы, найдется окрестность V
множества F такая, что VczU. Полагая V - CV, непосредственно
убеждаемся, что V и V представляют собой непересекающиеся
окрестности множеств F и /•" соответственно. >
Предварительное представление о широте класса нормальных
пространств дает следующее простое, но важное предложение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1. Всякое метрическое пространство нор-
нормально.
¦4 В самом деле, путь F и /•" -два произвольных непустых зам-
замкнутых множества без общих точек метрического пространства
(X, о). Поскольку множество /•" замкнуто, то для любого x?F
будем иметь
()(.v, /=")= inf р(х, «/)-dv >0.
Положим U — U B(x, dj2), где В (х, dx/2)— открытый шар с цент-
xeF
ром в точке х и радиусом dx/2. Очевидно, что множество U от-
открыто и содержит /г. Совершенно аналогично строим множество
V-- U В (у, d/2), где й„ =р((/, Л>0,
;/¦ Г'
которое также открыто и содержит /•".
Нам остается доказать, что U (]V ¦¦ 0¦ Пусть уха не так и
ги G U П V, тогда существуют точки л"„ g F и yn?F' такие, что
г№ 6 В (ха, %) п В (//„,
и в силу аксиомы треугольника будем иметь
Предположим для определенности, что dXg'^zdILi, откуда получим
!' (Л'«. II») < '•/>.,. т°1'Ла как
//¦. /••¦
Полученное протпвор'/чие доказывает, что U Г! V ¦- 0. >
2.2. Функциональная отделимость мн.ожестк. Ьольшая лемма
Урмсона. Прежде чем к]орму.'шровать одно важное предложение,
|ьг.естпое н литературе под названием «большой» леммы Урысона,
напомним, чн) два пепе1)есека1ощ||хся непустых множества /н" п /•''
207
пространства X называются функционально отделимыми, если су-
существует непрерывная функция /:Х—»-[0, 1] такая, что f (F) --О,
a f(F')=l*>.
Л?УИМЛ УРЫСОНА (БОЛЬШАЯ). Любые два непустых не-
непересекающихся замкнутых подмножества нормального пространства
функционально отделимы.
¦^ Пусть F и F' — произвольные непустые непересекающиеся замк-
замкнутые множества в X. Положим U—-CF', тогда, по малой лемме
Урысона, существует открытая окрестность V множества F такая,
что VczU. Предположим, что каждому вещественному t удалось
некоторым образом сопоставить открытое в X множество Ut так,
чтобы выполнялись следующие условия:
a) U^-V, (/,-(/;
b) Ut-^0 при / <_0, U,^~-X при *>1;
c) если I < I', то UtaUr¦
Тогда искомую функцию, реализующую функциональную отдели-
отделимость множеств F и /•", можно построить следующим образом.
Пусть х — произвольная точка из X; тогда семейство Ut и эта
точка х, как легко проверить, порождают сечение в множестве
вещественных чисел, если отнести вещественное число t нижнему
классу, когда x?Ut, и верхнему классу в противном случае.
Значением функции / в точке х будем считать определяемое этим
сечением вещественное число ЕЛ..
Докажем, что получаемая таким образом функция / (л) -— \х
действительно реализует функциональную отделимость множеств
F и /•". В самом деле, пусть х—некоторая точка из X, а г > О
произвольно. Положив W = Uix+ e\L/g_v_ е» легко проверить, что
x?W и W открыто в X, т. е. W — окрестность точки х. Докажем,
что для любой точки у ? W
Для этого достаточно заметить, что
Поэтому |.v-f-e принадлежит верхнему классу, а 1К — к — нижнему
классу сечения, порождаемого точкой у, следовательно, Ел. (-¦.-^
^Е(/^^л.-)-е, т. е. функция f (х) непрерывна в каждой точке ,v ? X.
Заметим теперь, что для всех х ? X любое отрицательное число /
принадлежит нижнему классу, а любое число / > 1 принадлежит
верхнему классу сечения, порождаемого точкой х. Поэтому для
всех х?Х ()<?*< 1, т. е. 0</(x)<l.
Докажем теперь, что для всех x?F f(x) ¦-¦(). В самом деле,
пусть x?F, тогда x?V=Ut] и поэтому число 0 принадлежит верх-
верхнему классу сечения, порождаемого точкой х, т. е. ?v-^(). Но %х^0,
откуда 5*-'-О- Пусть теперь x?F', тогда x?CF' ~ U ¦-- Ult поэтому
*> При этом функция / может, конечно, раиииться нулю, соответственно
не только на Г (соответственно на /¦"'),
208
число 1 принадлежит нижнему классу сечения порожденного точ-
точкой х, т. е. ?х^1, но, с другой стороны, ^^1, откуда 1Ж=1.
Таким образом, для завершения доказательства леммы нам над-
надлежит установить существование семейства окрестностей Ut, удов-
удовлетворяющего указанным выше трем условиям. Сначала построим
окрестности Ut искомого семейства для тех значений г параметра /,
которые представляют собой двоичные рациональные дроби, т. е.
имеют вид
г = р12", р~0, 1, 2, ..., 2".
Построение будем вести с помощью индукции по п. Предположим,
что для некоторого натурального п окрестности Ur уже построены
и удовлетворяют условию с), т. е. если л--/?/2" < г' -р';2", то
ilrc:U,'. Поскольку при п. -О число г принимает лишь два зна-
значения: 0 и 1, то, полагая Utt--V, U1 — U, мы будем иметь ок-
окрестности Uп удовлетворяющие условию с).
Перейдем теперь к построению окрестностей Ur для значений
параметра, имеющих вид
г = р/2п + \ р -0, 1, 2, ..., 2'.
Так как при четном р
- 2</ Я_
то надо строить Ur лишь при нечетных /j —2^-)-1. Так как
то в силу малой леммы Урысона заключаем, что существует ок-
окрестность, которую мы и обозначим через (У , п,.,« i i, такая, что
Таким образом, окрестности Ur построены для всех значений па-
параметра вида л^р/2"'1, а стало быть, и для всех двоично-рацио-
двоично-рациональных дробей. Без труда проверяется, что при таком построении
условие с) выполняется.
Пусть теперь /—любое число отрезка [0, 1]. Положим, Ut -*
•= U Uг, где г — всевозможные двоично-рациональные дроби, не
г ¦¦ I
превосходящие (. Для всех отрицательных t положим Ut—-0, а для
всех /."¦• 1 будем считать Ut -X. Таким образом, окрестности Ut
построены для всех вещественных t, причем так, что Ut cr U/,,
если только / < /'. В самом деле, пусть / и f принадлежат от-
отрезку [0, 1], причем 1<1', тогда, очевидно, существуют двопчно-
рациопальпые дроби г' и г" такие, что /<г'<г"</'. Так как
для всех r<^ Urc:Ur,, то Ut--= U Un очевидно, будет содер-
r < t
жаться в Ur,, а следовательно
G, с: и,, с Ur. с Ut,t
т. е. условие с) выполнено. Проверка этого условия для остальных
t, I' еще проще. Лемма Урысона доказана полностью. ^
209
Построенную в этой лемме функцию / (х) называют функцией
Урысона пары замкнутых множеств Г и F'.
В случае метрического пространства (X, п) утверждение боль-
большой леммы Урысона можно доказать, непосредственно положив
>-,,., (¦(*¦ П
МЧ ,.(*, У) ; -(.(-V, /-''Г
Замечание 2.2. Полагая f (х)--о ¦¦¦ (Ь -а)[(х), мы получаем
неп[)ерывиую на всем X вещественную функцию, которая на /:
раина а, на F' равна b и удовлетворяет неравенству а<! / (.v) i'' />
для всех xgX. В дальнейшем и в этом общем случае функцию / (,v)
будем называть функцией Урысона нары F и F'.
Замечание 2.3. Оказывается, что большая лемма Урысона
допускает следующее обращение: если в достижимом топологическом
пространстве X любые два непересекающихся непустых замкнутых
множества функционально отделимы, то X является нормальным
пространством. В самом деле, пусть F и У7' -два замкнутых не-
непересекающихся подмножества из X и пусть f (х)—функция, реа-
реализующая их функциональную отделимость. Легко убедиться, что
множества
U - {х ? X; / (л-) < 1/2} и V - {х <= X; / (х) > 1/2}
представляют собой непересекающиеся окрестности множеств F
и /;' соответственно, т. е. пространство X нормально.
В связи с тем, что, как уже указывалось выше, свойство нор-
нормальности пространства не является наследственным, в классе нор-
нормальных пространств принято выделять подкласс так называемых
наследственно нормальных или вполне нормальных пространств,
а именно таких, каждое подпространство которых нормально. Выше
было доказано, что всякое метрическое пространство нормально,
а поскольку очевидно, что любое подмножество метрического про-
пространства само является метрическим пространством, то обширным
подклассом класса наследственно нормальных пространств служит
класс метрических пространств.
Замечание 2.4. Ясно, что всякое нормальное пространство
вполне регулярно, ибо в нем каждая точка (будучи замкнутым
множеством) функционально отделима от любого, не содержащего
его замкнутого множества, /[.алее, из того, что полная регулярность
есть свойство наследственное, а также из существования нормаль-
нормального, но не наследственно нормального пространства вытекает, что
существуют такие вполне регулярные пространства, которые не
являются нормальными.
2..'$. Непрерывная продолжимость функций. Теорема Титце— Уры-
соиа. Почти во всех разделах математики оказывается принципи-
принципиально важным вопрос продолжимости непрерывного отображения
заданного па подмножестве /1 с X на все пространство X с сохра-
сохранением его непрерывности. В случае непрерывных функций, задан-
заданных па подмножествах нормального пространства, этот вопрос ре-
решается знаменитой теоремой Тптцс Урысона.
210
ТЕОРЕМА 2.2 (ТИТЦЕ — УРЫСОНЛ). Пусть А- замкнутое
подмножество нормального топологического пространства К, a g ¦ -
¦м()анная на А вещественная непрерывная функция. Тогда функцию g
можно непрерывно продолокить на все пространство X бел измене-
изменения ее верхней и нижней граней.
¦4 Предположим сначала, что исходная функция g (х) ¦---g0 (x) огра-
ограничена. Без ограничения общности можно считать, что
inf g0 (х) --¦¦= — а0, a sup g0 (х) ----- + а0.
хеА хчЛ
Введем обозначения:
/ "о
тогда множества ?0 и /¦"„ не пересекаются и, будучи прообразами
замкнутых множеств при непрерывном отображении g, замкнуты
в Л. Поскольку А само замкнуто в X, то Еи и /г(| будут замкну-
замкнутыми множествами и в X. Пусть fo(x) — заданная на всем X функ-
функция Урысона пары множеств Ео и Fn, которая равна —ст„/3 па Еа
и о-0/3 па Fo, а /0 (X) с /02. Положим теперь gx (x)^g0 (х)--/„ (.v);
очеЕП1дно, что функция g, (x) определена и непрерывна на А и, как
легко проверить, во всех точках х?А удовлетворяет неравенству
|д\ (х) |^-тгG0. В самом деле, для всех точек х^?0 (соответственно
^и) 8» (х) н /о (¦*) принадлежат сегменту /о1 (соответственно /03),
а для остальных точек из A g0 (x) и /„ (х) принадлежат сегменту /„.,.
Поскольку длина каждого из этих сегментов равна -уа0, то для
всех х? А будем иметь
Положим
S4P I Я,
Л'Г: Л
i 1о. южим,
(Л") | :,- О,
далее,
Е
Л
¦ 1
ЯГ1
-- а
(/,
1 1
/
),
"I ",|.
,, - [
Г":
. Тогда, как и иыш
t (и , ^ (, ,
убеждаемся, что множества Et и /•', не пересекаются п замкнуты
н X. Пусть теперь /, (.v)-•• .'заданная па г.сем X ф\п];!шя Урыс(;иа
11;:рi.1 множеств /:', и J-\, которая раг;па -гт.'опа Е, и -: а,./.'¦) па /',,
а /', (X) с: /12, т.е. |/, (х) \ ^ <т,,3 для всех .vgX. Сонерпюпно так
же убеждаемся, что
во всех точках х^Л, поэтому для а.г - sup | /t2 (Л') | будем иметь
л о /1
оценку о2< (— )"а„.
\ J /
211
Продолжая аналогичным образом эти построения, мы получим
последовательность функций gn(x), заданных и непрерывных на
множестве А, последовательность пар непересекающихся замкну-
замкнутых в X множеств Еп, Fn и их функций Урысона fn(x), заданных
и непрерывных па всем X. При этом будем иметь:
а также
„ (х\ —a (\-) — f (x)
S/i+M \л/ Нп\л) 1п\л1-
Поскольку известный из анализа признак равномерной сходи-
сходимости функциональных рядов, а также теорема о непрерывности
суммы таких рядов дословно теми же рассуждениями обобщаются
па случай функций, заданных на топологическом пространстве X,
со
то функция f (х), равная сумме ряда 2/„(*), очевидно, будет не-
прерывной на всем X, так как сходящийся числовой ряд V" гг (-~-)
/i-O
является для этого ряда мажорантным.
Докажем теперь, что функция f (х) является продолжением
функции go(x). В самом деле, легко проверить, что для всех х?А
справедливо соотношение
п
поэтому, устремляя п к бесконечности, будем иметь f(x)~gn(x),
поскольку в силу доказанного выше неравенства gn + l (x) стремится
к нулю на множестве А. Очевидно далее, что
Таким образом, теорема полностью доказана в случае, когда функ-
функция д (х) ограничена. Пусть теперь g(x) не ограничена и ф —го-
меоморфпое отображение всей числовой прямой па интервал
(—1, j 1). Образуем композицию g — ц- og, которая, очевидно, пред-
представляет собой непрерывную, но уже ограниченную функцию на Л.
По доказанному выше, существует такое непрерывное продолже-
продолжение / функции g на все пространство X, значения которой при-
принадлежат замкнутому промежутку [ — 1, +1J- При этом если зам-
замкнутое множество B — f~1(—1)U/~1("I 0 окажется пустым, то,
положив f (х) — (с|)~] of) (x), получим нужное продолжение функции
g(x). Если же В не пусто, то обозначим через h(x) функцию Уры-
Урысона пары замкнутых и непересекающихся множеств А и В, ко-
которая принимает значение 0 на В и значение 1 на А, и положим
f (х) ---Л (x)f(x). Очевидно, f(x) тоже является продолжением g(x),
причем таким, значения которого принадлежат уже открытому
интервалу (—1, +1)- Теперь мы можем, как и выше, положить
212
f (,v) ^((p" of) (x), которая будет служить требуемым продолжением
ФУНКЦИИ g(x). ^
СЛЕДСТВИЕ. Пусть А -замкнутое подмножество нормального
пространства X и пусть g:А - ->-R" —произвольное непрерывное ото-
отображение, тогда существует непрерывное продолжение этого ото-
отображения на все пространство X.
^Обозначим через pk: R"--=R'xR' X . • • vIR1—«-IR1 проектирование
на к-\\ сомножитель и положим, что gk -= pk og:A — > Ik1; согласно
теореме Титце — Урысона, существует непрерывное продолжение
lk:X—<-R' отображения gk при каждом /,.'=1,2, ...,«. Образуем
диагональное произведение / = Д \к: X — > R" отображении /,.; не-
/.¦^.1
трудно убедиться, что оно служит искомым продолжением. В самом
деле, что / является продолжением g проверяется непосредственно,
а непрерывность / следует из предложения 1.2 гл. П. >
Замечание 2.5. Аналогичные соображения позволяют убе-
убедиться в справедливости этого следствия в том случае, когда g—
отображение А в /г-мерный куб /" или даже в тихоновский куб /•*
произвольного веса.
2.4. Свойство Линделёфа. Теорема Тихонова о нормальности.
Наряду со свойством сепарабельности другим важным свойством
пространств со счетной базой является так называемое свойство
Линделёфа.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Говорят, что пространство обладает свой-
свойством Линделёфа или является линделёфским пространством, если
всякая система его открытых подмножеств обладает не более чем
счетной подсистемой с тем же объединением. В частности, любое
его открытое покрытие содержит не более чем счетное подпокрытие.
Линделёфские пространства принято называть также финаль-
финально-компактными, они будут подробно рассмотрены в § 3 этой
главы.
ТЕОРЕМА 2.3 (Л И И ДЕЛ 1:Ф). Пространство со счетной базой
обладает свойством Линделёфа.
¦4 Пусть S--{G} — произвольная система открытых подмножеств О
пространства X, |-) = {(У„} — некоторая его счетная база. Элемент
базы р* назовем отмеченным, если он целиком содержится в неко-
некотором элементе системы S. Каждому отмеченному элементу Un
сопоставим один из содержащих его элементов системы S, который
обозначим через Gk, а получаемую при этом не более чем счетную
подсистему {Ск\ системы S —через S'. Обозначим объединение си-
системы S через М, объединение системы 5' —через /И', а объеди-
объединение отмеченных элементов базы |J> — через N.
Итак, нам надлежит доказать, что М' — М. Сначала заметим,
что M — N. В самом деле, поскольку, очевидно, N s AJ, то остается
убедиться в справедливости обратного включения. Пусть х„ — про-
произвольная точка из М, тогда поскольку р1 —база, то, очевидно,
найдется ее отмеченный элемент U!а такой, что xo?U q
каждая точка из М содержится в некотором отмеченном элементе
213
базы р\ поэтому MsjV; итак, M — N. С другой стороны, ясно, что
M^-N— и \Jn с= у Gk------М.', и поскольку, очевидно, Л1' д= М, то
СО (*•)
ТЕОРЕМА 2.4 (Л. //. ТИХОНОВ). Регулярное пространство
со счетной базой нормально.
•4 Пусть Л, /3 —два дизъюнктных замкнутых подмножества регу-
регулярного пространства X, обладающего счетной базой. В силу ре-
регулярности X для каждого х? А найдется открытая окрестность Uv
такая, что Ux П В = 0. Ясно, что система открытых множеств jc/v}
образует открытое покрытие подмножества Л, но поскольку X об-
обладает счетной базой, то, по теореме Линделёфа, найдется не более
чем счетная подсистема {UXn\ системы {Vх\, которая тоже образует
покрытие подмножества Л. Совершенно так же убеждаемся, что
существует не более чем счетная система открытых окрестностей
{V,,n\ таких, что VUll[)A --0, между тем как их объединение со-
содержит подмножество В.
Теперь, отправляясь от систем {VХп\ и {К„„}, построим рекур-
рекуррентным образом две другие системы открытых множеств \G,,\, {II,,},
полагая
а для п ;> 2
п - -1 п
G,, = G,,,\ U Hk, HH = Vyn\ U Gk.
Докажем, что в качестве искомых дизъюнктных окрестностей мно-
множеств А и В можно взять соответственно открытые множества
G- U G,, и Н ¦--- U //„. Прежде всего ясно, что Л с G. В самом
("I (и) _
деле, из хо?А следует, что xo?UXiIii, но поскольку Л П //„ cz Л П
ПК,у„=--0, стало быт1>, xn?Glluc: G. Аналогичным образом прове-
проверяется включение В cz //. С другой стороны, легко видеть, что при
любых in, n имеем Gm(]Hn~- 0, и поэтому множества G и //дизъ-
//дизъюнктны. В самом деле, при т<:.п по самому построению множе-
множества //„ ясно, что (im(]Hn -0. Если же т ^ п -\ I, то из построе-
построения множества Gm непосредственно видно, что Ginnlfn- 0. &>>
2.5. Наследственно нормальные и совершенно нормальные про-
пространства. Выше уже отмечалось, что не всякое подпространство
нормального пространства нормально, т. е. свойство нормальности
не является наследственным. Вместе с тем оказывается возможным
выделить довольно широкий класс нормальных пространств, назы-
называемых наследственно нормальными, в которых любое подпростран-
подпространство нормально.
Поскольку всякое подпространство метрического пространства
является метрическим, а всякое метрическое пространство нор-
нормально, то непосредственно заключаем, что класс наследственно
нормальных пространств содержит все метрические пространства.
Однако класс наследственно нормальных пространств существенно
214
шире класса метрических пространств, так как наследственно нор-
нормальное пространство не обязано быть метрическим.
Принято говорить, что некоторое свойство выполняется н про-
пространстве X наследственно по всем множествам данного класса
(например, по всем открытым множествам), если оно выполняется
для всех множеств этого класса.
11РЕДЛО/КЕПИЕ 2.5. Если в нормальном пространспте X свой-
свойство нормальности является наследственным по всем открытым
множествам, оно наследственно и по произвольным множествам,
/п. е. X наследственно нормально.
М Пусть М— произвольное подпространство нормального прост-
пространства X, а /1,,Л2 два дизъюнктных и замкнутых и М подмно-
подмножества. Докажем, что Л, и Л., обладают дизъюнктными окрестно-
окрестностями в /И. Рассмотрим замыкания /•",, Р„ в X множеств Л, и А.,
соответственно и положим F-¦¦¦Fl()F.i, G---X\/', B,--Ft[)C,
В., /\, (](i. Тогда поскольку В{ и В.,, очевидно, замкнуты и дизъ-
дизъюнктны в G, а само G открыто в X и, следовательно, нормально
по предположению, то найдутся дизъюнктные и открытые в G под-
подмножества V,, V2 такие, что В, а V,, а В» cz V.2, причем ясно, что
V, п V., открыты и в X, так как G открыто в X. Ясно, что за
искомые окрестности можно принять
Ux~=VtnM м Ut = Vt(\M.
В самом деле, они, очевидно, дизъюнктны и открыты в /И, с дру-
другой стороны, из
Л, П Ft - (Л, П М) П Ft = Л, П (М П /=",) = Л, П At = 0
следует, что Л, с: F, П G == /?, сг V,, но Л, с: УИ, следовательно,
Л, с: I7, П М -- Uv Совершенно так же проверяется, что Л2 с (У2. ^
Прежде чем сформулировать принадлежащий П. С. Урысопу
критерий наследственной нормальности, напомним, что множества
Л и Л из X называются отделенными в X, если (Л П В) U (Л П В) --- 0.
ПРЕДЛОЖЕНИИ 2.fi G/. С. УРЫС011). Пространство X на-
наследственно нормально тогда и только тогда, когда любые дна от-
отделенных друг от друга множества из X обладают дизъюнктными
окрестностями.
•Щ Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть Н— произвольное подпространство X,
а Л, Л- два дизъюнктных замкнутых в // множества, которые,
очевидно, будут отделенными в Н. Ясно также, что эти множества
будут отделенными и в X, так как из Л fl// = Л и В{\Н~В не-
непосредственно следует, что
(Л [\Ъ) U (В П Л) -.г-. ((Л П Н) П В) U {(В П Н) П А) - (Л п В) U (Л П Л) _¦=
поэтому в силу условия Л и /i обладают дизъюнктными открытыми
в X окрестностями i7 и V, следы которых в // и будут служить
дизъюнктными открытыми в И окрестностями множеств Л и В со-
215
ответственно. Итак, любое подпространство в X (в том числе и
само X) нормально, т. е. X наследственно нормально.
Необходимость. Пусть М и N—два отделенных множества
в наследственно нормальном пространстве X и пусть G = Х\(М П N),
тогда множества A = G[\M и В =-- С П N, очевидно, будут замкнуты
в G и дизъюнктны, ибо Ar\B^Gf}Mf}N = 0. В силу наследст-
наследственной нормальности X подпространство G нормально, поэтому А
и В обладают дизъюнктными и открытыми в G окрестностями U
и V соответственно. Поскольку G открыто в X, то U и V будут
открытыми и в X.
Докажем теперь, что MczA и NcB. В самом деле, из очевид-
очевидных соотношений
(М U N) П (X\G) -= (М U Л/) П (М П ЛО = (Л* П F) U (N П М) «= 0
следует, что как УИ, так и JV содержатся в G, откуда, в свою
очередь, следует, что
iVlcz{G(-)M)^Ac:U и yVc(G Г) TJ) = BcV.
Итак, у М и N нашлись дизъюнктные и открытые в X окрестнос-
окрестности U и V.
IIРЕДЛОЖЕНИЕ 2.7. Образ нормального пространства при
замкнутом отображении нормален.
•^ Пусть / — замкнутое отображение нормального пространства X
на произвольное пространство Y, а Вх, ?а--два дизъюнктных
замкнутых подмножества в Y. Докажем, что Bt и В., облада-
обладают дизъюнктными открытыми окрестностями в Y. Положим Л,—
---/•'(Я,), Аг = = /-х (В2), тогда в силу нормальности X замкнутые
и, очевидно, дизъюнктные множества Л, и Л2 обладают дизъюнк-
дизъюнктными и открытыми в X окрестностями (У, и ?/, соответственно.
Далее, поскольку / — замкнутое отображение, то в пространст-
пространстве У найдутся открытые окрестности Vl и V., подмножеств й, и В,
такие, что /-' (К,)с 1/„ /"' (^)с L/2 (см. п. .2 гл. I). С другой
стороны, ясно, что 1/1Г]К2 = 0, т. е. Y нормально. >
СЛЕДСТВИЕ. Свойство наследственной нормальности инвари-
инвариантно при замкнутых отображениях.
М Пусть /: X —> У ---замкнутое отображение наследственно нор-
нормального пространства X па произвольное пространство У, а В -
произвольное подпространство в У. Поскольку сужение f на )~[(В)
также является замкнутым отображением на В (см. п. 3.2 гл. I),
то в силу предыдущего предложения и нормальности подпростран-
подпространства f~'(B) непосредственно заключаем, что В — нормальное под-
подпространство. >
Ознакомимся кратко еще с одним, введенным П. С. Александ-
Александровым и II. С. Урысоном важным подклассом нормальных прост-
пространств, состоящим из так называемых совершенно нормальных
пространств.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. Нормальное пространство называется
совершенно нормальным, если в нем каждое открытое множество
216
является множеством типа Fa, т. е. представимо в виде объедине-
объединения не более чем счетного числа замкнутых множеств.
Ниже будет доказано, что метрические пространства образуют
обширный подкласс совершенно нормальных пространств.
Замечание 2.6. Ясно, что если М — подмножество типа F(,
в X, то его дополнение Х\/М будет множеством типа СЛ, т. е.
будет представимо в виде пересечения не более чем счетного числа
открытых можеств. Поэтому совершенно нормальные пространст-
пространства -это такие нормальные пространства, в которых всякое замк-
замкнутое подмножество является множеством типа Gb.
Замечание 2 .7. Поскольку любое подмножество типа Fa
нормального пространства само является нормальным подпростран-
подпространством (см. [16], с. 56), а для наследственной нормальности про-
пространства достаточно наследования нормальности лишь по открытым
подмножествам (см. предложение 2.5), то без труда заключаем,
что совершенно нормальное пространство наследственно нормально.
Приведем теперь принадлежащий Е. Чеху простой пример на-
наследственно нормального, но не совершенно нормального простран-
пространства.
Пример 2.1. Пусть в несчетном множестве X выделен один
элемент, который обозначим через (о. Зададим в X топологию,
объявив замкнутыми только те подмножества, которые либо содер-
содержат со, либо состоят из конечного числа элементов. Очевидно, что
в такой топологии каждое одноточечное подмножество {л'} замкну-
замкнуто, т. е. X— достижимое пространство, и, кроме того, легко понять,
что всякое подмножество, не содержащее точку со, открыто; если
же оно к тому же конечное, то оно будет и замкнутым.
Докажем теперь, что любые два отделенных множества М и
N из X обладают дизъюнктными открытыми окрестностями U и V
соответственно, после чего наследственная нормальность X будет
следствием предложения 2.6. Сначала заметим, что если М\) N не
содержит точку ю, то в качестве искомых окрестностей, очевидно,
можно положить U --M, V = N. Если же одно из этих множеств,
скажем N, содержит точку о> (при этом М, конечно, не может
содержать точку <и, так как, очевидно, М Г) N - 0), то нетрудно
убедиться, что в качестве искомых окрестностей можно взять
U - ¦ ,М, У = Х\.'М. В самом деле, в силу отделенности множеств М
\\ N имеем M()N---0, поэтому, во-первых, NсК и, во-вторых,
М открыто, ибо не содержит точку м. Таким образом, U и V слу-
служат дизъюнктными открытыми окрестностями множеств М и N.
С другой стороны, нетрудно убедиться, что X не является совер-
совершенно нормальным пространством, ибо одноточечное замкнутое
подмножество {<»{ не является множеством типа Ga. В самом деле-,
у
пусть попреки утверждению {о>} П 0п, где каждое из Сп открыто
и содержит точку w. Тогда, переходя к дополнениям, имели бы
ос
Х\{ш}= и (X\Gn), где каждое из множеств Х\6Ч„, будучи замк-
217
путым и не содержащим точку о>, состоит из конечного числа
точек, а это противоречит несчетности множества А".
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.8. Свойство совершенной нормальности есть
свойство наследственное.
¦^ Пусть М -произвольное подпространство совершенно нормаль-
нормального пространства X, a U—открытое подмножество в /И. Убе-
Убедимся, что U продетавимо в виде объединения не более чем счет-
лого числя замкнутых в М подмножеств. Поскольку, очевидно,
U =/VfnG, где G открыто в X и, стало быть, пр^дставпмо (в силу
s
совершенной нормальности X) в виде С ----- U /:,;, причем при каж-
дом н Тп ..= Fn, то, очевидно, будем иметь
и - и (/ип/г,;). >
II--1
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.9. Пусть /: X ¦-- К — замкнутое опьюрпжс-
ние совершенно нормального пространства X на произвольное
Т^пространство К, тогда У тоже будет совершенно нормальным;
другими словами, совершенная нормальность инвариантна относи-
относительно замкнутых отображений.
•^ Пусть V -открытое в Y подмножество, a U -~f~l (V). В силу
совершенной нормальности X открытое подмножество U предета-
вимо в виде U ¦-¦-¦¦ U Еп, где Fn замкнуты в X. Поскольку / — замк-
путое отображение, то f{En) замкнуты в У, поэтому из
V = :f(U)~l('[} F,\= U f{FH)
заключаем, что К—множество типа Еа. Итак, Y — совершенно
нормальное пространство. >
ТЕОРЕМА 2.10. Всякое метрическое пространство совершенно
нормально.
¦^ Пусть X — произвольное метрическое пространство. Докажем,
.что всякое замкнутое в X подмножество F есть множество типа G6.
Рассмотрим открытые окрестности множества F вида
СО 30
и докажем, что F -- П Gn. В самом деле, включение Fc [| (jn
п - i п - I
г.-
очевидно, ибо для каждого a FcGn. Пусть теперь .v ? П (/,,, тог-
да ;i(,v,/-")<— при всех п, следовательно, p(x,F) — l), т. е.
x?F-:F. Итак, установлено и обратное включение, поэтому
f ¦¦ \\а„. >
п --- I
Перейдем теперь к установлению одного критерия совершенной
нормальности в терминах так называемой точной функции
218
У pi>i с о и а. Как мы уже знаем (см. большую лемму Урысона),
нормальность пространства А' равносильна существованию функ-
функции Урысона / для каждом нары дизъюнктных и замкнутых в X
подмножеств А и В, т.е. непрерывного отображения /: X—>¦[(), 1J
такого, что х ? А влечет f (х) -- О, а х ? В влечет /(х)=1. Напом-
Напомним, что функции Урысона позволяется равняться нулю (соответ-
(соответственно единице) не только на А (соответственно на В).
Условимся теперь функцию Урысона / пары Л, В называть
точной, если
Х?Л «*/(л-)-0 и x?B<=>f(x)^ 1,
т. е. f обращается в нуль (соответственно в единицу) только в
точках Л (соответственно в точках В).
Ниже мы докажем, что существование точной функции Урысона
для любой пары дизъюнктных замкнутых множеств 7',-проетрап-
ства X равносильно совершенной нормальности пространства X.
(] этой целью мы прежде всего установим справедливость следу-
следующем леммы, имеющем"! также и самостоятельным интерес.
ЛЕММА 2.11. Если X нормально, Л и В — дизъюнктные замк-
замкнутые в X подмножества, причем А —типа 0,\, то существует
функция Урысона / пары А, В такая, что л'? /1<=>/' (,v) ¦-¦ 0.
М Пусть А--¦¦ П 0п, где все Оп открыты в X; положим О'„ -= G,,\li.
Тогда из Л [\ В ¦¦-¦-¦ 0 непосредственно следует, что будем иметь
также А — П О'„. В силу нормальности А' существует функция
п = t
Урысопа /,,(л') для нары А и X\G'n. Образуем функцию
11 = 1
которая будет непрерывным отображением X в [0, 1], так как ряд
справа, очевидно, сходится равномерно на X.
Докажем, что / (л) удовлетворяет всем требованиям леммы.
В самом деле, пусть х?В, тогда /,,(.г) =1 при всех а п, стало
быть, функция /(.г) также равна 1. Пусть теперь .v?/l, тогда
/,,(л:)=-0 при всех /г, поэтому, очевидно, / (х) тоже равна пулю.
Пусть, наконец, х?/1; легко понять, что найдется такое пи, что
х ? Х\(;',',„ и, стало быть, /П1 (*)-¦= 1, откуда, в свою очередь, сле-
следует, что значение / в точке х больше нуля. Таким образом, х ? /1
равносильна тому, что f(x)--¦(). >
Замечание 2.8. Аналогичным образом можно доказать, что
если в нормальном пространстве X А и В — два дизъюнктных
замкнутых множества, причем теперь В — тина G't,, то для таком
пары существует функция Урысопа / такая, что х? В равносильна
тому, что / (а')== 1.
Перейдем теперь к доказательству -теоремы, принадлежащей
Н. Б. Ведениеову.
ТЕОРЕМА 2.12 (КРИТЕРИЙ СОВЕРШЕННОЙ НОРМАЛЬ-
НОРМАЛЬНОСТИ). Нормальное пространство X совершенно нормально тогда
219
и только тогда, когда для каждой пары дизъюнктных замкнутых
множеств А и В существует точная функция Урысона.
•^ Необходимость. Пусть X совершенно нормально, а А, В —
два произвольных дизъюнктных замкнутых в X подмножества. По-
Поскольку каждое замкнутое подмножество совершенно нормального
пространства есть тина Go, то в силу предыдущей леммы суще-
существует функция Урысона <j> пары А, В, точная для Л, т. с.
х ? А <=> <р (х) ----- 0. Рассмотрим множества
/Не-
/Некоторые, очевидно, замкнуты в силу непрерывности (р, причем
Поскольку замкнутые множества М и В, очевидно, дизъюнктны,
то, по той же лемме (см. также замечание после леммы), сущест-
существует функция Урысона яр пары М, В, точная для В, с той лить
разницей, что отрезок [(), 1] заменен отрезком | 1/2, 1].
Теперь уже нетрудно убедиться, что точную функцию Урысопа
для пары А, В можно задать формулой
( 4>{х), л€ /И,
В самом деле, поскольку для каждого х?М(]М как гр, так и 1р
принимают одно и то же значение 1/2, то функция определена
корректно.
Далее, поскольку M[)N=X, M, N замкнуты в X и оба час-
частичных отображения <р и ip, задающие глобальное отображение /,
непрерывны, то в силу предложения 3.14 гл. I следует, что /—не-
/—непрерывное отображение.
Для завершения доказательства необходимости остается прове-
проверить, что
Поскольку А, очевидно, содержится в М, то для каждого .v ? A
будем иметь f (х)-----у (х) - Q. Аналогично, из ВсгЛ/ следует, что
для каждого х ? В будем иметь / (х) = г|) (х) = I. Пусть теперь точка
ха ? X такова, что / (х0) = 0, тогда и <р (х0) — 0, так как х0, очевидно,
должна принадлежать М; вместе с тем <р (х) -¦- 0<&х ? А, поэтому
х„?А. Совершенно так же проверяется, что f(x)—-l влечет за
собой х ^ В.
Достаточность. Пусть условия теоремы выполнены (следо-
(следовательно, X нормально), А — произвольное замкнутое в X подмно-
подмножество и пусть / — точная функция Урысона для пары А и 0.
Рассмотрим открытые множества О'„ —< х б X | f (х) < — > ; очевидно,
что Лс П Gn.
СО
Докажем и обратное включение. Пусть ха б П G,,, тогда / (*„)<
< 1/d при всех п и, стало быть, /(л;0) = 0, откуда в силу точности
220
функции / заключаем, что хо?А. Итак, А — Г) Gn, следопатель-
но, произвольное замкнутое подмножество нормального простран-
пространства X есть множество типа Ge,- >
Представляется уместным отдельно сформулировать следующее
утверждение, которое уже было отмечено при доказательстве тео-
теоремы Н. 13. Веденисова.
СЛЕДСТВИЕ. Для каждого замкнутого подмножества F совер-
совершенно нормального пространства X существует непрерывная функ-
функция //.-: X—* [0, 1], которая обращается в ноль только в точках
множества F.
М Достаточно рассмотреть пару F, 0 и применить теорему Ве-
Веде и и со на. >
Оказывается, что свойство, о котором шла речь в предыдущем
следствии, полностью характеризует совершенно нормальные прост-
пространства, а именно: если дли каждого замкнутого в пространстве X
подмножества F существует непрерывная функция //.¦: X * [О, I ]
такая, что х? /7<=> /у (х) -=(), то X совершенно нормально. В самом
деле, пусть А, В -два дизъюнктных о X подмножества, а (л(х),
/„(х) соответствующие им функции. Образуем функцию /:
Х—>\0, 1] по формуле
и докажем, что она служит точной функцией Урысона для пары
множеств А, В. Для этого прежде всего заметим, что у этой дроби
знаменатель больше нуля всюду в X, ибо А п В 0, поэтому
непрерывность f (х) непосредственно следует из непрерывности
fA(x) и fn(x). Ясно также, что 0^.[(x)s^i и, кроме того,
*ел=>д*)-о, a xeB-z>fn(x)-r0,
что, в свою очередь, влечет /(х)=1. Наконец, легко понять, что
/ (х) = = 0 r> fA {х).- О => х е А, а / (х) -, 1 ^ /„ (л): := 0 ^> х ? В.
Таким образом, установлена справедливость еще одного критерия
совершенной нормальности.
ТЕОРЕМА 2.13 (КРИТЕРИИ СОВЕРШЕННОЙ НОРМАЛЬ-
НОРМАЛЬНОСТИ). Т,-пространство X совершенно нормально тогда и толь-
только тогда, когда для каждого замкнутого в X подмножества F су-
существует непрерывная функция //.¦: X •—¦[(), 1 |, обращающаяся в
нуль только в точках множества F.
Замечание 2.9. Доказанная выше совершенная нормальность
метрических пространств (см. предложение 2.10) непосредственно
следует из предыдущего критерия, если заметить, что для каждого
замкнутого подмножества F метрического пространства (X, (>) в
качестве fF (x) может служить, например, функция ff (x) -p (x, F).
2.6. Метризуемость топологических пространств. Как мы уже
знаем, метрические пространства образуют весьма обширный и
очень важный класс топологических пространств, поскольку вся-
221
кая метрика естественным обра:юм порождает определенную топо-
топологию, которая называется метрической топологией. С другой сто-
стороны, метрические пространства по своему строению во многих
отношениях проще общих топологических пространств, поэтому
принципиально важным оказывается вопрос: какими свойствами
должно обладать топологическое пространство (X, т), чтобы можно
было ввести в нем метрику j> таким образом, чтобы порождаемая
сю в множестве X метрическая топология совпадала с исходной
топологией т?
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4. Пространство (X, т) называется мет-
рнзцсмым, если на множестве X можно ввести метрику г> так,
чтобы порождаемая ею метрическая топология и X совпадала с
исходной топологией т.
Ясно, что топологическое пространство метрпзуемо тогда и
только тогда, когда оно гомеоморфно метрическому пространству.
Таким образом, любое топологическое свойство метрических про-
пространств имеет место и в метризуе.мых пространствах. Н связи со
сказанным выше возникла проблема метризуемости, заключающая-
заключающаяся в том, чтобы найти условия, при которых топологическое про-
пространство мстризуемо. Поскольку, как мы видели выше, всякое
метрическое пространство нормально, то нормальность является
необходимым условием метризуемости. Классическая теорема Уры-
сопа дает полное решение проблемы для важного класса тополо-
топологических пространств, удовлетворяющих второй аксиоме счетпости.
ТЕОРЕМА 2.14 (ПЕРВАЯ МЕТРИЗАЦИОННАЯ;
//. С. УРЫСОН []]). Для того чтобы топологическое простран-
пространство со счетной базой было метризуемым, необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы оно было нормальным.
•^ Поскольку всякое метрическое пространство нормально (см.
предложение 2.1), то нам надлежит доказать лишь достаточность,
т. е. что в любом нормальном пространстве X со счетной базой
можно ввести метрику (> так, чтобы порожденная ею метрическая
топология совпадала с исходной топологией. В самом деле, пусть
Г» \U,,'< n G Щ — счетная база в X. В силу «малой» леммы Урысона
и свойства базы ясно, чю для каждого Uf?\\ найдется С ,-?(¦> та-
такой, что ИjdUj. Пусть ii — множество всех пар {U,-, Uj) таких,
что Uid),, поскольку И, очевидно, счетное множество, ю оно
может быть занумеровано в последовательность {U', , U/п); п?М\.
Пусть далее /„: X —- [0, 1]—функция Урысона, соответствующая
парс непересекающихся замкнутых множеств V 1п и X\U/ri\. Те-
Теперь уже для любых двух точек х, //€ X положим
(.(*,«/)-- V 2- j/„(*)-/„ (У) I.
где ряд справа, очевидно, сходится равномерно на ХхХ, так как
он мажорируется сходящимся числовым рядом V2~". Нетрудно
убедиться, что (>(*,«/) задает в X некоторую метрику. Поскольку
222
выполнимость аксиом симметрии и треугольника совершенно оче-
очевидна, остается проверить лишь, что если хФу, то <>(х, //)>().
В самом деле, пусть х„, //„ — две различные точки из X. Положим
V =- Х\ •{//„} и пусть Vj- -такой элемент базы |>, что xlt?UjCzV.
Тогда, как и выше, убеждаемся, что существует с/(?|> такой, что
д'„ ? UjCz'U{С Uj. Итак, ((У (, L/;-)?Q, а соответствующая ей функция
Урысона /„, очевидно, будет равна пулю в точке х„ и единице в
точке у„, откуда непосредственно заключаем, что (•(*„,//„)>().
Докажем теперь, что тождественное отображение множества X
представляет собой гомеоморфизм пространства X па метрическое
пространство (X, <>). Пусть д„ ? X п пусть В (х„, »•••) — открытый шар
в (X, (>). Покажем, что существует элемент Uпм базы |Ji такой,
что х„ ? и,цГ)С:В (х„, г). Для этого заметим, что в силу непрерыв-
непрерывности функции Урысона /„ и отмеченной выше равномерной схо-
сходимости рассмотренного ряда следует, что р(ха, х) является непре-
непрерывной функцией от х?Х, поэтому найдется окрестность 6/„(п G|i
точки ,v0 такая, что неравенство
| (> (д-„, х) — р (,v0, хп) | - (> (л-„, л')< е
ныполияетс» для кажд,01 х6(/„м, т.е. U „^czR (х„, к), а это озна-
означает, что отображение lv: X—>(Х,;>) непрерывно.
Пусть теперь UПа — произвольный элемент базы [1, содержапшй
точку д-(). Докажем, что существует к„ > 0 такое, что В (.v(l, )¦„)'-
aU,ht. Предположив противное, заключаем, что для каждого нату-
натурального числа т найдется точка хт?В(хп, 1/2'") такая, что
хт?Х\иПо- В силу малой леммы Урысопа найдется и,-„ (Ер1 такой,
что
Рассмотрим функцию Урысона fp(x), соответствующую паре (U/„,
U,,J?{}. Тогда при всех т, очевидно, будем иметь /;, (х,„)- - 1,
между тем как fp(x0)---O. С другой стороны, имеем неравенство
(» (х/л, а-в) ¦ • 2 2-" I /„ (хт) -/„ (л-J | > 2-/' | /;j (xm) -/,, (.v,,) I = 2-'',
('О
которое при т'^р, очевидно, противоречит принадлежности х,„
шару В (,vu, 2~'"). Таким образом, отображение 1 v: (X, о)—<¦ X тоже
непрерывно, т. е. \х является гомеомор(|)нзмом. >
Замечание 2.10. Опираясь па соображения, использованные
при доказательстве метризационной теоремы Урысопа, нетрудно
убедиться, что отображение /: X—»/._., определенное по формуле
представляет собой гомеоморфизм пространства X па некоторое
подмножество так называемого гильбертова кирпича или фундамен-
фундаментального параллелепипеда координатного гильбертового простран-
пространства /2.
Таким образом, огромное значение метризационной теоремы
Урысопа заключается в том, что она позволяет рассматривать лю-
любое абстрактно заданное нормальное пространство со счетной ба-
223
зон погруженным в совершенно конкретное пространство достаточно
простой структуры.
Замечание 2.11. Если принять тот факт, что для метриче-
метрических пространств сепарабельность равносильна наличию счетной
базы, то из теоремы Урысона непосредственно следует, что всякое
сепарабелыюе метрическое пространство гомеоморфно некоторому
подмножеству из /2. Поэтому при топологическом изучении сепа-
рабельных метрических пространств можно ограничиться подмно-
подмножествами из /а.
Замечание 2.12. В силу теоремы Тихонова (см. 2.4) регу-
регулярное пространство со счетной базой нормально, поэтому в метри-
метризационной теореме Урысона условие нормальности, очевидно, может
быть заменено условием регулярности.
Проблема метризации в полном ее объеме получила свое; раз-
разрешение в недавних работах [50J, [22] и [41]. Для формулировки
относящихся сюда результатов, носящих завершающий характер,
введем следующие два понятия. Напомним, что семейство S-— {Л{;
i(zl\ подмножеств пространства X называется локально конечным
(соответственно дискретным), если каждая точка х„ ? X обладает
такой окрестностью U'„, которая пересекается не более чем с ко-
конечным числом (не более чем с одним) элементов семейства S.
Говорят, что семейство 5 является а локально конечным, соот-
соответственно сг-диекретным, если оно представимо в виде объединения
не более чем счетного числа локально конечных (дискретных) се-
семейств, flcno, что каждое о-дискретиое семейство а-локалыю ко-
конечно, но не наоборот.
Принято базу р" пространства X называть 5-базой (соответственно
yVS-базой), если семейство р" является а-дискретным (а-локалыю
конечным) семейством.
В этих терминах справедлива следующая замечательная теорема.
Т1ЮРЕМЛ 2.15 {МЕТРИЗАЦИОННАЯ; БИНГ — НАГЛТЛ —
СМИРНОВ). Для того чтобы регулярное пространство X было
метрниугмым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно
из следующих условий:
(В) пространство X обладает В-ба:юй\
(NS) пространство X обладает NS-6a;iou.
Замечание 2.13. Счетная база очевидно является /VS-базой,
поэтому теорема 2.15 содержит в себе метризационную теорему
Урысоиа как частный случай.
В заключение пункта приведем один интересный пример нор-
нормального, но не метризуемого пространства.
Пример 2.2. Пространство Хелли. Пусть // — множе-
множество всех (не обязательно непрерывных) неубывающих функций f:
:/—>./) ГДе / — отрезок [0, 1] числовой прямой. Множество Н можно
наделить топологией, индуцированной из тихоновского куба /;,
поскольку, как мы уже знаем, И можно рассматривать как под-
подмножество этого куба. При этом легко убедиться, что // будет
замкнутым в этом кубе и поэтому нормальным как бикомпактное
хаусдорфово пространство (см. § 3 гл. III). Кроме того, можно
224
доказать (см. fllj, с. 222), что пространство Я сепарабельно, но
не наследственно сепарабельно, поскольку никакая точка его не-
несчетного подмножества М, состоящего из всех функций /,: /—*/,
заданных по формуле
(О, х< I,
ft(x) = \ 1/2, x=t,
[ 1, х> /,
не является предельной для М. Оказывается, кроме того, что про-
пространство /7 обладает локальной счетной базой в каждой своей
точке и тем не менее не является метризуемым, ибо тогда оно
должно было бы быть наследственно сепарабельным. Далее, в
силу первой метризационной теоремы заключаем, что И не обла-
обладает счетной базой.
Предостережение 2.14. Как мы уже знаем (см. §2 гл. 1),
в классе метрических пространств сепарабельность равносильна
наличию счетной базы, однако следует иметь в виду, как это видно
из приведенного примера 2.2, что сепарабельность даже вместе
с первой аксиомой счетпости не всегда влечет за собой наличие
счетной базы.
Задачи
1. Докажите, что X есть ^-пространство в том и только в том случае,
когда для любых дизъюнктных замкнутых /•',, F.2 существует открытое множе-
множество U 3^1 такое, что U(]F« — 0.
2. Докажите, что X — '/^-пространство в том и только в том случае, когда
для любых открытых в X множеств G,, G2 таких, что Gi\JG2 — X, найдутся
замкнутые в X множества Г, с Gu F.,c:G.2 такие, что Ft\JF2 = X.
3. В множестве X, состоящем из четырех элементов, задайте топологию так,
чтобы (X, т) было ^-пространство, но не 7Vnpocrpaiiei»o.
4. Пусть (X, т) — пространство полуоткрытых слева интервалов (см. пример 1.29
§ I гл. I). Докажите, что:
а) пространство (X, т) нормально;
в) пространство ХхХ не нормально.
5. /[окажите, что бесконечное множество X, наделенное топологией Зарис-
ского, есть немстризуемое пространство.
6. Докажите, что пространство полуоткрытых интервалов (см. пример 1.29
§ I гл. 1) пеметризуемо, но наследственно сепарабельно.
7. Докажите, что индуктивно нульмерное пространство является достижимым.
8. Докажите, что индуктивно нульмерное пространство вполне регулярно.
Я. Покажите, что если число неизолированных точек хаусдорфова простран-
пространства X конечно, то X нормально.
10. Приведите пример счетного Т.,-прострапства, которое не нормально.
П. Докажите, что любое счетное регулярное пространство нормально.
12. Докажите, что всякое замкнутое и даже всякое множество типа Fg нор-
нормального пространства нормально.
§ 3. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Хорошо известно, что фундаментальные факты, лежащие в самих
основах классического математического анализа, основаны на одном
замечательном свойстве отрезка числовой прямой, известном под
8 л, 73 225
названием леммы Гейне —Бореля—Лебега и заключающемся в том,
что из любого покрытия этого отрезка открытыми интервалами
можно выбрать конечное подпокрытие. По этой причине оказалось
естественным в общих топологических пространствах особо выде-
выделять такие их подмножества, которые обладают аналогичным свой-
свойством, что и привело к одному из фундаментальных попятим п то-
топологии— к понятию би к ом и акт н ости. Заслуга выделения
этого замечательного класса пространств принадлежит П. С. Алек-
Александрову. Отметим также, что теория бикомпактных пространств
впервые была построена П. С. Александровым и П. С. Урысоном
в работе [4].
3.1. Определения и основные свойства бикомпактных пространств.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Топологическое пространство X назы-
называется бикомпактным, если оно удовлетворяет условию Бореля -
Лебега: всякое его открытое покрытие содержит конечное подпо-
подпокрытие. При этом топологию пространства X называют биком-
бикомпактной.
Ясно, что пространство с тривиальной топологией всегда би-
бикомпактно, тогда как пространство с дискретной топологией биком-
бикомпактно в том и только в том случае, когда оно состоит из ко-
конечного числа точек.
Примеры. 3.1. Бесконечное множество X, наделенное топо-
топологией Зарисского, является бикомпактным пространством, хотя,
как мы уже знаем, оно не хаусдорфово. В самом деле, пусть
S — \Ua\ °с?/1}— произвольное открытое покрытие X, состоящее
из бесконечного числа элементов, и пусть Uria=/-X, а Ра„ -- X \ U а„
состоит из конечного числа точек х,, .va, ..., хп. Пусть, далее,
х, 6 Uai, х2 6 иаг хп 6 Unn, тогда система иа„, Uat, • • • Uan, оче-
очевидно, образует конечное подпокрытие исходного покрытия и, стало
быть, X бикомпактно.
3.2. Евклидово пространство R" размерности п'^- 1 не является
бикомпактным, ибо, например, покрытие S — \B((), п); п?\Ч\, со-
состоящее из открытых шаров с центром в начале координат и ра-
радиусами, равными п, не содержит, очевидно, никакого конечного
подпокрытия.
Следующее простое предложение позволяет дать эквивалентное
(двойственное) определение бикомпактности.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1. Для бикомпактности пространства X
необходимо и достаточно, чтобы любое семейство его замкнутых
подмножеств с пустым пересечением содержало конечное подсемей-
подсемейство с пустым пересечением.
М Необходимость. Пусть X бикомпактно и пусть \Ра : а ? А) —
произвольное семейство замкнутых в X множеств такое, что П /•'« -
а а Л
=--- 0. Тогда, согласно формулам де Моргана, семейство \Ua; a?A},
где Un = Х\ Ра образует открытое покрытие X. В силу биком-
бикомпактности X существует конечный набор {Uni, (У«2, ...,Ua \, тоже
образующий покрытие X, поэтому в силу тех же формул де Мор-
226
га на будем иметь
X \ П F* - U (X \ Fa) -¦= U U«. -= X
k -1 " к - 1 " к К
и, стало быть, [\Fa ¦¦- 0.
V')
Достаточность. Пусть {Ua ' а?А} — произвольное открытое
покрытие пространства X. Очевидно, что семейство \Fa; a ? А\, где
/•'« X \ Uа , представляет собой семейство замкнутых в X подмно-
подмножеств с пустым пересечением, которое, по условию, содержит ко-
печное подсемейство {Fai, Fai, ..., Fn \ такое, что П Fa = 0.
" к=\ к
Ясно, что Uai, Ua2, ..., Uа образует покрытие X. >
Следующий критерий существенно используется в самых раз-
различных вопросах топологии. Напомним сначала, что система мно-
множеств \Ма: а?А\ называется центрированной, если пересечение
любого конечного числа элементов этой системы не пусто.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.2. Для бикомпактности пространства X
необходимо и достаточно, чтобы всякая центрированная система
его замкнутых подмножеств имела непустое пересечение.
М Необходимость. Пусть 5 = {Fa: а? А} — произвольная цент-
центрированная система замкнутых в X множеств. Тогда пересечение
П Fu не пусто, ибо в противном случае в силу бикомпактности X
т. А
и предложения 3.1 нашлась бы конечная подсистема, имеющая
пустое пересечение, что невозможно, поскольку система S — центри-
центрированная.
Достаточность. Пусть {Fa : а ? А} — произвольное семейство
замкнутых в X множеств с пустым пересечением. Тогда оно не-
непременно содержит конечную подсистему с пустым пересечением,
ибо в противном случае семейство \Fa\ было бы центрированным
и, по условию, имело бы непустое пересечение. Итак, любое се-
семейство замкнутых в X множеств с пустым пересечением содержит
конечное подсемейство с пустым пересечением и поэтому в силу
предложения 3.1 X бикомпактно. >
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2. Подмножество Мс:Х называется биком-
бикомпактным подмножеством, если подпространство М (т. е. подмно-
подмножество М с индуцированной из X топологией) представляет собой
бикомпактное топологическое пространство. Подмножество М назы-
называется относительно бикомпактным в X, если его замыкание /И
бикомпактно.
Легко показать, что всякое бикомпактное подмножество (и, стало
быть, всякое относительно бикомпактное подмножество) метриче-
метрического пространства ограничено, т. е. содержится в некотором шаре.
Замечание 3.1. Так как бикомпактность пространства (X, т),
очевидно, зависит от самой топологии, а индуцированная тополо-
топология обладает свойством транзитивности, то ясно, что бикомпакт-
бикомпактность подпространства есть внутреннее свойство и совершенно не
8* 227
зависит от того, подпространством какого именно объемлющего
пространства оно рассматривается.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.3. Для бикомпактности МсХ необходимо
и достаточно, чтобы любое покрытие множества М открытыми
в X множествами содержало конечное подпокрытие.
^ Необходимость. Пусть М — бикомпактное подмножество
пространства X, a S-={Ua; v* ?А\— произвольное его покрытие
открытыми в X множествами. Рассмотрим след § = {0а: ос?А\
покрытия S на подмножестве М, Ua-=Uaf\M. В силу бикомпакт-
бикомпактности подпространства М из его открытого покрытия S можно
выбрать конечное подпокрытие {?/<*,, •••, 0а \. Легко понять,
что при этом система {(/«,, ..., Ua) будет служить конечным
подпокрытием исходного покрытия 5.
Достаточность. Пусть условие выполнено и пусть Т--
-'\Угц\ а ? А} — произвольное, открытое в М покрытие подпрост-
подпространства М и пусть Va—такое открытое в X множество, что
Уа [\M = Va. Тогда ясно, что система Т = \Va ; a ? А} образует по-
покрытие М открытыми в X множествами. По условию, существует
конечное подпокрытие {Va,, •.., Va,,\ покрытия Т, тогда система
\Va,> ¦¦¦ Уа } будет служить конечным подпокрытием покры-
покрытия Т, поэтому М бикомпактно. >
Пример ы. 3.3. Всякое конечное подмножество, в том числе
и пустое, произвольного пространства X бикомпактно.
3.4. Замкнутый отрезок числовой прямой К1 бикомпактен.
Рассмотрим произвольное покрытие S -= {Uа ; a ? А) отрезка [0, 11,
состоящее из открытых в IR1 множеств, и докажем, что оно содер-
содержит конечное подпокрытие, тогда из предложения 3.3 будет сле-
следовать бикомпактпость отрезка |0, 11. Условимся считать точку
л'о€[0, 1| отмеченной, если существует конечная подсистема си-
системы S, покрывающая замкнутый отрезок [0, хо|. Так как точка
х=-0, очевидно, отмеченная, то множество М всех отмеченных
точек не пусто.
Докажем, что точка г) -sup/W тоже отмеченная. Пусть r| ? Ua<t,
тогда в силу открытости (У«„, очевидно, найдется точка ? ? /И такая,
что 0 < ? < 1] и отрезок [Н, i}\ целиком содержится в иа„. Поскольку
Е- -отмеченная точка, то найдется конечная подсистема Uril, ¦ ¦ ., U
системы S, покрывающая отрезок [0, с], и поэтому подсистема И,L
Ua,, • • ¦< Ua , очевидно, будет покрывать уже отрезок [0, 1]|, т. е.
1)?М. Остается доказать, что и совпадает с правым концом исход-
исходного отрезка [О, I]. Допустим противное, тогда в силу открытости
Uи„ найдется r)'?(ii, l) такое, что |i|, n'Jcc/a,,, следовательно,
подсистема Vп„, 0а,, •••. Ua будет покрывать |(), i|'J, т. е.
х\'.?М, а это противоречит тому, что n, — sup/И.
Перейдем теперь к установлению некоторых основных свойств
бикомпактности.
228
п
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.4. Замкнутое подмножество бикомпактного
пространства бикомпактно.
М Пусть М- замкнутое подмножество бикомпактного простран-
пространства X и пусть {Fa ; а ? А} -произвольная центрированная система
замкнутых в М множеств. Поскольку М замкнуто в Л", то эта
система будет также и центрированной системой замкнутых в X
множеств и в силу бикомпактпости X П ЕаФ0, а, стало быть
ас А
(см. предложение 3.2), М бикомпактно. >
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.5. Бикомпактное подмножество хаусдорфова
пространства замкнуто.
М Пусть М — произвольное бикомпактное подмножество хаусдор-
хаусдорфова пространства X. Рассмотрим произвольную точку х0 из X \ М
(в случае М — X или М ---¦ 0 доказывать нечего), тогда для каж-
каждого х? М в силу хаусдорфовости X найдутся открытая окрест-
окрестность Uх точки х и окрестность Vx точки х„ такие, что U X()VX = 0.
Ясно, что система \UX; x? M) образует покрытие бикомпактного
множества М открытыми в X множествами и поэтому (см. пред-
предложение 3.3) содержит конечное подпокрытие {UXj; i —1,2 п\.
п
Образуем пересечение Vo ----- П V* ..которое, очевидно, служит окрест-
1-г. 1 '
П
ностыо х0 и не пересекается с объединением (J Их. и тем более
с М. Итак, у каждой точки х0 нашлась окрестность Vo, свободная
от точек М и стало быть М-----М. >
Замечание 3.2. Бикомпактное и хаусдорфово пространство
принято называть бикомпактом. Таким образом, из доказанных
предложений следует, что подмножество М бикомпакта X биком-
бикомпактно в том и только в том случае, если оно замкнуто, т. е. в
бикомпактах понятия замкнутости и бикомпактпости равносильны.
ТЕОРЕМА 3.6 (О НОРМАЛЬНОСТИ БИКОМПАКТА). Всякий
бикомпакт представляет собой нормальное пространство.
¦^ Пусть X — бикомпакт, т. е. хаусдорфово и бикомпактно, а /И
п N—два произвольных непустых непересекающихся замкнутых
в X подмножества. В силу предложения 3.4 каждое из множеств М
и N бикомпактно. Так же как и выше, убеждаемся, что для лю-
любой точки y?N существует содержащее М открытое множество Uu
ч открытая окрестность Vu точки у такие, что U;1 Г) Vu = 0- Оче-
Очевидно, что система {Vи: y?N\ образует открытое покрытие М,
которое в силу бикомпактности N содержит конечное подпокрытие
{Vy.\ i--\, 2. ..., п\. Положим
?/-= П Uу У== (j Vu.,
тогда ясно, что U, V представляют собой открытые непересекаю-
непересекающиеся множества, содержащие соответственно множества М, N,
т. е. X — нормальное пространство. >
220
В заключение пункта приведем без доказательства еще дна
интересных критерия бикомпактное™, первый из которых при-
принадлежит П. С. Александрову, а второй — американскому матема-
математику Дж. Александеру (см., например, [11], с. 188).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.3 (/7. С. АЛЕКСАНДРОВ). Точка х0 про-
пространства X называется точкой полного накопления подмножества М,
если для любой окрестности U0 этой точки множества М и М П Uo
равномощны.
Понятно, что всякая точка полного накопления является пре-
предельной точкой, между тем как предельная точка далеко не всегда
является точкой полного накопления (см. задачу 8).
ТЕОРЕМА 3.7. (П. С. АЛЕКСАНДРОВ). Пространство X би-
бикомпактно тогда и только тогда, когда любое его бесконечное под-
подмножество обладает хотя бы одной точкой полного накопления.
ТЕОРЕМА 3.8 (ДЖ. АЛЕКСАНДЕР). Для тога чтобы топо-
топология пространства X была бикомпактной, необходимо и доста-
достаточно, чтобы она обладала такой предбазой а, что любое покрытие
пространства X элементами из а содержало конечное подпокрытие.
3.2. Непрерывные отображения бикомпактных пространств.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.9. Непрерывный образ бикомпактного про-
пространства есть пространство бикомпактное.
М Пусть /: X—>Y — непрерывное отображение бикомпактного про-
пространства X на произвольное пространство Y, а Т = {V,-}i6 / — не-
некоторое открытое покрытие Y, тогда система S = {U;\ множеств
t/,•--/-' (Vj) образует покрытие X, которое в силу непрерывности/
будет открытым покрытием. В силу бикомпактпости X покрытие S
содержит конечное подпокрытие S, а образы всех входящих в S мно-
множеств при отображении / образуют конечное подпокрытие Г по-
покрытия Г, т. е. Y — бикомпактное пространство. >
Замечание 3.3. Из доказанного предложения непосредственно
следует, что непрерывный образ бикомпактного подмножества есть
множество бикомпактное.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.10. Непрерывное отображение / бикомпакт-
бикомпактного пространства X в хаусдорфово пространство Y есть отобра-
отображение замкнутое.
М Пусть А — произвольное замкнутое в X подмножество, тогда
в силу бикомпактное™ X множество А само бикомпактно, а в силу
замечания 3.3 его образ В — f (А) бикомпактен. Далее, в силу хаус-
хаусдорфовости пространства Y и предложения 3.5 множество В обя-
обязано быть замкнутым в Y. Таким образом, образ любого замкнутого
в X множества при отображении / есть множество, замкнутое в Y,
т. е. / — замкнутое отображение. ^
СЛЕДСТВИЕ. Если (X, х) — хаусдорфово, (X, ст)— бикомпакт-
бикомпактное и топология о не слабее топологии т, то эти топологии совпа-
совпадают; иначе говоря, в данном множестве невозможно задать хаус-
дорфову топологию существенно слабее бикомпактной.
¦^ В самом деле, легко убедиться, что тождественное отображение
I.Y:(X, а)^(Х, т)
230
есть отображение непрерывное, поэтому всякое множество Л, замк-
замкнутое в топологии т, является замкнутым и в топологии а. Вместе
с тем из предыдущего предложения следует, что если А замкнуто
в топологии а, то оно замкнуто и в топологии т, т. е. эти топо-
топологии совпадают. ^
Из предложения 3.10 непосредственно вытекает также следую-
следующее важное предложение.
ТЕОРЕМА 3.11. Непрерывное взаимно-однозначное отображение /
бикомпактного пространства X на хаусдорфово пространство У
есть гомеоморфизм.
•4 В самом деле, пусть g-.У—>¦ X — отображение, обратное к /, а
Л -произвольное замкнутое в X подмножество, тогда очевидно, что
множество g~l(A) -= f (А) как образ замкнутого в X множества А
при замкнутом отображении / должно быть замкнутым в К. Итак,
прообразы замкнутых множеств при отображении g замкнуты, т.е.
отображение g — f'1 непрерывно, а, стало быть, / — гомеомор-
гомеоморфизм. ^
Приведем теперь еще один критерий бикомпактное™ простран-
пространства в терминах фильтров и ультрафильтров.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.12. Пространство X бикомпактно тогда и
только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:
(i) всякий фильтр <Г в X имеет хотя бы одну точку прикосно-
прикосновения;
(ii) всякий ультрафильтр в X является сходящимся.
Л (i). Пусть X бикомпактно, а 3~ — произвольный фильтр в X.
Докажем, что пересечение ПЛ1 не пусто. Поскольку всякий фильтр
.¦Г есть центрированная система, то система аГ, состоящая из за-
замыканий элементов из <Т, очевидно будет центрированной системой
замкнутых множеств и в силу бикомпактности X (см. предложе-
предложение- 3.2) имеет непустое пересечение Г) М.
Пусть теперь условие (i) выполнено и пусть \*> — {Fa; ag a} —
произвольная центрированная система замкнутых в X множеств F,t и,
стало быть, служащая предбазон некоторого фильтра ,Т в X, тогда,
по условию, G имеет хотя бы одну точку прикосновения, т. с.
такую точку „yo?X, что а'о ?/И для каждого уИ?сГ и, в частности,
для каждого Fa из |1 Итак, нашлась точка х0 ? Л Fa, поэтому,
в силу предложения 3.2 X бикомпактно.
(ii). Пусть X бикомпактно, a ZF — произвольный ультрафильтр
в X, тогда в силу (i) <7 будет иметь точку прикосновения, которая
будет также и его пределом (см. п. 4.4 гл. I).
Пусть теперь (ii) выполнено, 3~ — произвольный фильтр в X,
а 3~ —мажорирующий его ультрафильтр (см. п. 4.4 глава 1), тогда,
по условию, существует предел ультрафильтра Т, который и будет
точкой прикосновения для ;7.
Теперь уже в силу (i) заключаем, что X бикомпактно. ^¦
231
Замечание 3.4. Всякая бесконечная последовательность то-
точек хп бикомпактного пространства X имеет хотя бы одну предель-
предельную точку. В самом деле, рассмотрим элементарный фильтр -Т,
ассоциированный с данной последовательностью х,, xt, ..., л'„,...
точек из X. В силу (i) of будет иметь хотя бы одну точку при-
прикосновения х0, которая и будет предельной для исходной последо-
последовательности. Более общо: если f:X—>Y — произвольное отображе-
отображение множества X в бикомпактное пространство Y, а 5Г — произ-
произвольный фильтр в X, то отображение f имеет хотя бы одну пре-
предельную точку но фильтру Ж. В самом деле, такой точкой будет
каждая из точек прикосновения /-образа фильтра <5Г в У, которые
существуют в силу бнкомпактпости Y. При этом легко понять, что
если исходный фильтр Я~— ультрафильтр, то отображение [ уже
будет иметь предел по W.
Таким образом, ясно, что предложение 3.12 представляет собой
далеко идущее обобщение знаменитого принципа Больцано-Вейер-
штрасса, согласно которому любая бесконечная последовательность
точек замкнутого отрезка \а, Ь\ имеет хотя бы одну предельную
точку х„?[а, Ь\ и содержит подпоследовательность, сходящуюся
к ней.
Замечание 3.5. Относительно критериев бикомпактное™ про-
пространства в терминах направленностей см. задачи 4 и 5.
3.3. Некоторые свойства непрерывных на бикомпактах функций.
Здесь приведем основные свойства вещественных функций, задан-
заданных и непрерывных на бикомпактных подмножествах топологи-
топологических пространств, представляющие собой обобщения хорошо из-
известных из анализа свойств вещественных непрерывных функций
па замкнутом промежутке [а, Ь\ числовой прямой.
ТЕОРЕМА 3.13 {ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМ ВЕЙЕРШТРАССА).
Пусть А—бикомпактное подмножество топологического простран-
пространства X, а / непрерывная на А вещественная функция, тогда / огра-
ограничена и достигает своих точной нижней и точной верхней граней.
^ Пусть условия теоремы выполнены. Поскольку / представляет
собой непрерывное отображение множества А в IR1, то по теоре-
теореме 3.9 заключаем, что образ / (А) есть бикомпактное подмножество
из R1 и, стало быть, является замкнутым, ограниченным множест-
множеством на числовой прямой. Последнее следует из предложения 3.5
и из того факта, что бикомпактное подмножество метрического про-
пространства ограничено. Положим
т— inf f(x), M— sup f (x),
х е А х е Л
тогда, но определению точных граней, любая окрестность каждой
из точек т, М имеет с множеством / (Л) непустое пересечение, т. е.
т, М являются предельными точками замкнутого множества f (А)
и, стало быть, принадлежат /(Л).
Таким образом, в точках множеств /"'("О и f~l(M) функция
f (х) достигает соответственно своих точной нижней и точной верх-
верхней граней. ^
232
СЛЕДСТВИЕ. Если f (x)—заданная на бикомпактном подмно-
подмножестве А пространства X непрерывная и положительная функция,
то существует число с > 0 такое, что f (х) ^ с для всех х ? А.
^ В самом деле, нетрудно убедиться, что в качестве с можно взять
любое положительное число, не превосходящее т —- inf / (х) > 0. >
«л
Перейдем теперь к обобщению известного из анализа понятия
равномерной непрерывности на произвольные метрические про-
пространства.
ОНРЕДЕЛЕНИЕ 3.4. Заданная на метрическом пространстве
(Л', р) вещественная функция f называется равномерно непрерывной
на Л', если для всякого е > 0 существует б > 0 такое, что для лю-
любых л',, х.г?Х и таких, что (>(*,, л2) < б, имеет место неравенство
\i(X,)--f(Xi)\<E.
Оказывается, что справедливо следующее важное предложение,
представляющее собой широкое обобщение известной из анализа
теоремы Кантора.
ТЕОРЕМА 3.14. Непрерывная на бикомпактном метрическом
пространстве вещественная функция /(.г) равномерно непрерывна.
Мы приведем доказательство этой теоремы, основанное на по-
понятии так называемого числа Лебега открытого покрытия, в п. 3.6,
который посвящен в основном критериям бикомпактности множеств
в метрических пространствах.
3.4. Бикомпактность произведений. Теорема А. Н. Тихонова.
В этом пункте будет доказана принадлежащая советскому матема-
математику А. Н. Тихонову теорема о бикомпактиости произведения про-
пространств, играющая центральную роль в теории бикомпактных про-
пространств и являющаяся одной из фундаментальных теорем общей
топологии.
ТЕОРЕМА 3.15 (КРИТЕРИЙ БИКОМПАКТНОСТИ ПРОИЗ-
ПРОИЗВЕДЕНИЯ; Л. И. ТИХОНОВ [61J). Для бикомпактности (тихо-
(тихоновского) произведения любого семейства непустых пространств не-
необходимо и достаточно, чтобы все сомножители произведения были
бикомпактными.
¦^ Необходимое! ь. Пусть {Х"а; а? а}— произвольное семейство
непустых пространств и пусть их тихоновское произведение X ¦=
1[ Ха бикомпактно. Поскольку каждое из Ха является пенре-
'". А
рыппым образом бикомпактного пространства X при отображении
проектирования ра'-Х---* Ха, то в силу предложения 3.9 заключаем,
что Ха бикомпактно.
Достаточность. В силу критерия бикомпактности прост-
пространств в терминах ультрафильтров (см. п. 3.2, предложение 3.12)
надо лишь доказать, что каждый ультрафильтр ;Г в X сходится.
С другой стороны, основная часть доказательства сходимости этого
фильтра уже была установлена ранее в предложении 1.9 гл. II,
согласно которому из сходимости всех проекций ультрафильтра
следует сходимость самого ультрафильтра. Пусть Та- проекция
фильтра 5Г на сомножитель Ха, являющаяся базисом ультрафильт-
233
pa. В силу бикоммактности Ха и упомянутого критерия Жа схо-
сходится в Ха при каждом а?А и, согласно только что упомянутому
предложению, будет сходиться и исходный ультрафильтр оТ. ^
СЛЕДСТВИИ. Произведение любого семейства бикомпактов есть
бикомпакт.
При мер i)i. 3.5. Тихоновский куб (кирпич) Р1 любого веса ji
является бикомпактом.
3.6. Канторов дисконтинуум D>1 любого веса и, где D— простое
двоеточие, есть бикомпакт. Что же касается D[,1, где Do — связное
двоеточие, то оно хоть и бикомпактно, но не хаусдорфово.
В качестве другой иллюстрации применения теоремы Л. М. Ти-
Тихонова приведем доказательство классической теоремы.
ТЕОРЕМА 3.16 (ГЕЙНЕ — БОРЕЛЬ — ЛЕБЕГ). Подмножест-
Подмножество М конечномерного числового пространства R" бикомпактно тогда
и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
•4 Необходимость. Замкнутость М следует из предложения 3.5,
а ограниченность — из того, что бикомпактное подмножество метри-
метрического пространства ограничено.
Достаточность. Рассмотрим отображение проектирования
Pi'.R"— >R.1 на i-i\ сомножитель, и пусть М,¦ — /?,¦ (/И), тогда из огра-
ограниченности М, очевидно, следует существование конечного отрезка
[а,-, Ь/] такого, что Л^с^а,-, /;,]. Совершенно ясно, что Ма \] \а(, Ь,\.
(-1
Поскольку каждый из отрезков \ah /;,•] является бикомпактом (см.
пример 3.4), то в силу теоремы Тихонова бикомпактом будет и их
произведение. Итак, М, будучи замкнутым подмножеством биком-
бикомпакта, само бикомпакт. ^
Примеры. 3.7. Шар В" и сфера S"~' пространства IR" явля-
являются бикомпактами при любом натуральном п.
3.8. Проективные пространства Rp" и Ср" являются бикомпак-
бикомпактами, ибо они хаусдорфовы (см. предложение 1.8) и, будучи фак-
фактор-пространствами конечномерной сферы, бикомпактны (как непре-
непрерывные образы бикомпактов).
В качестве еще одной иллюстрации теоремы Тихонова укажем
следующее, теперь уже очевидное, важное утверждение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.17. Пространство X является вполне, регу-
регулярным (тихоновским) в том и только в том случае, если оно гомео-
морфно некоторому подмножеству бикомпакта.
Докажем еще одно важное утверждение, которое касается би-
компактпости проективного предела пространств.
ЛЕММА 3.18. Проективный предел хаусдорфовых пространств
замкнут в тихоновском произведении этих пространств.
.^ Пусть (Ха, пЦ, а) — проективная система хаусдорфовых прост-
пространств Ха, a X = limXa — проективный предел. Докажем, что X
замкнут в произведении \\ Ха, или, что то же самое, каждая точ-
абД
ка его дополнения внутренняя. Пусть xu = (^)g \\ Ха \Х, т. е.
a б А «-
234
л" не является нитью, и поэтому найдется пара а0 <^рл из А такая,
что njlj.tjj и хаа суть различные точки из Ха„, и поскольку Ха„ хаус-
дорфово, то эти точки обладают дизъюнктными открытыми окрест-
окрестностями иа„ и Va,- Положим Vpo^l^P») (с/а„), тогда (в силу не-
непрерывности проекций) Vpo, очевидно, будет служить открытой
окрестностью точки х" в Хр„.
Рассмотрим множество W --¦ \\ Wa, где Wa—Xa, если афа0,
Г>,,, a Wa,," Va0. ^„-Кр,,, которое, очевидно, является базисным
множеством в Ц Ха, содержащим точку ,v0. Для завершения дока-
а г Л
зательства достаточно показать, что WftX --0, или, что то же
самое, точка из W не может быть нитью спектра. В самом деле, пусть
x'--(xi)eW, тогда
следовательно, точки п^« хи и ,t' не совпадают, поскольку они со-
держатся в дизъюнктных окрестностях иа„ и Va,, соответственно.
Итак, для х'-—(Ха) условие нити нарушается для пары а„, |^0, по-
поэтому х' ? X.
Таким образом, у любой точки х° из дополнения к X нашлась
окрестность W, свободная от точек из X, и поэтому X замкнуто
в II Ха. >
ae A
ТЕОРЕМА 3.19. Проективный предел бикомпактов есть биком-
бикомпакт.
^ Пусть (Ха, л?, А) — произвольная проективная система биком-
бикомпактных пространств Ха, а Х — \\тХа — проективный предел. По-
Поскольку согласно теореме Тихонова Ц Ха бикомпактно, а в силу
at A
предыдущей леммы X является замкнутым подмножеством этого
произведения, то утверждение теоремы непосредственно следует из
того, что хаусдорфовость наследственна, а замкнутое подмножество
бикомпактного пространства само бикомпактно. ^
В заключение сформулируем значительно более полное утвер-
утверждение: проективный предел непустых бикомпактов есть непустой
бикомпакт (см. |6|, гл. I, § 9).
3.5. Счетная компактность и секвенциальная компактность. Этот
пункт посвящен определению и простейшим свойствам двух важных
типов компактности.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.5. Пространство называется счетно-компакт-
счетно-компактным, если оно удовлетворяет условию Бореля, т. е. если из любо-
любого его счетного открытого покрытия можно выделить конечное под-
подпокрытие.
235
Непосредственно из определения ясно, что каждое бикомпактное
пространство счетно-компактно, между тем как счетно-компактное
пространство может и не быть бикомпактным, как это видно из
следующего примера.
Пример 3.9. Пусть X ¦ -множество всех порядковых чисел а,
меньших первого несчетного порядкового числа L\ и пусть т — то-
топология в X, базой которой служат всевозможные интервалы в X.
Нетрудно проверить, что получаемое при этом пространство (X, т)
хаусдорфово, обладает в каждой точке локальной счетной базой,
является счетно-компактным, но не бикомпактным.
Замечание 3.6. Как и в случае бикомпактности, можно до-
доказать, что счетная компактность пространства X равносильна
каждому из следующих условий:
(i) всякая счетная система замкнутых в X множеств с пустым
пересечением обладает конечной подсистемой с пустым пересечением;
(и) всякая счетная центрированная система замкнутых в X мно-
множеств имеет непустое пересечение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.20. Счетная компактность пространства
равносильна тому, что каждое его бесконечное подмножество обла-
обладает хотя бы одной предельной точкой.
^ Пусть X счетно-компактно, а М — произвольное бесконечное под-
подмножество из X. Допустим вопреки утверждению, что М не имеет
ни одной предельной точки, тогда ясно, что в М найдется беско-
бесконечная последовательность точек х,, л'а, •-., х„, ..., лишенная
предельных точек. Образуем счетную систему подмножеств \F,,\,
n?N, положив Fll—-{xn, х„ц, А'„|,2, ...}. Тогда легко понять, что
любая ее конечная подсистема, очевидно, имеет непустое пересече-
пересечение, все /•'„ замкнуты в X, между тем как П Fn=-0. Итак, при
"е- N
сделанном допущении нашлась счетно-цептрпроианная система {/•'„}•
замкнутых в X множеств, пересечение которых пусто, а это нелепо,
ибо X счетно-компактно.
Пусть теперь в пространстве X каждое бесконечное подмно-
подмножество М обладает предельной точкой. Докажем, что X счетно-
компактно. Для этого, как мы уже знаем, достаточно проверить,
что любая счетио-центрированная система \Еи\ замкнутых в X мно-
множеств имеет непустое пересечение. Образуем новые множества Fт,
т
положив F ¦-- П Fk, тогда в силу центрированности системы {F }
к=.\
получим невозрастающую последовательность непустых, замкнутых
в X множеств /,, F2, ..., Frn ..., пересечение которых, очевидно,
совпадает с пересечением исходной последовательности, т. е.
П Fn~ П Fn. Если при этом окажется, что среди Fm существует
ле^ «е ГЧ
лишь конечное число попарно различных, то начиная с некоторого
номера т0 будем иметь Fma = Fma+\— ¦¦¦ и утверждение будет до-
доказанным, ибо П Fm — 1'тлФ0.
те [^
236
Пусть теперь среди /¦',„ имеется бесконечно много попарно раз-
различных, тогда, конечно, можно считать, что все Рт попарно раз-
различны, т. е. [:т\Гт,1ф0. Выбирая по одной точке хт €/',л\/тн>
мы получаем бесконечное множество различных точек, которое, по
условию, имеет предельную точку л'*. Ясно, что все точки хт,
А',й + |, ... принадлежат Г т, поэтому х* является предельной точкой
замкнутого множества /•',„ и, стало быть, х* ? /•',„ при каждом т ?Н,
откуда и следует, что П ЕтФ 0¦ >
т ? Л'
Приведем еще один критерий счетной компактности, представ-
представляющий собой также и полное описание класса пространств, удов-
удовлетворяющих классическому условию Больцано-Вейерштрасса.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.21. Для счетной компактности Тпрост-
Тпространства X необходимо и достаточно, чтобы любая бесконечная по-
последовательность точек из X имела хотя бы одну предельную точку.
•4 Необходимость. Пусть X счетно-компактно, а (л'„)п6^ — про-
произвольная последовательность в X, тогда возможны только два слу-
случая:
1) число различных точек этой последовательности бесконечно,
и, стало быть, множество М—\хх, х.г, ..., х„, ...[есть бесконеч-
бесконечное подмножество, откуда в силу счетной компактности X и пред-
предложения 3.20 заключаем, что существует точка х*, предельная для
/VI. Далее, так как X— Т,-пространство, то в любой окрестности х*
существует бесконечно много точек из М, откуда легко заключить,
что х* будет предельной и для исходной последовательности;
2) число различных точек последовательности (О„е^ конечно,
тогда, очевидно, найдется ее стационарная подпоследовательность
хПк----х* при всех к—\, 2, 3, .... поэтому х* будет служить пре-
предельной точкой исходной последовательности.
Таким образом, в обоих случаях у исходной последовательно-
последовательности нашлась предельная точка.
Достаточность. Пусть условие выполнено. Допустим во-
вопреки утверждению, что X не счетно-компактно, тогда в силу пред-
предложения 3.20 существует бесконечное множество М, лишенное пре-
предельных точек, выделим из М бесконечную последовательность
(.vn)nCHjt состоящую из попарно различных точек, которая, очевидно,
тоже будет лишена предельной точки (ибо эта точка была бы пре-
предельной и для /И), что противоречит условию. ^
011РЕДЕЛЕНИЕ 3.6. Пространство X называется секвенциально
компактным, если оно удовлетворяет условию Больцано-Вейерштрас-
Больцано-Вейерштрасса, а именно: любая бесконечная последовательность содержит схо-
сходящуюся подпоследовательность.
Ясно, что в классе Г,-пространств секвенциальная компактность
влечет за собой счетную компактность; если же пространство к тому
же удовлетворяет первой аксиоме счетности, то из его счетной ком-
компактности следует его секвенциальная компактность. В самом деле,
если (*„)ле|^ — произвольная бесконечная последовательность в X,
237
а х* — существующая в силу счетной компактности X предельная
точка, то, рассмотрев счетную фундаментальную систему окрест-
окрестностей (Uit)kcN точкн х* такую, что Uft..Lc:Uk, можно выделить под-
подпоследовательность (х„ ), сходящуюся к х*.
Примером секвенциально компактного, но не бикомпактного про-
пространства (в силу сказанного выше) может служить пример 3.9.
Следующие два утверждения свидетельствуют, что в классе про-
пространств, обладающих счетной базой, все рассмотренные выше типы
компактности по существу равносильны.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.22. Для пространств со счетной базой би-
компактность равносильна счетной компактности.
¦^ Импликация бикомпактиость г> счетная компактность очевидна.
Пусть X счетно-компактно и пусть 5 — \Ua; a? А\ — его произволь-
произвольное открытое покрытие. Поскольку пространства со счетной базой
обладают свойством Линделёфа (см. теорему 1.10 гл. 1), то покры-
покрытие &' содержит подпокрытие S', которое, в свою очередь, содержит
(в силу счетной компактности X) конечное подпокрытие 5", оче-
очевидно, являющееся конечным подпокрытием и для исходного по-
покрытия S. >
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.23. Для Т ^пространств со счетной базой
бикомпактность, секвенциальная компактность и счетная компакт-
компактность равносильны.
•4 Доказательство непосредственно следует из уже приведенных в
этом пункте фактов.
Прежде чем сформулировать следующее предложение, дадим оп-
определение полной ограниченности подмножества метрического прост-
пространства, играющее весьма важную роль в теории таких пространств.
Пусть (X, f>)—метрическое пространство, М — некоторое его
подмножество, е —произвольное положительное число. Множество А
из X называется в-сстью для М, если для каждой точки х?М су-
существует хотя бы одна точка а ? А такая, что (> (х, «)<(•-. При
этом А называется конечной е-сетыо, если оно состоит из конечного
числа точек.
Ясно, что это же множество А будет служить к-сетыо н для
множества М.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.7. Подмножество М метрического простран-
пространства (X, р) называется вполне ограниченным, если для каждого е > 0
существует конечная е-ееть для М. Ясно, что всякое вполне огра-
ограниченное множество ограничено, тогда как ограниченное множе-
множество далеко не всегда является вполне ограниченным, как, например,
единичный шар гильбертова пространства.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.24. Для метрических пространств биком-
бикомпактность, секвенциальная компактность и счетная компактность
равносильны.
•^ Импликация бикомпактность => счетная компактность очевидна.
Равносильность счетной компактности и секвенциальной компакт-
компактности следует из того, что всякое метрическое пространство есть
Tj-пространство и удовлетворяет первой аксиоме счетности.
238
Таким образом, остается доказать импликацию счетная компакт-
компактность => бикомпактность. Сначала докажем, что если простран-
пространство (X, р) счетно-компактно, то при любом к > 0 в (X, <>) суще-
существует конечная е-сеть. С целью получения противоречия допустим,
что при некотором к„ > 0 в X не существует конечной к-сети. Рас-
Рассмотрим произвольную точку л',?Х, тогда непременно найдется
х., б X такое, что р (дг,, х2) ^е(| (иначе {х:\ уже образовало бы е-сеть.)
Ясно также, что найдется jr., ? X такое, что ()(л:1, л'3) ^ е„ и
Р (л\,, *3)=^Ео (иначе множество {л;,, хг\ образовало бы двухэлемент-
двухэлементную ко-сеть). Продолжая аналогичные рассуждения, мы получаем
бесконечную последовательность точек х,, хг, ..., Л'„, ..., попар-
попарные расстояние между которыми не меньше ео(р(л',-, Ху)^еп). Ясно,
что эта последовательность не содержит никакой фундаментально;')
(и тем более сходящейся) подпоследовательности, что противоречит
секвенциальной, а стало быть, и счетной компактности (X, (>). По-
Полученное противоречие доказывает, что (X, р) вполне ограничено.
Остается доказать, что (X, р) сепарабелыю, после чего, в силу
предложения 2.10 гл. I (X, р) будет обладать счетной базой и по-
поэтому, согласно предложению .'i.22, будет бикомпактным. Пусть М„—
множество, образующее конечную —сеть в (X, р), тогда ясно, что
объединение М — ()М„ будет счетным и всюду плотным подмноже-
ством в (X, р), следовательно, это пространство сепарабелыю. >
Свойства подмножеств счетно-компактных (соответственно сек-
секвенциально компактных) пространств, в том числе и вопросы на-
наследственности указаны в задачах.
;-5десь мы ограничимся лишь следующим определением.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ .'5.8. Подмножество М пространства X назы-
называется счетно компактным (соответственно секвенциально компакт-
компактным), ост\ оно как подпространство в X является счетно компактным
(соответственно секвенциально компактным).
15.6. Полнота и бикомпактность в метрических пространствах.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.9. Последовательность точек xt, л.,, . . .
. . . , л„, ... метрического пространства (X, р) называется фунда-
фундаментальной, если для любого к > 0 существует номер Л' (к) такой,
что для всех т, п > N (е) выполняется неравенство р (л'„, хт) < е.
Как мы уже знаем, последовательность точек хп, принадлежа-
принадлежащих (X, р), сходится к некоторому дг„ ? X в том и только в том
случае, если р (х„, х0)—<-0 при п— -оо, поэтому из неравенства
Р(а-„, *и)<р(л-„, л-0) + р(л-0, хт)
немедленно заключаем, что в произвольном метрическом простран-
пространстве всякая сходящаяся последовательность обязательно фундамен-
фундаментальна, тогда как приведенные в конце пункта примеры показывают,
что в некоторых метрических пространствах существуют фундамен-
фундаментальные последовательности, не являющиеся сходящимися. Вместе
с тем хороню известно, что в математическом анализе принципи-
принципиально важное значение имеет так называемая полнота простейшего
239
из метрических пространств — числовой прямой IR1, а именно тот
факт, что всякая фундаментальная последовательность в К1 является
сходящейся. В связи с этим в теории метрических пространств особо
выделяются так называемые полные метрические пространства.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.10 (ФРЕШЕ [17]). .Метрическое пространство
называется полным, если в нем всякая фундаментальная последо-
последовательность сходится к некоторому его элементу.
Легко убедиться, что замкнутое подпространство полного мет-
метрического пространства само является полным и всякое полное
подпространство метрического пространства замкнуто.
ПРЕДОСТЕРЕЖЕНИЕ 3.7. Следует иметь в виду, что полнота,
будучи, очевидно, метрическим свойством, ни в коем случае не
является топологическим свойством. Это видно хотя бы из следу-
следующего простого примера. Как мы уже знаем, числовая прямая R1
и любой открытый на ней интервал (а, Ь) между собой гомео-
морфны, тогда как IR1 полно, а интервал —неполное подпро-
подпространство.
Одним из наиболее важных свойств приведенных в п. 1.1 гл.1
метрических пространств R", С\а, b\, Ip, Lp является их полнота.
Примером же неполного пространства может служить метрическое
пространство Q рациональных чисел, рассматриваемое как подпро-
подпространство R, так как последовательность рациональных чисел, схо-
сходящаяся к иррациональному числу, будучи, очевидно, фундамен-
фундаментальной, не имеет предела в Q. Другим примером может служить
метрическое пространство !Р всех полиномов как подпространство
в С [а, Ь], так как последовательность полиномов, равномерно схо-
сходящаяся к непрерывной функции, не являющейся полиномом, пред-
представляет собой фундаментальную, но не сходящуюся в Р последо-
последовательность.
Оказывается, что всякое неполное метрическое пространство
(X, (>) может быть пополнено в том смысле, что можно построить
такое полное метрическое пространство (X*, р*), которое содержит
подмножество X, всюду плотное в X* и изометричное исходному
пространству X. При этом такое пространство (X*, [>*) единственно
с точностью до изометрии и называется пополнением пространства
(X, (>). Мы укажем лишь краткую схему построения такого про-
пространства (X*, (>*), которая аналогична предложенному Кантором
процессу пополнения совокупности рациональных чисел до мно-
множества всех вещественных чисел. Подробное доказательство этого
важного предложения можно найти, например, в |1|, гл. VII.
Две фундаментальные последовательности {.v,,}, {//„} из (X, |>)
назовем эквивалентными, если при п-->-оо р{хп, </„) *('¦ Легко
проверить, что множество всех фундаментальных в (X, [>) после-
последовательностей разобьется на классы эквивалентных между собой
фундаментальных последовательностей. Пусть X*--совокупность
всех этих классов. Доказывается, что для любых двух фундаменталь-
фундаментальных последовательностей {хп\, {у,,}, взятых соответственно из классов
х* и у*, существует lim p (jch, yj, причем значение этого предела
240
не изменится, если вместо \хп\, \yj взять какие-либо фундамен-
фундаментальные последовательности {-V,',}, \у'„} соответственно из тех же
классов х*, у*. Это позволяет корректно ввести в множестве Л'*
метрику р* по формуле
(>*(*•, у*) =-- lira p (х„, уХ
где \х,,}^х*, {у„)€у*. Доказывается, что построенное таким образом
метрическое пространство (X*, [>*) является полным и что подмно-
подмножество X из X*, состоящее из всех стационарных классов, т. е.
классов, содержащих такую последовательность, все члены которой
совпадают с одной и той же точкой пространства (X, о), всюду
плотно в X* и изометрично X.
Пусть М— подмножество метрического пространства (X, р), а
хп -фиксированная точка из X. Напомним, что расстоянием точки х0
да множества М называется число, равное inf j> (л0, .v), и обозна-
чается через р (х0, М). Очевидно, что из .v0 ? /И следует <> (л0, М) — О,
тогда как из р(х0, М) =0 следует лишь, что хп?М. Напомним
далее, что диаметром множества М ? X называется число, равное
sup р(л% у).
х. и ¦ М
Пусть теперь S — открытое покрытие пространства (X, р), для
которого существует число е > 0 такое, что .любое подмножество /И
с диаметром меньше к целиком содержится в одном элементе по-
покрытия S. Точную верхнюю границу всех таких чисел е будем на-
называть числом Лебега покрытия S.
Одним из фундаментальных фактов в теории бикомпактных мет-
метрических пространств является следующее предложение.
ЛЕММА ЛЕБЕГА. Любое открытое покрытие S бикомпакт-
бикомпактного метрического пространства (X, р) обладает числом Лебега.
М Предположим противное, тогда для всякого а =1, 2, 3, ... су-
существует подмножество Мп с диаметром меньшим \/п, которое не
содержится ни в одном элементе покрытия 5. Ясно, что можно
выбрать по одной точке хп из каждого Мп так, чтобы получить
бесконечную последовательность различных точек хп (п =1, 2,
3, ...). В силу бикомпактности X найдется подпоследователь-
подпоследовательность ,v;i/., сходящаяся к некоторой точке Л'(|?Х. Пусть U—элемент
покрытия S, содержащий точку .v0, и пусть F ¦- X\U, тогда, оче-
очевидно, р(х0, F)--dl>0. В силу неравенства треугольника для лю-
любой точки х из М,ч.
p(.v, л-0)<р(х, хП1.)-'--р(хПк, х„)<— + р(хпк, л'„).
Поскольку [i(x,,k, х0)-—«•(), то начиная с некоюрого к будут одно-
одновременно выполняться неравенства
V (хак, xo)<Y и — < у .
и, следовательно, будем иметь
P(.v, xo)<d, т. е. x?U,
241
и, стало быть, Мп,. целиком содержится в элементе U покрытия S,
что противоречит предположению. >
Oil Pli ДЕЛЕН И В 3.11. Непрерывное отображение f метрического
пространства (X, р) в метрическое пространство (Y, <>) называется
равномерно непрерывным на X, если для любого к > 0 существует
Л > 0 такое, что для любой пары точек х{, х., ? X неравенство
(>(*,, л-.,)<5 влечет р (/(*,), /(*„))< е.
Ниже мы докажем теорему, из которой теорема 3.14 получится
в том частном случае, когда пространство (Y, р) есть просто чис-
числовая прямая R1.
ТЕОРЕМА 3.25. Непрерывное отображение f бикомпактного
метрического пространства (X, р) в произвольное метрическое про-
пространство (К, (>) равномерно непрерывно на X.
^ Для любой точки х0 ? X и произвольного к>0 в силу непре-
непрерывности / существует зависящее от х0 и к число Ьх„ > 0 такое,
что р (/(*„), /(л:)) < к/2 для всех точек х открытого щара В(х0, о,и).
Пусть 6>0 является числом Лебега открытого покрытия ,S
пространства X, составленного из всех шаров В(х0, <Ч„), когда л'„
пробегает все X. Пусть теперь *,, х.2— произвольные точки из X
такие, что p(jf,, х.2) < б, тогда, по определению числа Лебега о,
точки X',, X:, будут одновременно принадлежать хотя бы одному
из этих шаров, скажем, шару В(х*, б*»). Таким образом,
(» (/ (А",), / (А-2))<(> (/ (X,), f (X*)) ¦¦•¦¦ р (/ (X*), / (Х2)) < | +~ -= В,
т. е. отображение / равномерно непрерывно. >
Ладим теперь определение еще одного важного понятия теории
метрических пространств, являющегося обобщением хорошо извест-
известного из математического анализа понятия равномерной сходимо-
сходимости последовательности функций.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 3.12. Пусть X—произвольное множество. По-
Последовательность отображений /„:Х—> (Y, р) называется равномерно
сходящейся к отображению f:X—>(У, р), если для любого к > О
существует номер но = м0 (е) такой, что при п"^па и для всех х?Х
выполняется неравенство р(/„(х), /(х))<к.
ТЕОРЕМА 3.26. Пусть X — топологическое пространство и по-
последовательность непрерывных отображений }„:Х- > {Y, р) сходится
равномерно на X к отображению }, тогда f — непрерывное отобра-
отображение X в Y.
•^ Пусть х0 — произвольная точка из X, к — любое положительное
число, a Vt. — открытый шар с центром в /(,vn) и радиусом, рав-
равным р.. Покажем, что существует окрестность U точки х„ такая,
что для всех х ? U будем иметь р (/(*), /(хо))<е, т. е. отображе-
отображение / непрерывно в точке хо?Х. ^ самом деле, из равномерной
сходимости последовательности /„ существует такое NK, что для
всех п ^г Ne н для всех х?Х имеет место неравенство р(/(Д'),
/„(.\))<е/3. Зафиксировав некоторое пи ^ N? и пользуясь пера-
242
венством треугольника, будем иметь
Vif(x), /(*.)) <ptf(.«). /„„(x)) + P (/„„(*)> /„.(*.) +
Ч-Р (/«„(.«.), /(-v,,)) (*)
В силу непрерывности отображения /„0 в точке ,v0 существует
такая окрестность U точки х0, что
fll0(U)<=Ve./^ т.е. (>(/„„(*)> /„„ Ц,)) < е/3 для всех x?U. Таким
образом, каждое слагаемое в правой части (*) меньше е/3, а стало
быть,
V(f{x), /(*„))< е, т. е. f(U)aVe. >
Перейдем теперь к установлению принадлежащего Хаусдорфу
весьма важного критерия бикомпактности множеств, лежащих
в метрических пространствах.
ТЕОРЕМА 3.27 {ХАУС ДО РФ). Для того чтобы подмноже-
подмножество М метрического пространства X было относительно биком-
бикомпактным в X, необходимо, а в случае полноты пространства X и
и достаточно, чтобы М было вполне ограниченным.
Л Необходимость. Предположим, что при некотором (¦•„ > О
для множества /И, а стало быть, и для М не существует конечной
е„-сети. Выберем некоторую точку х^М, тогда непременно най-
найдется точка х.2 ? М такая, чтор^,, х2)^к„, ибо в противном случае
одноточечное множество {х:\ служило бы ео-сетью для М. По ана-
аналогичной причине найдется точка х3 ? М такая, что р(хп х.Л)^?а
и р(х2, хя)~^г0, иначе точки хх и хг образовали бы еа-сеть для М.
Пусть аналогичным образом уже построены точки х,, х2, ..., хп
из М такие, что р (лг,-, Xj)^f0 ripn всех (=т^/, тогда по топ же
причине найдется точка х,,.,, ? М такая, что p(xf, хп+1)~^;еа при
всех /—-1, 2, ...,«. Таким образом, мы получаем бесконечную
последовательность точек хх, х.г, ..., хп, ... из М таких, что
() (X;, Xj)^v.a при i-ф]. Ясно, что ни сама эта последовательность
и пи одна ее подпоследовательность не может быть сходящейся,
т. о. М не является секвенциально компактным, а стало бить, и
бикомпактным (см. предложение 3.24).
Достаточность. Пусть (X, р) — полное пространство п пусть
при любом е > 0 существует конечная е.-сеть для множества М.
Докажем, что М бикомпактно. Пусть Л„— {*{'", ..., х>\ — конеч-
конечная —сеть для М(п-- 1,2, 3, . . .), а N — произвольное бесконечной
подмножество из М. Очевидно, что множество N целиком содер-
содержится в объединении замкнутых шаров радиуса 1 с центрами в
точках множества Л,. Поскольку число этих шаров конечно, а
множество N бесконечно, то хотя бы один из этих шаров будет
содержать бесконечное подмножество Nt из N.
Очевидно далее, что /V, целиком содержится в объединении
замкнутых шаров радиуса 1/2 с центрами в точках множества
А., и, стало быть, хотя бы в одном из этих шаров будет со-
содержаться бесконечное подмножество Nt из Л/,. Рассуждая анало-
аналогичным образом, можно получить бесконечную последовательность
243
вложенных друг в друга попарно различных подмножеств Nk из N.
Поскольку по построению множество Nk содержится в шаре ра-
радиуса 1//г, то диаметр множества Nк не превосходит числа 2/k.
Выберем из этих множеств N к по одной точке хк так, чтобы
xk?Nk\Nk+l (k---\, 2, 3, ...)•
Тогда при любом р > 0 будем иметь р(хк, хк^р) ^2/k, т. о. после-
последовательность хк является фундаментальной и, стало быть, в силу
полноты пространства (X, р) сходится к некоторому х„?М. Таким
образом, всякое бесконечное подмножество N из М обладает пре-
предельной точкой, откуда непосредственно заключаем, что М секвен-
секвенциально компактно, а значит, и бикомпактно. >
В приложениях оказывается весьма полезным следующее прос-
простое следствие теоремы Хаусдорфа.
СЛЕДСТВИИ. В полном метрическом пространстве (X, р) для
относительной бикомпактности его подмножества М достаточно,
чтобы при любом к > 0 существовала для М относительно биком-
бикомпактная Е-сеть.
¦4 В самом деле, пусть е- произвольное положительное число и
пусть N — относительно бикомпактная у-сеть для М. В силу тео-
теоремы Хаусдорфа существует конечная -77-сеть А для N. Очевидно,
что А будет служить 8-сетыо для /И, откуда опять в силу теоремы
Хаусдорфа заключаем, что М относительно бикомпактно в X. >
Предоставляем читателю убедиться в справедливости следую-
следующего простого, но важного предложения.
ПРЕДЛОЖЕНИИ .'5.28. Всякое бикомпактное метрическое про-
пространство является полным и сепарабельным.
Наряду с. критерием Хаусдорфа, являющимся общим для всех
полных метрических пространств, при установлении бикомпактпо-
стп множеств, лежащих в некоторых конкретных метрических про-
пространствах, весьма важную роль играют специальные критерии
бикомпактности, как, например, теорема Ариела для пространства
С [а, /;], теоремы М. Рисса и А. Н. Колмогорова для Lp и др.
Здесь мы ограничимся лишь доказательством теоремы, пред-
представляющей собой обобщение классической теоремы Ариела. Для
этой цели прежде всего введем понятие пространства отображений
бикомпактного метрического пространства X в бикомпактное мет-
метрическое пространство Y. Пусть Н(Х, У) —совокупность всех
(не обязательно непрерывных) отображений / пространства (X, р)
в пространство (У, (>). Введем в //(X, Y) метрику*', приняв за
расстояние между / и g из //(X, Y) число
?»*(/, ?) = sup р (/(*), #(*)).
Непосредственно из определения следует, что сходимость элемен-
элементов /„ из Н(Х, Y) в метрике р* означает равномерную на всем X
сходимость отображений fn{x), поэтому топологию в //(X, Y), по-
*> Предлагаем читателю проверить, что аксиомы метрики здесь иыио.шяются.
244
рожденную метрикой р*, называют типологией равномерной сходи-
сходимости.
Оказывается, что Н(Х, У) с метрикой о* представляет собой
полное метрическое пространство. В самом деле, пусть fn — произ-
произвольная фундаментальная последовательность в Н(Х, У), тогда
для любого е > 0 существует NE такое, что (>(/„(*), /,„ (х)) < в
для всех х?Х, если только п, т~^ N\., т. е. для каждого х?Х
последовательность /„ (х) фундаментальна в (У, (>) и, стало быть,
в силу бикомпактности, а значит, и полноты Y сходится к некото-
некоторой точке f(x)?Y. Нетрудно убедиться, что возникающее таким
образом отображение f?H(X, Y) является пределом /„ в мет-
метрике ()* (для этого надо в неравенстве (> (/„ (л), fm (x)) < к устремить т
к бесконечности).
Пусть теперь С(Х, У) — совокупность всех непрерывных отобра-
отображений /:Х--К, которая является замкнутым подмножеством в
//(X, К), поскольку предел равномерно сходящейся последователь-
последовательности непрерывных отображений есть отображение непрерывное.
В дальнейшем предполагается, что топология в С(Х, У) также за-
задается метрикой ()*.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.13. Подмножество MdC(X, У) непрерывных
отображений f пространства X в У называется равностепенно не-
непрерывным подмножеством, если для любого к >() существует
а -а(е)>0 такое, что одновременно для всех / ? М p(f(xl),
j (х2)) < <•:, если только р(хг, х2) < о.
ГЕОРЕМА 3.29 (ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА АРЦЕЛА). Под-
Подмножество М ил С{Х, У) относительно бикомпактно в С(Х, У)
тогда и только тогда, когда оно равностепенно непрерывно.
¦4 Необходимость. Пусть М относительно бикомпактно в
С (X, Y), а е — произвольное число, большее нуля. По теореме Хаус-
дорфа, для множества М в С (А", У) существует-^ -сеть, состоящая
из конечного числа отображений qx, q2, ..., qn. Поскольку каж-
каждое из q( является непрерывным на бикомпактном пространстве X
отображением, то каждое из них равномерно непрерывно на X, т. е.
существует а,(е)>0 такое, что (> (g- (xj, ?;(x2))< -^ , если только
О
l> (Xlt Л'.2) < О;.
Пусть теперь / — произвольный элемент из М, a g,-—такое ото-
отображение из рассмотренной -^--сети, что ()*(/, g',-) < —, а следова-
следовательно, и f>(/(x), gt (x)) < -ф для всех х?Х. Таким образом, в силу
неравенства треугольника для всех хх, х.2?Х и любого отображения
/ из М будем иметь
Р (/ (*i), / (х,)) < Р (/ (*.), g,- (х,)) + p{g, (xj, р,. (x,)) +p(g{ (xt),
/(*,))< в,
если только p (xlt x2) < б, где b — min {6(\. Это и означает, что
множество М равностепенно непрерывно.
Доста точ н ость. Пусть е произвольное положительное чис-
число, а б -- 6 (е) > 0 таково, что для всех / из М
Р (/(*'). /(-О) < y ' если только Р(х'' *") < ^-
По теореме Хаусдорфа, в силу бикомпактности X и К можно вы-
выбрать точки х1? х2, .... х„ так, чтобы они составляли у-ссть в X,
и точки у,, у2, ..., ут— так, чтобы они составляли -|}-сеть в У.
Положим
",-а(*,.4)\и,«('/-7).
где/?(х, г) — открытый шар в X с центром в точке X и радиусом г,
тогда легко проверить, что
п
U (У,= Х, и;п11;Ф0 при 1Ф\
и что диаметр каждого из (У,- не больше fi. Зафиксируем далге в
каждом из Ui по одной точке х\.
Рассмотрим теперь подмножество Q из Н(Х, Y), состоящее из
таких кусочно-постоянных отображений, которые для всех х из
подмножества [У,аХ принимают одно и то же значение, равное
одному из «//(/- 1, 2, ..., т). Ясно, что подмножество Q состоит
лишь из конечного числа элементов.
Докажем, что Q образует е-сеть для М в Я(Х, Y). В самом
деле, пусть f—любое фиксированное отображение из М. Для каж-
каждой точки xlZUi найдется точка //, такая, что р (/(*,'), у;) < ~ .
Выберем теперь отображение g из Q так, чтобы ?((/,•) совпал
именно с этим (/;-, тогда
р (/ (х), gw)<р(/(х), /(х-,))+р (/(*;¦), g(*;))+р (g(хд,
если только i выбрано так, что х ??/,-. Таким образом, подмноже-
подмножество Q действительно образует е-сеть для М в Н(Х, Y), поэтому,
по теореме Хаусдорфа, М относительно бикомпактно в Н(Х, Y),
а в силу замкнутости С (X, К) в И (X, Y) — относительно бикомпактно
и в С(Х, Y). >
Теперь приведем еще одну метризационную теорему, также при-
принадлежащею П. С. Урысону.
ТЕОРЕМА 3.30 (ВТОРАЯ МЕТРИЗАЦИОННАЯ). Бикомпакт
X метризусм в том и только в том случае, если он обладает счет-
счетной базой.
М Необходимость. Пусть X — хаусдорфово бикомпактное мет-
метрическое пространство с метрикой (> и пусть вопреки утверждению X
не обладает счетной базой, тогда X не может быть сепарабельпым
и поэтому найдется к0 > 0 такое, что в X не существует ео-сети.
В самом деле, если бы для каждого натурального п существовала
24G
—сеть А,„ то множество А ¦ и А„ представляло бы собой счетное
" со
и всюду плотное множество в X. Пусть теперь .v, — произвольная
точка из X. Выберем точку Л'2 так, чтобы р (л'2, х,)^;е0, затем вы-
выберем точку х3 ? X так, чтобы р(л-.,, х,)^еп и f>(.v3, .v2)J>f.o " т.д.
В результате мы получим бесконечную последовательность точек
л',, х.,, ..., л'„, ..., в которой любые две точки отстоят друг от
друга на расстоянии не менее чем к„, поэтому из нее нельзя выб-
выбрать сходящуюся последовательность, что противоречит бикомпакт-
пост и X.
Достаточность. Пусть X — бикомпакт и обладает счетной
базой. Поскольку всякий бикомпакт нормален, то метризуемость
пространства X непосредственно следует из первой метризационной
теоремы Урысона. >
В заключение пункта докажем классическую теорему Бэра, иг-
играющую основополагающую роль в теории полных метрических про-
пространств. Для этого нам понадобится одна лемма, характеризую-
характеризующая полноту метрических пространств.
ЛЕММА (ПРИНЦИП ВЛОЖЕННЫХ ШАРОВ). Пусть й,э
zdB.,^ ... /?яг> ...—последовательность замкнутых шаров полного
метрического пространства (X, р), диаметры которых стремятся
к нулю, тогда существует единственная точка а*, принадлежащая
всем этим шарам.
¦4 Пусть а,, — центр шара В„, а /-„ — его радиус. Тогда из Вп1.рсВп
ясно, что при всяком натуральном р имеем р (о„, ап+р) <>„, отку-
откуда заключаем, что центры ап этих шаров образуют фундаменталь-
фундаментальную последовательность, которая в силу полноты X обязана схо-
сходиться к некоторой точке а*?Х. Далее, поскольку для каждого п
ат ? Вп при всех т^г п и /3„ замкнут, то, очевидно, а*?Вп. Итак,
о* ? П Вп; что же касается единственности такой точки, то она лег-
ко следует из того, что Игл гп — 0. >
я-юс
ТЕОРЕМА БЭРА. Пусть (X, р)—полное метрическое прост-
пространство, a Gu G2, .. ., Ga, . .. —последовательность открытых под-
подмножеств, каждое из которых всюду плотно в X, тогда их пересе-
пересечение G -- П С„ тоже всюду плотно в X.
(л)
Л Очевидно, нам достаточно установить, что при любом непустом
открытом в X множестве U пересечение О{\11ф0. Так как О',
открыто и всюду плотно в X, то пересечение G, П U — непустое
открытое множество из X. Поэтому найдется даже замкнутый шар
В, (а,, л,), целиком содержащийся в G, П U. Совершено так же по-
поскольку (ja тоже открыто и всюду плотно, то его пересечение с
открытым шаром Intfi, будет непустым открытым множеством и
поэтому найдется замкнутый шар В2 (а.,, г2) такой, что B2c:G2 Г) Int В,.
Легко понять, что, рассуждая таким же образом, можно построить
внутри U последовательность вложенных друг в друга замкнутых
247
шаров Вп{а„, г„) таких, что ?ncG,,n Int/?„_,, причем, разумеется,
мы можем выбрать г„ так, чтобы limr,,--=().
п *¦ х
Теперь уже в силу предыдущей леммы существует точка а*, при-
принадлежащая Б„ и тем более G,, П U при всех //, откуда и следует,
что a*?Gr\U. Итак, G всюду плотно вХ. >
3 а ме ч а и и е 3.8. Дополнение открытого и всюду плотного мно-
множества есть замкнутое множество без внутренних точек, поэтому
переходом к дополнениям мы приходим к двойственной формули-
формулировке теоремы Бэра, а именно: пусть {F,,\ — последовательность
замкнутых множеств без внутренних точек полного метрического
пространства (X, р), тогда объединение F U/¦ „ тоже лишено впут-
('0
решшх точек. Далее, нетрудно проверить, что эта формулировка
равносильна следующей: пусть \F:i\— последовательность нигде не
плотных (не обязательно замкнутых) множеств из (Л", (>), тогда до-
дополнение объединения F - \jF:i всюду плотно, другими слонами,
(я)
в полном метрическом пространстве (X, (>) дополнение всякого
множества первой категории всюду плотно, откуда мы приходим
к наиболее распространенной формулировке теоремы Бэра: всякое
полное метрическое пространство есть множество второй кате-
категории.
Замечание 3.9. Свойство полноты метрических пространств
оказалось настолько фундаментальным и плодотворным, что при-
привело к выделению весьма важного класса топологических прост-
пространств, а именно: говорят, что топологическое пространство X об-
обладает свойством Бэра или является бэровским пространством, если
пересечение любого счетного семейства открытых и всюду плотных
в X множеств всюду плотно в X.
Оказывается, что существует важный класс топологических прост-
пространств (вообще говоря, неметризуемых), тоже обладающих свойст-
свойством Бэра, как, например, класс локально бикомпактных хаусдор-
фовых пространств (см. [11], с. 267).
3.7. Финально компактные (линделёфские) пространства. Наря-
Наряду с бикомпактными, счетно-компактными и секвенциально компакт-
компактными пространствами важную роль играют также так называемые
финально компактные пространства, краткому описанию которых
посвящен этот пункт.
011РЕДЕЛЕЙИЕ 3.14. Пространство называется финально ком-
компактным (линдслефским), если всякое его открытое покрытие со-
содержит не более чем счетное подпокрытие.
Непосредственно из определения следует, что всякое биком-
бикомпактное пространство финально компактно, однако, как это будет
выяснено ниже, евклидовы пространства любой размерности, а так-
также сепарабельпые гильбертовы пространства служат примерами не
бикомпактных, но финально компактных пространств. Вместе с тем,
очевидно, что если пространство одновременно финально компактно
и счетно компактно, то оно бикомпактно.
Подмножество А пространства X называется финально компакт-
248
иым, если оно как подпространство пространства X является фи-
финально компактным.
Легко убедиться, что подмножество Л пространства X финально
компактно тогда и только тогда, когда из любого его покрытия
открытыми в X множествами можно выбрать но более чем счетную
подсистему, тоже покрывающую множество Л.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.31. Объединение не более чем счетного чис-
числа финально компактных подмножеств пространства X является
финально компактным.
•4 Пусть А—объединение финально компактных подмножеств
Л,, А.,, ..., Л„ ... пространства X, а 5 — произвольное покрытие
множества А открытыми в X множествами. Рассматривая S как
покрытие подмножества Ап, выберем в силу финальной компактности
А„ и сделанного выше замечания не более чем счетную подсистему
Т„ системы S, покрывающую А„. Ясно, что, образовав объедине-
объединение этих подсистем 71,, 7'2, ..., Т„, . . , мы получим не более чем
счетную подсистему системы S, покрывающую множество Л, и, стало
быть, А финально компактно. >
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.32. Всякое замкнутое подмножество финаль-
финально компактного пространства финально компактно.
•4 Пусть Л— произвольное замкнутое подмножество финально ком-
компактного пространства X, a S — некоторое его покрытие открыты-
открытыми в X подмножествами. Присоединив к S в качестве его элемента
открытое множество Х\А, мы, очевидно, получим открытое пок-
покрытие S' всего пространства X, из которого можно выбрать не
более чем счетное подпокрытие S" всего пространства X, а следо-
следовательно, и подмножества Л. Теперь уже ясно, что, удалив из S"
лишь один его элемент Х\Л (разумеется, в случае, если он вхо-
входил в состав S"), получим не более чем счетное покрытие Л, пред-
представляющее подпокрытие покрытия S. >
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.33. Непрерывный образ финально компакт-
компактного пространства финально компактен.
Л Пусть f: X—-Y -— непрерывное отображение финально компактного
пространствах на пространство Y и пусть T={Vn) — произвольное
открытое покрытие пространства Y. В силу непрерывности отобра-
отображения/система подмножеств S ^{Un\, где Ua --- f~l (Va), очевидно,
будет открытым покрытием финально компактного пространства X,
поэтому из него можно выбрать не более чем счетное подпокрытие
S' г- {Ua,,\. Ясно, далее, что система T' — {Vail\ будет служить не
более чем счетным подпокрытием покрытия Т пространства Y, сле-
следовательно, К финально компактно. >
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.34. Всякое пространство со счетной базой
финально компактно.
Поскольку финальная компактность не является свойством на-
наследственным, то представляет интерес и следующее предложение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.35. Пространство наследственно финально
компактно тогда а только тогда, когда оно обладает свойством
Линделефа.
249
¦^ Достаточность. Докажем, что произвольное подпростран-
подпространство /VI пространства X финально компактно. В самом деле, пусть
S ¦¦ {(/а}аел —некоторое открытое покрытие подпространства М и
пусть 0а — открытые уже в X подмножества такие, что для каж-
каждого a Uaf} М — Ua. Поскольку X обладает свойством Линделсфа,
то из построенной системы S = {t/a} открытых в X множеств мож-
можно выделить не более чем счетную подсистему Т = {0ап\ системы S
с тем же объединением. Теперь ясно, что система Т — {0а„\ будет
не более чем счетным подпокрытием покрытия S.
Необходимость. Пусть теперь X наследственно финально
компактно и S —{?/a}— некоторая система открытых в X подмно-
подмножеств. Положим G-- [}Ua, тогда в силу финальной компактности
(а)
подпространства G из его покрытия S можно выделить не более
чем счетное подпокрытие S' — \Uan\, причем, очевидно, \}U,,.u-~
(«I
- uUu-O. >
с*)
Замечание 3.10. Из приведенного выше доказательства видно,
что лишь из финальной компактности открытых подмножеств про-
пространства уже следует выполнение свойства Линделёфа, откуда, в
свою очередь, вытекает наследственная финальная компактность
пространства X.
Очень важно также следующее утверждение (см. [3|, гл. I).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.36. Регулярное а финально компактное про-
пространство нормально.
Задачи
1. Докажите, что если Л, В — дизъюнктные бикомпактные подмножества хаус-
дорфова пространства X, то они обладаю! дизъюнктными окрестностями.
2. Докажите, что любая пара дизъюнктных замкнутых подмножеств регуляр-
регулярного пространства А', одно н.ч которых бикомпактно, обладает дизъюнктными
окрестностями.
3. Докажите, что в любом тихоновском пространстве X два произвольных
дизъюнктных замкнутых множества , одно из которых бикомпактно, функциональ-
функционально отделимы.
4. Докажите, что бикомпактпость Л' равносильна тому, что любая направ-
направленность в Л' имеет предельную точку (стало быть, любая направленность обла-
обладает сходящейся поднаправленностыо).
5. Докажите, что бикомпактпость X равносильна тому, что любая универ-
универсальная направленность сходится.
6. Докажите, что всякое замкнутое подмножество счетно-компактного прост-
пространства счетно-компактно, т. е. счетная компактность наследуется по замкнутым
подмножествам.
7. Докажите, что секвенциальная компактность наследуется по замкнутым
подмножестпам.
8. Приведите пример предельной точки, не являющейся точкой полною иа-
кокленкя.
9. Докажите, что каждое вполне упорядоченное множество (Х,О, обладаю-
обладающее наибольшим элементом, есть бикомпакт в своей порядковом топологии.
10. Докажите, что бикомпактность линейно упорядоченного множества (X, sj )
в своей порядковой топологии равносильна каждому из следующих условии:
(i) для каждого замкнутого непустого подмножества из X существует наи-
наименьший и наибольший элемент;
25U
(ii) для каждого непустого подмножества МаХ существует sup M и itif M.
II*. Докажите, что вес непрерывного Т2 образа бикомпакта Л' не больше веса Л".
12. Бикомпакт Л называется днаОическпм бикомпактом, если он является
непрерывным образом некоторого обобщенного капторовою дисконтинуума LI1.
Докажите, что любой диадический бикомпакт удовлетворяет условию Суслипа,
т. е. любая система дизъюнктных открытых множеств не более чем ечетна.
13. Докажите, что тихоновское произведение диадических бикомпактов есть
диадический бикомпакт.
14. Покажите, что отрезок / - -10, l[cKi — диадический бикомпакт.
15. Докажите, что тихоновский куб / —диадический бикомпакт.
16. Докажите, что любой бикомпакт X может быть топологически пложен
в диадический бикомпакт.
17. Пусть W (а) - -совокупность всех порядковых чисел, строго меньших, чем
фиксированное порядковое число а. Докажите, что если а=~р-|-1 (т. е. а — изо-
изолированное), то И'-' (ос) — бикомпакт в своей порядковой топологии.
18. Пусть пространство .V W («о-1-1) X W (&>i-j- 1), где о>0—первое бесконечное
порядковое число, а о)! — первое несчетное порядковое число. Докажите, что под-
подпространство 7', получаемое из X удалением единственной точки (оH, (о,) (и на-
называемое тихоновской плоскостью), вполне регулярно (как подпространство биком-
бикомпакта А'), однако не нормально, а поэтому X нормально, по не наследственно
нормально.
19. Пусть X : U7 (о>1) (см. задачу 17), тогда поскольку и>{ неизолированное,
то X не-обладает наибольшим элементом. Докажите, что пространство Х:а)
удовлетворяет первой аксиоме счетности; Ь) счетно-компактно; с) секвенциально
компактно.
20. Докажите, что пространство полуоткрытых слепа интервалов (см. пример
1.29 § 1 гл. I) наследственно линдглефовское.
21. Докажите, что в пространстве С [а, 1>] функции, обладающие производной
хотя бы в одной точке, образуют множество первой категории.
Указание: воспользоваться теоремой Бэра.
22. Докажите, что R'1 сеиарабелыю, но ни в одной сво.и точке не обладает
локальной счетной базой.
23. Докажите, что если любая вещественная непрерывная функция на М (о)
ограничена, то М бикомпактно, а значит, и полно.
24. Докажите полноту пространства С(|0, 11) с метрикой
)- max \f(x)-g(x)\.
10Ц
25. Пусть С (X) — метрическое пространство, состоящее из всех непрерывных
и ограниченных функций, заданных на некотором топологическом пространстве X
с метрикой (>(/', g) ¦-- sup | / (х) — g(x) |. Докажите, что С (X) полно.
26. Докажите сепарабельность пространства С (|0, 11) с указанном в задаче
24 метрикой.
27. Докажите, что множество QaR всех рациональных чисел не гомеоморф-
по никакому полному метрическому пространству.
2Н. Пусть f:(M, р)—•¦ IR — произвольное отображение. Докажите, что мно-
множество точек непрерывности / есть типа G'fi.
29. Докажите, что если несчетное метрическое пространство (М, р) обладает
счетной базой, то card M--c.
30. /Докажите невозможность изометрического отображения метрического
бикомпакта на его собственную часть.
§ 4. ЛОКАЛЬНО БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
Этот параграф в основном посвящен описанию еще одного весьма
важного класса пространств, а именно так называемых локально
бикомпактных пространств, которые, будучи не обязательно биком-
бикомпактными, являются таковыми в окрестности каждой своей точки
251
и поэтому сохраняют многие замечательные свойства бикомпактных
пространств.
В последних двух пунктах мы затрагиваем также вопросы,
связанные с бикомпактными расширениями топологических про-
пространств, имеющие большое значение не только для самой топо-
топологии, но и для многих других разделов математики.
4.1. Определения и простейшие свойства локально бикомпакт-
бикомпактных пространств. Поскольку такой основной объект анализа, как
числовая прямая, не является бикомпактным пространством, то
представляется естественным несколько ослабить условие биком-
пактности так, чтобы возникающий при этом класс топологических
пространств содержал в себе, в частности, все конечномерные
евклидовы пространства. Один из таких классов состоит из так
называемых локально бикомпактных пространств.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1 (П. С. АЛЕКСАНДРОВ). Пространство X
называется локально бикомпактным в точке хо?Х, если сущест-
существует такая ее открытая окрестность Uo, что ?/„ бикомпактно. Про-
Пространство X называется локально бикомпактным, если оно локально
бикомпактно в каждой своей точке.
Ясно, что всякое бикомпактное пространство локально биком-
бикомпактно, тогда как уже числовая прямая IR1, будучи локально би-
бикомпактным пространством, не является бикомпактным. Столь же
очевидно, что всякое дискретное пространство X локально биком-
бикомпактно, тогда как оно бикомпактно лишь в том случае, когда оно
состоит из конечного числа точек.
Примеры. 4.1. Пространство R1 локально бикомпактно при
любом п?Н, ибо для каждого .v(l ? R" в качестве окрестности Uo
можно взять открытый шар В(хи,г).
4.2*. Всякое бесконечномерное банахово пространство и, в част-
частности, всякое гильбертово пространство не являются локально
бикомпактными.
Подмножество /И из X называется локально бикомпактным,
если оно как подпространство в X локально бикомпактно.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.1. Замкнутое подмножество локально биком-
бикомпактного пространства само локально бикомпактно.
^ Пусть X локально бикомпактно, а М ¦— его замкнутое подмно-
подмножество. Рассмотрим произвольную точку хо?М и пусть Uo — такая
ее открытая окрестность, что Un бикомпактно. Тогда М["| Uo, будучи
замкнутым подмножеством бикомпактного подпространства V„, само
бикомпактно. Докажем, что открытая в М окрестность Vu ----- М П Uo
точки х„ такова, что ее замыкание в М (что, очевидно, совпадает
с замыканием Vu в X) бикомпактно. В самом деле,
Vu_j ШпГи с Ж П п0 М П L70,
т. е. Vo является замкнутым подмножеством бикомпактного под-
подпространства Uo и поэтому бикомпактно. ^
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.2. Всякое открытое подмножество G биком-
бикомпактного хаусдорфова пространства X локально бикомпактно.
252
^ Пусть л'„ — произвольная точка из G. В силу регулярности X
найдется открытая в X окрестность U точки х0 такая, что UczG.
Но поскольку U бикомпактно (как замкнутое подмножество биком-
бикомпактного пространства), a U, очевидно, служит окрестностью х„ и
в подпространстве G, то непосредственно заключаем, что G локально
бикомпактно. ^
Замечание 4.1. В следующем пункте будет доказано, что это
утверждение обратимо, а именно: всякое локально бикомпактное
хаусдорфово пространство гомеоморфно открытому подмножеству би-
бикомпакта, а также усилено: всякое открытое подмножество локально
бикомпактного хаусдорфова пространства локально бикомпактно.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.3. Топологическая сумма X любого семей-
семейства пространств Ха, а?А, локально бикомпактна тогда и только
тогда, когда каждое из Ха локально бикомпактно.
^ Необходимость. Пусть X локально бикомпактно. Поскольку
каждое из Ха служит замкнутым подмножеством в X, то оно ло-
локально бикомпактно в силу предложения 4.1.
Достаточность Пусть х„ — произвольная точка из X и,
стало быть, х0?Х„0. В силу локальной бикомпактное™ Ха„ в нем
существует открытая окрестность Uo точки л'„ (которая, очевидно,
служит также открытой окрестностью х0 в X) такая, что ее замы-
замыкание в у\а„ (совпадающее с замыканием в X, поскольку XЧа
замкнуто в X) бикомпактно. Итак, у любой точки х„ ? X нашлась
открытая окрестность Uu в X, замыкание которой в X бикомпактно,
т. е. X локально бикомпактно. ^
Как мы уже знаем, непрерывный образ бикомпактного пространст-
пространства бикомпактен, однако оказывается, что непрерывный образ локаль-
локально бикомпактного пространства, вообще говоря, не локально биком-
бикомпактен. В этой связи представляет интерес следующее предложение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.4. Хаусдорфово пространство, являющееся
образом локально бикомпактного пространства при открытом ото-
отображении, локально бикомпактно.
•4 Пусть f:X—>- Y— открытое отображение локально бикомпакт-
бикомпактного пространства X па хаусдорфово пространство Y, у„- произ-
произвольная точка из Y, а *„ €/"'(.г/«)- В силу локальной бпкомпакт-
пости X существует открытая окрестность Uo точки ,v() такая, что
Ua бикомпактно, а в силу открытости / V„¦¦¦¦--[ (U0) будет окрест-
окрестностью точки у0 в Y.
Образ /(L/(l) бикомпактного множества Ua бикомпактен и содер-
содержит окрестность Vn, поэтому Vn, очевидно, содержится в бикомпакт-
бикомпактном множестве f(U0), ибо f(UB) к тому же и замкнуто в Y в силу
его хаусдорфовости. Теперь уже ясно, что V,, тоже бикомпактно.
Таким образом, у любой точки //,>€/(Х)- Y нашлась окрестность
V'„, замыкание которой бикомпактно, т. е. Y локально бикомпактно. ^.
Теореме А. II. Тихонова о бикомпактности прямого произведе-
произведения семейства топологических пространств в случае локальной
бикомпактности соответствует следующее предложение.
253
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.5. В классе хаусдорфовых пространств для
лекальной бпкомпактности тихоносского произведения X любого се-
семейства непустых топологических пространств {Ха, а?А\ необхо-
необходимо и достаточно, чтобы есс сомножители Ха, за исключением
конечного их числа, были бикомпактами, причем нсбикомпактные
сомножители были локально бикомпактными.
¦4| Необходимость. Поскольку каждое из Ха является образом
локально бикомпактного пространства X при отображении проек-
проектирования ра:Х—*Ха, являющегося открытым отображением в ха-
уедорфово пространство Ха, то в силу предложения 4.4 заключаем,
что каждое из Ха локально бикомпактно. Пусть теперь х° = (х',[)—
произвольная точка из тихоновского произведения Х^-ЦХа, a
U" — окрестность этой точки в X, замыкание которой U" биком-
бикомпактно. Легко попять, что эту окрестность можно было выбрать
из базы топологии в X, т. е. имеющей вид И9=--\\иа, где U"a
открыты в А'а п совпадают с Ха при всех индексах а, кроме, быть
может, конечного их числа. Очевидно далее, что
поэтому все Хи, за исключением, быть может, конечного их числа,
являются образами бикомпактного множества U0 при непрерывном
отображении р„ и, стало быть, бикомпактны.
Достаточность. Пусть х" — (х^) — любая точка из X—ЦХа,
а (Д -такая окрестность .v« в Ха, что замыкание U'a бикомпактно.
При этом можно считать, что Ua-'X^ для тех индексов, при ко-
которых Ха бикомпактны. Ясно, что множество t/° =II L/i является
окрестностью точки х" в X. С другой стороны, Uu бикомпактно
в силу теоремы А. Н. Тихонова, следовательно, X локально би-
бикомпактно. |^
Наряду с локальной бикомпактиостыо еще одним важным обоб-
обобщением бпкомпактности является так называемая а-бикомпактность.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2. Пространство X называется о-бикомпакт-
ным или счетным в бесконечности, если оно представи.мо в виде
объединения не более чем счетного числа своих бикомпактных
подмножеств.
Легко понять, что о-бикомпактность наследуется по замкнутым
множествам, ибо след бикомпактного множества на замкнутом мно-
множестве бикомпактен.
Примеры. 4.3. Любое открытое подмножество пространства
R" при всяком n?N есть не бикомпактное, но а-бикомпактное про-
пространство.
4.4. Всякое несчетное дискретное пространство, как легко по-
понять, не является а-бикомпактным, хотя оно (как уже отмечалось
выше) локально бикомпактно.
4.5*. Можно доказать, что бесконечномерное гильбертово про-
пространство в своей слабой топологии является а-бикомпактным, но
не локально бикомпактным пространством.
В заключение пункта упомянем еще об одном важном классе
пространств, называемых пространствами Келли.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.3. Пространство X называется простран-
пространством Келли или, короче, К-проспгранством, а его топология — К-то-
пологией, если она слаба относительно семейства всех его биком-
бикомпактных подмножеств, т. е. подмножество А из X замкнуто в X
тогда и только тогда, когда для каждого бикомпактного подмно-
подмножества С из X пересечение А Г) С замкнуто в С.
Таким образом, К-топология пространства однозначно восста-
восстанавливается его бикомпактными подмножествами, поэтому ее
естественно называть также компактно порожденной.
Ясно, что всякий бикомпакт является К-пространством; более
того, имеет место следующее предложение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.6. Локально бикомпактное пространство
является пространством Келли.
•4 Пусть X локально бикомпактно, тогда ясно, что каждая точка
из X является внутренней точкой некоторого бикомпактного под-
подмножества из X и, стало быть, внутренности всех бикомпактных
подмножеств образуют покрытие пространства X.
Теперь уже доказательство нашего предложения следует из того,
что любая топология слаба относительно такого покрытия, внут-
внутренности элементов которого тоже образуют покрытие. ^
Оказывается, что всякое хаусдорфово пространство, удовлетво-
удовлетворяющее первой аксиоме счетноети, в частности любое метрическое
пространство, тоже является К-пространством.
4.2. Бикомпактификация по П. С. Александрову. Этот пункт
посвящен описанию одной исключительно важной конструкции,
предложенной П. С. Александровым, позволяющей топологически
вложить (т. с. гомеоморфпо отобразить) любое локально биком-
бикомпактное хаусдорфово пространство в бикомпактное путем «присо-
«присоединения» к нему лишь одной «бесконечно удаленной» точки. Эта
конструкция получила название одноточечной бикомпактификации
по П. С. Александрову. Она нашла и продолжает находить важные
приложения в самых различных разделах математики. Здесь мы
доказываем, ставшую классической теорему П. С. Александрова,
а также приводим некоторые ее следствия.
ТЕОРЕМА 4.7. Всякое локально бикомпактное (но не биком-
бикомпактное) хаусдорфово пространство (X, т) можно топологически
вложить в некоторый бикомпакт (X*, т*) и причем так, чтобы до-
дополнение образа X в X* было одноточечным. При этом если f:X —¦> X*
и fT-.X ¦¦¦- Y* суть два таких вложения, то существует единственный
гомеоморфизм h:X*^Y* такой, что коммутативна диаграмма
255
^ Прежде всего условимся подмножество М из X называть контр-
бикомпакпшым, если его дополнение Х\М бикомпактно.
Рассмотрим множество X* -X\J\w\, получаемое присоединением
к множеству X некоторого не принадлежащего ему элемента <о
какой-либо природы, условно называемого бесконечно удаленной
точкой. Зададим в X* топологию т*, считая открытыми все под-
подмножества из X, открытые в топологии т, а также все подмноже-
подмножества из X*, имеющие вид {o)Jl|.4, где А — произвольное контрби-
контрбикомпактное в X подмножество (предоставляется читателю проверить,
что построенное семейство т* действительно образует топологию
в X*).
Докажем, что (X*, т*) — хаусдорфово. Поскольку любые две
различные точки хх, хг из X отделимы в X, а стало быть, и в X*,
то проверке подлежит лишь случай, когда хх ?Х, а хг=-м. В силу
локальной бикомпактное™ X существует окрестность V, точки xi
в X такая, что ?У, бикомпактно, поэтому, положив иг---{ы\ U (X\Ut),
мы, очевидно, получим дизъюнктную с с/, окрестность точки со в X*.
Теперь докажем, что (X*, %*) бикомпактно. Рассмотрим произ-
произвольное открытое покрытие S = {Ua\ а? а} пространства X*, и пусть
">€?Лх„. тогда, очевидно, Ua, = {«} и (Х\К„), где Кй — некоторое
б-икомпактное в X подмножество. Легко понять, что найдется
конечная подсистема {?/«,, Ua,, ..., UaJ покрытия S, покрываю-
покрывающая бикомпактное множество Ка, поэтому, присоединяя к ней Uао,
мы, очевидно, получим конечное подпокрытие {Uaa, Ua,, ••-, Уч,,}
исходного покрытия S, откуда и следует бикомпактиость (X*, т*).
Ясно теперь, что в качестве упоминаемого в теореме вложения
можно взять отображение вложения подмножества X в множество X*,
чем и завершается доказательство первой части теоремы.
Пусть /:Х—s-X*, g:X—<• К* — какие-либо два вложения, обла-
обладающие указанными в теореме свойствами, причем
(о'-Х*\/(Х), a (o"--.y*\g(X).
Рассмотрим отображение 1г.X*—> К*, которое переводит со' в со",
а на подмножестве/(X) совпадает с композицией g о f~1:f(X) —*g(X),
тогда биективность h и коммутативность упомянутой диаграммы
очевидны.
Докажем, что h — гомеоморфизм X* на V*. Заметим сначала,
что/(Х) (соответственно g(X)) открыто в X* (соответственно в К*).
Пусть V — произвольное открытое подмножество из Y*. Предполо-
Предположим сначала, что Vczg (X); тогда будем иметь /i (V) = (fo g~L) {V) =
'-'¦fig'1 (У))- Так как отображение / og~l:g(X) —> /(X) есть гомео-
гомеоморфизм, то h~l(V) открыто в /(X) и, стало быть, открыто в X*.
Пусть теперь V содержит точку о»". Тогда множество /С = К*\у
будет целиком содержаться в g(X) и, будучи замкнутым подмно-
подмножеством бикомпактного пространства Y*, само будет бикомпактным.
В силу непрерывности отображения fog~l заключаем, что ft (K)=*
¦¦¦ /r1(/*\V/)--X*4\/rl(l/) бикомпактно в X*. В силу хаусдорфо-
хаусдорфовости пространства X* множество X*\/i"'(V) замкнуто в X*, зна-
256
чнт, /; l (V) открыто в X*. Итак, прообраз 1г1 (V) произвольного
открытого множества VczY* открыт в X", т. с. k непрерывно.
Далее, поскольку роли X*, / и К*, g вполне; симметричны, то
совершенно так же доказывается непрерывность h~l, следовательно,
/г - гомеоморфизм.
Что же касается единственности такого гомеоморфизма, то она
непосредственно следует из коммутативности диаграммы и из того,
что дополнение /(X) до X* есть одна точка. ^
Примеры. 4.6. Простейшей иллюстрацией бикомпактификации
по П. С. Александрову служит хорошо известная стереографическая
проекция, которая реализует гомеоморфизм между локально биком-
бикомпактным пространством R" и «-мерной сферой S" с выколотым
северным полюсом.
4.7. Числовая прямая R1 гомеоморфна подпространству вещест-
вещественной проективной прямой Rp\ дополнение которого состоит из
единственной точки (см. п. 2.6 гл. II). Следовательно, Rpl тоже
служит одноточечной бикомпактификацией R1, и поскольку, согласно,
теореме П. С. Александрова, такая бикомпактификация единственна
(с точностью до гомеоморфизма), то заключаем, что Rpl гомеоморфна
S{. С помощью аналогичных рассуждений можно доказать, что
комплексная проективная прямая Ср1 гомеоморфна двумерной
сфере S2.
Замечание 4.2. Нами было доказано (см. п. 2.6 гл. II), что
RP1 — фактор-пространство S' по отношению эквивалентности, отож-
отождествляющему диаметрально противоположные точки. Это говорит
о том, что пространство может быть гомеоморфиым своему фактор-
пространству и в том случае, когда не все классы эквивалентности
одноточечны.
СЛЕДСТВИЕ 1. Хаусдорфово пространство X локально биком-
бикомпактно в том и только в том случае, если оно гомеоморфно от-
открытому подмножеству бикомпакта.
¦щ Необходимость непосредственно следует из теоремы 4.7, а до-
достаточность— из предложения 4.2. ^
СЛЕДСТВИЕ 2. Всякое локально бикомпактное хаусдорфово
пространство X вполне регулярно.
¦4 По теореме Александрова, X гомеоморфно некоторому подмно-
подмножеству бикомпакта X*, и поскольку всякий бикомпакт вполне
регулярен, а полная регулярность наследственна, то X тоже вполне
регулярно.>
СЛЕДСТВИЕ 3. В хаусдорфовом локально бикомпактном про-
пространстве X для каждой окрестности U бикомпактного множе-
множества А (в частности, любой точки) найдется окрестность V мно-
множества А, замыкание которой бикомпактно и содержится в U.
Л руги ми словами, всякое бикомпактное множество А обладает фун-
фундаментальной системой бикомпактных окрестностей.
4| Для каждого х?А в силу регулярности X существует содер-
содержащаяся в U замкнутая окрестность Vх, а в силу локальной би-
компактности найдется также и бикомпактная окрестность Wx
9 л, та 257
точки х, поэтому VX{\WX, очевидно, будет бикомпактной окрест-
окрестностью этой точки, содержащейся в U.
Ясно, что совокупность множеств Int (Vx П Wx), когда х пробе-
пробегает все А, образует открытое покрытие бикомпактного множества А,
поэтому найдется конечный набор точек хи х2, ..., хп такой, что
V=* U lnt<yx.(\Wx.)
тоже покрывает все А, причем его замыкание V — бикомпактно и
содержится в U. Итак, V—искомая окрестность А. ^
Покажем теперь, что, используя бикомпактификацию П. С. Алек-
Александрова, можно установить метризуемость весьма широкого класса
пространств.
ТЕОРЕМА 4.8. Топологическая сумма X любого семейства X{,
t?/ локально бикомпактных хаусдорфовых пространств X/ со счет-
счетной базой метризуемо.
^ Сначала рассмотрим частный случай, когда само X локально
бикомпактно, хаусдорфово и обладает счетной базой. В силу след-
следствия 2 теоремы 4.7 пространство X регулярно. Поскольку X обла-
обладает счетной базой, то согласно первой метризационной теореме
Урысона пространство X метризуемо.
Переходя теперь к рассмотрению общего случая, заметим, что,
по доказанному выше, каждое из пространств X,-, ('?/, метризуемо.
Ясно далее, что в пространстве Х{ метрику (>,• можно выбрать
так, чтобы расстояние любой пары точек из X,- было меньше еди-
единицы (этого, очевидно, можно достичь, заменив метрику ;>,¦ экви-
эквивалентной ей метрикой (>,-(*, у) == j' ,!/1 ¦. ¦ Пусть теперь ,v, //—
произвольная пара точек из топологической суммы X—[jX,-- По-
@
ложим р (х, y)~Pi(x, у) в случае, если х, y^.Xt при некотором
i (? 1 и р (.v, у)= 1 в противном случае. Тогда без труда можно про-
проверить, что аксиомы метрики будут выполнены, а индуцированная
этой метрикой топология в X совпадет с исходной. ^.
Рассмотрим один важный подкласс локально бикомпактных
пространств, состоящий из а-бикомпактных локально бикомпактных
хаусдорфовых пространств.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.9. Для любого о-бикомпактного локально
бикомпактного хаусдорфова пространства X существует такое его
относительно бикомпактное открытое покрытие S—-{Gri, п?Щ,
что (/„c:G,, + , при всех и ? N.
^ В силу гг-бикомпактности X имеем Хг и А,',,, где все /\'„ би-
«cN
компактны. Искомое покрытие .S будем строить по индукции. В силу
следствии 3 бикомпактное подмножество /(, обладает в X открытой
относительно бикомпактной окрестностью G,, т. е. AT,c:G,, G, биком-
бикомпактно. Предположив теперь, что G,, G2, ..., 0п уже построены,
в качестве 6'„ + 1 можно взять открытую относительно бикомпактную
258
окрестность бикомпактного подмножества GnuKn+T, существующую
в силу следствия 3, чем и завершается доказательство. ^
Замечание 4.3. Поскольку построенное в предыдущем пред-
предложении покрытие S, очевидно, служит также открытым покрытием
любого бикомпактного подпространства /И пространства X, то,
выбирая из пего конечное подпокрытие, убеждаемся, что найдется
такой номер пп(М), что М содержится в Gno.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.10. Для того чтобы локально бикомпакт-
бикомпактное хаусдорфово пространство X было ^-бикомпактным, необходимо
и достаточно, чтобы в одноточечной бикомпактификации X* бес-
бесконечно удаленная точка со обладала счетной локальной базой (т. е.
счетной фундаментальной системой открытых окрестностей).
•4 Необходимость. Пусть 5 = {Gn; n ? N\ — относительно биком-
бикомпактное открытое покрытие пространства X, удовлетворяющее усло-
условию G,,c=G,,+1 для любого п ? N (см. предложение 4.9). Докажем, что
система множеств U*г ^-\ы) () (X\Gп), где n?N, образует локаль-
локальную базу в точке со. Рассмотрим произвольную открытую окрест-
окрестность точки (о в X*, которая, как мы знаем, имеет вид (У* =--{<»} и
U(X\K), где К—некоторое бикомпактное подмножество из X.
В силу замечания 4.3 найдется п„ — п0 (К) такое, что KcG,,oc:G~,,o,
следовательно, X\K=>{X\G,lo) и поэтому (У* <=сУ*.
Д о с т а т о ч и о с т ь. Пусть" {Vn *= {со} (J (Х\/<"„); п ? N\ —счетная
локальная база в точке со, тогда Кп бикомпактны и, как легко
проверить, У)К„ — Х. В самом деле, пусть х№ — произвольная точка
('О _
из Л", a U — открытая в X окрестность такая, что U бикомпактно,
тогда U* — {со} и (X\U) будет открытой окрестностью со. Пусть
иГ,л^ \io\ U (Х\К)
— элемент локальной базы, содержащийся в G*; очевидно, что U сКп ,
следовательно, х0 € Д'„о. ^~
4.3. Собственные и совершенные отображения. В этом пункте
М1>( познакомимся еще с двумя специальными классами непрерыв-
непрерывных отображений, называемых собственными п совершенными ото-
отображениями, играющими весьма важную роль при решении целого
ряда топологических задач. Достаточно сказать, что такие фунда-
фундаментальные вопросы топологии, как нахождение топологических
инвариантов для различных классов непрерывных отображений
(например, построение степени отображения) или задача расшире-
расширения теории гомологии, заданной па категории бикомпактных про-
пространств до категории локально бикомпактных пространств, в своей
основе опираются на понятия и свойства таких отображений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.4. Непрерывное отображение /:X— +Y на-
называется собственным, если прообраз каждого бикомпактного под-
подмножества К пространства Y бикомпактен.
Представляют особый интерес также и так называемые биком-
бикомпактные отображения, т. е. непрерывные отображения, при кото-
которых прообразы одноточечных (не обязательно любых бикомпактных)
подмножеств бикомпактны.
9' 259
Очевидно, что всякое собственное отображение бикомпактно,
тогда как бикомпактное отображение, конечно, может не быть соб-
собственным. Тождественное отображение, любой гомеоморфизм, а также
композиция любых двух собственных отображении представляют
собой собственное отображение.
Примеры. 4.8. Если пространство X бикомпактно, a Y —
хаусдорфово, то всякое непрерывное отображение /:Х-—>У будет
собственным.
4.9. Тривиальными примерами несобственных отображений могут
служить постоянное отображение небикомпактного пространства
или ортогональное проектирование R" на свое /г-мерное подпрост-
подпространство (k < /г).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.11. Если X —хаусдорфово, a Y —хаусдор-
—хаусдорфово ^-пространство, то всякое собственное надъективнос отобра-
отображение f:X—>Y является взаимно непрерывным.
-4 Так как / непрерывно, то f~l(B) замкнуто в X, если В замкнуто
в У, поэтому, по определению взаимной непрерывности, остается
проверить обратное, т.е. что В замкнуто, если f~1(B) замкнуто.
Докажем, что пересечение В Г) К замкнуто в К при любом биком-
бикомпактном К из Y. В самом деле,
f-i(BnK) = f-l{B)nf-l(K),
поэтому бикомпактно как пересечение замкнутого множества /~1 (В)
с бикомпактным (в силу собственности /) множеством f~l (К). Да-
Далее, в силу надъективпости / имеем
которое бикомпактно как непрерывный образ бикомпакта и замк-
замкнуто в Y в силу его хаусдорфовости. Итак, В Г) К замкнуто в К
при любом бикомпактном К из Y, откуда в силу того, что Y есть
/(-пространство, заключаем, что В замкнуто в У. р-
Особый интерес представляют собственные отображения ло-
локально бикомпактных хаусдорфовых пространств в такие же прост-
пространства, так как они и только они могут быть продолжены до
непрерывных отображений их одноточечных бикомпактификаций,
а именно имеет место следующее важное предложение.
ТЕОРЕМА 4.12. Пусть Хи Х2 — локально бикомпактные хаус-
до рфовы пространства, XI --- X, (J {wj, Х\ = Х2 и {о)г} —их одноточеч-
одноточечные бикомпактификаций, /:Х,—> Х2—некоторое непрерывное ото-
отображение, a f*'.X{—> XI — продолжение отображения f такое, что
/* (со,) = со2. Тогда для непрерывности /* необходимо и достаточно,
чтобы f было собственным отображением.
^Необходимость. Пусть К2 — бикомпактное подмножество
из Х2, а /С, —Z (К.г). В силу бикомпактное™ XI и хаусдорфовости
Х*2 (см. пример 4.8) и из соотношения K,l=^f~l(K2)~f*~v{K-i) за*
ключаем, что /С, бикомпактно, т. е. /—собственное отображение.
Достаточность. Пусть /—собственное отображение. Дока-
Докажем, что /* непрерывно. Так как Х1 открыто в X*lt то /* непре-
непрерывно всюду в X, в силу непрерывности /, поэтому нам надлежит
260
убедиться в непрерывности /* лишь в «бесконечно удаленной» точке <о,-
Пусть ИР—произвольная открытая окрестность точки со2 и, стало
быть, имеет вид
W = (Xt\Kt)[){«>t},
где К2 бикомпактно в Х2. Легко проверить, что
но поскольку /—собственное отображение, то /~1(/С2) бикомпактно,
откуда непосредственно заключаем, что /*-1 (W)—открытая окрест-
окрестность точки (о,, т. е. /* непрерывно в coj. ^
Замечание 4.4. Пусть 5ТС — категория бикомпактных хаусдор-
хаусдорфовых пространств (объекты суть бикомпактные хаусдорфовы про-
пространства, а морфизмы — непрерывные отображения), a %'LC—кате-
%'LC—категория локально бикомпактных хаусдорфовых пространств (мор-
(морфизмы— собственные отображения). Ясно, что fflr является полной
подкатегорией категории 9f,c. Легко понять, что в силу теоремы
П. С. Александрова о бикомпактификации и предыдущей теоремы
операция перехода от X к X* и от / к /* представляет собой ко-
вариантпый функтор из категории ?К?1С в категорию 3fr. Этот функ-
функтор играет важную роль в алгебраической топологии; он позволяет,
например, распространить теорию гомологии, заданную па катего-
категории 9г"с бикомпактных хауедорфовых пространств, па категорию WIC
локально бикомпактных хаусдорфовых пространств. С помощью
этого же функтора определяется понятие топологической степени
(leg/ для собственного отображения /:lR"--> IR", полагая cleg/---
= deg/*, где f*:S"—>-S". Оказывается, опираясь на эти понятия,
можно дать, например, весьма краткое и изящное доказательство
основной теоремы высшей алгебры (подробное изложение этих воп-
вопросов можно найти, например, в [74), гл. XI).
ПРЕДЛОЖЕНИИ 4.13. Пусть f:X -+Y — собственное отобра-
отображение пространства X в локально бикомпактное пространство Y,
тогда X тоже локально бикомпактно.
^ Пусть х„ — произвольная точка из X, а yu-=f(x0). В силу ло-
локальной бикомпактпостп пространства Y существует открытая в Y
окрестность Vo точки //„ такая, что Vu бикомпактно. Пусть Uo =
/~'(^п)> тогда L/,, —открытая в X окрестность х„, причем Un =
:'= f~l(yu) c f~liYi))- 11° так как /-—собственное отображение, то
j~i (У„) бикомпактно, поэтому U„ тоже бикомпактно как замкнутое
подмножество бикомпактного множества. Итак, любая точка из X
обладает открытой относительно бикомпактной окрестностью, т. с.
X локально бикомпактно. ^.
Таким образом, оказывается, что нелокально бикомпактное про-
пространство нельзя собственно отобразить в локально бикомпактное.
Замечание 4.5. Нам уже приходилось убеждаться, что не-
некоторые свойства пространства сохраняются не только при гомео-
гомеоморфизмах, но и при более общих отображениях, или, образно
говоря, переходят «от прообраза к образу» (как, например, биком-
261
пактность при любых непрерывных отображениях или локальная
бикомпактность при любых открытых отображениях в хаусдорфово
пространство). Предложение 4.13 есть пример того, когда свойство
пространства переходит от «образа к прообразу».
Перейдем теперь к определению и установлению основных свойств
так называемых совершенных отображений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.5. Замкнутое отображение /:Х—«-К назы-
называется совершенным, если оно бикомпактно, т. е. прообразы всех
одноточечных подмножеств бикомпактны.
Непосредственно из определения ясно, что всякое замкнутое
и инъективпое отображение совершенно; в частности, отображение
вложения замкнутого подмножества совершенно.
Пример 4.10. Всякое непрерывное отображение бикомпактного
пространства X в хаусдорфово пространство Y совершенно. В самом
деле, / замкнуто, ибо при любом замкнутом в X множестве /¦'
/ (F) — бикомпактное подмножество хаусдорфова пространства Y.
Далее, поскольку каждое одноточечное подмножество {//„} в Y замк-
замкнуто, то /"'(//о) бикомпактно как замкнутое подмножество биком-
бикомпактного пространства X.
В частности, всякая непрерывная комплексная функция на
замкнутом ограниченном подмножестве из IR" (или С") совершенна.
Следующее простое предложение, очевидно, позволяет строить
сколько угодно примеров совершенных отображений.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.14. Пусть f:X —> V -произвольное надъел-
тивное отображение множества X на некоторое пространство Y.
Тогда если X наделить топологией, являющейся (-прообразом топо-
топологии в Y, то [ будет совершенным.
¦^ Непрерывность / следует из самого определения прообраза то-
топологии, замкнутость / была отмечена в п. 3.9 гл. I, поэтому
остается доказать, что при любом у0 ? Y множество А„ ==/"' (//„)
бикомпактно. Пусть U открыто в Ло, тогда U --¦¦ Aof)U, где U от-
открыто в X и, стало быть, имеет вид О = f~' (V), где V открыто в Y.
С другой стороны,
У = /-1ЫпГ1(Ю = Г1(ЫпЮ, _
поэтому если yo^V, то U = f~l (уо) = Ао; если же </,, 6 V, то U —
=/~1@) = 0- Итак, топология в подпространстве Ао тривиальна,
а значит, бикомпактна. ^
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.15. Сужение совершенного отображения на
замкнутое подмножество совершенно.
^ Пусть f:X—> У совершенно, А замкнуто в X, а ?г = /|л, тогда
i> замкнуто как сужение замкнутого отображения па замкнутое
подмножество (см. п. 3.2 гл. I). Докажем бикомпактность g. Пусть
уп?К, тогда, очевидно,
но поскольку / бикомпактно, то g (y0), будучи следом бикомпакт-
бикомпактного множества f~l(ytl) па замкнутом подмножестве А, само би-
бикомпактно. Итак, g замкнуто и бикомпактно. ^
262
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.16. Пусть f\X-*Y совершенно, тогда при
любом В a Y сужение g:f~l (В) —»- В отображения f на f~l (В) тоже
совершенно.
4 Замкнутость g следует из справедливости соотношения g(f~1 (В) Г)
П /') = / (/"' (В) V\F) = f (F) Г) В для любого подмножества В с Y и для
любого (в частности, замкнутого) подмножества F с X. Остается
доказать бикомпактность g. Для любого уо(-В, очевидно, имеем
Я Ы = /-1 (В) П / Ы = /-1 (В п {г/о}) == /-1 («/.),
но f~1(y0) бикомпактно в силу совершенности /, следовательно,
ё~1(Уо) бикомпактно. )».
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.17. Пусть f:X—*Y —непрерывное отобра-
отображение, a S = {Ba\ a?A\ — некоторое покрытие Y, удовлетворяющее
одному из следующих условии:
a) S — локально конечное замкнутое покрытие;
b) S = {IntjBa; a€A}—тоже покрытие Y.
Тогда если все сужения ga = /lf-'/a \ совершенны, то само f тоже
совершенно.
^ Замкнутость / следует из справедливости соотношения
Ha{f-l(Ba)(]F) = НГЧВ^ПР) - f(F)OBa Для каждого
подмножества FaX, из замкнутости ga при Уа^Л и из
согласованности топологии пространства Y с покрытием S (см.
предложение 3.18 гл. 1). Докажем бикомпактность /. Пусть у0 ? У,
тогда найдется ио€А такое, что уа?Ва<1. С другой стороны, как
и выше,
&„'Ы = /-1(Ва„)п/-1Ы=/-1E«оп{(/о})=/-1Ы.
поэтому бикомпактность/~1 ((/0) следует из бикомпактности^а01 (у0). р.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.18. Пусть f:X—*Y, g:Y-+Z—непрерыв-
g:Y-+Z—непрерывные отображения, а композиция gof совершенна. Тогда при надъ-
ективности / отображение g обязано быть совершенным, а при
инъективности g отображение f обязано быть совершенным,
¦ц Пусть / надъективно, тогда из замкнутости gof следует замк-
замкнутость g (см. п. 3.2 гл. 1). Докажем бикомпактность g. Пусть г0—
произвольная точка из Z, а B = g~* (z0), тогда
и поэтому бикомпактно в силу совершенности gof. Далее, в силу
надъективности / имеем B = f(f~1{B)), которое бикомпактно как
непрерывный образ бикомпактного множества f~L(B). Итак, g со-
совершенно.
Пусть теперь g инъективно, а gof совершенна, тогда f замк-
замкнуто (см. там же). Докажем бикомпактность /. Пусть у0 — произ-
произвольная точка из Y, а zu = g(y0). В силу инъективности g имеем
.'A. -^g'1^), поэтому
/-1 (Уо) -Г1 (ё~1 (г,)) = (go f)~l (г.),
следовательно, бикомпактно в силу совершенности gof. ^
Установим теперь следующее вспомогательное утверждение,
имеющее и самостоятельный интерес.
263
ЛЕММА 4.19. Для того чтобы непрерывное отображение f:X -»У
было замкнутым, необходимо и достаточно выполнение условия:
(С) для каждого В с У и любого открытого в X множества U,
содержащего прообраз A — f'1 (В), существует открытое в У мно-
множество V Z) В такое, что f'1 (V) cz U.
^Необходимость. Пусть В — произвольное множество из У,
a U — открытая в X окрестность его прообраза А — f-i (В). Поло-
Положим F = X\U, тогда, по условию, /(/•") замкнуто в У, причем
/ (F) Г) В— 0. Легко видеть, что V = Y\f (F) служит искомой окрест-
окрестностью В, ибо оно открыто, содержит В и, кроме того, из
следует, что /"'(К) с U.
Достаточность. Предположим, что условие (С) выполнено,
но вопреки утверждению нашлось замкнутое в X множество Fo,
образ которого / (Fu) не замкнут в У. Тогда найдется точка ;/0 ?
€/ (Л>)\/ (^о)> причем /~'(//„), очевидно, содержится и открытом
множестве UB — X\Fa. Согласно (С), существует открытая окрест-
окрестность Vo точки уя такая, что f~* (Vo) cz Un, откуда уже легко за-
заключить, что Vn(]f(Fu) = 0.
Итак, у точки //,, нашлась окрестность Vu, свободная от точек
f(Flt), т.е. уо6/(/"'„)¦ Полученное противоречие доказывает, что
/-образ любого замкнутого множества замкнут. ^
Замечание 4.6. Легко попять, что лемма верна и в том слу-
случае, если требовать выполнение (С") лишь для одноточечных под-
подмножеств из У. При этом условие (С ') означает непрерывность,
по Гуревичу, многозначного отображения f ~1:У -->¦ X (см. |4Л|).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.20. Пусть f:X -*Y- надъсктштое совер-
совершенное отображение, тогда если У бикомпактно (соответственно
финально компактно), то X тоже бикомпактно (финально ком-
компактно).
^ Пусть S--{Uri\—произвольное открытое покрытие X. Докажем,
что оно обладает конечным (соответственно счетным) подпокрытием.
В силу совершенности / при каждом // ? У /"'(//) бикомпактно,
поэтому, очевидно, найдется конечная подсистема
11
такая, что j~4y)aG -- (J Ua . Согласно лемме 4.19, существует
открытая окрестность V такая, что f~l (Vп) cz G,r Рассмотрим теперь
открытое покрытие T--{V,t; у?У\ бикомпактного (соответственно
финально компактного) пространства К, и пусть Т ¦¦ - {V,,k) — конеч-
конечное (соответственно не более чем счетное) подпокрытие покрытия Т.
Тогда система S — {Wk\, где Wk -=/"' (V,,) cz C,/ft, очевидно, обра-
образует открытое покрытие А'. Образуем, наконец, пересечения Hitk —
— Ua.f\Wк, где Ua.?Su. Тогда легко понять, что система /•/-¦=
~{Hi,k\ — конечное (соответственно не более чем счетное) покры-
покрытие X, вписанное в исходное покрытие 5, ибо система // получается
S64
из 5 конечным дроблением его элементов, а каждый элемент Hlk
содержится в элементе Ua ?S.
Таким образом, в исходное покрытие S удалось вписать конеч-
конечное (соответственно не более чем счетное) открытое покрытие Н
пространства X, а это, очевидно, равносильно его бикомпактности
(соответственно финальной компактности). ^
СЛЕДСТВИЕ. Всякое совершенное отображение f:X—<-Y яв-
является собственным.
.4 Пусть К' — произвольное бикомпактное подмножество из Y,
а /< — /-! (К'). Докажем, что К тоже бикомпактно. В силу пред-
предложения 4.15 сужение g ¦= f \к; К—¦>¦ К' тоже совершенно, поэтому
g(K)--K" замкнуто в К' (как образ К при замкнутом отображе-
отображении g).
Далее, К" бикомпактно (как замкнутое подмножество биком-
бикомпактного подмножества К'), a g:K—>¦ К" надъективно и совершенно,
поэтому согласно предыдущему предложению К бикомпактно. Итак,
/-прообраз всякого бикомпактного подмножества бикомпактен, сле-
следовательно, /•—собственное отображение. |^
Замечание 4.7. В классе замкнутых отображений понятия
собственности и бикомпактности (а стало быть, и совершенности)
совпадают, ибо бикомпактность есть тривиальное следствие собст-
собственности, а обратное было доказано в предыдущем следствии.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.21. Композиция двух совершенных отобра-
отображений совершенна.
-4 Пусть f:X—*Y, g:Y —^Z-совершенные отображения, a li--go(,
тогда, как мы знаем, h замкнуто как композиция замкнутых. До-
Докажем, что при каждом z0 ? Z //~'B0) бикомпактно. В самом деле,
поскольку
Л (*,,") ••¦-/-1|>rI(z11)J,
то /("'(г,,) бикомпактно как /-прообраз бикомпактного множества
g"l(zu) при собственном отображении /. ^
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.2'2. Непрерывное отображение f:X-->Y ло-
локально бикомпактных хаусдорфовых пространств совершенно тогда
и только тогда, когда оно собственно.
¦4| Необходимость. Пусть / совершенно, тогда оно собственно
в силу следствия предложения 4.20.
Достаточность. Пусть / собственно, докажем, что / совер-
совершенно. В силу локальной бикомпактное™ Y для каждого // ? Y
существует ее открытая в У окрестность V , замыкание V которой
бикомпактно. Рассмотрим сужение
о
тображения / на подпространство f~l(Vtl), которое бикомпактно
и силу собственности /; поскольку V;i — хаусдорфово, то в силу
примера 4.10 h;/ совершенно. Pacc.MOTpii.vi, наконец, покрытие Т
' - \VU'< .У€У} пространства Y, тогда поскольку
265
— тоже покрытие Y, то, согласно предложению 4.17, заключаем,
что и глобальное отображение / совершенно. ^
Замечание 4.8. Из приведенного доказательства видно, что
оно верно и без предположения хаусдорфовости X.
В заключение отметим, что, тогда как произведение любых двух
открытых отображений открыто, произведение двух замкнутых ото-
отображений далеко не всегда замкнуто, если даже одно из них яв-
является тождественным отображением.
Пример 4.11. Пусть /:К2—> К1 — постоянное отображение, пе-
переводящее IR' в начало координат и, стало быть, замкнутое. Рас-
Рассмотрим произведение
g=lRlX/:(R2 — R2,
тогда g(x, у) — (х, 0), т. е. g—ортогональное проектирование Ra
на ось абсцисс, которое, как мы знаем, не замкнуто.
Вместе с тем оказывается (см. [6], § 10, гл. I), что класс, со-
состоящий из таких отображений, произведение которых на любые
тождественные отображения замкнуто, совпадает с классом совер-
совершенных отображений, а именно имеет место утверждение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.23 (КРИТЕРИЙ СОВЕРШЕННОСТИ
ОТОБРАЖЕНИЯ)- Непрерывное отображение f:X—*Y совершенно
тогда и только тогда, когда для любого пространства Т отобра-
отображение / X 1Т:ХхТ —>-УхТ замкнуто.
Опираясь на этот критерий, легко можно установить следующее
важное свойство совершенных отображений.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.24. Произведение совершенных отображений
совершенно.
¦4 Пусть ft'.X;—>-Yj {i—\, 2) — совершенные отображения, /\х/2:
:Xt х Х2 —+ Ул xY2 — их произведение, а Т — произвольное прост-
пространство. Тогда поскольку отображение
(л-,, х2, 0 —(M*i). /2U2). 0.
очевидно, представимо в виде композиции
(х„ xt, 0-*(M*i). Хг< 0^(/iW. M*i). 0.
то будем иметь
/iX/txlr = (lKlxf1xlr)o(f1xiXlxl7.),
и поскольку (V,x/2Xlr) топологически эквивалентно замкнутому,
по предположению, отображению /2Х 1К,Х Ir = /X ly.xr, то /\х
х/.2х 1Г, будучи композицией замкнутых отображений ftx l^X 17 -
= /iXlx2xr и fjXly.xr, само замкнуто. ^
Замечание 4.9. Верно и обратное утверждение, т.е. если
произведение отображений непустых пространств совершенно, то
каждый сомножитель обязан быть совершенным. Кроме того, эти
утверждения верны в случае любого конечного числа сомножителей.
Замечание 4.10. Справедлив и более общий факт: произве-
произведение любого семейства совершенных отображений совершенно (см.
[6|, § 10, гл. I).
266
4.4. Абсолютно замкнутые (//-замкнутые) пространства. Этот
пункт посвящен краткому описанию одного важного класса топо-
топологических пространств, введенного П. С. Александровым.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.6. Хаусдорфово пространство X называется
абсолютно замкнутым или И-замкнутым, если оно замкнуто в лю-
любом объемлющем его хаусдорфовом пространстве.
Примеры. 4.12. Поскольку всякое бикомпактное подмноже-
подмножество хаусдорфова пространства замкнуто в нем, то непосредственно
из определения заключаем, что любой бикомпакт является абсо-
абсолютно замкнутым.
4 13. Каждое локально бикомпактное, но не бикомпактное ха-
хаусдорфово пространство X не является //-замкнутым, ибо оно не
замкнуто в своей одноточечной бикомпактификации X*.
Условимся говорить, что пространство X получено из прост-
пространства X присоединением одной точки ?, если, во-первых, X есть
дизъюнктное объединение множества X и одноточечного множества
{1} и, во-вторых, X индуцирует в X топологию, совпадающую
с исходной.
ЛЕММА 4.25. Хаусдорфово пространство X Н-замкнуто тогда
и только тогда, когда оно замкнуто в любом хаусдорфовом прост-
пространстве X, получаемом из X присоединением одной точки.
¦^ Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Пусть Y —
произвольное объемлющее X хаусдорфово пространство. Допустим
вопреки утверждению, что X не замкнуто в Y, тогда найдется
точка l?X\XcY. Положим Х^=Х[}{1}, тогда, по условию,
X замкнуто в подпространстве X, полученном присоединением
точки ? к подпространству X czY. С другой стороны, из того, что
Е ? X, следует, что | принадлежит замыканию множества X в под-
подпространстве X. Но так как X замкнуто в X, то ?€Х, которое
невозможно, ибо с?Х\Х. Полученное противоречие доказывает,
что X замкнуто в У, а значит, X //-замкнуто. ^
ТЕОРЕМА 4.26 (КРИТЕРИЙ Н-ЗАМКНУТОСТИ). Хаусдор-
Хаусдорфово пространство X Н-замкнуто тогда и только тогда, когда
каждое его открытое покрытие S = {Ua\ обладает конечной под-
подсистемой
такт), что система T—\Vai, Ua2, ..., VaJ образует покрытие X.
Ч Необходимость. Пусть X //-замкнуто, но вопреки утверж-
утверждению условие теоремы не выполнено, т. е. нашлось открытое по-
покрытие S — \Ua} пространства X такое, что объединение замыканий
любого конечного числа его элементов не покрывает все X. Тогда
ясно, что множества
a
1=1 '
2G7
будут непустыми открытыми в X множествами при любом конечном
наборе индексов а,-.
Рассмотрим дизъюнктное объединение Х^{1}[)Х и примем
в качестве фундаментальной системы окрестностей присоединяемой
точки ? систему всевозможных множеств вида Wa, а„ = {1} UVa>,
.. ., ап, тогда нетрудно проверить, что X превратится в топологи-
топологическое пространство.
Покажем, что X — хаусдорфово. Если ху, хг ? X, то они уже обла-
обладали дизъюнктными окрестностями, ибо исходное пространство —
хаусдорфово по условию. Остается показать, что при любом х„ ? А"
точки | и х„ также обладают дизъюнктными окрестностями. Пусть
*о€ Uat, тогда Wa»=-{1\ U (Х\иао) и 1/«„, очевидно, будут искомыми
окрестностями. С другой стороны, поскольку всякая окрестность
точки |, очевидно, содержит отличные от нее точки, то ? — неизо-
неизолированная точка и, стало быть, X не является //-замкнутым.
Достаточность. Пусть условие выполнено, а X — {?,} U X—
произвольное хаусдорфово пространство, полученное присоедине-
присоединением к X одной точки ?,. Принимая но внимание лемму 4.25, нам
достаточно установить изолированность точки Е в X, или, что то
же самое, замкнутость X в X. Пусть х—произвольная точка из X
и пусть Ux, Wx —дизъюнктные открытые окрестности точек х и g
соответственно. Тогда замыкание Ux окрестности Vх в X тоже не
пересекается с Wх. С другой стороны, как мы знаем (см. п. 1.12
§ 1 гл. I), замыкание Uх в X есть след па А" замыкания Uх в X, и по-
поскольку, очевидно, !; ? Uy, то Ох <=Х; следовательно, L/v--=Xf] Ux-
= Ux.
Рассмотрим теперь систему множеств S = {UX; х?Х\, очевидно,
образующую открытое покрытие пространства X. Тогда, по условию,
существует конечный набор точек х,,х ,хп такой, что A*— U U ,
_ " /..I '
по поскольку их.--пх., то X замкнуто в X как конечное объеди-
объединение замкнутых в А множеств Ux.. >
Замечание 4.11. Из этого критерия видно, что абсолютная
замкнутость представляет собой несколько ослабленную или, по
выражению П. С. Александрова, «испорченную» бикомпактпость.
Замечание 4.12. Часто оказывается полезным тот факт, что
доказанный критерий справедлив и в том случае, если вместо любых
открытых покрытий брать лишь такие, элементы которых принад-
принадлежат некоторой базе топологий.
Отметим также, что посредством перехода к дополнениям можно
установить следующий двойственный критерий, доказательство ко-
которого предоставляем читателю.
ТЕОРЕМА 4.27 (КРИТЕРИЙ Н-ЗАМКНУТОСТИ). Хаусдор-
Хаусдорфово пространство X Н-замкнуто тогда и только тогда, когда любое
семейство \Fa) замкнутых в X подмножеств с пустым пересечением
263
обладает конечной подсистемой {Fni, F«2. •••. Fn,,\ — такой, что
система
имеет пустое пересечение.
Докажем теперь еще один критерий //-замкнутости в терминах
центрированных систем открытых множеств.
ТЕОРЕМА 4.28 (КРИТЕРИЙ Н-ЗАМКНУТОСТИ). Хаусдор-
фово пространство X И-замкнуто тогда и только тогда, когда для
любой центрированной системы S — \Ua; а ? А) открытых в X мно-
множеств Ua пересечение Г) 11аФ0.
А
Необходимость. Пусть X //-замкнуто. Докажем, что для
каждой такой системы S = \Uа; а. ? А) имеем Г) иаФ 0- Допустим
ае А
вопреки утверждению, что П UOL = 0. Тогда если положить Ua -
ае А
-¦ Fa, то в силу Я-замкпутости X найдутся Fa,, Fai, . . ., Fa,, такие,
ti
что f|Int.Fa.= 0 (см. критерий 4.27), и поскольку, очевидно,
i=\ '
п
Uа- с Int Fa., то тем более П Uui— 0, а это противоречит центри-
ронанности S.
Достаточность. Пусть условие выполнено, докажем //-замк-
//-замкнутость X. Рассмотрим произвольное семейство \Fn} замкнутых
п X множеств с пустым пересечением и докажем, что найдутся
п
f:4,- Раг, ¦¦¦, Fa,, такие, что П Int fa.—0; в противном случае,
положив Ua -- Int Fa, мы получим центрированную систему {Ua\
откр!>1тых в X множеств, следовательно, по условию,
(a) (a)
С другой стороны, очевидно, Int FaczFa, следовательно, f)
(a)
Полученное противоречие доказывает //-замкнутость X. >
Замечание 4.13. В терминах фильтров последний критерий
можно сформулировать следующим образом: //-замкнутость хаус-
дорфова пространства X равносильна тому, чтобы всякий базис
фильтра, состоящий из открытых в X множеств, обладал хотя бы
одной точкой прикосновения.
Выше было отмечено, что любой бикомпакт //-замкнут, между
тем как существуют Я-замкиутые пространства, которые не биком-
бикомпактны (см. ниже пример 4.14). В связи с этим возникает вопрос
о том, при каком свойстве отделимости пространства верно и обрат-
обратное. Исчерпывающий ответ содержится в следующей замечательной
теореме, представляющей собой еще один критерий бикомпактности
(в классе хаусдорфовых пространств).
269
ТЕОРЕМА 4.29 (П. С. АЛЕКСАНДРОВ, П. С. УРЫСОН).
В классе регулярных пространств понятия бикомпактности и
Н-замкнутости равносильны.
¦4 Поскольку, как мы уже знаем, каждое бикомпактное хаусдорфово
пространство является регулярным (даже нормальным) //-замкнутым
пространством, то остается доказать, что каждое регулярное //-замк-
//-замкнутое пространство бикомпактно. Пусть S — \Ua\— произвольное
открытое покрытие пространства X, тогда для каждого х?Х най-
найдется Unx такое, что x?Uax- Далее, в силу регулярности А" най-
найдется открытое множество Vх такое, что
.V^Jc^Cl/o,.
Рассмотрим теперь открытое покрытие Т — {Vх\ х? Х\ простран-
пространства X, тогда поскольку X Я-замкнуто, то в силу критерия 4.26
t]
найдется конечная подсистема Vx, ..., VXll такая, что U Vy.— X,
после чего ясно, что система iUaXyt • ••> Ua^. ] образует конечное
подпокрытие X, следовательно, А' бикомпактно. >
('формулируем еще один весьма важный критерий и терминах
//-замкнутости, который для пространств с первой аксиомой ечет-
иости был установлен П. С. Александровым и П. С. Урысоном еще
в 1922 г., а впоследствии доказан уже в полной общности М. Стоу-
Стоуном.
ТЕОРЕМА 4.30. Хаусдорфово пространство бикомпактно тогда
и только тогда, когда любое его замкнутое подмножество абсолютно
замкнуто.
В заключение пункта приведем известный пример //-замкнутого,
но не бикомпактного пространства.
Пример 4.14. Пусть X — множество точек отрезка/ = [0, 11, а
топология задана открытыми окрестностями его точек следующим
образом: для всех х^=0 эти окрестности суть следы на X открытых
в IR1 окрестностей точки х, а при х = 0 эти окрестности суть всевоз-
всевозможные множества вида
1/е = [0, г)\А,
где к > 0, А — \1/п; п?Щ- Нетрудно проверить, что построенное
таким образом пространство X — хаусдорфово, ноне регулярно, ибо
точка х~~0 и не содержащее ее замкнутое в X множество А,
очевидно, не обладают дизъюнктными окрестностями. Далее, легко
понять, что замыкание окрестности U,, в топологии X совпадает
с отрезком |0, е|. Покажем, что X //-замкнуто. Пусть S -\Ua) —
произвольное открытое покрытие X и пусть 0?(У„0 |0, «¦¦„)\Л,
тогда система $ = {Va[> 1'Де Va=Ua, если a^=a() и Уа„ = [(), е0),
очевидно, будет открытым покрытием отрезка / — |0, Г] в его обычной
топологии и в силу его бикомпактности найдется конечное подпо-
подпокрытие Var Vai, ..., Va,r Теперь уже нетрудно попять, что соот-
соответствующая подсистема L/a,, Unt, ¦ ¦ ., Ua,, покрытия X будет такой,
что замыкания ее элементов покроют все X. Отсюда, согласно
270
критерию 4.26, заключаем, что X Я-замкнуто. Остается заметить,
что X не бикомпактно, ибо оно даже нерегулярно.
4.5. Понятие о расширении топологических пространств. Биком-
Бикомпактные расширения. Этот и последующие пункты посвящены изло-
изложению некоторых основных понятий и результатов одного из разде-
разделов общей топологии, а именно теории расширения топологических
пространств и в особенности теории бикомпактных раширений.
Созданию этой теории, имеющей теперь многочисленные прило-
приложения, предшествовало решение отдельных задач, возникших в раз-
различных разделах классического анализа (по-видимому, исторически
первыми примерами таких задач были задачи о непрерывном продол-
продолжении функций, заданных на небикомпактных пространствах). Реша-
Решающее значение для возникновения теории бикомпактных расширений
сыграла также классическая задача о расширении комплексной
плоскости до римановой сферы, позволившей при изучении тех или
иных свойств плоскости и ее отображений воспользоваться многими
«хорошими» свойствами сферы (как, например, ее бикомпактностыо,
возможностью определения степени отображения сфер и т. д.).
Именно это последнее обстоятельство привело к общей идее целе-
целесообразности расширения данного нсбикомпактпого пространства до
бикомпактного хаусдорфова пространства с целью воспользоваться
«хорошими» свойствами такого расширения.
Ниже мы увидим, что значительный вклад в теорию бикомпакт-
бикомпактных расширений внесли целый ряд математиков (как советских, так
и зарубежных), однако заслуга создания этой теории принадлежит
в первую очередь П. С. Александрову.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.7. Топологическое пространство Y называется
расширением топологического пространства X, если можно X тополо-
топологически вложить в Y как всюду плотное в К подпространство, т. е.
если существует гомеоморфизм /: X—>- Y пространства X на всюду
плотное в Y подпространство /(X).
При этом если Y является Т,-пространством (соответственно
бикомпактным), то Y называется Т,-расширением (соответственно
бикомпактным расширением) X.
Таким образом, расширение пространства X, строго говоря,
представляет собой пару (Y,f), где/—вполне определенный гомео-
гомеоморфизм. Если (У, /) —расширение пространства X, то подпростран-
подпространство Y\f (X) называется наросшем этого расширения или, точнее,
наростом X в Y. В том простейшем случае расширения, когда X
является всюду плотным подпространством Y, а роль упомянутого
в определении гомеоморфизма / играет отображение гложепия /:
X cz Y, наростом служит разность У\Х как подпространство в К.
Из самого определения, а также из приводимых ниже примеров
видно, что у одного и того же пространства X может существовать
очень много различных расширений, ибо всякое пространство Z,
гомеоморфиое У, тоже может служить расширением пространства X.
Более того, при другом вложении g: X—> У мы получим новое
расширение (Y, g), причем даже не исключено, чтобы соответствую-
соответствующие наросты У\/(Х) и Y\g(X) были равномощиы. Однако неко-
271
торые из таких расширений одного и того же пространства X есте-
естественно считать эквивалентными.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.8. Два расширения (У, /), (Z, g) одного и того
же пространства X будем называть эквивалентными, если существует
гомеоморфизм h: У s^Z такой, что диаграмма
коммутативна, т.е. hof — g.
Ясно, что для эквивалентности расширений (Y, f) и (Z, g) необ-
необходима гомеоморфность пространства У и Z. Если же Y — Z, то
необходима изотопность f (X) и g(X) в пространстве У. Ясно также,
что отмеченная в теореме П. С. Александрова единственность одно-
одноточечной бикомпактификации в этих терминах означает, что любые
две такие бикомпактификации эквивалентны.
Пусть теперь (Y, /) — некоторое расширение пространства X, а
«I¦: Y ^ Z—некоторый гомеоморфизм, тогда пара (Z, <| о f) тоже будет
расширением X; с другой стороны, если же X' гомеоморфно X, а г|>:
X' эй X — некоторый гомеоморфизм, то пара (Y, f о \\;) будет расши-
расширением X'. В частности, если Х' = /(Х), то, положив i|'=/~\ заклю-
заключаем, что пара (У, i), где <:/(X) с: У, является расширением/(X).
Замечание 4.15. С целью наглядности, а также упрощения
формулировок и доказательств представляется целесообразным,
отождествляя X с его гомеоморфным образом /(X), рассматривать
X как подпространство У и тем самым заменять исходное расшире-
расширение (У, /) расширением (У, I). В дальнейшем там, где это будет
удобно, мы именно так и будем поступать, не оговаривая это особо,
причем вместо пары (У, i) будем писать просто У.
П р и меры. 4.15. Пусть X — произвольное хаусдорфово локально
бикомпактное, но не бикомпактное пространство, тогда его биком-
пактификация X*, по Александрову, служит, очевидно, бикомпакт-
бикомпактным хаусдорфовым расширением X с одноточечным наростом \м\.
В частности, E", /), где /—стереографическая проекция, служит
одноточечным бикомпактным хаусдорфовым расширением IR".
4.16. Замкнутый единичный шар В" пространства R", очевидно,
служит бикомпактным расширением IR", наростом которого служит
сфера S", причем это расширение, очевидно, не эквивалентно рас-
расширению (S", /) предыдущего примера, ибо шар и сфера не гомео-
морфны.
4.17 (Расширенная числовая прямая R). Пусть R—
множество, получаемое присоединением к R двух не принадлежащих
ему элементов, обозначаемых символами —оо и -(• оо. Условившись
считать, что для всякого .v?lR, —оо<х<4-оо, мы, очевидно,
продолжим структуру обычного упорядочения в IR до структуры
линейного упорядочения на К, которая, как мы знаем, задает в IR
272
так называемую порядковую топологию; множество R, наделенное
этой топологией, называется расширенной числовой прямой и обозна-
обозначается тем же символом IR.
Ясно, что эта топология — хаусдорфова и индуцирует на R топо-
топологию числовой прямой, причем IR —всюду плотное подпространство
в К. Нетрудно доказать также, что R бикомпактно. Итак, расши-
расширенная числовая прямая R является бикомпактным хаусдорфовым
расширением (с двуточечным наростом) пространства R. Кроме того,
легко понять, что это расширение эквивалентно расширению i[a,b\,f)
пространства R, где f — некоторый гомеоморфизм R на открытый
интервал (а,Ь). Очевидно, далее, что R служит бикомпактным хаус-
хаусдорфовым расширением пространства Q рациональных чисел, а также
пространства иррациональных чисел.
4.18. (Rpn как бикомпактное хаусдорфово расши-
расширение R"). Напомним, что Rp" можно получить как фактор-прост-
фактор-пространство замкнутого единичного шара В", если отождествить диамет-
диаметрально противоположные точки его границы S"~l (см. п. 2.6 гл. II).
Пусть р:В"- > Rp" — соответствующее фактор-отображение, кото-
которое является открытым (см. там же). Тогда, положив q = p 1|И/)n t
мы получим отображение q: lnt В" --> Rp", которое, будучи непре-
непрерывным, ипъективпым и открытым, будет гомеоморфизмом на образ,
причем q (lnt В") будет всюду плотным в Rp". В самом деле,
Rp» = р (В") = р (lnt В") <= ^ (lnt В'1),'
следовательно, q (lnt В") — Rp". С другой стороны, как мы знаем,
существует гомеоморфизм /i:R"=^Inifi", поэтому композиция / =
= - q о /r.R" — > Rp" будет гомеоморфизмом R" на всюду плотное под-
подмножество /(R") = <7(Int fl") пространства Rp", а это означает, что
(Rp", /) служит хаусдорфовым бикомпактным расширением R".
В частности, Rp1, так же как и окружность S1, служит одно-
одноточечным хаусдорфовым бикомпактным расширением R' причем эти
расширения эквивалентны в силу теоремы П. С. Александрова.
Однако при м 5э 2 Rp" и S", хотя тоже служат хаусдорфовыми
бикомпактными расширениями R", но они уже не эквивалентны
(поскольку даже не гомеоморфны между собой).
4.19 (Ср" как бикомпактное хаусдорфово расшире-
расширение С"). Как мы знаем (см. п. 2.6 гл. II), Ср" можно получить
из Ср" путем приклеивания одной 2я-мерпой клетки посредством
фактор-отображения p-.S*"'1 — ¦* Ср"-\ следовательно, Ср"\Ср"
есть lnt B-" =*. С". Из сказанного нетрудно заключить, что Ср" дей-
действительно служит хаусдорфовым бикомпактным расширением С".
В множестве ? {X) всех расширений фиксированного простран-
пространства X можно ввести естественное отношение порядка следующим
образом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.9. Пусть (У, /), (Z, я) —Д«а расширения
пространства X; непрерывное отображение q>:K—<-Z называется
10 л, 73 273
естественным отображением, если диаграмма
,Y
Ч>
коммутативна, т. е. сужение ср на f (X) совпадаете go/-1; говорят,
что расширение (Z, g) подчинено расширению (Y, /), и пишут
(Z, g)^(Y, /), если существует естественное отображение ц>:У -»Z.
Легко проверить, что введенное в ?(Х) отношение ^ рефлекеншю
и транзитивно (по не обязательно, антисимметрично), следовательно,
{&(Х), О —частично предупорядоченное множество.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.31. Если хаусдорфовы. расширения (У, /),
(Z, g) хаусдорфова пространства X взаимно подчинены, то они экви-
эквиваленты.
¦Ц Пусть ф: К —* Z, i|r.Z—> У—соответствующие естественные отоб-
отображения. Покажем, что композиция г|> о ср: Y * Y совпадает с тожде-
тождественным отображением 1К. В самом деле, так как па /(X) y> — go f~l,
а па g(X) i|) = /og-J, то для каждого у„€/(Х) будем иметь
Aр°ф) (Уо) = (fog^ogof-1) (г/0) = у„,
т. е. г|юф совпадает с 1 у на всюду плотном подмножестве /(X) хаус-
хаусдорфова пространства Y; следовательно (см. п. 1.2 гл. Ill), i|;o(|>: = I Y.
Совершенно так же доказывается, что ц>о\\>-- \А. Итак, <р и \\>—взаим-
\\>—взаимно-обратные гомеоморфизмы, и поскольку соответствующие диаграм-
диаграммы коммутативны, то расширения (Y, /) и (Z, g) эквивалентны. >
Обозначим через <?; (X) (соответственно через ^(Х)) множество
всех 7\-расширений (соответственно бикомпактных хаусдорфоных
расширений) пространства X. Определенная выше эквивалентность
расширений задает в частично предупорядоченном множестве <#г(Х)
(соответственно в <§ь (X)) отношение эквивалентности i>. Пусть
&1 (^) =" <^а (^)/Р (соответственно <§ь (X) — ?ь (Х/р))—соответствующее
фактор-множество, состоящее из классов эквивалентных между со-
собой хаусдорфовых (соответственно бикомпактных хаусдорфовых)
расширений пространства X. Из доказанного предложения 4.31
легко заключить, что отношение порядка ^ в множестве <#.2 (X)
(соответственно в ^(Х)), задаваемое представителями, будет уже
и антисимметричным. Следовательно, (^2(Х), ^) и (<§b (X), sc;) суть
частично упорядоченные множества.
Оказывается (это будет доказано ниже, в и. 4.6), что если X —
произвольное вполне регулярное пространство, то множество
<f>\(X)^0 и, более того, оно обладает максимальным элементом.
Если же X — хаусдорфово локально бикомпактное, но не биком-
бикомпактное пространство, то оказывается, чтос$'ь(Х) обладает также
и минимальным, которым служит класс, содержащий одноточечную
бикомпактификацию по Александрову, а максимальным элементом —
класс, содержащий так называемое расширение Стоуна—Чеха,
874
являющийся даже наибольшим элементом. Наконец, можно дока-
доказать, что в последнем случае (?ь (X), ^) — полная решетка (см. п.
4.2 гл. 0).
Центральным результатом этого пункта является нижеследую-
нижеследующее утверждение.
ТЕОРЕМА 4.32 (КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ БИКОМ-
БИКОМПАКТНОГО РАСШИРЕНИЯ)- Для того чтобы пространство X
обладало бикомпактным хаусдорфовым расширением, необходимо и
достаточно, чтобы существовало семейство 5~ = {/а; «€-4} непре-
непрерывных функций {а'- X—>/ = [(), 1], обладающее свойствами:
(i) F разделяет точки пространства X;
(ii) топология в X инициальна относительно семейства F
(т. с. слабейшая из всех, при которых все fa непрерывны).
¦4 Необходимость. Пусть ЬХ — некоторое бикомпактное ха-
усдорфово расширение исходного пространства X, a W = {/V, а ? А)—
семейство всех непрерывных функции fа: X— +|, 1]. Поскольку
X вполне регулярно, то для любых различных *,, х., ? X найдется
fn ?/•' такая, что fa.(x,)^fa(x2)).
Далее, согласно теореме Тихонова о вложении, заключаем, что
диагональное произведение f — c\{fa }aeA- Х—^1Л является топо-
топологическим вложением. С другой стороны, во-первых, тихоновская
топология в 1А, как мы знаем, инициальна относительно семейства
проектирований ра- 1Л—*¦/«. во вторых, поскольку /—гомеомор-
/—гомеоморфизм, то топология пространства X будет /-прообразом топологии
пространства 1А, поэтому, принимая во внимание соотношение
j'a--:Paof, при всех а ? А, согласно свойству транзитивности ини-
инициальных топологий, заключаем, что топология в X инициальна
относительно семейства <F.
Д ос та точ н ость. Пусть РТ' = {/а: а? А} — некоторое семейство
непрерывных функций fa: X—>¦/, обладающее указанными в тео-
теореме свойствами, а / = Л{/„}: Х—*1А—диагональное произведение
этого семейства. Докажем, что /—топологическое вложение. Пусть
хх--/-.х2, тогда в силу (i) существует а0 ? А такое, что 1ао(хЛф
^-'¦[ъ„ (х„), следовательно, точки /(л:,), /(ха) тоже различны (ибо их
'¦/„-координаты различны). Итак, / — инъекция. Покажем теперь, что
/' -гомеоморфизм на образ. В самом деле, пусть т —прообраз то-
топологии пространства 1Л относительно /. Тогда согласно свойству
транзитивности инициальных топологий в силу соотношений f^ -
pa°f, a?/l, заключаем, что т--инпциалы1ая топология в X, по-
порожденная семейством /•', следовательно, но условию (ii), совпадает
с исходной в X топологией. Итак, исходная топология в X явля-
является прообразом топологии пространства \А при отображении /,
поэтому \- -гомеоморфизм па образ (см. п. 3.9 гл. 1), т.е. тополо-
топологическое вложение.
Наконец, рассмотрим замыкание ЬХ —/(X) этого образа в прост-
пространстве /л, которое является бикомпактом (как замкнутое подмно-
10* 275
жество бикомпакта /л. Теперь уже ясно, что пара (ЬХ, /) дейст-
действительно служит бикомпактным хаусдорфовым расширением X. >
Определим теперь понятие так называемого расчленяющего се-
семейства функций, родственного с данным ранее понятием семейства
функций, разделяющего точки от замкнутых множеств.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.10. Пусть X — произвольное пространство,
a <jf =={/«; а?А} — семейство непрерывных функций /а: X—>-[0, 1|;
семейство йГ называется расчленяющим (пространство X), если для
каждого х0 ? X и не содержащего х0 замкнутого множества FocX
существует функция /«„ ? W такая, что /«„(*<,) = °> /«.,(х) = 1 Для вссх
Поскольку, как мы знаем, существуют хаусдорфовы и даже ре-
регулярные пространства, на которых нет отличных от констант
непрерывных функций, то ясно, что не на всяком пространстве
существуют расчленяющие семейства. Вместе с тем если X — вполне
регулярно, то, очевидно, расчленяющее семейство существует.
Ясно также, что если семейство 3~ расчленяет пространство X,
то оно разделяет в X точки от замкнутых множеств, причем если
X—Т,-пространство, то W разделяет также и точки в X.
Таким образом, если принять во внимание предложение 1.18
гл. Ill, мы приходим к следующему утверждению.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.33. Пусть X—произвольное Т^пространст-
Т^пространство, a oF — {fa\ а€.А) — расчленяющее его семейство функций, тогда
диагональное произведение / —Л{/а}:Х—*1А есть топологическое
вложение.
Докажем теперь еще одно утверждение, которое вместе с пре-
предыдущим предложением позволяет установить тот замечательный
факт, что каждое вполне регулярное пространство веса \\ обладает
бикомпактным хаусдорфовым расширением того же веса.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4..34. Для всякого вполне регулярного прост-
пространства X бесконечного веса (я существует расчленяющее его семей-
семейство функций мощности и.
•4 Пусть |i = {G,-, i(zl\ — некоторая база мощности \х простран-
пространства X; условимся пару (G,-, Gy), состоящую из элементов базы р1,
называть канонической, если G,c:G, и замкнутые множества G\ и
X\Gj функционально отделимы. Прежде всего покажем, что такие
канонические пары существуют. В самом деле, рассмотрим произ-
произвольный элемент GyGp1 и пусть .vo?G/, тогда в силу полной регу-
регулярности X найдется окрестность Uх„ такая, что множества Vх„с
cGj и X\G/ функционально отделимы. Пусть, далее, G,-^p таково,
что х„ ? GjC:Ux , тогда, очевидно, множества G,- и X\Gf тоже будут
функционально отделимы, т. е. пара (G,-, Gj) будет канонической.
Сопоставим теперь каждой канонической паре о)^ --(G,-, Gj) функ-
функцию fa'X—)-[0, 1J такую, что fr/,(x)--O, если x?G,-, и fa(x)—\,
если x?X\Gj, тогда легко попять, что мощность семейства ZF ¦---=
=-{fa', u(zA\ не превосходит (х. Более того, card./"-и, ибо, до-
допустив, что card 3" < (х, согласно предыдущему предложению, X
276
оказалось бы пложенным в куб /саг'|5", вес которого меньше, чем
веч- X (см. задачу К) § 1 гл. II).
Докажем, что построенное таким образом семейство W — {f,x\
расчленяет пространство X. Пусть хо?Х, a Fo— произвольное
замкнутое в X множество, не содержащее х0, тогда найдется G/ ? р1
такой, что х0 ? Gj-czX\F0; пусть, далее, G,— выбранный, как и выше,
элемент из ft такой, что пара (oa<1^-(G(-, Gy) — каноническая, тогда
легко понять, что соответствующая ей функция /а„ € $ функционально
отделяет х„ от /•'„. >
СЛЕДСТВИЕ. Для любого вполне регулярного пространства X
бесконечного веса \х существует бикомпактное хаусдорфово расширение
ЬХ того же веса.
•М Пусть ?F.-\fa\ — расчленяющее X семейство функций веса ц,
существующее в силу предложения 4.34, тогда, поскольку X — 7',-
пространство, диагональное произведение / -- A \fa \:Х~* lYl будет то-
топологическим вложением. Рассмотрим замыкание ЬХ -/ (X) множества
/(X) в пространстве /'1, которое, как мы уже знаем, будет биком-
бикомпактным хаусдорфовым расширением пространства X. Далее, с од-
одной стороны, вес замыкания f (X) не меньше веса самого X, а с дру-
другой стороны, очевидно, не превосходит веса куба /»1, откуда и сле-
следует, что вес ЬХ равен \i. >
Как уже отмечалось, одной из типичных задач, приведших к
созданию теории бикомпактных расширений, была задача о непре-
непрерывном продолжении той или иной функции, заданной па небиком-
небикомпактном множестве. Дело в том, что если функция / задана и не-
непрерывна на небикомпактном подмножестве X бикомпакта /У, то
она далеко не всегда допускает непрерывное продолжение
просто на его замыкание X в Н и поэтому возникает необходи-
необходимость построить такое бикомпактное хаусдорфово расширение
ЬХ, на которое можно было бы непрерывно продолжить исходную
функцию /.
Классическим примером непрерывной функции, не продолжае-
продолжаемой на замыкание своей области определения, служит нижеследую-
нижеследующая функция.
Пример 4.20. Пусть И -•= [0, IJcR1, X - @, 1), a fo:X-*K,
где К — отрезок [—1, j-1] оси ординат, функция, заданная по
формуле /0(х) -sin^, тогда совершенно ясно, что ни при каком
выборе значения /0 @) продолжение этой функции /0 на замыкание
X Н не будет непрерывным.
Опишем теперь общую конструкцию в виде нижеследующего
предложения, позволяющую решать все подобные задачи. Но сна-
сначала сделаем одно очень полезное замечание.
Замечание. 4.16. Пусть (У, /) —некоторое расширение про-
пространства X и пусть X - X U (Y\f(X))—дизъюнктное объединение
множества X с множеством нароста этого расширения. Рассмотрим
отображение <|>: А' -¦¦- Y, которое на X совпадает с [, а на подмно-
подмножестве Y\f (X) является тождественным отображением, тогда ясно,
277
что ip — биекция. Пусть т—прообраз топологии пространств;! Y при
отображении ц>, тогда ф будет гомеоморфизмом (см. п. 3.10 гл. 1)
пространства (X, х) на Y. Легко понять, что т индуцирует на X
исходную топологию и, кроме того, пара (X, Г), где i:XaX, яв-
является расширением X, эквивалентным исходному.
Таким образом, всегда можно заменить данное расширение (Y, f)
пространства X таким эквивалентным ему расширением (X, i), в ко-
котором уже само X является подпространством.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.35. Пусть X—произвольное вполне регуляр-
регулярное пространство бесконечного веса, a fQ:X—> К — некоторое непре-
непрерывное отображение в бикомпакт К- Тогда существует бикомпакт-
нос расширение ЬХ, вес которого не превосходит максимума весов
пространств X и К, на которое можно непрерывно продолжить /„.
М Пусть ЬХ — бикомпактное хаусдорфово расширение X того же
веса, что и само X. Образуем произведение Z = bXx/( и пусть
I"U ~~ \{х< /о М) 6 X ХК\ х?Х\ — график отображения /0. Тогда ясно,
что Г/„ можно рассматривать как подпространство произведе-
произведения Z.
Обозначим через Ь0Х замыкание в Z множества Г^ и пусть
/10:Х=*Г7„—гомеоморфизм, заданный по формуле ho(x)--(x, fo(x)).
Докажем, что пара (Ь0Х, h0) служит искомым расширением прост-
пространства X. Прежде всего Ь0Х — бикомпакт, ибо оно замкнутое под-
подмножество бикомпакта Z. Далее, поскольку X гомсоморфно Г/„,
которое всюду плотно в пространстве ЬаХ, то пара (ЬпХ, h0) дей-
действительно является бикомпактным хаусдорфовым расширением X.
Наконец, поскольку вес произведения Z — bXxK не превосхо-
превосходит максимума весов его сомножителей (см. задачу 10 § 1 гл. II),
а вес ЬХ тот же, что и вес X, то Ь0Х, будучи подпространством
в Z, очевидно, имеет вес не больше максимума весов X и К-
Рассмотрим теперь отображение проектирования qibXxK —¦ К
на второй сомножитель и пусть fo — q \ь„х—сужение q па подпрост-
подпространство Ь0Х, тогда нетрудно понять, что отображение ]В-ЬОХ —- К
является непрерывным продолжением отображения go~fu°l'1»1'
ihg(X)—*К, которое, очевидно, топологически эквивалентно исход-
исходному отображению /„:Х—>/<. Если же расширение (Ь„Х, /t0) заме-
заменить, согласно замечанию 4.16, эквивалентным расширением (X, i),
то отображение (/0оф);Х—> К будет, как нетрудно проверить, не-
непрерывным продолжением уже самого исходного отображения /„. >
Применим описанную общую конструкцию для построения не-
непрерывного продолжения функции ич примера 4.20. Ясно, что в
этом случае проще всего взять и качестве ЬХ бикомпакт Н — |'0, Г(,
тогда Z будет прямоугольником [0, 1]х| — 1, -:-1 |, 1>„Х — оГп>еди-
пением графика /„с отрезком [—1, -1-1] оси ординат, а /(|:/>0Х—>
—* [—1, +1] — ортогональным проектированием на ось ординат.
Что же касается пространства X (см. замечание 4.16), то оно
будет Т-образной фигурой, представляющей собой теоретико-мно-
теоретико-множественное объединение отрезка [0, 1J оси абсцисс и отрезка
278
I 1, ! 1] оси ординат, однако топология пространства X, конечно,
существенно отличается от топологии, индуцируемой из (R?. Нако-
Наконец, если i|:Xs Ь0Х (см. там же), то отображение (/0оср):Х ¦-¦>¦
- ¦[ -I, ; 1| будет искомым непрерывным продолжением функции
[«•¦х *i -i; -й|.
Замечание 4.17. В следующем пункте будет построено так
называемое стоун-чеховское расширение |JX произвольного вполне
регулярного пространства X, на которое можно непрерывно про-
продолжить уже любое непрерывное отображение X в произвольный
бикомпакт.
В заключение пункта подчеркнем, что созданный П. С. Алексан-
Александровым метод максимальных центрированных систем открытых
множеств (см. п. 4.8) оказался исключительно плодотворным и уни-
универсальным при изучении вопросов, связанных с построением би-
бикомпактных расширений. В работе [521 10. М. Смирнов путем со-
сочетания именно этого метода с установленными им же глубокими
результатами теории пространств близости впервые описал все би-
бикомпактные хаусдорфовы расширения произвольного вполне регу-
регулярного пространства.
Значительный вклад в теорию бикомпактных расширений внесли
С. В. Фомин, В. И. Пономарев, А. Д. Мышкис, С. Д. Илиадис,
\i. Г. Скляренко, а также зарубежные математики Фрейденталь,
Катетов, Нагата и др.
Хороший обзор весьма обширной литературы, посвященной
бикомпактным расширениям, содержится в работах П. С. Алексан-
Александрова [15, 16| и С. Д. Илнадиса, С. В. Фомина [661.
4.6. Бикомпактное расширение Стоуна-Чеха. Этот пункт посвя-
шеп описанию одного важного бикомпактного хаусдорфова расши-
расширения произвольного вполне регулярного пространства, широко
известного под названием расширения Стоуна-Чеха, а также уста-
установлению некоторых его замечательных свойств.
Пусть X — вполне регулярное пространство, а .7" -\fa;a^A) -
семейство всех непрерывных функций /а:Х >¦[(), 11. Раньше было
доказано (см. предложение 1.18 гл. III), что диагональное произ-
произведение T--"Afa:X * 1А этого семейства /.Г есть топологическое
вложение (гомеоморфизм па образ), называемое вложением Тихо-
Тихонова. Рассмотрим замыкание |>Х --Т(Х) образа Т (X) в простран-
пространстве 1А\ как мы уже знаем (см. п. 4.5). пара фХ, Т) или, короче,
само рх будет представлять собой бикомпактное хаусдорфово рас-
расширение пространства X, которое и называется расширением
С.шоуна--Чсхи исходного вполне регулярного пространства X.
ПРЕДЛОЖЕНИИ 4.36. Пусть f:X > К- -любое непрерывное
отображение вполне регулярного пространства X в произвольный
бикомпакт, тогда отображение (foT~l):Т (X) -->¦ К может быть
продолжено (очевидно, единственным образом) до непрерывного ото-
отображения /:f)X > К.
•4 Сначала предположим, что К = 1', рассмотрим семейство
(>Г • {/а; а(~А\ всех непрерывных функций /а:Х — > I и пусть, как
279
и выше, Т —Л/а:Х—<¦ 1А — вложение Тихонова, тогда поскольку
/?G", то / = /а„> осо€у1. Далее, по самому определению Т, для
каждого х ? X Т (x) — (fa(x))azA, поэтому композиция /о7'~' •-
•¦• /«„О71-//' (X) —> /а„ есть сужение на Т (Л") отображения проек-
проектирования ра„'-1л—"¦/<*„• Теперь уже очевидно, что если рассмо-
рассмотреть сужение /?„„ па 7'(Х) = Р(Х), т.е. отображение }¦¦¦ раа\$х,
то оно и будет искомым продолжением.
Пусть теперь К — произвольный бикомпакт, тогда, по теореме
Тихонова, его можно рассматривать как подпространство некото-
некоторого куба /"; пусть для каждого р ? В д$:/® »/(i есть отображе-
отображение проектирования. Полагая fp — efflof, мы получаем непрерывное
отображение fp'X-—>/р = [0, 1] и, но доказанному выше, найдется
непрерывное отображение /рфХ-->[(), 1J, представляющее codoii
продолжение отображения (/цоГ): Г (X) —•«•[О, 11.
Образуем диагональное отображение /==Л/р:рХ ¦-- /3 этого се-
семейства продолжений fp, р g IB и докажем, что оно и есть искомое
продолжение исходного отображения f:X—^К- Сначала покажем,
что ]\т (X) = foT~1; пусть уо?Т(Х), тогда
Итак, / де11ствительно является непрерывным продолжением
на |iX отображения foT'1. Наконец, ясно, что /:f>X-¦ >Д', ибо,
очевидно, f фХ) с f(T (X)) = (foT~4 (Т (Х))с Д -/<. >у
СЛЕДСТВИЕ. Существует естественное отображение расшире-
расширения РХ Стоуна — Чеха на любое бикомпактное хаусдорфово расши-
расширение пространства X, т. е. рХ (точнее, его класс) является наи-
наибольшим элементом в частично упорядоченном множестве <8Ь(Х).
.^ Пусть пара (ЬХ, f) — произвольное бикомпактное хаусдорфово
расширение вполне регулярного пространства X, тогда, по дока-
доказанному, отображение (foT~'):T (X) —*ЬХ непрерывно продолжимо
до отображения /:рХ—*ЬХ, которое и есть искомое естественное
отображение, ибо соответствующая диаграмма, как легко прове-
проверить, коммутативна. ^
ТЕОРЕМА 4.37. (СТОУНА— ЧЕХА). Бикомпактное хаусдор-
хаусдорфово расширение (ЬХ, g) вполне регулярного пространства X экви-
эквивалентно (естественно, гомеоморфно) расширению (РХ, Т) тогда и
только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:
(\) при любой непрерывной функции /:Х—*[(), 1] отображение
fog~l:g(X) —» [0, 1] продолжимо на все ЬХ;
(ii) существует естественное отображение ЬХ в любое биком-
бикомпактное хаусдорфово расширение пространства X.
^ Необходимость. Пусть ЬХ эквивалентно рХ, тогда выпол-
выполнение (i) следует из предложения 4.36, а выполнение (ii) —из
следствия этого предложения.
280
Достаточность (ii) очевидна, ибо, по условию, существует
также и естественное отображение ЬХ в рХ, т. е. рХ, в свою оче-
очередь, подчинено ЬХ, поэтому, согласно предложению 4.31, ЬХ эк-
эквивалентно рХ.
Достаточность (i). Совершенно так же, как и при дока-
доказательстве предложения 4.36, убеждаемся, что при любом непре-
непрерывном отображении [:Х-->К в любой бикомпакт композиция
f°g~l'-8 W ¦¦¦- К нродолжима до непрерывного отображения
j:bX—*K. Далее, положив K = f>X и } = Т, заключим, что суще-
существует естественное отображение ЬХ в рХ, откуда получим, что ЬХ
эквивалентно рХ. ^
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.38. Для любого непрерывного отображения
/:Х- > X' вполне регулярных пространств существует, и притом
единственное, отображение р (/ЬрХ —+[J>X' такое, что диаграмма
коммутативна, причем если X -L-X' -g-, X", то р (Я0/) = Р 0?)°Р (/)•
^ Отождествляя X с Т(Х), а X' с 7"(Х'), мы можем рассматри-
рассматривать / как непрерывное отображение X в бикомпакт рХ' и поэтому,
согласно предложению 4.36, / можно единственным образом про-
продолжить до непрерывного отображения P(/):f}X—*[iX'. Что же ка-
касается коммутативности диаграммы и соотношения Р 0?°/) -•={•> (я)°Р (/),
то они легко проверяемы. ^
Замечание 4.18. Поскольку очевидно также и соотношение
р A х) -- l|i.v. то из предложения 4.38 заключаем, что если каждому
вполне регулярному пространству X сопоставить его стоун-чехов-
стоун-чеховское расширение рХ, а каждому отображению f:X--*X' сопоста-
сопоставить отображение р(/):рХ --^Х', то можно получить ковариаитнып
(|)\пктор из категории вполне регулярных пространств в категорию
бикомпактов. Следует отметить, что именно этот функтор позволил
построить теорию гомологи ii и когомологий Александрова — Чеха
па категории нормальных пространств.
Предостережение 4.19. Хотя из предыдущего замечания
очевидным образом следует, что Х^Х' влечет рХ^фХ', однако
обратное заключение верно не всегда. Тем не менее оказывается
(см. [5|, гл. IV, ЛЬ 34), что в классе вполне регулярных пространств
с первой аксиомой счетпоети верно также и обратное.
Укажем теперь некоторые из замечательных свойств, которыми
обладают стоун-чеховские расширения нормальных пространств.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.39. Пусть F— произвольное замкнутое под-
подмножество нормального пространства X, тогда замыкание /;|1Х
а расширении рХ, естественно, гомеоморфно расширению \J>F.
¦^ Согласно теореме Стоуна —Чеха, достаточно доказать, что вся-
281
кая непрерывная (функция f:F >|(), 1| непрерывно продолжаема
на Яи. Пусть /„:/¦' -[О, 1|- некоторое непрерышюе отображение,
тогда поскольку X нормально, a F замкнуто в X, то, по теореме
Титце Урысона, существует непрерывное продолжение #„: X -|0,1J
функции /„.
Далее, по теореме Стоуна --Чеха, существует непрерывное
продолжение Д0:|>Х >|0, 1| отображения gn. Теперь уже ясно,
что сужение fa отображения g0 па подпространство Я1Л будет слу-
служить искомым продолжением исходного отображения /0. Итак, лю-
любое непрерывное отображение /•" в |(), 1| непрерывно продолжпмо
па Я1Х, следовательно, по теореме Стоуна — Чеха, /;ft-v эквивалент-
эквивалентно \iF. у
ПРЕДЛОЖЕНИВ 4.40. Пусть У7,, F., -непустые замкнутые и
дизъюнктные подмножества нормального пространства X, тогда
их замыкания в стоун-чеховском расширении fiX тоже дизъюнктны.
¦^ Пусть /:Х— >[0, 1]—функция Урысона пары Flt F., (т. е.
/(Т7,) —{0}, f(Ft) = {\\) и пусть / — непрерывное продолжение /
на (iX. Рассмотрим множества
/W-ЧО) и /W-'(i),
которые, очевидно, дизъюнктны, а в силу непрерывности / также
и замкнуты в р"Х. Кроме того, опять в силу непрерывности / легко
заключить, что FfxcFi (i — 1, 2), откуда непосредственно заклю-
заключаем, что замыкания Fx, F2 в fiX тоже дизъюнктны, у
Представляется особенно замечательным тот факт, что в классе
нормальных пространств доказанное свойство полностью характе-
характеризует стоун-чеховские расширения, а именно: если расширение ЬХ
нормального пространства X обладает указанным в 4.40 свойством,
то оно эквивалентно f5X (см. [5|, гл. IV, № 10).
Задачи
1. Докажите, что локально замкнутое подмножество локально бикомпакт-
бикомпактного пространства локально бикомпактно.
2. Докажите, что и хаусдорфоном пространстве всякое локально бикомпакт-
бикомпактное подмножество локально замкнуто.
3. Докажите, что локально бикомпак гное хаусдорфово ирострапстно открыто
в любом своем хаусдорфовом расширении.
4. Докажите, что открытое подмножество локально бикомпактного хаусдор-
фог.а пространства локально бикомпактно.
!). Докажите, что свойство пространства быть К-иространспюм (простран-
(пространством Келли) наследуется как по открытым, так и по замкнутым подмножествам.
6. Докажите, что если X бикомпактно, a Y произвольно, то проекции
q:.\- Y—*Y совершенна.
7. Докажите, что обра.ч хаусдорфопа (сиотвегсгвеппо pel wisipnoi о) простран-
пространства при совершенном отображении хауедпрфов (соогветстп'лию регулярен).
8. Докажите, чго //-замкнуюс! ь нас.К'дусия ivo канонически 'laMKiiyn.iM
множествам.
9. Докажите, что хаусдорфово пространство, являющееся непрерывным
образом //-замкпую!о пространства, само //-.laMiviiyто.
10. Докажите, что -жепопешшальпос отображение exp:ilvl - ? S', ja,iaBar.\ioe
по формуле с.\р (л) е"'"л, не является совершенным.
282
11. Пусть X—флктор-пространство, получаемое i:n R1 путем отождествле-
ния в одну точку множеств й — целых чисел. Докажите, что:
а) фактор-отображение R1 — > X замкнуто, но иссокершешю;
1>) пространство X— хаусдорфово;
с) пространство X не япляется локально бикомпактным.
12. Пусть X — хаусдорфово, У — хаусдорфово и локально бикомпактно,
Y* --. Y [I {(о}—его одноточечная бикомпактификация, А замкнуто н X,
a f:X\A—>¦ Y сомершепио. Докажите, что f:X —>-Y*, определенное но форму-
формулам l(A)--{io), f \х\л ~ f' есть непрерывное отображение.
13. Пусть X --W ((о,) (см. задачу 17 § 3). Докажите, что X локально би-
бикомпактно, по не бикомпактно.
14. Докажите, что стоуп-чеховскос расширение пространства X = W (@()
(см. задачу 17 $ 3) гомеоморфно пространству К :.= W (м, -\- 1).
15. Докажите, что ^ь (X) (см. п. 4.5) состоит из более чем одного класса
и том и только к том случае, если существуют пебикомпактпые замкнутые
и X подмножества /¦',, /г„, которые функционально отделимы.
16. /Докажите, что ни и одной точке нароста РХ\Х стоун-чеховского рас-
расширения рХ нет локальной счетной базы.
§ 5. СВЯЗНОСТЬ И ЛОКАЛЬНАЯ СВЯЗНОСТЬ
В самых разнообразных вопросах топологии и ее приложений
весьма значительную роль играет понятие связности множеств
в топологических пространствах. Обстоятельное изложение теории
связности, представляющей собой довольно общирный раздел топо-
топологии, выходит за рамки этой книги, поэтому в этом параграфе
мы приведем лишь некоторые важные и наиболее часто встречаю-
встречающиеся факты, связанные с понятием связности и локальной связ-
связности.
5.1. Связность. Здесь мы докажем некоторые простейшие свой-
свойства связных пространств.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.1. Топологическое пространство X назы-
называется связным, если оно не может быть представлено в виде объе-
объединения двух своих непустых открытых подмножеств без общих
точек.
Условимся разбиение пространства X называть открытым (со-
(соответственно замкнутым), если все элементы разбиения открыты
(соответственно замкнуты), тогда приведенное определение, очевидно,
равносильно следующему: пространство X связно, если оно не
допускает открытого неодноэлементного разбиения.
Из определения непосредственно следует также, что для связ-
связности X необходимо и достаточно, чтобы X не допускало замкну-
замкнутого разбиения. Ясно далее, что пространство X связно тогда и
только тогда, когда в нем, кроме всего X и пустого множества,
не существует подмножеств, одновременно открытых и замкнутых в X.
Тривиальным примером несвязного пространства служит всякое
дискретное пространство, состоящее из более чем одной точки.
Напомним, что подмножества А и В из пространства X назы-
называются отделенными в X, если множества Л AВ и Л П В пусты.
283
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.1. Пространство X связно в том и только
в том случае, когда его нельзя представить как объединение двух
непустых отделенных множеств.
«( Необходимость. Пусть X связно и пусть вопреки утверж-
утверждению X = Л (J В, где А, В— непустые отделенные множества, тогда,
с одной стороны, ясно, что СВаСВ¦¦¦¦ Л, а с другой- что из
А П В — 0, очевидно, следует АаСВ, поэтому А = СВ. Совершенно
так же убеждаемся, что В--СА. Таким образом, как Л, так п В
открыты в X как дополнения замкнутых множеств, а это очевидным
образом противоречит связности X.
Достаточность. Предположив, что А' не связно, будем иметь
X = .F, (J /ч,, где /•",, F2— непустые замкнутые и X подмножества
без общих точек и, стало быть, /\, F.2— отделенные множества,
поскольку Fi n Тг =¦¦ Л П /4 =- 0 и F, П /\2 = F, [} Е„ -¦ 0. ».
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.2. Подмножество Л пространства X назы-
называется связным, если оно, рассматриваемое как подпространство,
является связным пространством.
В любом пространстве X тривиальным примером связного под-
подмножества служит пустое или одноточечное подмножество.
Пример 5.1. Одним из наиболее важных свойств отрезка \а, Ь\
является то, что он — связное подмножество числовой прямой.
Докажем это; предположим противное, и пусть [0, \\.~ A\j В, где
Л, В — непустые дизъюнктные открыто-замкнутые подмножества
в [0, 1], причем точка 0?Л.
Назовем точку х отмеченной, если [0, .v)c/l, тогда в силу от-
открытости А множество М всех отмеченных точек не пусто. Поло-
Положим с-- sup/M, тогда с?М. В самом деле, для каждого х' ? [0, с),
по определению точной верхней границы в М, найдется точка
х"?(х',с), поэтому [0, /]сЛ, следовательно, х' ? А. Итак, |0, c)czA,
т.е. с?М. Далее, в силу замкнутости Л весь отрезок |0, c\czA.
Теперь уже ясно, что с~\, ибо в противном случае из открыто-
открытости Л нашлось бы к > 0 такое, что (с — е, с-|-к)сЛ, поэтому (с + е)
была бы тоже отмеченной, а это нелепо, ибо с- -sup/И.
Замечание 5.1. В силу свойства транзитивности индуциро-
индуцирования топологий непосредственно следует, что если Л—связное
подмножество пространства X, а X — подпространство в К, то Л
связно и в Y.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.3. Связное и открытое подмножество про-
пространства X называется областью в X.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.2. Множество А из X связно в том и только
в том случае, когда для любой пары открытых (соответственно
замкнутых) в X подмножеств U, V таких, что AczU(jV, из
А П t/ Ф 0 » A^\V ф& следует, что А П U (} Уф 0,
•4 Необходимость. Предположив, что ЛпЬ'п1/=0, и поль-
пользуясь определением индуцированной топологии, легко приходим
к противоречию со связностью подпространства А.
Достаточность. Предположив, что подпространство Л не
связно, заключаем, что существует пара открытых в А непустых
284
подмножеств U', V таких, что A — U'\jV, a U'f]V --0, откуда,
опять но определению индуцированной топологии, приходим к паре
17, V для которой условие нашего предложения нарушается. ^
СЛЕДСТВИЕ. Если связное подмножество пространства X со-
содержится в объединении двух непустых открытых {соответственно
замкнутых) в X непересекающихся множеств, то оно целиком
содержится в одним из них.
«4 Пусть связное подмножество А содержится в объединении от-
открытых (соответственно замкнутых) подмножеств U, V, тогда пред-
предположив вопреки утверждению, что A f] UФ 0 и АГ\У-/=0, на
основании предыдущего предложения приходим к противоречию
с U П V - 0. р.
IIРЕДЛОЖЕНИЕ 5.3. Пространство X связно тогда и только
тогда, когда любая пара его точек содержится в некотором связ-
связном в X множестве.
•4 Необходимость очевидна, поскольку таким связным множеством
может служить само X. Переходя к доказательству достаточности,
предполагаем, что условие выполнено и тем не менее X не связно,
тогда X~U\jV, где U, V — непустые открытые в X подмножества
бе.ч общих точек. Пусть х,, хг — пара точек, первая из которых
принадлежит U, а вторая — V, а Л—содержащее эту пару связное
подмножество. Согласно следствию предложения 5.2, подмноже-
подмножество А должно целиком содержаться либо в U, либо в V, а что
очевидным образом противоречит тому, что как U[)A, так и V П А
не пусты. ^
IIРЕДЛОЖЕНИЕ 5.4. Если в пространстве X существует всюду
плотное связное подмножество А, то пространство X само связно.
^ Предположим противное и пусть X — FX[J Рг, где /*',, /\,-• не-
непустые замкнутые в X множества без общих точек. Тогда, по пре-
предыдущему следствию, подмножество А, будучи связным, должно
целиком содержаться в одном из них, скажем в /•",, и, стало быть,
/1 с: Т7 ,=-/•",, откуда немедленно заключаем, что XciF,, а это про-
противоречит предположению Е,Ф0. &¦
СЛЕДСТВИЕ. Если А—связное подмножество в X и AczMczA,
то множество М тоже связно, в частности А тоже связно.
¦^ Достаточно заметить, что А всюду плотно в М в индуцирован-
индуцированной топологии и является связным подмножеством в подпростран-
подпространстве М, а затем применить предыдущее предложение к подпро-
подпространству М. ^
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.5. Если два связных в X множества А и В
имеют общую точку, то их объединение С = A (J В тоже связно.
<| Пусть хо?{А П В). Допустим, вопреки утверждению, что С не
связно и пусть C = U\)V, где U, У —непустые, открытые в С под-
подмножества без общих точек. Тогда в силу связности множеств А,
В и следствия предложения 5.2 каждое из них, а стало быть, и
их объединение С целиком содержатся либо в U, либо в V, а именно
там, где содержится их общая точка х0, что, очевидно, противоре-
противоречит тому, что множества U и V непусты. ^
286
Замечание 5.2. Рассуждая так же, как и при доказатель-
доказательстве предыдущего предложения, нетрудно установить, что оно до-
допускает обобщение на случай любого семейства связных подмно-
подмножеств, обладающих общей точкой, а именно: если А ¦¦= (J Л,, где
и i
каждое из Л • — связное в X подмножество, а П Л-=^0, то Л тоже
связно в X.
011 РЕ ДЕЛЕН И ЕЬ А. Конечная система подмножеств Л,, Аг, . . .
..., Ап пространства X называется цепью (соединяюще)! А{сА^,
если Л,- Г) Л/+1Ф 0 при / -1, 2, ..., п — \. Произвольное же
семейство ? подмножеств из X называется сцепленным семейством,
если любые два множества из tT соединимы цепью, состоящей из
множеств (звеньев), принадлежащих ;Т.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.6. Если Д„ А,, ..., Ап -некоторая цепь
п
связных, в X подмножеств, то объединение А == (J Л,- тоже связно в X.
,1
^ Достаточно применить индукцию по и и воспользоваться пре-
предыдущим предложением. ^.
Полезно иметь в виду, что имеет место более общее утвержде-
утверждение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.7. Объединение сцепленного семейства связ-
связных в X подмножеств связно в X.
^ Пусть <?Т = {Л,-; г?/} — сцепленное семейство связных в X под-
подмножеств Л,-, а Л = (J Л;. Пусть, далее, xlt x2 — произвольная
is /
пара точек множества Л, причем xl?Ait, а д\,?Л,-. Тогда в силу
сцепленпости 3" существует цепь связных подмножеств, соединяю-
соединяющая множество Л(| с множеством Л,- , и, стало быть, в силу пре-
предыдущего предложения х,, хг принадлежат некоторому связному
в Л подмножеству.
Теперь уже, воспользовавшись предложением 5.3, заключаем,
что Л связно в X. >
Тривиальные примеры показывают, что это предложение не-
необратимо, т. е. объединение семейства связапых множеств может
быть связным, но не сцепленным. В связи с этим полезно иметь
в виду, что справедливо следующее утверждение.
ПРЕДЛОЖЕНИИ 5.8. Любое открытое покрытие связного про-
пространства является сцепленным семейством.
•4 Пусть 5":{L/,-; i(zl)—открытое покрытие связного простран-
пространства X. Предположим вопреки утверждению, что пара U,- , (У,- не
может быть соединена цепью, образованной элементами покрытии S.
Обозначим через W{ объединение всех элементов покрытия 5,
соединенных с Uit подобной цепью, а через W., — объединение всех
остальных элементов покрытия 5. Ясно, что как W,, так и \V.2
открыты (как объединения открытых множеств), не пусть! и
W{\]W, = X.
Остается заметить, что W lf]W.i-~ 0. В самом деле, допустим,
что некоторая точка хи ? 11^ П W.z, тогда, очевидно, xu^UjJ)Ulit
286
где l/^cll",, L'^cfj, т. e. Uj соединимо с Uj%, а стало быть,
и с. Uit некоторой цепью, звенья которой являются элементами
покрытия S, что, очевидно, невозможно. Таким образом, сде-
сделанное в начале допущение привело нас к противоречию со связ-
связностью X. ^¦
СЛЕДСТВИЕ. Если S — {U(, i?!\ — произвольное открытое
покрытие связного пространства X, то для всякой пары точек
a,, .v, из X существует цепь, образованная элементами этого по-
покрытия, такая, что х1 принадлежит первому звену, а xt—послед-
xt—последнему звену этой цепи.
¦4 Для доказательства достаточно перейти от пары точек л:,-, х.г
к содержащим их элементам U{i, Ut и применить предыдущее
предложение. ^¦
5.2. Компоненты связности пространства. В этом пункте мы
ознакомимся с еще одним важным и часто встречающимся понятием,
а именно с понятием связной компоненты точки и компоненты
связности пространства.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.5. Связной компонентой точки ки простран-
пространства X называется наибольшее связное в X подмножество, содер-
содержащее эту точку.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.9. Связная компонента точки является
замкнутым подмножеством; связные компоненты двух точек или
совпадают, или не пересекаются.
¦4 Пусть К —компонента связности точки хо?Х, тогда в силу
следствия из предложения 5.4 КХа тоже связно, поэтому должно
содержаться в КХа и, стало быть, совпадает с Кх„-
Пусть теперь °КХ,, KXl— компоненты связности точек xlt xa
и пусть х0 б Кх, П КХг, тогда в силу предложения 5.5 объединение
/1 Кх, U Кх тоже связно и поэтому AcKx.(i=l, 2), откуда не-
непосредственно заключаем, что KXl — KXl = A. ^
Замечание 5.3. Из доказанного' предложения следует, что
связная компонента Кх является также связной компонентой лю-
любой точки х f Кг ¦
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.6. Непустое подмножество К пространства
X называется компонентой связности пространства X, если оно
является максимальным связным подмножеством, т. е. оно связно
и не содержится в отличном от себя связном множестве из А'.
Ясно, что всякая связная компонента К пространства X одно-
одновременно является связной компонентой в X каждой своей точки.
Таким образом, любое пространство X представимо в виде объе-
объединения попарно непересекающихся связных компонент. Ясно, что
пространство связно в том и только в том случае, когда оно со-
поит пз одной компоненты связности.
Отметим также, что в силу следствия из предложения 5.2 легко
заключить, что всякое открыто-замкнутое множество содержит
компоненту связности любой своей точки.
Квазикомпонентой точки х„ называется пересечение всех от-
открыто-замкнутых множеств, содержащих эту точку.
287
Оказывается, что утверждения предложения 5.9 справедливы
и в случае квазикомпонент, поэтому можно говорить о квазиком-
квазикомпонентах пространства X, а само X представляет собой объедине-
объединение попарно непересекающихся квазикомпонент. Из сказанного
выше ясно, что компонента связности любой точки содержится
в квазикомпоненте этой точки, но не обязательно совпадает с ней.
Кроме того, ясно, что всякая квазикомпонента является объеди-
объединением компонент связности своих точек.
Замечание 5.4. Полезно иметь в виду, что в хаусдорфовых
бикомпактных топологических пространствах всякая квазикомпо-
квазикомпонента связна и, стало быть, понятия квазикомпоненты и компо-
компоненты связности совпадают (см. [6|, с. 250).
Для иллюстрации понятий компоненты и квазикомпоненты рас-
рассмотрим следующий интересный пример.
Пример 5.2. Пусть Л — подпространство в IR2, состоящее из
объединения счетного числа множеств Мп ¦-— / х {1//;} при п— 1, 2, 3 . . .
и двух точек Л = @, 0), В ¦¦¦¦A,0).
Найдем все связные компоненты и квазикомпоненты простран-
пространства Л. Прежде всего легко понять, что каждое из множеств Мп
является открыто-замкнутым связным подмножеством пространства Л,
поэтому квазикомпонента каждой точки, принадлежащей Мп,
совпадает с ее компонентой связности и представляет собой
все М„.
Что же касается компоненты связности К,А точки Л, то ока-
оказывается, что она состоит лишь из самой точки А. В самом деле,
если допустить противное, то КА, очевидно, должно было содер-
содержать отличную от Л и В точку х0, принадлежащую М„п при неко-
некого
тором па. Тогда, рассмотрев множество V ~ (J Мп, очевидно, яв-
п ¦-¦-1
ляющееся открыто-замкнутым подмножеством в А, и положив V --¦-
=¦¦¦ CU, имели бы A-U[jV, откуда в силу следствия к предложе-
предложению 5.2 Кл должно было целиком содержаться в V и, стало быть,
не могло содержать точку х0. Совершенно так же убеждаемся, что
связная компонента Кп точки/3 состоит лишь из самой этой точки.
Квазикомпоненты точек А и В, как будет показано ниже, сов-
совпадают и представляют собой двухточечное множество, состоящее
из точек А и В. Чтобы убедиться в этом, заметим сначала, что
всякое открыто-замкнутое множество из А, содержащее точку .г„ ? М„
непременно содержит весь отрезок МЯо. Кроме того, ясно, что точки А
и В — неизолированные точки в А, т. е. они не являются откры-
открытыми в А одноточечными подмножествами.
Докажем теперь, что если открыто-замкнутое множество U со-
содержит одну из точек А или В, то оно непременно содержит и
другую. В самом деле, пусть А ? U и пусть We— открытая в А
окрестность точки В, представляющая собой пересечение А с откры-
открытым в R2 кругом с центром в В и радиусом г > 0, a Wг — откры-
открытая в А окрестность точки А, представляющая собой пересечение А
с таким же кругом, но уже с центром в точке А.
288
Ясно, что при любом (•¦. > О U?E содержит точку х„ из (У, отлич-
отличную от А и лежащую на некотором отрезке МПа, который па ос-
основании сказанного выше должен целиком принадлежать U, следо-
следовательно, часть этого отрезка содержится и в U П Wf_. Таким обра-
образом, в силу произвольности в заключаем, что точка В является
точкой прикосновения замкнутого множества U и стало быть В ? 11.
Совершенно так же доказывается, что если В ?11, то и A?U.
Из доказанного непосредственно следует, что квазикомпонента
точки А содержит точку В и обратно, поэтому квазикомпоненты
этих точек совпадают. Остается доказать, что квазикомпонента Кл
точки А не может содержать точек, отличных от В. Допустим про-
противное, и пусть л'„ ? К л П М„а при некотором //„, тогда (как уже
неоднократно отмечалось выше) отрезок УИ„о, будучи тоже квази-
квазикомпонентой точки .v0, должен совпадать с К а, что, очевидно,
невозможно, поскольку А?МПа. Таким образом, квазикомпонента
точки А (соответственно точки В) действительно является двухто-
двухточечным множеством, состоящим из А и В.
Отметим еще, что в некоторых пространствах связная компо-
компонента каждой точки состоит лишь из самой этой точки; такие про-
пространства принято называть вполне несвязными. Тривиальным при-
примером вполне несвязного пространства служит любое дискретное
пространство, состоящее из более чем одной точки. Другим при-
примером вполне несвязного пространства является подпространство
рациональных чисел на числовой прямой.
Нижеследующий нетривиальный пример показывает, что из связ-
связного пространства мощности континуума удалением лишь одной
единственной точки можно получить вполне несвязное множество.
Пример 5.3 (Веер Кнастера — К у р а то в с к о г о). Рас-
Рассмотрим па координатной плоскости хОу отрезок прямой 1Х с кон-
концами в точках с" = A/2, 1/2) и ах--(х,\)), где х—некоторая точка
канторова дисконтинуума Fo на единичном отрезке оси абсцисс;
если точка х—точка первого рода (т. е. концевая для некоторого
смежного к Fn интервала), то обозначим через Мх подмножество
отрезка 1Х, состоящее из точек с рациональными ординатами, если же
х — точка второго рода (т.е. предельная для концевых), то Мх-~
подмножество 1Х точек с иррациональными ординатами. Присоединив
к объединению (J Мх канторов дисконтинуум Fo и одноточечное
х <¦ /¦¦„
подмножество {а*}, мы получим подмножество К, которое в инду-
индуцированной из R- топологии представляет собой пространство, из-
известное под названием веера Кнастера — Куратовского. Можно
доказать (см., например, [13], 225), что пространство К связно,
тогда как /С\{я*} вполне несвязно.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.7. Хаусдорфово пространство X называется
экстремально несвязным, если оно удовлетворяет одному из экви-
эквивалентных между собой условий:
(i) внутренность любого замкнутого в X 1множества F замкну-
замкнута в X;
289
(ii) замыкание любого открытого вХ множества A открыто в X;
(iii) если два открытых множества дизъюнктны, то их замыка-
замыкания в X тоже дизъюнктны.
Нетрудно убедиться, что всякое экстремально несвязное прост-
пространство вполне несвязно, между тем существуют вполне несвязные
пространства, не являющиеся экстремально несвязными.
В самом деле, пусть X экстремально не связно. Докажем, что
связная компонента Кх, произвольной точки .v0 состоит лишь из
точки хв. Допустим обратное, и пусть х, ? А'*„. причем х,фх„,
тогда в силу хаусдорфовости X найдется открытая окрестность IJп
точки х0 такая, что хг б Уо = X\U0. В силу экстремальной несвяз-
несвязности X V„ открыто в X, поэтому KXtt содержится в объединении
дизъюнктных открытых множеств Vo и Ua. Согласно следствию
предложения 5.2, КХо целиком содержится в одном из них, что
противоречит х1 (Е КХо.
Множество рациональных чисел, будучи вполне несвязным, как
нетрудно проверить, не является экстремально несвязным.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.10. Всякое открытое подмножество и вся-
всякое всюду плотное подмножество экстремально несвязного прост-
пространства само экстремально не связно.
¦4 Пусть G открыто в X, a U, V — произвольные дизъюнктные и
открытые в G подмножества, тогда U, V будут открытыми и в X,
но так как X экстремально не связно, то U ftV = 0, откуда не-
непосредственно заключаем, что замыкания U и V в подпростран-
подпространстве G тем более не пересекаются, а это и означает, что G экстре-
экстремально не связно.
Пусть теперь М — произвольное всюду плотное в X подмноже-
подмножество, a U, V—дизъюнктные открытые в М подмножества; в силу
(iii) надо доказать, что их замыкания 0м, Vм в М тоже дизъюнктны.
По определению индуцированной топологии, имеем
U^MnU, V--M(]V,
где О, V — некоторые открытые в X подмножества, тогда легко
попять, что W — U (]V = 0. В самом деле, в противном случае
непустое открытое подмножество W имело бы общую точку х* с
исюду плотным множеством М, которая принадлежала бы множе-
множеству UnV — 0, что невозможно. Теперь уже в силу экстремальной
несвязности X 0 и V тоже дизъюнктны, но так как
U ---.Mf\UdMr\U = U
и, аналогично, V<z.V, то заключаем, что U[\V = 0. Наконец, по-
поскольку, очевидно, Tj^cTJ и VMaV, то UMnVM=0. ^>
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.11. Если экстремально несвязное простран-
пространство полурегулярно, то оно регулярно.
^ Пусть X экстремально не связно и полурегулярио, тогда гак
как X уже хаусдорфово, то остается доказать, что X есть 7'я-иро-
странство. Пусть Uu — некоторая окрестность произвольной точки
.v,,?X, тогда и силу полурегулярности (канонически открытые обра-
образуют базу) найдется V,, такое, что x0?VQ~—lntVoc:Un.
/Чалое, и силу экстремальной несвязности X V,, — замкнутая
окрестность точки х0, откуда уже в силу критерия из п. 1.4 X есть
'/'^-пространство. ^
5.3. Образы связных множеств при непрерывных отображениях.
Произведение связных пространств. В этом пункте центральными
фактами являются, во-первых, то, что свойство связности множе-
множества сохраняется при произвольных непрерывных отображениях,
и, во-вторых, то, что произведение любого семейства связных про-
пространств связно.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.12. Если f:X~*Y непрерывно и Л —дап-
ное подмножество из X, то его образ f (Л) связан в У.
^Допустим противное, и пусть / (Л) --- U' U V, где U', V — непу-
непустые открытые в подпространстве / (Л) подмножества без общих
точек, тогда из непрерывности / заключаем, что множества U -
g~' (W), V — g'1 (V'), где g--=-.f\A — непустые открытые и Л под-
подмножества с пустым пересечением и притом такие, что Л — U (J V,
а это противоречит условию связности Л. ^-
Замечание 5.5. Из доказанного легко следует, что связность
является топологическим инвариантом.
СЛЕДСТВИЕ 1. Для несвязности пространства X необходимо
и достаточно, чтобы существовало непрерывное надъективное ото-
отображение f пространства X на дискретное пространство У с бо-
более чем одной точкой.
•4 Необходимость. Пусть X — U [} V, где U, V — непустые дизъ-
дизъюнктные открытые в X множества, а К — дискретное пространство,
состоящее из двух точек: ух, у.,. Тогда отображение/:Х—-У, зада-
задаваемое по формуле
_ ' ¦г/" есЛИ xeU'
~ [ Us, если x?V,
будет, как легко проверить, искомым.
Д о с т а т о ч и о с т ь. 11усть /: X -У удовлетворяет нашим усло-
условиям и допустим вопреки утверждению, что X связно, тогда, со-
согласно предыдущему предложению, f(X)--Y должно было бы быть
связным тогда, как У, очевидно, вполне не связно. ^>
Одним из важнейших понятий алгебраической (особенно гомо-
гомотопической) топологии является понятие пути.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.8. Путем в пространстве X называется
всякое непрерывное отображение о:/---'Х, где / = |0, l|ci!\l; при
этом точки а (()) и аA) называются соответственно началом и кон-
концом этого пути; а а — образ отрезка иногда называют траекторией
пути о. Путьгт называется замкнутым путем или петлей в точке \„,
если а @) -а A) ¦--*„.
Говорят, что точки х„ х., соединимы путем в X, если существует
путь в X с началом в л^ и концом в л\2.
291
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.9. Пространство X называется линейно связ-
связным, если любые его две точки соединимы путем в X.
Пусть а'о — некоторая точка из X; множество Сх, состоящее из
всех таких точек, которые соединимы с хп путем в X, называется
линейно связной компонентой точки х0. Ясно, что С\.л—максималь-
С\.л—максимальное линейно связное подпространство в X, содержащее х„.
Легко проверить, что CXt и Сх^ либо дизъюнктны, либо совпа-
совпадают. Непустые максимальные линейно связные подмножества про-
пространства X называются его компонентами линейной связности.
Замечание 5.6. Легко убедиться, что непрерывный образ
линейно связного пространства линейно связан.
СЛЕДСТВИЕ 2. Всякое линейно связное пространство связно.
•4 Пусть х0, х\— произвольная пара точек из X, тогда в силу ли-
линейной связности X существует путь а:/ —> X такой, что а @) - х,,,
oil) -х,, поэтому траектория а (/) этого пути будет (согласно пре-
предыдущему предложению) связным в X подмножеством, содержащим
А'„ и а:,, откуда в силу предложения 5.3 непосредственно заключаем,
что X связно. ^
СЛЕДСТВИЕ 3. В силу связности отрезка / = [0, 1] предложе-
предложения 5.3 и только что доказанного предложения следует, что тра-
траектория любого пути является связным множеством.
Примеры 5.4. Евклидово пространство R" любой размерности
является линейно связным, а потому и связным, ибо любые две
его точки соединимы, например, прямолинейным отрезком.
5.5. Сфера, полусфера, тор, лист Мёбиуса, бутылка Клейна
являются линейно связными и тем более связными пространствами,
ибо любые две их точки соединимы дугой.
5.6. Вещественное (соответственно комплексное) проективное
пространство RP" (Ср") является линейно связным пространством
как непрерывный образ линейно связного пространства Sn (соот-
(соответственно S2"+1).
Предостережение 5.7. Следует иметь в виду, что связное
пространство может не быть линейно связным, как это показывает
нижеследующий пример.
Пример 5.7. Рассмотрим на плоскости R2 подпространство М,
получаемое присоединением к отрезку оси ординат, заключенному
между точками @, —1) и @, -Н)> графика Г^ функции
/(A-)^sin у@<х<2/л)
(рис. 15). Легко понять, что подпространство М не является ли-
линейно связным, ибо ни одна точка упомянутого отрезка не соеди-
соединима путем в М с точками графика Yf. Между тем нетрудно понять,
что М связно, ибо связная компонента КХа (будучи замкнутым
множеством) содержит вместе с точкой xo?Yf как весь график Г,,
так и все точки упомянутого отрезка, очевидно, являющиеся точ-
точками прикосновения для Yf, следовательно, КХо—М.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.13. Прямое произведение Х = 11Х, связных
292
пространств связно. Обратно: если произведение X непустых про-
пространств Xi связно, то каждое из сомножителей X,- связно.
.ц Пусть Z — XxY, где Х,У — связные пространства, а г, -(л,, /л)
и г.,:.- (л'2, у2) — произвольная пара точек пространства Z. Рассмот-
Рассмотрим множества /1---Хх{//,} и
/?¦--= {л\,} ч К, очевидно, обладаю-
обладающие общей точкой (х.2, у{) и свя-
связные в Z, поскольку они гомео-
морфны пространствам X и У со-
соответственно. Тогда, согласно
предложению 5.5, объединение
/1 U В будет связным подмноже-
подмножеством в Z, содержащим точки zt
и г2. Итак, произвольная пара
точек г,, г2 из Z содержится в
связном множестве и, стало быть,
в силу предложения 5.3 Z связно.
Из доказанного непосредствен-
непосредственно следует, что прямое произведе-
произведение конечного числа связных про-
пространств связно (доказательство
в случае произведения любого се-
семейства связных пространств см.,
например, 1б|, гл. I, § 11).
Что же касается второй части
ственно следует из предложения 5.12, поскольку каждый сомножи-
сомножитель X,- является образом связного пространства X при отображе-
отображении проектирования Р;-Х—-X,-. ^¦
СЛЕДСТВИЕ. Компонента связности точки прямого произведе-
произведения является прямым произведением компонент связности коорди-
координат точки.
-4 Пусть х = (а-,) — произвольная точка из прямого произведения
X —ЦХ,-, Кх — компонента связности точки х, а /<\. — компонента
связности точки X; в /-сомножителе X,-. В силу предыдущего пред-
предложения множество Ц/(*. связно в X, и поскольку оно, очевидно,
рис
утверждения, то оно непосред-
непосред12
содержит точку х, то (
Чтобы доказать обратное включение, рассмотрим образ Р;(КХ)
при отображении проектирования /;,-:Х—>Х, и заметим, что он,
будучи связным в X,- множеством, содержащим точку л',, должен
содержаться в Кх , откуда следует, что
С другой стороны, очевидно, Кх<^\\ (р,{Кх)) п, стало быть,
А'лсЦ/C,.. Итак, КХ = \\КЧ. >
Замечание 5.8. Можно доказать (см. |13], с. 159), что анало-
аналогичное утверждение справедливо и для квазикомпонент.
293
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.14. Фактор-пространство связного прост-
пространства X по любому отношению эквивалентности р связно; об-
обратно: если фактор-пространство Х/р связно и все классы эквива-
эквивалентности по р связны в X, то X связно.
•4 Первая часть непосредственно следует из предложения 5.12,
поскольку Х/р можно рассматривать как образ X при канониче-
каноническом отображении <|>: X —* Х/р.
Пусть теперь Х/р связно, все классы эквивалентности по (>
связны в X и вопреки утверждению X = U (J V, где U, V — непу-
непустые, открытые в X непересекающиеся подмножества. Тогда, со-
согласно следствию к предложению 5.2, каждый класс эквивалент-
эквивалентности должен целиком содержаться либо в с/, либо в V. Таким
образом, как U, так и V являются объединением целых классов.
Легко проверить, далее, что объединение множеств U' =ф((У)
и ]/'—ц>(У), которые, очевидно, не пусты и не пересекаются, со-
совпадает с множеством Х/р. Заметив теперь, что, по определению,
фактор-топологии множества U', V открыты в Х/р, приходим к
противоречию со связностью Х/р. ^
5.4. Локальная связность. Наряду с понятием связности в ряде
вопросов существенную роль играет понятие так называемой ло-
локальной связности.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.10. Пространство X называется локально
святым в точке хо?Х, если в любой окрестности точки х0 содер-
содержится ее связная окрестность; пространство X называется локально
связным, если оно локально связно в каждой своей точке.
Таким образом, локальная связность пространства означает,
что каждая ее точка обладает фундаментальной системой связных
окрестностей. Тривиальным примером локально связного простран-
пространства служит числовая прямая, которая, как мы уже видели выше,
одновременно связна и линейно связна. Вместе с тем следует иметь
в виду, что локальная связность пространства не влечет за собой
связность этого пространства и что существуют связные простран-
пространства, не являющиеся локально связными ни в одной своей
точке.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.15. Пространство X локально связно а том
и только в том случае, когда все компоненты связности любого
открытого подмножества А открыты в X.
•4 Необходимость. Пусть К л — некоторая компонента связности
открытого в X подмножества А, а л„ — произвольная точка из КД-
Тогда в силу локальной связности пространства X в нем найдется
связная окрестность Un точки х„, целиком содержащаяся в А. Да-
Далее, поскольку К,\ — связная компонента точки хи в подпростран-
подпространстве А, то Ut]czKA- Таким образом, КА вместе с каждой своей точ-
точкой х„ содержит некоторую ее окрестность в X и, стало бьпь,
является открытым в X подмножеством.
Достаточность. Пусть Uo — произвольная открытая окрест-
окрестность точки хо?Х, тогда связная компонента /<*„ точки х„ в под-
подпространстве Uo будет открытым и связным в X подмножеством,
294
содержащим точку хп, откуда следует, что пространство X локально
сня.чно. ^>
СЛЕДСТВИЕ 1. Любое, локально связное пространство X пред-
представляет собой топологическую сумму своих компонент связности.
^ Так как пространство X является объединением попарно не-
непересекающихся компонент связности и в силу предыдущего пред-
предложения каждая из этих компонент открыта в Л', то для завер-
завершения доказательства достаточно принять во внимание пример 1.14
гл. 11. р.
Замечание 5.9. Тривиальные примеры показывают, что как
связность, так и локальная связность пространства не являются
наследственными свойствами, в частности не всякое замкнутое под-
подмножество локально связного пространства локально связно. В связи
с этим полезно иметь в виду следующий простой факт.
СЛЕДСТВИЕ 2. Открытое подмножество локально связного
пространства локально связно.
•4 Пусть А— открытое подмножество локально связного простран-
пространства X, G— произвольное, открытое в подпространстве А множе-
множество, а Д' — некоторая связная компонента G. В силу открытости А
множество G открыто и в X. Применив предыдущее предложение
к пространству X, заключаем, что К открыто в X, а значит, и в А.
Итак, каждая компонента связности любого открытого в простран-
пространстве /1 подмножества G открыта в А, поэтому, применив то же
самое предложение к пространству А, заключим, что оно локально
связно. ^¦
Выше уже отмечалось, что в бикомпактных хаусдорфовых про-
пространствах понятия квазикомпоненты и компоненты связности
совпадают; оказывается, что это имеет место и в произвольных
локальных связных пространствах.
СЛЕДСТВИЕ 3. Каждая квазикомпонента локально связного
пространства X является вместе с тем его связной компонентой.
^ Пусть Кх„ —связная компонента произвольной точки хо?Х,
a /\'Vn квазикомпонента этой точки. Тогда, как уже отмечалось
выше, /Сх„сК'Л.(|, поэтому надо лишь доказать обратное включение.
По это почти очевидно, поскольку квазикомпонента Кх, будучи
пересечением всех открыто-замкнутых множеств, содержащих точ-
точку х,„ должна содержаться в открыто-замкнутом множестве Кх ¦ >*
ПРЕДЛОЖЕНИЕ Г). 16. Для локальной связности пюпологиче-
(кто пространства необходимо и достаточно, чтобы оно обладало
базой, состоящей из связных подмножеств.
Необходимость. Пусть р" - \U ,\—-некоторая база локально
связного пространства X. Тогда, согласно предложению 5.15, каж-
каждая из связных компонент 1\ {/ открытого множества U; представ-
представляет собой область в X (связное п открытое в X множество), по-
поэтому совокупность р1, состоящая из всех связных компонент /<",..
всех элементов (У,-, будет искомой базой пространства X, состоя-
состоящей из областей.
295
Достаточность. Пусть теперь у —база пространства X,
состоящая из областей, и пусть G — некоторая открытая окрест-
окрестность произвольной точки х„?Х. Поскольку у —база, то сущест-
существует элемент U/п из у такой, что хA ? (У,-с:G, откуда непосредст-
непосредственно следует локальная связность X. ^>
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.17. Фактор-пространство локально связного
пространства локально связно.
.^ Пусть X локально связно, Х/р—фактор-пространство по отно-
отношению эквивалентности р, а р: X—>¦ Х/р — соответствующее кано-
каноническое отображение. Пусть, далее, Л —произвольное, открытое
в Х/р подмножество, а К — некоторая связная компонента А. Про-
Проверим, что прообраз р'1 (К) открыт в X. В самом деле, пусть
х?р~1(К), Кх — связная компонента точки х в подпространстве
р~'(А). Тогда его образ, будучи связным подмножеством в А, со-
содержащим точку р(х), очевидно, должен содержаться в К, откуда
заключаем, что Кхар~1 (К).
Таким образом, p~l(K)= JJ Кх, т. е. р~л (К) целиком со-
состоит из связных компонент открытого в X множества р~л (Л),
поэтому в силу локальной связности X и предложения 5.15 заклю-
заключаем, что р~1(К) открыто в X, а, стало быть, К открыто в Х/р.
Наконец, на основании этого же предложения заключаем, что
Х/р локально связно. ^
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.18. Для локальной связности тихоновского
произведения Х = ДХ,- непустых топологических пространств не-
необходимо и достаточно, чтобы все сомножители были локально
связны и все, кроме конечного их числа, были связны.
•4 Необходимость. Пусть X локально связно, х0 — (х°) — его
произвольная точка, a U — связная окрестность этой точки. Тогда
для отображений проектирования р,- будем иметь pi{U)~ X,- для
всех индексов i, кроме конечного их числа, поскольку в U содер-
содержится элементарная окрестность, для которой это, очевидно, имеет
место. Итак, в силу предложения 5.12 псе X,-, кроме конечного и.ч
числа, связны.
Рассмотрим некоторую точку х{ , принадлежащую произволь-
произвольному, по фиксированному сомножителю Х,-о, и положим U„ -
-'¦'¦ У и '-' II %п '"Дс V,, — некоторая окрестность х,-п в Х,л. Пусть теперь
точка x?f0 такова, что /)¦ (х) -¦--х,-и, тогда в силу локальной связ-
связности X в окрестности Uo точки х содержится ее связная окрест-
окрестность Wu, поэтому /7,о (W7,,), очевидно, будет связной окрестностью
точки х,- , содержащейся в Vn, откуда непосредственно заключаем,
что X,и локально связно.
Достаточность. Пусть условия предложения выполнены и
пусть /, -конечная совокупность индексов /, для которых X,- не
связны. Рассмотрим в X некоторую элементарную окрестность
U — И f,- произвольной точки х"—-(х") и обозначим через У, конеч-
296
мое множество индексов i, для которых U^X,-. Пусть теперь
V И V{, где Vt = Xj для f ^ /, U /2» а "Р" < ? Л U/2 V7,- представ-
1 с./
ляет собой некоторую связную окрестность точки х", содержащуюся
в ?/,-, которая существует в силу локальной связности Xt. Ma осно-
основании предложения 5.13 V будет связной окрестностью точки л",
содержащейся в U.
Таким образом, каждая точка из X обладает фундаментальной
системой связных окрестностей и, стало быть, X локально связно. ^
5.5. Определение и простейшие свойства континуумов. Как
is самой топологии, так и в самых различных разделах математики
особую роль играют специального типа связные подмножества,
называемые континуумами. Обстоятельному изложению теории кон-
континуумов посвящена обширная литература (см., например, [13]),
однако здесь мы вынуждены ограничиться лишь указанием неко-
некоторых наиболее простых свойств этих важных для топологии и
математического анализа объектов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.11. Хаусдорфово пространство X называется
континуумом, если оно связно и бикомпактно*1.
Примеры. 5.8. Всякое связное ограниченное и замкнутое
подмножество пространства IR" любой размерности представляет
собой континуум. В частности, шар, сфера, тор, «колючая сфера»
служат простейшими примерами континуумов.
5.9. В некотором смысле противоположным континууму при-
примером служит канторов дисконтинуум, являющийся ограниченным
и замкнутым (даже совершенным) на IR1 и, стало быть, биком-
бикомпактным, однако не являющийся континуумом, ибо оно не только
несвязно, но и вполне несвязно и даже экстремально несвязно.
5.10. Связная компонента каждой точки бикомпактного хаус-
дорфова пространства, очевидно, является континуумом.
Так как объединение двух бикомпактных множеств бикомпактно
и объединение двух связных множеств с непустым пересечением
связно, то справедливо следующее простое утверждение.
ПРЕДЛОЖЕН И Е 5.19. Если подмножества Ki и К.г простран-
пространства X имеют непустое пересечение и являются континуумами,
то их объединение К\[)Ко — также континуум.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.20. Хаусдорфово пространство, являющееся
непрерывным образом континуума, само является континуумом;
тихоновское произведение любого семейства континуумов является
континуумом.
¦^ Пусть /: X—¦* К —надъектнвное непрерывное отображение кон-
континуума X на хаусдорфово пространство К, тогда поскольку не-
непрерывный образ бикомпактного (соответственно связного) биком-
бикомпактен (соответственно связен), то Y — континуум.
Пусть теперь X = \\ Ха — тихоновское произведение континуу-
континуумов Ха, тогда, по теореме Тихонова, А' бикомпактно, а в силу
*> Когда речь идет о подмножествах и.ч R", то часто некоторые авторы кон-
континуумом на subhiot всякое свяуное и замкнутое подмножество.
297
предложения 5.13 X связно и поскольку, как мы знаем, Л' к тому
же хаусдорфово, то X — континуум. ^-
Условимся подмножество Ко континуума К называть подконти-
подконтинуумом, если подпространство К„ является континуумом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.12. Континуум К навывается неприводимым
между двумя своими точками р, q, если всякий подконтинуум Л',,,
содержащий эти точки, совпадает с исходным континуумом К.
Сформулируем два очень важных факта, доказательство кото-
которых можно найти, например, в [13], гл. 5, § 2, § 3.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.21. Пересечение всякой убывающей последо-
последовательности континуумов есть континуум.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.22. Для любой пары точек произвольного
континуума К существует неприводимый мео/сду этими точками
подконтинуум.
Задачи
1. Пусть А' связно, я f: X * R1 непрерывно и принимает как положи-
положительное, так и отрицательное значении. Докажите, что существует ха? X такое,
что /(*„)¦¦ 0.
2. Докажите, что связность X равносильна тому, что любая непрерывная
функция /': X---I-R1 обладает свойством Дарбу, т. е. имеете с любыми двумя
значениями принимает и все промежуточные.
3. Докажите, что если X — вполне регулярное связное пространство, содер-
содержащее не менее двух точек, то card X не менее континуума.
4. Докажите, что если Л1, N — связные подмножества пространства X, при-
причем такие, что /Wf"|W т=яг, то M[)N тоже связно.
5. Докажите, что если М п N замкнуты в X и такие, что M(JN и М (] Л/
связны, то М и /V тоже связны.
6. Пусть (X, е^) — линейно упорядоченное множество, наделенное порядко-
порядковой топологией. Докажите, что: а) если X связно, то каждое непустое ограни-
ограниченное подмножество М обладает sup M; Ь) X несвязно, сели в X существует
хотя бы одна щель (дыра), т. е. такие и, Ь?Х, что я < ft, но интервал (а, 1>) и;
с) если и X нет щелей и каждое непустое ограниченное подмножество обладает
sup-м, то X связно.
7. Докажите, что если X, Y—хаусдорфоны, У экстремально несвязно, то
всякое замкнутое отображение /: X - <¦ Y есть гомеоморфизм.
8. Докажите, что в любой топологической группе G связная компонента К^.
единицы е группы G есть замкнутый нормальный делитель.
9. Пусть /': (R1 - -г Т- -¦- !<-//-, сопоставляющее каждой /?К' класс точки
(U ?0€^"> [Дс ^ — некоторое иррациональное число. Докажите, что (R1, т), где
т—прообраз топологии тора Т- при /, связно, но не локально связно.
10. Пусть лг,, х.г~точки топологического пространства X; говорят, что х1
связано с х-ь в X, если в X существует связное подмножество, содержащее г,6ч
эти точки.
Проверьте: а) отношение «jc, связано с ,v2» есть отношение эквивален'мюеш;
б) классами эквивалентности служат связные компоненты пространства X.
11. Опишите связные подмножества окружности S'clK".
12. Приведите пример нелокально связного пространства X, в котором лю-
любая из его связных компонент есть открыто-замкнутое подмножество.
13. Пусть X локально линейно связно, т. е. для любой точки х?Х и любой
ее окрестности Ux существует линейно связная окрестность VxdUv. Докажите:
а) X — локально связно; Ь) если А' связно, то X линейно связно; с) каждая
связная компонента X есть линейно связное и открыто-замкнутое в X подмно-
подмножество.
298
§ 6. ПАРАКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В начале 40-х годов французским математиком Дьедопне был
открыт новый класс топологических пространств, а именно класс
паракомпактных пространств, сыгравший и продолжающий играть
исключительно важную роль как в самой топологии, так и во мно-
многих других разделах математики. Что же касается роли параком-
паракомпактных пространств в самой общей топологии, то его открытие
не только стимулировало, но и в значительной степени обусловило
решение целого ряда вопросов, связанных с проблемами метриза-
метризации, существования непрерывных разбиений единицы, а также
проблем, связанных с непрерывным распространением отобра-
отображении.
Этот параграф посвящен изложению основных понятий и фак-
фактов, связанных с теорией этих замечательных пространств. Отметим
также, что наряду с зарубежными математиками (Дьедонне,
Л. Стоун, Морита, Бинг и др.) значительный вклад в теорию пара-
компактных пространств внесли представители советской тополо-
топологической школы—-Ю. М. Смирнов |51], А. В. Архангельский |19|,
В. И. Пономарев [43] и др.
6.1. Простейшие свойства паракомпактных пространств. Силь-
Сильная и слабая паракомпактность. Сначала напомним, что семейство
S--=\Aa; a?/4} подмножеств пространства X (в частности, покры-
покрытие X) называется локально конечным, если каждая точка из X
обладает такой окрестностью, которая пересекается лишь с конеч-
конечным числом элементов семейства S.
Замечание 6.1. В дальнейшем нам понадобится тот простой
факт, что если S=*\Aa; а.?А\— локально конечное семейство в X,
то семейство 5 = {Ла; а?А\, состоящее из замыканий в X элемен-
элементов из S, тоже локально конечно. В самом деле, пусть х0 — про-
произвольная точка из X и пусть Uo — такая ее открытая окрестность,
которая пересекается лишь с конечным числом элементов Aai, ...,
Л,1п покрытия 5, тогда, так как Uof\ Аа = 0 при всех a=/=ak и
Ua открыто, то и„Г\Аа = 0 при афак (/?—], 2, ..., н). следо-
следовательно, семейство 5 локально конечно.
Определение 6.1. Топологическое пространство называется
парикомпактным, если в любое его открытое покрытие можно
вписать локально конечное открытое покрытие.
Ясно, что всякое бикомпактное пространство заведомо параком-
иактпо, ибо конечное подпокрытие является как вписанным, так
и локально конечным. Следующие примеры показывают, что пара-
компактные пространства совсем не обязаны быть бикомпактными.
Примеры. 6.1. Нпклпдотю пространство /<"' любой размер-
размерности хотя и не бикомпактно, но паракомпактно (например, в силу
предложения C.12).
С).2. Нетрудно проверить, что пространство полуоткрытых слева
интервалов (см. пример 1.29 гл. 1) паракомпактно, по не биком-
бикомпактно.
29»
Вместе с тем имеет место следующее утверждение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.1. Если паракомпактное пространство X
секвенциально компактно, то оно бикомпактно.
¦4 Прежде всего докажем, что если пространство X секвенциально
компактно, то всякое его локально конечное покрытие непременно
конечно. В самом деле, пусть 5 --{/!,•; (?/} — локально конечное
покрытие X. С целью получения противоречия допустим, что по-
покрытие S является бесконечным п пусть {Ак\— некоторая беско-
бесконечная счетная подсистема системы S. Выберем по одной точке
хк^Ак\ при этом может оказаться, что из разных множеств Л;. мы
выбрали одну и ту же точку. Но, поскольку покрытие .S локально
конечно, множество различных точек последовательности \хк\ будет
бесконечным. В силу секвенциальной компактности X эта последова-
последовательность {хк\ содержит подпоследовательность {xi:,,\, сходящуюся
к некоторой точке хи?Х.
С другой стороны, в силу локальной конечности покрытия $
существует окрестность U№ точки .v0, пересекающаяся лишь с ко-
конечным числом элементов покрытия S, и поэтому в Uo будет на-
находиться лишь конечная часть подпоследовательности {*/,•„}, что,
очевидно, противоречит ее сходимости к точке л'„.
Пусть теперь S = {Ua;a?A\— произвольное открытое покрытие
пространства X, а Т ={V^,\ р?в} — вписанное в 5 локально конечное
открытое покрытие (оно существует в силу паракомпактности X).
По только что доказанному, покрытие Г состоит из конечного числа
элементов Vp,, V$2, ..., Vp,,, ибо X секвенциально компактно. По
тогда легко понять, что если 1/Р/ содержится в Ua/I, то система
Un,y Ua2, ..., Uan образует конечное подпокрытие покрытия S.
Итак, пространство X бикомпактно. ^
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.2. Всякое замкнутое подпространство па-
ракомиактного пространства паракомпактно (иными словами, па-
паракомпактность наследуется по замкнутым множествам).
¦^ Пусть X паракомпактно, А—замкнутое подмножество из X,
a S^{Vi\ i ? /} — произвольное открытое покрытие подпространства А,
тогда Vi=--UtV\A, где с/, —открытые в X множества. Рассмотрим
открытое покрытие S пространства X, состоящее из множеств ?/,-,
t ? /, и открытого множества G = X\A. В силу паракомпактности X
найдется локально конечное открытое покрытие Г пространства X,
вписанное в S. Пусть теперь Т—след f на А, тогда легко понять,
что Т — открытое покрытие подпространства Л, вписанное и .S.
Нетрудно видеть также, что покрытие Т к тому же и локально
конечно. В самом деле, пусть х0 — произвольная точка из Л; так
как f — локально конечное покрытие, то существует окрестность Uo
з X, пересекающаяся лишь с конечным числом элементов покры-
покрытия Т, поэтому, положив Va — UanA, очевидно, получим окрест-
окрестность Vn точки х„ в Л, тоже пересекающуюся лишь с конечным
числом элементов покрытия Т. Итак, в любое открытое покрытие S
300
подпространства А удалось вписать локально конечное открытое
покрытие Т, следовательно, А паракомнактпо. ^
Замечание 6.2. Согласно теореме Майкла (см. [38]), пара-
паракомпактность наследуется не только по замкнутым, но и по любым
множествам типа Fa, если исходное пространство регулярно.
ПРЕДЛОЖЕН ИВ 6.3. Топологическая сумма любого семейства
паракомпактных пространств паракомпактна.
-^ Пусть {A',; i ?1}— произвольное семейство паракомпактных прост-
пространств X,-, a Х-~2Х,-— топологическая сумма этого семейства.
ic I
Рассмотрим произвольное открытое покрытие 5 ¦-{?/«; a g а} прост-
пространства X. Легко понять, что семейство
Т~{иаГ\Хг, (а, /)€ах/}
снова является открытым покрытием пространства X, ибо каждое
из пересечений Uaf\ X,-, будучи открытым подмножеством в откры-
открытом подпространстве X,-, само открыто в X. Ясно далее, что по-
покрытие Т вписано в S. Для каждого /„ ? / положим 7'/ц - {Va П Х,-и;
a g л}, которое, очевидно, образует открытое покрытие параком-
паракомпактного пространства Х,-о, и поэтому существует локально конеч-
конечное открытое покрытие Tia пространства ХЛ|, вписанное в Тin.
Рассмотрим теперь семейство Т, представляющее собой объеди-
объединение всех семейств Г,-, когда i пробегает все множество /. Тогда
легко понять, что семейство Т тоже образует открытое покрытие
пространства X. Докажем, что Т вписано в S. В самом деле, каж-
каждый элемент семейства Т, будучи одним из элементов семейства 7',-
при некотором го(ЕЛ очевидно, будет содержаться в некотором
элементе 7\, т.е. в некотором множестве U,u()Xin и, стало быть,
в Uao?S. Итак, каждый элемент семейства Т содержится в неко-
некотором элементе из S, т. е. Т вписано в S.
Остается доказать, что Т локально конечно. Пусть х0—произ-
х0—произвольная точка из X и пусть xo$Xin. Так как покрытие Тia ло-
локально конечно, найдется окрестность Uа в Х,-о точки хв, пересе-
пересекающаяся лишь с конечным числом элементов покрытия Т,- . Далее,
поскольку (/„, очевидно, служит окрестностью х„ и в X и, кроме
того, в силу дизъюнктности пространств X,- пересекается лишь
с конечным числом элементов из Т, то Г локально конечно.
Таким образом, для всякого открытого покрытия 5 нашлось
вписанное в него локально конечное открытое покрытие Г и, стало
быть, X паракомпактно. ^
Произведение любого семейства бикомпактных пространств би-
бикомпактно, однако оказывается, что произведение даже двух иа-
ракомпактпых пространств может не быть паракомпактпым.
Тем не менее имеет место нижеследующее утверждение, которое
часто оказывается полезным.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.4. Произведение паракомпактного простран-
пространства на бикомпактное паракомпактно.
301
^ Пусть Z- Хх К, где X паракомпактно, а У бикомпактно, и пусть
S -\Uf, i?I} произвольное открытое покрытие Z. Пусть гн
(*„,//„) €^- произвольная точка. Тогда найдется ;0 ? / такое,
что ?tt?Uia. Так как множества вида VxW, где V открыто в X,
а №—в К, образуют базу топологии в прямом произведении ХхК,
то, очевидно, существуют открытые окрестности VХг>< и<> точки ,v0 n X
и окрестность U7_Viii ,/о точки //„ в У такие, что 1Л,.о, х W v , Уо с G,-о.
Зафиксируем точку °хи ? X, тогда совокупность множеств !^Л"о, ,y, где
// пробегает все У, очевидно, образует открытое покрытие "биком-
"бикомпактного пространства У и, стало быть, из него можно выделить
конечное подпокрытие
{Wx..u«, Wx..uo, .... W4.,oj,
где по — п(х0), конечно, может зависеть от ха. Образуем множество
6\.ci — П Vx,,.,,nr тогда легко попять, что семейство G множеств Gx,
когда х пробегает все X, образует открытое покрытие X, в кото-
которое в силу паракомпактности X можно вписать локально конечное
открытое покрытие H — {Hk\ k?K\, т.е. такое, что каждое из Нк
содержится в некотором GXfc.
Рассмотрим теперь семейство Т всех открытых в Z подмножеств
вида Лк X WXki у\, где к ? К, а 1 < i < п (хк). Докажем, что семейство Т
образует искомое покрытие. Пусть г* — (х*, у*) — произвольная точка
из Z, тогда поскольку Я—покрытие X, то найдется /г*?/( такое,
что **?///,.. Далее, так как
образует покрытие У, то у* будет принадлежать некоторому мно-
множеству Wх, • из этого конечного набора и поэтому г* будет при-
принадлежать произведению//А,х Wv, • . Итак, Т — покрытие Z.
Докажем теперь, что Т вписано в исходное покрытие S. Пусть
H,.<Wx tk — произвольный элемент покрытия Т. Из самого пост-
построения покрытия // ясно, что каждый его элемент Н есть подмно-
подмножество некоторого элемента GX/ покрытия С Поскольку Gx само
содержится в Vx (/;, то HkxWx i; будет частью произведения
Vх ,i-"-<Wx чи, которое, как уже отмечалось выше, в свою очередь
содержится в некотором элементе Uj покрытия S. Итак, Т впи-
вписано в S.
Для завершения доказательства остается убедиться, что Т ло-
локально конечно. Пустьги ¦— (х0, //„) -произвольная точка n:sZ-.- X ;< У.
Поскольку //- -локально конечное покрытие X, то Л'„ обладает от-
крыroil окрестностью ОЛ.о, пересекающейся лишь с конечным числом
элементов покрытия Н. Покажем, что произведение 0Vjx №'VA, ,/0,
очевидно, являющееся открытой окрестностью точки г„, в свою
очередь пересекается лишь с конечным числом элементов покрытия Т.
302
В самом деле, из соотношения
и из того факта, что ОХаГ\Нк не пусто лишь для конечного числа
множеств Нк следует, что (OXtxWx^lh)t)(HkxWx Л не пусто
только для конечного числа элементов покрытия Т.
Итак, Т локально конечно и, стало быть, Z паракомпактно. >
Во многих вопросах оказывается полезным также и следующий
факт.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.5. Во всякое открытое покрытие S --{Ut\
i 6 /} хаусдорфово локально бикомпактного и паракомпактного прост-
пространства X можно вписать локально конечное открытое покрытие
'/'¦-• (U7,.; 1г?К), замыкания Wk элементов которого бикомпактны
и содержится соответственно в одном из элементов покрытии S.
^ В самом деле, пусть х0 — произвольная точка пространства X
и х„^и1о. В силу следствия 3 теоремы 4.7 найдется открытая ок-
окрестность Vyn точки х0, замыкание которой V/t] бикомпактно и це-
целиком содержится в U(о. Ясно, что совокупность всех таких окрест-
окрестностей VJn, когда х0 пробегает все X, образует вписанное в N от-
открытое покрытие S. В силу паракомпактности X существует впи-
вписанное в S, а стало быть, и в S локально конечное открытое
покрытие Т = {Wk\ k ? К)- Так как замкнутое подмножество биком-
бикомпактного пространства бикомпактно, то легко заключаем, что за-
замыкание Wk бикомпактно и содержится в некотором элементе по-
покрытия S. ^¦
В конце пункта мы очень кратко остановимся на понятиях типа
паракомпактности, а именно на так называемой сильной и слабой
паракомпактности.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.2. Покрытие 5 = {Л,; i?l} множества X
называется звездно конечным, если каждый его элемент пересекается
лишь с конечным числом элементов из S, и называется точечно
конечным, если любая точка из X принадлежит лишь конечному
числу элементов покрытия S.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.3. Пространство X называется сильно (со-
(соответственно слабо) паракомпактиым, если во всякое его открытое
покрытие можно вписать звездно конечное (соответственно точечно
конечное) открытое покрытие.
Слабо паракомпактные пространства иногда называются мета-
компактными.
Так как звездная конечность покрытия влечет за собой ею
локальную конечность, то всякое сильно паракомпактное прост-
пространство, очевидно, паракомнактно. Далее, поскольку, как легко
убедиться, каждое локально конечное покрытие точечно конечно,
то всякое паракомпактное пространство заведомо слабо параком-
паракомпактно. Однако следует иметь в виду, что существуют слабо пара-
компактные, но не паракомпактные пространства, а также простран-
пространства, которые хоть п наракомпактпы, но не сильно паракомнактны.
303
Приведем одно простое достаточное условие, для того чтобы
локально конечное покрытие было звездно конечным.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.6. Если элементы локально конечного по-
покрытия S ¦¦¦-¦-{А ;\ i?l) произвольного пространства X относительно
бикомпактны (т. с. все А, бикомпактны), то покрытие S звездно
конечно.
•4 Рассмотрим произвольный элемент Ain покрытия 5 и докажем,
что Аи[\ А(Ф 0 лишь для конечного числа индексов t?/. В силу
локальной конечности S для каждого х? А ,-п существует окрестность
Uх в X, пересекающаяся лишь с конечным числом элементов из .S.
Из открытого покрытия \UX; x? А ы) бикомпактного множества А,-
выделим конечное подпокрытие {UXi, ..., UXn], тогда их объеди-
п
нение U — U Ux. и тем более его часть Л,- тоже будет пересекаться
,•=1 ' "
лишь с конечным числом элементов покрытия 5, а это и означает
звездную конечность покрытия S. ^
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.7. Если паракомпактное пространство X
локально бикомпактно, то оно сильно паракомпактно.
^ Пусть S~--{Uj; i (E/}— произвольное открытое покрытие прост-
пространства X. В силу локальной бикомпактности X каждая его точка х
обладает открытой окрестностью Vs, замыкание Vх которой биком-
бикомпактно. Ясно, что семейство S' = {VJC; x?X\ тоже образует откры-
открытое покрытие X. Рассмотрим пересечение S" покрытий 5 и S', т. е.
семейство всевозможных пересечений элементов этих покрытий
(множеств вида t/,nV^, i?l, x?X). Ясно, что S" тоже образует
открытое покрытие пространства X, поэтому в силу паракомпакт-
паракомпактности X в S" можно вписать локально конечное открытое покры-
покрытие S'" = {Wk; k?K\.
Докажем, что все элементы Wk покрытия 5'" относительно
бикомпактны. В самом деле, каждое Wka, очевидно, содержится
в некотором множестве вида Uia()VXa и тем более в VXo, откуда
в силу монотонности замыкания Wкп с: VХа, поэтому W,,а бикомпактно
как замкнутое подмножество бикомпактного множества VVo. Таким
образом, в любое открытое покрытие S пространства X удалось
вписать локально конечное открытое покрытие S'", состоящее из
относительно бикомпактных множеств, которое в силу предыдущего
предложения 6.6 звездно конечно. Этим доказано, что X сильно
паракомпактно. ^>
СЛЕДСТВИЕ. Всякое бикомпактное пространство сильно пара-
компактно.
^ Поскольку, как мы знаем, всякое бикомпактное пространство
локально бикомпактно и паракомпактно, то это утверждение не-
непосредственно следует из доказанного предложения. ^
6.2. Некоторые критерии паракомпактности. Приведем лишь
наиболее важные признаки паракомпактности пространств, в том
числе и широко известные критерии Майкла.
Начнем с доказательства следующего, весьма нетривиального
признака паракомпактности.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.8. Если в любое открытое покрытие про-
пространства X можно вписать локально конечное замкнутое покрытие,
то X паракомпактно.
^ Нам надлежит доказать, что в любое открытое покрытие R прост-
пространства X можно шшсать локально конечное открытое покрытие.
По условию, существует вписанное в R локально конечное покры-
покрытие Л н поэтому для каждого .vg X найдется открытая окрестность W х,
пересекающаяся лишь с конечным числом элементов покрытия Л.
Так как семейство 33~--{Wx\ x ? X} — открытое покрытие X, то, по
условию, существует локально конечное замкнутое покрытие W
пространства X, вписанное в 93. Пусть А — произвольный элемент
покрытия Л и пусть UА — элемент исходного покрытия R, содер-
содержащий множество Л.
Рассмотрим подсемейство Т А семейства 'I, состоящее из всех
элементов F из ,Т, которые не пересекаются с А. Поскольку SF,
а стало быть, и «Г.,—локально конечные семейства замкнутых мно-
множеств, то объединение Сл всех элементов из 3~ А тоже будет замк-
замкнутым в X множеством (см. следствие предложения 1.6 гл. I).
Наконец, образуем семейство А' ~{А'аХ\ А ?А} открытых в X
множеств вида Л' - Vл П (Х\СД), когда А пробегает все семейство А
и докажем, что А' служит искомым покрытием X. Прежде всего за-
заметим, что при всяком А из Л AflCA--0, т. е. АсХ\СА и,
кроме того, AcUA. Следовательно, соответствующее А' — надмно-
надмножество для А, поэтому семейство А' тоже является покрытием X.
Далее, поскольку A'aUA, то открытое покрытие А' вписано в ис-
исходное покрытие R.
Для завершения доказательства паракомпактности X остается
показать, что А' локально конечно. Пусть Л'о- произвольная точка
из X; поскольку J локально конечно, то существует окрестность Г()
точки х„, пересекающаяся лишь с конечным числом элементов Flt
/¦'. , Р„„ покрытия G" и, стало быть, содержится в их объеди-
объединении U /•",-. Далее, так как РТ вписано в S3, то каждое из F( co-
держится в некоторой Wx.(i---\, 2, ..., /г0), которая пересекается
лишь с конечным числом элементов Ап, /1/2, ..., /1,г. покрытия А.
Оказывается, что эта же окрестность Vo может пересекаться лишь
с элементами A{j, где i —1, 2, .... п0, а /-—1, 2, ..., г,-, т. е.
с конечным числом элементов покрытия А'. Чтобы убедиться в этом,
рассмотрим произвольный элемент А из А, отличный от упомяну-
упомянутых AiJt тогда легко понять, что /?,-П Л — 0, ибо FjCWx, a Wx
пересекается лишь с А,у (i = l, 2, ..., г,-). Итак, Z7,- из подсемей-
cusa ,TA и, стало быть, /-'(.сСи. С другой стороны, по определению,
A' -UA(](X\CA), поэтому А'сХ\СА и, стало быть, А'Г\Р;^0
при всех i ¦ I, L\ ..., п„, откуда заключаем, что Л'Г) (U/\) — 0
1= i
и тем более Л'Г|1/„ = 0. >
11 л-, 73 305
ТЕОРЕМА 6.9. (КРИТЕРИЙ ПАРАКОМПАКТНОСТИ). Ре-
Регулярное пространство X паракомпактно тогда и только тогда,
когда в любое его открытое покрытие можно вписать локально ко-
конечное (не обязательно открытое) покрытие.
¦4 Необходимость очевидна.
Достаточность. Докажем сначала, что в любое открытое
покрытие S ¦-\U j\ i(zl\ можно вписать локально конечное замк-
замкнутое покрытие. Пусть х—произвольная точка из X и пусть сУ,1л,
содержащий ее элемент покрытии S. Тогда в силу регулярности .Y
существует открытая окрестность Vx точки х такая, что УЛ.с=(У,-,Л.,.
Рассмотрим семейство 5- = {Ул.; х^Х), очевидно, представляющее
собой открытое покрытие X. По условию, существует локально
конечное покрытие Т = {Wk; к?К}, вписанное в S. Образуем, на-
наконец, семейство T--{Wk\ k?K\, которое в силу монотонности
замыкания и сделанного в начале параграфа замечания 6.1 будет,
как легко проверить, локально конечным замкнутым покрытием
пространства X, вписанным в исходное покрытие .S.
Теперь уже паракомпактность пространства Л' непосредственно
следует из предыдущего предложения G.8. >
ТЕОРЕМА 6.10. (КРИТЕРИЙ ПАРАКОМПАКТНОСТИ). Ре-
Регулярное пространство паракомпактно в там и только в том слу-
случае, когда в любое его открытое покрытие можно витать локально
конечное ммкнцтое покрытие.
М Необходимость. Пусть X регулярно и паракомпактно,
тогда в любое его открытое покрытие Л" можно вписать локально
конечное (даже открытое) покрытие; повторяя доказательство до-
достаточности предыдущего критерия, убеждаемся в том, что в 5
можно вписать и локально конечное замкнутое покрытие.
Достаточность непосредственно следует из предложе-
предложения 6.8. >
Приведенные два критерия составляют часть известной теоремы
Майкла. Что же касается ее другой части, то мы ограничимся
лишь ее формулировкой (доказательство см., например, |3|, гл. 1),
а именно: регулярное пространство X паракомпактно тогда и толь-
только тогда, когда выполнено одно из следующих двух условий:
(i) в любое открытое покрытие пространства X можно вписать
а-локалыю конечное открытое покрытие;
(ii) в любое открытое покрытие пространства X можно вписать
0-дискретнос открытое покрытие.
Приведем еще два важных утверждения, доказательство кото-
которых можно найти, соответственно, в [3] гл. I и в [6], с. 141.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.11. Регулярное и финально компактное (лин-
делефово) пространство паракомпактно.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.12. Счетное в бесконечности локально би-
бикомпактное пространство паракомпактно.
Отметим, наконец, что если принять во внимание предложе-
предложение 6.7, то последнее утверждение может быть усилено: всякое
счетное в бесконечности локально бикомпактное пространство сильно
паракомпактпо.
6.3. Нормальность и метризуемость паракомпактных пространств.
Мы уже доказали установленную в 1923 г. П. С. Александровым
и П. С. Урысоном теорему о нормальности хаусдорфова бикомпакт-
бикомпактного пространства. Этот пункт посвящен доказательству одной из
основных теорем, теории паракомпактных пространств, а именно
теоремы Дьедонне о нормальности любого хаусдорфова параком-
пактного пространства, доказанную им в 1944 г. Этой теореме мы
предпошлем одно вспомогательное утверждение, которое оказывается
полезным и при установлении других глубоких свойств параком-
паракомпактных пространств.
ЛЕММА 6.13. Пусть М — произвольное подмножество параком-
пактного пространства X, a F—не пересекающееся с М замкнутое
в X подмножество, обладающее таким открытым покрытием Sp =
—¦- {?/,-; i^f}, что Uif\M пусто, тогда М и F обладают дизъюнкт-
дизъюнктными открытыми окрестностями.
М Рассмотрим открытое покрытие S всего пространства X, полу-
получаемое присоединением к SF открытого множества X\F, тогда
в силу паракомпактности X существует вписанное в S локально
конечное открытое покрытие T — {Vj\ /€/}¦ Пусть /0 — подмноже-
подмножество из /, состоящее из тех индексов /, при которых V/f]F^0
и, стало быть, Vj не содержится в X\F. Но так как покрытие Т
вписано bS, то найдется индекс i (зависящий от /) такой, что V/C Ut.
Кроме того, из VjcU,• и из U, {] М = 0 ясно, что Vj ПМ = 0 и, стало
быть, М не пересекается с объединением N= UVj. С другой cro-
croze/»
роны, так как семейство {V/, /€/„} локально конечно, то в силу
предложения 1.С гл. I Л/= и V, и поэтому замкнуто в X. Поло-
жив G = X\N и // = (J V,, мы, очевидно, получим искомые ди-
/е/„
зъюнктпые окрестности множеств М и F. >
Следующее утверждение носит предварительный характер, однако
после его установления теорема Дьедонне непосредственно следует
из доказанной леммы.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.14. Хаусдорфово паракомпакшное простран-
пространство X регулярно.
^ Докажем, что произвольное замкнутое множество Fo и лежа-
лежащая вне него точка ха обладают дизъюнктными открытыми окрест-
окрестностями. В силу хаусдорфовости X для каждого x?F0 существуют
открытые дизъюнктные окрестности Ux и UXo точек х и ха соот-
соответственно, поэтому ясно, что х0 ? Uх. Очевидно, далее, что когда
а' пробегает все Fo, то семейство {Uх} образует открытое покрытие,
удовлетворяющее условиям предыдущей леммы, если за М и F взять
соответственно одноточечное подмножество {л:,,} и Fn, поэтому х„
и Fw обладают искомыми окрестностями. >
ТЕОРЕМА 6.15. (ДЬЕДОННЕ). Хаусдорфово паракомпактное
пространство X нормально.
11» 307
¦4 Пусть Fit f., —два произвольных дизъюнктных замкнутых в X
подмножества. В силу предыдущего предложения X регулярно,
поэтому для каждою x?t\ найдутся дизъюнктные окрестности Ux
и V х точки х и замкнутого множества Ft (х ? U x, Ftc:Vx, Ux П Vx-= 0),
откуда легко заключаем, что UX(]VX тоже пусто и тем более
Uxr\Fl = 0.
Так как {Ux; x^F2}, очевидно, образует покрытие /\2, удовлет-
удовлетворяющее условию леммы 6.13, если за М взять F,, я за F — замк-
замкнутое множество /•",, то в силу этой леммы F{ и F.2 обладают ди-
дизъюнктными окрестностями. Итак, X нормально. >
СЛЕДСТВИЕ. Хаусдорфово паракомпактное пространство не
только нормально, но и бинормально, т. е. цилиндр X х / тоже
нормален.
М Доказательство непосредственно следует пз теоремы Дьедонпе
и из того, что произведение паракомиактного пространства на би-
бикомпактное пространство паракомпактно. >
Важным подклассом нормальных пространств является класс
так называемых коллективно нормальных пространств.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.4 (БИНГ [1]). Хаусдорфово пространство X
называется коллективно нормальным, если всякая его дискретная
система {Еа\ замкнутых подмножеств обладает дизъюнктной систе-
системой открытых окрестностей {Ua}.
Так как пара дизъюнктных замкнутых множеств, очевидно, об-
образует дискретную систему,'то коллективная нормальность влечет
за собой нормальность, но не наоборот.
Замечание 6.3. Теорема Дьедопне была усилена Бинтом,
доказавшим, что любое хаусдорфово иаракомпактное пространство
коллективно нормально (см., например, [3], с. 80).
Как уже отмечалось выше, класс паракомпактны.ч пространств
нашел многочисленные и весьма важные приложения в самых раз-
различных разделах математики, поэтому теория этих пространен! за
последние тридцать лет получила значительное развитие. Конец
этого пункта мы посвящаем беглому описанию наиболее глубоких
результатов этой теории, отсылая читателя за их доказательством,
например, к монографии [3] (гл. I, § И).
Пусть S — {Ua\ a? А} — произвольное семейство подмножеств
пространства X. Звездой точки х„?Х относительно семейства S на-
называется объединение всех элементов Ua из S, содержащих точку л(|.
Пусть, далее, S---{Ua; a?A} и Г = {1/(); f>?B\ — два покрытия
пространства X. Говорят, что покрытие Т звездно вписано в по-
покрытие S, если покрытие f — {Wx\ х?Х\, состоящее из звезд Wх
точек х?Х относительно покрытия Т вписано в S.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.5 (ТЮККИ [1]). Говорят, что открытое по-
покрытие 5 пространства X допускает дробление, если существует
открытое покрытие Т, звездно вписанное в S. Далее, если про-
пространство X таково, что любое его открытое покрытие допускает
дробление, то говорят, что это пространство допускает дробление,
или звездно нормально.
308
Теперь уже мы можем сформулировать один из наиболее суще-
существенных результатов теории иаракомпактных пространств, пред-
представляющий собой к тому же еще один критерий паракомпактности.
ТЕОРЕМА 6.16 {БОЛЬШАЯ ТЕОРЕМА СТОУНА). Регуляр-
Регулярное пространство паракомпактно тогда и только тогда, когда оно
допускает дробленые.
Поскольку всякое метризуемое пространство регулярно, то, при-
приняв во внимание также и тот факт, что оно допускает дробление
(см. [3], с. 136), непосредственно из «большой» теоремы А. Стоуна
приходим к еще одному важному результату.
'ТЕОРЕМА 6.17 (Л. СТОУН). Всякое метризуемое пространство
паракомпактно.
Вместе с тем паракомпактность пространства еще не влечет за
собой его метризуемость.
Общий критерий метризуемости топологического пространства,
впервые установленный еще в 1923 г. П. С. Александровым и
П. С. Урысоном [4], мы сформулируем в несколько измененной
форме, а именно в терминах паракомпактности. Для этого введем
понятие измельчающейся системы покрытий.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.6 (П. С. АЛЕКСАНДРОВ, П. С. УРЫСОН).
Система покрытий {Sa\ а ? А) пространства X называется измельчаю
щейся, если для каждой точки х0 ? X и каждой ее окрестности Ua
существует индекс а0такой, что звезда точки х„ относительно по-
покрытия Sa0 содержится в U'„.
ТЕОРЕМА 6.18 {П. С. АЛЕКСАНДРОВ, //. С. УРЫСОН).
Хаусдорфово пространство метризуемо тогда и только тогда, когда
оно паракомпактно и обладает измельчающейся системой открытых
покрытий.
6.4. Разбиение единицы, подчиненное данному покрытию. Здесь
будет доказано, что в хаусдорфовых паракомпактных пространствах
и только в них существует так называемое непрерывное раз-
разбиение единицы, подчиненное произвольно заданному откры-
открытому покрытию. Отметим, что именно это обстоятельство послужило
одной из наиболее важных причин, благодаря которым класс пара-
компактных пространств нашел и продолжает находить столь ши-
широкое и разнообразное приложение во многих разделах математики.
Начнем с установления некоторых фактов, играющих весьма суще-
существенную роль в теории нормальных пространств, которые к тому же
помогут нам доказать существование упомянутого разбиения единицы.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.19. Пусть 5 = {(Уа; <х? А} —произвольное
локально конечное открытое покрытие нормального простран-
пространства X, тогда существует локально конечное открытое покрытие
Т ¦¦--¦ {Va; а ? А} пространства X такое, что Va<zUa при всех а? А.
Л Пусть М—множество всех открытых покрытий Г = {№а; а?А\
пространства X с одним и тем же индексным множеством А, обла-
обладающих тем свойством, что при всяком а?А либо Wa — Ua, либо
WaczUa. Ясно, что М^=0, ибо, например, исходное покрытие Л\
очевидно, принадлежит М.
304
Для каждого покрытия Г?М обозначим через Ау—подмноже-
Ау—подмножество из А, состоящее из всех таких индексов а, при которых
Wadila. Совершенно ясно, что каждое покрытие Г*, для которого
Ау- — А, будет искомым, поэтому нам надлежит доказать, что хотя
бы одно такое покрытие Г* ? М действительно существует. Для
этого введем в множестве М структуру частичного упорядочения
следующим образом: пусть V ~{Wa', а?А\ и I" ~{Wa\ а?А),
тогда Г<ГГ', если АусАу, и, кроме того, д.г1я каждого a g Л г
Wa — Wa. Рефлексивность этого отношения очевидна. Докажем его
антисимметричность. Из Г^1" следует, что Ay cz А'т и а?Лг вле-
влечет Wa-—Wa, а нз Г' sre: Г следует, что АусАу и а ? Ау влечет
W«-~Wa> поэтому для всех а?Ау - Ау имеем Wa—-Wa, а для
остальных индексов Wa Wa, ¦ Uа\ итак, I" Г'. Для доказатель-
доказательства транзитивности допустим, что Г^Г', а Г'^Г", тогда
Ау а Ау а Ау, причем а.4.Ау влечет Wa---Wn. и а?Ау влечет
W'c---W"a, откуда непосредственно заключаем, что для каждого
сл?Ау Wa-—W"a и, стало быть, Г<:Г". Нетрудно понять, что для
получения покрытия Г' из М, следующего за данным покрытием
I' :\Wa; a?A}, т. е. такого, что Г^Г', необходимо сохранить
неизменными все Wa при а?Ау, т. с. для этих индексов поло-
положить Wa~--Wa, а для некоторых а?А\А\ взят|> в качестве U"^
открытые подмножества «более мелкие» чем Wa, так, однако, чтобы
\X''a<^Ua и вся совокупность {Wа) продолжала быть покрытием
пространства X, принадлежащим М. Ниже будет доказано, что все
это на самом деле возможно.
Сначала докажем, что всякий максимальный элемент Г* = {Н^;
а?А) из М (если он существует) является искомым покрытием,
т. е. Ау* — А. С целью получения противоречия предположим, что
АуфА, и пусть ao?i4\;4i", т. е. W* =UUn, однако Wn(tUUii.
Рассмотрим замкнутое множество F Х\Н, где Н ¦- (J W*a, оче-
видно, являющееся частью открытого множества Ua,, > поэтому
в силу нормальности пространства X (см. «малую» лемму Урысопа)
существует открытое множество G такое, что FcG, а GcUaa.
Образуем новое семейство I'--={Ga; a б А], где Ga,=--G, а для
всех остальных индексов Ga = W*a, тогда нетрудно понять, что Г
также является открытым покрытием А". В самом деле, поскольку
каждое х?Х, очевидно, принадлежит либо //, либо его дополне-
дополнению F; если xQ.ll, то x?W*a при некотором а — ах ф а„ и поэтому
x€.Gat, если же x?F, то из FczG следует A'^G = Gao. Далее, по-
поскольку Г отличается от Г* лишь одним элементом Gao, причем
G'a, = 6'cl/ai, то Г еМ.
Итак, покрытие I1 следует за Г* и отлично от него, что проти-
противоречит максимальности Г*. Таким образом, если Г* — максималь-
максимальный элемент в М, то Ау непременно совпадает с А и, как уже
указывалось выше, в качестве искомого покрытия Т можно взять
любой максимальный элемент из М.
310
Для завершения доказательства нам остается установить, что М
обладает хотя бы одним максимальным элементом. Согласно извест-
известной лемме Цорна, для этого достаточно доказать, что структура
упорядочения в М индуктивна, т. е. всякое линейно упорядоченное
подмножество из М обладает верхней гранью.
Пусть N ¦¦-¦:{Гр; р"(Е<В} — произвольное линейно упорядоченное
подмножество из М и пусть Г"---¦-{UP?; a?A\\ для каждого ссо?/1
образуем множество Qao -= П ^а„- Докажем, что каждое из Qa,
открыто в X, а именно: либо совпадает с U а<), либо с некоторым
№?"• Ясно, что либо все WP совпадают с U а , тогда и Qa ~-Va ,
либо для некоторых индексов р1 ? В ^«„=7^ UПо, тогда, как нетрудно
убедиться, все множества №?„ с такими индексами р1 совпадают
между собой. В самом деле, пусть Wa[ и И/?'—два таких произ-
произвольных множества. Так как N линейно упорядочено, то без огра-
ограничения общности можно считать ГВ'^ГР», следовательно, А к ,_
Г '—
с: А #г и для а?А .р, имеем Wfy — Wa'. С другой стороны, посколь-
поскольку W«!, ^ ?/аA, то Wa\—Uaa,следовательно, a0 ? Лги. , откуда и заклю-
заключаем, что l^a'0~W^oo- Таким образом, при каждом из рассматри-
рассматриваемых индексов а0 существует непустое и отличное от всего В
подмножество В„ такое, что все Waa при |^JB0 совпадают между
собой, а Wa - Uа яли всех fifBn. Теперь уже ясно, что
о.
при некотором (зависящем от а0) индексе fi0 ^ Во
Итак, при каждом а„ ? А Иа„ открыто в X и, кроме того, либо
?2«„-••= Uа„, либо ila^-W^ciUаа, поэтому для доказательства того,
что семейство P = {Qa; a?A\ есть элемент из М, достаточно уста-
установить, что Г — покрытие X. Для этого рассмотрим произвольную
точку х^Х и докажем, что найдется индекс ах такой, что .v ? ?2a .
Так как покрытие 5 локально конечно, то существует лишь ко-
конечный набор индексов, скажем a,, a.,, .. ., а„ таких, что x^U,t ,
X I
\ <Ci ^. nx. В том случае, когда среди этих индексов есть такой,
скажем a/t что U??. — Ua при всех р1 € В, то ясно, что Qa. = (/„..
и поэтому будем иметь x^Ua. = i2a.. В противном случае для каж-
каждого а,- из этого конечного набора найдется индекс р\-€#,- такой,
ЧТО Wl{dUa..
В силу линейной упорядоченности N конечное множество по-
покрытий rp'(t = l, 2, .... пх) обладает наибольшим элементом,
в Р
который мы обозначим через Гр* — {Wax; a?A). Ясно, что есть
индекс ах g А такой, что х? ^„х' п0 поскольку либо
то х ? Uа , » следовательно, ах должен совпадать
311
с одним из индексов а,- (упомянутого выше конечного набора),
скажем с а,1Р.
Рассмотрим покрытие Гр'°; = {№?'¦¦; а?А), тогда из Гр'° <.Г *
следует, что для каждого а? Лгн. W/P''«—¦¦ Wp* = Qa. Но так как
VTP'»c:t/a. , roct, g/1.,» и, стало быть, №р'"« = U7P* -Qa . Таким
«,-„ 'о 1' /о а,0 «/„ 'о
образом, и в этом случае нашелся индекс av —a,- такой, то
*€^а., ч поэтому семейство Г — Ша; <*?/!} действнтел1>но обра-
/о " '
зует покрытие X.
Докажем, наконец, что построенное покрытие Г, принадлежа-
принадлежащее (как было уже установлено выше) множеству М, служит верх-
верхней границей (мажорантой) для линейно упорядоченного подмно-
подмножества N из М. Пусть а?Лгр, тогда \\/[)хс:11а и, по определению,
iia — W$,, следовательно, Qa----W%c:Ua, а это означает, что a?Af.
Итак, Л,.р € Ai п для каждого a?AvflWQ — Qa, т. е. для любого
элемента P'cN, имеем Г|! <С I', чем и завершается доказательство. ^:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.7. Носителем кпмплекснозначшш функции
f-X--->C заданной на произвольном пространстве X, называется
наименьшее замкнутое множество, обозначаемое через supp/, всюду
вне которого функция / равна нулю; другими словами, носитель
supp/ представляет собой замыкание множества всех таких точек
х ? X, в которых / (х) Ф 0.
Пусть {fi'.X —>• С. '€Л~~такое семейство функций, что носи-
носители supp/,. образуют локально конечное семейство, тогда поскольку
любая точка х„ из X обладает окрестностью Un, пересекающейся
лишь с конечным числом носителей, то в сумме ]?//(*„), несмотря
на произвольную мощность индексного множества /, лишь конеч-
конечное число слагаемых будут отличны от пуля. Это обстоятельство
позволяет образовать сумму этого семейства, т. е. функцию f:X —-»;^,
задаваемую формулой
//РЕДЛОЖЕНИЕ 6.20. Если в предыдущих обозначениях каж-
каждая из функций fj непрерывна на X, а их носители supp f{ оПри-
зцют локально конечное семейство, то сумма /= ]?/,¦ этого семей-
i i= /
ства тоже непрерывна на X.
¦^ Пусть х0 — произвольная точка из X. В силу локальной конеч-
конечности семейства {supp /,•} существуют открытая окрестность UХо
точки хи и конечное подмножество Кхас/ такое, что UХп Г)supp /,¦ — 0
при всех i ^ Кх„- Легко понять, что для каждого
поэтому ограничение f\u па Uх„ непрерывно как сумма конечного
числа непрерывных функции.
312
Далее, так как семейство {U х; х?Х), очевидно, образует от-
открытое покрытие пространства X, а сужения / на всех элемен-
элементах покрытия непрерывны, то глобальное отображение f тоже
непрерывно (см. предложение 3.1G гл. 1). ^
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.8. Пусть S = {A,\ *€/} —произвольное
покрытие пространства X. Говорят, что семейство {f,-; i?/} функ-
функции f['.X • С подчинено покрытию S, если семейство {supp/,-; <€/}
вписано в S.
Как уже упоминалось, в самых различных вопросах математики
и се приложений окапывается необходимым распространять уста-
установленные в некотором пространстве X локальные свойства или
конструкции на все X. Во всех такого рода задачах весьма пло-
плодотворно!! оказалась идея, основанная на представлении функции
на X, тождественно равной единице, в виде суммы семейства
(вообще говоря любой мощности) непрерывных функций с доста-
достаточно «малыми» носителями. Эту процедуру кратко называют не-
непрерывным разбиением единицы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.9. Непрерывным разбиением единицы на
пространстве X называется всякое семейство {/,; г ?/} непрерывных
неотрицательных функций /,:Х - - к*, носители которых образуют
локально конечное семейство и 1= 2f/> т- е Для всякого
хех 2ы*ь=1.
ТЕОРЕМА 6.21 (СУЩЕСТВОВАНИЕ РАЗБИЕНИЯ ЕДИ-
ЕДИНИЦЫ). Пусть X — нормальное пространство, a S--\Ua; <x?\\~
<vo произвольное локально конечное открытое покрытие, тогда на
X существует непрерывное разбиение единицы {/а; а?А}, подчинен-
подчиненное покрытию S.
¦^ Согласно предложению 6.19, существует локально конечное откры-
открытое покрытие T — {Va; а?Л} такое, что при всех а?А Кас:(Уа. Так
как X нормально, то, по «малой» лемме Урысона, для каждого а?А
найдется открытое множество Wa такое, что Vac:Wa, a WacUri.
Далее, согласно «большой» лемме Урысона, для пары дизъюнктных
замкнутых множеств Va и X\Wa существует функция Урысона g,t,
т.е. непрерывная функция ga'-X — -[0, 1] такая, что ga{x) -¦-(),
если x?X\Wa, и ga{x)---l, если x?Va. Так как #х(*)^0, оче-
очевидно, влечет за собой x?Wa, то suppg^c: Wa^Ua, откуда ясно,
что семейство gv, подчинено покрытию 5. Ясно также, что семейство
{supp#a; a?A\, будучи вписанным в S, само тоже локально ко-
конечно, поэтому определена сумма g— ^ga-
aG A
Докажем, что дли всякого х0 ? Xg(x0) > 1. В самом деле, по-
поскольку T=-{Va; a 6 А}— покрытие X, то найдется аи?А такое,
ЧТО Xtl?Vau, И ПОЭТОМУ #ao(.V0)=l. С ДруГОЙ СТОрОПЫ (В СИЛУ ИС-
отрпцателыюсти функций да), g(x0) ^zga<> (xo)= 1. Это обстоятель-
обстоятельство позволяет образовать повое семейство функций {fa; a?A\,
положив /a (x) ~g,x (x)/g(x), которое и будет служить искомым раз-
разбиением единицы. В самом деле, ясно, что все /а неотрицательны
313
и, кроме того, непрерывны, ибо ?(.*) отлично от нудя и непрерывно
в силу предложения 6.20. Далее, при любом л?Х, очевидно, имеем
*«
._..
Наконец, ясно, что supp/a=--supp ?гл, поэтому семейство {/V, а ?.4}
действительно образует непрерывное разбиение единицы, подчинен-
подчиненное покрытию S. ^
Об исключительной удачности выделения класса иаракомиактных
пространств свидетельствует также и нижеследующий замечатель-
замечательный факт.
ТЕОРЕМА G.22. Для любого открытого покрытия S = {Vа; а ? А}
хаусдорфова пространства X существует подчиненное ему непре-
непрерывное разбиение единицы тогда и только тогда, когда X пара-
компиктно.
^ Необходимость. Пусть S — {Uа; а ? Л}-• произвольное от-
открытое покрытие X, a \[a; а?Л}— подчиненное ему непрерывное
разбиение единицы на X, тогда ясно, что семейство 7" = {supp/а;
а?Л} образует локально конечное семейство замкнутых множеств
из X. Так как при всеха? Л supp/„(=?/„, то семейство Т вписано
в покрытие S. Покажем, что семейство Т также является покры-
покрытием X. В самом деле, пусть xQ — произвольная точка из X, тогдл
из равенства 2/а(л'о)=1 следует, что найдется а„ g А такое, что
ас- Л
/а„(\'о)>О и. стало быть, А'о € supp /ао, т.е. Т — покрытие.
Таким образом, в любое открытое покрытие хаусдорфова про-
пространства X удалось вписать локально конечное замкнутое покры-
покрытие Т, поэтому в силу теоремы 6.8 заключаем, что X параком-
иактно.
Достаточность. Пусть Х--хаусдорфово и паракомпактпо,
S = {Ua\ ос?Л}—его произвольное открытое покрытие, а У
= {Vp\ P € В} — вписанное в S локально конечное открытое покры-
покрытие. Относя каждому $?В такой индекс а?Л, чтобы V^aUa, мы,
очевидно, получаем некоторое отображение h:В—<¦ А. Далее, по-
поскольку пространство X в силу предложения 6.15 нормально, то
согласно предложению 6.21 на X существует разбиение единицы
{Яр! Р€^}> подчиненное покрытию Т. Зафиксируем произвольный
индекс ао€Л и рассмотрим семейство замкнутых в X подмножеств
{suppgp; p1 €/'"'(ао)}> которое, будучи подсемейством локально ко-
конечного семейства {suppgfj; P?J5}, само локально конечно. Тогда
в силу предложения 6.20 сумма /а„== 2 ?ii определена и пред-
р с л - • ш„)
ставляет собой непрерывную на X функцию.
Докажем, что построенное таким образом семейство неотрица-
неотрицательных функций {/а; а?Л} является искомым, т.е. служит не-
непрерывным разбиением единицы, подчиненным исходному покры-
покрытию S. Для этого положим Fa0 — U suppffp, тогда ясно, что
F,lit замкнуто как обьедипенпс локально конечного семейства зам-
замкнутых множеств и, кроме того, из того, что при P€'l~'(ao) supPSfo^
aVpCiUа„, следует, что FaoczU„o. С другой стороны, ясно, что
для всех х? X\FaJrXo(x)------ У gp(.v) — 0, следовательно, supp /,г„е
с/•'«„, поэтому для установления локальной конечности семейства
{suppfa; a?/!}, очевидно, достаточно доказать локальную конеч-
конечность семейства {Fa; а? А). Так как покрытие Т локально конечно,
то для каждого ха ? X существует окрестность Wй, пересекающаяся
лишь с конечным числом его элементов Vp,, ..., Кр . Покажем,
что пересечение Ч70П/;а может быть непустым лишь тогда, если-х
совпадает с некоторым ни h(p1,) (i —- 1, 2, ..., /г), откуда и будет
следовать локальная конечность семейства {Fa; а?А]. В самом
деле, допустим вопреки нашему утверждению, что ao=?/i(p\-)
(/-=1, 2, ..., /г), и тем не менее нашлась точка х ? UP,, П Fan\ тогда
из ^'"а„-; U suppfin ясно, что х ? suppg$ сV,T, где р" ?/i~'(a(l) и,
Р/
„
стало быть, р отлично от всех р,- (;' — ], 2, . . ., »). Итак, л ? 11/0 П ^.г ,
что невозможно, ибо W'„ пересекается лишь с Vp,, Vp,, . . .
..., Vfi . Полученное противоречие доказывает локальную конеч-
конечность семейства \Fa; a?A\, а следовательно, и семейства {supp/a;
а?А).
Наконец, при всяком х?Х имеем
1 /«(*)=¦- 2 ( X е»(х
ar/l ct<. /1 \pf. Л-' (a)
так как семейство {^; \J>^B\ — разбиение единицы на X.
Таким образом, построенное семейство {/a; a g A\ действительно
представляет <?б"бой непрерывное разбиение единицы, подчиненное
исходному покрытию S. ^
Задачи
1. Докажрпч.', что если хаусдорфово ирострлистно паракомпактно, то цилиндр
над ним нормален.
2. Докажите, что R" сильно паракомпактеп.
3. Пусть X — множество псех порядковых чисел, меньших первого несчет-
несчетного порядкового числа w,. Докажите, что пространство X, снабженное поряд-
порядковой топологией, не паракомпактпо.
4. Докажите, что замкнутое подпространство слабо парако.мпактпого про-
CI ря истна слабо паракомпактно.
5. Докажите, что если каждое открытое подпространство слабо параком-
пактпого прострапства слабо паракомпактно, ю исходное пространство паслед-
с [ценно слабо паракомпактпо.
6. Докажите, что если X паракомпакпю, а R — такое замкнутое отношение
^квипаленпюсти, что все классы эквивалентности no R бикомпактны, то фактор-
пространство X/R паракомпакпю.
7. Пусть 6' •--: (U ; ар Л} - - открытое покрытие Л' п пусть каждое (J (J Vi ¦—
аР(:«а'5
сб'ьедипение конечного числа открытых в X множеств Vi. Докажите, что если
.S либо аве.чдно конечно, либо локально конечно, либо точечно конечно, то по-
покрытие T~-^V'i; РС^'а' Я€Л}> получаемое из 6' путем «конечного дробления»
315
сю элементов, будет соответственно звездно конечным, локально конечном пли
точечно конечным.
Н. Пусть /:Л'~—V— надъективпое совершенное отображение. Докажите, чш
соли Y либо сильно паракомпактно, либо иаракомпактно, либо слабо пар.чкоч-
пакпю. то таким же будет и X.
!>. .''.окажите, что каждое замкнутое подпространство сильно паракомпак тногп
iipocip.'nicTu.'i сильно параночнаюно.
10. Пусть R — такое замкнутое отношение н пространстве X, что каждый
класс эквивалентности является бикомпактным подмножеством п.ч X. Докажите,
что если фактор-пространство X/R либо сильно паракомпактио, либо параким.
пактпо, либо слабо иаракомпактно, то таким же является исходное простран-
пространство Л'.
11. Докажите, что если Л' паракомпактпо, то любое его поди ростра пето
типа Га тоже паракомпактпо.
12. Докажите, что если регулярное пространство X обладает локально ко-
конечным паракомпактным покрытием, то оно само паракомпактно.
ДОБАВЛЕНИЕ
Вспомогательные сведения из теории множеств *)
§ 1. МНОЖЕСТВА И ПРОСТЕЙШИЕ ОПЕРАЦИИ
НАД МНОЖЕСТВАМИ
1.1. Множества, подмножества, надмножества. Почти все встречающиеся
и математике объекты и построения основаны на понятии множества, являющемся
первоначальным и интуитивно ясным. Л именно: множество следует представлять
себе как собрание и совокупность некоторых объектов, называемых его элемен-
элементами. При этом два множества считаются одинаковыми или совпадающими ioi\t.,i
и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Множества
принято обозначать заглавными латинскими, греческими, а иногда и готическими
буквами, а их элементы — строчными буквами латинского и греческого алфавитов.
Запись л?/1 означает, что х является элементом множества Л. Говорят, что
множество А является подмножеством (или частью) множества В или, что то же
самое, В является надмножеством множества А и пишут АсВ или В^А, если
каждый элемент множества А служит также элементом множества В. Нс.ти мно-
множество А состоит из конечного числа элементов л,, л\,, ..., л„, то иногда упо-
употребляют запись /1 = {х,, х.г, ..., х„}, в частности символ {.*<,} будет обозпач.н ь
одноэлементное множество, состоящее лишь из элемента ха.
Для формализации и единообразия изложения и формул и теории множеств
рассматривают также и так называемое пустое множество, обозначаемое симво-
символом 0, которое не содержит ни одного элемента.
Далее, в связи с обнаружением известных парадоксов классической теории
множеств, связанных с рассмотрением, например, «множества всех множеств»,
возникла необходимость строить теорию множеств па аксиоматических началах.
В дальнейшем мы будем придерживаться получившей широкое распространение
аксиоматической теории множеств Геделя — Бернапса. В этой аксиоматике про-
проводится строгое различие между классом и множеством, а именно: множество —
это такой класс, который может служить элементом некоторого другого класса.
Таким образом, мы будем считать, что каждое множество является классом,
тогда как существуют классы, называемые собственными классами, которые не
могут служить элементами какого-либо другого класса и поэтому не являются
множествами. Так, например, класс всех множеств, класс всех топологических
пространств, класс всех групп, очевидно, не являются элементами каких-либо
других классов и поэтому служат примерами собственных классов (примерами
классов, не являющихся множествами), между тем как множество Л можно рас-
рассматривать как элемент другого класса, например как элемент множества 2-V.
Опишем широко распространенную символику, которой мы будем очень часто
пользоваться. Подмножество А рассматриваемого множества Л', состоящее н<
F'cex -элементов х?Х, обладающих свойствами а, р\ ..., обозначается через
*) Подробное изложение можно найти например, в [7], [67].
316
{x?X\ a, p, ...>. Например, пусть ,Y--R2, /4—единичным круг в KJ, л /< -
отрезок | — 1, -i 1| оси абсцисс. Тогда и указанных (.бп.чиачеимях /1 {(v i/)f-'<-
*- ¦ у- *? I}, й = {(л-, (/) G K-; | -v К I, ,/ " 0}.
1.2. Объединение и пересечение множеств. Напомним две основные операции
leopiin множеств, а именно: операции объединения и пересечении множеств.
Пусть /1, В— дна произвольных множества. (ЮъеОипенном этих множеств начы-
ва< гея множество А[)В- {л; л?Л или л?й}, т. е. множество, состоящее щ
всех тех элементов .v, которые принадлежат хотя бы одному ич множеств А, И.
Непосредственно ил определения следует, что операция объединения ком-
коммутативна, к е. А[)В- -В{\А. и ассоциативна, т. е. для любых Л, В, С верно
соотношение {А[)В)[_)(. -- /1 (J(В(jС), поэтому объединение этих множеств обозна-
обозначается A(}Fi[)C.
Пересечением множеств А и В начинается множество А()В - {х; х?Л, х?1Ц,
состоящее из всех элементов х, принадлежащих как множеству А, гак и мпи-
жеству В.
Очевидно, что операция пересечения множеств тоже коммутативна и ассо-
ассоциативна.
В юм случае, когда пересечение множеств А и В пусто, т. е. А(]В — 0,
viii множества называются непересекающимися или дизъюнктными.
Операции объединения и пересечения множеств связаны между собой так
называемым :шконом дистрибутивности, г. е. для любых множеств А, В, С
справедливы соотношения
А П [В U С) - (А П В) U (Л П С), Ли (В П С) = (А И В) {] (А у С).
Совершенно аналогично определяется объединение и пересечение любого ко-
нечииео числа множеств, причем и в этом случае как объединение, так и пере-
пересечение множеств не зависит ни от порядка, ни от расстановки скобок.
1.3. Разность, симметрическая разность, дополнение множеств. Напомним
еще несколько операций над множествами.
F'a.uiocmiiKi множеств А и В называется множество А\В ¦• {.г, х?А, *?/?},
т. е. множество, состоящее из всех олемептои Л, не принадлежащих В, причем
здесь не обязательно, чтобы /idЛ.
Важным частым случаем операции вычитания является операция перехода
к дополнению, а именно: пусть Л — подмножество множества А', тогда разность
Л'Ч.И, обозначаемая символом (JA, называется дополнением множества А, точнее
дополнением А до X.
В тех случаях, когда BcAczX, следует различать дополнение В до А, т. е.
разность .-Г В от дополнения В до Л', поэтому первое из лих называется отно-
относительным дополнением и обозначается СдВ, а второе—абсолютным дополнением.
Симметрической разностью множеств Л и /( называется множество ЛДЙ-
¦ ¦¦ (А\В){\ (В\А). Ясно, что эта операция, коммутативна (А,.\В ¦ В(\А), что и
отражено в ее названии.
1.4. Декартово произведение множеств. Отношении. Одной из наиболее плодо-
плодотворных конструкций, используемых почти но всех разделах математики, является
операция декартового произведения множеств, определение которой существенно
опирается на понятие упорядоченной пары элементов. Хотя понятие упорядоченной
пары и является интуитивно ясным, тем не менее мы сочли целесообразным
привести ее строгое определение, опирающееся лишь па понятие множества.
Пусть А', К — два произвольных, не обязательно различных множества.
Неупорядоченной парой, состоящей из элемента л'„?Л' и элемента </о?К, назы-
называется двухэлементное множество {л-0, уп), а упорядоченной парой, обозначаемой
через (vn, yn), называется двухэлементное множество {*,,, {х0, уа)), одним из эле-
элементов которого служит элемент х0 из Л, а другим элементом — неупорядоченная
пара {.V,,, (/„}; соответственно упорядоченной парой (_i/0, ,v0) называется двухэле-
двухэлементное множество {//о, {л'0> </ц}}. одним из элементов которого служит уже
.'/иО'- ;| Другим — та же неупорядоченная пара {л-(Ь ;/„}.
Таким образом, упорядоченная пара (*[, у,) совпадает с упорядоченной
парой (.v.j, у.,) в том и только и том случае, когда х, : х., и У\—у:\ в частности,
(х, у) ¦((/, л") равносильно х~у и поэтому невозможно, если Х[\У = 0. Образно
говоря, упорядоченная пара зависит не только от составляют их ее элементов,
по и or порядка их расположения в паре.
317
ОПРЕДЕЛЕНА! Е. 1.1. Пусть X, Y — произвольные множества; декартовым
(или прямым) произведением множеств А' и К называется множество всех упоря-
упорядоченных пар (.v, у), где х?Х, а y?Y, т. е. множество {(х, у); л?Х, //?К),
обозначаемое через ХхУ.
Замечание 1.1. Декартово (или прямое) произведение конечного числа
множеств Хх, Х2, • •., Хп определяется аналогично, обозначается Л', \Л2Х ... >.Л„
и представляет собой множество псе упорядоченных наборов (х,, х.2, ..., д„),
состоящих из п элементен, причем Ai?X,, Х2?Х2, •••• Л'н€Х„, т. е. множество
{(*i. хг> •••> •*¦«); *i?X,- (('=1, 2, ..., н)}- В том частном случае, когда все Л,-
суть различные экземпляры одного и того же множества X, ,Y, ХА'.2Х . .. X.Yn
обозначается через X" и называется п-й декартовой степенью множества X.
В самых разнообразных вопросах математики приходится сталкиваться
с различного характера отношениями между элементами двух множеств.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Бинарным отношением (короче — отношением) множе-
множества X с множеством Y называется подмножество R декартового произведения
ХхК. Другими словами, всякое отношение представляет собой множество спе-
специального вида, а именно такое множество, все элементы которого суть упоря-
упорядоченные пары.
Подмножество всех тех элементов дг?Х, для которых существует элемент
y?Y такой, что пара (х, y)?R называется областью определения отношения R
и обозначается иногда через D(R), а подмножество всех таких элементов y?Y,
для которых существует элемент *?Х такой, что пара называется областью
вначений отношения R и обозначается иногда через ii (R).
Во всем дальнейшем мы будем говорить, что элемент х?Х находится в от-
отношении R с элементом y?Y, и записывать xRy тогда и только тогда, когда
пара (х, y)?R\ именно в этом смысле мы часто будем говорить, что подмноже-
подмножество RdXXY задает отношение R между элементами х?Х и y?Y.
Важным типом отношений являются отношения вида /?сХхХ, области
определения которых совпадают с X, а области значения содержатся в X; в этом
случае мы часто будем говорить, что отношение R задано в множестве X.
Пели R — некоторое бинарное отношение в множестве X, то обратным
к нему отношением R~l в X называется бинарное отношение, задаваемое под-
подмножеством /?-' {(а-,, л-2)?ХХХ; (а-2, *i)?#}.
Пусть теперь R и S — два бинарных отношения в одном и том же множе-
множестве X, тогда композицией R о S этих отношении называется отношение в X,
задаваемое подмножеством RoS- {(x, z)?XxX; (x, y)?S, (у, ?)?R для неко-
некоторого у?Х},т. с. подмножеством из ХхХ, состоящим из всех таких пар (х, 2),
для которых найдется элемент у?Х такой, что одновременно (x,y)?S, (у, z)?R-
Нетрудно проверить, что композиция отношений ассоциативна, но не всегда
коммутативна.
Бинарное отношение R называется рефлексивным, если для каждого
х?D (R) f)?l (R) пара (x,x)?R. В частности, если вся диагональ содержится
в R, то отношение R рефлексивно и, кроме того, D (R)----ii (R) X. В дальней-
дальнейшем мы будем предполагать, что рефлексивные отношения R целиком содержат
в себе диагональ Д.
Отношение R называется симметричным, если R~l--R, т. е. если xiRx1
влечет x2Rxlt и антисимметричным, если Rf]R~*d/\, т. е. x1Rx2 и x.,Rxl
влечет хх --х2. Наконец, отношение У? называется транзитивным, если RoRciR,
т. е. XiRx2 и x2Rx3 влечет R
§ 2. ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ
Наряду с понятием множества основополагающим для всей математики по-
понятием является понятие функции или отображения, которое хотя тоже интуи-
интуитивно ясно и должно быть хорошо знакомо читателю, тем не менее представ-
представляется уместным дать не опирающееся на интуицию определение этого фунда-
фундаментального понятия, основанное лишь на понятии множества.
2.1. Функциональные отношения; отображение множеств. Пусть X, Y — про-
произвольные, не обязательно различные множества и пусть 1' — некоторое отношение
между элементами этих множеств, т. е. некоторое подмножество декартового
произведения ХК
318
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Отношение VczX У. Y начинается функциони.Н'Ны.ч
отношением или отображением множества X в множество У, если для каждого
л? А сутестнует, и притом единственный, элемент y?Y такой, что пара (х, ;/)? 1'.
Другими слонами, отношение Г является отображением X в К, если А) (Г) X
и и.ч (.v, //|)?Г, (х, (/;>)? Г следует, что #| у2. Таким образом, каждое (функ-
(функциональное отношение ГсгА'хК порождает соответствие / fy, сопоставляющее,
каждому х?Х определенный (единственный) элемент y?Y, а именно гот, при
котором пара (.v, у) ? Г.
Обычно оказывается значительно удобнее отождествлять функциональное
отношение PczXW с порождаемым им соответствием / fy и называй! отобра-
отображением X и Y (или функцией па А' со значениями в К) само что соответствие /';
при том Г принято называть ••рафиком отображения /.
Во всем дальнейшем запись /: X >Y или Х- »Y будет обозначать, что
/— пекшорое отображение множества А' и множество У; при этом, разумеется,
два оюбражепия /|, f.y. X — > Y считаются равными в том и только в том случае,
если совпадают их графики,'!', с. если для каждого л?Л' выполняется равенство
M-v) Ы*).
Рассмотрим произвольное отображение /: Л - - Y. Пусть лго^Л', а у0— тог
единственный элемент из У, при котором (л"„, (/о)?Гл 'тогда у0 обозначается
через / (дг,,) и называется обра.юм хп при отображении / или f-оОрамм элемента хп
(или значением функции / в хи). Пусть теперь В—некоторое подмножество из Л',
тогда множество /(/1) {/(*)?)'; х?А} назыпается обра.юм множества А при
отображении / или, короче, /-образом А. Далее, если Y — некоторое подмноже-
подмножество из Y, то множество /-' (Н) {.r?A'; f (х)?В) называется прообразом В при
отображении / или /-прообразом В; и частности, если В {у„} одноэлементно,
то вместо /~ ' ({//о}) шипу г /~' (у0) и называют f-проображм элемента (/0.
Ясно, что /@)-:-я, /~' @) 0. Легко проверить, кроме того, что для лю-
любых АаХ и BdY
/(/-' (В))СВ, Лс/-1 (/(Л)), XX/-1 (В) /-¦ (КЧД), т. е. С/ («) = /-' (СВ).
Тривиальным примером отображения /': Х- *¦ У служит так называемое по-
постоянное отображение, при котором все элементы х?Х имеют один и тот же
образ t/u?Y. Другим тривиальным примером служит отображение /: X—-> А',
при котором образом любого элемента х?Х служит этот же элемент; такое ото-
отображение, принято называть тождественным или единичным отображением и
обозначать \х или id А. Ясно также, что любая однозначная вещественная
(комплексная) функция одной или нескольких переменных представляет собой
пример отображения области определения этих функций в Ik1 (в С).
В дальнейшем мы иногда будем сталкиваться с так называемым отображением
вложения 1 подмножества А из А в множество А', при котором образом любого
.элемента х из А служиi тот же самый х, однако рассматриваемый уже как эле-
элемент множества А; для такого отображения принята особая запись — i: AdX.
2.2. Инъективные, надъективные и биективные отображения. Во многих
вопросах оказывается целесообразным особо выделять нижеследующие три типа
отображений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Отображение /: А - <¦ У называется ншУъсктинным или
(юръективным отображением, если /-образом А служат все У, или, что то же
самое, если /-прообраз каждого элемента у?У не пуст; отображение /: А—>У
называется инъективным, если /-образы различных элементов различны, или, что
то же самое, если /-прообраз каждого элемента у?У либо пуст, либо состоит
.¦[ишь из одного элемента. Наконец, если отображение /: А — >¦ У является как
ип ьектинным, так и падьективным, то оно называется биективным.
Пример 2.1. Пусть А [--л/2, л/2], У к1, тогда отображение
sin:| -л/2, л,2]—>R1, задаваемое элементарной функцией синус, будет ппъек-
тикпым, но не надъективпым. Пели же рассматривать sin как отображение
| л,2, л.2]—>|--1, ¦; 1|, то оно будет и инъективным и надъектииным, т. е.
биективным (взаимно-однозначным отображением на). Если же рассматривать sin
как шображение А -.л\', когда А |0, л| или X ¦ R1, то эти отображения,
очевидно, булл г не шп.екгивнымп, ибо две (а во втором случае даже бесконечное
число) различные точки будут иметь один и тог же образ.
319
В дальнейшем мы часто будом пользоваться определяемым ниже понятном
композиции двух отображений. Пусть f — отображение множества X в множе-
множество Y, я g— отображение Y в множество Z. Легко видеть, что эгн два отобра-
отображения естественным образом порождают отображение h множества X в Z, опре-
определенное по формуле h (x) — g \f (х)\; при этом отображение /i, представляющее
собой результат последовательного применения данных отображений, называется
композицией или суперпозицией отображений / и g пишется h /? % Аналогич-
Аналогичным образом определяется композиция нескольких отображении как результат
их последовательного применения. Легко усмотреть, что при отображении h для
любых AczX и CcZ будем иметь
и /!-](Q = /-1[g-1(Qj.
Пусть /—некоторое отображение X в К, для которого существует отобра-
отображение g: Y—уХ такое, что g°f -1\- Тогда легко видеть, что / должно быть
инъективным, а отображение g — надьективным. Если теперь / — некоторое отобра-
отображение X в Y, для которого существует отображение h: Y —>¦ X такое, что
/o/j= \у, тогда отображение /будет надъективным, a h — инъективным. Пели
же для отображения /: X —> Y существуют как отображение ?, так и отображе-
отображение/!: Y —* X такие,что j oh-- \Ywgol~ 'л1.™ отображение ! будет биективным.
Кроме того, легко убедиться, что эти отображения g и h (если они существуют)
совпадают. Таким образом, при сделанных выше предположениях существуем
единственное отображение /"' g -h, называемое обратным отображением но
отношению к /, которое обладает свойствами f~l"f~^x< /°/~1 'к-
Укажем теперь некоторые легко проверяемые свойства, относящиеся к обра-
образам и прообразам подмножеств, имеющие место при произвольных отображениях:
1°)
2") n)f(
3°) /-1 (U^,-)-U/
4°) /-1М/
5°) 1(Л
6°) /-»
Полезно также иметь в виду, что
f\f-4B)]--=Bnf(X).
В заключение дадим определение еще одного, часто используемого в даль-
дальнейшем понятия. Пусть /—некоторое отображение множества А в множество Y,
и А — произвольное подмножество из X. Ограничением отображения / на под-
подмножество Л называется отображение g множества Л в У, которое задастся формулой
в (х) - - j (х) для всех х?А. Эту часть g отображения / обозначают символом /| ;.
При этом исходное отображение / принято называть распространением или про-
продолжением отображении ? = /|л на множество X.
2.3. Объединение и пересечение любого семейства множеств. Формулы
де Моргана. Пусть А — некоторое множество, не обязательно конечное, и п\сп,
каждому элементу а(;Л, называемому индексом, сопоставлено некоторое множе-
множество Хп.\ тогда получаемую при этом совокупность множеств принято обозначать
через {А'а; <х?/1} и называть семейством множеств с индексным множеством Л,
я каждое из множеств Ха—.элементом этого семейства.
В том частном случае, когда каждое из множеств Ха является подмноже-
подмножеством одного и того же множества Z, т. е. все Ха a Z, то семейство {А'а; а?Л|
можно рассматривать как отображение |: А-¦¦ *'?/¦, задаваемое по формуле
1(а.) Ха-
ОПРИДР.ЛНИИЕ 2.3. Пусть {Ха\ ос? А) - произвольное семейство множеп;;,
тогда множество {х; х?Ха при некотором <х?Л} называется объединением эти, и
семейства и обозначается 0 Ха, а множество {х, л'?.\'а, \/а?Л} называсни
а е А
пересечением этого семейства и обозначается П А'а-
«(. А
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4. Пусть S {Ма\ а?Л} —некоторое семейство подмно-
подмножеств множества X, тогда семейство S называется покрытием множества Л,
если (J Ма- X (т. е. если для каждого хи?Х существует индекс ао?Л
а I. А
такой, что M
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.5. Покрытие S — {Ma\ &?A} множества X называется ра<-
биением множества X, если все его элементы не пусты и попарно не пересекаются
(дизъюнктны), т. о. все Хаф8 и Ха,ПХа. --0 при а, Ф о2.
Пусть .S - {.Иа: а?4} и Т — {Л'р; f>?B} — два семейства подмножеств (п часг-
ности. дна покрытия) одного и того же множества X; говорят, что семейство Т
вписано в семейство 5 (или Т является измельчением S), если каждый элемент
семейства Т является подмножеством некоторого элемента семейства S, т. е. для
каждого элемента ро(;Я существует а„?Л такой, что /V^c/Woc,,-
Рассмотрим произвольное семейство .S - {Ма; <х?А} подмножеств из А' и
пусть /: Л'—>Y— произвольное отображение, тогда семейство {f (Ма.); *б/'}
подмножеств из Y называется I-образом, семейства S; аналогично, если 7" ¦:
¦ {Л'р; PG^} — произвольное семейство подмножеств из К, то семейство
{/"'(Л'р); р1^;/?} подмножеств из X называется f-прообразом семейства Т.
Пусть опять /: X—<¦ К —произвольное отображение, S -{Ма\ а?Л}—неко-
а?Л}—некоторое семейство подмножеств из А', я Г -"{Л'р; $?В} — некоторое семейство под-
подмножеств из Y, тогда справедливы легко проверяемые формулы
j-Ч U Л'рV- U /-ЧЛ'и), 1~Ч П nA--~ П /-
VfttB /PfiB Vpetf /PfiB
p P
f( U Ma~)-- U /(/Иа), f( П Ма^С П /(/И,).
Ч а i: Д У а i /1 Час-Д ' аеЛ
В заключение напомним часто используемые и легко проверяемые формулы
де Моргана, выражающие двойственность операции объединения и пересечения
множеств, а именно:
С U /Иа--.-. П СМа, С П ,Ма== U СМа,
ас А ае А ас A at A
где С — операция перехода к дополнению.
§ 3. ФАКТОР-МНОЖЕСТВА И ФАКТОР-ОТОБРАЖЕНИЯ
Одной из наиболее важных и плодотворных теоретико-множественных кон-
конструкций, с которой приходится сталкиваться в самых различных разделах
математики, является операция отождествления, или факторизация, к краткому
описанию которой мы приступаем.
3.1. Отношение эквивалентности; фактор-множества.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Заданное в множестве X бинарное отношение R на.чы-
наегся отношением жашчглентности в X, если оно рефлексивно (т. с. для каж-
каждого а?А' х ее=лг (mod R), симметрично (x — y(mo<\R) влечет ;/ -: х (mod R)) и
транзитиино (х -• - у (mod R) и у- -z(modR) влекут за собой х ^¦¦. г (mod R)),
Пусть Л — произвольное множество, a R — некоторое отношение эквивалент-
эквивалентности в X. Множество
М" {.'/€*: J/=** (mod Я)},
состоящее из всех элементов у, эквивалентных элементу х, называется клас-
классом эквивалентности элемента х по отношению эквивалентности R.
Легко проверить, что в силу рефлексивности, симметричности и транзитив-
транзитивности R каждый класс эквивалентности [д:| не пуст, |Х|] - |x2l равносильно
хл ¦- ¦¦- .Yo (mod R), два класса эквивалентности либо совпадают, либо не имеют
общих элементов и что объединение всех этих классов дает все X. Таким образом
ясно, что совокупность всех классов эквивалентности образует некоторое разбие-
разбиение (i/j множества Л', которое будем называть разбиением, порожденным отно-
отношением эквивалентности R.
('ПРЕДЕЛЕПИЕ 3.2. Пусть А' — произвольное множество, a R — некоторое
отношение эквивалентности в X. Множество, элементами которого служат все
классы эквивалентности по R, называется фактор-множеством множества Л по
отношению эквивалентности R и обозначается X//?.
Примеры. .4.1. Рассмотрим в множестве 2 "с<-'х целых чисел отношение
эквивалентности У?р, при котором два целых числа т, п эквивалентны по /<?;>,
если они сравнимы по модулю />?Z. т- °- если т — п делится на р без остатка.
Легко убедиться, что при этом классами эквивалентности служат совокупности
чисел, которые при делении на р дают один и тог же остаток, поэтому ноши-
кающее при этом фактор-множестпо ~HL:Rp, обычно обозначаемое через 2«. ео-
сюит ровно из р элементов (классов).
3.2. Пусть X— множество всех прямых / па плоскости и пусть /, ---. I., (mod Ra)
означает, что /, параллельно /2, а /, - L, (mod Ць) означает, что /, перпенди-
перпендикулярно /2, тогда легко понять, что /?„—отношение эквивалентности на А, тогда
как Rb не является отношением эквивалентности, ибо при Rb нарушается как
рефлексивность, пак и транзитивность. Ясно также, что классом | /,,j чкннвалент-
ностм прямой Iq?X относительно Ra будет служить совокупность всех прямых
I \\ /„; что же касается фактор-множеста X.Rl:, то ею, оченидпо, можно оюж-
дссшить с множеством нсех (неориентированных) прямых, проходящих чере (фик-
(фиксированную точку плоскости.
3.2. Фактор-отображения. Пуси> Л' — произвольное мпожеспю, R — некоторое
отношение эквивалентности » А', я А,'У?—фактор-множество А по R.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.3. Отображение р:\ >X;R, которое каждому .v?.Yo>-
поспавляет содержащий его класс эквивалентности \x\?X:R, насыпается фикптр-
отображением или естественной проекцией X на X/R.
Очевидно, что фактор-отображение всегда надъективпо.
Введем теперь понятие насыщения множества. Пусть /1 — некоторое подмно-
подмножество из А', в W-¦ некоторое отношение эквивалентности в А. 11одмножесгио
A U |дг| множества А', являющееся объединением классов эквивалентности
.16 Л
по R всех точек из А, называется насыщением А но R. Легко понять, что для
любого подмножества А из X будем иметь А .-._р-' \р (Л)|, где р:Х - *XIR —
соответствующее фактор-отображение.
ОПРЕЦИЛЕПИЕ 3.4. Подмножество А из X называется насыщенным но R,
если Л —А.
§ 4. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ЛЕММА ЦОРНА
В этом параграфе приводится краткое изложение основных понятий теории
частично упорядоченных множеств.
4.1. Частично упорядоченные множества и их конфинальные части.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Заданное и множестве X бинарное отношение называ-
называется отношением частичного предупорядоченин, если оно рефлексивно и трап ш-
тивно; сели же R, кроме того, и антисимметрично, то оно называется отноше-
отношением частичного упорядочении. При этом множество А' вместе с задан ной и нем
структурой R частичного упорядочения (предупорядочепия) называется частично
упорядоченным (предупорядоченным) .множеством.
ЗАМЕЧАНИЕ 4.1. Нетрудно проверить, что если R— отношение частичного
упорядочения (отношение эквивалентности), то R~] также является отношением
частичного упорядочения (отношением эквивалентности).
В частично упорядоченном множестве (A', R) элементы Х\, хг пазыпаются
сравнимыми, если пара (я,, x.2)^R{]R~l, т. е. либо xvRx.z, либо лг2/?,гд. При этом
ясно, что, вообще говоря, не любые два элемента сравнимы, чем и объясняется
термин «частичное упорядочение».
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2. Частично упорядоченное множество (A', R) называется
линейно упорядоченным (или совершенно упорядоченным, или цепью), если
R\j R-i —-. А'хХ, т. е. если любые два элемента сравнимы.
Пусть теперь Л —некоторое подмножество из частично упорядоченного мно-
множества (A', R), a Rj ¦¦¦•¦ R f\(A x /1), тогда R,\, будучи подмножеством прямою
произведения АхА, задает в множестве А бинарное отношение RА, которое, как
нетрудно проверить, является отношением частичного упорядочения в А инду-
индуцированным отношением R. Во всем дальнейшем множество А вместе с этим
индуцированным из А' отношением Rд мы будем называть частично упорядочен-
упорядоченным подмножеством частично упорядоченного множества (A, R).
В частично упорядоченных множествах принято вместо записи xRi/ писан.
x<Ly или (/;:-а- и говорить, что i/ следует за А', или мажорирует .v. а элемент*
предшествует, или мнпорирует у. В соответствии с этим принято вместо (A, R)
писать (X, <) и говорить, что множество X упорядочено отношением 'С- Ясно,
что свойства частичного упорядочения в этих обозначениях принимают вид ,v - .. х
(рефлексивность): х^у и у <L х влечет х у (антисимметричность); л «? у и у-.^ z
нлечет л<;г (транзитивность), где х, у, z — произвольные элементы из Л.
322
Далее, если х^у, но i г 9, то принято говорит!-, что х строго предшест-
предшествует у или у строго следуег за х, записывать л- < у или // > .v.
Приведем несколько типичных примером частично упорядоченных множеств.
Примеры. 4.1. Множество вещественных чисел с естественным отноше-
отношением порядка, очевидно, образует линейно упорядоченное множество.
4.2. В множестве Л* натуральных чисел, больших единицы, кроме обычного
порядка можно ввести отношение частичного упорядочения, приняь т*е^п тогда
и только тогда, когда п делится на т.
4.3. Совокупное и, Л' всех вещественных функций f, заданных на отрезке
\п, ft], образует частично упорядоченное множество, если считать, что /, < /,
в том и только в том случае, если v.v?|<;, b\ /\ (х) </2 (*)• Ясно, что X не яв-
является линейно упорядоченным множеством.
4.4. Множество А всех непустых подмножеств А фиксированного множества X
превратите» п частично упорядоченное множество, если положить Ау sgl Л2, если
А,сЛ.г.
4.5. Пусть Е (X, Y) — совокупность всевозможных отображений ]:А—<¦ Y,
где А пробегает множество Л' всех подмножеств из X. В ? можно ввести струк-
структуру частичного упорядочения, если для /,:/1| — >¦ У и f.,: /L—> )' положить
/i *S/г в том и только в том случае, если Л,с:/Ь и [-г\л - /,.
4.6. Пусть (X, «?:) и (К, s?) — два частично упорядоченных множества, а
Z ¦- А'Х'К — их прямое декартово произведение. Тогда, положив г, - - (.v,, y{)<: гг =*
•-- (Л'2, у-2) тогда и только тогда, когда .1|<ь, <Л-С/у2, очевидно, получим и мно-
множестве Z струю уру частичного упорядочения. Множество Z вместе с этой струк-
структурой называется прямым произведением частично упорядоченных множеств К и Y.
Наконец, укажем пример частично предупорядочепиого, но не частично упо-
упорядоченного множества. Для этого рассмотрим множество А' всех покрытий
6'=-.{/1/, (?./} евклидово» плоскости Ка и будем считать, что tS'<;S", если по-
покрытие S" вписано в покрытие 5'. Очевидно, что такое отношением рефлексивно
и тран.читнвпо, тогда как оно не является антисимметричным. В самом деле,
пусть S'—покрытие, образованное открытыми кругами с центром во всех точках
К2 и радиусами, равными 1/2", a S" —такое же покрытие, но с радиусами 1/;{",
где н =¦-¦!, 2, 3, ... Ясно, что S' < S" и S"«S.S', т.е. они вписаны друг и друга,
хотя, конечно, не совпадают.
Условимся говорить, что элемент х частично упорядоченного мигжества (X, <)
является мажорантой (соответственно минорантой) подмножества ЛсгА', если
уа?А а^х (соответственно л-<а); подмножество А называется ограниченным
(верху (снизу), если оно обладает хотя бы одной мажорантой (минорантой), если
же оно обладает' и мажорантой и минорантой, то множество А называется огра-
ограниченным. Наименьшим (наибольшим) элементом в множестве АаХ называется
такой элемент а?А, который служит минорантой (мажорантой) для Л; наи-
наименьший (наибольший) элемент множества А обозначают через min A (max A).
Далее, элемент хо?Х называют нижней гранью (верхней гранью) множества
Лс\ и обозначают inf A (sup Л), если он служит наибольшей минорантой (наи-
(наименьшей мажорантой) для Л, т. е. хп—миноранта (мажоранта) для Л и притом
такая, что для любой миноранты (мажоранты) ,v множества Л л<лго (л'о««дг).
Ясно, что если непустое множество Л|СЛ2, то sup Л, «s: sup Л2 и inf Л,. - inf Л.2.
Ясно также, что каждое подмножество Л имеет в (А', е-т) не более одной нижней
(верхней) грани. Очевидно далее, что если в Л имеется наименьший (наибольший)
элемент, то он и служит для Л нижней (верхней) гранью.
Наконец, элемент «„^Л называется минимальным элементом множества Л,
если из а?А и а<:а0 =J> а— а0, т. с. если в Л нет элемента, строго предшест-
предшествующего элементу а0-
Пели же в Л нет элемента, строго следующего за элементом ft0, то ft0 назы-
называется максимальным элементом множества Л.
Простые примеры показывают, что подмножество в (А', <:) может не обла-
обладать ни наименьшим, ни наибольшим элементом; может не иметь пи одного ми-
минимального, ни одного максимального элемента; может иметь бесконечное число
как минимальных, так и максимальных элементов. Однако ясно, что если под-
подмножество обладает наименьшим (наибольшим) элементом, то этот элемент и будет
323
единственным минимальным (максимальным) элементом для /1. Легко понять так-
также, что линейно упорядоченное подмножество А из (Л', sg;) может имен, не более
очного минимального (максимального) элемента; если же такой элемент сущест-
существует, то он, очевидно, является и наименьшим (наибольшим) элементом Л.
Так, например, любой интервал (а, р1) вещественной оси, так же как и мно-
множество вещественных функниГ| из примера 4..'i, очевидно, не имеют ни наимень-
наименьшего, пи наибольшего, ли минимального, пи максимального элементов. Далее,
нетрудно убедиться, что в примере 4.2 псе простые числа и только они служат
минимальными элементами для Л'*, тогда как это множество не обладает ни одним
максимальным элементом. Легко понять также, что для множества Е (см. при-
пример 4..:1) минимальным элементом, очевидно, служит любое отображение одноэле-
одноэлементного подмножества, а максимальным элементом — любое отображение всего ,\ ;
поэтому если X— бесконечное множество, а У состоит из более чем одного эле-
элемента, то множество Е будет обладать бесконечным множеством как минималь-
минимальных, так и максимальных элементов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.3. Подмножество А частично упорядоченного множества
(.V, <;) называется его конфынальным подмножествам или конфинальшш частью,
если для каждого х?Х существует х'?А такой, что х<Lx'.
Пример 4.7. Множество натуральных чисел, очевидно, образует конфи-
нальную часть множества вещественных чисел, упорядоченного по возрастанию.
Ясно далее, что если в (А', *?) существует наибольший элемент х„, то одно-
одноэлементное подмножество [х0] образует конфипальную часть множества X.
4.2. Направленные (фильтрующиеся) множества и сетчатые множества
(решетки).
ОПРЕДЕЛЕНИИ 4.4. Частично упорядоченное множество (А ,<:) называется
фильтрующимся вправо (соответственно влево) или направленным по ооираепшчит
(соответственно по упыванию), если для любой пары элементов .v,, jc.,?,V сущест-
существует хя?Х такой, что дг,<х3 и A'2<x3 (соответственно x3^xt и A;j<a'.jJ.
Очевидно, что если в частично упорядоченном множестве (X, <;) существует
наибольший (соответственно наименьший) элемент, то (А, <,) является фильтру-
фильтрующимся вправо (соответственно влево). Ясно также, что всякое линейно упоря-
упорядоченное множество фильтрующееся, тогда как фильтрующееся множество, конеч-
конечно, не обязано быть линейно упорядоченным (см. пример 4.4). Примером нена-
ненаправленного частично упорядоченного множества может служить пример 4.Г>.
Можно доказать, что в направленном множестве (X, <;) максимальный эле-
элемент единственный и является наибольшим элементом. Наконец, следует иметь
в виду, что подмножество направленного множества может не быть направленным.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.5. Частично упорядоченное множество (А,<:) называется
сетчатым или решеткой, если любое его двухэлементное подмножество обладает
точной верхней и точной нижней гранями, т. е. для любых х,, л..?Лсуществует
sup {л,, л-;} и inf {л-,, х2}.
Всякая решетка является направленным множеством, но не наоборот. Вместе
с тем легко понять, что всякое линейно упорядоченное множество является ре-
решеткой. Приведенные в примерах 4.2 и 4.4 множества, как легко проверить,
являются решетками.
Нетрудно понять, что сетчатоеть множества (X, О равносильна тому, что
всякое конечное подмножество из Л обладает точной верхней и точной нижней
гранями.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 4.G. Решетка (X, «е) называется полной, если всякое (не
обязательно конечное) подмножество из Л' обладает точной верхней и точной
нижней гранями.
Множество Х-=2 всех подмножеств фиксированного множества Л, упоря-
упорядоченное по включению (см. пример 4.4), как легко проверить, образует полную
решетку. В самом деле, всякое подмножество из (X, О есть некоторая система
подмножеств из Л, а объединение (соответственно пересечение) этой системы
подмножеств, очевидно, будет служить точной верхней (соответственно нижней)
гранью исходного подмножества из (Л', <).
П р н м е р 4.8. Множество (А , О рациональных чисел отрезка |0, 11 с естест-
естественным порядком служит примером решетки, которая не является полной, ибо,
324
например, подмножество <д-?Л; л•";—-—> , очевидно, не обладает в Л' томной
нижней гранью. \"\
В дальнейшем мы \видим, чго семейство всех топологий в некотором мно-
множестве V, упорядоченное естественным образом, также образует полную решетку.
Разбиение линейно упорядоченного множества (Л', «;) на два непустых под-
подмножества /I и /I называется сечением в (Л, <), если каждый элемент из Л пред-
предшествует каждому элементу из В; при этом А называется нижним классом сече-
сечения, а В— его верхним классом.
Сечение называется скачком, если в нижнем классе есть наибольший элемент,
а в верхнем клада—наименьший элемент. Сечение называется щелью, если в
нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем классе— наименьшего элемента.
Наконец, сечение называете» Осдекиндовым, если либо в нижнем классе есть наи-
наибольший элемент, а в верхнем классе нет наименьшего, либо в нижнем классе
нет наибольшего, но в верхнем классе есть наименьший элемент; при этом наи-
наибольший элемент нижнего класса или наименьший элемент верхнего класса
называется рубежом этого сечения. Ясно, что всякое сечение является либо скач-
скачком, либо щелью, либо дедекиндовым.
4.3. Отображения частично упорядоченных множеств. Порядковый тип. В тео-
теории частично упорядоченных множеств рассматривают отображения f:(X, О—>
—>(V, <:), сохраняющие порядок, т. е. удовлетворяющие условию: *, < х2 вле-
чег ((д-,)</М.
Такие отображения называются морфизмами упорядоченных структур; если
же, кроме того, / биективно и обратное отображение /-1: (К, О—<¦ (X, «?) тоже
сохраняет порядок, то / называется изоморфизмом, а сами упорядоченные струк-
структуры— изоморфными или подобными.
В теории частично упорядоченных множеств две изоморфные структуры нет
смысла различать.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.7. Отображение /:(Х, <)—¦>¦ (Y, <) называется монотон-
монотонно возрастающим (строго возрастающим), если х1 < х., влечет за собой / (х^) ^
•s; / (х.,) (I (х,) < /(.v2)); / называется монотонно убывающим (строго убывающим),
если х, < х, влечет f{xt)^f(x2) (/(*,) > f (x,)).
Очевидно, что обычные вещественные монотонные функции на числовой пря-
прямой (с естественным порядком) могут служить соответствующими примерами моно-
монотонных отображении.
Пример 4.9. Рассмотрим произвольное частичное упорядоченное множе-
множество (,V, <.) и пусть (.V, <;) — частично упорядоченное множество всех подмно-
подмножеств из А, упорядоченное по включению (см. пример 4.4). Можно доказать, что
отображение I):(ЛГ, <)—>¦ (X, <), сопоставляющее каждому хо?Х элемент
О (,V(i) - {.v? Л', х <; л'о} множества Л', является инъективным морфизмом.
.Мегко промерить, что отношение изоморфности (подобия) между упорядочен-
упорядоченными множествами является отношением эквивалентности, и поэтому разбивает
класс всех частично упорядоченных множеств на не пересекающиеся между собой
классы эквивалентности, каждый из которых принято называть порядковым типом
или, подробнее, порядковым типом каждого своего представителя.
4.4. Вполне упорядоченные множества; трансфинитные числа. Лемма Цорна.
Важным классом линейно упорядоченных множеств является класс так называ-
называемых вполне упорядоченных множеств.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.8. Частично упорядоченное множество (A", sS) называется
вполне упорядоченным, если любое его непустое подмножество обладает наимень-
наименьшим элементом.
Рассматривая, в частности, двухэлементные подмножества вполне упорядо-
упорядоченного множества, непосредственно заключаем, что каждое вполне упорядочен-
упорядоченное множество линейно упорядочено. Кроме того, легко убедиться, что во всех
вышеприведенных примерах частично упорядоченные множества не являются вполне
упорядоченными и что простейшим примером вполне упорядоченного множества
служит обычным образом упорядоченное множество \Ц натуральных чисел.
„Метко понять, что если подмножество А вполне упорядоченного множества
323
(X, e?L) ограничено сверху (имеет хотя бы одну мажоранту), то и А су тостует
sup Л, которым будет наименьший элемент множества всех мажорант для Л.
Отметим теперь, что как в самой теории множесгн, так и но многих других
разделах математики принципиально важную роль играет аксиома выбора, име-
именуемая также принципом нибора или постулатом Цсрмело.
Условимся, как и выше, обозначать через X множество всех непустых под-
подмножеств множества X, тогда аксиома выбора может быть сформулирована сле-
следующим образом.
АКСИОМА ВЫБОРА. Для произвольного множества X существует отобра-
отображение м:Х - >Х такое, что м (А)?А для каждого А?Х.
Ограничение отображения со на некоторое непустое подмножество.S из А' при-
принято называть функцией Цермело па 5. Нетрудно убедиться, что постулируемое
этой аксиомой существование функции Цермело для любого такого семейства .4
равносильно тому, что из любого семейства Q множеств М/?Х, где i прибегает
некоторое множество индексов / произвольной мощности, можно образовать мно-
множество М--{д',-; '?/}, «набрав» по одному элементу лг/ из каждого /М,-; иначе
говоря, существует множество М, содержащееся в объединении (J /И,- и такое,
ii I
что Vi'? / пересечение Mf]M/ состоит только из одного элемента .г/.
В начале века (в 1904 г.) Цермело, опираясь именно на эгот постулат, дока-
доказал свою знаменитую теорему.
ТГОРГ.МЛ (ЦР.РМГ.ЛО). Всякое множество может быть вполне упорядочено,
т. е. в любом множестве можно кидать структуру частичного упорядочения так,
чтобы оно превратилось в вполне упорядоченное множество.
Эта теорема сильно расширила применимость так называемого принципа
трансфинитной индукции, являющегося обобщением принципа полной математи-
математической индукции и заключающегося в том, что если некоторое утверждение, отно-
относящееся к элементам произвольного вполне упорядоченного множества (.V, -а..),
верно для наименьшего элемента и, кроме того, для каждого л ^ А из справед-
справедливости этого утверждения для всех элементов, предшествующих л\ следует его
справедливость и для элемента х, то это утверждение верно для всех элементов
из X.
Впоследствии оказалось, что в очень многих случаях вместо применения прин-
принципа трансфинитной индукции гораздо удсбпее пользоваться так называемым
принципом максимального элемента, часто именуемого леммой Цорна, и )бе-
гая необходимости наделения рассматриваемого (чясто уже естественным ооразмм
упорядоченного) множества X новой структурой, которая его вполне упорядо-
упорядочивает.
Для дальнейших формулировок нам понадобится понятие индуктивно упоря-
упорядоченного множества, т. е. такого частично упорядоченного множества, в котором
всякое его линейное упорядоченное подмножество обладает верхней границей. Важ-
Важным примером индуктивно упорядоченного множества служит B'', ¦'•-), что каса-
касается множества вещественных чисел (см. пример 4.1) и вещественных функции
(см. пример 4..'i), то они, конечно, не являются индуктивно упорядоченными.
Прежде чем сформулировать упомянутую выше лемму Цорна, отметим еще
одно весьма важное утверждение, которое может быть доказано без использова-
использовании аксиомы выбора.
ПРЕДЛОЖЕН!!!: 4.1. Если j— такое отображение индуктивно упорядочен-
упорядоченного м ном (спи а X в себя, при котором для каждого л?А I (х)~ ¦ х, то сущест-
существует хотя бы один элемент хA?Х такой, что j (xn) х„.
Опираясь именно на это предложение и на постулат Цермело, можно дока-
доказать лемму Цорна, которая успешно применяется при установлении многих прин-
принципиальных фактов в самых разнообразных разделах математики.
ЛГММЛ (ЦОРИЛ). Всякое индуктивно упорядоченное множество (X, *gr) обла-
обладает максимальным элементом; более того, каждый элемент х^Х мажорируется
хятя бы одним максимальным элементом.
Перейдем теперь к определению так называемых порядковых (траисфишпных)
чисел.
32C
ОПРЕДЕЛЕН!! 1:. А.Ч Порядковым тип вполне упорядоченного множества
(Л, «S) называется пп/>чдк<>1:ым чпс.шм или ординалом и обозначается ord (А,-^
млн. короче, ок1 Л', koi да ясно, какое именно упорядочение имеется и виду.
Нетрудно понять, что и гом простейшем случае, когда множество А состоит
h;i конечного числа элементом, Л можег бьт. вполне упорядочено (с точностью
до н юморфизмл) единешепным обра юм, поэтому порядкомый тип нмолпе упоря-
упорядоченного мпожестна (\ , -."-), т. е. ord .V, вполне определяется числом его элементом.
В связи с этим принят считать orcl А /I, где п — число элементом А. Итак,
число 0 (порядковое число пустого множества) и каждое натуральное число явля-
являются также и порядковыми числами, которыми и исчерпываются все конечные
порядковые числа.
[«¦(¦конечные порядковые чиста наминаются также ш/шнефинишными числами.
Поскольку одно и то же бесконечное множество может быть вполне упорядочено
уже многими различными способами, задающими пеизоморфные порядки, то по-
понятие порядкового числа для бесконечного множества А лишено смысла.
Для сравнения порядковых (трапсфинитпых) чисел введем прежде мсего по-
понятие начального отоезка. Подмножество S вполне упорядоченного множества
(А, «--^) называется начальным отрезком, если x?S и (/< л" влекут за собой//^.S.
Ясно, ч го все А и пустое множество 0 также служат начальными отрезками и
что любой элемент .v,i?A порождает начальный отрезок, а именно подмножество
^'л- -{л"€-^ *<л'„}, часто именуемое сечением, определяемым элементом ,v0.
Пусть а, р"- трансфинитные числа и пусть А, /--некоторые представители
классом о;, р" соответственно (т. е. огAЛ%—a, ord Y -¦¦¦¦¦ р1), тогда принято считать,
что а < р1, если существует изоморфизм А на некоторый начальный отрезок У'о,
отличный от всего V (корректность такого соглашения легко следует из сущест-
существования изоморфизма между различными представителями одного и того же класса),
и считать а -р\ если А изоморфно V.
Доказывается, что для любой пары трапсфинитных чисел а, р" непременна
имеет место одно из трех соотношений: либо а < р\ либо р1 < а, либо а = р".
4.5. Мощность множества (кардинальные числа). Одним из основных поня-
понятий теории множеств является понятие мощности множества.
ОП!'Е ДЕЛЕНИЕ 4.10. Множества A, Y называются равномощными (или экви-
эквивалентными с точки зрения теории множеств) и пишутся X —• Y, если сущест-
существует биективное отображение /:А-— *Y.
Хорошо известными примерами рашюмощных множеств служат: множество
четных целых чисел и множество нечетных целых чисел; множество всех рацио-
рациональных чисел и множество всех натуральных чисел; множество точек отрезка
/ |0, 1| и множество точек единичного куба /" многомерного евклидова прост-
пространства R". Примерами перамномощных множеств могут служить: множество
рациональных и множество иррациональных точек отрезка /-=|0, 1|; множество
точек отрезка / и множество всех вещественных функций на этом отрезке.
Множество А называется счетным, если оно равномощно множеству N всех
наяуральних чисел. Примером счетного множества служит множество всех поли-
полиномов от одной переменной с рациональными коэффициентами.
Легко промерить, что отношение равиомощности А ~ Y между множествами
рефлексивно, симметрично и транзитимно, т. с. является отношением эквивалент-
эквивалентности. Пусть теперь А' — произвольное множество, тогда класс (по этому отно-
отношению эквивалентности), содержащий множество А, обозначается через | А | или
card А и называется мощностью или кардинальным числом множества А.
Для обозначения мощности множества всех натуральных чисел используется
специальный символ ^f0 [алеф-ноль), а для мощности множества точек отрезка
/- |(), 1] — буква с и наименование континуум.
Переходя к сравнению мощностей, напомним известную теорему Кантора-
Гк'рпшшейна, согласно которой если в множестве А существует подмножество А',
равномощное Y, а в )' существует подмножество V", равномощное А, то A, Y
равпомощны (card A card Y).
С. помощью теоремы Цермело можно доказать (см. $ 0 гл. III, |1|), что для
произвольных двух множеств A, Y либо существует А'сА, равпомощное Y, либо
существует Y'CZY, равномощное А.
Пусть теперь A, Y — два произвольных множества. Говорят, что мощность
327
множества X не превосходит мощности множества К, и пишут card X < card К,
если существует Y'aY, равномощное X.
Легко проверить корректность введенного отношения «й между классами
(т. е. его независимость от выбора представителей), а также и то, что это отно-
отношение рефлексивно и транзитный), т. е. является частично предупорядочеиием.
Совершенно ясно, что ХсК влечет card X < card Y. Более того, если cymecniji-r
падъективиое отображение f:X—*Y, то card Y <card X. Из теоремы Кангора-
Бернштейпа вытекает, что введенное выше отношение < антисимметрично.
Далее, из сформулированного выше результата следует, что любые дне мощ-
мощности сравнимы, а это означает, что отношение < является линейным упорядо-
упорядочением. Более того, оказывается (см., например, § 3 гл. Ш, |1|), что этим отно-
отношением множество мощностей (или кардинальных чисел) вполне упорядочено,
т. е. в любом непустом множестве мощностей существует наименьшая мощной i>.
Литература
Основная
1. Александров П. С. Введение в теорию множеств и функций. М., ИМЯ.
2. Александров П. С. Впедлше в теорию множеств и общую топологию. М.,
1977.
3. Александров П. С, Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности, М.,
1973.
4. Александров П. С, Урысон П. С. Мемуар о компактных топологических
пространствах. М., 1971.
5. Архангельский А. В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах
и упражнениях. М., 1974.
6. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М., 1968.
7. Бурбаки Н. Теория множеств. М., 1965.
8. Бурбаки Н. Общая топология. Использование вещественных чисел. Функ-
Функциональные пространства. М., 1975.
9. Бурбаки Н. Общая топология. Топологические группы. М., 1969.
10. Исбелл (Isbell J. R.) Uniform Spaces, Providance! R. 1., 1964.
11. Келли Дж. Общая топология. М., 1968.
12. Куратовский. Топология, т. 1. М., 1966.
13. Куратовский. Топология, т. II. М., 1969.
14. Энгелькинг. (?n<>elking R.) Outline of General Topology. North —Holland
Publ. Co. Amsterdam, 1968.
Дополнительная
15. Александров П. С. О бикомпактных расширениях топологических прост-
пространств. — Матем. сб., 1939, 5 D7), 403 — 424.
16. Александров II. С. О некоторых результатах в теории топологических
пространств за последние 25 лет. — УМН, I960, 15, К" 2, 25 — 95.
17. Александров П. С. О некоторых основных направлениях в общей тополо-
топологии,— УМН, 1902, 19, .М. 6, 3 — 46.
18. Александров П. С, Пономарев В. И. О бикомпактных расширениях то-
топологических пространств. — Вестник МГУ. Сер. матем. 1959, № 5, 93—108.
19. Архангельский А. В. Новые критерии паракомпактности и метризуемости
произвольного 7'i-npocTpaiicTBa.—ДАН СССР, 1961, 141, .V' 1.
20. Архангельский А. В. Отображения открытые и близкие к открытым.—Тр.
ММО, 1966, 15, 181---223.
21. Архангельский А. В., Пономарев В. И. О диадпчи'ких бикомпамах.--
ДАН СССР, 1968, 182, .N» 5.
22. Бинг (Binfi R. H.). Metrisation of Topolonical Spaces. Canad. Math.
Journ., 1951, 3, 175—180.
23. Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Очерк основных идей топологии.
Математическое просвещение (новая серия), нып. 2, 3, 4.
24. Борсук. Тюрня ретрактон. М., 1971.
25. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. М., 1972.
:V_'8
2A. Бурбаки H. (Bourbakl N.) Топологические векторные iipocipancii-.a
М., 1900.
27. Гельфанд И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е. Коммутативные Нормиро-
Нормированные КОЛЬЦЯ. М., 19(;0.
28. Дьедонме (Dieudonne J.) L'ne poncralisation des espaccs compact*. — .lourii
AVilli. Purcs et Appl., 1944, 23, 05—70.
29. Ефимов Ь. Л. Диадические бикомпакты.—Тр. ММО, 1965, 14,211—2-17.
30. Ефремович В. А. ЭЭМ, Книга пятая —Геометрия, с. 477—555. М., 1906.
.41. Зайцев В. И. К теории тихоновских пространств. —Вестник МГУ. Сер.
магем. 19A7, .4. 48 ¦ 57.
32. Канторович JI. В., Акилов Г. П. Функциональным инали.ч в нормнро-
напиых ирострапешлх. М., 1959.
33. Картан (Cartan П.). Theorie des Filtrcs. I'iltres et nltraiiltres. — С R
Acid. Sc. Paris, t. CCV, 1937, 595—598, 777-779.
34. Катетов (Katetov M. 0.) On H—closed Extension* of Topological Spa-
Spaas.—Casopis Pe^t. Math. Pys., 1947, 72, 17—32.
35. Колмоюров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функцио-
функционального анализа.—2-е изд.—М., 19(i8.
3(i. Курош А. Г. Теория групп.—3-е изд., —М., 1907.
37. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа
М.- Л., 1951.
38. Майкл. Л note on Paracomact Spaces. Proc. Amcr. Math. Soc 1953 4
831- 838.
39. Маклейн С. Гомология. M., 19(i6.
40. Мур и Смитт (Moore E. H. and Smith H. L.) A General Theory of I I-
mits. —Amor. J. Math., 1922, 44, 102—121.
41. Нагата (Nagata J.). On a Necessary and Sufficient Condition of Metriza-
bility. —Joiirn. lust. Polyt. Osaka City Univ., 1950, I, 93—100.
42. Пасынков В. А. Об открытых отображениях.-—ДАН СССР, 1907, 175, Л"»2.
43. Пономарев В. И. Паракомпакты, их проекционные спектры и иепрерын-
ные отображения.—Матем. сб., 1903, 00, 89 — 119.
44. Постников М. М. Введение в теорию Морса. М., 1971.
45. Постников М. М. Исследования по гомотопической теории непрерывных
отображении.—Тр. МИЛН, 1955.
40. Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические
гл.шы. М., 1977.
47. Рудин (Rudin VV.) Основы математического анализа. М., 190A.
48. Серпинский (Sierpinski W.) General Topology Bnd Ы.), Toronto, 1952.
49. Скляренко Е. Г. Некоторые вопросы теории бикомпактных расшире-
расширении. 11<в. АН СССР. Сер. матем., 19G2, 20, 427—452.
50. Смирнов Н).М. Необходимые и достаточные условия метризуемости то-
топологического пространства.—ДАН СССР, 1951, 77,97—200.
51. Смирнов 10. М. О сильно иаракомпактных пространствах. — Ичв. АН
СССР. Сер. матем., 1950, 20, 253—274.
52. Смирнов Ю. М. Уплотнения па бикомпакты и свя:и, с бикомпактными
расширениями и ретракцией. Pundani. Math. 03, Л1>2 A908), 199—211.
53. Стоун (Stone A.H.) Paracomactnes? and Prodact Spaces. Bull. — Amer.
Math. Soc, 19-18, 54, 977-982.
54. Стоун (Stone M. H.) Applications of the Theory of Boolean Rintjs to Ge-
General Topology. Traib. Arner. Math. Soc, 1937, 41, 375—481.
55. Суворов Г. Д. Семенстио плоских топологических отображений. — СЮ АН
СССР, Новосибирск, 1905.
50. Суворов Г. Д. Относительные метрики и простые концы односвязнон об-
области. Киев, 1975, выи. VI.
57. Тайманов А. Д. Продолжение линейных операторов.—Тр. МИЛН, 1972,
т. 133.
58. Тайманов А. Д. О квазикомпонентах несвязных множеств. — Матем. сб.,
1949, 25 @7), М>3.
59. Титце (Tietze H.) Uher Fiiiiktionen die auf einer abgeschlosseiien nienife
sletig sind. — Journ. Math., 1915, 145,, 9—14.
32J
60. Тихонов А. Н. Uber п'псп Mi-trisationssalz von P. Urysohn.- Math. Ann.,
1925, 95, 139—142.
61. Тихонов A. H. Uber die topoloKische FrweiteruiiLi von Raumen —M;ith.
Лип., 1929, 102, 544—561.
62. Урысон П. С. Zum Metrisationsproblem.—Math. Ann., 1925, 94, .409 -315.
63. Урысон П. С. Mcmorie sur les multiplicitcs cantorieiines. — l'lindam. .Math.,
1925, 7, 30—139; 1926, 8, 225—359.
64. Урысон П. С. Труды по топологии и другим областям математики, т. I;
т. 2. М., 1951.
65. Федорчук В. В. О //-замкнутых расширениях пространств 0-блиэосш.—
Магем. сб., 1972, 89, ЛэЗ, 400—412.
66. Фомин С. В. К теории расширении топологических пространств. — Ма-
тем. сб., 1940, 8 E0), 285—294.
(П. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 19i>!>.
68. Фукс Д. Б., Фоменко А. Т., Гутенмахер В. Л. Гомотопическая топо-
топология.—Изд. МГУ, 1969.
69. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М., 1937.
70. Цаленко М. Ш., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. М., 1974.
71. Чех (Cech E.).On becomact spaces. —Ann. of Math., 1937BK8, 823 -«44.
72. Чогошвили Г. С. Алгебраические методы и теоретико-множеспнчппщ
типологии. — Тр. 3-го Всесоюзного съезда математиком. 1950, т. 2, 56—I3i>.
73. Шварц Л. (Schwarz L.) Анализ, т. 1; т. 11. М., 1972.
74. Эйленберг С., Стинрод Г. Основания алгебраической топологии. М., 19Г>н.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиома Борсля — ЛеГкча 226
— выбора Цсрмело 32(>
— отделимости Т„ (;iki"H< >m;i Колмо-
трову) 192
У, 191
—- — Г.. (аксиома Хаусдорфа) 192
Т., 196
— — Г, 2011
— счетности первая 21
— — нгорая 24
Аксиомы замыкания Куратопского 19
метрики fi
— топологического пространства 10
-¦¦ фильтра 1A0
— частичного упорядочения 322
liana пространсша 20
-- — ii точке 21
— чамкиутая 202
— фильтра 101
Инекцин 319
бикомпакт 229
— диадический 251
Ьорелснские множестка 57
Ьутылка Клейна 137
Вес нросграпегна 27G, 277
— и точке 277
В<аимпо непрерывное (факторное)
отображение 144
Внутренность множества 28
Внутренняя точка 8,28
Вполне регулярное пространстпо 202
Вполне упорядоченные множества 325
— нормальное пространство 210
— несвязное мрострамстио 289
oi р.шичешюе мпожестмо 238
Всюду плотные множества 44
Гп.ты'к-ргон кирпич (куб) 123
Гомеоморфизм 65
Грань верхняя 323
— нижняя 323
I рапичная точка 28
Граничное множестио 45
Граница множества 29
График отображения 119
Дьосточие простое 11
— с»я:шое 11
Декартово (прямое) произведение 115,
116, 121
Диагональ проичнедепия 117
Диагональное отображение 117
— произведение отображений 117, 127
Диаметр множества 10
Дополнение множества абсолютное 317
— — относительное 317
Дисконтинуум канторов 123
Замкнутое множество 12
— отображение 63
Замыкание множестна It
Изолированная точка 13
Изометрия (изометрическое отображе-
отображение) 7
Изоморфизм (эквивалентность) в ка-
категории 152
Изотопия 72
Изотопический инвариант 73
Импликация 5
Инвариант топологический 69
Индуктивная система (прямой спек-
тор) 181, 182
Индуктивно упорядоченное множест-
множество 3!
Инъекции (шп.ектшшое отображение)
319
Каноническая проекция 173
Канонически .замкнутое множество 32
-— открытое множество 32
Каноническое разложение отображе-
отображения 135
Канторово совершенное множество 31,
46
Кардинальное число 327
Категория 152
— дуальная (двойственная) 1Г>7
Квазикомпонента связности 287
Кванторы всеобщности и существова-
существования 5
Класс 151
— эквивалентности
Коллективно нормальное пространст-
пространство 308
Кольцо множеств 54
Композиция отображений 320
Компонента связности 287
— линейной связности 292
Континуум 297
Кокопус морфи.змов категории 158
Компактификация но Александрову 255
Конус морфнзмов категории 158
Конус над пространством 139
Конфииальпая часть 24
Кривая Пеапо 129
Лемма Лебега 2-И
— Урысона большая 208
— Урысона малая 206
— Цорпа 32A
Линейно упорядоченное множество 322
Лист Мёбиуса 137
Локальная база 24
Локально бикомпактное пространство
252
— замкнутое множество 43
331
Локально конечная база 224
— конечное множество 17
— локально конечное семейство 224
— связное пространство 294
Мажоранта 323
Мажорирующая топология 11
Мажорирующий фильтр 100
Максимальный элемент 323
Метрика 6
Метрическое пространство 6
— — полное 240
Метризационная теорема Александ-
Александрова — Урысона 309
— — Бинга - Нагата — Смирнова 224
— — Урысона (первая) 222
¦— (вторая) 246
Мстризуемое пространство 222
Минимальный элемент 323
Миноранта 323
Множества дизъюнктные
— отделенные 39
— подобные (но упорядочению) 325
— раиномощные 327
.Множество бикомпактное 227
— борелевское 57
— вполне ограниченное 238
— упорядоченное 322
— всюду плотное 45
— второй категории 50
— замкнутое 12
— нигде не плотное 45
— ограниченное 10
— открытое 11
— первой категории 50
— связное 284
— совершенное 17
— счетное 327
— типа h'a типа Go 52
— фильтрующееся вправо (влево) 92
— часгично-упорядоченное 322
Надстройка 139
Направленное множество 92
Направленность 92
— монотонная 05
Наследственное нормальное простран-
пространство 214
— свойство 40
Непрерывное отображение 59
Непрерывность отображения в точке
58
Неравенство треугольника 6
— Минковского 9
Нить (спектра) 172
Образ множества при отображении 319
Обратный сиектор (проективная си-
система) 170, 171
Объединение множеств 320
Объект инициальный 158
•— категории 152
— терминальный 158
Ограничение (сужение) отображения
320
Окрестность множества 13
— точки 13
Ординал (порядковое число) 327
Отношение антисимметричное 318
— — открытое 141
— рефлексивное 318
— симметричное 318
— транзитивное 318
— частичного упорядочения 322
— эквивалентности 321
— — замкнутое 141
Открытая база 20
Открытое множество 11
Отображение биективное 319
— бикомпактное 259
— гомеоморфное (топологическое) 65
— замкнутое E3
— инъективное 319
— локально гомеоморфное 90
— монотонное 325
— надъективпое (сюръектнвное) 319
— непрерывное 59
— открытое 63
— проектирования 123
— равномерно непрерывное 242
— совершенное 262
— факторное (взаимно непрерывное)
144
Пара неупорядоченная 317
— упорядоченная 317
Пересечение множеств 320
Плоскость Тихонова 251
Подкатегория 156
— полная 156
Подмножество 310
Подпаправленность 93
Подпокрытие 25
Подпространство 37
Подспектор 172
Покрытие вписанное 321
— замкнутое 25
— звездно конечное 303
— открытое 25
— точечно конечное 303
Пополнение метрического простран-
пространства 240
Последовательность сходящаяся 26
Предбаза пространства 22
— — (в точке) 24
Предел направленности 93
— отображения по фильтру 109
— последовательности 26
Представляющий функтор 168
Преобразование (естественное) функ-
функторов 166
332
Приведенная надстройка 141
Приведенный конус 140
Приведенное /фопшсдение 140
Проектинная плоскость 146, 148
Проектинное пространство веществен-
вещественное 146, 148
— — комплексное 146, 148
Проективная система (обратный спек-
тор) 160, 171
Произведение (декартово) множеств
115, 116, 121
— отображений 118, 128
— отображений диагональное 117,127
— топологических пространств 115,
122
Производное множество 16
Прообраз множества 320
— топологии 81
Пространство бикомпактное 226
-- беронское 248
— Бара 48
— вполне ш снятое 289
— — регулярное 202
- гильбертово (координатное) 7
— достижимое 191
- индуктивно нульмерное 25
- коллективно нормальное 308
- локально бикомпактное 252
•— локально евн.чмое 294
- метризуемое 222
— метрическое 6
¦•- — полное 240
- наследственно нормальное 214
- непрерывных функций 9
— неснятое 283
— нормальное 206
¦-- паракомпактпое 299
— полурегулярное 200
— разрешимое 58
— регулярное 196
— связное 283
— секвенпиалыю компактное 237
¦ - сепярабельное 47
-- сильно паракомпактное 303
— слабо паракомпактное (метапара-
комиактное) 303
— совершенно нормальное 216
— счетное в бесконечности (а-комнакт-
ное) 254
— счетно компактное 235
— топологическое 11
— Фреше 122
— хаусдорфопо 192
— экстремально несвязное 289
— //-замкнутое (абсолютно замкну-
замкнутое) 267
— п мерное эвклидово 7
Равномерная непрерывность отобра-
отображения 242
— сходимость 242
Равностепенная непрерывность се-
семейства отображений 248
Разбиение 321
— единицы 313
Разность симметрическая 54
Расстояние между множествами 10
Расширение бикомпактное 271
—• Стоуна - Чеха 279
Расчленяющее семейство функций 276
Ретрагирующее отображение (ретрак-
(ретракция) 88
Ретракт 88
Решетка 324
Свойство изотопическое 73
— Линделефа 213
— наследственное 40
— топологическое пространства 69
— — отображения 70
Семейство множеств 320
— — (а-дискретное) 224
— — (а-локально конечное) 221
Семейство множеств сцепленное 28'i
— — разделяющее точки 127
— — — — и замкнутые мпожес:в;1
131
Сеть пространства 20
Система образующих (предбаза) ти-
типологии 22
— — — фильтра 101
Система окрестностей точки фунда-
фундаментальная 14
Система центрированная 227
Спектор обратный (проективная сис-
система) 170, 171
Спектор прямой (индуктивная сиае-
ма), 181, 182
Сравнение топологий 11
Структура топологическая 10
Сумма (копронзнедение) Семене i11;!
объектов категории 102
— множеств (дизюнктное ом.с.л-
пепие) 132
— семейства пространств 133
Сходимость по Мору — Смиту 93
— отображения по фильтру 109
— покоординатная 126
Теорема Ллександера 230
— Александрова 230, 255
— Александрова — Урысона 27A
— Ариела (обобщенная) 2}5
— Бэра 51, 247
— Бинга - Нагата — Смирнова 221
— Вейерштрасса 252
— Гейне — Бореля — Лебега 2!1
— Дъедоне 307
— Кантора — Бернштейна 35
Куратовского 19
:09
— Линделёфа 25, 213
— Майкла 30(>
— о непрерывности глобального
отображения 78
— о продолжении топологий 79
— и разбиении единицы 313
— Стоуна большая 309
¦— — о паракомпактности 309
— Глоуна — Чеха 280
— Титце—Урысопа 211
— Тихонова о вложении 204
— — о бикомпактное™ произведе-
произведения 233
— Хаусдорфа 243
— Цермело 32(i
Типология индуцированная 37
— инициальна» 84
— тихоновская 122
— финальная 86
Томка внутренняя 8,28
— изолированная 13
— конденсации 58
— предельная 16
— прикосновения 14
— — фильтра 107
Ультрафильтр 103
Унинерсально отталкивающий объект
158
— притягивающий объект 158
Факторное отображение 144
Фактор-пространство 134
Фактор-топология 134
Фильтр 100
— ассоциированный с направлен-
направленностью 102
— индуцированный 103
— сходящийся 107
— Фреше 100
— элементарным 100
Фильтрующееся множество 100
Функционально отделимое множество
201
Функция Урысопа 210
— точная 219
Хаусдорфопа топология 192
Число двоично-рациональное 209
— порядковое 327
— трансфинитное 327
Числовая пряма» 6
Цепь 322
Цилиндр отображения 139
Экстремально несвязное множество 289
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Продислоппе 3
Глава I. Топологичсские пространства и их непрерывные отображения ft
§ 1. Топологические прпсгранстл (f>>. 1.1. Понятно Meiричесмн о пространства F). 1.2. Оп-
Определенно топологического пространства A0). 1.3. Сравнение пшо.ю! цГ[ ([ I). 1.1. Замкнутые
множества, окрестности и фундаментальная система окрес! imh ihii"i A2). 1.5. Операция замы-
замыкания; порем.i Kypiiioiu Koi о A 1). 1.0. Iki3;i и предбаза тополи: пи. Мерная и иторан аксиомы
ечетности < — ()>. 1.7. Сходимость последовательности точек и тополи; и чес ком пространстве
B5). l.s. Понятие о внутрешнкч и и ipiiinme мможестн и тополог ических пространствах {28).
1.9. Структура открытых и taMKnyiux миожестн на числовом прямо!!. К антороно соворшеи-
uос множество B!)). 1.10. Канонически шкрытыо и канонически чамкиугые множеств.) C2).
1.11. Задание топологии с помощью окреп постен (.'И). 1.12. I Ьдуцирон.шпан топология и
подпрос граиства (.17). Задачи (II).
S 2. Различные типы подмножеств топологических пространен и ( I:'). L'. 1. Локально ,ч.ткну-
,ч.ткнутые множества И2). '2.2. Всюду плотные и нигде по плотные множества A4). i!.'l. l>i:;ipa-
бельные npocipaiiein;i A7). '2.А. Множества мерной и nTopoii кате1 opmi; тго|мма T>vp,i E0).
2.Г>. Множеств.1 иша F и С E1). 2.6. Попятно о о-алгобре миожестн; f)Mpi.\:u in кие множества
(Г)|). Задачи E7).
S ;1. Пепргрыкпые отображения и гомеоморфизмы (ЬН). :\.\. Нелроринш.ю (ПоГф.-джоння то-
топологических пространсти E8). Л.2. Понятие об открытых и з,)мкнум.!\ отображениях {<У.\).
;{.,'{. Гомеомор1[)и.чмы и их мроеге/ппие cuoi'tCTna F5). 3.1. 'Гомологический чип, юио.юг ичоские
инварианты. Предмет юмоло! ии @9). 3.5. Понятие об изотопии и иютмпческих инпариап-
тнх G21. 'Л.&- Посчроенио неирорыпиых отображен и ti по ^лдялным чтшчным птображепиям
G-1). 3.7. С!огласонаппоеть топологии с покрытием. Критерии пещч-риитч-] п i .'тба.чыю: d
отображения G0). 3.8. Продолжение топологий G8). 3.9. Понятно npooop.u.i ioho/ioi ни (НО).
3.10. Ипнцнальпач и финальная топологии (81). 3,11. Понятие о регракте и pei parnpyioiiK'M
отображении (88). Задачи (80).
<}-1. 11апранлениоети, фильтры и их продолы (!Н). 1.1. Напранлоинооти и их пределы (\J).
1.2. Описание топило1ни н терминах проделоп напранленносгеГ!. Теорема 1>нрмч)ф;1 (!)Н). 4..J.
определение и примеры фильтром. Предбаза п Сшл.\ фильтра (9!)). 1.1. ПндуциринаппмП
фильтр. Ультрафилы р A02). <1.5. Понятие об обраче и прообраче фн.илра. Ирон шедешк-
фильтров A05). '1.0. (DiiJibiphi и топологических прострапетпах. Продел и точка ирикосноне-
ппя фильтра A07). <1.7. Предел отображения по фильтру и его снизь с непрерывностью (IUD).
¦1.8. Снизь фильтрон и напранленноете\\ A11). Задачи A 13).
Глава П. Операции над топологическими пространствами и их непрерыв-
непрерывными отображениями По
*j 1. Произнедепис н сумма топологических прострапегк A15). 1.1. Прямое. (топологичес1\ие)
прон.чнедепие топологических проетранстм A15). 1.2. 11екоторые оснонпые спонстпа прямо, о
гроизпедопия A16). 1.3. 'Гпхопоиское пронзподенно пространен! A20). I.-1. Операции дпа-
: опального и прямого мронзиедения отображений A26). 1.5. I омологичсекли сумма iото-
iотологических пространсти A32). Задачи A33).
$ '2. Фактор-прострннетиа A31). 2.1. Фактор-тополо] nvi и фактор-пространство A31). 2. -'.
Дпумсрнын тор, лист Мёбиуса и бутылка КлеГша как фактор-пространства кнадр.лл A Jo)-
2.3. Операция склениания. Ьукет, цилиндр, надстройка A37). 2.4. Открытые и замкну!ыо
отношения экинналентпоетн A41). 2.5. Взаимно непрерывные (факторные) отображения
A44). 2.6. 13с1цестпепные и комплексные прооктшицие.нространстна A46). Задачи (М'.Ь
*; 3. Категории и функторы A50) 3.1. Определение и примеры категории A51). 3.2 Ду-
Дуальная категория и принцип дноистиенности A57). 3.3. Произведение и сумма (копр^н <:ю-
дение) семсПстка объектов A58). 3.1. Конариантпые и коптранаринитные функторгя (Ui".J).
3.5. Нстестпенные преобразования функторов. Представляющие функторы A66). Задачи Aьч).
<i 4. Обратные и прямые спектры топологических пространств A70) 4.J. Обратные смом;чл
(проективные системы) топологических пространств и их пределы A70). 4.2. Основные
свойства обратных спектров и их отображении A71). 4.3. Прямые спектры (индуктивные
системы) топологических пространств и их пределы A81). 1.1. Основные свойства прямы*
сисктрии и их отображений A87). Задачи (I'JO).
Fji.iBii III. Классы топологических пространств I'll
^ 1. Хаусдорфоны, pci уv151 рмыt- и тихоновские пространства A01). 1.!. Xаусдорфоны про-
пространства A01). 1.2. Некоторые свойства хаусдорфовых пространств A92). 1.3 Хаусдорфо-
iujiti, фактор-пространства A04). 1.4. Регулярные пространства A90). 1.5. Полуре! улирпыа
upoi траиства A0е.)) 1.0. Тихоновские (вполне регулярные) пространства B01). Задачи B().'>).
<* 2. Нормальные пространства и продолжимость непрерывных вещественных функции B0i>).
2 1. Нормальные пространства B00). 2.2. Функциональная отделимость множеств «Iio.ii.-
шач» лемма N'pi.icona B07). 2.3. Непрерывная продолжимость функций. Теорема Тцтце-
Урысона B10). 2.1. Свойства Лпнделёфа. Теорема Тихонова о нормальности B1.)). 2.5. На-
Наследственно нормальные и совершенно нормальные пространства B11). 2.G. Метризуемость
топологических пространств B21). Задачи B25).
$ iv Бикомпактные пространства B25). УЛ. Определения и основные свойства бикомпакт-
бикомпактных пространств B20). .'!.2. Непрерывные отображения бикомпактных пространств B.40).
'Л.'Л. Некоторые свойства непрерывных на бикомпактах функции B32). 3.1. Бикомпакт-
попь проичведенин. Теорема Л. Н. Тихонова B33). 3.5. Счетная компактность и секвен-
секвенциальная компактность B35). 3.0. Полпота и бнкомпактность в метрических пространствах
B30). 3.7. Финально компактные (лимделёфские) пространства B48). Задачи B50).
*Н. Локально бикомпактные пространства. Бикомпактные расширения B5I) 4Л. Опреде-
Определении и простейшие свойства локально бикомпактных пространств B52). 1.2. Ьикомкактн-
фикация по П. С. Александрову B55). 4.3. Собственные и совершенные отображения C.'.'iO*.
4.4. Абсолютно замкнутые (//-замкнутые) пространства B07). 1.5. Понятие о расширении
топологических пространств. Бикомпактные расширения B71). 4.С. Бикомпактное расшире-
расширение Стоуна-Чеха B70). Задачи B82).
S 5. Связность и локальная связность B83). Г>.1. Связность B83). 5.2. Компоненты свято-
святости пространства B87). 5.3. Образы связных множеств при непрерывных отображениям.
Произведение связных пространств B01). 0.4. Локальная связность B01). 5.5. Определение
и простейшие свойства континуумов B07). Задачи B08).
^ 0. Паракомпактные пространства B00). 0.1. Простейшие свойства паракомпактных про-
пространств. Сильная и слабая паракомпактность B00). 0.2. Некоторые критерии паракомпакт-
паракомпактности C04). 0.3. Нормальность и метризуемость паракомпактных пространств C07). и. 1.
Разбиение единицы, подчиненное данному покрытию C09). Задачи C15).
Доблиленне, Вспомогательные сведения из теории множеств 310
^ 1. Множества и простейшие операции над множествами C10).
^ 2. Отображения множеств C18)-
^ 3. Фактор-множества и фактор-отображения C21).
<! Л. Упорядоченные множества. Лемма Норна C22).
Литература C28).
Предметный указатель C30).
Рафа»ль Арамович Александрии
Эдуард Арсеньевич Мирэаханян
ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ
Редактор А И. Селиверстова
Художественный редактор В И Пономаренко
Технический редактор Л. А. Григорчук
Корректор Г И. Кострикоаа
ИБ № 163»
Им St ФМ-045. Сдано в набор 20.04.79. Поди, в печать 15 10.79. Формат
60x00'/,,, Ьум тип. Nil ?. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 2 1 усл. иеч.
л. 2 1,28 уч.-изд. л. Тираж 19 000 акэ. Зап. № 73. Цена I р. 20 к.
Москва, К-5 1, Неглипная ул., д. 29/1-1. Издательство «Высшая школа»
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Краснело Знамени
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Союзполиграфнрома при Государственном комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжно!) торговли. Москва. М-54, Валовая, 28