РОБЕРТ ВИХАРД ПОЛЬ
МЕХАНИКА, АКУСТИКА
и
УЧЕНИЕ О ТЕПЛОТЕ
ПЕРЕВОД С НЕМЕЦКОГО
К. А. ЛЕОНТЬЕВА и В. М. ЮЖАКОВА
с изменениями и дополнениями
по 13-му изданию
Под редакцией
Н. П. СУВОРОВА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1957

МЕСНАМК • АК115Т1К
УОП
РОНЬ
^НЕI2ЕНNТЕ УЕДВЕЗЗЕДТЕ
ЗЕКЬШ — ООТТШОЕК — НЕШЕЬВЕКО
1955

СОДЕРЖАНИЕ
Стр
От редактора 8
Из предисловия автора к 1-му изданию 8
Из предисловия автора к 12-му изданию 9
Предисловие к 13-му изданию 10
Об употреблении уравнений 11
А. МЕХАНИКА
I. Введение, измерение длины и времени 13
§ 1. Введение A3). § 2. Измерение длины. Непосредственное
измерение A4). § 3. Сохранение единиц длины A6). § 4.
Косвенное измерение длины при очень больших расстояниях A7).
§ 5. Измерение углов A9). § 6. Измерение времени. Прямое
измерение. Регистрация A9). § 7. Современные часы; личное
уравнение B2). § 8. Период и частота. Стробоскопические
измерения B2). § 9. Косвенное измерение времени. Принципиальные
трудности нашего современного способа измерения времени B4).
II. Описание, движений, кинематика 26
§ 10. Определение движения. Система отсчета B6). §11.
Определение скорости. Пример измерения скорости B6). § 12.
Определение ускорения. Два предельных случая B9). § 13.
Тангенциальное ускорение, прямолинейное движение C0). § 14.
Постоянное радиальное ускорение. Круговой путь C3). § 15. Физические
величины и их числовые значения C5). § 16. Основные и
производные величины C5).
III. Основы динамики 38
§ 17. Предварительные замечания. Сила и масса C8).
§ 18. Способы измерения силы и массы. Основное уравнение
механики D1). § 19. Единицы силы и массы. Уравнения величин D4).
§ 20. Тело и количество D5). § 21. Плотность и удельный
объем D6).
IV. Применения основного уравнения механики 48
§ 22. Применение основного уравнения к
равномерно-переменному прямолинейному движению D8). § 23. Применение
основного уравнения к круговому движению. Радиальная сила E1).
§ 24. Принцип Д'Аламбера E5). § 25. Простые синусоидальные
колебания. Тяжелый маятник как частный случай E6). § 26.
Центральные движения. Определение E9). § 27. Эллиптические пути,

СОДЕРЖАНИЕ
эллиптически поляризованные колебания F1). § 28. Фигуры Лис-
сажу F5). § 29. Кеплеров эллипс и закон тяготения F7).
§ 30. Гравитационная постоянная F8). § 31. Принцип измерения
массы G0). § 32. Закон тяготения и небесная механика G0).
V. Вспомогательные понятия, работа, энергия, импульс 74
§ 33. Предварительное замечание G4). § 34. Работа и
мощность G4). § 35. Энергия и закон сохранения энергии G8).
§ 36. Применение механического закона сохранения энергии (80).
§ 37. Импульс силы (81). § 38. Закон сохранения импульса (82).
§ 39. Применения закона сохранения импульса (83). § 40. Законы
сохранения энергии и импульса при упругом соударении
тел (84). § 41. Закон сохранения импульса при неупругом
соударении двух тел. Баллистический маятник (85). § 42.
Баллистический маятник как прототип баллистических измерительных
приборов. Баллистический гальванометр, измерение
продолжительности удара (87). § 43. Движения в сопротивляющейся среде (90).
§ 44. Возбуждение сил без затраты и с затратой мощности (93).
§ 45. Заключительное замечание (94).
VI. Вращательные движения твердых тел 95
§ 46. Предварительное замечание (95). § 47. Определение
вращательного момента (95). § 48. Получение вращательных
моментов. Определение направляющего момента О*. Угловая
скорость со как вектор (97). § 49. Момент инерции,
крутильные колебания A00). § 50. Физический маятник и рычажные
весы A04). § 51. Вращательный импульс A05). § 52. Свободные
оси A09). § 53. Свободные оси у человека и животных A11).
§ 54. Определение волчка и его трех осей A12). § 55. Нутация
свободного от сил волчка и его неподвижный в пространстве
вращательный импульс A14). § 56. Волчок под действием
вращательного момента; прецессия оси вращательного импульса A15). § 57.
Конус прецессии с нутациями A20). § 58. Волчок лишь с двумя
степенями свободы A22). § 58а. Заключительное замечание A24).
VII. Системы отсчета, обладающие ускорением 126
§ 59. Предварительное замечание. Силы инерции A26). § 60.
Система отсчета с чисто тангенциальным ускорением A27). § 61.
Система отсчета с чисто радиальным ускорением. Центробежная сила
и сила Кориолиса A29). § 62. Наши средства передвижения как
системы отсчета с ускорением A36). § 63. Маятник в качестве
отвеса в ускоренно движущемся самолете A38). § 64. Земля как
система отсчета с ускорением. Центробежное ускорение
неподвижных тел A40). § 65. Земля как система отсчета с ускорением.
Кориолисово ускорение движущихся тел A41). § 66.
Гироскопический компас на кораблях и его принципиально неизбежная
погрешность A43).
VIII. Некоторые свойства твердых тел 146
§ 67. Предварительные замечания A46). § 68. Сила и
деформация. Факты и определения. Закон Гука и соотношение
Пуассона A48). § 69. Нормальное и касательное напряжения A52).
§ 70. Изгиб, прогиб и кручение A55). § 71. Упругое последействие
и гистерезис A60). § 72. Прочность на разрыв и удельная
поверхностная работа твердых тел A62). § 73. Внешнее трение A65).

СОДЕРЖАНИЕ
IX. О неподвижных жидкостях и газах 169
§ 74. Свободная подвижность молекул жидкости A69). § 75.
Давление в жидкости, манометр A72). § 76. Всесторонняя передача
поршневого давления и ее применения A73). § 77. Распределение
давления в поле тяжести и подъемная сила A76). § 78. Сцепление
в жидкостях, их прочность на разрыв, удельная поверхностная
работа и поверхностное натяжение A78). § 79. Газы и пары как
жидкости малой плотности и без свободной поверхности. Закон
Бойля — Мариотта A85). § 80. Модель газа. Давление газа как
следствие теплового движения A87). § 81. Основное уравнение
кинетической теории газов. Скорость газовых молекул A89). § 82.
'Воздушная оболочка земли. Давление воздуха в демонстрационных
опытах A90). § 83. Распределение давления газа в поле тяжести.
Барометрическая формула A93). § 84. Статическая подъемная сила
в газах A96). § 86. Газы и жидкости в системах отсчета с
ускорением A97). § 86. Заключение. Что называется силой? B00).
X. Движения в жидкостях и газах 203
§ 87. Три предварительных замечания B03). § 88. Внутреннее
трение и пограничный слой B03). § 89. Слоистое (ламинарное)
движение жидкости, возникающее при сильном влиянии трения B06).
§ 90. Число Рейнольдса B08). § 91. Свободное от внутреннего
трения движение жидкости. Уравнение Бернулли B10). § 92.
Обтекание. Истоки и стоки, движение без вращения частиц или
потенциальное течение B15). § 93. Вращения жидкостей и их
измерение. Свободное от вращения вихревое поле B18). § 94. Вихри
и поверхности раздела в жидкостях, практически лишенных
трения B22). § 95. Сопротивление и формы линий тока B24).
§ 96. Динамическая подъемная сила B27). § 97. Применения
динамической подъемной силы B30).
Б. АКУСТИКА
XI. Учение о колебаниях 233
§ 98. Предварительное замечание B33). § 99. Получение
незатухающих колебаний B33). § 100. Представление несинусоидальных
колебательных процессов при помощи синусоидальных
колебаний B36). § 101. Спектральное изображение сложных форм
колебаний B41). § 102. Общие свойства собственных упругих колебаний
твердых тел произвольной формы B45). § 103. Упругие поперечные
колебания напряженных линейных твердых тел B45). § 104.
Упругие продольные и крутильные колебания напряженных линейных
твердых тел B48). § 105. Упругие колебания в столбах жидкости
и газа B51). § 106. Собственные колебания жестких линейных тел.
Колебания изгиба B54). § 107. Собственные колебания плоских и
пространственно-протяженных фигур. Тепловые колебания B55).
§ 108. Вынужденные колебания B57). § 109. Значение резонанса
для обнаружения отдельных синусоидальных колебаний.
Спектральный аппарат B62). § ПО. Значение вынужденных колебаний для
неискаженной передачи несинусоидальных колебаний.
Регистрирующие аппараты B64). §111. Усиление колебаний B66). § 112. Два
связанных маятника и их вынужденные колебания B67). § 113.
Раскачивание B70). § 114. Релаксационные колебания B71).

СОДЕРЖАНИЕ
XII. Бегущие волны и излучение 273
§ 115. Бегущие волны B73^. § 116. Интерференция B75).
§ 117. Стоячие волны B77). § 118. Распространение волн B79).
§ 119. Принцип Френеля — Гюйгенса B84). § 120. Возникновение
продольных волн. Их скорость B86). § 121. Стоячие продольные
волны в воздухе в свободном звуковом поле B87). § 122. Звуковые
индикаторы. Звуковое давление. Звуковой радиометр B90).
§ 123. Отражение, преломление, диффракция и интерференция
свободных звуковых волн B92). § 124. Возникновение волн на
поверхности жидкости C00). § 125. Дисперсия и групповая
скорость C04). § 126. Превращение непериодических процессов в
волновые C07). § 127. Энергия звукового поля. Акустическое
сопротивление 4310). § 128. Звук C13). § 129. Приемники звука C16).
§ 130. Движущиеся источники и приемники звука C17).
§ 130а. О слухе C18). § 131. Фонометрия C21). § 132. Ухо C25).
В. УЧЕНИЕ О ТЕПЛОТЕ
ХШ. Основные понятия 329
§ 133. Предварительные замечания. Некоторые химические
понятия C29). § 134. Новая основная величина — температура — и
ее измерение C31). § 135. Количество теплоты, удельная теплота
и теплоемкость C35). § 136, Количество теплоты как энергия,
сохранение энергии C36). § 137. Скрытая теплота C38).
XIV. Первое начало и уравнение состояния идеальных газов . . . 343
§ 138. Работа расширения и техническая работа C43). § 139.
Термические параметры состояния C45). § 140. Внутренняя энергия Ц
и первое начало C46). § 141. Параметр состояния энтальпия У C48).
§ 142. Две удельные теплоты ср и сг C49). § 143. Термическое
уравнение состояния идеальных газов. Абсолютная
температура C53). § 144. Определение молекулярного веса (М) по
плотности пара р C57). § 145. Абсолютный нуль температуры C58).
§ 146. Калорическое уравнение состояния идеальных газов.
Дроссельный опыт Гей-Люссака C58). § 147. Изменения состояния
идеальных газов C61). § 148. Примеры применения
политропических и адиабатических изменений состояния. Измерения
%=сда/Сг, C67).
XV. Реальные газы и пары 371
§ 149. Изменения состояния реальных газов и паров C71).
§ 150. Различие газа и жидкости C73). § 151. Уравнение
состояния Ван дер Ваальса для реальных газов C76). § 152. Дроссельный
опыт Джоуля — Томсона C77). § 153. Получение низких температур
и сжижение газов в лабораторных условиях C80). § 154.
Технические методы сжижения и разделения газов C82). § 155. Давление
пара и температура. Тройная точка C83). § 156. Замедление
фазового превращения жидкое -»• твердое состояние.
Переохлажденные жидкости C85). § 157. Замедление фазового превращения
жидкое *—»• парообразное состояние. Прочность жидкостей на
разрыв C86).

СОДЕРЖАНИЕ
XVI. Теплота как беспорядочное движение 389
§ 158. Температура в молекулярном представлении C89). § 159.
Отдача при отражении газовых молекул. Радиометрическая сила C93).
§ 160. Распределение скорости и средняя длина свободного пути
молекул газа C94). § 161. Удельные теплоты в молекулярном
представлении. Принцип равномерного распределения C96). § 162. Осмос
и осмотическое давление C99). § 163. «Физические молекулы».
Экспериментальное определение постоянной Больцмана к и
удельного числа молекул N D04). § 164. Определение постоянной
Больцмана к из броуновского движения D07). § 165. Термически
обусловленная граница чувствительности измерительных инструментов D08).
§ 166. Статистические флюктуации и число частиц D10). § 167.
Теорема Больцмана D11).
XVII. Процессы переноса, преимущественно диффузия 413
§ 168. Предварительное замечание D13). § 169. Диффузия и
смешение D13). § 170. Первый закон Фика и постоянная
диффузии D14). § 171. Нестационарная диффузия D18). § 172. О
теплопроводности и переносе тепла вообще D19). § 173. Стационарная
теплопроводность D21). § 174. Нестационарная теплопроводность D22).
§ 175. Процессы переноса в газах и их независимость от
давления D22). § 176. Определение средней длины свободного пути D25).
§ 177. Взаимная связь процессов переноса в газах D27).
XVIII. Параметр состояния энтропия 431
§ 178. Обратимые процессы D31). § 179. Необратимые
процессы D32). § 180. Измерение необратимости с помощью параметра
состояния энтропии 5 D34). § 181. Молекулярное представление
об энтропии D37). § 182. Примеры вычисления энтропии D39).
§ 183. Применение энтропии к обратимым изменениям состояния
в замкнутых системах D42). § 184. /5-диаграммы (Молье) и их
применения. Газовый поток со сверхзвуковой скоростью D46).
§ 185. /5-диаграмма воды D49).
XIX. Превращение теплоты в работу. Второе начало 452
§ 186. Тепловые машины и второе начало D52). § 187.
Двигатель с горячим воздухом D54). § 188. Различные типы
теплосиловых машин D56). § 189. Тепловой насос и холодильная
машина D59). § 190. Термодинамическое определение температуры D62).
§ 191. Работа при изотермическом процессе и зависимость этой
работы от температуры D62). § 192. Применение уравнения
Гельмгольца D64). § 193. Человек как изотермическая силовая
машина D66). § 194. 6 значении свободной энергии D67). § 195.
Размерности физических величин D68).
ТАБЛИЦЫ
Периодическая система элементов 470
Единицы длины, силы, давления, энергии 471
Молярные величины 472
Важнейшие постоянные 474
Алфавитный указатель 475

ОТ РЕДАКТОРА
Книга проф. Р. В. Поля представляет интерес прежде всего для
преподавателей физики своим свежим научным содержанием,
глубоко продуманной методикой изложения, всюду опирающейся на
эксперимент. Она несомненно принесет большую пользу студентам
университетов, педагогических институтов и высших технических
учебных заведений.
Поскольку основное значение книги — научно-методическое, при
переводе были тщательно сохранены ее особенности, в том числе
и расходящиеся с принятыми в нашей учебной литературе
обозначения. Например, вместо «килограмма-силы» автор вводит «кило-
понд», вместо «джоуля» он употребляет «ватт-секунду». Четко
разграничены автором понятия «массы» и «количества вещества»,
понятия «работы расширения» и «технической работы» и т. д.
В некоторых местах допущены незначительные сокращения
авторского текста в тех случаях, когда автор, например, ссылается на
старинные немецкие книги, малоизвестные нашему читателю, и т. п.
Главной же заботой редакции было довести до читателя текст книги
Поля в возможно более точном переводе.
В отделах «Механика» и «Акустика» сохранен в основном
перевод, выполненный К. А. Леонтьевым, но с большими изменениями
и дополнениями по 13-му немецкому изданию 1955 г., переведенными
мною. «Учение о теплоте» перевел В. М. Южаков.
Н. П. Суворов
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К 1-МУ ИЗДАНИЮ
A930)
Эта книга содержит первую часть моего курса лекций по
экспериментальной физике. Я стремился к возможно большей простоте
изложения. Эта простота должна сделать книгу пригодной не только
для студентов и преподавателей, но и для более широкого круга
читателей, интересующихся физикой.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ДВЕНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ 9
При изложении везде поставлены на первый план основные опыты.
Они служат, прежде всего, для уяснения понятий и для обзора
порядка величин. Количественные детали отступают на задний план.
Целый ряд опытов требует довольно значительного простора.
В геттингенской аудитории мы располагаем свободной площадью
пола в 12X5 мг. Являющийся досадной помехой в старых
аудиториях громадный, неподвижный стол для опытов устранен уже
несколько лет тому назад. Вместо него, смотря по надобности,
устанавливаются небольшие столы, так же мало закрепленные в полу,
как мебель жилого помещения. Благодаря этим удобным столам
отдельные установки опытов значительно выигрывают в наглядности
и доступности. Большинство столов можно вращать около
вертикальной оси и быстро переставлять по высоте. Этим можно
избегнуть мешающих перспективных пересечений различных установок.
Употребляемую в данный момент установку можно приподнять и
поворотом сделать ее видимой каждому слушателю с наиболее
удобной для него стороны.
Используемые аппараты просты и немногочисленны. Большей
частью они описаны здесь впервые. В основу большинства рисунков
положены фотографические снимки. Многие рисунки приведены в виде
теневых проекций — силуэтов. Эта форма рисунков очень удобна
для печати и дает возможность судить о размерах. Наконец, силуэт
выявляет пригодность опыта для больших аудиторий, которые
требуют, прежде всего, четких очертаний, нигде не прерываемых
побочным приспособлением вроде штатива и т. п.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К 12-МУ ИЗДАНИЮ
A953)
Все уравнения записываются с помощью четырех основных
величин; кроме трех механических, используется одна термическая —
температура. В учении о теплоте я отказываюсь, таким образом,
от (обычно молчаливо подразумеваемого) введения пятой основной
величины, а именно количества вещества 2, и пользуюсь молями
как (особыми для каждого вещества) единицами массы. Я не вижу
пользы в том, чтобы наряду с удельным объемом Ув = объем К/масса М
употреблять еще другую величину: мольный объем V = объем
К/количество вещества Т.. Например, для комнатного воздуха достаточно
указать удельный объем У8 — 0,776 м2/кг—22,4 литр/моль.
Наконец, я старался слова, имеющие разный смысл, как, например,
«масса» и «количество», употреблять всегда лишь в одном и том же
значении, а все производные величины и их единицы определять из
уравнений. Об этом см. в конце § 16.

ПРЕДИСЛОВИЕ К 13-МУ ИЗДАНИЮ
После основательной переработки текста в 12-м издании на этот
раз внесены лишь небольшие изменения и исправления. Как и в двух
других книгах, перед текстом дано подробное оглавление, так как
расположение материала во многом отличается от общепринятого.
Так, например, интерференция и диффракция исчерпывающе
изложены в этой книге на основе учения о механических волнах,
а в оптике дополнены их особенности. Атомная физика по-прежнему
распределена по всем трем томам. Основания к этому приведены
в предисловии к 9-му изданию «Оптики».
Геттинген
март 1955 г.
Р. В. Поль

ОБ УПОТРЕБЛЕНИИ УРАВНЕНИЙ
Все уравнения в «Механике» пишутся как уравнения для трех
основных величин, а в «Учении о теплоте» — соответственно
четырех основных величин. Каждой букве в уравнении соответствует
числовое значение и единица. Тем самым становится беспредметным
ранее считавшееся необходимым различие между физической и
технической системами мер. Выбор единиц становится свободным. Те из
них, которые вводятся в некоторых уравнениях, следует
рассматривать только как примеры.
При употреблении уравнений между величинами следует еще
учитывать, что складывать килопондметры с калориями или сокращать
их в числителе и знаменателе дроби столь же нелепо, как
складывать между собой числовые значения разных денежных знаков,
например долларов и марок.
Многие физические величины по своей природе являются
векторами. Так как часто векторный характер их должен быть особенно
подчеркнут, то в этих случаях мы употребляем как в отдельных
обозначениях, так и в уравнениях, готический шрифт. Так всегда
делается, например, в отношении силы и векторов поля в учении
об электричестве, а иногда скорости, ускорения и т. д.
Несмотря на частое употребление готических обозначений,
уравнения в этой книге, как и в других двух, должны нормально
читаться как количественные соотношения. Но при этом надо
обращать внимание на два момента: знак -(- или — между
готическими буквами обозначает геометрическую сумму (см. стр. 29);
на противоположные направления векторов в уравнениях указывает
знак —. Например, уравнение для радиального ускорения Ъг— — и2/г,
направленного к центру. Оно выглядит во «Введении» менее
сомнительным, чем векторное уравнение с величиной радиуса в
знаменателе и его единичным вектором в числителе.
Некоторые уравнения содержат также широко
распространенные в векторной символике обозначения. Так, например, без особого
указания с помощью косого креста введено векторное
произведение. Благодаря этому такие уравнения охватывают больше, чем
частные случаи, содержащиеся в тексте. Читатель, еще не знакомый

12 ОБ УПОТРЕБЛЕНИИ УРАВНЕНИЙ
с векторными обозначениями, примет этот крест только за знак
умножения и не придаст ему другого значения.
Изложение, объемлющее общую физику, приводит к большим
трудностям из-за недостаточного числа используемых букв. В трех
томах данного «Введения» перемена значений отдельных букв повсюду
избегнута. Но этого удалось достичь благодаря отказу от
обозначения величины всякого вектора только с помощью либо латинских,
либо готических букв. Но в этом нет никакой беды. Строго
проведенное единообразие ухудшило бы изложение: достаточно указать
на затруднительность применения готических букв для земного
ускорения или угловой скорости.

А. МЕХАНИКА
I. ВВЕДЕНИЕ, ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ И ВРЕМЕНИ
§ 1. Введение. Физика — опытная наука. Она основывается на
экспериментально установленных фактах. Факты остаются, а
истолкование их меняется в ходе исторического развития. Факты
устанавливаются из наблюдений, изредка случайных, но в большинстве
случаев планомерно
проведенных.
Наблюдатели должны
быть подготовлены, так как
неопытные легко могут
впасть в заблуждение.
Приведем два примера.
а) Цветные тени. На
рис. 1 мы видим белую
стену №, газокалильную
лампу и электрическую
лампочку накаливания;
Р—любое непрозрачное тело,
например кусок картона.
Сначала включается только
электрическая лампочка,
газовая не горит или
заслонена. Белая стена
освещается всюду, за
исключением области тени 51#
Отметим ее как-нибудь, например, прикалывая кнопками полоски
бумаги. Затем зажигается только газовая лампочка. Стена снова
выглядит белой, на этот раз включая и отмеченную область 5Х.
Черная тень картонки лежит теперь в *52. Далее начинается самый
опыт: при свете газовой лампы включается электрическая, отчего
в области 5Х объективно, физически, ничего не изменяется. Несмотря
на это, для нашего глаза картина в корне изменилась. Мы видим
в 5Х тень ясного оливково-зеленого цвета. Она резко
контрастирует с теперь красно-бурой тенью 52. При этом, как и прежде,
■Ох
Рис. 1. Цветные тени.

14 I. ВВЕДЕНИЕ/ ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ И ВРЕМЕНИ
от 5Х в наш глаз попадает только свет, идущий от газовой лампы.
Область 5г охвачена светлой рамкой, образованной светом
электрической лампочки. Уже одно наличие этой рамки способно таким
поразительным образом изменить окраску 5!.
Этот опыт чрезвычайно поучителен для начинающего. Он
показывает, что цвета — объект изучения не физики, а физиологии и
психологии. Непониманием этого вызвано очень большое количество
бесполезных работ.
б) Обманчивая спираль. Любой глаз увидит на рис. 2 систему
спиралей с общим центром. Однако в действительности здесь имеются
концентрические круги. В этом можно
р сейчас же убедиться, обведя один из них
острием карандаша.
Эти и многие другие обусловленные
нашими органами чувств явления лишь
изредка создают затруднения для
опытного наблюдателя. Но они требуют
осторожности. Сколько других нам пока
еще не известных субъективных влияний
может быть скрыто в наших физических
наблюдениях природы! Прежде всего,
подвержены сомнению самые общие
понятия, образовавшиеся в течение многовеко-
Рис. 2. Обманчивая спираль, вого человеческого опыта, такие, как
пространство, время, сила и т. д.
Современной физике предстоит еще очиститься от многих
предубеждений и многих ложных толкований.
§ 2. Измерение длины. Непосредственное измерение. Без
сомнения, наблюдение и опыт даже при качественной постановке дают
нам новые познания, часто даже большой важности. Однако и опыт
и наблюдение только тогда достигают своей полной ценности, .когда
они выражают величины числом и мерой. Измерения играют в физике
важную роль. Техника физических измерений достигла высокого
развития, число ее методов очень велико, и они являются
предметом обширной специальной литературы.
Среди разнообразных физических измерений особенно часто
встречаются измерения длины и времени или в отдельности, или
вместе с измерением других величин. Поэтому целесообразно будет
начать с измерения длин и времен, и притом с выяснения его основ,
а не с описания технических деталей его выполнения.
Каждое действительное или прямое измерение длины
основано на приложении и откладывании масштаба. На первый взгляд
это утверждение кажется тривиальным. Несмотря на это,
выраженная в нем истина утвердилась очень недавно. Без ее
последовательного применения некоторые из самых знаменитых физических
открытий не допускают даже попытки какого-либо объяснения.

§ 2. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ 15
Самым процессом измерения, а здесь откладыванием масштаба,
мы еще ничего не достигаем. Ему должно сопутствовать установле-
ные единицы длины.
Всякое установление физических единиц вполне произвольно.
Важнейшим требованием к ним всегда является возможно более
широкое международное признание. Желательны, далее, возможность
легкого воспроизведения их и получение удобных числовых величин
при наиболее часто встречающихся измерениях повседневной жизни.
В учении об электричестве во всех странах употребительны две
единицы: ампер и вольт. Но среди единиц измерения длины
существует почти безнадежная путаница. Только физическая литература
является похвальным исключением. В подавляющем большинстве
случаев физика кладет в основу своих измерений длины одну и ту же
единицу: метр *).
Метр — вещественная единица. Он определяется масштабом,
хранящимся в «Бюро весов и мер» около Парижа Это —
металлический брусок из сплава 90% платины и 10%
иридия. Брусок имеет своеобразное, похожее на
букву X, поперечное сечение (рис. 3). На
плоскости NN нарезаны две метки. Их расстояние
(при температуре 0°С) и считается метром.
Благодаря Х-образной форме поперечного сечения
расстояние между метками не зависит от
неизбежных прогибов стержня (нейтральное сечение)
(см. § 70). С этого нормального метра сняли 31 „ис- 3- Профиль
4 ° ' г г- Парижского нор-
копию и распределили их по жребию между мального метра.
странами, участвовавшими в международной кон- Высота около 2 еж.
венции.
Для целей проверки в производстве употребляются нормали длин. Они
известны как шонцевые масштабы». Это—четырехугольные стальные бруски
с плоскопараллельными блестящими отполированными концевыми плоскостями.
Будучи сложены, они прилипают друг к другу (см. рис. 225). При их помощи
можно получать длины с точностью до 10~3 мм = 1 р. (говорят: 1 микрон).
Для практического измерения длины служат масштабы с
делениями и различные измерительные приборы. Длина штриха на
масштабе должна в 2,5 раза превышать расстояние между штрихами.
При этом условии дробные части оцениваются наиболее точно.
В приборах для измерения длины отсчет дробных частей
облегчается механическими или оптическими приспособлениями. В качестве
механических приспособлений используются разные передачи:
!) Для применения в повседневной жизни метр слишком велик, а его
тысячная часть — миллиметр — слишком мала. Для оценки десятых долей
миллиметра штриховые деления обычных линеек слишком грубы. Технически
пригодная единица, по величине примерно равная 1/т локтя или стопы,
несомненно получила бы международное распространение на практике.

16
I. ВВЕДЕНИЕ, ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ И ВРЕМЕНИ
рычажные, винтовые («винтовой микрометр»), зубчатые колеса
(«счетчик») или спирали.
Из оптических приспособлений первое место занимает наблюде-
дение при помощи микроскопа. При этом дело идет только о
прямых измерениях. Для примера мы
-0.5 измерим толщину волоса перед
большой аудиторией.
-пВ Посредством простого микро-
скопа изображение волоса проек-
тируется на экран. На этом изо-
бражений толщина волоса отме-
-03 чается ДВУМЯ остриями (рис. 4, а).
Затем волос удаляется и заме-
а Ъ няется маленьким масштабом,
Рис. 4. Измерение длины микроскопом. нарезанным на стекле
(объективный микрометр), например одним
миллиметром, разделенным на 100 частей. Поле зрения имеет теперь
вид рис. 4,Ь. Между остриями мы отсчитываем 4 деления шкалы.
Толщина волоса составляет, следовательно, 4 • 10~2 мм или 40 {А.
Предел ошибок измерения длины с помощью оптических приспособлений
может быть доведен приблизительно до ±0,1 [л, механических — до ± 1 [л.
Невооруженный глаз должен довольствоваться точностью от ± 50 до 30 (х
(поперечник волоса!).
§ 3. Сохранение единиц длины. При прямых измерениях длины
можно использовать масштаб со столь тонким делением, что даже
вооруженный глаз его не замечает. Это
ясно из рис. 5. К неподвижной и
подвижной частям раздвижного калибра
прикреплено по масштабу. Оба масштаба
представляют собой стеклянные пластинки
с нанесенной на них решеткой делений.
Для наблюдателя пластинки расположены
одна за другой и перекрываются в
большой области. Непрозрачные штрихи и
прозрачные просветы имеют одинаковую
ширину (в действительности, например,
по 1/20 мм).
Пусть в нулевом положении штрихи
одного масштаба совпадают с просветами Рис. 5. Интерференционный
другого. Тогда область перекрытия не- микрометр для демонстра-
прозрачна и кажется темной. Затем ционных опытов,
щупалец Ь со своим масштабом медленно
перемещается вправо: продолжение этого перемещения область
перекрытия периодически становится то светлее, то темнее. Каждое
новое потемнение означает увеличение расстояния а — Ъ на
промежуток между серединами соседних штрихов, в рассматриваемом

§ 4. косвЕнное измерение длины
17
примере на 1/ю мм- Поэтому по числу потемнений можно
произвести прямое измерение длины с помощью невидимого тонкого
деления. Короче говоря, речь идет об измерении длины при помощи
геометрической «интерференции».
Этому интерференционному методу измерения длины
соответствует оптическая аналогия: деления, нанесенные человеческой рукой,
в оптике можно заменить природными. В качестве таковых
используют волны спектральной линии, испускаемой светящимся паром
кадмия. Ее длина волны («деление») сравнена с парижским
нормальным метром. В 1913 г. расстояние между метками нормального
метра оказалось равным 1 553 164,13 этой длины волны (X = 0,6438 [а
при нормальном давлении и 15° С).
Можно надеяться таким путем сохранить смысл слова метр и для
будущих поколений, Несмотря на всю мыслимую осторожность
в обращении, брусок нормального метра все же не остается
неизменным. В течение долгих лет изменяются все масштабы. Это —
следствие внутренних превращений в микрокристаллическом строении
всех твердых тел. Поэтому решено радикально изменить
международное определение метра. Предполагают в будущем это
определение целиком основать на определенной длине световой волны
изотопа Н§: 1 м должен стать кратным этой длины волны при точно
обусловленных давлении, влажности и температуре воздуха. Тем
самым в ближайшем будущем единицу длины метр исключат из группы
вещественных единиц.
§ 4. Косвенное измерение длины при очень больших
расстояниях. Базисный способ, стереограмметрия. Очень
большие отрезки часто недоступны прямому
измерению. Это может быть расстояние
между двумя горными вершинами или
расстояние небесного тела от Земли.
В таких случаях прибегают к
косвенному измерению длины, например, к
известному, объясненному на рис. 6, базисному
способу. Длина базиса ВС определяется по
возможности прямым измерением. Затем
измеряются углы р и *(■ По длине базиса и этим
углам можно определить искомое
расстояние х графически или вычислением.
Этот обычный в школьном
преподавании способ не свободен от принципиальных
неясностей. Он отождествляет употребляемые
при измерении углов световые лучи с
прямыми линиями евклидовой геометрии. Но
справедливость которого в конечном счете может быть установлена
только из опыта. К счастью, при нормальных физических
измерениях на Земле не следует отягощать себя подобными сомнениями.
Рис. 6. К измерению
длины при помощи базиса
и к
стереограмметрическому измерению длины.
ведь это — допущение,

18
I. ВВЕДЕНИЕ, ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ И ВРЕМЕНИ
Они приобретают остроту лишь в особых случаях, например, при
измерении колоссальных астрономических расстояний.
Несмотря на это, уже начинающий физик должен услышать
о таких трудностях. Ведь он не видит в измерении длины никакой
проблемы и принимает его за самое простое из всех физических
измерений. Но такое представление оказывается верным лишь в
случае прямого измерения длины—приложения и откладывания
масштаба.
В заключение этого краткого изложения методов измерения длины
упомянем еще об одном очень изящном способе технического применения
базисного метода — о так называемой стереограмметрии. На практике она
применяется главным образом при измерениях на местности, в особенности
в горных областях. В физике ее употребляют для исследования сложных
пространственных кривых, например путей молний.
На рис. 6 углы р и •( измеряются каким-либо угломерным инструментом
(например, трубой с лимбом). В стереограмметрии угломерные инструменты
на концах базиса заменяются двумя фотографическими аппаратами. Их
объективы обозначены на рис. 6 цифрами / и //. Изображения В и С одного и
того же предмета А сдвинуты от середины пластинок на расстояния ВЬ и С7?.
Зная, с одной стороны, ВЬ или СЯ, с другой — расстояние ВС, можно
вычислить х — искомое расстояние до предмета А. Это легко видеть из
геометрических соображений. Для данного базиса /—// и данного фокусного
расстояния линзы / можно составить градуировочную таблицу прибора.
До сих пор этот способ не представлял ничего достойного внимания.
Только теперь начинаются серьезные затруднения: потребовалось бы много
времени, а часто даже было бы невозможно установить соответствующие
друг другу изображения В и С отдельных участков такой запутанной кривой,
как, например, путь молнии. Это затруднение можно обойти. Оба
фотографических снимка соединяются известным способом в стереоскопе в одно
представляющееся
пространственным поле зрения. На рис. 7
видно, что оба отдельных
снимка вложены в стереоскоп.
Теперь прибегают к решающему
дело искусственному приему:
применению «блуждающей
метки».
Блуждающая метка
получается при помощи двух
одинаковых указателей / и 2. Они
могут вместе перемещаться по
ширине и высоте над
плоскостью снимков. Эти
перемещения отсчитываются по
шкалам 5х и 52. Кроме того, взаим-
Рис. 7. Стереоскоп с блуждающей меткой. ное расстояние обоих указате-
На снимках — разветвленные пути молнии. лей может изменяться и
измеряется при помощи шкалы 53.
Смотря в стереоскоп, мы видим оба указателя слитыми в один свободно
«висящий» в пространственном поле зрения. При изменении расстояния между
указателями 53 эта «метка» движется к нам или от нас. Пользуясь всеми
тремя перемещениями E1э 52, 53), можно установить метку в любой точке
пространственного поля зрения, например, на вершине горы, на любом месте
запутанной траектории молнии и т. п. Этот опыт производит очень сильное

§ 6. ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕНИ. ПРЯМОЕ ИЗМЕРЕНИЕ. РЕГИСТРАЦИЯ 19
впечатление. Из отсчетов по шкалам легко найти, пользуясь градуировочными
таблицами, отрезки, определяющие положение точки по высоте, ширине и
глубине (ее три координаты).
§ 5. Измерение углов. К измерению длин сводится измерение
площадей, объемов и углов. Коснемся лишь измерения- углов.
Плоский угол (рис. 8) определяется отношением длина ДУГИ ь
•^ /г радиус г '
площадь части сферы /
(радиус лJ
самым все углы выражаются
отвлеченными числами. ^——"""" "Л Дуга
Слово градус, изображаемое .,, —
Радиус
Рис. 8. К определению плоского угла.
телесный угол (рис. 9) — отношением
Тем
знаком , есть только одна из
многих соответствующих
числовых единиц, определяемая
уравнением
1 О _/
,эд ДЛИНЫ ОКруЖНОСТИ
радиус
...A)
Часть

поверхности
шара.
Радиус
Рис. 9. К определению телесного угла.
и — сокращенное обозначение
числа 3,1415 . . .. Знак °
соответственно-сокращенное обозначение числа 0,01745. .. Поэтому,
например, а = 100° тождественно а = 100 • 0,0175 = 1,75.
Единицей измерения всех углов является число 1. За единицу
плоского угла часто принимают радиан (сокращенно рад), за
единицу телесного угла — (радианJ. Если в каких-либо единицах
появляется такое название для числа 1, то это значит, что в
применяемый способ входит измерение угла.
Пример. Для плотности излучения поверхности Солнца 5* имеем:
с* __
М°ЩНОСТЬ излучения
излучающая поверхность = 1,95 • 104 —~Ж м"'
телесный угол
Равенство 1 радиан =57,3° означает тождество
1 радиан = 57,3 • 0,0175 = 1.
Конус с угловым отверстием и вырезает из сферы, описанной около его
вершины, кусок поверхности площадью / = 2г2яA —соз а).
Для и = 32,8° телесный угол ср = 1 = рад2. Он вырезает из сферы сегмент
площадью / = г2, т. е. часть сферы, равную Г2\\ъг2 = 1/4я = 7,96%-
Единице градус для плоского угла соответствует единица телесного
угла — квадратный градус:
П° =
= 3,05 •
B)
§ 6. Измерение времени. Прямое измерение. Регистрация.
Основой всякого измерения времени является точно повторяющееся
движение, а последнее всегда может быть сведено к равномерному

20
I. ВВЕДЕНИЕ, ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ И ВРЕМЕНИ
вращению. При этом о «равномерности» движения мы пока будем
судить лишь по нашему чувству, ибо его строгое определение —
«равные углы в равные промежутки времени» — уже предполагает
наличие способа измерения времени.
Единицей времени служат звездные сутки. Их определяют как
время, которое в данном месте наблюдения протекает между двумя
последовательными прохождениями через меридиан одной и той же
неподвижной звезды.
Более строгие определения требуют больших астрономических знаний.
Звездные сутки подразделяются на 24 • 60 • 60 = 86 400 звездных
секунд. Из звездной секунды выводится средняя солнечная секунда
366,25 _
умножением на ■„ ' ■. Солнечные сутки длиннее звездных, так как
000,^0
в промежутке между двумя прохождениями через меридиан Солнце
само перемещается между звездами обратным движением с запада
на восток. Год состоит из 366,25 звездных или из 365,25
солнечных суток.
В физической литературе, равно как в технике и в обыденной
жизни, в качестве «секунды» используют только среднюю солнечную
секунду.
Устройство употребляемых на практике для измерения времени
часов можно считать известным. Равномерность их хода достигается
I
Р
30см-
Рис. 10. Связь кругового движения и синусоиды. Перед
вертикальной щелью 5 находится штифт, сидящий на краю
горизонтально расположенного цилиндра. Цилиндр вращается при
помощи гибкого вала вокруг горизонтальной оси,
параллельной плоскости щели.
при помощи механических колебательных процессов. Колеблется
или висячий маятник в поле силы тяжести (стенные часы), или
вращающийся маятник с упругой спиральной пружиной
(например, балансир наших карманных часов). Остается доказать, что
колебания этих маятников могут быть сведены к равномерному
вращению.

§ 6. ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕНИ. ПРЯМОЕ ИЗМЕРЕНИЕ. РЕГИСТРАЦИЯ 21
Движение маятника протекает, грубо говоря, так же, как.
рассматриваемое сбоку круговое движение. Смотря в плоскости
кругового пути, мы видим, что вращающееся тело совершает лишь
движения вправо — влево. Их течение во времени точно такое же,
как и у колебаний маятника. Это
особенно наглядно показывает оптическая
регистрация. Она преобразует временную
последовательность в пространственно
расположенную последовательность и
представляет нам процесс движения в виде
отрезка кривой.
Для фиксирования этих кривых
служит объясненная на рис. 10 установка.
Щель 5 при помощи линзы Ь
изображается на экране Р. Освещающий щель
источник света (дуговая лампа) не
нарисован. Линза Ь во время экспозиции
равномерно движется на салазках по
направлению стрелки. Вследствие этого
изображение щели пробегает по экрану Р.
Экран покрыт фосфоресцирующим кри-
Рис. 11. Связанный с маят-
сталлическим порошком. Этот порошок нш«ш метронома металли-
*■ А полдни штптт папот! тот тл
ческий штифт перед щелью.
Это приспособление ставится
на место 5 на рис. 10.
после кратковременного освещения
продолжает светиться довольно
продолжительное время («Оптика», § 252).
Перед вертикальной щелью 5 мы помещаем последовательно:
1. Металлический штифт, который описывает цилиндрическую
поверхность с осью, параллельной плоскости щели (рис. 10), и
2. проволоку, укрепленную сбоку на маятнике метронома
(рис. 11).
Рис. 12. Связь кругового движения и синусоиды. Т—время
оборота или период.
В обоих случаях мы получаем на светло-зеленом светящемся
фоне одну и ту же черную кривую: изображение синусоиды.
Эта внутренняя связь кругового движения, движения маятника
и синусоиды играет в самых различных отделах физики важную
роль. С формально математической стороны эта связь следует из
рис. 12. Однако ввиду важности связи далеко не лишним является

22 I. ВВЕДЕНИЕ, ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ И ВРЕМЕНИ
и приведенный выше очень наглядный опыт. Кстати, он может
служить простым примером анализа движения путем оптической
регистрации.
При очень быстро протекающих процессах регистрация
желательна, а иногда и необходима. Наиболее удобна для регистрации
трубка Брауна1) («Электричество», § 11), вспомогательное
устройство, прекрасно изготовляемое промышленностью. В технических
музеях больших городов устроены особые детские отделения. В них
дети могут экспериментировать с трубкой Брауна. Поэтому
можно предвидеть, что скоро эта трубка станет столь же
известной, как часы и кинокамера.
§ 7. Современные часы; личное уравнение. Подробности
конструкции современных часов для нас не важны. Техника снабжает
нас в настоящее время очень удобными карманными секундомерами
для непосредственного отсчета 1/20 и даже 1/ш сек. Подобные
часы показаны на рис. 13. Их стрелка делает в секунду полний
оборот. Наблюдая их ход, невольно поражаешься
каждый раз большой длительности секунды!
Такие часы послужат нам для измерения часто очень
зажной величины, именно так называемого «личного
уравнения». Наклеим на часовое стекло метку,
например полоску бумаги в виде сектора.
Попробуем затем остановить стрелку как раз в тот момент,
когда она выходит из-за метки. Как правило,
стрелка при этом значительно переходит за метку —
большей частью на 1/ю сек- Этот промежуток
времени и называется «личным уравнением». Легко
Рис. 13. Карман- уяснить себе его значение: оптический сигнал, по-
ный секундомер лучаемый глазом, должен дойти до мозга. Головной
Ч ° с^к^Воемя мозг чеРез посредство спинного мозга должен сооб-
оборота стрел- ш.ить о нем мускулам пальцев. Оба этих процесса
ки — 1 сек. требуют затраты конечного промежутка времени,
равного «личному уравнению».
При измерении промежутков времени секундомером наблюдения в
начале и конце должны производиться одним и тем же органом чувств. Тогда
личное уравнение в обоих случаях будет практически одинаково; из
конечного результата оно выпадает.
Трубки Брауна (конец § 6) можно приспособить для измерения
коротких промежутков времени простым электрическим включением
в часы и измерять с их помощью промежутки времени до 10" сек.
§ 8. Период и частота. Стробоскопические измерения. Как и
повсюду в жизни, многие физические процессы состоят из
правильной последовательности периодически повторяющихся событий, на-
К сожалению, часто называемая электронным осциллографом.

§ 8. ПЕРИОД И ЧАСТОТА. СТРОБОСКОПИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
23
пример, оборотов, вращений, колебаний и т. д. Пусть в течение
времени Ь произойдет п таких событий. Определяют
N = п\1 как частоту C)
и обратную величину
1/\=Г=^/я как период процесса. D)
Пример. Электромоторы, используемые в аудитории, имеют большей
частью частоту вращения порядка величины V = 2000/мин я& 33/сек; их период,
или продолжительность оборота, Т равен поэтому ?5ь0,03 сек.
К сожалению, в технике часто обозначают частоту машин как число
оборотов. Таким образом, используют одно и то же слово и для числа
оборотов п, и для отношения этого числа п к времени и
Часто периоды бывают очень короткими, но их измерение
оказывается значительно проще, чем измерение столь же малых
промежутков времени, но без периодического
повторения. В качестве примера опишем
стробоскопическое измерение времени или частоты.
Рис. 14 изображает плоскую пружину. Мы
заставляем ее колебаться с высокой неизвестной
частотой ^(см. рис. 358, § 109). Пружина
проектируется на экран прерывистым светом —
рядом равномерно следующих друг за другом
вспышек. Такое освещение достигается проще
всего при помощи вращающегося диска примерно
с 20 щелевидными отверстиями, который в
надлежащем месте прерывает ход световых лучей.
Частоту вращения диска у© нетрудно
определить непосредственным отсчетом; тогда частота
световых вспышек при 20 отверстиях ^ = 20^.
Мы начинаем с большого числа оборотов
Рис. 14. Пружина Р
для демонстрации
стробоскопического
измерения
времени. Колебания этой
гг пружины изобра-
диска и постепенно замедляем его вращение. При жены на рис 358
определенной частоте освещения
(напри- Для возбуждения
колебаний служит
гибкий вал с
насаженным на штифт
А эксцентриком.
Более подробно об
мер = 60/сек) каждая из следующих друг за
другом вспышек света застает пружину в
произвольном, но всегда одном и том же месте ее пути.
Тогда мы увидим пружину стоящей неподвижно
в этом (и только в этом) положении. Теперь ЭТ,ОМ см- в § 109
сп/ «Вынужденные ко-
ее частота Чр—^х» а в примере Мд, = 5О/с0а;, пе- лебания»
риод 7^ = 0,02 сек.
Можно сделать промежуток времени между двумя вспышками немного
больше или меньше периода колебаний пружины. Тогда пружина будет
освещаться раз за разом не в одном и том же, а в очень близких друг
к другу положениях. Вследствие этого мы увидим, что изображение
пружины медленно движется в том или другом направлении. Видно, как сильно
замедлено, подобно кинематографическому расширению времени,
колебательное движение. Это «стробоскопическое расширение гремениъ часто
бывает очень полезным.

24 I. ВВЕДЕНИЕ, ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ И ВРЕМЕНИ
§ 9. Косвенное измерение времени. Принципиальные
трудности нашего современного способа измерения времени. Вместо
современных прямых способов измерения времени, основанных на
равномерных вращениях или колебаниях, раньше употреблялись
косвенные способы, например водяные или песочные часы. В ранний
период развития механики (например, при Галилее, см. § 13) они
играли большую роль.
Некоторые иногда бывают склонны посмеиваться над старинными
приспособлениями. Однако нам нужно быть поскромнее. И наш
современный способ измерения времени отнюдь не является
совершенным. С определением нашей единицы времени, по существу,
дело обстоит ничуть не лучше, чем с определением в качестве
единицы длины непостоянного на протяжении тысячелетий нормального
метра. Объяснением служит
следующий опыт. Рис. 15
изображает человека, сидящего
на вращающейся скамье.
Толчком она приводится во
вращение. Всякое приближение рук
к телу увеличивает, а
удаление их от тела уменьшает
частоту вращения (более
подробно см. § 62). То же самое
«меет место . при вращении
Земли вокруг своей оси.
Всякое значительное перемещение пород, например, возникновение
горного массива или общее сжатие земного шара, влияет на период
его обращения и, следовательно, на длину звездных суток. Ход
лучших современных часов оказывается более равномерным, чем
вращение Земли.
Устройство этих современных часов основывается или на механических
колебаниях кристаллов (например, кварцевые часы, § 106), или на оптических
колебаниях молекул (например, аммиачные часы). В обоих случаях очень
высокие частоты методами техники переменного тока преобразуются в
определенные низкие частоты.
Трудности принципиального характера возникают при измерении
времени в области больших скоростей, сравнимых со скоростью
света. Опытные данные, охватываемые принципом относительности,
ставят измерение времени перед совершенно новыми задачами. Ср.
XXI главу из тома «Электричество».
Для длины и времени мы дали только способы измерения, но
не пытались предварительно оба понятия определить качественно.
Эти понятия с древнейших времен развивались на основе старых и
исключительно разнообразных опытов и событий. Физик
основывается только на ограниченном вообще. Например, о времени он
может сказать следующее:

§ 9 КОСВЕННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕНИ 25
Каждое физическое измерение требует по крайней мере двух
«отсчетов»: при измерении длины приходится «отсчитывать» начало
и конец, при употреблении электрических измерительных приборов —
нулевую точку и отклонение стрелки и т. д. Между первым и
вторым отсчетом бьется наше сердце или тикают часы. Все
наблюдения можно отнести к одной из двух групп. В первой группе
результат измерения зависит от того, сколько раз повторятся удары
сердца или протикают часы между первым и вторым отсчетами; во
второй группе, напротив, для результата измерения это безразлично.
Следовательно, относящиеся к первой группе процессы зависят от
величины, которую мы называем временем и измеряем путем отсчета
ударов или тиканья. Конечно, этим не исчерпывается понятие
времени, но по крайней мере нет и пустого словесного хлама.

II. ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЙ, КИНЕМАТИКА
§ 10. Определение движения. Система отсчета. Движением
называют изменение места с течением времени, наблюдаемое с
неподвижного твердого тела («система отсчета»). Эта прибавка
чрезвычайно существенна, что показывает произвольно выбранный
пример: велосипедист видит с седла своего велосипеда, что носки его
ног описывают круговые пути. Наблюдатель, стоящий на тротуаре,
видит совсем иную картину: для него носки велосипедиста пробегают
волнообразный путь, именно
изображенную на рис. 16
циклоиду.
п 1С г, „ Неподвижным твердым
Рис. 16. Путь велосипедной педали для Г -.
неподвижного наблюдателя. телом, с которого мы будем
в дальнейшем рассматривать
процессы движения, является Земля или пол нашей аудитории.
При этом мы сознательно оставляем без внимания суточное
вращение Земли. (В сущности, мы развиваем физику на большой
карусели. Да и Земля не является абсолютно твердой, а деформируется.)
В дальнейшем мы будем иногда менять свое место наблюдения
или систему отсчета. Во многих случаях мы будем принимать во
внимание вращение Земли. Иногда мы будем учитывать и
деформацию Земли. Однако все это мы будем каждый раз тщательно
оговаривать. Иначе, особенно при вращательных движениях, получится
совершенно безнадежная путаница.
Для представления или описания всех движений необходимы
измерения длины и времени. Эти измерения позволяют определить два
основных понятия: скорость и ускорение. С них мы и начнем.
§ II. Определение скорости. Пример измерения скорости.
Пусть тело передвигается за промежуток времени Ы на отрезок
пути Д$. Тогда определяют
приращение пути Д5 ,р-.
т приращение времени М
как среднюю скорость вдоль приращения пути Д$. Это частное,
вообще говоря, изменяется, если приращение пути Д$ все более
и более уменьшается. Постепенно изменения становятся ниже
предела точности измерения. Измеренное в этом случае и зависящее

§ 11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ. ПРИМЕР ИЗМЕРЕНИЯ СКОРОСТИ 27
еще только от исходной точки значение ит обозначается как
скорость и в исходной точке. Математически скорость и, таким
образом, получают как предел ит при предельном переходе М -»0.
Символ А заменяют на й и получают для скорости выражение
и =
<и
F)
т. е. производную от пути по времени.
Это определение во многих случаях требует измерения очень
малых промежутков времени. В качестве примера следует привести
измерение скорости вылета пистолетной пули из дула.
Рис. 17. Измерение скорости пистолетной пули при
помощи простого «хронографа». Направо — счетчик
частоты оборотов (тахометр).
Рис. 17 показывает соответствующее измерительное
приспособление. Путь Д$ ограничен двумя тонкими картонными дисками,
длина его около 22,5 см. Измерение времени весьма наглядным
образом сведено к основе всех таких измерений — равномерному
вращению. Отметки времени записываются автоматически
(«хронограф»). Для этой цели электромотор приводит диски, сидящие на
общей оси, в быстрое равномерное вращение. Его частота V, а
следовательно, и частное от деления числа оборотов п на время /,
отсчитывается на счетчике частоты вращения. Пусть, например,
V = ЬО/сек.
Пуля пробивает сначала левый диск; пробоина и есть наша
первая отметка времени. Пока она пролетит равный 22,5 см путь до
второго диска, наши часы или «хронометр» повернутся дальше.
Пробоина, или отметка времени на втором диске, будет сдвинута
относительно первой на некоторый угол. После остановки дисков
мы находим его равным около 18°, или 1/20 окружности.
Просунув в пробоину проволоку, мы можем показать ее тень и сделать
угловое смещение видимым издали.

28 II. ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЙ, КИНЕМАТИКА
11 -з
Время полета Ы равно -~г - -щ-— 10 сек. Отсюда получается
скорость:
— 22'5 см __ 0,225 м __ 225 м
10~3 сек 10~8 сек сек
Опыт повторяется еще раз с уменьшенным путем полета Д$,
равным лишь 15 см. Результат получается тот же самый. Значит,
уже и первый путь был выбран достаточно малым. И он дает нам
искомую начальную скорость, а не меньшую ее среднюю скорость
на более длинном пути.
Только при движении с постоянной скоростью (равномерном) можно
выбирать величины Д5 (измеряемый путь) и М (измеряемое время)
исключительно по соображениям технического удобства. В этом случае пишут
коротко а = 5\г.
Своевременно надо привыкнуть к тому, чтобы всегда
приписывать к числовым значениям также и единицы. Это хорошее
обыкновение физической детской! Тогда читатель избавляется от хлопот,
связанных с розыском употребляемых единиц из соотношений между
ними. При этом избегают самых частых вычислительных ошибок,
так как при перемене единиц изменяются и числовые значения
результатов измерений. Вычисление идет с автоматической ясностью,
если результаты измерений заданы числовыми значениями и и
единицами.
Пример. Скорость и = 225 м\сек перевести в километры и часы.
1 м = 10~8 км, 1 сек. = A/3600) час. Следовательно,
10~3 км
и = 225 /1ОЙПЛ, = 810 км\час.
A/3600) час
Правильную запись единиц можно рассматривать нередко как
краткое измерительное правило. Это будет показано во многих
местах данной книги.
В повседневной жизни для определения скорости довольствуются
лишь заданием ее числовой величины, например 10 м/сек. В физике
это число — только одна из двух частей,
определяющих скорость; второй частью
должно быть указание направления.
В физике скорость — всегда направленная
величина, и символ ее — вектор или
стрелка. Это особенно отчетливо про-
~ц,+и]~*—п~^ с является в общеизвестном правиле ело-
_. ,0 1,. жения двух скоростей или
«составление. 18. К геометрическому •* и
сложению векторов, напри- ния скорости из двух слагающих». На
мер скоростей. рис. 18, а большая скорость щ (например,
собственная скорость аэроплана) и малая
скорость и2, направленная иначе (например, скорость ветра), сложены
в одну результирующую скорость и3 (скорость полета аэроплана).

§ 12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ. ДВА ПРЕДЕЛЬНЫХ СЛУЧАЯ
29
Векторы противоположных направлений различают по их знакам;
например рис. 18, Ь описывают уравнением \хх = — и2 или их -|— и2 = 0.
Соответственно иг —)- и2 означает на рис. 18, с геометрическое
сложение двух противоположно направленных векторов иг и и2.
Результирующий вектор имеет числовое значение (длину стрелки)
| гхх —1— 1Д21 ==== 1 их I — !и2 1- Таким образом, числовые значения здесь
обозначают прямыми черточками по обеим сторонам.
§ 12. Определение ускорения. Два предельных случая.
Движения с постоянной скоростью очень редки. Вообще говоря, при
движении изменяется и величина и
направление скорости.
На рис. 19 стрелка их обозначает
скорость тела в начале промежутка
времени АЛ Пусть в течение этого
промежутка тело получает добавочную
скорость Аи любого направления,
изображенную второй короткой стрелкой. В конце промежутка
времени А^ тело имеет скорость и2. Она представлена на рис. 19
стрелкой и2.
Тогда определяется среднее ускорение
, приращение скорости Ди
т приращение времени М
Промежуток времени Д^ выбирается так, что это отношение при
дальнейшем уменьшении А^ больше не изменяется. Математически
осуществляют предельный переход А^ -> 0,
символ А заменяют символом й и тогда
Рис. 19. К общему определению
ускорения.
и,
1
йи
—> >
^
На
в качестве ускорения получают величину
йи
G)
Как и скорость, ускорение — тоже век-
Рис. 20. К определению тор Направление этого вектора совпадает
тангенциального ускоре- г у у «
ния с направлением приращения скорости Дй
(рис. 19).
На рис. 19 угол а между приращением скорости Дм и
начальной скоростью их был произвольным. Мы различаем два предельных
случая.
1. а = 0° или 180° (рис. 20, а и Ь). Приращение скорости лежит
в одном направлении с начальной скоростью. Изменяется только
величина, но не направление скорости. В этом случае ускорение
называют тангенциальным ускорением
. йи
(8)

30
И ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЙ, КИНЕМАТИКА
2. а =90° (рис. 21). Приращение скорости перпендикулярно
к начальной скорости и. Изменяется не величина, а только
направление скорости, а именно, за время йг на малый угол сф. В этом
случае йи\йг называют радиальным
\йи ускорением Ьг
соотношение х)
р
Из рис. 21 получается
Рис. 21. К определению
радиального ускорения.
Й3=^
' и
или йи =
(9)
Частное —т =о> называется угловой скоростью; следовательно,
радиальное ускорение
(Ю)
&, = «
и
Согласно предыдущему определению, слово «ускорение» употребляется
в физике совсем в ином смысле, чем в просторечии. Во-первых, в обыденной
жизни под ускоренным движением часто понимают просто
движение с большой скоростью, например ускоренное об-
ращение документов. Во-вторых, в обыденной речи со
словом ускорение не связывают никаких изменений
направления.
Большинство всех движений имеет налицо
одновременно и тангенциальные Ь и радиальные Ьг
ускорения; скорость меняется при движении и по
величине и по направлению. Несмотря на это, мы пока
ограничимся двумя предельными случаями чисто
тангенциального ускорения (прямолинейное движение)
и чисто радиального ускорения (круговое движение).
§ 13. Тангенциальное ускорение,
прямолинейное движение (Г. Галилей, 1564—1642).
Тангенциальное ускорение изменяет только величину, но не
направление скорости. Вследствие этого движение
происходит по прямой.
Тангенциальное ускорение в принципе очень
просто измерить. Находят скорости их и и2 в
течение двух следующих друг за другом промежутков
времени А^; вычисляют Дм=(а2 — мх)
(положительное или отрицательное) и берут частное Дм/Д^ = Ъ.
Как уже известно, Ы надо выбрать достаточно
малым. Результат измерения не должен изменяться
при дальнейшем уменьшении М. Практически это требование
означает в большинстве случаев применение очень малых промежутков
Рис. 22. Изм«?.
рение
ускорения свободно
падающего тела.
1) Пример.
4,5°; 1° = 0,0175; ЛЬ — 0,1 сек.;
Ли 4,5 • 0,0175
Л 0,1 сек.
0,79/ сек.

§ 13. ТАНГЕНЦИАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ, ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 31
времени М. Измеряются они одним из «способов регистрации».
Это значит, что процесс движения сначала автоматически
записывается, а потом эта запись спокойно обрабатывается.
Удобно для этой цели пользоваться кинематографом
(лупа времени). Но можно обойтись и гораздо проще,
например, ставить при помощи часов отметки времени на
движущемся теле. Но, само собой разумеется, процесс
отметки не должен нарушать движения тела. Дадим
практический пример. Пусть нам нужно измерить ускорение
свободно падающего деревянного бруска. Рис. 22
показывает подходящее для этого приспособление.
Сообразно смыслу оно может быть применено и
во многих других случаях измерения
ускорений.
Существенная часть прибора — тонкая
струя чернил, вращающаяся в
горизонтальной плоскости. Струя брызжет из
боковой насадки О вращающейся
чернильницы, сидящей на вертикальной оси
электромотора. Частота, например, V = 60/сек, измеряется
техническим частотомером. Здесь опять-таки измерение
времени сводится к равномерному вращению.
Рис. 23.
Шприц для
чернил,
применяемый на
рис. 22, в
половину
натуральной
величины.
Скорость
А с
см/сек
285,50
263,00
245,50
227,50
206,25
185,00
166,50
147,50
129,50
110,00
среднее:
Приращение
скорости Да
за Д/=1/50 сек.,
см/сек
22,50
17,50
18,00
21,25
21,25
18,50
19,00
18,00
19,50
19,50 см/сек
Ускорение
Кп
Ь = — ,
д/
м/сек
11,25
8,75
9,00
10,63
10,63
9,25
9,50
9,00
9,75
9,8 м\сеФ
Рис. 24. Падающее тело с отметками времени и их обработка с обычными
ошибками опыта и отсчета. Этот опыт показывает прежде всего, что
измерение второй производной — дело довольно неприятное, пока не применяется
фотографическая регистрация.
Брусок оборачивается в белую бумагу и подвешивается в а.
Проволочный спуск освобождает его в нужный момент. Брусок
падает сквозь вращающуюся чернильную струю на пол. Рис. 24

II. ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЙ, КИНЕМАТИКА
показывает результат опыта — аккуратный ряд отдельных
чернильных отметок на расстоянии 1/50 сек. друг от друга.
Пока струя пробегает по телу, оно продолжает падать. Отсюда и
получается искривление отметок.
Уже с первого взгляда видно, что движение ускоренное:
расстояние отметок времени, т. е. путь Д$, проходимый за каждое
Дг? = 1/50 сек., все время возрастает. Вычисленные значения скорости
и = Д$/Д^ выписаны рядом с отметками. За каждую пятидесятую
долю секунды скорость возрастает на одинаковую величину, именно
на Да = 19,5 см/сек. Отвлекаясь от неизбежных ошибок отдельных
значений, мы имеем при свободном падении редкий случай
постоянного или равномерного ускорения. В качестве величины этого
постоянного ускорения вычисляем 6=9,8 м/сек2.
Покажем и здесь пример перехода к другим единицам, а именно,
английским футам и минутам. 1 м = 3,28 фута, 1 сек. = 1/60 мин. Итак,
ь =
)
A/60 мин.)
^ = 1,16-105
*5
При повторении опыта с телом из другого вещества, например,
с медной трубкой вместо деревянного бруска, получается то же
самое значение. Постоянное ускорение Ь при свободном падении
для всех тел одинаково. Его почти всегда обозначают буквой §.
Итак, § = 9,81 м/сек2 и называется
«ускорением свободного падения» *). Это —
экспериментальный факт, попутно
полученный нами. Большое значение его будет
выяснено в дальнейшем.
Наш практический пример измерения
привел к особому случаю постоянного
ускорения. Этот особый случай имеем
"" важное значение.
_ пе „ Постоянное ускорение означает одина-
Рис. 25. Скорость и и путь 5 л
при постоянном ускорении. ковые приращения скорости Дм за
одинаковые промежутки времени Д^. Скорость и
(рис. 25) возрастает линейно в зависимости от времени ^. За каждый
элемент времени Д/ тело проходит отрезок пути Д$; отсюда
Д5 = #.Д/. Здесь и—среднее значение скорости .за время Д^. Этот
путь изображается на рис, 25 заштрихованной площадью. Полная
О
В
1) Это числовое значение имеет место вблизи поверхности Земли и
в большинстве случаев может считаться постоянным. При более точном
наблюдении оказывается, что § слегка зависит от географической широты места
наблюдения (§ 64). Далее, оно зависит и от местных особенностей (например,
залежей руды в глубине) и также, хотя и в очень слабой степени, от высоты
места наблюдения над уровнем моря.

§ 14. ПОСТОЯННОЕ РАДИАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ. КРУГОВОЙ ПУТЬ 33
площадь треугольника ОВС есть сумма всех путей Д$, пройденных
за время /. Следовательно, путь 5, пройденный с постоянным
ускорением за время г, выражается уравнением
т. е. путь возрастает пропорционально квадрату времени, в течение
которого тело получает ускорение.
Если бы тело уже до начала ускоренного движения обладало
начальной скоростью м0, то вместо уравнения A1) мы имели бы
уравнение
8*= иог-\---Ыг. A2)
пгосм
Причина постоянного ускорения совершенно
безразлична. Она может иметь и не механическое, а,
например, электрическое происхождение.
Уравнение A1) используют для проверки постоянного
ускорения во время свободного падения.
В качестве примера напомним известный опыт с падающим
шнуром. Он состоит из вертикально подвешенного тонкого шнура
с нанизанными на него свинцовыми шариками (рис. 26). Нижний
шарик почти касается пола. Расстояния остальных грузов от
первого пропорциональны квадратам целых чисел. По
освобождении верхнего конца шнура шарики один за другим
ударяются о пол. Эти удары слышатся через равные промежутки
времени.
Строго говоря, наблюдения свободного падения должны
проводиться в безвоздушном пространстве. Только так можно
избежать влияния сопротивления воздуха. В высоковакуумной
стеклянной трубке все тела действительно падают одинаково
быстро. Свинцовая пуля и пушинка одновременно достигают
низа. В комнатном воздухе, как известно, пушинка остается далеко
позади. Однако опыты падения тяжелых тел с относительно
малой поверхностью незначительно осложняются из-за
сопротивления воздуха (ср. рис. 107 на стр. 90).
630см
260см
70см
Рис. 26.
Падающий
шнур.
§ 14. Постоянное радиальное ускорение. Круговой путь
(Хр. Гюйгенс, 1629—1695). Радиальное ускорение Ъг изменяет не
величину, а только направление скорости и. Пусть имеется
постоянное радиальное ускорение Ьг и кроме него нет никаких других
ускорений. Тогда направление а изменяется за равные промежутки
времени йЬ на равные углы ар. Путь будет окружностью. Она
пробегается с постоянной угловой скоростью со = йф/й#.
Время полного оборота называется периодом Г, а его обратная
величина — частотой V, поэтому 7=1/7. Отсюда линейная скорость
длина окружности 2г% 9
а период Т ~ %
A3)

34
II. ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЙ, КИНЕМАТИКА
угловая скорость
угол 2тс
период
A4)
Если круговой путь пробегается с постоянной линейной
скоростью, то угловая скорость ш в 2л раз больше частоты V, т. е.
с» = 2тгг, поэтому со часто называют круговой частотой (единица,
например, 1/сек = 1 гц). Эти определения и соотношения имеют общее
значение для периодических процессов (например, вращения
электромотора). Их нужно твердо запомнить.
Объединим уравнения A0) и A4) и установим знаки для
направлений: радиус г, направленный от центра, считается положительным.
Радиальное же ускорение направлено к центру.
\ а иД1 й Мы будем отмечать это отрицательным знаком.
^ -
A5)
и2 /г
Рис. 27. К объяснению
радиального
ускорения.
Это радиальное ускорение Ьг необходимо
для того, чтобы тело могло описывать
круговой путь радиуса г с постоянной
угловой скоростью {круговой частотой) о> или
с постоянной линейной скоростью и.
Нужное для кругового движения постоянное
радиальное ускорение имеет следующее
наглядное истолкование (рис. 27).
Пусть тело пробегает за время Ы: длину
дуги ас. Этот путь можно считать состоящим
из двух перемещений, а именно:
1) из перпендикулярного к радиусу,
проходимого с постоянной скоростью и пути
2) из пробегаемого ускоренно в направлении радиуса пути
5=— ЪГ{МJ. Тонкие горизонтальные линии (отметки времени) дают
возможность признать движение вдоль г ускоренным и уравнение A1)
применимым (см. рис. 27).
Полезно привести числовой пример. Наша Луна за Д^ = 1 сек.
подвигается в направлении аи, т. е. перпендикулярно к радиусу
траектории, на 1 км, немного удаляясь от Земли. В то же время
она ускоренным движением «приближается» по радиусу к Земле на
величину 5 = -к- Ъг - A сек.J = 1,35 мм. Таким образом, радиус
остается неизменным и путь круговым. Радиальное ускорение Луны
Ьг = 2,70 мм/сек2.

§ 16. ОСНОВНЫЕ И ПРОИЗВОДНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 35
§ 15. Физические величины и их числовые значения.
Понятие, определяемое способом измерения, называется «величиной».
В торговле цена каждого предмета есть «величина», т. е.
произведение числового значения на единицу. Например, шляпа стоит Юма-
рок, а карандаш—10 пфеннигов. Но никто не сочтет эти цены
равными. Напротив, отношение обоих цен
10РМ _ 10 • 100Р/
ЮР/ ~~ ЮР/ ~
Нечто подобное имеет место и в физике: путь 5, время (,
скорость и, ускорение Ь, частота V и т. д. являются
величинами—произведениями из числового значения и единицы. Бессмысленно
выражение: скорость # = 7. Смысл имеет только такое выражение, как,
например, и =7 м/сек. При подмене физических величин
(например, путь 5 = 5 км и скорость к = 5 км/час) их числовыми
значениями (в примере числовое значение пути равно 5, скорости
равно 5), возникают широко распространенные, но фальшивые
определения, как, например, «скорость есть путь, пройденный в единицу
времени». Скорость не путь, а частное путь/время. — Или еще
хуже: «частота есть число колебаний в секунду». Во-первых,
частота— не число, а частное от деления число/время, например
частота пульса у человека равна 70/мин; во-вторых, нельзя
определить ни одного физического понятия при помощи специальной
единицы, например секунды! (см. таблицу молярных величин в конце
книги).
§ 16. Основные и производные величины. Несколько
физических величин вводится в качестве основных и измеряется специально
для них созданными единицами, основными единицами, например:
время — в секундах или часах, температура — в градусах. Если
хотят ввести данную величину как основную, то ее определяют
только при помощи утверждений, основанных на бесчисленных
опытах, но не при помощи уравнений. То же самое относится и
к каждой основной единице. При этом не играет никакой роли,
встречаются" ли в утверждениях, определяющих основные единицы,
какие-либо другие величины и единицы. Равным образом, совершенно
безразлично, овеществлена ли *) единица в прототип (архивная мера)
или нет.
Большая часть физических величин определяется как производные.
Это значит, что они определяются не только утверждениями, но и
уравнениями, содержащими другие величины и их единицы. В
качестве примера напомним скорость и = йз/(И и ее точно так же
выбранные только для примера единицы: метр/секунда,
километр/час и т. д.
В физике определение величины при помощи уравнения имеет
всего одну строго ограниченную задачу: оно должно обеспечить
*) Каким сейчас еще является метр, ср. конец § 3.

36 И- ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЙ, КИНЕМАТИКА
способ измерения только для одного процесса или одного состояния.
Уравнение, следовательно, употребляется отнюдь не всегда для того,
чтобы выражать все опытные данные, относящиеся к данной
величине.
Возможность применять уравнения для определения величин
и их единиц есть единственный признак, которым производные
величины отличаются от употребляемых основных величин.
Многие физические величины, прежде всего сила, вводятся и
как основные и как производные. Количество теплоты сначала в курсе
экспериментальной физики вводится как основная величина, а
позднее— как производная величина, подобно всем другим видам
энергии. Подобным же образом в экспериментальном курсе поступают
с электрическим напряжением.
Ни одна физическая величина не является по своему существу
основной величиной; можно ввести самые разнообразные величины
в качестве основных. Количество и род основных величин должны
выбираться таким образом, чтобы одно и то же уравнение,
служащее для определения, не содержало нескольких производных величин.
Никоим образом нельзя усматривать в различии основных и
производных величин табель о рангах; нельзя окружать основные
величины каким-то особым ореолом, а ограниченность их числа (например,
три) возводить в догму.
В ряде случаев одинаковые физические процессы или состояния
описываются количественно разными величинами, или, иначе говоря,
для качественно одинаковых понятий применяют различные способы
измерения, из-за чего получают для них разные величины. При этом
зачастую разным величинам дают одинаковые названия. Это не
вызывает сомнений, поскольку для разных величин употребляются
разные буквы или буквы с индексом, а к числовым данным аккуратно
приписываются единицы. Пусть, например, через поперечное сечение
за время Ы протекает количество жидкости объемом Д1/ и
массой кт. В этом случае используется одно и то же название — сила
тока — и для производной величины 1=&У/Ы и для производной
величины 1=
Между этими двумя величинами имеется соотношение /// = Д/я/ДУ-плот-
ность жидкости р. — Пример для воздушного потока: / = 1 мн/сек; р = 1,3 кг/л*3;
/=1,3 кг) се к.
Несмотря на одинаковое название — сила тока, — нельзя
величины I и / и их единицы соединять знаками равенства, так как
это привело бы к бессмыслице «масса равна объему». Допустим
лишь знак соответствия: 1 — 1.
Достойно удивления, что это простое недоразумение все еще можно
встретить во многих учебниках электричества. В них одно и то же
название «электрический заряд» применяется для двух разных производных
величин, а именно, для величины ф8 = длина |^сила, и для величины

§ 16. ОСНОВНЫЕ И ПРОИЗВОДНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 37
фот = время |Л:ила. Это не возбуждает сомнений, хотя больше и не
соответствует духу времени. Однако нельзя, как это часто случается, отбрасывать
индексы 1) и две разные величины или их единицы соединять знаками
равенства. Ведь в этом случае читателю пришлось бы примириться с тем, что
длина кратна времени. Но, употребляя знаки соответствия, и здесь можно,
не подвергаясь упрекам, написать:
Единица фв есть 1 см- У дина ^ 3,3 • 10~~10 а-сек;
Единица фш есть 1 сек • Ундина ^ 10 а-сек.
!) У творцов системы СО5 еще все было корректно. Для отличия одной
производной величины от другой они использовали две разные буквы, хотя
обе величины и были названы одинаково: электрический заряд. И для них
слово абсолютная было лишь противоположностью относительной, а вовсе
не синонимом для СО5, как это часто, к сожалению, встречается в настоящее
время. Ср. Керойз оГ Ше 33-Ш тееип§[ о\ 1пе ВгШзп аззотйоп 1ох й
сетеп! о! Заепсе. Ьопйоп, 1864, например, стр. 143 и 149.

Ш. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ
§ 17. Предварительные замечания. Сила и масса. Для
кинематики характерны понятия «скорость» и «ускорение», в динамике
к ним присоединяются еще понятия «сила» и «масса». В обыденной
речи эти слова имеют очень много различных значений; но как
физические термины они должны быть определены.
Понятие «сила» происходит от нашего мускульного ощущения.
Качественно сила определяется двумя признаками: она может
деформировать неподвижное твердое тело и ускорять подвижное тело.
Приведем следующий поучительный пример деформации. На
рис. 28 изображен дубовый стол с толстой рамой 2.. На этом столе
Рис. 28. Оптическое доказательство деформации крышки
стола малой силой, например, давлением пальца в точке А.
установлены два зеркала. Пучок света пробегает между ними
указанный на рисунке путь. Он дает на стене изображение источника
света — освещенной щели 5^. Всякий прогиб крышки стола
наклоняет зеркала в направлении маленьких стрелок. Благодаря большой
длине светового указателя — «светового рычага» (около 20 м)
чувствительность установки очень велика. Поставим на крышку стола А
металлический груз, например килограммовую гирю. Стол
деформируется. Физики и техники скажут: на груз действует сила,
называемая его весом; деформируемый стол препятствует ускорению
груза. Теперь надавим мизинцем на груз; прогиб крышки стола
возрастает. Это значит, что теперь на груз дополнительно действует
вторая сила, называемая мускульной силой. Наконец заменим груз

§ 17. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ. СИЛА И МАССА
39
длинным бруском и проведем вдоль него рукой сверху вниз (рис. 29).
Снова стол деформируется, и мы скажем: на брусок, кроме силы,
называемой весом, действует добавочно еще другая сила, называемая
внешним трением*); она порождается здесь скользящим движением.
Силы — векторы. Они разлагаются на составляющие (компоненты).
Пример дан на рис. 30.
Силы возникают всегда только по две: обе силы, равны,
противоположно направлены и приложены к двум разным телам.
Рис. 29.
Сила,
называемая
внешним трением,
действует на
брусок в
направлении
вниз, а на
руку—вверх.
Стрелка
указывает
направление
скольжения.
Мзтсс
(&СО5СС
Рис. 30. Разложение векторов сил на
составляющие. Ролик А нужно удержать на крутой
наклонной плоскости горизонтальной силой $.
Стрелка @ изображает вес ролика. Мы разлагаем й
и % на составляющие, параллельные и
перпендикулярные к наклонной плоскости. Последние,
представленные стрелками / и //,
уравновешивают упругую силу незаметно
деформированной поверхности наклонной плоскости. Первые,
@ соз а и й 81П а, тянут ролик вверх и вниз. При
равновесии & =
Для очень крутой
наклонной плоскости а и 1§ а приближаются к нулю, так
что требуется очень большая сила $.
По Ньютону это называется: действие равно противодействию,
или, по-современному: действующая сила равна силе противодействия.
Приведем три примера.
1. На рис. 31 слева между двумя руками находится растянутая
дуговая пружина. На обе руки действуют силы. Если пружину
держать только одной рукой, то никакой деформации и никакой
силы нет (рис. 32).
2. На рис. 33 мы видим две низкие, почти свободные от трения
тележки на горизонтальном полу, уравновешивающем действие
тяжести. Установка вполне симметрична: тележки и люди с обеих сторон
1) О внутреннем трении см. §

40
III. основы динамики
имеют одинаковую величину и форму. Оба могут тянуть
одновременно, т. е. работать как «мотор», либо может тянуть только левый,
или только правый человек; во всех трех случаях обе тележки
Рис. 31 и 32. К деформации дуговой пружины.
В средине — направляющая штанга. Этот простой
прибор можно позднее использовать при
демонстрациях в качестве непроградуированного силомера.
Рис. 33. Действующая сила равна
противодействующей силе, действие равно противодействию.
встречаются в одном и том же месте на средине. Следовательно,
всегда одновременно возникают две силы. Они равны по величине
и направлены в противоположные стороны. Это показано на чертеже
величиной и направлением стрелок.
3. Кажется, что у силы, называемой
весом, нет силы противодействия. Но это
зависит лишь от выбора системы отсчета.
На рис. 34 изображены Земля и камень.
Этот же рисунок с двумя стрелками
описывает и взаимодействие камня с Солнцем
или Луной. Земля притягивает камень,
камень— Землю. Оба тела ускоренно
приближают друг к другу. На рис. 35
сближению препятствует пружина, помещенная
между телами. Но при этом возникают две
новые силы, обозначенные $^,. Теперь на
каждое из двух тел действует по две равные
и противоположно направленные силы. Сумма
обеих сил равна нулю, и потому тела остаются по отношению друг
к другу в покое.
Камень
Земля
Рис. 31 и 35. К парному
возникновению сил, дей-
ствие равно противодеи-
ствию.

§ 18. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ МЕХАНИКИ
41
Рис. 36. Измерение Массы с
помощью набора разновесок
(наверху) и весов. Массы двух тел
равны, если эти тела на том же
самом месте имеют одинаковые
веса, т. е. притягиваются
Землей с равными силами.
Понятие массы в обиходной речи еще более многозначно, чем
слово вес. Примеры: кухонное тесто представляет собой массу,
которую можно месить; пресса обслуживает широкие массы народа,
она потребляет при этом массу
бумаги, и т. д.
Но в физике понятие массы
обозначает два свойства каждого тела,
а именно: быть «тяжелым» и
«инертным». «Тяжелое» значит: каждое тело
притягивается Землей с силой, которую
называют его «весом». «Инертное»
означает: никакое тело не изменяет
своей скорости (по величине и по
направлению!) само собою; для всякого
изменения скорости тела требуется
действие какой-либо силы.
§ 18. Способы измерения силы и
массы. Основное уравнение механики
(Исаак Ньютон, 1643—1727). Для
измерения массы и для измерения силы
используются одни и те же
вспомогательные средства, а именно: разновес
(рис. 36, вверху) и любые веси
(например, рычажные или пружинные).
Измерение масс объяснено на
рис. 36: массы двух тел считают
одинаковыми, если они могут на весах
заменять друг друга. Единица массы
овеществлена в виде нормальной гири
из благородного металла1) и названа
международным килограммом.
Как и все тела, гири разновеса
притягиваются к Земле силами. Эти
силы, действующие на гири, называют
кратко веса гирь2). Эти веса могут
быть использованы для измерения сил.
Это наглядно представлено на рис. 37.
Сила пружины сравнивается здесь
с другой силой, а именно с весом гири.
Единицей силы служит вес гири массой
Рис. 37. Измерение силы с
помощью набора разновесок
весов. Сила растянутой на
отрезок Ал: пружины
сравнивается с силой, действующей
на металлическую гирю и
коротко называемой весом гири.
(Вес нерастянутой пружины
уравновешивается весом
маленькой металлической гирьки.)
Для практического
употребления пружинные весы более
удобны в качестве силомера,
чем рычажные весы; ср. рис. 38.
!) Она состоит из 90% Р1 и 10% 1г и хранится в Париже.
2) Неподготовленные по физике люди невольно думают при слове вес
о свойстве тела, вместо того чтобы думать о силе, действующей на него.
В результате им трудно понять, что эта сила возникает при
взаимодействии тела с Землей (или, например, на лунной поверхности при
взаимодействии тела с Луной).

42
III. основы динамики
в один килограмм в определенном месте («нормальное положение»),
в котором ускорение свободного падения ^= 9,80665 м/сек2
(округленно 9,81 м/сек2). Эту единицу силы называют кило-
] понд. Таким образом, с помощью одной и той же
металлической гири определяют как единицу массы —
килограмм, так и единицу силы — килопонд. Ни в
одной точке на земной поверхности ускорение
свободного падения не отклоняется от его
значения, заданного при определении килопонда, больше
чем яаг±:0,30/о. В этих пределах единицу силы
килопонд можно очень легко воспроизвести в
любом месте земной поверхности. В этом
заключается ее выдающаяся практическая польза не
только для техники, но и для физики и других
естественных наук. Обратите внимание на рис. 38.
Почему можно использовать одни и те же
приспособления, а именно, разновес и любые весы, чтобы измерить и
массу и вес? Ответ подсказывает рис. 36: массы двух тел
определяются как равные, если эти тела на одном и том же
месте имеют одинаковые веса, т. е. если они притягиваются
Землей с одинаковыми силами. Вес тела зависит,
во-первых, от свойства тела, называемого массой, и, во-вторых, от
Земли: силы, называемые весом, всегда вертикальны, т. е.
направлены к центру Земли. Влияние Земли по обе стороны
весов одинаково и поэтому оно исключается
(дальнейшее в § 29).
Взаимосвязь силы и массы выводится
экспериментально, если обе величины изменяются независимо одна
от другой, и массы измеряются в килограммах, а
силы—в килопондах. Простейшая установка опыта
представлена на рис. 39. Вес маленькой гири А
служит в качестве известной силы $. Она ускоряет при
помощи шнура нагруженную тележку. Пусть общая
масса всех ускоренно двигающихся тел, т. е. тележки,
ее груза' и гири А, равна т. Ускорение постоянно
и поэтому легко определяется по величине пути 5 и
соответствующего времени ([Ь = 2з/{2, уравн. A1) на
стр. 33]. Таким образом находят, что ускорение Ъ
пропорционально силе $ и обратно
пропорционально массе т, т. е.
Рис. 38.
Градуирование
пружинных весов
как
динамометра (силомера).
В этом
примере в качестве
известной силы
используется
та сила,
которая действует
на
металлическую гирю массой
0,5 кг. В
пределах ошибки
±0,3% (ср. §64)
она равна0,5/ог-
лопонд во всех
точках земной
поверхности.
Ь — — • сопз1.
т
A6)
Это — основной закон механики. Множитель
пропорциональности сопз!: — Ьт/$ определяется тремя соответственными
значениями Ь, т и $. Так, находим, например, что при массе
т == 1,75 кг и силе $ = 0,1 килопонд, ускорение Ь = 0,555 м/сек2.
Из многих измерений подобного рода получается среднее значение

§ 18. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ МЕХАНИКИ 43
множителя пропорциональности
тЬ „ О1 кгм/сек?
= 981
- ^-. A7)
$ килопонд ч '
Этот множитель пропорциональности имеет неудобное числовое
значение и неудобную единицу. Его приравнивают 1, полагая
1 килопонд = 9,81 кгм/сек2. A8)
Тем самым отказываются от того, чтобы измерять массу и силу
независимо одну от другой, или, в утвердительной форме, поль-
Рис. 39. К экспериментальному выводу основного
уравнения механики. Ускоряющей силой служит
вес $ гири А. Веса тележки и ее груза
уравновешиваются незаметно малой деформацией плоской
горизонтальной платформы (зеркальное стекло).
Трение и инерция вращения колес уменьшают
ускорение на 5—10%- Для исключения этих
источников неточности платформе придают слабый
наклон (на несколько десятых долей градуса). Она
устанавливается таким образом, чтобы тележка,
освобожденная от шнура, после одного толчка
продолжала свой путь практически с постоянной
скоростью.
зуются одной величиной при измерении другой. Отсюда возникают
две возможности. Мы начнем с той из них, которая принята в физике.
В физике пользуются массой при измерении силы. Говорят:
1 килопонд есть единица силы, следовательно, и направо в A8) стоит
сила, а величина кгм/сек2 есть новая производная единица силы. Она
получила название ньютон (раньше гроссдина); итак,
1 ньютон = 1 кгм/сек2. A9)
Килопонд в физике оказывается всего только сокращенным
названием для 9,81 кгм/сек2 или для 9,81 ньютон.
Техника избирает другую возможность. В технике используется
сила для измерения массы. Из уравнения A8) следует:
1 л;г = 0,102 килопонд -сек2/м. B0)

44 III. основы динамики
Стоящую в правой части величину килопонд ■ сек2/м применяют
в качестве новой производной единицы массы. Она называется
технической единицей массы (изредка также «гил»). Итак,
1 техническая единица массы = 1 килопонд • сек2/м.
Следовательно, I кг в технике есть лишь сокращенное
название для 0,102 килопонд - сек2/м.
Обоими способами одинаково достигается то, что
экспериментально установленное уравнение A6) получает простую удобную форму
Ь = —. B1)
Это уравнение содержит великое открытие Исаака Ньютона —
связь между силой и ускорением. В последующих параграфах будет
показано, что уравнение B1) стойко выдерживает тщательную
экспериментальную проверку. Это весьма удивительно: уравнение B1)
касается общего свойства всех тел — «инерции» (§ 17), а
посредством нее и силы, требующейся для ускорения. Входящие в него
массы т тел измерены благодаря другому общему свойству всех
тел, а именно ^тяжести», и притом в состоянии покоя\ Это
фундаментальное обстоятельство выражается иногда кратким, но часто
неправильно понимаемым положением: «тяжелая масса равна
инертной массе».
Важнейшие применения уравнения Ъ—Щт излагаются в
следующих главах. В заключение этой главы мы внесем раз и навсегда
ясность в некоторые часто используемые в дальнейшем понятия.
§ 19. Единицы силы и массы. Уравнения величин. Сделаем
об уравнении B1) некоторые замечания, которые приблизят к нам
понятия единиц силы и массы.
1. Положим в уравнении B1) силу Я? = 1 ньютон = 1 кгм/сек2,
масса т = 1 кг. Результат:
, 1 кгм\секг 1 м
1 кг сек2
Или словесно: 1 ньютон есть сила, которая телу массой в I кг
сообщает ускорение 1 м/сек2, если эта сила одна действует на тело.
2. Положим в уравнении B1) силу 51 = 1 килопонд и массу т
равной технической единице массы = 1 килопонд-сек21м. Результат:
, 1 килопонд 1 м
1 килопонд • секъ\м сек2
В словесной форме: техническая единица массы есть масса тела,
которому сила 1 килопонд сообщает ускорение Ь — 1 м/сек2, если
эта сила одна действует на тело.

§ 20. ТЕЛО И КОЛИЧЕСТВО 45
3. Положим в уравнении B1) силу $ = 1 килопонд, массу
т = 1 кг. Результат:
, 1 килопонд 9,81 кгм/сек2 д Д1 м
1 кг кг ' сек*
В словесной форме: если на тело массой 1 кг действует только его
вес 1 килопонд, то тело получает ускорение 6 = 9,81 м/сек2
(свободное падение).
В этих примерах мы вычисляли при помощи уравнений величин,
т. е. для каждой буквы вводили числовое значение и единицу.
С использованием уравнений величин стало беспредметным
обычное прежде различение физической системы мер и технической.
И физика и техника отказываются измерять массу и силу независимо
одну от другой. Они измеряют в механике в качестве основных
величин лишь три (§ 16), выбор которых не играет никакой роли для
уравнения величин.
Наряду с длиной и временем физики измеряют массу, а
техники— силу в качестве третьей основной величины. При переходе
от одной к другой величине пользуются уравнениями A8) и B0).
Человек имеет массу примерно 70 «2=7,15 килопонд • сек2/м,
и на него действует сила, называемая его весом, которая в
нормальном положении (стр. 42) содержит 70 килопонд =686 кгм/сек2,
а в других местах земной поверхности может отклоняться от этого
значения на ±0,3%.
§ 20. Тело и количество. В физике возникает много ненужных
затруднений из-за неполного разъяснения используемых слов.
Достаточно сослаться на то, что слово «тело» физика заимствовала без
определения из обиходного языка. То же самое сделано и со словом
«количество». Экономика и техника применяют слово «количество» для
тел, состоящих из многих отдельных частей и не сохраняющих формы
при помощи взаимодействия этих частей. Примеры: твердые тела
в измельченной или порошкообразной форме, каши, жидкости, газы.
Говорят о количестве кокса, количестве примесей, количестве воды,
но не о водяном теле в сосуде, о количестве воздуха, а не о
воздушном теле в комнате и т. д. Количество не есть масса, но имеет
массу, имеет объем, имеет число штук. В обыденной жизни эти
величины используются для «отмеривания» какого-либо количества,
если на вопрос «сколько» требуется количественный ответ. В таком
случае говорят, например: 5 кг муки, 10 м? светильного газа,
12 яиц. Масса стоит на первом месте при отмеривании тел и
количеств. Это относится и к физике и к химии. Чаще всего они
пользуются понятием массы. При этом говорят, как и в обыденной
жизни, кратко, например, об 1 кг соли, вместо того чтобы с
излишней строгостью сказать о количестве соли массой 1 кг. К сожалению,
в большинстве учебников мы находим путаницу и неразбериху
оттого, что количество приравнивается массе и (в математике)

46
III. основы динамики
количество—числу. Точно так же приходится указать на
неискоренимое, по-видимому, употребление слова «масса» вместо слова «тело».
Снова и снова, например, находим в учебниках подвешенную на
бечевке массу вместо подвешенного тела, т. е. вместо вещи одно
из ее свойств!
§ 21. Плотность и удельный объем. Часто нельзя
непосредственно измерить массу при помощи весов из-за громоздкости и
неудобства или чрезвычайной малости тела; в то же время объем V
известен из обмера тела. В этих случаях массу вычисляют при
помощи полезного вспомогательного понятия плотности массы, или,
короче, плотности. Пусть тело или количество вещества (с массой М)
имеет объем V. Тогда определяют:
плотность р
масса М
объем V
B2)
При определенных условиях (давления, температуры) эта
величина является характерной для данного вещества постоянной. В
таблице 1 приведено несколько примеров плотности
Часто вместо плотности р упот-
Таблица 1 ребляют обратную ей величину
Вещество
Алюминий . .
Сталь ....
Свинец ....
Платина . . .
КаС1
Алмаз ....
Графит ....
Плотность р
г/см'6
2,70
7,70
11,34
21,50
2,15
3,51
2,25
кг/м3
2 700
7 700
11340
21500
2 150
3 510
2 250
« л \т объем V
удельный объем Vч= тт
■} 8 масса М
B3)
Вообще «удельной» физическую
величину называют тогда, когда должна
быть дана не она сама, а частное от
деления ее на другую величину
(например, объем, плотность или
концентрацию), если для этого частного не
введено особое наименование.
По-французски, например, плотность р
называется удельной массой.
При атомных расчетах наряду с плотностью массы р часто
употребляют концентрацию молекул Ып и удельное число молекул Л/.
Пусть тело или количество вещества объемом V и массой М
содержит число молекул п. Тогда устанавливаются определения
B4)
концентрация
молекул
число
молекул п
объем
в
V
объеме
V
удельное число молекул Л/ =
число молекул п
тпп
B4а)

§ 21. ПЛОТНОСТЬ И УДЕЛЬНЫЙ ОБЪЕМ 47
Между концентрацией молекул Ыу и плотностью массы р имеет
место соотношение
B5)
Итак, удельное число молекул Л/ можно употребить для того,
чтобы от плотности массы р перейти к концентрации молекул Л/^.
Дальнейшее об удельном числе молекул изложено в § 133.
Из уравнения B4а) следует 1/Л^=Ж//г =т =массе одной
отдельной молекулы. Из уравнения B4) следует \1Ы<0—\/'1п = ю. Этот
объем V не равен объему одной отдельной молекулы V1', но
представляет собой объем, внутри которого молекула может содержаться.
Отношение г//^ называется пространственным заполнением. Ср.
«Электричество», § 116.

IV. ПРИМЕНЕНИЯ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ
§ 22. Применение основного уравнения к
равномерно-переменному прямолинейному движению. Мы начнем с полезного
соглашения: рассмотрим силу $ как причину ускорения Ь и
напишем основное уравнение в форме
Ь = —. B1)
Наше соглашение вполне произвольно: в разговорной речи
понятия причины и следствия удобны и желательны, а иногда даже
полезны. Но в уравнениях физики причина и
следствие вообще не встречаются.
В качестве применения уравнения B1) приведем
прежде всего пример, имеющий много разновидностей.
Он относится к ускорению тела в вертикальном
направлении. Во всех этих опытах надо принимать во
внимание основное положение: для каждой силы должны
быть заданы лишь точка приложения, величина и
направление, но никак не место ее возникновения
или исчезновения. Например, о силе пружины можно
сказать лишь: «сила, связанная с деформацией
пружины».
На испытуемое тело (точнее, на его центр тяжести 5)
Рис 40. На- действуют две силы (рис. 40): одна из них, $2»—на~
правленный вниз вес тела; другая, ^г, возникает при
правленное
вниз ускоре-
б
ние сгибаю- деформации силомера. Эта сила направлена вверх, ее
щего колени величину в килопондах можно отсчитать на шкале
человека. силомера.
Ускорение наблюдается лишь тогда, когда $г и $2 не равны.
Знак ускорения меняется вместе со знаком разности Я?х и ^2-
На весах для взвешивания людей стоит человек (рис. 40).
^2 — его вес, например 70 килопонд; 5^ — противоположная весу,
отсчитываемая на пружинных весах, упругая сила. Мы делаем
последовательно три наблюдения.
а) Человек стоит неподвижно. Пружинные весы показывают
70 килопонд. Вес ^2 и измеренная на пружинных весах сила ^
равны и противоположны; их равнодействующая равна нулю.

§ 22. РАВНОМЕРНО-ПЕРЕМЕННОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 49
б) Человек ускоренным движением сгибает колени. Пока он
имеет ускорение, направленное вниз, сила ^15 отсчитываемая на
ресах и направленная вверх, меньше, чем направленный вниз вес ^2.
результирующая сила направлена вниз точно так же, как
ускорение.
в) Человек ускоренным движением переходит в прежнее
положение. В это время отсчитываемая на весах и направленная вверх
сила $! больше направленного вниз веса Ш2. Следовательно,
результирующая сила, как и ускорение, направлена вверх.
С вариантом этого опыта мы встречаемся в следующем
шуточном вопросе. Даны чувствительные весы; на каждой чашке стоит
по закупоренной бутылке; в одной из бутылок летает муха.
Показывают ли весы вес мухи?
Ответ гласит: при полете на постоянной высоте или при постоянной
скорости вверх или вниз показание весов соответствует весу мухи
(случай а)). (Муху надо рассматривать просто как увеличенную молекулу
воздуха.) При ускоренном движении вниз «муха падает», весы показывают
слишком мало (случай б)). При ускоренном движении вверх показание весов
слишком велико (случай в)).
Другой вариант: экспериментатор держит вертикально в руке
уже известный нам силомер с дуговой пружиной. На верхнем конце
силомера находится тело М веса $2. При
постоянной скорости руки пружина сжимается так же, как
и при неподвижной руке (рис. 41). При ускорении
руки вверх или вниз пружина сожмется больше или
соответственно меньше, т. е. ^х больше (меньше) $2.
Этот опыт часто играет в нашей жизни очень
печальную роль. Пусть рука изображает платформу
подъемника. Пружина — в несколько смело упрощенной
анатомии — наши кишки, тело М — желудок. При
ускоренном движении вниз напряжение пружины
уменьшается против нормального. Это уменьшение
напряжения и составляет физическую причину неприятного
«ощущения подъема», а при периодическом повторении —
причину морской болезни.
,_, „ Рис. 41. К воз-
Наконец, проведем такой же опыт в количе- никновению
ственной форме. С этой целью подвешиваем тело ощущения
массой т к весам (рис. 42) и измеряем его вес ^2. подъема.
Не видимое на рисунке приспособление
заставляет тело опускаться с маленьким ускорением вниз. При этом весы
отклоняются по стрелке часов, их центр тяжести немного смещается
влево и вверх. В этом положении весов сила ^, тянущая тело
вверх, меньше веса гири, стоящей на правой чашке весов. Поэтому
нужно снять несколько маленьких грузиков с правой чашки весов,
чтобы во время ускоренного движения тела вниз весы не давали
отклонения. В этом случае подъемная сила ^х равна весу еще
остающихся справа гирек. Итак, в течение ускоренного движения

50
IV. ПРИМЕНЕНИЯ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ
вниз
> т. е. геометрическая сумма
направлена вниз;
1^1' Эта
наее величина, как показано на стр. 29, равна |^2|—
правленная вниз сила сообщает телу наблюдаемое ускорение вниз:
ЧМ. B1)
Практическое осуществление (рис. 43): в качестве силомера
служат кухонные весы. Тело имеет форму маховичка на тонкой оси.
Оно висит на двух нитях,
намотанных на ось. Будучи освобождено,
оно ускоренно движется вниз. Се-
Рис. 42. На весах
подвешено неподвижно тело
массой т. Центр тяжести
коромысла лежит ниже точки
опоры. Если тело после
этого движется ускоренно
вниз, то коромысло
делает отклонение в
направлении часовой стрелки.
Рис. 43. Продолжение рис. 42. Тело,
движущееся с постоянным
ускорением, направленным вниз, имеет вид
маховика («диск Максвелла»). Весы
имеют невидимый масляный
успокоитель. В самом нижнем положении
диск изменяет направление своей
скорости. При этом возникает
импульс силы, направленный вниз. Его
надо перехватить, крепко удерживая
пальцами указатели весов.
кундомером измеряется время падения г, соответствующее пути 5,
и по уравнению $ = ~Ы2 определяется ускорение Ь.
Числовой пример, т = 539,0 г, $2 = 539,0 понд, Ь = 0,048 м/сек2
вычисляется по значениям 5 = 0,83 м и Ь = 5,9 сек. При этом I?! = 536,4 понд;
следовательно, Й2 — % = 2,6 понд = 2,6 • 10~а ньютон.
После полного развертывания нитей маховичок продолжает
вращаться «по инерции» и нитки наъгатываются снова на ©сь. Тело
поднимается вверх. Не надо упускать случая повторить наблюдение
и при этом направлении движения. В этом случае показание весов
при движении будет тоже меньше, чем при неподвижном диске.
Вектор ускорения, как и раньше, направлен вниз, так как тело
поднимается вверх с уменьшающейся скоростью, или «замедленно».
Этот опыт даже на искушенного в физике человека производит часто
поразительное впечатление.

§ 23. КРУГОВОЕ ДВИЖЕНИЕ. РАДИАЛЬНАЯ СИЛА 51
§ 23. Применение основного уравнения к круговому
движению. Радиальная сила. (Наблюдатель неподвижен!) Прежде всего,
как предварительное замечание дадим добрый совет: никогда не
пускаться в какие-либо рассуждения о круговом или вращательном
движении, не условившись со своим собеседником (например, с
автором учебника!) о системе отсчета. Наша система отсчета
установлена на стр. 26. Это—поверхность Земли или пол аудитории.
В предыдущих опытах мы применяли основное уравнение в
предельном случае чисто тангенциального ускорения. Теперь мы
займемся тем же в другом предельном случае, случае чисто радиального
ускорения.
Пусть тело массы т пробегает с постоянной угловой
скоростью (о круговой путь радиуса г. Из кинематических соображений
§ 14 следует, что это движение ускоренное. Радиальное,
направленное к центру круга, ускорение равно
Ьг= — ц?г. A5) (стр. 34)
По основному уравнению это ускорение тела массы т требует
наличия направленной к центру силы $. Эту силу мы будем
называть радиальной силой. Количественно из основного уравнения
следует:
_ш2г = — B6)
(круговая частота, или угловая скорость, ш = 2тс^; V — частота).
Для опытной проверки уравнения B6) мы заменяем в нем
угловую скорость со частотой V и получаем:
B7)
г
т
(частота V равна: число оборотов/время).
Пусть радиальная сила 51 вызвана деформацией пружины, или
коротко говоря, является упругой силой. Разберем три случая.
Случай I. Пусть
пружина создает радиальную
силу, действующую на шар,
лежащий на краю маленькой
карусели (рис. 44). Эта
сила должна быть
направлена к центру и не может
превышать некоторого
предела $макс, так что в урав- Рис. 44. Шар на карусели, удерживаемый
нении B7) Я? = ^ находящейся слева от а плоской пружиной.
С этой целью нижний конец пружины вращается на шарнире,
а верхний конец лежит сзади упора а. При превышении
определенного изгиба пружина быстро выскакивает. Соответствующую силу
~~^мако мы измеряем при помощи шнура и гирек весов.

52
IV. ПРИМЕНЕНИЯ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ
Эта пружина достаточна только до некоторой наибольшей
частоты умаЕС. Из уравнения B7) вычисляют эту «критическую»
частоту и получают:
=^/%°- <28>
Числовой пример. $макс = 0,18 килопонд, т = 0,27 кг, г = 0,22 м;
итак,
""макс
0,18 килопонд _ 1 /~ 0,18-9,8 кгм/еек2 __
0,27 кг • 0,22 м ~ 2^ V 0,27 кг • 0,22 м ~ ''
мин
= 1,14 сек.
Вместо подстановки в числителе 1 килопонд, равного 9,8 ньютон —
= 9,8 кгм/еек2, можно было бы подставить в знаменателе 1 кг =
= 0,102 килопонд секг\м.
При переходе за предельное значение шарик слетает. Он
оставляет карусель, двигаясь по касательной. Без радиального
ускорения он летит по прямой с постоянной скоростью. К сожалению,
вес, вообще говоря, искажает это явление. Вес преображает
первоначально прямой путь в параболу падения. Однако при больших
скоростях это искажение не так
заметно. Хороший пример такого
рода представляет искрящийся
точильный камень. Он самым
наглядным образом показывает нам
тангенциальное слетание.
Раскаленные стальные частицы никогда не
летят с него по радиусам,
удаляясь от центра вращения (рис. 45).
Случай П. Линейный закон
силы. Сила, создаваемая пружиной,
пропорциональна радиусу пути и
направлена к центру; итак,
Рис. 45. Искры на точильном
камне. Наглядный опыт. При точе-
нии линейная скорость должна
быть направлена противоположно
обтачиваемому предмету.
B9)
(О—постоянная пружины).
Подстановка этого условия в общее уравнение B7) дает
частоту
Это значит: тело описывает круговой путь лишь при одной-
единственной частоте V. При этом величина радиуса совершенно
безразлична. При поддержании этой «критической» частоты V

§ 23 КРУГОВОЕ ДВИЖЕНИЕ. РАДИАЛЬНАЯ СИЛА
53
постоянной тело движется по любому однажды нами установленному
кругу.
Линейный закон силы можно осуществить разнообразными
способами. На рис. 46 тело разделено симметрично и его части
двигаются с возможно малым трением по двум направляющим стержням.
Эти стержни должны исключать влияние веса. Расположение
пружины позволяет видеть ее растяжение и во время вращения.
Пружина уже в положении покоя должна быть растянута силой
$ = — Огй, где г0 — расстояние от оси вращения до центра тяжести
шарика в положении покоя.
Опыт подтверждает наше
предсказание. При правильно
подобранной частоте мы можем произвольно
увеличивать или уменьшать
расстояние г тел т, постукивая пальцем по
шайбе 5, которой оканчивается
пружина. При любом радиусе тела
двигаются по кругу. При этой
критической частоте V тела находятся
в «безразличном равновесии»,
подобно шару на горизонтальной
поверхности стола.
Случай III. Нелинейный закон
силы. Сила упругости пружины,
направленная к центру круга,
растет, например, пропорционально г2,
т. е. ^= — Г)г2. Подстановка этого
выражения в общее уравнение B7)
дает частоту
~ 2к V т Г '
C1)
Рис. 46. Круговое движение при
линейном законе силы.
Одновременно — схема «астатического»
регулятора частоты для всякого
рода моторов. При отклонении от
критической частоты вращения
оба тела движутся или наружу,
или внутрь. При этом шайба 5
может привести в действие
регулирующее устройство машины и
восстановить таким образом
критическую частоту.
Частота V зависит от радиуса г.
Каждой частоте соответствует
только один возможный радиус кругового пути г. На этом пути
тело находится в «устойчивом равновесии», подобно шару на
вогнутом дне чашки.
Осуществить на опыте такой нелинейный закон силы можно,
например, при помощи согнутой дугообразно пружины, как на
рис. 47. Стукая пальцем на ходу по шайбе 5 на конце пружины,
мы увидим, что радиус изменяется и сейчас же принимает
первоначальную величину г.
Наши предыдущие демонстрационные опыты с радиальным
ускорением и радиальными силами касались вращающихся тел очень

54
IV. ПРИМЕНЕНИЯ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ
простой формы. Это были «малые» шары или цилиндры. Мы могли
бы без заметной ошибки пренебрегать их размерами сравнительно
с радиусом пути. Они были, коротко говоря, «точечными»
(материальными точками). Наш последний пример должен объяснить
вращение более сложного тела,
а именно кольца из цепи.
Для предварительного опыта
наденем на маховик хорошо
пригнанную к нему цепь (рис. 48).
Без связей между ними отдельные
звенья цепи разлетелись бы при
пуске колеса в ход, как
разлетаются искры от точила.
На самом же деле звенья
действуют в одном направлении, со-
Рис. 47. Круговое движение при не- б растяжение. Вслед-
линейном законе силы. Одновремен- V.
но — схема частотомера (счетчика ствие этой Деформации возникает
оборотов) или тахометра. Каждой сила. Ее радиальные составляю-
частоте соответствует определенная щИе $ (рис. 49) сообщают каж-
величина радиуса г. По указателю отдельному звену цепи
ускорение, направленное к ее
центру. При высокой частоте
вращения колеса цепь сбрасывают с него боковым ударом. При
этом она вовсе не спадает и не останавливается, а катится по
столу, как жесткое кольцо. Она даже перепрыгивает через
препятствия на ее пути. В этой форме
опыт качественно показывает нам
хороший пример «динамической
устойчивости».
Еще более поучительно дальнейшее
развитие этого опыта. Уравнение B6) для
радиальной силы после введения в него
линейной скорости и = юг принимает вид
на шкале отсчитывается то или иное
положение шайбы 5, ср. рис. 17.
= — т-
C2)
. Цепь на маховом
колесе. К демонстрации
динамической устойчивости.
Радиальная сила при данной скорости и
должна быть обратно пропорциональна г. р
Это можно подтвердить очень изящным '
опытом с тем же кольцом из цепи.
Действительно, ведь все его члены имеют
одинаковую линейную скорость и.
На рис. 49 показан короткий отрезок цепи. Стрелки $' изображают
возникающие из-за деформации силы, стрелка $ — сумму их, направленную
к центру кривизны (центру круга). Эта сила 5? тем меньше, чем менее
изогнута цепь. Она пропорциональна 1/г. Поэтому цепь должна
двигаться устойчиво не только в форме круга, но и при любой другой

§ 24. принцип д'аламбера
55
форме\ Например, в форме овала, изображенного на рис. 50. Опыт
соответствует ожиданию. В качестве цепи целесообразно использовать цепь
велосипеда. При достаточно высокой частоте ее сбрасывают с зубчатого колеса.
На фабриках этот опыт производится иногда не намеренно — при
соскакивании приводного ремня со шкива.
Рис. 49. К возникновению
радиальной силы в натянутой
цепочке. Предполагается, что
на неподвижный круг надета
цепь, состоящая из шариков
на расстоянии й друг от друга
и натянутых пружин между
ними. Изображены лишь три
шарика и две пружины.
Длинные стрелки начинаются от Вынужден-
среднего шарика и изображают мая сила щ
две силы Я/, с которыми на |-
Рис. 50. Велосипедная цепь в
форме овала перед
сбрасыванием ее с зубчатого колеса.
Направляющий
него действуют пружины. По- 'потепянная ^<^" '• стержень
строение параллелограмма дает силакк-тЬ)
равнодействующую силу $, на- г
правленную к центру.
Количественная связь между Л' и И
получается из подобия
равнобедренных треугольников с
углом а. Рис. 51. К наименованию сил.
§ 24. Принцип Д'Аламбера. Во многих случаях тело не может
свободно двигаться по любому направлению: его путь определяется
какими-либо направляющими, например рельсами или шарнирами.
В качестве простейшего примера на рис. 51 изображен
просверленный шарик, скользящий вдоль твердого стержня. В таких случаях
действующая на тело, или «приложенная» к нему, сила $2 ускоряет
тело только посредством составляющей И = /иЬ; другая
составляющая, Ш2 — ^=^2—тЬ, теряется: «потерянная» сила приводит
лишь к незаметно малой упругой деформации направляющего
стержня. Вследствие этого возникает «вынужденная сила» $1г
которая уравновешивает потерянную силу.

56 IV. ПРИМЕНЕНИЯ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ
Положение «потерянная сила и вынужденная сила
уравновешиваются» носит название принципа Д'Аламбера; оно относится
полностью к любому числу тел, связанных между собой стержнями,
рычагами, нитями и т. д. При решении технических задач
применение этого принципа не лишне. При вычислении потерянной силы
надо векторно вычитать ускоряющую силу $ — тЪ из
«приложенной силы» или же векторно прибавлять (— тЬ) к приложенной силе.
На этом основании часто пользуются для величины (—тЬ) особыми
названиями, например: массовая сила, сопротивление инерции или
Д'Аламберова сила.
При свободном движении тел отсутствуют вынужденные и
потерянные силы; принцип Д'Аламбера принимает в этом случае
простую форму основного уравнения механики ^ — /иЬ—0.
Если для произведения (—тЬ) употребляются слова:
«Д'Аламберова сила, массовая сила или сопротивление инерции», то
уравнение, например, для свободного падения гласит: ускорение
получается таким, что в каждое мгновение вес тела и сила Д'Аламбера
равны и противоположны, а их сумма в продолжение ускоренного
движения остается равной нулю.
Это словесное выражение означает существенное расширение
понятия о силе; но при этом отказываются от целесообразного,
последовательно проведенного в этой книге соглашения
рассматривать силу как причину ускорения, например, для свободно
падающего тела — его вес.
§ 25. Простые синусоидальные колебания. Тяжелый маятник
как частный случай. Мы ограничились простейшими
траекториями— прямолинейной и круговой — при изложении во второй
главе кинематических, а в данной главе динамических положений.
На прямолинейном пути существует только тангенциальное
ускорение, при круговом движении—только радиальное ускорение.
В §§ 25—32 мы рассмотрим линейные колебания маятника и
некоторые центральные движения. При этом тела с достаточным
приближением мы будет считать «точечными». Отдельные движения
будем сначала описывать кинематически, а затем выяснять их
возникновение под действием сил.
Наиболее простое из всех периодически повторяющихся
движений происходит по прямолинейному пути, и его график во времени
изображается синусоидой. На рис. 52 буквой х обозначается
«отклонение», т. е. расстояние тела от его положения равновесия,
буквой г — время. Это движение называется простым
синусоидальным колебанием и описывается уравнением
X = Хо 81П Ы. C3)
Здесь употребляются следующие величины: х — «отклонение»
в момент времени г, х0 — наибольшее отклонение, или амплитуда,
со = 2тсм — круговая частота, равная 2и-кратной частоте V, Ы —

§ 25. ПРОСТЫЕ СИНУСОИДАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
57
фазовый угол или просто фаза. Значение этого угла видно из
рис. 52—54. Фаза Ы есть часть угла 2тс, соответствующего
полному периоду.
При синусоидальном колебании не только отклонение х, но и
скорость и=йх\(И и ускорение Ъ—й2х1<1гг изображаются простой
синусоидой. Однократным и двукратным дифференцированием
находим:
их I ж\
= <ох0со$Ы =(ахо8тЫ( ~{--7г), C4)
Ь = -утг = Ш2Хп 31П Ы =
AJХ081П
Тс) .
C5)
На рис. 53 представлена графически величина и/со, на рис. 54—
величина Ь/ш2 для разных значений г.
Синусоидальная кривая скорости опережает синусоиду
отклонения на «фазовое смещение» тс/2 =90°, т. е. ее положительные,
направленные вверх
значения начинаются на четверть - Ь* 7"
периода (Г/4) раньше, чем
для х. В моменты времени
^ = ^,{ = Т/2,{ = Т и т. д.
колеблющееся тело
проходит через положение
равновесия. Тогда в уравнении
C4) синус равен 1 и
скорость достигает своего
наибольшего значения
«о = «*о- C6)
Синусоидальная кривая
ускорения имеет по
сравнению с отклонениями х
фазовое смещение тс = 180°.
Словами это выражается так:
направление ускорения в
каждое мгновение
противоположно направлению откло
Время-*-
Рис. 52—54. График зависимости
отклонения, скорости и ускорения от времени при
синусоидальном колебании.
нения. Вследствие этого уравнения C3) и C5) совместно дают:
Ъ = —ы2х. C7)
Таково кинематическое описание. Для динамического
осуществления синусоидального колебания мы должны привлечь еще
основное уравнение д=$/т. Тогда получим:
или, короче,
5?! = — ГП(й2Х
оХ-1! —— х^Л»
C8)
C9)

58
IV. ПРИМЕНЕНИЯ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ
Словами: для возбуждения синусоидального колебания
применяется линейный закон силы. Сила, ускоряющая тело, должна быть
прямо пропорциональна
величине отклонения и
противоположна ему по
направлению.
Линейный закон силы
можно осуществить различ-
Рис. 55. Осуществление прямолинейного
или «линейно поляризованного» синусо-
ными способами. Проще
всего применить силу, по-
идального колебания при помощи простого лучаемую от деформации
пружинного маятника. пружины («упругую силу»).
Этого достигают, например,
в устройстве, изображенном на рис. 55. Тело массы т находится
между двумя спиральными пружинами. Коэффициент
пропорциональности И между силой и отклонением есть уже известная нам
постоянная пружины, или, вообще говоря,
«направляющая сила».
В уравнении C8) ш=2тгг, поэтому вместо C8)
можно написать:
частота м =тг
2п
. D0) = C0)
Это уравнение для нас не ново. Мы его уже нашли
при круговом движении в случае линейного закона сил
(стр. 52). Там частота была независима от радиуса
пути, здесь она не зависит от амплитуды колебания.
В обоих случаях частота определяется только частным
от деления постоянной О пружины на массу т.
Уже при качественных опытах (деревянные и
железные шары одинакового размера) видно решающее )
влияние массы колеблющегося тела на его частоту
или на ее обратную величину — период колебания. Рис. 56. Вер-
Влияние увеличения массы можно компенсировать уве- тикалыюко-
личением постоянной пружины и т. п. Уравнение D0) леблющиися
„^ „ . п маятник на
принадлежит к важнейшим во всей физике. Поэтому пружине; к
измерения частоты V при различных значениях т и О
являются одной из самых полезных задач практикума.
При этом установку можно варьировать. Можно
подвесить тело на спиральной пружине (рис. 56). В
положении покоя постоянную О пружины найдем делением веса на
удлинение пружины. При колебаниях вес, как добавочная постоянная сила,
не имеет никакого влияния на частоту.
Линейный закон силы — только лишь частный случай. Несмотря на это,
он имеет громадное значение, так как для любого тела, способного совер-
проверке

уравнения D0).

§ 26. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
59
шать колебания, закон силы, как бы он ни был сложен, может быть
заменен линейным; для этого нужно лишь ограничиваться достаточно малыми
колебаниями. о
Математически это означает следующее: всякий закон силы $ = — /(х)
можно разложить в ряд
Постоянная /H должна равняться нулю. Ведь при х — 0 сила исчезает.
При достаточно малых значениях х можно оборвать ряд на первом члене,
и тогда $ = — й^х.
Примером этого рода служит общеизвестный тяжелый
маятник1). При малых амплитудах имеет место схема, изображенная на
рис. 57. На ней показано, как сила, действующая на
шарик маятника, вес, раскладывается на две составляющие.
Одна из них, $2со5а, натягивает нить. Другая,
$= — $2зта, ускоряет шарик в направлении
движения. При малых углах отклонения движение можно
считать прямолинейным. Далее можно принять 5та = х/1.
Вызванная этим ошибка при углах, меньших 4,5°, будет
меньше 10~3. Итак, мы имеем $ = — $2л://. Это значит,
что сила $ пропорциональна отклонению х. Множитель
пропорциональности ^2/1 есть направляющая сила О (ср.
рис. 104). Между массой т маятника, его весом ^2 и
ускорением свободного падения ^=9,81 м/сек2
существует соотношение $2 = т§. Поэтому О = т@/1.
Подстановка п в общее уравнение колебаний D0) дает:
1 = Т «
D0а)
Рис. 57.
Тяжелый
маятник.
Числовой пример. I = 1 м, Т = 2 сек., одно полуколебание
в 1 сек. — так называемый секундный маятник,—/= 10 м —
самый длинный маятник в геттингенской аудитории, Т = 6,3 сек.
Итак, частота и период колебаний тяжелого маятника
не зависят от его массы. Поэтому тяжелый маятник
занимает особое положение. Его нужно рассматривать как частный
случай, и при описании синусоидальных колебаний с него нельзя
начинать.
Уравнение D0) очень важно для техники измерений.
Периодическое повторение позволяет очень точно измерить период
колебаний Т. Поэтому уравнение D0) пригодно для вычисления надежного
значения ускорения свободного падения (стр. 32). Предполагается
возможно большее приближение к «точечному» телу на
«невесомой» нити.
§ 26. Центральные движения. Определение. При
синусоидальном колебании ускорение хотя и не было постоянным, но путь
был еще прямолинейным. Полученный за время йЬ прирост
х) Часто называемый математическим маятником. {Прим. ред.)

60
IV. ПРИМЕНЕНИЯ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ
скорости Ли лежал всегда в направлении уже имеющейся скорости и,
или увеличивая (рис. 58, а), или уменьшая (рис. 58, Ь) ее. Это было
чисто тангенциальное ускорение. В общем же случае движения
стрелка й\х образует со стрелкой ц произвольный угол а (рис. 58, с).
При этом имеются как тангенциальное, так и радиальное ускорения
одновременно. Оба они являются слагающими полного ускорения Ь
(рис. 59). Тангенциальное ускорение Ь изменяет величину скорости
в направлении пути. Радиальное ускорение Ьр вызывает искривление
пути. По уравнению A5) Ьо =—м2/р- Здесь р—«радиус кривизны»,
направленный к
соответствующему «центру кривизны». Это—
Рис 58. К определению
полного ускорения.
О
Цвнтр
ускорения
Центр
кривизны
Рис. 59. Разложение центрального
ускорения на две составляющие.
центр окружности, с которой в хорошем приближении совпадает
рассматриваемый участок траектории. Из почти необозримого
разнообразия подобных движений (вспомним, например, движения наших
конечностей) мы выбираем пока лишь группу центральных
движений.
Центральным мы называем такое движение тела
{материальной точки) по любой плоской траектории, при котором
ускорение, меняясь по величине и по направлению, всегда
направлено к одной точке — центру. Линия, соединяющая тело с
центром, называется «радиусом-вектором». Согласно этому определению
круговое движение и линейно поляризованное колебание являются
предельными случаями центрального движения. В первом
отсутствует тангенциальное, во втором — радиальное ускорение. Для всякого
центрального движения справедливы два простых закона: во-первых,
движения происходят в одной плоскости; во-вторых, радиус-вектор
в равные промежутки времени описывает равные площади («теорема
площадей»). Оба закона — чисто кинематические. Они являются
геометрическими следствиями предположения о существовании
произвольного, но всегда направленного к одному и тому же центру
ускорения.

в 27. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ПУТИ, ЭЛЛИПТИЧЕСКИ ПОЛЯРИЗОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 61
Это видно из рис. 60. Он связан с рис. 27. Три отрезка кривой
центрального движения приближенно заменены тремя прямыми ха, ас, се.
Центральное ускорение увеличивается слева направо. Тонкие стрелки аЪ и
ей продолжают движение предшествующего промежутка времени с той же
самой скоростью в направлении касательной к траектории. Стрелками аа'
и ссг обозначены направленные к центру О пути, пройденные ускоренно
за равные промежутки времени М. Все стрелки лежат в плоскости чертежа,
и, следовательно, пути остаются плоскими.
Радиусы-векторы Ой, Ос, Ое и т. д. в равные
промежутки времени Д^ описывают равные пло-
шади:
А Оас = ДОсо?, так как по предположению
ас = ей,
д О ей — Д Осе
д Осе = Д Оас
, так как высоты треугольника
ей = с'е.
Рис. 60. К закону площадей.
Демонстрационный опыт: шнурок, на
котором вращается камень, пропущен
сквозь короткую гладкую трубку,
находящуюся в левой руке. Правая рука тянет
за шнурок и укорачивает длину радиуса-
вектора г. Угловая скорость ш
возрастает пропорционально 1/г2.
§ 27. Эллиптические пути, эллиптически поляризованные
колебания. Центральное движение вовсе не обязательно должно
происходить по замкнутому пути — вспомним хотя бы движение
по спирали. Но среди движений по замкнутой траектории
благодаря всей исключительной важности выделяется одна группа
движений. Это — движения по эллипсу. Надо различать два случая.
1. Эллиптически поляризованные колебания.
(«Поляризованный» при колебаниях означает то же, что и «имеющий
определенную форму».) Центр ускорения движущегося тела лежит в центре
эллипса, на пересечении его главных осей.
2. Кеплеровы эллипсы. Центр ускорений движущегося тела
лежит в одном из двух фокусов.
В этом параграфе мы рассматриваем эллиптически
поляризованные колебания. Они возникают кинематически при сложении двух
взаимно перпендикулярных прямолинейно поляризованных
синусоидальных колебаний одинаковой частоты. Вид эллипса определяется
отношением обеих амплитуд и разностью фаз Дер между обоими
колебаниями. При этом разность фаз является важнейшей из этих
двух определяющих факторов. При выборе экспериментальных
установок следует предпочитать такие, которые позволяют ясно
наблюдать разность фаз. Это требование выполняется в простом
опыте, схематически изображенном на рис. 61. Он основан на уже
известной нам тесной связи синусоидального колебания с
движением по кругу (§ 6). Оба синусоидальных колебания получаются
с помощью двух взаимно перпендикулярных стержней, которые

62
IV. ПРИМЕНЕНИЯ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ
вращаются с одинаковой частотой (рис. 61). Достаточно удаленная
дуговая лампа проектирует оба круговых движения на экран при
условии практически совершенного бокового освещения. Оси Аи В
связаны цепью и зубчатками. Их можно одновременно привести
в движение любым мотором.
Тени обоих стержней образуют в положении покоя черный
крест (рис. 62). Во время движения предметом нашего наблюдения
будет точка пересечения. При движении теней вперед — назад эта
точка обрисовывает, к нашему удивлению, белую кривую на сером
Рис. 61. Демонстрационный прибор для
эллиптических колебаний и фигур Лиссажу.
фоне. Объясняется это тем, что за время полуоборота каждая
точка экрана затеняется два раза, а места пересечения теней —
только один раз.
Расстояние точки пересечения от положения покоя есть
отклонение результирующего колебания. Мы начнем опыты с двух
предельных случаев.
1. На рис. 62 мы видим оба стержня в среднем положении.
Из него и начинаются одновременно оба колебания. «Разность фае»
их равна нулю. Точка пересечения темных теней от стержней
совершает косолежащее, прямолинейно поляризованное колебание
(рис. 62).
2. Мы переставляем круг с горизонтальным стержнем на 90°.
Для этого мы должны лишь отпустить винт 7.. Вертикальный
стержень покидает положение покоя как раз в тот момент, когда
горизонтальный, дойдя до максимального отклонения, начинает
возвращаться. «Разность фаз составляет 90°», мы видим белый круг

§ 27. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ПУТИ, ЭЛЛИПТИЧЕСКИ ПОЛЯРИЗОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 63
(рис. 64). Амплитуда остается постоянной. Она вращается, как
стрелка часов. (При разности фаз 270° амплитуда вращается
против часовой стрелки.)
Теперь мы переходим к общему случаю.
3. Мы выбираем угловое смещение стержней равным 30°. Эта
разность фаз дает эллипс, изображенный на рис. 63.
4. Всякое другое угловое смещение
стержней также дает косолежащие эллипсы.
5. У всех этих эллипсов главные оси
составляют угол в 45° с вертикалью.
Положение их изменяется только тогда, когда д> = ов ц.
амплитуды обоих колебаний становятся
неравными. Для этого нужно лишь изменить
расстояние одного из стержней от его оси
вращения. С этой целью ножка стержня
сделана подвижной благодаря прорези и
винту на несущем диске (рис. 65).
6. Простое техническое приспособление
позволяет во время вращения изменять
разность фаз в пределах от 0° до 360°.
Для этого могут служить, например,
показанные на рис. 66 три конических колеса. Они
вставляются в нижнюю горизонтальную ось
(рис. 61) между двумя средними стойками для
подшипников. Ось среднего колеса может пере- <р = 9о*
метаться в плоскости, перпендикулярной к
плоскости чертежа. Всякое вращение этой оси
вызывает между обеими горизонтальными осями
разность фаз, равную удвоенному углу поворота
средней оси.
Таким образом, можно очень быстро
устанавливать прибор для получения кривых
рис. 62—64, а также и любой
промежуточной формы. Совокупность всех
встречающихся кривых огибается квадратом (рис. 67).
При неравенстве амплитуд он переходит
в прямоугольник (рис. 68).
Резюмируем все сказанное: для кинематического описания
эллиптически поляризованного колебания произвольной формы
достаточно двух перпендикулярных друг к другу линейно поляризованных
колебаний одинаковой частоты, но с определенной разностью фаз.
При разности фаз 0° или 180° эллипс вырождается в прямую. При
разности фаз 90° или 270° может возникнуть колебание,
поляризованное по кругу, т. е. круговое движение. Для этого обе
амплитуды должны быть равны.
Кроме только что указанного, существует еще второе
кинематическое представление эллиптически поляризованного колебания.
Рис. 62—64. Сложение
двух взаимно
перпендикулярных линейно
поляризованных колебаний с
одинаковыми
амплитудами и разными фазами.

64
IV. ПРИМЕНЕНИЯ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ
Оно также осуществляется при помощи прибора рис. 61. Разность
фаз между отдельными колебаниями устанавливается раз навсегда
в 90°, но меняются амплитуды колебаний. При таком кинематическом
изображении эллипса большие оси
будут горизонтальны и
вертикальны; мы получаем рис. 69 и 70.
<Р = 50е
Рис. 65. Сложение двух взаимно
перпендикулярных линейно
поляризованных колебаний с неравными
амплитудами и разностью фаз около 30°.
Рис. 66. Зубчатки для изменения
разности фаз вращающихся кругов
на рис. 61.
Оба эти способа кинематического описания эллиптически
поляризованных колебаний весьма важны во всех областях физики. В
механике они сразу показывают нам, как динамически осуществляются
эллиптически поляризованные колебания тела (материальной точки):
для обоих колебаний должен
выполняться линейный закон силы (урав-
Рис 67. Огибающая
эллиптических колебаний при
равных амплитудах двух
взаимно перпендикулярных
частных колебаний.
Рис. 68. Огибающая эллиптических
колебаний при неравных амплитудах
двух взаимно перпендикулярных
частных колебаний.
нение C9)). Вполне достаточно, например, простого
приспособления, показанного на рис. 71. При толчке в вертикальном
направлении тело колеблется только вертикально, при горизонтальном

§ 28. ФИГУРЫ ЛИССАЖУ
65
толчке — горизонтально. В обоих случаях частота одинакова
(секундомер). Этот прибор позволяет получить движение по любому из
изображенных на рис. 62—64
эллипсов. Все зависит от
направления начального толчка,
произведенного в плоскости
чертежа.
Рис. 69. Эллиптические
колебания при разности
фаз 90° и неравных
амплитудах двух взаимно
перпендикулярных
частных колебаний.
Рис. 70. При разности фаз 90° форма
эллипса меняется с изменением
амплитуд обоих частных колебаний.
Существенным в показанной на
рис. 71 установке опыта является
линейный закон силы для обоих слагаемых
колебаний. Без этого нет синусоидальных
колебаний. Примененные в опыте упругие
пружины являются одним из важнейших
средств осуществления линейного закона
силы. Поэтому эллиптическую траекторию
с центром ускорений -в центре эллипса
часто называют для краткости «эллипс
упругих колебаний».
§ 28. Фигуры Лиссажу. Результаты
и вспомогательные установки
предыдущего параграфа позволяют нам без
особого труда исследовать и самый общий липтических колебаний слу-
случай упругих колебаний. Мы ограни- жит плоское цилиндрическое
чиваемся здесь общим обзором их.
1. При экспериментальном
проведении показанного на рис. 71 опыта
никогда нельзя добиться строгого равенства
частот обоих колебаний. Поэтому
разность фаз этих колебаний равномерно
изменяется с течением времени. Одно колебание периодически «обгоняет»
другое. Вследствие этого постоянного изменения разности фаз мы
Рис. 71. Для получения эл-
тело между тремя
спиральными пружинами. На
передней поверхности закреплено
кольцо. Отверстие
посредине дает на экране
изображение, которое описывает
эллиптические траектории.

66
IV. ПРИМЕНЕНИЯ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ
Оба
колебания
начинаются
одновременно.

Горизонтальное
колебание
начинается на
30° позже.

Горизонтальное
колебание
начинается на
45° позже.
наблюдаем постоянное изменение вида эллипса. В случае равенства
амплитуд получается приблизительно ряд кривых, изображенных
на рис. 67, со всеми промежуточными стадиями.
2. При большем различии в частотах отдельных колебаний
изменение разности фаз становится заметным уже на протяжении одного
оборота. «Эллипс» искажается. Получается характерная плоская
«фигура Лиссажу». Рис. 72
и 73 показывают несколько
примеров такого рода
фигур Лиссажу. Их форма
зависит от двух факторов:
во-первых, от отношения
частот колебаний,
во-вторых, от разности фаз, с
которой в опыте начинаются
эти колебания.
Ясно, что обе эти вели-
Рис. 72. Фигуры Лиссажу при отноше- чины можно варьировать,
нии частот 2 : 1 взаимно перпендикулярных яппяпят™ ич
колебаний. При медленном движении на пользуясь аппаратом, из-
экране изображается путь точки пересече- вестным нам по рис. 61.
ния обоих стержней. Вертикальное коле- Для изменения первой нужно
бание имеет большую частоту (Ж. Лис- сменять зубчатые колеса,
сажу, 1822-1880). выбирая количества зубцов
в отношении небольших
целых чисел, например 20 : 40
или 20 : 30 и т. д. Для
изменения второй
переставляют круг с меньшим числом
оборотов на 30, 90° и т. д.
из его нулевого положения.
Именно таким образом и
получены фигуры Лиссажу
на рис. 72 и 73.
Показанное на рис. 66
искусственное
приспособление позволяет и здесь
изменять разность фаз во время
вращения стержней.
Пользуясь этим, можно демонстрировать горизонтальные ряды кривых
рис. 72 и 73 в быстрой смене их. При этом хорошо видно и огибающую
семейства кривых. В изображенном семействе кривых оба взаимно
перпендикулярных колебания имели равные амплитуды. Поэтому
огибающая семейства — квадрат. В общем случае неравных
амплитуд она будет прямоугольником (рис. 74).
3. Динамически, как упругие колебания «точечного» тела, ряд
кривых Лиссажу можно получить, например, при помощи прибора
Оба
колебания
начинаются
одновременно.

Горизонтальное
колебание
опережает на
20°.

Горизонтальное
колебание
опережает на
30°.
Рис. 73. Фигуры Лиссажу при
отношении частот 3 : 2 взаимно
перпендикулярных колебаний. Вертикальное колебание
имеет большую частоту.

§ 29. КЕПЛЕРОВ ЭЛЛИПС И ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ
67
рис' 75. Частоты вертикальных и горизонтальных колебаний
относятся приблизительно как 3 : 2. Их можно легко наблюдать после
горизонтального, соответственно вертикального, толчка. Ряд кривых
Лиссажу для этого случая имеется на рис. 73.
Рис. 74. Огибающий прямоугольник
фигур Лиссажу при изменении
разности фаз.
§ 29. Кеплеров эллипс и закон
тяготения. У кеплерова эллипса центр уско-
рений лежит в одном из двух фокусов
его. Эллипс возникает, если тело имеет
начальную скорость, направленную не
к центру, а ускорение в каждой точке обратно пропорционально
квадрату расстояния (длины радиуса-вектора г), т. е.
Рис. 75. Получение фигур
Лиссажу при помощи
колебаний изгиба
стержня с прямоугольным
сечением BX3 мм).
Маленькое зеркало /?
отражает изображение
точечного источника
света на экран,
расположенный перпендикулярно к
стержню.
Вывод этого уравнения можно найти в каждом учебнике
теоретической физики.
В истории физики кеплеров эллипс дважды получал
фундаментальное значение. Для экспериментального обучения он представляет
собой поистине тяжкий крест. В демонстрационном опыте его можно
лишь плохо показать кинематически, а динамически совсем нельзя,
о чем свидетельствует безрезультатность многочисленных попыток.
Как можно физически осуществить ускорение, определяемое
уравнением D1)? Первый ответ был найден Ньютоном на основе
астрономических наблюдений.
Луна оборачивается вокруг Земли. Ее путь почти совпадает
с окружностью. Радиус этой окружности — заметим это число —
равен 60 земным радиусам. Кинематически мы описали движение
Луны в § 14: Луна имеет линейную скорость 1 км/сек и испытывает
радиальное ускорение Ьг = 2,7 мм/сек2 =2.7 • 10~3 м/сек2. Поэтому
имеет место отношение
ускорение падения § 9,8 м\сек% оспп ел»
= — = ооии = ои .
радиальное ускорение Луны 2,7 • 10 \^

68 IV. ПРИМЕНЕНИЯ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ
Отсюда Ньютон вывел заключение: на Луну действует сила, как
и на любой камень вблизи земной поверхности. Эта сила направлена
к центру Земли и называется весом. Но вес тела, вопреки всем
предубеждениям, не есть постоянная, действующая на тела, сила.
Напротив, он изменяется с расстоянием г тела от центра Земли
пропорционально г~2. Поэтому Ньютон написал для веса Луны
не $ = т§, а
&=соп5*^-. D2)
Теперь получается почти вынужденно последнее заключение: если
Земля притягивает Луну, то должно иметь место и обратное —
Луна должна притягивать Землю. Для наблюдателя на Луне
(перемена места наблюдения!) Земля имеет вес. Воображаемый наблюдатель
на Солнце имеет право применить закон: действие равно
противодействию (вторичная перемена места наблюдения!). Для этого
наблюдателя обе силы или оба веса должны быть тождественны во всем,
кроме направления. Таким образом, вообще место веса занимает
взаимное притяжение двух тел с силой
тМ D3)
т и М — массы тел, г — расстояние их центров тяжести. В случае
однородных или полых шаров этот закон справедлив при всяком г. В случае
тел любой формы г должно быть велико сравнительно с размерами тел.
Это и есть знаменитый ньютонов «закон тяготения».
Коэффициент пропорциональности *у в этом законе называется
гравитационной постоянной.
§ 30. Гравитационная постоянная не может быть выведена
из астрономических наблюдений. Ее приходится измерять в
лаборатории. Принцип опыта: астрономические соотношения осуществляют
в малом масштабе. В качестве «Земли» служит большой свинцовый шар
(масса М—несколько килограммов), в качестве «Луны» или «камня» —
маленький шар т из любого вещества. Большой шар укрепляют
неподвижно, маленький шар делают возможно более подвижным.
Измеряют ускорение Ь маленького шара и вычисляют гравитационную
постоянную у из уравнения
6 = 7^- D4)
Выполнение. Используется симметричная установка (рис. 76).
Оба маленьких шарика т закреплены на концах стержня, а
последний подвешен на тонкой металлической нити и может вращаться
вокруг нее. На рис. 77 показана теневая проекция испытанного
прибора (крутильных весов) без больших шаров. Для проведения
опыта большие шары из сильно зачерненного на рис. 76 исходного

§ 30. ГРАВИТАЦИОННАЯ ПОСТОЯННАЯ
69
положения вводят в слабо зачерненное конечное положение. Сразу
после этого маленькие шары начинают ускоренно двигаться. Зеркало 5
и длинный световой указатель ^ ^
позволяют следить за пройденным ,,"" """^
путем 5 при увеличении около
1600 раз. Около минуты
наблюдают их с секундомером и
вычисляют ускорение Ь=28Цг. ^^Г Ось
В начале опыта расстояние г2
между центрами шаров и
закручивание нити подвеса остаются
практически неизменными; поэтому
ускорение постоянно. Однако подвес в
начале опыта был закручен до
наибольшего отклонения, в положении
равновесия силы притяжения между
шарами уравновешиваются силами
кручения. Вследствие этого после
передвижки больших шаров ускорение Ь точно в два раза больше по
сравнению с тем случаем, когда большие шары с далекого расстояния переносят
к маленьким шарам.
Пройденный указателем путь 3
черезО 30 60 90свп
II I
Рис. 76. К измерению гравитационной
постоянной (Кавендиш).
Юмин
Рис. 77. Теневая проекция крутильных весов.
Большие шары сняты со своего поворачивающегося
носителя. Носитель маленьких шаров находится в
металлической оправе, закрытой спереди и сзади
стеклянными пластинками (хорошее выравнивание тепла).
Винты 5 служат для арретирования. Они могут
прижимать четыре полукруглых железных листочка
О- к маленьким шарам. Подвес в целях лучшей
видимости изображен утолщенным. На его конце
находится зеркальце. Период колебания Т составляет около 9 мин. Нижняя часть
(рис. 77, с) показывает затухающие колебания. Верхняя часть (рис. 77, Ь) дает
измерение ускорения Ь. Положение светового указателя регистрируется
через каждые 15 сек. фотографически при 108-кратном увеличении.

70 IV. ПРИМЕНЕНИЯ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ
Числовой пример. М= 1,5 кг, г = 4,75 см. Длина коромысла (стержня)
/ = 10 см, длина светового рычага А = 40 м, линейное увеличение пути
V = 2АЦЩ). Обоснование для множителя 2: вращение зеркальца на угол а
поворачивает отраженный пучок света на угол 2а. Измеренное ускорение
светового «зайчика» на экране Ь = 1,28-10~2 см\сек%. Отсюда 1 = 6-Ю1 мъ\кг-сек\
Точные измерения дали для гравитационной постоянной
7 = 6,68- 10"" м* ... D5)
1 кг ■ сек1
Экспериментальное определение гравитационной постоянной ^
приводит к большому успеху: с ее помощью можно определить
массу Земли. Поверхность Земли удалена от центра приблизительно
на /-=6400 км=6А' 106 м. Ускорение, вызываемое весом на
земной поверхности, имеет значение Ь~§=- 9,81 м/сек2. Эти
величины наряду с у мы подставляем в уравнение D4) и получаем:
о Л. 9,81 м • сек-* F,4• 106J М2
масса Земли М = —-—— —= 6 . ю24 к?
6,68-10-11 кг-^мЧек-ъ ° Ш Кг'
Объем Земли содержит округленно 1,1 • 1021 м9. Следовательно,
плотность Земли — ' 21—^ = 5500 кг/м9 =5,5 г/см9. Понятно, что
это лишь средняя величина. Плотность верхних слоев земной коры
равна в среднем 2,5 г/смд. Мы должны допустить внутри Земли
существование более плотного вещества. Многое говорит о большом
содержании железа в земном ядре.
§ 31. Принцип измерения массы. В уравнении D3) можно принять
гравитационную постоянную 1=1- Тогда масса М = Ь-г2; это — производная
величина с единицей мн/сек2. При у = 1 из уравнения D5) следует:
1 кг = 6,68 ■ 10~п м*1сек*.
Это значит, что 1 кг есть лишь словесное сокращение для 6,68* 10~и мъ\сек%.
При этой единице пришлось бы поэтому вместо 1 кг сахару покупать
6,7- 101 м3/сек2. Это звучало бы учено, но было бы нецелесообразно. Вот
почему физика избрала массу как основную величину и в свое время
овеществила ее единицу, названную килограммом, в форме металлического груза.
§ 32. Закон тяготения и небесная механика. Открытие
тяготения по праву причисляется к величайшим деяниям человеческого
разума. Ньютонов закон тяготения управляет не только движением
нашей Луны. Его владычество распространяется гораздо дальше:
на всю небесную механику, на движение планет, комет и двойных
звезд.
Наблюдения над движением планет были обобщены Иоганном
Кеплером A571—1630) в трех законах. Эти «законы Кеплера &-гласят:
1. Каждая планета движется в некоторой плоскости вокруг
Солнца. Ее путь есть эллипс, в одном из фокусов которого
находится Солнце.

§ 32. ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА 71
2. Радиус-вектор планеты в равные промежутки времени
покрывает равные площади.
3. Квадраты времен обращения Т относятся как кубы больших
полуосей.
Разница между кругом и эллиптическим путем главных планет крайне
незначительна. Больше всего она у Марса. Если начертить на бумаге путь
Марса с большой осью в 20 см, то он нигде не отклоняется от
охватывающего круга более чем на 1 мм. В свете этих цифр можно лучше оценить
достижение Кеплера.
Три закона своего великого предшественника Ньютон смог
объяснить единым образом с помощью закона тяготения1).
1. Всякое эллиптическое движение требует центрального
ускорения. В эллипсах, наблюдавшихся Кеплером, один фокус имел
преимущество перед другим. Следовательно, по кинематическим
соображениям § 29 ускорение должно быть пропорционально 1/г2. Но
по уравнению D3) это как раз и имеет место для взаимного
тяготения двух тел.
2. Второй закон Кеплера — просто закон площадей,
справедливый для всякого центрального движения (§ 26).
3. Третий закон Кеплера следует также из уравнения D3). Это
легко усмотреть в следующем частном случае. Пусть кеплеров
эллипс вырождается в круг. Для кругового пути имеет место
соотношение
5! = Апш2^г = ^^-. B7) (ср. стр. 51)
Для $ мы подставляем значение, полученное из закона тяготения
(уравнение D3)), и тогда получаем:
сопз! -у = уа » Т2 — соне* • г3. D6)
Кометы в отличие от планет движутся часто по чрезвычайно
вытянутым эллипсам. Большая ось эллипса может стать в сто раз
больше малой. Однако и в этом общем случае вытянутого эллипса
третий закон Кеплера можно вывести как следствие закона тяготения
Ньютона. Это требует, однако, более громоздких вычислений.
Для лучшего усвоения важнейших положений небесной
механики приведем в заключение один простой пример.
Пусть около поверхности Земли выстрелили снарядом в
горизонтальном направлении. Атмосфера (а с нею и сопротивление воздуха)
не принимаются во внимание. Как велика должна быть скорость
!) Сам Кеплер не выходил за пределы качественного толкования опыта.
Он писал, например, в 1605 г.: если представить себе около покоящейся
в каком-либо месте воображаемой Земли другую значительно большую Землю,
то они взаимно притягивались бы точно так же, как наша Земля притягивает
камни.

72
IV. ПРИМЕНЕНИЯ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ
снаряда и, чтобы снаряд подобно маленькой Луне обращался вокруг
Земли на всегда одинаковом расстоянии?
Круговое движение со скоростью и требует по уравнению A5)
радиального ускорения Ь= и2/г. Это радиальное ускорение создается
весом снаряда. Вес сообщает снаряду ускорение к центру Земли
#=^■ = 9,81 м/сек2. С другой стороны, расстояние земной
поверхности от центра Земли равно радиусу Земли г, т. е. около
6,4 • 106 м. Таким образом мы получаем
и2
9,8 м/сек2 = й. 1П, ,
' 6,4 • 106 м'
и =8000 м/сек = 8 км/сек.
Итак, при скорости вылета 8 км/сек в горизонтальном
направлении мы имеем случай рис. 78: снаряд облетает Землю, находясь
вблизи ее поверхности, как
и=8км/сех и*8км/сем ьквкм/сек маленькая Луна.
При большей или
меньшей начальной скорости мы
получим эллиптические пути
Рис. 78—80. Эллиптические пути около
центра Земли при разных начальных
скоростях.
Рис. 81. Парабола
падения горизонтально
брошенного тела.
вроде показанных на рис. 79 и 80. При скоростях а > 8 км/сек
снаряд облетает Землю по эллипсу, как комета или планета. При
этом центр Земли лежит в ближайшем к орудию фокусе эллипса.
При скоростях снаряда > 11,2 км/сек эллипс вырождается в
гиперболу. Снаряд покидает Землю навсегда 1).
При скорости и < 8 км/сек получается тоже эллипс (рис. 80),
но на самом деле реализуется только непунктирная часть его. На
этот раз центр Земли находится в отдаленном от орудия фокусе
эллипса (притяжение Земли происходит так, как если бы вся масса
Земли была сосредоточена в маленьком теле, находящемся в ее
центре).
Чем меньше начальная скорость а, тем больше вытягивается
эллипс. Наконец, мы приходим к предельному случаю (рис. 81).
Для Солнца соответствующая скорость будет 618 км/сек.

§ 32. ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА 73
Цент'р ускорений, т. е. центр Земли, кажется практически бесконечно
удаленным. Идущие к нему радиусы-векторы практически
параллельны. С очень хорошим приближением можно считать остающуюся
над Землей часть эллипса параболой. Это — известная парабола
движения горизонтально брошенного тела. Эти рассуждения полезны,
хотя сопротивление воздуха делает невозможным их практическое
осуществление. Даже при нормальных скоростях в несколько сот
метров в секунду сопротивление воздуха очень значительно.
Параболу можно считать лишь грубым приближением к действительной
траектории полета, так называемой баллистической кривой.

V. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ, РАБОТА, ЭНЕРГИЯ,
ИМПУЛЬС
§ 33. Предварительное замечание. С помощью основного
уравнения и закона «действие равно противодействию» можно количественно
исследовать все движения. Многие движения очень сложны.
Достаточно напомнить о движениях машин, о движениях нашего тела и
его членов. В таких сложных случаях к цели приходят только
путем большой затраты вычислительной работы, которую часто
удается значительно уменьшить введением искусно построенных
вспомогательных понятий. Таковыми являются работа, энергия и
импульс *). Они вводятся не на основе новых опытных фактов, до
сих пор не рассматривавшихся, а строятся с помощью основного
уравнения. Мы начнем с понятия работы.
§ 34. Работа и мощность. Установлено следующее определение:
1. Произведение «силы в направлении движения на путь»
называют работой.
2. -)- $х должно означать: сила $ и путь х имеют одинаковое
направление. «Сила $ совершает2) работу».
3. —&х должно означать: сила $ и путь х имеют взаимно
противоположные направления. «Работа совершается против
силы $».
В общем случае сила не постоянна вдоль пути и не
совпадает с направлением пути. Тогда составляющие силы в
направлении т отрезков пути Ах мы обозначаем $г, $2> •••» $т и в ка"
честве работы А определяем сумму
G= 1, 2, 3, ..., т)
!) Понятия работы и энергии, кажущиеся в механике всего лишь
«искусно построенными вспомогательными понятиями», в дальнейшем
историческом развитии физики оказались важнейшими величинами, выражающими:
работа — количественную, энергия — количественную меру и качественную
характеристику движения материи при всех ее превращениях.
Универсальный закон сохранения и превращения энергии выражает одно из важнейших
основных свойств движущейся материи: неуничтожаемость движения при
всех процессах, происходящих в природе. {Прим. ред.)
2) Следует избегать выражения «сила производит работу».

§ 34. РАБОТА И МОЩНОСТЬ
75
или-при переходе к пределу
=/«.
D7)
На рис. 82 графически изображена такая сумма произведений
силы на путь.
Этим определением работы задаются
и ее единицы, которые должны быть
произведением единицы силы на единицу пути:
1 нъютонметр=\ вт-сек—\ кгм2/сек2,
1 калопондметр =9,8 вт-сек,
1 квт-ч = 3,6 • 106 вт-сек —
= 3,67 • 105 килопондметр.
Вычислим работу для трех разных
случаев.
I. Работа подъема. На рис. 83 мускул с силой $ чрезвычайно
медленно поднимает тело отвесно на некоторую высоту.
При этом сила 51 совершает вдоль пути йН работу
йА =$ • йН. D8)
Рис. 82. К определению
работы как суммы
произведений силы на путь.
При очень медленном подъеме
остается практически равной нулю.
с любой степенью приближения ^—
скорость тела
Следовательно,
$2. Итак,
йА = — &2йк. D9)
Эта работа совершается против веса. Вес $2 Для
всех высот Н вблизи земной поверхности практически
постоянен. Поэтому на диаграмме сумма (сила X путь)
представляет собой прямоугольник площадью $2/г.
Отсюда мы получаем совершаемую против веса $2
вдоль высоты Н
Рис. 83. К
определению
работы
подъема
(равной
потенциальной
энергии
поднятого тела
или
потенциалу силы,
называемой
весом).
работу подъема =—$2Н. E0)
Никакими подъемными машинами, например,
наклонной плоскостью (рис. 84), нельзя изменить величины
произведения —$2/г. Все дело только в высоте
подъема Н по вертикали.
Числовой пример. Пусть человек весом 70 килопонд за
сутки взобрался на гору высотой 7000 м (!). При этом его
мускульная сила совершает работу подъема 70 килопонд- 7000 м—
= 4,9 • 105 килопондметр, равную около 1,5 квт-ч. Эта
«суточная работа» имеет оптовую цену около 2 пфеннигов!
При прыжках следует в качестве высоты подъема Ь,
рассматривать только изменение высоты центра тяжести тела. У стоящего
человека центр тяжести находится приблизительно на высоте 1 м над полом.

76
V. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ, РАБОТА, ЭНЕРГИЯ, ИМПУЛЬС
При перепрыгивании через канат высотой 1,7 м (ср. рис. 85 и 86) центр
тяжести достигает высоты около 2 м. Итак, высота подъема составляет лишь
2 м— 1 м = 1 м. Таким образом, мускульная сила прыгуна совершает работу
подъема 70 килопонд -\ м = 70 килопондметр или округленно 700 вт-сек.
Рис. 84. Работа подъема вдоль
наклонной плоскости. Работа
совершается не против всего веса тела $3,
а только против его составляющей
&2 соз а, параллельной наклонной
плоскости. Зато путь х здесь больше,
чем при вертикальном подъеме на
высоту К, ^ = Л/соз а. Работа подъема
вдоль всей наклонной плоскости
равна — Я'3 соз а • Л/соз а — — $2й.
Аналогичные рассуждения можно
провести и для произвольно искривленной
наклонной плоскости и для других
подъемных машин, например, для
полиспаста.
Рис 85 и 86. Опытные прыгуны как
бы переваливаются через канат.
Рис. 87. К определению работы
растяжения (равной потенциальной
энергии пружины = потенциалу
упругой силы пружины).
II. Работа растяжения. На рис. 87 тело удерживается пружиной.
Мускул чрезвычайно медленно растягивает пружину в направлении х.
Сила мускула $ совершает вдоль отрезка пути ах работу
аА—$ах, E1)
При достаточно медленном растяжении скорость тела остается
практически равной нулю. Поэтому с любой степенью приближения
возникающая при деформации упругая сила пружины ^ = — 51 и
а а
ах.
E2)
Эта работа совершается против упругой силы. Для упругой
силы имеет место линейный закон силы (рис. 88)
5?!=— Ох.
Подстановка C9) в E2) дает:
а а = их ах.
C9) (ср. стр. 57)
E3)

§ 34. РАБОТА И МОЩНОСТЬ
77
Вдоль пути х сумма (сила X путь) изображается площадью
треугольника СОВ, равной 112хйх. Итак, работа растяжения
равна
E4)
Числовой пример. Лук для
спортивных целей натягивается мускульной
силой $макс = Ох = 20 килопонд на
0,4 м. Для этого мускульная сила
должна совершить работу растяжения
0,5 • 20 килопонд -0,4 м = 4 килопонд-
метр г^5 40 вт-сек.
Рис 88. К вычислению работы рас-
III. Работа ускорения. Рис 89 С^»
^ у т^. оэ тяжения. ЫА равен сумме пло-
примыкает непосредственно к рис. 87.
Если рука внезапно выпускает тело,
то пружина расслабляется,
сокращается. При этом она ускоряет
влево до этого покоившееся тело и упругая сила
работу ускорения
йА = 5?! ах.
По основному уравнению
» Ли-
Рис. 89. К определению Л1 = т~*7
работы ускорения
(равной кинетической
энергии).
щадей заштрихованных
четырехугольников, равной площади
треугольника СОВ.
совершает
E5)
и согласно определению скорости
E7)
E8)
Рис. 90. К вычислению
Уравнения E5) — E7) дают вместе:
йА=тайа.
Суммирование (рис. 90) дает:
работу ускорения = -^ ти2. E9)
Частное работа/время или произведение
силы на скорость называется мощностью.
равен сумме площадей
заштрихованных
четырехугольников, равной
площади треугольника
сов.
ности:
работы ускорения. Г <1А Наиболее употребительные единицы мощ-
1 вт = 1 ньютонметр/сек =
= 0,102 килопонд метр {сек, F0)
1 кет ==102 килопонд метр {сек. F1)
Устаревшая единица лошадиная еила^ПЪ килопондметр1сек=0,735 кет
должна, наконец, исчезнуть из литературы.

78 V. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ, РАБОТА, ЭНЕРГИЯ, ИМПУЛЬС
Таблица 2
Примеры работы ускорения
1,5
3-
Масса в
• 105+8-
750
107 (= 3 •
3,26 • 10
кг
4,5-
104
— 3
10*
т)
Скорость
в м/сек
20
800
13 (=25 узлов)
225
Работа ускорения
Курьерский поезд
(паровоз -)- 8 вагонов) . .
■38-см снаряд ,
Скорый пароход . . . ,
Пистолетная пуля (стр. 27)
Человек может в течение нескольких
секунд свободно развивать мощность около
1 кет. Так, например, можно за 3 сек.
вбежать на лестницу в 6 м высоты.
Мощность, развиваемая при этом, равна 70 кило-
понд ■ 6 м/Ъ сек= 140 килопонджтр1сек=
= 1,37 кет.
§ 35. Энергия и закон сохранения
энергии. В § 34 мы образовали сумму про-
Рис. 91. Поднятое
тело может
совершать работу: оно
может со сколь
угодно хорошим
приближением
поднимать тело равной
массы на высоту,
не сообщая ему
ускорения.
Рис. 92. Растянутая пружина может
поднимать тело и совершать
исключительно работу подъема, но не
работу ускорения. Непрерывное
изменение рычажной передачи
сохраняет в каждый момент равновесие
подъемной силы $ и веса й2- Плечо
рычага г постоянно, плечо /?
изменяется во время вращения.
изведений силы на путь, илиГ^й?л;, и назвали ее работой. Эту
работу мы вычислили для трех случаев и разобрали три числовых
примера для определения ее величины.

§ 35. ЭНЕРГИЯ И ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ 79
Во всех трех случаях в результате работы создается
«работоспособность», или, иначе говоря, работа «превращается» в
работоспособность. Поднятое тело и растянутая пружина могут со своей
стороны совершить работу. Они могут, например, поднять тело
(рис. 91 и 92) или ускорить его (например, рис. 89). Называют
превращенную в работоспособность
работу подъема — ^.ф, \ потенциальной ( поднятого тела
работу растяжения -^ их2 I энергией ^дот I растянутой пружины
E0)
E4)
Подобным образом тело получает при ускорении, кроме скорости,
работоспособность; оно может, например, деформировать другое
тело и при этом совершить работу против упругих сил. Называют
превращенную в работоспособность
работу ускорения -^- ти2 кинетической энергией 1^кин тела
• E9)
В приведенных примерах сумма обоих видов энергии постоянна,
т. е.
F2)
Это — основной закон сохранения энергии в механике.
Объяснение: пусть на рис. 89 пружина сжимается на
расстояние й?5. При этом упругая сила ^ совершает работу йА. Эту раьоту
можно записать двумя способами: во-первых, как работу ускорения,
увеличивающую кинетическую энергию №кин> т. е.
, F3)
во-вторых, как работу упругости, уменьшающую потенциальную
энергию пружины, т. е.
аА= — а№П0Т. F4)
F3) и F4) дадут вместе:
ИЛИ
^пот+№Кин = СОП5*. F2)
То же самое оказывается и при свободном падении тела. Вес $2
совершает вдоль пути йН работу йА— -\-&2йп. Она равна -\-й^&ш
и —с^пот- И здесь также
= 0 И \^пот-Г-^КИн=СОП51.
Таким образом, мы вывели закон сохранения энергии в механике
только для двух видов сил, а именно, для упругой силы и для веса.

80
V. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ, РАБОТА, ЭНЕРГИЯ, ИМПУЛЬС
Эти силы называются консервативными. При них энергия
«сохраняется». Силы, называемые трением и мускульной силой,
неконсервативны. Для них механический закон сохранения энергии, т. е.
уравнение F2), не выполняется. Позднее они будут включены в этот
закон путем величайшего расширения закона сохранения энергии.
§ 36. Применения механического закона сохранения энергии.
I. Синусоидальные колебания состоят в периодическом
превращении одной механической формы энергии в другую. Для каждого
отклонения х имеет место
-х Их2 -\~-к-ти2 — сопз1.
F5)
В положении равновесия вся энергия целиком превращена в
кинетическую энергию, т. е.
1 а ,
-~- ти0 = сопз( = №кип«
В точке возврата вся энергия — потенциальная, т. е.
1 2
~ ихо=
F6)
F7)
словами:
Рис. 93. К закону
сохранения энергии.
Стальной шарик
танцует над стальной
плитой. Стальную
плиту можно заменить
закопченной
стеклянной пластинкой. Тогда
можно отчетливо
видеть сплющивание
шарика при ударе.
энергия синусоидального колебания пропорциональна
квадрату амплитуды х0.
Приравнивая F6) и F7), придем к важному,
но уже известному уравнению
ио—шхо C6) (ср. стр. 57)
(см. ниже, § 42).
II. Колебания с частотой, сильно
зависящей от амплитуды. При свободном
падении вес тела 512 = *п§ совершает работу
ускорения -к- ти2 = $2Н — т§Н. Отсюда конечная
скорость тела при падении с вертикальной
высоты Н равна
F8)
С принадлежащей ему кинетической
энергией тело при ударе о подставку (например,
плиту, рис. 93) упруго деформирует и себя
и подставку; его кинетическая энергия превращается в
потенциальную энергию. Эта последняя при исчезании напряжений в
деформированных телах превращается обратно в кинетическую энергию. Тело
поднимается, получает снова потенциальную энергию и т. д. Так
возникает пляска шарика: хороший пример для процесса колебаний,
частота которых (как при раскачивании § 113) сильно возрастает
при убыли амплитуды.

§ 37. ИМПУЛЬС СИЛЫ
81
Ш. Определение слова «упругий». Деформацию называют
упругой в том случае, если при этом выполняется механический закон
сохранения энергии. Практически это возможно осуществить лишь
в предельном случае. Часть механической энергии видимого движения
тела всегда превращается в энергию невидимых процессов движения
молекул, т. е. в теплоту: прыгающий шарик никогда не достигает
точно исходной высоты.
§ 37. Импульс силы. Сумма произведений (сила X путь) или
работа СВс1х привела нас к основоположному по важности
понятию энергии. Соответственное имеет место и для суммы
произведений (сила X время) или Г $ йЬ. Она называется импульсом
Силы.
Очень многие движения протекают в виде толчка или удара.
В них участвуют силы, очень быстро изменяющиеся по величине.
Рис. 94 наглядно изображает
изменение такой силы со временем. Исходя из
процессов этого рода, формируют понятие
импульса силы Г 5?сН. Составляют сумму ^»
(/=1, 2, 3, ..., т)
или, переходя к пределу,
импульс силы
F9)
-«' и- Время I
Рис, 94. Сумма
произведений силы на время, или
импульс силы.
В качестве единицы для импульса силы используют, например,
ньютонсекунду или килопондсекунду1).
В процессе работы телу сообщается энергия. Каков результат
импульса силы? Ответ нам дает применение основного уравнения.
Пусть перед началом импульса тело имеет скорость и. В течение
каждого промежутка времени йЬг ускорение имеет величину Ь^ = Ш\\т.
Оно создает за промежуток времени йг{ приращение скорости
_1_
т
G0)
или
1) Аналогично в учении об электричестве: импульс тока ГI й\
мый в а-сек; импульс напряжения Г Ц сИ, измеряемый в в-сек.

82 V. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ, РАБОТА, ЭНЕРГИЯ, ИМПУЛЬС
и после суммирования по всем промежуткам времени йг^ получим:
т\
G1)
Произведение массы на скорость, т. е. тп, Ньютон назвал
количеством движения. За последние десятилетия это хорошее
название вытеснено словом импульс, и нам также приходится
присоединиться к этому употреблению слова «импульс». Таким образом,
уравнение G1) выражается словами: импульс силы Г $с1{ изменяет
импульс тела от начального значения тих до конечного значения тп2.
§ 38. Закон сохранения импульса. Определения § 37 соединим
теперь с опытным законом «действие равно противодействию». Силы
всегда возникают по две: они приложены к двум телам, по величине
равны и по направлению противоположны. На рис. 95 дан простей-
\-5,-ух,Ы Ми, тпг к— $г-\хг1-2з,—•»
Рис. 95. К закону сохранения импульса. Две тележки с
массами 2т и т в равные промежутки времени проходят
пути, которые относятся между собой, как 1 : 2.
ший пример: между двумя покоящимися тележками с массами М и т
находится сжатая пружина. Общий импульс этой «системы» равен
нулю. Пусть теперь спусковое приспособление освобождает пружину.
Обе тележки получают импульсы силы, равные по величине, но
противоположные по направлению. Поэтому обе тележки получают
равные по величине, но противопо-
М ложные по направлению импульсы,
5 ^ или в математической форме
X* 5 »Х Мпх = — ти2; Мщ-^-т^^О. G2)
__ ., Сумма обоих импульсов осталась
Рис. 96. К определению центра \. о ■' Л „
масс или центра тяжести 5. Равной НУЛЮ- Это значит в общей
формулировке: без воздействия
«внешних» сил в какой-либо системе произвольно движущихся тел
сумма всех импульсов остается постоянной. Это — закон
сохранения импульса. Он не менее важен, чем закон сохранения энергии.
Закон сохранения импульса часто называют «законом сохранения центра
тяжести». Основание к этому видно из рис. 95. Для путей, пройденных в одно
и то же время, имеет место соотношение
М$х = /И5а.
Таким же уравнением определяется центр масс или центр тяжести двух
покоящихся тел (рис. 96).

§ 39. ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
83
§ .39. Применения закона сохранения импульса. Как и в
случае закона сохранения энергии, мы поясним содержание закона
сохранения импульса на нескольких простых примерах.
1. Дана плоская неподвижная тележка около 2 м длины. На
ее правом конце стоит человек (рис. 97). Тележка и человек
составляют систему тел. Человек
начинает бежать влево. При этом он
получает импульс, направленный
влево же. Одновременно тележка
катится вправо. По закону
сохранения импульса она получила импульс
равной величины, но
противоположного направления. Человек
продолжает свой бег и покидает тележку
на левом ее конце. При этом он
уносит с собой импульс.
Тележка катится с постоянной
скоростью вправо. Она обладает Рис- 97. К закону сохранения
импульсом такой же абсолютной импульса. Человек ускоряет свое
движение по тележке и сообщает
при этом тележке импульс
противоположного направления.
величины, как и человек.
2. Для доказательства этого
количественного утверждения
заставим порожнюю катящуюся тележку встретить второго бегущего
человека (рис. 98). Массу и скорость этого второго человека мы
выберем такими же, как у первого. Второй человек вступает на
тележку и останавливается. Сейчас же останавливается и тележка,
±
Рис. 98. Импульс тележки на рис. 97 равен
импульсу человека.
Принесенный и отданный человеком импульс был равен и
противоположен импульсу пустой катившейся к нему тележки.
3. Плоская тележка стоит на месте. Справа к ней подбегает
с постоянной скоростью человек. Он вбегает на тележку справа
и сбегает с нее слева (рис. 99). Тележка остается в покое. Человек
принес с собой весь свой импульс и не изменил его, пробегая по

84 V. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ, РАБОТА, ЭНЕРГИЯ, ИМПУЛЬС
тележке. Поэтому и импульс тележки также не мог изменить своего
начального значения, равного нулю.
4. Тележка имеет резиновые колеса. Поэтому практически она
не может двигаться под прямым углом к своей длине. Она может
катиться только в направлении своей длины. Поэтому она дает
возможность обнаружить
векторную природу импульса. Для
этого человек должен вбежать
на тележку под углом а к ее
длине и остановиться на ней.
Тогда в направлении длины
тележки действует лишь сла-
^ гающая импульса ®соза. При
Э^шм^м^^м а = 60° тележка получает лишь
половинную скорость (соз а =
= 0,5); при а = 90° скорость
тележки остается равной нулю
Чй, (соз 90° = 0).
ят~шттттлттшт^—^^~*^—— § 40. Законы сохранения
г. АП „ энергии и импульса при
БегСу„99заме?^ÄÄОзга„"яееНГсвИоеГЬ„м: У-РУ™ соударении тел. На
пульса, пробегая по тележке. рис. 100 изображены две
тележки с пружинными
буферами, смягчающими удар. Обе тележки имеют одинаковую массу.
Правая тележка неподвижна, левая катится к ней со скоростью и.
При столкновении тележки обмениваются скоростями. Правая
движется со скоростью и, левая останавливается в тот момент, когда
I
Рис. 100. К демонстрации медленно протекающего упругого
столкновения. Г—спиральная пружина.
буферные пружины снова расслабляются. При разборе этого
процесса применяются как закон сохранения импульса, так и закон
сохранения энергии. Мы покажем это для случая неравных масс.
Закон сохранения импульса требует:
левая тележка левая тележка правая тележка
ти — тпх + Мпу
перед ударом после удара
или
G3)

§ 41. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА ПРИ НЕУПРУГОМ СОУДАРЕНИИ ДВУХ ТЕЛ 85
Закон сохранения энергии требует:
1 , 1 2
у тух2 = у тих
или
G4)
G5)
С помощью G5) можно из G3) исключить или мх, или пу.
Получаются скорости:
т (и -}- иж) (и — иж) =
G3) и G4) вместе дадут:
ударяющего тела т — М
(с массой т) х М~\-т
ударяемого тела
(с массой М)
и
М + т'
G6)
G7)
'Ш/////ЩЩ
В частном случае М = т для скоростей после упругого
соударения следует пх (ударяющая тележка) = 0; пу (ударяемое тело) = и.
При Л4 > т> иж становится отрицательной, т. е.
противоположной по направлению скорости ц.
Изображенный на рис. 100 опыт может быть
произведен с большим количеством тележек.
Случайно его можно увидеть на сортировочной
станции. В аудитории вагоны заменяются рядом
одинаковых, подвешенных в виде маятников, стальных
шариков (рис. 101). Левый шар поднимают и
отпускают; он ударяется о соседний шар. Этот
последний, а за ним и каждый следующий по
очереди, через ничтожно малые промежутки времени,
играют роль то ударяемого, то ударяющего шара.
Отскакивает только крайний правый шар.
В детской игре подвешенные шары заменяются
несколькими монетами одинаковой величины, лежащими
рядом на гладкой поверхности стола.
Рис. 101. К
демонстрации
результата ряда
упругих ударов
между телами
равной массы.
§ 41. Закон сохранения импульса при неупругом
соударении двух тел. Баллистический маятник. При неупругом
соударении механический закон сохранения энергии не выполняется. Поэтому
следует применять только закон сохранения импульса. После
столкновения оба тела движутся с одной общей скоростью и^ в
направлении и ударяющего тела. Оба тела кажутся «прилипшими» друг
к другу. Чтобы осуществить этот удар, заменяют пружинный буфер
на рис. 100 свинцовым или каким-либо еще более «пластичным»
веществом. Закон сохранения импульса требует:
обе тележки вместе
левая тележка
ти
перед столкновением
Пу(т-\-М)
после столкновения
G8)

V. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ, РАБОТА, ЭНЕРГИЯ, ИМПУЛЬС
ИЛИ
= и
G9)
В качестве примера приведем измерение скорости пистолетной
пули, которую она имеет при вылете из дула. На рис. 102 пуля
со скоростью и влетает в брусок
массой М и застревает в нем. Оба
вместе движутся вправо со
скоростью иу. Эта скорость измеряется,
и по уравнению G9) вычисляется и.
Измерение пу можно произвести при
помощи простых карманных часов. Для
этой цели изготовляется «баллисти-
ГИЯ ческий маятник». Это значит, что
гпИ ДрД тело М располагают так, чтобы оно
ш^ было способно колебаться, например,
между двумя пружинами, или
подвешивают его наподобие маятника
(рис. 102). В обоих случаях
осуществляется линейный закон силы: пружины
или нить подвеса маятника делают
достаточно длинными. При линейном
законе сил имеет место важное уравнение
Рис. 102. Тяжелый маятник как
измеритель импульса.
Измерение скорости пистолетной пули
(длина нити 4,3 м, период
колебаний Т — 4,09 сек). Шкала в
десятых долях метра.
C6) (ср. стр. 57)
В словесном выражении: скорость пу, с которой тело, способное
колебаться, покидает свое положение покоя, вычисляется наиболее
просто из величины баллистического отброса х0, умножением его
на круговую частоту со = 2-к/Т (Т — период колебания маятника).
Числовой пример. Пусть в опыте рис. 102 мы измерили «о = 2тс/Г =
= \,Ь\сек и д:0 = 0,25 м. Следовательно, по уравнению C6)^ = 0,375 м\сек.
Масса М баллистического маятника равна 2 кг, масса пули тп = 3,3 г —
— 3,3 • 10~3 кг. Подставив эти величины в уравнение G9), получим и =
= 227 м/сек, в хорошем согласии с нашим прежним измерением на стр. 28.
Какое упрощение дает нам понятие импульса! Раньше
требовались: хронограф с отметками времени, электромотор,
регулировочный реостат, частотомер и еще ловушка для пуль. Обладая законом
сохранения импульса, мы для той же цели нуждаемся лишь в ящике,
наполненном песком (вместо бруска), куске веревки, весах и
карманных часах.
Случается, что начинающие пытаются для измерения скорости пули
баллистическим маятником использовать закон сохранения энергии. Они
считают кинетическую энергию пули -^ #ш2 равной кинетической энергии

§ 42. БАЛЛИСТИЧЕСКИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ
87
баллистического маятника -~ М (<лх0J. Это совершенно недопустимо. Удар
пули отнюдь не упругий (§ 36). Кинетическая энергия пули при ударе
превращается в теплоту примерно на 0,16%.
Баллистический маятник пригоден одинаково хорошо как для
упругих, так и для неупругих столкновений. Для примера сравним
передачу импульса при упругом и неупругом ударе. Этой цели
служит изображенный на рис. 103 прибор. Маленький шарик
скатывается по наклонному
желобу и наносит большому шару,
подвешенному в качестве
баллистического маятника,
центральный удар. Для получения
неупругого удара место удара
покрывается кусочком
листового свинца. Шар маятника
передвигает при отклонении
легкий картонный указатель,
скользящий вдоль шкалы.
Указатель останавливается в конце
отклонения шара и позволяет
сделать отсчет.
Упругий удар дает отброс,
вдвое больший, чем неупругий. Рис- 1оа Стальной шарик_ ударяется
Следовательно, при упругом
в баллистический маятник. Слева —
легкий, скользящий по шкале указатель
ударе передается вдвое боль- (длина нити подвеса около 4,5 м).
ший импульс, чем при
неупругом ударе. Этот важный факт можно было вывести и до этого
путем сопоставления уравнений G7) и G9).
§ 42. Баллистический маятник как прототип баллистических
измерительных приборов. Баллистический гальванометр,
измерение продолжительности удара. Всякий маятник с линейным
законом сил можно использовать как весы или динамометр. На
рис. 104 приведен пример. Частное
сила
отброс х
(80)
называется в этом случае не направляющей силой, а статической
постоянной1) динамометра.
Такой маятник может, как мы видели, использоваться как
баллистический. Но его период колебания должен быть сделан большим
по сравнению с продолжительностью импульса силы. Тогда и =
г) Это название лучше, чем ранее употреблявшееся слово
«чувствительность».

V. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ, РАБОТА, ЭНЕРГИЯ, ИМПУЛЬС
еще практически равна скорости и0, с которой маятник покидает
свое положение покоя. Для этого случая
м0 = (ол:0; C6) (ср. стр. 57)
итак,
= ти0 =
или
ИМПуЛЬС СИЛЫ
баллистический отброс х0 тш °' ^
Это частное называется баллистической постоянной
динамометра. Для его измерения нужно только массу т маятника умножить
на круговую частоту а>. С помощью
уравнения
О
C8) (ср. стр. 57)
1|Ц|||1 I I I I I
мы можем заменить т. Тогда
получим:
В = 2. (82)
На словах: если разделить
статическую постоянную О на
круговую частоту (о, то получится
баллистическая постоянная В
измерительного инструмента1).
А Все сказанное выше можно
непосредственно перенести на
электрические измерительные
инструменты. Мы возьмем в качестве
примера измеритель тока, называемый
также гальванометром или
амперметром. Механические силы,
развиваемые электрическим током, пропорциональны току /
(единица—ампер). Можно поэтому построить измеритель тока с линейной
шкалой, как, например, известный гальванометр с вращающейся
катушкой. У него вместо соотношений
х ~~
имеют место соотношения
X
Рис. 104. Маятник с линейной
шкалой в качестве весов (длина пути
около 3,5 м).
х0
1сН
= В
Верно лишь при малом затухании (см. § 108).

§ 42. БАЛЛИСТИЧЕСКИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ
89
При этом Ох называют статической постоянной гальванометра,
измеряемой в ампер/деление шкалы, а В1 — баллистической
постоянной, измеряемой в амперсекундах/деление шкалы. Итак, по
длительности отклонений гальванометра измеряют токи в амперах, а по
баллистическим отбросам—импульсы тока в амперсекундах.
Рассмотрим применение баллистического гальванометра для
измерения продолжительности удара стального шарика о стальную
стенку.
На рис. 105 мы видим толстую стальную плиту в качестве
стенки. Перед ней на расстоянии нескольких миллиметров висит на
проволоке стальной шарик. Стенка и шарик введены в
электрическую цепь в качестве «выключателя». Эта цепь содержит источник
тока с напряжением 100 в
(радиобатарея) и зеркальный гальванометр с
периодом около 30 сек. Мы заставляем
шарик удариться о стенку с
расстояния около 30 см и отскочить от нее.
Затем мы снова схватываем его. Во
время соприкосновения шарика со
стенкой в цепи течет ток /. Его
величина нас не интересует. Ток дает
баллистический отброс х0, причем
^,= В1х0. (83) ц Шв
После этого мы вместо шарика
и плиты включаем в цепь
«секундомер-выключатель» и заменяем прежний
источник тока другим, с напряжением
всего 1/100 в (рис. 106). Ток течет
только тогда, когда идет секундомер.
Величина тока в 10 000 раз меньше,
чем прежде при напряжении 100 в.
Протекая 1,30 сек., этот слабый ток дает такой же
баллистический отброс х0, как и раньше. Следовательно,
Рис- 10^ и 106- к измерению
продолжительности упругого
10-4- 1,30 сек. =
(84)
Из сравнения уравнений (83) и (84) следует, что Ьх>
продолжительность упругого удара между шариком и плитой, равна
1,30* 10~4 сек. За это ничтожное время происходит в нашем
примере вся сложная игра упругих сил, деформаций и ускорений! Без
баллистического гальванометра, т. е., в конечном счете, без
понятия импульса, измерение этого времени потребовало бы уже
значительных средств. Вряд ли можно было бы обойтись без регистрации,
например, в трубке Брауна (§ 6).

90
V. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ, РАБОТА, ЭНЕРГИЯ, ИМПУЛЬС
§ 43. Движения в сопротивляющейся среде. Неупругий удар
выходит за рамки рассмотренных до сих пор движений:
принципиально он протекает с «потерей» механической
Путь падения в воздухе энергии (так мы коротко обозначаем ее
50100200 400 600м превращение в энергию молекулярного
теплового движения). Во всех прочих
движениях подобная потеря была
несущественным побочным явлением. Она
исключалась при экспериментах благодаря
искусно выбранным опытным установкам, а при
рассуждениях и вычислениях этой
потерей мы вообще пренебрегали.
Однако многие движения с непрерыв-
5 Юсек ной неизбежной потерей энергии играют
Время падения важную роль. Это видно хотя бы на
примере падения человека с большой высоты
Рис. 107. Влияние сопротив- /рис> 107). Сначала движение протекает
ления воздуха на падение к*ск0ртН0щ Через секунду СКОрость дости-
Падение человека
с высоты 1300 м
человека (по наблюдениям).
Чтобы поддерживать
постоянную скорость опускания
около 60 м\сек для человека
массой 70 кг, его вес должен
развивать мощность около
40 кет (!), и притом за счет
потенциальной энергии.
гает значения 9,8 м/сек. Но скоро она
начинает возрастать заметно медленнее,
чем в безвоздушном пространстве;
наконец, она достигает постоянной
величины и ?5Ь 55 м/сек.
Вывод: во время ускоренного
движения возникает сила, направленная
навстречу движению и называемая сопротивлением. Это
сопротивление растет с увеличением скорости и, наконец, его наибольшая
величина й^" — ^1 становится равной и
противоположной по направлению весу $х. Тогда сумма
действующих на тело сил ^1-}-$2 = 0. Вследствие
этого никакого ускорения дальше не может быть,
скорость достигла своей предельной величины или
величины насыщения:* тело больше не «падает», а
«опускается» с постоянной «скоростью
движения» и.
Главное, увеличение скорости до величины
постоянной скорости снижения и можно показать,
например, на демонстрационном опыте падения
маленьких шариков в вязкой жидкости (рис. 108).
Подробнее в § 89.
Далее напомним о всех наших средствах сообщения: железных
дорогах, пароходах и авиации. Даже на горизонтальном пути
требуется сила не только для ускорения поезда, но также и для
сохранения постоянной скорости! На рис. 109 мы видим тележку
с массой около 50 кг на горизонтальном полу аудитории. При
помощи шнура ее тянет сила 51\ = 1 килопонО. После 1 м пути
Рис. 108.
Постоянная
скорость опускания
шарика в
жидкости.
Подробнее в § 89.

§ 43. ДВИЖЕНИЯ В СОПРОТИВЛЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЕ
91
тележки ее скорость достигает постоянного значения 0,5 м/сек;
ускорение тогда равно нулю. Следовательно, во время процесса
ускорения должна возникать возрастающая со скоростью йх\й1
другая, направленная навстречу движению, сила, т. е. сопротивление
с наибольшим значением $2 =—^х. Сопротивление может
осуществляться очень разнообразными способами, например трением,
выталкиванием, завихрением окружающей среды, чаще всего
воздуха или воды.
Поэтому нельзя дать общей зависимости между
сопротивлением и скоростью. В простейших случаях, таких, например, как
на рис. 108. сопротивление возрастает пропорционально скорости.
Для кораблей и самолетов сопротивление возрастает в грубом
приближении пропорционально квадрату скорости и т. д.
Всегда, когда имеется
сопротивление $2, должна
быть и движущая сила ^,
которая совершает
работу против
сопротивления $2> а именно вдоль
пути х работу ^хлг.
Частное (работа Л/время г)
дает мощность ^, т. е.
50кг
Рис. 109. Вследствие сопротивления $2>
уничтожающего механическую энергию, уже
постоянная скорость движения и требует
силы тяги $х. Сила тяги ^ совершает
работу; работа совершается против силы Й2
(сопротивление).
= ^11. Следо-
вательно, если какой-
либо мотор поддерживает
постоянную скорость движения и, то он должен развивать мощность
\^=^и. (85)
Примеры. Автомобильные моторы имеют мощность от 10 до 100 кет,
паровозы и авиационные моторы — большею частью порядка 103 кет, машины
скорых пароходов и военных судов — до 105 кет. Очень различны и
мощности при наиболее употребительном способе передвижения людей, при ходьбе.
При нормальной скорости 5 км/час = 1,4 м/сек человек на горизонтальном
пути развивает мощность около 60 вт; при форсированном марше G км/час)
— уже 200 вт. Работа при ходьбе слагается главным образом из двух
частей: во-первых, из периодического поднятия центра тяжести (пройдите,
держа у бедра кусок мела, вдоль стены и наблюдайте полученную
волнообразную линию!); во-вторых, из работы ускорения ног. При неупругом ударе
стоп о землю большая часть этой энергии теряется в форме теплоты. При
езде на велосипеде подъем центра тяжести меньше и работа ускорения ног
тоже меньше, чем при ходьбе. При скорости 9 км/час на велосипеде нужно
всего 30 вт, а при 18 км/час — 120 вт мощности. Такие числа позволяют
лучше оценить данные о технических мощностях.
У людей, запряженных животных, у паровозов и автомобилей
движущая сила ^ осуществляет свое действие при
непосредственном содействии трения покоя х) (§ 73). Но как возникает движущая

92 V. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ, РАБОТА, ЭНЕРГИЯ, ИМПУЛЬС
сила для воздушных и водных средств сообщения с моторным
приводом?— Ответ: посредством пропеллеров, лопастей турбины или
других равносильных устройств мотор захватывает часть
окружающей среды (воды или воздуха) и движет ее ускоренно назад. При
этом на средства передвижения действует сила 5^, направленная
вперед.
В качестве примера на рис. ПО изображена лодка; по
отношению к берегам она плывет с постоянной скоростью и направо.
Двигателем служит человек. Веслом он ускоряет воду налево, сообщая
тем самым воде относительно берега скорость и', направленную влево.
Пусть за время ( ускорено количество воды с общей массой М.
Импульс Мм' направлен влево.
В то же время лодка получает
импульс силы в направлении
движения, т. е. направо
5^=АШ'. (86)
Движущая сила
5?!=^-. (87)
Рис. ПО. К получению движущей силы
судов и дирижаблей. Она используется для того,
чтобы, несмотря на
сопротивление, сохранять постоянной скорость движения. При этом сила ^х за
время I совершает вдоль пути ^и работу 1^=5^11 или согласно
уравнению (87)
(88)
Одновременно ускоренная в левую сторону вода получает
кинетическую энергию \^2 = — М)х'г. Мотор должен доставить сумму обеих
порций энергии 1^ и \^2, но в качестве полезной работы
используется лишь порция 1Х/Г1. Отсюда получается коэффициент полезного
действия
. 1^1 _ Мии' _ 1
' г Мии' -(- у Ми' 1 + 'о—
Итак, для того, чтобы добиться высокого коэффициента полезного
действия, нужно скорость и' потока воды назад сделать малой. Но тогда по
уравнению (87) масса М ускоряемого назад количества воды должна стать
большой, чтобы возникла требуемая движущая сила Йь У винтовых и
колесных пароходов выбрасываемая с ускорением назад вода хорошо заметна как
четко ограниченная завихренная струя.
1) Если бы пожелали применить теорему импульсов к ходьбе человека,
то пришлось бы на рис. 97 заменить тележку Землей с ее грандиозной
массой.

§ 44. ВОЗБУЖДЕНИЕ СИЛ БЕЗ ЗАТРАТЫ И С ЗАТРАТОЙ МОЩНОСТИ 93
Для самолетов справедливо то же самое. Большей частью пропеллерами
создается направленный назад поток воздуха, но за последнее время для
этой цели используется также дутье разного устройства (сопла).
Ракетное действие не вносит ничего существенно нового, лишь
ускоряющееся назад вещество не черпается из окружающей среды, а захватывается
с собой в качестве запаса горючего. Поэтому для неподвижного наблюдателя
этот запас и при постоянной скорости полета и обладает импульсом и
энергией. Это следует учитывать при количественных расчетах. Тогда
получается коэффициент полезного действия
(здесь и считается положительной в направлении движения, и' — в обратном
направлении).
§ 44. Возбуждение сил без затраты и с затратой мощности.
Раньше, в § 43, мы рассмотрели движение средств транспорта по
горизонтальному пути. При этом вес экипажа должен был
уравновешиваться какой-либо силой, направленной вверх. Для уличных
экипажей и поездов на рельсах эта сила возникает вследствие
упругой деформации полотна пути, для судов и дирижаблей — благодаря
статической подъемной силе (§ 84). Для самолетов, напротив,
направленная вверх сила должна возбуждаться динамическим путем,
а именно, при помощи несущих поверхностей или крыльев. Эта
динамическая подъемная сила лишь заменяет подвеску вагона в схеме
подвесной дороги. В конце концов она действует подобно крюку
на потолке комнаты. Такой крюк или постоянный стальной магнит
может из года в год без притока мощности действовать с силой,
направленной вертикально вверх. Иное дело — несущая поверхность:
она требует постоянного притока мощности. При генерировании
силы несущими поверхностями принципиально происходит то же, что
при возбуждении силы электромагнитом или мускулом:
электромагнит расходует энергию из своего источника тока, мускул требует
притока химической энергии от питательных веществ, он утомляется
даже при полной «бездеятельности», т. е. без совершения работы
в физическом или техническом смысле. Ведь работа требует всегда
не только силы, но и перемещения по направлению силы. Всем видам
генерирования сил, требующим мощности, присущ общий признак:
они не удаются без «потери» механической, химической или
электрической энергии, т. е. всегда часть этой энергии превращается
в теплоту. Теплота тока и мускульная теплота хорошо известны.
У несущих поверхностей теплота возникает от разных причин, одна
из них — образование вихрей на задней кромке крыла. Физики
бывают склонны при хозяйственных расчетах рассматривать только
силы, совершающие работу. Но это — гиблое дело. Часто даже при
создании сил, не совершающих работы, требуется неизбежная
хозяйственная затрата энергии.

94 V. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ, РАБОТА, ЭНЕРГИЯ, ИМПУЛЬС
Пример. Один экипаж тянет другой при помощи короткого каната. При
искривлении пути уже возникают заметные, поперечные к направлению тяги,
составляющие силы. Они не совершают никакой работы, но требуют все же
затраты горючего или фуража.
§ 45. Заключительное замечание. Наш путь привел нас от
основного уравнения B1) к уравнению импульсов G1). Само собой
ясно, что настолько же правилен и обратный путь (которым в
действительности и следовал сам Ньютон). Можно дать сначала
определение импульса ти. и сказать: «изменение во времени импульса
пропорционально действующей силе», или в математической форме
(91)
При постоянной массе т можно написать в предельном случае
тангенциального ускорения
т-7т = 8 или Ь=— B1)
и в предельном случае радиального ускорения
ш^=отшХи=Я или Ьг = 1=(оХи. (Ю)(ср. стр.30)
При постоянной массе оба пути одинаково правильны. Тот,
которому следовали мы, лучше подходит к потребностям
экспериментального преподавания.
Согласно физическим данным последних десятилетий
предположение о постоянной массе т — только приближение, хотя и
допустимое в очень широких пределах. Его пригодностью и
ограничивается область «классической механики». В следующем приближении
(принцип относительности, ср. «Учение об электричестве», глава 21)
вместо т надо писать:
Щ
ТА--"
(92)
Здесь с обозначает скорость света, равную 3 • 108 м/сек. При
учете этой поправки уравнение импульсов (91) остается верным,
а основное уравнение B1) — нет. В области очень больших
скоростей и этот столь простой закон достигает границ применимости.

VI. ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
§ 46. Предварительное замечание. В произвольном движении
какого-либо тела мы видим, вообще говоря, наложение двух
движений— поступательного и вращательного. Во всем предыдущем
изложении мы ограничивались только поступательным движением.
Формально мы считали все тела точечными или, коротко,
материальными точками. На опыте мы исключали вращательные движения при
помощи двух искусственных приемов: при движении по прямой мы
прикладывали ускоряющую силу так, чтобы ее направление
проходило через центр тяжести тела; при движении по кривой мы
выбирали размеры тела так, что они были малы сравнительно
с радиусом кривизны его пути. Конечно, и в этом случае тело,
например камень, совершает во время полного обращения по
круговому пути еще и полный оборот вокруг своего центра тяжести.
Но кинетическая энергия этого вращения (§ 49) мала сравнительно
с энергией поступательного движения. По-
этому мы и могли пренебрегать вращением
в сравнении с поступательным движением.
В этой главе мы рассматриваем другой
предельный случай: тело как целое не движется
поступательно, его движение ограничивается
исключительно вращением. Ось этого
вращения первоначально мы будем считать
закрепленной в неподвижных подшипниках.
§ 47. Определение вращательного
момента. Рис. 111 изображает твердое тело Рис. 111. К определению
пластинчатой формы с осью А, лежащей вращательного^ момен-
в подшипниках. При вращении тела каждый та ^ ОТОЫЙ изоора
из его элементов массы Ат движется в
плоскости, перпендикулярной к оси и называемой
плоскостью вращения. Тело должно при
любом угле поворота оставаться в покое. Для этого нужно
исключить влияние веса. Ось вращения должна быть строго вертикальна.
Тогда плоскость вращения каждой точки будет горизонтальна.
Для создания вращательного движения пригодна не всякая
наудачу взятая сила. Она должна обладать действующим вращательным
который изоора-
жен векторной стрелкой,
параллельной оси
вращения.

96
VI. ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
моментом относительно данной оси. Это значит, что сила должна
иметь составляющую, параллельную плоскости вращения, а ее
направление не должно проходить через какую-либо точку оси вращения.
Количественно вращательный момент Т1 определяется лишь
силой $, параллельной плоскости вращения, а именно уравнением
(93)
Здесь г—кратчайшее расстояние от оси до направления силы,
или «плечо» силы. Единицами вращательного момента служат
1 ньютонметр или 1 калопондметр.
Пусть вращательный момент Ш повернул тело (рис. 111) на
угол й$. Тогда совершается работа
йА = $с1х = ШхA% = та$ или 9Я =
Единица момента равна, следовательно, единице работы, деленной
ня единицу угла, например ньютонметр/радиан. Угловая единица
радиан численно равна 1 и
поэтому часто отбрасывается.
На этом основании
вращательный момент имеет такую же
единицу, как и работа.
Вращательный момент Ш—
вектор. Его стрелка
перпендикулярна и к
направлению $, и к г. Он направлен
Рис. 112. Измерение вращательного мо- параллельно оси вращения
мента электромотора в то время, когда (рис. 111). Смотря по направ-
он с мощностью #^0,5 кет возбуж- лению стрелки, мы должны
дает вертикальный воздушный поток.
Силомер (рис. 38) посредством шнура
действует тангенциально по периферии
круглого столика Bг = 0,25 м), а этот
столик может вращаться в шарикопод-
шипниках вокруг вертикальной оси. Шта-
й
видеть вращение
совершающимся по часовой стрелке.
Вращательные моменты
могут быть вызваны и другими,
не параллельными плоскости
тив вращающегося столика такой же, как вращения, силами. Вектор та-
и на рис. 128. Произведение
вращательного момента $Щ на угловую скорость <о
мотора (§ 14) дает мощность Ф",
например, в ньютонметр/сек-вт.
кого вращательного момента
тогда не будет больше
параллельным оси вращения. Но при
заданной оси вращения
существенны будут только те моменты, векторы которых имеют
составляющую, параллельную оси.
По большей части на вращающееся тело действует
одновременно несколько сил с совершенно различными моментами. Все эти
моменты складываются в один равнодействующий момент. Это можно
демонстрировать, например, на электромоторе. Для измерения
величины вращательного момента мотора во время работы мы

ПОЛУЧЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНЫХ МОМЕНТОВ
97
определяем момент такой же величины, но противоположного
направления, приложенный к кожуху мотора. Подробности даны в
подписи к рис. 112.
На рис. 111 ось вращения была вертикальна. В этом предельном
случае вес всего тела и его отдельных частиц Дяг не мог дать
действующего вращательного момента, параллельного оса. Иначе
обстоит дело в другом предельном случае, когда ось горизонтальна.
Здесь согласно рис. 113 вес каждой частицы Дт. дает вращательный
момент, пропорциональный г кт. Вообще говоря, при произвольном
начальном положении тело будет вращаться. Только в одном особом
случае оно будет оставаться в покое во всяком положении. В этом
частном случае ось вращения проходит через центр тяжести. Итак,
Рис. 113. К центру
тяжести.
Рис. 114. Вращательный момент
катушки.
для оси, проходящей через центр тяжести, полный вращательный
момент, а следовательно, и сумма 2/* Дот должны равняться нулю.
Это уравнение содержит определение центра тяжести. Мы будем
им пользоваться в дальнейшем. В остальном мы считаем понятие
о центре тяжести и его нахождении известным. Оно очень подробно
рассматривается в школьном преподавании в связи с рычагом,
весами и другими простыми машинами.
Когда ось задана неподвижными подшипниками, то относительно
направления и величины моме.нта вряд ли может возникнуть неясность.
В иных случаях начинающий часто встречает затруднения. Сюда
относится, например, детская шутка о «послушной» и «непослушной» катушке.
Катушка упала на пол и закатилась под диван. Мы пробуем вытащить
ее за нитку. Некоторые катушки послушно выходят из-под дивана,
другие залезают еще дальше в свою норку. Рис. 114 дает объяснение. За
ось вращения надо считать не ось симметрии катушки, а ее линию
соприкосновения с полом. Она обозначена на рис. 114 буквами Ат («мгновенная
ось»). Держа нить достаточно «плоско», можно принудить к послушанию самую
неподатливую катушку. Здесь, как и во многих других случаях жизни,
немножко физики дает больше толку, чем самые бурные проявления
темперамента.
§ 48. Получение вращательных моментов. Определение
направляющего момента О*. Угловая скорость а) как вектор.
Силы определенной величины и направления особенно наглядно
осуществляются при помощи винтовых спиральных пружин. При

98
VI. ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
надлежащих размерах (достаточной длине пружины) силы
пропорциональны отклонениям пружины х. Справедлив линейный закон
$ = —Ох. C9)
Частное
сила Й
отклонение х
Рис. 115.
Малый
крутильный
прибор с
вертикальной осью
и
насаженным на нее
шаром. В этом
приборе
используется
упругость
изгиба плоской
спиральной
пружины. Ее

направляющий момент
0*=О,ОО56 ки
лопонд-

метр/радиан = 0,055
ньютон-
называется «направляющей силой» или постоянной
пружины.
Совершенно таким же образом можно особенно
наглядно получить вращательный момент Ш известной
величины и направления при помощи плоской
спиральной пружины на оси. Рис. 115 показывает такой
«крутильный прибор». При надлежащих размерах
(достаточной длине пружины) вращательные моменты
пропорциональны углу вращения.
И здесь соблюдается линейный
закон
Ш = — Л*а. (94)
Частное
р.* вращательный момент
угол поворота а
(95)
называется «направляющим
моментом».
Числовые примеры даны под
рис 115 и 116. Радиан при этом
есть другое название для числа 1,
единицы каждого угла (см. § 5).
Как раньше мы нуждались
в винтовых пружинах с
известной направляющей силой О,
метр\радиан. так и в будущем мы будем
нуждаться в плоской
спиральной пружине с осью и известным
направляющим моментом П\ Поэтому мы
градуируем изображенный на рис. 115 прибор
по легко понятной схеме рис. 116, к
которому прилагается числовой пример.
Действующая на ось плоская спиральная пружина
часто может быть заменена скрученной
проволокой. Однако плоская спиральная
пружина дает большую наглядность.
Начинающий легко недооценивает способность скручиваться, которой
обладают даже толстые стальные стержни. Рис. 117 изображает стальной
Рис. 116. Градуировка
прибора, знакомого по
рис. 115, в
горизонтальном положении. Пример:
г = 0,1 м\ а = 180° = тс=
=3,14; $ = 0,175 кило-
понд или 1,71 ньютон;
г X Я = 0,0175 килопонд-
метр = 0,171 ньютон-
метр;
р.% 0,171 ньютонметр
и' Ш~
_ 0,055 ньютонметр
~~ радиан

§ 48. ПОЛУЧЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНЫХ МОМЕНТОВ
99
стержень в 1 см толщины и всего 10 см длины, зажатый в тисках. Это
тело, кажущееся столь твердым, мы можем закрутить заметным образом
уже при помощи кончиков пальцев. Нужно только для обнаруживания
кручения употреблять световой указатель около 10 м длины, заставляя луч
отражаться между зеркалами а и Ь (ср. стр. 38).
Угловую скорость мы уже ранее определили уравнением
угловое приращение
приращение времени
(96) (ср. стр. 30)
Линейная скорость а полностью определяется только тогда, когда
задана ее величина и направление; она — вектор. То же самое
Луч
света.
Рис. 117. Два пальца
закручивают короткий
толстый стальной стержень.
Рис. 118. Угловая скорость как
вектор. Смотря по
направлению стрелки, видят вращение в
направлении часовой стрелки.
справедливо и относительно угловой скорости со. Стрелка,
изображающая угловую скорость, чертится в направлении оси вращения.
Объяснением служит рис. 118. Точка Р вращается одновременно
около оси / с угловой скоростью (% и оси // с угловой скоростью ш2.
За достаточно малый промежуток времени Д^ точка проходит
практически прямолинейный отрезок Д5 = Я ... 3. Его мы можем
считать результатом сложения двух отрезков:
Д^ = ш1г Ы и Д$2 = со2г Ы.
К перемещению Р . . . 3 мы можем прийти еще и другим путем.
Начертим на осях I и II стрелки, изображающие ш1 и ш2. Эти оба
вектора мы сложим графически в равнодействующую угловую
скорость со. Она определяет новую ось ///; около нее мы и
заставим тело вращаться с угловой скоростью со. За время Д^ оно
пройдет путь Д.? = сог Д^. Векторное сложение двух угловых скоростей
здесь ясно видно, стоит лишь заметить очевидное подобие полу*
пившихся при построении треугольников»

100 VI. ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
§ 49. Момент инерции, крутильные колебания. Владея
понятиями вращательного момента Ш и направляющего момента 0\ мы
можем легко перейти от поступательного движения к
вращательному. Для этого мы воспользуемся таблицей на стр. 101. Две ее
верхние горизонтальные строки содержат чисто кинематические
понятия скорости и ускорения. Вслед за ними мы внесли в левый
вертикальный столбец известные нам определения и законы
поступательного движения в том порядке, в каком мы их постепенно
вводили.
Вычислим теперь кинетическую энергию тела, вращающегося
около оси. Эта энергия складывается из кинетических энергий всех
отдельных, составляющих тело, частиц с массами Дот. Пусть одна
из этих частиц движется на расстоянии г^ от оси с линейной
скоростью и$. Кинетическая энергия этой частицы
Подобно уравнению A4) мы вводим одинаковую для всех
частиц угловую скорость со=м/г и получаем:
Суммирование по всем частицам дает кинетическую энергию
всего тела, вращающегося вокруг оси,
Стоящая справа сумма носит название момента инерции
(97)
При этом сокращении кинетическая энергия тела, вращающегося
с угловой скоростью ш, равна
Ц7 = — Вша. (98)
кип 2 Ч - /
Мы получили выражение, стоящее в седьмой строке правой
части таблицы. Для поступательного движения соответствующее
уравнение слева гласит:
\укш=±ти*, E9)
или, словами: при вращательном движении вместо линейной
скорости и входит угловая скорость ш, вместо мяссы т — момент
инерции в. Это мы и видим в правой части третьей строки
таблицы.

§ 49. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ, КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
101
Поступательное движение
Скорость и — —- F)
1
Вращательное движение
угловая скорость или круговая
частота
« = § (9)
—======111Х^Ч^2Ш( ~] их — и й1 и — о^л A4)
Ускорение Ь = — (8)
Масса т
Ускорение Ь = B1)
масса т
сила ®
отклонение х
= направляющая сила О C9)
Частота колебаний
V = А л/ — D0)
2п У т '
Кинетическая энергия
и/ЕИН = -„■ 'И"'5 E9)
Импульс ($ = ти G1)
Сила Я = ~ (91)
Работа
Мощи
А = { ййх D7)
хть Ф1 = Яи (85)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
угловое ускорение
со = —
й1
(9а)
момент инерции (вращающаяся масса)
6 = 2Ктг% (97>
угловое ускорение
вращательный момент ЭД
момент инерции в
вращательный момент ЭД1
угол а.
= направляющий момент О*
(96)
(95)
частота колебаний
^ = ^-л/~^ A04)
кинетическая энергия
\Ркаи = — 6о>2 (98)
вращательный импульс
©* = е<о A05)
вращательный момент
т — ~- (Юб)
работа А= Сша^ A07)
мощность Ф" = ЧИЯ<я (Ю8)

102 VI. ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Вычисление момента инерции для тел простой геометрической
формы не представляет затруднений. Потребное для этого
суммирование может быть выполнено в нескольких строках. Примеры:
I. Плоское однородное круглое кольцо. Масса т, радиусы /?
и г, толщина й, плотность р, ось в центре
перпендикулярна к плоскости кольца в = -к р& (#4 — гА), (99)
направлена по диаметру в = у~ йг -}- -г ёр (/?4 — г4). A00)
II. Однородный шар. Ось проходит через центр
в ^| A01)
III. Однородный стержень длиной / любого профиля, с сечением Г.
Ось проходит через центр тяжести и перпендикулярна к длине:
— __пР/3 ■—— т/2 П09\
1 О Р* * 1 О • V * "*-/
IV. Теорема Штейнера. Известен момент инерции 0
произвольного тела массы т относительно оси, проходящей через его центр
тяжести 8. Как велик момент инерции Во относительно какой-либо
4 другой оси А, проходящей от первой на
расстоянии а и параллельной ей? — Ответ:
во = В84 та2- (ЮЗ)
Вывод. При вращении вокруг оси 5 тело имеет
1
Рис. 119. К нагляд- кинетическую энергию у ©^ • На рис. 119 изображено
ному выводу тео- вращение вокруг оси /1; при этом отмечен исходящий
ремы Штейнера. из центра тяжести 5 маленький стрельчатый указатель
5—центр тяже- внутри тела. Если гело сделает вокруг оси А полный
сти- оборот, то указатель вместе со всем телом совершит
также полный оборот вокруг оси 5. Следовательно,
указанная выше порция энергии — В8«>3 сохраняется. Но одновременно
центр тяжести пробегает обозначенный штрихами круговой путь. Можно
сосредоточить массу тела т в центре тяжести и получить тогда кинетиче-
скую энергию этого кругового движения — ти2 = -^ т (итJ. Эту вторую
порцию энергии прибавляют к первой. Таким образом, кинетическая энергия
тела, вращающегося вокруг оси А, составляет:
Деление на -к-ш2 приводит к уравнению A03).
Гораздо важнее вычисления моментов инерции их измерение, так
как суммирование при сколько-нибудь сложной форме тела
доставляет массу ненужных затруднений.

§ 49. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ, КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
103
Для измерения моментов инерции применяют в большинстве
случаев крутильные колебания. Мы должны лишь заменить в б-й
строке нашей таблицы массу т моментом инерции в и
направляющую силу И винтовой пружины — направляющим моментом Ь*
спиральной пружины. Изображенный на рис. 115 крутильный прибор
дает нам известный направляющий момент О*. На верхнем конце
его оси мы укрепляем исследуемое тело (рис. 115). При этом ось
тела должна совпадать с продолжением оси прибора. Затем мы
вращаем тело на угол около 90° из его положения покоя и
наблюдаем период колебаний Г при помощи секундомера. Тогда
в=—Л* A04)
4тс
Направляющий момент Ю* нашего маленького прибора уже был
найден ранее на стр. 98 и равен 5,5 • 10~2 ньютонметр на
единицу угла в 57,3°. Итак, мы имеем 6=1,4- 10~3—~2кг-м2.
Приведем несколько примеров.
I. Проверка вычисления момента инерции. Для деревянного круга
с массой т = 0,8 кг и радиусом 0,2 м мы вычисляем по уравнению (99)
при г = 0 момент инерции относительно перпендикулярной оси, проходящей
через центр в5 — 1,6 • 10~2 кг • м2. Наблюдаем: 7 = 3,37 сек., откуда
6в= 1,58-Ю-2 кг- м\
II. Диск и шар с одинаковым моментом идерции. Рис. 120
изображает в одинаковом масштабе диск и шар из одинакового материала. Их
массы относятся, как 1 : 2,9. Их моменты инерции согласно уравнениям (99)
и A01) должны быть равны. Действительно, на
нашем приборе они дают одинаковые периоды колебаний
Рис. 120. Диск и шар
с одинаковым
моментом инерции.
Рис. 121. Сплошной и по- Рис. 122. Враща-
лый цилиндры одинако- тельный момент
вой массы (из дерева и 1 = г X ^ ци-
из металла), но с различ- линдра на
наклонным моментом инерции. ной плоскости.
III. Моменты инерции полого и сплошного цилиндров одинаковой
массы. Рис. 121 показывает нам полый металлический цилиндр и массивный
деревянный цилиндр одинаковой массы т, одинаковой длины и одинакового
диаметра. На крутильном приборе мы находим у полого цилиндра
значительно больший момент инерции.
Этим объясняется одно наблюдение, которое часто вызывает удивление
зрителей: мы кладем оба цилиндра рядом на наклонную плоскость, например
на наклонную доску. Оси их должны лежать на одной прямой. Оба цилиндра
мы отпускаем одновременно. Массивный деревянный цилиндр скатывается
вниз гораздо раньше, чем полый металлический. Объяснение: при
скатывании оба цилиндра получают ускорение от одного и того же вращательного
момента г$а (рис 122), так как массы и радиусы обоих цилиндров одинаковы,

104
VI. ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Поэтому полый цилиндр с бблъшим моментом инерции получает при
скатывании меньшее угловое ускорение <о и меньшую угловую скорость о>
(четвертая строка таблицы). (В чем здесь
сказывается теорема Штейнера?)
IV. Моменты инерции человеческого
тела. Мы определяем момент инерции
человеческого тела для различных его
положений и относительно нескольких
различных осей. Для этого мы употребляем
большой крутильный прибор (рис. 123).
Некоторые результаты измерений собраны на
рис. 124—126. Эти числа пригодятся нам
в дальнейшем.
Рис. 123. Большой крутильный
прибор для измерения момента
инерции человека в разных
положениях. Р — сильная
спиральная пружина. Ее
направляющий момент Л* равен при-
Л о с ньютонметр
близительно 2,5 = —
радиан
Момент инерции в лежащего
человека приблизительно равен
17 кг • м2.
§ 50. Физический маятник и
рычажные весы. Рассмотренный в § 25
маятник называется «математическим».
Это — идеальный случай точечного тела
с массой т на невесомой нити.
Действительный или «физический» маятник
зачастую сильно отличается от этого
идеализированного образа. Каждому
физическому маятнику соответствует «приведенная» длина маятника:
так называется длина / математического маятника, который имеет
такой же период колебаний, как и данный физический маятник.
В качестве примера на рис. 127
изображена доска произвольной
формы, подвешенная в роли
маятника. О обозначает его ось,
5 — центр тяжести, 5 — расстояние
между ними. Для периода этого
физического маятника справедлива
общая для всех вращательных
колебаний формула
т =
A04)
Здесь 60 — момент инерции
относительно оси О, Л* — снова
направляющий момент,
следовательно, О* = Ш/а (стр. 98).
Величину вращательного момента Ш
мы берем из рис. 127;
Рис. 124. Рис. 125. Рис. 126.
в = 1,2 кг-м2. @ = 8кг-м'*. в =2,3 кг■ м2.
Рис. 124—126. Моменты инерции
человека в разных положениях.
Стрелки показывают направление осей
вращения.
51п а. (95)
При малых углах а мы можем положить з1п а = а и получаем:
и* = — =
(95) (см. стр. 98)
и из A04)

§ 51. ВРАЩАТЕЛЬНЫЙ ИМПУЛЬС
105
Для «математического» маятника, т. е. для точечной массы на невесомой
нити мы нашли на стр. 59
т =
D0а)
В формулу для периода физического маятника
вместо длины / математического маятника входит
частное во//п5. Это—приведенная длина маятника. На рис. 127
она отмечена как длина /. Нижний конец этого
отрезка называется центром качания М. В нем можно
сосредоточить всю массу т маятника, не изменяя его
периода.
Период колебаний любого физического маятника
остается неизменным, когда ось переносится в центр
качаний М. На этом основан излюбленный
экспериментальный способ измерения приведенной длины маятника
(оборотный маятник).
Рис. 127.
Физический маятник. Оси
в О или М
перпендикулярны к
плоскости чертежа.
Точка опоры О
Физическим маятником является также и наш
важнейший измерительный инструмент — весы с
коромыслом. Сначала мы рассматриваем весы
без обеих чашек. Тогда их схема на рис. 127а отличается от
схемы на рис. 127 лишь внешним
видом.
Пусть период колебания
прецизионных весов без чашек примерно равен
12 сек. Тогда соответствующая
приведенная длина маятника будет равна 36 м.
Прибавление чашек весов и их
груза не изменяет момента инерции
коромысла весов. Чашки весов движутся
только поступательно вверх и вниз, но
не принимают участия во вращательном
движении. Несмотря на это, прибавка
чашек увеличивает период колебания
на 18 сек. Нагрузка с обеих сторон по
100 г повышает период даже
примерно на 24 сек. Причину легко
усмотреть: и сами чашки весов и их
грузы при каждом колебании маятника
движутся ускоренно по вертикали с
меняющимися знаками.
§ 51. Вращательный импульс. В поступательном движении
мы определили импульс как произведение
© = та.
Это был вектор, и для импульса «системы» был справедлив закон
сохранения.
Рис. 127а. Схема рычажных
весов как физического маятника.
Ради наглядности расстояние
от центра тяжести 5 до оси
вращения О (лезвия)
изображено слишком
преувеличенным. Вплоть до углов
отклонения в несколько градусов
отбросы стрелки пропорциональны
разности нагрузок чашек весов
(ср. рис. 104).

106
VI. ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
При вращательном движении место массы т занимает момент
инерции в, место линейной скорости и — угловая скорость ш.
Поэтому импульс при вращении, вращательный импульс
©*=0ю. A05)
Вращательный импульс — тоже вектор, и для него тоже
существует закон сохранения. Для лучшего усвоения этих понятий мы
приведем, как в свое время для поступательного движения, несколько
опытных примеров. В качестве
вспомогательного средства вместо плоской тележки (рис. 97)
при поступательном движении употребляется
вращающийся стул (рис. 128). Он может
вращаться около строго вертикальной оси с
очень маленьким трением (шариковый
подшипник) и, следовательно, реагирует лишь на
импульс, вектор которого направлен
вертикально. От импульсов с наклонно
направленной стрелкой он воспринимает только
вертикальную составляющую.
Нам нужно еще условиться о направлении
вращения, вызываемого импульсом. На наших
рисунках, смотря от хвоста к острию стрелки,
мы должны видеть вращение происходящим
по часовой стрелке.
Все указания о направлении вращения в
тексте даны для наблюдателя, смотрящего
сверху.
1. Человек сидит на неподвижном стуле-вертушке. В левой руке
он держит примерно на уровне глаз неподвижный волчок с
вертикальной осью (велосипедное колесо со свинцовым вкладышем на
ободе). Вращательный импульс вначале равен нулю. Человек берется
снизу правой рукой за спицы и приводит волчок во вращение.
Волчок получает вращательный импульс В1ш1 против часовой стрелки.
По закону сохранения импульса человек должен получить
вращательный импульс в2и>2 такой же величины, но противоположного
направления. Действительно, человек начинает вращаться по часовой
стрелке. Его угловая скорость со2 значительно меньше, чем у волчка,
так как его момент инерции значительно больше момента инерции
волчка.
2. Человек прижимает обод вертящегося волчка к груди и тем
тормозит волчок. Вращение волчка и человека прекращается
одновременно. Оба импульса сразу обращаются в нуль.
3. Человек, сидя на неподвижном стуле, держит неподвижный
волчок с горизонтальной осью. Он приводит волчок во вращение;
стрелка импульса лежит горизонтально. Стул и человек остаются
Рис. 128. К закону
сохранения
вращательного импульса
(при малых
ускорениях нарушается
из-за трения).

§ 51. вращательный импульс 107
в покое. Они не реагируют на импульс с горизонтальной стрелкой
вектора.
4. Первоначально покоящийся волчок держат, наклонив его ось
под углом 60° к вертикали, и затем приводят в движение. Человек
и стул начинают вращаться, но только с меньшей угловой скоростью.
Они получают импульс, равный по величине лишь вертикальной
составляющей импульса волчка.
5. Мы даем волчок неподвижному человеку. Волчок
вращается по часовой стрелке. Человек остается в покое. Мы ведь
доставили ему волчок уже с готовым вращательным импульсом. Теперь
человек опрокидывает ось волчка, поворачивая ее на 180°. Он
перемещает нижний конец оси вверх. Этим он изменяет
вращательный импульс от -|~ ©* до —©*, т. е. всего на 2©*. Человек
сам начинает вращаться с импульсом 2©* по часовой стрелке. Затем
он снова приводит волчок в первоначальное положение и отдает
его нам. Стул и человек
останавливаются. Таким образом можно
некоторое время «игратья с полученным извне
импульсом и снова отдавать его.
6. Человек сидит на неподвижном
стуле-вертушке. В руке у него
молоток (рис. 129). Качая молоток в
горизонтальной плоскости, он должен
совершить один полный оборот вокруг
вертикальной оси. При качании молотка
человек вращается, хотя и с меньшей рис. 129. При помощи деревян-
угловой скоростью, чем рука и моло- ного молотка с длинной рукоят-
ток. Руку и молоток можно повернуть кой можно получать враща-
•* ,ОАО ог ■' тельные импульсы с различными
только на угол около 180 . Вместе направлениями оси.
с остановкой молотка прекращается и
вращение тела, так как они могут иметь вращательный импульс
только одновременно. Для второго поворота человек должен
вернуть молоток в его исходное положение. Он может это сделать
по прежнему пути, но тогда потеряет весь свой предыдущий
поворот. Поэтому для повторения качания нужно выбрать другой
обратный путь молотка. Из конечного положения человек должен повести
молоток в вертикальной плоскости вверх, поставить вертикально
и уже после этого вести в исходное положение, опять-таки двигая
его в вертикальной плоскости. На импульсы этого вращения тело
с вертикальной осью не реагирует. Исходя из этого положения,
можно снова повторить опыт, удвоить угол поворота и т. д. Само
собой понятно, что три отдельных движения можно объединить
в одно. Руки и молоток надо заставить описывать конус, ось
которого возможно меньше наклонена к вертикали.
7. Векторную природу вращательного импульса можно хорошо
выявить при помощи электрического вентилятора, который может

108
VI. ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
вращаться вокруг вертикальной оси (рис. 130). Пропеллер и
воздушный поток получают вращательный импульс ©*. Сам вентилятор
(мотор) получает импульс такой же величины, но обратного
направления. Вертикальная составляющая этого импульса ©^ соз а
заставляет вентилятор (мотор) вращаться вокруг
вертикальной оси.
Примеры. Пусть крылья вентилятора вращаются по
часовой стрелке, при этом мы смотрим по направлению от
крыльев к кожуху мотора. Сначала вентилятор дует в
горизонтальном направлении, а = 90°: ось штатива остается в
покое, так как соз 90° равен нулю. Затем вентилятор дует
наклонно вверх, например под углом а = 80°: ось штатива
медленно вращается против часовой стрелки, если смотреть
сверху. Причина: соз 80° ^ 0,17; следовательно, соз а имеет
небольшое положительное значение.
Рис. 130.
К векторной
природе
вращательного
импульса.
Угол а
изменяется между
30° и 150°.
8. После выключения тока это вращение сначала
прекращается, а затем начинается снова, но уже в
направлении вращения пропеллера. Объяснение: по
выключении тока ротор мотора и пропеллер постепенно
тормозятся трением в подшипниках. Весь их
вращательный импульс передается кожуху, а наблюдается
его вертикальная составляющая.
9. Заменяем вращающийся стул большим крутильным прибором,
известным нам по рис. 123. Человек ложится на него в
вытянутом положении, держась руками за рукоятки (рис. 131), и,
получив толчок, совершает колебания с небольшой амплитудой.
Задача. Человек должен без
посторонней помощи довести
амплитуду своих колебаний до
полного кругового поворота.
Решение. Человеку нужно
периодически изменять свой
момент инерции относительно
вертикальной оси. При
прохождении через нулевое положение он
подбирает ноги и поднимает
верхнюю часть тела. Этим он
уменьшает свой момент инерции в и
увеличивает угловую скорость ш1). В точке поворота он снова
вытягивается и возвращается к большому моменту инерции. При
прохождении через положение покоя повторяется тот же прием. В короткое
время он раскачивается до амплитуды вращения в 360°. Этот опыт
превосходно поясняет всю технику упражнений на турнике. Разница
Рис. 131. К технике гимнастических
упражнений при раскачивании.
*) Приращение энергии происходит за счет работы мускулов против
сил инерции (§ 61).

§ 52. СВОБОДНЫЕ ОСИ
109
ладшь в том, что горизонтальная ось — перекладина турника —
заменена вертикальной, а вращательный момент веса относительно
перекладины— моментом, создаваемым пружиной относительно оси
прибора. Этим мы достигаем замедления всего процесса и более легкого
наблюдения. Только что показанный опыт представляет то, что на
языке гимнастов называется «солнцем».
Гимнаст на турнике уменьшает свой момент инерции в нужное
время различными способами. Например, при «солнце» —
сгибанием рук, или сгибанием ног,
ил'и раздвиганием ног в
стороны.
10. Теорема площадей при
центральных движениях (§ 26)
также является частным
случаем закона сохранения
вращательного момента. Во всех
точках пути на рис. 60
площади треугольников Оас =
= Осе —г2ы/2 = ©*/2#г
постоянны.
§ 52. Свободные оси. Во
всех ранее рассмотренных
вращательных движениях ось рис. 132.
вращения тела была
действительной осью цилиндрической
или заостренной формы, прочно
установленной в неподвижных
подшипниках. Отбросив
теперь это ограничение, мы,
таким образом, придем к вращению тела около свободной оси.
Для объяснения этого слова приведем несколько опытных примеров.
а) Рис. 132 изображает известный цирковой фокус: плоская
тарелка вращается на конце бамбуковой палочки. Ее ось симметрии
и служит свободной осью вращения.
б) При известной ловкости можно заставить тарелку вращаться
около диаметра, являющегося свободной осью (рис. 133).
в) Приведем небольшую разновидность этих двух опытов.
Подвесим к вертикальной оси быстровращающегося электромотора
цилиндрическую палочку за один из ее концов. Свободной осью
может быть или ее продольная ось, или, как показано на рис. 134,
поперечная ось симметрии.
г) В технике используют свободные оси в виде «гибких» осей.
На рис. 135 мы видим наждачный круг, который приводится во
вращение электромотором (ч я^; Ь01сек). Круг помещается на конце
крепкой проволоки длиной около 20 см и всего лишь несколько
миллиметров толщиной. Круг вращается вполне устойчиво около оси,

Свободная ось —
ось
фигуры
тарелки
Рис. 133. Рис. 134. Па-
Свободная лочка
вращается около оси
с наибольшим
моментом
инерции, как около
свободной оси. '
ось —
диаметр
тарелки

10
VI. ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
соответствующей наибольшему моменту инерции, и пружинит,
прилегая к затачиваемому инструменту.
Все эти примеры имели два общих свойства:
1. Употреблявшиеся нами тела обладали симметрией вращенця.
Все они могут быть, хотя бы в принципе, сделаны на токарком
станке. У всех легко отметить ось фигуры или ось симметрии.
2. Одна из свободных осей
совпадала с осью фигуры, другая
всегда была к ней
перпендикулярна.
В последующих опытах у тела
нет симметрии вращения. В каче-
п 1ОГ- п л стве примера мы возьмем пло-
Рис. 135. Гибкая ось наждачного кру- г *\ 1О„Ч „
га. Для практических целей ось слиш- ский ЯШИК (Рис- 136)- ТРИ паРы
ком тонка. его граней отмечены каждая
особой окраской.
д) К срединам сторон ящика прикрепляются петли. За одну из
этих петель ящик подвешивается на проволоке к оси мотора, как
цилиндрическая палочка на рис. 134. Опыт показывает следующее;
средние линии А и С могут служит «свободными» осями и около
них наше тело может вращаться устойчиво. Обе свободные оси
опять перпендикулярны
друг к другу. Иначе
обстоит дело с третьей
осью В, которая
проходит также через центр
тяжести перпендикулярно
и к Л, и к С Ее никак
не удается использовать
в качестве свободной оси.
Тии
Рис. 136. Ось А
бс
С
с наи" Рис. 137. Подбра-
Тело всегда устанавли- большим, В —средним, сывание ящика для
вается при вращении в
одном из двух устойчи-
в = 6,5|
наименьшим
моментом инерции ящика
вращения около
свободной оси А
с наибольшим
моментом инерции.
вых положений. юа
е) С тем же резуль- вБ = 5,61 • 10"~э кг • м"
татом повторяем некото- вс = 1,4]
рую разновидность этого
опыта. Мы бросаем ящик в воздух, сообщая ему надлежащим усилием
пальцев (рис. 137) вращение. И теперь Л и С могут служить
свободными осями. К зрителю всегда обращена одна и та же
сторона ящика, отличимая по ее окраске. Попытки заставить ящик
вращаться около оси В всегда приводят к качаниям; наблюдатель
всегда видит то одну, то другую окраску.
Путем этих или подобных опытов приходят к простому
результату: свободной осью тела может служить ось с наибольшим
или наименьшим моментом инерции.

§ 63. СВОБОДНЫЕ ОСИ У ЧЕЛОВЕКА И ЖИВОТНЫХ 1 1 1
В выбранных нами простых примерах от а) до е) это чисто
геометрически очевидно в каждом отдельном случае. В других
случаях можно всегда воспользоваться крутильным прибором
(рис. 115 и 123) и измерить момент инерции для различных
направлений оси. Для большей уверенности мы произвели такие
измерения^ с нашим ящиком и указали их результаты на рис. 136.
§ 63. Свободные оси у человека и животных. Существование
свободных осей вовсе не предполагает вращательной симметрии
тела. Это доказывает нам опыт с раскрашенным плоским сигарным
ящиком. Еще лучше это доказывается использованием свободных осей
человеком и животными.
Примеры, а) Прыгун делает сальто-мортале. Слегка
наклонившись вперед, по большей части с поднятыми руками, он
сообщает себе вращательный импульс.
Соответствующая ось отмечена белой точкой на рис. 138, а.
Это—ось с наибольшим моментом инерции.
Угловая скорость еще мала. Моментом позже
прыгун подбирает тело в положение 138, Ъ.
И в этом положении отмеченная ось остается
осью с наибольшим моментом инерции, но сам
этот момент раза в три уменьшается.
Следовательно, угловая скорость по закону сохранения
импульса утраивается. С этой большой угловой
скоростью прыгун выполняет один, два или даже
три полных оборота. Затем в нужное мгновение
он снова увеличивает свой момент инерции, вы- _ , „п ..
] г, „ г Рис. 138. Измене-
прямляя тело. С малой угловой скоростью он Ние момента тер-
приземляется. Техника прыжка хороших цирковых ции при сальто,
артистов с точки зрения физики очень
поучительна. Для прыжка необходима прежде всего смелость. Прыжок — дело
нервов. О необходимом вращении заботится автоматически закон
сохранения вращательного импульса.
б) Балерина делает пируэт на носке. Она вращается при этом около
продольной оси тела и использует как свободную ось — ось с наименьшим
моментом инерции. Вокруг этой оси она вращается с большой угловой
скоростью со и вращательным импульсом 0«. Для остановки она увеличивает
в нужный момент свой момент инерции, переходя в положение рис. 125.
Новый момент инерции приблизительно в семь раз больше прежнего.
Следовательно, скорость вращения соответственно уменьшается. Пятка
упирается в пол, вращение тормозится, и точка опоры подводится под центр
тяжести.
в) Подвешенная за ноги и отпущенная кошка падает всегда на ноги.
При этом животное вращается вокруг свободной оси с наименьшим
моментом инерции. Оно употребляет ее вместо закрепленной в подшипниках оси
нашей вертящейся скамьи (рис. 129). Вместо молотка вращаются задние
лапы и хвост. Человек легко может на свой манер подражать этому
кошачьему трюку. Он тоже может совершать во время прыжка
вращательные движения около оси с наименьшим моментом инерции. Разница лишь
в том, что у человека эта ось вертикальна.

112
VI. ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Рис. 139. Два
«сплющенных»
волчка. Ось
фигуры—ось
наибольшего
момента инерции.
§ 54. Определение волчка и его трех осей. В рассмотренных
нами с самого начала вращательных движениях ось вращения была
неподвижна в теле и, кроме того, закреплена вне него неподв
Фными подшипниками. В следующих примерах вра
ний вокруг свободных осей ось вращения все
"~"""" была неподвижна в теле, но подшипников уже
было. В самом общем случае вращения не только
нет подшипников, но и самая ось вращения уже не
сохраняет неизменного положения в теле. Она х^отя
и проходит всегда через центр тяжести тела, но
направление ее постоянно меняется. Последний самый
общий вид вращательного движения называется
«движением волчка». Вращение вокруг свободных
осей или осей в опорах — частные случаи этого самого общего
движения волчка.
В наиболее общей форме движения волчка представляют ряд самых
трудных задач всей механики. Даже с очень большим
математическим аппаратом можно достичь лишь
приближенных решений. Однако все существенные явления
в движении волчка могут быть выяснены на частном
случае волчка, обладающего симметрией вращения.
Этот частный случай изображен на рис. 139. В
указанных на нем примерах ось фигуры всегда
является осью наибольшего момента инерции. Дело
идет в физическом смысле о «сплюснутом» волчке
или просто о «волчке» в обычном смысле этого
слова.
Решающим моментом в изложении и понимании
явлений движений волчка является уменье строго
различать три разные оси, проходящие через центр
тяжести волчка:
1) ось фигуры, следовательно, в наших волчках
ось наибольшего момента инерции;
2) мгновенную ось вращения, т. е. ось, вокруг
которой совершается вращение в данный момент;
3) ось импульса, лежащую между осью фигуры
и осью вращения в плоскости, проходящей через
обе эти оси.
Ось фигуры всегда можно отличить у любого
из наших волчков; чтобы заметить обе другие оси,
требуются особые искусственные приемы. Для этого
служит волчок, изображенный на рис. 140. Он подперт
в центре тяжести на острие в подпятнике. Поэтому
он свободен от действия сил и сохраняет равновесие при всяком
положении оси фигуры. На оси фигуры сверху надет легкий
столик. На нем можно укрепить листок бумаги с различными узорами.
Рис. 140.
Волчок для
демонстрации трех
осей. Чтобы
привести егс
в движение,
зажимают ось
фигуры между
ладонями рук и
двигают руки,
как это делают
с кухонной
мутовкой,
навстречу друг
другу.

§ 54. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВОЛЧКА И ЕГО ТРЕХ ОСЕЙ
113
*■•,
Прежде всего должна быть сделана видимой мгновенная ось
вращения. С этой целью мы берем листок бумаги с напечатанным
текстом, приводим волчок в движение и сообщаем оси фигуры
боковой удар. Вследствие этого волчок приходит в колебательное
движение, и при этом наблюдается следующее: при вращении
волчка текст размывается в однородный серый фон. Только в одном
узком, постоянно перемещающемся пятне текст на короткое время
остается в покое и его можно разобрать. Через средину этого
пятна проходит мгновенная ось вращения. Эта мгновенная ось
вращения и ось фигуры описывают с
одинаковой угловой скоростью о^у каждая по конусу. ^"Ч^*
Оба конуса имеют общую неподвижную в про-» ■ ~^]
странстве ось. Эта пока еще невидимая ось
и есть ось вращательного импульса.
Чтобы сделать видимой ось вращательного
импульса, мы начнем с предварительного опыта.
Прикрепляем листок бумаги с
концентрическими окружностями к вращающемуся диску
с центром окружностей на оси вращения. Мы
видим вращающийся диск таким, как будто бы он
находится в покое (рис. 141). Затем смещаем
центр окружностей в сторону от оси вращения * \Х|
диска; следовательно, при вращении центр '***й
окружностей обегает вокруг оси вращения •Л." с -^
диска. При этом получается снова система кон- * ■ . % • .**3\<|
центрических окружностей (рис. 142).
Расстояние между отдельными окружностями— Рис. 141 и 142. Как
такое же, как и раньше, но их контуры делают видимой ось
размыты; общий центр этих размытых окруж- вращательного им-
^ „ г г Г7 пульса. Приолизитель-
ностей лежит на оси вращения и указывает по у натуральной
нам ее положение. Таков предварительный величины.
опыт.
В основном опыте мы помещаем диск с концентрическими
окружностями на столик волчка (рис. 140); общий центр находится
на оси фигуры. Боковым толчком мы разделяем снова три оси
волчка: ось фигуры и с ней также центр концентрических
окружностей вращаются вокруг оси вращательного импульса; при этом
ось вращательного импульса становится столь же видимой, как и
ось на рис. 142.
Весь процесс совместного обращения оси фигуры и мгновенной оси
вращения вокруг оси вращательного импульса называется нутацией.
Более подробно говорится о нутации в следующем параграфе.
Здесь мы подчеркнем только еще одно известное из опыта,
полезное нам в дальнейшем обстоятельство: нутация с течением времени
уменьшается и исчезает. Это—следствие неизбежного трения
в опоре, в нашем случае между острием и подпятником.

114
VI. ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
§ 55. Нутация свободного от сил волчка и его неподвижный
в пространстве вращательный импульс. Только что обнаруженная
нами на опыте нутация является непосредственным следствием
закона сохранения импульса. Пусть на рис. 143 плоскость
чертежа проходит через ось фигуры
волчка А и его мгновенную ось
вращения ^. Около этой мгновенной оси
вращается волчок с угловой
скоростью о), величина которой
выражается длиной стрелки, отложенной
по направлению оси О. Эту угловую
скорость а) мы можем разложить на
две составляющие юх и со2. со1 —
угловая скорость вращения около оси А
с наибольшим моментом инерции В^.
Угловая скорость вращения около
перпендикулярной к А оси С с
моментом инерции 0G- Вращательный
импульс имеет в направлении оси
фигуры А величину &А = %Лю1, в
направлении оси С, перпендикулярной
к А, — величину (&с г=
Рис. 143. Три оси волчка.
Оба эти импульса обозначены стрелками с жирно начерченным
острием. Они складываются графически в один результирующий
вращательный импульс ©*. Направление этого импульса, ось
импульса, лежит, таким образом, между осью фигуры А и
мгновенной осью вращения 9, в проходящей через них плоскости.
По предположению волчок «свободен от сил». Он опирается
на острие в центре тяжести. На него не действуют никакие
вращательные моменты. Вследствие этого вращательный импульс его
должен оставаться постоянным по величине и по направлению. Ось
импульса должна все время сохранять одно и то же положение
в пространстве. Как ось фигуры А, так и мгновенная ось
вращения ^ должны вращаться вокруг неподвижной в пространстве оси
импульсов. Для наглядности сделаем три оси (рис. 143) из твердых
проволок и заставим их вместе вращаться вокруг средней
проволоки, изображающей ось импульсов. Тогда мы увидим, что вокруг
оси импульсов образуются два конуса. Один из них описан
проволокой, изображающей ось фигуры: это уже известный нам конус
нутации. Другой конус описан проволокой, изображающей
мгновенную ось вращения: его называют неподвижным аксоидом
(конусом «герполодии»). Связь этих двух конусов на рис. 144
представлена третьим — полым подвижным аксоидом (конусом «полодии»).
Он неподвижно связан с осью фигуры, охватывает снаружи
неподвижный конус и катится по нему. Какая-либо линия соприкоснове-

§ 56. ВОЛЧОК ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВРАЩАТЕЛЬНОГО МОМЕНТА
115
Конус
'гврполодии
Рис. 144. Конус нутации.
ния этих имеющих общую вершину конусов дает направление
мгновенной оси вращения О.
Для усвоения содержания этого
параграфа приходится затратить
известный труд. Однако он стоит этого.
Слово нутация весьма часто
встречается в новейших физических и
технических работах. С ним нужно
связывать вполне определенный смысл.
В частных случаях ось импульса
волчка может совпасть с его осью
фигуры: плоский волчок переходит
в шаровой или ось вращения
плоского волчка совмещается с его осью
фигуры. Этот второй случай можно
осуществить различными способами,
например, с помощью волчка на
рис. 140.
Вращающийся волчок очень осторожно ставят на острие в центре
тяжести... При
установке избегают
всякого бокового толчка на \—-—-—"*" ----..- --^«г а
ось фигуры. Тогда ось
„ 3у77777///777Щ7/777777777//7/77Ш7//7/////7/7///7/777777/7777
волчка действительно
остается продолжи- Рис- 145> тРаект°Рия летящего дискового волчка.
тельное время неподвижной. Это явление давно известно многим
неспециалистам.
Примеры:
а) Бросают диск, сообщая ему известным движением руки вращение
наподобие волчка. Направление оси фигуры остается неподвижным в
пространстве, как направление оси импульса ©* (рис. 145). На
нисходящей ветви своей траектории диск летит в воздухе
как несущая поверхность самолета с постоянным углом атаки а.
При этом диск испытывает такую же подъемную силу, как и
крыло самолета (§ 96). Он опускается на Землю медленней
камня и летит поэтому дальше, чем если бы летел по
начерченной пунктиром параболе бросания. Само собой понятно, что
слова «свободный от действия сил» в этом случае приложимы
лишь приблизительно. В действительности набегающий воздух
Рис. 146. создает действующий на волчок небольшой вращающий момент.
Волчок' б) Волчок для игры в диаболо (рис. 146). Даже при под-
для игры брасывании на большую высоту он сохраняет постоянное напра-
в диаболо. вление своей оси.
§ 56. Волчок под действием вращательного момента;
прецессия оси вращательного импульса. После введения импульса
%=т\х основное уравнение механики приняло вид
№
(91) (ср. стр. 94)

116 VI. ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Далее, при движении мы различали два предельных случая. В
первом из них направление силы ^ было параллельно уже
существующему импульсу 6): тогда изменялась лишь величина, но не
направление импульса (прямолинейный путь). Во втором предельном случае
направление силы в каждый момент было перпендикулярно к уже
имеющемуся импульсу: это изменяло только направление импульса
(круговой путь).
Соответствующим образом мы теперь попытаемся установить
действие вращательного момента 5Ш на волчок. Возьмем основное
уравнение в виде
«К =^(9@)=^ (Ю6) (ср. стр. 101)
и опять рассмотрим два предельных случая. В первом случае
направление вектора вращательного момента лежит параллельно
направлению вращательного импульса: тогда волчок получает
угловое ускорение ш; в этом случае меняется только величина
вращательного импульса ©*, но не его направление.
Применимая для измерений установка изображена на рис. 43.
Действующий вращательный момент 9Л равен произведению (— йг) на радиус
оси волчка (хорошая задача для практикума).
Во втором предельном случае вектор вращательного момента Ш
перпендикулярен к направлению уже имеющегося вращательного
импульса волчка ©*. Тогда величина вращательного импульса
остается неизменной, изменяется только его направление.
Вращательный момент., перпендикулярный к оси
вращательного импульса, вызывает прецессионное движение оса
вращательного импульса. Ось вращательного импульса уже не остается
больше неподвижной в пространстве. Она со своей стороны
начинает описывать неподвижный в пространстве конус прецессии.
При этом, как и раньше, ось вращательного импульса остается
средней линией (осью) конуса нутации. Движение волчка
характеризуется теперь тремя круговыми частотами, или угловыми
скоростями:
1) угловой скоростью ш вращения около оси фигуры;
2) угловой скоростью шлт оси фигуры при обходе ею оси
вращательного импульса по конусу нутации;
3) угловой скоростью шр оси импульса при обходе ею
неподвижного конуса прецессии.
Движения волчка при одновременной прецессии и нутации
представляют чрезвычайно запутанную картину. Поэтому при
лекционных демонстрациях нужно стремиться к возможно полному разделению
прецессии от нутации. Для этой цели начинают обыкновенно

§ 56. ВОЛЧОК ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВРАЩАТЕЛЬНОГО МОМЕНТА
117
с волчка, лишенного нутации. Мы берем поэтому волчок, у
которого, в виде исключения, ось фигуры совпадает с осью импульса.
Для этого достаточно изображенного на рис. 140 волчка.
Применяется перенос центра тяжести выше или ниже точки опоры
путем перемещения груза А. Но более наглядна изображенная на
рис. 147 установка. Она содержит волчок с почти горизонтальной
осью. Вал волчка опирается
в центре тяжести всей системы
подпятником на острие. Чтобы
установить вращательный
момент Ш, перпендикулярный
к вращательному импульсу ©*,
мы подвешиваем к валу волчка | | ^~~^ /?
гирьку. Ее вращательный
момент Ш действует двояко,
а именно: во-первых, дает
незначительную нутацию, во-
вторых, поразительную
прецессию; ось вращательного
импульса описывает, в данном
случае очень тупоугольный,
конус прецессии с
вертикальной осью.
Слабые нутации мы оставим без внимания и объясним лишь
существование прецессии: постоянный вращательный момент Ш
всякий раз за время (И создает добавочный вращательный импульс
с?©* (рис. 147). Он направлен перпендикулярно к первоначальному
вращательному импульсу ©* и складывается с этим последним
в новый, результирующий импульс с направлением /?. Ось
вращательного импульса за время сИ повернется на угол й?а в плоскости,
проходящей через Ш и ©*. При этом согласно стр. 116
Рис. 147. Прецессия вращающегося
волчка под действием постоянного
вращательного момента.
а®*
A06)
Из рис. 147 видно: й?©*=©*й?а. Таким образом, получим:
ЭД=©*^, Шг=(ор®', |о)|=1Щ A07—109)
(например, вращательный момент Ш измеряется в ньютонметрах,
В — в кг • м2).
Угловая скорость прецессии сор прямо пропорциональна
вращательному моменту %Я и обратно пропорциональна уже
существующему вращательному импульсу волчка ®*=ви>. Это положение
подтверждается опытом. С увеличением вращательного момента

118
VI. ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Рис. 148. К езде «без рук» на
велосипеде.
(большая гиря) на рис. 147 возрастает и угловая скорость
прецессии (яр (хорошая задача для практикума).
Это примитивное представление о прецессии, как уже
подчеркивалось, оставляет без внимания нутацию. Однако уже оно
достаточно для понимания многих
практических применений прецессии.
Мы ограничимся тремя примерами,
а) Езда «без рук» на
велосипеде. Рис. 148 изображает переднее
колесо велосипеда. Ездок слегка
наклоняется вправо. Это сообщает
оси колеса вращательный момент
около горизонтального
направления движения велосипеда В. Вместе
с тем переднее колесо, как волчок,
начинает прецессионное движение
около вертикали С и поворачивается
вправо. Линия, соединяющая точки
касания переднего и заднего колес
с землей, опять подходит под центр
тяжести седока. Вместе с тем и
точка опоры снова оказывается под
центром тяжести. Направления всех вращений и импульсов
обозначены стрелками на рис. 148.
Очень нагляден лекционный опыт с маленькой моделью
велосипеда. Ее колесам сообщают быстрое вращение, прижимая их к
вращающемуся диску (рис. 149), и устанавливают
продольную ось велосипеда горизонтально, держа
его свободно в воздухе. Затем велосипед
осторожно наклоняют около этой оси. Наклон вправо
заставляет переднее колесо сейчас же повернуться
вправо, и наоборот. Будучи поставлена на пол,
маленькая модель бежит по безупречной прямой
линии. Ездок здесь совершенно ни при чем. Его
роль при езде «без рук» очень скромна. Он должен
лишь научиться не мешать автоматически
совершающимся прецессионным движениям колеса. При велосипеда приво-
качении детского обруча, очевидно, имеют место дится в движение
те же физические процессы.
б) Войлочный кружок как диск для
бросания. Держа почти горизонтально правой рукой
войлочный кружок, бросают его слегка наклонно
вверх. Сначала он летит так, как хороший диск, подобный
несущей поверхности. Но скоро его угол атаки возрастает:
сперва полого подымающаяся траектория полета круто уходит
в высоту, одновременно кружок «становится на дыбы» своей правой
Рис. 149. Модель
прижиманием ее к
диску,
установленному на оси
электромотора.

§ 56. ВОЛЧОК ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВРАШАТЕЛЬНОГО МОМЕНТА
119
стороной, летит немного влево, при крутом подъеме совершенно
теряет свою линейную скорость и, затем, с вершины пути внезапно
падает вниз.
Объяснение: вращательный импульс войлочного кружка много
меньше, чем тяжелого диска с большим моментом инерции.
Набегающий на волчок воздух действует на кружок с вращательным
моментом, а этот последний вызывает большую прецессию оси
волчка; вследствие этого увеличивается и закручивается угол
атаки.
Невращающийся диск вследствие вращательного момента на переднем
краю опрокидывается (ср. стр. 215). Набегающий воздух сообщает диску
вращательный импульс в направлении оси С наклонно к пути полета. У
вращающегося войлочного диска уже до этого имелся вращательный импульс @*
(рис. 150). Оба импульса складываются, и ось фигуры
войлочного диска совершает прецессионное движение,
обозначенное кривой стрелкой.
в) Бумеранг (возвращающаяся дубинка). Можно
увеличить момент инерции войлочного диска и
уменьшить прецессионную помеху, не изменяя веса
диска и его подъемной силы. Нужно только
увеличить края диска за счет средины.
Берут картонное кольцо около 20 см диаметром и
профилем 4 X 20 мм и оклеивают его поверхность листом
писчей бумаги.
Рис. 150.
Войлочный кружок
в виде диска.
Брошен правой
рукой.
Такой диск с увеличенным моментом инерции совершает по
уравнению A09) малое прецессионное движение волчка. Он также
поднимается с возрастанием угла атаки и теряет при этом свою
скорость, но на верхушке траектории он имеет еще порядочный угол
атаки и с ним скользящим полетом, продолжая вращаться,
возвращается к бросавшему. Он обнаруживает характерное свойство
спортивного инструмента, известного как бумеранг. Следовательно,
традиционная крючковатая форма этого метательного снаряда
совершенно несущественна для его возвращения.
Правда, круглый диск не имеет хороших несущих поверхностей.
Продолговатая прямоугольная шайба со слабым изгибом сзади имеет
гораздо лучшие несущие поверхности и служит уже вполне
хорошим бумерангом (притом волчком, не имеющим вращательной
симметрии). Для целей опыта берут полоску картона примерно
размером 2,5 X 12 см и толщиной 0,5 мм.
Маленький бумеранг бросают не из рук. Его кладут на немного
наклонно поддерживаемую книгу, так чтобы выступал конец, и ударяют по
этому концу линейкой параллельно краю книги. Легкими покачиваниями
этой взлетной дорожки можно по желанию вызвать искривление
траектории влево или вправо, или вызвать полег и возвращение практически
в одной и той же вертикальной плоскости. Можно заставить снаряд много-

120
VI. ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
кратно качаться взад и вперед вокруг вертикали в точке взлета и т. д.
Переходом к крючковатой форме и закручиванию колена подобно пропеллеру
можно продолжить преобразование траекторий полета («винтовой полет»)
и сильно увеличить разнообразие форм этой приятной игры.
§ 57. Конус прецессии с нутациями. При надлежащих
условиях опыта прецессия оси импульса волчка под действием
вращательного момента ведет к возникновению хорошо выраженного
конуса прецессии. Приведем несколько примеров.
1. Гироскопический маятник (маятник-волчок). Волчок
подвешен, как видно на рис. 151, в положении устойчивого равновесия,
но так, что он может качаться во все
стороны (карданов подвес). Он устроен
из велосипедного колеса со свинцовым
вкладышем на ободе. Вне отвесного
положения на него действует момент Ш,
происходящий от его веса т@,
действующего на плечо г. На рисунке показаны
стрелками как самый вращательный
момент, так и вызываемый им добавочный
импульс й?©*. Будучи предоставлен
самому себе в указанном положении,
волчок начинает описывать хорошо
выраженный конус
прецессии с небольшой
угловой скоростью. В то
же время он дает и
небольшую нутацию:
нижний конец его оси
чертит неровный круг,
а круг с волнистой
линией (рис. 152). Чем
больше вращательный
Рис. 151. Волчок, под
вешенный как маятник
(три степени свободы)
На верхнем конце ма
ленькая лампочка на
каливания для
фотографической съемки кривых,
изображенных на
рис. 152—154.
О
Рис. 152.
Малые
нутации
подвешенного
волчка.
Приближение к

псевдорегулярной
прецессии.
импульс волчка, тем
меньше его нутация.
Она может быть
сделана практически
незаметной. Тогда прецессию называют псевдорегуляриой.
Противоположностью псевдорегулярной прецессии является настоящая
регулярная прецессия. При этой последней совершенно уничтожаются
малые нутации, вызываемые внешним вращательным моментом. Это
достигается подбором надлежащих начальных условий. Волчку в
момент отпускания сообщают толчок, вызывающий нутацию,
равную и противоположную той, которая была бы вызвана одним
лишь вращательным моментом. Толчок должен последовать в
направлении стрелки й?©*. Подходящую величину его легко подобрать путем
проб. Вычисление завело бы нас слишком далеко.

§ 57 КОНУС ПРЕЦЕССИИ С НУТАЦИЯМИ 121
Вместо этого мы путем уменьшения вращательного импульса,
т. е. практически путем уменьшения угловой скорости вращения
около оси фигуры, заставим нутацию выступать все резче и резче.
Конец оси волчка описывает кривые, показанные на рис. 153 и 154.
Соответственным подбором начальных условий
можно даже совершенно уничтожить прецессию.
Тогда, несмотря на наличие вращательного
момента, останутся только нутации, но
подробности и здесь завели бы нас слишком
далеко. Рис. 153 и 154. Уве-
2. Земля как волчок. Знаменитый пример личение нутации при
прецессионного движения представляет наша убывании вращагель-
_н ~ ^ ного импульса волчка.
Земля. Земля вовсе не шар -она слегка сплюс- Фотографические
ненута. Диаметр экватора приблизительно на гативы.
1/зоо больше оси фигуры Земли, т. е. линии,
соединяющей северный и южный полюсы. Грубо говоря, можно
представить себе, что на строго шарообразную Землю вдоль экватора
насажен выпуклый пояс. Притяжение этой выпуклости Солнцем и
Луной сообщает земному волчку вращательный момент. Ось Земли
N5 описывает в пространстве конус прецессии с половинным углом
при вершине, равным 23,5°. Он обходит один раз приблизительно
в 26 000 лет. Вместе с тем этот вращательный момент вызывает и
ничтожно малые нутации. Поэтому в каждый данный момент ось
вращения слегка отклоняется от оси фигуры Л/5 Земли. Точки
пересечения обеих осей с поверхностью Земли удалены друг от
друга приблизительно всего лишь на 10 м.
На эти ничтожно малые нутации в физическом и техническом
смысле слова налагаются еще нутации астрономические. Они
являются в физическом и техническом смысле вынужденными
колебаниями земной оси (§ 108). Происходят они от периодических
изменений действующего вращательного момента. Он и в самом деле
должен быть различным в разное время, так как Луна и Солнце
занимают на небе различные положения относительно Земли.
3. Вращательный импульс снарядов (рис. 155). Продолговатые снаряды
при одинаковом калибре могут иметь большие массы, чем прежние сфериче-
Рис. 155. Медленная гироскопическая
прецессия гранаты.
ские снаряды. Но такие снаряды требуют особых мер предосторожности
против опрокидывания. Продольную ось снаряда следует держать по
возможности параллельной касательной к траектории и тем самым добиваться
наименьшего сопротивления воздуха. С этой целью либо придают снаряду форму

122 VI. ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
стрелки и большую длину (например, миномет), либо сообщают снаряду
вращение вокруг его продольной оси (нарезной ствол). Вращающийся снаряд
есть волчок и в качестве такового под влиянием сопротивления воздуха
выполняет прецессионное движение. Прецессия начинается приблизительно
в точке, отмеченной на рис. 155 стрелкой. В этом месте сопротивление
воздуха действует на снаряд несколько ниже его заострения. От этого
получается вращательный момент. Стрелка его перпендикулярна к плоскости
чертежа. Вращательный момент не остается постоянным, так как касательная
к траектории все время меняет свой наклон. Вследствие этого не возникает
простого конуса прецессии; головка снаряда описывает не окружность,
а дугу циклоиды. При празом вращательном импульсе головка снаряда
проходит ряд положений: напразо вверх, направо в сторону, направо вниз и,
наконец, снова вдоль касательной. В германском полевом орудии этот процесс
повторяется через 1 сек., т. е. в короткое время по сравнению с
продолжительностью полета (около 20 сек.). Головка снаряда никогда не будет заметно
отклоняться от касательной к траектории и снаряд попадет в цель острием.
Нужно однако принимать в расчет и боковое отклонение снаряда. При
правом вращении и отклонение будет вправо. Так, совершающий прецессионное
движение снаряд на нисходящей ветви пути будет все время испытывать
действие сопротивления воздуха с левой стороны.
§ 58. Волчок лишь с двумя степенями свободы *)•
Вращательные моменты Ш, перпендикулярные к оси вращательного импульса,
изменяют направление вращательного импульса (прецессия).
Наоборот, изменения направления вращательного импульса возбуждают
вращательные моменты Шр, перпендикулярные к оси вращательного
импульса и перпендикулярные к направлению, вокруг которого
поворачивается ось вращательного импульса. дЛр и 2)? отличаются только
знаком и поэтому
Т1р = ®*Х<»р- (НО)
Вращательные моменты, возникающие вследствие вынужденной
прецессии, играют в технике большую роль. В качестве первого
1) Число степеней свободы равно числу пространственных координат,
определяющих движение тела. Примеры. Материальная точка может
выполнять в общем случае прямолинейное движение в любом направлении. Ее
скорость в прямоугольной системе координат можно разложить на три
составляющие. Поэтому материальная точка имеет три степени свободы. —
Материальная точка, связанная в своем движении с плоской траекторией, имеет
лишь две степени свободы, а точка, движущаяся по прямой линии, — одну
степень свободы. Тело конечных размеров может, кроме поступательного
движения, испытывать и вращения. Его угловая скорость может в общем
случае иметь любое направление, поэтому она может быть разложена на три
взаимно перпендикулярные составляющие. К трем степеням свободы
поступательного движения (трансляция) присоединяются три степени свободы
вращательного движения. Если ось вращения должна находиться все время
в некоторой плоскости, то налицо лишь две степени свободы вращательного
движения. Маховое колесо на закрепленной оси имеет для своего вращения
всего одну степень свободы. — Тело, движущееся поступательно и враща-
тельно при этом может еще, сверх того, испытывать противоположные
колебания отдельных частей. Например, у тел, подобных гантели (два шара,
связанных ручкой), обе части во время движения тела могут колебаться
туда и обратно по направлению линии связи. Тогда к шести степеням
свободы присоединяется еще седьмая и т. д.

§ 58. волчок лишь с двумя степенями свободы
123
примера назовем дробилку, форму мельницы, известную уже
римлянам (рис. 156). При вращении оба
бегуна образуют волчок с
вынужденной прецессией. Такая прецессия
требует вращательного момента,
который в этом случае одинаково
направлен с моментом, вызываемым
весом. Этот момент сильнее
прижимает бегуны к «поддону» и
увеличивает давление при помоле. В
нашей модели «поддон» сидит на
спиральной пружине. Увеличение ее
сжатия позволяет заметить
увеличение давления бегунов при помощи
указателя.
Важнее следующий пример.
Рис. 157 изображает турник
закрепленный в шариковых
подшипниках /С/С. На нем расположены свер-
Рис. 156. Демонстрационная модель
бегунов дробильной мельницы.
Стрелка над С равна угловой
скорости озр вынужденной
прецессии, а?©*— обусловленное ею за
время йг приращение
вращательного импульса. Если бы не было
сопротивления мельничного
«поддона», ось А должна была бы уста-
никнуть вращательный момент,
стрелка которого направлена
перпендикулярно к плоскости чертежа
от наблюдателя.
штангой.
ху моторный волчок и седло. Волчок повиться в направлении толстой
может качаться по направлению дли- стрелки. Поэтому должен воз-
ны штанги в 1Л-образной раме /?.
Подшипники отмечены белыми
кругами, а рама наглухо связана со
На седле сидит человек.
Центр тяжести всей системы
(штанга, волчок, человек) лежит
значительно выше штанги; вся система
совершенно неустойчива. Пусть она
наклоняется, например, вправо. Этот
наклон создает вращател! ный
момент, приложенный к оси волчка.
Волчок отвечает прецессией.
Положим, что, смотря сверху, мы видим
его вертящимся против стрелки
часов. В этом случае верхний конец
волчка удаляется от человека.
Теперь наступает существенный пункт:
человек еще дальше отжимает от
себя верхний конец волчка. При
этом он практически чувствует
сопротивление не большее, чем при
неподвижном волчке. Однако эта
вынужденная прецессия создает большой вращательный момент. Он
действует на подшипники и вместе с тем на штангу. Штанга
возвращается апять в начальное положение. При начальном левом наклоне
Рис. 157. Стабилизация
посредством прецессионных колебаний
волчка с отрицательным
затуханием (однорельсовая железная
дорога). Между волчком и
грудью — предохранительный
жестяной щит, справа под
волчком — противовес.

124 VI. ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
все происходит так же, только с обратным вращением. Верхний
конец оси приближается к человеку. Человек притягивает его еще
немного к себе и т. д. Таким образом можно балансировать без
всякого труда. Волчок качается с малыми амплитудами в своей
плоскости качаний, определяемой подшипниками. Человеку нужно
только заботиться об «отрицательном затухании», или
«раздувании», этих прецессионных колебаний волчка. Иными словами, он
должен увеличивать имеющуюся амплитуду.
Наш организм удивительно легко приучается чисто
рефлекторным путем создавать это «отрицательное затухание». При
надлежащем выборе размеров волчка совершенно не остается времени
обдумать движение. Но очень быстро мускульное чувство
овладевает физической ситуацией. Через несколько минут чувствуешь себя
на этом головоломном турнике так же уверенно, как опытный
велосипедист на своем велосипеде.
Китайские танцовщицы на канате уже давно эмпирически научились
находить помощь в колебаниях волчка с отрицательным затуханием. Они
употребляют в качестве волчка веер, приводимый пальцами в быстрое
вращение. Ручку веера они держат параллельно канату и балансируют
маленькими наклонами оси волчка. По большей части канатные плясуны работают
только с парашютным действием неподвижного веера.
В большом масштабе пытались применить гироскопический маятник
с двумя степенями свободы и отрицательным затуханием к построению
«однорельсовой дороги». Движение мускулов руки пытались заменить
действием особой машины, которая меняет направление движения при наклоне
волчка вправо или влево.
Волчок с одной степенью свободы удобнее исследовать методами
следующей главы.
§ 58а. Заключительное замечание. В первых параграфах
данной главы основное уравнение Ь=$/т не было использовано. Это
может привести к неправильному представлению о том, что к
вращательным движениям основное уравнение не применимо и для них
требуются новые экспериментальные основы. На деле этого совсем
нет. И при изучении вращательных движений можно непосредственно
исходить из основного уравнения.
Для этого представим себе твердое тело составленным из
маленьких частичек с массой Д/гс^, причем каждая частичка находится от
оси вращения на расстоянии г{. При ускоренном вращении
тангенциальные ускорения Ь^ отдельных частичек будут тогда различной
величины, напротив, их угловые ускорения со = Ъ{\г1 будут равны
по величине.
По основному закону тангенциальное ускорение Ь^ каждой
частички требует силы, действующей в направлении пути,

§ 58а. заключительное замечание 125
Умножение на гг дает:
или в векторном выражении (так как г$ и ^ взаимно
перпендикулярны)
и после суммирования по всем частицам
2 № х ад = ш 2 '1 ьщ-
Обе суммы определяют две новые производные величины:
вращательный момент 2I и момент инерции (н). Для экспериментального
определения стоящего слева вращательного момента достаточно уже
одной единственной силы, действующей на твердое тело на
известном расстоянии г от оси (рис. 111 и уравнение (93)).
Возникающее угловое ускорение прямо пропорционально вращательному
моменту 9Л и обратно пропорционально моменту инерции в; итак,
@=^-. (96) (стр. 99)
Это уравнение (96) есть, следовательно, лишь преобразованное
основное уравнение, доставляющее удобный способ измерения
неизвестного момента инерции В по известному вращательному моменту 3№
(ср. первый абзац, напечатанный мелким шрифтом, в § 56).

VII. СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА, ОБЛАДАЮЩИЕ УСКОРЕНИЕМ
§ 59. Предварительное замечание. Силы инерции. До сих пор
мы рассматривали физические процессы, оставаясь на неподвижной
Земле или на полу аудитории. Наша система отсчета была связана
с Землей, которую мы считали твердой и неподвижной. Случайные
исключения всегда отмечались нами именно как таковые.
В некоторых случаях переход к иной системе отсчета может
быть совершенно незаметен. В этих особых случаях новая система
отсчета должна двигаться относительно Земли с постоянной
скоростью. Ее скорость не должна изменяться ни по величине, ни по
направлению. Экспериментальное осуществление этих условий мы
встречаем иногда в очень «спокойном» экипаже, на пароходе или
в железнодорожном вагоне. В этих случаях, находясь внутри вагона,
мы нисколько не «чувствуем» движения нашей системы отсчета.
Все процессы протекают в вагоне совершенно так же, как и в
неподвижной аудитории. Но это — чрезвычайно редко осуществляемые,
исключительные случаи.
Вообще говоря, все экипажи — системы, обладающие ускорением:
их скорость изменяется и по величине, и по направлению. Это
ускорение системы отсчета ведет к глубоким изменениям в
окончательном результате наших физических наблюдений. Наше положение
наблюдателя в ускоренной системе требует для простого описания
физического явления новых понятий. Имеющий ускорение
наблюдатель замечает появление новых сил. Их собирательное имя—«силы
инерции». Некоторые из них получили, кроме того, и особые имена
(центробежная сила, сила Кориолиса). Ознакомление с этими новыми
силами инерции и составляет содержание этой главы.
В нашем изложении мы всегда различали два предельных случая:
чисто тангенциальное и чисто радиальное ускорение, изменение
скорости только по величине или только по направлению.
Соответственно этому мы и теперь будем рассматривать отдельно, как два
предельных случая, системы отсчета с чисто тангенциальным и
системы с чисто радиальным ускорением.
Системы с чисто тангенциальным ускорением встречаются очень
часто. Вспомним, например, о разгоне и торможении любого
экипажа на прямой. Но продолжительность этих ускоренных движений,
вообще говоря, мала, величина ускорения остается постоянной самое

§ 60. СИСТЕМА ОТСЧЕТА С ЧИСТО ТАНГЕНЦИАЛЬНЫМ УСКОРЕНИЕМ 127
большее несколько секунд. С этим предельным случаем мы
покончим сравнительно быстро в § 60.
Совершенно иначе обстоит дело, когда система отсчета имеет
чистое радиальное ускорение. Всякая карусель, вертящаяся с
постоянной угловой скоростью со, позволяет произвольно долгое время
поддерживать постоянным радиальное ускорение. Прежде всего, ведь
уже сама наша Земля — большая карусель. Поэтому нам и нужно
основательно изучить карусельную систему. Этому и отводятся все
остальные параграфы данной главы.
Чтобы облегчить изложение, мы будем в дальнейшем
пользоваться искусственным приемом: текст мы будем делить на два
параллельных столбца. В левом столбце мы будем кратко излагать
процесс, пользуясь, как и раньше, неподвижной системой отсчета
(Земля или пол аудитории). В правом столбце изложение будет
вестись с точки зрения наблюдателя, обладающего ускорением. Оба
наблюдателя используют основное
уравнение Ь =■ $/т и рассматривают силы
как причины наблюдаемых ускорений.
§ 60. Система отсчета с чисто
тангенциальным ускорением. Приведем ряд
примеров. "*"
1. Наблюдатель сидит неподвижно на
тележке и перед ним на идеально гладкой
поверхности стола лежит шар (рис. 158). ™~™""~~"™~тшя
Крышка стола устраняет действие веса Рис. 158.
шара. Стол и стул привинчены к
тележке. Она получает ускорение влево по направлению ее длины
(толчок ногой!). При этом шар и человек на тележке приближаются
друг к другу. Теперь перед нами два возможных способа изложения.
Неподвижный наблюдатель
Шар остается в покое. На
шар, не обладающий трением,
никакая сила не действует. Только
тележка и сидящий на ней
наблюдатель получают ускорение влево.
Человек приближается к шару.
Наблюдатель с ускорением
Шар движется ускоренно
вправо. Следовательно, на него
действует сила, направленная
вправо же, $= — тЬ. Она
получает название «сила инерции».
При выборе этого названия
предполагается, что наблюдатель знает
о своем ускорении. Более бесцветное
название или специально
образованное слово, наподобие слова «.вес»,
было бы, пожалуй, целесообразнее.
2. Наблюдатель на тележке удерживает шар на месте при помощи
силомера (рис. 159). Тележка опять получает извне ускорение влево.
Во время ускоренного движения наблюдатель на тележке испытывает
в мускулах руки ощущение «силы». Силомер показывает отклонение $.

128
VII. СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА, ОБЛАДАЮЩИЕ УСКОРЕНИЕМ
Неподвижный наблюдатель
Шар ускоряется влево. На
него действует сила 51, давящая
влево. Ускорение равно Ь —$/т.
Наблюдатель с ускорением
Шар остается в покое. Он
не имеет ускорения. Следователь-
но, сумма обеих приложенных
к нему сил равна нулю. Сила
инерции, которая тянет вправо,
$= — тЪ, и сила мускулов,
которая давит влево, равны и
противоположны. Их величину
мы отсчитываем по силомеру.
3. Тележка получает ускорение влево. Стоящий на тележке
наблюдатель должен во время ее разгона принять изображенное на рис. 160
Рис. 159.
Рис. 160.
наклонное положение. Иначе он упадет назад. Далее следуют
описания обоих наблюдателей.
Центр тяжести человека дол-
Центр тяжести 5 человека
жен получить ускорение такой остается в покое. Сумма дей-
же величины и та- ствующих на
некого же направле- го сил (рис. 162)
ния, как и
ускорение самой тележки.
Нужную для этого
направленную влево
силу $ человек
создает при помощи
своего веса $<> и
Рис. 161.
упругой деформа-
равна нулю.
Книзу тянет вес $2,
вправо -— сила
инерции $ =
= — тЬ. Обе
силы складываются
в одну
равнодействующую $3-
Рис. 162.
ции тележки (сила $3)- Для этого Она деформирует тележку под
он наклоняется вперед.
ногами человека и вызывает
появление силы .^1, равной и
противоположной ^з-
4. Наблюдатель находится в лифте. Перст, ним стоят на столе
пружинные весы с положенной на них массой т. Отклонение весов

§ 61. СИСТЕМА ОТСЧЕТА С ЧИСТО РАДИАЛЬНЫМ УСКОРЕНИЕМ 129
дает равную и противоположную весу тела $2 силу $0. Лифт начинает
ускоренно двигаться вниз. Весы показывают меньшее отклонение 5^.
Неподвижный наблюдатель
Тело получает ускорение
вниз. На него действуют две силы,
не равные по величине и
противоположно направленные. Вес $2
тянет тело вниз, меньшая по
величине сила пружины ^ давит
на него вверх. Действующей силой
остается равнодействующая с
величиной | $21 — | ^11- Она
сообщает телу направленное вниз
ускорение |Ь| = (|®2| —1^1)//».
Наблюдатель с ускорением
Тело неподвижно, сумма
приложенных к нему сил равна нулю.
Направленная вверх сила
пружины $1 весов меньше, чем вес
тела $2- Следовательно, налицо
еще вторая сила, направленная
вверх, а именно,
сила инерции
—1«1|=«|Ь|.
5. Наблюдатель прыгает с пружинными весами
в руке с высокого стола на землю. Сверху на весах
находится тело (гиря). Сразу же после того, как он
спрыгнул, весы уменьшают свое показание до нуля
(рис. 163).
Тело и человек падают
одинаково быстро с ускорением
^•= &2/т к земле.
Единственной силой, приложенной к телу,
остается тянущий вниз вес $2.
Мускульная сила больше не
давит вверх.
Рис. 163.
Тело не движется. Сумма
приложенных к нему сил — нуль.
Тянущий вниз вес $2 и тянущая
вверх сила инерции равны и
противоположны. Абсолютная
величина обеих сил равна т@.
Этими примерами достаточно разъясняется смысл выражения
«сила инерции». Сила инерции существует только для
наблюдателя, движущегося ускоренно. Наблюдатель
должен — по крайней мере мысленно! —
участвовать в ускоренном движении своей системы отсчета.
Рука, ускоряющая кегельный шар, есть система
отсчета с ускорением, и поэтому она чувствует
силу инерции.
§ 61. Система отсчета с чисто
радиальным ускорением. Центробежная сила и сила
Кориолиса.
1. Наблюдатель сидит на вращающемся стуле
с вертикальной осью и большим моментом инерции
(рис. 164, см. также рис. 175). Спереди к стулу
приделан горизонтальный гладкий столик. Сидящий на стуле
наблюдатель кладет на него шар (рис. 164). Шар слетает со столика н
падает.
Рис. 164.

130
VII. СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА, ОБЛАДАЮЩИЕ УСКОРЕНИЕМ
Неподвижный наблюдатель
Шар не ускоряется. На него
не действует никакая сила.
Следовательно, он не может участвовать
в круговом движении. Он слетает
по касательной с постоянной
скоростью и-=1иг (со — угловая
скорость вращения стула, г —
расстояние шара от оси вращения
в тот момент, когда его кладут).
Наблюдатель с ускорением
Положенный шар удаляется
из своего положения покоя
с ускорением. При этом он
удаляется от центра вращения стула.
Следовательно, на спокойно
лежащий шар действует сила
инерции. Она получает особое
название центробежной силы. Ее
величина $ — тш2г.
2. Наблюдатель на стуле помещает между шаром и своей рукой
силомер. Горизонтальная ось этого силомера направлена к оси
вращающегося стула. Во время вращения стула силомер показывает
силу $ — то>2г.
Шар движется по
окружности радиуса г, он ускоряется.
Для этого требуется
направленная радиально к оси, приложенная
к шару сила
(«радиальная
сила»).
Уравнение 26, стр. 51.
Шар остается в покое. Он
не имеет ускорения.
Следовательно, сумма обеих
приложенных к нему сил — нуль.
Направленная по радиусу наружу
центробежная сила и по радиусу
тянущая внутрь сила мускулов
равны и противоположны.
Абсолютная величина обеих сил равна
Рис. 165.
3. Наблюдатель на вращающемся стуле
подвешивает перед собой над столом маятник,
например шарик на нитке. Этот маятник не
устанавливается вертикально (рис. 165). Он отклоняется на
угол а в сторону от вертикали в плоскости,
проходящей через радиус и ось вращения. Угол а
растет с увеличением частоты вращения стула.
Неподвижный наблюдатель
Шар маятника
движется ускоренно
по круговому пути
радиуса г. Для этого
необходима сила,
направленная
горизонтально по радиусу
к оси вращения,
'$ = — тш2г. Она
создается весом 5?2 и Уп"
Рис. 166.
Наблюдатель с ускорением
Шар маятника
находится в покое;
сумма сил,
действующих на его
центр тяжести 5
(рис. 167) равна
нулю. Вниз тянет
вес $2> направо
наружу —
центробежная сила $=^тш2г.
Рис. 167.

§61. СИСТЕМА ОТСЧЕТА С ЧИСТО РАДИАЛЬНЫМ УСКОРЕНИЕМ 131
ругой силой натянутой нити (си- Обе силы складываются в равно-
ла$3) (рис. 166). действующую ^3. Эта последняя
натягивает нить и вызывает
силу $1( равную и противоположно
направленную силе $3'
4. В предыдущих опытах наблюдалось тело, находившееся в покое
относительно вертящегося стула. Речь шла лишь о том,
выбрасывается ли тело из этого положения равновесия или нет. Теперь
предметом нашего наблюдения будет тело, движущееся относительно
стула. При этом мы ограничимся предельным случаем большой
скорости тела, а именно снаряда. Тогда мы можем пренебречь
центробежной силой, как незначительной.
При малых скоростях мы должны исключить центробежную силу при
помощи искусственного приема. Нам придется придать поверхности карусели
вогнутую параболическую форму.
Мы прикрепляем к столику вращающегося стула маленькую
горизонтально направленную пушку. Направление ее ствола может
составлять с линией, соединяющей ее с осью вра-
щения, любой угол а. Пушка направлена на
мишень (диск), находящуюся на расстоянии А
от ее дула, и нацелена в точку а. Мишень
связана стержнями с вращающимся стулом и
участвует в его движении (рис. 168).
Сначала выстрел производится при
неподвижном стуле и определяется цель, т. е. место
удара снаряда а. Затем стул приводится
во вращение с угловой скоростью ш. Глядя
сверху мы всегда должны видеть стул вра-
щающимся против стрелки часов. Теперь производится второй
выстрел. Его место удара Ь сдвинуто от цели на расстояние 5 вправо.
Ось
вращвнш
Рис>
Орудие
Диск
Рис 169. Ъ' — параллельная диску составляющая скорости снаряда \х>.
Скорость дула орудия Ъ. Ради отчетливости угол соА^ изображен слишком
большим. Вследствие этого рисунок вышел недостаточно красивым. Линия
прицела не кажется более перпендикулярной к диску в точке аг.
Числовой пример. Один оборот в 2 сек. Скорость снаряда и = 60 м/сек
(воздушный пистолет). Расстояние до диска А = 1,2 м. Уклонение вправо
5 = 7,5 см = 0,075 м (ср. рис 169).

132
VII. СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА, ОБЛАДАЮЩИЕ УСКОРЕНИЕМ
Неподвижный наблюдатель
При неподвижном стуле
снаряд попадает в намеченную
цель а. При остановке
вращающегося стула сразу же после
выстрела место удара Ъ лежит
слева от цели. В этом случае
скорость дула Ь складывается
со скоростью снаряда и. Поэтому
снаряд летит через аудиторию
со скоростью Из.
В действительном опыте стул
вращается и после выстрела.
Снаряд летит после выхода из
дула без действия сил по пряной
в направлении Л) через аудиторию.
Следовательно, линия прицела
вращается относительно линии
полета. В конце времени
полета Ы намеченная цель лежит
в а'. Итак, место удара в
мишень Ь теперь сдвинуто
относительно цели на отрезок 5 вправо.
Из рис. 169 мы получаем
соотношение
Наблюдатель с ускорением
Во время полета снаряд
получает ускорение,
перпендикулярное к его пути. Его
траектория изгибается вправо. За время
полета Ы снаряд уклоняется
вправо на отрезок
5 = 1 ь (до2-
По данным неподвижного
наблюдателя $ = Шй(Д02.
Следовательно, наблюденное ускорение 6=
= 2[иХ(й1- Оно называется по
имени ученого, открывшего его,
ускорением Кориолиса. Но ведь
нет ускорения Ь без силы $ = тЬ.
Следовательно, на движущийся
снаряд действует
перпендикулярно к его пути сила
Кориолиса
A11)
Для обоих путей (в
направлении и и й)) время полета снаряда
до мишени одно и то же, именно
Л/ = А/и. Следовательно,
5 = ЦО) (ДО2-
Вообще, пусть система
отсчета вращается с угловой
скоростью о. В этой системе
движется тело с
перпендикулярной к оси вращения линейной
скороспью и. Тогда на
движущееся тело действует сила
Кориолиса, перпендикулярная
к его пути, $ = 2т[иХаI-
Сила Кориолиса есть,
следовательно, сила инерции,
действующая на движущееся тело.
Она направлена перпендикулярно
к стрелкам угловой скорости и
линейной скорости.
Уравнение з = Ао> М = А2ю/а, признаваемое правильным обоими
наблюдателями, дает очень простой способ для измерения скорости снаряда и,
5. Предыдущий пример показал нам отклонение вбок тела,
движущегося в имеющей ускорение системе отсчета лишь для одного-
единственного начального направления его пути. Величина этого
отклонения не должна зависеть от выбранного нами начального

§ 61. СИСТЕМА ОТСЧЕТА С ЧИСТО РАДИАЛЬНЫМ УСКОРЕНИЕМ
133
направления (направление ствола пушки). Однако это намеренно не
было показано, так как это можно сделать с небольшим изменением
в расположении опыта гораздо скорее и проще: надо лишь заменить
пушку простым маятником. Маятник
подвешивается над столиком вращающегося стула
привычным нам способом. Для облегчения наблюдений
пусть маятник сам записывает свой путь. Для
этой цели в тело маятника вделана маленькая
чернильница. В дне ее сделано тонкое отверстие
с насадкой для истечения. На столике
вращающегося стула натянут кружок белой пропускной
бумаги. Наблюдатель на вращающемся стуле
сначала держит маятник неподвижно и отверстие
закрытым (рис. 170). При этом нить маятника отклонена из
положения покоя в произвольной вертикальной плоскости. Будучи
отпущен, маятник качается с медленно убывающей амплитудой около
Рис. 170.
Рис. 171 и 172. Розетки, описываемые маятником на
карусели. На рис. 171 маятник был отпущен над
чернильной кляксой в положении наибольшего отклонения
и псшел вправо. Конечный пункт розетки случайно
совпадает с ее началом. На рис. 172 маятник получил
толчок, находясь в положении покоя.
своего, теперь не отвесного положения покоя (рис. 165). При этом он
вычерчивает в виде непрерывного ряда кривых свой путь — розетку,
воспроизведенную на рис. 171.
Теперь слово за обоими наблюдателями.
Неподвижный наблюдатель
Маятник качается около своего
положения покоя, оставаясь всегда
параллельным неподвижной в
пространстве вертикальной
плоскости. Его колебания «линейно
поляризованы». Нет никаких сил,
Иаблюдатель с ускорением
Во время движения тело
маятника в каждой точке своего пути
отклоняется вправо
перпендикулярно к направлению его
скорости силой Кориолиса. Все
отдельные дуги розетки, несмотря
которые могли бы отклонить тело на различную ориентацию отно-
маятника вбок от его пути. Пло- сительно стула, имеют один и

134
VII. СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА, ОБЛАДАЮЩИЕ УСКОРЕНИЕМ
качающимся маятником.
Отклонение положения покоя
риолиса.
Отклонение положения не-
ложения плоскости колебаний
маятника.]
скость бумаги вращается под тот же вид. Следовательно,
направление пути в системе,
обладающей ускорением, не
маятника от вертикали объяснено влияет на величину силы Ко-
уже в п. 3.
[В этом опыте вращающемуся
стулу можно сообщать лишь малую подвижного маятника от верти-
угловую скорость ш. В противном кали — следствие центробежной
случае глаз не сможет заметить по- силы (см> вы п# 3). На тело,
движущееся в системе отсчета
с ускорением, действуют,
следовательно, как сила Ко риолиса у
так и центробежная сила1).
6. Волчок в системе с ускорением (модель гироскопического
компаса на глобусе). Рис. 173 показывает нам на вертящемся стуле
волчок в раме. Для краткости мы стул будем называть «глобусом».
При взгляде сверху он должен вращаться против часовой стрелки.
В свою очередь рама может
сама вращаться около оси А,
перпендикулярной к оси Г
фигуры волчка. Ось А лежит
в меридианной плоскости
вращающегося стула, или
глобуса. Кроме того, можно
устанавливать ось А в различных
широтах. Она, следовательно,
может составлять с
горизонтальной плоскостью
вращающегося стула любой угол ср
между 0° (экватор) и 90°
(полюс). Горизонт для местоположения волчка надо представлять себе
перпендикулярным к оси А. Наблюдатель на вращающемся стуле
несколькими толчками пальцев о спицы приводит волчок во
вращение. Затем он предоставляет волчок самому себе: ось фигуры волчка
после нескольких вращательных колебаний около оси А
устанавливается в плоскости меридиана (рис. 174). При этом расположении
опыта волчок и стул вращаются в одном направлении. (Можно,
однако, иначе располагая волчок, получить и противоположное
вращение обеих осей.)
N
з
Рис. 174.
!) Повторяем: мы использовали для вывода силы Кориолиса движущееся
с большой скоростью тело — снаряд. Вследствие этого мы получили
упрощенный предельный случай: возможность пренебречь изменениями скорости
снаряда, зависящими от центробежной силы. При малых начальных скоростях
человек на вращающемся стуле наблюдал бы вместо ничтожного отклонения
вправо постепенно расширяющуюся спиральную траекторию, происходящую
от совместного действия сил центробежной и Корполиса.

§ 61. СИСТЕМА ОТСЧЕТА С ЧИСТО РАДИАЛЬНЫМ УСКОРЕНИЕМ 135
Для простоты оба наблюдателя принимают одинаковое исходное
положение оси фигуры волчка: она лежит параллельно «кругу широты».
Неподвижный наблюдатель
Вращение около оси стула
Наблюдатель с ускорением
Силы Кориолиса отклоняют
или глобуса N5 вызывает вра- части обода, находящиеся около |3,
щательный момент Т1, действую- вправо от их пути. Находящаяся
щий на ось фигуры волчка. Он справа (для читателя) половина
имеет перпендикулярную к оси А волчка выходит из плоскости
составляющую Шх.
Этот вращательный момент
бумаги на читателя. Это
приводит ось волчка в меридианную
вызывает прецессионное движение плоскость. Силы Кориолиса про-
оси Р фигуры волчка вокруг должают и дальше действовать
оси А рамы. При этом ось фи- на движущийся обод колеса. Но
гуры Р сначала при качании вы- они уже не дают вращателгного
ходит за меридиан. Однако тре- момента, действующего на ось А.
ние в опорах оси А заставляет
быстро затухать эти колебания.
Ось волчка остается в меридиане.
Ведь только в этом положении
составляющая момента Шх
направлена вдоль оси фигуры волчка Р.
Только при таком направлении
она не может дальше вызывать
прецессии. Ось фигуры волчка,
как стрелка компаса, лежит
в плоскости меридиана глобуса.
Таковы опыты, дающие определение понятий центробежной силы
и силы Кориолиса. Обе силы существуют только для наблюоа-
теля, обладающего радиальным ускорением. Он должен, хотя бы
мысленно, участвовать в движении своей системы отсчета. С этими
новыми силами он может и в системе отсчета, обладающей
радиальным ускорением, подчиняться уравнению Ь = $/т.
Итак, появление или исчезновение сил определяется
соответствующим выбором системы отсчета. «Реальность» сил и различие между
«действительными» и «кажущимися» силами не могут быть
предметом физической постановки вопроса1).
() Правильная физическая постановка вопроса относится к свойствам
исследуемой системы, которая и представляет собой изучаемую объективную
реальность: система, принимавшаяся за неподвижную, или система с
постоянной скоростью, система, обладающая тем или иным ускорением. Результаты
исследования для наблюдателя, не принадлежащего к системе, и для
наблюдателя, движущегося вместе с системой, выражаются по-разному, хотя и
относятся к одним и тем же процессам, происходящим в системе, так как
сами наблюдатели в том и другом случае также рассматриваются как
объективные реальности, обладающие разными свойствами по отношению к системе.
(Прим. ред.)

136
VII. СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА, ОБЛАДАЮЩИЕ УСКОРЕНИЕМ
Как обстоит дело для наблюдателя, обладающего ускорением,
по отношению к закону «действие равно противодействию?». Ответ:
с ним происходит то же самое, что и с наблюдателем на Земле
по отношению к силе противодействия весу. В продолжение
свободного движения тел в системе отсчета с ускорением наблюдатель
может доказывать, что силам инерции нет соответствующих сил
противодействия. Или, иными словами: для силы, называемой весом,
Земля не является «инерциальной системой», в которой должны
выполняться и основное уравнение, и равенство действия и противодействия.
§ 62. Наши средства передвижения как системы отсчета
с ускорением. Выбор между обладающей ускорением и не
обладающей ускорением системой отсчета во многих случаях является
только делом вкуса, например, при круговых движениях тела около
неподвижных осей. Существенно лишь ясное указание употребляемой
системы отсчета (см. начало § 23). Однако в других случаях, без
сомнения, нужно отдать предпочтение системе с ускорением. Сюда
относится, прежде всего, физика наших технических средств
передвижения. Ускорение этих систем отсчета часто бывает очень
сложным. По большей части здесь налагаются тангенциальное (разгон
и торможение) и радиальное (езда по
кривой) ускорения.
Наши ежедневные опыты, касающиеся
сил инерции в экипажах, уже изложены
целиком в примерах к §§ 60 и 61. Например:
а) Необходимость наклоняться в поезде
при разгоне и торможении, а также и на
всякой кривой. Иначе можно упасть.
б) Наклон велосипеда и ездока,
всадника и лошади, самолета и летчика на
каждой кривой.
в) Боковое отклонение, вызванное сила-
Рис. 175. Вращающийся
стул с большим
моментом инерции для демон- Кориолиса на палубе меняющего курс
страции сил Корио- р „ 3 К,
лиса. Подвешенные по парохода. Достичь цели, идя по прямой,
можно, лишь «переплетая» ноги.
г) Особенно резко «чувствуется» сила
Кориолиса на вращающемся стуле с
большим моментом инерции и, следовательно,
с устойчивой угловой скоростью. Пробуют
перемещать гирю (около 2 кг) возможно
быстрее по любому прямому пути (рис. 175). Результат бывает
поразительный. Можно подумать, что рука погружена в поток вязкой,
жидкости. Этот опыт особенно важен.
Числовой пример. Один оборот в 2 сек., следовательно V = 0,5 сек~1
(о = 2яч = 3,14 сек~1, гиря массой т = 2 кг; и = 2 м/сек; сила Кориолиса
равна 2т [ц X «] = 2 • 2 кг-2 м сек • 3,14 сек-'1- = 25 кг\м\сек>- = 25 ньютон —-
= 2,5 килопонд, т. е. больше веса движущейся металлической гири.
сторонам гири большой
массы целесообразно
употреблять и при
опытах, изображенных на
рис. 164, 168, 170, 173,
174.

§ 62. СРЕДСТВА ПЕРЕДВИЖЕНИЯ КАК СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА С УСКОРЕНИЕМ 137
Теперь становится, наконец, понятной игра сил в опыте,
изображенном на рис. 15. Сила мускулов должна была передвигать гири
навстречу силам инерции. Тогда вращающийся стул имел небольшой
момент инерции. Поэтому он и реагировал на силу противодействия
силе мускулов большими изменениями своей угловой скорости.
Число таких качественных опытов можно значительно увеличить.
Поучительнее, однако, количественное исследование одного частного
случая, производящего сначала странное впечатление. Он касается
горизонтального вращательного маятника на карусели. Рис. 176
дает боковой вид карусели. На ней
стоит вращательный маятник с телом
в виде стержня на произвольном
расстоянии от оси карусели. Независимо от
любых ускорений карусели, стержень
маятника всегда направлен к оси
вращения карусели.
При постоянной угловой скорости
карусели ш маятник остается в
положении покоя. Чисто радиальное ускорение
этого кругового движения направлено Рис> {Ж Вращательный
всегда точно по длине маятника. Такие маятник на карусели. Он
ускорения никогда не могут дать враща- состоит из деревянного
тельного момента. стержня на малом
крутильном приборе, известном по
Для контроля можно сделать ось маятника рис П5.
передвижной вдоль линейки и поставить его
продольное направление параллельно линейке. Тогда маятник не реагирует ни
на какие ускорения в направлении линейки.
Напротив, всякое изменение угловой скорости св1, следовательно
всякое угловое ускорение ш1 карусели, отбрасывает маятник из его
положения равновесия. Отбросы сейчас же достигают значительной
величины, так как теперь ускорения Ъ лежат поперек направления
длины маятника. Поставленная выше задача кажется безнадежной.
И все-таки она решается совсем просто. Соответственным
подбором величины момента инерции маятника 60 можно сделать его
совершенно нечувствительным ко всякому угловому ускорению о>.
Должно быть (вывод следует дальше)
во = т$# A12)
или по теореме Штейнера (уравнение A03) на стр. 102, что удобнее
для вычисления)
08 = т ($# — в2), A13)
в0—момент инерции маятника, отнесенный к его оси вращения, в8 — то же
относительно'его центра тяжести, т — масса маятника, 5 — расстояние между
центром тяжести и осью вращения, /? — расстояние по радиусу от оси
маятника до оси карусели.

138
VII. СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА, ОБЛАДАЮЩИЕ УСКОРЕНИЕМ
тО-
■*-/
■+-3
Направляющий момент пружины О* этого маятника совершенно
безразличен. Он вообще не входит в вычисление. Теневая проекция
показывает вычисленный таким образом маятник в форме стержня
(размеры см. ниже). Этот маятник действительно остается в покое
при всяком сколь угодно сильном угловом ускорении карусели.
Опыт производит ошеломляющее впечатление. Небольшие изменения /?
или 5 восстанавливают первоначальную чувствительность его к
угловым ускорениям.
Для вывода уравнения A12) рассмотрим этот процесс в
неподвижной системе отсчета (рис. 177). При ускорении карусели к точке
подвеса маятника О приложена сила ^
(стрелка /). Дополнительно представим себе, что в
центре тяжести 8 приложены две такие же
по величине и противоположно направленные
силы (стрелки 2 и 3). Сила в направлении 3
ускоряет центр тяжести 5. Следовательно,
^ = пгЬ — т (К — 5) % (а)
(«^—угловое ускорение карусели).
В то же время равные и противоположные силы
в направлениях 1 и 2 создают вращательный
момент $ • 5. Он вызывает вращение вокруг центра
тяжести 8. Это делает всякий вращательный
Рис. 177. Нечувст- момент, действующий на свободное тело. Коли-
вительность маят- •'
ника к угловому чественно
ускорению враща- ^.5=в8со2 (?)
ющейся точки О-
(ю2—угловое ускорение тела).
Сделаем теперь «1 = <о2. Этого можно добиться подбором
подходящего расстояния 5 между центром тяжести маятника и осью
вращения. Объединяем уравнения (а) и (?) и получаем для 5
соотношение
Я Я -5
т (Я — з)
= ~п— или 68=
A13)
Для стержневого маятника, выбранного для демонстрации,
массой т и длиной / имеем:
<а к тг2 Л 02>
™8—^о ' \1КL)
Подставляя эту величину в уравнение A13), получим I2 = 125 (/? — 5).
Числовой пример к рис. 177: Я = 50 см, 8=5 см, 1=52 см.
Этот удивительный опыт играет роль в средствах сообщения (§ 63).
§ 63. Маятник в качестве отвеса в ускоренно движущемся
самолете. Управление воздушным кораблем при скрытой Земле (облака,
туман) требует при больших расстояниях (трансатлантические полеты)
в любой момент точного знания направления вертикали. Без этого

§ 63. МАЯТНИК В КАЧЕСТВЕ ОТВЕСА В УСКОРЕННО ДВИЖУЩЕМСЯ САМОЛЕТЕ 139
летчик, не видящий Земли, никогда не сможет отличить прямого
пути полета от кривого. Мускульное чувство и положение тела
совершенно ничего ему не дают. Они указывают ему лишь
равнодействующую веса и центробежной силы, но никогда не дают
истинной, совпадающей с некоторым радиусом земного шара, вертикали.
На неподвижной Земле направление вертикали определяют,
пользуясь маятником как отвесом. В движущемся с ускорением
экипаже такое применение маятника кажется на первый взгляд
бессмысленным. Ведь каждый наблюдал маятник в экипажах.
Достаточно вспомнить, например, о ремне, свешивающемся из сетки для
багажа в железнодорожном вагоне. Он без всякого сопротивления
качается во все стороны под действием сил инерции. И все-таки
принципиально маятник можно употреблять в качестве отвеса
в экипаже, движущемся с какими угодно ускорениями! Это основано
вот на чем: всякое ускорение экипажа можно разложить на
вертикальную и горизонтальную составляющие. Вертикальные
составляющие сообщают ускорение только точке подвеса маятника в
направлении его длины. Для маятника в положении покоя они никакого
значения не имеют. Остается только горизонтальная составляющая
ускорения.
Теперь выступает на сцену решающее обстоятельство: всякое
так называемое «прямолинейное» движение параллельно
поверхности Земли происходит в действительности не по прямому
пути, а по окружности с центром в центре Земли] Это
положение совершенно не зависит от вращения Земли, оно было бы
справедливо и для Земли неподвижной. Ведь всякое горизонтальное
движение происходит параллельно большому кругу земного шара и даже
на неподвижной Земле оно является в конце концов движением на
карусели! Поэтому мы можем без всяких рассуждений применить к нему
результаты удивительного опыта, описанного в предыдущем параграфе.
Нужно только дать маятнику момент инерции, требуемый
уравнением A12). При этом /? надо взять равным радиусу Земли:
6400 км =6 А- 106 м.
У простого тяжелого маятника в противоположность
пружинному маятнику момент инерции 0О тесно связан с направляющим
моментом О*. Мы более не свободны в выборе направляющего
момента. Направляющий момент О* тяжелого маятника определяется
приложенной к нему силой, называемой весом т§ по уравнению (95),
СТР- 98' ГГ=*твз B = 9,81 м/сек2). (95)
Следовательно, по уравнению A04) период колебания маятника
равен
т. е. Т равен 84 мин., что соответствует математическому
маятнику с длиной, равной радиусу Земли Я!

140
VII. СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА, ОБЛАДАЮЩИЕ УСКОРЕНИЕМ
К сожалению, техника еще не смогла осуществить маятник с таким
периодом колебаний. Даже подвешенные как маятник волчки
(гироскопические маятники) еще не позволили достичь периода колебаний
(периода прецессии) больше 15 мин. Такие маятники дают уже
значительное приближение к теоретическому идеалу, но все же только
приближение.
С помощью некоторых искусственных приемов можно улучшить
это приближение. Уже сегодня можно установить на самолетах
вполне пригодные искусственные горизонты.
§ 64. Земля как система отсчета с ускорением.
Центробежное ускорение неподвижных тел. В качестве последней системы
отсчета, обладающей ускорением, мы рассмотрим нашу земную
карусель. Мы будем принимать в расчет суточное вращение Земли
относительно системы неподвижных звезд. Полный оборот на 360°
происходит за 86 164 сек. Следовательно, угловая скорость
вращения Земли очень мала; она равна
360-0,0175
: 86 164 сек.
= 7,3 • 10~°1сек.
Эта угловая скорость ш создает для всякого покоящегося на
поверхности Земли тела центробежную силу $=тЬг или
центробежное ускорение Ьг, направленное от оси
Земли Л^5. Пусть тело находится под
географической широтой ср (рис. 178). Пусть
/-=Ясозср — радиус соответственного круга
широты. Тогда центробежное ускорение
равно
#г==(й2/-=ш2Ясо5ср—О.ОЗсозср м/сек2. A15)
(приблизительно I)
Рис. 178. Тяготение и цен- Это центробежное ускорение направ-
тробежная сила на поверх- лен0 наружу п0 радИусу г круга широты,
ности Земли в точке сгео- ,-, г] ■7 г ^ ^ ^^ г
графической широтой <р. п° вертикали, т. е. по радиусу земного
шара Я, действует лишь составляющая
этого центрального ускорения, а именно:
Ьц =#гсо5ср =.0,03со52ср м/сек2. A16)
Она направлена от центра Земли наружу и противоположна
всецело зависящему от тяготения «ускорению свободного падения §-1».
На вращающейся Земле ускорение на широте ср несколько меньше,
чем было бы на неподвижной Земле. Мы получаем:
&р=#о— 0,03со52ср м/сек*. A17)
При этом §0 есть величина ускорения падения на неподвижной
Земле. Теперь наступает осложнение. Центробежная сила действует

§ 65. ЗЕМЛЯ КАК СИСТЕМА ОТСЧЕТА С УСКОРЕНИЕМ 141
не только на тела, лежащие на поверхности Земли. На самом деле,
каждая частица Земли испытывает центробежную силу,
направленную наружу по радиусу круга широты. Совокупность всех этих
сил создает упругую деформацию тела Земли. Земля слегка
сплюснута; ее полярная ось Л/5 приблизительно на 7зоо короче диаметра
экватора. Вследствие этой сплюснутости Земли зависимость
ускорения падения §0 от географической широты <р еще больше, чем
вычисленная по уравнению A17). Наблюдения привели к уравнению
§„=(9,832 — 0,052 соз2ср) м/сек2. (ИЗ)
Для уровня моря и 45° географической широты найдено $г—
= 9,806 м/сек2. Поправочный член достигает при ср=О°, т. е. на
экваторе, наибольшего значения. Поправка равна всего 5 промиллям,
и поэтому при многих измерениях может быть без всякого вреда
отброшена. Однако часы с маятником на экваторе все же отстают
от точно таких же часов на полюсе приблизительно на 3,5 мин.
за сутки.
Вышеупомянутое сплющивание округленно на 7зоо имеет место
для твердого тела Земли. Гораздо сильнее деформация ее жидкой
оболочки, океана, под действием центробежной силы. Но эта
деформация никогда не наблюдается сама по себе. На нее налагается
периодически изменяющееся в течение суток притяжение воды
Солнцем и Луной. Эти силы тяготения (ср. стр. 68) деформируют
водную оболочку гораздо сильнее, чем твердое тело Земли.
Наложение центробежных сил и сил тяготения дает сложное явление
прилива и отлива. Речь идет о проблеме «вынужденных колебаний»
(§ 108). Здесь мы можем только указать на это.
То же самое относится и к нашей атмосфере, воздушному
океану. Приливы и отливы воздушного океана вызывают на его
дне, т. е. на земной поверхности лишь малые изменения давления,
аналогично действию приливов и отливов водяного океана на
морское дно. Но на высоте 100 км над поверхностью Земли приливы
и отливы вызывают вертикальное движение воздуха порядка
нескольких километров! Поэтому на высоте воздушные волны много выше,
чем водяные волны на поверхности моря.
§ 65. Земля как система отсчета с ускорением. Кориолисово
ускорение движущихся тел. Для наблюдателя, смотрящего на
северный полюс, Земля вращается против часовой стрелки. Мы имеем,
следовательно, такое же направление вращения, как и у оси нашего
вращающегося стула в § 61. Угловая скорость ш0 Земли известна
из § 64. Она равна сво=7,3» Ю~5/сек.
На рис. 179 наблюдатель находится в пункте с географической
широтой ср. НН обозначает его плоскость горизонта. В этом пункте
угловая скорость Земли раскладывается на две составляющие. Одна
из них, параллельная радиусу Земли или отвесу /?, — вертикальная

142
VII. СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА, ОБЛАДАЮЩИЕ УСКОРЕНИЕМ
составляющая
A19)
горизонтальная
Рис. 179. Обе
составляющие силы Кориолиса на
поверхности Земли.
Другая, параллельная горизонтальной плоскости,
составляющая
о)й = (й0со8<р. A20)
Обе составляющие угловой скорости
сообщают движущимся телам кориоли-
совы ускорения. Мы начнем с влияния
вертикальной составляющей ш^. В
северном полушарии она постоянно
приводит к отклонению движущихся тел
вправо. Наиболее известным примером
является маятник Фуко. Его принцип
уже объяснен на стр. 133 при помощи
карусели (вращающийся стул): маятник
пробегает постоянно искривляющуюся
вправо розетку (рис. 171, 172).
Совершенно такую же розетку
описывает на поверхности Земли всякий
маятник, состоящий из нити и шара. Если
смотреть из положения равновесия маятника, то крайние точки ро-
360° о „
зетки перемещаются за 1 час на угол а=51Пср ~94~ • В Геттингене
(ср = 51,5°) этот угол равен
приблизительно 12 градусам за 1 час.
Экспериментальная демонстрация
легко удается в любой аудитории.
Рис. 180 показывает испытанную
установку. Существенной частью
является хороший астрономический
объектив. Он дает сильно увеличенное
изображение тонкой нити маятника в
точках возврата розетки. Рисунок
содержит необходимые числовые
указания. При выбранных расстояниях на
изображении видно, как отдельные
петли розетки с их точками возврата
следуют одна за другой на расстоянии
около 2 см. Таким образом, на основании единственного
качания маятника туда и обратно можно доказать вращение Земли
вокруг оси!
Еще нагляднее, но, к сожалению, труднее для исполнения, данное
И. Г. Хагеном экспериментальное доказательство вращения Земли. Мы
поясним его с помощью нашей карусели, изображенной на рис. 181. Наклонная
ось /? несет на себе тело, подобное гантели, с моментом инерции в^ (Сначала
спиральную пружину не принимают во внимание.) Тело находится на кару-
45м-
Рис. 180. Розетка,
описываемая длинным маятником на
поверхности Земли. Опыт
Фуко.

§ 66. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ КОМПАС НА КОРАБЛЯХ 143
сели в покое, имея угловую скорость <о0 з!п ср. После пережигания нити Р две
винтовые пружины 5 стягивают оба тела гантели вплотную к оси /? и тем
самым уменьшают момент инерции до величины в2. Во время движения оба
тела получают кориолисово ускорение и
отклоняются вправо. Поэтому гантель приходит в дви-
жение, она вращается против вращения карусели
с угловой скоростью ш2. Величину ш2 мы вычисляем
относительно аудитории, применяя закон сохране-
ния вращательного импульса. Из него следует:
в^о 31П <р = в? (ш0 ЗШ <р -|- <02)
или
^ A21)
ш2достигает наибольшего значения при <р = 90°,
т. е. «на полюсе». Рис. 181. Модельный опыт
Спиральная пружина на оси /? (рис. 181) воз- Хагена для доказа-
вращает тело в положение покоя. Тогда угловая тельства вращения Зем-
скорость (о2 ведет лишь к одному отбросу, а не ли> крутильный прибор
к продолжающемуся вращению. В оригинальном тот же что и на рИС> ц^
опыте Хагена вместо оси и спиральных пружин ' и 116.
употреблялась особая подвеска.
Оба приведенных опыта дают возможность сделать точные
количественные выводы. Можно добавить к ним еще некоторые
качественные наблюдения. Они относятся к действию вертикальной
составляющей угловой скорости нашей Земли. Благодаря силам
Кориолиса она вызывает в северном полушарии отклонение
движущихся тел вправо.
а) Атмосферный воздух течет из субтропических областей
высокого давления в экваториальный пояс низкого давления. Этот поток
в северном полушарии направлен с северо-востока на юго-запад.
Таково происхождение северо-восточного пассата, столь важного
для мореплавания и авиации.
б) Снаряды всегда отклоняются вправо, независимо от
приведенного на рис. 155 явления.
в) Кориолисовы силы вращения Земли не играют никакой роли
в изнашивании рельсов на железных дорогах и размывании берегов
рек. Эти часто приводимые прежде примеры следует опустить.
Ускорения Кориолиса под влиянием горизонтальной
составляющей угловой скорости со0 нашей Земли, т. е. шй = Шд соз <р,
равным образом можно показать на опыте. Однако для этого нет
столь простой установки, как маятник Фуко.
Из качественных примеров упомянем об отклонении падающего
камня к востоку. Но этот опыт требует значительной высоты
падения, лучше всего провести его в горняцкой шахте.
§ 66. Гироскопический компас на кораблях и его принципиально
неизбежная погрешность. Мы заканчиваем эту главу, посвященную
системам отсчета, обладающим ускорением, технически важным
применением сил Кориолиса в гироскопическом компасе. Принцип его

И4
VII. СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА, ОБЛАДАЮЩИЕ УСКОРЕНИЕМ
ясен из опыта, изображенного на рис. 174. При техническом
выполнении волчок подвешивают, как
маятник с горизонтальной осью. Согласно
своему назначению такой компас-волчок
должен употребляться на судах. Тут-то
и возникают физически интересные
вопросы. Мы имеем здесь те же
принципиальные затруднения, как и при
применении обыкновенного маятника в
качестве отвеса: все вертикальные
ускорения судна безвредны, но всякое
горизонтальное ускорение движения судна
отбрасывает ось волчка из ее
положения покоя (близкого к меридиану)
благодаря развивающимся силам инерции.
Однако эти возмущения, очень серьезные
сами по себе, могут быть устранены тем
же искусственным приемом, который
позволяет применять маятник в качестве
отвеса и на судах с горизонтальным
ускорением. Нужно дать компасу-волчку
период колебаний в 84 мин. В этом
технически лишь приближенно достижимом
случае он будет совершенно
нечувствителен ко всяким ускорениям (разгон,
торможение, искривление). Другой
искусственный прием (применение одновременно
трех волчков) устраняет возмущения,
происходящие от качки пароходов.
Несмотря на это, даже при технически
идеальной конструкции волчка остается
неустранимым один принципиальный
недостаток гироскопического компаса.
Собственная скорость корабля
обусловливает неправильность показаний
(девиацию) компаса. Возникновение этой
погрешности объяснено на рис. 182. Каждый
корабль движется по большому кругу
земного шара1). На рисунке земной шар
обозначен пунктиром, большой круг
представлен краем жестяного круга О.
Движение судна по этому большому кругу
является круговым движением. Его ось 7.0
проходит перпендикулярно к плоскости
Рис. 182. Девиация
гироскопического компаса в
движущемся судне. На площадке
карусели стоит
электромотор с червячной передачей 2.
От нее диск О получает
малую угловую скорость «з-
Этот диск должен
изображать большой круг
обозначенного пунктиром земного
шара. Кольцеобразная
оправа волчка (вместо вилочной
на рис. 174) может вращаться
вокруг оси А. Ось А лежит
по радиусу большого круга О,
и тем самым она
перпендикулярна к «горизонту»
местоположения волчка. Над 5
видно, как ток подводится к
мотору скользящими
контактами. Волчок/7—тот же,
что и на рис. 147.
1) Рекомендуется прочесть еще раз третий абзац § 63!

§ 66. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ КОМПАС НА КОРАБЛЯХ
145
большого круга О через центр Земли О. Это круговое
движение судна (с угловой скоростью ш2) складывается с вращением
Земли (с угловой скоростью о^) в одно результирующее вращение
(рис. 182). Это результирующее вращение происходит с
угловой скоростью п. Ось этого вращения всегда отклоняется от оси
Земли—в этом и заключается решающий
пункт. Исключением является только один
частный случай, когда корабль движется
как раз по экватору. Короче говоря, волчок
находится на карусели с направлением оси
вращения вдоль стрелки Я. Вследствие этого
ось фигуры волчка РР устанавливается
в плоскости, проходящей через вектор ^.
На рис. 182 эта плоскость проходит, правда,
через ось Земли Л/5, так как судно или
его волчок находятся здесь как раз в самой
близкой к полюсу точке большого круга.
Но во всех других точках большого круга О,
например на рис. 182а, это не имеет места.
Компас дает значительное отклонение
(девиацию) В. Для обнаружения этой девиации
«прерывают поездку», выключая электро-
мотор (ш2 = 0). Тогда можно видеть, как ось
волчка переместится в плоскости меридиана
на соответствующий угол 8. В действитель-
ности находят 8 равным нулю только в обоих
самых близких к полюсам положениях (рис. 182 дает ближайшее
к северному полюсу положение). Величина этой девиации у
современных судов редко превышает 3°. При гораздо больших скоростях
современных самолетов она соответственно увеличивается. Эту
погрешность можно учесть только путем вычисления, для чего
нужно, как и при старом магнитном компасе, иметь таблицы поправок.
Они дают величину девиации в различных точках поверхности Земли
для различных скоростей и курсов корабля. Несмотря на этот
принципиально неустранимый недостаток, современный
гироскопический компас означает чрезвычайно важный технический шаг вперед.
Он совершенно свободен от всех возмущений, вызываемых
соседними с ним железными частями. Кроме того, он имеет больший
направляющий момент, чем магнитный. Поэтому он легко может
управлять целым рядом вторичных, дочерних компасов и даже
рулевой машиной парохода.
Рис. 182а.
Вспомогательный чертеж к рис. 182;
после поворота на 90°
около оси 02.

VIII. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
§ 67. Предварительные замечания. Очень рано дети начинают
различать твердые тела и жидкости. Смысл слова «газообразный»
улавливается ими много позже. Напротив, физика овладела до сих
пор более или менее основательно только теорией газообразного
состояния вещества. Несравненно меньше наши знания о строении
жидкостей, и потрясающе ничтожны наши представления о твердом
состоянии. Даже простое установление различия между твердыми
телами и жидкостями наталкивается на затруднения. Здесь речь идет
не о граничных случаях, как в биологии при разделении понятий
о животных и растениях: большие группы распространенных веществ,
как, например, вар или стекло, хотя и могут разбиваться подобно
хрупким твердым телам, но вместе с тем даже неспециалист
заметит, что они похожи на очень вязкие жидкости с малой текучестью.
При повышении температуры свойства жидкостей выступают все
более и более еще до установления точки плавления.
Большая часть твердых тел даже для невооруженного глаза
обнаруживает четко выраженную структуру и неоднородное
строение; укажем на дерево, камни, волокна и фибровые вещества.
Неоднородны в своем строении также все используемые в технике
металлы и сплавы. Они сложены наподобие совершенно
неправильной кирпичной кладки из маленьких кристаллов с очень тонкими
нитями, как бы заменяющими цементный раствор. Это всем известно
теперь по микрофотографическим снимкам.
Таким образом, в качестве единственных твердых тел, имеющих
видимо простое строение, остаются кристаллы. Правильное
планомерное строение кристалла часто, но отнюдь не всегда, проявляется
в его внешнем виде, его «наружности». Однако общность строения
монокристалла отнюдь не может быть объяснена только тонкой
структурой. Вспомним о кубике из каменной соли (КаО), куске
кварца с шестиугольными гранями или о листочке слюды. С помощью
рентгеновских лучей установлена тонкая структура кристаллов
(«Оптика», § 69). На рис. 183 изображена модель кристалла ЫаО,
без всякого сомнения, правильно передающая основной план;
совершенно подобный план строения имеет место у многих металлов,
например у меди. Один и тот же кристалл может проявлять очень
разнообразные свойства без изменения тонкой структуры.

§ 67. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
147
Монокристалл1) из меди, например, длиной 10 см и толщиной 1 см
позволяет гнуть себя вокруг пальцев, подобно палочке из
кухонного теста; но обратное уже не получается, так как кристалл стал
«упрочненным»! После первой деформации проявляется
общеизвестная прочность толстого бруска меди.
Прототип твердого тела, монокристалл, не является омертвевшим
образованием, лишенным каких бы то ни было внутренних событий.
Прежде всего укажем «тепловое движение».
Его нужно описывать как колебания очень
высокой частоты, короче, можно говорить
о неслышимых звуковых колебаниях. При
звуковых колебаниях в телах макроскопических
размеров взаимодействующие частички
вещества сохраняют свои положения равновесия,
но при тепловых колебаниях твердых тел это
имеет место лишь отчасти. Внутри
монокристалла отдельные «кирпичики» постоянно
меняются местами, они «диффундируют» во внешне рис 183 Мддель
неизмененном кристалле. Существуют многие, стаяла 1ЧаС1. Ионы Ма
часто очень эффектные опыты по диффузии и С! в решетке камен-
своих или чужих атомов и молекул внутри й Р
О
р
ной соли. Ради нагляд-
у у
твердых тел (пример приведен в § 250 «Оптики», н°сти поперечники
^ ^рл р „ ^ изображены слишком
примечание 1). С такой переменой места свя- малыми В действи-
зана наряду со многими другими процессами тельности соседние
(например, электролитической проводимостью) ионы почти соприка-
также пластичность монокристаллов. При на- саются. «Кристалло-
г г графическая» постоян-
гревании на несколько сот градусов тонкая, ^ ^ая решетки
хрупкая при комнатной температуре пластинка а __ 5>б , ю~10 М\ «оп-
каменной соли свертывается в трубочку. То же тическая»
происходит при обмывании водой. При этом й = 2,8.10~10 м.
незначительное количество воды быстро
проникает в кристалл. Это обнаруживается путем оптических измерений
абсорбции в ультракрасных лучах (см. «Оптика», рис. 378).
Согласно многим опытам монокристалл может и не быть
однородно составленным телом. Он может состоять также из
бесчисленных крошечных, более или менее неправильно расположенных
«областей». Для монокристалла подходит образ более или менее хорошо
пригнанной каменной кладки. Это разделение монокристалла на
«области» обусловлено уже его происхождением из раствора или
расплава. Сверх того, даже особенно химически чистые вещества
содержат по крайней мере одну «чужую» молекулу на 106 «своих».
Расстояние же между двумя «чужими» молекулами в среднем всего
в 100 раз больше расстояния между двумя соседними «своими»
*) Противоположность — более или менее мелкая кристаллическая мозаика.

148 VIII. некоторые свойства твердых тел.
молекулами. Эти чужие молекулы должны тоже как-то распределиться
в правильной решетке.
Твердые тела часто играют в нашем существовании решающую
роль. Даже безудержная фантазия не в состояния изобразить
органическую жизнь без твердых тел. Исследование твердого состояния
в настоящее время стоит в авангарде физических исследований.
К сожалению, в последующих параграфах мы должны ограничиться
лишь немногими частными вопросами.
§ 68. Сила и деформация. Факты и определения. Закон Гука
и соотношение Пуассона. Напомним кое-что из содержания
предшествующих глав: каждое твердое тело может испытывать
деформацию под действием сил. В простых случаях деформация бывает
непродолжительна. Она исчезает с прекращением «нагрузки». При
этом не происходит превращения механической энергии в
тепловую. Деформация называется в этом случае упругой или обратимой.
Теперь следует несколько подробнее разобрать деформации твердых
тел и выразить их количественно.
Начнем с простого опыта, изображенного на рис. 184.
Незакаленная медная проволока длиной в несколько метров, толщиной 0,4 мм
растягивается постоянными силами и соответствующее растяжение
измеряется.
Чтобы выразить подобные измерения, мы определяем отношение
изменение длины Ш
первоначальная длина /
Далее введем частное
растяжение
или сжатие
сила й, перпендикулярная к поперечному
поперечное сечение р проволоки или
(для е > 0)
(для е <С 0)
сечению Р
стержня
A23)
и назовем его сначала давлением или тягой, а позднее, вообще,
нормальным напряжением.
Физически каждая сила определяется лишь положением ее точки
приложения, направлением и величиной. Все же целесообразно установить
различие между тягой и давлением. Такое различие связано с положением
тела, которое считают причиной силы. Это тело может находиться по
отношению к наблюдателю, который смотрит по направлению силы, перед
площадкой Р или за ней. В первом случае говорят о давлении, во втором —
о тяге. Пробка вытягивается из горлышка винной бутылки мускулами руки,
пробка выдавливается сжатой углекислотой из горлышка бутылки
шампанского. Человек сидит в лифте: его вес давит на скамью, но тянет канаты, и
так далее.
В § 71 будут изложены результаты наблюдений, произведенных
весьма тщательно и неторопливо. Сначала ознакомимся с
наблюдениями, произведенными быстро и без особой точности. Тогда полу-

§ 68. СИЛА И ДЕФОРМАЦИЯ. ЗАКОН ГУКА И СООТНОШЕНИЕ ПУАССОНА 149"
чаем упрощенный результат, изображенный на рис. 185. Сначала
растяжение з растет пропорционально тяге о, позднее,
приблизительно с р.—более чем пропорционально. До этого, т. е. пока
растяжение не превышает Уюоо» деформация остается «обратимой».
Она исчезает с прекращением нагрузки. Дальше {3 растяжение
растет быстро с увеличивающейся нагрузкой. Деформация перестает
быть обратимой, в р наступает «предел
растяжимости или текучести». Такое растяжение
«упрочняет» до этого мягкую проволоку, делает ее тверже.
Только нагреванием можно превратить твердую
проволоку снова в мягкую.
В последнее время большое значение получили
упругие свойства искусственных и природных
веществ с очень длинными, нитеподобными
молекулами (имеющими вид цепочек, составленных из
одинаковых звеньев). У таких веществ нужно
различать три характерно расположенные для каждого
вещества области температур. При низких
температурах вещества становятся твердыми и хрупкими,
при перенапряжении они раскалываются, как стекло,
например, каучук, охлажденный в жидком воздухе.
При возрастании температуры наступает область
большой растяжимости; иногда она в несколько
тысяч раз больше, чем у металлов (например, каучук
при комнатной температуре, рис. 186). При еще
более высоких температурах наступает область
пластической текучести.
Для всех трех случаев молекулярная картина
известна в общих чертах. При малых температурах
нитеподобные молекулы образуют спутанные клубки
со многими поперечными связями. С ростом
температуры число поперечных связей уменьшается, и
вследствие этого тяга располагает длинные молекулы
параллельно друг другу, вопреки тепловому
движению. При еще более высоких температурах все
поперечные связи разрушаются, и нитеобразные
молекулы при нагрузке текут мимо друг друга. Эта пластичность
используется для производства всевозможных предметов широкого-
потребления.
Для малых нагрузок найдено, что частное от деления
растяжения з на о постоянно. Эта постоянная величина носит название
«коэффициента растяжения» а. Она зависит от вещества (примеры
в табл. 3). Так получен «закон Гука»
Рис. 184. К
растяжению
металлической
проволоки посредством
тяги. Шкала,
связанная с
нижним концом
проволоки
длиной в несколько-
метров,
проектируется
при 15-кратном
увеличении
на экран.
з = аос
A24)

150
VIII. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
«Растяжение и тяга (или вообще нормальное напряжение)
пропорциональны друг другу».
Таблица 3
Упругие постоянные
Вещество
Коэффициент
растяжения а . .
Коэффициент
поперечного
сжатия [А
Коэффициент
сдвига р . . . .
<
14
0,34
37
а,
58
0,45
167
а
и
10
0,34
21
гунь
10
0,33
29
л
н
О
4,6
0,3
12
!КЛ0
ш
Н
и
12—20
0,3
37
1НИТ 1
О,
42
—
—
10
—
—
10~б мм%\килопонд
10~5 мм2/килопонд
Часто в литературе пользуются обратной величиной а-1, называемой
модулем упругости Е. Сильно растягиваемые вещества имеют малый
модуль упругости, хотя в обыденной речи их и называют очень упругими. Это
часто дает повод для недоразумений.
Раст.швающая сила
2,0щопонд
Медная проволока
= 0,4мм
/■= 0.126'ммг
А
/
х
/
л
Кауь
ук
15кшюпанд/мм''
Рис. 185. Зависимость между
растяжением и тягой для медной
проволоки. Коэффициент растяжения
а = в/а = 10 мм2\килопонд.
/ 2 3
Растягивающая сила
Рис. 186. Зависимость между
растяжением и тягой для
каучуковой трубки.
Для толстых проволок — или лучше стержней — можно наряду
с растяжением определить «поперечное сжатие» из отношения
уменьшение диаметра Ь
*' первоначальный диаметр й'
A25)
В демонстрационном опыте используется каучуковый стержень
толщиной в несколько сантиметров. Кроме того, при достаточной
толщине стержня можно не только произвести измерения
растяжения и поперечного сжатия под влиянием тяги, но и сжатия и одно-

§ 68. СИЛА И ДЕФОРМАЦИЯ. ЗАКОН ГУКА И СООТНОШЕНИЕ ПУАССОНА 151
временного поперечного утолщения (е3 < 0) под действием давления.
В известных пределах отношение поперечного сжатия з? к
продольному растяжению з остается постоянным. Этому постоянному
отношению лучше всего дать название «поперечное число» 1). Это число
также является характерной величиной вещества (примеры в табл. 3).
Таким образом приходят к соотношению Пуассона A781 —1840)
•в = Р«. A26)
«Поперечное сжатие и продольное растяжение пропорциональны
друг другу».
Продольное растяжение и поперечное сжатие и равным образом
продольное сжатие и поперечное утолщение приводят к изменению
объема. Куб превращается в параллелепипед. Его высота изменяется
в A-|-8) раз, поперечное сечение умножается на A—[азJ.
Следовательно, объемное расширение («кубическое расширение»)
^==A_|_з)A —[хзJ—1 A27)
или, пренебрегая малыми квадратичными членами,
^ = A—2|*)з. A28)
2[х, удвоенное поперечное число по табл. 3, всегда меньше 1.
Поэтому при растяжении объем всегда увеличивается (з > 0), а при
сжатии (з < 0) — уменьшается. При всесторонней нагрузке
объемное изменение в три раза больше, чем при нагрузке только в одном
направлении. Итак, уравнение A28) вместе с законом Гука A24)
дает:
^ = 3A — 2|д.)оо = хо. A29)
Постоянный множитель
и = 3A— 2ц) а A30)
называется «коэффициентом сжимаемости» («всестороннего
сжатия») вещества.
Предельный случай р. = 0,5 означает отсутствие изменения объема при
нагрузке. Этот предельный случай находит себе широкое осуществление
в жидкостях. Ср. § 76.
До сих пор мы принимали, что деформирующая сила 51
направлена перпендикулярно к поперечному сечению тела (проволоки или
стержня). В этом случае называют частное Е//7 тягой (о > 0) или
*) В СССР приняты названия: для Е—«модуль Юнга», а для
(л,—«коэффициент Пуассона» или коэффициент поперечного сжатия. {Прим. ред.)

152
VIII. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
давлением (а < 0). Напротив, на рис. 187 сила 5? должна
действовать параллельно поперечному сечению Р. (В качестве модели
такого тела представим себе столбик, сложенный из игорных карт.)
Тогда тело силой $ будет сдвинуто, а его до тех пор
вертикальные грани будут наклоняться на угол у. В этом случае определяют
«.смещение» или «скольжение» формулой
Т-
Частное
сила, параллельная поперечному сечению Р
поперечное сечение Р тела
A31)
A32)
назовем сейчас сдвигом, а позднее в общем случае напряжением
сдвига.
Для малых нагрузок экспериментально установлено, что угол у
пропорционален сдвигу т,
Т = тр. A33)
Множитель пропорциональности [3 называется «коэффициентом
сдвига». Он является тоже характерной для вещества величиной
(примеры в табл. 3). (З часто называют
модулем сдвига.
Таким образом, для изотропных тел мы
нашли совокупность трех упругих
постоянных, а именно: коэффициент растяжения а
(уравнение A24)), коэффициент сдвига $
(уравнение A33)) и коэффициент Пуассона |х
(уравнение A26)). Эти три константы
связаны между собой соотношением
Рис. 187. К определению
сдвига.
A34)
Поэтому для изотропного тела достаточно двух упругих
постоянных, так как третья определяется из уравнения A34). Вывод этого
уравнения приведен в конце § 69.
§ 69. Нормальное и касательное напряжения. Всякая нагрузка,
например сила тяги, изменяет состояние внутри тела. Состояние
описывают при помощи понятия «напряжение». Это понятие должно
быть определено. С этой целью представим себе, что тело
прозрачно. Пусть внутри него в отсутствие нагрузки некоторые
маленькие шарообразные области сделаны видимыми путем окрашивания.
При нагрузке каждый из этих шариков преобразуется в маленький
трехосный эллипсоид. Для наглядности можно использовать демон-

§ 69. НОРМАЛЬНОЕ И КАСАТЕЛЬНОЕ НАПРЯЖЕНИЯ
15а
Рис. 188..
К
определению
понятия

пряжения.
страционный опыт (рис. 188). Ограничимся частным случаем «пло-
сиого» напряженного состояния: в плоскости чертежа лежит
широкая каучуковая лента. На поверхности ненатянутой ленты при.
помощи 12 точек изображен круг. Оба конца ленты зажаты
в оправу. Натяжение ленты производится тягой в
плоскости чертежа. Под действием натяжения круг
преображается в эллипс. При переходе круга в эллипс 12
нанесенных точек движутся вдоль прямых линий,
представленных стрелками (рис. 189). Соответствующие изменения
происходят и в общем случае при переходе шара в
трехосный «эллипсоид деформации».
К понятию «напряжение» можно подойти при помощи
следующего мысленного эксперимента: выделяют
эллипсоид из его среды, но одновременно прилагают к его
поверхности силы, которые поддерживали бы прежний вид
эллипсоида, т. е. заменили бы влияние действовавшей
перед этим окружающей среды. Или, иначе говоря,
превращают «внутренние», производимые средой, силы во
«внешние» и делают их тем самым (по крайней мере
принципиально) доступными измерению. Направления этих сил
совпадают только по трем главным осям эллипсоида
с направлениями переходных стрелок на рис. 189. Кроме
того, их величина не пропорциональна длине этих
переходных стрелок. Потом для каждого элемента поверхности
эллипсоида деформации йР определяют частное — сила, деленная на
поверхность йР,— как напряжение. Стрелка силы направлена, вообще
говоря, наклонно к соответствующему элементу поверхности йР.
Поэтому напряжение разлагают на две составляющие: одну —
перпендикулярную, а другую — параллельную
поверхности. Перпендикулярная к поверхности
составляющая, которую раньше как внешнюю называли тягой
или давлением, теперь получает название
«нормального напряжения». Параллельная поверхности
составляющая напряжения, раньше называвшаяся внешним
для тела сдвигом, получает название напряжения
сдвига.
Три оси эллипсоида имеют особые направления:
на них стрелки сил направлены перпендикулярно
к поверхности эллипсоида, а следовательно, имеются
только нормальные напряжения, которые названы
тремя главными напряжениями. Направления
главных напряжений особенно четко выступают в строении костей. Они
объединены непрерывными, взаимно перпендикулярными
пересекающимися кривыми. Ср. рис. 190.
В пределе упомянутые шарики вырождаются в точки. Каждой из этих
точек можно приписать «состояние напряжения» при помощи другого эллип-
Рис. 189. К
происхождению
эллипса на
рис. 188.

154
VIII. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
соида—«эллипсоида напряжения». Рис. 191 должен пояснить это: пусть около
точки Р построен трехосный эллипсоид. Рисунок изображает его сечение,
содержащее две из его осей. йР обозначает любой, проходящий через Р
элемент поверхности, а нормаль к поверхности пусть будет г. В точке
пересечения нормали г с поверхностью эллипсоида
изображена касательная плоскость ЕЕ и к ней
восставлен перпендикуляр Л/. Расстояние по
перпендикуляру к плоскости ЕЕ из точки Р
назовем б.. Перпендикуляр N даст
направление напряжения, действующего на йР, а число,
обратное произведению гй, — его величину.
Относительно подробностей следует обратиться
к учебникам теоретической физики.
Нельзя считать напряжения сдвига
независимыми от нормальных напряжений.
Это показывает простое наблюдение. На
рис. 192 мы попытаемся деформировать
квадратную резиновую пластинку
толщиной й только сдвигом. Для этого мы
используем равные и параллельно
сторонам а приложенные силы Я!. Каждая из
них вызывает сдвиг т=Я:/а<2. Но
результат будет такой же, как на рис. 188
при нагрузке силой тяги: круг
деформируется в эллипс. Итак, возникают и
нормальные напряжения. Их наибольшая и наименьшая величина,
главные напряжения ах и а2 совпадают с направлениями диагоналей.
В направлении диагонали две силы ^ складываются в
равнодействующую $У. Эти силы &\/~2 направлены перпендикулярно к
диагональному поперечному сечению аи |/~2.
Следовательно, нормальные напряжения а1
и <з2 тоже равны Ш1ас1, т. е. равновелики
напряжениям сдвига т. Поэтому деформацию
пластинки можно описать двумя способами:
либо смещением сторон а квадрата на
величину Да, либо удлинением диагонали п
квадрата на величину ДО.
Рис. 190. Линии главных
напряжений на головке
бедренной кости.
Рис. 191. К определению
состояния напряжения.
Для вычисления Да используют напряжение
сдвига т. Оно вызывает смещение или скольжение
у = хр. A33) (стр. 152)
Наглядно это значит: 90°-углы превращаются в углы (90° ± у), и стороны
квадрата уменьшают наклон к диагонали О на угол у/2. Из рис. 192
получается геометрическое соотношение 1§ у/2 = 2Да/# ?&; у/2 или по A33)
— = 1хЗ. A35)
Для вычисления ДО используют нормальные напряжения, а именно,
напряжения тяги аг = х и давления —а2 = т. Напряжения тяги удлиняют

§ 70. ИЗГИБ. ПРОГИБ И КРУЧЕНИЕ
155
диагонали на величину 2ДОТЯГИ = гО = а± аи = таО. Но, кроме того, по
соотношению Пуассона (уравнение A26) стр. 151) напряжения давления
вызывают дополнительно удлинение диагонали на величину 2Д/)давл О
= \хагаО — ^гай. Итак, мы получили для
общего удлинения диагонали с обеих сторон
2ДЯ = 2ДЯ?ЯГИ + 2ДЯдавЛ = те A + ц
Вводим сторону квадрата а
2Да У2 = та A + ц) а /2"
или
В. A36)
A37)
Объединение A35) и A37) дает:
новой пластинки четырьмя
равными, производящими по
одному сдвигу т, силами.
Длина ребра а, толщина
пластинки й, следовательно,
т = Ё/Р = Ш1ас1. Рисунок
показывает связь между
касательным и нормальным
напряжениями и служит для
вывода уравнения A34) на
стр. 152.
Это — уравнение A34), приведенное на стр. 152
без вывода.
В заключение выведем из рис. 192
еще один важный для дальнейшего факт:
направления главных напряжений
(диагонали) и направления наибольших
напряжений сдвига (стороны квадрата) находятся
под углом 45° одно к другому.
§ 70. Изгиб, прогиб и кручение.
В применении понятий нормального
напряжения аи напряжения сдвига х мы
ограничимся наиболее простыми примерами.
Сперва рассмотрим изгиб стержня под действием внешнего
вращательного момента Ш. Зажмем брусочек стиральной резинки между
большим и указательным
пальцами и изогнем его:
боковые грани не только
искривляются, но и
выпячиваются (продольный изгиб).
Мы отвлечемся от этого
выпячивания и рассмотрим
только предельный случай
«плоского» напряженного
состояния. На рис. 193
удлиненный брусок с
постоянным поперечным
сечением Р искривлен
постоянным вращательным
моментом. Наблюдается дуга
круга. Вычислим радиус кривизны г.
рис. 194, на котором изображено
Тг
Рис. 193. Изгиб удлиненного плоского
бруска под действием постоянного вдоль
всей длины бруска вращательного
момента Ш. Числовой пример. Латунь: Л — 12 мм;
/=64.10~и
= 4 мм;
м\ Ш = 2 кило-
понд -0,15 м = 3 • 10~г килопондметр.
Измеренное г = 2,28 м\ отсюда вычисляется
коэффициент растяжения
а = 9,4 • 10-5 мм2/килопонд.
Для этого мы воспользуемся
продольное сечение бруска.

156
VIII, НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Деформация обнаруживает на верхней стороне напряжение тяги, на
нижней стороне напряжение давления. И то и другое, как
нормальные напряжения, перпендикулярны к поперечному сечению Р и его
следу ОН, на котором лежит центр тяжести 5 поперечного сечения
бруска.
По сделанному выше предположению, хорошо выполняющемуся
для тонких брусков, поперечные сечения ОН, О'Н' и т. д. должны
во время изгиба оставаться плоскими, т. е. вследствие нагрузки
они должны вращаться вокруг своего центра тяжести. Тогда
в искривленном, но не выпяченном слое имеет место переход от
растяжения к сжатию. Этот слой лишен напряжений, расположен
перпендикулярно к плоскости чертежа
и пересекает ее по следу Л/Л/. Этот
слой называют нейтральными
волокнами (ср. «Оптика», § 93).
При этих условиях для обоих
радиусов кривизны г и {г -\- у) на рис. 194
имеем:
к центру С
Рис. 194. К выводу
уравнения A43).
Далее
—-
= растяжение г.
A38)
A39)
По закону Гука этому растяжению соответствует нормальное
■напряжение
A24) (ср. стр. 149)
а = — .
а
Из уравнений A24), A39) и A38) получаем:
. 1 У
а г
A40)
Сумма [аару должна быть равна действующему вращательному
моменту Ш, т. е.
Ш! = /±^ A41)
или, сокращенно,
§аРу2=^ A42)
^
г ~~~-
«Щ '
A43)
Величина У формально образуется так же, как и момент инерции
<д=[ату2. (97) (см. стр. 100)

§ 70. ИЗГИБ, ПРОГИБ И КРУЧЕНИЕ
157
Эта величина в распространяется на слой поперечного сечения
бруска относительно центра тяжести 5 слоя. Поэтому можно
использовать ранее приведенные формулы для моментов инерции, чтобы
получить величину У: нужно лишь в формулах стр. 102 заменить
массу т площадью поперечного сечения Р. На этой основе для У
получило право на существование достаточно неудачное название
«геометрический момент инерции» или
«момент инерции площади».
Примеры (рис. 195): 1. Прямоугольное
поперечное сечение с площадью Р'= Ни
У = А^3- A44)
2. Двутавровая балка
3. Кольцевое поперечное сечение
A45)
П). A46)
4. Для кручения вокруг оси, перпендикулярной
к плоскости чертежа (стр. 158), причем (/? — г)
равно маленькой толщине стенки й,
2я да.
(Н7)
Рис. 195. Поперечные
сечения брусьев с
одинаковым геометрическим
моментом инерции У могут
иметь весьма различные
площади. Проходящая
через 5 на рис. 194 и
перпендикулярная к
плоскости чертежа ось
обозначена
штрих-пунктирной линией.
Для бруска на рис. 193 величины а, У и 501 вдоль его длины
оставались постоянными. Из уравнения A43) следует, что и г
постоянен, т. е. что брусок принимает форму дуги круга.
Вычисленный по формуле A43) радиус г хорошо совпадает с наблюдаемым.
Числовой пример приведен в
подписи к рис. 193.
Большое значение момента
инерции площади У видно из
рис. 195. На нем показаны
профили с одинаковым моментом
инерции площади У, т. е. с
одинаковым искривлением при равной
нагрузке. Под каждым профилем
написана его площадь в
произвольных единицах. Малая площадь
означает меньший расход строительного материала. С этой точки
зрения труба предпочтительнее сплошному брусу. Поэтому длинные
кости наших конечностей устроены как трубчатые кости.
Момент инерции площади играет для многих других проблем,
связанных с деформациями, решающую роль. Мы приведем два
примера без вывода. На рис. 196 изображен брусок с односторонним
Рис. 196. Изгиб односторонне
нагруженного бруска силой к,
приложенной к его концу. Отрезок у
называется стрелой прогиба.

158
VIII. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
напряжением, к свободному концу которого перпендикулярно
приложена сила 51. Тогда для измеряемого
отклонения у в конце бруска оправдывается формула
«, а/3
.У = ®~. A48)
На рис. 197 удлиненный стержень испытывает
нагрузку — давление в направлении своей длины.
Его нижний конец удерживается гибким, его
верхний конец нагружается гибко по вертикали.
Давящая вниз сила Л создается гирей весов. Она не
должна превосходить «эйлерову предельную
величину»
$ = — ^* <149>
Это предельное значение ведет при всех
обстоятельствах к излому. Числовой пример приведен в
подписи к рис. 197.
Далее следует кратко остановиться на «кручении
цилиндрического бруска». Оно также определяется
моментом инерции площади. Находят частное
вращательный момент 93с ,-.* /
Рис. 197.
Демонстрация
эйлеровой предельной
величины при
прогибе длинного
стержня под
действием
продольного давления.
После каждого
прогиба стержень
должен быть
хорошо выпрямлен
на токарном
станке! Числовой при
мер. Сталь: г =
— 1,5 мм = 1,5Х
Х10~3.м; длина/=
= \м; 7 = 2
угол кручения а/
A50)
Коэффициент
растяжения а=4,65Х
ХЮ-11 м^/кило-
понд,
вычисленная Я = 0,85
кило понд,
наблюденная— 0,8 ки-
лопонд. На
рисунке проволока
нагружена лишь
0,65 кило понд.
У—момент инерции площади бруска, / — его
длина, р — коэффициент сдвига его строительного материала
(табл. 3).
О — использованный
нами раньше (стр. 98)
«направляющий момент». Его
легко измерить как
непосредственно, так и при
помощи крутильных
колебаний.
Уравнение A50) дает
удобный способ
определения коэффициента сдвига %
важной величины для
материаловедения (табл. 3).
Для вывода уравнения
A50) мы используем частный
случай, изображенный на
рис. 198, а именно
тонкостенную трубку. Вращательный
момент создается двумя
шнуровыми тягами. Представим себе,
что трубка разделена на плоские кольцевые слои. Они
испытывают, один относительно другого, угловое смеще-
Рис. 198. Схематический
чертеж к выводу
уравнения A50) для
кручения трубы.

§ 70. ИЗГИБ, ПРОГИБ И КРУЧЕНИВ 159
ние -\. Значение угла ? ясно из рис. 198. Находим.
т«*ет = 7 = —• A51)
Смещение вызвано напряжением сдвига "с. Имеем:
т = тр. A33) (стр. 152)
Напряжение сдвига получается под влиянием вращательного момента 9I.
Тангенциальная к кольцу сила Ж = Ш/2К, и следовательно, напряжение
сдвига
2а <т
площадь кольца
Уравнения A52), A53) и A51) вместе с A47) на стр. 157 дадут:
а' рак т ,.,,.
В заключение приведем еще одно техническое применение
уравнения A50). Для переноса или передачи мощности («киловатт»)
механическим путем очень часто пользуются валом. Это не что иное,
как цилиндрический брус, подвергнутый кручению. Для
передаваемой мощности № при поступательном движении имеет место
соотношение
\Г = $м (85) (стр. 91)
{и — линейная скорость),
для вращательного движения
ИГ = 2йи> = 2Й2™ A03) (стр. 117)
(о> — угловая скорость, V — частота вращения — число оборотов/время).
Вместо A53) мы можем написать:
угол кручения а!-=т—^г
На словах: при данной частоте вращения V угол кручения о! есть
мера передаваемой валом мощности.
Числовой пример. Полый вал винта парохода. / = 62 м\ внешний
диаметр 2К = 0,625 м, внутренний 2г = 0,480 м, момент инерции площади / по
уравнению A47) на стр. 157 равен 9,76 • 10~8 м*\ строительный материал —
сталь; коэффициент сдвига 3 = 1,2- 10~4 мм*1килопонд — 1,22- 10~11 м*1
ньютон. Мощность, подводимая к винту ]р, равна 2,4- 104 кет = 2,4 • 107 вт;
частота вращения ^ = 3,4/сек. Подставив эги величины в уравнение A54),
получим для угла кручения а' = 8,8 • 10~а = 5°. Это значит, что передний
и задний концы вала длиной 62 м закручены один относительно другого
на 0,014 своей окружности.
Бурильные штанги для глубокого вертикального бурения могут
достигать в длину нескольких километров. Они подвергаются тогда закручиванию
на много оборотов, чтобы передать мощность бура в глубину.

160
VIII. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
§ 71. Упругое последействие и гистерезис. Для количественных
наблюдений упругих деформаций мы использовали металлы (рис. 184,
193 и 197). Стекла также вполне подходят. Но для демонстраций
часто удобнее высокопластичные вещества, прежде всего каучук.
Поэтому мы проведем на каучуке ознакомление с двумя важными
явлениями, сопутствующими деформациям, а именно с упругим
последействием и гистерезисом. В наших предварительных опытах
мы оставляли эти явления без внимания.
Повторим описанный на стр. 149 опыт с растяжением.
Каучуковую трубку длиной около 0,3 м, толщиной примерно 5 мм
нагружаем попеременно 0,1 и
вРемя 0,6 килопонд и иссле-
релаксации ,
г I :л~».»„в дуем ее растяжение в
зависимости от времени.
Результат показан на
рис. 199: большая часть
деформации наступает
одновременно с
нагрузкой и с разгрузкой. Но
остаток, называемый
упругим последействием,
требует для своего
образования и уничтожения
конечного времени.
Новые значения равновесия
достигаются
приблизительно в
экспоненциальной зависимости от времени. При нагрузке по истечении
«времени релаксации» х недостает еще 1/^^37% полной величины
упругого последействия. Через время х после удаления нагрузки
остается еще 1/#^37°/0 упругого последействия.
У металлов упругое последействие значительно: оно достигает
примерно 60% начальной упругой деформации. Зато время
релаксации мало, вообще говоря, порядка 1 сек.
Упругое последействие обусловливает при переменной нагрузке потери
энергии. Они особенно велики, если продолжительность опыта I почти равна
времени релаксации -с. Их нет лишь в двух предельных случаях, а именно,
при очень быстрых и очень медленных изменениях нагрузки. В первом
случае {г <=$^ т) наступают только самопроизвольные (спонтанные) упругие
деформации, во втором случае (^ ^>> т) упругие последействия могут
полностью возникать и исчезать. Запасенная при деформации энергия
проявляется при устранении деформации, хотя и с запозданием.
К сожалению, разделение деформаций на упругие и остаточные
даже в области малых деформации является далеко идущей
идеализацией. При разгрузке часть предшествующего растяжения всегда
остается в виде остаточной деформации. Она может быть устра-
Рис. 199. Упругое последействие при
растяжении каучуковой трубки. Внешний диаметр ^5,
внутренний диаметр г^З мм.

§ 71. УПРУГОЕ ПОСЛЕДЕЙСТВИЕ И ГИСТЕРЕЗИС
161
нена только нагрузкой в противоположном направлении. Это —
гистерезис. Для его демонстрации служит изображенный на рис. 200
аппарат. Каучуковая трубка, закрепленная с обеих сторон и
растягивающаяся примерно вдвое, может при помощи тяги подвергаться
напряжению, направленному попеременно то вправо, то влево. Между
Рис. 200. К демонстрации механического
гистерезиса с помощью растянутой каучуковой трубки,
разделенной посредине.
двумя измерениями устанавливается пауза не менее 1 мин.
Результаты измерений приведены на рис. 201. Связь между растяжением
и напряжением представлена на прямом и обратном пути двумя
кривыми; последние ограничивают на рис. 201 узкую площадь,
механическую петлю гистерезиса. Такая
петля имеется почти у всех
твердых тел, т. е. у металлов, стекла
и т. д.
Итак, малая часть каждой
деформации необратима,
неупруга. Небольшая часть работы
напряжения, затраченной на
растяжение, всегда «теряется» в виде
теплоты. Площадь петли
гистерезиса определяется частным
потеря цикла нагрузки __
объем деформируемого тела
— ЬА
7 ёкилопонд
Растягивающая

сила-напряжению б
V
Вывод. Растяжение е =
Рис. 201. Петля гистерезиса,
измеренная на установке рис. 200.
Направленная вправо сила считается
положительной. Измерения начинаются
справа в верхнем углу.
пряжение равно силе, деленной на
площадь. Площадь петли гистерезиса является произведением га, т. е. (А///*
• сила/площадь) = работа/объем.
Объяснение как упругого последействия, так и гистерезиса
следует связать с § 67, а именно, с подразделением всех тел, вклк>

162
VIII. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
чая и монокристаллы, на отдельные очень маленькие более или
менее неправильно соприкасающиеся друг с другом «области». При
упругой деформации отдельные области могут смещаться одна
относительно другой, поворачиваться и при известных условиях
зацепляться вроде «собачек» и перекашиваться. Освобождение от
зацеплений наступает лишь постепенно вследствие статистически
неупорядоченного теплового движения, следовательно, быстрее при
высокой, чем при низкой температуре.
Формально можно объяснить гистерезис трением внутри
деформируемого тела. Это значит, что отдельные области могут
смещаться и вращаться одна относительно другой, и вследствие
трения при этом может возникать теплота.
§ 72. Прочность на разрыв и удельная поверхностная работа
твердых тел. При достаточно большой нагрузке каждое твердое
тело разрывается на части. В идеальных предельных случаях
поверхности разрыва («трещины») могут оказаться перпендикулярными
к направлению наибольшего нормального напряжения и
параллельными плоскости наибольшего касательного напряжения. Поэтому
различают разделительный разрыв (гладкий излом) от смещающего
разрыва (неровный излом). Направления наибольших растягивающих
и скалывающих напряжений наклонены друг к другу на ±45°.
Поэтому у хрупких тел под прессом находят плоскости разрыва
наклоненными почти под углом 45° к направлению давления.
Между упругой деформацией и разрывом у многих тел имеют
место еще и другие процессы, а именно течение или скольжение
их отдельных частей и связанное с этим «упрочнение» («наклеп»).
Напомним о холодной обработке металлов. Постепенное изменение
формы, связанное с «пластической деформацией», делает процесс
разрыва еще сложнее, чем у хрупких, т. е. разрываемых без
пластического изменения формы, тел (например, стекло или чугун).
Пластичность и хрупкость не являются неизменными признаками
вещества. Особенно сильно они зависят от температуры.
Таблица 4
Технический предел прочности 2тзх
(Для вычисления напряжения тяги использовано первоначальное, не
уменьшенное под действием растяжения поперечное сечение)

Вещество
^тах
А1
30
РЬ
2
Си
40
Латунь
60
Сталь
до 200
Слюда
75
Кварцевое
стекло
80
Фибра
до 12
килопонд\мл$
В табл. 4 приведены данные о «прочности на разрыв»
(предел прочности) материалов, используемых в технике. Так назы-

§ 72. ПРОЧНОСТЬ НА РАЗРЫВ
163
ваются напряжения тяги 2тах, приводящие к разрыву. Они
измерены на нормальных стержнях. К правильной оценке этих чисел
ведет простой опыт. Вырезают из хорошей писчей бумаги полоску
длиной 20 см и шириной 3 см, зажимают ее конец и пробуют
разорвать. Это удается лишь в редких случаях. Затем делают на
одном длинном крае маленький, глубиной около 1 мм, надрез.
Сразу же бумажную полоску можно разорвать без всякого усилия.
В «основании надреза» создается путем местного рычажного
действия очень большое напряжение тяги, разрывающее надрез далее.
Даже ничтожные надрезы играют уже решающую роль.
Во многих случаях можно исключить помехи от подобного
действия надрезов. Можно, например, поставить плоскости спайности
у слюды параллельно направлению растяжения и, кроме того,
зазубрины на краях зажать особыми приспособлениями.
Таким образом добились у кристаллов слюды
величины 2шах = 324 килопонд/мм2.
С очень тонкими (ф несколько микронов),
свежими, вытянутыми при высокой температуре нитями 14:—^ Поперечное
из стекла или кварцевого стекла, получена проч- °^<~^х сечение Р
ность на разрыв (предел прочности) даже 2тах >
> 1000 килопонд/мм2.
Для демонстрации подвергают подобные нити изгибу, 1й=7 •/"
располагая кусок нити длиной в несколько сантиметров т макс
между кончиками пальцев. Получаются поразительно малые
радиусы кривизны. Но малейшие повреждения поверх- ^ис* 20/. К вы-
ности ведут к разрушению. Достаточно для этого коснуться В°ДУ уравнения
одной изогнутой стеклянной нитью другой стеклянной нити. A56).
Внутри тела молекулы окружены со всех сторон своими
соседями, но на поверхности тела соседи с одной стороны отсутствуют.
Вследствие этого требуется совершить работу, чтобы перевести
молекулу изнутри на наружную поверхность. Частное
- работа АД требующаяся для приращения поверхности
площадь А/*1 вновь образовавшейся поверхности
A55)
называется удельной поверхностной работой. Ее можно оценить по
измерению прочности на разрыв, исключив действие зазубрин.
Пусть на схематическом рис. 202 проволока с поперечным
сечением Р разрывается разделительным разрывом (гладкий излом). При
этом образуются две поверхности площадью Р, а это требует
работы А = 2/^С. Эта работа совершается силой ^' = 2М&КОР вдоль
малого пути х. Поэтому
2^Р = 1кшсРх или С = -^-2макс. A56)
Путь х должен иметь величину такого же порядка, как и длина
междуатомного притяжения или расстояние между соседними

1 64 VIII. некоторые свойства твердых тел
атомами. Оно имеет порядок величины 10~10 м. Из уравнения A56)
для удельной поверхностной работы стекла следует:
с глуп КпЛОПОНд 1ЛУ-10 г 1 г»а НЬЮтОН , П-Ю л е /о
С =500 — 10 л*^5-109 5—Ю м^0,б вт-сек м2.
ММ" М2
К такому же порядку величины приводят и другие, основанные на
знании атомных размеров х, независимые измерения удельной
поверхностной работы. Пример описан ниже под рис. 203.
Рис. 203. Измерение удельной поверхностной
работы слюды (С ?53 4,5 вт-сек\м%). Чтобы
отслоить листок слюды (толщиной Н, шириной й),
прилагают к краю листка силу
A48) и A44)
При этом листок упруго напряжен. Он
получает потенциальную энергию
^1 = уДу2 = -^-^-у-- E4) (см. стр. 76)
Удлинение листка на их уменьшает запас
упругой энергии на величину
^^ A57>
и вместо нее появляется энергия обеих вновь
образованных в «основании расщелины»
заштрихованных поверхностей
йЩ = 2й-ах-Ъ A56) (стр. 163)
Приравнивание величин из A56) и A57) дает
искомую удельную поверхностную работу
С = -4- — ^У2- A58)
16 а х4 '
Высокая прочность на разрыв твердых тел, вычисляемая по
уравнению A56), называется «теоретической». Она превосходит
«техническую» прочность на разрыв больше чем в десять раз.
Техническая прочность существенно обусловлена побочными мешающими
влияниями. «Действие зазубрин» — хотя и сильно упрощенное, но
вполне подходящее название.
Мы уже неоднократно упоминали своеобразное «упрочнение»
(наклеп; тел, прежде всего металлов, после холодной обработки.

§ 73. ВНЕШНЕЕ ТРЕНИЕ 165
Это упрочнение как-то изменяет состояние «областей» в
наименьших элементах строения кристаллов (стр. 147) и препятствует
дальнейшему разрыву зазубрин. Принципиальную возможность
показывает нам пример из обыденной жизни: поврежденные стекла витрин
просверливают вплотную у конца трещины; дыра препятствует
дальнейшему распространению трещины.
§ 73. Внешнее трение. Кроме прочности на разрыв, в
механике твердых тел применяется другое технически необходимое, но
физически плохо распознаваемое понятие о внешнем трении. Это
понятие обозначает, во-первых, процесс соприкосновения поверхностей
двух твердых тел, во-вторых, возникающую при этом силу. Кратко
изложим важнейшие сведения об его частных случаях: «трении
покоя», «трении скольжения» и «трении качения». Речь идет лишь
о таких случаях, в которых можно пренебречь возрастающим со
скоростью сопротивлением, т. е. сопротивлением вследствие трения
в воздухе и т. д. (§ 43).
На рис. 204 изображен гладкий, подобный ящику, брусок,
прижатый своим весом, т. е. силой 5?п, к гладкой горизонтальной доске.
Шнуровая тяга позволяет
действовать на брусок силой $,
параллельной плоскости соприкосновения.
Эта сила должна превысить
предельную величину Я?й, перед тем как
брусок станет скользя двигаться по
доске. Отсюда делают вывод: оба
тела пристают друг к другу; на оба
тела действуют в противоположных
направлениях силы $Л. Силу $й
называют трением покоя. Она не зависит от площади
соприкосновения, определяется свойствами тел и пропорциональна
сдавливающей оба тела силе $Л, перпендикулярной к поверхности
соприкосновения. Уравнение
определяет коэффициент \ьп трения покоя (численное значение
большей частью между 0,2 и 0,7). Трение покоя играет"в технике
важную роль. Оно определяет наибольшую величину необходимой дви«
жущей силы для ведущих колес паровозов и автомобилей, равно
как и для подошв пешеходов. В месте соприкосновения с землей
катящееся колесо и перемещающаяся подошва ноги находятся в
покое относительно земли. Поэтому здесь действует трение покоя.
Сила, называемая трением покоя, возникает прежде всего от
незначительных взаимных смещений обоих тел относительно друг друга.
Упрощенным образом можно сравнить «гладкую» поверхность всякого твердого тела
с напильником или щеткой. Выступающие части за ;епляются друг за друга
и вследствие этого при перемещении они деформируются. Более точная
картина должна учитывать адсорбированные поверхностью слои чужих молекул.

166 VIII. некоторые свойства твердых тел
Без этого трение покоя между отполированными поверхностями могло бы
быть исчезающе малым. Пример: брусок стекла и стеклянная пластинка в
высоком вакууме. Термин «трение покоя» сомнителен: относительный «покой»
означает отчасти слишком много, он включает часто понятие склеивания.
Кроме того, следовало бы говорить о трении только во время движения,
а не перед его началом.
Наблюдая далее, мы делаем (рис. 204) силу тяги 51 большей, чем
трение покоя $л. Тогда брусок начинает скользить ускоренно. Но
ускорение Ь не соответствует силе тяги $, а несколько меньшей.
Следовательно, во время скольжения, помимо силы $, на брусок
должна действовать в противоположную сторону меньшая сила $Ок-
Эта сила $Ск носит название трения скольжения. Ее величину
вычисляют из уравнения
Ь = ($+$ск)/от или &я = /иЬ —Я. A59)
В предельном случае постоянной скорости 6 = 0 и $ск = — $.
Трение скольжения 51Ок всегда меньше трения покоя $й. Оно, так же
как и последнее, пропорционально сдавливающей оба тела силе $п,
но не зависит от площади соприкосновения. Итак,
(р.ск — коэффициент трения скольжения, число в большинстве случаев
лежащее между 0,2 и 0,5).
Лишь в первом приближении трение скольжения не зависит от
величины уже достигнутой скорости. С возрастанием скорости оно может
снизиться на 20% от начальной величины, имеющейся при малой скорости.
Подобные измерения следует производить при постоянной скорости.
С этой целью заменяют тяговое устройство на рис. 204 электромотором
и канатным барабаном и включают в канатную тягу силомер.
Колесо (радиуса г) прижато к плоскому полотну дороги (рельсу)
перпендикулярной к нему силой $га. Чтобы заставить это колесо
катиться с постоянной скоростью, следует действовать на колесо
практически независимым от скорости вращательным моментом
Это уравнение определяет коэффициент |хкач трения качения. Всегда
это очень малая длина между 10~3 и 10 см.
Трение качения играет большую роль для всех колесных
экипажей. При движении этих экипажей, безразлично автомобилей,
паровозов, тракторов или повозок, двигатель (машины, упряжное
животное) совершает работу против трения качения всех колес (в том
числе и ведущих). Повозки далеко превзошли давно устаревшие
сани: чтобы тянуть повозку требуется значительно меньшая сила,
чем для движения саней с равным весом ^п. Повозке нужна сила

§ 73. ВНЕШНЕЕ ТРЕНИЕ
167
$9К = ЗЯ/г = {Акач^п/7"' саням требуется сила
разом, получаем соотношение
Лэк Гкач
= |*ск&п. Таким
обПример. [лкач = 10"*1 см; |*ск = 0,5; г — 50 см;
^э Аан = 1/250.
Итак, это отношение при использовании больших колес
представляет собой очень малую дробь. Поэтому замена саней
повозкой с большими колесами была чрезвычайно важным
изобретением. В первых десятилетиях XIX в. началась установка двигателей
в повозках, появляются локомотивы, позднее—автомобили,
велосипеды, тракторы. Во всех этих средствах транспорта действующий
на колесо вращательный момент %% создает в мгновенном месте
соприкосновения колеса с землей тангенциально направленную силу
$ = 2)Ё//". Ее можно использовать как движущую силу или силу тяги,
пока эта сила остается меньше, чем трение покоя $Л, иначе колесо
скользит или ползет, вместо того чтобы вращаться.
Тракторы с малой угловой скоростью о> ведущей оси (локомотивы,
тягачи) развивают при данной мощности Ц7 большой вращательный момент Ш;
если обозначить силу тяги через $ = Ш/г, линейную
скорость через и, то # = чШ = иЩг. Делая большим
радиус г ведущих колес (и вместе с тем и), а также
вес $га экипажа, можно для силы тяги $ всегда
выполнить условие ($ == ТЦг) < ($й = (^$га) и тем самым
воспрепятствовать скольжению или сползанию колес.
®1
,«20'панд
2пг.
Рис. 204Ь. Демонстрационный опыт: сила тяги $г
много меньше, чем трение скольжения $„^^0,4 ки-
лопонд или чем еще большее трение покоя Й^.
Колодка скользит только при вращательном или
колебательном движении кривошипа с рукояткой,
т. е. при установлении тангенциальной к стержню
вспомогательной силы $2 (длина стержня 1 м,
диаметр 2 см).
Рис. 204а.
Вспомогательная сила $2
исключает составляющую
Шд1 силы трения
скольжения Йд1 так, что
сила тяги $! должна
быть равна лишь
малой составляющей 5? г
трения скольжения.
Внутри машин и аппаратов стараются по возможности уменьшить
внешнее трение и заменить его внутренним трением жидкости. Это
называется смазкой.

168 VIII. некоторые свойства твердых тел
Во многих случаях следует довольствоваться и тем, чтобы сильно
уменьшить внешнее трение. Это всякий раз удается лишь для одного
определенного направления движения (рис. 204а). Перпендикулярно
к этому направлению можно поддерживать постоянную скорость
вспомогательной силой $2- Во время этого вспомогательного
движения сила $! направлена противоположно лишь к малой
составляющей $ск трения. Главная составляющая $4 трения направлена
противоположно вспомогательной силе $2 (совершающей работу). Рис. 2046
изображает опыт.
Полезные применения: при резании не только давят на лезвие ножа, но
и тянут его в направлении длины. Расшатывают клин в щели, двигая клин
туда и сюда в направлении длины щели.
Вредные последствия: непроизвольные незначительные относительные
движения между щеками расщелины и щеками клина (особенно при тряске
тела) вызывают расшатывание винтов. Ведь винты—лишь «свернутые»
клинья.

IX. О НЕПОДВИЖНЫХ ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
§ 74. Свободная подвижность молекул жидкости. Различие
между твердыми телами и жидкостями основано на их отношении
к изменениям формы. Для деформации твердых тел всегда требуется
приложить силы; напротив, у жидкостей при постоянном объеме
требующиеся для деформации силы тем меньше, чем медленнее
протекает процесс. В идеальном предельном случае для изменения формы
жидкости при постоянном объеме не нужно, вообще, никакой силы.
Отсюда выводят заключение: в твердых телах наименьшие элементы
строения, молекулы, преобладающим образом связаны с
положениями равновесия; в жидкостях, наоборот, отсутствуют такие
положения равновесия: все молекулы свободно подвижны относительно
друг друга.
В твердых телах невидимые движения молекул (стр. 146),
воспринимаемые как теплота, почти целиком состоят из колебаний
молекул около их положений равновесия. В жидкостях же
учитываются лишь поступательные и вращательные движения молекул.
Мы располагаем грубым, сильно упрощенным, но глубоко
верным отображением теплового движения в жидкостях. Это — явление
броуновского движения.
Принцип его можно уяснить из следующей, почти по-детски
простой картины. Дано блюдо, полное живых муравьев. Пусть наш
глаз будет слишком близорук или слишком удален, чтобы
различать отдельных бегающих туда и сюда насекомых. Он видит только
лишенную структуры черно-коричневую поверхность. Увидеть больше
нам поможет простой искусственный прием. Мы бросаем на блюдо
несколько более крупных, хорошо видимых легких тел, например,
пушинок, обрезков бумаги и т. п. Эти частички не остаются в покое.
Они производят беспорядочные движения и повороты, так как их
толкают и тянут невидимые индивидуумы. Мы видим сильно
упрощенную, грубую картину безостановочного движения копошащихся
насекомых.
Совершенно таким же образом поступают при демонстрации
броуновского движения. Только в помощь глазу берут не совсем
плохой микроскоп. Между предметным и покровным стеклами
помещают каплю какой-либо жидкости, проще всего воды. К этой
жидкости предварительно прибавлен нерастворимый тонкий порошок.

170
IX. о неподвижных жидкостях и газах
Удобна, например, прибавка ничтожного количества китайской туши,
так как она состоит из тончайшего угольного порошка (<^>^0,5}а).
Для демонстрации большому числу лиц в микропроекции нужно брать
порошок с большим показателем преломления, например минерал рутил (ТЮ2).
Большой показатель дает светлую контрастную картину.
Немногие физические явления способны так увлечь наблюдателя,
как броуновское движение. Здесь наблюдателю позволяется заглянуть
за кулисы совершающегося в природе. Перед ним открывается новый
мир, безостановочная, ошеломляющая сутолока
совершенно необозримого числа особей. Быстро, как стрела,
пролетают в поле зрения мельчайшие частички, дикими
зигзагами бросаясь из стороны в сторону. Важно и
медленно подвигаются более крупные частицы, но и они
постоянно меняют направление. Большие частицы
толкутся практически на одном месте. Их зубцы и углы
ясно указывают на вращение около осей с постоянно
меняющимся направлением. Нигде нет ни следа системы
или порядка. Господство беспорядочного, слепого
случая— вот какое сильное, подавляющее впечатление
производит эта картина на всякого непредубежденного
Рис 205 Пе- наблюдателя. Броуновское движение принадлежит к
редвижение значительнейшим явлениям в области современного есте-
погранично- ствознания. Никакое словесное описание не может даже
го слоя при приблизительно заменить действие собственного наблю-
диффузии. ;
Дляустанов- Дения-
ленияперво- Действительно хорошая демонстрация броуновского
начально ре- движения требует микроскопа с увеличением в несколько
зкого погра- сотен раз. Такое увеличение легко приводит к пере-
«я °пПаЛ?^ оценке наблюдаемых скоростей. От этой ошибки нас
на поверх- *
ность нижней предохраняет другой способ наблюдения. Он показывает
жидкости нам взвешенные в жидкости частицы в виде роя или
кладут тон- облака, но не позволяет различать отдельные частицы.
Пробковый" Мы видим на рис. 205 мутную воду, например, очень
круг. На него сильно разведенную китайскую тушь, поверх которой
осторожно налит слой чистой воды. Граница между обеими
жидкостями вначале резкая, но с течением времени она
размывается. Совсем медленно, в течение недель,
«диффундирует» рой угольных частичек внутрь до этого
Диффузией называют, вообще, всякую перемену места
молекулами, обусловленную молекулярным тепловым движением.
Диффузия и броуновское движение — два имени для одного и того
же процесса. Слова броуновское движение предполагают
микроскопическое наблюдение отдельных индивидуумов, выделяющихся
особенно большими размерами. При лшл:/?оскопическом наблюдении мы
говорим о диффузии, совершенно независимо от величины отдельных
льют
тоненькой струйкой
чистую воду.
чистой воды.

§74. СВОБОДНАЯ ПОДВИЖНОСТЬ МОЛЕКУЛ ЖИДКОСТИ
171
индивидуумов. Это значит, что образование, видимое нами как рой
или облако, может состоять или из пылинок, или из мельчайших,
не доступных никакому микроскопу «освобожденных» молекул.
Существенным обстоятельством в этой связи оказывается
скорость процесса диффузии. Граница роя двигается поразительно
медленно. Измеримый путь она проходит, смотря по величине частиц,
лишь в несколько дней или даже недель (ср. § 170, табл. 12).
Причину медлительности процесса диффузии надо искать в тесном
расположении кишащих молекул жидкости. Среднее расстояние
молекул в жидкости — такого же порядка, как и в соответствующем
твердом теле (кристалле). Это следует из двух фактов: плотности
каждого вещества в жидком и твердом состояниях приблизительно
одинаковые, кроме того, жидкости имеют очень малую
сжимаемость. Это наблюдение повседневной жизни будет обосновано
численно на стр. 175.
После всего сказанного мы можем заменить действительную
жидкость моделью жидкости и на ней изучать характерные свойства
жидкости вообще. Лучше всего было бы взять сосуд,
наполненный живыми муравьями или круглыми
жучками с твердыми надкрыльями. Достаточно, впрочем,
и сосуда с маленькими гладкими стальными шариками.
Нужно только, — может быть, грубо — заменить
собственное или тепловое движение этих молекул модели
встряхиванием всего сосуда. В дальнейшем мы не
будем каждый раз особо упоминать об этом
встряхивании.
Свободная подвижность молекул жидкости делает
понятными некоторые свойства покоящихся или
находящихся в равновесии жидкостей. О них много
говорится в школьном курсе, здесь же дается краткое
повторение в §§ 75 и 76. Начнем с того, как
образуется поверхность жидкости.
Поверхность жидкости устанавливается всегда
перпендикулярно к направлению сил, действующих
на ее молекулы. У жидкости, налитой в плоскую
широкую чашку, действующей силой является только
вес отдельных молекул. Поверхность ее принимает
вид горизонтальной плоскости. В большом морском или озерном
бассейне направления веса в различных местах уже нельзя считать
параллельными. Вес везде направлен по радиусу к центру Земли.
Следовательно, поверхность жидкости является частью шаровой
поверхности.
В сосуде, вращающемся около вертикальной оси, поверхность
жидкости принимает форму параболоида (рис. 206). Мы будем
рассматривать молекулы жидкости в системе отсчета, обладающей
ускорением. К каждой отдельной частице (молекуле) приложены две
У
4-
Рис. 206.
Параболическое
сечение
вращающейся модели
жидкости из
стальных
шариков в
плоском стеклянном
сосуде с
поперечным
прямоугольным
сечением
(моментальная
фотография).

172
IX. О НЕПОДВИЖНЫХ ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
силы: вес частицы т§, направленный вертикально вниз, и
центробежная сила т«Jг, направленная по радиусу наружу. Обе силы
складываются в равнодействующую силу $. Перпендикулярно к этой
силе и устанавливается поверхность. Из
рис. 207 видно, что численно
г = сопз!: • г2.
A60)
Рис. 207.
Параболическая поверхность
вращающейся жидкости.
те аг
6 т<о2г йг '
С точки зрения неподвижного наблюдателя
в аудитории объяснение таково: частичка может
участвовать в круговом движении лишь при
условии, что на нее действует радиальная сила ти&г,
ускоряющая ее по направлению к оси вращения.
На рис. 206 видно, что вес заставляет частички
сползать по «откосу». Вследствие этого к каждой
отдельной частице приложена направленная к оси
вращения сила. Крутизна откоса возрастает с
увеличением расстояния г мзжду частичками и осью
вращения. Параболический откос дает новое
решение уже известной нам задачи: получения
радиальной силы, пропорциональной радиусу. Оно заменяет
наше прежнее решение с помощью линейного закона
силы (рис. 46).
-Щг аг = г йг
и интегрируя,
получаем:
г = сопз1 • г2.
§ 75. Давление в жидкости, манометр.
«Нагрузки» порождают напряжения не только
в твердых телах, но и в жидкостях. Но в
учении о жидкостях пользуются не этим
термином, а давлением р. При давлении в
жидкостях сила всегда направлена
перпендикулярно к соответствующей поверхности *), иначе в жидкостях не
могло бы быть никакой всесторонней свободной подвижности. Или,
выражаясь по-другому: давление в неподвижной жидкости является
всегда нормальным напряжением, никакого напряжения сдвига в ней
не существует. Ограниченная сферой, например окрашенная, область
внутри неподвижной жидкости при всякой нагрузке остается
шарообразной. Нагрузка не может преобразовать шар в эллипсоид,
а лишь изменяет его радиус.
Из единиц давления р = ЩР следует прежде всего назвать:
1 ньютон/м2 = 10~5 бар,
1 килопонд/см2 = 1 техническая атмосфера (сокращенно ат) =
= 9,81 • 10 ньютон/м2,
1,033 килопонд/см2 = 1 физическая атмосфера
(сокращенно атм)= 1,013 • 105 ньютон/м2.
1) У твердых тел направление из внутренней области наружу принимают
за положительное. Это значит, что тяга берется с положительным, а
давление — с отрицательным знаком. Для жидкостей большей частью применяется
обратное: положительное р (давление) уменьшает, а отрицательное р (тяга)
увеличивает объем жидкости.

§ 76. ВСЕСТОРОННЯЯ ПЕРЕДАЧА ПОРШНЕВОГО ДАВЛЕНИЯ
173
Поршень
Мембрана
' 1
' I
Рис. 208. Схема поршневого и
мембранного манометра.
Другие единицы находятся в таблице «единицы давления» в конце
книги.
Для измерения давления заменяют давящие молекулы давящей
стенкой; это значит, что, как и в твердых телах, «внутренние»
силы превращают во «внешние». Это происходит в измерителях
давления, или манометрах. На рис. 208 мы видим слева поршень,
перемещающийся с ничтожным
трением в полом цилиндре, соединенном
с сосудом с жидкостью. Поршень
связан с пружинными весами,
имеющими указатель и шкалу.
Конструктивно поршень и пружина могут
быть совмещены в одно. Таким
образом, мы приходим к волнистой или
гладкой мембране (рис. 208, справа).
Ее прогиб под давлением действует
на указатель. Гибкая мембрана может
быть заменена трубкой с
эллиптическим поперечным сечением (см.
рис. 210, слева). Трубка развертывается при вдавливании в нее
жидкости. Напомним любимую детскую игрушку — бумажный хобот,
свернутый в спокойном состоянии. Без градуировки эти инструменты
могут лишь показать, что давления, измеренные в разных местах
или в разное время, тождественны («маноскоп»). Но уже в
следующем параграфе мы познакомимся со способом их градуировки.
Обладая таким, хотя бы и не градуированным манометром, мы
рассмотрим теперь распределение давления в жидкостях. При этом для
простоты мы будем различать два предельных случая нагрузки.
1. Давление вызвано исключительно собственным весом жидкости.
Название: весовое давление.
2. Жидкость находится в сосуде, закрытом со всех сторон. При-
ключенный к нему цилиндр с пригнанным к нему поршнем создает
давление, сравнительно с которым можно пренебречь незначительным
весовым давлением. Название: поршневое давление. Мы начинаем со
второго предельного случая.
§ 76. Всесторонняя передача поршневого давления и ее
применения. Рис. 209 изображает нацело наполненный водой железный
сосуд довольно сложной формы, с четырьмя одинаковыми
манометрами. Справа мы вгоняем в сосуд поршень при помощи винта.
Все манометры показывают одинаковые отклонения и вместе с тем
равенство давлений во все стороны. Для объяснения представим
себе, что мешок наполнен нашей «модельной» жидкостью
(стальными шариками) и в него через подходящее отверстие введен
поршень. Мешок раздувается по всем направлениям. Легкая
подвижность стальных шариков не дает им возможности предпочесть
какое-либо одно направление.

174
IX. О НЕПОДВИЖНЫХ ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
Приведем теперь три важных применения этой всесторонности
поршневого давления.
1. Градуировка технического манометра (рис. 210). От
манометра /? идет трубка к цилиндру 7. с пригнанным к нему
поршнем К. Все полости залиты
какой-нибудь жидкостью,
например маслом. Давление —
сила,деленная на
площадь.Поршневое давление равно,
следовательно, весу поршня и
положенной на него сверху гири,
деленному на площадь
поперечного сечения поршня Р.
Теперь начинается самое
существенное: нужно исключить
трение между поршнем и
стенкой цилиндра, иначе сила была
Рис. 209. Распределение давления в
жидкости при преобладающем
поршневом давлении.
бы меньше только что
указанного веса. Исключение трения
осуществляется следующим
искусственным приемом:
заставляют тонкую пленку жидкости все время омывать поршень. Это
достигается равномерным вращением поршня около его вертикальной
продольной оси 1). Для этой цели верхнему концу поршня придают
форму махового колеса.
Приведенный во вращение поршень
вращается долгое время.
Ударим сверху с силой по
вращающемуся маховику. Стрелка
манометра каждый раз
возвращается на то же место.
Следовательно, ее положение в
самом деле определяется лишь
собственным весом поршня и
его нагрузкой.
2. Гидравлический пресс.
Этот важный технический
прибор служит для получения
больших сил при помощи малых
давлений. Мы даем вид этого пресса в импровизированном выполнении
(рис. 211). Его существенные части: цилиндрическая кастрюля А,
тонкостенный резиновый пузырь В, деревянный поршень К и прочная
прямоугольная рама /?. Резиновый отросток, служащий для наполнения
1) Этот опыт объясняет смазку подшипников как «скользящее» течение
жидкости в смысле § 89.
Рис. 210. Градуировка технического
манометра /? с помощью вращающегося
поршня К-

§ 77. ВСЕСТОРОННЯЯ ПЕРЕДАЧА ПОРШНЕВОГО ДАВЛЕНИЯ
175
пузыря, присоединяется к городскому водопроводу. Кожаная
манжета М, проложенная по краю поршня,
препятствует образованию мешков из
резины между поршнем и стенкой кастрюли.
Числовой пример. Водопровод в Геттин-
генской аудитории имеет давление около 4 ки-
лопонд/см?. Применяемая кастрюля имеет
внутренний диаметр 30 см, следовательно,
площадь сечения поршня равна
приблизительно 710 см'г. Поэтому пресс дает силу $
округленно 3000 килопонд. Она ломает
дубовый брусок Ь сечением 4X5 см2 и длиной 40 см.
3. Сжимаемость воды. Малая
сжимаемость жидкостей может быть точно
измерена благодаря всесторонности
давления в жидкости. Принцип состоит
в следующем: жидкость при высоком
давлении вгоняют в измерительный сосуд,
не позволяя ему раздуваться от давления.
Для этой цели измерительный сосуд
окружают снаружи жидкостью с тем же
давлением, как и внутри. Таким образом,
мы приходим к прибору, изображенному
на рис. 212. Сначала находят, что
уменьшение объема ЬУ пропорционально
объему V и увеличению давления Д/?, т. е.
ДУ = хУ"Д/?, и измеряют коэффициент
пропорциональности х, называемый
сжимаемостью,
Рис. 211.
Импровизированный гидравлический пресс.
• 10
~5
атм.
_ а , г,г г Рис.212. Сжимаемость во-
Получается уменьшение ДК/К объема ды. Толстостенный сте-
воды при давлении в 1000 атм, всего клянный цилиндр и тон-
около 5%- Эта малая сжимаемость воды костенный измеритель-
приводит к поразительным демонстра- ^„Гр^оя^ЯпозГ
ционным опытам. Они всегда указывают ляет ввинчивать поршень
на появление больших сил и давлений вводу. Н§— запирающая
при очень малых сжатиях. РТУТЬ в капиллярной
трубке с поперечным се-
Пример. Хорошо проконопаченный четы- чением #. Столбик Н§
рехугольный ящик без крышки наполнен во- поднимается на ДА при
дой. Сверху жидкость открыта. Этот ящик увеличении давления на
сбоку простреливают ружейной пулей. От &Р- Это означает убыль
этого вода сжимается на величину объема объема жидкости, запер-
пули, так как для выхода воды наверх не тои в А, на величину
хватает времени. Возникают большие давле- АV = ДА • ^.
ния. Ящик разлетается в щепки. Следующий
вариант этого опыта требует более скромной обстановки. Достаточно

176
IX. О НЕПОДВИЖНЫХ ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
иметь наполненный водой стакан и взорвать в нем стеклянную слезку.
Стеклянные слезки приготовляют на фабриках, капая жидкое стекло в воду.
Это просто быстро затвердевшие капли стекла с сильными внутренними
напряжениями (рис. 213). Такая капля очень мало чувствительна к ударам
и толчкам. По ней можно спокойно стучать молотком.
Зато она совершенно не выносит повреждения своего
нитеобразного хвостика. При обламывании конца
хвостика она со взрывом распадается на кусочки.
Взорвем таким способом стеклянную слезку, держа
ее в кулаке. Совершенно отчетливо, но без всякой боли
и повреждения, чувствуется, как разлетаются
осколки. Безвредность этого опыта в руке поразительным
образом противоречит полному разрушению
наполненного водой стакана.
Рис. 213. Две
стеклянные слезки.
§ 77. Распределение давления в поле тяжести и подъемная
сила. Дан цилиндрический вертикальный сосуд с поперечным
сечением Г (рис. 214). Он наполнен до высоты к жидкостью с
плотностью р. Вес этого жидкого столба равен
„ Л1 газоприемнику
A61) * " —
Вес, деленный на площадь, дает на дне
одинаковое по всем направлениям
давление р:
A62)
Числовой пример для води. Н = ;
? = юз кг/мь $ = 9,81 м/сек?; р = 103 м ■
• 103 кг/м3-9,81 м/сек* = 9,81 . 106 ньютон/м2 =
= 100 технических атмосфер. Такое давление
сжимает нижний слой воды всего на 0,5% его
объема (см. выше). Следовательно, можно с хорошим
приближением рассматривать плотность р в
уравнении A62) как не зависящую от к.
Рис. 214.
Весовое
давление
жидкости.
Рис. 215.
Манометр
с
жидкостью.
Форма и поперечное сечение сосуда вовсе
не входят в уравнение A62). Мерой весового
давления в какой-нибудь точке жидкости является всегда только
вертикальное расстояние Н этой точки от поверхности жидкости.
Количественно оно определяется уравнением A62).
Из многих важных применений этого закона напомним общеизвестные
манометры с жидкостью для измерения давлений газа или пара. Самая
простая форма состоит из 11-образной стеклянной трубки с жидкостью,
плотность которой подбирается сообразно назначению манометра (рис. 215).
Большей частью в качестве запирающей жидкости выбирают воду или ртуть.
Само собой разумеется, что эти манометры можно градуировать в обычных
единицах давления, как например, бар, килопонд/см2 и т. д. Однако почти
всегда довольствуются указанием разности уровней жидкости в обоих
коленах. Говорят, например, о давлении ^ 10 ем водяного столба и т. п.
Переводные множители получаются непосредственно из уравнения A62). Нужно
лишь знать плотность употребляемой жидкости. Примеры можно найти в конце
книги, в таблице «Единицы давления».

§ 77. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ И ПОДЪЕМНАЯ СИЛА 177
вение подъемной
силы.
Наиболее известным следствием распределения давлений в поле
тяжести является статическая подъемная сила, действующая на
тела, погруженные в жидкость. Мы рассмотрим
сначала подъемную силу, действующую на
твердое тело, погруженное в жидкость. Пусть для
простоты оно имеет форму плоского цилиндра
(рис. 216). Давление жидкости по всем
направлениям одинаково. Это — следствие свободной
подвижности всех молекул жидкости. Следовательно,
на нижнее основание цилиндра Р действует сила рис> 216. Возникно-
^!= рхР = пхр§ Р, направленная вверх, на
верхнее— меньшая сила $2 = р2р = п2р& Р,
направленная вниз. Все силы, действующие на боковую
поверхность цилиндра, попарно уничтожаются. Остается только
разность обеих сил $х и 512- Она дает направленную вверх,
приложенную к телу силу ^. Ее-то и называют подъемной силой
^=98^(^1 — А2)- О63)
Стоящее справа произведение есть не что иное, как вес жидкости
в объеме, равном объему погруженного тела. Подобным образом
мы найдем вообще: подъемная сила погруженного твердого тела
равна весу вытесняемой им жидкости.
Можно привести много количественных опытов, касающихся
подъемной силы. Вместо них с помощью нашей модели
жидкости мы покажем, как возникает
подъемная сила. Рис. 217 изображает
в теневой проекции стеклянный сосуд
со стальными шариками. В эти шарики
мы зарыли сначала два больших шара:
один деревянный, другой каменный.
Мы заменяем тепловое движение в
нашей модели уже известным способом
встряхивания сосуда. Подъемная сила
сейчас же выносит оба шара на
поверхность. Они «плавают»: деревянный — высоко выступая из
жидкости, каменный — погружаясь почти до половины.
Само собой понятно, что от этого опыта нельзя требовать
количественных результатов, так как замена теплового движения встряхиванием
слишком примитивна.
Вес тела и подъемная сила в жидкости действуют друг другу
навстречу. Если преобладает вес, то тело опускается на дно. Если
преобладает подъемная сила, то оно поднимается на поверхность.
Переход между этими двумя возможностями представляет особый
случай: тело и вытесняемая им жидкость имеют одинаковый вес.
Рис. 217. Подъемная сила в
модели жидкости из стальных
шариков.

178
IX. о неподвижных жидкостях и газах
В этом частном случае тело «парит» в жидкости на любой высоте.
Осуществить это можно бесчисленным количеством способов. Мы
укажем на единственный пример: янтарный шарик в растворе
сернокислого цинка надлежащей концентрации.
При перевесе подъемной силы часть тела выступает над поверхностью
жидкости. Тело приходит в состояние покоя, как только вес
вытесняемой им воды сделается равным его собственному весу. Тогда говорят
о плавании тела. Для практических целей (корабли) очень важна устой-
' чивость плавания. Она
определяется положением метацентра.
Представим себе, что на рис. 218
и 219 изображен пароход,
повернутый на угол а от положения
покоя. Пусть .$2 — центр тяжести
жидкости, вытесненной им в этом
наклонном положении, а следо-
У
Рис. 218 и 219. Метацентр.
вательно и точка приложения
подъемной силы в этом положении.
Через 52 мы проводим
вертикальную линию. Точка ее пересечения с начерченной пунктиром средней линией
корабля и называется метацентром. Этот метацентр ни при каком наклоне
не должен опускаться ниже центра тяжести корабля 5. Только при этом
условии вращательный момент подъемной силы корабля вернет его в
прямое положение. Корабль плавает устойчиво только тогда, когда
метацентр лежит выше центра тяжести.
§ 78. Сцепление в жидкостях, их прочность на разрыв,
удельная поверхностная работа и поверхностное натяжение. Модель
жидкости (стальные шарики) не дает пока возможности показать
еще два хорошо известных свойства реальных жидкостей. Молекулы
реальной жидкости обнаруживают взаимную связь. При выливании
они не разлетаются во все стороны, а слипаются в капли различной
величины и формы. Кроме того, реальные жидкости прилипают
к твердым телам. Это прилипание может доходить до смачивания,
при котором нельзя отделить жидкость от твердого тела; опыт
ведет только к разделению жидкости. Итак, в случае смачивания
сцепление между молекулами жидкости и твердого тела
больше, чем сцепление между молекулами самой жидкости. Это
несовершенство модели жидкости можно преодолеть. Стоит лишь
превратить ее молекулярные стальные шарики в маленькие
магнитики. Тогда они прилипают и друг к другу, и к стенкам
железного сосуда.
Усовершенствованная таким образом модель жидкости приводит
нас к важному, но из повседневного опыта не известному факту:
жидкости обладают значительной прочностью на разрыв. Она
незначительно меньше, чем у твердых тел.
Рис. 220 показывает нам в продольном разрезе закрытую сверху
вертикальную железную трубку, наполненную модельной жидкостью.
Магнитные молекулы прилипают к железным стенкам. Они образуют

§ 78. СЦЕПЛЕНИЕ В ЖИДКОСТЯХ
179
непрерывный «столбик». Он несет свой собственный вес и,
следовательно, обладает прочностью на разрыв. Рис. 221 изображает
такой же опыт с настоящей жидкостью, а именно со
столбиком воды. Из широкого колена В воздух начисто
откачивается. Таким образом, можно подвешивать
водяные столбики во много метров длины. Они имеют часто
поражающую новичков прочность на разрыв. Длинную
стеклянную трубку лучше всего укрепить на доске.
Доску можно с силой ударять о пол, следовательно,
подвергать столбик воды действию больших,
направленных вниз сил инерции. Обрыв столбика удается часто
лишь после нескольких неудачных опытов.
Для доказательства прочности воды на разрыв
существенно соблюдение одного условия: молекулы жидкости Рис. 220.
должны прочно прилипать к стенкам трубки. Только Прочность
г г-^ ^ на разрыв
так можно воспрепятствовать, несмотря на свободную в ^ОдеЛИ
подвижность жидкости, образованию боковых сужений жидкости.
столбика, появлению на нем «талии». Потому-то и
недопустимо присутствие даже малейших пузырьков воздуха. Эти
пузырьки сейчас же дают исходный пункт для сужения.
У воды прочность на разрыв достигает 2^Макс =0,34 килопонд/мм2,
у этилового эфира ^Макс=0,7 килопонд/мм2. Вероятно, с
усовершенствованием экспериментальной техники будут
найдены значительно большие величины. Но и здесь
будут действовать изъяны стенок сосуда,
подобно тому как у твердых тел действуют неровности
и зазубрины на краях.
У твердых тел мы установили основное
соотношение между прочностью на разрыв 2маК0 и
удельной поверхностной работой С, а именно частное
„ работа ДД необходимая для приращения поверхности
площадь Д/7 вновь образованной поверхности
Вакуум A55) (см. стр. 163).
К сожалению, в уравнение A56) на стр. 163
входит лишь приближенно известная величина, а
именно, радиус действия х молекулярного притяже-
Рис. 221. Проч- ния- П° этой причине удельную поверхностную
ность на разрыв работу мы уже измеряли для твердых тел не за-
в столбике воды, висящим от х способом (рис. 203). Теперь следует
Вода освобож- то же самое сделать и с жидкостями,
дена от воздуха п .1СГ. ,г " л
путем кипяче- В уравнении A55) Д/7 и АЛ могут иметь оба— по-
ния в вакууме, ложительные или оба — отрицательные знаки.
Положительный знак указывает на увеличение
поверхности; для этого сила 51 должна совершить работу, а последняя
увеличивает запас потенциальной энергии поверхности. Отрицательный
4м

180
IX. О НЕПОДВИЖНЫХ ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
г
знак указывает на уменьшение поверхности; тогда запасенная
раньше энергия совершает работу и используется для
возникновения силы. У твердых тел мы разбирали лишь первый случай,
для показа второго требуются высокие температуры или очень
долгое время. Иное дело жидкости: свободная подвижность их
молекул позволяет удобно осуще-
,_>^ ствить оба случая. Рис. 222
показывает справа каплю нашей
магнитной искусственной жидкости
между двумя «смачиваемыми»
стальными телами. Слева мы видим каплю
масла между кончиками пальцев.
При медленном увеличении
расстояния возникает талия и увеличивается
поверхность жидкости. На модели
жидкости очень хорошо видно во
Рис. 222. Капля Рис. 223. Мыль- вРемя опыта, как изнутри капли
масла между ная пленка в рав- постоянно вступают в верхний моле-
кончиками паль- новесии. Одно- кулярный слой, на поверхность, все
цева и * и со- временно-при- новые и новые молекульь Это раз-
мещение молекул на поверхности
требует совершения работы по
уравнению A55).
Все это прекрасно видно в теневой проекции. Проектировать нужно
параллельно широкой стороне капли, медленно переходящей в пластинку.
Необходимая для совершения работы сила (рис. 222) не постоянна.
Но можно тем не менее сделать ее постоянной умелым подбором
формы смачиваемого тела.
Пример дан на рис. 223. Жидкая пленка (например мыльного
раствора) сверху и по сторонам ограничена смачиваемым П-об-
разным проволочным контуром, а снизу — подвижной
проволочкой с петельками на краях. Этот «бегунок» при надлежащей
нагрузке Я может остановиться на любой высоте. От смещения на :±: Ад:
поверхность жидкости получит приращение йР —1+121 Ад: (спереди
и сзади) и сила $ совершит работу:
ответствующии
модельный
опыт.
рр
мер «обратимой»
поверхностной
работы.
Путь
±ДЛ =±ЯДд; = :
сокращается. Остается
A64)
Величина силы Я» следовательно, не зависит от Ах, т. е. от
величины уже происшедшего растяжения. Этим поверхность жидкости
существенно отличается от резиновой пленки. Поэтому излюбленное
сравнение поверхности жидкости с резиновой пленкой можно при-

§ 78. СЦЕПЛЕНИЕ В ЖИДКОСТЯХ
181
менять лишь с осторожностью. Перестановка в уравнении A64) дает:
_ сила й, необходимая для растяжения поверхности и параллельная ей
г _
длина 2/ подвиж-ного ограничителя поверхности
A65)
На этом основании часто С называют поверхностным натяжением.
Для жидкостей оба названия равноправны.
При измерениях С, мешает трение бегунка
на его краях. Поэтому вместо плоской лучше
использовать цилиндрическую пленку жидкости
(рис. 224). Кольцо с острыми краями окунают в
жидкость у ее поверхности. При медленном
опускании зеркала жидкости возникает
цилиндрическая пленка, подобная короткой
тонкостенной трубке. На весах измеряют силу $. Длина
окружности кольца / = 2гтс. В табл. 5
приведены некоторые числовые значения С. Они
относятся к поверхностям жидкостей в воздухе.
Если жидкости граничат с другими веще- Рис- 224„- к измерению
К. „^ удельной поверхност-
ствами, то значения С меньше. Поэтому назва- н*й работы с ПОмОЩью
ния пограничная работа или пограничное пружинных весов,
натяжение были бы лучше, чем поверхностная Числовой пример для
работа или поверхностное натяжение. ' воды: диаметр кольца —
1 г 5 см; окружность 2/=
При использовании единиц грамм и сантиметр =0,31 м\ $ = 2,3 пон-
следует отбросить множитель 10~8, чтобы получить да ==2,26 • \0~2 ньютон;
поверхностное натяжение в дина/ем A дана = С = 0,072 вт-сек(м2.
= 1 г- см/сек2 = 10~б ньютон).
Без внешних воздействий жидкости часто образуют
шарообразные поверхности. Вспомним о каплях ртути или о маленьких пузырь-
Таблица 5
Вещество (в воздухе)
Ртуть
Вода
Глицерин ....
Касторовое масло
Бензол
Жидкий воздух .
Жидкий водород
Удельная
поверхностная работа или
поверхностное
натяжение в вт-сек/м*
или. ньютон/м
A ньютон —
= 0.102 килопонд)
500
75,5
72,5
62,3
64 \ 10
36,4
29,2
12
2,5
-з

182
IX. о неподвижных жидкостях и газах
ках газа внутри жидкости. В обоих случаях как в сплошных, так
и в полых шариках поверхностное натяжение создает внутри шара
давление
Рис. 225. Слой
воды, нарочно
преувеличенного
размера по толщине,
между двумя стек-
лян шми
пластинками [к
уравнению A66)].
Числовой пример.
Смоченная
поверхность Р=Ю см2;
A66)
Вывод. Пусть радиус шара г возрастает на
маленькую величину йг. Тогда поверхность шара увеличится
на величину йР = 8пг йг, а объем шара — на
величину йУ = 4пг2 йг. При этом увеличении объема
давление совершает работу
йАх = рйУ = р4пг* йг. A67)
Создание новой поверхности йР требует работы
йА2 = йК = 8пг йК. A68)
С^8 • 10-2 в т. сек 1М2-
р = 16 атм, Ж =
= 160 кило по нд.
Подобно водяному
слою действуют и
слои
адсорбированных газов и паров,
лишь в редких
случаях
отсутствующие на
поверхности твердых тел.
Приравнивая обе величины работы, получим
уравнение A66).
Важное уравнение A66) применяется и для точных
и для приближенных расчетов. Примеры:
1. Капелька ртути на границе микроскопической
видимости имеет радиус г = 0,1р. = 10-7 м. С для Н§
равно 0,5 вт-сек/м2. Следовательно,
Р =
2 • 0,5 вт-сек/м2
10"
м
= 107 ньютон/м2 = 100 атм\
2. Каждый знает опыт, изображенный на рис. 225.
Между двумя плоскими стеклянными пластинками
находится смачивающая жидкость. Она имеет вогнутую
боковую поверхность. Ее наименьший радиус кривизны
г я^ й/2. Поверхностное натяжение вызывает
давление р, порядок величины которого определяется
уравнением A66). Направление р обозначено стрелками *). Подобные пластинки,
«склеенные» водой, нельзя разделить силами $, не повредив их. Можно
только очень медленно под водой передвинуть их одну около другой.
3. Вполне смачивающая жидкость в капиллярной трубке (радиус г)
всасывается на высоту Н (рис. 226). Объяснение: жидкость имеет вверху
вогнутую поверхность (мениск). Ее наименьший радиус кривизны ^г.
Следовательно, вычисленное по уравнению A66) давление р = 2С,/г дает направленную
вверх силу $ = Р2^1г. Она уравновешивается направленным вниз весом
столбика жидкости &2 = РЪ-?§- Равенство обеих сил приводит к «высоте
капиллярного поднятия»
К = — . A69)
При несмачивающей жидкости, например, ртути в стеклянной трубке, мениск
выпуклый кверху. Следовательно, давление, возникшее по уравнению A69),
даст силу, направленную вниз. Погруженная в ртуть трубка вызывает внутри
*) Это — удобное, но неточное выражение. Направление имеет не
давление, а соответствующая сила.

§ 78. СЦЕПЛЕНИЕ В ЖИДКОСТЯХ
183
«капиллярное понижение» на высоту Н, Уравнение A69) часто используется
для измерения С; оно важно также и для подъема соков в растениях.
4. Большие силы инерции могут вызвать внутри жидкостей появление пустых
пространств в виде пузырей. Этот процесс, называемый «кавитацией-», имеет
место, например, позади быстро бегущего корабельного винта. Вода имеет
поверхностное натяжение С ?5=: 0,08 вт-сек/м2. Следовательно, каждый
квадратный сантиметр поверхности пузырька содержит потенциальную энергию
8-Ю" вт-сек. Давление р заставляет пузырьки быстро уменьшаться и
концентрирует энергию их поверхностей в области небольшого
числа молекул. Такие концентрации энергии действуют как
очень большие местные возрастания температуры. Из-за этого
винт корабля «разъедается» водой и получает глубокие дыры.
Кавитация может быть вызвана также ультразвуковыми
волнами. Местная концентрация энергии может тогда уничтожать
маленькие плавающие в жидкости живые существа, а воду,
содержащую газ, приводить к свечению.
Явления поверхностного натяжения можно
показать на опыте самыми разнообразными способами.
Из бесчисленных примеров мы выберем совсем
немного. В двух первых случаях поверхность жидкостей
кажется нам подобной легкой натянутой оболочке
или пленке.
1. Вода не может смачивать слегка покрытое жиром
тело. Такое тело может лежать на поверхности
жидкости, как на слабо набитой, например, надутой
воздухом, подушке. Поверхность показывает при этом ясное
углубление. Можно, например, положить прямо на
поверхность воды не совсем чистую от жира иглу
и подражать лапкам водяных пауков.
Наши горючие жидкости смачивают все тела. Вследствие этого на их
поверхности никогда нет пыли.
2. Посыпка несмачиваемым порошком (например, ликоподием)
защищает погружаемый в воду палец от смачивания. Поверхность
жидкости так же растянута маленькими пылинками, как
полотнище палатки над поддерживающими его кольями. «Провисающая»
между отдельными опорами поверхность нигде не может коснуться
кожи пальцев.
В следующих примерах поверхностное натяжение вызывает
наибольшее совместимое с условиями опыта уменьшение поверхности
жидкости.
3. В плоское часовое стекло, наполненное подкисленной водой,
вводится тонкой струей ртуть. Сначала она образует на дне стекла
бесчисленные мелкие (рис. 227) капли, около 1 мм в диаметре *)•
Полная поверхность ртути, следовательно, очень велика. Вдруг
начинается судорожное слияние капель. То там, то здесь маленькая
Рис. 226. К
применению
уравнения
A69).
«Высота
капиллярного
поднятия» Н.
Поперечное
сечение
трубки Р.
!) Вследствие отражения света кажется, что местами между соседними
капельками возникают мостики.

184
IX. О НЕПОДВИЖНЫХ ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
зссек
НО СЕК
5о се*
во сек
Рис. 227. Объединение
ртутных капелек в
алкоголе с очень малой
примесью глицерина.
Хороший пример
статистически протекающего
процесса: при
достаточном числе капель (как на
трех верхних
изображениях) можно установить
для них среднее время
жизни х = 10 сек; это
значит, что через
каждые 10 сек. количество
капель убывает до 1/е^а
^ 37% предыдущего
количества.
Фотографические снимки с
выдержкой 4 • 10~3 сек. Большие
капли частично
оказываются искаженными, так
как они при поглощении
малых капель
совершают колебания.
капля поглощается большей; вследствие
этого время жизни маленькой капли
ограничено. Примерно через минуту остается
одна-единственная большая капля ртути.
Под действием поверхностного натяжения
поверхность ртути сократилась до
минимально достижимой величины. Этот опыт
особенно поучителен.
Маленькие капли «физически
индивидуальны». О судьбе отдельного
индивидуума при помощи физических методов нельзя
сделать никакого предсказания: нельзя
сказать, которая из капель исчезнет раньше
всех. Однако для всей совокупности
индивидуумов можно заметить ясную
закономерность: число их убывает по
экспоненциальному закону с определенным
«средним временем жизни т» (на рис. 227
т = 10 сек.). Итак, о судьбе большой
совокупности физических индивидуумов можно
высказать совершенно точные суждения,
если даже это невозможно сделать для
отдельного индивидуума. Этот факт играет
важную роль и в атомной физике (например
для процессов радиоактивного распада).
4. Нитку, связанную в петлю, бросают
на поверхность пленки из мыльной воды.
Пленку прорывают где-нибудь внутри петли,
лучше всего при помощи спички, смоченной
спиртом. Отверстие в мыльной пленке,
охваченное петлей, имеет форму окружности
(рис. 228). Таким образом, достигается
наибольшее, совместимое с длиной нитки,
сокращение поверхности пленки.
5. Поверхность воды посыпают несмачи-
ваемым порошком. Затем приблизительно на
середину поверхности вносят при помощи
иголки ничтожное количество жирной
кислоты. Тотчас же поверхность воды разрывается
и образуется ясное, свободное от порошка,
круглое пятно. Объяснение: поверхностное
натяжение у воды больше, чем у жирной
кислоты. Следовательно, последняя
растягивается до мономолекулярного слоя. Л/
внесенных молекул жирной кислоты с
поперечным сечением / покроют площадь круга

§79. закон войля—мариотта 185
рг=М/, Таким способом можно по известному числу молекул Л/
определить молекулярное сечение /. Итак, невзрачный опыт
оказывается чрезвычайно важным. Для измерений применяют
прямоугольную поверхность воды и заменяют иглу стороной прямоугольника»
подвижной, как плотик (Агнес Покельс, 1891).
6. В четвертом опыте палочку для протыкания мыльной пленки
увлажняют алкоголем. Это — первый пример сильного изменения
поверхностного натяжения под влиянием
проникновения инородных молекул. Другой пример
того же рода показывает нам кусочек
камфоры на воде. Отдельные части его
поверхности растворяются с различной скоростью.
Поэтому поверхностное натяжение различно по
разным направлениям. Кусочек пляшет, кру- рис 228. Мыльна»
жась на поверхности воды. Такие же процес- пленка с нитяным
сы играют роль при передвижении маленьких кольцом,
живых существ.
7. «Смазка моря». Масло на поверхности моря преобразует
валы прибоя с пенистой, опрокидывающейся верхушкой в гладкие
волны. Нужное для этого изменение поверхностного натяжения
корабль может создать ничтожным количеством масла, в форме
нескольких капель, вылитых на поверхность моря.
В присутствии инородных молекул явления поверхностного
натяжения теряют свою простоту. Поверхностное натяжение делается
«аномальным», Это значит, что оно подобно натяжению резиновой
мембраны зависит от уже ранее происшедшего увеличения
поверхности. Кроме того, увеличение поверхности сопровождается
нагреванием. Кинетическая энергия уничтожается, переходя в «теплоту».
Эти иногда очень интересные вопросы относятся к учению о
теплоте.
§ 79. Газы и пары как жидкости малой плотности и без
свободной поверхности. Закон Бойля — Мариотта. У газов
плотность р значительно меньше, чем у жидкостей. Для примера в
опыте, показанном на рис. 229, слева, измерена плотность
комнатного воздуха р = 1,29 кг/м?. Итак, плотность комнатного воздуха
составляет округленно 11800 плотности воды.
Молекулы газа и соответствующей ему жидкости одни и те же.
Следовательно, малая плотность газа может произойти только
благодаря большим расстояниям между молекулами. О больших
расстояниях между молекулами газов и паров свидетельствуют далее
следующие факты.
1. Газы в противоположность жидкостям обладают большой
сжимаемостью (велосипедный насос). Вследствие этого плотность
газов возрастает с увеличением давления. Например, при давлении
р = 160 атм мы находим для воздуха (рис. 229, справа) ^^200 кг/м?,,
т. е. около Уб плотности воды.

186
IX. О НЕПОДВИЖНЫХ ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
2. Броуновское движение можно наблюдать в газах при
значительно меньших увеличениях, чем в жидкостях. В качестве
видимых частичек проще всего взять табачный дым.
3. Молекулы газа или пара разлетаются во все стороны без
всякой связи друг с другом. Они распределяются в любом
предоставленном им помещении. Достаточно вспомнить о небольших
количествах светильного газа, проникшего в комнату, или о газообразных
душистых парфюмерных веществах. В противоположность жидкостям
в газах нельзя обнаружить взаимное притяжение молекул без очень
Рис. 229. К зависимости плотности воздуха р от
давления р. Левый рисунок: р = 1 атм; из
стеклянного баллона V = 7 л выкачивается воздух и
весы уравновешиваются. Потом впускают комнатный
воздух. Чтобы восстановить равновесие, нужно
положить на правую чашку еще 9 г. Таким образом,
р = М/У = 9 г/7 л = 1,3 г/л. Правый рисунок:
р= 160 атм; стальной баллон V = 1 л. После того
как воздух будет выпущен, нужно снять с правой
чашки 205 г. Таким образом, р = 205 г/л = 205 кг/мъ.
А — уравновешивающие гири.
тонких наблюдений. Во всяком случае в газе дело не доходит
до образования свободной поверхности. Взаимное притяжение между
отдельными молекулами при больших расстояниях между ними,
очевидно, не может себя проявить.
Так обстоит дело на первый взгляд. Взаимная зависимость
давления и плотности, иначе говоря, давления, массы и объема
газов, была тщательно исследована (рис. 229) при температурах,
строго поддерживаемых постоянными. Результаты измерений
приводят в широких пределах к простому соотношению — закону
Бойля — Мариотта
М
р = —сопз!.
A70)
В словесном выражении: давление р прямо пропорционально
массе М данного количества газа и обратно пропорционально

§ 80. ДАВЛЕНИЕ ГАЗА КАК СЛЕДСТВИЕ ТЕПЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ 187
занимаемому объему V газоприемника. Несколько короче две
другие формулы этого закона
A71) и
A72)
Во.
Ж
чдух
ГС
о°с
-№°С
)
)
200°С
100°С
0"
СО
1
"■■■*
г
У
(р = М(У = плотность и У8 = У/М = удельный объем газа)
Закон Бойля—Мариотта при
достаточно высоких температурах и до- кг
статочно малых давлениях
выполняется с хорошим и часто даже очень
хорошим приближением для всех
веществ, находящихся в виде газа или
пара. Это видно из примеров,
сопоставленных на рис. 230: величина рУ/М ^ (
в широких пределах давления и темпера- §
туры изображается горизонтальными пря- §
мыми, параллельными оси абсцисс. Сле- ^
довательно, в этих пределах она не ^
зависит от давления. В этих областях ,§
температуры и давления вещество
называется «идеальным газом». Если
возникают заметные отступления от закона §
Бойля—Мариотта, то говорят о реаль- 1
ных газах. Если эти отклонения велики,
то говорят о парах. При обычных
значениях давления и температуры,
например, воздух, водород, нейтральные газы
и т. д. ведут себя, как идеальные газы;
углекислый газ, хлор, окись азота, — как
реальные газы; вода, бензол, пропан и
т. д., — как пары. Это разделение при Ю'
достаточно малых давлениях и достаточно
высоких температурах теряет всякий Рис 230. Горизонтальные
смысл: в этих условиях все вещества прямолинейные участки кри-
ведут себя, как идеальные газы. вых соответствуют областям
Закон Бойля — Мариотта является, применимости закона Бойля
таким образом, типичным пребельним ^*%™»™%%
законом. Ввиду его важности приведем дающиеся вне этих участ-
еще раз его словесное выражение: для ков, будут рассмотрены в
Идеального газа давление и плотность § 149- Вертикальные куски
пропорциональны друг другу или произ- чаТе?лиПчОаСтВьЛЯгазТаСЯили па'ра
ведение давления на удельный объем есть становится жидкостью,
величина постоянная.
§ 80. Модель газа. Давление газа как следствие теплового
движения. Вышеприведенные факты можно наглядно объяснить
с помощью модели газа. Это будет показано в настоящем и
1
500°С
1
250°С
Ю0°С
Н20
1
N
•■>
Ю Юг Ю3алш
Давление

188 IX. о неподвижных жидкостях и газах
в следующих параграфах. В качестве молекул мы берем снова стальные
шарики, уже оправдавшие себя в модели жидкости. Но на этот
раз мы предоставим молекулам гораздо больший простор в
большом «газоприемнике». Это—плоский ящик с большими стеклянными
окнами (рис. 231). Кроме того, мы позаботимся на этот раз о
получении равномерного оживленного «теплового движения». Оно
осуществляется с помощью вибрирующего стального поршня А,
который образует одну из боковых стенок газоприемника. Вторая
боковая стенка В представляет собой легко передвигаемый поршень,
образующий вместе с прикрепленным к нему стержнем и спиральной
пружиной измеритель давления.
к
эксцентрику
Рис. 231. Модель газа из стальных шариков. Стенка А
вибрирует как поршень, правая стенка В может
перемещаться при помощи трубки С. Стенка В и
спиральная пружина Р составляют вместе измеритель
давления. Видимый сквозь пружину Р стержень
свободно подвижен в трубке С и служит направляющей
для стенки В.
При работе аппарата все стальные шарики-молекулы мечутся
туда и сюда. Они беспрерывно сталкиваются или между собой или
с какой-либо из стенок. Эти удары упруги. Каждая из «молекул»
постоянно изменяет величину и направление своей скорости. Мы
имеем картину поистине «беспорядочного» теплового движения.
Тепловое движение создает давление модельного газа на стенки
приемника. Мы точно устанавливаем это давление опытным путем
с помощью измерителя давления Р. Давление газа на стенка
сосуда имеет, следовательно, совершенно другое происхождение,
чем давление жидкости. У жидкости давление возникает от
«нагрузки», например от веса жидкости (весовое давление) или от
вталкивания поршня в замкнутый сосуд с жидкостью
(поршневое давление). О давлении на стенки сосуда, вызванном
тепловым движением, в случае жидкости не было и речи. Здесь
газы и пары обнаруживают совершенно новое явление,
обусловленное исчезновением взаимосвязи молекул и свободной
поверхности.
Возникновение давления газа р сразу же качественно
объясняется как следствие теплового движения. Молекулы все время
ударяются о стенки. Каждое отражение молекулы от стенки сооб-

§ 81. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ 189
щает ей импульс ( Г$ йЛ . Совокупность этих импульсов проявляет
себя как непрерывно действующая сила величиной рр (Р—площадь
стенки) (ср. § 86).
§ 81. Основное уравнение кинетической теории газов.
Скорость газовых молекул. Только что описанное происхождение
давления газов позволяет сделать количественные расчеты. Для
этого необходимо лишь одно предположение: все п молекул должны
обладать одинаковым средним по времени значением кинетической
энергии №кин = -к тиг, не зависящим от объема сосуда. Тогда
с помощью короткого расчета, приведенного далее мелким
шрифтом, получается основное уравнение кинетической теории газов
или
A76)
(р — давление, р— плотность и У8—удельный объем газа, ы2 — среднее
значение квадрата скорости молекул).
Вывод. Изображенный на рис. 232 сосуд с газом
имеет объем V и содержит всего п молекул
массой т каждая. Плотность замкнутого в нем
модельного газа равна
пт = М_ш
V у Рис. 232. К выводу
Вычислим давление на левую боковую стенку со-' выражения для давле-
суда (площадь р). Молекула, имеющая скорость иь ния модельного газа,
пробегает за время / путь 5 = игг. Вследствие
этого за промежуток времени I могут достичь левой стенки лишь те
молекулы, которые находятся в заштрихованной части сосуда объемом Рз—ри^..
Во всем объеме находятся щ молекул, имеющих скорость и^, следовательно,
в малой заштрихованной части сосуда их содержится только ри^п-^/У.
Молекулы носятся беспорядочно. Они не отдают предпочтения ни одному из
шести пространственных направлений. Поэтому только 1/б из них летит по
направлению к Р. Следовательно, из молекул заштрихованной области за
время г только у6 часть ударится о поверхность р, т. е. -р- ~ Рих1
.молекул. Для упрощения вычислений предположим, что эти молекулы попадают
перпендикулярно к стенке. Тогда каждая отдельная молекула сообщит
стенке импульс I $г(Ц — 2тих (стр. 85), так как удар упругий. Сумма
всех этих импульсов за время I будет:
2тих -р- -—
3 V х
A74)
Эту сумму мы можем заменить импульсом $[{ постоянной в течение
времени I силы ®г Отсюда получается для давления, вызванного пх
молекулами, имеющими скорость иь
3 V
2
«1.

190 IX. о неподвижных жидкостях и газах
Соответствующие значения мы получим для давления р2, созданного п% —
молекулами, имеющими скорость и% и т. д. Наконец, мы складываем' все
частичные давления рь рг, />3, ... соответственно пь п2, п3, ... молекул,
имеющих скорости иь м2, а3, ... Положим р = рх -\- р2 -\- р% -\- ... и
п = п±-{~ п2~\- "з+ • • • Обозначим а2 среднее арифметическое квадратов
скоростей, т. е.
Тогда мы получим:
1 пт —х .,__
/7 = Т"^" ' A75)
Согласно предположению среднее по времени значение кинетической
энергии молекулы есть величина постоянная; следовательно, а2, среднее
значение квадрата скорости, также постоянно. Далее пт — М, т. е. равно массе
данного количества газа, а пт/У = М/У = р, т. е. равно плотности газа.
Таким образом, из A75) следует:
р = р сопз*.
A76)
Это значит, что простая модель приводит количественно к закону Бойля —
Мариотта. Константа также получается из уравнения A75), и мы приходим
к написанному в начале § 81 уравнению A76).
Уравнение A76) позволяет вычислить скорость и газовой мэле-
кулы из соответствующих значений давления р и плотности р. Для
комнатного воздуха, например,
р = 1 фаз. атмт^,\№ ньютон/м2; р=1,3
Подстановка этих значений в уравнение A76) дает для скорости и
молекул воздуха при комнатной температуре и = 480 м/сек. Таким
же образом найдем для водорода при комнатной температуре
молекулярную скорость м?^2 км/сек. Эти вычисления обеспечивают
безусловно верный порядок величины. Но само собой разумеется,
что они дают только средние значения. Истинные скорости
молекул группируются в широком интервале вокруг этих значений
(подробнее см. в § 160).
§ 82. Воздушная оболочка Земли. Давление воздуха в
демонстрационных опытах. Воздух, как и наш модельный газ,
распределяется во всяком предоставленном ему пространстве. Ему
недостает той связи, которую дает жидкости свободная поверхность.
Каким же образом сохраняется воздушная оболочка нашей Земли,
ее атмосфера? Почему молекулы воздуха не улетают в мировое
пространство? Ответ: как и все тела, так и молекулы воздуха
притягиваются своим весом к центру Земли. Для каждой молекулы
воздуха справедливо то же, что и для снаряда (стр. 72): чтобы
совсем покинуть Землю, ей необходимо иметь скорость по крайней
мере 11,2 км/сек. Средняя скорость молекул воздуха значительна
меньше этой величины. Поэтому в подавляющем большинстве
молекулы воздуха «привязаны» к Земле своим весом.

§ 82. ВОЗДУШНАЯ ОБОЛОЧКА ЗЕМЛИ
191
Без теплового движения все молекулы воздуха упали бы, как
камни, на Землю *) и, кстати сказать, образовали бы на почве слой
около 10 м толщиной. Без своего веса все они сейчас же навсегда
бы оставили Землю. Борьба между тепловым движением и весом
заставляет молекулы парить в пространстве около Земли и ведет
к образованию свободной воздушной оболочки, или атмосферы.
Твердая поверхность Земли препятствует молекулам приближаться
к ее центру. Следовательно, эта поверхность должна нести на себе
полный вес всего содержащегося в атмосфере воздуха. Отношение
этого веса к площади земной поверхности дает нормальное
давление воздуха, одну физическую атмосферу = 76 см рт. ст.
«Мы, люди, живем на дне колоссального воздушного океана».
В наше время это знает всякий школьник. Опыты для
доказательства «давления воздуха», которые два-три столетия назад вызывали
сенсацию, теперь относятся к самой элементарной школьной
физике. Несмотря на это, мы приведем здесь два классических
демонстрационных опыта из почтения к их историческому значению.
Магдебургский бургомистр Отто Герике A602—1686) сложил вместе
два медных полушария 42 см диаметром, проложив между ними
просаленную кожаную прокладку, и через боковую трубку выкачал
из них воздух. Давление атмосферы плотно прижало их друг
к другу. Мы вычислим силу как произведение поперечного сечения
полушарий (/^я^НОО см2) и давления воздуха {р^\ килопонд/см2):
Рис. 233. Два магдебургских полушария разрываются восемью (не 16!)
лошадьми.
она равна 1400 калопонд. Поэтому Герике понадобилось 8
лошадей, чтобы отделить полушария друг от друга. Гравюра на
дереве, воспроизведенная в сильном уменьшении (рис. 233),
изображает демонстрацию этого знаменитого опыта. Рисунок изображает
*■) Это легко показать на опыте с моделью газа (см. стр. 195).

192
IX. О НЕПОДВИЖНЫХ ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
даже не 8, а 16 лошадей. Конечно, это просто «блеф»,
рассчитанный на невежество зрителей. Восемь лошадей можно было
бы с тем же успехом заменить неподвижной стеной. Ведь и тогда
уже было известно, что действие равно противодействию.
В наше время магдебургские полушария ведут довольно жалкое, но
полезное существование. Это—известные банки для консервов, состоящие
из стеклянного сосуда, резинового кольца и стеклянной крышки. Их не
откачивают насосом, а вытесняют из них воздух горячим водяным паром
(анаэробные бактерии). После охлаждения и конденсации водяного пара
в банке получается «вакуум*.
В элементарном обучении часто изображают действие известного
«сифона» как следствие давления воздуха. Однако это верно лишь
с большими оговорками. Принцип сифона ничего общего не имеет
с давлением воздуха. Это следует из рис. 234. Через блок без
трения перекинута цепочка. Оба конца ее лежат свернутыми в
стаканах. При поднимании или
опускании одного из стаканов цепочка
всегда сбегает в стакан,
находящийся снизу. Ее тянет вес лишней
части Н.
То же самое справедливо и для
жидкостей. Ведь и они, как и
твердые тела, обладают прочностью на
разрыв (§ 78). Жидкость лишь
Вакуум должна быть достаточно свободна
от пузырьков газа. Поэтому жидкость
сифона совершенно безупречно течет
в пустоте. Такой сифон в пустоте
представлен на рис. 235. Выступаю-
Рис. 234. Си- Рис. 235. Жидкость "*ий коне1^ жидкого столбика отме-
фон из це- в сифоне течет в чен отрезком И. В принципе и сифон
почки. вакууме. с жидкостью работает
совершенно без давления воздуха.
Однако жидкости в повседневной жизни, а прежде всего,
следовательно, вода, никогда не бывают свободны от мелких
пузырьков воздуха. Эти последние сильно уменьшают прочность воды на
разрыв, что мы достаточно ясно показали в § 78. Поэтому
столбик обыкновенной, содержащей воздух воды разрывается. Это
затруднение можно устранить различными способами. Проще всего
поставить поверхность жидкости в сифоне с обеих сторон под
одинаковое давление атмосферы. Таким образом, давление воздуха
играет в действии сифона с жидкостью совершенно
второстепенную роль. Оно препятствует образованию пузырьков в
содержащей воздух жидкости и не допускает поэтому разрыва жидкого
столбика.
Вакуум


§ 83. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ
193
Рис. 236. Газовый сифон. Справа—бал-
лон углекислого газа с редукционным
вентилем и резиновой трубкой для
наполнения стакана.
Иначе обстоит дело с газовым сифоном. Газы не имеют
прочности на разрыв. В противоположность жидкостям газы не могут
образовывать столбик. Поэтому газовый сифон не может работать
в вакууме. Рис. 236 изображает газовый сифон в действии. Он
заставляет перетекать невидимый
углекислый газ через трубку
сифона из верхнего сосуда в
нижний. Появление газа в нижнем
сосуде обнаруживается
посредством пламени свечи. Углекислый
газ тушит пламя.
Говоря о газовом сифоне, мы
коснемся одного свойства нашей
атмосферы, полезного во многих
опытах: газы не имеют
свободной поверхности, но присутст-
вие атмосферы создает некото-
рую замену ее\ Вместо недоста-
ющей поверхности выступает
диффузионная граница газа или пара с окружающим воздухом.
Поэтому мы можем обращаться, например, с парами эфира, как с
жидкостью. Наклоним склянку, содержащую немного серного эфира.
О вытекании жидкости еще нечего и думать, однако мы хорошо
видим пар эфира, который, как струя жидкости, вытекает из
склянки. Эта струя особенно
хорошо видна в теневой проекции.
Этот пар мы можем уловить
в химический стакан,
уравновешенный на весах (рис. 237).
Стакан наполняется, и весы
отклоняются в «тяжелую» сторону.
Эфирные пары имеют удельный вес
больший, чем воздух,
вытесненный ими из стакана. По окончании
опыта мы опорожняем стакан,
опрокидывая его. Опять видно, как
пары эфира подобно широкой
струе жидкости вытекают из
стакана и опускаются на пол.
§ 83. Распределение давления газа в поле тяжести.
Барометрическая формула. До сих пор мы рассматривали давление
воздуха на поверхности Земли. Если не считаться с небольшими,
зависящими от состояния погоды, изменениями, то оно практически
постоянно и равно 1 физической атмосфере = 1,033 килопонд(см2.
Оно так же велико, как давление, создаваемое весом воды на дне
пруда глубиной 10,33 м.
Рис. 237. Струя эфирного пара.

194
IX. О НЕПОДВИЖНЫХ ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
Во всякой жидкости давление убывает при переходе от дна
к верхним слоям. В жидкостях это уменьшение происходит линейно.
Например, в воде давление убывает на 0,1 атм при поднятии на
1 м (рис. 238). Нижние слои не испытывают заметного сжатия от
веса лежащих на них более высоких слоев. Поэтому в воде всякий
слой толщиной йк дает одинаковое приращение общего давления
йр = йкр$. Иначе обстоит дело в газах. Они сильно сжимаемы.
24
км
го
я.
И'
о
\
Во
\
За
\
\
\
1/5
\
\
Возс\
\
0,2 0,4 0,6 0,8
Давление в атмосферах
Рис. 238. Распределение
давления в воде.
02 0,4 0,6 0,8 1,0
Давление в атмосферах
Рис. 239. Распределение
давления в воздухе.
Нижние слои сжимаются весом верхних слоев. Плотность р каждого
слоя пропорциональна имеющемуся в нем давлению р. Мы имеем:
р р
— = — , или
Ро Ро
, _/>_
A77)
При этом р0—плотность газа при нормальном давлении р0.
Поэтому каждый отдельный слой газа с вертикальной толщиной йк
дает приращение давления на величину
г& О7»)
5" =9,81 м/сек2.
Это дает при интегрировании до высоты Н
Рн^Рое р0 =
— сопз* Ь,
A79)

§ 83. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ
195
Подставляя числовые величины, соответствующие температуре 0°,
мы получаем для давления на высоте к:
0,127/г
Числовой пример'.
Ро
= О КМ,
0.127-5 км
2-0,635 =
A80)
Эта «барометрическая формула» графически представлена на
рис. 239, что соответствует изображенному на рис. 238
распределению давления в воде.
Наша модель газа со стальными шариками
позволяет очень наглядно объяснить смысл
«барометрической» формулы. Для этого мы
устанавливаем вертикально аппарат, известный нам из
рис. 231, и рассматриваем его в перемежающемся
свете. На проекционном экране получаются
мгновенные картины, вроде изображенных на рис. 240.
Мы видим скопление молекул в самых нижних
слоях и быстрое убывание их числа по мере
поднятия вверх. Здесь видна борьба между
тепловым движением и весом. Уже на высоте 2 м над
вибрирующим поршнем молекулы встречаются
очень редко. До высоты 3 м (на экране) доберется
разве только одна-единственная заблудшая
молекула. Наша «искусственная атмосфера»
кончается вверху без заметной границы.
Совершенно аналогично мы должны
представлять себе это положение в нашей атмосфере.
Только протяжение вверх здесь гораздо больше.
Верхнюю границу атмосферы так же нельзя
указать, как и в случае нашей искусственной
атмосферы. На высоте 5,4 км над Землей плотность
воздуха убывает приблизительно до половины тальный" снимок
(#-°'6у = 0,5), ьысоте 11 км — до одной четверти модели газа из
и т. д. (рис. 239). Но даже на высоте несколь- стальных шариков
ких сотен километров все еще бродят молекулы для УЯС11еииия б^Р°"
. I, I- метрической фор-
нашей атмосферы. На этих высотах наблюдается МуЛы. Выдержка
вспыхивание метеоров. Они накаливаются при я^10-Г) сек.
проникновении в атмосферу (трение). Северные
сияния также наблюдаются на подобной высоте. Они получаются
при проникновении в нашу атмосферу электрических
корпускулярных лучей.
В заключение внесем в нашу искусственную атмосферу несколько
тел больших размеров, например несколько кусочков дерева. Они
Рис. 240. Момен-

196
IX. О НЕПОДВИЖНЫХ ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
Воздух
изображают пыль в воздухе. Мы видим эту «пыль» пляшущей в
оживленном «броуновском движении». Однако она все время
держится около «Земли». Ведь вес кусочка дерева гораздо больше,
чем стального шарика (пыль ведет себя, как газ с большим
молекулярным весом, § 163).
§ 84. Статическая подъемная сила в газах. Согласно
результатам предыдущих параграфов давление в поле тяжести как в
жидкостях, так и в газах, уменьшается в направлении вверх. Поэтому
и в газах имеется «подъемная сила». В качестве примера мы
выясним принцип действия свободного воздушного
шара. Такой шар схематически изображен на
рис. 241.
Мы можем формально применить выведенный
на стр. 177 закон: подъемная сила шара равна
весу вытесненного им воздуха. Однако
целесообразно уяснить распределение давления внутри
оболочки шара. Таким путем и здесь процесс
приобретает наглядность.
Воздушный шар открыт снизу. На границе
между воздухом и наполняющим газом нет раз-
Рис. 241. Подъем- ности давлений. Конечно, эта граница не резкая:
ная сила воздуш- ведь между двумя газами существует лишь диф-
ного шаря, сравни , п и
рис. 216 и сноску фузионная граница. Действующую разность
давлена стр. 182. ний можно наблюдать в верхней половине шара.
Там давление газа на внутреннюю поверхность
оболочки больше, чем давление воздуха на внешнюю ее поверхность.
Именно здесь и помещают выпускной вентиль шара (а на рис. 241).
Направленная вверх, приложенная к оболочке шара сила
пропорциональна разности плотностей воздуха и газа, наполняющего шар. С увеличением
высоты обе плотности убывают. Если шар не вполне надут, то это
уменьшение плотности газа происходит при постепенном раздувании нижней части
шара. При окончательном наполнении шара газ начинает выходить через
нижнее отверстие. С уменьшением абсолютной величины плотностей
уменьшается и их разность. При известной предельной величине плотности
выталкивающая сила равна весу, и в этом случае шар «парит» на постоянной
высоте. Дальнейший подъем требует уменьшения веса и, следовательно,
выбрасывания балласта.
Распределение давления, аналогичное распределению в
воздушном шаре, мы имеем в газопроводах наших жилых домов.
Газопроводы, как и воздушный шар, окружены воздухом. Нормально
светильный газ в городском газопроводе должен находиться под
известным поршневым давлением. Однако это давление часто слишком
мало. Тогда в подвале газ «не хочет» вытекать из крана. Но на
четвертом этаже дома.не заметно никакого «перебоя». Из
открытого там, наверху, крана газ вытекает сильной струей. Это можно
демонстрировать на изящном опыте. Рис. 242 показывает нам
систему газовых труб в виде стеклянной трубки. На обоих ее кон-

§ 85. ГАЗЫ И ЖИДКОСТИ В СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА С УСКОРЕНИЕМ 197
большое пламя
ЫОсм пламя
Ь
Приток газа
Рис. 242. Уменьшение давления
воздуха с высотой (трубка Бэна).
цах имеются маленькие отверстия для горелок. Правая горелка
должна лежать на 10 см ниже левой. Через какую-нибудь боковую
трубку вводят в трубу светильный газ городской сети, регулируя
приток его посредством крана. Тогда можно легко зажечь пламечко
на отверстии а, находящемся наверху, но нельзя зажечь на
отверстии Ь, находящемся внизу, хотя оно такой же ширины, как и а.
На нижнем отверстии Ь между воздухом и светильным газом нет
разности давлений. Десятью
сантиметрами выше уже имеется
заметная разность давлений. Там можно Д1 Малое
получить яркое пламя. При гори- ^ —- •- т---
зонтальном положении трубки
можно получить пламя одинаковой
высоты на обоих отверстиях. При
обратном наклоне трубки пламя
может гореть только в Ъ. Этот
прибор поразительно чувствителен. Он
показывает нам не уменьшение
давления воздуха с высотой, а только разность в уменьшении
давления в атмосфере воздуха и светильного газа.
В связи с этим упомянем, наконец, о дымовых трубах наших
домов и фабрик. Они содержат внутри теплый воздух с меньшей
плотностью, чем окружающая атмосфера. Чем выше труба, тем
больше разность давлений на ее верхнем отверстии, тем лучше «тяга».
§ 85. Газы и жидкости в системах отсчета с ускорением.
После подробных разъяснений VII главы мы можем ограничиться
здесь кратким изложением. Приведем сначала несколько примеров
для системы с радиальным ускорением. Во всем
этом параграфе мы заставим, следовательно»
говорить наблюдателя на карусели (направление
вращения, как на стр. 131) или вращающемся
стуле.
1. Статическая подъемная сила, вызванная
центробежной силой. Принцип технической
центрифуги. На карусели лежит в радиальном
направлении со всех сторон закрытый,
наполненный водой ящик (рис. 243). Под его крышкой
плавает шарик; плотность его, очевидно, меньше
плотности воды. При вращении карусели шарик движется к оси
вращения. Наоборот, лежащий на дне ящика шарик с большей
плотностью движется к периферии.
Объяснение: вес шариков и подъемная сила, обусловленная весом
воды, исключаются действием дна и крышки ящика, силы Кориолиса —
боковыми стенками сосуда. Остаются лишь центробежные силы.
Они действуют в горизонтальном ящике совершенно так же, как
вес внутри вертикального ящика. Для центробежных сил ось
Рис. 243. Принцип
центрифуги.

198
IX. О НЕПОДВИЖНЫХ ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
Рис. 244. Пламя под
действием сил
инерции.
вращения будет «верхом», периферия карусели—«низом». Тело,
находившееся в жидкости, испытывает подъемную силу, направленную
«вверх», т. е. к оси вращения. Эта сила может быть больше или
меньше, чем приложенная к телу центробежная сила. Если
пересиливает последняя, то тело движется к периферии, т. е., фигурально
выражаясь, «падает на дно». Если преобладает
«подъемная сила», то происходит обратное.
Эта статическая «подъемная сила» в жидкости,
обладающей радиальным ускорением, является
основой устройства наших технических
центрифуг, например сепараторов, служащих для
отделения масла от молока. Масло сообразно его
меньшей плотности движется к оси вращения.
2. Отклонение и изгиб пламени свечи
центробежной силой и силой Кориолиса. На карусели
стоит защищенная от всяких потоков воздуха
горящая свеча в большом стеклянном ящике.
Пламя наклоняется к оси (рис. 244). Кроме того,
оно получает видимый сверху изгиб вправо.
Объяснение: равнодействующая веса и центробежной силы
направлена наклснн >, вниз и наружу. Газы пламени имеют меньшую
плотность, чем всздух, следовательно, на них действует «подъемная сила»,
направленная наклонно, вверх и внутрь. Эта сила сообщает газам
скорость, и к центробежной силе присоединяются еще и силы
Кориолиса. Они и искривляют пламя вправо.
3. Радиальная циркуляция в жидкости при различных угловых
скоростях ее отдельных слоев. На середину нашего вращающегося
столика мы ставим плоскую, наполненную водой чашку (рис. 245).
Затем мы сообщаем столику постоянную
угловую скорость и наблюдаем
медленное установление стационарного
состояния. Вода, увлекаемая трением,
постепенно тоже получает угловую скорость,
и притом больше всего вблизи дна и
боковой стенки. Вследствие этого вначале
только близкие к дну частички воды и
гонятся центробежной силой (толстые
стрелки) к краю. Это течение
обусловливает циркуляцию, отмеченную пунктиром. Ее можно удобно
показать, поместив на дно несколько кусочков бумаги.
Спустя некоторое время и верхние частички получают угловую скорость;
тогда и они устремляются к стенке. Круговорот замедляется; поверхность
воды опускается в середине и подымается на краях, пока, наконец, не
достигнет стационарной параболической формы
Общеизвестно обращение этого опыта. При размешивании чая
б стакане, ложка первоначально сообщает всей массе жидкости
Рис. 245. Радиальная
циркуляция в чашке с жидкостью.

§ 85. ГАЗЫ И ЖИДКОСТИ В СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА С УСКОРЕНИЕМ 199
одинаковую угловую скорость. Однако тотчас же по окончании
перемешивания неподвижное дно стакана уменьшает угловую скорость
нижних слоев жидкости. Начинается радиальная циркуляция, на
этот раз обратная показанной на рис. 245. Она стягивает лежащие
на дне чаинки на середину дна
стакана.
Совершенно таким же образом
объясняется образование излучин на
реках и ручьях. Рис. 246 показывает
в увеличенном масштабе профиль
русла реки в искривлении на
участке аЪ. В точке / вода течет быстрее,
чем в точке 2, так как внизу у точки
2 ее задерживает внутреннее трение
вблизи дна. Поэтому вверху на
частицу У действует большая центробежная
Рис. 246. К
образованию излучин на
реке.
сила, направленная вправо, чем на частицу 2 внизу. Начинается
циркуляция в направлении, отмеченном стрелкой. Правый берег реки подмывается,
и размытый песок увлекается циркуляцией к а и там оседает. Поэтому ложе
реки сдвигается по направлению к Ъ, все время увеличивая излучину.
4. Использование сил Кориолиса при радиальной циркуляции.
Гидравлическое сцепление. Мы говорили до сих пор только о
радиальной циркуляции воды; однако в действительности пути частичек
воды искривлены в горизонтальной плоскости вправо. Ведь на ра-
диально движущиеся частички действуют
силы Кориолиса.
Эти силы можно использовать для
устройства очень поучительной
конструкции гидравлической муфты сцепления.
Для этого подразделяют нижнюю часть
сосуда (рис. 245) радиальными
перегородками. Они показаны штриховкой на
рис. 247 и укреплены на оси, как
споровые пластинки гриба на его ножке.
Сквозь крышку й проходит ось «диска
сцепления» К с такими же радиальными
перегородками. Обе системы
перегородок сближены до расстояния в несколько
миллиметров. Нижняя ось А изображает
ось мотора, ось верхнего диска В ведет
к рабочей оси. В работе ось мотора
вращается несколько быстрее, чем ось рабочей машины («скольжение»).
Поэтому мы имеем постоянную циркуляцию. Она направлена вверху
к оси, внизу от оси. Силы Кориолиса, развиваемые этими
движущимися частями воды, давят на радиальные перегородки и
заставляют диск сцепления вращаться почти с той же скоростью, как и
рабочая машина. По этому принципу построены гидравлические
Рис. 247. Гидравлическое
сцепление (Феттингер).

200
IX. О НЕПОДВИЖНЫХ ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
муфты сцепления, передающие тысячи киловатт. Полезное действие
их достигает 98,5%-
Такой муфтой оказалось возможным спарить равномерно вращающуюся
паровую турбину с неравномерно идущей поршневой паровой машиной. Для
пароходов с одним только гребным валом это имеет громадное значение.
Таким путем пар, плохо используемый в цилиндре низкого давления, можно
заставить работать еще раз в турбине низкого
давления и тем повысить мощность всей машины примерно
на 25%.
Рис. 248 изображает в теневой проекции
гидравлическую муфту сцепления на вертикальной
оси электромотора (х/3 кет). Для демонстрации
скольжения на кожухе муфты установлен
маленький колокольчик О. Его язычок приводится в
действие кулачком ./V на рабочей оси. Если
произойдет п ударов колокольчика за время г, то
частота ч = п\Ь даст разность частот оси мотора
и рабочей оси, т. е. скольжение. Оно растет
с увеличением нагрузки (трение рукой!) (как у
мотора с вращающимся полем, см. «Электричество»
§ 66).
Наконец, еще один пример для газов в системе
отсчета с тангенциальным ускорением. Горящей свече
в воздухопроницаемой оправе (дворовый фонарь)
предоставляют возможность свободно падать (на подушку).
Во время падения свеча тухнет. Причина: отсутствие
удаляющей газы пламени статической подъемной силы,
так как силы инерции равны и противоположны весу
газовых молекул (ср. стр. 129 и § 84).
Рассматривая циркуляцию воды, мы уже
оставили область неподвижных жидкостей и газов.
Здесь мы имеем переход к следующей главе: к движению в
жидкостях и газах.
§ 86. Заключение. Что называется силой? Мы разработали
весь материал этой длинной главы при помощи понятия силы.
Польза от этой величины неоспорима. Тем не менее, не существует,
пожалуй, ни одного физического понятия, которое было бы столь
темно и загадочно, как понятие силы. Об этом свидетельствуют
следующие соображения.
Два находящихся в вакууме свободно движущихся тела (например Земля
и Луна, или два электрически заряженных тела) могут взаимодействовать
противоположными силами. Эго означает: вследствие какого-то еще не ясного
и до сих пор не локализированного события (или состояния?) оба тела
ускоряются в противоположных направлениях. Но ускорения могут быть
вызваны и промежуточным включением осязаемого тела (например пружины);
при этом имеют дело в своем роде также с неясным событием, но по
крайней мере здесь включение промежуточных тел обнаруживается с
очевидностью, а именно, у неживых тел — в деформации, а у живых, кроме того, и
Рис. 248.
Демонстрационная
модель
гидравлического сцепления на
электромоторе М.
Мотор в станине /?
может качаться
вокруг
горизонтальной оси, а в Р
прочно закреплен.

§86. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ СИЛОЙ?
201
в ощущении (ощущение силы). В обоих случаях загадочное событие,
вследствие которого тело может ускоряться, называют действующей на тело
силой В. Для количественного
определения, т. е. измерения силы, служит
ускорение Ь±, которое сила может
сообщить телу с массой ть если она
в одиночку действует на это тело;
следовательно, $ = тф±.
Два события (или состояния?),
называемых силами, могут действовать
на одно тело по противоположным
направлениям и частично или
полностью взаимно уничтожаться (ср.
рис. 35). Во втором случае
ускорение тела равно нулю.
Все уравнения, выводимые с
помощью основного уравнения, сводятся
'Тг**у>Г***4
I /сел
Ж
I Поршень
в своих применениях в конце концов
к следующему: сначала измеряют силу
$, пользуясь известным ускорением
Ьх (проще всего, сравнивают эту силу рис. 249. Статистические колебания
с силой, называемой весом, определя- силы, с которой модельный газ из
емой произведением массы тх на уско- стальных шариков действует на пор-
рение падения %). Затем посредством шень. Гиря от весов на верхнем
этой отныне измеренной силы уско- конце — бутафория. Моментальная
ряют другое тело (масса т2) и изме- фотография с продолжительностью
ряют ускорение Ь2. Наконец, приводят экспозиции Р^ 10~6 сек. Кривая, как
все уравнения, выведенные с помощью и на рис. 250, регистрировалась фо-
основного уравнения Ь = й/т, только тографически.
к сравнению отношения двух
ускорений (Ьфъ) (из которых одно большей частью ускорение падения) с
отношением двух масс {т21тх).
О процессе или событии, при котором сила приложена к телу,
можно получить наглядное представление
лишь в отдельных случаях. К ним
принадлежит, например, сила, которая
приложена к стенкам газоприемника. Рис. 249
изображает опыт на модели с замкнутым
количеством газа. «Тепловое движение»
возбуждается колеблющимся поршнем
сзади и ниже стенки а. Верхней стенкой
служит подвижный поршень. Хотя этот
поршень и нагружен добавочной гирей, он
держится благодаря беспорядочным
ударам «молекул — стальных шариков»
приблизительно на одной и той же высоте к.
Статистический характер этого процесса
легко показать. Для этого стоит только
фотографически регистрировать движения
указателя Т., как изображено вверху
справа. Рис. 250 несколько схематично
показывает соответствующий процесс «удерживающего действия»
Рис. 250. Статистические
колебания при удерживающих
усилиях мускула. В
качестве силомера Кг служит
пьезоэлектрический
кристалл. Обе его
металлические обкладки связаны
посредством промежуточного
усилителя с регистрирующей
трубкой Брауна.

202 IX. О НЕПОДВИЖНЫХ ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
мускула. Между грузом т и удерживаемым рукой стержнем
включен силомер Кг. Его деформацию, в данном случае изменение
толщины пластинок й, не наблюдают глазами, как на рис. 41, а
регистрируют электрическим способом *). Правая половина рис. 250
показывает результат. Следует отметить изменение масштаба
времени сравнительно с рис. 249. Но и здесь статистический характер
события, вызывающего силу, хорошо распознается.
Для возникновения сил в вакууме с такими опытами ничего не
получится. Здесь приходится, и вероятно еще на долгое время,
примиряться с представлениями поля.
х) § 6, конец.

X. ДВИЖЕНИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
§ 87. Три предварительных замечания. 1. Между жидкостями
и газами имеется существенная разница, обусловленная образованием
свободной поверхности у жидкостей. Несмотря на это, явления
в неподвижных жидкостях и газах во многом допускают
аналогичную трактовку. При исследовании движения в жидкостях и газах
эта аналогия может быть проведена еще дальше. Так, например,
при скоростях до 70 м/сек можно спокойно считать воздух
несжимаемой жидкостью, так как такая скорость еще мала сравнительно
со скоростью звука в воздухе C40 м/сек, ср. рис. 561). В этой
главе мы будем употреблять для краткости слово «жидкость»
как собирательное понятие. Оно должно охватывать жидкости
со свободной поверхностью и без нее, следовательно, жидкости
и газы в обычном значении этих слов.
2. При высоких скоростях газы становятся сжимаемыми, и при
этом их температура изменяется. Такого рода процессы нельзя
исследовать, не вводя понятий из учения о теплоте. Поэтому
описание таких процессов появляется только в § 184.
3. Хотя движения в основных опытах механики твердых тел
количественно несколько осложняются вследствие трения, но качественно
они не изменяются. Поэтому сначала мы стремились оставлять
трение в стороне, как побочное явление, и лишь в заключение привели
пару количественных примеров на трение. Напротив, при движении
жидкостей и газов качественный ход явлений становится совершенно
другим под влиянием трения. Вследствие этого и постановка опытов
иная, чем у твердых тел. Мы ставим количественное изучение трения
вначале и прежде всего рассматриваем те движения, в которых трение
играет решающую роль. Этот необычный путь имеет большое
преимущество: он сразу дает нам в руки вспомогательное средство,
удобное для дальнейшего изложения; это средство избавит нас от
большой чертежной работы.
§ 88. Внутреннее трение и пограничный слой. Трение между
твердыми телами, «внешнее» трение, физически трудно понять.
Напротив, трение, обнаруживающееся в жидкостях, «внутреннее»
трение, поддается довольно ясному истолкованию. Мы покажем
наиболее существенное на двух опытах.

204
X. ДВИЖЕНИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
Иа рис. 251 изображено, как жестяная пластинка А медленно
вытягивается кверху из наполненного глицерином стеклянного
сосуда. Перед началом опыта нижняя часть глицерина была окрашена
и тем самым по крайней мере одна горизонтальная поверхность
сделана видимой. Можно подходящим
окрашиванием отметить и несколько других горизонтальных
поверхностей. Во время движения все эти
поверхности с обеих сторон пластинки искривляются внутри
широкой области. При этом частички жидкости
испытывают вращение, справа — по часовой стрелке,
слева — против. Такую область называют
пограничным слоем. Самая внутренняя часть пограничного
слоя прилипает к твердому телу и движется с такой
же скоростью и, как и само тело. Ближайшие извне
следующие части слоя равным
образом приводятся в движение, но
получаемая ими скорость тем меньше,
чем дальше они находятся от
пластинки. Итак, в пограничном слое
устанавливается падение (градиент)
скорости ди/дх.
Если при движении участвует
трение, то сила ^ требуется не
только для ускорения до конечной скорости и, но
и для поддержания этой постоянной скорости и
(§ 43). В простых случаях требуемая сила $
пропорциональна скорости и, т. е.
$ = ки. A81)
Рис. 251. Между
двумя
штриховыми линиями
с обеих сторон
движущейся
пластинки
возникают
пограничные слои
толщиной п.
Л к
Равная ей по величине, а по направлению,
противоположная скорости и сила ^2 =—51 есть
сопротивление трению. Сумма обеих сил $-|-$2 равна
нулю, и конечная скорость и поэтому остается
постоянной. Множитель пропорциональности к
называется коэффициентом сопротивления. Его можно
вычислить при условии простых геометрических
данных. Приведем некоторые примеры.
На рис. 252 расстояние х стенок сосуда от
движущейся вверх пластинки выбирается меньшим, чем
толщина О пограничного слоя. В этом случае паде- перпендикуляр-
ние скорости практически линейно; на рис. 252 оно ных к г-направ-
обозначено стрелками равномерно убывающей длины. лению.
В этом случае к зависит от площади р
поверхности пластинки (с обеих сторон), ее расстояния х от стенок
сосуда и характерного для вещества жидкости коэффициента,
называемого постоянной вязкости ч\ (табл. 6). Находят к=1\Р1х,
Рис. 252. К
определению
постоянной
вязкости Ч] ПрИ
ПОМОЩИ плоского
течения. Это
значит, что течение
должно иметь
одинаковый ход
во всех
плоскостях,
параллельных
плоскости чертежа, т.е.

§ 88. ВНУТРЕННЕЕ ТРЕНИЕ И ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
Таблица 6
205
Вещество
СО2, жидкая . .
Бензол
Вода <
Ртуть |
1
Глицерин . . . 1
Вар
Температура
20°
20°
20°
0°
20°
98°
— 21,4°
0°
100°
300°
0°
20°
20°
Постоянная вязкости
в ньютон •сек/м*
(ньютон • сек/м? =>
= 10 пуаз)
1,7-
7-
Ъ0
0,3
1,9
1,6
1,2
1,0
4,6
8,5-
10~5
10~5
Ю~3
ю-1
107
а отсюда
: = км = 1\ — и.
' X
A82)
Трение в жидкостях можно сравнить со сдвигом или срезом
в твердых телах. Можно ЩР обозначить, как напряжение сдвига,
через х. Однако существует и коренное различие: в твердых телах с
увеличением деформации растет и напряжение сдвига; напротив,
внутреннее трение пропорционально скорости деформации.
Неподвижные жидкости не обнаруживают ничего сопоставимого с напряжением
сдвига. В них могут иметь место лишь нормальные напряжения (§ 75).
Толщину О пограничного слоя можно оценить. Найдено
-VI
A83)
(/ — путь, пройденный текущей жидкостью, р— ее плотность).
Вывод. Пусть жидкость в пограничном слое имеет поперечное сечение
/=ОВ (где В — ширина, п — толщина слоя) и проходит за время I путь
/ = иЬ. Количество жидкости, протекающей при этом через поперечное
сечение / за время г, имеет массу т = ОВриё и несет импульс © = та = рйВиЧ.
Отношение %Ц должно быть равно силе Ё, которая поддерживает скорость
течения и. При х = п из уравнения A82) для нее получается 1\В1и/О.
Приравнивая © и Ш, получим:
_е«1, A84)
а отсюда уравнение A83).

206
X. ДВИЖЕНИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
Числовой пример для воды:
V) ^ 10~3 ньютон • сек\мг; р = 10ч кг/м1*; 1 — 0,1 л/; и = 10~2 м/сек;
й = 2> мм.
§ 89. Слоистое (ламинарное) движение жидкости,
возникающее при сильном влиянии трения. Наблюдаемое на рис. 251 и
252 движение называется «слоистым» или
«ламинарным». Толщина слоя жидкости при этом меньше, чем
толщина п, создаваемого трением пограничного слоя.
Кроме того, используются малые скорости и. Приведем
три следующих примера слоистых движений в
жидкостях.
Прежде всего, рассмотрим течение жидкости в узкой
трубке длиной /. Поддержание этого течения требует
силы
^ = кит — 'ф'к1\\т. A85)
Здесь ит означает среднюю величину скорости
течения, определяемую при помощи уравнения
ток жидкости г1)
скорость течения ц =— '—- -
г т поперечное сечение трубки /
Рис. 253.

Распределение
скоростей при
ламинарном
потоке
жидкости сквозь
трубку.
Сила Я
на концах
получается:
и ток жидкости
объгм жидкости, протекающей чергз поперечное
. сечение / трубки
время течения г
Действительная скорость на краях трубки равна
нулю, а в середине—наибольшая. Рис. 253 изображает
этот пример.
часто возникает вследствие разности давлений рх и рг
трубки. Тогда $ ==/(А — />2)> и Для тока жидкости
; — Л Г111 —
8 у] /
A86)
Это уравнение Хагена — Пуазейля играет значительную роль
в физиологии нашего кровообращения.
Капиллярная система человека имеет длину 105 км (равную 2,5
окружности Земли!). Повышение мускульной деятельности требует увеличения тока
крови /. Это наиболее действенно достигается расширением капилляров (г4!).
Расширенная сеть сосудов должна быть наполнена. Требуемое количество
крови заимствуется из «депо крови» (прежде всего из селезенки и печени).
В оригинале не «ток жидкости», а «сила тока». {Прим. ред.)

слоистое (ламинарное) движение жидкости
207
Во втором примере
заменяем трубку очень
плоской, образуемой
двумя стеклянными
пластинками кюветкой. В такой
кюветке можно легко
сделать видимыми пути
отдельных частичек
жидкости. Частички
окрашивают, и получается
выразительная картина «.нитей
тока»(рис. 254 и подпись
под ним). Количественно
имеет место соотношение
A87)
В третьем примере
вводим в это ламинарное
течение жидкости
препятствие в виде кружка.
Нити тока дают картину,
сфотографированную на
рис. 255.
Пространственно обобщенная, эта
картина наглядно изображает
ламинарное обтекание
шара в жидкости (рис.
- Вода +■
чернила
Стекло
ношение выражается формулой Стокса
Рис. 254. Прибор для демонстрации нитей тока
в плоском поле течения A/6 натуральной
величины). Слева — вид сверху, справа
—продольный разрез. Верхние камеры сообщаются
посредством отверстий с внутренним
пространством узкой кюветы. Отверстия левой камеры
сдвинуты относительно отверстий правой на
половину расстояния между отверстиями. Сначала
обе камеры наполняются водой, затем в
правую прибавляют немного чернил. Слева —
пример параллельных нитей тока. При
проектировании на экран целесообразно поворачивать
изображение (при помощи двух оборотных
призм). Тогда течение кажется происходящим
горизонтально.
108 на стр. 90). Количественное соот-
A88)
Рис. 255. Ламинарное
обтекание шара или
цилиндра (фотографический
позитив в поле яркого
освещения).
В качестве силы большей частью служит
вес шара, уменьшенный на статическую
подъемную силу. Уравнение A88) часто
используется:
Примеры. 1. Для измерения постоянной
вязкости Ч].
2. Для измерения радиусов маленьких
взвешенных в воздухе шариков (капелек). Этот
способ гораздо удобней, чем микроскопическое
измерение.
3. Если бы не было сопротивления трения маленьких водяных капелек,
то облака падали бы нам на голову. Но они лишь очень медленно снижаются,
испаряясь снизу и по большей части снова наращиваясь сверху.

208
X. ДВИЖЕНИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
§ 90. Число Рейнольдса. Ламинарное движение имеет место
в пограничном слое, созданном внутренним трением. Но его можно
получить лишь при достаточно малых скоростях. При больших
скоростях движение в пограничном слое становится турбулентным.
Турбулентностью называют сильно завихряющееся
перемешивание пограничного слоя. Проще всего ее можно наблюдать с помощью
подкрашенной струйки воды в прозрачной трубке. Рис. 256
изображает такое течение жидкости до и после возникновения (еще незна-
Водал-
'чернила
Рис. 256. К происхождению турбулентности водяного
потока в трубке и к измерению числа Рейнольдса на
демонстрационном опыте. Слева — прибор для проекции (!/з
натуральной величины). В средине — ламинарное, справа—
турбулентное течение (см. текст!). Скорость течения вы-
числяется по количеству вытекающей воды, времени
течения и поперечному сечению.
чительной) турбулентности. При более сильной турбулентности вся
трубка становится непрозрачной. Турбулентность увеличивает,
вязкость жидкости и сопротивление трения ^. Уравнение A86)
больше не применимо, $ растет приблизительно пропорционально
квадрату скорости.
Турбулентное движение может быть замечено по жужжащему шуму
в трубе. Этот шум как симптом сильного малокровия можно слышать в
шейных артериях. Нормальное кровообращение должно протекать без
турбулентности.
Общеизвестно турбулентное движение в пограничном слое между
Землей и атмосферой. Его называют ветром. При сильной
турбулентности говорят о буре. Высота пограничного слоя может дости-

§ 90. число рейнольдса 209
гать нескольких километров. Турбулентность особенно очевидна во
время снежной метели.
При турбулентности статистически меняющиеся по величине и
составу части жидкости образуют «скопления высшего "порядка». За
время своего, сильно зависящего от их размеров, существования они
совершают поступательные и вращательные движения. При распаде
они перегруппировываются и соединяются в новые, неустойчивые
образования. Понятия потока и турбулентности успешно
применяются также к движениям звездных систем.
Переход от ламинарного к турбулентному течению в
пограничном слое определяется «критической» величиной отношения
„ работа ускорения 1щ
работа трения т] '
работа трения
A89)
/ — длина, определяющая размер тела, например радиус трубы и т. д.
(м); и — скорость жидкости относительно твердого тела (м/сек), например
в трубке на стр. 206 среднее значение скорости потока; р — плотность
жидкости (лгг/л/3); -ц — постоянная вязкости жидкости (ньютон-сек/м2).
Частное "*]/р часто называется кинематической вязкостью.
Это число было открыто в 1883 г. О. Рейнольдсом и поэтому
называется числом Рейнольдса Яе.
Для вывода уравнения A89) используют «анализ размерностей». Это
значит, что мы полагаем все входящие длины пропорциональными одной
длине Л определяющей размеры тела. Кроме того, мы отбрасываем все
отвлеченные множители пропорциональности. Для работы ускорения имеем
(стр. 77):
Аъ = у тф = /Зра2. A90)
Для работы трения находим по уравнению A82)
Аг=Ш = ч\Р^-1 = ч\Ра. A91)
Деление A90) на A91) дает тогда A89).
Малые числа Рейнольдса означают преобладание работы трения,
большие — преобладание работы ускорения. Идеальной жидкости
без трения соответствует число Рейнольдса, равное оо.
Вызывающие турбулентность «критические» значения числа
Рейнольдса можно определить только экспериментально. В гладких
трубах Ке должно стать больше чем 1160.
Если нужно избежать турбулентности и сохранить возможность
применения уравнения Стокса A88), то для маленьких шариков в воздухе должно
оставаться Ке <С 1. В приборе для демонстрации нитей тока (рис. 254), чтобы
надежно избежать турбулентности, следует работать с числами Рейнольдса
около 10.
Вдыхаемый воздух проходит каналы нашего носа свободным от
турбулентности. При сильных расширениях внутри носа рейнольдсово число может
превзойти критическое значение, и тогда дело может дойти до сильной,

210
X. ДВИЖЕНИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
увеличивающей сопротивление трения турбулентности. Аномальное расширение
внутри делает нос постоянно «заложенным». Вообще, процессы течения
в нашем организме исследованы пока очень мало. Достаточно вспомнить хотя
бы о течении крови в упругих трубках артерий и о гибельных, ведущих
к образованию тромбозов, вихрях в венах.
Число Рейнольдса играет большую роль во всех количественных
исследованиях течения жидкости. Можно поставить опыты для
определенных геометрических форм сначала на телах
с удобными для опыта линейными размерами, а потом
перенести полученные результаты на тела больших
размеров. Для этой цели нужно лишь в обоих
случаях соответственным подбором скорости и
плотности достичь равенства чисел Рейнольдса. Наши
самолеты применяют числа Рейнольдса порядка 106.
Это имеет очень неприятные для техники измерений
последствия, затрудняет изучение технически важных
вопросов на маленьких моделях. Однако в
«аэродинамических трубах с избытком давления»
плотность воздуха может возрасти в десять раз. Несмотря
на это, применяемые в практике высокие числа
Рейнольдса можно осуществить лишь при очень
больших скоростях течения и. При этом мы достигаем
таких скоростей воздуха, которые нельзя считать
малыми сравнительно со скоростью звука; но тогда
воздух уже нельзя считать несжимаемой жидкостью.
Поэтому приходится соответственно употреблять
модели больших размеров. Это обстоятельство
вызывает значительные расходы в имеющихся в
настоящее время многочисленных «аэродинамических
опытных станциях».
§ 91. Свободное от внутреннего трения
движение жидкости. Уравнение Бернулли. Теперь мы
пойдем по пути, которому следовали в механике
твердых тел: мы будем стараться наблюдать
движения, по возможности свободные от всякого влияния
трения, т. е. исключать влияние пограничного слоя.
С этой целью используем кювету с жидкостью,
размеры которой велики по сравнению с толщиной
соответствующего пограничного слоя. Кроме того, ограничимся
наблюдением лишь начала движения.
Соответствующий прибор изображен на рис. 257. Он состоит
из стеклянной кюветы шириной 1 см, наполненной водой. К воде
добавляются взвешенные алюминиевые блестки. Внутри кюветы могут
двигаться, слегка касаясь стенок, тела различных очертаний (профилей).
На рис. 257 — это тело с круговым профилем, на рис. 258 — это
два тела, а и Ь. Они поддерживаются не показанными на рисунке
Рис. 257. Прибор
для
демонстрации течения.
При
проектировании также
бывает полезно
поворачивать
изображение на
90°, например на
рис. 258, 280,289.

§ 91. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
211
стержнями и образуют вместе сужение. Для фотографических
снимков кювета сделана так, что она может двигаться по рельсам
с постоянной скоростью в вертикальном направлении. Для
наблюдений в проекции на экран достаточна неподвижная установка,
показанная на рис. 257. Глаз следует за телом и поэтому видит
жидкость протекающей мимо тела. Блестки показывают нам в каждый
данный момент на экране величину и направление скорости
отдельных частиц воды внутри всей кюветы. Фотографический снимок
с выдержкой около 0,1 сек. показывает нам путь каждой
алюминиевой блестки в виде короткого штриха. Каждый из этих штрихов
Рис. 258. Линии тока в сужении, Рис. 259. Линии тока в опыте с мо-
наблюдатель (камера) и сужение делью. Фотографический позитив
неподвижны, жидкость течет. в поле яркого освещения (то же на
рис. 263, 265—268, 290).
практически является еще прямым и обозначает, короче говоря,
вектор скорости отдельной частички воды. При более длительной
выдержке совокупность этих штрихов соединяется в линий тока.
Они показывают нам совокупность всех направлений скорости,
существующих в жидкости в данный момент, или, коротко, поле
течения. Картина течения может быть устойчивой, или стационарной.
Тогда линии тока показывают нам, кроме того, и весь путь,
пробегаемый постепенно одной и той же частицей жидкости, или нить
тока (струйку).
Фотографический снимок с выдержкой дает ясную,
изображенную на рис. 258 картину линий тока. Эта картина гораздо живее
при непосредственном наблюдении на проекционном экране. Однако
часто стремятся получить картину без особых деталей,
обрисованную немногими ясными штрихами. В этом случае нам приходит на
помощь одно странное обстоятельство: мы можем на опыте с
моделью прекрасно копировать линии тока стационарного, практически
свободного от трения, течения жидкости. Для этого служит
известный нам по рис. 254 аппарат для нитей тока (струек) при
ламинарном движении жидкости. Несмотря на совершенно другие
условия возникновения, вид струек ламинарного движения
совпадает с линиями тока идеального, свободного от трения
движения жидкости. Рис. 259 изображает полученную таким образом

212
X. ДВИЖЕНИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
картину. Она соответствует рис. 258. Однако, в противоположность
рис. 258, здесь речь идет лишь об опыте на модели, что необходимо
подчеркнуть еще раз. Но формально эта картина правильна, ясна
и выразительна по своей простоте.
Такое наглядное, практически не искаженное трением, течение
жидкости, как подчеркивалось, можно поддерживать лишь очень
короткое время. Оно приблизительно соответствует в механике
Рис. 260. Распределение статического давления при
течении через сужение. Три вертикальные
стеклянные трубки служат водяными манометрами.
Рис. 261. Статическое давление в сужении.
Оно меньше давления атмосферы.
Манометром служит столбик ртути.
твердых тел движению шара с постоянной скоростью без действия
сил. Такое течение жидкости является идеализированным частным
случаем, но для него справедлив важный, лежащий в основе всего
дальнейшего, закон, относящийся к «статическому» давлению, т. е.
к давлению жидкости на плоскость, параллельную линиям тока.
Пока лишь в качественной форме он гласит: в области сгущения
линий тока, или повышенной скорости течения, статическое
давление р жидкости меньше, чем в окружающей среде.
Для наглядного объяснения этого закона служат два опыта,
представленных на рис. 260 и 261.

§ 91. УРАВНЕНИЕ ВЕРНУЛЛИ
213
Рис. 260 показывает давление текущей жидкости перед, внутри
и после сужения. Рисунок не схематизирован. Ширина трубок не
велика по сравнению с толщиной пограничного слоя (§ 88), влияние
трения поэтому исключено лишь частично. Вследствие неизбежных
потерь на трение давление после сужения не достигает в точности
того же значения, как перед ним.
На рис. 261 выбрана гораздо большая скорость течения. При этом
давление воды в сужении меньше давления воздуха в комнате. Вода
может «всасывать» ртуть в манометре и поднять столб ртути
высотой в несколько сантиметров.
Количественная связь между давлением и скоростью в текущей
жидкости получается из закона сохранения энергии. Представим
себе количество жидкости с массой т, объемом V и плотностью р.
Статическое давление и скорость перед сужением пусть будут р0 и
и0, а в самом сужении р и а. При втекании в сужение жидкость
ускоряется от и0 до а. Для этого нужно совершить работу
0 — р) =^-т(иг —
A92)
или, после деления на объем V,
Р + о" Р«2 = Ро -Н -о- Ро«о = сопз*.
A93)
Поскольку -н~ри2 складывается с давлением р, эта величина и
сама должна представлять давление. Его называют динамическим
давлением или динамическим напором. Стоящая справа сумма постоянна;
она также должна представлять собой давление, которое называют
полным давлением рх. Так получается важное
уравнение Бернулли
статическое
давление
динамическое
давление
Р1
полное
давление
A94)
п манометру
Для измерения статического давления р в
текущей жидкости служит прибор, показанный
на рис. 261; ведущее к манометру отверстие
лежит параллельно линиям тока. Для измерений
внутри широких каналов отверстие,
подразделенное в виде сита или имеющее вид щели, переносят на боковую
поверхность так называемого «зонда». Посредством трубки он связан
с манометром, как показано на рис. 262.
Рис. 262. Разрез
зонда давления с
кольцевой щелью
для измерения
статического
давления внутри
текущей жидкости.

214
X. ДВИЖЕНИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
Полное давление рх измеряют в «области запруживания». Такая
область показана на рис. 263, в опыте на модели: в середине ее
линия тока попадает на препятствие под прямым углом. Здесь
и ставят трубку, ведущую к манометру (трубка Пито). В этом
месте жидкость находится в покое,
следовательно,
По уравнению A94) статическое
давление будет равно полному давлению рх.
Рис. 263. Трубка Пито для Манометр и показывает это «полное
измерения полного давления р1 давление» р1.
в области запруды. В натуре Динамическое давление измеряется
изогнутая под прямым углом ра3ностью между полным давлением р.
медная трубка с внешним диа- г ] п „
метром всего 2-3 мм [опыт на и статическим давлением р. По уравне-
модели с прибором, дающим нию A94) оно равно
нити тока (рис. 254); контур 1
трубки дополнительно заштри- — ри2=(/7г—р).
хован]. 2
Для статического давления р нужно применить зонд, для полного
давления рх — трубку Пито. При технических измерениях оба
прибора соединяют в один. Он схематически
показан на рис. 264. Измерения при помощи этого
прибора Пито — излюбленное средство
определения скорости в текущей жидкости.
Рис. 260, 261 поясняют понижение
статического давления р при возрастании скорости тече- эманометру
ния и. То же самое можно показать на
многочисленных демонстрациях. Мы приведем два при- Рис. 264. Разрез
мера; в каждом из них поле течения моделируется тРУбки.о представ-
г г; ляющеи сочетание
с помощью ламинарного движения. трубки Пито с
Рис. 265—267 показывают обтекаемый плос- зондом давления.
кий диск в трех положениях. Первое положение Жидкостный мано-
оказывается неустойчивым; после колебаний диск метР> соединенный
1 , пап\ с обоими коленами
устанавливается поперек течения (рис. 267). трубКИ / и 2, дает
Мы видим пример этого на каждом падающем непосредственно
на пол плотном листке бумаги. динамическое дав-
Объяснение: при любом ничтожном наклоне ление как разность
г между полным дав-
возникает несимметричность в распределении ста- лением „ и стати-
тического давления, а из-за нее развивается вра- ческим давле-
щающий момент. Это очевидно без особых нием р.
разъяснений, когда диск находится под
большим наклоном к течению (рис. 266): области сгущенных линий
тока тянут, а области расходящихся линий тока давят напротив
диска, т. е. в ту же сторону. В результате диск поворачивается
по часовой стрелке (рис. 266).

§ 92. ОБТЕКАНИЕ. ИСТОКИ И СТОКИ. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ 215
Два тела, например два шара, движутся в жидкости или
вместе (рис. 268), или одно мимо другого (рис. 269). В обоих
Рис. 265—267. Три модельных опыта обтекания пластинки. Пластинка "
наблюдатель неподвижны, жидкость течет. На рис. 266 можно видеть
положение обеих «точек напора» (З^аирипкг). Они наглядно показывают
возникновение вращательного момента вокруг центра тяжести пластинка
чаях тела притягиваются друг к другу (опасно для судов в узких
каналах!).
§ 92. Обтекание. Истоки и
стоки, движение без
вращения частиц, или потенциальное
течение. В полях течений,
рассматривавшихся до сих пор,
складывались два различных течения:
во-первых, параллельное течение
■
""""'" ■=? 1111.1 =
ЛЬ
Рис. 268. Линии тока
между шарами или
цилиндрами. Опыт
с моделью.
Рис. 269. Притяжение
между неподвижным
и движущимся
шарами.
жидкости без помещенных в нее тел (как на модели рис. 254);
во-вторых, возникающее после введения тела течение, благоДаРя
которому жидкость обтекает это тело. Добавочное «обтекак)Шее
течение» можно наблюдать в отдельности. Нужно только
изменить способ наблюдения: до сих пор жидкость текла, а

216
X. ДВИЖЕНИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
и наблюдатель (камера) были неподвижны. Теперь осуществим
другую возможность: жидкость (кювета) и наблюдатель
неподвижны, а тело движется (для наблюдений на экране исполь-
Рис. 270 и 271. Линии тока при обтекании пластинки,
перпендикулярной и наклонной к параллельному течению. Наблюдатель и
жидкость неподвижны, пластинка движется.
зуют малые движения туда и обратно). При этом втором способе
наблюдения получаются рис. 270 вместо рис. 267, рис. 271 взамен
рис. 266. Соответствующие картины обтекания шара и цилиндра даны
на рис. 272 и 273. В направлении движения границы тел в свето-
Рис. 272. Линии тока при
обтекании шара. Наблюла-
тель и жидкость (кювета)
неподвижны, шар
движется.
Рис. 273. Линии тока при обтекании
цилиндра, параллельного
параллельному течению. Наблюдатель и жидкость
(кювета) неподвижны, цилиндр
движется.
вой проекции размываются, имея вид полутеней. Для печати они
впоследствии были заштрихованы. Линии тока выходят из одной
заштрихованной области, здесь находятся «истока»; оканчиваются
они в другой области, там находятся «стоки». Поля течения дви-

§ 92. ОБТЕКАНИЕ. ИСТОКИ И СТОКИ. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ 217
жутся вместе с телом. Поэтому они больше не неподвижны, т. е.
не стационарны.
Поле течения одного-единственного истока (-[-) или стока (—)
имеет шаровую симметрию, его сечение изображено на рис. 274.
Обе заштрихованные площадки обозначают равные маленькие объемы
в двух последовательных по времени положениях. Поэтому жидкость
течет в радиальном направлении и при этом ее частицы не
вращаются. Пусть исток доставляет за время г объем жидкости К.
Частное УЦ называется обильностью; она имеет для истока поло-
Рис. 274. Поле течения
истока (или стока при
обратном направлении
стрелки).
Рис. 275. Поле течения между
истоком и соседним стоком
(«диполь»).
жительный, а для стока — отрицательный знак. Тогда скорость
жидкости на расстоянии г от истока или стока равна
и ■=■
A95)
Свободные от вращения частиц поля течения могут
складываться путем простого наложения. Это значительно облегчает
их математическую обработку. Так, например, на рис. 275 сложены
два радиальных симметричных поля, истока (-)-) и соседнего
стока (—). Получившееся от этого поле течения мы коротко
называем полем «диполя». Оно часто встречается. На большом
расстоянии поля потока, изображенные на рис. 270—273, совпадают с
полем диполя. Все они могут быть заменены полем диполя.
Уравнение A95) снова встретится нам в учении об электричестве. Тогда
оно будет представлять зависимость не скорости и, а векторов
электрического или магнитного поля от расстояния г. Место обильности ±: <7 [м3/сек]
займет электрический заряд ±: д [а-сек] или магнитный силовой поток ± Ф
[в-сек]. Сообразно этому картины линий тока обтекающего потока формально
согласуются с картинами силовых линий в учении об электричестве. Так,
рис. 273 одинаков с рисунком силовых линий магнитного поля длинной
катушки, по которой течет ток, рис. 270 — с электрическим полем конденсатора
(см. «Учение об электричестве», рис. 133 и 46). Равным образом рис. 272
тождественен полю электрически или магнитно поляризованного шара.

218
X. ДВИЖЕНИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
Все эти поля, как механические, так и электрические и
магнитные, формально рассматриваются в теории потенциала.
Поэтому свободное от вращения течение называется потенциальным
течением.
§ 93. Вращения жидкостей и их измерение. Свободное от
вращения вихревое поле. Мы уже дважды говорили о вращении
жидкости; в пограничном слое жидкость должна вращаться (стр. 204);
в полях течений §§91, 92 она движется по искривленным путям
без вращения. И то и другое правильно, но не хватает очень
существенного пункта, а именно определения понятия «вращение
жидкости».
В твердом теле все его части прочно связаны между собой.
Отсюда вытекают три следствия: во-первых, форма любой
выделенной части тела остается неизменной во время движения;
во-вторых, все точки внутри выделенной части имеют одинаковую угловую
скорость со; в-третьих, вращение каждой части однозначно
определяется общей для всех частей угловой
скоростью ш.
Наоборот, в жидкостях все частички
свободно перемещаются относительно друг
друга. Это приводит к совершенно иным
последствиям, чем у твердых тел. Во-первых,
ограниченные (например окрашенные) части
жидкости изменяют во время движения свою
форму1); рис. 276 дает пример, который
позднее окажется важным. Во-вторых, точки
внутри выделенной области могут обладать
различными угловыми скоростями. Отсюда,
в-третьих, вращение каждой части не
определяется, как у твердых тел, общей угловой
скоростью. Вместо нее следует ввести новую меру для вращения
выделенной части жидкости; требуется охватить различные угловые
скорости внутри части жидкости полноценным средством описания.
Созданная для жидкостей мера вращения называется «ротором
скорости а» или, короче, «го!ы». Ее можно ввести экспериментально
динамическим путем и вывести безупречно кинематически.
Экспериментальное определение ротора просто: вводят в жидкость
поплавок со стрелочной меткой, причем его размер мал по
сравнению с радиусом кривизны его пути. Во время движения стрелка
поплавка изменяет Свое направление с угловой скоростью ооПОШ1.
Тогда определяется:
Рис. 276. Деформация
некоторой области
жидкости при плеском
круговом течении в частном
случае
■—- го1: и.
A96)
Если отвлечься от особого случая, приведенного в уравнении B02).

§ 93. ВРАЩЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ
219
Кинематически прежде всего определяется циркуляция Г. Так
называют криволинейную сумму линейной скорости, взятую вдоль
любого замкнутого пути, т. е.
их йзх -\- и2йз2 -}-...= ф а8йз = Г A97)
(иь и2, ... —составляющие линейной скорости в направлении отрезков пути
4$ь йз2, ... Кружок на знаке интеграла должен обозначать замкнутый путь).
Затем рассматривают контур элемента площади йР и образуют
частное б,Г\йР для предельного случая исчезающе малого элемента
площади йР. Это отношение называется ротором линейной
скорости. Итак,
го* и =
A98)
Ротор есть новый
перпендикулярный к элементу
площади вектор. Вместо слова
«ротор» говорят также и
«вихревой вектор». Этот вектор
определяет вращение жидкости
внутри данного элемента
площади. Например, для его
слагающей по оси г справедливо
дих .
ду у
Рис. 277. К выводу уравнения A99)..
Направление оси г — от плоскости
чертежа к глазу.
Вывод. Вычислим циркуляцию вокруг оси г вдоль четырех сторон
прямоугольного элемента площади й1г = их йу (рис. 277). Суммирование
производится наблюдателем, который смотрит параллельно оси г, причем вращение
берется по часовой стрелке. Тогда циркуляция складывается из четырех
частей, а именно:
ди,, \ I ди,,
ди
а.
дх
= ахйу[-г!-—5=-) =
ди-
~ду }
Ротор линейной скорости в своем общем виде — очень трудное
понятие. Поэтому мы приведем некоторые примеры его применения.
На рис. 252 (стр. 204) представлен пограничный слой плоского
течения; частички жидкости движутся по прямолинейным путям.
Составляющие скорости и: вертикальная—иу, горизонтальная—их = 0.
Из уравнения A99) следует:
ГО1и = ^. B00).
В этом случае ротор есть не что иное, как падение (градиент)'
скорости и, притом по направлению, перпендикулярному к и.

220 X. движения в жидкостях и газах
Внесем в поле течения этого пограничного слоя в качестве
поплавков два маленьких стержня, один из которых параллелен
оси х, а другой—оси у. Будем после этого наблюдать за их
угловыми скоростями. Для стержня, параллельного оси у, получается
шу = 0; для стержня, параллельного оси х, имеем шх = -^-. Затем
оба стержня жестко соединяем в виде креста и повторяем опыт.
Крестообразный поплавок усредняет угловые скорости. Он получает
угловую скорость шдодл = _ (Шу -|- (лх) = — т -(- -^~\ = -^ го! и. Итак,
получается:
2содопл = го* и. A96)
Вообще говоря, частички жидкости движутся по криволинейным
путям. Рис. 278 относится к пло-
скому круговому течению. Для
нег0
г йг
B01)
Рис. 278. К выводу уравнения B01).
ди
го! и = —\- ч-.
г Л дг
Вывод. Подсчитаем циркуляцию вдоль изображенного'толстыми линиями
пути. Она складывается снова из четырех частей:
(и + —
Далее йр = аг йг. Итак, получается частное
йГ 4 а , ди
-г^ = го! и = Ь з— •
йр г ' дг
Применим уравнение B01) к двум предельным случаям. В
первом случае жидкость прилипает к вращающемуся твердому диску
и вместе с ним получает во всех частях одинаковую угловую
скорость со. Тогда
й = <ог и ^==о>- B02)
Таким образом, для жидкости в целом оказывается постоянной
величина ротора, именно
го! и = 2(о. B03)
Какова угловая скорость со оси вращения, такова же она у
помещенного на твердое тело «поплавка». И здесь мы снова находим:
2<»полл = го{ и. A96)

§93/ ВРАЩЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ
221
Другой предельный случай, имеющий
ческое значение, определяется условием
иг = сопз*.
очень большое практи-
гг да
Тогда ^- =
и уравнение B01) дает:
го* и = 0.
B04)
B05)
Итак, при соблюдении условия B04) жидкость течет по
криволинейному пути, без вращения: стрелка метки поплавка длительно
сохраняет свое постоянное направление (ср. рис. 279). Это
своеобразное поле течения называется: свободное от
вращения вихревое поле (<3аз <3гепип§5тге1ез
Поля течений без вращения частиц можно
складывать простым наложением. Математически это
также следует из формализма теории потенциала.
Поэтому вихревые поля без вращения называют
часто потенциальными вихрями.
Экспериментально вихревое поле без
вращения осуществляется, когда жидкость
описывает «керн». Известный пример доставляет
воронкообразный вихрь у отверстия стока воды
в ванне. Керн состоит здесь из поверхности
жидкости, вращающейся подобно трубке
вокруг своей оси. Эта поверхность окружает
суживающийся книзу воздушный столб, не
принимающий участия в движении воды. В качестве
керна пригоден и вращающийся вокруг
продольной оси цилиндрический стержень (§ 96).
Представим себе керн с непрерывно
убывающим диаметром. Тогда скорость течения
жидкости в непосредственной близости к нему
должна непрерывно возрастать и в пределе
стать бесконечно большой. Конечно, так не
бывает. Вместо этого центральные части
жидкости приходят во вращение. Так образуется жидкий керн,
вихревая нить, или в идеальном предельном случае вихревая линия.
Примеры подобного рода приведены дальше, в § 94.
К сожалению, слово «вихрь» употребляется в литературе в
разных значениях. Мы различаем вихревое поле без вращения и его
вращающийся керн, вихревой керн, — и то и другое вместе мы
называем вихрем. Интенсивностью (\\ПгЪе1з1:агке) вихря вообще
называют циркуляцию вдоль любого замкнутого пути, однократно
охватывающего керн. Пример: твердый керн, вращающийся с
угловой скоростью со, создает вокруг себя вихревое поле без вращения.
Рис. 279. Модельный
опыт для пояснения
обхода, свободного от
вращения. Модель
состоит из двух
концентрических
вращающихся колец и
заключенного между ними
круга,
изображающего поплавок. Для
свободного от вращения
обхода диска
требуется ах = и2, а не ихгх =
= и^а» как в
свободном от вращения
вихревом поле
жидкости*.

222
X. ДВИЖЕНИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
Тогда поле имеет интенсивность вихря Г== ф и8 д?$ = 2ыР. Она будет
такой по любому замкнутому пути, если он однократно охватывает
керн. Без такого охвата получается /"=0; так как вихревое поле
свободно от вращения, то выполняются уравнения B04) и B05).
Рискованно обозначать ротор как вихрь, так как это часто ведет
к недоразумениям.
§ 94. Вихри и поверхности раздела в жидкостях, практически
лишенных трения. До сих пор мы ограничивались рассмотрением
двух предельных случаев движения жидкостей. В первом случае
изучалось движение внутри пограничного слоя; при этом внутреннее
Рис. 280. Разгонный вихрь в начале образования струи.
Рис. 281. Струя жидкости, ограниченная
поверхностями раздела.
трение жидкости играло решающую роль (§§ 88—90). Во втором
случае мы старались осуществить движения в жидкости, не
находящиеся под влиянием трения и пограничного слоя. Мы достигли
этого при помощи прибора для демонстрации течения, имеющего
значительно большую ширину, чем толщина пограничного слоя; но
прежде всего мы должны были ограничиваться кратковременными
наблюдениями в начале движения.

§ 94. ВИХРИ И ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА В ЖИДКОСТЯХ, ЛИШЕННЫХ ТРЕНИЯ 223
При большей длительности во всех жидкостях, даже в
жидкостях с незначительным внутренним трением (газы), наступают новые
важные явления; в них образуются вихри и поверхности раздела.
И то и другое мы покажем на опыте. С этой целью используем
снова известный по рис. 257 большой прибор для демонстрации
течения и выберем снова, как на рис. 258, ^
протекание жидкости через сужение. Сначала "*"
поле течения до и после сужения симме- _
трично и для обтекания, и для полного
течения. Но эти симметричные поля течения
возникают только в начале движения;
непосредственно после этого симметрия утрачивается.
За сужением образуются два больших
закручивающихся наружу вихря (рис. 280). Эти
разгонные вихра быстро удаляются в направлении
течения, и остается струя (рис. 281). С обеих
сторон струя отделена слоем раздела от
ооооооо
Рис. 282. К
определению поверхности
раздела между двумя
жидкостями,
текущими рядом с
различными скоростями. В тек-
окружающей неподвижной жидкости. В слое сте скорость в одном
раздела находятся маленькие отчетливо замет- направлении равна
ные вихри. Такой слой раздела можно в пре- нулю,
дельном случае идеализировать как поверхность раздела. Все
содержащиеся в ней частички должны вращаться. Это схематически
изображено на рис. 282.
У всех, как у разгонных, так и у маленьких вихрей, поверхности
раздела, керны расположены перпендикулярно к плоскости чертежа.
Все вихри кончаются не внутри жидкости, а на
стеклянных стенках прибора.
В качестве продолжения этого опыта
получим кольцеобразный замкнутый вихрь, на
этот раз в воздухе. Установка изображена
на рис. 283. Дно коробки, имеющей форму
демон- барабана, затянуто перепонкой М. Воздух
внутри барабана подкрашен каким-нибудь ды-
Рис. 283. К
страции
кольцеобразного замкнутого
разгонного вихря в воз- мом. При ударе по мембране из отверстия
духе.
выбрасывается в течение короткого времени
струя подкрашенного воздуха. В пограничном
слое ее возникает завихрение. Получается, как иногда при курении,
вихревое кольцо.
Такое вихревое кольцо может пролететь по комнате несколько метров,
опрокинуть карту, задуть свечу и т. д. К сожалению, всегда окрашены лишь
центральные части вихря, и вследствие этого пограничное поперечное сечение
размыто. В действительности вихревое поле без вращения простирается
далеко наружу. Это легко показать. Для этого выпускают два вихря быстро
один за другим. Второй догоняет первый вихрь, который расширяется и
пропускает второй сквозь свое кольцо; после этого игра повторяется еще
один или два раз-ч с переменой ролей.

224
X. ДВИЖЕНИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
Технически замечательны перемежающиеся струи. Их возникновение
показано на рис. 284. В качестве задней стенки плоского ящика К.
используют возбуждаемую переменным током телефонную мембрану М. Тогда воздух
выталкивается в виде струи с частотой переменного тока и всасывается со
всех сторон. Струя будет, следовательно, перемежающейся. Таким же
образом мы можем на далеком расстоянии задуть свечу струей выдыхаемого
воздуха, но не можем «высосать» и потушить пламя при вдыхании. При
вдыхании воздух равномерно со всех сторон притекает к нашему рту.
Таковы факты. Поверхности раздела и вихри порождаются здесь,
как и всюду, одними и теми же причинами, а именно: прилипанием
жидкости к обтекаемому телу и образованием обусловленного им
пограничного слоя. Идеальная жидкость
без внутреннего трения должна была бы
огибать края сужения с большой
скоростью. Но во всякой реальной
жидкости этому препятствует возникающий
пограничный слой. Это препятствие
действует перед сужением и за ним по-
разному. По пути к сужению все части
потока ускоряются, в сужении скорость
течения достигает своей наибольшей
величины. Задерживаемый пограничный слой
увлекается текущими беспрепятственно
соседними слоями вперед. Поэтому перед
сужением остается первоначальное поле
течения и сохраняется потенциальное
течение. После сужения, напротив, все части потока замедляются. Там
близкие к краям задерживаемые слои не получают больше от
соседних никакой поддержки. Они утрачивают контакт и отстают. Ничего
больше не остается им, как поворачиваться и толкаться между стенкой
и потоком. Вследствие этого «течение отделяется от стенок»; так
возникают поверхности раздела и вихри.
§ 95. Сопротивление и формы линий тока. Рассмотренные
процессы образования вихрей и поверхностей раздела приводят нас
к понятию о силах, которые появляются при обтекании твердых тел
в практически свободной от трения жидкости. Дело идет о лобовсм
сопротивлении (этот параграф) и динамической подъемной силе
(§ 96). Мы будем изучать их на приборе для демонстрации течения
(рис. 257). Обтекаемее тело должно касаться с обеих сторон
стеклянных стенок. В обоих случаях развивается плоское течение.
Результаты можно обобщить и на случай пространственных течений.
Мы начнем с предельного случая: направление свободного течения
должно совпадать с направлением симметрии обтекаемого тела, как
изображено на рис. 265—267. В этих примерах течение впереди и
позади тела вполне симметрично. Это означает по уравнению A94)
полную симметрию давлений и сил на обеих сторонах пластинки.
Сумма действующих на тело сил вначале равна нулю, поэтому
Рис. 284. Перемежающаяся
струя.

§ 95. СОПРОТИВЛЕНИЕ И ФОРМЫ ЛИНИЙ ТОКА
225
движение тела в жидкости вначале происходит без сопротивления.
Но это состояние может держаться лишь самое короткое время,
так как иначе пришлось бы отбросить сопротивление, направленное
навстречу движению, но при этом возникло бы противоречие с
повседневными опытами. Достаточно напомнить хотя бы о гребле
веслом или о помешивании супа. В действительности симметрия поля
течения спереди и сзади пластинки очень скоро после начала движе-
Рис 285. Искажение течения при обтекании позади
пластинки, поставленной перпендикулярно к направлению
движения. Наблюдатель и жидкость неподвижны, пластинка движется.
ния нарушается. Для доказательства мы возьмем пластинку
перпендикулярно к потоку. В самом начале появляется симметричное
обтекание (рис. 270). Но тотчас же оно искажается. Из него
возникают два больших закручивающихся внутрь разгонных вихря
Рис. 286. Возникновение сопротивления из-за вихрей внутри
выпуклой поверхности раздела. Наблюдатель и пластинка
неподвижны, жидкость течет направо. Сопротивление при числе
Рейнольдса между 4 • 103 и 1ДО немного больше, чем
произведение динамического давления на площадь диска.
Экспериментально находим $ = 1,1
(рис. 285). Они быстро удаляются с потоком, и в стационарном
состоянии позади пластинки образуется с обеих сторон отчетливая
поверхность раздела. Она отделяет непосредственно за правым
краем пластинки замкнутую область от остального течения (рис. 286).

226 X. ДВИЖЕНИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
Внутри этой области жидкость находится в оживленном
вращательном движении. Здесь образуется несколько вихрей (различимых
только при определенной скорости движения камеры).
Теперь мы можем объяснить возникновение сопротивления
обтекаемых тел в реальных жидкостях. Оно вызывается вращательными
движениями жидкости на задней стороне обтекаемого тела. Во
вращение вовлекаются все новые области жидкости. Закручивание
этих вихрей, создание их кинетической энергии требуют
совершения работы. Необходимая для этой работы сила равна и
противоположна сопротивлению. «Лобовое сопротивление обтекаемого
жидкостью тела обусловлено вращательными или вихревыми
движениями на его задней стороне». Это—поразительное
экспериментальное открытие.
Сопротивление движению обтекаемых тел часто используется
в технике. В качестве примера назовем парашют (он уменьшает
скорость снижения человека примерно с 55 до 5,5 м/сек, см. рис. 107),
весла гребной лодки, колеса с лопастями колесного парохода.
Далее—ветряные колеса на вертикальной оси; они обычно имеют
8-образный профиль или вид полусферических чашек на концах
крестовины: «чашечный крест» измерителя скорости ветра, или
«анемометра» (сопротивление вогнутой стороны чашек во много раз
больше, чем выпуклой).
В других случаях сопротивление вредно. Тогда оно исключается
путем целесообразного подбора формы обтекаемого тела. Остается
лишь ничтожное сопротивление трения, возникающее в погранич-
Рис. 287. Профиль линий тока. Фотографический
негатив с темным полем (прибор рис. 257).
Наблюдатель и тело неподвижны, жидкость
течет направо.
ном слое между телом и жидкостью. Природа дает нам
бесчисленные примеры решения этой задачи. Их общим признаком является
«каплеобразный профиль линий тока» (рис. 287). Мы можем
заставить воду обтекать такое «каплеобразное» тело с большой
скоростью. Образования вихрей не наблюдается. Шар с таким же

§ 96, ДИНАМИЧЕСКАЯ ПОДЪЕМНАЯ СИЛА
227
диаметром, при такой же скорости течения создает уже
непосредственно после начала движения сильное вихреобразование. Профиль
линий тока играет в технике весьма важную роль. Укажем хотя бы
на очертания воздушных кораблей, подводных лодок и мин, на
профиль сечения всех растяжных
проволок и стержней на самолете и т. п.
§ 96. Динамическая подъемная
сила. Направление свободного
течения, вообще говоря, не совпадает
с направлением симметрии обтекаемого
тела. Пример приведен на рис. 266.
Тогда, как показано на рис. 288,
к силе сопротивления $цг,
действующей в направлении свободного течения,
добавляется перпендикулярная к этому
течению сила, называемая подъемной
силой $о. Общей, действующей на тело,
силой является результирующая сила $.
Нельзя полностью выделить
подъемную силу и исследовать ее как
таковую подобно сопротивлению Я! ту. Но
можно сделать сопротивление $ц?
чрезвычайно малым по сравнению с одновременно действующей
подъемной силой $о. С этой целью следует взять тело, имеющее
профиль несущей поверхности или крыла, как, например, на рис. 289.
Течение
^^Сопротивление й№
Рис. 288. Подъемная сила и
сопротивление при наклонно
расположенной к течению
пластинке. (Равнодействующая
лишь при тонких пластинках
направлена практически
перпендикулярно к поверхности
пластинки.)
Рис. 289. Возникновение разгонного вихря из
обтекающего несущую поверхность течения (ср. рис. 271
на стр. 216). Жидкость и наблюдатель (камера)
неподвижны, несущая поверхность движется налево.
Кроме того, его надо сделать или «бесконечно» длинным,
или (как на приборе для демонстрации течения, рис. 257)

228
X. ДВИЖЕНИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
Рис. 290—292. К
возникновению подъемной силы
несущей поверхности.
Рис. 290 — потенциальное
течение без вихревого поля
(модельный опыт), рис. 291—
схема вихревого поля без
вращения, рис. 292 —
наложение обоих полей.
Вихревое поле без вращения
нельзя наблюдать отдельно: или
к нему прибавляется
параллельное течение, или же
течение обтекания.
Рис. 293. Линии тока1 около
вращающегося цилиндра.
ограниченным плоскостями. На такой
несущей поверхности легко усмотреть
происхождение подъемной силы: в начале
движения только один из двух
возникающих вихрей отталкивается от крыла
(^ рис. 289), другой (Г>) обегает
обтекаемое тело, как свободное от вращения
вихревое поле. На верхней стороне оно имеет
одинаковое направление с
поступательным движением жидкости, на нижней
стороне, напротив, оба течения
направлены противоположно. Вследствие
этого жидкость течет вверху быстро,
внизу медленно. Вверху возникает область
пониженного статического давления, крыло
засасывается туда, оно испытывает
действие динамической подъемной силы,
направленной перпендикулярно к
поступательному течению. Наблюдению обтекания,
несомненно, мешают размытые очертания
крыла. Поэтому лучше Бсего нарисовать
общее течение, т. е. параллельное течение
и обтекание. В первый момент
возникает потенциальное течение, как на
рис. 290. Затем отталкивается разгонный
вихрь, и образуется изображенное на
рис. 291 свободное от вращения
вихревое поле. Оба потенциальных течения
вкладываются и дают поле течения,
изображенное на рис. 292.
Несущие поверхности можно заменить
вращающимся цилиндром. Образование
вихревого поля происходит во времени
точно так же, как и при наличии
несущей поверхности. Прежде всего на
задней поверхности возникает разгонный
вихрь и уносится потоком. Наконец,
получается воспроизведенная на рис. 293
картина линий тока. При указанном
направлении движения цилиндр испытывает
подъемную силу в направлении,
указанном стрелкой.
Для Демонстрации этого явления
употребляют легкую картонную катушку величиной со
свернутую салфетку (рис. 294). Ее концы
закрыты слегка выступающими кружками*

§ 96. ДИНАМИЧЕСКАЯ ПОДЪЕМНАЯ СИЛА
229
На эту катушку наматывается полотняная лента. Свободный конец ленты
прикреплен к палочке, как кнут к кнутовищу. Это кнутовище дергают вбок
в горизонтальном направлении. От
этого цилиндр получает
горизонтальную скорость.
Разматывающаяся лента сообщает ему
одновременно и вращение. Вместо
горизонтально начинающейся
параболы цилиндр улетает по
высоко поднимающемуся пути и
описывает петлю.
В обоих случаях, как при
несущих поверхностях, так и
при вращающемся цилиндре,
динамическая подъемная сила
Рис. 294. Динамическая подъемная
сила вращающегося цилиндра (эффект
Магнуса).
подчиняется открытому
независимо друг от друга М. В. Кутта и Н. Е. Жуковским соотношению
$а = риП B06)
(р — плотность, и—скорость жидкости,
/—длина несущей поверхности или вращающегося
цилиндра, Г—циркуляция вихревого поля,
свободного от вращения).
В природе и технике никогда не имеют
дела с плоским обтеканием несущих
поверхностей или вращающихся цилиндров.
Концы несущих поверхностей или
цилиндров не бывают ограничены с обеих
сторон расширяющимися плоскостями,
как поверхности стеклянной кюветы на
рис. 257. Также не могут применяться
и бесконечно длинные несущие
поверхности или цилиндры. Но конечная длина
вносит нечто существенно новое:
окружающее несущие поверхности вихревое
поле (потенциальный вихрь) возбуждает
не только подъемную силу, но и
сопротивление, направленное навстречу
движению и называемое индуктивным. Его
происхождение можно кратко объяснить
(рис. 295) так: на обоих боковых концах
несущих поверхностей область высокого
давления у вогнутой стороны граничит
с областью низкого давления у выпуклой
Рис. 295. К возникновению
индуктивного сопротивления
крыла. Маленькие круглые
стрелки должны лишь
пояснять направление движения,
а не границы области
течения. Воздух течет вверх
в обширной области вблизи
краев поверхности,
пройденной крылом. Поэтому
многие птицы, например утки
и гуси, охотно летят сбоку
одна за другой, образуя
«клинья» или «цепочки».
Каждая птица, за
исключением головной, летит при
этом в восходящем потоке
воздуха и поэтому
использует его подъемную силу
с малой мощностью. Лишь
головная птица лишена этой
помощи, поэтому она должна
время от времени сменяться.
стороны. Воздух течет от вогнутой к
выпуклой стороне- На обоих концах крыла возникают вихри. Они
образуют вместе с вихревым полем вокруг несущей поверхности,
играющей роль керна, и с разгонным вихрем один-единственный

230 X. движения в жидкостях и газах
замкнутый вихрь. Его длина постепенно возрастает, на концах
крыла новые порции воздуха приходят во вращение. Требуемая для
этого работа должна совершаться силой, а противоположная ей
сила и есть «индуктивное сопротивление». Без сопротивления
самолету не требовалось бы в свободном от трения воздухе никакого
мотора для того, чтобы держаться на постоянной высоте.
Обзо𠧧 95 и 96. Кроме силы, возникающей из-за трения
в пограничном слое (ламинарном или турбулентном), можно
установить еще два других вида сил взаимодействия между практически
свободной от трения жидкостью и твердым телом. Во-первых,
образование вихрей на задней части вызывает (подобно трению
в пограничном слое) сопротивление против направления движения.
Во-вторых, из-за вихревого поля без вращения с телом в качестве
керна возникает динамическая подъемная сила (перпендикулярно
к направлению невозмущенного течения), а также, даже если тело
обладает хорошей формой несущей поверхности, вследствие его
конечной длины—индуктивное сопротивление (как любое
сопротивление, противоположное по направлению свободному течению).
§ 97. Применения динамической подъемной силы имеют место
прежде всего среди разнообразных видов несущих поверхностей и
крыльев1). Примеры:
1. Детский воздушный змей прочно держится при ветре на нитке,
протянутой с земли. При этом воздух может обтекать змей, не унося
его в горизонтальном направлении. Приближение профиля змея
к хорошей несущей поверхности довольно слабое, но вполне
достаточное.
2. У самолета обтекание нормально поддерживается мотором и
пропеллером. Существенное сказано уже в § 43. После выключения
мотора кинетическая энергия тратится на преодоление индуктивного
сопротивления (следствие конечной длины крыла) и трения в
пограничном слое.
Эти потери должны быть возмещены из запаса потенциальной
энергии, т. е. самолет должен медленно парящим полетом
приближаться к земле. Угол наклона пути определяется отношением
!) Для грубых расчетов следует отметить употребительные приближенные
формулы: подъемная сила ®а = —- ри2/7, сопротивление $^;=ь: от 1 до 10% $а
(Г—площадь крыла). -^ ри2 есть динамический напор //. Поэтому техники
часто пишут
К^Сар'Г и йту^
и дают числовые значения для са и с^-, «коэффициентов» подъемной силы
и сопротивления; часто пользуются диаграммой, называемой полярой, для
разных углов атаки, т. е. углов между хордой крыла и направлением
движения,

§ 97. ПРИМЕНЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ
231
сопротивления к подъемной силе; это отношение называют
коэффициентом планирования.
Парящий полет составляет основу планирующего полета, который
мастерски выполняется спортсменами-летчиками и многими птицами.
При планирующем полете высоту можно приобретать двумя способами:
а) Парящим полетом в восходящем потоке воздуха.
Примеры. Чайка, которая парит в направленном наклонно
вверх потоке воздуха за кормой корабля. Хищная птица,
которая описывает круги в восходящем от краев фабричной
трубы потоке теплого воздуха.
б) Использованием вертикального градиента
горизонтальной скорости воздуха. В пограничном слое
воздуха над земной поверхностью (сушей или морем) с
высотой горизонтальная скорость ветра возрастает.
Пример. Альбатрос скользит в направлении ветра по
плоской траектории вниз. При этом он запасает кинетическую
энергию. Вплотную над поверхностью моря он делает петлю
и становится против ветра. При этом он круто взмывает на
высоту, так как благодаря своему запасу кинетической
энергии, он проникает в слои возрастающей скорости ветра. Вверху
он делает другой поворот, снова скользит по ветру вниз и т. д.
3. Действие самолетного пропеллера уже
описано в § 43: пропеллер создает воздушную струю,
направленную назад; возникающая при этом сила
противодействия гонит самолет вперед.
Правильно и другое объяснение: вращающаяся
лопасть представляет собой несущую поверхность, на
нее действует слагающая подъемной силы, которая
влечет лопасть и самолет вперед. На рис. 296 дана
схема двухлопастного пропеллера. Намеченный
пунктиром круг обозначает плоскость вращения лопасти,
прямоугольник должен представлять горизонтальную
плоскость; она пересекает строго вертикально
расположенную лопасть под прямым углом. В этой плоскости
сечения лопасть имеет изображенный на рис. 297 профиль.
Стрелки, находящиеся слева, показывают скорости по величине и по
направлению: воздух течет почти перпендикулярно к плоскости
вращения лопасти, но с очень маленьким углом атаки по отношению к
лопасти. Соответственно этому, точно так же как и у несущей
поверхности, статическое давление на «вогнутой стороне» лопасти больше, а
на «выпуклой стороне» меньше (демонстрационный опыт на рис. 296).
Стрелка $а дает подъемную силу, стрелка Я» — ее движущую
составляющую, перпендикулярную к плоскости вращения лопасти.
4. У крыльев ветряных мельниц (рис. 298) все происходит так же,
как и у пропеллера. Только для того, чтобы привести ветряное
колесо во вращение, используется не составляющая подъемной силы,
Рис. 296.
Схема
двухлопастного
пропеллера.
Жидкостный
манометр
показывает
разность
давлений
между
обеими
сторонами
плоскости, в
которой
вращается
лопасть.

232
X. ДВИЖЕНИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
перпендикулярная к плоскости вращения крыла, как у пропеллера,
а составляющая, параллельная ей. При этом скорость крыла
с увеличением расстояния от втулки может во много раз превысить
скорость ветра.
5. Действующая на вращающееся тело подъемная сила (например рис. 293)
по временам используется в спорте.
Пример. Резаный, т. е. получивший удар по касательной, теннисный мяч»
Спорость
воздуха
Движущая сила
в направлении
полета
Скорость
воздуха
Перпендикулярно
I контуру крыла
Лотсти по
отношению к земле
Движущая сипа,
параллельная плоско
ла
Лопасти по
отношению к полету
Рис. 297. К действию лопасти
пропеллера
Рис. 298. К действию крыла ветряной
мельницы.
6. Очень привлекательна тема о полете животных (насекомых,
птиц, летучих мышей, ископаемых летавших пресмыкающихся),
но здесь она завела бы нас слишком далеко. Крылья животных
выполняют двоякую функцию: как несущие поверхности они должны
доставлять динамическую подъемную силу; как колеблющиеся, но
не вращающиеся пропеллеры они должны создавать относительную
скорость между летящим животным и воздухом.

Б. АКУСТИКА
XI. УЧЕНИЕ О КОЛЕБАНИЯХ
§ 98. Предварительное замечание. Знания о колебаниях и волнах
первоначально развивались в самой тесной связи со слухом и
вопросами музыки. Ведь наш организм имеет в своем ухе чрезвычайно
чувствительный индикатор механических колебаний и волн в
поразительно широкой области частот (примерно от 20/сек до
22 000/сек). Однако значение полученных таким образом фактов и
закономерностей выходит далеко за пределы частной области
«акустики, или учения о слухе». Поэтому в настоящее время совершенно
правильно отделяют чисто механические вопросы учения о
колебаниях от проблем физиологической акустики. С этой точки зрения
и подразделен материал обеих следующих глав.
§ 99. Получение незатухающих колебаний. До сих пор мы
рассматривали исключительно синусоидальные колебания простого
маятника с линейным законом силы. Схема такого рода маятника
дана на рис. 55—57. Колебания этого маятника возбуждались
толчком, сообщенным маятнику. Они были затухающими, их
амплитуды с течением времени убывали. Маятники постепенно теряли
подведенную при первоначальном «возбуждении толчком» энергию,
главным образом благодаря неизбежному трению.
Однако в настоящее время приходится применять для
бесчисленных физических, технических и музыкальных целей незатухающие
колебания, т. е. колебания с амплитудой, остающейся все время
постоянной. Получение таких незатухающих колебаний требует
постоянного возмещения указанных выше потерь энергии.
Придуманные для этой цели способы называют общим именем —
«саморегулирование». Маятник приводит в действие приспособление, которое
в надлежащий момент ускоряет его движение в нужном направлении.
Классический образец саморегулирования дают нам часы
с маятником (рис. 299). Они заимствуют энергию за счет
потенциальной энергии поднятого груза М. Передача происходит при
помощи «спускового храпового колеса» с несимметрично
нарезанными зубцами и жестко связанной с маятником дугой «якоря»
(анкера). Посредством этого якоря маятник скачками управляет

234
XI. УЧЕНИЕ О КОЛЕБАНИЯХ
перемещением спускового колеса и подачей энергии от
опускающегося груза М. В изображенном положении зубец давит на
внутреннюю поверхность правого выступа якоря Ь и сообщает тем
самым маятнику ускорение в направлении стрелки в левую сторону.
Вскоре после прохождения через среднее по-
*ВИЧГ"^В^ИИИИВ|1И ложение зубец сползает с Ь, и тотчас же за
1/т этим носик а снова подхватывает спусковое
р у ■Д[ \ колесо. Зубец давит на наружную сторону
х*Л<^ носика а, маятник получает ускорение вправо
^ а |^6 и т* д>
Н| I Саморегулирование практи-
I чески применяется в
многочисленных вариантах, часто при
помощи исключительно механических
средств. Можно, например,
добиться периодического
подключения способного колебаться
устройства к источнику энергии
посредством «склеивания» или
«сцепления» двух тел,
находящихся друг относительно друга
в покое. Пример:
Рис. 299.
Саморегулирование маятника с
якорем и спусковым
колесом.
На рис. 300 мы видим (вид сбоку)
маятник величиной со средний
маятник часов. При помощи двух
подклеенных кожей зажимов он посажен на ось около 4 мм
толщиной. При пуске в ход оси (она вращается) маятник
увлекается ею вперед. Зажимы склеиваются или сцепляются с осью
(«грение покоя»). При определенном размахе момент
вращения, создаваемый весом маятника, слишком велик, сцепление
разрывается. Щеки зажима скользят по оси, тормозясь
внешним трением. Маятник идет назад. При следующем затем
обратном ходе маятника вперед в определенный момент
относительная скорость между подкладкой зажима и осью равна
нулю. Оба тела находятся в относительном покое, зажим
снова схватывает ось, и маятник увлекается вперед до
положения срыва. Начинается второе колебание с той же
амплитудой, как и первое, и т. д.
Очень распространено также саморегулирование
потоком воздуха. Рис. 301 показывает его в
применении к камертону.
Рис. 300.

Саморегулирование
маятника с
трением на
оси. Кожа на
щеках
зажима должна
быть, как у
смычка,
натерта
канифолью.
Длина маятника

приблизительно 30 см,
масса —
около 200 г.
Существенная часть представлена в разрезе на дополнительном рис. 302.
Поршень а входит с небольшим зазором в цилиндр Ь, но нигде его не
касается. Цилиндр связан с воздухопроводом высокого давления. Давление
воздуха выталкивает поршень из его положения покоя в цилиндре и,
следовательно, гонит ножку камертона вправо. По выходе поршня между ним
и стенкой цилиндра получается кольцевая щель. Через эту щель воздух
выходит по тесно сжатым линиям тока. Следовательно, по уравнению Бер-

§ 99 ПОЛУЧЕНИЕ НЕЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ
235
нулли (стр. 215) статическое давление воздуха уменьшается и поршень снова
засасывается в цилиндр.
За последнее столетие большое распространение получило
применение электричества для саморегулирования механических коле-
Рис. 301.
Гидродинамическое
саморегулирование камертона.
Рис. 302. К
гидродинамическому саморегулированию
камертона.
баний. Старинный пример представляет собой домашний
электрический звонок, хорошо известный теперь всякому школьнику (рис. 303).
Это—маятник с железной штангой, подвешенный перед полюсом
электромагнита М. Штанга несет на себе
контактную пружину прерывателя тока 5.
В способе действия электрического звонка
часто упускается из вида одно важное
обстоятельство. Во время замыкания тока маятник
получает ускорение от электромагнита. Это
ускорение имеется не только во время четверти
колебания 1->0, но и во время четверти 0->1.
Но на пути 0-> 1 ускорение имеет неправильный
знак. Оно направлено против движения маятника.
Оно замедляет маятник и уменьшает его энергию.
Следовательно, обязательно должно быть
выполнено добавочное условие: выигрыш в энергии на
пути 1->0 должен быть больше, чем потеря ее
на пути 0->1. Маятником используется только
разность этих двух количеств энергии.
Практически это значит: ток в электромагните на пути
0 -> 1 должен быть в среднем по времени меньше,
чем на пути 1->0. Итак, ток в электромагните
после замыкания контакта должен при движении
маятника 0~> 1 нарастать постепенно.
Это нарастание тока технически достигается
самоиндукцией цепи. Для демонстрации берут,
как на рис. 303, медленно качающийся
маятник (V = 2/сек), а в цепь тока вводят
вспомогательную катушку Ь с большой индуктивностью («Учение об электричестве»,
§ 76). Лампочка накаливания, помещенная под положением равновесия
маятника, позволяет удобно проследить за медленным нарастанием тока (рис. 304):
при каждом колебании лампочка начинает светиться только тогда, когда
маятник поворачивает назад у места наибольшего отклонения /.
Рис 303.
Саморегулирование маятника с
электромагнитом.

236
XI. УЧЕНИЕ О КОЛЕБАНИЯХ
Рис. 305 показывает кривую колебаний электрического звонка
по удалении колокольчика. Стержень молоточка был помещен
известным нам (рис. 10) способом перед щелью, и его движение было
записано фотографически. В этом случае течение колебаний во
времени заметно отклоняется от простой синусоиды: ее дуги выглядят
слегка заостренными. Это вовсе не исключительный случай. При
всяком саморегулировании страдает синусоидальная форма
колебаний. Устранение затухания достигается ценой отказа от строго
синусоидальной формы колебаний. Однако
целесообразной конструкцией эти
отклонения можно сделать значительно
меньше, чем в наших примерах, где они
намеренно преувеличены для целей
демонстрации.
Во многих современных видах
саморегулирования механических колебаний
электрическими средствами пользуются
триодами (элекронными трубками и
транзисторами). Пример можно найти в «Учении об
электричестве» A5-е изд., рис. 275).
Около 1/2 периода
(Юлебании молоточка
Рис. 304. Изменение тока
во времени при
саморегулировании по рис. 303 (схема
домашнего электрического
звонка).
АЛЛдддАЛ
Рис. 305. Форма колебаний молоточка
звонка.
§ 100. Представление несинусоидальных колебательных
процессов при помощи синусоидальных колебаний. На рис. 52—54
мы графически изобразили, как при простом колебании
периодически изменяются со временем отклонение, скорость и ускорение:
подобные «графики колебаний» в каждом случае дают чертеж
простой синусоидальной кривой.
Большая часть экспериментально наблюдаемых картин
колебаний обнаруживает зачастую очень значительные отклонения от
синусоидальной формы. Но, несмотря на это, график
синусоиды приносит большую пользу. Это можно показать следующим
образом.
Синусоида графически выражает зависимость между углом и его
синусом. Мы видим это на рис. 306, если вместо амплитуды Ах
подставить число 1.
Произвольно выбранную длину I назовем «периодической
длиной». Под кривой / начерчены две другие синусоиды. Их
периодические длины равны целым частям от Ь, а именно Ц2, 1/3. Их
амплитуды А2 и А3 выбраны произвольно. Можно продолжить этот ряд
изображений с А/4, ЦЬ, . .. и Л4, ЛБ, . . .

§ 100. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
237
Из ряда подобных синусоид с подходяще выбранными
амплитудами и фазами путем чисто геометрического сложения можно
составить периодическую кривую любой формы. В качестве
примера приведем два геометрических построения на рис. 307, а именно:
профили пилы и поперечного сечения решетки с узкими
пропускающими и широкими непро-
пускающими площадками.
Однако для нас важнее, чем
периодические структуры,
прежде всего изображения сложных
периодических колебаний.
Покажем на опытах, как их составить
из простых синусоидальных
колебаний.
График колебаний показывает,
каким образом одна из
характеристических для колебаний
величин, например отклонение или
скорость, зависит от времени. В этом
случае периодическая длина I
служит мерой для времени Т,
называемого «периодом». Мы
начнем с демонстрации сложения двух
1* АЛ. П
Рис. 306. Три синусоиды,
периодические длины которых (например Ь
на кривой /) относятся между собой,
как целые числа.
НеМ С Демонстрации слитспил до)л
синусоидальных колебаний. Для этого нужно лишь исходить из
уже часто применявшейся нами связи между круговым движением
и синусоидальным колебанием. Мы
заставим вращаться стержень перед
щелью и будем рассматривать в
пространственной последовательности
временную последовательность изображе-
Рис. 307. Две геометрические нид щели (многогранное зеркало на
периодические структуры- На- ПуТ11 луча). Стержень и щель мы видим
верху — профиль пилы, внизу—
сечение решетки. Эти примеры
показывают, почему
периодическая длина Ь, вообще
говоря, не может обозначать длину
волны.
в окошке на рис. 308. Стержень с
обеих сторон закреплен своими
концами на окружностях двух кругов /
и //. Круги вращаются одним
электромотором. Зубчатые колеса
позволяют установить неизменное целочисленное отношение частот
и, кроме того, любую разность фаз между обоими колебаниями.
Для этого можно оттянуть вправо зубчатое колесо
жиной/% повернуть его на желаемый угол по отношению
и потом снова сцепить их.
Щель может горизонтально перемещаться внутри окошка.
Вследствие этого отношение амплитуд может быть установлено на
любую желаемую величину.
нижнему

238
XI. УЧЕНИЕ О КОЛЕБАНИЯХ
Колебания 5, частоты которых после сокращения относятся,
как целые числа, мы теперь будем обозначать теми же числами
в индексе, например 51} 52« *^з» • • • Такие же индексы мы
используем и для амплитуд А. Приведем несколько примеров.
Рис. 308. Демонстрационный
прибор для сложения двух
синусоидальных колебаний. Обе оси /
и 2 при помощи зубчатых колес
приводятся во вращательное
движение электромотором,
насаженным на ось 3.
Рис. 309. Сложение двух синусоидальных
колебаний 5! и 55, частоты которых
относятся, как 1 : 5. Это изображение, как
и следующие (рис. 310—312),
представляет собой фотографические
регистрации, полученные с помощью прибора,
показанного на рис. 308.
На рис. 309 мы видим два колебания 5Х и 56, т. е. колебания,
частоты которых относятся, как 1 : 5. Отношение амплитуд Ах : Л2
выбрано округленно 3:1. Результат сложения обеих синусоид
помещен в нижней части чертежа: изображение колебания 8Г
подобно синусоидальной кривой, нарисованной сильно трясущейся
рукой.
\ЛЛЛЛУ УЛЛЛДЛЛЛЛ/ \ЛЛ/\ЛЛЛЛЛЛЛ/\ЛЛ 5,
Время I —-
Рис. 310. Сложение двух синусоидальных
колебаний $ю и 59, т. е. двух колебаний,
частоты которых относятся, как 10 : 9.
Результирующее колебание 5Г изображает биение.
На рис. 310 показаны два синусоидальных колебания 59 и 510
с приблизительно одинаковыми амплитудами Л9д=:Л10. Результат
сложения обеих синусоидальных кривых помещен в нижней части
чертежа EГ). Он похож на синусоидальную кривую с периодически

§ 100. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
239
изменяющейся амплитудой. Такую картину колебаний называют
кривой биений. В избранном примере в каждом минимуме биения
колебания совершенно исчезают. В момент минимума одинаковые
амплитуды двух частных колебаний направлены противоположно.
Разность фаз их равна 180°. В максимуме биения, наоборот, обе
амплитуды складываются с нулевой разностью фаз и дают отклонение,
вдвое большее отдельной амплитуды. Если амплитуды отдельных
колебаний не равны, то образуются менее совершенные биения.
На рис. 311 два верхних
чертежа изображают колебания $! ^ х/'х^тч/ч^тч./х/гч/ 5г
и 52 с отношением амплитуд §
Сложение дает на оси времени
симметричную кривую 5Г.
На рис. 312 мы используем
такие же колебания 5Х и 52, как
и на рис. 311, но
колебание 52 начинается в момент г == 0
с фазой 90°, или со своего
максимального отклонения.
Результирующее колебание 5Г, несмотря
на одинаковые с рис. 311
амплитуды и частоты, имеет совершенно
другой вид. Оно протекает не- баний 51 и
симметрично по отношению к оси
Время с
Время I—*~
Рис. 311 и 312. Сложение двух коле-
т. е. колебаний,
частоты которых относятся, как 1 : 2.
Сравнение обеих результирующих
времени. В этом примере отчет- кривых 5Г показывает влияние фазы
ливо показано влияние фаз на вид на форму колебаний,
результирующего колебания.
Столь различны результаты сложения всего лишь двух
синусоидальных колебаний: на рис. 309—312 мы могли представить при
помощи двух синусоид кривые уже не синусоидальной формы. Слово
«представить» имеет при этом двоякий смысл: оно означает и
«произвести» и «описать».
На рис. 309—312 даже в сложных, несинусоидальных кривых
через каждый период 7\ определенная картина колебаний
повторяется во всех частностях. Обратную величину 1/7\- называют
основной частотой 7Х несинусоидального колебательного процесса.
Частоты обоих колебаний суть целые кратные этой основной
частоты. Без этой целочисленности периодическое повторение всего
процесса колебаний было бы невозможно.
Соответственным образом, прибавляя дальнейшие частные
колебания, мы можем «представить» сколь угодно сложные кривые
колебаний. Нужно надлежащим образом подобрать амплитуды и
фазы отдельных колебаний. Их частоты должны быть все без

240
XI. УЧЕНИЕ О КОЛЕБАНИЯХ
исключения целыми кратными основной частоты сложной кривой.
Лучше всего это видно на примерах. Их мы приведем два.
На рис. 313 мы еще раз построили кривую биений из двух
частных колебаний 59 и 510. На эту кривую мы наложим теперь
Время
Рис. 313. Асимметричное колебание 5Г при
наложении разностного колебания 51 = Зда-э) на
сумму двух синусоидальных колебаний 5ю и 59.
Частота этого колебания равна поэтому разности
обеих других частот.
еще третью синусоиду 51 = 510_9. Ее частота должна быть,
следовательно, равна разности частот двух первых колебаний. Кроме
того, ее положительные максимумы должны совпадать с
максимумами кривой биений. После
наложения такого «разностного колебания»
из кривой биений, которая
первоначально была вполне симметрична оси
абсцисс, получается несимметричная
кривая. Степень этой асимметрии
очевидным образом зависит.от амплитуды
приложенного разностного колебания.
Во втором примере мы представим
изображенное в верхней части рис. 314
колебание /, состоящее из
периодической последовательности
«прямоугольников», с помощью синусоидальных
колебаний. Это уже удается со сносным
приближением, если графически
сложить всего лишь три синусоиды 515 53
и 5б. Получается кривая 5Г на рис. 314.
Приближение может быть сколь угодно
улучшено, если еще прибавлять 57,
5в, ...
Итак, мы можем изображенное на
рис. 314 колебание / приближенно
описать с помощью трех находящихся под ним синусоидальных
колебаний. В аналитической форме это описание имеет следую-
Время
Рис. 314. Представление
прямоугольных колебаний / с
помощью трех синусоидальных
колебаний 5^ 53 и 55. В
кривую 5Г кривая / переходит
при поднятии на высоту А до
оси абсцисс

§ 101. СПЕКТРАЛЬНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ СЛОЖНЫХ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ 241
щий вид:
...) B07)
\х — отклонение, со = — .
Но такое же изображение прямоугольного колебания можно
осуществить на опыте, заставляя падать на движущуюся
фотографическую пластинку луч света, последовательно отражающийся
от зеркал, синусоидально колеблющихся с надлежащей частотой,
амплитудой и фазой. Однако такой опыт не стоит столь сложной
экспериментальной обстановки. Можно гораздо проще, в случае
нужды, добиться получения прямоугольных колебаний. Особенно
удобно сделать это при помощи электрической вспомогательной
установки. Можно, например, маятниковый или вращательный
храповой механизм включить в цепь электрического тока и прерывать
им постоянный ток. В этом случае отклонение соответствует
прохождению постоянного тока и кривая всегда проходит выше оси
абсцисс EГ). Поэтому от кривой 5Г нужно вычесть постоянное по
времени отклонение, представляемое прямой, параллельной оси
абсцисс. Эта прямая должна лежать на расстоянии А над осью
абсцисс и передавать среднее по времени значение прерывистого
постоянного тока. Можно считать эту прямую линию синусоидой
с частотой, равной нулю.
Ценность «представления» сложных процессов колебаний при
помощи простых синусоидальных колебаний лежит не в их
экспериментальном осуществлении, а в их описании.
§ 101. Спектральное изображение сложных форм колебаний.
Описание сложных форм колебаний графическим путем можно
упростить еще больше. Для этого сложный колебательный процесс
представляют в виде спектра.
Спектр содержит на горизонтальной оси абсцисс частоты
отдельных частных колебаний. Ординаты, называемые спектральными
линиями, своей длиной изображают амплитуды отдельных
используемых частных колебаний.
Так, рис. 315 дает спектр, соответствующий изображению
колебания 5Г на рис. 314. Это — линейчатый спектр, простейшее
изображение колебательного процесса. Однако такое чрезвычайно
простое описание является неполным в одном отношении: спектр
не содержит никаких данных относительно фаз. А между тем
знание фаз необходимо для графического построения кривой
колебаний. Впрочем, это знание не обязательно для целого ряда
важных физических задач, связанных с несинусоидальными колебаниями.
На рис. 314 рассмотрен частный случай. Там было т/Г=1/2.
Чем меньше отношение т/Г, тем больше возрастает число требую-

242
XI. УЧЕНИЕ О КОЛЕБАНИЯХ
щихся синусоидальных колебаний. В качестве примера возьмем
х/Т = 1112 (рис. 316).
На рис. 316 линейчатый спектр этого прямоугольного изображения
колебаний представлен первыми 20 спектральными линиями. Если сложить
первые 10 из этих частных колебаний, то получится периодическая
Кривая ///; итак, недостает еще
резких верхних углов у Ь и с. На
графике IV введено 10
последующих спектральных линий.
Вследствие этого началось
формирование по крайней мере верхних углов
Ъ и с. Для образования нижних
углов а и Ь следует взять
большое количество дальнейших
спектральных линий. То же самое
относится вообще и к отрезку кривой,
содержащему прямую, круто
подымающуюся от оси времени,
например крутые части профиля зубцов
пилы.
О 5 Ю 15 20-Ю/сек
Частота частных шебаниц
0 2 4 а/сек
Частота частных колебаний
Рис. 315. Линейчатый спектр
прямоугольных колебаний,
изображенных внизу на
рис. 314. а — любое число,
например 103, которое
выведено из используемых частот
как общий делитель. Для
симметричной по отношению
к оси абсцисс формы
колебаний / в верхней части
рис. 314 спектральная линия
нулевой частоты должна
быть отброшена.
1ч» г~
А
о
ао5
Время-
щсек
Рис. 316. Представление
прямоугольного колебания при
продолжительности отброса г (например тока),
очень малой по сравнению с
периодом Т. График // дает первые 20
спектральных линий
соответствующего линейчатого спектра.
Спектральная линия с нулевой частотой
обозначает «постоянный» отброс
(например постоянный во времени ток).
Кривая ///—результирующая
первых 10 частных колебаний, кривая
IV— результирующая первых 20
частных колебаний.
Приведем еще два примера спектров важных колебательных
процессов.
Случай I. Линейчатые спектры затухающих колебаний при
периодическом возбуждении толчком. Для краткости мы берем
числовой пример: какое-либо способное колебаться тело дает
синусоидальные колебания без затухания с частотой V = 400/сек.
После возбуждения одним толчком оно дает синусоидальную кривую
постоянной амплитуды и неограниченной длины. Его спектр состоит
всего из одной лишь спектральной линии с частотой 400/се/с.

§ 101. СПЕКТРАЛЬНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ СЛОЖНЫХ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ 243
Пусть затем это колеблющееся тело каким-либо образом
тормозится. Вследствие этого оно при однократном возбуждении
толчком обнаруживает колебания с убывающей амплитудой и
ограниченной длины (рис. 323). Над ним мы видим колебания
того же тела при периодически повторяющемся возбуждении
толчком.
На рис. 321 новый толчок следует через каждые восемь, на
рис. 319 — через каждые пять, на рис. 317 уже после каждых двух
колебаний. Рядом с каждой из этих трех кривых колебаний мы
находим соответствующий ей спектр. Ни один из них не дает простого
спектра незатухающих колебаний, т. е. единственной спектральной
линии при частоте 400/сек. К этой первоначальной частоте 400/сек
присоединяется еще целый ряд дальнейших спектральных линий. В каждом
из трех спектров самой низкой частотой является «частота толчков».
Начиная сверху, она равна в этих трех спектрах соответственно 200,
80 и 50/сек.
Частота толчков — основная частота V1 каждого из трех
несинусоидальных колебаний. Все остальные спектральные частоты
должны быть целыми кратными взятой в каждом данном случае
частоты толчков. Поэтому при трех различных частотах толчков
спектральные линии могут совпадать лишь в единичных случаях.
Но они находятся — и это существенно — в одной и той же области
частот. Все три линейчатых спектра имеют (при надлежащем
подборе масштаба ординат) одну и ту же огибающую, начерченную
пунктиром.
С уменьшением частоты толчков число отдельных колебаний или
спектральных линий, необходимых для спектрального представления
процесса, постоянно возрастает. Нужно иметь все больше и больше
синусоидальных колебаний, чтобы взаимным уничтожением их амплитуд
изобразить «провалы» между затухающими колебаниями. Таким
образом мы, наконец, достигаем, при переходе к пределу, важного
случая II.
Случай II. Непрерывный спектр затухающего колебания при
возбуждении единичным толчком. На рис. 323 мы имеем
затухающее колебание после возбуждения одним толчком, а на рис. 324 —
его спектр. Спектральные линии теперь сблизились бесконечно плотно.
Они непрерывно заполняют всю область внутри огибающей, которую
мы раньше чертили пунктиром. Эта кривая начерчена поэтому в виде
зачерненной площади. Вместо линейчатого спектра получился непре-
рывный спектр х).
Эти важные соотношения изложены нами в этом параграфе лиш!
чисто описательным образом. Их графический вывод отнимает очень
много времени. Их аналитический вывод подробно рассмотрен во всех
*) Математически это выражается тем, что при переходе к пределу
место ряда Фурье занимает интеграл Фурье.

200 400 600 800
Частота в сен'1
Рис. 317. Толчок через каждыг
два колебания или частота
толчков 200 сек~К
Рис. 319. Толчок через каждые
пять колебаний или частота
толчков 80 сек~К
200 400 600
Част от а в сеп
гор 4оо т воо
Частота в сен-'
Рис. 321. Толчок через восемь
колебаний или частота толчков
50 се
а.
03
о
с
к
я
•в-
га
О,
и
ЩЯ пО2
Время
0,03сек
Рис. 323. Толчок последовал
только один раз.
Рис. 324. Непрерывный
спектр соседнего
затухающего колебания,
возбужденного толчком только
один раз. Ордината А,
умноженная на интервал
частоты Д\ дает среднюю
амплитуду колебаний в
сантиметрах в этом
интервале частот.

§ 103. УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 245
математических курсах. Кроме того, в § 109 мы докажем
правильность нашего представления колебаний на основе наглядных
экспериментальных данных.
§ 102. Общие свойства собственных упругих колебаний
твердых тел произвольной формы. До сих пор мы приводили способные
совершать колебания тела или «маятники» всегда к одной и той же
простой схеме: инертному телу, воспринимающему кинетическую
энергию, и упругой пружине, воспринимающей потенциальную
энергию. Самой наглядной формой этой схемы был шар между двумя
пружинами (рис. 55). Будем в дальнейшем называть это
приспособление элементарным маятником. Для большинства
употребляющихся нами до сих пор способных колебаться объектов эта схема
была достаточна, хотя в некоторых случаях и несколько груба.
Однако она ни в коем случае не может годиться для всех
встречающихся случаев. Очень часто раздельная локализация инертного
тела и пружины невозможна. Ведь в конце концов могут колебаться
все тела какой угодно формы. Об этом говорит нам опыт
повседневной жизни. Таким образом, мы приходим к проблеме
собственных упругих колебаний любых тел.
Ради простоты мы ограничимся сначала телами особенно простой
геометрической формы. Мы будем рассматривать колебания
линейных предметов, т. е. тел с преобладающим протяжением длины.
Сначала мы возьмем натянутые ленты, проволоки, спиральные
пружины, цепи и т. д. Затем рассмотрим колебания твердых
линейных тел, как, например, стержней из металла или стекла. Для
вывода собственных колебаний этих линейных тел мы используем
взаимосвязь большого ряда элементарных маятников. Другой способ
будет приведен позднее, в § 117. В нем используется наложение
встречных бегущих упругих волн.
§ 103. Упругие поперечные колебания напряженных линейных
твердых тел. На рис. 55 был изображен простой элементарный
маятник. Колебание по направлению длины его пружин мы будем
в дальнейшем называть продольным колебанием, перпендикулярное
к длине пружины — поперечным колебанием. Сначала мы
воспользуемся поперечными колебаниями.
На рис. 325 и 326 два таких маятника сцеплены или «связаны»
друг с другом. Эта система может колебаться двумя способами.
В первом случае оба шарика колеблются в одном направлении или
«в фазе». На рис. 325 даны два моментальных снимка этих
колебаний. Во втором случае оба шарика колеблются в
противоположных направлениях, или со сдвигом фазы на 180\ И здесь на
рис. 326 даны два моментальных снимка.
Частоты в обоих случаях различны. На рис. 326 мы при помощи
секундомера наблюдаем большую частоту, чем на рис. 325. При
двух связанных элементарных маятниках мы, следовательно,
наблюдаем два поперечных собственных колебания с частотами V! и ч2-

246
XI. УЧЕНИЕ О КОЛЕБАНИЯХ
Совершенно таким же образом на рис. 327 связаны три
элементарных маятника. На этот раз возможны три различных поперечных
колебания, и все три показаны на соответствующих моментальных
Рис. 325. Поперечные колебания двух
спязанных элементарных маятников.
Оба тела в одной фазе.
Моментальный снимок.
Рис. 326. Поперечные колебания двух
связанных элементарных маятников.
Тела смещены по фазе на 180°.
Моментальный снимок.
Первое поперечное собственное колебание,
или основной тон.
снимках. Их экспериментальное осуществление не представляет
никаких затруднений. При трех связанных элементарных маятниках мы
получаем, таким образом, три собственные частоты.
Таким образом можно продолжать и далее. Для цепи из п
связанных элементарных маятников мы получим п собственных
колебаний. При переходе к
пределу мы придем к
непрерывным линейным системам. Для
них мы должны,
следовательно, ожидать практически
неограниченного числа
поперечных собственных
колебаний. В качестве первого
примера укажем на
незатухающие поперечные
колебания горизонтально
натянутой резиновой ленты.
Для продолжительного
поддержания этих собственных
колебаний конец ленты движется
вверх и вниз на несколько
миллиметров при помощи мотора.
Частота вращения мотора
должна совпадать с частотой
требующихся собственных колебаний.
Второе поперечное собственное колебание,
или первый обертон.
Третье поперечное собственное колебание,
или второй обертон.
Рис. 327. Три возможных поперечных
колебания трех связанных элементарных
маятников. Моментальный снимок.
На рис. 328 дан
фотографический снимок сбоку
поперечных собственных
колебаний от второго до четвертого. В каждом из этих
примеров мы наблюдаем периодическое распределение трех величин
вдоль ленты, а именно поперечного отклонения, поперечной
скорости и наклона ленты к своему положению покоя. Все три вели-

§ 103. УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
247
чины имеют «узлы» и «пучности». В своих узлах каждая из трех
величин длительно остается равной нулю. В их пучностях три
величины достигают своих наибольших амплитуд. Пучности отклонений
и пучности скоростей, а также узлы лежат на одинаковых местах.
Рис. 328. Фотографический снимок (боковой вид) второго,
третьего и четвертого поперечных собственных колебаний
натянутой резиновой трубки. Светлая полоса на темном
фоне. Там, где трубка кажется серой, ее скорость
поперек направления длины достигает наибольшего значения.
Напротив, пучности наклона лежат там, где отклонение и скорость
имеют узлы, т. е., например, на обоих концах ленты.
Для чисто кинематического представления поперечных собственных
колебаний употребляют изогнутую по синусоиде проволоку с ручкой на одном
конце (рис. 329). Эту проволоку вращают перед проекционной лампой около
Рис. 329. К демонстрационному
объяснению поперечных
собственных колебаний или стоячих
волн.
Рис. 330. Проекция колебаний точки
струны при помощи вращающегося круга
с линзами.
ее продольной оси. Проекция позволяет последовательно наблюдать
отдельные мгновенные изображения колебания (часто называемые «фазами
колебания»). При быстром вращении ручки можно удобно проследить переход
к снимкам рис. 328. Это примитивное приспособление чрезвычайно полезно.
Вернемся еще раз к рис. 328 и представим себе, что мы
сообщили колеблющейся ленте в четвертом частном колебании удар

248
XI. УЧЕНИЕ О КОЛЕБАНИЯХ
в плоскости чертежа. Тогда она начинает колебаться как целое
своим первым собственным, или основным, колебанием, и оба ее
колебания существуют одновременно- Такое одновременное появление
нескольких собственных колебаний или стоячих волн очень широко
применяется в наших струнных музыкальных инструментах. Мы
видим на рис. 330 горизонтально натянутую струну. Она
возбуждается скрипичным смычком и дает незатухающие колебания.
Способ действия смычка в принципе совпадает с показанным на рис. 300
способом саморегулирования. Окружность используемой в этом опыте
вращающейся оси можно рассматривать как
бесконечный смычок.
ААЛЛАДЛАА
Рис. 331. Развертка по
времени отклонения «точки»
поперечно колеблющейся
скрипичной струны.
При помощи щели, поставленной
перпендикулярно к струне, можно
спроектировать «точку» струны и
фотографически зарегистрировать ее
движения. Рис. 331 дает несколько
примеров: отдельная точка струны,
например, на рис. 330—ее середина—вовсе
не выполняет на своем пути,
перпендикулярном к длине струны, простых
синусоидальных колебаний. Более
того, мы уже видим большей частью
очень сложные кривые. Они получаются от наложения большого
числа собственных колебаний. Появления одного лишь частного
колебания можно добиться только особым движением смычка и то лишь
с известным приближением. Вообще же говоря, струны музыкальных
инструментов дают очень сложный спектр колебаний.
Для демонстраций вместо прямолинейного движения линзы по
горизонтали пользуются изображенным на рис. 330 кругом с линзами. При вращении
различные линзы вступают в работу одна за другой. Для вращения берутся
большим и указательным пальцами за накатанную кнопку %. Легкое
искривление оси времени — просто безобидный недостаток красоты.
§ 104. Упругие продольные и крутильные колебания
напряженных линейных твердых тел. Продольные колебания
элементарного маятника мы определили в начале § 103 как колебания тела
маятника в направлении длины пружин.
На рис. 332 и 333 мы видим оба продольных колебания двух
связанных элементарных маятников. На рис. 332 оба маятника
колеблются в одном направлении, или «в фазе». На рис. 333 они
колеблются в противоположных направлениях, или «со сдвигом фаз
на 180°». Мы продолжаем и дальше сцепление маятников в цепочку
и находим для п элементарных маятников п собственных колебаний.
Таким образом, в пределе мы приходим к линейному телу с
практически неограниченным числом собственных продольных колебаний.
Как пример приведем незатухающие продольные колебания
горизонтально натянутой черной ленты с белыми поперечными полосами.

§ 104. УПРУГИЕ ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
249
Чтобы длительно поддерживать эти собственные колебания, конец ленты
движется на несколько миллиметров в ту и другую сторону при помощи
мотора. Частота оборотов мотора должна совпадать с частотой требуемого
собственного колебания.
На рис. 334 дан фотоснимок с выдержкой первого и второго
продольного собственного колебания: в обоих примерах видно пе-
|Ц11111111111111111Н11 ^ И11111И1 1 III» ^ III НИШ 111111
шщдш*
Рис. 332 и 333. По три мгновенных снимка продольных колебаний двух
связанных пружинных маятников. Вверху и внизу — в момент наибольшего
отклонения, посредине - при прохождении через положение равновесия.
На рис. 332 оба тела колеблется в одной фазе, на рис. 333, напротив, фазы
сдвинуты одна относительно другой на 180°.
риодическое распределение вдоль ленты двух величин, а именно:
продольных отклонений и продольной скорости. Пучности и узлы
отклонения и скорости совпадают. В качестве третьей величины
периодически распределяется вдоль ленты упругая деформация (рас-
Рис. 334. Первое и второе собственные колебания
резиновой ленты с белыми поперечными полосками
на черном фоне. Фотоснимок с выдержкой. Там,
где белые поперечные полосы дают лишь серый
след, скорости в направлении длины ленты достигают
больших значений. Внизу дано графическое
изображение распределения наибольших отклонений
(и продольных скоростей) вдоль ленты.
тяжение и сжатие). Периодическое распределение упругой
деформации вызывает периодическое изменение Шг распределения
плотности полос /V, вдоль ленты. Плотность полос Ыг мы определим
как частное:
д, число полос на отрезке М 1
длина А/ расстояние между полосами
B08)

250
XI. УЧЕНИЕ О КОЛЕБАНИЯХ
Оба моментальных снимка на рис. 335 показывают изменения ДЛ/г
плотности полос Ыг вдоль длины I ленты для первого продольного
собственного колебания, а именно вблизи фаз наибольших отклонений.
16 СМ
Рис. 335. Фотографический моментальный снимок (около 10~5 сек)
первого продольного собственного колебания резиновой ленты с
поперечными полосами в фазах почти максимальных продольных
отклонений (стробоскопическое наблюдение!). Максимальное отклонение
составляет в середине ± 8 см. Маленькая метка, удлиняющая белую
полоску, позволяет распознать фазы колебания. Из-за вытягивания
ленты изображения лишь качественно соответствуют
действительности.
Максимумы этого изменения, т. е. его пучности, лежат на концах.
Следовательно, они лежат в тех местах, где отклонения и скорости
имеют узлы (рис. 334).
К поперечным и продольным колебаниям линейных твердых тел
присоединяются еще крутильные колебания. Их можно также удобно
Рис. 336. Третье, четвертое и пятое крутильные
колебания натянутой резиновой ленты длиной 1 м,
шириной 3 см. Держатель одного из концов при
помощи эксцентрика поворачивает ленту в одну и
другую стороны вокруг оси, параллельной длине
ленты. Для угла поворота достаточно нескольких
градусов.
показать при помощи натянутой резиновой ленты шириной в
несколько сантиметров. Рис. 336 дает снимки для трех собственных
колебаний.

§ 105. УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ В СТОЛБАХ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
251
§ 105. Упругие колебания в столбах жидкости и газа. Как
всегда, мы и здесь рассматриваем жидкости и газы совместно. Наши
опыты мы будем производить большей частью с воздухом.
Внутри жидкостей :<, газов (противоположность—поверхность)
невозможны ни поперечные, ни крутильные колебания, а возможны,
только продольные. Это непосредственно следует из свободной
подвижности частиц х) жидкостей и газов относительно друг друга.
Как и в случае твердых тел, мы будем сначала рассматривать
линейные пространственные образы в жидкостях и газах. Линейные
столбы жидкости или газа мы получаем при помощи труб.
Очень легко в газовом столбе возбудить собственные колебания.
Можно, например, для демонстрационного опыта взять картонную
трубу около метра длиной и несколько сантиметров шириной и
закрыть ее на одном конце резиновой мембраной. Щипля или ударяя
по этой мембране, мы возбудим хорошо слышные, но быстро
затухающие собственные колебания этого «воздушного столба». Можно
также приделать на одном конце трубы твердое дно и стаскивать
с другого конца крышку вроде гильзы. При этих продольных
колебаниях весь процесс протекает в основном так же, как и при
продольных колебаниях резиновой ленты в § 104. Следует лишь
представить себе столб воздуха подразделенным на тонкие поперечные
слои, а каждый слой заменяет полоску на резиновой ленте.
Эти слои колеблются между узлами отклонения туда и обратно.
Маленькие плавающие в воздухе пылинки участвуют в движении
воздушных слоев. Можно их наблюдать
в микроскоп и таким образом измерить
двусторонние максимальные отклонения
(«амплитуды движения»). Для демонстрации
широкому кругу наблюдателей показывают
колебания воздуха под действием
гидродинамических сил, не зависящих от направления
движения.
Рис 337.
Гидродинамический способ обнаружения
потока воздуха
переменного направления вдоль
оси трубы. (Можно также
установить оба шарика
вдоль оси трубы. Тогда
переменный воздушный
поток вызовет взаимное
отталкивание шариков.)
Пример. Внутри трубы с квадратным
сечением подвешивают на тонких нитях два
бузиновых шарика (рис. 337). Два окна из стекла или
целлулоида позволяют наблюдать эти шарики в
проекции на экране. Линия, соединяющая
шарики, сначала ставится перпендикулярно к
продольной оси трубы. Тогда линии тока для
течения, параллельного оси трубы, независимо от его
знака, должны иметь вид, известный из рис. 268.
Между двумя шариками линии тока сгущены. При колебаниях, или
звучании трубы, шарики должны притягиваться. Это и происходит на самом
деле.
Узлы продольного движения могут быть показаны при помощи
тонкого порошка, лежащего на нижней стороне трубы. Частички
*) В смысле малого элемента оОъема, а не отдельной молекулы.

252
XI. УЧЕНИЕ О КОЛЕБАНИЯХ
порошка при продольном движении приходят в состояние покоя
в узлах и образуют фигуры Кундта.
Мы показываем их для собственных колебаний с частотой V ^ 3 • \04/сек
(рис. 338). В качестве возбудителя служит свисток, приставленный вплотную
к отверстию трубки (рис. 344).
Рис. 338. Пылевые фигуры Кундта. Во время
колебаний пыль образует тонкие, перпендикулярные к
оси трубы слои, похожие на занавес кулис. Они
медленно перемещаются вдоль оси трубы и
показывают, что течения внутри продольно колеблющегося
столба газа связаны со сложными побочными
явлениями («эффекты второго порядка»). Эти явления
возникают в результате образования пограничного слоя
между стенкой трубки и текущими частями газового
столба.
Между узлами отклонений лежат не только пучности отклонений,
но и пучности скорости. Периодическое распределение этой
скорости демонстрируется с пламенной трубой Рубенса (рис. 339).
Пламенная труба, наполненная светильным газом, длиной несколько
метров имеет сверху идущий вдоль всей трубы ряд отверстий в качестве
горелок. Один конец трубы закрыт, другой — затянут резиновой мембраной.
Эта мембрана каким-нибудь образом приводится в незатухающие колебания.
Их частота должна совпадать с частотой какого-либо из собственных коле-
!ЙвЛЙЙк*^Й^?КГ^ЕИвЕ
Рис. 339. Пламенная труба Рубенса показывает распределение
скорости течения в продольно колеблющемся газовом столбе.
Высоты язычков пламени постоянны по времени, и их максимумы
лежат в пучностях скорости течения.
баний столба светильного газа. Высота пламени над отверстиями зависит от
величины, на которую давление газа снизу отверстия превосходит давление
комнатного воздуха. Эта разность давлений возрастает на постоянную во
времени величину, поскольку газ, колеблясь в обе стороны, неизбежно
создает пограничный слой (§ 88). Увеличение давления в пограничном слое тем
больше, чем быстрее газ течет туда и обратно вне пограничного слоя, т. е.
вблизи оси трубы. Над пучностями скорости течения прирост давления
достигает постоянной величины до 0,1 мм водяного столба, а это обеспечивает
заметное издали увеличение высоты пламени.

§ 105. упругие колебания в столбах жидкости и газа 253
При продольных колебаниях резиновой ленты плотность полос
распределялась периодически вдоль ленты. Пучности плотности полос
лежали там же, где
продольное движение имело узел.
Совершенно то же самое
происходит и с продольными
колеблющимися столбами газа или
жидкости. Только взамен
плотности полос появляются
концентрации молекул Ы„ (стр. 46).
Итак, для продольных
колебаний газового столба получается Рис' 34а ТРИ мгновенных изображения
. ^ ч,»^«.^ч ии<^ ти.^ *„« ПЯГППРЯЙ1РНИЯ КТ>НПРНТПЯТ1ИИ МП-
распределение, изображенное
на рис. 340. Здесь
представлены три фазы для четвертого
частного колебания (обертона).
для распределения концентрации
молекул в газовом столбе, который
колеблется со своей четвертой собственной
частотой. Вверху и внизу — в моменты
наибольших амплитуд изменения
плотности, посредине — равномерное распре-
Серый тон рисунка означает деление плотности в момент времени,
нормальную концентрацию мо- приходящийся между двумя указанными
лекул, белый тон—области моментами.
уменьшенной, черный тон —
области увеличенной концентрации молекул. Это распределение,
схематически изображенное на рис. 340, можно продемонстрировать
на опыте, лучше всего, оптическим методом полос. На рис. 341
приведен пример. Он показывает
продольные собственные колебания
воздушного столба. Они возбуждаются
маленьким свистком. Частота
избирается на этот раз около 4 • \04/сек
(соответствует длине волны Х?=^8 мм).
Звуковые волны с частотой выше
2 • 10*/сек, часто называются
ультразвуком .
Собственные колебания газовых
столбов играют большую роль в
технике построения звучащих труб
всякого рода. Для получения
незатухающих колебаний эти трубы
используют гидродинамическое
саморегулирование. Наиболее
употребительные формы можно считать
известными. Способ их действия в каждом
частном случае чрезвычайно сложен
и объяснен лишь качественно, да и
то в общих чертах. У губного свистка
дело Идет о периодическом распаде падающей на острие струи
воздуха на отдельные вихри. Вдуваемая струя, с одной стороны, столб
Рис. 341. Периодическое
распределение концентрации молекул Л^
в продольно колеблющемся
воздушном столбе,
сфотографированное на темном фоне методом
полос. (Расстояние между
конденсором и проволочной диафрагмой
в выходном зрачке составило
4,8 м.)

254
XI. УЧЕНИЕ О КОЛЕБАНИЯХ
воздуха в трубе—с другой, образуют две связанные системы. Для
язычковой трубы то же самое справедливо относительно язычка и
столба газа. Этот сложный
механизм саморегулирования вызывает,
как правило, значительные
отклонения колебаний трубы от синусо-
1 [ идальной формы. Рис. 342 и 343 изо-
1
1000
2000 3000
Частота
4000сек~г
Рис. 342. Спектр колебания в
трубе. (Колебание изображено на
рис. 343.)
О 5 1010 сек
Рис. 343. Приблизительно
синусоидальная форма колебаний в трубе. Снимок
Ф. Тренделенбурга.
бражают сравнительно еще очень простое колебание трубы и его
линейчатый спектр.
Для физики свистки высокой частоты представляют важное
вспомогательное средство. Мы уже дважды использовали их для
демонстрационных опытов (рис. 338 и 341). Рис. 345 дает детали их конструкции.
§ 106. Собственные колебания
жестких линейных тел. Колебания
изгиба. Для собственных колебаний
твердых линейных тел мы
использовали до сих пор такие тела, которые
извне нужно было приводить в
напряженное состояние, как, например,
резиновую ленту. В этом случае
собственные колебания легко
вычислить. Для первого собственного
колебания имеют место следующие
соотношения:
для поперечных колебаний
Рис. 344 и 345. Губной свисток для
частот от 1СИ до 6 • Щсек. Губная
щель и острие выполнены в виде
тел вращения. Собственно
«свисток» — пустое
пространство—представляет лишь очень слабое
приближение к линейному столбу
воздуха-
±
21
для продольных колебаний
для крутильных колебаний
1 лГ~
B09)
B10)
BП)
(/—длина, р —плотность, » — напряжение тяги, а — коэффициент растяже
ния, р — коэффициент сдвига, табл. &)

§ 107. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ФИГУР
255
Труднее обстоит дело с изучением собственных колебаний
жестких линейных тел, например стержней из стекла или металла.
Такие стержни должны быть
расположены на остриях под двумя
узлами
тонких
Рис. 346. Колебания при изгибе
плоского стального стержня. Для
возбуждения служит маленький
электромагнит, помещенный под левым
концом. По нему пропускается
переменный токе частотой 252/сек. Узлы
отклонений делаются заметными при
помощи рассыпанного песка. Длина
стержня 87 см.
или же подвешены на
нитяных петлях на этих
же местах. Рис. 346 показывает
поперечные колебания стальной
пластинки. Они называются
«колебаниями изгиба». Рис. 347
изображает возбуждение продольных
колебаний короткого
цилиндрического стального стержня. Он
возбуждается ударом по одному из концов. Это возбуждение толчком
дает затухающее колебание. Наше ухо
слышит звук, постепенно замирающий в
течение нескольких секунд.
За последнее время применение
продольных колебаний коротких кристаллических
пластинок, например из кварца, получило
очень большое значение в технике, прежде
всего в обширных областях техники связи
и при создании прецизионных часов, так
называемых кварцевых часов.
Продольные колебания кристаллических пла-
Рис. 347. Продольные стинок пригодны для возбуждения в столбах жидко-
колебания подвешенного Сти стоячих воля. Для поддержания колебаний
на нитях_ стержня (дли- кристалла используются электрические вспомо-
на / = 25 ем). Основная гательные устройства. Опыты со столбом
жидкости показывают то же самое, что и опыты с
газовым столбом на рис. 341, а именно, создается
периодическая последовательность областей
нормальной плотности и таких, в которых плотность колеблется между
увеличенными и уменьшенными значениями в зависимости от частоты колебаний.
Но при этом используют в пять раз большую частоту, чем на рис. 341.
Вследствие этого можно добиться больших колебаний плотности. Для оптической
демонстрации применяется метод полос с ярко освещенным полем, т. е.
можно произвести столь же простой опыт, как, например, на рис. 257.
§ 107. Собственные колебания плоских и пространственно-
протяженных фигур. Тепловые колебания. Мы будем очень кратки.
И здесь можно свести возникновение собственных колебаний к связи
многих элементарных маятников. Однако за немногими исключениями
здесь речь идет об очень сложных математических задачах. В
большинстве случаев, имеющих практическую важность, приходится
обращаться к опыту.
Для нахождения узловых линий употребляют большей частью
рассыпанные по пластинке пыль или песок, которые скопляются
частота ^ = с/2/ (с —
скорость звука в стержне).

25Ь
XI. УЧЕНИЕ О КОЛЕБАНИЯХ
в них. Рис. 348 показывает узловые линии квадратной и круглой
металлических пластинок в различных состояниях колебаний.
Если использовать не рассыпанный песок, а оптические вспомогательные
средства (поляризованный свет), то можно наблюдать чрезвычайно сложные
собственные колебания. На рис. 349
приведены два примера для
короткого стеклянного цилиндра
с круговым сечением.
Изгибание пластинок
приводит к форме стакана или
колокола. Колебания этих,
геометрически еще
сравнительно простых тел уже сложны
и запутаны весьма неприятным
образом. В простейшем случае
стакан колеблется по схеме
рис. 350 (вид сверху). В К мы
имеем точки выхода четырех
узловых линий, идущих по
меридианам поверхности.
Приблизительно такими же мы
должны представлять себе
простейшие колебания нашей
черепной коробки, заключающей
в себе органы слуха.
В области очень высоких частот, до частот порядка Ю^/сек,
все твердые тела имеют бесчисленное количество упругих собствен-
Рис. 348. Хладниевы фигуры
(фотографический позитив).
Рис. 349. Стеклянный цилиндр, колеблющийся
с высокой частотой, в линейно поляризованном
свете между скрещенными николями. Диаметр
цилиндра 30 и 44 мм, частота возбуждения
1,54 - \0Р>1срк. Снимки Л. Бергмана.
ных частот независимо от формы тел. Энергия этих колебаний и
образует теплосодержание твердого тела или кристалла (§ 67).
При самых высоких из этих частот колеблются уже отдельные атомы

§ 108. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 257
или молекулы кристаллической решетки так, как это в грубом
приближении показано на рис. 333.
Из собственных колебаний наполненных газом полостей
необходимо особо упомянуть о собственных колебаниях наполненных
воздухом сосудов шарообразной или бутылочной формы с коротким
открытым горлом. Это—важные в измерительной технике
«резонаторы Гельмгольца». Они представляют собой трубы
соответствующих форм с точно определенной основной частотой. При работе
они часто дают описанные на стр. 224 кажущиеся
непрерывными, на самом деле прерывистые струи.
Бутылочный резонатор при употреблении может
сильно гудеть.
Собственные колебания больших жилых
помещений или помещений для собраний очень важны для
архитектора. Они возбуждаются при звуках речи или
музыки. Подробности составляют предмет специаль- рис 350.
Проной технической литературы. стые колеба-
§ 108. Вынужденные колебания *). После возбу- ния бокала, ви-
ждения толчком или при самовозбуждении всякое спо- Димые сверху
* „ г л «. (схематическое
собное колебаться тело совершает колебания с одной изображение)
или несколькими из его собственных частот. Однако
такое тело можно заставить колебаться и со всякой другой
частотой, не совпадающей ни с одной из его собственных. В этом
случае оно совершает «вынужденные колебания». Эти колебания
играют во всех областях физики чрезвычайно важную роль.
Для их представления мы должны сначала установить понятие
о затухании маятника более точно, чем прежде. Вследствие
неизбежных потерь энергии, а может быть, и намеренной ее отдачи,
амплитуда всякого маятника после возбуждения толчком уменьшается.
Течение колебаний во времени изображается кривыми вроде
изображенных на рис. 352. В большинстве случаев эти кривые при
синусоидальных колебаниях маятника обнаруживают простую
закономерность. Отношение двух последовательных наибольших отклонений
или амплитуд в одну и ту же сторону остается постоянным вдоль
всей кривой. Оно называется «коэффициентом затухания» К, а
его натуральный логарифм — «логарифмическим декрементом» А.
Числовые значения коэффициента затухания и логарифмического
декремента проставлены у кривых рис. 352.
Обратная величина логарифмического декремента дает число колебаний,
в интервале которых амплитуда убывает в е раз, т. е. до 37%-
После этих определений мы объясним теперь сущность
вынужденных колебаний на опытах, как можно более ясных и во всех деталях
*) Недостающие в этом параграфе количественные соотношения
находятся во «Введении в оптику», § 119.

258
XI. УЧЕНИЕ О КОЛЕБАНИЯХ
Рис. 351. Вращательный маятник для
демонстрации вынужденных колебаний.
доступных обозрению. Для этой цели мы будем применять
колебания очень малой частоты: при таких частотах легче
наблюдаются отдельные подробности.
Рис. 351 изображает удобный вращательный маятник. Его
инертное тело состоит из медного колеса. Спиральная пружина действует
на ось колеса. Верхний конец Л
пружины может при помощи
шатуна 5, эксцентрика и
медленно вращающегося мотора
(с зубчатой передачей)
двигаться вперед и назад с любой
частотой и амплитудой, и
притом практически по закону
синуса. Таким образом, можно
прилагать к оси маятника
вращательный момент,
действующий по закону синуса с
постоянным наибольшим
значением, но с произвольно
устанавливаемой частотой.
Отклонения вращательного
маятника можно отсчитывать
на угловой шкале. Слева внизу находится приспособление М для
произвольного изменения затухания маятника.
Это — успокоитель (демпфер) с вихревыми токами, маленький
электромагнит, полюсы которого находятся по обе стороны обода колеса.
Колеблющийся обод может проходить сквозь магнитное поле между полюсами, не
касаясь их. Чем больше сила тока в электромагните, тем больше затухание.
Перед началом настоящего опыта определяется собственная
частота че и коэффициент затухания К маятника. Для этого
маятнику при неподвижном шатуне сообщают толчок и наблюдают
по шкале точки поворота.
Числовой пример. Период колебаний Т = 2,39 сек.; собственная частота
равна, следовательно, Vе = 1/Г= 0,42/сек. Отношение двух лежащих на
одной стороне последовательных амплитуд приблизительно постоянно и
равно 1,285. Это —искомый коэффициент затухания /(. Чтобы придать ему
наглядность, амплитуды, отсчитанные последовательно справа и слева через
каждые 1,2 сек., нанесены на график рис. 352 и их концы от руки
соединены кривой.
Теперь начинается собственно опыт. Пускают в ход
«возбудитель», т. е. шатун, определяют его частоту, выждав установления
стационарного состояния, и наблюдают амплитуды вынужденных
колебаний маятника. Соответственные значения частоты шатуна и
амплитуды сс0 сопоставлены на рис. 353, и притом для четырех
различных коэффициентов затухания. Слегка несимметричные колоколе-

§ 108. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
259
Рис. ЛЗ
Рас. 352
0,2
О
0,5
оа ав
Частота V возбудителя
0,8 сен~'
1.0 15
Частота V возбудителя
2,0
Собственная частота ус незатухающего резонатора
Рис. ЗМ
Рис. 352. Графики колебания вращательного
маятника (рис. 351) с различными затуханиями. Кривая
п — по кинематографическому снимку.
Рис. 353. Зависимость амплитуд вынужденных
колебаний вращательного маятника при постоянной
амплитуде возбудителя от частоты возбудителя и
затухания резонатора. Нулевая частота возбудителя
означает постоянный во времени вращательный
момент при одном из двух крайних положений конца
пружины А на рис. 351.
Рис. 354. Влияние частоты возбудителя и затухания
резонатора на разность фаз между возбудителем
и резонатором. Возбудитель всегда опережает. Точки
измерения взяты с фотографических моментальных
снимков. Отметим оптический обман в точке
пересечения кривых.

260 XI. УЧЕНИЯ О КОЛЕБАНИЯХ
образные кривые А, В, С называются кривыми амплитуд
вынужденных колебаний.
В случае малого затухания, но только в этом случае, область
частот, близких к собственной частоте маятника, выделяется
особенно высокими амплитудами по сравнению с вынужденными
колебаниями других частот.
~ тг амплитуда при собственной частоте ^е
Отношение V — ——- ——= * Ё— , назы-
амплитуда при нулевой частоте возбуждения
ваемое увеличением, достигает у кривой А величины 12,5. Этот
особый случай называют резонансом. Исходя из этого слова, часто
называют всякий маятник, совершающий вынужденные колебания,
«резонатором», а кривые А, В, С—резонансными кривыми амплитуд.
При чрезвычайно большом затухании (кривая п) выявляются
особенности: максимум едва заметен и смещен в сторону малых частот.
Эти найденные опытным путем для различных затуханий
резонансные кривые имеют вполне общее значение. Поэтому на
рис. 353, 354 прибавлена еще вторая ось абсцисс, независимая от
числовых данных прибора, служащего для производства опыта. По ней
отложены частоты возбудителя в долях собственной частоты
незатухающего резонатора. Этим мы делаем кривые пригодными не только
для каких угодно механических или звуковых, но и для
электрических и оптических вынужденных колебаний.
Универсальное значение этих кривых для вынужденных колебаний
самых различных амплитудных величин (длина, угол, давление, ток,
напряжение, сила поля и т. д.) требует от нас наглядного уяснения их
происхождения. Этой цели и служат дальнейшие опыты и наблюдения.
Кроме того, эти наблюдения имеют значение и для многочисленных
применений вынужденных колебаний. Мы имеем в виду сдвиг фазы между
амплитудами резонатора и возбудителя или возбуждающей силы
в зависимости от частоты возбуждения. Для этого мы должны
наблюдать (рис. 351) одновременно указатель 2 маятника и конец
пружины А. Результаты опытов содержит рис. 354.
При очень малых частотах указатель 2 и конец пружины А
движутся в одну сторону и поворачивают обратно в один и тот же
момент. Разность фаз их равна нулю. С возрастанием возбуждающей
частоты амплитуда возбудителя все более и более опережает
амплитуду маятника или резонатора. При резонансе сдвиг фаз
достигает 90°. Этот сдвиг фазы на 90° означает: на всем пути маятника
пружина всегда напрягается так, чтобы дополнительно ускорять
вращательный маятник. При наибольшем удалении маятника влево
конец пружины А проходит положение покоя, двигаясь вправо.
Возбудитель производит дополнительный вращающий вправо
вращательный момент. Этот последний достигает своего наибольшего
значения (конец пружины А в крайнем правом положении) при
прохождении маятника через положение покоя. Он исчезает (пружина

§ 108. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
261
снова в среднем положении) в момент поворота маятника вправо.
Для хода маятника справа налево имеет место то же самое, но
с обратным знаком. Таким образом, в случае резонанса к маятнику
на всем его пути туда и сюда
постоянно подводится энергия благодаря
сдвигу фаз на 90° вперед между
ускоряющим вращательным моментом и
маятником. Без потерь на затухание
амплитуды в случае резонанса должны
были бы безгранично возрастать.
На рис. 353 были изображены
наибольшие отклонения а0 вынужденных
колебаний в их зависимости от частоты
возбудителя. На рис. 355
воспроизведена еще раз кривая С с увеличением
масштаба ординат. Само собой
разумеется, можно вместо а0 графически
представить и другую, появляющуюся
30
\Град-
I
о
Рис. 355. Резонансная кривая С
амплитуды отклонений (рис. 353)
с измененным масштабом
ординат.
при вынужденных колебаниях, величину в зависимости от частоты
возбудителя. Так, кривая рис. 356 дает наибольшую угловую ско-
0,42 034 сел-
Частота возбудителя
Рис. 356. Резонансная кривая
угловой скорости, с которой
вращательный маятник проходит
положение равновесия. Наивысшее
значение угловой скорости в случае
резонанса
(шо)Мако = 71 град1сек = 1,23 сек.
ОА2 0,84 сек-1
Частота возбудителя
Рис. 357. Резонансная кривая
кинетической энергии, которой
обладает вращательный маятник при
прохождении через положение
равновесия. Момент инерции
вращательного маятника
в = 3,3 • 10-3 кгм2. После
возбуждения, согласно кривой С на
рис. 352, энергия израсходуется
за 8 сек.
рость ш0, с которой маятник проходит через положение равновесия.
Она связана с наибольшим отклонением сс0 простым уравнением
B12)
(V — частоте возбудителя).

262
XI. УЧЕНИЯ О КОЛЕБАНИЯХ
Маятник проходит через положение равновесия, имея наибольшую
величину своей кинетической энергии №0. Для этого случая
получается:
(в — момент инерции вращательного маятника).
Зависимость величины и^0 от частоты возбудителя изображена
на рис. 357. Такую кривую называют резонансной кривой энергии.
Кинетическая энергия \^0 исчезает при частоте возбудителя, равной
нулю, в противоположность наибольшему отклонению а0, т. е.
покоящийся маятник не обладает кинетической энергией.
При различных приложениях вынужденных колебаний всегда должно
быть ясно, для каких величин представлены амплитуды на
резонансной кривой.
§ 109. Значение резонанса для обнаружения отдельных
синусоидальных колебаний. Спектральный аппарат. Согласно
изложенному в предыдущем параграфе вынужденные колебания
маятника или резонатора могут даже при небольших
периодически действующих силах достигать очень
больших амплитуд. Для этого маятник должен
иметь малое затухание; и его собственная частота
должна возможно ближе подходить к частоте
возбудителя. Для демонстрации получаемых при этих
условиях поразительно больших амплитуд придумано
очень много опытов. Мы ограничимся одним
примером вынужденных колебаний плоской пружины
(рис. 358). Для объяснения стробоскопического
измерения времени мы уже в§ 8 употребляли вынужденные
колебания плоской пружины с большой амплитудой
колебаний. Возбудителем служила ось, проходящая
Рис 358 Пло- под ПРЯМЬШ углом сквозь держатель пружины,
екая пружина, Вставленный сбоку штифт заставлял ось слегка
или язычок, вы- бить при вращении,
нужденная
колебаться при из- Затухание пружины в металлическом держателе очень
гибе (ср. рис. 14). мало. Поэтому кривая резонанса ее чересчур остра, что
Снимок с^ вы- представляет неудобство. Для того чтобы оставаться в об-
держкой. ласти частотного резонанса, надо частоту вращения
мотора установить и держать постоянной с точностью
до 1 промилле. Это требует уже некоторых усилий.
Избежать их можно искусственным увеличением затухания пружины. Для этого
достаточно зажать ее не между металлом, а между резиновыми прокладками.
Из ряда подобных плоских пружин, или язычков, на общем
держателе состоит важный измерительный прибор «язычковый
частотомер» (рис. 359). Собственные частоты язычков путем подбора
соответственной длины и нагрузки располагаются в последователь-

§ 109. ЗНАЧЕНИЕ РЕЗОНАНСА. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АППАРАТ
263
ный ряд целых чисел. Кроме того, соразмерно регулируется
затухание. Исследуемые колебания подводятся к держателю язычков
либо механически (например, установлением его на фундаменте
машины), или же, что гораздо удобнее, при помощи электромагнита.
45
за/сек
Частота-
Рис. 359. Схема
язычкового частотомера.
Плоские пружины имеют
вверху белые квадратные
головки (см. рис. 360).
|' ■■■■■■■■•■-■■■■■■■■■■ |
Рис. 360. Часть шкалы
технического
переменного тока E01сек).
Фотографический снимок с
выдержкой.
Рис. 360 дает снимок части технического прибора. На этой
фотографии отклонение вызвано переменным током с частотой V = 50/сек.
Видно, что и обе соседние плоские пружинки с собственными
частотами V,, = 49,5/сек не = 50,5/сек еще заметно реагируют. В
имеющихся в продаже приборах охватывается область частот примерно
от Ю/сек до 600/сек.
Такие язычковые частотомеры являются типичными
спектральными аппаратами. Они разлагают, правда, не давая фаз, сколь
Лккумумпюрь)
Злектромагнит^ ,
в частотомере
меиного тока
-И-
Вращающийся
выключатель
Рис. 361. Получение
постоянного тока
прямоугольной формы
при помощи
вращающегося выключателя.
Выпрямитель.
Рис. 362. Получение
биений двух
синусоидальных переменных
токов и искажение
кривой биений сухим
выпрямителем.
угодно сложный процесс колебаний в спектр простых
синусоидальных колебаний. В этом спектре можно отсчитать частоты
отдельных синусоидальных колебаний и значения их амплитуд. Показать
это можно проще всего, используя электрические вспомогательные
устройства. Приведем три примера.
1. Вернемся к рис. 314 и пустим через электромагнит язычкового
частотомера прямоугольный или прерывистый постоянный ток.
Рис. 361 дает понятную без объяснений схему установки. Пусть

264 XI. УЧЕНИЕ О КОЛЕБАНИЯХ
вращающийся механизм делает за время Т= 1/20 сек один оборот,
и продолжительность т отдельного импульса тока равна 1/40 сек.
Спектральный аппарат ясно показывает частоты \х = 20/сек и
чг = 60/сек. Ближайшую частоту Vб = 100/сек еще можно распознать.
2. Вернемся к рис. 316, но возьмем другой испытуемый
механизм и сделаем время одного оборота Т равным 1/10 сек,
продолжительность т импульса тока 1/120 сек. Основная частота
\х = 1/7 = Ю/се/с лежит вне области измерения, но частоты ч2 — 20/с^л;,
ч3 = 30/сек и некоторые следующие легко различить.
3. Вернемся к рис. 313 и заменим источники постоянного тока
на рис. 361 (аккумулятор) двумя последовательно соединенными
генераторами переменного тока с частотами V, = 70/сек и ч4 = 40/сек
(рис. 362). Спектральный аппарат покажет обе частоты. После
этого включим в цепь сухой выпрямитель и так односторонне
ограничим кривую биений, чтобы она стала подобной кривой 5Г на
рис. 313. Тотчас же, кроме обеих частот, \7 и V4, появится еще
разностное колебание1) м7 — \4 0
Разностные колебания появляются вообще в тех случаях, когда в
передаче колебаний участвует какой-либо «нелинейный процесс», т. е. когда,
например, сила и деформация или (как в выпрямителях) ток и напряжение
не пропорциональны. Однако лишь в редких случаях появляется только
разностное колебание. Большей же частью бывают налицо еще другие, так
называемые «комбинационные колебания». Их частоты вычисляются по
схеме чд = а\ ± Ьу2 (а и Ь — небольшие целые числа).
Подобные опыты очень важны. Они показывают, что
несинусоидальный процесс колебаний содержит свои отдельные частные
колебания в виде физической смеси. Каждое отдельное частное
колебание независимо от других способно побуждать плоские пружины
язычкового частотомера к вынужденным колебаниям. Эта физическая
самостоятельность отдельных частных колебаний играет большую
роль при всех применениях вынужденных колебаний. Важный пример
приведен в ближайшем параграфе.
§ 110. Значение вынужденных колебаний для неискаженной
передачи несинусоидальных колебаний. Регистрирующие
аппараты. Для простого обнаружения механических колебаний
достаточны в большинстве случаев наши органы чувств. Так, например,
1) Разностные колебания, возбужденные электрическими вспомогательными
устройствами, имеют многообразные применения. На них основан, например,
изящный способ измерения амплитуд отдельных синусоидальных колебаний
в составе сложных колебаний. Вводят вспомогательное синусоидальное
колебание установленной частоты и с известной амплитудой, которое вместе
с исследуемым частным синусоидальным колебанием образует биение с
определенной частотой биений V. Затем выпрямляют кривую биений и каким-
либо способом измеряют амплитуду полученного разностного тона. Большое
преимущество с точки зрения измерительной техники имеет достаточность
измерения амплитуды лишь при одной и той же частоте V, а именно, частоте
разностного тона. Отсюда и происходит название «анализ с трансформацией
частоты».

§ 110. ЗНАЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ. РЕГИСТРИРУЮЩИЕ АППАРАТЫ 265
наше тело ощущает колебания своей опоры уже при
горизонтальных амплитудах всего в 3 • 10~3 мм (ч около \0/сек). Кончики
пальцев при легком прикосновении чувствуют амплитуды колебаний
около 5- 1СГ4 мм (при V = 50/сел;). Числовые данные об огромной
чувствительности уха будут даны в § 131. Однако простое
обнаружение колебаний, вообще говоря, еще ничего не значит. Нам
нужно главным образом верное, неискаженное воспроизведение
формы колебаний, их запись (регистрация).
При всякой регистрации исследуемые колебания приводят в
движение какие-нибудь «чувствительные органы» (рычаг, мембрану
и т. д.). Это движение часто сильно увеличивается при помощи
механической или световой рычажной передачи и записывается
чернилами или фотографическим путем на непрерывно движущуюся бумагу.
Во всем этом процессе с физической стороны дело идет о
вынужденных колебаниях, так как регистрирующая система имеет
собственные колебания. Чтобы получить безупречную регистрацию,
нужно избежать двух ошибок: во-первых, регистрирующая система
не должна выделять амплитуд и отдельных составляющих колебаний
в определенных областях частот; во-вторых, она не должна смещать
фазы отдельных составляющих колебаний друг относительно друга.
Первое требование выполняется сравнительно просто. Согласно
рис. 353 нужно сделать собственную частоту \е регистрирующего
аппарата приблизительно равной наивысшей из регистрируемых
частот ммако, и кроме того, очень сильно демпфировать его
собственные колебания. Кривая его вынужденного колебания должна
примерно проходить подобно кривой О (рис. 353). Этим
достигается правильная передача амплитуд для всех частот между V = 0
и Vе. Если же требуется по возможности устранить фазовые
смещения отдельных частных колебаний, то следует сделать сдвиг
фазы Дер возрастающим линейно с частотой N. Тогда частное
Дср/> = 2т^ постоянно, т. е. все частоты в одно и то же время
передаются замедленно. Это условие выполняется с хорошим
приближением между N = 0 и V = 0^е, что показывает кривая О на
рис. 354.
Неискаженная запись колебаний представляет собой поистине
крайне трудную, но для многих научных целей неизбежную задачу.
Для музыкально-акустических целей, например для изготовления
пластинок звукозаписи и воспроизведения звука, требования, к счастью,
значительно меньше (ср. § 132).
При конструировании измерителей ускорения или «сейсмографов» — для
записи колебаний почвы — мы встречаемся с теми же задачами, что и при
конструировании регистрирующих аппаратов. Так, например, сейсмограф для записи
горизонтальных колебаний почвы при землетрясениях состоит из перевернутого
тяжелого маятника. Он поддерживается соответственно подобранными
пружинами. При колебаниях почвы этот маятник находится в ускоренной системе
отсчета. Под действием сил инерции он движется в такт с колебаниями,

266 XI. УЧЕНИЕ О КОЛЕБАНИЯХ
сжимая пружины, и заставляет действовать пишущий рычаг с большой
передачей (до 5 • 105). Необходимое затухание сообщается маятнику
воздушными или жидкими тормозами.
Силы инерции пропорциональны массе маятника т. Поэтому употребляют
массы до нескольких тысяч килограммов. Кроме того, для увеличения
чувствительности делают направляющую силу пружин очень малой («астазируют»
маятник). От этого по уравнению D0) стр. 58 собственная частота чв
сейсмографа делается очень малой. Часто она лежит даже ниже наименьшей
регистрируемой частоты V. Возникает как будто бы противоречие с одним
из двух основных требований техники записи, согласно которому
собственная частота всех регистрирующих аппаратов должна лежать выше наивысшей
из регистрируемых частот.
Это противоречие относится к вопросу о «системе отсчета». При
постановке основного опыта (рис. 351) с вынужденными колебаниями круговая
шкала стояла неподвижно, а рычаг А двигался в роли возбудителя вперед
и назад. В этом случае измерения (рис. 353) дают: при очень малых частотах
возбудителя (^ <<^ ме) амплитуды резонатора будут столь же велики, как и
у возбудителя; при очень больших частотах возбудителя (V ^>> Vе) амплитуды
резонатора станут практически равны нулю. Но во втором случае мы
примем шкалу прочно связанной с возбудителем (т. е. она должна, как и рычаг
возбудителя А, вращаться вокруг оси I) туда и обратно). В этом втором
случае измерения дадут совершенно иной результат: амплитуды
резонатора, отсчитанные по шкале, будут при очень малых частотах (V <^ >е) равны
нулю. А при очень больших частотах возбудителя отсчитанные таким
способом амплитуды резонатора будут столь же велики, как и у возбудителя
при измерении по неподвижной шкале. Этот второй случай и
осуществлен в сейсмэграфах или измерителях ускорений; в качестве возбудителя
здесь служит колеблющийся туда и обратно пол; шкала прочно связана
с полом и колеблется вместе с ним тоже туда и обратно.
§ 111. Усиление колебаний. При воспроизведении колебаний и
в бесчисленных других задачах техники колебаний их «усиление»
играет большую роль; сущность усиления состоит всегда в том,
что колебания управляют
передачей энергии из источника. Для
^^ _ этого используются почти исклю-
""~^г^ I ■ чительно электрические вспомо-
/ | Щ гательные средства, в настоящее
I А А__ вРемя преимущественно электрон-
I ШШШШЯШШШШШШШШШШШШ ные трубки. Все же полезно пояс-
п оа0 г. нить существо усиления на очень
Рис. 363. Струя воды как усилитель ■у ■*
звука. наглядном чисто механическом
примере. При этом механическом
усилении энергия берется не из электрического тока, а от потока
воды. Этот водяной поток управляется подлежащими усилению
колебаниями. Это удается даже с примитивным, очевидным из
рис. 363 приспособлением. Струя воды течет из стеклянной насадки
почти горизонтально и ударяет в натянутую мембрану с большим
затуханием (например, в бубен). Она образует при этом совершенно
гладкую нить. Такая нитевидная струя очень неустойчива (стр. 208
и 291). При ничтожных колебаниях насадки на ее конце возникают
поперечные изменения или прерывания струи. Эти переменные удары

§ 112. ДВА СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКА И ИХ ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 267
воды возбуждают мембрану и заставляют ее совершать быстро
затухающие, далеко слышные колебания. Легкий щелчок по трубе
усиливается, таким образом, до громкого удара. Точно так же
колебания маленького камертона, поставленного ножкой на трубку
(рис. 363), становятся слышными в самом большом зале. В
последнем опыте мы прикладываем к трубке карманные часы. Их тиканье
становится слышным в самой большой аудитории.
Электронные лампы, употребляемые в технике в качестве усилителей,
в самых широких размерах применяются также и для возбуждения
незатухающих электрических колебаний.
Наш механический усилитель также
годится для получения незатухающих
механических колебаний. Нужно лишь
между способным колебаться телом —
здесь мембраной — и стеклянной
насадкой ввести «обратную связь». Для
этого какой-нибудь механической связью
следует передать колебания мембраны
обратно насадке. Тогда мембрана
«управляет» распадом водяной струи
в такт с ее собственными колебаниями.
Для этого достаточно положить на
мембрану и трубку металлический стержень,
как показано на рис. 364. Сейчас же
начинаются далеко слышные незатухающие
колебания. Частоту их можно изменять как угодно- Для этого нужно лишь
изменить механическое натяжение мембраны и этим придать ей другую
собственную частоту.
§ 112. Два связанных маятника и их вынужденные колебания.
До сих пор мы лишь очень кратко упоминали о связи двух
маятников. На рис. 325 мы сцепляли вместе два элементарных маятника.
В более строгом изложении нужно отличать три различных вида
связи между ними:
Ш/////////////ЖШ
Рис. 364. Струя воды,
производящая незатухающие колебания
путем саморегулирования (обратная
связь).
Рис. 365. а — связь ускорением,
Ь—силовая связь, с — связь трением. При связи
трением не возникает никаких биений.
Первый маятник раскачивает второй, и
далее оба маятника колеблются с одинаковой
амплитудой и фазой.
1. Связь ускорением (рис. 365, а). Один маятник висит на
другом. Он находится в системе отсчета с ускорением и поэтому
подвержен силам инерции;

268
XI. УЧЕНИЕ О КОЛЕБАНИЯХ
Рис. 366. Два связанных
маятника.
2. Силовая связь (рис. 365, Ь). Маятники связаны между собой
упругой пружиной.
3. Связь трением (рис. 365, с). Часть одного маятника,
например вращающаяся около а штанга 5, трется о часть другого
маятника, например скользя во вращающейся
муфте Ь.
В последующем мы рассмотрим только
два первых случая, т. е. связи ускорением
и силовую. При этом каждый маятник сам
по себе должен иметь одинаковую
собственную частоту. После установления связи в
обоих случаях получаются, как нам уже
известно, две собственные частоты. Более
низкая чх, получается при одинаковом, более
высокая ч2—при противоположных
направлениях качания обоих маятников (стр. 246).
Теперь начинается новое наблюдение: мы
удаляем сначала только один из двух
маятников (/) из положения покоя и
отпускаем его (рис. 366). Происходит нечто поразительное. Маятник /
постепенно отдает свою энергию покоившемуся до
того маятнику 2 и раскачивает его до очень большой
амплитуды. Сам маятник / при этом останавливается.
Затем роли меняются и все начинается сначала.
Этот процесс мы можем описать двумя
способами: во-первых, как биения двух налагающихся
частот V! и \2; во-вторых, как вынужденные колебания
при резонансе. Отпущенный сначала в точке поворота
маятник 1 (возбудитель) опережает на 90° по фазе
маятник 2 (резонатор). Он сообщает маятнику 2 на
всем его пути ускорение с положительным знаком.
Сам он при этом тормозится силой, возникающей по
закону равенства действия и противодействия. Мы
имеем вынужденные колебания при сильном обратном
действии резонатора на возбудитель.
Приведем еще три примера связанных колебаний.
1. На рис. 367 два бифилярных маятника с одина- Рис- 367. Два
ковым периодом колебаний подвешены один к дру- ятни^г'т^Г
■ту ^ М1пИКа С 1сЛа"
гому. Верхний маятник имеет во много раз большую Ми разных
массу, чем нижний. Если дать ему маленький, едва за- масс. Колеба-
метный толчок, то нижний, маленький маятник начи- ния происхо-
нает совершать качания с большой амплитудой. Ка- дя^"!^н^.и"
чания же большого маятника почти не заметны. плоскости чер-
2. Маятник на рис. 368 состоит из гантелеподоб- тежа.
ного тела на спиральной пружине. Возможно получить
двоякого рода колебания одинакового периода: крутильные коле-

§ 112. ДВА СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКА И ИХ ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 269
бания вокруг вертикальной оси и продольные колебания в
направлении вертикальной оси. Вследствие связи оба вида колебаний сменяют
друг друга.
3. Сильно затухающая плоская пружина сидит в виде маленького
рейтера на камертоне. Расположение их видно на рис. 369.
Затухание пружины достигается обычным способом:
помещением ее в зажим с резиной. Пружина и
камертон имеют сами по себе одинаковую частоту.
Задержим сначала колебания пружины, слегка
прикасаясь к ней концом пальца. Камертон
затухает после возбуждения ударом очень
медленно, около минуты. Его колебания можно сделать
видными издали при помощи зеркала 8р. Затем
опыт повторяют, не задерживая плоской пружины.
После возбуждения ударом камертон уже через
секунду останавливается. Энергия колебаний,
передаваемых связанной с ним пружине,
уничтожается в форме тепла в резиновой оправе.
Вместо продолжительных биений, совершаемых рИс. 368. Связь про-
незатухающими маятниками, мы видим здесь лишь дольных и крутиль-
очень немногие из них. При наиболее подходя- ных колебаний
наших размерах энергия может быть исчерпана
уже раньше первого минимума колебаний.
До сих пор мы говорили о свободных колебаниях двух связанных
маятников. В технике вынужденные колебания таких маятников играют
важную роль. Мы ограничимся только одним примером устранения боковой
качки корабля в море,
Представим себе на рис. 369 вместо камертона пароход, вместо
пружины-— устроенный внутри парохода сильно затухающий маятник. Пусть, далее,
одиночное возбуждение камертона ударом заменено периодическими ударами
волн. В этом и заключается принцип. При его конструктивном осуществле-
Н
Рис. 369. Камертон с насажен- Рис. 370. Модель борто-
ной на него сильно затухаю- вого резервуара,
щей плоской пружиной (опыт
Макса Вина).
нии сильно демпфированный маятник выполняют в виде водяного столба
в У-образной трубке.

270
XI. УЧЕНИЕ О КОЛЕБАНИЯХ
Представленная на рис. 370 модель показывает такой «бортовой
резервуар» на доске, имеющей вид поперечного сечения корабля и подвешенной
в А как маятник. Его колена связаны сверху воздухопроводом с
запирающим краном Н. При закрытом кране столб воды колебаться не может.
Доска — модель корабля — после начального отклонения на 40° совершает
около 20 колебаний Открыв кран, можно предоставить воде свободно
качаться и вместе с тем демпфировать колебания надлежащим образом. На
этот раз модель после начального отклонения на 40° через два-три
колебания успокаивается.
§ 113. Раскачивание. Пружинный и тяжелый маятники
представляют чрезвычайно простую схему возникновения колебаний:
происходит периодическое преобразование потенциальной энергии в
кинетическую и обратно; в идеальном
предельном случае колебания продолжаются вне
зависимости от притока энергии извне и
протекают строго синусоидально с
амплитудой, не зависящей от частоты.
Благодаря своей простоте эти процессы
превосходно описываются во всех
учебниках физики. Однако многочисленные
колебательные процессы не протекают по
такой простой схеме. Прежде всего, мы
назовем столь часто встречающиеся в
обыденной жизни колебания при
раскачивании. На рис. 371 дана простая
схема: брусок стоит своими двумя острыми
ножками на плоской подставке. И острия
и подставка сделаны из упругого
материала. Маленький силовой толчок в на-
Пучон свита
Рис. 371. Раскачивание
деревянного бруска с
прямоугольным поперечным
сечением на стальной плите.
Длина бруска около 30 см.
правлении стрелки подымает правое острие и возбуждает тем самым
раскачивания бруска—периодический обмен кинетической и
потенциальной энергии (последняя
попеременно в двух формах).
Уже беглое наблюдение
позволяет заметить характерную
особенность колебаний
раскачивания, а именно, зависимость
их частоты от амплитуды. Чем
меньше угловая амплитуда а0,
тем больше частота (рис. 372).
веек
Рис. 372. График колебаний при
раскачивании бруска (рис. 371),
зафиксированный оптическим методом.
Саморегулирование при
раскачивании не вызывает
затруднений. Очень давно известен
термический опыт. Нагревают подставку,
например, на бунзеновской
горелке. Если острие бруска при своем движении вниз коснется подставки,
то сразу же нагреется, а расширение при нагревании даст ему импульс,
направленный вверх (дрожатель Тревельяна).

§ 114. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
271
При вынужденных раскачиваниях обнаруживается зависимость
амплитуды от частоты поистине удивительным образом: каждой частоте
возбудителя соответствует только одна-единственная амплитуда.
Поэтому нет никакой опасности опрокидывания, пока частота
возбудителя не перешла через нижнюю границу.
В церкви Гумберта в Ансбахе башни не жестко соединены со зданием.
При звоне колоколов они начинают покачиваться со строго определенной
амплитудой 20 см. Это не подвергает здание никакой опасности (Е. Мольво).
Тем не менее, этот пример вынужденных колебаний раскачивания, к
сожалению, был устранен очень простым способом: стоило только повернуть
вертикальную плоскость колебаний колокола на 90°.
§ 114. Релаксационные колебания. В идеальном предельном
случае после возбуждения толчком раскачивания могут продолжаться
независимо от дальнейшего при-
тока энергии. Напротив, другая Д^
весьма важная группа колебаний, |~ ~
вообще, не может существовать ' "^ !-"*"*■
без постоянного притока
энергии; это—группа релаксационных
колебаний. Такие колебания
появляются всегда в тех случаях, когда
между накоплением потенциальной п О7о **
} Рис. 373. Механические релакса-
энергии и ее превращением в кине- ЦИОнные колебания, а и 6-вы-
тическую имеет место запаздывание ступы,
(время релаксации). В конце этого
запаздывания приемник энергии разряжается, и отданную энергию
уже нельзя больше использовать для пополнения приемника. Новое
пополнение берется от непрерывно действующего источника энергии.
Рис. 373 дает простой пример. Сосуд, имеющий в сечении
форму неравнобедренного треугольника расположен наподобие
качалки. Он может двигаться между двумя упорами а и Ь.
Непрерывный поток воды наполняет сосуд и перемещает его центр тяжести
влево. В определенном положении качалка становится неустойчивой,
перекидывается налево, выливает свое содержимое и возвращается
в прежнее положение. Процесс начинается снова.
Рис. 374 изображает аналогичный опыт, но с электрической установкой.
Конденсатор через подводку с большим сопротивлением медленно заряжается
до тех пор, пока не будет достигнуто напряжение зажигания включенной
параллельно лампы тлеющего света. Тогда лампа вспыхнет и разрядит
конденсатор кратковременным импульсом тока. Релаксационные колебания
низкой частоты, V яи0,1/сек, дает ряд искр каждой электрической машины
с влиянием, снабженной лейденскими банками.
Две особенности отличают релаксационные колебания очень
существенно от обычных колебаний с периодическим обменом двух
форм энергии.

272
XI. УЧЕНИЕ О КОЛЕБАНИЯХ
их амплитуду (на рис. 373
Рвгулирующ. сопротивление
1. Без конструктивных изменений (например сосуда на рис. 373)
можно изменить только частоту релаксационных колебаний, но не
поворачивание крана, на рис. 374
изменение регулирующего
сопротивления).
2. Релаксационные колебания
легко возбуждаются при помощи
вспомогательного колебания с
малой амплитудой. Поэтому их
нетрудно синхронизировать.
В повседневной жизни
релаксационные колебания встречаются
чрезвычайно часто. Мы наблюдаем
их, например, при нажиме на дверь или грифеля на аспидную доску,
при употреблении пневматического молотка. Но прежде всего
релаксационные колебания играют совершенно исключительную роль
в жизни организмов. Работа человеческого сердца объясняется до
мельчайших подробностей тремя взаимно связанными
релаксационными колебаниями.
К сожалению, математическая обработка релаксационных
колебаний трудна; поэтому они и не находят в физической литературе
того внимания, которого заслуживают. Однако пониманию их очень
способствует приведенный выше мелким шрифтом электрический
опыт.
Лампа
тлеющего света Конденсатор
Рис. 374. Электрические
релаксационные колебания.

XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
§ 115. Бегущие волны. На рис. 375 мы видим перед окном
синусоидальную кривую в теневой проекции. Пусть эта теневая
проекция движется в пролете окна со скоростью с в направлении г:
тогда она представит
бегущую волну. На рис. 375
зафиксировано ее мгновенное
положение. Различают гребни
и долины волн. Расстояние
двух соответствующих друг
другу точек, например точек
пересечения а и Р синусоиды
с осью г, или двух следующих
друг за другом гребней
называется длиной волны X. Ско-
с которой движется
Рис. 375. Мгновенное изображение
бегущей волны.
рость,
в направлении оси г такая точка пересечения или гребень волны,
называется фазовой скоростью с.
Такая бегущая волна может быть экспериментально
воспроизведена, если протягивать синусоидально изогнутую проволоку со
скоростью с перед окном.
Но лучше другая
установка, которая одновременно
позволяет уяснить связь
синусоидального колебания
с круговым движением:
перед окном находится
закрепленная двумя подшипниками
спирально изогнутая
проволока (рис. 376). Мы
приводим ее во вращение (при
Рис. 376. Проволока, изогнутая по винто- помощи ручки) вокруг ее
вой линии и вращаемая вокруг продоль- продольной оси с часто-
ной оси винта. той V = п/1, где п — число
оборотов за время Ь. За п
оборотов фиксируемая глазом точка, например точка пересечения а
на рис. 375, переместится на расстояние $=/г.Х с фазовой скоростью

274
XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
с = 8A =
или
с =
B13)
Это — фундаментальное соотношение для всякого волнового
процесса. Во время вращения спиральной проволоки каждый
наблюдатель видит бегущую волну в направлении оси г подобно
извивающемуся ужу. Но в действительности ни одна точка спирали не
перемещается в направлении оси 2. Все точки
спиральной проволоки движутся только
в плоскостях, перпендикулярных к
направлению бегущей волны. Это лучше всего
можно показать, заменив спиральную
проволоку рядом отдельных точек, расположен-
ных по винтовой линии, как на рис. 376а
(маленькие деревянные шарики на нити).
Каждая точка совершает синусоидальное
колебание. В определенное время Ь она
Ее соседка справа приходит в такую же
то, что при распространении волны про
Рис. 376а. Шарики, распо-
ложенные по спирали.
имеет фазу ср = 2и//7\
фазу несколько позднее;
двигается вправо, и есть фаза, отсюда и происходит название
фазовая скорость.
Для количественного представления рассмотрим сначала
колебание отдельной точки. Пусть точка а в момент времени Ь = О
находится как раз на оси г. Тогда по истечении времени ( отклонение
достигнет величины
= Х0 3111 (й{
B 14)
(х0 — наибольшее значение отклонения, называемое амплитудой, <о = 2™ —
круговая частота).
При колебаниях отклонение х и фаза Ы зависят только от
времени. Они повторяются на одном и том же месте спустя период Т.
Чтобы описать волну, рассмотрим теперь колебание точки,
расположенной на расстоянии г справа. На своем пути вверх она пройдет
ось абсцисс позднее, чем точка а. Ее колебание отстает от точки а
на фазовый угол
со
1
-=
С1
\
Следовательно, вместо уравнения B14) получается:
х =*= х
или, так как X = с^ и 2т™ = а),
х = х0 51П @ Н ■).
B15)

§ 116. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
275
Это уравнение бегущей волны описывает ее распространение:
у волны отклонение х и фаза и>(( — г 1с) зависят не только от
времени г, но и от положения г. Отклонение повторяется на одном и
!■
Н
Стеклянное дна
Рис. 377. Ванна для наблюдения
поверхностных волновых полей.
Находящийся на конце рычага
погруженный в воду штифт К с помощью
эксцентрика движется вверх и вниз.
том же месте спустя период времени Г, а в одно и то же время
на местах, которые следуют одно за другим на расстояниях 2 = Х.
Все состояния, которые
распространяются с конечной скоростью,
могут образовать волны. Наблюдения
целесообразно начинать с состояний,
которые распространяются с малой
скоростью с. В первую счередь к ним
относятся малые деформации
поверхности жидкости. Они создают
поверхностные волновые поля. Их наблюдают
при помощи волновой ванны Томаса
Юнга.
Такая ванна изображена в разрезе
на рис. 377. Для получения волн
служит маленькое погруженное в воду
тело, колеблющееся вверх и вниз по Рис- 378. Волновое поле на по-
закону синуса. Его частота подбирает- ^Я™^*?^
ся между 10 и 20/сек. Тогда длины Моментальный снимок (выдерж-
волны будут между 2,5 и 1,2 см.
Точечные штифты дают волны в виде
концентрических кругов (рис. 378). Погружаемые тела линейной
формы дают прямолинейные гребни и долины, как, например, на
рис. 385.
Отлого поднимающиеся «берега» ванны поглощают набегающие волны и
препятствуют нежелательным отражениям. Падающий снизу конус света
отбрасывает изображение волн на потолок аудитории или отбрасывается
зеркалом на стену. Применив стробоскопическое замедление, можно удобно
наблюдать определенную фазу, например фиксированный гребень волны.
§ 116. Интерференция. При помощи волновой ванны Томас Юнг
в 1802 г. открыл фундаментальное явление для понимания всех
волновых процессов: при наложении двух волновых движений проис-
льный см
ка 1/500 сек-)-

276
XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
ходит интерференция. Для ее демонстрации мы используем в водяной
ванне два механически жестко связанных тонких штифта. Результат
показан на моментальном снимке (рис. 379): оба ряда волн
складываются и вследствие этого
волновое поле разделяется интерфе-
. ^ ■ -\. '..,-ъ-..*а. ренционными полосами. В на-
••.:.■■'"; г/ ■-"' '^ч"■■.'" ■ правлении оси симметрии 00 мы
видим получение волнового
движения, т. е. периодической
последовательности гребней и
долин. С обеих сторон линии
симметрии, напротив, находятся
кривые, свободные от волн. На них
максимумы одного волнового
движения совпадают с минимумами
другого. Для каждой точки этих
кривых разность хода, т. е.
разность ее расстояний от обоих
центров, остается постоянной
и равной нечетному числу
полуволн Х/2. Вследствие этого обе
волны взаимно уничтожаются.
Зато между свободными от волн
кривыми волновой процесс усиливается- Здесь обе волны
складываются в одинаковых фазах. Интерференционные кривые, т. е.
кривые одинаковой разности хода, —
гиперболы. Угол между их асимптотами
и осью симметрии 00 на достаточно
большом расстоянии от центров
получается просто из рис. 380. Для максимумов
имеем:
Рис. 379. Моментальный снимок
поверхностного волнового поля с
двумя интерферирующими волновыми
цугами (выдержка 1/500 сек.).
а
31П а
(т — целое число),
для минимумов
31П а =
B16)
B17)
Интерференция во всех процессах
распространения волн играет решающую
роль. На рис. 381 приведен простой
модельный опыт. Для него берут две
одинаковые стеклянные пластинки с
концентрическими кругами. Черные круги означают гребни волн, белые
круги— долины. На рис. 381 две такие стеклянные пластинки наложены
одна на другую, видны оба центра волн. На линии симметрии 00
Рис. 380. К выводу
уравнений B16) и B17).

§ 1Г/. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ
277
волновой процесс сохраняется, т. е. остается периодическая
последовательность черных и белых линий. С обеих сторон линии симметрии
лежат интерференционные полосы, т. е. на определенных угловых
расстояниях отсутствует чередование черных волновых гребней и
белых волновых долин. Гребни одного ряда волн ложатся на долины
другого ряда. Этот модельный опыт и его дальнейшее развитие
будут нам очень полезны,
особенно в оптике.
Во многих опытах по
интерференции второй волновой центр
заменяется зеркальным
изображением первого. Это значит, что
волну заставляют отражаться от
стены и наблюдают сложение
падающей и отраженной волн.
Рис. 382 дает моментальное
изображение этого процесса.
§ 117. Стоячие волны. До
сих пор мы демонстрировали
моментальные снимки волновых
полей с интерференцией двух волн.
Теперь приведем снимок с
выдержкой (рис. 383). На нем, как
Рис. 381. Волновое поле с
интерференцией — такое же, как и на рис. 379,
р
те. Две наложенные одна на другую
стеклянные пластинки с
концентрическими кругами.
и на рис. 382, второй волновой воспроизведенное в модельном опы-
центр был заменен зеркальным
изображением первого. На этом
снимке с выдержкой больше не
заметны обе волны, а видны
только гиперболы равных разностей хода. Приблизительно
перпендикулярное к ним сечение представляет периодическую
последовательность пучностей и узлов, «стоячую волну»; в их узлах
длительно сохраняется одно и то же состояние, на поверхности воды —
покой, а в пучностях периодически следуют максимумы и минимумы.
На линии, соединяющей центры волн, обе волны бегут навстречу
друг другу. Расстояние двух узлов постоянно и равно половине
длины отдельной волны. Во всех других местах волнового поля
расстояние между узлами больше. Предельный случай «расстояние между
узлами равно Х/2» осуществляется экспериментально лучше всего
с линейными волнами. Рис. 384 дает снимок с выдержкой. На нем
вторая волна получается зеркальным отражением первой от плоской
стенки.
Уравнение стоячих волн выводится следующим образом: для
амплитуды волны, бегущей вправо в положительном направлении г,
имеем:
Хг = Хо 81П (О И | .
B18)

278 XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
Для амплитуды волны, бегущей влево, имеем:
B19)
Введем сокращенные обозначения (св^—(в — \~я и 1гЫ -\- ш — ) = ^ и
Моментальный снимок. Снимок с выдержкой.
Рис. 382 и 383. Два поверхностных волновых поля
с интерференцией, при которой вторая волна
получается отражением первой от стенки. Рис 382
соответствует левой половине рис. 379. При этом
правый край рис. 382 совпадает с поверхностью
отражающей стенки (прямая 00 на рис. 379).
Стрелки — направление распространения бегущих
волн в интерференционном поле, двойная
стрелка — направление вдоль стоячих волн.
ИНН! и!
Рис. 384.
Снимок линейных
стоячих волн
перед
расположенной справа
отражающей
стенкой (ср.
«Электричество»
рис. 320).
получим для результирующей амплитуды обеих встречных волн
х = хг -\- хг = х0 (зт а -{- ып C). B20)
Используем далее тригонометрическое соотношение
а 4- В а — В
51П а -|~ 51П ^ =
получим:
или
X =
51П Ы СО5 (В —
С
X = 2ХО СО5 2% -г- 51П Ы.
B21)
B22)
B23)
Это — уравнение синусоидального колебания, у которого
амплитуда 2д;0со5 2тс-г- периодически изменяется вдоль оси г.

§ 118. распространение волн
279
§ 118. Распространение волн. При помощи наглядного
воспроизведения волн на поверхности воды мы прежде всего
экспериментально изучим следующие два вопроса: как распространяются бегущие
волны? Почему говорят об излучении
волн? В качестве вспомогательного
средства служит, как и раньше,
волновая ванна. Мы вводим препятствия
(куски дерева или металла) на пути
волн.
Сначала заставим прямолинейные
волны с широким фронтом падать
перпендикулярно на длинную стенку
(рис. 385), преградив путь половине
волны. По соображениям симметрии
следовало бы ожидать позади этой
стенки — «полуплоскости» — границу
волны в виде штриховой прямой
линии. Выше нее должна начинаться
«тень» стенки. Но на это нет и
намека. Волны переходят геометрическую границу и распространяются
«большими» дугами внутрь теневой области. (Для волн величина
длины волны X является подходящей мерой длины. «Большой»
означает здесь: большой по сравнению с X.) Это распространение волн
Рис. 385. Ограничение
линейных волн полуплоскостью.
Рис. 386. Ограничение линейных
волн щелью. Рис. 385—393
моментальные снимки @,002 сек.).
Рис. 387. Тень от
препятствия, образуемая линейными
волнами.
в область тени словесно выражают в страдательной форме, говорят:
волны загибаются. Волны, появившиеся по ту сторону границы,
называют загибающимися (диффракционными) волнами.
На рис. 386 из двух полуплоскостей образована щель для
ограничения волн. Снова изображенные штрихами геометрические границы
заметно нарушаются диффракционными волнами. Связь с рис. 385

280 XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
очевидна без особых разъяснений. На рис. 387 щель заменена
препятствием такой же ширины. Здесь загибающиеся волны выступают
еще очевиднее: от верхнего и от нижнего краев препятствия идут
диффракционные волны, которые интерферируют друг с другом;
«тень» препятствия по мере удаления от него стирается.
Рис. 388. Ограничение линейных волн Рис. 389. Очень неполная тень от
щелью. В диффракционной области маленького препятствия в области
отчетливо заметны побочные макси- линейных волн.
мумы.
Рис. 388 и 389 изображают соответствующие результаты опытов
для меньших размеров. Ширина щели и препятствия равна примерно
всего лишь ЗХ. Здесь приходится отказаться от геометрических
построений лучей даже в качестве приближения. За щелью волны
веерообразно распространяются вширь и вдаль, в области
«загибания» с обеих сторон отчетливо заметны максимумы и минимумы.
Позади препятствия даже на малом расстоянии тень образуется лишь
очень неясно, а диффракционные волны чуть-чуть слабее, чем волны
в свободном волновом поле с обеих сторон.
На рис. 390 отверстие щели меньше длины волны: проходящие
сквозь него волны распространяются практически по полукругам.
На рис. 391 препятствие выбрано столь же малой ширины, как и
щель. Его действие на непрерывный ход волн едва можно заметить.
Поэтому на рис. 391 на препятствие падает волна, возбужденная
кратковременным движением погруженного в воду тела. На
фиксированном моментальном снимке эта волна уже прошла маленькое
препятствие. Видно последствие: препятствие породило новую волну
с круговой симметрией. Объединяя наблюдения рис. 390 и 391, можно
сказать: щель на рис. 390 и препятствие на рис. 391 становятся
исходным пунктом новой волны. От щели распространяется она
в виде полукругов, от препятствия—в виде полных кругов. И те и
другие представляют собой предельный случай диффракции. Об этом
предельном случае говорят, что волны «возникли при рассеянии»,
или называют их «рассеянными». Употребительно также название

§118. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛИ
281
«элементарные волны». Их амплитуда убывает с уменьшением ширины
щели и размеров препятствия. Но существуют они при сколь угодно
малых геометрических размерах. При достаточной амплитуде
падающих волн их можно обнаружить при всяких условиях. Даже самые
Рис. 390. Элементарные
волны позади маленького
отверстия, образованные
линейными волнами.
Рис. 391. Элементарные волны,
возникающие при рассеянии
на маленьком препятствии.
маленькие тельца обнаруживают свое существование, рассеивая
волны (ультрамикроскопические данные).
Подведем итоги предыдущим опытам: распространение волн и их
границы, устанавливаемые наличием препятствий, можно изобразить
при помощи простого геометрического
понятия о лучах. Однако при этом
должно быть выполнено необходимое • ч ** ^
предположение: геометрические размеры В
(ширина щели или препятствия) должны
быть велики сравнительно с используемой
длиной волны X.
Объясним на следующих примерах
физический смысл этого геометрического
представления хода волн
(«геометрическая оптика»). На рис. 392 расходящиеся
волны косо падают на гладкую плоскую
преграду. Механические погрешности ее
поверхности (царапины и горбинки) малы
Рис. 392. Отражение расхо-
„ о дящихся волн от зеркала,
сравнительно с длиной волны. Волна отра- расположенного под углом
жается зеркально. Для обоих нарисо- 45°; гладкая поверхность
ванных лучей справедлив закон отра- зеркала искажена рябью
жения: угол падения равен углу отра- на поверхности воды,
жения. Выше зеркала видно наложение прямой и отраженной
волн. Направо видна тень от зеркала с ее размытыми диффракцией
краями.

282
XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
В мелкой воде волны бегут медленнее, чем в глубокой (см. стр. 303).
Мы применим это для получения «водяной линзы». Внесем в ванну
прозрачное тело в форме линзы. Между его поверхностью и
поверхностью воды остается промежуток всего около 2 мм. «Линза»
с боков «оправлена» в экран (рис. 393). Расходящиеся волны
задерживаются больше всего при прохождении через толстую середину
линзы; у краев ее они задерживаются меньше, сообразно уменьшению
Рис. 393. Центр волн (предмет)
преобразуется водяной поверхностной
лкнзой в «изображение». Прямая
г— ось симметрии линзы. Точка
положения предмета преднамеренно
расположена не на оси симметрии.
Рис. 394. Вогнутое зеркало
собирает линейные поверхностные
волны на воде в своем фокусе
(снимок с выдержкой). Диаметр
зеркала 14 см. (Ср. с рис. 406.)
толщины линзы. Вследствие этого запаздывания кривизна волн меняет
свой знак. Волны стягиваются концентрически за линзой в
«изображение» и снова расходятся только за этим изображением. Вогнутое
зеркало дает соответствующее изображение. Это показано на рис. 394.
Центр волн («предмет») лежит влево на «бесконечно» далеком
расстоянии; это значит, что мы применяем прямолинейные волны. В этом
случае изображение называется «главным фокусом». Рис. 393 и 394
поистине поучительны: «изображения» в действительности не
являются точками пересечения нарисованных лучей, а
представляют собой пространственные диффракционные фигуры оправ
линз или зеркал. Их размер зависит от длины волны применяемого
излучения и от диаметра линзы или зеркала. Чем больше диаметр
линзы, тем меньше диффракционная фигура—действительное
изображение.
Для изображения каждого волнового пучка на чертеже во многих
случаях достаточно одного-единственного штриха, а именно оси
пучка, называемой главным лучом. Исходя из этого излюбленного
способа изображения, часто называют пучок параллельных волн
коротко лучом. Таким образом говорят о звуковых и о световых
лучах. Оба слова употребительны и удобны. Тем не менее, ради
ясности мы будем употреблять слово луч только по отношению
к геометрической линии на рисунках.

§ 118. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН
283
Большие успехи «геометрической оптики» легко соблазняют
к переоценке применимости представления о лучах. Поэтому мы
дадим один из важнейших законов распространения волн, а именно
закон преломления, совершенно
независимо от представления о лучах.
На рис. 395 канал /С/С' с обеих
сторон окружен плоской
поверхностью воды. Волны возбуждаются
слева от К при помощи
погружаемого в воду тела. Каждый
пробегающий в канале гребень волны
возбуждает с обеих сторон на
поверхности воды прямолинейное
продолжение; возникают три
наклонных друг к другу ряда волн с
прямыми (соответственно в
пространстве плоскими) волновыми гребнями
и долинами.
Для объяснения этого процесса на рис. 396 изображен путь
отдельного волнового гребня ТТ. Этот гребень бежит со скоростью и\
направо. Его концы, ударяющие
в стенки канала, становятся
источниками элементарных волн (стр. 281).
Эти последние распространяются
кругами, но с малой принадлежащей
поверхности воды скоростью «а.
Общая касательная всех
элементарных волн образует новый
прямолинейный гребень волны 7Т'. Из
чертежа можно усмотреть соотношение:
B24)
Рис. 395. Преломление и угол
Маха. Ср. головную волну на
рис. 453.
Мелкая
/лубокая
Мелко
Отношение щ/иц = п
называется «показателем преломления»,
угол а называют иногда «углом
Маха». На рис. 397 волны ТТ и
верхняя часть волн ТТ' заменены
двумя лучами. Луч / скользит,
т. е. движется параллельно границе
ф = 90°), луч 11 образует с
нормалью N угол ос, синус которого равен 1/га. При этом лучевом
изображении называют а предельным углом полного отражения, и
притом независимо от направления луча.
Глубоко
Рис. 396 и 397. К происхождению
угла Маха а — предельного угла
полного отражения.

284
XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
§ 119. Принцип Френеля — Гюйгенса. При введении угла Маха
мы только что использовали «элементарные волны» (рис. 390 и 391)
и рассмотрели их общую касательную как гребень результирующей
волны- Такое положение носит название принципа Гюйгенса.
Если же учитывается, кроме того, интерференция элементарных
волн, то говорят о принципе Френеля — Гюйгенса. С помощью
этого принципа все экспериментально найденные результаты на
рис. 385—389 и 392—394 могут быть в первом, но уже очень широ-
Рис. 398. К вычислению диффракционного изображения щели.
ком приближении объединены и объяснены. Этот формально
геометрический принцип имеет одинаковую важность для всех волновых
процессов. Мы объясним это на примере ограничения волны щелью
(рис. 398).
Сначала выясним, как осуществляются минимумы с обеих сторон
от центральной волны. С этой целью пункт наблюдения Р мы
представим себе очень удаленным; поэтому обе прямые, проведенные к Р
от краев щели, можно практически считать параллельными. Далее,
представим себе, что щель разложена на большое число Ы,
например 12, одинаковых отрезков: 1, 2, 3 и т. д. Каждый из этих
отрезков мы рассматриваем как исходный пункт элементарной волны
с соответствующим номером. Все эти N элементарных волн
пересекаются или налагаются одна на другую в точке наблюдения Р.
При этом амплитуды элементарных волн складываются в одну
амплитуду, действительно имеющую место в точке Р. При этом сложении
существенную роль играет разность хода между отдельными
элементарными волнами.
Пусть наибольшая разность хода 5 между первой и двенадцатой
элементарными волнами равна X. Тогда разность хода между первой
и шестой, между второй и седьмой и т- д. элементарными волнами
будет равна Х/2. Это значит, что амплитуды каждой из этих пар
взаимно уничтожаются. Следовательно, в рассматриваемом
направлении а волны нет, мы имеем минимум, положение которого
определяется по рис. 398;
B25)

§ 119. ПРИНЦИП ФРЕНЕЛЯ ГЮЙГЕНСА
285
Это уравнение подтверждается наблюдениями. Оно позволяет
вычислить X, если измерены ширина щели В и направление первого
минимума. Для других направлений мы производим графическое сложение
отдельных элементарных волн. Таким образом, мы получим для волн
всякого рода одинаково важные «горные цепи амплитуд». Позади
щели шириной В получается распределение волновых амплитуд для
различных направлений наблюдения.
Разность хода между двумя любыми соседними из ./V элементарных волн
равна
ДА = Л = В — B26)
N N '
Для точки Ро на оси симметрии 0—0 щели
5 = 0, а. = 0, зШ а == 0, сИ = 0.
*• , Х
Для ближайшей точки Р^ мы выбираем 5 = -^ ; тогда зШ а = ^ и
разность хода двух соседних элементарных волн й^==То"з или в Угло*
вой мере я?<р = 77) 120° = 10°.
12
Ш.
Рис. 399. Так складываются все
12 амплитудных векторов без
разности фаз по схеме
вспомогательной фигуры 0. Их сумма
или равнодействующая,
изображена внизу в виде толстой
стрелки /?0 и как результат введена на
рис. 400 над точкой абсциссы,
где зт а = 0.
Рис. 400. «Горная цепь» амплитуд
при ограничении плоской волны
щелью. На рис. 399 — необходимые
для построения вспомогательные
фигуры. Интенсивность волн
пропорциональна квадрату амплитуды.
Поэтому для сравнения с измерениями
(например рис. 424) надо ординаты
этой кривой амплитуд возвести в
квадрат.
Амплитуды 12 элементарных волн складываются согласно рис. 399, /.
Равнодействующей будет стрелка /?!• Как результат графического сложения
она нанесена на рис- 400 над точкой с абсциссой 81пввдЯ'

286 XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
Таким же образом продолжаем и дальше. Для точки Р9 мы берем
2 2 X 12
5 = -^ X, следовательно, в1па = — — а\ = — _ X, дГср = 20°. Рис. 399, 2 дает
равнодействующую — стрелку /?2- Для следующей точки мы берем:
5 = X, следовательно, з!по = —, а\ = — га^ = 30°.
На вспомогательном рис. 3 амплитуды 12 элементарных волн
складываются в замкнутый многоугольник. Их равнодействующая равна нулю.
Поэтому на рис. 400 мы при абсциссе зш а = Х/В должны нанести точку на
самой оси абсцисс.
Наконец, мы полагаем:
3 3X13
5 = -п К следовательно, зШ а = — -^, Л = ^ — X, #<р = 45°.
Графическое сложение проведено на рис. 399, 4. Амплитуды первых
восьми элементарных волн замыкаются в восьмиугольник, их
равнодействующая— нуль. Амплитуды 9—12 дают половину восьмиугольника и
равнодействующую /?4-
При 5 = 2Х или #<р = 60° амплитуды элементарных волн /—6 и
амплитуды 7—12 дают равнодействующую, равную нулю; точка при абсциссе
31П а = 2~к/В лежит на рис. 400 опять на оси абсцисс. Этого достаточно. Те -
перь мы можем без затруднения дополнить рис. 400 симметрично с обеих
сторон.
Мы разобрали на рис. 388 и 398 предельный случай «диффракции Фраун-
гофераг. как источник излучения, так и плоскость, где производились
наблюдения, лежали очень («бесконечно») далеко от щели. Падающие гребни
волн были практически прямыми. На рис. 392 и 393, напротив, мы
наблюдали общий случай «диффракции Френеляк падающие волны были
круговыми дугами с заметной кривизной. Это несколько затрудняет графическое
сложение амплитуд элементарных волн при построении по принципу
Френеля — Гюйгенса. Принципиально же это ни в малейшей степени ничего не
изменяет.
§ 120. Возникновение продольных волн. Их скорость. То или
иное состояние может передаваться в форме волн лишь при
условии, если распространение проис-
ходит с конечной скоростью. Для
поперечных волн на поверхности
воды мы пока будем
рассматривать этот факт как полученный
Рис. 401. К вычислению скорости экспериментально. Подробный раз-
звука в стержне. бор будет произведен в § 124.
Продольные волны возникают
благодаря тому, что упругие возмущения передаются с конечной
скоростью. В этом случае должно иметь место количественное
рассмотрение.
На брусок (рис. 401) действует импульс силы 5?А^ в течение
времени А/ с силой $. Возникает упругое возмущение. Оно
продвигается со скоростью с направо и за время А^ охватывает часть
бруска длиной А/ = с АЛ Эта часть бруска имеет массу
А/и = с М • Гр B27)
^р — плотность, Р—площадь поперечного сечения бруска).

§ 121. СТОЯЧИЕ ПРОДОЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В ВОЗДУХЕ 287
При этом импульс силы ЯД/ оказывает на эту часть бруска
двоякое действие: во-первых, он сжимает ее на маленькую длину
Дг (верхняя часть рисунка). По закону Гука мы имеем:
^ B28)
(а — коэффициент растяжения материала бруска, § 68).
Во-вторых, он сообщает части бруска импульс, направленный
вправо
^ B29)
Часть бруска длиной Д/ продвинется поэтому за время Ы на Дг
вправо (нижняя часть рисунка). В изображенном там положении
в последующие отрезки времени и длины начинается
соответствующий процесс.
Сравнение уравнений B27)—B29) дает:
<д^=^тд<- <230>
и отсюда следует для скорости с = Д//Д^ продвижения продольного
упругого возмущения, называемой обычно скоростью звука,
1
с—
уар
B31)
Это уравнение—частный случай общего соотношения
<2=^- <232>
Оно справедливо и тогда, когда закон Гука больше не
выполняется. Примером применения этого соотношения является
вычисление скорости звука в газах (§ 148).
Числовой пример. Для стали
а = 4,6 • 10 мм2/килопонд = 4,7 • 10~12 м2/нъютон, р = 7700 кг/м%
1 ньютон — 1 кгм • сек 2. Итак,
= 5,3 км/сек.
^ 4,7 • 10~12 м21кгм ■ сек~* 7,7 • 10» кг/м*
§ 121. Стоячие продольные волны в воздухе в свободном
звуковом поле. Продольные волны в воздухе играют в нашей жизни
фундаментальную роль: они вызывают ощущения звука и делают
возможными наши слух и речь. Поэтому мы должны с этими волнами
основательно познакомиться. Сначала проведем несколько наблюдений
над стоячими продольными волнами воздуха в свободном звуковом
лоле.

288
XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
Рис. 402. Стоячие звуковые
волны в воздухе перед
находящейся у 'Ш стенкой,
л = 8 мм. Снимок с
выдержкой по методу полос
с затемненным полем. На
изображение смотрят
попеременно вверху и внизу.
Ь — патрубок для сжатого
воздуха.
На рис. 402 мы видим слева маленький, известный по рис. 344,
свисток высокой частоты. Его волны распространяются с шар'овой
симметрией. Справа они встречают препятствие — узкую, около 2 см
■ширины, вертикальную стенку. Волны
отражаются и образуют вследствие этого
перед стенкой стоячие волны с
пучностями и узлами. Их наблюдают на
темном фоне методом полос. (Изображение
соответствует рис. 383 для
поверхностных водяных волн.)
Изображение на темном фоне
предполагает элементарные познания из
геометрической оптики, нужно знать роль
зрачков. Но для двух ближайших опытов
это не обязательно. В них используется
пучок звуковых волн с параллельным
ограничением, иначе говоря, плоских волн.
Они возбуждаются маленьким свистком,
помещенным в фокусе вогнутого
зеркала (рис. 403). Этот пучок звуковых волн
распространяется, скользя над
поверхностью жидкости (лучше всего керосина)
(рис. 404). На правом конце он отражается
от пластинки /?, так сказать, «зеркала».
Отраженные волны складываются с падающими, и перед зеркалом
возникают стоячие волны в воздухе. Под их пучностями
поверхность жидкости несколько деформируется
(подробнее см. в § 122), возникают
бороздки, как на рис. 405. Они заметны при
косом наблюдении. Их можно показать
большой аудитории в виде полос на светлом
фоне: для этого берут блюдо с прозрачным
дном и под ним маленький источник света.
Форму рефлектора /? можно как угодно
изменять. На рис. 406 /?—вогнутое
зеркало. Изображение волнового поля
соответствует во всяком случае рис. 393 и 394,
т. е. опять можно различить фокус в виде
диффракционной фигуры со значительным
диаметром. Очень поучителен также рис. 407.
На нем употребляется в качестве
рефлектора— рука. При демонстрации она
движется. На языке оптики это означает: рука
не является «самостоятельным источником
света», видно исходящее от нее «вторичное излучение». На языке
акустики это звучит так: мы видим высокочастотное звуковое из-
Рис. 403. Звуковой
передатчик на установке, в
которой он применяется по
схеме рис. 404. Свисток
такой же, как на рис. 344
и 402.

§ 121. СТОЯЧИЕ ПРОДОЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В ВОЗДУХЕ
289
лучение, при помощи которого летучие мыши в полной темноте или
слепые распознают препятствия и находят добычу. Это — древний
акустический прототип радарной техники локации самолетов.
ок.Зм
Приемник (стеклянная ванна)
'лампа "
Рис. 404. К обнаружению стоячих волн в воздухе в
свободном звуковом поле.
До сих пор звуковое поле в воздухе мы ограничивали снизу
поверхностью жидкости. Вместо этого можно наклонно пересечь
звуковое поле тонким слоем жидкости (мыльная пленка). На рис. 408
дана схема опыта. Слева дви-
паряллолыт ограпнчои-
!(| 1.111 пт 1К-;)..Д;'.Г-
Рис. 405. Стоячие волны в воздухе в сво- Рис 406. Стоячие волны в воздухе
бодном звуковом поле перед плоским в свободном звуковом поле перед
зеркалом. А ?^ 1,15 см, V = 3 • Ю^/сек. вогнутым зеркалом. Рис. 405—407
и 410—снимки с выдержкой (по
несколько секунд).
чика (рис. 403), справа стоит в качестве зеркала матовая
стеклянная пластинка, а перед ней—мыльная пленка. Она разрезает
плоские пучности и узлы стоячих звуковых волн на полосы,
направленные перпендикулярно к плоскости чертежа. Дуговая
лампа у передатчика отбрасывает теневое изображение мыльной
пленки на матовую пластинку. Это теневое изображение наблюдают
с задней стороны пластинки или же фотографируют. Рис. 409
показывает результат для одной и той же длины волны, но при двух
различных наклонах, заметных по тени круговой рамки. Мыльная

290
XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
пленка на пучностях становится мутной, и поэтому пучности дают
полосатые тени.
Это основывается на выделении газовых пузырьков (псевдокавитация).
Пузырьки исчезают примерно через 1 мин. Поэтому приходится при всяком
Рис. 407. Стоячие звуковые волны в воздухе
в свободном звуковом поле перед рукой.
повторении опыта брать новые мыльные пленки. По той же причине
помещать пленку перед рефлектором из матового стекла следует при
диафрагмированном звуковом поле, пока не улягутся течения в свежей пленке,
и только тогда посылать звуковое излучение.
Матовый
стеклянный
диен
'Мыльная
пленка
Рис. 408. К обнаружению
стоячих звуковых волн в
воздухе при помощи
мыльной пленки.
Рис. 409. Обнаружение стоячих
звуковых волн при помощи
мыльной пленки для двух различных
наклонов пленки.
§ 122. Звуковые индикаторы. Звуковое давление. Звуковой
радиометр. Вернемся еще раз к рис. 404 и используем в качестве
рефлектора /? прямоугольный зеркальный эккер. Перед ним стоячие
звуковые волны создают очень характерный, легко распознаваемый
на большом расстоянии узор (рис. 410). Такое угловое зеркало над
поверхностью жидкости пригодно в качестве удобного и дешевого
индикатора для высокочастотных звуковых волн.

§ 122. ЗВУКОВЫЕ ИНДИКАТОРЫ. ЗВУКОВОЕ ДАВЛЕНИЕ
291
Прежде часто пользовались примитивным индикатором —
чувствительным пламенем. Это —длинное газовое пламя с надлежаще установленной
скоростью истечения (рис. 411, а). Его гладкая, спокойно горящая нить очень
«чувствительна»: она реагирует на механические
сотрясения почти так же, как и чувствительная струя воды на
рис. 363. Гладкая нить турбулентно распадается в
короткое, беспокойное, сильно шумящее пламя (рис. 411, Ъ).
Хорошо отрегулированные пламена реагируют уже на
большом расстоянии на тихое шипение или встряхивание
связки ключей. К сожалению, в большинстве мест
имеющееся в распоряжении давление светильного газа
недостаточно и приходится употреблять вспомогательный насос.
Рис-
дают простои
индикатор ко-
Для количественного исследования звуковых
полей больше всего пригоден звуковой радиометр.
Этот прибор основан на мало известном, но заме-
. чиеволныв зео-
чательном факте: каждая поверхность, на которую кальном эккере
падают звуковые волны, испытывает в направлении
распространения этих волн одностороннее давление.
Его называют давлением излучения звуковых волн ротких звуко-
14 ЫХ ВОЛН
по аналогии с давлением излучения света
(«Оптика», § 228). Это постоянное одностороннее давление
излучения не следует смешивать с синусоидально колеблющимся
давлением звуковых волн. (Тонкая мембрана при падении на нее
звуковых волн не только колеблется с частотой
волн, но, кроме того, она односторонне
выпячивается в направлении
распространения волн.)
Для качественной демонстрации давления
излучения пригодна изображенная на рис. 412
вертушка. Ее ставят перед вогнутым
зеркалом так, чтобы главный фокус пришелся на
крылышко. Чем больше интенсивность
излучения, тем выше вращательная частота
вертушки. Это уже очень подходящий
приемник для высокочастотных звуковых волн.
Если взять только одно крылышко и
заменить опору, образованную стеклянной
шляпкой и иголкой, натянутой с обеих
сторон тонкой металлической лентой, то
получится измерительный прибор,
называемый звуковым радиометром.* В настоящее
Рис. 411. а — чувстви- время имеются их маленькие ручные типы
тельное пламя; Ь оно с магнитным демпфированием и коротким
же под действием корот- ^ г ,
ких звуковых волн. апериодическим временем установления
(около 2 сек.). На рис. 413 показан снимок
такого инструмента; его отбросы наблюдаются при помощи зеркала
и светового указателя.

292
XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
Возникновение давления излучения звуковых волн и его величина
объяснены на рис. 414. Обе прямые линии обозначают границы
параллельно ограниченного пучка волн. Частички воздуха колеблются в нем
0~ туда и сюда синусообразно в направлении двойных стре-
/"у У--V лок с наибольшей скоростью и0. Вследствие этого
статику ] ческое давление р внутри пучка уменьшается по
уравнению Бернулли на величину -~- ри* (р — плотность воздуха).
2,
Поэтому в волновой пучок втекает наружный воздух.
Пучок падает на стенку Р направо. При этом скорость
становится равной нулю, а давление возрастает на величину
рё1=-п-р1&. Это и есть давление излучения. Но вели-
2,
1 2
чина -х рщ в то же время равна частному:
кинетическая энергия в объеме V звукового поля
объем V звукового поля
Рис. 412.
Вертушка как
индикатор коротких
звуковых волн. т- е- Равна плотности о звуковой
энергии. Тем самым звуковое
давление р^ равно пространственной плотности о
энергии излучения, т. е.
B33)
§ 123. Отражение, преломление, диф-
фракция и интерференция свободных
звуковых волн. Прежде всего, дадим наглядное
представление о свободных звуковых волнах,
которые распространяются, сохраняя шаровую
симметрию, в пространстве от «точечного»
источника О. Вырезка из меридианной
плоскости на рис. 414а дает моментальный снимок.
Видно периодическое распределение давления
и плотности воздуха. В густо зачерченных
областях гребней волн давление и плотность
больше, а в областях слабо заштрихованных
волновых долин давление и плотность воздуха
меньше, чем в неподвижном воздухе.
Синусоидальная линия, проведенная наискось внизу
чертежа, изображает то же самое. Прямая
представляет нормальное давление
атмосферы р. Синусоида дает отклонения кр вверх
и вниз. Абсолютная величина амплитуды Д^о
приведена ниже, на рис. 457. Все показанное
на рис. 414а распределение давлений и
плотностей движется наружу со скоростью около
340 м/сек, сохраняя шаровую симметрию. Из-
Рис. 413. Звуковой
радиометр. Справа
виден за наклонным
стеклянным
окошечком круглый диск
крыла, а за ним, у
кожуха, — край
входного отверстия. Это
отверстие помещают в
главном фокусе
вогнутого зеркала,
собирающего звуковые волны.
мерение этой скорости звука происходит путем измерения пути и
времени.

§ 123. ОТРАЖЕНИЕ, ПРЕЛОМЛЕНИЕ, ДИФФРАКЦИЯ И ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ 293
Пространственные продольные звуковые волны значительно более
пригодны для демонстрации важных явлений при распространении
Пучок плоских волн
Рис. 414. К возникновению
давления излучения.
волн, чем поперечные волны на поверхности жидкости. Используются
параллельные пучки волн. Подходящий передатчик был изображен
на рис. 403. В качестве приемника
применяется тот или иной из
указанных в § 122.
Само собой разумеется, что можно
использовать и электрические
устройства для передатчика и приемника,
однако с ними не удается показать
больше, чем со столь простыми
механическими приборами.
Из большого количества
эффектных опытов мы приводим в
дальнейшем лишь маленькую
выборку.
I. Отбрасывание тени.
Наводят звуковой передатчик (рис.
403) на приемник и вводят
препятствие, например собственное
тело, на пути пучка звуковых
волн.
Отбрасывание тени звуковых волн
можно очень красиво демонстрировать
и без всяких инструментов. Надо
тереть друг о друга большой и
указательный пальцы правой руки на
расстоянии около 20 см от правого уха.
Слышен высокий тон, похожий на
звук нашего свистка. Затем
прикрывают правое ухо левой рукой. Теперь
не слышно ничего, так как левое ухо
целиком лежит в звуковой тени.
Рис. 414а. К распространению
бегущих звуковых волн в воздухе при
шаровой симметрии. Промежуточная
серая окраска означает нормальную
плотность воздуха.
Рис. 415. Плоские точечная и
дырчатая решетки.
II. Отражение. Отражение звуковых волн было уже приведено
раньше в нескольких опытах (например рис. 402—408). Достаточно
сделать несколько добавлений. В качестве отражающей поверхности
употребляется не гладкое зеркало,-а решетка. На рис. 415 изобра-

294
XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
жены два примера. Шарики и отверстия при падении на них зйу-
ковых волн становятся источниками элементарных волн. Пусть
расстояние шариков или отверстий от их соседей имеет порядок
величины длины волны. Тогда зеркальное отражение этой решетки
удобно показать при помощи установки, изображенной на рис. 416.
На ней угол падения а изменяется таким способом, чтобы весь
передатчик двигался посредством вращающегося плеча. Маленькое
вспомогательное устройство (шарнирный параллелограмм)
одновременно поворачивает отражающую поверхность 8р на угол а/2.
Перпендикуляр
в точке падения
Рис. 416. К демонстрации закона отра- Рис. 417. Возникновение зеркаль-
жения при постоянном направлении
отраженного пучка.
ного отражения на плоскости
решетки согласно принципу
Гюйгенса. Боковые границы волн
изображены двумя лучами.
Тогда отраженный пучок сохраняет постоянное направление.
Вследствие этого можно пользоваться неподвижным приемником. Решетка
(рис. 415) при любом угле падения производит сильное отражение.
Возникновение этого отражения объясняется лучше всего с
помощью принципа Гюйгенса (рис. 417): отраженную волну
рассматривают как огибающую отдельных
элементарных волн.
Очень эффектно также отражение
звуковых волн на границе теплого и
холодного воздуха. Рис. 418 и 419
показывают соответствующую установку. На
ней при помощи газовой горелки в виде
гребня мы получаем приблизительно
плоскую вертикальную стену горячего
воздуха с малой плотностью. Она очень
ясно, хотя и не так точно, как
деревянное или металлическое зеркало, отражает
пучок параллельных волн от передатчика.
III. Преломление. Для демонстрации преломления звуковых волн
пользуются призмой, наполненной двуокисью углерода (рис. 420)..
Ее прозрач 1ые стенки лучше всего сделать из шелковой
материи (бумага, целлофан, гуттаперча — практически непрозрачны).
После наполнения двуокисью углерода получают угол
отклонения 5 = 9,8°.
Рис. 418. Газовая горелка,
употребляемая для
получения вертикального слоя
горячего воздуха на рис. 419.

§ 123. ОТРАЖЕНИЕ, ПРЕЛОМЛЕНИЕ, ДИФФРАКЦИЯ И ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ 295
Для второй грани призмы на рисунке показаны углы падения а
и преломления [3. В призме выбранной нами формы а = 30°. Из
чертежа видно, что р==а-(-8, следовательно, ,3 = 39,8°. Отсюда
показатель преломления равен
30°
0,5
0,64
= 0,78.
Простое объяснение преломления дано на рис. 421.
IV. Рассеяние. Мы направляем пучок звуковых волн от
передатчика прямо на приемник и затем
помещаем на пути лучей горячие
газы пламени перемещаемой туда
и сюда газовой горелки. Или же
горячего воздуха
Рис. 419. Отражение плоского пучка Рис. 420. Преломление пучка плос-
звуковых волн от слоя горячего воз- ких звуковых волн в призме, на-
духа. полненной СО2. Острый угол
призмы равен а.
мы «выливаем» на пути лучей двуокись углерода из ситечка лейки.
В обоих случаях волны при отражении
и преломлении неправильно
рассеиваются во все стороны («диффузное
отражение»), они больше не достигают
приемника. От первоначально резко
ограниченного луча ничего не осталось.
Он совершенно разрушен
«прожилками» в воздухе или «мутной средой».
V. Д< ффракция. Для диффракции
звуковых волн мы пользуемся
установкой, изображенной на рис. 422,
а в I ачестве приемника — звуковым
радиометром (рис. 413). Изображенная
на рис. 423 диафрагма с
прямоугольным отверстием служит диффракцион-
ной щелью. Измерения приведены на
рис. 424 в прямоугольной системе
координат. Сравним его с рис. 400:
отбросы звукового радиометра
пропорциональны квадрату амплитуды, и
поэтому на рис. 424 боковые максимумы по сравнению с главным
максимумом значительно ниже, чем на рис. 400.
Угол
преломления
Рис 421. Происхождение пре-
ломления согласно принципу
Гюйгенса. Пути ВО и АС про-
бегаются в одинаковое вре-
мя. Они относятся друг к дру-
гу> как скорости вол^в об^х
средах, т. е. ВО\АС = «//«// =
= зш а/зш р = показатель пре-
ломления п.

296
XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
На рис. 425 те же самые измерения, как и на рис. 424, представлены
в полярных координатах. Здесь радиус-вектор изображает для разных
направлений величину отброса радис метра илч пропорциональную ему силу
излучения, т. е. отношение интена вности излучения к телесному углу. Этот способ
изображения предпочитается в технике («характеристика направлений»).
Во втором опыте мы заменяем диффракционное щелевэе отверстие
(рис. 423) двумя узкими щелями D26). Обе щели служат центрами
элементарных волн. Эти волны интерферируют между собой по схеме
4
Р/ А
-20°
Рис 422. Ограничение плоских звуковых
волн щелью (диффракция Фраунгофера).
рис. 379. Результат изображен на рис. 428. Он показывает
периодическую последовательность широких максимумов и минимумов.
В третьем опыте, на рис. 427, мы берем вместо двух узких
щелей пять таких щелей на тех же расстояниях й, как на рис. 426.
При наложении пяти элементарных волн (рис. 429)
положение интерференционных максимумов остается
таким же, но максимумы становятся острее и
разделяются плоскими минимумами. Решетка со
многими щелями называется диффракционной решеткой.
Впервые ее применил в 1807 г. Томас Юнг, но
названа она по имени Фраунгофера. Для направления
отдельных максимумов имеет место равенство
сГз1па = /»Х B34)
(т — целое число).
Чем больше X, тем больше угол отклонения а.
Поэтому диффракционные решетки играют большую
роль, как спектральные аппараты.
Действие диффракционной решетки и обоснование уравнения B34)
объясняется проще всего на основе, принципа Гюйгенса. На рис. 430 изображены
элементарные волны от пяти узких отверстий решетки. Их гребни волн
начерчены сплошной чертой, поставленные рядом с ними числа дают их расстояния
от центров, выраженные в длинах волн.
Общие касательные к гребням лежащих рядов круговых элементарных
волн можно провести в направлениях, перпендикулярных к стрелкам 0, 1, 2
и т. д. Вдоль этих касательных гребни элементарных волн складываются
в одну неискривленную или «плоскую» волну. В направлении стрелки О
разность хода каждых двух рядов лежащих волн равна нулю. В других
направлениях 1, 2 я т. д., она составляет целое число волн, т. е. и, 2л, За и т. д
Точно такое же построение можно выполнить и налево.
Рис. 423.
Используемая на
рис. 422 диф-
фракционная
щель Ьх
шириной В.

§ 123. ОТРАЖЕНИЕ, ПРЕЛОМЛЕНИЕ, ДИФФРАКЦИЯ И ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ 297
X
X
в\
\
20° 10" О 10° 20°
Угол отклонения а
Рис. 424. Картина диффракции Фраун-
гофера (звуковая «горная цепь») на
щели, изображенной на рис. 423,
для длины волны 1,45 см.
Заштрихованная область В отмечает границы
геометрической тени.
Рис. 425. Картина
диффракции Фра-
унгофера (рис. 424),
изображенная в
полярных
координатах.
Рис. 426. Двойная щель
для опытов с диффрак-
цией, простейшая «диф-
фракционная решетка»,
состоящая из двух
отверстий.
Рис. 427. Диффракцион-
ная решетка, состоящая
из пяти щелей,
находящихся на равных
расстояниях друг от друга.
Постоянная решетки, т. е.
расстояние между
щелевыми отверстиями, такое
же, как и на рис. 426.

298
XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
Таким образом, падающий на решетку параллельный пучок волн при
прохождении сквозь решетку симметрично расщепляется на ряд параллельных
пучков. Средний образует прямолинейное продолжение падающего. Его
называют пучком «нулевого порядка». Пучки, отклоненные в стороны, называют
пучками первого, второго,..., от-го порядка. Эта нумерация выражает,
следовательно, разность хода соседних эчементарных волн.
VI. Интерферометр. Прообразом всякого интерферометра
служит интерференционный опыт Томаса Юнга. Он осуществляется
по схеме рис. 381; из одного пучка почти плоских волн две узкие
щели (рис. 426) создают два сильно расходящихся пучка
элементарных волн, налагающихся друг на друга.
Мы показываем результат этого классического опыта на рис. 428-
Таким способом Томас Юнг в 1807 г. обнаружил интерференцию
света и измерил длину световой волны. Опыт Юнга с двумя
щелями используется еще и сегодня для многих измерений в
лаборатории и в технике.
Мощность проникающего сквозь обе узкие щели излучения очень
мала. Поэтому позднее придумали другие опыты, в которых
параллельно ограниченный пучок волн с большим поперечным сечением
можно заставить интерферировать. С помощью преломлений или
отражений или их комбинации все они расщепляют один пучок
волн на два. И эти опыты расщепления были даны уже Томасом
Юнгом.
Из многочисленных типов интерферометров мы приведем два
особенно надежных (рис. 431 и 432). На обоих рисунках оси
отдельных пучков обозначены лучами. На рис. 431 обе отражающие
Первый
порядок
Нулевой
порядон
Первый
порядок
Второй
порядок
Рис. 428. Диффрак-
ционный спектр,
полученный от двух
щелей.
Рис. 429. Диффрак-
ционный спектр,
полученный при
помощи решетки
(рис 427).
35° 30° 25° 20° 15" 10° 5° О" 5" 10"
Угол отклонения
15" 20° 25° 30° 35°
плоскости Аи В расположены взаимно перпендикулярно, на рис. 432 —
параллельно. На рис. 431 разность хода обоих пучков волн
определяется разностью путей 5, на рис. 432 —углом падения а.

§ 123. ОТРАЖЕНИЕ, ПРЕЛОМЛЕНИЕ, ДИФФРАКЦИЯ И ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ 299
Рис. 430. Диффракционная решетка Фраунгофера,
объясняемая при помощи элементарных волн Гюйгенса.
Неподвижное
зерпало
5=Ь-а
Подвижное
зеркало
Передатчик
Рис. 431. Интерферометр — схема А. А. Майкельсона.
М. к приемнику
V
Передатчик
к приемнику
Рис. 432. Интерферометр,
состоящий из двух взаимно
параллельных отражающих и прозрачных
плоскостей.
Рис. 433. К выводу уравнений B35) и
B36). Угол -\ хорошо демонстрируется
при помощи волновой ванны, проще
всего путем непрерывного изменения
длины волны (частоты погружаемого
тела).

300 XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
Максимумы отраженной или минимумы проходящей мощности
излучения находятся в тех местах, для которых выполняется соотношение
2асо5а=тк B35)
(й — расстояние отражающих плоскостей, т — целое число).
На рис. 433 обе отражающие, параллельные друг другу плоскости А и В
изображены как плоские решетки. Ясно, что разность хода между лучами
1 и 2, отраженными от верхней и нижней плоскостей, равна 1A соз а. Часта
вместо угла падения а. применяют его дополнительный угол ? = 90°—• а. Тогда
вместо уравнения B35) пишут:
2*1 = /иХ. B36)
Эти важные описанные на рис. 431 и 432 интерферометры
демонстрируются особенно легко и эффектно с короткими звуковыми
волнами. В качестве индикатора достаточно, например, изображенного
на рис. 410.
§ 124. Возникновение волн на поверхности жидкости.
Продольные звуковые волны в воздухе были рассмотрены в § 123 как
очень подходящие для наглядного ознакомления с процессами
распространения волн или излучения. Несмотря на это, мы займемся
еще раз волнами на поверхности жидкости, так как они обладают
важной особенностью, отсутствующей обычно у звуковых волн: их
скорость зависит от длины волны. Эта зависимость, называемая
дисперсией, представлена графически на рис. 439. Читателю можно
было бы этот параграф пропустить и прямо перейти к рис. 439.
Этот параграф должен показать лишь то, как зависимость скорости
волн от их длины связана с происхождением поверхностных волн."
Волны на поверхности жидкости лишь в предельном случае очень
малых амплитуд могут изображаться простыми синусоидальными
волнами. Вообще, их
углубления широки и плоски,
их гребни высоки и узки.
Рис. 434 дает моменталь-
Рис. 434. Профиль водяной волны. ный снимок волны,
распространяющейся слева
направо. Происхождение тагсой волны наблюдают в волновом желобе.
Это — длинный и узкий жестяной ящик с боковыми стенками из стекла
(примерно 150 X 30 X 5 см). Он приблизительно до половины
наполнен водой. К воде известным образом примешаны алюминиевые
блестки в качестве взвешенных частиц. Для получения волнового
движения служит деревянный брусок, который двигается мотором вверх
и вниз. При распространении волны мы видим линии тока,
изображенные на рис. 435. Это — снимок с выдержкой около 1/25 сек.
Картина линий тока соответствует неподвижному наблюдателю в
аудитории. Она показывает нам распределение направлений скорости.
В волне движение жидкости не стационарно. Поэтому пути
отдельных частиц во времени вовсе не совпадают с линиями тока (ср. § 91).

§ 124. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ 301
Они имеют совершенно другой вид. При небольших амплитудах они
с большим приближением являются окружностями. Эти круговые пути
мы находим как на поверхности, так и в глубине жидкости. Только
в самых верхних слоях диаметры круговых путей наибольшие.
Для демонстрации этих путей отдельных частиц воды
(«орбитальных движений») мы примешаем к воде лишь немного алюминие-
оо
I
о
О
о о
о °
о о
о
О
О
о
Рис. 435. Линии тока в бегущей водяной волне.
Фотографический позитив со светлым полем.
вых блесток. Кроме того, продолжительность выдержки при съемке
сделаем равной периоду колебания волны. Таким образом мы
получим картину, воспроизведенную
на рис. 436.
На основании наших опытов
мы приходим к схематическому
рис. 437. Он содержит круговые
траектории некоторых находя- о
щихся на поверхности жидких
частиц. Диаметр их 2г равен
разности высот между гребнем и
долиной волны.
Скорость по кругу мы
обозначим чю, следовательно, ° °о ° ° ° °о о
о
О ОО
о с о
О
^ О
о о
с
о о
Период Т полного обращения
соответствует продвижению
волны на полную длину ее X.
Для упрощения вычислений мы
возьмем поверхность воды
граничащей с воздухом. Плотностью
и кинетической энергией воздуха
мы можем пренебречь
сравнительно с теми же величинами для воды.
В дальнейшем мы предполагаем
со скоростью волны. Для него
Рис. 436. Круговые пути отдельных
частиц жидкости (орбитальные
движения) в бегущей водяной волне.
Фотографический негатив с темным
полем. Верхняя граница картины
обусловлена не очертанием волны,
а соответствующим распределением
алюминиевых блесток.
, что наблюдатель движется вправо
волна как целое будет оставаться

302
XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИе
в покое, ее очертание покажется ему затвердевшим. Зато отдельные
частицы жидкости с большой скоростью проносятся мимо него влево
(рис. 438). Он найдет для скорости частицы в долине волны ско-
рость ах =
-у и кинетическую энергию
Для частицы на гребне волны он получит кинетическую энергию
т о т I 2гк\2
2  — 2 \ 71 7 '
Разность кинетических энергий равна
А Ггттпт
B37)
Агкст
Этот выигрыш в кинетической энергии в долине волны может
получиться лишь за счет потенциальной энергии. Убыль потенциаль-
) 1^7
Рис. 437. Связь линий тока и круговых путей в бегущих водяных волнах.
Горизонтальный ряд точек показывает частички поверхности воды в
состоянии покоя, дуги окружностей — пути, пробегаемые ими по направлению
часовой стрелки. Соединив маленькие острия стрелок, мы получаем
профиль распространяющейся вправо волны в конце следующего промежутка
времени. Круговые траектории вычерчены для каждой второй стрелки.
ной энергии при переходе с гребня в долину равна весу,
умноженному на высоту, т. е.
Мы имеем поэтому:
4гпст
B38)
Далее мы можем для предельного случая малых амплитуд
пренебречь диаметром круговых траекторий по сравнению с расстоянием
между двумя соседними гребнями волн и рассматривать очертание
волн как синусоиды. Для таких синусоидальных волн полагаем
известным образом
сТ = \ B39)
и получаем:
B40)

§ 124. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ 303
)
ине волны
При выводе этого уравнения мы пренебрегли влиянием
поверхностного натяжения на величину потенциальной энергии. Это
допустимо для длин волн примерно больших 5 см. Для еще меньших волн
в уравнении B49) под корнем надо прибавить член 2тсС/Хр и тогда
получится:
с — ■§ \~ т~ B41)
(С — поверхностное натяжение, как на стр. 181, р — плотность жидкости).
В случае преобладания первого слагаемого говорят о тяжелых
волнах. При преобладании второго — о капиллярных волнах. Если
хотят получить тяжелые
волны свободными от ка- —^>- Собственная скорость движущегося
пиллярных волн, то следует - - авалта маблюдателя
нанести очень тонкий слой
молекул жирной кислоты
на поверхность жидкости.
Часто достаточно уже
одного погружения руки.
Это уравнение можно
применять до глубины
всего 0,5Х. В
противоположном предельном случае,
когда глубина жидкости Н исчезающе мала, скорость
распространения поверхностных волн не зависит от X и, следовательно, для всех
длин волн
с = У^Н. B42)
До сих пор мы оставляли без внимания то, что над поверхностью
жидкости находится вторая среда. Это — воздух, влиянием которого мы решительно
пренебрегали. Теперь мы отбросим это ограничение. Пусть над жидкостью
с плотностью р находится другая жидкость с плотностью р'. Тогда вместо
уравнения B41) окажется:
-♦_ | Измеряемая зтим найяю--
с+п [ дателем скорость чаапи\
^ воды
п п
Рис. 438. Траектории частиц воды,
наблюдаемые перемещающимся с волной
наблюдателем.
2* С
B43)
Приведем два примера.
1. В двух лежащих один на другом слоях атмосферы вследствие разности
температур могут оказаться различные плотности, р и р'. Тогда на границе
слоев возникают волны. Они становятся заметными благодаря периодической
конденсации воды в форме белых волнистых облаков.
2. Мертвая вода. Недалеко от устьев рек, особенно в скандинавских
фиордах, нередко наблюдается поразительное явление «мертвой воды».
Медленно, т. е. со скоростью 4—5 узлов, плывущие корабли внезапно тормозятся
невидимой силой; парусники часто перестают слушаться руля.
Объяснение. Здесь осуществляется наслоение пресной воды с малой
плотностью поверх соленой с большой плотностью. Корабль достигает границы
между ними. Его движение разводит высокое волнение в этом невидимом
глазу пограничном слое. Видимая граница между водой и воздухом остается

304
XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
практически в покое. Корабль должен доставлять всю энергию этого
волнового движения. Отсюда и получается сильное торможение его. Этот случаи
аналогичен возникновению лобового сопротивления обтекаемому телу при
образовании вихрей на его задней стороне.
Для демонстраций иногда употребляют волны с очень малой скоростью
распространения. В этом случае располагают слой керосина над водой,
отметив пограничную поверхность между ними при помощи алюминиевой пыли,
и вводят плоское погруженное в жидкость тело в пограничную область.
Поверхность керосина на границе с воздухом практически остается
неподвижной.
§ 125. Дисперсия и групповая скорость. У поверхностных волн
жидкости фазовая скорость с зависит (за исключением особого
случая) от длины волны X. Эта зависимость для водяных волн
графически изображена на рис. 439. Ее можно получить чисто
эмпирически: в волновой ванне
подходящих размеров
возбуждается непрерывный ряд
волн при помощи
возбудителя с известной частотой V.
Измеряют длину волны X,
лучше всего
фотографическим методом (два примера
на рис. 440), и вычисляют
фазовую скорость на
основании определяющего ее
уравнения B13), т. е. с=^Х.
Ход всей кривой (часто
называемый дисперсионной
кривой) понятен из
процессов, происходящих при
возникновении поверхностных
волн. Это показано в § 124.
Кривая на рис. 439
вычислена из уравнения B41).
Эта зависимость фазовой
3 4 5
Длина волны
7см
Рис. 439. Скорость (вверху) и дисперсия
(внизу) плоских, практически еще
синусоидальных поверхностных волн на воде для
различных используемых при
демонстрациях длин волн.
скорости от длины волны,
или, коротко, дисперсия,
ведет к пониманию двух
основных для распространения
волн (особенно в оптике и в электротехнике связи) и внутренне
тесно связанных фактов. Речь идет о поведении цуга волн
ограниченной длины, так называемой группы волн, и о возникновении
синусоидальных волн из непериодических процессов. Так, например,
кольца, которые возбуждает на воде брошенный камень, объяснят
нам принцип действия призматического спектрального аппарата.
Для измерения фазовой скорости с мы заставим возбудитель
совершать синусоидальные колебания с известной частотой V. Теперь

§ 125. ДИСПЕРСИЯ И ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ
305
повторим опыт, при котором возбудитель одновременно производит
два синусоидальных колебания с несколько различными частотами V
и Vх, но почти равными амплитудами. Возбудитель колеблется с
биениями. Результат
фотографически приведен на
рис. 441. Не получается
никакого непрерывного
цуга волн, как,например,
на рис. 440, но
образуется последовательность
отдельных «групп волн».
Эти группы волн
обнаруживают нечто
чрезвычайно изумительное: их " ■ *
скорость, групповая ско- рис 440. К измерению фазовой скорости ка-
рость с * (секундомер!), пиллярных поверхностных волн на воде. В
качестве возбудителя вместо погружаемого тела
употребляется перемежающаяся воздушная
струя. Согласно рис. 284 она возбуждается
телефонной мембраной. Длинные волны (К*)
имеют большие амплитуды, чем
короткие (^). Фотографический моментальный
снимок в 0,002 сек. Для наблюдений на экране
используют или стробоскопическое
замедление, или мигание век.
почти на 50% больше, чем
фазовая скорость,
которая получается при
одиночной частоте.V или V'.
Для объяснения этого
явления мы используем
рис. 442. На нем
группой волн являются
биения, которые возникают
при равных амплитудах
обеих частных волн. Для
измерения групповой
скорости надо
воспользоваться какой-либо меткой,
например на кривой А
рис. 442 или началом,
или концом группы, или
местом самого высокого
гребня и т. д. В случае
дисперсии обе частные
синусоидальные волны
группы волн бегут с
различной быстротой.
Вследствие этого используемая метка не лежит неподвижно, а
перемещается относительно отдельных частных синусоидальных волн,
движущихся со своими фазовыми скоростями. В этом убеждает нас
рис. 442.
Обе частные синусоидальные волны изображены схематически
на графиках В и С. Пусть более длинная волна (В) обладает
фазовой скоростью с, а более короткая (С в нашем эксперименте) имеет
Рис. 441. Группы волн (несовершенные
биения), полученные наложением обеих волн
рис. 440, бегут с большей скоростью
(с* я» 36 мм^/13 сек я^ 47 см\сек), чем обе
частные волны (моментальный снимок<0,002 сек.).

306
XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
фазовую скорость (с—йсI). Внутри кривой биений Л обе эти
синусоидальные составляющие никаким способом не могут быть
отличены одна от другой. В качестве метки выберем, как наиболее
удобный, максимум кривой биений. На графике А она обозначена
вертикальной двойной стрелкой /.
Этот максимум лежит над гребнями волн у и с? (графики В и
С). Спустя промежуток времени № оба максимума
передвинутся вправо. Максимум у пройдет путь
5 = с Д/1, максимум й— несколько меньший
путь E—йз)=(с — йс)М. Опережение
из = йсЫ достигает постепенно
величины йХ. Этот случай изображен на трех
нижних графиках: равенство фаз лежит
теперь на гребнях волн 5 и е. Это значит,
что максимум — метка волновой
группы — переместится не на расстояние с Ы,
а на меньшее Д$ = (с Ы: — X). Поэтому
скорость метки, групповая скорость, равна
или,
так
как
было
с* =
С М — А
выбрано
х ас
B44)
Содержание этого уравнения хорошо
г, ..г, 1Л л выясняется—и даже количественно!—на
Рис. 442. Изображения волн „ -.
(«моментальные снимки») демонстрационном опыте. Требующийся
к объяснению групповой Для этого прибор изображен на рис. 443.
скорости. й\ = Ыйс. Две волны разной длины получаются
в теневом изображении двух зубчатых
колес В я С. Черные зубцы обозначают гребни волн, белые
просветы — долины волн. Эти «волны» пробегают не так, как
на рис. 442, по прямолинейному пути, а по круговому пути. Оба
зубчатых колеса насаживаются на одну ось одно позади другого
и вращаются независимо друг от друга. Тогда в теневом
изображении А видны биения, возникающие от суперпозиции (наложения);
они показывают пример четырех групп волн. В качестве привода
для зубчатых колес служит медленно движущийся синхронный
электромотор М. Скорости с и (с~{-йс) обоих зубчатых колес легко
могут быть установлены при помощи шкивов различной величины
с упругой передачей. Метка РН позволяет измерять фазовую
скорость отдельной волны при помощи секундомера.
1) Соответственно нормальной дисперсии в оптике.

§ 126. ПРЕВРАЩЕНИЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ВОЛНОВЫЕ 307
Можно по желанию дать большую фазовую скорость большей X
или меньшей (X—й?Х) длине волны. В первом случае групповая
скорость с* меньше фазовой скорости с; фазовая метка Рк обгоняет
группы. Во втором случае группы обгоняют фазовую метку. В
предельном случае
группы движутся с той же скоростью, как и фаза. В частном
случае сй\ = \с1с групповая скорость с* = 0. Группы не двигаются с места.
36 "V" •" ■ ч-и г-
Грулпд
Рис. 443. К количественной демонстрации
групповой скорости. Подробности в тексте.
«Ящичный» профиль волн мешает здесь столь же
мало, как и при других модельных опытах,
относящихся к учению о волнах, например
на рис. 381 и во многих примерах в томе по
оптике, например рис. 60 и 61.
§ 126. Превращение непериодических процессов в волновые.
Это важное явление изучается лучше всего на тяжелых волнах.
Берут волновой желоб длиной около 3 м и глубиной 60 см, а в качестве
возбудителя линейное погружаемое в жидкость тело. Образование мешающих
капиллярных волн исключается при помощи указанного на стр. 303
искусственного приема. Форму волн можно наблюдать через длинную боковую
прозрачную стенку. Если этого нельзя сделать, то наблюдают зеркальные
изображения с помощью длинной светящейся трубки. Они употреблялись и
для рис. 444.
Погружаемое тело однократно апериодически врезается в
поверхность воды. Оно нарушает при этом поверхность воды, и это
нарушение в его пространственном и временном развитии зафиксировано
на рис. 444. Через 1,3 сек. еще не видно никакой периодической
волны, остается всего лишь короткая группа с двумя гребнями.
С течением времени эта группа бежит направо и при этом
непрерывно становится длиннее: на краю группы, т. е. слева, непрерывно
образуются новые гребни. Вскоре ванна становится для длины группы

308
XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
слишком коротка, охватывается лишь задняя часть всей группы,
а что касается недостающей передней части, то ее приходится
дополнить численно на основе других измерений без спекулятивного
произвола.
Дл-я объяснения этого факта сначала вспомним аналогичный опыт
с очень длинной натянутой струной, например 10-метровой
спиральной пружиной. Ее дергают поблизости от конца. Это вызывает
Расстояние я от возбудителя вомн
50 100 150 200 250 300
350 см 400
Рис. 444. Постепенное возникновение тяжелых волн
из непериодического возмущения поверхности воды,
имевшего место в нулевой момент времени.
Моментальные фотографии направо от стрелок дополнены
вычислением, так как волновая бороздка была
слишком коротка.
упругую деформацию определенного профиля (рис. 445).
Деформация бежит направо без изменения при этом своего группового
профиля. Причина: каждая точка струны может совершать поперечные
колебания любой частоты;
| | вследствие этого по струне
I >ч-—<^р | могут бежать упругие
поперечные волны любой частоты.
Рис. 445. Распространение непериоди- „ япепиопических подеоги-
ческого возмущения без изменения фор- ИРИ апериодических подерги
мы (натянутая струна). ваниях струны возбуждаются
поперечные волны всех частот.
Их наложение определяет созданный при дергании профиль группы.
Все волны имеют одинаковую фазовую скорость с, они складываются
независимо от уже пройденного пути всегда одинаковым образом,
и поэтому групповой профиль остается неизменным.
Для тяжелых волн на воде имеет место нечто подобное, но с
существенным различием: фазовая скорость зависит от длины волны X,
она для длинных волн больше, чем для коротких, отношение йс}й\
положительно (рис. 439, внизу). Вследствие этой «нормальной»

§ 126. ПРЕВРАЩЕНИЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ВОЛНОВЫЕ 309
дисперсии длинные волны бегут вперед все дальше и обгоняют
короткие волны.
Само собой разумеется, для такой группы с непрерывно
меняющейся формой нельзя указать никакой групповой скорости с*. Ведь
групповая скорость по уравнению B44) имеет смысл только в том
случае, если X • с1с/AХ постоянно. Но, как видно из рис. 439, этот
случай относится лишь к малым интервалам длины волны ДХ. Поэтому
для группы можно указать групповую скорость лишь тогда, когда
к ее образованию причастны только волны из малого интервала
длин волн ДХ. В случае рис. 444 это, например, относится к малым
отрезкам длинных групп. Но и эти малые отрезки были и остаются
группами; нет никаких отрезков, которые состояли бы из цуга волн
одной длины волны.
Подведем итог: дисперсия достаточна для того, чтобы из
непериодического процесса (в оптике, например, «свет накала») получить
периодические волны (в оптике— «монохроматический свет»). Поэтому
вовсе не необходимо придавать диспергирующей среде (например,
стеклу) определенную геометрическую форму (например призмы).
При этом применении дисперсии можно всегда получать только группы
волн. Даже короткие отрезки их всегда содержат волны из
интервала длин волн между X и (X —}- с?Х). Это значит, что все
спектральные аппараты (например, призматические), опирающиеся на
дисперсию, обладают лишь ограниченной разрешающей
способностью
Если таким же образом исследовать дисперсию капиллярных волн, то
/Л окажется отрицательным, а дисперсия — «аномальной»: короткие волны
бегут быстрее длинных. В головной части
будут непрерывно образовываться все новые
гребни. Сначала можно подсчитать до 15
волновых гребней. Но при распространении на
одну длину волны вследствие процессов трения
в поверхностном слое (см. стр. 185) короткие „ ллс ^
волны значительно больше затухают, чем длин- Рис 446' «Состарившиеся»
ные. Поэтому короткие волны впереди группы капиллярные волны на воде;
быстро замирают Спустя около 2,5 сек. соста- ™* длинь1 волн группы при-
рившаяся группа принимает вид фотографи- олизительно равны 1,/ см.
ческого снимка на рис. 446. Слева остаются
волны длиной около 1,7 см. Объяснение: волны длиной 1,73 см лежат под
минимумом дисперсионной кривой (рис. 439), В минимуме йс\й\ = 0,
следовательно, групповая скорость с* и фазовая скорость с практически идентичны:
состарившаяся группа на рис. 446 может продолжать путь без заметного
изменения своей формы.
Все описанные в этом параграфе наблюдения очень удобно производить
на гладкой водной поверхности пруда. Но там часто видят и совершенно
поразительное явление: если малое препятствие (палка, леска) движется
относительно поверхности воды и ее плоскости, то перед препятствием видны
неподвижные волны. Они появляются только тогда, когда относительная
скорость и > 23 см\сек, т. е. когда будет превзойдено минимальное" значение
фазовой скорости на рис. 439. Тогда наиболее медленные волны перед
препятствием не могут больше его обойти.

310 XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
§ 127. Энергия звукового поля. Акустическое сопротивление.
Плотность энергии о звукового поля определяется следующим
образом:
,, энергия колебаний в объеме V /одкч
объем V ' ^ '
Пусть слабо расходящиеся, но практически еще плоские волны
падают перпендикулярно на поверхность Р. Тогда они приносят
к этой поверхности за время Ь энергию
№ = ЪРсг, B47)
т. е. всю энергию, содержавшуюся в объеме РсЬ. Поверхность р
«облучена». В качестве ее «облученности» *) определяют частное
, падающая мощность излучения /оля\
облучаемая площадь ' ^ '
итак, Ь = -гр: = -тдг = 5с. Так мы получаем для облученности Ь
важное уравнение
Ь = 8с. B49)
Единицей может служить, например, вш/м2.
Энергия колебаний в звуковом поле складывается алгебраически
из энергий всех частиц воздуха, колеблющихся по направлению
распространения звука. Энергию каждого синусоидального колебания
можно вычислить из наибольшего значения потенциальной или
кинетической энергии. Напомним простой маятник. При наибольшем
отклонении общая энергия оказывается только в потенциальной
форме, а при прохождении через положение равновесия—-лишь
в кинетической форме. Во всех промежуточных положениях общая
энергия распределяется между потенциальной и кинетической
энергией. То же самое справедливо и для синусоидальных звуковых
волн.
Максимальную величину скорости отдельных частичек воздуха,
т. е. амплитуду скорости (в технике—«быстрота»), мы назовем и0.
Наибольшее отклонение давления воздуха от его величины в
неподвижном воздухе, т. е. амплитуду давления звуковых волн, мы
обозначим Д/?о. Тогда количество воздуха объемом V и плотностью р
содержит кинетическую энергию
и плотность звуковой энергии
5 = 4- ри$. B50)
1) Подробности об облученности и родственных понятиях можно найти
36 «Оптики».

§ 127. энергия звукового поля 311
Исходя из потенциальной энергии, мы получим после короткого
вычисления для плотности звуковой энергии
Вывод. Используя уравнение E4) на стр. 76, получаем и^пот =-к^У Д/>о
и плотность энергии
& = у -у Ьро- B52)
Далее, коэффициент сжимаемости газа
а = -~-— B53)
У АЛ)
и скорость звука
с = —~. B31) (стр. 287)
/ар
(Сопоставление B53) и B31) с B52) приводит к B 51).)
При всяком синусоидальном колебании максимальная скорость и0
и максимальное отклонение (амплитуда) х0 связаны уравнением
до = (ол:о C6) (стр. 57)
(ш = 2т™— круговая частота).
Отсюда мы получаем для плотности энергии звука третье,
на этот раз содержащее частоту, выражение
8 = 1раJ4. B54)
Написанные выше уравнения относятся не только к воздуху, но
и ко всякой среде, через которую проходят звуковые волны.
Все три величины, определяющие колебание, именно: наибольшее
значение скорости и0, изменение давления А/?о и отклонение х0,
доступны прямому измерению.
1. Измерение амплитуды скорости и0 производится при помощи
гидродинамических сил.
Пример. Диск Релея. В звуковом поле подвешен на нити тонкий
кружок величиной с монету. Он несет на себе зеркальце для светового
указателя и защищен от потоков воздуха маленьким марлевым чехлом. Пусть
нормаль к плоскости диска отклонилась на угол 0 около 45° от направления
распространения волн. Переменный воздушный поток обтекает диск, образуя
известную из рис. 266 картину линий тока. На диск действует вращательный
момент
Ш = ~ 8/-з з1п 2% B55)
(г — радиус диска, Ь — плотность звуковой энергии).
2. Для измерения амплитуды давления А/?о применяют
преимущественно конденсаторные микрофоны. Управляемый микрофоном

312 XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
ток усиливается электронными трубками, выпрямляется каким-нибудь
образом и измеряется гальванометром с вращающейся катушкой.
Лучше всего, чтобы его шкала была проградуирована прямо в
единицах давления. Для градуирования служит переменный
электрический ток известной мощности.
3. Для измерения амплитуды л:0 нужно ввести в звуковое поле
мельчайшие шарообразные пылинки и измерять их пути под
микроскопом. Маленькие шарики увлекаются внутренним трением (§ 89).
Они имеют почти такие же амплитуды, как и окружающие частицы
воздуха. Однако этот способ применим лишь при больших
плотностях энергии В.
Измеренные этими способами числовые значения будут приведены
в § 131.
Из уравнений B31), B50) и B51) получают:
. B56)
Это частное от деления амплитуды давления на амплитуду
скорости называется акустическим сопротивлением (ср. § 100
«Электричество»).
Акустическое сопротивление определяет отражение на границе
двух веществ. Если плоская волна падает нормально на
поверхность тела с другим волновым сопротивлением, то имеет место
отношение
п мощность отраженного излучения / с^Рл—с2р2 \2 /остч
IX = — — = I } . B,01)
мощность падающего излучения \ с1р1 -|- с2р2 /
Отраженная и падающая волны складываются в одну
результирующую.
В технической и акустической литературе измеряют мощность Ф или
амплитуду давления Ар1 часто не в абсолютных, например ^ в ваттах или
Д/>! в атмосферах, а в относительных единицах. Их сравнивают с точно
определенными единичной мощностью Ф3 и единично"! амплитудой Ар2,
Образуют отношение
х = 10 1о2 —-1- = 201ое -~ B58—259)
или
у = ±.1п^±=\п~?±-. B60—261)
Оба отношения — отвлеченные числа. К ним присоединяют в качестве
множителя 1 и придают этой единице два новых названия, а именно: в
первом случае децибел, во втором — непер. Так, например, при единичном
давлении Д/?2 = 1 ньютон/м2 давление Д/^ = — 60 децибелов то же самое,
о „ . „,Л пп. а ньютон/м2 о ,
что Др! = 10 ньютон/м* (— 60 = 20 1о§ : 1,^ттп^/,12 > итаК) —о = \о§а и
а= 10~3).

§ 128. звук 313
§ 128. Звук. Волновая ванна дала нам возможность хорошо
ознакомиться с механизмом волнового излучения. Погруженное тело
ритмически вытесняло воду с частотой его вертикальных колебаний.
Этот опыт можно с соответственными изменениями перенести и на
пространственное излучение упругих продольных волн в воздухе,
воде и т. д. Можно заставить шар ритмически изменять свой объем
по синусоидальному закону. Тогда мы получим «идеальный»
источник звукового излучения—«пульсирующий шар». Все точки его
поверхности колеблются с одинаковыми фазами; мы получаем
совершенно симметричное испускание шаровых волн. Этот идеальный
источник звука до сих пор еще не осуществлен техникой. Однако
многие решения этой задачи дают очень хорошее
приближение. На первом месте нужно назвать толстостен- ф
ные сосуды с колеблющейся стенкой—мембраной. 1
Лучше всего приводить мембрану в движение электро- *
магнитным путем — изнутри сосуда. По этому прин- Рис 447.
ципу оказалось возможным получить для звуковых сиг- к излучению
налов в воде с мембраной около 50 см в диаметре струны,
мощность, излучаемую в виде звуковых волн в воде,
до 0,5 кет. В качестве мембраны х) в указанном примере служит
стальная пластина около 2 см толщины.
При самом простом способе колебаний мембраны источи 1ков
звука колеблются с одинаковой фазой на всем протяжении и не
дают узловых линий нигде, кроме краев. Кроме того, в очень
грубом приближении мы будем считать их амплитуды одинаковыми по
всей поверхности. Тогда мы имеем физические условия, очень
похожие на те, которые имеют место при выходе из щели волн
с одинаковыми фазами (рис. 386). При известных условиях мы можем
ограничить распространение волн пространственным конусом,
подобным изображенному на рис. 388. Для этого диаметр мембраны
должен быть в несколько раз больше излучаемой волны.
Сносными источниками звукового излучения являются также
открытые концы толстых и коротких столбов воздуха. Напротив,
совсем плохие источники— часто употреблямые в музыке струны.
На рис. 447 черный кружок изображает сечение струны,
перпендикулярной к плоскости чертежа. Пусть струна как раз
начинает колебание вниз, в направлении стрелки. При этом она, грубо
говоря, «вытесняет» воздух снизу, и там волна начинается с гребня.
Но в то же время, опять грубо говоря, она оставляет сверху
пустое пространство, и там волна начинается с долины. Обе волны
имеют в любом направлении разность фаз, практически равную 180°,
1) В качестве мембраны обычно представляют мягкую кожу, натянутую
оправой (например барабан). Но наряду с этим слово мембрана приложимо
и к твердым пластинкам. Например, говорят о мембране микрофона или
телефона.

314
XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
и почти нацело уничтожаются интерференцией. Поэтому струна —
очень плохой источник излучения.
Почти то же справедливо и для камертона. При сближении его
ножек в пространстве между ними возникает гребень волны. 3 то
же время на их наружной стороне волна начинается с долины. Эти
волны тоже интерферируют между собой и практически почти
уничтожаются, так как их разность фаз мало отличается от 180°.
Во всяком случае, в остающемся излучении камертона уже заметна
зависимость от направления. В противоположность струне шириной
камертона сравнительно с
длиной излучаемой волны уже
нельзя так пренебрегать.
Поэтому для
практического употребления колебания
струн и камертонов должны
быть сначала переданы
хорошим излучателям. С этой
целью между струной,
камертоном и каким-нибудь хорошим
источником излучения
устанавливают механическую связь.
При ее помощи в хороших
источниках возбуждаются
вынужденные колебания. При
Рис. 448 и 449. Связь плохо
излучающей струны с хорошо излучающей
мембраной.
этом для получения больших
амплитуд можно использовать
частный случай резонанса. Источнику излучения дают тогда малое
затухание и делают его собственную частоту равной частоте
камертона или струны. Для объяснения сказанного мы приводим
следующие примеры.
1. На рис. 448 видна нить, удерживаемая справа рукой. По ее
левому концу скользят с трением два пальца. При этом нить
колеблется, как струна, но практически ничего не излучает. Затем
мы привязываем правый конец нити к хорошему
излучателю, например к короткой жестяной или картонной коробке
(рис. 449). Теперь колебания излучаются и слышны на далеком
расстоянии.
2. Если держать колеблющийся камертон пальцами, то он
звучит тихо; если поставить его стебель на стол, то—громко.
Колеблющийся вместе с ножками стебель камертона возбуждает в хорошо
излучающей крышке стола вынужденные колебания.
3. Призовем теперь на помощь частный случай резонанса. Мы
приближаем ножку камертона к открытому сверху стеклянному
цилиндру. Его воздушный столб должен служить хорошим
источником излучения. Собственная частота колебаний воздушного столба
зависит от его длины. Мы могсем произвольно укорачивать его,

§ 128. звук
315
Рис. 450. Улучшение
излучения камертона при
помощи двух боковых
стенок (В. Бурстин).
подливая в него воду. При приближенном равенстве частот
воздушного столба и камертона раздается далеко слышный звук.
Для практических целей воздушные столбы заключают в
открытые с одной стороны четырехугольные деревянные ящики. Часто
приходится слышать, что «резонанс
усиливает колебания». Это совершенно
неправильный способ выражения. Существенна
здесь лишь сравнительно хорошая
способность ящика к излучению. Резонанс— только
вспомогательное средство для передачи
колебаний. Это можно доказать на очень
эффектном опыте. Ножку камертона
вставляют в щель (рис. 450) между двумя
стенками, не очень малыми сравнительно с
длиной волны. Камертон слышен издалека.
Теперь интерференция волн от внешней
и внутренней сторон ветви камертона
значительно уменьшена и он становится
сносным источником излучения.
В отношении музыкальных инструментов, например скрипки,
дело труднее. Струны и корпус скрипки образуют сложную
связанную систему (см. § 112). Сам корпус имеет целый ряд
собственных частот. Поэтому при возбуждении вынужденных колебаний
выделяются определенные частоты из колебаний струны. Рис. 451
показывает нам спектр звука скрипки. Кроме того, корпусу скрипки
придана односторонняя жесткость помещением внутри «душки».
Деки скрипки, если их
рассматривать как мембраны, вовсе не
малы сравнительно с
употребляемыми в музыке длинами волн.
Поэтому существуют резко
выраженные преимущественные
направления излучения. Вообще
здесь многие частности остаются
еще не разъясненными.
Упомянув о проблеме
скрипки, мы подошли к технически
важному понятию о различии между
Рис. 451. Линейчатый спектр звуча- первтными и вторичными ис-
ния скрипки (Г. Бакхаус). г г
1 ^ точниками звукового излучения.
Первичные источники должны
давать колебания с определенным спектральным составом. Каждому
первичному источнику, например каждому музыкальному инструменту,
мы предоставляем право на индивидуальный тип его спектра, или,
говоря языком физиологии, на определенный характер звучания.
Совсем иначе рбстоит дело со вторичными источниками, типичным
ЧастотаЮОО 2000 3000 4000 5000 сек

316
XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
представителем которых можно считать в настоящее время
громкоговоритель. Им не предоставлено свободного выбора спектра частот.
Они должны лишь излучать подводимые к ним механические
(граммофон) или электрические (громкоговоритель) колебания, не выделяя
отдельных частных колебаний.
§ 129. Приемники звука. Среди приемников звука надо
различать две группы в смысле предельных случаев: приемники
давления и приемники скорости.
I. Приемники давления- Большинство приемников давления
состоит из ограниченных с боков мембран. В качестве оправы могут
служить капсулы, стенки, рупоры и т. д.
Примеры: микрофоны всех родов,
барабанная перепонка уха.
Все приемники давления совершают
в звуковом поле вынужденные
колебания. Их амплитуды не зависят от
ориентации в звуковом поле, так как давление
воздуха не зависит от направления. Это
показывает всякий барометр в наших
жилищах. Такой барометр в конечном
счете является просто приемником
давления для продольных волн в воздухе.
Только при изменениях давления воздуха
речь идет по большей части о колебаниях
очень малой частоты.
В настоящее время техническое
значение микрофона далеко превосходит
значение всех других приемников
давления. И здесь радиовещание необычайно
повысило предъявляемые требования. В широкой области частот
от 100 и по меньшей мере до 10 000/сел; требуется сохранение
первоначальных отношений амплитуд. Как и при всяких
вынужденных колебаниях, это требование может быть выполнено лишь ценой
отказа от большой доли чувствительности.
II. Приемники скорости. В приемниках скорости для получения
вынужденных колебаний применяется амплитуда скорости
переменного тока воздуха. Лучше всего объяснить это на опытном
примере.
На рис. 452 тонкий стеклянный волосок около 8 мм длиной
как маленькая плоская пружина расположен перпендикулярно к
направлению распространения звуковых волн (микропроекция!).
Периодические изменения давления воздуха нисколько не влияют на волосок.
Напротив, переменный ток воздуха захватывает волосок внутренним
трением, увлекает его в направлении колебания частиц и таким
Образом возбуждает его вынужденные колебания (источник звука —
язычковая труба при малом расстоянии). Этот волосок—типичный.
Рис. 452. Тонкий стеклянный
волосок в качестве
приемника движения. В
действительности только 0,028 мм
толщиной.

§ 130. ДВИЖУЩИЕСЯ ИСТОЧНИКИ И ПРИЕМНИКИ ЗВУКА 317
приемник скорости. Он, кстати, показывает нам важное, характерное
для таких приемников скорости свойство: его амплитуды зависят
от его ориентации в звуковом поле. Если волосок поставить
параллельно направлению распространения волн, то он остается
в покое.
Приемники скорости могут применяться как «направленные
приемники». Представим себе два волоска, расположенных симметрично
по сторонам продольной оси движущегося тела. Если оно движется
прямо на источник звука, то оба волоска колеблются с одинаковой
амплитудой. Уклонения в сторону от правильного курса становятся
заметными по неравенству амплитуд их вынужденных колебаний.
Как уже упомянуто, приемники давления и
скорости—предельные случаи. Всякая передача импульса давлением требует наличия
стенки, которая не поддавалась бы заметно при развитии на ней
давления. Амплитуды вынужденных колебаний стенки должны быть
малы в сравнении с амплитудами х0 колеблющихся частиц воды или
воздуха. Воздух имеет малую плотность р и дает поэтому большие
выбросы х0 (ср. уравнение B54), стр. 311). Поэтому можно сделать
хороший приемник давления для воздуха, но плохой для звуковых
волн в воде. Может случиться и так, что приемник давления в
воздухе окажется приемником скорости в воде.
§ 130. Движущиеся источники и приемники звука. До сих
пор мы молчаливо принимали все источники и приемники звука за
неподвижные. При движении -излучателей и приемников появляется
эффект Допплера. Уменьшение расстояния во время испускания
звука увеличивает наблюдаемую приемником частоту. Увеличение
расстояния действует в обратном направлении. При количественном
исследовании нужно различать случай движения источника звука и
движения приемника. Пусть скорость между источником звука и
приемником равна и. Тогда наблюдаемая частота равна при
движущемся источнике звука и неподвижном приемнике
B62)
при неподвижном источнике звука и движущемся приемнике
B63)
В уравнении B62) знак минус ставится при уменьшении,
в уравнении B63)—при увеличении расстояния между источником
звука и приемником.

318
XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
В некоторых случаях скорость движения источника звука может
оказаться больше скорости звука. В качестве примера укажем на
свист кнута или на движение снаряда. От этих быстро движущихся
тел исходят тогда «головные волны». Рис. 453 изображает
подобную головную волну от пули как раз в тот момент, когда пуля
опередила звук выстрела. Угол, образуемый головной волной, есть
уже известный нам угол Маха (стр. 283).
При акустическом исследовании орудий и снарядов замечено, что
звуковые волны очень большой амплитуды могут распространяться с высшей
скоростью, чем нормальная скорость звука. Вблизи электрической искры легко
можно наблюдать звуковые волны, скорость которых составляет около
500 лЦсек (рис. 453а).
Ч,-
I
I4
Рис. 453. Звук выстрела
винтовки и головная
волна пули (черное облако —
пороховые газы).
Рис. 453а. Взрывные волны
от двух одновременно
проскакивающих искр неравных
токов (верхний больше).
§ 130а. О слухе. Слух и наш слуховой орган составляют
предмет главным образом физиологических и психологических
исследований. Несмотря на это, мы вкратце изложим наиболее важные для
физических целей факты. Ведь и в оптике мы должны, хотя бы
в общих чертах, знать свойства глаза.
1. Наше ухо реагирует на механические колебания в широком
интервале частот—от 20/сек до 20 000/сел;. Оно охватывает,
следовательно, спектральную область около 10 октав B10=1024).
Верхняя граница понижается с возрастом.
2. На синусоидальные колебания ухо реагирует ощущением
«тона». Каждый тон имеет определенную высоту. Высота — качество
ощущения и как таковое недоступна физическому измерению. Высота
тона преимущественно зависит от частоты волн, но в известной мере
и от облученности уха. К сожалению, говорят вообще о частоте тона.
Это — удобный, но шаткий способ выражения. Подразумевается
всегда высота тона, которую ощущает ухо, если оно воспринимает
синусоидальную волну с данной частотой и средней облученностью.

§ 130а. о слухе
319
3. В наиболее благоприятной области частот наше ухо еще
разделяет две частоты, отличающиеся всего на 0,3%. Следовательно,
оно имеет здесь «спектральную разрешающую силу» ч]й** около 300.
В оптике этому соответствует действие стеклянной призмы с
основанием около 1 см.
4. На несинусоидальные колебания ухо реагирует ощущением
«сложного звука», обладающего тембром. Тембр не зависит от
разностей фаз между отдельными синусоидальными
составляющими сложного звука. Это—фундаментальное открытие Георга
Симона Ома (ср. § 132).
0
Ю-ЮРсек Чалят 7000 2000 3000
сек
Рис. 454. Слева: изображение колебаний гласной а мужского голоса.
Справа: ее линейчатый спектр при основной частоте 200 сек~1
(снимки Ф. Трснделенбурга). На пластинке, движущейся со
скоростью около 0,6 м/сек изображение колебания имело бы длину
приблизительно 6 мм. Соответствующее изображение волны в воздухе
достигало бы длины 8,5 м.
Каждому музыкальному аккорду соответствует линейный спектр
определенного строения, характеризуемый отношениями частот и
амплитуд его спектральных линий. Абсолютное значение основной
частоты несущественно. Два синусоидальных колебания
приблизительно равной плотности энергии дают при отношении частот 1 : 2
всегда один и тот же аккорд—«октаву» и т. д.
5. Наиболее важными сложными звуками являются слоги речи.
При нормальном чтении глаз воспринимает временную
последовательность плоскостных изображений шрифта. Они различаются по
пространственному расположению отдельных элементов, а именно,
букв или слоговых знаков. При чтении часто слышится речь
знакомого автора письма. При нормальном слушании ухо воспринимает
последовательность изменений давления воздуха во времени. Они
обладают спектрами различного вида. Глухие согласные
изображаются широкими непрерывными спектрами разнообразной формы.
Для звонких согласных и гласных характерны линейчатые спектры.
Их важнейшие спектральные линии, называемые формантами, лежат
независимо от диапазона голоса (бас, тенор и т. д.) в одной
области частот (рис. 454). Затухающие колебания полости рта по схеме

320
XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
рис. 317 возбуждаются быстро следующими друг за другом
толчками воздуха, исходящими из гортани. Вообще говоря, частота и
сила этого возбуждения непрерывно
изменяются. Эти изменения определяют
«мелодию». Наоборот, если возбуждение
протекает непрерывно с постоянной частотой
и силой, то получается монотонная мелодия.
Временную последовательность
элементов речи, т. е. их спектры, можно
продолжительно регистрировать на ленте (рис. 455).
Тогда получают азбуку, у которой
пространственно размещающиеся друг за
другом элементы состоят из спектров.
Подобно азбуке Морзе можно научиться читать ее
после до:таточного количества упражнений.
Речи можно подражать при помощи
механических средств. Маленькие девочки
играют с куклами, которые в своем
корпусе содержат воздуходувный мех и могут
гов рить «мама» и «папа».
Хорошо говорящая машина была
описана в 1791 г. Вольфгангом Кемпеленом. Его
машина содержала тоновые и шумовые
устройства; они приводились в действие
рукой и пальцами при помощи отверстий
и клавиш.
Современные американские устройства
говорящих машин используют электрические
вспомогательные средства. Одна из них, называемая
вокодер, решает некоторые важные для
радиотехники задачи, например применение
трансатлантического кабеля для телефонирования.
Существенное изложено дальше.
На рояли можно играть двумя способами:
или пальцами артиста, или пневматически при
помощи ряда отверстий в полоске бумаги
(«пианола»). Прямая передача музыки рояля через
микрофон, кабель и громкоговоритель удается
лишь в том случае, если кабель может пропу-
веденного, например, на екать все частоты примерно до 6000/с^л:. Это
рис. 454 своими крайне для трансатлантического кабеля невозможно. Но
такой кабель хорошо может пропускать токи
очень малой частоты. Этого вполне достаточно
для того, чтобы передать к месту приема
последовательность отверстий полоски бумаги. В месте
звуковых волн в лога- приема продырявленная таким способом полоска
рифмическом масштабе. бумаги служит для приведения в действие
клавиш рояля.
Аналогично у говорящей машины Кемпелена движения руки и пальцев
могли бы передаваться электрическими сигналами к месту приемника. И здесь
Рис. ^55.
Последовательность во времени
большого количества
спектров (около 200) при
счете от 1 до 3 на
английском языке. Спектры,
следующие вплотную
друг за другом снизу
вверх, отличаются от при-
малыми, составляющими
лишь части миллиметра,
высотами ординат.
Последние дают амплитуды

§ 131. фонометрия
321
достаточно значительно меньших частот, чем те, которые содержит сама речь.
Вокодер окольным путем устраняет манипуляции. Он использует голос
говорящего для получения сигналов низкой частоты (они состоят из огибающих,
изображенных на рис. 455, следующих друг за другом во времени спектров).
Сигналы пускают в ход на места приема тоновые и шумовые приспособления.
Таким образом получается очень хорошее воспроизведение речи.
6. При большой плотности энергии могут появиться в ухе
«разностные тоны». Рядом с двумя тонами с частотами V2 и 74
слышится еще третий тон частоты ч2 — ^. Разностные тоны хорошо
демонстрируются с органными трубами.
Иногда слышны и другие
«комбинационные тоны», как «суммовой тон» (\-\-^2)
или тон B\—V2).
7. Время нарастания и затухания
звука в ухе известно очень неточно.
Можно считать его порядка нескольких
сотых секунды.
8. При слушании двумя ушами можно
определить направление прихода
звуковых волн. Лучше всего это удается для
звуков и шумов, которые имеют резкое
начало или обладают характерными,
повторяющимися особенностями. Решающим
фактором здесь является разница во
времени раздражения правого и левого уха
одним и тем же участком звуковой волны
(ср. рис. 456). При частотах
несколько 1000/сек могут влиять также и
различия в облученности, вызываемые тенью
головы.
Середина
Рис. 456. К бинауральному
эффекту. Концы газовой
резиновой трубки около 2 м
длины вставляют в оба уха
и заставляют помощника
стучать по трубке.
Направление звука отклоняется от
плоскости симметрии
головы, если место удара лежит
дальше 0,5 см от середины
трубки. Поэтому орган слуха
реагирует уже на разность
времени звучания
Д* = 3 • Ю~5 сек.
При Д* = 60-10 ° сек
(соответственно 20 см разности
пути, диаметр головы!)
источник звука локализуется
поперек средней плоскости.
§ 131. Фонометрия. Фонометрии
(звукометрии) в акустике соответствует
фотометрия в оптике. Обе оценивают
физическое излучение не по его мощности
(энергия/время = поток энергии,
измеренный в ваттах), но по его действию на наши органы чувств,
т. е. на глаз и ухо. Как фотометрия относится только к
наблюдателям с нормальным зрением (ср. книгу по оптике, конец
§ 261), так и фонометрия касается лишь наблюдателей с
нормальным слухом.
Все звуковые ощущения, как-то: тоны, звучания, шумы и т. д.,
наряду с качеством высоты тона (высокий, низкий, глухой, звонкий
и т. д.) обладают еще другим качеством—громкостью.
В ощущениях глаза ей соответствует яркость при нормальном
возбуждении излучением, т. е. для источника—плотность светового

322 XII. БЕГУЩИЕ ЙОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
потока, а для приемника1)—освещенность. Громкость столь же
мало можно измерять, т. е. определять в виде кратного ей
соответствующей единицы, как и другие качества ощущений, доставляемых
нашими органами чувств. Но возможно поступить двояко: с помощью
уха установить последовательность равных интервалов, или шкалу
громкости; кроме того, можно ощущать два звука одинаковой
громкости, возбуждаемых разными источниками.
Глаз, как известно, способен к подобной же деятельности.
С помощью глаза можно получить на поверхности последователь-
ность равных интервалов, или шкалу освещенности В; кроме того, мы
можем на одной и той же поверхности получить от двух
разнородных источников света две одинаково ощущаемые освещенности.
На этой способности наших органов чувств основывается
возможность создать для технических и практических целей
фонометрию (звуковое измерение) и фотометрию (световое измерение). Обе
позволяют две пространственно или во времени разделенных
освещенности и громкости определить таким образом, чтобы их можно
было воспроизвести в любом месте и в любое время.
С этой целью в фотометрии устанавливают при помощи
нормальных ламп такую же освещенность, как и определяемая, не
обращая внимания на окраску. Соответственно поступают и в
фонометрии: заменяют нормальную лампу нормальным источником тона
частотой V— \03/сек и возбуждают им такую же громкость, как
громкость, подлежащая определению, безотносительно к тембру
звука. Но как добиться в обоих случаях количественных
результатов?
Ответ: в фотометрии характеризуют освещенность, созданную
нормальными лампами, условиями, вытекающими из ее определения,
число нормальных ламп „
а именно отношением -. *- с единицей
(расстояние до приемникаJ
•—— = люкс. Соответственно было бы возможно измерить
физическое раздражение, возбуждаемое установленными нормальными
лампами, а именно, облученность Ь, определяемую из уравнения
, мощность излучения М7 „ вт ,пс л\
Ь= — с единицей, например, ——. B64)
площадь приемника /■ г г м* ч
В фонометрии обе соответствующие возможности тоже
находятся в нашем распоряжении, но в отличие от фотометрии здесь
используется вторая возможность: измеряют физическое раздражение,
вызванное установленным нормальным источником звука, а именно
облученность Ь уха. (Но она никак не совпадает с той, которая
возбуждается подлежащим измерению источником звука, так как
оценивается ухом.)
1) Плотность светового потока источника не имеет акустической аналогии-

§ 131. фонометрия 323
Возбужденная нормальным источником звука облученность уха Ь
не указывается в абсолютной мере, как-то в вт/м2, но измеряется
как кратное очень малой условной облученности Ьт1и = 2 • 10~12 вт/м2.
(Она почти соответствует порогу чувствительности уха для
ч—\03/сек.) Отношение Ь/Ьт1и получается на практике в
промежутке от 1 до 1012. Этого избегают при посредстве десятичных
логарифмов. Определяют величину
^, B65)
для которой мы предлагаем название «уровень громкости» 1). Итак,
уровень громкости есть отвлеченное число.
К этому числу1 прибавляют слово фон. Слово фон должно
выражать двоякий смысл: во-первых, что данное число обозначает
уровень громкости и, во-вторых, что уровень громкости определяется
уравнением B65). Многие подобным образом построенные
определяющие уравнения нам уже встречались. Итак, слово фон следует
рассматривать как обозначение шкалы наподобие Цельсия, Фаренгейта
и т. д., но ни в коем случае не как единицу вроде ампера,
килограмма, атмосферы и т. д. 2). Пусть, например, сказано о
разговорной речи, что ее уровень громкости равен 50 фон. Тогда это
значит: разговорная речь так же громка, как и тон нормального
источника звука (\ = \03/сек), который обладает уровнем
громкости 50. Это означает, что возбуждается облучение уха 0=1ОбХ
X Ьт1п = 2 • Ю вт/м2 A0 • 1о§; 105 = 50). Область уровней
громкости простирается от нуля (порог слышимости) до 120 (шум
в котельном цехе завода или рядом с самолетом).
Из определяющего уравнения B65) следует: если облученность нашего
уха удесятерится, то громкость возрастет тоже на 10, так как 10-1о§10 =
= 10-1 = 10. Примеры: одна очень тихо тикающие часы имеют уровень
громкости 10 фон, десять таких часов вместе 10+ 10 = 20 фон. Треск одного
мотора имеет уровень громкости 90 фон, а десять таких же моторов вместе
дадут уровень громкости 90+10= 100 фон.
Ручные измерители уровней громкости имеются в продаже. Они
в основном состоят из телефона, соединенного с маленьким
генератором переменного тока (зуммер) с частотой 1000/сек. Ток
1) Соответствует звездной «величине» т в астрономии, которая
определяется из уравнения
тъ — тх = 2,500 1о§ & B66)
#2
(в этом уравнении В2 и В1— освещенности, вызываемые на Земле звездами
2 и /. Величина т^ устанавливается для условного значения В± равной 0).
Используемое в технике для числа Ь название «громкость» отвергается.
Нельзя числом называть ощущение.
2) Кто хочет называть I громкостью (!), а фон — ее единицей, должен
признать фон как новое имя для числа 1, принятое в специмьной области.

324
XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
в телефоне регулируется таким образом, чтобы ухо в телефоне
ощущало такую же громкость, какую свободное ухо воспринимает
в измеряемом звуковом поле. Шкала регулирующего сопротивления
градуируется в уровнях громкости.
Спектральное распределение чувствительности уха изображено
на рис. 457. Ординаты дают как амплитуды давления Ар0, так и
облученность Ь. Значения облученности взяты для поперечного
сечения свободного, не искаженного головой звукового поля,
а именно для волны, падающей перпендикулярно на лицо слушателя.
ньютон
ватт
! -I
102
%
IЮ8-
\
\
'
\
1
\
\
Фон
ко
вд^
40
0
■—.
^—
-■
Г
/
у
у
У
У
м
ЯТ*
-Ю
1
2
■ю~
Ч 53
Частота в секл
Рис. 457. Кривые спектральной
чувствительности уха при разных уровнях громкости.
Вдоль каждой кривой громкость ощущается
как громкость тона сравнения (V = 1000/с^а:),
который возбуждается облученностью (т. е.
физическим раздражением) данного уровня
громкости. Нижняя кривая основывается на
измерениях давления непосредственно перед
барабанной перепонкой. 1 ньютон/м2=Ю~5атм.
Читать ^р0 вместо Ьр.
С возрастанием уровня громкости изменяется и спектральное
распределение чувствительности, кривые становятся более пологими.
При дальнейшем росте облученности взамен ощущения звука
возникает болевое ощущение. В области своей наивысшей
чувствительности наше ухо еще реагирует на изменения давления воздуха
Д^ = 10~5 ньютон/м2 = 10~10 атм.
Рис. 457 убедительно показывает поразительную способность нашего
уха приспособляться: в области частот своей наивысшей чувствительности
ухо справляется с изменениями облученности Ь примерно 1 : 1012. Коротко
говоря, ухо ведет себя, как измерительный инструмент с логарифмически
разделенной шкалой. Тем самым ухо поразительным образом приспособлено

§ 132. ухо 325
к своему собственному назначению: оно может в областях слабых диффра-
гированных, отраженных или рассеянных звуковых волн чуть-чуть хуже
слышать, чем при беспрепятственном распространении волн.
§ 132. Ухо. Самая существенная часть нашего органа слуха—-
«внутреннее ухо», расположенный в височной кости улиткообразный
лабиринт. Механические волны подводятся к нему двумя путями:
1) через барабанную перепонку и прилегающие к ней слухэвые
косточки среднего уха; 2) через мягкие части и кости голэвы.
Первый путь не является безусловно необходимым. Можно слышать
и без барабанной перепонки и без слуховых косточек. Эти части
имеют исключительно следующее значение: внутреннее ухо
наполнено водянистой жидкостью, ее плотность почти в 800 раз больше,
чем у воздуха. Вследствие этого наибольшее отклонение частичек
воздуха в звуковой волне в "[/^800 я^ 30 раз больше, чем в
жидкости тела (уравнение B54), стр. 311). Звуковые волны с данной
плотностью энергии 8 беспрепятственно и без потерь на
отражение проникают в жидкость внутреннего уха. С этой целью
наибольшее отклонение х0 должно снизиться примерно до 1/30- Это
осуществляется через барабанную перепонку и рычажную систему слуховых
косточек *). Поэтому барабанная перепонка и слуховые косточки
были бы совершенно бессмысленны в ушах млекопитающих,
живущих исключительно в воде (дельфины и киты). И в самом деле,
ни одно из этих животных не имеет наружного уха. Слуховой
проход, барабанная перепонка и слуховые косточки регрессировали
и свелись к ничтожным остаткам.
Внутреннее ухо функционирует подобно спектральному аппарату:
оно не различает никакой разности фаз между отдельными частными
синусоидальными колебаниями. Можно изменять ее без того, чтобы
ухо заметило хоть что-нибудь.
Гельмгольц был уверен, что этот спектральный аппарат
находится в кортиевом органе. Существенной частью этого органа
служит основная мембрана. В первом приближении ее можно описать
как нежную перегородку между двумя жесткими трубками
(барабанный ход и вестибулярный ход). У людей она бывает длиной
34 мм, в ширину растет от начала трубок к концу от 0,04 до
0,5 мм. Гельмгольц рассматривал эту мембрану как крошечный
язычковый частотомер — спектральный аппарат, отличающийся особой
простотой (§ 109). При этом он рассматривал мембрану не как
однородную ленту, а как уплотненный ряд последовательно
возрастающих в длину натянутых струн (вместо язычков), собственная
частота которых с удлинением, т. е. увеличением ширины мембраны,
убывает. В действительности основная мембрана не имеет такого
1) У порога слышимости при наиболее благоприятной частоте V^^^300Э сек~1
амплитуда барабанной перепонки составляет всего лишь 6 - 10~10 м, т. е.
только несколько атомных диаметров. Во внутреннем ухе амплитуды еще
меньше, по крайней мере в 30 раз.

326
XII. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
строения, но, несмотря на это, она обладает свойствами
спектрального аппарата. Ее. действие можно показать на демонстрационной
модели. При опыте соблюдается необходимое условие: процессы
в нем протекают достаточно медленно.
Модель изображена на рис. 458. Две металлические трубки
с прямоугольным поперечным сечением имеют по бокам стеклянные
стенки, а в середине общую высокоупругую перегородку,
искусственную основную мембрану. Ее ширина определяется клинообразной
металлической рамкой. Она растет слева направо. В силу
«механического подобия» эта мембрана должна иметь упругие свойства,
Круглое
окно
Вестибулярный
ход
Стремя Овальное Вода* Металшческ Барабан- Основная Гвлинот-
окно + Мд С1г рамка иыпход мембрана рема
70см м I \
Рис. 458. Прямолинейная модель слуховой улитки. Ла-
тунную пластинку на правом конце можно снимать и
заменять пробкой. На месте круглого окошечка
используется стеклянная трубка, загнутая вверх. Искусственная
основная мембрана длиной 31 см и шириной от 1 до 18 мм.
«Стремя» приводится в колебание эксцентриком от
электромотора. В человеческом ухе стремя — это последняя
из трех слуховых косточек, которые в качестве
рычажной передачи связывают барабанную перепонку с
овальным окошечком.
которых не удается осуществить с твердыми телами. Вместо нее
можно использовать пограничную область двух жидкостей равной
плотности и поверхностного натяжения, например, наверху бензол,
внизу вода (с примесью, увеличивающей ее вязкость). «Стремя»
в нижнем левом конце может двигать овальное окно по
синусоидальному закону туда и обратно при помощи эксцентрика, с
частотой между 1/сек и 8/сек. Колеблющееся овальное окно
становится исходным пунктом группы волн, бегущей направо вдоль
«основной мембраны». Рис. 459 показывает вверху ее восемь
частных изображений — мгновенных снимков, сделанных через равные
промежутки времени в продолжение одного периода. Справа выше
штриховой прямой линии аа виден остаток группы волн
предшествующего периода. Начиная с девятой строчки, слева от
штриховой прямой ЬЬ, появляется начало последующей группы с таким

§ 132. ухо 327
же ходом. Несмотря на синусообразное возбуждение овального
окна, вдоль основной мембраны распространяется не синусоидальная
волна, а группа волн своеобразной формы. В этом примере (\== 4/сек)
она достигает своей максимальной амплитуды на отметке пути 10 см.
Направо от нее она быстро затухает. При этом и групповая
скорость уменьшается, и на отметке пути 13 см она становится
практически равной нулю. Далее вправо «основная мембрана» остается
полностью в покое.
со Г-
& и-.
( Ю 15 СМ
Расстояние от овального окна ■ <• >
Рис. 459. Группы волн, которые пробегают вдоль
«основной мембраны» модели уха при
синусоидальном возбуждении (V = 4/сек). Ради удобства
наблюдения волны целиком закрашены черным цветом,
а в оригинальной фотографии видны лишь тонкие
очертания. Ряд волн без этого последующего зачер-
нения находится на рис. 460.
Теперь наступает второе и притом решающее
экспериментальное положение: место или отметка пути, на котором группа волн
достигает своей наибольшей амплитуды, однозначно зависит от
частоты возбудителя. Это показывают оригинальные фотографии
на рис. 460: клинообразная мембрана действует, таким образом,
как язычковый частотомер, хотя и не тождественно, но подобно
спектральному аппарату.
Далее физиологов интересовал вопрос, как максимумы группы
волн возбуждают окончания нервов. Здесь, пожалуй, наиболее
существенное нашел Г. Бекези: на месте максимальной амплитуды
возникает течение жидкости, которое можно сделать видимым на
модельном опыте.
Таковы факты. Чтобы объяснить их, приходится снова
рассматривать мембрану в первоначальном смысле Гельмгольца как
дискретный ряд резонаторов. Каждый из этих резонаторов обладает

XII. бегущие волны и излучение
собственной частотой. Наибольшая лежит слева перед
овальным окном, наименьшая — справа перед отверстием улитки, гели-
котремой. Приходящие слева волны действуют как возбудитель.
Вынужденные амплитуды резонаторов растут, когда группа волн
приближается к тому резонатору, собственная частота уе которого
Расстояние.от„оеального окна "
5 10 15 СМ 2й
1"
| 3.5
Рис. 460. Моментальные снимки ряда волн на
модели основной мембраны в момент их наибольших
амплитуд для четырех разных частот
синусоидального возбуждения. Группы волн остаются
подобными друг другу. С растущей частотой они
сокращаются в длину. Группа второй строки
соответствует группе четвертой строки на рис. 459. Только
гребень волны дополнительно не зачернен.
равна частоте возбудителя V. При этом прирост мембранной
амплитуды вдоль пути преобладает над ее уменьшением вследствие
затухания, обусловленного внутренним трением. Но вправо от
названного резонатора этого уже не будет, вынужденные амплитуды
становятся меньше, затухание действует в том же направлении и,
наконец, расширение мембраны также уменьшает амплитуду. Так
получается быстрое замирание группы волн после максимума.
Наблюдения на нашей демонстрационной модели совпадают
с теми, которые осуществил Бекези в своих образцовых работах
по прямому микроскопическому исследованию уха у трупов.
Действие основной мембраны как спектрального аппарата сегодня в его
главных чертах выяснено. Остается удивительной простота этого
процесса, развитого природой.

В. УЧЕНИЕ О ТЕПЛОТЕ
ХШ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
§ 133. Предварительные замечания. Некоторые химические
понятия. Учение о теплоте является одним из краеугольных камней
для всего естествознания и техники. Его важнейшие законы
охватывают все процессы в природе. К сожалению, изложение учения
о теплоте представляет собой щекотливую задачу. Затруднительно
образование его основных понятий. Оно не может опираться, как
во всех остальных областях физики, на простые, легко обозримые
качественные опыты, здесь необходимы длительные измерения. Для
теплоты не существует таких безупречных изоляторов, как для
электричества. Поэтому всегда необходимо учитывать источники
возможных ошибок. Это делает опыты не наглядными, а обработку
их результатов кропотливой и требующей много времени.
Нам не понадобится больших сведений по математике, чем
в других разделах этой книги. Необходимы некоторые основные
понятия из химии, а именно следующие:
1. Молекулы состоят из атомов элементов. Например, в
молекуле водорода связаны друг с другом два Н-атома. При комнатной
температуре водород состоит из Н-молекул, напротив, пары ртути
состоят из И§-атомов. Молекула ртути одноатомна. Поэтому
молекула является вышестоящим понятием. Оно охватывает как
многоатомные, так и одноатомные молекулы.
2. Молекулярные веса (М) и атомные веса (А), в несогласии
с обычным научным языком, не являются какими-то силами, а суть
отвлеченные числа. Определением служит уравнение
масса молекулы т
молекулярный вес Ш)= Т.
•' 1/1б массы атома кислорода
B67)
Соответственно определяют и атомный вес (А), понимая под т
массу атома.
3. В химии пользуются индивидуальными единицами массы, т. е.
пригодными только для отдельных веществ. Эти индивидуальные
единицы массы в (Ж) раз больше общих единиц массы. В качестве

330
XIII. основные понятия
общей единицы массы мы берем узаконенную, а именно килограмм;
таким образом, индивидуальная единица массы для нас есть (М) кг,
называемая килограмм-молекулой, или, короче, киломолем; итак,
заметим определяющее уравнение
1 киломоль = (М) кг,
1 килограмм-атом = (А) кг
B68)
О2 имеет молекулярный вес (М) = 32; поэтому для О2 один киломоль равен
32" кг. Атомный вес № (А) = 23; следовательно, для N3 1 килограмм-
атом = 23 кг. Как понятие молекулы по отношению к понятию атома, так
и понятие единицы массы — киломоль — абстрактно является вышестоящим
по отношению к килограмм-атому. Говорят о киломоле не только для
многоатомных молекул, но также и для одноатомных. Поэтому 23 кг натрия
часто называют не килограмм-атомом, а киломолем натрия.
4. Взяв произвольное количество любого газообразного, жидкого
или твердого вещества или любой кусок с массой М, полагаем
масса М „ ,ппп\
масса одной молекулы т B69)
число молекул п
и определяем:
число молекул п
масса М
= удельное число молекул
Из сравнения B69) и B70) находим важное соотношение
т
B70)
B71)
В словесной форме: масса одной молекулы равна обратной
сгличине удельного числа молекул.
Численное значение N определяется в зависимости от выбора
единицы массы. Общая единица массы, например килограмм, дает
для всех веществ различные числовые значения. Например, находим
для Н2 (Ж) = 2,016,
для КаС1 (М) = 58,03,
для А§ (М)= 108,
ЛГ= 1,03 • 1023/кг,
N=5,58 • 1024/кг и т. д.
Напротив, индивидуальные единицы массы, например киломоль,
дают для всех веществ одинаковые численные значения;
экспериментально найдено для всех веществ
удельное число молекул
6,02 • 102"
киломоль
B72)

§ 134. НОВАЯ ОСНОВНАЯ ВЕЛИЧИНА ТЕМПЕРАТУРА 331
Наглядные методы нахождения этого числа можно найти в §§ 140
и 169 «Электричества» и в § 163 этой книги.
Уравнение B72) гласит: независимо от химического состава,
каждое тело или каждое количество вещества массой в 1 кило-
моль состоит из 6,02 • 1026 молекул, В этом заключается
большое преимущество введенных химиками индивидуальных единиц
массы. Их применение означает отнесение результатов
измерений к равному числу молекул.
5. В смеси двух количеств веществ А и В долю А можно
определить различными соотношениями. Из них главнейшие:
1ЛГ. масса количества вещества А ,П7О.
весовые проценты = 100 -Л ^ B73)
^ масса количества веществ А и В ч '
(единицы массы — произвольные, но одинаковые в числителе и знаменателе,
как-то: грамм, килограмм и т. д.)(
,_л число молекул количества вещества А .__.
молекулярные проценты = 100 - -.—ь.B74)
•> * г число молекул количества веществ^ и В '
[Число молекул только в единичных случаях можно определить счетом,
например при радиоактивных молекулах. Поэтому, вообще, определяют
молекулярные проценты с помощью правой части уравнения B73), выражая
массы веществ Л и В в их индивидуальных единицах массы, т. е. в кило-
молях или в молях.]
Полезно сделать указание относительно употребления некоторых
слов: для веществ, как например, железа, воды, воздуха, кроме
давления и температуры, можно измерять только удельные
величины, например плотность, удельный объем, удельное число
молекул, удельную энтропию и т. д. Напротив, масса, объем, число
молекул, энергия, энтропия и т. д. измеряются всегда только для
тел и для количеств вещества. При этом ради краткости часто
употребляют также слова: вещество, газ, жидкость и т. д., вместо:
количество вещества, количество газа, количество жидкости и т. д.,
если это значение явно следует из связи. Так, например, говорят
об объеме пара вместо объема количества пара и о массе жидкости
вместо массы количества жидкости. Это редко приводит к
неправильному пониманию. Все же, смотря по опыту читателя, часто
сберегается много времени, если пользуются более строгим
способом выражений. Относительно неправильных и очень часто
употребляемых отождествлений: количество = масса и количество = числа
было сделано предупреждение уже в § 20.
§ 134. Новая основная величина — температура — и ее
измерение. В геометрии вводится и измеряется одна основная величина,
а именно длина. В кинематике к ней присоединяется в качестве
второй — время, в динамике—третья, либо масса (в физике), либо
сила (в технике). В учении о теплоте приходится вводить четвертую

332
XIII. основные понятия
основную величину—температуру. Что можно сказать качественно
об этой новой физической величине?
В коже поверхности нашего тела и в некоторых наших
слизистых оболочках, кроме приемников давления и боли, находятся
еще два сорта органов
приема. Один сорт реагирует на
внешнее раздражение только
ощущением тепла, другой —
только ощущением холода.
Руководствуясь этими двумя
органами чувств, можно все
тела расположить в ряд по их
способности вызывать
ощущение тепла или холода.
«Причину» этой способности
раздражения называют
«температурой». Качественно оп-
Рис. 461. Натянутая каучуковая нить
сокращается приблизительно на 3 см
при нагревании на -{- 90° С.
Необходимо нагрузку увеличить с 2 на
2,2 килопонд, чтобы восстановить
первоначальную длину.
ределенная таким образом
температура оказывается
пригодной как «причина» для
истолкования бесчисленных других, от наших ощущений не зависящих
явлений. Изменения температуры вызывают изменения:
1. Размеров тел. С возрастанием температуры металлические
провода удлиняются, натянутые каучуковые нити укорачиваются
(рис. 461), биметаллические полоски
искривляются (рис. 462) и газы
расширяются.
2. Поглощения света. Поэтому,
например, жесть, намазанная Н§^12, кажется при
малых температурах красной, при
больших— желтой.
3. Электрического сопротивления
металлов («Электричество», § 204).
4. Электрического напряжения
между двумя соприкасающимися металлами
(рис. 463, термоэлемент).
Этот перечень можно сколь угодно
продолжить: большинство всех
физических и химических явлений обнаруживает
зависимость от температуры.
Каждое из этих явлений может
служить основой для измерения
температуры и для устройства измерительного
прибора, называемого термометром.
В обыденной жизни, в науке и технике используют изменение
объема жидкости. Ртутный термометр с его стоградусной шкалой
Рис. 462. Искривление
биметаллической пластинки,
нагреваемой электрическим
током. Пластинка состоит из
двух приваренных друг
к другу полосок из сплава
никель—железо, одна из них
дополнительно содержит
еще шесть весовых
процентов марганца. Слева — вид
прямо, справа — вид сбоку.

§ 134. НОВАЯ ОСНОВНАЯ ВЕЛИЧИНА ТЕМПЕРАТУРА
333
между температурой тающего льда и кипящей воды известен теперь
каждому ученику. Ртутные термометры применимы между —[-800° и
—39° С. Для более низких температур до —200° С применяются
термометры, наполненные пентаном.
Из трубок ртутных термометров для
температуры до 300° выкачан воздух; для
больших температур, чтобы воспрепятствовать
испарению ртути, накачивают азот до
давлений порядка 100 атм. Ртуть может оставаться
до — 59° С жидкой и пригодной для измерения
температуры, если к ней добавить таллия.
Наряду с жидкостными термометрами,
а также за пределами применимости
последних употребляются преимущественно
электрические термометры, т. е.
термоэлементы (см. рис. 463), или
термометры сопротивления («Электричество»,
§ 204). Для измерения высоких
температур важнейшее значение имеет
оптический метод измерения температуры
«оптическим пирометром». В связи с этим
основы его устройства обстоятельно
изложены в «Оптике», § 223.
Все термометры градуируются в
настоящее время с помощью устанавливаемых
законом, надежно воспроизводимых
«постоянных точек». Постоянные точки (табл. 7) установлены в результате
длительной и трудоемкой работы. При этом исходили из
следующих основных положений.
Количественное определение температуры ртутным или вообще
жидкостным термометром, несмотря на практическую пригодность,
оказалось не вполне удовлетворительным. Это проще всего
показать с помощью рис. 464. На этом рисунке справа показана шкала
обычного ртутного термометра, технически нормально изготовленного,
а рядом слева—проградуированная с его помощью шкала
спиртового термометра; в изображенной области температур только
ртутная шкала равномерно разделена, шкала спиртового термометра
неравномерна.
Таким образом, измерение температуры с помощью жидкостного
термометра зависит от произвольного выбора термически
нормальных веществ (как, например, ртуги и сорта стекла). Поэтому с
развитием измерительной техники жидкая ртуть была заменена
разреженным газом и появился газовый термометр (рис. 465).
Температура, определяемая с помощью газового термометра,
при достаточно малой плотности газа, в широких пределах не зави-
Стакан воды
со'/.ьдом
Рис. 463. Электрический
термометр для
демонстрационных опытов. Он состоит из
серебряной и константано-
вой проволочек, спаянных
между собой в / и 2, и
измерителя электрического
напряжения. Спай /
приводится в соприкосновение
с телом, температуру
которого нужно измерить, спай 2
находится в смеси воды
и льда при 0° С.

334
основные понятия
сит от природы используемого газа. Совершенно
удовлетворительное определение температуры должно не только практически, но и
принципиально не зависеть от выбора термометрического вещества.
Эта цель мысленно достигнута с помощью «термодинамической
лкалы температур». Она будет разобрана в § 190. Постоянные
точки (табл. 7) имеют назначение экспе-
Спирт
I риментально осуществить термодина-
* ■ мическую шкалу. Само собой
разумеется, и термодинамическая шкала (или
«шкала Кельвина») основана на
произвольном соглашении. Как и для всех
физических измерений, решающим
критерием при соглашении является точка
11
1]
11
1]
1]
А]
г!
1]
о1
11
11
[1
Г1
Е!
Щ_
р.
Го
Нд
Рис. 464. Справа —
шкала ртутного
термометра,
равномерно разделенная
между точками 0° и
100°, слева—шкала
спиртового
термометра, проградуи-
рованного по
ртутному термометру.
Рис. 465. Схема газового
термометра. Добавлением
ртути объем газа
поддерживается постоянным и от-
считывается высота
ртутного столба. Она дает
давление газа, по которому
определяют температуру
в соответствии с § 142.
(Ср. § 147, III.)
зрения целесообразности: измеренные устанавливаемым способом
величины должны быть связаны с другими физическими величинами,
как можно более простыми, математически легко формулируемыми
соотношениями.
Наука и техника избаловали нас удобными и надежными
термометрами не в меньшей степени, чем, например, карманными часами
и амперметрами. Тем не менее, принципиальные вопросы способов
измерений и градуировки инструментов не должны остаться
неупомянутыми. В противном случае легко проглядеть большие
достижения в развитии измерительной техники.

§ 135. КОЛИЧЕСТВО ТЕПЛОТЫ
335
§ 135. Количество теплоты, удельная теплота и теплоемкость.
Понятие температуры недостаточно для описания процессов,
связанных с изменением температуры. Это можно видеть уже на
простейшем примере, а именно
Таблица 7
в случае выравнивания
температуры двух тел или двух
количеств веществ
различных температур и состава.
Пусть температуры тел или
количеств веществ будут 7\
и Тг, их массы Мх и М2
(рис. 466). Оба тела или
количества вещества
приводятся в тесное
соприкосновение друг с другом, лучше
всего это достигается при
перемешивании порошков
или жидкостей. При этом
не должно происходить ни
химических реакций, ни
фазовых превращений, т. е.
твердые вещества должны
оставаться твердыми,
жидкие — жидкими и т. д.
После перемешивания
устанавливается промежуточная
между 7\ и Т2
температура Т. Но ее нельзя
представить как среднее; нет
места соотношению
Некоторые важные для градуирования
постоянные точки установленной в 1927 г.
температурной шкалы при нормальном
давлении воздуха
G60 мм рт. ст.). 3 — точка затвердевания,
Л"—точка кипения, /7—точка плавления,
С—точка сублимации
Водород . .
Азот . . . .
Кислород . .
Сероуглерод
Углекислота
Ртуть . . .
Лед . . . .
Вода . . . .
Нафталин . .
Кадмий . . .
Сера . . . .
Сурьма . . .
Серебро . ■
Золото . . .
Платина . ,
Вольфрам
Точность, достигаемая при измерениях,
К
к
к
3
с
3
П
к
к
3
к
3
3
3
п
п
—252,8°
—195,8°
— 183°
— 112°
— 78,5°
— 38,9°
0,0Э
+ 100°
218°
321°
444,6°
631°
961°
1063°
1770°
3400°
до-
до-
до-
до-
- 500°
1- 1000°
- 2000°
- 3000°
С
с
с
с
0,05°
0,5°
4°
20°
Напротив, для описания наблюдений необходимо ввести два
множителя, сх и с2, и написать:
М2с2Т2 =
или после преобразований
B75)
понижение
температуры
повышение
температуры
B76)

336
Произведению
XIII. основные понятия
B77)
предварительно присвоим название количества теплоты и напишем
вместо B76)
В словесной форме: вследствие соприкосновения количество
тепла С}1, отданное горячим телом 1, равно количеству
тепла C2, полученному холодным телом 2
(Г. В. Рихман, 1711—-1755) х).
Количество тепла рассматривается в
измерительной технике сначала как основная величина
(§ 16). Ее единица получила название
килокалория (ккал). Ее определяют с помощью двух
положений: во-первых, соглашаются избрать
определенное вещество, а именно, воду при 14,5°С;
во-вторых, придают постоянной с для этого
вещества произвольное значение в уравнении B77),
// а именно,
ЗлЕктричестй
^термометр
Рис. 466. Схема
водяного
калориметра G\> Т2).
„ , 1 ППП ккал (^>Тй\
Своды- 1,000 -^т^д-. B78)
Таким образом, 1 ккал есть количество
теплоты, которое может нагреть М = 1 кг воды
при 14,5° на Д7= 1°.
После установления метода измерения
количества теплоты и множители с получают
физический смысл. Они означают удельное, т. е. отнесенное к другим
величинам, количество теплоты, а именно:
Л1-Д7"
B79)
Численные примеры приведены в табл. 8 на стр. 341.
Произведение удельной теплоты с на массу тела М называется его
теплоемкостью С. 36 кг воды = 2 киломоль воды имеют, например, при
комнатной температуре теплоемкость С = 36 -^. Все аппараты
для измерения количества тепла носят названия калориметров.
Существует много разновидностей их (например на рис. 466).
§ 136. Количество теплоты как энергия, сохранение энергии.
Вещественное представление о количестве теплоты оспаривалось
уже перед 1800 г. Румфорд объяснял теплоту как невидимое
движение молекул, но, несмотря на убедительные опыты A798), не
1) Г. В. Рихман — петербургский академик, сподвижник Ломоносова,
родился в городе Пярну, погиб от удара молнии при исследовании
атмосферного электричества в Петербурге. {Прим. перев.)

§ 136. КОЛИЧЕСТВО ТЕПЛОТЫ КАК ЭНЕРГИЯ, СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ 337
вышел за пределы качественного объяснения. Для количественного
истолкования необходимо было приравнять количество теплоты
известной механической величине. Это удалось сделать в 1842 г.
врачу Роберту Майеру. Он распознал единосущность количества
теплоты и энергии. Кроме того, Майер, основываясь на
литературных данных, вычислил исключительно остроумным способом
переводный множитель, связывающий калорическую меру энергии с
механической (§ 146). Английский пивовар Дж. П. Джоуль улучшил
численное значение этого переводного множителя посредством
собственных очень точных измерений A843 г.). Роберт Майер первый
выразил закон сохранения энергии.
Энергия не может ни создаваться, ни исчезать. Энергия может
всегда только превращаться из одной формы в другую. Иначе
выражаясь: никакая машина не может совершать работу без того,
чтобы не исчезало иное равноценное количество энергии. Или, короче:
не может существовать перпетуум-мобиле первого рода. Это —
исключительно экспериментальный закон. Его называют теперь
первым основным законом учения о теплоте (§ 140). Из
бесчисленных экспериментальных оснований этого закона мы приведем два
опыта в схематическом изложении.
На рис. 467 количество воды (масса т) перемешивается в
калориметре с помощью лопастей, благодаря чему нагревается (прирост
температуры ДТ). Двигателем служат опускающиеся вниз
металлические гири. Их потенциальная энергия превращается в количество
теплоты. Находят для каждого ньютонметра механической энергии
количество теплоты 2,39- 10~ ккал. Это — калорический
эквивалент механической энергии 1).
На рис. 468 некоторое количество воды (масса т) нагревается
в калориметре с помощью маленького электрического нагревателя
за время I на Д7\ При этом электрическая энергия превращается
в количество теплоты
[У — ток в нагревателе (амперы), Р — напряжение на зажимах нагревателя
(вольты); г — время протекания тока (секунды); поэтому энергия V?
измеряется в вольтампер-секундах, или ватт-секундах.]
На каждую вольтампер-секунду, или ватт-секунду, приходится
~4
количество теплоты 2,39 • 10~4 ккал.
1) При точных измерениях наблюдают стационарное состояние. Электро.
мотор с вращательным моментом 9Л (рис. 112) и угловой скоростью ш доста.
вляет мешалке известную механическую мощность Ф=Ш<л. При этом
протекающая для охлаждения вода поддерживает температуру калориметра
неизменной, отнимая равную мощность в тепловой форме, т. е. СЦ{ = Ф.
Теплоотдачу С}/{ легко измерить: пусть за время г протекает через охладительный
шланг количество воды массой М и нагревается при этом между местами
втекания и вытекания на Д7\ Тогда частное С}$—Мс А7*/^ где с=\ккал1кг-град,
означает удельную теплоту воды.

338
XIII- основные понятия
На основе этого и подобных измерений количество теплоту
лишается в измерительной технике характера основной величины.
Килокалорию просто рассматривают как одну из единиц энергии,
кратную универсальной единице энергии, ватт-секунде, равной нью-
тонметру. Определяется
1 килокалория =4185 вт-сек = 1,16 • 10 квт-ч.
B80)
При употреблении универсальной единицы энергии удельная теплота
воды, например, при комнатной температуре больше не своды = 1
килокалория/кг • град, а
сВо
=4,185- Ю3
кг • град
=7,55-
вт-сек
киломоль • град
B81)
Нагревание 1 кг=х\х% киломоля воды на один градус
обозначает поэтому приток 4185 вт-сек энергии.
Источник тот
1 А\\\\\\\\\, р
-Вращающие-
/срлопасти
Рис. 467. Превращение
потенциальной механической энергии
в количество теплоты. Схема опыта
Дж. П. Джоуля.

Нагреватель
Рис. 468.
Превращение электрической
энергии в количество
теплоты.
Оглядываясь назад, мы все же никогда не в состоянии в полном
объеме оценить по достоинству труд пионеров науки. Так, идея
об одинаковой сущности количества теплоты и прочих видов энергии
давно уже стала общим достоянием, считается «само собой»
разумеющейся. Теперь даже определяют энергию как все, с помощью чего
можно подвести к телу или количеству вещества теплоту. Говорят
не только о механической и электрической энергии, но также и о
химической энергии, и лучистой энергии. Ведь излучения всех родов
могут поглощаться в облучаемых телах, и они при этом нагреваются.
§ 137. Скрытая теплота (Джозеф Блэк, 1762). В
рассмотренных нами до сих пор опытах вещества не испытывали никаких
превращений. Твердые тела оставались твердыми, жидкие—жидки-

§ 137. СКРЫТАЯ ТЕПЛОТА
339
Вентши
ми, газообразные—газообразными. Химический состав вещества,
его кристаллическое или поликристаллическое строение также
оставались неизменными. Теперь мы откажемся от этих ограничений.
Мы допускаем превращения одной фазы в другую. Тогда
количество вещества может поглощать или выделять энергию в виде
количества теплоты, или, короче, «в форме
теплоты» без изменения температуры. В этом
случае поглощенное или выделенное
количество теплоты называется скрытой
теплотой. Приведем три важных примера.
I. Удельная теплота испарения и
конденсации. Сосуд на рис. 469 частично
наполнен водой, и затем из него выкачивают
воздух. К сосуду присоединен манометр М
и регулируемый пружинный вентиль. Кроме
того, сосуд находится в электрическом
нагревателе.
После включения тока вода нагревается
и с возрастанием температуры
увеличивается давление пара. Пар находится все время
в соприкосновении с водой и «в
равновесии». Давление этого пара называют
давлением насыщения. Численные значения
приведены на рис. 508 (§ 155). При
некотором давлении пара р вентиль открывается
и пар получает возможность удаляться
непрерывной струей. С этого момента
температура как воды, так и пара остается
постоянной, обе температуры, как и раньше,
одинаковы. Вывод: удаляющийся пар должен
непрерывно заменяться новым, вода все
время должна превращаться в пар.
Подводимая энергия расходуется на процесс испарения и аккумулируется
в паре без повышения температуры, т. е. скрыто. Количество
испарившейся воды пропорционально подведенной энергии. Тогда
образуют частное
Рис. 469. К измерению
теплоты испарения.
Схема. Манометр показывает
1 атм, если его трубка
свободно сообщается с
комнатным воздухом. Он
измеряет, следовательно,
полное давление пара, а
не разность давлений
пара и воздуха. Н—
электрическая печь. В
качестве пружинного вентиля
подходит форма,
употребляемая в
кислородных баллонах.
г =
энергия, подведенная в тепловой форме
масса испарившегося количества жидкости
B82)
и называют его удельной теплотой испарения. На рис. 478 (§ 140)
приведены некоторые значения г воды в промежутке между 0 и 374° С.
Всякая испаряющаяся жидкость отнимает энергию в форме теплоты из
своего окружения. На этом основаны многочисленные холодильные машины.
В лабораториях часто пользуются холодильником, изображенным на рис. 470.

340
XIII. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Холодильник состоит из стеклянного сосуда, содержащего жидкий
хлористый этил (температура кипения 13,1° С, давление пара при 18° С 1,26 кило-
понд/см2). Жидкость выбрасываетса струей под давлением собственных паров
через маленький рычажный вентиль. Поверхность, обрызганная струей, должна
отдавать теплоту на испарение и поэтому охлаждается. Таким образом легко
можно получить в лаборатории температуры ниже 0° С. В медицине
пользуются этим приемом, чтобы с помощью замораживания достигнуть местной
нечувствительности к боли. (Демонстрационный опыт: обрызгивают
черную бумагу, потом дышат на нее и наблюдают появление инея.)
Энергия, содержащаяся в скрытом виде в паре, при обратном
переходе пара в жидкость целиком выделяется. Таким образом,
«удельная теплота конденсации» с
точностью до знака равна удельной теплоте
испарения. Для демонстрации пропускают
водяной пар через калориметр (термос),
наполненный холодной водой. Там он
конденсируется, и при этом вода нагревается.
По массе воды в калориметре и по
повышению ее температуры можно вычислить
теплоту конденсации.
II. Удельная теплота плавления и
кристаллизации. Пусть в сосуде калориметра
содержится 0,5 кг воды и 0,125 кг кусочков
льда при общей температуре 0°С. Вливаем туда же 1 кг воды при
температуре 10° С. Через несколько минут устанавливаем результат:
температура смеси по-прежнему равна 0°, она, следовательно, не
повысилась. Вместо этого весь лед превратился в воду. Вывод:
подведенное водой количество теплоты D,19 ■ 104 вт-сек) истрачено на
процесс плавления и поэтому является скрытым. Подобные опыты
позволяют количественно определить удельную теплоту плавления
вещества, т. е. частное
Рис. 470. Холодильник
с жидким хлористым
этилом.
энергия, подведенная в форме теплоты
масса расплавившегося количества вещества
B83)
В табл. 8 приведены примеры при нормальном атмосферном давлении.
Скрытая энергия, содержащаяся в жидкости, при ее затвердевании
полностью выделяется обратно. Теплота кристаллизации с точностью
до знака идентична теплоте плавления. Для проведения
демонстрационных опытов по теплоте кристаллизации особенно подходит
тиосульфат натрия (N328303 • 5Н2О), употребляемый в фотографии в
качестве закрепителя.
Температура плавления этой соли -\- 48,2° С. Расплавленный тиосульфат
натрия можно очень сильно переохладить. В переохлажденном состоянии
при комнатной температуре он может сохраняться в теченяе суток. Но если
в переохлажденный тиосульфат бросить маленький кристаллик, начинается
кристаллизация с выделением значительного количества тепла. С помощью

§ 137. СКРЫТАЯ ТЕПЛОТА
341
этого тепла можно испарять эфир и это испарение сделать видимым для
большой аудитории, устроив эфирную горелку. В технике этот процесс
применяется для изготовления согревательных подушек. Наполняют резиновый,
пузырь тиосульфатом натрия и плавят его, пустив пузырь в горячую воду.
При охлаждении температура долго держится на -{-48° С («точка задержки»)
Таблица 8
Вещество
Алюминий . .
Медь
Свинец ....
N301
Бензол ....
Вода

Молекулярный
вес
(М)
27
63,6
207
58,5
78
18
Удельная теплота при 18° С
ккал/кг-град
0,214
0,092
0,031
0,206
0,408
0,999
ккал/кило-
молъ-град
5,80
5,85
6,25
12,1
32,0
18,0
Удельная теплота
плавления
ккал/кг
94,6
48,9
5,92
86
30,4
79,7
ккал/киломоль
2460
3080
1220
503.)
2360
1435
III. Удельная теплота превращения. На рис. 471 изображена
тонкая полоска из железа, содержащего углерод @,9 весового
процента С), которая с помощью электрического тока нагревается до
желтого каления. После выключения тока
полоска быстро охлаждается и становится
темной. При прохождении температуры
Г ^720° С полоска вновь ярко вспыхивает:
это происходит задержанное
переохлаждением превращение модификации железа,
называемой у-железом, в смесь а-железа, не
содержащего углерода, и цементита Ре3С.
При этом выделяется значительная теплота
превращения.
к нагревающему
трансформатору
Рис. 471. К демонстрации
теплоты превращения.
Без переохлаждения выделяющаяся теплота превращения только через
некоторое время задержала бы падение температуры: «точка задержки»
падения температуры является признаком «фазового превращения».
С введением скрытой теплоты понятие количества теплоты
существенно расширяется. Понятие количества теплоты было вначале
определено в связи с изменением температуры вещества (§ 135), но
тем не менее оно и теперь (при допущении фазовых изменений)
применяется для процессов, происходящих без изменения
температуры. Соответственно этому понятие количества теплоты, или
теплоты, отныне должно обозначать форму энергии, которая при
исключении всяких вспомогательных средств может передаваться
от одного тела к другому только при помощи разности
температур. Существует две возможности такой передачи: перенос энергии

342 ХШ. основные понятия
проводимостью и перенос энергии излучением. При
теплопроводности имеет место соприкосновение одного тела с другим телом
меньшей температуры, например пламени и кастрюли или
электрического нагревателя и воды. Перенос тепла излучением подробно
рассматривается в §§ 218—221 «Оптики».
Набранные курсивом слова «при исключении всяких
вспомогательных средств» мы поясним сопоставлением двух примеров. На
рис. 472 вверху два сосуда с газом—горячий / и холодный // —
соединены металлическим стержнем М, т. е.
хорошим проводником тепла. Тогда
температура 7\ уменьшается, а Т2 увеличивается.
Сосуду // сообщается энергия в форме
2 теплоты от сосуда /. На рис. 472 внизу
оба сосуда имеют по одной подвижной
стенке в виде поршня; оба поршня соединены
Рис. 472. О передаче стеклянным стержнем, т. е. непроводником
энергии в форме теплоты тепла> После удаления каКого-то задержи-
и в форме работы. •* й г
вающего приспособления поршни начинают
двигаться направо. При этом 7\
уменьшается, тогда как Т2 увеличивается. В этом случае энергия
передается из сосуда / в сосуд // не в форме теплоты, а в форме
механической работы. Это достигнуто с помощью вспомогательного
средства в виде соединенных поршней. Также и при трении
энергия сообщается телу не в форме теплоты, а в форме механической
работы. Лишь в дальнейшем она переходит в форму теплоты.
Резюме. Приток энергии может не только повысить температуру
тела или некоторого количества вещества, но и может вызвать
какие-либо превращения внутреннего характера при остающейся
постоянной температуре. В обоих случаях внутри тела или
количества вещества запасается энергия. Запасенную в какой-либо форме
внутри тела энергию называют «внутренней энергией» V'. И тем
самым она качественно отличается от потенциальной и кинетической
энергий, которыми могут обладать тела или количества веществ
з целом.

XIV. ПЕРВОЕ НАЧАЛО И УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ
ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
§ 138. Работа расширения и техническая работа. Мы ставим
себе ближайшей целью дать количественную формулировку закона
сохранения энергии или первого начала термодинамики. Этот и
следующий параграфы являются подготовительными.
В механике твердого тела работу А определяют как
произведение: «сила в направлении пути на путь», т. е. работа Л= I $й?$
(§ 34). Сила $ заменяется в учении о жидкостях и газах
произведением: «давление р на площадь Р». Тогда получается для работы
А= Г рр из или, так как Р из равно элементу объема йУ,
А = I р аУ. B84)
Точно так же, как и ранее, мы можем такую работу
изобразить графически. Это сделано на рис. 473. Рабочее вещество
заключено в цилиндр и производит давление на поршень; в
результате поршень перемещается направо, объем тела увеличивается
и совершается работа. Движение должно происходить
настолько медленно, чтобы внутри рабочего вещества не возникло
никаких местных различий в давлении, плотности и температуре.
Давление во время движения поршня не остается постоянным, что
2
изображено кривой 1 ... 2. Работа расширения I р йУ равна за-
1
штрихованной площади под кривой расширения.
В технике все машины работают периодически. Они могут
работать только со сменяющимся рабочим веществом. Для
этого случая вводится понятие технической работы Лтех,г.
Оно выяснено на рис. 474—477. На этих рисунках вверху
изображен цилиндр машины со входным и выходным вентилями и
с поршнем.
В течение первой части периода определенное количество
рабочего вещества втекает в цилиндр под постоянным давлением. Оно

344 XIV. ПЕРВОЕ НАЧАЛО И УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
вытесняет поршень до положения /. При этом оно производит над
поршнем работу вытеснения р1У1. Во второй промежуток времени
входной вентиль закрыт, рабочее вещество расширяется и
перемещает поршень до положения 2; его давление падает от р± до рг.
При этом оно совершает над поршнем работу расширения Л =
2
— -)- | р йУ. В третью часть пе-
1
риода открывается выходной
вентиль и рабочее вещество под
постоянным давлением р2
выталкивается. При этом поршень
возвращает ему работу вытеснения р2У2-
Рабочее вещество сообщает
таким образом поршню два
количества работы, а именно, р1У1 и
I рAУ. Вытекающему количеству
Рабочее
вещество втекает под
постоянным
давлением
г Л
Рас А 74
Рабочее
вещество расширяется
при уменьшении-
давления
Рис А 75
Рабочее вещест-^
во вытесняется
под постоянным^* \
давлением "Ж1
\ понижаясьщ^^^^
1 I ■ I
*/
I
I
Объему
Рис. 473. /?И-диаграмма к
определению работы
расширения | рйУ
(заштрихованная площадь под
кривой расширения). Рабочее
вещество совершает в этом
примере, кроме работы
подъема, также работу
ускорения (ср. рис. 549).
V
Рис. 474—477. рУЧдиаграмма к определению
технической работы, Лтехн= — I V йр
(заштрихованная площадь сбоку от кривой
расширения). Рабочее вещество, протекающее через
машину М, поступает из резервуара с
большим постоянным давлением рь например из
парового котла, и выходит в резервуар с
малым постоянным давлением /?2> например
в конденсатор или свободную атмосферу.
рабочего вещества отдается количество работы р2Уг на дальнейший
путь. В итоге порция рабочего вещества передает поршню техни-

§ 139. ТЕРМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ СОСТОЯНИЯ 345
чески полезную, или, короче, техническую работу
2 2
/» /•
представлена
на рис. 477
вертикальным

прямоугольником
Ор\\У^1
1
площадью
1Л 121Лг
под кривой
расширения

горизонтальным
прямоугольником
Ор^Уч
1

заштрихованной площадью
р\\1р%
сбоку кривой
расширения
В нашем частном примере используются цилиндр и поршень.
Соответствующим образом вообще различают два случая.
1. Сжатая порция рабочего вещества расширяется инаружу отдается:
работа расширения А — -\- I р (IV.
B86)
2. Порция рабочего вещества протекает через некоторую
машину, увеличивается при этом в объеме от Ух до У2 и уменьшает
свое давление от р± до рг. При этом наружу отдается:
техническая работа Лтехп =— | Vйр.
B87)
Связь между обеими работами вытекает из уравнения B85):
Лехн. = А + РХУХ — р2У2. B88)
§ 139. Термические параметры состояния. У любого твердого
тела и у любого количества жидкого или газообразного вещества
мы можем в любой момент времени измерить три величины: объем V,
давление р и температуру Т. Эти три легко измеряемые величины
называются простыми термическими параметрами состояния.
Признаком параметра состояния является его независимость от
процесса или от «пути» предыдущих изменений состояния. Этой
независимости не существует у других важных величин, например у
совершаемой работы А= I рдУ. Это можно показать на примере: на
рис. 473 совершенная работа изображается заштрихованной площадью.
Эта площадь зависит от «пути», т. е. в данном примере от отрезка
кривой, ведущего от состояния 1 к состоянию 2. Между параметрами
состояния при наличии только одной фазы существует однозначное
соотношение, называемое термическим уравнением состояния. Оно
имеет особенно простой вид для идеальных газов. С помощью
термического уравнения состояния по двум параметрам состояния
определяется третий, независимо от всех происходящих за это время
изменений состояния. Условием является лишь то, что при всех этих
изменениях состояния не происходит ни химических, ни каких-либо других,
например микрокристаллических, превращений состава вещества.

346 XIV. ПЕРВОЕ НАЧАЛО И УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
Кажется совершенно неожиданным и поразительным то
обстоятельство, что между тремя простыми термическими параметрами
состояния существует однозначное соответствие: ведь все тела или
количества вещества, с которыми мы имеем дело в естествознании
и в технике, состоят из громадного числа отдельных молекул.
Например, 1 м* комнатного воздуха содержит их не менее 2,7 • 1025!
Мы ничего не знаем ни о поведении, ни о судьбе отдельных
молекул. Ни для одной из них отдельно мы ни в какой момент времени
не можем установить наблюдением ни местонахождения, ни величины
скорости, ни ее направления. Для единичной молекулы теряют смысл
понятия о температуре и давлении. Измерять можно только
относящиеся к совокупности молекул величины трех параметров
состояния (Хизхапйз^гОбе) V, р и Т.
Кроме простых термических параметров состояния, существуют
еще и другие параметры состояния *); из них, кроме внутренней
энергии Ц, мы познакомимся с энтальпией У, энтропией 5 и свободной
энергией Р. Всегда достаточно знания немногих параметров
состояния, чтобы в учении о теплоте охватить все измеримое и
наблюдаемое в количественной взаимосвязи.
§ 140. Внутренняя энергия V и первое начало. Следуя
установившемуся обычаю, мы обозначим подведенную к системе энергию
в форме тепла через -\-С}. Часть этой энергии может совершить
внешнюю работу -(- А, т. е. оказаться отведенной наружу.
Напомним о паровой машине, увеличении поверхности (см. поверхностная
работа, § 78) или отдаче электрической энергии, например у
термоэлемента. Остаток энергии, подведенной в форме тепла, может
запасаться внутри системы как внутренняя энергия V (стр. 342)
и увеличивать ее на величину Ыи. В форме уравнения имеем:
в общем случае
для частного
случая работы
расширения
энергия,
подведенная в форме тепла
(не параметр
состояния)
рйУ
энергия, отданная
в форме внешней
работы (не
параметр состояния)
Ш.
I приращение вну-
, I тренней энергии
~Г 1 (параметр
состояния)
B89)
B90)
По старому обычаю отрицательные знаки обозначают энергию,
отданную в форме тепла, уменьшение внутренней энергии, но
получение внешней работы (например, посредством сжатия тела).
Уравнение B89) часто называется первым началом. Но в
действительности это — уравнение, определяющее внутреннюю энергию, до сих пор
введенную лишь качественно (стр. 342) и притом только для приращения
1) Автор называет другими параметрами состояния (II, 7, 5, Р)
величины, которые в нашей литературе принято именовать функциями
состояния (Прим. ред.)

§ 140. ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ V И ПЕРВОЕ НАЧАЛО
347
(как, например, в отношении потенциальной энергии в механике). Первое
начало выражает исключительно то, что внутренняя энергия есть параметр
состояния. Оно гласит: пусть нам дана система в состоянии 1, определяемом
параметрами р1г Ть ... Вследствие притока или отдачи количества теплоты (^
и совершения внешней работы А (любого рода) система проходит последо-
Давлениепара кшопонд/смг
ватт-сен / /у ш 225ИиА°!1ал
05 КГ
О 100 200 300 374°С
Температура
Рис. 478. Удельная теплота
испарения составляется из внутренней
и внешней теплоты испарения.
Выше критической температуры
Г=374°,2 С жидкость и пар
тождественны (§ 155).
О
100 200 300 374 °С
Температура
Рис. 479. Для получения
насыщенного пара из воды с
температурой 0° С требуется теплота
парообразования. Ее удельное
значение /., т. е. отнесенное к единице
массы, составляется из двух
частей: удельной теплоты жидкости д
для увеличения температуры от
0°С до Т и удельной теплоты
испарения г, идущей на
превращение воды при температуре Т
в насыщенный пар при той же
температуре.
вательносостояния 2, 3, ... Наконец, она возвращается в исходное
состояние 1. Тогда экспериментально находят во всех без исключения случаях, что
сумма всех подведенных и отданных количеств теплоты равна сумме
совершенных системой и над системой работ. При всех изменениях состояния
системы энергия не теряется и не возникает. Внутренняя энергия в конце
процесса в состоянии 1 точно такая же, как и в начале процесса. Она
определяется только параметрами состояния (р, Т, ...).
Для измерения прироста внутренней энергии с помощью
уравнения B90) разложим теплоту испарения количества жидкости на
две части: на внутреннюю и внешнюю теплоту испарения. Пусть
данное количество жидкости испарится при постоянном давлении,
а именно, давлении ее насыщенных паров (давлении насыщения}
(рис. 469). Разложение можно произвести на основании уравнения
,290) следующим образом:
энергия,
подведенная в
форме
теплоты ^
С увеличение
I внутренней
•{ энергии
I превраш
1С иу I
[ней I I
при \-|-
ении I
жидкость-> пар)
работа вытеснения
== Р \Уп&у •'жидкость)

348 XIV. ПЕРВОЕ НАЧАЛО И УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
или после деления на массу данного количества жидкости
удельная ] г удельная внут- 1 / удельная внешняя
теплота > = { ренняя теплота [ —|— ■! теплота испаре- B91)
испарения г I I испарения р ) I ния ф
Внутренняя теплота испарения есть приращение Д^ внутренней
энергии V при переходе жидкость —>• пар. За ее счет прежде всего
увеличивается потенциальная энергия молекул. Внешняя теплота
испарения необходима для работы вытеснения насыщенных паров,
чтобы освободить место для вновь образующегося пара (рис. 478).
Соответствующее разложение можно было произвести и для так
называемой теплоты нагревания жидкости, т. е. для теплоты,
которой можно нагреть данное количество воды от 0°С до какой-либо
определенной температуры. Но это не
имеет никакого практического смысла.
В этом случае работа вытеснения
никогда не достигает 1°/0 от внутренней
энергии количества воды. Имеет,
однако, смысл сложить эту теплоту
нагревания жидкости с теплотой испа-
Рис. 480. К совершению рабо- Рения для Т0Г°> чтобы получать «теп-
ты текущим рабочим вещест- лотУ парообразования». Это сдела-
вом. Значение М пояснено в но на рис. 479.
тексте мелким шрифтом. Про- § 141. Параметр состояния эн-
текающее рабочее вещество тальпия Л. Как уже указывалось, во
имеет при входе в М объем У\ з з >
и давление а. при выходе из М многих применениях учения о теплоте
объем К3 и давление р2- рассматривается работа
протекающего (сменяющегося) рабочего
вещества. Все процессы подобного рода можно свести к схеме,
изображенной на рис. 480: определенное количество рабочего вещества
течет из цилиндра / через машину или аппарат М в цилиндр //.
Оба нагруженных поршня должны наглядно изображать поддержание
постоянных давлений в цилиндрах.
М может, например, быть паровой машиной любой конструкции или
машиной, работающей сжатым воздухом. Обе отдают наружу техническую
работу Лтехн • М может быть компрессором и подводить к данному количеству
рабочего вещества техническую работу — ^техн • М может быть мешалкой
и повышать температуру; при этом энергия сообщается веществу в форме
работы. Но М может быть также нагревательным или охлаждающим
приспособлением, сообщающим или отнимающим энергию в форме теплоты.
Наконец, различные возможности могут быть объединены: например,
компрессор может быть соединен с охладителем.
Для рассмотрения процессов со сменяющимся рабочим веществом
введено понятие технической работы. Из определяющего
уравнения B88) на стр. 345 следует:
А - Ат — ргУх + Р2У2, B92)

§ 142. ДВЕ УДЕЛЬНЫЕ ТЕПЛОТЫ Ср И С9 349
Это значение А подставим в уравнение B89), т. е. С2 = и2— ^ 4 ^»
и получим:
<Э = 1Г2—и1-{-АТт — р1У1-\-р2Уг B93)
или
<2 = (и2 4 р2у2) — (их 4 РхУх) 4- ^техя. B94)
и, р и V — параметры состояния. Следовательно, их функциями
являются суммы, стоящие в скобках. Этим суммам дано название
энтальпии У. Следовательно, по определению
У = V + рУ.
энтальпия = внутренняя энергия + работа вытеснения
B95)
Энтальпия—новый, часто употребляемый энергетический параметр
состояния 1). Ее применяют прежде всего в случае текущего
рабочего вещества, тогда как в случае несменяющегося рабочего
вещества употребляют внутреннюю энергию V'. После введения энталь-
2
пии У и технической работы Лтехн = — \ V йр уравнение B94) пе-
1
реходит в форму
<3 = ду — \у ар.
пч B96)
энергия, подве- ] [ отданная (I) ч '
денная в форме \ == I прирост эн- | __|_ I наружу техни-
теплоты ) I тальпии | [ ческая работа
Пример применения: пусть пар образуется при давлении
насыщения, тогда р постоянно (рис. 469). При постоянном р имеем
I V с1р — 0. Следовательно, получим из B96) С2 = Ю. В словесной
форме: энергия, подведенная в форме теплоты для испарения, или,
коротко, теплота испарения данного количества вещества,
равняется вызванному испарением приросту энтальпии данного
количества вещества.
§ 142. Две удельные теплоты ср и ск. Владея понятиями
внутренней энергии V и энтальпии У, мы можем теперь дать строгое
физическое определение удельной теплоты. До сих пор мы
определяли удельную теплоту вещества уравнением
энергия, подведенная в тепловой форме (? /977"*
масса М • прирост температуры № ' ^ '
Подведенная в форме теплоты, например с помощью
электрического нагревателя, энергия находит себе при постоянном объеме
или при постоянном давлении совершенно различное применение.
1) См. сноску на стр. 346, {Прим. ред.)

350 XIV. ПЕРВОЕ НАЧАЛО И УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
При постоянном объеме, обеспечиваемом достаточно жесткими
стенками сосуда, температура поднимается и в результате увеличивается
только внутренняя энергия V данного количества вещества. В
случае же постоянного давления данное количество вещества имеет
возможность с повышением температуры расширяться. Кроме
увеличения внутренней энергии, теперь совершается еще работа
вытеснения. Другими словами: при постоянном давлении роль
внутренней энергии V переходит к энтальпии 3-={] -\-рУ~.
Соответственно следует определить два вида удельных теплот.
Во-первых, удельная теплота сю при постоянном объеме
прирост сШ внутренней энергии
прирост аи внутренней энергии \
масса М количества вещества • прирост температуры ЛТ) _ССЩ8{.' '
или
ср
Во-вторых, удельная теплота ср при постоянном давлении
прирост энтальпии (М
ср \масса М количества вещества • прирост температуры &т) оопвЬ
или
Разность обеих удельных теплот вычисляется по формуле
1 Г , /*Л М6У-, Bд9)
Вывод. Согласно определению энтальпия ^~^^-\-рV. Следовательно,
вместо B98) можно написать:
Вообще говоря, внутренняя энергия I] тела или количества вещества зависит
как от Т, так и от V. Поэтому получаем:
^„, /Гтш ;5тт) ^, C00
откуда
Из уравнений B97), C00) и C02) вытекает уравнение B99).
Таковы строгие определения удельных теплот. Для осмысленного
сравнения удельных теплот различных веществ необходимо
пользоваться индивидуальными единицами массы, например киломолями.
Тогда при различных по количеству веществах мы будем иметь

§ 142. ДВЕ УДЕЛЬНЫЕ ТЕПЛОТЫ Ср И
351
дело с одинаковым числом молекул: при пользовании киломолями,
например, с количествами 6,02 • 1028 молекул. Для перечисления
пользуются соотношением
1 д;г = -__ каломоль B68) (ср. стр. 330)
Основные опыты по определению удельных теплот (§ 135)
производятся в области комнатных температур. С помощью
электрического нагревания можно эти опыты легко провести и в других
-200
±200 ±400
±800 V
вшпт-сек
шомольград
2-Ю4
РЬ
{ /
11
]{
Ь
/
/
Алмаз
в
4
V;
г
200 ШГ 600
Температура
1000 1200 "К
Рис. 481. Удельная теплота ср в ее зависимости от
температуры. Для «простых» веществ, как А1, Си, РЬ и алмаз,
удельную теплоту можно представить одной и той же
функцией отношения Габс/в. При этом величину в
называют характеристической температурой вещества. Для
других веществ, например графита и РЬС12, применима
такая же функция от (Та6о/в)п. Абсолютный отсчет
температуры с помощью шкалы Кельвина будет определен в § 143.
температурных областях. При этом оказывается, что удельные
теплоты даже приблизительно нельзя считать постоянными. На рис. 481
и 482 приведены типичные примеры. Удельная теплота ср
уменьшается с понижением температуры вначале медленно, потом очень
резко.
Также и удельная теплота воды не независима от температуры. Поэтому
приходится при строгих определениях удельных теплот и количеств теплоты
ограничиваться узким интервалом температур: от 14,5 до 15,5°.
Большую роль играют удельные теплоты ср и с^ газов. К
сожалению, только одна из них, а именно ср, удельная теплота при
постоянном давлении, точно измеряется. Основная схема измерительной
установки изображена на рис. 483. Стационарный поток газа
протекает по змеевику в калориметрическом сосуде. Температура газа
измеряется при входе в калориметр К и при выходе из него.
Равным образом измеряется и масса М протекшего количества газа.

352 XIV. первое начало и уравнение состояния идеальных газов
Отданное в калориметре и измеренное по повышению температуры
количество теплоты равно срМ(Тг — Г2). Измерения подобного рода
относятся к задачам практикума, а для демонстрации они
утомительны. Табл. 9 дает некоторые измеренные таким способом
удельные теплоты.
Таблица 9
Гяз
Не
н2
К2
со2
МН3
Воздух
Плотность
при 18°С и
р — \ кило-
понд-см3,
кг/м3
0,162
0,082
1,13
1,30
1,99
0,69
1,17

Молекулярный
вес (М)
4
2
28
32
44
17
29
У
ср
дельная теп.
съ
ккал/кг-град
1,25
3,41
0,248
0,219
0,201
0,498
0,240
0,755
2,42
0,177
0,157
0,156
0,384
0,171
юта при 18°
СР
С
ккал/киломоль-град
5,00
6,90
6,95
7,00
8,85
8,49
6,96
3,02
4,89
4,95
5,02
6,87
6,54
4,96
1,66
1,41
1,40
1,40
1,30
1,29
1,40
Измерение сг, удельной теплоты при постоянном объеме, очень
трудно. Теплоемкость сосуда больше, чем теплоемкость заключен-
.оис
100 200 300
Температура
400 К
Рис. 482. Влияние температуры на удельную
теплоту ср органических веществ.
ного в нем исследуемого газа. Поправочные величины, вообще говоря,
больше, чем измеряемые величины. Этого можно избежать лишь
в том случае, если ограничить продолжительность измерения очень

§ 143. ТЕРМИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ 353
малым промежутком времени (меньше 10" сек.). Поэтому для
определения с„ пользуются преимущественно косвенным способом.
Измеряют отношение х = е^/Су и вычисляют с его помощью с^ по
известному ср. Таким образом получим величины, приведенные
в табл. 9.
Для измерения х = ср1сп существует несколько хороших способов.
Целесообразно привести их несколько позднее.
Электрический
обогрев
Газометр
Рис. 483. Схема к измерению удельной тепло;ы
газов при постоянном давлении. Газометр (газовый
счетчик) работает следующим образом: в слегка
конусообразной расширяющейся стеклянной трубке
находится вертушка с короткими пропеллероподоб-
ными крылышками. Чем больше объем
протекающего в единицу времени газа, тем выше поднимается
вертушка.
§ 143. Термическое уравнение состояния идеальных газов.
Абсолютная температура. Исследование газов пролило свет ча
область тепловых явлений, в особенности в связи с термическим
уравнением состояния идеальных газов. Мы уже познакомились с
«законом идеального газа» для частного случая постоянной температуры.
Он гласит: для идеального газа при постоянной температуре
частное: давление/плотность, или произведение: давление на удельный
объем, постоянно. Или в виде уравнения
р ^ 8 М
A70—172)
(р— давление, М — масса количества газа, заключенного в объеме V,
р — М/У плотность газа п У8 — 1/р = У/М — удельный объем газа).
В случае воздуха при 0° С экспериментально найдено, что частное:
давление/плотность, равно
/рУ \ .7 74
\ Л1 /о° с ' '
атм
кг
00 4
киломоль
99 4
»
л - атм
моль
Эти частные: давление/плотность, были измерены в широких
интервалах температур и не только для воздуха, но и для многих
других идеальных газов. Некоторые результаты приведены на рис. 484.
В верхней части рисунка в качестве единицы массы взят килограмм;

A6)
354 XIV. ПЕРВОЕ НАЧАЛО И УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
для всех идеальных газов на этом чертеже получились прямые линии;
наклон этих прямых меняется от газа к газу, но продолжения их
пересекаются с осью абсцисс в одной и той же точке, а именно
при —273,2°.
В нижней части рисунка применяются индивидуальные единицы
массы, а именно киломоли. Это приводит к значительному
упрощению: теперь наклон прямых
оказывается для всех
идеальных газов одинаков; через
точки, полученные путем
измерения с различными
газами, можно теперь
провести только одну общую
прямую. Ее точка
пересечения с осью абсцисс
остается прежней: —273,2° С.
Тем самым — 273,2° С
уста</Щ
B8)
D4)
м3атм
тгамоль
%го
навливается в качестве
особой температуры. Ее
принимают за нулевую точку
новой температурной
шкалы, оставляя величины
градусов неизменными. Новая
-300 -200 -то д юо 200 зоо 400"с температура, называемая
2
73.2
Твмпвратура
О ЮО 200 300 400 500 600 К
Абсолютная температура
Рис. 484. К уравнению состояния идеаль-
абсолютной температурой,
определяется равенством
Габ0 = Т-\- 273,2°.
Рис. 484. К уравнению состояния идеаль
ного газа и к определению абсолютной Например, комнатная темпе-
температуры. Маленькие числа в скобках ратура Т =18° С записы-
на краю верхней части рисунка — молеку- вается как Габ0 = 291,2°
лярные веса газов. Следовательно, напри- т ОП1 пО1/
мер, для Ы2 1 каломоль = 28 кг. Атм- или> к°Роче> Г ==291,2 К
физическая атмосфера. (читай: градусов Кельвина).
Шкала Кельвина нанесена
на рис. 484 под осью абсцисс. С помощью абсолютных температур
можно результаты наблюдений (рис. 484) выразить в особенно
простой форме. В качестве термического уравнения состояния
идеального газа получается:
М
или
C03)
-*-масса заключенного в объеме V количества газа).

§ 143. ТЕРМИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ 355
Часто употребляются также выражения
Р =
або
C04)
C05)
, = У/М — удельный объем и р = М/У—плотность газа).
Коэффициент пропорциональности /? называется газовой
постоянной. Он определяется экспериментально по наклонам прямых на
рис. 484. Численное значение /? зависит от выбора единицы массы М,
плотности р или удельного объема У8.
Общая единица массы (в примерах—килограмм) дает для всех
газов различные числовые значения газовой постоянной. Напротив,
индивидуальные единицы массы (в примерах — киломоли) дают для
всех идеальных газов одинаковую числовую величину газовой
постоянной; экспериментально найдено:
= 0,0821
киломоль • град
= 8,31 . 10»
вт'сеК
киломоль • град
C06)
атм — физическая атмосфера. Числовой пример применения уравнения C03):
Молекулярный вес кислорода (М) = 32; поэтому для него 1 киломоль =
= 32 кг. Количество кислорода, массой М = 64 кг =2 киломоля, занимает
при температуре 27° С, т. е. при Та6о = 300°, объем V = 300 л = 0,3 м\ Как
велико давление кислорода? Решение.
если взять за единицу массы киломоль и Я = 0,0821
р—
V
^
киломоль • град
2 киломоль - 0,0821 м3- атм -300 град
з-^-о—5
киломоль • град 0,3 мъ
то
— 1о4 атм.
или, если массу выражать в килограммах и
0,0821 м*-атм
К~ 32 кг- град '
64 кг • 0,0821 м* • атм ■ 300 град
32 кг.град-0,3*3 =
V
= Ш атм.
В уравнении состояния идеального газа C03) М есть масса
молекул, содержащихся в объеме V. Пусть масса отдельной молекулы т,
число молекул п в объеме V, масса всего газа М = пт. Эту
величину подставим в уравнение C03) и для краткости обозначим тК. = к.
Получим тогда четвертое выражение для уравнения состояния
идеального газа, а именно:
РУ =
C07>
(п — число молекул, заключенных в объеме V).

356 XIV. ПЕРВОЕ НАЧАЛО И УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
Вновь введенная здесь постоянная к, равная произведению
в противоположность /? и т одинакова для всех газов: масса
молекулы т = М/п равна обратной величине удельного числа молекул
/У=/г/М = 6,02 . \0™/киломоль (§ 133).
,, . о пикт о 01 1 т вт-сек 1 киломоль
Итак, к = Нт = #/N=8,31 • 103
киломоль
6,02 • 102с
или
— В,т = /?/ТУ — 1,38 • 10 *" вт-сек/град
= я/Л4 — удельное число молекул, равное 6,02
1
у

C08)
; т = М/п —
масса одной молекулы, равная ТУ = 1 киломоль/6,02 • 1028).
Универсальная постоянная к обычно называется постоянной
Больцмана (обоснование в § 181).
Согласно уравнению C07) давление р в объеме V при заданной
температуре определяется только числом п молекул, но не зависит
от рода молекул. Благодаря этому
выводится закон Дальтона
сложения парциальных давлений. Мы
поясним его при помощи рис. 485.
Два разных газа (химически
друг с другом не реагирующие)
помещены в две одинаковые по
величине камеры с давлением р±
и р2. При помощи поршня газ
из одной камеры выталкивается через клапан в другую, температура
п.ри этом поддерживается неизменной. Результат: во второй камере
теперь устанавливается давление р = р1-\- р2. Оба давления, рх и р2,
складываются как «парциальные давления» в общее давление р.
Пример к закону Дальтона: при температуре человеческого
тела, т. е. при —(— 37°С, давление воздуха р в легких человека на
уровне земли слагается из следующих парциальных давлений *):
Рис. 485. Схема к сложению
парциальных давлений.
Газ
Парциальное
давление = . . .
Азот
56,8

Кислород
10,5
Углекислый
газ
4,0
Водяной пар
4,7 см рт. ст.
М Воздух в легких значительно богаче СО2, чем внешний воздух.
Отношение СО2 и О2 достигает почти 0,4.-На больших высотах человек дышит
глубже и быстрее. Тем не менее, это отношение увеличивается с высотой,
так как тело человека даже на больших высотах производит в единицу
времени столько же углекислоты, как и у поверхности земли. Поэтому нельзя,
основываясь ли нь на физических соображениях, определять состав воздуха
в легких на различных высотах.

§ 144. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЕКУЛЯРНОГО ВЕСА (М) ПО ПЛОТНОСТИ ПАРА р 357
На высоте 22 км давление воздуха равно лишь 4,7 см рт. ст.
Но такую же величину имеет при температуре тела давление
насыщенного пара воды. Поэтому парциальные давления других газов
в легких равны нулю. Легкие человека, следовательно, могут быть
наполнены лишь водяными парами и, значит, дыхание невозможно.
При еще меньших давлениях внутри человеческого тела должно
происходить кипение, так как давление водяных паров будет больше
давления воздуха.
Кипение означает образование пузырьков пара внутри жидкости.
Оно наступает, когда давление насыщенного пара достигает
производимого на жидкость внешнего давления, т. е., например,
атмосферного давления. Это приводит вместе1 с "законом Дальтона к двум
удивительным демонстрационным опытам.
1. При нормальном давлении воздуха вода кипит при 100° С,
а четыреххлористый углерод (СС14)—при 76,7° С. Наливают
осторожно воду на СС14 так, чтобы они не перемешались, и нагревают
в водяной бане; тогда кипение на границе раздела жидкостей
начинается уже при 65,5° С! Причина: при этой температуре давление
паров воды ^ 192 мм рт. ст., а давление паров СС14 568 мм
рт. ст. Оба эти давления должны сложиться по закону Дальтона
как парциальные и дают вместе 760 мм рт. ст., поэтому начинается
образование пузырей и кипение.
2. Погружают пробирку открытым концом в мелкую тарелку
с эфиром. Моментально из этой пробирки начинает выходить
пузырьками воздух: он вытесняется парциальным давлением паров эфира.
§ 144. Определение молекулярного веса (М) по плотности
пара р. Из бесчисленных применений уравнения состояния идеальных
газов мы приведем одно особенно важное для химии и физики,
а именно, определение числа, называемого молекулярным весом, по
плотности пара. При достаточно высоких температурах уравнение
состояния идеальных газов справедливо и для всякого
парообразного вещества
рУ = МКТяШ или р = 9КТй6о C05) (стр. 355)
(М — масса количества пара, находящегося в объеме V, р = М/У—плотность
пара при давлении р и температуре Табс).
Подставляя вместо газовой постоянной ее измеренное значение
/? = 0,082 л'апгм C06) (стр. 355)
моль - град ' ч / ч г /
используем для индивидуальной единицы массы определение
1 моль = (М) г B68) (стр. 330)
и получим для молекулярного веса (§ 133)
л • атм рТаЛп
(Ж) = 0,082 -з- • ^-^1. C09)
4 ' г • град р ч '

358 XIV. ПЕРВОЕ НАЧАЛО И УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
Чтобы определить молекулярный вес (М) вещества в парообразном
состоянии, нужно, следовательно, каким-нибудь способом измерить
его плотность р (например рис. 229) при известных давлении р
и температуре Тйбо-
Числовой пример для ССЦ- При давлении р А 70 см рт. ст. и
температуре Т^0 — 2>ЬЪ° измерили р = 4,95 г/л. Далее, 1 атм Д76 см рт. ст.
Подставляя эти величины в уравнение C09), находим:
-76с*рт.ст. 4,95 *. 350
= 0,082
= 155.
г • град л «70 см рт. ст.
§ 145. Абсолютный нуль температуры. Температуру — 273,2°С
часто называют точкой абсолютного нуля температуры. Это
название, как показывает опыт, приводит к многочисленным, часто
комическим недоразумениям. Для предупреждения таковых мы приведем
следующую шутку.
Пусть для статистических целей поставлена задача определить
массу большого числа мужчин приблизительно одинакового возраста.
Для взвешивания заготовляются стандартные гири с массами: ... 68 кг,
69 кг, 70 кг, 71 кг ... Однако эти «большие» числа оказываются
неудобными. Поэтому, — возможно даже опираясь на историческую
традицию,— надписи на всех гирях делаются на 70 кг меньше.
На гире в 70 кг делается надпись 0 кг, в 71 кг—надпись -|- 1 кг,
в 69 кг — надпись — 1 кг и т. д. При таком клеймении гирь по
килограммовой шкале массы всех мужчин оказываются в общем
между — 10 кг и -\- 10 кг.
Эту удобную для специальной цели систему клеймения гирь
распространим затем и на взвешивание других объектов. При этом
получается следующая таблица:
Старые
обозначения
Новые
обозначения
100 кг
+30 кг
10 кг
—60 кг
1 кг
—69 кг
10 кг
—69,9 кг
1<Г8 кг
—69,999 кг
10 6 кг = 1 мг
—69,999999 кг
При переходе ко все уменьшающимся массам мы асимптотически
приближаемся к предельному значению —70 кг, абсолютному нулю
массы! Это сравнение показывает достаточно четко, почему
целесообразно шкалы для масс, температур, давлений и т. д. начинать
с нуля и пользоваться только положительными величинами.
§ 146. Калорическое уравнение состояния идеальных газов.
Дроссельный опыт Гей-Люссака. Употребляемые наряду с
простыми термическими параметрами состояния р, V и Т другие
параметры *) состояния, в том числе внутренняя энергия С/ и энтальпия У,
зависят от параметров р, V и Т. Эта зависимость выражается
1) См. сноску на стр. 346. (Прим. ред.)

§ 146. КАЛОРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ 359
с помощью «калорических» уравнений состояния, в которых всегда
один из трех параметров состояния выражается через два других.
Вообще, следовательно, калорические уравнения состояния
содержат два простых параметра состояния.
Чтобы получить, например, зависимость внутренней энергии от
температуры используют уравнение C02) на стр. 350. Оно
содержит зависимость внутренней энергии некоторого количества вещг-
ства от занимаемого им объема при температуре, которая перед
началом процесса и после его окончания
одна и та же (несмотря ни на какие
изменения в течение процесса). Итак, используется
величина (-гтт) . предел (хтг)
\ О V /Т—сопъХ \йк /Т=соп81
Эта величина должна для каждого вещества
определяться экспериментально. Для
измерения Ш служит уравнение Ш = 0. — А
B89) стр. 346.
При этом для газов можно
использовать установку, схематически изображенную
на рис. 486. Два стальных баллона I и. II
находятся в водяном калориметре
(термометр, тепловая изоляция и мешалка не
изображены). В баллоне / заключено некоторое
количество воздуха под высоким давлением п .о,. п
, игл \ * тт ^ Рис. 486. Дроссель-
(например 150 атм), баллон //—пустой. ный ОПЬ1Т Гей-Люссака
При открывании крана в соединительной
трубке у данного количества газа
уменьшаются давление и плотность без отдачи
наружу работы А (коротко — внешней
работы). Такое разрежение называют
дросселированием. При А = 0 уравнение B89) страционный опыт. Для
упрощается: Ш = С}. & словесном выраже- каждого из баллонов
нии: при дросселировании полученная или
отданная для поддержания постоянной
температуры теплота С? определяет появляющееся изменение
внутренней энергии и при разрежении.
В эксперименте температура калориметра остается после
разрежения неизменной. В целом поэтому данное количество воздуха
при его разрежении никакой теплоты калориметру не отдает и от
него не получает. Тем самым находим ^ = 0 и Ш = 0. Это значит,
что внутренняя энергия данного количества воздуха при таком
разрежении не изменилась. Внутренняя энергия II некоторого
количества идеального газа при постоянной температуре от
объема, давления и плотности не зависит. Или в виде формулы
№) =о.
\ОУ /Т=СОП5*
A807): внутренняя
энергия данного количества
идеального газа не
зависит от его объема и
плотности. Наверху —
схема, внизу — демон-
ад ано
V = 2 л; М = 4,52 кг;
теплоемкость 0,&ккал1град.
(ЗЮ)

360 XIV. ПЕРВОЕ НАЧАЛО И УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
В демонстрационном опыте можно процесс дросселирования
проследить несколько подробней. Используют сами баллоны в качестве
калориметров, присоединяя к каждому из них по электрическому
термометру. При открывании крана в соединительной трубке
воздух в баллоне / расширяется: создается струя воздуха и при этом
совершается работа ускорения А. Эквивалентное количество тепла
B отнимается от стенок баллона /, температура его падает на ДГ/.
Кинетическая энергия струи в баллоне // из-за образования вихрей
и внутреннего трения превращается в тепло; поэтому температура
баллона // повышается на Д7\/. Практически оказывается Д7> = ДГ//,
в примере яг;7 град. Следовательно, теплота, поглощенная
воздухом в баллоне /, раана теплоте, отданной им в баллоне II. Поэтому
данное количество воздуха в этом демонстрационном опыте в общем
не поглотило никакой теплоты.
Из дроссельио! о опыта Гей-Люссака мы выведем два следствия.
1. Внутренняя энергия V идеальных газов не содержит никакой,
зависящей от расстояния между молекулами, потенциальной
энергий. Поэтому в идеальных газах можно силы взаимодействия между
молекулами считать исчезающе малыми и пренебрегать ими.
2. Внутренняя энергия V идеальных газов зависит только от
температуры; т. е. не от двух, а лишь от одного параметра
состояния. Следовательно, в уравнении B97) на стр. 348 мы можем
вычеркнуть условие 1/ = сопз(, а в уравнении B98), стр. 348,
вычеркнуть условие р =* сопз!, так как рУ также зависит только
от температуры. Тогда мы получим:
Мс„=-^г, или и = Мс9Т+и0 C11)
и
Мср==-~г, или ^ = МсрТ-{-^0. C12)
Каждая энергия может отсчитываться от любого, условно
установленного начального уровня; вспомним, например, о
потенциальной энергии поднятого камня. Также мы можем условиться, что (Уо
и 70—внутренняя эьергия и энтальпия данного количества
идеального газа равны нулю при температуре абсолютного нуля *). Тогда
мы получим для идеального газа два простых калорических
уравнения состояния:
внутренняя энергия Ц = МспТаьс, C13)
энтальпия У =МсрГабс. C14)
*) Величина постоянной ^/0, т. е. внутренняя энергия вещества при
абсолютном нуле теперь хорошо известна. Она равна массе, умноженной на ква-
дрл скорости света (см. «Электричество», § 173). С/$, следовательно, очень
велико. Для | киломоля водорода (т. е. для 2 кг) она равна 1,8 • III7 аш-сек =
= 5 • Ю10 квт-%.

§ 147. ИЗМЕНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ 36/
Не следует забывать допущенное существенное предположение: при
интегрировании исходных уравнений C11) и C12) мы приняли ср и су за
постоянные величины.
Энтальпия У и внутренняя энергия V различаются только на
величину рУ. Для идеального газа, количество которого имеет
массу М, эта величина равна рУ = /ИУ?Габс. Следовательно, мы
имеем:
М (ср — сь) Габс =
или
С/п С л* /\ •
C15)
В словесной форме: для всякого идеального газа разность его
обеих удельных теплот равна его газовой постоянной.
Числовой пример для кислорода: молекулярный вес (/И) = 32,
поэтому 32 кг = 1 киломоль.
Принимаем за единицу массы килограмм, тогда
съ—с9 =0,219 ккал —0,157 ккал =0,062 ккал
кг•град ' кг•град ' кг•град
= 1,!
киломоль • град
или, принимая за единицу массы киломоль,
„ „ __ 1 пл ккал (- 02 ккал
*"*' г> ' киломоль • град ' киломоль • град
= 1,98
^^ ;г = Я.
киломоль • град
Если энергия в левой и правой частях уравнения C15)
измеряется в различных единицах, например, в левой в килокалориях,
а в правой в ньютонметрах, то отношение (ср — сьIН дает
множитель перехода от одних единиц энергии к другим. Именно таким
образом Роберт Майер впервые определил этот множитель, что
в свое время было исключительно выдающимся достижением.
§ 147. Изменения состояния идеальных газов. Наряду с
термическими и калорическими уравнениями состояния для идеальных
газов на третьем месте должны быть поставлены уравнения для
изменений состояния. Эти изменения изображаются обычно на рУ/М-диаграм-
мах, а уравнения изменений состояния выражают зависимость между
дв^гмя простыми параметрами состояния. Эти величины во всем рас*
сматрчвяемом количестве газа должны изменяться одинаково;
следовательно, не должно возникать, как это неизбежно бывает при
больших скоростях, местных разностей температур, давлений и
плотностей. К сожалению, только для предельного случая идеальных
газов эти уравнения обладают достаточной простотой. В этом
случае различают, вообще говоря, пять изменений состояния.

362 XIV. ПЕРВОЕ НАЧАЛО И УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
I. Изотермическое изменение состояния. Оно происходит при
поддерживаемой постоянной температуре. Его уравнение нам уже
известно под названием закона идеального газа
откуда
1~
р_
V
A70) (стр. 186)
C16)
Нам также известно, как возникает давление вследствие
беспорядочного теплового движения.
Графически уравнение A70)
выражается гиперболами. Одна такая
кривая, называемая «изотермой»,
изображена на рис. 487.
Переход от какого-либо состояния 1
к другому состоянию 2, т. е.
изотермическое расширение,
сопровождается внешней
работой А. При этом внутренняя
кшюмаль энергия V данного количества газа
остается без изменения. Поэтому
Рис. 487. Изотерма при -\-ТГС. отдаваемая наружу работа А
должна возмещаться подводом
энергии в тепловой форме. Количественно имеем как для работы
расширения, так и для технической работы
Объем У/лрсса М)
А =<Э =АГ#Габ01п -^ =
C17)
Вывод:
\ р=М
або
V
2
Гау —
Л V -
Итак, вся энергия (?, подводимая в тепловой форме к
количеству газа массы М, превращается во внешнюю работу.
В качестве примера применения рассмотрим изотермически
работающий пневматический двигатель. Для этого достаточно взять
игрушечную машину (рис. 488). Сжатый воздух поступает из баллона.
Цилиндр двигателя так обогревается электрическим нагревателем, что
выходящий воздух имеет такую же температуру, как и входящий.
Способ действия изотермически работающего пневматического
двигателя часто плохо представляют. Сжатый в баллоне воздух

§ 147. изменения состояния идеальных газов 363
уподобляют сжатой пружине, которая при расширении снова отдает
запасенную энергию. Это сравнение неправильно. Воздух практически
ведет себя, как идеальный газ. Внутренняя энергия порции газа при
постоянной температуре не
зависит ни от давления, ни от
плотности. Следовательно, мотор
совершает работу не за счет
внутренней энергии сжатого воздуха.
При изотермическом ослабле- Огпбаллона
нии напряжения пружины не сжатого воздуха 1\
играет никакой роли тот факт, _. .оо „
1 * " т > рис 488. Пневматический двигатель,
что пружина при этом получает Для обеспечения изотермичности ци-
незначительное количество теп- линдр окружается электрическим на-
лоты из окружающей среды. На- гревателем.
против, при изотермическом
расширении сжатого воздуха может быть совершено ровно столько
работы, сколько энергии в тепловой форме будет подведено из
окружающей среды (например за счет нагревателя).
Вместо того чтобы применять уравнения C17), можно взять также схему
рис. 480; но при этом следует представить, что сосуд // заменен свободной
атмосферой. Тогда уравнение B96) на стр. 349 гласит:
— С
С) — и. B96)
отданная | ( энергия в форме теплоты, \ ( прирост энтальпии дан-
двигателем I I подведенная к данному I I ного количества рабочего
наружу \ = < количеству рабочего ве- > —  вещества при протекании
техническая | | щества из окружающей I I его через машину
работа ] ( среды )
Энтальпия любого количества воздуха при постоянной температуре есть
величина постоянная [уравнение C14)]. Следовательно, Д/ = 0 и из
уравнения B96) получается:
= <Э, C18)
или, в словесной форме: вся техническая работа, отдаваемая наружу
изотермически работающим пневматическим двигателем, получается совсем не
из сжатого воздуха. Она совершается за счет энергии, получаемой
двигателем в форме теплоты из окружающей среды (например от нагревателя).
Для компрессора имеет место обратное. Если сжатие воздуха
происходит при поддержании постоянной температуры, то вся работа,
совершенная в компрессоре на сжатие посредством рабочей машины,
отдается в форме теплоты охлаждающей воде компрессора.
Рассмотрение изотермического пневматического двигателя
неизбежно приводит к вопросу: какой параметр состояния сжатого
воздуха служит мерой его работоспособности? На этот вопрос
здесь еще нельзя ответить, но позднее, в § 191, он приведет нас к еще
одному параметру состояния—свободной энергии.

364 XIV. ПЕРВОЕ НАЧАЛО И УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
II. Изобарическое изменение состояния. Оно происходит при
давлении, поддерживаемом постоянным. Уравнение изобары гласит:
або
= сопз!,
C19)
т. е. удельный объем К8 возрастает пропорционально температуре (рис. 489).
Переход от состояния 1 к состоянию 2 изображается прямой, параллельной
0
\
Изобара^
5 Ю 15- м* V
Объем У/масса М тломоль
Рис. 489. Отрезок изобары между
двумя изотермами, начерченными
тонкими линиями.
V
\ .
■Изохора
Т=886°К
5 10 15- м3
Объем V/массам
кшюмоль
Рис. 490. Отрезок изохоры между
двумя изотермами, начерченными
тонкими линиями.
оси абсцисс. При изобарическом расширении данное количество газа с
массой М совершает работу
А = р (У2 — У±) = МЯ Gя — 7\). C20)
При расширении энтальпия данного количества газа возрастает на
величину Д/= Мср(Т2—7\). и эта последняя должна быть подведена к газу
в тепловой форме. Отношение отданной работы к подведенной теплоте
равняется:
Мср(Т2-Т±) с 1
или, обозначая % =
х—1
C22)
При изобарическом уменьшении объема соответствующее количество теплоты
должно быть отведено охлаждением.
III. Изохорическое изменение состояния. Оно происходит при
постоянном объеме. Уравнение изохоры гласит:
або
= СОП5*.
C23)
Давление и температура при изохорическом изменении состояния
пропорциональны друг другу. Переход от состояния 1 к состоянию 2
изображается прямой, параллельной оси ординат (рис. 490). Необходимо подводить
анергию в тепловой форме. Она полностью используется на повышение
внутренней энергии на величину
Ш = Мс„ G\) — Тх). C2 4)
Работа не совершается, так как объем остается постоянным.

§ 147. изменения состояния идеальных газов
365
IV. Адиабатическое изменение состояния. Оно происходит без
теплообмена с окружающей средой, т. е. <3 равно нулю.
Адиабатическое изменение состояния играет в физике и технике
выдающуюся роль. При расширении давление падает не только из-за
увеличения объема, но одновременно
и из-за связанного с ним
охлаждения. Кривая, называемая
«адиабатой» (рис. 491), спадает,
таким образом, круче, чем
гипербола. Ее уравнение1) гласит:
= сопз*
C25)
(закон Пуассона).
О
5 Ю
Объем I//'масса М
киммоль
Рис. 491. Адиабата одноатомного газа
с -*.= 1,66.
Для вывода служит рис. 492.
Адиабатическое расширение можно
заменить расширением /—3 при
постоянном давлении (изобарически) и
понижением давления 3—2 при
постоянном объеме (изохорически). На пути /—3 при изобарическом увеличении
объема необходимо подвести к газу количество теплоты (}1—з — Мср йТр-оохи&.
На пути 3—2 при изохорическом понижении давления нужно от газа отвести
количество теплоты 0}з—2 = Мс^Т1)=Ооа&1. Сумма
обоих количеств теплоты должна равняться нулю, так
как при адиабатическом изменении состояния нет
теплообмена. Таким образом, мы получаем:
C26)
C27)
1
1
Ф
Л
\
' 1
V
>
Г~^1
Р-СОПЗ
Щ-сопзг
■*-
Объем V
Рис. 492. К выводу
показателя
адиабаты.
Оба изменения температуры находятся из
термического уравнения состояния идеальных газов, т. е. из
рУ = МЯТабо. Получаем:
(ат) -рау
ИЛИ
) = 00П8<1
V- 00П81
Уйр
рйУ
C28)
Далее получаем с помощью
C26)
■ = — х
V
C29)
уравнения
йр ср р
ау^~7^~у~
В словесной форме: дифференциальное изменение давления по
адиабате в ч. раз большие, чем но изотерме (уравнение C16), стр. 362).
Из уравнения C29) интегрированием получаем:
!п р -\- -л 1п У — 1п сопз!
или
рУ% = сопз{. C25)
1) Вместо объема V можно также ввести удельный объем Кв = У/М,
если массу газа М исключить из констант.

366 XIV. ПЕРВОЕ НАЧАЛО И УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
Другие уравнения, важные для адиабатического изменения
состояния, будут приведены в следующем разделе V.
V. Политропическое изменение состояния. Оно происходит
при недостаточной для адиабатического процесса тепловой
изоляции. При расширении давление падает из-за увеличения объема и
связанного с ним охлаждения.
Из-за недостаточной тепловой
изоляции охлаждение происходит
в меньшей мере, чем при
адиабатическом расширении. Вследствие
ОбъемУ/массам
этого кривая, называемая
политропой (рис. 493), спадает менее
круто, чем адиабата. Ее
уравнение
/7Уи=соп51. C30)
киломдль |1рИ несовершенной тепловой изо-
Рис. 493. Политропа многоатомного ляции нельзя показатель степени я
газа. полагать равным х, нужно ему
приписать меньшую величину.
Таким образом, вместо уравнения C29), например, можно сказать,
что дифференциальное изменение давления по политропе в п раз
больше, чем по изотерме.
С помощью уравнений
I C03)(стр. 354)
р2у2= МИ 1 ябоB) )
получаем из C30) полезные для приложений соотношения
C31)
C32)
и для отдаваемой при расширении внешней работы
п — 1
Техническая работа Лтехн в этом случае в п раз больше, т. е.
А™ =-г^тЛ^|1-1Р1 " I- C33)
Для адиабатических изменений состояния следует во всех
этих уравнениях положить п =х — с^сю. Таким образом, напри-

§ 148. измерения у = ср/с1) 367
мер, работа, отдаваемая наружу при адиабатическом расширении,
C34)
Г2).
Вывод уравнений C32) и C33):
2 2
Л-П
сете* У~п йУ =
C35)
Далее по уравнению C30) заменяем соп$1 = Р\У^ = Р?У% и преобразуем по>
уравнению C03) рУ = МДТа6а.
Из уравнения C32^ получается уравнение C33) с помощью
определяющего уравнения B88) (стр. 345).
§ 148. Примеры применения политропических и
адиабатических изменений состояния. Измерения %=ср/ск. Описанные в § 147
изменения состояния имеют большое значение для многочисленных
применений.
Мы вынуждены ограничиться лишь немногими примерами.
Рис. 494. К
измерению
показателя
политропы п.
Объем V/'масса М
Рис. 495. К измерению показателя
политропы на рис. 494.
I. Измерение показателя политропы п. Некоторое количества
воздуха (V равно нескольким литрам) заключено в стеклянный сосуд
с небольшим избыточным давлением рх A00 мм водяного столба)
(рис. 494). Кран открывают и тотчас же закрывают, как только
исчезнет избыточное давление. Расширение произошло политропи-
чески (кривая /—2 на рис. 495), тепловая изоляция стеклянного
сосуда не совершенна. Воздух охладился не так сильно, как при
адиабатическом расширении, т. е. при совершенной тепловой
изоляции. Тем не менее из сосуда улетучилась значительно меньшая часть
количества воздуха, чем при изотермическом расширении. Поэтому
давление возрастает (по изохоре 2—3), когда температура воздуха
снова поднимается до комнатной. Снова устанавливается избыток

368 XIV. ПЕРВОЕ НАЧАЛО И УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
давления /?3, в примере р^ 23 мм водяного столба. Точки 3 мы
могли бы достигнуть также медленным изотермическим
расширением. Мы должны были бы тогда выпустить лишь такое же количество
воздуха, как и при быстром политропическом расширении.
Изменения давления малы по сравнению с полным атмосферным
давлением. Поэтому как политропу, так и изотерму на рис. 495
мы можем изобразить короткими прямыми линиями. Из этого рисунка
мы возьмем
политропическое уменьшение давления (^/7)ПОЛИТ1 = А»
изотермическое уменьшение давления (Зр)твТ = Р\— Рг-
Согласно изложенному на стр. 366 отношение обеих этих величин
равняется искомому показателю политропы п. Итак,
В примере п = 1аа_оз ~ *''^' Следовательно, воздух в случае,
приведенном на рис. 495, расширялся политропически с
показателем политропы я =1,3.
II. Измерение показателя степени адиабаты. х = с^/с„ по
скорости звука. При безупречной тепловой изоляции расширение в
примере рис. 495 может быть адиабатическим. Измеренный показатель п
должен равняться тогда показателю адиабаты х воздуха, равному
1,40. В действительности часто пытаются измерять х таким путем.
Однако не так просто исключить всякий мешающий приток тепла.
Этого легче достигнуть при очень быстро протекающих процессах
расширения. Такое расширение происходит в звуковых волнах как
бегущих, так и стоячих, х можно определить, с большой
достоверностью по скорости звука. Для нее мы имеем вообще:
^ B31) (стр. 287)
Здесь р — плотность вещества, а — его коэффициент сжимаемости
(обратная величина модуля упругости), определяемый
уравнением A24), стр. 149, а—7~^7~' а для газов соответственно
йУ 1
1 ля
гак;
адиабатического
1м образом,
ос =
расшире
%
—:
ния
= -
"V
(я-_
~~ *Г
1
~ хр
ар-
у)
7'
•
согласно стр.
365
C36)
C29)
C37)

§ 148. ИЗМЕРЕНИЯ V. — Ср/Су
Подстановка C37) в уравнение B31) дает:
або
C38)
О
Числовой пример. При 18° С и р = 1 физической атмосфере =
= 1,013 - 105 ньютон/м? плотность воздуха равна 1,215 кг\м\ Измерения
скорости звука дают с = 342 м/сегс, откуда следует %= 1,40. При известной
частоте скорость звука удобно измерять с помощью стоячих
волн («пылевые фигуры Кундта», § 105).
Скорость звука с убывает с понижением
температуры (уравнение C38)].
Для военных целей охлаждают канал орудия жидким
азотом настолько, чтобы с = 170 м\сек. В этом канале
исследовали снаряд со скоростью и — 1260 м/сек, т. е. в семь раз
большей скорости звука.
III. Получение высокой температуры с помощью
политропического сжатия. НаМалайском архипелаге,
в особенности на Борнео, до появления европейских
спичек часто пользовались так называемыми
пневматическими зажигалками или воздушным огнивом
(рис. 496): поршень вдвигался в деревянный
цилиндр; при этом воздух нагревался и кусочки трута,
прикрепленные к поршню, вспыхивали. В настоящее
время используют тот же процесс в дизельных
двигателях для воспламенения вбрызгиваемого горючего.
До какой части начального объема нужно сжать
подобную смесь, чтобы достичь температуры 500° С?
Учитывая плохую тепловую изоляцию, мы будем проводить
подсчеты с показателем политропы п = 1,36.
Используем уравнение C31), стр. 366. (У1—начальный
объем, У^ — конечный объем, 7\ — комнатная температура,
равная 291° К, 72 = 773°К.)
773 = 2,66, 18 2,66 = 0,361§ Хт;
291
т. е. объем должен быть уменьшен приблизительно в 15 раз.
Рйс. 496.
Стеклянная модель
малайской
пневматической
зажигалки.
Вместо трута 5
можно
прикрепить к нижнему
основанию
поршня кусочек
ваты, смоченной
сероуглеродом
или дизельным
горючим.
Теплота,
возникающая при сжатии,
воспламеняет
смесь паров и
воздуха.
IV. Адиабатически работающий пневматический двигатель
(превматический молот).
Представим себе двигатель на рис. 488, покрыты!! хорошей
тепловой изоляцией (ватой). Нужно по возможности
воспрепятствовать притоку теплоты (^ к двигателю. Теперь
температура Т2 выбрасываемого воздуха значительно ниже
температуры 7\ втекающего. Это можно наблюдать у любого пневматического
молота.

370 XIV. ПЕРВОЕ НАЧАЛО И УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
Объяснение: в этом случае в уравнении B96) следует положить
С} —О. Получается:
— уаР = — м=мср{тх~ г2).
отдаваемая двигателем наружу! (уменьшение энтальпии данного
техническая работа | {количества воздуха при его
прохождении через машину.
Вся работа двигателя совершается за счет уменьшения энтальпии
порции воздуха. Воздух вытекает холодным и только потом
возмещает свою потерю в энтальпии за счет притока тепла из
окружающей среды.
Уменьшение энтальпии в двигателе, хорошо изолированном от
притока тепла, используется для охлаждения газов, например для
сжижения гелия. Тогда говорят о сжижении посредством внешней работы
(см. § 154). Здесь для компрессора имеет место обратное по
сравнению с двигателем. При недостаточном охлаждении работающая
машина должна увеличивать энтальпию сжатого воздуха, и
обусловленная этим избыточная затрата энергии позднее бесполезно
теряется при охлаждении сжатого воздуха в окружающей среде.

XV. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ И ПАРЫ
§ 149. Изменения состояния реальных газов и паров. Для
идеальных газов достаточно уравнения состояния, чтобы вывести
уравнения различных изменений состояния (изотермы, адиабаты
и т. д.) без новых
экспериментов. Для реальных
газов и паров это
невозможно и требуется привлечь
на помощь новые
наблюдения. Важнее всего
экспериментальное исследование
изотерм реальных газов и
паров. Во всех случаях
изотермы качественно
обнаруживают одинаковый ход.
Для СО2 можно без особых
трудностей проделать
демонстрационный опыт. На
рис. 497 приведена схема п .п„ -
аоя с> исследованию изменении со-
опыта, на рис. 4^ его стояния. Полусхематическое изображение,
результаты в виде рУ/М- 5 используется при заполнении аппарата,
диаграммы.
При температурах выше 80°С изотермы еще гиперболы. Их
можно выразить уравнением рУ/М = сопзг. При -4- 40° С наблюдается
уже вполне заметное искажение кривой. При —|— 31 °С изотерма
имеет почку перегиба с горизонтальной касательной: вблизи этой
«критической точки» давление не зависит от объема заключенного
в нем газа. Параметры состояния для этой точки носят названия
критических. Для СО2 критическая температура
критическое давление
Рщ — 75 килопонд/см2,
критический удельный объем
=0,096 мь\киломоль.

372
XV. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ И ПАРЫ
Примеры других веществ приведены в табл. 10 на стр. 377.
Ниже критической температуры явления коренным образом
изменяются. Проследим изотерму, соответствующую -(-20° С,
причем начнем с больших удельных объемов, т. е. справа снизу:
вначале с понижением удельного объема давление увеличивается до
значения 59,2 килопонд/см2 в точке [3. При дальнейшем
уменьшении объема давление остается постоянным, отрезок кривой рос.
150
100
50
-55,2
0.1 0,2 0,3
Объем I//массаМ
0.4
киламшь
Рис. 498. /?У/М-диаграмма для углекислого газа
(Томас Эндрюс, 1813—1885). При 0° С
удельный объем жидкости (УЩ)^ = 0,048 мг\киломоль
(абсцисса точки с^), а удельный объем пара
{У\М)Л = 0,46 мь1киломоль (абсцисса точки ^).
Вдоль этого отрезка кривой изменяется строение углекислоты: все
возрастающая (с уменьшением объема) доля отделяется от
остальной части поверхностной пленкой, т. е. «сжижается». У точки ос
все стало жидким и никакой поверхностной пленки больше нет.
Дальнейшее уменьшение объема приводит к резкому возрастанию
давления: жидкая углекислота значительно менее сжимаема, чем
газообразная.
Такой же ход обнаруживается и у всех других изотерм ниже
критической точки К. Конечные точки их прямолинейных
горизонтальных участков соединены слева штриховой, справа
штрих-пунктирной «пограничными кривыми». Обе кривые сходятся в точке К.
Пограничная кривая отделяет область, в которой жидкое и
парообразное состояния сосуществуют. Левее штриховой кривой
существует только жидкость, правее штрих-пунктирной пограничной
кривой — только пар. Выше критической точки К различие жидкости
и пара теряет свой смысл.
В прямолинейных частях изотерм абсциссы конечных точек,
например а и C, представляют собой удельные объемы Уя дли
жидкой и парообразной части (пример в подписи к рис. 498).

§ 150. РАЗЛИЧИЕ ГАЗА И ЖИДКОСТИ 373
Для всякого наполнения и температуры сосуда (в приведенном
примере для 0,2 мд/киломоль и 0°.С) отношение длина //длина й
выражает отношение: масса количества жидкости/масса количества пара.
При критическом наполнении, когда У/М = 0,095 м^/гсиломоль*
при 0° С имеем:
89% массы ^ 45% объема количества газа сжижены, 1 ср.
11% массы ^ 55% объема количества газа парообразны/рис. 500.
Левая пограничная кривая (рис. 498) заканчивается при давлении
5,1 килопонд\см* в точке, отмеченной кружком. Ниже этого давления
углекислота находится в твердом состоянии. Для того же давления левее кружком
отмечена еще одна точка. Третья точка находится далеко направо за
пределами рисунка на изотерме — 56,2° С. К этим отмеченным кружками точкам
мы еще вернемся при рассмотрении вопроса о тройной точке.
Для воды, являющейся и поныне важнейшим рабочим веществом,
употребительны некоторые особые обозначения. Обозначают
водяной пар в состоянии вне пограничной кривой перегретым паром,
на пограничной кривой сухим насыщенным паром, внутри
пограничной кривой мокрым паром.
Мокрый пар является смесью водяного пара с мельчайшими
капельками воды. Он представляется глазу как белый туман
или как белое облако. Перегретый или насыщенный водяной пар
так же невидим, как, например, комнатный воздух. В нем
отсутствуют мельчайшие взвешенные капельки воды, рассеивающие свет
(«Оптика», § 112). Дилетанты почти всегда связывают
представления о водяном паре только с видимым мокрым паром (туманом)»
В технике говорят об удельном паро со держании мокрого пара. Под
этим понимают отношение
масса сухого насыщенного паоа
х =
-Ыт) C39)
масса пара и взвешенных в нем водяных капелек
на рис. 498. В левой пограничной кривой х = 0, в правой х = 1.
§ 150. Различие газа и жидкости. Изотермы углекислоты
(рис. 498) приводят к некоторым важным результатам. На рис. 499
представлены только две изотермы, именно соответствующие Т,
равной 20°С и 40° С. Кроме того, нанесены пограничные кривые и
охваченная ими область заштрихована. В этой области жидкость и газ
сосуществуют. Мы начинаем с состояния а и увеличиваем объем
заключенного в нем количества углекислоты. При этом, при
постоянном давлении, возрастающая доля отделяется от остальной
части поверхностной пленкой, т. е. «испаряется». В точке 3 вся
углекислота превращена в пар и поверхностной пленки больше нет.
После этого мы повышаем температуру до —|—40°С при постоянном
объеме A/8 =0,227 мР\'киломоль) и затем сжимаем газ
изотермически до прежнего объема (Уя = 0,057 мъ\киломоль). При этом
давление возрастает до 150 килопонд1смг. Теперь при постоянном

374
XV. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ И ПАРЫ
объеме охлаждаем до -)-20°С и возвращаемся снова к исходной
точке а. Результат: мы не наблюдали никакого образования
поверхностной пленки, также не наблюдали никакого образования тумана,
т. е. выделения жидкой углекислоты в виде маленьких взвешенных
капелек. Тем не менее все общее количество углекислоты теперь
снова стало жидкостью. Она обнаруживает характерное свойство
всякой жидкости: она почти несжимаема
даже при повышении давления на
несколько сотен килопонд/см2.
Можно пройти рассмотренный
замкнутый путь в обратном направлении,
т. е. в направлении а, Ь, ^, !3, а. Тогда
мы не заметим исчезновения
поверхностной пленки и тем не менее,
начиная с точки [3, возникает новая
пленка.
Результат: вообще говоря,
переход из одной фазы в другую
происходит со скачкообразным изменением
Объем 1'/масса М
штриховая линия, справа
штрих-пунктирная.
Рис. 499. К различию между физических свойств, например, переход
газом и жидкостью. Круговой из твердого состояния в жидкое: обе
процесс между двумя изотер- фазы во всей области их существова-
мами углекислого газа, охваты- ния разделены друг от друга погра-
Г^ХТСТ °Л* ничной кривой (рис. 507 „ 508). На-
против, фазовый переход жидкость —
газ происходит непрерывно при
прохождении критической температуры.
На рис. 507 и 508 штриховая кривая оканчивается в
критической точке.
Жидкость не может существовать сама по себе, т. е. в
совершенно пустом пространствех). Поверхностная пленка не
может служить оболочкой, способной сохранять жидкость.
Поверхностная пленка только разделяет две фазы одного и того же
вещества. С ее внешней стороны должно находиться это же
вещество в "виде насыщенного пара, чистого или в смеси с
другими газами, например комнатным воздухом. Только тогда будет
равновесие. Только тогда в единицу времени переходит в обоих
направлениях, из одной фазы в другую, одинаковое число
молекул. Для воды при комнатной температуре это число округленно
равно 1022 молекул в секунду через 1 см2\ Благодаря такому
статистическому равновесию ни одна из фаз не может нарастать
за счет другой.
*) В мировом пространстве могут существовать жидкости в очень
больших массах, связанные взаимным притяжением (гравитацией). Но они в
таких случаях всегда окружены атмосферой из паров.

§ 150. РАЗЛИЧИЕ ГАЗА И ЖИДКОСТИ
375
55%
45%
I В
возрастании
В § 82 мы видели, что диффузионная граница между химически
различными газами может рассматриваться как своего рода
поверхностная пленка газа. С одинаковым правом можно теперь
рассматривать поверхностную пленку жидкости как диффузионную
границу. Она разделяет два химически одинаковых вещества в
физически различных фазах.
Все это можно хорошо продемонстрировать с помощью трех
одинаковых ампулок, содержащих различные количества СО2
(рис. 500). При повышении температуры
поверхность жидкости в ампулке / поднимается, в ам-
пулке /// опускается, в ампулке // поверхностная
пленка при критической температуре достигает сере-
дины ампулки и там исчезает; это значит, что при
критической температуре удельные объемы
газообразной и жидкой фаз стали одинаковыми: обе
фазы больше не отличаются друг от друга.
При охлаждении поверхностная пленка вновь
появляется посередине ампулки1). Ее возникновению
предшествует опалесцирующий туман; при стати-
стическом характере теплового движения фазовое р ^00 к . а_
превращение возникает то тут, то там 2). Появляются зовому превра-
маленькие, вначале неустойчивые капельки. Только щению СО2 при
при большом числе капель в единице объема они
сливаются и образуется поверхностная пленка.
При приближении к критической температуре, щается в жид-
несомненно, существует непрерывный переход жид- кость, которая
кости в газ. Но при низких температурах жидкости в конце концов
стоят значительно ближе к твердым телам, т. е. займет всю ам-
мг г пулку (с этого
к кристаллам, чем к газам. Жидкость можно рас- момента— опас-
сматривать почти как очень тонкий, микрокристал- ность взрыва!),
лический порошок; ее ^микрокристаллы имеют очень в /// все пре-
короткую продолжительность жизни; частицы
распадающихся микрокристаллов соединяются в
постоянном статистическом обмене в новые
микрокристаллы. То же самое можно выразить следующей переход при
формулировкой: жидкость есть кристалл в состоя- критической
/ температуре. В
нии турбулентности с очень маленькими, но все еще //показано кри-
кристаллическими элементами турбулентности. Как тическое напол-
«индивиды высшего порядка» они выполняют в нение при 0°С
непрерывном изменении сложные поступательные (СР* § 149)'
1) Только здесь в поле тяготения Земли удельный объем имеет точно
критическое значение, выше середины он больше, ниже середины меньше.
2) В критической точке -тт-т- = 0 или —— = оо. Это значит, что доста-
"У8 йр
точно уже минимальных местных изменений давления,4чтобы вызвать
заметные изменения удельного обь'ема или его обратной величины—плотности.
вращается в
пар. В //
можно наблюдать
непрерывный

376
XV. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ И ПАРЫ
Рис 501. Двумерная модель
строения жидкости.
и вращательные движения. В двух измерениях можно получить
хорошую модель этого с помощью стальных шариков в плоском
сосуде. При потряхивании и двиганий
сосуда возникают непрерывно
изменяющиеся по величине и форме
«кристаллические» области с гексагональной
упаковкой (ср. рис. 501).
§ 151. Уравнение состояния Ван
дер Ваальса для реальных газов. Все
изотермы, изображенные на рис. 498,
за исключением их прямолинейных
отрезков между пограничными кривьши,
можно с хорошим приближением
выразить уравнением третьей степени,
уравнением состояния Ван дер Ваальса. Оно гласит:
C40)
(Уя = У/М — удельный объем газа).
а и Ь — две характеристические для данного сорта молекул
постоянные. Для всякого идеального газа достаточно одной
индивидуальной постоянной, а именно /?, для каждого реального газа
необходимы по крайней мере три постоянные. Некоторые
значения а и Ь приведены в табл. 10.
В критической точке изотерма на диаграмме р, У8 параллельна оси
абсцисс и, кроме того, имеет там точку перегиба. Поэтому имеют место
соотношения
0. C41—342)
C43)
Ь=-^[У8]КР. C44)
Приведенные в табл. 10 значения постоянных а и Ь выбраны таким
образом, чтобы уравнение состояния Ван дер Ваальса C40)
соответствовало экспериментальным изотермам в возможно более широкой области.
71ри определенных таким способом значениях постоянных а п Ь
соотношение C43) выполняется хорошо, но соогношелис C44) справедливо лишь
с очень ограниченным приближением Для СО.,, например, по измерениям
[1Л,)кг> = 0,096 м^1 кило моль, тогда как по табл. 10 находим 36 — 0,12У мх ки ао-
моль. Уравнение состояли)! Ва 1 дер Ваальса является только некоторым
приближением. Строго говоря для каждого газа вследствие индивидуальных
свойств его молекул до ч ж но быть сво^ собственное уравне те состояния.
Нельзя, следовательно, ел и. и ком многого ожщагь ог уравнения состояния,
не учитывающего многих индивидуальных свойств газов!
Из этих двух уравнений получаем:
^кр

§ 152. ДРОССЕЛЬНЫЙ ОПЫТ ДЖОУЛЯ ТОМСОНА
377
Таблица 10
Вещество
н2
Не
Н2О
ы3
о2
со2
5О2
не


кулярный
вес
(М)
2,02
4
18
28
32
44
64
200
Критические величины
температура
ГКр. в °С
—240
—263
+374,2
— 147
— НУ
4- 31
+ 157
яа+1450
давление
Ркр'вкило-
яонд/см*
13,2
2,34
225
34,8
51,4
75
80
^ 1100
удельный
объем |Уа]кр,
в ма1кило~
моль
0,065
0,058
0,055
0,090
0,075
0,096
0,096
^0,040
Ван дер
постоянная а, в
килопонд-мп
см'2- киломоль'2
0,194
0,035
5,65
1,39
1,40
3,72
6,97
0,84
ваальсовы
постоянная
Ь, в ж'Укило-
моль
0,022
0,024
0,031
0,039
0,032
0,043
0,056
0,017
Уравнение состояния Ван дер Ваальса отличается от простого
уравнения идеальных газов добавочными членами а/У'# и Ъ. Легко
понять их физический смысл. Начнем с члена, называемого
внутренним давлением а/У2*. При больших удельных объемах У8
среднее расстояние между молекулами велико. Молекулы не
разлетаются во все стороны только благодаря давлению со стороны
стенок сосуда. При малых удельных объемах и малых расстояниях
между молекулами может стать заметным взаимное притяжение
молекул. Оно действует в том же направлении, что и внешнее
давление р, и поэтому к давлению р прибавляется внутреннее
давление а/У1.
Теперь о члене Ь. Уравнение рУ8=соп51 выведено для
модельного газа. В качестве объема, в котором происходит
беспорядочное тепловое движение молекул, принят объем V всего сосуда.
При малых удельных объемах газа нельзя пренебрегать удельным
Объемом У8,т самих молекул *), как это делается в случае
идеальных газов. Необходимо удельный объем газа уменьшить на
величину, пропорциональную удельному объему его единичных молекул.
Следовательно, вместо У8 нужно поставить У8—сопз! • У8 т,
сокращенно СОП51 • У8 т = ^(СОП51^4).
§ 152. Дроссельный опыт Джоуля—Томсона. Располагая
уравнением состояния Ван дер Ваальса, возвратимся к
дроссельному опыту Гей-Люссака (§ 146). В этом основном опыте
исследуется влияние разрежения на внутреннюю энергию С/ некоторого
Он определяется как частное
У __ ооьем одной молекулы
8'т масса одной молекулы

378
XV. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ И ПАРЫ
количества газа, заключенного в сосуде. Этот опыт можно
производить с сосудом, состоящим из двух отделений, двумя способами.
1. Данное количество газа получает возможность после
дросселирования поглотить определенное количество теплоты B = Д^У,
пока не будет восстановлена исходная температура (см. рис. 486).
Экспериментально установлено: в предельном случае идеальных
газов ф = 0 и отсюда (Д(//ДК) = 0.
2. Сосуд, состоящий из двух отделений, термически изолируется,
что препятствует притоку тепла, и поэтому внутренняя энергия Ц
количества газа сохраняется постоянной. Измерению подлежит
вызванное дросселированием понижение температуры Д7\
Экспериментально установлено: в предельном случае идеальных газов ДГ = 0;
итак, (Д^/Др){7=оопа(; — 0. Для реальных же газов ДГ < 0. Это
понижение температуры объясняется как следствие «внутренней» работы:
при разрежении среднее расстояние между молекулами
увеличивается, вопреки силам их взаимного притяжения, благодаря чему
увеличивается запас потенциальной энергии. Это может произойти
только за счет кинетической энергии молекул, а это и значит, что
температура данного количества газа должна понижаться при
остающейся неизменной внутренней энергии.
Для повышения точности измерений Дж. П. Джоуль и Вильям
Томсон (впоследствии лорд Кельвин) заменили дросселирование
замкнутого количества газа с
постоянной внутренней энергией
дросселированием потока газа
с поддерживаемой постоянной
энтальпией У.
Схема их
экспериментальной установки, изображенная
на рис. 502, подпадает под об-
щуюсхему нарис. 480, стр. 348,
М у. Джоуля и Томсона
обозначает дроссель, например
узкое отверстие или узкие
канальцы в пористой
перегородке. Дроссель термически
хорошо изолирован.
Вследствие этого газ не может
получить теплоты из окружающей среды, поэтому согласно уравнению
B96) С} = ^-\- Атехп = 0. При дросселировании и Лтехн = 0.
Следовательно, ДУ = 0 и
Спекшееся стекло
Си ,/Ш\ Си
Рис. 502. К дроссельному опыту
Джоуля— Томсона A853). Пористая
перегородка состоит из спекшегося стеклянного
порошка. Она плотно приварена к
стеклянным стенкам. Оба термоэлемента
включены навстречу друг другу;
измерительный прибор ТН поэтому
отсчитывает разность обеих температур.
C45)
Вследствие этого постоянства энтальпии дросселирование может
привести к увеличению или уменьшению внутренней энергии Ц,

§ 152. ДРОССЕЛЬНЫЙ ОПЫТ ДЖОУЛЯ ТОМСОНА
379
а вместе с ней и температуры, только при изменении величины рУ.
Некоторые результаты опытов графически изображены на рис. 503
(см. также стр. 451). В большинстве
случаев разрежение вызывает
охлаждение (ДГ < 0). Тем не менее в
известных пределах температуры
наблюдаются и нагревания, например,
для воздуха при давлении 220 атм
выше «температуры инверсии»,
равной приблизительно 230° С(точка Ь
на рис. 503). Таким образом, в
отдельных случаях наблюдаемый
эффект Джоуля — Томсона ДГ/Д/?
складывается из двух частей: из
охлаждения и нагревания. В большинстве
случаев охлаждение превосходит
нагревание, но бывает, что нагревание
больше, чем охлаждение.
-0,2
-700
О° 100° Ж°С
Температура
Рис..503. Измерения эффекта
Джоуля — Томсона при различных
температурах и начальных давлениях/?!.
Чтобы дать объяснение обеим частям эффекта, начнем со случая потока
идеального газа. Пусть некоторое количество газа массы М (в дальнейшем
кратко <\газ») проходит через дроссель. При давлении р-± пусть его объем
будет V"!- При разрежении не производится никакой внутренней работы.
Отсутствует необходимая предпосылка, а именно, притяжение между
молекулами. Совершенная компрессором слева работа вытеснения газа Р\У\
равняется работе вытеснения р2У^ отдаваемой газом в правой части.
Следовательно, по уравнению C45) О1 = Ц2 и Т2 — Т^, уравнение состояния
идеальных газов не приводит ни к какому изменению температуры при
дросселировании. Охлаждение и нагревание реальных газов при
дросселировании должно быть поэтому поставлено в связь с поправочными членами,
входящими в уравнение Ван дер Ваальса.
Происходящее от взаимного притяжения молекул внутреннее
давление я/У"з объясняет охлаждение при дросселировании. Вследствие наличия
внутреннего давления а{У\ при одинаковой плотности числа молекул NV
давление реального газа меньше, чем идеального газа. Чем больше
уплотнение, тем значительнее эта разность. Поэтому работа вытеснения,
совершаемая компрессором над уплотненным реальным газом, Р\У\, меньше,
чем работа вытеснения, совершаемая разреженным газом, р^/%. Из
}равнения C45) следует, что 1]\ ]> 11% и Т2 < Т^; газ покидает дроссель
охлажденным.
Это охлаждение при дросселировании может компенсироваться
нагреванием, которое обусловливается поправочным членом д. Из-за члена Ъ при
равной плотности числа молекул NV в единице объема давление реального
газа больше, чем идеального. Для идеального газа Р = -~- и?1У8, для реаль-
о
ного р = -тг и21(У8 — Ь) (ср. § 81). Поэтому работа вытеснения, совершаемая
о
компрессором над уплотненным реальным газом, р\У\, больше работы
вытеснения р^Уъ совершаемой разреженным газом. Следовательно, по
уравнению C45) 1]х<С/2 и Т2^>Тх- Газ покидает дроссель нагретым.

380
XV. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ И ПАРЫ
Нагревание может превзойти рассмотренное в предыдущем абзаце
охлаждение.
Количественное вычисление, соответствующее изложенному ходу
рассуждений, не приводит к удовлетворительным результатам. Но прежде всего
оно не дает никакой зависимости эффекта от давле-
дт баллона ежа- ния, что находится в грубом противоречии с опытом
того^ воз духа (рис. 503). Уравнение состояния Ван дер Ваальса
~~*"= " является, как однажды уже подчеркивалось, всего
лишь приближением; поэтому не следует ожидать
слишком многого от его применений.
ШоУоШо
ооооооо
ооооооо
0ОООООО
ООООООО
0ООООО0
оооооо о
ООСОООО
оороооо
ооУоооо
оороооо
ООСГОООО
00&0000
нищ
Сопло
Жидкий
воздух -^
Рис. 504.
Демонстрационный опыт
сжижения воздуха по
Линде. Охлажденный, но
не сжиженный воздух
идет вверх, протекая
между витками медной
спиральной трубки.
Тем самым
поступающий по трубке воздух
испытывает
предварительное охлаждение
(противоточный
теплообменник). Внешний
диаметр медной
трубки 2 мм, внутренний
(просвет) — 1 мм.
Сопло образует
сплюснутый конец трубки.
§ 153. Получение низких температур и
сжижение газов в лабораторных условиях.
На охлаждении посредством «эффекта
Джоуля— Томсона» основан очень важный способ
сжижения газов, в частности воздуха и
водорода. На рис. 504 изображен
демонстрационный опыт по сжижению воздуха.
Хорошо высушенный воздух под давлением
около 150 атм протекает в прозрачный термос
через медную тесно свитую многослойную
трубчатую спираль. На нижнем конце спирали
трубка сплюснута, так что образуется узкая
щель, являющаяся дросселем. Разреженный и
охлажденный газ может вверху уходить из
термоса. На пути он протекает снаружи между
витками медной спирали и охлаждает
движущийся внутри спирали газ, нагреваясь
при этом сам (метод противотока Сименса).
Через несколько минут дросселированный
разреженный газ достигает своей
температуры кипения. Тогда начинается его
сжижение при постоянной температуре; вначале
заметна туманная, а потом жидкая струя; она
быстро наполняет нижнюю часть термоса. Но
при этом только малая доля х, втекающего
количества газа, превращается в< жидкость
(.г ^0,1). Большая часть A—х)^г;0,9 должна
снова вытекать и уносить с собой теплоту
конденсации образовавшейся жидкости.
Можно рассматривать весь аппарат Линде, т. е. дроссель и «противоточ-
ник», как дроссельную установку, работающую изотермически: втекающий
и вытекающий газ имеют одинаковую температуру Т. Втекающее под
давлением рх количество газа М приносит с собой энтальпию 3Т< Р], вытекающее
иод давлением р% количество газа A — х) М уносит энтальпию A — ^)/Гр2.
Сжиженному количеству газа массой хМ остается энтальпия лг/жидк- Таким
образом, получается баланс энтальпии

§ 153. ПОЛУЧЕНИЕ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР
381
отсюда находим сжиженную долю
рх
иТ, р.г "'ясидк
Числовой пример для сжижения воздуха;
,. ккал
м ;
с
200 ип1М
М
= 110,6
= 120
кг
ккал
20° С
1 атм
= 22
кг
ккал
кг
Трубки из
мельхиора
ошсшальнога
баллона со
сжшлым Не
'Метамичеп-
каящышка
Резиновая
откуда * = 0,096 «з 0,1.
Подобным же образом в
физических лабораториях получают и жидкий
водород. Для предварительного
охлаждения используют жидкий воздух.
К счастью, продаваемый в баллонах
сжатый водород очень чист. Иначе
медные трубки спирали постоянно
застопоривались бы затвердевшим
воздухом.
Для сжижения гелия газ в медном
сосуде Си (рис. 505) сжимают до
100 атм. Потом он охлаждается с
помощью жидкого, а затем твердого
водорода до 10° К (подробности в
подписи к рисунку). Наконец, гелий
разрежается адиабатически до 1 атм.
При этом две трети гелия сжижены,
так как теплоемкость медного сосуда
0
Рис. 505. Сжижение гелия по
способу Кальете — Симона.
Для предварительного
охлаждения гелия в сосуде
высокого давления Си
применяется жидкий водород. Для
получения необходимой
теплопроводности в окружающий
сосуд М вводят немного гелия.
Таким образом прежде всего
достигают охлаждения
газообразного гелия до 20° К- После
при температуре ниже 10° К исчезающе этого водород откачивается
мала. Таким образом, достигают тем- через отверстие В. При этом
пературы 4,3° К- Путем откачки гелия
доходят до температуры около 1,3° К-
Для измерения температуры служит
маленький газовый термометр,
наполненный гелием. Его резервуар ТН
приварен к медному сосуду и
посредством капиллярной трубки связан с
пружинным манометром М; шкала
манометра с помощью кривой давления
насыщенных паров гелия проградуиро-
вана прямо в градусах. Исследуемое тело, например кристалл К,
укрепленный в медном держателе, находится на дне сосуда с гелием.
р р р
он бурно испаряется и его
температура падает до точки
затвердевания, т. е. до 10° К.
Наконец, гелий выкачивается из
сосуда М и тем самым
прекращается перенос тепла путем
теплопроводности между Си и М.
Теперь можно начинать
медленное адиабатическое
уменьшение давления, т. е. разрежать
гелий, который при этом
сжижается.

382 XV. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ И ПАРЫ
Детали, как, например, окошечко для наблюдений, на рисунке не
изображены.
Еще более низкие температуры нельзя уже получить посредством
расширения газов и испарения жидкостей. Используют для этого другой метод,
а именно, охлаждение парамагнитных кристаллов при размагничивании.
Подходят, например, хромовые квасцы. Такой кристалл (К на рис. 505)
охлаждается до температуры приблизительно 1,3° К в поле большого
электромагнита. Потом магнитное поле выключается, и кристалл таким образом
размагничивается. При этом его температура падает до 0,1° К. Причина:
исчезновение намагничивания обозначает увеличение молекулярного хаоса. Вклад
в термическую энергию, относящийся к упорядоченному намагниченному
состоянию, при установлении беспорядка рассеивается. Поэтому величина
энергии, приходящаяся на одну степень свободы молекулы, уменьшается,
т. е. температура понижается.
§ 154. Технические методы сжижения и разделения газов.
Сжижение газов, в особенности воздуха, имеет большое
хозяйственное значение. Различные методы отличаются главным образом по
способу предварительного охлаждения. Часто используют
адиабатическое расширение в поршневой машине или турбине; тогда
совершаемая газом работа может быть полезно применена. Последнее
охлаждение, приводящее к сжижению, почти всегда производится
с помощью эффекта Джоуля — Томсона, т. е. по схеме рис, 504.
Лишь в способе Клода предварительно охлажденный газ
используется для охлаждения сильно сжатого воздуха до сжижения. Выход
жидкого воздуха при всех способах приблизительно один и тот же:
1,33 л/квт-ч (вместо 5,3 л/квт-ч в идеальном случае).
В технике сжижение газов применяется преимущественно для
разделения газов, в особенности для разделения воздуха на
кислород и азот. Азот употребляется главным образом для синтеза
аммиака (искусственное удобрение, взрывчатые вещества), кислород —
главным образом для сварки, а в последнее время также и в
доменных печах. Работа, необходимая для разделения воздуха, в
идеальном случае очень мала, именно 0,014 квт-ч/лР. Эта работа нужна
только для того, чтобы оба газа от их парциальных давлений
сжать до давления в 1 атм.
Любое разделение газов затрудняется тепловым движением
молекул. Из-за этого воздух временно охлаждают до сжижения и
разделяют смесь при низкой температуре. Временное охлаждение
можно принципиально получить без затраты энергии, если
использовать противоточника для обмена температурой (§ 172).
Современный метод разделения известен под названием
«ректификации». В его основе лежит положение, изображенное на рис. 506:
при одной и той же температуре воздух (как и другие смеси двух
различных веществ) имеет в жидкой и газообразной фазах
различный состав. В мольных процентах, например, воздух при 83° К
состоит:
в жидкой фазе из 65% О2 и 35% N2,
в газообразной фазе из 37°/0 О2 и 63% ^2.

§ 155. ДАВЛЕНИЕ ПАРА И ТЕМПЕРАТУРА. ТРОЙНАЯ ТОЧКА
383
77° 60°
Абсолютная температура
\притокжидк. вози Поток газа
100
Самое существенное в ректификации изображено на рис. 506:
потоки жидкой и газообразной фазы движутся, соприкасаясь друг
с другом, в противоположных направлениях по трубке, вдоль
которой поддерживается постепенное падение температуры. Жидкость
течет в сторону возрастающих температур. Из потока жидкости
преимущественно испаряется азот,
кипящий уже при 77° К, из потока
газа преимущественно
конденсируется кислород, сжижающийся уже
при 90° К. При достаточно
медленном течении в каждом месте трубки
в соответствии с его температурой
устанавливаются оба равновесных
состояния. Например, на отрезке
трубки с температурой 83° К жидкая
и газообразная фазы имеют состав,
уже приведенный выше и указанный
на рисунке с помощью
штрихованных стрелок.
При сооружении технических
установок для ректификации особое
внимание обращают на возможно
полное внутреннее взаимное
проникновение и соприкосновение обоих
встречных потоков. Выход чистого
кислорода составляет в хороших
установках округленно 2 м3/квт-ч
(вместо выхода 14 мг/квт-ч в
идеальном случае).
§ 155. Давление пара и
температура. Тройная точка. рУ/М-
диаграмма вещества (например СО2
на рис. 498) слишком неясно
выражает важную зависимость, а именно связь давления и
температуры. Эта зависимость лучше передается на р7*-диаграммах. Такие
диаграммы приведены для СО2 на рис. 507 и для воды на рис. 508.
На обоих рисунках по ординатам отложены степени десяти
(логарифмический масштаб).
На каждой из этих диаграмм имеются три кривые. Каждая
точка кривой определяет пару взаимосвязанных значений давления
и температуры. Только при этих парах значений давлений и
температуры возможно равновесное сосуществование двух фаз
вещества.
Штриховая кривая дает давление, необходимое для сжижения
пара; это — давление насыщенного пара над жидкостью. Сплошная
кривая дает давление, необходимое для затвердевания пара, т. е.
Поток жидкости
X
\
Рис. 506. К разделению газов
воздуха ректификацией. Определение
мольных (молекулярных)
процентов дано в § 133. Слабый наклон
трубки на вышеприведенной схеме
должен означать, что течение
жидкости поддерживается ее весом. В
технике ректификационные
колонны стоят вертикально и чистый
жидкий кислород вытекает внизу.

384
XV. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ И ПАРЫ
для образования инея; это — давление насыщенного пара над льдом.
Наконец, третья кривая, штрих-пунктирная, дает давление,
необходимое для плавления льда.
Можно оба рисунка рассматривать, повернув их на 90°, тогда
на оси абсцисс окажутся давления. Для всякого давления
штрихованная кривая даст температуру кипения жидкости, сплошная —
тшпднд
Ю3
~№
-50 О
Температура
30 °С
Рис. 507. Кривые давления пара
для СО2. Если взять линейную
шкалу на оси ординат вместо
применяемой здесь логарифмической,
то кривые будут очень круто
подниматься вверх.
О 100 200 300 V
Тгмпература
Рис. 508. Кривые давления
пара для воды. В тройной
точке все три кривые
пересекаются, имея различный
наклон (ср. рис. 509),
температуру сублимации льда, а штрих-пунктирная—температуру
плавления льда. Последняя температура при давлениях, меньших
500 атм, очень незначительно зависит от давление. С увеличением
давления температура плавления для СО2 слегка повышается, тогда
как для воды слегка понижается.
Все три кривые имеют одну общую точку, так называемую
тройную точку. Данные для тройных точек следующие:
у СО2 Т = — 56,2° С; р = 5,1 килопонд/см2;
у Н2О Т = 0,0074° С; р^ 4,6 мм рт. ст.
В тройной точке, и только в тройной точке, возможно
равновесное сосуществование всех трех фаз: твердой, жидкой и
парообразной. Они находятся в равновесии; это обозначает, что ни одна
из фаз не растет за счет других. На рис. 498, стр. 372, три точки,
отмеченные кружками, оставались необъясненными. Их значение теперь
ясно. Они соответствуют тройной точке. Они дают при темпера-

§ 166. ЗАМЕДЛЕНИЕ ФАЗОВОГО ПРЕВРАЩЕНИЯ 385
туре — 56,2° С и давлении, равном 5,1 килопонд/см2, удельный объем
твердой СО2 = 0,034 мР/каломоль,
жидкой СО2== 0,041 мь/каломоль,
парообразной СО2 = 3,22 м3[киломоль.
Вне тройной точки могут сосуществовать, как уже упоминалось,
самое большее две фазы; вдоль сплошной кривой — только твердое
вещество и его насыщенный пар. При давлениях ниже 4,6 мм рт. ст.
лед не может больше плавиться, а лишь может сублимироваться
(возгоняться). Совершенно так же при нормальном давлении
невозможно получить жидкую углекислоту, возможно получить лишь
снег СО2—известный сухой лед с температурой —79,2°.
Приготовляется сухой лед очень просто; баллоны с СО2 наполняются
на фабриках при комнатной температуре под давлением около 50 атм и
содержат тогда, согласно рис. 507, смесь жидкой и парообразной СО2.
Содержимое такого баллона выпускают в войлочный мешок с плотными
«стенками», часть при этом ускользает через его поры. При вытекании из
отверстия крана газ СО2 образует струю, и при этом совершается работа
ускорения, т. е. внешняя работа. Кроме того, совершается благодаря эффекту
Джоуля — Томсона и внутренняя работа, т. е. работа против сил взаимного
притяжения молекул. По обеим причинам двуокись углерода охлаждается,
пока не достигнет температуры — 79° С, соответствующей давлению пара
в 1 атм.
Содержание рис. 507 и 508 составляет основу правила фаз
Гиббса для «системы одного вещества»: число независимых
параметров состояния равно 3 минус число фаз, находящихся в
равновесии. При равновесии всех трех фаз одного вещества ни один
из параметров состояния не может быть выбран произвольно, все
они определяются тройной точкой. При равновесии двух фаз одного
вещества можно еще произвольно выбрать один из двух
параметров состояния, р или Т; второй параметр определяется тогда по
кривой рГ-диаграммы. Для одной фазы вещества можно произвольно
выбрать оба параметра состояния, р и Т; любая пара значений р и
Т теперь допустима, мы более не связаны с точками, лежащими
на кривых.
§ 156. Замедление фазового превращения жидкое—> твердое
состояние. Переохлажденные жидкости. Температура плавления
любого нестеклообразного вещества (§ 67) при данном давлении
есть величина, строго определенная и характерная для этого
вещества. Нельзя температуру поднять выше температуры плавления,
не расплавив тела, т. е. не превратив наружные слои в жидкость.
Иначе обстоит дело в обратном случае: можно температуру
опустить значительно ниже температуры плавления без того, чтобы
произошло фазовое превращение жидкое-> твердое состояние;
жидкости можно сильно «переохладить».
Погружают кастрюлю с водой, не содержащей пыли, в
жидкостную баню с температурой —20° С, взбалтывают или помешивают

386
XV. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ И ПАР!»!
ее, избегая, однако, разбрызгивания. Так можно легко получить
воду с температурой около—10° С. Небольшие количества воды,
несколько десятых долей грамма, можно переохладить до —33° С.
Разные температуры затвердевания определяются наличием
различных посторонних субмикроскопических телец, действующих как
«ядра». Начавшаяся вокруг этих ядер кристаллизация приводит
всегда к образованию гексагонального льда.
килопонд
0,001
-70 О
Температура
Рис. 509. Кривая давления пара для
переохлажденной воды (штриховая линия). Для
сравнения приведена кривая давления пара над
льдом (тонкая сплошная линия).
Мельчайшие водяные капельки можно переохладить даже до— 72°С,
нужно только предварительно устранить посторонние тельца,
действующие как ядра кристаллизации, путем многократных
кристаллизации и плавлений. Тогда получают лед, кристаллизующийся
кубически, с температурой плавления —-70°. Природа ядер
кристаллизации еще требует исследования.
Кривая давления паров переохлажденной жидкости продолжает
ход кривой нормальной жидкости без излома (ср. рис. 509,
являющийся увеличенным вырезом рис. 508).
§ 157. Замедление фазового превращения
жидкое<—^парообразное состояние. Прочность жидкостей на разрыв. Фазовое
превращение пар —> жидкость также можно задержать путем исключения
«ядер». Можно насыщенные пары сильно переохладить, проще всего
адиабатическим расширением. Здесь, так же как и при
кристаллизации, можно вызвать затем фазовое превращение путем введения
ядер. В качестве таковых наряду со многими другими пригодны
ионы любого происхождения. На этих ядрах образуются поверх-
постные пленки, так возникают капельки тумана (см.
«Электричество», § 187, камера Вильсона для обнаружения ионизирующих
лучей).

§ 157 ЗАМЕДЛЕНИЕ ФАЗОВОГО ПРЕВРАЩЕНИЯ
387
кимопонд
Далее, также исключением ядер можно сильно задержать
фазовое превращение жидкость —>• пар. Для демонстрационного опыта
наливают дважды дистиллированную воду в пробирку, хорошо
промытую горячей смесью хромовой и серной кислот, и медленно ее
нагревают в масляной бане.
Тогда вода может достигнуть
температуры 140° без
кипения. Сохраняется лишь
спокойное испарение с поверх- ^—■- о\—^>*-^—| ^^г3^^*!"»--^^ I,
ности. Но затем внезапно ^
внутри воды возникает бурное Ц^
превращение воды в пар. Со- ||
держимое пробирки, как от Й |
взрыва, выбрасывается нару- ^ |
жу. Кипение воды может таким ^
образом оказаться очень
опасным. Поэтому в практике
необходимо по возможности
избегать «задержка кипения».
Простейшей защитой является
не очень высокая чистота
сосуда. Более надежным является
добавление нескольких
маленьких телец с острыми ребрами.
Они в качестве ядер облегчают
образование поверхностных
пленок, разделяющих фазы,
т. е. образование пузырьков
| 200
п
-200
-600
г-1000
а'
/
Ч
'а"
- У
Л
--*-4.
ЗООС '"•-^ /3
а,
1
к'
П8°С
Вода
*■—-—.
0,01
0,7
Удельный объем
Рис. 510. К вычислению прочности на
разрыв для «свободной от ядер» воды
с помощью уравнения Ван дер Ваальса.
В дополнение к тексту приводим
следующие данные: в воде, содержащей
ядра, прямолинейный участок сф
изотермы при 18° практически совпадает
с осью абсцисс; давление насыщенных
паров воды составляет при 18° всего
лишь 16 мм рт. ст. На оси абсцисс для
экономии места применяется
логарифмический масштаб. Поэтому площадки под
кривой гор и над а-[г не равны друг
другу, как это должно быть при
линейном масштабе. Отрезку кривой *^ не
могут соответствовать стабильные
состояния, так как здесь увеличение
удельного объема приводит к уменьшению
растягивающего напряжения.
пара внутри жидкости.
Для образования таких
поверхностных пленок внутри
жидкости отнюдь не всегда
нужно повышать
температуру. Жидкость можно также
разорвать. Для этого
требуются натяжения по порядку
величины до 100 килопонд/см2 (§ 78). Возможно ли путем
дальнейшего исключения мешающих ядер еще больше повысить эту
величину? Уравнение Ван дер Ваальса отвечает на этот вопрос
положительно.
На рис. 510 изображена в /?К/Ж-диаграмме прежде всего
изотерма воды при 300° С. Она, так же как и обе пограничные
кривые о!'К и /СC, получена экспериментально. Изотерма т^ф'С
обладает нормальным ходом; поэтому вдоль прямолинейного отрезка
о!г$' идет образование поверхностной пленки. Здесь имеются две
фазы, и поэтому уравнение Ван дер Ваальса неприменимо.

388 XV. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ И ПАРЫ
Путем тщательного устранения ядер можно, однако,
воспрепятствовать образованию поверхностной пленки и тем самым подавить
прямолинейный участок изотермы. В этом случае имеется только
одна фаза, и поэтому можно применить уравнение Ван дер Ваальса
и для отрезка изотермы внутри граничной кривой. Это сделано
на кривой а^гЩ. Она представляет собой изотерму, вычисленную
для 18° С, и является, как всякое применение уравнения Ван дер
Ваальса, только некоторым приближением. Точка а, например,
должна была бы лежать в а" на граничной кривой. Все же один
результат остается надежным: изотерма приводит при известных
значениях удельного объема к отрицательным давлениям, к
растягивающим напряжениям свыше 1О3 килопонд/см2\ Следовательно,
свободная от ядер вода при 18° С обладает такой же по порядку
величины прочностью на разрыв.
Прочность на разрыв для всех жидкостей падает с возрастанием
температуры; она исчезает при некотором верхнем граничном
значении. И этот экспериментальный результат соответствует уравне-
27
нию Ван дер Ваальса: при Т = ^Ткр точка ^ изотермы лежит на
оси У8, т. е. при растягивающем напряжении, равном нулю.

р =
найденное
р = р
Нт
6
уравнение
, . /^
A76)
состояния
C05)
C08)
(стр.
190)
идеального
(стр.
(стр.
355)
356)
XVI. ТЕПЛОТА КАК БЕСПОРЯДОЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ
§ 158. Температура в молекулярном представлении.
Некоторые термические параметры состояния для идеальных газов можно
представить себе очень наглядно, если воспользоваться
молекулярной картиной. С основами молекулярно-кинетических представлений
мы познакомились уже в § 80. Непосредственно для давления
идеального газа была выведена формула
(р — плотность газа).
Экспериментально
газа имеет вид
Далее,
(га — масса одной молекулы; к — постоянная Больцмана).
Сопоставление уравнений A76), C05) и C08) приводит к формуле
ти2 = ЖТаб0. C46)
пг есть среднее значение квадрата скорости молекулы; таким
образом, в левой части мы имеем удвоенную среднюю кинетическую
энергию \^КИ:т одной молекулы. Следовательно, для одной молекулы имеем:
^КИн = !-&Габс. C47)
Это уравнение гласит: средняя кинетическая энергия И^кии каждой
из молекул любого идеального газа пропорциональна его
абсолютной температуре и совершенно не зависит от химического
состава, от строения молекулы, массы молекулы т или от
молекулярного веса (М). Или наоборот: температура газа
определяется средней кинетической энергией \^кин его молекул. Из
обоих уравнений C46) и C08) определяется среднее значение 1) для
1) Для скорости звука с мы имеем:
с = У^КТ. C38) (стр. 369)
Следовательно, скорость газовых молекул
и = с У 3/х яй с У 2.

390 XVI. ТЕПЛОТА КАК БЕСПОРЯДОЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ
скорости газовых молекул:
Щ^У^. C48)
Приведем некоторые применения этих уравнений:
I. Термическое улетучивание молекул при испарении и
вытекании из узкого отверстия. Мы исходим из содержания § 81.
Пусть в объеме Кх находится п1 молекул пара, каждая массой т.
Тогда через площадку Р за время ( пролетает приблизительно
тггРи{ молекул со скоростью и. Общая масса пт этих п
молекул М = -тг рриг, если через р = п1т1У1 обозначена плотность
пара или газа. Для плотности при давлении р из газового
уравнения C05) имеем р = р!ЯТ&6а. Используя уравнение C48), получаем
М/Рё — 0,29рУ Ю\ба- Более строгое вычисление изменяет только
числовой коэффициент, и мы получаем для скорости улетучивания
молекул
У ^ C49)
(М — масса молекул, улетающих за время Ь через площадь Р).
Вместо массы М можно в качестве меры количества
удаляющегося пара или газа взять число молекул п или объем V. Тогда
получим:
гъ V к' або
И
~ = 0,4~|/я:Габо C51)
(ЛГ = п/М = удельное число молекул = 6,02 • 1026/кило моль).
Для вычисления скорости испарения чаще всего пользуются
уравнением C50).
Пример. Вода при 20° С = 293° К и давлении своего насыщенного пара
р ^_ 17,5 мм рт. ст. = 2,32 • \0'6кг/м • сек2. Для воды 1 киломоль = 18 кг. Итак,
Я = 8,31 • 103вт-сек/18 кг град — 4,62 • 102^секг . град иN = 6,02 • 1О2<5/18кг=
= 3,34 • 1025/л:2. Подстановка этих значений в уравнение C50) дает для
скорости испарения
т 0,4 • 2,32 • 103 кг\м • сек* 3,34 • 1025/л:г 102в
Рг~ , / . АО лм м* 293 град ~ м* • сек
I/ 4Ь2 • 10^^
I/ 4,Ь2 •
сек? - град
При комнатной температуре с 1 м2 поверхности воды улетучивается
округленно 102в молекул; столько же молекул возвращается обратно из
насыщенного пара. На 1 м2 поверхности умещается округленно лишь 10гэ молекул
воды (ср. рис. 501). Следовательно, единичная молекула может держаться
на поверхности в среднем только 10 ~7 сек. (ср. «Оптика», § 109).

§ 158. ТЕМПЕРАТУРА В МОЛЕКУЛЯРНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
391
Газовая постоянная # = 8,31- Ю3 вт-секЦМ) кг - град обратно
пропорциональна молекулярному весу (М). Поэтому из уравнения C51)
для отношения времен 1Х и *2, в течение которых улетучиваются
два равных объема двух различных газов при
одинаковом давлении,
и
C52)
Рис. 511. Сравнение
Это соотношение позволяет сравнивать между собой
молекулярные веса (М) газов (Р. Бунзен). На рис. 511
изображен применяемый прибор. Газ находится под
давлением р ртутного столба. Сверху левое колено
закрыто тонким листком металла, в котором имеется
узкое отверстие.
Для демонстрационных опытов листок
металла с узким отверстием в предыдущем опыте
заменяется пористой стенкой глиняного
цилиндра (рис. 512). Внизу присоединен водяной
манометр. На пористый цилиндр надет
стеклянный. Под стеклянный цилиндр вводится
водород (или светильный газ). Сразу же
давление в глиняном цилиндре резко повышается.
Причина: молекулы Н2 диффундируют в гли- молекулярных весов
няный цилиндр в большем количестве, чем ределяетсГп^межу-
молекулы воздуха, имеющие примерно в че- ток времени, в те-
тыре раза меньшую скорость, в обратном на- чение которого Н§
правлении. Через несколько секунд прекращают слева поднимается от
подачу водорода и удаляют стеклянный
цилиндр. Сразу же повышенное давление в
глиняном цилиндре сменяется пониженным. Молекулы Н2 диффундируют
из пористого сосуда в большем количестве, чем
заменяющие их молекулы воздуха внутрь сосуда.
Ввиду большого значения процессов
диффузии модельный опыт со стальными шариками не
будет излишним. На рис. 513 изображено
устройство, уже знакомое нам по рис. 231, но теперь
«газоприемник.» разделен стенкой с узким
отверстием на две части. Кроме того, в обеих
половинах имеются колеблющиеся поршни, чтобы
поддерживать искусственное тепловое движение. На
рисунке можно, к сожалению, изобразить только
положение в какой-то один момент времени.
Поэтому рисунок дает лишь очень слабое
представление о реальном ходе демонстрационного
опыта.
II. Изменение температуры при изменении объема. Каждый
газ нагревается при сжатии и охлаждается при расширении.
нижней до верхней
метки.
Рис. 512. Диффузия
сквозь пористый
глиняный цилиндр.

392
XVI. ТЕПЛОТА КАК БЕСПОРЯДОЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Причина: при расширении молекулы отражаются от отступающей
стенки и поэтому их скорость уменьшается. При сжатии молекулы
отражаются от надвигающейся стенки, поэтому их скорость
увеличивается. Это можно показать на опыте со
стальным шариком, изображающим отдельную
молекулу. Шарик на рис. 514 бросают с
высоты к на стеклянную пластинку. После
упругого отражения он снова летит вверх. В это
время навстречу ему двигают рукой вторую,
меньшую стеклянную пластинку. Тогда
поднимающийся шарик отражается от этой
пластинки и летит с увеличенной скоростью
обратно. Так повторяют еще несколько раз,
в конце концов шарик сможет подняться на
Рис. 513. Демонстра- ВЫСОту значительно больше начальной к.
ЦИЯ ДИффуЗИИ С ПО- тт/ »»-,.. тт «
мощью двух модель- Ш- Модельный газ. Наш модельный газ
ных газов из стальных (например на рис. 231) состоит из стальных
шариков. Проекция на шариков массой т 7^ 10~4 кг каждый,
обладающих скоростью и^ I м/сек. При
настоящем тепловом движении такая скорость могла
быть достигнута только при температуре
7> 1018 градусов. (При этой температуре
сталь давно бы распалась на мельчайшие
частицы— атомные ядра и электроны.)
экране;
вверху—перегородка закрыта;
слева — только
маленькие, справа —
только большие
молекулы; внизу —
перегородка открыта,
началась диффузия.
Вычисление. Из уравнения C48) получается
Подстановка величин и и т и постоянной Больцмана
к = 1,38 -10 ~23
C53)
вт-сек/град =
= 1,38 • Ю-23 кг м^/сек2 • град
дает:
Т . —
абс
1 м^/сек1-10 кг
3.1,38-Ю-^/м.
град
= 2,4 • 10*8 град.
У настоящего газа, например у гелия,
среднее значение скорости в 1 м/сек
соответствует температуре < 10~3 град,
Рис. 514. Модельный опыт
к нагреванию газа при сжа-
тин (Гаральд Шульце).
т. е. температуре, которая примерно в 10 раз меньше
экспериментально достигнутой в настоящее время наиболее низкой температуры.
Вычисление. Из уравнения C48) получается
^абс = «73Я. C54)
Молекулярный вес гелия (М) = 4;, следовательно, 1 киломоль = 4 кг.
Газовая постоянная для гелия
Я = 8,31 • 10" 3вт-сек/4; кг ■ град = 2,08 • 103 м^/сек* • град.

§ 159. ОТДАЧА ПРИ ОТРАЖЕНИИ ГАЗОВЫХ МОЛЕКУЛ
393
Подстановка этой величины и и = 1 м\сек дает:
Т * =
* абс
3 • 2,08 • 10» МЦсек* • град
= 1,6
4 град.
к насосу
§ 159. Отдача при отражении газовых молекул.
Радиометрическая сила. На схематическом рис. 515 изображен стеклянный
сосуд, внутри которого создан вакуум. В нем
находится пластинка Р из любого вещества,
например из алюминиевой фольги или из слюды.
Пластинка насажена на пружинку Р, которая
служит силомером. Если при малом давлении
газа установить разность температур между
обеими поверхностями пластинки, то на
пластинку будет действовать сила ^ в
направлении убывающей температуры. Это явление
называется радиометрическим эффектом. Это
название несколько вводит в заблуждение, но
дано потому, что разность температур
устанавливается большей частью при облучении
светом.
Для демонстрационных опытов особенно
подходит световая мельница (рис. 516). В ней
крестообразно соединены четыре слюдяных
листочка, покрытых с одной стороны сажей.
Как и на рис. 412, крест опирается шляпкой
на острие. При облучении он приходит в
движение в направлении стрелки. Частота его
вращения растет с увеличением облученности.
Несмотря на свое название, радиометрический эффект не связан
с излучением и меньше всего с ничтожным давлением света. Наиболее
просто это можно показать на одном слюдяном листочке, у
которого задняя от источника света сторона зачернена.
Тогда радиометрическая сила окажется
направленной к источнику. Радиометр вращается и при
всестороннем облучении. Существенно только
различие в интенсивности поглощения обеими
сторонами пластинки. Оно вызывает падение
температуры в пластинке и тем самым
радиометрическую силу.
Радиометрическая сила ^ зависит характерным
образом от газового давления р (рис. 517).
В области малых давлений сила растет
пропорционально давлению. В этой области свободные
длины путей газовых молекул велики по сравнению с размерами
радиометра. Молекулы не испытывают никаких столкновений между собой,
но только отражаются от пластинок радиометра и от стенок сосуда.
Рис. 515. Схема
установки к
доказательству
радиометрического эффекта,
который возникает
вследствие отдачи при
ударах молекул. Для
измерений в качестве
силомера вместо
плоской пружины
используют гонкую
закручивающуюся ленту.
Рис. 516.
Горизонтальное сечение
световой мельницы
(В. Крукс, 1874).

394
XVI. ТЕПЛОТА КАК БЕСПОРЯДОЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Если покрытые сажей поверхности имеют большую температуру,
чем незачерненные, то молекулы отражаются от зачерненных
пластинок в среднем с большей скоростью, чем от более холодных,
незачерненных. На обеих сторонах
отраженные молекулы вызывают
отдачу. У теплой поверхности отдача
будет больше, чем у холодной.
Поэтому равнодействующая сила $
направлена в сторону убывания
температуры. Сила пропорциональна
частоте ударов о пластинку, а тем
самым и давлению газа.
миллипонд
■ см2град
Ш
1 0,005
1
ХГ3 Ю~гммрт.ст.
Давление в радиометре
Рис. 517. Зависимость
радиометрической силы от давления газа
в области низких давлений.
Разность температур установлена
между двумя поверхностями
пластинки (измерения В. Вестфаля).
В области больших давлений длина
свободного пути газовых молекул уже
не велика по сравнению с размерами
радиометра. Тогда возникают иные
явления, сила $ падает с ростом давления
(штриховая часть кривой на рис. 517).
Подробности завели бы нас слишком
далеко. Наиболее удивительны частичные
радиометрические явления на маленьких
взвешенных частичках или тоненьких
нитях. Например, маленькие
взвешенные угольные частички в главном
фокусе конденсатора проекционной лампы часами движутся по винтовым
спиральным траекториям, в свою очередь кольцеобразно
замыкающимся (фотофорез).
§ 160. Распределение скорости и
средняя длина свободного пути молекул газа.
Мы знаем два способа экспериментального
определения скорости газовых молекул
(§ 81 и § 159). Оба способа
основываются на применениях теоремы импульсов
и дают только средние значения. Однако
можно экспериментально установить и
распределение скорости около этих средних
значений. Для этого пользуются
«молекулярными лучами». В ванне из
молибденовой жести, нагреваемой электрическим
током, испаряется маленький кусочек серебра
(рис. 518). Стеклянный сосуд, в котором
производится опыт, откачан до высокого
вакуума; внутри сосуда помещены два
экрана со щелями А и В. Они выделяют из разлетающихся во все
стороны молекул пара один резко ограниченный пучок. Этот пучок
падает на охлаждаемую стенку 1#\ Там молекулы образуют четко
выделяющееся блестящее пятно. Его место определяется штриховым
путем лучей. На стенках, выше экрана В, серебро больше нигде не
Рис. 518. Получение
молекулярного луча.

§ 160. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ И СРЕДНЯЯ ДЛИНА СВОБОДНОГО ПУТИ 395
оседает. Для измерения скорости молекул весь прибор устанавливают
на карусели и приводят в быстрое вращение. Тогда получаются
те же соотношения, как раньше при измерении скорости
пистолетной пули. Молекулы будут отклоняться в сторону под действием
силы Кораолиса, и по величине смещения налета определяется
скорость молекул (стр. 132).
/
1
/
/
и
\го°с
\
\
>
V
V
5ОО°С
\
—— ш
500
гооо_м_
Скорость и
Рис. 519. К распределению скорости газовых молекул. Азот. Молекулярный
вес (М) = 28;
28
т = = = 4,65 • 1<Г26 кг; ^ = 1,38 • 10 3 вт-сек/град; 1 вт-сек =
N 6,02 • 1026 о
= 1 ньютонметр = 1 кг м2/сек* таким образом, при Габ0 = 293 ий =
= 417 м/сек и «средняя» скорость 1,22 ин — 503 м\сек. Она отмечена
стрелкой и.
Проведение этих измерений привело к результату,
представленному на рис. 519 для двух примеров распределения скорости
в широкой области.
Распределение скорости по отдельным значениям определяется «законом
распределения», выведенным Максвеллом. С помощью этого закона
определяется часть Лп(п молекул, скорости которых лежат в интервале от и до
и + Ли. Закон распределения Максвелла гласит:
йп
п
4Ф г
У-V
т
2^6
я
о)
е
кТ л
и"
0 аи.
C55)
Исследование уравнения приводит к результату: ^ максимум кривой на
рис. 519 соответствует наиболее часто встречающейся или наивероят-
нейшей скорости
C56)
абс
т
Среднее арифметическое всех скоростей составляет среднюю скорость
У я
аа, следовательно, несколько больше, чем наивероятнейшая скорость

396 XVI. ТЕПЛОТА КАК БЕСПОРЯДОЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Вначале мы ввели среднее значение скорости и, определенное уравнением
C48)(стр. 390)
/""
Это среднее (квадратичное) значение скорости и в 1/ -^ = 1,22 раза больше
- » 1,22
наивероятнеишеи скорости «/г и в -т—-г = 1,08 раза больше средней скорости иа.
1, [о
Различия между скоростями наивероятнеишеи, средней арифметической и
средней (квадратичной), таким образом, несущественны.
Теперь молекулярная картина газа почти завершена. Не хватает
только понятия длины свободного пути. Так называют длину
прямолинейного отрезка, пробегаемого молекулой между двумя
следующими один за другим столкновениями ее с другими молекулами
газа. Способы его определения приведены в § 176. Лишь в
качестве примера укажем, что для азота при нормальных условиях
средняя длина свободного пути Х?^6- 10~ь м.
§ 161. Удельные теплоты в молекулярном представлении.
Принцип равномерного распределения. Результаты измерения
удельных теплот одноатомных и двухатомных идеальных газов
(табл. 9, стр. 352) могут быть обобщены следующим образом:
Тип молекулы
Одноатомная .
Двухатомная
.{
• 1
Примеры
Н§-пар,
благородный газ
Н2>Оз, N.
СО, НС1
Удельны
при пос
давлении
} 2 *
1 7 /?
[ 2 *
з теплоты
гоянном
объеме
т ^
т<
1 б л и ц а И
1,67
1,40
Если пользоваться при угом в качестве единицы массы кило-
молем, то
ккал п П1 ,л„ вт-<*1_ш C06) (стр. 355)
Я =1,98-
киломоль • град
8,31 • 103
киломоль
Эту связь между удельной теплотой и газовой постоянной /? можно
истолковать с точки зрения молекулярных представлений
следующим образом (А. Науман, 1867): согласно определению обе удель-

§ 161. удельные теплоты в молекулярном представлении 397
ные теплоты идеального газа выражаются формулами
C11) (стр. 360)
C12)(стр. 360)
Для идеального одноатомного газа часть внутренней энергии Ц,
происходящая от теплового движения молекул, или «термическая»
доля внутренней энергии II, почти целиком состоит из кинетической
энергии \^кин прямолинейного движения молекул. Мы нашли для
единичной молекулы
№кнЯ = •§• ЬТл6в «= /и у #Га«с' C47> (СТР' 389)
Количество газа массой М~пт обладает поэтому термической
внутренней энергией
Ц = п№КШ = М~ #Габ0. C58)
Следовательно, на основании уравнений C11) и C12)
!* К 167
Одноатомная молекула имеет в своем распоряжении три «степени
свободы». Это значит, что скорость ее прямолинейного движения
(поступательного), вообще говоря, состоит из трех составляющих —
по направлениям трех осей координат в пространстве. Поэтому
на каждую из этих трех степеней свободы отдельной молекулы
приходится термическая энергия
^ уАГал,, C59)
(& =■ Ят = постоянная Больцмана = 1,38 • 10 23 вт-сек/град;
т = ГМ = 1 киломоль/6.Ю2**).
Соответствующим образом на каждую степень свободы для
количества газа массой М = пт приходится термическая энергия
^тврм Ж = «^тври = М -1 Я Габс C60)
(# = &//м = 8,31 • 10' вт-сегс/киломоль • град).
Двухатомная молекула имеет форму гантели. Такая молекула
может вращаться вокруг двух направлений, перпендикулярных друг
к другу и к гантельной оси (ср. «Оптика», § 203)х). Поэтому
1) Вращение вокруг продольной оси гантели не принимается во внимание,
так как в этом случае момент инерции и кинетическая энергия очень малы.

398
XVI. ТЕПЛОТА КАК БЕСПОРЯДОЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ
появляются две новые степени свободы. Новые степени свободы
рассматриваются как равноценные старым. Это называют принципом
статистически равномерного распределения. Таким образом,
двухатомный газ всего имеет пять степеней свободы. Количество газа
массой М при температуре Габо содержит внутреннюю энергию
= Ж
Следовательно, на основании уравнений C11) и C12)
C61)
Благодаря этому результату принцип равномерного
распределения получил существенное экспериментальное подтверждение.
Однако он все же представ-
\20Ю4 ляет собой идеализацию
предельного случая, допустимую
только в области высоких тем-
Аг,Не
15
0,54
О
100 200
Температура Табс
300'
Рис. 520. Зависимость удельной теплоты
водорода от температуры. /? — газовая
постоянная, уравнение C06) на стр. 355.
Для сравнения приведены результаты
измерений для двух одноатомных
газов. В области штриховой части
кривой Н2 находится в жидком или твердом
состоянии (ср. рис. 481).
ператур. Это видно из
измерений, представленных на
рис. 520. Они относятся
к удельной теплоте
двухатомного газа (Н2) при различных
температурах. Удельная
теплота с,у имеет при высоких
температурах значение я^ -^ /?,
с понижением температуры она
уменьшается и достигает, на-
конец, значения тг ", т. е.
значения для с^ одноатомного
газа. Объяснение: с падением
температуры вращения
молекул постепенно замирают; остается, как и у одноатомных молекул,
только поступательное движение. Почему именно так происходит,
нельзя ответить, если руководствоваться только методами
«классической физики». Необходимо прибегнуть к квантовой теории и привлечь
на помощь открытую Планком постоянную Н — 6,62 • 10" вт • сек2.
Значение этой постоянной для вращения многоатомных молекул
будет подробно рассмотрено в «Оптике», § 202.
Подведем итог основного содержания §§ 158—161: с помощью
идеальных газов оказалось возможным дать наглядное истолкование
температуре и внутренней энергии. Непосредственно измеряемые
параметры состояния — температура и давление — происходят от

§ 162. ОСМОС И ОСМОТИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ 399
беспорядочного, или теплового, движения молекул (§ 158). Они
получаются как статистические средние величины для громадного
числа молекул. Относительно единичной молекулы возможны только
статистические высказывания. По принципу равномерного
распределения можно утверждать: каждая молекула при температуре Габо
обладает для каждой степени свободы статистически средней
величиной термической энергии
м — о або •
C62)
Итак, термическая энергия молекул, связанная с понятиями
теплоты и температуры, исчезает при абсолютном нуле. При Таба = О
беспорядочное движение молекул прекращается. Поэтому исчезают
и два ранее введенных параметра состояния 1), внутренняя энергия V
и энтальпия ^ (ср. § 146, примечание).
Постоянную Больцмана к мы вычисляли до сих пор с помощью
удельного числа молекул ЛГ, т. е. частного: число молекул/масса.
ЛГ можно определить, как было сказано, с помощью электрических
измерений (см. «Электричество», § 140 и 169). Это положение
неудовлетворительно; поэтому в § 163 к будет определено
экспериментально с помощью средств, уже теперь находящихся в нашем
распоряжении. Следующий параграф служит подготовкой для решения
этой задачи.
§ 162. Осмос и осмотическое давление. Осмос первоначально
означал диффузию сквозь пористую перегородку. Если два
вещества разделить стенкой, через которую они могут с различными
скоростями диффундировать, то временно возникает разность
давлений. Наиболее известен такой опыт с двумя газами (рис. 512).
Такой же опыт можно произвести и с двумя жидкостями. Пример:
стеклянный сосуд, наполненный спиртом и затянутый перепонкой
из свиного пузыря, погружают в чистую воду: тогда перепонка
выгибается наружу (И. А. Нолле, 1748). И в этом случае разность
давлений существует только временно. Осмотические явления
наблюдаются также при взаимной диффузии раствора и растворителя.
В этом случае осуществим граничный случай; можно перегородку
сделать полупроницаемой, это значит проницаемой для
растворителя и непроницаемой для растворенного вещества. Тогда диффузия
приводит к образованию постоянной разности давлений между
раствором и растворителем. Этим явлением и ограничивается
теперь употребление слова осмос.
Наиболее совершенные и разнообразные полупроницаемые
перегородки изготовляются из животной клеточной ткани. Лучшей
1) См. сноску на стр. 346.

400
XVI. ТЕПЛОТА КАК БЕСПОРЯДОЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ
искусственной полупроницаемой перегородкой остается мембрана
из железистосинеродистой меди, предложенная в 1867 г. Морицем
Траубе. Она изготовляется просто: можно
капнуть, например, концентрированным раствором
медного купороса на поверхность слабого
раствора желтой кровяной соли. Тогда из
железистосинеродистой меди образуется пленочный
пузырь, висящий под поверхностью. Он быстро
раздувается благодаря проникновению воды
сквозь пленку, раствор вблизи пузыря, теряя
воду, становится более концентрированным и
у. - тяжелым и опускается жилками (теневая проек-
ханию раствора ция) вниз (Рис- 521)-
под действием ос- При специальных условиях вздутие имеет пре-
мотического давле- имущественное направление. Можно, например,
ния^ Пузырь, вися- бросить несколько маленьких кристалликов хло-
шии под поверх- г /Г, -,, ч г
ностью выглядит Ристого железа (РеС12) на дно кюветы, наполнен-
в проекции очень ной раствором железистосинеродистого калия
светлым. На ниж- [30 г К4Ре(СИN - ЗН2О на 1 л воды]; в течение
нем конце струйки, получаса до самой поверхности жидкости выра-
опускающеися а
вниз видно вихре- стают образования, напоминающие растения
вое кольцо. (рис. 522).
Подобные опыты с их количественной
разработкой можно описать при помощи схемы рис. 523. Там
изображены две камеры, разделенные полупроницаемой перегородкой 1^.
Каждая камера закрыта поршнем площадью Р. В обеих камерах
содержится растворитель (заштрихован), например
вода; в левой камере, кроме того, имеются
молекулы растворенного вещества (черные кружки).
Подобная установка не может находиться в
равновесии: оба поршня будут двигаться налево,
левый поршень выталкивается, тогда как правый
втягивается.
Объяснение: молекулы растворенного вещества
ведут себя качественно подобно молекулам газа,
их тепловое движение создает давление, которое
называется «осмотическим давлением» ровм- Осмо- Рис. 522. Благодаря
тическое давление выталкивает левый поршень и осмотическому да-
- „ г влению возникают
тем самым увеличивает объем, занятый раство- образования похо-
ром. Но это увеличение объема раствора жие на растения.
под действием осмотического давления
возможно только в том случае, если вода поступает из правой
камеры, причем правый поршень втягивается.
Осмотическое давление роом можно измерить двумя способами
(рис. 523, Ь)\ или с помощью левого поршня сжимают пружину,
или с помощью правого поршня растягивают пружину. В обоих

§ 162. ОСМОС И ОСМОТИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ
401
случаях возникает сила Е, препятствующая движению левого
поршня *). При достаточной деформации одной из пружин
увеличение объема раствора прекращается; очевидно, при этом $/Р =рот
и наступает равновесие.
С присоединением пружины каждый из обоих поршней может
быть превращен в измеритель давления (манометр). Простейшим
манометром является жидкостный
манометр. В этом манометре поршень
заменяется свободной поверхностью
жидкости, а сила пружины—весом
столбика жидкости. Можно поэтому
по выбору воспользоваться схемой
рис 523, с или 521?, й. В обоих
случаях искомое осмотическое давление
определяется по высоте столба
жидкости п.
Схемы рис. 523, спи можно
объединить и сделать камеры такого же
сечения, как у манометрических
трубок; так мы приходим к простой V-
образной трубке, которая в самом низу
разгорожена полупроницаемой пере- а
городкой У/. В левой половине раствор а
поднимается вверх, тогда как уровень
воды в правой половине опускается
(рис. 523, е).
В некоторых практически особенно
важных случаях полупроницаемая пе- Рис# 523. К увеличению объема
регородка подвижна сама. Эти случаи раствора благодаря осмотиче-
легко сделать наглядными с помощью скому давлению,
одного модельного опыта (рис. 524—
525). Маленькие стальные шарики изображают молекулы воды, тогда
как большие — молекулы растворенного вещества. Наружные стенки
все время колеблются, они создают беспорядочное тепловое движение
модельных молекул. Перегородка между камерами просверлена
наподобие сита и для маленьких шариков проницаема. С помощью
пружины «полупроницаемая» перегородка устанавливается в положении
покоя посредине. Если имеются только маленькие шарики, то
положение перегородки не изменится, когда эти шарики придут в
беспорядочное движение (рис. 524). Если в левую камеру добавить
больших шариков, то их «осмотическое» давление оттесняет стенку
направо. На рис. 525 левая камера под давлением больших
«молекул» расширяется. В обоих случаях можно начинать опыт с любым
') Вода имеет значительную прочность на разрыв (§ 78), поэтому оба
поршня можно рассматривать как жестко связанные. (Ср. также § 157.)

402
XVI. ТЕПЛОТА КАК БЕСПОРЯДОЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ
распределением маленьких шариков, например все маленькие шарики
могут находиться в левой или все в правой камере: во всех случаях
устанавливается равновесие, изображенное на рис. 524 и 525.
Этот модельный опыт объясняет, например, поведение красных кровяных
шариков в воде. Их разбухание происходит вместе с растяжением их
полупроницаемой упругой оболочки. В конце концов оболочка разрывается. Чтобы
избежать этого, никогда нельзя при тяжелых потерях крови вливать в вены
чистую воду, в этом случае пользуются раствором с осмотическим давлением
таким же, как внутри красных кровяных шариков (росм = 7 атм соответствует
раствору поваренной соли с ионной концентрацией с == 2 • 0,16 киломоль\мъ).
Самое существенное во всех осмотических явлениях — это
«разбухание», т. е. увеличение объема раствора. Оно всегда
имеет место, если молекулы
растворенного вещества не
могут выйти из раствора,
растворитель же может
проникать в раствор. Это условие
можно выполнить даже без
видимой полупроницаемой
перегородки; можно в качестве
«полупроницаемого» использовать
безвоздушное пространство. Это
происходит, например, при
изотермической перегонке.
На рис. 523, / изображен
сосуд, из которого откачан
воздух, и в нем два цилиндра. Левый
цилиндр содержит раствор,
например раствор ЫС1 в воде,
правый— растворитель, т. е. в нашем
примере воду. Вначале оба цилиндра наполняются до одинаковой
высоты уровней, уровни были ос и C. В течение нескольких дней раствор
«разбухает» и появляется разность уровней (хороший
демонстрационный опыт); пусть равновесное значение разности уровней будет Н.
Тогда давление, создаваемое весом столба жидкости высотой Н,
равно осмотическому давлению роож', таким образом,
Роем = прь§ C63)
(Рх — плотность раствора, § — ускорение свободного падения).
Объяснение: над обеими поверхностями жидкости находится
насыщенный пар. В обоих случаях он состоит только из молекул
растворителя, но давление насыщенных паров ръ над раствором
меньше, чем давление насыщенных паров р0 над чистым
растворителем (демонстрационный опыт на рис. 526). Поэтому на рис 523, /
на поверхность а в единицу времени падает больше молекул воды,
чем их через нее вылетает, таким образом вода перегоняется из $ в а.
Рис. 524 и 525. Модельный опыт
к возникновению осмотического
давления. Проекция на экран. По обе
стороны оси а виден край спиральной
пружины. Движение полупроницаемой
перегородки тормозится невидимым
на рисунке масляным тормозом.

§ 162. ОСМОС И ОСМОТИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ
403
Когда этот процесс приостановится? Ответ: давление насыщенных
водяных паров ро, соответствующее температуре наблюдения, есть давление пара,
находящегося непосредственно над поверхностью воды. С высотой это
давление убывает согласно барометрической формуле. На высоте к над
поверхностью воды давление будет:
Ръ=РФ
A79) (стр.194)
(р0 — плотность водяных паров над поверхностью воды). Если с
возрастанием к давление пара р^ сделается равным давлению паров рь над
поверхностью раствора, то число молекул, ударяющихся в единицу времени о
поверхность с/, будет не больше числа вылетающих; «разбухание» прекращается.
На основании вышеизложенного мы можем установить зависимость между
осмотическим давлением и давлением пара. Для этого мы положим/^ = Ръ и
положим, далее, в соответствии с уравнением C63)
Ь/ Тогда получается:
Ръ_
Ро
\3 "
ь • C64)
Далее, рассматривая водяной пар приближенно
как идеальный газ (§ 79), положим
и получаем:
или
Роом ^ а(
ро=рс
1 ^ъ —
п_-_
5с РЪ
р^т,
Рь~
C05) (стр. 355)
осм
Р0-Рь
або Ъ р
C65)
Нг0+1лС1
Рис. 526. Давление пара
над раствором меньше,
чем над чистым
растворителем. Верхний кран
применяется для откачки
воздуха, нижний — для
начального
выравнивания давлений.
Прямые измерения осмотического давления
довольно сложны и занимают много времени.
Выведенная только что формула C65) позволяет просто
сделать это измерение косвенным путем. Для этого нужно только сравнить
давление насыщенных паров рь над раствором с давлением их р над чистым
растворителем и вычислить осмотическое давление по формуле C65). При
этом большей частью измеряют не давления насыщенных паров рь и р0
раствора и растворителя, а соответствующие им температуры кипения Т^
и 7о- Тогда для определения осмотического давления получается простое
уравнение
Роем —
О'абс
C66)
(Рь — плотность раствора для очень слабых растворов ^ плотность
растворителя; То — температура кипения яг — удельная теплота испарения
растворителя. Если рь измерять в кг/м9 (= г/л), а г — в вт-сек/кг, то росм
получается в ньютон/м2].
Все прямые и косвенные измерения осмотического давления
приводят для слабых растворов (порядка десятых долей моль/литр)

404 XVI. ТЕПЛОТА КАК БЕСПОРЯДОЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ
к удивительно простому результату: для молекул растворенного
вещества применимо термическое уравнение состояния идеальных
газов 0:
Ро<тУ = М/?7*або, или Роож = ^абс C67)
(М — масса растворенного вещества, содержащаяся в объеме V, итак,
М/У— концентрация массы с. Для с = 0,1 киломоль/м? = 0,1 моль/л и
Г=0° С=273° К осмотическое давление р00У1 равно 2,24 физической
атмосферы).
Появление одинакового уравнения состояния при различных
условиях очень поучительно. Становится ясным, что уравнение
состояния основывается в конечном счете на статистических
закономерностях термических массовых явлений, в особенности на основном
соотношении
^Терм= у*Гав0. C62) (стр. 399)
§ 163. «Физические молекулы». Экспериментальное
определение постоянной Больцмана к и удельного числа молекул N. При
осмотическом давлении в сахарном растворе и других, подобных
ему, все участвующие в тепловом движении частицы являются еще
молекулами в химическом смысле. Хотя молекулы сахара уже
значительно больше газовых молекул, но химически все они
построены однообразно. Теперь включается новый экспериментально
установленный факт: статистические закономерности теплового
движения справедливы не только по отношению к химическим
молекулам; они относятся также к значительно более грубым и химически
неоднородным образованиям, как например, к пылевидным частичкам,
взвешенным в жидкостях или газах. Пээтому понятие о молекуле
в физике значительно шире, чем в химии. Физик называет
каждую отдельную частицу, участвующую в статистическом
равномерном распределении тепловой энергии, молекулой.
«Физическая молекула», таким образом, совсем не обзательно должна
быть невидимой, достаточно вспомнить столь выразительную кар-
1ину броуновского молекулярного движения (§ 74). И к
молекулам в физическом смысле можно применить термическое уравнение
1) Поэтому часто используют осмотическое давление для определения
молекулярного веса (М) растворенного вещества. Полагая
/^8,31.10?^,
(М) кг • град
получаем для молекулярного веса
ньютон • метр М Тя6с.
(А!) = 8,31 • 103 _1 —!«!
кг-град У осм
[М\У — концентрация с раствора, большей частью измеряемая в г/л, и рОо
в атм\ ср. уравнение C66)].

§ 163. «ФИЗИЧЕСКИЕ МОЛЕКУЛЫ» 405
состояния идеальных газов, или его основу, уравнение V?т = -к кТа6с
Это будет показано ниже.
Каждому известно поведение мутной от взвешенных частиц
жидкости: с течением времени жидкость проясняется, взвешенные
частицы «оседают на дно». При этом крупные частицы
образуют четко ограниченный слой, а мелкие частицы образуют
размытое, постепенно кверху разрежающееся облако мути.
Объяснение: частички, благодаря своему весу (уменьшенному
гидростатической подъемной силой), тянутся вниз, но беспорядочное тепловое
движение частиц противодействует этому движению вниз 1). В
результате этого состязания частицы распределяются по высоте так же,
как молекулы воздуха в атмосфере. На рис. 527 показаны
взвешенные в воде частички гуммигута диаметром 0,6 (х. Моментальные
снимки дают распределение частиц в четырех последовательных
горизонтальных слоях, каждый из которых имеет высоту 10 (х.
Последовательность этих снимков совпадает с продольным сечением
нашей модельной газовой атмосферы на рис. 240, стр. 195.
Уже это качественное совпадение чрезвычайно убедительно.
Решающей, однако, является количественная оценка.
Ранее мы представили распределение молекул в поле тяжести
с помощью барометрической формулы. Она гласит:
^А=е ~^Г A79) (стр. 194)
Ро
(р.—давление на высоте к, р0— давление и р0 — плотность газа на нулевой
высоте).
Теперь мы заменим отношение обоих давлений отношением
плотностей числа молекул. Напишем:
р. N ,, число частиц/объем на высоте Н
число частиц/объем на высоте нуль
1) Каждая взвешенная частица сталкивается в быстрой беспорядочной
последовательности с невидимыми молекулами жидкости. Во всякий
промежуток времени М между двумя такими столкновениями каждая взвешенная
частица имеет в среднем кинетическую энергию
Ът* = ЪкТ*«> C47) (СТР> 389)
(т — масса взвешенной частицы). К сожалению, промежуток времени М
совершенно недостаточен для измерения скорости. В противном случае
можно было бы непосредственно измерить и, подставить найденное значение
в уравнение C17) и таким образом определить к. (Ср. позднее конец § 171.)

406
XVI. ТЕПЛОТА КАК БЕСПОРЯДОЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ
кроме того, мы связываем давление и плотность термическим
уравнением состояния идеального газа. Напишем его в форме
Ро = \
= р0^ Га6о C05) и C08) (стр. 355)
1 т
Рис. 527.
Распределение плотности
взвешенных частиц в воде.
Рисунок по
фотографии Перрена. Здесь
б
(/? — газовая постоянная, к— постоянная Больц-
мана, т — масса одной молекулы)
и получаем барометрическую формулу в виде
-ТГ=е кТ^' C69)
Это уравнение в применении к молекулам
в химическом смысле содержит два
неизвестных, а именно пг и к. Но для «физической»
молекулы масса ш известна (из диаметра
и плотности). Поэтому можно определить к,
если сосчитать число частиц п на различных
высотах к. Это было впервые выполнено
Ж. Перреном A909). Масса единичной
взвешенной частицы была т = 2,17 • 10~17 кг
(ср. подпись к рис. 527); масса водородного
атома равняется только 1,65 • 10~7 кг.
Следовательно, эти маленькие взвешенные частички
имели «молекулярный вес» (Ж) = 1,3 • 1010.
В воздухе [(М) = 29] давление р и плотность р
уменьшаются вдвое при увеличении высоты на
5,4 км. Для «физических» молекул, т. е.
взвешенных частиц, такое же уменьшение про-
29
изображень7"'четь1рё изойдет при увеличении высоты на ~
горизонтальных
сечения, находящихся
одно от другого на
расстоянии Н — 10 \х.
Частички гуммигута —
диаметром 0,6 у. с
плотностью р = 1210 кг/мз. очень хорошо совпадают со значениями этих
Масса одной частички величин, найденными путем электрических
измерений.
• 5,4 • 106лш^0,01 мм=\0\>. (см. рис. 527).
Величина постоянной Больцмана к и
удельное число молекул И=Щк, определенные из
распределения взвешенных частиц по высоте,
~18
1,25-1018 кг,
действующая масса при
учете
гидростатического выталкивания
составляет
т = 2,17-10-" кг.
Падение концентрации взвешенных частиц можно
получить и другими способами. Очень часто силу
тяжести заменяют центробежной силой (§ 85,1).
С современными материалами можно применять
центробежные ускорения, в 10е раз превышающие
земное ускорение (частота оборотов ^ 1800 сек~1 при
окружной скорости 900 м/сегс и радиусе 8 см). Тогда в уравнении C69)
следует § заменить через Ю8^. Таким способом можно обогатить
взвешенные частицы большими химическими молекулами («ультрацентрифуга»).

§ 164 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ БОЛЬЦМАНА 407
§ 164. Определение постоянной Больцмана к из
броуновского движения. Видимыми пылевидными взвешенными частицами
ни в коем случае не ограничивается применение понятия физической
молекулы. Мы возращаемся к демонстрационному опыту на рис. 524.
Разделительная стенка между двумя сосудами с газом могла там
поворачиваться вокруг оси а. Ее положение покоя определялось
спиральной пружиной. Установка под обстрелом модельных
молекул не приводила к какому-либо определенному окончательному
0*=2,7-Ю~'вкгмг сек-*
Т =300 сек
Емин
Рис. 528. Колебания нулевой точки вращающейся
подвешенной системы с очень малым моментом
инерции в и очень малым направляющим моментом О*.
(Регистрационная кривая Е. Капплера.
Непрерывный спектр подобной кривой колебания
изображается в широком диапазоне частот прямой,
параллельной оси абсцисс (ср. «Оптика», рис. 449).)
положению, но длительно обнаруживала оживленные, совершенно
беспорядочные колебания. Объяснение: в этом модельном опыте
подвижную стенку нужно рассматривать как «физическую»
молекулу, ее беспорядочные колебания соответствуют броуновскому
движению взвешенной частички. Они возникают благодаря
статистически нерегулярным ударам модельных молекул.
Теперь мы значительно уменьшим массу и момент инерции И
вращающейся системы и заменим стальные шарики молекулами
воздуха. Таким образом мы приходим к маленькому подвешенному
зеркальцу (рис. 528). Его повороты наблюдаются на шкале с
помощью светового указателя. Эта система никогда не достигает
покоя; на рис. 528 приведена фотографическая регистрация ее
движения в течение 20 мин.; приведены данные. Прежде всего
нужно обратить внимание на период колебания Т системы. Он
много больше промежутков времени между двумя поворотами
зеркала.
Наша вращающаяся система имеет для потенциальной энергии
только одну степень свободы. Отбросу р соответствует потенциальная

408 XVI. ТЕПЛОТА КАК БЕСПОРЯДОЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ
энергия
у C70)
(О*— направляющий момент, измеряемый по уравнению A04) на
стр. 103).
Усредненная по времени, эта потенциальная энергия должна
равняться термической энергии ударяющихся молекул, т. е. 1^те1,м =
= тг /гТабо. Таким образом, получается:
О*р = &7аб0. C71)
Это уравнение содержит, кроме к, только измеряемые величины;
тем самым с помощью уравнения C71) броуновское движение
системы позволяет эксперименально определить к.
По движению, зарегистрированному на рис. 528, с большей
продолжительностью наблюдений определяют ра = 1,47 • 10~б и отсюда
к = 1,38 • 10~^вт-сек/град.
§ 165. Термически обусловленная граница чувствительности
измерительных инструментов. Мы повторяем: вращающаяся
подвешенная система с малым моментом инерции в и малым
направляющим моментом О* не имеет определенного положения покоя. Ее
нулевая точка непрерывно блуждает туда и сюда в беспорядочном
движении (см. рис. 528). Система участвует как «физическая
молекула» в массовом явлении термического движения молекул. Это
обстоятельство ограничивает наивысшую достижимую
чувствительность при конструкции важных приборов. Это можно показать
на следующем примере. Предполагается, что известны некоторые
элементарные сведения по электричеству.
Пусть гальванометр с подвижной рамкой устанавливается за
время ( апериодически, т. е. без качаний и без медленного
ползания. За время установления (, т. е. за время, пока
вращающаяся система повернется на угол, соответствующий окончательному
отклонению, в рамку подводится энергия
1Г=/2#8; C72)
(например, Ш—в ватт-секундах, ток /—в амперах, сопротивление /?в
вращающейся рамки — в омах).
Большая часть этой энергии превращается в теплоту. Кроме
того, увеличивается потенциальная энергия вращающейся системы
ввиду закручивания пружины. Работа А, совершаемая на
закручивание пружины, имеет такой же порядок величины, как и XV.
В зависимости от характера конструкции и употребления прибора А
имеет значение от 0,1 № до 0,2 №. Вывод завел бы нас слишком

§ 165. ГРАНИЦА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ИНСТРУМЕНТОВ 409
далеко. Мы будем проводить расчеты дальше для случая А я^ 0,13 №\
Благодаря термическому движению система получает энергию
^терМ=у^абс C62) (СТр. 399)
Работа закручивания пружины А, совершаемая электрическим током,
должна быть по крайней мере такой же величины, как эта
термическая энергия Потери» Иначе не получится никакого заметного
отброса. Таким образом, уравнение 1^терМ и 0,13 ИР позволяет
определить наименьшую энергию, необходимую для регистрации
тока
{к = 1,38 • Ю~23вт-сек/град)
или мощность
/2минЯ8^4&Га6с/*. C73)
Эта минимальная мощность, необходимая для отсчета, может
быть достигнута сколь угодно малым током. Нужно иметь очень
низкую температуру Табо лаборатории, а сопротивление рамки /?8
и время установления г должны быть очень большими. Температура
лаборатории изменяется только в узких пределах; практически она
равна комнатной температуре, например ГабС = 291°. Таким
образом, мы можем распоряжаться только сопротивлением /?8 и
временем установления (. Сопротивление /?8 = 2000 ом и время
установления I = 20 сек. для многих целей являются уже чрезвычайно
большими. (Они относятся к зеркальному гальванометру,
изображенному на рис. 75 в томе «Электричество».) Если эти величины
подставить в уравнение C73), то получается:
Лшп = 6 • 103 а.
Отброс, вызванный этим током, не больше отклонений,
вызванных термическим движением. Поэтому об измерении не может быть
и речи. Наименьший, еще доступный измерению ток должен давать
отброс значительно, по крайней мере в пять раз, больший, чем
статистические колебания, вызванные термическим движением. Таким
образом, находим:
В лаборатории с комнатной температурой меньшие токи нельзя
измерять с помощью названного зеркального гальванометра.
Термическое движение подвижной системы, или, иными словами, ее
броуновское движение, устанавливает границу для чувствительности
гальванометра. То же самое относится и к другим приборам,
например к радиоприемникам, нашему уху и т. д.

410
XVI. ТЕПЛОТА КАК БЕСПОРЯДОЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ
§ 166. Статистические флюктуации и число частиц. Рис. 529
в верхней половине показывает моментальный снимок нашего
модельного газа из стальных шариков (§ 80, экспозиция 10~5 сек.).
Весь объем в целом разделен на 16 частей. Эти же части
изображены в нижней половине рисунка и на каждой проставлено число
шариков, находившихся в нем в момент съемки. В среднем
получается я:=^8, но отдельные значения обнаруживают значительные
отклонения (флюктуации), определяемые уравнением
отклонение кп единичного значения от среднего
среднее значение п * ^ '
Значения Дя и, наконец, (ДяJ также приведены на рис. 529.
Образуем среднее значение квадрата г2
и находим из достаточного числа
подобных опытов
п
п
ЛП
1
•
3
-5
25
5
-3
9
V
7
-7
7
7
-7
7
• •
•
9
•♦■
7
<?
0
к
\
т
+2
1*
11
+3
9
•
к ш
5
-3
9
12
+ 1ф
18
13
+5
25
9
+1
1
9
/7
/
5
-3
9
* 4
*;
3
-5
25
6
-2
*
C75)
:л - в;
В словесной форме: среднее
значение квадрата флюктуации
равно обратной величине числа
участвующих частиц.
Это соотношение, найденное
здесь эмпирически, имеет общий
характер и применимо, например,
к объему, занятому п
молекулами газа, к плотности газа,
к флюктуациям при распаде
радиоактивных атомов
(«Электричество», § 168, рис. 435) и т. д.
Мы приведем доказательство для флюктуации плотности идеального газа.
Пусть в большом объеме идеального газа выделен частичный объем этого
газа, заключенный в цилиндр и закрытый с одной стороны поршнем,
обладающим свободной подвижностью. Этот поршень мы рассматриваем как
физическую молекулу. В качестве таковой поршень участвует в
статистическом процессе теплового движения.
Если беспорядочно колеблющийся туда и сюда поршень изменяет объем V
на ДК, то он получает при этом потенциальную энергию
Рис. 529. К экспериментальному
выводу уравнения C75).
C76)
Эта энергия должна иметь среднее по времени значение -~
таким образом,
або
C77)
Но

§ 167. ТЕОРЕМА БОЛЬЦМАНА 411
или после подстановки в C77)
{^ = -~. C78)
~ОУ
Газовый закон C07) (стр. 355) дает для знаменателя
йр __ пкТабе
IV ~~ V* '
Следовательно,
С левой стороны находится флюктуация объема, заключающего п молекул.
Вместо нее можно ввести концентрацию молекул Ыь = п/У, Имеем ЫуУ=
= п = сопз1; таким образом,
У = 0 C80)
или Ь^ _ ДК
— —-— C81)
и, наконец, / ДЛ^ V / ^Р V 1
(~^у (Г/ ^ C82)
(р — плотность = масса/объем, ср. § 21).
§ 167. Теорема Больцмана. Возвратимся к барометрической
формуле
^А = е'^7Го. C69) (стр. 406)
V
Произведение т^Н имеет простой физический смысл: это —
разность Ь№ потенциальных энергий молекулы в поле тяжести на
двух уровнях, отстоящих друг от друга по высоте на к. Таким
образом, мы получаем:
C83)
(// 1 й — число молекул/объем на высоте к; N = число молекул/объем на
начальной высоте. Молекулы, к которым относится индекс к, имеют избыток
потенциальной энергии Д1^
Выведенная здесь для частного случая теорема Больцмана
может быть значительно обобщена. Она дает для всех
термически равновесных процессов отношение чисел молекул, энергии
которых в некотором силовом поле различаются на величину Д^.
В рамках этого введения будет достаточным дать некоторые
указания на возможности применения очень общего уравнения C83).
С его помощью, например, можно описать: зависимость давления
пара какого-либо вещества от температуры. Тогда ДМ^ обозначает
удельную теплоту испарения, отнесенную к одной молекуле.

412 XVI. ТЕПЛОТА КАК БЕСПОРЯДОЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Статистические флюктуации. Тогда, например, для
подвешенного зеркала, могущего вращаться (§ 164), ДПР обозначает работу
закручивания.
Максвелловское распределение скоростей (§ 160). Тогда ДНР
обозначает кинетическую энергию молекулы.
Зависимость равновесия химической реакции от концентраций уча-
ствующих в реакции веществ (закон действующих масс). Тогда ДПР
обозначает тепловой эффект реакции, отнесенный к одной молекуле.
Зависимость электропроводности неметаллических электронных
проводников от температуры. Тогда ДПР обозначает работу
отделения электрона от его партнера.
Электронную эмиссию раскаленного тела. Тогда ДПР обозначает
работу выхода электрона.
Спектральное распределение энергии излучения черного тела.
Тогда ДПР обозначает энергию /Ь кванта света с частотой V.
Ввиду исключительной важности уравнения C83) мы приведем еще один
общий наглядный вывод этого уравнения.
Пусть две молекулы, имеющие энергии Шг и ИР2» участвуя в
статистическом процессе теплового движения, упруго сталкиваются друг с другом и
после столкновения получают энергии \7У и ПР2. Тогда
щ + ^2 = К + 1^2 • C84)
При статистическом равновесии число переходов ./V, происходящих слева на-
право согласно этому уравнению, должно равняться числу переходов N,
происходящих справа налево. Мы обозначим через N (\Х/) число молекул с
энергией Ш. Тогда
N = сот1 N (\У[) N (]У'2). C85)
Константы в обоих последних уравнениях мы считаем одинаковыми; это
естественное предположение в дальнейшем оправдывается полученным с его
помощью результатом. Тогда из уравнений C85) следует:
N (Щ) N (Щ) = N (\Р[) N(Ш'2). C86)
Теперь нужно найти такую функцию М(№), которая удовлетворяет
одновременно уравнениям C84) и C85). Такой функцией будет:
ЛЧИР) = ЛГ0баЖ. C87)
Ее подстановка в C86) дает:
т. е. тождество, в случае применимости уравнений C84). Далее из C87) следует:
Наконец, сравнение с частным случаем барометрической формулы C69)
дает а = — 1/кТа6в. Таким образом, получаем вообще

XVII. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА, ПРЕИМУЩЕСТВЕННО
ДИФФУЗИЯ
§ 168. Предварительное замечание. Мы уже два раза
рассматривали процессы диффузии, причем оба раза в связи с
молекулярной картиной тепловых явлений (§ 74 и § 158). В этой главе
будет проведено количественное рассмотрение диффузии, и в
конце — родственных проблем теплопроводности и теплопередачи.
Начинающие могут некоторые выводы пропустить. Хотя мы и рас-
сматриваем здесь практически важную задачу, но ее
количественное решение, так же как и решение важного для техники вопроса
о внешнем трении, пока что мало удовлетворительно.
§ 169. Диффузия и смешение. Прежде всего следует строго
разграничить понятие диффузии от других процессов смешения.
Сначала рассмотрим две различные, но смешивающиеся жидкости,
налитые одна в другую (см. рис. 205 на стр. 170), причем нижняя
жидкость имеет большую плотность. Первоначально резкая граница
будет постепенно размываться, но только по истечении нескольких
недель произойдет полное смешение обеих жидкостей. В этом
случае имеет место истинная диффузия, взаимное перемешивание
молекул обоих сортов является просто следствием молекулярного
теплового движения.
Во втором случае пусть внутри жидкостей имеются местные
различия плотности, возникшие, например, благодаря местному
нагреванию; тогда появляются довольно хорошо заметные
поднимающиеся и опускающиеся течения. Такая «свободная конвекция»
чрезвычайно ускоряет смешение жидкостей; по сравнению с нею
истинная диффузия практически может потерять какое-либо
значение.
Последнее в возрастающей степени относится к третьему
случаю, когда конвекция «вынуждается» посредством движущегося
твердого тела, в простейшем случае мешалки, и образует т.урбу-
лентные течения.
Чтобы наблюдать лишь истинную диффузию, нужно с помощью
соответствующей экспериментальной установки исключить обе
формы конвекции, свободную и вынужденную. Можно, например,
жидкости и газы меньшей плотности пустить «плавать» на жидкостях

414
XVII. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА, ПРЕИМУЩЕСТВЕННО ДИФФУЗИЯ
или газах большей плотности и при этом тщательно исключить
возникновение температурных разностей. Проще всего один из
сортов молекул взять в твердой фазе.
§ 170. Первый закон Фика и постоянная диффузии. Мы воз-
вращаемся к рис. 512, схематизируя его рис. 530: пусть газ,
например Иг, диффундирует через пористую перегородку
толщиной /. По обе стороны перегородки и в ее
/1ористав каналах находится воздух, который играет роль
«растворителя.». Перегородка должна препят-
Т ствовать только образованию мешающей
конвекции.
Мы определяем, как всегда, концентрацию
молекул частным
N =
число п растворенных молекул
объем V раствора
B4)
Расстояние х
от левой
поверхности (стороны
Рис. 530. К выводу
уравнения C90).
Перед перегородкой поддерживается постоянная
концентрация молекул Л^,,а, позади перегородки
все продиффундировавшие молекулы тотчас же
тем или иным путем удаляются. Тогда внутри
перегородки устанавливается падение
концентрации
^N N
Ьх
I
Измеряют число молекул Дя, продиффундировавших за время Д/
через поверхность Р, и находят экспериментально «молекулярный
ток»
Ли
C90)
В словесной форме: «Поток диффундирующих молекул
пропорционален падению концентрации» (первый закон Фика). Коэффициент
пропорциональности В называется постоянной диффузии.
Таковы эмпирические данные. Молекулярные представления
позволяют дать им объяснение, а в простейших случаях и вычислить
постоянную диффузии й.
Диффундирующие молекулы (в химическом или физическом
смысле) постоянно соударяются с молекулами окружающей их среды
(«растворитель»). На каждую единичную молекулу действует в
среднем по времени сила $ в направлении диффузии и продвигает ее,
преодолевая сопротивление трения среды, со скоростью и.
Соответствующая мощность
(85) (стр. 91)

§ 170. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ФИКА И ПОСТОЯННАЯ ДИФФУЗИИ 415
Она непрерывно передается окружающей среде в форме
теплоты. Частное
««X C91)
называется «механической подвижностью».
Для шарообразных молекул, например, подвижность определяется по
формуле
ь = Fпггй~1* A88) (стр. 207)
если длина свободного пути мала по сравнению с диаметром (г—радиус
молекулы; т) — постоянная вязкости окружающей среды, т. е. растворителя).
На рис. 531 изображен тонкий слой растворителя,
перпендикулярный к направлению диффузии. Пусть поперечное сечение слоя
будет Р, его толщина Ал:. Тогда в слое
содержится я^ЛуД* растворенных Направление
молекул (черные точки). На каждую в от- ~1 "^ -
дельности действует сила ^. Эту силу
можно заменить осмотическим давлением
Ь.р=.{рх— р2), действующим на участке
поверхности Г/п. Тогда имеет место
соотношение
1 кр /опоч ^ис# 531. К механизму за-
(оУI) кона фика.
Для осмотического давления справедлив газовый закон
^ C07) (стр. 355)
Отсюда получается:
^ C93)
Подстановка C92) и C93) в C91) приводит:
или, вводя сокращенное обозначение
постоянная диффузии
C94)
О Ш
а= А7--А-2. C95)
С этой «скоростью диффузии» и за время Д^ через площадку Р
диффундирует Д« молекул. Тогда имеем:
Дя = ЫРиЫ9 C96)

116 XVII. ПРОЦЕССЫ" ПЕРЕНОСА, ПРЕИМУЩЕСТВЕННО ДИФФУЗИЯ
или для скорости диффузии
1 Ал 1
Р М N
C97)
Из C95) и C97) мы получаем, наконец, ранее найденный
эмпирический первый закон Фика
М
Дл:
C90) (стр. 414)
Постоянная диффузии имеет размерность [путь2/время], в табл. 12
приведены некоторые численные значения.
Таблица 12
о2
Мочевина . . . .
Поваренная соль
Тростниковый
сахар
Золото
Золото
Калий как
красящий центр . .
Диффундирует
В воздухе при
/? = 76 см рт. ст.
В воде
В расплавленном
свинце
В твердом свинце
В кристалле КВг
При
температуре. °С
о
о
15
10
18,5
490
165
680
650
С постоянной
диффузии И,
м^/сек
6,4-10
1,8-10~5
10~9
9,3 • 10~10
3,7- 1СГ10
3,5 -10~9
4,6- 10
2,3-10"
5,2 ■ 10"
-12
И при этом
единичная
молекула
удаляется за день
от своего
исходного места
на
3,3 м
1,8 м
13 мм
13 мм
8 мм
25 мм
0,9 мм
6 см
9,5 см
Очень часто приходится иметь дело с диффузией электрически
заряженных (химических или физических) молекул. Эти «носители
электричества» получают в электрическом поле, во время их
диффузии, преимущественное направление и поэтому образуют
электрический ток проводимости. Так возникают, например, ионные и
электронные токи в жидкостях, газах и твердых телах. В наиболее
благоприятных случаях можно непосредственно глазом проследить
за таким направленным процессом диффузии. Это будет показано
в «Учении об электричестве» в § 143 для ионов и в § 218 для
электронов.

§ 170. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ФИКА И ПОСТОЯННАЯ ДИФФУЗИИ
417
Подвижность уе носителей электричества относят обычно не к единице
силы, а к единице напряженности электрического поля, т. е. @ = сила й/за-
ряд е, измеряемой в вольтметр. Таким образом, мы получаем для
электрической подвижности
_ ие _
C98)
{в — заряд носителей тока, например в ампер-секундах).
Для применения закона Фика необходимо знать падение
ДЛ^/Дл: концентрации. Эту величину легко определить для
стационарного состояния (рис. 530); но ее можно с хорошим приближением
определить также для многих приблизительно
стационарных (квазистационарных) процессов.
Подобный пример приведен на рис. 532.
Твердое тело V содержит п молекул сорта А в
объеме V, поэтому концентрация равна Ы„ = п/У.
Это может быть твердый раствор, например,
атомов таллия в кристалле КВг. Пусть в это
твердое тело слева диффундируют п* молекул газа,
например Вг2; эти молекулы на поверхности
фронта диффузии соединяются с п молекулами А и
поэтому исключаются из дальнейшего процесса
диффузии. Какой путь х проходит фронт
диффузии за время I?
В объеме Г их находятся ёп=ЫуР' их
молекул сорта А; таким образом,
йп*
си
Рис. 532. Линейное
падение концентра-
C99) Ц'ИИ ПРИ ДИФФУЗИИ
^ с химическим
превращением.
Такой процесс с очень хорошим приближением можно еще
рассматривать как стационарный. Это обозначает, что их можно
пренебречь по сравнению с х и рассматривать процесс практически
как закрепленный на месте. Вследствие этого слой толщины х
вещества, уже подвергшегося химическому превращению, играет
роль перегородки рис. 530. Концентрация диффундирующих
молекул слева перед этим слоем Ы<о, справа за ним, т. е. по
поверхности фронта диффузии или реакции, равна нулю. Таким образом,
для падения диффузии имеем приближенно опять
Ьх
К
X
D00)
Мы применяем уравнение C90) к л* молекулам и получаем с
помощью C99) и D00)
4х N1
Кг^г = О~- D01)

418 XVII. процессы переноса, преимущественно диффузия
Интегрируя, получаем:
К
х* = 2 -^ О;, D02)
и таким образом получается ответ на поставленный выше,
напечатанный курсивом вопрос
= О. сопз! ! D03)
(сопз* — отвлеченное число).
Содержание этой формулы можно продемонстрировать на
вышеприведенном примере диффузии Вг2 в кристалл КВг, содержащий Т1.
Ранее коричневая окраска слоя х просветляется, так как
образуемые молекулы Т1Вг бесцветны (см. «Оптика», § 250, прим. 1).
Уравнение D03) играет важную роль для поверхностных реакций
металлов, например, при их «побежалости».
§ 171. Нестационарная диффузия. В обоих примерах применения
закона Фика концентрация диффундирующих молекул на переднем
крае диффузионного пути поддерживалась постоянной и равной
нулю. Вообще говоря, концентрация Л^ молекул на обеих
сторонах рассматриваемой области диффузии меняется со временем.
Процесс теперь больше не стационарный; пространственное
распределение диффундирующих молекул изменяется со временем.
Приращение концентрации молекул Ы„ в каждой части объема между
хг и х2 можно найти по разности числа входящих у хх и
выходящих у х2 молекул.
Если потоку частичек в положительном .^-направлении дать
положительный знак, то для скорости изменения концентрации А^„ в объеме V между
хг и х% получим:
А„ _ 1 [дп
дЬ V \ д*
дп
ч
Полагая У=Р-{х^ — х^), получим с помощью уравнения C90)
дЫ дШ
дг дх* '
Это дифференциальное уравнение называется вторым законом Фика.
Приведем, правда без вывода, пример нестационарного
процесса диффузии. Пусть в момент ^ = 0 концентрация во всей
рассматриваемой области равна нулю. Перед этой областью
концентрация имеет значение М„,а и поддерживается постоянной в течение
всего процесса диффузии. Как со временем возрастает
расстояние х между местом с определенной концентрацией А^ х и местом
входа х = 0? Ответ: опять имеем
4*- = О . сопз*. D03)

§ 172. О ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ПЕРЕНОСЕ ТЕПЛА ВООБЩЕ 419
10
Результат, вытекающий из этого уравнения, графически изображен
на рис. 533: распределения концентраций, относящихся к
различным моментам времени, подобны
между собой. Подходящим
выбором масштаба времени можно все
эти кривые наложить друг на
друга.
В случае броуновского движения
диффузия наблюдается не как
массовое явление, а как единичный
процесс. Прослеживают не продвижение
определенной концентрации, а
продвижение единичной частички.
Измеряют, как со временем I постепенно
увеличивается расстояние х этой
«физической молекулы» от
произвольного начального положения. В этом
случае находят в качестве постоянной
уравнения D03) число 2. Таким
образом,
\
\
\
ч
\
ч
ч
Ч
х-
ч
сопзЬ
VI
<
12 3 4 5
Расстояние х от входной
поверхности
Б 7
D05)
Рис. 533. Падение диффузии,
зависящее от времени. Пути х, проходимые
определенной величиной
концентрации, например 40% начального
значения Ыь, а, относятся между собой,
как квадратные корни из
продолжительности диффузии, например как
1:2:4.
В случае шарообразной частички можно О вычислить из уравнений A88)
и C94) на стр. 207 и 415. Таким образом, получим:
х*
кТ,
абс
D06)
(г — радиус частички, •») — постоянная вязкости жидкости).
И это уравнение можно применить для экспериментального определения
постоянной Больцмана к=1,38'10~^впг-сек/град.
§ 172. О теплопроводности и переносе тепла вообще. Многое
из сказанного относительно диффузии применимо и к
теплопроводности. И здесь следует отличать истинную теплопроводность,
обусловленную молекулярными процессами, от значительно более
интенсивного в большинстве случаев переноса тепла свободной и
вынужденной конвекцией.
На рис. 534 приведен пример переноса тепла конвекцией. На
горячей металлической пластинке находится слой жидкости примерно
3 мм толщиной, а над ним—прохладный комнатный воздух.
К жидкости примешаны в виде взвешенных частиц алюминиевые
опилки, чтобы сделать видимой свободную конвекцию. Получается
развитая картина потоков, напоминающая соты.
Перенос тепла вынужденной конвекцией имеет место в
радиаторе любого автомобиля.

420 XVII. процессы переноса, преимущественно диффузия
Важное и поучительное применение переноса тепла
проводимостью и конвекцией имеет место в «протавоточнике».
В лаборатории иногда нужно временно изменять температуру
текущего вещества, например, чтобы ускорить химическую реакцию
в жидкости или очистить ее дистилляцией. Тогда используют схему,
изображенную на рис. 535. Слева текущему веществу с помощью
нагревательного приспособления сообщается теплота, справа эта
теплота с помощью холодильного
устройства снова отнимается. Такое
устройство удобно, но непрактично.
Вся подведенная в а теплота отдается
в Ь охлаждающей проточной воде и,
таким образом, теряется.
Можно избежать этой
неприемлемой для технических задач растраты
энергии, в идеализированном
предельном случае даже полностью. Для этого
служит придуманный в 1857 г.
Вильгельмом Сименсом противоточник.
Принцип его устройства пояснен
на рис. 536. Слева вверху втекает
Рис. 534. Перенос тепла конвек- жидкость, например вода, при комнат-
цией в слое жидкости. Пото- ной температуре Г1, внизу, в шаро-
ки разделены ячейкообразно. образном сосуде, она имеет темпера-
Ячейки взаимно деформируют т. Олог
друг друга и в большинстве ТУРУ Тг> скажем, 80 С; вверху направо
случаев имеют форму шести- вода вытекает снова при комнатной
угольников; иногда их однород- температуре Тх. В принципе требуется
ность почти такая же, как у подвести теплоту текущей жидкости
пчелиных сот. В каждой ячейке у •'
жидкость поднимается внутри только при пуске аппарата в ход, в при-
вверх и спускается по внеш- мере— нагреть воду в шаре до 80 .
нему контуру вниз. Потоки пол- После этого дальнейший приток тепла
ностью стационарны. Если их принципиально не нужен. Вода, теку-
нарушить размешиванием, то „ -
в течение доли минуты возни- ^ая п0 внешней трубке вверх, отдает
кают новые. Натуральная ве- теплоту воде, текущей по внут-
личина. ренней трубке вниз. При
достаточной длине труб «обмен
температурами» происходит при ничтожной разности температур. На любой
высоте текущая вверх вода лишь незначительно теплее текущей
вниз.
В действительности не существует противоточника, не
потребляющего энергии. Во-первых, нельзя избежать потерь из-за
теплопроводности вдоль трубопровода 1). Поэтому необходимо с помощью
нагревателя подводить энергию, но в гораздо меньшей мере, чем
г) Но их можно уменьшить при помощи очень длинных спирально
изогнутых трубопроводов.

§ 173. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
421
на рис. 535. Во-вторых, течение в трубках должно быть
турбулентным для того, чтобы обеспечить хороший теплообмен. Поддержание
турбулентного течения возможно только при работе насоса или
аналогичного приспособления.
Подведем краткий итог: в идеальном предельном случае противо-
точник решает важную техническую задачу — он позволяет, без
непрерывного подвода энергии изменять на время температуру
текущего вещества.
Шоднад
О
Таблица 13
Рис. 536. Схематический
эскиз противоточника.
Изменение температуры
текущего вещества без
рассеяния энергии.
§ 173. Стационарная теплопроводность. Истинная
теплопроводность легко наблюдается в твердых телах. В газах и жидкостях,
как и в случае диффузии,
необходимо
условиями
конвекцию.
Формальное рассмотрение
теплопроводности аналогично
рассмотрению диффузии. Пусть
за время Д/ через
поверхность Р проходит количество
тепла Дф, причем
температурный градиент равен ДГ/Дх.
Тогда имеем для «теплового
Рис. 535. Изменение
температуры текущего
вещества при
рассеянии энергии.
соответствующими
опыта исключить
Вещество
потока»
D07)
Серебро
Железо .......
Хромоникель (90% №)
Стекло
Дерево
Пробка
Каменная соль . . .
Бромистое серебро .
Вода .
Бензол .
Водород
Кислород
Удельная

плопроводность X*
ккал
м-сек-град
1,2
4,2
2,3
2,9
1,3
3,7
4,2
5,8
ю-1
КГ2
1СГ3
10
1(Г5
10~6
10~3
кг4
ю-4
1(Г5
ч —5
10"
10
-в
В словесной форме:
тепловой поток пропорционален
градиенту температуры.
Коэффициент пропорциональности X* называется удельной
теплопроводностью. В табл. 13 приведены некоторые числовые значения удельной
теплопроводности для различных веществ.

422
XVII. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА, ПРЕИМУЩЕСТВЕННО ДИФФУЗИЯ
Для демонстрационных опытов целесообразно преобразовывать
тепловой поток в газовый поток. Используют, например, энергию,
принесенную тепловым потоком, для испарения жидкого воздуха
и измеряют поток воздуха с помощью газометра (ср. также рис. 542).
§ 174. Нестационарная теплопроводность может быть изучена
только с помощью дифференциального уравнения. Оно аналогично
уравнению для диффузии и для слу-
чая теплопроводности, ограниченной
одним направлением, имеет вид
граде
400
дг
рс
D08)
100
д.)
\
N
\
Х=С0П5
№
н
^^
"■-—л.
ю
20см
При этом X* есть удельная
теплопроводность, определяемая
уравнением D07), р—плотность вещества
и с—его удельная теплота.
Отношение Х*/рс называется удельной
температуропроводностью.
Мы приведем только один
пример для случая нестационарной
теплопроводности. Он соответствует
Расстояние х от нагреваемого конца случаю диффузии на рис. 533.
Рис. 537. Грубый демонстрацией- На рис. 537 в момент I =0
температура Т одинакова вдоль всего
металлического стержня. Потом по
возможности мгновенно
температура на левом конце поднимается
до 7\ и определяется температура
в различных точках стержня в
различные моменты времени. Рис. 537
показывает результат; он
формально совпадает с распределением концентраций при нестационарной
диффузии. Расстояние х между точкой с определенной
температурой Тх и началом стержня (лг = О) растет опять пропорционально
корню квадратному из времени. Распределения температур в
различные моменты времени схожи между собой. Кривые можно друг на
друга наложить при соответствующем выборе масштаба времени.
§ 175. Процессы переноса в газах и их независимость от
давления. В газах и жидкостях родство явлений диффузии и
теплопроводности довольно очевидно. При диффузии имеет место
статистически беспорядочное продвижение молекул; теплопроводность
можно кратко определить как диффузию избыточной
кинетической энергии молекул. На рис. 538 находящаяся слева стена имеет
более высокую температуру, чем прилегающий к ней слой газа.
Этот прилегающий слой первым нагревается; это значит, что его
молекулы увеличивают свой запас кинетической энергии. Благодаря
ный опыт, показывающий
зависящее от времени падение
температуры. Железный стержень
диаметром 8 мм и длиной 1 м без
какой-либо тепловой изоляции.
Пути, проходимые определенным
значением температуры, относятся
между собой, как корни
квадратные из соответствующих времен.

§ 175. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ И ИХ НЕЗАВИСИМОСТЬ ОТ ДАВЛЕНИЯ 423
Рис. 538. К
механизму
теплопроводности
в газах.
8 * >.
Рис. 539. К
механизму
внутреннего
трения в газах.
этому они выделяются среди молекул других слоев. Но любое
преимущество при статистическом процессе в большой массе частик
не может долго сохраняться. Поэтому выделяющиеся молекулы при
термических соударениях с другими молекулами должны потерять
часть своей кинетической
энергии. Так, постепенно
кинетическая энергия диффундирует в слои
газа, расположенные справа.
Совершенно подобным же
образом можно истолковать третье
явление, которому мы до сих пор
не давали молекулярно-кинети-
ческой интерпретации, —
внутреннее трение. На рис. 539 левая
стенка движется со скоростью и
вверх. Молекулы прилегающего
слоя получают поэтому при
ударе о стенку преимущественное
направление движения вверх и добавочный импульс та кверху,
что показано маленькими стрелками. Этим односторонним
дополнительным импульсом молекулы прилегающего слоя выделяются среди
молекул других слоев. Преимущество не может сохраниться в
статистическом процессе; таким образом, добавочный направленный вверх
импульс постепенно диффундирует в слои, расположенные правее,
и приводит их в движение, хотя и более медленное, в направлении
движения левой стенки. Поэтому внутреннее трение можно кратко
определить как диффузию избыточного импульса молекул.
Аналогично диффузии и теплопроводности и внутреннее трение
благодаря конвекции, особенно турбулентной, сильно увеличивается.
Это известно уже из § 90.
Родство явлений диффузии, теплопроводности и внутреннего
трения ясно выступает благодаря одному общему признаку, все
эти явления в широких пределах не зависят от давления. Этот
удивительный факт проще всего продемонстрировать для
внутреннего трения.
На рис. 540 внутренний цилиндр вращается, а внешний
неподвижен. Толщина промежутка между цилиндрами приблизительно 1 мм,
за исключением сегмента а, где просвет равен около 0,2 мм. Во
время вращения благодаря внутреннему трению воздух увлекается
в направлении вращения. Таким образом, между областями а и 3
возникает разность давлений, например, 20 см водяного столба.
После этого большую часть воздуха, четыре пятых или еще больше,
выкачивают. Несмотря на это, манометр по-прежнему показывает
ту же разность давлений в 20 см водяного столба.
Еще доходчивее следующий опыг. стальной шарик вводится в
вертикальную прецизионную стеклянную трубку @ с^ 15 мм). Разница в диаметрах

424
XVII. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА, ПРЕИМУЩЕСТВЕННО ДИФФУЗИЯ
всего около 0,01 мм. При движении шарика вниз газ обтекает его сквозь
очень узкую кольцеобразную щель. При этом внутреннее трение производит
большое сопротивление: шарик больше не «падает» ускоренно, он «опускается»
(после короткого времени разбега) с постоянной скоростью (§ 43). С этой
скоростью он проходит путь 5 (например 60 см) за время г (например 30 сек.).
Если уменьшить газовое давление р, то время опускания остается все еще
постоянным. Только при р^а\2 см рт. ст. оно становится заметно меньше;
при р я^ 0,01 мм рт. ст. уже вплотную приближается к свободному падению.
Независимость теплопроводности от давления газа также нетрудно
продемонстрировать. Подробнее см. подпись к рис. 542.
п воздушному насосу
Рис. 540. Внутреннее трение не зависит от давления.
В разрезе промежуточное пространство между
вращающимся барабаном Ь и корпусом нарисовано для
большей ясности увеличенным.
Таковы факты. Их молекулярное истолкование дается следующим
образом: диффундирующее сквозь единицу площади количество
молекул избыточного импульса или избыточной кинетической энергии
пропорционально концентрации молекул Ык. Далее оно
пропорционально средней длине свободного пупи молекул X, т. е. их пути,
пробегаемому между двумя столкновениями (§ 160). Л/^ возрастает,
а X уменьшается пропорционально газовому давлению. Поэтому
в газах диффузия всех видов не зависит от давления.
У водорода очень большая длина свободного пути, именно при
нормальных условиях X. = 1,4* 10~'/' м. Поэтому водород выделяется своей особенно
высокой теплопроводностью (ср. рис. 541).
При очень низких давлениях понятие среднего свободного пути
X утрачивает смысл: свободный пробег молекул становится больше,
чем расстояние между стенками сосуда. Молекулы реют между
стенками туда и обратно. Переносимые тогда импульс или энергия
тем меньше, чем меньше плотность газа. На этом основано устрой»-
етво термосов, стеклянных или металлических сосудов с двойными
стенками, между которыми воздух выкачан.
Предпосылкой диффузии вещества в противоположность внутреннему
трению и теплопроводности является наличие двух различных сортов
молекул. Вследствие этого диффузия вещества обнаруживает некоторые особен-

§ 176. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПУТИ
425
ности: при внутреннем трении и теплопроводности не только количества
импульса и энергии, но и соответствующие коэффициенты не зависят от
давления. Напротив, при диффузии вещества постоянная диффузии й обратно
пропорциональна давлению и диффундирующее
количество только в том случае не зависит от
давления, если концентрация диффундирующих
молекул возрастает пропорционально давлению. и к откачиваю-
Это не имеет места, если диффундирующие мо- I щему насосу
лекулы принадлежат насыщенному пару. II
§ 176. Определение средней длины
свободного пути. Связь трех диффузионных
процессов (молекул, энергии и импульса) со
%-провмока
\
Эфир\
Водяная баня
Источник тока
Рис. 541. К сравнению
теплопроводности Н3 и воздуха. Грубый
демонстрационный опыт: кроме теплопроводности,
перенос тепла осуществляется также
свободной конвекцией. Две одинаковые
платиновые проволочки нагреваются
одним и тем же электрическим током.
Проволока в воздухе светится светло-
желтым цветом, проволока в Н2
остается темной. Она охлаждается
благодаря хорошей теплопроводности Н3.
В смесях газов теплопроводность зависит
от состава. Поэтому в технике
теплопроводность часто используется для
контроля за составом газовой смеси.
Принципиальную сторону различных
методов легко продемонстрировать с
помощью вышеприведенной установки.
Рис. 542. Грубый
демонстрационный опыт к
независимости
теплопроводности газа от давления.
Тепловой поток течет от
горячей водяной бани
через газовую оболочку
к эфиру и вызывает
поток паров эфира. В
качестве меры потока
служит высота горящего
наверху пламени. Она,
как оказывается, в
широких пределах не
зависит от давления в
газовой оболочке.
н-А-
средней длиной свободного пути X дает возможность
экспериментального определения этой важной величины тремя способами.
Необходимые для этого соотношения
[уравнения D11), D14) и D17)] получаются
из очень простых соображений. При
этом поступают совершенно
аналогично тому, как в § 81 было разобрано
давление газа. Но место рис. 232 здесь
занимает рис. 543. Рассмотрим
молекулы, которые проходят через
поперечное сечение Р в точке х, двигаясь
слева направо. С обеих сторон этого сечения изображено еще два
других поперечных сечения в точках (х— ^) и (лг-|-Х). Здесь X
обозначает среднюю длину свободного пути. В этих поперечных
■2-+Л
Рис. 54'3. К выводу
уравнения D09).

426
XVII. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА, ПРЕИМУЩЕСТВЕННО ДИФФУЗИЯ
сечениях молекулы, пролетающие справа и слева сквозь Р,
испытывают последние столкновения перед пролетом сквозь Р. Тем самым
концентрации молекул №„ и скорости а в обоих заштрихованных
объемах неизменны. За промежуток времени 61 слева через Р
проходит количество молекул
справа
Множитель 1/6 получается так же, как в § 81. Итак,
результирующий молекулярный ток в направлении оси х равен
си о
ИЛИ
ап р \ а {И„и)
йЬ~~ 3 их
D09)
Это общее уравнение применим к частным случаям.
1. Диффузия молекул, как, например, на рис. 531. В этом случае всюду
господствует одна и та же температура, и поэтому средняя скорость
молекул и постоянна. Для диффундирующего молекулярного потока получаем:
йп __ Ки ЛИ у
йЬ Ъ их
Лх
т. е. первый закон Фика с постоянной диффузии
D10)—C90)
D11)
2. Диффузия избыточного импульса, внутреннее трение, как на
рис 539. Перпендикулярно к направлению диффузии молекулы получают
добавочную скорость «_|_ (на рис. 539 обозначенную маленькой стрелкой) и тем
самым добавочный импульс @ ■. Для потока импульса имеем:
(Л \5/ | Л
(И ~ 3 их
или по уравнению (91) на стр. 94
Я
Т =
и при постоянном градиенте скорости
с постоянной вязкости
~3~
йи
■т,
йи
ах
D12)
D13)—A82)
D14)

§ 177. ВЗАИМНАЯ СВЯЗЬ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ
427
3. Диффузия энергии, теплопроводность, как на рис. 538. Каждая
молекула передает избыточную энергию 7а №?> а все вместе, таким образом,
количество теплоты (^ (/ — число степеней свободы, к — постоянная Больц-
мана). Для теплового потока имеем:
з ^ 2
1
ах'
~Ш
ах
с удельной теплопроводностью
D15)
D16)—D07)
D17)
Вентиль
§ 177. Взаимная связь процессов переноса в газах. До сих
пор мы рассматривали процессы переноса в отдельности, независимо
один от другого. Но это
допустимо лишь в первом приближении.
Уже во втором приближении
экспериментально устанавливается
зависимость различных процессов
переноса друг от друга. Мы приведем
четыре примера.
I. Диффузия в газах вызывает
разность температур, а
вследствие этого возникает
теплопроводность. На рис. 544 камера /
содержит водород, т. е. газ с
малым молекулярным весом (М) = 2.
Камера // содержит двуокись
углерода с (М) = 44. Оба газа имеют
одинаковое давление и
одинаковую температуру. / и 2 —
термоэлементы, включенные навстречу
друг другу. Небольшим
поворотом вокруг продольной оси
открывают прорезной вентиль,
разделяющий обе камеры (эскиз внизу!).
После этого оба газа могут
диффундировать друг в друга. При этом
примерно в течение полминуты воз-
Вентиль
Рис. 544. Возникновение разности
температур при диффузии. На
эскизе внизу изображен латунный
вентиль, разделяющий камеры /
и //. Термоэлементы состоят из
серебряной фольги с
приваренными стальными и константановыми
проволочками.
никает равность температур приблизительно 0,6°; в камере //
температура ниже.
Объяснение: маленькие молекулы Н2 быстро проникают при
изотермической диффузии в СО2 (уравнение C48)), и при этом
временно в камере / уменьшается концентрация молекул Л/„
и понижается давление р. Чтобы восстановить эти величины в их

428
XVII. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА, ПРЕИМУЩЕСТВЕННО ДИФФУЗИЯ
прежних значениях, газ в камере // должен адиабатически
расшириться и, совершив внешнюю работу, сжать содержимое камеры /.
Вследствие этой работы газ в камере // охлаждается.
Температура, таким образом, нарастает в направлении //—>/, в котором
диффундируют тяжелые молекулы (СО2).
II. Разность температур в газах вызывает разность
давлений (эффект Кнудсена). На рис. 545 изображен пористый стакан
из необожженной глины, содержащий часть комнатного воздуха.
Внутри стакана находится электрический
нагреватель. Вследствие этого температура в узких
каналах стенок сосуда с внутренней стороны
выше, чем с наружной. Воздух, заключенный
в сосуде, имеет возможность выходить наружу по
стеклянной трубке, погруженной внизу в воду.
Мы наблюдаем непрерывно продолжающийся
поток пузырьков воздуха: комнатный воздух
длительно всасывается в нагреваемую камеру и в
результате давление внутри камеры больше, чем
снаружи.
Объяснение связано с уравнением D09). В
стационарном состоянии Дп/сН = 0; отсюда
(ЛГюиI = (N„11J, D18)
если индексами 1 и 2 обозначить значения этих
величин с горячей и с холодной сторон пористой стенки.
Сопоставляем это уравнение D18) с уравнениями
р = МюкТлЛо C07) (стр. 355)
и
1 3
-^ та3 = -=- кТя6(,. C46)
Рис. 545. Пористый
цилиндр из
необожженной
глины для
демонстрации эффекта
Кнудсена.
Получим:
Р\ __
Рг
D19)
а это и значит, что при различных температурах на обеих сторонах
пористой стенки создаются различные давления.
III. В газовых смесях разность температур вызывает
градиент концентрации (термодиффузия). Рассмотренный в II эффект
Кнудсена требует только одного сорта газовых молекул. Лишь из
соображений удобства мы воспользовались газовой смесью, а именно
комнатным воздухом.
Следует убрать пористую стенку, вместо однородного газа
взять газовую смесь и поддерживать внутри нее постоянную
разность температур. Тогда молекулы с большей массой скапливаются
в более холодной области. Они перемещаются, таким образом,
в направлении падения температуры. Это явление называют
термодиффузией. К. Клузиус с большим успехом применил ее для раз-

§ 177. ВЗАИМНАЯ СВЯЗЬ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ
429
деления молекулярных смесей, в особенности изотопов. Его
«разделительная трубка» состоит из длинной вертикальной стеклянной
трубки с натянутой вдоль ее оси проволокой, нагреваемой
электрическим током. Теплая газовая смесь поднимается около оси вверх,
холодная опускается вдоль стенок вниз.
Молекулы с большим молекулярным весом
преимущественно диффундируют радиально
к периферии и, увлекаемые опускающимся
потоком, накапливаются внизу трубки.
Демонстрационный опыт изображен на рис. 546.
Термодиффузия возникает также тогда,
когда один из сортов молекул состоит из
больших, «физических молекул». Примеры:
от нагревателя теплый воздух поднимается
вверх, между ним и холодной стеной
комнаты устанавливается падение температуры;
пыль накапливается у стены, отчего стены
загрязняются полосой пыли; при варке
маленькие угольные частицы перемещаются
из горячих газов пламени ко дну котелка
и покрывают его слоем сажи.
Закономерности термодиффузии выводятся
также из уравнения D09). Нужно лишь во
втором приближении учесть, что Л^ и а на рис. 543
с обеих сторон площадки р несколько различны,
если в направлении оси х существует
температурный градиент. Подставим в уравнение D09)
вместо концентрации молекул Л^ величину Зр/гпи?
(это выражение следует из уравнения A76) на
стр. 190, причем плотность р = Мьт). Тогда
получим:
*п „рыкт D20)
Учитывая, что
1
т
их
C46)
получим после простого вычисления
сИ
^1.
2Т УЗт/гТ их
*1. D21)
Рис. 546. Разделение
газовой смеси
термодиффузией «в
разделительной трубке». Туго
натянутая проволока,
нагреваемая электрическим
током, накаляется в
смеси СО? и Н3
(парциальные давления ^ 0,37 атм
и 0,13 атм; сначала
впускается СО2). За 5 мин.
верхняя часть трубки
настолько обогащается
водородом, что из-за его
высокой
теплопроводности там прекращается
каление проволоки. (В
демонстрационном опыте
длина трубки 1 м,
внутренний диаметр 1 см;
проволока хорошо
центрирована и ось трубки
точно вертикальна.)
Можно также использовать
смесь паров аргона и
брома. Тогда на нижнем
конце пары брома
сгущаются в жидкий бром.
Здесь подытожен молекулярный поток в направлении возрастающей
температуры. В газовой смеси он сильнее для более легких молекул, чем
для более тяжелых. Поэтому в стационарном состоянии легкие молекулы
должны скапливаться на горячей, а тяжелые —на холодной стороне.
IV. Разности давлений в газах вызывают разности температур.
Рис. 547 изображает «вихревую трубку», вверху — в продольном

430 XVII. процессы переноса, преимущественно диффузия
сечении, внизу — в поперечном сечении в пункте Ь. В э'том
пункте воздух поступает в трубку под большим
давлением р. Центробежные силы обусловливают то, что давление у стенок
больше, чем давление на оси трубы. Справа от пункта Ь располо-
55см ' »'« 20см
Ь
—Н
\ |
7см 1 1 ( X Холодный
Кран * . ~
Сжатый—~-=ът. Поперечное
воздух ч§^ сечение
Рис. 547. Вихревая трубка по Ранке и Хильшу.
жена диафрагма приблизительно 2 мм диаметром. Кран Н
позволяет изменять соотношение между вытекающими налево и направо
потоками воздуха. Направо вытекает холодный поток воздуха,
налево— теплый воздух. При р = 6атм легко можно получить
разность температур 40°. За короткий срок правая трубка покрывается
толстым слоем инея»

XVIII. ПАРАМЕТР СОСТОЯНИЯ х) ЭНТРОПИЯ
§ 178. Обратимые процессы. Все механические, электрические
и магнитные процессы, при которых не выделяется тепло, обратимы.
Это означает, что такие процессы простым поворотом пути могут
быть проведены в обратном направлении; их исходное состояние
может быть снова достигнуто, без того чтобы в каком-либо из
участвующих тел осталось длительное изменение состояния.
Примеры:
Механическое или электрическое колебание протекает обратимо,
оно периодически восстанавливает исходное состояние.
Свободное падение стального шарика также обратимо, однако
для восстановления исходного состояния необходимо
вспомогательное приспособление, например твердая стальная плита (рис. 93 на
стр. 80). С ее помощью ускоренное движение одинаково хорошо
будет происходить как вниз, так и вверх. При этом стальная плита
не испытывает длительных изменений, она служит лишь в качестве
временного хранителя потенциальной энергии.
Третий пример на обратимый процесс должен пояснить понятие
„квазистатический". Он представлен на рис. 548. Сила $ натянутой
пружины и вес Я*2 длительное время находятся почти в равновесии;
это достигается с помощью рычажного приспособления с непрерывно
изменяющимся плечом. Тогда сколь угодно малая разница между $
и Ш2 способна производить движение в том или другом направлении.
Исходное состояние может быть таким образом всегда
восстановлено. Этот процесс должен идти с необходимой медленностью, т. е.
практически без ускорения. Такой процесс называется „квазистати-
ческим". Поэтому мы кратко определяем квазистатический
процесс как последовательность состояний равновесия.
Во многих физических процессах наряду с механической,
электрической и магнитной энергией выступает энергия и в форме теплоты.
Процессы, протекающие с участием теплоты, также обратимы,
если они квазистатические.
В качестве первого примера на рис. 549 изображено
квазистатическое расширение некоторого количества газа или пара.
Переменная передача должна приспосабливаться к газу или пару.
См. сноску на стр. 345.

432
XVIII. ПАРАМЕТР СОСТОЯНИЯ ЭНТРОПИЯ
В качестве второго примера мы возьмем квазистатическое
превращение жидкости в ее насыщенный пар. Мы видим на рис. 550 В
цилиндр с поршнем. Под поршнем находится жидкость, а между
Рис. 548. Квазистатическое
уменьшение растяжения
пружины.
Рис. 549. Квазистатическое
разрежение некоторого количества
рабочего вещества, например
сжатого воздуха.
Вакуум
Пар
Пар
поверхностью жидкости и поршнем ее насыщенный пар. Поршень
нагружен гирей, выше поршня воздух из цилиндра выкачан.
Выбором гири можно сделать давление практически равным давлению
насыщения. Тогда поршень или очень медленно
поднимается и вся жидкость превращается в пар,
случай А; или он очень медленно опускается
и весь пар превращается в жидкость, случай С.
В качестве хранителя тепла в этом случае служит
окружающая среда. Поглощение тепла при
испарении, как и выделение тепла при конденсации,
происходит здесь квазистатически и поэтому
обратимо. Достаточно сколь угодно малого
изменения температуры, чтобы процесс направить в ту
или другую сторону.
Заключение. Все обратимые процессы
характеризуются тремя признаками: обратимые
процессы допускают (в случае необходимости
посредством соответствующего вспомогательного
приспособления) обратный ход путем простого
изменения направления пути; восстановление исходного
состояния не требует никакого подвода энергии;
обратимый процесс не оставляет на в одном из
участвующих тел длительного изменения состояния.
§ 179. Необратимые процессы. Противоположностью обратимых
процессов являются процессы необратимые. К ним относятся, прежде
всего, диффузия, дросселирование, внешнее и внутреннее трение,
пластические деформации тел, теплопроводность при неисчезающе малой
ШП
Я
Рис. 550. К
обратимому испарению.
Схема.

§ 179. НЕОБРАТИМЫЕ ПРОЦЕССЫ 433
разности температур, передача тепла через излучение и, наконец,
все протекающие не бесконечно медленно химические реакции.
Необратимые процессы характеризуются тремя признаками.
1. Все необратимые процессы сама по себе протекают только
в одном, направлении. Это показывает повседневный опыт.
Молекулы духов никогда не возвращаются добровольно назад в
открытый флакон, из которого они продиффундировали в комнатный
воздух. Никогда тело, заторможенное трением о воздух, не будет вновь
ускорено молекулами воздуха так, чтобы его начальная скорость
снова восстановилась. Воздух никогда не пожертвует часть своей
внутренней энергии, чтобы нагреть наше жилище или котел
паровоза. Камень, упав сверху вниз, испытывает неупругий удар о
грунт и остается лежать. Никогда мы не наблюдаем обращения
этого процесса: никто не видел, чтобы такой камень вдруг вновь
поднялся вверх. Перечисленные возможности отнюдь не
противоречат первому началу, но молекулы эту возможность не используют.
Они всегда за разделение большого имущества и никогда не бывают
склонны к добровольному накоплению большого имущества в пользу
единичного избранного индивидуума (флакон от духов, камень и т. д.)
2. При всех необратимых процессах работа растрачивается,
т. е. упускается имеющийся повод совершить полезную работу;
вместо полезной работы только возбуждается теплота.
Примеры:
Пусть в цилиндре, снабженном поршнем, заключен комнатный
воздух. Это количество воздуха при неподвижном поршне
нагревается, а после этого остывает до комнатной температуры благодаря
теплопроводности. В результате допускается расточительство;
возможность совершить полезную работу упускается: ведь нагретый
воздух мог бы передвигать поршень вперед и до тех пор совершать
работу, пока вследствие расширения не охладился бы до комнатной
температуры. В первом случае (охлаждение через теплопроводность)
полученная от горючего вещества добавочная энергия оказалась
распределенной и растраченной на бесчисленное количество молекул
воздуха в комнате; во втором случае (охлаждение при расширении)
она была использована лишь для одного предмета, а именно поршня,
совершившего работу.
На рис. 486, стр. 359 газ разрежается дросселированием. При
этом работа расточается: можно было в месте соединения стальных
баллонов включить турбину и во время выравнивания давлений
совершить работу. Но вместо этого в правом баллоне возбуждается
только теплота.
Поднятый камень падает на землю и при столкновении
растрачивает свою кинетическую энергию на нагревание земли. Но он мог
бы, будучи соединен с соответствующим устройством, медленно
опускаться на землю и при этом совершать полезную работу.
Напомним механизм, приводящий в ход стенные часы и их бой.

434 XVIII. параметр состояния энтропия
3. В замкнутых системах необратимые процессы приводят
к длительным изменениям состояния. Хотя по окончании
необратимого процесса и можно восстановить первоначальное состояние1),
а именно посредством подведения растраченной перед этим работы,
однако при одном очень существенном ограничении: не должна
быть «замкнутой системы», т. е. работа должна совершаться над
участвующими телами извне и излишняя теплота должна отдаваться
наружу. Нужно, например, вышеупомянутую турбину при
соответствующей затрате работы заставить действовать в обратном
направлении, как насос, или камень снова поднять, совершив мускульную
работу. При этом вне системы сжигается топливо или потребляется
пища, т. е. состояние каких-то тел вне системы длительно
изменяется.
Существование необратимых процессов есть опытный факт. Его
достоверность надежно установлена благодаря усилиям многих
неудачников-изобретателей. Такой изобретатель может, например, попытаться перехитрить
молекулы. Мыслима схема, изображенная на рис. 551;
ее назначение — без совершения работы нарушить
равномерное распределение температуры в данном
количестве газа: газ в левой половине сосуда нужно
сделать горячим, а в правой половине — холодным.
Левая половина тогда должна нагревать котел
паровой машины, правая половина — охлаждать пар,
поступивший в конденсатор. Как поступит наш изо-
Рис. 551. К необрати- бретатель? Он просверлит дырку в разделительной
мости выравнивания перегородке между обеими камерами и прикроет ее
температуры. с °Дн°й стороны воронкой, сделанной из тончайших
волосков. Его план состоит в следующем: скорости
молекул распределены статистически, только наиболее
быстрые, двигаясь справа, смогут проникнуть сквозь волоски воронки,
медленные должны быть отброшены обратно. Таким образом, наиболее быстрые
молекулы с их запасом кинетической энергии переходят через границу.
По ту сторону границы они, конечно, разделят этот запас с прочими
молекулами. Таким образом и возрастет, хотя бы немного, средняя кинетическая
энергия молекул в левой камере. Температура в ней повышается, тогда как
в правой — понижается. Почему это «изобретение» неудачно? Ответ: из-за
броуновского движения волосков воронки. Волоски должны быть настолько
тонкими, чтобы быть способными приводиться в движение быстрыми
молекулами. Будучи, однако, настолько тонкими, они как «физические молекулы»
(§ 163) примут участие в статистическом тепловом движении. Воронка будет
открываться и закрываться статистически. Часто она окажется открытой
в тот момент, когда будет переходить границу нежелательная, бедная
кинетической энергией молекула. Таким образом, в среднем ничего не будет
достигнуто, и обе камеры сохранят одинаковые температуры.
§ 180. Измерение необратимости с помощью параметра
состояния энтропии 5. Полностью необратимые процессы происходят
часто. Напротив, полностью обратимые процессы представляют
собой идеальные предельные случаи; все действительные процессы
только частично обратимы, они всегда содержат необратимую часть.
Поэтому название «необратимый» не совсем удачно.

§ 180. ИЗМЕРЕНИЕ НЕОБРАТИМОСТИ С ПОМОЩЬЮ ЭНТРОПИИ
Вследствие этого возникает необходимость измерять величину
необратимости. При этом нужно использовать признаки необратимых
процессов, т. е. расточительство работы или длительные
изменения состояния в замкнутой системе. Это особенно просто сделать,
если только одно из участвующих тел
испытывает длительное изменение состояния.
Полученный таким образом результат можно затем
без труда обобщить.
Таким простым процессом является
дросселирование (рис. 552). Определенное
количество газа было первоначально заключено
в объеме У1. Потом перегородка была
удалена и молекулы заполнили пустое
пространство (К2— Уг). При этом первоначально
совершается работа на ускорение, и в
результате вначале возникают течения, вихри и
разРис. 552. Необратимое
расширение газа,
ности температур. Но теплообмен и внутреннее дросселирование (мо-
трение способствуют быстрому выравниванию. дельный опыт).
Газ снова как целое приходит в состояние
покоя. Молекулы только носятся теперь в большем объеме У2.
Температура в V2 такая же, как и ранее была в У± (§ 146).
Этот необратимый процесс можно провести в очень наглядной
форме. Для этого мы пространственно отделяем процесс
расширения газа от процессов подвода тепла и внутреннего трения.
Мысленно используем установку, схема которой дана на рис. 553.
Цилиндр, наполненный газом, находится в тепловом контакте с большим
резервуаром, например водяной баней с температурой Т^щ • Оба
■ вместе (как и ранее резервуар на рис. 552)
образуют замкнутую систему, т. е. систему,
защищенную от теплообмена с окружающей
средой. Данное количество газа должно ква-
зистатически и изотермически расширяться.
При этом оно отнимает от водяной бани
энергию в форме тепла
Мешалка
Вода
Рис. 553. К измерению
необратимости.
^-. C17) (стр. 362>
Эта энергия с помощью поршня полностью
превращается в работу, т. е. Л = <ЗобРA)- Эта
работа приводит в движение мешалку. Она, таким образом,
расточается на образование вихрей и трение, т. е. превращается в
тепло и возвращается водяной бане. В конце необратимо прошедшего
процесса состояние водяной бани осталось поэтому совершенно
неизменным. Изменилось только состояние данного количества газа.
Нужно, следовательно, необратимость всего процесса измерять с
помощью какого-то параметра состояния данного количества газа.

436 XVIII. ПАРАМЕТР СОСТОЯНИЯ ЭНТРОПИЯ
Так как расширение происходит квазистатически, то для
установления этого параметра состояния можно здесь с одинаковым
правом использовать как растраченную работу А, так и
соответствующую, поглощенную газом в форме тепла энергию <3ОбрП). Но
сами эти величины не подходят, так как ни А ни <3ОбРA) не
являются параметрами состояния.
Мы можем показать это, если проведем разрежение данного
количества газа другим «путем» при тех же самых начальном
а конечном состояниях: с помощью вспомогательного устройства
отнимем обратимо от всей системы (см. рис. 553) до начала
разрежения некоторое количество тепла <Зобр и тем самым понизим
температуру системы до Таб0B). Потом производим при этой
температуре медленное изотермическое расширение, и мы получим на этот
раз для квазистатически поглощенной теплоты (и для равной ей
растраченной работы) меньшую величину
<3обрB) = 7"абоB)-М^1П —-.
м
Наконец, сообщаем всей системе обратимо ранее отнятое
количество тепла <3„бр и восстанавливаем начальную температуру.
Таким образом, мы получили то же начальное состояние, а именно,
^1 и Т'абоа)» т0 же конечное состояние У2 и Габ0B). тем не менее <3ОбрA>
и <3обрB) различны, так как «пути» были различными! Однако частное
квазистатически поглощенная теплота Робр
температура Табо при поглощении
в обоих случаях одинаково, а именно,
1 абс A) ' або B)
D22)
Это частное не зависит от пути и является, таким образом,
параметром состояния. Этот параметр состояния мы используем для
измерения необратимости; ему присвоено особое название: энтропия.
Для потенциальной энергии тела или для его внутренней
энергии нулевая точка остается произвольной, всегда измеряются только
изменения этих величин. Совершенно так же обстоит дело и с
энтропией. И ее нулевая точка произвольна. В рассмотренном нами
частном процессе необратимого разрежения при постоянной температуре
мы нашли только, насколько увеличился ранее имевшийся запас
энтропии. Само собой разумеется, идеальный газ еще ранее не один
раз поглощал или отдавал некоторые количества тепла при той
или иной температуре. Поэтому мы определяем прирост энтропии
\ с с с 06"
-1О = Оо О] = -~ =
0об„ квазистатически поглощенная теплота
Га6, абсолютная температура при поглощении
D23)

§ 181. МОЛЕКУЛЯРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОВ ЭНТРОПИИ
437
Теперь мы подвергнем первому испытанию пригодность нашего
определяющего уравнения. На рис. 554 мы повторим опыт с
изотермическим расширением идеального газа, но на этот раз
обратимым путем. Поглощенная данным количеством газа в форме тепла
энергия <ЗобРA) запасается как потенциальная энергия поднятого
груза, а не растрачивается на трение и не возвращается водяной
бане. Таким образом, данное количество газа к концу опыта
поглотило квазистатически некоторое количество тепла D~ <3обрA)),
водяФ) П
ная баня квазистатически отдала (
уравнению D23) при этом обратимом
процессе энтропия данного количе-
Л 5м A)
По определяющему
ства газа изменилась на
а водяной бани на
оA) '
. Та-
Табе A)
ким образом, для обратимого
процесса
Г)
'обо
0.
або
D24)
Рис. 554. К определению
обратимого процесса.
Это, несомненно, очень
содержательный результат: в обратимом
процессе в замкнутой системе,
т. е. в системе, защищенной от
обмена энергией с окружающей средой, не происходит изменения
энтропии. Мы можем теперь для такой системы рассматривать
соблюдение уравнения D24) как признак обратимого процесса.
В качестве противоположного примера возьмем теплопроводность,
т. е. необратимый процесс. Этот процесс также происходит в
системе, состоящей из двух частей. Количество теплоты CОбР отдается
при большей температуре ГабоA) и поглощается при меньшей
температуре 7\,боB). При этом энтропия горячего тела падает на
^обр/71абоA), а холодного—возрастает на большую величину (ЗобрД'абе^).
Поэтому разность (доб^/Т^в^—Фобр/7\беA)= А5 положительна. Это
возрастание энтропии Д5 системы является однозначной мерой
необратимости наблюдаемого процесса теплопроводности.
§ 181. Молекулярное представление об энтропии. Энтропия
не занимает особого места среди других параметров состояния.
Но и не следует от нее отказываться. Существование необратимых
процессов является опытным фактом; следовательно, для измерения
необратимости должна быть установлена подходящая мера. Мы нашли
эту меру, энтропию, пока что для одного частного случая. Тем не
менее мы будем употреблять определяющее уравнение
С?
обр
або
D23) (стр. 436)

438 XVIII. параметр состояния энтропия
вообще. Чтобы это обосновать, нужно выяснить значение отношения
«Зпбр/Т'або на основе молекулярной картины. Тогда понятие энтропии
сделается таким же «наглядным», как и другие параметры состояния,
а именно: температура, давление, внутренняя энергия и энтальпия.
Такая наглядность получается всегда только при простых
соотношениях идеального газа.
Вернемся еще раз к опыту рис. 552, причем представим его
себе как модельный опыт. Малый объем Уг является х-Й частью
большого объема У2. Пусть в объеме У2 находится всего
одна-единственная молекула. Эту молекулу достоверно, т. е. с вероятностью
ч02~-у, можно найти где-то в объеме У2, и только с
вероятностью 1Я)У = ~ можно обнаружить ее в объеме Уу\ это значит, что
из х наблюдений в статистическом среднем лишь один раз можно
найти ее в объеме Уг. Для двух молекул вероятность найти обе
молекулы одновременно в У2 или Ух:
то = — • чза = / 1 Х2
для трех молекул
для ММ молекул тела или количества вещества с массой М
Отношение "№ =-<хю2\'Шх дает возможность узнать, во сколько раз
вероятнее найти одновременно все молекулы в У2, чем в К,. Мы
получаем:
или
1п1Р = ЛГМ-1п*. D26)
Далее, подставив удельное число молекул ЛГ=/?/& [уравнение C08),
стр. 356)] и х = У2(У1, получим:
D27)
или, совместно с уравнениями D22) и D23),
= -5н5Е = Л - 1п
Уабо
Таким образом, возрастание энтропии при необратимом разрежении
идеального газа оказывается возможным свести к отношению двух
вероятностей. При этом нужна универсальная постоянная
к— 1,38 • 10~й вт-сек/град.

§ 182. примеры вычисления энтропии 439
Возрастание энтропии означает переход к состоянию, имеющему
большую вероятность. На рис. 552 скопление всех газовых молекул
в частичном объеме Ух не невозможно, но лишь крайне невероятно.
Это относится уже к немногим молекулам нашего модельного газа
(рис. 552), но еще в большей степени это справедливо для
несметного числа молекул реального газа. Связь энтропии с вероятностью
была установлена Людвигом Больцманом A844—1906). Поэтому
постоянная к носит его имя.
Представим лед и воду при 0°С У льда молекулы выстроены с большей
правильностью в форме кристаллической решетки, следовательно, в очень
невероятном состоянии, у воды молекулы образуют неправильные кучки,
они находятся при этом в очень вероятном состоянии. Вследствие этого
энтропия воды значительно больше энтропии такого же количества льда.
Тем не менее кусок льда, защищенный от притока тепла, не превращается
в воду даже частично. Это привело бы всю систему в высшей степени
невероятное состояние. Для этого часть льда должна была бы охладиться
ниже 0°С, чтобы доставить остальной части необходимую теплоту
плавления. Поэтому энтропия всей замкнутой системы должна была бы
уменьшиться: энтропия льда при отдаче тепла при температуре ниже 0° С
уменьшится больше, чем увеличится энтропия воды при поглощении того же тепла
при 0° С.
Другой пример, возможно, еще наглядней. Типографские литеры,
которыми набрана форма для этого текста, находятся в очень невероятном
состоянии; они поэтому имеют гораздо меньшую энтропию, чем в том случае, когда
беспорядочно высыпаны в ящик. Тем не менее литеры, набранные для
настоящего текста, ни в коем случае не переходят самопроизвольно в гораздо
более вероятное состояние беспорядочной кучи, так как этот переход должен
был бы произойти через крайне невероятное промежуточное состояние:
некоторые литеры, как «физические молекулы», должны были бы за счет
остальных получить очень большие значения термической энергии и с ее
помощью перепрыгнуть через своих соседей.
§ 182. Примеры вычисления энтропии. С помощью примеров
и применений лучше всего осваиваются новые физические понятия.
Поэтому мы вначале вычислим параметр состояния — энтропию для
некоторых важных случаев, а потом в § 183 приведем первые
применения полученных результатов. Для измерения параметра
состояния энтропии необходимо всегда использовать квазистатаческай,
т. е. обратимый подвод тепла, что вытекает из определения этого
параметра состояния в § 180.
I. Возрастание энтропии при плавлении. Пусть тело имеет
массу М и удельную теплоту плавления /. Его точка плавления
пусть будет Габо. Процесс плавления происходит в среде с
температурой, превышающей 7\бс на исчезающе малую величину. Теплота
плавления Му должна, следовательно, поглощаться практически при
температуре плавления, т. е. обратимо. В этом случае энтропия
плавящегося тела возрастает на величину
&5 = -р^. D28)
1 або

440 XVIII.. ПАРАМЕТР СОСТОЯНИЯ ЭНТРОПИЯ
Числовой пример для воды при нормальном давлении воздуха:
Табс = 273°; х = 80 'скал/кг = 3,35 ■ Ю5 впг-сек/кг.
Таким образом, удельное приращение энтропии
—-- = 1,22 • 103 г- = 2,2 • 104 -л .
М кг • град киломолъ • град
Для ртути соответствующие числа равны
о Л пккал. 45 лп, вт-сек
Т
* а
абс—
М киломоль • град'
При обратимом плавлении энтропия теплового резервуара падает
на столько же, на сколько возрастает энтропия плавящегося тела;
таким образом, полная энтропия остается неизменной, как это
и должно быть для обратимого процесса в замкнутой системе. То же
самое относится и к следующим далее примерам.
II. Возрастание энтропии при нагревании. Количество
вещества массой М при абсолютной температуре ГабоA) нагревается до
абсолютной температуры Тащ2) • При этом количество теплоты
сообщается последовательными малыми порциями при нарастающей
температуре, т. е. подводится обратимо. Поэтому получаем для
прироста энтропии нагреваемого количества вещества
| @обрB) , __
^ ^ ^абс (п)
%^1 С„п &Т
У^ , D30)
^абс (п)
АТ С„•> Д71
абоA) '360B)
или при переходе к пределу, при практически еще постоянной
удельной теплоте
"р
2
^-вМс.1п(^) . D31)
або \-<1/абс
1
Числовой пример для нагревания воды от точки плавления льда до точки
кипения при нормальном давлении воздуха:
^абс A) = 273°; Габс B) = 373°.
\п^~- = 2,30 • 1од 1,368 = 0,312,
вт'сек
; =4,19-103 "'—_
' кг • град
B81) (стр. 338)
^ = 1,31 • 10^ -Л!Ш^ = 2,36 • 10* ^^
М кг • град киломоль

§ 182. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЭНТРОПИИ
441
Таблица 14
Удельные параметры состояния для воды
За нулевые значения энтальпии и энтропии приняты их значения
при 0° С.
ату
о,
4>
Г"* О
17,2
59,7
99,1
151
211
310
374
Давление
пара»
килопонд
см?
0,02
0,2
1
5
20
100
225
Жидкость
объем V
масса
кг
0,001
0,001
0,001
0,0011
0,0012
0,0014
0,0037
энтальпия У
масса '
кг
17,3
59,6
99,1
152
216
334
484
энтропия 5
масса
кг-град
0,061
0,198
0,310
0,442
0,582
0,799
1,03
Насыщенный
объем V
масса
кг
68,3
7,79
1,73
0,382
0,101
0,0185
0,0037
энтальпия I
масса '
кг
605
623
638
656
668
651
527
пар
энтропия 5
масса '
кг-град
2,08
1,89
1,76
1,63
1,52
1,34
1,10
Соответствующие числа для других температур находятся по табл. 14.
Эти числа играют большую роль в технике. Для упрощения произвольно
принято, что энтропия жидкой воды при 0° С и нормальном давлении
воздуха равна нулю. Мы будем следовать этому условию, приводя измеренные
значения, и определяемую при этом условии энтропию обозначать 5.
III. Возрастание энтропии при испарении. Правило Трутона.
Пусть некоторое количество жидкости имеет массу М и удельную
теплоту испарения г. Испарение происходит при постоянном
давлении, а именно при давлении насыщенного пара, и при
соответствующей температуре насыщения 7\,б0- Тогда для приращения
энтропии получим:
^ D32)
або
Числовой пример. Для воды при нормальном давлении воздуха
7"або = 373° и г = 2,26 • 106 вт-сек/кг; таким образом, удельное приращение
энтропии
А5 __ 2,26 . 100 вт-сек
1А ~~ 373 кг • град
кг • град
_
вт-сек
кило моль-град'
Удельный прирост энтропии для очень многих веществ имеет
почти такую же величину. В этом заключается существо «правила
Пиктэ — Трутона» (Р. Пиктэ, 1876).
При превращении льда в воду прирост удельной энтропии был
почти в пять раз меньше, чем при превращении воды в пар. При

442 XVIII. параметр состояния энтропия
превращении жидкой воды при 0°С в насыщенный пар при 100° С
удельная энтропия воды возрастает на
Д5 (С) о« 1П4 ( то лс.^. вт-сек . „о 1П5 вт-сек
-тг = (Доо • Ш*-4- ш,У ♦ 11)*) ■=- = 1»оо • 10° —
при нагрева- при
испарении по (II) нии по (III)
Подобные числа для разных температур приведены в табл. 14. Они
называются удельными энтропиями пара.
IV. Изменения энтропии при изменениях состояния
идеальных газов. На рК-диаграмме рис. 555 мы осуществляем переход
из состояния 1 в состояние 2 в два такта. Сначала на пути 1 —>3
мы подводим к некоторому количеству газа с массой М теплоту
при постоянном давлении, а затем на пути 3—>2 совершаем работу
при постоянной температуре. При этом на пути 3—>2 работа без
остатка снова отдается газом в форме тепла. Таким образом, мы
получаем с помощью уравнений D31) стр. 440
и C17) стр. 362
^
ераТ
абс * абс B)
Т.
D33)
ПО .1 о — 7 п. и а = 1
Таким образом,
Яйа**' ^1 = с 1П 11 _^1„м# D34)
Рис. 555. К
вычислению энтропии идеаль- Удельная энтропия идеального газа возрас-
ного газа. тает с повышением температуры и
убывает с возрастанием давления. При выводе
этого уравнения переход из состояния / в состояние 2 можно было
произвести по любому другому пути, например в два такта 1-+4
и 4-+2. Энтропия есть параметр состояния и, следовательно, не
зависит от способа перехода.
§ 183. Применение энтропии к обратимым изменениям
состояния в замкнутых системах. Мы ввели параметр состояния,
энтропию, чтобы иметь возможность количественно измерять сте-
лень необратимости необратимых процессов. Но этим, однако, не
исчерпывается все значение этого параметра состояния. Энтропия
является важным вспомогательным средством и для рассмотрения
обратимых процессов; если обратимые процессы протекают
адиабатически, т. е. без теплообмена с окружающей средой, то сумма
энтропии всех участвующих тел остается неизменной. Это
постоянство энтропии при обратимом адиабатическом процессе имеет
частые применения.
Сначала на рис. 556 в /?К/Л1-диаграмме приведены некоторые
адиабаты идеального газа для обратимого, т. е. произведенного

§ 183. ПРИМЕНЕНИЕ ЭНТРОПИИ К ОБРАТИМЫМ ИЗМЕНЕНИЯМ СОСТОЯНИЯ 443
без дросселирования, разрежения: около каждой адиабаты
отмечены постоянные значения соответствующих удельных энтропии 5
(ср. на стр. 441 мелким шрифтом). Теперь приведем два важных
примера применения.
I. Пароводяной аккумулятор. На рис. 557 изображен
пароводяной аккумулятор. Это — хорошо термически изолированный
бак, почти наполненный горячей водой с температурой Тх. Над
водой находится насыщенный пар
с давлением рг. При открывании
крана пар вытекает для
совершения работы в машину, например
к машине
удельная энтропия 5/М
Ю 20
Объем У/масса М
—25\ „
—Ш\Ю*
/сшамоль
еатт-сек
кшюшль-граО
Рис. 556. Адиабаты как кривые постоянной
энтропии. В качестве начальной точки для
энтропии выбрана точка,
соответствующая 0° С и нормальному атмосферному
давлению.
Теплоизоляция
Рис. 557. Схема
пароводяного аккуммулятора. Он
применяется на
электростанциях для покрытия
пик-нагрузки.
в цилиндр «бестопочного локомотива». Благодаря отдаче пара
температура и давление постепенно падают до значений Т2 и р2.
Какая часть х воды при этом превращается в пар?
Процесс протекает обратимо и адиабатически, т. е. общая
энтропия при испарении части воды остается неизменной. Мы
примем, что вода, получившаяся от конденсации в машине, снова
поступает в аккумулятор. Количество воды массой М обладает
при температуре Т± энтропией 5^ При охлаждении до Т2 жидкой
остается часть воды массой Л1 A—х), обладающая энтропией
A—хM2. Кроме того, образовалось некоторое количество пара
массой Мх, обладающее при температуре Т2 энтропией х82-
Приравнивание энтропии до и после испарения дает:
_ _' _
0 (\ 1^\ С I V С ^ /1*3 К\
01 ^ у,1 X) о% —Г" -*^2' У^дЭ)
Различие энтропии пара и воды объясняется затратой теплоты
испарения гМ, следовательно,
абс B)
D32) (стр. 441)

444 XVIII. параметр состояния энтропия
Из сопоставления обоих уравнений находим испарившуюся часть
воды
Числовой пример (ср. табл. 14):
килопонд 211,4° С 5! _ _оп ккал
„ _
см* ' * 484,6° К' М ' кг-град '
_ килопонд _ 151,1° С 53 пЛ.п
■ * ; -77 = 0,442
™ см* ' жа 424,3°К' М~"'™ кг
Удельная теплота испарения воды при Т%= 151° С
ГЛ. ккал
г = 50о .
кг
Результат: л; = 0,117. Это значит, что аккумулятор 11,7% своего запаса воды
превратил в пар и передал машине.
II. Образование тумана при адиабатическом разрежении.
Водяной пар при давлении насыщения рг расширяется
адиабатически, и при этом его давление падает до р2. Какая доля воды у
выделится в виде тумана? Этот случай играет большую роль в
учении о погоде. Напомним о поднимающихся вверх потоках теплого
воздуха.
До расширения и охлаждения давлению насыщения рх
соответствует температура Г1. При этой температуре данное количество
водяного пара массой М обладает энтропией 5Х. Во время
расширения и охлаждения часть у всего количества превращается
в жидкую воду (капельки тумана). При этом масса количества пара
уменьшается до М(\—у) с энтропией при температуре Г2,
равной A—у)8г. Кроме того, образуется известное количество воды
массой Му, имеющее температуру Тг и энтропию у8%- Из
сравнения энтропии до и после конденсации получаем:
Далее имеем:
52 — 52=^—М. D32) (стр. 441)
пар вода аб«B>
Тогда из обоих уравнений получаем:
Числовой пример для водяного пара:
килопонд „ 59,7° С 5г , __ ккал
; 7 ; -л = 1.89
см* ' 1 333° К' М~~ ' кг-град
килопонд г 17,1° С 52 о АО ккал
. 77 = *№
290,3° К' М ' кг. град '

§ 183. ПРИМЕНЕНИЕ ЭНТРОПИИ К ОБРАТИМЫМ ИЗМЕНЕНИЯМ СОСТОЯНИЯ 445
Удельная теплота испарения воды при 72=17,1° С,
ккал
г = 586
кг
Результат:
у = 0,094,
т. е. 9,4°/0 количества насыщенного пара выделилось в виде тумана.
III. Изменение температуры при обратимом адиабатическом
изменении объема. Для этого случая приводим без вывода
уравнение Томсона
D38)
(р = М/У—плотность; а—термический коэффициент расширения,
определяемый уравнением а = ДУг/УгА71).
Большинство веществ расширяется при возрастании темпера-
туры, и, следовательно, а > 0; поэтому по D38) — > 0. Такие
вещества нагреваются при возрастании давления.
Но некоторые вещества, например натянутый каучук на
рис. 461, уменьшают свой объем с возрастанием температуры, для
них а < 0. Эти вещества охлаждаются
при возрастании давления, а при
уменьшении давления нагреваются. Это
можно хорошо продемонстрировать на
каучуке, который нагревается при
растяжении (рис. 558). Объяснение: в
каучуке растяжение способствует
параллельной ориентации длинных, бывших
до этого спутанными молекул; таким
образом, создается состояние с более
высокой упорядоченностью; благодаря
этому, при практически постоянной
внутренней энергии, энтропия,
обусловленная расположением молекул,
уменьшается. Но обратимый
адиабатический процесс требует
постоянной энтропии; следовательно, должна
возрастать энтропия, происходящая от
теплового движения, т. е.
температура возрастает.
Этих температурных изменений не
бывает у веществ с малыми
молекулами, например, у металлов. Упругие деформации вызывают в
кристаллической решетке только изменение расстояний между
молекулами, но не нарушают молекулярного порядка. Тогда изменяется
только внутренняя энергия, но не энтропия.
Рис. 558. Адиабатическое
растяжение (увеличение объема)
каучука приводит к
нагреванию, адиабатическое
уменьшение нагрузки (уменьшение
объема) — к охлаждению. Типичный
случай для всех веществ с очень
большими молекулами,
например, мускульных волокон,
форма и ориентация которых
изменяется при упругой
деформации.

446
XVIII. параметр состояния энтропия
+5-Ю4
Давление
40 Ю
§ 184. /5-диаграммы (Молье) и их применения. Газовый
поток со сверхзвуковой скоростью. До сих пор мы изображали
состояния вещества только на рУ/М-диаграммах. Ординатой
служило давление, абсциссой — удельный объем У/М. Однако с
одинаковым правом можно применять попарно и другие параметры
состояния как простые, так
и производные (функции
состояния). Как одну из
многих возможностей мы
приводим на рис. 559 У5-диа-
грамму для воздуха.
Ордината дает удельную
энтальпию, т. е. ЦМ,
абсцисса— удельную
энтропию, т. е. 3/М. Значения
ординат вычислены по
уравнению C12) на стр. 360,
значения абсцисс—по
уравнению D34) на стр. 442.
В обоих случаях учтена
температурная зависимость
удельной теплоты.
На /^-диаграмме
адиаРис. 559. Часть /5- или Молье-диаграммы
для воздуха. Р. Молье в 1904 г. ввел зн-
тальпию как ординату диаграммы состояния.
Значения энтальпии и энтропии приняты
равными нулю при технически нормальных
условиях, т. е. 0° С и давлении воздуха
1 калопонд/см2.
баты — прямые линии,
параллельные оси ординат.
Изотермы только при малых
давлениях прямые линии и
тогда параллельны оси
абсцисс. На рУ/М-таграы-
мах изобары и изохоры были прямыми линиями; на /^-диаграммах
линии одинакового давления и равного объема искривлены. На
рис. 559 нанесены только некоторые изобары для давлений
между 0,01 и 200 килопонд/см2.
/5-диаграммы играют большую роль при адиабатических
изменениях состояния текущего вещества. Они дают возможность
определять без вычислений техническую работу, получаемую при
изменении состояния. Нужно только отсчитать одну цифру ординаты.
Мы приведем, далее, пример применения, одинаково важный
в физическом и техническом отношениях. Он относится к
адиабатическому вытеканию газа из резервуара.
В качестве примера возьмем воздух. Пусть воздух
обладает в каком-нибудь котле высоким, поддерживаемым постоянным
давлением рг. Из котла воздух вытекает через отверстие,
называемое соплом, и проникает в пространство с меньшим
давлением р2. При разрежении воздух должен произвести работу
ускорения и сообщить самому себе кинетическую энергию. Как зависит

§ 184. 76-диаграммы (молье) и их применения
447
тогда достигнутая скорость а от начального и конечного
давлений?
При адиабатическом процессе не происходит обмена энергией
в тепловой форме с окружающей средой. Вследствие этого О
в уравнении первого начала
равно нулю. И для работы
текущего воздуха остается:
B96) (стр. 349)
Разность энтальпий Ух — Л
можно непосредственно
отсчитать по У5-диаграмме воздуха
(рис. 559). Пусть воздух в
котле имеет давление рг = 40 ат
и температуру Т = 20° С. Его
состояние изображается на
рис. 559 точкой а. Пусть
адиабатическое расширение
доходит до конечного давления
/72=10 ат. Тогда конечное
состояние воздуха
изобразится на рис. 559 точкой C.
Разность высот между
точками а и C дает уменьшение
удельной энтальпии,
получившееся в результате
разрежения. Имеем:
200
20
м*О
кусек
2-Ю*
О 70 20 30
Уменьшение давления (р,-рг)
при р, = 4О килопонд/см2
килопонО
М
11 = 9,6» Ю4
вт-сек
1Гг
Рис. 560—562. К вытеканию газа из
сопла. Все три кривые относятся к
начальному давлению р± = 40 калопонд/см2
Подстановка этой величины в уравнение B96) дает конечную
скорость (скорость вытекания) и = 438 м/сек.
На рис. 560 нанесены скорости истечения и для других
значений конечного давления р2, найденные таким же образом. В
качестве постоянного начального давления во всех случаях взято
рх = 40 килопонд[см2. Результат: скорость потока может быть
значительно больше скорости звука с (равной 340 м[сек при
комнатной температуре). Однако скорость не может превзойти
некоторую верхнюю границу «мако. В нашем примере, т. е. при начальном
давлении рх = 40 килопонд/см2, наибольшая скорость истечения
«макс ^ 760 м/сек. Эта наивысшая скорость достигается, если
воздух вытекает в вакуум.
При разрежении плотность воздуха, т. е. частное р = М/У,
уменьшается. Это изображено для нашего примера на рис. 561.
Числовые значения получены из уравнения C25) на стр. 365.

448 XVIII. параметр состояния энтропия
Масса М количества вытекшего воздуха пропорциональна
времени истечения I, плотности р, площади поперечного сечения
потока Г и скорости п. Она определяется произведением этих
четырех величин, т. е.
М = (рРи. D39)
Частное
. масса М вытекающего газа /ллг\\
время I ч
мы определяем как ток и получаем:
Р площадь поперечного сечения потока 1
/ ток ра
Это частное для нашего примера изображено на рис. 562.
Рассмотрим его подробнее, привлекая на помощь и другие диаграммы.
Тогда мы найдем следующее.
На рис. 560 кривая до скоростей 70 м/сек почти не отходит
от оси ординат. Поэтому малым скоростям на кривой плотности
рис. 561 соответствует одна точка, именно точка на оси ординат:
плотность р до скорости около Х1Ъ скорости звука постоянна (§ 87).
Газы при «малых» скоростях ведут себя, как несжимаемые жидкости:
площадь поперечного сечения Р г-пг.
частное у — уменьшается на рис. 5о2
с возрастанием значений скорости а. Совершенно иначе, однако,
дело обстоит при больших скоростях: теперь плотность р быстро
падает с возрастанием скорости. Поэтому в уравнении D41)
возрастание а уравновешивается уменьшением р; частное Г// остается
на некотором интервале постоянным (см. рис. 562). Далее
уменьшение р даже превосходит увеличение и, и частное Г/1 снова
возрастает. В минимуме скорость потока равна скорости звука
C38) (стр. 369)
(Минимум Р/1 достигается, когда ^/Л = [2/(х+1)] для воздуха, т. е.
при наружном давлении р2 = 0,53рг. Та6о — температура адиабатически
разреженного газа в самом узком поперечном сечении).
Это можно вывести в общем виде, однако можно показать и
качественно: если посредством достаточного понижения наружного
давления р2 в самом узком сечении потока достигнута скорость
звука, то дальнейшее понижение давления («поток вниз») не может
больше подействовать. Понижение давления распространяется со
скоростью звука, оно, следовательно, не может пройти против
течения через самое узкое сечение.
При употреблении простого сопла (без расширяющейся части,
рис. 563) наименьшее поперечное сечение потока совпадает с устьем
сопла. Следовательно, в устье простого сопла скорость потока

§ 185. 75-ДИАГРАММА ВОДЫ
449
Г
может быть самое большее равной скорости звука. Если скорость
в устье трубки должна превышать скорость звука, то сопло после
самого узкого места нужно продлить конусообразно (рис. 564).
Нужно, чтобы сечение канала в каждом месте соответствовало
требуемому током / поперечному сечению Р. Тогда газ может выходить
из устья сопла с полной скоростью,
определяемой ./^-диаграммой. В
наиболее узкой части сопла скорость
остается по-прежнему звуковой;
поэтому и ток остается таким же, как
и без конусообразного продолжения.
Газ выходит из расширяющегося РиС 5б3. Рис. 564. Сопло Ла-
сопла цилиндрической струей. Из не- Пример про- валя для получения
достаточно расширяющегося сопла стого сопла, сверхзвуковой ско-
газ будет выходить конически рас- «^^ П"Т"*
ходящейся струей; кроме того, пе- чения сверх.
ред отверстием появляются стацио- звуковой
нарные, т. е. стоячие, звуковые вол- скорости.
ны. Слишком расширяющиеся сопла
приводят к другим осложнениям: поток только вначале скользит
вдоль стенки сопла, а затем отрывается. До места отрыва давление
и плотность непрерывно уменьшались. Но у места отрыва они оба
резко возрастают до высоких и
практически постоянных значений. Такие
переходы происходят «скачками
уплотнения». Это — стационарные, т. е. стоячие,
ударные волны. Они расположены
частично перпендикулярно, частично наклонно
к направлению потока. Их можно
продемонстрировать с помощью теневой
проекции, как и подобную им головную волну
р
(а г п Лаваль,
1845—1913,
Швеция).
Рис. 565. Гидравлический
скачок. К пояснению
скачка уплотнения в газе,
движущемся со сверхзвуковой
скоростью. Скорость
потока и больше скорости с по- снаряда (рис. 453), а также с помощью
Г„Г(™. 303). &«; »°«™ "°™«а *"Д**™ в ™°™°Я «■""
возбуждение, создаваемое не- Гидравлический скачок (рис. 565)
вполне соответствует скачкам уплотнения
газа при больших скоростях.
К сожалению, эти интересные и
крайне важные для современной техники
подробности могут увести нас слишком далеко. Они рассматриваются
в газовой динамике.
§ 185. /^-диаграмма воды. В технике постоянно пользуются
75-диаграммой воды и ее пара. Поэтому мы приводим на рис. 566
часть этой диаграммы. Там содержатся, кроме адиабат, изобар
и изотерм, еще и критическая точка К и обе ветви граничной кривой.
Левая—опять штрихованная, а правая—штрих-пунктирная. Между
этими ветвями граничной кривой насыщенный пар и жидкость
препятствием, не может
передаться вверх по течению
потока.

450
XVIII. ПАРАМЕТР СОСТОЯНИЯ ЭНТРОПИЯ
сосуществуют. Жидкая часть определяется по кривым постоянных
значений х. Если х — 0,8, то это обозначает 80% пара и 20% жидкости
[уравнениеC39), стр. 373]. На левой ветви граничной кривой х = 0,
т. е. все вещество жидкое; на правой х = 1—существует только
насыщенный пар. Рис. 566 должен прежде всего
продемонстрировать обычную форму У5-диаграммы, употребляемую в технике. Кроме
Давления тмпОнд
250 700 30 Ю 3
4000
8000 ватт-сен
Энтропия 5/масса М /к? град
Уменьшение энтальпии Д1- О В
6 8 /0-Ю
5 ватт-сек
приводит к спорости пара и = 0 шввот юоо ш 1Ш —
Рис. 566. Часть /5-диаграммы для воды. Кривые на диаграммах,
употребляемых в технике, нанесены значительно гуще. Адиабаты, являющиеся
изознтропами, т. е. прямыми равных удельных энтропии, параллельны оси
ординат. Изобары — кривые равных давлений, изотермы — кривые равных
температур. Между пограничными кривыми (штриховой и штрих-пунктирной)
изобары и изотермы совпадают. Они в этой области изображаются
наклонными прямыми. Находящаяся внизу двойная шкала позволяет по
отсчитанной разности энтальпий непосредственно находить скорость потока а.
того, мы проиллюстрируем применение этой диаграммы на двух
простых примерах. Оба примера относятся к дросселированию, т. е.
к необратимому разрежению без совершения внешней работы
(рис. 502). Энтальпия остается постоянной.
1. Дросселирование ненасыщенного пара при малом давлении. Пар имеет
перед дросселированием давление 3 килопонд/см? и температуру 350° С.
Тогда его состояние изображается на рис. 566 точкой а. Разрежение
понижает давление до 1 килопонд/см2; горизонтальная прямая постоянной энталь-

§ 185. У5-диаграмма воды 451
пии приводит к точке состояния р. Она лежит на той же изотерме,
следовательно температура при разрежении без совершения работы не изменилась.
Здесь водяной пар ведет себя еще, как идеальный газ, дросселирование
увеличивает только его удельную энтропию.
2. Дросселирование насыщенного пара. Начальное состояние
изображается точкой 6 на штрих-пунктирной пограничной кривой. Пар, таким
образом, насыщен, его давление 10 килопонд/см*, его температура 180° С.
В процессе дросселирования давление уменьшается до 1 кило по ид/см2,
горизонтальная прямая постоянной энтальпии приводит к точке е. При этом
температура падает до 150° С. Но тем не менее пар перегрет; его удельная
энтальпия в точке 8 осталась равной приблизительно 2,77 • 106 вт-сегс/кг,
в то время как насыщенный пар того же давления (точка С) имеет удельную
энтальпию только около 2,68 • 106 вт-сек/кг.

XIX. ПРЕВРАЩЕНИЕ ТЕПЛОТЫ В РАБОТУ.
ВТОРОЕ НАЧАЛО
§ 186. Тепловые машины и второе начало1). Техника создала
теплосиловые машины, чтобы использовать разность температур
для совершения работы. Важнейшие формы осуществления их,
паровые машины и двигатели внутреннего сгорания, теперь известны
каждому. Все тепловые машины способствуют переходу теплоты
от горячего тела к холодному с потоком рабочего вещества и
повторяют этот процесс в периодической последовательности.
Начальное состояние машины периодически восстанавливается,
уменьшается только запас горючего.
Без промежуточного включения машины разности температур
выравниваются только «в тепловой форме», т. е. посредством
теплопроводности или лучеиспускания (§ 137). Оба процесса
необратимы (§ 179), в обоих процессах теплота в работу не
превращается.
Напротив, наивысшая идеальная величина совершаемой работы
получается, если исключить все необратимые процессы, как,
например, трение, теплопроводность, излучение, и взамен этого
проводить выравнивание температур в «тепловой машине» обратимо,
т. е. обеспечить квазистатический ход всех процессов. Этот вывод
называется вторым началом учения о теплоте и является одной
из его многочисленных формулировок.
При высокой температуре ГабСA) рабочее вещество принимает,
например, в паровом котле изотермически и обратимо количество
тепла <2обрA)« При низкой температуре ГабСB) количество тепла
<3обр B) изотермически и обратимо отдается, например, протекающей
в конденсаторе холодной воде. Если все прочие частные процессы
в машине протекают обратимо, то разность <3 = BобрA)—<2обр B)
может целиком превратиться в работу Л2). В этом случае сумма всех
1) Читателю рекомендуется предварительно еще раз посмотреть признаки
необратимых процессов в § 179, особенно примеры в п. 2, на стр. 433.
2) Возможность такого обратимого течения всех частных процессов
доказывается при помощи «кругового процесса Карно». В качестве рабочего
вещества используется в нем газ, заключенный в цилиндре, как это
изображено на рис. 549. Этот цилиндр приводится сначала в термический контакт
с горячим резервуаром G\); газ расширяется изотермически и квазистати-

§ 186. ТЕПЛОВЫЕ МАШИНЫ Й ВТОРОЕ НАЧАЛО 453
изменений энтропии (стр. 437) равна нулю, значит
^абс A) ^абс B)
Отношение
А О^м-О^т _ „№ D42)
A) ^об], A)
определяет термический коэффициент полезного действия
идеальной теплосиловой машины. Сопоставление уравнений D24) и
D42) дает:
Л Т Т
D43)
Наибольший теоретически возможный коэффициент полезного
действия Г[ тепловой машины, таким образом, не зависит от всех
особенностей ее устройства и способа действия. Существенно
только исключение всех необратимых процессов, и тогда
решающими являются лишь величина высокой температуры, при которой
количество тепла BОбР A) квазистатически поглощается, и низкой
температуры, при которой количество тепла <3обр B) = Робр A)—А
квазистатически отдается.
Уравнение D43) является количественным выражением второго
начала учения о теплоте. Основное содержание этого начала было
найдено в 1824 г. французским ученым Сади Карно. Карно
исходил еще из предположения о существовании теплорода.
Современным толкованием уравнения D43) и раскрытием его широкого
значения мы обязаны прежде всего Рудольфу Клаузиусу A822—1888).
Первое начало утверждает, что сумма всех участвующих в
изменении состояния энергий остается постоянной. Его содержание
экспериментально демонстрируется путем превращения работы
нацело в теплоту, например на рис. 467. Обратный путь невозможен:
второе начало ограничивает превращение теплоты в работу.
чески, извлекая энергию (^ из нагревателя в форме теплоты и вместе с тем
совершая работу подъема груза. Далее следует термическая изоляция цилиндра
и адиабатическое расширение, пока не будет достигнута температура Т2
холодного резервуара (холодильника). При обоих этих процессах
расширения газ в целом совершает работу Аь
На третьем этапе устанавливается тепловой контакт с холодильником,
газ сжимается изотермически и квазистатически и энергия ф2 в тепловой
форме передается холодильнику. На четвертом этапе цилиндр термически
изолирован, а газ адиабатически сжимается до тех пор, пока снова не
достигнет температуры 7\. Тогда устанавливается исходное положение. При обоих
этих сжатиях над газом должна быть совершена работа А%. Разность
@1—С?2 = А — -^2 и представляет собой полезную работу. При каждой
смене между изотермическим и адиабатическим изменениями объема должна
заменяться и переменная рычажная передача, изображенная на рис 540.

454
XIX. ПРЕВРАЩЕНИЕ ТЕПЛОТЫ В РАВОТУ. ВТОРОЕ НАЧАЛО
Для 7\ = Т2 по уравнению D43) как %деальи» так и А равны
нулю. На этом основана формулировка второго начала, которую
дал Макс Планк. Она гласит: «Невозможно сконструировать
машину, которая лишь поднимает груз и соответственно охлаждает
тепловой резервуар, не производя более никаких изменений».
Такая машина часто называется «вечным двигателем» или
«перпетуум-мобиле второго рода».
Поэтому можно сказать: не существует
перпетуум-мобиле второго рода.
При изотермическом расширении газа
вся полученная количеством газа теплота
целиком превращается в работу. Несмотря
на полное превращение тепла в работу,
изотермическое расширение газа не является
перпетуум-мобиле второго рода, так' как
наряду с совершением работы, например
подъема груза, происходит кое-что и другое:
уменьшается плотность газа или
понижается запас давления воздуха.
Второе начало учения о теплоте
является чисто опытным законом. Это
ясно видно из предыдущего
изложения. Оно основано на успехах техники
и опыте, полученном при создании
теплосиловых машин.
§ 187. Двигатель с горячим
воздухом ранее употреблялся в
небольших производствах и в качестве
игрушки. За последнее время он
весьма совершенно конструируется для
технических целей. На нем особенно
ясно можно показать самое
существенное в теплосиловой машине, т. е.
содействие передаче тепла от
горячего тела холодному посредством периодически движущегося
рабочего вещества. Поэтому мы с помощью полусхематического рис. 567
разберем его устройство и потом неоднократно используем его,
чтобы экспериментально продемонстрировать содержание уравнения
D43). Левую и правую половины цилиндра занимают тепловые
резервуары с температурами 7\ и Т2. В цилиндре, кроме поршня,
находится еще барабан V, имеющий продольные каналы. Этот
барабан с помощью коленчатого вала и ненарисов-анного стержня
движется в цилиндре туда и обратно, но со сдвигом фаз
приблизительно в 90° по отношению к поршню. При этом он выполняет
двойную задачу. Во-первых, действует как вытеснитель: он
переносит известное количество рабочего вещества (большей частью
воздуха) поочередно к горячему и холодному тепловым резервуа-
Шеревание
Холодная вода
Рис 567. Работа воздушного
теплового двигателя. Вайс
в мертвой точке находится
вытеснитель, а в Ь \\й — поршень.

§ 187. ДВИГАТЕЛЬ С ГОРЯЧИМ ВОЗДУХОМ
455
рам. Во-вторых, он действует как хранитель тепла. Во время
вытеснения воздух должен протекать через каналы; при этом
барабан отнимает тепло от воздуха, перетекающего направо (рис. 567, Ь)
и возвращает его воздуху, текущему налево (рис. 567, й).
Действие всей этой теплосиловой машины выясняется из четырех
частных рисунков E67). В а воздух, поглощая тепло при высокой
температуре Т1г изотермически расширяется и перемещает поршень
направо. В Ь вытеснитель перегоняет воздух к холодному
резервуару, по дороге воздух охлаждается в каналах до температуры Тг.
В с поршень благодаря маховику перемещается
налево, и воздух, отдавая тепло при низкой
температуре Т2, изотермически сжимается.
В й вытеснитель перемещает сжатый воздух
обратно к горячему резервуару. По дороге
он нагревается в каналах до 7\. После этого
начинается новый цикл: сжатый воздух снова
поглощает теплоту при высокой температуре;
при этом он изотермически расширяется и
перемещает поршень направо. Через четверть
оборота снова достигается состояние а.
В идеальном предельном случае работа,
совершенная машиной, находится из
— Чгобр A) ~г~
D43) (стр. 453)
або A)
При этом <3Х обозначает теплоту,
поглощенную в процессе расширения при высокой
температуре. Поглощение в идеальном
предельном случае происходит изотермически. Тогда
A) =
— C17) (стр. 362)
(М — масса данного количества воздуха, р± и р2 —
давление до и после изотермического расширения).
Из уравнений C17) и D43) следует:
или
То),
Л=сопз{(Г1— Г2).
D44)
Рис. 568. Проверка
уравнения D44) с
помощью небольшого
воздушного теплового
двигателя.
Кривошип 2 двигает
вытеснитель V,
изображенный на рис. 567.
Трубки Ц7 служат для
подвода и отвода воды
комнатной
температуры. Нижняя
половина цилиндра в этом
случае охлаждается
жидким воздухом.
Она поэтому, как
более холодная,
обозначена //.
В словесной форме: работа, совершаемая двигателем с горячим
воздухом, определяется только разностью температур 7\—Т2- Это
положение легко подтвердить демонстрационным опытом. На
рис. 568 показан маленький двигатель с горячим воздухом в
теневой проекции. Верхняя половина цилиндра омывается водой
температурой -}-20оС, нижняя погружается сначала в глицериновую
баню температурой —|— 220° С, а потом в жидкий воздух температурой

456
XIX. ПРЕВРАЩЕНИЕ ТЕПЛОТЫ В РАБОТУ. ВТОРОЕ НАЧАЛО
— 180°С. В обоих случаях разность температур одна и та же,
именно 200°; и действительно, машина в обоих случаях
развивает одинаковую частоту оборотов и совершает, следовательно,
в единицу времени одинаковую работу (здесь расходуемую только
на преодоление трения в подшипниках).
§ 188. Различные типы теплосиловых машин. Развитие
поршневых машин примыкает к сооружению водяных насосов. Насосы
с цилиндрами и клапанами были уже известны в классической
древности. Для физики стало особенно важным применение этих
насосов для газов (§ 82).
Рис. 569. Три лопасти турбины Рис. 570. Треугольник скоростей
постоянного давления и тре- реактивной турбины (например
угольник скоростей. С1 и с2— сегнерова колеса). Следует пред-
скорости воды по отношению ставить себе изображенные ло-
к поверхности земли, Шх и Ш2— пасти на периферии колеса и
относительно лопастей рабоче- смотреть в радиальном направле-
го колеса. В свободоструйных нии на три лопасти,
турбинах Пельтона струя
тангенциальна к рабочему
колесу, лопасти попарно
симметричны к направлению струи.
Развитие газовых и паровых турбин связано с водяными
турбинами. Последние, если не считать некоторых более ранних попыток,
получили практическое применение с 1833 г. Водяные турбины
разбиваются на две группы: с постоянным давлением и с избыточным
давлением, или реактивные турбины.
В турбинах с постоянным давлением полная энергия протекающего
количества воды (в дальнейшем называемого коротко вода) до ее
поступления в рабочее колесо переводится в кинетическую форму.
Струя бьет в лопасти колеса. Скорость струи № относительно
рабочего колеса остается по величине постоянной, но изменяет
направление приблизительно на 130° (пJ вместо % на рис. 569). Окружная
скорость ц рабочего колеса по отношению к земле выбирается равной
приблизительно половине скорости сх ударяющейся струи (то же по
отношению к земле). Вследствие этого вода стекает с рабочего колеса
с совсем маленькой скоростью с2. Таким образом, практически вся
кинетическая энергия отдается рабочему колесу. Такие активные

§ 188. РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ ТЕПЛОСИЛОВЫХ МАШИН 457
турбины (с постоянным давлением) имеются уже для высоты падения
воды в 1750 м. С одной-единственной струей удалось получить
мощность в 3 • 104 кет.
В реактивных турбинах (с избыточным давлением)
превращение потенциальной энергии воды в кинетическую происходит только
частично, до рабочего колеса. Скорость И) относительно рабочего
колеса еще увеличивается внутри него. Поэтому перед рабочим
колесом поддерживают большее давление, чем после него. Вследствие
этого окружная скорость рабочего колеса, так же как и у
ветряной мельницы, может быть в несколько раз больше входной
скорости С!- Таким образом, при заданной высоте падения и мощности
можно достичь значительно больших окружных скоростей, чем
в активной турбине. Это существенно, например,
для приведения в действие электрических
генераторов с большим числом оборотов. Технически
увеличение скорости протекания И) относительно
рабочего колеса достигается формой и положением
лопастей. Расстояние между ними у входа струи
больше, чем у выхода (рис. 570).
Вода может протекать в турбине с избытком
давления или перпендикулярно к оси рабочего колеса р ~~. Рабочее
ротора или в направлении этой оси. Поэтому различают колесо туобины
радиальные и аксиальные турбины. Очень часто исполь- Фпэнсиса
зуют промежуточные формы, как в широко известной Р
турбине Фрэнсиса (рис. 571). Вода устремляется из
неподвижного направляющего аппарата перпендикулярно к оси, попадае1
в спиральную камеру и пробегает по пространственной винтовой линии.
Водяные реактивные турбины изготовляются теперь мощностью свыше 105 кет.
Их коэффициенты полезного действия, как и в турбинах с постоянным
давлением, достигают величины выше 90%.
Паровые турбины, являющиеся теплосиловыми машинами, также
разделяются на турбины с постоянным давлением и с избытком
давления (реактивные). При их конструировании нужно принимать во
внимание зависимость плотности газа от давления. Нужно учитывать
изложенное в § 184. Высоте падения воды соответствует
уменьшение удельной энтальпии пара. Эта величина в современных
турбинах может равняться 1/3 квт-ч/кг. Ей соответствует высота падения
122 км (!). Поэтому при адиабатическом расширении в одну ступень
достигается скорость около 1,5 км/сек. Чтобы избежать таких
больших скоростей и в то же время не потерять энергии пара,
строят турбины из нескольких последовательных ступеней.
Строительство современного типа турбин с постоянным давлением
восходит к Лавалю A883), а реактивных — к Парсонсу A884).
В качестве рабочего вещества турбин в настоящее время
используют почти всегда водяной пар, в исключительных случаях —
ртутный пар. После испарения водяной пар «перегревают», т. е.

458 XIX. ПРЕВРАЩЕНИЕ ТЕПЛОТЫ В РАБОТУ. ВТОРОЕ НАЧАЛО
превращают его в ненасыщенный пар или в газ. Температуру его
доводят до 500° С. Во многих новых котлах обычный барабан отсутствует.
Паровые турбины строят теперь на мощности свыше 10б кет. У
таких больших турбин практический коэффициент полезного действия 1)
доходит примерно до 30% при условиях, при которых теоретически
возможный коэффициент полезного действия [уравнение D43) стр. 453]
имеет значение около 40%. С поршневыми паровыми машинами
лишь редко достигают практического коэффициента полезного
действия в 10%.
В настоящее время получили громадное распространение двига-
1-ели внутреннего сгорания. В паровых машинах поглощение и отдача
__„_ тепла рабочим веществом происходит вне ци-
|м|^ ' линдра. В котле G\) вода превращается в пар
|ШН| К и поглощает тепло; в конденсаторе (Т2) или в сво-
III шяяша бодной атмосфере (т. е. при выхлопе, как у паро-
||| НИ воза) пар превращается в воду и теплота от-
| | дается. Оба процесса протекают при постоянных
' температурах. В двигателях внутреннего сгора-
Рис. 572. К коэф- ния поглощение тепла происходит внутри цилин-
фициенту полезно- дра, а именно в головке. Рабочим веществом
го действия двига- служит воздух с небольшим добавлением (менее
теля внутреннего г,, •' ч & ч
сгорания. 21 мольного процента) газообразных
продуктов сгорания газообразного или жидкого
горючего (светильный газ, бензин, нефть и т. д.). Пусть объем камеры
сгорания равен Уу (рис. 572). При сгорании, т. е. при поглощении
тепла, температура поднимается до 7\бсA)- Выдвигая поршень,
рабочее вещество адиабатически расширяется до объема цилиндра Уг.
При этом оно охлаждается до температуры
= Габ0A)(^] C31)(стр.366)
(х— показатель адиабаты, для воздуха [х—1]^0,4).
Остаток количества теплоты, не превращенный в работу,
отдается наружному воздуху вместе с выхлопными газами. При этом
температура падает от 7^60B) Д° наружной температуры.
Подставляя ГабсA) и ГабсЫ в уравнение D43) на стр. 453, мы получаем
наибольший теоретически возможный коэффициент полезного
действия
^идеальн = ~т\7~Г ~ ^ \\Г) ' D45)
Чем меньше У1/У2, тем холоднее выхлопные газы и тем выше
коэффициент полезного действия.
*) Определяемый как отношение полезной, снимаемой с машинного вала,
мощности к энергии, возникающей в тепловой форме от сгорания топлива
в топке котла, за единицу времени.

§ 189. ТЕПЛОВОЙ НАСОС И ХОЛОДИЛЬНАЯ МАШИНА
459
В малой камере сгорания потребное количество воздуха и
горючего может быть помещено только при сильном сжатии. Если
поршнем сжимается смесь воздуха и горючего (Николай Отто, 1876), то
нельзя переходить за значение У2/Уг Я^8, так как в противном случае
может возникнуть преждевременное воспламенение. Этому значению
соответствует коэффициент полезного действия ^идеальн = 57%. Если
поршень сжимает только воздух, а горючее вбрызгивается
впоследствии (Рудольф Дизель с 1893 г.), то можно теперь дойти до У2/У1ра16.
Этому СООТВеТСТВуеТ ^идеальн "=67%.
В камере сгорания двигателей Отто и Дизеля приблизительно
одинаковые температуры ГабоA) я^ 1900°. Но у двигателей Дизеля
(У9/У1'г^\6) температуру Таб0B) выхлопных газов можно сделать
ниже, чем у двигателей Отто с У2/У1^а8. Практические
коэффициенты полезного действия у двигателей Отто ^30%, у
двигателей Дизеля я^ 35%.
§ 189. Тепловой насос и холодильная машина. На рис. 568
мы воспользовались воздушной тепловой машиной как наглядным
образцом тепловой машины вообще. Вверху находился теплый,
внизу — холодный резервуар. На основе этого частного опыта мы
можем составить общую схему, пригодную для любой теплосиловой
машины (рис. 573). Она соответствует идеальному предельному
опускается
Рис. 573 и 574. Тепловой насос (холодильная
машина) как обращение теплосиловой машины.
случаю полной обратимости. Рабочее вещество периодически
жется между двумя тепловыми резервуарами / и // с различными
температурами. При этом оно посредничает в переходе тепла от
более теплого резервуара / к более холодному //. Рабочее
вещество поглощает при большей температуре Т1 количество теплоты С}1 *).
При меньшей температуре Т2 оно отдает меньшее количество
теплоты B2. Разность фг — B2 расходуется на полезную работу А;
на схеме она запасается как потенциальная энергия поднятого груза.
') На рис. 573 и 574 и в относящемся к ним тексте индекс «обр» у
количества теплоты (,) отброшен.

460 л1Х. ПРЕВРАЩЕНИЕ ТЕПЛОТЫ В РАБОТУ. ВТОРОЕ НАЧАЛО
Процесс закончится, когда благодаря переносу тепла температуры
выравняются, т. е. станет 7\ = Т%.
Можно ли обратить процесс выравнивания температур тел / и //,
можно ли нагреть / за счет II? Конечно, да! Нужно только
полученную ранее от машины работу А снова затратить1) и заставить
машину действовать в обратном направлении. При этом она
действует уже не как теплосиловая машина, а как тепловой насос.
Это мы покажем прежде всего экспериментально. На рис. 575
наша маленькая воздушная тепловая машина приводится в движение
электромотором: при этом нижняя половина цилиндра //
охлаждается, а верхняя соответственно нагревается. Через короткий
промежуток времени уже устанавливается разность температур 7\ — Т2 =
= 10°; таким образом, при затрате работы теплота из //
«накачана» в /.
Этот опыт приводит одновременно к идеализированной схеме
всех тепловых насосов (рис. 574). Достаточно сравнить ее с рядом
стоящей схемой всех теплосиловых
машин, тогда других пояснений не
понадобится.
В большинстве случаев тепловые
насосы применяются под названием
«холодильных машин». Как холодильные
машины они должны охлаждать ограниченное
пространство //, например холодильный
шкаф в домашнем хозяйстве, по
отношению к окружающему пространству /,
например к комнатному воздуху. В ка-
Рис. 575. Маленький воздущ- честве тепловых насосов в более узком
ный тепловой двигатель, ис- смысле Они должны нагревать ограничен-
пользуемый как тепловой , г г
насос (холодильная машина). ное пространство /, например жилую
комнату, по отношению к окружающему
пространству //, например свободной атмосфере. В зависимости от
назначения машины определяется ее коэффициент полезного действия.
Мы сделаем это опять-таки для идеального предельного случая
полной обратимости. Тогда потребная работа будет минимальной. Для
холодильной машины имеем:
поглощенная теплота (?0$р п) ПРИ низкои температуре Габс ,2,
= необходимая работа А ^
Фобо B)
^
Обр B)
*) На практике, конечно, нужно рассматривать упомянутую работу А
как теоретически мыслимую минимальную величину, так как практически
осуществимые машины в противоположность идеализированной схеме
работают не вполне обратимо.

§ 189. ТЕПЛОВОЙ НАСОС И ХОЛОДИЛЬНАЯ МАШИНА 461
или, так как
§2&ВAЬ) D24)(стр. 453)
B) \ 1 2 / або
ТО
ъ —
Чидеальн -—
Для теплового насоса
'Нидеальи ==
теплота ФОбРA). отданная машиной при высокой температуре
необходимая работа А
Фобр A) Фобр B)
или, учитывая D24),
— Ф°бР (*) __ *Ч° (!) /ЛЛУ\
т|идеальн — д ' Тл— Т ' ^
Технические подробности могут завести нас далеко. Мы должны
ограничиться лишь немногими замечаниями.
1. Из уравнения D46) вытекает основное правило всей
холодильной техники: чтобы какое-либо тело охладить до низкой
температуры Т2, рабочее вещество не должно поглощать тепло при
температуре ниже Т2. Чем меньше Т2, тем меньше коэффициент
полезного действия по уравнению D46). Короче: не следует
шампанское охлаждать жидким воздухвм.
2. Газы мало пригодны в качестве рабочего вещества для
холодильной машины и теплового насоса. Практически нельзя изменить
объем газа, не изменяя его температуры, т. е. изотермически;
теплообмен с окружающей средой происходит слишком медленно.
Поэтому применяют вместо газов пары (Л///3 или СО2). Их объемы
при испарении или сжижении легко изменяются изотермически.
3. Числовой пример к уравнению D47). Нужно отопить жилой
дом при помощи теплового насоса. Теплота, поглощаемая машиной,
берется от наружного воздуха. При наружной температуре 0°С
нужно поддерживать внутри дома температуру в 20°С. Итак,
7\»бсA) =293°, Габо B) = 273°. Тогда уравнение D47) для
идеализированного предельного случая полной обратимости дает:
^ _ <?обРA)_ 293 __ 293 _ А .
'идеалыт — А —- 293 —273 ~ 20 ~~ *
Теперь мы согреваем наши жилые помещения электрическими
печами. Это исключительно удобно, но нерентабельно: мы получаем
за киловатт-час только 860 ккал. С точки зрения физики более
безупречным был бы другой метод: следовало бы использовать
электрическую энергию для «накачки» в дом тепла снаружи. Для

462 XIX. ПРЕВРАЩЕНИЕ ТЕПЛОТЫ В РАБОТУ. ВТОРОЕ НАЧАЛО
этого в нашем примере достаточно было бы 7% электрической
энергии, расходуемой при обычном способе. Зто значит, что,
затратив 1 квт-ч, мы могли бы накачать в нашу комнату около
12 000 ккал. К сожалению, тепловые насосы очень громоздки и
дороги. Поэтому в настоящее время они редко употребляются, но
их дальнейшее усовершенствование и распространение крайне
желательны для сбережения наших энергетических запасов.
§ 190. Термодинамическое определение температуры. Мы до
сих пор применяли уравнение Карно D43) только к техническим
вопросам. Но оно имеет также большое значение и для физики.
Оно не содержит никаких зависящих от вещества констант. Таким
образом, с его помощью можно произвести измерение абсолютной
температуры, не зависимое от свойств всякого вещества (ср. конец
§ 134). Нужно только для одной из температур Тх и Т2, например
для Т2, произвольно выбрать какое-либо значение. Тогда другая
температура однозначно определяется термическим коэффициентом
полезного действия какой-либо машины, работающей полностью
обратимо. Чтобы определить неизвестную температуру, требуется
лишь измерить коэффициент полезного действия такой машины. На
это впервые указал Вильям Томсон (впоследствии лорд Кельвин,
1824—1907). Поэтому часто называют таким образом физически
безупречно определенную температуру температурой Кельвина.
Практически шкала Кельвина совпадает со шкалой хорошего газового
термометра.
§ 191. Работа при изотермическом процессе и зависимость
этой работы от температуры. До сих пор мы рассматривали
превращение теплоты в работу при и:пользовани* падения температуры,
как это имеет место в теплосиловых машинах. Но можно теплоту
превращать в работу и изотермическим путем. В качестве
наглядного примера приведем изотермически работающий двигатель со
сжатым воздухом. При этой периодически работающей машине
общая поглощенная из окружающей среды теплота без остатка
превращается в работу (§ 147).
Сжатый воздух в баллоне и комнатный воздух в помещении
содержат одинаковую удельную внутреннюю энергию. В таком
случае возникает вопрос, чем же отличаются друг от друга в
энергетическом смысле сжатый воздух и комнатный воздух при
одинаковой температуре. Ответ гласит: их содержанием свободной энергии.
К этой величине приводят следующие соображения: уравнение
(}=Ш-\-А B89) (стр. 346)
выражает, что сумма участвующих в процессе энергий остается
постоянной. Но она ничего не говорит о том, в каком масштабе
отдельные виды энергии могут превращаться друг в друга. На
этот вопрос отвечает именно второе начало, опытное содержание

§ 191. РАБОТА ПРИ ИЗОТЕРМИЧЕСКОМ ПРОЦЕССЕ 463
которого заключается во введении величины
-^ = Д5. D23)
* або
Поэтому мы комбинируем уравнения B89) и D23) и получаем
для обратимого или квазистатически протекающего процесса
А =— Ш + Т*ьЛ$. D48)
Для предельного случая изотермического процесса, т. е. при
уравнение D48) принимает вид
D49)
А,апт =— кA1—
В скобках заключены только параметры состояния. Следовательно,
то, что стоит в скобках, также является параметром состояния,
который называется свободной энергией р. Его приращение равно
максимальной работе 1), которую можно получить при изотермическом
процессе. Остающаяся энергия, т. е.
Ш — Д^=ГабсД5, D50)
как «связанная» энергия, превращается в теплоту.
В частном случае сжатого воздуха соотношения особенно просты,
так как внутренняя энергия Ц при изотермическом разрежении
остается неизменной и Д{/ = 0. Изменение его энтропии при
изотермическом разрежении дается уравнением D34) на стр. 442, т. е.
Д5= — М#1п^-. D34)
Из уравнения D49) мы получаем в качестве убыли свободной
энергии и в качестве приращения связанной энергии
Р\
Или, в словесной форме: разреженный воздух содержит меньшую
свободную энергию и большую связанную энергию, чем сжатый
воздух. Энергетическое обесценение сжатого воздуха при его
изотермическом разрежении основывается исключительно на уменьшении его
свободной энергии в пользу связанной.
Пример. При комнатной температуре стальной баллон массой 64 кг и
объемом 42 л содержит при 190 атм 9,6 #г=0,33 киломоля сжатого
воздуха. При изотермическом разрежении его свободная энергия уменьшается на
АР = 0,33 киломоля • 8,31 ■ 108 в/и-сек 2дзО 1п 190
2дз 1п _ _
киломоль • град 1
1п 190=^2,302 1од 190 = 5,25. Итак, Д/?=4,2 • 10*5 вт-сек^ 1,2 квт-ч.
Электрический аккумулятор примерно той же массы уменьшает при разрядке
свою свободную энергию приблизительно на 2 квт-ч.
!) Максимальной, так как в уравнении D23) предполагались только
обратимые процессы.

464 XIX. ПРЕВРАЩЕНИЕ ТЕПЛОТЫ В РАБОТУ. ВТОРОЕ НАЧАЛО
Для многих применений используется влияние температуры на
свободную энергию Р или максимальную работу А, которая может
быть совершена при изотермическом процессе. Мы получим эту
зависимость из уравнения D43), если применим его к очень малой
разности температур 7\— Т2=йТ. Тогда получается:
аА аТ D52)
Уобр або
Отсюда и из уравнения D23) следует
а1 'або
и, учитывая уравнение D49), получим:
йТ йТ
Если это выражение для энтропии подставить в уравнение D49),
то получится уравнение Гельмгольца
л т * —— АН
D55)
§ 192. Применение уравнения Гельмгольца. Свободная
энергия и уравнение Гельмгольца играют в физической химии выдают
щуюся роль. С их помощью, чисто термодинамически, что значи-
посредством параметров состояния, разрабатываются все проблемы,
которые при атомистическом методе изучаются на основе теоремы
Больцмана (§ 167). Мы ограничимся двумя примерами.
В первом примере рассмотрим совершение работы химическим
источником тока, так называемым элементом. Эта работа равна
произведению напряжения Р (вольты) на заряд ^ (ампер-секунды)
атомов, участвующих в химической реакции. Имеем:
А = Рд. D56)
Теперь следует различать три случая.
Случай 1.
Это значит, что напряжение Р не зависит от температуры. Тогда
А = Рд = Г1 — 1>г = --Ш = Ц1 — Ц2 D58)
отданная уменьшение
работа внутренней энергии
Хороший пример дает элемент Даниеля («Учение об электричестве»,
§ 267). Реакция образования меди из Си5О4 и превращения цинка в 2п5О4

§ 192. ПРИМВНБЯИЕ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦЛ 465
дает для теплоты реакции *)
=2,06.10* вт~сек
М ' киломоль
Двухвалентные атомы меди и цинка несут каждый по заряду
2 • 9,65 • Ю7 а-сек/киломоль. Итак, для частного работа/масса в
электрической мере получается:
А 2 • 9,65 • 10' а'СвК ■ (напряжение Р) = 2,06 • 108 вт'Сек
М ' киломоль киломоль'
Отсюда следует, что Р= 1,07 в, что очень близко к 1,09 в, даваемых
наблюдениями. Вся теплота реакции превращается в электрическую работу.
Теплота не поглощается и не выделяется. Будучи защищен от теплообмена,
элемент во время действия сохраняет свою температуру.
Случай 2.
§-Я§<0, D59)
т. е. напряжение Р падает с увеличением температуры. Тогда
^ — иг- D6°)
Напряжение становится меньше, чем вычисляемое только по
теплоте реакции. Часть теплоты реакции отдается как теплота
в окружающую среду. Будучи защищен от теплообмена, элемент
во время действия нагревается.
Случай 3.
%-*%><>• <461>
т. е. напряжение увеличивается с возрастанием температуры. В этом
случае напряжение Р оказывается большим, чем вычисляемое только
по теплоте реакции. Такой элемент часть отдаваемой им работы
производит за счет подвода тепла из окружающей среды. Будучи
защищен от теплообмена, элемент во время работы охлаждается.
г) Чтобы измерить теплоту химической реакции, реакцию производят
в калориметре, не получая из калоримэтра работы. Измеряют количество
теплоты ф, отданное или поглощенное совместно всеми реагирующими
веществами, и определяют
количество теплоты О
г-. = теплота реакции.
масса М реагирующих веществ
Если реакция протекает при постоянном объеме, то (^/М представляет собой
изменение удельной внутренней энергии, т. е. Ш/М. Если реакция
протекает при постоянном давлении, например атмосферном, то ф/М дает
изменение удельной энтальпии, т. е. Д/Ш. Пример реакции: 2п -4- Н2ЗО4 =
= 2п5О4+Н2.
Теплота реакции = (Я-\ = — 3,49 • 104 ккал
теплота реакции ={-^-] = _ 3,55 ЛО4
киломоль
ккал
киломоль

466 XIX. ПРЕВРАЩЕНИЕ ТЕПЛОТЫ В РАБОТУ. ВТОРОЕ НАЧАЛО
§ 193. Человек как изотермическая силовая машина.
Механизм действия наших мускулов во всех подробностях еще не
выяснен. Пополнение энергии происходит при окислении нашей пищи.
При этом получается от
Масла 9,1
Овсяных хлопьев 4,2
Риса 3,9
Хлеба 2,3
Картофеля 0,9
квт-ч/кг.
В состоянии покоя жизнь у взрослого человека поддерживается
мощностью около 80 вт. Это значит, что его тело нуждается
в поступлении около 2 квт-ч энергии в день. При совершении
механической работы пополнение энергии должно быть повышено
до 3—4 квт-ч в день, а у занятых тяжелым физическим трудом
даже до 6 квт-ч в день. В среднем человек нуждается в поступлении
только 1300 квт-ч энергии в год.
Коэффициент полезного действия мускулов вообще около 20°/0,
тренировкой можно достичь 37°/О. Следовательно, нельзя
рассматривать мускулы как работающие теплосиловые машины. При
внешней температуре Т2 = 20° С = 293° К по уравнению D43) на стр. 453
внутри тела должна быть температура 7\ = -|-192°С. Поэтому
вопрос может стоять только об изотермическом производстве
работы мускулов. При этом около 60—80°/0 подведенной химическим
путем энергии превращается в теплоту. Работа, например подъем на
гору, нагревает (в этих числах не учитывается потребность человека
в состоянии покоя, его «основной обмен», 2 квт-ч в день).
При тщательном наблюдении нужно в работе мускулов различать два
процесса. В течение одного возникает сила; этот процесс подобен разрядке
аккумулятора: запас химической энергии превращается в механическую
работу. При этом может быть достигнут коэффициент полезного действия 90%-
После этого следует, выражаясь образно, новая зарядка аккумулятора. Этот
второй процесс в противоположность первому может происходить только
в присутствии О2. Он использует окисление, имеет малый коэффициент
полезного действия и дает много тепла.
Занятие атлетикой в неподвижном положении или в движении требует
подвода химической мощности около 1,4 кет (соответствует потреблению
кислорода 4 л в минуту). Около У5 от этой мощности, т. е. около 300 вт,
идет на совершение механической работы. Для кратковременной рекордной
деятельности мускульный аккумулятор обладает энергетическим запасом
порядка 100 квт-сек. Этот запас после полного исчерпания может быть
вновь восстановлен поглощением около 15 л О2 в течение около получаса.
Небольшая часть этого запаса, быстро уменьшающаяся с возрастанием
напряжения, может быть превращена в механическую работу. За счет этого
запаса энергии человек может на несколько секунд развить мощность в
несколько киловатт (§ 34).
Наши мускулы совершают свою работу ни в коем случае не по
обратимому пути. Их работа так же необратима, как и работа
теплосиловых машин в технике. Обратимо совершаемая работа про-

§ 194. О ЗНАЧЕНИИ СВОБОДНОЙ ЭНЕРГИИ 467
текает с большим трудом и очень медленно. Обратимо
совершаемая работа является идеалом, но, как и во многих других
случаях, не имеет смысла стремиться к этому идеалу.
§ 194. О значении свободной энергии. До сих пор мы
рассматривали роль свободной энергии для изотермического получения
работы. Но ее значение никоим образом не исчерпывается этим.
Свободную энергию применяют повсюду там, где происходят
изотермические изменения состояния с притоком или отдачей тепла.
Примеры: изменения плотности газов, плавление, испарение,
химические реакции, упругое напряжение веществ с большими
молекулами, которые при напряжении изменяют свою форму (например,
резина, мускульные волокна, § 183, III), намагничивание и
электризация всех веществ, сопровождающиеся изменениями объема в
магнитных и электрических полях (магнитострикция и электрострикция).
Мы удовольствуемся единственным примером: он относится
к частному случаю изменения объема тела при постоянной
температуре и постоянном давлении.
Из А=рЬУ следует:
[Индекс V = соп81 должен обозначать, что изменение объема (У2 — У±)
остается постоянным при изменении температуры.]
Подстановкой этих значений в уравнение D53) стр. 464 мы
получаем из второго начала известное уравнение Клаузиуса и
Клапейрона
D63)
Пример применения:
Зависимость температуры плавления от давления. Пусть С}
обозначает теплоту плавления. У многих веществ температура
плавления повышается с возрастанием давления. Примеры: воск или СО2
(рис. 507). Следовательно, для них йТ\йр > 0. Тогда по уравнению
D63) должно быть также ДУ>0, т. е. эти вещества должны при
плавлении расширяться.
У других веществ температура плавления понижается с
возрастанием давления. Пример: вода (рис. 508). В этом случае
аТ/Aр < 0. Следовательно, по уравнению D63) ДК < 0, т. е. такие
вещества при плавлении сжимаются. Оба вывода совпадают с
результатами опыта.
В заключение приведем еще одно важное соображение: если
для вещества известна зависимость свободной энергии Р или
максимальной изотермически получаемой работы Атот от двух простых
параметров состояния, например от Т и У8, то по Р или Лиз0Т

468 XIX. ПРЕВРАЩЕНИЕ ТЕПЛОТЫ В РАБОТУ. ВТОРОЕ НАЧАЛО
можно вывести все прочие параметры состояния вещества. Это
видно из уравнения D54) для энтропии, из уравнения Гельмгольца
D55) для внутренней энергии. Наконец, упомянем без
доказательства о том, что давление р и с ним вместе термическое уравнение
состояния вещества можно получить из уравнения р = с1Атог1&У.
Прежде приходилось для каждого вещества экспериментально
выводить термическое уравнение состояния, удельную внутреннюю
энергию 13\М, удельную энтальпию ^|М и удельную энтропию,
каждую в зависимости от двух простых параметров состояния.
После введения свободной энергии Р достаточно измерить удельную
свободную энергию Р, чтобы исчерпывающе изучить все тепловые
свойства данного вещества.
§ 195. Размерности физических величин. В тексте этой книги
были использованы в качестве основных величин: длина /, время Ь,
масса т, температура Т; в двух других томах — одна электрическая
основная величина, например заряд ц. Далее все производные
величины определяются из уравнений. Они пишутся с опусканием
соответствующих слов, например
путь /
скорость = —-— = — ,
г время (
работа Л = сила • путь = к • I,
п работа А
газовая постоянная И = ==-——
масса • температура тТ
. , работа А
электрическое напряжение 11 = - =— и т. д.
Многие из определяющих уравнений для производных величин
содержат другие производные величины. Так, например, для
определения работы употребляют производную величину — силу. Заменяя
эти производные величины со своей стороны соответствующими
определяющими уравнениями, получим, например:
работа А = —1 = 2
$ 2—2 _1
газовая постоянная /? = —-=, — 11; Т ,
тпР
№ 24. —Ъ —1
электрическое напряжение V = — = гп1 * щ и т. д.
Стоящие справа произведения степеней суть не что иное, как
определяющие уравнения производных величин в менее доходчивой
форме. Это — определяющие уравнения, которые делают из понятий,
путем соглашения о способах измерения величины, измеряемые
величины.

§ 195. РАЗМЕРНОСТИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 469
Во всех вышеупомянутых уравнениях каждая напечатанная
курсивом буква, как всегда, обозначает физическую величину, т. е.
произведение числового значения на единицу этой величины. Любые
единицы величины обозначаются теми же буквами, как и величина,
но в квадратных скобках. Так, любая единица времени, как
например, секунда, минута, час, год и т. д., обозначается [{]. Также
любая единица работы, например килопондсантиметр, ньютонметр,
ватт-секунда и т. д., обозначается [к • 1\ или [т1Ч~2\. Такие
произвольные, не задаваемые более точно, единицы физических величин
называются размерностями. Итак, размерность величины есть
собирательное имя для совокупности ее единиц. Все единицы
величины должны быть того же рода, как и сама величина. Поэтому
размерность можно также называть родом величины.
Во всех уравнениях, не содержащих ошибок, по обеим
сторонам знака равенства должны стоять однородные величины, должны
совпадать и числовые значения и размерности.
Но часто физические уравнения исследуют только с точки
зрения размерностей, не интересуясь числовыми значениями. Тогда
отбрасывают все числовые значения и пишут по обеим сторонам
равенства только размерности. Для примера исследуем уравнение,
справедливое для давления газа:
р=*±ри2. A76) (стр. 189)
Отбросив числовые величины, напишем:
[Щ = [та%
т. е. слева — работа, справа — кинетическая энергия. Следовательно,
уравнение верное. Или, возвращаясь к произведениям степеней,
напишем:
напишем:
хГ\
= [тГхГ\
Один прием столь же хорош, как и другой. Часто применяют для
«контроля размерностей» уравнения вместо размерностей какие-либо
специальные единицы, например для давления — килопонд/см2.
И это правильно, только тогда уже нельзя употреблять для
отдельной единицы собирательное имя размерности.
Размерности — очень простая вещь. Тем не менее в литературе
они составляют кажущуюся неисчерпаемой, однако бесплодную
тему для дискуссий.

ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ
Порядковые номера (жирным шрифтом) и химические атомные веса — отвлеченные числа.
В скобках — массовые числа изотопов с наибольшим временем жизни
Период
1
т I
11
Т Т I
111
1Л7
1 V
■\т
V
VI
Л7 II
V 11
(
1
1
1
|
1
1
г
1
{
}
\
1
г
\
1
1
\
1 Н
1,0080
з и
6,940
11 №
22,99
19 К
39,10
37 КЬ
85,48
55 Сз
132,9
87 Рг
B23)
I
29 Си
63,54
47 А§
107,88
79 Аи
197,2
II
4 Ве
9,013
12 М§
24,32
20 Са
40,08
ЗЭ 2п
65,38
38 Зг
87,63
48 са
112,4
56 Ва
137,4
80 Н§
200,6
88 Ка
226,05
III
5 В
10,82
13 А1
26,97
21 Зс
45,10
31 Оа
69,72
39 V
88,92
49 1п
114,8
57 Ьа
138,9
Ланта-
НИДЫ
81 Т1
204,4
85 Ас
227
Ура-
ниды
IV
6 С
12,01
14 51
28,06
22 Т\
47,90
32 Ое
72,60
40 2г
91,22
50 5п
118,7
72 Ш
178,6
82 РЬ
207,2
Группа
V
7 N
14,01
15 Р
30,98
23 V
50,95
33 Аз
74,91
41 N5
92,9
51 ЗЬ
121,8
73 Та
180,9
83 Ъ\
209,0
VI
8 0
16,00
16 5
32,06
24 Сг
52,01
34 Зе
78,96
42 Мо
95,95
52 Те
127,6
74 №
183,9
84 Ро
210
VII
25 Мп
54,93
43 Тс
(99)
75 Ке
186,3
9 Р
19,00
17 С1
35,46
35 Вг
79,92
53 Л
126,9
85 А*
B10)
26 Ре
55,85
44 Ки
101,7
76 Оз
190,2
VIII
27 Со
58,94
45 КН
102,9
77 1г
193,1
28 N1
58,69
46 ра
106,7
78 Р{
195,2
IX
2 Не
4,003
10 №
20,18
18 Аг
39,94
36 Кг
83,7
54 X
131,3
86 Кп
222
Лантаниды
58 Се
140,1
59 Рг
140,9
60 NA
144,3
61 Рт
(Н7)
62 5т
150,4
63 Ей
152,0
64 Ос1
156,9
65 ТЬ
159,2
66 Бу
162,5
67 Но
164,9
68 Ег
167,2
69 Тт
169,4
70 УЬ
173,1
71 Ьи
175,0
Ураниды
90 ТЬ
232,1
91 Ра
231
92 \]
238,1
93 Мр
B37)
94 Ри
B42)
95 Ат
B43)
96 Ст
B45)
97 Вк
B45)
98 СГ
B48)
99 Е
B53—255)
100 Рт
B54—255)
101 М
B56)

ТАБЛИЦЫ
ЕДИНИЦЫ ДЛИНЫ
471
~13
1 микрон = 1 р. = 10~3 мм = 10~6 м; 1 миллимикрон = 1/и|л = 10~э м
1 ангстрем = 1АЕ = 100 л; 1 ^-единица = \ХЕ = 1,002 • 1013
1 парсек = 3,08 • 1016 л< = 3,26 светового года
ЕДИНИЦЫ СИЛЫ
1 ньютон = 1 кгм/сек2 = 105 дня = 0,102 килопонд
1 килопонд = 9,81 ньютон) 1 миллипонд = 0,98 д
ЕДИНИЦЫ ДАВЛЕНИЯ
10
техн.
атмосфера =
1 килопонд
физическая
атмосфера
1 тор-С?
^■1 и рт,
ст.
/? ^ 1 л*
водяного
столба
1 ньютон/м2
10
1 техн. атмосферах
1 килопонд/см2; > =
(ат) ^
1 физическая
атмосфера;
(атм)
1 тор— 1 __
=1 ^л/ рт. ст. /
1 мм водяного \ _
столба
9,807 ■ 104
1,013.105
1,33а • 102
9,807
1,02 • 10"
1
1,03а
1,Зб0 • 10"
9,867-10~6
0,9678
1
1,316.10-3
9,678. 10~3
7,50г10~
7,356-102
760
1
7,356-10
-2
0,102
10*
1,03 ■ 10*
13,6о ,
1
ЕДИНИЦЫ ЭНЕРГИИ
ватт-секун-
да = ньютон-
метр
киловатт-
час

килокалория
метр
литр-атмо-
' 2)
1 ватт-секунда | _
1 ньютонметр } ~
1 киловатт-час =
1 килокалория1) =
1 килопондметр =
1
литр-атмосфера 2)
1
3,600 • 106
4,189-103
9,8067
98,069
2,778-10
1
1,163-Ю
2,723.10
2,723- Ю
2,389-10~4
8601)
1
2,343.10
2,342 • 10
п
0,1020
3,672 • 105
426,9
1
10,0
1,020-10
-а
42,70
0,100
1
1 электрон-вольт = 1 эв = 1,602 • 109 ватт-сек = 1,074 • 10""е ТМЕ.
1ТМЕ = 1 тысячная массовой единицы = энергия покоя (воображаемой)
частички с атомным весом 10-3, т. е. массой 1,66-10*0 кг. 1ТМЕ =
= 1,492 • 10-13 ватт-сек = 9,308. 106 эв] 1 килОкалория = 2,614.1022 эв;
1 ватт-секунда — 6,24 • 1018 эв.
1) По международному определению для таблиц давления пара.
?) Техническая атмосфера.

472 таблицы
МОЛЯРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Единица, называемая молем, имеет два совершенно различных
значения:
1) моль = (М) граммов употребляется в этой книге как
индивидуальная единица массы. Здесь (М) — молекулярный вес — отвлеченное число;
ср. § 133.
2) МОЛЬ — единица новой основной величины, количества вещества 2,
вводимая наряду с массой М. Эта единица определяется предложением:
1 МОЛЬ есть такое количество вещества, которое содержит столько же
молекул, как 32 г кислорода *).
К сожалению, часто оба значения не различаются, и вследствие этого
начинающиеся с моля и родственные производные величины выступают
также под одинаковым названием в двух разных значениях (ср. три
последних абзаца § 16).
Как и все производные величины, так и те, что начинаются с моля и
родственные им, определяются уравнениями. Мы даем:
I. Примеры для молярных величин, которые определяются с помощью
основной величины — массы М.
Число п* молей = масса М/(М) граммов.
** о ,г* объем V ,,,^ и ,.
Мольный объем Уа = т-г • (М) граммов = удельный объем
8 масса М
У3 • (М) граммов, например для комнатного воздуха У8 = 22,4 литра.
,. А количество теплоты О ,,,.
Мольная теплота с* = г-—т=—-^— • (М) граммов =
масса М- №
= удельная теплота с • (М) граммов, например для металлов
с* «^6 кал/град.
Молярная газовая постоянная = #* = \-. _ (М) граммов =
масса М-Та6о
= газовая постоянная /? • (М) граммов,
например, /? = 8,31 ватт-сек/град.
„ п .„. число п молекул .,,ч
Число Лошмидта Лг = г-г— (М) граммов = удель-
масса М '
ное число молекул #- (М) граммов =■ 6 • 1023.
Мольная рефракция г* = рефракция г • мольный объем Vч [единица,
например, смъ\а).
1) МОЛЬ как единица основной величины количества вещества, само собою
разумеется, должна записываться иначе, чем моль = (М) граммов. Далее
нужно остерегаться неправильного выражения МОЛЬ ~ 6 • 1023.
а) Рефракция г = (л2 — 1)/(л2-]-2), где п — показатель преломления.

ТАБЛИЦЫ 473
II. Примеры для молярных величин, которые определяются с помощью
основной величины — количества вещества 2,
.. ** масса М моль
Мольная масса Мо =
количество вещества 2 МОЛЬ
(М) граммов
= МОЛЬ
„ „ ,г** объем V
Мольный объем к = =■ , например для
количество вещества 2 к к
тг** 22,4 литра
воздуха У8 = ж.„„гу .
.. *.. количество теплоты О
Мольная теплота с**= „ . „, например для
количество вещества 2 • аТ
металла
МОЛЬ • град
Молярная газовая постоян- энергия
ная /?** = =—= , например,
количество вещества 2 • у або
гч ' == о,о 1
Число Лошмидта ./V*
МОЛЬ-град '
число молекул п 6 • 10аз
количество вещества 2^ МОЛЬ
Мольная рефракция г** =■ рефракция г • мольный объем V**
[единица, например, см3/МОЛЬ].
Введение молярных величин увеличивает число величин, число
требующихся букв и уравнений. Например, для уравнения состояния идеального
газа получаются наряду с р V = МЯ. Та6о C03) еще добавочные уравнения
для скорости звука наряду с
с = У*/?7аб0 D51) еще с =
або
(М) грамм
наряду с разностью двух удельных теплот
ср — сп~И. C15) имеются с^ — с* = /?* и
^ —сТ = Н —разности двух мольных теплот.
Сущность применяемых в разделе I наиболее употребительных молярных
величин хорошо уясняется на основе закона падения 5 = -^ §&. Можно
путь падения 5 заменить числом /г* пройденных падающим телом метров, т. е.
п* = з/метр; заменим и ^ на «метрическое» ускорение падения #* = §/метр =
= 9,81/сек*. При использовании этих вспомогательных понятий п* и §*
получается наряду с 5 = -^ §& излишняя добавочная формула п* = -к §*{?.

474
таблицы
ВАЖНЕЙШИЕ ПОСТОЯННЫЕ
Гравитационная постоянная . ? = 6,667 • Ю"и ньютон • м?/кг%
Постоянная влияния е0 = 8,854 • 10" ампер-сек/вольт -метр
Индукционная постоянная . . [х0 = 1,2566 -10 во льт-сек) ампер-метр
Скорость света в вакууме . . с — (&о[Ло)~1/'2 = 2,9979 • 10а м/сек
Волновое сопротивление
вакуума Г=((доАоI/2== 376,5 ом
Атомный вес протона .... (А)р = 1,007593
Атомный вес нейтрона .... (А)п = 1,008982
Масса протона тр= 1,672> 10 кг
Энергия покоя протона . . . (№рH = 9,38-1№ электрон-вольт
Масса покоя электрона ... яго = 9,11-1О кг
Энергия покоя электрона . . (№еH —5,11.105 электрон-вольт
Масса протона/масса электрона тр/те — 1836
Электрический элементарный
заряд е= 1,602 • 10~19 ампер-сек
Удельный заряд электрона . е/Щ = 1,759-10^ ампер-сек/кг
Постоянная Больцмана .... ■ к = 1,38 .10~23 ватт-сек/град =
= 8,62- 10~б электрон-вольт/град
Квант действия Планка ... Л = 6,625 . 10~34 ватт-сек%
Наименьший радиус орбиты
Н-атома лн = %Щ^т^ег = 5,292 • 101 м
Магнетон Бора Шд = ^^/Апт^ =
= 1,165 • 10~29 вольт-сек • метр
Классический радиус электрона ге = р.0е2/4пт0 = 2,818 ■ 105 м
Частота Ридберга /? = е^то/8^ = 3,288.1015 сек~х
Постоянная Ридберга .... /?* = е4:т0/8*1ньс = 10 • 973 730,4 м
Комптоновская длина волны . Хс = Н/тос = 2,426 • 10~12 м
Постоянная тонкой структуры
Зоммерфельда а = е2/2е0Нс = 1/137 =
скорость а электрона по наименьшей Н-орбите
скорость света с

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная температура 354
Абсолютный нуль температуры 358
Адиабатический процесс 365
Адиабаты показатель 365
Акустика 233
Акустическое сопротивление 310
Аммиачные часы 24
Амплитуд гребни 285
Амплитуда 56, 80, 233, 244, 251,
312
— вынужденных колебаний 260
— давления 310
— звуковых волн 253, 310, 324
— скорости 311
Анализ с преобразованием частоты
264
Анемометр 226
Анкерный ход 233
Астазирование 266
Астатический регулятор частот 53
Атмосфера — воздушная оболочка
Земли 190, 196, 405
Атмосфера — единица давления 172
Аэродинамическая труба 210
Базилярная мембрана 325
Базисное измерение длины 17
Баллистическая кривая 73
— постоянная 88
Баллистические весы 88
Баллистический гальванометр 87
— маятник 86
Бар 172
Барометрическая формула 194, 405
Бегущие волны 273, 293
Бекези Г. 328
Бернулли уравнение 210, 213, 292
Биения 238
— кривая 240
Биметаллические полоски 332
Бинауральный эффект 321
Бифилярные маятники 268
Блэк Д. 338
Бойля — Мариотта закон 187
Больцман Людвиг 439
Больцмана постоянная 356, 399, 404
419
, измерение Ж. Перреном 406
— теорема 411
Бортовой резервуар 269
Брауна трубка 22
Броуновское движение 169, 419
в газах 186, 196, 407
и диффузия 419
Брошенного тела движение 72
Бумеранг 119
Бунзен, сравнение молекулярных
весов 391
Бунзена метод определения
молекулярных весов 391
Бур 159
Буря 208
Бэна трубка 197
Вала кручение 159
Ван дер Ваальса уравнение
состояния 376
Ватт 77
Ватт-секунда 77
Вектор 28
—, сложение 39
Величины основные 35
— производные 35
— физические 35
Велосипед, езда без рук 118
Вентилятор 108
Вероятность состояния 438
Вес 41
—, зависимость от широты 142
Весовые проценты 331
Весы крутильные 69
— рычажные 105
Ветер 208
Вещества количество 45
Взрывные волны 318
Вина опыт 269

476
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Вихревая линия 221
— трубка 430
Вихревое поле, свободное от враще
ния 218
Вихри, возникновение 221
— воронкообразные 221
Вихрь разгонный 222
Внешнее трение 165
Внутреннее давление 377
— трение 203, 423
Внутренняя энергия 346
идеальных газов 360
Водяные волны 300
Воздушное огниво 369
Воздушный змей 230
— тепловой двигатель 455
— шар 196
Волновая ванна 275
Волновой желоб 307
Волны бегущие 273
— «головные» 318
— гребень 273
— длина 273
— долина 276
— капиллярные 309
— продольные 286
— стоячие 247, 277
— элементарные 281
Волчок 106, 112
—, его три оси 112
— с двумя степенями свободы 122
Воронкообразный вихрь 221
Вращательная частота 23, 27, 34
Вращательное движение 95
Вращательные колебания 100, 258
Вращательный импульс 106, 113, 116
123
как вектор 106
снаряда 121
— маятник 21, 258
, независимость от угловых уско
рений 136
— момент 95
, получение 98
— — электромотора 96
Вращения жидкости мера 218
— ось мгновенная 112, 115
Времени измерение косвенное 24
прямое 19
стробоскопическое 22
Всестороннее сжатие 151
Второе начало учения о теплоте
452
Вынужденная сила 55
Вынужденные колебания 257, 268
Вычисление энтропии 439
Вязкости постоянная 205
Газовая постоянная 355
Газы идеальные 353
— реальные 371
Галилей Г. 30
Гей-Люссака дроссельный опыт 358
Геликотрема 328
Гельмгольца резонатор 257
— уравнение 464
Геометрическая оптика 281
Геометрический момент инерции 157
Герике О. 191
Герполодии конус 115
Гиббса правило фаз 385
Гибкая ось 109
Гидравлический пресс 174
— скачок 449
Гидравлическое сцепление 199
Гидродинамическое
саморегулирование 253
Гироскопический компас 144
Гистерезис 160
Главные напряжения 153
Главный луч 282
— фокус 197, 282, 289 '
Говорящие машины 320
Гравитационная постоянная 68
Громкости уровни 323
Групповая скорость 304
Губной свисток 254
Гука закон 148
Гюйгенс X. 33
Гюйгенса принцип 284
Давление 148
— в газах 291
— весовое 173
— внутреннее 377
— воздуха 191
— динамическое 213
— излучения 293
— на дно 176
— отрицательное 388
— пара и температура- 383
— поршневое 173
— статистическое в движущихся
жидкостях 212
Давления единицы 172, 471
— модель 188
— распределение в поле тяжести
176, 193
Д'Аламбера принцип 55
Дальтона закон 356
Двигатель внутреннего сгорания
458
Двигатель с горячим воздухом 454
Движение 26
Движение круговое 140, 144

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Движение прямолинейное 31, 48
Движения амплитуда 56 251, 259,
312
— количество 82
Движущая сила 55
Девиация 131, 145
Действие равно противодействию 40
68, 82, 135, 191
Декремент логарифмический 257
Дестилляции изотерма 402
Деформации упругие и остаточные Ш
— эллипсоид 153
Деформация твердых тел 38, 148
Децибел 312
Джоуля—Томсона дроссеьный опьп
377
Джоуль Дж. П. 337
Диаболо 115
Диаграммы 344, 372, 446
— воды 450
Дизель-мотор 369, 459
Динамика 38
Динамическая подъемная сила 227
— устойчивость 54
Динамическое давление 213, 230
Динамометр 42
Диполь 217
Диск 115, 118
— Максвелла 50
— Рэлея 311
Дисперсия 304, 309
— аномальная 309
— нормальная 308
Диффракционная решетка Фраунп
фера 296
Диффракционный спектр 298
Диффракция 279, 284
— звуковых волн 295
— от щели 284
— Фраунгофера 286, 296
— Френеля 286
Диффузии граница 193, 375
— постоянная 414
Диффузия 170, 391, 392, 413, 422
— в кристаллах 147
— нестационарная 418
Длина 14
— волны 273
— свободного пути молекул 425
Длины единицы 471
— измерение косвенное 17
прямое 14
интерференционное 16
микроскопическое 16
Допплера эффект 317
Дробилка 123
Дрожатель Тревельяна 271
Дросселирование 359, 377, 457
Единицы 44, 471
— вещественные 15
Жидкости 169, 203, 374
Жидкость в системе отсчета с
ускорением 197
Жуковского и Кутта соотношение 229
Закон Бойля — Мариотта 185
— Гука 148
— Дальтона 356
— отражения 281
— площадей 51
— преломления 283
— Пуассона 365
— сил линейный 52
нелинейный 53
— сохранения импульса 82
энергии 79, 337
— Стокса 207
— тяготения 68
— Фика 414
— Хагена — Пуазейля 206
Запруживания область 213
Затухание 257
— отрицательное 124
Затухания коэффициент 257
Затухающие колебания 242
Звездные сутки 20
Звонок электрический 236
Звук 313
Звуковая частота 318
Звуковое давление 290
— излучение 313
— поле 310
Звуковой индикатор 290
— передатчик 288
— радиометр 290
Звуковые приемники 291
Земли вращение 140, 143
Земля как волчок 121
система отсчета с ускорением
140
Зубчатка 64
Идеальный газ 353
Изгиб 155
Изгиба колебания 255
— напряжение 157
Излучины в реках 199
Измерение времени 19
— длины 14, 17
— масс и сил 41, 70
Изобарический процесс 364
Изображения точки 283, 288
Изотермический процесс 361, 465

478
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Изохорический процесс 364
Импульс 81, 101
— вращательный 106
— силы 84
Импульса ось 112
Индуктивное сопротивление 230
Инерции сила 132
Интенсивность вихря 221
Интерференция 275, 292
— геометрическая 17
Интерферометр 297
Испарения теплота удельная 339
Истоки 215
Источники звука 313
Кавендиш Г. 69
Кавитация 183
Калориметр 336
Калорический эквивалент 337
Калорическое уравнение состояния
358
Кальете — Симона сжижение газов
381
Камертон 235, 269, 315
Канатный плясун 124
Капиллярные волны 309
Карно Сади 453
— круговой процесс 452
Карусель 136
Касательное напряжение 152
Каучук, кривая растяжения 150
—, сокращение при нагревании
332
Качения трение 166
Квазистатические процессы 431
Кварцевые часы 255
Кельвина температура 354
Кеплер Иоганн 70
Кеплера законы 70
Кеплеров эллипс 51, 67
Керн вихревого поля 221
Килограмм 41
Килограмм-атом 330
Килокалория 336, 338
Киломоль 330
Килопонд 43
Кинетическая теория газов 189
— энергия 79, 100
молекул 389
Кипение 384
Кипения задержка 386
Клаузиуса — Клапейрона уравнение
Клин'168
Клода способ сжижения газов
382
Колебания 57, 233
— амплитуды 66
— в трубах 251, 254
— вынужденные 257
— затухающие 242
— изгиба 255
— крутильные 250
— незатухающие 233
— несинусоидальные 236
— период 57
— поперечные 246
— продольные 249
— разностные 264
— релаксационные 271
— связанных маятников 267
— собственные 245
— стакана 257
— струн 248
— фаза 57
Количество 45
— теплоты 335
Кольцеобразный вихрь 223
Комбинационные колебания 264
Компас гироскопический 144
Конвекция 419
Конденсации теплота 339
Конус прецессии 116, 120
Концевые масштабы 15
Концентрация 46, 253, 404
Кориолиса сила 126, 134, 135, 198,
395
на земле 142
горизонтальная 143
Кортиев орган 326
Коэффициент затухания 257
— планирования 231
— полезного действия 92
термический 453
— растяжения 149
— сдвига 152
— сжимаемости 151
— трения качения 166
— — покоя 165
— — скольжения 166
Кристаллизации теплота 340
Критическая температура 347
•— частота 52
Критические величины 371, 377
Кровообращение 206, 208
Круговая частота 34, 101
Крукса радиометр 393
Крутильные весы 69
— колебания 250, 254
Крутильный прибор 98, 103, 108
Кручение 155, 158
Крыло 229, 232
Кундта пылевые фигуры 252

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
479
Ламинарное течение 206
Линде машина 380
Линейная скорость 33
Линейные волны 279
Линейный закон сил 52
Линейчатые спектры 242, 315
Линза для водяных волн 282
Линии тока 211, 224, 229
в бегущих волнах 301
в модельном опыте 211, 215
— — при обтекании 216
Лиссажу фигуры 62, 65
Лобовое сопротивление 226
Логарифмический декремент 257
Лошадиная сила 77
Лучи 281
Магдебургские полушария 191
Магнуса эффект 229
Майер Роберт 337
Максвелла маятник 50
— распределение 394
Манометр 172
—, градуировка 174
— жидкостный 401
Масса 41, 94, 101
Массы единицы индивидуальные 329
Масштаб 15
Маятник в часах 138, 234
— вращательный 258
— физический 104
— Фуко 133, 142
Маятника движение 21
Мгновенная ось 112
Мгновенное значение 27, 57
Мелодия 320
Мельница дробильная 123
«Мертвая вода» 303
Метацентр 178
Метель 209
Метр 15
Механика классическая 42
Микрометр интерференционный 16
Модель газа 187, 392
— жидкости 171
— слуховой улитки 326
Модельный опыт 277, 402, 435
Мокрый пар 373
Молекул длина свободного пути 394,
425
— масса 330
— удельное число 330
Молекула «физическая» 404
Молекулярная скорость,
распределение 394
Молекулярное представление об
энтропии 437
Молекулярное сечение 185
Молекулярный вес 329
, измерение 357
Молот пневматический 369
Моль 330
Мольво Е. 271
Молье диаграмма 446
Молярные величины 472
Момент вращательный 95
— инерции 100, 102
— направляющий 97
— площади 157
Монокристалл 147
Мощность 91, 101
—, ее передача 159
Муфта гидравлическая 200
Наивероятнейшая скорость 396
Наклеп 162
Наклонная плоскость 76
Направляющая сила 58, 98, 101
Направляющий момент 97, 101
Напряжение 152
—, эллипсоид 153
Насыщенный пар 347, 373
Натяжение поверхностное 178
Небесная механика 70
Незатухающие колебания 233
Нейтральные волокна 156
Нелинейный закон сил 53
Необратимости измерение 434
Необратимость 432
Непер 312
Непрерывный спектр 243
Нестационарная диффузия 418
— теплопроводность 422
Несущая поверхность 227
Низкие температуры 380
Нормальная дисперсия 308
Нормальное напряжение 152
Нутация 113
Ньютон Исаак 41
Ньютон, единица силы 43
Обертон 246
Облака 303
Облученность 310, 324
Обратимость 431
Обратная связь 267
Обтекание 207, 215, 227
Объем молекул 377
Объемное расширение 151
Огниво воздушное 369
Однорельсовая дорога 123
Ома закон 319
Орбитальное движение в водяных
волнах 301

480
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Оси гибкие 110
— закрепленные 95
— импульса 112
— мгновенные 112
— свободные 109
— у человека 111
— фигуры 112
Осмос 399
Осмотическое давление 399
Основное уравнение кинетической
теории газов 189
механики 42
Остаточные деформации 160
Отклонение 56, 143, 246
— частиц воздуха в звуковых волнах
312
Отражение водяных волн 281
— звуковых волн 292
Отражения закон 281
Отсчета система 26, 51, 172, 266
с ускорением 126, 136, 197
Отто, двигатель 459
Падающий шнур 33
Падение кошки 111
— скорости 219
— тел 31
Падения парабола 72
Пар 187
— насыщенный 347
— перегретый 373
— пересыщенный 373
Пара давления над растворами 403
— кривые давления 384, 411
Параболоид 171
Параметры состояния 345
Пароводяной аккумулятор, паровой
котел 443
Паровые турбины 458
Паросодержание 373
Парящий полет 231
Пельтона турбина 456
Перегонка термическая 402
Перегретая жидкость 373
Перегретый пар 373
Передатчик звуковой 288
Передача давления 173
— энергии 342
Перемежающаяся струя 224
Переноса процессы 413
в газах 422
Переохлаждение 385
Период колебания 22
Периодическая система 470
Перпетуум-мобиле второго рода 454
первого рода 337
Перрен 406
Петля гистерезиса 161
Пито трубка 214
Плавание тел 177
Плавления удельная теплота 340
Пламенная труба Рубенса 252
Пламя чувствительное 291
Пластичность 149, 162
Плоской пружины вынужденные
колебания 23, 262
Плотности флюктуации 375, 410
Плотность 46
— воздуха 186
— энергии 292
Площадей закон 51
Пневматический молот 369
Побежалости металла 418
Поверхностная работа удельная 162
Поверхностное натяжение 178, 181,
374
аномальное 185
Поверхность раздела вращающейся
жидкости 222
Пограничный слой 203, 219
Погрешность компасов 144
Подвижность механическая 415
— электрическая 417
Подъема ощущение 49
Подъемная сила 91, 166, 177, 232
вращающегося цилиндра 228
крыла 92, 229, 232
— — статическая в газах 196
в жидкостях 177
Показатель преломления 283
Покоя трение 165
Поле течения 217
Политропический процесс 366
Политропы показатель 367
Полное давление 213
— отражение 283
— ускорение 60
Полодии конус 115
Полупроницаемая перегородка 399
Поляризация 61
Поперечного сжатия коэффициент 150
Поперечные колебания 245
Последействие упругое 160
Постоянная Больцмана 356
— вязкости 205
— газовая 355
— гравитационная 68
— диффузии 416
— Планка 474
Постоянные точки температурной
шкалы 335
Поступательное движение 95
Потенциальная энергия 79
Потенциальное течение 228

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
481
Потенциальные вихри 221
Потерянная сила 55
Правило фаз Гиббса 385
Превращение теплоты в работу 452
Превращения теплота удельная 341
Предел прочности 162
Преломление звуковых волн 294
— по принципу Гюйгенса 294
Преломления закон 283
— показатель 283
Прецессии конус 116, 120
Прецессия Земли 120
—■ псевдорегулярная 119
Приемники звука 316
Приливы и отливы 141
— — — в атмосфере 141
Прилипание 179
Приложенная сила 55
Принцип Д'Аламбера 55
— равномерного распределения 396
— Френеля — Гюйгенса 284
Притяжение взаимное 72
— гидродинамическое 215
Прогиб 155
Продолжительность удара 89
Продольные волны бегущие 286
в воздухе 287
— колебания 249, 253
Пропеллер 231
Противоточник 419, 421
Процессы переноса в газах 427
Прочность на разрыв жидкостей 178,
386
• — твердых тел 162
Прыжок 111, 129
Пуассона закон 365
— соотношение 148
Пучность 247
Пылевые фигуры Кундта 252
Работа 74, 101
— при вращательном движении 101
— при прыжках 75
— расширения 343
— техническая 345
— ускорения 76
Работы единицы 75, 471
Равномерного распределения
принцип 396
Радиальная сила 51
— циркуляция 198
Радиальное ускорение 30, 33
постоянное 33
Радиометр 291,- 393
Разгонный вихрь 222
Раздела поверхности 222
Размерность 468
Разностное колебание 264
Разностные тоны 264, 321
Разность фаз 63, 237, 259
— хода 276
Разрыв 162
Раскачивание 270
Распределение давления газа 176
193
— скоростей, закон Максвелла 394
Распространение волн 279
Рассеяние звуковых волн 295
Растяжения коэффициент 149
Расширение объемное 151
Расширения работа 343
Реальные газы 371
Регистрация 184
Регистрирующие аппараты 201, 264
Резонанс 260
Резонансная кривая 261
Резонатор 259
— Гельмгольца 257
Рейнольдса число 208
Ректификация 383
Релаксации время 160
Релаксационные колебания 271
Решетки плоские 293
Рихман Г. В. 336
Ротор скорости 218
Рычажные весы 105
Рубенса труба 252
Румфорда опыт 336
Сальто-мортале 111
Саморегулирование 233
Сверхзвуковая скорость 448
Свободная энергия 465
Свободное от вращения вихревое
поле 221
Свободные оси 109
Связь 267
Сдвиг фазы 260
Сдвига напряжение 152
Сегнерово колесо 456
Сейсмограф 265
Сечение молекулярное 185
— нейтральное 156
Сжатия коэффициент 150
Сжижение газов 380
Сжимаемости коэффициент 151
Сжимаемость воды 175
Сила — вектор 39
Сила движущая 55
— инерции 126, 266
— Кориолиса 129
— направляющая 58
—, определение 200
— подъемная 177, 228

482
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Сила потерянная 55
■— приложенная 55
— радиальная 51
— трения 167
— тяги 167
— упругости 148
— центробежная 129
Силомер 42
Силы единицы 471
Сименс В., противоточник 420
Синусоидальные волны 302
— колебания 56
— —, энергия 80
Система отсчета 26, 51, 172
с ускорением 126, 136, 197
— СО5 37
Сифон в вакууме 192
— газовый 193
Скольжение 152
Скорость 26, 101
■— волн 286
— газовых молекул 394
■— групповая 304
— угловая 101
— фазовая 273
Скрипка 315
Скрытая теплота 338
Сложение колебаний 63, 238
Слоистое течение жидкости 206
Слух 318
Смазка 167
■— моря 185
Смачивание 178
Смешение газов 413
Смещение 152
Собственные колебания 245, 258
— — плоских и пространственных
фигур 255
твердых линейных тел 245,
254
Сопло 449
Сопротивление 80, 224
■— индуктивное 230
— лобовое 226
Состояния реальных газов 376
— уравнение Ван дер Ваальса
376
калорическое 358
— — термическое 353
Сохранения энергии закон 79, 337
Спектр 242, 254, 315
— звуковой 319
Спектральная чувствительность уха
324
Спектральное изображение 241
Спектральный аппарат 263
Спираль обманчивая 14
Спусковое колесо 234
Среднее время жизни 184
Средняя длина свободного пути
394
— скорость молекул 395
Статическая подъемная сила в газах
196
— постоянная 87
Статические колебания 201, 410
Стационарная теплопроводность 421
Стеклянные слезки 176
Степень свободы 122
Стереограмметрия 17
Стереоскоп 18
Стоки 215
Стокса закон 207
Стоячие волны 247, 277, 287
— звуковые волны 290
Стробоскопическое измерение 23
Струны излучение 314
— колебания 248
Стул вращающийся 106
Суперпозиция волн 306
Сцепление 178, 199
Счетчики оборотов 16
Тангенциальное ускорение 29, 60>
127
Тахометр 27, 31
Твердые тела 146, 245
Тела 45
— твердые 95
Тембр 319
Температура 331
— абсолютная 354
— и изменение объема 391
—, молекулярный смысл 389
— низкая 380
— по Кельвину 354
—, термодинамическое определение
465
Тени цветные 13
Теорема Больцмана 411
Теория относительности 94
Тепловое движение 191
Тепловой насос 459
Тепловые колебания 256
— машины 452
Теплоемкость 335
Теплопроводность 419
— удельная 421
Теплота 328
— скрытая 338
— удельная 335
Термическое уравнение состояния
345, 353
Термодиффузия 428

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
483
Термометр 333
—- градуированный 333
— электрический 333
Техническая единица массы 44
Течение потенциальное 228
Тон 318
Трансформация частоты 264
Траубе М„ полупроницаемая
перегородка 329
Тревельяна дрожатель 271
Трение внешнее 39, 165
— внутреннее 203
— качения 166
, механизм 423
— скольжения 166
— покоя 165
Тройная точка 383
Трубка Бэна 197
— Пито 214
Трутона правило 441
Тумана образование 444
Турбины Пельтона 456
-— с постоянным давлением,
реактивные 457
— Фрэнсиса 457
Турбулентность 208, 413
Тяга 148
Тяготения закон 68
Тяжелый маятник 59
Угол, измерение 19
Угловая скорость как вектор 99
■ при разных моментах инерции
136
Угловое ускорение 101
Угол Маха 283
— падения 281
Удельная теплота 335, 339
— — газов 349
— —, молекулярное истолкование 396
— поверхностная работа 162
Удельное число молекул 330
«Удельный», определение 46
Удельный объем 46
Узлы 247
Ультразвук 183, 253
Ультрацентрифуга 406
Упругие колебания 245, 251
— постоянные 150
Уравнение Бернулли 210
— величин 11, 44
— личное 22
— состояния калорическое 358
термическое 345, 353
— Томсона 445
Уровень громкости 323
Усиление колебаний 266
Ускорение 42, 68, 101
— вертикальное 48
— Кориолиса 141
— постоянное 33, 69
— при синусоидальном колебании 57
— свободного падения 32, 141
Ускорения измерение 30, 42, 265
— определение 29, 33, 59
— работа 77, 359, 447
— центр 61
Устойчивое плавание 178
— равновесие 53
Устойчивость динамическая 54
Ухо, анатомия 325
Фаз правило Гиббса 385
— сдвиг 260
Фаза 274, 374
Фазовая скорость 273
Фазовое превращение 374
Фигуры Лиссажу 62, 65
— ось 112,
—- Хладни 256
«Физические» молекулы 404
Физический маятник 104
Фика законы 414
Флюктуации статистические 410
Фон 323
Фонометрия 321
Форманты 319
Френеля — Гюйгенса принцип 284
Фрэнсиса турбина 457
Фуко опыт с маятником 142
Фурье-представление 243
Хагена И. Г. опыт 143
Хагена — Пуазейля закон 208
Хладниевы фигуры 256
Холодильная машина 459
Холодильник 340
Хронограф 27
Центр тяжести 97, 138
Центральное движение 59
Центрифуга 197
Центробежная сила 129, 139, 19')
Циркуляция 198, 219
Частота 22, 34, 101, 254
— критическая 52
— круговая 22, 34, 101
Часы 22, 255
Число Рейнольдса 208
Числовая величина 28
Чувствительное пламя 291
Чувствительность измерительных
инструментов 408

484
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Штейнера теорема 102
Эйлерова предельная величина 158
Эккер зеркальный 291
Электрический звонок 236
— термометр 333
Элементарные волны 281
Эллипсоид деформации 153
Эллиптические траектории 51
Энергии сохранение 78
Энергия 74, 78, 338
— внутренняя 346
— в тепловой форме 336
— звукового поля 310
—, единицы 471
— кинетическая 79
— колебаний 80
— потенциальная 79
Энергия свободная 462
— связанная 471
Энтальпия 348
Энтропия 434, 439
— и вероятность 438
— идеальных газов 442
Эффект Кну/сена 428
— Магнуса 229
Юнг Т. 275, 297
Ядра кристаллизации и конденсации
386
Язычковая труба 254
Язычковый частотомер 263
Роберт Вихард Поль
Механика, акустика и учение о теплоте
Редактор Б. Л. Лившиц
Техн. редактор Н. Я. Мурашова
Корректор 3. В. Моисеева
Сдано в набор 9/У 1957 г. Подписано к печати 7/Х 1957 г. Бум)га 60X92/,,,.
Физ. печ. л. 30,25. Условн. печ. л. 30,25. Уч.-изд. л. 32,80. Тираж 16 000 экз. Т-08170.
Цена книги 11 р. 35 к. Заказ № 2084.
Государственное издательство технико-теоретической литературы
Москва, В-71, Б. Калужская, 15.
Типография № 2 им. Евг. Соколовой УПП Ленсовнархоза. Ленинград, Измайловский пр., 29.