Author: Матвеев А.Н.
Tags: теория машин и механизмов общие вопросы технической механики механика физика
Year: 1986
Text
А. Н. МАТВЕЕВ
Механика
и
теория
относительности
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ
И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством высшего
и среднего специального
образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов физических
специальностей вузов
Москва «Высшая школа» 1986
ББК 22.21
МЗЗ
УДК 531.8
Рецензент — кафедра физики Московского физико-тех-
нического института (зав. кафедрой — проф. С. П. Капица)
Матвеев А. Н.
МЗЗ Механика и теория относительности: Учеб, посо-
бие для физ. спец, вузов. — 2-е изд., перераб. и
доп. — М.: Высш. шк. 1986. — 320 с.: ил.
Данное пособие является первым томом курса общей физики.
Изложение начинается с анализа релятивистских представлений о
пространстве и времени и преобразований Лоренца. Наряду с класси-
ческой кинематикой и динамикой излагаются основные положения и
выводы релятивистской кинематики и динамики. 2-е издание (1-е —
1976 г.) переработано; расширено изложение фундаментальных вопро-
сов механики, в большинство параграфов включены примеры, иллю-
стрирующие приложение теории к решению задач; все главы снабжены
задачами для самостоятельного решения.
1703010000—397
М----------------75—86
001(01)—86
ББК 22.21
530.1
© Издательство «Высшая школа», 1976
© Издательство «Высшая школа», 1986, с изменениями
Оглавление
Предисловие
1
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Задачи и экспериментальный метод фи-
зики
Задачи физики. Абстракции и ограничен-
ность моделей. Экспериментальные методы
физики
§ 2. Физические величины и их измерение
Различие и сравнение. Сравнение и измере-
ние. Измерение. Единицы физических вели-
чин. Число единиц физических величин
§ 3. Об определении понятий и величин в
физике !
Две категории понятий, используемых в
физике. Два пути определения физических
величин. Об общих понятиях
$ 4. Системы единиц физических величин
Основные и производные единицы. Размер-
ность физической величины. Выбор основ-
ных единиц. Число основных единиц. Ус-
ловность выбора системы единиц. Между-
народная система единиц (СИ).' Единица
времени — секунда. Единица длины —
метр. Единица массы — килограмм. Вне-
системные единицы. Десятичные кратные
и дольные единицы. Анализ размерностей
2
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
И ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 5. Системы координат
Пространство и геометрия. Геометрия и
опыт. Материальная точка. Материальное
тело. Расстояние между точками. Абсолют-
но твердое тело. Система отсчета. Системы
координат. Число измерений пространства.
Важнейшие системы координат. Преобра-
зование координат
11
21
§ 6. Векторы
Определение вектора. Сложение векторов и
умножение вектора на число. Скалярное
произведение. Векторное произведение.
Представление векторов с помощью еди-
ничного вектора. Преимущества векторных
- обозначений. Радиус-вектор. Проекции
вектора в декартовой системе координат.
Соотношение между векторами i х, i , i z.
Вычисление проекций вектора. Выражение
векторных операций в координатах. Преоб-
разование декартовых координат. Преоб-
разование проекций векторов. Физический
вектор
13
§ 7. Время
Понятие времени. Периодические процес-
сы. Синхронизация часов
§ 8. Перемещение, скорость и ускорение
точки
Способы описания движения. Описание
движения в координатной форме. Описание
движения в векторной форме. Описание
движения с помощью параметров траекто-
рии. Вектор перемещения. Скорость. Уско-
рение
§ 9. Кинематика твердого тела
Степени свободы. Число степеней свободы
твердого тела. Разложение движения твер-
дого тела -на слагаемые. Углы Эйлера.
Поступательное движение. Плоское движе-
ние. Вращательное движение. Вектор угло-
вой скорости. Вектор элементарного угло-
вого перемещения. Угловое ускорение.
Мгновенная ось вращения
14
37
42
Задачи
3
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ
§ 10. Принцип относительности
Геометрические преобразования коорди-
нат. Физические преобразования коорди-
нат. Инерциальные системы отсчета и
принцип относительности
§ 11. Преобразования Галилея
Преобразования Галилея. Инварианты
преобразований. Инвариантность длины.
Абсолютный характер понятия одновре-
менности. Инвариантность интервала вре-
мени. Сложение скоростей. Инвариант-
ность ускорения
§12. Постоянство скорости света
Экспериментальная проверка справедли-
вости преобразований Галилея. Разви-
тие взглядов на скорость света. Опреде-
ление скорости света .Ремером. Аберра-
ция света. Различные трактовки скорости
света. Идея так называемого Мирового
эфира и Абсолютной скорости. Идея
измерения так называемой Абсолютной
скорости. Идея и схема опыта Майкель-
сона—Морли. Расчет разности хода лу-
чей. Результат опыта Майкельсона—Мор-
ли. Интерпретация результатов опыта
Майкельсона—Морли в рамках представ-
лений об эфире. Баллистическая гипотеза.
Несостоятельность баллистической гипо-
тезы. Несовместимость постоянства ско-
рости света с привычными представлени-
ями. Идея опыта Физо. Вычисление раз-
ности хода лучей. Результат опыта Физо.
Постулативный характер постоянства
скорости света
58
61
63
66
1*
4 Оглавление
§ 13. Преобразования Лоренца 78
Постулаты. Линейность преобразования
координат. Преобразования для у и г.
Преобразования для хи/. Преобразова-
ния Лоренца. Преобразования Галилея
как предельный случай преобразований
Лоренца. Четырехмерные векторы
Задачи 84
4
СЛЕДСТВИЯ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА
§14. Относительность одновременности 85
Определение. Относительность одновре-
менности и причинность. Инвариантность
интервала. Пространственноподобные и
времениподобные интервалы
§15. Длина движущегося тела 89
Определение длины движущегося тела.
Формула сокращения длины движущегося
тела. Изменение формы движущихся тел.
Оценка величины сокращения. О реаль-
ности сокращения движущихся тел.
О сокращении и абсолютной жесткости
тел
§16. Темп хода движущихся часов. Соб-
ственное время . 94
Замедление хода движущихся часов.
Собственное время. Экспериментальное
подтверждение замедления времени. Темп
хода ускоренно движущихся часов. Пара-
докс близнецов
§ 17. Сложение скоростей и преобразова-
ние ускорений 100
Формула сложения скоростей. Аберрация.
Интерпретация опыта Физо. Преобразо-
вание ускорения
Задачи 104
5
ДИНАМИКА
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 18. Силы 105
Происхождение понятия силы Взаимо-
действия. Измерение силы
§ 19. Законы Ньютона 106
Сколько независимых законов Ньютона
существует? Масса. О втором законе
Ньютона. О третьем законе Ньютона
§ 20t Релятивистское уравнение движения 115
Инертность в направлении скорости и
перпендикулярно скорости. Релятивист-
ское уравнение движения. Несовпадение
направлений силы и ускорения в реляти-
вистском случае
§ 21. Движение системы материальных
точек
Система материальных точек. Момент им-
пульса материальной точки. Момент силы,
действующей на материальную точку.
Уравнение моментов для материальной
точки. Импульс системы материальных
точек. Момент импульса системы матери-
альных точек. Сила, действующая на
систему материальных точек. Момент си-
лы, действующей на систему материаль-
ных точек. Уравнение-движения системы
материальных точек. Центр масс. Непри-
менимость понятия центра масс в реляти-
вистском случае. Уравнение моментов для
системы материальных точек
Задачи
6
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
§ 22. Значение и содержание законов со-
хранения
Содержание законов сохранения. Уравне-
ния движения и законы сохранения. Ма-
тематическая сущность механических за-
конов сохранения
§ 23. Закон сохранения импульса
Изолированная система. Закон сохране-
ния импульса для изолированной систе-
мы. Законы сохранения для отдельных
проекций импульса. Применение закона
сохранения импульса
§ 24. Закон сохранения момента импульса
Формулировка закона. Закон сохранения
для отдельных проекций момента импуль-
са
§ 25. Закон сохранения энергии
Работа сил. Потенциальные силы. Мате-
матический критерий потенциальности
поля. Работа в потенциальном поле. Нор-
мировка потенциальной энергии. Энергия
взаимодействия. Применения. Полная
энергия и энергия покоя. Кинетическая
энергия. Соотношение между массой и
энергией. Экспериментальная проверка
соотношения между массой и энергией.
Инертность потенциальной энергии. Энер-
гия связи. Закон сохранения энергии для
системы материальных точек
§ 26. Законы сохранения и симметрии
пространства и времени
Связь закона сохранения импульса с
однородностью пространства. Связь зако-
на сохранения момента импульса с изо-
тропностью пространства. Связь закона
сохранения энергии с однородностью
времени
Задачи
118
126
127
129
131
132
148
152
Оглавление 5
7
НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ
СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
§ 27. Силы инерции 153
Определение неинерциальных систем.
Время и пространство в неинерциальных
системах отсчета. Силы инерции. О реаль-
ности существования сил инерции. На-
хождение сил инерции
§ 28. Неинерциальные системы отсчета,
движущиеся прямолинейно-поступа-
тельно 156
Выражение сил инерции. Маятник на те-
лежке. Падающий маятник
§ 29. Невесомость. Принцип эквивалент-
ности 158
Невесомость. Гравитационная и инертная
массы. Принцип эквивалентности. Крас-
ное смещение
§ 30. Неинерциальные вращающиеся сис-
темы отсчета 162
Кориолисово ускорение. Выражение для
кориолисова ускорения. Силы инерции во
вращающейся системе Координат. Равно-
весие маятника на вращающемся диске.
Движение тела вдоль вращающегося
стержня. Неинерциальная система коор-
динат, связанная с поверхностью земли.
Маятник Фуко. Законы сохранения в неи-
нерциальных системах
Задачи 170
8
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 31. Уравнения движения 171
Система уравнений. Доказательство зам-
кнутости системы уравнений для твердого
тела. Выбор системы координат
§ 32. Моменты инерции 173
Тензор инерции. Главные оси тензора
инерции. Нахождение главных осей. Вы-
числение момента инерции относительно
оси. Теорема Гюйгенса
§ 33. Кинетическая энергия вращающегося
твердого тела 177
Выражение тензора инерции с помощью
символа Кронекера. Кинетическая энер-
гия вращения
$ 34. Плоское движение. Маятники 179
Особенности динамики плоского движе-
ния. Скатывание цилиндра с наклонной
плоскости. Маятник Максвелла. Физиче-
ский маятник
§ 35. Движение твердого тела, закреплен-
ного в точке. Гироскопы
Выбор системы координат. Уравнение Эй-
лера. Свободные оси. Нутация. Гироско-
пы. Прецессия гироскопа. Направление и
скорость прецессии. Гироскопический ма-
ятник. Яйцеобразный волчок. Несвобод-
ный гироскоп. Гироскопические силы
§ 36. Движение при наличии трения
Сухое трение. Жидкое трение. Работа сил
трения. Явление застоя Явление заноса.
Предельная скорость. Приближение к
предельной скорости Падение тел в воз-
духе. Трение качения. Самодвижущиеся
средства транспорта
Задачи
9
ДИНАМИКА ТЕЛ
ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
§ 37. Нерелятивистские ракеты
Реактивное движение. Уравнение движе-
ния. Формула Циолковского. Ступенчатая
ракета. Характеристическая скорость
§ 38. Релятивистские ракеты
Уравнение движения. Зависимость конеч-
ной массы от скорости. Фотонные ракеты
Задачи
10
СТОЛКНОВЕНИЯ
§ 39. Характеристика процессов столкно-
вения
Определение понятия столкновения. Изоб-
ражение процессов столкновений с по-
мощью диаграмм. Законы сохранения при
столкновениях. Закон сохранения импуль-
са. Закон сохранения энергия. Закон со-
хранения момента импульса. Упругие и
неупругие столкновения. Система центра
масс
§ 40. Упругие столкновения
Столкновения двух частиц в нереляти-
вистском случае. Лобовое столкновение.
Замедление нейтронов. Комптон-эффект
§41. Неупругие столкновения
Общая характеристика неупругих столк-
новений. Неупругие столкновения двух
частиц. Поглощение фотона. Испускание
фотона
§ 42. Реакции между субатомными части-
цами
Пороговая энергия. Энергия активации
Переход в лабораторную систему. Порог
186
198
209
211
215
218
219
224
228
230
6 Оглавление
рождения л°-мезонов Порог рождения
пары протон—антипротон
Задачи 234
11
ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
§ 43. Силы тяготения 235
Закон тяготения Ньютона. Поле вблизи
поверхности Земли. Гравитационная энер-
гия шарообразного тела. Гравитационный
радиус. Размеры Вселенной. «Черные
дыры»
§ 44. Движение планет и комет 238
Уравнение движения. Уравнение момен-
тов. Плоскость движения. Второй закон
Кеплера. Первый закон Кеплера. Третий
закон Кеплера. Движение комет. Откло-
нение лучей света в поле тяготения
Солнца. Межпланетные перелеты
§ 45. Движение искусственных спутников
Земли 247
Отличие законов движения искусственных
спутников Земли от законов Кеплера.
Трасса спутника. Форма Земли. Атмос-
ферное торможение. Геостационарная ор-
бита
§ 46. Проблема двух тел 252
Приведенная масса Переход в систему
центра масс. Приливы
Задачи 256
12
ДВИЖЕНИЕ
В ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
§ 47. Свойства электромагнитных сил 257
Сила Лоренца. Потенциал электростати-
ческого поля. Уравнения движения
§ 48. Движение в стационарных электри-
ческих и магнитных полях 259
Движение в однородном магнитном поле.
Движение в поперечном неоднородном
магнитном поле. Движение в электриче-
ском продольном поле. Движение в элек-
трическом поперечном поле. Случай мало-
го отклонения. Дрейф в скрещенных
электрическом и магнитном полях. Дрейф
в неоднородном магнитном поле. Дрейф,
обусловленный кривизной линии магнит-
ной индукции. Магнитный момент. Адиа-
батическая инвариантность магнитного
момента. Магнитные зеркала. Радиаци-
онные пояса Земли
§ 49. Движение в переменных электромаг-
нитных полях 273
Движение в поле плоской электромагнит-
ной волны. Движение в переменном элек-
трическом и постоянном магнитном полях
Задачи 276
13
КОЛЕБАНИЯ
§ 50. Гармонические колебания 277
Роль гармонических колебаний в приро-
де. Уравнение гармонических колебаний.
Гармонические функции, Амплитуда, час-
тота, фаза. Представление гармонических
колебаний в комплексной форме. Сложе-
ние гармонических колебаний одинаковой
частоты Сложение гармонических коле-
баний с близкими частотами. Биения
§ 51. Собственные колебания 283
Определение. Начальные условия. Энер-
гия. Соотношение между смещением, ско-
ростью и ускорением. Нелинейные колеба-
ния. Общее условие гармоничности коле-
баний
§ 52. Затухающие колебания 291
Трение. Уравнение движения. Частота и
декремент затухания. Логарифмический
декремент затухания. Случай большого
трения. Расчет затухания исходя из по-
терь энергии на трение
§ 53. Вынужденные колебания. Резонанс 296
Внешняя сила. Уравнение движения. Пе-
реходный режим. Установившиеся вы-
нужденные колебания. Амплитудно-час-
тотная характеристика. Добротность. Фа-
зочастотная характеристика. Периодиче-
ская, но не гармоническая сила. Непе-
риодическая сила Резонанс при нелиней-
ных колебаниях
§ 54. Автоколебания и параметрические ко- 304
лебания
Определение. Автоколебания маятника.
Релаксационные колебания; Параметри-
ческое возбуждение колебаний
§ 55. Колебания связанных систем 307
Системы со многими степенями свободы.
Связанные системы. Нормальные колеба-
ния связанных систем
Задачи 311
Заключение 312
Приложение 316
Предметный указатель 318
Предисловие
«Механика и теория относительности» (издание второе) является
первым томом курса общей физики (том второй «Молекулярная физи'-
ка», том третий «Электричество и магнетизм», том четвертый «Опти-
ка» выходили соответственно в 1981, 1983, 1985 гг.; том пятый «Атом-
ная физика» планируется к выпуску).
Перед курсом физики стоят следующие задачи. Во-первых, сооб-
щить студенту основные принципы и законы физики и их математи-
ческое выражение; ознакомить его с основными физическими явле-
ниями, методами их наблюдения и экспериментального исследования;
научить правильно выражать физические идеи, количественно форму-
лировать и решать физические задачи, оценивать порядки физических
величин; дать студенту ясное представление о границах применимости
физических моделей и теорий. Во-вторых, сформировать у студента
определенные навыки экспериментальной работы; ознакомить с глав-
ными методами точного измерения физических величин, простейшими
методами обработки результатов эксперимента и основными физиче-
скими приборами. В-третьих, помочь студенту овладеть марксистско-
ленинским пониманием философских и методологических проблем
современной физической науки, ознакомиться с этапами истории ее
развития. В-четвертых, дать студенту правильное представление о
роли физики в научно-техническом прогрессе и развивать у него
любознательность, умение и интерес к решению научно-технических
и других прикладных вопросов.
Решение этих задач возможно лишь при правильном сочетании
экспериментального и теоретического обучения. Экспериментальное
обучение осуществляется в лабораториях и обеспечивается соответ-
ствующими лабораторными руководствами. Данное пособие обеспечи-
вает теоретическое обучение. Само собой разумеется, оно содержит
также описание и анализ физических явлений, измерения физических
величин, обсуждение методов экспериментальных исследований и дру-
гие аналогичные вопросы, но лишь в аспекте теоретического обучения.
В настоящее время советская высшая школа призвана всесторонне
решать задачу усиления фундаментального характера образова-
ния выпускаемых специалистов. Физика стоит в первом ряду фунда-
ментальных дисциплин. Поэтому в этом пособии более подробно
излагается материал об измерениях и определении физических
величин, роли абстракций, методах физического исследования. Кине-
матика излагается не как математическая теория, а как физическая.
Это позволило в самом начале книги изложить релятивистские
представления о пространстве и времени и преобразования Лоренца.
Благодаря этому понятия пространства, времени, движения и мате-
рии выступают в неразрывном единстве уже в рамках кинематики.
Достаточно подробно анализируется физическое содержание законов
Ньютона, рассматриваются с критических позиций различные пути
обоснования механики, в доступной для понимания форме излагаются
8 Предисловие
вопросы о связи законов сохранения с симметриями пространства
и времени.
Наряду с фундаментальностью образования для современного
специалиста большое значение имеет умение эффективно применять
результаты физических исследований для ускорения научно-техни-
ческого прогресса. В связи с этим в книге рассматриваются такие
вопросы, как движение в неинерциальных системах отсчета, инерци-
альные навигационные системы, гироскопические явления, движение
искусственных спутников Земли, динамика тел переменной массы,
движение в электромагнитных полях, соотношение между массой и
энергией и др.
В методическом отношении все тома курса физики написаны
единообразно. Каждая глава начинается с краткой обобщенной
формулировки ее основной идеи, каждый параграф начинается с
ориентировки читателя на узловые вопросы излагаемого в нем мате-
риала. Систематически разбираются примеры решения наиболее важ-
ных задач, развивающих теорию. В конце глав приводятся задачи для
самостоятельного решения с ответами. В тексте специально выделены
краткие формулировки наиболее важных положений, формулы и воп-
росы для самостоятельного контроля. Большое число рисунков помо-
гает восприятию материала. В приложениях содержатся необходи-
мые справочные данные.
Автор выражает благодарность проф. С. П. Капице и сотрудни-
кам возглавляемой им кафедры за внимательное рецензирование
рукописи и высказанные ценные замечания.
Автор
I. Задачи и экспериментальный
метод физики
Анализируется модельный характер физических
представлений и излагается суть эксперимен-
тального метода физики.
Задачи физики. Встречаясь в повсед-
невной жизни и практической деятель-
ности с различными физическими
объектами, явлениями, ситуациями и
связями Между ними, человек создает
в своем сознании модель, которая со-
стоит из образов этих объектов, явле-
ний, ситуаций и связей между ними, а
также правил оперирования с ними.
Модели физической действительности
начали создаваться в сознании чело-
века вместе с возникновением самого
сознания. Поэтому нет ничего удиви-
тельного в том, что некоторые элемен-
ты этих моделей (например, понятия
пространства и времени) столь глубоко
укоренились в нашем сознании, что
ряд философов считали их формами
сознания, а не отражением в сознании
элементов внешнего мира. При изуче-
нии физики как науки весьма важно
всегда иметь в виду модельный ха-
рактер ее построений.
Задача физики состоит в том, чтобы
создать в нашем сознании, такую
картину физического мира,• которая
наиболее, полно отражает свойства ми-
ра и обеспечивает такие соотношения
между элементами модели, какие су-
ществуют между элементами внешнего
мира.
Абстракции и ограниченность мо-
делей. В реальном физическом мире
связи между явлениями и предметами
столь многообразны, что охватить их
все невозможно не только в практиче-
ском, но и в теоретическом принци-
пиальном смысле. Последнее обстоя-
тельство обусловлено неисчерпае-
мостью свойств материи. Поэтому при
создании моделей принимаются во вни-
мание только существенные для дан-
ного круга явлений свойства и связи.
Лишь благодаря такому ограниче-
нию удается создать модель, которую
1
ВВЕДЕНИЕ
С^Э изические модели
являются математическими, но не ма-
тематика является их основой. Количе-
ственные соотношения между физиче-
скими величинами выясняются в ре-
зультате измерений, наблюдений и эк-
спериментальных исследований и лишь
выражаются на языке математики.
Однако другого языка для построения
физических теорий не существует.
1
Задачи и экспериментальный метод физики
2
Физические величины и их измерение
3
Об определении понятий и величин
в физике
4
Системы единиц физических величин
10 1. Введение
возможно охватить мысленным взором.
Задача отбрасывания всего несущест-
венного для данного явления высту-
пает в качестве важнейшего элемента
физического исследования. Например,
при изучении законов движения планет
вокруг Солнца нет необходимости
принимать во внимание давление сол-
нечных лучей и солнечного ветра на
планеты, а при рассмотрении поведе-
ния хвостов комет их учет является
необходимым. Известны многочислен-
ные факты неудачи научного поиска
из-за того, что исследователи пыта-
лись учесть факторы, которые для ис-
следуемого явления не имеют значе-
ния.
Учет лишь существенных факторов
сводится к абстрагированию от реаль-
ной ситуации и созданию модели в
рамках принятых абстракций.
Физические модели являются при-
ближенными моделями, и их справед-
ливость может быть гарантирована
лишь в пределах применимости упо-
требляемых абстракций. Вне этих пре-
делов модель может стать неприме-
нимой и даже бессмысленной.
Поэтому в физическом исследова-
нии весьма важно иметь на каждом
этапе ясное понимание, почему счи-
тается применимой именно та модель,
которая используется. Здесь сущест-
венно подчеркнуть, что один и тот же
физический объект в различных ситуа-
циях может быть представлен различ-
ными моделями. Например, при рас-
смотрении движения Земли вокруг
Солнца можно в качестве модели при-
Один и тот же физический объект в раз-
личных ситуациях может быть представлен
различными моделями. Физические модели
являются приближенными моделями, и их
справедливость может быть гарантирована
лишь в пределах применимости употреб-
ляемых абстракций. Вне этих пределов мо-
дель может стать неприменимой или даже
бессмысленной.
нять модель материальной точки с мас-
сой Земли, расположенной в ее центре.
Эта же модель Земли применима в пер-
вом приближении при рассмотрении
полетов спутников вокруг Земли на
достаточно большом^расстоянии от нее.
Однако для более точного описания
движения спутников такая модель не-
применима, поскольку Земля не яв-
ляется строго шаром и ее масса не-
равномерно распределена по объему,
вследствие чего сила тяготения, дей-
ствующая на спутник, не сводится к
силе тяготения материальной точки, рас-
положенной в центре Земли. Кроме
того, модель тяготеющей материальной
точки допускает для спутников орби-
ты, проходящие от центра Земли
на расстояниях, меньших ее радиу-
са, что невозможно ввиду неизбеж-
ного столкновения с поверхностью
Земли.
Экспериментальные методы физики.
Человек от рождения не имеет в соз-
нании никаких элементов модели внеш-
него мира и правил оперирования с
ними. Они выработаны человечеством
в результате всего исторического раз-
вития. Индивидуальный человек делает
их элементами своего сознания посред-
ством собственной деятельности и про-
цесса обучения.
Научные исследования постоянно
расширяют и углубляют физическую
модель мира. Это может быть сделано
лишь в результате эксперимента и на-
блюдения. Поэтому физика является
наукой экспериментальной. Ее модели
должны адекватно отражать свойства,
обнаруживаемые в наблюдении и экс-
периментах. С другой стороны, грани-
цы применимости моделей также опре-
деляются экспериментом.
Следовательно, экспериментальный
метод физики состоит в следующем:
на основе эксперимента и наблюдений
создается модель, в рамках которой
делаются предсказания о явлениях,
проверяемых в свою очередь в экспе-
риментах и наблюдениях; в резуль-
тате этого уточняется модель, делают-
ся новые предсказания и т. д.
Наиболее существенный прогресс в физике
происходит в двух случаях: во-первых, когда
предсказания модели не подтверждаются экспе-
риментом; во-вторых, когда открывается новый
круг физических явлений или объектов, для
которых нет моделей вообще. В первом случае
приходится исправлять модель или заменять но-
вой. Если замена модели связана с пересмот-
ром основных представлений, то говорят о ре-
волюции в физике. Во втором случае создается
новый раздел физики.
Примером первого случая, когда пришлось
пересматривать основные представления ньюто-
новской модели пространства и времени, являет-
ся создание специальной теории относитель-
ности; примером второго случая — создание
квантовой механики как нового раздела физики.
В обоих случаях речь идет не об опроверже-
нии существующих моделей, а об установле-
нии границ их применимости и разработке
новых моделей, проявляющих свою действен-
ность за границами применимости старых мо-
делей.
Экспериментальный метод физики
требует, чтобы всем представлениям,
понятиям и другим элементам, состав-
ляющим физическую модель, было да-
но однозначное истолкование. Необхо-
димо, чтобы модель не содержала эле-
ментов, для которых не указано одно-
значного истолкования в виде соотно-
шений либо с объектами, процессами,
ситуациями и т. д. реального мира,
либо с другими элементами модели,
которые уже определены.
Это обстоятельство имеет большое
значение для изучения физики. Необ-
ходимо заботиться, чтобы каждый
элемент изучаемой модели имел четко
определенное содержание и ясно сфор-
мулированное соотношение с элемен-
том реального физического мира.
Лишь при этом условии физические
понятия наполняются реальным содер-
жанием, в котором отражаются объек-
тивные закономерности материального
мира и объективные свойства физиче-
ских объектов и процессов.
§ 2. Физические величины и их измерение 11
2. Физические величины
и их измерение
Рассматривается возникновение идеи измерения
как количественного сравнения общего в раз-
личном.
Различие и сравнение. Первым шагом
в познании является установление раз-
личия между объектами физической
действительности. Благодаря этому
удается идентифицировать объекты
изучения. После этого возникает зада-
ча сравнения. Но сравнение возможно
лишь на базе общности. Поэтому
должно быть найдено общее в различ-
ном. Общее и различное выступают
здесь в своем диалектическом един-
стве. Сравнение различных объектов
возможно по нечто такому, что являет-
ся у них общим. Например, они зани-
мают определенный объем в простран-
стве, и их можно сравнивать по этому
признаку.
Сравнение и измерение. Интуитивно
достаточно ясно, что означает выраже-
ние «арбуз больше яблока», объем
яблока является лишь частью объема
арбуза. Такое сравнение носит качест-
венный характер. Например, может
быть известно, что данный арбуз боль-
ше некоторого другого яблока, но от-
сюда нельзя извлечь никакой информа-
ции о том, какое из двух яблок больше.
Поэтому возникает задача выра-
жать результат сравнения арбуза с
каждым из яблок в такой форме, чтобы
можно было сделать заключение о ре-
зультатах сравнения яблок между со-
бой. Это достигается процедурой изме-
рения, в результате которой рассмат-
риваемое свойство характеризуется
числом.
Измерение. Как уже подчеркива-
лось, речь идет о сравнении одинако-
вых свойств, качеств в различных
предметах, явлениях, процессах и т. д.
Например, наиболее общим свойством
материальных тел является их протя-
12 1. Введение
женность, наиболее общим свойством
процессов — их длительность. Рас-
смотрим одно из этих свойств, напри-
мер протяженность. Для сокращения
выражений будем рассматривать про-
тяженность в одном направлении, т. е.
длину. Тела, протяженность которых
исследуют, назовем линейками.
Измерением физических свойств на-
зывается процедура соотнесения этим
свойствам некоторых чисел таким об-
разом, чтобы сравнение свойств можно
было провести путем сравнения чисел.
В рассматриваемом примере задача
сводится к тому, чтобы каждой линей-
ке приписать некоторое число, одно-
значно характеризующее ее протяжен-
ность, и, наоборот, каждое число
должно позволить из всех существую-
щих линеек выбрать однозначно такие,
протяженность которых определяется
этим числом. Характеризуемое таким
способом свойство называется физиче-
ской величиной, а процедура, с по-
мощью которой находится число, ха-
рактеризующее физическую вели-
чину, — измерением.
Процесс измерения сводится к
сравнению длин с некоторой одной
длиной, принятой за единицу. Сама по
себе процедура сравнения и получения
соответствующего числа и составляет
сущность измерения. Она может быть
весьма сложной. При таком определе-
нии длина некоторой линейки выра-
жается формулой где т — без-
размерное число, показывающее,
*¥ Измерением физических свойств называется
процедура соотнесения этим свойствам не-
которых чисел таким образом, чтобы срав-
нение свойств можно было провести путем
сравнения чисел. Каждая физическая вели-
чина может выражаться только в собствен-
ных единицах. Поэтому число единиц равно
числу физических величин. Однако, пользу-
ясь связями между физическими величина-
ми, можно одни из них выразить через
другие и ограничиться небольшим числом
физических величин, через единицы которых
можно выразить все остальные.
сколько раз в измеряемой длине со-
держится длина, принятая за единицу.
Символом /о обозначена единица длины,
которая обычно имеет некоторое на-
звание, например сантиметр, метр
и т. д.
Единицы физических величин. Та-
ким образом, для измерения некото-
рого физического свойства необходимо
выбрать единицу величины, т. е.
конкретное физическое свойство, кото-
рому приписывается число 1. Напри-
мер, для измерения свойства протя-
женности материальных тел выбирают
конкретное материальное тело (ли-
нейку) , протяженность которого при-
нимается за единицу и обозначается
числом 1. Измерение сводится к срав-
нению измеряемых свойств со свой-
ством, принятым за единичное. Свой-
ства, качества и т. д., которыми
оперируют физика, называются физи-
ческйми величинами. В этом смысле
задача измерения сводится к нахожде-
нию числового значения физической
величины.
Число единиц физических вели-
чин. В физике изучаются многие физи-
ческие величины. Каждая из них мо-
жет выражаться только в своих собст-
венных единицах. Поэтому число еди-
ниц физических величин равно числу
физических величин. С таким большим
числом различных единиц очень не-
удобно работать; их число может быть
уменьшено. Дело в том, что различ-
ные физические величины не являются
независимыми. Между ними сущест-
вуют многообразные связи, изучаемые
физикой. С помощью этих связей
можно одни физические величины вы-
разить через другие и ограничиться
небольшим числом физических вели-
чин, через единицы которых можно
выразить все остальные. Эти единицы
называются основными, а совокупность
единиц физических величин — систе-
мой единиц.
§ 3. 06 определении понятий и величин в физике 13
\
3. Об определении понятий
\ и величин в физике
Показывается необходимость двух путей опреде-
ления физических величин.
Две категории понятий, используемых
в физике. Первая категория понятий,
с которыми имеет дело физика, может
быть условно названа категорией фи-
зических понятий. К ней относятся
такие понятия, как сила, скорость,
ускорение, электроемкость, вязкость
и т. д. Об этой категории понятий
люди, не занимающиеся специально
физикой, обычно имеют весьма смутное
и расплывчатое представление. Фи-
зик же имеет о них четкое представ-
ление,. уточняемое обычно количествен-
ным определением, т. е. их определе-
нием как физических величин. Однако
в своей работе физик не может обой-
тись только этими понятиями. Он ис-
пользует понятия, которые не являются
специфичными для физики, а имеют
общий характер. Эта категория поня-
тий может быть условно названа ка-
тегорией общих понятий. К ней отно-
сятся такие понятия, как существова-
ние, аннигиляция, истинность, причин-
ность, детерминизм, объективность
и т. д. Представления физика об этих
понятиях практически не отличаются от
представлений людей, не занимающих-
ся физикой: они могут быть как рас-
плывчатыми, так и ясными в зависи-
мости от обстоятельств. Многие из
этих понятий рассматриваются в фило-
софии. Однако общие понятия сами по
себе еще недостаточны. Они должны
быть конкретизированы применительно
к физике. Физический анализ многих
из этих понятий позволил существенно
продвинуться в понимании и создании
чисто физических теорий.
Два Пути определения физических
величин. Каждое физическое понятие
должно иметь ясное и однозначное
определение. В этом утверждении нуж-
дается в разъяснении само слово
«определение». Что значит определить
физическую величину? Это значит, что
надо указать то различие, что делает
эту физическую величину конкретной,
и то общее, что делает ее элементом
всеобщей физической связи явлений.
За основу определения физической
величины берутся математические со-
отношения, существующие между фи-
зическими величинами. Это суть пер-
вого пути определения физической
величины. Например, считая известным
определение скорости, можно выразить
ускорение как скорость изменения ско-
рости. В этом случае ускорение записы-
вается в виде a=dv/d/, причем это есть
именно определение величины а. Иног-
да, чтобы специально подчеркнуть,
что некоторая формула является опре-
делением, вместо знака равенства «=»
используется специальный знак «=».
Ясно, что нельзя все физические
величины определить указанным спо-
собом: переходя последовательно от
одних к другим, мы придем наконец к
таким величинам, которые надо задать
каким-то новым способом. Например,
ускорение выражается через скорость
и изменение скорости (во времени).
Следовательно, надо дать определение
скорости и промежутков времени. Ско-
рость выражается через отрезки пути и
промежутки времени, к которым свелся
вопрос об ускорении. Их необходимо
фиксировать другим методом, отлич-
ным от указания на связь с извест-
ными физическими величинами. (Сле-
дует подчеркнуть, что сейчас речь идет
не о пространстве и времени как фило-
софских понятиях, а о метре и секунде
и об измерении длин и интервалов
времени как физических величин.)
Этот метод называется операционным:
мы указываем на физический объект,
свойство которого принято за единич-
ное, и определяем процедуру измере-
ния, с помощью которой сравниваются
14 1. Введение
свойства измеряемого объекта и еди-
ничного. Например, при измерении
длин необходимо указать эталон, при-
нятый за единицу длины, и процедуру
измерения других^, длин с помощью
этого эталона. Аналогичным образом
для измерения промежутка времени
необходимо указать промежуток вре-
мени, принятый за единичный. Не-
сколько позднее этот вопрос будет рас-
смотрен более подробно.
Эти два метода определения физи-
ческих величин существуют одновре-
менно и дополняют друг друга.
Об общих понятиях. Большинство
из понятий, которые условно были
названы общими, не имеют специаль-
ных определений в физике. Считается,
что смысл слов, которыми эти понятия
выражаются, не требует дополнитель-
ных пояснений. Иногда могут быть сде-
ланы ссылки на разъяснение этих по-
нятий, которые даются в философской
литературе. Однако с течением време-
ни становится все более ясным, что
физика как наука не может обойтись
без анализа и осмысливания этих по-
нятий. Гносеологическим, методологи-
ческим и философским вопросам физики
посвящено много работ. При изучении
физики нельзя пройти мимо этих воп-
росов. Развитие физики стимулирует
их разработку. Например, в связи с
развитием квантовой механики значи-
тельный прогресс достигнут в понима-
нии проблем причинности, детерми-
низма и т. д.; развитие теории относи-
тельности связано с более глубоким
осмысливанием соотношения между
материей, пространством и временем
и т. д. Это показывает, что осмысли-
вание и применение в рамках физики
общих понятий тесно связаны с прог-
рессом физики как науки. Многие
крупные достижения в развитии физи-
ки были связаны в той или иной сте-
пени с прогрессом в осмысливании
общих понятий.
4. Системы единиц физических
величин
Подчеркивается условность выбора системы
единиц и характеризуется Международная си-
стема единиц (СИ)
Основные и производные единицы. Как
уже подчеркивалось, должно сущест-
вовать столько различных единиц,
сколько существует различных физиче-
ских величин. Однако одни физические
величины определяются с помощью
формул через другие физические вели-
чины. Это позволяет уменьшить число
основных единиц, которые опреде-
ляются без ссылок на другие единицы.
Размерность физической величины.
Как уже сказано выше, в физике,
как правило, хотя и не всегда, при-
нимается такое определение физиче-
ской величины, при которой она за-
дается формулой вида
а=таеа. (4.1)
Здесь символ еа означает единицу ве-
личины, т. е. физическую величину
той же природы, что и измеряемая
величина а, относительно которой ус-
ловились, что ее числовое выражение
принимается равным единице. Таким
образом, символ еа фиксирует как при-
роду измеряемой величины, так и при-
нятый масштаб измерения. Число та
является безразмерным числом, пока-
зывающим, из скольких единиц еа мож-
но составить измеряемую величину а.
Кроме того, из формулы (4.1) следует,
что при сложении двух величин а\
и аг происходит сложение чисел та\
И Ша2.
а\+а2=(та\ + та2)еа. (4.2)
Следует обратить внимание, что формула
(4.2) выражает правило сложения физических
величин, если они обладают свойством адди-
тивности в той физической ситуации, для кото-
рой определено их сложение. Например, отрезок
проводника может быть охарактеризован сопро-
тивлением R или проводимостью y—\/R. При
.последовательном соединении двух проводников
складываются их сопротивления, а при их па-
§ 4. Системы единиц физических величин 15
риллельном соединении складываются прово-
димости. В обоих случаях равенство (4.2)
удовлетворяется.
Природа изменяемой величины
характеризуется ее размерностью.
Обычно размерность физической ве-
личины обозначается той же буквой,
заключенной в квадратные скобки.
Например, если рассматриваемая ве-
личина а является длиной, то ее раз-
мерность есть длина, обозначаемая
как L, что выражается равенством
[a]=L. Размерность единицы та же
самая, т. е. [ev]=L. Когда мы гово-
рим, например, что размерность
данной величины есть длина, то этим
характеризуем лишь природу этой ве-
личины, но ничего не говорим о масш-
табе той единицы, с помощью которой
эта величина измеряется. Например,
это может быть или метр, или сан-
тиметр, или еще какая-нибудь другая
длина, принимаемая за единицу. Раз-
мерность всех этих единиц одна и
та же, т. е. L.
Рассмотрим еще две физические
величины, заданные формулами
Ь — тьеь, с=тсес. (4.3)
Пусть имеется некоторый физиче-
ский закон, связывающий между собой
а, б, с.
Необходимо ясно себе отдавать от-
чет, что закон устанавливается не в
виде соотношения между физическими
величинами а, в, с, а между измеряю-
щими эти величины числами та, пгь, тс.
Пусть, например, этот закон имеет сле-
дующий вид:
тс=Апг^т1. (4.4)
Здесь числа А, та, ть, тс также без-
размерны; р и q — показатели степени,
- которую возводятся числа та и ть.
С- помощью (4.2) и (4.3) это соотно-
шение формально можно переписать
в виде
(4.4а)
еа ера el ’
или
(4.46)
Числовое значение величин еа, еь, ес,
по определению, равно 1. Поэтому
стоящая в скобках (4.46) величина
численно равна величине А, но являет-
ся размерной. Обозначим ее через А'
и запишем физический закон (4.46)
в форме
c=A'apbQ. (4.4в)
Именно в такой, а не в безразмерной,
форме (4.4) выражаются обычно фи-
зические законы.
Правила нахождения размерно-
стей сложных выражений сводятся к
следующим двум:
(4.5)
Поэтому размерность величины А' в
(4.4в) равна
fo] М
(4.6)
где учтено, что А является безразмер-
ным числом. Благодаря этому обеспе-
чивается одинаковая размерность ле-
вой и правой частей равенства (4.4в).
Математические равенства возмож-
ны лишь между физическими величи-
нами одинаковой размерности. При из-
менении систем единиц физических
величин размерность последних, вооб-
ще говоря, меняется. Хорошим и бы-
стрым контролем отсутствия грубых
ошибок в формулах при вычислениях
является проверка размерностей в ле-
вой и правой частях равенств, а также
различных членов, входящих в суммы
и разности, поскольку складывать и
16 1. Введение
вычитать можно лишь физические ве-
личины одинаковой размерности. По-
этому если размерности левой и правой
частей равенства не совпадают или в
формуле производится вычитание или
сложение величин с различными раз-
мерностями, то наверняка можно ска-
зать, что допущена ошибка. Легче
всего' обнаружить ошибку, когда без-
размерное число складывают с размер-
ной величиной или вычитают из нее.
Выбор основных единиц. Выбор
физических величин, единицы которых
принимаются за основные, является
делом соглашения. С принципиальной
точки зрения нельзя указать мотивы
предпочтительности одной физической
величины перед другой.
Однако с практической точки зре-
ния не все единицы одинаково под-
ходят для роли основных. Дело в том,
что основная единица должна быть
определена прямым указанием на ма-
териальный объект и физические про-
цедуры, которые эту единицу реали-
зуют. Поэтому возникают вопросы не-
изменности материального объекта,
воспроизводимости процедур, удобства
реализации и т. д. С учетом этих об-
стоятельств произвольность в выборе
основных единиц существенно сни-
жается. Поэтому не удивительно, что в
многочисленных системах единиц в ка-
честве основных наряду с другими бе-
рутся почти неизменно единицы длины,
времени, массы.
Число основных единиц. Макси-
мальным числом основных единиц яв-
ляется число всех физических вели-
чин, которые измеряются; каждая фи-
зическая величина выражается своей
единицей. Например, каждая из вели-
чин: скорость и, расстояние / и вре-
мя t — выражается с помощью своей
единицы. Размерность единицы совпа-
дает с размерностью физической вели-
чины. В данном случае этими размер-
ностями являются размерности ско-
рости [и] =У, длины [/] =L и времени
[/]=?’.
Изучение равномерного движения
позволяет установить следующий за-
кон:
l=Avt, (4.7)
где А — размерная постоянная. Чис-
ловое значение ее зависит от выбора
единиц скорости, длины и времени, а
размерность дается формулой
[Л]=ЛТ-1У-1. (4.8)
При данном выборе системы единиц
равенство (4.7) является универсаль-
ным соотношением между /, v и /, а
постоянная А — универсальной по-
стоянной. Пользуясь этим, можно в ка-
честве основных величин выбрать
какие-либо две (например, L и 7),
а размерность и величину третьей еди-
ницы (т. е. V) выбрать таким обра-
зом, чтобы А стала безразмерной, рав-
ной единице. Для этого в качестве
единицы скорости надо принять такую
скорость, при которой за выбранную
единицу времени проходится выбран-
ная единица расстояния, а размер-
ность этой единицы скорости должна
быть такой, чтобы величина А в (4.8)
стала безразмерной, т. е.
[u] = L7“1. (4.9)
В результате соотношение (4.7)
принимает вид l=vt, а единица ско-
рости перестает быть основной, пре-
вращаясь в производную единицу с
размерностью LT~\ В качестве основ-
ных остались две единицы — длины
и времени.
Произведем дальнейшее сокраще-
ние числа единиц. Для этого восполь-
зуемся фундаментальным законом по-
стоянства скорости света, о котором
подробно будет сказано позднее. Луч
света, распространяясь со скоростью с,
за время t пройдет расстояние
l=ct. (4.10)
§4. Системы единиц физических величин 17
(Скорость света с в этом соотношении
является универсальной размерной по-
стоянной, не зависящей ни от системы
координат, ни от скорости источника
или наблюдателя. Как и в предыдущем
случае, выберем в качестве основной
единицы, например, время, а другую
единицу сделаем производной и опре-
делим так, чтобы с стала безразмер-
ной величиной, равной единице. Для
этого размерность длины должна сов-
падать с размерностью времени, т. е.
[/] = 7\
Если в качестве единицы времени
выбрать 1 с, то длина I будет изме-
ряться числом секунд, затрачиваемых
светом для прохождения I. Например,
длина письменного стола равна при-
мерно 0,5-10-8 с (это приблизительно
1,5 м), длина земного экватора 0,13 с.
Иногда такого рода единицы упо-
треблять удобно, иногда нет. Напри-
мер, в астрономии очень наглядным и
широко распространенным является
измерение расстояний в световых го-
дах. Это та же система единиц, что и
рассмотренная выше, только в качест-
ве единицы времени выбран один год.
Условность выбора системы единиц.
Все изложенное достаточно убедитель-
но доказывает, что нет никаких прин-
ципиальных или общефилософских со-
ображений для предпочтительного вы-
бора основных единиц и их числа.
С принципиальной точки зрения все
системы едцниц равноценны. Они отли-
чаются друг от друга лишь практиче-
ской целесообразностью и удобством
как с точки зрения их использования,
так и удовлетворения тем требованиям
к основным единицам, о которых гово-
рилось выше.
Международная система еди-
ниц (СИ). В результате почти столет-
него обсуждения научная и техниче-
ская общественность всех стран мира
пришла к заключению, что наиболее
целесообразной является Междуна-
родная система единиц (СИ). Это со-
глашение оформлено решением соот-
ветствующих компетентных междуна-
родных организаций, а в странах —
соответствующими правительственными
постановлениями. Эта система принята
также в СССР.
В качестве основных в СИ взяты
единицы длины — метр, времени —
секунда, массы — килограмм, силы
тока — ампер, температуры — кельвин,
силы света — кандела. Для курса
механики в первую очередь необходи-
мы определения трех первых из них.
Единица времени — секунда. В те-
чение длительного исторического пе-
риода единица времени определялась
по видимым движениям звезд и Солн-
ца по небу, которые обусловлены вра-
щением Земли вокруг своей оси и дви-
жением вокруг Солнца. Постепенное
все более точное изучение этих движе-
ний позволило соответствующим обра-
зом уточнить единицу времени. Солнеч-
ными сутками называется промежуток
времени между двумя последователь-
ными прохождениями Солнца через
меридиональную плоскость, мысленно
проведенную через ось вращения Зем-
ли и точку наблюдения. Звездными
сутками называется промежуток вре-
мени между двумя последовательными
прохождениями неподвижной звезды
через меридиан. Земля движется по
эллиптической орбите, вращается во-
круг оси в том же направлении, что и
вокруг Солнца, и ось Земли не пер-
пендикулярна плоскости ее орбиты.
Вследствие этих трех обстоятельств и
ряда других факторов солнечные сутки
примерно на 4 мин короче звездных
суток и продолжительность тех и дру-
гих меняется в течение года. В резуль-
тате этого оказалось целесообразным
в качестве эталона времени взять про-
должительность так называемого тро-
пического года, который определяется
как промежуток времени между двумя
18 1. Введение
последовательными прохождениями
Солнца через точку весеннего равно-
денствия. Но продолжительность тро-
пического года также несколько ме-
няется с течением времени. Поэтому
Международный комитет мер и весов в
1956 г. фиксировал тропический год,
который был взят за эталон, и опре-
делил секунду следующим образом:
1 секунда= 315569‘59747 тропического
1900 г.
с указанием начала отсчета этого года
и конца, которые мы не приводим.
Такое определение секунды обеспечи-
вало достаточное постоянство единицы
времени — секунды, которая может
быть измерена при существующем
уровне техники примерно с относитель-
ной точностью 10~8.
Однако к началу 60-х годов стало
ясно, что для определения эталона вре-
мени лучше подходят атомные про-
цессы. Атомы излучают свет, частота
которого фиксирована с большой точ-
ностью. В 1967 г. Международный ко-
митет мер и весов принял в качестве
эталона времени некоторое излучение в
конкретных условиях, приписав часто-
те этого излучения такое числовое зна-
чение, которое приводило бы к значе-
нию секунды, достаточно хорошо со-
гласующемуся с эталоном, принятым
до этого времени:
Выбор системы единиц является делом со-
глашения. Не существует принципиальных
соображений, которые свидетельствуют о
предпочтительности одной системы единиц
перед другой. Однако с практической точки
зрения не все системы единиц равноценны.
Решающими факторами для практического
выбора системы единиц являются неизмен-
ность материальных объектов, реализующих
единицы физических величин, удобство реа-
лизации, воспроизводимость процедур реа-
лизации, практическое удобство масштабного
значения единицы, фундаментальность физи-
ческих величин, выбираемых в качестве
единиц.
секунда равна продолжительности
9,192631770-109 колебаний излучения,
соответствующего квантовому пере-
ходу между уровнями /7=4, mF=0 и
F = 3 и w=0 сверхтонкой структуры
основного состояния 2Si/<2 атома I33Cs.
В радиофизике и оптике разработа-
ны методы, с помощью которых можно
с большой точностью измерить число
колебаний стандартного излучения
атомов цезия, приходящихся на задан-
ный промежуток времени. Это дает
возможность градуировать вторичные
эталоны времени (например, часы), с
помощью которых можно измерять
промежутки времени непосредственно
в секундах, часах и т. д.
Единица длины — метр. Первона-
чально для измерения малых длин в
качестве единиц использовались инди-
видуальные размеры, присущие чело-
веку. Об этом свидетельствуют ис-
пользуемые до сих пор наименования
единиц — локоть, фут и т. д. Такого
рода эталонов было в истории великое
множество, но все они не могли удов-
летворить потребностям практики.
Требовалось создать единый и устой-
чивый масштаб. Решающий шаг к вве-
дению единой системы был сделан пос-
ле Французской революции. В качестве
физического объекта, положенного в
основу определения единицы длины,
был выбран земной меридиан, а едини-
ца длины, названная метром, равна
точно 10-7 части от {/а меридиональ-
ной окружности. В соответствии с этим
был изготовлен эталон — платиновая
концевая мера длины. В 1799 г. во
Франции введена метрическая система
мер и весов, которая постепенно нача-
ла распространяться и в другие стра-
ны. В самой Франции использование
неметрических единиц было запрещено
в 1840 г. Развитие измерительной тех-
ники показало, что эталон метра ока-
зался недостаточно точным (по отно-
шению к своему определению), а как
§ 4. Системы единиц физических величин 19
концевая мера длины — недостаточно
эффективным. Кроме того, неизмен-
ность материала эталона признана
недостаточной. Поэтому концевой эта-
лон из платины был заменен штрихо-
вым масштабом из платиноиридиевого
сплава (90% платины, 10% иридия).
После этого метр считался определен-
ным через этот эталон без всякой
ссылки на длину четверти земного
меридиана (например, по измерениям
60-х годов, четверть земного меридиа-
на имеет длину 10001954,5 м). Однако
и в отношении нового эталона не было
уверенности относительно его неизмен-
ности ввиду явлений перекристаллиза-
ции материала. Предполагается, на-
пример, что в период .1899—1957 гг.
эталон укоротился на 0,5-10-6 м. По-
этому все время продолжались поиски
более надежного эталона длины. В на-
стоящее время введение эталона длины
основывается на фундаментальном за-
коне постоянства скорости света в ва-
кууме вне полей тяготения, которая
считается равной точно 299792458 м/с.
Генеральная конференция по мерам и
весам в 1975 г. приняла это значение
скорости света в качестве мировой
постоянной. В результате единица дли-
ны получила такое определение:
метр равен расстоянию, проходи-
мому в вакууме плоской электромаг-
нитной волной за 1/299792458 долей
секунды.
Единица массы — килограмм. Это
единственная основная единица, свя-
занная с существованием искусственно
созданного материального прототипа.
Прототип определяется так, чтобы его
можно было легко воспроизвести,
достаточно хорошо сохранять и т. д.
Международная система единиц (СИ) при-
нята в качестве основной как международ-
ными соглашениями, так и национальными
законодательствами большинства стран.
При переходе от одной системы единиц к
другой размерность конкретной физической
величины, вообще говоря, изменяется.
Первоначально предполагалось, что
прототип должен был по своей массе
совпадать с массой 1 дм3 воды при ее
наибольшей плотности (при температу-
ре 3,98°С) и давлении 1 физ. атм
(101 325 Па). Однако оказалось, что
масса прототипа больше на 28 мкг,
чем масса 1 дм3 воды при указан-
ных условиях.
В настоящее время прототип 1 кг
массы представляет собой находящий-
ся в Международном бюро мер и ве-
сов в Севре, под Парижем, цилиндр
из сплава платины (90%) и иридия
(10%) диаметром 39 мм и такой же
высоты.
Установлено, что прототип массы
обеспечивает постоянство определения
1 кг с относительной точностью 10~8 на
протяжении многих тысяч лет.
Внесистемные единицы. В СССР
18 ноября 1961 г. Комитетом стандар-
тов, мер и измерительных приборов
при Совете Министров СССР был ут-
вержден ГОСТ 9867—61 «Междуна-
родная система единиц» со сроком вве-
дения в действие с 1 января 1963 г.
Для нее установлено сокращенное на-
именование «СИ». В переходный пе-
риод допускалось наряду с СИ исполь-
зование также и других систем единиц
и отдельных единиц, не относящихся к
какой-либо из употребляемых систем
(внесистемные единицы). С 1 января
1982 г. Госстандарт СССР ввел в
действие ГОСТ 8.417—81 «Единицы
физических величин», который направ-
лен на полное внедрение Международ-
ной системы единиц в СССР. Большин-
ство внесистемных единиц подлежат
изъятию из употребления, хотя сроки
изъятия не для всех внесистемных еди-
ниц еще установлены. Однако имеются
внесистемные единицы, применение ко-
торых допускается бессрочно наряду с
единицами СИ, Укажем те из них, ко-
торые могут встретиться в механике
(в скобках указывается их русское
20 1. Введение
обозначение): тонна (т), минута (мин),
час (ч), сутки (сут), литр (л), гек-
тар (га). Для измерения энергии до-
пускается единица электрон-вольт
(эВ). При измерении астрономических
расстояний допустимо использование
астрономической единицы (а. е.), све-
тового года (св. год), парсека (пк).
Плоские углы могут измеряться в гра-
дусах (...°), минутах (../), секун-
дах (...").
Десятичные кратные и дольные
единицы. Наряду с основными едини-
цами СИ допустимо использование
кратных и дольных единиц, получае-
мых из основной умножением на 10п,
где п — целое положительное или от-
рицательное число. Название десятич-
ных кратных и дольных единиц полу-
чается путем добавления приставок к
наименованиям единиц СИ по одной
для каждого множителя по следующей
таблице:
Множитель Приставка
наименование русское обозначение
ю18 экса Э
ю16 пета П
1012 тер а Т
-109 гига Г
106 мега М
103 кило к
ю2 гекто г
10 дека да
ю-1 деци Д
ю-2 санти с
ю-3 милли м
10-6 микро мк
10 нано н
ю-12 ПИКО п
ю~15 фемто ф
ю-18 атто а
Использование этих приставок уп-
рощает как произношение, так и напи-
сание соответствующих величин. На-
пример 10-9 м проще произнести «один
нанометр» и написать 1 нм. Две при-
ставки одновременно использовать
нельзя. Например, нельзя написать
10-9 м = 10 - 10-3 = 1 мкмм, потому
что приставки можно относить только
к единицам СИ, а миллиметр единицей
СИ не является. Вообще дольные и
кратные единицы не являются едини-
цами СИ.
Анализ размерностей. Равенства
возможны лишь между величинами
одинаковой размерности. Если извест-
но, какие физические величины участ-
вуют в процессе, то из анализа раз-
мерностей в ряде случаев удается уста-
новить характер функциональной зави-
симости между ними. Например, тре-
буется найти функциональную зависи-
мость пути от времени при равноуско-
ренном движении. Логично предполо-
жить, что путь выражается формулой
вида /=ДбЛт, где I — путь, а — уско-
рение, А — безразмерная постоянная,
пит — неизвестные числа. Учитывая,
что [/] =L, [a]=LT“2, [/] =Т, [А] =
= 1, получаем L = LnTm~2n. Отсюда
следует, что n=l, т — 2n=0, т=2,
т. е. l=Aat2. Установить числовое зна-
чение А анализ размерностей не позво-
ляет. Но для характера функциональ-
ной зависимости это несущественно.
С помощью анализа размерностей
удается решить многие задачи. Однако
при этом необходимо учесть возмож-
ность наличия размерных постоянных.
Для более глубокого ознакомления с
этими вопросами необходимо обратить-
ся к специальной литературе по анали-
зу размерностей.
5. Системы координат
Обсуждается экспериментальное содержание гео-
метрических утверждений. Описываются важ-
нейшие системы координат и преобразование
координат.
Пространство и геометрия. Все мате-
риальные тела имеют протяженность,
занимают определенное место и распо-
лагаются определенным образом друг
относительно друга. Эти наиболее
общие свойства материальных тел в
результате длительной практической
деятельности отразились в сознании
человека в виде понятия пространства,
а математическая формулировка этих
свойств была выражена в виде систе-
мы геометрических понятий и связей
между ними. Формирование геометрии
как науки было завершено примерно
две с половиной тысячи лет тому назад
Евклидом.
Понятие пространства, возникнув в
сознании человека как отражение
свойств материальных тел, приобрело
затем у части ученых и философов
относительную самостоятельность как
якобы нечто такое, что существует
независимо от материальных тел. В ре-
зультате этого геометрия из науки о
свойствах материальных тел приобрела
в их сознании характер науки о свой-
ствах пространства, могущего сущест-
вовать независимо от тел. Другая
часть ученых и философов не допуска-
ла обособления понятия пространства
от свойств материальных тел. Эти две
точки зрения противостояли друг другу
в течение всей истории развития науки.
Нет необходимости прослеживать
весь длительный и извилистый путь
развития этих взглядов. Отметим
лишь, что взгляды Ньютона на про-
странство являются в известном смы-
сле синтезом обеих точек зрения. Он
допускает существование независимого
от материальных тел пространства в
виде Абсолютного пространства, кото-
рое «по самой своей сущности безотно-
сительно к чему-либо внешнему остает-
ся всегда одинаковым и неподвиж-
2
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
И ТВЕРДОГО ТЕЛА
л инематика описы-
вает конкретные механические .движе-
ния, не интересуясь их причинами,
вопросом осуществляемости таких дви-
жений в природе. Для нее важны лишь
физическая обоснованность и матема-
тическая строгость в рамках принятых
моделей.
5
Системы координат
6
Векторы
7
Время
8
Перемещение, скорость и ускорение точки
9
Кинематика твердого тела
22 2 Кинематика точки и твердого тела
ным». Но наряду с Абсолютным про-
странством существует также Относи-
тельное пространство, которое являет-
ся какой-либо частью ограниченного
пространства, определяемого нашими
органами чувств относительно некото-
рых тел.
Дальнейший крупный шаг в пони-
мании соотношения между простран-
ством и материальными телами был
сделан творцами неевклидовой геомет-
рии. Н. И. Лобачевский выразил свое
понимание этого вопроса в следующих
словах: «В природе мы познаем собст-
венно только движение, без которого
чувственное впечатление невозможно.
Все прочие понятия, например геомет-
рические, произведены нашим 'умом
искусственно, будучи взяты в свойст-
вах движений, а потому пространство
само собой отдельно для нас не су-
ществует».
В дальнейшем положение о нераз-
рывности понятий пространства и ма-
терии получило свое развитие в естест-
веннонаучном плане в теории относи-
тельности. В философском плане раз-
витие этих идей нашло завершение в
учении диалектического материализма
о пространстве и времени. Для диалек-
тического материализма пространство
и время являются формами существо-
вания материи и поэтому немыслимы
без материи.
Геометрия и опыт. Геометрические
понятия являются абстракциями ре-
альных соотношений между матери-
Понятие пространства является отражением
в человеческом сознании свойства матери-
альных тел иметь протяженность, занимать
определенное место и располагаться' опре-
деленным образом друг относительно дру-
га.
Геометрия по своему происхождению явля-
ется наукой опытной. Из всех мыслимых
геометрий только опыт может выбрать ту,
которая описывает правильно соотношения
геометрических объектов реального мира.
Правая система прямоугольных декартовых
координат никакими движениями в простран-
стве не может быть совмещена с левой.
альными телами. Поэтому по своему
происхождению геометрия является
наукой опытной. В качестве «строи-
тельного материала» геометрия ис-
пользует идеализированные образы
свойств материальных объектов реаль-
ного мира, такие, как точка, линия,
поверхность, объем и т. д. С помощью
этих образов создается геометрическая
модель реального мира. Долго каза-
лось, что вопрос о соотношении гео-
метрии с реальным миром даже не воз-
никает, потому что единственной мыс-
лимой моделью реального мира была
геометрия Евклида. В дальнейшем
было показано, что в принципе суще-
ствует бесчисленное множество других
внутренне непротиворечивых моде-
лей — неевклидовых геометрий. По-
этому вопрос о том, какая модель,
или геометрия, правильно отражает
свойства реального мира, может быть
решен только экспериментально путем
сравнения всех выводов из этой моде-
ли с той ситуацией, какая существует
в реальном мире.
Например, евклидова геометрия
утверждает, что сумма углов треуголь-
ника равна л. Это утверждение в
принципе может и должно быть прове-
рено на опыте. В самом деле, прямая
линия определяется как кратчайшее
расстояние между двумя точками.
Поэтому, взяв некоторые три точки,
связанные с некоторым материальным
телом, мы в принципе можем постро-
ить треугольник с вершинами в этих
точках. При этом возникает вопрос о
неизменности (твердости) масштабов
измерения при переносе из одной точки
в другую, о неизменности материаль-
ного тела, с которым связаны рас-
сматриваемые три точки. Ответ на
этот вопрос также может быть дан
только в результате эксперимента, при-
чем не одного какого-то эксперимента,
а всего экспериментального опыта.
Измерение, например, длины есть срав-
§ 5. Системы координат 23
нение длины измеряемого тела с дли-
ной тела, принятого за единицу. Но
имеет ли смысл вопрос о постоян-
стве длины тела, принятого за еди-
ницу? Да, имеет, причем вполне стро-
гий. Дело в том, что измерение есть
сравнение двух тел, в котором оба
тела занимают одинаковое положе-
ние. Поэтому каждые единичный акт
измерения некоторого тела с по-
мощью другого, принятого за единицу,
является одновременно измерением
этого другого тела с помощью первого.
Принимая длину некоторого тела за
единицу и изучая с помощью нее дли-
ны всех других тел, можно сделать
заключение о самой единице длины.
В самом деле, представим себе, что
в некоторый момент времени длины
всех тел изменились, например увели-
чились на 10%, т. е. на 10% изме-
нились числа, которыми выражались
длины тел. Длина тела, принятого за
единицу, по определению, осталась
равной единице. Но на это событие
можно взглянуть по-другому. Можно
все тела по очереди взять в виде
масштаба измерения. При этом каж-
дый раз мы придем к заключению,
что в данный момент времени длины
всех других тел никаких изменений
не претерпели, за исключением одного
тела, ранее принятого за масштаб-
Лобачевский
Николай Иванович
(1792—1856),
русский математик,
создатель
неевклидовой геометрии
Это открытие
совершило переворот
в представлении
о пространстве,
в основе которого
более 2 тыс. лет
лежало учение Евклида,
и оказало огромное
влияние на развитие
математики и физики.
Автор научных трудов
по математике, механике,
физике и астрономии.
ное, длина которого уменьшилась на
10%. Полная совокупность данных
позволит сделать заключение, что рас-
сматриваемое событие состояло не в
увеличении длины всех тел на 10%,
а в уменьшении длины тела, принятого
за масштабное, на 10%. Этот пример
показывает, что вопрос о неизменности
масштаба имеет вполне определенный
смысл.
Столь же определенный смысл име-
ет вопрос об абсолютно твердых не-
изменных телах. К нахождению неиз-
менных масштабов или эталонов физи-
ческих величин человечество прибли-
жается постепенно, используя для про-
верки их пригодности весь совокупный
опыт. В соответствии с результатами
этих совокупных исследований меняет-
ся принятый за основу эталон. В те-
чение длительного времени казалась
достаточно постоянной длина земного
меридиана, которая и была взята за
основу эталона длины. В настоящее
время стало ясно, что более надеж-
ным в смысле постоянства и неизмен-
ности является расстояние, которое в
вакууме в отсутствие гравитационного
поля свет проходит в течение фик-
сированного промежутка времени.
Именно такого рода определение мас-
штаба длины принято в СИ.
Теперь вернемся к проверке истин-
ности евклидовой геометрии. Согласно
сказанному можно утверждать, что
действительно можно построить тре-
угольник, стороны которого определе-
ны однозначно. Очевидно, далее, что с
помощью соответствующих методов
можно измерить все углы треугольни-
ка. Сложение полученных результатов
либо даст л, либо не даст. Если л не
получается, то можно уверенно ут-
верждать, что евклидова геометрия не
подходит в качестве модели реального
мира и нам нужна другая модель.
Аналогично может быть поставлен
вопрос о проверке справедливости тео-
24 2. Кинематика точки и твердого тела
ремы Пифагора. Экспериментально он
сводится к построению прямоугольного
треугольника и измерению длин его
катетов и гипотенузы.
В настоящее время изучены мно-
гие физические явления, которые поз-
воляют сделать вывод о границах при-
менимости геометрии Евклида. Резуль-
тат сформулирован так: евклидова
геометрия достаточно точно описы-
вает геометрические соотношения ре-
ального мира начиная с расстояний,
раз в десять меньших, чем размеры
ядер, т. е. с расстояний 10-*6 * В * м, до
расстояний, близких к «размерам Все-
ленной», т. е. расстояний 1026 м ~ 1О10
световых лет. Однако на этих расстоя-
ниях (порядка 10 млрд, световых лет)
должна начать проявляться неевклидо-
вость пространства, если справедливы
предсказания теории относительности.
Есть все основания думать, что на рас-
стояниях, меньших 10-16 м, геометрия
Евклида продолжает быть справедли-
вой, но неизвестно,'до сколь малых
расстояний.
Однако утверждение о справедли-
вости геометрии Евклида вблизи по-
верхности земли правильно лишь с до-
бавлением оговорки «с очень большой
точностью». В абсолютном же смысле
это утверждение несправедливо. Об-
щая теория относительности утвержда-
ет, что при наличии поля тяготения
геометрия не является евклидовой.
Справедливость этого утверждения недавно
была доказана для масштабов Солнечной
системы экспериментально с большой точностью
Каков смысл утверждений о геометрических
свойствах пространства? В чем смысл вопро-
са об истинности или ложности той или иной
геометрии?
Что такое абсолютно твердое тело и какова
роль этого понятия в развитии геометриче-
ских представлений?
В чем смысл представления о неизменности
масштаба, принятого за единицу, поскольку
в этом своем качестве он неизменен по
определению?
по искривлению радиолучей в поле тяготения
Солнца и по запаздыванию радиосигналов.
Материальная точка. Для построе-
ния моделей механических систем важ-
нейшей абстракцией является понятие
материальной точки. Под материаль-
ной точкой понимается физический
объект, в геометрическом смысле эк-
вивалентный математической точке, но
обладающий массой. Эквивалентность
в геометрическом смысле означает
отсутствие у материальной точки гео-
метрической внутренней структуры,
формы и размеров.
Можно ли конкретное материаль-
ное тело рассматривать как мате-
риальную точку, зависит от условий
задачи и вопросов, на которые требу-
ется дать ответ. Одно и то же мате-
риальное тело в одних условиях можно
принять за материальную точку, а в
других — нельзя. Например, Землю
можно считать материальной точкой
при изучении ее движения вокруг Сол-
нца, но нельзя это делать при анализе
движения искусственных спутников
Земли. При моделировании тела мате-
риальной точкой можно ей приписать
также определенные физические (но не
геометрические!) характеристики тела.
Например, можно считать, что матери-
альная точка обладает собственным
(внутренним) моментом импульса, за-
рядом и т. д. Это можно сделать в том
случае, когда соответствующие физи-
ческие свойства тела можно по усло-
виям задачи считать локализованными
в материальной точке.
Материальное тело. Модель мате-
риального тела, изучаемого в механи-
ке, не принимает во внимание его
атомной и молекулярной структуры.
Предполагается, что масса тела не-
прерывно «размазана» по его объему
с некоторой объемной плотностью мас-
сы р. В элементе объема dV заключе-
на масса dm = pdV. Элементы объема
§ 5. Системы координат 25
считаются отличимыми друг от друга
и в пределе dV-^0 определяют различ-
ные точки материального тела. Это
позволяет для краткости говорить о
материальном теле как о совокупности
материальных точек и использовать
такое представление для упрощения
математических расчетов. При этом
необходимо помнить, что эти матери-
альные точки не имеют ничего общего
с .реальными атомами и молекулами
и играют лишь вспомогательную роль.
Как показывает опыт, имеются тела,
у которых различные части обладают
относительной свободой перемещения
друг относительно друга, как, напри-
мер, жидкости, сыпучие тела и т. д.,
и имеются другие тела, различные
части которых устойчиво сохраняют
свое относительное положение, вслед-
ствие чего остается неизменной форма
этих тел. Такие тела называются
твердыми. Относительное постоянство
взаимного расположения различных
частей твердого тела позволяет гово-
рить об относительном постоянстве
протяженности твердого тела. В ре-
зультате задача сравнения протяжен-
ностей твердых материальных тел "друг
с другом приобретает ясный смысл и
становится возможным определить по-
нятие длины твердого тела, операции
измерения и дать количественную ха-
рактеристику относительной неизмен-
ности протяженности данного тела и
тела, принятого за единичный мас-
штаб. Но это единичное соотношение
двух тел пока не дает возможности
получить количественную характери-
стику такого важнейшего понятия, как
«абсолютно твердое тело». Необходимо
исследовать ' взаимные соотношения
многих тел и из анализа их устой-
чивости можно прийти к выбору тех
тел, которые являются наиболее устой-
чивыми и неизменными. Эти тела бе-
рутся за масштаб измерения. Как
это было описано раньше, само ис-
пользование масштаба измерения поз-
воляет сделать заключение о постоян-
стве этого масштаба и произвести его
уточнение.
Таким образом, в результате всей
практической деятельности в течение
многих веков удалось определить те
материальные тела, процессы и усло-
вия, на основе которых вводится по-
нятие неизменной протяженности и
выбирается неизменной единица дли-
ны для измерения протяженностей
Этот выбор носит исторический ха-
рактер и с течением времени изменя-
ется, поскольку новый опыт практи-
ческой деятельности приносит новые
выводы об относительной устойчивости
предметов материального мира, ок-
ружающего человека.
Расстояние между точками. Выбрав
единицу длины, можно измерять одно-
мерные протяженности, т. е. длины ли-
ний, проведенных по точкам матери-
ального тела. Любые две точки мате-
риального тела соединены друг с дру-
гом бесчисленным количеством линий,
длина каждой из которых может быть
измерена. Если проанализировать все
эти длины, то окажется, что среди них
нет наибольшей, но есть наименьшая.
Эта наименьшая длина и называеГся
расстоянием между точками, а соот-
ветствующая линия — прямой.
Измерить расстояние можно не
только между двумя материальными
точками, принадлежащими одному и
тому же материальному телу, но* и
между точками, изолированными в
пространстве. Для этого надо в про-
стейшем случае взять достаточно длин-
ный твердый метр и расположить его
так, чтобы рассматриваемые изолиро-
ванные точки совпали с некоторыми
точками метра. Расстояние между эти-
ми точками метра и будет расстоянием
между изолированными материальны-
ми точками. Материальные точки на-
ходятся в пространстве. Поэтому roJ
26 2. Кинематика точки и твердого тела
ворят также о точках пространства и
расстоянии между ними. Но это не зна-
чит, что точки пространства могут
быть как-то помечены, чтобы можно
было следить за ними так же, как
можно следить за материальными точ-
ками. Точка пространства может быть
определена лишь в ее отношении к
материальным телам. Поэтому выска-
зывание о точке пространства имеет
смысл лишь в том случае, когда ука-
зано ее положение относительно ма-
териальных тел. А ее положение от-
носительно материальных тел харак-
теризуется положением воображаемой
материальной точки, находящейся в
этой точке пространства. Поэтому для
описания пространства необходимо
указать материальное тело отсчета,
относительно которого определяется
положение точек пространства.
Абсолютно твердое тело. Вообще
говоря, в качестве тела отсчета может
быть взято любое тело. Однако при
выработке понятий евклидовой геомет-
рии главная роль принадлежала аб-
солютно твердому телу. Абсолютно
твердым называется тело, расстояние
между любыми точками которого не-
изменно. О смысле неизменности масш-
таба, с помощью которого измеряются
расстояния, говорилось подробно
раньше.
Геометрические образы и понятия
евклидовой геометрии неразрывно свя-
заны с образами и понятиями, порож-
денными в нашем сознании представ-
лениями об абсолютно твердых телах
и их движениях. Следовательно, в ка-
честве тела отсчета желательно брать
абсолютно твердое тело. Это возможно
не всегда. Однако в классической ме-
ханике и специальной теории относи-
тельности взять в качестве тела отсче-
та абсолютно твердое тело можно, что
и будет всегда делаться в этой книге.
Система отсчета. Совокупность то-
чек пространства и материального те-
ла, относительно которого определено
положение точек пространства, назы-
вается системой отсчета. Если имеется
система отсчета, то положение мате-
риальных точек в пространстве харак-
теризуется той точкой пространства, с
которой эта материальная точка совпа-
дает. Тем самым пространство приоб-
ретает как бы самостоятельное суще-
ствование, материальная точка может
перемещаться из одной точки про-
странства в другую и т. д. Задача
состоит в том, чтобы указать, каким
образом характеризуется положение
точек пространства в системе отсчета.
Это достигается введением системы
координат.
Системы координат. В заданной
системе отсчета определены понятия
расстояния, линии, прямой, углов
и т. д. Задача установления соот-
ношений между ними является экспе-
риментальной. Некоторые из соотноше-
ний кажутся настолько очевидными,
что имеется искушение объявить их
истинами, не требующими доказа-
тельств. Такого рода допущения назы-
ваются аксиомами. Построение всего
здания геометрии исходя из положен-
ных в ее основание аксиом требует
лишь логической мыслительной дея-
тельности и непосредственно не свя-
зано с экспериментом. Различные сис-
темы аксиом приводят к различным
геометриям, которые сами по себе, без
соотношения с реальным миром, оди-
наково справедливы. Каждая из гео-
метрий является геометрической мо-
делью соотношений, которые, вообще
говоря, могли бы существовать в
реальном мире. Лишь эксперимент мо-
жет решить, какая из мыслимых гео-
метрий является геометрической мо-
делью реального физического мира.
Поскольку из опыта известно, что
в реальном физическом мире в очень
широких пределах расстояний с боль-
шой точностью справедлива геометрия
§ 5. Системы координат 27
Евклида, во всем последующем изло-
жении предполагается, что используе-
мые системы отсчета удовлетворяют ее
аксиомам.
Чтобы описывать движение мате-
риальных точек и твердых тел, необ-
ходимо условиться о способе задания
положения точек. Как уже говорилось,
«адрес» материальной точки определя-
ется «адресом» той воображаемой точ-
ки системы отсчета, с которой совпада-
ет рассматриваемая материальная точ-
ка. Поэтому задача заключается в том,
...чтобы придать «адреса» всем точкам
системы отсчета таким образом, чтобы
каждая точка имела свой, отличный от
других, «адрес» и каждый «адрес» при-
водил только к одной точке. Для этого
вводится система координат. Введение
ее есть соглашение о способе припи-
сывания «адресов» различным точкам
системы отсчета. Например, достигну-
f то соглашение, что «адреса» точек зем-
ной поверхности выражаются числами,
имеющими размерность углового гра-
дуса и называемыми широтой и долго-
той. Каждая точка земной поверхности
лежит на пересечении меридиана и па-
раллели, и ее «адрес» дается двумя
числами, которые по определенному
правилу приписаны этим меридианам
и параллелям. Правила, по которым
различным меридианам и параллелям
приписываются числа, являются про-
извольными. Важно лишь, чтобы была
обеспечена взаимная однозначность:
каждому меридиану должно быть при-
писано вполне определенное число, и
по числу можно найти вполне опреде-
ленный меридиан. Например, вместо
того чтобы характеризовать долготу
углом, образуемым плоскостью рас-
сматриваемого меридиана и плоско-
стью некоторого другого меридиана,
принятого за начальный, можно бы
характеризовать ее, например, рас-
стоянием по экватору от точки пере-
сечения экватора меридианом, приня-
тым за начальный, и точкой пересече-
ния экватора меридиональной плоско-
стью, проходящей через рассматривае-
мую точку. Тогда пришлось бы гово-
рить, например, что некоторая точка
находится на стольких-то километрах
долготы и стольких-то градусах широ-
ты. Конечно, никаких принципиальных
преимуществ или недостатков различ-
ные способы введения систем коорди-
нат не имеют друг перед другом. Но в
практическом смысле различные систе-
мы координат далеко не равноценны.
Успех в решении той или иной задачи
часто зависит от удачного выбора си-
стемы координат.
Число измерений пространства.
В рассмотренном примере введения
системы координат на поверхности
земли в виде долгот и широт было вид-
но, что положение каждой точки ха-
рактеризуется двумя числами. Совер-
шенно безразлично, какие это числа,
существенно лишь, чтобы способ их за-
дания обеспечивал непрерывность и
однозначность «адресов». Существенно
также, что этих чисел должно быть
два. Это обусловливается тем,* что рас-
сматривалась поверхность земли. По-
ложение точки на поверхности харак-
теризуется двумя числами. Иначе это
обстоятельство выражается утвержде-
нием, что поверхность имеет два изме-
рения.
Пространство, в котором мы живем,
является трехмерным. Это означает,
что положение точек в нем характери-
зуется тремя числами, Какими именно
числами, зависит от системы коорди-
нат, с помощью которой описывается
положение точек пространства.
Процедура соотнесения точкам пространст-
ва соответствующих чисел называется арифме-
тизацией пространства. Если пространство ариф-
метизировано, то уже нет необходимости пом-
нить о теле отсчета и системе координат, потому
что вся информация о них содержится в арифме-
тизации. В этом случае уже нет необходимости,
а в большинстве случаев и нельзя, связывать
систему отсчета с воображаемым абсолютно
28 2. Кинематика точки и твердого тела
Прямоугольная декартова система координат на
плоскости
Двумя числами, характеризующими положение точ-
ки, являются расстояния х и у от начала координат
до проекций ее на оси координат
2
Полярная система координат
Двумя числами, характеризующими положение точки
на плоскости, являются расстояния р до начала коор-
динат и угол <р между лучом, проведенным из начала
координат, и отрезком прямой, соединяющим начало
координат и точку
3
Прямоугольная декартова система координат в
пространстве
Тремя числами, характеризующими положение точки,
являются расстояния х, у и z от начала координат
до проекций ее на оси координат
твердым телом. Все изучение геометрии осно-
вывается на арифметизированном задании про-
странства и квадрата его бесконечно малого ли-
нейного элемента. Однако такой общий подход
в этой книге не нужен. В рамках специальной
теории относительности и классической механи-
ки геометрия является евклидовой и системы
отсчета удобнее связывать с воображаемыми
абсолютно твердыми телами. Это обусловлено
тем, что в рамках евклидовой геометрии про-
странственные соотношения являются просто
обобщенной формулировкой соотношений между
геометрическими характеристиками абсолютно
твердых тел, их движений и взаимных располо-
жений.
Важнейшие системы координат. Из
бесчисленного множества возможных
систем координат наиболее простыми и
важными, чаще всего используемыми
на практике являются лишь немногие.
Сведения о большинстве из них можно
найти в справочниках, а запомнить не-
обходимо следующие системы коорди-
нат:
1) на плоскости:
1а) прямоугольная декартова
(рис. 1), в которой двумя числами
(х, у), характеризующими положение
точки, являются длины хи//;
16) полярная (рис. 2), в которой
двумя числами (р, (р), характеризую-
щими положение точки, являются дли-
на р и угол <р;
2) в пространстве:
2а) прямоугольная декартова
(рис. 3), в которой тремя числами
(х, у, z), характеризующими положе-
ние точки, являются длины х, у, z.
Следует отметить, что возможны
две прямоугольные декартовы системы
координат, которые никакими движе-
ниями в пространстве не могут быть
совмещены друг с другом. Одна из них
называется правой, другая — левой.
Они различаются взаимной ориента-
цией осей.
Если при взгляде на плоскость XY
в положительном направлении оси Z
ось X для совмещения с осью Y по
кратчайшему пути необходимо повора-
§ 5. Системы координат 29
чивать по часовой стрелке, то система
правая, если против часовой стрелки —
то система левая.
На рис. 3 изображена правая си-
стема. Пунктиром показано направле-
ние оси Z в левой системе при неиз-
менных осях X и У. Нетрудно видеть,
что никакими движениями в простран-
стве правая система не может быть
совмещена с левой.
Необходимо всегда иметь в виду,
какая система используется, потому
что при переходе от правой системы
к левой меняются знаки в некоторых
формулах. Практически в подавляю-
щем большинстве случаев, как и в этой
книге, применяется правая система,
как стандартная;
26) цилиндрическая (рис. 4), в ко-
торой тремя числами (р, ф, ^характе-
ризующими положение точки, являют-
ся длина р, угол <р и длина z;
2в) сферическая (рис. 5), в которой
тремя числами (г, ф, 6), характеризую-
щими положение точки, являются дли-
на г, углы ф и 0.
Числа определяющие положение
точки в некоторой системе координат,
называются координатами точки. Час-
то для удобства координаты точки
обозначаются одной и той же буквой,
но с различными индексами, например
*2, х3. Эти числа означают в декар-
товой системе координат: Xi = х, х2 =
= x3 = z, в цилиндрической: Х\ = р,
х2 = ф, х3 = г, в сферической: х\ = г,
*2 = ф, %з = 0.
Преобразование координат. Фор-
мулы, связывающие координаты точки
в одной системе с ее координатами в
Другой, называются преобразованием
координат. Приведем здесь формулы
преобразования между цилиндриче-
скими, сферическими и декартовыми
координатами, которые непосредствен-
но могут быть получены из рассмотре-
ния рис. 4 и 5.
Преобразование от цилиндрических
4
Цилиндрическая си-
стема координат
Тремя числами, ха-
рактеризующими по-
ложение точки, яв-
ляются расстояния
р, z до начала ко-
ординат и угол ф
между отрезком р и
осью X
5
Сферическая систе-
ма координат
Тремя числами, ха-
рактеризующими по-
ложение точки, яв-
ляются расстояние г
до начала координат
и углы ф, 0
к декартовым прямоугольным коорди-
натам:
X—pcos ф, Z/=psin ф, 2=2. (5.1)
Преобразование от сферических к
декартовым координатам:
x = rsin 0cos ф, f/ = rsin 0sin ф,
z = rcos 0.
(5-2)
Важное практическое значение име-
ют формулы преобразования от одной
декартовой системы координат к дру-
гой, когда их начала и направления
осей не совпадают. Однако этот случай
удобнее рассмотреть, пользуясь век-
торными понятиями.
30 2. Кинематика точки и твердого тела
6. Векторы
Излагаются основные понятия векторной ал-
гебры.
Определение вектора. Многие физиче-
ские величины характеризуются одним
числом. К ним, например, относятся
температура, выражаемая числом гра-
дусов в определенной шкале, масса —
числом граммов, и т. д. Такие величи-
ны называются скалярами. Для харак-
теристики многих других физических
величин необходимо задать несколько
чисел. Например, скорость определяет-
ся не только числовым значением, но
и направлением. Нетрудно видеть, на-
пример, на рис. 5, что направление в
пространстве полностью задается дву-
мя числами: углами <р и 0. Поэтому
скорость характеризуется всего тремя
числами. Такие величины называются
векторами.
При рассмотрении векторов следует
четко разграничивать два аспекта про-
блемы: во-первых, определение и свой-
ство векторов как математических ве-
личин; во-вторых, анализ свойств конк^
ретной физической величины и реше-
ние вопроса о том, может ли она быть
представлена вектором.
Математические определения век-
тора и векторных операций не связаны
с понятием точки приложения вектора,
потому что они даются исключительно
посредством трех чисел, которыми оп-
ределяется вектор. Лишь при геомет-
рической интерпретации вектора возни-
кает вопрос о точке приложения.
Ясно, что в рамках математического
определения вектора точка его прило-
жения произвольна и помещается в
конкретную точку лишь из соображе-
ний наглядности, удобства и т. д.
Вектор изображается направлен-
ным отрезком, длина которого в неко-
тором масштабе равна представляемой
вектором величине, а стрелка показы-
вает ее направление. Векторы будут
обозначаться в. книге жирным шриф-
том, например вектор А, а их абсолют-
ное числовое значение, называемое мо-
дулем вектора, — либо той же жирной
буквой, заключенной между двумя вер-
тикальными черточками: |А|, либо той
же буквой, что и вектор, но светлым
шрифтом: А.
Сложение векторов и умножение
вектора на число. Одной из важных ре-
ализаций понятия вектора является
перемещение. Перемещение материаль-
ной точки из положения М i в положе-
ние М2 (рис. 6, а) характеризуется век-
тором М1М2, который изображается
отрезком, соединяющим точки Mj и М2
и направленным от Mi к Мг- Если за-
тем точка из М2 перемещается в Мз, то
эта последовательность двух переме-
щений, т. е. сумма двух перемещений,
эквивалентна одному перемещению
М1М3, что записывается в виде вектор-
ного равенства:
** Правило сложения векторов есть определе-
ние, целесообразность которого подтвержда-
ется свойствами ряда простейших физиче-
ских величин.
Для представления физической Ъеличины
вектором необходимо, чтобы она являлась
векторной суммой своих компонентов и что-
бы соответствующие этим компонентам про-
екции вектора при переходе от одной систе-
мы координат к другой преобразовывались
по правилам преобразования проекций ма-
тематических векторов, т. е. как проекции
радиуса-вектора при преобразовании (6.20).
М1М2 + М2М3 = MiM з. (6.1)
Эта формула выражает правило сло-
жения векторов, которое иногда назы-
вается правилом параллелограмма,
поскольку сумма вектора равна диаго-
нали параллелограмма, стороны кото-
рого образованы слагаемыми вектора-
ми. Эта формула сложения, по опреде-
лению, применима к любым векторам.
§ 6. Векторы 31
На рис. 6, б изображено сложение про-
извольных векторов А и В.
На примере сложения перемещений
видно, что сумма векторов не зависит
от порядка следования перемещений,
т. е. от порядка слагаемых векторов
перемещений (рис. 7, а).
А+В=В + А.
Это правило распространяется на сло-
жение векторйв произвольной природы.
Умножение вектора на число сво-
дится к умножению модуля вектора на
это число без изменения направления,
если число положительное, и с изме-
нением направления на обратное, если
число отрицательное (рис. 7, б).
Скалярное произведение. Скаляр-
ным произведением А • В двух векторов
А и В называется число, равное произ-
ведению модулей векторов на косинус
угла между ними:
6
Сложение векторов
Правило сложения
векторов является
естественным обоб-
щением очевидного
правила сложения
перемещений
7
Коммутативность
сложения векторов
(а) и умножение
вектора на число
(б)
Сумма двух векторов
не зависит от поряд-
ка слагаемых. При
умножении вектора
на отрицательное
число его направле-
ние меняется на об-
ратное
А-В = |A||B|cos (А,В). (6.3)
Нетрудно проверить, что для скаляр-
ного произведения справедливы сле-
дующие правила:
А*В = В-А,
А.(В + С)=А-В + А-С,
А-аВ = аА-В —а(А-В),
(6-4)
8
Векторное произве-
дение AXB = D
Этот вектор перпен-
дикулярен плоскости,
в которой лежат пе-
ремножаемые векто-
ры
VA*B=D
где а — произвольное число.
Векторное произведение. Вектор-
ным произведением АХВ векторов А
и В называется вектор D=AX В, опре-
деляемый следующим образом (рис. 8):
1) он перпендикулярен плоскости,
в которой лежат перемножаемые век-
торы А и В, и направлен в ту сторону,
в которую будет двигаться винт с пра-
вой нарезкой, если его головку вра-
щать в том же направлении, в каком
необходимо поворачивать вектор А
для совпадения с вектором В по крат-
чайшему пути. Иначе говоря, векто-
ры А, В и Ах В друг относительно дру-
га ориентированы так же, как и поло-
жительные направления осей X, У, Z
правой системы координат;
2) по модулю он равен произ-
ведению модулей перемножаемых век-
торов на синус угла между ними:
|D | = | АХ В| = | А || В |sin(A?B). (6.5)
32 2. Кинематика точки и твердого тела
Здесь существенно, что угол между
векторами А и В отсчитывается от пер-
вого сомножителя А ко второму В по
кратчайшему • расстоянию, т. е. угол
меньше или равен л, вследствие чего
синус в (6.5) не может быть отрица-
тельным. Как видно из (6.5), можно
также сказать, что модуль векторного
произведения равен площади паралле-
лограмма, построенного на перемно-
жаемых векторах (рис. 8).
Легко проверить следующие свойст-
ва векторного произведения:
АХВ = - ВХА,
АХ(В + С) = АХВ + АХС,
А X ссВ = аА X В= а(А X В).
(6.6)
Представление векторов с помощью
единичного вектора. Направление век-
тора можно указать с помощью еди-
ничного безразмерного вектора. Любой
вектор А можно представить в следую-
щем виде
А=-|фг1А1=п|Л| ==пЛ, (6.7)'
|Л|
где и = А/|А|— единичный безразмер-
ный вектор, фиксирующий направление
вектора А.
Преимущества векторных обозначе-
ний. Понятие вектора и все связанные
с ним операции вводятся независимо
от какой-либо системы координат. Бла-
годаря этому имеется возможность
оперировать непосредственно физиче-
jfjf Направление в пространстве определяется
двумя числами.
Радиус-вектор, по определению, исходит из
начала координат. Другие векторы имеют
начало, вообще говоря, в других точках.
Связь положения точки относительно раз-
личных начал с помощью радиусов-векторов
очень проста. Эта связь выражается через
величины конкретных систем координат с
помощью формул преобразования коорди-
нат и имеет более сложный вид.
скими величинами, не обращаясь к их
выражению в какой-либо конкретной
системе координат. Различные соотно-
шения между велйчинами в векторной
форме обычно имеют значительно бо-
лее простой и наглядный вид, чем в
соответствующей координатной форме.
Все это составляет большое преимуще-
ство векторных обозначений и обеспе-
чивает им широкое применение. С дру-
гой стороны, очень часто проведение
конкретных числовых расчетов гораздо
проще в координатной форме, где они
носят чисто алгебраический характер.
Поэтому важно уметь записывать
все векторные выражения и операции
в координатной форме. В первую оче-
редь необходимо это уметь делать в
декартовых координатах.
Радиус-вектор. Положение точек
пространства удобно характеризовать
их радиусами-векторами. Радиусом-
вектором точки называется вектор, на-
чало которого совпадает с точкой на-
чала системы координат, а конец —
с рассматриваемой точкой (рис. 9).
Если положение точки задается ради-
усом-вектором, то нет необходимости
использовать какую-либо систему ко-
ординат. С помощью радиуса-вектора
положение точек описывается в беско-
ординатной форме.
Проекции вектора в декартовой си-
стеме координат. Пусть некоторая точ-
ка О принята за начало отсчета. Возь-
мем (прямоугольную) декартову систе-
му координат, начало которой совпада-
ет с точкой О. Положение любой точки
можно охарактеризовать либо ее ра-
диусом-вектором г, либо тремя числа-
ми (х, у, z), являющимися декартовыми
координатами этой точки. Установим
связь между г и числами х, у, z. Для
этого полезно ввести единичные без-
размерные векторы, направленные в
положительном направлении значений
осей X, У, Z и обозначаемые соответ-
ственно как ix, \у, iz. Принимая во вни-
§ 6. Векторы 33
мание правило сложения векторов (6.1)
и формулу (6.7), можно, как это не-
посредственно видно на рис. 10, а,
представить радиус-вектор г в виде
суммы трех векторов ixx, \уу, i2z, также
направленных вдоль осей координат:
г = ixx + \уу + i2z. (6.8)
Числа х, у, г называются проекциями
радиуса-вектора г. Они совпадают с
координатами точки, которую характе-
ризует г.
Не только радиус-вектор, но и лю-
бой другой вектор может быть пред-
ставлен в виде суммы векторов, на-
правленных вдоль осей координат
(рис. 10,6):
А=ixAx + iyAy + \ZAZ. (6.9 а)
Числа Ах, Ay, Az — проекции векто-
ра А на оси X, У, Z. Для того чтобы
уметь вычислять проекции вектора и
выражать все векторные операции в
координатной форме, необходимо знать
несколько соотношений между единич-
ными векторами ix, \у, iz.
Равенство (6.9а) может быть также
записано в виде
А = АХ + А, + Аг, (6.96)
где векторы Ax = ixAx, Ay = iyAy, Az =
— izAz называются составляющими или
компонентами вектора А в направле-
нии осей X, У, Z.
Соотношение между векторами ix,
\у, \г, Принимая во внимание, что эти
векторы взаимно перпендикулярны и
единичны, получаем:
. . (6.Ю)
iJC-ii, = 0, ix.jz = 0, ii,.iz=o.
Согласно определению векторного
произведения, сразу находим:
1* X —h, iy X i?—lx- iz X lx—if/,
ixXix=0, if/Xif/=O, izXb=0.
(6.11)
9
К понятию радиуса-вектора
Положение любой точки пространства относительно
точки О, принятой за начальную, полностью харак-
теризуется ее радиусом-вектором
Проекции радиуса-вектора в пространственной
декартовой системе координат (а) и произволь-
ного вектора А в той же системе на плоскости
(6)
Проекции вектора на оси координат являются алгеб-
раическими величинами, и их знак определяется
знаком косинуса угла между направлениями вектора
и единичного вектора соответствующей оси. Проек-
ции радиуса-вектора — это координаты точки, ха-
рактеризуемой им
2—853
34 2. Кинематика точки и твердого тела
Вычисление проекций вектора. Ум-
ножая скалярно левую и правую части
равенства (6.9) последовательно на
ijc, iy, iz и принимая во внимание (6.10),
сразу получаем:
ЛХ=А-1Х, АУ=АЛУ, AZ=A-\Z. (6.12)
Нетрудно видеть, что проекции век-
торов по осям декартовой прямоуголь-
ной системы координат являются не
чем иным, как проекциями этих век-
торов на оси, вычисленные с учетом
знака. Например,
Лх = Ачх = |А| |ix|cos(A7ix)=
= |A|cos(A, ix),
где (A?ix) — угол между вектором А
и положительным направлением оси X,
что и доказывает сделанное утвержде-
ние. Аналогичным образом обстоит де-
ло с другими проекциями.
Выражение векторных операций в
координатах. Для получения этих вы-
ражений необходимо векторы предста-
вить в виде (6.9а) и воспользоваться
полученными ранее формулами для
единичных векторов. Пусть -задано:
А — ixAxA~^yAyA~ izAz,
В = i ХВ х -1- iyBy-j- i?Bz.
(6.13)
Складывая векторы А и В, полу-
чаем
С — А+ В—ц(Лх+Вх)4-ЦЛ7+Вг/)4-
+ ЦЛг+Вг). (6.14)
Таким образом, проекции суммы двух
векторов равны сумме соответствую-
щих проекций слагаемых:
Су—АуА~Ву,
Сг=Аг + Вг,
(6.14а)
Нетрудно видеть, что аналогичным
образом умножение вектора на число
сводится к умножению каждой из его
проекций на это число. Для скаляр-
ного произведения с учетом (6.10)
получим следующее выражение:
А • В=Л хВх+АуВу+А гВг.
(6.15)
Для векторного произведения прямое
вычисление с учетом (6.11) дает
А х В=ЦЛуВг-ЛгВу)+1ХЛгВх-
-АхВ2)+\£АхВу-АуВху
(6.16)
Преобразование декартовых коор-
динат. Используя векторные представ-
ления, легко найти формулы преобра-
зования координат при переходе от од-
ной декартовой системы к другой.
В общем случае не совпадают ни на-
чало систем координат, ни направле-
ние осей, как это изображено на
рис. 11. Положение начала системы
координат /(' относительно начала
системы К задается вектором а. Из
чертежа непосредственно видно, что
радиусы-векторы г и г', характери-
зующие положение точки в системах
А' и А, связаны соотношением
г = а + г'. (6.17)
Какие проекции имеет радиус-вектор?
В чем состоит метод нахождения координат-
ных выражений для векторных операций?
Каким условиям должна удовлетворять фи-
зическая величина, чтобы быть вектором?
Какие два способа геометрического построе-
ния суммы векторов Вы знаете?
Если гиг' выразить через их компо-
ненты по соответствующим осям коор-
динат, то можно написать
(6.18)
Для нахождения связи между ко-
ординатами точек необходимо скаляр-
но умножить обе части этого равен-
§ 6. Векторы 35
ства на соответствующий единичный
вектор. Например, чтобы найти коор-
динату х, надо произвести умножение
на вектор ix. В результате получим
х=а • ix+U • hx'+iy- ixy'+i'z • ixz',
или, что то же самое,
x=ax-^cos(ii?ix)x,+cos(i', L)#' +
4-cos(i2, ix)2'. (6.18a)
Таким образом, для преобразования
необходимо знать углы между осями
координат и взаимное расположение
начал координат.
Аналогичным образом находим вы-
ражение для координат у и г. Чтобы
найти обратные формулы преобразо-
вания для х', у', х', необходимо произ-
вести скалярное умножение на соот-
ветствующий единичный вектор Vx, \'у,
iz. Например, умножая обе части
(6.18) на С, найдем
i*- Кх + \у • \ху + \z • Vxz=a • ix+x\
или
х'= — ai+cos(ix? ii)x+cos(i'Cii)t/+
+ cos(i2J0z. (6.19)
В этой формуле а'х=а.- \х—х-я
проекция вектора а в системе коор-
динат К'. Этот вектор направлен к на-
чалу К'. Если изменить его направ-
ление так, чтобы он начинался в точ-
ке О' системы координат К' и закан-
чивался в точке О системы А, то в
формуле (6.19) в первом члене правой
части знак изменится на обратный и
она станет полностью аналогичной
формуле (6.18а). Если начала систем
* Зависит ли скалярное произведение от по-
рядка сомножителей? Докажите свой ответ.
Как зависит векторное произведение от
порядка сомножителей? Изменится ли опре-
деление векторного произведения, если вме-
сто правой декартовой системы координат
пользоваться левой?
Что такое проекции вектора? По какому
правилу определяется их знак?
11
Преобразование координат
Вектор а характеризует положение начала штрихо-
ванной системы координат относительно нештрихо-
ванной, а косинусы углов между ортами той и другой
систем определяют их взаимную ориентировку в
пространстве
координат совпадают, то вектор а об-
ращается в нуль.
Чтобы упростить формулы преобра-
зования, введем обозначения:
x=xi, у=Х2у г=хз;
x'=xf, у'=хЬ х'=х'з;
L=ei, iw=e2, 1г=ез;
—Ci, i£/=C2, i2—ез,
cos(e^ e^ = amn (rn= 1,2, 3; n = 1,2, 3).
Тогда преобразования (6.18a) при
a=0 запишутся следующим образом:
Xi = си\Х\ -Т CI12X2-T- СЦ3Х3,
Х2=«21Х1 + «22X2+ CI23X3,
Хз = аз1Х1 4- «32X2 4” «33X3.
(6.20)
Эти преобразования осуществляют-
ся при вращении друг относительно
друга прямоугольных декартовых си-
стем координат с общим началом
отсчета.
Рассмотрим применение формул
(6.20) для двухмерного случая (х3=0,
хз=0), изображенного на рис. 12:
2*
36 2. Кинематика точки и твердого тела
Вращение системы координат
В двухмерном случае при совпадении начал взаим-
ная ориентировка осей координат полностью харак-
теризуется углом поворота между осями Xi и Х\
an=cos(ei, ef)=cos(p,
a 12=cos(ef?e2) = — sin ср,
«2i =cos(e2? ef)=sin <p,
«22 = cos(e2? e2)= cos <p.
Поэтому формулы преобразования
(6.20) принимают следующий вид:
xi=cosq)*xf — sin<p-x2,
. _ , (6.21)
X2=Sin<p-Xi +C0S(p-X2.
Преобразование проекций векто-
ров. Раньше уже было отмечено, что
не всякая величина, характеризуемая
тремя числами, является вектором.
Она является вектором только тог-
да, когда эти числа ведут себя при
переходе из одной системы координат
в другую как проекции радиуса-век-
тора при преобразованиях (6.20).
Физический вектор. Вопрос о том,
можно ли конкретную физическую ве-
личину, характеризуемую числовым
значением и направлением, предста-
вить вектором, не является простым.
Прежде всего необходимо подчеркнуть,
что физический вектор не может по
своим свойствам всегда быть полно-
стью идентичным математическому.
Например, для многих физических век-
торов весьма существенна точка при-
ложения, которая не может быть пере-
мещена по нашему усмотрению. На-
пример, вектор силы, действующей на
материальную точку, приложен к мате-
риальной точке. Это не является огра-
ничением на возможность представле-
ния физических величин векторами,
поскольку, по определению, точка при-
ложения математического вектора про-
извольна и, следовательно, может
быть там, где ей предписано быть фи-
зическими требованиями. Но это при-
водит к тому, что для полной харак-
теристики физического вектора во мно-
гих случаях наряду с его проекциями
надо указать и точку приложения.
Для представления физической ве-
личины вектором необходимо, чтобы
она явилась векторной суммой своих
компонент и чтобы соответствующие
этим компонентам проекции вектора
при переходе от одной системы коор-
динат к другой преобразовывались по
правилам преобразования проекций
математических векторов, т. е. как
проекции радиуса-вектора при преоб-
разовании (6.20).
Таким образом, представление фи-
зической величины вектором обуслов-
ливается ее физическими свойствами,
а не формальной возможностью спро-
ецировать любой направленный отре-
зок прямой линии на оси координат.
Следовательно, в определение физиче-
ского вектора входит не правило сло-
жения вообще, а правило образо-
вания физического вектора из его же
компонент как векторов и правило
преобразования проекций векторов при
переходе от одной системы координат
к другой.
В классической физике рассматри-
ваются трехмерные векторы, компонен-
ты которых направлены вдоль осей
§ 7. Время 37
пространственной декартовой системы
координат, поскольку время не зави-
сит от системы координат. Поэтому
под преобразованием проекций век-
тора в его определении понимается
преобразование в соответствии с фор-
мулой (6.20). Непосредственно видно,
что трехмерное перемещение точки
удовлетворяет этому определению, т. е.
перемещение является вектором. По-
скольку преобразования (6.20) не за-
висят от интервала времени At, ско-
рость точки и разность скоростей точки
через промежуток времени At также
являются векторами. Следовательно, и
ускорение точки — вектор.' Аналогич-
но может быть проанализирован век-
торный характер и других величин
классической физики.
В релятивистской физике для ана-
лиза векторного характера величин
нельзя ограничиться тремя пространст-
венными измерениями, поскольку в
этом случае время зависит от системы
координат и входит в преобразования
наравне с пространственными коорди-
натами, т. е. при определении векто-
ров необходимо рассматривать преоб-
разования вида (6.20), но для четырех
независимых проекций радиуса-векто-
ра. Это означает, что векторы должны
в этом случае характеризоваться че-
тырьмя проекциями, т. е. в релятивист-
ской теории речь идет не о трехмер-
ных векторах, а о четырехмерных.
Определяются же они аналогично
трехмерному случаю классической фи-
зики, но на основе релятивистских
преобразований пространственных ко-
ординат и времени (см. § 13).
7. Время
Обсуждается вопрос о философском и физи-
ческом содержании- понятия времени и об
измерении промежутков времени.
Понятие времени. Окружающий мир
находится в процессе постоянных из-
менений. Процессы следуют в опреде-
ленной последовательности; каждый из
процессов имеет определенную дли-
тельность. В мире происходит постоян-
ное развитие. Эти общие свойства раз-
вивающегося, изменяющегося мира в
сознании человека отразились в виде
понятия времени.
Под временем понимается свойство
материальных процессов иметь опре-
деленную длительность, следовать друг
за другом в определенной последова-
тельности и развиваться по этапам и
стадиям.
1аким образом, время не может
быть отделено от материи и ее движе-
ния, оно является формой существо-
вания материи. Так же как не имеет
смысла говорить о пространстве самом
по себе, не имеет смысла говорить о
времени самом по себе. Представление
о течении времени вне связи с мате-
риальными процессами является бес-
содержател ьным.
Лишь изучение этих процессов и их
взаимосвязей и соотношений напол-
няет понятие времени физическим со-
держанием.
Периодические процессы. Среди
многообразных процессов, происходя-
щих в природе, обращают на себя
внимание в первую очередь повторя-
ющиеся процессы: повторение дней и
ночей, времен года, движение звезд по
небесному своду, биение сердца, дыха-
ние и т. п. Изучение и сравнение их
между собой приводят к идее длитель-
ности материальных процессов, а срав-
нение длительностей — к идее их изме-
рения.
Практика измерения всевозмож-
ных процессов позволяет выделить те
из них, которые обладают наилуч-
шим постоянством длительности, и тем
самым уточнить выбор процесса, при-
нимаемого за эталон. Ситуация здесь
совершенно аналогична той, которая
в § 5 была довольно подробно опи-
сана относительно протяженности, и
38 2. Кинематика точки и твердого тела
нет необходимости повторять уже ска-
занное.
Принятый за эталон периодический
процесс называется часами. Ясно, что
часы должны иметь одинаковый темп
хода в различных точках системы от-
счета.
В чем заключается физический
смысл этого требования.
Пусть некоторый физический про-
цесс может переносить информацию
из одной точки в другую. Такой про-
цесс называется сигналом. Им может
быть световая вспышка, пуля, выпу-
щенная из одной точки в другую,
и т. д. Нет необходимости знать закон
распространения этих сигналов; доста-
точно лишь знать, что посылка, рас-
пространение и прием сигналов про-
ходят в неизменных и, следовательно,
одинаковых условиях.
Будем из одной точки через оди-
наковые промежутки времени по ча-
сам, расположенным в этой точке,
посылать сигналы в другую точку.
Если в другую точку сигналы прихо-
дят через такие же промежутки вре-
мени по часам, расположенным в этой
другой точке, то можно сказать, что
темп хода часов в этих точках оди-
наков.
Такую проверку в принципе можно
провести для всевозможных пар то-
чек; при этом выполняется условие,
что если темп хода часов в точке А
одинаков с темпом хода часов в точ-
ке В, а темп хода часов в точке В
одинаков с темпом хода часов в точке С,
то темпы хода часов в точках А и С
также одинаковы. Конечно, не следует
ограничиваться каким-либо одним ви-
дом сигналов; проверка одинакового
темпа хода часов в различных точках
системы отсчета должна быть прове-
дена с помощью всевозможных имею-
щихся в распоряжении эксперимента-
тора сигналов.
Эти опыты могут в принципе дать
два результата: либо окажется, что
такая одинаковость хода часов в раз-
личных точках рассматриваемой систе-
мы отсчета возможна, либо окажется,
что часы в различных точках системы
отсчета имеют различный ход. Оба
мыслимые в принципе результата мо-
гут, как показывает эксперимент, иметь
место в действительности. Например,
возьмем в качестве эталонных про-
цессов (часов) некоторые внутриатом-
ные процессы, которые не зависят от
давления, воздействия температуры
и т. д., и будем проверять указанным
выше способом одинаковость их хода.
Пусть в начале рассматриваемого про-
цесса из точки на некоторой высоте
над поверхностью Земли посылается
сигнал в точку на поверхности Земли,
где происходит такой же процесс, и
этот сигнал приходит в точку на по-
верхности Земли в тот момент, когда
в этой точке начинается такой же
процесс. Следующий сигнал посыла-
ется из первой точки в тот момент,
когда в ней рассматриваемый процесс
заканчивается. Не имеет значения за-
кон движения сигнала из первой точки
во вторую. Важно лишь, чтобы он был
совершенно одинаков для всех сигна-
лов, иначе говоря, чтобы все усло-
вия посылки, движения и приема сиг-
нала были совершенно одинаковыми
для всех последовательных сигналов.
Эксперимент показывает, что вто-
рой сигнал придет в точку на по-
верхности Земли не в момент оконча-
ния происходящего там процесса, а не-
сколько раньше..
Такие эксперименты были поставле-
ны лишь сравнительно недавно и будут
более подробно описаны позднее. Здесь
же нам важно лишь отметить, что в
принципе возможна такая ситуация,
при которой темп хода физических
процессов различен в различных точ-
ках системы отсчета. Эта возможная
экспериментальная ситуация выража-
§ 7. Время 39
ется в виде утверждения, что в данной
системе отсчета нет единого времени,
в каждой точке скорость течения вре-
мени различна. Строго говоря, такая
ситуация существует, например, в си-
стеме отсчета, связанной с Землей. Но
отличие в темпе хода часов в различ-
ных точках вблизи поверхности Зем-
ли оказывается весьма малым. На-
пример, если разность высот точек над
поверхностью Земли составляет при-
близительно 10 м, то длительность не-
которого процесса в этих точках от-
личается друг от друга примерно на
10-15 этой длительности. Такое совер-
шенно ничтожное отличие удалось
впервые экспериментально наблюдать
лишь в 1960 г. Если пренебречь столь
малыми различиями в длительностях,
то можно сказать, что в системе от-
счета, связанной с Землей, существует
с большей точностью единое время.
В дальнейшем будут рассматри-
ваться только такие системы отсчета,
в которых возможно введение единого
времени если не в абсолютном смысле,
то хотя бы с достаточной точностью.
Заметим, что невозможность введения
единого времени у поверхности Земли
в принципиальном смысле обусловлена
наличием поля тяготения. Но это поле
Тяготения невелико, и с большей сте-
пенью приближения можно говорить о
едином времени.
Однако поле тяготения не является
единственным фактором, затрудняю-
щим введение единого времени. Пусть,
например, система отсчета находится
во вращательном движении относи-
тельно сферы неподвижных звезд или
движется как-либо ускоренно относи-
тельно них. В этой системе отсчета
также нельзя ввести единое время. Та-
кие системы отсчета называются не-
инерциальными. В них единое время
можно ввести лишь с определенной
точностью. Это обстоятельство будет
использовано в гл. 7.
Таким образом, все системы отсче-
та можно разделить на два класса.
К одному классу относятся те, в кото-
рых существует единое время и гео-
метрия евклидова, к другому — те, в
которых нет единого времени и гео-
метрия неевклидова.
Спрашивается: как практически
установить, к какому классу отно-
сится конкретная система отсчета?
Наиболее естественным представляется
прямое исследование свойств про-
странства и времени. Однако этот путь
абсолютно неэффективен, потому что
в большинстве случаев различие в
количественных характеристиках про-
странства и времени этих двух клас-
сов систем отсчета значительно мень-
ше ошибок измерений количественных
характеристик самих свойств. По-
этому в области кинематики эти
классы систем отсчета практически
не различимы. Различие между ними
становится существенным лишь в
области динамики. /С первому из
указанных классов относятся системы
отсчета, в которых отсутствуют си-
лы тяготения и справедлив первый
закон Ньютона Поэтому эти системы
отсчета получили название инерци-
альных. В системах отсчета, в кото-
рых имеются силы тяготения и в кото-
рых не выполняется первый закон
Ньютона, называются неинерциаль-
ными.
Многочисленные эксперименты и
наблюдения позволили установить, что
все инерциальные системы движутся
без заметных ускорений и вращений
относительно сферы неподвижных
звезд. Друг относительно друга они
движутся также без ускорений и вра-
щений. Поэтому во многих случаях
наиболее удобной проверкой инер-
циальности системы отсчета является
установление факта, что движение от-
носительно сферы неподвижных звезд
происходит без ускорения и вращения.
40 2. Кинематика точки и твердого тела
В последние десятилетия стала из-
вестна еще одна удобная во многих
отношениях система отсчета, полно-
стью эквивалентная сфере неподвиж-
ных звезд. Это система отсчета, свя-
занная с реликтовым излучением. По
современным представлениям, Вселен-
ная образовалась 10—15 млрд, лет
назад в результате взрыва материи,
находившейся в сверхплотном состоя-
нии. В этом взрыве наряду с вещест-
вом образовалось также и электро-
магнитное излучение. В течение неко-
торого времени вещество и излучение
взаимно превращались друг в друга,
но затем, по прошествии некоторого
времени, это взаимопревращение пре-
кратилось и оставшееся электромаг-
нитное излучение продолжало сущест-
вовать самостоятельно. В результате
расширения Вселенной температура
излучения уменьшилась к настоящему
времени примерно до 2,7 К- Это излу-
чение изотропно. Система координат,
в которой реликтовое излучение изо-
тропно, считается покоящейся относи-
тельно него. Эта система координат
по своему значению эквивалентна свя-
занной со сферой неподвижных звезд.
Относительное движение любой другой
системы отсчета может быть опреде-
лено по отклонению в ней реликто-
вого излучения от изотропности.
Синхронизация часов. Длитель-
ность физического процесса, происхо-
дящего в некоторой точке, измеряется
** Понятие времени является отражением в че-
ловеческом сознании свойства материальных
процессов иметь определенную длитель-
ность, следовать друг за другом в опреде-
ленной последовательности и развиваться по
этапам и стадиям.
Представление о течении времени вне связи
с материальными процессами является бессо-
держательным. Не имеет смысла говорить о
времени самом по себе. Лишь изучение
физических процессов и их взаимосвязей
дает понятию времени физическое содер-
жание.
по часам, находящимся в той же точ-
ке. Измерение длительности сводится к
фиксации начала и конца измеряемого
процесса на шкале процесса, приня-
того за эталонный. Об этом говорится
как о фиксации показаний часов в
моменты начала и конца процесса,
хотя, конечно, это не имеет никакого
отношения к фактическому нахожде-
нию часов (процесса) в рассматри-
ваемой точке. Результаты измерений
дают возможность сравнивать дли-
тельности процессов, происходящих в
различных точках, но при условии, что
каждый процесс от начала до конца
происходит в одной и той же точке.
Но как быть с физическим процессом,
который начинается в одной точке,
а оканчивается в другой? Что следует
понимать под длительностью этого про-
цесса? По каким часам эту длитель-
ность измерять? Ясно, что эту длитель-
ность нельзя измерить по каким-либо
одним часам. Можно лишь зарегистри-
ровать начало и конец процесса по
часам, находящимся в различных
точках. Однако эта фиксация ничего
не дает, поскольку начало отсчета вре-
мени на различных часах пока еще
никак не согласовано, или, как гово-
рят, часы не синхронизованы между
собой.
Простейшим способом синхрониза-
ции является такой: «одновременно»
у всех часов поставить стрелки на
одно и то же деление. Но это бессмыс-
ленно, потому что неизвестно, что та-
кое «одновременно». Поэтому необхо-
димо дать определение синхронизации
часов не через какие-нибудь другие
известные понятия, а путем ссылки
на физические процедуры, с которыми
связана эта синхронизация. Прежде
всего надо установить физическую
связь между часами в различных точ-
ках, т. е. снова обратиться к сигналам.
Однако теперь важно не только что-
бы сигналы распространялись в неиз-
§ 7. Время 41
менных физических условиях, но важен
и закон их распространения, который
неизвестен и без синхронизации часов
не может быть установлен.
Синхронизация часов и изучение
законов распространения различных
физических сигналов и исторически,
и логически развивались параллельно,
дополняя и уточняя друг друга. Суще-
ственную роль сыграло здесь очень
большое числовое значение скорости
света. Дело в том, что свет с самого
начала являлся естественным сигналом
для синхронизации часов, причем его
скорость в сравнении со всеми другими
известными скоростями принималась
практически эквивалентйой бесконеч-
ности. Поэтому возникла идея о синх-
ронизации часов с помощью сигналов,
распространяющихся с бесконечно
большой скоростью. Она осуществля-
ется т$к: стрелки часов во всех точках
устанавливаются на одно и то же деле-
ние; затем из некоторой точки по всем
направлениям испускаются сигналы, и
каждые из часов запускаются в тот
момент, когда сигнал проходит точку,
где находятся часы. Эта синхрониза-
ция обладает очень важным свойст-
вом: если часы А синхронизовать
с часами В, а часы В — с часами С,
то часы А оказываются синхронизо-
ванными с часами С при любых
взаимных расположениях часов А,
В, С,
Вместо сигналов с бесконечной ско-
ростью можно использовать световые
сигналы. Конечно, это будет прибли-
женная синхронизация с ошибкой, рав-
ной примерно времени распростране-
ния между наиболее удаленными точ-
ками рассматриваемой области. На-
пример, для условий повседневной
жизни на Земле эта синхронизация
вполне удовлетворительна. Она также
была долго удовлетворительна и для
научных лабораторных исследований.
В частности, она позволила изучить
механические движения с малыми ско-
ростями и выявить понятие постоянной
скорости. После этого стало возмож-
ным произвести синхронизацию часов
с помощью сигналов, распространяю-
щихся с конечной скоростью. По су-
ществу это есть просто использова-
ние определения постоянной скорости:
если из точки, часы в которой пока-
зывают /о, испускается сигнал с по-
стоянной скоростью и, то в тот момент,
когда он придет в точку на расстоя-
нии s, часы в этой точке должны по-
казывать t=tG-]-s/v, Нетрудно видеть,
что эта синхронизация полностью со-
гласуется с синхронизацией при помо-
щи сигналов с бесконечной скоростью
распространения.
Увеличение точности измерений
промежутков времени и увеличение
области, в которой производятся изме-
рения, позволяют установить, что ско-
рость света не бесконечна, и измерить
эту скорость. После этого сама ско-
рость света включается в совокупность
сигналов с конечной скоростью рас-
пространения. На этой стадии часы
синхронизируются с помощью световых
сигналов по формуле t=to-\-s/c, где
с — скорость света.
При синхронизации с помощью сиг-
нала с постоянной скоростью v всегда
возникает вопрос, чему равна эта ско-
рость и действительно ли она постоян-
на. В частности, этот вопрос относился
и к скорости света: как она зависит от
направления распространения, скоро-
сти источника света, скорости прием-
ника и других физических условий.
Исследование этого вопроса в конце
концов привело к следующему фунда-
ментальному результату:
скорость света в инерциальных си-
стемах отсчета не зависит от скорости
ни источника, ни приемника и по всем
направлениям в пространстве одина-
кова и равна универсальной постоян-
ной с.
42 2. Кинематика точки и твердого тела
Эта универсальная постоянная ско-
рость света в вакууме принята рав-
ной с = 2,99792458 • 108 м/с (точно).
Путь приведший к этому заключению,
более подробно рассмотрен несколько
позднее, а сейчас нам нужен лишь ре-
зультат для определения правила синх-
ронизации часов: любые двое часов А
и В, находящихся. на расстоянии 5
друг от друга, синхронизованы, если
разность показаний часов в момент
прихода светового сигнала в точку на-
хождения одних часов и его испуска-
ния из точки нахождения других равна
s/c. Физический смысл этого утверж-
дения состоит не в том, что двое часов
могут быть синхронизованы таким об-
разом, а в том, что эта синхронизация
возможна и ^непротиворечива для всех
пар точек системы отсчета.
Практически . эта синхронизация
осуществляется следующим образом.
В некоторой точке, принимаемой за
начальную, стрелки часов устанавли-
ваются на 0, и из нее испускается
световой сигнал в виде сферической
волны. На часах на расстоянии г
в момент прихода фронта этой волны
стрелки должны показывать время г/с.
Таким образом, когда говорится,
что в некоторой точке произошло со-
бытие в момент /, то имеется в виду,
что в момент этого события стрелка
часов, находящихся в этой точке,
указывала на t. Конечно, нет необхо-
димости, чтобы в каждой точке были
часы. Это просто краткое выражение
утверждения, что если бы в этой
точке были часы, синхронизованные
указанным образом, то они показы-
вали бы время t.
Теперь выполнены все предпосылки
для описания движения в системах
отсчета, в которых положение точек и
время событий могут характеризовать-
ся координатами и временем, точный
смысл которых определен в предыду-
щих параграфах.
8. Перемещение, скорость
и ускорение точки
Дается определение основных физических вели-
чин кинематики точки.
Способы описания движения. Сейчас
нас не интересует вопрос, чем вызвано
движение материальной точки, почему
она движется так, а не иначе, каковы
причины ее движения. Задача состоит
лишь в том, чтобы описать ее движе-
ние. Описать движение материальной
точки — значит указать ее положение
в любой момент времени. При своем
движении она проходит непрерывную
последовательность точек системы от-
счета, называемую траекторией движе-
ния.
Положение точек системы отсчета
можно характеризовать различными
способами, в соответствии с которыми
можно описывать и движение точки.
Описание движения в координат-
ной форме. Выберем систему коорди-
нат, в которой положение точки ха-
рактеризуется тремя координатами.
В общем случае обозначим их как
Xi, %2, Хз. Как было сказано в § 5, это
означает для декартовых координат
(см. рис. 3): Xi=x, xz=y, x^—z\ для
цилиндрических (см. рис. 4): xi=p,
%2=<p, хз=г; для сферических (см.
рис. 5); Xi=r, %2=<Р, хз=0. При дви-
жении точки эти координаты меняют-
ся со временем, т. е. являются некото-
рыми функциями времени. Описать
движение — значит указать эти функ-
ции:
xi=xi(/), Х2=х2(/)> х3=хз(/). (8-1)
Напомним, что функцией называет-
ся правило, по которому каждому
значению одной переменной величины
соотносится числовое значение другой.
Это правило условно обозначается не-
которой буквой, например y=f(x).
Здесь f символизирует то правило,
с помощью которого каждому значе-
§8. Перемещение, скорость и ускорение точки 43
нию переменной величины х соотно-
сится, определенное значение величины
у. Однако, чтобы не вводить слишком
много букв, часто ту же самую функ-
циональную зависимость записывают в
виде у=у(х)' Символ у в правой части
этого равенства аналогичен f; символ у
в левой части указывает числовое зна-
чение переменной у, которое при этом
получается. Такой метод выражения
функциональных зависимостей более
экономен и широко применяется. Фор-
мулы (8.1) записаны таким способом.
Рассмотрим примеры описания дви-
жения этим способом. Пусть в неко-
торый момент / = 0 точка начинает
движение и удаляется по прямой от
начального положения таким образом,
что ее расстояние s от начальной
точки вдоль траектории пропорцио-
нально времени: 5=At, где А — коэф-
фициент пропорциональности. Форму-
лы,* описывающие это движение, зави-
сят от того, какая система координат
выбрана и как она расположена.
Возьмем декартову систему координат,
начало которой совместим с точкой на-
чала движения, а одну из осей, на-
пример ось у, направим вдоль скорости
движения. Тогда формулы (8.1) при-
нимают следующий вид:
Xj=x=0, x?=y=At, x3 = z=0. (8.2а)
Если же, например, оси располо-
жить таким образом, чтобы траекто-
рия движения лежала в координатной
плоскости X, Y и совпадала с биссект-
рисой угла, проведенной между поло-
жительными направлениями этих осей,
то формулы (8.1) запишутся так:
Х1=х=Л///2~, хъ=у=А1//2~,
х3=г=0. (8.26)
В сферической же системе коорди-
нат, которую расположим относительно
декартовых осей так, как указано
на рис. 5, а они при этом ориентиро-
ваны относительно траектории движе-
ния так, как и в случае (8.26), фор-
мулы (8.1) примут следующий вид:
x\ = r = At, х2 = (р=п/4,
х3 = 0 = л/2. (8.2в)
Если начала систем координат не
совмещать с точкой начала движения,
то все формулы приобретут более
сложный вид, особенно в сферических
координатах, в чем рекомендуем убе-
диться в качестве упражнения.
Пусть по окружности радиуса R
равномерно движется точка. Положе-
ние ее в некоторый момент t=0 при-
мем за начало отсчета. Проходимый
точкой путь s вдоль траектории, явля-
ющейся окружностью, пропорционален
времени, т. е. s = At, где А — коэффи-
циент пропорциональности. Декартову
систему координат расположим таким
образом, чтобы окружность лежала в
координатной плоскости X, У, начало
ее совпадало с центром окружности,
а ось Z была бы направлена так,
чтобы наблюдателю, смотрящему на
движение со стороны положительных
значений оси Z, оно представлялось
происходящим против часовой стрелки.
Кроме того, положительная часть
оси X пусть проходит через точку на-
чала движения. Тогда формулы (8.1)
для описания указанного движения по
окружности приобретают следующий
вид:
X] = x=Rcos(At/R), х<2=у=
= Rsm(Ai/R\ x3 = z = 0. (8.3а)
В сферической системе координат
формулы (8.1) для этого случая запи-
шутся в виде
xx = r = R, Х2 = ф=Л//R,
х3 = е = л/2. (8.36)
В цилиндрической системе коорди-
нат, которая расположена относитель-
но декартовых осей так, как указано
44 2. Кинематика точки и твердого тела
на рис. 4, а декартовы оси ориентиро-
ваны относительно рассматриваемой
траектории так же, как в (8.3а), фор-
мулы (8.1) примут вид
Х1=р=7?, %2=Ф=Л///?,
хз=2=0. (8.3в)
Все формулы значительно усложня-
ются при несовпадении начала коор-
динат с центром окружности и при
других ориентировках осей координат.
Описание движения в векторной
форме. Положение точки может быть
задано с помощью радиуса-вектора г
относительно некоторой точки, приня-
той за начало. Как было отмечено
в § 5, такое задание положения точки
предполагает не введение какой-то си-
стемы координат, а только наличие
тела отсчета. Радиус-вектор г рассмат-
ривается как непосредственно задавае-
мая величина. При движении точки
радиус-вектор ее непрерывно меняется.
Конец его описывает траекторию. Дви-
жение задается в бескоординатной
форме:
г=г(0. (8.4)
Формула этого вида определяет век-
торную функцию скалярного аргу-
мента. Векторной функцией скалярного
аргумента называется правило, по ко-
торому каждому числовому значению
аргумента (в данном случае /) соотно-
сится некоторый вектор (в данном слу-
чае’ г). В формуле (8.4) это правило
обозначается как г в правой части,
а вектор, получаемый по этому прави-
лу, — как г в левой части. Так же
как и в формулах (8.1), такое употреб-
ление одного и того же символа в двух
различных смыслах путаницы не вызы-
вает.
Формулами (8.2а) — (8.2в), имею-
щими различный вид, описывается
одно и то же движение. Чтобы пред-
ставить это движение в виде (8.4),
обозначим через т единичный безраз-
мерный вектор в направлении движе-
ния, а начало отсчета радиусов-век-
торов совместим с точкой начала дви-
жения. Тогда рассматриваемое дви-
жение описывается формулой, не за-
висящей от системы координат:
г=тЛЛ (8.5)
Подчеркнем еще раз, что формулу
(8.4) следует понимать не как краткую
запись трех скалярных равенств вида
(8.1), а как исходную, которую при
необходимости можно расписать в виде
трех скалярных равенств, но сущест-
вует она независимо от возможности
такого представления.
Описание движения с помощью
параметров траектории. Если -траек-
тория задана, то задача сводится к
указанию закона движения вдоль нее.
Некоторая точка траектории прини-
мается за начальную, а любая другая
точка характеризуется расстоянием s
вдоль нее от начальной точки. В этом
случае движение описывается следую-
щей формулой:
$=$(/). (8.6)
Например, закон движения по окруж-
ности, задаваемого формулой (8.3а),
имеет вид
s=At, (8.7)
причем известными являются окруж-
ность и точка начала движения. От-
счет положительных значений s совпа-
дает с направлением движения точки
по окружности.
Вектор перемещения. Вектор пере-
мещения Аг=г(/+Д/) — г(/) численно
равен расстоянию между конечной и
начальной точками, направлен от на-
чальной к конечной (рис. 13) и соеди-
няет точки траектории, в которых ма-
териальная точка находилась в мо-
менты t и / +
§ 8. Перемещение, скорость и ускорение точки 45
Скорость. Вектор средней скорости
vcp при перемещении между двумя
точками определяется как вектор, со-
впадающий по направлению с переме-
щением и равный по модулю вектору
перемещения, деленному на время пе-
ремещения (рис. 13):
/+Л<)=теттг=4г- <88)
В скобках vcp указан промежуток вре-
мени, для которого средняя скорость
вычислена. При неограниченном умень-
шении А/ средняя скорость стремится
к предельному значению, которое на-
зывается мгновенной скоростью v:
v(f)=lim—= —
— о А/ d/
ят понятиям перемещения, скорости и ускорения
Средняя скорость при движении между двумя точка-
ми траектории совпадает по направлению с вектором
перемещения. Она, вообще говоря, не направлена по
касательной к траектории ни в начальной, ни в ко-
нечной точке. Точка О — начало отсчета
(8.9)
В декартовой системе координат
г(0=ixx(0 + i»!/(0 + izz(0,
v—dr —i dx_i_i d#_i_i dz (8.10)
Следовательно, проекции скорости
даются формулами
<811>
Если движение задано через пара-
метры траектории, то известны траек-
тория и зависимость пути от времени.
Путь отсчитывается от точки траекто-
рии, принятой за начальную. Каждая
точка траектории характеризуется сво-
им значением s. Следовательно, ее ра-
диус-вектор является функцией от s и
траектория может быть задана урав-
нением
r=r(s). (8.12)
Следовательно, в формуле (8.9) можно
рассматривать г(/) как сложную функ-
цию г [$(/)] и вычислить ее производ-
ные по правилу дифференцирования
сложной функции:
dr dr ds
dt ds dt
(8.13)
Величина As — расстояние между
двумя точками вдоль траектории,|Аг| —
расстояние между ними по прямой ли-
нии. Ясно, что по мере сближения то-
чек разница в этих величинах умень-
шается. Поэтому можно написать:
4L= Нт-^= lim#.^-
ds As ->o I Ar | As
где т — единичный вектор, касатель-
ный к траектории. Кроме того, по оп-
ределению, ds/ck=a — проекция ско-
рости на касательное направление. По-
этому формула (8.13) приобретает вид
v=w. (8.14)
Отсюда следует, что скорость направ-
лена по касательной к траектории
При анализе понятия скорости предпола-
галось, что утверждение о нахождении матери-
альной точки в двух сколь угодно близких точ-
ках пространства в два сколь угодно близкие
момента времени имеет объективный смысл. Для
46 2. Кинематика точки и твердого тела
материальной точки, рассматриваемой в механи-
ке Ньютона, справедливость этого предположе-
ния очевидна и является просто следствием
определения материальной точки, которая су-
ществует непрерывно во времени и простран-
стве в неизменном виде. При моделировании
макроскопических тел в виде материальной точ-
ки не представляет трудности ответить на вопрос
о геометрическом и физическом смысле ее коор-
динат и момента времени. Однако при моделиро-
вании движения атомных и субатомных частиц
дело обстоит совсем по-другому. На первый
взгляд кажется, что ввиду малых размеров их
моделирование в виде материальной точки пред-
ставляется наиболее естественным. Но это не
так. Для моделирования в виде материальной
точки абсолютные геометрические размеры объ-
екта не имеют значения, важна возможность
моделирования его физических свойств. Как
показало экспериментальное изучение законов
движения атомных и субатомных частиц, в ос-
нову описания их движения нельзя положить
утверждение о том, что частица имеет такие-то
координаты в такой-то момент времени. Поэто-
му понятие мгновенной скорости для них теряет
смысл, а вместе с ним теряют смысл представ-
ления о движении частицы по определенной
траектории и другие понятия, на которых осно-
вывается описание движения материальной точ-
ки в механике Ньютона.
Законы движения атомных и субатомных
частиц изучаются в квантовой механике. Эти
частицы в квантовой механике моделируются ма-
териальной точкой, которая, однако, подчиняет-
ся не классическим законам движения, а кванто-
во-механическим.
Ускорение. Ускорением называется
скорость изменения скорости. Пусть в
моменты t и t-\-\t скорости равны соот-
ветственно v(/) и v(Z-f-AZ). Значит, в
течение промежутка времени А/ ско-
рость изменилась на Av=v(/+A/)—v(f).
Среднее ускорение за А/ равно (рис. 13)
аср(Л / + А0=4г- (8Л5)
¥¥ Скорость всегда направлена по касательной
к траектории.
Ускорение может составить любой угол от-
носительно скорости, т. е. может быть на-
правлено под любым углом к траектории.
Нормальная компонента ускорения не изме-
няет модуля скорости, а изменяет лишь ее
направление.
Изменение модуля скорости обусловлено
холько .ангенцяаяьной составляющей уско-
рения.
Будем изображать векторы v(/) в раз-
личные промежутки времени исходя-
щими из общего начала. Конец векто-
ра v(Z) опишет кривую, которая назы-
вается годографом скоростей (рис. 14).
Уменьшая неограниченно промежуток
времени А/, на котором вычисляется
средняя скорость, получаем в пределе
ускорение:
Av dv
а = 1101—-=-,-.
М ->-0 Ы <П
(8.16)
Учитывая, что v=dr/d/, a r=ixx-|-
ускорение можно выразить
в виде a=d2r/d/2, или
. d2X . d2!/ . d2z
a—lx-dF+l!'’dF+lz’dF-
(8.17)
Следовательно, проекции ускорения в
декартовой системе координат выра-
жаются формулами
d2x _____d2t/ _____d22.
dF’ Uy dF’ az~‘dF’
(8.18)
Теперь необходимо изучить вопрос
об ориентировке ускорения относитель-
но скорости и траектории движения.
Ясно, что ускорение всегда касательно
годографу скорости и может быть на-
правлено под любым углом к скорости.
Это означает, что ускорение может
быть направлено под любым углом к
касательной к траектории движения.
Чтобы выяснить, от чего зависит на-
правление ускорения, вычислим его,
исходя из формулы (8.14):
dv d z ч dr . dv /о irw
Единичный касательный вектор т
полностью определяется точкой траек-
тории, а точка траектории однозначно
характеризуется своим расстоянием s
от точки, принятой за начальную. По-
этому вектор т является функцией от
т. е. t=t(s), a s является функцией от
$ 8. Перемещение, скорость и ускорение точки 47
времени. Поэтому можно написать
dT/d/=(dT/dsXds/d/). Вектор т по мо-
дулю неизменен. Отсюда следует, что
вектор dz/ds перпендикулярен т. Что-
бы в этом убедиться, достаточно про-
дифференцировать равенство т2 = 1,
. выражающее постоянство модуля век-
тора т: [d(T2)/ds] = 2(xdT/ds). Но если
скалярное произведение двух векторов
равно нулю и ни один из них не равен
нулю, то эти векторы перпендикулярны
друг другу. Таким образом, действи-
тельно, т и dr/ds взаимно перпендику-
лярны. Вектор т направлен по каса-
тельной к траектории. Следовательно,
вектор dr/ds перпендикулярен этой
касательной, т. е. направлен по норма-
ли, которая называется главной. Еди-
ничный вектор в направлении главной
нормали обозначается п Значение век-
тора dz/ds равно 1/7?, где 7? — радиус
кривизны траектории. Плоскость, в ко-
торой лежат векторы тип, называется
соприкасающейся.
Точка, отстоящая от траектории на
расстоянии 7? в направлении главной
нормали п, называется центром кри-
визны траектории. Таким образом,
можно написать
dx___ п
ds R
(8.20)
Учитывая, что ds/d/=(? — модуль
скорости, можно формулу (8.19) с уче-
том (8.20) записать окончательно в
виде
v2 . dy
(8.21)
Полное ускорение состоит из двух
взаимно перпендикулярных векторов:
ускорения z(du/d/) = aT, направленного
вдоль траектории движения и называе-
мого тангенциальным, и ускорения
пи2//? = ап, направленного перпендику-
лярно траектории по главной нормали,
15
Разложение вектора полного ускорения а на со-
ставляющие: тангенциальное ат и нормальное
а„ ускорения
Точка О есть центр кривизны траектории; т — еди-
ничный касательный вектор; п - единичный вектор
в направлении главной нормали
т. е. к центру кривизны траектории
(рис. 15), и называемого нормальным.
Из (8.21) после возведения его в квад-
рат и с учетом того, что п-т = 0, нахо-
дим модуль полного ускорения:
а =
(8.22)
При движении точки но окружно-
сти нормальное ускорение называется
центростремительным, поскольку центр
48 2. Кинематика точки и твердого тела
Схема бега кошки К за мышью М
Пока кош-ка догоняет мышь, вектор скорости v кошки
направлен на мышь
16
кривизны траектории для всех ее точек
один и тот же и совпадает с центром
окружности.
Пример 8.1. Кошка /С преследует
мышь М (рис. 16), бегущую по прямой
линии с постоянной скоростью U =
=const. Скорость кошки по модулю
v > | u | постоянна и направлена на
мышь. В начальный момент скорости
кошки и мыши перпендикулярны, а
расстояние между ними I. Найти, че-
рез какое время кошка догонит мышь.
Обозначим г и 0 расстояние между
мышью и кошкой и угол между ско-
* Какие способы описания движения Вы зна-
ете?
В чем состоят преимущества векторных
обозначений и векторной записи движе-
ния?
Что такое мгновенная скорость и как она
ориентирована относительно траектории?
Каковы направления нормального и танген-
циального ускорений относительно траекто-
рии и чем определяется их абсолютное зна-
чение?
Откуда следует, что угловая скорость явля-
ется вектором?
Является ли вектор конечным угловым пере-
мещением?
Что такое вектор углового ускорения? Как
он направлен, если угловая скорость неиз-
менна по направлению?
ростью кошки и скоростью мыши (от-
считывается от направления скорости
кошки). Записывая относительную ско-
рость vOTH=— v + u в полярной системе
координат с началом в точке нахожде-
ния кошки, получаем
г=—u + ucosO, г0 =—wsin0. (8.23)
Отсюда следует, что
r(wcos 0 + v) — г 6r/sin 0 = и2 — и2 (8.24)
или
-^-[r(ucos 0 + ^)] = и2 — и2. (8.25)
Интегрируя обе части этого уравнения
в пределах от 0 до t и учитывая, что
r(O)=Z, 0(О)=л/2, получаем
r(f/cos 0 + и) — vl=(u2 — v2)t. (8.26)
Кошка догонит мышь тогда, когда
г=0, и, следовательно, затрачиваемое
для этого время равно v 1/(у2— и2).
Пример 8.2. Из начала координат
под углом а к горизонтальной оси X
бросают камень со скоростью и. Со-
противлением воздуха можно прене-
бречь. При каком угле ао камень попа-
дет в точку (хо, i/o) (рис. 17)?
Радиус-вектор камня в момент вре-
мени t дается формулой
r = u/ + gZ2/2, (8.27)
где g — вектор ускорения свободного
падения, направленный вертикально
вниз. Ориентируя ось Y вверх, за-
пишем уравнение (8.27) в координа-
тах:
x=u/cosa, y=utsin a — g/2/2; (8.28)
исключив /, найдем уравнение траек-
тории:
y=xtg a — gx2/(2w2cos2 a). (8.29)
§ 9. Кинематика твердого тела 49
При у=уъ, x=xq из этого уравнения
находим
(8.30)
Действительные значения ао, определя-
ющие возможные траектории, получа-
ются лишь при условии неотрицатель-
ности выражения под знаком квадрат-
ного корня, т. е. при условии
Парабола безопасности
или
(8.31)
Таким образом, при начальной скоро-
сти и камнем могут быть достигнуты
лишь точки, лежащие ниже точек па-
раболы
(8.32)
называемой параболой безопасности.
Точки, лежащие вне ограничиваемой
этой параболой области, не могут быть
достигнуты.
Достаточно обсудить лишь область
XoZ>O, Из (8.32) видно, что
^2/(gxo)^ 1. Это в комбинации с (8.30)
означает, что по крайней мере одно
значение ао больше или равно л/4.
Точка на параболе безопасности может
быть достигнута лишь при одном зна-
чении ао^л/4, а точки ниже парабо-
лы безопасности — при двух значе-
ниях: aoi и аог (рис. 17). Расстояния,
на которых соответствующие траек-
тории пересекают горизонтальную плос-
кость, равны T?i=w2sin2aoi/g, /?2 =
= u2sin2ao2/g.
Само собой разумеется, что вре-
мена достижения точек пересечений
парабол различны.
9. Кинематика твердого тела
Дается определение основных физических ве-
личин кинематики твердого тела.
Степени свободы. Чтобы описать дви-
жение материальной точки, необходи-
мо задать три функции, характеризую-
щие зависимость ее координат от вре-
мени. Для описания системы~ N мате-
риальных точек, движущихся незави-
симо друг от друга, необходимо задать
3W функций, характеризующих зависи-
мость координат этих точек от време-
ни. Число независимых функций (или,
как чаще говорят, параметров), кото-
рыми описывается движение системы
материальных точек, называется чис-
лом ее степеней свободы. Материаль-
ная точка имеет три степени свободы,
а система из двух независимых мате-
риальных точек имеет шесть степеней
свободы.
Если же эти две материальные
точки жестко связаны между собой
некоторым стержнем неизменной дли-
ны /, то шесть координат двух точек
уже не являются независимыми вели-
чинами, потому что между ними име-
ется соотношение /2 = (х2 — Xi)2 +
+ (У2 — !/1)2 + (22 — 21)2, в котором (Х1,
у\, Zi) и (х2, У2, 22) — декартовы коор-
динаты точек. С помощью этого равен-
ства одну из шести координат можно
выразить через величину / и оставшие-
ся пять координат. Таким образом,
50 2. Кинематика точки и твердого тела
остается лишь пять независимых пара-
метров для описания движения двух
жестко скрепленных материальных то-
чек. Следовательно, эта система имеет
пять степеней свободы.
Число степеней свободы твердого
тела. Чтобы указать положение твер-
дого тела в пространстве, необходимо
зафиксировать какие-либо три точки
этого тела, не лежащие на одной пря-
мой. Эти три точки описываются де-
вятью координатами, между которыми
имеются три соотношения, выражаю-
щие постоянство расстояний между
точками твердого тела. Следовательно,
положение твердого тела характеризу-
ется шестью независимыми парамет-
рами, т. е. твердое тело имеет шесть
степеней свободы. Эти шесть незави-
симых параметров можно задавать
различными способами в зависимости
от обстоятельств.
Разложение движения твердого те-
ла на слагаемые. Три независимых
параметра удобно использовать для
описания движения какой-либо точки
твердого тела. С этой точкой связы-
вается начало прямоугольной декарто-
вой системы координат, оси которой
при движении точки перемещаются
параллельно самим себе, т. е. без вра-
щения. Положение твердого тела отно-
сительно этих осей характеризуется
оставшимися тремя независимыми па-
раметрами. Кинематика точки была
4.4. Положение системы с шестью степенями
свободы полностью характеризуется зада-
нием шести чисел, называемых координа-
тами. Они произвольны. Важно лишь прове-
рить, что они независимы. Углы Эйлера —
один из возможных выборов, обладающий
рядом удобств.
Угловая скорость — это вектор, потому что
она определяется через бесконечно малое
элементарное угловое перемещение, кото-
рое является вектором. Средняя угловая
скорость при повороте на конечный угол —
не вектор, хотя и может быть охарактери-
зована абсолютным значением и направле-
нием.
подробно рассмотрена в § 8. Поэтому
для полного описания кинематики
твердого тела остается лишь рассмот-
реть движение твердого тела, закреп-
ленного в точке начала системы коор-
динат. Это описание осуществляется
с помощью углов Эйлера.
Углы Эйлера. Свяжем с твердым
телом жестко систему координат (X',
У', Z'), которая полностью характери-
зуется единичными векторами i£, Vy, \'z.
Начало этой системы координат, а так-
же начало системы координат (X, У,
Z), в которой рассматривается движе-
ние тела, совпадают с точкой закреп-
ления твердого тела (рис. 18). Поло-
жение его полностью определяется по-
ложением осей X', У', Z' относительно
осей X, У, Z.
Плоскости О'Х'У' и ОХУ пересека-
ются по линии От], называемой линией
узлов. Положительное направление
вдоль этой линии задается вектором
T=i2X^« Углами Эйлера называются
углы
Ф т] ОХ' (0 С ф 2 л),
ф=^ХОт] (0СФ^2л), (9.1)
e=^zozz (осе с л),
причем ф, ф, 0 называются соответ-
ственно углами собственного вращения,
прецессии и нутации (см. § 26).
По определению этих углов видно,
что они являются независимыми пере-
менными и полностью характеризуют
положение твердого тела, закреплен-
ного в одной точке. Произвольное дви-
жение закрепленного в точке тела
можно описать заданием трех функ-
ций:
Ф=ф(/), ф=ф(/), 0=0(f). (9.2)
Поступательное движение. Посту-
пательным движением твердого тела
называется такое, при котором все его
точки движутся по одинаковым траек-
ториям. Это означает, что скорости
§ 9. Кинематика твердого тела 51
всех точек тела в любой момент време-
ни одинаковы. Любая прямая, прове-
денная между какими-либо точками
тела, перемещается параллельно са-
мой себе. Углы Эйлера при поступа-
тельном движении постоянны. Таким
образом, это движение полностью ха-
рактеризуется заданием движения ка-
кой-либо одной точки тела, т. е. посту-
пательно движущееся тело имеет три
степени свободы. В кинематическом
отношении это движение полностью
эквивалентно движению материальной
точки.
Плоское движение. Плоским назы-
вается движение, при котором траек-
тории всех точек лежат в параллель-
ных плоскостях. Движение тела в этом
случае полностью определяется движе-
нием одного из его сечений в какой-
либо из параллельных плоскостей, а
положение сечения — положением
двух точек этого сечения. Положение
двух точек на плоскости характеризу-
ется четырьмя параметрами (коорди-
натами). Между этими параметрами
имеется одно соотношение, выражаю-
щее постоянство расстояний между
двумя точками. Следовательно, имеет-
ся лишь три независимых параметра,
т. е. число степеней свободы равно
трем.
Вращательное движение. Враща-
тельное движение — это такое, при
котором две точки тела остаются все
время неподвижными. Прямая, прохо-
дящая через эти точки, называется
осью вращения. Все точки твердого
тела, лежащие на оси вращения, не-
Произвольное движение твердого тела мо-
жет быть представлено как движение неко-
торой точки и вращение тела с мгновенной
угловой скоростью, проходящей через эту
точку.
Та ось вращения, для точек которой посту-
пательная скорость равна нулю, называется
мгновенной осью вращениг. Скорость всех
точек тела в данный момент представляется
как скорость вращательного движения вокруг
мгновенной оси.
18
Углы Эйлера характеризуют взаимное располо-
жение двух прямоугольных декартовых систем
координат
Плоскость X'Y' пересекает плоскость XY по линии т)
подвижны. Другие точки твердого тела
движутся по окружностям в плоско-
стях, перпендикулярных оси вращения.
Центры этих окружностей лежат на
оси вращения.
Ясно, что вращательное движение
твердого тела является плоским.
Вектор угловой скорости. Рассмот-
рим движение по окружности какой-
либо точки твердого тела (рис. 19).
Обозначим радиус окружности /?. Взяв
за начало отсчета расстояний вдоль
траектории точку А, можно написать
s = /?(p. Значение скорости v = As/At=
= 7?d<p/dZ. Скорость изменения угла
d(p/d/=co называется угловой. Она
одинакова у всех точек твердого тела
и является угловой скоростью враще-
ния твердого тела. Если эта скорость
постоянна, то она называется круго-
вой частотой со вращения тердого тела
вокруг оси. С периодом вращения Т
твердого тела вокруг оси она связана
соотношением ш = 2л/7\ Вращение
твердого тела полностью характеризу-
ется значением угловой скорости. Все
эти характеристики вращения твердого
тела можно объединить в понятие век-
52 2. Кинематика точки и твердого тела
19
Движение точки по окружности
Положение точки на окружности полностью характе-
ризуется путем $, пройденным ею от точки А, приня-
той за начало отсчета. Центром кривизны траектории
является центр окружности
20
Угловая скорость
вращения твердого
тела
Она параллельна оси
вращения и связана
с направлением вра-
щения правилом пра-
вого винта
тора угловой скорости со вращения.
По модулю он равен скалярной вели-
чине dcp/d/ и направлен по оси враще-
ния так, чтобы линейная скорость v
точек твердого тела (рис. 20) выража-
лась формулой
v=<oXr, (9.3)
Чем определяется число степеней‘свободы
механической системы?
Чему равно число степеней свободы твердого
тела в различных случаях движения?
Каково геометрическое определение углов
Эйлера?
Как доказывается возможность представле-
ния скорости плоского движения твердого
тела в виде суммы поступательной и враща-
тельной скоростей?
в которой начало отсчета радиусов-
векторов г точек твердого тела пред-
полагается расположенным на оси
вращения. Необходимо доказать, что
определенная таким образом величина
<о является действительно вектором..
Вектор элементарного углового пе-
ремещения. В течение dt точки вра-
щающегося твердого тела перемеща-
ются вокруг оси вращения (см.
рис. 19) на угол d(p=cod/.
Элементарное угловое перемещение
dtp характеризуется не только своим
значением, но и плоскостью, в которой
оно происходит. Чтобы фиксировать
эту плоскость, следует dtp рассматри-
вать как вектор, перпендикулярный
этой плоскости. Его направление нахо-
дится по правилу правого винта: если
винт вращать в сторону увеличения <р,
то направление движения винта долж-
но совпадать с вектором dtp. Однако,
чтобы иметь основание определенную
так величину d<p называть вектором,
необходимо доказать, что она обладает
его свойствами.
Пусть d<pi и dq>2 являются двумя
угловыми перемещениями (рис. 21).
Докажем, что эти величины складыва-
ются как векторы. Если из точки О
провести сферу радиусом, равным еди-
нице, то этим углам на поверхности
сферы соответствуют бесконечно малые
дуги dli и db. Бесконечно малая дуга
dis составляет третью сторону тре-
угольника. Этот бесконечно малый тре-
угольник можно считать плоским. Век-
торы d<pi, d<p2 и dq>3 направлены пер-
пендикулярно сторонам этого треуголь-
ника и лежат в его плоскости. Очевид-
но, что для них имеет место векторное
равенство
d<p3 = d<pi + d<p2, (9.4)
что и требовалось доказать. Эти векто-
ры можно разложить на компоненты
по осям координат. Ввиду (9.4) эти
компоненты ведут себя как компоненты
§ 9. Кинематика твердого тела 53
вектора и, следовательно, элементар-
ное угловое перемещение является
вектором.
Заметим, что свойством быть векто-
ром обладают лишь элементарные
(бесконечно малые) угловые переме-
щения. Перемещения на конечный угол
не являются векторами, потому что
если их изображать отрезками прямых,
имеющих направление, перпендику-
лярное плоскости, в которой происхо-
дит перемещение, то эти отрезки не
складываются по правилу параллело-
грамма (9.4).
Бесконечно малое угловое переме-
щение d<p материальной точки проис-
ходит в течение бесконечно малого
промежутка времени d/. Поэтому угло-
вая скорость
<o=d<p/d/
(9-5)
является вектором, поскольку d<p —
вектор, а dt— скаляр. Направления со
и dq> совпадают и определяются по
правилу правого винта.
Следовательно, линейная скорость
точек вращающегося твердого тела
действительно выражается формулой
(9.3).
Угловое ускорение. Производная
угловой скорости по времени dco/d/
называется угловым ускорением. С его
помощью выражается ускорение точек
твердого тела. Модули линейной ско-
рости, нормального и тангенциального
ускорения точек твердого тела равны
соответственно u = 7?d<p/d/=/?co, ап=
~v2 /R=m2R, al=dv/dt=Rda)/dt, и
поэтому полное ускорение точек выра-
жается формулой
а= fan + a%=R }/(o4 + d)2,
где <Ъ = dco/d/ — угловое ускорение.
Из этих формул видно, что векторы
полного ускорения точек твердого тела,
К доказательству векторного характера элемен-
тарных угловых перемещений
22
При удалении от оси вращения полное ускорение
остается неизменным по направлению, но растет
по модулю '
Ось вращения (точка О) перпендикулярна плоскости
чертежа
лежащих на одном и том же радиусе,
проведенном перпендикулярно оси
вращения, параллельны друг другу и
увеличиваются пропорционально рас-
стоянию от оси вращения (рис. 22).
Угол а, характеризующий направление
ускорения относительно радиуса, как
это видно на рис. 22, определяется
соотношением tga=aT/an=<b/co2, т. е.
не зависит от R.
54 2. Кинематика точки и твердого тела
23
Разложение пере-
мещения на посту-
пательное и вра-
щательное
Оно неоднозначно и
может быть произве-
дено бесконечным
числом способов, но
угол вращения во
всех случаях один и
тот же
24
Разложение скорости движения точек твердого
тела на поступательную и вращательную неод-
нозначно
В обоих случаях, разделенных знаком равенства,
полная скорость любой точки вдоль прямой АВ,
равная сумме поступательной и вращательной ско-
ростей, одна и та же
< Что такое мгновенная ось вращения? Може-
те ли Вы привести примеры мгновенной оси
вращения в простейших случаях движения?
Опишите метод нахождения мгновенной оси
вращения.
В чем состоит доказательство теоремы Эй-
лера?
Из каких скоростей слагается скорость точек
твердого тела при произвольном движении?
Если тело движется поступательно, то где
находится мгновенная ось вращения?
Мгновенная ось вращения. В пло-
ском движении положение твердого
тела полностью определяется положе-
нием отрезка прямой, жестко связан-
ной с точками тела в одном из сечений.
Рассмотрим перемещение этого отрез-
ка в течение некоторого промежутка
времени из положения AqBq в положе-
ние АВ (рис. 23). Это перемещение
может быть разложено на два: 1) по-
ступательное из ДоВо в А'В', при ко-
тором прямая перемещается парал-
лельно самой себе; 2) вращательное,
при котором твердое тело поворачива-
ется на угол а вокруг оси, проходящей
через точку О' перпендикулярно пло-
скости движения твердого тела. Раз-
ложение перемещения неоднозначно:
можно было бы, например, поступа-
тельно переместить прямую из поло-
жения АоВо в положение А" В", а вра-
щение на угол а произвести вокруг
оси, проходящей через О".
Таким образом, разложение пере-
мещения на поступательное и враща-
тельное неоднозначно, однако угол
поворота а при перемещении всегда
один и тот же. В течение времени dt
происходит одновременно поступа-
тельное перемещение всех точек тела
на dl и элементарное угловое переме-
щение da вокруг О'. Поэтому скорость
всех точек тела слагается из двух:
1) поступательной v0=dl/d/; 2) вра-
щательной v'=(i)Xr, где co = da/df,
а началом отсчета радиуса-вектора г
является точка О', через которую про-
ходит ось вращения тела. Эта точка,
будучи одной из точек тела, имеет
поступательную скорость vo. Следова-
тельно,
V = Vo + (i>Xr.
(9.6)
Поскольку разложение перемеще-
ния на поступательное и вращательное
неоднозначно, неоднозначным являет-
ся и разложение скорости на посту-
§ 9. Кинематика твердого тела 55
пательную и вращательную, что пояс-
няется на рис. 24 в виде символиче-
ского равенства: в его левой части
движение слагается из поступательно-
го со скоростью и и вращательного
вокруг оси О, а в правой части — из
поступательного со скоростью и', мень-
шей и, и вращательного вокруг оси О'.
Изменяя поступательную скорость
тела, мы одновременно изменяем поло-
жение оси вращения. Можно сказать,
что любая ось, перпендикулярная пло-
скости движения, представляет собой
ось вращения.
При этом поступательная скорость
тела будет зависеть от того, какая ось
выбрана за ось вращения. Та ось вра-
щения, для которой поступательная
скорость равна нулю, называется мгно-
венной осью вращения.
Скорость всех точек тела в данный
момент может быть представлена как
скорость вращательного движения вок-
руг мгновенной оси.
Скорость всех точек твердого тела,
лежащих на мгновенной оси, равна
нулю. Если рассматриваемое твердое
тело имеет конечные размеры, то мгно-
венная ось может лежать вне тела,
однако ее свойства и определение
остаются, конечно, теми же самыми.
На рис. 25 показано построение для
нахождения оси, движением вокруг
которой плоское перемещение твер-
дого тела представляется в виде чи-
стого вращения. Точка О, через кото-
рую проходит ось, расположена на
пересечении перпендикуляров к А А' и
ВВ'. Это видно из того обстоятельства,
что треугольники АВО и А'В'О равны,
поскольку сторона ОВ равна ОВ' и
сторона ОА равна ОА', как проведен-
ные к концам отрезка из точки на пер-
пендикуляре к его середине, а сторона
АВ равна А'В', поскольку это один и
тот же отрезок в разных положениях.
В случае бесконечно малого перемеще-
ния это построение дает точку О, через
Схема построения для нахождения оси,
движением вокруг которой плоское пере-
мещение твердого тела представляется
в виде чистого вращения
25
26
Мгновенной осью вращения катящегося по земле
колеса является прямая, параллельная оси коле-
са и проходящая через точку соприкосновения
колеса .с землей
которую проходит мгновенная ось вра-
щения. С течением времени положение
мгновенной оси меняется относительно
тела и относительно системы коорди-
нат, в которой рассматривается дви-
жение тела.
Проиллюстрируем это на примере
катящегося по прямой линии колеса.
Его мгновенной осью вращения явля-
ется прямая, параллельная оси колеса
и проходящая через точку соприкосно-
56 2. Кинематика точки и твердого тела
27
К доказательству теоремы Эйлера
Дуга АВ сферы одним вращением вокруг оси, прохо-
дящей через центр сферы и точку О', может быть
совмещена с дугой А'В'
28
Разложение вектора мгновенной угловой скоро-
сти <ом вращения твердого тела на составляющие
(Оо и ©'
Направление угловой скорости ш0 неизменно от-
носительно неводвижной системы координат, а уг-
ловой скорости ®' неизменно относительно тела, но
меняется относительно неподвижной системы коор-
динат
вения колеса с землей (рис. 26). Эта
ось меняет свое положение относитель-
но земли. За время t она перемещает-
ся в точку, отстоящую от первоначаль-
ной на величину vt, где v — скорость
движения оси колеса. Мгновенная ось
в разные моменты времени проходит
через различные точки колеса, переме-
щаясь вдоль обода. Мгновенная ось.—
это воображаемая ось, которая не
имеет своего материального носителя.
Поэтому говорить о скорости движе-
ния мгновенной оси не имеет физиче-
ского смысла.
Физически смысл имеет не скорость
движения мгновенной оси, а именно
тот факт, что точки материального те-
ла, лежащие на мгновенной оси, по-
коятся в рассматриваемый момент вре-
мени и движение тела сводится к вра-
щению вокруг этой оси.
Все сказанное выше относилось к
плоскому движению тела. Теперь рас-
смотрим тело, закрепленное в одной
точке. Спрашивается, может ли мгно-
венное движение этого тела быть пред-
ставлено в виде вращения вокруг неко-
торой оси, проходящей через закреп-
ленную точку тела? Ответ на этот воп-
рос дает теорема Эйлера, которая гла-
сит:
твердое тело, имеющее одну закреп-
ленную неподвижную точку, может
быть из одного положения переведено
в любое другое одним поворотом на
некоторый угол вокруг неподвижной
оси, проходящей через точку закреп-
ления.
Теорема Эйлера справедлива как в
случае бесконечно малых перемещений
тела, так и в случае конечных. Для
доказательства очертим в твердом теле
некоторую сферу единичного радиуса
с центром в закрепленной точке и про-
ведем на этой сфере дугу АВ. Поло-
жение этой дуги полностью характери-
зует положение твердого тела. При его
движении положение дуги меняется в
пространстве, оставаясь на поверхно-
сти сферы единичного радиуса. Утвер-
ждение теоремы Эйлера сводится к то-
му, что дуга АВ может быть переве-
дена в любое другое положение вра-
щением сферы вокруг некоторой оси,
проходящей через ее центр. Рассмот-
рим два положения дуги на сфере:
АВ и А'В' (рис. 27). Соединим точки
§ 9. Кинематика твердого тела 57
А и Л', В и В' дугами больших кругов.
Затем через середины этих дуг прове-
дем перпендикулярно им дуги больших
кругов до пересечения в точке О'. Из
построения видно, что сферический
треугольник АО'В равен сферическому
треугольнику А'О'В'. Поэтому враще-
нием вокруг оси, проходящей через
точку О' и центр сферы, они могут
быть совмещены друг с другом. Тем
самым теорема Эйлера доказана.
Из теоремы Эйлера непосредствен-
но следует, что движение закреплен-
ного в точке твердого тела в каждый
данный момент может рассматриваться
как вращение вокруг мгновенной оси,
проходящей через точку закрепления.
Положение этой мгновенной оси с те-
чением времени меняется как относи-
тельно точек твердого тела, так и отно-
сительно неподвижной системы коорди-
нат, в которой твердое тело закреплено
в одной точке. Скорость точек твердого
тела представляется в виде
v=G)MXr, (9.7)
где юм — мгновенная угловая ско-
рость, г — радиус-вектор относительно
закрепленной точки. Пользуясь тем,
что угловая скорость (ом является век-
тором, можно представить ее как сум-
му двух векторов (рис. 28): один век-
тор направлен вдоль линии ОА', за-
крепленной относительно точек тела;
Другой — вдоль линии ОВ, неподвиж-
ной в системе координат, в которой
рассматривается движение твердого
тела, т. е.
®м=соо + <о/, v=cooXг + Xг. (9.8)
Представив скорость тела в таком
виде, можно сказать, что его движение
слагается из двух: вращения с угловой
скоростью <о' вокруг оси, имеющей
неизменное положение относительно
тела, и вращения с угловой скоростью
относительно оси, имеющей неиз-
менное направление в пространстве.
Угловая скорость <оо при движении
меняется лишь по значению, но не ме-
няет своего направления. Угловая
скорость со' меняется как по значению,
так и по направлению.
Пример 9.1. Математическая стро-
гость описания кинематической задачи
не служит свидетельством ее физиче-
ской реальности. Может оказаться,
что математически строгое решение
кинематической задачи оказывается
физически бессмысленным. Поясним
это.
Лестница длиной I стоит вертикаль-
но у вертикальной стены (ось У). При
/=0 ее нижний конец начинает сколь-
зить по полу (ось X) со скоростью и.
Какую траекторию описывает середина
лестницы и с какой скоростью она дви-
жется?
Решение кажется очевидным. Обо-
значив координаты концов лестницы х
и у, имеем x2-j-i/2=/2. Поскольку ко-
ординаты середины лестницы равны
xi=x/2, ух=у/2, имеем х2 + */2=/2/4,
т. е. середина лестницы описывает
дугу окружности, а скорость центра
равна v = [(dxi/dO2 + (d#i/d/)2]/2 =
= ul/\2 I2 — u2t2]. В тот момент, когда
лестница ложится на пол, ut=l, v=
= оо, что физически бессмысленно,
хотя в кинематическом смысле задача
решается правильно. Суть ошибки
будет разъяснена в примере 34.3.
Пример 9.2. Колесо радиуса а ка-
тится по горизонтальной плоскости
без скольжения. Центр колеса движет-
ся со скоростью и. Найти модуль ско-
рости точки на ободе колеса. Угол
между вертикалью и направлением из
центра колеса на точку обода равен а.
Сначала решим задачу, не исполь-
зуя понятия мгновенного центра вра-
щения. Поскольку колесо катится без
скольжения со скоростью и, время од-
58 2. Кинематика точки и твердого тела
ного оборота колеса равно Т=2ла/и
и, следовательно, угловая скорость
вращения колеса дается формулой
^=2л/Т = и/а. Движение любой точ-
ки колеса, являющегося твердым те-
лом, слагается из поступательного дви-
жения его центра со скоростью и й
вращательного движения вокруг оси,
проходящей через центр колеса пер-
пендикулярно его плоскости. Модуль
скорости вращательного движения ра-
вен (оа=и, а направлена эта скорость
по касательной к обрду. Это означает,
что скорость точки обода слагается из
направленной горизонтально скорости,
модуль которой ц, и направленной по
касательной к ободу скорости, модуль
которой также и. Угол между этими ско-
ростями равен а, поскольку направле-
ния скоростей перпендикулярны верти-
кали и прямой, проходящей через
центр колеса и точку обода (углы с
взаимно перпендикулярными сторона-
ми). Следовательно, модуль скорости
точки обода равен длине диагонали
параллелограмма, стороны которого
равны и, а угол между ними а. Отсюда
следует, что u=2wcos(a/2).
С помощью мгновенного центра
вращения задача решается следующим
образом. У катящегося без скольжения
колеса мгновенной неподвижной точ-
кой является точка соприкосновения
обода с поверхностью, по которой ка-
тится колесо. Следовательно, эта точка
является мгновенным центром враще-
ния. Движение плоское, и поэтому, как
обычно, вместо оси вращения исполь-
зуется понятие центра вращения и под-
разумевается, что ось вращения пер-
пендикулярна плоскости движения. Не-
посредственно видно, что угол между
вертикалью и прямой, проходящей
через мгновенный центр вращения и
рассматриваемую точку обода равен
а/2. Из треугольника, вершинами ко-
торого являются мгновенный центр
вращения, рассматриваемая точка обо-
да и верхняя точка вертикального диа-
метра колеса, находим расстояние
между мгновенной точкой вращения и
рассматриваемой точкой обода. Оно
равно 7?=2acos(a/2). Это расстояние
является радиусом вращения колеса с
угловой скоростью ы = и/а вокруг
мгновенного центра вращения. Следо-
вательно, искомый модуль скорости
равен y = a)7?=2r/cos(a/2), что совпа-
дает с полученным ранее результатом
Для точек, находящихся не на обо-
де колеса, расчет проводится анало-
гично, но формулы получаются более
громоздкими, потому что радиус вра-
щения вокруг мгновенного центра не
является в этом случае основанием
равнобедренного треугольника. Его
стороны могут быть найдены хорошо
известными из геометрии способами
Задачи
2.1. Радиусы-векторы трех последовательных вершин правильного шестиугольника равны г>=0,
г2, Гз. Найти радиусы-векторы остальных вершин.
2.2. Найти углы между ненулевыми векторами А и В в случаях:
а) ЗА+5В=0; б) |А|=|В|=|А-|-В|; в) А.(АХВ)=О, |В|=2|А|; г) (А X В)Х А=В Х(В X А).
2.3. Точки А, В, С лежат на поверхности сферы единичного радиуса с центром в О. Углы ВОС,
СОА и АОВ обозначены соответственно а, р, у. Найти угол между плоскостями ОАВ и ОАС.
2.4. Пусть г(/) — радиус-вектор движущейся точки, го=г/г. Доказать, что Го=(гХг)Хг/г3.
2. Кинематика точки и твердого тела 59
2.5, Камень должен перелететь через два забора высотой hi и h2>hi со стороны забора меньшей
высоты. Расстояние между верхними точками заборов, около которых проходит траектория
камня, равно I. Найти минимальную начальную скорость камня.
2.6. Стержень длиной I скользит своими концами по направляющим, составляющим между собой
прямой угол. Какую кривую описывает точка стержня, находящаяся на расстоянии а/ (а<1)
от одного из его концов?
2.7. С поверхности земли бросают с минимально допустимой скоростью камень через препятствие
высотой h на расстоянии I от точки броска. На каком расстоянии от препятствия камень
упадет на землю после перелета через него?
2.8. Снаряд выпускается со скоростью и по цели, лежащей в той же горизонтальной плоскости,
что и пушка. При наводке допущены ошибки, составляющие е радиан в угле наклона ствола
и 2е радиан в направлении на цель в горизонтальной плоскости. На каком расстоянии от цели
упадет снаряд?
2.9. От колеса радиусом а у автомобиля, движущегося со скоростью и, отскакивают комки грязи
(и2^ёа)- Найти максимальную высоту, на которую они забрасываются.
2.10. Камень бросают с поверхности земли со скоростью и под углом а к поверхности. Приняв точку
броска за начало полярной системы координат (г, 0), где г — расстояние от 0 до камня, 0 —
угол между поверхностью земли и радиусом-вектором камня, найти уравнение траектории
камня.
2.11. Стержень длиной / скользит своими концами по направляющим, составляющим между собой
прямой угол. В некоторый момент времени скорость одного из концов стержня равна и, а угол
между стержнем и направляющей, по которой скользит другой конец стержня, равна 0. На ка-
ком расстоянии от первого конца стержня находится точка, движущаяся с минимальной ско-
ростью, и чему равна эта скорость?
2.12. В пространстве между коаксиальными круглыми цилиндрами радиусов и и г2 (/2>п) поме-
щен цилиндр радиусом (г2—ri)/2_ Внутренний и внешний цилиндры вращаются вокруг их оси
с угловыми скоростями (01 и (о2. Предполагая, что между соприкасающимися поверхностями
цилиндра радиусом (г2—ri)/2 и коаксиальных цилиндров нет проскальзывания, найти угловую
скорость вращения цилиндра радиусом (г2—п)/2 вокруг его оси и угловую скорость вращения
точек его оси вокруг оси коаксиальных цилиндров.
2.13. Твердое тело, одна из точек которого закреплена в начале декартовой системы координат, по-
следовательными вращениями вокруг оси X на угол л/2 и вокруг оси У на угол л/2 приведено
в новое положение. Как надо направить ось вращения и на какой угол повернуть тело вокруг
этой оси, чтобы осуществить такой же перевод тела в новое положение одним вращением?
2.14. Твердое тело поворачивается на угол вокруг оси, проходящей через начало координат. Еди-
ничный вектор п направлен по оси вращения. Направления вращения и вектора п связаны
правилом правого винта. Найти радиус-вектор некоторой точки тела после поворота тела, если
до поворота он был г.
2.15. Частица движется на плоскости с постоянным радиальным ускорением а, направленным от
центра, и с нормальным ускорением 2усо, где — положительная постоянная, v — скорость
частицы. Принимая направление ускорения в начале системы координат в качестве полярной
оси, получить уравнение траектории частицы.
2.16. Два колеса радиусом г0 каждый насажены на ось длиной /. Колеса на оси могут вращаться
независимо. Они катятся по горизонтальной поверхности без проскальзывания, причем ско-
рости центров колес равны Vi и v2. Найти модули угловых скоростей колес.
2.17. В пространстве между двумя концентрическими сферами радиусов ri и r2>ri находится шар
радиусом (г2—Г1)/2. Концентрические сферы вращаются с угловыми скоростями coi и о)2, а шар
катится между сферами без скольжения. Какую кривую описывают центр шара и с какой
угловой скоростью он движется?
2.18 В самолете, летящем горизонтально и прямолинейно с постоянной скоростью v, через промежу-
ток времени t в зрительную трубу производятся два наблюдения одного и того же предмета
на Земле. Известно, что предмет расположен в вертикальной плоскости, проведенной через
траекторию полета самолета. Наблюдаемый предмет неподвижен относительно Земли. Углы
между вертикалью и направлением зрительной трубы на предмет в моменты наблюдения
равны си и а2. Найти высоту полета самолета.
2.19. Прямолинейный отрезок АВ движется в плоскости. В некоторый момент времени скорости
его концов образуют с прямой АВ углы аир. Модуль скорости точки А равен v. Определить
модуль скорости точки В.
60 2. Кинематика точки и твердого тела
2.20. По неподвижному обручу радиуса Ал с угловой скоростью со катится без скольжения обруч
радиуса /?2, причем центры обручей находятся по разные стороны от точки их соприкосновения.
Определить скорость перемещения точки соприкосновения по неподвижному обручу.
2.21. Решить задачу 2.20 для случая, когда центры обручей лежат по одну и ту же сторону от
точки соприкосновения и R2 < Ri-
2.22. Цилиндр радиуса R вращается без скольжения между двумя параллельными досками, кото-
рые движутся в одном и том же направлении перпендикулярно образующим цилиндра со
скоростями Vi и 02 > Vi вдоль своих длин. Найти угловую скорость вращения цилиндра и
скорость его оси.
Ответы
2.1 г == 2г3 — 2г2, г5 = 2г.з — Згг, г6 = гз —2г2. 2.2. а) л, б) 2л/3, в) 2л/3, г) 0 или л.
2.3 arccos [(cos а — cos р cos y)/(sin р sin у)]. 2.5. [g(/ii 4- h2 + /)),/2. 2.6. Дугу эл-
липса с полуосями а/ и (1—а)/. 2.7. th/ уП2-\-И2 2.8. 2u2E/g. 2.9. a-{-d2g/(2u2)-\-
+ u2/(2gj. 2.10. r = 2u2cos a-sin (a — 0)/(gcos2 0). 2.11. /cos2 0, ysin 8.
2.12. ((1)2Г2 — (о^ОДго — r,); (oj/j-h<о2г2)/(Г| + r2). 2.13. —L,
2л/3. 2.14. rcos 4-n X rcos <p 4-n(n • г¥ 1 — cos ц). 2.15. r =
= u(l — cos cp)/w. 2.16. [(t»i — vtf/r + ai/rof'* —
— V2)2/l2-\- У2/Го]1/2- 2.17. Окружность, +
Ч-/'2(О2)/(г1-|-Г2). 2.18. vZ/(tg а2—tg «1).
2.19. ucos а/cos р. 2.20. o)A*i X
XR2/(Ri+R*\ 2.21. w/?iX
X/?2/(/?i-/?2)- 2.22.
(v2—V|)/(2Z?);
(t’i + ^)/2.
10. Пршщип относительности
Анализируется различие между геометрически-
ми преобразованиями координат и преобразо-
ванием координат при относительном движении
систем отсчета.
Геометрические преобразования коор-
динат. Рассмотренные в § 5 и 6 преоб-
разования координат относятся к точ-
кам одной и той же системы отсчета.
Они выводятся на основе определения
систем координат в результате геомет-
рических построений. Время в эти пре-
образования не входит. Они являются
чисто геометрическими преобразова-
ниями координат, по своему физиче-
скому содержанию не выходящими за
пределы изменения обозначения ве-
личин.
Физические преобразования коор-
динат. Различные материальные тела,
с которыми связаны различные систе-
мы отсчета, могут находиться в дви-
жении друг относительно друга. В каж-
дой из систем отсчета введены свои
системы координат, время в различных
точках измеряется по часам, покоя-
щимся в этих точках и синхронизован-
ным между собой указанным в § 7 спо-
собом. Возникает вопрос о том, как
связаны координаты и время разных
систем отсчета, если эти системы нахо-
дятся в относительном движении? От-
вет на этот вопрос не может быть дан
лишь на основе геометрических сооб-
ражений. Это физическая задача. Она
превращается в геометрическую лишь
в том случае, когда относительная ско-
рость различных систем отсчета равна
нулю, физическое различие между сис-
темами отсчета исчезает и их можно
рассматривать как одну систему от-
счета.
Инерциальные системы отсчета и
принцип относительности. Простейшее
Движение твердого тела — его посту-
пательное равномерное прямолинейное
Движение. Соответственно этому про-
стейшим относительным движением
систем отсчета является поступатель-
ное равномерное прямолинейное дви-
3
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
КООРДИНАТ
Вопрос о преобра-
зовании координат, относящихся к од-
ной и той же инерциальной системе
отсчета, является чисто математиче-
ским, а вопрос о преобразовании коор-
динат, относящихся к различным инер-
циальным системам отсчета, является
вопросом физики. Он может быть
решен только с помощью эксперимен-
та.
10
Принцип относительности
11
Преобразования Галилея
12
Постоянство скорости света
13
Преобразования Лоренца
62 3. Преобразования координат
29
Относительное движение систем координат К' и
К
Пространственным поворотом систем координат и
перемещением начала координат можно всегда
добиться такого положения, что оси X, X' этих систем
координат совпадут, а движение будет происходить
вдоль оси X. При таком взаимном расположении
систем преобразования координат имеют наипростей-
ший вид
жение. Одну из систем отсчета будем
условно называть неподвижной, а дру-
гую — движущейся. В каждой из
систем отсчета введем декартову сис-
тему координат. Координаты в непод-
вижной системе отсчета К обозначим
через (х, у, z), а в движущейся К' —
через (д/, у', z'). Условимся, что вели-
чины в движущейся системе координат
будут обозначаться теми же буквами,
что в неподвижной, но со штрихами.
Оси систем координат направим, как
указано на рис. 29. Вместо того чтобы
говорить: «тело отсчета, с которым
связана система координат К', движет-
ся со скоростью V», будем сокращенно
говорить: «система координат К' дви-
жется со скоростью v относительно
Принципом относительности называется ут-
верждение, что физические законы во всех
инерциальных системах координат одинако-
вы. Инерциальность систем координат и
справедливость принципа относительности
для них обусловлены свойствами простран-
ства и времени. Существует бесчисленное
множество инерциальных систем координат.
Все эти системы движутся поступательно
равномерно и прямолинейно друг относи-
тельно друга.
системы К». Это не вызывает недора-
зумений, поскольку каждая система
координат имеет смысл лишь при ука-
зании тела отсчета, с которым она свя-
зана. В том же смысле будем говорить
об измерении времени в различных
системах координат, о синхронизации
часов и т. д., понимая, что все это
производится в соответствующих сис-
темах отсчета.
Первый принципиальный вопрос,
который возникает, состоит в следую-
щем. В § 5 и 7 было рассмотрено изме-
рение координат и времени в предполо-
жении справедливости геометрии Евк-
лида, существовании единого времени
и возможности такой синхронизации
часов, которая была описана. Было
сказано, что существование таких сис-
тем подтверждается опытом. Теперь
необходимо указать способ нахожде-
ния таких систем отсчета. Это можно
сделать лишь в результате изучения
хода физических процессов в различ-
ных системах отсчета, движущихся
друг относительно друга.
Из многочисленных опытов следует:
во всех системах координат, движу-
щихся равномерно поступательно и
прямопинейно относительно сферы не-
подвижных звезд и, следовательно,
друг относительно друга, все механиче
ские явления протекают одинаково.
Предполагается, что поля тяготе-
ния пренебрежимо малы. Такие систе-
мы координат называются инерциаль-
ными, поскольку в них справедлив
закон инерции Ньютона: тепло, уда-
ленное достаточно далеко от других
тел, движется относительно таких сис-
тем координат равномерно и прямо-
линейно.
Утверждение, впервые высказанное
Г Галилеем, о том, что во всех инер-
циальных системах координат механи-
ческие явления протекают одинаково,
называется принципом относительно
сти Галилея. В дальнейшем в резуль-
§11. Преобразования Галилея 63
тате изучения других явлений, в част-
ности электромагнитных, справедли-
вость этого положения была признана
для любых явлений В таком общем
виде оно называется принципом отно-
сительности специальной теории отно-
сительности или просто принципом от-
носительности.
В настоящее время он с большой
точностью экспериментально доказан
для механических и электромагнитных
явлений. Тем не менее принцип относи-
тельности является постулатом, т. е.
основополагающим допущением, выхо-
дящим за пределы экспериментальной
проверки. Это обусловлено двумя об-
стоятельствами.
Во-первых, в пределах изучаемого
круга физических явлений эксперимент
позволяет проверить утверждение
лишь с определенной точностью, до-
ступной измерениям на данном этапе
развития науки. Утверждение же носит
абсолютный характер, т. е. предпола-
гает, что при сколь угодно большом
повышении точности результаты экс-
перимента будут находиться в согла-
сии с утверждением. Ясно, что это не
может быть проверено эксперименталь-
но, потому что на каждом данном эта-
Галилей Галилео
(1564—1642),
итальянский ученый.
Основоположник
современной механики:
выдвинул принцип
относительности,
установил
законы инерции,
свободного падения,
сложения движений и. др.
Построил
первый телескоп
и сделал ряд
астрономических
открытий. Активно
защищал
гелиоцентрическую
систему, за что был
подвергнут суду
инквизиции (1633)
пе развития науки эксперименты могут
быть выполнены лишь с конечной точ-
ностью. Во-вторых, неизвестны физиче-
ские явления, которые в настоящее
время не открыты. Утверждение о том,
что все явления, которые будут откры-
ты в будущем, подчиняются принципу
относительности, есть также выход за
пределы эксперимента. Поэтому прин-
цип относительности является постула-
том и всегда в будущем останется та-
ковым. Это не умаляет его значения.
Все научные понятия, законы, теории
выработаны для определенного круга
физических явлений и справедливы в
определенных пределах. Выход за пре-
делы их применимости не делает эти
понятия, законы, теории и т. д. непра-
вильными. Он лишь указывает грани-
цы, условия и точность их применимо-
сти. Прогресс науки как раз и состоит
в выходе за пределы применимости
существующих теорий.
11. Преобразования Галилея
Обсуждается роль инвариантов преобразо-
ваний в физике и анализируются инвари-
анты преобразований Галилея
Преобразования Галилея. Движущая-
ся система координат (см. рис. 29)
в каждый момент времени занимает
определенное положение относительно
неподвижной. Если начала обеих сис-
тем координат совпадают в момент
/ = 0, то в момент t начало движу-
щейся системы координат находится в
точке x = vt неподвижной системы.
Преобразования Галилея предпола-
гают, что для координат и времени
систем (х, у, z) и (%', у', zz) в каждый
момент существует такое соотношение,
какое существовало бы между ними,
если бы эти системы в данный момент
покоились друг относительно друга,
т. е. преобразования координат сводят-
ся к геометрическим преобразованиям,
64 3. Преобразования координат
которые были уже рассмотрены, а вре-
мя является одним и тем же, т. е.
х'=х—vt, у'=у, z'=z, t'=t. (11.1)
Эти формулы называются преобразо-
ваниями Галилея.
Очевидно, что в качестве непод-
вижной системы можно было бы взять
систему К'. В системе координат К'
система /С движется со скоростью v
в направлении отрицательных значе-
ний х' т. е. с отрицательной скоро-
стью. Поэтому формулы преобразова-
ния в этом случае могут быть полу-
чены из (11.1) заменой штрихованных
величин на нештрихованные и заменой
V—>—v, т. е. имеют вид
x=x'+vt', у=у', z=z', t=t'.
(11.2)
Полезно заметить, что формулы (11-2)
сейчас были получены из (11.1) не
путем вычисления, т. е. не решением
уравнений (11.1) относительно не-
штрихованных величин, а путем приме-
нения к преобразованиям (11.1) прин-
ципа относительности. Конечно, те же
формулы (11.2) получаются из (11.1)
просто решением их как системы урав-
нений относительно нештрихованных
величин. Совпадение обоих результа-
тов означает, что уравнения (11.1) и **
** Инварианты преобразований представляют
то существенное в изучаемых объектах, что
не зависит от случайного выбора системы
координат, а действительно характеризует
свойства объекта.
Чем отличаются чисто геометрические пре-
образования координат от физических пре-
образований?
Если имеются различные системы отсчета, то
при каком условии преобразования связан-
ных с ними координат становятся геометри-
ческим преобразованием?
(11.2) не противоречат принципу отно-
сительности.
Инварианты преобразований. При
преобразовании координат различные
физические и геометрические величины,
вообще говоря, изменяют свои число-
вые значения. Например, положение
некоторой точки характеризуется тре-
мя числами (xi, £/i, Zi). Прй изменении
системы координат эти числа меняют-
ся. Ясно, что они характеризуют не
какое-либо объективное свойство точ-
ки, а лишь положение точки относи-
тельно конкретной системы координат.
Если величина не изменяет своего
числового значения при преобразова-
нии координат, то это означает, что
она имеет объективное значение, неза-
висимое от выбора той или иной систе-
мы координат. Такие величины отра-
жают свойства самих изучаемых явле-
ний и предметов, а не отношения этих
явлений и предметов к системе коорди-
нат, в которой они рассматриваются.
Величины, числовые значения которых
не изменяются при преобразовании
координат, называются инвариантами
преобразований. Они имеют первосте-
пенное значение в физической теории.
Поэтому необходимо изучить инва-
рианты преобразований Галилея.
Инвариантность длины. Пусть в
системе координат К' находится стер-
жень, координаты концов которого
(xi, у'\, zi) и (Х2, 1/2, 22). Это означает,
что длина стержня в этой системе равна
I = / № — *1 )2 + (i/2 — I/l)2 + (А — Z1)2
В системе координат К стержень дви-
жется поступательно и все его точки
имеют скорость v. Длиной движуще-
гося стержня, по определению, назы-
вается расстояние между координата-
ми его концов в некоторый момент
времени. Таким образом, для измере-
ния длины движущегося стержня необ-
ходимо одновременно, т. е. при одина-
ковых показаниях часов неподвижной
§11. Преобразования Галилея 65
системы координат, расположенных в
соответствующих точках, отметить по-
ложение концов стержня. Пусть засечки
положения концов движущегося стер-
жня сделаны в неподвижной системе
координат в момент tQ и характери-
зуются координатами (xi, i/i, Zi) и (х,
г/2, г). Согласно формулам преобразо-
вания (11.1), координаты и время в
движущейся и неподвижной системах
связаны следующими соотношениями:
Инвариантность интервала време-
ни. Инвариантность интервала времени
доказывается на основании формулы
преобразования t' = t. Пусть в движу-
щейся системе координат произошли
события в некоторые моменты t\ и t2.
Интервал времени между этими собы-
тиями
Х1=Х1 — vto,
yi=yi,
. 21 = Z2,
t\ = /о,
X2 — X2— Vto,
У 2 = у 2,
22 = 22,
й = ^о- (11-3)
bt' = t'2-t\. (11.5)
В неподвижной системе координат
эти события на основании (12.2) про-
изошли в моменты t{ = t\ и /2 = й; сле-
довательно, интервал между ними
M=t2 — ti=t'2— = (11.6)
Отсюда следует
Х2 — Х1=Х2 — XI, Г/2 — У\=У2 — У\,
z'2— Zi = Z2 — 21,
поэтому
/= /(х2—xf)2+(«/2— i/f)2+(^— zf)2=
= /(х2—Х1)2+(У2—yi)2+(z2—Zi)2=/',
(11.4)
т. е. длина стержня в обеих системах
координат одинакова. Это позволяет
утверждать, что длина является инва-
риантом преобразований Галилея.
Абсолютный характер понятия од-
новременности. Обратим внимание на
последнюю строчку в формуле (11.3):
эти равенства показывают, что в тот
момент, когда засекались концы дви-
жущегося стержня в неподвижной
системе координат, часы, расположен-
ные в тех точках движущейся системы
координат, с которыми совпадают кон-
цы стержня, показывают одно и то же
время. Это является следствием фор-
мулы преобразования времени от од-
ной системы координат к другой в виде
Г = t. Она говорит, что события, одно-
временные в одной системе, одновре-
менны и в другой, т. е. утверждение
об одновременности двух событий име-
ет абсолютный характер, независимый
от системы координат.
Таким образом, можно сказать, что
интервал времени является инвариан-
том преобразований Галилея.
Сложение скоростей. Пусть в систе-
ме координат К' движется материаль-
ная точка, зависимость координат ко-
торой от времени описывается форму-
лами
x'=x'(/'), y' = y'(t'\ z'=z'(t'), (11.7)
а проекции скорости равны
dx'
"dF’
“у
At' ’
uz
dz'
df
(H-8)
В неподвижной системе координат на
основании (11.2) координаты этой точ-
ки изменяются со временем по закону
х(/)=х,(/') + vt', z(t)=z'(t'\
y(t)=y\t')f > t=t', (11.9)
а проекции ее скорости даются равен-
ствами
dx dx' . d/'
dF==-7r+u^7
= Ux-{- V.
и. — — - d/ — . d/ — U'
Uy At df At'
Az Az' dz' z
ft —
г d/ d/ df 2’
(11.10)
3—853
66 3. Преобразования координат
которые являются формулами сложе-
ния скоростей классической нереляти-
вистской механики.
Инвариантность ускорения. Диффе-
ренцируя равенства (11.10) с учетом
того, что d/=df, получаем:
&_х_ &2х' (\2У d2y' d2z d2z'
~d?" d/7^’ ~d?~ tf*"'
(11.11)
Эти формулы показывают, что ускоре-
ние инвариантно относительно преоб-
разований Галилея.
12. Постоянство скорости света
Излагаются этапы развития взглядов на ско-
рость света, приведшие к утверждению ее
постоянства.
Экспериментальная проверка справед-
ливости преобразований Галилея.
Справедливость преобразований Гали-
лея может быть проверена сравнением
следствий из них с экспериментом.
Важнейшим следствием является фор-
мула сложения (11.10). Именно про-
верка этой формулы показала ее при-
ближенный характер. Отклонения от
нее тем значительнее, чем больше ско-
рость. Особенно они велики при скоро-
стях, близких к скорости света. Эти
отклонения впервые были открыты при
исследовании скорости света, поведе-
ние которой с точки зрения классиче-
ской физики оказалось не только
странным, но и необъяснимым. Поэ-
тому необходимо прежде всего рас-
смотреть вопрос о скорости света.
Развитие взглядов на скорость све-
та. Античные мыслители имели о свете
представления двоякого рода. Платон
(427—347 до н. э.) придерживался
теории зрительных лучей, которые ис-
ходят из глаза и как бы «ощупывают
предметы».. Демокрит (460—370 до
н. э.) был сторонником теории атомов
истечения, которые попадают от пред-
метов в глаз. Аристотель (384—322 до
н. э.) также придерживался теории
истечения. Однако геометрический ха-
рактер, приданный оптике Евклидом
(300 г. до н. э.), установившим учение
о прямолинейном распространении лу-
чей света и законы отражения, делал
обе точки зрения практически эквива-
лентными. В дальнейшем получила
перевес точка зрения атомов истече-
ния, при этом считалось, что свет
распространяется с очень большой ско-
ростью и даже мгновенно. Это убежде-
ние базировалось на аналогии с поле-
том стрелы из лука: траектория стрелы
тем прямее, чем больше скорость
стрелы.
Основоположник новой физики Га-
лилей считал скорость света конечной,
но не имел о ней никакого реального
представления, пытаясь измерить ее
заведомо непригодными методами. Де-
карт (1596—1650) выдвинул новую
точку зрения на свет, согласно которой
свет есть давление, передаваемое через
среду с бесконечной скоростью. Таким
образом, Декартом ясно высказывает-
ся мысль о необходимости среды для
передачи света. Гримальди (1618—
1660) и Гук (1625—1695) предложили
волновую точку зрения на свет: свет
есть волновое движение в однородной
среде. Но истинным создателем вол-
новой теории света явился Христиан
Гюйгенс (1629—1695), изложивший
ее перед Парижской Академией наук в
1678 г. Ньютон (1643—1727) неохотно
высказывался о природе света, «не же-
лая измышлять гипотез». Однако он
явно принимал корпускулярную теорию
истечения, хотя и не настаивал на ее
безусловной правильности. В 1675 г.
Ньютон писал: «Свет, по моему мне-
нию, не следует определять ни как
эфир, ни как колебательное движение
эфира, но как нечто, распространяю-
щееся от светящихся тел. Это нечто
можно считать либо группой различ-
§12. Постоянство скорости света 67
ных перипатетических качеств, либо,
еще лучше, множеством крайне малых
и быстрых корпускул».
Определение скорости света Реме-
ром. Впервые скорость света была из-
мерена в 1676 г. Ремером. Наблюдения
затмений спутников Юпитера показа-
ли, что видимый период их обращения
уменьшается, когда Земля в своем го-
довом движении приближается к Юпи-
теру, и увеличивается, когда Земля
удаляется от него. Ремер понял, что
этот эффект связан с конечной скоро-
стью распространения света, и по ре-
зультатам наблюдений вычислил эту
скорость. На рис. 30 изображено поло-
жение спутника Юпитера в момент
послё затмения. Поскольку период об-
ращения Юпитера вокруг Солнца мно-
го больше периода обращения Земли
вокруг Солнца, при расчете можно
считать Юпитер неподвижным. Пусть
в некоторый момент t\ спутник Юпите-
ра выходит из его тени, что будет за-
фиксировано земным наблюдателем в
момент
Г^Л+si/c, (12.1)
где si — расстояние между Землей и
точкой выхода спутника из тени в мо-
мент наблюдения, с — скорость света.
После того как спутник совершит один
оборот вокруг Юпитера, выход его из
тени произойдет в момент /2, и земной
наблюдатель отметит это в момент
Г2=/2 + $2/с. (12.2)
Таким образом, согласно измерениям
земного наблюдателя, период обраще-
ния спутника
Тнабл = Т2- Тх = Тист + (s2 - si)/c, (12.3)
где TKZ4==(t2 — t\) — истинный период
обращения спутника. Таким образом,
вследствие разности расстояний от
Земли до Юпитера $2 — $i наблюдае-
мый период обращения спутника будет
отличаться от истинного. Если проде-
з*
31
Аберрация света
При наблюдении све-
та от звезды, распо-
ложенной перпенди-
кулярно скорости
движения Земли, ось
телескопа необходи-
мо ориентировать
под углом а к истин-,
ному направлению на
звезду из-за аберра-
ции света
лать большое число измерений этого
периода как при приближении Земли к
Юпитеру, так и при удалении от него,
то среднее значение полученных ре-
зультатов будет равно истинному пе-
риоду, поскольку при усреднении чле-
ны ($2 — s\)/c имеют различные знаки
и взаимно уничтожаются.
Зная ТИСт, можно по формуле (12.3)
определить скорость света:
С = ($2 — $1)/(Тнабл Т'ист) • (^2.4)
Величины S2 и si известны из астроно-
мических вычислений, поскольку дви-
жения Юпитера и Земли хорошо изу-
чены. Нетрудно, конечно, учесть и дви-
жение Юпитера Проделав соответ-
ствующие расчеты, Ремер получил зна-
чение скорости света с=214300 км/с.
68 3. Преобразования координат
Это было первое надежное измере-
ние скорости света с удовлетворитель-
ной для тех времен точностью.
Аберрация света (Брадлей, 1727).
Капли дождя в безветренную погоду
падают вертикально. Однако на стекле
движущегося горизонтально поезда
они оставляют наклонный след. Это
является следствием сложения верти-
кальной скорости капли и горизонталь-
ной скорости поезда. Со светом наблю-
дается аналогичное явление, называе-
мое аберрацией. В результате аберра-
ции света кажущееся направление на
звезду отличается от истинного (рис.
31) на угол а, называемый углом
аберрации. Из рисунка видно, что
tg a—v±/c, (12.5)
где v± — составляющая скорости дви-
жения Земли, перпендикулярная на-
правлению к звезде, с — скорость
света.
Аберрация, обусловленная скоро-
стью движения Земли вокруг Солнца,
называется годичной аберрацией све-
та. Максимальная годичная аберра-
ция, одинаковая для всех звезд, равна
amax = arctg (и,/с) = 20", 47, так как
v±Jc^ 10~4. Наличие линейной скорости
точек поверхности земли при ее вра-
щении вокруг оси обусловливает воз-
никновение суточной аберрации света.
Она пропорциональна косинусу гео-
графической широты точки наблюде-
ния и изменяется от 0", 13 на экваторе
до 0",00 на полюсе.
Для наблюдения аберрации необ-
ходимо уметь ориентировать телескоп
в неизменном направлении в простран-
стве. Пользоваться для этого светом
звезд нельзя, потому что свет от всех
звезд испытывает одинаковую аберра-
цию. Ориентировка телескопа в неиз-
менном направлении рассчитывается
на основе достаточно хорошо извест-
ных законов движения Земли вокруг
Солнца и вокруг оси. Брадлею удалось
измерить а и, зная v±, вычислить ско-
рость света, подтвердив результаты
Ремера в пределах примерно той же
точности.
Различные трактовки скорости све-
та. После того как установлена ско-
рость света, возникает вопрос о том,
от чего она зависит. Ответ на него в
рамках существовавших в то время
представлений был обусловлен взгля-
дом на природу света.
Если свет есть волнообразное дви-
жение однородной среды, то его ско-
рость относительно этой среды явля-
ется некоторой постоянной величиной,
определяемой свойствами среды. Ско-
рость же света относительно источника
и наблюдателя является переменной
величиной, зависящей от скорости ис-
точника или наблюдателя относительно
этой среды, и находится по правилу
сложения скоростей (11.10).
Если свет есть поток быстрых кор-
пускул, летящих от источника, то
естественно считать, что скорость этих
корпускул относительно источника име-
ет некоторое постоянное значение, а
относительно наблюдателя складывает-
ся согласно (11.10) со скоростью
наблюдателя относительно источника.
Идея так называемого Мирового
эфира и Абсолютной скорости. Авто-
ритет Ньютона принес победу корпус-
кулярной точке зрения на свет. Волно-
вая теория Гюйгенса, хотя и имела
сторонников, в продолжение свыше ста
лет была оттеснена на задний план.
Однако в начале XIX в. новые откры-
тия в оптике в корне изменили поло-
жение. В 1801 г. Юнг установил прин-
цип интерференции и на его основе
объяснил цвета тонких пленок. Одна-
ко эти представления Юнга, носив-
шие скорее качественный характер,
еще не смогли завоевать всеобщего
признания. Окончательный удар по
корпускулярной теории был нанесен в
1818 г. Френелем, решившим на основе
§12. Постоянство скорости света 69
волновой теории проблему дифракции.
Все попытки рассмотреть эту проблему
в рамках корпускулярной теории ока-
зались безуспешными. Идея работы
Френеля базировалась на объединении
принципа элементарных волн Гюйгенса
с принципом интерференции Юнга.
В течение нескольких лет после этого
корпускулярная теория была полно-
стью вытеснена из науки необщеприня-
той стала точка зрения на свет как
на волновой процесс в среде. Эта
среда, заполняющая всю Вселенную,
получила название «Мирового эфира».
Задача заключалась в том, чтобы по-
строить теорию света как теорию коле-
баний эфира. В дальнейшем роль эфи-
ра была расширена, он считался ответ-
ственным и за другие явления (тяготе-
ние, магнетизм, электричество). В ра-
боте по созданию теории Мирового
эфира приняли участие многие вы-
дающиеся ученые прошлого столетия.
Однако сейчас эти работы имеют лишь
исторический интерес и нет необходи-
мости их освещать. Мы напомнили о
Мировом эфире лишь для того, чтобы
пояснить понятие Абсолютной скорости
и методы ее поиска.
Для написания Мирового эфира и Абсо-
лютной скорости здесь используются заглавные
буквы для того, чтобы подчеркнуть ту исклю-
чительную роль в общей картине мироздания,
которая предназначалась для них наукой доре-
лятивистского периода.
Согласно только что изложенным
представлениям, эфир заполняет все
пространство, в котором движутся
материальные тела, и неподвижен в
этом пространстве. Скорость света
относительно эфира является постоян-
ной величиной, определяемой свой-
ствами эфира. Материальные тела
движутся относительно неподвижного
эфира, заполняющего все простран-
ство. Ясно, что это движение тел отно-
сительно эфира имеет абсолютный ха-
рактер и отличается от движения ма-
териальных тел друг относительно дру-
га. Действительно, если тело А дви-
жется относительно тела В со скоро-
стью v, то ее можно изменить, дей-
ствуя силой как на тело А, так и на
тело В. Изменить же движение тела А
относительно эфира можно только
приложением силы к нему, а не к
какому-либо другому телу. Скорость
тела относительно эфира была названа
«Абсолютной». Абсолютная скорость
данного материального тела не зави-
сит от движения других тел. Счита-
лось, что она имела бы смысл даже
тогда, когда все остальные тела пере-
стали существовать. Возникает лишь
вопрос, как ее измерить.
Идея измерения так называемой
Абсолютной скорости. Поскольку ско-
рость света относительно эфира по-
стоянна, то относительно материаль-
ных тел, движущихся в эфире, она
переменна и зависит от их скорости
относительно эфира. Измерив скорость
тела относительно света, или, что то
же самое, скорость света относительно
тела, можно определить скорость его
относительно эфира (скорость света
относительно эфира можно считать
известной). Ситуация здесь совершен-
но аналогична той, когда гребцы в
лодке, измерив скорость лодки отно-
сительно волн и зная скорость волн
относительно неподвижной воды, мо-
гут найти свою скорость относительно
воды.
Попытка таким способом опреде-
лить Абсолютную скорость Земли была
выполнена Майкельсоном и Морли
(1881, 1887).
Идея и схема опыта Майкельсона—
Морли. Идея опыта состоит в сравне-
нии прохождения светом двух путей,
из которых один совпадает с направле-
нием движения тела в эфире, а другой
ему перпендикулярен. Схема установки
изображена на рис. 32.
Луч монохроматического света, т. е.
70 3. Преобразования координат
32
Схема опыта Майкельсона—Морли в системе
координат, связанной с эфиром
На рисунке изображены последовательные положе-
ния интерферометра относительно эфира
света определенной частоты, из источ-
ника А падает на полупрозрачную
пластину В, расположенную под углом
45°. Здесь луч разделяется на два.
Эти два луча порождаются одним и тем
же падающим лучом, и поэтому волно-
образные движения осуществляются
в них не независимо, а как бы в такт
друг с другом. Если воспользоваться
аналогией с волнами на поверхности
воды, то в точке разделения колебания
в обеих волнах происходят совершенно
синхронно. Можно также представить
себе случай, что обе волны колеб-
лются по одинаковому закону, но одна
из них несколько запаздывает относи-
тельно другой. Иначе говоря, колеба-
ния в волнах происходят с постоянной
разностью фаз, т. е. если колебание
в одной из них в точке разделе-
ния описывается, например, функцией
sinco/, то колебание в другой представ-
ляется в виде sin (со/—|—ф), где ф=
=const — разность фаз рассматривае-
мых колебаний. Такие две волны на-
зываются когерентными. Таким обра-
зом, можно сказать, что на пластинке
В луч разделяется на два когерентных
луча: один отражается от пластинки и
направляется к зеркалу D, а другой
проходит через пластинку и направля-
ется к зеркалу F. От зеркал D и F лучи
света отражаются и возвращаются к
пластинке В. Луч, частично отразив-
шись от D и пройдя сквозь полупроз-
рачную пластинку В, встречается в
интерферометре Е с лучом, отразив-
шимся от зеркала F и пластинки В.
Таким образом, в интерферометре
встречаются два когерентных луча,
прошедших от места разделения два
различных пути. Ясно, что если эти
пути пройдены ими за одинаковое вре-
мя, то в точке встречи между их коле-
баниями имеется та же самая разность
фаз ф, как и в точке разделения.
Пусть, например, при разделении лу-
чей разность фаз ф = 0, т. е. колебания
в обоих лучах происходят в одной и
той же фазе. Эти лучи в точку встречи
в рассматриваемом случае также при-
дут в одной и той же фазе и усилят
друг друга — гребень одной волны
попадает на гребень другой. Если же
рассматриваемые пути пройдены лу-
чами за разное время, то в точке
встречи разность фаз колебаний из-
менится. Например, может случиться,
что гребень одной волны совпадет с
впадиной другой и они взаимно пога-
сят друг друга.
Изменение освещенности в зависи-
мости от разности фаз слагаемых
световых колебаний называется интер-
ференцией. Наблюдая интерференцию,
можно сделать заключение о разности
фаз пришедших в интерферометр ко-
герентных волн, а отсюда вычислить
время запаздывания одной волны отно-
сительно другой. Именно это и было
сделано Майкельсоном и Морли. Опти-
ческая часть этого эксперимента и
устройство интерферометра Майкель-
сона более подробно рассмотрены в
«Оптике».
Расчет разности хода лучей. Пусть
прибор движется в направлении «пле-
ча» ВF = Zi со скоростью v относитель-
но эфира (рис. 32). Скорость света
§12. Постоянство скорости света 71
относительно эфира обозначим через с.
При движении луча от В к F направ-
ления скоростей света и прибора сов-
падают. Следовательно, скорость света
относительно прибора равна с — и, а
время, за которое лучом пройден путь
от В к F,
(12.6)
С— V
т. е. дело происходит так, как будто
прибор «обдувается» «эфирным вет-
ром», имеющим скорость с — v. Время,
в течение которого пройден путь от
F к В после отражения,
поскольку свет движется навстречу
прибору и скорости складываются. Та^
ким образом, полное время на прохож-
дение пути до зеркала F и обратно
равно
+ (12.8)
Индексом (1) снабжаются промежутки
времени, за которые пройдены различные пути,
при рассматриваемой ориентации прибора отно-
сительно направления скорости, а индексом
(2) — в случае, если прибор ориентирован
так, что с направлением скорости совпадает
плечо BD.
Чтобы определить время прохожде-
ния BD'B', учтем, что для попадания
на зеркало D после отражения от В
скорость света должна разложиться на
две составляющие: v — вдоль направ-
ления движения прибора и с± — пер-
пендикулярную составляющую, на-
правленную от В к D. Поэтому можно
написать
с2 = с± + и2. (12.9)
Время, в течение которого лучом
пройден путь BD = l2,
Д1) _ _ Z2 _ /2 1
BD с
(12.10)
Скорость луча при движении в обрат-
ном направлении также равна с±, и,
следовательно, время прохождения пу-
ти DB то же самое. Поэтому полное
время на прохождение пути до зерка-
ла D и обратно равно
Х1)=_2к_ 1
с /1— и2/с2
(12-11)
Скорость движения Земли по орби-
те вокруг Солнца примерно 30 км/с.
Линейная скорость вращения ее при-
мерно в 60 раз меньше (приблизи-
тельно 500 м/с) и может не учиты-
ваться в сравнении со скоростью по
орбите. Следовательно, если прибор
стоит на Земле, величина (v/c)2
имеет порядок 10-8. Учитывая ма-
лость (v/c)2, можно выражения (12.8)
и (12.11) разложить в ряд по этой
величине и ограничиться первыми чле-
нами разложения. Получаем
(12.12)
Если в движущемся поезде производить
выстрелы с интервалом, например в 1 с, то
наблюдатель на полотне железной дороги,
к которому этот поезд приближается, будет
слышать их следующими друг за другом
чаще чем через секунду. Наблюдатель, от
которого поезд удаляется, будет слышать
более редкие выстрелы.
Во время дождя при отсутствии ветра, чтобы
не намокнуть, надо зонтик держать верти-
кально. Если же придемся бежать, то его
необходимо наклонить в направлении дви-
жения.
Следовательно, разность времени
хода лучей равна
Д/О)= /(•)(/,)_ ft)(/2)=
=t4(Z1—г)+т</'-/2)- (1213>
Теперь повернем прибор на 90° так,
чтобы плечо BD было коллинеарно,
а плечо BF — перпендикулярно ско-
рости. Разность хода лучей по различ-
72 3. Преобразования координат
ным путям в этом случае вычисляется
совершенно аналогично, но вместо пле-
ча /1 в формулы входит /2, и наоборот.
Учитывая, что 1\ во втором случае
направлено перпендикулярно скорости,
а /2 — параллельно, получаем
=—<1214>
Таким образом, полное изменение раз-
ности хода лучей по времени при по-
вороте прибора на 90° равно
д/=д/<2)—д/<п=_(12.15)
Результат опыта Майкельсона—
Морли. Истинное движение прибора
относительно предполагаемого эфира
неизвестно. Следовательно, ориентиро-
вать прибор каким-либо плечом по
направлению движения мы не можем.
Поэтому в опыте прибор медленно
вращается. Каково бы ни было направ-
ление движения прибора относительно
предполагаемого эфира, при повороте
на 360° каждое из плеч два раза сов-
падет с линией движения и два раза
примет положение, перпендикулярное
направлению движения, если считать,
что ось, вокруг которой вращается
прибор, перпендикулярна скорости
движения. Конечно, можно предста-
вить себе случай, когда ось вращения
прибора совпадает с направлением его
движения в эфире, и тогда никакого
¥* В опыте Майкельсона— Морли нельзя было
выбрать «плечи» одинаковой длины, потому
что это означало бы возможность измере-
ния расстояния в несколько метров с точ-
ностью до миллионных долей метра, что в
то время было невозможно.
Если бы была справедлива баллистическая
гипотеза, то кроме измерения наблюдаемого
движения двойной звезды должна была бы
наблюдаться переменность ее блеска. Дей-
ствительно, имеется много переменных
звезд, но закон изменения их блеска не
соответствует тому, который получается из
баллистической гипотезы.
изменения в разности хода
наблюдаться не будет. Но можно опыт
поставить так, чтобы изменить направ-
ление оси вращения прибора и опять-
таки добиться изменения разности
хода. В интерферометре наблюдаются
полосы интерференции. Если при по-
вороте прибора разность хода лучей
изменяется, то положение полос интер-
ференции в поле зрения должно изме-
ниться. По смещению полос можно
вычислить изменения разности хода
лучей по времени и тем самым опре-
делить скорость прибора относительно
предполагаемого эфира.
Такой опыт был проделан в 1881 г.
Майкельсоном и затем, с большей
точностью, в 1887 г. Майкельсоном и
Морли. Чтобы увеличить эффективное
расстояние, Майкельсон и Морли ис-
пользовали многократные отражения
луча от зеркал и добились увеличения
/1+/2 более чем до 10 м. Длины волн
видимого света заключены в пределах
(0,4 4-0,75) - 10“6 м. Величина запаз-
дывания, даваемая формулой (12.15)
и выраженная в виде смещения по
длине волны, равна
АХ=А^с=(/1Ч-/2)(г;2/с2)^ (Zi-+ /2) • Ю"8,
(12.16)
где учтено, что для скорости Земли
вокруг Солнца и2/с2^10“8. Относи-
тельная величина смещения интерфе-
ренционных полос равна
-^=(/1+/2)-10-8А
В опытах 1887 г. эффективное рас-
стояние /1+/2 было равно 11 м. По-
этому для Х=0,5-10"6 м ожидаемое
смещение А1/Х« 1/5, что много боль-
ше тех величин, которые без труда
наблюдаются. Фактически в опыте мож-
но было наблюдать смещения, кото-
рые соответствуют скоростям при-
бора относительно предполагаемого
эфира всего 3 км/с. Однако никакого
§12. Постоянство скорости света 73
эффекта обнаружено не было Полу-
чалось, что скорость света по всем на-
правлениям одна и та же и никакого
эфирного ветра нет. Затем опыт был
повторен с еще большей точностью в
1905 г., но дал по-прежнему отрица-
тельный результат. В дальнейшем,
вплоть до самого последнего времени,
опыт многократно повторялся различ-
ными исследователями и неизменно
приводил к заключению, что скорость
света во всех направлениях одна и та
же и никакого эфирного ветра нет.
С появлением лазеров точность опытов
удалось значительно повысить. В на-
стоящее время можно считать дока-
занным, что скорость эфирного ветра
во всяком случае меньше 10 м/с.
Интерпретация результатов опыта
Майкельсона—Морли в рамках пред-
ставлений об эфире. Опираясь на пред-
ставления об эфире было предложено
два выхода из сложившегося затруд-
нительного положения:
1. Можно предположить, что эфир
вблизи массивных тел, таких, как Зем-
ля, движется вместе с этими телами,
т. е. полностью увлекается их движе-
нием. Тогда, естественно, вблизи этих
тел никакого «эфирного ветра» не
должно наблюдаться.
2. Можно предположить, что раз-
меры материальных тел, движущихся
в эфире, не остаются постоянными,
а изменяются таким образом, что ожи-
даемой разности хода (12.15) не полу-
чается.
Предположение о полностью увле-
каемом эфире приходится отвергнуть
из-за его противоречия с другими на-
блюдаемыми фактами. В частности,
это предположение не удается согла-
совать с явлением аберрации света.
Второе предположение, выдвинутое
Лоренцем и Фитцджеральдом, успешно
объясняет отсутствие эффекта запа-
здывания. Сравнение формул (12.8)
и (12.11) показывает, что при 1\ =
= 1,2 = 1 время прохождения путей по
движению и перпендикулярно ему
будет одинаковым в том случае, если
длина плеча, совпадающего с направ-
лением движения, сократится и станет
равной
/'=/^1-и2/с2. (12.17)
Если предположить, что все матери-
альные тела сокращаются в направле-
нии движения в соответствии с форму-
лой (12.17), то отрицательный резуль-
тат опыта Майкельсона—Морли ста-
новится вполне понятным.
Такое объяснение, однако, не явля-
ется достаточно удовлетворительным,
потому что оно создает логически не-
удовлетворительное представление о
скорости света. Скорость света счита-
ется постоянной относительно эфира и
переменной относительно тел, движу-
щихся в эфире, но измерения этой
скорости относительно материальных
тел всегда дают один и тот же резуль-
тат. Короче говоря, скорость света от-
носительно материальных тел перемен-
на, но результаты ее измерения по-
стоянны. Ясно, что при такой ситуации
утверждение о переменности скорости
света совершенно бессодержательно и
подлежит устранению. Вместо него
приходится принять представление о
постоянстве скорости света. Если это
представление принять, то опыт Май-
кельсона— Морли объясняется есте-
ственным образом.
Однако сделаем следующее замеча-
ние. Строго говоря, из опыта Майкель-
сона— Морли и последующих анало-
гичных опытов не следует вывода о
постоянстве скорости света. Из них
лишь следует вывод о том, что средняя
скорость света в противоположных
направлениях в данной инерциальной
системе координат одинакова, и нельзя
сделать заключения о постоянстве ско-
рости света в различных направлениях.
74 3. Преобразования координат
Однако если принять однородность и изо-
тропность пространства и однородность времени
в инерциальных системах отсчета доказанными,
постоянство скорости света в различных направ-
лениях не может вызвать сомнений.
Баллистическая гипотеза. Имеется
и другой путь объяснения результата
опыта Майкельсона—Морли: можно с
самого начала отказаться от эфира и
считать, что свет является потоком
материальных корпускул, т. е. вернуть-
ся к первоначальной точке зрения
Ньютона. Естественно считать, что ско-
рость этих корпускул относительно
источника является постоянной вели-
чиной и складывается со скоростью ис-
точника по правилу параллелограмма.
Поскольку в баллистической гипо-
тезе скорость света относительно ис-
точника во всех направлениях имеет
одно и то же значение, то никакой
разности хода в опыте Майкельсона —
Морли ожидать нельзя. Поэтому бал-
листическая гипотеза естественным об-
разом объясняет результат этого опыта
и позволяет избежать совершенно
непонятного в рамках преобразований
Галилея положения о постоянстве
скорости света. Однако баллистиче-
ская гипотеза оказалась несостоятель-
ной.
Несостоятельность баллистической
гипотезы. Проверку баллистической
гипотезы можно сделать из астрономи-
ческих наблюдений двойных звезд, на
которые впервые указал де-Ситтер в
1913 г. Двойная звезда представляет
собой две сравнительно близко распо-
ложенные друг от друга звезды, дви-
жущиеся вокруг общего центра масс.
Как у античных мыслителей возникла идея
об очень большой скорости распространения
света? Правильны ли их рассуждения с точки
зрения современной физики?
Опишите схему эксперимента, который бы
позволил по методу Ремера измерить ско-
рость звука.
К чему сводится учет скорости движения
Юпитера в расчете скорости света по мето-
ду Ремера?
Если одна из звезд значительно мас-
сивнее другой, то можно считать, что
менее массивная звезда движется вок-
руг более массивной, которая покоит-
ся. Такие двойные звезды наблюдают-
ся в довольно большом числе. По
эффекту Доплера можно измерить
скорость звезд И вычислить элементы
орбиты. Оказывается, что компоненты
двойной звезды движутся по эллипти-
ческим орбитам в соответствии с зако-
нами Кеплера, т. е. между ними дей-
ствуют силы тяготения, убывающие
обратно пропорционально квадрату
расстояния между компонентами.
Каких-либо странностей в движе-
нии компонент двойных звезд не на-
блюдается. Между тем, если бы была
справедлива баллистическая гипотеза,
то движение двойных звезд представ-
лялось бы весьма странным.
Пусть наблюдение двойной звезды
ведется с достаточно большого расстоя-
ния $. Для простоты будем считать,
что менее массивная звезда движется
по окружности со скоростью v вокруг
более массивной, которую можно счи-
тать неподвижной (рис. 33), и имеет
период обращения Т. Луч света, испу-
щенный в тот. момент, когда звезда
находилась в точке В (верхнее поло-
жение на рис. 33) и двигалась от
наблюдателя, будет распространяться
в направлении наблюдателя со скоро-
стью с — v. Испущенный в момент Л,
он достигнет глаза наблюдателя в мо-
мент
n=Zi+s/(c—и), (12.18)
где s — расстояние от звезды до наб-
людателя. Через половину периода об-
ращения Г/2 звезда испустит луч из
точки А (нижнее положение на
рис. 33), двигаясь по направлению к
наблюдателю. Скорость этого луча при
движении к наблюдателю равна c-f-v.
Следовательно, луч, испущенный в
точке А, достигнет глаза наблюдателя
§12. Постоянство скорости света 75
в момент
T2=ti + (Г/2) +s/ (c+v). (12.19)
Если расстояние s достаточно велико,
то этот луч, имея большую скорость,
может обогнать луч, испущенный в
точке В. Это произойдет на расстоя-
нии s, для которого Т2 = Т\. Нетрудно
найти это расстояние из формул
(12.18) и (12.19). На больших рассто-
яниях луч из А может обогнать луч,
испущенный из В на предыдущем обо-
роте, и т. д. Тогда наблюдатель, нахо-
дящийся на достаточно большом рас-
стоянии, увидит звезду одновременно в
нескольких точках орбиты.
Таким образом, если бы баллисти-
ческая гипотеза была справедливой, то
при наблюдении двойных звезд астро-
номы должны были бы видеть доволь-
но замысловатую картину. В действи-
тельности же ничего подобного нет.
Наблюдаемая картина получается
из предположения, что двойные звезды
движутся по законам Кеплера и ско-
рость света постоянна, а не складыва-
ется со скоростью источника, как этого
требует баллистическая гипотеза. Та-
ким образом, баллистическая гипотеза
оказывается опровергнутой.
Несостоятельность баллистической
гипотезы заставляет признать, что ско-
рость света не зависит от скорости ис-
точника света. Результат опыта Май-
кельсона — Морли показывает, что она
не зависит также и от скорости наблю-
дателя. Поэтому делается вывод, что
скорость света является постоянной ве-
личиной, не зависящей ни от скоро-
Как практически наблюдать аберрацию света
от звезды, если неизвестно истинное на-
правление на нее?
Почему скорость относительно эфира было
бы целесообразно назвать «Абсолютной»,
если бы существовал «Мировой эфир»?
В чем состоит неудовлетворительность ин-
терпретации результата опыта Майкельсо-
на— Морли с помощью сокращения масшта-
ба Фитцджеральда—Лоренца?
33
К доказательству несостоятельности баллистиче-
ской гипотезы
Если бы баллистическая гипотеза была справедлива,
то на достаточно большом расстоянии можно было
бы наблюдать звезду одновременно в нижнем и
верхнем положениях, что в действительности, никогда
не наблюдается
сти источника, ни от скорости наблю-
дателя.
Несовместимость постоянства ско-
рости света с привычными представ-
лениями. Постоянство скорости света
находится в глубоком противоречии с
привычными представлениями повсе-
дневного опыта и с формулами сложе-
ния скоростей (11.10), которые явля-
ются следствием преобразований Гали-
лея. Таким образом, можно сказать,
что преобразования Галилея (11.2)
противоречат экспериментальному
факту постоянства скорости света. Од-
нако это противоречие становится
заметным лишь для достаточно боль-
ших скоростей.
Представим себе поезд, который
движется со скоростью 100 км/ч отно-
сительно полотна железной дороги.
Если вдоль вагона в направлении дви-
жения поезда идет человек со ско-
ростью 5 км/ч относительно поезда, то
скорость этого человека относительно
полотна железной дороги равна
105 км/ч. Этот результат понятен и
полностью согласуется с привычными
представлениями о пространстве и
времени, выражением которых в рас-
сматриваемом случае является форму-
76 3. Преобразования координат
34
Схема опыта Физо
ла сложения скоростей классической
механики. Эксперимент неоднократно
подтверждал эту формулу.
Представим теперь ракету, которая
движется со скоростью 100 000 км/с
относительно Земли. Пусть в ракете в
направлении ее скорости перемещает-
ся некоторый предмет со скоростью
100 000 км/с относительно ракеты.
Спрашивается, какова будет скорость
этого предмета относительно Земли?
Если бы измерить ее, то получилось
бы значение около 164 000 км/с. Хотя
описанный опыт с ракетой не произво-
дился, но проводились многочисленные
другие опыты, которые показали, что
формула сложения скоростей (11.10)
не является правильной. При скорос-
тях, много меньших скорости света, эта
неправильность не замечается, по-
скольку отклонения от этой формулы
Каковы астрономические свидетельства не-
состоятельности баллистической гипотезы?
Как был истолкован результат опыта Физо
в то время, когда он был выполнен?
Почему утверждение о постоянстве скорости
света, имеющее столь многочисленные экспе-
риментальные подтверждения, является все
же постулатом?
чрезвычайно малы. Впервые в экспери-
менте неправильность формулы сложе-
ния скоростей была обнаружена в
середине прошлого столетия. Но в то
время ученые не смогли осознать этот
факт.
Идея опыта Физо. Задолго до того,
как возникло представление о посто-
янстве скорости света и был установ-
лен приближенный характер преобра-
зований Галилея, в физике был извес-
тен опыт, который указывал на стран-
ный закон сложения больших скорос-
тей, сравнимых со скоростью света.
Это был опыт Физо, выполненный в
1851 г.
ЛИдея опыта Физо состояла в изме-
рении скорости света в движущейся
материальной среде, например воде.
Пусть и'—с/п — скорость света в сре-
де, п — показатель преломления среды.
Если среда, в которой распространя-
ется свет, сама движется со скоро-
стью v, то скорость света относитель-
но покоящегося наблюдателя должна
быть u'±v в зависимости от того,
одинаково или противоположно на-
правлены скорости света и среды.
В своем опыте Физо сравнил скорости
лучей света в направлении движения
среды и против этого направления.
Схема опыта Физо изображена на
рис. 34. Монохроматический луч от ис-
точника А падает на полупрозрачную
пластинку В и разделяется на два ко-
герентных луча. Луч, отразившийся от
пластинки, проходит путь BKDEB (К.
D, Е — зеркала), а прошедший через
пластинку В — путь BEDKB, т. е. про-
тивоположно предыдущему. Первый
луч, возвратившись к пластинке В,
частично отражается от нее и попада-
ет в интерферометр F. Второй луч, воз-
вратившись к пластинке В, частично
проходит через нее и также попадает
в интерферометр F. Оба луча проходят
один и тот же путь, причем на участ-
ках BF и KD эти лучи проходят через
§ 12. Постоянство скорости света 77
жидкость, которая течет по трубе.
Если жидкость покоится, то пути обо-
их лучей совершенно эквивалентны и
время их прохождения в обоих направ-
лениях одно и то же, разницы никакой
нет.
Если же жидкость движется, пути
лучей не эквивалентны: скорость одно-
го из них на указанных участках на-
правлена по течению жидкости, а дру-
гого — против течения. Вследствие
этого возникает разность хода — один
из лучей запаздывает по сравнению с
другим. По интерференционной карти-
не можно определить эту разность хо-
да, а по ней вычислить скорость света
на участках с жидкостью, потому что
известны скорость света на остальных
участках и длина всех участков пути.
Вычисление разности хода лучей.
Введем обозначения: / — общая длина
участков света в жидкости; to — время,
в течение которого свет проходит весь
путь, исключая участки пути через
жидкость; //+) — скорость луча света
по течению жидкости; и(_) — против
течения. Эти скорости можно предста-
вить в виде:
и^=и' -\-kv, и^=и'—kv, (12.20)
где k — коэффициент, который требу-
ется определить в эксперименте. Если
k=l, то справедлива классическая
формула сложения скоростей (11.10).
Если же ^=/=1, то имеет место откло-
нение от этой формулы; Заметим, что в
этом эксперименте мы имеем дело с
очень большими скоростями, посколь-
ку для видимого света коэффициент
преломления воды примерно 1,3 и, сле-
довательно, скорость света относи-
тельно воды примерно 230 000 км/с.
Время, за которое первый и второй
лучи проходят весь путь, равно соот-
ветственно
t\ = to +1/ (и' + kv), t2 = to +I) (и!—kv).
(12.21)
Отсюда получаем, что разность хода
по времени
Д/=t2 - t\ = 2lkv/(u'2 — k2v2). (12.22)
Измерив по смещению интерферен-
ционных полос разность хода и зная
/, v, и', можно из этой формулы най-
ти k.
Результат опыта Физо. В опыте Фи-
зо было получено следующее значение
коэффициента k:
k = l-l/n2, (12.23)
где п — показатель преломления жид-
кости. Таким образом, скорости света
в жидкости и жидкости не склады-
ваются по формуле сложения скоро-
стей классической механики. С обы-
денной привычной точки зрения этот
результат столь же удивителен, как и
утверждение о постоянстве скорости
света в вакууме. Однако в те годы,
когда был выполнен опыт Физо, его
результат не вызвал удивления. Дело
в том, что Френель задолго до опыта
Физо показал, что материя, двужу-
щаяся в эфире, должна за собой лишь
частично увлекать эфир, и величина
этого увеличения в точности соответ-
ствует результату опыта Физо.
Лишь после создания теории отно-
сительности стало ясным, что в опыте
Физо впервые была экспериментально
доказана несправедливость классиче-
ского закона сложения скоростей и
преобразований Галилея.
Постулативный характер постоян-
ства скорости света. Утверждение о
постоянстве скорости света в вакууме,
т. е. независимость скорости света от
скорости источника и скорости наблю-
дателя, является естественным выво-
дом из многих экспериментальных
фактов. Выше были описаны лишь те
эксперименты и соображения, которые
исторически были первыми. В даль-
нейшем это утверждение выдержало
другие многочисленные эксперимен-
78 3. Преобразования координат
тальные проверки. Главным же его
подтверждением является согласие с
экспериментом всех тех выводов, кото-
рые из него следуют. Эти подтвержде-
ния очень многочисленны, потому что
вся современная физика больших ско-
ростей.и высоких энергий основывает-
ся на постулате постоянства скорости
света.
Тем не менее в своем абсолютном
виде утверждение о постоянстве скоро-
сти света является постулатом, т е.
допущением, выходящим за пределы
прямой экспериментальной проверки.
Это связано с конечной точностью
экспериментальных проверок, как это
было объяснено выше в связи с посту-
лативным характером принципа отно-
сительности.
13. Преобразования Лоренца
Дается вывод преобразований Лоренца ис-
ходя из принципа относительности и посту-
лата постоянства скорости света.
Постулаты. Поскольку преобразования
Галилея для достаточно больших ско-
ростей приводят к выводам, противоре-
чащим экспериментам, и постоянство
скорости света не является их следст-
вием, они не отражают правильно той
связи, которая существует для коорди-
нат и времени инерциальных систем
отсчета, движущихся друг относитель-
но друга. Необходимо найти дру-
гие преобразования, которые правиль-
но описывают экспериментальные фак-
ты и, в частности, приводят к посто-
янству скорости света. Эти преобразо-
вания называются преобразованиями
Лоренца. Они могут быть введены ис-
ходя из двух принципов, обоснование
которых было изложено в предыдущих
параграфах:
1) принципа относительности;
2) принципа постоянства скорости
света.
Оба эти принципа, хотя и под-
тверждены многочисленными экспери-
ментами, имеют характер постулатов и
поэтому иногда называются постула-
том относительности и постулатом по-
стоянства скорости света.
Теория пространственно-временных
соотношений, основанная на преобра-
зованиях Лоренца, называется теорией
относительности (специальной или
частной). Она была создана в основ-
ном трудами А. Эйнштейна (1879—
1955), А. Пуанкаре (1854— 1912) и
X. А. Лоренца (1853—1928). В разра-
ботку геометрической интерпретации
теории большой вклад внесен Г. Мин-
ковским (1864— 1909).
Линейность преобразования коор-
динат. Ориентировку движущихся сис-
тем координат чисто геометрическими
преобразованиями, сводящимися к
пространственным поворотам и перено-
сам начала координат в пределах
каждого из тел отсчета, можно всегда
привести к такой, которая изображена
на рис. 29. Поскольку скорости не
складываются по классической форму-
ле (11.10), можно ожидать, что время
одной системы координат не выражает-
ся только через время другой системы
координат, а зависит также и от коор-
динат. Поэтому в общем случае преоб-
разования имеют следующий вид:
х'=Ф1(х, у, z, t), у'=ф2(х, yt z, /),
г'=Фз(х, у, z, t), f=®4(x, у, z, t),
(13.1)
где в правых частях стоят некоторые
функции Фх, вид которых надо найти.
Общий вид этих функций определя-
ется свойствами пространства и време-
ни. При рассмотрении геометрических
соотношений в выбранной системе от-
счета и при измерениях в ней прини-
малось, что каждая точка ничем не от-
личается от любой другой точки. Это
означает, что начало системы коорди-
нат может быть помещено в любой
точке и все геометрические соотноше-
ния между любыми геометрическими
§13. Преобразования Лоренца 79
объектами при этом совершенно одина-
ковы с теми, которые получаются при
помещении начала координат в любую
другую точку.
Это свойство называется однород-
ностью пространства, т. е. свойством
неизменности характеристик простран-
ства при переходе от одной точки к
Другой.
Можно также в каждой точке про-
странства оси системы координат ори-
ентировать произвольным образом.
При этом соотношения между гео-
метрическими объектами также не
изменяются.
Это означает, что свойства прост-
ранства по различным направлениям
одинаковы. Такое свойство называется
изотропностью пространства.
Однородность и изотропность про-
странства являются его главными
свойствами в инерциальных системах
координат.
Время также обладает важнейшим
свойством однородности. Физически
это означает следующее. Пусть неко-
торая физическая ситуация возникает
в некоторый момент времени. В после-
дующие моменты времени она будет
каким-то образом развиваться. И пусть
такая же физическая ситуация возни-
кает в любой другой момент времени.
Если она в последующие моменты вре-
Лоренц Хендрик Антон
(1853—1928),
нидерландский физик,
создатель классической
электронной теории.
Разработал
электродинамику
движущихся сред
и вывел
преобразования координат,
которые явились
важным шагом на пути
создания теории
относительности
мени будет развиваться относительно
этого момента точно так же, как она в
первом случае развивалась относи-
тельно своего начального момента, то
говорят, что время однородно. Иначе
говоря,
однородность времени есть одина-
ковость развития и изменения данной
физической ситуации независимо от то-
го, в какой момент времени эта ситуа-
ция сложилась.
Из однородности пространства и
времени следует, что преобразования
(13.1) должны быть линейными. Для
доказательства рассмотрим бесконечно
малое изменение dx', т. е. разность
координат х' двух бесконечно близких
точек. В системе А им будут соответ-
ствовать бесконечно малые разности
координат dx, dy, dz и времени dt.
Из (13.1) можно вычислить полное из-
менение dx', связанное с изменениями
величин х, у, z, t, по формуле полного
дифференциала, известной из матема-
тики:
dx'=^dx+^-dy+
дх ду
+ -^dz + -^d/.
dz dt
(13-2)
Вследствие однородности пространства
и времени эти соотношения должны
быть одинаковыми для всех точек
пространства и для любых моментов
времени. А это означает, что величины
дФ1/дх, дФ\/ду, дФ\/дг, d^i/dt не
должны зависеть от координат и вре-
мени, т. е. являются постоянными. По-
этому функция Ф1 имеет следующий
вид:
Ф1 (х, у, z, t) =Aix-^-A2yd~^s^~{~^4^-l~
+А5, (13.3)
где Ai, А2, Аз, А4 и As— постоянные.
Таким образом, функция Ф1 (х, у, z, I)
является линейной функцией своих ар-
гументов Аналогично доказывается,
что вследствие однородности простран-
80 3. Преобразования координат
ства и времени и другие функции Ф2,
Фз и Ф4 в преобразованиях (13 1) бу-
дут линейными функциями от х, у, z, t.
Линейность преобразований следу-
ет также из того факта, что если
ускорение материальной точки в одной
инерциальной системе равно 0, то оно
равно 0 и в любой другой инерциаль-
ной системе. А сам этот факт является
прямым следствием определения инер-
циальных систем.
Преобразования для у и z. Точка
начала координат в каждой системе
задается равенствами х=г/=2=0,
х'=у' = z' = 0. Будем считать, что в
момент /=0 начала координат совпа-
дают. Тогда свободный член Д5 в ли-
нейных преобразованиях вида (13.3)
должен быть равен нулю и преобра-
зования для у и z запишутся следую-
щим образом:
у'=а 1 х+а2у+a^z+щ/,
z'=b\xA-b2y + b3,z-\-b4t. (13.4)
Ориентировка осей координат указа-
на на рис. 29: ось Y' параллельна
оси У, а ось Z' — оси Z. Поскольку ось
X' все время совпадает с осью X, из ус-
ловия у=0 всегда следует равенство
z/'=0, а из условия z=0— равенство
z' = 0, т. е. должно быть
0=6Z 1j— —|— 6Z4/,
0=b ixA~ Ь2уА~ ^4^ (13.5)
при любых X, у, Z и t. Это возможно
лишь при условии
«1=«3=^4=о, /?1=/?2=^3=0. (13.6)
Поэтому преобразования для у и z
принимают следующий простой вид:
у'-=ау, z'=az, (13.7)
где учтено, что из-за равноправности
осей Y и Z относительно направления
движения коэффициенты в преобразо-
ваниях должны быть одинаковыми:
уз=Ьз=а. Коэффициент а в формуле
(13.7) показывает, во сколько раз дли-
на некоторого масштаба в системе
координат К' больше, чем в системе К.
Перепишем (13.7) в виде
У=-^У'> 2=vz'- <13-8)
Величина 1/а показывает, во сколько
раз длина некоторого масштаба в сис-
теме К больше, чем в системе ДЛ Со-
гласно- принципу относительности, обе
системы координат равноправны и по-
этому при переходе от одной системы к
другой длина масштаба должна изме-
няться так же, как и при обратном
переходе. Поэтому в формулах (13.7)
и (13.8) должно соблюдаться равенст-
во 1/а=а, откуда получаем а=1 (ма-
тематически возможное решение
а=—1 исключается ввиду выбранной
ориентации осей: положительные на-
правления осей У, Z и У7, Z' совпада-
ют) . Следовательно, преобразования
для координат у и z имеют вид
У'=У, z' = z.
(13.9)
Преобразования для х и t. Посколь-
ку переменные у и z преобразуются
отдельно, переменные хи/ могут быть
связаны линейным преобразованием
только друг с другом. Точка нача-
ла движущейся системы координат
в неподвижной имеет координату
x=vt, а в движущейся системе — ко-
ординату х'=0. Поэтому вследствие
линейности преобразования должно
быть
х'=а(х—и/),
(13.10)
где а — коэффициент пропорциональ-
ности, который требуется определить
Совершенно аналогичные рассуж-
дения можно провести, приняв движу-
щуюся систему за покоящуюся. Тогда
в системе К' точка начала коорди-
§ 13. Преобразования Лоренца 81
нАт системы К имеет координату
х'±=—vt'9 поскольку в системе Д'
система Д движется в направлении
отрицательных значений оси X. Точка
начала координат системы К в системе
К характеризуется равенством х=0.
Следовательно, считая систему К' не-
подвижной, приходим вместо (13.10)
к преобразованию
x=a'(x'-\-vt'), (13.11)
где а' — коэффициент пропорциональ-
ности. Докажем, что согласно принци-
пу относительности а=а'.
Пусть некоторый стержень покоит-
ся в системе К' и имеет в ней
длину /. Это означает, что координаты
начала и конца стержня различаются в
этой системе на величину I:
х'2—х\=1. (13.12)
В системе Д этот стержень движется
со скоростью v. Длиной его считается
расстояние между двумя точками не-
подвижной системы, с которыми в один
и тот же момент времени совпадают
начало и конец движущегося стержня.
Засечем концы его в момент /0. На
основании формул (13.10) получим для
координат засечек х'\ и х2 следующие
выражения:
xi=a(xi — и/о), %2=а(х2—v/o). (13.13)
Следовательно, длина движущегося
стержня в неподвижной системе К
равна
Х2—Xi= (%2—х'1) /а=//а. (13.14)
Пусть теперь тот же стержень по-
коится в системе К' и имеет в ней
длину /. Следовательно, координаты
начала и конца стержня различаются
в этой системе на величину /, т. е.
х2—xi=L (13.15)
В системе /С', принятой за неподвиж-
ную, этот стержень движется со ско-
ростью — v. Чтобы измерить его длину
относительно системы К', необходимо
засечь начало и конец этого стержня в
некоторый момент /6 этой системы. На
основании формулы (13.11) имеем
Х1=ах (xf+^6), х2=а' (хг+^о).(13.16)
Следовательно, длина движущегося
стержня в системе Д', принятой за не-
подвижную, равна
Х2—Х1=(Х2—Xi) /а'=//а'. (13.17)
Согласно принципу относительности,
обе системы равноправны и длина од-
ного и того же стержня, движущегося
в этих системах с одинаковой ско-
ростью, должна быть одинаковой. По-
этому в формулах (13.14) и (13.17)
должно быть //а=//а', т. е. а=а', что
и требовалось доказать.
Теперь воспользуемся постулатом
постоянства скорости света. Пусть в
момент времени, когда начала коорди-
нат совпадают и когда часы, находя-
щиеся в началах координат, показыва-.
ют время/=/'=0,из них испускается
световой сигнал. Распространение све-
та в системах координат К' и К описы-
вается равенствами
x'=ct', x=ct, (13.18)
в которых учтено, что в обеих систе-
мах скорость света имеет одно и то же
значение с. Эти равенства характери-
зуют положение светового сигнала,
распространяющегося в направлении
осей X, X' в любой момент времени
каждой из систем координат. Подстав-
ляя (13.18) в формулы (13.10) и
(13.11) с учетом того, что а=а', нахо-
дим
ct'=at(c—v), ct=at'(c-\-v). (13.19)
Умножая левые и правые части этих
равенств друг на друга и сокращая на
f/, получаем
a=l//l-v2/c2. (13.20)
82 3. Преобразования координат
Из равенства (13.11), используя
(13.10), имеем
vt'=—— х'=——а(х—v/)=
а а 7
—avt + х(---а), (13.21)
откуда с учетом (13.20)
(13.22)
Преобразования Лоренца. Преобра-
зования (13.9), (13.10) и (13.22) свя-
зывают между собой координаты си-
стем, движущихся относительно друг
друга со скоростью v. Они называются
преобразованиями Лоренца. Выпишем
их здесь еще раз:
, у'=у, 2'=2,
(13.23)
Обратные преобразования согласно
принципу относительности имеют такой
же вид, изменяется лишь знак ско-
рости:
У хЧ-уГ /1 — V2 /с2 у—у'. 2=2',
1 /'+(г'№)у<
/1 — V-/C2
(13.24)
Принципа относительности и постоянства
скорости света недостаточно, чтобы полу-
чить преобразования Лоренца. Необходимо
еще принять во внимание однородность,
изотропность пространства и однородность
времени.
Преобразования Лоренца можно получить
также исходя из других требований, напри-
мер из требования инвариантности уравне-
ний Максвелла относительно линейного пре-
образования пространственных координат и
времени.
Переход от (13.23) к (13.24) можно
произвести и без использования прин-
ципа относительности. Для этого надо
равенства (13.23) рассмотреть как си-
стему уравнений относительно нештри-
хованных величин и решить ее. В ре-
зультате получаются выражения
(13.24). Рекомендуем проделать это
вычисление в качестве упражнения.
Преобразования Галилея как пре-
дельный случай преобразований Ло-
ренца. В предельном случае скоростей,
много меньших скорости света, в пре-
образованиях Лоренца можно пре-
небречь величинами порядка и/с<1
в. сравнении с единицей, т. е. все вели-
чины v/c в этих преобразованиях по-
ложить равными нулю. Тогда они све-
дутся к преобразованиям Галилея
(11.1). При малых скоростях различие
между преобразованиями Лоренца и
Галилея незначительно и поэтому не-
точность преобразований Галилея дол-
го оставалась незамеченной.
Четырехмерные векторы. Четырех-
мерные векторы определяются относи-
тельно преобразований Лоренца (13.23),
которые в обозначениях xi = x, хъ = у,
хз = z, Х4 = id можно представить в
виде, аналогичном (6.20):
X'X~'^7F:- 2 / 5 X1 + ° * х2 + 0 • %з +
V1— v2/с2
, iv/c
-^2==0 • Xi -|-1 • Х2 Ч~ 0 • Хз~р0 • Х4,
Хз=0 • Х1+0 • Х2-|- 1 ’Хз-|-0’Х4,
*4~~7= / , 2 Н”0 • Х2 + 0 • Хз-f-
у 1— V2/с2
Ч---- 1 -х^
/1-^2 4 (13.25)
Следовательно, проекции четырех-
мерного вектора {Ль А2, Аз, долж-
§ 13. Преобразования Лоренца 83
ны преобразовываться в соответствии
с формулой
4
2 a«vA- (13.26)
Y=1
где коэффициенты аау определяются
матрицей преобразования (13.25):
1 уЛ—t>2/c2 0 0 iv/c /1—y2/c2
0 1 0 0
Clay 0 0 1 0
—iv/c ]/l— w2/c2 0 0 1 /1— v2/с2
(13.27)
Нетрудно прямой проверкой доказать,
что четырехмерная скорость характе-
ризуется следующими проекциями:
Ux . иу
U1 = / -~2 ^2 . ....’
уХ—иг/с2 уХ—иг/с
uz ic
и‘~Ут=^ <1328>
где их, иу, uz — проекции трехмерной
скорости, и2 = их + и2у + и?. В этой
книге мы не будем использовать четы-
рехмерную символику для изложения
специальной теории относительности,
а этот пример приведен лишь для того,
чтобы показать, каким образом с по-
мощью определения физического век-
тора, данного в § 6, можно анализи-
ровать векторную природу физических
величин в четырехмерном пространстве
времени.
Если совокупность некоторых четы-
рех величин образует четырехмерный
вектор, то их преобразование при
переходе от одной системы координат
к другой осуществляется по формулам
(13.26) с коэффициентами апу, опре-
деляемыми матрицей (13.27). Непо-
средственной проверкой легко убедить-
ся, что коэффициенты аау удовлетворя-
ют следующим важным соотношениям:
2 --- 1
а= 1 ( 1
4 (О
2 1 бур \
<1=1 Ц
при
при у=р;
при
при у=р.
(13.29)
Преобразования координат с коэф-
фициентами аау, удовлетворяющими
соотношениям (13.29), называются ор-
тогональными. Наиболее важное свой-
ство этих преобразований состоит в
том, что при их осуществлении сохра-
няется значение квадрата четырехмер-
ного вектора, который определяется
как сумма квадратов проекций этого
вектора:
S Al (13.30)
«= 1
Чтобы доказать это утверждение, вы-
разим квадрат четырехмерного вектора
в системе К' через его проекции в
системе /(:
4
2 Да 2 Clay А у^ацД ц
а= 1
= 2 2 аауааи= 2 ДтДибти=
Y, Р а Y, И
=2^?. (13.31)
Это означает, что квадрат четырехмер-
ного вектора является инвариантом
преобразований (13.26):
2 Д2=шу. (13.32)
Рассмотрим пример использования
четырехмерных векторов для решения
некоторых задач. В механике важное
значение имеет вектор энергии — им-
84 3. Преобразования координат
пульса частицы, проекции которого
образуются по следующей схеме:
(Рь р2, рз, Pi)=(Px, Ру, Pz, 1Е/с), (13.33)
где рх, ру, pz — проекции трехмерных
импульсов; Е — полная энергия части-
цы; i — мнимая единица.
С учетом (13.33) преобразования
(13.26) дают следующие формулы:
, рх — vE/с2 г г
Рх = ^у==^==, Ру = Ру, Pz = Pz,
y\ — v2/c2
pr__ E—vpx
/1 — У2/с2.
(13.34)
Соотношение (13.32) для четырех-
мерного вектора энергии — импульса
частицы (13.32) принимает вид
р2 — Е2/с2=inv. (13.35)
Значение этого инварианта удобнее
всего вычислить для покоящейся ча-
стицы, когда р=0, Е=Е0 — энергия
частицы, импульс которой равен нулю.
В дальнейшем будет показано, что
Ео=тоС2, где то — масса покоя части-
цы. Из (13.32) получаем
inv = —Ео/с2=—тос2. (13.36)
Равенство (13.35) принимает вид р2 —
— Е2/с2=—т2с2. Отсюда следует важ-
ная формула, связывающая полную
энергию частицы с ее импульсом:
Е=с /р^+тос5- (13.37)
Таким образом, формулы (13.34)
и (13.37) являются следствием утвер-
ждения, что совокупность величин
(13.33) образует четырехмерный век-
тор без каких-либо дополнительных
предположений об этих величинах.
Задачи
3.1. Самолет пролетает расстояние I в северном направлении за время t\ и в обратном направлении
за время /г, так как имеется северо-восточный ветер. Найти скорость самолета при отсутствии
ветра и скорость ветра.
3.2. При отсутствии ветра скорость самолета v и дальность полета I. Какова дальность полета,
если имеется встречный ветер со скоростью и, направленной под углом ф к траектории самоле-
та относительно земли?
Ответы
3.1. /(l/7?+l/Zi)!/7/2 , Z(l//2—- 1/Z,)/ /Г. 3.2. /(у2-«2)/[и(и2-и251П2ф),/2].
14. Относительность одновременности
Обсуждаются относительность одновременности
и инвариантность интервала.
Определение. Два события, проис-
шедшие в различных точках Xj и х2
системы координат, называются одно-
временными, если они происходят в
один и тот же момент времени по ча-
I сам этой системы координат. В каждой
из точек момент события фиксируется
по часам, находящимся в соответст-
* вующей точке. Будем считать, что со-
бытия произошли одновременно в не-
подвижной системе координат в мо-
мент Zo в точках xi и х%.
В движущейся системе координат
эти события произошли в точках х\ и
Х2 в моменты t\ и причем t\ и яв-
ляются показаниями часов движущей-
1 ся системы координат, расположенных
соответственно в точках х\ и х£ этой
* системы в те моменты, когда в каждой
из точек произошло рассматриваемое
событие. Связь между штрихованными
и нештрихованными величинами дает-
ся преобразованиями Лоренца (13.23):
/__ XI—,__________ Х2 —
/1—и2/с2 ’ /1— у2/с2 ’
(14.1)
,, _ to—(v/c2)x{ ., _ /о—(е>/С2)%2
]/ 1—у2/с2 /1—и2/с2
Поскольку события происходят в
точках на оси X, координаты у, z
в обеих системах равны нулю. Из
(14.1) видно, что в движущейся си-
стеме координат эти события происхо-
дят не одновременно /!), они раз-
делены интервалом времени
. (14.2)
У 1— V /с
Таким образом, события, одновремен-
ные в одной системе координат, оказа-
лись неодновременными в другой.
Понятие одновременности не имеет
абсолютного значения, независимого
от системы координат Чтобы утверж-
4
СЛЕДСТВИЯ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
ЛОРЕНЦА
Экспериментальное
подтверждение следствий преобразова-
ний Лоренца является подтверждением
основ специальной теории относитель-
ности.
14
Относительность одновременности
15
Длина движущегося тела
16
Темп хода движущихся часов. Собственное
время
17
Сложение скоростей и преобразование
ускорений
86 4. Следствия преобразований Лоренца
35
Относительность одновременности
Часы неподвижном системы координат, расположен-
ные в разных точках, в которых одновременно про-
изошли некоторые события, показывают момент со-
вершения события в одно и то же время. В движу-
щейся системе координат соответствующие часы
показывают разное время в момент совершения
событий, т. е. там события не одновременны
дение об одновременности каких-либо
событий имело определенное содержа-
ние, необходимо указать, к какой си-
стеме координат это утверждение от-
носится.
Вопрос об относительности одно-
временности и физическом смысле
преобразований Лоренца был разре-
шен Эйнштейном.
Относительность одновременности
можно продемонстрировать также
следующим образом.. Показания часов
неподвижной системы координат, рас-
положенных в различных точках оси X
(рис. 35), сравниваются с показания-
ми часов движущейся со скоростью v
системы координат, расположенных в
точках оси X'. На рис. 35 изображено
время в различных точках движущей-
ся системы координат в момент t = О
неподвижной системы.
Относительность одновременности и
причинность. Из формулы (14.2) вид-
но, что если %1 > %2, то в системе коор-
динат, движущейся в направлении по-
ложительных значений оси X(v>Q),
имеет место неравенство /£> fi, а в си-
стеме координат, движущейся в проти-
воположном направлении (и<С0),
</1. Таким образом, последователь-
ность одних и тех же событий в раз-
личных системах координат различна.
Спрашивается, не может ли случиться
так, что в одной системе координат
причина предшествует следствию, а в
другой, наоборот, следствие предшест-
вует причине? Ясно, что такая ситуа-
ция не может быть допущена в теории,
которая признает объективную роль
причинно-следственной связи в мире:
от перемены точки зрения на события
следствие и причина не могут менять-
ся местами.
Чтобы причинно-следственная связь
имела объективный характер и не за-
висела от системы координат, в кото-
рой она рассматривается, необходимо,
чтобы никакие материальные воздей-
ствия, осуществляющие физическую
связь событий, происходящих в раз-
личных точках, не могли передаваться
со скоростью, большей скорости света.
Для л доказательства рассмотрим
два события в покоящейся системе
координат. Пусть событие в точке xi,
происшедшее в момент Л, будет причи-
ной события в точке X2>xi, проис-
шедшего в момент Скорость
передачи «влияния» от точки xi к точ-
ке Х2 обозначим ивл. Очевидно, по оп-
ределению скорости имеем
^^-=<2-/,. (14.3)
^вл
В движущейся системе координат эти
события произошли в некоторых точ-
ках X] и Х2 в моменты t\ и t'z. По фор-
муле (13.22) можно написать
,, *2—/1—ОД2Х*2—*1)
12--Ц =
|/1— и2/с2
^1—1>2/С2 \ с
(14.4)
где в последнем равенстве величина
Х2 — xi исключена с помощью (14.3).
Формула (14.4) показывает, что если
1—^г^вл<С0, (14.5)
то в движущейся системе координат
§ 14. Относительность одновременности 87
следствие наступает раньше причины.
Но это невозможно. Поэтому всегда
должно быть 1 — (товл/г2) >0 или
1»вл<-^-с. (14.6)
Так как преобразования Лоренца
допускают для v значения, сколь угод-
но близкие к скорости света, но не
превосходящие ее (тогда преобразова-
ния перестают быть вещественными),
то требование (14.6) должно быть за-
писано следующим образом:
(14-7)
Таким образом, передача физического
влияния из одной точки в другую не
может происходить со скоростью, боль-
шей скорости света. При этом условии
причинная связь событий носит абсо-
лютный характер: не существует си-
стемы координат, в которой причина и
следствие меняются местами.
Эйнштейн Альберт
(1879—1955),
один из основателей
современной физики.
Родился в Германии,
с 1893 г. жил
в Швейцарии, с 1914 г.
— в Германии, в 1933 г.
эмигрировал в США.
Один из создателей
частной теории
относительности.
Основоположник общей
теории относительности.
Автор
фундаментальных трудов
по квантовой теории
света (установил
понятие фотона,
законы фотоэффекта,
предсказал
индуцированное
излучение). Развил
молекулярно-
статистическую теорию
броуновского движения
и квантовую статистику
Инвариантность интервала. В § 11
было охарактеризовано значение ин-
вариантов преобразований для теории.
Инвариантами преобразования Гали-
лея являются длина тел и промежуток
времени между событиями. Именно по-
этому понятия длины и промежутка
времени играют такую большую роль
в классической физике.
Однако ни длина тел, ни проме-
жутки времени между событиями не
являются инвариантами преобразова-
ний Лоренца. Это означает, что они
зависят от системы координат. В сле-
дующих параграфах этот вопрос будет
более подробно рассмотрен. Здесь же
лишь отметим это обстоятельство, что-
бы перейти к анализу важного инва-
рианта преобразований Лоренца, кото-
рый называется пространственно-вре-
менным интервалом или просто интер-
валом.
Пусть события произошли в точке
(%1, £/1, 21) В момент fl И В точке (%2, У2,
2г) в момент t2. Интервалом между
этими событиями, или, как говорят
короче, интервалом между точками
(xi, у\, 21, Л) и (%2, У2, ^2, /г), называ-
ется величина s, квадрат которой оп-
ределяется формулой
s2= (%2 — Х1)2+ (У2—1/1)2 +
+(z2 —Z1)2 — с2(/2 — Л)2- (14.8)
Эта величина имеет во всех системах
координат одно и то же значение, т. е.
является инвариантом преобразований
Лоренца. Чтобы в этом убедиться,
преобразуем выражение (14.8) в систе-
ме координат К' по формулам (13.24).
Имеем:
v v *2——1'\)
X2—X i —--t=== ,
/1—u2/c2
У2—У\=У2—y'\,
Z2 — 21=22 — 21,
> f /2 —/f + (^/g2XX2—Xl)
/1 —u2/c2
88 4. Следствия преобразований Лоренца
Подставляя эти выражения в (14.8),
находим
s2=(x2 — Xi)2 + (y2—yi)2 +
+ (z2 — Zi)2 — c\t2 — t ])2=
=(^2 — X\)2 -J- (f/2 — y'\ )2 +
+ (Z2 — Zi)2 — c\t2 — t'i)2 = S'2.
Это доказывает, что квадрат интервала
является инвариантом: s2=s,2=inv.
Если рассматриваемые точки распо-
ложены бесконечно близко, то равен-
ство (14.9) доказывает инвариантность
квадрата дифференциала интервала:
ds2=dx2+dr/2+dz2—c2d/2=inv.
(14.10)
Просгранственноподобные и вре-
мениподобные интервалы. Обозначим
пространственное расстояние между
событиями через /, а промежуток вре-
мени между ними — через t. Квадрат
интервала s2=t2— c2t2 между этими
событиями является инвариантом.
Пусть в некоторой системе коорди-
нат события не могут быть связаны
причинно. Тогда для них l>ct и, сле-
довательно, s2\>0. Из инвариантности
интервала следует, что и во всех дру-
гих системах координат эти события
не могут быть соединены причинной
связью. Справедливо, конечно, и об-
Теория относительности не доказывает прин-
ципа причинности. Она исходит от того, что
он справедлив и должен выполняться во всех
системах координат. Отсюда получается ог-
раничение на значение скоростей, с кото-
рыми могут передаваться физические воз-
действия. Если интервал между событиями
пространственноподобен, то можно выбрать
такую систему координат, в которой собы-
тия происходят одновременна в различных
пространственных точках.
Если интервал между событиями времени-
подобен, то можно выбрать такую систему
координат, в которой события происходят в
одной и той же точке пространства после-
довательно.
ратное утверждение: если в некоторой
системе координат события могут в
принципе находиться в причинной свя-
зи (led, s2<0), то они могут нахо-
диться в причинной связи и во всех
других системах координат
Интервал, для которого
s2>0, (14.11)
называется пространственноподобным,
а для которого
s2<0, (14.12)
— времениподобным.
Интервал, для которого
s2=0, (14.13)
называется нулевым. Такой интервал
существует между событиями, которые
могут быть связаны сигналом, рас-
пространяющимся со скоростью света.
Если интервал между событиями
пространственноподобен, то можно
выбрать такую систему координат,
в которой события происходят одно-
временно в разных пространственных
точках ($2=/2>>0, /=0), и не суще-
ствует такой системы координат, в ко-
торой эти два события происходили бы
в одной и той же точке (тогда должно
было бы быть /=0, т. е. $2 = —с2/2<0,
что противоречит условию $2>0).
Если интервал между событиями
времениподобен, то можно выбрать та-
кую систему координат, в которой со-
бытия происходят в одной и той же
точке пространства последовательно
(/=0, = —c2t2<0), и не сущест-
вует такой системы координат, в кото-
рой эти два события происходили бы
одновременно (тогда должно было бы
быть /=0, т. е. s2=l2 >0, что проти-
воречит условию s2<0). Таким обра-
зом, для событий, которые в принципе
могут находиться в причинной связи,
можно всегда выбрать такую систему
координат, в которой эти события
происходят в одной и той же Ttj^f
§ 15. Длина движущегося тела 89
пространства в последовательные про-
межутки времени.
Является ли интервал между собы-
тиями времениподобным, пространст-
венноподобным или нулевым, не зави-
сит от системы координат. Это есть
инвариантное свойство самих событий.
Пример 14.1. Найти систему коор-
динат, в которой события, разделенные
пространственноподобным интервалом,
происходят одновременно в разных
точках, а разделенные времениподоб-
ным интервалом — последовательно в
одной и той же пространственной
точке.
Если события происходят в точке
xi=0 при /1=0 и Х2 при t=t2 и интер-
вал между ними пространственнопо-
добен (s2 = xl — c2t2 > 0), то в системе
координат, где события одновременны,
пространственное расстояние между
ними Х2= |/Р”.'Скорость этой системы
координат находится из преобразова-
ний Лоренца. Считая, что в момент
первого события начала систем коор-
динат совпадают (х!=0, /1=0), мы
можем написать для второго события
соотношение
f2=Q
t2—X2V/c2
y/\—v2/c2
(14.14)
Отсюда v = t2C2/Х2.
Если интервал между событиями
времениподобный (s2=xi — c2t2 < 0),
то в системе координат, где события
происходят последовательно в одной и
той же пространственной точке, вре-
менной интервал между ними равен
/£= р/—s2/с. Для нахождения системы
координат имеем
х£=0:
*2 — Vt%
^\—v2/c2
(14.15)
ОтСЮДа V = X2/t2-
15. Длина движущегося тела
Обсуждается релятивистское сокращение
длины движущегося тела и его реальность
Определение длины движущегося тела.
Длиной движущегося стержня назы-
вается расстояние между точками по-
коящейся системы координат, с кото-
рыми совпадают начало и конец дви-
жущегося стержня в некоторый момент
времени по часам покоящейся системы
координат. Таким образом, концы дви-
жущегося стержня засекаются одно-
временно в покоящейся системе коор-
динат. Часы движущейся системы
координат, совпадающие с концами
стержня в момент засечек, будут пока-
зывать разное время, как это видно
непосредственно на рис. 35, т. е. засеч-
ка концов происходит не одновременно
в движущейся системе координат. Это
приводит к тому, что длина стержня
не является инвариантом преобразова-
ний Лоренца и имеет разные значения
в различных системах координат.
Формула сокращения длины движу-
v щегося тела. Пусть стержень длиной /
покоится в системе координат К', бу-
дучи расположенным вдоль оси X'.
Заметим, что когда говорится о теле
такой-то длины, то имеется в виду
длина покоящегося тела. Координаты
концов рассматриваемого стержня
обозначим хг\ и причем, по опреде-
лению, хг2 — х'\ = 1. Величина / напи-
сана здесь без штриха, потому что она
обозначает длину стержня в той систе-
ме координат, в которой он покоится,
т. е. длину покоящегося стержня.
Отметим положение концов стерж-
ня, движущегося со скоростью v в си-
стеме координат К в момент /о. По
формулам преобразования Лоренца
можно написать
f___ Xl — vto f_______ X2 — vt0
1 —u2/c2 ’ ]/1 — v2[c2
(15.1)
90 4. Следствия преобразований Лоренца
Отсюда следует, что
1=^2— Х\=————=———-—,
}/1—У2/с2 /1—и2/с2
(15.2)
где /'=(х2 — %1) — длина движущегося
стержня. Переписав равенство (15.2)
в виде
1'=1 /1—и2/с2
(15.3)
замечаем, что длина движущегося
стержня, расположенного в направле-
нии движения, меньше длины покоя-
щегося, Конечно, если все эти рассуж-
дения провести с точки зрения системы
координат К', принятой за неподвиж-
ную, то получится та же формула
(15.3) уменьшения длины движущего-
ся стержня, как это и требуется прин-
ципом относительности.
Если стержень расположить пер-
пендикулярно направлению движения,
например вдоль оси У' или Z7, то из
формул (13.23) можно заключить, что
его длина в этом случае не изменится.
Таким образом, размеры тела в на-
правлении, перпендикулярном относи-
тельной скорости движения, не изме-
няются. у
““ Изменение формы движущихся тел.
Поскольку размеры тел в направлении
движения сокращаются в соответст-
вии с формулой (15.3), а в перпенди-
кулярном направлении остаются неиз-
менными, форма движущихся тел из-
меняется. Тело как бы «сплющивается»
в направлении движения.
Следует ясно представить себе, ка-
кое физическое содержание имеет это
изменение формы движущегося тела.
Дело в том, что если движущееся тело
** Сокращение длин и изменение формы дви-
жущихся тел реальны, потому что они при-
водят к наблюдаемым физическим след-
ствиям.
В релятивистской теории при рассмотрении
движений материальных тел с ускорением
нельзя пользоваться представлениями об
их абсолютной жесткости.
наблюдать с помощью обычных опти-
ческих приборов, например, в видимом
свете, то тело нам не будет представ-
ляться сплющенным так, как это сле-
дует из преобразований Лоренца.
Утверждение об изменении формы
движущегося тела имеет следующее
физическое содержание. В некоторый
момент времени в покоящейся системе
отсчета фиксируются координаты всех
точек поверхности движущегося тела.
Тем самым делается как бы момен-
тальный «слепок» с движущегося
тела. Форма этого покоящегося в
неподвижной системе координат «слеп-
ка» и принимается за форму дви-
жущегося тела. Форма «слепка» не
совпадала бы с формой тела, с кото-
рого «слепок» снят, если бы это тело
покоилось. «Слепок» оказывается
«сплющенным» в сравнении со своим
покоящимся оригиналом.
Эффект сплющивания является ре-
альным эффектом в указанном выше
смысле.
По-другому обстоит дело, если фор-
ма движущегося тела наблюдается ви-
зуально. В этом случае два обстоятель-
ства изменяют ситуацию: во-первых,
лучи света от различных точек тела за
разное время достигают глаза наблю-
дателя; во-вторых, имеет место аберра-
ция света, изменяющая кажущееся
направление, из которого лучи прихо-
дят в глаз наблюдателя. Как показы-
вают расчеты, эти два обстоятельства
приводят к тому, что при визуальном
наблюдении форма движущегося тела
не совпадает с той, которая получается
по преобразованиям Лоренца.
Оценка величины сокращения. Обыч-
но скорости тел много меньше скорости
света, т. е. у/с<С1. Поэтому с точ-
ностью до величины первого порядка
по v2/с2 формулу (15.3) можно пред-
ставить в виде
§15. Длина движущегося тела 91
Следовательно, относительная вели-
чина сокращения длины равна
А/ _ l'—l _____ 1 у2
I ~ I ~ 2 ’
(15.5)
Для скоростей порядка десятков ки-
лометров в секунду v2/c2^ 10-8, и, сле-
довательно, относительная величина
сокращения, меньше 10“8, поэтому его
трудно заметить. Например, при таких
скоростях 1 м сократится лишь на ве-
личину 10-6 см. Диаметр Земного ша-
ра несколько больше 12 тыс. км. Ско-
рость движения Земли вокруг Солнца
0=30 км/с обусловливает сокращение
диаметра Земли в системе координат,
связанной с Солнцем, всего примерно
на 6 см. С другой стороны, при боль-
ших скоростях это сокращение значи-
тельно. Например, при скорости тела,
равцой примерно 0,85 с, его длина
.сократится в 2 раза. При скоростях,
близких к скорости света, его длина
становится весьма малой.
О реальности сокращения движу-
щихся тел. В связи со сказанным о
форме движущихся тел и об их наблю-
даемой в световых лучах форме воз-
никает вопрос: реально ли сокращение
масштабов и если да, то что означает
эта реальность? Ответ гласит: измене-
ние формы движущихся тел реально,
потому что оно приводит к наблюдае-
мым физическим следствиям. Чтобы в
этом убедиться, рассмотрим следую-
щую физическую ситуацию.
Имеется три покоящихся источника
света (например, лазеры) А, В, С, рас-
положенных на одной прямой на рас-
стоянии а друг от друга (рис. 36). Эти
источники могут одновременно испу-
скать короткие импульсы света пер-
пендикулярно прямой, на которой они
лежат, причем эти импульсы регистри-
руются фотопластинкой D. Между ис-
точниками света и фотопластинкой па-
раллельно линии АС и плоскости пла-
36
Схема опыта, де-
монстрирующего ре-
альность сокраще-
ния масштабов
стинки может перемещаться некоторое
тело (линейка). Если линейка попа-
дает между источником света и фото-
пластинкой, то луч света при вспышке
не достигает фотопластинки и на ней
не будет обнаружено соответствую-
щего следа.
Случай 1. Пусть покоящаяся
линейка имеет длину L<z2a (L>d).
Тогда в зависимости от ее расположе-
ния между источниками света и фото-
пластинкой она может загородить либо
один из источников А, В, С, либо два
источника: Л, В или В, С. В частности,
она может загородить источник В, в то
время как А, С окажутся незагорожен-
ными. Если производить одновременно
вспышки всех трех источников при
различных положениях линейки, то на
фотографии будут обнаружены сле-
дующие комбинации пятен — вспышек
источников: а) все три пятна (когда
линейка полностью находится вне
отрезка АС); б) любые из двух пятен
(когда линейка закрывает лишь один
из источников), в том числе и пара
пятен от А, С, когда источник В за-
крыт; в) одно пятно А или одно пятно
С, когда два других источника закры-
ты. Ситуация, при которой были бы
закрыты источники Л и С, а источник
В дал пятно, невозможна.
Случай 2. Возьмем более длин-
ную линейку, когда L>2a. Распола-
гая различным образом эту линейку
между источниками света и фотопла-
стинкой и производя регистрацию на
фотопластинке одновременных вспы-
шек источников, мы обнаружим еле-
П 4. Следствия преобразований Лоренца
дующие комбинации пятен: а) все три
пятна (когда все части линейки нахо-
дятся вне отрезка АС); б) два пятна
от А, В или В, С (когда линейка закры-
вает соответствующий крайний источ-
ник). Ситуация, при которой источник
В был бы закрыт, а источник А и С
открыты, невозможна, т. е. невозможна
фотография, на которой присутствуют
следы от вспышек А и С и отсутствует
след от вспышки В. Заметим, что эта
ситуация в предшествующем случае
более короткой линейки возможна;
в) одно пятно от А или одно пятно от
С, когда два других источника закры-
ты. Ситуация, при которой были бы
закрыты источники А и С, а источник
В дал пятно, невозможна; г) на фото-
пластинке не регистрируется никакой
луч. В этом случае линейка закрывает
все три источника. Заметим, что такая
ситуация в предшествующем случае
более короткой линейки невозможна.
Случай 3. Будем теперь ту же
линейку L>2a двигать между источ-
никами света и фотопластинкой парал-
лельно АС, с такой скоростью v, чтобы
L /1 — v2/c2<12a, и будем производить
вспышки и их фотографирование на
фотопластинке. В результате получим
всевозможные комбинации пятен, кото-
рые характерны для первого из рас-
смотренных случаев более короткой
линейки. В частности, мы найдем фото-
графии, на которых имеются два пятна
от Л и С и нет пятна от В, что невоз-
можно во втором случае. С другой сто-
роны, мы никогда не найдем фотогра-
Отличаются ли определения длины движу-
щихся тел в классической механике и теории
относительности?
Благодаря каким факторам наблюдаемая в
световых лучах форма движущихся тел не
является столь «сплющенной» в направлении
движения, как это непосредственно следует
из преобразований Лоренца?
Каково физическое содержание утверждения
о реальности сокращения движущихся тел?
фин, на которой не было бы ни одного
пятна, что характерно для второго слу-
чая. Поэтому мы придем к выводу, что
осуществляется первый случай, т. е.
длина движущейся линейки меньше 2а.
А это означает, что высказывание о
сокращении длины движущейся линей-
ки до значения, меньшего 2а, имеет
столь же реальное содержание, как и
утверждение о том, что длина покоя-
щейся линейки в первом случае мень-
ше 2а. Отсюда ясно, что сокращение
движущихся тел есть реальное, а не
кажущееся явление. Оно приводит к
вполне осязаемым последствиям, ре-
альность которых, как, например, в
рассмотренных случаях, не вызывает
сомнения.
Теперь проанализируем эти явления
в системе координат, связанной с дви-
жущейся линейкой (случай L>2a).
В той системе координат источники
света и фотопластинка движутся в от-
рицательном направлении со ско-
ростью — v. В силу сокращения рас-
стояние АС между источниками будет
равно. 2а /1 — с2/с2, т. е. они будут
находиться на значительно меньшем
расстоянии, чем длина L покоящейся
линейки. Тем %е менее импульсы света
от источников А и С смогут миновать
линейку и дать пятна на фотопластин-
ке. Это обусловлено относительностью
одновременности. Вспышки источни-
ков, одновременные в системе коорди-
нат, в которой они покоятся, будут
неодновременными в системе координат,
в которой они движутся. Поэтому в
системе координат, связанной с линей-
кой, вспышки от источников А, В и С
происходят неодновременно. В част-
ности, в той ситуации, которая рас-
сматривается, вспышка от источника С
происходит раньше на время ДГ =
= (2av/c2)//1— и21с2. За это время
источники света пройдут путь АА> и,
следовательно, вторая вспышка про-
§15. Длина движущегося тела 93
изойдет после первой вспышки на рас-
стоянии
2av2
с2 ^\ — d2/с2
। __ 2а
/ Y-v2/с2,
где учтено,
движущимися
I 2а j/1 —у2/с2.
2й /1 — и2/с2 =
(15.6)
что расстояние между
источниками равно
При соответствующей
скорости, когда
___™ Л
/1—у2/с2
(15.7)
импульс света от А также минует ли-
нейку L и даст пятно на фотографии.
Таким образом, для объяснения рас-
сматриваемого явления в системе коор-
динат, связанной с движущейся ли-
нейкой, необходимо принять во внима-
ние не только сокращение движущих-
ся масштабов, но и относительность
одновременности.
4- О сокращении и абсолютной жест-
кости тел. Представим себе две не свя-
занные между собой, изолированные
покоящиеся материальные точки с
координатами xi и хДхг^Х]). Рас-
стояние между ними 1=Х2 — Хь До-
пустим, что в некоторый момент вре-
мени эти точки начали ускоряться по
одинаковому закону в направлении
положительных значений оси х. Это
означает, что в каждый момент време-
ни скорости этих точек будут одина-
ковыми, а следовательно будут одина-
ковыми и пути, пройденные ими от
исходных положений. Отсюда мы
заключаем, что расстояние между рас-
сматриваемыми точками в процессе
ускорения остается неизменным, рав-
ным /. С точки зрения ускоренно дви-
жущихся наблюдателей,* связанных с
материальными точками, дело будет
обстоять по-другому. Если они будут
каким-то способом измерять расстоя-
ние (например, с помощью световых
сигналов), то они заметят, что рас-
стояние между ними в процессе уско-
рения увеличивается. Пусть по дости-
жении точками скорости v в неподвиж-
ной системе координат ускорение
прекращается и точки движутся равно-
мерно с этой скоростью. Тогда, изме-
рив между собой расстояние в режиме
равномерного движения, наблюдатели
на материальных точках придут к вы-
воду, что расстояние между ними увели-
чилось и стало равным //1/1 — у2/с2.
Однако они легко объяснят этот ре-
зультат. Для неподвижного наблюда-
теля обе материальные точки ускоря-
лись совершенно синхронно и в каж-
дый момент времени имели одинако-
вые скорости и ускорения. Для наблю-
дателей, связанных с материальными
точками, их движение не будет син-
хронным из-за относительности одно-
временности. В рассматриваемом слу-
чае они обнаружат, что материальная
точка Х2 ускоряется с опережением и
именно поэтому она удаляется от точ-
ки Хь
Теперь представим себе, что мате-
риальные точки соединены невесомой
пружиной и ускоряются в неподвиж-
ной системе координат по одинаковому
закону. На основе вышеизложенного
ясно, что наблюдатели, связанные с
точками xi и Х2, отметят, что в процес-
се ускорения пружина растягивается
и в ней накапливается энергия дефор-
мации. Источником этой энергии явля-
ются двигатели, обеспечивающие уско-
ренное движение материальных точек.
Если материальные точки соединены
абсолютно жестким стержнем, то для
бесконечно малой деформации его тре-
буется бесконечно большая энергия.
Ясно, что ускорение по одинаковому
закону в этом случае становится не-
возможным. Отсюда можно заключить,
что при рассмотрении ускоренных дви-
94 4. Следствия преобразований Лоренца
жений материальных тел мы не можем
представлять их себе как абсолютно
жесткие.
Пример 15.1. В движущейся со ско-
ростью v системе координат К' под уг-
лом а' к оси X' лежит стержень дли-
ной Z. Каковы длина Г стержня и угол
а между стержнем и осью X в непод-
вижной системе координат?
Обозначив (xf, у\) и (xL у'ъ) коор-
динаты концов стержня в системе К',
можем написать
lx=xf2 — xi = Zcosa',
ly=yf2 — i/i = /sinaz.
(15.8)
Координаты (xi, y\) и (х2, уч) одно-
временной засечки концов движущего-
ся стержня в системе К по преобразо-
ванию Лоренца удовлетворяют соотно-
шениям
Х2 — xi = (х2 — Xl)/ / l—V2/c2,
У2 — У'\=У2 — У\. (15.9)
причем длина ' I' движущегося
стержня по определению равна
/(хг—xi)^+ (у2—у\)2. Следователь-
но, в неподвижной системе можем на-
писать
Z'= / Z2cos2a'(l —p2)+/2sin2a',
(15.10)
tga=^^=-^£=; p=v/c.
& X2—Xl /1 —p2
16. Темп хода движущихся часов.
Собственное время
Обсуждаются замедление хода
движущихся часов и парадокс близнецов.
едление хода движущихся часов.
Пусть в точке хб движущейся системы
координат К' происходят последова-
тельно два события в моменты ti и ZL
В неподвижной системе координат К
эти события происходят в разных точ-
ках в моменты Zi и /2. Интервал вре-
мени между этими событиями в движу-
щейся системе координат равен Д/' =
= Z2 —Zi, а в покоящейся Д/=/2 —Zi.
На основании преобразования Ло-
ренца имеем
___ti+(y/c2)x^ ___t'2-l-(v/c2)x^
/1—и2/с2 ’ ^\—v2/с2
(16.1)
Отсюда следует, что
a/=z2 -1,
/1— и2/с2 /1—и2/с2
(16.2)
Таким образом, интервал времени
между. событиями,
AZ' = Д/1/1 —и2/с2, (16.3)
измеренный движущимися часами,
меньше, чем интервал времени AZ меж-
ду теми же событиями, измеренный по-
коящимися часами. Это означает, что
темп хода движущихся часов замедлен
относительно неподвижных.
Может показаться, что это утверж-
дение противоречит принципу относи-
тельности, поскольку движущиеся часы
можно считать неподвижными. Однако
это противоречие основано на недора-
зумении. Дело в том, что в формуле
(16.3) сравнивается время одной и той
же движущейся точки с временем раз-
личных неподвижных точек. Поэтому,
чтобы применить принцип относитель-
ности, надо время различных точек
движущейся системы координат срав-
нивать с временем одной и той же точ-
ки неподвижной системы координат.
Проведем это сравнение. Пусть в не-
которой точке системы координат К.
например в точке хо оси X, произошли
два последовательных события в мо-
§16. Темп хода движущихся часов. Собственное время 95
менты t\ и /2. Интервал времени между
этими событиями равен — Л-
В системе координат /С', принятой за
неподвижную, эти события произошли
в разных точках в моменты t\ и На
основании формул (13.23) имеем
^—(у/с?)хо t2-(y/<?)x0 , „ .
’ ,г“ /т=?7?' <16-4)
Отсюда следует, что '
A 4J 4./ 4.Г ' А/
Д/ =/2—1\=—=====—====,
}/1—и2/с2 /1— и2/с2
(16.5)
но теперь А/' — интервал времени
между событиями в неподвижной си-
стеме координат, а А/ — интервал вре-
мени между теми же событиями в дви-
жущейся системе. Таким образом, со-
держание формулы (16.5) совпадает с
содержанием формулы (16.2) и ника-
кого противоречия с принципом отно-
сительности нет. /
Собственное врёмя. Время, которое
измеряется по часам, связанным с дви-
жущейся точкой, называется собствен-
ным временем этой точки. В формуле
(16.3) можно перейти к бесконечно
малому интервалу времени и записать
ее так:
dr = d t /1 —г’2/с2.
(16.6)
где dr — дифференциал собственного
времени движущейся точки, dt — диф-
ференциал времени той инерциальной
системы координат, в которой рассмат-
риваемая точка имеет в данный момент
скорость v. Заметим, что dr — изме-
нение показаний одних и тех же часов,
связанных с движущейся точкой, а
dt — это разность показаний различ-
ных часов неподвижной системы коор-
динат, находящихся в соседних прост-
ранственных точках.
В § 14 [формула (14.10)] было по-
казано, что дифференциал интервала
есть инвариант. Учтем, что dx2-(-dy2-j-
+ dz2 = dr2 — квадрат дифференциала
пространственного расстояния между
двумя соседними точками. Поэтому
формула (14.10) для квадрата диффе-
ренциала интервала может быть преоб-
разована следующим образом:
-^=cdf 1/1
I г
(16.7)
dr = ds/(zc).
где в качестве событий, между кото-
рыми вычисляется интервал, взяты два
последовательных положения движу-
щейся точки и учтено, что (dr/d/)2 =
= v2 — квадрат ее скорости. Мнимая
единица i= }/ —1 появилась в этой
формуле вследствие того, что ds2=
=dr2—c2d/2=(—1) (c2d/2—dr2). Срав-
нение (16.7) и (16.6) показывает, что
дифференциал собственного времени
dr может быть выражен через диф-
ференциал интервала по формуле .
(16.8)
Как это видно в (14.10), дифферен-
циал интервала является инвариантом.
Поскольку скорость света — постоян-
ная величина, из равенства (16.8)
можно заключить, что собственное вре-
мя есть инвариант преобразований Ло-
ренца.
Это вполне естественно, потому что
собственное время определяется по по-
казаниям часов, связанных с движу-
щейся точкой, и не имеет значения,
в какой системе координат эти показа-
ния считывать. ________
Экспериментальное подтверждение
замедления времени. В настоящее вре-
мя известно много экспериментальных
подтверждений замедления времени.
Одно из первых подтверждений было
96 4. Следствия преобразований Лоренца
37
Схема рождения и
распада мюона
Опыты по исследова-
нию распада этой ча-
стицы подтвердили
формулу замедления
времени, полученную
теорией относитель-
ности
получено в опытах по исследованию
распада мюонов. Среди известных эле-
ментарных частиц большинство суще-
ствует лишь в течение очень коротких
промежутков времени от 10 6 с и мень-
ше. По истечении времени жизни эле;
ментарной частицы она распадается,
превращаясь в некоторые другие.
Среди элементарных частиц имеют-
ся так называемые л-мезоны (пи-ме-
зоны) . Есть положительные л+-мезо-
ны, отрицательные л“7мезоны и нейт-
ральные л°-мезоны. Пи-плюс-мезоны
распадаются на положительные мюоны
и нейтрино v по схеме
л+—+ (16.9)
Нейтрино — нейтральная частица,
очень слабо взаимодействующая с ве-
ществом. Через некоторый промежуток
времени мюоны распадаются на пози-
троны е+ и два нейтрино:
p+->e+4-2v. (16.10)
Позитрон — частица с массой, равной
массе электрона, но с положительным
зарядом. Схема рождения и распада
мюона изображена на рис. 37.
Существуют различные способы ре-
гистрации заряженных частиц и опре-
деления их скоростей. Благодаря это-
му можно найти среднее время жизни
частицы. Если имеет место эффект
замедления времени, то среднее время
жизни мюона должна быть тем боль-
ше, чем больше его скорость v:
т'’“ТР?7?'
где т°+ — среднее время жизни по ча-
сам, связанным с мюоном, т. е. соб-
ственное время жизни; тц+ — среднее
время жизни по часам лабораторной
системы координат, в которой изучают-
ся рассматриваемые явления. Средняя
длина пути I в зависимости от скоро-
сти в отсутствие замедления времени
должна выражаться формулой
/=т<Фи, (16.12)
т. е. быть линейной функцией скорости,
а в случае замедления времени
Преобразования Лоренца справедливы лишь
в инерциальных системах отсчета. Поэтому
анализ хода часов при облете Земли в за-
падном и восточном направлениях нельзя
произвести в системе координат, связанной
с поверхностью Земли.
Ускорение не влияет на темп хода часов.
♦ Почему эксперимент по замедлению времени
при облете атомных часов вокруг Земли
нельзя анализировать в системе координат,
связанной с ее поверхностью?
Какие факторы замедления времени необхо-
димо учитывать в эксперименте по облету
атомных часов вокруг Земли?
В чем состоит парадокс близнецов и каково
разрешение этого парадокса?
Откуда следует инвариантность дифферен-
циала собственного времени?
т. е. является большей, чем в отсутст-
вие замедления времени, и зависит от
скорости v нелинейно.
Эксперимент проводился в атмо-
сфере с мюонами, порождаемыми кос-
мическими лучами. Регистрировать
рождение и распад отдельного мюона
при этом невозможно. Однако в этом и
нет необходимости. Распад мюона в
соответствии со схемой (16.10) являет-
ся случайным событием. Вероятность
распад мюона на пути dx равна
§16. Темп хода движущихся часов. Собственное время 97
dx/l, и, следовательно, на пути dx
плотность W потока мюонов умень-
шается на dN= —Ndx/l. Следователь-
но, в зависимости от пути она умень-
шается по закону N(x)=N (0) X
Хехр(—%//), Z=x/ln [W(0)/A/(x)].
Таким образом, дело сводится к из-
мерению плотности потока мюонов
в двух точках по пути их движения.
При этом, конечно, надо отобрать для
измерений мюоны с определенным им-
пульсом (скоростью), что делается
методами, разработанными в физике
космических лучей. При прохождении
мюонов сквозь атмосферу плотность
их потока уменьшается не только за
счет самопроизвольного распада, но и
за счет поглощения атомами атмосфе-
ры. Это поглощение хорошо изучено и
может быть учтено. Поэтому в резуль-
тате измерений уменьшения потока
мюонов в атмосфере можно найти их
средний путь /, проходимый до распа-
да. Проводя измерения для мюонов с
различными импульсами (скоростями),
получают зависимость I от скорости v.
Это позволяет установить, какая из
формул (16.12) и (16.13) подтверж-
дается экспериментом. Эксперимент
подтвердил формулу (16.13) с собст-
венным временем жизни мюона, рав-
ным т($=2 мкс.
Замедление времени играет боль-
шую роль при работе на современных
ускорителях, где часто приходится на-
правлять частицы от источника их полу-
чения к далеко отстоящей мишени, с ко-
торой частица взаимодействует. Если
бы не было эффекта замедления вре-
мени, то это было бы невозможно,
потому что время прохождения этих
расстояний зачастую в десятки и сотни
раз больше собственного времени жиз-
ни частиц. Например, собственное вре-
мя жизни л+-мезонов, о которых только
что говорилось, равно т(Д « 2,5 • 10-8с.
После этого он распадается на мюон
и нейтрино. За это время л+-мезон, да-
же двигаясь со скоростью света, может
пройти расстояние лишь в /^2,5Х
X 10~8- 3- 108^ 7,5 м. Между тем
мишени для л+-мезонов часто распола-
гаются от их источника в нескольких
десятках метров и л+-мезоны благопо-
лучно их достигают. Например, если
л+-мезон движется со скоростью, отли-
чающейся от скорости света в шестом
знаке [т. е. v/c^\—2- 10-6], то сред-
нее время его жизни равно тл+ ^2,5Х
X КГ8/ /1 — [1 —2. 10~6]2^ 1,25Х
X Ю 5 с. За это время он пролетает рас-
стояние более 1 км и достигает мишени,
во много раз более отдаленной, чем
7,5 м, которые соответствуют собствен-
ному времени его жизни.
В 1972 г. был поставлен эксперимент
по фиксации замедления времени с по-
мощью атомных часов, позволяющих с
большой точностью измерять время.
Идея опыта состояла в следующем.
Берутся трое одинаковых атомных ча-
сов. Одни остаются на месте, а двое
других посылаются в кругосветное путе-
шествие на самолете в западном и во-
сточном направлениях. После возвра-
щения в исходную точку показания ча-
сов сравниваются.
Рассмотрим ход всех часов в системе
координат, связанной с центром Земли.
Эта система координат инерциальная,
и в ней можно пользоваться выведен-
ными формулами для замедления вре-
мени. Будем считать для простоты, что
кругосветное путешествие совершается
по некоторой широте. Обозначим через
v линейную скорость точек поверхности
Земли на рассматриваемой широте, а
через и' — скорость самолета относи-
тельно поверхности Земли. Так как
Земля вращается с запада на восток,
то скорость часов, движущихся в запад-
ном направлении, относительно непод-
вижной системы координат будет v —
— и', а скорость часов, движущихся на
восток, равна v-\-u' (рис. 38). Заметим,
что в неподвижной системе координат
4—853
98 4. Следствия преобразований Лоренца
38
Опыт проверки замедления времени при облете
Земли
После облета вокруг Земли часы на самолете, летев-
шем на восток, отстанут от часов, оставшихся на
Земле, а часы на самолете, летевшем на запад, уйдут
вперед
и те, и другие часы движутся в одном и
том же направлении с востока на запад,
поскольку v>u'.
Время в неподвижной системе коор-
динат обозначим через t\ собственное
время покоящихся на поверхности Зем-
ли часов — через то; часов, путешест-
вующих в западном направлении, —
через Т(+), а в восточном — через Т(_).
Ясно, что часы, покоящиеся на поверх-
ности Земли, движутся относительно
покоящейся системы координат, свя-
занной с центром Земли, со скоростью
v и, следовательно, отстают от этих
часов в соответствии с формулой (16.6):
dxo = df/1 — и2/с2. (16.14)
Движущиеся в западном направле-
нии часы имеют относительно покоя-
щейся системы меньшую скорость и,
следовательно, отстают меньше. Поэто-
му они опережают часы, покоящиеся
на поверхности Земли. С другой сторо-
ны, движущиеся на восток часы относи-
тельно покоящейся системы имеют
большую скорость и отстают больше,
чем покоящиеся на поверхности Земли
часы. Следовательно, они отстают от
этих часов. Таким образом, после воз-
вращения в исходную точку часы, со-
вершившие кругосветное путешествие в
западном направлении, должны уйти
вперед в сравнении с оставшимися на
Земле часами, а путешествовавшие в
восточном направлении должны от-
стать. Для часов, движущихся в запад-
ном и восточном направлениях, анало-
гично (16.14), можно написать:
dT(+)=dt /1 — (v — u')2/ с2,
dr(_)=d / у/1 ~(v-\-u'}2/с2 (16.15)
По формулам (16.14) и (16.15),
зная скорость самолета и другие дан-
ные, нетрудно рассчитать ожидаемую
разницу в показаниях часов. Однако
эта разница не единственная, которую
отметят часы. Дело в том, что на темп
хода часов, как это следует из общей
теории относительности, оказывает
влияние поле тяготения; поле тяготе-
ния замедляет темп хода часов. Часы,
поднятые на самолете на некоторую
высоту, замедляются меньше, чем часы
у поверхности Земли. Поэтому они
идут более быстро, чем на поверхно-
сти Земли. Эта разница в ходе часов
имеет тот же порядок величины, что и
разница в ходе часов за счет различия
в скоростях, и ее надо учесть.
Расчет для конкретных условий
эксперимента показал, что часы, дви-
гавшиеся на запад, должны были
уйти вперед на 275- 10~9 с, а дви-
гавшиеся на восток — отстать на
4- 109 с относительно часов, остав-
шихся на Земле. Результат экспери-
мента находится в хорошем согласии
с предсказаниями теории и подтвер-
ждает эффект замедления темпа хода
движущихся часов
Были проведены также другие экс-
§16. Темп хода движущихся часов. Собственное время 99
перименты по сравнению хода часов в
самолете и на Земле без облета Зем-
ного шара Одни атомные часы тран-
спортировались в самолете в течение
15 ч на высоте примерно 10 км, а дру-
гие, полностью идентичные, оставались
на Земле. Начало и конец отсчета
промежутков времени фиксировались
телеметрически с помощью лазерных
импульсов длительностью примерно
1О-Го с. Регистрировалось нарастание
разности времени в показаниях часов.
Эксперимент с большой точностью под-
твердил предсказания теории. Напри-
мер, для типичных условий экспери-
мента (было сделано пять независимых
опытов) теория предсказывала разни-
цу в показаниях часов самолет—Зем-
ля в (+47,1 ±0,25)-10“9 с, а экспе-
римент дал ( + 47± 1,5)-10~9 с. Отме-
тим, что теоретическая разница в
+47,1 -10_у с образуется за счет грави-
тационного замедления времени
(+52,8* 10-9 с) и за счет относитель-
ных скоростей часов (—5,7 • 10-9 с).
Видно, что предсказания теории под-
тверждены надежно и с большой точ-
ностью ^>
Темп хода ускоренно движущихся
часов. В эксперименте с облетом Земли
без оговорок предполагалось, что фор-
мула (16.6) применима не только для
часов, движущихся равномерно и пря-
молинейно, но и для часов, движущих-
ся ускоренно. Однако она была выве-
дена для равномерного и прямолиней-
ного движения часов, и распростране-
ние ее на ускоренные движения требует
дополнительного обоснования. Теоре-
тическое обоснование этого представ-
ляется затруднительным, поскольку
специальная теория относительности
не описывает ускоренные движения
Имеются экспериментальные сви-
детельства, что формула (16.6) при-
менима и для ускоренных движений.
В магнитных полях заряженная час-
-тица испытывает ускорение под дей-
ствием силы Лоренца. Модуль скоро-
сти частиц при этом не меняется,
потому что сила со стороны магнитного
поля действует перпендикулярно ско-
рости и не совершает работы. Опыты
с измерением времени жизни частиц
для проверки эффекта замедления вре-
мени можно проделать в магнитном
поле, когда частицы ускоряются, а
модуль их скорости не меняется.
Тем самым можно проверить наличие
эффекта в условиях ускорения. Имею-
щиеся в этом отношении эксперимен-
тальные данные позволяют утверж-
дать, что формула (16.6) применима
также и для ускоренного движения,
по крайней мере при движении по
окружности.
В одном из опытов р-мезоны в
очень сильном магнитном поле двига-
лись по окружности диаметром 5 м,
имея энергию 1,27 млрд. эВ. При этих
условиях их скорость очень близка к
скорости света, а ускорение равно
4- 1016 м/с2. Если считать, что замед-
ление времени не зависит от ускоре-
ния, то время жизни мезонов должно
увеличиться примерно в 12 раз в
сравнении с собственным временем
жизни 2,2- 10 6 (т. е. в системе коор-
динат, где ц-мезон покоится). Измерен-
ное время жизни составило (26,37±
±0,05) • 10~6 с, а вычисленное —
26,69- 10~6с. Это доказывает, что
ускорение не влияет на темп хода
часов.
^Парадокс близнецов. Пусть из не-
которой точки инерциальной системы
координат в момент / = 0 вылетает
ракета и, совершив полет, возвращает-
ся в ту же точку. Путь ракеты s по
траектории является известной функ-
цией времени s=s(/), а значение ско-
рости в каждый момент времени равно
v(t)—ds/dt. При возвращении ракеты
часы неподвижной системы коорди-
нат показывают t, а часы, совер-
шившие полет с ракетой, — время
4*
100 4. Следствия преобразований Лоренца
t
T=§d/}/1 — и2/<А Поэтому если бы
о
один из родившихся близнецов отпра-
вился в путешествие на ракете, а дру-
гой остался в инерциальной системе
координат, то при их встрече после
возвращения ракеты первый был бы
моложе второго. В этом ничего пара-
доксального нет. Парадокс возникает
в результате неправильного рассуж-
дения, которое формулируется так.
Так как движение относительно, то
можно сказать, что в путешествие
отправился второй близнец, а близнец,
находящийся на ракете, никуда не
полетел. Тогда получается, что после
встречи более молодым должен быть
второй близнец, а не тот, который
находился в ракете. Кто же из них
будет действительно моложе? В этом и
состоит парадокс. Неправильность при-
ведшего к парадоксу рассуждения со-
стоит в том, что системы отсчета,
связанные с близнецами, не эквива-
лентны — одна из них инерциальна,
а вторая, связанная с ракетой, неинер-
циалъна. Формула (17.6) справедлива
только в инерциальной системе отсче-
та. Поэтому более молодым при встре-
че будет близнец, находившийся в
ракете. Применить формулу (17.6) в
неинерциальной системе отсчета нель-
зя, как это особенно ясно видно в
рассмотренном выше примере облета
Земли. В системе координат, связанной
с поверхностью земли, течение времени
в самолете, летящем на восток, замед-
ляется, а в летящем на запад —
ускоряется. Поэтому никакого пара-
докса близнецов не возникает, надо
лишь все рассуждения и расчет
проводить в инерциальной системе
координат. Например, проведем их
для простейшего случая. В момент
/ = 0 ракета отправляется в полет со
скоростью v = const (мгновенное уско-
рение, оно на показания часов в раке-
те не оказывает никакого влияния) в
направлении положительных значений
оси X инерциальной системы К (лабо-
раторная система координат). Через
промежуток времени ti скорость ра-
кеты мгновенно меняется на обратную,
и ракета возвращается. Расчет в ла-
бораторной системе координат очеви-
ден: общее время полета ракеты равно
т= 2ti, а часы на ракете в момент
возвращения показывают т' =
= 1 — v2/c2.
Расчет в системе координат, свя-
занной с ракетой, значительно сложнее
и не может быть выполнен с помощью
преобразований Лоренца, поэтому
здесь не приводится.
Пример 16.1. Определить высоту h
над поверхностью земли, на которой
в среднем распадаются мюоны, ро-
дившиеся на высоте 30 км и движу-
щиеся со скоростью у=(1—8-10”4) с
вертикально. Каково расстояние до
земли в момент рождения мюона в
связанной с ним системе координат?
Время жизни мкн^на
= т(и0)/ /1—о1 /с1 =0,55-10~4 с, прохо-
димый ИМ . ПуТЬ I ТцС ~ т^0) X
X с/д/1 — и2/с2 = 3 • 108 • 0,55 • 10 “4 м =
= 1,65-IO4 м = 16,5 км. Следовательно,
й=16,5 км, й(°)=1700 м.
17. Сложение скоростей
и преобразование ускорений
Выводятся формулы сложения скоростей и пре-
образования ускорений и обсуждаются их
следствия.
Формула сложения скоростей. Пусть в
движущейся системе координат дви-
жение материальной точки задано фун-
кциями
x'=x'(t'), y'=y'(t'), z' = z\t'\ (17.1)
а в неподвижной системе — функциями
x=x(0, y=y(t), z=z(t), (17.2)
§17. Сложение скоростей и преобразование ускорений 101
которые находятся из (17-1) с по-
мощью (13.24). Необходимо устано-
вить связь между проекциями скоро-
сти точки в движущейся и неподвиж-
ной системах координат, представлен-
ными соответственно в виде:
dx'
dt' ’
АУ'
dt' ’
u'z
dz'
dF’
иу
dx dy
Ux~~~dTy Uy~~dTy Uz
dz
dt
(17.3)
(17.4)
Из (13.24) имеем:
dx=-^~*~ud* , dy=dy\ dz=dzz,
j/1—u2/c2 ” ”
dt= dr+fr/cW =At, 1+^A2 (175)
/1—y2/c2
Подставляя значения дифференциалов
из (17.5) в выражения (17.4) и учиты-
вая (17.3), находим:
*4+у ____________ /1— и2/с2 и'у
\+vu'x/c2 ’ Uy \-\-vu'x/c2
|/1 —с2/с2 U?
(17.6)
Это есть искомые формулы сложения
скоростей теории относительности.
Формулы обратного преобразования
согласно принципу относительности по-
лучаются, как обычно, заменой штри-
хованных величин на нештрихованные
и скорости v на —v.
Из формулы (17.6) следует, что
скорость света постоянна, и сложение
скоростей никогда не приводит к ско-
ростям, большим скорости света. Дока-
жем это. Пусть Uy=ufz=^, их = с. Тог-
да из (17.6) находим:
uy=(i’ U*=Q- (17-7)
Конечно, этот результат вполне естест-
вен, потому что сами формулы преоб-
разований получены в конечном счете
из требования постоянства скорости
света.
Аберрация. Пусть в системе коор-
динат К' вдоль оси Y' распространяет-
ся луч света, т. е.
их=0, Uy = c, uz=Q. (17.8)
В неподвижной системе координат
получаем:
ux=v, иу= ]/1 — и2/с2с, uz = 0. (17.9)
Следовательно, в неподвижной системе
координат луч света составляет с осью
У угол р, определяемый соотношением
. О______и*______V
gP~с y/X-vW'
(17.10)
Для v/c<^\ (17.10) совпадает с фор-
мулой (12.5) классической теории:
tg₽ = Wc (17.11)
но содержание ее иное. В классиче-
ской теории необходимо было разли-
чать случаи: движущийся источник —
покоящийся наблюдатель и движущий-
ся наблюдатель — покоящийся источ-
ник. В теории относительности имеется
лишь один случай относительного дви-
жения источника и наблюдателя.
Интерпретация опыта Физо. Ре-
зультат опыта Физо (12.23) является
естественным следствием формулы сло-
жения скоростей теории относитель-
ности.
Скорость света относительно не-
подвижной среды с показателем пре-
ломления п равна с/п. Совмещая ось
с направлением движения среды, мы
имеем в движущейся системе коорди-
нат для скорости света следующие
выражения:
и'х=с/п, Uy = 0, uz = 0. (17.12)
Отсюда по формулам (17.6) находим
проекции скорости света в той системе
координат, относительно которой среда
движется со скоростью ±v\
и , и =0, ыг=0, (17.13)
102 4. Следствия преобразований Лоренца
где знак плюс относится к случаю,
когда направления распространения
света в среде и движения среды сов-
падают, а знак минус — когда эти
направления противоположны.
Принимая во внимание малость ве-
личины и/с<С1, выражение (17.13) пре-
образуем следующим образом:
±(1-^Ь (17.14)
где отброшены члены первого порядка
по v/c и более высоких порядков.
Это выражение полностью согласуется
с формулой (12.23). Таким образом,
результат опыта Физо является экспе-
риментальным подтверждением форму-
лы сложения скоростей теории отно-
сительности.
Преобразование ускорения. Пусть в
штрихованной системе координат мате-
риальная точка испытывает ускорение,
проекции которого ах, ау, az, но скот
рость ее в этот момент равна нулю.
Таким образом, в системе координат
К' движение точки характеризуется
следующими формулами:
du'x dufy du'z . f
Ux=uy=
=uz = 0. (17.15)
Определим движение точки в нештри-
хованной системе координат. Скорость
находим по формулам (17.6):
ux=v, uy = Q, uz=0. (17.16)
Ускорение в системе координат К
равно:
dux duy duz
ах==~йГ’ ау==~йГ’ az=~dT-
(17.17)
Величины d/, dux, duy, duz определяют-
ся по формулам (17.5) и (17.6), при-
чем скорости их, иу, uz можно полагать
равными нулю лишь после вычисления
дифференциалов. Например, для dux
имеем
du'x (u'x-\-v\v / c2)du'x
X i-^-VUx/c2 (1-l-VUx/C2)2
___ dux /. vu'x vu'x v2
(\-\-vu'x/c2')2 \ c2 c2 c2
\-v2/c2 , ,
(l + гш'Д2)2 x-
Отсюда с учетом (17.15) находим
dux___/ d2\3/2 du'x
~dT~~ V TV ~df~
(17.18)
где в соответствии с (17.15) положено
их = 0.
Аналогично вычисляют дифферен-
циалы duy и duz. Таким образом полу-
чают следующие формулы преобразо-
вания ускорений
(17.19)
В чем состоит интерпретация результата
опыта Физо с точки зрения теории относи-
тельности?
Какое существенное различие можно указать
в интерпретации аберрации с точки зрения
классических и релятивистских представле-
ний?
Какими физическими факторами объясня-
ется различный закон преобразования про-
дольных и поперечных проекций ускорения?
Точка при этом движется в системе К
со скоростью v. Поэтому формулы
(17.19) означают следующее. С дви-
жущейся материальной точкой можно
связать инерциальную систему коор-
динат, в которой она в данный мо-
мент покоится. Такая система коорди-
нат называется сопровождающей. Если
в этой системе точка движется с уско-
§17. Сложение скоростей и преобразование ускорений 103
рением, то и в любой другой системе
координат она будет двигаться с уско-
рением, однако это ускорение будет
иным, но всегда меньшим. Проекция
ускорения на направление скорости
уменьшается пропорционально множи-
телю (1—v2,/tr)3/2, где v — скорость
сопровождающей системы координат.
Поперечная составляющая ускорения,
перпендикулярная скорости частицы,
изменяется меньше. Ее уменьшение про-
порционально множителю 1 — и2/с2.
Пример 17.1. Два протона движутся
в лабораторной системе координат со
скоростями v и —v навстречу друг
другу. Найти относительную скорость
и' протонов в системе координат,
связанной с одним из цих, и выра-
зить множитель у' = 1 / у/1 — и'2/с2
через множитель у—1/ /1 — у2Д2.
В системе координат, связанной с
протоном, движущимся в направлении
положительных значений оси X лабо-
раторной системы, по формуле сложе-
ния скоростей находим
где учтено, что и= — v. Отсюда сле-
дует
/=2у2—1. (17.21)
Пример 17.2. Как уже говорилось
в § 15, форма и геометрические разме-
ры движущихся тел при визуальном
наблюдении отличаются от тех форм
и геометрических размеров, которые
могут быть найдены из преобразований
Лоренца. Рассмотрим этот вопрос,
взяв за тело тонкий стержень, движу-
щийся в направлении своей длины.
Чтобы вопросу о наблюдаемой ви-
зуально длине стержня придать ясный
физический смысл, будем считать, что
вдоль оси X неподвижной системы
координат расположена длинная не-
подвижная линейка. По этой линейке
в направлении положительных значе-
ний оси X скользит со скоростью v
стержень, длина покоя которого I. Что-
бы измерить длину этого стержня в
неподвижной системе координат, необ-
ходимо в некоторый момент времени
этой системы отметить те точки непод-
вижной линейки, с которыми в этот
момент совпадают концы стержня.
Расстояние между этими отметками по
определению является длиной движу-
щегося стержня, в соответствии с (15.3)
равная Г — 1 1 — и2/г2 .
Теперь будем наблюдать движу-
щийся стержень с достаточно большего
расстояния. Наблюдение ведется с по- |
мощью зрительной трубы, в которую
одновременно видны и движущийся
стержень и неподвижная линейка.
Наблюдаемой длиной движущегося
стержня логично назвать расстояние
между отметками его концов на непод-
вижной линейке в момент наблюдения
этих концов в трубу. Для определен-
ности можно считать, что производится
моментальная фотография, на которой
движущийся стержень закрывает часть
неподвижной линейки. Длина закрытой
части неподвижной линейки является
визуально наблюдаемой длиной движу-
щегося стержня. Необходимо ее найти.
Угол между положительным направле-
нием оси X и направлением движения
фотонов от движущегося стержня в
зрительную трубу обозначим а.
Для решения задачи примем во
внимание, что фотоны, образующие на
фотопластинке в некоторый момент
времени изображение стержня, были
излучены различными точками стерж-
ня не одновременно. Разницы между
излучением фотонов от заднего и пе-
реднего концов движущегося стержня
равна L'cosa/f, где L' — визуально
наблюдаемая длина движущегося
стержня, которую необходимо найти.
Следовательно, с помощью фотопла-
104 4. Следствия преобразований Лоренца
стинки концы движущегося стержня
засекаются не одновременно, а с раз-
ницей времени /2 — 6 = Z/cos а/с.
Координаты концов стержня в си-
стеме координат, где он покоится,
обозначим х\ и причем х'2—х\ =
= 1 — собственная длина стержня. Ко-
ординаты засечек концов стержня в
неподвижной системе координат обо-
значим xi и Х2, причем Х2—x\ = L'.
Из преобразований Лоренца
Х1= А1
]/1 — у2/с2 /1 — у2/с2 (17 22)
получаем 7
/ _ vz _ (X2 —Xl)——Л) (17.23)
/1 — y2/c2
Учитывая, что X2 — x\ = l, = L', t2 — ti = Lfcos a/c, (17.23) в виде X2 — Xi = запишем
L'—vL'cosa/c (17.24)
/1 — у2/с2
Отсюда следует, что
L' = 1 /1 — v2/c2/[l —(v/c) cosa)].
(17.25)
Задачи
4.1. Две материальные точки, покоящиеся на оси X неподвижной системы координат на расстоянии
100 м друг от друга, начинают одновременно ускоряться по одинаковому закону в направлении
положительных значений оси X. Ускорение одновременно прекращается, когда скорости точек
достигают значения и=(1 —2-10“4)с. Каково расстояние между точками в системе координат,
в которой они покоятся? »
4.2. Протон пролетает расстояние /=1,5-108 км между Солнцем и Землей со скоростью и = 4с/5.
Каким представляется это расстояние в системе координат, связанной с протоном? Какое вре-
мя необходимо на прохождение этого расстояния в системах координат, связанных с Землей и
протоном?
4.3. Два прожектора испускают узкие пучки света в противоположных направлениях. С какой ско-
ростью эти прожекторы должны двигаться в направлении, перпендикулярном лучам, чтобы
пучки света были направлены под прямым углом друг к другу?
4.4. Две частицы, движущиеся друг за другом со скоростью у = Зс/5, попадают на мишень с интер-
валом времени 10-7 с. Найти расстояние между частицами в лабораторной системе координат
и в системе координат, связанной с частицами.
4.5. В точках (xf, 0, 0) и (хг, 0, 0) в системе К' находятся часы А' и В'(хг—х{ = /), а в точках
(xi, 0,0) и (х2, 0, 0) системы К — часы А и В (хг— х> = Z). Система К' движется относительно
К в направлении положительных значений оси X со скоростью v. В момент пространственного
совмещения часы В' и А показывают одинаковое время (например, t'=t=Q). Каковы показа-
ния часов А и А' при их пространственном совмещении и часов В и В' при их пространствен-
ном совмещении?
4.6. Ракета движется прямолинейно с постоянным ускорением а, измеренным ее пассажирами по
акселерометру, находящемуся на ракете. Какой путь пройдет ракета в лабораторной системе
координат до достижения скорости и?
4.7. Два масштаба с одинаковой собственной длиной I движутся вдоль оси X навстречу друг другу
с равными скоростями v. Какова длина одного из масштабов в системе координат, связанной
с другим масштабом?
4.8. Поезд движется со скоростью v относительно полотна железной дороги. Вдоль поезда в на-
правлении его движения летит птица с той же скоростью v относительно поезда. В том же
направлении летит самолет с такой же скоростью v относительно птицы. Какова скорость
самолета относительно полотна железной дороги?
Ответы
4.1. 5000 м. 4.2. /‘ = 0.9- 108 км, т3 = 625 с, т;, = 375 с 4.3. с/уТ 4.4. 18 М; 22,5 м. 4.5. П =
= / /1 — и2/с2/у, t'v = l/v, = = \ — v2/c2/u. 4.6. г2(1//1 - с2/с2 — l)/a.
4.7. /(1-У2Л2)/(14-г-7с2). 4.8. c{ 1 - [(1 - и /с) \ 1+ v/crf}/{ 1 -f [(1 - +
+ v/dl3}
18. Силы
Рассматриваются различные проявления силы,
диктующие необходимость их введения в клас-
сическую механику независимо от ускорений.
Происхождение понятия силы. В тече-
ние примерно 2000 лет до Галилея за-
дачей теории движения являлось объ-
яснить, почему тело имеет данную ско-
рость. Эта задача решалась в динами-
ке Аристотеля следующим образом.
Считалось, что каждому телу свойст-
венно определенное место: легкие тела
наверху, тяжелые — внизу. Тела стре-
мятся к своим местам, и такое их дви-
жение — легких тел вверх, тяжелых —
вниз — не требует объяснения — оно
является естественным. Движение
звезд и небесных тел по небесному
своду считалось также естественным.
Другие движения, не относящиеся к
естественным, являются насильствен-
ными, например качение биллиардного
шара по горизонтальному столу, и тре-
буют указания причины, почему они
происходят.
Причину, почему шар катится по
столу, Аристотель называл силой, кото-
рая передается шару из окружающей
его среды. Если в математической
форме выразить закон движения Арис-
тотеля, то эта сила будет пропорцио-
нальна скорости шара. В дальнейшем
постепенно возникли сомнения, что эта
сила передается шару из окружающей
среды, и Николай Кузанский (1401 —
1464) приходит к представлению, что
она передается шару в момент толчка,
а дальше уже находится в шаре и
обеспечивает существование его ско-
рости. Необходимость в окружающей
среде для этой цели отпала. Затем Га-
лилей наиболее ясно показал, что нуж-
дается в объяснении не сохранение
скорости, а ее изменение, и связал по-
нятие силы не со скоростью, а с ус-
корением. Сохранение же телом име-
ющейся у него скорости происходит по
закону инерции, согласно которому те-
ло стремится сохранить состояние сво-
5
ДИНАМИКА
МАТЕРИАЛЬНОЙ
ТОЧКИ
Основной смысл ди-
намики Ньютона состоит в том, что
именно ускорение, а не скорость или
производная ускорения по времени,
обусловливается внешними условиями,
описываемыми посредством понятия
силы. Поэтому второй закон Ньютона
не является определением силы, хотя
для нахождения силы во многих кон-
кретных условиях использование второ-
го закона является единственно воз-
можным.
18
Силы
19
Законы Ньютона
20
Релятивистское уравнение движения
21
Движение системы материальных точек
106 5. Динамика материальной точки
39
Сложение сил по
правилу паралле-
лограмма
его равномерно-прямолинейного дви-
жения. Этот закон, согласно Галилею,
следует рассматривать как первона-
чальный, основной закон, который не
может быть сведен к чему-либо более
простому.
В динамике Ньютона не скорость,
а изменение скорости, т. е. ускорение,
имеет причину. Причиной изменения
скорости является сила. Задача за-
ключается в том, чтобы дать количе-
ственную формулировку соотношения
между силой и ускорением. Эта задача
решается законами движения Нью-
тона.
Взаимодействия. Силы не являются
какими-то самостоятельными сущнос-
тями, независимыми от материальных
тел. Они создаются материальными
телами. Поэтому можно сказать, что
посредством сил материальные тела
действуют друг на друга, т. е. взаимо-
Физическое содержание второго закона
Ньютона состоит в том, что именно ускоре-
ние, а не скорость или производная от уско-
рения, определяются внешними условиями.
Внешние условия в классической механике
описываются с помощью понятия силы.
В чем состоит субъективный характер отли-
чия действия от противодействия?
Как связаны силы и вызываемые ими дефор-
мации?
действуют. Сила при этом выступает
как векторная количественная мера ин-
тенсивности взаимодействий.
Измерение силы. Силы не только
изменяют скорость движения матери-
альных тел, но и вызывают их дефор-
мации. Наиболее простым и наглядным
примером деформированного тела яв-
ляется сжатая или растянутая пружи-
на. Ее удобно использовать в качест-
ве эталона измерения силы: за единицу
эталона силы берется пружина, растя-
нутая или сжатая в определенной
степени. Две силы называются равны-
ми по числовому значению, но проти-
воположно направленными, если они,
будучи приложенными к материально-
му телу, не сообщают ему ускорения.
На основании этого можно сравнить
силы, направленные вдоль одной пря-
мой, и сделать вывод, что силы харак-
теризуются не только числовым зна-
чением, но и науравлением. С другой
стороны, это позволяет построить шка-
лу сил. На рис. 39 показано сложение
сил, действующих в различных направ-
лениях, причем доказательством того,
что сумма сил равна нулю, по-прежне-
му является отсутствие ускорения у
тела, к которому они приложены. На
этом рисунке видно, что силы склады-
ваются по правилу параллелограмма,
т. е. как векторы. Тем самым доказы-
вается, что сила является вектором, и
устанавливается процедура измерения
сил, независимая от измерения уско-
рений.
19. Законы Ньютона
Обсуждается вопрос о числе независимых за-
конов Ньютона.
Сколько независимых законов Ньюто-
на существует? Как известно, первый
закон гласит, что тело, достаточно уда-
ленное от других тел, сохраняет со-
стояние покоя или равномерного пря-
молинейного движения, а второй закон
§19. Законы Ньютона 107
дает выражение ускорения тела под
действием силы, приложенной к нему,
в виде
m(dv /At)— F, (19.1)
где т — масса тела, dv/d/ — ускоре-
ние. Из уравнения (19.1) при отсутст-
вии силы (F=0) следует, что v=const.
Иначе говоря, если на тело не действу-
ют никакие силы или если равнодейст-
вующая сил, приложенных к телу, рав-
на нулю, то тело движется равномерно
прямолинейно либо покоится. Поэтому
существует точка зрения, что первый
закон не имеет самостоятельного зна-
чения и является следствием второго
закона, а уравнение (19.1), выражаю-
щее этот закон, является просто опре-
делением силы, т. е. соглашением ввес-
ти в теорию величину F, называемую
силой, посредством равенства (19.1).
В этой книге такая точка зрения от-
вергается по следующим причинам.
. Как уже подробно говорилось в § 5
и 7, условием возможности даже чисто
кинематического рассмотрения движе-
ния тел в некоторой системе отсчета
является такое поведение масштабов и
часов, которое предполагалось спра-
ведливым в этих параграфах. Если,
например, нельзя синхронизовать часы
и ввести в системе отсчета единое вре-
Аристотель
(384—322 до н. э.),
древнегреческий
ученый и философ.
Основоположник
формальной логики,
учения о движении,
об основных
принципах бытия,
об этике и человеке
как общественном
существе,
о государстве.
Автор сочинений
«Физика»,
«Метафизика» и др.
мя так, как это было изложено в § 7,
то не имеет определенного смысла не
только закон динамики (19.1), но и
вообще все математические соотноше-
ния, которые изложены в главе о кине-
матике движения. Поэтому возникает
вопрос, каким образом проверить, что
в данной системе отсчета возможны
построения, изложенные в § 5 и 7.
Только убедившись в этом, можно го-
ворить о том, что физические величи-
ны имеют ясный смысл и точно опре-
деленное содержание, причем это каса-
ется не только величин динамики, но и
величин кинематики. Например, самое
простое представление о равномерном
движении теряет свой смысл, если
нельзя синхронизовать часы так, как
это указано в § 7.
В принципе можно убедиться в при-
годности системы отсчета путем тща-
тельного изучения поведения масшта-
бов и часов в ней, причем необходимо
охватить этой проверкой все простран-
ство и провести ее с достаточно боль-
шой точностью. Лишь после этого
можно написать уравнение (19.1) и из
него действительно вывести первый за-
кон. Однако такого рода проверку
практически провести невозможно, а
без этого нельзя сказать, какой смысл
имеет уравнение (19.1).
Для того чтобы обойти эту труд-
ность, можно выбрать систему отсчета
с помощью первого закона Ньютона:
надо взять некоторое пробное тело и
поместить его достаточно далеко от
всех других материальных тел; если
при этом, наблюдая движение пробно-
го тела, обнаружим, что оно движется
равномерно и прямолинейно или поко-
ится, то система отсчета годится для
кинематических и динамических описа-
ний движений по тем правилам, ко-
торые применяются. Эта проверка эк-
вивалентна той, о которой говорилось
выше. Только после этого можно напи-
сать закон движения (19.1).
108 5. Динамика материальной точки
40
Демонстрация за-
висимости ускоре-
ний от сил
Сила измеряется по
величине деформа-
ции пружины
Поэтому первый закон Ньютона яв-
ляется независимым законом, выра-
жающим критерий пригодности систе-
мы отсчета для рассмотрения движе-
ний, причем и в динамическом, и в ки-
нематическом смысле. Этот закон яв-
ляется не только независимым, но и
первым в порядковом смысле, потому
что только после него можно говорить
о точно определенном физическом
смысле и содержании второго и третье-
го законов.
Взгляд на уравнение (19.1) как на
определение силы является неприемле-
мым не только потому, что именно в
этом уравнении выражена математиче-
ски основная физическая идея о харак-
тере связи внешних условий и динами-
ческих переменных движения матери-
альной точки, но и потому, что дей-
ствие силы в механике проявляется
не только в ускорении тел, но и, на-
пример, в их деформациях, когда ни о
каких ускорениях нет даже упомина-
ния. Однако необходимо подчеркнуть,
что речь сейчас идет именно о клас-
сической механике, а не о физике во-
обще. Например, бессмысленно гово-
рить о силах в квантовой механике,
потому что там нельзя описывать дви-
жение с помощью понятий скоростей,
ускорений, траекторий и материаль-
ных точек в классическом смысле.
Неприемлемость взгляда на второй
закон Ньютона как на определение
силы следует также из анализа соот-
ношения между механикой Ньютона и
механикой Аристотеля. В механике
Ньютона сохранилось представление
об естественных и насильственных
движениях, однако в качестве естест-
венного осталось лишь прямолинейное
равномерное движение (первый за-
кон) . Вместо закона Аристотеля, где
скорость пропорциональна силе, вто-
рой закон Ньютона говорит о пропор-
циональности ускорения силе, т. е. что
внешними условиями определяется не
скорость движения, а ускорение. Если
второй закон является просто опреде-
лением силы, то почему бы не опре-
делять силу так, чтобы движение опи-
сывалось законом Аристотеля, или так,
чтобы сила определялась третьей про-
изводной координат по времени? Тот
факт, что это сделать невозможно,
говорит о неприемлемости взгляда на
второй закон Ньютона как на опреде-
ление силы.—
Масса. ^В качестве простейшего
эталона силы целесообразно взять
пружину, проградуированную на раз-
личные значения силы указанным вы-
ше способом. Таким образом, имеется
возможности прикладывать к телу раз-
личные силы, значения которых извест-
ны. Единицей силы является независи-
мая величина, материализованная в
пружине, растянутой или сжатой до
определенной степени. Второй измеряе-
мой величиной является ускорение раз-
личных материальных тел, на которые
действует сила. Схема демонстраци-
онной установки для изучения зависи-
мости ускорений от сил изображена на
рис. 40. Результаты экспериментов по-
казывают, что ускорение по направ-
лению совпадает с силой. Одна и та
же сила разным телам сообщает раз-
личные ускорения. Различные силы
одному и тому же телу сообщают раз-
ные ускорения. Однако отношение си-
лы к ускорению всегда равно одной
и той же величине:
F/a=const=m. (19.2)
§ 19. Законы Ньютона 109
Отношение F/a=const справедливо
только при достаточно малых скорос-
тях тел. Если же скорости тел увели-
чивать, то оно начинает изменяться,
возрастая со скоростью. Это означа-
ет, что инертные свойства тел усили-
ваются с увеличением скорости. Более
подробно этот вопрос будет рассмотрен
в следующем параграфе.
Если соотношение (19.2) записать в
векторной форме с учетом того, что
направления силы и ускорения совпа-
дают, то получается уравнение (19.1),
выражающее второй закон Ньютона.
Однако полезно это уравнение перепи-
сать также и в другой форме:
_______1 г?
d/ ~“
р — mN.
(19.3а)
(19.36)
Произведение массы на скорость
p = mv называется импульсом (коли-
чеством движения). Сила F в правой
части является суммой всех сил, дейст-
вующих на тело.
Хотя уравнение (19.3а) получается
из уравнения (19:1) простым измене-
Цьютон Исаак
(1643—1727),
английский математик,
механик, астроном
и физик. Основатель
классической физики.
Установил законы,
классической механики.
Открыл закон
всемирного тяготения,
создал основы
небесной механики.
Открыл дисперсию света,
хроматическую
аберрацию, исследовал
интерференцию света,
развил корпускулярную
теорию света.
Разработал
(независимо от
Г. Лейбница)
дифференциальное
и интегральное
исчисления.
нием обозначений, нельзя сказать, что
оно не содержит ничего нового Преж-
де всего в уравнении (19.3а) появля-
ется новая физическая величина — им-
пульс, определяемый соотношением
(19.36). При малых скоростях, когда
непосредственно измеряемыми величи-
нами являются скорости и ускорения,
импульс выступает просто как вспомо-
гательная величина, вычисляемая по
формуле (19.36). Однако при очень
больших скоростях импульс становится
основной величиной, измеряемой в экс-
периментах, а скорости частиц стано-
вятся почти постоянными и равными
скорости света. Поэтому уравнения
(19.1) и (19.3а) различаются при ма-
лых скоростях формальными обозна-
чениями, а при больших скоростях —
физическим содержанием. Обобщением
уравнения движения на релятивист-
ские скорости является именно урав-
нение (19.3а), а не (19.1), как это бу-
дет более подробно показано в следу-
ющем параграфе.
Свойство тела, которым определя-
ется значение отношения силы к уско-
рению в (19.2), называется инерт-
ностью тела, а значение этого отноше-
ния — инертной массой или просто
-массой. Какого-либо иного смысла,
кроме характеристики свойства инерт-
ности тела, инертная масса в меха-
нике Ньютона не имеет.
При релятивистских скоростях инерт-
ные свойства тела сохраняются, но их
проявление усложняется. Сила, вообще
говоря, не совпадает по направлению
с ускорением, и отношение вида (19.2)
теряет смысл. Однако такое отношение
по-прежнему имеет смысл для компо-
нент силы и компонент ускорения в
определенном направлении. Оно ха-
рактеризует инертные свойства тела в
этом направлении, однако не имеет
постоянного значения и изменяется в
зависимости от угла между направ-
лением и скоростью. Поэтому обоб-
110 5. Динамика материальной точки
41
При взаимодействии двух тел одно из них дей-
ствует на другое с такой же силой, но противо-
положно направленной, как другое — на первое
(третий закон Ньютона)
** Силы, для которых третий закон Ньютона
справедлив, не удовлетворяют релятивист-
ским требованиям и поэтому не могут су-
ществовать в природе. Однако в, нереляти-
вистском пределе третий закон Ньютона
выполняется с достаточно большой точ-
ностью. Утверждение о невыполнении третье-
го закона Ньютона имеет принципиальное
значение лишь для определения границ
применимости механики Ньютона.
Второй закон Ньютона не может быть сфор-
мулирован раньше первого закона и выяс-
нения понятий, связанных с инерциальными
системами отсчета. Если это попытаться
сделать, то смысл входящих в него физиче-
ских величин не может быть определен.
* Знаете ли Вы существующие точки зрения о
числе независимых законов Ньютона? Како-
ва Ваша точка зрения по этому вопросу?
В чем состоят общие релятивистские сооб-
ражения, показывающие, что в своей про-
стейшей форме третий закон Ньютона не
может выполняться?
Какая более глубокая точка зрения на третий
закон Ньютона Вам известна и какова при
этом интерпретация взаимодействия движу-
щихся электрических зарядов?
Какова роль поля во взаимодействии?
щить на релятивистский случай Поня-
тие массы как скалярной величины с
помощью соотношения (19.2) нельзя.
Более подходящим для обобщения яв-
ляется соотношение (19.36), в котором
масса выступает как коэффициент про-
порциональности между импульсом и
скоростью материальной точки.
О втором законе Ньютона. Второй
закон Ньютона (19.1) может рассмат-
риваться как закон, а не как опреде-
ление силы только в том случае, если
имеется независимое от этого закона
определение силы. Одно из независи-
мых определений силы как силы дефор-
мированной пружины было рассмотре-
но в предыдущем параграфе. Однако
этого еще недостаточно, чтобы (19.1)
считать законом, потому что такое оп-
ределение силы справедливо лишь для
покоящихся тел. ‘Поэтому необходимо
произвести опыты с движущимися де-
формированными пружинами и уско-
ренными ими телами и убедиться, что
соотношение (19.1) не зависит от ско-
рости. Опыт полностью подтверждает
такое заключение, и поэтому (19.1)
является именно законом, а не опреде-
лением силы. Физическое содержание
этого закона состоит не в том, что
сила имеет то или иное конкретное
выражение, а в том, что сила опреде-
ляет вторые производные координат по
времени (dv/d/=d2r/d/2). Из инва-
риантности ускорения относительно
преобразований Галилея следует ин-
вариантность силы.
Однако в релятивистской динамике
уравнением движения является урав-
нение (19.3а), которое инвариантно от-
носительно преобразований Лоренца
по определению, а сила F не инвари-
антна. Ситуация сильно усложняется,
однако для ответа на вопрос, явля-
ется ли релятивистское уравнение за-
коном движения или определением си-
лы, можно дать ответ, не вдаваясь в
обсуждение деталей этой сложной си-
§19. Законы Ньютона 111
туацйи. Релятивистская инвариант-
ность\уравнения и принцип относитель-
ности \ позволяют утверждать, что
если э4о уравнение является уравнени-
ем движения, а не определением силы
в системе координат, где справедливо
нерелятивистское приближение, то оно
является уравнением движения и во
всех других системах координат.
О третьем законе Ньютона. Третий
закон Ньютона говорит о том, что во
взаимодействии двух тел каждое из
тел действует на другое тело с оди-
наковой по значению, но противо-
положной по направлению силой. Та.-
ким образом, источниками «действую-
щей» и «противодействующей» сил яв-
ляются различные материальные тела;
различны также тела, к которым при-
ложены эти силы. Каждое из взаимо-
действующих тел является источником
«действующей» на другое тело силы и
объектом приложения «противодейст-
вующей» силы, источником которой яв-
ляется другое из взаимодействующих
тел. Поэтому разница между «дейст-
вующей» и «противодействующей» си-
лами имеет лишь субъективный харак-
тер и зависит от точки зрения. По
своей природе^ «действие» и «противо-
действие» не отличаются.
Наиболее наглядно закон равенства
действия и противодействия демонст-
рируется при взаимодействии матери-
альных тел, осуществляемом через по-
средство других материальных тел, на-
пример через посредство пружины или
нити. На рис. 41 показаны установки,
на которых можно убедиться в выпол-
нимости третьего закона Ньютона.
В случае, изображенном на рис. 41, а,
пружина сжимается до некоторого по-
ложения внешними силами F\ и F2,
приложенными соответственно к телам
т\ и т2. После прекращения действия
сил, сжимающих пружину, тела т\ и
т2 приходят в ускоренное движение.
Следовательно, на каждое из тел дей-
42
Электромагнитное взаимодействие движущихся
зарядов
В этом случае третий закон Ньютона не выполняется,
поскольку заряды не являются изолированной си-
стемой. В этом взаимодействии участвуют также и
поля
ствует сила, которая может быть вы-
числена по ускорению, приобретаемому
телом. Опыт показывает, что всегда
соблюдается соотношение miczi=m2«2,
где а\ и аг — ускорения тел mi и m2.
Это и означает, что F\=F2. В случае,
изображенном на рис. 41, б, на одном
из взаимодействующих тел укреплен
электродвигатель. На его вал при
вращении наматывается нить, вторым
концом жестко прикрепленная к друго-
му телу. При намотке нити тела дви-
жутся навстречу друг другу с уско-
рениями а\ и а2у причем всегда тщ\=
=т2а2, т. е. F\=F2.
Однако закон равенства действия и
противодействия выполняется в такой
простой форме не всегда. Рассмотрим
взаимодействие двух положительных
зарядов 71 и 72, движущихся соот-
ветственно СО скоростями V1 И V2,
на каждый из которых со стороны дру-
гого заряда действуют силы Fi и h
(рис. 42). Каждую из этих сил можно
представить в виде двух составляю-
щих. Первая составляющая есть си-
ла электрического взаимодействия по
закону Кулона. Она действует по ли-
нии, соединяющей заряды, равна
7172/(4л8о^2) и удовлетворяет третьему
закону Ньютона, т. е. обозначена
как FiK= — F2k. Но кроме электри-
112 5. Динамика материальной точки
ческого взаимодействия зарядов су-
ществует их магнитное взаимодейст-
вие: каждый из движущихся зарядов
в точке нахождения другого заряда
создает магнитное поле индукции В.
Оно действует на заряд q, движущий-
ся со скоростью v, с силой Лоренца,
равной
FM=^vXB. (19.4)
Поле В, создаваемое движущимся
зарядом, может быть найдено. Сейчас
нет необходимости знать точное значе-
ние индукции, а важно лишь отме-
тить, что в ситуации, изображенной на
рис. 42 поле Bi, создаваемое зарядом
q\ в точке нахождения заряда ^2,
направлено перпендикулярно плоскос-
ти чертежа к нам, а поле В2, создавае-
мое зарядом <72 в точке нахождения
заряда qi, направлено перпендикуляр-
но плоскости чертежа от нас. Сила
Лоренца (19.4) перпендикулярна ско-
рости v и магнитному полю В. Как
видно из рис. 42, силы Лоренца FiM
и F2m, действующие на каждый из за-
рядов в и <?2, не совпадают по
направлению и, следовательно, не мо-
гут удовлетворять закону действия и
противодействия. Полная сила дей-
ствия первого заряда на второй («дей-
ствие») равна F2k+ F2m= F2, а полная
сила действия второго заряда на пер-
вый («противодействие») равна FjK+
+ Fim=Fi. Ясно, что эти силы не равны
друг другу и не направлены противо-
положно:
Fi^—F2, (19.5)
т. е. третий закон Ньютона не выпол-
няется.
Заметим, что при не очень больших
скоростях заряженных частиц, много
меньших скорости света (и/с<С1), силы
магнитного происхождения много мень-
ше электрических. Поскольку отклоне-
ние от закона равенства действия и
противодействия обусловлено магнит-
ными силами, то это отклонение при не
очень больших скоростях несуществен-
но и им обычно можно пренебречь.
Чтобы разобраться в этом вопросе,
необходимо иметь в веду, что । третий
закон Ньютона имеет более глубокое
содержание, чем просто равенство сил
действия и противодействия. Рассмот-
рим взаимодействие тележек, изобра-
женных на рис. 41, и запишем уравнение
движения (19.36) для каждого из взаи-
модействующих тел:
где pi = т\vCp2=m2v2. Скорость Vi или
v2 имеет знак «+», если ее направление
совпадает с направлением оси х, вы-
бранным за положительное. Тогда на
рис. 41, а скорость v2 тележки т2 будет
положительной, a Vi тележки mi — от-
рицательной; на рис. 41, б знаки у ско-
ростей vi и v2 будут противоположными.
Знаки сил F\ и F2 в уравнениях (19.6)
также определяются тем, совпадает ли
вектор данной силы с положительным
направлением оси х или противополо-
жен ей. По третьему закону Ньютона
должно быть A + F2 = 0. Поэтому, сло-
жив почленно уравнения (19.6), полу-
чим
^+47 = +f2 = °-
(19.7)
Отсюда следует, что
pi + р2=const. (19.8)
Таким образом, при взаимодействии
двух тел сумма их импульсов являет
ся постоянной. Третий закон Ньютона
можно сформулировать как требование
сохранения суммы импульсов взаимо-
действующих тел, если нет никаких дру-
гих внешних сил. В этом — его более
глубокое физическое содержание.
Теперь вернёмся к случаю взаимо-
действия движущихся зарядов (рис. 42).
§ 19. Законы Ньютона 113
Как уже показано выше, силы, с кото-
рыми электроны действуют друг на дру-
га, не равны и не направлены противо-
положно. Следовательно, согласно
(19.7) получаем, что сумма импульсов
взаимодействующих электронов не со-
храняет постоянного значения, она из-
меняется, т. е. третий закон Ньютона
не выполняется.
Однако посмотрим более внима-
тельно на картину взаимодействия.
В нем участвуют не только заряды q\
и ^2, но и электрическое поле Е и
магнитное поле В. Спрашивается, а не
обладают ли импульсом эти поля? От-
вет гласит: да, электромагнитное поле
обладает импульсом. В электроди-
намике показывается, что этот импульс
распределен во всем пространстве, где
есть электромагнитное поле, а плот-
ность импульса (т. е. импульс, отнесен-
ный к единице объема) для поля в
вакууме равна ЕХВ/(?ц0), где цо=
= 4л-10 ' Гн/м — магнитная постоян-
ная. Вычисления показывают, что од-
новременно с изменением суммы импуль-
сов взаимодействующих электронов
изменяется на такое же значение, но
в противоположном направлении,
и импульс электромагнитного поля,
создаваемого этими электронами,
т. е. при взаимодействии сохраняется
суммарный импульс взаимодействую-
щих движущихся электронов и созда-
ваемого ими электромагнитного поля.
В такой формулировке восстанавли-
вается справедливость третьего закона
Ньютона для описания данного взаи-
модействия.
Как будет выяснено в § 26, силы,
для которых третий закон Ньютона
справедлив, не удовлетворяют реляти-
вистским требованиям и поэтому не
могут существовать в природе. Лишь в
нерелятивистском случае реальные си-
лы удовлетворяют третьему закону
Ньютона, но законы Ньютона и были
сформулированы именно для этого слу-
Схема сил и ускорений в примере 19.1
44
Схема сил и ускорений
в примере 19.2
чая. Поэтому утверждение о невыпол-
нении третьего закона Ньютона имеет
принципиальное значение лишь для
определения границ применимости ме-
ханики Ньютона.
Вот почему формулировка третьего
закона Ньютона в виде требования
сохранения суммарного импульса уча-
ствующих во взаимодействии тел и по-
лей является более физически содер-
жательной, чем формулировка в виде
требования равенства сил действия и
противодействия.
Можно показать невозможность
соблюдения третьего закона Ньютона в
релятивистском случае без обращения
к электромагнитным взаимодействиям.
Пусть в некоторой системе координат
происходит взаимодействие двух тел
такое, что соблюдается равенство дей-
ствия и противодействия и в некото-
рый момент времени тела приходят в
114 5. Динамика материальной точки
движение с равными и противополож-
но направленными ускорениями. В дру-
гой системе координат начала движе-
ний произойдут не одновременно и,
следовательно, будет некоторый про-
межуток времени, в течение которого
одно из тел ускоряется, а другое —
покоится. Ясно, что в течение этого
промежутка времени третий закон
Ньютона в его простейшей форме заве-
домо не выполняется. Таким образом,
невыполнимость третьего закона
Ньютона в простейшей форме являет-
ся следствием общих релятивистских
свойств пространства и времени.
Пример 19.1. Тело массой т\ может
скользить без трения по наклонной
плоскости бруска массой т2. Угол
наклона плоскости с горизонтом а.
Брусок движется без трения по гори-
зонтальной плоскости (рис. 43). Найти
ускорения тела и бруска.
Обозначим: а\ — ускорение тела
вдоль наклонной плоскости относитель-
но бруска и а2 — ускорение бруска в
горизонтальном направлении. На тело
действуют сила реакции?/! опоры и вес
m\g. На брусок действуют сила реак-
ции М2 опоры и вес m2g.
Уравнения движения Ньютона для
бруска в проекциях на горизонтальное
и вертикальное направления записы-
ваются в виде
m2a2=N isina,
(19.9)
О = m2g—A^ + Aficosa,
а для тела — в виде
лП1(щсоза — a2) = AGsina,
/niaisina = mig—Alcosol (19.10)
В уравнениях (19.9) и (19.10) имеется
четыре неизвестных. Находим уско-
рения:
(mj+^gsin a
misin2 аД-т2
migsin acos a
misin2 a+^2
(19.11)
Пример 19.2. Через блок перекину-
та невесомая нерастяжимая нить, на
концах которой закреплены грузы
массами т\ и т2. Трение между
блоком и нитью отсутствует. Блок дви-
жется вертикально вверх с ускорением
а0. Найти ускорения грузов (рис. 44).
Ясно, что ввиду нерастяжимости
нити ускорения грузов массами т\ и
то. относительно блока равны по мо-
дулю, но противоположны по знаку.
Если ускорение груза массой mi равно
ао—а, то ускорение груза массой т2
равно ao + a. Сила Т натяжения
нити, действующая на грузы, одинако-
ва. Следовательно, уравнения движе-
ния грузов имеют вид
mi(a0 + d)=T—mig,
m2(a0—a)=T-—m2g.
Отсюда находим
Пример 19.3. Кольцо может двигать-
ся без трения вдоль недеформируемого
прута, который вращается с постоянной
угловой скоростью оз вокруг вертикаль-
ной оси, проходящей через прут пер-
пендикулярно его длине. Обозначив г
расстояние вдоль прута от оси враще-
ния до кольца, найти r(f).
Расчет удобно вести в полярной
системе координат, начало которой сов-
падает с точкой прута, через которую
проходит ось вращения, а плоскость
полярной системы координат совпадает
с плоскостью движения прута. Ра-
диальное ускорение в полярной системе
координат равно г — огг, где точками
19.12)
(19.13)
§20. Релятивистское уравнение движения 115
обозначены производные по времени Ни-
каких сил, направленных вдоль радиуса,
нет. Следовательно, уравнение Ньютона
для радиального движения кольца мас-
сы пг имеет вид
т(г — (о2г)=0. (19.14)
Отсюда находим
г=А^ + А2е-ш\ (19.15)
где Ai и А2 — постоянные, определяе-
мые начальными условиями. Напри-
мер, если при /=0 г=0 и г=и, то
А1 = — А2 — и/ (2со) и, следовательно,
г= (и/ (2(d) ) (ео/ — е~ш/) = (w/co) shco/.
(19.16)
20. Релятивистское уравнение
движения
Выводится релятивистское уравнение
движения и обсуждаются его следствия.
Инертность в направлении скорости и
перпендикулярно скорости. Если про-
должать эксперименты с тележками,
изображенными на рис. 41, увеличивая
скорости их движения, то вместо выра-
жения (19.2) окажется, что отношение
F/a не является постоянным, а зависит
от скорости. Однако, чтобы это заме-
тить, нужны очень большие скорости.
Проще всего эти опыты осуществить с
заряженными элементарными части-
цами, движущимися в электромагнит-
ных полях (например, в ускорителях).
При этом сила, действующая на заря-
женную частицу, движущуюся со ско-
ростью v, вычисляется по формуле
F = (7(E + vXB).
(20.1)
Пусть заряженная частица, напри-
мер протон, движется по круговой ор-
бите в переменном магнитном поле В,
как это происходит в циклическом ус-
корителе (рис. 45). На пути протона
45
Движение заря-
женной частицы в
ускорителе
имеется промежуток, в котором созда-
ется электрическое поле Е, известное
по величине и меняющееся так, что в
момент прохождения протоном этого
промежутка он ускоряется. Вне уско-
ряющего промежутка протон движется
по окружности известного радиуса г
под действием силы Fn=ev><B. Задав
индукцию магнитного поля В, опреде-
лив скорость протона по времени об-
лета окружности ускорителя и прини-
мая во внимание формулу центростре-
мительного ускорения при движении по
окружности по формуле v2/r=an, мож-
но найти отношение Fn/an=evBrlv2.
Эксперимент дает зависимость
____ const
ап ^\—v2/c2
Под действием силы Fx=eE при
пролете ускоряющего промежутка ско-
рость протона увеличивается. Изме-
нение этой скорости от оборота к обо-
роту, т. е. ускорение ау протона, может
быть измерено. Конечно, практически
сделать это не просто, потому что про-
тон проходит ускоряющий промежуток
в разных фазах ускоряющего поля,
т. е. при различных значениях Е ра-
диус его орбиты также колеблется
и т. д. Однако здесь нет необходимости
подробно обсуждать эти вопросы.
Ясно, что эти факторы в принципе
можно учесть и вычислить ускорение
электрона ат, обусловленное действием
силы Т7?. Из этих данных находят вели-
116 5 Динамика материальной точки
46
Зависимость F/a для
нормальной и танген-
циальной компонент
силы и ускорения от
v/с
формулу (19.2). Поэтому постоянная
величина в них равна массе частицы
т0, которая является мерой инертности
частицы при нулевой скорости и назы-
вается массой покоя. Окончательно
выражения (20.2) и (20.3) можно за-
писать в виде
т0
47
В релятивистском случае ускорение и сила,
вообще говоря, не совпадают по направлению
ввиду различия инертности частицы вдоль ско-
рости и перпендикулярно ей
чину FT/a^. Эксперимент дает зависи-
мость
Ft const
От (1-02/с2)3/2 ’
(20.3)
Формулы (20.2) и (20.3) при малых
скоростях о/с<С1 должны перейти в
Релятивистская масса, так же как и нереля-
тивистская, характеризует инертность мате-
риальной точки. Различие между ними лишь
в том, что инертность материальной точки
в релятивистском случае зависит от скоро-
сти, а в нерелятивистском — этой зависи-
мостью можно пренебречь.
В релятивистском случае направления уско-
рения и силы не совпадают.
(1—и2/с2)3'2
Эти зависимости графически изобра-
жены на рис. 46. Ускорение ах является
тангенциальным ускорением, Fx — си-
ла, коллинеарная касательной к траек-
тории. Ускорение ап и сила Fn перпен-
дикулярны скорости; равенства (20.4)
показывают, что инертность частицы
по направлению скорости отличается
от ее инертности перпендикулярно ско-
рости.
Релятивистское уравнение движе-
ния. Пусть частица движется по неко-
торой траектории. Обозначим, как в
§ 8 (см. рис. 15), тангенциальный к
траектории единичный вектор т, а нор-
мальный — п. Полную силу F, дейст-
вующую на частицу, можно разложить
на тангенциальную и нормальную
компоненты (рис. 47):
F = FT + Fn.
(20.5)
Каждая из компонент силы создает в
соответствующем направлении ускоре-
ние, которое определяется инертностью
тела в этом направлении. Поскольку
нормальное ускорение равно v2/R
[см. (8.21), где R— радиус кривизны
траектории, v — скорость частицы],
а тангенциальное ускорение—d^/d/,
формулы (20.4) для нормальных и тан-
генциальных компонент силы могут
быть записаны следующим образом:
m0 du___________р т0 v2 ____р
т(1_„7с2)3/2 *аГ—"
(20.6)
§ 20. Релятивистское уравнение движения 117
Сложив почленно выражения (20.6)
и учитывая (20.5), получим уравнение
движения частицы под действием пол-
ной силы F:
de' то v2 _____р
т (i-^/c2)3'2 ЧГ+п
(20.7)
Левую часть этого уравнения можно
упростить. Принимая во внимание, что
dT/d/=(dT/ds) (ds/d/)=y(dT/ds), и
представляя формулу (8.20) в виде
<20-8>
заменим величину п^2//? в (20.7) на
vdx/dt. Тогда уравнение примет вид
то du ! mQ dr_______________р
(1_v2/c2)3/2T-dF-i- *
(20.9)
Прямым дифференцированием про-
веряем равенство
d ( v _______ 1 dy
“dZA (1-и2/с2)3/2 "dP
с помощью которого левую часть урав-
нения (20.9) преобразуем к виду
Пуанкаре Жюль Анри
(1854—1912),
французский математик,
физик и философ.
Один из создателей
частной теории
относительности
и релятивистской
динамики. Автор
фундаментальных трудов
по небесной механике
и математической
физике, теории
дифференциальных
уравнений,
теории аналитических
функций и топологии
то du ! то dx
(1-у2/с2)3/2Т-аГ+ /T^7^u“dT=
__ d / mov X mQv dx_________________
d^ x y/1—v2 / (? x j/1—u2/^2 dZ
d / m0^x X d / moN X
dZ \ y/1—u2/^2 ✓ dZ \ p/i—u2/^2 ✓
где ut=v — скорость частицы. Таким
образом, получаем релятивистское
уравнение движения частицы
(20.10)
которое является обобщением урав-
нения движения Ньютона (19.1). Более
удобно представить его в виде, анало-
гичном (19.3 а):
UU ' ч
——== г р = г v, т —— ...
dz г ^1-1’7 Г
(20.11)
Величина т называется релятивист-
ской массой или просто массой; т0 —
масса покоя; р называется релятивист-
ским импульсом или просто импульсом.
Обычно нет необходимости специально ого-
варивать, что импульс является «релятивист-
ским», масса — «релятивистской» и т. д., потому
что когда скорости очень большие, релятивист-
ские, то можно использовать только релятивист-
ские выражения импульса и массы, а когда
скорости малы, то эти выражения автоматически
превращаются в нерелятивистские.
Релятивистская масса, так же как
и нерелятивистская, характеризует
инертность материальной точки. Разли-
чие между ними лишь в том, что инерт-
ность материальной точки в реляти-
вистском случае зависит от скорости,
а в нерелятивистском — этой зависи-
мостью можно пренебречь.
Несовпадение направлений силы и
ускорения в релятивистском случае.
Поскольку инертность тела различна в
118 5. Динамика материальной точки
48
К определению понятий момента импульса и
момента сил
Вектор момента импульса перпендикулярен плоско-
сти, в которой лежат радиус-вектор и импульс точки,
а вектор момента силы перпендикулярен плоскости,
в которой расположены радиус-вектор и сила. Точка
О — начало отсчета радиусов-векторов
направлении движения и перпендику-
лярном направлении, вектор полной
силы не коллинеарен вектору полного
ускорения, т. е. вектору изменения ско-
рости, вызываемого этой силой, как
это показано на рис. 47. Как видно из
уравнения (20.11), с вектором силы
совпадает по направлению вектор из-
менения импульса. Вот почему в нере-
лятивистском случае различие между
уравнениями Ньютона (19.1) и (19.3 а)
чисто формальное и сводится к изме-
нению обозначений.
В релятивистском же случае урав-
нение движения материальной точки
может быть записано только в форме
(20.11). В принципе его можно запи-
сать в форме (19.1) с массой т =
= ^о/у1—с2/с2, но тогда в правой
части уравнения наряду с силой F
появляется дополнительный член
[см. (47.11)].
41 Что такое релятивистская масса тела и как
записывается релятивистское уравнение дви-
жения?
Какими факторами обусловливается несовпа-
дение направления силы и вызываемого ею
ускорения?
Откуда видно, что масса покоя является
инвариантом?
21. Движение системы материальных
точек
Дается определение понятий и физических
величин, характеризующих движение системы
материальных точек, и выводятся соответствую-
щие уравнения.
Система материальных точек. Систе-
мой материальных точек называется
совокупность конечного их числа. Сле-
довательно, эти материальные точки
можно пронумеровать. Примером та-
кой системы может служить газ, на-
ходящийся в некотором объеме, если
по условиям задачи его молекулы мо-
гут считаться материальными точками.
Солнце и планеты, входящие в Сол-
нечную систему, могут рассматривать-
ся как система материальных точек во
всех вопросах, когда внутреннее строе-
ние и размеры Солнца и планет не
играют роли. С течением времени
взаимное положение -отдельных точек
системы, вообще говоря, изменяется.
На каждую из точек системы дей-
ствуют силы двоякого происхождения:
во-первых, силы, источники которых
лежат вне системы, называемые внеш-
ними силами; во-вторых, силы со сто-
роны других точек системы, называе-
мые внутренними силами. Обычно при-
нимается, что внутренние .силы удов-
летворяют третьему закону Ньютона.
Эти точки будем нумеровать индек-
сами, например индексами /, / и т. д.,
которые пробегают все значения 1, 2,
3, ..., п, где п — число точек системы.
Физические величины, относящиеся к
z-й точке, обозначаются тем же индек-
сом, что и точка. Например, rz, pz, vz
и т. д. выражают соответственно ра-
диус-вектор, импульс и скорость г-й
точки.
Момент импульса материальной
точки. Пусть положение некоторой ма-
териальной точки относительно точ-
ки О, принятой за начало, характе-
ризуется радиусом-вектором г. Момен-
§21. Движение системы материальных точек 119
том импульса материальной точки от-
носительно О называется вектор
(рис. 48)
L = rXp.
(21-1)
Это определение справедливо как для
нерелятивистского, так и для реляти-
вистского импульса. В обоих случаях
импульс р по направлению совпадает
со скоростью материальной точки.
Момент силы, действующей на ма-
териальную точку. Моментом силы,
действующей на материальную точку,
относительно точки О (рис. 48) назы-
вается вектор
M = r XF-
(21.2)
Под F здесь, как и в других случаях,
понимается равнодействующая всех
сил, действующих на материальную
точку.
Уравнение моментов для матери-
альной точки. Продифференцируем мо-
мент импульса (21.1) повремени:
>=£ХР + ГХ£. (21.3)
Учтем, что dr/d/ = v является ско-
ростью, по направлению совпадающей
с импульсом р. Векторное произведе-
ние двух параллельных векторов равно
нулю. Поэтому первый член в правой
части (21.3) равен нулю, а второй
** Уравнение моментов для материальной точ-
ки не является независимым законом дви-
жения. Оно непосредственно следует из за-
конов Ньютона. Уравнение моментов для
системы материальных точек является неза-
висимым законом движения. Оно без допол-
нительных предположений из законов Нью-
тона не следует.
В релятивистском случае понятие центра
масс не имеет смысла, поскольку оно не
является инвариантом преобразований Ло-
ренца. Однако понятие системы центра масс
имеет весьма точный смысл и оказывается
очень полезным и важным.
выражает момент сил (21.2), посколь-
ку в соответствии с (20.11) dp/d/ = F.
В результате уравнение (21.3) прев-
ращается в уравнение моментов
1Г = М' (21.4)
которое играет важную роль при рас-
смотрении движений материальных то-
чек и тел.
Уравнение моментов для матери-
альной точки не является независимым
законом движения. Оно непосредствен-
но следует из законов Ньютона.
Импульс системы материальных то-
чек. Это понятие характеризует систе-
му в целом. Импульсом системы ма-
териальных точек называется сумма
импульсов материальных точек, со-
ставляющих систему:
р= Sp,=pi + p2 + ... + p„, (21-5)
4=1
где р, — импульс материальной точки,
обозначенной индексом х, п — число
точек в системе. В дальнейшем при
написании формул можно не ставить у
знака S значений индексов, по кото-
рым производится суммирование, по-
скольку это обычно бывает ясно без
специального упоминания.
Момент импульса системы матери-
альных точек. Моментом импульса
системы материальных точек относи-
тельно точки О, принятой за начало,
называется сумма моментов импульса,
составляющих систему материальных
точек относительно О:
L = 2 Li=Sr,XPi, (21.6)
i i
где L/ = rzXPi — момент импульса ма-
териальной точки, обозначенной ин-
дексом х, относительно О, определяе-
мый формулой (21.1).
Сила, действующая на систему ма-
териальных точек. Эта сила определи-
120 5. Динамика материальной точки
ется как сумма всех сил, действую-
щих на точки системы, включая силы
взаимодействия точек системы между
собой:
F = 2f„ (21.7а)
i
где
F^Ff+SF/i .(21.76)
является силой, действующей на ма-
териальную точку системы, обозна-
ченную индексом I. Она слагается из
внешней силы F', действующей на эту
точку, и внутренней силы S F/Z, дей-
ствующей на точку в результате взаи-
модействия с другими точками систе-
мы. Обозначение /=/=/. у суммы показы-
вает, что надо суммировать по всем
значениям /, за исключением значе-
ния j=i, поскольку действие точки са-
мой на себя отсутствует. Можно было
бы и не использовать это обозначе-
ние, если заметить, что Fn=0.
Третий закон Ньютона позволяет
значительно упростить выражение
(21.7 а) для силы, действующей на си-
стему материальных точек. Подставляя
(21.7 6) в (21.7а), находим
f=2f(+2 2f;7.
i i i
Двойная сумма в этой формуле может
быть представлена в виде
2 2 F;7=y2 2 (F/,-4- Fi;)=0, (21,7в)
i i i /
Как определяются импульс системы мате-
риальных точек и сила, действующая на нее?
Можно ли только на основании законов
Ньютона доказать, что момент внутренних
сил, действующих в системе материальных
точек, равен нулю? Какое дополнительное
к законам Ньютона предположение необхо-
димо принять для доказательства этого
положения?
поскольку, по третьему закону Ньюто-
на, F/7+FZ/- = 0 (рис. 49). Следова-
тельно,
F=2Fi=2Ff, (21.7г)
i
т. е. сила, действующая на систему
материальных точек, равна сумме
внешних сил, действующих на точки
системы. Поэтому в (21.7 а) под Fz
можно понимать лишь внешние силы.
Момент силы, действующей на сис-
тему материальных точек. Он опреде-
ляется аналогично другим величинам,
относящимся к системе. Моментом
силы, действующей на систему мате-
риальных точек относительно точки О,
называется сумма моментов сил, при-
ложенных к точкам системы относи-
тельно О:
М = 2мг=2г,ХГ<, (21.8)
i I
где М, определяется формулой (21.2).
Сила Ft в (21.8) является полной
силой, приложенной к точке /, включая
и внутренние силы, т. е. определяется
равенством (21.7 6).
Выражение (21.8) при некоторых
предположениях можно значительно
упростить. Подставив (21.7 б) в (21.8),
получим
м=2 Г, X FH- 2 2 n X F/,-.
г i /
(21-9)
Первая сумма выражает момент
внешних сил, а двойная сумма — мо-
мент внутренних сил. Вычислим его:
2 2 г,- х F/i=^2 2 (г; х F/t-+г-, х f,7)=
< / i j
--2 (Г* Г/)Х F/ь
i i
(21.10а)
здесь принят во внимание третий закон
Ньютона Ff7+Fj7=0. Предполагая ра-
венство нулю момента внутренних сил
§21. Движение системы материальных точек 121
2 (г,—г,) х Fp=О, (21.1 Об)
заключаем, что в выражение (21.9)
для момента сил, действующих на
систему, входит только момент внеш-
них сил. Это требование физически
оправдано. Например, в случае цент-
ральных сил векторы Fp коллинеарны
векторам гг — Г/, поэтому каждый член
суммы в (21.10 б), а следовательно,
и вся сумма равны нулю. Конечно,
требование равенства нулю каждого
члена суммы более жестко, чем требо-
вание равенства нулю всей суммы.
В механике Ньютона требование о ра-
венстве нулю момента внутренних сил
системы материальных точек принима-
ется как постулат, дополнительный к
законам Ньютона. Только при этом
условии можно считать момент сил
(21.8) сводящимся к моменту внешних
сил.
Как было отмечено в § 19, силы
взаимодействия между двумя движу-
щимися зарядами нецентральны. Заря-
женные частицы, входящие в состав
тел, находятся в движении, и, следо-
вательно, их взаимодействия нецент-
ральны. Поэтому уравнение моментов
классической механики для системы
заряженных материальных точек, стро-
го говоря, несправедливо в принци-
пиальном смысле этого слова. В прак-
тическом смысле уравнение моментов
в большинстве случаев оказывается
справедливым с громадной точностью,
потому что величина нецентральной
части в каждом парном взаимодей-
ствии имеет релятивистский порядок
малости относительно величин цент-
рального взаимодействия, а статисти-
ческий характер этих взаимодействий
приводит к тому, что сумма (21.10 6)
релятивистски малых членов исчезает.
Однако существуют ситуации, ког-
да момент внутренних сил заведомо
отличен от нуля. Примером может
49
Момент внутренних
сил, приложенных
к точкам i и /, ра-
вен нулю согласно
третьему закону
Ньютона
служить диэлектрический заряженный
цилиндр, к поверхности которого жест-
ко прикреплены витки проволоки, об-
разующей соленоид. Когда по соле-
ноиду протекает изменяющийся во
времени электрический ток, то в систе-
ме диэлектрический заряженный ци-
линдр — соленоид возникает момент
внутренних сил, стремящийся повер-
нуть систему вокруг оси цилиндра.
Рациональная интерпретация этого
явления, как и в случае несоблюде-
ния третьего закона Ньютона при
взаимодействии движущихся зарядов,
состоит в учете роли электромагнит-
ного поля. Отсюда следует, что элект-
ромагнитное поле обладает не только
энергией и импульсом, но и моментом
импульса.
Уравнение движения системы ма-
териальных точек. Продифференци-
руем (21.5) по времени и учтем, что
уравнение движения i-й точки на ос-
новании (20.11) имеет вид dpz/d/ = Fz:
A_s*L=2r„A=F. (21J1)
где
F = SFZ. (21.12)
Величина F равна сумме внешних
сил, так как в сумме (21.12) все
внутренние силы взаимно сокращают-
ся [см. (21.7г)]. Уравнение (21.11)
по внешнему виду полностью совпада-
ет с уравнением (20.11) для матери-
альной точки, но по содержанию от-
лично от него, поскольку физические
носители импульса р распределены по
всему пространству, занимаемому сис-
122 5. Динамика материальной точки
темой точек; точки приложения внеш-
них сил, составляющих F, распределе-
ны аналогичным образом. Лишь в не-
релятивистском случае можно дать
такое истолкование уравнениям (21.11),
которое близко к смыслу уравне-
ния (20.11).
Центр масс. В нерелятивистском
случае, т. е. при движении с малыми
скоростями, можно ввести понятие
центра масс. Прежде всего рассмот-
рим выражения для импульса системы
точек в нерелятивистском случае
р= S mOiVi= S zn0/n=
at at
==m4fe2"io;r‘)’ (2L13)
где под m=Sm0/ понимается масса
системы как сумма масс покоя состав-
ляющих ее точек.
Радиус-вектор
R=-J-S tnQiri
(21.14)
определяет воображаемую точку, ко-
торая называется центром масс систе-
мы. Величина dR/d/=V — скорость
движения этой воображаемой точки.
Импульс системы (21.13) с учетом
(21.14) записывается в виде
p = m-^-==mV, (21.15)
т. е. представляется как произведение
массы системы на скорость ее центра
if, Почему в релятивистском случае не имеет.,
смысла понятие центра масс и какой смысл
имеет понятие системы центра масс?
Каково должно быть состояние движения
точки, относительно которой написано урав-
нение моментов, чтобы оно выполнялось?
Можете ли Вы доказать, что уравнение мо-
ментов справедливо относительно центра
масс, хотя движение последнего может
быть весьма сложным?
масс, что совершенно аналогично им-
пульсу материальной точки. За дви-
жением центра масс можно следить
так же, как за движением матери-
альной точки.
С учетом выражений (21.14) и
(21.15) уравнение движения (21.11)
системы приобретает следующий вид:
dV ~
(21.16)
т. е. оно эквивалентно уравнению дви-
жения материальной точки, вся масса
которой сосредоточена в центре масс,
а все внешние силы, действующие на
точки системы, приложены к ее центру
масс. Точка центра масс (21.14)
занимает вполне определенное положе-
ние относительно материальных точек
системы. Если система не является
твердым телом, то взаимное положе-
ние ее точек с течением времени
меняется. Вследствие этого меняется
и положение центра масс относитель-
но точек системы, но в каждый данный
момент он имеет вполне определенное
положение. Выражение «определенное
положение» означает, что если в этот
момент «взглянуть» на систему точек
из другой системы координат, то по-
ложение центра масс относительно
точек системы останется неизменным.
Это можно доказать следующим об-
разом. Из определения радиуса-векто-
ра центра масс (21.14) видно, что
если точку О, относительно которой
отсчитывается радиус-вектор R, помес-
тить в точку центра масс, то оче-
видно, что R = 0. Поэтому если радиу-
сы-векторы г, отдельных точек систе-
мы отсчитывать относительно центра
масс, то из (21.14) находим
Sm0irx=0. (21.17)
Напомним, что в формуле (21.14)
начало радиусов-векторов г£ находится
в произвольной точке, относительно
§ 21. Движение системы материальных точек 123
которой положение центра масс сис-
темы дается радиусом-вектором R.
Теперь представим себе, что надо
найти центр масс по формуле (21.14),
пользуясь другой точкой отсчета ра-
диусов-векторов, т. е. другой системой
координат. Спрашивается, получим
ли мы в качестве центра масс ту же
точку или другую? Найдем положение
центра масс, исходя из начала отсчета
в точке О', положение которой харак-
теризуется относительно О радиусом-
вектором р (рис. 50). Величины, от-
носящиеся к точке отсчета О', будем
обозначать буквами со штрихами. Что-
бы определить положение центра масс
относительно точки О', формулу (21.14)
перепишем в виде
R'=-^-Smc;rf (21.18)
Учтя, ито rf=r?~- р, и подставив это
выражение в (21.18), находим
R' =-^- 2 т0/Г/ —р 2 mGi=R — р,
(21.19)
где m = SmOi. Формула (21.19) пока-
зывает, что радиус-вектор R', прове-
денный из О', действительно заканчи-
вается в той же точке, что и радиус-
вектор R, имеющий начало в точке О.
Тем самым доказано, что положение
точки центра масс не зависит от того,
в какой системе координат оно опре-
деляется.
Неприменимость понятия центра
масс в релятивистском случае. В этом
ф Момент импульса и момент силы опреде-
ляются относительно точки. Произвольно ли
состояние движения этой точки?
Чем отличаются выражения для моментов
импульса и силы в нерелятивистском и реля-
тивистском случаях?
При каких условиях справедливо уравнение
моментов?
Как зависят моменты силы и импульса от
положения точки, относительно которой они
вычисляются?
50
К доказательству
инвариантности цен-
тра масс системы
материальных то-
чек в нерелятивист-
ском случае
случае дело обстоит по-другому. Пре-
образования в выражении для импуль-
са, которые проведены в (21.13), вы-
полнить нельзя, потому что в этом слу-
чае вместо постоянных масс покоя
стоят релятивистские массы, завися-
щие от времени, так как скорости за-
висят от времени. Можно было бы по-
пытаться определить центр масс фор-
мулой (21.14), подставив в нее вместо
масс покоя т® релятивистские массы,
а под т понимая их сумму. При этом,
конечно, получился бы радиус-вектор,
оканчивающийся в некоторой точке.
Ее можно попытаться назвать центром
масс. Однако эта точка не имеет смыс-
ла. Если бы мы попытались для данно-
го момента времени найти положение
центра масс в другой системе коорди-
нат, то получили бы точку, которая от-
носительно точек системы занимает
другое положение. Следовательно, в ре-
лятивистском случае понятие центра
масс не является инвариантным поня-
тием, не зависящим от выбора системы
координат, и поэтому не применяется.
Не имеет смысла писать уравнения
движения этой точки, следить за ее
движением. Тем не мене£ общеприня-
тым является выражение «система
центра масс». В этой системе центра
масс значительно упрощаются многие
релятивистские вопросы. Системой
центра масс называется система коор-
динат, в которой сумма импульсов час-
тиц равна нулю. Такую систему коор-
динат можно всегда найти. Это будет
124 5. Динамика материальной точки
51
Схема импульсных
сил, натяжений и
скоростей в приме-
ре 21.1
сделано дальше при рассмотрении
столкновений. Она характеризуется
своей скоростью, а не тем, где нахо-
дится ее начало. Если импульсы час-
тиц в этой системе координат обозна-
чить pz, то должно быть
2рх = 0. (21.20)
Из этого условия можно найти лишь
скорость системы координат, а не ее
положение. Поэтому можно сказать,
что в релятивистском случае имеется
система центра масс, но нет центра
масс.
Уравнение моментов для системы
материальных точек. Дифференцируя
(21.6) по времени, получаем уравнение
моментов для системы материальных
точек:
^_S^XP.+ Sr,X* =
= Sv,xp.-I- 2г,хъ=о+ 2м,=м.
4г=м' (21.21)
где учтено, что векторы скорости час-
тицы параллельны векторам импуль-
сов, и принято во внимание выраже-
ние (21.8) для момента силы, дейст-
вующей на систему. Напомним, что
М — момент внешних сил, приложен-
ных к системе, как это было подробно
объяснено в связи с (21.8).
Однако при этом уравнение (21.21)
в отличие от уравнения (21.4) для
материальной точки нельзя рассмат-
ривать как простое следствие законов
Ньютона. Оно требует дополнительно-
го независимого от законов Ньютона
предположения о центральности внут-
ренних сил. Заметим также, что урав-
нения (21.16) и (21.21) не составляют
замкнутой системы уравнений для си-
стемы материальных точек. Система из
N материальных точек имеет 37V сте-
пеней свободы, а число уравнений
(21.16) и (21.21) равно только 6. По-
этому для полного решения задачи
необходимо задать еще 37V — 6 условий
или уравнений*.
Пример 21.1. На горизонтальном
столе с помощью абсолютно нерастя-
жимой нити О АВ (рис. 51), жестко
фиксированной в точке О, закреплены
две материальные точки массами т\
и m2. К точке массой т2 в течение
очень короткого времени Ы прилага-
ется большая сила F, сообщающая си-
стеме импульс F = F6/ в направлении
силы F. Найти мгновенные скорости,
сообщаемые этим точкам в момент
удара. Силы трения отсутствуют.
ье результате удара по точке мас-
сой m2 в абсолютно нерастяжимых ни-
тях возникают импульсные натяжения
fi и 7г. Ясно, что скорость и\ точки
массой mi может быть направлена
только перпендикулярно О А (рис. 51).
Скорость точки массой m2 слагается
из скорости и\ и скорости и% точки
массой m2 относительно точки мас-
сой mi. Закон сохранения импульса
для замкнутой системы после удара
может быть записан в виде соотноше-
ний
§21. Движение системы материальных точек 125
f2sina = m\U\, f\ — f2cosa = 0;
F — f2sina =m2 (u\ + T/2COsa), (21.22)
f2cosa = m2W2sina.
Имеется четыре уравнения для четы-
рех неизвестных: и\, U2, Т\, Т%. Полу-
чаем
Fsin2 а /и i Feos a
U1=—;-------’ U2 =—7—;-----------
mi4-m2sin a m2 (zni-|-/n2Sin a)
(21.23)
Пример 21.2. В релятивистском
случае переход в систему центра масс
упрощает решение многих вопросов
динамики системы материальных то-
чек. Пусть заданы энергии и импульсы
всех точек системы. Требуется найти
систему центра масс и выразить в ней
энергию системы материальных точек
через ее значение в лабораторной си-
стеме координат.
Как обычно, точки системы нумеру-
ем индексами I. Вычисляем импульс
системы материальных точек
Р=2Р, (21.24)
i
и ее энергию
(21,25)
i
В релятивистском случае отсутствует
понятие центра масс, но система цент-
ра масс существует и определяется
условием р=0.
Преобразования энергии и импуль-
са, выражаемые формулами (13.34),
являются линейными. Поэтому из их
справедливости для энергии и импуль-
са системы точки следует их примени-
мость к энергии и импульсу системы
материальных точек, определяемыми
линейными соотношениями (21.24) и
(21.25). Это означает, что под энергией
и импульсом в (13.24) можно понимать
как энергию и импульс материальной
точки, так и энергию и импульс систе-
мы материальных точек. Эти преобра-
зования целесообразно записать в бес-
координатной векторной форме. Обо-
значим рн — составляющую импульса
в направлении скорости, <р± — состав-
ляющую импульса в плоскости, пер-
пендикулярной направлению скорости.
Преобразования (13.34) принимают
вид:
/ ро — чЕ/с2 ,
рц=-г- 2 / 2 > P-L=p±,
у 1 — tr/c2
£/= F —У«р
}/1 — У2/с2
(21.26а)
Энергию и импульс системы мате-
риальных точек в лабораторной систе-
ме обозначим £ и р, а в системе центра
масс £' и р', причем по определению
системы центра масс р'=0. Первые
два равенства (21.26а) принимают
вид
р,-- 5=^=0. р'± = р± = О.
у 1 — tr/c
(21.266)
Это означает, что скорость v коллине-
арна р и
v=pc2/£. (21.27)
Таким образом, системой центра масс
является координатная система, кото-
рая относительно лабораторной систе- ’
мы координат движется со скоростью;
v, определяемой формулой скорости,
(21.27). Принимая во внимание (см.
гл. 6), что для изолированной системы
материальных точек p=const и Е=
=const, из (21.27) заключаем, что
система центра масс имеет инерциаль-
ный характер.
Чтобы найти выражение энергии в
системе центра масс, воспользуемся
инвариантом (13.35)
р/2_£'2/с2 = р2_£2/с2
(21.28)
126 5. Динамика материальной точки
Из (21.28) с учетом р'=0, получаем
Е'2=Е2 — Р2с2. (21.29)
Из (21.27) следует, что р2=Е2у2/с^
и (21.29) принимает вид
Е,2=£2(1 — v2/c2).
Окончательно находим
Е' = Е /1 — v21с2.
(21.30)
(21.31)
Задачи
5.1. Кольцо может скользить без трения вдоль недеформируемого прута. Прут вращается с угловой
скоростью id в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из
его концов перпендикулярно длине прута. Расстояние от оси вращения до кольца обозначим г.
Считая, что при. /=0 кольцо покоится в точке г=0 и прут от оси вращения направлен верти-
кально вниз, найти г(/).
5.2. Плоское основание круглого прямого цилиндра радиусом го жестко скреплено с горизонталь-
ной поверхностью стола. Тонкая невесомая и нерастяжимая нить длиной 2/ жестко закреплена
на поверхности цилиндра в его основании и туго намотана на цилиндр у основания на длине I
(толщиной нити пренебрегаем). На другом конце нити укреплена масса т, которая может
двигаться в горизонтальной плоскости так, что нить все время находится под натяжением.
В начальный момент /=0 массе сообщается скорость и перпендикулярно ненамотанной на
цилиндр части нити в таком направлении, чтобы при движении массы нить разматывалась.
Через сколько времени нить размотается и какова при этом зависимость натяжения нити от
времени?
5.3. Человек бросает рукой вертикально вверх ядро массой т с плеча. При затрате определенных
усилий ядро при броске на Земле поднимается на высоту 4 м над поверхностью Земли. Длина
руки человека 0,75 м, высота человека до плеча 1,5 м. На какую высоту этот человек забросит
ядро на поверхности Луны при тех же условиях? Ускорение свободного падения на Луне при-
мерно в шесть раз меньше, чем на Земле.
5.4. Материальная точка начинает скользить без трения по поверхности жестко закрепленной
сферы с ее верхней точки. Положение скользящей точки может быть охарактеризовано углом 0
между вертикалью и радиусом-вектором точки с началом в центре сферы. При каком значе-
нии 0 материальная точка теряет контакт с поверхностью сферы и начинает двигаться сво-
бодно под действием силы тяжести?
5.5. Две точки массами т\ и т2 соединены нерастяжимой невесомой нитью, продетой через кольцо
массой /из. Массы ггц и т2 лежат рядом на горизонтальном столе, а кольцо висит на нитях,
спускающихся через край стола. Нити подходят по перпендикуляру к краю стола. Трение от-
сутствует. Найти ускорение кольца.
5.6. Абсолютно жесткая прямая трубка ОА длиной I вращается в горизонтальной плоскости вокруг
вертикальной оси, проходящей через точку О, с постоянной угловой скоростью со. Из точки О
по трубке начинает скользить шарик с начальной скоростью и без трения. Найти угол между
направлением трубки и направлением шарика в тот момент, когда шарик вылетает из трубки.
5.7. Две материальные точки массами т\ и т2 соединены абсолютно жестким невесомым прутом и
лежат на горизонтальной абсолютно гладкой поверхности» К точке массой т\ прикладывается
импульсная сила F (см. пример 21.1) в направлении, составляющем угол а с линией, соеди-
няющей точки, в которых расположены массы т\ и т2. Найти модули скоростей масс т\ и т2
непосредственно после удара.
Ответы
5.1. (g/(2(o2)Xcho)/—cos to/). 5.2. 3/2/(2го«)» mw2/ //*4~2ro«t 5.3. 16,5 м. 5.4. arccos(2/3).
5.5. m3(m14-/42)g/[4mtm2-|-m3(mi-hm2)]. 5.6. arctg[Zco//w24-Z2w2].
5.7. {[ Feos a/(/ni 4- m2)]2 4*- [Fsin a/mj]2}*72; Feos a/(ffli 4- mt).
22. Значение и содержание законов
сохранения
Показывается, что законы сохранения в меха-
нике сводятся к интегралам уравнений дви-
жения.
Содержание законов сохранения. За-
коны движения позволяют в принципе
ответить на все вопросы о движении
материальных частиц и тел. При доста-
точном искусстве и терпении можно
вычислить положение частиц в любой
момент времени, что означает полное
решение задачи. С появлением элект-
ронных вычислительных машин увели-
чились возможности решения этих
уравнений. Многие задачи, связанные,
например, с движением искусственных
спутников Земли и межпланетными по-
летами ракет, можно было бы уже
давно формулировать корректно в виде
уравнений, но решить эти уравнения,
чтобы получить из них нужную ин-
формацию, было невозможно до появ-
ления ЭВМ. Однако и сейчас есть за-
дачи, которые можно сформулировать
в виде уравнений, но решить их даже
с помощью ЭВМ нельзя. Поэтому до
настоящего времени остается важным
исследование общих свойств решения
уравнений без получения конкретного
вида решения.
Например, пусть нас интересует
движение тела, но мы не в состоянии
решить уравнение этого движения и
поэтому не знаем не только, где это
тело будет в тот или иной момент вре-
мени, но и будет ли оно при своем дви-
жении находиться вблизи поверхности
Земли или покинет Землю, отправив-
шись в межпланетное путешествие.
Если при этих условиях нам удастся,
не имея решений уравнений, устано-
вить, что тело будет двигаться вблизи
Земли, и предсказать, что ни при каких
условиях оно не удалится от поверх-
ности Земли дальше, например, чем на
10 км, то это будет существенным
успехом. А если еще удастся устано-
вить, что на высоте 10 км скорость
ЗАКОНЫ
СОХРАНЕНИЯ
Законы сохранения
справедливы для изолированных систем
и в механике математически сводятся
к первым интегралам уравнений дви-
жения. Законы сохранения для изоли-
рованных систем в целом обусловлены
фундаментальными свойствами про-
странства и времени — однородностью,
изотропностью пространства и одно-
родностью времени.
22
Значение и содержание законов
сохранения
23
Закон сохранения импульса
24
Закон сохранения момента импульса
25
Закон сохранения энергии
26
Законы сохранения и симметрии
пространства и времени
128 6. Законы сохранения
тела будет равна нулю, и указать,
какое направление должна иметь за-
данная скорость тела на Земле, чтобы
оно достигло высоты 10 км, то, в сущ-
ности, для определенных целей нам
известно все об этом движении и во-
обще нет необходимости решать урав-
нения.
Законы сохранения позволяют рас-
смотреть общие свойства движения
без решения уравнений и детальной
информации о развитии процессов во
времени. Исследование общих свойств
движения проводится в рамках реше-
ний уравнений движения и не может
содержать в себе больше информации,
чем имеется в уравнениях движения.
Поэтому в законах сохранения имеет-
ся не больше информации, чем в
уравнениях движения. Однако в урав-
нениях движения нужная информация
содержится в столь скрытом виде, что
непосредственно увидеть ее является
нелегкой задачей. С помощью законов
сохранения эта неочевидная информа-
ция представляется в легкообозримом
виде, удобном для использования. Ее
важная особенность заключается в об-
щем характере: она применима к лю-
бому конкретному движению незави-
симо от его детальных особенностей.
Общий характер законов сохране
ния позволяет их применять не толькс
тог^а, когда известно уравнение хви-
Законы сохранения в механике сводятся к
первым интегралам уравнений движения.
Однако их физическая основа заключена в
фундаментальных свойствах пространства и
времени. Поэтому значения законов сохра-
нения выходят далеко за рамки механики,
они являются фундаментальными законами
физики.
Можно ли на основе законов сохранения
ответить на вопрос о том, как будет проис-
ходить то или иное движение?
Можно ли на основе законов сохранения
высказать суждение о принципиальной воз-
можности или невозможности того или иного
движения точки?
жения, но неизвестно их решение, но и
тогда, когда неизвестно уравнение дви-
жения. В результате часто удается
выяснить весьма ваукные особенности
движения без знания закона действия
сил.
Уравнения движения и законы со-
хранения. Уравнения движения явля-
ются уравнениями изменения физиче-
ских величин во времени и простран-
стве. Перед нашим мысленным взором
проходит бесконечная последователь-
ность физических ситуаций. В сущно-
сти, нас не интересует какая-то одна
ситуация в конкретный момент време-
ни, не содержащая в себе движения,
а интересует именно последователь-
ность ситуаций, посредством которых
осуществляется движение. При рас-
смотрении последовательности ситуа-
ций нас интересует не только то, чем
они различаются, но и то, что в них
общее и что в них сохраняется. Зако-
ны сохранения и отвечают на вопрос о
том, что в последовательности физиче-
ских ситуаций, описываемой уравне-
ниями движения, остается неизменным,
постоянным. Ясно, что физическая
теория должна сформулировать это
постоянство в виде постоянств число-
вых значений соответствующих физи-
ческих величин, или, как говорят, в ви-
де законов сохранения.
Математическая сущность механи-
ческих законов сохранения. Рассмот-
рим пример одномерного уравнения
Ньютона, которое запишем в виде двух
уравнений:
a) m0-^-=Fx, б) (22.1)
Задача считается полностью решенной,
если известно положение движущейся
материальной точки в любой момент
времени. Поэтому для решения надо
сначала проинтегрировать уравнение
(22.1а) и получить сх, а затем, рас-
сматривая vx как известную величину,
§ 23. Закон сохранения импульса 129
интегрированием уравнения (22.16)
получить х(/).
Для очень широкого класса сил
первое интегрирование удается произ-
вести в общем виде и представить ре-
зультат как постоянство числового
значения определенной комбинации
физических величин. Это и есть закон
сохранения. Таким образом, в меха-
нике законы сохранения в математиче-
ском смысле сводятся к первым ин-
тегралам уравнений движения.
Однако значение сохраняющихся
величин выходит за рамки механики;
они играют важнейшую роль и за пре-
делами механики. Сохраняющиеся фи-
зические величины являются фунда-
ментальными, а их законы сохране-
ния — фундаментальными законами
физики, а не просто результатом мате-
матического упражнения с уравнения-
ми механического движения.
23. Закон сохранения импульса
Вводится понятие изолированной системы и
обсуждается физический смысл справедливого
для такой системы закона сохранения импульса.
Изолированная система. Система ма-
териальных точек или материальная
точка называется изолированной, если
отсутствуют внешние силы. Во Вселен-
ной не может быть изолированных в
абсолютном смысле систем, поскольку
все тела взаимно связаны, например,
силами тяготения. Однако при опреде-
♦ В каком случае закон сохранения импульса
можно применить к неизолированной си-
стеме?
На систему биллиардных шаров, движущихся
по горизонтальному столу, действует сила
трения, и поэтому эта система в отношении
горизонтальных движений не является изо-
лированной. Можно ли применять закон
сохранения импульса к столкновению шаров?
Почему?
Можно ли систему взаимодействующих элек-
трических зарядов, вообще говоря, рассмат-
ривать как изолированную? Какие факторы
следует при этом учесть?
ленных условиях можно тела считать
в достаточной степени изолированны-
ми. Например, материальное тело в
некоторой области космического про-
странства, достаточно далеко удален-
ной от массивных небесных тел, ведет
себя как изолированная система. В дру-
гих случаях движение системы в опре-
деленных направлениях можно рас-
сматривать как движение изолирован-
ной системы, хотя в целом система
заведомо не является изолированной.
Закон сохранения импульса для
изолированной системы. В изолирован-
ной системе внешние силы отсутству-
ют. Поэтому в уравнении движения
(21.11) сила F = 0 и оно принимает
вид
4-=0. (23.1)
Интегрируя это уравнение, получаем
p = const,
(23.2)
рх = const, ру = const, Pz = const.
Это равенство выражает закон сохра-
нения импульса:
импульс изолированной системы не
изменяется при любых процессах, про-
исходящих внутри системы.
Для материальной точки закон со-
хранения импульса означает, что в от-
сутствие внешних сил она движется с
постоянной скоростью по прямой ли-
нии. Для системы материальных точек
в нерелятивистском случае закон ут-
верждает, что центр масс системы дви-
жется равномерно и прямолинейно.
Закон сохранения импульса (23.2)
справедлив как в релятивистском, так
и нерелятивистском случае. Однако в
релятивистском случае его нельзя ин-
терпретировать как равномерное и пря-
молинейное движение центра масс,
потому что в этом случае не сущест-
вует центра масс, как это было разо-
5—853
130 6. Законы сохранения
52
Определение ско-
рости пули с по-
мощью баллистиче-
ского маятника
брано в § 21. Однако существует си-
стема центра масс, в которой закон
сохранения импульса сводится к равен-
ству р = 0 и означает, что эта система
при любых процессах внутри нее оста-
ется системой центра масс.
Законы сохранения для отдельных
проекций импульса. Может случиться,
что система материальных точек или
отдельная материальная точка не изо-
лирована, но внешние силы действуют
лишь в определенных направлениях,
а в других — отсутствуют. Тогда соот-
ветствующим выбором системы коор-
динат можно добиться того, что одна
или две проекции внешних сил обра-
щаются в нуль. Пусть, например, нет
сил в направлениях, параллельных
плоскости (X, У), т. е. Fx = 0, Fy = 0,
Fz=#0. Тогда уравнение движения
(20.11), написанное в компонентах ве-
личин по осям координат, имеет сле-
дующий вид:
dPx n <U>y n
-dF=0, -^=0, (23.3)
Интегрируя первые два уравнения,
получаем
В каком случае закон сохранения момента
импульса можно применять к неизолирован-
ной системе?
Каким свойством пространства обусловлива-
ется справедливость закона сохранения мо-
мента импульса?
Какими физическими обстоятельствами обус-
ловливается возможность применения закона
сохранения момента импульса к неизолиро-
ванной системе?
рх= const, Ру = const. (23.4)
Это означает, что импульс системы в
направлениях, параллельных плоско-
сти (X, У), сохраняет свое значение
и относительно них система ведет себя
как изолированная. Например, вблизи
поверхности Земли силы тяготения на-
правлены по вертикали, горизонталь-
ные составляющие отсутствуют. По-
этому систему материальных тел отно-
сительно горизонтальных движений
можно рассматривать как изолирован-
ную, если речь идет о силах тяготения.
Применение закона сохранения им-
пульса. Примеры применения закона
сохранения для решения конкретных
задач будут даны в последующих гла-
вах. Здесь же рассмотрим пример с
так называемым баллистическим маят-
ником, представляющим собой неболь-
шое тело массой mi, подвешенное на
длинной нити (рис. 52). Размеры тела
таковьц что пуля массой тг, движу-
щаяся со скоростью v и попадающая
в тело, застревает в нем, а шар от-
клоняется. Какова будет скорость и
тела с застрявшей в ней пулей? Если
шопытаться проанализировать картину
проникновения пули в тело, выяснить
зависимость от времени возникающих
при этом сил и затем решить уравне-
ния движения, то будет затрачено мно-
го усилий и все же не будет уверенно-
сти в результате, потому что для его
получения придется принять многие
допущения, строгое доказательство ко-
торых оказывается затруднительным.
Если тело достаточно мало и его
можно принять за материальную точ- i
ку, то можно воспользоваться законом
сохранения импульса при взаимодей-
ствии двух материальных точек, не
интересуясь деталями проникновения *
пули в тело, т. е. написать m,2V =
= (т\-\-т2)и (рис. 52). Скорость и
проще всего получить, измерив высоту, (
на которую поднимется тело с за-
§ 24. Закон сохранения момента импульса 131
стрявшей в ней пулей, и воспользовав-
шись законом сохранения энергии
(mi+m2)u2/2={m\-\-mJ)gh. В резуль-
тате находим v = ^2gh(m\+m2)/m2.
Однако с учетом конечных размеров
тела такой подход к задаче является
неправильным, хотя он и используется
широко. Правильный подход дан в § 34.
24. Закон сохранения
момента импульса
Обсуждаются формулировка и условия при-
менимости закона сохранения момента им-
пульса.
Формулировка закона. Этот закон,
так же как и закон сохранения им-
пульса, справедлив лишь для изоли-
рованных систем. Для них момент
внешних сил! М равен нулю и уравне-
ние моментов (21.21) принимает вид
-^=0. (24.1)
Интегрируя это уравнение, получаем
L = const,
(24.2)
£x = const, £v = const, £2=const.
Это равенство выражает закон сохра-
нения момента импульса:
момент импульса изолированной си-
стемы не изменяется при любых про-
цессах, происходящих внутри системы.
Закон сохранения для отдельных
проекций момента импульса. Может
* случиться, что система не является
полностью изолированной, но на неко-
торое направление, например на ось Z,
проекция момента сил равна нулю.
Тогда уравнение моментов (21.21) за-
пишется в проекциях следующим об-
разом:
53
Уменьшением рас-
стояния вращаю-
щейся материаль-
ной точки от оси
вращения под дей-
ствием силы, на-
правленной к оси
вращения, обуслов-
лено возрастание
угловой и линейной
скоростей точки по
закону сохранения
момента импульса
>=°- <24-3)
Следовательно, систему можно считать
изолированной лишь в отношении z-й
проекции момента импульса:
Lz = const. (24.4)
Поэтому закон сохранения момента
импульса, так же как и импульса
можно применять не только к полно-
стью изолированным системам, но и к
частично изолированным.
Пример 24.1. Через жестко закреп-
ленную трубу продета нить, на конце
которой подвешено тело массой т, мо-
гущее вращаться по окружности во-
круг оси вращения, совпадающей с
осью трубы (рис. 53). Пусть в началь-
ный момент тело движется по окруж-
ности радиусом г\ со скоростью иь
Затем к нити прилагается сила F,
в результате чего тело массой т на-
чинает двигаться по спирали с умень-
шающимся радиусом и переменной
скоростью. В конце процесса тело дви-
жется по окружности заданного ра-
диуса г2. Требуется определить ско-
рость и2 тела.
Если решать эту задачу с помощью
уравнений движения, то она оказыва-
5*
132 6. Законы сохранения
54
К вычислению ра-
боты силы в случае
одномерного дви-
жения
нат — точке О (рис. 54). Уравнение
движения точки имеет вид
dts
(25.1)
ется довольно сложной. При движе-
нии по спирали сила, действующая
вдоль радиуса, направлена под углом
к скорости, вследствие чего скорость
будет увеличиваться. Имея соответ-
ствующие данные, можно рассчитать
изменение скорости и найти скорость
V2- Однако значительно проще решить
задачу с помощью закона сохранения
момента импульса. Сила, действующая
на массу т, всегда направлена вдоль
радиуса, поэтому ее момент (21.2)
равен нулю. Следовательно, момент
импульса сохраняется. В данном слу-
чае в исходной ситуации момент им-
пульса L направлен параллельно оси
вращения и равен r{mv\. В конечной
ситуации он должен иметь такое же
значение, т. е. r\mv\ = г%ти2. Отсюда
находим скорость тела: V2 = r\v\/f2.
25. Закон сохранения энергии
Дается формулировка закона сохранения энер-
гии и обсуждаются связанные с ним понятия
Работа сил. Если под действием силы
изменяется абсолютное значение ско-
рости, то говорят, что сила совершает
работу. Если скорость увеличивается,
то принимается, что работа силы поло-
жительна, а если уменьшается, то от-
рицательна.
Найдем связь между работой и
изменением скорости. Сначала рас-
смотрим одномерный случай, когда си-
ла действует вдоль оси X и движение
происходит вдоль этой оси. Например,
пусть материальная точка массой то
перемещается под действием силы
сжатой или растянутой пружины, за-
крепленной в начале системы коорди-
Умножив обе части этого уравнения на
vx и учтя, что vXd^x/d0=1/2[d(Vx)/df],
получим
d / mov2x \_
j
(25.2)
В правой части этого равенства заме-
ним ux=dx/d/ и обе части его умно-
жим на At. Тогда
dC^)=Fxdx. (25.3)
В этом виде равенство имеет очень
наглядный смысл: при смещении точки
на dx сила совершает над ней работу
FxAx, в результате чего изменяется
величина то^х/2, характеризующая
движение тела и, в частности, модуль
его скорости. Величина mov?/2 назы-
вается кинетической энергией точки.
Если точка смещается из положения
xi в %2, а ее скорость при этом изме-
няется от vx\ до vX2, то, интегрируя
(25.3), имеем
Vx=Vx2 9 Х2
S д(-Аг9=$№ (25.4)
VX=VX1 Х Z Xi
Учитывая, что
Vx=vx2 9 9 9
Г __ m0t42 ^0^x1
J ) 2 2“’
окончательно находим
2 2 Х~
m0vx2 movx\ сг .
—------—(25.5)
Изменение кинетической энергии
материальной точки при ее перемеще-
нии между двумя положениями равно
работе, совершенной при этом силой.
§ 25. Закон сохранения энергии 133
Интеграл в правой части (25.5)
является пределом суммы элементар-
ных работ, которые совершаются при
элементарных перемещениях. Весь про-
межуток между точками xi и х2 разби-
вается на маленькие отрезки Дх<{х2—
—Х1=2Ахг), на каждом из них сила
имеет некоторое значение Fxi (неважно,
в какой точке интервала Дх,- берется зна-
чение силы Fxi). Элементарная работа
на участке Дх, равна ДЛ, —FxzAxz,
а полная работа на всем перемещении
от xi до х2 будет
S FribXi. (25.6)
Устремляя длины интервалов Дх, к ну-
лю, а их число — к бесконечности,
получим работу силы при перемещении
от точки xi к точке х2:
А = lim 2 FxiAXi=\Fxdx. (25.7)
Дх,->0 J
Из (25.5) видно, что кинетическая
энергия материальной точки изменяет-
ся, если силы не равны нулю. Таким
образом, при наличии силы кинетиче-
ская энергия не сохраняется. Она ос-
тается постоянной лишь в отсутствие
сил, потому что при Fv = 0 из (25.5)
следует:
£^k=2^=Const.
(25.8)
Но этот закон сохранения кинетиче-
ской энергии материальной точки в
отсутствие сил тривиален, поскольку
закон сохранения импульса в отсут-
ствие сил уже устанавливает постоян-
ство скорости, а следовательно, и ее
квадрата.
Если перемещение материальной
точки не совпадает с направлением
силы, то работу производит компонен-
та силы вдоль перемещения. Работа
равна абсолютному значению силы,
умноженному на косинус угла между
силой и перемещением. Поскольку эле-
ментарное перемещение точки является
вектором di, а сила F— тоже вектор,
элементарная работа может быть пред-
ставлена в виде их скалярного произ-
ведения:
d71=Fd/cos (Ffcll)= F-di. (25.9)
Пусть точка движется не вдоль
прямой, как в (25.1), а по произволь-
ной траектории (рис. 55). В этом слу-
чае работа силы при перемещении из
точки 1 в точку 2 также выразится
как предел суммы элементарных работ
(25.9) на всем пути. Разобьем траек-
торию движения на малые отрезки
Д1/, один из которых изображен на
рис. 55. Элементарная работа на этом
отрезке ДЛ,= Fz • Д Iz=FzA/zcos(Fz^Д1/).
Сумма же всех элементарных ра-
бот приближенно равна работе при
перемещении из точки 1 в точку 2.
Устремляя длины отрезков AIZ к нулю,
а их число — к бесконечности, полу-
чим работу силы при перемещении по
произвольной траектории:
(2)
A — limSF,-dl,= ^F.dl. (25.10)
Д1.+0 t
L
Интеграл в правой части (25.10) назы-
вается криволинейным, взятым вдоль
линии L между точками 1 и 2. В обо-
значении пределов интегрирования
буква L указывает на конкретную
линию, которой соединяются точки 1
и 2. Часто этот значок опускают, пото-
му что известно, какая линия имеется
в виду. Последовательность точек (1)
внизу интеграла и (2) вверху говорит
о направлении, в котором мы передви-
гаемся по этой кривой, в данном слу-
чае от точки 1 к точке2. Конечно, по
той же кривой можно двигаться из
точки 2 в точку 1. В этом случае пре-
делы у интеграла в (25.10) надо было
бы поменять местами. Если" изменить
134 6. Законы сохранения
55
К вычислению ра-
боты силы при дви-
жении по произ-
вольной траектории
направление движения вдоль кривой
на обратное, то изменится только знак
интеграла. Это видно из того, что на-
правление всех элементарных переме-
щений dlz изменяется на противопо-
ложное, а сила в каждой точке оста-
ется неизменной и, следовательно, зна-
ки всех элементарных работ F-dl из-
менятся на обратные.
При рассмотрении общего случая
надо вместо уравнения (25.1) взять
общее уравнение движения
/n0-^=F, (25.11)
а дальше провести вычисления, анало-
гичные тем, которые были разобраны в
связи с уравнением (25.1). Умножая
обе части уравнения (25.11) скаляр-
но на скорость v = dr/d/ и учитывая,
что
v£-4(V-)4(£- <2512>
получаем, как и в (25.3),
d(-fV“)==F‘dr- (25.13)
Вектор dr означает то же, что и вектор
перемещения di. В уравнении (25.10)
было написано dl, чтобы подчеркнуть,
Криволинейный интеграл, по определению,
не отличается от интеграла одной перемен-
ной, надо лишь разбить на участки путь
интегрирования, вычислить для каждого уча-
стка величину подынтегрального выражения,
а затем сумму этих величин для всех участ-
ков кривой и найти предел этой суммы при
стремлении величины каждого участка к
нулю, а их числа — к бесконечности.
что интеграл определяется исключи-
тельно линией, вдоль которой прово-
дится интегрирование, и силами в точ-
ках на линии и не зависит от того, где
помещена точка, относительно которой
отсчитывается радиус-вектор.
Интегрируя обе части (25.13) по
траектории движения материальной
точки между ее положениями 1 и 2,
находим
2 2 (2)
= $ F-dl.
2 2 (1)
Относительно равенства (25.14) можно
сделать те же замечания, которые бы-
ли сделаны в связи с (25.8), добавив,
что в отсутствие сил траектория дви-
жущейся 7очки является прямой ли-
нией.
Можно сказать, что (25.14) выра-
жает закон сохранения энергии, если
иметь в виду не только механические
формы энергии, но и всевозможные
другие, т. е. выйти за рамки механики.
Дело в том, что в правой части этого
равенства стоит величина, имеющая
размерность энергии. Однако может
оказаться, что выяснить физический
смысл этой величины, оставаясь в рам-
ках механики, невозможно, потому что
она совсем другой, немеханической
природы. Например, если сила явля-
ется силой трения, то интеграл в пра-
вой части (25.14) выражает в опреде-
ленных единицах степень нагревания
среды, о которую трется тело. Потребо-
валось немало труда, чтобы выяснить,
что представляет собой форма энергии,
называемая теплотой.
Однако во многих случаях свой-
ства сил таковы, что правая часть
(25.14) имеет ясный смысл в пределах
механики. Именно эти случаи пред-
ставляют интерес для механики и бу-
дут здесь разобраны.
Потенциальные силы. Силы по их
свойствам можно разбить на два клас-
§ 25. Закон сохранения энергии 135
са. Для сил одного класса работа при
перемещении между двумя точками не
зависит от пути, по которому это пе-
ремещение произошло, для сил другого
класса — зависит.
Приведем в качестве примера силу
сухого трения, направленную против
скорости, но в известных пределах не
зависящую от нее. Ясно, что работа си-
лы пропорциональна длине траектории
и поэтому зависит от траектории, по
которой произошло перемещение из
одной точки в другую.
Хорошо известен и другой пример:
работа, совершаемая при перемещении
некоторого груза в поле тяготения
Земли из одной точки в другую, зави-
сит только от разности высот точек,
но не зависит от конкретного вида
траектории, ее длины и т. д.
Силы, работа которых зависит лишь
от начальной и конечной точек траек-
тории, но не зависит от ее вида, назы-
ваются потенциальными. К этим силам
относятся силы тяготения.
Вместо выражения «потенциальные
силы» чаще говорят «потенциальные
поля». Полем сил называется область
пространства, в точках которого дей-
ствуют рассматриваемые силы. В вы-
ражении «поле сил» слово «сила» час-
то опускается.
Математический критерий потен-
циальности поля. Потенциальным на-
зывается поле, работа в котором, т. е.
интеграл
(2)
$F-dl,
б)
(25.15)
В случае одномерного движения, когда
известна сила, зависящая только от коорди-
нат, уравнения движения всегда решаются
посредством двух квадратур.
В случае одного измерения любая сила,
зависящая только от координат, является
потенциальной.
56
К доказательству эк-
вивалентности утверж-
дений о независимости
работы от пути и ра-
венстве работы нулю
по любому замкнуто-
му пути
зависит только от положений точек 1
и 2, но не зависит от вида пути, сое-
диняющего эти точки. Можно дать
другое математическое выражение это-
му определению. Соединим точки 1 и
2 двумя различными кривыми L\ и Lz
(рис. 56). Согласно определению по-
тенциального поля можно написать:
(2) (2)
$Fdl=§F-dl. (25.16)
(О (О
Li L2
Пути интегрирования в (25.16) между
точками 1 и 2 различны. Если по пути
L? идти не от точки 1 к точке 2, а в
обратном направлении, то знак инте-
грала изменится на противоположный:
(2) (1)
$Fdl = — $Fdl. (25.17)
(О (2)
L2 l2
Заметим, что направление движения
по пути интегрирования не имеет ника-
кого отношения к направлению движе-
ния материальных точек. Вычисление
интеграла является чисто математи-
ческой операцией. Например, в правой
части формулы (25.14) направление
движения при интегрировании совпа-
дает с действительным движением точ-
ки. Однако нам ничто не мешает по-
ставить перед интегралом знак минус
и вычислить его, двигаясь вдоль пути
в противоположном направлении.
С учетом (25.17) равенство (25.16)
принимает вид:
(2) (О
S F-dl-b 5 F-dl=O. (25.18)
136 6. Законы сохранения
В левой части стоит сумма двух инте-
гралов: в первом перемещение проис-
ходит от точки 1 до точки 2 по пути L1,
во втором — возвращение в исходную
точку по пути £2- В итоге получен ин-
теграл по замкнутому контуру и равен-
ство (25.18) гласит:
§F-dI=0. - (25.19)
Кружок у знака интеграла означает,
что берется интеграл по замкнутому
контуру. По какому конкретно контуру,
не обозначено, потому что известно
без этого. При необходимости разли-
чить контуры под знаком интеграла
могут быть поставлены соответствую-
щие значки. В исходном определении
потенциального поля говорилось о
произвольных путях, соединяющих
произвольные точки. Поэтому в каче-
стве замкнутого контура в (25.19) мо-
жет быть выбран любой.
Утверждение, содержащееся в ра-
венстве (25.19), может быть выражено
словами в форме определения:
1) потенциальным называется поле,
в котором работа сил поля по любому
замкнутому контуру равна нулю; и в
форме критерия:
2) чтобы поле было потенциаль-
ным, необходимо и достаточно, чтобы
работа сил поля по любому контуру
была равна нулю.
Работа в потенциальном поле. Те-
перь воспользуемся одной математиче-
ской теоремой, которую приведем без
доказательства: если Fx, Fy, Fz явля-
ются проекциями потенциальной силы,
то существует такая функция ЕП(х, у,
z), с помощью которой эти проекции
выражаются следующими формулами:
_ дЕп _________ дЕП
дх ’ у ду ’
дЕп
dz
(25.20)
Производные дЕц/дх и т. д. называют-
ся частными. Их вычисляют точно так
' же, как обычные производные в случае
функций одного аргумента, считая, что
при этом все остальные аргументы
функций являются постоянными вели-
чинами и не имеют никакого отноше-
ния .к дифференцированию по рас-
сматриваемому аргументу. Например,
при вычислении дЕ^/дх мы дифферен-
цируем функцию Еп по х, считая, что у
и z постоянны.
Теперь с помощью функции Еп
можно вычислить работу силы в пра-
вой части равенства (25.14). Прежде
всего запишем элементарную работу с
учетом того, что проекциями переме-
щения dl на оси координат являются
dx, dy, dz (рис. 57), в виде F-dl =
= Fxdlx + Fydly + Fzdlz=Fxdx + Fydy +
+ Fzdz. (25.21)
Выражая проекции силы по формулам
(25.20), имеем
F-dl = -^dx-^dy-^dz.
дх ду v dz
(25.22)
Из теории функций одной* переменной
известно, что величина df=-^-dx на-
1 дх
зывается дифференциалом функции и
выражает приращение функции при
изменении аргумента х на dx. Поэтому,
аналогично, величину (дЕП/дх)бх счи-
таем приращением Еп при изменении
аргумента х на dx, если другие аргу-
менты постоянны. При смещении на ве-
личину dl полное приращение Еп скла-
дывается из приращений (дЕП/дх) dx,
(dEn/dy)dy, (dEu/dz}dz, обусловленных
соответствующими смещениями по
осям X, Y, Z:
d£"=4rd-+>d^+>d2- <25-23)
и называется полным дифференциа-
лом. Поэтому выражение (25.22) для
элементарной работы имеет вид
Fdl = — dEn. (25.24)
§ 25. Закон сохранения энергии 137
Интегрируя, получаем работу при пе-
ремещении из точки 1 в точку 2:
(2) (2)
$F-dl = - $d£n = -(£п2-Еп1), (25.25)
(1) (1) •
где £П1 и £п2 — значения функции £п в
точках 1 и 2. Формула (25.25) непо-
средственно показывает, что работа в
рассматриваемом случае зависит толь-
ко от начальной и конечной точек
траектории и не зависит от ее вида.
С учетом (25.25) вместо (25.14)
имеем
~2 Г"
(£п2 — £п1).
(25.26)
Таким образом, между точками 1 и 2
кинетическая энергия изменилась на
такое же значение, на какое с обрат-
ным знаком изменилась величина £п
при перемещении между теми же точ-
ками. Равенство (25.26) удобно пе-
реписать в виде
m0v2x
“2---г£п2=—g----г^п1-
(25.27)
Отсюда следует, что сумма кинетиче-
ской энергии и величины £п при дви-
жении остается постоянной [в качестве
точек 1 и 2 в (25.27) можно взять
любые две точки на траектории].
Поэтому можно написать
— + £n = const.
(25.28)
В чем состоит смысл криволинейного инте-
грала, выражающего работу при перемеще-
нии между двумя точками? От~ чего зависит
этот интеграл в общем случае?
Что такое потенциальные силы?
Какие критерии потенциальности сил Вы
знаете?
Какая существует связь между силами и по-
тенциальной энергией?
Можно ли, оставаясь в пределах механики,
написать закон сохранения энергии для не-
потенциальных сил? Какие немеханические
формы энергии Вы знаете?
57
Вычисление работы
силы в потенциаль-
ном поле
Компоненты величин
указаны лишь для
осей X и У
Величина £п называется потенциаль-
ной энергией материальной точки, а
равенство (25.28) — законом сохране-
ния энергии. Следует подчеркнуть, что
это равенство выражает не только за-
кон сохранения энергии, но и закон ее
превращения, поскольку описывает
взаимопревращения кинетической и
потенциальной энергий.
Нормировка потенциальной энер-
гии. Пока потенциальная энергия опре-
делена как функция, частные произ-
водные от которой по координатам,
взятые со знаком минус, должны быть
равны соответствующим проекциям
силы, как это записано в (25.20). Если
вместо потенциальной энергии £п взять
другую Е'п = Еи-\-А, т. е. измененную
во всем пространстве на постоянную
величину Л, то от этого силы не изме-
нятся. Например,
г/ _ дЕ'П д(Еп + Л) __ дЕп р
х дх дх дх
(25.29)
где учтено, что производная от по-
стоянной величины равна нулю, т. е.
дА/дх = 0. Таким образом, потенциаль-
ная энергия определена лишь с точно-
стью до аддитивной постоянной.
Если взять некоторую точку про-
странства, то можно сказать, что по-
тенциальная энергия в ней равна лю-
бому наперед заданному значению. От-
сюда ясно, что
138 6. Законы сохранения
физический смысл имеет не само
значение потенциальной энергии, а
лишь разность потенциальных энергий
между двумя точками.
Пользуясь имеющимся произволом
б выборе потенциальной энергии, мож-
но положить ее равной любому на-
перед заданному значению в некоторой
точке пространства. Тогда во всех
остальных точках ее значение будет
фиксировано однозначно. Эта процеду-
ра придания потенциальной энергии
однозначности называется нормиров-
кой.
Рассмотрим, например, силу тяго-
тения вблизи поверхности Земли. На-
правим ось Z вертикально и поместим
ее начало на поверхности Земли. Тогда
Что такое нормировка потенциальной энер-
гии и благодаря чему она возможна? Какие
наиболее употребительные нормировки Вы
знаете?
Что такое энергия взаимодействия?
Что является носителем потенциальной энер-
-ии?
Что такое полная энергия тела в релятивист-
ском случае?
Каково выражение кинетической энергии в
релятивистском случае?
Что такое энергия покоя и как эксперимен-
тально доказывается, что это именно энер-
гия?
Почему формула, связывающая массу и
энергию, не может быть названа формулой
превращения массы в энергию, а является
формулой соотношения между этими вели-
чинами?
Какое экспериментальное доказательство со-
отношения между массой и энергией Вы
знаете?
проекции силы, действующей на ма-
териальное тело массой т, равны
Fz=— mg, Fx=Fy=0, Следовательно,
в соответствии с (25.20) потенциаль-
ная .энергия дается выражением
En(z)=mgz-}-A, где А — постоянная.
Если условимся считать, что на по-
верхности Земли (z=0) ЕП — 0, то
постоянная 4=0 и тогда En(z)=mgz.
Говорят, что это есть выражение для
потенциальной энергии при нормиров-
ке ее значения на нуль на поверхно-
сти Земли. Можно условиться, что на
поверхности земли потенциальная
энергия равна До- Тогда Д=Д0, £п(г)=
= mgz-}-Ao. В этом случае говорят,
что потенциальная энергия нормирова-
на на значение Ао на поверхности
Земли.
Энергия взаимодействия. Наличие
потенциальной энергии у тела обуслов-
лено взаимодействием этого тела с
другими телами, в данном случае с
Землей. Если нет взаимодействия, то
нет потенциальной энергии. Будем уда-
лять тело от поверхности земли. Силу
тяготения можно считать постоянной
лишь приближенно в пределах не-
больших изменений расстояния тела от
поверхности Земли. При удалении на
большие расстояния необходимо при-
нять во внимание уменьшение силы тя-
готения обратно пропорционально ква-
драту расстояния от центра Земли.
Расположим начало координат (точка
О) в центре Земли. Сила тяго-
тения направлена вдоль радиуса г.
Составляющие силы, перпендикуляр-
ные радиусу, равны нулю, а модуль
силы зависит только от расстояния до
центра Земли. Нетрудно убедиться, что
такая сила является потенциальной.
Для этого вычислим элементарную
работу при перемещении на dl (рис.
58). Сила, действующая на тело мас-
сой т, равна
F = — G^-^, (25.30)
§ 25. Закон сохранения энергии 139
где М — масса Земли, G — гравита-
ционная постоянная, г/г — единичный
вектор по радиусу от центра Земли
Знак минус означает, что сила направ-
лена к центру Земли. Элементарная
работа при перемещении на dl равна
(рис. 58)
F • dl = - G-^-^ dl = - G^- d/cos a=
Г2 r r2
=—G-^-dr, (25.31)
r
где вектор г/г является единичным, а
d/cosa — проекция перемещения на
направление радиуса, равная переме-
щению dr вдоль радиуса. Таким обра-
зом, элементарная работа определяет-
ся только перемещением вдоль радиуса
и не зависит от перемещения, перпен-
дикулярного радиусу. Это означает от-
сутствие сил тяготения в плоскости,
перпендикулярной радиусу. Элементар-
ная работа в (25.31) зависит только
от одной переменной г и ее дифферен-
циала dr. Поэтому вычисление работы
при перемещении тела из произвольной
точки, находящейся на расстоянии гь
в точку на расстоянии Г2 сводится к
интегрированию функции одной пере-
менной:
(2)
$ Fdl=-GMm^=
(О n r
= —GMm(J_—1-). (25.32)
Уже сейчас видно, что сила тя-
готения потенциальна, потому что ра-
бота между точками 1 и 2 зависит
только от расстояний г\ и Г2 и не
зависит от пути, соединяющего эти
точки. Ясно, что и работа по замкну-
тому пути равна нулю, потому что если
вернуться из точки 2 в точку 1 по дру-
гому пути, то работа будет равна то-
му же значению (25.32), но с обрат-
ным знаком, так что полная работа
по замкнутому пути 1-2-1 равна нулю,
как это и должно быть для потенци-
альных сил. Тем самым доказано, что
сила тяготения является потенциаль-
ной.
Сравнив (25.32) с общей формулой
(25.25), находим потенциальную энер-
гию Еп материальной частицы мас-
сой т:
£'п(г)=-С^-+Л. (25.33)
Возникает вопрос о нормировке
энергии. Желательно выбрать условие
нормировки так, чтобы оно учитывало
физические особенности взаимодей-
ствия, и тогда, возможно, числовое
значение потенциальной энергии при-
обретет более ясный смысл, а не
будет чисто формальным числом, как
это было до сих пор. Такое физиче-
ское соображение есть. Дело в том,
что если материальное тело удалить
от поверхности Земли на бесконечно
большое расстояние, то никакого взаи-
модействия между телом и Землей не
будет. Это означает, что существова-
ние на бесконечности материального
тела не окажет никакого влияния на
явления, происходящие в пределах лю-
бого конечного расстояния от Земли.
То же самое можно сказать и о явле-
ниях в пределах любого конечного рас-
стояния от тела массой т. Поэтому
логичным является заключение, что в
этом случае и потенциальная энергия
Еп, связанная с взаимодействием меж-
ду телом и Землей при удалении тела
от Земли, должна быть равна нулю.
Это приводит к условию нормировки
Еп(оо)=0, (25.34)
которое уже не является чисто произ-
вольным требованием, а учитывает
сущность физических процессов, про-
исходящих при взаимодействии. Из
условия нормировки (25.34) следует,
что в (25.33) постоянная Л=0 и по-
140 6. Законы сохранения
Иллюстрация закона сохранения энергии: v\=
=vl=2g(h—y)
59
60
Частица может двигаться лишь в области, где
ее полная энергия больше или равна потенциаль-
ной. Эта область называется потенциальной
ямой
тенциальная энергия частицы мас-
сой т в поле тяготения. Земли равна
£n(r)= —(25.35а)
Заметим, что при условии норми-
ровки (25.34) формула для потен-
циальной энергии частицы, находящей-
ся в некоторой точке Е, может быть
записана в виде
оо
£П(В)= $ F(r) • dr, (25.356)
(в)
где работа вычисляется по любому
пути, начинающемуся в точке В и
заканчивающемуся на бесконечности,
когда сила F обращается в нуль и
взаимодействие выключается.
Применения. Многие применения
закона сохранения энергии будут рас-
сматриваться в последующих главах.
Здесь достаточно сослаться на эффек-
тивность использования закона сохра-
нения энергии в хорошо известных
примерах скатывания санок с горок
сложной формы. Если задана подобная
горка, с верхней точки которой скаты-
ваются сани, и требуется определить
скорость саней в любой точке горки
(с учетом или без учета трения), то
решение этой задачи на основе уравне-
ний движения является довольно уто-
мительным, а с помощью закона сох-
ранения энергии значительно упроща-
ется (рис. 59).
Закон сохранения энергии позволя-
ет провести сравнительно простой ана-
лиз общих особенностей движения
без детального знания уравнений дви-
жения, если нам известен закон изме-
нения потенциала, т. е. потенциаль-
ной энергии. Рассмотрим этот метод
в одномерном случае. В этом случае
любая сила, зависящая только от ко-
ординат (и не зависящая от скорости
и времени), является, согласно опре-
делению, потенциальной силой. Нахож-
дение потенциала сводится к вычисле-
нию интеграла от известной силы и
всегда выполнимо. Поэтому можно
считать закон изменения потенциаль-
ной энергии известным. Пусть он имеет
вид, показанный на рис. 60.
Рассмотрим движение частицы,
полная энергия которой равна Е. Эта
частица может находиться либо в об-
ласти между точками х1 и %2, либо
правее точки хз. В самом деле, по
закону сохранения энергии, кинетиче-
ская энергия частицы равна разности
полной энергии и потенциальной, т. е
Е — Еп, причем она может быть толь-
ко положительной. Поэтому допусти-
мыми областями движения являются
§ 25. Закон сохранения энергии 141
лишь те, в которых полная энергия
больше потенциальной. Например, дви-
жение в области между х2 и х3 невоз-
можно, потому что кинетическая энер-
гия частицы должна была бы быть
отрицательной.
Теперь проанализируем движение
в допустимой области, например на
участке Х1Х2. Пусть частица находится
в точке х. Ее кинетическая энергия
дается величиной Е — Еп, а двигаться
она может как влево, так и вправо.
Если она движется влево, то ее потен-
циальная энергия возрастает и, следо-
вательно, кинетическая энергия убыва-
ет (потому что полная энергия остает-
ся постоянной), т. е. скорость частицы
уменьшается. Это означает, что на
частицу действует в точке х сила,
направленная вправо. Это видно также
из формулы, выражающей силу через
потенциальную энергию:
F. = ->. (25.36)
В точке х потенциальная энергия убы-
вает с ростом х и, следовательно,
дЕп/дх отрицательно, a Fx= — дЕп/дх
положительно, т. е. сила действует
вправо — в направлении положитель-
ных значений оси X. Частица будет
двигаться влево до тех пор, пока ее
скорость не уменьшится до нуля, т. е.
пока полная ее энергия не превратится
в потенциальную. Это произойдет в
точке хь Однако в этой точке частица
не сможет остаться в покое, потому что
на нее действует сила, направленная
вправо. Под действием этой силы час-
тица будет двигаться вправо с возрас-
тающей скоростью, которая достигнет
максимального абсолютного значения
в точке х', когда потенциальная энер-
гия частицы будет минимальной. На
отрезке (хх, хг) на нее будет действо-
вать сила, направленная влево, кото-
рая вызовет уменьшение ее скорости
до нуля в точке Х2? Затем частица
начнет двигаться влево и т. д. На всем
отрезке (xi, xz) существует только од-
на точка, где частица может покоить-
ся. Это точка хх, в которой потенциаль-
ная энергия станет минимальной, что
является условием устойчивого равно-
весия.
Частица, находящаяся правее хз,
может двигаться от точки хз и до бес-
конечности (если правее хз потенци-
альная энергия нигде не поднимается
выше Е). Между xz и хз движение
невозможно. Область между х\ и хг,
в которой частица оказывается запер-
той, называется потенциальной ямой,
а область между xz и хз, через которую
частица не может пройти, называется
потенциальным барьером. В классиче-
ской механике потенциальный барьер
является абсолютным препятствием
для движения частицы. В квантовой
механике при определенных условиях
частица может пройти через потен-
циальный барьер. Это явление называ-
ется туннельным эффектом и играет
важную роль в микромире. Более под-
робно этот эффект рассматривается в
квантовой механике.
Полная энергия и энергия покоя.
Все соображения, изложенные в пред-
шествующем параграфе относительно
работы сил, потенциальности сил и
потенциальной энергии, остаются спра-
ведливыми и для движений с больши-
ми скоростями, потому что при их рас-
смотрении было несущественно, с ка-
кой скоростью движется тело. Разли-
чие заключается лишь в том, что вме-
сто нерелятивистского уравнения дви-
жения (25.11) необходимо исходить из
релятивистского уравнения движения
(20.10):
- Wl,v )=₽. (25.37)
dt X |/ 1 —U2/c2 '
Так же как и в нерелятивистском
случае (25.11)*, умножая обе части
(25.37) на скорость v, получим
142 6. Законы сохранения
d / ^ov
d* К /1—u2/c2
(25.38)
же смысл, что и в нерелятивистской
теории, а величина
Дифференцируем левую часть этого
уравнения:
Следовательно, равенство (25.38) при-
нимает вид
d( )=F-dr, (25.39)
V у 1— v/C~ '
где v = dr/d/ и обе части равенства
умножены на d/. Сравним (25.39) с
равенством (25.13) нерелятивистской
теории. Видно, что вместо кинетической
энергии сейчас в-результате соверше-
ния силой работы изменяется величина
т$с2/ р/1 — с2/с2.
Пусть частица движется в поле
потенциальной силы так, что сила, дей-
ствующая на нее, дается соотношения-
ми (25.20). Тогда, исходя из равен-
ства (25.39), повторив все вычисле-
ния от формулы (25.20) до (25.28),
вместо. (25.28) получим
т«с~
- + Еп = со п st.
Р 1 — £Г/с-
(25.40)
Эта формула выражает закон сохране-
ния энергии в релятивистском случае.
Потенциальная энергия Ец имеет тот
(25.41)
называется полной энергией тела.
В том случае, когда тело покоится
(v=0), оно в соответствии с формулой
(25.41) обладает энергией
Ео = тос2,
(25.42)
которая называется энергией покоя.
Выражение «полная энергия тела»
в нерелятивистском случае означает
сумму его кинетической и потенциаль-
ной энергий, а в релятивистском слу-
чае оно используется для названия не
только величины (25.41), но и суммы
этой величины и потенциальной энер-
гии тела. Необходимо следить за тем,
чтобы не путать между собой различ-
ный смысл одного и того же выраже-
ния.
Далее следует заметить, что в фор-
муле (25.40) не учитывается собствен-
ная энергия того тела, которое созда-
ет поле сил, действующих на рассмат-
риваемое тело. Оно предполагается не-
подвижным и имеет только энергию
покоя.
Кинетическая энергия. При малых
скоростях движения 1, поэтому
1 /VI—v2 jc2^ 1 + 72^2/^2 и формулу
(25.41) можно записать в виде
£’=тос2+1/2^о^2+-.. . (25.43)
Таким образом, в результате того, что
тело приобретает скорость, к его энер-
гии покоя тос2 прибавляется кинети-
ческая энергия и эта сумма представ-
ляет полную энергию движущегося те-
ла. Поэтому кинетическая энергия Ек
тела, движущегося с произвольной
скоростью, дается формулой
Ек — Е — гп^с2 = m0c2(-
(25.44)
При малых скоростях это соотношение
с учетом (25.43) переходит в класси-
ческое выражение для кинетической
энергии т0^2/2.
Соотношение между массой и энер-=
ги0й. Принимая во внимание (20.11)
для релятивистской массы
то
т =—————,
y/l-v2/c2
(25.45)
равенство (25.41) для полной энергии
представим в виде
Е=тс2.
(25.46)
Из сравнения (25.46) с (25.42) видно,
что в обоих случаях энергия связана
с инертностью тела одной и той же
формулой. Вследствие этого оказыва-
ются связанными между собой две
важнейшие характеристики материи:
энергия и инертность, т. е. масса.
Приведенный вывод соотношения меж-
ду энергией и массой показывает, что
оно справедливо как соотношение
между инертной массой тела и его пол-
ной энергией, т. е. суммой кинетиче-
ской энергии и энергии покоя. Но вы-
полняется ли оно для других видов
энергии, например для потенциальной
энергии, может решить лишь экспери-
мент. Установленный равенством
(25.40) закон сохранения энергии за-
ставляет думать, что имеется большая
вероятность справедливости этого со-
отношения для потенциальной энергии,
т. е. справедливости утверждения, что
потенциальная энергия обладает
I инертными свойствами. Если окажется,
что равенство (25.46) носит универ-
сальный характер, т. е. применимо для
произвольных видов энергий, то оно
является одним из самых фундамен-
тальных законов физики. Эксперимент
показывает, что это действительно так.
(25.46) называется соотношением меж-
§ 25. Закон сохранения энергии 143
ду массой и энергией и было установ-
лено Эйнштейном. Иногда говорят об
этом равенстве как об эквивалентности
массы и энергии. Это выражение не-
удачно, как это будет ясно из даль-
нейшего, и поэтому использоваться не
будет.
Экспериментальная проверка соот-
ношения между массой и энергией.
При выводе релятивистского уравне-
ния движения (20.10) были рассмотре-
ны эксперименты, из которых следует,
что инертность тела зависит от скорос-
ти и зависит именно так, как преду-
сматривается формулой для реляти-
вистской массы, входящей в это урав-
нение. Такая зависимость массы от
скорости, как это было показано в
§ 20, следует также из принципа отно-
сительности и преобразований Лорен-
ца. Поэтому все экспериментальные
данные, подтверждающие преобразо-
вания, Лоренца, подтверждают также и
соотношение (25.46).
Лишь один вопрос не затрагивает-
ся этими экспериментами: является ли
энергия покоя тос2 действительно
энергией или это просто некоторая ве-
личина, имеющая ее размерность, но
не имеющая физического смысла? Од-
нако какой смысл имеет вопрос, явля-
ется ли величина тос2 с размерностью
энергии энергией? Не тавтология ли
это? Нет, не тавтология, и вопрос этот
имеет вполне ясный физический смысл:
может ли энергия покоя тос2 превра-
щаться в другие виды энергии? Если
может, то это реальная энергия, как и
все другие виды энергии, а если не
может, то это просто некоторая вспо-
могательная величина, не имеющая ре-
ального физического значения. Опыт
показывает, что энергия покоя может
превращаться в другие виды энергии и,
следовательно, это действительно
энергия.
Одним из многочисленных, экспери-
ментальных доказательств этого ут-
144 6. Законы сохранения
верждения является так называемая
аннигиляция элементарных частиц.
Электрон и позитрон могут рассматри-
ваться как совершенно одинаковые
частицы, отличающиеся лишь знаком
заряда и магнитного момента. Массы
их одинаковы и могут быть измерены,
например, по их движению в магнит-
ном поле, и полная энергия, включаю-
щая в себя кинетическую энергию и
энергию покоя, может быть определе-
на. Поскольку магнитное поле не про-
изводит работы, потенциальная энер-
гия может быть исключена из рассмот-
рения. При столкновении позитрона и
электрона между собой происходит их
аннигиляция, в результате которой они
исчезают как частицы, обладающие
массой покоя, а вместо них появля-
ется у-квант, т. е. частица, масса покоя
которой равна нулю, а скорость равна
скорости света. Можно измерить энер-
гию этого кванта. Оказывается, что
энергия у-кванта равна сумме энергий
позитрона и электрона, включая и
энергию их покоя. Таким образом,
энергия покоя действительно превра-
тилась в совершенно другой вид
энергии.
Одновременно эти эксперименты
проясняют физический смысл соотно-
шения между массой и энергией. Иног-
да говорят, что соотношение (25.46)
выражает эквивалентность массы и
энергии и возможность превращения
массы в энергию, и наоборот. Такие
утверждения ошибочны. О превраще-
нии, например, массы в энергию можно
было бы говорить лишь тогда, когда в
каком-то процессе масса исчезла и за
счет исчезновения инертных свойств
появилась энергия, которой раньше не
было. Таких процессов не существует.
Во всех процессах энергия исчеза-
ет в одной форме, но появляется в
другой, значение ее при этом сохраня-
ется. Аналогично форма существова-
ния массы также изменяется, но ее
значение сохраняется. Соотношение
(25.46) утверждает, что какие бы взаи-
мопревращения форм энергии и массы
ни происходили в природе, между ни-
ми всегда существует это соотношение.
Инертность потенциальной энергии.
Теперь рассмотрим вопрос о примени-
мости соотношения между массой и
энергией к потенциальной энергии. По-
скольку формулой (25.40) доказан за-
кон сохранения энергии при взаимо-
превращении полной и потенциаль-
ной энергий, задача сводится к дока-
зательству того, что потенциальная
энергия обладает инерцией. Как видно
из формулы (25.35а), при притяжении в
поле тяготения потенциальная энергия
отрицательна. Это не есть лишь свой-
ство сил тяготения — всяким потенци-
альным силам притяжения соответст-
вует отрицательная энергия, поскольку
для преодоления таких сил частица
затрачивает свою кинетическую энер-
гию. Сумма кинетической и потенци-
альной энергий должна оставаться
постоянной, а при бесконечном удале-
нии скорость частицы уменьшается и
потенциальная энергия обратится в
нуль. Следовательно, на конечных
расстояниях потенциальная энергия
должна быть меньше, т. е. отрица-
тельна.
Если частица движется в поле сил
тяготения на конечном расстоянии от
другой частицы, тяжелой, которую
можно считать за неподвижную, то
сумма ее полной и потенциальной энер-
гий Е-\-ЕП должна быть меньше, чем
энергия покоя. Действительно, если
Е-\-Еи>тоС2, то закон сохранения
энергии допускает удаление частицы
на бесконечность, когда Еп~>0. Если
же E-]-En<ZmoC2, то частица не может
удалиться на бесконечность, потому
что в этом случае было бы Е<тъс\
а это невозможно, так как энергия
частицы не может быть меньше энер-
гии покоя. Поэтому сила тяготения
§ 25. Закон сохранения энергии 145
удерживает частицу в конечной облас-
ти при условии
£-^£п<т0с2 или
(£—mQc2) +£п=£к+£п<0, (25.47)
т. е. сумма потенциальной и кинети-
ческой энергий должна быть отрица-
тельной. Это есть условие образования
связанных состояний.
Мы считали тело, создающее поле
сил, неподвижным. Это допустимо
лишь в том случае, когда его масса
много больше массы движущегося те-
ла. В противном случае необходимо
учесть и его движение. Заметим, что
все проведенные рассуждения остают-
ся без существенного изменения.
Если движение обеих частиц рас-
сматривается в инерциальной системе
координат (именно инерциальной),
тогда условие существования связан-
ного состояния сведется к тому, что
сумма кинетической энергии обеих час-
тиц и их энергии взаимодействия
должна быть отрицательной. Энергию
взаимодействия как потенциальную
энергию одного тела в поле другого
надо учитывать лишь один раз. Напри-
мер, энергия (25.35а) есть потенциаль-
ная энергия материального тела мас-
сой m в поле тяготения другого тела
массой М, но с таким же успехом
эта величина может рассматриваться
как потенциальная энергия тела мас-
сой М в поле тяготения тела массой
т. Это одна и та же величина, пред-
ставляющая собой энергию взаимо-
действия тел массами М и т, ее не
надо учитывать дважды. Поэтому
условие существования связанного со-
стояния гласит: сумма кинетической
энергии и энергии взаимодействия час-
тиц в связанном состоянии должна
быть отрицательной. Сумма кинетиче-
ской энергии и энергии взаимодействия
называется энергией связи. Поэтому
можно считать, что энергия связи в
связанном состоянии отрицательна.
Энергия связи. Известно, что ядра
атомов состоят из нейтронов и прото-
нов. Точный закон действия ядерных
сил нам неизвестен, но известно, что
это силы притяжения, поскольку они
удерживают нейтроны и протоны в
пределах ядра. Поэтому энергия связи
в ядре отрицательна. Обозначим ее в
виде — Д£яд. Общая энергия ядра рав-
на сумме энергий покоя протонов £Ор и
нейтронов £Ол, уменьшенной на энер-
гию связи:
£яд=£Ор+£Ол-Л£яд. (25.48)
Если соотношение между массой и
энергией (25.46) применимо также и к
потенциальной энергии (его примени-
мость к энергии покоя и кинетической
энергии уже доказана), то тогда масса
ядра Мяд должна быть меньше суммы
масс покоя протонов MGp и нейтронов
МОп, потому что в этом случае из
(25.48) следует, что
МЯЛ=МОр+МОп-АМяа, АМЯЛ=^.
(25.49)
Величина ЛЛ4ЯД называется дефектом
массы ядра. Массы покоя протонов и
нейтронов измеряются многими спосо-
бами и хорошо известны. Масса ядра
также может быть измерена в опытах,
в которых проявляются его инертные
свойства. Оказалось, что действитель-
но масса ядра меньше суммы масс
покоя составляющих его нейтронов и
протонов. Это означает, что отрица-
тельная потенциальная энергия в ядре
дает отрицательную инертность в соот-
ветствии с формулой (25.46), т. е. со-
отношение между массой и энергией
применимо и к потенциальной энергии.
Энергия связи ядер хорошо изуче-
на. Наиболее удобно ее характеризо-
вать энергией связи 8, приходящейся
на одну частицу (протон и нейтрон в
отношении ядерных сил ведут себя,
146 6. Законы сохранения
как совершенно одинаковые частицы):
е=Л£яд/Л (25.50)
где А — сумма числа протонов и ней-
тронов в ядре, называемая массовым
числом. Зависимость е от А изобра-
жена на рис. 61.
Как видно, частицы ядер (протоны
и нейтроны) элементов, находящихся в
начале периодической системы Менде-
леева, связаны между собой слабо.
При переходе к более тяжелым ядрам
эта связь усиливается. В области ядер
с массовым числом примерно 120 энер-
гия связи достигает максимального
значения, равного примерно 8,5 МэВ.
Напомним, что электрон-вольтом на-
зывается энергия, которую приобретает
электрон или протон при прохождении
разности потенциалов в 1 В (1 эВ=
= 1,6-10-19 Дж). Затем эта связь
начинает ослабевать. У ядер элемен-
тов, расположенных к концу периоди-
ческой системы, она ослабевает на-
столько, что ядра с массовым числом
больше 238 являются нестабильными.
Их удается получить лишь искусст-
венными способами, существуют они не
очень длительное время, самопроиз-
вольно превращаясь в более легкие
ядра.
Если тяжелое ядро элемента, рас-
положенного в конце периодической
системы, расщепить на две примерно
равные части, то получаются два ядра
элементов, находящихся ближе к
ее середине, и, согласно рис. 61, энер-
гия связи этих ядер, приходящаяся
на одну частицу, больше, чем в ис-
ходном ядре, т. е. частицы в этих
ядрах связаны между собой силь-
нее, чем в исходном. Сумма масс
покоя ядер, полученных в результате
их деления, меньше, чем масса покоя
исходного ядра. Поэтому сумма пол-
ных энергий покоя ядер, образующих-
ся в результате их деления, меньше,
чем энергия покоя исходного ядра.
Разница в энергиях выделяется в виде
кинетической энергии продуктов деле-
ния и образующихся при этом излу-
чений. Это и есть атомная (ядерная)
энергия, которая используется в атом-
ных (ядерных) реакторах и атомных
бомбах.
Если два легких ядра элементов,
расположенных в начале периодиче-
ской системы, соединяются в одно, то
в результате слияния получается ядро
элемента, находящегося ближе к ее се-
редине, и, согласно рис. 61, частицы в
этих ядрах сильнее связаны, чем в ис-
ходном. Такие же рассуждения, как и
в предыдущем случае, приводят к вы-
воду, что при слиянии легких ядер
должна выделяться энергия, использу-
емая в водородных бомбах. Пути уп-
равляемого освобождения этой энергии
в мирных целях в настоящее время
еще неизвестны и являются предметом
интенсивных научных исследований.
Большинство ученых считает, что проб-
лема будет успешно решена в принци-
пиальном смысле до конца XX в., а
полное практическое использование
научного решения осуществится в
XXI в.
Соотношение между массой и энер-
гией не только было подтверждено
экспериментально, но и нашло многие
важные практические применения. Од-
новременно описанные явления дока-
зывают также и заког сохранения
энергии в релятивистском случае.
Закон сохранения энергии для сис-
темы материальных точек. Все изло-
женное в этом параграфе о законе
сохранения энергии относится к мате-
риальной точке. Для системы матери-
§ 25. Закон сохранения энергии 147
альных точек ситуация существенно
усложняется. Прежде всего возникает
искушение сформулировать закон со-
хранения энергии для системы матери-
альных точек так же, как для одной
материальной точки, т. е. вместо урав-
нения для движения материальной точ-
ки (25.11) исходить из уравнения
(21.16) для движения центра масс сис-
темы материальных точек. Умножая
обе части (21.16) на скорость центра
масс и преобразуя полученное равен-
ство аналогично (25.12) и (25.13),
получаем вместо (25.14) соотношение
(2)
mVi/2 —mVf/2=$F-dR, (25.51)
(О
где Vi и V2 — скорости центра масс
системы в начале и конце пути, а
интеграл в правой части вычисляется
по пути движения центра масс. Ра-
венство (25.51) полностью аналогично
(25.14), но нельзя сказать, что оно
выражает закон сохранения энергии в
таком же смысле, как (25.14). Дело в
том, что (25.51) не является уравне-
нием для физически существующих ве-
личин. Центр масс является вообража-
емой точкой, а сила F под знаком
интеграла в (25.51) приложена к цент-
ру масс, в действительности же она
слагается из сил, приложенных к мате-
риальным точкам системы. Поэтому
правая часть (25.51) не представляет
работы сил, приложенных к телу, а ле-
вая часть — изменения кинетической
энергии системы. Левая часть учиты-
вает лишь изменение кинетической
энергии, связанной с движением цент-
ра масс.
Для получения закона сохранения
энергии системы материальных точек
исходим из уравнений движения для
каждой из точек системы:
^.dV//d/==Ff, (25.52)
где индексом i нумеруются величины,
относящиеся к z-й материальной точке.
Сила F, включает, в себя как внешние,
так и внутренние силы, действующие
на f-ю точку. Умножая каждое урав-
нение (25.52) на перемещение drz=
=vzd/ соответствующей точки, сумми-
руя левые и правые части этих ра-
венств по всем точкам, а затем ин-
тегрируя полученные суммы от началь-
ного момента времени Ц до конечного
/2, придем к равенству
^2
2(/п,»|/2—^,^/2)= S$F,• v,d/, (25.53)
1 1 t\
которое выражает закон сохранения
энергии для системы материальных то-
чек в таком же смысле, как (25.14).
Применение закона (25.53) для
конкретных случаев движения системы
материальных точек значительно слож-
нее, чем для отдельной материальной
точки, даже если имеются только по-
тенциальные силы. Это, в частности,
связано с тем, что работа внутренних
сил не обязательно равна нулю и не
может быть вычислена в общем виде.
Наиболее простым является движение
твердого тела во внешних достаточно
однородных потенциальных полях.
В этом случае кинетическая энергия в
левой части (25.53) слагается из кине-
тической энергии движения центра
масс и энергии вращения твердого те-
ла (см. § 33), работа внутренних сил в
правой части равна нулю, а работа
внешних сил выражается интегралом по
пути движения центра масс. Учет неод-
нородности потенциального поля зна-
чительно усложняет вычисление инте-
грала в правой части (25.53).
Пример 25.1. Вычислить работу
силы V=y2\x-}-x2\y при перемещении
между точками х=0, у=Ь и х=2,
у=\ по прямой линии £1 у=2х и па-
раболе £2 у—2х2.
По определению,
148 6. Законы сохранения
$ F • dr = $(f/2dx + x2dy)= (4x2dx +
L, Li о
+2x2dx)=2, (25.54)
1
§F. dr=$(#2dx+x2d#)= $ (4x4dx+x2X
ь2 l2 о
X4xdx)=l,8, (25.55)
где в обоих случаях при интегриро-
вании в качестве независимого пара-
метра взята координата х.
Пример 25.2. В лабораторной сис-
теме координат навстречу друг другу
движутся одинаковые частицы, обла-
дающие энергией Е каждая. Энергия
покоя частицы Ео. Найти энергию Е'
одной из частиц в системе координат,
связанной с другой.
Воспользуемся результатами при-
мера 17.1. Поскольку у=Е/Ео, ?,=
=Е'/Ео, получаем
Е'=Е0 [2 (Е/Ео)2— 1 ]. (25.56)
При у»1 можно положить Е'=
=2Е(Е/Е0). Если, например, два про-
тона движутся навстречу друг другу с
энергией приблизительно 30 ГэВ у
каждого, то это эквивалентно тому,
что на неподвижный протон другой
протон налетает с энергией примерно
2000 ГэВ.
В основе законов сохранения импульса, мо-
мента импульса и энергии изолированной
системы лежат соответственно однородность
пространства, изотропность пространства и
однородность времени.
В чем состоит физическое содержание по-
нятий однородности пространства, изотроп-
ности пространства и однородности времени?
Какие требования на свойства сил наклады-
ваются однородностью пространства и изо-
тропностью пространства?
Какое свойство потенциальной энергии си-
стемы обусловливается ее изолирован-
ностью?
26. Законы сохранения и симметрии
пространства и времени
Доказывается обусловленность законов сохранения
однородностью, изотропностью пространства и
однородностью времени.
Связь закона сохранения импульса с
однородностью пространства. Импульс
может быть неизменным не только у
изолированной системы, но и у неизо-
лированной, если только равнодейст-
вующая внешних сил равна нулю.
В этом случае в уравнении (21.11)
F=0 и, следовательно, p=const, т. е. им-
пульс системы сохраняется, хотя сис-
тема и не изолирована. Например,
капля дождя падает в воздухе с посто-
янной скоростью. Она является неизо-
лированной системой материальных
точек, на которую действуют внешние
силы — силы тяжести и сила трения о
воздух. Равнодействующая этих двух
сил равна нулю, и импульс капли со-
храняет постоянное значение. Можно
сказать, что сохранение импульса не-
изолированной системы материальных
точек обусловлено свойствами внешних
сил, действующих на систему. При
других внешних силах импульс неизо-
лированной системы не сохраняется.
Поэтому нельзя говорить о каком-то
всеобщем законе сохранения или несо-
хранения импульса неизолированной
системы.
По-другому обстоит дело в случае
изолированной системы. У изолирован-
ной системы импульс всегда сохраня-
ется. Утверждение о сохранении им-
пульса изолированной системы имеет
универсальное значение и поэтому на-
зывается законом. Чем обусловлен этот
закон? Считая, что при отсутствии
внешних сил в уравнении (21.11) сила
F=0 и оно принимает вид (23.1), пред-
полагалось, что выполняется условие
(21.7в), выражающее справедливость
третьего закона Ньютона. Поэтому с
формально математической точки зре-
§ 26. Законы сохранения и симметрии пространства и времени 149
ния можно сказать, что закон сохра-
нения импульса изолированной систе-
мы материальных точек является след-
ствием третьего закона Ньютона. Од-
нако при этом возникает вопрос: чем
обусловлена справедливость третьего
закона Ньютона? Ответ гласит: спра-
ведливость третьего закона Ньютона и
закон сохранения импульса изолиро-
ванной системы материальных точек обус-
ловлены однородностью пространства.
Под однородностью пространства понима-
ется эквивалентность всех точек прост-
ранства друг другу. Это означает,
что если имеется некоторая изолиро-
ванная физическая система, то разви-
тие событий в ней не зависит от
того, в точках какой области прост-
ранства эта система локализована.
В применении к изолированной системе
материальных точек это означает, что
если все точки системы сместить на бг,
то ни в состоянии системы, ни в ее
внутренних движениях ничего не изме-
нится. Отсюда следует, что полная ра-
бота внутренних сил системы при сме-
щении бг должна быть равна нулю:
6r- 2 2f(/=0. (26.1)
* /
Ввиду произвольности бг получаем
равенство
2 2 f17=42 2 (F,/+F/,)=0, (26.2)
i 1 i /
совпадающее с (21.7в). Ввиду незави-
симости взаимодействий каждой из
пар точек друг с другом из (26.2)
следует третий закон Ньютона:
Fz/+F/z=O. - (26.3)
Тем самым доказано, что
закон сохранения импульса изоли-
рованной системы материальных точек
обусловлен фундаментальным свойст-
во^ пространства в инерциальных сис-
темах — его однородностью Отсюда
можно заключить, что с однородностью
пространства связан и принцип отно-
сительности.
Теперь можно вернуться к обсуж-
дению вопроса о справедливости треть-
его закона Ньютона, который рассмат-
ривался в § 19. При выводе соотно-
шения (26.3) предполагалось, что в
замкнутой системе никаких носителей
импульса, кроме материальных точек,
нет, а силы действуют на расстоянии
без материального посредника. Такие
силы должны удовлетворять соотно-
шению (26.3), коль скоро пространство
однородно. Силы с конечной ско-
ростью распространения этим услови-
ям не удовлетворяют и к ним тре-
тий закон Ньютона в своей непосред-
ственной формулировке неприменим.
При наличии таких сил теорема о со-
хранении импульса замкнутой системы
сохраняет свое значение, но в замкну-
тую систему наряду с материальными
точками необходимо включить поле,
осуществляющее взаимодействие меж-
ду материальными точками, и учесть
его импульс.
Связь закона сохранения момента
импульса с изотропностью простран-
ства. Закон сохранения момента им-
пульса изолированной системы матема-
тически следует из уравнения (24.1),
при выводе которого предполагалось,
что момент внутренних сил взаимодей-
ствия материальных точек системы
удовлетворяет соотношению (21.106),
т. е. равен нулю. С формальной ма-
тематической точки зрения это обсто-
ятельство и обусловливает существо-
вание закона сохранения момента им-
пульса для изолированной системы ма-
териальных точек. Как было подчерк-
нуто, это соотношение не следует из
законов Ньютона, а является незави-
симым от них требованием, вследствие
чего уравнение моментов (21.21) для
системы материальных точек не сво-
дится полностью к законам Ньютона.
150 6. Законы сохранения
Спрашивается: какими более глубоки-
ми факторами обусловливается спра-
ведливость соотношения (21.106)? От-
вет гласит: справедливость соотноше-
ния (21.106) обусловливается изотроп-
ностью пространства. Под изотроп-
ностью пространства понимается экви-
валентность различных направлений в
пространстве. Это означает, что если
имеется некоторая изолированная фи-
зическая система, то развитие событий
в ней не зависит от того, как она ори-
ентирована в пространстве. В приме-
нении к изолированной системе мате-
риальных точек отсюда следует, что уг-
ловое перемещение системы на б ср
[см. §9] не изменяет ее внутренне-
го состояния и ее внутренних движе-
ний. Поэтому полная работа внутрен-
них сил при угловом перемещении
должна быть равна нулю. Как видно
из (9.3) и (9.5), при угловом переме-
щении 6<р материальная точка, харак-
теризуемая радиусом-вектором rz, ис-
пытывает смещение бг=бФХг;- Равен-
ство нулю полной работы внутренних
сил при угловом перемещении системы
на 6<Р выражается в виде
4-2 2 (6г, • F;i+Sry. Fiy)=0. (26.4)
< 7
Следовательно, можно написать
6rf-F ,,+бг, • Fiy=(6<PXr() • Fy,-+
+ (бфХ г,) • FI;=64>• (r,X F„) +6<РX
X (г, X F,/)=6q>- [(г, — гу) X F(1], (26.5)
где приняты во внимание известное из
векторной, алгебры правило о цикли-
ческой перестановке сомножителей в
смешанном векторном произведении и
третий закон Ньютона. Подставляя
(26.5) в (26.4), находим
is 2 6<p-[(n-r/)XFyI]=0. (26.6)
* 7
Поскольку угловое перемещение 6<р
произвольно, из (26.6) получаем ра-
венство
2S(r<-r/)XF,7=0. (26.7)
i 7
совпадающее с (21.106). Можно ска-
зать, что (21.106) следует из изотроп-
ности пространства. А это означает,
что
закон сохранения момента импуль-
са изолированной системы материаль-
ных точек обусловлен фундаменталь-
ным свойством пространства в инер-
циальных системах — его изотроп-
ностью.
Связь закона сохранения энергии с
однородностью времени. Декартовы
координаты частиц, образующих изо-
лированную систему, обозначим (xh yh
, проекции их скоростей на оси
координат— (vix, viy, viz), массы — mz.
Потенциальная энергия системы обо-
значается £п, силы, действующие на
частицы, в соответствии с (25.20)
даются формулами
Fix=—dEn/dx, Fiy=—dEn/dy,
Fiz=-dEn/dz.
Следовательно, уравнения движения
имеют вид
dvix дЕП dylv дЕП
mi~dt
(26.8)
at dz, v 7
где /=1,2,..., п\ п — общее число час-
тиц. Умножив обе части уравнений
(26.8) на проекции dxz, Ayt, Azt век-
тора перемещения частицы при дви-
жении, получим:
<^)-~£*>• Ч'^)=
(26.9)
§ 26. Законы сохранения и симметрии пространства и времени 151
где принято во внимание, что
(duix/df) dx=duix (dx,/d/) =d (t£/2), и
постоянство mz. Суммируя левые и пра-
вые части уравнений (26.9) по всем
частицам, получаем
= - s( + -^=-dzA.
\ dxi dyi v dzi /
(26.10)
Для дальнейших вычислений необхо-
димо принять во внимание однород-
ность времени. Под однородностью
времени понимается эквивалентность
различных моментов времени между
собой. Это означает, что некоторая фи-
зическая ситуация развивается оди-
наково независимо от того, в какой
конкретный момент времени она осу-
ществляется. Поэтому однородность
времени влечет за собой в качестве
следствия отсутствие явной зависи-
мости потенциальной энергии £п изо-
лированной системы от времени
(dEn/dt=O). Следовательно, правая
часть соотношения (26.10) является
полным дифференциалом
s ( +-S^') = d£"’
(26.11)
и соотношение (26.10) может быть за-
писано в виде
d[S-^+£n]=0, (26.12)
где принято во внимание, что
2 [d ( ^) + d ( ^) + d ( ^)] =
- (26.13)
Из (26.12) следует закон сохранения
энергии для изолированной системы
материальных точек:
2 -^-+£n=const.
(26.14)
Видно, что решающим шагом при вы-
воде закона сохранения энергии было
обоснование универсальности соотно-
шения (26.11) для изолированных сис-
тем, исходя из однородности времени.
Следовательно,
„ закон сохранения энергии изолиро-
ванной системы материальных точек
обусловлен фундаментальным- свойст-
вом времени в инерциальных систе-
мах — его однородностью.
В релятивистском случае в типич-
ных ситуациях взаимодействующих
частиц необходимо учитывать взаимо-
превращение частиц, излучение и дру-
гие релятивистские эффекты. Это не
позволяет сформулировать закон со-
хранения энергии в простом виде,
аналогичном (26.14).
Универсальность и всеобщность за-
конов сохранения. Законы сохранения
обусловлены фундаментальными свой-
ствами пространства и времени и
поэтому они универсальны и всеобщи,
поскольку пространство и время явля-
ются формами существования материи
и не может быть материи вне прост-
ранства и времени.
В истории физики были такие си-
туации, когда казалось, что экспери-
мент свидетельствует о нарушении
законов сохранения. Например, при
изучении бета-распада, когда происхо-
дит радиоактивное превращение атом-
ного ядра с испусканием электрона,
было обнаружено несоблюдение закона
сохранения энергии и импульса. Очень
тщательные измерения энергии и им-
пульса электронов и ядер указывали
на это. Если бы законы сохранения
энергии и импульса в бета-распаде
действительно нарушались, то было бы
необходимо серьезно пересмотреть
представления о пространстве и време-
152 6. Законы сохранения
ни и сущности законов сохранения,
которые относятся к фундаменту физи-
ческих представлений. На такой шаг
физики вынуждены были бы пойти
лишь в том случае, когда на его необ-
ходимость указывали бы достаточно
многие физические явления. При объяс-
нении кажущегося несоблюдения зако-
нов сохранения в бета-распаде такой
путь развития физической теории был
отвергнут и было предположено, что
кроме электрона из ядра вылетает
другая неизвестная частица, обладаю-
щая энергией и импульсом, которых
не достает для точного соблюдения
законов сохранения. Эта частица была
названа нейтрино. Лишь много лет
спустя удалось зафиксировать экспери-
ментально существование этой части-
цы, занявшей важное место в семей-
стве элементарных частиц. Ее теорети-
ческое открытие было сделано на осно-
вании уверенности в универсальности
и всеобщности законов сохранения.
Задачи
6.1. Вычислить значение интеграла ^xtfdy, где L— окружность x2+z/2=l, проходимая при ин-
z
тегрировании против часовой стрелки.
6.2. Вычислить работу силы F=ixif-{-iyX2 по полуокружности у= j/1 —х2 между точками (0, —1)
И (0, 1).
6.3. Найти длину винтовой линии, заданной параметрически: x=sin t, r/=cos t, z=t при
6.4. Человек массой m\ стоит в неподвижном лифте массой т2, уравновешенном противовесом
массой mi+m2. Человек подпрыгивает в лифте с таким же усилием, при котором в условиях
прыжка на поверхности земли его центр масс переместился бы вверх на h. На сколько пере-
местится его центр масс относительно пола лифта? Массами тросов и блоков в механизме
лифта и трением пренебречь.
6.5. Выразить импульс частицы через ее кинетическую энергию Ек и массу покоя.
6.6. Выразить скорость частицы .через ее импульс и массу покоя.
6.7. Найти скорость частицы с зарядом е и массой покоя то после прохождения разности потен-
циалов U.
6.8. Чему равна энергия связи ядра лития, состоящего из трех протонов и четырех нейтронов, если
известно, что его масса покоя равна 1,16445 • 10-26 кг. Массы покоя протона и нейтрона равны
соответственно 1,67265* 10-27 кг и 1,67495-10-27 кг.
6.9. В лабораторной системе координат вдоль одной линии навстречу друг другу движутся с реля-
тивистскими скоростями две частицы, массы покоя которых т\ и т2. Полные энергии частиц
равны Е\ и Е2. Найти энергию Е\ частицы в системе координат, в которой вторая частица
ПОКОИТСЯ (Е2 = ГП2С2).
6.10. Покоящаяся частица массы т\ распадается на две частицы, массы покоя которых т2 и /л3.
Найти энергию образовавшихся частиц и модули их противоположно направленных импульсов.
Ответы
6.1. л/4. 6.2. 4/3. 6.3. 2л/2 . 6.4. 2h(mt + /n2)/(m, + 2т2). 6.5. [£к(£к + 2тос2)]''2/с.
6.6. ср / /р2 + mgc2. 6.7. сГс£(е£ + 2тос2)]'/2/(еи + тос2). 6.8. 0,0631 • 10-,0 Дж =
= 39,4 МэВ. 6.9. {(£f/c2 —m?c2X'£l/c2—m?c2)]'-2 + £l£2/c2}/m2. 6.10. £2 =
= (m2c2 + mic2 — г„зС2)/(2/П|); £3 =(т2с2 -£ mfc2 — m2c2j/(2mi); р2 = рз =
= (£?- mlc^/c2.
: 27. Силы инерции
Рассматриваются условия возникновения сил
i инерции и обсуждается вопрос об их реальности
Определение неинерциальных систем.
Неинерциальной системой отсчета на-
зывается система, движущаяся уско-
ренно относительно инерциальной.
Система отсчета связана с телом
отсчета, которое, по определению, прини-
мается за абсолютно твердое. Уско-
ренное движение твердого тела вклю-
inaeT в себя ускорение как поступа-
тельного движения, так и вращения.
^Поэтому простейшими неинерциальны-
: ми системами отсчета являются сис-
темы, движущиеся ускоренно прямоли-
нейно, и вращающиеся системы.
Время и пространство в неинерци-
альных системах отсчета. Чтобы опи-
сать движение в некоторой системе от-
счета, необходимо разъяснить содер-
жание высказывания о том, что такие-
то события произошли в таких-то точ-
ках в такие-то моменты времени. Для
этого прежде всего надо, чтобы в сис-
теме отсчета существовало единое
время в том смысле, как это было из-
ложено в § 7. В неинерциальных сис-
темах отсчета единого времени в ука-
занном в § 7 смысле не существует.
Поэтому не ясно, как можно измерять
длительность процессов, начинающих-
ся в одной точке и заканчивающих-
ся в другой. Понятие длительности та-
ких процессов теряет смысл, посколь-
ку скорость хода часов в различных
точках различна. Усложняется также
проблема измерения и сравнения длин.
Например, трудно определить понятие
длины движущегося тела, если не ясно,
что такое одновременность в различ-
ных точках.
Эти трудности можно частично
обойти, если принять во внимание, что
интервал собственного времени не за-
висит от ускорения. Поэтому для ана-
лиза пространственно-временных соот-
ношений в некоторой бесконечно малой
пространственно-временной области
НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ
СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
D неинерциальных
системах отсчета существуют силы
инерции. Они реальны и имеют мно-
гообразные проявления и важные прак-
тические применения. Однако исполь-
зование понятия сил инерции при ана-
лизе движений в инерциальных систе-
мах отсчета является ошибочным, так
как в них эти силы отсутствуют.
27
Силы инерции
28
Неинерциальные системы отсчета,
движущиеся прямолинейно-поступательно
29
Невесомость. Принцип эквивалентности
30
Неинерциальные вращающиеся системы
отсчета
154 7. Неинерциальные системы отсчета
неинерциальной системы отсчета мож-
но воспользоваться пространственно-
временными соотношениями инерциаль-
ной системы отсчета, которая движет-
ся с той же скоростью, но без ус-
корения, как и соответствующая беско-
нечно малая область неинерциальной
системы. Такая инерциальная система
отсчета называется сопровождающей.
Этим путем удается установить зави-
симость между физическими величина-
ми, если они определяются пространст-
венно-временными соотношениями в
бесконечно малой области, а затем
распространить их на конечные облас-
ти. Однако этот путь сложен и здесь
не будет использован.
Мы ограничимся рассмотрением
движения с малыми скоростями, когда
все эти трудности не возникают и мож-
но использовать преобразования Гали-
лея, считая, что пространственно-вре-
менные соотношения в неинерциальной
системе таковы же, как если бы она
была инерциальной.
Силы инерции. В инерциальных
системах координат единственной при-
чиной ускоренного движения тела яв-
ляются силы, действующие на него со
стороны других тел. Сила всегда есть
результат взаимодействия материаль-
ных тел.
В неинерциальных системах можно
ускорить тело простым изменением со-
стояния движения системы отсчета.
Рассмотрим, например, неинерциаль-
ную систему отсчета, связанную с ав-
томобилем. При изменении скорости
его относительно поверхности земли в
Укажите наблюдаемые проявления сил инер-
ции в неинерциальных системах отсчета.
Опишите принцип действия инерциальных
навигационных систем. С помощью инерци-
альной навигационной системы можно опре-
делить положение ракеты относительно точки
старта без наблюдения каких-либо явлений
или объектов вне ракеты. Не противоречит
ли это принципу относительности? Почему?
этой системе отсчета все небесные тела
испытывают соответствующие ускоре-
ния. Ясно, что эти ускорения не яв-
ляются результатом действия на небес-
ные тела каких-либо сил со стороны
других тел. Таким образом, в неинер-
циональных системах отсчета сущест-
вуют ускорения, которые не связаны с
силами такого же характера, какие из-
вестны в инерциальных системах от-
счета. Благодаря этому первый закон
Ньютона в них не имеет смысла.
Третий закон Ньютона в отношении
взаимодействия материальных тел, во-
обще говоря, выполняется. Однако, по-
скольку в неинерциальных системах от-
счета ускорения тел вызываются не
только «обычными» силами взаимо-
действия между материальными те-
лами, проявления третьего закона
Ньютона настолько искажаются, что
он также утрачивает ясное физиче-
ское содержание.
При построении теории движения в
неинерциальных системах в принципе
можно было бы идти по пути корен-
ного изменения представлений, выра-
ботанных в инерциальных системах, а
именно можно было бы принять, что
ускорения тел вызываются не только
силами, но и некоторыми другими фак-
торами, которые ничего общего с си-
лами не имеют. Однако исторически
был выбран иной путь — эти другие
факторы были признаны силами, кото-
рые находятся с ускорениями в таких
же соотношениях, как и обычные силы.
При этом предполагается, что в не-
инерциальныХ системах, так же как и
инерциальных, ускорения вызываются
только силами, но наряду с «обычны-
ми» силами взаимодействия существу-
ют еще силы особой природы, назы-
ваемые силами инерции. Второй закон
Ньютона формулируется без измене-
ния, но наряду с силами взаимодей-
ствия необходимо учесть силы инерции.
Существование сил инерции обуслов-
§ 27. Силы инерции 155
ливается ускорением движения неинер-
циальной системы отсчета относитель-
но инерциальной. Силы инерции бе-
рутся такими, чтобы обеспечить в не-
инерциальной системе отсчета те уско-
рения, которые фактически имеются,
но обычными силами взаимодействия
объясняются лишь частично. Поэтому
второй закон Ньютона в неинерциаль-
ных системах имеет вид
ma'=FH- FHH,
(27.1)
где а' — ускорение в неинерциальной
системе отсчета, F — «обычные» силы
как результат взаимодействия, FHH —
силы инерции.
О реальности существования сил
инерции. Являются ли силы инерции
реальными силами? Они реальны в том
же смысле, в каком являются реаль-
ными ускорения в неинерциальных сис-
темах координат, для описания кото-
рых они введены. Они реальны также
и в более глубоком смысле: при
рассмотрении физических явлений в
неинерциальных системах можно ука-
зать конкретные физические последст-
вия действия сил инерции. Например,
в вагоне поезда силы инерции могут
привести к увечьям пассажиров, т. е.
к весьма реальному и осязаемому
результату. Поэтому силы инерции
столь 'же реальны, как реален факт
равномерного и прямолинейного дви-
жения тел в инерциальных системах
координат, если отсутствуют «обыч-
ные» силы взаимодействия, как это
формулируется в первом законе Нью-
тона.
Силы инерции имеют важное прак-
тическое применение. Например, инер-
циальные системы навигации позволя-
ют определить с большой точностью
местоположение самолета или ракеты
по приборам, измеряющим силы инер-
ции, без каких-либо измерений поло-
жения самолета или ракеты относи-
тельно Земли и небесных тел.
Нахождение сил инерции. Чтобы
можно было описать движение тел в
неинерциальной системе отсчета с по-
мощью уравнения (27.1), необходимо
указать способ определения сил инер-
ции, фигурирующих в правой части
этого уравнения. Силы инерции харак-
теризуют ту часть ускорения тела,
которая обусловливается ускоренным
движением системы координат относи-
тельно инерциальной системы отсчета.
Запишем уравнения движения неко-
торого тела в неинерциальной и инер-
циальной системах координат:
ma'=F+F„H, (27.2)
ma=F, (27.3)
где «обычные» силы взаимодействия F
одинаковы в обеих системах коорди-
нат; а' и а — ускорения соответственно
в неинерциальной и инерциальной сис-
темах координат.
Из уравнений (27.2) и (27.3) для
силы инерции получаем
РИн=л7?(а/ — а).
(27.4)
Обычно при рассмотрении неинерци-
альных систем отсчета используется
следующая терминология. Ускорение а
относительно инерциальной системы
отсчета называется абсолютным, а ус-
корение а' относительно неинерциаль-
ной системы отсчета — относительным.
Формула (27.4) показывает, что силы
инерции обусловливают разность меж-
ду относительным и абсолютным уско-
рениями. Отсюда ясно, что силы инер-
ции существуют только в неинерциаль-
ных системах координат. Введение
этих сил в уравнения движения, ис-
пользование их при объяснении физи-
ческих явлений и т. д. в неинерци-
альных системах координат является
правильным и необходимым. Однако
156 7. Неинерциальные системы отсчета
62
Неинерциальная си-
стема, движущаяся
прямолинейно - по-
ступательно
63
Равновесие маят-
ника в неинерци-
альной системе от-
счета
системы (рис. 62). Ясно, что связь
между координатами некоторой точки
дается формулами
х=хц-\-х', у=у', z=z', t=t'. (28.1)
Отсюда следует, что
dx dxp ! dx7
d/ dZ ’ dZ ’
V = Vq-\-v' ,
(28.2)
где v=dx/dZ, uo=dxo/d/, v'=dx'ldi
называются соответственно абсолют-
ной, переносной и относительной ско-
ростями.
Переходя в (28.2) к ускорениям,
находим
dy d^o । dt/ । z
"dZ dT+ “dT a~a° + a ’ (28.3)
где
a=dv/dt, ao=dvQ/dt, a'=dv'/dt
(28.4)
называются соответственно абсолют-
ным, переносным и относительным ус-
корениями. Следовательно, в соответ-
ствии с определением (27.4) выраже-
ние для сил инерции в движущейся
прямолинейно неинерциальной системе
отсчета имеет вид
использование понятия сил инерции
при анализе движений в инерциальных
системах координат является ошибоч-
ным, поскольку в них эти силы отсут-
ствуют.
28. Неинерциальные системы
отсчета, движущиеся
прямолинейно-поступательно
Описываются силы инерции в неинерциальных
системах отсчета, движущихся прямолинейно-
поступательно, и их проявления.
Выражение сил инерции. Пусть неи-
нерциальная система движется прямо-
линейно вдоль оси X инерциальной
F^=m{af—а)=—та0, (28.5)
или в векторной форме
FHH= — ma0,
(28.6)
т. е. сила инерции направлена про-
тивоположно переносному ускорению
неинерциалъной системы.
Маятник на тележке. Рассмотрим
равновесное состояние маятника в
неинерциальной системе координат,
движущейся в горизонтальном направ-
лении с поступательным ускорением
clq (рис. 63). Силы, действующие на
§ 28. Неинерциальные системы отсчета, движущиеся прямолинейно-поступательно 157
маятник, указаны непосредственно на
рисунке. Уравнение движения маятни-
ка имеет вид
zna'=T+P+FHH=T+P-mao=O, (28.7)
т. е. а'=0. Ясно также, что tga=ao/g,
где a — угол между подвесом маятни-
ка и вертикалью.
В инерциальной системе координат
действующие силы и уравнение движе-
ния изменяются (рис. 64). Сила инер-
ции в этом случае отсутствует, имеют-
ся только сила Т со стороны натянутой
нити и сила тяжести P=mg. Условие
равновесия гласит:
та= Т+Р=/па0. (28.8)
Очевидно также, что tga=a0/g.
Падающий маятник. Очень эффект-
ной демонстрацией явлений в прямо-
линейно движущихся неинерциальных
системах является падающий маятник.
Маятник подвешен на массивной рам-
ке, которая может свободно падать,
скользя с очень малым трением по вер-
тикальным направляющим тросам
(рис. 65, а). Когда рамка покоится,
маятник совершает собственные коле-
бания. Рамка может быть приведена в
состояние свободного падения в любой
фазе колебаний маятника. Движение
его при свободном падении рамки за-
висит от того, в какой фазе колебаний
началось свободное падение. Если ма-
ятник в момент начала свободного
падения находится в точке максималь-
ного отклонения, то он остается в этой
точке неподвижным относительно рам-
ки. Если же он в указанный момент
находился не в точке максимального
отклонения, то он имеет относительно
рамки некоторую скорость. При паде-
нии рамки модуль этой скорости отно-
сительно рамки не изменяется, меня-
ется лишь ее направление относитель-
но рамки. В результате маятник вра-
щается равномерно вокруг точки под-
веса.
65
Схема сил, действую-
щих на падающий ма-
ятник в системах от-
счета:
б — неинерциальной,
связанной с маятником;
в — инерциальной, в ко-
торой маятник падает с
ускорением свободного
падения; а — маятник
в положении равновесия
Рассмотрим это явление в неинер-
циальной системе отсчета, связанной с
рамкой (рис. 65, б). Уравнение дви-
жения имеет вид
та'=Т + Р+FHH=T+mg—mg=T.
(28.9)
Таким образом, это есть движение ма-
териальной точки под действием сил
натяжения нити по окружности с
центром в точке ее закрепления. Дви-
жение происходит по окружности с ли-
нейной скоростью, равной начальной.
Сила натяжения нити является той
центростремительной силой, которая
обеспечивает равномерное движение
маятника по окружности и равна
mv'2/I, где I — длина подвеса маятни-
ка, а v' — скорость движения маятни-
ка относительно рамки.
В инерциальной системе координат
силы инерции отсутствуют. Силы, дей-
ствующие на маятник, показаны на
рис. 65, в — это силы натяжения нити
и тяжести. Уравнение движения имеет
вид
ma=P+T=mg+T. (28.10)
158 7. Неинерциальные системы отсчета
Чтобы найти решение уравнения
(28.10), представим полное ускорение
маятника как сумму двух ускорений:
a=ai+a2, и тогда (28.10) может быть
записано в виде совокупности двух
уравнений
mai=T, ma2=mg, (28.11)
второе из которых имеет решение a2=g,
т. е. описывает свободное падение ма-
ятника, а первое полностью совпадает
с (28.9) и описывает вращение вокруг
точки подвеса.
В приведенных примерах анализ
движенйя был одинаково прост и на-
гляден как в неинерциальной системе
координат, так и в инерциальной. Это
объясняется тем, что примеры были
выбраны именно такими с целью ил-
люстрации соотношения между инер-
циальными и неинерциальными сис-
темами. Однако очень часто решение
задачи в неинерциалъной системе ока-
зывается значительно более простым,
чем в инерциальной. Например, анализ
скатывания цилиндра с наклонной
плоскости, которая находится в равно-
ускоренном движении в произвольном
направлении, значительно проще в
неинерциальной системе координат,
связанной с наклонной плоскостью,
чем в инерциальной системе, в кото-
рой плоскость движется ускоренно.
Измерение сил инерции позволяет
найти абсолютное ускорение системы
координат относительно сферы непо-
Измерение сил инерции позволяет найти
абсолютное ускорение системы координат
относительно сферы неподвижных звезд.
Соответствующие приборы называются аксе-
лерометрами. С их помощью создаются
инерциальные навигационные системы.
Когда и почему возникает необходимость
рассматривать силы инерции?
В чем заключается общий метод определе-
ния сил инерции?
Какие силы инерции существуют в поступа-
тельно движущихся неинерциальных систе-
мах?
движных звезд. Соответствующие при-
боры называются акселерометрами.
Пример 28.1. Решить задачу, рас-
смотренную в примере 19.1, если го-
ризонтальная плоскость, на которой
находится брусок, движется с ускоре-
нием ао вверх.
При решении задачи в инерциаль-
ной системе координат в уравнениях
(19.9) и (19.10) надо учесть изменение
сил реакций опор, являющихся след-
ствием дополнительного ускорения
масс в вертикальном направлении.
Однако проще решить задачу в неи-
нерциальной системе отсчета, движу-
щейся вертикально вверх с постоянным
ускорением а0. В ней добавляется сила
инерции, действующая в вертикальном
направлении, и все дело сводится
к изменению силы тяжести. Решения
для а\ и а2 имеют вид (19.11), но с
заменой g-+g + a0.
Нетрудно решить задачу для произ-
вольного направления ускорения ао.
В этом случае в уравнениях (19.9) и
(19.10) надо учесть действие сил инер-
ции как в вертикальном, так и в го-
ризонтальном направлении.
29. Невесомость.
Принцип эквивалентности
Обсуждаются физические условия возникно-
вения ситуации невесомости и формулируется
г/ринцип эквивалентности.
Невесомость. Как было видно на при-
мере падающего маятника, в свободно
падающей неинерциальной системе от-
счета силы инерции полностью компен-
сируют действие силы тяжести и дви-
жение происходит так, как если бы не
было ни сил инерции, ни сил тяжести.
Наступает состояние невесомости. Этим
обстоятельством широко пользуются
для создания, в земных условиях со-
§ 29. Невесомость. Принцип эквивалентности 159
стояния невесомости, например для
тренировки космонавтов.
Состояние невесомости возникает в
самолете в процессе его перевода в
режим пикирования, если при этом ус-
корение самолета к земле в каждый
момент времени равно ускорению сво-
бодного падения. Для продолжи-
тельного нахождения в состоянии не-
весомости обычно весь маневр выпол-
няют в режиме «горка», что позво-
ляет избежать образования больших
углов пикирования и наращивания
скорости самолета до слишком боль-
ших значений. При этом космонавты
испытывают состояние невесомости и
имеют возможность отработать приемы
передвижения по кабине, выполнять
различные действия и т. д.
Гравитационная и инертная массы.
Наступление состояния невесомости
при свободном падении обусловлено
весьма важным физическим фактором,
а именно равенством инертной и гра-
витационной масс тела. Инертная
масса характеризует инертные свойст-
ва тела, а гравитационная масса —
силу, с которой тела притягиваются по
закону Ньютона. Гравитационная мас-
са имеет такой же смысл, как, на-
пример, электрический заряд при рас-
смотрении электромагнитных взаимо-
действий. Вообще говоря, ниоткуда не
следует, что гравитационная и инерт-
ная массы тела должны быть пропор-
циональными, или, что то же самое,
равными друг другу (если две физи-
ческие величины пропорциональны
друг другу, то подходящим выбором
единиц физических величин можно их
сделать травными друг другу). Дока-
жем, что инертная и гравитационная
массы тела пропорциональны друг
другу. Сила, действующая со стороны
Земли, гравитационная масса которой
Мг, на некоторое тело, гравитационная
масса которого mr, на поверхности
Земли равна
F=G^~, (29.1)
R
где G — гравитационная постоянная,
R — радиус Земли. Если инертная мас-
са тела — т, то под действием силы
(29.1) оно приобретает ускорение
„ F п МГ тг . тг
g=—= G—^—-= const—-. (29.2)
m R2 tn m ' '
Так как ускорение g для всех тел у
поверхности Земли одинаково, то от-
ношение их инертных и гравитацион-
ных масс одинаково, т. е. инертная и
гравитационная массы пропорциональ-
ны друг другу. Соответствующим вы-
бором единиц физических величин
можно их сделать равными друг другу
и говорить о массе вообще, не уточ-
няя, о какой именно массе идет речь.
Именно благодаря тому обстоятельст-
ву, что гравитационная и инертная
массы равны друг другу, при свобод-
ном падении силы инерции и силы тя-
жести компенсируют друг друга и
исключаются из рассмотрения.
Ввиду того что равенство инерт-
ной и гравитационной масс имеет важ-
ное значение, оно было весьма тща-
тельно проверено в различных экспери-
ментах. К настоящему времени можно
считать доказанным, что эти массы
равны друг другу с точностью, не мень-
шей 10-*2 их значения, т. е. |(тг—
—rri)/mv\ 10-12.
Равенство инертной и гравитацион-
ной масс имеет и другое следствие:
если система отсчета находится в
равноускоренном прямолинейном дви-
жении относительно инерциальной сис-
темы отсчета (в которой, по опреде-
лению, отсутствуют поля тяготения),
то явления в ней протекают так, как
если бы имелось поле тяготения, ус-
корение свободного падения в котором
равно ускорению системы отсчета.
Для механических явлений это оче-
видно. Обобщение этого утверждения
160 7. Неинерциальные системы отсчета
66
К расчету величи-
ны красного сме-
щения
на все физические явления называ-
ется принципом эквивалентности.
Принцип эквивалентности. Принци-
пом эквивалентности называется ут-
верждение о том, что в некоторой
системе отсчета наличие ускорения ее
неотличимо от присутствия соответст-
вующего поля тяготения.
Конкретное поле тяготения меня-
ется при переходе от одной точки
пространства к другой. Поэтому, во-
обще говоря, нельзя подобрать какую-
то систему отсчета, которая движется
таким образом, что ее ускорение в
каждой точке пространства эквива-
лентно по своему действию с имею-
щимся там полем тяготения. Однако
если необходимо рассмотреть поле тя-
готения в достаточно малой области
пространства, то в первом приближе-
jfjf Физической причиной возникновения неве-
сомости является пропорциональность инерт-
ной и гравитационной масс, которые по
своей сути являются физическими величина-
ми различной природы. В настоящее время
пропорциональность гравитационной и инер-
тной масс проверена с большой точностью.
Принцип эквивалентности можно достаточно
строго применять лишь для малых простран-
ственных областей.
Выражение «красное смещение» применяет-
ся в двух значениях: в одном — это эффект
Доплера при удаляющемся источнике излу-
чения (например, «красное смещение» в
спектрах удаленных галактик), в другом —
когда изменение частоты обусловлено полем
тяготения.
нии его можно считать постоянным в
этой области Поэтому в достаточно
малой области пространства всегда
можно воспользоваться принципом эк-
вивалентности и сделать определенное
заключение о ходе процессов. Проил-
люстрируем это на красном смещении.
Красное смещение. Поле тяготения
оказывает важное действие на свет —
изменяет его частоту. Неизбежность
изменения частоты света в поле тяго-
тения следует из принципа эквива-
лентности.
Представим себе следующий опыт в
поле тяготения Земли. Из некоторой
точки испускается луч света частотой
со, распространяющийся в вертикаль-
ном направлении (рис. 66). Спрашива-
ется: какой будет частота света на
высоте ft? На этот вопрос ответить
исходя из общих соображений нельзя,
поскольку неизвестно действие силы
тяжести на частоту. Ответ можно дать
с помощью принципа эквивалентности,
исходя из того, что в отсутствие си-
лы тяжести частота при распростра-
нении света не изменяется.
Рассмотрим такой опыт в системе
координат, которая свободно падает в
однородном поле тяжести. В этой сис-
теме отсутствуют какие-либо силы, и
все процессы внутри нее происходят
так же, как в инерциальной системе.
Поэтому частота света при распростра-
нении не изменяется. Следовательно,
наблюдатель, покоящийся в этой сис-
теме координат в точке на высоте
ft, должен воспринимать ту же частоту,
которая была излучена в точке О той
же системы координат.
Теперь проанализируем тот же
опыт из лабораторной системы коор-
динат, связанной с Землей, в которой
неинерциальная система координат
свободно падает. Будем считать, что в
момент испускания луча в точке О ско-
рость этой системы равна нулю (но
ускорение, конечно, не равно нулю,
§ 29. Невесомость. Принцип эквивалентности 161
а равно ускорению свободного паде-
ния). За время \t=h/c распростра-
нения луча от точки О до точки наблю-
дения на высоте h свободно падающая
система координат приобретает ско-
рость v=g\t=gh/с. Следовательно,
из-за эффекта Доплера находящийся
в этой системе наблюдатель должен
воспринять излучение большей часто-
ты, чем частота испущенного в точке О
света, на Л(о = со(и/с). Однако анализ
явления в неинерциальной системе по-
казал отсутствие изменения частоты.
Отсюда можно заключить, что в про-
цессе распространения света между
точкой О и точкой на высоте h произо-
шло уменьшение частоты испущенного
света на Дш = —agh/c2 * * * * *. Для видимого
света это означает сдвиг соответствую-
щей частоты в сторону красного цвета
спектра. Поэтому эффект уменьшения
частоты света при распространении
против силы тяжести называется крас-
ным смещением.
Значение его в земных условиях
очень мало. При разности высот в
10 м для красного смещения получаем
следующую оценку:
Лео 10-10 IQ—15
~~ (3-108)2
(29.3)
Заметить такое изменение частоты —
примерно то же самое, что заметить
недостачу одной секунды в ста миллио-
нах лет. Тем не менее в 1960 г. удалось
Какой физический фактор обусловливает
возникновение невесомости при свободном
падении?
Что такое гравитационная масса? Какие опы-
ты показывают пропорциональность инертной
и гравитационной масс?
В чем состоит принцип эквивалентности?
Что такое гравитационное красное смеще-
ние? Можете ли Вы вычислить его величину
в простейшем случае с помощью принципа
эквивалентности?
Какие экспериментальные доказательства
гравитационного красного смещения Вы зна-
ете?
67
Схема опыта по
обнаружению крас-
ного смещения в
земных условиях
это ничтожное в земных условиях
красное смещение надежно зафиксиро-
вать. Для этого был использован
эффект Мёссбауэра, который заклю-
чается в том, что при определенных
условиях фотоны излучаются ядром
практически без отдачи. Вопрос об от-
даче при изучении будет рассмотрен
в § 41. Условие этого излучения без
отдачи состоит в том, что импульс
отдачи при излучении фотона воспри-
нимается не отдельным атомом, а всей
кристаллической решеткой атомов. Эф-
фект Мёссбауэра в том и состоит, что
такие условия возможны. Вследствие
излучения без отдачи ширина линии
излучения получается очень малень-
кой, т. е. испускаемые фотоны имеют
разброс частоты в очень малой обла-
сти. С другой стороны, поглощение
фотона также произойдет только тогда,
когда его частота почти точно равна
частоте испускания без отдачи.
Пусть вещество А (рис. 67) излу-
чает без отдачи фотоны некоторой
частоты, а такое же вещество В при
этих же условиях может поглощать
фотоны той же частоты. Некоторое
число фотонов проходит вещество В,
не будучи поглощенными, и попадает
6—853
162 7. Неинерциальные системы отсчета
на чувствительный приемник С, ре-
гистрирующий это число.
Допустим, что по каким-то причи-
нам во время распространения фото-
нов между А и В их частота измени-
лась. Тогда они не смогут поглощаться
веществом В и их число, попадающее
на приемник С, возрастает. Таким об-
разом, обнаруживается малейшее из-
менение частоты фотона при распро-
странении между А и В. На той же
установке можно измерить, на сколько
изменилась частота излучения фото-
нов. Для этого необходимо вещество
В перемещать по линии распростра-
нения луча с такой скоростью v, чтобы
благодаря эффекту Доплера частота
падающего на него фотона снова стала
равной частоте резонансного поглоще-
ния. В этот момент снова заметно
возрастет поглощение и упадет ин-
тенсивность излучения, воспринимае-
мого приемником С. Эффект достаточно
отчетливо выражен, и скорость v фик-
сируется с большой точностью. В ре-
зультате удается измерить изменение
частоты фотонов при распространении
от А к В. В опытах 1960 г., повторен-
ных затем неоднократно, высота источ-
ника А над детектором В составляла
примерно 15 м. Красное смещение
было уверенно зафиксировано и под-
твердило формулу (29.3).
Красное смещение заметно при
наблюдении излучения звезд, так как
масса у звезд больше, чем у Земли.
Например, имеющиеся данные по излу-
чению Сириуса подтверждают формулу
красного смещения.
Не следует путать красное смеще-
ние, которое вызвано полем тяготения,
с космологическим красным смеще-
нием, обусловленным расширением
Вселенной.
Гравитационное красное смещение
является прямым следствием замедле-
ния течения времени в гравитационных
полях.
У поверхности земли течение вре-
мени замедлено в сравнении с течением
времени на высоте. Следовательно,
одному колебанию стандарта времени
на высоте соответствует более чем
одно колебание того же стандарта вре-
мени у поверхности земли. А это озна-
чает, что частота света при приближе-
нии к поверхности земли увеличивает-
ся, а при удалении — уменьшается.
30. Неинерциальные вращающиеся
системы отсчета
Показывается, что переносное ускорение обус-
ловливает возникновение центробежной силы
инерции, а изменение переносного ускорения
при переходе от точки к точке связано с воз-
никновением сил Кориолиса.
Кориолисово ускорение. При рассмот-
рении неинерциальных систем коорди-
нат, движущихся по прямой линии,
соотношения между абсолютной, пере-
носной и относительной скоростями и
соответствующими ускорениями были
совершенно одинаковыми [см. (28.2)
и (28.3)]. У вращающихся систем дело
обстоит сложнее. Отличие обусловли-
вается тем, что переносная скорость
различных точек вращающейся систе-
мы координат различна. Абсолютная
скорость по-прежнему является суммой
переносной и относительной скоростей:
v=vo-|-vz, (30.1)
а абсолютное ускорение в таком про-
стом виде не представляется.
При перемещении из одной точки
вращающейся системы координат в
другую изменяется переносная ско-
рость точки. Поэтому, если даже отно-
сительная скорость точки при движе-
нии не меняется, она должна испыты-
вать ускорение, отличное от перенос-
ного. Это приводит к тому, что для
вращающихся систем координат в вы-
ражение для абсолютного ускорения
помимо суммы переносного и относи-
§ 30. Неинерциальные вращающие системы отсчета 163
тельного ускорении входит еще одно
ускорение ак, называемое кориолисо-
вым:
а=а0 4- а' -|- а к. (30.2)
Выражение для кориолисова уско-
рения. Для выяснения физической
сущности кориолисова ускорения рас-
смотрим движение в плоскости враще-
ния. Прежде всего нас интересует дви-
жение точки с постоянной относитель-
ной скоростью вдоль радиуса (рис. 68).
На рис. 68 указаны положения точки
в два момента времени, разделенных
промежутком А/, в течение которого
радиус повернется на угол Аа=соА/.
Скорость vr вдоль радиуса изменяется
за это время по направлению, а ско-
рость vrt, перпендикулярная радиусу,
изменяется как по направлению, так и
по модулю. Модуль полного изменения
скорости, перпендикулярной радиусу,
равен
Avrt=vn2 — vni cosa + urAa= (0Г2 —
— coriCOsa + ^rAa co(r2 — ri)+vrcoA/=
= coAr -f- urcoAf, (30.3)
где учтено, что cosa « 1.
Следовательно, кориолисово уско-
рение по модулю равно
aK= lim-^r-=fc)-37-+ vr^ = 2vr(D. (30.4)
В векторном виде это выражение, как
это непосредственно видно из соотно-
шения направлений различных величин
йа рис. 61, можно представить следую-
щим образом:
aK=2(oXv' (30.5)
где v' — относительная скорость, в
данном случае направленная вдоль
радиуса.
В случае движения точки перпен-
дикулярно радиусу, т. е. по окружно-
сти, относительная скорость и,=сог,
а угловая скорость вращения точки в
6*
68
Ускорение Кориолиса обусловлено различным
значением переносной скорости в разных точках
неинерциальной системы
неподвижной системе координат равна
(о + (!)', где со — угловая скорость вра-
щающейся системы координат. Для
абсолютного ускорения получаем сле-
дующее выражение:
а=(со + о)')2г=со2г + со'2 г + 2соо/г.
(30.6)
Первый член в правой части представ-
ляет переносное ускорение, второй
член — относительное ускорение. Пос-
ледний член 2(oco,r=2a)^/ является
кориолисовым ускорением. Все ускоре-
ния в (30.6) направлены вдоль радиу-
са к центру вращения. С учетом на-
правления кориолисово ускорение в
(30.6) может быть записано в виде
ак=2соХ v',
(30.7)
где v' — относительная скорость, в
данном случае направленная перпен-
дикулярно радиусу.
Произвольная скорость может быть
выражена в виде суммы компонент,
направленных по радиусу и перпенди-
164 7. Неинерциальные системы отсчета
кулярно ему, и для обеих компонент
справедлива одна и та же формула
вида (30.7). Отсюда следует, что фор-
мула (30.7) справедлива для кориоли-
сова ускорения при произвольном на-
правлении относительной скорости.
Если скорость направлена парал-
лельно оси вращения, то никакого
кориолисова ускорения не возникает,
так как при этом соседние точки траек-
тории имеют одинаковую переносную
скорость.
Можно получить выражение для
кориолисова ускорения более формаль-
ным путем — прямым вычислением аб-
солютного ускорения. Записав радиус-
вектор движущейся точки в виде
r=iU, + i^,4-ife' > (30.8)
и продифференцировав по t с учетом
зависимости i*, Yy, i'z от времени, полу-
чим для абсолютной скорости следую-
щее выражение:
v=coX r + v^vo + v', (30.9)
где сох r=v0 — переносная скорость, а
v' = v'xi'x + VyVy + vzVz (30.10)
— относительная скорость. Отсюда на-
ходим абсолютное ускорение:
п dv dr . dv' .
a=^-=“X4r+-7r=<oX(vo+v')+
+ a' + (oXv', (30.11)
причем угловая скорость вращения
считается постоянной и учтено, что
dv' dvx । du'v . dvz , di* .
1F= -7Л+ -dF^+ -d?+
Hf+^=a4o>Xv' (30.12)
Поэтому абсолютное ускорение
а=ао + а'-|-ак, (30.13)
где ао=со X vo=(D X (соХ г) — пере-
носное ускорение, а' = +
. dvC i dvz •/
+ vy + —iz — относительное уско-
рение, aK=2©Xv' — кориолисово ус-
корение. Переносное ускорение целесо-
образно представить в виде
ао=соХ (соХ г) =со(со • г) —г<о2=
= со2 (d — г) = - co2R, (30.14)
где R — вектор, перпендикулярный оси
вращения (рис. 69). Таким образом,
переносное ускорение является центро-
стремительным (напомним, что угло-
вая скорость вращения считается
постоянной).
Силы инерции во вращающейся
системе координат. По общей формуле
(28.6) можно найти силы инерции во
вращающейся системе координат с
учетом (30.13) для абсолютного уско-
рения. Имеем
Еин=т(а' — а)=т(—а0 —ак)=
= m(o2R—-2ш<оХ v'=Fu64- FK. (30.15)
Сила инерции
F
(30.16)
Кориолисово ускорение обусловлено ,изме-
нением переносной скорости при переходе
от одной точки вращающейся системы коор-
динат к другой.
Кориолисова сила, как сила инерции, направ-
лена противоположно кориолисову ускоре-
нию и приложена к телу.
Возможность разложения угловой скорости
на составляющие обусловлена векторной
природой угловой скорости.
связанная с переносным ускорением,
называется центробежной силой инер-
ции. Она направлена вдоль радиуса
от оси вращения. Сила инерции
FK=—2mo>X v'
(30.17)
§ 30. Неинерциальные вращающие системы отсчета 165
связанная с кориолисовым ускорением,
называется силой Кориолиса. Она пер-
пендикулярна плоскости, в которой ле-
жат векторы угловой и относительной
скоростей. Если эти векторы совпадают
по направлению, то ускорение Корио-
лиса равно нулю.
Равновесие маятника на вращаю-
щемся диске. В качестве примера рас-
смотрим равновесное положение маят-
ника на вращающемся диске (рис. 70).
В неинерциальной системе координат
на маятник действует центробежная
сила инерции. Сила Кориолиса в поло-
жении равновесия отсутствует, и, сле-
довательно, относительная скорость
равна нулю (и'=0). Уравнение движе-
ния имеет вид
maz=T + mg + Fu6=0. (30.18)
В инерциальной системе отсчета урав-
нение движения маятника, находяще-
гося в равновесии, таково (рис. 70, б):
ma=T-|-mg. (30.19)
Непосредственно на рис. 70 видно, что
tga=co2r/g, а = ы2г (a — угол между
вертикалью и подвесом маятника).
Движение тела вдоль вращающего-
ся стержня. Пусть жесткий стержень
вращается вокруг оси, перпендикуляр-
ной стержню и проходящей через один
из его концов (рис. 71). К оси враще-
ния тело прикреплено пружиной, и си-
ла со стороны пружины пропорцио-
нальна расстоянию тела от оси враще-
ния (F— — kr). Если k = m&2, то цент-
робежная сила инерции Ецб = /mi)2r на
любом расстоянии от оси вращения
уравновешивается силой пружины.
В этом случае тело вдоль стержня
движется с постоянной скоростью v'
(относительно стержня). Стержень не-
сколько изгибается (рис. 71). Рассмот-
рим движение и силы в инерциальной
(неподвижной) и неинерциальной (свя-
занной со стержнем) системах коор-
динат.
Равновесие маятника во вращающейся системе
отсчета:
а — неинерциальной; б — инерциальной
В инерциальной системе координат
на тело действуют две силы (рис. 71, а):
1) центростремительная сила Fuc со
стороны пружины, направленная в
каждый момент к оси вращения и рав-
ная тсо2г. Эта сила обеспечивает дви-
жение тела вокруг оси вращения;
2) сила со стороны изогнутого стерж-
ня ЕДеф (эта изогнутость для очень
жесткого стержня может быть сколь
угодно малой, но сила имеет конечное
значение), которая сообщает телу
ускорение ак, являющееся кориолисо-
вым. Это обычная сила, обусловленная
деформацией стержня.
В неинерциальной системе коорди-
нат, связанной с вращающимся стерж-
нем, имеются четыре силы, которые
взаимно уравновешиваются, в резуль-
166 7. Неинерциальные системы отсчета
71
Сила Кориолиса FK приложена к телу и направ-
лена противоположно кориолисову ускорению
аК
тате чего тело движется В этой системе
равномерно, без ускорений (рис. 71, б):
1) центробежная сила инерции Fu6 =
= тсо2г, направленная вдоль стержня
от оси вращения; 2) центростремитель-
ная сила fuc со стороны пружины,
равная kr=m^2r и направленная вдоль
стержня к оси вращения; 3) кориоли-
сова сила инерции FK, приложенная к
телу. Следует подчеркнуть, что эта
сила приложена именно к телу, а не к
стержню. Он изогнут за счет обыч-
ного взаимодействия деформированных
Какие силы инерции возникают во вращаю-
щейся неинерциальной системе координат?
Какие факторы обусловливают возникнове-
ние сил Кориолиса?
Производят ли работу силы Кориолиса? цен-
тробежные силы?
Какие два типа траектории при колебаниях
маятника Фуко можно осуществить и как?
Можете ли Вы указать проявления сил инер-
ции при движении тел вблизи земной по-
верхности?
тел, а не потому, что к нему приложе-
на сила Кориолиса. Ситуация здесь
совершенно аналогична той, когда тело
лежит на столе: сила тяжести прило-
жена к телу, а на стол со стороны
тела действует сила, обусловленная его
деформацией, а отнюдь не сила тяже-
сти; 4) со стороны изогнутого стержня
к телу приложена сила Рдеф, обуслов-
ленная деформацией штанги. Эта сила
равна силе Кориолиса, но противопо-
ложна ей по направлению.
Неинерциальная система коорди-
нат, связанная с поверхностью Земли.
Поскольку Земля вращается, система
координат, связанная с ее поверх-
ностью, является неинерциальной вра-
щающейся системой координат.
Угловую скорость вращения в лю-
бой точке поверхности удобно разло-
жить на горизонтальную и вертикаль-
ную составляющие (рис. 72): co = g)b-|-
+ (ог. На широте ср эти составляющие
равны соответственно cor = (ocosq), сов =
= cosing).
Центробежная сила инерции, рав-
ная znco2/?coscp, где R — радиус Земли,
лежит в плоскости меридиана. В север-
ном полушарии она отклонена от вер-
тикали к югу на угол ср, в южном —
к северу на тот же угол. Таким обра-
зом, вертикальная составляющая этой
силы изменяет силу тяжести, а ее го-
ризонтальная составляющая направ-
лена по касательной к поверхности
Земли вдоль меридиана к экватору.
Сила Кориолиса зависит от отно-
сительной скорости тела. Эту скорость
удобно разложить на вертикальную и
горизонтальную составляющие: v'=
=vj.-|-vf. Тогда сила Кориолиса может
быть представлена в виде
FK = —2m(coB+<ог) X(v' + v?) =
= — 2тшв X v' — 2гп(ог X v' —
— 2md)rXv;, (30.20)
где учтено, что <oBXvC = 0.
§ 3'0. Неинерциальные вращающие системы отсчета 167
Вертикальная составляющая ско-
рости Vb обусловливает возникновение
составляющей силы Кориолиса —
2mo)rX v£ в горизонтальной плоскости
перпендикулярно плоскости меридиана.
Если тело движется вверх, то сила
направлена на запад, а если вниз —
то на восток. Поэтому свободно падаю-
щее с достаточно большой высоты тело
отклоняется на восток от вертикали,
направленной в центр Земли. Эта сила,
отклоняющая тело от вертикали, оче-
видно, равна 2mci>cosqw£.
Горизонтальная составляющая ско-
рости у' обусловливает возникновение
двух составляющих силы Кориолиса.
Составляющая, равная —2/n(orXvf,
зависит от горизонтальной составляю-
щей угловой скорости вращения Земли
и направлена вертикально. Эта сила
либо прижимает тело к Земле, либо,
наоборот, стремится удалить его от
поверхности Земли в зависимости от
направлений векторов о>г и v£, что
необходимо принимать во внимание
при движении тел на достаточно боль-
шие расстояния, например при полете
баллистических ракет.
Вторая составляющая силы Корио-
лиса, связанная с горизонтальной со-
ставляющей скорости движения v£,
равна —2m<oB X v'г. Она является гори-
зонтальной силой, перпендикулярной
скорости. Если смотреть вдоль скоро-
сти, то в северном полушарии она
всегда направлена вправо. Силой Ко-
риолиса обусловлено, например, неоди-
наковое изнашивание рельсов двухко-
лейной железной дороги, когда поезда
по каждой колее движутся все время в
одном направлении. В этом случае
сила Кориолиса, приложенная к цент-
ру масс вагона, создает относительно
правого рельса момент, который дол-
жен быть уравновешен увеличением
силы реакции со стороны правого
рельса на колеса. Поэтому давление
правых колес на рельсы больше, чем
72
Система координат, связанная с поверхностью
Земли
левых, и это приводит к некоторому
небольшому увеличению износа пра-
вых рельсов в сравнении с износом
левых. Важным проявлением действия
силы Кориолиса является изменение
положения плоскости колебаний маят-
ника относительно поверхности Земли.
Маятник Фуко. Рассмотрим колеба-
ние маятника с учетом действия на
него горизонтальной составляющей си-
лы Кориолиса. Проекция материальной
точки маятника на горизонтальную
плоскость движется по кривым, пока-
занным на рис. 73. Различие кривых
объясняется следующим образом.
Если маятник отклонен от положе-
ния равновесия и отпущен с нулевой
начальной скоростью относительно
наблюдателя, движущегося вместе с
Землей, то он начинает двигаться к
центру равновесия. Однако сила Ко-
риолиса отклоняет его вправо и он не
проходит через центральную точку.
В результате проекция материальной
168 7. Неинерциальные системы отсчета
73
Кривые, описываемые концом маятника Фуко,
в случаях, если он начал движение (точка О)
из отклоненного положения без начальной ско-
рости (а) и из положения равновесия с некото-
рой начальной скоростью (б)
точки маятника движется по кривой,
показанной на рис. 73, а.
Можно привести маятник в движе-
ние другим способом: сообщить ему
скорость в точке равновесия. Характер
его движения при этом изменится. При
удалении от центра сила Кориолиса
сообщает ему ускорение вправо. Бла-
годаря этому к моменту отклонения
маятника в крайнее положение, когда
его скорость вдоль радиуса от центра
качания обратится в нуль, он приоб-
ретает максимальную скорость в на-
правлении перпендикулярном радиусу.
В результате этого траектория маят-
ника касается окружности, радиус ко-
торой равен максимальному смещению
его от положения равновесия. При
этом движение проекции материальной
точки маятника происходит по траек-
тории, изображенной на рис. 73, б.
Отклонение направления качаний
маятника за одно колебание очень не-
велико. Весь процесс представляется
как вращение плоскости качаний маят-
ника вокруг вертикали.
Колебания маятника Фуко можно
рассмотреть также в инерциальной
системе координат, связанной со сфе-
рой неподвижных звезд, относительно
которых плоскость колебания маятни-
ка сохраняет свое положение неизмен-
ным. В результате вращения Земли
меняется положение плоскости кача-
ний маятника относительно ее поверх-
ности, которое и фиксируется маятни-
ком Фуко. На полюсе это изменение
легко хебе представить. Для произ-
вольной точки земной поверхности это
сделать несколько труднее, но дело
происходит точно так же, как и на по-
люсе, только угловой скоростью враще-
ния является (ов.
Угловая скорость вращения плос-
кости качаний маятника равна сов.
Поэтому на полюсе один оборот совер-
шается за сутки, а на широте <р — за
l/sirnp суток. На экваторе плоскость
качаний маятника Фуко не вращается.
Законы сохранения в неинерциаль-
ных системах. При рассмотрении зако-
нов сохранения энергии, импульса и
момента импульса в гл. 6 было под-
черкнуто, что в механике они являются
математическим следствием уравнений
движения.
Энергия, импульс и момент импуль-
са системы материальных точек сохра-
няют свое значение для замкнутых си-
стем, т. е. в том случае, если нет внеш-
них сил и момента внешних сил. Если
имеются внешние силы, то энергия,
импульс и момент импульса системы
изменяются.
В неинерциальных системах отсчета
наряду с «обычными» силами дейст-
вуют силы инерции. Эти силы всегда
являются внешними по отношению к
рассматриваемым телам. Следователь-
но, в этих системах не существует
замкнутых систем материальных тел и
поэтому нет законов сохранения энер-
гии, импульса и момента импульса в
обычном смысле
Однако нет никаких препятствий
включить силы инерции в число сил
системы и считать после этого систему
замкнутой. Силы инерции в соответст-
вии с уравнением (27.2) должны учи-
§ 30. Неинерциальные вращающие системы отсчета 169
тываться точно так же, как обычные
силы. В частности, при расчете измене-
ния энергии необходимо учитывать
работу сил инерции, принимать во вни-
мание момент сил инерции в уравнении
моментов и т. д.
Характер законов сохранения в не-
инерциальных системах зависит от
свойств сил инерции. Во вращающейся
с постоянной угловой скоростью не-
инерциальной системе координат силы
инерции, связанные с переносным уско-
рением, являются центральными сила-
ми (точнее, осевыми, направленными
по прямой от оси вращения). Как было
уже показано ранее, центральные силы
всегда потенциальны. С другой сто-
роны, сила инерции Кориолиса пер-
пендикулярна скорости частицы и по-
этому не совершает работы. Следова-
тельно, во вращающейся с постоянной
скоростью неинерциальной системе от-
счета справедлив закон сохранения
энергии, если только наряду с обычной
потенциальной энергией принять во
внимание потенциальную энергию, свя-
занную с силами инерции. Нетрудно
видеть, что закон сохранения энергии
может быть также сформулирован и в
неинерциальной системе отсчета, дви-
жущейся поступательно, равномерно и
прямолинейно, если только учесть ра-
боту сил инерции.
При рассмотрении изменения им-
пульса и момента импульса необходи-
мо включить в уравнения силы инер-
ции и их момент. Для обеспечения
сохранения этих величин надо, чтобы
силы инерции удовлетворяли тем же
требованиям, которым должны удов-
летворять с точки зрения законов со-
хранения в инерциальных системах
обычные силы.
Пример 30.1. Рассмотрим количест-
венно движение тела вблизи поверх-
ности земли в неинерциальной системе
координат, связанной с ее поверх-
ностью. Ускорение свободного падения
обозначим g, сопротивлением воздуха
пренебречь.
В формулах (30.8) — (30.14) пред-
полагалось, что начало отсчета радиу-
са-вектора г покоится в инерциальной
системе координат. В качестве такой
точки возьмем точку на оси вращения.
Пусть начало неинерциальной системы
координат на поверхности земли ха-
рактеризуется радиусом-вектором Го,
а радиус-вектор тела вблизи поверх-
ности земли относительно этого начала
обозначим г'. Имеем
г=го + г'. ' (30.21)
Переносное ускорение (30.14) равно
<оХ (соХ г0)-j-юХ (соХ г'), а уравне-
ние Ньютона (27.2) с учетом (30.13)
и (30.15) принимает вид
mr'=mg — 2mcoX v' —
—moX(wXro)— moX(wXr'). (30.22)
Для Земли со = 2зт/86164 = 7,29 X
X Ю-5 рад/с и, следовательно, |<оХ
X (юХ r0)|/g<co2r3/g = 3,45- 10~3, где
г3=6,37 • 106м — радиус Земли. Пос-
ледний член справа в (30.22) еще
меньше предпоследнего, поскольку, по
условию, г'<г3. Поэтому последними
двумя членами справа в (30.22) можно
пренебречь в сравнении с первым и за-
писать уравнение, в виде
r, = g — 2® X v'. (30.23)
Вблизи поверхности земли в неболь-
шой области движения можно считать
ускорение g = const и направленным по
вертикали. При необходимости можно
также учесть изменение вертикали в
различных точках поверхности земли и
изменение g с высотой и в результате
других причин.
Сила Кориолиса в (30.23) вносит
малую поправку в движение без ее
учета. Поэтому в качестве первого
приближения можно написать
170 7. Неинерциальные системы отсчета
r' = g, r'=u + g/, (30.24)
где и — скорость при /= 0. Напом-
ним, что вектор g направлен по вер-
тикали вниз. Подставляя r'=v' из
(30.24) в .(30.23), получаем уравнение
движения с учетом поправки на силу
Кориолиса:
r = g-2<oX(u + gO. (30.25)
Решение этого уравнения при началь-
ных условиях г' = ГдИ г'=и при t— 0
находится двумя квадратурами:
r'=u + g/ — 2wX(u/ + g/2/2); (30.26)
г'=г6 + uZ + g/2/2 — ю X (u/2 + g/3/3).
(30.27)
Член <oX(u/2+g/3/ 3) дает поправку
в координатах тела, обусловленную си-
лами Кориолиса.
Вычислим отклонение тела от вер-
тикали при свободном падении. Ось Z
направим по вертикали, ось Y — по
параллели на восток. При /=0 имеем
х=0, у=0, z = h и из (30.27) полу-
чаем (см. рис. 65):
х=0, f/ = G)gf3cos<p/3, z=h — gt2/2.
(30.28)
Следовательно, в точке падения z=0
отклонение тела от основания верти-
кали дается формулой
£/ = (OCOS ф >/8Л3 g/3. (30.29)
Это отклонение очень мало. Например,
при Л=100 м г/=0,022созфм.
При движении тела по почти гори-
зонтальной траектории с большой ско-
ростью (например, при полете пули)
можно в (30.27) пренебречь членом с
g/3/3 в сравнении с членом, содер-
жащим и/2, и написать
r'=r6 + uf+ g/2/2 + (o/2cos ф!хХи —
— u)/2sin (jpizXu. (30.30)
Член со/2со8ф1х X и описывает отклоне-
ние по вертикали, обусловленное силой
Кориолиса, а член со/^Хиэтф—
отклонение в горизонтальной плоско-
сти. В северном полушарии э1пф>0
и отклонение происходит вправо от
направления скорости, в южном —
влево.
Задачи
7.1. На широте <р=60° произведен выстрел по мишени в горизонтальном направлении. Начальная
скорость снаряда 1 км/с, расстояние до мишени 1 км. Мишень расположена точно на северо-
западе. Сопротивлением воздуха пренебречь. При расчете забыли учесть поправку на силы
инерции. На сколько снаряд отклонится от цели в горизонтальном и вертикальном направ-
лении? ф
7.2. Скорость течения реки в северном полушарии равна v'. Каков угол наклона а поверхности
воды к горизонту на широте ср?
7.3. Через блок перекинута нерастяжимая невесомая нить, к концам которой подвешены грузы
массами т\ и т2. Трение между нитью и блоком отсутствует. Блок движется в горизонтальном
направлении с ускорением а. Какова сила натяжения нити?
7.4. В вершинах равностороннего треугольника со стороной I помещены точечные массы т\, т2,
взаимодействующие по закону Ньютона. С какой угловой скоростью должна вращаться
система и как расположена ось вращения, чтобы относительное расположение масс не изме-
нялось?
Ответы
7.1. 5,Ь см; 2,4 см. 7.2. arcig (2cosin <|v'/g). 7.3. '1пцт2 у/g1 1А. [6(/Л14-m2-|-
-Нп,)//3]1 ", ось вращения проходит через центр масс перпендикулярно плоскости тре-
угольника.
31. Уравнения движения
Доказывается, что уравнение движения центра
масс и уравнения моментов системы мате-
риальных точек являются замкнутой системой
уравнений движения твердого тела.
Система уравнений. В том смысле, ко-
торый разъяснен в § 5 при определе-
нии материального тела, твердое тело
может рассматриваться как система
материальных точек, расстояние между
которыми постоянно. Поэтому все ут-
верждения и уравнения в § 21 о систе-
ме материальных точек применимы и
для твердого тела. Уравнения (21.11)
и (21.21), которые здесь необходимо
еще раз выписать:
dp/dZ=F, (31.1)
dL/d/=M, (31.2)
в общем случае не являются замкнутой
системой; поскольку это только шесть
скалярных уравнений, а число степеней
свободы системы материальных точек
обычно значительно больше. Однако
для твердого тела эти уравнения яв-
ляются замкнутой системой, т. е. с их
помощью без каких-либо других допол-
нительных условий и уравнений можно
полностью определить движение твер-
дого тела в заданных внешних силовых
полях. Необходимо лишь знать началь-
ные условия движения.
Доказательство замкнутости систе-
мы уравнений для твердого тела. Сле-
дует вспомнить основные положения
кинематики твердого тела, изложенные
в § 9. Ориентировка твердого тела в
пространстве полностью определяется
направлением осей прямоугольной де-
картовой системы координат, жестко
связанной с телом, т. е. направлением
единичных векторов К, Yy, К этой си-
стемы координат. В ней положение
каждой точки тела фиксировано и за-
дается либо радиусом-вектором г7
относительно начала, либо декартовы-
ми координатами точки (х7, у', z7).
Поскольку система этих координат
жестко связана с телом, координаты
8
ДИНАМИКА
ТВЕРДОГО ТЕЛА
равнение движения
центра масс и уравнение моментов
системы материальных точек являются
замкнутой системой уравнений движе-
ния твердого тела.
31
Уравнения движения
32
Моменты инерции
33
Кинетическая энергия вращающегося
твердого тела
34
Плоское движение. Маятники
35
Движение твердого тела, закрепленного
в точке. Гироскопы
36
Движение при наличии трения
172 8. Динамика твердого тела
каждой его точки имеют в ней по-
стоянное значение. Ориентировка этой
системы координат относительно инер-
циальной системы координат, в кото-
рой рассматривается движение тела и
в которой справедливы уравнения
(31.1) и (32.2), полностью определяет-
ся тремя углами Эйлера: ср, ф, 9
(см. рис. 18). Положение точки твер-
дого тела, с которой связано начало
системы координат (К, i£, iz), задается
радиусом-вектором г0 этой точки отно-
сительно инерциальной системы коор-
динат или декартовыми координатами
этой точки (хо, t/o, zo). Поэтому положе-
ние твердого тела как системы с
шестью степенями свободы описывает-
ся шестью величинами (<р, ф, 0, хо, Цо,
zo). Скорость каждой точки тела сла-
гается из поступательного движения со
скоростью vo = dr/ dt точки твердого
тела, в которой находится начало ко-
ординат (i*, iy, iz), и вращательного с
мгновенной угловой скоростью ю во-
круг оси, проходящей через это нача-
ло, и выражается формулой (9.6):
v = v0-|-о X rz. (31.3)
Угловая скорость со выражается через
Число независимых переменных, характери-
зующих некоторую систему, должно быть
равно числу степеней свободы этой системы.
Поэтому при описании движения абсолютно
твердого тела надо иметь шесть независи-
мых переменных. Для их определения необ-
ходимо иметь шесть независимых уравнений
движения. ,
Инерциальные свойства твердого тела в об-
щем случае характеризуются шестью неза-
висимыми величинами: тремя осевыми и тре-
мя центробежными моментами инерции.
Если оси системы координат направлены
вдоль главных осей инерции тела, то центро-
бежные моменты инерции отсутствуют, а
осевые моменты называются главными мо-
ментами инерции.
Хотя и известны строгие математические
правила нахождения главных осей, во многих
важных случаях найти эти оси удается из
соображений симметрии, не прибегая к мате-
матическим расчетам.
производные от углов Эйлера. Следо-
вательно, скорость всех точек твердого
тела полностью определяется коорди-
натами (ср, ф, 0, хо, уо, Zo) и их произ-
водными, потому что положение точек
относительно системы координат (%',
У', Z') фиксировано. Это означает,
что как р, так и L в (31.1) и (31.2)
могут быть выражены через эти коор-
динаты и их производные. С другой
стороны, F и М в (31.1) и (31.2) также
могут быть выражены через эти коор-
динаты, если внешние силы не зависят
от скорости, а если зависят, то и через
производные от координат. Таким об-
разом, получается шесть уравнений
(31.1), (31.2) для шести неизвестных
координат (<р, ф, 0, хо, #о, £о), т. е.
система является замкнутой, и эти
уравнения могут в полном смысле сло-
ва названы уравнениями движения
твердого тела. При этом надо лишь
учесть, что под силами и моментами
сил, стоящих в правой части этих
уравнений, понимаются не только
обычные силы и моменты обычных сил,
но и силы реакций связей, наложенных
на твердое тело, и их моменты.
Выбор системы координат. Выбор
точки О', с которой целесообразно свя-
зать систему координат (i', Vy, iz),
а также ориентировка этой системы
относительно тела являются произ-
вольными и диктуются лишь сообра-
жениями удобства. Удачный выбор по-
зволяет существенно упростить эти
уравнения. Один из удачных выборов
точки О' был уже использован в
§21 — это центр масс. В этом случае
(31.1) превращается в уравнение
(21.16):
m(dv0/d/)=F, (31.4)
которое называется уравнением движе-
ния центра масс и аналогично урав-
нению движения материальной точки.
В (31.4) подразумевается, что F
учитывает силы реакции связей. На-
§31. Уравнения движения 173
пример, если на тело действует внеш-
няя сила, но оно закреплено в точке
центра масс, то F=0. Заметим также,
что не всегда выбор точки О' в центре
масс является наиболее удачным, как
это будет видно из последующего.
32. Моменты инерции
Обсуждается количественная характеристика
инерциальных свойств твердого тела с помощью
тензора инерции.
Тензор инерции. Для полного описа-
ния движения твердого тела необходи-
мо кроме движения одной из его точек
знать движение тела около этой точки
как точки закрепления. Важнейшим
понятием при этом является тензор
инерции. Для упрощения расчетов вос-
пользуемся представлением о теле как
совокупности материальных точек с
массами mi (см. § 5).
Закрепим тело в точке О (рис. 74).
Радиус-вектор точки mz относительно О
обозначим Г/. Пусть <о — мгновенная
угловая скорость тела; тогда, согласно
(9.7), скорость /-й точки тела vz =
=шХп. Поэтому момент импульса L
всего тела относительно точки О равен
L=2 п X тм=2 mfi X (<о X П)=
= (О 2 — 2 ’ Гх), 1)
где использована формула разложения
двойного векторного произведения
А X ( В X С) = В( А • С)- С( А • В).
Векторное равенство (32.1) можно
написать в виде трех проекций на оси
координат:
Lx=cdx2 mzrf— 2 rriiXi (rz • ш),
Ly=<0^2 mzrf — 2 miyi (rz • co), (32.2)
Lz=(o2Sm/rf—2mzzz(rz -<o).
Учитывая, что (rz-(o)=xzcox + #z(Dz/ +
’+ziG)z, вместо (32.2) имеем:
LX — JXX^X “1“ Jxy^y “T" 7 XZ^Z,
Ly —: Jyx^x I Jyy^y ~|~ 7yzi^Zi (32.3 a)
LZ = J ZX<$X + 7 zytoy + 7 zztoz,
74
К понятию тензора
инерции, характе-
ризующего инерци-
альные свойства
твердого тела
где
7хх 2ITli (гi xf) , Jху — 2 tTliXiyi,
Jxz= — ^rriiXiZi, (32.3 б)
и аналогично выражаются другие ве-
личины: 1уу, ]уХ, Jyz и т. д. Из (32.3 б)
непосредственно видно, что Jxy=Jyx,
j XZ-J ZX и т. д. Поэтому из девяти
величин J хх, 1хУ,- различны лишь
шесть. Величины Jxx, 7^, 72г называют-
ся осевыми моментами инерции, а 7ху=
—Jух^ Jxz—Jzx и 7 yz—Jzy центробеж-
ными моментами инерции.
Таким образом, момент импульса
тела весьма сложно зависит от рас-
пределения масс в теле и его направ-
ление не совпадает, вообще говоря, с
угловой скоростью вращения тела. Со-
вокупность величин
7 ух
Jzx
J ху
7уу
I zy
Jxz\
J yz I
Jzz'
(32-4)
называется тензором инерции. Вели-
чины Jxxi Jyy, Jzz являются диаго-
нальными элементами тензора, а ос-
тальные — недиагональными. В дан-
ном случае величины, расположенные
симметрично относительно диагонали,
равны. Такой тензор называется сим-
метричным.
174 8. Динамика твердого тела
Главные оси тензора инерции.
Предположим, что все недиагональные
элементы тензора равны нулю, а от-
личными от нуля являются лишь диа-
гональные и, следовательно, тензор
имеет вид
(Jx 0 \
Jy (32.5)
О Л/
При такой ситуации говорят, что оси
тела, совпадающие с осями коорди-
нат, являются главными осями инер-
ции, а величины JX=JXX1 Jy=Jyyi
Jz—]zz называют главными моментами
инерции. О тензоре в этом случае
говорят, что он приведен к диаго-
нальному виду. Таким образом, если
оси системы координат направлены
вдоль главных осей инерции тела, то
центробежные моменты инерции от-
сутствуют.
Процесс нахождения главных осей
сводится к математической процедуре
Что такое осевые и центробежные моменты
инерции?
Дайте определение главным осям тензора
инерции. Какой вид имеет тензор инерции,
если оси прямоугольной системы координат
совпадают с главными осями тензора инер-
ции?
Умеете ли Вы находить главные оси тензора
инерции?
Что такое центральные главные оси тензора
инерции?
диагонализации тензора. Здесь нет
необходимости ее рассматривать. От-
метим лишь результат: через любую
точку твердого тела можно провести
три взаимно перпендикулярные глав-
ные оси. Главные моменты инерции
J х, Jy, Jz будут различны для различ-
ных точек тела. Если главные оси
проведены через центр масс тела, они
называются центральными главными
осями. Таким образом, не имеет смыс-
ла говорить о главных моментах
инерции тела, не указав точки тела,
через которую проведены главные оси.
При переходе от одной точки тела к
другой главные оси, вообще говоря,
меняют свое направление, а главные
моменты — свое значение. Например,
не имеет смысла начертить в теле
ось и сказать, что она главная. Лишь
когда речь идет о центральных глав-
ных осях и центральных главных мо-
ментах инерции, нет необходимости
указывать точку тела, к которой они
относятся, потому что по определению
известно, что это точка центра масс
тела.
Особенно важное значение имеет
осевой момент инерции (рис. 75), рав-
ный
Лг=2 m,(r? - z,?)= 2 (32.6)
где Ri — расстояние точки от оси,
поскольку во многгус случаях он позво-
ляет полностью описать динамику
вращения твердого тела. Его называют
также моментом инерции тела отно-
сительно оси.
Нахождение главных осей. Главные
оси во многих случаях могут быть
найдены без громоздких математиче-
ских расчетов, которые надо провести
для диагонализации тензора инерции.
Для этого иногда бывает достаточно
воспользоваться простыми соображе-
ниями симметрии.
Пусть имеется плоская пластинка
исчезающе малой толщины. Точка,
§ 32. Моменты инерции 175
через которую проходят главные оси,
лежит на пластинке. Направим ось Z
перпендикулярно ей. Очевидно, что
координаты z всех точек пластинки
равны 0, т. е. все Zi=0. В этом слу-
чае из формулы (32.3 6) имеем /Z{/=0,
Jxz=0. Следовательно, любая ось,
перпендикулярная этой пластинке, бу-
дет главной. Две другие главные оси
расположены в плоскости пластинки
взаимно перпендикулярно друг другу.
Их направление зависит от формы
пластинки.
Рассмотрим случай круглой плас-
тинки (рис. 76) конечной толщины.
Точка О, лежащая в средней плос-
кости пластинки, есть точка, относи-
тельно которой надо найти главные
оси. Очевидно, что одна главная ось
направлена перпендикулярно плоско-
сти пластинки. Утверждается, что дру-
гой главной осью является ось, лежа-
щая в средней плоскости и прохо-
дящая через данную точку и центр
диска. Эта ось на рис. 76 взята за
ось У. Убедимся в этом. Имеем:
Jyy=Smt( rf— yf), Jyz = — 2 miyiZi,
JyX= — ^miyiXi,
Видно, что Jyx=0 и Jyz=0 из-за
симметрии пластинки относительно
плоскостей х=0 и 2=0. Таким обра-
зом, выбранная ось действительно яв-
ляется главной. Третья главная ось
однозначно определяется двумя най-
денными, будучи перпендикулярна им
обеим. Проверим, что ось Z действи-
тельно является главной. Имеем:
zl), JZx= — 'ZmiZiXi,
J zy =—
Помогают ли соображения симметрии нахо-
дить главные оси тензора инерции и каким
образом?
В чем состоит теорема Гюйгенса?
Пусть дано семейство параллельных осей,
проходящих через все возможные точки тела
и вне его. Относительно какой из этих осей
осевой момент инерции тела минимален?
76
Главные оси круг-
лой пластины, про-
ходящие через точ-
ку средней плоско-
сти, не совпадаю-
щую с центром
Равенства /2Х=0, Jzy=0 обусловлива-
ются симметрией пластинки относи-
тельно плоскости 2 = 0.
Если круглая пластинка имеет зна-
чительную толщину, то она называет-
ся круглым цилиндром. Все изложен-
ные о главных осях пластинки сооб-
ражения остаются, конечно, справед-
ливыми и для цилиндра.
В шаре относительно любой его
точки главные оси могут быть найде-
ны следующим образом. Одна из глав-
ных осей проходит через центр шара, а
две другие ориентированы произволь-
ным образом в плоскости, перпенди-
кулярной первой оси. Доказательство
того, что данные оси являются глав-
ными, основывается на простых сооб-
ражениях симметрии, из которых сле-
дует, что центробежные моменты J ху,
Jxz и другие в этом случае равны
нулю.
Центральные главные оси, проходя-
щие через центр масс, определяются
с помощью таких же соображений.
В случае бесконечно тонкой пластин-
ки одна из центральных главных осей
перпендикулярна плоскости. Положе-
ние двух других центральных главных
осей в плоскости пластинки зависит
от ее формы. Для круглого диска это
любые две взаимно перпендикулярные
оси. У цилиндра центр масс распо-
ложен на середине высоты в центре
кругового сечения. Одна центральная
главная ось совпадает с осью цилинд-
ра, а две другие ориентированы произ-
176 8. Динамика твердого тела
78
Геометрический смысл векторов, используемых
при доказательстве теоремы Гюйгенса
вольно в средней круговой плоскости
цилиндра, взаимно перпендикулярно
друг другу. В случае шара любые три
взаимно перпендикулярные оси, про-
веденные через центр шара, являются
его центральными главными осями.
Вычисление момента инерции отно-
сительно оси. Для этого используется
формула (32.6). Однако удобнее при-
менить интегрирование, переходя к не-
прерывному распределению масс.
Пусть плотность тела р (х, у, z). Тогда
в элементе объема dV=dxdr/dz заклю-
чена масса pdK Если вычислять мо-
мент инерции тела относительно оси Z,
то формула (32.6) принимает вид
/гг=$ р (х, у, Z) (у2 4-х2) dxdydz (32.7)
и интеграл распространяется на весь
объем тела.
В качестве примера определим мо-
мент инерции однородного цилиндра
радиусом 7?о и высотой h относительно
оси, совпадающей с его осью. Напра-
вим ось Z системы координат вдоль
оси цилиндра, а начало системы коор-
динат (точка О) поместим на оси в
середине высоты (рис. 77). Плотность
цилиндра постоянна, т. е. р=р0=
= const. Интеграл (32.7) записывается
так:
Л/2
7zz=Po $ dz§ (z/2+x2)dxdi/,
—h/2 S
(32.8)
где S — площадь сечения цилиндра.
Вычисление удобно вести в цилиндри-
ческой системе координат, ось симмет-
рии которой направлена вдоль оси Z.
Имеем:
x=rcos<p, r/=rsin<p, x2-\-y2 = r2,
dxdi/=rdrd(p.
Поэтому вместо (32.8) получаем
h/2 До 2л
7zz=po $ dz§ r3dr§ d(p=p0/i-^-2ji.
-h/2 0 0 4
(32.9)
Принимая во внимание, что объем
цилиндра равен jiR2h и, следовательно,
величина т = л/?ойро является его мас-
сой, окончательно находим
/22=1/2т7?о- (32.10)
Аналогично вычисляются и другие
моменты. В этом следует поупраж-
няться. В частности, момент инерции
однородного шара относительно оси,
§ 32. Моменты инерции 177
проходящей через его центр, равен
2/^mRQ, где т — масса шара, 7?о— его
радиус. Момент инерции тонкого диска
относительно оси, проходящей через
центр диска перпендикулярно его плос-
кости, дается формулой (32.10), а его
момент относительно оси, проходящей
через центр диска и лежащей в плос-
кости диска, равен 1 /^mRl.
Теорема Гюйгенса. Вычисление мо-
ментов инерции относительно оси во
многих случаях облегчает теорема
Гюйгенса, связывающая моменты
инерции относительно двух параллель-
ных осей, одна- из которых проходит
через центр масс тела (рис. 78).
Ось ЛоВо пусть будет осью, проходя-
щей через центр масс. Радиус-вектор
точки с массой mz, отсчитываемый от
этой оси в плоскости, перпендикуляр-
ной оси, обозначим Rz, а от оси АВ,
параллельной оси ЛоВо, но не проходя-
щей через центр масс, rz. Проведем
от оси ЛоВо к оси АВ в этой плос-
кости вектор а. Пусть /о — момент
инерции относительно оси, проходящей
через центр масс, a J — относительно
оси АВ, не проходящей через центр
масс. По определению моментов инер-
ции имеем
/о=2 mtRl / = 2 тЛ (32.11)
На рис. 78 непосредственно видно,
что п= — а + Rz и, следовательно,
г2= а2 — 2а • Rz. Поэтому получаем
J=S mir2=ll miR2A~ а2 2 mz—2а • 2mzRz.
(32.12)
Учтем, что SmzRz=0 по определению
оси, проходящей через центр масс, а
Smz=m— масса тела. Поэтому (32.12)
принимает вид
J = Jта2.
(32.13)
Эта формула выражает теорему Гюй-
генса. Зная момент инерции тела отно-
сительно некоторой оси, проходящей
через центр масс, можно легко вычис-
лить момент инерции относительно
любой другой параллельной оси.
Рассмотрим, например, цилиндр,
момент инерции которого относительно
его оси дается формулой (32.10).
Центр масс цилиндра расположен на
его оси, и поэтому (32.10) является
моментом инерции относительно оси,
проходящей через центр масс. Момент
инерции цилиндра относительно оси
АВ, лежащей на поверхности цилинд-
ра параллельно его оси, находим по
формуле (32.13):
J = х/2mRlA~ 12mRl. (32.14)
Если бы этот момент определять по
формуле (32.7), то вычисления оказа-
лись бы значительно сложнее.
Момент шара относительно оси АВ,
касающейся его поверхности, также
легко находится с помощью формулы
(32.13):
]=*/bmR2Q + mRl=7 UmRl, (32.15)
где учтено, что момент шара отно-
сительно оси, проходящей через центр
масс, равен 2/^mRl.
33. Кинетическая энергия
вращающегося твердого тела
Выводится формула для кинетической энергии
твердого тела при произвольном вращении.
Выражение тензора инерции с по-
мощью символа Кронекера. В вычис-
лениях полезно использовать символ
Кронекера 6аР, который определяется
так:
6сф =
1 при а=р,
0 при а=£0.
(33.1)
Компоненты тензора инерции Jxx,
Jxy и другие обозначим соответственно
как /п, /12 и т. д., т. е. они имеют вид
/ар, а формулы (32.36) переписыва-
ются следующим образом:
178 8. Динамика твердого тела
/11 — s m^XiyXiy — Xt\)
/12= — 2 "1Л1Х,2,
i
/i3=— 2 miXnxi3,
(33.2)
где г?=х,1Х,1 + xi2xt2 + xi3Xi3 — 2 x,TxiT;
T
V означает индекс суммирования. Ана-
логичным образом выражаются и дру-
гие компоненты.
Любую из проекций вектора Аа
можно выразить через другие проек-
ции с помощью символа 6av:
3
Аа= 2 6avAT. (33.3)
т=1
Если это равенство расписать подроб-
но, то оно имеет такой вид:
Aa=SaiAi 4~ багАг + базАз. (33.4)
Из СИМВОЛОВ ба!, 6а2, 6а3 ОТЛИЧНЫМ
от нуля будет лишь тот, у которого а
равен другому индексу. Пусть, напри-
мер, a=2, тогда из (33.4) получаем
Аг=0- A] -f-1 - Аг + 0- Аз=Аг.
С помощью символа Кронекера выра-
жения (33.2) для тензора инерции
можно представить в следующем удоб-
ном для вычисления виде:
7 2 /И^Х/уХ/убар ХгаХ/р). (33.5)
i.T
Кинетическая энергия вращения.
Если переносная скорость твердого те-
ла Vo=O, т. е. тело вращается с
мгновенной скоростью со, проходящей
** Тензор инерции, посредством которого вы-
ражается кинетическая энергия вращающего-
ся тела, отнесен к осям координат, жестко
связанным с телом.
Кинетическая энергия катящегося цилиндра
слагается из кинетических энергий поступа-
тельного движения центра масс и вращения.
Поэтому при скатывании по наклонной пло-
скости скорость центра масс цилиндра мень-
ше, чем если бы он соскальзывал без вра-
щения.
через неподвижную точку тела, то ско-
рость его точек
vz=(i)Xrf (33.6)
и, следовательно, его кинетическая
энергия равна
EK=722m^=72Z^(G)XrO2. (33.7)
Используя формулу, известную в
векторной алгебре, для квадрата век-
торного произведения
(АХВ). (CXD) = (A- С) (В- D) —
— (A-D)(B-C),
можем написать
(<oXr02 = (o2rf2- (rf <o)2. (33.8)
Это выражение в координатах при-
нимает вид
(® X ----2 (datdaX/pX/p 2 COaXfa€Dpxfp
a,0 a,p
-- 2 ®а®р(<Ягу^губар Х/аХ/р). (33.9)
a.P.Y
Подставив эту формулу в (33.7) и
учитывая (33.5), получим кинетиче-
скую энергию вращения:
(33.10)
Ек= Х/2 2 a}3Wa(0p.
Здесь J„p — тензор инерции, отнесен-
ный к осям координат, жестко связан-
ным с телом и движущимся с ним.
Начало системы координат покоится,
о)а являются проекциями мгновенной
угловой скорости тела на оси коорди-
нат.
Если оси движущейся системы ко-
ординат направить вдоль главных осей
инерции тела, в тензоре инерции оста-
нутся лишь диагональные компоненты,
т. е.
/ар = /абар. (33.11)
При таком выборе осей координат,
жестко связанных с телом, выраже-
§ 33. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела 179
ние (33.10) для кинетической энергии
упрощается:
(33.12)
Если мгновенная скорость враще-
ния совпадает с направлением одной
из главных осей, которой может быть,
например, ось X движущейся системы,
то, очевидно, й)2 = соз=0 и форму-
ла (33.12) примет более простой вид:
Е к—1 / 2/1 со?.
(33.13)
Вообще говоря, при произвольном дви-
жении тела вектор угловой скорости <о
меняет свое направление и совпадает с
направлением одной из главных осей
лишь в течение. мгновения. Именно
для него и справедлива эта форму-
ла. В следующее мгновение угловая
скорость уже не будет совпадать с
главной осью, а выражение для кине-
тической энергии снова приобретает
вид (33.12).
В том случае, если наряду с вра-
щением тело имеет также и поступа-
тельную скорость vo, скорость. его
точек определяется по формуле (31.3).
Выражение для кинетической энергии
усложняется. Подставляя (31.3) в
формулу для кинетической энергии, по-
лучаем
Ек =1 /22 rriivj—1 /2 2 mi (v0 + ®X г')2 =
=1/2 (2 m3 flo+1 / 22 X rf)2+
+ 722/nr2vo- (<оХг<). (33.14)
Первое слагаемое представляет кине-
тическую энергию поступательного
движения тела как целого со ско-
ростью vo, второе — кинетическую
энергию вращения, которая только что
была рассмотрена, а третье учитывает
соотношение поступательной скорости
и вращательной. Если начало движу-
щейся системы координат поместить в
центр масс тела, то 2/ntr'=0 и, сле-
довательно, последний член обратится
в нуль. При таком выборе системы
координат скорость Vo является ско-
ростью центра масс тела, а формула
для кинетической энергии примет сле-
дующий вид:
(33.15)
a,0
Все замечания, которые были сделаны
относительно (33.10), справедливы и
для соответствующей величины в
формуле (33.15). В частности, если
оси движущейся системы направлены
вдоль главных осей тела, то кинети-
ческая энергия
Е к—1 / 2(^2~1~^ з&>2)-
(33.16)
Поэтому, например, кинетическая энер-
гия цилиндра, катящегося со ско-
ростью у0, равной со/?о, будет
£кЦтР§+ (33.17)
Z Z • Z \ A0Z тг
34. Плоское движение. Маятники
Анализируются наиболее важные случаи плос-
кого движения.
Особенности динамики плоского дви-
жения. Из кинематики плоского дви-
жения, изложенной в § 9, известно,
что в этом случае все точки твердого
тела движутся в параллельных плос-
костях. Поэтому достаточно рассмот-
реть движение какого-либо сечения
тела в одной плоскости. Форму-
ла (31.3) для точек тела значительно
упрощается, поскольку вектор угловой
скорости всегда перпендикулярен плос-
кости и, следовательно, имеет постоян-
ное направление. Поэтому если ось Z'
180 8. Динамика твердого тела
79
Скатывание цилин-
дра (без скольже-
ния) с наклонной
плоскости
системы координат, связанной с телом,
провести перпендикулярно плоскости
движения, то угловая скорость враще-
ния всегда будет направлена вдоль
этой оси, т. е. со2 = со, сох=соу=0. Для
того чтобы избежать учета центробеж-
ных моментов тензора инерции, целе-
сообразно ось вращения провести че-
рез центр масс. Тогда необходимо
принять во внимание лишь момент
импульса относительно оси вращения:
Lz------J zz^z-J ^9,
J zz-J, С02-СО. (34.1)
Индексы г у величин нет необходи-
мости ставить, поскольку ось Z —
единственная ось вращения. Силы,
действующие на тело, параллельны
плоскости (X, У), а моменты сил Мг
перпендикулярны ей. Таким образом,
уравнения движения (31.1) и (31.2)
для плоского движения приобретают
вид
dp/d/=F, (34.2)
Z(dco/d/)=M, (34.3)
где M = MZ, р — импульс.
Поскольку ось проходит через центр
масс тела, уравнение (34.2) можно
представить в виде (31.4) для движе-
ния центра масс в плоскости движе-
ния:
m(dv/d/)=F. (34.4)
Для координат (х, у) центра масс
это уравнение имеет следующий вид:
mx=Fx, my—Fy. (34.5)
Кинетическая энергия в этом
случае выражается формулой (33.16):
EK=l/2mv% + %/со2. (34.6)
Скатывание цилиндра с наклонной
плоскости^ Будем считать, что скаты-
вание происходит без скольжения.
Силы, действующие на цилиндр, ука-
заны на рис. 79. Сила Т — сила тре-
ния, которая обеспечивает скатывание
цилиндра без скольжения. Ось X удоб-
но направить вдоль наклонной пло-
скости. Напишем уравнение движения
для точки О, через которую проходит
центральная главная ось инерции ди-
ска. Уравнения (34.5) и (34.3) имеют
вид
m(dvo / dt) =mgsina— Г,
Jo(dco/df)=R0T, (34'7)
где ^o=1/2,n^o и отсчет направлений
вращения выбран так, чтобы со было
положительным и увеличивалось при
скатывании цилиндра.
Подставляя Т из второго урав-
нения (34.7) в первое и учитывая,
что ^о=со7?о (/?о — радиус цилиндра),
получим:
m-^-=mgsin a — или (34.8)
Си /\о а*
§ 34. Плоское движение. Маятники 181
lm4T=mgsina;
duo 2
ЧГ=з^1Па-
(34.9)
(34.10)
Таким образом, центр цилиндра дви-
жется с постоянным ускорением
2/3gsin a.
Маятник Максвелла. Маятник Мак-
свелла представляет собой’ диск, под-
вешенный на нити. Нить намотана на
ось диска (рис.. 80). Уравнения движе-
ния маятника относительно центра
масс имеют вид
m(ch0 / d/) = mg—T, Jo(d<o / dt) =R0T,
(34.11)
где 7?o — радиус оси диска, на кото-
рую намотана нить, /о — момент инер-
ции всей системы относительно оси,
Т — сила натяжения.
В отношении сил и их моментик
маятник Максвелла полностью анало-
гичен цилиндру, скатывающемуся с на-
клонной плоскости.
Таким образом, уравнения для
маятника Максвелла имеют точно та-
кой вид, как и уравнения для скаты-
вания цилиндра с наклонной плоско-
сти, и решаются аналогично. Получаем
d<70 mg
"d/ m+(/0/^) ’
mg
1 -\-(mPsi/J o)
(34.12)
Проследим динамику маятника. Ус-
корение диска постоянно и всегда на-
правлено вниз. Его числовое значение
тем меньше, чем больше центральный
момент инерции Jo. При достаточно
большом моменте инерции /о диск бу-
дет иметь очень малое ускорение.
В пределе при /0-^оо ускорение
диска d^o/dZ-^O, а сила натяжения
T^-mg; это, очевидно, так и долж-
но быть, потому что диск просто висит
на нити без движения. При Jo^O
сила натяжения Т->0. В этом случае
диск свободно падает и поэтому нить
не испытывает никакого натяжения.
Уравнения (34.11) и решение
(34.12) не описывают поведения маят-
ника в нижней мертвой точке, когда
происходит переброс нити с одной сто-
роны на другую сторону цилиндра.
Диск продолжает вращаться в преж-
нем направлении, но теперь нить не
разматывается с цилиндра, а наматы-
вается на него. Для наматывания
также справедливы уравнения (34.11)
и решение (34.12). В процессе нама-
тывания нити диск поднимается и его
кинетическая энергия превращается в
потенциальную, скорость подъема
уменьшается. В течение времени пере-
броса нити в нижней мертвой точке
происходит изменение направления
скорости vo на обратное. Поэтому в это
время центр масс диска испытывает
большое ускорение. По третьему зако-
ну Ньютона, это приводит к большому
натяжению нити. Если нить недоста-
точно прочна, то она может порваться.
Физический маятник. Физическим
маятником называется твердое тело,
подвешенное на неподвижной горизон-
тальной оси в поле тяготения (рис. 81).
Уравнение моментов имеет вид
J(dcD/d/)= —mg/sina, <D = da/dZ.
(34.13)
Знак минус в уравнении означает, что
момент сил направлен против увеличе-
ния угла a; J — момент инерции отно-
сительно оси, проходящей через точку
подвеса.
Если угол отклонения мал, то с
большой точностью можно считать, что
sina = a, и переписать уравнение
(34.13) в виде
_1^+^Да=0. (34.14)
dr J
Решениями этого уравнения явля-
ются функции sin (mgl/J)x,2t или
182 8. Динамика твердого тела
81
Физический маят-
ник
cos (mgl/J)i/2t, Маятник совершает
колебания с малой амплитудой, ча-
стота и период которых определяются
формулами
<о= mgl/J, Т = 2л/со= 2л VJ/{mgl).
(34.15)
Такие колебания называются гармони-
ческими. Их свойства будут рассмот-
рены в гл. 13. Здесь же отметим лишь
некоторые обстоятельства.
Пусть физический маятник состоит
из материальной точки массой т, под-
вешенной на невесомом твердом
стержне длиной I и колеблющейся
около точки О. Такой маятник назы-
вается математическим. Заметив, что
для него как твердого тела J = ml2,
из (34.15) находим период колебаний
математического маятника:
Т 2 л Vmt2/(mgl)=2 л ^l/g. (34.16)
jfjf, Ускорение вращающегося диска в маятнике
Максвелла постоянно и направлено все время
вниз. В нижней точке, когда меняется на-
правление скорости движения, происходит
резкое увеличение силы натяжения нити.
jf Почему для плоского движения целесообраз-
но уравнение движения и уравнение момен-
тов записывать относительно точки, через ко-
торую проходит центральная главная ось,
перпендикулярная плоскости движения?
Обозначим через /о момент инер-
ции физического маятника относитель-
но оси, проходящей через его центр
массы. По теореме Гюйгенса, /=
=J0-l-ml2 и формула (34.15) для пе-
риода колебаний физического маятни-
ка принимает вид
т=2 л ^(/0 + m/2)/(mg/)=
=2л j/Jo/(mg/)-H/g. (34.17)
Сравнение формул (34.16) и (34.17)
показывает, что математический маят-
ник, длина которого равна расстоянию
между точкой подвеса и центром масс
физического маятника, имеет меньший
период, чем физический маятник.
Чтобы период колебаний математиче-
ского маятника был равен периоду ко-
лебаний физического маятника, его
длина должна быть больше. Длина
математического маятника, период ко-
лебаний которого равен периоду коле-
баний физического маятника, назы-
вается приведенной длиной соответ-
ствующего физического маятника. Из
сравнения формул (34.16) и (34.17)
видно, что приведенная длина физи-
ческого маятника равна /пр=//(т/).
Точка физического маятника, располо-
женная на расстоянии /пр от точки
подвеса на прямой, проходящей через
центр тяжести, называется центром ка-
чаний. Если физический и математи-
ческий маятники с приведенной дли-
ной колеблются около одной и той же
оси, то материальная точка математи-
ческого маятника и центр качания
физического маятника движутся син-
хронно, если их вначале одинаково
отклонить и одновременно отпустить
колебаться.
Основное свойство центра качаний
физического маятника состоит в том,
что при подвесе маятника на ось,
проходящую через этот центр, период
колебаний не изменится. Таким обра-
зом, при переносе точки подвеса в
§ 34. Плоское движение. Маятники 183
центр качаний прежняя точка подвеса
становится новым центром качаний,
т. е. точка подвеса и центр качания
обратимы Доказательство следует не-
посредственно из теоремы Гюйгенса и
формулы для периода колебаний маят-
ника.
Если амплитуды колебаний физиче-
ского маятника не очень малы, то от
уравнения (34.13) нельзя перейти к
(34.14). В этом случае необходимо
решить нелинейное уравнение (34.13):
а=—ftsina, k=mgl/J. (34.18)
При интегрировании отсчет удобно ве-
сти от положения максимального от-
клонения ао, когда скорость маятника
равна нулю (do=O). Имеем
а а
J ada= — k J sin ada.
ао ао
(34.19)
Преобразуем подынтегральные выра-
жения:
ada=aad/=A(j^d/=d(4-),
sin ada= —dcos a
и из (34.19) найдем
d2 = 2fe(cosa—cosao) • (34.20)
Это равенство выражает закон сохра-
нения энергии для маятника.
Переписав уравнение (34.20) в виде
da - l — j/2£d/, (34.21)
cos a — cos ao
можно интегрированием найти решение
задачи в неявном виде:
5
о у cos a — cos a0
Воспользовавшись формулой cosa=
= 1 —-2sin2(a / 2), получаем
da
/ sin2 (ao/2) — sin2(a/2)
=2 )/F t.
(34.22)
Введем новую переменную интегриро-
вания 0 с помощью соотношения
sin0 = sin(a /2) /sin(a0 / 2). (34.23)
Тогда равенство (34.22) примет вид:
р
с__________de_________
о /1—sin2(ao/2)sin2 0
}ПГ t.
(34.24)
Интеграл, стоящий в левой части, на-
зывается эллиптическим. Он хорошо
изучен. Составлены таблицы его значе-
ний, с помощью которых можно про-
анализировать колебания маятника с
любыми углами отклонений. Однако
для не слишком больших углов целе-
сообразно представить этот интеграл
приближенной аналитической форму-
лой, удобной для анализа. В случае
sin4(a0/2)<C 1 можно подынтегральное
выражение (34.24) разложить в ряд и
ограничиться двумя членами:
Р
С__________d0_____________
о /1—sin2 (a0/2)sin2 Э
Р
= $ d6( 1 + sin2 (ao/2)sin2 6 + ...)=
о 2
= P + Lsin2^(₽-^L) + ... (34.25)
Таким образом, связь между временем
колебания и углом отклонения маят-
ника дается в виде
р 4-lsin2 -^( р - = /kt, (34.26)
где sin р определяется равенством
<34.23):
sin р= sin (a/2)/sin (a0/2).
Отсюда видно, что когда угол откло-
нения а изменяется от 0 до ао, т. е.
184 8. Динамика твердого тела
82
Диагональ тонкой однородной пластины не яв-
ляется осью свободного вращения. Поэтому для
сохранения неизменным направления оси враще-
ния, совпадающей с диагональю, необходимо к
оси приложить момент сил. Этот момент сил
создается реакциями опоры
проходит 1 /4 периода Т колебаний, ве-
личина р изменяется от 0 до л/2 и из
уравнения (34.26) находим
= /Г(7-/4),
откуда
Т=-^(1 +-Uin2 -^-1
i/k\ 4 2/
(34.27)
Сравнивая (34.27) с (34.15) для
периода линейных колебаний и при-
нимая во внимание выражение k в
(34.18), можно ее переписать в виде
7’=7’о(1+|sin2-y-), (34.28)
где То=2л // 7(гп§Г) — период линей-
ных колебаний.
Пусть, например, максимальное от-
клонение ао = 6О°. Так как sin 30° =
== 1/2, то период нелинейных колеба-
ний маятника в этом случае отлича-
ется от периода линейных колеба-
ний примерно на 6%. Отсюда можно
сделать вывод, что линейное прибли-
жение довольно хорошо описывает
движение физического маятника не
только при очень малых углах откло-
нения, но и при достаточно больших
углах.
Теперь рассмотрим баллистический
маятник с учетом конечных размеров
тела, в которое ударяется пуля (см.
§ 23, рис. 52). При ударе пули в маят-
ник необходимо учитывать не закон
сохранения импульса, как это было
сделано в § 23, а закон сохранения
момента импульса относительно точки
подвеса маятника, который записы-
вается в виде m2lv=J(d, где I — рас-
стояние от точки подвеса до линии
полета пули, проходящей через центр
масс маятника; J — момент инерции
маятника с застрявшей в нем пулей
относительно оси качания маятника;
со — угловая скорость движения цент-
ра масс маятника сразу после удара
пули. Закон сохранения энергии при
подъеме центра масс на высоту h в
крайнем отклоненном положении имеет
вид (mi -\-m2)gh=J^2 / 2, поскольку
кинетическая энергия сразу после
удара пули не сводится к кинетиче-
ской энергии центра масс маятника,
но включает в себя также и кинети-
ческую энергию его вращения. Поэто-
му скорость пули v связана с высо-
той подъема центра масс равенством
и = }/2g/i[Z(mi + т2)]1/2/(тг/). Если
считать, что вся масса тела сосредо-
точена в точке, то J=(mi + и,
следовательно, v = /2gh(m\ + m2)/m2,
как это было получено в § 23.
Пример 34.1. Прямоугольная очень
тонкая однородная пластинка со сторо-
нами 2а и 2Ь вращается с постоянной
угловой скоростью со вокруг диагонали
(рис. 82). Масса пластины т. Найти
момент сил, который надо приложить
к оси вращения, чтобы обеспечить неиз-
менность ее направления в простран-
стве.
Центр масс пластины находится на
пересечении диагоналей, две главные
центральные оси параллельны сторо-
нам пластины, а третья перпендикуляр-
на плоскости пластины. Введем систе-
му координат, жестко связанную с пла-
§ 34. Плоское движение. Маятники 185
стиной, поместив ее начало в центр
масс, а оси X и Y направив парал-
лельно соответственно сторонам дли-
ной 2а и 2Ь. Ось Z направлена пер-
пендикулярно плоскости пластины.
Главные моменты инерции относи-
тельно этих осей равны
J хх—тЬ2/?>, Jуу=та2/3,
Zzz=m(a2+fe2)/3. (34.29)
Угловая скорость вращения может
быть представлена в виде
<о=co(ixcosa — i^sina), (34.30)
где a=arctg(fe /а), а момент импульса
L = /xx(0xix Jyy&yly Н- /zz<B2iz=
= mco(ixfe2cosa— i/z2sina)/3=
= m(dab(bix—a\y) /(3 /a24-62). (34.31)
Момент сил, действующий на систему,
равен
->=^-+<0X L=-(m<o2/3)(a2-fe2)X
Xsin a cos ai2
ты2аЬ(а2 — b2) .
3(fl2 + 62) (34.32)
Этот момент сил прилагается к оси
вращения реакциями опоры, удержи-
вающими направление оси вращения в
пространстве неизменным.
Пример 34.2. На двух нерастяжи-
мых невесомых нитях одинаковой дли-
ны подвешен в точке О однородный
стержень АВ массой т и длиной 21
(рис. 83). Нити со стержнем образуют
углы а. В некоторый момент времени
нить ОВ обрывается. Найти силу натя-
жения Т нити ОА непосредственно по-
сле момента обрыва.
Непосредственно после обрыва нити
ОВ ускорение центра масс стержня,
находящегося в точке С, слагается из
ускорения точки А и ускорения С отно-
сительно А. Поскольку точка А может
двигаться только по окружности, а ее
83
В момент обрыва нити ОВ ускорение центра масс
стержня, находящегося в точке С, слагается из
ускорения точки А и ускорения С относительно А
скорость в момент обрыва нити равна
нулю, радиальное ускорение равно
нулю. Проекцию ускорения точки А по
касательной обозначим а. Обозначим
модуль углового ускорения стержня в
тот же момент времени ш. Поскольку
в начальный момент угловая скорость
равна нулю,- компонента а ускорения
центра масс направлена перпендику-
лярно ОА, а компонента 1® — перпен-
дикулярно стержню. Следовательно,
уравнения движения имеют вид
mgcosa = т(а 4- /cocosa),
mgsina — Т=m/cosina, (34.33)
/7sina=/n/2(D/3,
где учтено, что момент инерции стерж-
ня относительно оси, проходящей через
его центр масс перпендикулярно
стержню, равен ml2/3. Отсюда на-
ходим
т= • (34.34)
l+3snra '
Пример 34.3. Рассмотрим задачу о
скольжении лестницы, сформулирован-
ную в примере 9.1, чтобы выяснить
причины физической бессмысленности
полученного там результата. Для
этого необходимо рассмотреть динами-
186 8. Динамика твердого тела
ку движения лестницы с учетом дей-
ствующей на нее силы тяготения.
Обозначим 0 угол между осью X,
по которой в положительном направ-
лении скользит нижний конец лестни-
цы, и лестницей (0^л/2). Остальные
обозначения те же, что и в примере
9.1.
На лестницу действуют сила тяже-
сти, приложенная к центру масс, силы
реакций стены и пола, приложенные к
концам лестницы и направленные по
нормали к соответствующим поверхно-
стям, а также сила, приложенная к
нижнему концу лестницы, которая
обеспечивает равномерную скорость
движения этого конца. Эта сила дейст-
вует по оси X в направлении к началу
координат и по модулю равна силе
реакции вертикальной стены, дейст-
вующей в направлении положительных
значений оси X. Это следует из того
обстоятельства, что нижний конец ле-
стницы и центр масс движутся с по-
стоянной скоростью в направлении по-
ложительных значений оси X, поэтому
проекция на ось X полной силы, дей-
ствующей на лестницу, равна нулю.
Уравнение моментов относительно
нижнего конца лестницы, принятого за
начало инерциальной системы коорди-
нат, имеет вид
Zd20/d/2 = — mg/cos0/2 — F/sin0,
(34.35)
где т — масса лестницы, F — сила
реакции вертикальной стены, J —
= ml2/ 3 — момент инерции лестницы
относительно нижнего конца. По усло-
вию задачи, и= — d(/cosO)/d/, dw/d/=
= 0. Отсюда u = /sin0d0/d/, d20/d/2 =
= —ctg 0w2/(/2sin2 0). Поэтому из
(34.35) получаем
F = — (1 /2 J mgctg0[ 1 — 2u2 / (3g/sin30)].
(34.36)
Верхний конец лестницы остается в
контакте со стеной, когда F>0, т. е.
2w2/(3g/sin30)<l. В начальный мо-
мент времени /=0 угол 0=л/2.
Следовательно, для того, чтобы задача
имела физический смысл, необходимо
выполнение условия
^min-- АЖ (34.37)
Если скорость и равна или больше
Wmin, то с самого начала движения
верхний конец лестницы теряет кон-
такт с вертикальной стеной и задача
о его скольжении по стене лишается
физического смысла. Если же uC^min,
то контакт лестницы с вертикальной
стеной продолжается после начала дви-
жения до достижения критического угла
0K = arcsin{[2u2/(3g/)]1/3}, л/2<0<л.
В пределах углов от 0=л/2 до
0 = 0К, полностью справедливо кинема-
тическое описание скольжения лест-
ницы, рассмотренное в примере 9.1.
Нетрудно пересчитать этот промежуток
углов на промежуток времени от на-
чала движения. Центр масс лестницы в
этот промежуток времени описывает
отрезок окружности, а скорости раз-
личных точек лестницы могут быть
рассчитаны так, как это сделано в
примере 9.1 и задачах 2.6 и 2.11. Начи-
ная с критического угла движение опи-
сывается уравнением (34.35) с Е=0
при начальных условиях, соответст-
вующих критическому углу.
35. Движение твердого тела,
закрепленного в точке.
Гироскопы
Даются наиболее важные характеристики дви-
жения твердого тела, закрепленного в точке.
Выбор системы координат. Рассмотре-
ние картины плоского движения упро-
щается тем обстоятельством, что век-
тор угловой скорости сохраняет в этом
случае постоянное направление в про-
странстве, перпендикулярное плоскости
движения, и не изменяет своей ориен-
§35. Движение твердого тела, закрепленного в точке. Гироскопы 187
тировки относительно тела. При дви-
жении твердого тела около одной за-
крепленной точки все эти упрощающие
обстоятельства исчезают: вектор уг-
ловой скорости, вообще говоря, изме-
няет направление в пространстве и
свою ориентировку относительно тела,
т. е. мгновенная ось вращения ме-
няет свою ориентирбвку. Удобно рас-
сматривать это движение в системе
координат, жестко связанной с телом.
Начало координат естественно помес-
тить в точку закрепления тела. Она
находится в покое. Получающиеся
при этом уравнения движения называ-
ются уравнениями Эйлера.
Уравнения Эйлера. Уравнение дви-
жения центра масс тела имеет вид
"i-^=/nA(®Xro)=F, (35.1)
где Го — радиус-вектор центра масс
тела, проведенный из точки его закреп-
ления. Реакции связей включены в F.
Оси связанной с телом системы
координат (ii, Yy, Yz) удобно направить
по главным осям инерции. В этом
случае тензор инерции сводится к трем
своим главным значениям Л, /2, /з,
а момент импульса приобретает простой
вид: Li=Ji(0i, £2 = /20)2, £з=/з(Оз,
причем (01, (02, (Оз — проекции угловой
скорости на движущиеся вместе с те-
лом оси координат. В уравнении мо-
ментов (31.2) производная dL/df вы-
числяется относительно инерциальной
системы координат. Необходимо оп-
ределить эту величину относительно
движущейся системы координат, жест-
ко связанной с телом.
Пусть некоторый вектор А задан
компонентами относительно системы
координат (К, i', i'):
A=%A£ + i'yAy + izA'z. (35.2)
С течением времени изменяются про-
екции А'х, Ay, Az на движущиеся оси
координат и ориентировка осей коор-
динат относительно инерциальной сис-
темы отсчета. Имеем
d / d.dx j */ dAg j ./ d^ig 1 dix y|/ ।
~d/-=,x—d7 *"^-d< г ,г~di |-“ЗГ/*х +
+^-А*+чтА'- <35-3>
Скорость точки вращающегося тела,
радиус-вектор которой г, равна dr/d/=
=<оХг. Аналогично, следя за концом
вектора Yx, проведенным из точки на
оси вращения, находим dK/d^coXi'.
Такой же вид имеют производные от
\'х и Yz. Следовательно,
Эйлер Леонард
(1707—1783),
математик, механик,
физик и астроном.
По происхождению
швейцарец.
В 1727—1741 гг. и
с 1766 г. до конца жизни
жил и работал в России,
член Петербургской
Академии наук.
В 1742—1766 гг.
работал в Берлине,
член Берлинской
Академии наук.
Автор свыше 800 работ
по математике, физике,
теории музыки и др.,
оказавших
значительное влияние
на развитие науки
Ч- ® X ty-Ay ~Н ® X izAz—
=(оХ(ка^4-|;а;+1И0=<оха. (35.4)
Поэтому формула (35.3) может быть
записана в виде
dA
d/
дЬ
dt
(оХА,
где OA/dt = Yx(dA'x/dt)+Yy(dA'y/dt) +
-}-iz(dAz/dt) — производная от А,
вычисленная в предположении, что оси
Yx, Yy, Yz неподвижны. Эта формула
188 8. Динамика твердого тела
справедлива для любых векторов А.
Применяя ее к величине L в (31.2),
можем представить уравнение момен-
тов следующим образом:
^+<1)XL=M. (35.5)
Принимания во внимание, что Lx=
—J L>y—J у^у-> Lz—J уравне-
ние (35.5) перепишем в проекциях на
оси движущейся системы координат:
^^-+(Л-/>иох=Л1г/,
Л -^+ Uy -= М2.
(35.6а)
Подчеркнем еще раз, что все ве-
личины в этом уравнении отнесены к
движущимся осям координат, жестко
связанным с телом, штрихи же не
проставлены лишь для упрощения на-
писания формул.
Эти уравнения называют уравне-
ниями Эйлера. Они в принципе всегда
позволяют определить движение тела,
закрепленного в одной точке, хотя
практически решение может быть весь-
ма сложным и трудновыполнимым'.
Свободные оси. Чтобы уравне-
ния (35.6 а) полностью описывали дви-
жение без использования уравне-
ния (35.1), необходимо за начало сис-
темы координат, в которой они напи- **
** Осями устойчивого свободного вращения
твердого тела являются лишь главные цент-
ральные оси тензора инерции с максималь-
ным и минимальным значениями момента
инерции. Вращение вокруг главной централь-
ной оси со средним моментом неустойчиво.
При вращении вокруг свободных осей не
возникает сил, стремящихся изменить на-
правление оси вращения или сместить ее
параллельно самой себе в теле.
Момент импульса твердого тела, закреплен-
ного в некоторой точке, не совпадает по
направлению с угловой скоростью. Связь
между ними описывается с помощью тензора
инерции.
саны, взять центр масс тела и учесть,
что момент реакции связей при этом
равен нулю. Пусть на тело не дей-
ствуют никакие силы и поэтому мо-
менты сил Мх, Му, Mz равны нулю.
Направим оси системы координат, же-
стко связанной с телом, по централь-
ным главным осям. Следовательно,
/х, Jy, Jz в (35.6а) являются централь-
ными главными моментами инерции те-
ла. Вообще говоря, они не равны
друг другу. Выясним, какое свободное
движение тела возможно.
Из (35.6а) сразу следует, что не-
возможно такое свободное вращение
тела, при котором угловая скорость
сохраняет свое абсолютное значение и
ориентировку относительно тела, но
не совпадает по направлению ни с
одной из центральных главных осей
с разными моментами, инерции. До-
пустим, что это возможно, т. е. что
cd х = const Ф 0, = const у=0, со- =
= const#=0. Тогда из уравнений сле-
дует, что должно быть
(/г — «Д ) С0^(02-0, (J* Jz) COzCOx-0,
(Jy — Jx)^x^y=0. (35.66)
Эти соотношения можно одновременно
удовлетворить только в том случае,
если две проекции угловой скорости
одновременно равны нулю. А это озна-
чает, что угловая скорость совпадает
по направлению с одной из централь-
ных главных осей. Пусть, например,
сду=(ог=0. Тогда (35.66) будут удов-
летворены. Угловая cKQpocTb направле-
на вдоль оси X, т. е. вдоль централь-
ной главной оси.
Таким образом, свободное враще-
ние твердого тела возможно лишь
вокруг центральных главных осей. Эти
оси называются свободными. Моменты
инерции относительно этих осей, вооб-
ще говоря, различны. Можно доказать,
что вращение тела будет устойчивым
только относительно центральной глав-
ной оси с максимальным или мини-
§35. Движение твердого тела, закрепленного в точке. Гироскопы 189
мальным моментом инерции. Вращение
вокруг центральной главной оси со
средним моментом инерции неустой-
чиво. При небольшом случайном от-
клонении оси вращения от этого на-
правления возникают силы, увеличи-
вающие отклонение. Это обстоятельст-
во можно наглядно продемонстриро-
вать на таком опыте. У тела в виде
прямоугольного параллелепипеда цент-
ральными главными осями являются
три взаимно перпендикулярные оси,
проходящие через его геометрический
центр параллельно сторонам. Парал-
лелепипед имеет наибольшие и наи-
меньшие моменты инерции относитель-
но осей, параллельных его самой
длинной и самой короткой сторонам.
Если его подбросить с одновременным
вращением вокруг одной из этих осей,
то движение происходит устойчиво с
сохранением направления оси враще-
ния. Если же его вращать вокруг оси,
параллельной средней стороне, то ус-
тойчивого движения не получается и
тело начинает беспорядочно кувыр-
каться.
Чтобы наглядно представить, по-
чему свободные оси должны совпадать
с центральными главными осями, возь-
мем тело в виде гантели. Проведем
ось вращения в направлении, не сов-
падающем ни с одним из центральных
главных направлений, например та-
ком, которое указано на рис. 84.
Ясно, что при вращении продоль-
ная ось тела под действием центро-
бежных сил стремится изменить свое
направление в пространстве и занять
положение, показанное на рис. 84
Прецессией называется движение оси гиро-
скопа под действием внешнего момента сил,
приложенных к ней.
Нутацией называется движение оси тела
вокруг полного момента импульса.
Период гироскопического маятника характе-
ризует способность его оси вращения сохра-
нять неизменное направление в пространстве
при действии на него момента внешних сил.
84
Ось, совпадающая с вектором угловой скорости,
в данном случае не является свободной, потому
что в системе координат, связанной с телом,
имеются центробежные силы инерции, стремя-
щиеся изменить направление этой оси в про-
странстве
85
К объяснению нутации
Ось вращения, вектор угловой скорости со и вектор L
полного момента импульса лежат в одной плоскости,
вращающейся со скоростью нутации вокруг послед-
него
пунктиром. В этом положении враще-
ние является устойчивым и со сов-
падает с направлением центральной
главной оси, относительно которой те-
ло обладает максимальным моментом
инерции.
Нутация. Представим себе тело,
которое обладает аксиальной симмет-
рией относительно некоторой оси, т. е.
является телом вращения (рис. 85).
Ясно, что одна из центральных глав-
ных осей совпадает с осью симмет-
190 8. Динамика твердого тела
рии, а две других перпендикулярны
ей. Ось X направим вдоль оси сим-
метрии, а оси У и Z — вдоль двух
других центральных главных осей. Из
условий симметрии следует, что Jx=
Jy=Jz=J2. Уравнения (35.6а)
имеют вид
/.^=0,
/2-^ + (/|-/2)<Ог<Ох = 0,
(35.7)
Прежде всего из этих уравнений
видно, что возможно движение, при
котором 0)х = (01 = const, (Oz/ = COz = 0,
т. е. вращение вокруг оси симметрии
тела с постоянной скоростью. Однако
это не единственная возможность. За-
пишем второе и третье уравнения при
условии ox=(Oi=const в следующем
виде:
d<o!//d/ + ycoz=0,
dcoz/df — усо^=0,
(35.8)
где у= (/i —/2)(О1//2- Эти уравнения
имеют решение:
(o^=4cosy/, сог=Л sinyt (35.9)
Вектор угловой скорости со± = \уту +
+ izcoz, лежащий в плоскости (У, Z),
вращается вокруг начала с круговой
частотой у. Полная угловая скорость
ci)=ix(di+ g)j_ . (35.10)
Этот суммарный вектор движется во-
круг оси X по поверхности конуса с
углом а при вершине (tga=со±/coi),
Что такое оси свободного вращения? Какие
из них устойчивы?
В чем состоит .нутация? От чего зависит ско-
рость нутации? Почему однородный шар не
может иметь нутационного движения?
Можете ли Вы нарисовать примерно картину,
на которой полный момент импульса, мгно-
венная угловая скорость и ось симметрии
лежат в одной плоскости, вращающейся со
скоростью нутации вокруг вектора полного
момента импульса?
Что такое прецессия гироскопа? Чем прецес-
сия отличается от нутации?
т. е. угловая скорость вращения тела
не совпадает с осью симметрии тела —
осью X. Ось симметрии, в свою оче-
редь, не остается неподвижной в про-
странстве. Она движется по поверх-
ности конуса, ось которого неподвиж-
на в пространстве, и совпадает с век-
тором полного момента импульса L,
причем угловая скорость этого дви-
жения также равна у. Следовательно,
полное движение таково: плоскость, в
которой лежат векторы мгновенной
скорости о) и ось симметрии, вращает-
ся с угловой скоростью у вокруг век-
тора L, причем относительное положе-
ние вектора со и оси симметрии при
этом не меняется Это движение оси
симметрии тела вокруг неподвижного
в пространстве вектора полного мо-
мента импульса L называется нута-
цией, у — скоростью нутации. При та-
ком движении вектор ю вращается
вокруг оси симметрии с той же ско-
ростью у, как это было описано выше.
Амплитуда нутации зависит от причин
(начальных условий), которые ее выз-
вали. Но частота ее определяется толь-
ко моментами инерции и угловой ско-
ростью вращения вокруг оси симмет-
рии. Тело может вращаться и без
нутации, если его угловая скорость у
направлена строго по оси симметрии.
К телам вращения относится так-
же шар. У него Jx=Jy=Jz, и поэто-
му у=0. Это означает, что у шара
ось вращения всегда в отсутствие
внешних сил сохраняет фиксированное
положение относительно тела и ника-
кой нутации быть не может. Это обус-
ловлено тем, что любая ось, проведен- о
ная через центр шара, является цент-
ральной главной осью тензора инерции.
Если шар неоднороден, то нутация у
него может быть. В частности, наблю-
дается нутация оси вращения Земли.
Это доказывает, что Земной шар
нельзя рассматривать как однород-
ный.
§35. Движение твердого тела, закрепленного в точке. Гироскопы 191
Для Земли моменты инерции от-
носительно осей, лежащих в эквато-
риальной плоскости, можно считать
равными друг другу. В формулах (35.7)
и (35.8) ось X считаем направленной
вдоль оси вращения Земли. С учетом
этого скорость нутации у, как и в
(35.8), равна ?=(/i—/2)0)1/72. Из из-
мерений моментов инерции для Земли
получено (Ji—/2) //2~1/300. Это оз-
начает, что период нутации земной оси
должен быть примерно 300 дней, т. е.
в течение 300 дней ось вращения
совершает один оборот по поверхности
конуса вокруг оси симметрии Земли.
Эта ось находится из геодезических
измерений, а ось вращения — по на-
блюдению движения звезд. Она про-
ходит через центр окружностей, кото-
рые описываются звездами в тече-
ние суток. Однако наблюдаемое дви-
жение значительно сложнее. Прежде
всего оно нерегулярно, на него сильно
влияют землетрясения и сезонные
изменения, происходящие на поверх-
ности Земли. Строго говоря, именно
такого рода причинами обусловлена
нутация оси вращения Земли, потому
что в противном случае из-за потерь
энергии на преодоление вязкости ось
вращения была бы совмещена с осью
симметрии и никакой нутации не уда-
лось бы наблюдать. В действитель-
ности период нутации равен примерно
440 дням, что обусловлено, по-види-
мому, неабсолютной жесткостью Зем-
ли. Максимальное расстояние точки
земной поверхности, через которую
проходит ось вращения, от точки,
* При каких условиях можно считать, что век-
тор момента импульса гироскопа, мгновенная
угловая скорость вращения и ось симметрии
совпадают?
Как устроен карданный подвес?
Какие применения гироскопов Вы знаете?
От чего зависит скорость прецессии?
Можете ли Вы объяснить особенности пове-
дения яйцеобразного волчка? Почему его ось
меняет угол наклона к горизонту?
S6
Карданный подвес обеспечивает беспрепятствен-
ное изменение взаимной ориентировки тела и
подвеса, с которым оно связано
87
Прецессия гироскопа
Ось быстрого вращения гироскопа, вектор угловой
скорости ей и момент импульса L считаем совпадаю-
щими
через которую проходит ось симметрии,
на северном полюсе не превышает
5 м.
Г ироскопы. Аксиально-симметрич-
ное тело, приведенное в очень быстрое
вращение вокруг своей оси симметрии,
называется гироскопом. Примерами
192 8. Динамика твердого тела
его могут служить волчок, диск, быст-
ро вращающийся вокруг оси, прохо-
дящей через его центр перпендикуляр-
но поверхности. Гироскопом является
также тело вращения, изображенное
на рис. 85, при условии, что угловая
скорость ап достаточно велика.
Прецессия гироскопа. Предполо-
жим, что гироскоп закреплен в точке
центра масс, но его ось может сво-
бодно поворачиваться в любом направ-
лении. Такое закрепление осуществля-
ют с помощью карданного подвеса
(рис. 86), обеспечивающего свободное
изменение ориентации оси гироскопа в
трех взаимно перпендикулярных на-
правлениях. На рисунках нет необхо-
димости изображать карданный под-
вес (рис. 87). Пусть к гироскопу
приложен момент внешних сил. Гиро-
скоп вращается вокруг своей оси с
очень большой угловой скоростью со,
поэтому возможная нутация его оси
вращения по поверхности конуса во-
круг геометрической оси (см. рис. 85)
очень мала. При рассмотрении движе-
ния оси гироскопа под действием мо-
мента внешних сил ею можно прене-
бречь.
Поэтому будем считать, что ось
вращения все время совпадает с осью
симметрии гироскопа и момент им-
пульса L=/(o. Ось вращения совпа-
дает с центральной главной осью тен-
зора инерции гироскопа, причем она
выбирается так, чтобы быть устой-
чивой.
Вокруг этой оси осуществляется
свободное устойчивое вращение. Это
* Почему несвободный гироскоп становится
«послушным»?
Чем уравновешивается момент внешних сил
при прецессии гироскопа?
Можете ли Вы объяснить, почему прецесси-
онное движение гироскопа неинерциально,
т. е. прецессия прекращается мгновенно,
как только прекращает действовать момент
внешних сил, вызывающих прецессию?
Можете ли Вы объяснить возникновение ги-
роскопических сил?
Какова природа гироскопических сил?
направление оси устойчивого вра-
щения сохраняется. Например, если,
взявшись за основание карданного
подвеса, изменять произвольным обра-
зом его ориентировку, то шарниры
будут вращаться таким образом, чтобы
ось сохраняла неизменное направле-
ние в пространстве. Поэтому если
кардан укреплен на каком-либо теле,
например на ракете, то при произволь-
ном движении ракеты ось сохраняет
неизменное направление в пространст-
ве относительно системы неподвижных
звезд. Находясь на ракете, в любой
момент можно определить ее ориенти-
ровку в пространстве, зная положе-
ние ракеты относительно оси. Это
обстоятельство делает гироскоп важ-
нейшим навигационным инструментом
при полете ракет. Он является также
главным элементом автопилота — уст-
ройства, которое обеспечивает авто-
матическое управление полетом само-
лета. Известны также многие другие
его применения. О некоторых из них
будет сказано позднее.
Допустим, что точка подвеса гиро-
скопа не совпадает точно с его цент-
ром масс. Тогда при ускоренном дви-
жении кардана под действием сил
инерции к оси гироскопа прилагается
момент сил. Если кардан установлен
на земле, то сила тяжести также соз-
дает момент сил, приложенных к оси
гироскопа. При наличии момента сил
эта ось начинает двигаться и изме-
няет свое направление в пространст-
ве, Это движение под действием мо-
мента внешних сил называется пре-
цессией гироскопа.
Направление и скорость прецессии.
Основное свойство гироскопа, которое
объясняет его поведение под действием
сил, состоит в том, что вектор момента
импульса L примерно совпадает с
вектором угловой скорости <о, направ-
ленным примерно вдоль центральной
главной оси гироскопа, вокруг кото-
§35. Движение твердого тела, закрепленного в точке. Гироскопы 193
рой происходит вращение. Строго го-
воря, эти три вектора не совпадают.
Однако отклонения от совпадения
очень малы и ими будем пренебре-
гать. Поэтому будем считать, что
вектор L=J<d всегда совпадает с
центральной главной осью гироскопа.
Такое совпадение обеспечивается ги-
роскопическими силами. Их природа
будет выяснена (см. ниже). Здесь же
заметим лишь, что они обусловлены
кориолисовыми силами.
К гироскопу удобно применить
уравнение' моментов
dL/d/=M, (35.11)
поскольку изменение L описывает не-
посредственно движение его оси. Зная
М, всегда можно определить направ-
ление движения оси по соотношению
dL=Md£ На рис. 87 ось гироскопа
расположена горизонтально, а сила F
создает момент M = IF, перпендикуляр-
ный плоскости чертежа. Если бы ги-
роскоп не находился в быстром вра-
щении, то под действием силы F его
ось должна была бы наклониться впра-
во. Но наличие вращения полностью
изменяет результат действия силы.
Поскольку dL=Md/, конец оси нач-
нет двигаться в горизонтальной плос-
кости. Если при этом F сохраняет
постоянное значение (например, если
F создается грузом, подвешенным к
гироскопу на некотором расстоянии
от точки опоры), то движение конца
происходит с постоянной угловой ско-
ростью Q. Ось гироскопа вращается
вокруг вертикальной оси, проходящей
через точку опоры гироскопа, с угло-
вой скоростью прецессии. В резуль-
тате процессии полная скорость вра-
щения (o + Q не совпадает с осью ги-
роскопа. Однако, ввиду того что co^>Q,
это несовпадение незначительно и по-
прежнему, несмотря на наличие пре-
цессии, можно считать, что угловая
скорость быстрого вращения все вре-
88
Вектор L изменяется лишь по направлению, его
абсолютное значение сохраняется
мя совпадает с осью гироскопа и с
моментом импульса L.
Угловая скорость вращения легко
может быть вычислена. На рис. 88
изображен ход прецессии гироскопа в
горизонтальной плоскости. Точка О
есть след оси прецессии. Очевидно, что
d£ = Afdt = £d<p. Отсюда согласно оп-
ределению находим угловую скорость:
() dif М М
cl/ L J со
(35.12)
Характерной особенностью прецес-
сии является то, что она не имеет
«инерции» — прецессионное движение
прекращается в момент прекращения
действия момента сил, как это видно
непосредственно из (35.11). Поэтому
ее поведение аналогично не скорости, а
ускорению, потому что ускорение пре-
кращается одновременно с прекраще-
нием действия силы.
Гироскопический маятник. Рассмот-
рим случай, когда ось гироскопа за-
креплена 'в одной точке и подвешена
5а нить на ее конце (рис. 89; ср. с рис.
87). Кроме того, в этом случае ось рас-
положена не горизонтально, а под углом
О к вертикали. Непосредственно вид-
но, что M = mglsmft, d£ = Lsin0dip =
= m^/sini|)dt и, следовательно, Q =
= dty/dt = mgl/L. Таким образом, уг-
ловая скорость не зависит от угла на-
клона оси гироскопа к вертикали. Это
связано с тем, что при изменении угла
изменяются одновременно момент силы
и расстояние в горизонтальной плос-
кости от оси вращения до конца век-
7—853
194 8. Динамика твердого тела
Гироскопический маятник
89
тора L. Независимость скорости пре-
цессии такого гироскопа от угла на-
клона его оси дало повод назвать его
гироскопическим маятником. Период
обращения этого маятника 7=2ji/Q =
= 2ji/co/(mg/) при достаточно больших
значениях момента инерции J и угло-
вой скорости вращения со и малой ве-
личине / может быть очень большим и
составлять минуты и даже часы. Мате-
матический маятник с таким большим
периодом имел бы громадную длину.
Длина математического маятника, пе-
риод колебаний которого равен перио-
ду прецессии гироскопического маят-
ника, называется приведенной длиной
гироскопического маятника. Поскольку
период математического маятника с
длиной /о равен Т = 2п /g, приве-
денная длина рассмотренного гироско-
пического маятника LQ = g(J<&/(ingl))
при достаточно больших /со и малых
/ может быть действительно очень
большой.
Современные гироскопы с очень
большой точностью сохраняют неиз-
менную ориентировку в пространстве.
Скорость их ухода от неизменного на-
правления меньше 10-4 град/ч. На
рис. 89 видно, почему углы Эйлера
Ф, ф, 0 называются соответственно
углами собственного вращения, пре-
цессии и нутации.
Яйцеобразный волчок. Если волчок
опирается на подставку очень острым
концом, то его ось прецессирует, дви-
гаясь по поверхности конуса, как это
было только что рассмотрено. Это ги-
роскопический маятник, но точка его
опоры находится ниже центра массы.
Если же волчок опирается на до-
статочно широкий конец, так что нель-
зя считать, что он соприкасается с
поверхностью в одной точке на оси
вращения, явление значительно услож-
няется. Если волчок имеет яйцеобраз-
ную форму и при вращении опирается
на поверхности своим более острым
концом, то его ось стремится принять
вертикальное положение, а при опоре на
более тупой конец ось сначала опуска-
ется до горизонтального положения, а
затем принимает вертикальное положе-
ние, но таким образом, чтобы враще-
ние волчка продолжалось уже на более
остром конце.
Такое поведение обусловливается
§35. Движение твердого тела, закрепленного в точке. Гироскопы 195
90
Подъем и опускание оси яйцеобразного волчка
действием сил трения, которые создают
момент, вызывающий движение оси
волчка в вертикальной плоскости.
Пусть на гироскопический маятник
действуют некоторые факторы, которые
стремятся увеличить скорость его пре-
цессии, например сила F, приложенная
к оси в направлении ее прецессии
(рис. 90, а). Нетрудно видеть, что эта
сила создает относительно точки за-
крепления гироскопа момент М, на-
правленный вверх, который и вызовет
подъем оси гироскопа. Из аналогич-
ного рассмотрения можно заключить,
что факторы, приводящие к уменьше-
нию скорости прецессии, приводят к
опусканию оси.
Применим эти соображения к дви-
жению яйцеобразных волчков. На рис.
90, б, в изображен такой волчок, дви-
жущийся на остром и тупом концах.
Соприкасаясь с поверхностью стола не
по оси вращения, волчок начинает
катиться по столу благодаря наличию
сил трения в точке соприкосновения
со столом. Непосредственно видно на
рис. 90, б, что это качение приводит
к дополнительному движению оси вра-
щения в том же направлении, в каком
она движется из-за прецессии; ско-
рость прецессии при этом увеличивает-
ся и, следовательно, ось гироскопа бу-
дет подниматься. В случае на рис. 90, в
картина движения волчка-яйца изменя-
ется. Здесь центр масс находится по
другую сторону от вертикали в точке
качения, а направление вращения гиро-
скопа (т. е. направление L) то же самое.
Прецессия изменяется на обратную.
Однако качение в этом случае вызывает
дополнительное движение оси против
направления прецессии, вследствие чего
ось гироскопа будет опускаться.
К этим заключениям можно прийти
также и непосредственно, рассматри-
вая момент сил трения относительно
центра масс волчка. В обоих случаях
сила трения направлена перпендику-
лярно чертежу к нам (рис. 90, б, в).
При движении на остром конце центр
масс волчка находится справа от вер-
тикали, проведенной через точку со-
прикосновения волчка со столом. Сле-
довательно, момент силы трения отно-
сительно центра масс направлен так,
что стремится повернуть вектор L к
вертикали. В результате волчок стре-
7*
196 8. Динамика твердого тела
91
Движение несвободного гироскопа
мится стать на острый конец. При
движении на тупом конце центр масс
волчка находится слева от вертикали,
проведенной через точку соприкоснове-
ния волчка со столом. В этом случае
момент силы трения относительно цен-
тра масс направлен так, что стремится
повернуть вектор L к горизонтали.
Практически яйцеобразный волчок
может устойчиво двигаться только при
соприкосновении со столом острым кон-
цом. При соприкосновении тупым кон-
цом волчок движется неустойчиво и
быстро становится на острый конец.
Искусные демонстраторы на лекциях
очень красиво делают такого рода экс -
перименты.
Несвободный гироскоп. При закреп-
лении только одной точки ось гироско-
па может двигаться в любых направ-
лениях. Поэтому такой гироскоп назы-
вают свободным. Если ось гироскопа
закреплена в двух точках, то движения
ее ограничены. Пусть, например, ось
закреплена так, как показано на
рис. 91, она может свободно двигать-
ся в горизонтальной плоскости, но не
может двигаться в вертикальной. Та-
кой гироскоп называется несвободным.
Движение несвободного гироскопа
коренным образом отличается от дви-
жения свободного при том же самом
моменте сил. Для анализа движения
оси несвободного гироскопа необходи-
мо принять во внимание момент,
создаваемый силами реакции опоры в
точках закрепления оси.
Если сила F горизонтальна (рис.
91), то она создает момент М, направ-
ленный вверх. Если бы гироскоп был
свободным, под действием этого мо-
мента правый конец гироскопа должен
был подняться. Однако точки закреп-
ления мешают этому. С их стороны на
ось действуют силы реакции Fpi и FP2,
которые создают момент Мр, перпенди-
кулярный плоскости чертежа. Под дей-
ствием этого момента правый конец
оси гироскопа движется в горизонталь-
ной плоскости в направлении первона-
чальной силы F. Поэтому несвободный
гироскоп является послушным: его ось
поворачивается туда, куда ее стремит-
ся повернуть внешняя сила. У свобод-
ного же гироскопа ось поворачивается
в плоскости, перпендикулярной силе.
Гироскопические силы. Выше было
рассмотрено движение гироскопов. Те-
перь обсудим природу гироскопических
сил. Они обусловлены силами Корио-
лиса.
Пусть имеется вращающийся диск
(рис. 92), угловая скорость вращения
которого совпадает с осью Z. Будем
считать диск состоящим из материаль-
ных точек массой т. Приложим к дис-
ку момент сил М, направленный в сто-
рону положительных значений оси X.
Под действием этого момента диск
стремится начать вращаться вокруг
оси X с некоторой угловой скоростью
Q'. Вследствие этого на движущиеся
точки диска начинают действовать
силы Кориолиса Fk=— 2mQ'X v'. Они
создают момент сил вдоль оси У, при-
§35. Движение твердого тела, закрепленного в точке. Гироскопы 197
водящей к вращению диска вокруг
этой оси с угловой скоростью Q, в
результате чего вектор момента им-
пульса L движется в направлении
вектора М, т. е. осуществляется то
прецессионное движение, которое со-
вершает ось гироскопа под действием
приложенного к ней внешнего момента.
Поэтому можно сказать, что гироско-
пические силы являются силами Ко-
риолиса.
Чтобы проследить более подробно
процесс возникновения гироскопиче-
ских сил, выведем их величину, исходя
непосредственно из расчета сил Корио-
лиса. На рис. 93 показано распреде-
ление скоростей точек движущегося
диска со стороны положительных зна-
чений оси Z. Силы Кориолиса в раз-
личных точках диска сверху от оси У
направлены перпендикулярно плоскости
чертежа к нам, а ниже оси У — от нас.
Далее, учитывая, что FK=— 2mQ'X
X v' и у' = сог, можно для сил Корио-
лиса в точке (г, ср) написать выраже-
ние
FK=2mQ Vsin q=2mQ'urs'\r\ ф.
(35.13)
Поэтому для момента силы Кориолиса
рассматриваемой точки относительно
оси У получаем такую формулу:
M^=2mQ,o)r2 sin2 ф. (35.14)
Учитывая, что за один оборот среднее
значение <sin^) = !/2, можно напи-
сать выражение для (М'у)\
<M'y>==mr2£}'ti) = La', (35.15)
где принято во внимание, что mr2=J—
момент инерции материальной точки от-
носительно оси вращения, a L = J& —
момент импульса движущейся точки
относительно той же оси. Если про-
извести суммирование по всем точ-
кам диска, то формула (35.15) не из-
менится, надо лишь в ней под (Му)-
92
Гироскопические силы обусловлены силами Ко-
риолиса
К расчету момента сил Кориолиса
понимать полный момент сил Кориоли-
са, действующих на диск, относительно
оси У. Величина L в этом случае озна-
чает момент импульса диска. Силы Ко-
риолиса, как это видно на рис. 92, соз-
198 8. Динамика твердого тела
дают также моменты сил относительно
оси X, но сумма этих моментов равна
нулю и, следовательно, их можно не
учитывать.
Под влиянием момента сил (Му)
диск начинает вращаться вокруг оси Y.
Это вращение, аналогично предыдуще-
му, приводит к возникновению момен-
та сил Кориолиса относительно оси X
по направлению, противоположному
первоначально приложенному моменту
сил. Угловая скорость вращения увели-
чивается до тех пор, пока возникший
относительно оси X момент сил Корио-
лиса не скомпенсирует первоначально
приложенный момент. Для этого в
соответствии с (35.15) должно быть
выполнено соотношение
M = L&, (35.16)
где М — момент внешних сил относи-
тельно оси X, Q — угловая скорость
вращения диска вокруг оси У. Таким
образом, момент сил относительно оси
X никакого вращения диска вокруг
этой оси не вызывает, а вызывает вра-
щение вокруг оси У. Как видно на
рис. 92, конец вектора L движется в
направлении вектора М. Учитывая, что
Q = d0/dZ, dL = LdQ (см. рис. 92), мо-
жно соотношение (35.16) переписать в
виде M = dL/dt или, принимая во вни-
мание пространственные направления
векторов, непосредственно видные на
рис. 92, в векторной форме:
dL/d/=M. (35.17)
Это уравнение моментов, с помощью
которого было подробно рассмотрено
движение гироскопа.
Таким образом, можно сказать,
что прецессионное движение оси гиро-
скопа вызывается силами Кориолиса.
При установившейся прецессии угло-
вая скорость движения оси гироскопа
обусловливает возникновение момента
сил Кориолиса, который равен моменту
внешних сил, действующих на гиро-
скоп, но направлен противоположно и
их уравновешивает.
36. Движение при наличии трения
Анализируется физическая картина возникно-
вения различных сил трения и их воздействия
на движение тел.
Сухое трение. Если два тела соприка-
саются своими поверхностями под не-
которым давлением и если по направ-
лению, касательному к ним, приложить
лишь небольшую силу, то никакого
скольжения поверхностей не будет
(рис. 94). Для того чтобы началось
скольжение, сила должна иметь значе-
ние больше некоторого минимального
значения. Следовательно, при сопри-
косновении тел под некоторым давле-
нием между их поверхностями возни-
кают силы, препятствующие их сколь-
зящему движению, которые обусловли-
вают трение покоя. Скольжение начи-
нается после того, как внешняя танген-
циальная сила превзошла определен-
ное значение. Таким образом, сила
трения покоя Епок изменяется от нуля
до некоторого максимального значения
FXX и равна внешней силе, которая
приложена к телу.
Она направлена противоположно
внешней силе и уравновешивает ее,
вследствие чего тела не приходят
в движение и не происходит скольже-
ния одной поверхности по другой.
Сила трения зависит от давления,
материала тел и состояния поверхно-
стей соприкосновения. У шероховатых
поверхностей трение покоя больше, чем
у хорошо отшлифованных.
После того как внешняя танген-
циальная сила стала больше макси-
мальной силы трения покоя, начинает-
ся скольжение вдоль поверхности со-
прикосновения. В этом случае сила
трения направлена против скорости.
Ее числовое значение для хорошо от-
полированных сухих металлических по-
верхностей при небольших скоростях
§ 36. Движение при наличии трения 199
практически не зависит от скорости
и равно максимальной силе трения
покоя. Таким образом, график зави-
симости силы трения от скорости имеет
вид, изображенный на рис. 95, а. При
всех скоростях v^O сила трения име-
ет вполне определенное значение и
направление. При v — 0 ее величина
не однозначна, а зависит от внешней
силы.
Однако независимость силы трения
от скорости соблюдается лишь при
не очень больших скоростях, не для
всех тел и не при всяких качествах
обработки поверхностей. Для других
случаев график зависимости силы тре-
ния между твердыми поверхностями от
скорости имеет вид, показанный на
рис. 95, б: сначала при увеличении
скорости до некоторого значения сила
трения уменьшается в сравнении с
трением покоя (для сокращения выра-
жений вместо «максимальная сила тре-
ния покоя» говорят «сила трения
покоя»), а затем возрастает.
Наиболее характерной особенно-
стью рассмотренной силы трения яв-
ляется наличие трения покоя: сила
трения не обращается в нуль при нуле-
вой относительной скорости соприка-
сающихся тел. Такое трение называ-
ется сухим. Сила трения в случае,
изображенном на рис. 94, дается фор-
мулой F^=k'mg, причем k' называ-
ется коэффициентом трения. Он опре-
деляется экспериментально.
Возникновение сухого трения обус-
ловлено взаимодействием молекул,
атомов и электронов, находящихся
вблизи поверхности соприкосновения,
т. е. в конечном счете электромагнит-
ным взаимодействием.
Жидкое, трение. Если соприкасаю-
щиеся металлические поверхности хо-
рошо смазать, то они начинают сколь-
зить уже при очень малых, практиче-
ски равных нулю силах. Это объясня-
ется тем, что между собой трутся не
94
Сухое трение
Для него характерно
наличие трения покоя
95
Зависимость силы
сухого трения от
скорости.
твердые металлические поверхности,
а тонкие жидкие масляные пленки,
которые налипают при смазке на по-
верхности. Такие силы трения, у кото-
рых трение покоя отсутствует, называ-
ются силами жидкого трения. Напри-
мер, металлический шарик движется в
газе или жидкости при самых малых
силах. Между поверхностью шарика
и газом или жидкостью возникают
силы трения, которые стремятся про-
тиводействовать движению. Однако
при стремлении скорости к нулю эта
сила трения стремится к нулю, т. е.
является силой жидкого трения.
Зависимость силы жидкого трения
от скорости изображена* на рис. 96.
При достаточно малой скорости эта
сила прямо пропорциональна скорости:
FTp = — ₽v. Коэффициент пропорцио-
нальности р зависит от свойств жид-
кости или газа, геометрических харак-
теристик тела, свойств его поверхно-
сти.
При движении твердых тел в жид-
кости или газе наряду с силой трения,
которая в каждой точке направлена
200 8. Динамика твердого тела
Зависимость силы жидкого трения от скорости.
На оси ординат отложены силы против скорости. Характер-
ная особенность этого трения — исчезновение силы трения
при нулевой скорости движения
98
Явление заноса
по касательной к поверхности тела,
на тело в противоположном его скоро-
сти направлении действуют также си-
** Характерная особенность движения при на-
личии сил жидкого трения, зависящих от ско-
рости, заключается в достижении предельной
скорости, определяемой значением прило-
женной силы. При сухом трении предельной
скорости не существует.
Явление застоя может существенно исказить
результаты измерения физических величин
с помощью приборов, если при движении их
стрелок в осях вращения имеется сухое
трение.
Явление заноса возникает вследствие того,
что сила трения скольжения всегда направ-
лена против скорости, но не зависит суще-
ственно от ее модуля.
лы другой природы, которые называ-
ются силами сопротивления. Их зави-
симость от скорости может быть очень
сложной.
Работа сил трения. Работа силы
трения покоя равна нулю, поскольку
перемещение отсутствует. При сколь-
жении твердых поверхностей сила тре-
ния направлена против перемещения.
Ее работа отрицательна. Вследствие
этого кинетическая энергия трущихся
тел превращается во внутреннюю —
трущиеся поверхности нагреваются.
Сила жидкого трения также произво-
дит отрицательную работу, при этом
кинетическая энергия движущихся тел
также превращается во внутреннюю
и скорость тел уменьшается.
Таким образом, для движения при
наличии трения закон сохранения энер-
гии не может быть сформулирован в
виде постоянства суммы кинетической
и потенциальной энергий. При наличии
трения эта сумма убывает, происходит
превращение энергии во внутреннюю
энергию трушихся тел.
Не следует думать, что трение пре-
имущественно играет отрицательную
роль для движения. Если бы не было
трения, то необходимо было бы изме-
нить весь уклад жизни. Можно ска-
зать, что существующая техника бази-
руется на наличии трения. Если бы его
не было, то не смогли бы двигаться
автомобили, люди не могли бы ходить
по ровной поверхности земли, невоз-
можно было бы безопасно сидеть на
стуле и т. д.
Явление застоя. Представим себе
тело, которое с трением движется в
горизонтальной плоскости под действи-
ем сил, показанных на рис. 97. В сред-
нем положении тела равнодействую-
щая сил, приложенных к телу со сторо-
ны пружин в горизонтальной плоско-
сти, равна нулю. При отклонении
положения тела от среднего возникает
сила, стремящаяся вернуть его в это
положение. Однако если эта сила
меньше, чем максимальная сила тре-
ния покоя, она не в состоянии сдви-
нуть тело. Поэтому равновесным явля-
ется не только среднее положение тела
в точке О, но и все другие положения
в определенном интервале АВ отклоне-
ний от среднего. Хотя во всех этих
положениях на тело со стороны пру-
жины действует сила, тело остается в
покое. Если тело отклонить за пределы
интервала АВ и отпустить, то под дей-
ствием силы со стороны пружины оно
придет в движение. В зависимости от
величины первоначального отклонения
тело совершит либо колебательное
движение, либо просто движение в
одном направлении, но через некоторое
время остановится из-за потерь энер-
гии на трение. Остановка может про-
изойти в любом положении в пределах
интервала АВ. Тело практически ни-
когда не остановится в среднем поло-
жении. Явление остановки и задержки
тела в отклоненном от среднего поло-
жения, в котором действующая на него
со стороны пружины сила не равна
нулю, называется явлением застоя.
Ясно, что если бы трение между те-
лом и горизонтальной плоскостью было
жидким, явление застоя не наблюда-
лось бы, поскольку в этом случае
сколь угодно малая сила со стороны
пружины вызвала бы движение тела.
Поэтому равновесным положением те-
ла, при котором оно может покоиться,
является единственное положение —
среднее, когда равнодействующая сил
со стороны пружины равна нулю.
Явление застоя имеет важное зна-
чение во многих случаях. В измери-
тельных приборах обычно происходит
сравнение измеряемой величины или ее
известного действия с масштабом ве-
личины или масштабным действием,
а результат считывается с помощью
указателя в виде стрелки. Если в оси
вращения стрелки имеется сухое тре-
§ 36. Движение при наличии трвъия 201
ние, то она никогда не будет указы-
вать точно на то деление шкалы, кото-
рое соответствует равенству измеряе-
мой и масштабной величин. Это приво-
дит к некоторой ошибке измерения,
которая тем больше, чем больше сухое
трение. Поэтому в измерительных при-
борах желательно максимально умень-
шить сухое трение и приблизить усло-
вия к условиям жидкого трения.
Явление заноса. Пусть на наклон-
ной плоскости покоится тело (рис. 98).
Это означает, что максимальная сила
трения покоя больше, чем сила F=mgX
Xsin а, стремящаяся вызвать соскаль-
зывание с наклонной плоскости (а —
угол наклона плоскости к горизонту).
Теперь приведем тело в движение со
скоростью v поперек плоскости (рис.
98). Тело сразу же начнет соскальзы-
вать с нее. Это вызвано тем, что, как
только тело начнет двигаться в на-
правлении скорости Ун поперек наклон-
ной плоскости сила трения между пло-
скостью и телом будет направлена про-
тивоположно скорости. Следовательно,
не будет никакой силы, которая про-
тиводействовала бы силе F=mg since,
вызывающей соскальзывание. Благода-
ря этому появляется скорость v± в
направлении соскальзывания. Полная
скорость движения тела по наклонной
плоскости равна v=vj| +v±. Сила тре-
ния Етр направлена против скорости.
Против силы mg sin а действует лишь
составляющая сила трения FTp sin р
(tgP = uj_/y и). Если она равна силе
mg sin а, то дальнейшее увеличение
скорости соскальзывания с наклонной
плоскости прекратится и тело будет
двигаться с постоянной скоростью V,
направленной под углом 0 к V|. Для
поддержания такого режима дви-
жения поперек наклонной плоскости
должна действовать постоянная сила
Fcosp, равная составляющей силы тре-
ния против скорости V||. Исчезновение
силы трения покоя в направлении,
202 8. Динамика твердого тела
99
Изменение баланса сил при приближении к на-
чалу заноса
перпендикулярном скорости, называет-
ся явлением заноса. Этим названием
оно обязано наиболее известному свое-
му проявлению — заносу автомобилей.
Представим себе, что на наклонной
плоскости (рис. 98) стоит автомобиль,
продольная ось которого горизонталь-
на. Между колесами автомобиля и
плоскостью действует сила трения,
благодаря которой автомобиль не со-
скальзывает с нее под действием силы
F=mg‘sina. Затем можно привести
автомобиль в движение поперек на-
клонной плоскости в направлении ско-
рости V||. Если это сделать очень осто-
рожно, с достаточно малым ускорени-
ем, так чтобы в точках соприкоснове-
ния колес автомобиля с плоскостью
не было проскальзывания, то сила тре-
ния покоя между ними будет существо-
вать и будет уравновешивать силу
sina. Автомобиль благополучно
без соскальзывания движется поперек
наклонной плоскости. Если же попы-
таться двигаться поперек наклонной
плоскости с большим ускорением, фор-
сировав мощность мотора, то между
ведущими колесами автомобиля (обыч-
но задними) и поверхностью начнется
проскальзывание, вследствие чего сила
трения покоя, которая уравновешивала
составляющую силы тяжести вдоль
наклонной плоскости, исчезает. Колеса
начинают скользить вдоль нее. Если
ведущими колесами являются задние,
то’ движутся вдоль наклонной плос-
кости только они, в результате чего
автомобиль разворачивает, или, как
говорят, «заносит». Нетрудно видеть,
что «занос» будет иметь место также и
при резком торможении, когда начина-
ется скользящее движение затормо-
женных колес по плоскости.
Не следует думать, что соскальзыва-
ние тела вдоль наклонной плоскости
начинается лишь после образования
скорости поперек наклонной плоско-
сти. Рассмотрим баланс сил, действую-
щих на тело после того, как к нему
стали прилагать силу поперек наклон-
ной плоскости (рис. 99). На рис. 99, а
изображена ситуация, когда сила F не
очень велика. Равнодействующая сил
F и mg sin а уравновешивается силой
трения покоя Frp, которая меньше, чем
максимальная сила трения покоя. Все
эти силы лежат в наклонной плоско-
сти. Увеличивая силу F, мы приходим к
критической ситуации, показанной на
рис. 99, б. Равнодействующая F и
mg sin а достигает максимального зна-
чения силы трения покоя. При этом
тело не двигается, поскольку все силы
уравновешивают друг друга. При даль-
нейшем небольшом увеличении силы F
это равновесие нарушается (рис. 99,в):
сила трения по-прежнему направлена
противоположно результирующей сил
F и mg sin а. Но поскольку она уже
§ 36. Движение при наличии трения 203
достигла максимального значения, она
не равна результирующей и не может
ее компенсировать. Но самое важное
состоит в том, что в первую очередь
нарушается компенсация силы mg sin а,
а не силы F, как это видно на рис. 99, в:
составляющая сила трения FTp в на-
правлении, противоположном F, ком-
пенсирует силу F, а составляющая в
направлении, противоположном силе
mg sin а, становится меньше, чем эта
сила. Поэтому начинается скольжение
тела вдоль наклонной плоскости, а
отнюдь не его движение поперек плос-
кости в направлении силы F, как это
могло показаться на первый взгляд
при изложении сущности явления за-
носа. Но чистого скольжения вдоль
наклонной плоскости не может прои-
зойти, потому что, как только оно на-
чинается, сила трения должна переори-
ентироваться противоположно скоро-
сти скольжения. В результате этого
сила F оказывается нескомпенсирован-
ной и должно начаться движение в
направлении этой силы. Таким обра-
зом, одновременно начнется как сколь-
жение, так и движение поперек нак-
лонной плоскости. Обсуждение процес-
са как последовательности действия
сил сделано лишь для более ясного
понимания сущности физических яв-
лений. Из состояния покоя тело начи-
нает двигаться в направлении равно-
действующей сил F и mg sin а при кри-
тической ситуации, изображенной* на
рис. 99, б, в которой эта равнодей-
ствующая достигает максимального
значения трения покоя.
Предельная скорость. При сухом
трении движение с ускорением проис-
ходит тогда, когда внешняя сила пре-
восходит максимальное значение силы
трения. В этих условиях при постоян-
ной внешней силе скорость, которой
может достигнуть тело, не ограничена.
По-другому обстоит дело при наличии
жидкого трения. В этом случае посто-
янная сила может ускорить тело лишь
до определенной скорости, называемой
предельной. При достижении ее сила
трения FTp= — 0v уравновешивает
внешнюю силу F и тело далее движет-
ся равномерно. Следовательно, пре-
дельная скорость ynp=F/p.
Приближение скорости к предель-
ному значению. Движение тела в одно-
мерном пространстве при наличии сил
жидкого трения описывается уравнением
m(dy/d/)=Fo — (36.1)
Силу Fo считаем постоянной. Пусть
и=0 в момент /=0. Интегрируя
(36.1), получаем решение этого урав-
нения:
{ du — dt-
₽ \ Fo / m
или после потенцирования
График этой функции изображен на
рис. 100. Скорость v(t) увеличивается от
0 при /=0 до предельного значения
^np=Fo/P по экспоненциальному зако-
ну. Экспонента очень резко зависит от
своего показателя. Практически, после
того как показатель экспоненты достиг
значения —1, она очень быстро обра-
щается в нуль. Поэтому можно счи-
(36.2)
(36.3)
з$, Чему равна сила сухого трения, когда тело
покоится, и как она направлена?
Чему равна сила жидкого трения, когда ско-
рость тела равна нулю?
Как сила сухого трения зависит от скорости?
Как сила жидкого трения зависит от ско-
рости?
Какую роль играет явление застоя при работе
измерительных приборов?
В чем состоит явление заноса? В каких об-
стоятельствах оно опасно, в каких — полез-
но?
204 8. Динамика твердого тела
100
Приближение ско-
рости к предель-
ному значению при
наличии жидкого
трения
тать, что скорость достигает предель-
ного значения в течение времени т, за
которое показатель экспоненты в фор-
муле (36.3) становится равным —1,
т. е. это значение может быть найдено
из условия рт/т=1, откуда т=т/р.
Падение тел в воздухе. При дви-
жении тел в воздухе с достаточно
большими Скоростями наряду с силами
вязкого трения возникают силы аэро-
динамического сопротивления, пропор-
циональные квадрату скорости. При
свободном падении тела в воздухе в
случае равенства силы тяжести тела
силе сопротивления достигается пре-
дельная скорость. В качестве примера
рассмотрим падение парашютиста от
момента выбрасывания с аэростата до
момента открытия парашюта (речь
идет именно о выбрасывании с покоя-
щегося в воздухе аэростата, а не с
быстролетящего самолета). Как пока-
зывает опыт, предельная скорость па-
дения человека в воздухе примерно
50 м/с. Это значение Dnp и будем
принимать в дальнейшем, хотя оно в
некоторых пределах зависит от роста
и массы парашютиста, ориентировки
его тела относительно направления
движения, от атмосферных условий
и т. д. Направим ось X по вертикали
Откуда следует необходимость существова-
ния предельной скорости движения при на-
личии жидкого трения?
От каких факторов зависит сила трения
качения?
Пусть катящийся без скольжения цилиндр
останавливается из-за потерь энергии на
преодоление сил трения качения. В какие
формы энергии и каким путем превратилась
кинетическая энергия катящегося цилиндра?
вверх, а начало координат х=0 по-
местим на уровне земли. Поскольку
сила сопротивления воздуха при тех
скоростях, с которыми мы в рассмат-
риваемом случае имеем дело, пропор-
циональна квадрату скорости, уравне-
ние движения можно записать в виде
mv = тх= — mg-^-nv2, (36.4)
где х — коэффициент трения (хД>0).
Считая известной предельную скорость
vпр, выразим через нее х. Для равно-
мерного движения с предельной скоро-
стью имеем
mx=0= —mg+xunp, х =mg/v2p.
С учетом этого выражения для х урав-
нение (36.4) перепишем в виде
<к' ____g (v2 _v2\
dt ~ (Un₽ V
Отсюда, интегрируя, получаем
0 ^пр ^пр 0
1_1П^±^= _St
2оПр ^пр У Wnp
Потенцируя это выражение, находим
1—ехр(—2g//unp)
пр l-hexp(—2g//unp) ’
(36.5)
Для начального периода падения, ког-
да 2g//unp<Cl, можно разложить экспо-
ненты в ряд и ограничиться линейным
по t членом:
ехр(—2g//unp) 1— 2gt/Vnp. (36.6)
В этом случае из формулы (36.5)
имеем
v = —gt.
Это означает, что в начальной стадии
практически происходит свободное па-
дение, а сила сопротивления воздуха
не играет существенной роли.
§ 36. Движение при наличии трения 205
\ При дальнейшем увеличении скоро-
сти роль силы сопротивления воздуха
возрастает и становится определяющей
при скоростях, близких к предельным.
В этом случае (2g//ynp) ^>1 и, следо-
вательно,
Рпр—| 1—exp (—2g//anp)
пр 1+ехр(—2g//ynp)
2ехр (—2gf/t>nP)
1 Ч-ехр (—2g//unp)
^2exp(—2gf//unp),
(36.7)
поскольку ехр(—2g7/anp)<Cl и этой ве-
личиной можно пренебречь в сравне-
нии с единицей в знаменателе левой
части последнего равенства (36.7). Та-
ким образом, при /=10 с скорость от-
личается от предельной примерно на
2е~4^1/25, т. е. на 2 м/с. Поэтому
можно считать, что парашютист дости-
гает предельной скорости примерно
через 10 с после начала падения. Гра-
фик скорости парашютиста в зависи-
мости от времени падения показан на
рис. 101.
Интегрируя обе части равенства
(36.5) по времени, найдем путь, про-
ходимый парашютистом при падении:
Принимая во внимание, что
1—ехр(—2g//unp)
14-ехр (—2gt/vnp)
о х
2ехр (—2g//unp) *
l+exp(-2g//ynp)7Uf
(36.8)
Почему отсутствует трение качения для аб-
солютно твердых тел?
Почему отсутствует трение качения, если
деформации абсолютно упруги?
Чему примерно равна предельная скорость
человека при падении в воздухе?
Можете ли Вы описать различие в динамике
движения парашютиста при его выпрыгива-
нии с аэростата и из быстролетящего само-
лета?
_ exp (—2gf/pnp) j t _
1+ехр(—2g//t>np)
=-^Tdln [ 1Ч-exp (—2g//unp)];
ud/=dx,
из (36.8) получаем
hQ—х=упрГ t — ----2 —Л,
PL g l+exp(—2g//unp)J ’
(36.9)
где ho — высота, с которой начина-
ется падение парашютиста. Из этой
формулы определяем, что за 10 с пара-
шютист пролетит приблизительно 350 м.
Весь остальной путь до открытия па-
рашюта он движется почти равно-
206 8. Динамика твердого тела
мерно с предельной скоростью. Зави-
симость пути от времени показана на
рис. 102.
Предельная скорость снижения че-
ловека с открытым парашютом не-
сколько меньше 10 м/с. Поэтому при
открытии парашюта скорость парашю-
тиста в короткий промежуток времени
уменьшается от 50 м/с до примерно
10 м/с, что связано с возникновением
больших ускорений и, следовательно,
больших сил, действующих на пара-
шютиста. Действие этих сил называ-
ется динамическим ударом.
При выпрыгивании парашютиста из
быстролетящёго самолета, скорость ко-
торого может достигать нескольких
сотен метров в секунду, картина дви-
жения его коренным образом меня-
ется. После выбрасывания парашю-
тиста из самолета его скорость в ко-
роткий промежуток времени уменьша-
ется от скорости самолета до примерно
50 м/с. Ускорение парашютиста при
этом очень большое, а следовательно,
большой и динамический удар. Поэто-
му при катапультировании из самоле-
тов, летящих с большой скоростью,
особенно из сверхзвуковых, принима-
ются специальные меры, обеспечиваю-
щие безопасность летчика непосред-
ственно после момента катапультиро-
вания.
Трение качения. Пусть цилиндр
скатывается с наклонной плоскости
без скольжения. Динамика движения
цилиндра при наличии лишь сил тре-
ния покоя была рассмотрена в § 34.
Предположение о качении без сколь-
жения означает, что соприкасающиеся
точки цилиндра и плоскости не сколь-
зят друг относительно друга вдоль
поверхности соприкосновения. Поэтому
между ними действуют силы трения
покоя. Именно силы трения покоя со-
ставляют тангенциальную силу Т на
рис 79, которая вместе с силой mgsina
приводит к вращению цилиндра. Пред-
ставим себе, что поверхность наклон-
ной плоскости и цилиндр абсолютно
недеформируемы. Тогда они должны
соприкасаться между собой по геомет-
рической линии. В этом случае никаких
других сил, кроме силы Т трения по-
коя, не возникает. На линии соприкос-
новения материальные частицы ци-
линдра и наклонной поверхности не
испытывают взаимных перемещений в
направлении силы трения. Поэтому ра-
бота силы трения равна нулю и ника-
ких потерь на трение нет. Значит,
качение без скольжения абсолют-
но недеформируемого цилиндра по
абсолютно недеформируемой поверхно-
сти не должно сопровождаться потерей
энергии на трение, хотя сила трения
покоя существует и обеспечивает ка-
чение.
Однако в реальных условиях име-
ются потери кинетической энергии да-
же при качении без скольжения. На-
пример, цилиндр, катящийся без сколь-
жения по горизонтальной плоскости,
в конце концов останавливается. Если
при скатывании цилиндра с наклонной
плоскости измерить очень точно его
кинетическую энергию в конце скаты-
вания, то она оказывается меньше той
потенциальной энергии, которая пре-
вратилась в кинетическую, т. е. имеют-
ся потери энергии. Причины этих по-
терь — силы трения качения, которые
не сводятся ни к трению покоя, ни к
трению скольжения. Возникновение
сил трения качения связано с дефор-
мацией. Однако нетрудно видеть, что
абсолютно упругие деформации не в
состоянии привести к появлению ка-
ких-либо сил, тормозящих движение
(рис. 103).
При этом имеется, конечно, в виду,
что нет скольжения цилиндра. При
наличии скольжения в зоне контакта
возникают силы трения, хотя дефор-
мации и абсолютно' упругие. Дефор-
мации подвергается как плоскость, так
§ 36. Движение при наличии трения 207
и\ колесо. Колесо несколько «сплющи-
вается», что в увеличенном размере
показано на рис. 103. Пунктиром
обозначен нижний обод колеса при от-
сутствии его деформации.*Силы Fi и
F2 являются равнодействующими сил,
приложенных к деформированному ко-
лесу со стороны участков деформиро-
ванной поверхности впереди верти-
кальной линии и позади нее. Полная
сила, действующая на колесо, равна
Fi + F2, а момент сил относительно
оси колеса равен сумме моментов сил
Fi и F2. Момент силы Fj стремится
увеличить скорость вращения колеса,
а момент силы F2 — уменьшить ее.
При абсолютно упругой деформации
вся картина сил симметрична относи-
тельно вертикальной линии, проходя-
щей через ось колеса. Следовательно,
моменты сил Fi и F2 взаимно ком-
пенсируются, а суммарная сила Fi +
+ F2 проходит через центр колеса и
имеет лишь вертикальную составляю-
щую, которая уравновешивает его силу
тяжести (и всего, что на него опира-
ется) . Никакой горизонтальной силы
нет. Следовательно, не возникает и си-
ла трения качения.
По-другому обстоит дело, если де-
формации не являются абсолютно
упругими, как это имеет место в реаль-
ных ситуациях. В этом случае картина
имеет вид, изображенный на рис. 104.
Силы F] и F2 различны. Сумма этих
сил имеет как вертикальную состав-
ляющую, которая уравновешивает си-
лу тяжести колеса, так и горизонталь-
ную, направленную против скорости и
являющуюся силой трения качения.
.Моменты сил Fi и F2 направлены
противоположно и не равны друг дру-
гу. Момент силы F2, тормозящий вра-
щение, больше момента силы Fi, его ус-
коряющего. Поэтому суммарный мо-
мент сил тормозит вращение колеса.
В результате действия сил трения каче-
ния кинетическая энергия также пре-
103
При абсолютно уп-
ругой деформации
равнодействующая
сил Fi+F2 прохо-
дит через ось коле-
са. и трение качения
не возникает
104
При неупругой де-
формации равно-
действующая сил
Fj+F2 не проходит
через ось колеса,
в результате чего
возникает трение
качения
вращается во внутреннюю через по-
средство неупругих деформаций.
Таким образом, сила трения каче-
ния и момент сил, замедляющий вра-
щение колеса, возникают вследствие
неупругого характера деформации ко-
леса и поверхности качения в области
их соприкосновения. Учет их влияния
на движение каких-либо трудностей не
представляет. Трудным является лишь
определение этих сил и моментов.
Обычно это делается эксперименталь-
но, и значения их в соответствующей
форме даются в таблицах.
Самодвижущиеся средства тран-
спорта. При рассмотрении движения
автомобилей, паровозов и других само-
движущихся средств транспорта воз-
никают два новых вопроса: как проис-
ходят их разгон и торможение? До-
статочно проанализировать эти вопро-
сы на примере одного колеса. Если
движение происходит без скольжения
колес, то сил трения скольжения нет.
Силы трения качения при этом всегда
присутствуют и действуют, как только
208 8. Динамика твердого тела
105
Схема сил, действующих на колесо самодвижу-
щихся средств транспорта
что описано. Однако существенной ро-
ли в разгоне экипажей и их торможе-
нии силы трения качения не играют.
Главная роль при этом принадлежит
силам трения покоя.
При разгоне экипажа к оси колеса
со стороны мотора прилагается момент
сил М (рис. 105, а). Однако силы тре-
ния покоя Гтр в точках соприкоснове-
ния колеса с дорогой препятствуют его
вращению. В результате этого на коле-
со действует сила трения покоя, на-
правленная в сторону движения.
При торможении картина обрат-
ная — момент сил тормозные коло-
док направлен таким образом (рис.
105,6), что возникающая при этом
дополнительная сила трения покоя на-
правлена против скорости экипажа.
Эта дополнительная сила трения покоя
суммируется с силой трения покоя,
которая обеспечивает качение колеса
без скольжения, когда на его ось не
действуют никакие внутренние момен-
ты сил.
Если полная сила трения покоя при
взаимодействии колеса и дороги с уче-
том только что указанной дополнитель-
ной силы трения превосходит макси-
мальную силу трения покоя, то колеса
проскальзывают. Поэтому скольжение
колес возникает как при желании
слишком быстро разогнать машину,
так и при стремлении слишком быстро
затормозить ее. В обоих случаях явле-
ние заноса при попытке быстрого раз-
гона или торможения может привести
к плачевным результатам. Но дэже
если ничего подобного не произошло,
быстрого разгона или торможения все
равно не получится. Дело в том, что
трение скольжения при увеличении от-
носительной скорости скольжения по-
верхностей в большинстве случаев не-
сколько уменьшается в сравнении с
максимальным трением покоя. Поэтому
при проскальзывании колеса макси-
мально возможная сила разгона или
торможения меньше, чем когда оно
отсутствует. Следовательно, наиболее
быстрый разгон и торможение возмож-
ны лишь при отсутствии проскальзы-
вания колес. Опытный водитель всегда
чувствует состояние сцепления колес с
дорогой и никогда не допускает про-
скальзывания колес.
Как было уже сказано, в определенных
условиях при возрастании скорости скольжения
сила трения начинает увеличиваться. Ясно, что
в этом случае можно попытаться увеличить силу
тяги колес увеличением скорости их пробуксов-
ки, однако компенсировать боковую силу сколь -
жения при этом все равно нельзя.
О природе сил трения. Возникнове-
ние сил трения обусловливается мно-
гими процессами, происходящими в
приповерхностных слоях соприкаса-
ющихся тел. Изучение сил трения име-
ет большое теоретическое и прикладное
значение и является предметом спе-
циального раздела физики. Эти про-
цессы сводятся к межмолекулярным
взаимодействиям в областях соприкос-
новения тел.
Сухое трение возникает в плоскости
касания прижатых друг к другу тел в
результате их относительного переме-
щения. Трение покоя обусловлено весь-
ма малым (в пределах примерно
1 мкм) относительным смещением тру-
щихся поверхностей. Область смеще-
ний, в пределах которых реализуется
трение покоя, называется областью
предварительных смещений. После то-
го^ как приложенная к телу сила пре-
высит некоторое значение, предвари-
тельное смещение переходит в сколь-
жение, при этом сила трения несколько
уменьшается по сравнению с макси-
мальной силой трения покоя.
Поверхности реальных тел не явля-
ются абсолютно гладкими. На них
имеются волнистости и шероховатости.
Поэтому касание тел происходит не по
всей площади видимого соприкоснове-
ния поверхностей тел, а в отдельных
областях — так называемых «пятнах»,
расположенных на «выступах» поверх-
ностей. В «пятнах» касания действуют
силы прилипания поверхностей. Сум-
марная площадь областей касания
§ 36. Движение при наличии трения 209
примерно на 2—3 порядка меньше
кажущейся площади соприкосновения.
При скольжении поверхностей «пятна»
касания разрушаются и возникают
вновь, но их суммарная площадь
остается примерно постоянной. «Пят-
на» приобретают вытянутую форму в
направлении движения. Напряжения в
области «пятен» достигают очень
больших значений, только лишь в не-
сколько раз меньших теоретических
значений прочности материала.
Таким образом, можно сказать,
что трение возникает в результате
многообразных процессов взаимодей-
ствия соприкасающихся поверхностей
тел. Важными последствиями трения
на практике являются нагревание тел
и износ поверхностей.
Задачи
8.1. Из начала системы координат г = 0 под углом а к горизонтальной плоскости при t = 0 бро-
шено тело массой т с начальной скоростью и. Сила трения тела о воздух принята равной
FTp=—mkv. Найти г = г(/). Ускорение свободного падения g. Найти уравнение траектории,
направив ось X горизонтально, а ось Y вертикально.
8.2. Камень бросают в горизонтальном направлении с начальной скоростью и с высокой башни.
Сила трения камня о воздух равна —mkv. Камень падает на землю на расстоянии / от осно-
вания башни. Найти высоту башни.
8.3. Ребра прямоугольного однородного параллелепипеда массой т направлены по осям прямо-
угольной декартовой системы координат, начало которой совпадает с одной из вершин. Длина
ребер параллелепипеда вдоль осей X, У, Z равна соответственно а, Ь, с. Найти моменты инер-
ции Jxx и JyZ.
8.4. Два однородных прямых круглых цилиндра одинакового радиуса с одинаковой массой т
покоятся на горизонтальной поверхности, причем оси цилиндров параллельны, а их поверх-
ности не соприкасаются. Сверху на цилиндрах, перпендикулярно их длине, лежит прямая
балка массой М. Центры масс цилиндров и балки лежат в одной и той же вертикальной пло-
скости. На балку действует сила F, направленная параллельно ее длине по линии, проходящей
через центр масс балки. Чему равно ускорение балки, если нигде нет скольжения между сопри-
касающимися поверхностями.
8.5. Однородная твердая полусфера радиусом г опирается на горизонтальную поверхность в точке
своей выпуклой стороны. Найти частоту малых колебаний полусферы около положения равно-
весия в случаях, когда в ее контакте с горизонтальной поверхностью полностью отсутствует
трение и когда полностью отсутствует проскальзывание.
8.6. На горизонтальной площадке находятся однородный куб массой mi с длиной ребра / и одно-
родный круглый цилиндр диаметром d и длиной /. Ось цилиндра горизонтальна. Боковая
поверхность цилиндра соприкасается по всей длине с одной из граней куба. Площадка посте-
пенно наклоняется вокруг оси, параллельной линии контакта между кубом и цилиндром в сто-
рону куба. Угол наклона между поверхностью площадки и горизонтальной плоскостью а. Ко-
эффициент трения в каждом из контактов k. При каком значении а начнется соскальзывание
куба с наклонной плоскости?
8.7. Однородный шар массой т и радиусом г\ опирается в положении неустойчивого равновесия
210 8. Динамика твердого тела
на поверхность жестко закрепленного шара радиусом r2z>r\. Линия, соединяющая центры
шаров, вертикальна. Потеряв положение неустойчивого равновесия, верхний шар радиусом г\
начинает скатываться без скольжения по поверхности нижнего шара радиусом г2. Угол между
вертикалью и линией, соединяющей центры шаров, обозначим 0. При каком угле 6 давление
в точке соприкосновения шаров исчезает?
8.8. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью и. Сила трения FTp=—mkv. Через
какой промежуток времени тело остановится?
8.9. Круглый цилиндр скатывается без скольжения с наклонной поверхности, образующей с гори-
зонтом угол а. Каково ускорение центра масс цилиндра вдоль наклонной поверхности, когда
поверхность движется с ускорением а: а) в вертикальном направлении; б) в горизонтальном
направлении в сторону подъема поверхности?
8.10. Тело свободно падает в среде, причем и = 0 при t=0. Сила сопротивления среды равна —
—m(av -f-Zw2), где а и b — положительные постоянные. Найти скорость частицы в момент
времени t и путь, пройденный телом за это время.
8.11. Однородный диск массой т подвешен в вертикальной плоскости к точкам Л и В на окруж-
ности диска на двух вертикальных нитях. Точки А и В находятся на одном и том же горизон-
тальном уровне, а дуга АВ окружности опирается на угол 2а с вершиной в центре диска.
Найти силу натяжения одной из нитей непосредственно после момента обрыва другой.
8.12. Однородный прямоугольный параллелепипед с ребрами 2а, 2В, 2с вращается с угловой ско-
ростью со вокруг оси, параллельной главной диагонали, но проходящей через'вершину, не ле-
жащую на этой главной диагонали. Найти кинетическую энергию параллелепипеда.
Ответы
8.1. v—gt1— е k‘}/k: f 1 —/?x/(acos a)]4-x[tg a-|-^/(/?acos а)]. 8.2.
(g/A')ln[»,/(o-fe/)]-g//». -mbc/4. 8.4. f/(.M + 3m/4). 8.5. j/l20g/(l 19r);
15g/(2(>r). 8.6. arctgJfcmi/t/m+Cl—*)m2]}. 8.7. arccos (10/17). 8.8 (т//г)1п [1 +
8.9. (2/3)(£-|-a)sin a, (2/3Xgsin a + acos a). 8.10. (Л /B)th В —
— a/(2b); (1/B)ln [ch B/ch a] — а//(2В). где: A = ]/bg + cd/b, th a =
— а '(24), B = d-}-u- 8.11. /n#/(l 4-2sin2 a). 8.12. 4-
4- 7a2 c2 4- 7a2/r)/[3(a2 4- b2 4- r2)]-
<37. Нерелятивистские ракеты
\ Выводится уравнение движения и обсуждается
\ физический смысл основных физических вели-
\ чин реактивного движения.
Реактивное движение. В ракетных дви-
гателях сила тяги создается в резуль-
тате извержения продуктов горения
топлива в направлении, противополож-
ном силе. Она возникает по закону
Ньютона как сила реакции и поэтому
называется реактивной, а двигатель —
реактивным. Однако надо подчеркнуть,
что всякий двигатель, создающий тягу,
является, в сущности говоря, реактив-
ным. Например, сила тяги обыкно-
венного пропеллерного самолета есть
реактивная сила, возникающая в ре-
зультате ускорения пропеллером массы
воздуха в направлении, противополож-
ном направлению движения самолета.
Сила тяги пропеллерного самолета
есть сила, с которой отбрасываемые
пропеллером назад массы воздуха дей-
ствуют на самолет. Она приложена к
пропеллеру, жестко соединенному с са-
молетом. Железнодорожный состав
трогается с места под действием реак-
тивной тяги, которая создается в ре-
зультате ускорения рельсов и земной
поверхности в противоположном на-
правлении, если движение рассматри-
вать в инерциальной системе коорди-
нат, связанной с неподвижными звез-
дами. Конечно, практически заметить
движение рельсов и земной поверхно-
сти невозможно ввиду их подавляюще
большой массы и исчезающе малого
ускорения.
Однако имеется одно существенное
различие между реактивными движе-
ниями ракеты и других сил. В ракет-
ном двигателе тяга создается извер-
жением продуктов горения, которые до
участия в создании тяги входят в мас-
су ракеты. В других рассмотренных
случаях этого нет. Например, отбра-
сываемый пропеллером самолета воз-
дух ни в какой момент времени не
является частью его массы. Поэтому,
9
ДИНАМИКА ТЕЛ
ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
Р еактивная сила пря-
мо пропорциональна скорости истече-
ния продуктов реакции из сопла ракеты
и их массе, отнесенной к времени.
Экономия в расходе массы может
быть достигнута за счет увеличения
скорости истечения продуктов реакции,
а увеличение реактивной силы при
неизменной скорости истечения про-
дуктов реакции — за счет увеличения
ежесекундного расхода массы.
37
Нерелятивистские ракеты
38
Релятивистские ракеты
212 9. Динамика тел переменной массы
106
К выводу уравнения движения ракеты
При малых скоростях для их сло-
жения можно воспользоваться форму-
лой классической механики и предста-
вить и в виде
u=u'+v, (3.5)
говоря о реактивном движении, мы
имеем в виду ситуацию, которая суще-
ствует в ракетном двигателе. Это
означает, что рассматривается движе-
ние тел переменной массы, причем тяга
создается в результате извержения ча-
сти массы, принадлежащей телу.
Уравнение движения. Пусть ракета,
имеющая в момент t массу M(t) и дви-
жущаяся со скоростью v, выбрасывав
массу dAf' со скоростью и (рис. 106).
Здесь следует подчеркнуть, что М и
&М' являются релятивистскими масса-
ми, а скорости v и и берутся относи-
тельно инерциальной системы коорди-
нат, в которой рассматривается движе-
ние (а не относительно ракеты).
Закон сохранения массы имеет вид
dAf + dM'=0. (37.1)
Очевидно, что dAlcO, поскольку масса
ракеты уменьшается. В момент t пол-
ный импульс системы равен Alv, а в
момент (7+d/) он выражается форму-
лой (Af+dAlXv+dv^udAr'. Тогда за-
кон сохранения импульса данной изо-
лированной системы запишется в виде
,(M+dAfXv+dv)+udM,=Alv. (37.2)
Отсюда следует равенство
Mdv+vdM+udM'=0, (37.3)
причем член dvdAf отброшен как бес-
конечно малый член второго порядка
малости. Принимая во внимание
(37.1), получим уравнение движения
1 } (37-4)
которое справедливо как в релятивист-
ском, так и нерелятивистском случае.
где и' — скорость выброшенной мас-
сы относительно ракеты. Подставив
(37.5) в (37.4) и продифференцировав
левую часть (37.4) по времени, по-
лучим
> ж dv f х dЛ/ г dЛ1 г*\
М—<37‘6)
Это есть уравнение, которое описывает
движение ракет с нерелятивистскими
скоростями в отсутствие внешних сил.
Если на ракету действует сила F,
то уравнение (37.6) примет вид
»* dv / dAf
"-аг=р+итг-
(37.7)
Обозначим ежесекундный расход топ-
лива через ц. Очевидно, что р=
= —dAf/d/. Поэтому уравнение (37.7)
можно также записать в виде
Al-^ = F-pu. (37.8)
Величина ци' представляет реактив-
ную силу. Если и' противоположно V,
то ракета ускоряется, а если совпа-
дает с v, то тормозится. При другом
соотношении между ними происходит
изменение скорости не только по моду-
лю, но и по направлению.
Формула Циолковского. Рассмот-
рим ускорение ракеты в прямолиней-
ном движении, считая, что скорость
выбрасываемых газов относительно
ракеты постоянна. Уравнение (37.6)
запишется так:
> * du # dA4 /о—г гл\
Мчг=-Ы'чг> (37.9)
причем знак минус в правой части
обусловлен тем, что скорость и' при
ускорении противоположна скорости v.
§ 37. Нерелятивистские ракеты 213
Обозначим через и0 и Мо скорость и
массу ракеты перед началом ускоре-
ния. Тогда, переписав уравнение (37.9)
в виде
dAf du
М и'
(37.10)
и проинтегрировав это равенство, по-
лучим
1пМ —1пЛ1о= —(37.11)
Это и есть формула Циолковского,
которую удобно представить в одном
из следующих двух видов:
v—vo==u'\n(Mo/M),
M=MPe~(v-v")/u'.
(37.12а)
(37.126)
Формула Циолковского (37.12а)
показывает изменение скорости раке-
ты, когда ее масса изменится от Мо
до М, а (37.126) дает ответ на вопрос,
какова будет масса ракеты, если ее
скорость изменилась от Vo до v. При
ускорении из состояния покоя уо=О.
Наиболее важной проблемой явля-
ется достижение максимальной скоро-
сти при минимальном расходе топлива,
т. е. при минимальной разнице Afo и М.
Из (37.12а) видно, что этого мож-
Циолковский
Константин Эдуардович
(1857—1935),
советский ученый
и изобретатель.
Основоположник
современной
космонавтики:
первым обосновал
возможность
использования
ракет для межпланетных
сообщений, указал
рациональные пути
развития космонавтики
и ракетостроения,
нашел ряд важных
инженерных решений
конструкции ракет
и жидкостных ракетных
двигателей.
но достигнуть только увеличением ско-
рости и' истечения газов. Однако ско-
рости истечения газов ограничены. На-
пример, при горении различных топлив
удается достигнуть скоростей истече-
ния газов примерно 4—5 км/с.
Ступенчатая ракета. Не весь груз
ракеты является полезным до конца
полета. Например, топливные баки
нужны лишь до тех пор, пока в них
имеется топливо. После того, как со-
держащееся в них топливо израсходо-
вано, они являются не только беспо-
лезным, но даже вредным грузом, по-
тому что затрудняют маневры и даль-
нейший разгон или торможение раке-
ты. Таким же вредным грузом являют-
ся и другие части и агрегаты ракеты,
которые становятся бесполезными по
мере выгорания топлива. Поэтому от
такого бесполезного груза целесооб-
разно как можно раньше освободиться.
Это можно осуществить с помощью
многоступенчатой ракеты, идея кото-
рой принадлежит К. Э. Циолковскому
(см. пример 37.1).
Если ракетные двигатели выбрасы-
вают массу не непрерывно, а порциями
с той же относительной скоростью,
то эффективность ракетного двигателя
ухудшается, т. е. при фиксированных
начальной и конечной массах ракеты
конечная скорость уменьшается при
увеличении массы отдельных выбрасы-
ваемых порций, причем имеется в виду,
что каждая из порций выбрасывается
мгновенно.
Характеристическая скорость. При
обсуждении различных вопросов, свя-
занных с космическими полетами,
удобно пользоваться понятием харак-
теристической скорости. Пусть необхо-
димо изменить скорость ракеты (уско-
рить, затормозить, изменить направле-
ние полета). В системе координат,
в которой ракета в данный момент по-
коится, дело сводится к сообщению
ракете некоторой скорости v в направ-
214 9. Динамика тел переменной массы
лении, обеспечивающем выполнение
маневра. Чтобы учесть расход горю-
чего в этом маневре при полете ракеты
вне поля тяготения, можно воспользо-
ваться формулой (37.126) с ^о=О,
где Мо является массой ракеты до
маневра. Скорость и, которую надо
сообщить ракете, называют характе-
ристической скоростью маневра. Мож-
но ввести понятие характеристической
скорости и для маневра, совершаемого
при наличии внешних сил (сил тяго-
тения, трения о воздух и т. д.). В этом
случае связь конечной и начальной
масс будет сложнее (37.126). Однако
можно по-прежнему ее представить в
виде (37.126) (при ао=О), считая эту
формулу определением характеристи-
ческой скорости для рассматриваемого
маневра. Для прикидочных оценок
можно в качестве грубого приближе-
ния характеристической скоростью счи-
тать характеристическую скорость ма-
невра в отсутствие внешних сил. Из
правила умножения экспоненциальных
множителей следует, что характеристи-
ческая скорость сложного маневра,
состоящего из последовательных ма-
невров, равна сумме характеристиче-
ских скоростей маневров, составляю-
щих сложный маневр. С помощью
понятия характеристической скорости
удобно характеризовать ряд важных
особенностей межпланетных полетов.
Для того чтобы тело могло поки-
нуть пределы земного притяжения, ему
необходимо сообщить скорость пример-
но 11,5 км/с (вторая космическая ско-
рость). В случае ракеты такое значе-
ние должна иметь скорость в формулах
Если в дне ведра с водой проделать отвер-
стие, то из него аниз вытекает струя воды
Можно ли назвать возникающую в результа-
те вытекания воды силу реактивной? А если
отверстие сделано в боковой стенке ведра?
От каких факторов зависит сила тяги ракет-
ного двигателя?
Что такое характеристическая скорость ко-
смического полета?
(37.12) (при ио=О) в предположении,
что топливо сгорело очень быстро и
скорость приобретена ракетой непосред-
ственно около поверхности Земли. По
формулам (37.12) можно вычислить,
какая часть первоначальной массы
ракеты полетит в космос. Если считать,
что скорость истечения газов и'
^4 км/с, то М^М0е~3жЛ4о/2О, т. е.
в космический полет отправится при-
близительно 5% первоначальной массы
ракеты. Фактически ракета разгоняет-
ся значительно медленнее, чем мы
допустили. Это еще больше ухудшает
ситуацию, так как увеличивает расход
топлива. Для уменьшения расхода
топлива при ускорении ракеты в поле
тяжести Земли необходимо сократить
время ускорения, т. е. максимально
увеличить ускорение. Это связано со
значительными перегрузками. Поэтому
приходится выбирать определенные
оптимальные условия.
При возвращении из космического
пространства можно воспользоваться
аэродинамическим торможением, т. е.
погасить скорость торможением в атмо-
сфере Земли. Но можно погасить ско-
рость и включением ракетного двига-
теля. В этом случае для мягкой посад-
ки потребуется уменьшить до нуля
скорость 11,5 км/с. Это есть характе-
ристическая скорость возвращения на
Землю. Поэтому характеристическая
скорость полета в космос вне пределов
земного тяготения и возвращения об-
ратно без использования аэродинами-
ческого тбрможения равна 23 км/с.
Спрашивается: какая доля первона-
чальной массы вернется из такого по-
лета? По формуле (37.126) находим
М^Мое-6^Мо/4ОО.
Скорость, необходимая для преодо-
ления притяжения Луны, равна при-
мерно 2,5 км/с. Поэтому характеристи-
ческая скорость посадки на Луну и
подъема с ее поверхности равна 5 км/с.
а полета на Луну и возвращения на
§ 37. Нерелятивистские ракеты 215
Землю оценивается примерно в 28 км/с.
Но здесь не учтена необходимость осу-
ществления других маневров. Это
заставляет несколько увеличить пос-
леднее значение. Но, с другой стороны,
при возвращении на Землю можно
воспользоваться аэродинамическим
торможением, что позволяет несколько
снизить эту величину. В результате
имеем, что характеристическая ско-
рость полета на Луну не очень сильно
отличается от указанной (28 км/с).
Характеристическая скорость полета
на Марс и Венеру несколько больше.
Если считать и' ^4 км/с, то на Землю
после полета на Луну будет возвраще-
на примерно Visoo стартовой массы
ракеты. Хотя эти значения являются
грубой прикидкой, они дают достаточ-
но хорошую оценку возможностей ра-
кет с химическим топливом.
Пример 37.1. Найти наиболее вы-
годные параметры двухступенчатой ра-
кеты, чтобы заданному полезному гру-
зу сообщить заданную скорость. В ка-
честве примера принять: масса полез-
ного груза 44 = 500 кг, заданная ко-
нечная скорость v=8 км/с, скорость
истечения газа и=2 км/с. Считать,
что по конструктивным требованиям
масса каждой ступени ракеты без го-
рючего составляет 10% от массы го-
рючего этой ступени.
Обозначим 441, М% массы горючего
в первой и второй ступенях ракеты.
Полный начальный вес ракеты то=
= 44+ 1,1 (441 + Л42). После выработки
горючего первой ступени вес оставшей-
ся части ракеты mi =44 +1,1442+
+ 0,1411 и скорость ракеты
ui = uln(mo/mi). (37.13)
Вторая ступень включается в работу
после сброса оставшегося от первой
ступени груза массой 0,1441, т. е. уско-
рение начинается прц массе ракеты
т2=44+ 1,1442 и после выработки
горючего второй ступени оканчивается
при массе т3 = 44 + 0,1442. В результа-
те достигается скорость
v2=vi + win (m2/m3) =
= uln [m0m2/(т}т3)]. (37.14)
Из (37.14) видно, что mom2/(mim3) =
= eV2/n=e4. Учитывая равенство
1Дт1=О,1то + т2, преобразуем пре-
дыдущее к виду
11т0т2/[(т0 + 10т2)т3]=е4.
Отсюда следует соотношение
т°Ст3 т2 ) Ш° +
“ mJL ) =1 Ое4. (37.15)
М+1,1М2у ' '
Масса т0 минимальна при максимуме
выражения в круглых скобках как
функции от 442. Условие . экстремума
для выражения в скобках дает ра-
венство
М+1.1Л12 2 (37.16)
ЛЦ-0,Ш2 v 7
Отсюда следует, что
М2=7И(е2—1)/(1,1-0,1е2) =8800 кг,
(37.17)
и поэтому то=209 400 кг, М\ =
= 181 000 кг.
38. Релятивистские ракеты
Выводится уравнение движения и обсуждается
возможность реализации релятивистских ракет.
Уравнение движения. При выводе
уравнения (37.4) было подчеркнуто,
что оно справедливо как при малых,
так и при больших скоростях. В реля-
тивистском случае массу М надо счи-
тать релятивистской, т. е.
44 = 44'/ /1 — v2/с\ (38.1)
где 44' — переменная масса покоя ра-
кеты. (Мы обозначили ее буквой со
штрихом, чтобы подчеркнуть, что это
216 9. Динамика тел переменной массы
масса в движущейся системе коорди-
нат, связанной с ракетой.) В процессе
движения масса покоя ракеты умень-
шается. С учетом сказанного уравне-
ние (37.4) в релятивистском случае
имеет вид
d / Af'v \ d ( М' \
dZ V y/X-v2/^/^ dZ \ /1-и2/? ) (38.2)
Нетрудно при необходимости учесть
также наличие внешних сил, действую-
щих на ракету. Преобразуем уравне-
ние (38.2) к виду (37.6). Для этого
продифференцируем левую часть по t
и один из полученных членов, пропор-
циональный v, перенесем в правую
часть. Тогда имеем
ЛГ dv , .
7r=57?^“(—v’x
(38.3)
Оно полностью аналогично уравне-
нию (37.6) с релятивистской массой
М=М'/ |/1 — и2/с2. Однако в (38.3)
разность и — v не является скоростью
истечения газов относительно ракеты,
потому что в релятивистском случае
для сложения скоростей надо пользо-
ваться формулой (17.6).
Зависимость конечной массы от
скорости. Для получения в релятивист-
ском случае формулы, аналогичной
формуле Циолковского, необходимо ре-
шить уравнение (38.3). Будем считать,
что ускорение происходит в положи-
тельном направлении оси X, тогда
уравнение (38.3) приобретает вид
М' du______
у/1 — и2/^2 dt
=(ux-v)^-(-7=£=). (38.4)
at х ух—v /(г
По формуле сложения скоростей (17.6)
для скорости выбрасываемых газов от-
носительно ракеты имеем
ux—v
1 — vux/с2
(38.5)
Далее учтем, что
d / ЛГ \ _ 1 dAT
dZ \ у/1 — v2/(? ' у/1 — v2/с2 dZ
j М' v du
С2 (1-у2/С2)3/2 dZ *
После подстановки (38.6) в правую
часть (38.4) и простых преобразований
получаем
М' (. vux \ du z ч AM'
(38.7)
Теперь, заменив величину их— v по
формуле (38.5) через скорость их, по-
лучим после сокращения на общий
множитель (1—vux/c2) релятивистское
уравнение движения в следующем
простом виде:
<38-8’
Примем во внимание, что для ускоре-
ния ракеты скорость выброса газов
должна быть направлена против ско-
рости движения ракеты, т. е. их=— и\
где и' — модуль этой скорости. Теперь
можно переписать (38.8) в аналогич-
ном уравнению (37.10) виде:
dAT 1 du
М' и' 1 — и2/с2
(38.9)
Пусть в начальный момент масса ра-
кеты была Л46, а скорость — и0- Как и
в (37.10), проинтегрируем левую и
правую части этого равенства в соот-
ветствующих пределах. Интеграл в
правой части по v с учетом того, что
1___= 1 1 .1 1
X—v2/c2 2 1—и/с"1" 2 14-и/с’
§ 38. Релятивистские ракеты 217
является элементарным. В результате
интегрирования получим
1пЛГ — 1пМ6= — 2-^,{1п(1+5-
-'”(-ЗЕ
1п-,1.+ °/с -
2и' ( 1 — v/c
__1п 1 +po/Q
l-Vo/сГ
Отсюда следует, что
In—= —— In О + уЛХ*—
М 2и' (l-u/cXl + ^o/с) ’
или
М'= ( (l+v/c\\-vo/c)\ ~CKW
M'o 1 (1—u/cXl+^o/c)J
(38.10)
Эта формула для релятивистского слу-
чая заменяет формулы (37.12) для
нерелятивистских ракет. Особенно про-
стой вид, пригодный для анализа, она
приобретает для ио = О, т. е. когда раз-
гон ракеты начинается из состояния
покоя:
(38.11)
В случае малых конечных скоро-
стей (v<^c) эта формула переходит
в (37.126) для нерелятивистского слу-
чая (при vo = O). В самом деле, пере-
пишем правую часть (38.11) при
и/с<С1 и.и'/с<^1 в виде
=е-0/“', (38.12)
где учтено, что
с + р _ t+v/c । I ! Д
C-V l-v/C~\ ' сД ' с/~ ”г с’
lim(l+l)" =е.
Предположим, что ракету надо ус-
корить до скорости с/2 с помощью
химического топлива, когда и'=4 км/с.
Какая доля первоначальной массы бу-
дет ускорена при этом? Учитывая, что
с=3-1(г км/с, из формулы (38.11)
получаем
\ O/Z /
«Л16/102-104 (38.13)
Представить себе число ю20000 невоз-
можно. Поэтому об ускорении ракет
до релятивистских скоростей на хими-
ческом топливе не может быть и речи.
Однако и с другими видами топли-
ва дело обстоит ненамного лучше. Для
ядерных ракет, использующих энергию
деления, и' ж 104 км/с. В этом случае
вместо (38.13) находим
лг=м/з3’№ ,04)« Л46/315 «
«М/106, (38.14)
т. е. окончательной скорости с/2 дос-
тигнет лишь примерно 10-6 стар-
товой массы ракеты.
Поэтому более или менее обнаде-
живающих результатов в достижении
релятивистских скоростей можно ожи-
дать только в том случае, если и' близ-
ко к скорости света. Это приводит к
идее создания реактивной тяги излуче-
нием фотонов. Такие, в настоящее вре-
мя лишь теоретически мыслимые, раке-
ты называются фотонными.
Фотонные ракеты. Для фотонных
ракет и'=с и, следовательно, уравне-
ние (38.11) принимает вид
м-м'У^Уп- <з8л5>
Как видно из этой формулы, до ско-
рости с/2 было бы возможно ускорить
массу M'=Mq/ /Т, т. е. больше, чем
половину стартовой массы. Таким об-
разом, эти ракеты были бы весьма эф-
фективными. Пусть v отличается от
скорости света на очень маленькую
218 9. Динамика тел переменной массы
величину, например на 10 4, т. е. v/c «
1 —10-4. Тогда из (38.15) получаем
10-7/2", (38.16)
т. е. вполне приемлемый результат.
Однако фотонные ракеты в настоящее
время с технической точки зрения яв-
ляются лишь фантазией. Впрочем, это
не означает, что сама по себе «реак-
тивная сила излучения» не имеет зна-
чения. Наоборот, она играет очень
большую роль в природе, например в
ряде астрофизических явлений.
Задачи
9.1. Капля дождя начинает в момент /=0 падать в воздухе, содержащем покоящиеся пары воды.
Во время падения из-за конденсации пара на капле масса последней возрастает по закону
т = /по + а/. На движущуюся каплю действует сила трения FTp=—mkv. Найти скорость v(/)
капли.
9.2. Два экипажа с пассажирами общей массой М каждый движутся по горизонтальной поверх-
ности без трения с начальной скоростью vo. Сверху вертикально падает снег. Масса снега,
падающего на экипаж в секунду, равна а. В одном экипаже снег после попадания в него оста-
ется там лежать. В другом экипаже пассажиры немедленно сбрасывают попавший в экипаж
снег в направлении, перпендикулярном скорости движения. Какой путь будет пройден экипа-
жем за время /?
Ответы
9.1. g/k — gla — m«k)e *']/l>2Oo+а/)] 9.2. ~ |п (—^—)i -^-(1 — е
39. Характеристика процессов
столкновения
<2
Обсуждается метод анализа процессов
столкновения с помощью законов
сохранения.
Определение понятия столкновения.
Наиболее общим явлением, наблюдае-
мым в природе, является взаимодейст-
вие материальных тел. Бильярдные
шары, сближаясь, в момент соприкос-
новения взаимодействуют друг с дру-
гом. В результате этого меняются ско-
рости шаров, их кинетические энер-
гии и в общем случае также их внут-
реннее состояние, например температу-
ра. О таком взаимодействии шаров го-
ворят как об их столкновении.
Но понятие столкновения относится
не только к взаимодействиям, осущест-
вляемым посредством соприкосновения
материальных тел. Комета, прилетев-
шая из отдаленных областей простран-
ства и прошедшая в окрестности Солн-
ца, меняет свою скорость и снова
удаляется в отдаленные области про-
странства. Этот процесс также являет-
ся столкновением, хотя непосредствен-
ного соприкосновения между кометой
и Солнцем не произошло, а осуществ-
лено оно было посредством сил тяготе-
ния. Характерная особенность этого
взаимодействия, дающая нам возмож-
ность рассматривать его как столкно-
вение, заключается в том, что область
пространства, в котором оно произо-
шло, относительно мала. Заметное
изменение скорости кометы происходит
в области вблизи Солнца. Эта область
велика с точки зрения земных- масшта-
бов, но мала с точки зрения астроно-
мических масштабов, в частности в
сравнении с теми расстояниями до от-
даленных областей, из которых, воз-
можно, пришла комета. Поэтому про-
цесс столкновения кометы с Солнцем
выглядит так: в течение длительного
времени, когда комета прошла громад-
ное расстояние, она двигалась почти
без взаимодействия с Солнцем; затем
10
СТОЛКНОВЕНИЯ
I лавный интерес при
рассмотрении столкновения заключает-
ся в знании не самого процесса столк-
новения, а его результата. Задача тео-
рии заключается в установлении связи
характеристик состояния частиц до
столкновения с характеристиками после
столкновения без ответа на вопрос,
как эта связь осуществляется. Законы
сохранения процессами столкновения
не управляют, а лишь соблюдаются при
их осуществлении.
39
Характеристика процессов столкновения
40
Упругие столкновения
41
Неупругие столкновения
42
Реакции между субатомными частицами
220 10. Столкновения
в небольшой области в окрестности
Солнца, измеряемой лишь сотнями
миллионов километров, происходит
взаимодействие кометы с Солнцем,
в результате которого скорость и не-
которые другие характеристики кометы
меняются, и после этого комета снова
удаляется в отдаленные области, дви-
гаясь практически без всякого взаимо-
действия с Солнцем.
В качестве еще одного примера
можно рассмотреть столкновение про-
тона с ядром. При большом расстоя-
нии между ними они оба движутся
практически без взаимодействия, рав-
номерно и прямолинейно. При доста-
точно малых расстояниях кулоновские
силы отталкивания становятся доста-
точно большими, в результате чего
скорости протона и ядра изменяются.
Может произойти испускание квантов
электромагнитного излучения, а если
их энергия достаточно велика, то —
образование других частиц, например
мезонов, или распад ядра. Поэтому в
результате этого взаимодействия, кото-
рое также происходит в сравнительно
небольшой области пространства, в
простейшем случае протон и ядро бу-
дут двигаться с другими, чем до столк-
новения, скоростями и энергиями,
появится несколько квантов электро-
магнитного излучения и, вообще го-
воря, породятся некоторые другие
частицы.
Jfif Вопрос о том, что происходит в области
столкновения частиц, нас не интересует.
Нам важно лишь знать, какая существует
связь характеристик сталкивающихся частиц
до и после столкновения.
Знаете ли Вы общее определение столкно-
вения? Что общего в столкновении элемен-
тарных частиц, бильярдных шаров и про-
хождении кометы вблизи Солнца?
Что понимается под состояниями до и после
столкновения?
Что такое удар?
Дайте определение упругого и неупругого
столкновения.
Приведенные примеры позволяют
дать следующее определение: столкно-
вением называется взаимодействие
двух или большего числа материаль-
ных тел, частиц и т. д., которое проис-
ходит в относительно малой области
пространства в течение относительно
малого промежутка времени, так что
вне этой области пространства и/ вне
этого промежутка времени можно го-
ворить о начальных состояниях тел,
частиц ит.д.и об их конечных состоя-
ниях после взаимодействия как состоя-
ниях, в которых эти частицы, тела
и т. д. не взаимодействуют.
Столкновение материальных тел
часто называется ударом. Удар опре-
деляется как процесс, при котором из-
меняются импульсы соударяющихся
тел без изменения их координат. Это
частный случай столкновения. В под-
ходящих случаях этот термин можно
использовать вместо слова «столкно-
вение».
В механике тела и частицы, участ-
вующие- в столкновении, характери-
зуются импульсами, моментами им-
пульса и энергиями, а сам процесс
сводится к изменению этих величин.
Можно сказать, что частицы обмени-
ваются энергией и импульсом. Если в
результате взаимодействия образова-
лись новые частицы и исчезли некото-
рые из частиц, существовавших до
столкновения, то произошла замена
носителей энергии и импульса.
Изображение процессов столкнове-
ний с помощью диаграмм. Общепри-
нято в настоящее время процессы
столкновения представлять в виде
диаграмм. Частицы или тела, участ-
вующие в столкновении, изображаются
векторами их импульсов. Векторы им-
пульсов частиц до и после столкнове-
ния направлены соответственно в сим-
волическое изображение области
столкновения и из неё. Возможно, оче-
видно, громадное разнообразие про-
§ 39. Характеристика процессов столкновения 221
цессов столкновений. На рис. 107
показаны наиболее характерные.
Рис. 107, а соответствует случаю столк-
новения двух частиц а и б с импульса-
ми ра и рб. После взаимодействия оста-
лись те же частицы, но их импульсы
естественно изменились на и р£.
Однако в результате столкновения вме-
сто частиц а и б могли образоваться
две другие частицы виг (рис. 107, б)
либо, например, одна частица д
(рис. 107, в). Может случиться, что
под влиянием некоторых процессов
внутри частицы она распадется на
две другие частицы: бив (рис. 107, г).
Нет необходимости приводить все мыс-
лимые диаграммы столкновений. Ука-
жем лишь на возможность принци-
пиально отличного от всех предыду-
щих процесса, в котором возникает
промежуточное состояние (рис. 107,6).
В этом случае процесс столкновения
состоит из двух стадий: сначала части-
цы а и б образуют частицу в, так
называемую промежуточную, а затем
она распадается на частицы гид,
которые в общем случае могут быть
идентичными частицам а и б, но могут
быть и другими. Таким образом, окон-
чательный результат этого процесса
эквивалентен столкновениям, изобра-
женным на диаграммах рис. 107, а, б.
Однако наличие промежуточного со-
стояния, вообще говоря, оказывает
влияние на ход процесса.
Законы сохранения при столкнове-
ниях. Процессы столкновения являют-
ся чрезвычайно сложными. Рассмот-
рим, например, простейший случай
столкновения двух бильярдных шаров
(рис. 107, а). В момент соприкоснове-
ния шаров происходит деформация.
В результате часть кинетической энер-
гии переходит в потенциальную энер-
гию деформации (мы говорим о пере-
ходе части кинетической энергии, пото-
му что имеется в виду не обязательно
лобовой удар шаров). Затем энергия
107
Диаграмма различных процессов столкновения
упругой деформации снова превраща-
ется в кинетическую, однако не пол-
ностью — часть энергии превращается
во внутреннюю, шары при этом нагре-
ваются. Далее необходимо принять во
внимание, что поверхности шаров не
являются абсолютно гладкими и меж-
ду ними возникают силы трения. Эти
силы, с одной стороны, также приво-
222 1 0. Столкновения
дят к превращению части энергии во
внутреннюю, а с другой — вызывают
определенное изменение во вращении
шаров. Таким образом, даже в про-
стейшем случае картина столкновения
оказывается чрезвычайно сложной.
Однако главный интерес при рас-
смотрении столкновения заключается в
знании не самого процесса, а резуль-
тата. Ситуация до столкновения назы-
вается начальным состоянием, а пос-
ле — конечным. Между величинами,
характеризующими начальное и конеч-
ное состояния, соблюдаются опреде-
тенные соотношения, независимые от
детального характера взаимодействия.
Наличие этих соотношений обус-
ловливается тем, что совокупность ча-
стиц, участвующих в столкновении,
составляет изолированную систему,
для которой справедливы законы со-
хранения энергии, импульса и момента
импульса (см. гл. 6). Следовательно,
соотношения между величинами, ха-
рактеризующими начальное и конечное
состояния частицы, выражаются зако-
нами сохранения энергии, импульса и
момента импульса при столкновении.
Законы сохранения сами по себе не
дают возможности определить что про-
изойдет при столкновении. Но если
известно, что произойдет, они значи-
тельно облегчают анализ того, как это
произойдет.
Закон сохранения импульса. Им-
пульсы различных частиц до столкно-
вения обозначим через pz (/=1,
2, ..., п), а после — через Р/ (/ =
= 1, 2, ..., k). Поскольку импульс
замкнутой системы сохраняется, мо-
жем написать:
(39.1)
Ясно, что как число частиц, так и сорт
частиц до и после столкновения могут
быть различными. Этот закон справед-
лив в релятивистском и нерелятивист-
ском случаях.
Закон сохранения энергии. Приме-
нение этого закона более сложно, чем
закона сохранения импульса. Дело в
том, что закон сохранения энергии был
сформулирован (см. гл.^6) лишь при-
менительно к формам энергии, рас-
сматриваемым в механике. Поэтому в
нерелятивистском случае надо учесть
лишь кинетическую и потенциальную
энергию, а в релятивистском случае —
также и энергию покоя. Однако имеют-
ся и другие формы энергии, которые
надо принять во внимание. Например,
при столкновении бильярдных шаров,
строго говоря, происходит их неболь-
шое нагревание. Поэтому сумма кине-
тических энергий шаров до и после
столкновения не одна и та же, т. е. ки-
нетическая энергия при столкновении
не сохраняется. Часть ее превращается
во внутреннюю, связанную с теплом и
локализованную внутри шара. Имеют-
ся и другие виды внутренней энергии.
Взаимная потенциальная энергия ча-
стиц, составляющих шар, их энергия
покоя также относится к внутренней
энергии. Поэтому, чтобы применить
закон сохранения энергии, надо учесть
внутреннюю энергию материальных тел
или частиц, участвующих в столкнове-
нии. Однако потенциальную энергию
взаимодействия между сталкивающи-
мися частицами учитывать не надо,
потому что и в начальном, и в конеч-
ном состоянии они считаются невзаи-
модействующими. Обозначив внутрен-
нюю энергию частиц как £вн, а кине-
тическую энергию поступательного
движения тела как £к, закон сохране-
ния энергии при столкновении можем
записать в виде -
1 (£8Щ, + £ки)= 2 (£;н /+£; д
- 1 /=1
(39.2)
§ 39. Характеристика процессов столкновения 223
Заметим, что кинетическую энергию
вращательного движения удобнее от-
носить к внутренней энергии.
В релятивистском случае вид урав-
нений (39.2) значительно проще. Дело
в том, что релятивистская полная
энергия тела, выражаемая формулой
(26.10), включает в себя как кинети-
ческую энергию, так и энергию покоя,
в которую входят все формы внутрен-
ней энергии. Например, если при
столкновении бильярдный шар нагре-
ется, то это приведет к увеличению
массы покоя и будет автоматически
учтено соответствующим изменением
его полной энергии. Поэтому в реляти-
вистском случае уравнение (39.2) за-
писывается так:
п k
s Ei= 2 E'h (39.3а)
z=i /=1
где
Ei=moiC2/ /1 — vf/c^
(39.36)
— полная энергия f-й частицы, масса
покоя которой moi. С учетом (39.36)
равенство (39.3а) представим в виде
П k ,
"VI АПо/ ______ yi
Т=1 /1—U-/C2 j=\ |/1—у'2/(-’
(39.4)
Закон сохранения момента импуль-
са. При применении закона сохране-
ния момента импульса надо учитывать,
что тела и частицы могут обладать
внутренним моментом импульса. У тел
он обусловлен вращением. Микроча-
стицы также имеют внутренний момент
импульса, называемый спином. На-
пример, спином обладают электрон,
протон и многие другие элементарные
частицы. Объяснить наличие спина
вращением элементарных частиц нель-
зя, как это было уже рассмотрено
раньше. При столкновениях он дол-
жен быть учтен как внутренний момент
импульса частицы. Поэтому, если через
Lz обозначить моменты импульса ча-
стиц, участвующих в столкновении,
а через LBH, , — их внутренние моменты,
закон сохранения импульса при столк-
новении можно представить следую-
.щим образом:
п k
У (L, + LBH.)= 2(L<+EBH.,).
:=\ i=\
(39.5)
Упругйе и неупругие столкновения.
Процессы столкновения делятся на
упругие и неупругие в соответствии с
характером изменения внутренней энер-
гии частиц при их взаимодействии.
Если внутренняя энергия частиц при
этом изменяется, то столкновение на-
зывается неупругим, если не изменяет-
ся, то столкновение упругое. Напри-
мер, столкновение бильярдных шаров,
в результате которого они несколько
нагреваются, является неупругим, по-
скольку изменилась внутренняя энер-
гия. Однако если бильярдный шар
сделан из достаточно подходящего
материала (например, слоновой ко-
сти), то его нагревание незначительно,
а изменение вращательного движения
пренебрежимо мало. В этом предполо-
жении удар бильярдных шаров можно
рассматривать как упругое столкнове-
ние. Иногда говорят об абсолютно
упругом столкновении, чтобы подчерк-
нуть, что внутренняя энергия сталки-
вающихся частиц абсолютно точно
неизменна. Говорят также об абсолют-
но неупругом столкновении, если в ко-
нечном состоянии вся энергия превра-
тилась во внутреннюю. Например,
лобовой удар двух шаров из мягкого
материала одинаковой массы, которые
после удара сливаются в одно покоя-
щееся тело, является абсолютно неуп-
ругим столкновением.
224 10. Столкновения
Система центра масс. Рассмотрение
столкновений значительно упрощается,
если его приводить в системе центра
масс (см. §21). В этой системе законы
сохранения энергии и момента импуль-
са имеют такой же вид, как (39.3) и
(39.5), а закон сохранения импульса
(39.1), поскольку, по определению,
сумма импульсов частиц в системе
центра масс равна нулю, записывает-
ся в более простом виде:
п k
£р<= 2р/=о. (39.6)
/=1 /=1
40. Упругие столкновения
Дается характеристика упругих столкновений
и рассматриваются примеры.
Столкновения двух частиц в нереляти-
вистском случае. Выберем систему
координат так, чтобы одна из частиц,
например вторая, до столкновения по-
коилась, т. е. р2=0. Тогда законы со-
хранения энергии и импульса запишут-
ся следующим образом:
Р? __ Р\2 । Р22
2mi. 2/П1 ’ 2т2 ’
(40.1)
Pl =Р1 + Р2,
(40.2)
где кинетическая энергия выражена
через импульс [mu2/2=p2/(2m)] и
При каком условии угол разлета между
частицами после упругого столкновения за-
ключен в пределах от 0 до л/2?
Когда падающая на мишень частица в резуль-
тате упругого столкновения не может откло-
ниться на любой угол и когда может?
Какими факторами определяется величина
переданной при упругом столкновении энер-
гии от движущейся частицы к мишени?
При каком условии замедление быстродви-
жущихся частиц при упругих столкновениях
является наиболее эффективным?
Какие столкновения в комптон-эффекте не
приводят практически к изменению частоты
у-квантов?
учтено, что при упругом столкновении
внутренняя энергия не изменяется.
Подставив значение pl=pi—р2 из
(40.2) в уравнение (40.1), находим
Р1 • p2=p22(mi + m2) / (2т2). (40.3)
Обозначим угол между pi и рг через 0.
Тогда pi • p2=piP2COS0 и из уравнения
(40.3) получим выражение для
которое полностью решает рассматри-
ваемую задачу:
Р2=2 [т2/ (mi Ц- m2)] picosO. (40.4)
Теперь можно осуществить • простое
геометрическое построение, позволяю-
щее описать результат столкновения.
Проведем из некоторой точки О вектор
pi, изображающий импульс налетаю-
щей частицы (рис. 108). Затем пост-
роим окружность радиусом 2[m2/(mi +
-)-m2)]pi с центром, лежащим на пря-
мой, совпадающей с вектором pi таким
образом, чтобы окружность проходила
через точку О. Поскольку угол вписан-
ного в окружность треугольника, опи-
рающегося на диаметр, равен л/2, все
отрезки, проведенные из О к точкам
окружности, удовлетворяют уравнению
(40.4). Следовательно, эти отрезки
дают импульс после столкновения той
частицы, которая до столкновения по-
коилась. Из закона сохранения им-
пульса (40.2) сразу следует, что им-
пульс налетающей частицы после
столкновения может быть найден с
помощью построения, указанного на
рис. 108. Угол между импульсами пер-
вой и второй частиц после столкнове-
ния равна а. Угол р является угло*м
отклонения налетающей частицы от
направления движения до столкнове-
ния. Нетрудно чисто геометрически
найти также величину pf. Таким обра-
зом, все величины, характеризующие
столкновение, полностью определены.
На рис. 108 изображен случай, когда
2m2/(mi+ т2) <С1, т. е. когда масса
§ 40. Упругие столкновения 225
налетающей частицы больше массы
покоящейся (т\>т2) частицы, назы-
ваемой мишенью. Из рис. 108 непо-
средственно видно, что угол разлета а
между частицами после столкновения
изменяется от л/2 до 0. Максималь-
ное значение импульса р\ будет тогда,
когда мишень после столкновения дви-
жется почти перпендикулярно скорости
налетающей частицы. Отметим, что
налетающая частица не может изме-
нить направление своего движения на
произвольный угол. Существует макси-
мальный угол Ртах. ОТКЛОНИТЬСЯ боЛЬ-
ше чем на этот угол частица не может.
Он получается на рис. 108 в том слу-
чае, когда линия р! касается окруж-
ности.
На рис. 109 выполнено геометриче-
ское построение, описывающее столк-
новение, когда масса мишени больше
массы падающей частицы
Угол разлета частиц после столкнове-
ния, как это непосредственно видно на
рисунке, изменяется в пределах л/2<
<а<л. Угол р отклонения падающей
частицы от первоначального направле-
ния изменяется от 0 до л , т. е. частица
может отклониться незначительно, а
может изменить направление своего
движения на обратное.
В каждом из рассматриваемых
случаев все характеристики столкнове-
ния определяются по углу 0. Но каково
его значение в некотором конкретном
столновении? На этот вопрос законы
сохранения ответить не могут. Все за-
висит от условий столкновения и осо-
бенностей взаимодействия. Поэтому
законы сохранения не дают сами по
себе полного решения задачи о столк-
новении, но позволяют проанализи-
ровать его основные особенности.
Лобовое столкновение. На рис. 108
и 109 видно, что покоящаяся частица
получает в результате столкновения
максимальный импульс в том случае,
когда 0=0. В этом случае столкнове-
108
Графическое решение задачи на столкновение
двух частиц при т\>т2
109
Графическое решение задачи на столкновение
двух частиц при mi<m2
ние называется лобовым или централь-
ным ударом. Оно происходит, напри-
мер, при движении бильярдных шаров
навстречу друг другу вдоль линии, сое-
диняющей их центры (эта линия не
должна изменять свою ориентировку в
пространстве в инерциальной системе
координат).
8—853
226 1 0. Столкновения
Из (40.4) в этом случае сразу сле-
дует, что
P2=[2zn2/(mi + m2)]p i. (40.5)
Кинетическая энергия второй частицы
после удара Ек2=р22/(2т2) выражается
через кинетическую энергию первой
частицы до удара EKi=pi/(2mi) фор-
мулой
Ек2=[4т I m2/(m i+m2)2] EKi, (40.6)
как это непосредственно следует из
(40.5). Отсюда видно, что максималь-
ная передача энергии происходит при
равенстве масс частиц (mi=m2). В этом
случае
£k2 = Eki, (40.7)
т. е. вся энергия от первой частицы
передается второй. Первая частица
при этом останавливается. Это видно
как из закона сохранения энергии
(40.7), так и из уравнения (40.5), при-
нимающего вид р2=р 1, и в комбинации
с законом сохранения импульса (40.2),
приводящего к равенству р(=0.
При значительном различии масс
сталкивающихся частиц передаваемая
энергия очень мала. Из (40.6) сле-
дует:
Ек2^4(m2/mi)EKi при mi^m2, (40.8а)
Ек2~ 4(/И1/т2)ЕК1. при m2^mi, (40.86)
т. е. в обоих случаях Екг^Екь Однако
передача импульса не является малой.
Из (40.5) видно, что, если масса па-
дающей частицы много меньше массы
покоящейся (mi^m2), покоящаяся ча-
стица после столкновения имеет им-
пульс, много меньший импульса пада-
ющей частицы [p2^(2m2/mi)p2], одна-
ко скорость ее при этом не будет силь-
но отличаться от скорости падающей
частицы. Учитывая, что p2=m2v2 и
p1=miVi, для скоростей находим
v2=2vi. (40.9)
В случае т^тх передача импуль-
са от первой частицы ко второй значи-
тельна (p2»2pi). Однако, хотя им-
пульс второй частицы в два раза боль-
ше, чемхимпульс первой, ее скорость
очень мала в сравнении со скоростью
первой частицы [v2^(2mi/m2)v]. На-
правление скорости первой частицы в
результате столкновения меняется на
обратное, а по модулю существенно не
изменяется.
Замедление нейтронов. Особенности
упругого удара имеют многие важные
применения. Рассмотрим в качестве
примера замедление нейтронов. При
делении ядер урана на две части
выделяется большая энергия в виде
кинетической энергии осколков деле-
ния. Одновременно при делении обра-
зуется от двух до трех нейтронов
(в среднем 2,3 нейтрона). Само деле-
ние ядра урана происходит под дейст-
вием нейтронов. При столкновении яд-
ра урана с нейтроном в большинстве
случаев происходит упругое столкнове-
ние, но иногда оно завершается за-
хватом, в результате которого ядро
урана делится. Вероятность этого за-
хвата очень мала и увеличивается с
уменьшением энергии нейтрона. Поэто-
му, чтобы обеспечить достаточно ин-
тенсивную цепную реакцию, т. е. чтобы
выделяющиеся при делении ядра урана
нейтроны вызывали достаточно интен-
сивное деление других его ядер, необ-
ходимо уменьшить кинетическую энер-
гию нейтронов. При каждом упругом
лобовом столкновении нейтронов с
ядрами урана в соответствии с форму-
лами (40.8) от нейтрона к ядру пере-
дается лишь часть (примерно 4/238)
его энергии. Это очень маленькая пе-
редача, и нейтроны замедляются чрез-
вычайно медленно. Чтобы ускорить за-
медление, в зону атомного реактора,
в которой происходит деление ядер,
вводится специальное вещество — за-
медлитель. Ясно, что ядра замедлите-
§40. Упругие столкновения 227
ля должны быть достаточно легкими.
В качестве замедлителя-употребляется,
например, графит.,Ядро углерода, вхо-
дящего в графит, примерно лишь в
12 раз массивнее нейтрона. Поэтому
при каждохм лобовом столкновении
нейтрона с ядром графита последнему
передается примерно 4/12= 1/з энергии
нейтрона и процесс замедления идет
очень быстро.
Комптон-эффект. Рассмотрим ана-
логично столкновение двух частиц,
обладающих релятивистскими скоро-
стями. Если одну из частиц считать
до столкновения покоящейся, а дру-
гую — движущейся с релятивистской
скоростью, то вид закона сохранения
импульса (39.1) не изменится, а вместо
закона сохранения энергии (39.2) не-
обходимо написать закон сохранения
полной энергии в виде
/1 — Ц\/с2
„ „2 т»\с2
ГП02С —------~
/1 — v'?/с2
I тп2с2
/1 — У22'/(?
(40.10)
Мы не будем анализировать осо-
бенности решения этих уравнений в
общем,случае, поскольку это довольно
громоздко. Вместо этого рассмотрим
один конкретный процесс, который
сыграл большую роль в физике, —
эффект Комптона. Все материальные
частицы обладают как волновыми, так
и корпускулярными свойствами. Это
означает, что в одних обстоятельствах
частица ведет себя как волна, а в дру-
гих — как корпускула. Такими же
свойствами обладает свет. Корпуску-
лярные свойства света выражаются
в том, что в определенных условиях
излучение ведет себя как совокупность
частиц — фотонов. Фотон несет с
собой энергию Еф и импульс р, кото-
рые связаны с частотой света со и дли-
ной волны X следующими формулами:
Р=Йк, Еф=/?со, (40.11)
8*
ПО
К объяснению эф-
фекта Комптона
где |к| = 2л/Х, а Тг= 1,05-10~34 Дж-с—
постоянная Планка. Корпускулярные
свойства проявляются тем отчетливее,
чем меньше длина волны. Фотоны,
соответствующие длинам волн порядка
0,1 нм, называются у-квантами. Кор-
пускулярные свойства у-квантов выра-
жены очень ярко. При столкновении
с электронами они ведут себя подобно
частицам, энергия и импульс которых
даются формулами (40.11).
Рассмотрим столкновение между
покоящимся электроном и у-квантом
(рис. 110). Падающий квант до столк-
новения имеет импульс pi =Як и энер-
гию Еф1=Да), после столкновения с
электроном, двигаясь под углом р, —
импульс pi=ftk' и энергию Е$<2=Тш'.
Энергия и импульс электрона после
столкновения равны Е2==тс2 и р2=
=mv, до столкновения его энергия
равна энергии покоя Е2=^оС2, а им-
пульс р2=0. Запишем законы сохра-
нения энергии (40.10) и импульса
(39.1) с учетом соотношений (40.11):
тос2+й(о=тс2+/ко/, 19ч
nk=nk/+mv. (4U.12)
Перепишем эти равенства в виде
mc2=h((f)—coQ+mof2, mv=h(k—k')
и возведем в квадрат:
т2с4=Й2((о2+<о'2—2ww/)+m^4+
Д-2 Д/л о с “(со—со/),
m2v2=h2(k2-\-k'2—2kk'cos Р).
Принимая во внимание, что k=2n/X=
=ы/с, где X — длина волны, умножим
228 1 0. Столкновения
второе равенство на с и, вычитая его
почленно из первого, получаем
m2c4(l — о2/с2)=т2с4—2Д2шш'(1 —
—cos p)+2^m0c2(w—(o'). (40.13)
Учитывая, что
m = то/ /1 —и2/с2,
1— cos£=2sin2 (Р/2),
из (40.13) находим
Длина волны связана с частотой соот-
ношением с/со=%/(2эт). Поэтому фор-
мула (40.14) окончательно принимает
вид
дх=г—X=2Asin2(p/2), (40.15)
где Л=2л7г/(тос)=2,42-10~10 см на-
зывается комптоновской длиной волны
электрона. Таким образом получилось,
что, если у-квант сталкивается со сво-
бодным электроном и при этом откло-
няется на угол р, его импульс изме-
няется в соответствии с законами упру-
гого удара, причем это уменьшение
импульса приводит к увеличению дли-
ны волны, которая дается форму-
лой (40.15). Изменение длины волны
у-квантов можно непосредственно из-
мерять. Наблюдения Комптона полно-
стью подтвердили формулу (40.15).
Тем самым были экспериментально
подтверждены и те исходные положе-
ния, на которых базировался вывод
(40.15), в частности формулы (40.11).
Конечно, столкновения у-квантов
возможны не только со свободными
электронами, находящимися вне ато-
мов, но и с электронами, входящими
в атомы. Результат столкновения за-
висит от того, насколько сильно соот-
ветствующий электрон связан с ато-
мом. Для внешних электронов, кото-
рые находятся далеко от ядра атома
и для которых сила притяжения ядра
экранируется электрическими заря-
дами электронов, более близких к яд-
ру, эта сила связи очень слаба. Поэто-
му при столкновении у-кванта с внеш-
ними электронами все происходит так,
как будто электрон не связан с атомом,
т. е. является свободным. В результате
столкновения электрон отрывается от
атома, а фотон рассеивается в соот-
ветствии с формулой (40.15). По-дру-
гому обстоит дело, когда у-квант уда-
ряется о внутренние электроны атома,
которые находятся на небольшом рас-
стоянии от ядра и связь которых с
ядром весьма сильна. При этом элект-
рон не может быть оторван от атома.
Столкновение практически происходит
не с электроном, а со всем атомом
в целом. Законы сохранения (40.12)
остаются, конечно, справедливыми, но
только под то и т надо понимать не
массу электрона, а массу всего атома,
т. е. массу, во многие тысячи раз боль-
шую. Для изменения длины волны
у-кванта также получается формула
(40.15), но т0 в ней является массой
покоя атома. Отсюда следует, что
практически ЛХ=0, т. е. у-квант при
столкновении не изменяет своего им-
пульса, как это и должно быть при
столкновении с очень большой массой.
Поэтому в опытах Комптона под лю
бым углом наблюдаются как у-кванты
длины волн которых равны длинах!
волн падающих у-квантов, так и
у-кванты, длина волны которых увели
чилась в соответствии с формулой
(40.15).
41. Неупругие столкновения
Дается характеристика неупругих столкнове-
ний и рассматриваются примеры.
Общая характеристика неупругих
столкновений. Их основной особенно-
стью является изменение внутренней
энергии частиц или тел, участвующих
§41. Неупругие столкновения 229
в столкновении. Это означает, что при
неупругих столкновениях происходит
превращение кинетической энергии во
внутреннюю или наоборот, а также
внутренней энергии одной частицы во
внутреннюю энергию другой. Частица
или тело, внутренняя энергия которого
изменилась, а следовательно измени-
лось и внутреннее состояние, стано-
вится уже другим телом или частицей
или тем же телом или частицей, но
в другом энергетическом состоянии.
Поэтому при неупругих столкновениях
происходит взаимопревращение час-
тиц. Если, например, квант света по-
глощается атомом, то не только исче-
зает квант, но и атом переходит в дру-
гое энергетическое состояние. Много-
численные ядерные реакции являются
такими неупругими процессами.
Неупругие столкновения двух час-
тиц. При этом часть кинетической
энергии частиц должна превратиться
во внутреннюю или наоборот. Конечно,
законы сохранения энергии и импульса
в этом случае также справедливы. Но
они не могут ничего сказать о том,
какая часть кинетической энергии
испытывает превращение во внутрен-
нюю или наоборот. Это зависит от
особенностей столкновения Оно может
быть почти упругим, когда лишь не-
большая часть энергии участвует в
указанном превращении, или почти
абсолютно неупругим, когда практи-
чески вся кинетическая энергия пре-
вращается во внутреннюю. Представим
себе, что мы можем менять упругие
свойства покоящегося тела от абсо-
лютно упругого состояния до абсолют-
но неупругого, когда налетающее на
него тело просто слипается с ним.
Тогда мы можем проследить столкно-
вения при всех степенях «неупруго-
сти». Рассмотрим абсолютно неупругий
удар. В этом случае в результате
столкновения оба тела сливаются и
движутся как одно тело. Считая, что
второе тело массой до столкно-
вения покоилось, можно написать сле-
дующие законы сохранения:
Евн1 + Евн2+Ек1 = Евн(1+2) +
+ Ек(1+2> (41.1)
Р1=Ра+2), (41.2)
где Евн1 и Евн2 — внутренняя энергия
первого и второго тел до столкновения,
ЕК1 — кинетическая энергия движу-
щегося тела, pi — его импульс, Евн(ц-2>
Ек(1+2) и р(1+2) — внутренняя энергия,
кинетическая энергия и импульс тела,
получившегося после столкновения в
результате слияния.
Если не учитывать соотношения
между массой и энергией, то уравне-
ние (41.2) дает возможность найти
скорость тела, получившегося в ре-
зультате слияния:
т 1 v j = (m! + m2)v2, (41.3)
откуда
V2 = [mi/(mi + m2)]vi. (41.4)
С помощью этих формул можно также
вычислить кинетическую энергию АЕК,
которая превратилась во внутреннюю:
АЕк
2
mivi m2)v2
________ р
т{ + т2 Гк1’
(41-5)
Если масса покоящегося тела очень
велика (m2^>mi), то АЕк^Ек1, т. е.
почти вся кинетическая энергия пре-
вращается во внутреннюю. В этом слу-
чае образовавшееся в результате слия-
ния тело практически покоится. Если
же масса покоящегося тела очень
мала (m2<mi), то АЕК~О, т. е. не
происходит заметного превращения ки-
нетической энергии во внутреннюю.
Образовавшееся в результате слияния
те то движется практически с той же
скоростью, с какой двигалось первое
тело до столкновения.
230 10. Столкновения
Поглощение фотона. Поглощение
фотона атомом является типичным
неупругим столкновением, которое опи-
сывается диаграммой вида рис. 98, в.
До поглощения имеются атом и фотон,
после — только атом. Считая, что до
поглощения атом покоится, применим
законы сохранения энергии и импульса
к этому процессу с учетом соотноше-
ний (40.11) для фотона:
MqC2 + h(d=M'c2, (41.6а)
h(d/c=M'v'. (41.66)
Из (41.6а) получаем массу атома пос-
ле поглощения фотона:
Л4'=ЛТо+^со/с2,
а из (41.66) с учетом последнего ра-
венства — скорость атома:
v' — ch(d/(М оС2-|-Й(о). (41.7)
Считая, что энергия фотона много
меньше энергии покоя атома (Йо)<С
<CAfoC2), эту формулу можно предста-
вить в более удобном виде:
V ~ С MqC2 \ М0С2 )~ С MqC2 ’
(41-8)
Таким образом, после поглощения фо-
тона атом обладает кинетической энер-
гией
A£k=Mov'2/2=(M7(2W2) . (41.9)
Это означает, что во внутреннюю энер-
гию атома превратилась не вся энер-
гия фотона, а меньшая на величину
(41.9). Часть энергии фотона ДЕК по-
при поглощении фотона покоящимся атомом
в его внутреннюю энергию превращается
не вся энергия фотона. Некоторая небольшая
часть энергии фотона превращается в кине-
тическую энергию атома.
При испускании фотона атомом к фотону
переходит не вся внутренняя энергия атома,
освобождающаяся в акте излучения. Не-
большая часть этой внутренней энергии
превращается в кинетическую энергию атома.
шла на сообщение кинетической энер-
гии атому.
Испускание фотона. Испускание
фотона атомом также является типич-
ным процессом столкновения, диаг-
рамма которого изображена на рис.
98, г. Такой процесс называется обыч-
но распадом. При испускании фотона
внутренняя энергия атома изменяется,
часть ее превращается в энергию фо-
тона, а другая — в кинетическую
энергию атома. Эта последняя назы-
вается энергией отдачи. Следователь-
но, энергия испущенного фотона мень-
ше изменения внутренней энергии ато-
ма на величину Л£к. Ее можно вычис-
лить также по закону сохранения энер-
гии и импульса, которые в данном
случае имеют вид
Л40с2=Л4,с2-|-(41.10а)
0=W/с + M'v'. (41.106)
Ясно, что ЛЕк равно кинетической
энергии атома после акта испускания
фотона. Из (4J.106) получаем
Д£К=М'и'2/2=(Ы')2/(2М'с2). (41.11)
Величина М' может быть найдена из
(41.10а), но при W<M0 она несу-
щественно отличается от Л4о и нет не-
обходимости учитывать ее отличие от
Л4о, т. е. можно считать, что в (41.11)
вместо М' стоит Мо.
Таким образом, при испускании
фотона к нему переходит не вся внут-
ренняя энергия атома, а при поглоще-
нии фотона не вся энергия фотона
превращается во внутреннюю энергию
атома.
42. Реакции между субатомными
частицами
Дается объяснение основных понятий, связан-
ных с реакциями между субатомными части-
цами.
Пороговая энергия. Как уже было от-
мечено, к неупругим столкновениям
§42. Реакции между субатомными частицами 231
относятся все многочисленные превра-
щения частиц друг в друга. Некото-
рые из этих превращений с участием
фотонов рассмотрены в предыдущем
параграфе. Остановимся еще на неко-
торых понятиях, связанных с этими
процессами.
Пусть частицы а и б в результате
столкновения превращаются в частицы
виг. Столкновения принято обсуж-
дать в системе центра масс. В этой
системе закон сохранения импульса
сводится к равенству суммы импуль-
сов частиц нулю до и после столк-
новения и сейчас нас не интересует.
Закон же сохранения энергии имеет
следующий вид:
Еа 4“ Е б“|“ Е ка + Е кб == Е В 4“ Е г-j- Е кв-]- Е
(42.1)
где Е означает внутренние энергии
частиц, указанных соответствующим
индексом, Ек — их кинетические энер-
гии. Величина
Q=Ea+E6-E'e-E'e=E'Ke+E'Ke-
^Ека-Екб (42.2)
называется энергией реакции. Это есть
величина изменения суммы кинетиче-
ской энергии частиц при реакции или
взятая с обратным знаком величина
изменения внутренней энергии. Если
кинетическая энергия продуктов реак-
ции больше кинетической энергии ис-
ходных продуктов, то Q>0. При QcO
сумма внутренних энергий продуктов
реакции больше, чем сумма внутрен-
них энергий исходных частиц. Таким
образом, при Q:>0 происходит превра-
щение внутренней энергии в кинети-
ческую, а при QcO, наоборот, погло-
щение кинетической энергии и ее пере-
ход во внутреннюю.
Пусть Q>0. Тогда реакция воз-
можна при любых кинетических энер-
гиях частиц, включай и очень малые.
В частности, она может происходить и
при Q=0.
Однако по-другому обстоит дело
при QcO. В этом случае необходим
минимум суммы кинетических энергий,
при котором реакция возможна. Если
этот минимум не достигнут, то реакция
не начинается. Ясно, что этот минимум
суммы кинетической энергии равен аб-
солютному значению IQI. Он называ-
ется пороговой энергией реакции. Та-
ким образом, пороговая энергия реак-
ции — это такая минимальная кине-
тическая энергия реагирующих частиц,
при которой реакция еще может
произойти.
Энергия активации. При Q>0 реак-
ция может самопроизвольно осущест-
вляться при любых кинетических энер-
гиях, но это еще не значит, что она
действительно произойдет. Например,
если два протона достаточно сблизить,
то они провзаимодействуют. В резуль-
тате этого образуются дейтрон, пози-
трон, нейтрино и выделится еще кине-
тическая энергия, равная 1,19 МэВ.
В этой реакции Q>0. Однако, чтобы
она начиналась, необходимо преодо-
леть силы кулоновского отталкивания
протонов при их сближении.
Протоны должны для этого обла-
дать некоторой минимальной кинети-
ческой энергией, которая сохраняется
и после реакции, но в реакции не уча-
ствует, обеспечивая лишь ее осуще-
ствление. Поэтому она называется
энергией активации.
Переход в лабораторную систему.
Энергия активации и пороговая энер-
гия определены в системе центра
масс. Спрашивается: каким образом
найти пороговую энергию в лабора-
торной системе, если известно ее
значение в системе центра масс? Оче-
видно, необходимо осуществить пере-
ход из системы центра масс в лабора-
торную систему.
Рассмотрим этот переход на при-
мере столкновения двух частиц. Ясно,
что в общем случае следует пользо-
232 1 0. Столкновения
ваться релятивистскими формулами.
Величины, относящиеся к системе
центра масс, будем обозначать индек-
сами «ц», а в лабораторной системе —
«л». Пусть в лабораторной системе
частица 2 покоится, а частица 1 нале-
тает на нее. В системе центра масс
частицы движутся друг другу навстре-
чу. В результате столкновения может
произойти реакция с образованием
частиц, внутренняя энергия которых
в системе центра масс Е/(ц). Порого-
вая энергия этой реакции равна Q,
а внутренние энергии сталкивающихся
частиц в системе центра масс £}ц) и
Е^ц). Тогда, очевидно, условие осуще-
ствления реакции в системе центра
масс на основе (42.2) имеет следую-
щий вид:
Е(ц)=Е/ц) + + Q^^El(ц). (42.3)
i
Ясно, что совокупность двух частиц
в системе центра масс, обладающая
пороговой энергией Q, может рассмат-
риваться как одна частица с внутрен-
ней энергией Е(ц), определенной равен-
ством (42.3). При переходе в лабора-
торную систему эта «частица» имеет
импульс pi, равный импульсу движу-
щейся в этой системе первой частицы,
и собственную (внутреннюю) энергию
Е(ц). Следовательно, при переходе в ла-
бораторную систему Е(ц) в (42.3) пре-
образуется в энергию
Е(л’ = р/с2р?+(Е(ц))2. (42.4)
С другой стороны, суммарная энергия
этих двух частиц, взятых по отдель-
Пороговая энергия реакции — это такая
минимальная кинетическая энергия реаги-
рующих частиц, при которой реакция еще
может произойти.
Энергия активации — это минимальная ки-
нетическая энергия реагирующих частиц,
которая сохраняется и после реакции, но
в реакции не участвует, обеспечивая лишь ее
осуществление.
ности, может быть представлена в виде
' Ew= ^с2р?+(Е}ц’)2 +Ер\ (42.5)
Из уравнений (42.4) и (42.5) следует,
что
(Е(ц’)2=(Е|“’)2+(Е^ц))2+
+ 2Е^ /с2р(+(ЕН2- (42.6)
Кинетическая энергия первой частицы
в лабораторной системе равна
ЕЙ’= i/c2P?+(fi(u))2 —Е}ц). (42.7)
Найдя из уравнения (42.6) величину
+(Е(ц))2 и подставив это выра-
жение в (42.7), получим
/7 (л)
ЕЗ к1
_ (£<ц))2-(£^)2-(£^)2 (ц)
2£^ц) 1
(E(H))2_(£1(u) + £^))2
2£?>
(42.8)
Используя (42.8), можно неравенство
(42.3) представить в виде
^>^(2 £Г(Ц))2-(£1(Ц)+ЙЦ))2
EKi 2£^ц)
(42.9)
Это есть искомое неравенство для вы-
числения пороговой энергии в лабо-
раторной системе координат. Приме-
ним его для определения порога наи-
более известных реакций с участием
двух протонов.
Порог рождения л°-мезонов. При
столкновении двух протонов может
происходить образование л°-мезона по
схеме
Р+Р^Р'+р'+л0, (42.10)
где р' — те же протоны, но с другими
энергиями и импульсами. Собственная
энергия протона равна £ро=98О МэВ,
а л°-мезона — Ел0=135 МэВ. Поэтому
согласно (42.9) найдем следующее
значение пороговой энергии реакции:
ЕЙ’ > ,(2£р° + £»о)2~(2£р°)г = 280 МэВ.
2£ро
(42.11)
§ 42. Реакции между субатомными частицами 233
Порог рождения пары протон —
антипротон. При столкновении двух
протонов может образоваться пара
протон — антипротон по схеме
Р+Р^-Р+р+р+Р, (42.12)
где р — символ антипротона. Он
имеет ту же собственную энергию,
что и протон, поэтому для пороговой
энергии этой реакции формула (42.9)
дает
(4£ро)2-(2£ро)2 =QEp0^Q ГэВ.
(42.13)
Роль столкновений в физических
исследованиях. Изучение столкновений
является главным методом исследова-
ния свойств, взаимодействий и струк-
туры в физике атомных и субатомных
частиц.
При исследовании взаимодействия
макроскопических тел имеется воз-
можность изучать развитие процесса.
Например, при изучении удара билли-
ардных шаров можно проследить,
каким образом этот процесс развива-
ется во времени, как после начала
соприкосновения шаров происходит
деформация их формы и переход
кинетической энергии шаров в потен-
циальную энергию их деформаций.
Промежуток времени, в течение кото-
рого происходит этот процесс, очень
краток в обыденных масштабах вре-
мени. Однако в масштабах времени,
которыми располагает современная
экспериментальная физика, этот про-
межуток чрезвычайно велик, и имеется
полная возможность изучить процесс
детально. Поэтому удар биллиардных
шаров может быть рассмотрен не
только как столкновение, но и как
процесс изменения физических и« гео-
метрических характеристик шаров. Это
позволяет проследить непрерывную
цепь событий, которая связывает со-
стояние биллиардных шаров задолго
до удара и много времени спустя после
удара. Изучение этого процесса дает
информацию о физических свойствах
шаров и их взаимодействиях. Если эта
информация не имеет значения в кон-
кретных обстоятельствах (например,
при игре в биллиард), то удар можно
рассматривать как столкновение.
По-другому обстоит дело при изу-
чении явлений в физике атомных и
субатомных частиц, когда нет возмож-
ности проследить экспериментально
развитие процесса взаимодействия во
времени и пространстве, а можно
лишь исследовать результат. Это озна-
чает, что в физике атомных и субатом-
ных частиц столкновение всегда пони-
мается в смысле определения, данного
в начале § 39. Изучение столкновений
позволяет проверить теоретические
представления о процессе столкнове-
ния и является главным методом
исследования взаимодействий, взаимо-
превращений, структуры и других
важнейших характеристик микро-
объектов и процессов микромира.
Рассмотрим несколько примеров
изучения структуры микрообъектов.
В начале XX в. считали, что положи-
тельный заряд атома и основная часть
массы, связанная с положительным
зарядом, «размазаны» по всему объему
атома, линейные размеры которого
имеют порядок 10-8 см. В этом облаке
положительного заряда движутся элек-
троны. Суммарный заряд электронов
равен по модулю положительному
заряду атома, в результате чего пол-
ный электрический заряд атома равен
нулю. Было предпринято исследование
столкновений альфа-частиц с атомами.
Электрический заряд и масса альфа-
частиц, а также силы взаимодействия
между зарядами были уже известны
Из теоретического расчета результата
столкновения альфа-частицы с атомом
следовало, что при достаточно боль-
2?4 10. Столкновения
шой энергии альфа-частиц вследствие
столкновения не может произойти из-
менение направления скорости альфа-
частицы на обратное и близкое к
этому. Однако экспериментально такие
случаи наблюдались, поэтому возникла
необходимость изменения представле-
ния о строении атомов. 1 Появилась
планетарная модель атома, в которой
считалось, что весь положительный
заряд и почти вся масса втома сосре-
доточены в ядре, вокруг которого дви-
жутся электроны, как планеты вокруг
Солнца. Размер атома порядка
10-3 см.
В конце пятидесятых годов XX в.
были изучены столкновения электронов
достаточно больших энергий с прото-
нами. По идее эти опыты совершенно
аналогичны опытам, приведшим к по-
нятию планетарной модели атома.
Было установлено распределение элек-
трического заряда в объеме протона.
В семидесятых годах XX в. было
изучено столкновение электронов чрез-
вычайно больших энергий с протонами.
Было выяснено, что столкновения элек-
тронов происходят не с протоном, как
с целым, а с отдельными частицами
(кварками), составляющими протон.
Так была установлена кварковая мо-
дель строения протона, предсказанная
теоретически до этих экспериментов.
Эти примеры составляют лишь не-
большую часть фундаментальных от-
крытий в физике микромира, сделан-
ных посредством изучения столкно-
вений.
Задачи
Покоящаяся частица массой-т0 распадается на две частицы с массами покоя т\0 и т20. Найти
кинетическую энергию продуктов распада.
Частица с массой покоя mOi и энергией Е налетает на покоящуюся частицу с массой покоя
лио2- Найти скорость системы центра масс.
Частица с массой покоя mOi, движущаяся со скоростью и, налетает на покоящуюся частицу
массой тог- Удар абсолютно неупругий. Найти массу покоя и скорость, образовавшейся в
результате удара частицы.
Частица с массой покоя то упруго сталкивается с покоящейся частицей той же массы и рас-
сеивается на угол 0. Найти кинетическую энергию частицы после рассеяния, если до рассеяния
она была £к.
Ответы
10.1. [(т.» - •• )2- •• ' ]г2 /(?те): [(т0 )2 — moi]c2/(2m0). 10.2. с / Е^ ~ т^с4/(Е 4- т02с2).
10.3. [то- mh-4- 2т(11.тп2/ /1 — и5/г ],/2: т0]г>/(т01 -f- т02 /К- и2/с2). .
10.4. Ehcos20/[1 4~£xsin2 0/(2тог)].
43. Силы тяготения
Дается характеристика сил тяготения и их
проявлений.
Закон тяготения Ньютона. Этим зако-
ном определяется сила притяжения F
между точечными массами т\ и
находящимися на расстоянии г друг от
друга, в виде
(43.1)
г1
где G=6,7-10-11 Н-м2/кг2 — грави-
тационная постоянная. Шарообразные
тела со сферически симметричным рас-
пределением массы в их объеме взаи-
модействуют так же, как если бы их
массы были сосредоточены в центрах
шаров. Потенциальная энергия точеч-
ной массы т2 в поле тяготения точеч-
ной массы т\ на основании (25.35а)
дается формулой
11
ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ
ТЯГОТЕНИЯ
Силы тяготения вли-
яют существенно на движение лишь
в том случае, когда хотя бы одно из
взаимодействующих тел имеет доста-
точно большое (астрономическое) зна-
чение массы.
ГП1ГП2
п---— Ст----------
(43.2)
Но эта же величина является потен-
циальной энергией массы mi в поле
точечной массы т2. Поэтому Еп в
(43.2) является энергией взаимодейст-
вия точечных масс mi и т2.
Поле вблизи поверхности Земли.
Обозначим радиус Земли через Ro, а
расстояние от ее поверхности до мате-
риальной точки массой т через й,
причем h<^R0. Полное расстояние от
центра Земли до материальной точки
7?о+й, и, следовательно, в соответ-
ствии с формулой (43.1) сила тяжести
F=GMm/(R0+h')2. (43.3)
Учтем, что
1 _ 1 1 _
+ «Г (1+Л/Ло)2
B<(1^2W+"')’ (43.4)
где отброшены члены (h/Ro)2 и члены
более высоких степеней, потому что
43
Силы тяготения
44
Движение планет и комет
45
Движение искусственных спутников Земли
46
Проблема двух тел
236 11. Движение в поле тяготения
К вычислению гравитационной энергии шара
Так как потенциальная энергия шарообразного слоя
вещества зависит лишь от внутренних слоев, то
расчет следует начинать от внешних слоев матери-
ального тела и заканчивать в центре
уже член h/R$ очень мал. Например,
для расстояний в пределах высот поле-
та самолета порядка 20 км h/Ro^
^З-Ю3. Квадрат этой величины от-
личается от единицы уже в миллион-
ных долях. В большинстве случаев нет
необходимости учитывать изменения
силы тяжести, составляющие лишь
незначительную долю ее величины. На-
пример, при падении тел с высоты до
1 км изменение силы тяжести составит
меньше 2 (Л//?о)^3-1О4. С этой точ-
ностью можно считать силу тяжести
постоянной, независимой от высоты и
на основании (43.3) и (43.4) равной
(43.5)
где g=GM//?o=9,8 м/с2 — ускорение
свободного падения у поверхности
Земли. В этом приближении рассмат-
риваются задачи, связанные с силой
тяжести вблизи поверхности Земли.
Гравитационная энергия шарооб-
разного тела. Пусть имеется шар ра-
F^—GMm/Rl =gtny
Чему равна гравитационная энергия шарово-
го сферически симметричного тела?
Что такое гравитационный радиус?
Чему равен гравитационный радиус Земли?
Солнца?
Что такое «черные дыры»? Какие свидетель-
ства в пользу их существования Вы знаете?
диусом R и массой М. С взаимодейст-
вием частиц шара друг с другом свя-
зана энергия гравитационного поля,
называемая гравитационной. Она чис-
ленно равна работе, которую необхо-
димо затратить, чтобы вещество шара,
рассматриваемое как непрерывная
среда, рассеять по всему бесконечному
пространству. Конечно, при этом необ-
ходимо принять во внимание лишь
работу на преодоление сил гравита-
ционного притяжения и не рассматри-
вать, например, электромагнитные си-
лы, которые удерживают атомы в мо-
лекулах, молекулы в твердых и жид-
ких телах и т. д.
Для упрощения расчетов будем
считать, что масса тела распределена
равномерно в шаре с плотностью
р=ЗЛ4/(4л7?3). Удобнее всего удалить
вещество на бесконечность последова-
тельно шаровыми слоями начиная с
поверхности. Удаленные слои не могут
оказывать никакого действия на удале-
ние последующих слоев, поскольку эти
последующие слои находятся внутри
полости предшествующих шаровых
слоев.
При этом учтем без доказатель-
ства, что сферический однородный
слой вещества не создает в ограничи-
ваемой им шаровой полости никакого
гравитационного поля.
В слое толщиной dr на расстоя-
нии г от центра шара содержится
масса p4nr2dr (рис. 111). При удале-
нии этого слоя на него действует
лишь масса шара радиусом г, заклю-
ченная в полости, ограниченной шаро-
вым слоем. Работа удаления равна
потенциальной энергии этого шарового
слоя в гравитационном { поле, создан-
ном всеми внутренними слоями:
dFnr=-G (Р4лг73)р4лг2аг (43 6а)
Интегрируя это выражение по всему
объему шара, т. е. от г=0 до r=R,
§ 43. Силы тяготения 237
получим полную гравитационную энер-
гию шара:
R
£n.r=-G-l^-P2$r4dr=
6 о
lb
(43.66)
или с учетом, что р=3 7И/(4л7?3),
(43.7)
Это есть энергия гравитационного
поля, связанная с гравитационным
притяжением составляющих шар эле-
ментов массы.
Гравитационный радиус. Энергия
покоя тела массой М равна Мс2. Воз-
никает вопрос: нельзя ли себе предста-
вить дело так, что эта энергия явля-
ется энергией гравитационного поля,
превратившейся в энергию массы по-
коя при стягивании материи, состав-
ляющей тело, из рассеянного состоя-
ния на бесконечности, когда никакого
взаимодействия между частицами не
было?
Чтобы вычислить радиус шара, для
которого ответ на поставленный вопрос
утвердителен, надо гравитационную
энергию приравнять энергии массы по-
коя (отбросив числовые коэффициен-
ты):
GM^/r-Mc2.
Отсюда получаем r~GMJc2. Величина
~гг= GM/c2 (43.8)
называется гравитационным радиусом.
В качестве примера вычислим гра-
витационный радиус Земли, масса ко-
торой Л4=6- 1024 кг:
=0,4 см.
Это число означает, что для того, что-
бы гравитационная энергия массы Зем-
ли была равна энергии массы покоя,
необходимо было бы всю ее массу
сжать в шарик диаметром примерно
1 см. Фактически же диаметр Земли
имеет порядок 109 см. Полученный
результат свидетельствует, что в об-
щем энергетическом балансе Земли,
включающем и ее энергию массы по-
коя, гравитационная энергия играет
пренебрежимо малую роль. Аналогич-
ная ситуация существует и для Солн-
ца, у которого гравитационный радиус
составляет примерно 1 км, а его дейст-
вительный радиус почти 700 тыс. км.
Размеры Вселенной. Однако так об-
стоит дело не всегда. В астрономии
есть объекты, для которых гравита-
ционная энергия примерно равна энер-
гии их массы покоя и поэтому в них
повседневно гравитационная энергия
играет очень существенную роль. При-
мером такого объекта может служить
Вселенная в целом.
Среднюю плотность распределения
материи во Вселенной можно найти
из наблюдений, оценивая массу астро-
номических объектов и расстояния до
них. Точность этих оценок невелика,
поскольку, во-первых, имеются боль-
шие погрешности в определении рас-
стояний и, во-вторых, очень трудно
учесть массу межзвездного газа и не-
светящихся объектов, которые не
наблюдаются. В настоящее время счи-
тается, что средняя плотность по по-
рядку величины лежит где-то около
р^10-25 кг/м3. Это означает, что
в 1 м3 заключено примерно 100 прото-
нов, т. е. среднее расстояние между
ними было бы приблизительно 30 см,
если бы масса Вселенной была рас-
пределена равномерно по ее объему в
виде протонов. Можно представить
себе эту ситуацию следующим обра-
зом. Известно, что электрический за-
ряд протона распределен в объеме с
линейными размерами порядка 10-13.
Поэтому если бы протон был гороши-
238 11. Движение в поле тяготения
ной диаметром 1 см, то среднее рас-
стояние между протонами, соответ-
ствующее их среднему расстоянию во
Вселенной, было бы примерно равно
двадцати расстояниям от Земли до
Солнца.
Подсчитаем, какое значение надо
взять для радиуса 7?0 шара во Все-
ленной, чтобы энергия покоя содержа-
щейся внутри него массы была равна
гравитационной энергии или, иначе .го-
воря, чтобы радиус этого шара был
равен гравитационному радиусу мас-
сы, заключенной внутри шара. По-
скольку масса этого шара М~ро₽о,
ожидаемое условие на основании
(43.8) запишется в виде
Ro^G^Rt/c2. (43.9)
Отсюда следует
Таким образом, искомый гравитацион-
ный радиус по порядку равен той
величине, которая в настоящее время
принимается за радиус Вселенной. Это
означает, что гравитация играет в мас-
штабам Вселенной очень большую и во
многом определяющую роль.
«Черные дыры». Наиболее важным
физическим содержанием понятия гра-
витационного радиуса является пред-
ставление о том, что область внутри
сферы такого радиуса как бы теряет
всякую связь с областью вне этой
сферы, за исключением гравитацион-
ной, связи. Если бы, например, всю
массу Земли удалось заключить в ша-
рик диаметром меньше 1 см, то внут-
ренние области этого шарика потеряли
бы связь с внешними областями, ока-
зывая на них лишь гравитационное
воздействие. Это означает, что свет не
смог бы выйти из внутренней области.
Во внешнем пространстве эта область
проявляется лишь громадными силами
тяготения.
Пролетающие вблизи частицы и
кванты излучения будут втягиваться
внутрь сферы гравитационного радиу-
са и там исчезать. Поэтому такая об-
ласть называется «черной дырой».
Имеются ли «черные дыры» во Все-
ленной? Теоретические расчеты пока-
зали, что если масса звезды превос-
ходит примерно две массы Солнца, то
под действием тяготения она неудер-
жимо сжимается и в определенный мо-
мент радиус звезды станет равным гра-
витационному, а она превратится в
«черную дыру».
«Черные дыры» пока не открыты, но
в настоящее время наблюдается по
крайней мере один астрономический
объект, в котором, возможно, присут-
ствует «черная дыра».
Можно также представить себе, что
сравнительно небольшая масса, на-
пример в несколько тонн, по каким-то
причинам оказалась заключенной в та-
ком маленьком объеме, соответствую-
щем формуле (43.8), что превратилась
в маленькую «черную дыру». По од-
ной из гипотез предполагается, что
некоторое количество таких «черных
дыр» осталось от первоначального
сверхплотного состояния Вселенной.
Они называются реликтовыми «черны-
ми дырами» и также пока, не обнару-
жены в природе.
По-видимому, они не существуют в настоя-
щее время, потому что квантовая теория при-
водит к заключению об «испарении» вещества
из «черных дыр» с массой в несколько тонн,
в результате которого они уже исчезли.
44. Движение планет и комет
Выводятся законы Кеплера и анализируется их
применение как к движению планет и комет,
так и к распространению света в поле тяготе-
ния Солнца и межпланетным перелетам.
Уравнение движения. Масса Солнца
(2- 1930 кг) больше массы Земли (6Х
X 1024кг) в 332 600 раз и больше мае-
§ 44. Движение планет и комет 239
сы самой массивной планеты Солнеч-
ной системы Юпитера примерно в
1000 раз. Поэтому с достаточной точ-
ностью можно считать Солнце непод-
вижным, а планеты — движущимися
вокруг него. Расстояние от планет до
Солнца много больше размеров и пла-
нет, и Солнца. Например, расстояние
от Солнца до Земли равно приблизи-
тельно 150 млн. км, диаметр Солнца
около 1,4 млн. км, а диаметр Земли
примерно 12 700 км. Таким образом,
при рассмотрения движения Земли и
планет вокруг Солнца с большой точ-
ностью можно считать их материаль-
ными точками.
Обозначим массу планеты т, массу
Солнца М и будем называть их мате-
риальной точкой и центром сил соот-
ветственно. Начало системы координат
поместим в центр Солнца. Уравнение
движения планеты запишется в виде
dv тМ г , . . . х
где г — радиус-вектор планеты.
Уравнение моментов. Сила, дей-
ствующая на материальную точку, на-
правлена вдоль радиуса-вектора. Мо-
мент этой силы относительно центра
сил равен нулю, и уравнение моментов
(21.4) имеет зид
-lL=M = rXF=0. (44.2)
Кеплер Иоганн
4571—1630).
немецкий астроном.
Открыл законы
движения планет,
на основе которых
составил планетные
таблицы. Заложил,
основы теории затмений.
Изобрел телескоп,
в котором объектив
и окуляр —
двояковыпуклые линзы.
Следовательно, момент импульса мате-
риальной точки относительно центра
сил равен постоянной величине как
по модулю, так и по направлению:
L = r X mv = const. (44.3)
Плоскость движения. Равенство
(44.3) можно переписать в виде
mrX,: = const.
(44.4)
Отсюда следует, что элементарное
перемещение dr=vdZ и радиус-вектор
г лежат в плоскости, перпендикуляр-
ной L.
Это означает, что движение про-
исходит в одной и той же плоско-
сти, т. е. является плоским движением.
Второй закон Кеплера. Он утвер-
ждает, что
отрезок, соединяющий Солнце с
планетой, описывает за равные проме-
жутки времени равные площади.
Этот закон является непосредствен-
ным следствием закона сохранения мо-
мента импульса (44.3). В самом деле,
равенство (44.3) можно переписать
так:
гХ dr=—dt.
т
(44.5)
Установим геометрический смысл
левой части этого равенства. Как это
непосредственно видно на рис. 112,
векторное произведение rXdi* по мо-
дулю равно удвоенной площади тре-
угольника, построенного на векторах
г и dr:
|rXdr| = |r| |dr|sin (г, dr)=rdrsina=
= rdh — 2dS. (44.6)
Обозначая площадь площадки век-
тором, перпендикулярным ее плоско-
сти (рис. 112), можем написать dS=
= r><dr/2 и представить (44.5) в
виде:
dS=-£-dt (44.7)
240 11. Движение в поле тяготения
112
Изображение площади вектором, перпендикуляр-
ным поверхности, на которой лежит эта площадь
ИЗ
Разложение вектора скорости в полярной систе-
ме координат на две составляющие: вдоль ра-
диуса и перпендикулярно ему
Так как L=const, то, интегрируя обе
части этого равенства по времени,
получаем
S-S0=^(t-t0) (44.8а)
ИЛИ
(44.86)
Это есть второй закон Кеплера, утвер-
ждающий, что за равные промежутки
времени радиус-вектор планеты описы-
вает равные площади.
Первый закон Кеплера. Он гласит,
что
все планеты движутся по эллипти-
ческим орбитам, причем Солнце нахо-
дится в одном из фокусов.
Для доказательства этого закона
нужно найти орбиту. Расчет удобно
вести в полярной системе координат,
плоскость которой совпадает с плоско-
стью орбиты. Прежде всего необходи-
мо записать законы сохранения энер-
гии и момента импульса в полярных
координатах. Для этого элементарное
перемещение dr разложим на два:
(дг)ф, перпендикулярное радиусу г
полярной системы координат, и (dr)r
по направлению этого радиуса (рис.
113). Первое перемещение обусловлено
изменением угла <р при движении, а
второе — изменением расстояния г
планеты от начала координат. Единич-
ный вектор, направленный перпендику-
лярно радиусу г в сторону возрастания
угла ф, обозначим еф, а в сторону воз-
растания радиуса — ег. Перемещение
dr можно представить формулой
dr=e(p(dr)(p + er(dr)r. (44.9)
Так как (dr)4 — элементарная дуга
окружности радиусом г, то (бг)ф=
= rd<p; величина (dr)r — проекция dr
на г, т. е. (dr)r=dr. Поэтому (44.9)
принимает вид
dr=ефгб<р + erdr. (44.10)
Разделив обе части (44.10) на время
перемещения, находим (см. рис. 113)
dr dw , dr .
v=^r=e<pr4r+er^r=e<p^+eryr,
(44.11)
где a<p=rdcp/d/=r(p, vr = dr/dt=r. Во-
зводя обе части равенства (44.11) в
квадрат и учитывая, что вследствие
взаимной перпендикулярности векто-
ров еф и ег их скалярное произведение
равно нулю, т. е. (еф, ег)=0, получаем
для квадрата скорости следующее
выражение:
v2=v% + v2r=г2ф2 + г2. (44.12)
Подставим в формулу (44.3) выра-
жения для радиуса-вектора г в виде
г=егг и скорости v в виде (44.11). По-
§ 44. Движение планет и комет 241
правилу получения векторного произ-
ведения находим
L=mr2<per X =const. (44.13)
Вектор егХ^ является единичным
вектором, перпендикулярным плоско-
сти движения. Он фиксирует направле-
ние L. Закон сохранения для L в по-
лярных координатах на основании
(44.13) имеет вид
£ = mr2<p = const.
(44.14)
Закон сохранения энергии записы-
вается с помощью (44.12) без допол-
нительных вычислений:
mv2 г тМ т { J2. *2\ г тМ
--G—=^(r +r <p)-G—
=const.
(44.15)
Получены два уравнения (44.14) и
(44.15) с двумя неизвестными функ-.
циями г(/) и ф(/). Их достаточно, чтобы
полностью определить движение. Од-
нако нас сейчас интересует не вопрос
о том, как протекает движение по вре-
мени, а форма траектории. Поэтому
исключим из уравнений зависимость
от времени.. Из уравнения (44.14) сле-
дует, что <p=L/(mr2). Подставив это
выражение в уравнение (44.15), ис-
ключим из него ф. Далее представим г
как сложную функцию от времени:
г(0=г[ф(0]. Для удобства решения
введем вместо г функцию
р= 1/г. (44.16)
Получаем
dr dr dtp d ( Г\ dtp ______1 dp
~dT dtp df dtp \P7 dt p2 dtp 7X4
L L dp
mr2 m dtp
Подставив это выражение для г и 1/р
из (44.16) вместо г в равенство
(44.15), находим
(^)2+p2-G^p=const- (44-17)
Дифференцируя это уравнение еще раз
по ф, получаем
d2p । г
-4-+р=с,
dtp
(44 18)
где С= Gm2M/L2>0. Общее решение
уравнения (44.18) хорошо известно:
р= С-)-A cos фД-В sin ф, (44.19)
где А и В — произвольные постоянные,
которые надо определить из начальных
условий. Правую часть этого равенства
можно преобразовать так:
р=С+4созф+Вэшф=С+ /Д2+В2Х
xf-/^4 — cos ф + - в sin q?) =
= С + jA42-|-B2(cos ф0соэ ф + sin ф0 X
Хзшф)=С+ /Д 2 + B2cos (ф — фо)=
= g[ 1 + cos(<p—фо)] 1 +
+ ecos (ф — фо)], (44.20)
где введены обозначения р=\/С=
= L2/(Gm2M),' е= /Д2 + В2/С и угол
фо определен равенствами
cos ф0=А/ /Д2 + В2,
sin фо=В/ /Д2Д-В2.
Таким образом, уравнение кривой, по
которой движется тело (планета), в
полярных координатах имеет следую-
щий вид:
(44.21а)
—= г=--------------.
Р 1 + GCOS ((р — (| о)
Из аналитической геометрии известно,
что это есть коническое сечение, т. е.
кривая в сечении конуса плоскостью.
Величина р называется параметром ор-
биты, а постоянная е— эксцентриси-
тетом. Коническое сечение является
242 11. Движение в поле тяготения
114
Различные возмож-
ные траектории
движения в поле
тяжести точечного
тела:
1 — окружность; 2 —
эллипс; 3 — парабо-
ла; 4 — гипербола
шем — при ф=л. Поэтому из (44.216)
можно написать:
Гпип = р/(1 +в), гтах=р/(1 —е). (44.22)
В моменты наименьшего и наиболь-
шего удалений радиальная скорость
тела г=0. Поэтому закон сохранения
энергии (44.15) в этих точках с учетом
(44.14) имеет вид
L2 / 1 V Q тМ L2 / 1 у
2/77 \ Гminz Гmin \ ГmaxZ
-g^-=e0.
Г max
(44.23)
115
Движение планеты
по эллипсу
где через Ео обозначена полная энер-
гия тела, т. е. сумма кинетической и
потенциальной энергий. Значение ве-
личины р= 1/С дано в равенстве
(44.18). Подставляя выражения
(44.22) в (44.23), находим следующую
связь между эксцентриситетом е и
энергией Ео:
либо эллипсом (е>1), либо окружно-
стью (е=0), либо параболой (е=1),
либо гиперболой (е>1).
Из формулы (44.21а) видно, что
расстояние г до тела принимает мини-
мальное значение rmin при ф=фо.
Поэтому удобно направить ось поляр-
ной системы координат через точку
наибольшего приближения тела к цен-
тру притяжения. Эта точка называется
перигелием. Противоположная точка
орбиты эллипса называется афелием.
При указанном выборе оси полярной
системы координат в уравнении кри-
вой (44.21а) надо положить ф0 = 0 и
оно примет еще более простой вид:
г=р/(1 Н-есоэф). (44.21 б)
Кривые, описываемые этим уравне-
нием, изображены на рис. 114.
Рассмотрим более подробно движе-
ние по эллипсу. На наименьшем уда-
лении rmjn от центра притяжения тело
находится при ф=0, а на наиболь-
Ео
2£оА2 у/2
G2m3M2 )
_ Gm3M2
~ 2ЁГ~
(1-е2).
е=(14
(44.24а)
(44.246)
Формула (44.246) подтверждает ранее
доказанное положение о том, что свя-
занные состояния возможны только
при отрицательной энергии связи, т. е.
отрицательной сумме кинетической и
потенциальной энергий. Если полная
энергия положительна, то движение
в конечной области невозможно.
Частица движется по гиперболе и
уходит в бесконечность. В граничном
случае, когда полная энергия равна
нулю, частица также уходит в беско-
нечность, но по параболе.
Третий закон Кеплера. Этот закон
читается так:
квадраты времени обращения раз-
личных планет вокруг Солнца относятся
как кубы больших полуосей их эллип-
сов
§ 44. Движение планет и комет 243
Для доказательства выпишем равен-
ство (44.86), связывающее период об-
ращения Т с другими характеристика-
ми движения:
L
2m
Ту
S
(44.25)
где S — площадь эллипса. Из геомет-
рии известно, что площадь эллипса
S=nab, где а и b — его полуоси
(рис. 115). Из формулы (44.216) непо-
средственно получаем следующее вы-
ражение для полуосей через эксцентри-
ситет е и параметр р:
а=р/(1 — е2), Ъ=р/ у/1 — е2 (44.26)
Из (44.26) следует, что
fe2=p2/(l-e2)=pa. (44.27)
С другой стороны, учтем связь между
L и р, указанную в (44.20):
£ = (44 28)
Теперь выразим Г2 из уравнения
(44.25) и воспользуемся формулами
(44.28) и (44.27):
__ 4m~S2 ImVaV 4л2а3
1 mrGMp GM ’
(44.29)
т. е. квадрат времени обращения пла-
неты зависит только от большой полу-
оси и пропорционален ее кубу; тем
самым третий закон Кеплера доказан.
Эти законы были установлены Кеп-
лером в результате анализа движения
планет, что явилось крупнейшим дости-
жением научной мысли и открыло путь
к формулировке закона тяготения.
Движение комет. Кометами называ-
ются небольшие небесные тела, кото-
рые вблизи Солнца движутся по силь-
но вытянутым эллиптическим орбитам.
Достоверно известно приблизительно
два десятка комет периодическое воз-
вращение которых к Солнцу действи-
тельно наблюдалось. Движение комет
по эллипсам, в одном из фокусов
которого находится Солнце, аналогич-
но движению планет и было только что
подробно рассмотрено.
Наиболее экзотической особенно-
стью комет является наличие «хво-
стов», которые видны в форме светя-
щегося шлейфа, как бы отталкиваю-
щегося от Солнца. «Хвост» состоит из
газа, отражающего солнечные лучи.
Физической причиной «отталкивания»
«хвоста» от Солнца являются давление
электромагнитного излучения, относя-
щегося к видимой и невидимой частям
спектра, и воздействие потока частиц,
главным образом протонов, испускае-
мого Солнцем. Именно последние и
дают самый большой вклад в «оттал-
кивание».
Кривизна траектории кометы вбли-
зи Солнца зависит от ее скорости.
Чем больше скорость, тем меньше кри-
визна.
Отклонение лучей света в поле тя-
готения Солнца. В связи с искривле-
нием траекторий материальных тел в
поле тяготения возникает вопрос о
действии этого поля на лучи света.
Если это действие такое, как на мате-
риальные тела, то лучи света в поле
тяготения не будут распространяться
по прямой линии. Такая идея возникла
давно, и уже в 1804 г. было рассчитано
искривление луча в поле тяготения
Солнца.
При этом использовалось ньютонов-
ское представление о свете как о пото-
ке корпускул. Их можно считать мате-
риальными точками произвольной ма-
лой массой т, движущимися со ско-
ростью света. Масса в расчете играет
лишь вспомогательную роль.
Ввиду большой скорости корпускул
их пролет вблизи Солнца происходит
по гиперболе с очень малой кривиз-
ной (рис. 116). В результате первона-
чальное направление движения изме-
244 11. Движение в поле тяготения
116
Движение тела по гиперболе
При приближении к центру притяжения скорость тела
увеличивается
v
117
Расчет отклонения лучей света вблизи Солнца
в рамках классических представлений
няется на угол Аф, который можно
определить (рис. 117).
С этой целью надо точно вычис-
лить траекторию материальной точки,
что было проделано выше. При этом
jfjf Связанные состояния возможны только при
отрицательной энергии связи, т. е. отрица-
тельной сумме кинетической и потенциаль-
ной энергий. Если энергия связи положитель-
на, то движение в конечной области невоз-
можно.
Вид кривой, по которой движется тело в
поле центральных сил, определяется полной
энергией тела.
была получена формула (44.19), при-
меняемая ко всем движениям в поле
тяготения. Воспользуемся этой фор-
мулой:
1—_|-Лсо5 ср-|- Bsin ф. (44.30)
Постоянные А и В определяются из
условий движения светового луча. При
таком расположении полярной системы
координат, которое изображено на рис.
117, угол ф с течением времени умень-
шается, изменяясь от л до 0 и затем до
отрицательного значения —Аф, рав-
ного искомому углу отклонения луча
света Солнцем.
В начальный момент, когда луч света
направлен к Солнцу, но находится на
очень брльшом расстоянии, имеем:
ф = Л, 1/г = 0, СО8ф=— 1, 81Пф = 0.
Подставив эти значения в (44.30),
находим A = Gm2M/L2. Следовательно,
равенство (44.30) принимает вид
у= G (1 + cos ф) -j- Bsin ф. (44.31)
Для определения В разделим эту
формулу на sin ф и учтем, что 1 +
-|-cos ф=2со82(ф/2), sin ф=28ш(ф/2)Х
Хсо8(ф/2). Тогда получим
_L_= G^-ctg (ф/2)+В. (44.32)
Теперь используем еще раз начальное
условие, устремляя ф к л. Расстояние,
на котором луч света прошел бы вбли-
зи Солнца, если бы на него сила при-
тяжения не действовала, называется
прицельным расстоянием г0 (рис. 117).
На рис. 117 видно, что г8Шф=г0
при ф^л, a ctg^/2)=0. Поэтому из
(44.32) при ф->л находим В=1/го-
В процессе движения момент импульса
L сохраняется. Его значение вычислим
в начальный момент времени при ф=л.
Очевидно, L = mcr$, где с — скорость
§ 44. Движение планет и комет 245
света. Подставляя эту величину в
(44.32), окончательно получаем фор-
мулу, описывающую траекторию све-
тового луча:
—J—= G-^-ctg(<p/2)+ —. (44.33)
rsin ф С2Го 7 Го х 7
В формулу (44.33) масса т частицы
не входит. Это означает, что траекто-
рия частицы в заданном поле тяготе-
ния не зависит от нее.
После отклонения луч удалится от
Солнца на r-^оо в направлении угла
—Аф. Из (44.33) определяем этот угол:
1. (44’34)
Принимая во внимание, что угол Аф
очень мал, можно считать, что
ctg(—Лф/2)^ — 2/Аф и, следова-
тельно,
A<p=2GM/(c2ro).
(44.35)
Считая, что луч проходит вблизи
поверхности Солнца, и полагая в фор-
муле (44.35) величину то равной ра-
диусу Солнца, находим Аф^0",87.
Напомним, что это значение для угла
отклонения было получено в 1804 г.
Однако проверить его эксперименталь-
но долго не представлялось возмож-
ным. Затем, когда была создана общая
теория относительности, в ней также
был обнаружен эффект отклонения
луча. Однако величина этого отклоне-
ния оказывается равной 1",75, т. е. в
два раза большей. Такое расхождение
в предсказаниях очень благоприятно
для экспериментальной проверки тео-
рий. Поэтому результат первого изме-
рения этого эффекта во время солнеч-
ного затмения 1919 г. ожидался с
всеобщим интересом.
Идея измерения состояла в сле-
дующем. Во время солнечного затме-
ния необходимо сфотографировать зве-
зды вблизи диска Солнца. Ввиду от-
клонения луча их положение на фото-
пластинке будет соответствовать кажу-
щемуся удалению этих звезд от диска
Солнца. Истинное положение этих
звезд известно с большой точностью
из повседневных астрономических на-
блюдений. Поэтому по кажущемуся
смещению звезд, зафиксированному на
фотопластинке, можно вычислить угол
отклонения Аф. Результат оказался,
без сомнения, ближе к предсказаниям
теории относительности, чем классиче-
ской теории. Однако точность экспери-
мента не была достаточно большой,
чтобы исключить всякие сомнения.
Большинство ученых рассматривали
эти наблюдения как подтверждение
теории относительности, но были и
сомневающиеся. В дальнейшем были
проведены другие измерения, которые
согласовались с теорией относитель-
ности с еще большей точностью.
Межпланетные перелеты. Первым
шагом в космос является полет вокруг
Земли на небольшой высоте. Первой
космической скоростью v\ называется
скорость полета по круговой орбите
радиусом, равным радиусу гз Земного
шара. Центростремительное ускорение
ui/r3 равно ускорению g силы у по-
верхности Земли, и поэтому
yi= /^з = 7,9 км/с, (44.36)
где г3 = 6371 км.
Вторым шагом в космос является
преодоление сил земного притяжения
Второй космической скоростью с? на-
зывается скорость, которую должно
иметь тело у поверхности Земли для
того, чтобы покинуть пределы земного
притяжения. Сопротивление воздуха не
принимается во внимание. Из закона
сохранения энергии mvl/2= GmM3/r3
получаем
с%= y/2gr3 = 11,2 км/с, (44.37)
246 11. Движение в поле тяготения
118
Типичная траектория облета Луны
Используя линейную скорость вращения Земли,
запуск и посадку спутника производят в восточном
направлении
119
Возможная траектория полета к отдаленной
планете П Солнечной системы
где GM3/r$=g.
Третьей космической скоростью v3
называется скорость, которая необхо-
дима телу, удаленному от Солнца на
расстояние радиуса земной орбиты /?3,
для того чтобы покинуть пределы Сол-
Как доказывается, что движение в поле
центральных сил является плоским?
Следствием какого закона сохранения явля-
ется второй закон Кеплера?
Какие траектории материальной точки воз-
можны в поле тяготения точечного тела и
при каких условиях они осуществляются?
Чем отличается предсказание отклонения
светового луча в поле Солнца классической
теории, сделанное более 150 лет назад, от
предсказаний общей теории относительности?
Какова экспериментальная ситуация в этом
вопросе?
нечной системы. Эта скорость может
быть найдена из закона сохранения
энергии:
mvl/2=GmMc/R3y
где Мс—масса Солнца. Отсюда
^3= т/^^=42 км/с. (44.38)
* лз
Существует также другое, доста-
точно распространенное определение
третьей космической скорости как ско-
рости, которую тело должно иметь
относительно Земли вблизи ее поверх-
ности, чтобы покинуть пределы Сол-
нечной системы. Неудобством этого
определения является неопределен-
ность числового значения такой ско-
рости. Если космический аппарат за-
пускается в направлении, противопо-
ложном скорости движения Земли вок-
руг Солнца, то третья космическая
скорость равна примерно 72 км/с.
Если же скорость космического аппа-
рата в момент запуска совпадает по
направлению со скоростью движения
Земли вокруг Солнца, то третья кос-
мическая скорость равна примерно
16,5 км/с.
Для полета на какое-либо небесное
тело надо прежде всего преодолеть
силу тяготения Земли, т. е. достигнуть
точки, где поля тяготения Земли и
данного небесного тела уравновешива-
ются (пренебрегаем существованием
других небесных тел). Требуемая для
этого скорость несколько меньше V2,
но это уменьшение незначительно и
при прикидочных оценках его не при-
нимают во внимание
Типичная траектория полета к Луне
и обратно к Земле показана на рис.
118, причем для ясности рисунка не
принято во внимание движение Луны
в процессе ее облета. Вследствие дви-
жения Луны траектория при облете
смещается вдоль орбиты Луны. Как
§ 45 Движение искусственных спутников Земли 247
видно на рисунке, при таком плане
полета полностью используется линей-
ная скорость вращения Земли: при за-
пуске она складывается со скоростью
ракеты, а при возвращении за счет
нее уменьшается относительная ско-
рость поверхности Земли и возвратив-
шегося после полета космического ап-
парата.
При полете к дальним планетам,
например Юпитеру, Урану и др., необ-
ходимо преодолеть не только притяже-
ние Земли, но и притяжение Солнца
между орбитой Земли и орбитой пла-
неты. При этом целесообразно осу-
ществить запуск ракеты в направлении
скорости движения Земли вокруг Сол-
нца, чтобы полностью использовать
соответствующую кинетическую энер-
гию. Простейшая траектория такого
полета показана на рис. 119.
Движение происходит по эллипсу,
в фокусе которого находится Солнце.
Положение Земли в момент запуска
является перигелием эллипса, поэтому
минимальное расстояние Гты равно ра-
диусу /?з земной орбиты, а максималь-
ное расстояние — радиусу /?п орбиты
планеты, на которую осуществляется
перелет. Эти расстояния определяются
по формулам [см. (44.22)] /?3=
=р/(1+е), А?„=р/(1-е).
Отсюда находим параметры эллипса:
в=(/?п ^з)/(^п + /?3), 39)
р=2/?п/?3/(/?п+/?3).
Зная* элементы орбиты, можно по за-
кону Кеплера вычислить период вра-
щения тела, движущегося по этой ор-
бите вокруг Солнца:
Т2з \ 2/?з J ’
т=Тз(^Г:)3/2’ <44-40)
где Т3=1 год — время обращения
Земли вокруг Солнца. Время полета к
планете т=Т/2. Например, для Урана
/?п~19/?3и, следовательно, время поле-
та занимает примерно 16 лет.
Рассмотренная траектория полета
не является самой выгодной по затрате
времени. Можно найти такую траекто-
рию, при движении по которой время
значительно сокращается. Основная
идея состоит в том, чтобы воспользо-
ваться силами притяжения планет,
орбиты которых пересекаются во время
полета, и тем самым значительно уве-
личить среднюю скорость движения и
сократить продолжительность полета.
Например, в одном из возможных
вариантов полета на Уран траектория
проходит вблизи Юпитера, благодаря
чему скорость значительно увеличива-
ется. В результате полет до Урана
будет длиться не 16, а лишь 5 лет.
45. Движение искусственных
спутников Земли
Анализируются отличия законов движения
искусственных спутников Земли от законов
Кеплера и следствия этих отличий.
Отличие законов движения искусствен-
ных спутников Земли от законов Кеп-
лера. Движение искусственных спутни-
ков Земли не описывается законами
Кеплера, что обусловливается двумя
причинами':
1) Земля не является точно шаром
с однородным распределением плотно-
сти по объему. Поэтому ее поле тяго-
тения не эквивалентно полю тяготения
точечной массы, расположенной в гео-
метрическом центре Земли;
2) земная атмосфера оказывает
тормозящее действие на движение ис-
кусственных спутников, вследствие че-
го их орбита меняет свою форму и
размеры и в конечном результате спут-
ники падают на Землю.
248 11. Движение в поле тяготения
120
Изменение трассы спутника вследствие враще-
ния Земли и отклонения ее формы от шарооб-
разной
Стрелка вдоль экватора вправо показывает направ-
ление движения точек земной поверхности из-за ее
вращения вокруг оси. Стрелка влево (на запад)
имеет двоякий смысл: она показывает смешение
трассы спутника на запад и направление вращения
плоскости его орбиты вокруг оси вращения Земли
По отклонению движения спутников
от кеплеровского можно вывести за-
ключение о форме Земли, распределе-
нии плотности по ее объему, строении
земной атмосферы. Поэтому именно
изучение движения искусственных
спутников позволило получить наибо-
лее полные данные по этим вопросам.
Кратко остановимся на них.
Проблема запуска искусственных
спутников рассмотрена в главе о дви-
жении тел переменной массы.
Трасса спутника. Если бы Земля
была однородным шаром и не суще-
ствовало атмосферы, то спутник дви-
jfjf Ввиду того что плоскость вращения спутника
почти неизменна относительно неподвижных
звезд, а Земля вращается, то через один
оборот спутник пересечет некоторую фикси-
рованную широту западнее настолько, на-
сколько за один оборот точка земной по-
верхности на этой широте за счет вращения
Земли переместится относительно неподвиж-
ных звезд в восточном направлении.
гался бы по орбите, плоскость которой
сохраняет неизменную ориентацию в
пространстве относительно системы не-
подвижных звезд. Элементы орбиты в
этом случае определяются законами
Кеплера. Так как Земля вращается,
то при каждом последующем обороте
спутник движется над разными точка-
ми земной поверхности. Зная трассу
спутника за один какой-либо оборот,
нетрудно предсказать его положение
во все последующие моменты времени.
Для этого необходимо учесть, что Зем-
ля вращается с запада на восток с
угловой скоростью примерно 15° в час.
Поэтому на последующем обороте
спутник пересекает ту же широту за-
паднее на столько градусов, на сколь-
ко Земля повернется на восток за
период вращения спутника (рис. 120).
Из-за сопротивления земной атмо-
сферы спутники не могут длительно
двигаться на высотах ниже 160 км.
Минимальный период обращения на
такой высоте по круговой орбите равен
примерно 88 мин, т. е. приблизительно
1,5 ч. За это время Земля поворачива-
ется примерно на 22Д°. На широте 50°
этому углу соответствует расстояние
в 1400 км. Следовательно, можно ска-
зать, что спутник, период обращения
которого Т = 1,5 ч, на широте 50° будет
наблюдаться при каждом последую-
щем обороте примерно на 1400 км за-
паднее, чем на предыдущем.
Однако такой расчет дает достаточ-
ную точность предсказаний лишь для
нескольких оборотов спутника. Если
речь идет о значительном промежутке
времени, то надо принять во внимание
отличие звездных суток от 24 ч. По-
скольку один оборот вокруг Солнца со-
вершается Землей за 365 сут, то за
одни сутки Земля вокруг Солнца опи-
сывает угол примерно в 1° (точнее,
0,99°) в том же направлении, в каком
вращается вокруг своей оси. Поэтому
за 24 ч Земля поворачивается относи-
§45. Движение искусственных спутников Земли 249
тельно неподвижных звезд не на 360°,
а на 361° и, следовательно, совершает
один оборот не за 24 ч, а за 23 ч 56
мин. Поэтому трасса спутника по ши-
роте смещается на запад не на 15° в
час, а на (15 + 1/24)°. Эта поправка
за несколько суток составляет несколь-
ко градусов.
Если бы Земля была однородным
шаром и не имела атмосферы, то опи-
санный метод подсчета давал бы воз-
можность весьма точно предсказать
положение спутника на длительное
время вперед. Однако отличие формы
Земли от шарообразной и неоднород-
ность ее плотности, а также наличие
атмосферы существенно изменяют ха-
рактер движения спутников.
Форма Земли. Уже давно стало яс-
но, что форма Земли отличается от
шарообразной. Первую числовую оцен-
ку величины этого отклонения дал
Ньютон, пользуясь законом всемирного
тяготения. Идея расчета Ньютона бы-
ла проста. Представим себе канал,
идущий от полюса к центру Земли и
оттуда по радиусу к одной из точек
•экватора. Ясно, что давление в каждом
из каналов в центре Земли должно
быть одинаковым. Вследствие враще:
ния Земли вес некоторого элемента
столба жидкости в канале, идущем к
экватору, будет меньше веса соответ-
ствующего элемента столба жидкости
на таком же расстоянии от центра
Земли в канале, идущем к полюсу.
Поэтому для равенства давлений в
центре Земли необходимо допустить,
что канал, идущий к экватору, должен
быть длиннее. Это означает, что Земля
Отклонения формы Земли от шарообразной
удобно представить в виде гармоник, каждая
из которых вносит в орбиту спутника, дви-
жущегося вокруг шарообразной Земли, оп-
ределенные отклонения. Изучая эти измене-
ния в орбите, можно сделать заключение
о величине гармоник, которыми они обус-
ловливаются. Зная гармоники, можно найти
истинную форму Земли.
не является шаром, а сплющена со
стороны полюсов. Сжатие f определя-
ется формулой
f=(Z)3—Dn)/D3, (45.1)
где D3 — экваториальный, Dn — по-
лярный диаметр Земли.
Проделав вычисления с учетом
только что изложенных соображений,
Ньютон получил значение f= 1/298.
Результаты его расчета были опубли-
кованы в 1687 г. В течение всего по-
следующего времени вплоть до настоя-
щих дней сплющенность Земли изуча-
лась экспериментально различными ме-
тодами. Результаты находились вблизи
значения, данного Ньютоном, хотя и
несколько отличались. Наиболее широ-
ко принятой оценкой сжатия Земли
к моменту запуска первых спутников
было значение 1/297,1. Наблюдения за
движением спутников позволили полу-
чить значение этой величины с гораздо
большей точностью и надежностью в
сравнении с изложенными методами и
существенно изменили только что ука-
занную оценку.
Если форма Земли отличается от
шарообразной, то ее поле тяготения не
сводится к полю тяготения материаль-
ной точки, помещенной в центре Земли.
Если полагать форму Земли известной,
то можно рассчитать поле тяготения и
траекторию спутника. Эти вычисления
в настоящее время проводятся только
с помощью ЭВМ. Нам достаточно опи-
сать лишь результат. Если учесть
сплющенность Земли, то плоскость ор-
биты уже не сохраняет неизменного
положения относительно неподвижных
звезд. Она поворачивается вокруг зем-
ной оси в направлении, противополож-
ном вращению спутника. Например,
если спутник движется вокруг земной
оси в восточном направлении (рис.
120), то плоскость орбиты вращается
в западном направлении. Если, не
изменяя плоскости орбиты спутника,
250 11. Движение в поле тяготения
121
Форма первых гар-
моник, характери-
зующих отклонение
земной поверхности
от сферической
изменить направление его вращения на
обратное, то и вращение плоскости
орбиты изменится на обратное. Угол i
между плоскостями орбиты и экватора
(рис. 120) остается постоянным. Если
плоскость орбиты спутника проходит
через ось вращения Земли, т. е. орбита
является строго полярной, то она сох-
раняет свое положение относительно
неподвижных звезд. Скорость враще-
ния плоскости орбиты зависит от сте-
пени сжатия Земли и элементов орби-
ты. Поэтому, измерив элементы орбиты
и скорость вращения ее плоскости,
можно вычислить сжатие Земли.
Кроме вращения плоскости орбиты
сжатие Земли приводит также к дру-
гому эффекту: перигелий орбиты вра-
щается в ее плоскости и вследствие
этого перемещается из северного полу-
шария в южное и наоборот. Скорость
вращения перигелия зависит от сжа-
тия Земли и угла наклона орбиты.
Измерение скорости вращения периге-
лия также позволило найти числовую
оценку сжатия Земли, которая согла-
суется с оценкой сжатия по вращению
плоскости орбиты.
Измерения скоростей поворота пло-
скостей орбит первых спутников при-
вели к выводу, что сжатие Земли за-
ключено между 1/298,2 и 1/298,3. Это
означает, что экваториальный радиус
Земли больше полярного на 42,77 км,
а не на 42,94 км, как это получалось
по существовавшей до этого оценке.
Однако сжатие Земли не является
ее единственным отклонением от шаро-
образной формы. Полное отклонение
от шарообразности может быть мате-
матически представлено в виде суммы
различных регулярных отклонений, на-
зываемых гармониками. Сжатие отно-
сится ко второй гармонике. Третьей
гармоникой является грушевидность,
четвертой — квадратообразность и
т. д. На рис. 121 показано несколько
первых гармоник, сумма которых опре-
деляет реальную форму Земли. Можно
подсчитать, какие изменения в орбиту
спутника вносит каждая из гармоник,
и по результатам наблюдений судить
о роли каждой из них в образовании
формы Земли.
Третья гармоника, характеризую-
щая грушевидность Земли, обусловли-
вает изменение расстояния от периге-
лия до центра Земли в зависимости от
того, в каком полушарии находится
перигелий. При перемещении периге-
лия из одного полушария в другое его
расстояние от центра Земли изменя-
ется. Изучение орбит спутников пока-
§ 45. Движение искусственных спутников Земли 251
зало, что грушевидность Земли состав-
ляет примерно 40 м с вытянутостью в
сторону северного полюса. Это озна-
чает, что поверхность воды океана на
северном полюсе на 40 м дальше от
плоскости экватора, чем уровень моря
в Антарктиде, находящегося под трех-
километровым слоем льда.
Дают свой вклад в изменение эле-
ментов орбиты спутника также и сле-
дующие гармоники. Их учет позволил
с большой точностью определить фор-
му Земли. Ее наиболее существенные
особенности сводятся к сжатию и гру-
шевидной асимметрии между северным
и южным полушариями.
Следующим важным результатом
наблюдений за движением спутников
явилось установление формы экватора.
Уже до запуска спутников имелись
указания на то, что линия экватора
не является точной окружностью. Они
основывались на том факте, что сила
тяготения немного меняется с долго-
той. Но это не приводит к существен-
ным изменениям орбит спутников, по-
тому что вследствие вращения Земли
спутник проходит над всеми долготами
и изменения силы тяготения по долготе
усредняются. Однако это усреднение
происходит посредством небольших
ежедневных колебаний положения
спутников вдоль их траектории с ам-
плитудой в несколько сотен метров.
По этим колебаниям .можно сделать
заключение об изменении силы тяготе-
ния по долготе и о форме экватора.
В первом приближении экватор похож
на эллипс, большая полуось которого
направлена от 20° западной долготы к
160° восточной, а малая полуось — от
110° западной долготы к 70° восточ-
ной. Разница между размерами этих
осей равна примерно 140 м. Однако
эта картина лишь приближенная.
Дальнейшие уточнения формы эквато-
ра были произведены также по наблю-
дениям за движением спутников.
Атмосферное торможение. Вторым
фактором, обусловливающим отклоне-
ние движения спутников от законов
Кеплера, является трение спутников
о земную атмосферу. Плотность воз-
духа с высотой уменьшается почти
по экспоненциальному закону, т. е.
очень быстро. Тем не менее до высот
примерно 160 км плотность воздуха та-
кова, что не дает возможности спутни-
кам существовать сколько-нибудь про-
должительное время, поскольку на та-
кой высоте они быстро теряют энер-
гию на торможение и падают на
Землю. Чем больше высота спутника,
тем более продолжительное время он
существует.
Общий характер изменения орбиты
вследствие торможения состоит в сле-
дующем. Наибольшая потеря энергии
спутника на торможение происходит в
перигелии. Высоты перигелия и афе-
лия уменьшаются, но высота афелия
изменяется более значительно, чем
перигелия, и поэтому вытянутость ор-
биты уменьшается. Скорость движения
спутника по орбите увеличивается, а
период обращения уменьшается. Орби-
та спутника в некоторых своих частях
может оказаться ниже 160 км, тогда
потери энергии на торможение стано-
вятся весьма значительными и он по
быстро приближающейся к Земле тра-
ектории падает на Землю. Однако бла-
годаря наличию защитных покрытий
спутник не сгорает и можно с по-
мощью парашюта произвести его мяг-
кую посадку на земную поверхность.
Траекторию спутника с учетом из-
менения плотности атмосферы по высо-
те можно рассчитать. Поэтому знание
траектории позволяет найти распреде-
ление плотности атмосферы. Наряду с
этим аппаратура, помещенная на спут-
нике, дает возможность изучить также
и многие другие характеристики около-
земного пространства.
О плотности атмосферы судят глав-
252 11. Движение в поле тяготения
ним образом по изменению периода
обращения спутника. Как уже было
сказано, вследствие торможения зем-
ной атмосферой период обращения
спутника (в соответствии с законами
Кеплера) уменьшается, а его скорость
увеличивается. Это обстоятельство,
конечно, не противоречит закону со-
хранения энергии. Дело в том, что пол-
ная энергия спутника слагается из по-
ложительной кинетической энергии и
отрицательной потенциальной, причем
полная энергия является отрицатель-
ной. Вследствие торможения высота
движения спутника уменьшается, при
этом его потенциальная энергия, со-
гласно закону сохранения энергии,
расходуется на совершение работы
против сил трения и увеличение кине-
тической энергии спутника. По скоро-
сти уменьшения периода обращения
спутника можно сделать заключение
о плотности атмосферы. В настоящее
время имеются очень подробные дан-
ные о плотности атмосферы в широком
интервале высот и зависимости плот-
ности от различных факторов, полу-
ченные с помощью спутников.
Геостационарная орбита. Круговая
орбита спутника в экваториальной
плоскости, двигаясь по которой он на-
ходится все время над одной и той же
точкой экватора, называется геоста-
ционарной. Для определения элементов
орбиты имеем два уравнения с двумя
неизвестными
mv2 г тМ-з Т 2лг
~~r~=G~p~' Т=— (45.2)
где v — скорость спутника, г — радиус
синхронной орбиты, Мз=6-1024 кг —
масса Земли, Т=\ сут = 86 400 с. По-
лучаем ^ = 3,07- 103 м/с=3,07 км/с,
г = 4,22-107 м = 42 200 км. Почти поло-
вина земной поверхности может быть
связана со спутником на синхронной
орбите прямолинейно распространяю-
щимися сигналами высоких частот или
световыми сигналами. Поэтому спутни-
ки на синхронных орбитах имеют боль-
шое значение для системы связи.
46. Проблема двух тел
Преобразованием координат проблема двух тел
сводится к задаче одного тела.
Приведенная масса. В рассмотренных
ранее случаях движения под действием
сил тяготения предполагалось, что мас-
са тела, являющегося источником силы
тяготения, много больше массы тела,
движение которого анализируется.
Вследствие этого более массивное тело
можно считать неподвижным и задача
сводится к определению движения ме-
нее массивного тела в заданном поле.
Это проблема одного тела.
Однако такое приближение не всег-
да возможно, т. е. оно не всегда
приводит к пренебрежимо малым
ошибкам. Например, в двойных звез-
дах компоненты зачастую имеют при-
мерно равные массы и ни одну из
компонент нельзя считать неподвиж-
ной. При достаточно точном рассмот-
рении движения Луны вокруг Земли
также надо принять во внимание влия-
ние Луны на движение Земли и т. д. По-
этому возникает задача учета движения
обоих взаимодействующих тел, кото-
рая называется проблемой двух тел.
Пусть два тела массами mi и m2
притягиваются друг к другу силами тя-
готения. Их уравнения движения в
инерциальной системе координат име-
ют следующий вид (рис. 122):
d2r2 п т\Ш2 г
т2т?=-°—7
где г=г2— Г1 — вектор, соединяющий
взаимодействующие тела и направлен-
ный от mi к т2.
§ 46. Проблема двух тел 253
Общий характер движения может
быть изучен с помощью соображений,
изложенных в § 21, относительно дви-
жения системы материальных точек.
Ясно, что точка центра масс, положе-
ние которой характеризуется радиу-
сом-вектором
гц.м=(аП1Г1 + m2r2)/(mi + m2), (46.2)
движется равномерно и прямолинейно,
а тела массами т\ и т2 движутся
таким образом, что в системе центра
масс их суммарный импульс равен
нулю. Момент импульса этих масс в
любой инерциальной системе, в том
числе связанной с центром масс, со-
храняется.
Однако решение задачи двух тел
более удобно не в системе центра
масс, а в системе координат, связанной
с одним из тел, так как в этом случае
задача математически эквивалентна
проблеме одного тела. Для этого раз-
делим уравнения (46.1) соответственно
на mi и m2 и вычтем из второго первое.
Тогда получим
X о,
VQ тхт2 г (46.3)
г2 г
Обозначим сумму обратных масс, стоя-
щую в скобках, через
1 /ц= 1 /mi + 1 /т2, (46.4)
причем ц называется приведенной мас-
сой. Тогда уравнение (46.3) запишется
в виде
(46.5)
Это есть уравнение движения в про-
блеме одного тела, потому что неизве-
стной величиной является один век-
тор г. Решение такого рода уравнения
было подробно рассмотрено в § 44, 45.
Результаты этих параграфов можно
122
К решению задачи
о движении двух
тел
Точка О —’ начало
отсчета радиусов-
векторов
непосредственно применить к (46.5),
приняв лишь во внимание, что сила
взаимодействия определяется массами
mi и т2 взаимодействующих тел, а
инерционные свойства — приведенной
массой ц. При решении задачи одно из
тел, с которым совпадает начало от-
счета радиуса-вектора, принимается за
неподвижное, а движение другого тела
описывается относительно этого тела.
Понятие приведенной массы оказывается
применимым в задачах двух тел и при других
законах взаимодействия, причем не только в
классической, но и квантовой картине взаимодей-
ствия.
Переход в систему центра масс.
После того как в результате решения
уравнения (46. 5) получено изменение
вектора г=г(/), проще всего найти
траектории обеих масс в системе цент-
ра масс. Если обозначить радиусы-
векторы масс mi и т2 через г! и г2,
взяв за начало отсчета этих векторов
точку центра масс, то, по его опреде-
лению, имеем (рис. 122)
Г1 = —----------г, г2=------j---г. (46.6)
тх-\-т2 тх-\-т2
С помощью этих соотношений, зная
г(/), можно вычертить и г2(/).
Траектории обоих тел являются подоб-
ными относительно центра масс, причем
центр подобия находится в центре
масс, а отношение подобия равно отно-
шению масс.
254 11. Движение в поле тяготения
123
Приливная сила обусловлена изменением силы
тяготения с расстоянием
Приливы. При движении в неодно-
родном поле тяготения в телах возни-
кают силы, стремящиеся деформиро-
вать их, а также соответствующие де-
формации.
Проблема двух тел является простейшей
задачей на взаимодействие, «пробным кам-
нем» для теории взаимодействия. В ряде'
случаев она имеет точное решение. Пробле-
ма трех тел значительно сложнее; она не
имеет решения в конечном аналитическом
виде. Ее решение численными методами
значительно упростилось с появлением ЭВМ,
позволяющих найти решение без метода
возмущений.
jf, Приведенная масса больше или меньше
масс тел или заключена между ними?
При каких условиях в проблеме двух тел
одно из взаимодействующих тел можно счи-
тать неподвижным?
Какой вид имеют траектории взаимодей-
ствующих тел в системе центра масс?
В какой системе координат — инерциальной
или неинерциальной — записано уравнение
движения в проблеме двух тел, в которое
входит приведенная масса?
Пусть три материальные точки
массой т каждая, связанные невесо-
мой пружиной, свободно падают в не-
однородном поле тяготения вдоль пря-
мой, соединяющей их центры
(рис. 123), а поле тяготения, в кото-
ром происходит движение, создается
точечной массой. Силы тяготения,
действующие на эти точки, не равны
друг другу: верхняя точка испытывает
меньшую силу тяготения, чем нижняя.
Эта ситуация, как изображено на
рис. 123, эквивалентна следующей:
на все три тела действуют одинако-
вые силы, равные силе, действующей
на среднее тело, и дополнительно на
верхнее тело действует сила, направ-
ленная вверх, а на нижнее тело —
направленная вниз. Следовательно,
пружина должна растянуться. Таким
образом, неоднородное поле тяготения
стремится растянуть материальное те-
ло в направлении неоднородности.
В частности, поле тяготения Солнца
растягивает Землю вдоль линии, сое
линяющей их центры. Аналогичный эф
фект на Землю оказывает и Луна.
Величина эффекта зависит не от силы
тяготения, а от скорости изменения
этой силы.
Движение планеты вокруг Солнца
представляет собой свободное падение.
Она не может упасть на Солнце лишь
из-за наличия касательной скорости,
перпендикулярной линии, соединяющей
центры планеты и Солнца. На небес-
ное тело, движущееся в поле тяготе-
ния другого тела, действует описанная
деформирующая сила.
В поле шарообразного тела сила
тяготения на расстоянии г от центра
равна F= — GMm/r2, а следовательно,
скорость изменения этой силы с рас-
стоянием определяется по формуле
dF / dr=2GMm/r3. Для полей тяго-
тения Солнца и Луны в центре Земли
получаются следующие значения (ве-
личины отнесены к единице массы):
§ 46. Проблема двух тел 255
2GAlc/r3=0,8-10-,3l/c2 и 2бЛ1л/г3=
= 1,8- 10131/с2. Таким образом, «де-
формирующая» сила, действующая на
Землю со стороны Луны, превышает
соответствующую силу со стороны
Солнца более чем в два раза.
Эта «деформирующая» сила не из-
меняет существенно формы твердой
оболочки Земли, поскольку уже ма-
ленькие деформации, возникшие в обо-
лочке, в состоянии компенсировать
действие этой силы. Однако форма
поверхности воды в океанах сущест-
венно изменяется: вдоль неоднородно-
сти поля тяготения появляются «гор-
бы», а в перпендикулярном направле-
нии уровень океана понижается
(рис. 124). Каждый из этих пар «гор-
бов» сохраняет свое положение вдоль
линии, соединяющей центр Земли соот-
ветственно с центрами Солнца и Луны.
Поскольку Земля совершает вращение,
«горбы» и «впадины» перемещаются по
поверхности Земли и вызывают перио-
дическое повышение и понижение
уровня воды в океанах. У берегов
это явление выражается в приливах
и отливах. Расчет показывает, что во
время лунных приливов и отливов уро-
вень воды максимально изменяется на
0,56 м. Это было бы справедливо,
если бы вся поверхность Земли была
покрыта водой. Фактически сложное
влияние масс суши при перемещении
«горбов» и «впадин» поверхности воды
приводит к тому, что уровень ее в
различных местах колеблется от нуля
до 20 м (приблизительно). Очевидно,
•что в течение суток в данном месте
бывает два прилива и два отлива.
Приливы вызывают движение водя-
ных масс в горизонтальном направле-
нии, которое сопровождается трением
и потерей энергии на совершение рабо-
ты против сил трения. В результате
возникает так называемое приливное
трение, из-за которого уменьшается
скорость вращения Земли. Это трение
124
Приливы на Земле, обусловленные полем тяго-
тения Луны
Приливы, вызванные полем тяготения Солнца, в не-
сколько раз меньше
невелико, и скорость изменяется незна-
чительно. Ясно, что потери энергии на
трение имеются при перемещении не
только жидких масс, но и деформа-
ций вдоль поверхности тела, поскольку
на деформации и при ее последующем
устранении всегда теряется часть
энергии (абсолютно упругих тел не су-
ществует). Вследствие приливов, кото-
рые возникали в веществе Луны под
действием силы тяготения Земли, вра-
щение Луны замедлилось настолько,
что она все время обращена одной
стороной к Земле. При такой ситуации
силы приливного трения отсутствуют.
Приливное трение на Земле умень-
шает период ее обращения вокруг оси
на 4,4- 10 8 с за оборот, что подтверж-
дается астрономическими наблюдения-
ми Однако в системе Луна Земля
момент импульса должен сохраняться.
Земля вращается в том же направле-
нии вокруг оси, в каком Луна — во-
круг Земли. Следовательно, уменьше-
ние момента импульса Земли должно
сопровождаться увеличением момента
импульса системы Земля — Луна при
движении вокруг их общего центра
масс. Момент импульса системы Зем-
ля — Луна
L = \ivr, (46.7)
где ц — приведенная масса Земли и
Луны, определяемая формулой (46.4),
256 11. Движение в поле тяготения
г — расстояние между ними. Считая
их орбиты круговыми, можно напи-
сать
бт3тл/г2 = |ыи2/г. (46.8)
Из (46.7) и (46.8) следует:
г = £2/(6т3тл|ы); v=Gm3mn/L. (46.9)
С увеличением L, обусловленным при-
ливным трением, возрастает расстоя-
ние г между Землей и Луной и
уменьшается скорость вращения Луны
вокруг Земли. Скорость увеличения
расстояния в настоящее время при-
мерно 0,04 см/сут. Хотя она и мала,
но за несколько миллиардов лет со-
ставляет величину, сравнимую с со-
временным расстоянием между Землей
и Луной
Задачи
И । Найти отношение времен прохождения участков эллиптической орбиты, разграничиваемых
малой полуосью эллипса.
112, Найти разность времен прохождения участков эллиптической орбиты Земли, разграничивае-
мых малой полуосью эллипса. Эксцентриситет земной орбиты е=0,017.
11 з Период обращения тела по круговой орбите около центра тяготения равен Т. Вычислить время
падения тела с орбиты на центр тяготения, если бы скорость тела мгновенно стала равной
нулю.
И 4 Тело движется по круговой орбите радиусом г около центра тяготения. Период обращения Т.
В некоторой точке орбиты направление скорости мгновенно изменяется на угол, меньший л,
без изменения модуля скорости. По какой траектории и с каким периодом будет двигаться
тело после этого?
11,5 Минимальное расстояние I приближения кометы к Солнцу меньше, чем радиус земной орби-
ты г3 (т. е. /<г3). В течение какого времени расстояние от кометы до Солнца меньше г3?
II g При движении тела в центральном поле тяготения производится мгновенное изменение зна-
чения его скорости на бгл в перигелии (и) и на 6^2 в афелии (г2) без изменения направления.
У новой орбиты значения г} и г2 будут иными. Чему равны 6ri и бгг?
И 7 Снаряд выстреливается с поверхности земли вертикально вверх с начальной скоростью и.
При достижении верхней точки траектории он в результате внутреннего взрыва распадается
на две равные части, движущиеся в начальный момент со скоростями и. Каково максимально
большое расстояние между точками падения этих частей снаряда на землю?
Ответы
11.1. (л-|-2е)/(л — 2е). 11.2. ^4 сут. 11.3. Т j/2~/8. 11.4. По эллипсу с осью 2r; Т.
11.5. /2(1 — //r3) (1 -|- 2//г3/(Зл) года. 11.6. бг| = 46^2^1/[(1 4* е)и2], 6г2 =
= 46щг2/[(1—Н.7. 2uv/g при u^v\ (и2v2)/g при и v.
47. Свойства электромагнитных сил
Описываются свойства электромагнитных сил
Сила Лоренца. На точечный заряд q
в электромагнитном поле действует си-
ла Лоренца
12
F=^E + ^vXB, (47.1)
где Е, В, v — напряженность электри-
ческого поля, индукция магнитного по-
ля и скорость точечного заряда q.
В соответствии с (47.1) сила F
состоит из двух слагаемых, каждое из
которых по-разному влияет на движе-
ние заряда. Описываемая вторым
слагаемым, сила
Fm=7vX В,
(47.2)
которую для краткости называют маг-
нитной, направлена перпендикулярно
скорости частицы. Это означает, что
она направлена перпендикулярно пере-
мещению частицы и, следовательно, не
производит работы:
бЛ m= Fm. dr = F • vdt=q(y X B) • vdt=O,
где dr = ud/— перемещение заряда за
время dt, а смешанное произведение
(vXB)-v = 0, так как его два сомно-
жителя коллинеарны. Таким образом,
магнитная сила не изменяет кинети-
ческой энергии заряда, т. е. не изме-
няет модуля его скорости, а изменяет
лишь направление скорости. Описывае-
мая первым слагаемым в (47.1) сила
Fe=^E, (47.3)
которую для краткости называют элект-
рической, может быть произвольно
ориентирована относительно скорости
частицы. Производимая ею работа при
смещении заряда q на dr=vd/ равна
dAe=Fe-dr = ^E- vd/.
Работа электрической силы может
быть как положительной, так и, отри-
цательной и нулевой. Нулевой она
ДВИЖЕНИЕ
В ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ПОЛЯХ
Э л ектромагниткые z^-
лы имеют определяющее влияние на
движение заряженных частиц в обла-
стях, пространственные масштабы кото-
рых больше размеров ядра, но меньше
астрономических размеров. В субатом-
ных масштабах проявляются сильные
(ядерные) и слабые взаимодействия,
а в астрономических — гравитацион-
ные.
47
Свойства электромагнитных сил
48
Движение в стационарных электрических
и магнитных полях
49
Движение в переменных электромагнитных
полях
9—-853
258 1 2. Движение в электромагнитных полях
является при перпендикулярности на-
пряженности электрического поля и
скорости частицы. При E-v>0 работа
положительна для положительного за-
ряда и отрицательна для отрицатель-
ного. Следовательно, при этом условии
энергия положительного заряда и мо-
дуль его скорости увеличиваются, а у
отрицательного — уменьшаются. При
E*v<0 работа положительна для от-
рицательного заряда и отрицательна
для положительного и, следовательно,
модуль скорости отрицательного заря-
да увеличивается, а положительного —
уменьшается.
Таким образом, при движении в
электромагнитном поле изменение мо-
дуля скорости происходит только в ре-
зультате действия электрической силы,
а изменение направления скорости —
в результате действия как электриче-
ской силы, так и магнитной.
Потенциал электростатического по-
ля. Сила взаимодействия неподвижных
точечных зарядов описывается законом
Кулона
1 q\q2
4л£о Г?2
(47.4)
Как было выяснено в § 25 [см. (25.32)],
силы, убывающие обратно пропорцио-
нально квадрату расстояния, являются
потенциальными. Любое электростати-
ческое поле может быть представлено
в виде суперпозиции полей неподвиж-
ных зарядов и, следовательно, являет-
ся потенциальным. Поэтому потен-
При движении заряда в электромагнитном
поле изменение модуля скорости происходит
только в результате действия электрической
силы, а изменение направления скорости —
в результате действия как электрической
силы, так и магнитной.
♦ Напишите релятивистское уравнение движе-
ния в таком виде, чтобы в него в явном виде
входило ускорение частицы, и, пользуясь
этим уравнением, проанализируйте соотно-
шение между направлениями силы и уско-
рения.
циальная энергия точечного заряда q
в поле может быть представлена в
виде
fn(r)=<7<p(r), (47.5)
где <р — потенциал в точке нахожде-
ния заряда q. Отсюда в соответствии
с (25.20) действующая на него элект-
рическая сила может быть вычислена
по формуле
Fx=qEx= — dEn/ дх= — qdq/dx,
Fy= — qdq/dy, Fz = — 'qdq)/dz. (47.6)
Методы вычисления потенциала,
так же как и напряженности электри-
ческого поля и индукции магнитного
поля, рассматриваются в теории элек-
тричества и магнетизма. В механике
поля считаются известными.
Уравнение движения. Для электро-
магнитного поля оно имеет вид
dp/d t = <7E + <7vXB = F. (47.7)
Это уравнение справедливо длй произ-
вольных скоростей.
Как было отмечено в § 20, в реля-
тивистском случае направление ускоре-
ния материальной точки не совпадает
с направлением действующей силы.
Поэтому, зная направление силы и ско-
рости точки, можно легко увидеть, как
изменяется импульс, но не сразу оче-
видно, как изменяется скорость. По-
этому преобразуем уравнение (47.7) к
другому виду. Учитывая, что p=mv==
mov/ /1—у2/с2, можем написать
dp dm . dv ,
_£.==__V-|-/n—. (47.8)
Из равенства (33.3) следует, что
d ( m0c2 \___r2 dm__p dr__F
dA/r^J d/ -d/ (479)
и, следовательно,
dm/d/=F-v/c2. (47.10)
§ 48. Движение в стационарных электрических и магнитных полях 259
Уравнение движения (47.7) принимает
вид
(47.11)
Видно, что ускорение совпадает с
силой только тогда, когда сила пер-
пендикулярна скорости. В других слу-
чаях к ускорению по направлению си-
лы добавляется ускорение, коллинеар-
ное скорости. Оно имеет порядок
v2/с2 относительно ускорения по на-
правлению силы и при нерелятивист-
ских скоростях пренебрежимо мало.
48. Движение в стационарных
электрических и магнитных
полях
Рассматриваются наиболее характерные осо-
бенности движения заряженных частиц в ста-
ционарных электрических и магнитных полях.
Движение в однородном магнитном
поле. При рассмотрении движения за-
ряда в магнитном поле удобно ско-
рость v представить в виде суммы
скоростей параллельно магнитному по-
лю Ун и перпендикулярно ему v±
(рис. 125):
V=VJ_ + V||. (48.1)
Сила Лоренца, действующая на за-
ряд, равна
F=e(vj.+vii)XB=ev±XB4-
4-evnXB=ev±XB, (48.2)
откуда следует, что составляющая
силы Лоренца вдоль магнитного поля
равна нулю, т. е.
Fn=e(vXB)n=0; (48.3)
составляющая, перпендикулярная маг-
нитному полю,
Fj.=ev±XB (48.4)
зависит лишь от перпендикулярной со-
ставляющей скорости.
9*
125
Разложение вектора скорости заряда, движу-
щегося в магнитном поле, на две составляющие:
вдоль индукции В магнитного поля и перпенди-
кулярно ей
Из постоянства модуля скорости
заряда при движении в стационар-
ном магнитном поле следует, что
и масса носителя заряда, равная т=
= m0//l — также постоянна.
Поэтому уравнения движения для па-
раллельной и перпендикулярной со-
ставляющих скорости имеют вид
т-^=0; (48.5а)
01
m-^!-=evj.XB. (48.56)
Из (48.5а) следует, что
Vii~ const.
(48.6)
Для анализа движения перпенди-
кулярно магнитному полю рассмотрим
уравнение (48.56). Имеем
v2=у±4- v2=const, (48.7)
откуда с учетом (48.6) получаем
const
(48.8)
Посмотрим более внимательно на
(48.56) (при уц=О). Угол между век-
торами v± и В остается постоянным и
равным л/2. Модули v± и В не изме-
няются. Сила в правой части (48.56)
перпендикулярна скорости и постоянна
по модулю. Следовательно, это урав-
нение описывает движение с постоян-
ным ускорением, направленным все
260 1 2. Движение в электромагнитных полях
126
К определению направления вращения отрица-
тельно заряженной частицы в магнитном поле
индукции В
время перпендикулярно скорости, т. е.
движение по окружности. Левая часть
(48.56) выражает произведение массы
частицы на центростремительное уско-
рение и±/г, где г — радиус окружно-
сти, а правая часть — силу |е| v±B,
обусловливающую центростремитель-
ное ускорение. Поэтому можно запи-
сать
mv2±/r= |е| v ±В. (48.9)
▲дибатическим называется изменение, про-
исходящее достаточно медленно в сравне-
нии с изменениями, характерными для рас-
сматриваемого явления. Поэтому один и тот
же процесс в одних случаях можно рассмат-
ривать как адиабатический, а в других —
нельзя.
Дрейф заряда в постоянном магнитном поле
является следствием изменения радиуса кри-
визны траектории, происходящего из-за из-
менения энергии частицы, обусловленного
наличием постоянного электрического поля.
Дрейф заряда в неоднородном магнитном
поле является следствием изменения радиуса
кривизны траектории, обусловленного непо-
стоянством магнитного поля.
От областей сильного увеличения магнитного
поля происходит «отражение» частиц, траек-
тории которых вьются вокруг силовых линий.
Это явление используется для запирания
заряженных частиц в конечных объемах.
В магнитном поле Земли заряженные части-
цы, вращась вокруг линий индукции, пере-
мещаются в меридиональном направлении
с севера на юг и с юга на север, испытывая
последовательные отражения от участков
увеличенного магнитного поля вблизи полю-
сов. Одновременно они смещаются сводного
меридиана на другой, двигаясь вдоль парал-
лелей вокруг Земли.
Это уравнение содержит в себе полную
характеристику движения заряженной
частицы по окружности в плоскости,
перпендикулярной однородному маг-
нитному полю.
Направление вращения зависит от
знака заряда. Из уравнения (48.56)
можно заключить, что направление
вращения отрицательного заряда свя-
зано с направлением магнитного по-
ля В правилом правого винта, а поло-
жительного заряда — правилом левого
винта (рис. 126).
Из уравнения (48.9) получаются
выражения для угловой частоты вра-
щения и радиуса орбиты:
___ 2л 2л ____________ v± |е|В
Т 2nr/v^_ г m '
v±____mv±
со |е|В ’
(48.10)
Полное движение заряженной ча-
стицы в однородном постоянном маг-
нитном поле слагается из равномер-
ного движения вдоль поля и враще-
ния в плоскости, перпендикулярной
ему. Это означает, что частица дви-
жется по спирали, шаг которой
/=уцТ=У||-2л/й). (48.11)
Движение в поперечном неоднород-
ном магнитном поле. В общем виде
эта задача достаточно сложна, и мы
ограничимся лишь случаем, когда за-
ряженная частица движется, не сильно
отклоняясь от прямолинейной траекто-
рии, все время приблизительно перпен-
дикулярно магнитному полю, которое
постоянно по направлению, но меня-
ется по значению. Пусть оно задается
формулами (рис. 127)
Bx=B(z), By=Bz=0. (48-12)
Будем считать, что частица движется
вдоль оси Z. В этом же направлении
изменяется по произвольному закону
величина магнитного поля B(z) В мо-
§ 48. Движение в стационарных электрических и магнитных полях 261
мент /=0 частица находится в начале
координат и имеет скорость v в сторо-
ну положительных значений оси Z.
Как непосредственно видно, сила Ло-
ренца в этом случае все время дейст-
вует в плоскости (У, Z) и, следователь-
но, движение частицы совершается в
этой плоскости. Рассматриваются лишь
малые отклонения частицы от оси Z.
Это означает, что скорость вдоль
оси Z много больше, чем скорость
вдоль оси У:
(vy/vz)<^\. (48.13)
Поэтому постоянную в магнитном поле
скорость v можно представить в виде
v= )/Vz+yy=fz(l+-^-) ' «
(48.14)
где произведено разложение квадрат-
ного корня в ряд и сохранен лишь пер-
вый по (t^/^z) член разложения. От-
сюда видно, что с точностью до малых
значений (^/vz<Cl) скорость частицы
вдоль оси Z не изменяется, т. е.
v = const.
(48.15)
Теперь распишем уравнение движе-
ния (47.7) в координатах, воспользо-
вавшись формулой для векторного
произведения:
d2x n d2z/ о
"^=0' т^-=т-в-
И-S—ev,B. (48.16)
dr у
Ввиду малости vy в сравнении с vz
сила в уравнении для z-й координаты
много меньше силы в уравнении для
у-й координаты. Поэтому, учитывая
(48.15), можно силу в правой части
Третьего уравнения (48.16) считать
равной нулю и записать его в виде
m(d2z/d/2)=0.
127
Траектория движе-
ния заряженной
частицы в попереч-
ном магнитном по-
ле
Задав начальные условия
х(0)=0, £/(0)=0, z(0)=0,
dx(O)/df=O, dr/(O)/d/=O, dz(0)/d/=v,
(48.17)
для x(t) и z(t) получим следующие
выражения:
х(/)=0, z(t)=vt, (48.18)
а используя формулы
dt/ _ di/ dz dy d2y d2y 2
dt dz dt dz ’ d/2 dz2
(48.19)
уравнение для у можно переписать
в виде
а2у
dz2
е
mv
(48.20)
Решение этого уравнения после
двух последовательных интегрирова-
ний имеет вид
£/(z0)=[e/(m^)]Z?, (48.21)
где
Zo В 2о
b = $ dg $ B(r])dr) = $ (z0 — Т))В(Т])dл
0 0 о
(48.22)
— постоянная, определяемая конфигу-
рацией поля, через которое пролетает
заряженная частица. Она в данной
задаче считается известной величиной.
Измерив отклонение y(zo) и зная
скорость v движения частицы, можно
найти отношение е/т. Именно таким
способом было определено отношение
заряда к массе электрона в одном из
262 12. Движение в электромагнитных полях
самых ранних измерений этого отно-
шения.
Движение в электрическом про-
дольном поле. Пусть ось z параллельна
силе, действующей на заряд со сторо-
ны электростатического поля. Скорость
частицы также направлена вдоль
оси z, а ее значение в каждой точке
может быть определено по закону со-
хранения энергии, т. е. известно v=*
=v(z). Это дает возможность найти
также зависимость положения частицы
от времени z(t), поскольку
dz/dt=v(z). (48.23)
Стоящая в правой части этого уравне-
ния функция (скорость) известна. По-
этому если точка в момент /о имеет
координату 2о, то в момент t она будет
иметь координату z, причем из (48.23)
Zo
dz
y(z)
t
5 dt=t — to.
to
(48.24)
Вычислив интеграл в левой части,
мы получим в неявном виде зависи-
Какое свойство сил, действующих на заряд
со стороны магнитного поля, обусловливает
неизменность модуля скорости заряда при
движении в этом поле?
Чем определяются параметры спирали, по
которой движется заряд в однородном маг-
нитном поле?
От чего зависит направление вращения заря-
да в магнитном поле?
Чем отличаются движения заряда в одно-
родном магнитном поле в релятивистском и
нерелятивистском случаях?
Опишите механизм возникновения дрейфа
заряженных частиц в скрещенных электри-
ческом и магнитном полях.
Зависит ли направление дрейфа в скрещен-
ных полях от знака заряда?
Можете ли Вы записать закон сохранения
энергии при движении заряда в стационар-
ном электрическом поле? Чем отличается в
заданном поле движение зарядов различных
знаков?
Что такое электрон-вольт? Можно ли поль-
зоваться этой единицей энергии, если за си-
стему единиц принята Международная си-
стема единиц (СИ)? Что такое внесистемные
единицы?
мость z(t). Например, в нерелятивист-
ском случае закон сохранения энер-
гии записывается в виде
mv* I 2 * * * * * В/2+e(p=Eo=const (48.25)
и поэтому
С_______dz_____
I /2[E0-e<p(z)]/m
Знак корня должен быть таким,
чтобы соответствовать знаку скорости
при выбранном направлении положи-
тельных значений оси z.
Совершенно аналогично рассматри-
вается движение и в релятивистском
случае, надо лишь при вычислении ско-
рости пользоваться законом сохране-
ния энергии в виде
+е<Р=const. (48.27)
y\—v2/c2
Принципиальных различий в ход реше-
ния задачи это не вносит.
Движение в электрическом попе-
речном поле. Пусть начальная ско-
рость частицы направлена вдоль оси Z,
а электрическое поле — вдоль оси X.
В результате частица описывает неко-
торую траекторию в плоскости (X, Z).
Характер движения частицы в этом
случае существенно различен в реля-
тивистском и нерелятивистском слу-
чаях.
В нерелятивистско.м случае движение
можно представить состоящим из двух
независимых движений: 1) вдоль оси Z
с постоянной скоростью, равной на-
чальной ио, и 2) вдоль оси X под дейст-
вием силы со стороны электрического
поля с начальной скоростью в этом
направлении, равной нулю. Таким об-
разом, в момент t координата частицы
равна z=vot, а координата х может
быть найдена по формулам, которые
только что были получены для движе-
ния в продольном электрическом поле,
поскольку движения вдоль осей X и Z
между собой никак не связаны.
§48, Движение § стационарных электрических и магнитных нолях 263
В релятивистском случае такое про-
стое рассмотрение движения, как со-
стоящего из двух независимых движе-
ний во взаимно перпендикулярных
направлениях, невозможно. Это обус-
ловливается несовпадением направле-
ния ускорения и силы (см. § 20),
вследствие чего сила, действующая
вдоль оси X, вызывает ускорение так-
же и вдоль оси Z и движения вдоль
осей X и Z оказываются взаимно за-
висимыми. Формулы значительно услож-
няются. Поэтому ограничимся лишь
сделанным замечанием, характеризую-
щим принципиальную сторону реляти-
вистского движения.
Случай малого отклонения. Пред-
положим, что траектория частицы
мало отличается от прямой линии, т. е.
радиус кривизны траектории много
больше ее длины. Пусть электрическое
поле направлено вдоль оси X, а маг-
нитное поле отсутствует (рис. 128):
Ey=Ez=0, Ех=Е2, (48.28)
причем модуль вектора Е, вообще го-
воря, изменяется вдоль оси Z т. е.
E = E(z). Уравнения движения и на-
чальные условия имеют следующий
вид:
mB-~=eE(z), пю^=0, то-^-=О,
x(0)=y(0)=z(0)=0. ^=0,
=0, (48.29)
При решении этой задачи можно вос-
пользоваться теми же соображениями
и преобразованиями переменных, ко-
торые были описаны в связи с урав-
нениями (48.16). Разница состоит
лишь в том, что теперь вместо (48.20)
получаются уравнения
-^-=—^-£(2), -^М=о, х(0)=0.
dz2 mv2 dz ’ v /
(48.30)
128
Траектория движе-
ния заряженной
частицы в попереч-
ном электрическом
поле
129
Дрейф заряженной
частицы в скрещен-
ных электрическом
и магнитном полях
Решение полностью аналогично фор-
муле (48.21):
x(zo)=ea/(mv2),
где
а— § £(n)dn=S О —
0.0 о
(48.32)
(48.31)
зависит только от конфигурации элект-
рического поля.
Дрейф в скрещенных электриче-
ском и магнитном полях. Если имеются
одновременно электрическое и магнит-
ное поля, то движение значительно
264 12. Движение в электромагнитных полях
усложняется. Возьмем простейший
случай, когда эти поля перпендикуляр-
ны друг другу, причем их величина
такова, что радиус кривизны траек-
тории частицы много меньше линейных
размеров области движения, т. е. маг-
нитное поле достаточно велико. Следо-
вательно, частица в области движения
совершает большое количество оборо-
тов. При этих обстоятельствах возни-
кает явление дрейфа заряженных ча-
стиц.
Пусть имеются однородные скре-
щенные поля (E_LB), изображенные
на рис. 129. Общий характер движе-
ния может быть выяснен с помощью
чисто качественных соображений без
решения уравнений. Будем для опре-
деленности считать заряд частицы по-
ложительным (е>>0). В отсутствие
электрического поля в постоянном маг-
нитном поле частица движется по
окружности с постоянной скоростью v
(рис. 129, а). При наложении электри-
ческого поля, перпендикулярного маг-
нитному, скорость частицы становится
переменной. При смещении в направ-
* В чем состоит механизм возникновения
'дрейфа в неоднородном магнитном поле?
Зависит ли направление дрейфа от знака
заряда? Как?
Каким образом кривизна линий магнитной
индукции приводит к возникновению дрейфа
заряженных частиц?
Из-за каких обстоятельств заряженная части-
ца при движении вокруг силовой линии
сходит с нее?
От какой энергии зависит магнитный момент
вращения частицы в магнитном поле?
Что такое адиабатическая инвариантность
магнитного момента?
Из каких соображений следует, что частицы
движутся по поверхности магнитной трубки?
Как объясняется действие «магнитных зер-
кал» сохранением магнитного момента и
непосредственным рассмотрением действую-
щих на заряд сил со стороны магнитного
поля?
Что такое конус потерь?
Как движутся заряженные частицы в радиа-
ционных поясах Земли?
Под действием каких факторов частицы в
радиационных поясах Земли перемещаются
по долготе вокруг Земного шара?
лении действия электрической силы F6
ее скорость возрастает, а радиус кри-
визны траектории частицы увеличива-
ется (верхние полуокружности на рис.
129,6). После изменения направления
скорости на обратное частица движет-
ся против электрической силы, вслед-
ствие чего ее скорость, а следователь-
но, и радиус кривизны траектории
уменьшаются (нижние полуокружно-
сти на рис. 129, 6). Движение с малым
радиусом кривизны происходит на
меньшем участке траектории, в резуль-
тате чего за один полный оборот
частица смещается в направлении,
перпендикулярном как электрическо-
му, так и магнитному полю. Это дви-
жение называется дрейфом.
Дрейф в скрещенных электрических
и магнитных полях не зависит от знака
заряда.
Если заряд частицы отрицателен
(е<0), то направление вращения
частицы в магнитном поле меняется на
обратное, т. е. на рис. 129, а частица
должна была бы вращаться не по ча-
совой стрелке, а против нее. Направ-
ление силы со стороны электрического
поля также изменится на обратное,
т. е. вниз на рис. 129,6. Поэтому в
нижней части траектории радиус кри-
визны будет больше, чем в верхней,
а дрейф происходит в ту же сторону,
что и при положительном знаке за-
ряда.
Дрейф можно представить себе как
движение по окружности вокруг центра,
который смещается со скоростью дрей-
фа уд. Для ее вычисления необходимо
решить уравнение движения
m0-^=eE + evXB (48.33)
at
в заданном поле. Будем искать это
решение в виде
v=v' + B“2EXB, (48.34)
где v' — неизвестная переменная ско-
рость, а величина
§ 48. Движение в стационарных электрических и магнитных полях 265
Уд=В“2ЕХВ (48.35)
— постоянная скорость, которая, как
это сейчас будет видно, и является
скоростью дрейфа. Подставив (48.34)
в (48.33), получим
dZ (48.36)
+ (е/В2){В(Е. В) - EB2}=ev'X В,
где использована формула разложения
для двойного векторного произведения
(ЕХВ)ХВ = В(Е-В)— Е(В-В) и учте-
но, что скалярное произведение векто-
ров Е и В равно нулю в силу их ортого-
нальности. Уравнение (48.36) для век-
тора Vх
m0-^-=ev'XB (48.37)
совпадает с уравнением (48.56), описы-
вающим равномерное движение по ок-
ружности. Следовательно, вектор v' —
скорость этого движения. Радиус ок-
ружности и частота вращения даются
формулами вида (48.10). Центр окруж-
ности движется со скоростью дрейфа
уд, выражаемой формулой (48.35).
По абсолютному значению она равна
ид = В-2|ЕХВ| = Е/В,
(48.38)
а по направлению перпендикулярна
Е и В. Формула (48.35) непосредствен-
но показывает, что скорость дрейфа не
зависит ни от знака заряда, ни от его
величины, а также и от массы частицы.
Это обстоятельство весьма существен-
но, поскольку дрейф тяжелых частиц,
например протонов, оказывается анало-
гичным дрейфу легких частиц, например
электронов, имеющих заряды противо-
положного знака. Поэтому если имеется
плазма, состоящая из протонов и элект-
ронов, заряды которых взаимно компен-
сируют друг друга, то при помещении ее
в скрещенном электромагнитном поле
она приобретает общее движение со
скоростью дрейфа. Каких-либо сил,
130
Дрейф заряженной частицы в неоднородном
магнитном поле
Стрелка вверх указывает направление, в котором
увеличивается абсолютное значение магнитного поля
(grad |В|)
К вычислению скорости дрейфа в неоднородном
магнитном поле
стремящихся разделить положительно и
отрицательно заряженные компоненты
плазмы, при этом не возникает.
Дрейф в неоднородном магнитном
поле. Рассмотрим магнитное поле, ли-
нии индукции которого параллельны
друг другу, а величина поля изменяется
в направлении, перпендикулярном по-
лю. Если бы поле было однородным,
то заряженная частица двигалась бы по
окружности. Однако вследствие неодно-
родности поля радиус кривизны траек-
тории при движении изменяется: там,
4Й 12. Движение в электромагнитных полях
К вычислению среднего расстояния точек окруж-
ности от диаметра
где поле больше, радиус кривизны
меньше, и наоборот. Таким образом,
полностью повторяется картина, кото-
рая имеет место в скрещенных полях,
с тем лишь отличием, что в рассматри-
ваемом случае радиус кривизны траекто-
рии меняется вследствие изменения не
энергии частицы, а величины магнит-
ного поля в разных точках траектории.
Дрейф частицы происходит в на-
правлении, перпендикулярном как маг-
нитному полю, так и тому направлению,
в котором магнитное поле неоднородно.
Картина дрейфа изображена на рис. 130.
Как это непосредственно видно на ри-
сунке, частицы с различным знаком
заряда дрейфуют в различных направ-
лениях.
Точное вычисление скорости дрейфа
в этом случае довольно сложно, но
можно произвести более простое при-
ближенное вычисление, которое дает
достаточно точный результат. Предпо-
ложим, что вместо непрерывного роста
магнитного поля его индукция изме-
няется скачком вдоль линии АЛ\
(рис. 131), причем В1>Вг. В каждой из
полуплоскостей частица движется по
окружностям, но радиусы их различны
На рис. 131 непосредственно
видно, что за одно вращение, состоя-
щее из двух движений по полуокруж-
ностям разного радиуса, смещение точ-
ки, вокруг которой происходит враще-
ние, равно 2(7?2—/?1) Если через Т\ и Т2
обозначить полные периоды соответст-
вующих вращений с радиусами /?| и /?2,
для скорости дрейфа можно написать
выражение
’ (48.39)
Выражая периоды вращения Т\ и Т2
и радиусы орбит /?] и /?2 через индукцию
поля по формулам (48.10), преобразуем
(48.39) к виду
"-ЧИт^) <48-40’
Теперь вычислим среднее расстояние
точек полуокружности траектории от
диаметра, на котором происходит скач-
кообразное изменение поля. Очевидно,
имеем (рис. 132):
$ sin2Od0=
о
d=/?sin0, x=/?cos9,
S d-d.
<d>=^_
у dx
-R
л
=4$(1-cos20)de=4ft. (48.41)
0
Поэтому в первом приближении можно
написать
л mQv3 дВ
4 е BiB2 ду ’
(48.42)
где В — индукция поля на средней ли-
нии в том случае, если бы поле менялось
не скачкообразно, а плавно. Далее при
том же предположении можно написать
приближенно
Bi + B2«2B, BiB2«B2. (48.43)
Подставляя (48.43) и (48.42) в (48.40),
окончательно для скорости дрейфа най-
дем следующую формулу:
Ек и — . .. .. дВ
Tip dy ’
(48.44)
где EK=mov2/2 — кинетическая энер-
гия частицы. Дрейф перпендикулярен
§ 48. Движение в стационарных электрических и магнитных полях 267
вектору В магнитного поля и направле-
нию максимального изменения модуля
индукции магнитного поля. В векторной
форме равенство (48.44) можно перепи-
сать так:
р
^=-^HbiXgradIBIL (48.45)
где bi = B/B — единичный вектор
вдоль магнитного поля, gradlВ| — век-
тор, направленный в сторону максималь-
ного возрастания модуля вектора В и
равный производной от |В| в этом
направлении.
Формула (48.45) выведена в первом
приближении. Это означает, что изме-
нение магнитного поля на расстояниях
порядка радиуса орбит должно быть
малым в сравнении с индукцией поля.
Математически это условие может быть
записано следующим образом:
(48 46)
Дрейф, обусловленный кривизной
линии магнитной индукции. В общем
случае линии индукции неоднородного
магнитного поля не являются прямыми.
Они представляют собой изогнутые ли-
нии, каждая точка которых имеет опре-
деленный радиус кривизны. Заряжен-
ная частица вращается вокруг центра,
который как бы закреплен на линии
и движется вдоль нее. Поэтому ок на-
зывается ведущим центром. Траектория
частицы является спиралью, навиваю-
щейся на линию магнитной индукции
(рис. 133). Свяжем систему координат
с ведущим центром. В этой системе
координат на частицу действует центро-
бежная сила инерции Fu6, эквивалент-
ная действию электрического поля вели-
чины ЕэФ=Риб/е. Таким образом, части-
ца движется как бы в скрещенных по-
лях. Этот случай только что был рас-
смотрен. Частица должна дрейфовать в
направлении, перпендикулярном как В,
так и FU6, т. е. перпендикулярно пло-
133
Дрейф заряженной частицы, обусловленный кри-
визной магнитной линии
Система координат, связанная с центром вращения
частицы, является неинерциальной, и в ней возникает
центробежная сила инерции Fu б
скости (рис. 133). Скорость дрейфа
легко найти. Известно, что центробеж-
ная сила определяется по формуле
Лрб— nw>/R = еЕ^- (48.47)
где u1S — проекция скорости частицы
на направление магнитного поля. Под-
ставляя из (48 47) в (48 38), полу-
чим выражение для скорости дрейфа,
обусловленного кривизной магнитной
силовой линии:
71 „ — _ m0L’j| _ _ 2Ек, _ _,2
eBR eBR (dR ’
где Гц=тоУу/2 — кинетическая энер-
гия движения вдоль силовой линии,
(48.48)
<»> — круговая частота вращения части-
цы.
Это* зрейф складывается с дрейфом,
обусловленным неоднородностью маг-
нитного поля, скорость которого описы-
вается формулой (48.45).
На основании изложенного можно
сказать, что движение частицы в маг-
нитном поле состоит из трех составляю-
щих:
1) вращения вокруг силовой линии;
2) движения ведущего центра вдоль
силовой линии;
3) дрейфа ведущего центра в на-
правлении. перпендикулярном векто-
ру В магнитного поля и градиенту
268 1 2. Движение в электромагнитных полях
134
Имеющееся магнитное поле порождает вихревое
электрическое поле
Направления изменений магнитного и электрическо-
го полей связаны правилом левого винта
модуля индукции, т. е. перпендикулярно
плоскости, в которой вблизи данной
точки лежит линия магнитной индук-
ции.
Магнитный момент. Во многих прак-
тически важных случаях магнитное по-
ле мало меняется на расстояниях поряд-
ка радиуса траектории частицы. По ана-
логии с магнитным моментом круго-
вого тока, можно говорить о магнитном
моменте частицы, движущейся в маг-
нитном поле. Целесообразность введе-
ния такого понятия оправдывается тем
фактом, что в медленно меняющихся
магнитных полях этот магнитный мо-
мент сохраняет свое значение и его
использование значительно упрощает
анализ движения.
Магнитный момент рт кругового
тока силы /, по определению, равен
pm=/S, (48.49)
где S — площадь, обтекаемая током.
Заряд |е|, движущийся по окружности
радиуса R и имеющий период враще-
ния Ту аналогичен круговому току силы
\е\/Т. Следовательно, магнитный мо-
мент заряженной частицы в соответ-
ствии с формулой (48.49) может быть
записан в виде
рт=(|е|/7>/?2. (48.50)
Учитывая, что
Т=2л/?/и±, R=mvr/{\e\B\ (48.51)
получаем окончательно для магнитного*
момента частицы следующее выраже-
ние:
рт=1 /2тЛ/В=ЕК±/В, (48.52)
где EK±=mv2±/2 — кинетическая энер-
гия, соответствующая составляющей
скорости в плоскости, перпендикуляр-
ной магнитному полю.
Адиабатическая инвариантность
магнитного момента. Адиабатическая
инвариантность магнитного момента
означает сохранение его значения в маг-
нитных полях, медленно изменяющихся
либо во времени, либо в пространстве.
Рассмотрим сначала случай измене-
ния магнитного поля во времени
(рис. 134). Пусть поле В растет в ука-
занном на рисунке направлении. Тогда,
по закону электромагнитной индукции
Фарадея, на частицу, двужущуюся по
окружности, действует вихревое элект-
рическое поле Е, направленное вдоль
нее и равное
£==i^-=447-’ <48-53>
где магнитный поток Ф = л/?2В (по ус-
ловию, расстояниях порядка радиуса
орбиты индукция магнитного поля ме-
няется незначительно и, следовательно,
поле можно считать однородным). За
один оборот частицы это поле сообщает
ей энергию
A(72mu2±)=2^/?E|e| = |e|n/?2(dB/dO.
(48.54)
Медленность изменения по времени
означает, что за время одного оборота
частицы по окружности индукция маг-
нитного поля меняется незначительно.
За время одного оборота энергия
частицы меняется мало, и поэтому мож-
но разделить обе части равенства
§ 48 Движение в стационарных электрических и магнитных полях 269
(48.54) на Т и, учитывая (48.50), запи-
сать
Ня/?2 dB dB м я
Выражая энергию ти±/2 по формуле
(48.52), уравнение (48.55) представим в
виде
135
Отсюда следует
dpm/d/ = O, pm = const, (48.56)
что и требовалось доказать.
Теперь рассмотрим случай простран-
ственного изменения магнитного поля.
Пусть частица движется в направле-
нии изменения магнитного поля
(рис. 135). Если оно усиливается вдоль
оси Z, то линии магнитной индукции в
этом направлении сгущаются. Эти ли-
нии в данном случае имеют составляю-
щую Вг вдоль радиуса R. Вследствие
наличия скорости v_l радиальная состав-
ляющая Вг обусловливает силу Лоренца
Fn=ev_LXBr, (48.57)
При движении заряженной частйцы в область
с усиливающимся магнитным полем ее скорость
вдоль поля уменьшается, а линейная скорость
вращательного движения увеличивается
136
К вычислению радиальной составляющей маг-
нитного поля
которая действует вдоль оси Z противо-
положно направлению сгущения линий
индукции, т. е. в сторону ослабления
магнитного поля. Эта сила тормозит
движение частицы. Для вычисления
тормозящей силы (48.57) необходимо
знать Вг. Учтем, что линии индукции
не имеют ни начала, ни конца Поэтому
число линий индукции, входящих в не-
который объем, равно числу выходя-
щих, или, иначе, входящий в некоторый
объем магнитный поток равен выходя-
щему. Возьмем в качестве объема ци-
линдр радиусом R и толщиной Аг, ось
которого совпадает с осью Z (рис. 136).
Приравнивая входящий через левое
основание и боковую поверхность ци-
линдра поток потоку, выходящему через
правое основание цилиндра, получим
Вгл R2 + Br2nW=(Bz + ДВ,)лЯ2-
(48.58)
Отсюда следует
R л/?,- ~ R дВ,
2 Az ~ 2 dz ’
Поэтому сила (48.57),
вдоль оси Z, равна
(48.59)
действующая
(48.60)
где v±=2л/?/Т, и принято во внима-
ние определение магнитного момента
270 12. Движение в электромагнитных полях
(48.50). Направление действия этой си-
лы, как видно на рис. 126, противо-
положно тому, в котором магнитное
поле растет, т. е. в данном случае
положительному направлению оси Z.
Поэтому уравнение для составляющей
скорости vz можно написать в виде
dw2 дВ2 дВ /ло
- тчг = -Рт~дГ = -р^ <48-61)
где учтено, что в силу медленности
изменения поля dBz/dz^dB/dz, т. е.
составляющая магнитного поля Bz
заменена его полной величиной. Это
означает, что линии магнитной индук-
ции сгущаются не очень сильно, т. е.
их наклон к оси Z не очень велик.
Знак минус в уравнении (48.61) обус-
ловлен направлением действия силы.
Умножив обе части (48.61) на vz и
приняв во внимание равенства
dw2 ___ d / и! \ дВ dB
dz Vz~ dt \ 2 /’ dz Vz ~ “dP
преобразуем (48.61) к виду
d / mv2 \ dB
рт~йГ- (48.62)
Так как при движении в магнитном
поле полная скорость частицы сохра-
няет свое значение, то
mv2 . mv2\ mv2 ,
— + —= — = const
и формула (48.62) примет вид
= = (48.63)
где сделана замена nw2±/2=pmB в соот-
ветствии с (48.52). Это уравнение
совершенно аналогично (48.56) и из
него следует
Р* = const?") (48.64)
т. е. магнитный момент сохраняется
также и при медленных (адиабатиче-
* ских) пространственных изменениях
магнитного поля.
Таким образом, доказано, что маг-
нитный момент рт, определенный равен-
ством (48.52), остается неизменным при
движении частицы в случае медленных
изменений магнитного поля как в про-
странстве, так и во времени.
Напомйим, что критерием медлен-
ности пространственного изменения
магнитного поля является малость его
изменений на расстояниях порядка ра-
диуса вращения и перемещения за один
оборот, а критерием медленности изме-
нения во времени — малость его
изменения в течение времени одного
оборота. Постоянство магнитного мо-
мента при медленных изменениях маг-
нитного поля иначе называется его
адиабатической инвариантностью.
Она означает, что частицы движутся
по поверхности магнитной трубки, т. е.
трубки, поверхность которой образова-
на линиями магнитной индукции (см.
рис. 135). Чтобы в этом убедиться,
надо принять во внимание, что, по опре-
делению силовой трубки, магнитный
поток, пронизывающий поперечное се-
чение трубки, не изменяется вдоль нее
Магнитный поток через поперечное се-
чение трубки может быть представлен
следующим образом:
гта г*2о 2лт £к± 2лпг
ф = пК В = -7-— = —^
= const-Pm.
(48.65)
Из этой формулы видно, что постоян-
ство магнитного потока вдоль трубки
эквивалентно постоянству магнитного
момента частицы, которая движется по
поверхности силовой трубки. Но по-
скольку постоянство магнитного момен-
та при движении частицы уже доказано
независимо, отсюда следует, что части-
ца действительно движется по поверх-
ности силовой трубки (см. рис. 135).
Для полной характеристики движения
частицы необходимо принять во внима-
ние ее дрейф. В результате дрейфа в
§ 48. Движение в стационарных электрических и магнитных полях 271
однородном поле частица переходит с
ной силовой трубки на другую, но
та^, чтобы магнитный поток, заклю-
ченный в этих трубках, был одинаков..
Магнитные зеркала. Тормозящая
сила (48.57) уменьшает скорость ин
частицы, движущейся в направлении
возрастания магнитного поля. Если
возрастание поля достаточно велико, то
в результате торможения скорость ин
обратится в нуль, а затем частица нач-
нет двигаться в противоположном на-
правлении. Таким образом, область
увеличивающегося магнитного поля
действует на частицу как «зеркало», от
которого частица отражается. Поэтому
говорят, что увеличивающееся магнит-
ное поле является «магнитным зерка-
лом».
Процесс отражения от него можно
также рассмотреть с точки зрения
сохранения магнитного момента. По-
скольку pm=mv2j_/(2B), сохранение маг-
нитного момента при движении в сто-
рону увеличивающихся значений В
магнитного поля означает, что при
этом возрастает и-±. Но, с другой сто-
роны, квадрат полной скорости v2 =
= + и2 также должен оставаться
неизменным. Следовательно, при дви-
жении в сторону возрастающего маг-
нитного поля величина и2 должна
уменьшаться, т. е. частица затормажи-
вается.
Найдем область поля, в которой
произойдет отражение частицы. Пусть
в начальный момент времени полная
скорость частицы у0 составляет с
направлением магнитной индукции поля
Во угол 0о (рис. 137). В некоторый дру-
гой момент времени, когда частица
переместилась в точку поля с другим
значением индукции В, скорость ее
остается без изменения, но угол 0 между
В и Vo изменится. Это означает, что
изменяются перпендикулярная и па-
раллельная и и полю составляющие
скорости. Сохранение магнитного мо-
137
Скорость заряженной частицы в магнитном поле
не меняется. Поэтому при увеличении составляю-
щей скорости, перпендикулярной магнитному
полю, составляющая ее вдоль магнитного поля
уменьшается
мента на основании (48.52) может быть
выражено в виде равенства (рис. 137)
sin20o/Bo = sin20/B. (48.66)
Отражение частицы произойдет в точке,
где sin0=l, т. е. магнитное поле имеет
индукцию
B=Bo/sin20o. (48.67)
В этом поле отражаются все части-
цы, у которых в начальный момент
вектор скорости лежит вне конуса с
углом 0о при вершине. От модуля ско-
рости условие отражения не зависит.
Все частицы, направления скоростей
которых лежат внутри конуса с углом
0о при вершине, не испытывают отра-
жения и проникают в область больших
магнитных полей. Они могут отразить-
ся в точках поля с большим значением
В. Однако имеется некоторое макси-
мальное значение Втах. От этой области
отразятся все частицы, скорости кото-
рых лежат вне конуса с углом 0min,
определенным равенством
sin20min= B0/Bmax. (48.68)
272 12. Движение в электромагнитных полях
138
«Пробки магнитной бутылки» образуются сгу-
щениями магнитных силовых линий, т. е. в ме-
стах усиления магнитного поля
139
Радиационные пояса Земли
Все частицы, направления скоростей
которых лежат внутри конуса с углом
Omin при вершине, пройдут через область
максимального поля и покинут рас-
сматриваемую область, т. е. будут поте-
ряны для этой области. Поэтому конус
с углом Omin при вершине в данной си-
туации называют конусом потерь.
Явление отражения частиц от маг-
нитных зеркал используется в устрой-
ствах для удержания заряженных ча-
стиц в ограниченной области простран-
ства, например в термоядерных уста-
новках. В качестве примера можно
указать на «магнитную бутылку» с дву-
мя горлышками, роль «магнитных про-
бок» в которых выполняют магнитные
зеркала (рис. 138). Общий характер
движения частиц в бутылке ясен на
основе вышесказанного: частицы дви-
жутся вокруг линий индукции по спи-
ралям, перемещаясь от одной магнит-
ной пробки к другой. Вследствие дрей-
фа они переходят с одной линии индук-
ции на другую, медленно обходя ось Z.
Если бы не было столкновения частиц
между собой, то при одном отражении
от магнитных пробок из бутылки выш-
ли бы все частицы, скорости которых
лежат в конусах потерь. Отраженные
частицы, скорости которых лежат вне
конуса потерь, удерживались бы в бу-
тылке бесконечно долгое время. Однако
в действительности частицы взаимодей-
ствуют друг с другом. В результате
столкновений в конус потерь попадают
новые частицы, которые очень быстро,
в свою очередь, покидают бутылку.
Важнейшей проблемой управляемого
термоядерного синтеза является про-
блема удержания частиц в ограничен-
ном объеме достаточно продолжитель-
ное время. Однако до настоящего
времени ее не удалось решить, посколь-
ку частицы всегда находят способ по-
кинуть область пространства, где долж-
ны произойти термоядерные реакции,
значительно раньше, чем хотелось бы
физикам.
Радиационные пояса Земли. Осо-
бенности движения заряженных частиц
в магнитных полях обусловливают су-
ществование радиационных поясов
Земли. Как известно, в пространстве
вблизи Земли имеется магнитное поле.
Линии магнитной индукции этого поля
выходят из северного магнитного полю-
са и оканчиваются на южном
(рис. 139). У магнитных полюсов про-
исходит сгущение магнитных силовых
линий, т. е. усиление магнитного поля.
Поэтому области вблизи полюсов для
заряженных частиц являются магнит-
ными зеркалами. Заряженная частица
движется по спирали вокруг линии
§ 49. Движение в переменных электромагнитных полях 273
индукции в меридиональном направле-
нии от одного магнитного полюса к
другому. Вблизи него она отражается
и Меняет направление своего движения
на' обратное. Вследствие дрейфа ча-
стица переходит с одной линии на дру-
гую, г. е. меняет свою долготу, об-
ходя все возможные меридианы
Вследствие этого заряженные частицы
длительное время удерживаются маг-
нитным полем вблизи Земли, в резуль-
тате чего образуются радиационные
пояса, открытые в связи с полетами
искусственных спутников. Радиацион-
ные пояса Земли оказывают влияние
на ряд процессов на Земле и играют
важную роль для космических полетов.
49. Движение в переменных
электромагнитных полях
Рассматриваются наиболее характерные осо-
бенности движения заряженных частиц в пере-
менных электромагнитных полях.
Движение в поле плоской электромаг-
нитной волны. В плоской электромаг-
нитной волне электрическое и магнит-
ное поля расположены перпендикуляр-
но друг другу и перпендикулярно
скорости распространения, равной в ва-
кууме скорости света. Если ось Z на-
править вдоль распространения волны,
то электрическое и магнитное поля ее
можно представить следующим обра-
зом (рис. 140):
Ex = Eosin(a)/—kz\ Еу = Ег=0,
By=Bosin((i)t—kz)t Bx=Bz=0,
(49.1)
где (о = 2л/Т — круговая частота,
Т — период. Величина & = 2л/Х назы-
вается волновым числом, К=сТ —
длина волны. В плоской электромаг-
нитной волне амплитуды Ео и Во связа-
ны соотношением Ео = сВо, как это до-
казывается в теории электромагнитных
волн.
140
Плоская
магнитная
некоторый
времени
электро-
волна в
момент
На заряженную частицу электро-
магнитная волна действует как своим
электрическим, так и магнитным по-
лем. Сила Лоренца
F=eE + evXB (49.2)
для плоской электромагнитной волны
в проекциях по осям координат распи-
сывается в виде
Fx=еЕх + e(vyBz— vzBy)=
= eE0sin((o/—kz)—ezBos\n (wt—kz),
Fy=eEy -f- e(vzBx — vxBz)=0,
E2=eEz + e(vxBy — vyBx)=
= exBosin(co/ — kz). (49.3)
Поэтому уравнения движения частицы
имеют вид
= Fx = еЕ0(1-------^-)sin(o)/— kz),
m^=Fy = 0, (49.4)
= F, = e£,0-^-sin(wZ — kz),
где Eq = cBq. Если скорость частицы
мала в сравнении со скоростью света
(z/c«Cl), то из этого условия следует
kz = со dt<^co/.
о с
(49.5)
где /? = 2л/Х = со/с. Поэтому в уравне-
ниях движения (49.4) можно прене-
бречь величинами z/c в сравнении с
единицей и kz в сравнении с со/. Урав-
нения принимают вид
х = (еЕо/m)sinco/, z=(eE0/(mc))xsinco/.
(49.6)
274 1 2. Движение в электромагнитных полях
Интегрируя дважды первое уравнение,
получим
х= — [е£о/(тсо)]со8(о/ + хо,
‘Х= — [еЕо/(тв)2)] sinco/-|-xof-|-*o,
(49.7)
где х'о — х-я проекция скорости ча-
стицы в момент /=0, х0 — ее коор-
дината в тот же момент. Подставляя
решение (49.7) во второе уравнение
(49.6), имеем
4-^-Xosinwt (49.8)
В результате интегрирования этого
уравнения находим
1 / е£о \2 1 - о ,
Z = -о-(--- I —з—Sin2(0/ —
8 \ т / ыс
—sinG)^ + 20/ + 20. (49.9)
Из решений (49.7) и (49.9) можно
сделать следующие выводы. Если в на-
чальный в момент частица покоится
(го=О, хо=О), то электромагнитная
волна вызывает колебания частицы в
окрестности ее положения. Какого-
либо систематического удаления от
начального положения нет. Если при
Электромагнитная плоская волна не изменяет
средней скорости заряженной частицы. Она
лишь вызывает колебание скорости около
средней с частотой волны, не изменяя сред-
ней энергии частицы.
Переменное электрическое поле при наличии
постоянного магнитного поля в условиях
циклотронного резонанса вызывает увеличе-
ние кинетической энергии заряженной ча-
стицы.
Каково соотношение между векторами элек-
трического и магнитного полей в плоской
электромагнитной волне?
При каком условии можно пренебречь про-
странственным изменением поля в волне по
сравнению с его изменением по времени
при решении уравнений движения?
/=0 частица обладает некоторой ско-
ростью £о#=О, хо=#О, то в последую-
щем она будет удаляться от перво-
начального положения с этой ско-
ростью, как средней. При этом части-
ца будет совершать колебания. Таким
образом, можно сказать, что электро-
магнитная волна не изменяет средней
скорости движения частицы, но вызы-
вает колебания скорости с частотой
электромагнитной волны.
Движение в переменном электри-
ческом и постоянном магнитном полях.
Пусть имеются переменное электри-
ческое поле, частота которого со, и
постоянное магнитное поле, направлен-
ные так, как указано на рис. 141, и
заданные уравнениями
Ех =£=£0cos(o/, Ey=Ez=O,
B2=BOt ВХ=ВУ=О. (49.10)
Уравнения движения имеют вид
x=(e£0//n)cosco/4-too*/, У=— соох,
(49.11)
где ыо=еВо/пг — частота вращения
частицы в магнитном поле Во, назы-
ваемая циклотронной частотой. Будем
считать, что в момент /=0 частица
покоится в . начале координат, т. е.
хо = ?/о = О, хо = г/о = О.
Интегрируя уравнения (49.11) и
учитывая указанные начальные усло-
вия, получаем
х=[e£o/(An(D)]sina)f + ыоу, У= — (ОоХ.
(49.12)
Подставляя выражение для х из
(49.12) во второе уравнение (49.11),
имеем
у+^у = —(49.13)
Характер движения частицы сущест-
венно зависит от соотношения между
частотой со переменного поля и цикло-
тронной частотой wo. Существуют че-
тыре важных случая: (о^>соо, (о<С<оо,
§ 49. Движение в переменных электромагнитных полях 275
ф^соо, С1) = соо. Рассмотрим каждый из
них отдельно.
I Случай 1: охОоо- При этом ус-
ловии электрическое поле меняется
мало за период обращения частицы в
магнитном поле. Поэтому электриче-
ское поле практически можно считать
постоянным при расчете движения
Величина sincof является медленно ме-
няющейся функцией. Усреднив обе ча-
сти уравнения (49.13) по многим пе-
риодам колебаний частицы
<sinco/>^sinG)/, (49.14)
получим следующее равенство:
<£/> = !—— sincot (49.15)
х - о)(0о т х 7
Отсюда находим скорость смещения
среднего положения частицы:
d / \ 1 бЕ о 1
V Д = -т- < у) =---------COSG)/ =
d/ х;7/ (Оо т
= —=-----------------f-. (49.16)
Dq Dq
Это есть обычный дрейф в скрещенных
электрическом и магнитном полях,
раньше рассмотренный для случая по-
стоянного электрического поля. Ско-
рость дрейфа меняется с изменением
величины Е электрического поля, т. е.
колеблется с частотой со.
Случай 2: со?>(0о. При этом ус-
ловии за один оборот частицы в маг-
нитном поле электрическое поле ме-
няется много раз. Поэтому вращение
ее является медленным процессом, а
изменение поля — быстрым. Усред-
ним (49.13) по многим периодам коле- •
баний электрического поля, которые в
сумме составляют лишь небольшую
часть периода обращения частицы.
Очевидно, что при этом <sinco/)=0
и уравнение (49.13) принимает вид:
<£>+<ооО/>=0. (49.17)
Таким образом, какого-либо дрейфа
cos cd t
Z?z-= const Z
141
Расположение системы координат относительно
постоянного магнитного поля и переменного
электрического поля, в которых рассматривается
движение заряженной частицы
частицы нет. Она колеблется с цикло-
тронной частотой соо-
Случай 3: <о = со0. При этом ус-
ловии наблюдается явление, называе-
мое циклотронным резонансом. Урав-
нения (49.12) принимают вид
х=[eEo/(^wo)]sino)0/ + соо*/, У= —соо*,
(49.18)
а вместо (49.13) получаем
у + coof/= — (eEo/m)sinwo^. (49.19)
Решение этого уравнения имеет вид
У= — i--^-(sinG)0/—(Do^coscooO- (49.20)
Отсюда с помощью второго урав-
нения (49.18) находим
x==4’_S"/sin“ot (49.21)
Таким образом, при циклотронном ре-
зонансе движение частицы не является
периодическим.
Вычислим ее кинетическую энер-
гию:
ек= ^(;2+?)=
__1 е Ео Л^2 । sin2(o0^ । /sin2coo/ \ (49 22)
8 m \ coo (оо )
Слагаемое, пропорциональное /2, пока-
зывает, что энергия частицы неизмен-
но увеличивается. Остальные слагае-
276 12. Движение в электромагнитных полях
мне не имеют существенного значе-
ния — они характеризуют колебания
энергии частицы вокруг увеличиваю-
щегося значения, определяемого чле-
ном /2. Таким образом, при цикло-
тронном резонансе энергия от перемен-
ного электрического поля передается
частице.
Случай 4: со coo. При этом ус-
ловии нет точного циклотронного резо-
нанса. Энергия от переменного элект-
рического поля переходит к частице
лишь до некоторого максимального
значения. После этого частица начи-
нает обратно отдавать энергию элект-
рическому полю и т. д. Этот процесс
обмена энергией является периодиче-
ским процессом, имеющим частоту
Q = |o)—cool- (49.23)
Не вдаваясь здесь в подробности, от-
метим лишь, что эта формула выра-
жает частоту биений, которые полу-
чаются при сложении двух гармони-
ческих колебаний с близкими часто-
тами (см. гл. 13).
Вычислим максимальную энергию
частицы. Она приобретает энергию в
течение половины периода, соответ-
ствующего частоте Q, т. е. в течение
времени л/Q.
В течение этого времени на нее
действует эффективное электрическое
поле напряженности ЕЭф, определяемой
как напряженность такого постоянного
электрического поля, в котором за
период колебаний частице сообщается
такая же энергия, как и в перемен-
ном поле, т. е. определяется условием
<Еи>=ЕЭфУо, где v и vq — скорость и
амплитуда колебаний скорости. Учиты-
вая, что <Е^> = (Eosinco/-UosincooO =
=Ео^о/2 при gj^coo, находим Еэф=
= Е/2. Поэтому в течение полупериода
частица приобретает импульс ртах,
который в соответствии с уравнением
движения Ньютона равен
о--MOW-g—(«.24)
Следовательно, максимальная энергия
частицы
2 2 2 г?2
£"- = = <«-25)
Задачи
12.1. Точечный источник испускает частицы массой m и зарядом е в узком конусе, параллельно
оси которого направлен вектор индукции В однородного магнитного поля. Принимая, что
компоненты скорости всех частиц, параллельные вектору индукции, одинаковы и равны v,
найти расстояние от источника до точки, в которой частицы фокусируются
12.2. Чему равна длина пробега до остановки релятивистской частицы с зарядом е в тормозящем
однородном электрическом поле напряженности Е? Скорость частицы коллинеарна вектору Е,
начальная полная энергия частицы W, масса покоя т0. Дайте ответ, не решая уравнений дви-
жений, а затем решите уравнения движения.
Ответы
12.1. 2лт<?/(>£>). 12.2. (Е — moC2)/(\e\W).
1
50. Гармонические колебания
Описываются характеристики гармонических
колебаний и их представление в комплексной
форме.
Роль гармонических колебаний в при-
роде. Многие физические вопросы сво-
дятся к исследованию поведения си-
стемы при небольших отклонениях от
равновесного состояния, в котором она
пребывает. Например, на дне шаро-
образной чаши покоится шарик
(рис. 142, а). Спрашивается: каким
будет его движение после отклонения
в некоторое положение от средней
точки? Для ответа надо знать дейст-
вующую на шарик силу и решить урав-
нение движения. Однако даже в этом
простейшем случае зависимость силы
от расстояния довольно сложная и ре-
шение уравнения очень трудно про-
анализировать. В качестве другого
примера возьмем шарик, укрепленный
на длинной упругой пластине
(рис. 142, б). В положении равнове-
сия пластина несколько изогнута и ша-
рик покоится в некоторой точке. Спра-
шивается: как будет двигаться шарик
в вертикальном направлении, если его
отклонить от положения равновесия и
отпустить? В этом случае сила, дей-
ствующая на шарик, выражается
сложной функцией его отклонения от
положения равновесия в вертикальном
направлении и при решении задачи
встречаются те же трудности, которые
упомянуты в первом примере.
Однако в большинстве практически
важных случаев нас интересует поведе-
ние системы не при всевозможных от-
клонениях от положения равновесия, а
лишь при малых отклонениях. При
этом условии вопрос значительно упро-
щается. Каким бы сложным ни был за-
кон действия f(x), эту функцию можно
представить в виде ряда Тейлора:
Кх)=ко)+хцо)+4г'(о)+4ио)+...
(50.1)
13
КОЛЕБАНИЯ
Колебания являются
наиболее общей формой движения
динамических систем вблизи положения
равновесия. При достаточно малых
отклонениях от положения равновесия
колебания бывают обычно гармониче-
скими. Этим определяется их особая
важность.
50
Гармонические колебания
51
Собственные колебания
52
Затухающие колебания
53
Вынужденные колебания. Резонанс
54
Автоколебания и параметрические
колебания
55
Колебания связанных систем
278 13. Колебания
Это чисто математическое утвержде-
ние, и условия возможности такого
разложения функции в ряд рассмат-
риваются в математике. Нам доста-
точно заметить, что законы действия
сил f(x), встречающихся в физике,
обычно удовлетворяют этим условиям.
Очевидно, /(0)=0 ввиду того, что точ-
ка х=0 является точкой равновесия и,
следовательно, сила в этой точке равна
нулю. Далее возможны два случая:
либо /'(0)^0, либо f'(0)=0. В первом
случае член xf'(O) является главным
членом разложения (50.1). Все после-
дующие члены ряда пропорциональны
х, х3 и т. д. и при достаточно малом х
сколь угодно малы в сравнении с пер-
вым членом. Поэтому при анализе
достаточно малых отклонений х силу
можно считать равной xfz(O). Посколь-
ку точка х=0 должна быть точкой
устойчивого равновесия, сила xf'(O)
должна быть направлена всегда к точ-
ке х=0. Это означает, что fz(0)<0.
Если fz(0)=0, то надо обратиться к
третьему члену, пропорциональному
х. Он должен быть равным нулю, если
точка х=0 является точкой устойчи-
вого равновесия. Это следует из того
обстоятельства, что этот член имеет
один и тот же знак как при положи-
тельных, так и отрицательных значе-
ниях х. Поэтому сила, представляе-
мая им, при отклонении точки в одну
сторону от положения равновесия
стремится ее возвратить обратно, но
при отклонении в другую сторону,
наоборот, стремится ее удалить от это-
го положения. Следовательно, если бы
этот член не был равен нулю, точка
х=0 не могла бы быть точкой устой-
чивого равновесия. Поэтому этот член
должен быть равным нулю, т. е.
f"(0)=0.
Таким образом, следующим не рав-
ным нулю членом может быть х^ОуЗ!
При анализе малых отклонений в
случае fz(0)=0 его необходимо ис-
пользовать в качестве выражения для
силы. Хотя он несколько сложнее чле-
на xf' (0), но все же достаточно прост
в сравнении с исходной функцией
f(x). В этом случае колебания значи-
тельно усложняются, они становятся
нелинейными. Основные особенности
этих колебаний мы рассмотрим позд-
нее.
Обычно в реальных физических сис-
темах отличным от нуля бывает член
xf'(O), а уравнение движения для ма-
лых отклонений х от положения равно-
весия имеет следующий вид:
m(d2x/d/2)=xf(0)=- Dx, (50 2)
где учтено, что /'(0)с0. и обозначено
£> = _f'(0)>0.
Такого рода уравнение получается
при рассмотрении многих физических
явлений. В данном примере х является
расстоянием от положения равновесия
Однако в качестве х мог бы быть, на-
пример, заряд конденсатора, включен-
ного в цепь с индуктивностью. Если
физические факторы таковы, что стре-
мятся восстановить нулевое значение
заряда на конденсаторе, то уравнение
§50. Гармонические колебания 279
для малых отклонений заряда от нуля
имеет вид (50.2).
Уравнение вида (50.2) называется
уравнением гармонических колебаний,
а система, осуществляющая эти малые
колебания, называется линейным, или
гармоническим, осциллятором. Хорошо
известным примером такой системы
может служить тело на упругой пру-
жине (рис. 142, в). По закону Гука,
при растяжении или сжатии пружины
возникает противодействующая сила,
пропорциональная растяжению или
сжатию, т. е. выражение для силы со
стороны пружины имеет вид F=—Dx,
и мы приходим к уравнению линейного
осциллятора. Таким образом, тело,
колеблющееся на пружине, является
моделью линейного осциллятора.
Если в разложении для силы наря-
ду с членом, пропорциональным первой
степени отклонения, сохранить также и
« 2 3
член, пропорциональный х или х , при-
водящий к нелинейности колебаний, то
получающаяся при этом колебательная
система называется ангармоническим
осциллятором. Ее основные особенно-
сти будут рассмотрены в § 51.
Другим примером линейного осцил-
лятора являются физический и матема-
тический маятники при достаточно
малых углах отклонения, которые были
рассмотрены в § 34. В качестве модели
линейного осциллятора можно взять
либо грузик на пружине (рис. 142, в),
либо маятник.
Тот факт, что большинство физиче-
ских систем при малых отклонениях
ведут себя как линейные осцилляторы,
обусловливает чрезвычайно большую
** Реальное физическое колебание описывается
либо действительной, либо мнимой частью
колебания, представленного в комплексной
форме. Удобство представления колебания
в комплексной форме обусловливается лег-
костью и наглядностью математических опе-
раций при таком представлении.
важность изучения его движения для
всех областей физики.
Уравнение гармонических колеба-
ний. Уравнение (50.2) движения ли-
нейного осциллятора удобно предста-
вить в таком виде:
% + о)2х = 0,
(50.3)
где o)2=D/m>0. Производные по вре-
мени обозначаются точками.
Гармонические функции. Непосред-
ственной проверкой убеждаемся, что
частными решениями уравнения (50.3)
являются sin со/ и cos со/. Это уравнение
является линейным. Сумма решений
линейного уравнения и произведение
какого-либо решения на произвольную
постоянную величину также составляет
решение. Поэтому общее решение
уравнения (50.3) имеет вид
.х(/)=Л 1 sin cdZ-|-X2COsco/, (50.4)
где Al и Л2 — постоянные. Функция
такого вида называется гармониче-
ской.
Амплитуда, частота, фаза. Выраже-
ние (50.4) целесообразно преобразо-
вать к другому виду:
AisincoZ + Л2 cosco/=
= ]/Л1-|-Л2 Л -sinco/ +
V /A1-I-A2
+ —cosco/) = A(cos(psinco/ +
/Af+Ai 7
+ sincpcoscof) = A sin(co/ -f- ср), (50.5)
где положено соэф=Л1/|/Л2 +Л2,
8ш<р=Л2/ ]/Л2 + Л2, и введено обозна-
чение Л = /Л^+Л2. Таким образом,
уравнение гармонических колебаний
(50 4) может быть представлено в виде
280 13. Колебания
143
Представление гармонических колебаний в комп-
лексной форме
жутки времени Г=2л/со. Такая функ-
ция называется периодической, а Г —
ее периодом. Поэтому гармонические
колебания являются периодическими.
Однако, конечно, не всякая периоди-
ческая функция является гармониче-
ской. Гармонической она будет лишь
тогда, когда ее можно представить в
виде (50.6) с определенными частотой,
фазой и амплитудой.
Представление гармонических ко-
лебаний в комплексной форме. При
изучении гармонических колебаний
приходится их складывать, разлагать
на составляющие, решать более слож-
ные, чем (50.3), уравнения и т. д. Все
это значительно упрощается, если вос-
пользоваться теорией комплексных чи-
сел и представлением гармонических
колебаний в комплексной форме.
В декартовой системе координат
действительная часть комплексного
числа откладывается по оси абсцисс,
а мнимая — по оси ординат (рис. 144).
Далее используем формулу Эйлера
144
Графическое представление комплексных чисел
и действий над ними
х = А sin(co/ + q?)
еш = cosa-Hsina (z2 = — 1),
.(50.7)
которая дает возможность выразить
любое комплексное число z=x-\~iy в
экспоненциальной форме (рис. 144):
или
(50.6)
г=ре"‘, p = /x2 + y2,tga = y/x. (50.8)
X = #С08(со/-|-ф1)-
График этой функции с обозначением
входящих в (50.6) величин показан на
рис. 143. Величина А называется амп-
литудой, со — частотой гармонического
колебания, а величина, стоящая в аргу-
менте синуса (или косинуса), со/ + ф —
фазой колебания. Значение фазы ср
при /=0 называют начальной фазой
или просто фазой. Как видно из (50.6),
значение х повторяется через проме-
Величина р называется модулем комп-
лексного числа, a — аргументом.
Каждое комплексное число z может
быть представлено на комплексной
плоскости в виде вектора, проведенно-
го из начала координат в точку с коор-
динатами (х, z/). Складываются ком-
плексные числа по правилу параллело-
грамма. Поэтому для сокращения мо-
жно говорить о комплексных числах
как о векторах, если речь идет об' их
сложении.
§50. Гармонические колебания 281
Умножение комплексных чисел луч-
ше производить в комплексном виде:
Z = Z1Z2 = Pip2ez(ttl + “2’
zi = Р1еш\ z2 = р2енх.
(50.9)
Таким образом, при перемножении
комплексных чисел модули перемножа-
ются, а аргументы складываются.
Здесь мы не будем более подробно останав-
ливаться на изложении этих чисто математиче-
ских вопросов. Для более полного ознакомления
с ними можно обратиться к любому курсу по
алгебре комплексных чисел.
Вместо действительной формы за-
писи гармонических колебаний (50.6)
можно воспользоваться комплексной
формой:
х=Ле'(ш' + <₽). (50.10)
Величина х в (50.10) является комп-
лексной и не может давать реального
физического отклонения, которое ха-
рактеризуется вещественной величиной
х вида (50.6). Однако мнимая часть
этой величины может рассматриваться
как действительное гармоническое ко-
лебание (50.6), выражаемое синусом.
С другой стороны, действительная
часть (50.10), равная A cos (со/ + ф),
также представляет собой веществен-
ное гармоническое колебание. Поэтому
гармоническое колебание можно запи-
сать в форме (50.10) и производить
необходимые расчеты и рассуждения.
В окончательном результате для
пеоехода к физическим величинам
необходимо взять действительную или
мнимую часть полученного выражения.
Как это делается, будет видно на
многих примерах в последующем.
График гармонического колебания
в комплексной форме (50.10) изобра-
жен на рис. 145. Значение различных
величин, входящих в формулу (50.10),
145
Представление гармонических колебаний в комп-
лексной форме
Сложение гармонических колебаний, представ-
ленных в комплексной форме
видно непосредственно на рисунке:
А — амплитуда, ф — начальная фаза,
со/ + ф — фаза колебания. Комплекс-
ный вектор А вращается вокруг начала
координат против часовой стрелки с
угловой частотой (о = 2л/7\ где Т —
период колебаний. Проекции вращаю-
щегося вектора А на горизонтальную и
вертикальную оси являются действи-
тельными физическими колебаниями,
которые нас интересуют.
Сложение гармонических колеба-
ний одинаковой частоты. Пусть даны
два гармонических колебания с одина-
ковой частотой, но с различными на-
чальными фазами и амплитудами:
xi=Ai cos(<oi + <pi), (50 11)
Х2=A 2cos(«t + фг).
282 13. Колебания
Требуется найти суммарное колебание
x=xi + х2. Гармонические колебания
(50.11), будучи представленными в ви-
де (50.10), составляют ее действитель-
ную часть. Поэтому искомый результат
сложения колебаний (50.11) является
действительной частью комплексного
числа:
x=xj 4- х2=Л1 е‘(и'+’> +Л 2е‘(и‘+ ф2)=
=е‘“'(Д 1е/<Р1+Л 2е,ч>2). (50.12)
Сложение двух величин в скобках
легко производится в векторной форме
(рис. 146). На рис. 146 непосредствен-
но видно, что
Aiez<pl +Л2е/ф2=Ле/<₽, (50.13)
Л2=Л? + Л1 + 2Л1Л2соз(<р2-<р1),
(50.13 а)
(50.136)
(50.12) полу-
(50.14)
где Л и ф определяются формулами
(50.13а) и (50.136). Отсюда следует,
что сумма гармонических колебаний
(50.11) дается формулой
x=xi -|-х2=Л cos (о/ + ф) ,
где величины Л и ф имеют то же значе-
ние, что и в (50.14)
Свойства суммы гармонических ко-
лебаний можно выяснить непосред-
ственно по рис. 146. Ясно, что вся
картина, изображенная на рисунке,
благодаря наличию общего множителя
е‘ш* в (50.12) вращается вокруг начала
координат против часовой стрелки
fp-m = isin(Pi + ^2sin(p2
4icos(pi-|-j42cos(p2 '
Следовательно, вместо
чим
^=х.+ х2=Ле<и/+’’)-,
При каких условиях анализ малых отклоне-
ний системы от положения равновесия не
♦ удается свести к учету линейного члена?
Чем определяются частота, амплитуда и фаза
гармонических колебаний?
Почему при равновесии системы в точке
к = 0, если f '(0) = 0, должно быть / "(0)=0?
Если в предыдущем случае f '(0) 0, то мо-
жет ли быть f "(0) 0?
с угловой скоростью со . Амплитуда
колебания достигает максимального
значения при ф2 = Ф1 и равна Al-j-A2.
Минимальное значение амплитуды по-
лучается при ф2 — ф1 = ±л;. В этом слу-
чае комплексные векторы, представ-
ляющие слагаемые колебания, направ-
лены противоположно и поэтому мини-
мальная амплитуда равна |А2 — Aj|.
Поведение фазы ф также наглядно про-
слеживается на векторной диаграмме
рис. 146. Таким образом, суммой гар-
монических коЛебаний с одинаковой
частотой является гармоническое коле-
бание с той же частотой, амплитудой
и фазой, определяемыми формулами
(50.13а) и (50.136).
Сложение гармонических колебаний
с близкими частотами. Биения. Обо-
значим частоты слагаемых колебаний
через <х>! и со2 и будем считать, что
<d1«cd2, |ojj — (о2| <Са)! ~ ш2. Уравнения
колебаний имеют вид:
xi=Ai cos(cdi/ф1), (50.15)
х2=A 2cos (со2/ + ф2).
Каждое из колебаний (50.15) пред-
ставляем в комплексной форме (50.10),
а сложение будем проводить по прави-
лу сложения векторов, откладывая
начало второго вектора от конца пер-
вого.
Пусть для определенности Ai>A2.
Тогда сумма векторов xi и х2 в неко-
торый момент времени может быть
представлена так, как изображено на
рис. 147. С течением времени эта карти-
на будет изменяться следующим обра-
зом: вектор Х[ вращается вокруг начала
координат с угловой частотой <x>i, а
вектор х2 — относительно положения
вектора х\ вокруг его конца с частотой
о)2—(Di. Если <d2>(Di, то его вращение
вокруг конца вектора X] будет происхо-
дить в том же направлении, что и вра-
щение вектора х\ вокруг начала коор-
динат, как это изображено на рис. 147.
§50. Гармонические колебания 283
При (1)2<со1 относительное вращение
Х2 изменяется на обратное.
Изменение этой картины со време-
нем состоит в следующем: поскольку
|(02 — (011«С<01~(02~(0, то вся картина
быстро вращается вокруг начала коор-
динат, причем за один оборот взаим-
ное расположение векторов xi и xz ме-
няется совершенно незначительно. По-
этому в течение большого числа перио-
дов это есть гармоническое колеба-
ние с частотой со и амплитудой, равной
амплитуде xi + %2- Однако, хотя и мед-
ленно, относительная ориентировка
векторов xi и Х2 меняется. Поэтому
амплитуда колебания медленно меня-
ется с частотой |(02 — coil от Л1+Л2 до
|Л 1 —Лг!- В итоге получаем, что суммой
двух гармонических колебаний с близ-
кими частотами является колебание с из-
меняющейся амплитудой. Оно лишь
приблизительно гармоническое с часто-
той <01«(02«(0, а его амплитуда изменя-
ется с частотой |со2—(011 от максималь-
ного значения Л1+Л2 до минималь-
ного Л1—Лг. Вещественные составляю-
щие этого колебания имеют вид, изо-
браженный на рис. 148. Колебания
амплитуды с частотой Q=|(o2 — (oil
называются биениями, а частота Q —
частотой биений. Биения возникают
при сложении двух гармонических ко-
лебаний с близкими частотами. Если
амплитуды слагаемых колебаний при-
мерно равны Л1^Лг, то в минимуме
амплитуда суммарного колебания поч-
ти равна нулю, т. е. это колебание
почти полностью прекращается.
На чем основано представление гармониче-
ских колебаний в комплексной форме?
Как определить аргумент и модуль комплек-
сного числа?
Каково соотношение между сложением ком-
плексных чисел и правилом сложения векто-
ров?
Что происходит с аргументами и модулями
комплексных чисел при их перемножении?
Что такое биения? Являются ли биения гар-
моническими колебаниями?
Сложение гармонических колебаний с почти
равными частотами (со 1^0)2) в комплексном
виде
147
148
Биения при сложении колебаний с близкими
частотами
Период биений 7’=2л/|<д2—(Oil
51. Собственные колебания
Излагаются методы анализа собственных ко-
лебаний.
Определение. Собственными называют-
ся колебания системы под действием
лишь внутренних сил без внешних воз-
действий. Рассмотренные в предыду-
щем параграфе гармонические коле-
бания являются собственными колеба-
ниями линейного осциллятора. В прин-
ципе собственные колебания могут
быть и негармоническими. Но при
достаточно малых отклонениях от по-
ложения равновесия в очень многих
практически важных случаях они, как
это было разобрано выше, сводятся к
гармоническим.
284 13. Колебания
Начальные условия. Гармоническое
колебание полностью характеризуется
частотой, амплитудой и начальной
фазой. Частота зависит от физических
свойств системы. Например, в случае
линейного осциллятора в виде мате-
риальной точки, колеблющейся под
действием упругих сил пружины, свой-
ства упругости пружины учитываются
коэффициентом упругости D, а свой-
ства точки — ее массой т; w = D/m.
Для определения амплитуды и на-
чальной фазы колебаний надо знать
положение и скорость материальной
точки в некоторый момент времени.
Если уравнение колебания выражает-
ся в виде
х=А cos((d/ + <p), (51.1)
а координата и скорость в момент
t=0<равны соответственно xq и и0, то
на основании (51.1) можно написать:
хо = A coscp; хо = и0
= —Д со sin ср. (51.2)
Из этих двух уравнений вычисляют
неизвестные амплитуды и начальная
фаза:
А= *о + vo/<o2,tg Ф= —vo/(%o<o). (51.3)
Таким образом, зная начальные усло-
вия, можно полностью найти гармони-
ческое колебание.
Энергия. Представление о потен-
циальной энергии имеет смысл только
тогда, когда силы потенциальны. В
одномерных движениях между двумя
точками существует только единствен-
ный путь. Следовательно, автоматиче-
ски обеспечиваются условия потен-
циальности силы и всякую силу можно
рассматривать как потенциальную, ес-
ли она зависит только от координат.
Последняя оговорка весьма существен-
на. Например, сила трения не является
потенциальной силой также и в одно-
dx
d/ л=о
мерном случае. Это обусловлено тем,
что эта сила (ее направление) зависит
от скорости (направления скорости).
В случае линейного осциллятора
удобно считать, что потенциальная
энергия точки равна нулю в положении
равновесия (в начале координат). Тог-
да, учитывая, что F= — Dx, и прини-
мая во внимание формулу (25.20), свя-
зывающую потенциальную энергию
Еп и силу, сразу находим для потен-
циальной энергии линейного осцилля-
тора следующее выражение:
Еп (х)=Dx* 1 / % = m<o2x2/2, (51.4)
а закон сохранения энергии имеет вид
(515)
Конечно, этот закон можно получить
непосредственно из уравнения движе-
ния (50.3), если его обе части умно-
жить на х и затем поступить так же,
как при переходе от (25.1) к (25.5).
Из закона сохранения энергии
(51.5) можно сделать два важных
заключения.
1. Максимальная кинетическая
энергия осциллятора равна его макси-
мальной потенциальной энергии. Это
очевидно, поскольку максимальную
потенциальную энергию осциллятор
имеет при смещении колеблющейся
точки в крайнее положение, когда ее
скорость (а следовательно, и кинети-
ческая энергия) равна нулю. Макси-
мальной кинетической энергией осцил-
лятор обладает в момент прохода точ-
ки равновесного положения (х=0),
когда потенциальная энергия равна
нулю. Поэтому, обозначая максималь-
ную скорость через V, можем написать
1/2тГ2=’/2т(о2Л2. (51.6)
§51. Собственные колебания 285
2. Средняя кинетическая энергия
осциллятора равна его средней потен-
циальной энергии.
Прежде всего надо определить, что
такое средняя величина. Если некото-
рая рассматриваемая величина f зави-
сит от времени, т. е. является функ-
цией времени, то среднее значение этой
величины в промежутке времени меж-
ду моментами Л и дается формулой
(51-7)
Если f(t) представить на графике (рис.
149), то среднее значение соот-
ветствует высоте прямоугольника, пло-
щадь которого равна площади между
кривой /(/) и осью t на интервале меж-
ду t\ и /2. Напомним, что площадь под
осью t считается отрицательной.
Поскольку закон движения для ли-
нейного осциллятора описывается фор-
мулой
x(t)=A cos (со/+ <р), (51.8)
его скорость равна
х= — X(osin(co/ + <p), (51.9)
выражения для кинетической и потен-
циальной энергий имеют следующий
вид:
~ /их2 mas2 А2 . 2 / ± । \
£к(0 = — = -----------Sin2 ((О/ + ф),
£n(/) = 2^^iCOs2((fl/ + <p). (51.10)
В качестве промежутка времени, на
котором определяется среднее, берется
период одного колебания. Вычисление
средних значений и (Еп> сводит-
ся к нахождению средних значений от
cos2(co£-p<p) и sin2 (со/ + <р). Оно элемен-
тарно:
149
Определение сред-
него по времени
(cos (coZ-j-cp))/ = $ COS2(co/-|-(p)d/ =
1 о
т
= ~у~ $ -5-П + cos2(<o/+<p)]d? =
1 о z
=4" ^[/ + 4rsin2(“z+‘P)]o = т>
(5111)
где Т — период колебания, (оГ=2л.
Аналогично получим
<sin2(co/ + ф)> t=72. (51.12)
Формулы (51.11) и (51.12) являются
важными, и их следует хорошо пом-
нить. С учетом (51.11), (51.12) из
(51.10) следует
j <£•„>,= | (51.13)
т. е. средняя кинетическая энергия
осциллятора равна средней потен-
циальной. У знака среднего в (51.13)
подставлен индекс /, чтобы подчерк-
нуть, что речь идет о среднем по вре-
мени.
Когда говорится о среднем значении вели-
чины, всегда должно быть ясно, об усреднении
по какой переменной идет речь, потому что при
усреднении по некоторой другой переменной,
вообще говоря, получается совсем другой ре-
зультат. Однако в большинстве случаев ясно,
по какой переменной производится усреднение,
и никакого индекса у знака усреднения не
ставится.
Соотношение между смещением,
скоростью и ускорением. Отклонение и
скорость даются формулами (51.8)
и (51.9), а ускорение равно
х= — Aco2cos (со/ + ф). (51.14)
286 1 3. Колебания
150
Графики смещения, скорости и ускорения при
гармоническом колебании
Изобразим их графики на одном и том
же чертеже (рис. 150). По оси орди-
нат откладываются величины различ-
ных размерностей. Поэтому выбором
масштаба амплитуды соответствующих
колебаний всегда можно сделать рав-
ными, как это и изображено на рис.
150. Отклонение, скорость и ускорение
представляются совершенно одинако-
выми кривыми, но сдвинутыми друг
относительно друга в направлении
оси со/. Непосредственно видно, что
кривая скорости вмещена относительно
кривой отклонения на величину
Д(со/)=л/2 влево, а кривая ускорения
точно на такую же величину сдвинута
относительно кривой скорости.
Частота колебаний определяется физически-
ми свойствами системы, а амплитуда и фа-
за начальными условиями.
В гармоническом колебании скорость опере-
жает по фазе смещение на л/2, а ускорение
опережает по фазе скорость на л/2.
Наиболее важной особенностью нелинейных
колебаний является возникновение высших
гармоник. Какие именно гармоники возни-
кают, зависит от характера нелинейности
силы.
Знаете ли Вы соотношение между кинети-
ческой и потенциальной энергиями в гармо-
нических колебаниях?
Как между собой связаны амплитуды ско-
рости и отклонения в гармоническом колеба-
нии?
Что происходит с частотой собственных
колебаний при увеличении массы колеблю-
щейся точки?
Следовательно, в гармоническом
колебании скорость опережает по фазе
на л/2 смещение, а ускорение опере-
жает по фазе на л/2 скорость. Таким
образом, ускорение опережает смеще-
ние по фазе на л. Конечно, можно
сказать, например, что смещение от-
стает от скорости по фазе на л/2 и т. д.
Нелинейные колебания. Если раз-
ложении (50.1) для силы наряду с
линейным членом xf'(O) существен
также и следующий член, например
x2f" (0)/2!, то вместо (50.2) необходимо
рассмотреть следующее уравнение дви-
жения:
md2x/dt2 = xf'(0) + -^Г(О). (51.15)
При обсуждении разложения силы в
ряд (50.1) было отмечено, что если
система колеблется около устойчивого
равновесия х=0, то при f'(0)=0 обя-
зательно должно быть, чтобы и
f'(0)=0. В противном случае точка
х=0 не может быть точкой устойчиво-
го равновесия. Очевидно, если /' (0)=#
=#=0, то должно быть f'(0)c0 и, кро-
ме того, производная (0) не обязана
быть равной нулю и может иметь лю-
бой знак. Именно этот случай и рас-
сматривается в (51.15). Кроме того,
предполагается, что величина (0)
очень малая и поэтому последний член
справа в (51.15) является малым в
сравнении с другими членами. Разде-
лим уравнение (51.15) на т и пере-
пишем его следующим образом:
х + соо%=8соо%2, (51.16а)
где аналогично (50.3) приняты обо-
значения
= р— HQ) Г(0)
т ’ 2т coo 2/'(0) '
(51.166)
Величина е является параметром ма-
лости члена, пропорционального квад-
рату смещения. Как это непосредствен-
§51. Собственные колебания 287
но видно в (51.16а), она имеет раз-
мерность, обратную длине, и поэто-
му может быть представлена в виде
e=l/L, где L — большая длина.
Теперь можно более ясно определить
смысл малости величины е: если сме-
щения х достаточно малы и удовлет-
воряют соотношению x<Ct=l/e, то
член в правой части (51.16а) можно
рассматривать как малый. В данном
случае этот член называется возму-
щением, а метод, с помощью которого
находится приближенное решение
уравнения, — методом, или теорией
возмущений. Рассмотрим на примере
уравнения (51.16а) сущность этой тео-
рии и основные особенности нелиней-
ных колебаний.
При е=0, т. е. когда возмущение
отсутствует, система совершает гармо-
нические колебания. Пусть в этом слу-
чае гармоническое колебание имеет
вид
хо(О=i40sin (Dot (51.17)
Это колебание называется невозму-
щенным движением. Для рассмотре-
ния правой части (51.16а) в каче-
стве возмущения необходимо, чтобы
амплитуда Ао не была слишком боль-
шой. Она должна удовлетворять усло-
вию еЛо<С1. В противном случае нель-
зя применять теорию возмущений.
Решение при наличии возмущения,
т. е. при е=#0, можно представить в
виде
х=Ло8П1(оо/ + х1(0, (51.18)
где xi(/) — поправка к невозмущен-
ному движению. При 8->0 величина
xi(f) также должна стремиться к нулю.
Поэтому xi(Z) является малой величи-
ной в сравнении с отклонениями при
невозмущенном движении, т. е. имеет
место соотношение |xj|01o. Подстав-
ляя выражение (51.18) для х в урав-
нение (51.16а), получаем уравнение
для xi(/):
xi + cooxi = Е(оо(Л osin2 <о0/ +
+ 2Лох1зтсоо/-|-Х1). (51.19)
Второе и третье слагаемые в скобках
в правой части много меньше первого
слагаемого в силу неравенства |xi |<сЛо.
Поэтому ими можно пренебречь в
сравнении с первым слагаемым и запи-
сать уравнение (51.19) в виде
ii + (о2 х 1 = Л 2( 1 — cos2o)o0, (51.20)
где использована формула sin2(Do/=
= 1/2(1—cos2(oo/)- Решение этого
уравнения будем искать в форме
xi—ai + &icos2(D0t (51.21)
где а\ и Ь\ — постоянные. Подставляя
(51.21) в (51.20), находим
0)0^1 -|- Z?i(—4(о2 -f“ o)2)cos2(Do/ =
2 2
= ^-А20 —^gcos <о2<о0/. (51.22)
Поскольку это равенство должно быть
справедливым для всех моментов вре-
мени, коэффициенты при cos2(oo/ в
правой и левой частях его должны
быть равны друг другу. Из этого
условия получаем:
6i(-4(oHwB) = (51.23)
&1==еЛ§/6. (51.24)
При этом значении Ь\ члены, завися-
щие от времени, в (51.22) сокращают-
ся. Оставшиеся члены дадут уравне-
ние, из которого найдем, что
а1 = еЛ2/2. (51.25)
Следовательно, решение (51.18) с уче-
том первой поправки может быть за-
писано в виде
х=Ло8Ш(оо/+ !/2еЛо+ 1 /б£ЛоСОз2<оо/.
(51.26)
Наиболее существенной особенностью
этого решения является присутствие
288 1 3. Колебания
члена с cos 2о>о/. Он показывает, что
вследствие наличия в силе нелинейного
члена, пропорционального х2, в колеба-
ниях появился член с удвоенной часто-
той 2ы0, называемый второй гармони-
кой. При отсутствии нелинейного члена
в колебаниях имеется лишь член с
основной частотой <о0. Если продол-
жить решение уравнения (51.16) и
найти следующие более малые поправ-
ки, то можно убедиться, что они содер-
жат более высокие частоты мсоо, крат-
ные основной, иначе говоря, содержат
высшие гармоники. Поэтому можно
сказать, что наиболее характерным
следствием наличия нелинейности в
силе является возникновение высших
гармоник в колебаниях.
Далее из (51.26) видно, что оба
составляющих колебания с частотами
coo и 2(0о происходят не около точки
х=0, а около точки х=1/-2еЛо, т. е.
наличие нелинейного члена, пропор-
ционального х2, сдвигает точку равно-
весия, около которой происходят коле-
бания. Этот результат вполне понятен,
если учесть, что сила, пропорциональ-
ная х , направлена все время в одну и
ту же сторону и, следовательно, неиз-
бежно должна сдвинуть точку, около
которой совершаются колебания.
Тем же путем можно рассмотреть
случай, когда в разложении (50.1)
для силы отсутствует член с х2 [т. е.
когда f" (0)=0] и необходимо учесть
член, пропорциональный х3. В этом
случае вместо (51.15) имеем следую-
щее уравнение:
г|2 у 3
т-у-=хН°) + ^г <51-27>
которое может быть представлено в
аналогичном (51.16) виде:
% + озох='Г](оох3, (51.28а)
где
соо =
НО) „ _ Г(0) ИО)
пг ' бтсоо 6/'(0) ’
(51.286)
Параметром малости является величи-
на т]. При ц->-0 решение (51.28а) дол-
жно стремиться к гармоническому ко-
лебанию с частотой <оо. Решение этого
уравнения методом теории возмущений
производится абсолютно так же, как
это было сделано выше. Наряду с
основной частотой <o0 в первом при-
ближении появится высшая гармоника,
но не с удвоенной частотой, а с утроен-
ной. Это является следствием тригоно-
метрической формулы
sin3(oo^= l/-4 (3sincDo/ — sin ЗсооО- (51.29)
Сила, пропорциональная х3, при
равных по модулю положительных и
отрицательных значениях х имеет одну
и ту же абсолютную величину, но про-
тивоположное направление. Это озна-
чает, что эта сила является либо силой
притяжения к точке х=0, либо силой
отталкивания от нее, действующей
совершенно симметрично относительно
этой точки. Поэтому никакого сдвига
точки, около которой совершаются
колебания, не происходит, как это бы-
ло в предыдущем случае. Колебания
с частотами соо и Зсоо совершаются
около точки х=0.
Эти примеры показывают, что наи-
более важной особенностью нелиней-
ных колебаний является возникновение
высших гармоник. Какие именно гар-
моники порождаются, зависит от ха
рактера нелинейности силы.
Общее условие гармоничности коле-
баний. В большинстве случаев малые
отклонения от положения равновесия
приводят к гармоническим колебаниям.
Но это не значит, что гармоническими
колебаниями могут быть только малые
колебания. Колебание, описываемое
уравнением вида (50.3), является гар-
моническим независимо от малости х.
Уравнение (50.3) получается из закона
сохранения энергии 451 5) после диф-
ференцирования по времени с учетом
§51. Собственные колебания 289
того, что d(x2,/d/=2xx. Поэтому мож-
но сказать, что если полная сохра-
няющаяся энергия системы выража-
ется в виде квадратичной функции
от некоторой переменной и ее произ-
водной по времени, то собственными
колебаниями этой системы являются
гармонические колебания.
В качестве примера рассмотрим
замкнутый контур с емкостью и индук-
тивностью. Если заряд на емкости обо-
значить Q, то ток в цепи будет Q.
Энергия электрического и магнитного
полей пропорциональна квадратам их
напряженности, а последние пропор-
циональны зарядам Q и токам Q. Сле-
довательно, полная энергия системы
равна
£=a^2-|-PQ2, (51.30)
где аир — постоянные, определяемые
конфигурацией контура (его емкостями
и индуктивностями). Принимая во вни-
мание, что Е=const, получаем урав-
нение для Q:
aQ + pQ = O. (51.31)
Таким образом, собственные колебания
тока в контуре являются гармониче-
скими с частотой >/р/а, причем
их гармоничность не связана с их ма-
лостью, а обусловлена тем, что полная
энергия в контуре является квадра-
тичной функцией зарядов и токов.
Пример 51.1. Вычисление периода
колебаний. В одномерном случае лю-
бая сила, зависящая только от коорди-
нат, является потенциальной (см. §27)
и закон сохранения энергии имеет вид
тх2/2 + £п(х)=£. (51.32)
Считая, что пропорциональная энергия
£п(х) минимальна в начале координат
и возрастает в обе стороны от мини-
мума, заключаем, что область движе-
ния определяется условием остановки
частицы (х=0), т. е. соответствующие
координаты xi и Х2 являются реше-
ниями уравнения £п(х)=£. Время,
затрачиваемое частицей для движе-
ния от одной точки поворота xi до
другой х2, составляет половину перио-
да ее колебаний. Поэтому для периода
колебаний Т из (51.32) с учетом того,
что x=dx/d/, получаем формулу
Х2
*1
dx
/(2/m)[£-£„(xT’
(51.33)
Она всегда позволяет найти период
колебаний. Однако при использовании
численных методов на ЭВМ следует
иметь в виду, что на границах области
интегрирования подынтегральное вы-
ражение обращается в бесконечность
и надо соблюдать осторожность в вы-
боре точек разбиения интервала интег-
рирования.
Если потенциальная энергия имеет вид
(51.4), то
= 2 j/ZEL[arccos(x/x0)]X0 = 2л ]/
(51.34)
что совпадает с периодом гармониче-
ских колебаний, имеющих частоту
со=(£/т)1>/2, как этого и следовало
ожидать. Видно, что период колебаний
не зависит от энергии частицы. Это
обусловлено тем, что потенциальная
энергия растет с расстоянием как х2.
При других видах потенциальной
энергии период колебаний зависит от
энергии.
Пусть потенциальная энергия равна
£п(х)=а|хГ/2- Границы области дви-
жения даются уравнением £ = ахо/2,
и для периода колебаний вместо
(51.3.4) получаем
10—853
290 1 3. Колебания
= 4
/l-г ’
(51.35)
Поскольку Е = ахо/2, отсюда следует,
что
Т^Е1/п-1/2, (51.36)
т. е. в заданном поле период колеба-
ний, вообще говоря, различен для
частиц различных энергий. Он не за-
висит от энергии лишь для п=2, т. е.
для квадратичной зависимости потен-
циальной энергии от расстояния, когда
колебания являются гармоническими.
Колебания, период которых не за-
висит от энергии, называются изохрон-
ными. Как показано, изохронные коле-
бания возникают, в частности, при
квадратичной зависимости потенциаль-
ной энергии от расстояния. Изохрон-
ные колебания возможны и при других
формах кривых потенциальной энергии.
Они могут быть построены по кривой
с квадратичной зависимостью путем ее
деформации вдоль оси X таким обра-
зом, чтобы расстояние между точками
кривой, соответствующими каждой из
энергий, не изменялись. Единственным
ограничением на эту деформацию
является требование сохранения одно-
значности Еп(х), т. е. прямая линия,
перпендикулярная оси X, должна пере-
секать кривую Еп(х) только в одной
точке.
Пример 51.2. К нижним концам
пружины и резиновой нити, верхние
точки которых жестко закреплены,
подвешены одинаковые грузы массой
пг. Под действием силы тяжести гру-
зов пружина и резиновая нить растя-
гиваются на Л/. В отсутствие внешних
сил их длины одинаковы. Найти перио-
ды колебаний грузов, если в началь-
ный момент нить и пружина были рас-
тянуты на ЗА/ и грузы отпущены без
начальной скорости.
Рассмотрим колебания груза на
пружине. Начало системы координат
поместим в точку равновесия, когда
пружина растянута на А/. Положи-
тельное направление оси X ориентиро-
вано по вертикали вниз. Ясно, что сила
упругости пружины равна Т= D(A/-|-x)
и, следовательно, уравнение движения
имеет вид
mx=mg— Т. (51.37)
Из условия равновесия груза при рас-
тяжении нити на А/ следует, что
mg=DXl, и уравнение движения при-
нимает вид
пгх= — Dx= — mgx/M. (51.38)
Общее решение этого уравнения дает-
ся формулой
х=А cosco/ + Bsinco/, /g/А/.
(51.39)
Следовательно, период колебания равен
7 = 2л/о) = 2л/А?7^Г (51.40)
Из начальных условий х(0)=2А/,
х(0)=0 находим Л = 2А/, В=0.
При движении груза, подвешенного
на нити, начальная часть движения
аналогична предыдущему случаю, т. е.
описывается формулой
x = 2A/coso)/, со= /g/А/. (51.41)
Однако по такому закону движение
происходит лишь до точки х=— Ы,
т. е. cosco/ =—’/2, (о/=2л/3. После
этого силы упругости со стороны нити
на груз не действуют. Скорость груза
в этот момент равна
х= —2A/cosin (о/ = — /3gA/. (51.42)
Следовательно, груз движется вверх
свободно до остановки в течение вре-
мени (3gA/)1/2/g=(3A//g)1/2, поэтому
§ 52. Затухающие колебания 291
продолжительность полупериода дви-
жения равна
2л/(3со)+ /3AW = /ST/g X
Х(2л/3 + /3). (51.43)
Ясно, что время возвращения в на-
чальное состояние будет таким же.
Следовательно, период колебаний да-
ется формулой
Г=2л vWi(2/3+/З/л). (51.44)
Колебания периодические, но не гар-
монические.
52. Затухающие колебания
Анализируется процесс затухания колебаний.
Трение. Собственные колебания линей-
ного осциллятора происходят в отсут-
ствие внешних сил. Энергия его коле-
баний сохраняется, а следовательно, и
амплитуда колебаний не изменяется.
Собственные колебания являются неза-
тухающими.
При наличии трения, являющегося
внешней силой, энергия колебаний
линейного осциллятора уменьшается,
а следовательно, уменьшается и амп-
литуда колебаний. Колебания при на-
личии трения становятся затухаю-
щими. Нетрудно видеть, что и частота
колебаний должна изменяться. Сила
трения действует против скорости. Сле-
довательно, для линейного осциллято-
ра ее действие эквивалентно уменьше-
нию возвращающейся силы, т. е. упру-
гости пружины (уменьшение величи-
ны D). Поскольку (T> = D/m, это озна-
чает, что частота колебаний должна
уменьшаться, а период — увеличи-
ваться.
При увеличении трения период ко-
лебания может увеличиться до сколь
угодно большого значения. При доста-
точно большом трении вообще ника-
кого колебания происходить не будет,
потому что вся энергия осциллятора
расходуется на преодоление сил трения
на очень коротком пути, составляющем
лишь часть колебания.
Уравнение движения. Рассмотрим
силу жидкого трения. В правую часть
уравнения движения надо добавить
силу жидкого трения, и оно приобре-
тает следующий вид:
mx= — Dx— рх, (52.1)
где р — коэффициент трения Это
уравнение удобно переписать таким
образом:
х + 2ух + coo*=0, (52.2)
где y=p/(2m), ^=D/m.
Частота и декремент затухания.
Решение уравнения (52.2) удобно ис-
кать в виде
x=AGeat. (52.3)
Учитывая, что
-±(e'“z) = —iaeiat, -^е‘“') == - а2е'Л
(52.4)
и подставляя (52.3) и (52.2), находим
Доеш/(— а2 + 2/уа + со§)=0. (52.5)
Сомножитель Лоехр(/а/) не равен ну-
лю. Следовательно, равным нулю дол-
жен быть другой сомножитель:
— a2 + 2zya + со2 = 0. (52.6)
Это квадратичное уравнение относи-
тельно а. Его решения выражаются
известной формулой
а=/у± /соо — у2 = /у ± ;
q=|/(joq —у2. (52.7)
Подставляя эти значения для р в
(52.3), находим искомое решение:
х=Лое-?/ -е‘"', (52.8а)
х'=А^-е~^. (52.86)
Наличие двух решений отражает тот
факт, что уравнение (52.2) является
ю*
292 13. Колебания
151
Г рафик затухаю-
щих колебаний
уравнением второго порядка и, следо-
вательно, должно иметь два независи-
мых решения, которые получаются при
различных знаках Q.
При не очень больших коэффициен-
тах трения
у = Z)/(2m) < coo- (52.9)
В этом случае соо — у2>0 и, следова-
тельно, Q является вещественной вели-
чиной. Поэтому exp(zQZ) — гармони-
ческая функция. Вещественная часть
колебания, описываемого равенством
(52.8а)., представляется формулой
x=AtfTytcos&t. (52.10)
Это есть колебание, амплитуда которо-
го уменьшается, а частота Q постоян-
на. График этого колебания изображен
на рис. 151.
Обратная величина логарифмического дек:
ремента затухания равна числу периодов,
в течение которых амплитуда затухает в
е раз. Чем больше логарифмический декре-
мент, тем сильнее затухание колебаний.
Затухающие колебания не являются периоди-
ческими, и тем более они не являются гар-
моническими. За период колебания принима-
ется промежуток времени, через который
смещение обращается в нуль.
Какой смысл имеет понятие периода зату-
хающих колебаний, хотя они непериодиче-
ские?
Из каких соображений можно заключить, что
частота затухающих колебаний должна быть
меньше- частоты соответствующих собствен-
ных колебаний без затухания?
Что такое логарифмический декремент зату-
хания?
Какие важные особенности затухания колеба-
ний характеризуются декрементом затуха-
ния?
Это колебание не является периоди-
ческим и тем более оно не является
гармоническим. Период гармонических
(периодических) колебаний определя-
ется как время, через которое колеба-
ние повторяется. В случае (52.10) коле-
бания не повторяются, поэтому понятие
периода теряет смысл. Тем не менее
удобно говорить о периоде этих коле-
баний, понимая под периодом проме-
жутки времени, через которые смеще-
ние обращается в нуль. В этом же
смысле можно использовать представ-
ление о частоте колебаний Й = 2л/Г.
За амплитуду колебаний принимается
величина A=A^~yt, даваемая фор-
мулой (52.10), которая равна пример-
но модулю максимальных отклонений
при последовательных колебаниях.
Из формулы (52.10) видно, что
амплитуда колебаний уменьшается в
е=2,7 раза в течение времени
т = 1/у.
(52.11)
Промежуток времени т называется
временем затухания колебаний, а у —
декрементом затухания.
Логарифмический декремент зату-
хания. Сам по себе декремент затуха-
ния у не очень много говорит об ин-
тенсивности затухания колебаний. На-
пример, в течение времени А/ амплиту-
да уменьшается в етЛ/ раз. Но в зави-
симости от периода колебаний за это
время происходит различное число ко-
лебаний. Если колебаний произошло
много, то за каждое колебание имело
место небольшое изменение амплиту-
ды. Если же колебаний произошло
немного, то за каждое, колебание амп-
литуда изменялась значительно. Ясно,
что в первом случае в определенном
смысле колебания затухают медленнее,
чем во втором.
Поэтому величину затухания необ-
ходимо отнести к естественному мае-
§ 52. Затухающие колебания 293
штабу времени колебания, т. е. к пе-
риоду колебаний. Интенсивность зату-
хания характеризуется затуханием их
амплитуды за один период колебания
и поэтому вместо декремента затуха-
ния у удобно пользоваться так назы-
ваемым логарифмическим декрементом
затухания.
Найдем амплитуды колебаний в два
последовательных промежутка вре-
мени, разделенных периодом колеба-
ния Т:
Л1=Лое-т/|, А2=А0е-^' + Т} (52.12)
Отсюда следует
Д1/Д2=еЛ (52.13)
Поэтому изменение амплитуды колеба-
ний за период характеризуется вели-
чиной Q=yT, называемой логарифми-
ческим декрементом затухания. Из
(52.13) находим
0 = 1п(Л,/Л2) (52.14)
Логарифмическому декременту за-
тухания можно дать и другую интер-
претацию. Рассмотрим уменьшение ам-
плитуды колебаний в течение N перио-
дов, т. е. за время NT. Вместо формул
(52.12) можно написать
Д1=Дое-^, AN + i=Aoe-^'±NT)- (52.15)
Поэтому отношение амплитуд, разде-
ленных интервалом времени в N перио-
дов, равно
A N+ х / Д\ = е~^т = e~NQ. (52.16)
При 7V0=1 амплитуда уменьшается^
е раз. Поэтому можно сказать, что
логарифмическим декрементом затуха-
ния
О = 1/2V (52.17)
называется величина, обратная числу
периодов, в течение которых ампли-
туда затухает в е раз.
Такая интерпретация дает очень
наглядное представление об интенсив-
ности затухания:
амплитуда затухает в е раз в течение
числа колебаний, равного обратной
величине логарифмического декремен-
та затуханий. Если, например, 0=0,01,
то колебания затухают лишь примерно
после 100 колебаний. В течение 10 ко-
лебаний амплитуда изменяется очень
мало, примерно на своего первона-
чального значения. Благодаря этому
при рассмотрении процессов, происхо-
дящих лишь в течение небольшого
числа периодов, в первом приближе-
нии можно считать колебания неза-
тухающими.
По-другому обстоит дело при боль-
шем логарифмическом декременте за-
тухания. Если 0 = 0,1, то уже после
10 колебаний они полностью зату-
хнут. За несколько колебаний затуха-
ние уже значительно. Поэтому при
рассмотрении процессов, происходя-
щих даже в течение нескольких перио-
дов, нельзя в качестве приближения
считать колебания незатухающими.
Случай большого трения (?><оо).
При увеличении трения период колеба-
ния увеличивается. При большом тре-
нии движение вообще перестает быть
колебательным. Это наступает при
условии
Y = coo, ₽ = 2/Dm. (52.18)
При дальнейшем увеличении трения
у>соо. Полагая /соо — у2 = ±/6, где
б = /у2 —coo является вещественной
величиной, можно формулу (52.3)
представить в виде
x=Xoe-(Y±6)/, (52.19)
причем очевидно, что у±6 = у±
± j/V — соо>*0. Это простая экспонен-
циальная функция никакого колебания
94 13. Колебания
не содержит. Ее график приведен на
рис. 152.
Все эти явления очень хорошо де-
монстрируются на колебаниях маятни-
ка, помещенного в жидкости с различ-
ной вязкостью. Если вязкость очень
велика (например, в глицерине), то
маятник из отклоненного положения
медленно опускается к среднему поло-
жению. Это движение* ни в каком
смысле не напоминает колебание.
Расчет затухания исходя из потерь
энергии на трение. Как уже было отме-
чено, энергия колебаний осциллятора
расходуется на преодоление сил трения
и вследствие этого уменьшается. Поэ-
тому закон уменьшения амплитуды
можно найти, исходя непосредственно
из работы сил трения. Работа сил тре-
ния за один период колебаний равна
т
АЕК = —₽$ xdx = —р x2dt =
о
т
= — р $ V2 sin2tttdt = — ^-Т, (52.20)
о 2
где учтено, что рассматривается слу-
чай малого затухания, так что в тече-
ние одного периода можно пренебречь
в первом приближении изменением
амплитуды V колебаний скорости.
С другой стороны, потеря энергии на
совершение работы против сил трения
за один период есть разность кине-
тических энергий частицы через один
период, равная
AEK = ^(V|-Vi)^
~ ^(V1_v2)(v1 + v2)^^2VA|Z,
(52.21)
где принята во внимание малость
уменьшения амплитуды за один период
колебаний. Приравнивая правые части
соотношений (52.21) и (52.20), полу-
чаем
^-Т = mV&V или
AL=_._LV
Т 2m
(52.22)
Период Т при слабом затухании явля-
ется малым промежутком времени
в сравнении с тем, когда затухание
заметно. В течение времени Т измене-
ние амплитуды скорости колебаний
AV мало. Поэтому в (52.22) можно
считать, что AV/T^dV/d/, и тогда
получаем уравнение для изменения
амплитуды скорости колебаний со вре-
менем:
dV
d/
yK
(52.23)
где- p/(2m)=y— декремент затухания.
Хорошо известно, что решение урав-
нения (52.23) имеет вид
V=V^~yt. (52.24)
Это затухание амплитуды скорости
полностью соответствует затуханию
амплитуды смещения, которое дается
формулой (52.10), выведенной при
строгом решении уравнений движения.
Поэтому проведенный расчет показы-
вает, что энергия осциллятора действи-
тельно расходуется на преодоление сил
трения.
Пример 52.1. Затухание при сухом
трении. Затухание амплитуды колеба-
ний по экспоненциальному закону про-
исходит при силе трения, пропорцио-
нальной скорости. При других силах
§ 52. Затухающие колебания 295
трения наблюдаются другие законы
уменьшения амплитуды колебаний.
Если движение происходит при су-
хом, трении, то уравнение движения
имеет вид
mx + (x/\x\)Fo + Dx=O, (52.25)
где (x/|x|)Fo— постоянная величина,
направленная против скорости. Вели-
чина x/|x| = signx определяет знак
силы. . Заменой переменных |=х +
+ (x/|x|)Fo/£> (52.25) приводится к
виду
mf + £>g=0, (52.26)
характерному для гармонических ко-
лебаний. Таким образом, между мо-
ментами времени, при которых ско-
рость обращается в нуль, колебание
является гармоническим с частотой
(о= y/D/m, но происходит оно относи-
тельно точки равновесия, смещенной
в сторону отклонения на &x=Fq/D.
В результате за один период точка
максимального отклонения прибли-
жается к первоначальной точке на ве-
личину 4Fq/D, т. е. амплитуда умень-
шается на ДЛ = —4Fo/D. Это означа-
ет, что амплитуда колебаний умень-
шается пропорционально времени, а не
по экспоненциальному закону.
Пример 52.2. Затухание при произ-
вольных силах трения. Для того чтобы
найти закон уменьшения амплитуды
колебаний, необходимо решить уравне-
ния движения, что не всегда достаточ-
но просто. Однако, пользуясь энергети-
ческими соображениями, можно пря-
мым вычислением потерь энергии на
трение и их сравнением с полной энер-
гией сделать заключение о характере и
скорости затухания колебаний, анало-
гично тому, как это было сделано при
выводе (52.24).
Применим этот «энергетический» ме-
тод для анализа затухания при сухом
трении. Для расчета удобнее пользо-
ваться не амплитудой скорости, как
при выводе (52.24), а амплитудой от-
клонения А. За один период колебаний
сила Fq направлена против скорости, а
пройденный при этом путь равен 4А.
Следовательно, потерянная на преодо-
ление сил трения энергия равна Д£=
= — 4Л£о. С другой стороны, энергия
колебаний равна E=DA2/<2 и, следо-
вательно, ДЕ=£)ЛДЛ. Приравнивая
последние два выражения ДЕ, находим
ЛЛ =—4Fq/D, что согласуется с ре-
зультатом точного решения уравнения
(52.25).
Оценим этим методом характер за-
тухания для других зависимостей си-
лы трения от скорости. Если сила
трения не зависит от скорости, то, как
это только что было показано, потеря
энергии за период . пропорциональна
амплитуде, т. е. ДЕ—Л. Если FTp
то, как это следует из (52.20), ДЕ—Л2.
Аналогично вычисляя работу сил тре-
ния за период, убеждаемся, что если
FTp~vn (/£>1), то ДЕ— Лл+1. Отсюда
следует
А4 А£ дП_ ।
А Е
и, следовательно,
(52.27)
ш Т
Это означает, что закон изменения
амплитуды со временем имеет следую-
щий вид:
Д~(/4-д)1/(1-п)', (52.28)
где b — постоянная. Например, в воз-
духе при не очень малых скоростях
сила трения пропорциональна квад-
рату скорости ( — у2). Амплитуда коле-
баний точки при этом должна умень-
шаться по закону !/(/ + /?). Другими
словами, если в момент / = 0 ампли-
туда колебаний равна Ло, то закон
изменения амплитуды имеет вид
л(0 = 7^у- (52.29)
296 13. Колебания
Если за один период колебаний амп-
литуда уменьшилась в 1/у раз, т. е.
Л(Т)=у4о, то для постоянной b в
(52.29) получаем уравнение
ТЛ« = ^, (52.30)
из которого следует, что Ь=уТ/(\—у).
По закону (52.29) амплитуда изменя-
ется до’ тех пор, пока в результате
уменьшения скорости сила трения не
станет линейно зависеть от скорости.
После этого уменьшение амплитуды
становится экспоненциальным
53. Вынужденные колебания.
Резонанс
Обсуждаются • методы исследования вынужден-
ных колебаний и связанные с ними понятия.
Внешняя сила. Наряду с трением на
линейный осциллятор может действо-
вать какая-либо другая внешняя сила.
Характер движения линейного осцил-
лятора при этом изменится в зависи-
мости от особенностей действующей
силы.
Наиболее важным является случай
гармонической внешней силы. В даль-
нейшем будет показано, что более
сложные случаи изменения внешней
силы со временем сводятся к этому
простейшему. Поэтому будем считать,
что внешняя сила действует на линей-
ный осциллятор по следующему за-
кону:
F=/7ocos(o/, ’ (53.1)
где Ео — амплитуда силы, со— ее час-
тота.
Уравнение движения. Вместо (52.2)
движение описывается следующим
уравнением:
mx= — Dx — p% + F0 cos со/. /53.2)
Разделив обе части на т, получим
уравнение в виде, аналогичном (52.2):
x-\-2yx-\-(j)QX=(FG/m)cos(dt, (53.3)
где величины у и too имеют те же зна-
чения, что и в (52.2).
Переходный режим. Если считать,
что внешняя периодическая сила на-
чала действовать на линейный осцил-
лятор в некоторый момент времени, то
его движение в течение определенного
промежутка времени зависит от дви-
жения в момент начала действия силы.
Однако с течением времени влияние
начальных условий ослабевает и дви-
жение осциллятора переходит в режим
установившихся гармонических коле-
баний. Каковы бы ни были условия в
момент начала действия внешней силы,
после некоторого промежутка времени
осциллятор будет совершать одни и те
же установившиеся гармонические ко-
лебания. Процесс установления коле-
баний называется переходным режи-
мом.
При рассмотрении переходного ре-
жима самым важным является вопрос
о его продолжительности. Она опреде-
ляется временем затухания колебаний,
которые имелись в момент начала дей-
ствия внешней силы. Это время нам
известно — оно равно т=1/у. Это
есть тот промежуток времени, после
которого можно забыть о первоначаль-
но существовавших колебаниях и рас-
сматривать только установившиеся под
действием внешней силы колебания.
С другой стороны, если начальных
колебаний не было, то вынужденные
колебания не мгновенно достигнут
своего стационарного режима. Можно
показать, что время установления ста-
ционарного режима вынужденных ко-
лебаний после начала действия силы
также равно т=1/у.
Установившиеся вынужденные ко-
лебания. В этом случае надо считать,
что сила Eocosco/ начала действовать
очень давно, т. е. в бесконечно далекий
прошедший момент времени. Таким об-
разом, принимаем, что уравнение
(53.3) справедливо для всех моментов
§ 53. Вынужденные колебания. Резонанс 297
времени. Для его решения опять удоб-
но воспользоваться комплексной фор-
мой гармонических колебаний, записав
в этой форме выражения для силы в
правой части (53.3). Уравнение (53.3)
принимает следующий вид:
х + 2ух + (лох=(Ро/т)еш\ (53.4)
а его решение дается действительной
частью решения уравнения (53.4). Это
решение ищем в виде
х=Ле/а/. (53.5)
Здесь А не является, вообще говоря,
действительной величиной. Подставив
это выражение в (53.4), получим
Xet«/(-a2+2/Y«+cog)=(Fo/m)e/w/. (53.6)
Это равенство должно быть справед-
ливым для всех моментов времени, т? е.
время t должно исключаться из него.
Из этого условия следует, что а=со.
Найдя из (53.6) величину А и умножив
ее числитель и знаменатель на со2—
— со2 — 2гуоэ, можем записать
л = А________1______=
т wo—(о24-2гусо
__ Fq <Qq—со2 2rp cd fRQ
т (соо—со*)2+4у2(о2 ’ ' ’ '
Комплексное число (53.7) удобнее
представить в экспоненциальной форме
А = Лое^,
° о>2)2 + 4у2<о2 ’
, 2усо 2усо
tgw =---------2------ - 2 ГТ*
w СО —(О()
(53.8а)
(53.86)
(53.8в)
Следовательно, решение (53.5) в комп-
лексной форме имеет вид
х=Лое/(“/+Ч (53.9)
153
Амплитудно-частотная характеристика
При небольшом затухании резонансная частота
близка собственной
а его действительная часть, являющая-
ся решением уравнения (53.3), равна
х=А о cos (to/ + <р), (53.10)
где Ло и ф даются формулами (53.86)
и (53.8в), а со — частота внешней
среды.
Таким образом, под влиянием вне-
шней гармонической силы осциллятор
совершает вынужденные гармониче-
ские колебания с частотой этой силы.
Фаза и амплитуда этих колебаний
определяются как свойствами силы,
так и характеристиками осциллятора.
Рассмотрим изменение фазы и ампли-
туды вынужденных колебаний.
Амплитудно-частотная характерис-
тика. Кривая, описывающая зависи-
мость амплитуды вынужденных устано-
вившихся колебаний от частоты внеш-
ней силы, называется амплитудно-час-
тотной характеристикой. Ее аналитиче-
ское выражение дается формулой
(53.8,6), а графическое изображение
приведено на рис. 153.
Максимального значения амплиту-
да достигает при частоте внешней си-
лы, близкой к частоте собственных
колебаний осциллятора (со^соо). Коле-
бания с максимальной амплитудой
называются резонансными, а само яв-
ление «раскачки» колебаний до макси-
мальной амплитуды при называ-
298 13. Колебания
ется резонансом. Частота соо в этом
случае называется резонансной. При
отклонении частоты внешней силы от
резонансной амплитуда резко умень-
шается.
Рассмотрим физическую картину
явления в различных областях частот.
Наибольший интерес представляют ко-
лебания при малом трении. Поэтому
будем предполагать, что у<Со>о.
Случай 1: со<Со)о- Из формулы
(53.86) получаем для амплитуды вы-
ражение
Л0стат«Л0/(т(о^). (53.11)
Физический смысл этого результата
состоит в следующем. При очень малой
частоте внешней силы она действует
на систему как постоянная статическая
сила. Поэтому максимальное смещение
(амплитуда) равно смещению (53.11)
под действием статической силы Fo,
Т. е. Хтах- Fo//) = Fo/(mo)o), где £) =
= mсоо — жесткость, характеризующая
возвращающую силу. Из условия со<С<оо
следует, чтов>в уравнении движения
(53.3) член х, обусловленный ускоре-
нием, и член 2ух, означающий ско-
рость, много меньше члена со2х, связан-
ного с упругой силой, поскольку Х^СОХ,
х= — со2х. Поэтому уравнение движения
сводится к уравнению
(ogx=(Fo/m)cos(of, (53.12)
решение которого имеет вид
x=[Fo/(m(oo)] cosco/. (53.12а)
Это означает, что в каждый момент
смещение является таким, каким оно
должно быть, если бы сила не изменя-
лась со временем и была равна ее
мгновенному значению. Силы трения
роли не играют.
Случай 2: со^соо. Из формулы
(53.86) получаем для амплитуды выра-
жение
Xo^Fo/(mcD2). (53.13)
Физический смысл этого результата
состоит в следующем. При очень боль-
шой частоте внешней силы член,
обусловленный ускорением х, много
больше каждого из членов, связанных
со скоростью и упругой силой, потому
что ||х|^ |(02х|» |(0ох|; |х|» |<о2х|»
^>|2ух|« |2усох|. Поэтому уравнение дви-
жения (53.3) принимает вид
x«(F0/m)cos со/, (53.14а)
а решение его представляется форму-
лой
х» — [Fo/m(D2)]cos(o/. (53.146)
Таким образом, силы упругости и силы
трения в сравнении с внешней силой не
играют никакой роли в колебаниях.
Внешняя сила действует на осцилля-
тор так, как если бы никаких сил
упругости и сил трения не было.
Случай 3: со шо- Это есть слу-
чай резонанса. При резонансе ампли-
туда имеет максимальное значение,
для которого из формулы (53.86) при
условии y<Cwo получаем
ДоРез = -^-^—• (53.15)
m 2усоо v
Физический смысл этого результата
заключается в следующем. Член, свя-
занный с ускорением, равен члену,
обусловленному упругой силой, т. е.
х= — со2х= — соох. Это означает, что
ускорение создается силой упругости,
а внешняя сила и сила трения -взаимно
компенсируются. Уравнение (53.3)
имеет вид
2ух=(/?0/т)со8со0/, (53.16 а)
и его решение записывается следую-
щим образом:
х=[Fo /(2ymcoo)] sin (оо/. (53.166)
Строго говоря, максимум амплиту-
ды достигается не точно при со = соо,
а вблизи этого значения. Точное значе-
$53. Вынужденные колебания. Резонанс 299
ние может быть найдено по общему
правилу путем приравнивания нулю
производной от 'Ло по со в (53.86).
Однако при не очень большом трении,
когда у<С<оо, смещение максимума от
(д=<оо весьма незначительно и не име-
ет смысла принимать его во внимание.
Добротность. Важной характеристи-
кой свойств осциллятора является рост
' амплитуды его колебаний в резонансе
в сравнении со статическим ее значе-
нием, т. е. со смещением под действием
постоянной силы. Из формул (53.11) и
(53.15) следует
154
Резонансная кривая квадрата амплитуды
По ней определяется ширина резонанса Дсо
*^1()£ез^ ®
/10стат 2,уТ в
(53.17)
где 0—логарифмический декремент
затухания. Величина Q называется
добротностью системы. Добротность
является важнейшей характеристикой
резонансных свойств системы.
Из формулы (53.17) видно, что
чем меньше затухание осциллятора,
тем более энергично он раскачивается
в резонансе, поскольку Ло рез =
= Л0 статС=Л0 стат(л/0), КПК ВИДНО ИЗ
(53.17).
Важной характеристикой резонанс-
ных свойств является не только увели-
чение амплитуды в резонансе, но и
интенсивность этого увеличения. Дру-
гими словами, важно не только значе-
ние резонансной амплитуды, но и
насколько энергично уменьшается эта
амплитуда при отклонении от резо-
нансной частоты. Это свойство харак-
теризуется понятием ширины резо-
нансной кривой. Однако эта величина
определяется не относительно амплиту-
ды колебаний, а относительно квадрата
амплитуды. Это связано с тем, что та-
кая важнейшая характеристика линей-
ного осциллятора, как энергия, дается
не амплитудой смещения, а ее квадра-
том. Вид резонансной кривой квад-
рата амплитуды аналогичен рис. 153.
Эта кривая изображена на рис. 154
вместе с указанием полуширины резо-
нансной кривой: полушириной резо-
нансной кривой называется расстояние
в частотах Лср/2 от частоты резонанса
(со = (0о) до той частоты, где квадрат
амплитуды убывает в два раза. Не-
трудно вычислить эту полуширину.
Вблизи резонанса ш = (0о можно
считать
0 х m ) (o)q—о)2)2-|-4у2(1)2
= (______________________!____________
\ m ) (о)0—ы)2(со0Ч-со)2Ч-4у2ы2
~ __________________!_________
X rn ) g^(Aco)2-|-4y2Wo ’
где учтены частоты, близкие к резо-
нансной, когда Д(о<Ссоо, со^соо. По-
скольку в резонансе Aope3=(Fo/rnf/
/(4у2соо), условие уменьшения амплиту-
ды в два раза в сравнении с резонанс-
ным принимает вид
4- . 2~2~~~~ 2/д ч2.А-2— (53.19)
2 4у2(о£ (l>6(Aco)2-|-4y «о
и, следовательно, для ширины резо-
нансной кривой находим
А(о = 2у,
(53.20)
300 1 3. Колебания
155
Фазочастотная характеристика
При малом затухании в очень малом интервале
частот вблизи резонансной фаза быстро меняется
От значений, близких к нулю, до значений, близких
К л, т. е. на резонансной частоте происходит «пере-
ворот» фазы
т. е. ширина равна удвоенному декре-
менту затухания: чем меньше затуха-
ние, тем меньше ширина и острее резо-
нансная кривая.
Более удобно формулу (53.20) вы-
разить через логарифмический декре-
мент затухания и добротность. Разде-
Добротность, равная обратной величине ло-
гарифмического декремента затухания, ум-
ноженной на л, характеризует интенсивность
«раскачки» колебаний в резонансе. Доброт-
ность показывает, во сколько раз амплитуда
в резонансе больше амплитуды статического
отклонения при одной и той же амплитуде
силы.
Ширина резонансной кривой определяется
относительно не амплитуды колебания, а
квадрата амплитуды.
Резонанс наступает тогда, когда в системе
возникают условия для наиболее эффектив-
ной передачи энергии от источника внешней
силы к колеблющейся системе.
Если затухание мало, то что происходит
с фазой вблизи резонанса?
Как ведет себя фаза при несколько большем
затухании?
При каком условии анализ воздействия на
систему периодической, но не гармониче-
ской, силы сводится к простому применению
результатов анализа для гармонической си-
лы?
Чем в принципе определяется характер
воздействия на систему непериодической
силы?
2 Q ’ V—
(53.22)
ширина Дсо резо-
равна частоте резо-
лим обе части (53.20) на соо и учтем
(53.17):
А со 2у уТ 1 1
<о0 соо л
А(о= too/Q.
Таким образом,
нансной кривой
нанса, деленной на добротность.
При увеличении добротности воз-
растает резонансная амплитуда и
уменьшается ширина резонансного
максимума. Однако, как это следует из
(53.17) и сказанного выше о переход-
ном режиме, с увеличением добротно-
сти возрастает время установления вы-
нужденных колебаний.
Фазочастотная характеристика.
Другой важной характеристикой вы-
нужденных колебаний является соотно-
шение их фазы и фазы внешней силы.
В формуле (53.10) для смещения это
соотношение определяется величи-
ной ф, поскольку зависимость силы от
времени дается функцией cos со/. Если
Ф<0, то смещение запаздывает по
фазе от внешней силы. Зависимость
фазы ф от частоты, выражаемая фор-
мулой (53.86), называется фазочастот-
ной характеристикой (рис. 155).
При очень малых частотах
фаза ф мала и отрицательна. Это озна-
чает, что смещение отстает по фазе
от силы на очень небольшую величину:
с возрастанием частоты отставание
смещения по фазе от силы увеличива-
ется. При резонансе смещение отстает
от силы по фазе на л/2. Это означает,
что в тот момент, когда сила достигает
максимального значения, смещение
равно нулю, а когда сила равна нулю,
смещение максимально. При дальней-
шем возрастании частоты отставание
смещения от силы продолжает увели-
чиваться и при очень больших часто-
тах со^хоо приближается к л. Иначе
можно сказать, что смещение и сила
направлены почти противоположно,
поскольку cos (со/ — л)= — cosco/. Поэ-
тому, когда, например, сила достигает
максимального положительного значе-
ния, смещение имеет максимальное
отрицательное значение. Затем сила и
смещение изменяются в противополож-
ных направлениях, проходя нулевое
значение почти одновременно.
Эти фазовые соотношения между
смещением и силой позволяют более
глубоко понять сущность явления ре-
зонанса. Как было отмечено в § 50,
скорость опережает смещение на л/2.
С другой стороны, при резонансе сила
опережает смещение также на л/2.
Следовательно, скорость и сила колеб-
лются в одной фазе, т. е. сила все вре-
мя совпадает по направлению со ско-
ростью. Поэтому работа внешней силы
достигает максимального значения. Ес-
ли резонанса нет, то часть времени
сила совпадает по направлению со ско-
ростью и, следовательно, энергия ос-
циллятора увеличивается, а часть вре-
мени действует против скорости и, сле-
довательно, его энергия уменьшается.
Поэтому резонанс характеризуется на-
личием максимально возможных бла-
гоприятных условий для передачи
энергии от источника внешней силы к
осциллятору. Самые неблагоприятные
условия передачи энергии от источника
внешней силы к осциллятору имеют
место при (о<С<оо и со>»(оо, когда фазы
силы и скорости отличаются почти на
л/2. Это означает, что сила примерно
половину времени направлена противо-
положно скорости и половину времени
совпадает с ней. Таким образом, в
среднем осциллятору от источника
внешней силы передается незначитель-
ная энергия за период колебаний и
поэтому амплитуда колебаний в этих
случаях очень мала.
Периодическая, но не гармониче-
ская сила. Если действующая на ос-
циллятор внешняя сила Fof(t) являет -
§ 53. Вынужденные колебания. Резонанс 301
ся периодической с периодом Т, то по
известным из математического анализа
формулам ее можно представить в ви-
де ряда Фурье, каждый член которого
является гармонической функцией:
оо
Л)К0 = Л) 2 (ancosntot + Z?nsinn(o/),
n=0
(53.23)
где (о = 2л/Т. Эта сила действует на
осциллятор вместо силы (53.1) и вхо-
дит в правую часть уравнения (53.3).
Для нахождения результата ее дей-
ствия никаких новых расчетов делать
не требуется. Достаточно учесть, что
уравнение (53.3) является линейным и,
следовательно, его решение может
быть представлено как сумма решений
уравнений, в правой части которых
стоит один из членов суммы (53.23).
Другими словами, каждое из слагае-
мых гармонических сил в (53.23) дей-
ствует на линейный осциллятор неза-
висимо. Это действие уже изучено.
Полное колебание слагается из суммы
колебаний, вызываемых отдельными
гармоническими силами в (53.23).
Наиболее сильное влияние на ос-
циллятор оказывают те члены суммы
(53.23), частоты которых лежат вблизи
резонансной частоты, т. е у которых
п0^(0о- Если таких частот нет, то
периодическая сила Fvf(t) не вызывает
сильного роста амплитуды колебаний
осциллятора. Если же такие частоты
есть, то наблюдается явление резо-
нанса. Резонансная амплитуда, шири-
на резонансной линии и сдвиг фаз
находятся по рассмотренным выше
формулам. Абсолютное значение резо-
нансной амплитуды зависит от коэффи-
циента ап и Ьп в соответствующих
членах суммы (53.23). Если эти члены
очень малы, то рост резонансной амп-
литуды даже в сотни раз не приведет
к существенному увеличению суммар-
ной амплитуды колебаний. В этом слу-
302 13. Колебания
чае резонансные члены в (53.23) не
имеют значения.
Если же коэффициенты ап и Ьп в
резонансных членах не очень малы,j то
соответствующие резонансные ампли-
туды играют определяющую роль в
характере действия силы Eof(O на ос-
циллятор.
Как уже было отмечено, большин-
ство физических систем при малом
отклонении от положения равновесия
ведут себя как линейные осцилляторы.
Например, вершины строительных кон-
струкций (башен, домов), мосты раз-
ных конструкций и т. д. колеблются
как линейные осцилляторы. Вра-
щающиеся валы машины испытывают
крутильные колебания, которые также
являются колебаниями линейного ос-
циллятора (угловое ускорение а при
отклонении от положения равновесия
пропорционально углу отклонения, т. е.
а~а). Кроме того, эти системы часто
подвергаются воздействию периодиче-
ских сил. Например, вал машины испы-
тывает периодические усилия со сторо-
ны поршней в результате сгорания
топлива в цилиндрах, на различные
части моста воздействует почти перио-
дическое изменение давления от по-
следовательности автомашин, идущих
друг за другом более или менее
регулярно, периодические шаги пеше-
ходов и т. д. Чтобы проанализировать
результат этих периодических воздей-
ствий, необходимо произвести спект-
ральный анализ сил, т. е. представить
силы в виде (53.23) и посмотреть, с
какими коэффициентами ап и Ьп в этом
разложении присутствуют различные
гармонические составляющие силы.
У Что такое переходный режим и чем опреде-
ляется его продолжительность?
Чему равна частота вынужденных колеба-
ний при гармоническом внешнем воздей-
ствии?
Какие особенности амплитудной резонансной
кривой Вы можете указать?
Какое сзойство резонансной крчвой характе-
ризует добротность?
Затем надо проанализировать, с каки-
ми собственными частотами сэ0/ может
колебаться система. Вообще говоря,
реальная система обладает не одной
собственной частотой, а несколькими
или даже бесконечным числом и ее
при малых отклонениях не всегда мож-
но представить в виде одного линейного
осциллятора. Может случиться, что
при малых отклонениях система ведет
себя как совокупность линейных ос-
цилляторов с различными собствен-
ными частотами. Каждый из них под
действием соответствующих гармони-
ческих составляющих силы может на-
чать резонансные колебания. Напри-
мер, мост может совершать вертикаль-
ные колебания, горизонтальные смеще-
ния поперек своей длины, колебания
вдоль своей длины и т. д. Собственные
частоты колебаний различны и у каж-
дого вида колебаний имеется не одна
собственная частота. Все собственные
частоты надо принять во внимание
при анализе действия внешней перио-
дической силы. Конструкторская рабо-
та частично состоит в том, чтобы избе-
жать резонансного действия внешних
сил на систему. Не менее важной
задачей в других случаях является
обеспечение резонансного воздействия
внешних сил на систему. Например,
в радиотехнике при приеме радио-
сигналов необходимо добиться их ре-
зонансного воздействия на колебатель-
ные контуры радиоприемника. В обоих
случаях задача сводится к исследова-
нию вынужденных колебаний линей-
ного осциллятора под действием внеш-
ней периодической силы.
Следует также принять во внима-
ние возможную связь различных ли-
нейных осцилляторов друг с другом.
Это будет сделано при рассмотрении
колебаний связанных систем.
Непериодическая сила. Периодиче-
ская сила, действие которой на линей-
ный осциллятор было только что рас-
смотрено, является идеализированным
представлением, которое в реальных
условиях никогда не осуществляется.
Чтобы быть периодической в строгом
смысле этого слова, сила должна дей-
ствовать периодически в течение бес-
конечного времени. Если же действие
силы имеет начало и конец, то, строго
говоря, она не является периодиче-
ской. Тем не менее реальные силы,
имеющие периодический характер и
действующие в течение конечного про-
межутка времени, с успехом можно
рассматривать как периодические. Для
этого сила должна действовать «доста-
точно продолжительно». Чтобы полу-
чить критерий «достаточной продолжи-
тельности», проанализируем гармони-
ческие силы.
После начала действия гармониче-
ской силы (53.1) для установления
вынужденных стационарных колебаний
требуется время т=1/у. Если воздей-
ствие силы продолжается значительно
дольше этого времени и система совер-
шает достаточно много колебаний, то
результат является таким же, как если
бы оно продолжалось бесконечно дол-
гое время. Следовательно, при этом
условии сила является гармонической
и можно не принимать во внимание
ее ограниченность во времени.
Периодическая сила также имеет
начало и конец и в строгом смысле
не является периодической. Однако,
аналогично случаю гармонической си-
лы, ее можно рассматривать как пе-
риодическую, если время т установ-
ления вынужденных колебаний много
меньше времени действия силы. По ис-
течении времени т колебания приобре-
тают свой стационарный характер и
дело происходит так, как если бы они
существовали бесконечно, т. е. можно
считать, что сила является строго пе-
риодической.
Под непериодической силой пони-
мается такая, в пределах времени су-
§53. Вынужденные колебания. Резонанс 303
ществования которой невозможно ус-
тановить какое-то периодическое из-
менение. Результат ее воздействия мо-
жет быть выяснен с помощью только
что изложенных соображений. Пусть
продолжительность Т действия силы
значительно больше времени т установ-
ления колебаний в системе. Тогда по
истечении т в системе установится
некоторый стационарный режим, в ко-
тором не произойдет каких-либо су-
щественных изменений в последующий
промежуток времени Т—т. Поэтому
естественно рассматривать процесс как
периодический с периодом Т. Предста-
вим эту силу в виде (53.23). Очевидно,
что составляющие силы, соответ-
ствующие членам п^>1, за время Т
успевают сделать много колебаний,
причем стационарный режим для них
устанавливается в течение времени
нескольких первых колебаний. Поэтому
для этих составляющих полностью
применимы все выводы о действии
периодической силы. Если частоты по-
падают в резонансную область, то
амплитуда соответствующих колебаний
сильно возрастает. Ввиду того, что в
этом случае может быть со<Ссоо(о>о =
= 2л/Т), вблизи резонансного значения
rz6) = <Do могут находиться частоты мно-
гих членов (53.23). Соответствующие
почти резонансные колебания склады-
ваются друг с другом. С другой сто-
роны, в этом случае первые члены
суммы (53.23) с n = 0, 1, 2,... имеют
частоты, много меньшие резонансной.
Для таких частот справедливо уравне-
ние (53.12), когда отклонение как бы
мгновенно следует за силой. Таким об-
разом, если непериодическая сила су-
ществует много дольше времени уста-
новления колебаний и периода резо-
нансных колебаний, то процесс рас-
сматривается совершенно аналогично
случаю периодической силы. Строго го-
воря, при таком подходе будет допу-
щена некоторая ошибка, потому что в
< н* ‘
304 1 3. Колебания
начале и конце действия силы состоя-
ние движения осциллятора не будет
полностью одинаковым. Поэтому к
периоду Т следовало бы добавить вре-
мя затухания т, чтобы второй «вообра-
жаемый период» начался так же, как и
первый, когда колебания до начала
действия силы отсутствуют. Но и
это уточнение больших изменений не
несет. С математической точки зрения
для более строгого решения задачи
следует перейти к непрерывному
спектру, а именно считать, что период
действия силы Т^-оо. Тогда вместо
выражения силы в виде (53.23) как
суммы по частотам ее можно предста-
вить в виде интеграла по частотам,
который известен как интеграл Фурье.
В этом случае частоты принимают не
дискретные, а всевозможные непрерыв-
но изменяющиеся значения. Вынуж-
денные колебания в своем составе так-
же содержат всевозможные частоты,
плотности амплитуд которых соответ-
ствующим образом связаны с плотно-
стью амплитуд силы тех же частот.
Компоненты силы с частотами, лежа-
щими в области резонанса, вызывают
сильное увеличение амплитуд смеще-
ния. Физическое содержание явлений
при непрерывном спектре аналогично
случаю дискретного спектра.
Если время действия Т внешней
силы меньше, чем время установления
вынужденных колебаний т=1/у, то
представления, основанные на картине
установившихся вынужденных колеба-
ний, применять нельзя. В этом случае
необходимо исследовать колебания в
переходном режиме.
Резонанс при нелинейных колеба-
ниях. Важнейшей особенностью вы-
нужденных нелинейных колебаний яв-
ляются резонансы на комбинационных
частотах. Как было отмечено в §51,
в нелинейных колебаниях наряду с ос-
новной частотой (оо присутствуют выс-
шие гармоники с частотами псоо. Под
действием внешней гармонической си-
лы с частотой со резонанс наступает не
только на основной частоте, когда
со^соо, но и на частотах высших гар-
моник, когда со^псоо. В спектре произ-
вольной периодической силы наряду с
основной частотой со присутствуют
высшие гармоники с частотами гисо.
Поэтому резонанс может наступить при
частотах, удовлетворяющих условию
?nco = nojo, т. е. при различных комби-
нациях основных частот. Конечно, роль
' того или иного резонанса зависит от
его амплитуды, а последняя зависит от
характеристик как нелинейной систе-
мы, так и силы. Если амплитуда мала,
то резонанс нет необходимости прини-
мать во внимание.
54. Автоколебания и параметрические
колебания
Описываются качественно методы осуществле-
ния автоколебаний и параметрических коле-
баний.
Определение. Из-за потери энергии на
трение собственные колебания посте-
пенно затухают. Если к осциллятору
подводить энергию от источника внеш-
ней гармонической силы, то он начнет
колебаться с частотой этой силы, кото-
рая вообще говоря, отличается от соб-
ственной частоты осциллятора.
Однако можно создать устройства,
в которых осциллятор сам регулирует
подвод энергии из внешнего источника
таким образом, чтобы компенсировать
потери энергии на трение. За период
колебаний из внешнего источника
энергия, приобретаемая осциллятором,
равна энергии, затрачиваемой на пре-
одоление сил трения. В результате
осциллятор совершает незатухающие
колебания. Такие самоподдерживаю-
щиеся колебания называются автоко-
лебаниями. Если трение невелико,
то за один период в систему поступает
лишь небольшая доля полной энергии
осциллятора. В этом случае автоко-
§ 54. Автоколебания и параметрические колебания 305
лебания с очень большой точностью
являются гармоническими и их частота
очень близка к частоте собственных
колебаний. Если же силы трения ве-
лики, то за один период в систему
подводится значительная часть полной
энергии осциллятора и поэтому колеба-
ния сильно отличаются от гармониче-
ских, хотя и являются периодическими.
Период этих колебаний не совпадает
с периодом собственных колебаний ос-
циллятора.
Автоколебания маятника. Рассмот-
рим колебания маятника, подвешенного
на оси во вращающейся втулке (рис.
156), и превращение его энергии в раз-
личных случаях. Пусть маятник поко-
ится. Тогда вращающаяся втулка в
результате скольжения относительно
оси совершает работу на преодоление
сил трения. Эта работа полностью пре-
вращается во внутреннюю энергию,
и в результате ось и втулка нагрева-
ются. Источником энергии, превращен-
ной во внутреннюю, является машина,
приводящая во вращение втулку.
Пусть теперь маятник колеблется.
В тот полупериод колебаний маятника,
когда направления вращения оси ма-
ятника и втулки совпадают, силы трения
совпадают по направлению с движени-
ем точек поверхности оси. Поэтому эти
силы вызывают усиление колебаний
маятника. С другой стороны, энергия,
превратившаяся во внутреннюю, за вре-
мя полупериода колебаний в сравнении
со случаем покоящегося маятника
уменьшается ввиду того, что относи-
тельное перемещение трущихся поверх-
ностей (внешняя поверхность оси и
внутренняя поверхность втулки) умень-
шается. Поэтому лишь часть энергии
от машины, вращающей втулку, пре-
вращается во внутреннюю, а другая,
часть идет на увеличение энергии ко-
лебаний маятника.
В другой полупериод колебаний
маятника, когда направления вращения
156
Маятник, подве-
шенный на враща-
ющуюся ось, явля-
ется простейшей
автоколебательной
системой
его оси и оси втулки противоположны,
силы трения действуют против направ-
ления движения маятника. Поэтому
они тормозят его движение и энергия
колебаний маятника превращается во
внутреннюю. Энергия от машины, вра-
щающей втулку, в этом случае также
полностью превращается во внутрен-
нюю. Полный результат превращений
энергии в течение периода колебаний
определяется характером зависимости
сил трения от скорости.
Если силы трения не зависят от ско-
рости, то энергия, приобретаемая маят-
ником в полупериоде колебаний, когда
направления вращения его оси и вала
совпадают, равна энергии, теряемой им
на работу против сил трения в другом
полупериоде. В этом случае вращение
втулки не вносит каких-либо изменений
в колебания маятника в сравнении со
случаем невращающейся втулки.
Если сила трения увеличивается с
возрастанием скорости, то энергия, при-
обретаемая маятником за полупериод
колебаний, когда направления враще-
ния его оси и вала совпадают, меньше
энергии, теряемой им на работу против
сил трения в другом полупериоде, по-
скольку во втором полупериоде относи-
тельные скорости больше, а следова-
тельно, и силы трения больше, чем в
первом полупериоде. В этом случае
вращение втулки увеличивает затуха-
ние колебаний маятника.
306 13. Колебания
Если сила трения уменьшается с
увеличением скорости, то энергия, при-
обретаемая маятником в полупериоде
колебаний, когда направления враще-
ния его оси и вала совпадают, больше
энергии, теряемой им на работу против
сил трения в другом полупериоде, по-
скольку во втором полупериоде относи-
тельные скорости больше, а следова-
тельно силы трения меньше, чем в пер-
вом полупериоде. Таким образом, вра-
щение втулки приводит к увеличению
амплитуды колебаний маятника. Одна-
ко при этом возрастают потери энергии
маятника на трение о воздух. Когда
поступающая в маятник энергия за пе-
риод становится равной энергии, теряе-
мой на трение, наступает режим коле-
баний с постоянными амплитудой и
частотой, называемой автоколебатель-
ным режимом. Если потери на трение
за один период невелики в сравнении
с полной энергией колебаний маятника
и амплитуда колебаний достаточно
мала, то эти колебания являются гармо-
ническими, а их частота равна собствен-
ной частоте колебаний маятника.
Автоколебания широко применяют-
ся в технике. Хорошо известным при-
мером являются маятниковые часы.
В них сообщение энергии маятнику
происходит толчками в результате при-
ложения усилий к маятнику со стороны
пружины или подвешенных гирь в мо-
менты времени, определяемые колеба-
ниями самого маятника. В электриче-
ском звонке колебания молоточка вклю-
чают и выключают электрический ток,
фф Для осуществления автоколебаний необходи-
мо иметь внешний источник энергии. Колеб-
лющаяся система сама в нужном темпе берет
энергию от этого источника, чтобы колебания
ее не были затухающими.
ф Чем автоколебания отличаются от вынужден-
ных колебаний?
Можете ли Вы доказать прямым расчетом
соблюдение закона сохранения энергии в па-
раметрическом возбуждении колебаний на
примере раскачивания на качелях?
который сообщает энергию системе
звонка, благодаря чему поддерживают-
ся автоколебания молоточка.
Релаксационные колебания. Эти ко-
лебания являются частным случаем
автоколебаний, однако характер изме-
нения величин со временем очень свое-
образен: в течение сравнительно дли-
тельного времени в системе медленно
накапливаются изменения, затем очень
резко, почти скачком, происходит изме-
нение ее состояния и она возвращается
в первоначальное состояние; затем сно-
ва накапливаются медленные измене-
ния и т. д.
Известный с древних времен пример
таких колебаний показан на рис. 157, а.
В сосуд введена широкая трубка-
сифон, по которой вода может вытекать
из сосуда. Наливается в сосуд вода из
крана тонкой струей. Вследствие этого
уровень воды в сосуде медленно повы-
шается. Когда уровень достигает ниж-
ней стенки сифонной трубки в ее верх-
ней части (высота Яг), вода начинает
переливаться наружу, увлекает за собой
воздух и заполняет все сечение сифона
в верхней части. После этого она выли-
вается из сифонной трубки по всему
поперечному сечению, т. е. очень быстро,
поскольку это сечение большое. Уро-
вень воды в сосуде резко понижается
до нижнего конца сифонной трубки
внутри сосуда (высота Hi). После этого
начинается новый цикл заполнения во-
дой. График изменения высоты уровня
воды в сосуде изображен на рис. 157,6.
Видно, что эти колебания носят разрыв-
ный характер: в верхней и нижней точ-
ках скорость изменения h скачком ме-
няет свой знак на обратный — от поло-
жительного значения при росте h на
отрицательное значение в верхней точ-
ке, когда начинается выливание жидко-
сти через сифонную трубку.
Параметрическое возбуждение коле-
баний. Свойства колеблющихся систем
описываются величинами, называемы-
§55. Колебания связанных систем 307
ми параметрами. Например, математи-
ческий маятник характеризуется одним
параметром — его длиной. При измене-
нии этого параметра изменяются коле-
бательные свойства маятника, а именно
частота собственных колебаний. Если
этот параметр изменять в определенном
такте с колебаниями, то можно сооб-
щить маятнику энергию и тем самым
увеличить амплитуду его колебаний
либо просто поддерживать колебания
в незатухающем режиме. Такое возбуж-
дение и поддержание колебаний назы-
вается параметрическим.
Хорошо известным примером пара-
метрического возбуждения и поддержи-
вания колебаний является качание на
качелях. Когда качели находятся в
верхней точке, качающийся на них при-
седает, а когда качели проходят ниж-
нюю точку, он снова выпрямляется.
В результате приседания в верхних точ-
ках совершается меньшая по модулю
работа, чем работа при подъеме в
нижней точке. Разность работ, по зако-
ну сохранения, равна разности энергий
качаний, и качели раскачиваются. Если
эта энергия затрачивается полностью
на работу силы трения, то качания
поддерживаются в незатухающем ре-
жиме.
55. Колебания связанных систем
Поясняется смысл понятий, используемых при
описании колебаний связанных систем.
Системы со многими степенями сво-
боды. Если система обладает несколь-
кими степенями свободы, то при малых
отклонениях от положения равновесия
возможны одновременно колебания по
всем степеням свободы. Например, в
упомянутом раньше случае колебания
моста одной из степеней свободы явля-
ется его колебание в вертикальной
плоскости, а цругой — в горизонталь-
ном направлении. Есть, конечно, и дру-
гие степени свободы. Обычный маятник
157
Релаксационные коле-
бания высоты столба
жидкости
h
может колебаться в двух взаимно пер-
пендикулярных вертикальных плоско-
стях, проходящих через точку подвеса.
Поэтому он имеет две степени свободы.
Если колебания, соответствующие каж-
дой из степеней свободы, независимы
друг от друга, т. е. не могут обменивать-
ся друг с другом энергией, то рас-
смотрение движения системы с несколь-
кими степенями свободы является чисто
кинематической задачей: зная движе-
ние по каждой степени свободы, надо
произвести кинематическое сложение
движений. Хотя суммарное движение и
может быть при этом весьма сложным,
оно не содержит в себе с динамической
точки зрения никаких новых физиче-
ских закономерностей. Лишь наличие
связи различных степеней свободы
между собой придает колебанию систе-
мы со многими степенями свободы но-
вые физические закономерности.
Связанные системы. Связанной си-
стемой называется система со многими
степенями свободы, между которыми
имеются связи, обеспечивающие воз-
можность обмена энергией между раз-
308 13. Колебания
158
Колебания связанных
систем
личными степенями свободы. В качестве
примера рассмотрим два маятника,
соединенных между собой пружиной,
осуществляющей эту связь (рис. 158).
Эта система может колебаться в верти-
кальной плоскости, в которой в состоя-
нии равновесия находятся маятники-и
пружина, а также в перпендикулярных
этой плоскости направлениях. Всего
имеется четыре степени свободы, свя-
занные между собой. Если один из маят-
ников вывести из положения равнове-
сия, отклонив его одновременно и в плос-
кости маятников, и в перпендикулярном
этой плоскости направлении, то после
начала колебания начнет раскачивать-
ся второй маятник по своим степеням
свободы. Колебания маятников изменя-
ются по амплитудам. В целом наблю-
дается довольно сложная картина дви-
жения маятников и передачи энергии
от одного маятника к другому.
Нормальные колебания связанных
систем. Несмотря на сложность движе-
ния двух связанных маятников, оно
всегда может быть представлено как
суперпозиция четырех гармонических
В связанной системе через связи происходит
обмен энергией между ее частями.
Какая особенность системы со многими сте-
пенями свободы делает ее связанной?
Что такое нормальные колебания связанной
системы? Сколько их имеет связанная си-
стема?
Как с помощью нормальных колебаний пред-
ставляется произвольное колебание связан-
ной системы?
колебаний, частоты которых называют-
ся нормальными частотами связанной
системы. Число нормальных частот рав-
но числу степеней свободы. В данном
случае имеем четыре нормальные час-
тоты. Рассмотрим, чем они определя-
ются и как могут быть найдены.
Прежде всего опишем колебания
маятников в вертикальной плоскости,
перпендикулярной линии, соединяющей
их точки подвеса. Каждый из маятников
в этой плоскости может занимать неко-
торое положение. Состояние системы
характеризуется положением обоих ма-
ятников. Рассмотрим простейшие со-
стояния системы: 1) оба маятника от-
клонены от положения равновесия в
одну и ту же сторону на один и тот же
угол, 2) маятники отклонены в разные
стороны на один и тот же угол. Эти
простейшие отклонения называются
нормальными. Любое возможное откло-
нение маятников может быть представ-
лено в виде суммы их одинаковых от-
клонений в одну сторону и разные сто-
роны, или, иначе, любое состояние сис-
темы в указанном выше смысле явля-
ется суперпозицией состояний (1) и (2).
Доказательство этого утверждения лег-
ко выполнить с помощью графика на
рис. 159. Пунктиром указана средняя
линия равновесия. Величины а и b озна-
чают отклонения маятников от положе-
ния равновесия (Ь>а). После знака
равенства изображены те комбинации
отклонений 1 и 2, которые в сумме дают
исходные отклонения маятников.
Если маятники отклонить одинаково
в одну сторону и отпустить, то они ко-
леблются с некоторой частотой со ь кото-
рая называется нормальной. Частота
колебаний маятников, отклоненных оди-
наково в противоположных направле-
ниях, является другой нормальной час-
тотой (02- Произвольное колебание двух
маятников в указанных направлениях в
соответствии с разложением, изобра-
женным на рис. 159, может быть пред-
§ 55. Колебания связанных систем 309
ставлено в виде суммы двух гармониче-
ских колебаний с нормальными час-
тотами.
Аналогичным образом рассматрива-
ются колебания маятников в вертикаль-
ной плоскости, проходящей через ли-
нию, соединяющую их точки подвеса.
Нормальными колебаниями в этой плос-
кости являются колебания маятников,
отклоняющихся на один угол в одну
сторону и в разные стороны. Все рас-
суждения здесь аналогичны предшест-
вующему случаю. Следовательно, коле-
бания двух связанных маятников в этом
направлении также могут быть пред-
ставлены в виде суммы двух колебаний
с нормальными частотами, равными
частотам соответствующих нормальных
колебаний.
Полное движение двух маятников
с четырьмя степенями свободы явля-
ются суперпозицией четырех нормаль-
ных колебаний с соответствующими
нормальными частотами. В данном слу-
чае не все из этих нормальных частот
различны, но это ни в какой степени
не изменяет существа дела.
Таким образом, задача исследова-
ния связанных систем сводится к на-
хождению их нормальных колебаний и
нормальных частот. Иногда простые
соображения позволяют указать нор-
мальные колебания, как это было в
только что рассмотренном случае. Две
из нормальных частот являются просто
частотой собственных колебаний маят-
ника (с учетом или без учета массы
пружины и высоты ее подвеса), а две
другие — частотами колебаний маятни-
ков при наличии дополнительной силы
упругости со стороны пружины при
симметричных отклонениях маятников от
положения равновесия в противополож-
ных направлениях.
В большинстве же случаев задача
оказывается значительно сложнее. Су-
ществуют общие методы нахождения
нормальных частот, на изложении ко-
Представление произвольного отклонения двух
маятников в виде суммы двух нормальных от-
клонений
160
К расчету отклонений при колебаниях связанных
систем
торых мы здесь не имеем возможности
остановиться.
Теперь выполним подробно матема-
тическое описание колебаний связанных
систем на примере связанных маятни-
ков, ограничиваясь случаем двух сте-
пеней свободы. Будем считать, что
маятники колеблются в одной и той же
плоскости, совпадающей с вертикаль-
ной плоскостью, проходящей через точ-
ки подвеса и положение равновесия
материальных точек математических
маятников (рис. 160). При малых коле-
баниях можно пренебречь вертикаль-
ными смещениями точек и рассмат-
ривать их движение вдоль одной пря-
мой. Положение колеблющихся точек
характеризуется их смещениями Х] и х%
от своих положений равновесия, обоз-
наченных буквами 01 и О2 Когда точки
310 13. Колебания
находятся одновременно в положениях
равновесия, соединяющая их пружина
недеформирована и не действует на
точки с какими-либо силами.
Обозначим частоту нормального ко-
лебания маятников, когда они колеб-
лются синхронно (в одной и той же
фазе), через coi, а когда в противофазе—
через (02. Ясно, что (ог>(оь Общее
колебание системы является суперпози-
цией двух нормальных колебаний.
В соответствии со сказанным выше о
способе разложения произвольного дви-
жения связанных маятников можем
написать:
xi—A sin((01/ + <pi)+ В sin((o2/ + (p2),
х2=Л sin((oi/ + (p2)—В sin((o2/ + <p2).
(55.1)
Четыре неизвестные постоянные А, В,
epi и ф2 определяются из начальных
условий, выражающих значения откло-
нений Хю, *20 и скоростей Хю, хго в на-
чальный момент времени, например
/=0:
х10=Л sin ф1 + В sin фг,
х20=Л sin ф1 — В sin фг;
х10=Л(01сО8 ф14-B(o,cos ф2, (55.2)
Х20 = Л(02СОЗ ф! —B(O^COS ф2.
Найдя из уравнений (55.2) величины А,
В, ф1 и ф2, мы полностью опишем дви-
жение с помощью формул (55.1).
Теперь решим ту же задачу, приме-
няя непосредственно динамические за-
коны движения. Запишем уравнения
движения заданных математических
маятников, считая их длину I одина-
ковой:
a’i = — (g//)ai, а2 = —(g//)a2, (55.3)
где щ и аг — углы отклонения каждого
из заданных маятников от вертикалей.
Отклонения от положения равновесия
связаны с углами ai и аг очевидными
соотношениями (рис. 160): xi=ai/,
*2= аг/. Поэтому уравнения движения
материальных точек без учета их связи
пружиной имеют вид:
xi = —(g//)xb х2= —(g/Z)x2. (55.4)
При деформации пружины возника-
ют силы, пропорциональные удлинению
(закона Гука). Удлинение пружины
есть хг—и потому силы, действующие
на материальные точки, равны
Fi = — F2=D(x2 — xj, (55.5)
где D — коэффициент пропорциональ-
ности. Поэтому уравнения движения то-
чек с учетом сил связи посредством пру-
жины имеют вид:
xi = — (g/l)xi + (£>/m)(x2 — xj,
(55.6)
хг = —и/Охг—(Z)/m)(x2—xi).
где т — одинаковая масса материаль-
ных точек. Проще всего эти два связан-
ных уравнения решить следующим об-
разом. Складывая их левые и правые
части, а затем вычитая, получим:
xi + х2= — (g//) (xi + х2),
xi—х2=
=—(g/0 (xi — х2) - (2£>/т)(Х! — х2).
Таким образом, уравнение для суммы
и разности отклонений маятников имеет
вид уравнений свободных гармониче-
ских колебаний:
(xi + x2) +<o?(xi+x2)=0,
(xi—х2) +(oi(xi—х2)=0,
где
«1= /1Л,
0)2= y/g/Z+2D/m.
(55.7)
(55.7а)
Решение этих уравнений хорошо из-
вестно:
xi +х2 = Д0 sin ((0if +ф1),
Xi — х2 = Во sin ((о2/ + фг).
(55.8)
Отсюда для отклонений х\ и хг путем
§ 55. Колебания связанных систем 311
сложения и вычитания левых и правых
частей получаем:
xi = (1 /2)Л0 sin (со 11 + ф1) +
+ (l/2)B0sin (со2Г + <р2), _ п.
(55.9)
%2 = (1 /2) До sin (coit-\- (pi) —
— (I /2)В0 sin (<о2/ + ф2).
Эти формулы, как и следовало ожи-
дать, совпадают с формулами (55.1),
если положить Д=Л0/2, В=В0/2. По-
этому величины он и со2, определенные
формулами (55.7а), являются нор-
мальными частотами колебаний рас-
сматриваемой связанной системы с
двумя степенями свободы.
13.1. Две пружины одинаковой длиной I, жесткости которых D\ и Z)2, могут образовать комбинацию
из двух пружин той же длиной I (параллельное соединение) и комбинацию из двух пружин
длиной 21 (последовательное соединение). Найти круговые частоты колебаний груза массой т,
подвешенного к нижнему концу этих комбинаций пружин, если их верхние концы жестко за-
креплены.
13.2. ' На нижнем конце невесомой пружины, жесткость которой £>i, подвешен невесомый шкив,
а верхний конец пружины жестко закреплен. Через шкив перекинута невесомая упругая нить
жесткостью Z)2. Один конец нити закреплен жестко к земле, а на втором конце подвешен груз
массой т. В состоянии равновесия пружина и оба прямолинейных участка нити вертикальны.
Силами трения можно пренебречь. Найти круговую частоту малых гармонических колебаний
груза, при которых нить все время вертикальна и находится в натянутом состоянии.
13.3. В равновесном состоянии грузик, висящий на нижнем конце упругой нити, растягивает ее
на А/. Верхний конец нити колеблется по вертикали, причем его отклонение от равновесного
положения описывается формулой AsincooZ. Положительное значение отклонений отсчитывает-
ся вниз. Предполагая, что нить все время остается натянутой, найти уравнение движения
грузика, обозначив х его отклонение от равновесного положения.
13.4. На горизонтальном стержне без трения может скользить кольцо массой т\. К кольцу подве-
шен на нерастяжимой невесомой нити длиной / точечный груз массой т2. Определить частоту
малых гармонических колебаний системы.
13.5. По диаметру Земли, моделируемой однородным шаром, просверлен желоб, в котором может
двигаться материальная точка. Найти период колебаний точки в желобе около центра Земли.
Ускорение силы тяжести на поверхности Земли и радиус Земли обозначены g, г.
13.6. Ареометр массой т с цилиндрической трубкой диаметром d плавает в жидкости плотностью р
и приводится толчком в вертикальном направлении в движение. Найти частоту малых колеба-
ний ареометра. Движение жидкости и ее сопротивление движению ареометра не учитывать.
13.7. Однородная палочка подвешена горизонтально за концы с помощью двух вертикальных нитей
одинаковой длиной I. В состоянии равновесия обе нити параллельны. Найти период Т малых
колебаний, возникающих после некоторого поворота палочки вокруг вертикальной оси, про-
ходящей через середину палочки.
13.8. Круглое кольцо радиусом г вращается вокруг своего диаметра, направленного по вертикали,
с угловой скоростью со. По кольцу может без трения скользить шарик массой т. Положение
шарика характеризуется углом 0 между направлением по вертикали вниз и направлением
радиуса-вектора шарика с началом в центре кольца При каком угле 0 шарик находится в
устойчивом равновесии и какова частота его малых колебаний около положения равновесия?
Ответы
13.1. |/(D!+Z)2)/m, [(Г>Г1 + ^’)т]-1/2. 13.2. {/)1£)2/[щ(4Р2 4- Di)]}1/2. 13.3. x +
= (gA/A/)sin W- 13.4. [(m] 4- m2)g/(miZ)]1/2. 13.5. g/г . 13.6. d/npg/m/2.
13.7. 2л ]///(3g). 13.8. arccos [g/(rto2)]; ы /1 — gS/(o2»4).
Заключение
Основные представления механики были выработаны в процессе
длительного исторического развития, корни которого уходят в глубь
веков. В неразрывной связи с этими представлениями в человеческом
сознании сформировались понятия пространства и времени. Эта сово-
купность представлений и понятий явилась той основой, на которой
развивалась классическая физика. В системе физического знания
механика навсегда сохранила привилегию первородства.
Фундаментальными представлениями классической механики явля-
ются представления о материальном теле, материальной точке, движе-
нии материальной точки по определенной траектории и силе как при-
чине тех или иных особенностей движения материальных точек и тел.
В процессе исторического развития уточнялась взаимосвязь понятий
пространства и времени и представлений механики, но они неизменно
являлись основой классической физики. Наиболее важный результат
этого развития состоит в установлении неразрывной связи простран-
ства, времени, материи и движения, нашедший свое наиболее полное
философское выражение в учении диалектического материализма.
Для диалектического материализма пространство и время являются
формами существования материи и поэтому немыслимы без материи,
а движение есть способ ее существования.
Хотя классическая механика в современном понимании начинается
с Ньютона, основные идеи общего подхода к описанию механического
движения материальных тел были выработаны Аристотелем. Эти идеи
полностью сохранили свое значение в механике Ньютона, который
сформулировал новые законы движения, отличные от законов движе-
ния Аристотеля. Аристотель разделил все движения материальных
тел на две категории: «естественные» и «насильственные». «Естествен-
ные движения» осуществляются сами по себе, без каких-либо внешних
воздействий. Ставить вопрос о причине «естественных движений» бес-
смысленно. «Насильственные движения» сами по себе не происходят,
а осуществляются под воздействием внешних факторов, описываемых
с помощью понятия силы. Естественными Аристотель считал движение
легких тел вверх, тяжелых тел вниз и движение небесных тел по не-
бесной сфере. Остальные движения являются насильственными и
нуждаются для своего объяснения в действии сил. Сила передается
телу из окружающего пространства, которое по Аристотелю не может
быть пустым и всегда заполнено средой. Закон механики Аристотеля,
по своей роли аналогичный второму закону механики Ньютона, сво-
дится к утверждению, что скорость пропорциональна силе.
Сформулированный в механике Аристотеля подход к проблеме
движения содержал в- себе все основные элементы теории, которые
в последующем составили фундамент классической механики. Постро-
ение фундаментальных основ классической механики в значительной
степени состояло в анализе физического содержания этих первона-
чальных исходных элементов теории на основе экспериментального
Заключение 313
исследования объектов, явлений и процессов, которые изучались клас-
сической механикой. При этом физическое содержание фундаменталь-
ных основ классической механики значительно изменилось, но механи-
ка Аристотеля осталась навсегда первым фундаментальным этапом
ее развития.
Вторым фундаментальным этапом в развитии классической меха-
ники явилась механика Ньютона. Первый шаг на втором этапе созда-
ния классической механики был сделан Галилеем, сформулировавшим
принцип относительности механики, законы инерции, свободного
падения тел и сложения движений.
В механике Ньютона «естественным движением» в том смысле, как
его понимал Аристотель, является движение по инерции (первый за-
кон). Оно не нуждается для своего описания в действии каких-либо
сил. Действием сил обусловливается не скорость «насильственных»
движений, а ускорение материальных тел (второй закон). Третьим
законом устанавливается общее свойство сил при взаимодействии
материальных тел. Вопрос о силах в таком плане в механике Аристо-
теля не ставился.
Хотя общий подход к проблеме движения в механике Ньютона сох-
ранился без существенных изменений, теория движения Ньютона яви-
лась принципиально новым шагом относительно теории Аристотеля.
Среди главных новых моментов следует отметить все вопросы, связан-
ные с введением систем координат, включая принцип относительности,
вопрос о свойствах взаимодействия тел, новое уравнение движения
и дальнейшую разработку вопроса о пространстве и времени.
В процессе развития механики Ньютона был дан глубокий анализ
ее основных понятий. К числу этих понятий относится масса. Ньютон
определил это понятие следующим образом: «Количество материи
есть мера таковой, происходящая от ее плотности и объема совокуп-
но». Затем Ньютон указал, что количество материи он будет называть
массой, определив таким образом массу через плотность. Однако неза-
висимого определения плотности он не дал. Тем самым масса оказа-
лась определенной через массу, отнесенную к объему, т. е. определе-
ние массы свелось к тавтологии. В связи с этим в последующем поня-
тие массы подверглось тщательному исследованию, результатом кото-
рого явилось утверждение, что масса является мерой инертных
свойств тел. В настоящее время такое определение массы является
практически общепринятым.
Другим важным понятием классической механики является сила.
Ньютон изложил свое представление о силе следующим образом:
«Приложенная сила есть действие, производимое на тело для изме-
нения его состояния покоя или равномерного прямолинейного дви-
жения»; «Сила проявляется только, в действии и по прекращению
действия в теле не остается». Природу сил Ньютон не обсуждал и
понимал их чисто феноменологически, как нечто данное. Однако в
последующем много усилий было посвящено установлению понятия
силы, которое многим представлялось загадочным. Однако было ясно,
что сила обусловливается свойствами материи. Эйлер говорил: «Сущ-
314 Заключение
ность силы заключается в основных свойствах материи — инерции и
непроницаемости». Загадочность понятия силы породила попытки
построить механику без силы. Однако такие попытки оказались без-
успешными и понятие силы осталось в классической механике в каче-
стве основного. После создания квантовой механики, в которой
понятие силы не используется, высказывались утверждения, что и в
классической механике сила не должна иметь объективного смысла.
Такое заключение является неправомерным, потому что в квантовой
механике неприменимы и другие понятия классической механики —
материальной точки, перемещающейся по определенной траектории,
ускорения, определенной скорости и положения в пространстве в
последовательные моменты времени и т. д., благодаря которым поня-
тие силы приобретает физическое содержание. Поэтому силы относят-
ся к фундаментальным понятиям классической механики, а высказы-
вавшееся иногда мнение, что сила не относится к основным понятиям
механики, должно быть отвергнуто.
Вопросу о физическом содержании законов Ньютона и обоснова-
нию механики в истории ее развития было уделено много внимания.
Точка зрения на второй закон Ньютона как на определение силы, а не
закон природы, опровергается физическими, историческими и логиче-
скими, соображениями, которые изложены в данной книге. В связи с
этим попытки обоснования механики и определения массы без исполь-
зования понятия силы в качестве основного представляются непри-
емлемыми.
Фундаментальным вопросом в классической механике является
вопрос о природе сил инерции. В рамках представлений Ньютона об
относительном и абсолютном пространстве силы инерции обусловлены
ускоренным движением относительно абсолютного пространства и их
описание не составляет проблемы, особенно если абсолютное про-
странство считать заполненным Мировым эфиром. Однако после
отказа от концепции абсолютного пространства и Мирового эфира
проблема сил инерции приобрела снова актуальность в рамках новых
представлений.
В рамках классической механики наряду с основными представле-
ниями и понятиями классической физики были также выработаны ме-
тоды физического исследования и формулировки физических теорий.
Эти представления, понятия и методы были успешно использованы
при формулировке специальной и общей теории относительности и при
исследовании полевой формы материи, в первую очередь в классиче-
ской электродинамике.
Создание общей и специальной теории относительности явилось
третьим кульминационным этапом развития классической механики.
В рамках третьего этапа неразрывность связи пространства, вре-
мени, движения и материи получила свое наиболее полное воплоще-
ние, которого удалось достигнуть к настоящему времени в физической
теории. Требование релятивистской инвариантности теории стало
важнейшим эвристическим принципом физического исследования.
Произошел переход от формулировки физической теории в рамках
Заключение 315
пространства и времени к формулировке теории в четырёхмерном
многообразии пространства—времени, геометрия которого приобрела
значение важнейшего элемента теории. В качестве одного из важней-
ших результатов предшествующего развития физической теории явил-
ся вывод о необходимости выражения связей между физическими
величинами в виде локальных соотношений.
При изучении явлений микромира стало ясным, что классические
понятия и представления не адекватны этой области явлений. С дру-
гой стороны, очевидно, что человеческий разум для построения физи-
ки явлений микромира не имеет никаких понятий и представлений,
кроме классических, а человеческий опыт и существование всегда
были, есть и, по-видимому, будут макроскопическими. Это означает,
что свойства материальных объектов микромира и законы их движе-
ния должны быть описаны с помощью понятий и представлений
классической физики. Эта задача была выполнена квантовой механи-
кой и созданной на ее основе квантовой физикой. Представления,
понятия и методы классической механики не утратили своего значения
и в квантовой физике.
Механика всегда играла первостепенную роль в жизни и деятель-
ности человека, поскольку она связана со всеми явлениями и процесса-
ми, в которых участвуют макроскопические тела. Поэтому из всех
физических наук именно механика была первой областью знаний, ко-
торая сформировалась как наука и стала применяться не только для
познания окружающего мира, но и для практического использования
его законов. С течением времени наряду с механикой стали разви-
ваться другие области физических знаний, но практические примене-
ния этих новых областей знаний, как правило, не могли быть осу-
ществлены без посредства механики. Поэтому роль механики в жизни
и деятельности человека, в развитии производительных сил с течением
времени не уменьшалась.
В настоящее время механика продолжает играть важнейшую роль
в научно-техническом прогрессе, поскольку она связана практически
со всеми его направлениями. Создание всевозможных механизмов
и машин, строительство, транспорт, ракетотехника, космонавтика, ро-
бототехника и многие другие области человеческой деятельности
теснейшим образом связаны с механикой. Даже такая область научно-
технического прогресса, как электроника, тесно связана с механикой.
Например, движение электронного пучка, образующего изображение
на экране дисплея, рассчитывается по законам классической механи-
ки, считывание информации с магнитных лент, гибких или жестких
дисков требует создания очень точных механических элементов и т. д.
А если принять во внимание, что при создании любого прибора,
устройства и т. п. неизбежно использование классической механики
по меньшей мере для оптимизации затрат материалов, то не сущест-
вует области научно-технического прогресса, к которой механика не
имела бы отношения.
Приложение
Приложение 1. Единицы СИ, используемые в книге
Величина Единица
наименование размерность основное обозна- чение наименование обозна- чение
Длина Основные едш L шцы I метр м
Масса М m килограмм кг
Время т t секунда с
Сила тока I I ампер А
Термодинамическая температура 0 T кельвин К
Количество вещества N V моль моль
Сила света J I кандела кд
Площадь Производные ед L2 иницы S квадратный метр м2
Объем L3 V кубический метр м3
Плоский угол безразмерная a, q? радиан рад
Телесный угол безразмерная fi стерадиан ср
Период колебаний Т T секунда с
Частота периодического процесса Т-1 V герц Гц
Частота круговая т-1 (0 секунда в минус пер- с’1
Угловая скорость т-1 (0 вой степени радиан в секунду рад/с
Угловое ускорение Т-2 a радиан на секунду в рад/с2
Скорость LT-1 V, и квадрате метр в секунду м/с
Ускорение LT“2 a метр на секунду в квад- м/с2
Плотность L-3M P рате килограмм на кубиче- кг/м3
Импульс (количество движения) LMT-1 P ский метр килограмм-метр в се- кг-м/с
Сила LMT“2 F кунду ньютон Н
Давление L-'MT-2 P паскаль Па
Момент силы L2MT~2 M ньютон-метр Н-м
Момент импульса L2MT“' L килограмм-метр в квад- кг-м2/с
Момент инерции L2M J рате в секунду килограмм-метр в квад- кг-м2
Работа L2MT-2 A рате джоуль Дж
Энергия L2MT~2 E джоуль Дж
Потенциальная энергия L2MT“2 En джоуль Дж
Кинетическая энергия 4 L2MT-2 EK джоуль Дж
Приложение 317
Продолжение табл.
Величина Единица
наименование размерность основное обозна- чение наименование обозна- чение
Мощность L2MT“3 Р ватт Вт
Фаза гармонических колебаний безразмерная <Р
Коэффициент затухания T-i Т секунда в минус пер- с-1
вой степени
Логарифмический декремент затухания безразмерная е
Добротность безразмерная Q
Жесткость МТ“2 D килограмм на секунду кг/с2
в квадрате
Коэффициент трения МТ”1 0 килограмм в секунду кг/с
Напряженность электрического поля LMT-3I-‘ Е вольт -на метр В/м
Магнитная индукция МТ-2!"1 В тесла Тл
Приложение 2. Физические постоянные, встречающиеся в книге
Наименование Обозна- чение Числовое значение
Скорость света в вакууме Ускорение свободного падения Элементарный электрический заряд Масса покоя электрона Масса покоя протона Масса покоя нейтрона Гравитационная постоянная с g е пге тр ГПп G 2,99792458-108 м/с (точно) 9.80665 м/с2 1,6021892-10-|9Кл 9,109534-IO”31 кг 1,6726485-10-27 кг 1,6749543-10"27 кг 6,6720-10-" м3/(кг-с2)
Предметный указатель
Аберрация 67, 68, 161
— света годичная 68
— суточная 68
. Автоколебания 304
— маятника 305
Акселерометры 158
Амплитуда 279, 280
— нутации 190
Аннигиляция 144
Аристотель 105, 107
Ббрмр потенциальный 141
Вменяя 283
Вектор 30, 36
Векторы четырехмерные 82
Величина физическая 11
Взаимодействие 106
— электромагнитное 11
Возбуждение колебаний 306
Возмущение 287
Волчок яйцеобразный 194,
Время 37
— затухания 292
— собственное 95
Галилей Г. 63, 66
Гармоники 288
Гипотеза баллистическая 74, 75
Гироскоп 191
— несвободный 196
— свободный 196
Годограф 46
Гук 66
Гюйгенс Г. С. 66
Движение вращательное 51
— колебательное 243
*- в поле волны электромагнит-
ной 273
—-----магнитном 260
——• электрическом 262
—— электромагнитном 274
— комет 243
— планет 239, 240
— плоское 51, 179
— поступательное 51
— прецессионное 193, 198
— спутников Земли искусствен-
ных 247, 248
Декремент затухания 291, 292
----логарифмический 292, 293
Дефект массы 145
Добротность 299
Дрейф в полях 263, 264, 265,
267
Дыры черные 238
Единица величины физической
12
Жесткость тел 93
Закон Кеплера второй 239
---первый 240
--- третий 242
*— Ньютона второй ПО
---первый 39, 107, 108
--- третий 111
— сохранения 127, 128
---импульса 129, 130, 148,
149, 222
---массы 212
---момента импульса 131, 223
--- энергии 132, 134, 140,
142, 147, 151, 200, 222, 284
— тяготения 234
Замедление нейтронов 226
Зеркала магнитные 271
Изотропность 150
— пространства 79, 149, 150
Импульс 109, 113
— релятивистский 117
— системы точек материальных
119
Инвариант преобразований Ло-
ренца 87
Инвариантность адиабатическая
270
---момента магнитного 268
— длины 64
— интервала времени 65
— силы 110
— ускорения 66, НО
Инварианты преобразований 64
Инертность 115, 143
Интенсивность затухания 293
Интервал 87
— времениподобный 88
— нулевой 88
— пространственноподобный 88
Интерференция 70
Кеплер И. 239
Колебания вынужденные 296
— гармонические 277, 282
— затухающие 291, 292
— изохронные 290
— незатухающие 291
— нелинейные 286
— параметрические 306
— релаксационные 306
— систем связанных 307, 308
— собственные 283
Комптон-эффект 227
Конус потерь 272
Координаты точки 29, 50
Линия узлов 50
Лобачевский Н. И. 23
Лоренц X. А. 79
Масса 108
— гравитационная 159
— инертная 109, 143, 159
— покоя 117
— приведенная 252
— релятивистская 116, 117
Маятник гироскопический 193,
194, 195
— Максвелла 180, 181
— математический 182
— падающий 157
— физический 181, 182, 184
— Фуко 167
Момент импульса 118
— инерции главный 174
--- осевой 174
---центробежный 173
— магнитный 268
— сил Кориолиса 197, 198
— силы 119, 120
Невесомость 158
Нормировка 138
Нутация 189
Ньютон И. 66, 109
Одновременность 65
Однородность времени 79, 150,
151
— пространства 79, 148, 149
Опыт Майкельсона — Морли 69.
72, 73
— Физо 76, 77, 101
Орбита геостационарная 252
Осциллятор 284, 285, 297
Ось вращения 51
---мгновенная 50, 54, 55
— свободная 189
Относительность одновременно-
сти 85, 86
Предметный указатель 319
Парадокс близнецов 99
Перелеты межпланетные 245
Перемещение 44, 53, 240
— угловое 52, 53
Период 280
Плоскость движения 239
Поле потенциальное 135, 136
— сил 135
Потенциал поля электростатиче-
ского 258
Пояса Земли радиационные 272
Преобразование координат 29,
34, 35, 78
---геометрических 61
---декартовых 34
--- физических 61
— ускорения 102
Преобразования Галилея 63, 64,
66
— Лоренца 78, 82
Прецессия гироскопа 192, 193
Приливы 254
Принцип относительности 63
— эквивалентности 40, 160
Произведение векторное 31
— скалярное 31
Пространство 21
Процессы периодические 37
Работа сил 132
--- в поле потенциальном 136
Радиус-вектор 32, 33
Радиус гравитационный 237, 238
— кривизны траектории 47
Разность фаз колебаний 70
— хода лучей 71, 77
Ракеты релятивистские 215
— ступенчатые 213
— фотонные 217
Резонанс 298, 304
— циклотронный 275
Режим переходный 296
Сигнал 38
Сила 106, 111, 116. 119
— внешняя 118, 294, 296
— внутренняя 118
— гироскопическая 193 196,
197
— инерции 153, 155, 156, 164,
168
---центробежная 164
— Кориолиса 165, 197, 198
— Лоренца 257, 269
— магнитная 257
— непериодическая 302
— периодическая 303
— потенциальная 135
.— реактивная 211
— сопротивления 200
трения качения 207
— покоя 198
— тяготения 135, 139
Символ Кронекера 177
Система автоколебательная 305
— единиц величин физических
14, 17
---—— международная 17
изолированная 129
— координат 26, 28, 29, 172,
176, 186, 275
--- полярная 28
---прямоугольная декартова
28, 43
---сферическая 29, 43
---цилиндрическая 29, 43
— отчета 26
---инерциальная 39, 61, 62
--- неинерциальная 39, 153,
156, 162
---сопровождающая 154
— точек материальных 118
— уравнений 171
— центра масс 123, 223, 253
Системы связи 307
Скаляр 30
Скорость 45, 65, 100
— абсолютная 68, 69, 156
— дрейфа 265
- истечения газов 216
- космическая вторая 245
--- первая 245
--- третья 246
— мгновенная 45
— нутации 190
— относительная 156
переносная 156
- предельная 203
— прецессии 192
Скорость релятивистская 109
— света 42, 66, 67, 68, 75, 77
угловая 51, 53, 172. 178
- вращения 190
--- мгновенная 57
- характеристическая 213
Смещение 285
— красное 160
- космологическое 162
Спин 223
Степени свободы 49
Столкновение 219
— лобовое 225
- неупругое 223, 228
- упругое 223, 224
Тело материальное 24
отсчета 26
— твердое 25, 26
Тензор инерции 173, 174, 177
— симметричный 173
Теорема Гюйгенса 177
— Эйлера 56
Теория возмущения 287
— относительности 78
Торможение атмосферное : 251
Точка материальная 24
Траектория 42
Трасса спутника 248
Трение 291
— жидкое 199
— качения 206
— покоя 198
— сухое 198, 199, 294
Углы нутации 50
— прецессии 50
— собственного вращения 50
— Эйлера 50
Угол аберрации 68
Уравнение движения 128
---колебаний вынужденных
296
------затухающих 291
---поля электромагнитного
258
---ракет 212
--- релятивистское 116, 117
---системы точек материаль-
ных 121
- моментов 119, 239
---системы точек материаль-
ных 124
--- центра масс 172
— колебаний гармонических
280
Уравнения. Эйлера 187, 188
Ускорение 46, 102
— абсолютное 155, 156, 164
— кориолисово 162, 163
— нормальное 47
— относительное 155, 156
— падения свободного 169
— переносное 156, 162, 164
— полное 47
— среднее 46
— тангенциальное 47
— угловое 53
— центростремительное 47
Условие колебаний гармониче-
ских 288
Фаза 280
Форма Земли 249
— тела движущегося 90. 91
Формула сложения скоростей
100, 101
320 Предметный указатель
- Циолковского 212
Фотон 230
Функции гармонические 279
— периодические 280
Характеристика амплитудно-ча-
стотная 297
— фазочастотная 300
Центр качаний 182
— кривизны траектории 47
— масс 122, 123, 253
Циолковский К- Э. 213
Частота 280
— биений 283
— затухания 291
— круговая 51
- нормальная 308
— резонансная 298
— циклотронная 274
Частицы субатомные 230
Часы 38, 40, 41, 94, 97, 98, 99,
107
Число степеней свободы 50
Энергия активации 23
- взаимодействия 138
— гравитационная 236
— кинетическая 132, 142, 177,
285
----вращения 178
— покоя 141, 142, 143
— полная 141, 142
пороговая 230
— потенциальная 137, 144, 284
- реакции 231
---- пороговая 231
— связи 145
Эйлер Л. 187
Эйнштейн А. 87
Эфир мировой 68
Явление дрейфа 264
— заноса 200, 201 202
— застоя 200
Яма потенциальная 141
УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ
АЛЕКСЕЙ НИКОЛАЕВИЧ МАТВЕЕВ
Механика
и теория относительности
Зав. редакцией литературы по физике и математике Е. С. Гридасова
Редакторы Н. П. Майкова, Г. Н. Чернышева
Мл. редактор С. А. Доровских
Оформление художника Ю. Д. Федичкина
Художественный редактор В. И. Пономаренко
Технический редактор 3. А. Муслимова
Корректор Г. И. Кострикова
ИБ № 4766
Изд. № ФМ-797. Сдано в набор 21.11.85. Подп. в печать 16.05.86.
Формат 70Х90’/1б- Бум. офс. № 1.-Гарнитура тайме. Печать офсетная.
Объем 23,4 усл. печ. л. + форзац 0,29 усл. печ. л. 47,96 усл. кр.-отт.
25,8 уч.-изд. л.-f-форзац 0,37 уч.-изд. л. Тираж 28 000 экз. Зак. № 853.
Цена 1 р. 40 к.
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул.,
д. 29/14.
Ярославский полиграфкомбинат Союзполиграфпрома при Государствен-
ном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. 150014, Ярославль, ул. Свободы, 97.
к
1 Р.40 к.