Сборник задач по теории упругости и пластичности - Безухов Н.И.

Author: Безухов Н.И.

Tags: физика упругость сборник задач теория упругости

Year: 1957

Similar

Теория упругости и пластичности

Основы теории упругости, пластичности и ползучести

Руководство к решению задач по теории упругости

Теория упругости

Text

Н. И. БЕЗУХОВ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
И ПЛАСТИЧНОСТИ
Допущено
Министерством высшего образования СССР
в качестве учебного пособия
для высших технических учебных заведений
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1957

16-5-2
! НЕ БОЛЕЕ 1И КНИГИ В )
t ОДНИ РУКИ И2ХВДВЕ\
КОЛОХ2А
ОСКОР^А

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Обозначения часто встречающихся величин 7
Глава I. Основные уравнения механики сплошной
среды
Краткие сведения из теории 11
| 1. 1. Формулировка граничных условий 15
§ 1. 2. Исследование напряженного состояния в точке 22
§ 1. 3. Исследование деформации в окрестности за-
заданной точки 30
§ 1. 4. Использование дифференциальных уравнений
равновесия (простейшие случаи) 31
§ 1. 5. Использование геометрических уравнений ... 38
§ 1. 6. Оценка элементарных решений сопротивления
материалов с позиций уравнений механики
сплошной среды 43
Глава II. Теория упругости
Краткие сведения из теории 50
§ 2. 1. О физическом состоянии в окрестности задан-
заданной точки 56
§ 2. 2. Общие вопросы. Некоторые свойства упругих
перемещений, деформаций и напряжении ... 60
§ 2. 3. Плоская задача теории упругости в декартовых
координатах 64
§ 2. 4. Плоская задача теории упругости в полярных
координатах 74
§ 2. 5. Осесимметричные и полярно-симметричные де-
деформации 87
§ 2. 6. Упругое полупространство. Контактные задачи. 104
§ 2. 7. Кручение стержней 112
§ 2. 8. Изгиб стержней 121
§ 2. 9. Термические напряжения 125
§ 2. 10. Начальные напряжения 127
1*

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава III. Приближение решения в теории упругости
Краткие сведения ив теории 131
| 3. 1. Прямоугольные пластинки средней толщины
(статический поперечный изгиб) 136
§ 3. 2. Круглые пластинки (полярно-симметричный
изгиб) 147
S 3. 3. Осесимметричная деформация тонкостенных обо-
оболочек вращения 160
§ 3. 4. Задачи устойчивости (устойчивость пластинок,
устойчивость плоской формы изгиба) 164
| 3. 5. Свободные и вынужденные колебания пластинок 172
| 3. 6. Колебания тонкостенных стержней 178
| 3. 7. Смешанные задачи устойчивости и динамики
стержней и оболочек 183
Глава IV. Теория пластичности
Краткие сведения из теории 188
| 4. 1. Частные случаи условий пластичности 194
| 4. 2. Упруго-пластические деформации стержней при
растяжении и сжатии 197
| 4. 3. Изгиб статически-определимых балок; случай
идеально-пластического материала 206
| 4. 4. Изгиб. Случай степенной зависимости' напря-
напряжений от деформаций 214
§ 4. 5. Продолжение (метод «упругих решений», тео-
теория упруго-пластического изгиба балок) . . . 218
| 4. 6. Упруго-пластические осесимметричные дефор-
деформации колец, труб 225
§ 4. 7. Плоская задача теории пластичности 234
§ 4. 8. Упруго-пластическое свободное кручение стер-
стержней 238
§ 4. 9. Растекание пластической массы при осаживании 249
Глава V. Приближенные решения в теории
пластичности
Краткие сведения из теории 256
| 5. 1. Приближенные уравнения равновесия и при-
приближенные условия пластичности 257
§ 5. 2. Несущая способность статически-неопредели-
статически-неопределимых балок и рам 264
§ 5. 3. Несущая способность] изгибаемых^ пластинок . 275
Цитированная литература и источники 282

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий сборник задач составлен применительно
к действующим во втузах программам по курсу теории
упругости и пластичности.
Автор, работая над сббрником, имел в виду две цели:
во-первых, дать возможность студентам самостоятельно
проверить полученные ими теоретические знания и при-
приобрести навыки для применения этих знаний в конкрет-
конкретных задачах инженерной практики; во-вторых, помочь
преподавателям не только в организации и проведении
практических занятий в аудитории, но и при выборе
задач для самостоятельного решения студентами дома.
Задачи, которые могут быть рекомендованы в качестве
домашних контрольных работ (курсовые задания, рас-
четно-графические отчетные работы) отмечены номером
с литером (например, 91а); они являются однотипными,
одинаковой сложности и даны в количестве, позво-
-ляющем обеспечить ими небольшую учебную группу.
Такое выделение, как показывает опыт методической
работы во втузах и, особенно, в заочных институтах,
значительно облегчает для преподавателей организацию
выдачи указанных контрольных заданий.
В сборнике имеются в небольшом числе и задачи,
частично выходящие по своему содержанию за рамки
учебных программ; они могут быть использованы для
семинарских и самостоятельных занятий студентами,
проявляющими особый интерес к проблемам теории упру-
упругости и пластичности. Эти задачи отмечены в сборнике
звездочками.
Тематика задач в сборнике взята из различных обла-
областей инженерной практики, как-то: строительной, меха-

6 ПРЕДИСЛОВИЕ
нической, технологической, чтобы сборник задач мог
оказаться полезным для втузов перечисленных специаль-
специальностей; этим отчасти объясняется и сравнительно боль-
большое количество задач в сборнике.
В целях унификации обозначений, а также по причине
несомненного удобства иметь в сборнике некоторые спра-
справочные сведения, главнейшие формулы и т. п. каждому
разделу задачника предпосланы краткие сведения из
теории.
Задачи частично заимствованы из отдельных источни-
источников (ссылки на них указаны номером в скобках, соответ-
соответствующим порядковому номеру источников, перечислен-
перечисленных в конце книги), остальные предложены автором на
основании его личного опыта преподавания.
¦ В заключение автор приносит сердечную благодар-
благодарность всем лицам, оказавшим ем}' помощь при составле-
составлении настоящего сборника. Автор, особенно признателен
Л. М. Качановуи В.В.Соколовскому, сделавшим по руко-
рукописи много ценных замечаний и предложений.
Автор

ОБОЗНАЧЕНИЯ ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ ВЕЛИЧИН
х, у, z —декартовы координаты точки
тела в недеформированном состоя-
состоянии;
г, б, z —то же, цилиндрические коорди-
координаты;
и, v, w — проекции на неподвижные коор-
координатные оси (х, у, z) действи-
действительного смещения рассматрива-
рассматриваемой точки тела; в случае цилин-
цилиндрических координат соответст-
соответственно: и —проекция на радиус,
v — проекция на тангенциальное
направление и хю — проекция на
ось z тела вращения;
иг, щ, uz — другие обозначения в цилиндри-
цилиндрических координатах проекций
действительного смещения точки;
/)v —полное напряжение в точке по
площадке, имеющей внешнюю
нормаль v;
Рхч, Руч> Ргч — проекции на координатные оси
(х, у, z) полного напряжения jdv:
2 2 2 2
Р Р + Р\Р
°х> °у oz — нормальные напряжения, име««
ющие направления, параллель-
параллельные координатным осям х, у, z,
и действующие по трем взаимно-
перпендикулярным площадкам,
проведенным через данную точку,

ОБОЗНАЧЕНИЯ ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ ВЕЛИЧИН
для которых внешние нормали
соответственно параллельны осям
я, У, z;
txy, zXI — касательные напряжения, име-
имеющие направление, параллельное
оси х, и действующие на пло-
площадках, с нормалями по осям у
или z;
тух> zyz~ т0 же! параллельные оси у и дей-
действующие на площадках с норма-
нормалями по осям х или z;
izx, тгу — то же, параллельные оси z и дей-
действующие на площадках с нор-
нормалями по осям х ж у;
х' Тху> тхг\
Тв = ( хуХ' °у> ¦ хуг\ — тензор напряжений для данной
\тгх> zzyi °г) ТОЧКИ, Т. е. СОВОКУПНОСТЬ КОМПО-
КОМПОНЕНТОВ напряжений, действу-
действующих на трех взаимно-перпенди-
взаимно-перпендикулярных площадках;
°i> °v o3 —главные напряжения для данной
точки, т. е. нормальные напря-
напряжения на площадках, на кото-
которых отсутствуют касательные
напряжения, причем а1 > о2 > о3;
•с12= ± ^^ —главные касательные напряжения;
действуют на площадках, которые
делят пополам двугранные углы
между площадками главных на-
" пряжений Oj и а2*);
•с23 = ± аа»°8 — то же, на площадках, биссектор-
ных к направлениям о2 и о3;
* *) Здесь, и ниже, индексы в обозначениях главных касатель-
касательных напряжений являются условными, не связанными с направле-
направлениями этих напряжений и нормалями к площадкам, на которых
они действуют (как это предусматривается для компонентов тен-
тензора напряжений). Другие авторы (см. Соколовский В. В. [6])
вводят иные обозначения, освобожденные от указанной условно-
сти, как то tyi-tg» %x. 1

ОБОЗНАЧЕНИЯ ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ ВЕЛИЧИН 9
т31 = ± °3~~О1--то же, на площадках, биссектор-
„ ных к направлениям о3 и аг;
звр = _ (ож 4- Oj, + °z) — среднее напряжение, оно же —
нормальное напряжение на окта-
октаэдр ических площадках, т. е. на
площадках, равнотклоненных к
главным площадкам, проходящих
через рассматриваемую точку;
= -у У (oj — о2J + (°2 — °зJ + (°з—°iJ — касательное на-
напряжение на октаэдрических
площадках;
g
о4 = ¦ токт — интенсивность напряжения (ина1-
V 2 че —приведенное, расчетное на-
напряжение);
о1, о11, о111 — инварианты (первый, второй, тре-
третий) тензора напряжений; харак-
характеристики напряженного состоя-
состояния, не зависящие от выбора
координатной системы;
ех, еу, ez—относительные удлинения (в де-
декартовых координатах) по направ-
направлению осей х, у, z (деформации
первого рода);
Чху> Туг> угж — относительные сдвиги (в декар-
декартовых координатах) (деформации
второго рода); индексы указы-
указывают координатные плоскости,
на которые проектируются соот-
соответствующие сдвиги;
2вху, 2еу2, 2ezoc —другие обозначения относитель-
относительных сдвигов;
— тензор деформации, т. е. сово-
совокупность компонентов деформа-
деформации бесконечно малого объема
(в форме параллелепипеда) в окре-
окрестности заданной точки;
et, e2, е3 —главные удлинения для данной
точки;

10 ОБОЗНАЧЕНИЯ ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ ВЕЛИЧИН
Ymax = *\ — е3 — наибольший сдвиг для данной
" точки;
еср = "з" /ех + еу + ег) ~~ среднее удлинение (октаэдриче-
' ское), т. е. удлинение в направ-
направлениях, нормальных к октаэдри-
ческим площадкам;
*\
Yokt = -о- У (ei — е2J + (es - езJ + (ез — eiJ - октаэдрический
сдвиг, т. е. изменение в процессе
деформации прямого двугранного
угла между площадками, на
которых действуют напряже-
напряжения токт;
б = 3scp — относительная объемная дефор-
деформация;
ег = —у=- Yokt — интенсивность деформации;
в1, еп, ет — инварианты (первый, второй, тре-
третий) тензора деформации, харак-
характеристики деформированного
состояния, не зависящие от
выбора координатной системы;
Е, G — модули упругости первого рода
(модуль Юнга) и второго рода
(модуль сдвига);
— коэффициент Пуассона;
X = j-^2 постоянная Ляме;
I — cos (х, v)
т = cos (у, v)
— направляющие косинусы;
n — cos(z, v)
! ( ) = „ ¦ A—от-' А—тгт^ — лапласиан второго рода —
^ ОХ @У 0Z
обозначение лапласовой операции
второго рода над функцией ( ).

ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ
СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Краткие сведения из теории
1. Напряженное состояние в точке тела при задан-
заданном нагружении определяется тензором напряжений (см.
обозначения, стр. 8). Для любой наклонной (по отноше-
отношению к координатным осям) площадки, проходящей через
данную точку, проекции на координатные оси (х, у, z)
полного напряжения записываются:
A.01)
Xzym +
а проекция на нормаль к площадке (т. е. нормальное
напряжение ov) и другая проекция, лежащая на самой
площадке (т. е. касательное напряжение tv), равны
n2 + 2xxylm + 2xyzmn
xxy
yz
2хгхп1,
t5 = Dm — <
где
A.02)
2. Главные напряжения (av o2, о3) в точке тела при
заданном нагружении определяются как корни кубиче-
кубического уравнения
б8__о251_|_оо11__оШ==01 A.03)

12 ОСНОВНЫЕ УР-НИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
где коэффициенты уравнения (инварианты тензора напря-
напряжений)
о1 = ож + oy+az, оп = охоу + °у°г+о2ох-4у-4*-^х, )
°1П = QxQyQz + ^ЛЛ* - ах"& - V** - "z*iv /
A.04)
Контролем правильности решения кубического урав-
уравнения могут служить соотношения, вытекающие из
инвариантности коэффициентов уравнения
На площадках, равнонаклоненных к главным пло-
площадкам (октаэдрические площадки), имеются напряжения
<?ОКТ = "з" (°1 + °2 + <?з) > ^ОКТ =
= 1V (в1 - о2Г + (а, - а3J + (а, - а2J, A.05)
или через компоненты тензора напряжений
"окт = -д- (ож + а у + az), хокт =
= т/К-"иJ+К-^J + К-О2+б(^у+^ + ^).
A.06)
Касательное октаэдрическое напряжение через отно-
относительные максимумы касательных напряжений записы-
записывается:
где
J2 — Д3 i a3 — g
2 ' 31— ± 2
Наибольшее и наименьшее" касательные напряжения
для данной точки соответственно
= ±
min
3. Для элемента тела в виде бесконечно малого парал-
параллелепипеда дифференциальные уравнения равновесия

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ - 13
(движения) в декартовых координатах записываются:
¦
A.08)
j
(в другой системе координат уравнения равновесия имеют
другой вид, а именно A.16) или A.17)).
К этим уравнениям присоединяются остающиеся без
изменения как в статической, так и в динамической за-
задаче соотношения
ху ух* yz zy 1 zx xz'
4. Деформированное состояние в окрестности данной
точки определяется тензором деформаций (см. обозначе-
обозначения, стр. 9).
Все необходимые формулы в теории деформации мож-
можно записать по аналогии с соответствующими формулами
в теории напряжений.
Так, относительное удлинение какого-нибудь отрезка,
проходящего через заданную точку, имеющего направля-
направляющие косинусы I, т, п, запишется через шесть компо-
компонентов деформации той же точки следующим образом:
ev = ej2 + гут* + ezn* + 2exylm + 2eyzmn+ 2ezxnl, A.09)
т. е. аналогично формуле для нормального напряжения
на площадке с нормалью v.
ф Для определения главных удлинений в точке служит
уравнение
-' s3-s2eI + sen-sm = 0, A.10)
где инварианты тензора деформации
eI = Sx + sy + sz> S" = sxSy + SySz + SzS
еШ = SxSySz + 2sxySyzszx — SxSVz — Sy4x~
y + sz> S = sxSy + SySz + SzSx — ЁЗД - klz - e«> \
I
A.11)

14 ОСНОВНЫЕ УР-НИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Удлинения в направлении, нормальном к октаэдри-
ческой площадке, и октаэдрическии сдвиг
( + + )
= 4 VD - Ч? + (Ч - Ч? +
A.12)
5. Компоненты деформации в декартовых координа-
координатах выражаются через компоненты перемещений:
_ ди __ ди _dw р _ди .до _ л
х дх ' у ду * z dz 7 *xv xv ду дх 1 ,
dv , dw n dw , ди ( A-13)
(в другой системе координат дифференциальные соотно-
соотношения имеют другой вид, см. A.18), A.19)).
6. Компоненты деформации связаны условиями сов-
совместности или неразрывности деформации:
A.14)
ду* "•" дх* дхду '
dy2 dydz '
: ° |гж ч
~ dzdx*
дх
^1М
ду
dz ) ~ dx-dy '
az-aa; " J
A.15)
7. В цилиндрической системе координат rQz диффе*
ренциальные уравнения равновесия имеют вид
aor l dzrt dzn ar~ae_A
ar "*" r ае ' dz "• r "" '
дг
ae
ае
A.16)

i)
ФОРМУЛИРОВКА ГРАНЙ*ШЫХ;УEЛОВЙЙ
15
В сферической системе координат гбср уравнения равнове-
равновесия записываются:
A,17)
8. В цилиндрической системе координат rGz компо-
компоненты деформации выражаются через компоненты смеще-
смещения и, v и w(ur, щ, uz) следующим образом:
ди dv v 1 ди Л
1 до , и
+
1
dw
ди dw
dz "т" Э7
в сферической системе координат гбср компоненты дефор-
деформации выражаются через компоненты смещения и, v, w
(иг, щ, и?):
ег~~д7' Чг*-~д7~~Т+ г 98 '
So, ==
'* г sin 8 дер
?
- —I— ~ »
r sin в дер ' 9г
г sin 8
A.19)
§ 1.1. Формулировка граничных условий
1. На рис. 1 показано несколько вариантов закрепле-
закрепления опорного сечения прямоугольной полосы, подвергаю-
подвергающейся поперечному изгибу (плоскость ху — плоскость
изгиба).

16
ОСНОВНЫЕ УР-НИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ ,
Если использовать гипотезу плоских сечений (см. со-
сопротивление материалов), надо признать все изображен-
изображенные типы закреплений эквивалентными друг другу, а
прогибы всех показанных балок одинаковыми. В действи-
У\
Рис. 1.
тельности это не так. Записать кинематические гранич-
граничные условия для каждого варианта закрепления. &
Ответ. По рис. а) х = 0, У = -тг . в=0,
х = 0, 1/=——, u=v=0;
по рис. б) х = 0, у = 0, в = у=0,
х=0, У=^, и = 0.
= 0, 1/=—g-
по рис. в) z = 0, j/ = 0, |^=0,
оу
по рис. а) х = 0, j/ = 0, u = v=Q,
dv
дх
= 0.

ФОРМУЛИРОВКА ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
17
2. Стержень тонкостенного профиля (рис. 2), подвер-
подвергающийся действию крутящего момента, одним концом
закреплен против закручивания. Записать кинематические
граничные условия, полагая, что депланация поперечного
сечения в месте закрепления возможна, но контур попе-
Рис. 2.
речного сечения не деформируется как в месте закрепле-
закрепления, так и во всех остальных поперечных сечениях.
Ответ. При г=0, и = о = 0 яифО (депланация).
Для любого поперечного сечения sx = sy = ^Xy = O, т. е.
да dv ди dv
д~х~ду = ду ' дх~ '
3. Используя условия на поверхности A.01), показать,
что при осевом растяжении бруса переменного сечения
(рис. 3), помимо нормальных напряжений в поперечном
сечении (аг), учитываемых в сопротивлении материалов,
неизбежно должны быть в том же сечении и касательные
напряжения (тжг), а в сечениях, параллельных оси бруса,
присутствуют также и нормальные напряжения (аж).
Установить связь, которая существует вблизи наружной
поверхности бруса между нормальным напряжением на
площадке поперечного сечения и упомянутыми другими
напряжениями, обычно игнорируемыми в сопротивлении
материалов. Форму поперечного сечения бруса полагать
узким прямоугольником.
2 Н. И. Бевухов

18;
ОСНОВНЫЕ УР-НИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Ответ. тга; = а2 tg (zv), аж = аг tg2 (x, v).
4. В некоторой части тела его внешняя поверхность
свободна от нагрузок. Нормаль к указанной поверхности
в данной точке имеет по отношению к координатным
осям (х, у, z) известные напранляюшие косинусы /, т,
п. Записать для этой точки тела поверхностные условия.
Установить соотношения, которые существуют между
нормальными и касательными напряжениями для точек,
Рис. 3.
примыкающих к свободной от нагрузок внешней поверх-
поверхности тела.
fef )
Ответ.
"у = —— (-уж
п),
5. Известная в сопротивлении материалов формула
Д. И. Журавского для касательных напряжений при по-
перечном изгибе, т. е. х — уг> как известно, предпола-
предполагает равномерное распределение касательных напряжений

ФОРМУЛИРОВКА ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
19
по ширине балки, т. е. в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном к плоскости изгиба. Однако такое предположение
в случае непрямоугольного поперечного сечения противо-
противоречит условиям равновесия на внешней поверхности бруса,
Рис. 4.
и потому полагают," что формула Журавского относит-
относится к вертикальной проекции касательного напряжения;
направление последних принимают у контура сечения по
касательной к контуру (рис. 4) с постепенным переходом
к вертикальному.
Исходя из предположений о направлении т, изобра.-
женных на рис. 5 для треугольного и круглого сечений
балки, написать, используя формулу Журавского, фор-
формулы для компонентов %yz и %xz.
Ответ. Для треугольника:
OS AQ{2h-3y){h+3y)

20 ОСНОВНЫЕ УР-ИИЯ-МВХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
для круга:
xy
6. В консольном выступе фундамента (рис. 6), имею-
имеющем треугольную форму и находящемся под равномерным
Рис. 5.
давлением грунта интенсивностью q, найдены напряже-
напряжения [5]:

7]
ФОРМУЛИРОВКА ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИИ
21
Требуется определить постоянные А, В и С, исходя
77777.
Т-т ,
к
Рис. 6.
из условий на поверхности.
Ответ. Л= —„ ?._„ ; В-
7. Для треугольной плотины (рис. 7); подверженной
давлению воды, найдено решение для напряжений
у — удельный вес материала плотины;
Yi — удельный вес жидкости.
Требуется отыскать постоянные величины а, Ъ, с, d,
исходя из условий на поверхности.
Ответ. а=0, 6=—Ti. а=Щ~а—Т»
tgp tg»a *

22
ОСНОВНЫЕ УР-НИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
8. При изгибе балки поперечной нагрузкой (рис. 8)
в сопротивлении материалов получены следующие выра-
выражения для компонентов деформации:
_ Q _
4 еР8
где Q и М являются функциями только координаты х.
Составить дифференциальное уравнение упругой линии.
п
Рис. 8.
Ответ. Интегрируя уравнения A.13), находим выражение
для и и для v, а после двойного дифференцирования к по ж при-
приходим к результату:
а'--___м_, L дЛ
§ 1.2. Исследование напряженного состояния в точке
9*). В точке тела известны компоненты напряжений
0^ = 500 а»г, % —0, oz= — 300 й»г,
zxy = 500 am, zyz = - 750 am, zzx = 800 am.
Найти для площадки, нормаль к которой характеризуется
.1 1 1
направляющими косинусами l — -^-, m = y, д = ._ ,
*) Задачи 9, 48—56, 65 заимствованы из книги П. Ф. Папко-
вича «Теория упругости», Оборонгиз, 1939.

14] ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ 23
напряжения: полное р?, нормальное ov и касательное tv.
Ответ.
/>v=1120 am, oy=265 am, ту=1090аш.
10. В точке тела, на его границе (направляющие коси-
косинусы /, т, п заданы), известны компоненты внешнего
нагружения рх = а, ру = pz = 0. Кроме того, известно,
что возле заданной точки, внутри тела,
Вычислить остальные компоненты напряжений.
Указание. Для определения остальных компонентов напряже-
напряжений (зх, йу, туг) используем условия равновесия для тетраэдра A.01),
откуда T2y = 0, аы = 0, ах = у .
11. Найти главные напряжения, главные площадки
и октаэдрические касательные напряжения для двух слу-
случаев сложного сдвига:
а) Tx« = V=:T' б) хху = V = т« = т-
Ответ, a) c1=zY2, а2=0, а3=—1;|/;
б) а1 = а2 = т, а3=—2т.
12. Для напряженного состояния, заданного тензором,
имеющим все одинаковые составляющие, равные о, найти
главные напряжения и главные площадки. Объяснить,
почему число последних оказывается неограниченным.
Ответ. ai = 3:, a2 = 3S = 0. Первая главная площадка J. ajj
площадок для а2 и <js—бесчисленное множество.
13. При каком напряженном состоянии октаэдрические
напряжения могут оказаться действующими не только
на гранях октаэдра, но и на гранях прямоугольного
параллелепипеда? Чем это объясняется?
Ответ. При прэстом растяжении-сжатии, при чистом изгибе
(в этом случае число октаэдрических площадок бесконечно
велико).
14. В некоторой точке тела равны нулю все компо-
компоненты нормальных напряжений, т. е. ах — ау = о. = 0..
Из трех остальных компонентов (касательные гапряже-
ний) один, например хху, также равен нулю. Найти для

24 ОСНОВНЫЕ УР-НИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [15
указанной точки главные напряжения и выяснить, какому
простейшему виду деформации соответствует рассматри-
рассматриваемый случай напряженного состояния.
A^, Ог = 0> Оз=_О1 (слуЧай чистого сдви-
сдвиОтвет. 4 =
га).
15. Для точки, имеющей компоненты напряжений
= ° = Ч 0 ° 2000 /2 1000 2
р
т = т^ = 1000 кг/см2;
Д , меющей ко
°* = °в = Чу = 0. °г = 2000 кг/см2,
вычислить главные напряжения.
Ответ. а1 = 2730 кг/см2, а2 = 0, о3= —730 кг/см*.
16. Для точки, обследованной в предыдущей задаче,
вычислить приведенные (расчетные) напряжения по основ-
основным теориям прочнорти.
-Е%ет", Ч0 теоРии наибольших нормальных напряжений
Н = 2730 кг/см*; по теории наибольших относительных удлинения
при коэффициенте Пуассона jj. = 0,3, о4=2949 кг/см*; по теории
наибольших касательных напряжений о4а=3460 кг/см* и
р ффце Пуассона jj. = 0,3, о4
наибольших касательных напряжений о4а
энергии формоизменения oi = 3090 кг/см2.
/; по теории
3460 кг/см* и по теории
17. Вычислить главные напряжения для точки А,
взятой в навинтной части детали (рис. 9), если заданы
4
Рис. 9.
следующие напряжения: осевое напряжение 42 кг/мм2;
касательное напряжение по поверхности, параллельной
соприкасанию детали с кожухом, 5 кг/мм2; тангенциаль-
тангенциальное нормальное напряжение от распирающего действия
иарезки 5 кг/мм2 и соответствующее радиальное напряже-
напряжение—8 кг /мм2 (сжимающее).
Указание. Если возле рассматриваемой точки выделить эле-
ентарный объем сечениями по образующей (вдоль оси детали)

19] ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ 25
нормальными к ней и цилиндрическими поверхностями (рис. 10),
то одна пара параллельных плоскостей (yOz) по условиям зада-
задания не имеет касательных напряжений и, стало быть, действую-
действующее на этих плоскостях напряжение есть одно из главных напря-
напряжений для рассматриваемой точки. Таким образом, один из кор-
корней кубического уравнения а = 5 кг/мм2.
Другие корни найдутся, очевидно, по формуле
Ответ. 42,5 кг/мм2, 5 кг/мм2, —8,5 кг/мм2.
8 кг/ммг
Рис. 10.
18. В точке тела имеется следующая система напря-
напряжений:
<зх = 500 кг/см2, ау = 0, oz = 1100 кг/см2,
zxy = 300 кг/см2, zyi =' - 300 кг/см2, zzx = -800 кг/см2.
Определить значения полного, нормального и каса-
касательного напряжений на площадке с внешней нормалью v,
направляющие косинусы которой относительно коорди-
координатных осей равны между собой.
Ответ. Рассматриваемая площадка свободна от напряжений.
19. Как изменится результат в предыдущей задаче,
если напряжение ау
Ответ. Pxv=Pzv=0
принять равным
pyw = 1000 кг/см2,
1000 }/3 кг/см2?
pv=1000 кг/см2 (полное),
1000 , г*

26 ОСНОВНЫЕ УР-НИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [20
20. В точке тела имеется следующая система напря-
напряжений:
ах = ау = 500 кг/см2, о2 = —1000 кг/см2,
Определить нормальные, касательные и полные напряже-
напряжения i а октаэдрических площадках, проведенных через
данную точку.
Ответ. а1 = а2 = 500 кг/см2, as = —1000 кг/см2, аок- = 0,
ГоКТ = 500/2 кг/см2.
21. Для некоторой точки тела известен тензор напря-
напряжений
/Ю, 0, 15\
Гвапр= 0, 20, -15).
\15, -15, 0/
Разложите его на шаровой тензор и на девиатор напря-
напряжений. Подсчитайте второй инвариант девиатора напря-
напряжений. Компоненты тензора имеют размерность —кг/мм2.
Ответ. Второй инвариант девиатора напряжений
а11 =—550 кг2/мм*.
22. Для точки тела известен первый инвариант тен-
тензора напряжений о1 = 30 кг/мм2 и задан девиатор напря-
напряжений
/ 0, ' 0, -15\
Аш,Р= 0, 10, 15].
\-15, 15, -10/
Составьте исходное уравнение для определения главных
напряжений в данной точке. Компоненты девиатора
напряжений заданы в кг/мм2.
23. В некоторой точке сплошного тела найдены напря-
напряжения:
ож=1000 кг/см2, оу = 500 кг/см2, аг= —100 кг/см2,
•сжу = 400 кг/см2, тжг= -200 кг/см2, Tzy = 300 кг/см2.

27] ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ 27
Найти значения главных напряжений в этой точке
и их направления. Вычислить также значения главных
касательных напряжений.
Ответ. о1 = 1222 кг /см2, т12 = 364 кг/см2,
о2 = 494 кг/см2, т23 = 405,5 кг/см2,
а3= — ЪИ кг/см2, т1з = 769,5 кг/см2,
/ = 0,88, та = 0,48, и = 0,0025.
24*). Найти направление октаэдрического касательного
напряжения, указав, как оно ориентировано в треуголь-
треугольной грани главного октаэдра (рис. 11).
Решение. Напряжение токт может быть представлено тремя
составляющими:
Собирая эти составляющие в равнодействующую по линии AD
и по линии ей перпендикулярной, получаем:
v
где
т12 = 0,5 (зх — о2), ^3 = 0,5C! —а3), т23 =
25. Составить выражение для касательного напряже-
напряжения на произвольной площадке, выразив его через глав-
главные напряжения и направляющие косинусы рассматри-
рассматриваемой площадки по отношению к главным площадкам.
Ответ. ^ = y/Cl _ aiLimi-\-{3i — asJm2n2 + (а3—
26. Выяснить взаимное положение октаэдрических
площадок относительно площадок сдвига, т. е. диагональ-
диагональных плоскостей главного куба [13].
Ответ. Всевозможные октаэдрические площадки, проведенные
в главном кубе, оставляют на каждой диагональной плоскости
(площадке сдвига) следы в виде трех семейств прямых:
а) семейство прямых, перпендикулярных к ребрам куба;
б) два семейства прямых, образующих с ребрами куба углы
± 35° 16'.
27. Показать, что в случае линейного напряженного
состояния — простого растяжения или сжатия — имеются
*) Задачи 24, 41—43,57,123,124 и 133 предложены И. К. Снитко.

28 ОСНОВНЫЕ УР-НИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [27
следующие любопытные особенности: а) главный куб пре-
превращается в цилиндр, основаниями которого служат
поперечные сечения (поперечные главные площадки);
б) площадками сдвига будут все плоскости, наклоненные
Рис. И.
к основанию под углом 45°, и их совокупность' дает
конус сдвига с таким же углом наклона образующей
к оси стержня и в) октаэдрические площадки образуют
в растянутом стержне конус, угол между образующей
которого и осью стержня равен 35°16' (т. е. октаэдри-
ческий конус острее, чем конус сдвига).

33] ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ 29
28. Сопоставить значения октаэдрических касательных
напряжений для следующих характерных случаев напря-
напряженного состояния: простое растяжение, чистый сдвиг,
растяжение тонкостенного сферического сосуда, находя-
находящегося под внутренним давлением, и растяжение тонко-
тонкостенного цилиндрического сосуда при том же давлении.
Ответ. При растяжении т0Кт отличается от ттах на 6%, при
чистом сдвиге —на 18%, для сферического сосуда—на 6% и для
цилиндрического — на 18%.
29. Выяснить предельные соотношения между ттах
и -Сокт Для сложного напряженного состояния.
'Ответ. токт = 0,816 +0,941 ттах.
30. Обозначив координатные оси zlt x2, х3 и в соот-
соответствии с этим нормальные и касательные напряжения
по всем трем ортогональным площадкам записывая
через "cift) где ink принимают последовательно значе-
значения 1, 2, 3, показать, что формула для нормального
напряжения A.02) на наклонной площадке с нормалью v
(направляющие косинусы + cos (a^v) = /1( cos (z2v) =
= l2 cos (х3ч) = l3) может быть кратко записана в виде
i=3 fc=3
1=1 Й=1
«
31. (Продолжение задачи 30.) Доказать, что для той
же наклонной площадки касательные напряжения, парал-
параллельные некоторой оси tj, в указанных выше обозначе-
обозначениях могут быть записаны так:
i=3 fe=3
32. Доказать, что квадрат полного напряжения
на октаэдрической площадке равняется среднему из ква-
квадратов главных напряжений. Показать, что квадрат каса-
касательного напряжения на октаэдрической площадке рав-
равняется 4/9 суммы квадратов главных касательных на-
напряжений.
33. Показать, что квадрат октаэдрического касатель-
касательного напряжения с точностью до числового множителя

30 ОСНОВНЫЕ УР-НИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [34
, (— 2/3) равен второму инварианту девиатора напряже-
напряжений, т. е.
a _ 2 •
^окт — о"(
34. Показать, что квадрат октаэдрического касатель-
касательного напряжения может быть записан через первый
и второй инварианты тензора напряжений в виде
§ 1.3. Исследование деформации в окрестности
заданной точки
35. В точке тела заданы компоненты деформации ех,
еу, Yxy; остальные компоненты: ?2 = 7Ж2 = Yy2 = О (слу-
(случай плоской деформации).
Записать инварианты тензора деформации и вывести
формулы для главных удлинений.
Птвргп в* с -1-е <Л^ с с V гШ О
Один из корней кубического уравнения A.10) равен нулю (отно-
(относительное удлинение вдоль оси z), два других определятся
из квадратного уравнения
4
Одна из главных деформаций (нулевая) сонпадает с осью Oz, дне
другие лежат в плоскости хОу, причем
36. В точке тела имеются следуюпдие компоненты
деформации:
вж = 0,001, еу = 0,0005, sz= -0,0001;
Ysy = 0,0002, Yuz=-0,0001, Yz, = 0,0003.
Определить главные деформации и ориентировку их по
отношению к осям Ox, Oy, Oz.
Ответ. е1 = 0,00122, s2 = 0,000494,
е3=—0,000317,
/=0,88, т=0,48, и = 0,0025.

38] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦ. УР-НИЙРАВНОВЕСИЯ 31
§ 1.4. Использование дифференциальных уравнений
равновесия (простейшие случаи)
37. В курсе сопротивления материалов при исследо-
исследовании деформации поперечного изгиба балки прямоуголь-
прямоугольного сечения была получена формула нормальных напря-
напряжений
12
Mz — изгибающий момент относительно оси z, ось
балки х, главные оси поперечного сечения у и z; внеш-
внешние силы лежат в плоскости уОх; ~^- = /г — экватори-
экваториальный момент инерции сечения.
Предлагается получить формулу касательного напря-
напряжения в поперечном сечении, используя для этой цели
дифференциальные уравнения равновесия.
Решение. Исходим из дифференциального уравнения
дх ду
дМ, _
Так как —т— = Q—поперечная сила, то
Граничные условия по верхней и нижней граням балки записы-
записываются:
откуда
/(•>-?¦
и окончательно
30
или, заменяя Jz, имеем ¦cxy=-^j-s(h2—iy2).
38. Для балки прямоугольного поперечного сечения,
у которой в числе изгибающих нагрузок также находятся

32
ОСНОВНЫЙ УР-НИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
касательные силы, приложенные по верхней и нижней
граням балки (рис. 12, а), с помощью дифференциального
условия равновесия вывести формулу для касательного
напряжения в поперечном сечении.
в.
"л (
*
Рис. 12.
Указание. Выполняем решение по аналогии с принятым
в задаче 37. Особенностями будут: а) вид формулы нормального
напряжения
М, , N
(учитывается продольная сила Л'); б) граничные условия по верх-
верхней и нижней граням балки
в) диффе ренциальные зависимости для элемента балки (рис. 12, б
dM .. . . .bh dN
^ = Q+(tB + *H)T и _ = -(Тв
Ответ.
ж
(
39. При чистом изгибе бруса любого поперечного
сечения (но постоянного по длине), изгибаемого в плоско-
плоскости xOz (рис. 13) парой с моментом М, представленной
системой нормальных напряжений, изменяющихся по вы-
высоте торца по линейному закону, компоненты напряжений
в сопротивлении материалов выражаются так:
М п

41] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦ. УР-НИИ РАВНОВЕСИЯ 33
где Jy — экваториальный момент инерции сечения относи-
относительно оси Оу.
Проверьте, удовлетворяются ли дифференциальные
уравнения равновесия и условия на поверхности.
Г
к
Рис. 13.
40. При поперечном изгибе бруса прямоугольного сече-
сечения, изгибаемого в плоскости xz (рис. 14) силой Р,
представленной системой ка-
касательных напряжений xzx,
распределенных по торцу бру-
бруса по следующему закону:
Р
г\
х ¦
¦-Z"
компоненты напряжении по
данным курса сопротивления
материалов выражаются сле-
следующим образом:
-со
Рис. 14.
а,. =
- = ^ = ^« = ^г=°. гда
2"
Проверьте, удовлетворяются ли дифференциальное
уравнение равновесия и условия равновесия на поверх-
поверхности?
41. Приняв формулу сопротивления материалов для ах,
вывести формулы для напряжений хгх и ог, возникающих
вблизи точки А (в нижней полке рис. 15).
Решение. Условие равновесия
д„ ~| ая, 1 "
-==0,
3 Н. И. Бевухов
КОЛОХЗА
ОСКОР^А

34 ОСНОВНЫВ УР-НЙЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 142
в котором ox=:-j^j и гху = 0 (ввиду тонкостенности), приводит к
откуда
dz
Рис. 15.
Величина е находится из условия: при z=^a тж2=0. Таким образом,
И» условия равновесия
Эт,
в котором ^ = 0, находим зг (используя также граничное условие
(Uo)
Orneern. ,Х1 =
42. Для балки с нагрузкой, показанной на рис. 16,
использовав условия равновесия плоской задачи,
1) проверить пригодность формул сопротивления мате-
материалов для ах и ?Ху = чух;
2) вывести формулу ау, положив в основу вывода
формулу txy из сопротивления материалов.

Щ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИФФЕ±>ЕНЦ. УР-11ИИ РАЁНОНВОИЯ
Решение.
Для
за-
заточки
_Мг
J г
М{х,
8
У)
qx2
2
Л3
12"
= Ау—Вх~у,
Х;
"П и m n t m
-д
'^]/U
Рис. 10.
где С = 1,5|-;
А
12
в) дифференциальное уравнение ^-^- + -
С/К?
ряется;
г) дифференциальное уравнение -^ ]—ъ~~~~® Дает:
—" удовлетво-
ух
из условия <jy = O при у = -7т находим:
D=-Ch И
Отеет.
3*

36 ОСНОВНЫЕ УР-НИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [43
43. Для точки М (х, у) в балке, показанной на рис. 17,
з фомул
составить выражения <зх и
= z
yx,
р
исходя из формул
Рис. 17.
сопротивления материалов, а далее вывести формулу с^,
применив при этом дифференциальные уравнения равно-
равновесия.
Ответ. аж = -2?-
y = vyx = —Mr (ha- V)
lh3
qx_
11
44. Известны следующие выражения для напряжений:
аж = Ax3y2z, xxy = Bxy2z3. Напишите с точностью до функ-
функции f{x, у) выражение для xxt, если объемными силами
пренебречь или полагать их отсутствующими.
Ответ. Из дифференциального уравнения равновесия
f (x, у).
45. Из криного бруса с радиусом его оси —R, под-
подверженного общему случаю нагружения, выделен бес-
бесконечно малый элемент, показанный на рис. 18; там же
показаны компоненты напряжений. Составить дифферен-
дифференциальные уравнения равновесия указанного криволиней-
криволинейного параллелепипеда, полагая объемные силы отсутству-
отсутствующими1) .
!) См. статью С. П. Демидова в сборнике «Расчеты на проч-
нбсть в машиностроении», изд. МВТУ, Машгиз 1955.

45] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦ. УР-НИЙ РАВНОВЕСИЯ 37
В правильности составления убедиться путем перехода
от кривого бруса к прямому, т. е. от криволинейного
Рис. 18.
параллелепипеда к прямоугольному [должны получиться
известные формулы A,08)].

38 ОСНОВНЫЕ УР-НИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [46
Ответ.
¦
дх+ Эу
дх ~ ду
dz2x
дер / '
§ 1.5. Использование геометрических уравнений
46. Проверить, удовлетворят пи условиям Сен-Венана
компоненты деформации ех, еу, е2, уяу, 7уг, угя, если их
задать как произвольные линейные функции х, у и z.
Ответ. Компоненты деформации могут быть любыми линей-
линейными функциями декартовых координат.
47. При растяжении призматического стержня соб-
собственным весом (рис. 19), как известно из курса сопро-
сопротивления материалов, в поперечном сечении стержня,
удаленного на расстояние z от нижнего сечения, возникает
напряжение az = y-z, где у — вес единицы объема; все про-
прочие компоненты тензора напряжений отсутствуют, и по-
потому на основании закона Гука и закона Пуассона имеем
компоненты деформации
Sz ~ ~fi ' гх = sy = ~~ ^ ~g ' "ixy = Туг = Час = "•
Проверить, возможны ли.указанные компоненты дефор-
деформации согласно условиям Сен-Венана, разыскать пере-
перемещения, используя соотношения A.13).
Ответ.
и*=—^жг, v~—?A.yZi
. 48. Выяснить, какому изменению формы тела соот-
соответствуют перемещения, найденные в задаче 47.
Ответ. Точки, лежащие на оси Oz, перемещаются лишь вдоль
этой оси так, что эта ось остается прямой. Плоскости, до дефор-

49]
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ
39
мации проходившие через эту ось, остаются плоскостями. Прямые,
до деформации параллельные оси Oz, наклоняются к этой оси
яа углы, пропорциональные расстоянию от оси Oz, но остаются
прямыми. Поперечные сечення z = const, до деформации плоские,
обращаются в параболоиды вращения, определяемые уравнением
где с —расстояние до центра тяжести исследуемого сечения,
меряемое в направлении оси z.
ив-
Рис. 19.
Общий внд бруска после деформации изображен на рис. 19,
^на котором пунктиром показаны прямые, параллельные до дефор-
деформации оси Oz.
49. Цилиндр любой формы поперечного сечения дли-
длиной 11 подвешен в жидкости, имеющей плотность р',
таким образом, что его ось вертикальна, а наивысшая
точка закреплена. Давление жидкости на уровне центра
тяжести цилиндра равно рш, плотность вещества цилин-
цилиндра р. Выражения для компонентов напряжений
о* = а„= ~P + g?'z, аг=-

40 ОСНОВНЫЕ УР-НИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [50
выражения для компонентов деформаций
sz = -jg [°z ~ V- К + <»„)], е* = 7f К ~ f* (
Используя соотношения A.13), определить компоненты
перемещения.
Ответ.
»= -^ [A—2ц) p-g (р-р') /]+у g (р-2|лр') (z2-
50. При кручении круглого вала, ось которого Oz,
компоненты деформации, определенные в сопротивлении
материалов, получаются:
s* = еу = ez = Y*y = °. Yyr = 6ж> Yac = - 62/>
где б — константа (угол закручивания на единицу длины).
Выяснить, возможна ли такая деформация с точки зрения
условий Сен-Венана, и определить перемещения и, и и w,
считая, что в начале координат и = у = до = 0, а также,
что точка оси Oz, бесконечно близкая к началу коор-
координат, не сходит с этой оси, а точка оси Ох, бесконечно
близкая к началу координат, не имеет перемещений
вдоль оси Оу.
Ответ. и= — Qyz, v = bxz, ш=0,
51. Выяснить, какому изменению формы тела соот-
соответствуют перемещения, полученные в предыдущей задаче.
Ответ. Поперечные сечения вала остаются плоскими и рас-
расстояния между ннмн не меняются. Каждое поперечное сечение
поворачивается вокруг оси Oz как целое. Углы этого поворота
пропорциональны отстоянию данного сечения от сечения z = 0.
52. При чистом изгибе призматического стержня в со-
сопротивлении материалов получены выражения
ММ А
у y YYY o

53]
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ
41
(Ох и Оу — главные оси поперечного сечения, Oz —ось
стержня). Проверить, удовлетворяет ли эта деформация
условиям Сен-Венана, и определить перемещения и, v, w,
прикрепив координатные оси к телу, как в задаче 50.
1
Ответ. v = -r= [z2 + u (ua —ж8)],
У-ху
R
ML
R
EJ
где R = —=rj константа (радиус кривизны нейтральной оси).
53. Выяснить, какому изменению формы тела соответ-
соответствуют перемещения, найденные в предыдущей задаче?
r--_
1
1
1
1
1
1
1
1
1
„-I
\
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 20.
Рис. 21.
Ответ. Поперечные сечения, перпендикулярные к оси Oz,
остаются плоскими и нормальными к нейтральной оси стержня,
искривляющейся по параболе
"~2R'
при малых прогибах близкой к дуге круга радиуса R. Плоскости
j/ = const обращаются в поверхности, имеющие форму желобка,
1 и
продольная кривизна которых есть -tj- , поперечная же —jr.
Если в каком-либо поперечном сечении выделить прямоуголь-
прямоугольник, стороны которого параллельны осям Ох и Оу, то у этого
прямоугольника стороны х = const остаются прямыми, но повора-
поворачиваются, стороны же j/=const обращаются в дуги параболы,
нормальные К сторонам х = const.

42 ОСНОВНЫЕ УР-НИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [54
В области, где у > О, продольные ребра стержня укорачивают-
укорачиваются и он получает поперечное расширение; в области, где у < О,
они удлиняются и в поперечном направлении стержень сжимаетси.
Общий вид элемента, выделенного из тела плоскостями x=z-^-a,
y—^zb, изображен на рис. 21, деформация поперечного сечения—
на рис. 20.
54. Заданы следующие деформации:
sx = axy2, еу = ах2у, sz= аху, Чху--~0,
fyz = az2 + by, у» = ах* + by*>
где а и Ь — постоянные, не равные нулю.
Удовлетворяют ли заданные уравнения условиям нераз-
неразрывности Сен-Венана?
Ответ. Нет.
м- — i__ э V V
55. Дано
где <р = <р(а;, у).
Выяснить, может ли функция <р считаться произволь-
произвольной функцией от х и у или же условия Сен-Венана нала-
налагают на нее некоторые ограничения и какие именно?
Ответ. Функция ср должна удовлетворять уравнению
с?*ср сНср Э«ср _
9х* + dz2dj/2 ^Зг/* ~
56. Дано • •
__2A+|О_в5р_ _ _ _0
Ьсу— ?¦ дхду ' г ^yz Тгзс "•
Определить, какому уравнению должна быть подчинена
функция <р = <р(а;, у).
Ответ. Функция ср должна удовлетворять уравнению
9г« "*" Зг2 9j/2 "^ ду4 ~" '

58] ОЦЕНКА РЕШЕНИИ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 43
57. Составить условие неразрывности деформаций для
тела вращения при симметричной относительно оси враще-
вращения {Oz) нагрузке (рис. 22).
Решение. Для произвольной
точки с координатами z, r, 6
(где г—радиус-вектор точки и
8— полярный угол) имеются соот-
соотношения
dw
~dz
Дифференцируя
лучаем:
dtt _ 1 / ди и
дг~~ г \дг г
ди
дг
Рис. 22.
Используя формулы S( и sr> находим одно из условий нераз-
неразрывности (заменяющее обычное соотношение Сен-Венана):
дг
§ 1.6. Оценка элементарных решений сопротивления
материалов с позиций уравнений механики
сплошной среды
58. Для прямоугольной пластинки, заделанной «на-
глухо»леным концом и нагруженной силой Q, отнесенной
на единицу ширины вдоль оси z и распределенной по пра-
г вому концевому сечению, в сопротивлении материалов
были получены следующие формулы для напряжений:
М Q(l—x) л
о_ = —г- v = —*—и, O.. — V,
Jb
где / = —тп— • Прочие компоненты напряжения предпо-
предполагались отсутствующими. Для компонентов деформации

44 ОСНОВНЫЕ УР-НИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [58
сопротивление материалов давало выражения
а — -^- г—г-—иг 7 — ?*L
Там же были получены уравнение изогнутой оси
пластинки
_ Q ( 1х* х3 \
и формула для девиации
Проверить, возможны ли указанные выше напряжения
и деформации с точки зрения уравнений механики
сплошной среды и соответ-
соответствуют ли они случаю изги-
изгиба, показанного на рис. 23.
Каким особенностям закре-
пления левого конца соот-
соответствует указанная фор-
формула для прогиба? Соста-
Составить недостающее выраже-
выражение для перемещения и*).
Указание. Дифференциаль-
Рис. 23.
ное уравнение равновесия удов-
летворяется, если положить от-
отсутствующими объемные силы.
Статические условия A.01) на внешних поверхностях (по
верхней и нижней граням, по правому торцу) удовлетворяются,
если положить, что на правом торце поперечная сила Q распре-
распределяется по закону, приведенному для хух. Из группы уравнений
неразрывности A.14) остается одно -—5-+—i = -—^-, и оно
также удовлетворяется.
Для перемещения в, если исходить из закона плоских сече-
сечений, имели бы
dv
' дх
Однако из уравнений A.13)
и— ^ чхдх, v= V еуду, Тжу=-^2.-
*) Задачи 58 и 60 взяты из [7],

59] ОЦЕНКА РЕШЕНИЙ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ
следует:
М]Х
2EJ
45
(а)
(б)
где
Если положить, что закрепление левого конца осуществлено
таким образом: и = v = ( -г— ) =0
V от /ж=0
м=о
(рис. 24), то d=Ca = 0.
Как видно из (а) и (б), попереч-
поперечные сечения, плоские до деформации,
в процессе изгиба консоли искрив-
искривляются (в соответствии с выражением
/i (?/)). а горизонтальные до деформа-
деформации слои балки при деформации не
представляют собой параллельных
кривых в связи с выражением
My.
2EJ
У ~
2EJ
Рис. 24.
59. В предыдущей задаче оказалось, что гипотеза
плоских сечений при поперечном изгибе бруса недействи-
недействительна; это обстоятельство внесло корректив в формулы
сопротивления материа-
материалов для перемещений,
не отразившись на на-
напряжениях. Можно ли
такое утверждение рас-
распространить на всю об-
область пластинки?
Ответ. Нет, так как на-
наличие «глухой» заделки по-
потребует в опорном сечении
сохранить абсолютную не-
неизменяемость формы (отсут-
(отсутствие депланации сечения и исключение всяких изменений его
размеров). Таким образом, к напряжениям, определяемым форму-
формулами сопротивления материалов и практически справедливым
в значительной области пластинки, в опорном сечении и в не-
небольшой области вблизи него возникнут дополнительные нормаль-
Рис. 25.

ОСНОВНЫЕ УР-НИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [60
ные напряжения ах, представляющие собой систему взаимно-урав-
взаимно-уравновешенных сил (рис. 25) как результат противодействия «глухой»
заделки «желанию» опорного сечения искривляться (депланиро-
вать). Помимо того, вблизи заделки возникнут также напряже-
напряжения ау («поперечно-нормальные» напряжения).
60. Как изменятся результаты в задаче 58, если
предположить, что закрепление левого конца осуществле-
осуществлено так, что
)
x^O, y=0
=° (рис.26)?
Ответ Все перемещения
изменятся. Прогиб оси плас-
пластинки запишется:
\/ I IX X >
Vv=0=~ET |_~2 б" +
Рис. 26.
+
J •
Изменится и «самонапряженное» состояние, т. е. си-
система напряжений ах в опорном сечении и вблизи него.
61. Для балки прямоугольного сечения, свободно
лежащей на двух опорах, подверженной действию сплош-
сплошной равномерно распределенной нагрузки интенсив-
интенсивностью q (рис. 16), сопротивление материалов дает ре-
решение
я( -г-
1J
прочие компоненты напряжений предполагаются от-
отсутствующими. Опорные реакции предположим в форме
касательных сил, распределенных по концевым сечениям.
Проверить, удовлетворяется ли дифференциальное
уравнение равновесия при указанных выше формулах?
Проверить также граничные условия.
Ответ. Нет, подстановка заданных выражений во второе
уравнение равновесия приводит к абсурду. Граничные условия
выполняются.
62. Уточним решение предыдущей задачи и введем
в рассмотрение напряжение cv, для которого в данном

64] ОЦЕНКА РЕШЕНИЙ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 4?
случае согласно задаче 42, можно принять выражение
Проверить, удовлетворяются ли при этом предполо-
предположении все уравнения механики сплошной среды?
Ответ. Дифференциальные уравнения равновесия удовлетво-
удовлетворяются, но уравнения неразрывности не удовлетворяются.
63. Если в задаче 62 формулу для напряжений ох
дополнить членом
h3 \ 3 20 У ) '
то удовлетворяется и условие сплошности тела.
Проверьте и выясните, удовлетворяются ли при так
корректированной системе напряжений граничные усло-
условия задачи.
Ответ. По торцам балки граничные условия не выполняются,
так как по торцам получаются в действятельностя отсутствующие
нормальные напряжения
, _ 12? ( у* h*
но их главный вектор и главный момент равны нулю, т. е.
h h
+ 2 +2
зх) dy = 0, \ (аж) ydy — O.
h h
Таким образом, согласно Сен-Венану наличие напряжений.
(ах) i существенно не отразится на напряженном и дефор-
деформированном состояниях балки, исключая небольшую область возле
опорных сечений.
64. Для получения в задаче 63 точного решения,
очевидно, надлежит на решение, указанное в задаче 63,
наложить решение для случая, когда на торцах балки
приложены с обратным знаком системы напряжений

48
ОСНОВНЫЕ УР-НИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [65
От такой «самонапряженной» системы нормальные
напряжения <зх будут быстро убывать по мере удаления
от торцов.
Таким образом, в рассматриваемой балке от равно-
равномерной нагрузки нормальные напряжения, вначале найден-
найденные по формулам сопротивления материалов, должны
быть исправлены дважды: один раз для соблюдения
неразрывности деформации, а другой раз для точного
соблюдения граничных условий.
Останутся ли без изменения (для точного решения
задачи) формулы для напряжений хху (см. задачу 61)
и для ау (из задачи 62)?
Ответ. Изменятся за счет добавления членов, также быстро
убывающих от опорных сечении балки, и практически все напря-
напряжения принимают в средней части балки значения, найденные
в задаче 62, а для низких балок —еще более простые выражения
из сопротивления материалов, указанные в задаче 61.
65. Двухопорная балка изгибается собственным весом,
интенсивность которого на единицу длины равна q,
т. е. q — fh (рис. 27). С позиции сопротивления мате-
* (
*
*
¦
( i ¦
* 4 *
\
t
t ~
¦ f
Рис. 27.
риалов данная задача и условия задачи 61 тождественны.
Возможно ли с точки зрения дифференциальных урав-
уравнений равновесия в случае изгиба балки собственным
весом воспользоваться решением задачи €2?
Ответ. Нет, так как второе уравнение из группы A.08) не
удовлетворяется. Следует для «поперечно-нормального» напряже-
напряжения выбрать начертание (см. [5], стр. 396):
ЧУ
Уг
66. Как известно, в случае чистого изгиба все фор-
формулы сопротивления материалов —для напряжений и для
перемещений — подтверждаются и выводами теории упру-

66] " ОЦЕНКА РЕШЕНИЙ [СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 49
гости. Распространяется ли такое заключение на случай
бруса Переменного сечения, хотя бы постоянной ширины,
например на пластинку, показанную на рис. 28?
Рис. 28.
Решение. Ни одно дифференциальное уравнение равновесия
не удовлетворяется, равно как и граничные статические условия.
Если удержать формулы сопротивления материалов для нормаль-
нормального напряжения в поперечном сечении, т. е.
М 3
My
то из первого дифференциального уравнения равновесия приходим
к необходимости признать существование
Функцию / (я) определим из условии на внешней границе, т. е.
Рх^ = ях1+ххут^Ь или
3 М (х tg a)
откуда
м
- \ 1
—5" ) > заменяя —=—tga, получаем:
3 М
2 х2 tg2 a
¦1-
Из второго дифференциального уравнения равновесия анало-
аналогично найдем выражение для ау.
Полученные выраженин для ох, ау и zxy удовлетворяют диффе-
дифференциальным уравнениям равновесия в каждой точке внутри
тела и поверхностным условиям на границе тела, однако они
не удовлетворяют уравнению неразрывности деформации.
4 Н. И. Беэухов

ГЛАВА II
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
Краткие сведения из теории
1. В этой главе рассматриваются задачи линейной
теории упругости, выводы которой справедливы для
тела однородного и изотропного, у которого между
, компонентами деформации и компонентами напряжений
существует наиболее простая линейная связь (обобщен-
(обобщенный закон Гука), а самые деформации предполагаются
малыми, т. е. такими, когда компоненты деформации
(относительные удлинения, относительные сдвиги) пре-
пренебрежимо малы по сравнению с единицей.
Если указанные две предпосылки не выполняются,
то говорят о нелинейной теории упругости. Последняя
может разделяться на: а) теорию нелинейную физически
(связь между напряжениями и деформациями нелинейна),
но линейную в геометрическом (деформационном) отно-
отношении; б) линейную в физическом смысле, но нели-
нелинейную в геометрическом (случай конечных деформаций
в идеально упругом теле) и в) нелинейную и в физи-
физическом и геометрическом отношениях (общий случай).
В случае анизотропного тела, т. е. тела, физические
свойства которого в каждой точке его существенно
зависят от направления, проходящего через эту точку,
приходится обращаться к теории упругости анизотроп-
анизотропного тела.
2. Основные уравнения теории упругости склады-
складываются из уравнений механики сплошной среды, приве-
приведенных в главе I: статических уравнений A.08) с усло-
условиями на поверхности тела A.01), геометрических урав-
уравнений Коши A.13) и как следствия уравнений Сен-Ве-

93]
КРАТКИЕ СВЕДЕЙИЯ ИЗ ТЕОРИЙ
51
нана A.15), которые справедливы для любой сплошной
среды (независимо от ее физических особенностей), и
дополнительных физических уравнений, устанавливающих
связь между компонентами напряжений и компонентами
деформаций.
В простейшем случае для изотропного линейно-упру-
линейно-упругого тела эти уравнения (обобщенный закон Гука) запи-
записываются в форме
B.01)
где G =
E
—М°ДУЛЬ сдвига.
(+i)
Если из B.01) выразить напряжение через деформации,
то получим:
B.02)
где
9 = Зёср,
Л = •
Всего для решения пространственных задач теория
упругости располагает пятнадцатью A5) основными
Уравнениями, а именно тремя статическими A.08),
шестью геометрическими A.13) и шестью физическими
уравнениями B.01).
Задачей теории упругости является разыскание шести
функций для компонентов тензора напряжений, шести
функций для компонентов тензора деформации и трех
функций для компонентов смещений, подстановка кото-
которых в перечисленные выше уравнения удовлетворяет их
тождественно. Кроме того, на поверхности тела должны
быть удовлетворены граничные условия по заданным на-
нагрузкам A.01) или по заданным смещениям.
4*

52
ТЕОРИЙ УПРУГОСТИ
При прямом решении задачи уравнения неразрывности
A.14) и A.15) сами по себе, как вытекающие из A.13),
не нужны и могут исполнять роль контрольных уравне-
уравнений.
Совместное решение упомянутых 15 уравнений, а
именно, последовательное исключение напряжений и де-
деформаций, выражаемых через смещения, приводит к трем
уравнениям равновесия Ляме:
(или
ду-
(или
¦ B.03)
где
Метод решения задач с помощью B.03) называют ме-
методом перемещений.
Если последовательно исключать деформации и сме-
смещения, выражая их через напряжения, то с помощью
уравнений неразрывности деформации A.14) и A.15)
получают следующие шесть уравнений Велътрами (при
постоянстве объемных сил):
дхду
dydz
где
= 0,
= 0,
= 3ocp = ax + ay + az.
B.04)

^ КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ,53
В другой (не декартовой) системе координат взамен
уравнений B.03) — B.04) будут новые уравнениями., на-
например, B.12), B.14)].
Метод решения задач с помощью B.04) называют ме-
методом сил.
Поверхностные условия при таком методе должны
быть выражены также через напряжения, т. е. в форме
A.01). В методе же перемещений поверхностные условия
должны быть выражены через смещения, а именно:
Аналогично, по правилу круговой подстановки, запи-
запишутся выражения и для ру^ и /?zv.
3. Для плоского напряженного состояния, когда
объектом расчета является пластинка и все внешние силы
лежат в срединной плоскости такой пластинки (примем
ее за плоскость хОу), следовательно, отсутствуют силы
в направлении, перпендикулярном к плоскости пластин-
пластинки (т. е. в направлении оси Oz), уравнения метода пе-
перемещений сводятся к двум уравнениям, а в методе сил
к следующим трем уравнениям:
B.06)
где
( >=(?+&)< )•
Уравнения B.06) остаются без изменения и для слу-
случая плоской деформации, когда отсутствуют перемеще-
перемещения и деформации в направлении оси Oz.
Различие между плоским напряженным состоянием
и случаем плоской деформации будет заключаться в на-
наличии в первом случае компоненты смещения w при
Отсутствии напряжения а?, а во втором случае — в от-

54 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ т
сутствии компоненты смещения w и наличии компонен-
компоненты <зг.
В первом случае Штах = ez ~ = -|- (ах + ау) -^ (t —
толщина пластинки). Во втором случае az = р {вх-\-оу).
4. Для плоской задачи (плоское напряженное состоя-
состояние и плоская деформация), если объемной силой
является только вес тела, т. е. Хр = О, Fp=— q, все
функции компонентов напряжений могут быть выраже-
выражены через специальную функцию напряжений Эри следу-
следующим образом:
f^ f5 S С2-07)
Сама же функция напряжений должна удовлетворять
условию
или в краткой записи
= 0.
5. При использовании в плоской задаче полярных
координат гЬ уравнения равновесия имеют вид (случай
отсутствия объемных сил)
B.09)
Напряжения через функции напряжений выражаются:
а функция напряжений удовлетворяет уравнению
0, B.11)

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
где в данном случае
6. Приведем запись уравнений метода перемещений
и метода сил в цилиндрических координатах rbz.
Взамен уравнений B.03) имеем:
1 9: 2 dv и
G
de _ __Z
9г~ G '
G '
где
B.12)
B.13)
_ _l_ _l_ — ^u _L u
_sr-f-ee-f-ez — — -f- —
и i?, ^ и Z —проекции на координатные оси объемной
силы, отнесенные к единице массы.
Взамен уравнений B.04) имеем (для случая отсут-
отсутствия объемных сил):
1
m)+?n K- »e) -^-tre = o,
2 да, Ч
1 + Ц zdbdz
ГДв а = вг-
B.14)

56 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ [67
7. В случае симметричного относительно оси распре-
распределения напряжений уравнения B.12) и B.14) сущест-
существенно упрощаются, так как выпадают все частные произ-
производные по координате 6 и, кроме того, отсутствуют
напряжения тгв, твг и смещение v.
В этом случае при решении удобно применить функ-
функцию напряжений 9, посредством которой напряжения
выражаются следующим образом:
B.15)
Сама же функция 9 должна удовлетворять уравнению
V2V29 = О,
где
§ 2Л. О физическом состоянии в окрестности
заданной точки
67. В точке тела известны главные напряжения
ах = 20 кг/мм2, а2 = 10 кг/мм2, а3 = — 5 кг/мм2
и известен также предел текучести материала того же
тела в случае одноосного растяжения ат = 20,5 кг/мм2
и коэффициент Пуассона [а = 0,3.
Полагая материал идеально пластическим и отождест-
отождествляя для простоты расчетов предел упругости и предел
текучести материала, выяснить, в каком состоянии — упру-
упругом или пластическом — находится рассматриваемая точка
тела.
Задачу решить по всем классическим теориям прочно-
прочности, т. е. по теориям, прочностные свойства материалов

70] о ФИЗИЧЕСКОМ СОСТОЯНИИ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ 57
по которым не ставятся в связь с видом напряженного
состояния.
Ответ. По первой теории (теории наибольших растяги-
растягивающих напряжений) расчетное напряжение Ji = ui = 20 кг/мм?,
по второй (теории наибольших .относительных удлинений)
'i = 'i — V- (а2 + "з) = 18>5 кг/мм2, по третьей (теории наибольших
касательных напряжений) cij = &i — з3 = 25 кг/ммг (ттах= 12,5 кг/мм1)
и по четвертой (теории удельной энергии формоизменения или
теории октаэдрических напряжений)
^|=?=/( сх —'а) +('а —'з) + (с!з — =ч)г = 21,08 кг/мм*
(тгокт = 10,27 кг/мм*).
Как видно с позиции первой и второй теорий прочности,
точка находится в упругом состоянии, хотя и близком к предель-
предельному («запас упругости» составляет по первой теории 2,4%, а по
второй 9,7%).
С точки же зрения третьей и четвертой теорий прочности иссле-
исследуемая точка находится в пластическом состоянии и могут быть
подвергнуты сомнению условия задания, т. е. возможность суще-
существования указанных главных напряжений.
68. Изменятся ли суждения по поводу упругого или
пластического состояния точки, обследованной в задаче 67,
если направление всех нагрузок изменится на обратное
и, следовательно, главные напряжения будут:
а3= — 20 кг/мм2, о2= —10 кг/мм2, ах = 5 кг/мм2?
Могут ли два указанных напряженных состояния счи-
считаться эквивалентными?
69. Услония задачи 67 дополнить сведениями о пре-
пределе текучести при сдвиге, т. е. считать, что наряду
с ат = 20,5 кг/мм2 известно хТ = 0,8 ат = 16,4 кг/мм2.
Задачу решить с точки зрения объединенной теории
Н. Н. Давиденкова.
Ответ. Так как гтах и i;mln меньше заданного iT, to рассма-
рассматриваемая точка пребывает в упругом состоянии.
70. Известны главные напряжения в точке ах = 20 кг/мм*,
о2 = 10 кг/мм2, а3= — 5 кг/мм2, а также следующие
прочностные характеристики для материала: предел проч-
прочности при растяжении апч>р = 24,5 кг/мм2, предел проч-
прочности при сжатии an4i cm=f 61,5 кг/мм2,

58
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
[71
Выяснить, возможна ли с точки зрения теории Мора
(т. е. теории, приближенно учитывающей зависимость
прочностных свойств материала от вида напряженного
состояния) неразрушаемость материала при заданных
главных напряжениях?
Указание. Из построения (рис. 29), когда объемлющую линию,
ограничивающую область прочных напряженных состояний, Заме-
Заменяют прямой, следует, что круг, отвечающий напряженному
г
состоянию рассматриваемой точки (показан пунктиром), лежит
ниже спрямленной объемлющей и, следовательно, в окрестности
заданной точки разрушения произойти не должно.
71. В некоторой точке известны главные напряжения
ах = 300 кг/см2, а2 = 100 кг/см2, а3 = — 100 кг/см2. Извест-
Известны также допускаемые напряжения при простом растя-
растяжении [о]р = 350 кг/см2 и при простом сжатии [а]ст —
= 1200 кг/см2 (чугун), которые, конечно, меньше соответ-
соответствующих пределов упругости материала (на растяжение
и на сжатие). Выяснить, в упругом, неупругом или
в допускаемом напряженном состоянии находится иссле-
исследуемая точка. Задачу решить, иепользуя комбинирован-
комбинированную октаэдрическую теорию прочности С. А. Бернштей-
на [13].
Решение. Уравнения предельного допускаемого напряженного
состояния по С. А. Бернштейну записываются:
токт ¦ °окт __,
Геокт];.». 1°окт]
(а)

73] О ФИЗИЧЕСКОМ СОСТОЯНИИ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ 59
где рокт] и [oOKTJ—допускаемые значения октаэдрических напря-
напряжений при всестороннем сдвиге и всестороннем растяжении и
определяемые через допускаемые напряжения при простом растя-
растяжении [и)р и при простом сжатии [и)сж по формулам
"8 Мр Меж
3 Моя + [а]р •
В данном случае [аОкт] = 329 кг/смг, [т:окт] = 255 кг/см2, оокт =
= 100 кг/см2, токт=163 кг/см2, и потому левая часть уравнения (а)
163 100
55+29~°'94<1'
т. е. состояние рассматриваемой точки прочное и ниже предель-
предельного допускаемого.
72. Известен тензор напряжений в точке (компоненты
даны в кг/мм2)
1, 2, 0'
2, 3, 1
0, 1, 2
и известны допускаемые напряжения при простом растя-
растяжении и при простом сжатии, т. е. [а]р = 3,5 кг/мм2 и
[<*]сж = 12 кг/мм2, каждое из которых составляет 0,8 от
соответствующих пределов упругости на растяжение
и на сжатие.
Выяснить, в каком состоянии — упругом или пласти-
пластическом—находится материал в окрестности рассматрива-
рассматриваемой точки, используя комбинированную октаэдрическую
теорию прочности.
Ответ. иОкт = 2 кг/мм?, т;окт = 2 кг/мм2,
["окт] = 3,29 кг/мм2, [гокт]=2,55 кг/мм2.
Условие упругости 0,8 ( окт 4- окт ) < 1 не выполняется.
V I'oktJ I^oktJ у
73. Задан следующий тензор напряжений в точке
'-1, 2,
2,-3, 1
0, 2(-2;

60 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ [74
(от условий предыдущей задачи отличие только в знаках
нормальных напряжений). Выяснить состояние материала
в окрестности заданной точки (использовать комбиниро-
комбинированную октаэдрическую теорию прочности).
Ответ. аокт =—2 кг/мм*, т = 2 кг/мм?.
Условие прочности
Докт i токт _ 2 2 _0 _ _1_
Ккт] ^ Ьокт] 3,29 ^ 2,55 -u>1 < 0.8
выполняется.
§ 2.2. Общие вопросы. Некоторые свойства
упругих перемещений, деформаций и напряжений
74. Проверить, что если принять обозначения: для
координатных осей xv ж2, х3, для нормальных напряже-
напряжений тг1, х22, х33, для касательных напряжений т12, т23,
t31, для компонентов линейной деформации ец, е22, е31,
для половинных значений компонентов сдвига е12, е23, е31
и для смещений мх, м2, m3i то полный комплект основ-
основных уравнений статической линейной теории упругости
представится в компактной форме следующими тремя
группами уравнений:
тремя статическими уравнениями (при отсутствии
объемных сил):
шестью геометрическими уравнениями:
eife 2 ^dxu^dxiJ \k = l, 2, 3
шестью физическими уравнениями:
i = l, 2,
где
Х^ = X при i = k и Xife = 0 при ? Ф к

79] СВОЙСТВА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ, ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖ. 61
75. Показать, что в обозначениях, указанных в пре-
предыдущей задаче, поверхностные условия запишутся:
ftv = 2*ifc«rt (* = 1> 2, 3, /с = 1, 2, 3),
а условия неразрывности:
(i = l, 2, 3 соответственно к = 2, 3, 1),
д
dxk V 9жп ^ 9ж4 ^ 9жй У дхп дхь
(i = 1,2,3 соответственно к = 2, 3, 1, и = 3, 1, 2).
76. Показать, что для состояния покоя и в случае
отсутствия массовых сил объемное расширение есть гар-
гармоническая функция, т. е.
Указание. Продифференцировать первое уравнение B.03)
по х, второе по у и третье по г, а затем результаты сложить.
77. Доказать, что в условиях предыдущей задачи
компоненты упругого перемещения оказываются бигармо-
ническими функциями, т. е.
Указание. Выполнить операции V2 ( ) над каждым из урав-
уравнений Ляме.
78. Доказать, что компоненты напряженного состоя-
состояния являются бигармоническими функциями, т. е.
V*a =V*a = V*cj =V4t =V*t: =V4t =0
v x— у v 2 v %xy v %yz— v %zx — "•
Указание. Проделать бигармоническую операцию над обеими
частями формул обобщенного закона упругости B.01).
79. На основании какого допущения получен вывод
о том, что относительная объемная деформация в точке
равняется сумме относительных удлинений по трем орто-
ортогональным направлениям, проведенным через заданную
точку?

№ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ [80
При каких условиях можно утверждать, что при де-
деформациях сдвига объем в окрестности рассматриваемой
точки остается неизменным?
80. Показать, что квадрат касательного октаэдри-
ческого напряжения, второй инвариант девиатора напря-
напряжений, удельная энергия формоизменения пропорцио-
пропорциональны друг другу.
Показать также, что удельная энергия формоизмене-
формоизменения в окрестности данной точки может быть подсчита-
подсчитана как упругая работа интенсивности напряжения (а4)
на интенсивности деформации (е4).
81. Доказать, что если в окрестности данной точки
провести сферу малого радиуса и на поверхности такой
сферы подсчитать касательные напряжения, то среднее
квадратичное из них составит с точностью до множите-
множителя квадрат касательного октаэдрического напряжения
для данной точки (см. [51]), т.. е.
О а
2 *-* 2 ¦
О i
82*. Известно, что существует бесконечное множество
инвариантов тензора напряжений, т. е. величин, не ме-
меняющихся при преобразовании координат. Могут ли
быть приняты за инварианты следующие выражения
(в обозначениях задачи 74)*):
^2 = ^li + хаа + ^вв + 2tJ2 + ^\г + ^и,
Но ^ / \ Т|д ^aft ^ib \it ^J "* ^^ "^ t ^> "/ '
i, a, h
TT 'V1 * / • Q Л Q O\
4 i. a, p, т
Ответ. Да.
82е. Сколько основных, т. е. независимых, инвариан-
инвариантов имеет тензор напряжений? Доказать, что между
тремя основными инвариантами тензора напряжений
A.04) и инвариантами, указанными в_предыдущей задаче,
*) Читателя, интересующегося задачами 82—84, отсылаем
к интересной книге И. И. Гольденблата [23].

86) СВОЙСТВА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ, ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖ. 83
существуют соотношения
83*. Могут ли следующие выражения быть приняты
за инварианты тензора деформаций (в обозначениях за-
задачи 74):
h = *п + 4 + 4 + 2ef2 + 24 + 2e\v
Ja= 2 eaPePfeTe -(a, p, 7 = 1, 2, 3),
«• Pi t
Л = 2е«И(!т етге8в (a, P, 7, 8 = 1, 2, 3)?
Ответ. Да.
84*. Сколько независимых инвариантов имеет тензор
деформации? Доказать, что между тремя основными
инвариантами тензора деформации A.11) и инварианта-
инвариантами, указанными в предыдущей задаче, существуют соот-
соотношения
85. Показать, что среднее напряжение в точке, сред-
средняя деформация, первые инварианты тензора напряжений
и тензора деформации и объемная деформация в окрест-
окрестности той же точки пропорциональны друг другу.
86. Если из компонентов тензора напряжений, распо-
расположенных по главной диагонали, вычесть по acp, a
остальные компоненты (касательные напряжения) оста-
оставить без изменения, то взамен тензора напряжений, как
известно, получим девиатор напряжений (Dn). Аналогич-
Аналогично, если из компонентов тензора деформации, располо-
расположенных по главной диагонали (т. е. из относительных
удлинений), вычесть по scp, то получим так называемый
девиатор деформаций (О)

64 тйория упругости [87
Записать первый и второй инварианты девиатора на-
напряжений и девиатора деформаций. Показать, что ком-
компоненты одного и другого девиаторов оказываются про-
пропорциональными друг другу, т. е.
87. Составить общее выражение удельной упругой
энергии и, исходя из того факта, что энергия инвариант-
инвариантна к ортогональному преобразованию координатной си-
системы, установить вытекающие отсюда инварианты.
Ответ. о»+о»-|-о|
§ 2.3. Плоская задача теории "упругости
в декартовых координатах
88. Для тонкой пластинки (случай плоского напря-
напряженного состояния) известна следующая система дефор-
деформаций:
еж = Аху,
где А, В, С, D — постоянные.
Проверьте, отвечает ли заданная система деформаций
условиям сплошности тела в процессе деформаций.
Ответ. Отвечает.
89. По условиям предыдущей задачи составить выра-
выражения для напряжений и выяснить, какие дополнитель-
дополнительные условия при этом накладываются.

92] ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ 65
Ответ. Из дифференциальных уравнений равновесия следует
необходимость существования следующих соотношений:
При^отсутствии объемных сил условия задачи 88 нереальны.
90. Заданы три функции:
Укажите, какая из трех приведенных функций может
быть принята за функцию напряжений при решении
плоской задачи теории упругости?
Ответ. Первая (<pi) и третья (ср8), но при условии, что
.5=0.
9ja-s (Примеры для самостоятельных работ).
В указанных ниже случаях (таблица 1 на стр. 66) пред-
предполагается заданной тонкая прямоугольная пластинка
длиной /, высотой h и толщиной в единицу.
?^ Внешние силы, приложенные по кромкам пластинки
и равномерно распределенные по их толщине, создают
обобщенное плоское напряженное состояние пластинки.
Положительные направления осей указаны на фигу-
фигурах в таблице. Задаются различные начертания для функ-
функций напряжений [1, 2, 5]. Объемные силы отсутствуют.
Предлагается для одного из указанных случаев:
1) проверить возможность существования таких функ-
функций напряжений, используя B.08);
2) по функции напряжений найти выражения для ком-
компонентов напряжений на основании B.07);
3) используя контурные условия A.01), выяснить
характер внешних нагрузок, при которых будет иметь
место найденная система напряжений.
В таблице рядом с задаваемой функцией напряжений
изображен эскиз контурных условий, в правильности
которого читателю надлежит удостовериться.
92. Постоянной толщины пластинка произвольного
очертания по наружному контуру равномерно сжата
давлением р кг/см2 (рис. 30). Элемент в точке О закре-
закреплен от смещений и от поворота.
5 н. И. Безухо в

66
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
[92
Таблица 1
Вид функций
напряжений
Контурные условия
У»
3
(р-ах?
2a » M M М М > * ' '
О
XX
|| 1 i I i I i|i j I
G
31
<?=аху
а
(Г
Э1г
_i_l_i_L_!_U-fo;
М|)|
31
Ч „^гтттшттгптттТПТПТТШТП г
Ш1
1—X
аЛ_1 nil I t I ( iTTi
31
ah
-У Г
к
ср^ау1
I . ., |р—-

Щ ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ $?
Доказать, что для любой точки пластинки в данном
случае имеем:
и= — р-
4=i
E
Рис. 30. 9
*-^ (Примеры для самостоятельных упражнений).
Ниже (таблица 2) дается несколько решенных в теории
упругости задач (плоское напряженное состояние); выпи-
выписаны формулы для напряжений.
Для одного из указанных случаев предлагается:
а) проверить, удовлетворяют*ли написанные формулы
для напряжений уравнениям теории упругости;
б) проверить, точно ли удовлетворяются краевые
(поверхностные) условия;
в) сравнить характер распределения напряжений
по формулам теории упругости и по методу сопроти-
сопротивления материалов.
Примечание. Решение задач 93а~г прямым способом приведено
в любом учебнике по теории упругости (см., например, [1],
], [5], [7]). Подробное исследование задачи 93Д имеется в книге
. Н. Жемочкина [2].

Таблица 2
№
п/п
Схема
Выражения для напряжений
93s
& (-2*44.-0.
93е
йй
I
(Изгиб под действием собственного ве-
веса) if— удельный вес материала. Сумма
касательных сил по каждому торцу
равна половине собственного веса
пластинки

93] ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ
а,
н
«
н
И
1
РЗ
. с<1 со
<n |co <N |со
НИ *
+ I
о
5
л
Ни I
I
' Ч
а.
со.
%0
+
« а. ьо

Продолжение таблицы 2
№
п/п.
93Д
Схема
1 ¦
1
.. / _
г<1ТПТТТк "I лТТГПТгх
-—
Рассмотреть также случай
й
—
Выражения для напряжений
Г *
L ^i
1
+ ^-Fashay—a2ychay)]sinax,
<zy=—д -г- @3 ch aV- агу sh aw)— ^ ^^/J -f--
j~(^4 shay —a2y chay)] sin ax,
Г 1
*xy=— Я ^-(a2cshay—a!ychayL-
+-г- (aiC ch ay—a2y sh ay)] COS ax,
где обозначено:
ashac = fli, achac = a2,
ac ch ac — shac = 61(
ac sh ac — Ch ac = 62,
ac ch ae-{-sh ac = b3,
ac sh ac-\-chac = bit
sh 2ac -{- 2ac = di,
sl^ac — 2ac = d2

95] ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ 71
94. Формулы для напряжений в теле плотины, при-
приведенные в задаче ЭЗ1", удовлетворяют дифференциальным
уравнениям равновесия и условию неразрывности дефор-
деформации. Удовлетворяются и контурные условия по боковым
граням. Можно ли указанные формулы распространить
и на область смыкания треугольного профиля плотины
с ее фундаментом?
Ответ. Можно в том случае, если по подошве плотины дей-
действуют усилия, распределенные таким же образом, как напря-
напряжения зж и zxy в указанном решении. В действительности подошва
плотины связана с массивным фундаментом и в этой области
условия отличаются от тех, которые выражаются написанными
уравнениями. Однако на основании принципа Сен-Венана можно
утверждать, что влиянием особенностей закрепления по подошве
на достаточных расстояниях от подошвы можно пренебречь.
95*. Прямоугольного поперечного сечения балка-стенка
(случай, когда высота балки одного порядка с пролетом
м»пт* nu
Рис. 31.
балки) имеет бесконечное число пролетов и подвергается
на всем протяжении равномерно-распределенной на-
нагрузке q кг/см. Пролеты по 21, высота балки —h,
ширина (толщина) балки равна единице (рис. 31).

72
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
[95
Б. Н. Жемочкиным [2] получено следующее решение
этой задачи:
ях = — 1q 2 e-"V A - ay) cos аж,
n—i
ву=—2q 2 e-^l-fayjcosaa; — g>
7l=sOG
тж = — 2g 2 e~ai/ (a • У) «in a#.
где
ran
а—г.
Предлагается проверить, удовлетворяют ли формулы
для напряжений уравнениям теории упругости и краевым
условиям.
щпнтгпттщщш-'
qtp и Од для частного случая h~2l
Рис. 32.
Построить эпюру напряжений ах в поперечном сече-
сечении над опорой и посередине между опорами, а также
эпюру ау для горизонтального сечения на высоте у «»-г-
h
и у-т.
Вычисление сделать для случая, когда й = 2/.

98] ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ 73
Примечание. Ряды сходятся очень быстро, за исключением
рядов для определения напряжений в точках, расположенных
вблизи нижнего края балки-стенки (при малых у).
Ответ. На рис. 32 приведены эпюры ях и аи.
96. Если для функции напряжений <?(ху) принять
начертание <р = / (у) sin ах, где / (у) — функция одной
только координаты у, а а = -т- (я и / — любые целые
числа), то какому условию должна удовлетворять
Ответ*). Подстановка в B.08) приводит к дифференциаль-
дифференциальному уравнению
общий интеграл которого
/ (У) = ci ch ay-fс2 sh а у -f сяу ch ay -f cty sh ay.
97. Если представить общее решение плоской задачи
в виде
га=оо га=оо
? = S /п (у) sin ax+ S К (у) cos ax>
то какой вид должны иметь функции от у, т. е. fn(y)
и фп(у), и, следовательно, общее выражение для функ-
функции напряжений?
Ответ **).
yJsin
2 Г , пп
cish у
ra=ee
ж-i Г , га" , , пп' . , rare . , гая rare
-f 2] I cjsh-j-y+cech-j-y4-c,ysh-py-t-c8ych-jyj cos ji.
98*. Прямоугольная пластинка (рис. 33) высотой 26
и длиной I нагружена по обеим продольным кромкам
касательными напряжениями q(x). Нагрузка q(x) сим-
симметрична относительно оси х. Найти общие выражения
для напряжений при общем случае нагрузки q (x) **).
*) См. [5], гл. X.
**) Подробное решение этой эадачи приведено П. Ф. Папко-
вичем [5], гл. X.

74 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ [99
Указание. Представляем нагрузку в виде ряда д(х) =
= 2j Tfncosaa;, где а= -=-, и используем формулы из задачи 97.
Ответ.
2B chafe — afe sh afe) chay-)-ay shay chafe .
2
a&sha&chay—chafe ay shay .
~a
2
oo
(chafe—afe sh afe) shay 4- ay chafe chay
' —- COS ax.
^V~ZJ *in sin2afe+2afe
n—i
Примечание. При нахождении постоянных интегрирования
в данной и подобных задачах во внимание принимают только услс-
I
Рис. 33.
вия на длинных краях пластинок. Вследствие этого на коротких
краях удовлетворяются лишь условия, характеризующие отсут-
отсутствие нормальных напряжений.
§ 2.4. Плоская задача теории упругости
«А в полярных координатах
99. Для плоского кольца (рис. 34) известны следу-
следующие выражения для напряжений:
Возможна ли такая система напряжений с точки
зрения условий равновесия и сплошности, а если воз-

101] ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 75
можна, то выясните, какому нагружению кольца она
соответствует?
Ответ. Равномерное радиальное давление по внутреннему
контуру с интенсивностью р.
У 100. Для кольца из предыдущей задачи заданы напря-
напряжения
Проверить возможность существования такой системы
напряжений и выяснить контурные условия.
Рис. 34.
Ответ. Нагружение кольца равномерно-распределенными
касательвыми контурными усилиями интенсивностью
А 1
9ь = 2~ р- на наружном контуре
и
А 1
Яа=2—2" на внутреннем контуре,
А — скручивающий момент.
101л Для полукольца (рис. 35) известна система
напряжений
ог= sin б, oe = — sin б, тгВ = — cos-0.
Возможна ли такая система напряжений и каким кон-
контурным условиям она отвечает?
Ответ. Симметричное относительно оси Оу нагружение
радиальными и касательными усилиями. Радиальные возрастают
от левого и правого края к оси симметрии, а касательные,

76 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ [102
наоборот, убывают и меняют знак на оси симметрии; по торцаи
полукольца действуют касательные напряжения *).
102» Кольцо из задачи 99 имеет систему напряжений
^i6 0
Выяснить контурные условия.
Ответ. Радиальное обжатие изнутри и снаружи, изменя-
изменяющееся от нуля F=0) до наибольшего значения на оси симме-
симметрии и равное д на внешнем контуре и д на внутреннем.
1ОЗа-Д (Примеры для самостоятельных упражнений).
Для одного из указанных ниже (таблица 3) приме-
примеров плоского напряженного состояния при известных
выражениях для напряжений, выписанных в полярных
координатах, выполнить следующее:
а) проверить, удовлетворяют ли написанные формулы
уравнениям теории упругости (применить полярные
координаты) **);
б) проверить, точно ли удовлетворяются граничные
условия;
в) вычислить недостающие коэффициенты;
г) сравнить эпюры распределения напряжений по дан-
данному решению,с теми формулами, которые известны для
подобных примеров из курса сопротивления материалов.
104. На основании формул к задаче 103" написать
выражения для напряжений в полубесконечной пластин-
пластинке (рис. 36).
105***). Заданы функции
y1 = ArQ cosQ, <p2 = ^4r6sin6, срз = Л8 + 5 sin 26.
Выяснить, могут ли они быть приняты за функции на-
напряжений при решении плоской задачи теории упругости.
Ответ. Да.
*) Решения задач 101 —102 имеют некоторые особенности,
с которыми читателю рекомендуется ознакомиться по книге
П. Ф. Папковича [5], стр. 490 — 492.
**) Прямое решение тех же задач см., например, [5], гл.
XI [7].
***) Си. гл. XI [5].

Таблица 3 ft-
№
п/п.
Схема
Выражения для напряжений
ЮЗ»
Or= COS В, Oe = Tr9=:0.
Коэффициент к определить из условия равновесия,
проектируя на вертикальную ось силы с цилиндри-
цилиндрического разреза тп; он окажется равным
1
г,
а =¦ sin 2а
1036
ог= —
2М sin 2В
ra (sin 2а — 2а cos 2а) '
_ М (cos 26 — cos 2а)
~ Т2 (sin 2а — 2а COS 2а)
9=0,

Продолжение таблицы 3
№
п/п.
Схема
Выражения для напряжениЁ
103"
где fc = tga— a
P f аа + &а -*-аЧ2\
O-=-T-( r ! —5- I
r к \ r r3 J
P /„ ва4-6а*,ааЬа
103г
Sin 6,
j- )COS6.
r3 J
j( Г
к V. r J
Коэффициент к определить из условия равновесия
между внешней силой и внутренними силами по-
ъ
перечного сечения в виде J Tr9d/>=Jocos в, он ока
жется равным
= аа— Ьа-|А(аа-)-Ьа) In —

103] ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 79
PI
S
РЗ
«¦З
+
8
о
о
¦§ а
+
8
со
Ъ
+
л
d
•а
к
ш
и
О
н
СО
о

*ЙОРЙЯ УПРУГОСТИ
[106
106 *). Если при решении плоской задачи в полярных
координатах для функции напряжений принять такое
начертание
? = /(/•) sin 6,
где /(г) —функция только радиуса г, то какое тогда" воз-
возможно начертание для /(г)?
I!
Рис. 36
Ответ,
Рис. 37.
107*. Исследовать напряженное состояние круглого
диска, сжатого двумя сосредоточенными силами Р
(рис. 37). Вывести формулу и построить эпюру нормаль-
нормальных напряжений <зх в горизонтальном диаметральном
сечении. Задачу решить наложением трех напряженных
состояний /, //, /// (рис. 38).
Ответ (сравнить с задачей 103д).
2Р ( id*
Примечание. Полученное выражение для ях полностью отве-
отвечает более сложному, но непосредственному и точному решению
*) См. гл. XI [5].

108] ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
81
рассматриваемой аадачи без привлечения способа иаложеявя раз-
различных напряженных состояний; указанный способ иногда, если
не соблюдены условия однозначности перемещений, может
оказаться неправильным.
e (ДрИМерЫ для самостоятельных упражнений).
В приводимых ниже задачах (таблица 4) 108 —108
предполагается обобщенное плоское напряженное состоя-
Бесконечная плоскость
i равномерно-растянутая
1 в дух направлениях
(ji Полуплоскость с верхним горизонталь-
• ным краем под действием силы Р
Рис. 38.
ние, а в задачах 108г—108е—плоская деформация. За-
Задаются различные начертания для функций напряжений*).
Для одной из указанвых задач предлагается:
а) проверить возможность существования таких
функций;
б) по функциям напряжений найти выражения для
компонентов напряжений;
•) См. [1], [2], [5], [7], [75].
6 н. И. Беаухов

Таблица 4
п/п.
Схема
Выражения для функции напряжений
108а
Дана фувкция напряжений
f
и контурные условия, показанные на эскизе (случай
обратно-симметричного нагружения полукруглой
пластинки),
1086
Составить выражения для напряжений в точке М
при загрузке полубесконечной пластинки равномерно-
распределенной нагрузкой на длине АВ, используя
решения предыдущею случая A08а).
Для этой цели заданную нагрузку следует пред-
представить разложенной на два частных загружения,
показанных на а) и 6)

Продолжение таблицы,4 g
п/п.
108в
Схема
Выражения для функции напряжений
Дана функцин напряжений
<р = (^Ai*+C ~+ /Л cos28.
Пролерить возможность ее существовавия, написать
выражения для компонентов напряжений и опреде-
определить постоянные из заданных поверхвостных условий.
Отношение -г- считать стремящимся к нулю.
Ответ. А=—— > С= — , D = a%k.

Продолжение таблицы 4
№
п/п.
Схема
Выражения для функции напряжений
108г
По круговому вырезу в бесконечном теле действует
нагрузка, симметричная относительно оси Оу и равно-
равномерно-распределенная вдоль оси Oz. Закон нагрузки
9=
2
л=2
Проверить, можно ли для функции напряжений при-
принять следующее выражение:
— cos B +
71=2
[an-V-"+a6ncosne+anr-"dncos_n6]| a3,
где 60> blt di, bn, dn—произвольные постоянные,
подлежащие определению из граничных условий:
_ 9»
"~ 2(+

Продолжение таблицы 4 3
№
п/п.
108*
Схема
Выражения для функции напряжений
Частный случай предыдущего примера—равномер-
примера—равномерная нагрузка интенсивностью п на секторе с углом 2р.
Эту нагрузку можно представить рядом
Л=°о
?'= 2 впсоэлв,
где
+(*
9п=— \ 9 cos лв dQ=—— этлр @ < л < оо).
ТС J ТЕЛ
Проверить, возможны ли для напряжений следующие
выражения:
а2 а Г3-2(х , A-2[л)/аЗ\-|
п=2

Продолжение таблицы 4 Sg
№
п/п.
108»
108е
Схема
Схема та же
Выражения длн функции напряжений
а2 . 1 — 2(х а / . , а2 Л „ ,
°в-^г2+4A_!.)г91С1+г2 JCOS8+
П=оо
+ 2 {9f?[(«-2)-^]cosn8}.
л=2
1—2[х а /, а2 Л . .
Ml-V-^l-^1 г 'ч* r2Jsin8
n=2
Показать, что формулы для напряжений, приведен-
приведенные в примере 108д, оказываются справедливыми
и для общего случая, изображенного в иримере 10Ьг
(при подстановке в эти формулы на место ?о> 9i> Qn
своих значений, отвечающих общему случаю неравно-
неравномерного загружения, но симметричного относитель-
относительно оси Оу)

Ш] ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ И ПОЛЯРНО-СИММЕТР. ДЕФОРМАЦИИ 87
в) используя граничные условия, выяснить характер
распределения внешних нагрузок, при которых будет
определяться найденная система напряжений;
г) проверить, соответствуют ли найденные расчетом
контурные условия тому характеру распределений внеш-
внешних воздействий, эскиз которых показан в таблице 4.
§ 2.5. Осесимметричные и полярно-симметричные
/деформации
109*). Известна функция напряжений
где «
y и ft(r) =
Найти выражения для компонентов напряжений
и выяснить контурные условия, если объектом считать
кольцо с внутренним радиусом а и наружным Ь.
Рассмотреть поочередно частные случаи, когда все
постоянные, за исключением одного, равняются нулю.
Ответ.
(^—~^в\п%-Ц^ sine,
» НО. Показать, что функция
<р = Сх + Сг In г + Csr* + <V2 In г
Может быть принята за функцию напряжений и что
такой функции соответствует во всех точках тела ра-
равенство нулю касательных напряжений.
111. Доказать существование функции напряжений
^ <р = (С1 siu б + С2 cos 0 + С3 б sin б + С4 б cos б) г
*) При решении задач 109 — 112 полезно использовать [5],
гл. XI.

88 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ [112
и найти выражения для напряжений.
2
Ответ. ов=тгв = 0, ог=—(С3 cos в—C^sinfl).
112*. Показать, что выражения
?i = (ci + C2 In r + Csr2 + Ctr2 In r) б,
1 cos б
(функция Мичел-
ла) могут быть приняты за функции напряжений.
113*. Сплошной вал должен быть запрессован волтулку
с натягом Д. Вследствие неточности изготовления наруж-
наружная поверхность вала имеет овальность и контур попе-
поперечного сечения описывается функцией
где гс—средний радиус, к — амплитуда искажения кон-
контура по отношению к окружности среднего радиуса,
б —полярный угол (натяг следует считать «срединным»).
Найти выражения для напряжений*), полагая заданными
следующие значения:
a = — — отношение наружного радиуса втулки к внутрен-
внутреннему,
д —натяг (срединный),
d — диаметр посадки,
к
5 = -д—отношение овальности к натягу.
Указание. Для функции напряжений рекомендуется принять
начертание (см. задачу 112*)
<р = Dг*-|-йг-»+Сг*+/>) cos 2Q;
тогда
ов = 2 (А + Wr~*+6Cr2) cos 28,
tr8 = 2 (А — ЗВт--« + ЗСг2 —X»;-2) sin 26,
*) См. [44].

117] ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ И ПОЛЯРНО-СИММЕТР. ДЕФОРМАЦИИ 89
где А, В, С, D (разные для каждой детали сопряжения) опре-
определяются из граничных условий.
Ответ.
]•
i cos 29 ,
где G—модуль сдвига.
114* (Продолжение задачи ИЗ).
Выяснить, на сколько процентов увеличиваются наи-
наибольшее радиальное и тангенциальные напряжения против
случая, когда нет овальности (в таком случае напряже-
напряжения подсчитывались бы по обычным формулам Лямё),
если d1 = 50 мм, срединный натяг посадки Д = 0,06 мм,
допуск вала (амплитуда искажения контура) к = 0,05 мм.
Ответ. Наибольшее радиальное напряжение по отношению
к радиальному напряжению по Ляме составляет 111,5%, то же
для тангенциального напряжения —140%.
115. Показать, что если сила, приложенная к вершине
клина, проходит внутри средней заштрихованной части
клина, то по всему клину возникают радиальные на-
напряжения одного знака, если же она проходит вне сред-
средней трети (рис. 39), то напряжения будут разных знаков
(сходно с правилом «средней трети» при внецентренном
сжатии прямоугольного бруса).
116. Записать общее выражение для функции напря-
напряжений в случае плоского осесимметричного напряжен-
напряженного состояния и привести окончательные формулы для
компонентов напряжений (сравнить с задачей 110).
Ответ.
117. Стальной цилиндр, внешний диаметр которого
35,2 см и толщина стенок 5 см, подвергнут внутреннему
давлению 2440 атм. Определить величину наибольших

90
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
[117
растягивающих, сжимающих и касательных напряжений.
Построить эпюры at, ar и tmax. Цилиндр предполагать
без доньев, т. е. осевые напряжения в цилиндре —отсут-
—отсутствующими.
, Рис. 39.
Указание. Известные формулы Ляме
для случая одного внутреннего давления принимают вид
где

119] ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ И ПОЛЯРНО-СИММЕТР. ДЕФОРМАЦИИ 91
На рис. 40 изображены эпюры о, и ог. Для наиболь-
наибольшего касательного напряжения имеем:
_ at — ~r
гтах л '
118. Для стального цилиндра предыдущей задачи
вычислить предел упругого сопротивления, т. е. наиболь-
наибольшее давление газов внутри цилиндра, при котором
Рис. 40.
наступает предельное упругое состояние цилиндра. Пре-
дел упругости металла задан оупр = 60 кг/'мм2. Вычисление
произвести по различным теориям прочности и сопоставить
результаты.
Ответ. По первой теории
Ра — 1
по второй теории
/'у
по третьей теории
ga j
— Зупр -р- =
— Зупр -сур- = 24,4 кг/мм*.
по варианту четвертой теории (теория Губера—Мизеса)
'5a-i\=28>2 кг/мм*.
119. Стальной цилиндр задачи 117 подвергается
наружному давлению р = 2000 атм.

92 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ [120
Построить эпюру распределения тангенциальных
и нормальных напряжений и вычислить, насколько изме-
изменится по абсолютной величине наибольшее тангенциаль-
тангенциальное напряжение против результатов задачи 117 вследствие
того, что сейчас принято меньшее давление (на 18 %).
Ответ. Увеличится на ~ 11%,
202
max at = — р м-—? = 4950 кг/см2.
120. Для стального цилиндра предыдущей задачи,
подвергающегося только наружному давлению, устано-
установить по третьей теории прочности предел упругого
сопротивления, т. е. величину наибольшего наружного
давления, при котором внутри цилиндра наступит
предельное упругое состояние.
Ответ.
121. Стальной цилиндр с внутренним радиусом а
и наружным b без доньев подвергается снаружи и изнутри
одинаковым давлениям р, т. е. ра = рь = р. Построить
эпюры о, и аг.
Установить выражение для предела упругого сопро-
сопротивления по третьей теории прочности (теории наиболь-
наибольших касательных напряжений).
Ответ. По всей толщине стенок напряжения csj и аг одина-
одинаковые, сжимающие и равны р. Наибольшее значение внешнего
и внутреннего давления, при котором наступает предельное упру-
упругое состояние, ра=/>ь = зупр.
122. В отличие от условий предыдущей задачи
предположить трубу с доньями, причем полагать, что
на днище газы оказывают давление только изнутри,
снаружи трубы давления на днище нет.
Указание. Осевое растягивающее напряжение в трубе
а - Р
г~Рг-1 *

125} ОСЕСИММВТРЙЧНЫЕ И ПОЛЯРНО-СИММВТР. ДЕФОРМАЦИИ 93
123. Вычислить пределы упругого сопротивления
(ра = ?) цилиндрической трубы по второй и четвертой
теориям прочности (теории энергии формоизменения),
вводя в учет нормальные напряжения: радиальное,
тангенциальное и осевое на внутренней поверхности
трубы. Положить, что труба подвергнута лишь внутрен-
внутреннему осесимметричному постоянному давлению ра и что
предел упругости оупр и размеры трубы (радиусы внеш-
внешний Ь и внутренний а) известны.
Ответ. р^ =
1>3q»_0|4
V _
Ра ~°
124. Показать, что в цилиндрической трубе, подверг-
подвергнутой внутреннему постоянному по оси трубы радиаль-
радиальному давлению ра, при (х = 0,5 осевая деформация sz
отсутствует, а при р. < 0,5 не зависит от координаты г
(постоянна в сечении и по длине трубы). Найти объем-
объемную деформацию.
Ответ.
г~ Е
где
„ Ра
125. Ha вал, диаметр которого d=10 см, в горячем
состоянии надета рубашка, внутренний диаметр которой
до нагревания был на 0,001 меньше диаметра вала.
Толщина рубашки 10 см. Вал и рубашка — стальные.
Найти наибольшие напряжения в рубашке.
Решение. После остывания рубашка надавит на вал. Вал
окажется сжатым, а рубашка растянутой. Сжатие вала и растя-
растяжение рубашки в сумме должны дать излишек радиуса вала
до сборки, т. е. 0,001 — . Радиальные перемещения поверхности
соприкасания должны вычисляться по формуле радиальных

D4 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ |*26
перемещений
Е 6а — а2 "т" ?¦ '(б2 — а2) г '
В указанной формуле для вала следует положить: а —О,
*—"о"' Ра—^> а Для рубашки: />ь=0, а~~2 и ^"«г+Юси*; вмест0;"
следует подставить в обоих случаях г^ у + oTjnn ' чт0 ^ез ^оль"
d-
шои погрешности можво считать равным — .
Сумма абсолютных величин щ и «а (для вала и рубашки)
должна раввяться избытку радиуса вала, т. е. + "
таким образом,
1 — |х pd . 1 pd3 . 1 -f- tx. pd _ d
E T^"EW(I+Wy~E 2~~2000 '
откуда давление рубашки на вал р = 890 кг/см*. Соответственно
этому радиальному давлению имеем по формуле Ляме тангенци-
тангенциальное напряжение в; = 1100 кг/см*, а наибольшее касательное
напряжение тшах=1/2(ИОО-(-890) = 995кг/см2.
126. На медный цилиндр с внешним диаметром 40 см
и толщиной стенок 10 см плотно надет стальной цилиндр
с внутренним диаметром 40 см и внешним 60 см. Мед-
Медный цилиндр подвергается внутреннему давлению р =
= 800 атм. Найти давление, передаваемое с медного
цилиндра на стальной, и наибольшие напряжения в мед-
медном и стальном цилиндрах. Вычислить запас прочности
в стальном цилиндре по теории наибольших касатель-
касательных напряжений, если предел упругости стали супр =
= 20 кг/см2.
Модуль упругости: меди Ек = 1 • 106 кг/см2, стали
i?CT = 2-106 кг/см2. Коэффициент Пуассона для обоих
материалов fi = 0,25.
Ответ. Приравнивание радиальной деформации стального
цилиндра при давлении на него медного q атм радиальной
деформации медного цилиндра, подверженного наружному давле-
давлению q и внутреннему р, н итоге определяет q = 3l5 атм.
Наибольшие напряжения в медном цилиндре зг = —800 кг/ем*,
Oj=493 кг/см* и в стальном зг=—315 кг/см2, сг^ = 819 кг/см2.
Приведенное напряжение по третьей теории прочности в сталь-
стальном цилиндре 819+315 = 1134 кг/см2; запас ft =1,76.

127] ОСВСИММЕТРИЧНЫЕ И ПОЛЯРНО-СИММЕТР. ДЕФОРМАЦИИ 95
127. Определить напряжения в стенках составного
стального цилиндра (рис. 41), если внутреннее давле-
давление ра — 2Ю0 кг/см2, а =10 см, Ь = 15 см, с = 20 см
и разность радиусов до насаживания о = 0,127 мм.
3500 S
2680
2774
uoo
то
Рис. 41.
Решение. Находим начальные напряжения в цилиндре
от насаживания. Рассуждениями, как и в задаче 125, определим
взаимное давление внутреннего цилиндра на наружный по поверх-
поверхности их касания, которое будет:
*—а2)(с2 — &2)_
9 =
262(c2 —a2) ""
_ 2,1 • 10" -0,0127 -A52 — 102) -B02— 152)
~~ 15-2-152B02—102)
= 288 кг/см*.
Напряжения от этого давления в тангенциальном направлении
во внутреннем цилиндре найдутся по формулам Ляме для наруж-
наружного давления при г = 10 см:
2р&2 2-288-152 *
3'=-6зИ^=-l5s_10s = -1040 кг1см*-
Тангенциальные напряжения в наружном цилиндре найдутся
по тем же формулам для внутреннего давления:
при г =15 см
р (&2 + с2) 288-625
= С2_Ь2 =—175~= 03° кг/см;
при г = 20 см
_ 2p&2 _2-288-225_
175
= 740 кг/см*.

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
[128
Р tZ
Диаграмма иамвмния начальных жапряжеиий о( жо тол-
толщине стенки изображена на рис. 41,6 пунктирными линиями тп
и mini.
Напряжения, возникающие от внутреннего давления газов
в обоих цилиндрах, ваидутся по обычвой формуле Ляме для слу-
случая одного ввутренвего дав-
' ления для цельной трубы
с ввутревним радиусом а
и варужвым с. Диаграмма
этих ваиряжений указава
на рис. 41,6 пунктирвой
линией SS. Накладывая
эту эпюру ва указавную
ранее, получим диаграмму
вапряжевий в составной
трубе, представленвую на
рис. 41,6 заштрихованной
площадью.
Сопоставлевие эпюр
для случая цельвой трубы
и составвой, но без ватяга
со случаем составвой тру-
трубы с ватягом показывает
снижевие (~ 12%) ваи-
большего тангевциальвого
напряжевия (с 3500 до 2460
кг/см2).
128. Вертикально
установленная цилин-
цилиндрическая оболочка
(с днищем внизу) имеет
заполнение внутренней
полости упругим телом
с характеристиками, от-
отличными от характери-
характеристик (модуль упругости,
коэффициент Пуассона и т. д.) металла оболочки. Обо-
Оболочке сообщается вертикальное ускорение в результате
внезапного приложения давления газов р, как это пока-
показано на рис. 42.
Установить расчетные формулы для бокового давления
заполнителя на внутренние стенки оболочки в зоне, доста-
достаточно удаленной от днища. Трение между заполнителем
и оболочкой исключить.
Рис. 4Г;

129] ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ И ПОЛЯРНО-СИММЕТР. ДЕФОРМАЦИИ 97
Решение. Обозначая через ог осевое напряжение (рис. 42)
в стенках цилиндрической оболочки в определенном сечении
от сил инерции вследствие линейного ускорения, з'г осевое
напряжение в заполиителе по тому же сечению (давление на слой,
нормальный к оси цилиндрической оболочки, от сил инерции за-
заполнителя, расположениого выше рассматриваемого сечения), через
3( и а(—соответственно тангенциальные напряжения в цилиндри-
цилиндрической оболочке и заполнителе и через д— боковое давление
заполнителя, тангенциальные деформации на внутренней поверх-
поверхности цилиндрической оболочки и на наружной поверхности
заполнителя запишем (приближенно представив циливдрическую
оболочку в виде колец, наложенных друг на друга и не препят-
препятствующих друг другу перемещаться в радиальном направлении):
Е, Ею |х и |хн — модуль упругости и коэффициент Пуассона мете
цилиндрической оболочки и заполнителя. Согласно формулам Л
очевидно,
металла
[яме,
где отношение паружног о и чпутреинего диаметров оболочки
Приравнивание указанных выше тангенциальных деформаций
определяет давление заполнителя
Е р
129. В условиях предыдущей задачи вычислить боко-
боковое давление заполнителя на стенки цилиндрической
оболочки,^ для которой dH=10,5 cm, dBH = 8,90 см, вес
части оболочки, лежащей выше данного сечения, <им =
= 1,987 кг, соответствующий тому же сечению вес запол-
заполнителя о)н = 0,65 кг, физические характеристики заполни-
заполнителя: 2?н = 0,13-10в кг/см2, (iH = 0,2, ун=1,5; расчетное
давление газов р — 980 атм.
Указание. Осевые напряжения в цилиндрической оболочке
и в заполнителе подсчитываются по формулам
/ j шя
_ j_
g
7 н. И. Безухов

98 '¦ - ¦ Теория уйругостй т
где линейное ускорение
p:-uPg
4G " ¦.'.:;
G = &,040 кг — полный вес цилиндрической оболочки с заполните-
заполнителем, ¦' . ¦ ¦ :
Ответ. 9 = 383,1 кг/см2. Если пренебречь деформацией ци-
цилиндрической оболочки, то давление составит
—Н-н
- +102 ^|= 25,5
т. е. приближенный расчет дал бы значительно заниженное зна-
значение давления.
130. Снаряд на полете имеет вращательное движение.
Вычислить возникающее вследствие указанного вращения
напряжение в корпусе снаряда, считая форму последнего
упрощенно в виде цилиндра. Давлением снаряжения
на стенки корпуса в порядке первого приближения пре-
пренебречь. Данные снаряда: а = 2,21 см, 6 = 3,81 см, Е =
= 2-10е кг/см2, [i=0,3, у = 7,85 т/м3, угловая скорость
вращательного движения 6 = 680 сек'1. :-.
Указание. В отличие от обычного для задачи Ляме уравнение
статики дополняется силами инерции и будет иметь вид
Геометрические и физические уравнении остаются без изменения;
поверхностными условиями будут (зг)г=о = (аг)г=() = 0.
В результате решения уравнений получим:
• Исследование показывает, что наибольшее тангенциальное
напряжение будет на внутреннем контуре.
Ответ, max з* га 49 кг/смг, что представляет сравнительно
малую величину от остальных напряжений, которые испытывает
снаряд (силы инерции от линейного ускорения).
' 131 *). Проверить, могут ли функциями напряжений
при осесимметричной деформации тела служить сле-
*) Рекомендуется пользоватьея гл. XI [5].

ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕЙИОЛЯРНО-еНММЕТР. ДЕФоРМАЦИШ99
дующие: и-ащщ г-оуя ч
Ответ. Могут, но при условии ... , : ,:1 >г, ir i;,;;r.-rj
и=-1/2г 1,1/2,
m=—-3/2, —1/2, 1, - -. ._
132*). Проверить,, что функциями напряжений при
осесимметричной деформации тепа могут быть также
следующие: /
".';"¦ 'У" '? = с('зг"-2z2)z2;' -^.,'
9 = с (/-2 — 4z2) r2.
133. В случае полярно-симметричной деформации
сферического сосуда .'постоянной толщины главные де-
деформации определяются формулами
''''л « •'¦ . da
а условие равновесия . - "
~:: ¦¦¦¦¦¦.,::.,-4. ?.
Составить условие неразрывности деформаций и пре-
преобразовать дифференциальное уравнение к более простому
виду — с одним неизвестным.
Ответ. Условие неразрывности: ¦
или
Дифференциальное уравнение преобразуется в
•*) Рекомендуется пользоваться гл. XI [5].

Ю0 теория упругости
и имеет решение
1134
134. Для сферического сосуда с толстыми стенками,
подвергающегося внутреннему давлению ра, построить
3,18кГ/мм2
15,30
1SJO
3J8.
15.30
15,30
Рис. 43.
график изменения по толщине стенок главных нанряжений.
Данные: внутренний радиус сферы а = 7,6 см, наруж-
наружный Ь = 17,6 см, давление /? = 2440 кг/см2.

138] ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ И ПОЛЯРНО-СИММЕТР. ДЕФОРМАЦИИ 101
Ответ. Формулы для напряжений при одновременном наличии,
внутреннего (ра) и внешнего (ръ) давлений имеют вид
__paas — РьЬ3 . 1 (Ра— Ръ)а3Ь3
°1~ &з_аз +2 (b3 —а3) г3 '
(ра — Р
r b* — a3 (b3 — as)r3 '
На рис. 43 показаны эпюры; читателю рекомендуется их сопо-
сопоставить с построенными на рис. 40.
135. Для полой сферы предыдущей задачи определить
предел упругого сопротивления при наличии одного
только внутреннего давления. В качестве расчетной
теории прочности принять третью оупр = 60 кг/мм2.
Ответ.
__ 2(^3 — 1)
Рупр ¦— Зупр ооз
(на ~ 50% больше, чем для цилиндрической трубы с теми же
радиусами).
136. Для полой сферы предыдущей задачи определить
предел упругого сопротивления при наличии одного толь-
только наружного давления и построить при этом давлении
эпюру распределения напряжений по толщине стенок.
Ответ.
_ 2 (р3— 1)
Рупр — Зупр ¦ зз5 •
137. Построить эпюры распределения напряжений
по толщине стенок полой сферы при одновременном
наличии равных по величине внешнего и внутреннего
давлений. Определить по третьей теории прочности тео-
теоретический предел упругого сопротивления (т. е. абсо-
абсолютную величину давления газов снаружи или изнутри)
в этом случае воздействия.
Ответ.
Рупр = °о.
138*). Предлагается убедиться, что любое из ниже-
нижеприводимых выражений может быть принято за функцию
•) См. [2], И 39-42.

102" :v.\ ¦: <•,•.-:>;-... ^йория упругости- i; '
ШЩйМевШ при оеёсимметричной деформации тела вра-
вращения: ¦¦¦¦.-¦¦¦¦ t
9 = 0? In r, где « = 0, 1, 2, 3,
9 = Cz*V где и= 1, 2, 3,
139*). Предполагая, что тело вращения представляет
собой полый круговой цилиндр длиной /, внутренним
радиусом а, наружным Ь, и приняв для такого цилиндра
одну из функций напряжений, приведенных в предыду-
предыдущей !задаче, выяснить контурные условия. ^ ¦
140**). В упругом полупространстве вырезан беско-
бесконечной, глубины колодец, ось которого нормальна к гра-
щяной Плоскости полупространства. Радиус колодца а.
ш.ч3.а,даде ,, следующая функция напряжений в таком
«ослабленном)» полуцространстве:
? = Cxz In r + С2 (г» + z*f + C3z In
где
»•;,,,;;'-.¦.'¦ *n 2A. ^ . , ¦
(. Выяснить граничные условия, т. е. характер внешних
сил. по поверхности колодца и по граничной плоскости
полупространства.
Ответ. Граничная плоскость полупространства свободна от
нагрузок. Имеются радиальные и касательные напряжения яа ци-
цилиндрической поверхности колодца (рис. 44)
_ — Сх Г 1 — 2[jt.
Г 1 — 2[jt. 3za2 1. __ ЗС] 2%
L "Щ+гУ ^5 J' (Tr2;r=a~ 1-2A ;«. .'.
*) См. [2J, §§ 39-42.
**) См. [73], § 87; [2], § 42.

1421 ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ И ПОЛЯРНО-СИММЕТР. ДЕФОРМАЦИИ 103
Радиальные поверхностные силы имеют наибольшие значения
у граничной плоскости (при z = 0), уменьшаются с глубиной и при
г = оо обращаются в нуль. Касательные поверхностные силы имеют
нулевое значение при г=0и при z = oo, а наибольших значений
достигают при г=а I/ -^-
Рис. 44.
141*. В предыдущей задаче подсчитать равнодейству-
равнодействующую касательных сил со всей бесконечной поверхности
колодца.
; Ответ. Р = СХ-—— .
142*. Если для функции напряжений при осесиммет-
ричной деформации тела вращения принять начертание
<р = / {f) [sin az + cos az],
то какому условию должна удовлетворять -f{r)t
Ответ. Подставляя заданные начертания в бигармоническое
уравнение для функции напряжений, получаем линейное дифферен-

104 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ [143
циальное уравнение четвертого порядка
-B -7-
=0.
Применяя метод интегрирования линейных дифференциальных
уравнений при помощи бесконечных степенных рядов, получаем
интеграл последнего дифференциального уравнения в виде *)
/ (r) = AJ0 (ar) + ВКВ (ar) + CarJx (w)^D<xrKx (ar),
где А, В, C,*D — произвольные постоянные;
J0(ar), Ji(ar) — функции Бесселя первого рода нулевого и пер-
первого порядка от мнимого аргумента;
К о (or), Ki(ar) — функции Бесселя второго рода нулевого и пер-
первого порядка также от мнимого аргумента, т. е.
J1 \аг) — 2 "г 224 "*" 22426 ' ''''
Переходя от фиксированного к текущему значению параметра а,
получим функцию напряжений в виде бесконечного интеграла
(a) arKx (ar)] [sin za-|-cos za] da,
где коэффициенты Л, Л, С, D становятся функциями от а и должны
определяться из граничных условий.
§ 2.6. Упругое полупространство. Контактные задачи
143. На дневной поверхности упругого полупростран-
полупространства находятся два одинаковых груза Рх = Р2 (рис. 45).
•От одного из грузов (Р2) построена эпюра распределения
напряжений аг на глубине z от поверхности. Показать,
что для вычисления напряжения az в точке а от груза Рх
можно воспользоваться указанной эпюрой от силы Р2,
*) Задача подробно рассмотрена в книге Н. И. Ковалева [32].

144]
УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО
105
для чего надлежит прочитать ординату эпюры под си-
силой Рг.
После такого доказательства показать, что эпюра
напряжений oz от груза Ра есть одновременно линия
Р,
У,
Эпюра б, am силы Рг
Рис. 45.
влияния напряжения в точке а, т. е. любая ордината
такой эпюры дает возможность подсчитать напряжения
в точке а от любой вертикальной нагрузки, расположен-
расположенной на поверхности.
0
Рис. 46.
144. На рис. 46, б показана эпюра напряжений ах
по сечению z = a от силы -Р=1, находящейся в точке Ъ
на дневной поверхности (рис. 46, а).
Вычислитьчнапряжения в точке Ъ от системы грузов,
доказанных на рис. 46, в,

106
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
(MS
Ответ. Используя решение задачи 143, имеем:
°z = Р1У1 + P-Шг +
где Я5— площадь линии влияния, соответствующая протяжению
нагрузки q.
145. Упругое полупространство равномерно загружено
на дневной поверхности по площади круга радиуса а
(рис. 47).
Я I-—
,. Рис. 47.
Используя решение для сосредоточенной силы, со-
составить с помощью принципа наложения выражение для
прогиба плоской грани полупространства в пределах ука-
указанного круга загружения.
Общий вес нагрузки Р, упругие характеристики полу-
полупространства Е, fi заданы.
Ответ. . \ ¦.
ds C.<fy =
^'
— гг sin2 <f d<f.

УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО
107
2A —иа)
. Для прогиба в центре круга шо = —-— ' Р, для прогиба то-
точек, лежащих на контуре загруженного круга,
146. Упругое полупространство на своей дневной по-
поверхности загружено по площади круга радиуса а нерав-
неравномерно, но симметрично и
таким образом (рис. 48), что
интенсивность нагрузки в
любой точке загруженной пло-
площади пропорциональна ор-
ординате полусферы, имеющей
радиус а и основанием ко-
которой .служит упомянутая
площадь круга (нагрузка по
«полушару*).
Используя известную фор-
формулу -• Буссйнбска и закон
независимости действия сил,
составить выражение для
прогиба дневной поверх-
поверхности о* указанной нагруз-
нагрузки общим весом Р. рис. 48.
Ответ.
w=-
1-
\ rfcp \ qds =
где
АЕа
p q_
SEas
р
147. Абсолютно жесткий шар радиусом R под дейст-
действием силы Р вдавливается в упругое полупространство
(рис. 49), вследствие чего первоначальный точечный
контакт шара с полупространством переходит в контакт
по площади некоторого радиуса а и дневная поверхность
полупространства перемещается.
Исходя из, предположения (это соответствует действи-
действительности), что нагрузка Р распределяется по площадке
контакта по закону «полушара», используя ответы, в за-

108
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
[148
даче 146, вычислить радиус крзта касания, прогиб и
значение интенсивности нагрузки в центре загружения.
Ответ.
ой г ТС \^ К
з
О у-
1
148. Обобщить выводы задачи 147 на случай, когда
шар, имеющий радиус R, не абсолютно жесткий, а упру-
Рис. 49.
Рис. 50.
гий (характеристики материала шара Ех и fij) и, кроме
того, дневная поверхность упругого полупространства
рис. 50 —криволинейная с радиусом R2 (характеристика
материала полупространства Е2 и fi2).
Ответ. Формулы задачи 147 сохраняются с заменой следую-
следующих обозначений:
Решение приемлемо, если получаемый расчетом радиус круга
контакта значительно меньше наименьшего из радиусов, т. е.
B «й

149)
УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО
149*. Жесткая конструкция вращающейся башни
покоится на специальном шаровом погоне, на который
с некоторым эксцентриситетом передается нагрузка Р
(рис. 51). Установить закон распределения указанной
нагрузки между отдельными шариками при таких упро-
упрощенных предположениях: а) общая картина смятия шаров
Рис. 51.
соответствует закону плоскости, что было бы точным
решением задачи, если бы жесткость башни и нижнего
основания, а равно и твердость их контактирующих
поверхностей были бы бесконечно большими; б) при
наклоне башни вследствие деформации шаров отставание
башни от шаров исключается.
Решение. Перенеся силу Р в центр шарового погона, сводим
задачу к одновременному наличию центральной силы и момента
М=Ре.

НО , ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
Для какого-либо n-го шара его деформация занишетея>
и согласно теории Герца давление, на него приходящееся, Йудёт:
з
где коэффициент с, общий для всех шаров, определяется геоме-
геометрией и упругостью контактируемых поверхностей.
Уравнения равновесия записываются:
2>Qn = P, . 2j Qv/cos па — M
или
3
О
cf cos/ia)" =Р, . (а)
' 3 :
' ^ с (wo-\-ry cos naY r cos7w = M, . (б)
откуда в каждом конкретном случае (в зависимости от общего
количества шаров т в"-'шаровом погоне") определятся w0, cp,
а по ним и усилия, приходящиеся на шары. Так как уравнения
(а) и (б) нелинейные, то принцип независимости действия сил
к такой задаче неприменим (следовательно, момент М влияет
на w0, равно как Р влияет на "угол, поворота шарсузого погона).
Если в порядке первого Приближения принять независимость
действия сил, положив, что центральная сила Р не влияет на
поворот погона, а момент М не влияет на'смещение центра по-
погона, то получим:
<=(-
М
- -
г2 2 cos 2п<х
Значение суммы ^ cos па зависит от общего чясла шарое,
в.о при числе шарои от т = 10 до т=20 эта сумма мало отлда-
чается от -, ^„ и (в запас прочности) принимается независимо от
количестна шаров равной -^ . ..-:•: и
о
150*. Установить закон распределения общей нагрузки
между отдельными шариками радиального подшипника
качения (рис. 52). Эти подшипники состоят из наруж-

ISO]
УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО
lid
ного кольца, внутреннего кольца шариков и сепаратора.
На наружной поверхности внутреннего кольца и внут-
¦реннёй поверхности наружного кольца имеются дброжки
: качения для направления движения перекатывающихся
-шариков. Назначение сепаратора — удерживать шарики
на определенном расстоянии друг от друга*).
Указание. Исходя из схемы перемещения внутревнего кольца
относительно неподвижного наружного (рис. 51) и пренебрегая
изгибом колец, по соображевиям, аналогичным принятым в преды-
предыдущей задаче, получаем для и-го шара
пз,
где Qg— усилие, приходящееся на наиболее нагруженный шар.
Из уравнения равновесия определяем:
Р ЪР
Sfc
т т
cos2 nx
*) См. брошюру В. М. Макушина [39].

112 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 151]
§ 2.7. Кручение стержней
151. Задана функция напряжений F = А (-^- + -^2— 1) ;
выяснить, может ли она «быть функцией напряжений
при кручении, и если да, то какому поперечному сече-
сечению стержня и каким напряжениям она отвечает. Ось
стержня Oz, оси Ох и Оу лежат в сечении.
Ответ. Заданная функция может удовлетворять функции
кручения (внутри контура должно быть \72F=— 2), если на-
аЧ2
значить А = 2 . ,2 , а контур поперечного сечения (на контуре
должно быть F = Q) принять очерченным по эллипсу с полу-
полуосями а и Ъ.
В сечении действуют касательные напряжения
где -—относительный угол закручивания стержня.
152. Для предыдущей задачи показать, что обнару-
обнаруженные в сечении напряжения имеют равнодействующую,
равную нулю, и сводятся к крутящей паре {MKV)\ опре-
определить относительный угол закручивания стержня
"и вычислить наибольшие напряжения в сечении, пола-
полагая b < a.
Ответ,.
I G
ттах= -f~ (по концам малой оси, т. е. при у=^Ь),
153. При кручении эллиптического сечения происходит
его депланация, т. е. первоначально плоское поперечное
сечение в процессе закручивания искривляется.
Составить выражение для депланации (смещения точек
поперечного сечения из плоскости), полагая, что центр
сечения (х = у = 0) закреплен от депланации, т. е. для
него w = 0. Дать эскиз депланации сечения.
Ответ.

137J КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ 113
При кручении эллиптическое поперечное сечение принимает
форму гиперболического параболоида.
154. Доказать, что при закручивании любого попе-
поперечного сечения так называемый объем депланации сече-
сечения (т. е. алгебраическая сумма объемов фигуры, заклю-
заключенной между искривленной поверхностью сечения и его
первоначальной позицией) равен нулю, т. е.
F
155. Задано поперечное сечение стержня в виде узкого
прямоугольника, т. е. размер b значительно меньше
размера аф<^а)- Показать, что в таком случае (если
не считаться с особенностями на коротких сторонах
ввиду их малой протяженности в общем периметре сече-
сечения) ориентировочно функция напряжений может быть
назначена в виде F = А{х-\-~) {х — -ф (ось Ох параллельна
узкой стороне прямоугольника). Найти напряжения
в сечении при указанной функции кручения.
Ответ.
ixz = О,
tyz = G -с ^х^
156. Продолжить предыдущую задачу и установить
закон депланации при кручении узкого прямоугольного
сечения. Изобразить эскиз депланации сечения.
Ответ.
ft
157. Показать, что функция Сен-Венана
ft
W=-jXy.
где а и b — постоянные, является функцией кручения.
Выяснить, какому контуру поперечного сечения она
отвечает, если назначить Ь— —4/27а2 и вычислить
Ы. И. Бевухов

114
УПРУГОСТИ
наибольшее напряжение в сечении и установить связь
угла закручивания с крутящим моментом.
Ответ. Сечение в форме равностороннего треугольника высо-
высотой а (стороны ——). Оси х и у проходят через центр тяжести
Л о
сечения, а ось у параллельна одной из сторон треугольника.
а-.0,4
Наибольшее напряжение получается посередине сторон тре»
угольника и равно ттах = -27в.
Угол закручивания 8 = —^|
или
Мкр1 5
"gt; з-
где /р—полярный момент инерции сечения.

159]
КРУЧЕЦИЕ СТЕРЖНЕЙ
158*). Выяснить, может ли функция ... .. .;
F = А [х2 + у2 - a {xi - 6х2у2 + г/4) - а - 1]
являться функцией кручения и каким контурам попереч-
поперечного сечения она отвечает, если положить а = 0, а = 0,5,
— 1) (из задач Сен-Венана).
а=
•-,27
Рис. 54
55.
Ответ. На рис. 53 показано семейство поперечных сечений,
отвечающих разным значениям параметра а.
159*). Задана функция напряжений при кручении
в следующем виде:
F =
где а, Ъ — постоянные, х, у — декартовы координаты
рассматриваемой точки, гиф — полярные координаты
той же точки.
Выяснить, при соблюдении каких условий может
существовать указанная функция, какому контуру попе-
поперечного сечения она отвечает и где располагается
в таком сечении самая напряженная точка.
Ответ. Контуру поперечного сечения, показанному на рис. 54.
Наиболее напряженной точкой в сечении будет точка А, для
*) См. [65], гл. IX.
8*

ti6 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ [160
которой
160 *). Поперечное сечение в виде квадрата подвер-
подвергается кручению. Решить задачу следующим приближен-
приближенным способом: задаться приближенной функцией напря-
напряжений, являющейся действительной функцией (точной)
для какого-либо «приближенного» контура, близкого
к заданному. В упомянутой функции ввести два неопре-
неопределенных коэффициента, которые определить в дальней-
дальнейшем из условия максимального приближения решения
задачи к заданному контуру, т. е. чтобы обеспечить
минимум интеграла от квадрата отклонения значений
задаваемой функции напряжения от ее точного значения
на контуре **).
Решение. Ввиду симметрии функцию напряжений можно запи-
записать в виде (рис. 55)
со
F = ao—^- + ^ anpncosn<\>. (а)
п=4, 8, 12
Ограничимся первым приближением этой функции
„а
F*=a0—^- + аг р4 cos 4 ср.
t
Условия минимизации на контуре (вдоль одной полустороны):
г»
J— (V(F — ,Р*JЛ=минимум, (б)
где F, точное значение функции кручения на контуре, должно
быть постоянным для всех точек контура. Подставляя в (б) выра-
выражение (а) и выполняя условия
найдем:
00=0,58908 2>2, Д1= -0,09698 2г2. (в)
Приближенный контур, соответствующий приближенному
выражению функции (а) при подстановке в нее значений (в),
*) См. [65], гл. IX.
¦¦) См. [42].

161] кручение стержней 117
показан на рис. 56. Напряжения на таком контуре окажутся:
T)/2 = GyZ> f 1,38793—1,16379 |?\
t« = G| Dl6379y-O,38793jQ.
(г)
Пользование (г) дает расхождение с точным решением той
же задачи [25] около 2,5% (в сторону завышения).
161*. Длинный стержень эллиптического поперечного
сечения (размеры полуосей а и Ь, ось стержня Oz) одним
Рис. 56.
концом (z = 0) наглухо закреплен в стену (следовательно,
депланация сечения на указанном конце стержня исклю-
исключена), а на другом подвергается действию крутящего
момента (Мкр). Так как в данном случае кручение
будет стесненным, то известные из теории чистого кру-
кручения эллиптического сечения касательные напряжения
(задачи 151 — 152) изменятся и должны появиться нор-
нормальные напряжения.
Выяснить напряженное поле, сделав согласно А. Фепплю
([73], § 77) допущение, что депланация поперечных сече-
сечений будет следовать закону

113 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ [181
где
— депланация при свободном кручении (задача 153).
Коэффициент п определить из условия минимума потен-
потенциальной энергии деформации.
Решение. Логично сохранить обычные допущения в теории
кручения, что ах = ау = 0. Наличие изменяющейся по длине стер-
стержня депланации сечений (от нуля на одном конце до значения,
близкого к свободной депланации на свободном конце) влечет
появление осевых напряжений
^ ^ (б)
Как следует из уравнений равновесия, наличие а2 должно повлечь
появление поправок к напряжениям при чистом кручении zzx
и t2]/, а последние в свою очередь потребуют наличия ъху, кото-
которое при чистом кручении отсутствовало. Приходится сделать
допущение и относительно закона изменения zxy, связав его
с законом стесненной депланации (а) и подчинив граничным
условиям. Можно назначить:
tj^^aV-iV-aVje-"'. (в)
Использование (б) и (в) в дифференциальных уравнениях равно-
равновесия доставит выражения для поправок к тХ2 и ту2, т. е.
?* = —-е-
— Ь2хг — а2у2),
где
Очевидно, полные напряжения в сечении будут:
~ , 2Д/кр ~ 2Л/к
Далее следует перейти к составлению удельной энергии
деформации, т. е.
1 Г 1 2,2.2,2~|
a=2G bu + n) *+**»+'»*+*« J

163] КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ 119
затем к полной энергии
э dx dy dz
b 'f
99 Л
и, наконец, из условия ^—= 0 найти коэффициент п, который
окажется:
П ~~b\~~
If gi+6» | -l/V + ft»I , 16
162*. Показать, что интегралы, взятые по площади
любого поперечного сечения, дополнительных напряже-
напряжений az, тжг и ivz, возникающие при стесненном круче-
кручении, равняются нулю, т. е. перечисленные напряжения
по каждому сечению составляют систему взаимно-урав-
взаимно-уравновешенных усилий.
163*. Исследовать случай стесненного кручения
стержня прямоугольного сечения со сторонами а и Ь.
Сечение при z = 0 закреплено наглухо, в сечении z = /
приложен крутящий момент Мкр. Для описания сте-
стесненной депланации принять экспоненциальный закон *)
w= — -J-
При исследовании положить, что а > Ь, и использовать
(для приближенного описания явления) упрощения,
допустимые при сечении в виде узкого прямоугольника.
Для вычисления коэффициента п использовать принцип
наименьшей работы деформации.
Ответ.
Ях = ау = 0, а^—пЕ-т- хуе~т.
-2G | у,
*) К задачам Ш—Щ рм. Q. Ц. Тимодаенко [66], стр, 303—305,

120 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ [164
а для коэффициента п имеется уравнение
а при узком прямоугольнике
164*. Используя выводы предыдущей задачи, при-
приравнивая потенциальную энергию деформации работе,
совершаемой крутящим моментом, найти угол закру-
закручивания стержня при стесненном кручении и выяснить,
насколько изменяется жесткость стержня при стеснен-
стесненном кручении против случая свободного кручения.
Ответ.
Жесткость при стесненном кручении против случая свободного
/ , а -/5A-4-!*) Л
кручения возрастает в ( 1—т ' ) раз.
165. Вычислить предел упругого сопротивления
при свободном кручении эллиптического сечения.
Решение. Назначая для самой напряженной точки сечения
касательное напряжение равным пределу упругости материала
на сдвиг, т. е. тупр, имеем предельный упругий крутящий
момент
., _ па б2
мупр — тупр ~2~ •
166. Вычислить предел упругого сопротивления
при свободном кручении сечения в виде узкого прямо-
прямоугольника (а > Ь).
Ответ.
.. ah*
¦Л* упр — тупр -g- •
167*. Вычислить предел упругого сопротивления
при кручении стержня эллиптического сечения, когда
его левый конец (z = 0) наглухо закреплен,-.а на правом-
$анце B=f/) приложен крутящий момент.

168] ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ 121
Указание. Исходя, например, из теории энергии формоизме-
формоизменения, предельное упругое сопротивление сечения будем опре-
определять достижением интенсивности напряжения в наиболее
напряженной точке (на контуре сечения) значения предела упру-
упругости материала (jynp).
В рассматриваемом случае
0{ = У^ТЗ^, (а)
для сечения в защемлении (z=.O),
л2 1у2
%а3Ь3
161),
Для контура в указанных выражениях следует считать
(a;2 "Ч
1 j J. Далее, исследуя на максимум подкоренное
выражение (а), определяется координата х (или у) наиболее
напряженной точки; из условия, что о4 = ау, найдем значение
предельного упругого крутящего момента.
§ 2.8. Изгиб стержней
168. Консольный брус произвольной формы попе-
поперечного сечения изгибается силой Р, приложенной
на свободном конце и параллельной одной из главных
осей сечения (рис. 57). Приняв для нормальных напря-
напряжений в поперечном сечении формулу из курса сопро-
сопротивления материалов и положив, как и в элементарной
теории изгиба, ах = ау = хху = 0 (эти допущения оправды-
оправдываются точным решением); найти условия, которым
должны удовлетворять компоненты касательного напря-
напряжения в поперечном сечении.
, P(l—z)x
Решение. По элементарной теории изгиба az— —т ,
а из первых двух дифференциальных уравнений равновесия
имеем:
dz ' dz
(т. е. касательные напряжения не зависят от координат z и оди-
одинаковы для всех поперечных сечений); из третьего уравнения

123
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
[1S9
dx
Условие на контуре тгх -j- — tzy -j- = О, и уравнения
совместности в напряжениях (первые три и последнее)
приводятся к соотношениям
169. Консольный брус, указанный в предыдущей
задаче, имеет круглое поперечное сечение радиусом г.
а)
N - Я
Ы
Рис. 57.
Для этого случая в теории упругости*) получены сле-
следующие выражения для компонент касательных напря-
напряжений:
Проверить правильность написанных формул, исполь-
используя общие выводы предыдущей задачи, построить эпюру %
по горизонтальному диаметру и наибольшее касательное
напряжение сравнить с результатами элементарной
теории изгиба.
Ответ. Наибольшее касательное напряжение оказывается
в центре тяжести и при ц = 0,3 равняется (r«)max=l,38 ^ .
v
а по формулам сопротивления материалов
4 Р
*) См. курс С. П. Тимошенко [65] ,стр. 319,

171]
ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
128
170. Для консольного стержня, нагруженного
на свободном конце, имеющего эллиптическое попереч-
поперечное сечение с полуосями а и 6, получены решения*)
для касательных напряжений:
2A+txK
f],
Проверить правильность написанных формул, постро-
построить эпюру распределения касательных напряжений
по горизонтальному диа-
диаметру, сравнить указан-
указанные напряжения в центре
и по концам горизонталь-
горизонтального диаметра, а также с
результатами расчета по
формулам сопротивления
материалов; в расчетах
полагать fj. = O,3.
Ответ. В центре сечения
р
(*хг)щах = 1M4 у , ПО
горизонтального диаметра
„=ь =0,92 — ¦
Рис. 58.
Максимальное касательное вапряжение примерно на 14%
больше напряжения, получаемого по элементарным формулам.
171**. Консольный стержень, описанный в задаче 168,
имеет поперечное сечение в виде полукруга (рис. 58).
Получить выражения для составляющих касательных
напряжений в поперечном сечении, найти положение
в сечении равнодействующих касательных усилий и экс-
эксцентриситет равнодействующей относительно центра
тяжести сечения.
•) См. [65], стр. 320—321.
••) См. [65], стр. 331,

124
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
[171
Решение. Можно использовать результаты, полученные для
бруса круглого сечения, так как, если такой брус разрезать
плоскостью по вертикальному диаметру, то никаких усилий
по такой плоскости прикладывать не требуется (эта плоскость
в брусе круглого сечения не напряжена).
Но так как в круглом брусе на каждую из указанных поло-
половинок бруса действует сила 0,5Р, а в нашем случае Р, то к фор-
формулам задачи 169 следует ввести множитель 2.
Рис. 59.
Момент относительно оси z распределенных по сечению
касательных напряжений будет равен
Mz— \ \ (¦zyzx~'
Используя решение задачи 169, интегрируя по площади по-
полукруга, найдем:
"'г~ 15яA + |0 •
Следовательно, равнодействующая сила Р приложена в точке Clt
расстояние которой е от начала координат О равно
Эта точка (центр изгиба) не совпадает с центром тяжести
речного сечеиия.

ТЕРМИЧЕСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ 125
172*. Для поперечного сечения в виде равнобедрен-
равнобедренного треугольника (рис. 59) получены*) следующие
формулы для касательных напряжений при поперечном
изгибе:
Ъг= 27а« х(а~У)-
Найти центр изгиба такого сечения.
Ответ. Центр изгиба в данном случае совпадает с центром
тяжести поперечного сечения, и потому нагрузка Р, своим
направлением проходящая через центр тяжести концевого сече-
сечения, будет нызывать только изгиб консоли (кручение отсутствует).
§ 2.9. Термические напряжения
173. Труба, ннутренний радиус которой а = 10 см,
наружный b = 25 см, находится в состоянии стационар-
стационарного неравномерного нагрева, причем температура на вну-
внутренней поверхности трубы на 150° больше, чем на на-
наружной поверхности.
Построить для напряжений ае, аг, аг и ттах эпюры,
изображающие эти величины в функции г.
В расчетах для материала трубы —незакаленной
отали—полагать а = 0,0000176, ? = 2-10в кг/см2, р = 0,3.
Укаццнпе. Расчетными формулами являются **)
*) См.
**) См
1
1
[65],
• [51,
A-11)
_а Яа# Т2"
ЬЧп—+а2)
-V. Ь
стр. 330.
стр. 184-189.
+а
а
г
п —
21п —
а
Ь2— а2
"~"(
>2 — а2
а262 b
5- 1П-
r2 a
Ь2 — а2)
Ь2 —а2)

126
ТВОРИЯ УПРУГОСТИ
где
rr
На рис. 60 приведена эпюра ттах.
174. Определить тепловые напряжения для тонко-
тонкостенной трубы, у которой 6 = 25 см, а = 22 см, tb — ta —
= - 150°.
Указание. Формулами предыдущей задачи пользоваться
неудобно, так как при Ъ, близком к а, приходится иметь дело
с малыми разностями весьма близких больших чисел.
Рис. 60.
Лучше пользоваться следуюшими формулами *) (получаются
из предыдущих путем удержания в их разложениях по Тейлору
первых членов соответствующих рядов): %
при г = а
при г=Ь
где
2A-!.)
Ба (tb-ta)
Ответ. Наибольшее растягивающее напряжение 220 кг/смг,
сжимающее — 240 кг/см2, скалывающее—120 кг/см*.
*) См., например, [5], стр. 189.

НАЧАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ 12?
175. Найти тепловые напряжения в полой сфере,
нагретой симметрично относительно центра, считая
тепловое состояние сферы стационарным. Данные:
а = 10 см, Ъ = 25 см, ta tb = 150°.
Указание. Формулы для напряжений (см. [5]) имеют вид
ЕаК Г 1 Ь2 —а2 1 (Ь — а)аЧг 1
J8-"i_р. |_2г Ь3-а3 +Т Fs—в3) Д] '
_ЕзК Г 1 Ь2 —а2 F—а)а2Ь2]
г 1 — [д. L ^ Ь3 — а3 (Ь3 — a3)r3 j '
где К = —г-—--а-Ъ.
о — а
Ответ. Наибольшее скалывающее напряжение
J8 —дг_ ЕаК Г (Ь —а)а2Ь2 \_
: 2 ~ 2A —p.) L (Ь3—а3)г3 г J
при т = а имеет абсолютный максимум
ЕаК
2A
аК Г„ (Ь —а)Ь2 1 1 ооо„ . .
—^Г 371ч ^ =3820 кг см*.
— V-) I Ь3-а3)e a J
§ 2.10. Начальные напряжения
176. Прямоугольная пластинка (рис. 61, а) была при-
приварена своими торцами к неподвижным плоскостям,
вследствие чего в пластинке возникли некоторые растя-
растягивающие напряжения. Параметры, от которых зависят
эти напряжения (температура сварки и т. п.), не известны.
Для определения напряжений был применен метод свер-
сверления, заключающийся в том, что в пластинке было про-
просверлено малого диаметра отверстие и замерены происшед-
происшедшие при этом перемещения двух точек 1 и 2 (рис. 61, б),
расположенных на оси полосы.
Установить расчетные формулы, позволяющие по дан-
данным описанного эксперимента вычислить искомые началь-
начальные напряжения (см. [36]).
Решение. Сверление отверстия вызовет нарушение одноосного
напряженного состояния вокруг отверстия и перераспределит

128 теория упругости {176
их вокруг отверстин по формулам, полученным Киршем *):
где ar, afl, тгв —компоненты напряжений в точке с координа-
координатами гиб.
Для точек 1, 2 и других, расположенных на оси полосы,
имеем 6 = 0 и формулы упрощаются:
2
Эти формулы выражают те части напряжений, которые остались
после сверления.
¦ ^
1
• *
a
. струны
2
I
Г
—"-nonrr-JI
Рис. 61.
Разность радиальных и тангенциальных напрнжений, образо-
образовавшаяся в процессе сверления, будет:
За4
зх ( 5а2
:т1 ~^
*) Его задачу о концентрации напрнжений см. [65], стр. 91.

178] НАЧАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ 129
Подставляя последние формулы в закон Гука, получим:
du 1 , ,
Для разности перемещений между точками 1 и 2 имеем:
ьа
С du , а2ах ,
bi
где обозначено
Окончательно для начальных напряжений в пластинке имеем:
где Д12 — разность перемещений точек 1 и 2—находится опытом.
Ответ.
177. На каких двух допущениях был построен в пре-
предыдущей задаче вывод формулы для начальных напря-
напряжений?
Ответ. Предполагалось, что в процессе сверления малого от-
отверстия усилия по концам полосы не изменятся и что явление
релаксации (спад напряжений при длительном удержании посто-
постоянной деформации) еще не успело проявиться.
178*). Прямоугольное отверстие между продольным
и поперечным набором конструкции каркасного типа
было «зашито» прямоугольной пластинкой. Приклепка
пластинки к указанному каркасу была осуществлена при
сравнительно высокой температуре, которая в дальней-
дальнейшем спала до нормальной, а в пластинке возникли рас-
растягивающие напряжения по двум взаимно-перпендикуляр-
*)См. [36].
9 Н. и. Беэухов

130
твория , упругости
[178
ным направлениям. Решено было определить указанные
начальные напряжения в пластинке, применив «метод
сверления» (рис. 62), для чего экспериментальным путем
-—
-1—
о)
t
4
1
i
t
ft-
J.
1
с
t
r 2
1
^
Рис. 62.
находилась разность перемещений точек 1 и 2, т. е. (Д1г),
и то же для точек 3 и 4, т. е. (-'34).
Установить расчетные формулы для начальных напря-
напряй
Отеет.
где ^i — см. предыдущую задачу;
к[ аналогично кх с заменой Ъх на Ь3 и Ь2 на
| аналогично А-2 с заменой Ъх на 63 и 6г на

ГЛАВА III
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРШГ.УПРУГОСТИ
Краткие сведения из теории
1. Для преобладающего числа задач, выдвигаемых
инженерной практикой, точных решений в теории упру-
упругости пока не имеется, и потому приходится обращать-
обращаться к различным приближенным теориям деформации
или к приближенным решениям самих исходных урав-
уравнений.
Во всех приближенных теориях деформаций напря-
напряжения и им соответствующие деформации разделяются
на основные и второстепенные.
Под второстепенными напряжениями и деформациями
понимаются те, которые по сравнению с остальными,
относимыми к группе основных, настолько малы, что
можно пренебречь влиянием таких второстепенных напря-
напряжении и деформаций в направлении основных напря-
напряжений. Это, конечно, не означает, что второстепенные
напряжения и деформации вообще из расчета выпадают;
исключается лишь взаимное влияние одних на другие.
Иначе говоря, принимается гипотеза о связи основных
напряжений только с основными деформациями. Примером
могут служить методы расчета на изгиб балок и пласти-
пластинок, когда при вычислении деформации продольных
волокон, параллельных нейтральному слою, не при-
принимается во внимание роль нормальных напряже-
напряжений, перпендикулярных к оси балки или перпендикуляр-
перпендикулярных к срединной плоскости пластинки; впрочем, это не
9*

132 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
исключает возможности вычислять такие второстепенные
напряжения.
К категории второстепенных напряжений часто относят
также и те, влиянием которых можно пренебречь при
вычислении потенциальной энергии деформации системы.
Такая гипотеза значительно расширяет круг второсте-
второстепенных напряжений и деформаций; при этом напряже-
напряжения, относимые к второстепенным, могут и не быть
значительно меньше основных. Гипотеза широко исполь-
используется в различных вариационных методах, исходной для
которых является потенциальная энергия деформации
исследуемой конструкции (см. [52]).
Самой сильной в смысле влияния на упрощение рас-
расчета является гипотеза о характере перемещений или
деформаций, когда пренебрегают второстепенными осо-
особенностями в кинематической картине рассматриваемого
явления. В каждой характерной задаче такая кинемати-
кинематическая гипотеза формулируется особо. Так, при изгибе
балок имеется закон плоских сечений, при изгибе пласти-
пластинок средней толщины и тонких оболочек — гипотеза
прямых нормалей, т. е. предположение, что совокуп-
совокупность точек, лежавших до деформации пластинки
на какой-либо прямой, нормальной к упругой средин-
срединной плоскости, остается на прямой, нормальной к упру-
упругой поверхности деформированной пластинки.
Использование первой и третьей гипотез позволило
получить компактные уравнения изогнутой срединной
поверхности w = w (x, у) пластинки средней толщины,
находящейся под действием поперечной нагрузки интен-
интенсивности q, т. е. так называемое уравнение Софи—Жермен
d*w . d*w q
+ (
dx* dy* +~dy~*~~D'
и простые соотношения для напряжений, как-то:

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ 133
В случае изгиба и кручения стержня с тонкостен-
тонкостенным профилем, гипотеза плоских сечений оказывается
слишком жестким ограничением (в действительности
происходят депланации поперечных сечений) и потому
заменяется гипотезой о недеформируемости контура попе-
поперечного сечения (см. [18]). Упомянутые гипотезы по от-
отношению к некоторым требованиям теории упру-
упругости могут оказаться в несоответствии, например, с
уравнениями неразрывности деформации. Наличие та-
таких противоречий не должно рассматриваться как
недостаток приближенных теорий. Важно, чтобы
полный комплекс гипотез, несмотря на некоторую несо-
несогласованность между собой в частностях, общую карти-
картину напряжений и деформаций обследуемого объекта
обрисовал качественно правильно и окончательные
результаты были достаточно близкими к действитель-
действительности.
2. Использование в теории перечисленных выше
деформационных гипотез в итоге, конечно, упрощает
самые исходные дифференциальные уравнения, но и реше-
решение упрощенных уравнений оказывается часто затрудни-
затруднительным.
В связи с этим приходится прибегать к приближен-
приближенному решению, сущность которого заключается в назна-
назначении приближенного уравнения для разрешающей
функции, например функции напряжений или уравне-
уравнения изогнутой поверхности пластинки и т. п., иными
словами в выборе функции, посредством которой опре-
определятся компоненты тензора напряжений, деформаций.
Очевидно, указанные функции не могут выбираться
произвольно и, если они не удовлетворяют всем урав-
уравнениям теории упругости, то по крайней мере должны
удовлетворять граничным условиям задачи. Так как
для последней цели можно выбрать бесконечное мно-
множество функций, то за разрешающую функцию при-
принимается линейная комбинация элементарных функций
(но каждая в отдельности удовлетворяющая граничным
условиям) с неопределенным коэффициентом при каждой
из них.
Например, при решении задачи по методу перемеще-
перемещений для компонентов упругого перемещения можно при-

184 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
нять выражения
И="В0+ 2 aifiix> У' 2)>
C.03)
/, z),
гд*
a2, .
bv
., am,
.. bm,
C.04)
произвольные постоянные,
Tl.
—функции координат х, у, г; ио(х, у, г), vo(x, у, z),
w0 (х, у, z) — также известные функции координат, но
не содержащие произвольных постоянных.
Вид функций /j, /2 ft, 92. •••. Ф:. Ф2» • • • надо
выбрать так, чтобы граничные условия были удовлетво-
удовлетворены.
3. Существует несколько способов вычисления неопре-
неопределенных коэффициентов. Один из них состоит в исполь-
использовании начала наименьшей работы (минималистский
принцип). Для этой цели от смещений C.03) надлежит
перейти к деформациям согласно A.13) и* далее, соста-
составить выражение потенциальной энергии деформации
+ у (Yw + Ч1г + Y«) ] dx dy dz, C.05)
после чего из условий
БГ0' Щ = 0' ^-Опр-i-l, 2,3 т C.06)
разыскать параметры av a2, ..., bv b2, .... cr c2...

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ 135
При решении задачи по методу сил можно задаться
решением задачи в форме*)
C.07)
где Оя0), Оу0), ..., т'!^ —частные решения дифференциаль-
дифференциальных уравнений равновесия, удовлетворяющие условиям
на границе, но не удовлетворяющие условию неразрыв-
неразрывности деформации (например, решение по элементарным
формулам сопротивления материалов, если они в рас-
рассматриваемой задаче применимы); а*', Оу\ ..., ^, где
г = 1, 2, 3, ..., п, —частные решения однородных диф-
дифференциальных уравнений равновесия, удовлетворяющие
отсутствию на поверхности тела внешних нагрузок;
¦А4 —некоторые, пока не определенные константы.
После составления выражения для потенциальной
энергии
dy-dz C.08)
из условий
яд
Ц: = 0 при i = l, 2,3,... л C.09}
находят значения Av А2, ..., Ап.
4. В ряде задач весьма эффективным оказывается
вариационный метод И. Г. Бубнова —Б. Г. Галеркина,
который применительно к задаче об изгибе пластинок
оформляется следующим образом: задаются уравнением
изогнутой поверхности пластинки
w^XuiWi, C.10)
¦) См. учебник П. Ф. Папковича [5], стр. 599 — 601. См. так-
также исследование М. М. Филоненко-Бородича [74).

J36 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [178
где ш4 — произвольная функция, но удовлетворяющая
граничным условиям опирания пластинки.
Подстановкой C.10) в C.01) в общем случае полу-
получают противоречие между левой и правой частями
равенства, так левая часть уравнения C.01) по подста-
подстановке в нее C.10) будет представлять собой перемен-
переменную величину, а правая, в случае q — const является
величиной постоянной. Следовательно, в рамках прибли-
приближенного решения не представляется возможным удовле-
удовлетворить дифференциальные уравнения изгиба пластинки
для каждой точки. Поэтому пытаются выполнить усло-
условие C.01) в интегральном смысле, или, иными словами,
в среднем для всей площади пластинки. Для этого умно-
умножают обе части уравнения на wi и интегрируют резуль-
результат по всей площади пластинки
(V2Vzw)widx-dy=^-%-w{dx¦ dy, C.11)
где поочередно г = 1, 2, 3, ..., п.
Решение C.11) дает значения а1У' а2, ..., ап. В боль-
большинстве задач оказывается достаточным ограничиться
только одним членом в ряде C.10), т. е. принять w = a1w1.
§ 3.1. Прямоугольные пластинки средней толщины
(статический поперечный изгиб)
179. Прямоугольная пластинка со сторонами а и Ъ
изгибается согласно уравнению
. же . да/
w= csin— sin-^ ,
а о
где оси х и. у, расположенные в срединной плоскости
недеформированной пластинки совпадают со сторонами
а и Ъ. Выяснить, какой поперечной нагрузке, каким
статическим граничным условиям и какому типу закре-
закрепления соответствует заданный изгиб пластинки.
Ответ. Поперечная нагрузка р = А sin — sin -~ , где

181]
ПРЯМвУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНКИ
137
по торцам пластинки действуют касательные напряжения -с1х
по стороне длиной Ь и касательные напряжения -zzv по стороне
длиной а, не постоянные по длине сторон, а имеющие наиболь-
наибольшие значения в середине сторон и далее убывающие по синусо-
синусоидальному закону до нуля к углам пластинки; кроме того, по тем
же наружным боковым поверхностям пластинки действуют крутя-
крутящие моменты, которые взаимно уравновешены в пределах каждой
стороны, а интенсивность их от углов пластинки к серединам
сторон уменьшается до нуля; края пластинки свободно оперты.
Рис. 63.
180. Задано уравнение изогнутой срединной поверх-
поверхности прямоугольной в плане пластинки
w = Axy(x — a) (у — Ь),
где а — сторона вдоль оси Ох и Ь — сторона вдоль оси Оу.
' Выяснить, каким граничным кинематическим и стати-
статическим условиям и какой нагрузке это соответствует?
Ответ. Шарнирное опирание по всем четырем сторонам;
равномерно-распределенная поперечная нагрузка; наличие по кром-
кромкам: опорных изгибающих моментов, возрастающих от углов
к серединам сторон, а также крутящих моментов, убывающих
от углов к серединам сторон.
181. Прямоугольная пластинка, шарнирно-опирающаяся
по контуру, нагружена распределенной по всей площади
нагрузкой постоянной интенсивности р = const (рис. 63).
Определить максимальный прогиб и наибольшие нор-
нормальные напряжения, применив для решения задачи
метод Бубнова - Галеркина, приняв в качестве варьи-

138 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
руемой функции прогиба пластинки уравнение с одним
неопределенным коэффициентом
ху — ал sin — sin -— .
1 а о
Решение. Заданное уравнение*) удовлетворяет граничным
условиям, так как прогиб w и вторые производные от w для всех
четырех краев пластинки обращаются в нуль.
Согласно C.11) имеем:
. we . icy , ,
„ sin — sm-r dx-dy,
и а о
0 0
откуда наибольший прогиб ai = -jj — -у—л 1 N a , цри (х=0,3
Для напряжений имеем:
_ (
ах, max — Р^ (
_ 96 (аа
i/, max — P
182а~з. Примеры для самостоятельных расчетно-
графических заданий **).
Для одного из указанных ниже (табл. 5) случаев
загружения и закрепления краев прямоугольной пластинки
требуется установить приближенные выражения для изги-
изгибающих (Мх, Му) и крутящих {Мху) моментов, для попе-
поперечных (Qx, Qy) сил и для наибольшего прогиба пластинки,
используя для такой цели метод Бубнова — Галеркина.
Задачу решить в первом приближении и в качестве
*) Приближенное одночленное выражение w, давая для наи-
наибольшего прогиба удовлетворительные результаты, не всегда
дает хорошие результаты для напряжений (см. [15]).
**) См. [2], [7], [66] и [20].

184] ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНКИ 1Э9
апроксимирующей функции прогиба назначить указан-
указанные в таблице выражения w. Последовательность решения:
а) Проверить, удовлетворяет ли предложенная апрокси-
мирующая функция кинематическим граничным условиям.
б) Если последнее выполняется, то апроксимирующую
функцию подставить в C.11) и вычислить наибольший
прогиб пластинки.
в) Далее, по известным формулам
дх.ду .
О - D д
Vv~ ду
составить выражения для моментов и поперечных сил.
г) По найденным выражениям построить эпюры Мх,
Му, Мху, Qx, Q вдоль линий, параллельных стороне
Ь:х = 0, х = ~, х — а, и вдоль линий, параллельных сто-
роне а: у = 0, у = -^,у = о.
183*). Бесконечная плита загружена сосредоточенной
силой Р. Предлагается использовать известные выра-
выражения для прогибов плит с конечными размерами и опре-
определенной формы в плане и показать, что в рассматрива-
рассматриваемом случае выражение для прогиба может быть написано
в следующем виде:
Р 21 т
где г —расстояние от точки приложения силы Р до рас-
рассматриваемой точки плиты, с — произвольная постоянная.
184*. Используя результат предыдущей задачи, со-
составить выражение для прогиба в бесконечной плите для
*) См. статью Л. С. Гильмана в сборнике «Расчет простран-
пространственных конструкций», вып. III, цод ред. А. А. Уманского,
М., 1955.

140
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [182
О)
IS
ta
ф
Я
>
ta »
5 8
S Oh
О)
в
ta
О)
О)
о
и
I
о
ta
со
СО
Он
а
is
о
ее
И
а
«
Он
К,
en

Продолжение табл. 5 go-
ОСТ
п/п
182В
182Г
План пластинки
и закрепление краев
Эллиптическая пластинка
Г
j-Zl—а —•¦
защемление по конт
УРУ
Схема та же
Загружение
\_ а2 б2 )
нагрузка в виде
«полуаллипсоида»
/ д;2 I/2 \
Я^Яо[ —2—Г 7 2 )
интенсивность нагрузки
от центра пластинки
к опорному контуру растет
Приближенное выражение
для прогиба
Г Д.2 у% \!
W — C[ 1 jj Tj- )

142 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [182
ф
IS
а
ш
й
Я m
=Ч§
й IS
я 1ч
о
й л
g«
ф ез
й н
н
ю
IS
о.
В
жение
1^>
Оч
сс
СО
CQ
Ф
¦S.
и к
пласти
пление
I!
В S
в
*Sl
^ У
и
¦
а
IS
К
й
const
е загр
II °
II ц
^* л
о
№
О
Я
о.
ы
я
к
IS
Sh
и
я
I J
1
II
!
\
в v>\
К Л
03 С5г"
\
/''
00
\
а.
№
О
Ж
О
и
ирание
о
о
а
§
О,
IS
ffl
о,
я
В
1
1
.
о
II
S"
f A
•а
*ы
<я
в
^—"^
о
^*
II
Ф
я
9
S-
a
i
1
t
?
о
CSI
00

Продолжение табл. 5
№
н/п
План пластинки
и закрепление краев
Загружение
Приближенное выражение
для прогиба
182Ж
Прямоугольная пластинка
-re—
26
-2а-
Ф
q = const
равномерное загружение
c0S_
опирание в углах
1828
= q0
nx да/
la 2.0
Схема та же
интенсивность нагрузки
возрастает от периметра
к центру пластинки
[

144 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [185
случая загрузки двумя разнонаправленными силами jP
(рис. 64).
Ответ.
Рис. 64.
185*). Составить выражение для прогиба бесконечной
плиты и для интенсивности изгибающих радиального
и тангенциального моментов и для крутящего момента
в случае нагружения плиты сосредоточенной парой.
Указание. Можно использовать результат предыдущей задачи
уменьшая а до нуля при постоянном моменте М Жрымя не-
неопределенность по правилу Лопиталя, получим:
М
где lnd=lnc~
Mr=~D °~^
*) См. статью Л. С. Гильмана в сборнике «Расчет пространст-
пространственных конструкций», вып. III, под ред. А. А. Уыансного, M.f 1955?

186] ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНКИ
МгЪ — D A и) ( — • g 5" ~дК )== ~~/— М .
д М COS в
^ 1 д „. М sin в
Обозначения перечисленных усилий и их положительные направ-
направления показаны на рис. 65.
Рис. 65.
186. Показать, что исходное дифференциальное урав-
уравнение четвертого порядка в теории изгиба пластинок
может быть представлено в виде двух дифференциальных
уравнений второго порядка, а именно:
М=— DV2w и g=-
где
Какие возможности экспериментального изучения де-
деформации пластинки вытекают из указанных выше пред-
представлений (по аналогии с теорией изгиба балок)?
Ответ, а) Прогибы тонкой упругой перепонки, равномерно
натянутой во все стороны с силой S и нагруженной силами,
распределенными по закону q (ж, у), определяют в каждой точке
суммы моментов
м(м
б) если перепонку, натянутую с силой <У = 1, подвергнуть
М
вновь нагрузке, но изменяющейся по закону — , то упругая по-
поверхность ее будет тождественна поверхности пластинки с нагруз-
нагрузкой q (x, у).
tr\ -~ — —

146 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯМ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [187
187*). Пластинка имеет начальное искривление сре-
срединной поверхности wo(x, г/). Под действием поперечной
нагрузки возникнет дополнительный прогиб w1(x, у).
Показать, что уравнение изогнутой поверхности такой
пластинки при наличии сил в срединной плоскости запи-
запишется так:
94t»! , 0 d*w , diw1_
dyi ~
d2 (w0 + t»i) д. д2 (до0 + ^i) "I
-9^2 --Г^ху дх.ду Г"у д~2 J •
188. Показать, что действие начальной кривизны на
полный прогиб пластинки равнозначно действию фик-
фиктивной поперечной нагрузки интенсивностью
189. Свободно опертая прямоугольная пластинка со
сторонами о и 6 имеет начальный прогиб
пх
а
а на краях х = 0, и х — а этой пластинки действуют
равномерно-распределенные сжимающие усилия Nx.
Записать дифференциальное уравнение изогнутой
поверхности и показать, что его решением является:
где Л=
190. При условиях предыдущей задачи показать, что
полный и наибольший прогиб будет в центре пластинки
и определится выражением
где a=
а*
*) К вадачам 187—190 см. [67], гл. VI.

193J КРУГЛЫЕ ПЛАСТИНКИ 147
§ 3.2. Круглые пластинки (полярно-симметричный изгиб)
191. Круглая пластинка радиусом а изгибается со-
согласно уравнению
(начало координат в центре пластинки).
Выяснить, какой поперечной нагрузке, каким стати-
статическим граничным условиям и какому типу закрепления
соответствует заданный изгиб пластинки.
Указание. Заданная форма изгиба—полярно-симметричная,
так как в уравнение входит только одна переменная радиальная
координата. Подстановка в уравнение
f d2 ^А.\(— —^i\ — t
\dr* r dr )\dr* г dr )~ D
дает i>=0, т. е. в пролете нагрузки нет; согласно выражению
,, ^/92ш u dw\
Mr = —D! -v-j + —-т- ) заключаем, что по опорному контуру при-
приложения радиальный момент интенсивности (Mr)r=za = C A + ц) 2D.
Из выражения Mt = —d( — -j~ + V--f2 ) следует, что танген-
тангенциальный момент равен радиальному. Пластинка свободно оперта
по краю.
192. Задано уравнение изогнутой срединной поверх-
поверхности круглой пластинки
w = С [E + ?)а* -2C + [*)<*V + A + ц) г*],
где а —радиус пластинки.
Выяснить, каким граничным кинематическим и ста-
статическим условиям и какой нагрузке соответствует
уравнение w. Вычислить изгибающие моменты в танген-
тангенциальном и радиальном сечениях.
Ответ. Свободно опертая по контуру пластинка, нагрузка—
равномерная интенсивностью /> = 64 CD A + ц);
193. Проверить, что для круглой пластинки радиусом
а с полным защемлением по контуру при равномерном
ее загружении прогиб описывается уравнением
10*

149 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Составить выражения для радиального и тангенциаль-
тангенциального моментов, подсчитать их наибольшие значения.
Ответ. В центре пластинки Mr=Mt = —rJ- pa2, а на контуре
а*
194. Для круглых пластинок, нагруженных полярно-
симметрично, вывести условие неразрывности дефор-
деформаций:
dt-t
-
где %Т и х,— кривизны в радиальном и тангенциальном
направлениях. Начало координат в центре круга.
Решение. При обозначениях w—прогиб, ср = — угол накло-
ненин упругой радиальной кривой, имеем:
d<? Ф
dr r
Дифференцируя последнее, получаем:
d%t_ I / df

что и требовалось доказать.
195*). Показать, что имеется аналогия основных диф-
дифференциальных соотношений для полярно-симметрично
нагруженных круглых пластинок, с одной стороны,
и дифференциальных уравнений при плоском полярно-
симметричном нагружении толстых колец, с другой.
Используя аналогию, показать, что для пластинок
— I л- \- —Я.
и, следовательно
где %т, х( и Mr, Mt — соответственно кривизны и изги-
изгибающие моменты в радиальном и тангенциальном на-
направлениях.
*) Задачи 194—202 предложены И. К. Снитко.

196]
1КРУГЛЫЕ ПЛАСТИНКИ
149
Решение. Дифференциальное условие равновесия элемента
пластинки имеет вид
М —М = rdMr О
Используя выражения для моментов
Mr=
находим (см. задачу 194):
(б)
. им
- Ц.) —~- Г. (В)
Сравнивая правые части (а) и (в) и заменяя d~ по (б), полу-
получаем искомое соотношение.
196. Показать, что для круглых полярно-симметрично
нагруженных пластинок дифференциальное уравнение
может быть приведено к виду
(начало координат в центре круга).
Положив (? = 0, вывести формулу для Мг и Mt
mh ть
Рис.
(см. рис. 66) в случае нагружения пластинки внешним
постоянным радиальным моментом:

150 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [197
а) по внешней окружности,
б) по внутренней окружности.
Решение. Дифференциальное уравнение равновесия имеет вид
dMT , .. .. _
г —г- + MT—Mt = — Qr,
dr
Присоединяя сюда условие, вытекающее из решения задачи 195,
г
Г
Мт +Mt=A—A — |х) \ Qdr,
сложением находим указанный в условии ответ.
При Q = 0 дифференциальное уравнение
получает решение
Постоянные А и В находятся из граничных условий. Для
случая а) будут:
при г=а Мт=0,
при г=Ь Мг=ть.
В7результате решения получаем:
A*2 B
Ответ.
?), гдер-i
197. Найти уравнение прогибов круглой пластинки,
рассмотренной в задаче 196.
Решение. Дифференциальное уравнение для угла наклонения <р
упругой радиальной кривой, представляемое в j
имеет решение

199] КРУГЛЫЕ ПЛАСТИНКИ 151
Подставляя значения — н -^ в выражение для
находим:
. _ А
1—2'
ер.
Прогиб ш> находим, используя выражение ср:
где Сх определяется из условия: при r=b w=0.
Ответ.
ть 2 *2
198. Полагая, что круглая в плане пластинка нагру-
нагружена полярно-симметричной нагрузкой произвольной
напряженности q, вывести зависимость между q и попе-
поперечной силой Q.
Ответ.
199*. Для полярно-симметрично нагруженной круглой
пластинки:
а) вывести выражения последовательных производных
прогиба а1;
б) найти значения начальных параметров для начала
координат, намеченного в центре круга;
в) составить общие уравнения прогиба и его произ-
производных.

152 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [200
Ответ, a) w—прогиб; —т- = !Р — угол;
<f<f _ Mr _ jf_
dsw d2cp Q d
~dr3' = llrr=~~l)~~dr
d3^ _ dQ
''~d73~~'D~df'~\
d>w _d^_ d*Q ^VfN
dr* ~ dr* ~ D-dr* dr*\r ) Д'
б) При условии г=0 имеем:
I" "
в) Общие уравнения получают вид
21 Z» A + (л) 3-31 ZJ
^ йг2 Л 5-5! Z)
_ Мгог 2<?рг2 / dQ Л
Z> A + !л) 3-2!/) ^*У0
<fe _ 2(?0t / dQ
dr 3D V dr
Л5-4! Z)
•I / d*Q\ i-r3
Jai-2\D V. dr» J5-31D
Уравнения для моментов МТ и Л/j выражаются через у и -^- ,
для Q — через моменты (см. задачу 197).
200*. Круглая пластинка, шарнирно-опертая по кон-
контуру, несет равномерно-распределенную нагрузку. Опре-
Определить максимальные прогиб и моменты, составив общие
уравнения для их определения.
Решение. Начальные параметры (см. задачу 199): доо = ?,
l., так как Q = 3L .

202] КРУГЛЫЕ ПЛАСТИНКИ 153
Уравнения прогибов, углов и кривизны:
г Зд-г*
q-3-r3
2-4-Z).3! '
d<? _ Mr0 3g-r»
dr A + h-)Z> 2-4-2!/) '
Из уравнения радиальных моментов
следует, что (поскольку Мг — 0 при г=а)
-jn-{3 + (j.) = max MT—max Mi,
Mt=Mr0—^
Из уравнения прогибов (учитывая, что w=Q при г=а)
оа* E + и.)
т= g Г5 + н- , 2C + 1д,)г» r« I
64D L 1 + V- A + V-) a* a* J '
201. Из какого условия следует определить М^ в за-
задаче 200, если контур пластинки жестко защемлен?
Ответ. Полошив в выражении для <?, что [^^д^О,
находим:
т. е. Мг0 при защемлении в -—- раз меньше, чем при свободном
опирании краев.
202. Рассмотреть случай нагружения круглой пла-
пластинки полярно-симметричной нагрузкой по конусу
(см. рис. 67) с наибольшей интенсивностью q0. Найти
моменты для двух вариантов закрепления контура:
I свободное опирание,
II защемление.
Указания. 1) Нагрузку можно разложить на д0 = пост и
gi = q0 — . Решение для д0 (пост) см. в задаче 193, 200-

154 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РВШЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [208
2) Применяя для gt метод начальных параметров, имеем:
§_ Ответ. При, действии, только нагрузки ji находим для I
'—«1
Рис. 67.
варианта:
для II варианта:
45
45
203*. Пользуясь методом начальных параметров*)
составить выражения для прогибон при нагрузке пла-
пластинки по рис. 68.
»
Рис. 68.
Ответ. На участке под нагрузкой, т. е. при г < Ь,
да* Г «.*«.« 6* rs г* 6*
4
аа а2 а
¦) На эту тему см. статью В. А. Киселева в т. 18 Трудов
Моек, автодорожного ин-та, М., 1956.

206]
а при г > Ь
КРУГЛЫМ ПЛАСТИНКИ
155
204. Найти выражения прогибов и моментов от рас-
расположенной по кольцу нагрузки (рис. 69). Общий вес
нагрузки Р~р-2ъс.
Рис. 69.
Ответ. При г < с
(a*—c
—
при г р- с
(о
*—г
2а»
г = -^ [2—^-
205*. Использовать формулы из предыдущей задачи
для построения эпюры прогибов и изгибающих моментов
в случае загружения пластинки сосредоточенной силой Р,
приложенной в центре пластинки (рис. 70).
Ответ,
w =
на рис. 71 показаны эпюры.
206*. Построить линию влияния прогиба середины
круглой пластинки с защемленным опорным контуром
для случая полосовой кольцевой нагрузки, т. е. полагая,
что радиус кольца загружения непрерывно увеличивается

156 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [207
от с —0 до с = а, а интенсивность загружения периметра
кольца непрерывно уменьшается таким образом, что
общий вес полосовой нагрузки остается неизменным и
равным единице (т. е. Р = ~2—)•
Указание. Можно использовать формулу из задачи 204, да-
давая с различные значения от с=0 до с = о и используя равенство
Рис. 70—71.
Ответ. На рис. 71 представлена линияj влияния w от
полосовой нагрузки.
207*. Доказать, что эпюра прогибов задачи 205 одно-
одновременно является линией влияния прогиба в средней
точке пластинки от «расходящейся» полосовой нагрузки,
указанной в условиях задачи 206.
Указание. К двум системам нагружения, показанным на рис. 69
и 70, применить закон взаимности виртуальных работ (теорема
Бетти). См. также [66], стр. 78.
208*. Построить линию влияния прогиба для сере-
середины круглой пластинки, свободно-опертой по контуру,
для случая полосовой кольцевой нагрузки, «расходя-
«расходящейся» от центра, с соблюдением постоянства общего
веса, т. е. Р = ~^-

211] *
КРУГЛЫЕМПЛАСТИНКИ
157
Ответ. На основании закона взаимности перемещений по-
построение линии влияния заменяем процессом построения ,эпюры
Р
-р
V/Y/Л
—г /
\гкв
Рис. 72.
прогиба от сосредоточенной силы P = i, приложенной в центре
пластинки. На рис. 72 изображена линия^влияния w
13+u
!_ra\_rann JL
209а д. Примеры для самостоятельных упражнений.
Для одного из указанных ниже случаев полярно-сим-
полярно-симметричного загружения (рис. 73, а — д) круглой пластинки
с защемленным опорным контуром построить вдоль ра-
радиуса пластинки эпюры прогибов w и изгибающих момен-
моментов, используя линию влияния w (см. задачи 206 и 207).
210а~д« Примеры для самостоятельных упражнений.
Для одного из указанных ниже случаев полярно-
симметричного загружения (рис. 74, а — д) круглой пла-
пластинки с шарнирно-опертым контуром построить вдоль
радиуса пластинки эпюры прогибов и изгибающих мо-
моментов, используя для этой цели линию влияния про-
прогиба (см. задачу 208).
211. Иногда при элементарных ориентировочных под-
подсчетах из круглой пластинки «вырезают» полоску шири-
шириной, равной единице, и рассчитывают ее как заделанную
по концам балку длиной 1 — 2а.

158 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
гптн
Qfaa
ШШЗе,
Р
'Овяа
8)
P
p Ща
UBna
Is
Ф
Рис. 73.

круглый пластинки
159
¦*- г
а)
пЗа
6)
Рис. 74.

160 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ Б ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [212
Выяснить, во сколько раз для случая равномерной
нагрузки пластинки получим при таком расчете завы-
завышенные значения для изгибающих моментов и для про-
прогибов по сравнению с их точными значениями?
Ответ. Для изгибающего момента в середине примерно в 2
раза, для момента у краев в 2,7 раза и для прогиба в середине,
пролета в 3 раза.
§ 3.3. Осесимметричная деформация тонкостенных
оболочек вращения
212. Определить усилия, возникающие в сечении ци-
цилиндрической оболочки резервуара, в месте соединения
оболочки с плоским днищем (рис. 75) *). Данные: радиус
резервуара R = 2,00 м, высота слоя воды, она же длина
оболочки, 1 — 3,0м, толщина стенок оболочки h^= 0,15 м
и днища hx = 0,20 м. Расчетной нагрузкой принять давле-
давление воды (собственный вес конструкции в расчет не
включать.
Решение. Мысленно отсекая оболочку от днища (рис. 76)
и возмещая разрез приложением на каждую единицу периметра
усилий Xi и ЛГ2> сводим задачу к двум простейшим:
а) днище является круглой свободно-опертой плитой, нахо-
находящейся под действием равномерно-распределенной поперечной
нагрузки р = -A, подверженной по опорному контуру равномерно-
распределенному моменту интенсивностью ЛГ2 (усилие Хг для
пластинки будет являться продольным растягивающим усилием,
влиянием которого на изгиб днища можно пренебречь);
б) стенки резервуара являются цилиндрической оболочкой,
подверженной осесимметричному воздействию давления воды
и упомянутых усилий Ху и Х2.
При достаточно большом отношении длины оболочки >к ее
толщине любая полоска, мысленно выделенная из оболочки вдоль
образующей, может быть уподоблена балке на упругом основании
со специально подобранным коэффициентом постели.
Условие неразрывности деформации оболочки и днища запи-
запишется в обычной для строительной механики форме канонических
уравнений
2 = 0,
2=0,
где 812—перемещение по направлению силы Х1г вызванное силой
JK=1, Д2р —перемещение по направлению силы ЛГ2, но вызван-
•) Задачи 212—213 заимствованы из книги Б. Н. Жемоч-
кина [2].

0СЕСИ1ШЕТ?НЧНАН ДЕФОРМАЦИЯ ТОНКОСТ. ОБОЛОЧЕК 161
ное давлением воды, 8аа — перемещение по направлению силы JTj,
от силы ЛГа = 1 и т. п. Все элементарные перемещения будут
зависеть от деформации оболочки и от деформации плиты.
0,15у
2,00м-
3.00м
—4Д)м—
Рис. 75.
Рис. 76.
Характерная в теории расчета балок на упругом основании [2]
р
1 /"
= I/
3A -
A [;.) 1 ,
_а г в данном случае, при ^ = -o- (железо-
(железовеличина а
бетон), оказывается равной а = 2,4 мг1, и так как произведение
а -1=7,2 значительно больше 2,65, то «балку-полоску» можно счи-
считать как бесконечно длинную балку на упругом основании со
всеми вытекающими упрощениями техники расчета.
Так, угол поворота концов такой балки (это относитси к ниж-
нижнему концу оболочки) от единичного момента, приложенного на
И н. И. Бе»тхов

162 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [213
том же конце (Xt— 1), равен (822)обоя=^а* р8==55,30 р *); прогиб то-
того же конца от единичного момента (В12)обол = 2<*2Р=11.52C; он же—
угол поворота конца балки от единичной силы, приложенной на
том же конце (X1 = i); прогиб E11)обол=2а3=4,80р; прогибипово-
рот нижнего конца оболочки от давления воды, т. е. D].р)обол =
'P=s-3p и D)Р 1Р
Для днища угол наклона на опоре от нагружения контурным
моментом (Х2 = 1) с единичной интенсивностью (&22)пл =
От сил -3Ti = l девиации опорного контура не будет, т. е.
(8ai)nn=0, равно как и (8м)ш1=0.
Значение (8и)пл будет определятьсн деформацией растяжения
днища и запишется:
,. , 1-Я A-й)
От давления воды, очевидно, (^ip)iui=0, а поворот опорного
контура
Входящие в канонические уравнения элементарные переме-
перемещения определятся Д1р=(Д1р)обол-)-(Д1р)пл, 8ii = (8ii)o6+(°ii)nn
и т. д.
Решение канонических уравнений приводит к ответам:
Хг = 3,269 т/м, Хг= — 1,189 тм/м.
Дальнейший расчет (вычисление деформации и напряжений)
производится по формулам для пластинки (днища) и по формулам
балок на упругом основании (оболочки).
213. Определить усилия в сферическом куполе
в месте его прикрепления к опорному кольцу, которое
считать абсолютно жестким (рис. 77). Расчет выполнить
приближенным методом, исходя из предположения, что
изгибающие моменты существенны только в местах резко-
резкого перелома поверхности купола, в данном случае у опор,
а далее они быстро уменьшаются и на больших расстоя-
расстояниях практически исчезают. Данные: R = 30,12 м, пролет
купола /=30 м, высота Н — Ам, толщина h = 0,10 м,
купол имеет нагрузку д = 0,5 кг/м, угол фо = 29°52'.
Решение. Вначале определяются усилия по безмоментной
теории. Рассмотрим часть поверхности купола при центральном
угле ф; имеем JF = 2ni?2(l— cosi|>), нагрузка на эту часть
Л2
*) Коэффициент р, в дальнейшем сокращаемый, равен'р=-щ-

213] ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ТОНКОСТ. ОВОЛОЧВК 168
Рф=2гсЯ2A — cos <\i)q. Меридиональное усилие ¦ сечении, опреде-
определяемом углом ф, будет [2]:
Кольцевое усилие
м=-±-
2%r sin ф
sin2 ф
_/ , 1—созфЛ
j=gR[ совф . . . )•
Ч. sin*J/ J
Для нижнего сечения (ф = фо)
7V?=O,5-3O,12f 0,8672—-^=^
Переходим к дополнительному расчету, полагая, что купол пол-
0.5 т/мг тщхвноти купат
ппнтпнтггт
Рис. 77.
ностыо эаделан своим нижним краем в абсолютно жесткое опор-
опорное кольцо. Коэффициент
- /т
14*

164 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [214
Для нижнего края купола имеем [2]:
поперечная сила на единицу периметра опорного кольца v
дополнительное от изгиба меридиональное усилив
_51ОО^=-О,38 т/м,
дополнительное кольцевое усилие
N't=— N°t=—5,00 т/м,
изгибающий момент в меридиональном направлении
° = -5,00 222'б8^ =~0'146 ""•/*
момент в кольцевом направлении
Mt = V-Mr = ^- -0,146=—0,024 тм/м.
Меридиональное и кольцевое усилия следует сложить с теми,
какие получились по безмоментной теории. Таким образом, внизу
купола
Nr = 8,06—0,08=7,68 тм/м,
ty = 5,00 — 5,00 = 0.
§ 3.4. Задачи устойчивости (устойчивость пластинок,
устойчивость плоской формы изгиба)
214. Прямоугольная пластинка толщиной h с шарнир-
шарнирным опиранием по контуру подвергается по коротким
сторонам действию сжимающих усилий, направленных
параллельно длинным сторонам (а > Ъ).
Во сколько раз, как минимум, критическая нагрузка
для указанной пластинки будет больше критической
(эйлеровой) силы для стержня длиной а прямоугольного
сечения bh при шарнирном закреплении концов?
При каком соотношении сторон критическая сила
для пластинки не будет зависеть от абсолютного раз-
размера длинной стороны?
Ответ. Минимум в 4 раза. Критическая сила не будет зави-
зависеть от абсолютного размера длинной стороны, если — > 3,0.

218] ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ 185
215. В каком случае прямоугольная пластинка с шар-
шарнирным опиранием по контуру, сжатая по коротким
сторонам, при выпучивании «разбивается» узловыми ли-
линиями, т. е. линиями, по которым прогиб равен нулю,
на квадраты.
Ответ. Если длина пластинки о кратна ширине пластинки Ь.
216. При каком отношении сторон -т- (а > Ь) в прямо-
прямоугольной пластинке с шарнирным опиранием концов при
выпучивании одна полуволна вдоль стороны а сменяется
двумя, две полуволны —тремя и вообще т полуволн
сменяются т+1 полуволнами.
fit г—
Ответ. Одна полуволна сменяется на две при —=у 2, две
на три—при — = ]/б, т полуволн на m-f 1 полуволн—при отно-
отношении
217. Вычислить критическое напряжение для пластин-
пластинки из стали марки Ст.З. Отношение сторон -г- > 0,7.
Выяснить пределы применимости «упругой» формулы.
Ответ. Принимая Е=2,1-Ю6 кг/см%, (л = 0,3, предел пропор-
пропорциональности аПд = 2000 кг/см1, имеем при заданном отношении
сторон
При — > ?-г приведенная формула неприменима, так как вы-
пучивание будет происходить в неупругой зоне материала.
218*). Прямоугольную пластинку, имеющую кратное"
отношение сторон Г например, -^ = 3 j и шарнирное опира-
ние по контуру, решили усилить поперечными ребрами
жесткости, расположив их на расстоянии, равном ширине
пластинки (рис. 78, а).
Повысится ли при этом критическое напряжение для
пластинки? Что изменится, если расположить поперечные
*) К задачам 218-220 см. [47] и [67], гл. VII.

116 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [219
ребра (рис. 78, б) на расстояниях, равных -j. He лучше ли
в указанной пластинке поставить продольное ребро жест-
жесткости, расположив его посередине ширины щластинки
(рис. 78, в)?
су
р
—»~
—^-
¦
\ Г
в)
Р
—
—-
н
)
¦^ -J
Рис. 78.
Во всех указанных случаях ребра жесткости пред-
предполагаются настолько жесткими, что по их оси исклю-
исключается выпучивание пластинки; явление потери устой-
устойчивости происходит в упругой области.
Ответ. В первом случае критическая нагрузка не повысится,
во втором случае повысится в 1,56 раза и в третьем случае повы-
повысится в 4 раза.
219. Прямоугольная пластинка имеет шарнирное опи-
рание по коротким сторонам и защемление по длинным
(рис. 79). Пользуясь учебниками [67], стр. 353 — 371
или [47], стр. 239 — 250, разобрать вывод уравнения для
определения критической нагрузки, приложенной по КО-
ротким .сторонам.

220]
ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ
Ответ. За нижний предел критического напряжения можно
принять minoKp я» 6,31^1, т. е. примерно в 1,7 раза больше,
чем для шарнирно-опертой по продольный краям пластинки.
л
Рис. 79.
Рис. 80.
220. В плане решения предыдущей задачи исследо-
исследовать условия потери упругой устойчивости следующих
пластинок:
а) один из продольных краев заделан, а другой оперт
шарнирно. Короткие стороны по-прежнему имеют шарнир-
шарнирное опирание.
б) Один продольный край пластинки оперт шарнирно,
а другой свободен.
в) Один продольный край пластинки заделан, а другой
свободен. Рассмотреть частный случай, когда а—2-1.635&.
Ответ. К случаю a): mmaKp=4,89-^~ .
К случаю б): при [х=0,3 приблизительно

168 ПРИБЛИЖЕННЫЙ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [221
Форма потерн устойчивости показана на рис. 80.
К случаю в): minoKp = l,16 -«— •
При других соотношениях сторон критическое напряжение
будет иное (выше), но близкое к указанному.
221*). Однопролетная балка узкого прямоугольного
сечения находится под действием сложной поперечной
нагрузки (рис. 81), расположенной в вертикальной плос-
Рис. 81.
кости, являющейся для балки главной плоскостью наи-
наибольшей жесткости. Помимо внешней активной нагрузки,
на балку действуют реактивные моменты на концах,
зависящие от пролетной нагрузки и от жесткости упру-
упругого закрепления концов. Для концов балки исключается
поворот опорных сечений относительно оси Ох и допу-
допускается поворот их вокруг осей Оу и Oz, обусловленный
конечной жесткостью заделок.
Предполагая, что балка находится в критическом
состоянии, когда возможна не плоская форма изгиба,
составить общее выражение потенциальной энергии дефор-
деформации системы (V), потенциальной энергии внешних сил
(Т) и полной потенциальной энергии системы (Э).
Ответ. Потенциальная энергия деформации состоит из энер-
энергии деформации изгиба в горизонтальной плоскости (Уг), энергии
деформации кручения (Fs) и энергии деформации упругих конце-
•) К задачам 221—223. См. [67], гл. V, [52], гл. II и VI.

223] 8АДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ 109
вых заделок в горизонтальной плоскости, т. е.
i l
Потенциальная энергия внешних сил может быть определена
по формуле
i
где
v*=v(x)— прогиб в горизонтальной плоскости; 8 = 6 (ж) — угол по-
поворота поперечных сечений относительно продольной оси; Л/;д,
Мгв — опорные моменты в горизонтальной плоскости;
<Ргд = р' @), cpzB = w' (/)—углы поворота сечений в той же плоскости;
Mv — изгибающий момент от внешней нагрузки;
B=EJZ—наименьшая жесткость балки при изгибе;
C = GJd—жесткость при кручении.
Полная потенциальная энергия упруго-деформированной си-
системы определится:
222. В выражение полной потенциальной энергии при
потере устойчивости плоской формы изгиба (см. зада-
задачу 221) входят упругие перемещения у и б. Доказать,
что эти функции связаны между собой дифференциаль-
дифференциальной зависимостью
Bxf = Мф + (М2А - MzB) | - МгА.
223. (Продолжение задачи 221.) Показать, что если
внешняя нагрузка изменяется пропорционально некото-
некоторому параметру Р, то критическое значение этого пара-
параметра может быть записано в виде
Р -kVWc
fh — К р— ,
где

170 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [224
ИЛИ
Решение. Варьируя параметр аи будем изменять потенциаль-
потенциальную энергию системы. Равновесному состоянию будет соответство-
вать минимум потенциальной энергии. Таким образом, -=—=0,
откуда и получаем приведенное выражение для Р^.
224*). Вычислить критическое значение силы Р
(рис. 82), при которой происходит потеря устойчивости
плоской формы изгиба полосы для случая шарнирного
закрепления концов балки в двух плоскостях. Задачу
решить приближенно, выбирая для функции кручения 6
функцию статической деформации балки, имеющей то же
закрепление, какое имеет исследуемая полоса в горизон-
горизонтальной плоскости, и несущей такую же поперечную
нагрузку (рис. 83), какая действует в вертикальной плос-
плоскости. •
Решение. Назначаем для левого и правого участков балки
функцию кручения в виде
где т=-р. Соответственно,
далее имеем:
";=4-w)r "й=1г(Л/«а)п-
Подстановка назначенных и найденных функций в выражения
Л! и А2 (см. задачу 223) приводит к результату
?,
63A — 5т*+6т*—2т*)
т2 B—9m2—42?n3-|-207m«—Шт*+2Пт<>—
*) Задачи 224—226 заимствованы из [36].

225]
8АДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ
171
225. Определить критическое значение интенсивности
? = — равномерно-распределенной нагрузки (рис. 84),
при которой происходит потеря устойчивости плоской
г
Рис. 84.
тттптп пнищи
Рис. 85.
формы изгиба. Оба конца балки шарнирно закреплены
в обеих плоскостях.
В качестве апроксимирующей функции угла закручи-
вяввя принять функцию прогиба балки в горизонтальной

172 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [226
плоскости (рис. 85) от нагрузки, численно равной задан-
заданной в вертикальной плоскости, т. е.
Решение.
a ?L±{
1 В 2 V I*
431
JL\(L 24-3 У*х
41 ) К. Р "I5 ^li"+dlT р ) ах~ 720720 '
о
\ 17
^ = 35'
(Точное решение для этого случая нагружения, данное А. П. Ко-
Коробовым, к — 29,315.)
226. В условиях предыдущей задачи изменить опорное
закрепление правого конца, полагая его шарнирно-закреп-
ленным в вертикальной плоскости, жестко — в горизон-
горизонтальной.
Ответ. Принимая приближенное выражение 6:
Xs х*
3+2
находим:
§ 3.5. Свободные и вынужденные колебания пластинок
227. Для приближенного описания упругих колебаний
прямоугольной пластинки со сторонами 2а и 2Ь, опертой
по контуру и имеющей толщину h, пластинку приводят
к системе с одной степенью свободы, сосредоточивая часть
ее массы в центре пластинки. Определить коэффициент
приведения, приняв в качестве уравнения изогнутой ере-

22В] свободный и вынужденные колебания 178
динной поверхности выражение, удовлетворяющее краевым
условиям
где w0 — прогиб в центре плиты (ось х параллельна сто-
стороне длиной 2а)*).
+а+Ь
Ответ. По формуле Л = —% \ \ qw2 dx dy, где Q—q2a2b,
0 -о -Ь
имеем А:= 1/4.
228. Решить предыдущую задачу для случая защемле-
защемления пластинки по контуру.
Укааание. В качестве уравнения изогнутой срединной поверх-
поверхности можно принять:
тогда получим коэффициент приведения к = 0,165.
229. Сравнить частоты основного тона свободных коле-
колебаний плиты прямоугольной формы в случае свободного
опирания и в случае защемления по контуру.
Укааание. Прогиб центра плиты от единичной силы, прило-
приложенной в ее центре, определится выражением [9]
_ 192A — у.*)а3Ь3
в случае свободного опирания и
Eh3
20,805 ^±^+11,888^,
по контуру.
гинки, свободно-опертой
_ i/ * _0,712(а2+Ь2)Д / Eg
1 V Л/пр800~ оа62 V ТA — I*2)'
в случае защемления по контуру.
Ответ. Для пластинки, свободно-опертой по контуру,
для пластинки, защемленной по контуру,
~2
)'
причем Мпр = кМ и M=ia2b2h —, где f — удельный вес.
*) Задачи 227—236 взяты из [11].

174 ПРИБЛИЖЕННЫВ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [230
Отношение частот нри а = Ь
^1=0,581.
(^
230. Для круглой пластинки раДиуса а, защемленной
по контуру, определить коэффициент приведения (точку-
приведения выбрать совпадающей с центром пластинки) и
частоту основного тона свободных колебаний.
Указание. За уравнение упругой поверхности можно принять
выражение
ш=1Ч ~^
Прогиб от единичной силы, приложенной в центре пластинки,
_3 A-
00 ~~ 4
Ответ. Коэффициент приведения йг= 1/5 ( при ц="о" )¦ Ча-
стота колебании
9 ЙЧ h / Eg
@ = 2,83—5-1/ —г: r..
a2 r if A — H- )
231. Для пластинки эллиптической формы в плане,
защемленной по контуру, определить коэффициент при-
приведения и частоту основного тона. Эллипс имеет полу-
полуоси а и Ъ.
Указание. За уравнение упругой поверхности можно принять:
tt> = ttio(l—a2J,
где а—переменная, изменяющаяся от нуля (в центрах) до едини-
единицы (на опорном контуре).
Прогиб в центре пластинки от единичной силы, там же при-
приложенной,
Ответ.
9
00 ~ 2% (За*+364+2а26а) № *
232. Квадратная пластинка со сторонами по 2а оперта
по четырем углам. Определить коэффициент приведения
для центра пластинки и частоту основного тона.

235] СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
За уравнение упругой поверхности принять:
W
W = -
Ответ.
л_0 45 „- %h ,/.23+1* ,/ Eg
к-ОЛЬ, w—p у 43>44 У r(l-nV
233. Вычислить динамический коэффициент для слу-
случая удара в середину пластинки прямоугольной формы,
опертой по контуру. Размеры сторон пластинки 2а и 26.
При решении использовать результаты задачи 229 (исклю-
(исключить из рассмотрения явление отскока груза от пластинки).
Ответ. При статическом приложении силы Р в центре пла-
пластинки
_ 192A — у.*)а3Ь*Р
У
и, таким образом, динамический коэффициент при ударе
где 9—скорость груза весом Р в момент соударения.
234. Как изменится динамический коэффициент для
пластинки, указанной в предыдущей задаче, если она
будет защемлена по контуру.
Ответ.
-1-t-r
12A-
Нри больших скоростях падения и при а = Ь
235. Сопоставить динамические коэффициенты для
случая удара в центр круглых плит одинакового радиуса а,
одной — опертой по контуру и другой — защемленной.
Ответ. Для свободно-опертой
для защемленной

176 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [236
при больших скоростях падения и при ц=0,3
it* 1,57.
236. Составить выражение динамического коэффициен-
коэффициента при ударе в середину квадратной плиты, опертой по
четырем углам. Стороны квадрата 2а. Массу плиты учесть
приближенно.
Ответ.
»='+]/
Ст+О
192A-
_
g
где Q = i4a2A, к = 0,45 (см. задачу 232).
237. По круглой плите радиусом а по направле-
направлению одного из диаметров ее, начиная с опорного кон-
контура, быстро, со скоростью v, пере-
перемещается груз Р, массой которого по
сравнению с массой плиты можно пре-
пренебречь. Описать колебания центра
плиты при указанной динамической на-
нагрузке. Опорный контур плиты за-
защемлен.
Решение. Силу Р постоянной величины,
быстро перемещающуюся по плите, заме-
заменяем одной неподвижной силой в центре
плиты, но изменяющейся во времени та-
таким образом, чтобы статическое переме-
перемещение центра приведения в любое мгнове-*
ние от действительной силы при ее дей-
действительном для данного мгновения поло-
положении на сооружении равнялось бы переме-
перемещению того же центра от одной приведен-
приведенной силы.
Для этой цели надо задаться уравнени-
уравнением статической линии влияния прогиба
центра плиты или на основании закона о вза-
взаимности перемещений задаться эпюрой про-
прогиба плиты от единичной силы, располо-
расположенной в центре плиты. Характер последней (рис. 86) может быть
описан приблизительно уравнением
86.
где *-.»«.
1 / . пх\
^o-^i-cos—)

238J СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 177
Согласно указанному условию тождественности
откуда для приведенной силы имеем:
Pt=P-L(l-cosQt),
где обозначено
ТО)
а
Для системы с одной степенью свободы, как известно [11],
при неподвижной безмассовой силе Р;, изменяющейся во времени
по любому закону, перемещение точки
приложения силы описывается уравнением
1
wt=zmr
Рис. 87.
где ш —частота собственных колебаний пли-
плиты, Мпр—приведенная к центру масса плиты, а>| — перемещение
центра плиты в мгновение времени t.
Отчет.
а)(=-7Га)ст(таХ) 1 —coscot . N2(cos 8г—со* cot)
L »-(i) J
3 ы u*)(Z*
где Wat (max) ^ -j p ,пдкз (см. вадачу 230, там же и ш).
238. Как изменится решение и результат, если плита
в предыдущей задаче будет по контуру не защемлена,
а свободно оперта?
Решение. Линия влияния прогиба центра плиты будет иметь
вид, показанный на рис. 87, и может быть приближенно апрокси-
мирована уравнением
. кх
У ¦= 2/о Sin -?-.
Таким образом, приведенная сила в центре
Pt
12 н. И. Бевухов
= Psin-^—=Psin St, где 6 = =-
la la

178 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [239
Ответ.
\ Р sin
4
6
239. По плите из предыдущей задачи по направлению
одного из диаметров плиты, начиная с опорного контура,
быстро со скоростью v перемещается груз Р, вес кото-
которого меняется во времени по закону Psinb*t. Описать
колебания центра плиты.
Укааание. Приведенная к центру плиты динамическая сила
равна
Pt=Psin 8*i sin 8t, где 8 = ^ .
Ответ,
t
Р С
—гр— \
Zbj (cos
= 2ЩР
где
61 = 8* —6, 62 =
§ 3.6. Колебания тонкостенных стержней
240. Тонкостенный стержень, поперечное сечение
которого имеет одну ось симметрии, совершает устано-
установившиеся вынужденные колебания, вызванные продолжи-
продолжительным действием на стержень поперечной нагрузки q*
и крутильных моментов т*, изменяющихся во времени
по закону
Q* — Q (z) sin ^
и
т* = т (z) sin Qt,
где 6 —частота вынужденных колебаний.
Составить дифференциальные уравнения совместных
изгибно-крутильных колебаний.

241]
колебания Тонкостенных Стержней
179
Обозначения: ось стержня 6>z, ось симметрии сечения Ох,
ф* — перемещение центра изгиба сечения вдоль оси Оу
(рис. 88), tp* — угол закручивания того же сечения.
kg
\ Силовые
начальные параметры
Кинематические
начальные параметры
в0 штююшяюсть
угла закручивания
Рис.
Укааание. В известных уравнениях В. 3. Власова [18], записан-
записанных в частных производных, необходимо в соответствии с физи-
физической картиной установившихся движений положить:
ф* = ф (z)sin Ы, tp* = tp (z) sin 6f,
вследствие чего уравнения запишутся в форме обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Ответ.
Е7*^Л + ^\
EJ«
GJd-
где
r2= x „ v--\-ax, Ju> —
„ --\-ax, Ju> — секториальныи момент инерции сечения;
остальные обозначения обычные.
241. Если решать уравнения предыдущей задачи ме-
методом начальных параметров, т. е. выражать постоянные
интегрирования через силовые и кинематические пара-
параметры, имеющие отношение к начальному сечению,
# 12*

180 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В.ТЕОРИИ^УПРУГОСТИ [242
например, на левом конце стержня, то сколько должно
быть таких параметров и какие они?
Ответ. Четыре кинематических параметра, а именно: 4\>, <?о>
"W. То — амплитуды начального прогиба, угла крученая, девиации
и интенсивности угла кручения на левом конце стержня, и четыре
силовых параметра, а именно: Мо, Qo, Lo, ВШ(>— амплитуды на-
начального изгибающего момента, поперечной силы, крутящего мо-
момента и бимомента на левом конце стержня.
РSin 1000't
1
N16°
Эпюра амплитуд прогибов ф
^ №*Ю5Р п93"Ю'5Р
дпюра амплитуд изгибающих моментов М
Ш37Р
Шара амплитуд бимаментов В
Ц.28Р 1Ш4Р
8пюра амплитуд крутящих моментов L
ШР Q7SP
Рис. 89.
242*. Тонкостенный стержень пролетом /=100 см
и поперечным сечением, представляющим собой швеллер
№ 16а, подвергается действию вибрирующей сосредото

245] КОЛЕБАНИЯ ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНЕЙ 181
ченной силы, приложенной, в середине пролета с часто-
частотой 6= 1000 1/сек (рис. 89). Направление действия силы
проходит через центр изгиба сечения швеллера. Концы
стержня уложены на опорах, препятствующих прогибам
и закручиваниям концов: депланация опорного сечения
свободная. Построить эпюры моментов.
Укааание. Решение системы уравнений, приведенных в за-
задаче 240 для случая, когда отсутствуют распределенные внешние
силы (q — m = Q), можно записать в гиперболических функциях
вида
i=4 t=4
<|/ = 2 АП sh vi* + 2 В
t=l 1=1
t=4 t=4
где S — -.— относительная координата Aiv Ai2, Bn, Bi2 —
произвольные постоянные, определяемые из граничных
условий.
Ответ. На рис. 89 представлены наиболее интересные эпюры
амплитуд: прогибов, изгибающих моментов, бимоментов и кру-
крутящих моментов*).
243*. Как изменятся эпюры в предыдущей задаче, если
поперечное сечение стержня будет двутавр с той же
изгибной и крутильной характеристикой, как и швел-
швеллер № 16*?
Ответ. На рис. 90 представлены эпюры амплитуд прогибов
и изгибающего момента (эпюры крутящих моментов и бимомен-
бимоментов отсутствуют).
244*. Стержень из задачи 242 подвергается в среднем
сечении действию крутильного момента с частотой
1000 1/сек. Построить характерные амплитудные эпюры.
Ответ. На рис. 91 показаны эпюры амплитуд прогибов, из-
изгибающих моментов, бимоментов, крутящих моментов.
245*. Как изменятся эпюры в предыдущей задаче, если
поперечное сечение стержня будет двутавр с той же
*) См. статью Н. И. Безухова и О. В. Лужина в сборнике
«Исследования по теории сооружений», т. 7, 1957 г,

X T_ .Z1
Psin /0001
50 см-
-50 cm
Эпюра ампмтуд прогибов ф
0,88*Ю~5Р 1.27*Ю5Р О,88*Ю~!Р
Эпюра амплитуд изгибающих моментов
14,14Р Z70BP 14.14Р
\N/Ba Ism /OOOt
L/ /P.
50см-
— 50cm-
Эпюра амплитуд прогибов ф
е
a222*io~5L
Эпюра амплитуд изгибающих моментов М
9
<№L 5,581 424L
Этора амплитуд бимаментов В
О 43,331 63,011 43.33L
Эпюра амплитуд крутящих моментов L
3,521
U52L Z58L
Рис. 91.

246]
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
183
изгибной и крутильной характеристикой, как и швел-
швеллер № 16а? „
¦
LsinlOOOt
50см-
-50см
Эпюра амплитуд йимоментав В
24J7L AWl 2W7L
Эпюра амплитуд крутящих моментов L
—*.
Ф
ZOiL
Рис. 92.
Ответ. На рис. 92 показаны эпюры амплитуд бимоментов
и крутящих моментов.
§ 3.7. Смешанные задачи устойчивости и динамики
стержней и оболочек
246. Стержень бесконечной длины, имеющий задан-
заданную изгибную жесткость поперечного сечения {EJ)
со снободно-опертыми шарнирными концами (рис. 93)
и уложенный на всем протяжении на несвязанном ли-
линейно-деформируемом оснонании (коэффициент постели с),
изгибается приложенными по концам продольными сжима-
сжимающими усилиями.
Устанонить выражение для критического значения
указанных усилий, при котором стержень теряет устой-
чиность сноей первоначальной прямолинейной формы.
Указание. В известное дифференциальное уравнение при про-
продольно-поперечном изгибе балки (рис. 93)
dv*
dx*
= -FTT~ Я*
cPv
N
EJ

184 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [247
надлежит произвести подстановку р=—cv. Интегралом указан-
указанного дифференциального уравнения можно считать выражение
N ......
ev
^k^
Рис. re.
(при бесконечно длинной балке) v=*Asin-r-, где /—длина полу-
полуволны.
Ответ.
247*). Тонкая цилиндрическая оболочка с шарнирно-
закрепленными концами подвергается действию продоль-
продольных усилий, равномерно-распределенных по торцам.
Вычислить критическое значение указанных усилий,
полагая форму потери устойчивости осесимметричной,
а длину оболочки достаточно большой. Данные: г, h, E,
(х —радиус срединной поверхности оболочки, толщина
оболочки, модуль упругости и коэффициент Пауссона
материала оболочки.
Указание. Выделяя из оболочки вдоль образующих «балку-
пЬлоскур, имеем идентичные условия для потери устойчивости
оболочки и «балки-полоски», если последнюю заключить в упру-
упругую среду с коэффициентом постели
Eh
Таким образом,
.. Eh*
N
где Л^кр—отнесено к единице периметра торца.
*) К задачам 247-248 см. [67], гл. IX,

249] СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 185
Указанная формула практически приемлема, если соблюдается
условие, что длина оболочки
248. Решить предыдущую задачу для случая, когда
длина оболочки I < I*.
Ответ.
Eh? тЧ1 , Eh P
где для т надлежит взять целое число, ближайшее к значению
» / 1 /2A—(л2)
т*=—I/ —v,a a r y, которое не обязательно окажется целым.
249*. Для стержня, обследованного в задаче 246
на статическую устойчивость, составить условие потери
устойчивости для случая внезапного приложения про-
продольных сил по концам. Силами инерции от продольных
ускорений при колебаниях стержня пренебречь.
Указание. В исходное уравнение задачи 246 надлежит доба-
добавить инерционные силы, возникающие при колебаниях стержня,
т. е. в данном случае имеем уравнение
dlw . . „7 dlw d*w . .
рр—погонная масса балки. Решением уравнения будет:
w
=q(i) sm-j-, (б)
где q (t)—функция времени.
Подстановка (б) в (а), дает:
и так как последнее уравнение должно быть удовлетворено при
любом х, то имеем:
0, (В)
где
7F Гдин ~т*—EJ~*—CJ' (г)
при аа>0 решение уравнения (в) будет в виде показательной
функции, указывающей на возрастание прогибов во времени.

186 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ Б ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [250
Из условия аа = 0 определим критическое значение
совпадающее со статическим значением сжимающей силы.
250*. Цилиндрическая оболочка, обследованная в за-
задаче 247, теряет устойчивость прямолинейной формы
вследствие внезапного приложения к торцам сжимающих
сил Nma. Вычислить значение последних.
Ответ.
_ Ehs го2 я2
дин~~ 12A —[х2)~W '
251*. (Продолжение задачи 250.) Обследовать случай
когда I < I*.
Ответ.
Eh3 го2 я2 , Eh I*
¦*ТДИН л о /л , 2\ 72 ^^ -2 »vi2-r2 *
i6\i p.. ) I г nl 7Ь
252*. В предыдущей задаче обследовать N№n Для
случая таких количеств полуволн т= 10, 27, 29, 31, 50*).
Остальные данные: 1 = 5 м, —=1/100, [г = 0,3.
Ответ.
-5^ = 4,25, 1,012, 1,000, 1,662.
Not
253*. Тонкая цилиндрическая оболочка с шарнирными
опираниями по торцам имеет начальное искривление
, . т%х
до0 =/с sin. —г-, подвергается на торце действию перемен-
переменной продольной нагрузки, пропорциональной времени
N — Tt, где Т — скорость нагрузки, t — время.
Начиная с некоторого времени г = ?Кр, амплитуда
прогиба оболочки растет и она теряет устойчивость.
Составить уравнения для определения указанных времени
и соответствующего ему значения динамической силы.
Указание. Уравнение движения имеет вид :
Eh3 д1 (w—w0) , Eh ,
*) Вычисления в задачах 252—253 сделаны А. И. Блохиной.

253] СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 187
Ищем решение в виде
* . т%х
a» = 5(t)sin-y- .
Тогда предыдущее уравнение примет вид дифференциального
уравнения второго порядка с переменными коэффициентами для
функции времени /({)
}\t)+A[l-*..
где
1 Г Ehs го*л« Ehl
Ц L ЩГ^г) ПГ + 7* J '
/ = —— безразмерная текущая амплитуда прогиба и е=
безразмерная начальная амплитуда прогиба.
Введя новую переменную г=1 — -r-t, получим для /(*) урав-
нение типа Бесселя

ГЛАВА IV
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
Краткие сведения из теории
1. Имеется несколько теорий, определяющих прост-
пространственное деформирование твердых тел, напряженное
состояние которых частично или полностью перешло
границы их упругого сопротивления.
Наиболее распространенными являются так называе-
называемые теория малых упруго-пластических деформаций и
теория пластического течения. Физическими уравнения-
уравнениями первой теории являются уравнения, связывающие
напряжения и деформации за пределом упругости. Фи-
Физическими уравнениями второй теории служат уравне-
уравнения, связывающие напряжение и скорости деформации,
т. е. вторая теория рассматривает пластическую дефор-
деформацию твердого тела как состояние движения.
В случае больших упруго-пластических деформаций,
когда прогибы, осадки изделия и т. п. соизмеримы
с первоначальными размерами изделия (конструкции)
приходится для их описания обращаться к теории конеч-
конечных упруго-пластических деформаций.
Так как одни материалы при характерном для них
испытании на растяжение обладают достаточно протя-
протяженной площадкой текучести, а другие этого не имеют,
то в одних случаях можно не считаться с явлением так
называемого «упрочнения» материала, в других случаях
это необходимо; физические уравнения в первом случае
носят название условий пластичности, а во втором слу-
случае—^условий пластичности с упрочнением.

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ^ТЕОРИЙ , 189
2. Основные уравнения современной теории малых
упруго-пластических деформаций складываются из урав-
уравнений механики сплошной среды, приведенных в главе I
(уравнения A.08), A.01), A.13), A.15)), и дополнитель-
дополнительных уравнений, устанавливающих за пределом упругости
связь между компонентами напряжений и компонентами
деформации.
Эти уравнения могут быть записаны по форме, сход-
сходной с уравнениями теории упругости B.01) или B.02)
с тем отличием, что взамен постоянных — модуля упру-
упругости и модуля сдвига —здесь фигурируют величины
переменные, зависящие от степени деформации. Так в
теории упруго-пластических деформаций эти уравнения
имеют вид
u D.01)
ог — о0р = 2G' (sz — ecp), izx =
где приведенный (секущий) модуль сдвига G' является
функцией октаэдрического сдвига, т. е.
С = С (You,), D.02)
вид функции принимается в теории малых упруго-пла-
упруго-пластических деформаций таким же, какой имеет вид для
того же материала зависимость «секущего» модуля сдви-
сдвига от угла сдвига при простом сдвиге (или при чистом
кручении); иначе говоря, диаграммы, приведенные на
рис. 94, а и б, принимаются совершенно идентичными.
В D.01), очевидно, согласно рис. 94, б можно про-
произвести замену
G'=^, D.03)
Токт
где по-прежнему (см. гл. I)
*окт = ~ /(^-^ + («„-^4(^-046(^+^+4),
D.04)
D.05)

190
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
Для материалов с резко выраженной площадкой те-
текучести, т. е. со слабым «упрочнением» или вообще без
«упрочнения», полагают^объемную деформацию пренеб-
пренебрежимо малой по сравнению с компонентами деформа-
деформации, т. е. считают, что

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ 191
Часто взамен касательного октаэдрического напряже-
напряжения и соответствующего ему октаэдрического сдвига
вводят в употребление величины, им пропорциональные,
а именно:
интенсивность напряжения
и интенсивность деформации
e=JLT D.07)
Yi
Тогда D.01) переписывается в виде
3,4 * *v 3n *v j
ov-oep=4-v v=r"V> / D-08)
Связь о4 с е4 совершенно идентична связи между
осевым напряжением и осевым относительным удлине-
удлинением при простом (одноосном) растяжении того же ма-
материала, и диаграммы, приведенные на рис. 94, в и г
для одного и того же материала, но с одной стороны
для простого, с другой —для сложного напряженного
состояний, совпадают; поэтому
о = Е'е, в; = ?'е4. D.09)
Связь интенсивности напряжений с интенсивностью
деформации обычно записывают в виде
о1 = ?'в1 = ?A-о>)в4, D.10)
где величина ш есть функция интенсивности деформации
(ш = ш(е4)). Для упругого процесса, очевидно, со = 0.
Предельное значение ш при устремлении si к ос равно 1.
Таким образом,
при е4 < ет ш = 0,
при е4 > ет 0<со<1.

192 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
3. В случае слабовыраженного «упрочнения» материа-
материала ради простоты расчетов принимается условная диа-
диаграмма растяжения, показанная на рис. 94, д. При
такой идеализированной диаграмме условие пластичности
записывается:
или v, D.12)
°i = °T.J
В развернутом виде D.12) переписывается:
D.13)
Оперирование в случае идеально-пластического материа-
материала вместо шести уравнений типа D.01) одним условием
D.13) лишает возможности однозначно определить ком-
компоненты деформации. Однако в телах, находящихся в
упруго-пластическом равновесии, т. е. когда наряду
с пластическими зонами существуют также упругие
зоны, никакой неопределимости в отношении пластиче-
пластических деформаций не будет.
Возрастание деформаций сопровождается изменением
форм границы, разделяющей указанные зоны.
Наряду с условием пластичности в форме D.13),
физическое обоснование которой дается теорией энер-
энергии формоизменения, имеются и другие гипотезы (теория
наибольших касательных напряжений и др.).
4. В случае резко выраженного «упрочнения» мате-
материала при деформации при полном отсутствии в диаг-
диаграмме растяжений площадки текучести в целях просто-
простоты расчетов принимаются начертание связи о4 с е{ по
степенному закону типа
о4 = Ле?. D.14)
Если параметры А и п определить из обычной диа-
диаграммы растяжения материала применительно к той
точке диаграммы, в непосредственной близости к кото-
которой ожидаются деформации в значительной области
исследуемого тела (если это по каким-либо соображе-

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ 193
ниям заранее известно), то пользование D.14), сущест-
существенно упрощающее вычисление, может в итоге дать
результаты, близкие к действительности.
5. Совокупность уравнений A.08), A.13), D.01),
D.02) [или его заменяющих D.09) или D.14)*], а также
D.04) и D.05) [или заменяющих D.06) и D.07)] состав-
составляет систему основных уравнений теории малых упруго-
пластических деформаций при описании процесса так
называемой активной деформации [3], когда интенсив-
интенсивность напряжения о( или (токт) в данный момент на-
гружения конструкции имеет значение, превышающее
все предшествующие его значения. Предполагается,
что функция о{ — монотонно возрастающая, т. е. прак-
практически отвечает случаю так называемого «простого»
нагружения, когда все внешние силы от начала их
приложения возрастают пропорционально общему па-
параметру.
При «простом» разгружении, т. е. когда все внешние
силы начинают одновременно убывать также пропорцио-
пропорционально их общему параметру («пассивная» деформация),
упруго-пластическое тело подчиняется обобщенному за-
закону Герстнера; для описания в этом случае закона
спада деформации и напряжений применимы законы ли-
линейной теории упругости.
Наиболее эффективным из приближенных методов
в теории пластичности следует считать метод последо-
последовательных приближений А. А. Ильюшина, именуемый
методом упругих решений [3]; в нем для первого при-
приближения принимается решение аналогичной задачи тео-
теории упругости (со сходственными граничными и други-
другими условиями), благодаря чему в первом приближении
выясняются границы между упругими и пластическими
зонами как по длине стержня (пластинки и др.), так и по
высоте сечения. Это позволяет в первом приближении
вычислить для каждой точки такого сечения значение
числа со, входящего в основной физический закон пла-
пластичности D.13). Зная величину ш, можно в порядке
первого уточнения исправить ранее вычисленные компо-
компоненты напряжения, внести поправки в первоначальные
основные уравнения теории упругости, что определит
новые границы между упругой и пластическими зонами,
13 Н. И. Беаухов

Ш теория Пластичности
новые значения числа ш и новые напряжения, более
близкие к истинным.
Процесс «упругого» решения задач теории упругости
Может быть закончен, как только разница между по-
последовательными приближениями окажется в пределах
допустимой точности вычисления; процесс оказывается
быстро сходящимся [3].
§ 4.1. Частные случаи условий пластичности
254. Записать условие пластичности D.13) для двух
частных случаев: плоское напряженное состояние и
плоская деформация (в плоскости хОу).
Ответ. Jifia плоского напряженного состояния
для плоской деформации при ог=-2-(
255. Условие пластичности D.13), составленное для
случая плоской деформации (в плоскости хОу), сопо-
сопоставить с условием по теории наибольшего касательного
напряжения; последнее в любой точке остается постоян-
постоянным и равным тт, т. е. пределу текучести материала
на сдвиг.
Ответ. Условие пластичности по двум указанным гипотв-
вам совпадает с точностью до постоянного множителя. Во вто-
втором случае оно записывается:
1/( J + &2
Если полагать тт = —?=:, то совпадение будет полным; если поло-
V 3
жить гт=-^- (что в принципе отвечает теории наибольших каса-
тельных напряжений), то правые части будут по двум разным
о
теориям отличаться в —jr^fa 1,15 раза.
у з

259] частные случаи"условий пластичности 195
256. Условие пластичности D.13) записать в глав-
главных напряжениях и рассмотреть два частных случая:
а) о1 = о2 и б) о2 = о3.
Записанные для этих двух частных случаев условия
пластичности сопоставить с результатами согласно
теории наибольших касательных напряжений.
Ответ. Для обоих указанных случаев условия пластичности
записываются одинаково: аг—а3=аТ.
257. Вал круглого поперечного сечения подвергается
действию изгибающего (Ми) и крутящего (Мкр) момента.
Найти соотношение между указанными моментами, при
котором материал в окрестности наиболее напряженной
точки вала придет в состояние пластичности. Материал
вала предполагать идеально-пластическим. Задачу ре-
решить в двух вариантах: с точки зрения энергетической
теории пластичности D.13) и на основании теории наи-
наибольших касательных напряжений.
Ответ. Условие наступления текучести в одной точке вала
по энергетической теории
и по теории касательных напряжений
где W—экваториальный момент сопротивления сечения вала
диаметром d и LWp = 2W — полярный момент сопротивления того
же сечения.
258. Стержень эллиптического поперечного сечения
с полуосями а и Ь подвергается действию крутящего
момента (А/кр) и в плоскости наименьшей жесткости —
действию изгибающего момента (Ми). Ответить на воп-
вопросы предыдущей задачи, но применительно к указан-
указанному сечению.
Ответ.
б) М\
259*. Показать, что главные напряжения в точке
могут быть выражены через компоненты напряжений
13*

196 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ [26°
в той же точке следующим образом:
2
a3 = 4oiCOs(P + 4-n +
»cp,
где Oj и оср — интенсивность напряжения и среднее напря-
напряжение в рассматриваемой точке, а значение так называе-
называемого угла вида деформации определится из выражения
где |?>н| — определитель, составленный из компонентов
девиатора напряжений для той же точки*).
260**). Доказать, что в случае плоской задачи наи-
наибольшему углу отклонения полного напряжения по
площадке be от нормали к ней (рис. 95) соответствует
угол наклона а, удовлетворяющий условию
а наибольший угол отклонения найдется из соотношения
tg Зщах = ± ^7=
или, что все равно, из условия
2608. Показать, что для предыдущей задачи имеются
следующие соотношения:
и о1гз =
±sm8max), где оор = ^-~1.
*) См. книги Г. А. Смирнова-Аляева 61] и В.* В. Соколов-
Соколовского [6], стр. 59—61.
**) К задачам 260—262 см. книгу В. В. Соколовского «Ста-
«Статика сыпучей сцеды», М.—Л., 1954.

263] УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ СТЕРЖНЕЙ 197
261. Полагая, что, если рассмотренный в задаче
260 элемент принадлежит сыпучей среде и находится
в предельном состоянии в отношении сдвига по пло-
плоскости be, и что это условие можно записать в виде*
[т | = о tg<p-f-c, где <р —угол внутреннего трения и с —
сцепление, то то же условие, выраженное через главные
напряжения, имеет вид
262. Условие предельного состояния сыпучей среды
(см. предыдущую задачу) выразить через компоненты
напряжений.
Ответ. (ау — axf + 4т?у = sin2 <р (о„ + ах + 2с ctg срJ.
§ 4.2. Упруго-пластические деформации стержней при
растяжении и сжатии.
263. Для системы, состоящей из семи стержней,
выполненных из идеально-пластического материала и
имеющих одинаковые сечения, нагруженных единствен-
единственной силой Р (рис. 96), вычислить предел упругого со-
сопротивления системы (т. е.. то значение силы Р,- при
котором в наиболее напряженном стержне напряжение
достигает предела упругости материала) и предел пла-
пластического сопротивления системы (т. е. то значение
силы Р, при котором система стремится к неограничен-
неограниченному росту деформации).

198
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
{264
о Решение. При упругом процессе наиболее напряженным ока-
оказывается вертикальный стержень, усилие в котором ;
1 + 2 (sin3 в! + sin3 a2 + sin3 aa) '
приравнивая усилие предельному упругому, т. е.
¦Уупр = °упр F>
где F—площадь поперечного сечения, получаем для предела
упругого сопротивления выражение
¦Рупр = °упр F [1 + 2 (sin3 ai + sin3 a2 + sin3 а3)].
Предельное состояние системы наступит, когда напряжения
во всех стержнях будут равны пределу текучести.
У//////////////У///////////Х//У//,-
Рис. 96.
Рис. 97.
Из условия равновесия нижнего узла системы в таком слу-
случае получаем выражение для предела пластического сопротивле-
сопротивления системы
Р Р11 +2 (sin ai
sin
sin
264. Сравнить пределы упругого и пластического
сопротивлений для обода со спицами (рис. 97), материал
которых идеально-пластический.
Ответ. Рупр=5,19от^, Рпл = 7,46 егт F.
265. Для системы, состоящей из жесткой балки,
подвешенной на трех тонких стержнях и уложенной на
одной шарнирно-неподвижной опоре (рис. 98), опреде-
определить предельную (разрушающую) нагрузку. Материал,
из которого выполнены стержни, имеет диаграмму рас-

265] УПРУГО-ПЛАСТИЧВСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ СТЕРЖНЕЙ ДО>
тяжения с ограниченной площадкой текучести; харак-
характерные ординаты этой диаграммы выписаны на рис. 99
в долях от предела прочности. Сечениявсех стержней
различны (Flt F2, Fs).
Рис. 98—99.
Решение. Разрушение конструкции начнется с момента, когда
относительное удлинение третьего стержня достигнет значения
'ь> этому мгновению будет соответствовать относительное удли-
удлинение второго стержня */?*ь и( следовательно, напряжение во

200 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
втором стержне' будет о2 = 0,7оь и в первом ( при
Таким образом,
[266
i = -=- ч )
Важно отметить, что в отличие от случая идеально-пласти-
идеально-пластического материала разрушение происходит, когда в отдельных
стержнях напряжения даже не
достигли предела текучести ма-
материала.
266. Вычислить усилия
в стержнях системы, пока-
показанной на рис. 100, если для
материала стержней зави-
зависимость между напряжения-
напряжениями и деформацией — степен-
степенная, а именно а = Агп. Пло-
Площади поперечных сечений
стержней одинаковые и рав-
равны F.
Указание. Обозначая опуска-
опускание узла через А, получаем вы-
выражение для относительных
удлинений среднего и крайних стержней
__А _А cosB^ A 2
li ' a h h
Рис. 100.
а для усилии
А \п
j- cos2 р ) . Таким образом,
Из уравнений равновесия среднего узла окончательно полу-
получаем:
Р „ Pcos2
2 cos2"+1
267. Стержень постоянного сечения F длиной /,
жестко закрепленный своими концами в стене, подвер-
подвергается действию внешней силы Р, приложенной по оси
ртержня на расстоянии а от левого конца (Ь > а).

268] УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ СТЕРЖНЕЙ 201
Зависимость между напряжениями и деформацией
для материала стержня — степенная, т. е. о = csn. Найти
опорные реакции стержня, т. е. усилие А и В (рис. 101).
Решение. Из заданного закона деформации следует s =
= I/ —. Для левого участка @ < х < а) продольное усилие в
стержне №=А (растягивающее), удлинение положительное и для
правого (а < х < I) — усилие N = A— P (сжимающее) и удлине-
Рис. 101.
ние отрицательное. Условие неизменности общей длины стержня
при деформации запишется так:
ь
\ ei dx — \ s2 dx = 0,
о о
или
откуда
Р-А.
268. Стержень, рассмотренный в задаче 267, подвер-
подвергается действию распределенной осевой нагрузки, изме-
изменяющейся по длине стержня по линейному закону,
т. е. интенсивность погонной нагрузки в сечении, на
' х
расстоянии х от левого конца, равняется q — q*-j , где
<7* — интенсивность на правом конце (рис. 102).
Полагая тот же степенной закон для деформации,
т. е. о = сгп, найти распределение общей нагрузки

202
ТЕОРИЯ* ПЛАСТИЧНОСТИ
[268
(_ -j) междУ опорамр стержня. Рассмотреть случай,
когда в = 2и п = г/2.
Решение. Продольно» усилив в сечении на расстоянии х от
левого конца равняется
для того же сечения относительное удлинение
Полное удлинение стержня определится интегрированием
по длине стержня выражения относвтельного удлинения.
Рис. 102.
При интегрировании надо учесть, что при отрицательном
подкоренном выражении значение корня следует принимать не
мнимым, а действительным отрицательным. Поэтому для правиль-
правильной аналитической записи полного удлинения следует интеграл
разбить на две части: положительную от х=0 до х=у —•
/~2А1
и отрицательную от ж=|/ —у до х = 1.
Г q*
По я = 2 уравнение деформации записывается:
—
д (
V—
У д
V4

265>J УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ СТЕРЖНЕЙ 203
Произведя интегрирование, получим после упрощений трансцен-
трансцендентное уравнение
??l/I5_l in el/I? l/Til «_n
Корень этого уравнения можно найти подбором, он оказывается
равным
При упругом процессе, т. е. при п = 1, имели бы:
При п — ~2 уравнение для определения А имеет вид
16 i/q*i Г \д*Ч* '2 дП И _
15 V 2А L 5 2Ла 3 2Л+ J '
откуда
269. Стержень постоянного сечения (F —10 смг)
с закрепленными концами подвергается действию актив-
активной силы Р = 60 кг (приложенной по оси стержня, как
это указано на рис. 103, а).
Диаграмма растяжения-сжатия материала стержня
приведена на рис. 103, б. Найти опорные реакции
стержня' методом последовательных приближений.
Модуль упругости Е = 2Л09 кг/см2, модуль упрочнения
Е"о*2- 10* кг/см2 (тангенс угла наклона вторых участков
в диаграмме растяжения-сжатия).
Решение. В начале выполняем обычный упругий расчет, т. е.
предполагая, что ни в одном из поперечных сечений напряже-
напряжения не перешли предела пропорциональности материала стержня.
Условие неизменности длины стержня записывается в виде
еа-о — ?(,6=0,
А .„
где ео = -=-= — относительное удлинение левого участка длиной а
и Е[, = —г—относительное укорочение правого участка длиной 6.
Присоединяя к уравнению деформации условие равновесия
В = Р — А, получаем в «нулевом приближении»
=-|-Р = 40 m и В<о) = 2О т (рис. 104, а).
О

204
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
[269
I -
a -J— b=2a
а)
-?
0,10 008 0,06 0,04
6J
Рис. 103.
а)
б)
TV
±lT
Рис. 104.

269] УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ СТЕРЖНЕЙ 205
' Напряжения на левом участке оа0) = 4.103 кг/см2 (растягивающее)
и на правом участке
06'=—2-Ю3 (сжимающее) и соответственно
Однако по диаграмме растяжения-сжатия указанным напря-
напряжениям соответствуют значительно большие относительные удли-
удлинение и укорочение, а именно sJt1) = O,lO, sjI)=—0,02 (первое
приближение). Но при таких деформациях не будет соблюдаться
неизменность длины стержня и он должен бы удлиниться на вели-
величину
а ь
4i=\
о
= 0,1a-0,026 = 0,02/.
Чтобы исключить указанное удлинение, можно по концам
стержня приложить или продольные сжимающие силы (само-
(самоуравновешенные), или охладить стержень, и т. п. Если от такой
добавочной причины стержень будет работать по упругим зако-
законам с модулем Е", то фиктивные сжимающие силы по концам
стержня (численно равные продольному усилию в. стержне)
определятся из условия
-E%F- = &1, т. е. N<b =-±-t = 4103 кг.
Если на «упругую эпюру» продольных сил (рис. 104, а)
наложить эпюру N(j>\ то получим исправленную эпюру, изобра-
изображенную на рис. 104, б, т. е. реакция на левом конце уменьшится,
а на правом—возрастет. Новым реакциям будут соответствовать
и новые напряжения в сечениях стержня, а именно:
а'аи= Л. i^_ = 3600 кг/см2, о&1>=— ~-=— 2400 кг/см2,
if Г
а по диаграмме растяжение-сжатие и новые относительные удли-
удлинения-укорочения, а именно*
s?"= +0,081, s|,2) = — 0,038.
Вычислим снова общее удлинение стержня
а ь
>dx + { s(b1)da; = s<l1)a+s(b1) 6 = 0,00167/,
о о
а по нему и новую фиктивную силу (второе приближение)

206 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ B70
Таким образом, исправленные реакции будут:
Так как разница между вторым и первым приближением ока-
валась небольшой,- то можно дальше уточнений не делать.
§ 4.3. Изгиб статически-определимых балок.
Случай идеально-пластического материала *)
270. Прямой брус прямоугольного поперечного
сечения (h > b) подвергается чистому изгибу в плоскости
наибольшей жесткости. Изгибающий момент (М) больше
предельного упругого (Мупр), но меньше предельного
пластического (Мпл) момента для того же сечения.
Материал бруса идеально-пластический.
Найти высоту упругого ядра сечения (а) и устано-
установить связь кривизны бруса ( — J при упруго-пластиче-
ском изгибе с действующим на брус изгибающим момен-
моментом.
Ответ.
Мпа/ р Еа
271. Вычислить пластический момент сопротивления
прямоугольного сечения, сравнить его с обычным (упру-
(упругим) моментом сопротивления того же сечения. Вычи-
Вычислить несущую способность прямоугольного сечения
(предельный изгибающий момент).
Ответ.
272. Вычислить пластический момент сопротивления
сплошного круглого сечения радиуса г, сравнить с уп-
упругим моментом сопротивления. Такое же сопоставле-
сопоставление провести для случая трубчатого тонкостенного сече-
сечения (толщина стенки t < г, где г —средний радиус)
и для ромбического сечения (размеры диагоналей h и Ь).
*) См. [14], [21], [28] и [57].

274]
ИЗГИБ СТАТЙЧВСЙИ-ОПРЕДЕЛЙМЫХ БАЙ6К
207
Ответ. В первом случае Wnsl = 1,70W; во втором случае
Игпл = 1127й7 и в третьем случае Waa = 2W.
273. Балка прямоугольного сечения, свободно лежа-
лежащая на двух опорах, подвержена в середине пролета
действию сосредоточенной силы Р. Пренебрегая влиянием
поперечной силы на снижение несущей способности
сечения относительно влияния изгибающего момента,
Рис. 105.
вычислить пределы упругого (Р7Щ>) и пластического (Рпп)
сопротивлений балки изгибу, выяснить протяженность
зон текучести в предельном состоянии и уравнения
границ указанных зон (рис. 105).
Ответ.
Рцд = 1,5 iynp = ОтWпл —J- ,
I
I
протяженность зон текучести по -тт в каждую сторону от прило-
о
a h 1 ГЪх
жения груза, полувысота упругого ядра -^ = -^ у ~г > т е- ГРа"
ницами упругой зоны в плоскости изгиба являются квадратные
параболы.
274. Двухопорная балка прямоугольного сечения за-
загружена равномерно-распределенной нагрузкой (рис. 106).
Вычислить предел пластического сопротивления балки

208
ТЕ OPHHill Л АСТИЧН ОСТИ
[275
(<7пл), протяженность зон текучести и уравнение границ
их с упругими зонами.
Ответ.
„, 8 а ]/2 , х
т. е. зоны текучести ограничены двумя плоскостями и исчезают
при
275. Деревянная балка прямоугольного поперечного
сечения подвергается изгибу парой с моментом М, пре-
НИН
-0,5771-
М„.
®
Рис. 106.
вышающим предел упругого сопротивления изгибу сече-
сечения, и потому в последнем начались пластические
деформации. Полагая способность дерева к пластическим
деформациям только в сжатой зоне, определить вели-
величину разрушающего момента для сечения. Данные: пре-
предел текучести дерева на сжатие асж и временное сопро-
сопротивление при растяжении ар. Решить задачу для случаев,
когда материалом балки служат дуб, сосна и береза,
приняв для них отношения временного сопротивления
при растяжении к пределу при сжатии соответственно
равными 2,21, 1,98 и 1,85.

276]
ИЗГИБ СТАТИЧЕСКИ-ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК
209
Решение. Уравнения предельного равновесия применительно
к предельной эпюре, показанной на рис. 107, записываются:
cjh ^^
Рис. 107.
Обозначая
имеем:
Ор ЗЯр — 1
П0 ~ > "Ч „ \А
Ответ. Для дуба Л/щ, = 1,75асж
bh2
= 1.66 ocat
для сосны Мпл =
для березы
= 1,60 зсж -g- .
276. В лаборатории были приведены следующие
испытания: двухопорная деревянная балочка проле-
пролетом 1 = АО см и поперечным сечением 2x4 см, уло-
уложенная на ребро, была разрушена изгибом, причем
14 н. И. Бевухов

210 ТВОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ [277
разрушающая нагрузка (посередине пролета) оказалась
равной 508 кг; при испытании на сжатие вдоль волокон
оказалось, что асж = 450 кг/см2.
Вычислить временное сопротивление дерева на рас-
растяжение, не производя испытания на разрыв. /
Ответ. ор = 1100 кг/см*.
277. Балка на двух опорах прямоугольного попе-
поперечного сечения нагружена по концам равными и про-
противоположно направленными моментами Ма, превыша-
превышающими по своей величине предел упругого сопротивле-
сопротивления изгибу сечения данной балки. Определить прогиб
балки посередине пролета.
Решение. Надлежит исходить из дифференциального уравне-
уравнении упруго-пластического изгиба балки
f^dx2'
t
где Afynp = <jTPF. После двукратного интегрирования получаем:
м /
/ = —
8EJ У 3-2
Ма
JHynp
При Мц — Mynp (предельное упругое состояние) имеем обще-
общеизвестную формулу:
а при
Ма = Мпл = — Л/ущ,,
как и следовало ожидать, /пл^00-
278. Двухопорная балка прямоугольного поперечного
сечения загружена посередине пролета сосредоточенным
грузом, причем превышен предел упругого сопротивле-
сопротивления изгибу для того же сечения балки. Определить про-
прогиб посередине пролета (см. [14], стр. 16).
Решение. Расчет балки разбивается на три участка (рис. 108):
два крайних, находящихся в упругом состоянии, и средний —
в упруго-пластическом.

ЭТ8] ИЗГИБ СТАТИЧЕСКИ-ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК 211
2Л/уПр
Протяжения упругих участков а=—¦=— ; здесь дифференци-
дифференциальное уравнение изогнутой оси
М
dx2 ~EJ '
где
для среднего участка
d2y2
Px
После интегрирования и использования граничных условий
* = 0, 2/=0,
х = а, у[ = У2, 2/1 = 2/21
1 • л
* = "о" i 2/г == О
имеем:
4Л/уПр
При Р — Рущ =—-— (предельное упругое состояние) получаем
общеизвестное выражение:
' ~~ 48?/ '
при
2
(предельное пластическое состояние среднего сечения балки,
так называемое состояние «пластического шарнира»), где для
прямоугольного сечения *
_ 3
имеем:
20 мущ? 5 Мупр*2 РР
/=
3 P^EJ 27 EJ ~ 21, QEJ '
При найденном / еще возможно равновесие между внешним
и внутренними усилиями, распределенными по среднему сечению
14*

Ш ТЯОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
балки. Малейшее превышение силой значения Рал при отсут-
отсутствии способности материала к упрочнению означает неограни-
неограниченный рост деформации.
Рис. 108,
В отличие от предыдущей задачи здесь для предель-
предельного статического состояния прогиб не равен бесконечности, так
Р
\
Мупр
.-1
.«, а -•-
- - i
Рис. 109.
как в состоянии полного исчерпания несущей способности ока-
оказывается в данном случае лишь одно поперечное сечение балки
(посередине пролета).
h 279. Консольная металлическая балка прямоуголь-
прямоугольного сечения нагружена на свободном конце сосредото-
сосредоточенным грузом предельной величины, т. е. Р = Рпл~

280] ИЗГИБ СТАТИЧЕСКИ-ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК 21*
Найти уравнение изогнутой оси бруса, вычислить
прогиб на свободном конце*).
Решение. На участке а < х < I исходное дифференциальное
уравнение упруго-пластической кривой
после интегрирования имеет вид
4 /2зт/7
w
Из условий х = 0, w[ = Wi = 0 найдутся ci и с2. На участке х < а
исходное дифференциальное уравнение упругой кривой
„ М Рх
Постоянные интегрирования этого уравнения найдутся из усло-
условия сопряжения упругого и упруго-пластического участков
2
балки, т. е. при х=~^1 имеем w1 = w2, w{ = Wz.
о
Ответ.
При
2 2 ота2 ,
при ж = 0 &У2 = 1,481 -^ , что в 2,22 раза больше предельного
прогиба, определенного по обычному расчету для упругого
материала.
280. Дифференциальному уравнению упруго-пласти-
упруго-пластической кривой, рассмотренному б предыдущей задаче.
d*w/2~дт
Eh
Л/упр
*) Задачи 279, 284 —285—из книги А, Р. Ржаницына [57]-
стр. 39.

214 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ [281
i
можно придать и такой вид, внешне сходный с обыч-
обычным дифференциальным уравнением упругой кривой:
Чх~ ~ EJ7av, ' W
где обозначено
т тлГ-ълГл ~М~ т bh3
Какие имеются возможности вычисления прогибов при
упруго-пластическом изгибе, если исходить из выра-
выражения (а)?
Ответ. Задачу определения прогибов балки постоянного сече-
сечения, находящейся в упруго-пластическом состоянии, можно заме-
заменить [8] задачей определения прогибов балки некоторого перемен-
переменного сечения, находящейся якобы в упругом состоянии в условиях
чистого изгиба (т.це. по всей балке изгибающий момент постоянен
и равен МуПр).
281. В задаче 279 балка находилась в предельном
состоянии и потому мог возникнуть вопрос, имело ли
смысл в такой задаче вычисление прогибов, не должен
ли теоретически прогиб обращаться в бесконечность ввиду
образования в опорном сечении так называемого «пласти-
«пластического шарнира»? Выяснить условия, при которых даже
в предельном состоянии балка будет иметь конечные
прогибы.
Ответ. Для конечного прогиба необходимо, чтобы значение
интенсивности нагрузки в сечении максимального момента было
бы равно бесконечности; в рассмотренной задаче условия соблю-
соблюдались, так как в месте «пластического» шарнира действовала
сосредоточенная сила (реакция) и сосредоточенная пара (опорный
момент)*).
§ 4.4. Изгиб. Случай степенной зависимости
напряжений от деформаций
282. Вывести дифференциальное уравнение изогнутой
оси балки в случае, когда для материала такой балки
принимается степенная зависимость напряжений от дефор-
деформаций о = Агп **).
*) См. книгу А. Р. Ржаницына [57], стр. 41.
**) См. [6]. § 7 и др.

288] ИЗГИБ, СЛУЧАИ СТЕПЕННОЙ ЗАВИСИМОСТИ 215
Решение. Сохраняя закон плоских сечений, имеем для отно-
относительного удлинения волокна, находящегося на расстоянии z
1
от нейтральной линии, выражение е = — z и для напряжения
Из условия равенства нулю продольной силы имеем
adF = 0, что дает выражение для определения нейтральной
F
линии
\ sndF=O. F)
Из условия равновесия имеем:
a-zdF~M или Л/ = —S±i , (в)
где /n+i= \ zn*ldF—момент инерции сечения порядка п + 1*)
F
(функция zn+1 считается положительной при любом z, положи-
положительном или отрицательном).
В дифференциальной форме уравнение (в) перепишется:
283. Найти уравнение прогибов консольной балки
(рис. 110), нагруженной равномерно-распределенной
нагрузкой. Поперечное сечение балки —прямоугольное
(bxh). Закон деформации материала балки - степенной
при. п = 2.
Решение. Условный момент инерции (в данном случае третьего
порядка)
h
2
•) О моментах высших порядков, применяемых в различных
областях техники, см. [22].

216 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ [284
Дифференциальное уравнение упруго-пластической кривой
(при активной нагрузке) имеет вид
d2w
Интегрируя, получаем:
qx2
2AJ, ¦
ill
Рис. НО.
Из условия в заделке находим:
2AJ3
2AJ 2 ' "~
окончательно максимальный прогиб
Штах" У ~ШТг
284. Составить исходные деформационные уравнения
для статически-неопределимой балки пролетом / с обоими
-Р.
Рис. ill.
заделанными концами (рис. 111), подверженной в про-
пролете действию поперечной нагрузки q = f(x). Закон де-
деформации материала балки
Решение. Используем дифференциальное уравнение (в) из
задачи 282. Условия на опорах: w@) = w' @) — w(e)=wr (е)=0 дают

285] ИЗГИБ. СЛУЧАИ СТЕПЕННОЙ ЗАВИСИМОСТИ 217
два уравнения:
.) •'n+i . n+i
О О
Заменяем изгибающий момент в пролете выражением
М=М0 + Мь у + Ма-^-,
где Ма — момент от заданной поперечной нагрузки в стати-
статически-определимой шарниро-опертой балке, Ма и Мь—неизвест-
ные опорные моменты; сокращая на |/ —-^-j . предыду-
предыдущие условия перепишем:
i
(а)
Г * I.
о
j
(б)
285. Используя результаты предыдущей задачи, рас-
рассчитать балку с обоими заделанными концами для слу-
случая равномерно-распределенной нагрузки q = const, когда
показатель степени в законе деформации га = 2.
Решение. Ввиду симметричности загружения, имеем Л/о=Л/ь,
и уравнение (а) задачи 284 дает:
М°+Ма -dx—0,
_ г
О
где в данном случае
(начало координат выбрано в середине пролета).
При обозначениях w~ = ^> -r = ri уравнение может быть
записано в виде
I
Т
С у1_4т]*—

218 ' теория пластичности [286
При отрицательном подкоренном выражении значение корня
следует принимать не мнимым, а действительным отрицательным.
Поэтому последний интеграл следует разделить на две части:
положительную от нуля до 'Ti = ~o'Y^ — 5 и отрицательную от
4
0 0,5
После упрощений получаем:
¦\ft _ t -
J-l !_=Й6 2
Путем подбора находим корень уравнения 1 = 0,814 и, таким
образом, опорный момент
V--JH.
а~ 9,84'
а в пролете
_ ql* _ ql2
«max—g Ма-Ж-
§ 4.5. Продолжение (метод «упругих решений» в теории
упруго-пластического изгиба балок)*)
286. Брус, поперечное сечение которого имеет две
оси симметрии, подвергается чистому изгибу. Диаграмма
растяжения-сжатия материала балки задана графиком
(рис. 112) и записана в обычном виде
О = #6A-0)),
г, ас аЪ
где Ь = -=• — модуль упругости материала и 0) = -=^ —
со ее
отношение соответствующих отрезков в диаграмме растя-
растяжения-сжатия материала балки. Очевидно, что ш = ш(е),
т. е. представляет собой некоторую функцию от степени
деформации и по заданию представляется симметричной
функцией.
Найти выражение для напряжений в любой точке
поперечного сечения, установит^ дзь между изгибаю-
*) См. [3], гл. И.

286]
МЕТОД УПРУГИХ РЕШЕНИИ
219
щим моментом (М) и кривизной бруса ( — ). При по-
построении расчетных выражений стремиться выделять
члены с начертанием, привычным в «упругом расчете»
балок*).
Рис. 112.
Ответ. Сохраняем гипотезу плоских сечений. Тогда
1
е =—у, где у— координата рассматриваемой точки поперечного
сечения. Уравнение равновесия между внешними и внутренними
силами рассматриваемого сечения запишется:
Af=C С aydF= [ С Егу{\ — m)dF.
F F
Обозначая \ у2 dF — Jx~ обычный экваториальный момент инер-
инер, Е ^ \
ции сечения,
= Afu), получаем:
1/A —ш) или а=о+ош,
где
(«упругое» напряжение)
(а)
(б)
*) См. Н. И. Безух о в, Эффективные методы определения
деформаций стержней при упруго-пластическом изгибе, Известия
Арт. академии, т. 96, М., 1956.

220
в
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
[287
(в)
—поправка к упругому решению и зависит от значения о>, на-
наперед неизвестного.
287. Изобразить эскиз функции ю в случае идеально-
пластического материала.
Ответ. В случае идеально-пластического тела значения <»
изменяются от 0 до 1 (рис. 113).
аи
i
Рис. 113.
288. Показать использование выражения (а) в задаче
286, применив метод последовательных приближений
(метод упругих решений по А. А. Ильюшину).
Решение. Полагаем в начале процесса деформации упругими,
т. е. <в = 0, следовательно, Л/A) = иц) = 0 и вычисляется в таком
«нулевом» приближении
Имея диаграмму растяжения-сжатия материала балки, выясняем
в первом приближевии, какая часть сечения (гд^е б@)-^бупр) на-
находится в упругом состоянии и какая часть (где е@) > synp) пре-
пребывает в упруго-пластическом состоянии. Для каждой точки
сечения, находящейся в упруго-пластическом состоянии, можем,
использовав вспомогательную диаграмму о> = о> (е), вычислить
значение о>ш в первом приближении. Располагая для каждой

2WJ МЕТОД УПРУГИХ РЕШЕНИИ 221
точки сечения о>а>, подсчитываем р первом приближении значе-
значение Мш\ т. е.
ле1'
=? С {
новое значение
EJX
и, наконец,
Далее, с помощью диаграммы растяжения-сжатия на основа-
основании е'1' получаем новое значение <»'2) (второе приближение), а
по нему— новое значение Л/J2', новое значение е<2) и затем з[*>.
В случае существенной разницы между е12) и е11) (или ме-
между и^2' и а^') продолжают строить следующее приближение,
в чем надобности часто не будет.
289. (Продолжение задач 286, 288.) Показать, что
для интеграла Мш может быть предложено и такое на-
начертание *)
JA 1-
где
290. Показать, что Jx<o из предыдущей задачи может
быть истолковано как экваториальный момент инерции
фиктивной площади, определяемый из условия, что эле-
элементы этой площади df =dF-ia и, следовательно,
F'= \[dF-u>,
*) См. сноску на стр. 219.

222
ТКОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
Вычислить указанный условный'момент инерции для
случая, когда заданное поперечное сечение представляет
собой двутавр (рис. 114), границы упругой и пластиче-
пластической областей пересекают полки, график со для пласти-
пластических зон ввиду их малой протяженности может быть
Область
деформаций
принят прямолинейным с наибольшим значением со* на
периферии.
Ответ. На рис. 114 показана преобразованная площадь F,
с помощью которой
. h f H 1 , V
291. Показать, что исследование упруго-пластиче-
упруго-пластического поперечного изгиба балки может быть заменено
задачей нахождения упругого поперечного, изгиба той
же балки, если полагать в каждом сечении такой фик-
фиктивной балки действующий действительный изгибающий
момент (М), но самую балку — имеющей переменное се-
сечение. Выяснить закон изменения по длине балки мо-
момента инерции указанной фиктивной балки.
1 М+М... М
Ответ. Из отождествления выражений — =
следует, что ,/ф = ~~ .

МЕТОД УПРУГИХ РЕШЕНИЙ
223
292. Для консольной балки, показанной на рис. 115,
состояние которой близко к предельному, вычислить
графоаналитически прогиб и девиацию правого конца.
Рис. 115.
Решение. Для построения эпюры фиктивного момента разде-
разделим упруго-пластический участок балки на четыре части, а
упругий — делить на части не будем. Вычисления сведены
в таблицу
Точки
сечения
1
2
3
4
5
М
•Мупр
1,«Шупр
1,20
1,30
1,40
3
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,00
1,12
1,39
1,59
2,24
Эпюра Мф показана на рис. 115 внизу.
Девиация свободного конца запишется через площадь эпюры
Мф так:
1_ Г/2,24+1,59 1,59+1,39 1,39+1,12
9 ~ ?¦ ^ L V 2 + 2 + 2 +
1,512Л/упр
Ш

Ш ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ [293
Прогиб свободного конца подсчитаем через момент площади
фиктивной эпюры моментов (в скобках выписаны средние орди-
ординаты эпюр по отдельным частям, а центры тяжести отдельных
трапеций приближенно приняты посередине их оснований)
1,415-1,55+1,49-1,25+1,25-1,15+1,06-1,05+0,5-10|1х
Х0.1а» =
EJ ~
Примечание. Увеличение длины балки на 0,1а, т. е. доведе-
доведение в опорном сечении изгибающего момента до предельного
(Д/пл). увеличивает прогиб на свободном конце в -~=fai,12 раза
1, Уо
(см. задачу 279).
293. Исходя из закона плоских сечений, вывести
формулы метода упругих решений для случая, когда
в сечении бруса возникают одновременно два изгиба-
изгибающих момента (Мх и Му относительно первой и вто-
второй главных осей сечения) и продольная сила.
Сечение полагать несимметричным, координатные
оси в сечении выбрать проходящими через центр тяже-
тяжести и направленными по главным осям.
Ответ. Принимая s = Ах-+ By-\-C, a = Es(l—<o) и подставляя
в уравнения равновесия
N^^adF, Mx=>\aydF, My — \ av dF,
F F F
получаем:
My Myui Mx Mxu> r_ N Nxu>
EJy EJy' ¦"¦'x EJX EF EF
где обозначено:
Nu)= \ EswdF, Mxia= \Eza>ydFt
F F
[ Eiwv dF,
F

296] УПРУГО-ПЛАСТИЧ. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЁ ДЕФОРМАЦИИ 225
Окончательно а=7-\-вт, где
N , Мх . Му
Методом упругих решений задача решается аналогично за-
задаче 288; вначале выполняется обычный упругий расчет, т. е. по-
полагается а)=0, N(^=M^= ... =0, о^' = 0, о=7, что дает воз-
возможность по диаграмме a— s по принятому в нулевом прибли-
приближении о прочитать sA), o)A); знание последних позволит подсчи-
подсчитать N.^= \ Ег(Юа>а) dF и т. п., а следовательно, и s^1', o<J»
и т. д.
§ 4.6. Упруго-пластические осесимметричные
деформации колец, труб
294. Для трубы из задачи 118 вычислить предел пла-
пластического сопротивления, т. е. то наименьшее давление
газов внутри ствола, при котором весь металл послед-
последнего переходит в пластическое состояние. За расчетную
принять теорию наибольших касательных напряжений.
Материал трубы полагать идеально-пластическим, т. е.
неспособным к упрочнению. Предел текучести
от = 60 кг/мм2.
Ответ. рТ = от In — = 51 км/мм2. Отношение предела пла-
пластического сопротивления к пределу упругого составляет
Руар
295. Для ствола предыдущей задачи, подверженного
давлению газов, равному пределу пластического сопро-
сопротивления, построить эпюры распределения нормальных
главных напряжений о( и аг (тангенциальных и радиаль-
радиальных) по толщине стенок ствола.
Ответ. На рис. 116 указаны искомые эпюры, построенные
по выражению
l
296. Для ствола из задачи 294 определить то зна-
значение давления пороховых газов внутри канала, при
15 н. И. Вевухов

226
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
[296
котором пластические деформации проникнут до ра-
радиуса с = 126 мм. Построить эпюры распределения ,по
толщине трубы "главных напряжений. Расчет выполнить,
Рис. 117,
исходя из третьей теории прочности (теории наиболь-
наибольших касательных напряжений).
Решение. Искомое давление

298] УПРУГО-ПЛАСТИЧ. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ 227
где
й Ъ Я — °
Рупр——. Рпл — — •
Давление пластической среды на упругую оболочку опреде-
определяется выражением
02 4
" Щи» '
в нашем случае оказывается д = 15,2 кг/мм2, р = 45,5 кг/мм2.
В упругой области напряжения подсчитываются по формулам
Pynp l L r J Рупр
а в пластической зоне
O[ = oT-(-or, or==oTln p.
На рис. 117 указаны искомые эпюры.
297. Для сферического сосуда с толстыми стенками,
подвергающегося одному внутреннему давлению, вычи-
вычислить предел упругого сопротивления (т. е. значения
внутреннего давления, при котором в наиболее напря-
напряженной точке сферы расчетные напряжения достигают
предела упругости) и предел пластического сопротивле-
сопротивления (т. е. значение внутреннего давления, при котором
в пластическое состояние приходит весь объем оболочки).
За расчетные теории прочности и пластичности при-
принять теории наибольшего касательного напряжения.
Данные: внутренний радиус сферы а = 7,6 еж, наруж-
наружный 6= 17,6 еж, предел текучести материала от = 60 кг/мм2.
Ответ. Предел упругого сопротивления (по третьей теории
прочности)
' Рупр = «т -^=^- = 36,7 «в/**», где р = -^,
предел пластического сопротивления
Рал = 2от In 3=102 кг/мм2.
298. Составить выражения для радиального ог, тан-
тангенциального о, и осевого ог нормальных напряжений
в цилиндрической трубе толщиной (Ь — а), находящейся
над осесимметричным радиальным давлением извне рь
и изнутри ра, при условии, что труба испытывает
* 15*

228 теория пластичности [299
плоскую деформацию (е2 = 0) и находится на пределе
пластического сопротивления с точки зрения теории энер-
энергии формоизменения. Упрочнением пренебречь *).
Ответ. ог = а0-|—— от In — ,
где о0= ^-ра— радиальное напряжение на внутренней поверх-
поверхности.
299. Для толстостенного цилиндра, нагруженного
осесимметричным равномерным внутренним давлением ра,
сопоставить численные значения следующих величин.'
а) пределов упругих сопротивлений pat упр по теориям
б) пределов пластических сопротивлений ра< дл по
тем же теориям, но без учета упрочнения, построив
соответствующие этому случаю эпюры аг, тшах и тОк»-
В качестве исходных данных принять: предел упру-
упругости аупр = 56 кг/мм2, предел текучести ат = 60 кг/мм*,
внешний и внутренний радиусы Ъ — 100 мм, а = 50 мм,
осевое напряжение из условий стесненности осевой де-
деформации аг = 0,5 (or-f-a().
Ответ, а) ра, упр соответственно 21 кг/мм2 и 24 кг/мм*,
б) ^о.пл соответственно 42 кг/мм* и 48,5 кг/мм2.
Эпюры для ра,и„ =42 кг/мм2 (слева), для Ра1ПЯ =48,5 кг/мм2
(справа) даны на рис. 118.
300. Будет ли эпюра х0КТ в обоих случаях предыду»
щей задачи постоянной, если для определения az ввести
условие несжимаемости материала?
Ответ. Теория ттах приведет к переменной эпюре тоит и
сохранит постоянств'о эпюры тшах; в теории токт—все наоборот.
301. Толстое кольцо (внутренний радиус а, внеш-
внешний Ь) испытывает внутреннее равномерное радиальное
давление ра. Найти то значение ра (предел пластиче-
*) Задачи 298—305 предложены И. К. Снитко.

802] УПРУГО-Ш1АСТИЧ. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ 229
ского сопротивления кольца), при достижении кото-
ррго вся толща трубы вовлекается в пластическое со-
состояние. В расчете принять теорию энергии формоиз-
формоизменения, пренебрегая упрочнением материала.
-©-
-е-
30 30,7
Л?
Рис. 118.
Решение. Исключая из уравнения равновесия oj —ог=
-т-?
и условия пластичности o^-f-o?—а;зг = а2 нормальное тангенциаль-
тангенциальное напряжение о(, получаем дифференциальное уравнение
О*"
1—0,75^-.
dr
Для приведения его к интегрируемому виду заменим корень
правой части выражением
1 — 0,75— «=1 + а. 0,866^,
в котором а — множитель, подбираемый методом последователь-
последовательных приближений; он примерно равен 0,25 при (J= — < 1,5; 0,3
при 1,5<E<1,9; 0,4 при 1,9<E<2,3.
Интегралом дифференциального' уравнения будет:
Ответ,
Ра, пл= —
1 — 1).
302. Цилиндрический толстостенный сосуд подвер-
подвержен равномерному нормальному давлению интенсив-

230 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ [302
ностью рь, действующему на дно и боковую поверх-
поверхность.
Пользуясь теорией энергии формоизменения: а) опре-
определить предел пластического сопротивления (рь,ап)',
б) вычислить предел упругого сопротивления (ръ, упр)-
Данные: р = 6:а = 1,9, где b и а —внешний и внутрен-
внутренний радиусы цилиндра; в) сопоставить ръ,Пл с пределом
упругого сопротивления ръ, ущ>', г) построить эпюры
<**, тщах и токт. Полагать о2 = —pbJ^ = const и пре-
пре<*
г,
небречь упрочнением материала.
Решение.'а) Дифференциальное уравнение, полученное совме-
совместным решением условий пластичности и равновесия, имеет вид
dr 2
Заменяем его приближенным уравнением
в котором <*! = <* — 0,5, а2 = р—0,5 находятся последовательным
приближением при соблюдении граничных условий:
при г*=я sr = 0,
при r = b аг= —^ь.
Интегралом дифференциального уравнения будет:
б) Для р = 1,9 последовательные приближения (начинаем, как
обычно, при a = 0,6 и C = 0,4) дают:
« = 0,593, р=0,456, aj=0,093, a2p=—Q,044.
Из (а) заменой r = b, ог=—рь, az=—i,382pb находим:
Лшл =0,690вт, сгг= -0,963ат.
р2 —1
В) РЬ > ПЛ == Jynp D2 ^Ао = 0,417 иупр
(опасная точка у внутренней поверхности).
г) Эпюры or, uj, ттах, токт даны на рис. 119, причем по усло-
условию равновесии

304] УПРУГО-ПЛАСТИЧ. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ 231
где
Замечания. 1) Ординат атОкт в середине толщины (ввиду при-
приближенности дифференциального уравнения) дала отклонение
на 4% против нормы. 2) Замена корня правой части дифферен-
циального уравнения иным приближением, например а-
приводит к тем же эпюрам (здесь а = 1,130, {3=0,592).
0,566$- 0,47$,
(J
1,0407
Рис. 119.
303*. Полагая, что осевое напряжение в поперечном
сечении цилиндрической трубы при наличии одного
лишь внутреннего давления ра постоянно, составить
дифференциальное уравнение для определения предела
пластического сопротивления, пользуясь теорией энергии
формоизменения. Упрочнением материала пренебречь.
Вычислить ра, пл Для |3 = Ь:а=1,9.
Ответ. Дифференциальное уравнение
IF
1-0,75
где
Общий интеграл
При а = 0,595 и р=0,1 имеем а1 = 0,095 и ра,пл = 0,695 ат, а,=0,4.
304*. Используя решение задачи 303, найти для тол-
толстого кольца при р = 1,9 значение ра, пл по теориям фор-
формоизменения и наибольших касательных напряжений.

232 теория пластичности - [305
Построить эпюры о,., о,, ттах и т0КТ.
Ответ. По теории тшах
Ра> пл = "т • In Р = 0,641 от.
По теории формоизменения (при а = 0,3)
Ра.пл = 4,17 атA,9о,"-1)яь 0,706 jt.
Точное дифференциальное уравнение не удовлетворяется при
этом примерно на 2%. Почти полное совпадение граничных условий
для него получается, если положить а = 0,33; тогда*ра, пл = 0,695 зт.
Эпюры напряжений даны на рис. 120.
о via, пма, 0,5 fа,
Рис. 120.
305. Показать, что условия пластичности, составлен-
составленные как по теории наибольших касательных напряжений,
так и по теории энергии формоизменения, приводят
к одинаковым результатам в задаче расчета толстостенной
сферы, испытывающей равномерные радиальные давления:
ра — внутреннее и рь — внешнее. Упрочнение не учитывая;*.
Решение, Условие пластичности по теории формоизменения
Хл/я _а г—7^7
после замены
тождественно совпадает с условием по теории
Ответ, а,. — о0 -f 2oT In — , где о0 = — ра — радиальное напря-
напряжение при г —а, т. е. на внутренней поверхности.

367] УПРУГО-ПЛАСТИЧ. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ 233
306. Составной цилиндр из медной трубки с внутрен-
внутренним диаметром ^ — 10 см и толщиной стенок 8 = 10 мм,
на которую вплотную (без натяга) надета наружная
стальная трубка с толщиной стенок о2 = 5 мм, подвер-
подвергается изнутри давлению газов. Определить то давление
газов, при котором в одной из трубок напряжения до-
достигают предела упругости материала этой трубки,
а также предельное давление газов, при котором несу-
несущую способность цилиндра следует считать исчерпанной.
При определении указанных пределов упругого и пла-
пластического сопротивлений цилиндра осевые напряжения
не принимать во внимание (предполагать, что днища
цилиндра, воспринимающие на себя давление газов вдоль
оси цилиндра, непосредственно с трубками не связаны).
Данные о материале: для стальной трубки
?"c = 2-104 кг/мм2, отс = 24 кг/мм2
и для медной Ем= 1 • 104 кг/мм, отМ = 18 кг/мм2.
Решение. Так как тангенциальные деформации по наружной
поверхности медной трубки и по внутренней поверхности сталь-
стальной одинаковы, то при упругом процессе можно полагать, что
тангенциальные напряжения в них относятся как их модули, т. е.
ос = 2ом. Таким образом, предельное упругое состояние цилиндра
наступает, когда ос=24 кг/мм2, соответственно ом = 12 кг/мм2.
Уравнение равновесия по продольному сечению цилиндра
записывается в следующем виде:
Яупр ^1 = 2 [a«fii -f ос62].
Таким образом, предел упругого сопротивления цилиндра
= 4,8 кг/мм2.
В предельном пластическом состоянии тангенциальные на-
напряжения в каждой трубке можно принять равными пределу те-
текучести материала трубки. Тогда предел пластического сопро-
сопротивления
<7пл = 6 кг/мм?.
307. Как отразится на величине пределов упругого
и пластического сопротивлений для цилиндра предыду-
предыдущей задачи наличие предварительного зазора между
наружной поверхностью медной трубки и внутренней
поверхностью стальной трубки.
Ответ. На пределе пластического сопротивления не отразится.

234 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ [308
308 *). Показать, что в случае осесимметричной
и притом плоской деформации (ег = 0) толстостенной
трубы, для материала которой известен закон дефор-
деформации t = /(y), выражения для радиального и танген-
тангенциального напряжений в трубе может быть записано
в следующем виде:
Ч
Y
и связь сдвигов с давлением в трубе р имеет вид
где Ya, уь и у —деформации сдвига на внутренней (г = а),
наружной (г = 6) поверхностях трубы и в промежуточном
слое (на расстоянии г от центра трубы), причем также
существует отношение
_ Ь*_
Ya ~~Чъ аЪ •
309. Результаты предыдущей задачи использовать
для случая, когда закон деформации задан в виде
Ответ.
: = тт( -L ) .
ЧЛт/
§ 4.7. Плоская задача теории пластичности
310. Для случая плоской деформации и идеально-
пластического материала привести полный комплект
¦) См. [6], гл. III.

312] ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ 235
уравнений теории пластичности, содержащих только
компоненты напряжений. Уравнения записать в декарто-
декартовых координатах. Показать, что в результате совмест-
ного решения упомянутых уравнений можно получить
следующее дифференциальное уравнение в частных про-
производных, содержащее одну тольку функцию касатель-
касательного напряжений:
дх'ду r xy \дх2 ду*
где к = -к- от по Сен-Венану или к = —~= по энергетиче-
энергетической теории.
311. Для случая плоской деформации и материала
без упрочнения привести полный комплект уравнений
теории пластичности в полярных координатах. Показать,
что как и в предыдущей задаче решением трех основных
уравнений (два уравнения равновесия и условие пластич-
пластичности) может быть получено уравнение, содержащее
только касательное напряжение; это уравнение имеет вид
312 а —е. Примеры для самостоятельных упражнений.
Ниже (таблица 6) приведено решение некоторых за-
задач теории пластичности (случай' плоской деформации,
материал идеально-пластический) и выписаны формулы
для напряжений.
Читателю предлагается:
а) проверить, удовлетворяют ли написанные формулы
для напряжений уравнениям теории пластичности (диф-
(дифференциальным уравнениям равновесия и условиям пла-
пластичности);
б) выяснить граничные условия.
Примечание. Через к обозначена пластическая постоянная,
т. е. а ат (где а = 1/2, если придерживаться гипотезы Сен-Венана,
или а=1/}/3, если исходить из энергетических представлений
о причине пластичности).
Ответ. Во всех приведенных случаях все уравнения теории
пластичности для случая плоской деформации удовлетворяются.

Таблица 6
№
п/п
312а
312б
312В
Схема изделия и
координатные оси
Г
SI
^ / ^
Схема та же
Схема та же
t
Формулы для напряжений
ох=С + 2/А:2—С2,
Чу-С,
Оу t=C}
¦сд:у = С1
он=<7х,

Продолжение табл. 6 ??
п/п
312Г
312Д
312в
Схема изделия и
координатные оси
Схема та же
Схема та же
Формулы для напряжений
о,= —*со8 2в+4/*а—tPjlnr+C, -
0,= — 3ft cos26+4}/" ft2—r2fl inr+C,
тгв=— A sin 29
os = — й cos (С+29) + 4/F^^" In г,
ог= —ЗЛ-cos (С+29)+4УА2—t2s lnr,
rrS=-Asin(C+29)
os = к cos 29—4 /ft2—r*s In r,
or == 3ft cos 29—4 Yk2 —c2e In r,
¦cre = ftsin29

238 теория пластичности [31:>
§ 4.8. Упруго-пластическое свободное *кручение
стержней
313. Брус круглого поперечного сечения радиуса г,
заделанный одним концом в стену, на другом конце
подвержен действию крутящей пары с моментам М.
Вычислить, при каком значении момента Мупр наступит
предельное упругое состояние, при каком значении Мпп
будет полное исчерпание несущей способности сечения.
Материал полагать идеально-пластическим; предел теку-
текучести при кручении тт.
Установить выражение для радиуса упругого ядра (гх)
и для угла закручивания концевого сечения, если вели-
величина крутящего момента лежит между Мупр и Мпл.
Ответ.
Мупр = тт —jr— i Мпл — т
17/ з
вл/v ш
314. Вычислить остаточный угол закручивания бруса
из предыдущей задачи, если удалить внешний крутящий
момент М, который был более предела упругого сопро-
сопротивления кручению, т. е. М>Л/упр.
Ответ.
тЛ Ml
315. Определить величину предельного вращающего
момента, при котором несущая способность круглого
вала с защемленными концами будет полностью исчер-
исчерпана (рис. 121, а).
Ответ. Предельная эпюра крутящих моментов показана на
рис. 121, а, откуда
316. Для бруса постоянного круглого сечения вы-
вычислить величину предельных вращающих моментов,
показанных на фиг. 121, б.

317] УПРУГО-ПЛАСТИЧ. СВОБОДНОЕ КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ 239
Решение. Из рассмотрения предельной зпюры крутящих мо-
моментов следует 2МТ = ЗМ (условие предельного равновесия), т. е.
Два средних участка остаются недоиспользованными, и для
того, чтобы иметь для них равные запасы прочности с крайними,
необходимо сечения этих участков уменьшить.
МММ
G G С
Mil
il 1 1 1
м{
Рис. 121.
ь
317*). Доказать, что в самом общем случае закона
деформации, связывающего касательные напряжения
с углом сдвига, а именно т = /(у), где /(у) —-любая за-
заданная функция, при кручении бруса круглого попе-
поперечного сечения радиусом гг существует следующая
зависимость между крутящим моментом (А/Кр) и углом (а)
закручивания бруса на единицу длины (интенсивность
угла закручивания):
•) К задачам 317 — 319 см. [6], гл. IV.

240 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ [318
318. Как запишется связь Мкр с интенсивностью
угла закручивания круглого бруса, если диаграмму
сдвига для материала бруса апроксимировать функцией
Ответ.
319. Брус круглого поперечного сечения длиной /,
жестко закрепленный своими концами в стены, подвер-
подвергается действию внешнего крутильного момента М, при-
приложенного на расстоянии а от левого конца (Ь > а).
Закон деформации материала бруса: z=A^n. Составить
выражения для опорных моментов.
Указание. Задача решается в плане, сходном с планом реше-
решения задачи 267.
Ответ.
м М
Мъ=М—Ма.
320. Брус, рассмотренный в предыдущей задаче,
подвергается действию распределенной крутильной
нагрузки, интенсивность которой в сечении на расстоя-
расстоянии х от левого конца записывается:
т = т* у ,
где т* —интенсивность крутильных пар на правом конце
(рис. 122). Закон деформации для материала — прежний.
Вычислить опорные моменты. Рассмотреть случай, когда
Ответ. По аналогии с задачей 268, имеем:
8
а *** 49 т '
— • 1
321. Брус, рассмотренный в задаче 319 (рис. 123),
выполнен из материала, диаграмма сдвига для которого

321] УПРУГО-ПЛАСТИЧ. СВОБОДНОЕ КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ 241
имеет вид, показанный на рис. 123. Данные: диаметр
бруса d = 20 см, внешний крутильный момент М = А2т-м,
Рис. 122.
условный предел текучести тт= 1000 кг/см2, модуль
сдвига G — tga = 0,8-106 кг'/см2, модуль упрочнения
Рис. 123.
G" = tgP^ 0,8- 104Kg/cw2; — = 2. Вычислить опорные
моменты.
Решение. Задачу удобно решить методом последовательных
приближений аналогично задаче 269. По «упругой» прикидке
16 н. и. Беэухов

242 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ [321
а =-М = 28 тм, Мь =-^-M = \k тм,
р л) -
чему соответствует по отдельным участкам бруса периферийные
«упругие» напряжения
,g» = _^l=_900 mjсм*.
По диаграмме сдвига (рис. 145) этим напряжениям соответ-
соответствуют углы сдвига -f^1' = 0,10, -((I>'=0,02 и соответственно ОТНО-
.Л!)
сительные углы закручивания левого участка <*а°'1 = — = 0,01
и второго участка а^,1' = = 0,002. Но при таких углах закреп-
закрепления условие отсутствия угла закручивания правого конца
относительно левого не выполняется и потому получаем:
а Ь
= [
0
а^ dx = aaa + abb = 0,0021.
0
Очевидно, чтобы исключить указанную «проворачиваемость»,
на упругую эпюру моментов надо наложить фиктивную эпюру
крутящих моментов, постоянную по длине бруса. Фиктивный
момент в порядке прикидки можно определпть по упругой теории,
например
т. е.
Мф =Atfi—г-— =2,5 тм.
Исправленные значения опорных моментов будут:
Ма' = Ма'~М^' = 25,5 тм,
MbV =Мьт+Мфи = 16,5 тм.
Новым опорным моментам будут соответствовать и новые
«упругие» напряжения
ли
)
„л
A) та тпп
~а ~ш—=1700
= 1060 кг/см*.

322] УПРУГО-ПЛАСТИЧ. СВОБОДНОЕ КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ 243
По диаграмме сдвига этим значениям напряжений соответствуют
новые значения углов сдвига и относительных углов закручива-
закручивания отдельных участков бруса, а именно (см. рис. 123):
^ь'=0,023,
„B) «B)
^-= 0,009, а'ь2>=-^-=0,0023.
При таких углах закручивания условие неразрывности деформа-
деформации опять (хотя и в меньшей стеяени) не выполняется, так как
имеем отличные от нуля значения интеграла
0 0
Новые значения фиктивного момента
Исправленные во втором приближении опорные моменты
№1а'=мР+Мф' = 22,75 тм, мТ = Мъ" — М$ = 19,25 кгсм.
Следующее приближение, на котором можно и остановиться,
дает:
Ма "* 22 тм, Мъ яа 20 тм.
322а~3. Примеры для самостоятельных упражнений.
Для одного из указанных в таблице 7 случаев бруса
круглого сечения с обоими закрепленными от поворота
концами и загруженного крутильной нагрузкой тре-
требуется:
а) раскрыть статическую неопределимость задачи,
т. е. вычислить опорные моменты;
б) найти сечение, для которого угол закручивания
является наибольшим, и подсчитать этот угол.
В таблице наряду со схемой загружения бруса указан
закон деформации для материала этого бруса, т. е.
связь касательного напряжения с углом сдвига. .,
Задачу рекомендуется решать по методу упругих
решений, хотя в примерах 322Г, 322Д могут оказаться
эффективными решения без попыток последовательных
приближений.
Примечание. а) В ряде задач числовые данные оказываются
такими, что деформация части стержня происходит в пределах
16*

244 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ [323
первого участка диаграммы сдвига, т. е. в упругой зоне, а
остальная часть— на втором участке диаграммы (пластическая
зона). В связи с втнм вначале необходимо произвести упругий
расчет для предварительного выявления границ между упругой
и пластической частями бруса. В этом случае можно "широко
использовать «правило рычага». Так, в задаче 322Д опорный
момент на левом конце определится из соотношения
б) Задачи 322В~Д в отношении опорных моментов оказы-
оказываются вообще статически определимыми, и потому границы
между упругими и пластическими участками могут быть в таких
задачах определены сразу и точно.
в) Во всех задачах радиус бруса г = 10 см, предел текучести
(условий) на сдвиг гт = 1000 кг/см*.
323*). Исходя из известной аналогии с «кучей песка»,
составить выражение для предельного крутящего момента
стержня круглого сечения радиусом /?, то же для коль-
кольцевого сечения (внутренний радиус —а, наружный — Ь).
2
Ответ. Для сплошного круглого сечения М= -o-nR\T, для
о
2
кольца Д/=-5-пгт (б3 —а3).
о
324. Найти предельный крутящий момент для квад-
квадратного сечения (стороны квадрата а) и для прямоуголь-
прямоугольного сечения (стороны а и Ъ, где Ь > а), используя ана-
аналогию с «кучей песка».
аз
Ответ. Для квадрата М = -тг- гт, для прямоугольника
о
325. Вычислить предельный крутящий момент для
овального поперечного сечения, близкого к эллипсу
(рис. 124) и определяемого уравнением
ж = [а + b (cos 2а + 2)] sin а, у= — [а + Ь (cos 2а — 2)] cos а,
где а —угол* между осью х и касательной к контуру.
Рассмотреть случай, когда а>ЗЬ (см. [6], стр. 106).
Ответ.
*) К задачам 323—328 см. [6], % 25.

322] УПРУГО-ПЛАСТИЧ. СВОБОДНОЕ КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ 245
Ч s
6 a
д. **
11
рц
И
о
•А
а
т
е
о
i
!
S
S
о
8SW
со

Продолжение табл. 7
1
№
п/п
Схема загружения стержня
Закон деформации
Данные
322д
= 1000 кг/см2
= 15 т/м,
2 = 30 т/м,
/=-|-61 = 362 = 90 см
322е
То же
т* = 60 тм/м,
а = 30 ел}
322ж
То же
т* = 90 тм/м,
а =30 си
да*
322з
То же
т* = 90 тм/м,
а = 30 сл«

328] УПРУГО-ПЛАСТИЧ. СВОБОДНОЕ КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ 247
326. Показать, что для случая тонкостенного замкну-
замкнутого сечения с постоянной толщиной стенок t предел
упругого и предел пластического сопротивлений при
кручении совпадает (материал предполагается идеально-
пластическим, а предел упругости и предел текучести
отождествляются). Доказательство провести с помощью
«аналогии» с «кучей песка». I
Рис. 124.
Ответ. Мупр = .Мпл = 22гтт, где Q — площадь, ограниченная
срединной линией замкнутого профиля.
327*. Показать, что если в предыдущей задаче тонко-
тонкостенный замкнутый профиль будет иметь переменную
толщину стенок, то предел пластического сопротивления
кручению для такого сечения будет отличаться от пре-
предела упругого сопротивления.
Ответ. Л/пл= ? 2Qt
tmln-T
*т1п)
J ~>Т,г
где Q—пло-
min
щадь, ограниченная кривой, отстоящей на расстоянии
от наружного контура сечения (рис. 125).
328. Тонкостенная трубка со средним радиусом R
и толщиной стенок t подвергается растяжению силой N
и кручению моментом М.
Выяснить соотношения между N и М в предельном
состоянии. Материал трубки — идеально-пластический.
Задачу решать в двух вариантах: исходя из теории на-
наибольших касательных напряжений и на основании энер-
энергетической теории.

248
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
[329
Ответ. По теории наибольших касательных напряжений
У [ ~2 ) +т =т:т имеем соотношение
А , 1 ДС 1 Т пр
Мпр = 2тсД^гт.
По энергетической теории oi = ]/oa-|-3t2 = oT, и потому получаем:
где
Мкр = А: 2тсЛЧ.
329. Стержень круглого поперечного сечения радиу-
радиусом R подвергается одновременному действию растяги-
'¦/тп
Рис. 125.
вающей силы N и крутящего момента М. N и М при-
прикладываются одновременно и возрастают от нуля
до полных значений пропорционально друг другу (слу-
(случай простого нагружения).
Выяснить соотношения между N и М в предельном
состоянии.
Исходными
Решение.
будут:
уравнениями теории пластичности

330] РАСТЕКАНИЕ ПЛАСТИЧ. МАССЫ ПРИ ОСАЖИВАНИИ 249
где ко = 3 (цо условию Губер—Мизеса) или ко = А (по условию
Сен-Венана). Геометрические соотношения (имея в виду отсут-
отсутствие депланации поперечных сечений) будут:
Тжг = «1/. -Гуг = аа:. s2 = const*).
Ответ.
Jfl RN
Зк0
где
§ 4.9. Растекание пластической массы при осаживании
330. Пластическая масса сжимается жесткими парал-
параллельными поверхностями, причем скорость их сближе-
dh
ния —г- известна.
at
В плане (рис. 126) пластическое вещество ограничено
изменяющимся с ростом деформации X контуром F(x, y,X) =
= 0, в начальный момент произвольным.
Пользуясь исследованиями А. А. Ильюшина [30],
составить уравнения растекания контура.
Указание. Полагая, что контактное трение на поверхности
равно пределу текучести осаживаемого материала на сдвиг и кон-
контур растекается свободно в сторону нормалей, А. А. Ильюшин
[30] получил следующее выражение для скорости растекания
точки М:
»=Т5|Л
rg-i
R] '
где Л —радиус кривизны той же точки М, Х = 1п-^—степень де-
деформации, h0 — первоначальная (до осаживания) толщина пласти-
пластического слоя, а величина г0 —находится следующим образом.
Если В—центр кривизны, а С-fi^ — так называемый «след ребра»
предельной песчаной насыпи, то ВС = та (см. [30]).
Ответ.
Здесь F — уравнение контура для рассматриваемого мгновения.
*) Подробное решение этой задачи, предложенной Надаи,
см- [57], стр. 115.

250
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
[331
331. (Продолжение задачи 330.) Пластическая масса,
сжимаемая между двумя жесткими параллельными поверх-
поверхностями, ограничена в начальный момент симметричным
контуром (рис. 127). Ох —ось симметрии; контур имеет
Рис. 126.
два центра максимальной кривизны (Сл и С2). Упростить
исходные уравнения предыдущей задачи и получить
уравнение растекания контура в функции от степени
деформации *).
Указание. В этом случае след ребра является прямой,
соединяющей указанные центры, и величину г0 можно выразить
явно. В уравнении растекания следует положить F = у—/(а:Д) = 0,
где ось абсцисс совпадает с осью симметрии (и, следовательно,
следом ребра), и тогда использовать основное упрощение задачи,
связанное с тем, что MC — R — г0 (см. рис. 127).
Ответ.
•-3+* IMSI]-»?¦
332*. Пластическая масса, сжимаемая между двумя
жесткими параллельными поверхностями, имеет в началь-
начальный момент, т. е. при Х = 0, контур в виде эллипса
с полуосями а и Ь (рис. 128). Требуется получить
*) Подробное решение задач 331 — 335 см. [12].

332] РАСТЕКАНИЕ ПЛАСТИЧ. МАССЫ ПРИ ОСАЖИВАНИИ 251
уравнение растекания контура. Первоначальные размеры
полуосей а = 31 мм, 6=17 мм, начальная толщина
h0 = 0,838 мм.
Вычислить новые размеры полуосей для случая, когда
в результате осаживания оказалось h = 0,732, h = 0,622,
h = 0,432.
Рис. 127.
Рис. 128.
Указание. Следует искать частный интеграл уравнения расте-
растекания в виде a:2-f-tfV2 = ti;. гДе функции «риф зависят лишь от \.

252
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
[333
Ответ. Уравнение растекания первоначально эллиптического
контура имеет вид
I У _
."Г А2 ,
где по-прежнему Х = In-т^-, h0—первоначальная высота пластиче-
пластического слоя, h — высота, оказавшаяся в процессе деформации.
Для указанных в условиях задачи начальной и последующих
толщин (Х = 0,3308; 0,7403; 1,1518) соответственно имеем а = 33;
37; 43 мм; 6 = 22,5; 29,0; 38,8 мм.
На рис. 129 совмещены первоначальная форма эллипса
и приобретенная при Х = 1,1518.
Рис. 129.
Рис, 130.
333*. Пластическая масса, сжимаемая между двумя
шероховатыми поверхностями, имеет начальный контур,
близкий к окружности, и описывается уравнением
степень (рис. 130)
р = а + Ъ sin Зу, где Ъ < а.
Получить уравнение растекания контура. Построить
фигуру растекания для случая, когда а = 2,52, 6 = 0,1,
степень деформации X = 0,4022.
Указание. В этом случае основное уравнение, общее решение
которого затруднительно, допускает линеаризацию. Удобно перейти
к полярной системе координат и искать класс решений в виде
р== Pi (\)-f-sp2 (ср, \), где е — малый параметр, квадратом которого
можно в дальнейшем пренебречь.

РАСТЕКАНИЕ 11ЛАСТИЧ. МАССЫЦЗРИ ОСАЖИВАНИИ 253
В итоге получаем уравнения для р! и ра в виде
Ответ. Для заданного первоначального контура имеется
закон растекания в виде
х
ра = е2-f-6e~4x sin Зср.
На рис. 131 изображен заданный контур до и после
деформации.
Расчетная
кривая
Контур
образца
Расчетная крибая
Рис. 131.
334*. В начальный момент в плане осаживания сим-
симметричный контур неограниченно простирается по оси
абсцисс вправо и ограничен параболой (рис. 132, о) с урав-
уравнением уг = 2с ( х-\-~ ) . Здесь ось абсцисс совпадает
с осью симметрии.
Составить уравнение растекания контура.
Указание. Сначала необходимо доказать справедливость урав-
уравнения течения (задача 331) для полуограниченных областей
и искать частное решение в виде
где (с и ф см- задачу 331.
Ответ. Уравнение растекания

254
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
[335
На рис. 132, б показан первоначальный контур и полученный при
Х = 2,3; при этом % = х + -т- е2*-
335*. В начальный момент осаживаемый контур
имеет форму неограниченного клина с уравнением
у = ± 1/ _ . (х-{-с); здесь ось абсцисс совпадает с осью
симметрии (рис. 133).
61
Рис. 132.
Рассмотреть задачу о растекании области клина,
т. е. области с угловой граничной точкой.
Указание. Следует искать частное решение уравнения за-
задачи 330 в виде y=<fx + <\i, где функции <р и ф зависят только от X.
Ответ. Уравнения прямых, являющихся границей пласти-
пластической массы, записываются:
те '' —

336] РАСТЕКАНИЕ ПЛАСТИЧ. МАССЫ ПРИ ОСАЖИВАНИИ 255
336. Используя так называемую песчаную аналогию
А. А. Ильюшина [30] установить расчетное выражение
Рис. 133.
для полного усилия, необходимого для сжатия пласти-
пластической массы (задача А. А. Ильюшина).
Ответ,
где gs —предел текучести осаживаемого пластического вещества,
.F —площадь контура в данное мгновение, У—объем предельной
песчаной насыпи, осуществленной на пластинке, ограниченной
контуром сжимаемой массы, ч — коэффициент внутреннего трения
песка.

ГЛАВА V
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ
ПЛАСТИЧНОСТИ
Краткие сведения из теории
1. Приближенные методы теории пластичности широ-
широко используют все гипотезы, характерные для приклад-
прикладной теории упругости (см. главу III, стр. 131 — 132),
и применяют те же методы, как-то: метод Бубнова —
Галеркина, метод Папковича и др.
Большая трудность задач теории пластичности по
сравнению с задачами теории упругости вынуждает иногда
обращаться даже к приближенному составлению самих
дифференциальных уравнений равновесия, к приближен-
приближенному начертанию условий пластичности (см. §5.1), к при-
приближенным записям граничных условий.
2. Наиболее простой задачей в теории пластичности
является выяснение предельной нагрузки, при которой
происходит исчерпание несущей способности данного се-
сечения или данной системы, если при этом материал кон-
конструкции может быть с достаточной точностью апрокси-
мирован диаграммой идеальной пластичности. Введение
понятия «пластический шарнир» (и различных его моди-
модификаций, означающих полное исчерпание несущей способ-
способности отдельных сечений), условное предположение о том,
что от момента образования одного такого шарнира
до образования другого материала в области между
шарнирами якобы находится в чистоупругом состоянии
(гипотеза о мгновенном включении «пластических шарни-
шарниров»), сводят задачу вычисления несущей способности

337]
ПРИБЛИЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
257
системы к элементарной задаче равновесия некоторой
мгновенно изменяемой кинематической цепи (см. задачи
360-370).
§ 5.1. Приближенные уравнения равновесия
и приближенные условия пластичности
337*). Призматическая поковка с размерами а>/г оса-
осаживается без уширения между плоскими шероховатыми
плитами (рис. 134).
vmUk
ТТ
'//ШУУУУУУУУУУУУУУЛ
УУУУУУУ/УУУУУУУУУ/УУУ/УУ/,
¦УуУУУУУуУУ
T^
Рис. 134.
Ввиду малой высоты поковки ho сравнению с ее длиной
принять допущение, что напряжение аж не зависит от коор-
координаты у. Естественно принять, что изменяющиеся по
высоте поковки касательные напряжения т имеют нуле-
нулевое значение при у = 0, а при у — ± -^ приобретают зна-
»чения ±t, т. е. значения касательных напряжений на
контактной плоскости. Как запишется тогда дифферен-
дифференциальное уравнение равновесия?
Указание. Интегрируя первое уравнение равновесия A.01) от
нуля до-^ с учетом сделанных предположений, получаем-^+
^ ах
*) Задачи 337 — 341 взяты из книги Е. П. Унксова [70].
17 н. И. Беэухов

258 ПРИБЛЙЖЕЙНЫВ1РЕШЁНЙЯ В ТЕОРИИ ПЛАСТЙЧН. C38
338. Клиновидная поковка осаживается под плоскими
наклонными плитами. Осадка происходит без уширения,
угол а задан малым (рис. 135). Используя известные
уравнения равновесия в полярных координатах, но сделав
ввиду малости угла допущения, что напряжения аг и oj не
вависят от 8, получить^приближенное уравнение равновесия.
Ответ.
da? , 2т ат—ае _ п
ч;^ г.а +~т '
где t—касательное напряжение на контактной поверхности.
339. Иногда в случае плоской деформации вместо
•Рле. 1S5.
известного условия пластичности (ох — ау)%-\-^*Ху —
где к = ~f=, принимают приближенно условие пластич-
пластичности в виде Од. — о^ = 2&, т. е. условно рассматривают
компоненты ох и ау как главные напряжения, пренебрегая*
компонентой тху.
Вычислить среднюю и абсолютную погрешности, до-
допускаемые при пользовании приближенным условием, в
зависимости от значения отношения т = ^, где 0< т< 1.
Рассмотреть случай, когда т = 0,7.
Ответ. Средняя погрешность выражается формулой
— (т — ^УА — т* + ^

Ш) , ПРЙБЛЙЖЕННЫЕХУРАВНЕНЙЯ РАЁНОВЕСИЯ 259
При mS0,7 средняя погрешность превышает 10%,'а абсолютная
пегрешность достигает 30%.
340. При каких отношениях^ = т0 взамен прибли-
приближенного условия пластичности, указанного в предыду-
предыдущей задаче, целесообразнее пользоваться другим прибли-
приближенным условием, а именно:
Ответ. При тоо>О,952. ^
341. При каких отношениях т = -^ в случае плоской
К
деформации использование приближенных условий пла-
пластичности, приведенных в задачах 337 — 338, будет давать
наибольшую погрешность?
Ответ. 0,7<^-<0,95
342. На прямоугольное поперечное сечение (размеры
bxh) балки вначале оказывает действие изгибающий мо-
момент, а затем, не удаляя изгибающего момента, вклю-
включается действие на то же сечение поперечной силы, ко-
которая и доводит сечение до исчерпания им его несущей
способности. Выяснить соотношение между изгибающими
моментами (М) и поперечной силой (Q) для предельного
состояния. Материал балки идеально-пластический с пре-
пределом текучести от. Задача решается в предположении,
что изгибающий момент имеет значение большее, чем
предельный упругий, и, следовательно, часть попереч-
поперечного сечения от действия одного изгибающего момента
уже перешла в состояние пластичности *).
bh2
Решение. Предельный упругий момент МуПр = отТУ = зт -=-;
при М > М7Пр, но меньше предельного пластического, попереч-
поперечное сечение разделится на три части: среднюю упругую и край-
крайние пластические (рис. 36). Полувысота упругого слоя
*) Задачи 342, 343, 346, 347 взяты из [8] и из статьи «Влия-
«Влияние очередности действия внешних нагрузок на несущую спо-
собаость», Известия Арт. академии, т. 81, М., 1954.
17*

360 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧН. 1348
= — 1/ ЪЬ.Ъ—т—• Нормальные наприжения в пределах упру»
го и зоны
3 = Of !
2/
Пусть при дальнейшем действии на сечение поперечной силы в
ранее образованных (от момента) пластических зонах напряжен-
напряженное состояние не будет изменяться (рис. 137); тогда касательные
напряжения, которые должны уравновешивать поперечную силу,
Пластическая зона
'^ластическт
. зона
->^^
Ус
А
Рис. 136—137—138.
могут распределяться только в пределах первоначальной (от мо-
момента) упругой зоны (рис. 138).
При условии пластичности а2-|-&та=а?, где А: = 4 по теории
наибольших сдвигов и к = 3 по энергетической теории, из усло-
условия равновесия имеем:
Г°
26 V %dy=*Q.
После интегрирования получаем искомое соотношение
4 /к
343. На прямоугольное сечение, обследованное в за-
задаче 342, вначале оказывает действие поперечная сила,
а затем подключается изгибающий момент, доводящий
сечение до исчерпания им несущей способности. Выяснить
соотношение между Q и М в предельном состоянии.
Задачу решить в предположении, что распределение ка-

344] ПРИБЛИЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
261
сательных напряжений по высоте сечения от поперечной
силы не изменяется в случае дополнительно приклады-
прикладываемого к сечению изгибающего момента.
Г
*max « t.
Рис. 139.
Рассмотреть случай, когда от поперечной силы
Решение. Исходя из эпюр напряжений, показанных на
рис. 139, имеем:
x~ 2 F
M = 2b \ aydy.
0
После интегрирования имеем:
arcsin
344. На прямоугольное поперечное сечение, рассмот-
рассмотренное в задачах 342 — 343, оказывают действие, и при-
притом одновременное, изгибающий момент и попереч-
поперечная сила (случай простого нагружения). Распределение
нормальных и касательных напряжений в поперечном

262 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧН. {345
вечении подчинить условию максимума для изгибающего
момента при заданном значении поперечной силы *).
Ответ.
_ 2ЪТЬ
Указанные два уравнения дают зависимость между Q и М в пре-
предельном состоянии, выраженную в параметрической форме че-
через л.
345. Предыдущую задачу о простом нагружении
прямоугольного сечения поперечной силой и моментом
решить в предположении, что соотношения между ком-
компонентами напряжений при упруго-пластическом состоя-
состоянии соответствуют отношениям тех же компонентов для
последнего мгновения упругой стадии **).
лт тт v QS J Q bh* г. ,у*-\
Указание. Полагаем —= -тг--17- —тгтг-( 1—4 Щ-= ) и подчи-
о Jb My M 8у \ А2 /
няем условию пластичности <j2-|-ftt;2 = a2.
Примечание. Очередность действия внешних усилий мало от-
отражается на несущей способности балок прямоугольного сечения,
так же как и различные предположения о характере эпюр на-
напряжений в сечении мало влияют на соотношения между изгиба-
изгибающим моментом и поперечной силой для предельного состояния
(см. сноску к задаче 342).
346. На стержень круглого поперечного сечения ра-
радиусом г вначале оказывает влияние продольная сила N,
вызывающая напряжения в поперечном сечении меньше
от, а затем подключается крутящий момент, доводящий
стержень до исчерпания его несущей способности. Вы-
Выяснить соотношение между N и MKV в предельном со-
состоянии, исходя из предположения, что крутящий момент
не изменяет в сечении распределения нормальных напря-
напряжений, вызванных продольной силой (до приложения
крутящего момента). Сопоставить решение при указан-
*) Подробное решение этой задачи см. в книге А. Р. Ржешн-
а [57], стр. 146-149.
**) Подробное решение задачи см. Н. К. Снитко [63J.

847] ПРИБЛИЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
263
ных допущениях с точным решением той же задачи (см.
задачу 329).
Ответ.
iva
347*. Выяснить несущую способность круглого попе-
поперечного сечения при совместном действии изгибающего
и крутящего моментов. Рассмотреть случай, когда на
сечение вначале оказывает действие изгибающий момент
меньше предельного упругого, а затем подключается кру-
Рис. 140—141.
тящий момент, доводящий сечение до исчерпания несу-
несущей способности. Задачу решить в предположении, что
нормальные напряжения, возникшие в сечении от изги-
изгибающего момента, не перераспределяются при последую-
последующем включении крутящего момента.
г~ ЩУкааание. Исходными будут эпюры напряжений на рис. 141, а,
141.6, где
М
-7XVTF».
уравнение предельного равновесия
*кр ¦
¦X тр dF
(ответ—см. вадачу 346).

264 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧН. [348
348. Брус круглого поперечного сечения подвергается
вначале действию крутящего момента, значение которого
больше предельного упругого, но меньше предельного
пластического, а затем подключается изгибающий момент,
доводящий сечение до полного исчерпания несущей спо-
способности.
Выяснить соотношения между М и Мкр в предельном
состоянии.
Ответ. Исходные эпюры указаны на рис. 143, а, 143, б.
349*. Известно, что при поперечном изгибе обычной
двухопорной балки прямоугольного сечения сосредото-
сосредоточенной силой, приложенной посередине пролета, пла-
пластический шарнир может образоваться в сечении под
грузом, и его образованию предшествует обычно образо-
образование пластического состояния у крайних фибр. Однако
в случае большой поперечной силы текучесть может
начаться с нейтрального слоя. Выяснить, при каких
условиях к образованию пластического шарнира балки
приходят по схеме, показанной на рис. 144, и когда — пэ
схеме, приведенной на рис. 145*).
Ответ. Первый случай при а ^ \^2 и второй — при 0 < а <}' 2,
где
е Е Е YZ
«—у. е — — Ei. * — "<« ¦ •
•уо — относительный сдвиг на нейтральной оси в сечении пластиче-
пластического шарнира, ej — относительное удлинение для того же сече-
сечения.
§ 5.2. Несущая способность статическп-неопределимых
балок и рам
350. Для балки, показанной на рис. 146 и выполнен-
выполненной из двутавра № 20а, вычислить предельную нагрузку.
*) Подробное решение задачи см.;'[16].

Рис. 142-143.
7
Пластическая
область
Рис. 144.
1
6)
Рис. 145.

266 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧН. [351
Данные: предел текучести от = 2400 кг/см* и пластиче-
пластический момент сопротивления сечения WM = 276 см*. За-
Задачу решить в предположении идеально-пластического
материала, пренебрегая влиянием поперечной силы на
снижение несущей способности сечения *).
Рис. 146.
Рис. 147.
Решение. В предельном состоянии пластические шарниры воз-
возникнут в защемлении и в пролете на расстоянии х от левой
опоры (рис. 147), определяемом из условия, что в этом сечении
изгибающий момент также равен предельному, т. е. Mx = Mt =
= 663000 кг-см. Исходные уравнении
I
?пр ~2 —
_
—Т~ —
j- — 0,
откуда х = 4,68 м, 0пр = 1,22 пг/м.
351. Вычислить предельную нагрузку для балки, по-
показанной на рис. 148. .
Ответ. 9пр = 3,44 т/м.
352. Для балки со ступенчатым изменением сечения
(рис. 149) определить предельную нагрузку. Допущения
те же, что в задаче 350; от = 2400 кг/см2.
Ответ. Рпр=8850кз.
353. Для балки, показанной на рис. 150, при данных
из задачи 352 определить Pnv.
Ответ. Рпр = 11 500 кг.
354. Для неразрезной балки, показанной на рис. 151,
определить, в какой последовательности буд> т возникать
*) Задачи 350 — 355 заимствованы из [53].

354]
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ
267
то
6,0
Рис. 148.
1
1
ш.
у* j,u *•
г
2
15
is
3
3
"* 4
I.
C^v 3-3
*w ТоТо ~~Чо~-ю
Рис. 149.
Сея Ч
мго" л
IS
Сеч2-2
JP2O0
¦Л0-
2-120-Ю
Рис. 150.

268 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧН. [355
пластические шарниры, и найти интенсивность допуска-
допускаемой нагрузки. Данные: от = 2400 кг /см2, требуемый за-
запас прочности к = 2. Несущую способность сечения опре-
определять без учета поперечной силы.
I I I II П I I I I I I I I I I I I III I М III П ГППТ1
Сеч И
Рис. 152.
Решение. Выполняем вначале обычный упругий расчет
(рис. 152, в), согласно которому пластический шарнир появится
вначале над опорой Е.
Рассматривая новую расчетную схему с уничтоженной угло-
угловой связью в точке Е (рис. 152, б) и с Me=zM-1 = —10,6 тм, на-
находим, что при дальнейшем увеличении нагрузки наиболее опас-
опасным будет сечение над опорой С, причем Мс——48д-)-21,2. Второй
пластический шарнир (над опорой С) появится при нагрузке,
отвечающей М0—МТ= — 6,63.
После этого балка теряет способность воспринимать дальней-
дальнейшее увеличение нагрузки. Итак, ?пр=0,58 т/м, [д] = 0,29 т/м.
355. Найти предельную нагрузку Ркр для двухшарнир-
ной рамы (рис. 153), составленной из стержня прямо-

356]
ЫЕСУЩАЯ^СПОСОБНОСТЬ
угольного сечения 5 х 20 см при от = 2400 кг/см2. Прене-
Пренебречь влиянием продольной и поперечной сил, как и
возможностью потери устойчивости.
Ответ. Ркр = 16 т.
356 *). Определить несущую способность тонкого коль-
кольца, находящегося под действием радиальной сосредото-
0.05
¦10
-3.0
Рис. 153.
ченной силы и уравновешивающих ее специальных кон-
контурных касательных сил (рис. 154). Выяснить последо-
последовательность образования пластических шарниров по мере
увеличения нагрузок. При исчислении несущей способ-
*) См. вып. 81 Известий Арт. ннж. акад., статью В. В. Бе-
ревикова.

2?0 ПРИБЛИЖЕННЕЕ РЕШЕНИЯдВ ТЕОРИИ ПЛАСТЙЧЙ. [356
аости сечения влиянием продольной и поперечной сил
в сечении пренебречь, т. е. предельный изгибающий мо-
момент в сечении определить по выражению Мт = oTWna.
Решение. Выполнив вначале обычный упругий расчет дважды
(ввиду симметрии) статически-неопределимой системы, выясняем
(рве. 155), что наибольший изгибающий момент оказывается в се-
Рис. 154.
чении под грузом и равен М — 0,233 Рг. Следовательно, в этом
сечении в первую очередь образуется пластический шарнир.
Ив равенства 0,233 Pir = aTWna находим значение нагрузки
•Pi = 4,292 ——EL, при которой образуется первый пластический
шарнир. Далее исходим из новой расчетной схемы с одной уте-
утерянной угловой связью (рис, 155) и выполняем обычный упру-
упругий расчет (теперь уже однажды статически-неопределимой си-
системы), который позволяет установить, что наибольший изгибаю-
изгибающий момент будет одновременно в двух сечениях, определяемых
углом «р = ± 67°1О'; приравнивая моменты в этих сечениях предель-
предельному значению, находим значение нагрузки Р2 = 6,829———, при
котором заданная система обращается в статически-определимую
систему (с тремя пластическими шарнирами),
Для потери несущей способности системы остается подобрать
такое значение нагрузки, при котором в сечении, определяемом

Рис. 155.
Рис. 156,
¦ууу//у////у/^/У/
'УУ/У/У,
УУ/Ш/////6'УУ/У//У////////У//
ШШДЩВ*"
шр-
"А М
Рис. 157.

272 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕ0РИИ_Ш1АСТИЧН. [357
ср=тс (рис. 156), изгибающий момент также достигнет предельного
значения. Это оказывается при Р3 = 7.70Э ——— .
357. Бесконечно длинная балка из упруго-пластиче-
упруго-пластического материала, но без упрочнения (упругая жесткость
сечения EJ, предел текучести материала балки от) поко-
покоится на линейно-несвязанном упругом основании (коэф-
(коэффициент постели с) и нагружена в средней части сосре-
сосредоточенной силой Р (рис. 157). Определить, при каком
значении силы Р и где по длине балки образуется пер-
первый пластический шарнир, при какой нагрузке и в каком
сечении образуется второй пластический шарнир, и т. д.
Упругое основание полагать неспособным к пластич-
пластичности.
Решение. Первый пластический шарнир образуется в сечении
под грузом и при нагрузке Р — А Шпл, где к=у щ и Мпл =
= ат\Уаа. В следующей стадии балка работает как бесконечно
длинная с шарниром посередине и при моменте у шарнира М—Мал.
Вторые пластические шарниры образуются одновременно слева и
справа от силы на расстоянии от нее S ях-г" 1>0384, что соответ-
к
ствует силе Р2 = 9,74 Шпл.
При дальнейшем увеличении нагрузки второй шарнир теку-
текучести будет перемещаться по направлению к точке приложения,
причем в сечениях, находящихся по другую сторону, благодаря
разгрузке шарниры текучести будут закрываться. Таким образом,
более трех пластических шарниров в балке не возникнет. Пре-
Предельного состояния системы в данной задаче не существует.
358. Условия предыдущей задачи изменить, полагая,
что и основание балки представляет идеально-пластическую
среду с пределом текучести в?. Задачу решить в пред-
предположении, что в состоянии текучести основание при-
приходит после того, как в балке образовался первый пла-
пластический шарнир.
Решение. Прогиб под грузом в упругой стадии балки и осно-
основания У^орту) • К моменту образования первого пластического
шарнира прогиб составит yt = _, ' , а реакция основания
p=—cyi. По условиям задачи ci/j < а^б, где 6—ширина балки.

НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ
273
""ПЛ ^«
p
а', в
/
p
2
-*-
-2
/- .
•ис. 158.
I
Рис. 159.
18 н. И. Безухов

274 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧН. [359
В предельном состоянии, исходя из схемы сил, показанных
в а рис. 158, имеется для сечения, где должен образоваться вто-
р
рой пластический шарнир, Q=—?г-\-з'Ьх=-0,
у о^^=-Мт, откуда x = rf^-, и
359. Статически неопределимая балка, левый конец
которой жестко защемлен, а правый шарнирно оперт, в
середине пролета нагружена сосредоточенной силой Р
(рис. 159,о)*).
Балка имеет прямоугольное сечение шириной Ь и вы-
высотой h. Материал балки характеризуется диаграммой,
которая удовлетворительно апроксимируется ломаной,
состоящей из двух прямых (рис. 159, б). Уравнение вто-
второй ветви диаграммы имеет вид о = ЕA — ш)е, где
ш — X ( 1 —- J, X = 1 — -р— параметр разупрочнения ма-
материала.
Требуется определить кривизну и изгибающие момен-
моменты в защемленном конце балки и под силой Р при сле-
следующих условиях: Р = 1,5 Рупр, где Рупр — наибольшее
значение силы, при котором балка деформируется еще
упруго, и X = 0,5.
Указание. Если воспользоваться методом упругих решений,
то выражение для фиктивного момента ДЛ/ в сечении, где кри-
визна бруса равна — , будет иметь вид
АМ = — { <oy*dF = —l
Принимая во внимание, что — = 2-, где ут = гтр —граница
раздела упругой и 'пластической зон сечения, получим:
h
*) А. Д. Поспелов, Упруго-пластический изгиб балок, Москва
1957.

360] НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ИЗГИБАЕМЫХ ПЛАСТИНОК 275
Таким образом, будем иметь:
.. ЕЬ, Г А3 6
М = УХ Ll2—
3,1-1
ТА» . р3
где
EJ •
Ответ. Нулевое приближение (упругий расчет):
в сечении у защемления М = —*1,5Л/ущ>; —= 1,5 ( — ) ;
Р V р /упр
1 /1 Л
в середине пролета М = 1,25 Л/уПр; —=1,25 ( — )
Р V р Уупр
Второе приближение:
в сечении у эащемления Л/= — 1,49Л/упр: —=—1,64( — ) ;
в середине пролета М=1,26 Л/упр', — = 1,31 ( — )
Р Ч Р /упр
Третье приближение можно считать практически точным.
Полученный ответ справедлив для балки прямоугольного се-
сечения, имеющей любые размеры сечения b и А.
Примечание. Изгибающие моменты изменились против упру-
упругого расчета незначительно, а кривизны увеличились заметно.
§5.3. Несущая способность изгибаемых пластинок*)
360. Для полигональной в плане плиты (рис. 160)
постоянной толщины h определить разрушающую на-
нагрузку, представив ее в виде сосредоточенной силы Р,
приложенной в заданной точке О. Материал плиты по-
полагать идеально-пластическим, с заданным пределом те-
текучести от.
Форму разрушения плиты, отвечающую превраще-
превращению ее при достижении несущей способности в гео-
геометрически изменяемую систему, представить, следуя
А. А. Гвоздеву (см. [21]), в виде пирамиды с вершиной
в точке О и с ребрами — цилиндрическими шарнирами
текучести, идущими в вершине опорного контура.
*) См. [6], гл. XIII и XIV, а также [57], гл. VII.
48*

276. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧН. [360
Решете Уравнения предельного равновесия удобно записать
в <ктме равенства нулю работы всех сил системы на возможном
ее перемещении. Перемещение под силой Р примем за единицу.
Виртуальная работа составится из работы силы Рпр на назна-
назначенном по ее направлению единичном перемещении, из работы
предельных моментов (их интенсивность обозначим через тТ)
на двугранных углах перелома в цилиндрических шарнирах теку-
чести Работой внутренних усилий, возникающих в тех треуголь-
треугольник шюстинках, на которые к моменту начала разрушения
разбивается заданная плита, пренебрегаем. Итак, уравнение
работ имеет вид
2e/
где углы перелома
1
«i и Pi-углы, образуемые линиями перелома со сторонами пери-
периметра пластинки.
Окончательно

363] НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ИЗГИБАЕМЫХ ПЛАСТИНОК 277
где
361. Записать разрушающую нагрузку для квадратной
пластинки со сторонами а и для прямоугольной пла-
пластинки со сторонами а и Ъ в случае силы Р, приложен-
приложенной в центре этих пластинок.
Рис. 161.
Ответ. Для квадратной Рпр = 8/ит, для прямоугольной
*»=*».(?+!)•
362. Найти выражения для предельной силы, прило-
приложенной в центре круглой пластинки.
Ответ. Рпр = 2тттет (поверхность пластинки в предельном
состоянии образует конус, его сплошь заполняют цилиндрические
шарниры текучести).
363*). Эллиптическая в плане пластинка, свободно-
опертая по контуру, загружена сосредоточенной силой
в фокусе (рис. 161).
*) Задачи 363, 364 взяты из [57].

278 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧН. [364
Найти значение предельной силы.
Ответ. На рис. 161 показаны цилиндрические шарниры теку-
текучести как линии, сходящиеся в фокусах. При такой картине разру-
разрушения
Рпр = 2п -г 1щ.
364. Эллиптическая пластинка загружена сосредото-
сосредоточенной силой в центре. Определить значение разру-
разрушающей нагрузки (рис. 162).
Ответ.
365. Круглая в плане свободно-опертая пластинка
радиусом R изогнута постоянной равномерно-распреде-
равномерно-распределенной по всей площади пластинки нагрузкой. Опре-
Определить предельное значение интенсивности такой нагрузки
Рис. 162.
по методу А. А. Гвоздева (см. задачу 360) и объяснить,
почему в данном случае решение полностью совпадает
с точным решением по В. В. Соколовскому.
Решение. Виртуальная работа внешних сил определится как
произведение предельной.интенсивности на объем конуса, обра-
образованного цилиндрическими шарнирами текучести. Виртуальная

368] НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ИЗГИБАЕМЫХ ПЛАСТИНОК 379
работа предельных моментов тот запишется беа изменения против
задачи 362. Итак,
откуда
_6тт_ 3 А»
366. В предыдущей задаче изменить свободное опи-
рание по контуру на полное защемление и определить
значение интенсивности предельной нагрузки. Задачу
решить в предположении, что цилиндрические шарниры
текучести в предельном состоянии образуют также фигуру
конуса.
Решение. Виртуальная работа предельных моментов /пт допол-
дополнится работой моментов по опорному контуру на их соответст-
- .1
вующии угол поворота, равный -=г , т. е. исходным уравнением
будет следующее:
<7пр • "о- Л-Я8 • 1 = 2тетот + тет 2itR • -g- ,
о fi
откуда qap = 3iT -„j, т. е. вдвое больше, чем в случае шарнир-
шарнирного опирания по опорному контуру.
367. Квадратная пластинка со сторонами а с защем-
защемленным контуром загружается в центре сосредоточенной
силой.
Определить предельное значение этой силы.
Решение. Уравнение предельного равновесия в отличив вт
задачи 361 запишется:
2
РПр . 1 = 8тог-f- тот 4 • а • — ,
откуда
368. Круглая в плане пластинка со свободно-опертым
контуром загружена по «конусу», как показано на

280 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ ПЛАОТИЧИ, [369
рис-. 163. Определить предельное значение интенсивности
нагрузки в центре пластинки.
Рис. 163.
Решение. Виртуальная работа внешней нагрузки при картине
разрушения, показанной на рис. 188 внизу, запишется так:
R
О
Таким образом, в отлично от задачи 365
. 24wT ft "й2
369. Как изменится результат в предыдущей задаче,
если пластинка будет защемлена по контуру?

370] НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ИЗГИБАЕМЫХ ПЛАСТИНОК 281
Ответ.
* 12
370. Круглая в плане пластинка с защемленным
контуром загружена полярно-симметричной нагрузкой
Рис. 164.
по схеме, показанной на рис. 164. Определить предель-
предельное .значение интенсивности д2 при заранее заданной
интенсивности qv
Ответ.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ
Основные источники
1. Безухов Н. И., Теория упругости и пластичности, Гостех-
издат, М., 1953.
2. Жемочкин Б. Н., Теория упругости, Стройвоенмориздат,
1948.
3. Ильюшин А. А., Пластичность, Гостехиздат, 1948.
4. Лейбензон Л. С., Курс теории упругости, изд. 2-е, Гостех-
Гостехиздат, 1947.
5. Паи ко вич П. Ф., Теория упругости, Оборонгиз, 1939.
6. С о к о л ов ск ий В. В., Теория пластичности, изд. 2-е,
Гостехиздат, 1950.
7. Фи л оне нк о-Б ор о ди ч М. М., Теория упругости, Гостех-
Гостехиздат, 1947.
Дополнительно цитированная литература
8. Безухов Н. И., Основы теории сооружений, материал ко-
которых не следует закону Гука, Труды Московского автодо-
автодорожного института, вып. IV, 1936.
9. Его же, Сборник задач по сопротивлению материалов и теории
упругости, изд. Арт. академии, М., 1945.
10. Его же, Универсальные формулы для определения упруго-
пластических перемещений в балках переменного сечения,
Труды Моск. автодорожного ин-та, вып. II, 1934, вып. IV
и VI, 1936.
11. Его же, Динамика сооружений в примерах и задачах, Строй-
издат, 1947.
12. Безухов В. Н., Некоторые задачи осадки пластического
слоя симметричной формы в плане, Известия Арт. академии,
т. 96, М., 1956.
13. Бернштейн С. А., Сопротивление материалов, изд. Воен-
Военной академии бронетанковых сил С. А. имени Сталина,
изд. 2-е, М., 1955.
14. Бернштейн С. А., Туркин В. С, Экспериментально-
теоретическое исследование упруго-пластической работы сталь-

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ 283
ных неразрезных балок, Труды Конференции по пластическим
деформациям при АН СССР, М.—Л., 1938.
15. Бубнов И. Г., Строительная механика корабля, 1914.
16. Броуде Б. М., Расчет балок по предельному состоянию
при учете касательных напряжений. Сборник «Исследо-
«Исследования по теории сооружении», вып. V, Стройиздат, М.,
1951.
17. Бланков Г. Г., Устойчивость плоской формы изгиба дву-
двутавровой балки при сложных нагрузках, Труды Киевского
инж.-стр. ин-та, Киев, 1954.
18. Власов В. 3., Тонкостенные упругие стержни (проч-
(прочность, устойчивость, колебания), Госстройиздат, М.—Л.,
1940.
19. Вольмир А. С, Гибкие пластинки и оболочки, Гостехиздат,
М., 1956.
20. Галеркин Б. Г., Упругие тонкие плиты, ГТТИ, 1933.
21. Гвоздев А. А., Расчет несущей способности конструкций
по методу предельного равновесия, Стройиздат, М.,
1949.
22. Глушков Г. С., Инженерные методы расчета конструкций,
Машгиз, 1949.
23. Гольденблат И. И., Некоторые вопросы теории упругих
и пластических деформаций, Стройиздат, 1950.
23а. Гольденблат И. И., Некоторые вопросы механики дефор-
деформируемых сред, М., 1955.
24. Гольденвейзер А. Л., О теории тонкостенных стержней,
ПММ, т. XIII, вып. 6, М.—Л., 1949.
25. Григорьев А. С, Изгиб круговых и Кольцевых пластин
переменной и постоянной толщины за пределом упругости,
Инженерный сборник, т. XI, 1954,
26. Д ж ане л и д з в Г. Ю. и Пановко Я. Г., Статика .упру-
.упругих тонкостенных стержней, серия «Современные проблемы
механики», Гостехиздат, 1948.
27. Динник А. Н., Устойчивость упругих систем, ОНТИ,
1935.
28. Ж у дин Н. Д., Расчет стальных конструкций с учетом пла-
пластических деформаций, Сборник трудов Киевского инж.-стр.
ин-та, вып. II, 1935.
29. За ври ев К. С, Расчетные формулы прочности в особых
случаях, ОНТИ, 1935 (впервые опубликованы в 1913 г. в «Вест-
«Вестнике общества технологов»).
29а. Его же, Некоторые вопросы теории пластичности, Труды ин-та
стр. механики АН Грузинской ССР, т. IV, 1953.
30. Ильюшин А. А., Вопросы теории течения пластиче-
пластического вещества по поверхностям, ПММ, т. VIII, вып. 3,
1954.
31. К а чанов Л. М., Механика пластических сред, Гостехиздат,
1948.
31а. Его же, Некоторые вопросы теории ползучести, Гостехиздат,
1949.
316. Его же, Основы теории пластичности, Гостехиздат, 1956.

284 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ
32. Ковалев Н. И., Определение законов распределения напря-
напряжений и деформаций в стенках полого цилиндра. Известия
Академии артиллерийских наук, М., 1952.
33. Коренев Б. Г., О расчете балок и плит с учетом пласти-
пластических деформаций. Инженерный сборник, т. V, вып. 1, 1948.
34. Коробов А. П., Приближенный метод расчета стоек посто-
постоянного и переменного поперечного сечений. Труды Ро-
Ростовского механического ин-та инженеров транспорта,
1935.
35. Кутилин Д. И., Теория конечных деформаций, Гостехиздат,
1947.
36. Луковников В. Ф., Устойчивость прямоугольной полосы
и двутавровой балки при сложном поперечном и продольном
нагружении. Латв. Гос. ун-т, Рига, 1955, автореферат.
37. Л у р ь е А. И., Статика тонкостенных упругих оболочек,
Гостехиздат, 1948.
37а. Его же, Пространственные задачи теории упругости, М., Гостех-
Гостехиздат, 1955.
38. Ляв А., Математическая теория упругости, ОНТИ, М.—Л.,
1935.
39. Мак у шин В. М., Деформация и напряженное состояние
деталей в местах контакта, Машгиз, 1952.
40- Межлумян Р. А., Определение несущей способности тонко-
тонкостенных конструкций с учетом упрочения материалов, ПММ,
т. XV, вып. 2, 1951.
41. Мительман Л. М., Решение задачи кручения методом
последовательного приближения к контуру, изд. Моск. ави-
авиационного ин-та, 1955.
42. Ми хлин С. Г., Основные уравнения математической теории
пластичности, Изд-во АН СССР, 1939.
43. Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи мате-
математической теории упругости, изд. 2-е, Изд-во АН СССР, М.,
1935.
44. М у ц е не к К. Я., Влияние некоторых видов неточности изго-
изготовления на напряженное состояние прессовых соединений,
Латв. гос. ун-т, Рига, 1955, автореферат.
45. На дай А., Пластичность, ОНТИ НКТП, 1936.
46. Новожилов В. В., Основы нелинейной теории упругости,
Гостехиздат, 1948.
47. Никифоров С. П., Теория упругости и пластичности,
Стройиздат, М., 1955.
48. Огибалов П. М., О распространении вязко-пластического
течения с учетом упрочнения для случаев вращения и сдвига.
ПММ, т. V, вып. 1, 1947.
49. Пан о в к о Я. Г., Изгиб и кручение полосы, Известия АН
Латвийской ССР, №8, 1953.
50. Пономарев С. Д., К вопросу о так называемой «тео-
«теории прочности энергии формоизменения», В. И. Т., № 1,
1953.
51. Попов С. М., Некоторые основные задачи упруго-пласти-
упруго-пластической устойчивости пластинок, Моск. гос. ун-т, М., 1953.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ 285
52. Пр ат у севи ч Я. А., Вариационные методы в строительной
механике, Гостехиздат, М.—Л., 1949. . .
53. Рабинович И. М., Сборник задач по теории сооружений,
Стройиздат, 1950.
54. Работнов Ю. Н., Расчет деталей машин на ползучесть,
Известия АН СССР, отд. техн. наук, № 6, 1948.
55. Раевская Е. А., Несущая способность тонкостенных
стержней, Инженерный сборник, Изд-во АН СССР, т. XX, 1954.
56. Pax мат у ли н X. А., Упруго-пластические волны, ПММ,
т. IX, 1945.
57. Ржаницын А. Р., Расчет сооружений с учетом пластиче-
пластических свойств материала, Стройвоенмориздат, 1949.
58. Савин Т. Н., Концентрация напряжений около отверстий,
Гостехиздат, М.—Л., 1950.
59. Слезкин Н. А., Основные уравнения движения деформируе-
деформируемой среды частиц с переменной массой, ДАН СССР, т. LXXIX,
№ 1, 1951.
60. Смирнов А. ф., Статическая и динамическая устойчивость
сооружений, Транстехдориздат, 1947.
61. С мирнов-А л я ев Г. А., Сопротивление материалов пласти-
пластическим деформациям, Машгиз, 1949.
62. Снитко Н. К., Теория прочности с учетом внутрикристал-
лической структуры, изд. Военно-транспортной академии, Л.,
63. Снитко Н. К., Устойчивость стержневых систем, Стрсй-
издат, 1952.
64. Стрельбицкая А. И., Исследование работы тонкостенного
швеллерного профиля за пределом упругости, Статья
в сборнике «Вопросы прочности и устойчивости стержне-
стержневых конструкций», Изд-во Академии наук УССР, Киев,
1956. См. также ее статьи в журнале «Прикладная механи-
механика» и в Доповда Академп наук Украинськой РСР за 1955-1956.
65. Тимошенко С. П., Теория упругости, ГТТИ, 1933.
66. Тимошенко С. П., Пластинки и оболочки, Гостехиздат,
1949.
67. Его же, Устойчивость упругих систем, Гостехиздат, изд. 2-е,
1955.
68. Уманский А. А., Кручение и изгиб тонкостенных конструк-
конструкций, М., 1939.
69. Его же, Сборник задач по сопротивлению материалов, Оборон-
гиз, 1950.
70. Унксов Е. П., Инженерные методы расчета усилий при
обработке металлов давлением.
71. Урбан И. В., Теория расчета стержневых тонкостенных
конструкций, Трансжелдориздат, 1955.
72. Феодосьев В. И., Избранные задачи по сопротивлению
материалов, Гостехиздат, 1953.
73. Феппль, Сила и деформация, т. И, ГТТИ, 1936.
74. Фи л онен к о-Б ор о д и ч М. М., Задача о равновесии упру-
упругого параллелепипеда при заданных нагрузках на его гранях,
ПММ, т. XV, вып. 2, 1951.

286 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТВРАТУРА И ИСТОЧНИКИ
75. Фрохт М., Фотоупругость, Гостехиздат, 1949, т. 1, 1950, т. 2.
76. Шапиро Г. С, Напряжения у отверстия в бесконечном
клине, Труды Ленинградского политехнического института
имени М. И. Калинина, № 3, 1941.
77. Ш им а некий Ю. А., Изгиб пластин, ОНТИ, 1934.
78. Штаерман И. Я., Контактная задача теории упругости,
Гостехиздат, 1949.

Бевухов Николай Иванович.
Сборник вадач по теории упругости
и пластичности.
Редактор И. К. Снитко.
Техн. редактор Е. А. Ермакова.
Корректор А. С. Бакулова.
Сдано в набор 10/IX 1957 г.
Подписано к печати 23/Х 1957 г.
Бумага 84х 108/за. Физ. печ. л. 9.
Условн. печ. л. 14,76.
Уч.-изд. л. 13,44. Тираш 13000 экэ.
Т-08197. Цена книги 5 р. 05 к.
Заказ Ki 1380
Государственное издательство техиико-
теоретической литературы
Москва, В-71, В. Калужская ул., 15.
16-я типография Московского городского
Совнархоза
Москва, Трехпрудный пер., д. 9