Л.С. Понтрягин. Избранные научные труды. Том 1. Топология. Топологическая алгебра - Понтрягин Л.С.

Author: Понтрягин Л.С.
Tags: математика топология алгебра
ISBN: 5-02-014409-6
Year: 1988
Similar
Колмогоров. Юбилейное издание в трех томах
Математики и механики
Топология
Математическая энциклопедия. Том 4
Text
                    Л.С. ПОНТРЯГИН
ИЗБРАННЫЕ
НАУЧНЫЕ
ТРУДЫ
В ТРЕХ ТОМАХ
i

Л.С. ПОНТРЯГИН
ИЗБРАННЫЕ
НАУЧНЫЕ
ТРУДЫ
Том I
топология
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
Том II
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ
Том III
НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ
Редакционная коллегия:
Д. В. АНССОВ, Р. В. ГАМКРЕЛИДЗЕ (ответственный редактор),
Е. Ф. МИЩЕНКО, С. П. НОВИКОВ, М. М. ПОСТНИКОВ, И. Р. ШАФАРЕВИЧ
Составитель Р. В. ГАМКРЕЛИДЗЕ

Л.С. ПОНТРЯГИН
ИЗБРАННЫЕ
НАУЧНЫЕ
ТРУДЫ
TOMl
ТОПОЛОГИЯ
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ
АЛГЕБРА
Ответственный редактор
член-корреспондент АН СССР
Р. В. ГАМКРЕЛИДЗЕ
ш
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 8 8

■■>■ i^Alffifflnftrnirimdh
Моей другу
Александре Игнатьевне
Понтрягиной
посвящаю
Л. Понтрягин

ОТ РЕДАКЦИИ
Настоящее трехтомное издание избранных математических трудов
Льва Семеновича Понтрягина осуществляется Главной редакцией
физико-математической литературы издательства «Наука» на основании
постановления президиума АН СССР.
В первый том включены основные работы Л. С. Понтрягина по топологии
и топологической алгебре.
Первый цикл топологических работ Л. С. Понтрягина относится к
теории размерности и топологическим теоремам двойственности и завершился
открытием общей топологической теоремы двойственности для замкнутых
множеств и построением теории характеров локально компактных
коммутативных групп.
Создание общей теории характеров знаменовало начало топологической
алгебры как самостоятельной науки, приведшей к построению гармонического
анализа, и оказало глубокое влияние на все алгебро-топологическое мышление
30-х годов.
Второй большой цикл топологических работ Л. С. Понтрягина — его
исследования по гомотопической топологии. Они завершились открытием
характеристических классов, определивших последующее развитие гладкой
топологии.
Кроме этих двух больших циклов работ, следует особо отметить две
его классические работы — о топологических телах и о группах гомологии
матричных групп Ли, также включенные в этот том.
Первый том содержит также обзор научных трудов Л. С. Понтрягина,
написанный Д. В. Аносовым, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко и М. М.
Постниковым, и краткий обзор самого Льва Семеновича своих работ по топологии
и топологической алгебре, написанный им в 1984 г.
Наконец, настоящий том содержит основные даты жизни и деятельности
Л. С. Понтрягина и хронологический указатель его трудов.
Во второй том включены работы Л. С. Понтрягина по обыкновенным
дифференциальным уравнениям, теории операторов, оптимальному
управлению и дифференциальным играм. Особое внимание уделено его работам по
оптимизации, в которых сформулирован знаменитый «принцип максимума
Понтрягина» — центральный результат современной математической
теории управления.
Третий том является перепечаткой первого издания классической
монографии Л. С. Понтрягина «Непрерывные группы». Эта замечательная книга,
формировавшая мировоззрение многих поколений математиков во всем мире,
сохранила удивительную актуальность даже в наши дни, спустя полвека
после ее опубликования.
Статьи в первых двух томах расположены в хронологическом порядке.
Подготовка всех трех томов была осуществлена Р. В. Гамкрелидзе.

ОСНОВНЫЕ ДАТЫ ЖИЗНИ И ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
Л. С. ПОНТРЯГИНА
Лев Семенович Понтрягин родился 3 сентября 1908 г. в Москве.
1925 г. Окончил единую трудовую десятилетнюю школу (Москва).
1925—1929 гг. Студент физико-математического факультета Московского
государственного университета.
1929 г. Окончил физико-математический факультет Московского
государственного университета по специальности «чистая математика».
1929—1931 гг. Аспирант Научно-исследовательского института математики
и механики при МГУ.
1930—1932 гг. Доцент кафедры алгебры н сотрудник Научно-исследовательского
института математики и механики при МГУ.
1931 г. Сотрудник лаборатории колебаний Института физики при МГУ.
1932 г. 2) И. о. профессора, с 1935 г. профессор МГУ.
1934 г. г) Старший научный сотрудник, с 1939 г. — заведующий отделом
топологии и геометрии; с 1959 г.—заведующий отделом дифференциальных
уравнений (с 1980 г.—отдел обыкновенных дифференциальных уравнений)
Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР (Москва).
1935 г. Высшей аттестационной комиссией присуждена степень доктора
физико-математических наук без защиты диссертации. Утвержден в ученом
звании профессора по специальности «математика (топология)».
1939 г. Избран член-корреспондентом Академии наук СССР.
1940 г. Награжден орденом «Знак Почета» за выдающиеся заслуги в деле
развития науки, культуры и подготовки высококвалифицированных
специалистов.
1941 г. Присуждена Государственная премия СССР за научную работу «Непре4
рывные группы»* опубликованную в 1938 г.
1945 г. Награжден орденом Трудового Красного Знамени за выдающиеся
заслуги в развитии науки и техники в связи с 220-летием Академии наук
СССР.
1946 г. Награжден медалью «За доблестный труд в Великой Отечественной
• войне 1941—1945 гг.».
1948 г. Награжден медалью «В память 800-летия Москвы».
1951 г.1) Член Ученого совета Математического института им. В. А. Стеклова
АН СССР.
1953 г. Награжден орденом Ленина за выслугу лет и безупречную работу.
Избран почетным членом Лондонского математического общества.
1954 г. Председатель Аспирантской комиссии при Математическом институте
им. В. А. Стеклова АН СССР.
1957 г. х) Член Экспертной комиссии по присуждению премии имени Н. И.
Лобачевского.
Председатель Экспертной комиссии по присуждению премии имени П. Л. Че-
бышева.
1958 г. Избран действительным членом Академии наук СССР.
Командирован в Англию на Генеральную ассамблею Международного
математического союза и на Международный конгресс математиков; выступил
с пленарным докладом.
) По настоящее время.

8 ДАТЫ ЖИЗНИ И ДЕЯТЕЛЬНОСТИ Л. С. ПОНТРЯГИНА
1958—1975 гг. Член редколлегии журнала «Известия Академии наук СССР.
Серия математическая».
1959 г. х) Член секции «Математика и механика» Комитета по Ленинским и
Государственным премиям СССР в области науки и техники при Совете
Министров СССР.
1961 г. Член Бюро, с 1969 г. по 1983 г. заместитель председателя
Национального комитета советских математиков.
1962 г. Присуждена Ленинская премия за цикл работ по обыкновенным
дифференциальным уравнениям и их приложениям к теории оптимального
управления и теории колебаний, опубликованных в 1958—1961 гг.
Командирован в Швецию на Международный конгресс математиков;
выступил с докладом.
1962 г. Председатель Научной комиссии по проблеме «Обыкновенные
дифференциальные уравнения» при Отделении математики АН СССР.
1963—1972 гг. Член Экспертной комиссии по математике Высшей
аттестационной комиссии.
1964 г. Командирован в США по приглашению Исследовательского института
по прикладным наукам для чтения лекций и ознакомления с научными
центрами США.
1966 г. Присуждена премия имени Н. И. Лобачевского за цикл работ по
дифференцируемым многообразиям.
Избран почетным членом Международной академии астронавтики.
1967 г. Награжден орденом Ленина за достигнутые успехи в развитии
советской науки и внедрении научных достижений в народное хозяйство.
Командирован в США на Конференцию по математической теории
управления и для ознакомления с работой математиков.
Командирован в Болгарию на II Национальный конгресс болгарских
математиков. \
1967—1985 гг. Член Исполкома Комитета ТС-7 (по оптимизации)
Международной федерации по информационным процессам.
1967 г. х) Член редколлегии журнала «Journal of optimization theory and
applications» (New York; London).
1968 г. Командирован в Италию на Международную конференцию по
оптимальному управлению и численным методам.
1969 г. Присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена
Ленина и золотой медали «Серп и Молот» за большие заслуги в развитии
советской науки.
Командирован во Францию на Конференцию по проблемам оптимизации
и теории управления; выступил с докладом по дифференциальным
уравнениям.
Командирован в США на I Международную конференцию по теории
дифференциальных игр и для чтения лекций в Стэнфордском университете.
1970 г. Награжден юбилейной медалью «За доблестный труд. В ознаменование
100-летия со дня рождения Владимира Ильича Ленина».
Командирован во Францию на Международный конгресс математиков;
выступил с пленарным докладом.
1970—1974 гг. Вице-президент Исполкома Международного математического
союза.
1970 г. Председатель группы по математике при Секции (с 1987 г.—Секции
по математике) изданий Главной редакции физико-математической
литературы Редакционно-издательского совета АН СССР.
Председатель комиссии по издательским вопросам Отделения математики
АН СССР.
Заведующий кафедрой оптимального управления факультета
вычислительной математики и кибернетики МГУ.
) По настоящее время.

ДАТЫ ЖИЗНИ И ДЕЯТЕЛЬНОСТИ Л. С. ПОНТРЯГИНА 9
1971 г. Командирован в Швейцарию на заседание Исполкома Международного
союза и для ознакомления с работой Математического центра Швейцарии.
1971 г. х) Член Бюро Отделения математики АН СССР.
1972 г. Командирован в США на Конференцию по вопросам оптимизации и
для чтения обзорных лекций по дифференциальным играм в
Южно-Калифорнийском и Аризонском университетах.
Командирован в Англию на заседание Исполкома Международного
математического союза.
1972 г. *) Старший научный сотрудник Отдела математики Всесоюзного
института научной и технической информации ГКНТ и АН СССР.
1973 г. Избран почетным членом Венгерской академии наук.
Командирован во Францию для чтения курса лекций по дифференциальным
играм в Институте исследований по информатике и автоматике (IRIA).
Командирован в ФРГ на заседание Исполкома Международного
математического союза.
1974 г. Командирован в Швейцарию на заседание Исполкома Международного
математического союза.
Командирован в Канаду на Генеральную ассамблею Международного
математического союза и на Международный конгресс математиков.
1974-—1978 гг. Член Исполкома Международного математического союза.
1974—1980 гг. Член редколлегии журнала «Journal of differential equations»
(New York; London)
1974 г. х) Главный редактор журнала «Applied mathematics and optimization»
(New York etc.).
Член редколлегии реферативного журнала «Математика» (ВИНИТИ).
1975 г. Награжден орденом Октябрьской Революции за заслуги в развитии
советской науки и в связи с 250-летием АН СССР.
Присуждена Государственная премия СССР за учебник «Обыкновенные
дифференциальные уравнения», опубликованный в 1974 г. (4-е изд.).
Командирован во Францию на заседание Исполкома Международного
математического союза.
1975—1987 гг. Главный редактор журнала «Математический сборник».
1976 г. Присуждена степень почетного доктора наук Салфордского
университета (Англия).
Заместитель председателя оргкомитета Всесоюзной научной конференции
по неевклидовой геометрии.
Командирован в Англию на заседание Исполкома Международного
математического союза и для получения диплома почетного доктора
Салфордского университета.
Командирован во Францию на заседание Исполкома Международного
математического союза.
1978 г. Командирован в Финляндию во главе делегации АН СССР на
Генеральную ассамблею Международного математического союза и на
Международный конгресс математиков.
Награжден орденом Ленина за большие заслуги в развитии математических
наук, подготовке научных кадров и в связи с 70-летием со дня рождения.
1982 г.г) Председатель комиссии по школьному математическому образованию
Отделения математики АН СССР.
) По настоящее время.

О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТРУДАХ Л. С. ПОНТРЯГИНА*)
Д. В. Аносов, Р. В. Гамкрелидзе,
Е. Ф. Мищенко, М. М. Постников
Научная деятельность Льва Семеновича Понтрягина оставила
глубокий след во многих центральных областях современной
математики — как чистой, так и прикладной. Труды Л. С.
Понтрягина оказали определяющее влияние на развитие топологии
и топологической алгебры, а созданная им теория оптимального
управления принадлежит к числу актуальнейших направлений
прикладной математики наших дней.
В настоящем обзоре важнейших математических трудов
Л. С. Понтрягина мы не можем ни сколько-нибудь подробно
разобрать их содержание, ни тем более описать то глубокое и
многостороннее влияние, которое они оказали на развитие
соответствующих разделов математики. Его следует рассматривать лишь как
краткий путеводитель, которым при желании можно пользоваться
при изучении трудов Л. С. Понтрягина.
Свою научную деятельность Л. С. Понтрягин начал на втором
курсе физико-математического факультета Московского
университета под руководством П. С. Александрова. Его интересы в этот
ранний период концентрировались вокруг двух центральных
проблем алгебраической (комбинаторной) топологии того времени —
топологических теорем двойственности и теории размерности,
причем на теорию размерности Л. С. смотрел как на некоторый
локальный вариант теории двойственности.
Открытие «двойственности, в смысле Понтрягина», увенчавшее
исследования Л. С. по топологическим теоремам двойственности,
и последовавшее за этим построение общей теории характеров
локально-компактных коммутативных групп являются одними из
наиболее блестящих научных достижений Л. С. Понтрягина и,
без сомнения, одной из вершин современной математики.
Мы начинаем поэтому изложение с рассмотрения основных
работ Л. С. Понтрягина по теории двойственности и
топологической алгебре и остановимся на них несколько подробнее, чем
на других работах. Чтобы полностью оценить проделанную здесь
Л. С. работу, уместно вспомнить, что к моменту начала его
деятельности понятие группы гомологии в топологии фактически не
использовалось и его заменяли числа Бетти по различным
модулям и коэффициенты кручения, а закон двойственности Алексан-
дера формулировался как равенство чисел Бетти mod 2
*) Труды Мат. института АН СССР, —1984.—Т. 166.

О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТРУДАХ Л. С. ПОНТРЯГИНА Ц
размерностей п—г—1 и г полиэдра KaRn и дополнения Rn\K:
pr(R*\K) = p«-'-*(K).
Первая опубликованная работа Л. С. Понтрягина [1]
углубляет этот закон, распространяя двойственность между числами
Бетти полиэдра в Rn и его дополнения на двойственность между
г-мерной и п—г—1-мерной группами гомологии mod 2
полиэдров Rn\K, К. Вот ее полная формулировка.
В Rn\K и К можно выбрать такие базы r-мерных и
п—г—1-мерных гомологии mod 2, соответственно, z£, ..., zrk, Ц~г~\ ..., НГГ~\
что квадратная матрица, составленная из коэффициентов
зацеплений ](zrit t/"r"1)i» *\ / = 1> ••■» *t является единичной.
Таким образом, двойственность между соответствующими
группами гомологии mod 2 устанавливалась здесь с помощью
коэффициентов зацеплений и приводила к изоморфизму групп.
В работе [2] решается прежняя задача, рассмотрения ведутся
вновь по mod 2, однако теперь полиэдр К расположен в
произвольном замкнутом п-мерном многообразии Мп. Решение задачи
потребовало, по-видимому, впервые в истории топологии
рассмотрения гомологических свойств непрерывных отображений. Именно,
пришлось изучать ядра и образы гомоморфизмов групп гомологии
mod2, соответствующих вложениям КаМп, Мп\КаМп.
Впоследствии изучение гомологических свойств отображений приобрело
выдающееся значение в топологии и явилось одним из главных
источников гомологической алгебры.
Основные результаты работы можно сформулировать (несколько
модернизируя терминологию работы) в виде следующих трех
предложений А)—С).
A) Пусть Gr, Тп~г~г — ядра гомоморфизмов вложения г-мерной
и п—г—1-мерной групп гомологии полиэдров М\КпаМп и
КаМп соответственно. Тогда группы Gr и Г"~г~"1 двойственны
относительно взятия зацеплений в Мп по mod2, т. е. ранги Gr
и ]>~"г"'1 равны, причем в них можно выбрать базы г£, ..., zrk\
й"'"1, ..., £fe~r~x таким образом, что квадратная матрица,
составленная из коэффициентов зацеплений (г£, £/~Г_1), является единичной.
B) Если r-мерный цикл zr m Мп имеет с каждым п—г-мер-
ным циклом из К нулевой индекс пересечения, то цикл zr
гомологически можно «снять» с полиэдра /С, т. е. существует
/--мерный цикл, гомологичный в Мп циклу zT и целиком
расположенный в Мп\К.
C) Имеет место формула pr(Mn\K) = qn"r~1{K) + pr(Mn) —
(рп Г(К)—qn~r(K)), где рт—г-мерное число Бетти; q*(K)—ранг
ядра гомоморфизма вложения.
Явно в работе сформулированы предложения А) и С),
предложение В) фактически содержится в доказательстве формулы С)
и стало известно как «теорема о снятии цикла». Оно нашло
впоследствии применение в топологической теории вариационных
агт

12 О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТРУДАХ Л. С. ПОНТРЯГИНА
задач, сам Л. С. использовал ее для оценки категории
многообразия. Из сказанного видно, как далеко была продвинута одна из
центральных проблем алгебраической топологии конца 20-х годов
двумя небольшими по объему работами девятнадцатилетнего
студента второго курса.
Следующей работой, посвященной теоремам двойственности,
была дипломная работа Л. С. Понтрягина [3], написанная под
сильным влиянием прослушанного им курса Э. Нетер по алгебре.
Здесь алгебраическая природа топологических теорем
двойственности вскрыта весьма глубоко. При этом двойственность по
произвольному модулю т > 0 получила в работе окончательное
решение как изоморфизм соответствующих групп в силу того
обстоятельства, что циклическая группа конечного порядка двойственна
самой себе в смысле Понтрягина (понятие, которым Л. С. в то
время еще не владел). Поэтому сформулируем сначала основные
результаты работы для случая ненулевого модуля /п, а затем
более кратко упомянем результаты работы, относящиеся к
целочисленным группам гомологии.
Пусть между двумя абелевыми группами с конечным числом
образующих Ху Y определено (дистрибутивное относительно
сложения) спаривание в циклическую группу Zm конечного порядка т.
Такая пара называется в работе примитивной, если аннулятор
каждой из них (относительно введенного спаривания) совпадает
с нулевым элементом другой. Доказывается, что всякая
примитивная пара состоит из изоморфных групп.
Две основные теоремы двойственности, содержащиеся в работе,
мы сформулируем в виде предложений А) и В), условившись
обозначать через Hsm(L) s-мерную группу гомологии по mod/п.
A) Обобщенная теорема двойственности Пуанкаре—Веблена.
Для произвольного ориентированного замкнутого многообразия Мп
группы Нгт(Мп) и Н^г(Мп) образуют примитивную пару, если
в качестве спаривания со значениями в Zm принять индекс
пересечения их элементов; следовательно, эти группы изоморфны.
Если Мп не ориентируемо, предложение остается в силе при т = 2.
B) Обобщенная теорема двойственности Александера. Пусть
К—(конечный) полиэдр в ориентированном замкнутом
многообразии Мп.
а) Обозначим через Агту В^г образы при гомоморфизмах
вложения Мп\КаМ\ КаМп групп Нгт{Мп\К), Н^Г(К)
соответственно. Тогда каждая из групп АгтаНгт(Мп), В%гг'сН^г(Мп)
является аннулятором для другой при двойственности,
существующей между Нгт(Мп) и Н^~г(Мп) согласно предложению А).
б) Обозначим через Crm, D%;r~x ядра гомоморфизмов вложения
Мп\КаМп, КаМп групп Нгт(Мп\К)У Н*£Г-Х{К) соответственно.
Оказывается, что группы Сгт и Z%"r"1 образуют примитивную
пару относительно взятия зацеплений в Мп по mod т. Если Мп
не ориентируемо, то предложение остается в силе при т = 2.

МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТРУДАХ Л. С. ПОНТРЯГИНА .13
Таким образом, двойственность здесь все еще сводится к
изоморфизму между соответствующими группами, дополненному
инвариантной формулировкой теоремы о снятии цикла по
произвольному модулю /п>0 (предложение В) — а)). В частности, из В)—
б) вытекает, что все гомологические группы mod/n дополнения
Rn\K инвариантны, т. е. зависят лишь от соответствующих
гомологических групп полиэдра /С, но не от его расположения в R".
Теоремы двойственности для полных групп гомологии по
целочисленным коэффициентам не имеют характера изоморфизма,
поэтому они не включились еще в приведенную схему. Например,
полная r-мерная целочисленная группа гомологии Hr(Rn\K)
не только не изоморфна группе Нп~г~г(К), но вообще ее не
определяет. Существует лишь изоморфизм (также отмеченный
в работе) отдельно между r-мерными и п—г—1-мерными
группами слабых гомологии и отдельно между г-мерными и п—г — 2-
мерными группами кручений множеств Rn\K и /С, из которых
уже очевидным образом вытекала инвариантность полных групп
целочисленных гомологии дополнения Rn\K.
Если вместо конечного полиэдра К рассматривать
произвольное компактное множество FaRny то соответствующие группы
целочисленных и слабых гомологии уже не являются, вообще
говоря, конечно-порожденными, и вопрос об инвариантности групп
гомологии дополнения Rn\F требует особого изучения. В работе
изучается методом проекционных спектров П. С. Александрова
двойственность и для случая произвольного компактного Fez/?",
причем установлена инвариантность групп H^(Rn\F)y m>0, a
также инвариантность групп слабых гомологии Ho(Rn\F)> что
было существенным продвижением проблемы.
Однако центральный вопрос о независимости полной группы
целочисленных гомологии Hr(Rn\F) от расположения компакта
FaRn оставался открытым. Он потребовал для своего
разрешения введения нового гомологического инварианта множества F —
его группы гомологии не с дискретной, а с компактной группой
коэффициентов, что позволило отказаться от узкого взгляда на
двойственность как на изоморфизм и определить его как
«двойственность в смысле Понтрягина». Этот радикальный шаг,
полностью разрешивший все относящиеся сюда проблемы
двойственности, а также давно стоявшую проблему удовлетворительного
определения групп гомологии компактных метрических
пространств, был сделан Л. С. Понтрягиным в 1931—1932 гг. и
заключался в следующем.
Коэффициенты при построении группы гомологии Hr(F)
множества F берутся не из дискретной группы вычетов modm или
группы целых чисел, а из компактной топологической группы
вращений окружности; сама группа Hr (F) также является в этом
случае компактной коммутативной топологической группой.
Оказалось, что группа Hr(F) и целочисленная п—г—1-мерная группа

14 О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТРУДАХ Л С. ПОНТРЯГИНА
гомологии Hn~r~1 (Rn\F) двойственны в смысле Понтрягина,
т. е. каждая из них является группой характеров другой
(подробное изложение теории характеров см. в [4]).
Более общо, пусть Г, G—двойственная пара групп, т. е.
каждая из них является группой характеров другой, и пусть группа
Г компактна, a G—дискретна. Примем Г за группу коэффициентов
при построении группы гомологии Hr(F); тогда двойственной ей
(т. е. группой характеров) оказывается группа гомологии
дополнения H1(fr~1 (Rn\F), при построении которой в качестве
коэффициентов следует взять двойственную к Г группу G;
двойственность осуществляется с помощью коэффициентов зацепления.
Краткое сообщение об общей теореме двойственности для
замкнутого множества FaRn появилось впервые в трудах
Международного математического конгресса в Цюрихе в 1932 г., полное
изложение—в работе [5].
Этой работой фактически завершаются исследования Л. С. Понт-
рягина по топологическим теоремам двойственности. Они
полностью разрешили центральную проблему алгебраической топологии
30-х годов, явившись одновременно мощным методом изучения
общих гомологических проблем топологии. В частности, после
работ Л. С. Понтрягина по теореме двойственности группы
гомологии окончательно утвердились как основные гомологические
инварианты топологии вместо чисел Бетти и коэффициентов
кручения, которые вполне заменяли группы гомологии, пока
основной круг изучавшихся топологических проблем приводил к
конечно-порожденным группам.
В окончательной форме изложение топологических теорем
двойственности для (конечного) полиэдра /С, лежащего в
произвольном замкнутом n-мерном многообразии Мп, содержится в [6].
Непосредственным и логическим продолжением работ по
теории двойственности явилось создание Л. С. Понтрягиным общей
теории характеров локально-компактных коммутативных групп.
Ее центральным результатом была теорема о том, что всякая
компактная коммутативная топологическая группа является
группой характеров некоторой дискретной группы. Доказательство
теоремы опиралось на конструкцию Хаара инвариантной меры
(1933 г.), сыгравшую существенную роль в развитии
топологической алгебры.
Общая теория характеров позволила Л. С. Понтрягину
выяснить структуру компактных и локально-компактных групп, причем
в компактном и коммутативном случаях результаты получились
окончательными. Из этих результатов, в частности, вытекало
положительное решение пятой проблемы Гильберта для случая
компактных и коммутативных локально-компактных групп.
(Подробное изложение строения компактных и локально-компактных
коммутативных групп см. в третьем издании «Непрерывных групп».)

О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТРУДАХ Л. С. ПОНТРЯГИНА 15
Этим, однако, значение общей теории характеров локально-
компактных топологических групп не исчерпывается. Ее создание
фактически знаменовало начало топологической алгебры как
самостоятельной науки, приведшей к построению общего
гармонического анализа на топологических группах. Работы Л. С. Понтря-
гина по теории двойственности и теории характеров оказали
глубокое влияние на все алгебро-топологическое мышление 30-х
годов, в частности, они сыграли выдающуюся роль в выработке
«функториального мышления» в математике.
Первыми публикациями по общей теории характеров
коммутативных топологических групп и по изучению структуры
компактных групп и локально-компактных коммутативных групп
являются работы [7—9].
К работам по топологической алгебре относится и
замечательная теорема Л. С. Понтрягина, в силу которой единственными
локально-компактными связными телами являются поле
действительных чисел, поле комплексных чисел или тело кватернионов ([10]).
Методы, разработанные в этой работе, были в полной мере
использованы Л. С. Понтрягиным впоследствии при изучении
структуры локально-компактных коммутативных групп с помощью
теории характеров, о чем было сказано выше.
Итогом занятий топологической алгеброй стала знаменитая
монография Л. С. Понтрягина «Непрерывные группы»,
появившаяся впервые в 1938 г., а затем много раз переиздававшаяся
как в СССР, так и во многих странах мира на всех основных
европейских языках. Эта поистине классическая книга,
формировавшая научное мировоззрение многих поколений математиков,
сохраняет удивительную актуальность даже в наши дни, спустя
сорок с лишним лет после опубликования—явление чрезвычайно
редкое в математике. Ее третье русское издание появилось
в 1973 г. (см. [4]).
К ранним топологическим работам Л. С. Понтрягина
относятся его работы по теории размерности. Здесь им были построены
примеры компактных метрических пространств, имеющих
различные размерности по разным модулям. Те же примеры были затем
использованы (см. [11]) для построения знаменитых «размерно
неполноценных» континуумов, опровергавших давно стоявшую
гипотезу о том, что при топологическом перемножении компактов
их размерности складываются—размерность произведения
построенных в работе двух двумерных компактов равнялась не
четырем, а трем. К работам по теории размерности следует также
отнести его теорему о том, что всякий n-мерный компакт гомео-
морфно отображается в R*»+1 (см. [12]).
Работы Л. С. Понтрягина по теории размерности сыграли
существенную роль при построении П. С. Александровым
гомологической теории размерности. В творчестве самого Л. С.
Понтрягина они имели далеко идущие последствия—под их влиянием

16 О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТРУДАХ Л. С. ПОНТРЯГИНА
он занялся в середине 30-х годов систематическим изучением
гомотопических проблем топологии.
Работы по гомотопической топологии также завершились
(к концу 40-х—началу 50-х годов) созданием методов, во многом
определяющих целое направление современной
математики—дифференциальной топологии. Мы имеем в виду открытие
характеристических классов и участие в создании теории расслоенных
пространств. Однако, прежде чем перейти к «гомотопическому
периоду», мы отметим здесь одну замечательную топологическую работу
Л. С. Понтрягина, выполненную им в 1935 г. (см. [13],
подробное изложение в [14]).
В ней решается задача Э. Картана о вычислении групп
гомологии компактных групповых многообразий для четырех основных
серий компактных групп Ли. Исторически это была первая
работа, в которой были найдены гомологические инварианты
большого и чрезвычайно важного класса многообразий, заданных не
своей триангуляцией, а аналитическими (в данном случае
алгебраическими) соотношениями.
Основная идея решения Л. С. Понтрягина опирается не на
метод, предложенный самим Э. Картаном и основанный на
изучении алгебры внешних инвариантных форм на группе, а на метод
М. Морса задания гладкой функции на многообразии с
изолированными критическими точками и к построению ортогональных
траекторий к поверхностям уровня функции. Этот метод
подвергся здесь обобщению в том отношении, что критические точки
функции были уже не изолированными, а составляли-целые
«критические подмногообразия».
Методы, развитые в этой работе, оказали значительное
влияние на дальнейшее развитие топологии групповых многообразий
и однородных пространств в работах X. Хопфа и других
математиков, а также были использованы впоследствии самим Л. С. Понт-
рягиным при решении некоторых вспомогательных задач,
связанных гомотопическим направлением, в частности, при вычислении
групп гомологии грассмановых многообразий. Кроме того, ее
прямым следствием явилась одна очень тонкая топологическая
работа, выполненная много позднее (см. [15]).
Дело в том, что во всех компактных простых группах Ли
числа Бетти оказались равными соответствующим числам Бетти
прямых произведений сфер различных размерностей. Поэтому
возник вопрос, не гомеоморфна ли компактная простая группа Ли
произведению сфер соответствующих размерностей. Этот вопрос
решается отрицательно в названной работе с помощью
гомотопических методов. Именно, специальная унитарная группа матриц
третьего порядка имеет те же числа Бетти, что и произведение
трехмерной сферы на пятимерную, но сама группа не гомеоморфна
произведению сфер, что удалось установить, используя
классификацию отображений сферы S4 на S3.

О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТРУДАХ Л. С. ПОНТРЯГИНА 17
Теперь мы переходим к гомотопическим работам Л. С. Понтря-
гина. Центральной задачей начального периода развития
гомотопической топологии была задача гомотопической классификации
отображений сфер в сферы низших размерностей. Л. С. Понтрягин
пришел к ней, безуспешно пытаясь дать локальную
характеристику размерности компактного множества, лежащего в R", через
гомологические характеристики дополнения.
Вначале он пытался задачу гомотопической классификации
отображений сферы Sn+k на Sn решать гомологическими методами,
однако вскоре, узнав о работе X. Хопфа о классах отображений
S3 на S2, он полностью оценил ситуацию, и с этого времени
начинается примерно 15-летний период занятий Л. С. Понтрягина
гомотопической топологией.
Прежде всего им было доказано, что хопфовский инвариант
отображения S3 в S2 является единственным и, следовательно,
что конструкция Хопфа дает все классы отображений S3 в S2;
таким образом, была получена полная классификация отображений
S3 в S2. Вскоре затем в 1936 г. Л. С. Понтрягиным был получен
поразительный результат—число классов отображений Sn+1 в S"
при д^З равно 2 (см. [16]). При классификации отображений
S"+2b Sn была допущена вычислительная ошибка, повлекшая
неверный результат; она была исправлена Л. С. Понтрягиным в 1950 г.
([17]); и здесь число классов отображений оказалось равным 2.
Первоначальный вариант доказательства этих результатов
чрезвычайно сложен. Лишь позднее, после создания метода
оснащенных многообразий (см. ниже), их удалось предельно упростить.
Далее последовало решение целого ряда задач гомотопической
классификации полиэдров в сферы и сфер в полиэдры. Из этой
серии работ мы отметим здесь лишь две (см. [18,19]). В них
впервые введены такие основополагающие понятия теории гомотопий,
как препятствия и различающие, а также вводится новая
когомологическая операция—«понтрягинский квадрат», послуживший
прототипом важнейших когомологических операций Стинрода.
Однако центральная проблема—задача классификации
отображений Sn+k в Sn при k^3—не поддавалась решению. Она и
привела Л. С. к созданию так называемого «метода оснащенных
многообразий», к открытию новых инвариантов гладких
многообразий—характеристических классов, вошедших в математику
под названием «понтрягинских классов», и к созданию теории
расслоенных пространств, т. е. к созданию нового и очень важного
раздела современной математики—дифференциальной топологии.
Первоисследователями здесь наряду с Л. С. Понтрягиным
следует назвать X. Хопфа, Э. Штифеля, X. Уитни и С. Чженя.
Метод оснащенных многообразий был создан для изучения
гомотопических свойств отображений, при этом использовалась
информация о дифференциально-топологической структуре
многообразия, и с его помощью удалось проклассифицировать отобра-

18 О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТРУДАХ Л. С. ПОНТРЯГИНА
жения Sn+k на S" лишь при £<3 (для k= 1, 2 самим Л. С. Понт-
рягиным, о чем сказано выше, для k = 3 — В. А. Рохлиным
в начале 50-х годов) вследствие того, что при k > 3 метод
потребовал информации о гладких многообразиях размерностей > 3,
которую имевшимися (в начале 50-х годов) методами получить
не удалось. Однако метод оснащенных многообразий в равной
мере может служить и обратной цели—для изучения гладкого
многообразия, когда мы располагаем гомотопической информацией,
которую с гораздо большим успехом можно черпать с помощью
алгебраического метода Лере (спектральных последовательностей).
Такое обращение метода было развито Р. Томом под названием
теории бордизмов. Многие наиболее глубокие результаты
современной теории гладких многообразий были получены именно
комбинированием дифференциально-топологического метода Л. С. Понт-
рягина и Р. Тома и алгебраического метода Лере.
В настоящее время характеристические классы являются
центральным объектом не только дифференциальной топологии, но и
всей современной дифференциальной геометрии, а теория
расслоенных пространств уже давно превратилась в стандартное
орудие исследования как в топологии и геометрии, так и в анализе.
Долгое время проблема топологической инвариантности
характеристических классов (которые, по определению, являются
инвариантами гладкого многообразия) была одной из центральных
в топологии многообразий. Ею занимался и Л. С. Понтрягин,
однако решить ее удалось лишь в середине 60-х годов С. П.
Новикову, опираясь на методы, разработанные уже после 50-х годов.
Оказалось, что если в качестве поля коэффициентов брать ра-
диональные числа, то характеристические классы действительно
являются топологическими инвариантами многообразия, однако
целочисленные классы конечного порядка топологически не
инвариантны, что было обнаружено Дж. Милнором еще до работы
С. П. Новикова в начале 60-х годов.
Теория характеристических классов и тесно связанная с ней
теория особенностей векторных полей изложены в трех больших
работах [24—26]. Предварительные публикации соответствующих
результатов появились в более ранних работах [20—23]. В
работе [22] содержится также краткое изложение теории классифи-
дирующих пространств, сыгравшей впоследствии важную роль :
в развитии теории расслоенных пространств. J
Изложение метода оснащенного многообразия вместе с полной |
классификацией отображения Sn+k в Sn при fe = 0, 1, 2 можно |
найти в монографии [27], содержащей и первое в мировой лите- |
ратуре изложение основ дифференциальной топологии. ;
Для полноты отметим еще известный учебник Л. С. Понтря- \
тина по алгебраической топологии [28]. ?
Работой [27] заканчивается «топологический период» в
творчестве Л. С. Понтрягина, и в начале 50-х годов он полностью

О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТРУДАХ Л. С. ПОНТРЯГИНА 19
переключается в область исследований, связанную исключительно
с прикладной математикой. До этого времени Л. С. Понтрягин
обращался к нетопологической и прикладной тематике
эпизодически, однако с большим успехом.
Рассмотрение ранних нетопологических работ мы начнем со
знаменитой работы [29], выполненной совместно с А. А.
Андроновым, в которой впервые вводится понятие
структурно-устойчивой динамической системы на плоскости под названием грубой
системы и формулируется условие грубости.
В самом общем плане идея грубости имеет два источника —
физический и математический. Физическая мотивировка возникла
в связи с изучением А. А. Андроновым автоколебаний и
заключается в том, что если динамическая система, описывающая
физическое явление, известна лишь приближенно, то качественная
картина разбиения фазовой плоскости системы на траектории
может отражать рассматриваемое явление лишь в том случае, когда
эта картина не меняется при малых изменениях динамической
системы. Математическая мотивировка связана с идеей
«типичности» или «общего положения», которая вовсе не является
специфической для дифференциальных уравнений и широко
применяется во многих разделах математики, в том числе в
топологических работах Л. С. Для случая «общего положения» картину
следует ожидать более простой, чем для исключительных случаев,
в то же время именно случай «общего положения» заслуживает
первостепенного внимания.
Гладкий поток (класса С1) в области О с /?2, ограниченной
гладкой замкнутой кривой, всюду трансверсальной к траекториям,
называется в работе грубым, если для любого потока, достаточно
близкого к исходному в смысле С1, имеется гомеоморфизм
области О на себя, С°-близкий к тождественному и переводящий
траектории одного потока в траектории другого с сохранением
направления движения по ним.
Дав это определение, авторы показывают, что на плоскости
грубые системы являются типичными (образуют открытое всюду
плотное множество), а качественная картина для них весьма
проста. Фактически здесь как бы сливаются воедино три идеи —
«простота» системы, грубость и «типичность» (соответствующие
классы систем совпадают). Это «слияние» специфично для малой
размерности фазового пространства и отсутствует в высших
размерностях. Однако сами по себе эти три свойства сохраняют
первостепенный интерес и для многомерных систем, и вопросы о
поведении траекторий для соответствующих классов систем и во
взаимоотношениях между этими классами доминировали при изучении
Гадких динамических систем за последние 20—25 лет и восходят
в конечном счете к [29].
Еще раньше сказалось влияние работы [29] на двумерную
качественную теорию дифференциальных уравнений. Во-первых,

20 О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТРУДАХ Л. С. ПОНТРЯГИНА
в [29] была отмечена роль «особых» (орбитно-неустойчивых)
траекторий, разбивающих фазовую плоскость на «ячейки», заполненные
траекториями с одинаковым поведением. Во-вторых, решение
вопроса о грубых системах на плоскости создало основу для
исследования в двумерном случае «типичных» бифуркаций динамической
системы, зависящей от параметра.
Из ранних работ Л. С. Понтрягина по теории динамических
систем отметим еще [30], в которой даны весьма простые и
удобные для практических применений условия рождения предельного
цикла из замкнутой траектории плоской нелинейной гамильтоновой
системы при малом автономном (неконсервативном) возмущении.
Среди ранних нетопологических работ Л. С. Понтрягина
особого упоминания заслуживает также работа [31], оказавшая
значительное влияние на развитие функционального анализа
пространств с индефинитной метрикой. Она была выполнена в Казани
во время Великой Отечественной войны и была вызвана чисто
прикладной проблемой, связанной с некоторой баллистической задачей
об устойчивости. Ее основной результат заключается в том, что
всякий эрмитов оператор в гильбертовом пространстве с
индефинитной метрикой индекса k имеет ^-мерное инвариантное
подпространство, на котором все собственные значения оператора имеют
неотрицательные мнимые части, а основная (индефинитная) форма
пространства неотрицательна.
Еще одна работа военного времени, выполненная в Казани,
имела отношение к теории устойчивости. В ней были найдены
условия, при которых квазимногочлен имеет корни с
отрицательными действительными частями (см. [32]). Позже эти условия
были обобщены для функций вида fig, где /—квазимногочлен,
g—многочлен, причем отношение не имеет полюсов (см. [33]).
Теперь мы переходим к периоду научной деятельности
Л. С. Понтрягина, начало которого можно датировать примерно
началом 50-х годов (и продолжается по сей день) и в течение
которого все его усилия направлены на решение проблем
прикладной математики.
Здесь еще раз с огромной силой проявился исключительный
дар Л. С. Понтрягина распознавать в первозданном хаосе каждой
новой проблемы тот главный путь, который быстрейшим образом
ведет к цели, и продвигаться по нему, преодолевая технические
трудности, порой казавшиеся неприступными.
Для изучения новой тематики Л. С. Понтрягин основал в 1952 г. \
в J Математическом институте им. В. А. Стеклова АН СССР спе- |
циальный семинар по математическим проблемам теории колеба- «
ний и теории управления. Он считал, что для истинного успеха \
во всякой области прикладной математики нецелесообразно
ограничивать себя исследованием уже готовых математических
моделей, а следует начинать изучение проблемы с самих инженерных
задач для того, чтобы не только лучше разобраться в уже существую-

О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТРУДАХ Л. С. ПОНТРЯГИНА 21
щих моделях, но и прийти к постановке совершенно новых
математических задач, имеющих, кроме технического, и чисто
математический интерес. В результате работы семинара очень скоро
определились два больших направления исследования, которыми и начал с
большим успехом заниматься Л. С. Понтрягин совместно со своими
учениками В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко,—
теория релаксационных (разрывных) колебаний и теория
оптимального управления.
К числу важных областей применения теории обыкновенных
дифференциальных уравнений относится радиотехника. Система
уравнений, описывающая работу любого радиотехнического
прибора, всегда составляется на основе некоторой идеализации
прибора. Радиотехнический прибор собирается из ряда деталей:
транзисторов, конденсаторов, индуктивностей и т. п. Физические
величины, характеризующие эти детали, как то: числовая величина
•емкости конденсатора, числовая величина индуктивности и т. п.—
называются параметрами прибора. Кроме деталей,
предусмотренных конструкцией прибора, в него, как правило, входят
паразитные детали; им соответствуют паразитные, обычно малые,
параметры. Таковы внутренние емкости, индуктивности коротких
соединяющих проводов и т. п. При идеализации естественно пренебречь
малыми паразитными параметрами. Обнаружилось, однако, что
такое пренебрежение в ряде случаев дает не только неточное, но
даже качественно неправильное описание работы прибора. Если
составить систему дифференциальных уравнений с учетом малых
паразитных параметров, то может случиться, что они входят
коэффициентами при высших производных, так что, считая эти
параметры равными нулю, мы получаем систему уравнений более
низкого порядка, притом зачастую неразрешимую относительно
оставшихся высших производных. Именно при этих
обстоятельствах пренебрежение малыми паразитными параметрами может
привести к неадекватному описанию физического явления.
Л. С. Понтрягин рассматривал довольно общую систему, которая
в ряде случаев дала правильное объяснение работы
соответствующего прибора, невозможное при пренебрежении малыми
параметрами. С другой стороны, рассмотрение этой общей системы привело
к постановке и решению новых задач, представляющих и чисто
математический интерес. Эта система такова: ex = f(x, у), y = g(xy у),
где х—^-мерный вектор; у—/-мерный вектор; k + l = n; e—малый
положительный параметр. Переменные х и у здесь неравноправны:
вектор v фазовой скорости в пространстве переменных (х, у)
распадается на два вектора: v = (e~1 f(x, y)y g(x, у)), причем
второй из них, g(x, у), не зависит от е, а первый
стремится к бесконечности при е—>*0, если только f(x, у)фО. На
основании этого переменные х можно назвать быстро меняющимися,
а переменные у—медленно меняющимися. Основной подход к
рассматриваемой системе, предложенный Л. С. Понтрягиным, заклю-

22 О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТРУДАХ Л. С. ПОНТРЯГИНА
чается в том, что сперва изучается поведение быстро меняющихся
переменных при постоянном значении медленно меняющихся перемен-
ных. Таким образом, сначала рассматривается система гх = f (x, у)у
в которой вектор у считается параметром. Относительно
поведения ее решений можно делать различные предположения, и от
них зависит поведение решений полной системы. Л. С. Понтрягин
изучил как случай, когда система уравнений быстрых движений
имеет своими стационарными решениями лишь положения
равновесия, так и случай, когда среди стационарных решений есть
и устойчивые предельные циклы. Он обнаружил, что в первом
случае наиболее важные и интересные асимптотические явления
происходят в окрестности так называемых точек срыва, т. е.
точек, где сливаются устойчивое и неустойчивое положения
равновесия. Такие точки не являются исключительным явлением на
траекториях вырожденной системы уравнений f(x, y) = 0, y = g(x> y)y
а, наоборот, весьма типичны и, в частности, необходимо
присутствуют на траектории каждого разрывного периодического
решения вырожденной системы. Таким образом, результаты Л. С. Понт-
рягина об асимптотике решений невырожденной системы в
окрестности точек срыва оказались ключевыми при решении трудной
математической задачи — изучении асимптотики релаксационных
колебаний. К настоящему времени в работах Л. С. Понтрягина
и его учеников эта задача далеко продвинута в многомерном
случае и решена полностью в случае л = 2. Большим подспорьем для
Л. С. в этих исследованиях была его редкая способность
проводить в уме длинные вычисления и удерживать в памяти
сложнейшие выражения. (Работы Л. С. Понтрягина по этой тематике
см. в книге «Лев Семенович Понтрягин»—М.: Наука, 1983.)
В теории оптимального управления Л. С. Понтрягин открыл
в середине 50-х годов знаменитый «принцип максимума
Понтрягина», который явился универсальным и одновременно очень
просто формулируемым и действенным методом решения задач
оптимизации чрезвычайно широкого спектра—от чисто
прикладных, взятых из самых различных областей техники, до задач
теоретического характера. Принцип максимума содержит в себе
фактически и всю теорию первого порядка классического вариационного
исчисления, однако последняя оказалась бессильной для решения
многих задач новой техники, анализ которых и привел к
открытию принципа. Принцип максимума очень просто формулируется,
и мы приведем здесь его формулировку для важнейшего случая
оптимальности по быстродействию.
Процесс называется управляемым, если он описывается п-мер-
ным векторным дифференциальным уравнением х = /(х, ы), где
x£Rn—фазовая точка; и—r-мерный векторный управляющий
параметр, который может принимать значения из некоторого
заданного множества UaRn> в большинстве приложений оказываю-

О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТРУДАХ Л. С. ПОНТРЯГИНА 23
щегося замкнутой областью. Ставится следующая задача: выбрать
управление u(t)$U как функцию времени / таким образом, чтобы
соответствующая ей траектория x(t) уравнения z=f(x, u(t))
перешла из заданного положения х0 в другое заданное
положение хх за минимальное время. Такое управление и
соответствующая ей траектория называются оптимальными. Введем скалярную
функцию Я (л:, -ф, u) = \pf(xy и), где справа стоит скалярное
произведение л-мерного вектора г|> на /, и напишем каноническую
систему уравнений x = f = d#/di|>, if = — -ф df/дх — — дН/дх.
Тогда принцип максимума Понтрягина утверждает, что для
оптимальности управления u(t), t0^.t^.tu и соответствующей
траектории x(t) необходимо существование такого ненулевого
переменного вектора ty{t)> что u(t), x (t), ty(t) удовлетворяют
написанной канонической системе и «условию максимума Понтрягина»
Я(х(0, ♦(/), и(0) = max#(*(/), Ч>(0> и) Vt £[t0J M.
Открытие принципа максимума оказалось настолько
значительным явлением в прикладной математике, что очень скоро оно
привело к созданию целого нового направления в ней—-теории
оптимального управления, являющейся в настоящее время одной
из наиболее развивающихся и актуальных разделов прикладной
математики, а поток работ, вызванных этой теорией во всем мире,
в буквальном смысле слова необозрим.Среди работ Л. С.
Понтрягина, оказавших наибольшее влияние на развитие теории
оптимального управления, мы отметим его пленарный доклад на
Эдинбургском математическом конгрессе 1958 г. [34], а также его
совместную с В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф.
Мищенко монографию [35], удостоенную Ленинской премии в 1962 г.
Естественным развитием теории оптимального управления
Л. С. Понтрягиным явилась теория дифференциальных игр. Хотя
сама постановка задачи преследования одного управляемого объекта
другим управляемым объектом возникла у него даже раньше, чем
открытие принципа максимума, однако первая его работа по
теории дифференциальных игр появилась в «Успехах математических
наук» лишь в 1966 г. (см. [36]). В этой работе рассматривалась
общая нелинейная игра преследования z = F(z, uy у), где
2—вектор n-мерного евклидова векторного пространства Rn;
и и v—соответственно управления преследования и убегания, на
которые наложены ограничения и£Р, v£Q; Р и Q—некоторые
компактные множества из Rn. Рассматривая задачу преследования
в этой игре, Л. С. Понтрягин, используя методы оптимального
управления, получил общую теорему, дающую достаточные
условия для ее завершения. Хотя эти условия довольно громоздки,
из них, однако, вытекало окончательное решение задачи
преследования для двух объектов, описываемых линейными
дифференциальными уравнениями х + ах = ри, у + ^у = оиу |ы|<1, |у|<1

24 О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТРУДАХ Л. С. ПОНТРЯГИНА
(а, Р, р, а—положительные константы), до того не поддававшейся
решению. Однако впоследствии Л. С. предпочел другой путь
развития теории линейных игр, т. е. игр, описываемых системой
уравнений z — Cz—u + v, u£P, и 6 Q,где Р и Q—произвольные
компактные выпуклые множества в/?и;С—постоянная квадратная
матрица. Он расчленил изучение дифференциальной игры на
решение двух отдельных задач—задачи преследования и задачи
убегания—и в решении обеих задач получил фундаментальные
результаты. Результаты эти сформулированы им в виде достаточных условий
преследования и убегания, и в общих чертах их легко описать.
Для этого уточним постановку задач преследования и убегания.
Будем говорить, что в дифференциальной игре преследование
может быть закончено из точки z0, если существует такое число
T(z0), что при произвольном измеримом изменении управления
v = v(t) можно подобрать такое измеримое изменение управления
u — u(t)j что точка z(t), являющаяся решением уравнения
z = Cz—и (t) + v (t), z0 = z (0),
попадает на некоторое множество MaRn за время, не
превосходящее T(z0). При этом для нахождения u(t) в каждый момент
времени t разрешается использовать значение z (t) в тот же момент
времени t и управление v(r) на отрезке [/, t + e], где е—малое
положительное число, и не разрешается использовать значение
v(x) при т>£ + е. В задаче преследования такая постановка
вполне допустима; она соответствует ситуации, когда
преследующий объект гонится не за самим убегающим объектом, а за той
точкой, где убегающий находился е-секунд назад. Примерно так
же ставится и задача убегания.
Сформулируем основные результаты Л. С. Понтрягина для
наиболее простого случая, когда М—линейное векторное
подпространство пространства /?". Для этого обозначим через L
ортогональное дополнение к М в Rn, через я—оператор
проектирования из Rn на L. Наконец, под геометрической разностью А — В
двух замкнутых множеств А и В из Rn будем понимать
совокупность всех векторов d таких, что d+BczA. Рассмотрим теперь
t
.*»
выпуклое замкнутое множество W (t)= ^ (nerCP — nerCQ)dr, за-
о
висящее от t, и пусть для некоторого t == tx имеет место
включение nettCz0(tW (ti). В этом случае легко доказать существование
наименьшего из таких чисел t19 которое обозначим т(г0). Тогда
линейная игра, начинающаяся в точке 20, может быть завершена
за время, не превосходящее числа т(г0).
Так же просто формулируются и достаточные условия для
игры убегания. Именно, пусть существует такое двумерное
подпространство L2 пространства L, что в нем нет никакого фиксиро-

О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТРУДАХ Л. С. ПО НТРЯГИНА 25
ванного одномерного подпространства L1, для которого имеется
включение 71вхСQczLt при всех малых положительных т. Пусть,
кроме того, существует такая константа ц> 1, что \ineTCP с: nexCQ
при всех достаточно малых положительных т. Тогда при любом
начальном значении г0 (£ М можно так вести игру убегания, что
точка z(t) никогда не достигнет М и даже некоторой его окрестности.
Обзор линейной теории дифференциальных игр содержится в
пленарном докладе Л. С. Понтрягина на Математическом
конгрессе в 1970 г. в Ницце ([37]), а их подробное изложение — в [38,39].
Результатом регулярных занятий дифференциальными
уравнениями и теорией колебаний явился замечательный учебник
Л. С. Понтрягина по обыкновенным дифференциальным
уравнениям [40]. В этом учебнике все было оригинально—и отбор
материала, и его расположение, равно как и способ изложения и
целенаправленность всего курса. Теорема существования и
единственности формулировалась и использовалась с самого начала, хотя
доказывалась она много позднее, теория линейных систем
предшествовала общей теории; значительно подробнее, чем обычно,
излагалась теория положений равновесия и предельных циклов
и теория устойчивости; впервые в начальном учебнике по
дифференциальным уравнениям теория работы электрических схем
излагалась как органическая составная часть курса, а не как
иллюстративный материал. Книга была написана на основе курса
лекций и учебных семинаров, которые Л. С. Понтрягин проводил
в течение ряда лет в МГУ, и ее первое издание появилось в 1961 г.
В дальнейшем учебник выдержал еще три издания у нас и был
переведен на многие языки мира.
В 1975 г. учебник был удостоен Государственной премии СССР.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
(работы А. С. Понтрягина, на которые есть ссылки в тексте)
1. Zum alexanderschen Dualitatssatz // Nachr. Ges. Wiss. Gottingen.—1927.*—
H.4.—S. 315—322.
2. Zum alexanderschen Dualitatssatz. Zweite Mitteilung // Nachr. Ges. Wiss.
Gottingen.—1927.—H. 4.—S. 446—457.
3. Uber den algebraischen Inhalt topologischer Dualitatssatze // Math. Ann.—
1931.—Bd. 105, H. 2.— S. 165—205.
4. Непрерывные группы.— 3-е изд.— M.: Наука, 1973.
5. The general topological theorem of duality for closed sets // Ann. Math.—
1934,—V. 35, № 4.—P. 904—914.
6. Топологические теоремы двойственности // Успехи мат. наук.—1947.— Т. 2,
вып. 2.—С. 21 — 44.
7. The theory of topological commutative groups // Ann. Math.— 1934.—V. 35,
№ 2.—P. 361—388.
°- Sur les groupes abeliens continus // С. г. Acad. sci.— Paris—1934.— V. 198,
№ 4.—P. 328—330.
9- Sur les groupes topologique compact et le cinquieme probleme de M. Hil-
bert // С R. Acad, sci.—Paris-1934.—V. 198, № 3. —P. 238 — 240.

26 О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТРУДАХ Л. С. ПОНТРЯГИНА
10. Uber stetige algebraische Кбгрег // Ann. Math.—1932.—V. 33, № 1.—
P. 163—174.
11. Sure une hypotese fondamentale de la theorie de la dimension // С. г. Acad,
sci.—Paris—1930.—V. 190, № 19.—P. 1105—1107.
12. Beweis des Mengerschen Einbettungssatzes // Math. Ann.—1931.— Bd. 105,
H. 5.— S. 734 — 745. (In Gemeinschaft mit G. Tolstowa.)
13. Sur les nombres de Betti des groups de Lie // С r. Acad. sci.— Paris —
1935.—V. 200, № 15.—P. 1277—1280.
14. Homologies in compact Lie groups.— Мат. сб.— 1939.— Т. 6, вып. 3.
15. Uber die topologische Struktur der Lieschen Gruppen // Comment, math,
helv.— 1940/41.— V. 13.— P. 277—283.
16. Sur les transformations des spheres en spheres // С. г. Congr. Intern. Math*
Oslo.—1937.—V. 2.—P. 140.
17. Гомотопическая классификация отображений п + 2-мерной сферы вл-мерную //
ДАН СССР.—1950.—Т. 70, № 6.—С. 957—959.
18. A classification of mappings of /С3 into S2 //Мат. сб.—1941.— Т. 9,
вып. 2.—С. 331 — 363.
19. Отображения трехмерной сферы в л-мерный комплекс // ДАН СССР.—
1942.— Т. 34, № 2.—С. 39—41.
20. Характеристические циклы многообразий //ДАН СССР.—1942.— Т. 35,
МЬ 2.—С. 35—39.
21. Некоторые топологические инварианты римановых многообразий // ДАН
СССР.—1944.—Т. 43, № 3.—С. 95—98.
22. Классификация некоторых косых? произведений // ДАН СССР.— 1945.—
Т. 47, № 5,—С. 327—330.
23. Характеристические циклы.— ДАН СССР.—1945.—Т.47, № 4.— С. 246—249.
24. Характеристические циклы дифференцируемых многообразий // Мат. сб.—
1947.—Т. 21, № 2.—С. 233—284.
25. Некоторые топологические инварианты замкнутых римановых многообразий //
Изв. АН СССР. Сер. мат.—1949.—Т. 13, № 2.—С. 125—162.
26. Векторные поля на многообразиях // Мат. сб.— 1949.— Т. 24, №2.—
С. 128—162.
27. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий.— М.: Наука,
1955. (Тр. Мат. ин-та им. А. В. Стеклова АН СССР; Т. 45.)
28. Основы комбинаторной топологии.— М.: Гостехтеориздат, 1947: 2-е изд.—
М.: Наука, 1976.
29. Грубые системы // ДАН СССР.— 1937.—Т. 14, № 5.—С. 247—250 (совм.
с А. А. Андроновым).
30. О динамических системах, близких к гамильтоновым // ЖЭТФ.— 1934.—
Т. 4, № 9.—С. 883—885.
31. Эрмитовы операторы в пространстве с индефинитной метрикой // Изв. АН
СССР. Сер. мат.—1944.—Т. 8, № 6.—С. 243 — 280.
32. О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций // Изв. АН
СССР. Сер. мат.—1942.—Т. 6, № 3.—С. 115—134.
33. О нулях некоторых трансцендентных функций (добавление)//ДАН СССР.—
1953.—Т. 91, № 6.—С. 1279—1280.
34. Оптимальные процессы регулирования // Proc. Intern. Congr. of
Mathematicians, 1958.—Cambridge: Univ. press, 1960, p. 182—202.
35. Математическая теория оптимальных процессов.— М.: Физматгиз, 1961
(совм. с В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко).
36. К теории дифференциальных игр // Успехи мат. наук.— 1966.— Т. 21,
вып. 4.—С. 219—274.
37. Les jeux differentiels lineaires // Actes du Congr. Intern, des mathematrciens,
1970, Nice.—Paris.—1971.—V. 1.—P. 163—171.
38. Линейная дифференциальная игра убегания // Тр. Мат. ин-та им.
А. В. Стеклова.—1971.—Т. 112.— С. "30—63.
39. Линейные дифференциальные игры преследования.— Мат. сб.— 1980.—
Т. 112, № 3.—С. 307—330.
40. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М.: Физматгиз, 1961:

1
О МОИХ РАБОТАХ ПО ТОПОЛОГИИ
И ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ*)
1. ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ И ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
Свою работу по топологии я начал еще студентом Московского
университета и опубликовал две научные работы [1, 2], связанные
с теоремой двойственности Александера (Alexander [3]). Третьей
моей работой была дипломная работа [4], в которой я сильно
усовершенствовал две предыдущие.
Для того чтобы рассказать об этих трех работах, я должен
объяснить прежде всего, что такое теорема двойственности
Александера. Всем хорошо известна теорема Жордана о том, что
замкнутая кривая, расположенная на плоскости без
самопересечения, разбивает плоскость ровно на две части, внутреннюю и
внешнюю. Далеко идущим обобщением этой простой теоремы
Жордана, которая, однако, доказывается не просто, является
теорема двойственности Александера. Теорему двойственности
Алексацдера можно сформулировать только на основе введенных
Пуанкаре циклов и гомологии между ними.
Первоначально Пуанкаре стал рассматривать циклы и
гомологии между ними в многообразиях наглядно геометрически, но
затем был вынужден ввести триангуляцию многообразий, и тем самым
он открыл путь для переноса понятий циклов и гомологии на
комплексы.
Линейную форму ориентированных r-мерных симплексов
комплекса К у взятых с некоторыми коэффициентами, стали называть
в дальнейшем r-мерной цепью. При этом коэффициентами могут
служить фактически элементы произвольной коммутативной
аддитивной группы Г. Обычно берется аддитивная группа целых
чисел или группа вычетов по модулю т. Определяется граница
Цепи, причем границей г-мерной цепи является (г — 1)-мерная
цепь. Если граница цепи равна нулю, то цепь называется циклом.
Цикл называется гомологичным нулю, если он является границей
некоторой цепи. Два цикла считаются гомологичными между
собой, если их разность гомологична нулю. Таким образом, все
^-мерные циклы комплекса К разбиваются на классы попарно
гомологичных. Эти классы естественно образуют коммутативную
*) Труды Мат. института АН СССР.— 1984.— Т. 168.—С. 236 — 249.

28 1. О МОИХ РАБОТАХ ПО ТОПОЛОГИИ И ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ
аддитивную группу. Пуанкаре рассматривал только целочисленные
коэффициенты и назвал число линейно независимых элементов
этой группы числом Бетти, а числа, характеризующие подгруппу,
состоящую из элементов конечного порядка,—коэффициентами
кручения комплекса. Позже всю группу стали называть г-мерной
группой гомологии комплекса К и обозначать через #г(/С).
Если группа гомологии рассматривается по простому модулю р,
то число ее независимых элементов по модулю р называют числом
Бетти по модулю /?. Для не простого модуля т число Бетти
определить невозможно. В теореме двойственности Александера
речь идет о числе Бетти по mod 2. Она формулируется
следующим образом.
Пусть К—комплекс, криволинейно, но без самопересечений,
расположенный в n-мерном евклидовом пространстве Rn. Тогда
число Бетти Pi(Rn\K) no mod 2 размерности г пространства
Rn\K равно числу Бетти Р^"1 (К) по mod 2 размерности п—т— 1
комплекса /С.
В частном случае, когда К есть комплекс, гомеоморфный
окружности, a Rn есть плоскость #2, г —О, теорема двойственности
Александера превращается в теорему Жордана.
Доказательство теоремы двойственности Александера опирается
на большое количество тонких геометрических конструкций.
Появление ее в 20-х годах было большим событием в области
топологии.
Примерно в то же самое время, когда я познакомился с
теоремой двойственности Александера, я познакомился также и с
понятием коэффициента зацепления Брауэра.
Коэффициент зацепления был определен Брауэром для двух
замкнутых ориентированных, т. е. определенным образом
направленных замкнутых кривых, расположенных в трехмерном
пространстве R* без взаимопересечения. Он определялся или как
интеграл и тогда имел вполне определенный электротехнический
смысл, или геометрически как алгебраическое число точек
пересечения пленки, натянутой на одну из замкнутых кривых, с
другой замкнутой кривой. Коэффициент зацепления легко определяется
для двух не пересекающихся между собой циклов размерности г
и п—г—1, расположенных в евклидовом пространстве Rn. Он
есть целое число, если циклы берутся с целочисленными
коэффициентами, и вычет по modm, если циклы берутся по mod m.
В своей первой опубликованной работе я усилил теорему
двойственности Александера и придал ей новый смысл,
использовав коэффициенты зацепления. Мой результат можно
формулировать следующим образом:
Пусть К—комплекс, криволинейно, но без самопересечений,
расположенный в евклидовом пространстве Rn размерности л.
Если zr—произвольный r-мерный, отличный от нуля класс го-

1. О МОИХ РАБОТАХ ПО ТОПОЛОГИИ И ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ 29
мологий пространства Rn\K, то в комплексе К найдется такой
класс гомологии zn~r~1 размерности п—г — 1, что коэффициент
зацепления между классами zr и zn~r~x отличен от нуля.
Аналогично, если zn~r"1—некоторый отличный от нуля класс гомологии
комплекса /С, то в пространстве Rn\K найдется класс гомологии zr
размерности г, коэффициент зацепления которого с классом 2"~г"1
отличен от нуля. Все делается по mod 2.
Эта моя теорема устанавливала алгебраическую связь между
группой гомологии Hr2(Rn\K) пространства Rn\K и группой
гомологии Я2~г~1(/С) комплекса /С, которую я стал называть
двойственностью. Из двойственности групп вытекал непосредственно
и их изоморфизм, а следовательно, и теорема двойственности
Александера. Хотя из двойственности групп и вытекает их
изоморфизм, но изоморфизм этот не является единственным
естественно определенным изоморфизмом. Таким образом,
двойственность есть нечто другое, чем изоморфизм. Такую же
двойственность легко установить между группами по mod m. Из нее также
вытекает изоморфизм, однако этот изоморфизм не является
естественно определенным и единственным. Таким образом, мой
результат придал теореме двойственности Александера новый
алгебраический смысл.
Значение моего результата заключалось также и в том, что
вместо чисто негативного понятия негомологичности цикла нулю
выступало новое позитивное понятие зацепленности цикла с другим.
Этот позитивный характер результата делает его эффективным
средством исследований. Следует отметить, что при доказательстве
своего результата я использовал все геометрические конструкции
Александера.
Во второй своей работе я рассматривал комплекс /С,
криволинейно, но без самопересечений, расположенный в л-мерном
многообразии М'\ а не в евклидовом пространстве Rn. Задача
ставилась прежняя: изучить группы гомологии пространства
М«\К.
Вложение комплекса К в многообразие М влечет за собой
гомоморфизм группы гомологии комплекса К в группу гомологии
многообразия Мп. Ядро этого гомоморфизма размерности п — г—1
обозначим через НП2~Т~Х (К). Точно так же включение области
Мп\К в Мп влечет гомоморфизм группы гомологии Мп\К в
группу многообразия Мп. Ядро этого гомоморфизма мы обозначим
через ЙГ%(М»\К).
Во второй моей опубликованной работе устанавливалась
двойственность между группами Щ-'-ЦК) и Йг2(Мп\К),
осуществляемое/1?/! помощи коэффициентов зацепления. Делается это по
Кроме того, было установлено, при каких условиях класс
с ^0ЛЯГИ** многообразия Мп содержит цикл, не пересекающийся
А. Оказалось, что такими являются те классы гомологии, ин-

•
30 1. О МОИХ РАБОТАХ ПО ТОПОЛОГИИ И ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ
дексы пересечения которых с любыми циклами комплекса К
дополнительной размерности равны нулю. Это было сделано по
mod 2. Два этих результата давали достаточно полную
информацию о числах Бетти по mod 2 многообразия Мп\К. Во второй
своей работе я вновь использовал тонкие геометрические
конструкции Александера.
В дипломной работе мной была сильно усовершенствована
вторая работа как в алгебраическом, так и в геометрическом
отношениях. В ней я обошел геометрические трудности, рассматривая
лишь прямолинейные комплексы, составленные из подразделений
первоначальной триангуляции многообразия Мп, и для
установления двойственности использовал барицентрические звезды
этих подразделений, как это делал Пуанкаре, отчего произошло
сильное геометрическое упрощение. Переход к криволинейному
комплексу осуществлялся путем аппроксимации его
прямолинейными комплексами. Алгебраической основой исследования
являлась двойственность между цепями, составленными из симплексов,
и цепями, составленными из барицентрических звезд. Все
делалось с целочисленными коэффициентами и по произвольному mod m.
Вторая часть моего результата приобрела самостоятельное
существование и стала называться теоремой о снятии цикла. В ней
утверждалось, что для цикла многообразия М", индекс
пересечения которого с каждым циклом из комплекса К равен нулю,
существует гомологичный ему цикл, расположенный вне /С.
Теорема о снятии цикла позволила, в частности, дать оценку тонкого «
гомотопического инварианта категории многообразия Мп, введен- |
иого Люстерником и Шнирельманом для оценки числа замкнутых f
траекторий на многообразии в гомеоморфной сфере. Определение I
категории многообразия, данное Люстерником и Шнирельманом, *
носило сугубо негативный характер, и потому вычисление ее |
было очень затруднительным. Оценка ее снизу при помощи тео- *
ремы о снятии цикла давала эффективную возможность находить %
категорию многообразия. |
Для того чтобы рассказать о следующей своей существенной *
работе, связанной с теоремой двойственности Александера,
остановлюсь на структуре группы НГ(К) комплекса /С, построенной;
при помощи целых коэффициентов. Возьмем в этой группе под- •
группу НГ(К)У составленную из элементов конечного порядка.|
Тогда группа Нг (К) распадается в прямую сумму некоторой rpyfl-J
пы Lr(K) и группы НГ(К). Группа Lr(K) представляет собой^
прямую сумму конечного числа свободных циклических групп.!
Число их и есть число Бетти, определенное Пуанкаре. Число-!
вые инварианты группы Нг (К) были названы Пуанкаре коэффици-1
ентами кручения. я
В моей дипломной работе было установлено, в частности, что
если комплекс К расположен в евклидовом пространстве Rn, т°|

1. О МОИХ РАБОТАХ ПО ТОПОЛОГИИ И ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ ЗГ
группы Ln~r~1(K) и Lr(Rn\K) двойственны между собой
посредством коэффициентов зацепления, являющихся целыми числами,
но группа Ur(Rn\K) двойственна группе Нп~г~2(К). Таким
образом, прямые слагаемые Lr(Rn\K) и Hr(Rn\K) однозначно
определены комплексом К и не зависят от его расположения
в пространстве Rn. В то время как я занимался этими вопросами,
уже была определена группа гомологии произвольного
компактного метрического пространства F по любому полю коэффициентов,
так же как по целочисленному полю коэффициентов. Мне
показалось, что для завершения проблемы двойственности необходимо
установить, что если компактное множество F расположено
в евклидовом пространстве /?", то целочисленная группа
гомологии его дополнения Rn\F есть инвариант самого множества Fr
а не зависит от его расположения в Rn. Трудность заключалась
в том, что группа Hr(Rn\F) уже не была группой с конечным
числом образующих и не распадалась в прямую сумму свободной
группы и группы кручений, а потому не могла быть вычислена
таким же образом, как это было сделано с комплексом. Я решил
эту задачу, совершив очень нетривиальное действие, приняв за
коэффициенты преобразований групп гомологии компактного
множества F не целые числа, не вычеты по mod/n, а совершенна
новую группу /С. Определение ее следующее:
К есть фактор-группа аддитивной группы действительных чисел
по подгруппе целых чисел. Таким образом, К представляет собой
аддитивную запись группы вращения окружности и является
топологической группой. Приняв за коэффициенты при построении
группы гомологии компактному множеству F элементы группы К>
я получил саму группу гомологии HrK (F) в виде компактной
коммутативной топологической группы. Результат был следующим:
Пусть F—компактное подмножество л-мерного евклидова
пространства Rn. Hr^~r~1(F) — группа гомологии размерности
п—т—1 компакта F, построенная при помощи коэффициентов
из группы К. Через Hr(Rn\F) обозначим r-мерную группу
гомологии пространства Rn\F, построенную при помощи
целочисленных коэффициентов. Тогда группы H'jf'-^F) и Hr(Rn\F)
двойственны между собой, причем двойственность определяется
коэффициентами зацепления, которые являются элементами группы К*
Таким образом, каждый элемент группы Hr(Rn\F) является
гомоморфизмом группы-tfJf'-^F) в группу /С, т. е. характером
/yXr-ibI HnKr~l(F). Точно так же каждый элемент группы
к (F) является гомоморфизмом группы Hr(Rn\F) в группу К.
аким образом, я показал, что каждая из двух рассматриваемых
РУПП> w находящихся в соотношении двойственности, является
Руппои характеров для другой. Этот результат представляет
ои очень интересный алгебраический факт, который привел
к постановке нового вопроса. Является ли каждая компакт-

32 1.0 МОИХ РАБОТАХ ПО ТОПОЛОГ ИИ И ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБР Е
ная коммутативная группа группой характеров некоторой j диск
ретной коммутативной группы [8]?
Сейчас мне совершенно неясно, действительно ли этот вопрос
возник в результате получения теоремы двойственности Алек-
сандера для компактных подмножеств евклидова пространства.
Трудно было прийти к мысли о взятии за коэффициенты элементов
группы К и построении группы гомологии компактного
метрического пространства в виде компактной топологической
коммутативной группы, не имея понятия о топологических группах.
Вероятнее всего, я пришел к мысли об использовании элементов
группы К в роли коэффициентов, уже имея какое-то
представление о компактных коммутативных топологических группах и их
характерах. Без этого использование группы К для
коэффициентов кажется психологически неоправданным и непонятным скачком.
К проблемам топологической алгебры я подошел еще и
совершенно с другой стороны. Именно, я доказал, что всякое связное
локально-компактное тополого-алгебраическое тело изоморфно
либо полю действительных чисел, либо полю комплексных чисел,
либо телу кватернионов. Другой возможности нет. Этот результат
имеет глубокий методологический смысл. Он показывает нам, что
никаких объектов, аналогичных действительным и комплексным
числам, не существует. Именно поэтому действительные и
комплексные числа лежат в основе математического анализа. Этот
результат был ответом на вопрос, поставленный А. Н.
Колмогоровым. Случай коммутативного тела был разобран мной очень
быстро, в течение недели или двух, что поразило Колмогорова,
который сперва даже не поверил, что я смог с этим справиться.
Но случай некоммутативного тела дался очень трудно. Я
занимался им около года и разработал приемы, которые позволили
мне в дальнейшем изучить не только компактные, но и локально-
компактные коммутативные группы.
Занимаясь топологической алгеброй, я изучил также
компактные, вообще говоря, некоммутативные группы. Именно, доказал,
что каждая такая группа является в некотором смысле пределом
последовательности групп Ли [12].
Для доказательства того, что каждая компактная
коммутативная группа Г является группой характеров дискретной группы,
достаточно было доказать, что, каков бы ни был отличный от
нуля ее элемент а, всегда существует такой гомоморфизм группы Г
в К у при котором элемент а не переходит в нуль. Для того чтобы
изучить структуру компактной, вообще говоря, некоммутативной
группы, достаточно было показать, что для каждого отличного
от 1 элемента а этой группы существует гомоморфизм этой группы
в некоторую группу Ли, при которой элемента не переходит в 1.
При доказательстве этих фактов мной были использованы
замечательный результат венгерского математика Хаара, который
построил инвариантную меру на локально-компактных топологи-

I О МОИХ РАБОТАХ ПО ТОПОЛОГИИ И ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ 33
ческих группах, а также теория Германа Вейля линейных
представлений компактных групп Ли, который использовал
инвариантную меру на этих группах для нахождения представления
групп Ли.
Получив результаты в топологической алгебре и изучив хорошо
эту область, включая группы Ли, я пришел к мысли написать
монографию под названием «Непрерывные группы» [10], что и
выполнил за два года. В монографию я включил не только свои
собственные результаты по топологическим группам и по
топологическим телам, но и теорию групп Ли. Книга скоро нашла
широкое признание как в Советском Союзе, так и за границей —
она была очень быстро переведена на английский язык в Америке
по инициативе Лефшица [11].
Занимаясь теоремой двойственности Александера, я
заинтересовался ее локальной формой, связанной с теорией размерности.
Существовавшее в то время определение размерности компактного
метрического пространства F носило чисто негативный характер.
Оно выглядит следующим образом:
Если существует покрытие множества F некоторыми
множествами, удовлетворяющее определенным условиям, то размерность
этого множества не больше чем г. Таким образом, можно было
эффективно установить, что размерность множества не
превосходит г, но не было никакого средства установить, что она не
меньше г. В дальнейшем так определенную размерность я буду
называть обычной. П. С. Александров сделал первую попытку
преодолеть это обстоятельство, дав положительное определение
размерности при помощи гомологии. Именно, он определил
размерность множества F по mod 2. Это определение размерности
требовало существования в множестве F некоторой пленки по
mod 2, т. е. носило положительный характер. Александров
выдвинул гипотезу, что обычная размерность эквивалентна
гомологической размерности по mod 2. Я сразу увидел, что таким образом,
как по mod 2, размерность можно определить по любому другому
модулю. И сразу же построил множества Fx и Ft9 каждое из
которых имело обычную размерность, равную 2 [5]. Ft имело
размерность 2 по mod 2 и размерность 1 по mod 3, а множество F2
имело размерность 2 по mod3 и 1 по mod 2. Таким образом,
полностью исключалась эквивалентность обычной размерности
с гомологической по какому бы то ни было модулю. Эти же два
множества Fx и F2, как я показал, обладали тем замечательным
свойством, что, имея оба обычную размерность, равную 2, они
в своем произведении давали множество FxxF2 размерности 3,
что противоречило существовавшей гипотезе о том, что при
перемножении множеств обычные размерности складываются.
Александров и я, оба независимо друг от друга, занялись
пРоблемой гомологической характеризации обычной размерности,
т- с. нахождения для нее положительной формы. Но мы подходили
Л« С. Понтрягин, т. I

34 Ь О МОИХ РАБОТАХ ПО ТОПОЛОГИИ И ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ
к задаче с двух различных позиций. Александров искал
внутреннее гомологическое определение размерности, эквивалентное
обычной, а я пользовался расположением множества F в евклидовом
пространстве Rn. Моя гипотеза заключалась в том, что множество F
обычной размерности г, расположенное в i?1, в некоторой своей
точке а образует гомологическое препятствие размерности п—г—1.
Именно, я стремился доказать, что в шаре Н произвольного
малого радиуса с центром в точке а можно найти цикл z
размерности п—г—1 с целочисленными коэффициентами, расположенный
в H\F и негомологичный нулю в этом пространстве. Из этой
теоремы, если бы она была доказана, сразу можно было бы
извлечь и внутреннюю гомологическую характеристику обычной
размерности. Я стал пытаться доказать это предложение.
Для двумерного множества F, расположенного в
пространстве /?3, оно довольно быстро было доказано мной и Франк-
лем независимо друг от друга при помощи одной интересной
конструкции, относящейся к узлам, расположенным в трехмерном
пространстве. Доказанное нами предложение означало, что
двумерное множество в трехмерном евклидовом пространстве локально
разбивает это пространство по крайней мере на две части.
Следующим шагом должно было быть доказательство того, что (п—1
^мерное множество F, расположенное в n-мерном евклидовом
пространстве /?", локально разбивает его также по крайней мере на
две чзсти. Эту теорему очень остроумно доказал Франкль. Я стал
пытаться доказать теорему о препятствии для любой размерности г,
идя по пути, намеченному мной и Франклем, и при этом
столкнулся с некоторыми гомотопическими проблемами, которые стали
предметом моих дальнейших занятий. Теорему о препятствии я
доказать не сумел. Внутреннюю гомологическую характеристику
обычной размерности получил П. С. Александров, и из нее
следовало мое предложение о препятствии.
По теории размерности мной была сделана еще одна работа,
заслуживающая упоминания, не связанная непосредственно с
гомологическими проблемами. Я доказал, что каждое компактное
метрическое пространство обычной размерности г может быть
гомеоморфно отображено в евклидово пространство размерности
2г+1 [6].
2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГОМОЛОГИИ НЕКОТОРЫХ КОНКРЕТНЫХ
МНОГООБРАЗИЙ
Найти число Бетти конкретного многообразия при помощи три- i
ангуляции, т. е. при помощи разбиения многообразия на
симплексы, является делом совершенно нереальным в силу чудовищной
громоздкости. Для решения этой задачи нужно искать другие
пути, связанные со способом задания многообразий. Одну такую
интересную задачу я решил в 1935 г. [9]. Она была сформули-
J

1. О МОИХ РАБОТАХ ПО ТОПОЛОГИИ И ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ 35
рована Картаном в его докладе в Москве (1934 г.). Он предложил
найти числа Бетти всех простых компактных групп Ли и
предложил для решения свой алгебраический метод внешних форм.
Простые группы Ли расклассифицированы, они составляют четыре
основных серии и, кроме того, пять специальных особых групп.
Я нашел числа Бетти компактных групп Ли, входящих в четыре
основные серии, пользуясь совсем другим методом, чем тот,
который был предложен Картаном. Способ этот связан со следующей
конструкцией Морса.
На некотором гладком многообразии М Морс рассматривает
дифференцируемую функцию f(x) точки х этого многообразия.
Точка а многообразия М называется критической точкой
функции f{x), если в этой точке все первые производные функции f(x)
обращаются в нуль. Изучению критических точек посвящена
работа Морса. Морс рассматривает поверхности уровня,
функции f(x), т. е. поверхности, определяемые уравнением f(x) = c,
где с = const. Проводит на многообразии М траектории,
ортогональные к поверхностям уровня. Вдоль этих траекторий можно
продеформировать в многообразии М любое подмножество F.
При этом только критические точки могут служить препятствием
для деформации. Морс рассматривал только такие функции,
которые имеют изолированные критические точки.
Моей целью было найти числа Бетти основных четырех серий
компактных групп Ли. Прием мой был приспособлен к изучению
серии многообразий Mlf где /—номер многообразия, меняющийся
от некоторой постоянной положительной величины до
бесконечности.. На многообразии Mt я задал функцию f(x) множества
критических точек, которое составляло массивное подмножество
многообразия Мь причем одним из кусков этого массива было
многообразие Mt_x. Опишу свой прием для случая, когда Mt
есть группа ортогональных матриц порядка /,
Функция f(x), заданная мной на Ml9 в [этом случае создается
формулой
f(x) = xlt.
Массив критических точек этой функции состоит из двух кусков:
на одном хп = / (х) = 1, на другом x11=f(x) = —1. Первый
кусок представляет собой группу Mt_x ортогональных матриц
порядка / — 1, а второй является классом смежности этой
подгруппы. Обозначим эти куски массива критических точек через М[^
и М?-1. Будем считать, что траектории, ортогональные к
поверхностям уровней функции f(x), начинаются на подгруппе М[_х и
Упираются в многообразие М^г. Любое компактное подмножество
многообразия Ми не пересекающееся с M't_l9 можно
деформировать вдоль этих траекторий в многообразие Щ_х. Так откры-
2*

36 1. О МОИХ РАБОТАХ ПО ТОПОЛОГИИ И ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ
вается путь для нахождения чисел Бетти индуктивно по
номеру /, начиная с многообразия M3J представляющего собой
трехмерное проектное пространство. Аналогичным образом были
изучены и три другие серии компактных групп Ли.
Позже я применил этот прием к многообразию Я (fe, /),
причем многообразие Я (k, l) представляет собой совокупность всех
Л-мерных ориентированных плоскостей евклидова пространства
Rk+l размерности k -И, проходящих через некоторую
фиксированную точку О. Меняя индекс /, мы получаем серию
многообразий, гомологии в которых можно изучать индуктивно.
Многообразие Я (А, 1) представляет собой, как легко видеть, ^-мерную
сферу. Мы имеем естественное вложение Я (А, /—1)сЯ(&, 1). I
Многообразие Я (k9 l) было положено мной в основу определения
характеристических классов или так называемых классов Понт-
рягина для гладкого многообразия Мк. Таким же способом я ]
изучил гомологии некоторых других серий многообразий. Но 1
важнейшими считаю результаты, относящиеся к четырем сериям J
простых групп Ли и к серии многообразий |
Я(А, /); /=1, 2, ...
Замечу в заключение, что в некоторых случаях мне было не- |
достаточно только знать, что ортогональные траектории к
поверхности уровня существуют, но нужно было вычислить их
конкретно. Так, при изучении группы Mt ортогональных матриц ;
надо было конкретно вычислить все траектории, ортогональные I
к поверхностям уровня, выходящие из единичного элемента под- I
группы Я/в1, и посмотреть, где они кончаются на многообразии |
AfJ_i. Таким образом, мне пришлось провести некоторые не |
вполне простые вычисления. \
3. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГОМОТОПИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ
ОТОБРАЖЕНИЙ
€
h
Задача гомотопической классификации отображений одного I
пространства в другое являлась центральной задачей топологии |
в 1936 г., когда я начал ей заниматься. Чтобы сделать макси- |
мально понятными мои результаты в этой области и способ под- !
хода к решению гомотопических задач, выбранный мной, напомню j
основные определения. \
Будем рассматривать непрерывные отображения топологиче- \
ского пространства X в топологическое пространство У. Обозна- \
чим через / числовой отрезок 0 ^ t ^ 1 и составим прямое топо- *
логическое произведение отрезка / на пространство Х9 т. е.
множество всех пар (/, х), где /€Л х£Х. Пусть Ф—непрерьюное \
отображение произведения IxX в У. |
Положим Ф(/, x)\ = <pt(x). Отображение ф* является отобра-1
жением пространства X в пространство У, непрерывно завися-1

1. О МОИХ РАБОТАХ ПО ТОПОЛОГИИ И ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ 37
щим от параметра t. Говорят, что q>t представляет собой
непрерывную деформацию отображения <р0 в отображение фх, а два
отображения <р0 и фг пространства X в пространство Y
считаются гомотопически эквивалентными или гомотопными. Таким
образом, все непрерывные отображения пространства X в
пространство Y разбиваются на классы гомотопных между собой
отображений. Задача гомотопической классификации отображений
пространства X в пространство Y заключается в нахождении
всех гомотопических классов отображений пространства X в
пространство К. Отображение ф0 считается гомотопным нулю, если
отображение <рх переводит все пространство X в одну точку
пространства Y.
Пытаясь решить задачу о гомологической характеристике
обычной размерности множества, я пришел к задаче
гомотопической классификации отображений сферы Sk+t размерности k +1
в сферу размерности /, где k—неотрицательное число, а I —
произвольное натуральное число. К тому времени, как я занялся
этой задачей, некоторые результаты уже были получены Гопфом.
Именно, он решил задачу для £ = 0, а также дал целочисленный
инвариант отображений трехмерной сферы S3 в двумерную сферу
S2. В 1936 г. я решил задачу для £=1 и произвольного I.
Именно, доказал, что для / = 2 гопфовский инвариант является
единственным, а для / > 2 существуют только два класса
отображений сферы Sl+l в сферу S1. Замечу, что для £ = 0 Гопф
нашел единственный целочисленный инвариант отображения сферы
S1 в сферу S1. Это степень отображения. Таким образом, к
самому моменту, как я начал заниматься задачей, все известные
случаи сводились к счетному числу класса отображений, а у
меня получились только два отображения сферы S1+l в сферу S1
при / > 2. Результат показался мне совершенно поразительным.
В то же время я занимался задачей для k = 2. Совершив ошибку
в вычислениях, я получил неправильный результат, который
утверждал, что существует только один класс отображений сферы
S2+i в сферу S1. Позже, когда стал писать полное изложение
работы, я исправил ошибку и установил, что число классов
отображений сферы S2+/ в сферу S1 равно двум. Мое
первоначальное решение задачи для к = 1, 2 было чудовищно сложно.
Постепенно я его упростил. Изложу здесь основные этапы того
упрощенного доказательства, которое получилось в конце концов
в результате всех моих усилий.
Будем рассматривать отображение произвольного пространства
X в сферу S1. Оказывается, что гомотопическую классификацию
таких отображений можно локализовать следующим образом.
На сфере S1 выделим две диаметрально противоположные точки
Р и q—дВа полюса. Обозначим через Не шар с центром в р
радиуса е в сфере S1. Оказывается, что если два отображения / и
8 пространства X в сферу S' совпадают на Яе, то они гомотоп-

38 1. О MOHXjPABOTAX ПО ТОПОЛОГИИ И ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ
ны между собой. Разъясним это высказывание. Обозначим через
/"1(Яе) и g"1(He) полные прообразы шара Яе в пространстве
при отображениях fug соответственно. Если имеет место
равенство
и для каждой точки х, принадлежащей множеству Я, имеет
место равенство / (х) = g (х), то мы считаем, что отображения f и g
совпадают на Я8.
Для доказательства того, что совпадающие на Яе
отображения гомотопны между собой, построим деформацию ф*
отображения сферы S1 в себя такую, что ср0—тождественное отображение
сферы S1 на себя, а срх отображает весь шар Я8 на S1 и
дополнение к нему в точку q. Деформацию cpt опишем на одном
определенном меридиане, идущем из северного полюса р сферы S1 в
южный полюс q. Пусть этот меридиан пересекает границу шара
Яе в точке а0. Заставим теперь точку а0 равномерно двигаться
из положения а0 по меридиану в южный полюс q так, чтобы она
прошла этот путь за единицу времени. Одновременно будем
растягивать равномерно отрезок [/?, а0] так, чтобы он покрыл весь
меридиан [/?, q], а отрезок [а0, q] сжимать так, чтобы он в
конце времени сжался в точку q. Определив эту деформацию на
каждом меридиане, получим нужную нам деформацию (pt. Если
отображения f и g совпадают на Яе, то отображения <р*(/) и
4>t(§) ПРИ * = 0 совпадают соответственно с f и g, а при t = l
совпадают между собой. Таким образом, отображения fug.
гомотопны между собой, и наше утверждение доказано.
Локализация дает возможность перейти к дифференциальному
описанию отображений. Для этого будем рассматривать лишь
аналитические отображения сферы Sk+I на сферу S*. Это
возможно, так как каждое непрерывное отображение можно
аппроксимировать гомотопически эквивалентным ему аналитическим
отображением. Теперь точку р можно выбрать так, что в каждой
точке х из /~х (р) функциональная матрица отображения / имеет
максимальный ранг, равный /. Возьмем в точке х площадку NX9
ортогональную к Mk = f~1(p). Площадка эта отображением /
переводится в окрестность точки р взаимно аналитически с
невырожденным определителем. Пусть п19 ...,щ—ортонормальная
система векторов в точке р сферы S*. Прообраз вектора ni на
площадке Nx обозначим через п: (х). Таким образом, в каждой
точке многообразия Mk задана система линейно независимых
векторов пг(х)у ..., п^х), ортогональных к Мк. Если два
отображения fug таковы, что соответствующие им многообразия
Мк совпадают и системы линейно независимых векторов n1(x)i ...
..., пь (х) также совпадают, то на достаточно малой окрестности
Яе эти два отображения fug близки друг другу по величинам

1. О МОИХ РАБОТАХ ПО ТОПОЛОГИИ И ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ 39
второго порядка и, следовательно, могут быть переведены друг
в друга. Отсюда следует, что отображения fug гомотопны
между собой. Ортонормируем теперь систему векторов nx(x), ...
nt(x) и обозначим полученную в результате этого систему
векторов через пг{х)у ..., п1(х). Многообразие Мк стало
оснащенным. Именно, в каждой его точке х задана нормальная к
нему ортогональная система векторов n1(x)f ..., п^х). Если для
двух отображений fug соответствующие им оснащенные
многообразия Мк совпадают вместе с оснащениями, то ясно, что
отображения эти гомотопически эквивалентны между собой. Таким
образом, вопрос о гомотопической классификации отображений
сферы Sk+l в сферу S1 сводится к классификации, с известной
точки зрения, оснащенных многообразий Мк, расположенных в
S*+/ От сферы Sk+l размерности k + l легко перейти к
евклидову пространству Rk+l размерности fe + / и заданному в нем
оснащенному многообразию Мк. Легко видеть теперь, что, если
отображение /0 можно аналитически перевести в отображение /lf
оснащенные многообразия Мк и Мк, соответствующие этим
отображениям, в некотором смысле эквивалентны друг другу. Именно,
они получаются друг из друга путем морсовских перестроек и
соответствующих перестроек оснащений. Таким образом, вопрос
о классификации отображений сферы Sk+l на сферу S1 свелся к
классификации оснащенных многообразий, расположенных в
Rk+i [17].
Этот переход от отображений к оснащенным многообразиям
дает возможность легко проклассифицировать отображения сферы
S1 на сферу S', т. е. заново получить известный результат Гоп-
фа без особенного труда. Этот же способ дал мне возможность
классифицировать отображения сфер в случае fe=l, 2. До
больших значений k мне продвинуться не удалось. При попытке
совершить это продвижение я пришел к понятию
характеристических циклов.
Будем считать, что сфера Sk+t ориентирована. Тогда и
оснащенному многообразию Мк можно приписать некоторую вполне
определенную ориентацию, например, следующим образом.
Выберем ее так, чтобы выписанная после ортонормальной системы
ni {х)у ..., п1 (х), она давала положительную ориентацию
пространства Rk+l. Считая, что сфера Sk+l ориентирована, мы можем
отказаться от ее индивидуализации при определении
гомотопности отображений. Ведь мы определили гомотопность отображений
для одной и той же сферы Sk+l. Теперь мы будем говорить о
гомотопности отображений двух различных сфер S§+/ и Sf+Z, если
обе они ориентированы. Для этого обозначим через ф некоторое
гомеоморфное отображение сферы SJ+Z на сферу SJ+/,
сохраняющее ориентацию. Будем считать, что отображение /0 сферы S%+1

40 I. О МОИХ РАБОТАХ ПО ТОПОЛОГИИ И ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ
гомотопно отображению /х сферы Sf+/, если отображения /0 и /хф
сферы S%+1 гомотопны между собой.
Отказ от индивидуализации сферы Sk+l нужен для того,
чтобы из всех отображений (k + /)-мерных ориентированных сфер в
сферу S1 составить аддитивную группу классов отображений.
Пусть flf f2—отображения сферы S\+l и "сферы S%+1 в сферу
S1. В сферах S^1 и Sf+/ выберем такие точки ах и а2, что
/i(tfi) — /2(^2)- Вырежем из сфер Sf+Z и S%+1 малые шаровые
окрестности Кх и /С2 точек ах и а2. Границы Sf+/_1 и S^+/_1 этих
шаровых окрестностей будем считать ориентированными в
соответствии с ориентацией самих сфер. Пусть <р — некоторое гомео-
морфное отображение сферы S\+l~x на сферу S$+/-\ при котором
положительная ориентация первой сферы переходит в
отрицательную ориентацию второй сферы. Изменим теперь отображения
fx и /2 сперва таким образом, чтобы отображения fx и /2<р сферы
SJ+/-1 совпадали между собой. Выкинем теперь из сфер SJ+ и
S%+1 шаровые окрестности Кг и К2- Оставшиеся части сфер склеим
между собой по границам Sf+i_1 и Sf+/_1, идентифицируя точки,
соответствующие друг другу при отображении <р. Полученная в
результате этого склеивания из сфер Sk+l и S%+1 сфера Sk+l
ориентирована и отображена в сферу S1 определенным образом. Это
отображение обозначим через /3- Гомотопический класс
отображений, которому принадлежит отображение /3, по определению
считается суммой гомотопических классов отображений fx и /2.
Таким образом, гомотопические классы отображений
ориентированных сфер Sk+l в сферу S1 организованы в коммутативную
аддитивную группу. Для получения элемента группы,
противоположного тому, который содержит класс отображения /1э
достаточно изменить ориентацию сферы S$+l на противоположную.
Если М\у М\—оснащенные непересекающиеся многообразия,
соответствующие отображениям fx и /2, то отображению /3 соответ
ствует оснащенное многообразие' М$, получающееся простым
объединением М\ и М\.
Дадим теперь способ построения из класса отображений сферы
Sk+t в сферу S1 некоторого класса отображений сферы Sk+l+l в
сферу Si+1. Пусть Мк—некоторое оснащенное многообразие,
расположенное в Rk+i. Включим пространство Rk+l в пространство
ftk+i+i и добавим к ортонормальной системе nt(x)9 п2(х), ...
..., пь (х), заданной в точке х многообразия Мк, еще один
вектор nl+1(x)f идущий в пространстве Rk+l+1 перпендикулярно
пространству Rk+l. Так полученное оснащенное многообразие Мк,
исходящее из многообразия Мк, определяет класс отображений
сферы Sk+l+1 в сферу Sl+1, который будем называть надстройкой
над исходным классом.
Докажем, что при I > k каждый класс отображений (k +1+ 1)- ;
мерной сферы в (/+ 1)-мерную сферу Sl+1 является надстройкой.

1. О МОИХ РАБОТАХ ПО ТОПОЛОГИИ И ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ 41
Будем считать, что l> k, и пусть Мк—некоторое оснащенное
многообразие, расположенное в пространстве /?ft+/+1. Каждой паре
точек (х, у) многообразия Мк поставим в соответствие
направление той прямой, которая проходит через эту пару точек. Мы не
исключаем пары вида х = у. Соответствующее ей направление
касательно к многообразию Мк. Многообразие всех указанных
направлений обозначим через Ntk, так как размерность его равна 2k.
Поскольку размерность множества всех направлений, имеющихся
в пространстве Rk+i+1, равна k + I и k + / > 2kt то найдется в #*+*+*
такое направление, что проектирование вдоль него на ортогональное
к нему подпространство Rk+i многообразия Мк не дает
особенностей. Проектирование многообразия Мк на многообразие Мк
можно осуществить в форме непрерывной деформации, в резуль-
тате которой ортонормальная система, имеющаяся на Мк, перейдет
в некоторую ортонормальную систему на многообразии Мк.
Таким образом, каждой точке х многообразия Мк соответствует
ортонормальная система ^(х), ..., п1+1(х). Теперь мы
непрерывно продеформируем эту ортонормальную систему таким
образом, чтобы вектор nt+1(x) стал вектором я, нормальным
пространству /?fe4/. Координаты единичного вектора п в ортонормальной
системе пг(х)у ..., п1+1(х) обозначим через l1(x)i ..., lt+1(x).
Координаты вектора п1+1(х) в этой ортонормальной системе суть
(О, 0, :..., О, 1). Координаты li(x), .. *, li(x)jll+1(x) определяют
точку п(х) в единичной сфере Ql\ n(x) есть отображение
многообразия Мк в сферу Q1. Поскольку I > fe, отображение п можно
продеформировать в одну точку п1+1(х). Пусть ф*(л;)— эта
деформация. Будем считать, что ф0 (х) есть точка п1+1 (л*), а фх (х) = п (х).
Деформация <pt(x) дает движение точки пП1(х) в точку п(х). Это
движение вектора nt+1 (х) можно распространить на движение всей
ортонормальной системы.
Таким образом, мы продеформировали исходную
ортонормальную систему пг(х)9 п2(х), ..., п1+1(х) таким образом, что
последний вектор ее стал нормальным к подпространству Rk+ly и потому
полученное нами оснащенное многообразие Мк является
надстройкой.
Аналогично доказывается, что если / > fe-f 1 и две надстройки
дают гомотопически эквивалентные отображения, то исходные
оснащенные многообразия также дают гомотопически
эквивалентные отображения.
Итак, установлено, что при / > k оснащенное многообразие Мк,
расположенное в Rk+t+1, эквивалентно надстройке Мк, располо*
женной в Rk+l, и что при />fe+l эквивалентность таких двух
надстроек равносильна эквивалентности оснащенных многообразий.
Таким образом, группа отображений сферы Sk+l в сферу S1
стабилизируется при l^k+2. Группа отображений сферы S2ft+2 на
^ +2 является фактор-группой отображений сферы S2k+1 на сферу

42 1. О МОИХ РАБОТАХ ПО ТОПОЛОГИИ И ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ
Sk+1. В частности, при k=l группа отображений сферы S3 на
сферу S2 является свободной циклической группой, а группа
отображений Sl+l в S1 при />2—циклическая второго порядка.
Постараюсь дать здесь объяснение причины этого явления.
Пусть R2—плоскость, лежащая в евклидовом пространстве Rl+1,
М1—единичная окружность с центром в точке О в плоскости R2. !
Обозначим через п\(х) единичный вектор, выходящий из точки х ]
окружности М1, направленный перпендикулярно к ней наружу
и лежащий в плоскости /?2, а через л2, п3, ..., п1 обозначим
некоторую ортонормальную систему векторов, перпендикулярных
к R2 и расположенных в Rl+1. Если эти векторы, параллельно
перенесенные в точку х, обозначить через nl(x), ..., п](х)у то
окружность М1 с ортонормальной системой п\(х), ..., п\(х)
представляет собой одномерное оснащенное многообразие. Пусть теперь
ni(x)f ^W> •••» ni(x)—некоторое произвольное оснащение
многообразия М1. Переход от ортонормальной системы п\(х), п\(х)у ...
..., п](х) к системе пг(л:), nz(x)9 ..., nt(x) дается ортогональной 1
матрицей порядка Z, которую мы обозначим через А(х); h дает |
нам отображение окружности М1 в группу Н1 ортогональных 1
матриц порядка /. Я2 представляет собой окружность, и мы имеем j
счетное число классов отображений окружности М1 в окружность Я2. I
В случае / > 2 имеются только два класса отображения окруж- ]
ности М1 в группу НК Этим и объясняется тот факт, что группа j
классов отображений S3 в S2 есть свободная циклическая, а группа )
отображений Si+l в S1 при />2 есть циклическая 2-го порядка. |
i
4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ [16]
it
После того как я установил, что оснащенные многообразия {
играют важную роль в гомотопической теории, я занялся много- ]
образиями, гладко расположенными в евклидовом
пространстве. Первый вопрос, который здесь естественно возникает,
заключается в следующем: при каких условиях многообразие Мк, рас- *
положенное гладко в евклидовом пространстве Rk+l, может быть
оснащено? В каждой точке х многообразия Мк проведем полную
нормаль Nlx к многообразию Mk в евклидовом пространстве Rk+l. }
В каждом отдельном евклидовом пространстве Nlx при
фиксированном х, конечно, можно выбрать ортонормальную систему из /
векторов. Но можно ли выбрать эти ортонормальные системы
в каждом Nlx так, чтобы они непрерывно зависели от х,
непосредственно не видно и, как показывают примеры, не всегда можно.
Таким образом, возникла задача какого-то исследования
совокупности всех нормалей NLX в точках многообразия Мк. От нормали I
естественно было перейти к касательным. В каждой точке х ори- I
ентированного многообразия Мк проведем касательную к много- I
образию Мк плоскость Тх размерности к. Для того чтобы изучить 1
совокупность всех нормалей Nlxy можно изучать совокупность всех 1

1 О МОИХ РАБОТАХ ПО ТОПОЛОГИИ И ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ 43
касательных Тх. Для этого изучения я рассмотрел многообразие
H(k l), состоящее из всех fe-мерных ориентированных
плоскостей' пространства Rk+1, проходящих через заданную точку О, и
поставил в соответствие каждой касательной плоскости Тх
плоскость Т (х) размерности k, проходящую через О и параллельную Тх.
Функция Т(х), ставящая в соответствие каждой точке х
многообразия Мк точку Т (х) многообразия #(&, /), дает нам гладкое
отображение Т многообразия Мк. Отображение это я назвал
тангенциальным, и естественно предположить, что его гомологические
свойства должны в какой-то степени отражать свойства
многообразия Af*. Гомологические свойства отображений одного
многообразия в другое есть вещь вполне определенная, но описать эти
свойства можно различным способом. Я выбрал следующий способ
описания. Обозначим через п размерность многообразия Н (&, /),
и пусть z—некоторый цикл многообразия #(&, /) размерности
iU—k + r). На многообразии Т(Мк) цикл z высекает некоторый
цикл, который обозначим zr, а его прообраз в многообразии Мк
обозначим через zr. Класс гомологии цикла z многообразия #(fe, I)
однозначно определяет класс гомологии цикла 2 в многообразии Mk.
Цикл гт я назвал r-мерным характеристическим циклом
многообразия Мку а его класс гомологии—r-мерным характеристическим
классом. /
Легко доказывается, что при достаточно большом /
характеристический класс является инвариантом гладкого многообразия
Мку /г. е. не зависит от расположения Мк в евклидовом
пространстве Rk+l. Тангенциальное отображение Т является естественным
обобщением так называемого сферического отображения
многообразия Мк, расположенного в евклидовом пространстве Rk+1.
Оно отображает многообразие Мк в сферу Sk. Сферические
отображения- многообразия рассматриваются уже давно как в
дифференциальной геометрии, так и в топологии. Известно было, что
степень сферического отображения многообразия Мк на сферу Sk
является топологическим инвариантом многообразия Мку а именно,
равна половине его эйлеровой характеристики. В
дифференциальной геометрии из сферического отображения получается гауссова
кривизна многообразия Мку а ее интеграл по всему
многообразию Мк называется интегральной кривизной. Таким образом,
данная мной конструкция была далеко идущим обобщением
известной конструкции.
Введенные мной характеристические классы гладких
многообразий подверглись в дальнейшем широкому изучению
другими математиками. Я же сделал с ними довольно мало. Первая
попытка заключалась в том, чтобы доказать топологическую
инвариантность характеристических классов, но это мне не удалось.
Задача была решена много позже С. П. Новиковым. Я же сам
Дал для характеристических классов другие определения при по-

44 1. О МОИХ РАБОТАХ ПО ТОПОЛОГИИ И ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ
мощи систем векторных полей, заданных на многообразии Mk и
при помощи риманова тензора многообразия Мк, пользуясь
дифференциальной геометрией.
5. ДРУГИЕ ГОМОТОПИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Кроме описанных, мной были получены некоторые результаты
по классификации отображений комплекса Kt+r размерности 1+г
в сферу S1 [14] и при изучении таких отображений был введен
квадрат v-цикла размерности /, представляющий собой ?-цикл
размерности / + 2. Позже американский математик Стинрод дал
бойее общее определение квадрата v-цикла, чем я. Кроме того,
мной были получены некоторые результаты по классификации
отображений сферы в комплексы [15].
ЛИТЕРАТУРА
1. Pontrjagin L. S. Zum Alexanderschen Dualitatssatz.—Nachr. Akad. Wiss.
Gottingen. Math.-Phys. Kb, 1927, H. 4, S. 315—322.
2. Pontrjagin L. S. Zum Alexanderschen Dualitatssatz, Zweite Mitt. Nachr.
Akad. Wiss. Gottingen. Math.-Phys. Kb, 1927, H. 4, S. 446—456.
3. Alexander J. W. A proof and extension of the Jourdan—Brouwer separation I
theorem. —Trans. Amer. Math. Soc, 1932, vol. 23, p. 333—349.
4. Pontrjagin L. S. Ober den algebraischen Inhalt topologischer Dualitatssatze.—
Math. Ann., 1931, Bd. 105, H. 2, S. 165—205.
5. Pontrjagin L. S. Sur une hypothese fondamentale de la theorie de la dimen-
sion.—C.r. Acad, sci., 1930, vol, 190, p. 1105—1107.
6. Pontrjagin L. S., Tolstowa G. Boweis des Mengerschen Einbettungsatzes. —
Math. Ann., 1931, Bd. 105, H. 5, S. 734—745.
7. Pontryagin L. S. The general topological theorem of duality for closed sets.—
Ann. Math., 1934, vol. 35, N 4, p. 904—914.
8. Pontrjagin L. S. The theory of topological commutative groups. Ann. Math.,
1934, vol. 35, N 2, p. 361—388.
9. Понтрягин Л. С. Числа Бетти компактных групп Ли.—Докл. АН СССР,
1935, т. 1, № 7—8, с. 433—437.
10. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М.; Л.: Гостехтеориздат, 1938.
11. Pontryagin L. S. Topological groups. L.: Princeton Univ., press, 1939.
12. Понтрягин Л. С. Структура компактных топологических групп. — В кн.:
Тр. второго Всесоюз. мат. съезда, Ленинград, 24—30 июня 1934 г. М.; Л.:
Изд-во АН СССР, 1936, j. 2, с. 135.
13. Pontriaguine L. Sur le transformations des spheres en spheres. — In: C.r.
congr. intern, math. Oslo, 1936, 1937, vol. 2, p. 140.
14. Понтрягин Л, С. Классификация непрерывных отображений комплекса на
сферу. —Докл. АН СССР, 1936, т. 19, № 3, с. 147—149.
15. Понтрягин Л. С. Отображения трехмерной сферы в комплекс. — Докл.
АН СССР, 1942, т. 34, № 2, с. 39—41.
16. Понтрягин Л. С. Характеристические циклы многообразий. — Докл^
АН СССР, 1942, т. 35, № 2, с. 35—39.
17. Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применение в теории гомо-
топий. М.: Изд-во АН СССР, 1955. (Тр. МИАН; Т. 45).

2
К ТЕОРЕМЕ ДВОЙСТВЕННОСТИ АЛЕКСАНДЕРА*) .**)
1. Александер доказал следующую теорему двойственности1):
Если Кк—комплекс, лежащий в Rn, то 2)
(1) р^К^^р^^^-К*-).
В настоящей работе я покажу, что некоторая двойственность
имеет место не только между числами Бетти, но и между
базисами гомологии /Сх и Rn—Kk. Чтобы сформулировать эту
двойственность, я должен сначала напомнить (по существу,
происходящее от Брауэра3)) понятие коэффициента зацепления двух
замкнутых комплексов (в Rn).
2. Пусть Кр и К*—два комплекса, лежащие в Rn>
размерности р и q которых удовлетворяют уравнению p + q = n. Мы
предположим, сверх того, что каждый из этих комплексов не
пересекается с границей другого. Пусть, далее, ЙУ"и
К*—полиэдральные комплексы, которые достаточно хорошо
аппроксимируют данные комплексы; в частности, мы снова предположим,
что граница каждого из этих комплексов не пересекается с другим
комплексом. Кроме того, мы считаем, что комплексы Кр и Kq
находятся в общем положении (т. е. система всех вершин,
входящих в оба комплекса, линейно независима). Легко доказать4),
что четность (конечного, ввиду последнего предположения) числа
точек пересечения комплексов Кр и К* не зависит от специаль-
*) Zum Alexanderschen Dualitatssatz//Nachr. Akad. Wiss. Gottingen. Math.-
phys. Kb—1927, H. 4. —S. 315—322. —Перевод Д. Б. Фукса.
**) Результаты этой работы составляют ответ на вопрос, поставленный
П. Александровым в его семинаре (зимний семестр 1926/27 г., Московский
университет), и были доложены мною (без доказательства) в том же семинаре
и Александровым в его геттингенской лекции (лето 1927 г.).
х) Alexander, Trans. Amer. Math. Soc, 23 (1922), стр. 333—349.
2) По поводу обозначений см. работу Александрова, следующую за этой
работой.
3) Brouwer «On looking coefficients» (Kon. Akademie Amsterdam, Proceeding,
1912, стр. 113—122). Ср. также цитированную там заметку Лебега в Comptes-
Rendus (С. R., 27 марта 1911 г.), в которой понятие зацепления «помодулю 2»
было введено без надлежащего доказательства инвариантности.
4) См. статью Брауэра, указанную в сноске8). Первое обсуждение
характеристики Кронекера общих комплексов см. в статье Lefschetz, Trans. Amer.
Math. Soc, 28, стр. 1—49 (в особенности § 3—6).

46 2. К ТЕОРЕМЕ ДВОЙСТВЕННОСТИ АЛЕКСАНДЕРА. I
ного выбора этих аппроксимирующих комплексов и, таким
образом, представляет собой топологический инвариант (взаимного
расположения) комплексов Кр и Kq. Этот инвариант есть
характеристика Кронекера %(КР, Kq) комплексов Кр и Kq по модулю 2.
3. Пусть теперь в R1 даны два не пересекающих друг друга
замкнутых комплекса Гг и Vs, удовлетворяющих условию r + s =
— п—1. Если /Сг+1 и Ks+1—какие-нибудь комплексы,
ограничиваемые комплексами Тг и Г5, то, как легко показать,
это число %(Kr+1> Ts) = x(Trj Ks+1) зависит только от комплексов
Р и Ts и их взаимного расположения в Rn и представляет собой
коэффициент зацепления 5).&(Р, Г5) (mod2) комплексов Р и Р.
Из этого определения немедленно следует, что число ю (Р, Г5)
равно нулю, если один из комплексов Р и Vs гомологичен нулю
в дополнении к другому6).
4. Главный результат этой работы составляет следующая
Основная теорема. Пусть Кх—какой-нибудь Х-мерный
комплексу лежащий в Rn. Если
(2) 1 j, 1 2э • • • , 1 р
есть r-мерный гомологический базис в К% и
(3) агг'\ агг-\.... тт"1
есть (п—г—1)-мерный гомологический базис в Rn—/С\ то всякая
линейная комбинация элементов одного базиса зацепляется по
крайней мере с одним элементом другого.
Доказательство основной теоремы. Сначала мы
докажем следующее утверждение.
Теорема I. Если некоторое уп~г~1 не гомологично нулю
в Rn—/С\ то у"-*"1 зацепляется по меньшей мере с одним
элементом г-мерного базиса комплекса Кх.
Доказательство опирается на (рассматривавшееся впервые
Лебегом7)) понятие двойственного к произвольному элементу73)
а% комплекса Кх (замкнутого) комплекса 7?~л~1- Первая общая и
строгая конструкция этого двойственного комплекса была дана
Александером8). Следующие свойства конструкции Александера
можно легко доказать (по индукции).
5) См. статьи Брауэра и Лебега, цитированные в сноске3).
6) Обратное утверждение справедливо в случае неприводимых замкнутых
комплексов: см. теорему III настоящей работы. Замкнутый комплекс называется
неприводимым, если он не содержит никакого (собственного) замкнутого
подкомплекса той же размерности.
7) См. статью, указанную в сноске3).
7а) Через ah (с различными нижними индексами) обозначаются /i-мерные
элементы комплекса.
8) См. статью, указанную в сноске1), стр. 345 и 348.

2. К ТЕОРЕМЕ ДВОЙСТВЕННОСТИ АЛЕКСАНДЕРА. I 47
1) Комплекс Y/T^1 не пересекается ни с одним /-мерным
элементом (0 < i < h) комплекса К\
2) Существует комплекс Qg , ограничиваемый комплексом
yn-h-i^ такой, что Qk~h не пересекается ни с одним /-мерным
(О < i^ Л) элементом комплекса /С, за единственным исключением
самопГэлемента а\\ напротив,
X (4, ОТ") = 1.
5. Мы докажем теперь теорему 1 сначала для г = Х. Пусть
(4) Т\=-к[а} (i=l, 2, ..., s)
— все (представленные как линейные формы) замкнутые комплексы,
которые можно составить из Х-мерных элементов для /С*. Ранг
матрицы коэффициентов ||х{| есть тогда число /?я (/() = /?.
Существует также (составленная из х{) квадратная матрица того же
ранга р. Пусть
(5)
i*
•
•
•
к
ах
и!»
Х2,
Кр>
к
U2
2
Хз,
2
Хр у
„я,
. . . (*р
• • • > х 1
• • », /С 2
• • • » лр
— эта матрица.
Имеет место равенство
(6) W=&(rf\ т?-*-1).
(Последняя формула следует, в действительности, из того факта,
что Q7"x не пересекается с
вследствие чего
%(Q?-\ г,*) = х(0Г\ х?ой=«he (Q7"\ <#)=*{.
что нам и требуется, так как
х(0Г\ г?) =»(т7-х-\ г^,
поскольку y/1";i"1 есть граница QJ~k.)
Так как ранг матрицы (5) равен /?, то каковы бы ни были не
все равные нулю коэффициенты [Лу, по крайней мере при одном i
мы имеем
последнее неравенство означает не что иное, как то, что всякая
линейная комбинация элементов yj-*--1 зацепляется по меньшей
мере с одним Г* (и также по меньшей мере с одним элементом
произвольного Я-мерного базиса комплекса /С*). Поскольку число

48 2. К ТЕОРЕМЕ ДВОЙСТВЕННОСТИ АЛЕКСАНДЕРА
элементов yj-ь-1 равно
и (как мы только что доказали) элементы у/-*"1 линейно
независимы в R2—К\ то последние комплексы составляют (п—X—
^-мерный базис для R2— К\ всякий (п—X—1)-мерный комплекс
yn-b-iciR*—Kk (если он не гомологичен нулю) гомологичен,
таким образом, линейной комбинации элементов yf-^-1 и также
зацепляется по меньшей мере с одним элементом Х-мерного базиса
комплекса Кк. -
Этим теорема I доказана в случае r = k.
6. Пусть теперь г < % и уп-г-* не гомологично нулю в Rn — /С\
Ввиду замечания Александера9) можно, выбрасывая из комплекса
KkczRn некоторые ^-мерные элементы а\, сделать комплекс
yhczR*—Кк (который не был гомологичен нулю в R1—Кк)
гомологичным нулю [bRn—(Кк—а?)] только в том случае, если
размерность h равна п—k—1. Многократно применяя это замечание,
мы доказываем, что наш комплекс уп~г~г не гомологичен нулю
также в R1—Кг (где Кг обозначает подкомплекс комплекса /С\
составленный из всех а-) и, таким образом, зацепляется по
меньшей мере с одним элементом (как угодно выбранного) г-мерного
базиса в /Сг. Далее, /--мерный базис для Кг можно получить»
присоединяя (если в этом есть необходимость) к элементам
(7) 1 х, 12» • • •» 1 р
произвольного г-мерного базиса для К^ некоторые новые
комплексы
(О) 1 р+1, 1 р+2» • • • , 1 p+q.
Наш комплекс уп~г~г зацепляется по меньшей мере с одним
из комплексов (7) или (8). Если уп~г~г зацепляется с одним из
rj, i^p> наша теорема доказана. Пусть уп~г~г зацепляется с
каким-нибудь комплексом Г£+А и не зацепляется ни с каким Г£,
i^p. Тогда a priori возможны два случая:
1. Trp+h гомологично нулю в К\
2. Г£+Л~|1'1Ъ 1<Мв К*).
Случай 1, однако, встретиться не может, так как в этом
случае всякий комплекс, который зацепляется с Гр+А (и, в частности,
наш комплекс yn~r~1)f должен иметь общие точки с
(ограничиваемым Г£+л подкомплексом комплекса /Сх и, значит, с)
комплексом Кк.
Зато в случае 2 комплекс уп~г~г зацепляется с ц/Гс и, значит,
по меньшей мере с одним Г[, i^p, что и требовалось.
7. Пусть теперь
\£) * 1» А 2> • • •» Ар
9) См. статью, указанную в сноске *), стр. 347, строки 8—11 (сверху).

2. К ТЕОРЕМЕ ДВОЙСТВЕННОСТИ АЛЕКСАНДЕРА. I 4£
есть r-мерный базис для /Ся и
(3) Я""1, ТГ'-\ ..., ТГ"1
есть (п—г—1)-мерный базис для Rn—Кк.
Произвольная линейная комбинация ^/7/~г~1 (как комплекс*
который заведомо не гомологичен нулю в Rn—Кк) зацепляется
по меньшей мере с одним Г£. Следовательно, ранг матрицы
||*)(Г£, Y/"'""1)!! Равен Ру т-е- всякая линейная комбинация
элементов rj зацепляется по крайней мере с одним у/"г~1- Этим
основная теорема полностью доказана.
8. Следующее (полезное для многих целей) обобщение нашей
основной теоремы является очевидным.
Теорема II. Пусть
(9) Ц, П, ..., Г; | (9) tf-'-if tf-'-\ ..., у»-'"1
есть система замкнутых комплексов, лежащих
в К* | в R«—KK
и там независимых.
Тогда можно среди элементов (п—г—\)-мерногоу
соответственно г-мерного, базиса
для Rn—KK | для К%
найти систему комплексов
(10) т»-'-\ tf-«f ..., yT'"1 I (Ю) Г£, Г5, ..., Г£,
обладающую тем свойством, что всякая линейная комбинация
комплексов (9) зацепляется по крайней мере с одним из
комплексов (10) и всякая линейная комбинация комплексов (10)
зацепляется nq крайней мере с одним из комплексов (9).
Мы докажем только левую сторону теоремы (доказательства
правой стороны протекает дословно параллельно).
Так как Г£ независимы, их можно включить в базис
TV TV TV. TV TV
■*• 1» ■*• 2> • • • у x s» ■*• S+l» * * * » L p
в Kk. Теперь построим (л—г—1)-мерный базис
v°J Yi у Y2 » • • •» 7р
в Rn—Кх и рассмотрим матрицу ||в(Г£, Т/"*""1)!- Так как Ранг
этой матрицы равен ру ранг матрицы
Цо(Г;, Yf-1)II (* = 1,2, ...,s; /=1, 2, ...,/7)
равен s. Следовательно, существует квадратная подматрица
1ИП, тГ'"1)! (й=1, 2, ..., s\ i=lf 2, ..., s)

50 2. К ТЕОРЕМЕ ДВОЙСТВЕННОСТИ АЛЕКСАНДЕРА. I
того же ранга s; тогда всякая линейная комбинация элементов
Г[ (i= 1, 2, ..., s) зацепляется по крайней мере с одним Y/l"r" X
(h= 1, 2, ..., s) и наоборот. Теорема II доказана.
Из основной теоремы немедленно следует также
Теорема III. Если в R* даны два неприводимых замкнутых
комплекса Гг и Tn~~r~1f то возможны только два следующих случая:
либо каждый из этих комплексов гомологичен нулю в
дополнении другого,
либо эти комплексы зацепляются друг с другом.
9. В качестве последнего применения основного результата
этой работы я докажу следующий факт.
Теорема IV. Пусть F—замкнутое подмножество
пространства Rn и Гг—замкнутый комплекс, который не гомологичен
нулю в дополнении Rl—F. Если множество F можно перевести
непрерывной деформацией, протекающей вне Гг, в некоторое
множество Ф, то комплекс Гг не гомологичен нулю также
в Rn— Ф.
Для доказательства теоремы IV нам потребуется следующая
лемма.
Пусть F и Г—два непересекающихся друг с другом замкну-
тые подмножества пространства R'1. Пусть, кроме того, задана
непрерывная деформация 8 множества F в множество Ф, при
которой никакая точка, принадлежащая множеству F, не касается
множества Г. Тогда деформацию б можно продолжить до такой
{совпадающей с Ь на F) деформации Д всего пространства Rn,
что при деформации Д никакая точка пространства Rn не
отображается в Г и точки последнего множества остаются
неподвижными.
Чтобы доказать лемму, мы сначала продолжим деформацию б
на все пространство Rn как угодно10). Затем мы выбираем такое
маленькое е > 0, что S(F, г)11) остается непересекающимся с Г
б течение всей (только что определенной как продолжение
деформации б) деформации Д. Возьмем теперь какой-нибудь полиэдр Qn,
удовлетворяющий условию
FczQnc:S(F, г)
«(симплексы которого заимствуются из некоторого симплициаль-
ного подразделения £ всего пространства Rn), и подразделим
подразделение £ настолько мелко, чтобы оно было «удобным» сим-
1о) Это всегда можно сделать, как показывают простые рассуждения, при
ломощи известных теорем продолжения непрерывных функций. По поводу этих
теорем продолжения см. Brouwer, Math. Ann., 71, стр. 309, и 79, стр. 209 и
Урысон, Math. Ann. 94, стр. 293 (в последней работе теорема доказана в
наиболее общих предположениях, в каких она известна к настоящему времени;
там же можно найти дальнейшие литературные указания).
п) Через 5 (F, е) будет обозначаться множество всех точек, удаленных
от множества F меньше, чем на е.

2. К ТЕОРЕМЕ ДВОЙСТВЕННОСТИ АЛЕКСАНДЕРА. I 51
плициальным подразделением12) по отношению к Qn. Это
позволяет12) разложить некоторую содержащуюся в S(F, г) окрестность
U(Qn) полиэдра Qn в векторное поле 0. Деформация Д
определяется после этого следующим образом:
1) На Qn деформация Д совпадает с Д. Мы обозначаем Ах — хх1
путь, который при этой деформации проходит точка xaQn»
2) Пусть V(x) есть вектор ху (xaQn) поля 0 и z—середина
отрезка ху. Мы непрерывно деформируем кривую ух+Ах по себе
таким образом, что yz пропорционально растягивается на ух, в та
время как отрезок zx вытягивается в положение ххх.
3) Остальные точки пространства при деформации остаются
неподвижными.
Деформация, построенная этим способом, удовлетворяет всем
требованиям нашей леммы.
10. Доказательство теоремы IV теперь не встречает никаких
трудностей. Пусть комплекс Тг не гомологичен нулю в Rn—F\
пусть, далее, дана непрерывная деформация б, которая
переводит множество F вне Гг в замкнутое множество Ф. Наша лемма
позволяет нам продолжить деформацию б до деформации Д,
определенной во всем пространстве Rn, совпадающей с F на б,
оставляющей неподвижными все точки комплекса Гг и не
отображающей никакую точку из Rn—Гг в точку комплекса Гг. При
деформации Д всякое множество MaR" однозначно и непрерывна
отображается в некоторое множество Д(М). Обратно, для каждога
множества М можно рассмотреть множество Д_1(Л1) прообразов
точек множества М при таким образом определенном
отображении. Если М замкнуто, то равным образом замкнуты оба
множества Д(УИ) и Д"1(УИ).
Мы считаем, что Гг~0 (в Rn—Ф); тогда существует
ограничиваемый Гг комплекс /ег+1с/?"—Ф. Пусть CaRn—F есть
множество Д~1(/Сг+1) и Qn—полиэдральная окрестность множества Сг
не пересекающаяся с F. Так как при отображении Д никакая
точка из Rn — Гг не переходит ни в какую точку из Гг, то
Tr = A-1(V)czCc:QnczRn—F;
комплекс Гг не гомологичен нулю и в комплексе Q\ В силу
теоремы II тогда существует комплекс y4~r~1aR*—Q",
зацепленный с Гг. При деформации Д комплекс у*-*"-1 переходит в
(возможно, сингулярный) комплекс у1'1"1, который зацеплен с Гг =
==А(ГГ). Из этого следует, однако, что уп~г~1Кг+1¥=0,
следовательно, уп-г~1.СфО и тем более уп-г~1^пфОу что
доставляет противоречие, доказывающее теорему IV.
) В смысле Александрова, «Uber den allgemeinen Dimensionsbegriff №
•*» § 2 и 3 (в скором времени появится в Math. Ann.)

3
К ТЕОРЕМЕ ДВОЙСТВЕННОСТИ АЛЕКС АНД ЕРА.
ВТОРОЕ СООБЩЕНИЕ *) **)
1. Теорема двойственности Александера *) утверждает, что |
числа Бетти пространства Rn—С, дополнительного к комплексу С, |
лежащему в n-мерном сферическом пространстве /?", полностью j
определяются через числа Бетти самого С, а именно, имеет место J
формула |
(1) pn-r-1(R»—C) = pr(C). I
В своем первом сообщении о теореме Александера я показал,
•что выражаемая формулой (1) двойственность между числами
Бетти может быть продолжена до двойственности между самими
гомологическими базисами в С и Rn—С.
Возникает совершенно естественный вопрос: что станет с
двойственностью Александера и ее обобщением, если мы не будем
ограничиваться подкомплексами сферического пространства, а
вознамеримся исследовать комплексы, лежащие в произвольном я-мерном
многообразии Мп?
Прежде всего заметим, что в принципе невозможно в общем
случае выразить числа рк(Мп—С) как функции от р'(С), ибо
уже на торе имеются два гомеоморфных подкомплекса,
дополнения к которым имеют различные числа Бетти: достаточно взять
*) Zum Alexanderschen Dualitatssatz. Nachr. 2 Mitteilung//Akad. Wiss.
«Gottingen. Math.-phys. KK—1927, H. 4.—S. 446—456. Перевод Д. Б. Фукса.
**) В дальнейшем предполагается знакомство с моим первым сообщением
на ту же тему (Gott. Nachr., стр. 315—322); все обозначения ниже
употребляются в смысле первого сообщения. В частности, все комбинаторные понятия,
(такие, как границы, гомологии, замкнутость комплексов, числа Бетти, харак
теристики Кронекера и т. д.) понимаются в смысле определений «modulo 2»«
Через С всегда будет обозначаться общий (т. е. гомеоморфный полиэдральному
комплексу) комплекс, сам полиэдральный комплекс будет обозначаться через К
и Q. Замкнутые комплексы будут называться циклами и обозначаться через
Г, у, Д, 6. Кроме того, всюду, где это имеет смысл, предполагается, что
полиэдральные комплексы находятся друг по отношению к другу в «общем
положении» (т. е. что выполнены соответствующие условия независимости для
плоскостей различных размерностей, несущих элементы этих комплексов). Чтобы
было удобнее говорить о полиэдральных конструкциях, мы будем представлять
себе сферическое пространство Rm как евклидово пространство, дополненное
прибавлением бесконечной (бесконечно удаленной) точки. Все вложения пред*
полагаются не имеющими особенностей.
г) Литературные указания — в первом сообщении.

3. К ТЕОРЕМЕ ДВОЙСТВЕННОСТИ АЛЕКСАНДЕРА. II 53
лве окружности, одна из которых разбивает тор, а другая не
оазбивает. Поэтому приходится иметь дело не с обобщением
формулы Александера, а скорее с обобщением всей постановки
вопроса, который приводит к этой формуле. Это обобщение получается,
например, следующим образом 2).
2. Рассмотрим прежде всего сферическое пространство Rn;
всякий замкнутый подкомплекс пространства Rn гомологичен нулю.
Если же удалить из Rn комплекс С, то последнее свойство
разрушится: в Rn—С встречаются циклы, которые там не гомологичны
нулю; формула Александера как раз и дает нам возможность
измерить, насколько «велико» разрушение, ибо она утверждает,
что число (п—г—1)-мерных циклов, которые (гомологичны нулю
в Rn и) не гомологичны нулю в Rn—С, равно г-му числу Бетти
самого С, т. е. числу циклов, которые гомологичны нулю в Rn9
но не в С. Эта точка зрения может быть, однако, непосредственно
перенесена на случай, когда С лежит не обязательно в Rn, а в
произвольном замкнутом многообразии Мп. Чтобы действительно
осуществить этот перенос, мы введем следующее напрашивающееся
определение.
Пусть СсМп. Система /--мерных циклов, лежащих в С
(соответственно, в Мп—С) и там независимых в гомологическом смысле,
называется нуль-базисом для С (соответственно, для Мп—С), если
выполняются следующие два условия.
1. Всякий цикл нашей системы гомологичен нулю в Мп.
2. Всякий г-мерный цикл, лежащий в С (соответственно, в
Мп—С), который гомологичен нулю в Мп, гомологичен в С
(соответственно, в Мп—С) линейной комбинации циклов нашей
системы.
Если мы обозначим через q с индексом, указывающим на
размерность, число элементов нуль-базиса, то имеет место
следующая
Теорема 1а. Имеет место равенство
q"-r-1(M»—C) = qr(C) 3).
Эту теорему можно значительно усилить.
Действительно, для двух лежащих в М" не пересекающихся
друг с другом циклов ук и б"*-*-1, каждый из которых гомологичен
нулю в Мп, можно определить понятие коэффициента зацепления
2) Другое обобщение формулы Александера дал недавно Лефшец (Proceed.
Nat. Ac. Sciences USA, 13 (авг. 1927 г.), стр. 614). В формуле Лефшеца, однако,
встречаются члены, зависящие как от С, так и от Мп — С, и поэтому мне
кажется, что она не может рассматриваться как окончательное решение проблемы
вложения.
3) Собственно, следовало бы писать qrM„ (С) и т. д., поскольку это число
Не является инвариантом комплекса С, а зависит от расположения С; мне
кается, однако, что отбрасывание индекса, указывающего на Мп, не может
аввести к недоразумениям.

54 3. К ТЕОРЕМЕ ДВОЙСТВЕННОСТИ АЛЕКСАНДЕРА. II
*>м" (?*> б""*"1) дословно так же как для комплексов, лежащих в
сферическом (соответственно, евклидовом) пространстве4); при этом
также имеет место соответствующая теорема инвариантности.
Это позволяет сформулировать следующий результат.
Теорема I. Пусть даны произвольный г-мерный ну ль-базис
в С и произвольный (п—г—V)-мерный нуль-базис в Мп—С. Тогда
всякая не тождественно равная нулю линейная комбинация
элементов одного из этих базисов зацепляется с некоторым элементом
другого базиса.
Если теперь дана какая угодно система S r-мерных циклов
(5) tf, 72, • • •, 7s
в С и система S' (п—г—1)-мерных циклов
[у ) 71 » 7г » • • •» 7s
в Мп—С, причем все эти комплексы гомологичны нулю в Мп, то
системами и S' соответствует матрица зацепления || х>м" (yU 7/~г"1)11-
Мы называем системы S и S' зацепляющимися друг с другом в Мпу
если эта. матрица имеет максимальный возможный ранг, т. е. s.
В частности, мы скажем, что эти две системы однозначно
зацепляются, если их матрица зацепления является единичной
матрицей. Однако известно, что всякую квадратную матрицу
максимального ранга можно унимодулярными преобразованиями
столбцов (соответственно, строк) привести к виду единичной матрицы.
Другими словами, если имеются две зацепляющиеся системы S
и S', то всегда можно заменить элементы одной системы линейными
комбинациями элементов этой системы так, что зацепление
сделается однозначным, т. е. что каждый элемент одной системы
будет зацеплен с одним и только одним элементом другой системы.
Если мы применим эти определения к нашим нуль-базисам, то
мы сможем, наконец, привести формулировку теоремы Г к
следующему виду.
Всякий г-мерный баяис в С зацеплен в Мп со всяким (п — г— 1)-
мерным базисом в Мп—С.
Отсюда (и из произведенных выше матричных рассмотрений)
следует
Теорема 1е. Для всякого r-мерного нуль-базиса в С
(соответственно, в Мп—С) существует однозначно зацепленный с ним в
Мп (п—г—1)-мерный базис в Мп—С (соответственно, в С).
Заметим, наконец, что специальный случай теоремы 1е, а именно
случай Mn = Rn, с помощью наших матричных рассмотрений
4) Понятие «коэффициент зацепления Ъмп (ук, бл~л~1) двух циклов у* и
5я-А-1 в многообразии Мп» опирается непосредственно очевидным образом на
понятие характеристики Кронекера (Сп~п> у*) ДВУХ комплексов в Мп;
последнее понятие подробно изучено Лефшецом (Trans. Amer. Math. Soc, 1926, 28,
стр. 1—49). Впрочем, в нашем случае характеристики «mod 2» рассмотрения
Лефшеца можно значительно упростить.

3. К ТЕОРЕМЕ ДВОЙСТВЕННОСТИ АЛЕКСАНДЕРА. II 55
епосредственно выводится из основной теоремы первого
сообщения* мы можем, таким образом, пользоваться этим специальным
случаем, и он будет использоваться при доказательстве общей
теоремы I.
3. Понятие нуль-базиса естественно приводит еще к одной
постановке вопроса, которая может рассматриваться как
окончательное обобщение проблемы двойственности Александера: я
подразумеваю прямое нахождение числа рп~г~1(Мп—С); это число
должно выражаться через числа q и через числа Бетти С и Ма.
Действительно, имеет место
Теорема II. Если СаМп, то
pn-r-i (Mn—C) = qr (С) + рп~г~х (Мп) — [р^1 (С)—<7Г+1 (С)],
или, если обозначить через ик(С) число
р*(С)-<7*(0
(«число ^-мерных циклов С, независимых в Mn»)t то
pn-r-i (Мп—С) = qr (С) + [р"-*-1 (Mn) — W+1 (С)].
Мы докажем сначала теорему I и потом теорему II. Для этого
нам потребуется следующая лемма.
Лемма. Пусть Мп—лежащее в Rm (т>л) полиэдральное
замкнутое многообразие и уг—какой-нибудь цикл в Мп, который
там гомологичен 0 и который не пересекается с некоторым
фиксированным СаМп\ пусть, далее, 0—произвольная окрестность
уг (в Мп). Тогда в Rm существует не пересекающийся с С
полиэдральный цикл уг+т~п {который находится в общем положении по
отношению к Мп), пересечение уг которого с Мп есть цикл,
удовлетворяющий условиям
yraU9 7Г/^ Vr в U-
Доказательство леммы. Мы вводим раз и навсегда
следующее сокращение: fe-мерный базис для С будет обозначаться
через Bk(C).
Пусть
(2) YS> 7i. • • •. Vs
есть Br(yr)y причем мы предполагаем, что среди элементов этого
базиса содержится уг и, более того, что Yr = Yo-
Пусть, далее,
(3) 6Хг"г-1, fij1 -'-1, ..., б?1-'-1
есть Bm~r-'L(Rrn—yO» причем (2) и (3) однозначно зацепляются;
пРи этом мы предполагаем, что все 6f ~г~1 находятся в общем
Сложении относительно Мп, так что пересечения MrI-6f~r~1

56 3. К ТЕОРЕМЕ ДВОЙСТВЕННОСТИ АЛЕКСАНДЕРА. И
представляют собой (п—г—1)-мерные циклы
(4) 6Г'-1, б?-'-1, ..., в?-'"1,
некоторые из которых могут равняться нулю, но которые все, как
легко показать, гомологичны нулю в Мп 5). Поэтому можно
говорить о числах Dm» (Yr> ^?"г"г) и, более того,
(5) ъМп(уг, 6?-г-х) = 1 и (при 1ф0) DMn(Vr, 6Гг-1) = 06).
Следовательно, цикл б?-''""1 независим в Мп—vr 0T S?"'"1 ('=5^ 0)7).
(Ибо из
ЬЦ-'^^Щ-'-1 в Мп—у
следовало бы, что
что невозможно ввиду (5).) Напротив, циклы 6f"r"1 (1ФО) могут
быть связаны в Мп—уг гомологическими соотношениями.
В соответствии с этим пусть
(6) бГ'-1, «Г'-\ .... ЬГ'-1 (A<s)
есть подсистема системы (4), которая представляет собой базис
всех независимых в Мп—уг циклов б?"'"1. Тогда (в Мп—уг)
(6') eg+Г1 ~ Щ"-1 (0 < t < s—А; 0 < / < А).
4. Выберем теперь для 7Г полиэдральную окрестность U (в
Мв), произвольную, но столь малую, что С и все 6f~r~* лежат
вне U и что все гомологические соотношения (6') остаются
верными в Мп — U. Тогда можно выбрать Вг(£/),
(7) 10, 119 ..., 1 а, J
и B--r-1(Rm—U), \ o^ss
(8) AS-'-1, A?-1-1, • • •. Д?-'-1, J
5) Докажем общее утверждение: если Г* находится в общем положении по
отношению к Мп в Rm и пересекается с Мп по rA+n~OT, то
Yb + n-m ^0 (В М").
Действительно, ГА^0 в Я7", значит, существует комплекс K*+1aRmy
ограничиваемый Г*; можно считать, что /Сл + 1 находится в общем положении по
отношению к Мп; тогда граница пересечения Кк+1*Мп.= /(*+я+ i-/я есть
ГА+"_/я, откуда следует, что Тк+п~т ~0 (в Мп), что и требовалось. Этот
способ рассуждения в дальнейшем часто будет использоваться без явного
указания на это.
6) Действительно, пусть Kr+1 — подкомплекс многообразия Мп,
ограничиваемый уг\ тогда как \)Мп (Yr> б?-'-1), так и Ь^т (yr, 8f~r~1) есть число (mod 2}
точек пересечения Kr + 1 с 6?г~г~1; следовательно, &м (yr, 6?~r_1) =
= bftm(yr, 6^г-г_1), что и доказывает наше утверждение.
7) В частности, бо~Г_1 отлично от нуля.

3. К ТЕОРЕМЕ ДВОЙСТВЕННОСТИ АЛЕКСАНДЕРА. II 57
таким образом, что (7) и (8) однозначно зацеплены и
(9) I7 = vf (при 0<i<s).
Так как наши базисы зацепляются однозначно, то из теоремы I
первого сообщения следует, что
(10) Af-r_1~0 в Rm—уг при всех i > s.
Таким образом, существует полиэдральная окрестность £/'
комплекса yrt содержащаяся в (/ и обладающая тем свойством, что
никакой цикл, содержащийся в (/', не может зацепляться ни
с каким Af-ГЛ"1 (0<t <<т—s); из этого легко следует, что всякий
цикл Pet/' гомологичен в U линейной комбинации циклов
yri(0<:i<s).
Поскольку циклы 6?~r~1(i^A) линейно независимы в Мп—уг
и тем более в Мп—£/', они могут быть включены в Вп~г~1(Мп—U ).
Пусть
(11) Г?"'-1, Г?-'-1, ..., Г?"'"1 (Г?-'"1 = 6?-r_1 при *<А)
— этот базис. Рассмотрим теперь область Rm—(Мп—£/') и
однозначно зацепленный с (11) в Rm и находящийся в общем
положении по отношению к Мп базис размерности т—(п—г—1)—1 =
= т—п + г
(12) Т?***, г?-"+г, ..., Г5ГЯ+|Г
этой области. Я утверждаю, что (зацепленный с Г£~г~х) элемент
rg1""-7* этого базиса удовлетворяет всем требованиям нашей леммы.
Действительно, Г2*-п+г-С = 0, поэтому Yff-n+r-Mn не пусто8), и
в то же время (поскольку Гр~п+Г находится в общем положении
по отношению к Мп) пересечение Тр~п+Г-Мп представляет собой
цикл уг, расположенный в U' и, как легко показать,
гомологичный нулю в Мп. Далее,
(13) »**(?, бГ'-Ч^яЧГГ"", 6ГГ-Х)
(при /<!s): действительно, пусть Kf~rc:Rm—какой-нибудь
ограничиваемый 6f_r~1 комплекс и /С?~г—пересечение К?~г и Мп;
тогда левая часть формулы (13) равна числу (mod 2) точек
пересечения /CJl"r с уг> в то время как правая часть есть (опять-таки
приведенное по модулю 2) число точек пересечения К?~г с Т$~п+Г.
Однако оба эти числа совпадают с числом (mod 2) точек
пересечения Кпгг с уг.
8) То1~п+г.Мп непусто, так как Го"г~1~0 (в Мп) и Го,"п+г зацеплено
,Г0~Г~1 Ht следовательно, имеет общую точку с любым ограничиваемым
*о "" подкомплексом Мп*

58 3. К ТЕОРЕМЕ ДВОЙСТВЕННОСТИ АЛЕКСАНДЕРА. II
Из (13) следует, что
(14) уг~ у (в U).
Действительно, так как yraU\ то (в U) yr~№yrj (0^/^s) и
(14') ***(ГГП+Г, в?"г-1) = ^/?«(т5, 6ГГ"1) = ^';
так как, далее, ъЯт(Тр-п+г, &1~г~г) тогда и только тогда отлично
от нуля и равно 1, когда / = 0 (ввиду формулы (6'), которая
справедлива также в Мп—U, и того факта, что б""'"1 = Г"-''"1
при 0^/<А), то Х°=1, А/ = 0 (при 1=5^=0), откуда следует гомо-
логия (14) и с ней все утверждение нашей леммы.
5. Теперь мы переходим к доказательству теоремы I.
Пусть
СаМ",
и пусть
7i> 7г» • • •. Yvr (С)> соответственно, Г£, Г£, ..., Тгрг {МП)
естьВг (С), соответственно, Br (M). Тогда yrh ~ clhT[(в Мп) для
любого h^pr(C). Пусть ранг матрицы ||4|| равен иг — и; он равен
числу независимых в Мп r-мерных циклов в С. При помощи
надлежащей линейной подстановки эту матрицу можно привести к
«нормальной форме», в которой все cch с h = iy i^.u, равны 1,авсе
остальные элементы равны нулю. Другими словами, можно
считать, что наши базисы имеют следующий вид:
(15) £'(C) = {Yl, 72, ....т;, Yu+u .... Vi+Л. ur + qr = pr(C),
(16) В'(М»)={Г[, Г;, .... Г£, Г£+1, ..., Г£+т}, n'+m'=^(Ai«),
(\т\ t Я"1** <в МИ) при 1<U
( } \Yu+i~0 (в M») при *<<?.
Заметим еще, что ни одно Tru+i не гомологично в С
подкомплексу Мп.
Вложим теперь Мп в пространство Rm достаточно высокой
размерности в качестве полиэдрального комплекса и найдем
однозначно зацепляющийся с ВГ(С) базис Bm~r~1(Rm—С)
(\Q\ Rm-r-i flm-r-i gm-r-i
Аналогичным образом может быть построен однозначно
зацепляющийся с (16) базис Bm"r~1(Rm—Мп):
/1Q\ дт-г-i дт-r-i дт-г-1
\lZf/ LXi ь_ > • • • » *-*« > • • • * *-*ы+т •
Легко убедиться в том, что число x>Rm (Af~r~1, 7/) (* ^ и, /
произвольно) при / = f равно 1 и при /=?fej равно 0. Система
/9fft Am-r-i дт-r-i Дт-r-i Xm-r-i
l*uj /.*! , . . . , l\u f uw+i > • • •» ^«+9

3. К ТЕОРЕМЕ ДВОЙСТВЕННОСТИ АЛЕКСАНДЕРА. II 59
также представляет собой Bm~r~1(Rm—С), однозначно
зацепляющийся с (15); другими словами, мы можем предположить, что
(21) fif -г*"1 = А? -г'1 при *'<ы.
Так как мы считаем само собой разумеющимся, что все
комплексы (18), (19), (20) находятся в общем положении по
отношению к Мп и так как, очевидно (ср. сноску 8), пересечение
fiw-/-i.M/I всегда непусто, мы можем считать, что б™+~-г+1-Л1" есть
цикл S2J/""1» который, как легко показать, гомологичен нулю в Мп.
Благодаря этому определена матрица зацепления |t>M« (?£+*» ЭД+Г1)!»
1 ^ i ^ Яу 1 ^ / ^ Я у и легко показать, что она является
единичной матрицей.
Так как Y«+t> 1^*^<7 есть, очевидно, нуль-базис для С по
отношению к Mnt теорема I будет доказана, если мы установим,
что 6{|+f~\ lsO'^qf» составляют нуль-базис для Мп—С. Так
как |t>M*(Y£+o б2+/_1)1 есть единичная матрица, то циклы fig^"1
заведомо независимы в Мп—С; таким образом, достаточно
показать, что из бп~г-1~0 (в Мп) и 8п~г~1аМп—С следует
гомология
б«-'-1^Ш2;Г1 (в Мп—С).
Пусть U—не пересекающаяся с С окрестность комплекса
gn-r-i в мп в силу нашей леммы существует комплекс 8й*~г"1 с
c:Rm—С такой, что
с/=>5«-'—i.Mn = e»-r"1 ^^б"-'-1 (в и).
Однако
б*-'"1 ~V&p-'-1 (в Rm—С), l<t</?'(C),
т. е. существует ограничиваемый 8m~r~1 + Xi6tp~r'ml комплекс
Km~rczRm—С. Тогда граница пересечения
в Мп—С есть
М»-б"я-'-1 + Я'(Л1я.б?1-г-1),
так как при / < и
бт-г-1=Дт-г-1С:/?«»_Л1„ и л1|,-вгйг"1ввв2гГ"1.
так что граница Кп~г есть
«
откуда 6"-'-1~Я,в+'*б2;Г1 (в М"—С) и также б"-'-1 — Хв+'б2+Г1
(в Л1ге—Q, Теорема I этим доказана (и с ней доказаны тео-
Ремы 1а и 1е).

60 3. К ТЕОРЕМЕ ДВОЙСТВЕННОСТИ АЛЕКСАНДЕРА. II
6. Доказательство теоремы II. Мы будем
придерживаться обозначений предшествующих параграфов и рассмотрим
сначала Af ~г-1; пусть Kf ~r—некоторый лежащий в Rm комплекс,
ограничиваемый Af-'-1 (/=1, 2, ..., pr(Mn)).
Пусть i > и; тогда Af ~r~1 не может зацепляться ни с каким
Т«+/ (потому что Af-'-1 не пересекается с Мп, а Ум+/
гомологично нулю в Мn); Af ^г~1 не может также зацепляться ни с каким
Y/, /^м, потому что тогда Af"r""1 зацеплялось бы и с Г£ (что
противоречило бы однозначности зацепления систем (19) и (16)). i
Так как, таким образом, Af-'"1 не может зацепляться ни с
каким элементом базиса ВГ(С), то Af~r-1>^0 (в Rm—С), другими
словами К™+[, i=l, 2, ..., тт могут быть выбраны в
дополнении к С.
Далее, мы полагаем
KfМп = Т?-Г (| = 1, 2, ..., рг(Мп))\
при этом
(22) TnuiriaMn—C (t-1, 2, ..., mr).
Так как характеристики Кронекера %Мп (Г?~Г1 TJ) и х*1» (А*?1 "г, Г£)
равны, то ||х(Г"~г, Г/) || есть единичная матрица. Из этого легко
следует, что Г?~г независимы в Мп.
(Действительно, пусть
сТ?"г - 0 (в Л*»).
Тогда при любом j
о=х №~г, г;)=Сх <гг, г<)=с/.)
Но число элементов Г?-г есть рг(Мп) = рп~г(Мп) (при 0 < г < /г);
значит, они также составляют ВЛ"Г(Л1П).
Пусть теперь Tn~rczMn—С—произвольный цикл; тогда
(23) Г»-'~ с*Т%-' = сТГг +^Й+/Г2;5
(в Af"). Рассмотрим i^u; так как ||х(Г?~Г1 Г/)| есть единичная
матрица, то %(Гп~г, Г$) = с'; с другой стороны, так как Г^~у{
(в Л1"), то х(Гя~г, Г0 = х(Гп"г, tf) и,значит, с,= х(г,,~г> т9 = °
(потому что Гп~г-С = 0). Поэтому в (23) все ch *<и, равны
нулю. Мы приходим, таким образом, к следующему результату.
Существует mr содержащихся в Мп—С независимых в Мп
циклов TjzJ, i = lf 2, ..., mr, обладающих тем свойством, что
всякий цикл Tn'rczMn—С гомологичен в Мп линейной
комбинации этих циклов.
Мы полагаем теперь п—r = k; пусть
(24) Г*, Г?, ..., I* -*, rfcAf-C,

3. К ТЕОРЕМЕ ДВОЙСТВЕННОСТИ АЛЕКСАНДЕРА. II 6?
— вышеупомянутая система циклов (если задан произвольный
цикл ТксМп—С, то Гк~с'Т$, 1</<тп~*в Мп). Пусть, далее,
(25) yl tf. • • •. Т$. Я = <7*(М«-С) -<tff«*-' (С)
— некоторый ^-мерный нуль-базис в Мп—С.
Я утверждаю, что система (24) вместе с системой (25)
составляет Вк(Мп—С). Так как циклы (24) независимы в Мп, а циклы
(25) независимы в Мп—С, и, с другой стороны, так как циклы
(25) гомологичны в Мп нулю, то циклы (24) и (25) вместе
независимы в Мп—С. Остается показать только, что всякий цикл
Tk<zMn—С гомологичен линейной комбинации циклов (24) и (25)
в Мп—С.
Прежде всего,
Г*~с'Г* (в Мп),
и в то же время
Г* + с'Т*~0 (в Мп);
из этого следует, что
r* + c'T*~?v? (в Мп—С)
и, значит,
Г* ~ с'Т? + ?у) (в Мп—С),
чем и доказано, что системы (24) и (25) составляют Вк(Мп—С).
Из этого следует, что
т. е. (так как тп"к=^рк(Мп)—ип~к(С))
pk(M»—C) = qn-k-1(C) + (pk(M«)—un-k(C))>),
что переходит при к — п—г—1 в
pn-r-i (Мп—С) = qr (С) + (р"-'-1 (Mn)—ur+1 (С));
теорема II доказана.
Следствие. Во всяком многообразии, все числа Бетти
которого равны нулю, имеет место двойственность Александера.
9) Эта формула доказана при к > О, но легко видеть, что она верна и
при £ = 0.

4
ОБ ОДНОЙ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ГИПОТЕЗЕ
ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ*)
1
Пусть X и Y—два каких-нибудь пространства, в которых для
каждой точки М определены окрестности [1]. Топологическим
произведением этих пространств называется пространство Z=XxK,
образованное следующим образом: точки z из Z—это пары (х, у)
точек из X и из Y; чтобы получить произвольную окрестность
точки z0 = (x0> y0) из Z, нужно взять все точки г = (х, у) такие,
что х и у принадлежат соответственно произвольно заданным
окрестностям точек х0 и у0.
2
С самого возникновения теории размерностей существует
намерение доказать закон сложения размерностей, т. е. формулу
dim (Ff x F") = dim F' + dim F" для каких угодно замкнутых
множеств F' и F" (расположенных в евклидовом пространстве любого
числа измерений). Легко показать, что этот закон выполняется,
если определить размерность как размерность по модулю т в
смысле г-на Александрова [2], причем т может быть любым. Из
этого следует, что формула сложения размерностей остается
верной (для размерности в смысле г-на Брауэра), если речь идет о
множествах, расположенных в трехмерном пространстве. В этой
заметке я построю два замкнутых множества F' и F"y
расположенных в пространстве четырех измерений и таких, что dim/*" =
— dim/7" = 2, в то время как A\m(F'xF") = S. Таким образом,
общая проблема сложения размерностей в теории размерности
Брауэра—Урысона—Менгера решается отрицательно.
ч
з
Рассмотрим цилиндр вращения А как поверхность, полную
границу которой составляют две окружности—основания Сх и С2-
Разделим Сх на k равных дуг и отождествим соответствующие
*) Sur une hypothese fondamentale de la theorie de la dimension//Compt.
Rend. Acad. Sci. —Paris. —1930. —T. 190, № 19. —P. 1105—1107. —Перевод
Д. Б. Фукса.

4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГИПОТЕЗА ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ 63
точки этих дуг (т. е. точки, угловые координаты которых
принимают значения, различающиеся на кратные 2n/k); эта операция
(реализуемая без особенностей в пространстве четырех измерений)
преобразует А в поверхность Ак, которую мы назовем листом
Мебиуса modfe; окружность С2 будет называться (геометрической)
границей листа и будет обозначаться через A'k.
Пусть С—поверхность, расположенная в £ и составленная
из конечного числа треугольников (другими словами, С есть
двумерный комплекс). Рассмотрим какой-нибудь треугольник,
входящий в состав С, скажем, 7\ и нарисуем внутри Т маленький
треугольничек т; выбросим из Т внутренность т и заменим ее
листом Мебиуса mod& таким образом, чтобы граница листа
отождествилась с границей треугольника т и не возникло никаких
других особенностей; эту операцию мы проделаем в каждом
треугольнике поверхности С, в результате чего эта последняя
поверхность преобразуется в поверхность, которую мы обозначим
через fk(C) и которую, очевидно, можно предположить
полиэдральной. Все это можно сделать таким образом, что все листы
Мебиуса будут расположены в заранее заданных окрестностях
соответствующих треугольников. Обозначим теперь через CJ
поверхность, состоящую из единственного треугольника;
предположив, что поверхность С£ уже построена, положим С£+1 = /*(С),
где С есть поверхность С£, предварительно разбитая на
достаточно маленькие треугольники. Всю эту конструкцию мы
производим таким образом, чтобы последовательность Со, С\у ..., С*, ...
сходилась; предел этой последовательности будет обозначаться
через Fk. Без труда можно показать, что для множества Fk раз-
мерность по модулю k в смысле г-на Александрова, а с ней и
брауэровская размерность, равна 2: A*(/7*) = dim/7fe = 2 и в тоже
время &h(Fk)—l при всех кфк. Из этого вытекает, что
определение размерности, принадлежащее г-ну Александрову, дает при
различных модулях различные топологические инварианты; кроме
того, все эти инварианты отличаются от размерности в смысле
Брауэра—Урысона—Менгера [3].
Пусть теперь р и q—два взаимно простых числа. Покажем,
что dim(FPxF*) = S.
Сначала мы доказываем, опираясь на фундаментальный
результат г-на Хопфа[4], следующую лемму. Пусть задано
непрерывное отображение ф множества B = ApxAqna множество ф (В),
расположенное в £4; тогда существует другое непрерывное
отображение ф\ совпадающее с ф на (A'pxAq) + (ApxA'q) и такое, что
некоторая заранее заданная точка р из £4 не принадлежит
множеству ф'(£). [Именно эта лемма делается неверной, если р и q
Не взаимно просты, в каковом случае dim (FpxF«) = 4.]

64 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГИПОТЕЗА ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ I
После этого рассмотрим F = FpxF<i как подмножество прост- I
ранства Е8; пусть Н и Н'—четырехмерные гиперплоскости в £8, I
имеющие единственную общую точку р. Пусть B = (ApxAq)—I
один из элементов, составляющих Qv = C^xCqv. Спроектируем Qv
на Н при помощи гиперплоскостей, параллельных #'; Qv состоит
из элементов В вида ApxAq, и мы получаем, таким образом,
непрерывное отображение ф, определенное для каждого из этих
элементов; применяя лемму, мы можем заменить каждое из этих
отображений другим отображением ф", не задевающим точку р.
Получается непрерывная деформация множества Qv в комплекс,
не пересекающийся с #'; эта деформация может быть продолжена
на некоторую окрестность множества Qv. Применяя эту
процедуру к гиперплоскостям, являющимся четырехмерными гранями
данного кубильяжа пространства £8, мы получим деформацию
множества F в множество, не задевающее четырехмерных граней этого
кубильяжа; при подходящем выборе этого кубильяжа (и индекса
v) можно сделать эту деформацию сколь угодно малой; из этого
легко вывести, что dim/7 = 3.
ПРИМЕЧАНИЯ
1. См., например, книгу Frechet «Espaces abstraits» (Collection Borel).
2. См. выше заметку г-на Александрова.
3. Интересно заметить, что если в предыдущей конструкции положить
C%v— fP (C2v_i), C2v+i = fq(C2v), где р и q взаимно просты, то предельное
множество будет иметь размерность 1 в смысле г-на Брауэра (а значит и в
смысле г-на Александров* при каком угодно модуле k).
4. Math. Annalen, 1j28, iOO. стр. 590, теорема IX, a.

5
ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКОМ СОДЕРЖАНИИ
ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ •)
РЕЗЮМЕ
Пусть U и V—две абелевы группы с конечным числом образующих, М —
(конечная или бесконечная) циклическая группа. Группы U и V составляют
групповую пару по отношению к Mt если любым двум элементам и и v групп
U и V поставлен в соответствие элемент т группы М, называемый
произведением элементов к и у, и при этом выполняется закон дистрибутивности по
отношению к сложению (т. е. групповым операциям в U и V)y другими слогами, имеют
место соотношения (wi + u2)*v = u^v-j-u2-v и U'(v1Jrv^-=u*ViJru-v2.
Групповая пара U, V называется примитивной, если для каждого отличного от нуля
элемента одной группы можно найти такой элемент другой группы, что
произведение этих двух элементов отлично от нуля.
Тогда имеет место следующая алгебраическая теорема двойственности: две
группы, составляющие примитивную групповую пару, изоморфны.
Если U и V—это r-мерная и (п — г)-мерная группы Бетти некоторого л-
мерного замкнутого многообразия и если под u*v понимается индекс
пересечения (соответственно индекс пересечения по некоторому фиксированному модулю
ji) соответствующих циклов, то U и V составляют примитивную групповую
пару (по отношению к группе М, которая есть либо группа всех целых чисел,
либо группа вычетов mod jli) и потому изоморфны (теорема двойственности
Пуанкаре).
Если в качестве U и V выбраны г-мерная и (п — г—1)-мерная группы
Бетти комплекса К С Rn и его дополнения Rn — /Си вместо индексов пересечения
рассматриваются коэффициенты зацепления, то группы U и К опять-таки
составляют примитивную групповую пару и снова изоморфны (теорема
двойственности Алекса ндера).
Аналогичный смысл может быть придан всем другим известным к
настоящему времени топологическим теоремам двойственности (которые являются
обобщениями двух указанных теорем).
ВВЕДЕНИЕ
В 1895 году Пуанкаре в своей знаменитой работе «Analysis
Situs»1) открыл закон двойственности, ныне носящий его имя, а
именно факт, что при любом г r-е и (п—г)-е числа Бетти
ориентируемого л-мерного многообразия равны между собой.
Приблизительно в то же время Жордан впервые сформулировал свою
теорему о кривых. В то время никто не подозревал, что эти две
теоремы, столь непохожие друг на друга, в действительности
) Uber den algebraischen Inhalt topologischer Dualitatssatze // Math. Ann.—
1931. — Bd. 105, H. 2.-S. 165—205.—Перевод Д. Б. Фукса.
х) Journ. Ее. Pol. 1895.
Л. С, Понтрягин, т. I

66 5. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ
принадлежат одному кругу идей и что вторая из этих теорем
приведет к широким и весьма содержательным обобщениям.
Опишем вкратце путь, по которому протекали эти обобщения.
В 1912 году Брауэр2) доказал теорему инвариантности
замкнутой кривой, которая содержала теорему Жордана в качестве
весьма специального случая и которая, в общих словах,
утверждала, что число областей, на которые замкнутое множество
разделяет плоскость, зависит только от топологических свойств
самого этого множества. На этом пути впервые появилась
принципиальная возможность выделить и инвариантно определить поня- I
тие замкнутой кривой на плоскости. Этим уже был указан путь 1
перенесения инвариантов так называемой комбинаторной тополо- \
гии на самые общие замкнутые множества, путь, который в те- \
чение последних пяти лет привел к совершенно новому
пониманию, благодаря, в первую очередь, Александрову, Лефшецу и
Вьеторису3). Все эти результаты могут быть объединены в еди- '■
ный закон двойственности для замкнутых множеств, которому ?
посвящена третья глава настоящей работы. |
Однако в этих работах речь идет не только о перенесении !
теорем, доказанных для элементарных образований, на образова- ;
ния наиболее общего вида, но и об обобщениях в отношении }
размерностных ограничений: то, что в теореме Жордана утверж- •
далось в отношении размерностей 2 (плоскость) и 1 (кривая), было
сформулировано и доказано mutatis mutandis для лиг. Первый
шаг в этом направлении был сделан благодаря Лебегу, который
первый понял в 1911 году4), что свойство n-мерного
многообразия (которое при л=1 представляет собой жорданову кривую)
разделять (п+ 1)-мерное пространство является специальным
свойством r-мерного многообразия в n-мерном пространстве
допускать (п—г—1)-мерные зацепления. Таким образом, Лебег
доказал одну часть n-мерной теоремы Жордана; доказательство
остающейся части, а также построение полной и инвариантно
обоснованной теории зацеплений, было приблизительно в то же время
дано Брауэром6).
Существенно новый и открывающий дальнейшие перспективы
шаг был сделан Александером6), который доказал необычайно
простым и элегантным образом, что (п—г—1)-е число Бетти до-
2) Math. Annalen, 72 (1912), S. 422—425.
3) Alexandroff, Gestalt und Lage abgeschlossener Mengen, Ann. of Math.
(2), 30 (1928), p. 101 —187. Там же можно найти указания на относящиеся
сюда работы Лефшеца, Вьеториса и др.
4) Comptes Rendus Acad. Sciences Paris 154, seance du 27 mars 1911.
5) Brouwer, Beweis des Jordanischen Satzes fur я-Dimensionen, Math.
Annalen 71 (1911), S. 314—319, и On looping coefficients, Proc. Akad. Amsterdam
15 (1912), p. 113—122.
6) A proof and generalization of the Jordan — Brouwer theorem, Trans. Amer.
Math. Soc. 23 (1922), p. 333 — 349.

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ 67
нения к произвольному комплексу (в Rn)7) равно r-му числу
я°тти самого комплекса (закон двойственности Александера). Это
!?е МОщным обобщением всех известных до того времени ре-
татов из идейного круга теоремы Жордана, во всяком слу-
Зяе результатов, касающихся топологических образов полиэдров
1а не произвольных замкнутых множеств). Перенесение двойст-
енности Александера на произвольные замкнутые множества было
**Существлено в 1927 году Александровым8) и приблизительно в то же
время ЛефшецомиФранклем9). Лефшец при этом получил
результаты которые относятся к случаю замкнутых множеств в произвольном
многообразии; существенным вспомогательным средством, которое
он использовал, было дальнейшее развитие теории зацеплений,
т е., в конце концов, теории так называемых индексов
пересечения Кронекера, которая была построена в такой общности,
какую можно было только пожелать для новых проблем топологии.
С другой стороны, уже в 1923 году Веблен10) применил
теорию индексов пересечения к доказательству обобщения
двойственности Пуанкаре: именно, он показал, что всегда можно так
выбрать г-й и (п—г)-й базисы Бетти в n-мерном замкнутом
многообразии, что матрица индексов пересечения элементов этих двух
базисов будет единичной матрицей—факт, который очевидным
образом содержит и значительно обобщает теорему Пуанкаре.
Если сравнить сформулированную таким образом теорему
двойственности Пуанкаре—Веблена с обобщением теоремы
двойственности Александера, которое утверждает, что всегда можно
выбрать r-мерный базис Бетти комплекса в R'1 и (п—г—1)-мерный
базис Бетти его дополнения Rn— К таким образом, что матрица
коэффициентов зацепления элементов этих двух базисов будет
единичной матрицей11), то сразу бросается в глаза некоторая
аналогия между двумя этими теоремами.
В настоящей работе эта аналогия будет полностью
прояснена, а именно у обе теоремы двойственности—Александера и
Пуанкаре—Веблена—будут сведены к применению одного и того же
чисто алгебраического принципа к группам Бетти
соответствующих размерностей. Этот алгебраический принцип заключается
в том, что для двух абелевых групп U и У (которые понимаются
как аддитивные группы, т. е. операция в них записывается как
сложение) вводится новая операция, умножение произвольного
элемента и группы U на произвольный элемент v группы V, при-
) Через Rn повсюду в этой работе обозначается п-мерное евклидово
пространство, пополненное бесконечно удаленной точкой.
8) Gott. Nachr., Math.-Phys. Kl., 25 Nov. 1927.
. *) Lefschetz, Ann. of Math. (2) 29 (1928), p. 232; Frankl, Wien. Ber., Dez.
1927, S. 689.
") Trans. Amer. Math. Soc. 25 (1923), p. 540.
m u) Pontrjagin, Gott. Nachr., Math.-Phys. Kl. 25 Nov. 1927 и Frankl, см.
в сноске9).
3*

68 5. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ 1
чем произведение и -v всегда является элементом третьей группы, 1
модуля М\ М есть при этом конечная или бесконечная цикли- 1
ческая группа 12). 1
Введение такого умножения превращает систему двух групп 1
U и V в групповую пару над модулем М\ при этом групповая 1
пара называется примитивной, если для каждого отличного от 1
нуля элемента и, соответственно и, одной группы существует 1
элемент w другой группы, такой, что произведение u-w, соответ- 1
ственно w-v, отлично от нуля.
Основная теорема о примитивных групповых парах состоит в
том, что две группы, составляющие такую пару, изоморфны друг
другу. В последние годы получил более или менее общее призна- ;
ние тот факт, что не только числа Бетти, но и группы Бетти составля- 1
ют главный предмет изучения в алгебраической топологии13) и что |
при этом следует также принимать во внимание так называемые груп- I
пы Бетти по модулю ц,. Чтобы избежать терминологической путани- t
цы, я коротко сопоставлю здесь эти основные понятия. Под г- \
мерным ориентированным подкомплексом данного комплекса по- \
нимается линейная комбинация с целочисленными коэффициента- ;
ми /--мерных элементов комплекса; такие подкомплексы составля- :
ют (по отношению к сложению) абелеву группу с конечным числом .
образующих, которую можно обозначить через Lr. Если
коэффициенты указанной линейной комбинации привести по модулю
|х> 1, то возникает группа L£, группа всех подкомплексов rnodfi.
Для каждого подкомплекса его граница определяется 14) как
алгебраическая сумма границ его элементов. Подкомплексы, границы
которых равны нулю, называются циклами; то же для
подкомплексов modji. Циклы (соответственно циклы mod^i) составляют
подгруппу Zr (соответственно Z£) группы Lr (соответственно Lra).
Группа Zr (соответственно Z[) содержит подгруппу Нг (соответ-
ственно Яд) тех циклов, которые выступают как границы
(соответственно границы modji) (г+1)-мерных подкомплексов
(соответственно подкомплексов modji). Группа Нг соответственно #£
должна называться просто-напросто группой ограничивающих
г-мерных циклов (соответственно ограничивающих циклов modfi).
Факторгруппа Zr\Hr называется полной r-мерной группой Бетти
данного комплекса, в то время как группа Zjl | Н^ называется
группой Бетти modji. Полная группа Бетти есть прямая сумма
двух подгрупп: группы кручения, которая порождается всеми
элементами конечного порядка, и приведенной группы Бетти, которая
12) Бесконечная циклическая группа (т. е. группа всех целых чисел) будет
в дальнейшем считаться циклической группой порядка нуль. Этот способ
выражения, принятый на протяжении всей работы, оказывается очень удобным.
13) См. по этому поводу, например, Н. Hopf, Eine Verallgemeinerung der
Euler —Poincareschen Formel, Gott. Nachr., Math.-Phys. Kl., 1928.
u) См. литературные указания в сноске 2>).
i

5. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ 69
ооождается элементами бесконечного порядка. Простоты ради
мы называем приведенную группу Бетти группой Бетти по
модулю нуль, так что значениями числа \х могут быть числа О, 2Г
О* 15).
' После этих приготовлений мы можем выразить достигнутое
нами обобщение теоремы двойственности Пуанкаре следующим
простым образом: г-я и (п—г)-я группы Бетти составляют
примитивную групповую пару по отношению к циклической группе
порядка р, выступающей как модуль12), В качестве произведения
двух элементов выступает индекс пересечения рассматриваемых
циклов, причем в случае \лфО этот индекс пересечения
приводится по модулю \i. Совершенно аналогичным образом теореме
двойственности Александера можно придать следующую форму:
если К есть комплекс, лежащий в Rn, то г-я группа Бетти
комплекса К и (п—г—1)-я группа Бетти дополнения Rn—К есть
примитивная групповая пара, причем в качестве произведения
выступает коэффициент зацепления рассматриваемых циклов.
При этом в отношении различных модулей действуют те же согла -
шения, как в случае теорем двойственности Пуанкаре16).
15) Очевидно, при этом можно рассматривать группы Lnt Z", Нп как
группы L£, Z£, H\i с fi = 0 (подкомплексы, циклы, границы по модулю нуль).
При этом целесообразно в случае fi = 0 ввести еще группу Нг = Н^ всех
циклов ГУ, для которых существует такое целое число k Ф О, что kTr есть огра-
т. е. содержится в группе Яг = Яо). Если ввести общее
определение и назвать подгруппу U абелевой группы G подгруппой с делением,
если из включения kxdU (где х есть элемент группы G и k есть
положительное целое число) следует включение xaU, то можно определить tfj как
наименьшую подгруппу с делением, содержащую #о. Легко видеть, что
приведенная группа Бетти (или группа Бетти по модулю нуль) есть не что иное, как
факторгруппа Zo/Яо. Мы полагаем теперь по определению Н\х, = Н\х при \1Ф0
и вводим для произвольного jli = 0, 2, 3, ... для всех элементов группы Яд
название «циклы, гомологичные нулю» (запись ~ 0). В случае р Ф0 цикл тогда
и только тогда гомологичен нулю, когда он ограничивает (mod jli), в то время
как в случае fi = 0 мы говорим, что цикл ГГ гомологичен нулю, если
существует отличное от нуля целое число k такое, что цикл kTr ограничивает.
Наконец, при любом jli можно определить r-ю группу Бетти по модулю jli (случай
И- = 0 не исключается) как факторгруппу 2ц | Яд.
16) В случае jli = 0 можно доказать даже более точный результат, а именно
так называемую ортогональность двух групп — более сильное, чем
примитивность, свойство, которое, однако, нигде более не попадет в поле нашего зрения.
Стоит заметить еще, что в формулировке обеих теорем двойственности
использование данного здесь определения групп Бетти по модулю 0 как приведенных
гРУпп является необходимым: в точности теми же методами можно показать,
что г-я группа кручения многообразия Мп изоморфна не (п—г)-й, а (п — г—1)-й
группе кручения; аналогичным образом г-я группа кручения комплекса К
изоморфна (п—г—2)-й группе кручения его дополнения Rn — K (комплекс К
лежит в Rn). Вследствие этого в общем случае ни (п — г)-я полная группа
Ьетти многообразия Мп не изоморфна полной г-й группе Бетти этого
многообразия, ни (гг—г— 1)-я полная группа Бетти Rn — K не изоморфна г-й полной
гРуппе Бетти К.

70 5. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ Т ЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ I
Сформулированную таким образом теорему я называю теоре- I
мой Александера в узком смысле: она касается комплексов, лежа- 1
щих в Rn. Мы исследуем, однако, много более общий случай 1
комплексов, вложенных в произвольное многообразие Мп. Здесь 1
также существует полное решение проблемы; соответствующую I
теорему я называю теоремой двойственности Александера в широ- 1
ком смысле; ее следует рассматривать как обобщение ранее уже I
доказанной мной формулы для случая «модуля 2»17). Между про- 1
чим, следует заметить, что во всей этой работе понятие многооб- |
разия понимается в много более общем смысле, чем это было ранее |
принято: именно, всюду рассматриваются так называемые А-мно- I
гообразия, определение которых было примерно одновременно ]
найдено различными авторами, в том числе Александровым, ван i
Кампеном, Вьеторисом и автором настоящей работы, как основан- i
ное только на понятии гомологии и потому легко описываемое !
инвариантным образом обобщение классического понятия
многообразия, и будет повторено в § 1 второй главы.
После того как будет покончено с, так сказать, классическим
случаем комплекса, вложенного в многообразие, я обращусь к
случаю произвольного замкнутого множества. Можно было бы сразу
рассмотреть наиболее общий случай замкнутого множества в
произвольном многообразии («случай F в М"»). Однако, поскольку
все принципиальные трудности алгебраической природы
встречаются уже в случае «К в Мп», а все теоретико-множественные
трудности—в случае «F в /?"», я ограничусь, чтобы избежать
технических сложностей, последним случаем. Случай замкнутого
множества делается доступным алгебраическим методам настоящей
работы благодаря последовательному применению замкнутого
множества через посредство проекционных спектров
Александрова18). Действуя таким образом, мы получаем для каждой
размерности г вместо одной-единственной абелевой группы
последовательность таких групп, причем каждая из. них имеет конечное
число образующих; эти группы являются г-ми группами Бетти
аппроксимирующих комплексов, входящих в проекционный спектр;
эти группы связаны друг с другом гомоморфными отображениями,
которые соответствуют симплициальным отображениям из
проекционного спектра. Таким образом, возникает так называемая
«обратная последовательность гомоморфизмов», которая служит
мерилом для свойств связности замкнутого множества. Хотя эти
последовательности гомоморфизмов определяются при помощи
произвольно выбранного проекционного спектра, Гомеоморфным
множествам соответствуют в некотором определенном смысле
эквивалентные последовательности гомоморфизмов, так что мы имеем
право рассматривать совокупность всех эквивалентных друг другу
17) Gott. Nachr., 1927, стр. 323.
18) См. работу Александрова, указанную в сноске 3), стр. 107.

5. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ 71
последовательностей гомоморфизмов как новый топологический
инвариант, который мы назовем r-мерным циклозисом множества.
Впоследствии окажется, что r-мерный циклозис, который сам не
является группой, однозначно определяет некоторую группу:
группу* двойственную циклозису. И эта группа изоморфна
/^__г_1 \умерной группе Бетти дополнительного пространства
пп р. Все это исследование можно опять-таки проделать по
произвольному модулю (I, причем как всегда под группой Бетти
по модулю нуль пространства Rn—F понимается приведенная
группа Бетти. Важнейшим достижением этой теории, без сомнения,
является содержащееся в ней доказательство того факта, что
приведенные группы Бетти дополнения к некоторому замкнутому
множеству являются топологическим инвариантом этого
множества. Впрочем, теми же методами можно доказать и
инвариантность групп кручения пространства Rn—F\ однако вопрос об
инвариантности полных групп Бетти пространства Rn—F
относительно топологических преобразований множества F остается
нерешенным: дело в том, что группы Бетти пространства Rn—F
не имеют конечной системы образующих и потому не обязаны
представляться как прямые суммы соответствующих приведенных
групп и групп кручения.
Инвариантность групп Бетти по модулю 2 пространства Rn—F
уже доказана Александровым19). Доказательство сохраняет силу
дословно по модулю произвольного простого числа.
Доказательство инвариантности по модулю нуль содержится в теоремах
Лефшеца20), но только в случае, когда группы имеют конечное
число образующих: в этом случае инвариантность групп следует
из инвариантности их рангов (в случае модуля нуль мы
рассматриваем приведенные группы, которые в этом случае являются
свободными группами). Однако в общем случае бесконечного
числа образующих изоморфность групп ни в коей мере не
вытекает из равенства их рангов, даже в случае, когда отсутствуют
элементы конечного порядка: уже (аддитивная) группа
рациональных чисел и группа всех диадических дробей доставляют нам
пример двух неизоморфных групп, ранг которых равен единице
и которые не имеют элементов конечного порядка. К тому же
в приложении III будет доказано, что всякая абелева группа,
имеющая счетное число элементов и не имеющая элементов
конечного порядка, может быть представлена как группа Бетти
некоторого Rn—F (даже с п — 3). Инвариантность этих групп
принципиально не может быть доказана при помощи методов, которые
принимают во внимание только числа Бетти или ранги, так что
наша теорема совершенно не является самоочевидным расширением
теорем инвариантности для чисел Бетти, а является принципиально
) См. статью, указанную в сноске8).
°) См. статью Лефшеца, указанную в сноске 9).

72 б. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ
более глубоким фактом. Тем более интересно было бы доказать
инвариантность полных групп Бетти пространства Rn—F.
В заключение мне хочется сказать, что толчком к созданию
этой работы в большой мере послужили лекция г-на Александрова
по комбинаторной топологии и лекция г-жи Эмми Нетер по
абстрактной алгебре (обе лекции состоялись зимой 1928/29 г. в
Московском университете). Я благодарю также г-на Александрова за
многочисленные советы при окончательном редактировании этого
сочинения.
СОДЕРЖАНИЕ
Глава I. Алгебраические основания . ' 72
Глава II. Обобщенные теоремы двойственности Пуанкаре — Веблена и
Александера 81
I. Вспомогательные геометрические рассмотрения 81
II. Формулировка и доказательство обеих теорем двойственности . . 86
Глава III. Общий закон двойственности для замкнутых множеств . . 93 |
I. Прямые и обратные последовательности гомоморфизмов .... 93
II. Формулировка и доказательство общих теорем двойственности . . 97
Приложение I. Теорема двойственности для непрерывных
комплексов 21) 100
Приложение II. Включение теоремы двойственности Лефшеца для
замкнутых множеств в теорию главы III 102
Приложение III. Пример кривой в /?3, первой группой Бетти
дополнения к которой служит произвольная счетная абелева группа без
элементов конечного порядка • • 104
Г[Л А В:АЯ1
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ
1. Пусть U и V—две абелевы группы с конечным числом
образующих и М—циклическая группа порядка ц; в случае |х = 0
подразумевается, что М есть бесконечная циклическая группа,
т. е. свободная группа с одной образующей. Мы представляем
себе группы U>V и М записанными аддитивно; поскольку группу М
можно было бы заменить любой изоморфной ей группой, мы раз
и навсегда условимся, что М есть в случае |х = 0 (аддитивная)
группа всех целых чисел, а при \хф0 группа М представлена
системой наименьших неотрицательных вычетов по модулю \i.
В этом смысле элемент группы М всегда есть целое число.
2. Определение I. Две группы U и V образуют
групповую пару по отношению к (модулю) М, если для всякой
упорядоченной пары элементов х, у—причем х есть элемент группы V
и у есть элемент группы V—определен элемент k группы iVf.
произведение элементов хну:
k = x-y,
21) Рассмотрения главы II относятся к полиэдральным комплексам; случай
непрерывных комплексов (т. е. топологических образов полиэдральных
комплексов) будет рассмотрен в приложении I.
_

5. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ 73
причем всегда
/х j. х')-у = х-у +х'-у (1-й закон дистрибутивности)
и
х(у + у') = х-у + х-у' (2-й закон дистрибутивности)
(откуда вытекает, в частности, что
(1) *• 0 = 0 = 0- у
при любом выборе х и у).
3. Определение II. Пусть А—произвольная подгруппа
группы U\ совокупность всех элементов у группы У, обладающих
тем свойством, что при любом х из А
х-у = 0,
называется аннулятором группы А в V и обозначается через (У, А).
Аналогичным образом определяется аннулятор (£/, В)
произвольной подгруппы В группы V.
Прежде всего, из 1-го и 2-го законов дистрибутивности следует,
что при произвольном выборе хну
х. 0 = 0 = 0- у,
(—х)-у = — х-у, соответственно х-(—у) = — х-у,
так что одновременно с х-у равны нулю также (—х)у и х(—у);
другими словами: аннулятор вместе с х содержит также —х и
вместе с у содержит также —у\ кроме того, ему принадлежит
нулевой элемент; ввиду этого имеет место теорема:
I. Аннулятор есть подгруппа группы Uy соответственно
группы V.
Определение III. Групповая пара £/, V называется
примитивной, если аннулятор каждой из этих двух групп в другой
состоит только из нулевого элемента:
(£/, У) = 0, (У, U) = 0.
Мы будем часто говорить также, что группы U и V взаимно при-
митивны (по отношению к М). Имеет место следующая теорема.
Н. Если U и V составляют примитивную групповую пар у, то
можно разложить эти группы в прямые суммы циклических
подгрупп
(2) и = Аг + А%+...+Ап9
(3) У = Я1 + В2+... + В„
таким образом, что образующие а1У а2, ..., ап и biy b23 ..., bn
гРупп Ai и Bi будут связаны соотношениями
(4) arbf = Q (при i*£j)y
arb~ki> 0,

74 5. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ
где fe/+1 = 0 (modfe,.); при этом k£ есть делитель числа \i и J*.
есть порядок групп Ai и В(. '
Прежде чем перейти к доказательству теоремы II, заметим
что вследствие этой теоремы группы U и V представляются в вид!
прямых сумм одного и того же количества циклических грут,
соответственно одинаковых порядков, так что можно сформули.1
ровать такое следствие: "|
Взаимно примитивные группы изоморфны.
4. Доказательство теоремы II. Обозначим через аг и6 •
такие элементы групп U и V (такие «значения» х и у), что число
х-у принимает наименьшее возможное положительное значение k
Прежде всего заметим, что при любом выборе уу соответственно* *
число fej является делителем числа аг-у, соответственно х-Ь*
действительно, если бы, например, было
a1-y = qk1 + r = q(a1-b1) + r
с г > 0, то было бы
a1-{y—qb1) = r, r <kx
и Ьг было бы выбрано неправильно.
Обозначим через Ах и Вг циклические группы, порожденные
ах и Ь1У и рассмотрим произвольный элемент хаО. Из
доказанного выше следует, что существует такое q, что х-bx = qkx = q (at bt)
и, значит, (л:—qa1)-b1 = 0\ таким образом, х—qax есть элементj?
группы (U, Вг) и, следовательно,
(5) х = х' + *"
"С X CZ r\ j_, X с(£/, В^. Точно так же любой элемент у группы V
можно представить в виде у = у' + у" с у'аВ^ y"a(V, AJ. Пусть
а—общий элемент групп Ах и (U, B^ — U^ выберем какое-нибудь
yczV, y = y' + y"- Тогда а-у = а-у' + ау". Однако, а-*/' = 0,
потому что а содержится в (£/, Вг) и у' содержится в Вг. С другой
стороны, так как aczAl9 */"c:(V, Лх), то а-/ = 0; следовательно,
ау = 0 при любом у с: К, из чего следует, ввиду примитивности
групповой пары U, V, тождество а = 0. Тем самым доказано, что
U есть прямая сумма групп Ах и [/1# Точно так же доказывается,
что V есть прямая сумма групп Вх и Кх.
Теперь мы покажем, что порядок групп Ах и Вг равен иЛ1'
При {л = 0 это ясно: действительно, если бы порядок группы А*
был равен s=^=0, то было бы
sk1 = s(a1-b1) = sa1-b1 = Of
что невозможно, поскольку /^ отлично от нуля.
Рассмотрим теперь случай \ьфО. Пусть s — наименьшее П^Л(Г
жительное число, обладающее тем свойством, что 8^ = 0 (modг*
4»

ЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ 75
h = О тогда произведение элемента sax на произвольный
т. е. «VfJt ^ 5i paBH0 Нулю, значит, saxc:(t/, 5Х), и так как
ме«рние групп Л! и (U, BJ содержит только нуль, то sa1 = 0.
пересечен ^ порядок группы Л, есть наименьшее целое число,
^Тающее тем свойством, что ц делит ski, так как при этом
°io(mod^)22). то это число равно -£-.
Г ппы ц1 и уг снова образуют, как легко видеть,
примитивную групповую пару, и предыдущая процедура доставляет раз-
пожения
Ux = At + (Uxt В,), Vt = Bt + (ylt А,).
Поодолжая действовать таким образом, мы получаем разложения
в прямые суммы
U = AX + At+ ...+An + Un,
V=Bt + B2 + ...+Bn + Vn,
где
Ul+i = (Uh Bi+l), Vm«(V„ Л,+1);
Ut = Al+1 + Ul+1, V,-B/+1 + V,
+ 1>
причем при каждом i группы U,. и Vt взаимно примитивны.
Процедура обрывается на конечном шаге (потому что U и V имеют
конечное число образующих), т. е. при некотором т группа Vn
является нулевой; но так как Un и Vn составляют примитивную
групповую пару, то группа Uп также является нулевой. Поэтому
процедура обрывается одновременно для V\ и Vh и мы
окончательно имеем U = A1 + А2+ ... +Ап9 V — В1 + В2+ ... +Вп.
Остается еще показать, что &/+1 = 0(mod£f-); но из k{+1 =
= ai+1-bi+1 = dki-\- г с 0 < г < k( следовало бы, что
(~dai + ai+1).{bi + bi+1) = — d(arbi) + ai+i^bi+1 = — dkt + ki+1 = r,
а это противоречит определению а( и Ь{.
Таким образом, все утверждения теоремы II доказаны.
5. Определение IV. Разложения в прямые суммы (2) и (3)
образуют — при условии, что выполнены условия теоремы II —
характеристическое представление групповой пары U, V.
Встречающиеся при этом константы fe. называются инвариантными
множителями групповой пары.
1ермин «инвариантные множители» оправдывается следующим
не^и.ИеМ* Пусть **• *»» ■••• х* и У» У*> •••• У«—Две линейно
дает ые системы образующих групп U и V. Теорема II утверж-
» что можно перейти от образующих xt и yt к новым Обра-
г^ч ту
бедовало Л^ ^^°(moci^i)' T0 \i = qk1 — г (с положительным г < ^), а из этого»
Менты a hk ЧТ0 Qbi = q(a1-bi) = ii + rt т. е. qa^b\ — r < klt и значит, эле-
ь ох оыли выбраны неправильно.

76 5. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ
зующим а( и Ь{ таким, что arbf = 0 (при 1Ф})9 arbl==ki и
fe^EEEOfmod/^.). Но так как переход от одной системы
образующих к другой осуществляется через унимодулярную подстановку,
это равносильно такому утверждению.
Следствие II из теоремы II. Числа k{ являются
элементарными делителями матрицы (хгу;)> где х{ и уу-—произвольные
линейно независимые системы образующих групп U и V.
Таким образом, инвариантные множители групповой пары
однозначно определяются этой групповой парой.
6. Рассмотрим теперь групповую пару [/, V, подгруппу А
группы U и подгруппу В группы V. Если Лс=([/, V), Ba(V, U)
и элементы х, х' группы [/, соответственно элементы у, у' группы V,
принадлежат одному смежному классу по отношению к Л,
соответственно по отношению к В, то, полагая а = х'—хаА и (3 =
= у'—уаВу имеем
л;.р = а-у = а-{3 = 0
я, следовательно,
*'У = (* +«)•(# +Р) ==*</♦
Таким образом, в случае Лс([/, V), Ba(V, U) закон
умножения групповой пары Uy V индуцирует некоторый закон
умножения (со значениями в том же самом модуле) для факторгрупп
U\A и V\B. В частности, если Л=([/, V) и B = (V, (У), то
групповая пара U\A, V\B примитивна.
7. Теперь мы рассматриваем исключительно случай [х = 0 и .
вводим следующее определение.
Определение V. В случае \i = 0 групповая пара
называется ортогональнойу если все ее инвариантные множители
равны 1.
Простое рассуждение показывает, что если U и V ортогональны
друг другу в только что указанном смысле и если имеется
линейно независимая система образующих, ска/кем, л^, Хпу . .., хпу
в одной группе, скажем, в [/, то можно найти систему
образующих уи у2, ..., уп другой группы такую, что лггуу = б/у, где,
как обычно, 6i7 = 0 при 1Ф\ и б,7=1.
(Если а{ и Ь{—образующие характеристического представления
и х =X[af—выражение х{ через Яу, то для у1^щЬн имеется
определяющая система уравнений
(/)
которая (ввиду ||M||=l) однозначно разрешима и притом в целых
числах.)
Можно было бы точно так же ввести понятие ортогональности
в случае \х > 0; мы увидим, однако, что это нецелесообразно,
потому что в случае \х > 0 обыкновенные примитивные групповые

5. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ 77
аоы ничуть не хуже ортогональных групповых пар в случае
J=0. В большинстве последующих теорем примитивные
групповые пары с (А > 0 будут рассматриваться параллельно с
ортогональными групповыми парами с |i = 0, и для сокращения речи
мы часто будем писать «примитивная» и в скобках
«ортогональная», подразумевая при этом, что первое прилагательное
относится к случаю \х > 0, а последнее—к случаю ц, —0.
Определение VI. Если в случае ц = 0 для групповой
пары U, V факторгруппы U\(Uf V) и V\(Vy U) не только взаимно
примитивны, но и взаимно ортогональны, то групповая пара U, V
называется сопряженной.
В случае \х > 0 все групповые пары таковы, как
сопряженные групповые пары в случае \i = 0. Ввиду этого мы будем в
дальнейшем говорить о «свойствах (сопряженных) групповых пар»,
подразумевая при этом, что речь идет о свойстве, которое при
а > 0 выполняется для всех групповых пар, а при ц —0—только
для сопряженных групповых пар.
Заметим в заключение, что в случае |я = 0, говоря о
подгруппе А группы [/, мы всегда понимаем подгруппу с делением23).
8. Пусть U у V—(сопряженная) групповая пара и
z(v)—гомоморфное отображение группы V в группу М, при котором всякий
элемент группы (V, U) переходит в нулевой элемент группы М.
Тогда этот гомоморфизм определяется некоторым элементом х0
группы U в том смысле, что для любого vczV
z(v) — x0-v.
Если при этом групповая пара примитивна (ортогональна), то
элемент х0 определяется единственным образом. ,
Предположим сначала, что группы О и V взаимно
примитивны (ортогональны).
Пусть аи а2, ..., ап, соответственно blf &2, ...,
Ъп—образующие характеристического представления для U и V, и пусть kl9
К> ••-, kn—инвариантные множители. Положим hi — z(bi) и
докажем, прежде всего, что kt делит й/в При \х = 0 это очевидно,
поскольку все k( равны в этом случае единице. Если \х > 0, то
мы имеем—поскольку -£-= есть порядок элемента Ь{—
0 = z(£*,)=-£*(*,) = J^(modrt,
0ткуда вытекает, что \х делит ^ и, значит, -£ есть целое число.
Kj «V/
п и. п
Положим теперь x0 = 2L~^:ai; если v— 2 Hyfy есть произвольный
i = 1 ' /= *
) Подгруппы с делением определялись в сноске. 15).

78 5. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕН ЮСТИ
элемент группы V, то
i *l
что доказывает наше утверждение.
Если существуют два элемента х и х', которые удовлетворяют I
предыдущему условию, то (х—x')-v = 0 для любого и, что со- 5
вместимо с условием примитивности групповой пары [/, V только |
в случае х~х'. I
Пусть теперь U, V—(сопряженная) не обязательно примитив- j
ная групповая пара. Из условий нашей теоремы непосредственно \
следует, что для всех v, которые принадлежат одному смежному ::
классу по отношению к (V, U)y z(v) принимает одно и то же
значение, так что отображение z определяет гомоморфное отображе- :
ние факторгруппы К1 = К|(У, [/), которое удовлетворяет всем
нашим условиям; однако группа Ул примитивна (ортогональна) <
по отношению к U1 = U\(U, V), откуда следует, что существует
элемент £0 группы Ux такой, что £0.t| = z(t|) для любого г\ из К1#
Из определения умножения для смежных классов (§ 6) следует,
таким образом, что для любого элемента х0 группы [/,
принадлежащего смежному классу £0, и для любого элемента у группы V
Xo-y = to-4 = z(i))="Z(y),
где г] обозначает смежный класс, к которому принадлежит у.
Этим%наша теорема доказана.
9. Лемма. Если U> V есть примитивная (ортогональная)
групповая пара и А есть подгруппа группы U, то А, V есть
(сопряженная) групповая пара.
При [хфО лемма тривиальна. Пусть fi = 0 и пусть ии м2, ...
..., ип—линейно независимая система образующих группы U,
которая выбрана таким образом, что и19 ..., иг—образующие
подгруппы Л. Согласно § 7, можно таким образом выбрать
систему образующих v1% u2, ..., vn группы V, что urVj= Sl7. Тогда
urvh = 0 при любых i^r и h > г, так что все vr+lJ ..., vn
принадлежат (V, Л); с другой стороны, если v = civi—такой элемент
группы V, что сн отлично от нуля при некотором h ^ г, то
произведение uh-v отлично от нуля. Таким образом, к (V, Л)
принадлежат все элементы, натянутые на иг+1, ..., vn, и только они;
другими словами, vr+l9 ..., vn есть независимая система
образующих для (V, Л).
Так как, очевидно, (Л, V) состоит только из нулевого
элемента, мы должны показать, что Л, V\(V, Л) есть ортогональная
групповая пара. При гомоморфном отображении группы V на
V\(V, А) элементы, натянутые на vr+u ..., vnf переходят, по
= £Arf*« = 2 (2^1= * (и),

5. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ 79
показанному, в нуль, а элементы vu ..., vr переходят в отличные
от нуля и друг от друга элементы, которые составляют систему
образующих группы V\(V, Л). Так как, далее, должно быть (при
I /<r) ur^f=^urvJ = b[i то группы А и V\(V, А) ортогональны
'руг другу, и лемма доказана.
10. Теорема III. Если U,V—примитивная (ортогональная)
групповая пара, А —подгруппа группы U и B=*(Vt Л), то Л =
L (£/, В).
Обозначим через А' группу (U, В); прежде всего, из
определения группы В следует, что при любом выборе элементов ха Л,
цаВ мы имеем ху = 0, так что во всяком случае имеет место
включение АаА\ Чтобы доказать обратное включение,
рассмотри— в предположении, что оно не выполняется — какой-нибудь
элемент z из А' — Л. Для такого элемента z и произвольного
элемента v группы V однозначно определено произведение z -vy
причем для всех у из В справедливо равенство z •*/ = (). Таким
образом, определено гомоморфное отображение z (v) = z и, к
которому можно применить теорему из § 8, причем роль группы U
из этой теоремы принимает на себя А (что возможно, поскольку
группы А и V сопряжены друг другу в силу леммы).
Следовательно, существует такой элемент х0 группы Л, что x^y — zy, и,
значит, (л:0 — z)y = 0, для всех yaV; так как группы U и V
примитивны друг по отношению к другу, из последнего равенства
следует, что z = x0aAt в противоречие с определением z. Это
противоречие доказывает теорему III.
11. Следующее утверждение является обобщением леммы из § 9.
Теорема IV. Пусть U u V—(сопряженная) групповая пара;
если А и В —подгруппы групп U и V, которые содержат анну-
ляторы А' = ([/, В), соответственно В' = (V, Л), то группы А и В
(с законом умножения, заимствуемым у U и V) составляют
(сопряженную) групповую пару.
Доказательство. В случае \хф0 утверждение тривиально.
Пусть |х = 0. Мы сначала докажем нашу теорему в предположении,
что U и V не только сопряжены, но и ортогональны.
Пусть
(*) о1У fr2, ..., bk% fr^+i» • • •, frfc+r» uk+r+ly ..., bn
системы образующих для f/, соответственно V, такие, что
arbj=iSi/t мы нумеруем элементы систем (1) и (2) таким
образом, что alt ..., ak есть система образующих для Л' и а19 ...
•••, ak+r есть система образующих для Л.
Так как по определению Л' = ([/, В), то в силу теоремы III
** = (V, Л'). Поэтому элемент Ь группы V тогда и только тогда
принадлежит В, когда а{-Ь — 0 для всех а{ с i^k; это условие,
°Днако, выполняется только для линейных комбинаций элемен-

80 5. АЛГЕЬРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ 1
тов bj с / > k\ следовательно, названные Ь}- составляют системуI
образующих для В. Аналогично, Ь принадлежит В'= (V, Л), если!
arb = Q для всех а( с i^k+r, откуда, опять-таки, следует, что!
bfi+r+i> •••» bn составляют систему образующих для В'. |
Рассмотрим факторгруппы А\А' и В|В' и соответствующие!
гомоморфизмы. Пусть при этих гомоморфизмах а/ есть образ а/1
и Ру есть образ Ь;; тогда <х1= ... =afe = 0, в то время как ал+1,... I
..., ak+r отличны друг от друга и от нуля и составляют незаЛ
висимую систему образующих для А \ А'. Точно так же $k+r+1 = ... f
... =$п=:0, a Pft+1, -.., Pft+r составляют независимую систему |
образующих для В|В\ Далее, <хг Ру-= a-fy = 8i7, так что группа:
Л | Л' ортогональна к В | В'. Этим теорема доказана в специальном |
случае ортогональной групповой пары [/, V. f
Пусть теперь U, V—сопряженная групповая пара, для кото-|
рой ортогональность не предполагается. Мы обозначим че-|
рез А" и В" аннуляторы (£/, V) и (V, [/). Тогда выполняются |
включения f
А'сА'сА, В'сВ'^В, \
с
причем все эти группы являются подгруппами с делением.
Теперь мы образуем факторгруппы
U = U\A" и V = V\B"
и рассмотрим соответствующие гомоморфизмы fag:
U = f{U), V = g(V).
При этом
A = f(A), A' = f(A') и B = g(B), B' = g(B');
эти группы также являются подгруппами с делением.
Ввиду первой теоремы об изоморфизме24) группа А\А'
изоморфна А\А' и группа В|В' изоморфна В|В'. Далее, группы V
и V ортогональны друг другу и имеют место соотношения
Л' = (£7, В)сЛ; В' = (7, Л)с=В.
На основании уже доказанного из ортогональности групп £/, К
следует ортогональность групп А | Л' и В | В', откуда получается —'
ввиду изоморфизма между Л | А' и Л | А' и между В | В' и В | В' —
ортогональность групп Л|Л' и В|В\ Тем самым теорема IV
полностью доказана.
) См., например, Е. Noether, Math. Zeitschr., 30, стр. 648.

5 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ 8!
ГЛАВА II
ОБОБЩЕННЫЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ
ПУАНКАРЕ —ВЕБЛЕНА И АЛЕКСАНДЕРА
I. Вспомогательные геометрические рассмотрения25)
1. Пусть Кп—симплициальный комплекс, аг—некоторый
симплекс'комплекса Кп, а\, о%, .., а?—симплексы комплекса Кп9
которые содержат ат в своей границе; эти симплексы образуют
звезду симплекса аг\ совокупность симплексов, противоположных
симплексу ат в симплексах а?, образуют окруживающий комплекс
Zn~r~x(cir) симплекса аг в Кп.
Связный комплекс Мп называется многообразием, если все
окруживающие комплексы гомеоморфны сферам соответствующих
размерностей. Так как топологическая инвариантность таким
образом сформулированного определения (т. е. его независимость
от выбора конкретного симплициального подразделения для Мп)
по сей день не доказана, мы будем в дальнейшем пользоваться
более общим понятием так называемых А-многообразий.
Связный комплекс Мп называется It-многообразием, если любой
(п—1)-мерный элемент многообразия Мп примыкает к ровно двум
n-мерным симплексам, в то время как окруживающий комплекс
всякого ak (k < п — 1) обладает следующим свойством: Z"~k^1(ak)
есть связный комплекс, в котором всякий r-мерный цикл (0 < г <
<л—k—1) ограничивает и существует ровно один, с точностью
до пропорциональности, (п—k—1)-мерный цикл, который не
гомологичен нулю. Легко доказать инвариантность этого понятия2в).
Мы назовем Л-многообразие (которое, впрочем, всегда является
псевдомногообразием в смысле Брауэра) ориентируемым, если его
л-мерные элементы могут быть таким образом ориентированы, что
алгебраическая сумма их ориентированных границ равна нулю.
В дальнейшем мы допускаем только такие ориентирования.
2. Пусть Ма есть я-мерное ориентируемое А-многообразие.
Рассмотрим барицентрическое подразделение многообразия Мп и
ориентируем его элементы следующим образом: пусть ач = г(а0, alt ...
--•ian)—положительно ориентированный /г-мерный симплекс мно-
) По поводу основных понятий топологии комплексов и многообразий
см например, Е. R. van Kampen, Die Kombinatorische Topologie und die Duali-
tatssatze, Dissertation. Leiden, 1929, а также Alexander, Combinatorial Analysis
nw>\ Trans* Amer* Math* Soc-> 28 (1926)' CTP- 301~329, Ann- of Math* № 31
I *, '' CTP- 292—320 и Lefschetz, Intersections and transformations of complexes
ana manifolds, Trans. Amer. Math. Soc, 28 (1926), стр. 1—49. Дальнейшую
^^Р^УРУ см. в статье van der Waerden, Kombinatorische Topologie, Jahresber.
гич ^ (1930), стр. 121. В дальнейшем соблюдаются также
терминологии соглашения, принятые во введении, в частности, в сноске15).
Math Alexander, Ann. of Math. (2), 31, стр. 307 н Vietoris, Monatsch. f.
снос 2б ^^У5, З5 (1927), стр. 165, а также van Kampen, диссертация (см.
У ))t стр. 1«3Ч

82 5. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ
гообразия Мп, аг = т)(а0, аи ..., аг)—положительно
ориентированная грань симплекса ап\ пусть, наконец, Р£- есть центр тяжести
симплекса (а0, аи ..., а() (причем i произвольно, не зависит от г).
Положительная ориентация барицентрического симплекса,
определяемого вершинами Рг, Рг+1, ..., Р , есть тогда по определению;
erl(Pr» Pr+i» •••» PJ- Если всеми возможными способами nepe-j
ставлять последовательность вершин аг+1, аг+2, . ..,а,,то можно!
получить (п — г)! различных барицентрических симплексов; они!
лежат в а" и называются двойственными к аг\ если проделать эту
конструкцию для всех симплексов апу примыкающих к аг, то мы]
получим объединение всех двойственных к аг барицентрических]
симплексов; алгебраическая сумма этих симплексов (ориентирован-!
ных указанным образом) образует двойственную барицентрическую]
звезду симплекса аг. Мы обозначаем ее через bn~r(ar). 1
Легко видеть, что граница r-мерной барицентрической звезды!
состоит из барицентрических звезд размерности г—1. При этом!
соблюдается следующее правило знаков: если граница симплекса аЧ
есть еак~1+ ... и bn~k, соответственно bn~k+1y—барицентрические!
звезды, двойственные к а*, соответственно а*"1, то граница bn~k+lj
есть (— l)kebn~k+ ... |
3. Мы рассматриваем два рода «кирпичей», из которых будут!
строиться подкомплексы многообразия Мп: кирпичи первого рода Г
(из которых будут строиться комплексы первого рода)—это эле-;
менты заданного симплициального разбиения многообразия М*,\
т. е. симплексы различных размерностей; пусть а[, а£, .. .,а£г—.
все симплексы размерности г. В соответствии с этим подкомплекс
первого рода должен пониматься как линейная форма вида VaJ.
Кирпичи второго рода—это барицентрические звезды. Так как
r-мерные барицентрические звезды взаимно однозначно
соответствуют (п—г)-мерным симплексам многообразия М", то их можноI
занумеровать так: b[, br2y ..., Кп-Г> ПРИ этом brt = br(af~r). Тогда!
r-мерный подкомплекс второго рода есть по определению линейная!
форма вида A/ftJ. *
Пусть даны два подкомплекса А = Аг = Х1'агг и B = Bn~r = \i%
соответственно, первого и второго рода. Число
называется характеристикой Кронекера или индексом пересечений!
комплексов А и В.
4. Теперь рассмотрим два непрерывных комплекса (возможно,
с особенностями27)) Аг и Вп~г, которые вложены в Мп; буД6*
27) Лежащий в Мп однозначный (но не обязательно взаимно однозначный
непрерывный образ полиэдрального комплекса называется непрерывным ком*
лексом, вложенным (возможно, с особенностями) в Мп. Если отображение взз'
имно однозначно, то говорят о вложении без особенностей.

- АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ 83
«полагаться, qT0 ни 0дИН из комплексов Аг и Вп"г не пере-
П ет границу другого и что минимальное удаление одного
компаса от границы другого есть положительное число а. Можно
Л6рпположить, что все симплексы многообразия Мп меньше,
екаем чем -—п^- Тогда комплексы Аг и Вп~г можно достаточно
хорошо аппроксимировать подкомплексами многообразия Мп
соответственно первого и второго рода.
Можно без труда доказать следующие факты.
1. Если А' есть подкомплекс первого рода, В' есть
подкомплекс второго рода и А' и В' достаточно хорошо аппроксимируют
комплексы Аг и Bn~rt то число %{А\ В') принимает значение,
не зависящее от специальното выбора аппроксимирующих
комплексов Аг и Вп~г\ это значение называется характеристикой
Кронекера (индексом пересечения) комплексов Аг и Вл"г и
обозначается через %{АГ, Вп~г).
2. Характеристика Кронекера двух комплексов Аг и Вп г не
зависит от выбора симплициального подразделения многообразия
М"; она является, таким образом, относительным инвариантом Аг
и Вп~г по отношению кМ".
3. %{АГ, £*-') = (— 1)г{п-г)%{В"-г, Аг).
т
Замечание. Мы обозначаем через К1"1 (ориентированную)
границу (ориентированного) комплекса /Сг.
Тогда имеет место
Теорема 1. Если А1"1 и Вп~г не пересекаются, то
(1) %{А\ Ъ"-*) = (-\у%{А'-\ В»-"").
Это утверждение достаточно доказать в случае, когда Аг есть
симплекс, a Bl~r+1 есть барицентрическая звезда. Если при этом
Аг и Bn"r+1 не пересекаются друг с другом, то утверждение
тривиально. Предположим, что АТ и Bl~r+1 имеют непустое
пересечение. В этом случае барицентрическая звезда J37~r+1 двойственна
некоторой грани А1"1 симплекса Аг\ если при этом, скажем,
Лг-1 = еЛ|,-1+ -.-, Bn~r = bn-r(Ar),
то
XW'-if в*-г+1) = е> дп-r = (_i)rejB,-г '+лшл9 %(АГ,Вп~г) = (—1)ге,
0ткуда следует наше утверждение.
одРема *'• Если Аг и Вп~г—два цикла, по крайней мере
ин из которых ограничивает в Мпу то
%(АГ, Вп~г) = 0.

84 5. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ
Доказательство. Действительно, пусть, например, Вп~г
есть граница комплекса В'\ тогда
что и требовалось.
4. Пусть Аг и Bs—два непересекающихся друг с другом цикла 1
многообразия М такие, что r + s = n—1; предположим, что эти
циклы ограничивают в Мп, именно, Аг есть граница комплекса А\ ;
a Bs есть граница комплекса В'. Число %(АГ, В') называется
коэффициентом зацепления циклов Аг и Bs и обозначается через
&(АГ, Б5). Это число не зависит от выбора В', так как если
В" есть другой комплекс, ограничиваемый Bs, то В'—В" есть цикл,,
а АТ есть ограничивающий цикл. Ввиду этого из теоремы II
следует, что
%(А'9 В'—ВГ) = 0, т.е. хИг> В'НхМ', В"),
что и требовалось.
Теорема III. Пусть снова АТ и Bs—два непересекающихся
друг с другом ограничивающих цикла в Мп, причем r + s = n — 1;
тогда
Ъ(АГ, Bs) = (—l)rs+n\)(Bs, Ar).
У-
Пусть, как обычно, Аг ограничивает А' и Bs ограничивает В'.г
В силу уже доказанного
Ъ{А'9 В') = х(А'9 B') = (-J)'+1XM'. В') =
==(_l)r+i(_1)cr+i)*x(^f Л') = (-1)"+"х(Я*, 4') =
= (— \)rs+nv>{Bs, A%
что и требовалось.
Если циклы Аг и В5, r-\-s — n—1, не пересекаются друг
с другом и гомологичны нулю в Мп, так что, скажем, сАг и dB{
ограничивают в Мп (где с и d—надлежащим образом выбранные
целочисленные коэффициенты), то коэффициент зацепления & (Аг, 5*)
to (сАг, <1В$) ^ ^ „л1|
можно определить как ——^ -; в общем случае таким образом
получается дробный коэффициент зацепления; однако на
протяжении этой статьи мы все время будем находиться в ситуаций!
которая позволит нам ограничиться целочисленными
коэффициентами зацепления.
5. Мы завершаем эти вспомогательные рассмотрения следующей
напрашивающейся теоремой.
Теорема IV. Пусть: Мп — некоторое h-многообразие; К~*"
комплекс, лежащий в многообразии Мп и составленный из целы*
симплексов этого многообразия; L—комплекс, состоящий из &#*
барицентрических звезд (= кирпичей второго рода), не пересеки
ющихся с К; Г—некоторый цикл, лежащий в Мп—К. При эггШ*

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ 85
иях цикл Г гомологичен в Мп—К некоторому подциклу Д
^СЛ°плекса L (причем А также есть подкомплекс второго рода
К°Мгообразия Мп). Если Г есть подцикл комплекса L, который
МНпаничивает в Мп—/С, то Г есть также граница некоторого
доставленного из кирпичей второго рода) подкомплекса комплекса L.
Доказательство. Сначала докажем следующую лемму.
Всякое замкнутое множество F с: Мп—К можно перевести
посредством непрерывной деформации, протекающей внутри Мп—К,
некоторое множество F\ лежащее в L, причем в процессе де-
<Ьормации все принадлежащие L точки множества F остаются
неподвижными.
Пусть Я—система всех барицентрических звезд многообразия
М», которые имеют с К непустое пересечение, т. е. которые
двойственны симплексам из К. Мы обозначаем через s наибольшую
размерность звезд в системе $, которые содержат в своей
внутренности точки из F; пусть S—одна из этих звезд. Так как звезда S
двойственна некоторому симплексу, который не содержит точек
множества F, мы можем вытеснить все принадлежащие S точки
множества F на границу звезды посредством центральной проекции
из центра тяжести этого симплекса («центра звезды»). Это
«выметание» представляет собой деформацию множества Fy которая
оставляет на месте все точки этого множества, лежащие вне
звезды S и на ее границе и в процессе которой множества F
и К все время остаются непересекающимися. Многократное
применение этой процедуры выметания переводит F в замкнутое
множество F', ни одна точка которого не лежит внутри звезды,
принадлежащей Я. Пусть х—произвольная точка множества F'\ эта
точка является внутренней точкой некоторой барицентрической
звезды, которая — поскольку по доказанному она не может
пересекаться с К—должна содержаться в L, что доказывает лемму.
Пусть теперь L—(геометрически совпадающий с L) комплекс
первого рода, который получится, если разбить кирпичи второго
рода, из которых составлен комплекс L, на отдельные симплексы.
Из леммы следует, что каждый принадлежащий Мп—К цикл Гг
может быть переведен посредством гомотопии в цикл уг, лежащий
в L. и, значит, сделанный из симплексов комплекса L; рассмотрим
теперь симплексы из уг как подсимплексы кирпичей второго рода,
из которых построен комплекс L. Если у некоторого такого кир-
ича Sr только часть содержится в vr> то этот кирпич можно
Устранить, вытеснив лежащую в нем часть цикла у на границу
^ езды Sr (что всегда можно без труда сделать). После того как
сое пР°Аелаеом это конечное число раз, цикл уг превратится в цикл,
ЛетаЦенный из кирпичей второго рода, т. е. в подцикл комп-
иуть3 Точно такую же процедуру можно применить к упомя-
Ао ™ в конце теоремы IV ограничиваемым комплексам, что дает
зательство обоих утверждений этой теоремы.

86 5. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ 1
II. Формулировка и доказательство обеих теорем двойственности]
1. Пусть Мп—ориентируемое и ориентированное А-многообра4
зие; а[у а£, ..., агаг—все r-мерные элементы данного симплициаль-1
ного разбиения Мп\ 6?~г, Ь£~г, ..., bajr—двойственные им бари-|
центрические звезды; мы считаем при этом, что %(arit b/'O — fyy.l
Пусть К—подкомплекс многообразия Мпу составленный из его!
симплексов, причем пусть а[у ar2y ..., ант—все /--мерные симгь!
лексы, входящие в /С. Тогда среди звезд Ь?~г те и только те,
у которых k^.hr, имеют непустое пересечение с К.
В основе всего дальнейшего лежит целое число [х, равное нулю;
или большее единицы, которое рассматривается как модуль. Соот-f
ветствующие комплексу К группы, которые обозначались череа|
Цх,у Zrn> Hjl> Нгц> будут обозначаться просто через Z/, Zr, Яг, НЦ
Группы Бетти комплекса К по модулю \х будут обозначаться!
через Вг, причем все принятые во введении соглашения (в част-!
ности, сноска16)) сохраняют силу. |
Мы обозначим, далее, через 8Г абелеву группу, натянутую на?
элементы b£, k— 1, 2, ..., hn~ry с единственным соотношением
|ib£ = 0. Граница modpi произвольного элемента из £Г (который
является комплексом второго рода) может быть описана как линей-;
ная форма от Ь*"1; оставляя в этой линейной форме только член»
с k^Lhn~r+1y мы получаем комплекс второго рода, который
называется приведенной границей рассматриваемого элемента из £'.
Комплексы, которые являются приведенными границами всевоз^
можных комплексов из 2Г, составляют подгруппу группы Sr"V
которая обозначается через ^г"1; по аналогии с прежними обозна^
чениями мы в случае \хфО полагаем $г = $)г и в случае jx ==0
определяем группу $$г как наименьшую подгруппу с делением
группы 8Г, содержащую <£jr. Далее, имеется гомоморфное
отображение группы 2Г на фг"1; ядро28) этого гомоморфизма
обозначается через Зг» легко видеть, что <ЬГ есть подгруппа группы Зг<
2. Теперь мы должны ввести закон умножения для групп V
и £г. Этот закон заключается просто в том, что за произведение
элементов aaLr и ba%n~r принимается индекс пересечения
X (a, b) mod |x. По отношению к этому закону умножения группы
Z/ и Zn"r составляют примитивную (ортогональную) групповую
пару, потому что эти группы обладают системами образующих й
и Ь?~г такими, что аггЬ"~г = 6//.
3. Теперь мы докажем соотношения
(1) (Z/, £»-') = Z'; (S"-', Я0 = 3П'Г,
28) Если группа А гомоморфно отображается на группу Б, то подгрупп*
группы Л, составленная из всех ее элементов, которые отображаются в ед£*
ничный (нулевой) элемент группы Б, называется ядром этого гомоморфно1"0
отображения.

5 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ 87
которых, ввиду теоремы III из § 10 главы I, будут следовать
соотношения
(2) (S»-'f Z') = £"-'; (I/, 8"-r) = Hr-
д Пусть a cz Zr, 6 с: <£)"~г; мы покажем, что % (а, Ь) = 0 mod ц.
Если и^О» т0 существует комплекс с cz S""r+1, приведенная
граница которого есть Ь. Следовательно,
с = Ь Ч- 6', 6' не пересекается с /О
Следовательно, Ы-6' гомологично нулю, откуда х(а, Ы- Ь') = 0.
Так как, однако, 6' лежит вне /С, то %(а, Ь') = 0 и, значит,
у (а, 6) = 0, что нам и требуется.
Если ji = 0, то существует такое отличное от нуля k и такое
cc2"~r+1, что
t = kb + Ъ'у Ь' не пересекается с К\
опять-таки, kb + b' гомологично нулю, следовательно, х (a, kb-\-b')=
= 0, откуда, ввиду %(а, Ь') = 0> вытекает, что 0 = х(а, Щ =
= k%(a, Ь) и, наконец, %(а, 6) = 0.
В. Пусть теперь а—не принадлежащий Zr элемент группы
//; мы должны найти такой элемент группы <!р""~г, который
имеет с а отличный от нуля индекс пересечения. Так как а не ле-
жит в Zr, т. е. не является циклом, то а^ЬаНг~1у ЬфО.
Однако Z/"1 и 2"~г+1 составляют примитивную (ортогональную)
групповую пару; следовательно, существует такое cczSw"r+1, что
%(ЬУ с) =^0; если мы обозначим через с границу, а через с —
приведенную границу с и заметим, что в силу теоремы I этой главы
%Фу с) = ±х(а, с), в то время как, с другой стороны, очевидно,
что х(а, с) = х(а, с), то мы увидим, что %(а, с)=^0. Таким об-
разом, элемент с удовлетворяет нашим требованиям, и первая из
формул (1) доказана; вторая формула доказывается точно также.
Мы завершим эти рассуждения следующим замечанием: так как
группы Z/ и £"~r составляют примитивную (ортогональную)
групповую пару и
(Z/, 3""')c:Z', (S»-'f Z')cz3"-r,
то из § б главы I следует, что факторгруппы Zr\Hr и Sn~r\$n~r
также примитивны (ортогональны) друг по отношению к другу.
4. Мы получим теперь теорему Пуанкаре—Веблена, если
положим К = Мп. В этом случае группа Zr\Hr есть г-мерная груп-
а Бетти, а группа Зп~г\&п~г есть (п — г)-мерная группа Бетти
многообразия Мл. Нами доказана, таким образом,
Обобщенная теорема двойственности
Пуанкаре-— Веблена. Приведенные группы Бетти размерностей г и
ттт'г п-мерного h-многообразия примитивны (ортогональны) друг

88 5. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ 1
щ
по отношению к другу, коль скоро в качестве закона умножениям
рассматривается взятие индекса пересечения', в частности^ smut
группы изоморфны друг другу. I
5. Мы переходим теперь к теореме двойственности Алексан-|
дера. Мы сначала докажем теорему двойственности Александера?
в узком смысле (которая является все же обобщением результа-1
тов, полученных самим Александером), предположив, что
в ft-многообразии Мп все циклы ограничивают. Такое А-многообра-
зие мы назовем (обобщенным) пространством Пуанкаре. Пусть,
далее, К есть (составленный из элементов заданного симплици-
ального разбиения многообразия Мп) комплекс, относительно ко*
торого предполагается, что он не совпадает с многообразием Мп.
В дальнейшем мы можем при рассмотрении граничных
соотношений в М'1—К ограничиться комплексами, составленными из*
барицентрических звезд 6. Мы будем так делать, не упоминая
этого каждый раз.
Пусть а есть s-мерный цикл в М1—/(. Так как а
ограничивает в Мп, то существует с, такое, что с = а; при этом с есть
линейная форма от Ц+1 и может быть представлено в виде с =
= b + b, где Ъ есть элемент из 3*+1> а Ь не пересекается с К.
Далее, Ь=с—Ь = а—Ь, так что а~Ь в Мп—/С.
Пусть а'—какой-нибудь другой цикл в УИ1—/С, который
гомологичен там а. Если рФО, то существует гаМг—К такое,
что е = а'— а. С другой стороны, в Мп цикл а' ограничивает,
ввиду чего с' = а', c' = b' + b'. Далее, граница комплекса с—с' + е
есть а—а' + а'— а = 0, так что с—с' + е есть цикл (который
ограничивает в Мп). Следовательно, существует f с f = с—с' + е,
f = f+f, где |'с85+2, fcM1—/С. Приведенная граница f
есть, очевидно, Ь—Ь'. Другими словами: из гомологии а~а' в
Мп—К следует, что соответствующие комплексы Ь и Ь'
(границы которых гомологичны соответственно а и а' в Мп—К) я&
ляются элементами $s+1, принадлежащими одному смежному
классу относительно 4>,+1. Такой же результат имеет место в
случае ц = 0: именно, в этом случае (при некотором 1гф0)
e = fe(a'—a) (в Мп—К),
f = fe(c—c') + e, f = f'+f", f'c2*+2, fczAP—/С; следовательно,
приведенная граница f есть k(b — b'), и предыдущее
утверждение сохраняет свою справедливость.
Резюмируем: всякий s-мерный цикл ааМ1—К гомологичен
границе некоторого элемента Ь из 35+1» причем если а и а'
гомологичны в Мг—/С, то Ь и 6' принадлежат одному и тому #е
смежному классу относительно «ф*+1; отсюда следует, что имеете
изоморфизм между s-мерной группой Бетти Ма—/С, 33* (М"—лГ
и факторгруппой 3,+11,&**"1- Далее, r-мерная группа Бетти коми»
лекса К у т. е. факторгруппа Zr|#r, примитивна (ортогональна)

- АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ 89
отношению к Sn~r\$n~r, умножение определяется через обра-
П° ание пересечений. Следовательно, и группы Zr\Hr и
а?Г-г-1(/И"—К) составляют примитивную (ортогональную) груп-
ю пару, причем индекс пересечения соответствующего Ь с
верным циклом из К есть не что иное, как коэффициент зацепления
r'0TQ цикла с соответствующим циклом а из Мп—К. В
результате получается следующая
Обобщенная теорема двойственности Алексан-
лера в узком смысле. Пусть Мп есть обобщенное
пространство Пуанкаре размерности п\ если К есть лежащий в Мп
комплекс, то r-мерная группа Бетти комплекса К примитивна
(ортогональна) по отношению к (п—г—\)-мерной группе Бетти
пространства Мп—/С, сколь скоро в качестве умножения
рассматривается образование коэффициентов зацепления
соответствующих циклов; в частности, указанные группы изоморфны друг
другу.
6. Пусть теперь Мп—произвольное ft-многообразие. Мы
рассматриваем произвольный комплекс /С, построенный из
симплексов многообразия Мп. Через Вг, 35г и W обозначаются г-мерные
группы Бетти /С, Мп—К и Мп. Так как КаМп, то Вг
гомоморфно отображается на подгруппу Vr группы Wr, а 23г—на
подгруппу Xir группы Wr\ пусть АТ и §1г—ядра этих гомоморфиз-
мов. При (i=7^=0 мы полагаем Vr = Vr и 33г = 98г, а при (ы = 0 мы
обозначаем через Vr, соответственно 33г, наименьшую подгруппу с
делением группы Wry содержащую Vr, соответственно ЯВГ.
Очевидно, Ат состоит из всех таких элементов—т. е. смежных
классов 1Т по модулю #г,— которые представляются циклами, гомо-
#
логичными нулю вМ". Соответственно через Аг мы обозначим
группу таких элементов из J3r, которые являются смежными
классами, содержгщими циклы, ограничивающие в М". Очевидно,
Аг есть подгруппа группы Лг, которая в случае \хф0 совпадает
с Аг\ в случае же |i = 0 группа Аг есть минимальная подгруппа
*
с делением группы Вг, содержащая Аг. Аналогичным образом оп-
.'А
ределяется группа §1Г. Обобщенная теорема двойственности Алек-
сандера может быть выражена в виде следующих двух
утверждений.
Теорема двойственност и Алексан дера в широком
смысле.
Предварительное замечание. Ввиду теоремы
Пуанкаре—-Веблена группы Wr, Wn~r составляют групповую пару.
Первое утверждение:
(3) (й7гэ ь^-г) = уг; (Wn-r^ Vr) = №
-г

90 5. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ \
•л * j
Второе утверждение: Ат и 31Л~/,~1, соответственно Аг и\
8tn"r_1, составляют примитивную (ортогональную) групповую]
пару (причем роль произведений играют коэффициенты зацепле-\
ния соответствующих циклов). I
Доказательство первого утверждения. В силу]
теоремы III из главы I (§ 10) достаточно доказать одну из двух]
формул (3), например, вторую. Для этой цели мы прежде всего]
заметим, что всякий лежащий вне К (п—г)-мерный цикл (как и!
каждый цикл, гомологичный ему в Мп) имеет нулевой индекс"
пересечения с любым r-мерным циклом из К. Из этого
немедленно следует, что $$n~rc:(Wn~ry Vr). Чтобы доказать обратное вклкь:
чение, мы рассмотрим произвольный (п — г)-мерный цикл а из1
Мп и покажем, что если а имеет нулевой индекс пересечения с,
любым r-мерным циклом из /С, то в Мч—К существует цикл а',|
который гомологичен в случае \i =т^0 циклу а, а в случае jx = 0 —-J
циклу fea, k=£0. При этом можно ограничиться случаем, когда!
а есть линейная комбинация барицентрических звезд, двойствен-!
ных r-мерным симплексам многообразия Мп. Тогда а=6+ЬУ
6cz3n~r» Ь'аМп—К. Так как а имеет нулевой индекс
пересечения со всеми циклами из /С, то Ъа.Ьп~г и, следовательно,
существуют элемент с группы %n~r+1 и положительное целое число
fe, которое может быть отлично от 1 только при ц. = 0, такиеи
что kb есть редуцированная граница с. Тогда a' = ka—с есть!
цикл, лежащий в Мп—К и (так как, очевидно, с~0 в МаЩ
а' ~ ka (в Мп), что и требовалось. 4
Доказательство второго утверждения. Прежде
всего мы докажем, что Аг и St""-7*-1 примитивны (ортогональны)
друг по отношению к другу. Прежде всего ясно, что всякий s-
мерный цикл из Мп—/С, который ограничивает в Мп,
гомологичен в Мп—К границе некоторого элемента из 35+1- Поэтому
можно ограничиться рассмотрением таких циклов, которые
являются границами элементов из Qn~r. Обозначим через #г, соот-
ветственно »§5 подгруппу группы Zr, соответственно 35>
составленную из элементов, которые гомологичны нулю вМ",
соответственно границы которых гомологичны нулю в Мп—/С. Теперь
мы докажем формулу
(4) (3"-'. Я') = $"-'.
Включение $n~rc:(Qn~r, Hr) снова тривиально; чтобы доказать
обратное включение, нужно показать, что если для некоторого
aaQn~r и произвольного усНг имеет место равенство %(а, y)^
(mod^i), то граница а обязана быть гомологичной нулю в М'1 — **
С этой целью мы определим для произвольного элемента у— °
произведение у-а как индекс пересечения (modfx) произвольного

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ 91
из смежного класса у с а. Из этого определения следует,
цИКЛ я любого элемента группы Агу рассматриваемого как эле-
ЧТ° и группы Вг> имеет место равенство уо-а = 0, откуда полу-
М6Нтсяестественное определение произведения х-а, где х
обозначает произвольный элемент факторгруппы Br\Ar = Vr. В случае
, q тем самым автоматически определен закон умножения х-а
*u ^ ЭЛементов х из Vr (потому что в этом случае Vr совпадает с
л/г\- если же ^ = 0, то аналогичный закон умножения
определяется следующим образом: пусть х есть произвольный элемент из
уг. тогда существует такое zaVr, что hx = zy и мы полагаем
x.a==£l£. При этом может получиться дробь, но так как Vr
имеет конечное число образующих, то при надлежащим образом
выбранном k произведение x-ka будет целым числом при любом
x£Vr. Для единообразия формулы мы вводим коэффициент k и
в случае \1ф0, тогда в этом случае он по определению равен 1.
Так как Wr и Wn~r примитивны (ортогональны) друг по
отношению к другу, группы Vr и Wn~r составляют (в силу леммы
из § 9 главы I) (сопряженную) групповую пару. Так как при
этом (Wr, Wn~r) = 0, то предположения § 8 главы I заведомо
выполнены и, следовательно, существует такой элемент baWn~ry
что x-ka = x-b при любом xaVr; это означает, однако, что если
Р—произвольный цикл из смежного класса Ь и \—произвольный
цикл из произвольного смежного класса xczVry т. е., попросту,
произвольный r-мерный цикл из КУ то %(£, ka—Р) = 0. Как
выше, мы разлагаем цикл р в сумму двух комплексов а' и а", где
а' есть элемент Qn~r и а" не пересекается с /С. Из уже
доказанного следует, что ka—а' есть элемент группы (3""г» Z )\ кроме
того (при некотором k\ которое может быть отлично от 1 только
в случае jx = 0), k'(ka—а') есть приведенная граница некоторого
сс8и~г+1. Имеется, далее, граничное соотношение
(5) k'ka—i—k'$-+k'ka\
с другой стороны, по определению а' и с, левая часть
соотношения (5) есть комплекс, лежащий в Мп—/С, так что из (5)
вытекает гомология k'ka ^0в Мп—/С, которую мы и хотели доказать.
Теперь, когда формула (4) доказана, нам осталось сделать
совсем простой шаг, и со вторым утверждением теоремы
двойственности Александера будет покончено. Прежде всего, в силу
S * этой главы, группа Z/ примитивна (ортогональна) по
отношению к 2»-г; так как (ввиду формулы (2) из § 3)
(Z/, 3B"r) = ^cZ'f (£*-', zo^-'cS"-',
То
пп теореме IV главы I группы Zr и Зп_г составляют сопря-
енную групповую пару; так как, далее, (Zr, Qn-r) = HraHr,

92 5. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ |
то по теореме IV главы I группы Нг и Зи_г также сопряжены,!
так что факторгруппы по аннуляторам (Яг, Зп~0 = ^г В?
(3"~г> Hr) = fen~r примитивны (ортогональны). Другими словами, ;
группы Нг|Нг и 3n~r\fen~r примитивны (ортогональны) друг:
другу. Однако, первая из этих групп есть, по определению, Ar;t
элемент £ второй группы есть смежный класс группы Qn~~r по
модулю <§"~г; каждому элементу j этого смежного класса отве*
чает его граница а""1""1, и все эти границы гомологичны друг
другу в Мп—К (смежные классы берутся по модулю $п~г\)\
следовательно, целому смежному классу £ отвечает элемент груп-
пы Й""7*"1 и даже элемент группы §1п~г"1 (по построению, цикл
an-r-i ограничивает в Мп, поскольку он был определен как гра*
ница). Наоборот, если задан элемент группы З!""1*"1, то он явля-.
ется смежным классом группы всех циклов из Мп—К по моду*
лю $п~г~1> и в этом смежном классе содержится цикл, который
ограничивает в Мп; этот цикл гомологичен границе некоторого
элемента из 3"~г» следовательно, в нашем смежном классе со
держится элемент из 3"~г*» таким образом, циклам, которые про
исходят из одного и того же элемента группы 3tw"~r_1,
соответствуют элементы группы Зл"г» которые принадлежат одному смеж*
ному классу по модулю <!ои~"г, и, значит, один и тот же элемент
факторгруппы 3n~r\fen~r. Этим установлен изоморфизм между
группами $in~r~1 и 3"~г1,&"~"г> и этот изоморфизм позволяет
непосредственно перенести умножение, заданное для групп Лг==
= НГ\НГ и 3"~г|1г~г> на группы Аг и St""7"""1; этот закон умно*
#
жения объявляет произведением элементов aczAr и aczSl""7*"1 ин*
деке зацепления цикла из смежного класса а с циклом из
смежного класса а.
7. Таким образом, доказано, что группы Аг и 21"~г"~1 состав*
ляют примитивную (ортогональную) групповую пару. Это
утверждение можно понимать как относящееся к двум комплексам К
и L, потому что всякое граничное соотношение, имеющее место
в Мп—К у можно перетянуть в I. Мы рассматривали в нашем
доказательстве элементы (первого рода) из К и элементы (второ-:
го рода) из L совершенно симметричным образом, так что иХ
можно по.менять ролями. Таким образом, рассуждения послед*
него параграфа можно переделать в доказательство примитивно-
сти (ортогональности) групп Аг и %п"г~1у что и требуется.
8. В заключение мы хотим показать, что из доказанного наМ0
можно вывести формулы двойственности, которые ранее был*

5 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ 93
новлены в СЛуЧае модуля 229). При этом под модулем \х по-
Ус ается нуль или произвольное простое число.
ЯИ Если ввести для ранга абелевой группы G общее обозначение
-(G) то мы будем иметь, прежде всего,
(6) х (й»-'-1) = х {Ж"-''1) = х (Аг) =х(А О
(б') т (»"-') = t (%п-г), х (Vr) = х (V').
Так как, далее, (Wr, %n-r) = Vr, в то время как (S""r, W) со-
стоит из одного нуля, группы Wr|Vr и $$п~~г изоморфны, то
ввиду соотношения r(Wr) — x (Wr | 1/г) + г (Vr) мы имеем
(7) x(Wr) = x(Vr) + x(%"-r).
Мы имеем также
(8) т (23"-'-1) = г (St*-'"1) + т (83я-'-1 [Я»-1-1) =
Далее, из (6') и (7) следует, что
(9) т (&"-1-1) = т (Wr+1)—x (Vr);
и если подставить это и (6) в (8) и принять во внимание, что
т (£') = т (А') + х(Вг\ Аг) = г (А') + х (Vr)y
то мы окончательно получим
т (S3"-'-1) = г (Вг) + т (Wr+1)—x(Vr)—x (TA+1),
что и требовалось.
ГЛАВА III
ОБЩИЙ ЗАКОН ДВОЙСТВЕННОСТИ ДЛЯ ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ
I* Прямые и обратные последовательности гомоморфизмов
1. Пусть
V ) и j, с/2» • • •, Uт, . . .
■— бесконечная последовательность групп, в которой каждая
гРУппа Uт отображается посредством гомоморфизма ц>т в 30) по-
Ыя^и ) ^pntrjagin, Zum Alexanderschen Dualitatssatz, zweite Mitteilung, GotU
Стви ' ^сли всякому элементу а некоторого множества А поставлен в соответ-
ветствЭЛеМеНТ ^ некоторого множества В и при этом всякий элемент Ь соот-
мно ^ по крайней мере одному элементу а, то говорят об отображении
несобс°ТВа ^ Нй множество В- Отображение множества А на собственное или
1*аРденВеННОе подмножество множества В мы называем (следуя г-ну ван дер
на ну) отображением множества А в множество В.

94 5. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ
следующую группу Um+1; последовательность
(2) <Pi, фя, -.., фл. • ..
называется тогда прямой последовательностью гомоморфизмов.
Она определяет способом, который мы сейчас опишем, новую!
группу U—предел последовательности (1) по отношению к
последовательности (2), или, короче, предельную группу. Прежде
всего, мы назовем фундаментальной последовательностью всякую
последовательность вида I
(6) Х:п #fc + i> • • •, X - *
от» • • • » 4
где хт есть элемент группы Um и где хт+1 = ут(хт) при всех т.,
Две фундаментальные последовательности, (3) и
(v Уа> Ун + V •••» Ут* •••» f
называются конфинальными, если существует такое х, что хт = уа
при /п > х. Очевидно, совокупность всех фундаментальных
последовательностей разбивается на классы конфинальных друг другу
фундаментальных последовательностей. Эти классы принимаются
за элементы группы [/. Групповая операция в U устроена
следующим образом. Пусть а и Р—два класса; выберем в каждом
из этих классов по фундаментальной последовательности, скажем,
а = \хЬ* *fc+l> •••» Хт> •*•) И ^==(Ул» f/fc + l» •••» У/»» •••)»
причем, скажем, h^k; класс 7» определяемый фундаментальной
последовательностью
С — \хП'Ун> хН + 1'У/1 + 1> ••*» Хт*Ут> • • •)»
называется произведением (в смысле групповой операции в U)
элементов а и р. Очевидно, у однозначно восстанавливается пол
и р (т. е. у не зависит от выбора последовательностей а и Ь
в классах а и Р). Если ет есть единичный элемент группы Ua,
то элемент группы [/, определяемый последовательностью^, ег, . ♦♦
..., ет, ...), является единичным элементом по отношению к
вышеопределенной групповой операции; наконец, обратный элемент ее"
к элементу а группы U получится, если в последовательности яз
класса а заменить все элементы их обратными. Так как наши
операции удовлетворяют при этом закону ассоциативности, в#
групповые постулаты выполнены, и U есть группа. Прежде чем
двигаться дальше, введем следующее обозначение: пусть ф£
обозначает отображение cps_x (... (фг+1 (фг)) .. •) группы Ur в группу "*
(естественно, при s > г).
Если
(5) Umt* ^m2» • • •» Um„*
Я
I

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ
95
Щих 1*Т° наше понятие эквивалентности транзитивно, выте#аеТ из следУ'1°*
казь АВ^Х замечании> из которых первое самоочевидно, а второе без труда до-
0 если I н= Ц и Г з I, 1Г => II, то Г = 1Г;
£) если Is II и И'сгН. то IesIP.
ност^ре^де всего из 1 = П» И = Ш следует существование ПоДп°следователь-
1.^етит ll и иь И" и III", а также последовательностей IV И V таких, что
novvulC:\IV' П"+Ш"сУ. Применяя замечания 1 и 2, мы последовательно
у аем 1зз1Г, I = V, I^III", 1 = 111, что и требовалось.
_—подпоследовательность последовательности (1), то ей отвечает
оследовательность гомоморфизмов
(6) <Pi> Фз» • • •» Ф?> • • •» с 4>д = Фт*+1' !
mvnna £/', которая выступает как предел последовательности (5)
отношению к последовательности (6), изоморфна, как легко
видеть, пределу последовательности (1) по отношению к
последовательности (2). В этом случае мы скажем, что прямая
последовательность гомоморфизмов (2) одъемлет последовательность (о).
Две прямые последовательности гомоморфизмов называются далее
эквивалентными, если в них можно найти такие две
последовательности, что их объемлет некоторая общая третья
последовательность. Это понятие эквивалентности удовлетворяет аксиомам
тождества (рефлексивность, симметрия и транзитивность31)), так
что можно говорить о классах эквивалентных друг ДРУГУ
последовательностей гомоморфизмов. Далее, две последовательности,
которые объемлет третья последовательность, имеют изоморфные
предельные группы, откуда мы получаем следующую теорему.
1. Эквивалентные последовательности гомоморф^змов имеют
изоморфные предельные группы.
Прямая последовательность гомоморфизмов (1), (2) отныне
всегда будет обозначаться через <F(£/W, ф).
2. Рассмотрим опять последовательность
но предположим теперь, что группа Um + 1 отображается в группу ит
посредством гомоморфизма пт\ последовательность
V / Л/j., Л;2, • • •» *^/Я» • • •
(причем отображение пг(.. ^s_^(ns_x)...) группы Us B гругшу
^т (s > г) будет обозначаться через nsr) называется в этом слУчае
обратной последовательностью гомоморфизмов. Точно так же, как
выше понятие объемлющих, соответственно эквивалентных,
последовательностей определяется и для обратных последовательностей
гомоморфизмов. При этом, однако, аналог теоремы 1 отсутствует,
поскольку обратная последовательность гомоморфизмов не имеет
предельной группы.

96 5. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ
Обратная последовательность гомоморфизмов (1), (7) буде>
отныне всегда обозначаться через ¥(Vгт, л). Последователе
ность гомоморфизмов, связывающих группы последовательности (\\
относительно которой неизвестно, является она прямой или обра£
йой, будет обозначаться просто-напросто через ¥(Um).
3. С настоящего момента мы ограничиваемся коммутативны^
группами и будем употреблять для них, как и прежде, аддитнв.
ную запись.
Лемма. Пусть U, Л, соответственно V, В,—примитивные
(ортогональные) групповые пары по отношению к модулю М. Пусщ
далее, задан гомоморфизм ф группы U в группу V. Тогда сущ
ствует одно и только одно гомоморфное отображение г|э группы В
в группу А, которое удовлетворяет следующему требованию: если
и, соответственно Ь,—элементы групп U, соответственно В,щ
(8) и-1|>(&) = ф(ы)-&.
Доказательство. Когда и пробегает всю группу [/, то
<р(и)-Ь принимает значения в М, причем всегда ф (и)-Ь+ ф(и')-6 =
= ф(м-г и')-Ъ.
Теперь рассмотрим гомоморфное отображение z(u) = q>(u)-b
группы U в УИ. Из § 9 главы I следует, что существует
единственный элемент а группы А такой, что для всех и
u-a = z(u) — <p(u)-b. Обозначим этот элемент а через г|э(6). Из
и-СФ Ф) + 'Ф (ft')) = u-${b) + u-^(b') =
= ф (u)-b + Ф (u)-b' = ф (и)-(b + b') = и-^ (b + b)
следует, что u-((ty(b) + ty(b'))—-ф(b + &')) = 0, и, значит (ввиду
примитивности групповой пары [/, А), -ф (Ь) + г|) (Ь') = $ (Ь + Ь')\
таким образом, -ф есть гомоморфизм, что и требовалось.
4. Определение. Пусть даны ¥ (U тУ ф) и ¥(Vm, л). Эти
последовательности гомоморфизмов называются ортогональными
друг другу (по отношению к модулю М), если выполняются
следующие условия:
1. Um nVm составляют примитивную (ортогональную)
групповую пару (по отношению к М);
2. если и и v—произвольные элементы соответственно Um й
Из леммы § 3 немедленно вытекает
Теорема II. Пусть дана последовательность ¥ (Um), причем
группа Uт такова, что для нее существует примитивная (opt№
зональная) группа Vm (которая в этом случае определена
однозначно с точностью до изоморфизма). Тогда из групп Vт моЖ$
единственным (снова с точностью до изоморфизма) образом №
ставить последовательность гомоморфизмов ¥(Vrm) такую, чг$
последовательности ¥ и ¥ будут ортогональны друг другу №
отношению к модулю М).

БРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ 97
ание. Если две последовательности гомоморфизмов
32) Александров, статья, указанная в сноске3), стр. 107.
4
чьны ДРУГ ДРУГУ> то то же имеет место для всяких двух
ортогона*' вательностей, составленных из соответствующих (т. е.
подлое- ^ теми же самыми номерами т) членов этих последо-
ваТ^ореМа III. Пусть последовательности ¥(Um) и ¥ (Vm)
азональны друг другу и то же верно для последовательностей
°$\и') и &' (^'тУ' если последовательности ¥ (Um) и ¥' (U'm) экви-
лентнЫу то и последовательности ¥ (Vm) и ¥' (V'm) эквивалентны.
ва Доказательство. В последовательностях ¥(Um) и ¥'(U'm)
ществуЮт подпоследовательности ¥0 и ¥'0> которые представляют
собой подпоследовательности одной и той же последовательности <FX;
относительно последовательности гомоморфизмов ¥г можно
предположить, что она состоит только из элементов
последовательностей ¥0 и <^о {ибо все остальные возможно присутствующие
элементы мы легко можем устранить); далее мы выбираем из
последовательностей ¥ (Vm) и ¥' (V'm) подпоследовательности ¥0 и ¥i,
соответствующие подпоследовательностям ¥0 и ¥'0. Так как для
каждого элемента последовательности ¥г можно сконструировать
примитивный (ортогональный) элемент, то в силу теоремы II
существует ортогональная к ¥х последовательность
гомоморфизмов #\; последовательности ¥0 и ¥'0 могут рассматриваться как
подпоследовательности последовательности ¥19 благодаря чему
последовательности ¥(Vm) и ¥'(V'm) также эквивалентны.
5. Подчеркнем, в частности, что обратная последовательность
гомоморфизмов ¥ (Um9 л) однозначно определяет—в
предположении, что для каждой группы Um существует (также, по существу,
единственная) примитивная (ортогональная) группа
Vm—ортогональную к ¥(UmJ л) прямую последовательность гомоморфизмов
^^Ут» ф)>а последняя однозначно определяет предельную группу V.
Эта однозначно определяемая последовательностью гомоморфизмов
^(Um> n) группа называется двойственной группой для
последовательности $(Umi я). Эквивалентные последовательности
гомоморфизмов обладают изоморфными двойственными группами.
М- Формулировка и доказательство общих теорем двойственности
6. Пусть F—лежащее в Rn компактное замкнутое множество.
Рассмотрим какой-нибудь проекционный спектр32)
\V ^==:(^1» ^2> •••, Ату •••)
Для F и принадлежащие к нему симплициальные отображения лт
ИЗ Д ня А
Л« С. Понтрягин, т. 1

щ
98 5. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ
i
I
i
Пусть Вт = Вг(Ат) есть r-я группа Бетти Ат. Симплициаль*
ному отображению лт соответствует некоторый гомоморфизм груц, '
пы Вт+1 в Вт (который мы снова обозначим через лт), и, еле*
довательно, возникает обратная последовательность гомоморфизмов
<F(£OT, л). Прежде всего, имеет место
Лемма. Пусть даны два различных проекционных спектра
множества F: (1) и
(2) Л =(Л1, Л2, ..., Л/п» •••)•
Тогда соответствующие этим спектрам последовательности гомо*
морфизмов £F(BmJ л) и ¥ (В'т, я) эквивалентны.
Предположим на мгновение, что лемма уже доказана.
Совокупность всех эквивалентных друг другу последователь*
ностей гомоморфизмов JF(BOT, я), которые определяются череэ
посредство проекционных спектров множества F, является, оче*
видно, топологическим инвариантом множества F. Мы называем
этот инвариант r-мерным циклозисом множества F. Циклозис
однозначно определяет группу, а именно единственную (точностью
до изоморфизма) двойственную группу для всех
последовательностей гомоморфизмов из циклозиса; мы будем коротко называть
эту группу двойственной группой к r-мерному циклозису. Эта
группа тоже имеет инвариантный топологический смысл для
множества F. Главная цель этой главы состоит в доказательстве
следующей теоремы.
Общая теорема двойственности. Если F есть
замкнутое компактное множество в Rn, то двойственная группа
к г-мерному циклозису множества F изоморфна (п—г — 1)-мерной
группе Бетти дополнительного пространства Rn—F.
Отсюда немедленно вытекает
Теорема инвариантности. Группы Бетти39)
дополнительного пространства к замкнутому множеству F в Rn являются
топологическими инвариантами множества F.
Мы одновременно проводим доказательство леммы и теоремы
двойственности.
Пусть
(3) Qx, Q2, .... Q„ ...
— убывающая последовательность полиэдральных окрестностей
множества Z7, которые стягиваются к этому множеству.
Пусть G;—дополнительное к Q,- открытое множество. Эти мно*
жества увеличиваются с ростом *', и их объединение совпадает
с G = Rn—F. Мы обозначим через Р; r-ю группу Бетти
пространства Q: и через р, (п—г — 1)-ю группу Бетти пространства О/.
Ввиду Q. э Qi+1 имеется гомоморфное отображение со, группы fr+i
33) См. сноску *5) и приложение III.

5 длгЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ 99
ft и ввиду Gj+t^G; имеется гомоморфное отображение ф,-груп-
В 6 в Р/+1# Возникающие таким образом последовательности
гомоморфизмов <F(p,, <о)_и <Г(р,., ф) ортогональны друг другу,
тому что группы р,- и Pf- примитивны (ортогональны) друг по
Я ношению к другу. Определяемая последовательностью
гомоморфизмов <F(P/, ф) предельная группа Р изоморфна, как легко
видеть, (п—т—1)"й группе Бетти G. Для завершения всего
доказательства нам остается доказать следующее предложение.
При любом выборе проекционного спектра (1) множества F
последовательность гомоморфизмов ¥(Вп я) будет эквивалентна
последовательности ¥ (P/f ю).
8. Обратимся к доказательству последнего утверждения.
Прежде всего целесообразно добиться того, чтобы комплексы At
были реализованы геометрически, и даже без особенностей. Это
можно сделать при помощи несложного трюка. Именно,
рассмотрим топологическое произведение Z = RnxE пространства Rn на
симплекс Е достаточно большой размерности. Пусть £—центр
тяжести симплекса Е\ мы предполагаем, что пространство Rn
отождествлено с /?"х5 и рассмотрим последовательность
концентрических симплексов Еи £а, ..., Ehy ... с центром £, которые
стягиваются к этой точке. Произведения QtxElf Q2x£2> ...
...» Qh^Efi* • • • составят тогда последовательность стягивающихся
к F полиэдральных окрестностей множества F в Z. Так как QiXE{
можно непрерывно продеформировать по себе в Qt (так что при
этом Q; остается поточечно неподвижным), группы Бетти
произведения QixEi изоморфны группам Бетти пространства Q,,
причем соответствующие гомоморфизмы одинаковы, так что можно
спокойно заменить множества Q; произведениями QixEi—т.е.
окрестности множества F в Rn—окрестностями множества F в Z.
Однако в произведениях Q/X£/ можно—если только размерность
симплекса Е достаточно велика—реализовать без особенностей
все Ап (за возможным исключением конечного числа). С этого
момента мы будем обозначать QixEi просто через Q{.
Пусть I произвольно, a q настолько велико, что Aq лежит в Q,-;
из этого следует существование гомоморфного отображения fx
группы Bq в р,; мы запишем это так: ^(BJoP,.
Известно, далее, что если комплекс д лежит в достаточно
Узкой окрестности множества F и составлен из достаточно
маленьких симплексов, то можно отобразить его в А„ симплициально,
произведя малый сдвиг его вершин34). Если выбрать / достаточно
большим и сделать симплексы из Q/ достаточно маленькими, то
в качестве '/С можно взять Qy. Обозначим через g возникающее
симплициальное отображение из Qy в Aq\ мы хотим построить
€го следующим образом. Пусть s настолько велико, что As лежит
34\
1) См. Александров, статья, указанная в сноске3), стр. 117 (следствие I).
4*

100 5. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ *
л
}
в Qj. Мы выберем такое симплициальное разбиение j множества Q.9
что некоторое подразделение Л* комплекса As может рассматри*
ваться как подкомплекс разбиения J. Симплициальное отображе-
ние g комплекса Q; в Aq строится при помощи симплициального <
разбиения J. Пусть а—некоторая вершина разбиения g.
Рассмотрим в первую очередь случай, когда а есть также вершина
комплекса A*s. В этом случае а есть внутренняя точка некоторого
(возможно, нульмерного) симплекса Т комплекса As\ в качестве
образа вершины а выбирается вершина а' комплекса Аду которая
при проекции As на Ад отображается в какую-нибудь вершину
симплекса Т\ каждую из оставшихся (т. е. не принадлежащих к А\)
вершин разбиения j можно отобразить в одну из ближайших
к ней вершин Ад. Легко видеть, что определенное таким образом
отображение g на комплексе As алгебраически согласовано с
проекцией комплекса As на Адзь). Наконец, относительно
отображения g можно предположить, что оно может быть реализовано
посредством непрерывной деформации внутри Qt.
Получаются также следующие гомоморфизмы: f2(Bs)a$j (потому
что As содержится в Qf): f3(^)czBq (соответствует отображению g
комплекса Qy в Aq)\ (DflJyJczlJ, (потому что Qj содержится в Q,);
n(Bs)czBq (проекция). При этом
(4) /i/.(P/)=®(P/).
(5) hfABs) = n(Bs),
так что группы Pf., Bq, Ру, Bs отображаются друг в друга
следующим образом: Р,- «*— Bq -«— ру. ■<— Bs.
Если начать эту процедуру с / = 1 и продолжать неограниченно,
то можно без труда получить последовательность гомоморфизмов,
которая, ввиду (4) и (5), объемлет некоторые подпоследователь-
ности обеих последовательностей ¥(Вт, я) и ¥(Вт, о). Таким
образом, последние последовательности гомоморфизмов
эквивалентны, что и требовалось.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ КОМПЛЕКСОВ
Пусть К—непрерывный комплекс (без особенностей) в Rn-
Рассмотрим гомеоморфный К полиэдральный комплекс Q в
пространстве Rm достаточно высокой размерности. Так как К и Q-^
гомеоморфные замкнутые множества, то группы, двойственные
к их /--мерным циклозисам, изоморфны соответственно (п—г—1)-й
группе Бетти Rn—К и (т—г—1)-й группе Бетти Rm—Q. Однако
33) Доказательство проводится по индукции по размерностям элементов
комплексов; см., например, Alexander, Trans. Amer. Math. Soc, 28.

5> АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ Ю1
оследняя группа изоморфна r-й группе Бетти комплекса Q
?а значит, и комплекса К).
' Другими словами:
Если KaRn—непрерывный комплекс, то (п — г—\)-я группа
Бетти дополнения Rn— К изоморфна r-й группе Бетти
комплекса К.
Чтобы вывести из этого изоморфизма (основанную на
зацеплении) примитивность (ортогональность)36) двух групп,
рассмотрим полиэдральную окрестность V комплекса /С, которая
обладает следующими двумя свойствами:
a) всякий цикл из /С, который гомологичен нулю в V,
гомологичен нулю и в самом К\
b) для всякого цикла zaRn—К существует цикл z'aRn—У,
обладающий тем свойством, что z~zf в Rn—/С.
Пусть, далее, UaV—такая полиэдральная окрестность
комплекса К у что для всякого цикла zaU существует цикл z'cz/C
такой, что z~z' в V.
Мы обозначим через В, соответственно В', r-мерную группу
Бетти К, соответственно [/, и через р, соответственно Р', (п — г—1)-
мерную группу Бетти Rn—КУ соответственно Rn — [/. Из
условия а) следует, что включение К all определяет изоморфное
отображение группы В на подгруппу группы В', которую мы снова
обозначим через В. Мы докажем прежде всего, что в случае ц=0
эта подгруппа группы В' является подгруппой с делением.
Действительно, пусть хаВ, уаВ', x = ky, k^Q\ мы покажем, что и
i/cB. Для этой цели мы обозначим через х, соответственно у,
циклы в /С, соответственно в U, которые принадлежат
гомологическим классам х, соответственно у. Тогда x~ky (в U).
Из определения U следует, что в К существует цикл у\
который гомологичен у в V, так что x~ky' (в V) и, значит
(вследствие a)), x~ky' (в /С). Если мы обозначим теперь через у'
элемент группы В, представляемый циклом у\ то будем иметь x=ky'\
так как, однако, x=ky и группа В' свободна, то у = у' и,
значит, уаВ.
Группы В' и Р' примитивны (ортогональны) друг по
отношению к другу, в то время как группы Вир изоморфны. Из
включения R» — UczRn—К получается, ввиду условия Ь),
гомоморфное отображение группы Р' на всю группу р. Ядро этого
гомоморфизма мы обозначим через А и покажем, что А—(Р\ В). Прежде
всего ясно, что Лс(Р', В), потому что цикл из Rn—/С, который
зацеплен с некоторым циклом из /С, не может быть гомологичен
нУлю в Rn—К, Однако группа А не может быть собственной
ПоДгруппой группы (Р', В), поскольку тогда группа Р' | А ~ р имела
( ) См. формулировку теоремы двойственности Александера в узком смысле
^глава II, Ц, § 5)

102 5. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ
6biJ(B зависимости от того, равно нулю или отлично от нуля ц)
больший ранг или больший порядок, чем группа Р'|(Р', В)~В,
что противоречило бы изоморфности групп р и В. Таким образом,
Л=(Р', В), и так как р~Р'|(Р', В), группы Вир составляют
примитивную (ортогональную) групповую пару, что и требовалось.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
ВКЛЮЧЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ ЛЕФШЕЦА
ДЛЯ ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ В ТЕОРИЮ ГЛАВЫ III37)
Определение I. Пусть <F(V„,jt)—обратная
последовательность гомоморфизмов. Последовательность
0) Ук> Ук+1> • • •» Уп* • • •>
где уп есть элемент группы Vn, называется цепью, если для
всякого n^k nn(yn+i) = tny^, где tt есть положительное целое число.
Определение II. Система цепей называется линейно
независимой, если соответствующие (т. е. имеющие одинаковые номера)
элементы этих цепей, рассматриваемые как элементы группы,
которой они принадлежат, линейно независимы в этой группе. Если
в данной последовательности гомоморфизмов можно найти сколь
угодно много линейно независимых цепей, то говорят, что эта
последовательность гомоморфизмов имеет бесконечный ранг, в
противном случае максимальное число входящих в данную
последовательность гомоморфизмов линейно независимых цепей называется
рангом этой последовательности. В то же время ранг прямой
последовательности гомоморфизмов определяется как ранг ее
предельной группы.
Включение теоремы двойственности Лефшеца в нашу теорию
производится через посредство следующей теоремы.
Две ортогональные (по модулю нуль) последовательности
гомоморфизмов имеют одинаковый ранг.
Прежде всего заметим, что эквивалентные последовательности
гомоморфизмов имеют одинаковый ранг. Для прямых
последовательностей гомоморфизмов это вытекает из того, что
эквивалентные последовательности имеют одинаковые предельные группы;
что же касается обратных последовательностей гомоморфизмов,
то для них наше утверждение вытекает из аналогичного
утверждения для двух последовательностей, из которых первая является
подпоследовательностью второй; а в этом специальном случае
наше утверждение доказывается молниеносно.
Назовем теперь обратную последовательность гомоморфизмов
полной, если при каждом п единственная подгруппа с делением
группы Vn, которая содержит тсп(Уп+1), есть сама группа Vn.
37) Мы рассматриваем только случай, в котором Мп есть обобщенное
пространство Пуанкаре; случай общего Мп разбирается аналогичным образом.

5. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ ЮЗ
Если !f(Vn, я) есть полная последовательность гомоморфизмов
и а есть какой-нибудь свободный элемент группы Vrn то
существует элемент ап+1 группы Vn+U такой, что nn(an+l) = tan при
надлежащим образом выбранном целочисленном t Ф 0. Это означает,
<iTO для любого свободного элемента ап произвольной группы V„
в W(Yn* n) найдется по крайней мере одна цепь, которая
начинается с ап. Если, далее, имеется система а\, я*, ..., а*
линейно независимых элементов группы Vn, то, очевидно, начинающиеся
с них цепи также линейно независимы. Из этого следует, что
ранг полной последовательности гомоморфизмов равен конечной
или бесконечной верхней границе рангов отдельных групп Vn.
Теперь мы докажем следующие две леммы.
Лемма I. Для любой обратной последовательности
гомоморфизмов ¥ (Vn, я) существует эквивалентная ей полная
последовательность гомоморфизмов.
Действительно, пусть Vnk—наименьшая подгруппа с делением
группы Vn4 которая содержит n%+kVn+k. Когда k возрастает, Vnk
может только убывать; следовательно, среди групп Vnk (n
фиксировано!) существует наименьшая подгруппа (Vn имеет конечное
число образующих); обозначим эту подгруппу через V'n. Положим теперь
V^ = V^ и также V^ = l/i и предположим, что группа V^. (а также
Vs.) уже выбрана. По определению, V's. есть наименьшая группа
среди групп Vs.k\ значит, это—некоторая группа Vs s. Мы
полагаем Vs, =VS.+S. Для любого A>s/+1 группа V's есть наимень-
»т1 • •
шая подгруппа с делением группы Vs, которая содержит л£Ул,
и, значит, которая содержит n%V'h. Из этого следует, что
lrrts* Jts* я*п+1
есть полная последовательность гомоморфизмов. Можно также
составить последовательность гомоморфизмов из последовательности
(3) V V V V V. V
отобразив VSn в VSn_t посредством отображения л1"_г и V'Sn в VSn
посредством тождественного отображения. Последовательность (3)
объемлет последовательность (2) и подпоследовательность V^,
1^а» • • • * Vsnt • • • первоначально заданной последовательности
^(Vnf я), вследствие чего последовательности (2) и ¥(Vn, я)
эквивалентны, и лемма I доказана.
Лемма II. Если последовательность ¥ (Vn, я) полна u¥(Un, <p)
еспгь последовательность гомоморфизмов, ортогональная к ¥ (V„, я),
^о гомоморфизмы <р все сплошь являются изоморфизмами.
I

104 5. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ |
Действительно, пусть а есть отличный от нуля элемент группы !
Uny который при гомоморфизме ф„ отображается в нулевой элемент
группы Un+1. Вследствие ортогональности групповой пары Uп%
Vn существует элемент b из Vnf такой, что а-ЬфО; так как
последовательность ¥(Vnt я) полна, то существует такой элемент
b'aVn+1, что nn(b') = tb (с t > 0). В этом случае, однако, ф„(я)-&'=
= а-пп(b') = ta-b=^0, и, следовательно, уп(а)ф0\ это противо- "
речие доказывает лемму II. i
Если теперь имеются две ортогональные последовательности
гомоморфизмов ¥ и ¥, to мы прежде всего заменяем их
по-прежнему ортогональными последовательностями ¥г и <Flt которые
эквивалентны, соответственно, последовательностям ¥ и ¥ и из
которых первая является полной последовательностью
гомоморфизмов, а вторая является прямой последовательностью
изоморфизмов. Ранг последовательности изоморфизмов, очевидно, равен
верхней грани рангов входящих в нее групп; так как
аналогичное верно для полных последовательностей гомоморфизмов и так
как соответствующие друг другу группы двух
последовательностей ортогональны и, значит, изоморфны, эти последовательности
имеют одинаковый ранг, что и требовалось доказать.
П РИЛ ОЖ Е НИ Е III
ПРИМЕР КРИВОЙ В Я3, ПЕРВОЙ ГРУППОЙ БЕТТИ ДОПОЛНЕНИЯ
К КОТОРОЙ СЛУЖИТ ПРОИЗВОЛЬНАЯ СЧЕТНАЯ АБЕЛЕВА ГРУППА
БЕЗ ЭЛЕМЕНТОВ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
Пусть U—произвольная абелева группа, которая состоит из
счетного числа свободных элементов а1у а2, ..., ап, ...; пусть
Ип—подгруппа группы £/, порожденная элементами аи а2, ..., ап.
Так как Vп есть подгруппа группы Un+lt возникает гомоморфизм
Ф„ группы Uп в Un+1 и, таким образом, прямая
последовательность гомоморфизмов ¥(Un, ф). Как легко видеть,
соответствующая предельная группа изоморфна U.
Так как Vп есть свободная группа с конечным числом
образующих, то существует ортогональная к Un группа Vn и,
следовательно, ортогональная к ¥(1)пУ ф) (обратная)
последовательность гомоморфизмов ¥(Vni л). Если х\, х\, ..., х%п — система
свободных образующих группы Vnt то (при надлежащим образом
выбранных целочисленных лс})
(1) М4^) = лфй.
Пусть Кп—линейный комплекс, который получится, если мы
отождествим между собой все вершины <х„-угольника. Мы
обозначим через х\, х„, ..., х%п выбранную наиболее естественным
образом систему одномерных циклов комплекса Кп> которые обра*

5# АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕМ ДВОЙСТВЕННОСТИ Ю5
ют одномерный базис этого комплекса. Легко построить
непрерывное отображение fn комплекса Кп+1 в Кп, при котором /„ (4+i)~
V ccxJ\ Вложим теперь без особенностей Кх в Rz в качестве
комплекса, составленного из ломаных линий, и выберем полиэдральную
окрестность Qx комплекса Ки такую, что всякий цикл из Qx
гомологичен в Qi некоторому циклу из К19 причем этим
устанавливается изоморфизм между группами Бетти комплексов Кг и Qle
Образ /1(^2) комплекса К2 лежит в Ки и произвольно малым
изменением отображения /х можно добиться того, чтобы это
отображение гомеоморфно отображало комплекс К2 на
вложенный без особенностей в Qx и гомеоморфный К2 комплекс /С2,
составленный из ломаных линий. Далее мы выбираем
содержащуюся в Qx полиэдральную окрестность Q2 комплекса /f2, такую,
что всякий лежащий в Q2 цикл гомологичен в Q2 циклу,
содержащемуся в /С2, и этим устанавливается изоморфизм между группами
Бетти комплексов Q2 и /С2, и продолжаем этот процесс. Таким
образом, получается последовательность вложенных друг в друга
полиэдральных областей Qu Q2, ..., Qn, ..., причем их можно
выбрать таким образом, что их пересечением будет некоторая
кривая F. При этом группа Бетти комплекса Qn+1 будет
гомоморфно отображаться в группу Бетти комплекса по формуле (1).
Группа, двойственная к получающейся таким образом обратной
последовательности гомоморфизмов (которая совпадает с группой,
двойственной к циклозису множества F), очевидно, изоморфна
группе- •£/, которая, таким образом, изоморфна первой группе
Бетти пространства Rz—F.
- В заключение хочется заметить, что уже множество всех
состоящих ;из счетного числа свободных элементов, попарно
различных в смысле изоморфизма абелевых групп ранга 1, имеет
мощность континуума. Из этого видно, в какой огромной мере теорема
инвариантности групп Бетти содержательнее теоремы
инвариантности для чисел Бетти.
(Поступило .24.12.1930)

6
О НЕПРЕРЫВНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТЕЛАХ*) **)
§ 1
Цель этой работы состоит в том, чтобы дать топологическую
характеризацию тел действительных и комплексных чисел
(теорема II). Если мы откажемся от условия коммутативности,
которое играет важную роль в этой характеризации, мы получим еще
тело кватернионов (теорема I).
За постановку вопроса, которая привела к этой работе, а
также за многочисленные советы в ходе доказательства и при
редактировании статьи я благодарю г-на А. Колмогорова.
§2
Определение I. Множество К элементов a, bt с, ...
образует непрерывное тело> если выполнены следующие условия:
1. К есть топологическое пространство1),
2. К есть алгебраическое, вообще говоря, не коммутативное,
тело,
3. функции ft(ay b)=a + b, f2(a,b)^abt f3{a)=*—a, fi(a) — a~l
непрерывны (всюду, где они определены, ибо flf f2 и f9
определены во всем пространстве, а /4—всюду, за исключением точки
нуль).
В дальнейшем мы всегда будем понимать под телом
непрерывное тело.
Определение II. Два непрерывных тела называются
изоморфными, если одно можно взаимно однозначно отобразить на
*) Ober stetige algebraische K6rper//Ann. Math.—1932.—V. 33, N2 1.—
P.J163—174.— Перевод Д. Б. Фукса.
.*i>**) Получено 17 мая 1931 г.
1) Множество R элементов произвольной природы называется
топологическим пространством (см. Alexandroff, Math. Ann. 96, S. 555)^ если для всякого
подмножества М множества R определено его замыкание М, причем
выполняются следующие условия.
I. Множество, состоящее из одной точки, совпадает со своим замыканием.
II. 7+£=Т+Я. III. Щ= А.
Множества, которые совпадают со своими замыканиями, называются
замкнутыми, их дополнения называются открытыми. Всякое открытое множество,
которое содержит некоторую данную точку, называется окрестностью этой
точки.

6. О НЕПРЕРЫВНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТЕЛАХ 107
пугое таким образом, что как алгебраические, так и
топологические отношения в обоих полях соответствуют друг другу (т. е.
отображение одновременно представляет собой изоморфизм тел и
гомеоморфизм топологических пространств).
Теорема I. Всякое непрерывное локально бикомпактное2)
связное тело К изоморфно телу действительных чисел, телу
комплексных чисел или телу кватернионов.
Теорема II. Всякое непрерывное локально бикомпактное
связное коммутативное тело К изоморфно либо телу
действительных чисел, либо телу комплексных чисел.
В формулировках теорем I и II можно заменить условие би-
компактности условием, что К есть хаусдорфово локально
компактное пространство, удовлетворяющее первой аксиоме
счетности.
Теорема 1а. Всякое непрерывное локально компактное
связное тело К, в котором выполнены первая аксиома счетности
а аксиома отделимости Хауедорфа, изоморфно телу
действительных чисел, телу комплексных чисел или телу
кватернионов.
Теорема Па. При выполнении условий теоремы 1а и
дополнительного условия коммутативности тела К это тело
изоморфно Либо телу действительных чисел, либо телу
комплексных чисел.
Мы докажем, что условия теоремы 1а следуют из условий
теоремы I, после чего мы должны будем доказать только теорему 1а:
теоремы II и Па непосредственно следуют из^ теорем I и 1а
ввиду некоммутативности тела кватернионов.
§ з
В любом непрерывном теле К справедливо следующее
предложение, которое не нуждается в доказательстве.
Лемма I. Если афО, то отображение
х' = ах+Ь
тела К на себя является топологическим (т. е. взаимно
однозначным и взаимно непрерывным) отображением.
Эта теорема показывает, что К топологически однородно, т. е.
что можно посредством топологического отображения всего тела
на себя перевести любую точку а в любую точку Ь: действительно,
Достаточно применить отображение х' = х—а+Ь.
2) По поводу компактности и компактности в малом, а также по поводу
Апологических понятий, употребляемых в дальнейшем (таких, как аксиомы
0тДелимости, в частности, аксиома регулярности, а также аксиомы счетности
11 т- п.), см. Alexandroff, Math. Ann. 96, S. 555, а также Alexandroff, Urysohnv
Math. Ann. 92.

108 6- О НЕПРЕРЫВНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТЕЛАХ
§ 4
В этом параграфе мы предполагаем, что тело К локально
бикомпактно и связно.
Лемма II. Существует счетное множество ах, а2, ..., аг,... (1)
элементов тела К, для которого 0 является точкой
накопления.
Доказательство. Из того, что К связно, следует, что
всякая его точка является точкой накопления (К содержит по
крайней мере два элемента: нуль и единицу). Пусть
G—открытое множество, замыкание G которого компактно. Так как
всякий элемент тела является точкой накопления, множество G
содержит бесконечно много элементов. Пусть bx, b2, ..., br, ..., (2)
— счетное бесконечное множество элементов из G и Ь—точка
накопления этого множества. Легко видеть, что нуль является
точкой накопления множества Ьх—b, b2—b, ...,br—Ь, ...
Лемма III. Пусть F—бикомпактное множество3) и
\*) ^*и а2, ■ • •» аг, • • .
— последовательность элементов, для которой нуль является
точкой накопления у и пусть G—окрестность нуля. Тогда
существует п такое, что Fn = Fan с G3a).
Доказательство. Для любой точки а существуют
окрестность G(a) точки а и окрестность G'(а) нуля такие, что если
xaG(a) и у с G' (а), то ху лежит в G. Когда а пробегает все
множество F, области G(a) покрывают F\ ввиду бикомпактности
множества F из этой покрывающей системы можно выбрать
конечную подсистему G(a(1>), G(ai2)), ...,G(a{k)), которая уже
покрывает F; обозначим через G' пересечение множеств G'(a(1)),
G'(a<2)), ..., G'(a{k)). Легко видеть, что произведение
произвольного элемента из F и произвольного элемента из G' лежит в G.
Так как G' есть окрестность нуля, то среди элементов
последовательности (1) найдется элемент ап с G'; но из этого следует, что
Fncz G, что и требовалось.
Лемма IV. К есть регулярное хаусдорфово пространство,
удовлетворяющее первой аксиоме счетности.
Доказательство. Пусть U—окрестность нуля, имеющая
бикомпактное замыкание U, и пусть Ьп—последовательность, для
которой нуль является точкой накопления. При произвольном
выборе окрестности V нуля и при соответственном выборе числа п
имеет место включение U • bn <z V, откуда следует, что открытые
множества U-bn составляют счетную систему окрестностей нуля,
удовлетворяющую условию регулярности.
3) Т. е. F, рассматриваемое как топологическое пространство, бикомпактно*
за) Если X есть подмножество тела К я у есть точка из /С, то Ху
обозначает множество всех точек ху, где х принадлежит X.

6. О НЕПРЕРЫВНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТЕЛАХ 109
Ввиду однородности К (лемма I) такая система окрестностей
уществует у любой точки х. Из этого вытекает, как известно, и
ксиома отделимости Хаусдорфа (потому что если х и у—две
точки, V(x) не содержит у и U(x) содержится в V (х), то U (х)
К О (х)—непересекающиеся окрестности точек х и у).
Таким образом, мы видим, что К удовлетворяет
предположениям теоремы 1а. Теперь мы переходим к доказательству этой
теоремы.
§5
Мы предполагаем, что К локально компактно и связно и
удовлетворяет первой аксиоме счетности и аксиоме отделимости
Хаусдорфа. Если х—точка накопления множества Е, то мы
можем выделить из Е последовательность, которая сходится4) к х.
Это позволяет нам проводить все исследование при помощи
понятия сходящейся последовательности.
Лемма V. Если последовательность Ьп сходится к нулю, то
последовательность Ь^1 не имеет ни одной точки накопления.
Действительно, если бы точка с была точкой накопления
последовательности Ьп1, то у последовательности хп — Ьп • Ь^1 = 1
точка 0-с = 0 была бы точкой накопления, что, очевидно,
невозможно.
Лемма VI. Для каждой точки а существует сходящаяся
к этой точке последовательность точек, отличных от а.
Доказательство. Это вытекает из того факта, что а не
есть изолированная точка и из первой аксиомы счетности.
Лемма VII. К не компактно.
Действительно, в силу леммы VI существует
последовательность Ьп с ЬпфО, limfr„ = 0. Последовательность Ь~х в силу
леммы V не имеет ни одной точки накопления.
Лемма VIII. Если F компактноь), V есть окрестность нуля
и limb„ = 0, то F-bnc:V для достаточно больших п.
Докажем это от противного. Пусть существует бесконечно
много произведений xn = fnbkn (fn a F), которые лежат вне V. Но
последовательность fn имеет точку накопления /, в то время как
bim сходятся к нулю. Следовательно, хп имеют точку накопления
/•0 = 0, что невозможно, так как все они лежат вне V.
Лемма IX. Пусть U и V—две окрестности нуля с
компактными замыканиями. Если последовательность ап не имеет точек
Скопления, то для достаточно больших п граница U'
множества U обязательно имеет общие точки с V-an.
4) Последовательность Xi, х2, ..., хп, ... сходится к х> если всякая
окрестность точки х содержит все точки этой последовательности, кроме конечного
числа.
5) Слово «компактно» означает «компактно в себе» (т. е. компактно и
замкнуто).

по
6. О НЕПРЕРЫВНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТЕЛАХ
Доказательство. Рассмотрим пересечение D(U, Va ). 3tq
множество компактно и содержит нуль. Так как само К не ком*
пактно, это множество является собственным подмножеством
множества К. Так как, далее, К связно, граница множества D(U, Vau)f
т. е. множество D(U\ Van) + D(U, V'an) является непустым. Если
бы для бесконечно многих п первое слагаемое было бы пусто, та
для этих п было бы отлично от нуля множество D(U, Va). Дру,
гими словами, существовали бы последовательности ukczU, vk<zV*
и подпоследовательность ап последовательности ап, такие, что uk^
= vkan.. Очевидно, можно предположить, что ик и vk—сходящиеся
последовательности с
limuk=u cz U и limvk = v с: V.
При этом v из-за последнего соотношения заведомо отлично от
нуля (ведь V— граница множества V). Следовательно, liman =
= \\mvi1uk — v~1u, что противоречит отсутствию у
последовательности ап точек накопления.
Лемма X. Если последовательность аг не имеет точек
накопления, то последовательность а^1 сходится к нулю.
Достаточно доказать, что если последовательность ап не имеет
точек накопления, то нуль является точкой накопления
последовательности Я/71: в этом случае нуль будет точкой накопления и
для любой подпоследовательности последовательности а^1, из чего
вытекает, ввиду первой аксиомы счетности, что вся
последовательность ап сходится к нулю.
Пусть U и V—две окрестности нуля с компактными
замыканиями (ср. лемму IX). Для всех достаточно больших п
пересечение D(U', Van) непусто, так что в V можно таким образом
выбрать точки vn, что все точки un — v,an принадлежат [/'. Можно
выбрать, далее, подпоследовательности ип , vn таким образом,
что последовательность ип сходится к и cz U' и
последовательность vn^ сходится к vciV и при этом и =7^=0. Тогда
последовала
тельность аГ1 = Un*vn, должна сходиться к u~xv\ так как ant_ не имеет
R К К К
точек накопления, u~xv должно быть нулем, что и требовалось.
Лемма XI. Если ап не имеет точек накопления, F компактно
и V есть окрестность нуля, то FaVan при достаточно
большом п.
Действительно, ввиду леммы X последовательность а^1
сходится к нулю, и потому Fa^1 с: V при достаточно большом п%
откуда вытекает наше утверждение.
Лемма XII. Если F компактно, V открыто, последователь-
ность рп сходится к р и Fp содержится в V, то Fpn cz V npi*
достаточно большом п.

6. О НЕПРЕРЫВНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТЕЛАХ \Ц
В противном случае существовала бы последовательность fkczF,
ая что для бесконечно многих п, равных, скажем, пк, точки
таК f'n лежали бы вне V. Так как последовательность рп схо-
тся к р> а последовательность fk имеет точку накопления fa r,
дИ для последовательности хк точка fp czV должна быть точкой
Скопления, что противоречит определению последовательности хк.
Лемма XIII. Если F произвольно, U замкнуто и lim/?„ = /?,
то из FpncU следует, что и FpaU.
В противном случае в F нашлась бы точка f, такая, что
fp ф U> но тогда бы и почти все fPn лежали вне U, что невозможно.
Лемма XIV. Пусть а—произвольная точка тела К. Если
для последовательности a, а2, а3, ..., ап, ... (которая называется
степенной последовательностью для а) нуль является точкой
накопления, то эта последовательность сходится к нулю, и тем
же свойством обладает степенная последовательность для любой
точки Ь из надлежащим образом выбранной окрестности точки а.
Доказательство. Для любой окрестности G нуля,
замыкание которой компактно, в силу леммы VIII существует такое т,
что Gam с: G. Ввиду леммы XII аналогичное включение
(1) Gb»c:G
имеет место для всякой точки Ъ из некоторой окрестности U(a)
точки а.
Мы хотим показать, что при выполнении условия (1)
последовательность Ьп сходится к нулю.
Многократное применение формулы (1) показывает, прежде
всего, что при любом целом q
(2) GMm с Gfr^""mc...(zGbmc:G.
Если с с G, сфО, то из (2) следует, что
сЪ*м cCcG, и потому №т с c~lG.
Все точки вида Ъ*т лежат, таким образом, в компактном
множестве с~Ю, так что последовательность №т имеет хотя бы одну
точку накопления.
Предположим теперь, что указанная последовательность имеет
точку накопления, отличную от нуля. Тогда можно выбрать
сходящуюся к этой точке подпоследовательность bmq*, причем,
очевидно, можно считать, что разность qk—qk_tz=svk будет при
больших k сколь угодно велика. Очевидно, что последовательность
* * будет тогда сходиться _к единице 1 тела /С. С другой
стороны, в силу (2) мы имеем G&V1 c Gbm a G.
Применение леммы XIII (в которой в качестве множества U
**Ужно взять множество Gfe*) дает тогда G =G-1 с Gft" с G, что
^возможно, поскольку К связно.

112 6. О НЕПРЕРЫВНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТЕЛАХ "*
с
Очевидно, то же имеет место для любой последовательности!
вида Ът*+к с постоянным fe. Так как, однако, вся последователь*'
ность Ьп составлена из т последовательностей этого вида (кото*
рые получатся, если придавать k значения от 0 до т—1), tq
эта последовательность также сходится к нулю, что и требовалось.
Лемма XV. Если последовательность ап содержит подпоем
довательность, не имеющую точек накопления, то и вся
последовательность ап не имеет точек накопления. Тем же свойством
обладает степенная последовательность для любой точки Ь из
некоторой окрестности U(a).
Доказательство. В силу леммы X точка нуль является
точкой накопления последовательности а~п\ следовательно, после-
довательность а~п, а с ней и всякая последовательность Ьп с ft из
некоторой окрестности точки а"1, сходится к нулю. Из этого
следует, ввиду леммы V, что последовательности ап и Ь"п не
имеют точек накопления.
. Лемма XVI. Тело К распадается в объединение трех попарно
непересекающихся множеств X, \х ар, где для всякой точки,
принадлежащей X, соответственно \i, степенная последовательность
сходится к нулю, соответственно не имеет точек накопления,
Множество р состоит из всех точек, степенные
последовательности которых не содержат подпоследовательностей, не
имеющих точек накопления, и в то же время обладают тем
свойством, что нуль не есть их точка накопления.
Доказательство. Это следует из лемм XIV и XV.
Лемма XVII. Множество Х + р компактно.
Доказательство. Предположим, что в X + р существует
последовательность хп, не имеющая точек накопления. Тогда
в силу леммы X последовательность х^1 сходится к нулю, и так
как X есть окрестность нуля, все хй1, кроме конечного числа,
содержатся в X. Пусть #,7Х с X. Тогда в силу леммы V
последовательность х% не имеет точек накопления, т. е. хп
принадлежит |х, что противоречит нашему предположению.
Лемма'XVIII. Если элемент а с: Х + р перестановочен с лю*
бым' элементом тела /С, то Ха с X.
Доказательство. Если х с X, то последовательность
х, 'х2, ..., хп, ... сходится к нулю; так как, далее,, у последова-.
тельности а, а2, ..., ап, ... нет подпоследовательностей, не
имеющих точек накопления, то последовательность ах, а2х2, ..., апхп,'.-
также сходится к нулю. Но так как эта последовательность!
ввиду равенства ах — ха, совпадает с последовательностью хй,
(ха)2, . .., (ха)п, ..., то хасХ. Следовательно, Ха с X, и,
применив к обеим частям этого включения операцию замыкания, Mtf
получаем: Хаа X.
Лемма XIX. Пусть q—произвольный отличный от нуля
элемент тела К и F—компактное подмножество тела К. Тогда

6. О НЕПРЕРЫВНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТЕЛАХ
113
F сиЩесгпвУет конечная система элементов ах, а2, ..., ат, такая,
в о для всякого элемента х из F существует а[у для которого
Доказательство. В противном случае существовала бы
бесконечная последовательность
(1) ' ^1» ^2» ' • ' у &п* • • •
элементов, множества F, такая, что если 1Ф\, то а{—ау <£ hq.
Однако, это невозможно: последовательность (1) обязательно имеет
точку накопления а, и если подпоследовательность ап. сходится
К а, то последовательность ап. — ап. сходится к нулю, и потому
для достаточно больших i сгп.—ап.+1 с Kq.
Лемма XX* Если F—компактное подмножество тела К и
р произвольный отличный от нуля элемент тела /С, то для
всякого целого числа k. существует целое число N, такое, что если
[1] «^1» Х2 у . • . , X
Л
— произвольные N элементов множества F, то среди них
найдутся k элементов хПх> хПг, .. •, хп таких, что хп.—лгЛ.сХ/7 при
любых i и j (i, /<fe).
Доказательство. Ввиду леммы VIII множества Xq с
произвольными q составляют полную систему окрестностей нуля.
Поэтому можно так выбрать q, что из x1czAq9 x2czKq следует, что*
#! + x2czkp. Для таким образом выбранного q выберем систему
элементов а19 а2, ..., ат, удовлетворяющую условиям леммы XIX,
и положим N = km. Тогда всякому х£ из системы (1),
соответствует такой элемент аг, что х{—arczkq. Так как, однако,
N = km, то существует такой элемент аг, который таким образом
соответствует k элементам системы (1), скажем, элементам хП1,
хпг, •.., хп . При таком выборе мы имеем для i, j ^k: xn.—агс=
cJl<7» ar—хп^Ц, и потому хп— хп={хп.—ar) + (ar—xnj)aXp.
Лемма XXI. Обозначим через Хп множество всех элементов?
вида л^ + ХзН- • • • + *«» где х(аК Тогда:
1. К есть открытое множество;
2. его. замыкание Кп состоит из всех элементов вида хг + х2+
+ • •. + хп, где Х;с:Х, поэтому Хп компактно;
3. множество Уп = Хп—Хп непусто.
Доказательство. Утверждения 1 и 2 очевидны, утверж-
Дение 3 из них следует, поскольку К связно и некомпактно.
Лемма XXII. Если jealr и yals, то x+yc:Xr+s; если
Х^К и yaXs, то x+yaXr+s. _
Лемма XXIII. Если хаХг и yaXs, то х+ yahr+s.
Доказательство. Так как yahs, то для каждой окрест-
ности G нуля существует элемент zaG, такой, что у—zahs. Так
L

114
6. О НЕПРЕРЫВНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТЕЛАХ
как, однако, Хг есть открытое множество, то x + zczXr при доста*
точно малом G, поэтому х + у = (х 4- г) + (у—z), х + z cz Xr, у—zc Jt
откуда следует, ввиду леммы XXII, что х+ yaXr+s.
Лемма XXIV. Для всякого целого k > 1 существует такое
<йкаХ, что кык(£Хкшт1.
Доказательство. Пусть рф® выбрано таким образом,
что из у{аХру t= 1, 2, ..., k— 1,следует,чтоуг+у2+^. -f^-icx!
(Такое /7 существует, так как множества Хр составляют полную
систему окрестностей нуля.) Пусть N—целое число, соответ-
ствующее, согласно лемме XX, элементу /?, числу k и множеству
F = X. Пусть, далее, zczX'N. (Такое z существует в силу леммыXXI.)
Тогда z = x1 + x2+ ... + xs% xn<zX. Ввиду леммы XX мы можем
считать, что для первых k элементов этой суммы имеет месп)
включение х,—х;аХр (/, /<£). Мы получаем: г — (хг—xk) +
+ (*2—**) + - • • + (**-i—**) + kxk + xk+1 + xk+2 + ... + xN. Так
как x{—xkcXp (i < k), то x' = (xt—xJ) -f- {x2—xk) + ... -f
+ (xk_x—xk)czX. Далее, из включения xnczX следует» что х" =
= xk+l + xk+2+ ... + xNcXN_k. Следовательно, ввиду леммы
XXIII, мы имеем: х' + x?czXN„k+1. Из этого и из кхксХк^г ввиду
той же леммы XXIII следовало бы, что zcXN, что противоречит
предположению. Следовательно, kxk<£Xk_x, и мы можем положить
«>* = **•
Лемма XXV. Тело К имеет характеристику нуль.
Доказательство. Предположим, что тело К имеет
характеристику рФО. Тогда рх = 0 для произвольного xcz К. Это
невозможно, однако, поскольку, ввиду леммы XXIV, ри>р<£Хр_г и
при р > 1 множество Хртт1 содержит нуль.
Лемма XXVI. Если е есть единица тела К и т и п—двй
целых положительных числа (т^п), то Хт--~ з X.
9*
Доказательство. Всякий элемент множества Хпе можно
представить в виде х+ х-f-... + дг+ 0+ 0 + ... + 0 (# взято п раз,
О взят т—п раз), где хсХ. Ввиду леммы XXI из этого вытекает,
что Х-пеаХт. Умножая обе части этого включения на —-, мы
получаем: ХаХм~.
Лемма XXVII. Элемент —е лежит в Xt p или р, если, cootfir
еетственно, т< я, т = л или т> п.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай т > я. Если
бы было —еаХ + р, то ввиду леммы XVIII *»•— еаХ, поскол^
ку элемент —е перестановочен со всеми элементами тела /О Та*

6. О НЕПРЕРЫВНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТЕЛАХ
115
^ сх, то—о),лсХ и, следовательно, тсо^с:Я„; ввиду леммы
XXIV мы знаем, однако, что тыт не лежит в 1т-г. Из этого
«текает, что п>т— 1 и, значит, п^т (в противном случае
было бы mco^cl^c:^.!), что противоречит предположению. Зна-
чит, хеС=^
Если т<п, то —ecfi, и следовательно, ввиду леммы Х„
Наконец, если т = п, то — е = еср.
Лемма XXVIIL Последовательность
\ \\ Is, ^>С, • • • , /fcC, . . .
яе имеет точек накопления, а последовательность е, -~ , ..., — , ...
сходится к нулю.
Доказательство. В противном случае существовала бы
сходящаяся подпоследовательность последовательности (1) пхе,
п£у .. •, Я/А -.., в которой числа nk составляют возрастающую
последовательность. Последовательность (л2—п^е, (п3—п2)е, ...
...,(n^—n>k-\)e> • • • сходилась бы тогда к нулю, что невозможно^
поскольку в силу леммы XXVII все элементы (nk—nk_^)e лежат
вне X, г % есть окрестность нуля.
Из того, что последовательность е, 2е, ..., пе, ... не имеет
предельных точек, следует, ввиду леммы X, что
последовательность е, е/2, ..., е/п, ... сходится к нулю.
Лемма XXIX. К содержит тело R, которое изоморфно-
обычному непрерывному телу рациональных чисел.
Доказательство. В силу леммы XXV тело К содержит
тело R, которое в чисто алгебраическом смысле изоморфно телу
рациональных чисел; при этом каждый элемент тела R
записывается в виде re, где г есть произвольное рациональное число.
В силу леммы XXVIII открытые множества Я — составляют пол-
нУю систему окрестностей нуля тела /С. Из этого следует, что
пересечения множеств %•— с R составляют полную систему окрест-
it
ностей нуля в R. Эти пересечения состоят, ввиду леммы XXVII,
Из таких элементов re, что \г\<1/п. Таким образом, R
в Действительности изоморфно непрерывному телу рациональных
чисел.
Лемма XXX. В теле К справедлив критерий сходимости
^°ши, т. е. для сходимости последовательности
• • •
U\y £*2, • • • > Un,
необходимо и достаточно, чтобы для всякой окрестности нуля U

116 6. О НЕПРЕРЫВНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТЕЛАХ I
~ч
существовало целое число N, такое, что из г > N, s > N следует 1
что ar—asaU. 1
Доказательство. Необходимость этого условия непосред,!
ственно очевидна; докажем, что оно достаточно. Если последоЛ
вательность (1) удовлетворяет критерию сходимости Коши, то
существует такое N, что aN+r—aNak\ так как X компактно, т^
последовательность aN+1—aN> aN+2—aN, ..., aN+k—aA-, ... имеет
по крайней мере одну точку накопления а и не содержит под* I
последовательностей без точек накопления; следовательно, после*
довательность (1) имеет точку накопления aN + а; с другой стороны,
она имеет, как легко понять, не более одной точки накопления
и не содержит последовательностей, не имеющих точек накоплю
ния. Значит, она сходится.
Лемма XXXI. Тело К содержит тело D, изоморфное обыч*
ному непрерывному телу действительных чисел; при этом всякий
элемент из D перестановочен с любым элементом из К.
Доказательство. При помощи лемм XXIX и XXX легко
убедиться в том, что замыкание R — D изоморфно непрерывному
телу действительных чисел. Так как всякий элемент тела R
перестановочен со всяким элементом тела /С, то то же верно для
всякого элемента замыкания D = /?.
Лемма XXXII. Пусть Ап—множество элементов из К,
имеющих вид
X = 0&j#i Т" 0^2*^2 "Т • • • "г ^п^п»
еде х1У х2, ..., хп—данные элементы тела /С, а а,-—переменный
коэффициенты, лежащие в D. Тогда если Ап не совпадает с /С,
то существует элемент zcp, для которого не существует пред'
ставления вида
z = x + z'y хсАп, z'aX.
Доказательство. Множество Ап замкнуто в /С. Поэтому
если а (£ АпУ то среди окрестностей элемента а, имеющих вид
а + Ха (ac:D), которые составляют полную систему окрестностей
элемента а, существует такая, которая не пересекается с Ля-
Положив а' = aa"1, мы получим, что множество a' -)-А, = (а + Ха) a~*
не пересекается с Ап = Апа"1. Пусть теперь Вп—множество
элементов вида x+z, xaAn9 zczX. Очевидно, Вп есть открытое
множество и а' не принадлежит Вп. Так как К связно, у множеств*
Вп имеется по крайней мере одна граничная точка. Пусть Ъ-~
такая точка и пусть xk + zk (xkaAnt zkaX)—последовательность,
сходящаяся к Ъ. Точки zk имеют по меньшей мере одну точку
накопления z и точки xk имеют поэтому точку накопления х = Ь—-*•
Поскольку хаАп, b = x-\-z> точка z не может принадлежать *»
но, как предельная точка последовательности zkak, она прй'
надлежит X; следовательно, zcp. Если бы г можно было преД'

6. О НЕПРЕРЫВНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТЕЛАХ П7
йТь в виде z = x'-f-z', x'cAti9 z'aX, то было бы Ь = х + х' +
стаВ'-= х?' +*''у х"с:Ап. Тогда Ъ должно было бы принадлежать В.,
+г нев0зможно. Следовательно, z удовлетворяет всем условиям
леМгуеМма XXXIII. Существует конечный линейно независимый
базис
(\\ Xi, л2, • • • , Хт
тела К над D, т. е. всякий элемент К может быть одним и
только одним способом представлен в виде
т
(2) ,?,a|'Xl" (a/cD)-
Доказательство. Пусть хх = е. Предположим, что в К уже
имеется система
\о) Xit л2> • • • , Хп
линейно независимых над D элементов, такая, что х{ар и
х— Xj(£k при 1ф]\ Тогда либо множество элементов вида
п
(4) 2 «/*/ KcD)
i = l
совпадает с /С, либо можно расширить эту систему при помощи
леммы XXXII до системы х19 х2, ..., хп, ха+1, которая
удовлетворяет тем же условиям. Ввиду компактности множества р и ввиду
леммы XX это расширение системы (3) не может продолжаться
бесконечно и, значит, в конце концов мы получим систему (1),
которая представляет собой линейно независимый базис тела К
над D.
Лемма XXXIII означает, что тело К изоморфно некоторой
алгебре с делением над телом действительных чисел в смысле
Диксона. В этом случае тело К должно быть изоморфно одному
из тел, названных в теореме I, как это было впервые доказано
Фробениусом6). Доказательство этой теоремы, не использующее
сложный вспомогательный аппарат Фробениуса, имеется в книге
Диксона «Алгебры и их теории чисел» (немецкое издание, с. 46,
теорема V).
') Journal fur reine und angewandte Mathematik, Bd. 84.

7
ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП *)i}
ВВЕДЕНИЕ
Цель настоящей работы—произвести исчерпывающее исследи
вание структуры непрерывных локально компактных коммутатив-
ных групп, удовлетворяющих второй аксиоме счетности2).
1. Содержание. Я начну с обсуждения компактных групп,
Главный метод при этом заключается в установлении соответствия
между непрерывными и дискретными группами: всякой
дискретной коммутативной группе © соответствует компактная коммут*
тивная группа X, которая называется группой характеров труп-
пы ®. Первая глава этой работы посвящена изучению связи
между группами ® и X. Она написана в форме, наиболее
удобной для применений к комбинаторной топологии. Во второй главе
я покажу, что всякая компактная коммутативная группа является
группой характеров некоторой дискретной группы; при этом
используются результаты работы Ф. Петера и Г. Вейля3), а также
результаты Хаара4). Взаимно однозначное соответствие, которое устанавл*
вается таким образом между компактными коммутативными
группами и дискретными коммутативными группами, позволяет н»
свести изучение первых к изучению последних. Этот факт
иллюстрируется первым и вторым дополнениями к работе.
В первом дополнении я установлю полную эквивалентность
между проблемой разложения компактных коммутативных групи
в прямую сумму и соответствующим вопросом, касающимся
дискретных коммутативных групп. Я приведу здесь также некоторые
контрпримеры. Второе дополнение устанавливает связь меЖЙ
простейшими топологическими свойствами группы X и
алгебраическими свойствами группы
*) The theory of topological commutative groups//Ann. Math.— 1934.—^'
35, № 2.—P. 361— 388.— Перевод Д. Б. Фукса.
г) Результаты этой работы были доложены в сжатой форме на МежДУ88'
родном математическом конгрессе 1932 г. в Цюрихе.
2) По поводу основных понятий теории непрерывных, т. е. топологически
групп см. D. van Dantzig, Zur topologischen Algebra 1, Math. Ann. 107 (l***1,
pp. 587-626. ,
3) F. Peter, H. Weyl. Die Vollstandigkeit der primitiven Darstellungen ей*
geschlossenen kontinuierlichen Gruppe. Math. Ann. 97 (1927), pp. 737. .
4) A. Haar, Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Grupr
Ann. of Math. (2) 34 (1933), pp. 147—169.

7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП 119
о главе 3 я рассмотрю локально компактные группы (которые
бязаны быть компактными), ограничившись при этом случаем
й6 °ных групп. Прежде всего я покажу, что всякая такая группа Q
Задает подгруппой Д, не имеющей в Q предельных элементов
такой, что факторгруппа Q/A компактна. Этот результат, кото-
И и доказывается чисто топологическим образом, позволяет нам
РЬ1СТЙ изучение некомпактных групп к рассмотрению компактных
Cnvnn, уже обсужденных в предыдущих главах. Аналогичным
Образом я покажу, что группа Q разлагается в сумму некоторой
компактной группы и системы групп, изоморфных аддитивной
группе действительных чисел,
В четвертой и последней главе я исследую структуру локально
связных локально компактных связных групп. Оказывается, что
всякая такая группа есть прямая сумма конечного или счетного
числа групп К и конечного числа групп, изоморфных
аддитивной группе действительных чисел. Группа К есть так называемая
непрерывная циклическая группа, т. е. аддитивная группа
действительных чисел, определенных с точностью до прибавления
целого числа.
2. Обозначения. Непрерывная циклическая группа, а именно
аддитивная группа действительных чисел, определенных с
точностью до прибавления целого числа, имеет для этой работы
первостепенное значение, поскольку с ее помощью мы получим
понятие группы характеров. Мы обозначаем эту группу буквой К.
Все группы, рассматриваемые в этой работе, коммутативны и
всюду, за исключением главы 2, для них используется
аддитивная запись. Все рассматриваемые непрерывные группы локально
компактны и удовлетворяют второй аксиоме счетности. Все
дискретные группы содержат не более чем счетное число элементов.
Непрерывные группы обозначаются прописными греческими
буквами, а их элементы обозначаются строчными греческими
буквами. Дискретные группы обозначаются прописными готическими
буквами, а их элементы обозначаются строчными готическими
буквами.
I. ГРУППА ХАРАКТЕРОВ
Здесь я исследую связь между дискретными и непрерывными
гРУппами и покажу, что всякой дискретной группе соответствует
^которая непрерывная группа, и наоборот; эти соответствия
8заимно обратны. Более того, это соответствие между группами
п°зволит мне установить соответствие между их подгруппами.
Все рассматриваемые здесь непрерывные группы
предполагали компактными.
J. Определение 1. Пусть К—непрерывная группа враще-
гИи окружности, которую мы рассматриваем как аддитивную
РУппу действительных чисел, определенных с точностью до при-
^ления целого числа, и пусть ®—дискретная группа.

Д20 7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП
i
Обозначим через X множество всех гомоморфных представ^
ний группы @ в группу К. Множество X образует непрерывную
группу в следующем естественном смысле. Последовательность »
а2, ...,а„, ... элементов множества X считается сходящей^!
к элементу а, если для каждого ус® lim a„ (j) = a(x)5). щ
п-*-<х>
называем суммой двух элементов а и а элемент а, такой, ^
a' (f) + a" (j) = a (j) для каждого jc®. Легко видеть* что такщ
образом определенные операции удовлетворяют всем аксиом*
непрерывной группы. Получающуюся группу X мы будем назц.
вать группой характеров группы ®.
Замечание 1. Если ® есть конечная группа, .то. данное
здесь определение группы характеров совпадает с обычным опр&
делением. Действительно, группа характеров группы ® обычно
определяется как группа гомоморфизмов группы ® в
мультипликативную группу комплексных чисел; но поскольку все элемента
группы ®, в силу ее конечности, имеют конечный порядок, oi
должны, отображаться в комплексные числа абсолютной вел&
чины 1. А мультипликативная группа комплексных чисел абсо.
лютной величины 1 изоморфна группе К. Действительно, пусть?
есть комплексное число и | z | = 1. Поставим его в соответсты!
с действительным числом, равным log г/2ш. Это число определен
с точностью до прибавления целого числа и, таким образом, за
дает элемент группы К. Легко видеть, что построенное эти»
способом соответствие есть изоморфизм. .к. ,г. .,.,«•
Теорема 1. Группа характеров дискретной группы всегд}
компактна и удовлетворяет второй аксиоме счетщсти.
Доказательство. Пусть аи а2, ..., ап, ...—
произвольная последовательность элементов группы X и jlt j2, ,.., £„, .. .-
упорядоченная последовательность всех элементов группы ©..Рас*
смотрим,последовательность a^jj, ^(rj, ..., <хп(хЛ), ... элемев*
тов группы К. Так как группа К компактна, существует пои-
последовательность ait (jx), щж ($0, .. •, щп (ji), ..., сходящаяся в К
к некоторому предельному элементу. Рассмотрим теперь послеДО
вательность щх (j2), а^(у2), ..., а1и({2), ..., из которой мы снова
можем выбрать сходящуюся подпоследовательность at-. (Х2)у а^. (Х*)»"'
••• > ai* fe)» ••• Продолжая действовать таким образом и при*
меняя затем диагональный процесс, т. е. образуя последбЁатель-
ность ay» a,, ас., ..., мы приходим к сходящейся последователь*
ности элементов группы X, завершая тем самым доказательств
компактности этой группы.
Чтобы доказать вторую аксиому счетности, зададим тополе*
гическую структуру группы X посредством окрестностей. ^
5) Под a (£) я понимаю функцию, которая ставит в соответствие ПР ..
вольному элементу ^С© элемент a ($) группы К, который определяется г^
морфизмом.

7 ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП 121
сделать следующим образом. Возьмем асХ и рассмотрим
моЖНО ОКрестность U элемента а. Пусть is — некоторый ин-
слеД^п в К, содержащий a(j5) (s= 1, 2, ..., т) и такой, что
терва*' ы рациональные числа. Тогда по определению Pet/,
€Г0 g(x )cir Легко видеть, что данное здесь определение окрест-
еСЛтей приводит к топологической структуре в X, которая не
нос ается от структуры, задаваемой определением 1, но аксиома
°Тртности выполняется здесь очевидным образом, поскольку
описанная система окрестностей счетна
2. Лемма 1. Пусть (У—группа, <р—подгруппа группы ($,
х-некоторый элемент группы ®, не лежащий в <§, и
а—некоторый гомоморфизм группы «§ в К (как обычно, К обозначает то
же что в определении 1). Тогда гомоморфизм а можно
продолжить, до некоторого гомоморфизма Р всей группы ® в /С, причем
такого, что Р(?)=^=0.
Доказательство. Пусть j1?= j, у2, j3> • ■ •> J«t • • • есть
совокупность всех элементов группы @. Построим
последовательность £о = Ф. ©1» ^2» •••><&«,-• • подгрупп группы ®, в которой
фя+1 есть минимальная подгруппа, содержащая <£)„ и j„+1. После
этого мы можем построить последовательность гомоморфизмов
а0 = а, аи а2, ..., ал, ..., в которой ал+1 есть гомоморфизм группы
Ья+1 в К, являющийся продолжением гомоморфизма ап группы фл.
Предположим, что гомоморфизм ап уже построен, и построим
гомоморфизм аи+1. Если jw+1cz^w, то мы полагаем аи+1 = ал,
поскольку в этом случае tQn+i = $n- Если y„+i <£$/*» т0 возможны
два случая: 1) элемент £и+1 линейно независим от элементов
группы $п, т. е. не существует нетривиальных соотношений вида
Ч + ^?«+1 = 0»''-где ца^^'я k есть целое число; 2) £л+1 линейно
зависит от элементов группы фя. В первом случае всякий
элемент группы фл+1- единственным образом представляется в виде
*) + %i+i- "'Мы полагаем в этом случае ап+1 (ц +k%n+1)=an (tj)+ky9
где уесть произвольный элемент группы К (при п=^0.мы
выбираем уфО). Во втором случае имеются
нетривиальные*соотношения вида ^ + fes„+i = 0. Мы выберем то соотношение, в
котором k принимает наименьшее положительное значение /; пусть
это—соотношение b+/j„+i=0, где / > 1, поскольку иначе jn+1c§„.
В этом случае всякий элемент группы ^п+1 единственным образом
представляется в виде i)H-fej„+i, 0<£</. Положим у = ап(Ь)/1.
(В группе К деление всегда возможно, но оно может быть
неоднозначно. Действительно, всякий элемент группы К есть дейст-
вительное число, определенное с точностью до прибавления целого
числа; поэтому когда мы делим на число, отличное от 1, всегда
можно предположить, что частное не равно 0, даже если делимое
^ть 0.) (При п~ 0 мы выбираем у Ф 0.) Положим ая+1 (tf+kicn+1)=
^ап(ц) +ky. Этим способом определено ал+1. Последовательность
°Моморфизмов alf a2, ..., a„, ... определяет некоторый гомо-
МоРфизм р группы ® в К, который не переводит jx в 0.

7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП
Замечание 2. Лемма 1 применима также к случаю, когда %
имеет более чем счетное число элементов, однако в этом случае
вместо обычной индукции в доказательстве необходимо восполь-
зоваться трансфинитной индукцией.
Определение 2. Пусть ©—группа и X—группа ее
характеров, <£—подгруппа группы © и Ф—подгруппа группы X (как
уже говорилось, мы будем рассматривать только компактные
непрерывные группы, ввиду чего группа Ф компактна и замкнут*
в X). Совокупность всех элементов группы X, отображающих $
в 0, мы будем обозначать через (X, $), совокупность всех
элементов группы ®, которые отображаются в 0 всеми
гомоморфизмами из Ф, мы будем обозначать через (©, Ф). Легко видеть, что
(X, ф) и (®, Ф)—группы и что первая из них замкнута в X.
Теорема 2. Пусть ©—группа, X—ее группа характеров и
ф—подгруппа группы ©. Если Ф=:(Х, #), то £ = (©, Ф).
Доказательство. Пусть ,£ = (©, Ф). Очевидно, что фс^.
Предположим, что существует элемент jc^) такой, что ?<£<&.
Пусть а—гомоморфизм группы $ в К, отображающий все
элементы .£> в 0. Согласно лемме 1, существует гомоморфизм р группы
© в К, являющийся продолжением а и такой, что P(j)¥=0. Так
как р есть продолжение а, то р отображает ^ в 0, ввиду чего
РсФ. Но согласно определению 2, р(г) = 0, поскольку jc^ =
= (©, Ф). Таким образом, мы пришли к противоречию.
Теорема 3. Пусть ©—группа, $—подгруппа группы © и
X—группа характеров группы ©. Положим Ф=(Х, ф). Тогда
группа характеров группы $ изоморфна факторгруппе Х/Ф,
а группа характеров факторгруппы ©/<£) изоморфна группе Ф.
Доказательство. Всякий гомоморфизм группы ® в К
определяет некоторый гомоморфизм группы $ в К, и в то же
время, в силу леммы 1, любой гомоморфизм группы фвК может
быть получен этим путем. С другой стороны, два гомоморфизма
аир группы ® в том и только том случае совпадают на ^, если
их разность а—р отображает § в 0, т. е. если а—РсФ. Таким
образом, мы получаем гомоморфизм группы X на группу характеров
группы^), и при этом совокупность элементов группы X, которые
переводятся этим гомоморфизмом в 0, совпадает с Ф. Этим
доказана первая часть теоремы.
Всякий гомоморфизм из группы Ф, т. е. гомоморфизм,
отображающий $в0, определяет некоторый гомоморфизм группы ©/#
в К, и в то же время всякий гомоморфизм группы ©/«б может
быть получен таким образом; этим доказана вторая часть теоремы.
3. Лемма 2. Всякая подгруппа ЧГ группы К либо совпадает
с К, либо представляет собой конечную циклическую группу с
числовой образующей 1/г, где г есть порядок группы Чг. (Как обычно,
мы рассматриваем только компактные группы; таким образом, Ч?
есть замкнутая подгруппа группы К.)

7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП 123
Доказательство. Если Ч? содержит бесконечно много эле-
^ов то, ввиду компактности К, в Y найдутся два сколь угодно
/Гизких элемента а и р. Элемент у —Р~acY будет тогда сколь
одно малым, и его целочисленные кратные будут заполнять К
У^очъ угодно плотно. Следовательно, группа V всюду плотна в К,
и так как она замкнута, то ЧГ = К.
Если V имеет конечный порядок г, то га~0 для всех ас¥.
Следовательно, всякий элемент группы "V имеет вид q/r, где q—
целое число, но так как в К имеется всего г таких элементов,
именно, с <7 — 0, 1, ..., г—1, и они образуют группу с
образующей 1/г, лемма доказана.
Лемма 3. Если группа © конечна и имеет порядок г, то
группа ее характеров тоже имеет порядок г.
Замечание 3. В действительности группа характеров
конечной группы © изоморфна @. Это—хорошо известный факт, но
мы не будем им пользоваться.
Доказательство. Представим группу ® в виде прямой
суммы циклических групп ®lf ©2, ..., ®„, где ©,- имеет
образующую gi порядка Г/. При отображении в К образующая группы ©,♦
переходит в элемент, порядок которого есть делитель числа ri9
но так как число таких элементов в К, согласно лемме 2, есть
в точности г(, число всех возможных представлений образующей
группы ©,- равно rif и, следовательно, число всех возможных
отображений группы © в К равно произведению гхгг...гп, т. е.
равно г.
Лемма 4. Пусть © есть группа, X есть группа ее
характеров и Ф есть подгруппа группы X, такая, что (©, Ф) = (0);
тогда Ф = Х.
Чтобы доказать эту лемму, мы должны доказать сначала три
подготовительных леммы.
Лемма 5. Утверждение леммы 4 верно, если группа ®
конечна.
Доказательство. Всякий элемент $ группы © определяет
гомоморфизм группы Ф в К. Действительно, когда а пробегает Ф,
а(х) принадлежит К, что и определяет гомоморфизм Ф в К. Так
как (®, Ф) равно (0), все эти гомоморфизмы различны, и если г
обозначает порядок группы ©, их число равно г. Если группа Ф
не совпадает с X, ее порядок s< г, так что согласно лемме 3
группа Ф допускает только s различных гомоморфизмов в К.
В то же время, как мы видели, их существует по крайней мере г,
так что s^r—противоречие.
Лемма 6. Лемма 4 справедлива в случае, когда группа ©
допускает конечную систему линейно независимых образующих.
Доказательство. Пусть jlf $2, ..., jn—система линейно
независимых образующих группы ©. Покажем, что для любого k,
Q^lk^in, каковы бы ни были элементы 6f (i = 1, 2, ..., k)
группы К, существует элемент уаФ, такой, что vfo) — ^/- При k = n

124 7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП
это утверждение эквивалентно утверждению леммы, ибо в этом
случае из него вытекает, что Ф содержит все гомоморфизмы
группы ® в К.
При k — О наше утверждение тривиально; предположим, что
оно справедливо при некотором данном kf и докажем его для
Рассмотрим совокупность ¥ всех элементов группы К, предста-
вимых в виде a(jfe+1), где асФ удовлетворяет условию а(?/)=0
[I 1, 2*, • • • , /v I.
Очевидно, что ¥ есть группа. Из леммы 2 следует, что либо Y
совпадает с К, либо все элементы группы W представимы в виде q/rf
где q есть целое число и г есть порядок группы W.
Если ЧГ = К, то наше предположение доказано. Действительно,
пусть 8у (/= 1, 2, ..., k+ 1) есть произвольная система элементов
группы К. По предположению, существует элемент РсФ, такой,
что Р(5/) = б/ (i=l, 2, ..., k). Предположим, что P(?fe+i)==^+i-
Так как ¥ = ]£, существует элемент ас=Ф такой, что a(j,)=G
при 1=1, 2, ..., k и &(xk+1) = Sk+1—6*+1. Для Y = a+P мы
имеем у (iCj) = 8,- (/ = 1, 2, ..., & + 1).
Предположим теперь, что все элементы группы V представимы
в виде q/r с фиксированным г. Из этого следует, что если a (jcf.) =
= P(J,), асФ, рс=Ф (1=1, 2, ..., ft), то Р(&+1)—a(&+1) = <7/r.
Пусть ef- (i'= 1, 2, ..., ft)—система линейно независимых
элементов группы К. Выберем у^Ф» такое, что y (Si)=sв/ (1== Ь 2, ...
..., ft),— это возможно в силу предположения индукции. Поло-,
жим у hk+i) = eft+i и покажем, что элементы еу (/ = 1, 2, ..., ft + 1)
линейно зависимы. Если бы это было не так, то по теореме Кро-
некера для любой системы элементов 6у группы К можно было бы
найти бесконечную последовательность целых чисел пт (/п =
= 1,2, ...), такую, что lim nmej = 8j. Если мы обозначим через А,
один из предельных элементов последовательности пту, то мы
будем иметь X(gy) = 8y и при этом ХсФ, поскольку группа Ф
замкнута, т. е. наше утверждение доказано для 4+1 и¥ совпа-
дает с К. Итак, мы имеем соотношение 2 rfy = Q> r/—целые
числа. Покажем, что из этого соотношения следует, что
2 ^О06(?/)^О АЛЯ всех ас=Ф- Действительно, так как е- линейно
/ = 1
независимы, то по теореме Кронекера существует бесконечная
последовательность пт целых чисел, такая, что lim птг( = а(^)>
Последовательность пт можно выбрать таким образом, что
последовательность пту будет иметь предел. Пусть этот предел равен р.
Тогда очевидно, что 2 О'Р (г/)== О- Так как a (j,) = р (j,), то,
; = 1

7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП 125
о рилу уже доказанного, $(xk+1) —(*(lk+i)=q/r; таким образом,
мы имеем для а: 2 гг/ъ^^О. Следовательно, а[ 2 rrjfy) = 0;
так как а есть произвольный элемент группы Ф, из этого выте-
но
k+\
кает что (®, Ф) з 2 rr/Sy= ?• Значит, в согласии с условиями
леммы, | = 0, что невозможно, так как образующие jlf у2, ..., j„
линейно независимы.
Лемма 7. Лемма 4 справедлива для любой группы © с
конечной системой образующих.
Доказательство. Пусть «<р— группа, составленная из всех
элементов группы ®, имеющих конечный порядок. Положим Чг =
= (X, ф) и покажем, что УсФ. С этой целью обозначим через А
пересечение Ф и W и покажем, что Д = ЧГ. Пусть г — порядок
группы <§; покажем, что если асХ, то raaW. Действительно,
для любого £(=<§ мы имеем /-a(x) = a(rj)=a(0) = 0. Покажем,
далее, что (®, Д) = «!р. Действительно, в противном случае в ©
существует свободный элемент \\ такой, что P(q) = 0 для любого
РсД. Из этого предположения вытекает, что a (rtj) = ra (ti) = О
для любого асФ, Следовательно, га принадлежит ¥, а так как га
принадлежит, как было доказано раньше, и Ф, то гас Д. Значит,
(©, Ф)зп)=й=0, что невозможно. Таким образом, (@, Д) = §.
В силу теоремы 3, ¥ есть группа характеров группы ®А§. Далее,
из (@, Д) = «§ следует, что (©/<!£, Д) = (0). Так как ®/<t> есть
свободная группа с конечным числом образующих, из леммы 6
следует, что Д = ЧГ, т. е. ?сФ. Положим теперь Х/Т = 5Г, Ф/¥==Ф
и покажем, что Ф = Х. В силу теоремы 3, X есть группа
характеров группы §. Из (©, Ф) = 0 следует, что («§, Ф) = 0, но так
как .§ есть конечная группа, мы можем применить лемму 5, из
которой вытекает, что Ф = Х.
Из включения ¥с=Ф и равенства Ф/ХР = Х/У¥ вытекает, что
Ф = Х.
Доказательство леммы 4. Пусть ^ь «<52, .. •, $„, ...—
расширяющаяся последовательность подгрупп группы ®, такая,
что каждая группа $$п имеет конечное число образующих, а сумма
Всех &п совпадает с ®; такая последовательность всегда
существует, поскольку © имеет не более, чем счетное число элементов.
Положим ХР„ = (Х9 #„). Очевидно, у¥п+1а}¥п. Из того факта, что
сумма всех S$n есть ®, следует, что пересечение всех Wn содержит
только 0.
Пусть Фп—группа, составленная из всех элементов вида а + р,
гДе ас?„ и Рс=Ф. Согласно теореме 3, Х/Чп есть группа
характеров группы &п. Из (®, Ф) = (0) следует, что фп, Фя/Ти) = (0),
Но так как группа $$п имеет конечную систему образующих, из
сказанного следует, ввиду леммы 7, что On/Wn=^X/}¥ni т. е.

126 7' ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП
ФЯ = Х. Таким образом, пересечение всех Ф„ совпадает с X, но
это же пересечение должно совпадать с Ф, так как пересечение
всех Wn содержит только 0; таким образом, Ф = Х.
Теорема 4. Если © есть группа, X—группа ее характеров,
Ф—произвольная подгруппа группы X и $ = (©, Ф), то
<Х, £)=Ф.
Доказательство. Пусть Ф = (Х, §). Очевидно, чтоФгэФ.
Согласно теореме 3, Ф есть группа характеров группы ©/<§.
Из (©, Ф) —ф следует, что (©/§, Ф) = (0); ввиду леммы 4 из этого
вытекает, что Ф = Ф.
4. Определение Г•). Пусть X—компактная непрерывная
группа. Множество © ее гомоморфных отображений в К в
естественном смысле, точно так же, как в определении 1, образует
группу, которую мы будем называть группой характеров группы X.
Мы вводим в © только алгебраические операции и не
рассматриваем топологических операций; но отображения X в К должны
быть непрерывны.
Определение 3. Пусть X и ©—две группы, для которых
определен закон умножения, т. е. каждой паре элементов асХ,
jс© соответствует как их произведение элемент v^K, <*S = V-
При этом
(а'—а")$ = а'$—а% a(j'—r/) = aj'—af,
и если liman = a, то Ита„£ = а£. При этих условиях мы будем
говорить, что группы X и © образуют пару. Далее мы введем
обозначения, аналогичные обозначениям определения 2; именно:
если <!р есть подгруппа группы © и Ф есть подгруппа группы X,
то мы обозначим через (X, $) множество всех элементов группы X,
произведения которых с каждым элементом группы <!р равны 0,
и, аналогичным образом, (©, Ф) будет обозначать множество всех
элементов группы ©, произведения которых с любым элементом
из Ф равны 0. В случае, когда X и © образуют пару, такую,
что (X, ©) = (0) и (©, Х) = (0), мы назовем X и © ортогональными.
Замечание 4. Легко видеть, что если X есть группа
характеров группы ©, то X и © образуют ортогональную пару;
достаточно положить aj = a(j), aczX, jс®, и мы получим умножение,
удовлетворяющее всем условиям определения 3.
Теорема 5. Если X и & ортогональны, то каждая из
этих групп является группой характеров другой; именно, если
acX, jс®, то гомоморфизм a(j) определен формулой a(j)=a?
и гомоморфизм j(a)—формулой £(а) — ах.
Доказательство. Каждый элемент а с X определяет
гомоморфизм © в К. Более того, различным элементам группы X отве*
;) Это определение было дано в моей работе (сноска 1)).

7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП 127
яют различные гомоморфизмы,_так как (X, @) = (0). Таким обра-
X есть подгруппа группы X характеров группы ®. Далее,
из ортогональности X и ® следует,_что (®, Х) = (0), и из этого,
ввиду леммы 4, вытекает, что Х = Х.
Аналогичным образом мы докажем, что ® есть группа
характеров группы X; здесь, однако, доказательство делается несколько
более сложным, поскольку a priori группа характеров группы X
могла бы оказаться несчетной. Поэтому мы изберем несколько
иной путь доказательства. Пусть g—некоторый гомоморфизм
группы X в К. Покажем, что он реализуется при помощи одного
из элементов группы ®. С этой целью мы построим группу ®,
каждый элемент которой представим в виде j + feg, где ус® и к
есть целое число; определим закон умножения произвольного
элемента асХ на произвольный элемент $ + /zgcr© формулой
a (? + *fl) = aS + *8 (а) и предположим, что в группе ® существуют
соотношения, в силу которых два элемента этой группы совпадают
тогда и только тогда, когда они определяют один и тот же
гомоморфизм X в К. В силу этих условий группы X и ®
ортогональны, и из уже доказанной первой части теоремы следует, что X
есть группа характеров группы ®; но так как (X, ®) = (0), то
© = ©; таким образом, гомоморфизм g уже содержится среди
гомоморфизмов, определяемых элементами группы ®.
Лемма 8. Пусть X и ©—ортогональные группы У j—элемент
группы ® порядка g (g = 0 или g> 1). Если ус К имеет
порядок, являющийся делителем g, то существует элемент асХ,
такойу что <xj = y-
Доказательство. Пусть J6—циклическая группа с
образующей у. Очевидно, существует гомоморфизм р группы i в К,
такой, что Р(х) = у. В силу леммы 1 гомоморфизм р может быть
продолжен до некоторого гомоморфизма а всей группы © в К-
В силу теоремы 5 в X существует элемент а, такой, что a(i) =
= а(и) для любого tyc®, и тогда щ = у.
Замечание 5. Если группа © обладает системой п линейно
независимых образующих jlt f2, ..., j„, то группа X ее
характеров имеет особенно простую структуру. Именно, она
разлагается в прямую сумму п непрерывных циклических групп.
Топологически группа X является в этом случае произведением п
окружностей, т. е. л-мерным тором, и мы будем поэтому называть
ее тороидальной группой. Для п—\ это почти очевидно. Дейст-
ьительно, если асХ, то а(51) = ус:К и задание у однозначно
определяет а, поскольку jx есть образующая группы ®. Это
устанавливает изоморфизм между X и К. В общем случае каждая из
образующих jlf j2, ..., j„ может быть отображена в К совершенно
произвольным образом, и мы получаем п непрерывных
циклических слагаемых.

128 7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП
II. СТРУКТУРА КОМПАКТНОЙ ГРУППЫ
В этой главе я пользуюсь разультатами Ф. Петера и Г. Вейля,
которые применимы к любой компактной группе,
удовлетворяющей второй аксиоме счетности благодаря результатам Хаара4).
Я покажу, что всякая компактная коммутативная группа,
удовлетворяющая второй аксиоме счетности, является группой
характеров некоторой дискретной группы7). Таким образом, все
результаты предыдущей главы применимы к произвольным
компактным коммутативным группам.
Все рассматриваемые здесь непрерывные группы
предполагаются компактными. Группа записывается мультипликативно.
5. Чтобы получить упомянутый выше результат, я
сформулирую результаты Петера и Вейля, которые я буду использовать.
Они заключаются в следующем.
Если Q есть непрерывная компактная группа,
удовлетворяющая второй аксиоме счетности, то существует конечная дли
счетная система
/г, kr(D (r=*l, 2, ...; ftr=*l, 2, ..., nr)
действительных числовых непрерывных функций, зависящих от
аргумента £, который является элементом группы Q. При этом
удовлетворяются следующие условия:
1) Для любого элемента а группы Q
пг
/г,/^а)=2го£.<(а)/г./(Е) (t=l, 2, ..., пг)у
где rnlti(a)—действительные числа, составляющие ортогональную
матрицу Мг(а), которая непрерывно зависит от а и число строк
и столбцов которой равно пг.
2) Если е есть единица группы Q, то для всякого элемента а,
такого, что e^aczQ, существует функция Д., ,-(£) из нашей
системы, такая, что Д,,- (£,а)ф Д, ,(£), т. е. существует такое г,
что матрица Мг(а) не есть единичная матрица. Легко видеть,
что если а и р—два элемента группы Q, то Мг(а-$)=Мгф)-Мг(а),
где в правой части подразумевается матричное умножение.
Следовательно, если группа Q коммутативна, то все матрицы Мг(о)
коммутируют между собой при фиксированном г.
Чтобы применить предыдущие результаты к коммутативным
группам, я рассмотрю ортогональные матрицы более детально.
При этом для нас будет нецелесообразно ограничиваться
матрицами с действительными элементами, а лучше использовать
ортогональные матрицы с комплексными элементами. Как это хорошо
известно, матрица М с комплексными элементами называется
ортогональной, если выполнено следующее условие. Пусть УМ' —*
) Для понимания моей работы достаточно знать работу Хаара (сноска *))•

7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП 129
тоица, полученная^ из М путем транспонирования строк и
олбцов, и пусть М' есть матрица, комплексно сопряженная
уИ'; тогда М~г = М'. Легко видеть, что если М и N—две
сотогональные матрицы с комплексными элементами, то их
произведение MN также ортогонально. Известно, далее, что если М
есть ортогональная матрица, то существует ортогональная
матрица Ту такая, что ТМТ~г есть диагональная матрица,
диагональные элементы которой имеют абсолютную величину единица.
Используя этот факт, мы можем доказать следующие леммы.
Лемма 9. Пусть а пробегает элементы некоторого
множества, и пусть М (а)—система ортогональных матриц с п
строками, любые две из которых коммутируют между собой. Тогда
существует ортогональная матрица Sen строками, такая, что
для любого а матрица SM(a)S~1 диагональна и все ее
диагональные элементы имеют абсолютную величину единица.
Доказательство. Пусть М (аг) — недиагональная матрица
из нашей системы и пусть 7\—ортогональная матрица, такая,
что матрица ТХМ (aj Tf1 диагональна. Обозначим диагональные
элементы последней матрицы через ei9 i=\, 2, ..., п, причем
расположим ei таким образом, чтобы одинаковые шли подряд.
Обозначим, далее, через М1(а) матрицу T1M(a)Ti1. Элементы
этой матрицы обозначим через т{ (а). Так как матрицы М (aj и
М (а) коммутируют, то тем же свойством обладают матрицы
М1(а1) и М1(а). В частности, мы имеем e£mi(a) = m{(a)ej9 так
что т{(а) = 0 при е(Фе;. Следовательно, матрица М1(а)
разлагается в систему квадратных матриц, расположенных вдоль
диагонали матрицы М1(а), число s которых не меньше числа
различных элементов е{. Число различных eh однако, больше
единицы, так как если бы все е{ были равны, матрица М (с^) была
бы диагональной, что противоречит предположению.
Пусть М1(а2)—недиагональная матрица. Преобразуя по
отдельности каждую квадратную матрицу, входящую в ее состав,
мы получаем общую матрицу преобразования Т2, которая
обладает тем свойством, что Т2Мt (a2) Т2Х есть диагональная матрица,
в то время как Т2М1(а1)Т21 = М1(а1). Обозначим, далее,
матрицу Т2М1(а)Т21 через М2(а). Выписывая условие, что
матрицы М2(а) и М2(а2) коммутируют, мы видим, как прежде, что
матрица М2(а) распадается на отдельные квадратные матрицы,
расположенные вдоль диагонали, причем число этих матриц
должно теперь превосходить s. Продолжая этот процесс, мы
приведем все наши матрицы к диагональному виду в конечное число
шагов.
Лемма 10. Пусть Q—коммутативная компактная группа.
Тогда существует конечная или счетная система непрерывных
комплекс позначных функций gn(l)> л=1, 2, ..., где аргумент £
есть элемент группы Q, обладающих следующими свойствами:
с
* Л. С. Понтрягин, т. I

130 7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП
1) Для любого элемента а группы Q имеет место равенство
gn (ga) = еп (a) gn (£), где еп (a)—комплексное число абсолютной
величины единица и еп (а-1) = (еи (а))"1.
2) Для любого элемента а группы Q, отличного от е,
существует число т, такое, что gfn{bi)^gm(l), т. е. ет(а)Ф 1.
Доказательство. Рассмотрим систему функций }Гч .(£)
на Q (упоминавшуюся в начале этого параграфа) при
фиксированном г и соответствующую систему матриц Мг(а). Так как
группа Q коммутативна, то матрицы Мг(а) коммутируют.
Поэтому мы можем применить к системе матриц Мг (а) лемму 9, и
в силу этой леммы существует матрица преобразования S,
которая приводит все матрицы Мг(а) к диагональному виду.
Обозначим элементы матрицы S через S{. Легко видеть, что функции
2ЭДг,/(6)# (/=1, 2, ..., пг)
/=i
удовлетворяют условию 1) нашей леммы.
Применяя предыдущую процедуру к системам функций /г, ,.(£)
при всех г, мы получаем совокупность функций, удовлетворяющих
обоим условиям леммы.
Первая фундаментальная теорема. Пусть
й—непрерывная компактная коммутативная группа, удовлетворяющая
второй аксиоме счетности, и ©—дискретная группа ее
характеров. Тогда группа Q изоморфна группе характеров группы @.
(См. определения 1 и Г.)
Доказательство. Пусть д„ (£) (я=1, 2, ...)—система
функций, определенных на Q и удовлетворяющих условиям
леммы 10. Покажем, прежде всего, что никакая из функций %п(1)
не может обращаться ни в одной точке в 0, не будучи равной 0
тождественно. Действительно, если g„(a) = 0, то
бп (6) = в„ (а«_1Ю = еп (а"1?) в» («) = 0.
Мы будем считать, что из системы функций §п(%) все функции,
тождественно равные 0, устранены. Это не нарушает условий
леммы 10. Так как теперь ни одна из функций #:г(Ъ) не
принимает нулевого значения, эти функции можно нормализовать таким
образом, что 0„(в)=1, где е—единица группы Q. Предположим,
что эта нормализация проделана. Это также не затрагивает
условий леммы 10. Мы будем иметь
0» (5) = в» (<£)=*„ (£) 0» (е) = <?„ НУ
Мы построим теперь мультипликативную группу ® функций,
определенных на Й, приняв за образующие функции g„(t).
Всякий элемент g (£) группы @ может быть представлен в виде
(8i(?))mi,(02(£))m2* •• • т(%п(Ъ))тп> гДе п достаточно велико и т,- —

7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП 131
целое число. Так как
9„ (iti"1) = е„ (тр1) е. (!) = д„ (|) (д„ (л))"1,
Т° Й(^-1) = ЙШ(Й(Л))-1.
Сформулируем теперь закон умножения для элементов групп
ди®, Результат умножения элемента aей на функцию g (£)с®
есть по определению элемент группы К, равный og2^. . Из
условий
log 3 (1л"1) = log б (6) logs (л)
2ш 2л/ 2ш
И
logte'gHg'Ol))-1] _.г 1о8ЙУ(6) log^W
2ш 2ni 2ni *
а также из непрерывности функций д„(|) следует, что группы
Q и ® образуют пару (см. определение 3). Более того, группы
Q и @ ортогональны. Действительно, в силу условия 2 леммы 10
найдется афе, такое, что существует функция д(£), для которой
g (а) Ф\. Поэтому (Q, ®) = (0). Более того, если д(|) не есть
единица группы ®, т. е. если д(£) не равно тождественно
единице, то существует элемент а, такой, что д(а)=^=1, и,
следовательно, (©, Q) = (0). Ввиду этого из теоремы 5 вытекает, что
каждая из групп Q и © есть группа характеров другой.
III. СТРУКТУРА ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНОЙ СВЯЗНОЙ ГРУППЫ
Цель этой главы состоит в доказательстве второй
фундаментальной теоремы, которая сводит исследование локально
компактной связной коммутативной группы, удовлетворяющей второй
аксиоме счетности, к изучению компактной группы, которая уже
рассматривалась в главе II.
Все группы записываются аддитивно, как в главе I.
6. Переход к рассмотрению локально компактных, связных,
но не обязательно компактных групп производится посредством
следующей леммы.
Лемма 11. Пусть Q—локально компактная связная группа.
Существует подгруппа А группы Q, имеющая не более счетного
числа элементов и не имеющая предельных элементов в Q, такая,
ч*по факторгруппа Q/A компактна.
Чтобы доказать лемму 11 мы установим сначала следующий
факт.
Лемма 12. Пусть й—некомпактная группа,
удовлетворяющая условиям леммы 11. Тогда в Q существует такой элемент а,
5*

132 7- теория топологических коммутативных групп
что циклическая подгруппа группы Q, порожденная а,
свободна и не имеет в Q предельных элементов.8)
Доказательство, а) Пусть U—некоторая окрестность нуля
в группе Q, замыкание U которой компактно. Обозначим через U
множество всех элементов группы Q, которые могут быть пред-
ставлены в виде ах + ая+ • •. +а«, где a{c:U (/= 1, 2, ..., п).
Так как U—область, то Un—также область. Легко видеть, что
замыкание Un области Uп состоит из всех элементов вида рх +
+ Р2 + • • • + P/it гДе Р/с:I/ (i = 1, 2, ..., п). Так как U компактно,
то Un также компактно. Поскольку Q не компактно и связно,
a Un компактно, граница U'n = Un—Un области Un непуста.
b) Пусть aaUry fiaUs и v — a-fPczL^+s. Мы покажем, что
OLaU'r, Pczi/g. Предположим противное, что, например, а
принадлежит Ur. Так как р есть предельный элемент множества USf
можно найти сколь угодно малый элемент 6, такой, что Р—бсг(У5.
Так как Urz>a есть область, то при достаточно малом б будет
выполняться включение a + 8aUr. Таким образом, у = (а+6)-|-
+ (Р—б) и a+6aUry p—6с=(/5. Поэтому из конструкции
области £/„, приведенной в части а), следует, что y£Ur+s, что
противоречит предположению yaU'r+s.
c) Пусть anaU'n. Множество элементов а„ (я=1, 2, ...) не
имеет предельных точек. Рассуждая от противного, предположим,
что мы нашли два элемента а{ и ау-, i < /, такие, что ау—at-c:U.
Тогда мы будем иметь ау = а/+(а/—а,-), и значит, согласно Ь),
ayc=f//+1, что невозможно, так как ayct/} и V] не пересекается
с Ul+1.
d) Построим систему элементов ert, л=1, 2,
..^принадлежащих U и таких, что г1 + е2+ . ..+е„с:£/п. Выберем элемент уп с
aU'n. Такой элемент существует, ибо, ввиду а), множество U'n
непусто, и он может быть_ представлен в виде ги п + e2i n + ...
• •• +е«,« = Yb» где ел„с(/ (* = 1, 2, ..., л). Так как U
компактно, мы можем, используя диагональный процесс, найти
последовательность чисел nk (&=1, 2, ...), такую, что
существует lime,- . Обозначим этот предел через е, (i=l, 2, ...)♦
Так^ как ги naU (i = l, 2, ..., п)^ то е1>и + е2, л+...+еАяс
cf/y и е/+11И + еу+2,л+...+еЛ1Яс:£/й_у, / < л, но (elwi+e2, „ + ...
••• + ey,„) + (e/+ltJI+ey+ttll+... + eJIlll)cl/;. Применяя Ь), мы
получаем
lim(8i, ЛдН-е2,пл+ ... +e/t „) = £! +ef+ ... -f e;.
8) Pontrjagin. Uber den algebraischen Inhalt topologischer Dualitatssatze.
Math, Ann. 105 (1931), pp. 165—205. [См. с. 65—105 настоящего
tomsl.—Примеч. ред.]

7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП 133
Певая часть последнего равенства принадлежит U}9 поскольку U)
чамкнуто. Построение закончено.
е) Выберем из системы, построенной в d), подсистему из т
элементов, и обозначим эти элементы через е где
мы предполагаем, что п{Ф п; при i Ф /. Тогда еИ| + е„а+...+еЛя с
*-//'. Действительно, существует л, столь большое, что п>п,у
/= 1, 2, .. -I /я. Разобьем сумму г1-\- е2+ ... +гп на две части.
Первая часть будет состоять из eni + e„a-f ... '+г„Я9 а вторая
часть—из всех остающихся слагаемых. Первая часть
принадлежит Umy а вторая часть принадлежит Un_m. Следовательно,
в силу Ь), ъ„х -f е„а + ... -f £nm с: £/«.
Пусть а—предельный элемент множества е„. В сколь угодно
малой окрестности элемента а существует система еи , е„а, ..., еП|Я
с произвольным /п. Из этого мы заключаем, что при любом т
элемент та принадлежит U'm. Следовательно, элементы та
различны при разных т и в силу с) не имеют предельных точек
в Q. Лемма 12 доказана.
Доказательство леммы 11. Пусть U—произвольная
окрестность нуля в группе Я, замыкание U которой компактно.
Построим возрастающую трансфинитную последовательность
подгрупп А,- группы Q, у каждой из кокрых множеству V
принадлежит только 0. Пусть Аг—группа, которая содержит только 0.
Предположим, далее, что группы А,- с i < j уже построены. Если
для / отсутствует предшествующий элемент, мы берем в качестве
А,- сумму всех А,- с i < У. Таким образом построенная группа
пересекается с U только по нулю. Предположим теперь, что
j = k+ 1. Так как Ak пересекается с U только по нулю, то Ak
не имеет в Q предельных точек и, следовательно, множество Ak
замкнуто. Мы можем теперь рассмотреть факторгруппу Q/Aftf
которую мы обозначим через Я', и множество LJ\ которое
получилось из U при соразовании факторгруппы. Очевидно, что
множество V компактио. Если Q' есть компактная группа, то мы
остановим построение последовательности А,, на числе fe. Если
группа Q' не компактна, то мы применим к ней лемму 12. Пусть
а—элемент группы Q', построенный в лемме 12. Так как U'
компактно, существует только конечное число элементов вида та,
где т есть целое число, которые принадлежат £/'. Действительно,
в противном случае множество элементов вида та имело бы
в О' предельный элемент. Следовательно, существует достаточно
большое я, такое, что все элементы вида та с \т\>п лежат
вне V Мы обозначим через А' подгруппу с образующей па.
Полный прообраз группы А' в Q мы обозначим через Ak+1. Легко
видеть, что Ak+1 не совпадает с Ak и пересекается с U только
По нулю.

134 7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП
Поскольку группа Q удовлетворяет второй аксиоме счетности
и локально компактна, она может быть покрыта счетной системой
областей, замыкание каждой из которых компактно.
Следовательно, всякое несчетное подмножество группы Q должно иметь
в Q предельную точку. Но А,- не имеет в Q предельных точек,
следовательно, счетно. Таким образом, наша конструкция должна
остановиться на счетном шаге, и в результате мы получим
группу А, которая удовлетворяет условиям леммы 11.
7. Определение 4. Мы будем называть группу векторов
n-мерного аффинного пространства n-мерной векторной группой.
Эта группа разлагается в прямую сумму подгрупп, изоморфных
аддитивной группе действительных чисел.
Лемма 13. Пусть Т—связная группа, обладающая
подгруппой А, которая не имеет предельных точек в Т и обладает тем
свойством, что факторгруппа Т/А = Т есть тороидальная группа
(см. замечание 5). Тогда Т есть прямая сумма некоторой
векторной группы М и некоторой тороидальной группы А.
Доказательство. Пусть г—размерность группы Т'.
Обозначим через N r-мерную векторную группу, и пусть
В—подгруппа группы N, составленная из элементов, которые имеют
целочисленные координаты в некоторой координатной системе.
Легко видеть, что группа Т' изоморфна факторгруппе N/B.
Используя результат Шрейера9),мы выводим из этого, что N есть
универсальная накрывающая групп Т' и Т, благодаря чему группа
Т изоморфна факторгруппе N/B', где В'—подгруппа группы В.
Производя целочисленное преобразование координат в N, мы получаем
для В' систему образующих pit Р2, ..., Pft, k^Lr, такую, что у Р,-
все координаты, кроме r-й, равны 0, а /-я координата равна
некоторому целому числу т{. Это позволяет нам заключить, что
группа Т изоморфна прямой сумме fe-мерной тороидальной группы
и (г—£)-мерной векторной группы.
Лемма 14. Пусть Q—локально компактная связная группа
и U—произвольная окрестность нуля в Q. Тогда существует
компактная подгруппа А, расположенная в U и такая, что
факторгруппа Q/А разлагается в прямую сумму векторной группы и
тороидальной группы.
Доказательство. Пусть А—подгруппа группы й,
построенная в лемме 11. Так как А не имеет в Q предельных
элементов, в Q существует достаточно малая окрестность нуля V,
такая, что если а и р—два элемента множества V с а—РсА, то
а = р. Предположим также, что VaU.
Так как группа Q связна, компактная факторгруппа Q' = Q/A
также связна. Из Первой фундаментальной теоремы следует, что
группа Q' есть группа характеров некоторой дискретной группы®-
9) О. Schreier. Die Verwandlschaft stetiger Gruppen im Grossen. Abh. Math*
Seminar der Hamburg Univ. 5 (1926—7), pp. 233—244.

7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП 135
Так как группа Q' связна, ® не содержит элементов конечного
порядка. (См. дополнение 2, теорема 1с.) Пусть $и ,<52, ..., фи, ... —
возрастающая последовательность подгрупп группы ®, такая, что
каждая из этих подгрупп имеет конечное число образующих,
а сумма всех этих подгрупп совпадает с ©. Пусть Ф„ = (й', $п).
Очевидно, Фп составляют убывающую последовательность
подгрупп, пересечение которых содержит только 0. Пусть V—образ,
который имеет множество V при образовании факторгруппы Q/A.
По построению, V отображается на V взаимно однозначно и V
представляет собой окрестность нуля в Q'. Так как группы Ф„
пересекаются в Й' только по нулю, существует достаточно
большое число т, такое, что ФвсУ. Факторгруппа &'/Фя есть группа
характеров группы $т (см. теорему 3). Поскольку группа $$т не
имеет элементов конечного порядка и имеет конечное число
образующих, группа S$m обладает конечной системой линейно
независимых образующих, т. е. группа 07ФЯ = Т' тороидальна (см.
замечание 5).
Пусть Г—часть прообраза группы Фт в Q, которая содержится
в У. Так как отображение множества V в V взаимно однозначно,
группа Г изоморфна Фт. Так как, далее, ГсТ/, то пересечение Г
с А сводится к нулю группы Q. Пусть Q" = Q/r и пусть А' —
подгруппа группы Q", в которую отображается А. Легко видеть,
что А' не имеет в Q" предельных элементов и что факторгруппа
Й"/А' изоморфна Т\ Так как группа Т' тороидальна, из леммы 13
следует, что Й" есть прямая сумма векторной группы и
тороидальной группы.
Лемма 15. Пусть Q—локально компактная связная группа.
Тогда она содержит максимальную компактную подгруппу Д
(т. е. Д обладает тем свойством, что всякая другая компактная
подгруппа группы Q является подгруппой группы Д), и
факторгруппа Q/Д есть векторная группа.
Доказательство. Пусть U—окрестность нуля в Й,
имеющая компактное замыкание, и пусть Г—подгруппа, построенная
в лемме 14. В силу этой леммы факторгруппа Q/Г разлагается
в прямую сумму тороидальной группы А и векторной группы М.
Пусть Д — полный прообраз группы А в группе Q. Так как
группы Г и А компактны, группа Д также компактна и
факторгруппа Q/д изоморфна М и является векторной группой. Предположим
теперь, что существует подгруппа Д', которая компактна, но не
содержится в Д. Пусть ас Д' и а <£ Д. Пусть а'—элемент, в
который переходит а при образовании факторгруппы Q/Д. Так как
а<£Д, то а'^О, и это означает, что последовательность кратных
Цемента а' не имеет предельных элементов в Q/Д. Но это
невозможно, поскольку все кратные элемента а принадлежат Д' и их
Множество должно иметь предельный элемент.
Вторая фундаментальная теорема. Локально ком-
Пактная связная группа Q, удовлетворяющая второй аксиоме
i
i

136 7. теория топологичег их коммутативных групп
счетности, разлагается в прямую сумму компактной подгруппы Д
и ьекторной подгруппы N (см. определение 4), где подгруппа Д
определена однозначно и размерность г группы N является
инвариантом группы Q.
Доказательство. Пусть Д—максимальная компактная
подгруппа группы Q, построенная в лемме 15. Выберем убывающую
последовательность Ulf U2, ..., Un> ... окрестностей нуля в
группе Q, замыкания которых компактны и пересечение которых
содержит только нуль. Построим последовательность Q0 = Q, Qu Q2, ...
..., Q„, ... замкнутых связных подгрупп группы Q, такую, что
пересечение Гп группы Qn с группой Д содержится в £/„, и такую,
что всякий элемент группы Q может быть записан в виде а + Р,
где асД и Pc:Q„.
Предположим, что группа Qn уже построена. Легко видеть,
что Г„ есть максимальная компактная подгруппа группы Q„.
Действительно, всякая компактная подгруппа группы Q„
принадлежит Д в силу леммы 15 и, значит; принадлежит пересечению А
с Q„, которое есть Г„. Факторгруппа Qn/Tn изоморфна Q/Д, и
значит, размерность Q„/Tn есть г. В силу леммы 14 существует
подгруппа Tfn+1c:Un+1 группы Q„, такая, что £iJT'n+1 разлагается
в прямую сумму тороидальной подгруппы Л и векторной
подгруппы М. Так как Л есть максимальная компактная подгруппа
группы QjTn+1, подгруппа Г„ есть полный прообраз Л в Qn.
Обозначим через Q'n+1 полный прообраз группы Mb Q„. Так как
пересечение Л и М в группе QjT'n+1 есть нуль, то пересечение
Q^+1 и Г„ есть Т'п+1. Следовательно, пересечение £1'п+1 и Д есть Гп+1.
Пусть Q„+1 есть компонента нуля в группе йл+1; такая группа,
как это хорошо известно, является замкнутой подгруппой
группы Оя+1. Мы обозначим через Гя+1 пересечение йЛ+1сГ^+1; тогда
пересечение Q,/+1 и Д есть Гя+1. Мы видим, что группа Q/A
изоморфна группе Q./T„, которая' изоморфна группе Q'n+1/T'n+19
которая, в свою очередь, изоморфна группе Q„+i/r„+1.
Следовательно, последняя факторгруппа есть r-мерное векторное
пространство. При образовании факторгруппы Q/Д подгруппа Q„+1
переходит в подгруппу, изоморфную Q,+i/r„+lf но так как Q/A
и Q,+i/r„+1—векторные группы одной размерности, Qn+i/Tn+1 не
может быть собственной подгруппой группы Q/Д. Следовательно,
при образовании факторгруппы Q/Д подгруппа Q„+1 переходит во
всю группу Q/Д. Следовательно, всякий элемент группы Q может
быть представлен в виде а+р, где асД и РсОл+1.
Последнее свойство справедливо также для пересечения N всех
групп Q„, но пересечение N и Д содержит только 0.
Следовательно, Q есть прямая сумма своих подгрупп А и N, где N изоморфно
факторгруппе Q/A.

7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП 137
IV. СТРУКТУРА ЛОКАЛЬНО СВЯЗНОЙ ГРУППЫ
Цель настоящей главы—исследовать структуру связной
локально связной локально компактной группы, удовлетворяющей
второй аксиоме счетности. Решением проблемы является Третья
фундаментальная теорема, которая показывает, что группа
указанного типа сводится к прямой сумме конечного или бесконечного
числа непрерывных циклических групп и конечного числа групп,
изоморфных аддитивной группе действительных чисел. В случае
компактных групп последнее слагаемое не существует, так что для
всякой конечной или бесконечной размерности существует только
одна компактная связная локально связная группа.
Пространство называется локально связным, если любые две
его достаточно близкие точки могут быть соединены коротким
путем. Следовательно, локально евклидово пространство есть
локально связное конечномерное пространство, так что Третья
фундаментальная теорема в качестве специального случая
содержит решение вопроса о структуре локально евклидовых
групп.
8. Лемма 16. Пусть ©—дискретная группа, которая не
имеет элементов конечного порядка и которая обладает тем
свойством, что любая возрастающая последовательность фи &2> • • •
..., $п, ... подгрупп одного и того же конечного ранга
останавливается. Тогда в группе © существует конечная или бесконечная
система линейно независимых образующих.
Доказательство. Так как всякая возрастающая
последовательность подгрупп группы ® фиксированного конечного ранга
останавливается, всякая подгруппа конечного ранга может быть
включена в максимальную подгруппу того же ранга, имеющую
конечное число образующих.
Построим возрастающую последовательность ®19 @2, ..., ®„, ...
подгрупп группы ©, такую, что ®„ есть максимальная подгруппа
ранга л, имеющая конечное число образующих (это означает, что
группа ®п не может быть включена ни в какую подгруппу того
же ранга). Более того, сумма всех подгрупп ©„ будет совпадать с ®.
Пусть jj j2, ..., fw, ... — последовательность, составленная из
всех элементов группы ®. Пусть ®j—максимальная подгруппа
группы ® ранга 1, содержащая jx. Предположим, что группа ®„
уже построена. Пусть т—самое маленькое число, такое, что
?«<£©„, и пусть ®п+1—максимальная подгруппа ранга п+ 1,
содержащая ®„ и yw. Построим последовательность glf g2, .. -, g„, ...
элементов группы ®, такую, что система glf fl2, ..., Д« образует
линейно независимый базис группы ®„. Так как ® не имеет
элементов конечного порядка, подгруппа ®х, имеющая конечное число
образующих, является свободной циклической группой. Обозначим
ее образующую через д1# Покажем, что факторгруппа ®„+i/©„
является циклической. Поскольку ©п+1/©л есть группа ранга 1
tLt

138 7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП J
I
с конечным числом образующих, достаточно показать, что ©„-ц/©,, |
не имеет элементов конечного порядка. Предположим, что в груп- *
пе @„+i/®* имеется подгруппа $ конечного порядка. Тогда
прообраз группы $ в ®„+1 есть группа ранга л, содержащая ©„, что
невозможно, так как ®„ есть максимальная подгруппа.
Следовательно, ®w+1/®„ обладает образующей д^+1. Обозначим один из
прообразов элемента д^+1 в ®„+1 через g,+1. Система дх, д2, ...
..., д„, ..., полученная таким образом, является линейно
независимой системой образующих группы ®.
Лемма 17. Пусть ®—группа конечного ранга г, не
имеющая элементов конечного порядка. Пусть $19 <!р2, ..., 4)л, • • •
—возрастающая бесконечная последовательность подгрупп ранга г
группы ® такая, что каждая из групп $)п имеет конечное число
образующих и сумма всех JQn совпадает с ©. Тогда группа X
характеров группы © не может быть локально связной.
Доказательство. Пусть Ф; = (Х, фя) и Т„ = Х/Ф,.
Группа Т„ изоморфна группе характеров группы <§„, и так как <£>„
имеет конечное число образующих и не имеет элементов конечного
порядка, она должна иметь конечную систему линейно
независимых образующих и, значит, Т„ есть тороидальная группа (см.
замечание 5). Пусть U—окрестность нуля в Т1э гомеоморфная
шару. Такая окрестность обязательно существует, поскольку Tt
есть многообразие. Пусть V—достаточно малая окрестность нуля
в X, такая, что ее образ при проекции в Х/Фг целиком
содержится в [/. Так как последовательность $1Э «§2, ..., <£)„, ...
бесконечна, факторгруппа @/<!pi бесконечна и, следовательно, ее
группа характеров Фг (см. теорему 3) также бесконечна. Но
группа Фх компактна и, значит, не имеет изолированных элементов.
Значит, в Фх существует элемент а, сколь угодно близкий к нулю.
Предположим, что группа X локально связна и что элемент а
настолько близок к нулю, что а и нуль могут быть соединены
непрерывным путем laV. Так как сумма всех ф, совпадает с ®,
пересечение всех Фп совпадает с нулем, и значит, существует
достаточно большое число т такое, что а<£Фт. Пусть Ф^, а'
и /'—образы Фх, а и / в Тт при проекции группы X в Х/Фт;
из сказанного следует, что а' Ф 0. Так как Х/Ф^Т^ то Тт/Ф^=Тх.
Обозначим через Г образ пути Г в Тх при проекции группы Тл
в ТЛ.
Так как laV, то ГаС/ и, значит, замкнутый путь Г в Tt
гомотопен нулю, поскольку окрестность U гомеоморфна шару. Но это
невозможно, поскольку в силу результатов Шрейера9 Тт
накрывает Tj и разомкнутый путь Г в Тт не может переходить в
замкнутый путь Г, гомотопный нулю в Tj.
Теорема 6. Связная локально связная компактная группа X,
удовлетворяющая второй аксиоме счетности, разлагается в
конечную или счетную сумму непрерывных циклических групп. (По поводу
понятия прямой суммы см. дополнение 1.)

7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП 139
Доказательство. Согласно Первой фундаментальной тео-
ме X есть группа характеров некоторой группы ©. Так как X
РеЯЗНо, © не содержит элементов конечного порядка (см. допол-
Срние 2, теорема 1с). Если группа © удовлетворяет условиям
леммы 16, она разлагается в прямую сумму свободных
циклических групп, и, следовательно, в силу теоремы 1а дополнения 1,
X разлагается в прямую сумму непрерывных циклических групп.
Предположим теперь, что @ не удовлетворяет условиям
леммы 16, т. е. в © существует возрастающая бесконечная
последовательность <£>!, «£2, ..., «£>„,... подгрупп ранга г, каждая из
которых имеет конечную систему образующих. Пусть $—сумма
всех групп <£>„. Ранг группы § есть т. Пусть Ф = (Х, <£). Так
как группа X локально связна, ее непрерывный образ Х/Ф
обладает тем же свойством. Но по теореме 3 группа Х/Ф является
группой характеров группы §, что противоречит лемме 17.
Третья фундаментальная теорема. Связная локально
связная локально компактная группа Q, удовлетворяющая второй
аксиоме счетности, разлагается в прямую сумму конечного или
счетного числа непрерывных циклических групп и векторной группы.
Доказательство. Согласно Второй фундаментальной
теореме, группа Q разлагается в прямую сумму компактной группы X
и векторной группы N. Легко видеть, что группа X изоморфна
Q/N. Так как группа X локально связна и связна, она
разлагается в прямую сумму непрерывных циклических групп в силу
теоремы 6.
Следствие. Добавив к предположениям Третьей
фундаментальной теоремы дополнительное предположение\ что группа Q
имеет конечную размерность, или условие, что всякий достаточно
малый замкнутый контур стягивается в точку, мы приходим
к конечному числу циклических слагаемых.
Доказательство. Первое утверждение очевидно, второе
следует из того факта, что присутствие бесконечного числа
циклических слагаемых позволяет нам выбрать среди них сколь угодно
малую подгруппу, которая сама представляет собой замкнутый
контур, но не может стягиваться в точку, поскольку она
представляет собой прямое слагаемое.
ДОПОЛ Н Е Н ИЕ 1
О РАЗЛОЖЕНИИ ГРУПП В ПРЯМЫЕ СУММЫ
Здесь я устанавливаю связь между разложением в прямую
сумму группы © и группы X ее характеров. Это позволит мне
найти связь между разложениями в прямые суммы дискретных
гРУпп и непрерывных компактных групп. В качестве применения
я укажу некоторое количество примеров, не лишенных интереса;
а именно, я приведу примеры, которые противоречат результатам

140 7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП
Дж. У. Александера и Л. У. Коэна10), Ст. Пьетрковскогои)
и Д. ван Данцига12). Прежде всего мы напомним понятие прямой
суммы.
Определение 1а. Пусть ©—группа и {&т}—система
произвольной мощности подгрупп группы ®. Мы скажем, что группа ©
разлагается в прямую сумму групп %тУ если: а) минимальная
подгруппа, которая содержит все группы 31,л, совпадает с ©;
Ь) пусть SB,-—минимальная подгруппа, которая содержит все
подгруппы $Lm, за исключением одной, а именно, 2^; тогда
пересечение групп 23,- и 3Cf содержит только нуль.
Замечание 1а. Мощность множества групп ЗК^, которое
доставляет разложение группы © в прямую сумму, счетна или
конечна. Действительно, мы можем выбрать из каждой группы 31Л
элемент, отличный от нуля. Легко видеть, что все эти элементы
различны, и так как, в силу общих предположений этой работы,
группа © содержит не более чем счетное число элементов,
утверждение доказано. Поэтому мы можем считать, что т — 1, 2, ...
Замечание 2а. Всякий элемент $ с © единственным образом
п
разлагается в сумму j= 2 Jm» гДе S с: %т и п—достаточно боль-
т= 1
шое целое число, зависящее от j. Совокупность всех сумм такого
вида есть группа, которая содержит все группы %т и должна
поэтому, согласно определению 1а, совпадать с ©. Предположим,
п
что мы имеем два разложения элемента j в сумму: j = 2 Ът —
п
= 2 1т\ тогда мы имеем jj—г,= 2 (S«—Sm)- Но левая часть
этого равенства принадлежит 21,, а правая часть принадлежит 33/t
поэтому в силу определения 1а ji —$/ при каждом i. Этим
установлена единственность разложения.
Определение lb. Пусть X—компактная группа и пусть
Фт—система произвольной мощности подгрупп группы X. Мы
скажем, что группа X разлагается в прямую сумму групп Фл,
если: а) минимальная замкнутая подгруппа, которая содержит
все группы Фт, совпадает с X; Ь) пусть ¥,.—минимальная
замкнутая подгруппа, которая содержит все группы Ф, за
исключением одной, а именно, Ф,; тогда пересечение групп ЧГ, и Ф/
содержит только нуль.
Замечание lb. Мощность множества групп Фт, которое
доставляет разложение группы X в прямую сумму, счетна или
10) Alexander J. W., Cohen L. W. A classification of the homology groups
of compact spaces. Ann. of Math. (2) 33 (1932), pp. 538—566.
11) St. Pietrkowsky. Theorie der unendlichen Abelschen Gruppen. Math.
Ann. 104 (1931), pp. 535—569.
12) D. van Dantzig. Groupes monoboliques et functions rpesque periodiques.
С R. Paris, 1933, pp. 1074—1076, theoreme IV p. 1076.

7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП 141
онечна. Чтобы доказать это, предположим, что индекс т
проберет вполне упорядоченное множество значений. Обозначим через
w. минимальную замкнутую подгруппу, которая содержит все
Группы Ф,- с t^h Очевидно, что группы S/ составляют вполне
упорядоченную убывающую последовательность групп, и из общего
предположения этой работы, а именно, из второй аксиомы счет-
ности для X, следует, что последовательность Еу останавливается
на конечном или счетном шаге. Таким образом, без ущерба для
общности мы можем считать, что т принимает целочисленные
значения.
Замечание 2Ь. Всякий элемент асХ может быть
единое
ственным образом представлен в виде бесконечной суммы а = 2 а«»
т= 1
где ат£Фт (бесконечная сумма имеет смысл, поскольку X есть
непрерывная группа). Совокупность всех сходящихся сумм
указанного типа, как легко видеть, составляет компактную подгруппу
группы X, которая содержит все группы Фт и должна поэтому,
согласно определению lb, совпадать с X. Доказательство
единственности разложения не отличается от подобного доказательства
в замечании 2а.
Теорема 1а. Если © и X ортогональны (см. определение 3)
и если © разлагается в прямую сумму групп %тУ то существует
разложение группы X в прямую сумму групп Фт, такое, что
(X, $Lm) з Ф„ при пфт и группы %т и Фт ортогональны.
Теорема lb. Если © и X ортогональны и если системаФт
задает разложение группы X в прямую сумму, то существует
разложение группы © в прямую сумму подгрупп %тУ которые
удовлетворяют тем же условиям, что в теореме 1а.
Чтобы доказать две эти теоремы, мы докажем сначала две
подготовительные леммы.
Лемма А. Пусть & и X ортогональны и $$т—произвольная
система подгрупп группы ®, пересечение которых мы обозначим
через .§. Если SW = (X, $m) и если S обозначает минимальную
замкнутую подгруппу\ которая содержит все S^, то S = (X, ф).
Доказательство. Легко видеть, что (X, §) d 2w, более
того, так как группа (X, .§) замкнута, она содержит S. Пусть
? с © и $<£.£, тогда существует такое t9 что £<£•$> и, значит,
существует а с S,.c S такое, что щфО; таким образом, (©, S) ==§.
Лемма В. Эта лемма аналогична лемме А, только © и X
меняются местами. Ее доказательство аналогично доказательству
леммы А.
Доказательство теоремы 1а. Используя обозначения
определений 1а и lb, положим Фт — (Х, 23т) и докажем, что
подгруппы Фт доставляют желаемое разложение группы X. Пусть
п
JcS^.; тогда, в согласии с замечанием 2а, 5= 2 $«• Так как
m-i

142 7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП
j с 33/, то $1- = 0. Если j принадлежит одновременно всем 93^, то
£ = 0; следовательно, пересечение всех $8т содержит только нуль.
Из этого следует, ввиду леммы А, что произведение всех Фт
совпадает с X. Аналогично, пересечение всех Ът, за исключением %$h
совпадает с 21,, откуда следует, ввиду леммы А, что ^—(Х, Stj.
Так как произведение 311 и 33,- совпадает с ©, из леммы В и
теорем 3 и 4 следует, что пересечение Ф< и W; содержит только
нуль. Таким образом, группы Фт доставляют разложение группы X
в прямую сумму. Так как ¥(=(Х, 31,-), то, очевидно, (X, 31от)зФ,л>
тфп. Мы покажем теперь, что группы 31,л и Фт ортогональны.
Пусть O^ycSl/. Так как группы @ и X ортогональны,
существует асХ с щфО. В согласии с замечанием 2 мы имеем а =
= 2 ал» но а«? = 0 ПРИ тф1* ввиду чего a^ = aj^=0, т. е.
(St/f Ф£.) = (0). Точно так же мы можем доказать, что (Ф,, 31.) = (0).
Доказательство теоремы lb совершенно аналогично.
Замечание ЗаЬ. Теоремы 1а и lb показывают, что
существует полная двойственность между разложениями в прямые суммы
дискретной группы и группы ее характеров. Более того,
разложение одной из этих групп в сумму, не допускающее дальнейшего
разложения, соответствует разложению другой группы, также не
допускающему дальнейшего разложения. Этот факт позволяет нам,
отправляясь от примеров, в которых участвуют дискретные группы,
автоматически получать аналогичные примеры для непрерывных
групп. Это показывает также, что проблема разложения
непрерывных компактных групп эквивалентна проблеме разложения
дискретных групп. (См. Первую фундаментальную теорему.)
Пример 1. Г. Прюфер13 привел пример группы ®, все
элементы которой имеют конечный порядок и которая не может быть
разложена в прямую сумму неразложимых подгрупп, хотя она
допускает разложение в прямую сумму подгрупп, обладающих
дальнейшим разложением. Если мы построим для © ее группу
характеров X, мы получим пример компактной нульмерной группы
(см. дополнение 2, теорема 2с), которая обладает теми же
свойствами разложимости. Более детальное изучение группы X
показывает, что она удовлетворяет условиям работы Александера
и Коэна10), а также условиям работы Ст. Пьетрковского11). Мы
получаем, таким образом, пример, который противоречит
результатам этих работ, поскольку эти работы утверждают разложимость
групп, удовлетворяющих некоторым условиям, в прямые суммы
неразложимых подгрупп.
Группа © задается своими образующими t), j/. (/=1, 2, .. •)*
связанными соотношениями /?ty = 0, /?%• = *?, где р—произвольное
1S) H. Prfifer. Untersuchungen fiber die Zerlegbarkeit der abzahlbaren primaren
Abelschen Gruppen. Math. Zeitschr. 17 (1923), pp. 35—61 (§ 18).

7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП 143
простое число. Легко видеть, что порядок элемента у, есть pi+l
и что порядок элемента t) есть р.
Зададим группу X характеров группы © посредством
образующих Р» ai (*=1> 2, ...), где Р и а,- определяются условиями
P(4)=j, Pfe«) = ^n. a,-(0 = 0. а/(?у) = ° ПРИ i^U «,-(?/)= у-
Правые части этих равенств—это числа, которые рассматриваются
как элементы группы К. (См. определение 1.) Легко видеть, что
всякий элемент группы X может быть представлен как бесконеч-
00
ная сумма &Р + 2 аРч с О ^ Ь < р и 0 ^ а, < р*, поскольку вьь
i- 1
со
полняются условия piai = 0 и /?Р=2аг При этом k-я окрест-
ность нуля в X определяется условиями 6 = 0, а( = 0 при i^k.
Группа X, которая определяется своими образующими и
указанными соотношениями и которая является группой характеров
группы ©, очевидным образом удовлетворяет условиям Алексан-
дера и Коэна. Нетрудно показать, что она удовлетворяет и
условиям Ст. Пьетрковского.
Пример 2. Мы построим группу ® ранга 2, не имеющую
элементов конечного порядка и неразложимую в прямую сумму.
Группа X характеров группы ® будет компактной связной
группой размерности 2 (см. дополнение 2, теоремы 1с и 2с), которая
также не допускает разложения в прямую сумму (см. теорему lb),
что противоречит утверждениям работы Д. ван Данцига12).
Мы зададим группу ® образующими ty, gf. (i = 0, 1, 2, ...)
и соотношениями
(•) 2*'+ъ+1-г/+1) (;=о, 1,2, ...).
где ki — положительные целые числа, удовлетворяющие
единственному условию, что среди них есть сколь угодно большие.
Легко видеть, что элемент ц группы ® свободен, так как из
соотношений (*) мы не можем исключить все jc,- так, чтобы
получилось соотношение, содержащее только ty. Обозначим через «§
подгруппу группы ® с образующей и. Составляя факторгруппу
®А§, мы обозначим через i't элемент ®/§, в который переходит J,-;
тогда i't составляют систему образующих группы ®/§ с
соотношениями 2*/ + 1j-+1 = &, из чего видно, что эта группа не имеет
элементов конечного порядка. Так как группы S$ и ©/«£> не имеют
элементов конечного порядка, их не имеет и группа ®.
Ввиду отсутствия в ® элементов конечного порядка, деление
в © однозначно, т. е. уравнение ga = b> где ас®,6с© и g —
Целое число, имеет не более одного решения. Поэтому мы можем
без страха использовать в © дробные коэффициенты.
Мы покажем теперь, что © не содержит бесконечно делимых
элементов, т. е. для любого элемента Ь можно найти достаточно
ЕЬ

144 7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП
большое число fe, такое, что если q > k, то уравнение qa = b не
имеет решения, или, что то же, не существует элемента — *Ь.
ч
Из этого неразложимость группы © можно вывести без больших
усилий.
Используя дробные коэффициенты, мы можем выразить все
образующие группы © через t) и j0 = ?. Простое вычисление
показывает, что
Таким образом, всякий элемент группы © может быть записан
в виде rj-fst), где г и s—рациональные числа, но, конечно, не
всякое выражение этого типа представляет элемент группы ©.
В частности, если существуют два элемента rj+s'ty и rj+s"t>, то
s'—s" есть целое число. Действительно, (s"—s')ty есть элемент
группы ©, поскольку это—разность двух ее элементов. Но так
как ©/$ не имеет элементов конечного порядка, число s"—s'
должно быть целым, ибо в противном случае группа ©/$ имела
бы элемент конечного порядка. Предположим теперь, что
некоторый элемент b допускает бесконечное деление. Из только что
сказанного вытекает, что b не может быть кратным tj. Поэтому
при переходе к факторгруппе b перейдет в элемент Ь'^0, но
если элемент b допускал бесконечное деление, то тоже верно для Ь\
Однако в ©/«£> бесконечное деление возможно только на сколь
угодно высокие степени двойки. Поэтому b допускает деление на
сколь угодно высокие степени двойки. Но если b допускает такое
деление, то его допускает и любое кратное Ь, и поэтому можно
найти элемент Ь = гщ-\-Щ с целыми тип, который допускает
деление на сколь угодно высокие степени двойки. Таким образом,
© содержит элемент к ™ь+Пл +k = by со сколь угодно большим /.
Составим разность гщ;-—Ьу-; она равна
Ввиду предыдущих замечаний, число / должно быть целым.
Покажем, что это невозможно. Прежде всего ясно, что при достаточно
большом / число t положительно. Покажем, что существуют сколь
угодно большие /, при которых /< 1. Чтобы доказать это утвер^
ждение, оценим /. Заменяя сумму в числителе t геометрической
прогрессией, мы с легкостью находим, что
, ^(\rn\ + \n\)2kl+k*+-'-+kJ-i + 1^2(\m\+\n\)

7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП 145
но так как kf принимает сколь угодно большие значения, верног
что для некоторых сколь угодно больших / мы будем иметь t < 1.
Таким образом, © не содержит элементов, которые допускают
бесконечное деление.
Предположим теперь, что группа © разложима в прямую сумму
двух групп ©' и @". Группы ©' и ©" должны иметь ранг 1 и не
иметь элементов конечного порядка. Изучим структуру такой
группы ©, которая не имеет элементов конечного порядка и имеет
ранг 1. Пусть а и b—элементы группы @. Так как ранг группы ©
равен 1, мы имеем пЬ — та, т. е. Ь =—а. Поставив в соответ-
т
ствие всякому элементу Ь рациональное число —, мы получаем
изоморфное отображение группы © в группу рациональных чисел,
т. е. группа © изоморфна некоторой подгруппе группы
рациональных чисел. Но всякая подгруппа группы рациональных чисел
либо является циклической, либо содержит элемент, который
допускает бесконечное деление. Так как группа © не имеет
элементов, которые допускают бесконечное деление, то группы ©' и ©"*
должны быть циклическими, что, очевидно, невозможно.
ДОПОЛН ЕНИЕ 2
СВЯЗНОСТЬ И РАЗМЕРНОСТЬ ГРУППЫ ХАРАКТЕРОВ
Здесь я попытаюсь объяснить простейшие топологические
свойства группы X характеров некоторой дискретной группы © и
установить связь между этими свойствами и алгебраическими
свойствами группы ©.
Теорема 1с. Группа X характеров группы © связна в том
и только в том случае, если группа © не имеет элементов
конечного порядка.
Доказательство. Предположим, что группа © имеет
элемент j конечного порядка. Обозначим через $ группу, для
которой j является образующей; эта группа конечна. Пусть Ф = (Х, <б)~
Согласно теореме 3, группа Х/Ф есть группа характеров группы ф.
Так как группа ^ конечна, ее группа характеров Х/Ф тоже
конечна, в силу 3. Поэтому группа X может быть отображена,
посредством факторизации по Ф, в конечную систему элементов.
Значит, группа X не связна.
Предположим теперь, что группа X может быть разделена на
Две непересекающиеся компактные части U и V. Пусть ф1э
Фг» ••., ф„, ... — возрастающая последовательность подгрупп
группы ©, сумма которых совпадает с © и каждая из которых
имеет конечное число образующих. Пусть Ф„ = (Х, «§„).
Пересечение всех Ф„ содержит только нуль, и потому существует
достаточно большое число т, такое, что для группы Фт выполняется
следующее условие. Если ас U и Р с V, то Р—а<£Фл. В силу

146
7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП
этого условия U и V переходят при образовании факторгруппы
Х/Фш в два непересекающихся компактных множества.
Следовательно, группа Х/Фл не связна. Но по теореме 3 группа Х/Ф
является группой характеров группы $т с конечной системой
образующих. Если бы группа &т не имела элементов конечного
порядка, она имела бы конечную систему линейно независимых
образующих и группа Х/Фл была бы тороидальной, т. е. связной,
группой (см. замечание 5). Значит, группа <<отУ а с ней и группа ©,
содержит элементы конечного порядка.
Следствие 1с. Пусть @—дискретная группа и X—группа
ее характеров. Пусть «§—подгруппа группы ®, составленная из
всех элементов конечного порядка группы ©, и пусть Ф = (Х, §).
Тогда Ф есть компонента нуля в X.
Доказательство. Согласно теореме 3, Ф есть группа
характеров факторгруппы ©/£>, и так как ®/»f) не имеет элементов
конечного порядка, группа Ф связна в силу теоремы 1с. В тоже
время Ф есть максимальная связная подгруппа группы X.
Действительно, предположим, что Ф есть собственная подгруппа группы
Ф\ и положим £>' = (®, Ф')- Тогда <§' есть собственная подгруппа
группы $ (см. теорему 4), и значит факторгруппа ®А(р' имеет
элементы конечного порядка, вследствие чего группа Ф''ее
характеров не связна.
Теорема 2с. Если ® есть дискретная группа и X есть
группа ее характеров, то размерность группы X равна рангу
группы ©.
Доказательство. Покажем, что размерность группы X
яе может быть больше ранга г группы @. Если г бесконечно,
утверждение не имеет смысла. Предположим, что г конечно. Пусть
<£>i, 'Ьг» • • •, <§«, . • • — возрастающая последовательность подгрупп
группы ®, имеющих ранг г. Сумма всех &п равна ®, и пусть
каждая из групп <£)„ имеет конечное число образующих. Положим
ФП = (Х, #я). Пересечение всех Фп содержит только нуль, и,
значит, среди групп Ф„ имеются сколь угодно маленькие подгруппы.
Так как группа §„ имеет конечное число образующих, она
разлагается в прямую сумму г свободных циклических подгрупп
и конечной группы. Следовательно, группа ее характеров Х/Ф„
есть прямая сумма тороидальной группы ранга г и конечной группы
(см. дополнение 1, теорема 1а и замечание 5), так что размерность
группы Х/Фл равна /\ Но для достаточно большого п группа Х/Ф„
получается из X сколь угодно малым перемещением, которое, как
это хорошо известно, не может понизить размерность.
Следовательно, размерность группы X не превосходит г.
Покажем теперь, что размерность группы X не может быть
меньше, чем ранг г группы ®. Чтобы сделать это, достаточно
показать, что размерность компоненты нуля в X не меньше, чем
ранг группы ®, а это означает, ввиду предыдущего следствия,
что мы можем ограничиться случаем, когда ® не имеет элементов

7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП 147
ечного порядка. В этом случае существует конечная или бес-
к0Н наЯ система jlf j2, ..., $„, ... линейно независимых элемен-
К°Н группы ®, такая, что всякий элемент группы © может быть
Т°инственным образом представлен как конечная линейная форма
еД г г ,•••>?«»••• с рациональными коэффициентами. Построим
°еперь гомоморфное отображение группы © в аддитивную группу
действительных чисел, поставив в соответствие элементу j группы ©
действительное число a(tl9 tt9...., tn\ j), где tl9 tt9 ...,
^„—действительные числа, от которых зависит гомоморфизм. Этот
гомоморфизм определяется условиями
a(tu t2> ..., tn\ Zi) = ti при i= 1, 2, ..., n
и
a (tl9 /2, ..., tn; sy) = 0 при / > п.
Легко видеть, что этими условиями а полностью определяется.
Приводя числа a(tl9 tZ9 . .., tn\ g) по модулю 1, мы получаем
гомоморфизм группы © в группу К. Легко видеть, что если 0 < t( <
< 1, 1 = 1, 2, ..., л, то всякой системе значений tl9 t2, ...,/„
отвечает свой собственный специальный гомоморфизм.
Поэтому в X есть подмножество, гомеоморфное внутренности л-мер-
ного куба, но п есть произвольное число, не превосходящее
ранга @.
Следствие 2с. Группа X характеров дискретной группы &
нульмерна в том и только в том случае, если все элементы группы ©
имеют конечный порядок, так как в этом случае ранг группы ©
равен нулю.
допол н е н ие з
(ДОБАВЛЕНО ПРИ КОРРЕКТУРЕ 14 МАЯ 1934 г.)
Причина, по которой мы не ввели топологических соотношений
в определение Г группы характеров © компактной группы X,
заключается в том, что в © не может существовать никаких
сходящихся последовательностей. Мы должны доказать, что если X
и © образуют ортогональную пару, то © не может содержать
последовательности glt g2, ..., g„, ..., сходящейся к нулю. Мы
Докажем невозможность этого, построив характер % группы @,
такой, что %#п не сходится к нулю.
Пусть ©л — подгруппа группы ®, порожденная glf g2, . ..,g„,
и ©'— подгруппа, порожденная glt g2, ..., g„, ... Мы
предположим сначала, что ©' не имеет конечного базиса. Тогда
существуют сколь угодно большие числа л, такие, что д„ не содержится
в ©„_!. Предположим, что x(®«-i) Уже построено. Если элемент
К независим от ®„_lf то мы полагаем х8л= 1/2. Если д„ линейно
Зависит от ©„_!, то мы выбираем соотношение feg„ = g', g' cz ©„-1
с наименьшим возможным положительным целым k. Затем мы пола-

148 7. ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП
гаем хй* = Хй'/£, выбрав значение хй'/fe самым далеким возможным
от нуля. Характер х» который определен этим на ©', может быть
продолжен на всю группу ®. Поскольку мы имеем для сколь угодно
больших п либо хйи=1/2, либо %$n — %%'/k с &> 1, так что хйя
находится на расстоянии по крайней мере 1/4 от нуля, равенство
^ХЙл^О не имеет места.
Теперь мы рассмотрим случай, когда группа ©' обладает
конечным базисом alf ..., apj Ъ1У ..., bQ, где а19 ..., ая линейно
независимы, а 61э ..., Ья имеют конечный порядок. Полагая
мы можем предположить, что г%Ф0 для сколь угодно больших п.
Тогда мы полагаем %а{ = 0 (i = 2, ..., /?), %Ь{ = 0 (* —1, ..., q)
и xax = d. Легко видеть, что d можно выбрать таким образом, что
lim r?d^0.

8
ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ
ДЛЯ ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ*)
Введение. В последние годы появился целый ряд работ,
посвященных топологическим теоремам двойственности. За исключением
теоремы двойственности Пуанкаре, имеющей близкое отношение к
этим вопросам, общая постановка вопроса такова:
Пусть М—многообразие и F—некоторое компактное
подмножество, принадлежащее ему. Требуется изучить топологические
свойства пространства М—F, исходя из топологических свойств
множества F. В частности, мы можем предполагать, что М —
эвклидово пространство, или, что в сущности то же самое,
сферическое многообразие; F гомеоморфно некоторому комплексу, и
изучаемые топологические свойства—числа Бетти по модулю 2.
В такой форме проблема была решена Alexander'oM [2]. Именно,
он показал, что /--мерное число Бетти по модулю 2 пространства
М—F равно (п—г—1)-мерному числу Бетти по модулю 2
комплекса F, где п—размерность сферического многообразия М.
Эта работа Alexander^ дала сильный толчок дальнейшему
развитию вопроса, которое пошло по следующим направлениям:
1. Сферическое многообразие было заменено общим
многообразием.
2. Допущение, что F гомеоморфно комплексу, было отброшено.
3. Начали изучаться не только группы Бетти по модулю 2, но и
остальные.
4. В этих исследованиях была использована теория
зацеплений, являющаяся приложением общей теории пересечений,
разработанной Lefschetz'oM [3]; последняя вместе с теорией гомологии
является в настоящее время основным хорошо развитым
аппаратом комбинаторной топологии. Именно благодаря ее применению,
как мне кажется, мы получаем обобщение первых трех пунктов.
Я не буду больше вдаваться в детали истории вопроса, так как
°на дана в одной из моих работ [4].
Несмотря на то, что в указанных работах вопрос продвинут
Достаточно далеко, окончательная проблема оставалась до сих пор
е*Це неразрешенной; именно, не доказано, что в случае, если F —
произвольное компактное множество, а М—эвклидово простран-
*) The general topological theorem of duality for closed sets // Ann. of
i. — 1934 — V. 35, № 4.—P. 904—914.—Перевод Л. М. Нахимсон.

150 8. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ
ство, то группы Бетти пространства М—F являются
инвариантами множества F. Разрешению этого вопроса и посвящена
настоящая работа. Здесь я ограничиваюсь случаем, когда многообразие
М есть эвклидово пространство, ибо при существующих методах
обобщение на случай произвольного многообразия не может
представить каких-либо затруднений.
Для решения вопроса я должен ввести новый инвариант
компактного метрического пространства F в форме компактной
коммутативной топологической группы, связанной с определенной
размерностью г, которую я называю r-м ерной группой Беттк
пространства F. Принимая во внимание введение
топологических групп, я уделяю много места их непосредственному
изучению [5].
В заключение я должен выразить благодарность П. С.
Александрову, много раз указывавшему мне на желательность
решения вопроса, которому посвящена настоящая работа.
§ 1. Здесь я даю основные топологические понятия в
несколько обобщенной форме, в которой я буду ими пользоваться в
дальнейшем.
Пусть К—произвольный конечный или бесконечный комплекс-
Множество всех его r-мерных ориентированных симплексов ми!
обозначим через Т$ (i=l, 2 ...). Пусть Д(Г£) =
2*&77""1—система соотношений инциденций для К, где егц есть ± 1 или 0.
Далее, пусть G—некоторая дискретная коммутативная группа в
аддитивной записи с не более чем счетным множеством элементов,
которую мы принимаем за основу для построения инвариантов
комплекса /С. Конечную линейную форму 2 £/7^ с коэффициен-
тами изб, \t с G, мы называем r-мерной цепью из К по модулю С
Совокупность всех r-мерных цепей из К по модулю G
образует группу Lg, если за основную операцию принять операцию
сложения линейных форм. Под границей 2БД** мы будем пони-
i
мать линейную форму 2^^/^'/~1» которая является элементом
группы Lg"1. Таким образом, каждому элементу группы Lg
соответствует, в качестве его границы, некоторый элемент группы
Lg-1. В силу этого соответствия мы имеем гомоморфизм группы
Lg на подгруппу tfg"1 группы Lg"1 с ядром Zg. Элементы группы
ZG называются циклами по модулю G, элементы группы #g~~~
циклами, гомологичными нулю по модулю G. Легко видеть, что
HrG a ZrG. Фактор-группу Zg/#g = J5g мы называем г-м е р н ой
группой Бетти комплекса К по модулю G; это совместный
инвариант комплекса К и группы G.
В случае, когда G—аддитивная группа целых чисел, ВЬ~~~
полная группа Бетти комплекса /С. Если, далее, G — группа
вычетов группы целых чисел по модулю /п, то J5g — группа Беттй
комплекса К по модулю /п.

8. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ 151
Заменим в предыдущих рассуждениях дискретную группу G
логической компактной коммутативной группой X со второй
искомой счетности. Тогда, как и прежде, каждая линейная форма
00
вида 2 aFri с коэффициентами из X, а{ с X, будет называться
t= 1
r-мерной цепью по модулю X. Совокупность всех г-мерных цепей
по модулю X образует группу Лгх, в которую мы можем теперь
ввести топологию; именно, если U—некоторая окрестность нуля
в X и k—некоторое положительное целое число, то мы
определяем окрестность нуля в Л^ как совокупность всех линейных
00
форм 2 «Д^ таких, что ау- с U при j ^k. Точно таким же путем,
t= 1
как выше, мы определяем границу цепи по модулю X и
получаем гомоморфизм группы Л^ на подгруппу 4&-1 с ядром Зх-
Таким образсм, вся теория гомологии применима также по модулю
X. Используя диагональный процесс, легко показать, что Л^
компактно, а так как гомоморфизм Л^ в Л^"1 непрерывный, то Зх и
Ф5Г1, а также 23х~1 = 3х/§х—компактные группы.
§ 2. Известно, что теорема двойственности Alexander'a не
остается в силе для полной группы Бетти, т. е. если К — комплекс,
расположенный в эвклидовом пространстве Rn, то полная
/--мерная группа Бетти Br(Rl—К) не изоморфна полной группе Бетти
Вп~г~1(К). Более того, группа Br(Rn—К) вообще не
определяется группой Вп'г~1(К). Именно это является основным
препятствием для доказательства инвариантности полной группы Бетти
области, дополнительной к некоторому множеству F относительно
различных положений F в эвклидовом пространстве.
Оказывается, однако, что если группы Бетти пространства
Rn—К строятся на основе (см. § 1) некоторой дискретной группы
С, т. е. если мы рассматриваем группу BrG, и если группа
комплекса К построена на основе группы характеров X группы G
(см. примечание, [5], определение 1 Т. Т. Г.), т. е. изучается
группа 23£~г~1» то эти группы находятся во взаимно однозначной
связи друг с другом (см. определения Г и 3 Т. Т. Г.); именно,
оказывается, что группы ЗЗ^"1 и BrG образуют ортогональную
пару, т. е. каждая из них образует группу характеров другой.
В частности, если G—аддитивная группа целых чисел, то X
оказывается группой К (см. примечание [5] Т. Т. Г.) и, так как
% в этом случае превращается в полную группу Бетти Br(Rn—/С),
инвариантность ее доказана. Именно этот случай представляет
Для нас наибольший интерес. Если мы возьмем, далее, за группу
G группу вычетов по модулю т, то группа X оказывается также
изоморфной группе вычетов по модулю /п. В этом случае группы
®х и BrG являются обычными группами Бетти по модулю т. Так
Как они конечны, то, согласно замечанию 3 Т. Т. Г., они

152 »• ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ
изоморфны, т. е. мы получаем теорему двойственности Alexander^
по модулю т.
Для доказательства установленных нами фактов необходимо
обобщить некоторые основные положения комбинаторной
топологии на цепи, представляющие линейные формы относительно
симплексов не с целочисленными коэффициентами, а являющиеся
линейными формами с коэффициентами из некоторых дискретных и
топологических групп. § 3 и 4 будут посвящены этим обобщениям,
в то время как § 5 и 6 будут посвящены доказательству самих
теорем двойственности.
§ 3. Определение 1. Пусть X и G—две группы,
образующие ортогональную пару (см. определение 3 Т. Т. Г.).
Рассмотрим две симплициальные цепи а и а размерностей run—г,
находящиеся в общем положении в эвклидовом пространстве Rn [6].
Здесь цепь а—линейная форма с коэффициентами из X, в то
время как цепь а—линейная форма с коэффициентами из G:
р а
а= 2 ад, а= 2 afi'b где et и е)—ориентированные симплексы,
а,- с X, а{ с: G.
Определим индекс пересечения /(а, а) цепей а и а,
положив
/ (а, а) = 2 2 *fl/I («/. «/)•
i= l/ = l
В силу того, что X и G ортогональны, произведение afl/
является элементом группы К. Индекс же пересечения I(eh e)) двух
симплексов понимается в обычном смысле [6] и является целым
числом, следовательно, /(а, а)—элемент группы К.
Легко видеть, что если р и Ь—две цепи, первая — с
коэффициентами из X, вторая—с коэффициентами из G, размерности
которых г и п—г +1, то имеет место обычная формула [6]:
/(Р, ft) = e(r)/(P, Ь),
где е(г) = + 1 или —1 в зависимости от значения г, a J3 и Ь
являются соответственно границами р и Ь.
Определение 2. Пусть у и g—два непересекающихся
цикла в пространстве Rn размерности г и п—г—1. Первый из
них с коэффициентами из X, второй—с коэффициентами из G
(X и G, как всегда, образуют ортогональную пару). Пусть, далее,
d—произвольный комплекс с границей g.
Определим коэффициент зацепления V(y, g) цикловY
и g1, положив V(y, g) = /(Y> d)- Таким образом, V(y, g) есть
элемент группы К. Инвариантность V (у, g) доказывается как
обычно.
Так же, обычным путем, может быть доказан ряд свойств
/(а, а) и V(y, g). Ими я воспользуюсь в последующем, не про*
водя доказательств.

8. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ 153
с 4. Определение 3. Пусть F—компактное метрическое
оостранство. Мы назовем r-м е р н ы м симплексом на F сово-
упности г+ 1 точек на F (вершины симплекса). Будем называть
симплекс на F е-симп лек сом, если совокупность его вершин
образует множество диаметром < е. В случае, если F есть
подмножество эвклидова пространства Rn, е-симплексом на F будем
называть также совокупность из г + 1 точек, расположенных в
е-окрестности множества F, причем диаметр совокупности < е.
Симплекс на F называется ориентированным, если, как
обычно, дан некоторый порядок его вершин, определенный с
точностью до четной перестановки. Конечную линейную форму
относительно ориентированных /--мерных симплексов из F с
коэффициентами из X мы будем называть цепью размерности г в
F по модулю X. Сумма двух /--мерных цепей из F определяется
как сумма соответствующих линейных форм. Если цепь состоит
из одного симплекса с коэффициентом а, то мы определяем его
границу как сумму всех граней, взятых с соответствующими
ориентациями и с коэффициентом а. Граница произвольной цепи
из F определяется как сумма границ членов соответствующей
линейной формы. Цепь, граница которой равна нулю, называется
циклом. Цепь будет е-цепью, если все ее симплексы—е-симп-
лексы. Цикл е-гомологичен нулю, если он—граница некоторой
е-цепи, £^0. Два цикла е-гомологичны друг другу, если их
разность е-гомологична нулю.
Определение 4. Пусть F—компактное метрическое
пространство. Мы будем называть последовательность £lf ..., £л, ...
... r-мерных циклов из F по модулю X r-мерным истинным
циклом из F по модулю Ху если: а) £т есть ел-цикл, Ь) £я и
Сй!+1 ел-гомологичны друг другу, причем гт—»0.
Суммой двух г-мерных истинных циклов
называется цикл
Истинный цикл Z называется гомологичным нулю в У7,
2^0, если существуют числа бл, Нтбл = 0, такие, что £>т~0.
Два истинных цикла гомологичны друг другу, если их разность
гомологична нулю.
Определение 5. Пусть F—компактное подмножество
Агарного эвклидова пространства. Пусть, далее, Z = (£x, £2, ...
••., £«• ...)—/--мерный истинный цикл из F по модулю X и
и 5—(п—г—1)-мерный цикл в пространстве Rn—F по модулю
G (X и G—ортогональные группы). Определим коэффициент
зацепления циклов Z и j. Каждый симплекс £л задан только своими

J54 8. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ
вершинами. Реализуем его в форме полиэдрального
геометрического симплекса, беря его с тем же коэффициентом, с которым
он входит в tmf и составим сумму всех симплексов, входящих в
1т. Таким образом, получим цикл £от, осуществляющий
геометрическую реализацию £т. Определим V(Z, 3) как V (tm> 3) Для
достаточно большого т. Очевидно, что для достаточно большого щ
УЧ£л> 3) не зависит от /п, ибо все циклы tm для такого т
гомологичны друг другу вне цикла g. Таким образом, V(Z, 3)—.
элемент группы К.
Определение 6. Определим r-мерную группу Бетти Щ
компактного метрического пространства F по модулю X. Каждый
класс а попарно гомологичных между собой истинных г-мерных
циклов в У7 по модулю X является элементом группы Бетти $5ГХ%
Если Z—некоторый истинный цикл класса а и Z'— некоторый
истинный цикл класса а', то суммой а + а' мы назовем класс
Р, содержащий истинный цикл Z-\-Z\ Легко видеть, что сумма
а + а', определенная таким образом, не зависит от
произвольности выбора Z и Z', а определяется только самими элементами
а и а'. Таким образом, алгебраические операции в 33^
определены. Определим топологические операции в Шх так, чтобы
сделать эту группу топологической. Для этого достаточно дать
полную систему окрестностей нуля в ЗЗ^. Построим окрестность нуля
V в 33^ в зависимости от некоторого положительного целого числа
k и некоторой окрестности U нуля группы X. Элемент а группы
33£ мы будем считать принадлежащим к У, если: а) существует
истинный цикл Z класса a, Z = Z(Z)U ..., £от, ...), где £л
есть ел-цикл и t>m~tm+i> причем гт < l/k для всех т\ Ь) пусть
а. (£=1, ..., /) есть совокупность всех элементов группы А,
являющихся коэффициентами симплексов цикла £1Э тогда каждый
элемент из X вида 2 аРч принадлежит (/, если at—произволь-
ные целые числа, значения которых по абсолютной величине не
превосходят единицы. Когда k пробегает все положительные
целые значения, a U — полную систему окрестностей нуля группы
X, V пробегает полную систему окрестностей нуля группы ЗЗ*-
Поскольку существует счетная полная система окрестностей нуля
в X и множество целых чисел счетно, группа 33^ также допускает
счетную полную систему окрестностей нуля. Определим теперь
окрестность W произвольного элемента а с 33^ в зависимости от
некоторой окрестности нуля V. Будем полагать, чтоРс№, если
Р—aaV. Когда V пробегает полную систему окрестностей нуля,
W пробегает полную систему окрестностей элемента а. Так как
полная система окрестностей нуля в 33^, как было доказано,-—
счетная, то полная система окрестностей а также счетна;
следовательно, в 33^ выполняется первая аксиома счетности.

8 ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ 155
Теорема 1. Группа Бетти 33j^ = 33 компактного метриче-
пространства F по модулю X компактна и удовлетворяет
второй аксиоме счетности.
доказательство. Доказательство проведем лишь в пред-
южении, что F есть подмножество эвклидова пространства R.
Пусть Rm—разбиение пространства R на симплексы диаметра
меньше е^ и бй-^ 0. Через Ат обозначим комплекс, составленный
из всех симплексов триангуляции Rm> пересекающихся с F.
Допустим, что симплексы комплекса Ат+1 настолько мелки, что
существует естественное симплициальное отображение П^ комплекса
А г в комплекс Ат. Без ограничения общности можно считать
также, что если £—некоторый цикл из Ат+1, то циклы Ит(£>)
и £ е^-гомологичны между собой на F. Нетрудно показать, что
из каждого класса гомологии а может быть выбран истинный
цикл Z = (£x, ..., £я, ...), такой, что 1т—цикл из Ат, а £от+1
и 1т гт~гомологичны друг другу на F.
Пусть Pi, ..., Pf-, ... —произвольная последовательность
элементов из 33. Покажем, что эта последовательность имеет
предельный элемент. Чтобы сделать это, выберем из р,- истинный
цикл Z, —(£ь /, £2,,-, ..., £,д,;) указанного типа. Так как группа
циклов по модулю X комплекса Ат компактна для каждого /п,
мы можем применить диагональный процесс и выбрать из
последовательности Zt последовательность Z- так, чтобы для каждого т
Шп£Ж1,,=="£*. где 1т—цикл из Ат, и при этом ^ n~t>m+\
J / —► оо
ет-гомологичны друг другу в F. Таким образом,
последовательность циклов £lf £2, ..., £от, ... образует истинный цикл Z.
Мы покажем, что НтР/.= Р, где Р—класс гомологии,
содержащий Z. Пусть V—произвольная окрестность нуля в 33 и пусть
U и k—та окрестность нуля группы X и то целое число,
которые в определении 6 задают окрестность V. Пусть т'—достаточно
большое целое число,такое, что прип^т\ гп < l/k. Обозначим
через s число /--мерных симплексов Ат'. Выберем, далее, окрестность
S
нуля G в X такую, что, если a-cG, то 2 a,a,c=£/, где at—целые
числа и (a^l^l. Пусть Зг—группа r-мерных циклов комплекса Ат>
по модулю X и W—окрестность нуля в Зг, такая, что W
содержит только циклы, коэффициенты которых содержатся в G. Так
как Игл ^m', t-. = gm', то существует р настолько большое, что при
/ -> 00 J
1>Р Cm'—£w, ij^W. Если мы обозначим через yt (i=l, ..., /)
совокупность коэффициентов цикла £т'—£«',*.» где Z^s, то из
построения W мы получим, что ytCiG, и из определения G, что
Zia^^U для произвольных целых а;с|в;|^1.

156 8. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ
Так как истинный цикл (£т—£да., *Д (Im'+i — Cm'+i. *у). . .,
очевидно, принадлежит к классу Р—Р,., то, как это следует из
определения 6, для j>p Р—Pi.cK. Таким образом, мы имеем:
НтР/. = р, но последовательность р*. есть подпоследовательность
произвольной последовательности р,-. Итак, компактность 23
установлена.
Теперь мы покажем, что если 33 есть произвольная
компактная группа, для которой выполнена первая аксиома счетности,
то для нее имеет место и вторая аксиома счетности. Мы покажем,
во-первых, что 33 содержит счетное всюду плотное множество N.
Легко видеть, что для каждой окрестности нуля V в 23 существует
конечное множество МсЗЗ такое, что для каждого а с 33 имеется
ц,сМ, удовлетворяющее условию а—\iaV. Беря полную счетную
систему окрестностей нуля в 33 и строя соответствующие
множества М, а затем суммируя их, мы получим в качестве их суммы
множество N9 всюду плотное в 33. Совокупность полных счетных
систем окрестностей для всех элементов из N теперь образует
полную счетную систему окрестностей для всего 33. Действительно,
пусть G—некоторая область из 23 и пусть асG, тогда существует
окрестность нуля V такая, что если PcV\ yczV, то а+р—yaG.
Далее мы можем найти 6с V такое, что а—8 = vc:N.
Совокупность всех элементов формы v -f т), где ticV образует окрестность W
точки v, такую, что aczWczG. Таким образом, для каждой
области G и элемента а существует окрестность W нашей счетной
системы такая, что aczWczG, т.е. система—полная.
§ 5. Теорема двойственности для комплекса.
Теорема 2. Пусть К—симплициальный комплекс,
полиэдрально расположенный в Rn, 33^—r-мерная группа Бетти К по
модулю X и BSG—s-мерная группа Бетти пространства (Rn—К)
по модулю G (X и G—ортогональны). Тогда$¥хи Во~г~*—
ортогональны, причем произведение ас 33* ы acJ5g_r~1 определено как
коэффициент зацепления (см. определение 2) некоторого цикли
класса а с некоторым циклом класса а.
Доказательство. Предположим, что К состоит из
симплексов некоторого подразделения Rn. Пусть T£(i= 1, 2, ..., аг) —
совокупность r-мерных ориентированных симплексов из /С.
Обозначим, далее, через S/(/=l, ..., an_s) совокупность s-мерных
барицентрических звезд /?я, которые пересекают /С. Очевидно,
что число /--мерных симплексов из К равно числу (п—г)-мерныХ
звезд из Sf"r (что и предусмотрено обозначениями). Более того,
обозначения могут быть выбраны таким образом, что индекс
пересечения I (Tri, S"""r)s=6/y, где 6,7 = 0 при i Ф / и бгу- = 1 при/*=*/•
Обозначим через Лг группу всех линейных форм относительно
всех r-мерных симплексов комплекса К с коэффициентами из X»
т. е. группу r-мерных цепей К по модулю X. Каждому элементу

8. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ 157
дг отнесем, как его границу, некоторый элемент из Л'"1 (см. § 1).
Таким образом, получаем гомоморфное отображение группы Лг
на подгруппу ф'"1 группы Л'"1 с ядром Зг- Элементы из Зг суть
ииклы, а элементы из $£г~х—циклы, гомологичные нулю.
Аналогично мы обозначим через L3 группу всех линейных форм типа
§ g S/, где g/CiGy т. е. группа L3 есть группа цепей по модулю G.
каждому элементу а из L3 отнесем, в качестве его границы,
некоторую линейную форму относительно барицентрических звезд.
Выберем только те члены этой формы, которые составлены H3S/"1, и
назовем их сумму относительной границей а. Таким образом,
каждому элементу из L* соответствует, в качестве его относительной
границы, некоторый элемент из L5"1, и мы получаем гомоморфное
отображение группы L? на подгруппу Я5"1 группы L5"1 с ядром Zs.
Легко видеть, что HsaZs.
Мы установим теперь закон умножения между элементами
из Лг и L""r. Если асЛг и aaLn~ry то положим ая = /(а, а)
(см. определение 1). Мы покажем, что группы Аг и Ln"r, в силу
этого закона перемножения, образуют ортогональную пару.
Очевидно, что умножение дистрибутивно и непрерывно. Покажем,
что (Лг, Lw-r) = (0) (см. определение 3, Т.Т.Г.). Пусть 0^=асЛг,
а= 2 аД7> гДе хотя бы один коэффициент а, отличен от нуля.
Пусть 0^=5^0. Так как X и G ортогональны, то существует gczG
такое, что а^^О. Пусть a = gS?~r; мы получаем аа = а£фО.
Точно так же можно показать, что (Ln~r, Лг) = (0). Докажем
далее, что (Лг, Hn-r) = Sr и (£я~"г> &) — Zn-r. Берем <хс=Зг и
а£Нп~г. Существует элемент caLn~r+1, относительная граница
которого есть а, т. е. с = а + Ь, где Ь не пересекает К. аа —
= /(а, а)=г/(а, а 4- Щ = 0, так как индекс пересечения двух
циклов из Rn равен нулю. Таким образом, (Лг, #*~r)z>3r- Теперь
пусть асЛг, а<£Зг» тогда а^Р^О, РсЛГ""1. Вследствие того,
что Л7""1 и Ln~r+1 ортогональны, существует саLn~r+1 такое, что
fc^O. Если с = а + Ь, ааНп~г и b не пересекает /С, то аа = / (а,
а+*0 = ±/(Р, с) —dhfc^O, следовательно, (ЛГ, #"-',)=^Зг.
Совершенно аналогично мы можем доказать, что (Ln~r, $r) = Zn~r.
в силу теорем 2 и 4 Т. Т. Г.
(£"-'. 30«Я»-', (Л', Z"-') = £r.
Из этого, принимая во внимание, что Зг и %п~г образуют пару
1см. определение 3, Т. Т. Г.), мы заключаем, что
(Зг, *■-')«#\ (Z»-', 30 = Я—.
J*0 отсюда следует ортогональность групп Wx = 3r/§r и Zn~r/Hn~r.
1еРвая из них есть группа Бетти комплекса /С, вторая—изо-

158 8. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ
морфна группе Бетти пространства Rn—К. Это последнее
предложение устанавливается следующим образом: пусть zaZn~r и z-—
граница z; z—цикл в пространстве Rn—К и определяет некото*
рый элемент группы Bg"''1', в то же время, если uczZn~r и z—uc:
аНп~г, то z и .и будут циклами, гомологичными друг другу
в Rn—/С. Обратно, если z и и принадлежат Zn~r и если их
границы гомологичны друг другу в Rn—/С, то z—uaHn~r. Сверх
того, для каждого (п—г—1)-мерного цикла из Rn—К может
быть найден цикл, гомологичный ему, образующий границу
некоторого элемента из Zn~r. Таким образом, изоморфизм между
группами Zn~r/Hn~rBtG~r~1 установлен. Очевидно, что при
переходе от элемента из группы zn~r к его границе индексы его
пересечения с элементами из Зг переходят в коэффициенты зацепления.
Таким образом, теорема доказана.
§ 6. Общая теорема двойственности для компактного
множества F, расположенного в Rn.
Основная теорема. Пусть F расположено в Rn и 33^ —
r-мерная группа Бетти множества F по модулю X, a Bg—s-мер-
ная группа Бетти пространства Rn—F по модулю G (X и G
ортогональны). Тогда группы 93* и ВП(ГГ"Х ортогональны, причем.
произведение асЭЗх и a<z.Bn(Tr~x определено как коэффициент
зацепления некоторого истинного цикла класса а с некоторым
циклом класса а (см. определение 5).
Следствие. Из этой теоремы следует, в соответствии с
теоремой 5, Т. Т. Г., что каждая из групп 93* и В Ъ~г~г есть группа
характеров для другой, т. е. каждая из них однозначно
определяется через другую.
Доказательство основной теоремы. Закон
умножения, сформулированный в теореме, очевидно, дистрибутивен.
Покажем теперь, что удовлетворяются условия непрерывности. Чтобы
сделать это, достаточно показать, что если асВо~г"1, то для
произвольной окрестности нуля J группы К всегда существует
окрестность нуля V группы 23£ такая, что если aczV, то ouiaJ.
Пусть z—цикл класса а и h = z, а gt (i— 1, ...,
р)—совокупность всех коэффициентов цепи Ь. Обозначим через U достаточно
р
малую окрестность нуля в X такую, что если P.czf/, то 2 Р/й*^*^
Пусть, далее, К—настолько малая полиэдральная окрестность г»
что К не пересекает г, е—достаточно малое число такое, что
каждый е-комплекс из F лежит в /С, и£—целое число настолько
большое, что l/k < е. Пусть V—окрестность нуля в 93^, заданная
окрестностью О и числом k (см. определение 6). Мы покажем»
что если aczV, то ouiczJ. Берем Z = (t,l9 ..., £mf ...) — истинный
цикл класса а, обеспечивающий принадлежность а к V. Так как

8. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ 159
силу этого условия все циклы Z,m и все цепи, которые образуют
В мочогии между ними, принадлежат к /С, то мы имеем из
определения 5: V(Z, z) = V(£lt z). Пусть a, (i=l, ..., /) —совокуп-
пгть всех коэффициентов цикла £i» тогда мы имеем из опреде-
ления 1 и z.
V(Z, z)=*/(Elf ft)= 2 2 a/£Av>
e a..—целые числа, абсолютная величина которых не
превосходит единицы. В силу определения 6
2 «//*,=Р/с [/.
Таким образом, из построения £/,
1 р р
2 2 *&рц= 2 P/g/<=/,
t=l ; = 1 j=\
т. е. в силу установленного закона перемножения 33* и Bg"^1
образуют пару (см. определение 3, Т. Т. Г.).
Мы докажем теперь, что 33£ и J5g"r~1 ортогональны. Пусть
0фаа$5гх> покажем, что существует элемент ac=Bg~r"1 такой,
что аафО. Пусть (£lt £2, ..., £я, ...) = Z—истинный цикл,
принадлежащий классу а. Так как аф§, то существует
полиэдральная окрестность К множества F такая, что циклы %т
не гомологичны нулю в ней. Можно предполагать, не нарушая
общности, что все циклы Z,m и все цепи, которые образуют
гомологии между ними, находятся в К. Так как txCiK и не
гомологичен нулю в К у то из теоремы 2 следует, что существует цикл
zaRn—/С, такой, что V(£i, г)Ф0. Если ac=J3&~r_1—класс, к
которому принадлежит z, то сшфО. Отсюда (335с, JB^~r~1) = (0).
Покажем теперь, что если ОфааВ'(Гг~1> то существует
а с 33^ такое, что аафО. Пусть z—цикл класса а и К19 ...
• ■., Кт9 ... — убывающая последовательность комплексов,
содержащих F и таких, что их пересечение совпадает с F. Предположим
также, что zaRn—Кг. Пусть g—порядок а и у—некоторый
элемент порядка g из К. Из теоремы 2 и леммы 8, Т. Т. Г. следует,
что существует в Кт цикл Z,m такой, что V(£от, z)=y. Пусть
^т Аля j^m—цикл, составленный из симплексов KmJ
гомологичный в Кт циклу £/• Так как группа циклов Кт компактна, то
можно выбрать из последовательности £{(/=1,2,...) сходящуюся
п°следовательность £'* (k= 1, 2, ...). Таким же образом из
последовательности £** можно выбрать сходящуюся
подпоследовательность. Продолжая этот процесс дальше и применяя диагональный

160 8- ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ
процесс, мы придем к последовательности чисел ilf *2, ... I .. ш
таких, что последовательность £V с фиксированным т сходится
/ для каждого т к некоторому циклу £ш. Очевидно, что £m+1cv>£
в Кт и что V(£m, z) = y. Таким образом, мы получаем истинный
цикл Z = (£1э £2, ...), принадлежащий некоторому классу ас 33^ с
аа = у. Отсюда (£8~г~\ Ъгх) = (0), и теорема полностью доказана.
ПРИМЕЧАНИЯ
[1] Результаты этой работы были опубликованы в сжатой форме на Интернаци»
ональном Математическом конгрессе в Zurich'e в 1932 г.
[2] А I е х a n d е г, A proof and generalization of the Jordan-Brouwer Theorem.
Trans. Amer. Math. Soc., 23 (1922), p. 333—349.
[3] L e f s с h e t z, Intersections and transformations of complexes and manifolds,
Trans. Amer. Math. Soc., 28 (1926), p. 1—39.
Детальное изложение теории пересечения дается в статье Глезермана
и Понтрягина «Теория пересечений», опубликованной в «Успехах
математических наук»4. т. II, вып. 1.
[4] Р о n t r j a g i n, Uber den algebraischen Inhalt topologischer Dualitatssatze
Math. Ann., 105 (1931), p. 165—205.
Модернизованное изложение этой работы дается в статье Л. С.
Понтрягина «Топологические теоремы двойственности», публикуемой в
настоящем номере журнала.
[5] Для понимания этой работы необходимо знать первую главу моей
работы «The theory of topological commutative groups, Ann. of Math. (2),
35 (1934), p. 361—370. Русский перевод см. Успехи математических наук,
вып. 2-й. В дальнейшем при ссылках эту работу я обозначаю через
Т. Т. Г.
[6J Для основных понятий топологии см. Alexandroff und Horf, Topologie.

9
О КОМПАКТНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
И ПЯТОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА *) ^ 2)
1. И. фон Нейман недавно доказал3), что всякая замкнутая
непрерывная группа (т. е. компактная связная и локально
евклидова топологическая группа) является группой Ли; он получил,
таким образом, положительное решение проблемы Гильберта
(для компактных групп). Я получу здесь результат, значительно
более общий, чем результат фон Неймана, используя при этом
средства, которые кажутся мне более простыми. Именно, я докажу
следующую теорему.
Теорема. Всякая компактная локально связная и
конечномерная топологическая группа есть группа Ли, изоморфная при
этом группе вращений евклидова пространства достаточно боль-
того числа измерений.
2. Эта теорема содержится в следующей теореме.
Фундаментальная теорема. Пусть W — компактная
связная топологическая группа конечной размерности г. Тогда
в W существует абелева нульмерная инвариантная подгруппа
(нормальный делитель) U такая, что факторгруппа W/U является
связной группой Ли. Если группа U конечна, то группа W сама
является группой Ли, изоморфной группе вращений (евклидова
пространства Еп). Если группа U бесконечна, она гомеоморфна
совершенному разрывному множеству Кантора; в этом случае
единичный элемент группы W обладает окрестностью, гомеоморф-
ной топологическому произведению канторова множества на г-мер-
ный куб, так что группа W не может быть локально связной.
Можно, впрочем, уточнить этот результат. Пусть
G—фундаментальная группа (группа связности в терминологии Картана)
многообразия V=W/U. В силу результатов О. Шрейера 4) группа
G абелева. Значит, существует невозрастающая последовательность
*) Sur la groupes topologiques compacts et le cinquieme probleme de M. Hilbert
(/Compt. Rend. Acad. Sci.—Paris.—1934.—T. 198, № 3.—P. 238 — 240.—
Перевод Д. Б. Фукса.
х) Hilbert, Problemes mathematiques. Доклад на Международном конгрессе
Математиков в Париже, 1900.
2) Заседание 3 января 1934 г.
3) Annals of Mathematics, 1933, 34, p. 170.
4) Abh. Math. Seminar Hamburg, 1926, 4, p. 15—32; 1927, 5, p. 233—244.
Л. С. Понтрягин, т. I

162 &• О КОМПАКТНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
G > Gt > G2 >... > Gtr >... подгрупп группы G, такая, что индекс
Gi+1 в G,- есть конечное число k(.
Если все ki9 начиная с некоторого i, равны 1, то мы имеем
первый случай, рассмотренный в сформулированной фундаменталь»
ной теореме, тогда как второй случай этой теоремы
соответствует ситуации, когда среди чисел k{ есть бесконечно много
отличных от 1.
3. Доказательство фундаментальной теоремы опирается на
понятие сходящейся последовательности групп*).
Пусть Wl9 W2J ..., Wh ...— последовательность компактных
топологических групп. Предположим, что задана последователь-
ность /lt /2, ..., /,., ..., где /,-—гомоморфное представление
группы Wi+1 в W,. Последовательности {wly w2, ..., wly ...}, где
Wi = fi+i(Wi+i), образуют топологическую группу W: достаточно
положить {w{} • {w'i} = {о;^} и рассмотреть в качестве
окрестности последовательности \хю{} совокупность всех
последовательностей {w'i], первые п членов которых (п—любое целое число)
принадлежа! соответственно произвольным данным окрестностям
Щ, •••, wn.
Легко понять, что предел последовательности компактных
групп также является компактной группой.
Установив это, мы привлекаем следующий результат Вейля
и Петера6), который применим к произвольным компактным
группам благодаря работе Хаара7):
Вспомогательная теорема. Всякая компактная mono*
логическая группа W является пределом сходящейся
последовательности компактных групп Ли. Если W имеет конечную размер-
ность г, то все группы W,- (при достаточно больших i) также
имеют размерность г и гомоморфизмы f{ соответствуют
конечным инвариантным подгруппам.
Эти утверждения открывают для нас путь к доказательству
фундаментальной теоремы. Пусть дана последовательность {W{}
групп Ли размерности г, сходящаяся к W\ обозначим через 1)х
подгруппу группы Wly содержащую только единичный элемент.
Если подгруппа £/,• группы W{ уже определена, мы обозначим
через Ut-+1 подгруппу группы Wi+U составленную из всех
элементов группы Wi+1, образы которых (при отображении /,)
принадлежат U{. Группы Ui (абелевы благодаря результатам Шрейера)
сходятся к некоторой группе (/, и мы имеем W/U^W^
Обозначим через G,- фундаментальную группу группы W{. Группа Gi+i
ь) Это фундаментальное понятие является не чем иным, как применением
к теории групп понятия проективного спектра, принадлежащего Александрову
(Annals of Math, 1928, 30, p. 101—187), группы W; образуют, в
действительности, проективный спектр группы W.
6) Math. Annalen, 1927, 97,- p. 737--755.
7) Annals of Math., 1933, 34, p. 147—169.

9 О КОМПАКТНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ 163
подгруппа группы G,; все эти группы абелевы. Индекс
е°\'ппы G/+i в G, есть, по определению, k{\ это число равно
Г эядку инвариантной подгруппы группы Wi+l, составленной из
сех элементов этой группы, которые переводятся отображением
? в единичный элемент группы W7,-. Следовательно, все группы
w. при достаточно больших i изоморфны W, если
соответствующие к( равны 1.
Доказательство того факта, что группа и гомеоморфна канто-
оовому множеству, если к{Ф\ для бесконечно многих значений /,
не представляет серьезных трудностей.
Полное изложение вышеописанной теории будет опубликовано
в другом месте.
6*

10
КЛАССИФИКАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
КОМПЛЕКСА НА СФЕРУ. I *) **)
Как известно, два непрерывных отображения / и g
топологического пространства R в л-мерную сферу Sn называются
эквивалентными, если отображения эти могут быть переведены одно
в другое путем непрерывной деформации. Таким образом все
непрерывные отображения пространства R в сферу Sn распадаются
на классы эквивалентных. Проблема отыскания этих классов
принадлежит к числу наиболее актуальных топологических проблем.
Она была полностью решена НорГом для случая, когда R есть
n-мерный комплекс Кп. Для случая R = Kn r>n, решение
проблемы находится в начальной стадии.
В этой и нескольких следующих заметках я публикую ряд
своих результатов по вопросу классификации. В настоящей заметке
дается полная классификация отображений сферы Sn+1 в сферу
Sa (n = 2, 3, ...).
Установим прежде всего ряд общих предварительных положений.
Два непрерывных отображения fug пространства R в сферу
Sn будем называть совпадающими для области VaSn, если
f~1(V) = g~1{V) = UciR и для всякого х£1/ имеем f{x) = g(x).
A) Если два непрерывных отображения fug пространства R
в сферу Sn совпадают для некоторой не пустой области VaSaf
то отображения эти эквивалентны.
B) Пусть V—некоторая шаровая область из Sn9 V — ее
граница, F—некоторое замкнутое подмножество нормального
пространства R и F'—его граница. Пусть, далее, /—некоторое
непрерывное отображение F в V+V такое, что f(F')aV'.
Существует тогда непрерывное отображение g пространства R в S„,
совпадающее с / для VcSw.
C) Пусть /—симплициальное отображение комплекса К в сферу
Sn (Sn здесь предполагается разбитой на симплексы),
V—некоторый открытый /г-мерный симплекс из Sn и t/ = /"1(t/). Тогда V
естественным образом распадается на топологическое произведение
симплекса V и некоторого комплекса Ру т. е. каждую точку z€"
можно записать в форме (х, у), где x£V, y£P> причем f(z)^
= f(x, y) = x. Если предположить, что К есть многообразие, то
и Р оказывается многообразием.
*) Докл. АН СССР.—1938.—Т. XIX, № 3.—С. 147 — 149.
**) Теоремы 2' и 2" были доложены от моего имени S. Lefschetz'eM н*
Международном математическом конгрессе в Осло в 1936 г.

10 КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ КОМПЛЕКСА НА СФЕРУ. I. 165
Предложения А), В), С) доказываются тривиально.
Будем рассматривать сферу S3 как группу кватернионов
обозначим через Н однопараметрическую связную подгруппу
и ппЫ S3. Тогда, как легко видеть, множество всех правых
классов смежности группы S3 по подгруппе Я дает сферу S2.
rf0J1 у чающееся так естественное отображение сферы S3 на сферу
5 обозначим через ф.
2 Отображение / комплекса К на сферу Sn будем называть
гомологичным нулю, если каждый л-мерный цикл Z из К по любому
модулю m переходит при отображении в нулевой цикл из S„;
/ (Z) = 0-
Лемма. Пусть f—гомологичное нулю отображение комплекса
К в S2. Существует тогда непрерывное отображение g комплекса
К в S3 такое, что / = Ф£, т. е. для всякого х£К f(x) = q>[g(x)].
Доказательство опирается на предложение С) и сложную
конструкцию, использующую специальные свойства отображений ф.
Мне известен результат Hurewicz'a, согласно которому два
отображения g и h комплекса К в S3 тогда и только тогда
эквивалентны, когда отображения cpg и ф/i эквивалентны. Этот
результат Hurewicz'a и предыдущая лемма сводят вопрос о
классификации гомологичных нулю отображений комплекса К в S2
к вопросу о классификации всех отображений комплекса К в S3.
Отсюда непосредственно получаем классификацию отображений
«Jg В Uo.
Пусть /—симплициальное отображение S3 в S2. Возьмем какие-
либо две внутренние для симплексов из S2 точки а и ft, тогда
/_1(а) и /_1(&) суть циклы из S3. Коэффициент зацепления этих
циклов обозначим через v(f). Hopf показал, что v(f) есть
инвариант класса отображений. Оказывается, что v(f) есть
единственный инвариант, а именно, мы имеем:
Теорема 1. Два отображения fug сферы S3 в S2 тогда
и только тогда эквивалентны, когда v(f) = v(g).
Перейдем теперь к рассмотрению случая л^З.
Теорема 2\ Существует не более двух классов отображений
сферы Sn+1 в Sn при л>3.
Доказательство. Пусть f—симплициальное отображение
S„+1 в Sn. Обозначим через V шар с центром а, расположенный
в одном из л-мерных симплексов сферы Sni и положим U = /~1 (V).
Тогда в силу замечания С) U распадается на топологическое
произведение шара V и конечной системы окружностей Р.
Элементарной реконструкцией отображения f можно добиться того,
Что Р будет просто окружностью. Модифицируя отображение /
^Де, мы можем достичь того, что (а, Р) будет окружностью из
\+iC непрерывно вращающейся касательной, а (V,
у)—перпендикуляром к (а, Р), причем отображение / будет изометрично
переводить (V, у) на V. Для произвольного второго отображения
6 сферы Sn+1 в Sn произведем аналогичную конструкцию. Так

166 10. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ КОМПЛЕКСА НА СФЕРУ. I.
как всякие две окружности в Se+1 изотопны, то мы можем сч*ь
тать, что для обоих отображений построенные (а, Р) и (V, у\
совпадают. Так как отображения / и g изометрично отображают
(У, у) в У, то мы имеем /(х, y) = g[ty.t(x)9 у]У где $у есть
вращение шара V. Таким образом, сравнение двух отображений
/ и g привело нас к семейству я|э вращений л-мерного шара V
причем у пробегает окружность. Так как в многообразии всех
вращений шара V имеется лишь два различных гомотопических
типа окружностей, то мы видим, что существует не более двух
классов отображений.
Сделаем теперь еще одно общее замечание.
D) Всякое непрерывное отображение сферы Sr в сферу S
можно аппроксимировать аналитическим отображением. Если два
аналитических отображения Sr в Sn эквивалентны, то можно дать
аналитическую деформацию одного отображения в другое.
Доказательство опирается на аппроксимацию функции
нескольких переменных полиномами.
Теорема Т. Существует не менее двух классов отображений
сферы Sn+1 в сферу Sn при я^З.
Доказательство. Пусть /—аналитическое отображение
Sn+l в Sn. Тогда существует такая точка a£Sn, что Р = /"1(а)
есть конечная система аналитических непересекающихся
окружностей в Sn+U число которых обозначим через р. Возьмем вал
ортогональных векторов; в силу отображения / им соответствует
в точке у£Р п линейно независимых векторов ulf u2, ..., ипУ
ортогональных к Р. К этой системе векторов присоединим вектор
а0, касательный к Р в у. Таким образом, в каждой точке у£Р
определена система Uu из п + 1 линейно независимых векторов.
В каждой точке z£Sn+1 возьмем некоторую систему из п + 1
линейно независимых векторов. Многообразие всех таких систем
векторов при произвольной точке z обозначим через М. Легко
установить, что одномерная группа Бетти многообразия М есть
циклическая, порядка два. Обозначим через Z одномерный цикл
из М9 не гомологичный в М нулю. Множество всех систем Uv
определяет в М цикл, гомологичный в М циклу aZ, где a—вычет
по модулю два. Положим v = a-f P по модулю два. Оказывается,
что при аналитической деформации отображения / вычет у не
меняется. Если в течение деформации не наступает критического
момента, при котором число Р окружностей меняется, то
утверждение очевидно, так как тогда множество всех U у деформируется
непрерывно. Критические моменты деформации требуют
специального, впрочем, вполне элементарного, рассмотрения. Для
доказательства теоремы 2" теперь достаточно установить два
отображения, для которых вычет у имел бы различные значения 0 и 1.
Это без труда делается при помощи предложения В).
В следующей заметке будет дана классификация отображений
сферы Srt+2 в сферу Sn.

11
КЛАССИФИКАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
КОМПЛЕКСА НА СФЕРУ. II *) **)
В этой заметке дается классификация отображений сферы S„+2
в сферу Sn при п ^ 2, а также устанавливаются некоторые общие
соотношения для отображений сферы Sr размерности г в сферу Sn
размерности п.
Теорема 1. Имеется ровно два класса отображений сферы S4
в сферу S2.
Доказательство. В предыдущей моей заметке К. Н. О. I
было показано, что число классов отображений сферы S4 в сферу
S2 равно числу классов отображений сферы S4 в сферу S3. В силу
результатов той же заметки это последнее число классов равно
двум.
Теорема 2. Существует лишь один класс отображений
сферы Sn+2 в сферу Sn при п>3.
Доказательство. Без ограничения общности мы можем
рассматривать лишь аналитические отображения S/2+2 в Sn [см.
К. Н. О. I. D)]. Пусть /—аналитическое отображение Sn+2 в Sn
и а—такая точка иЗ SnJ. что /_1(а) есть поверхность в S,I+2, не
имеющая аналитических особенностей. Пусть, далее, V—достаточно
малая шаровая окрестность точки а, тогда U = f~1(V) распадается
на топологическое произведение шара V и некоторой отдельно
заданной поверхности Р. Каждая точка z£U представляется в
форме г = (х, у), где xgV, y£P, при этом /(z) = /(x, y) = x.
Модифицируя отображение /, мы можем достичь того, чтобы оно
изометрично отображало шар (V, у) на шар V и шар (V, у) был
ортогонален к поверхности (а, Р) при произвольном у gP.
Рассмотрим сперва лишь такие отображения, для которых
поверхность Р гомеоморфна сфере. Если л ^4, а / и g—два
отображения рассматриваемого типа, то ввиду изотопности bS„+2
при п ^ 4 каждых двух дифференцируемых сфер мы можем
предположить, что для обоих отображений (а, Р) и (V\ у) одинаковы.
Таким образом, f(x, у) = ё[^у(х)у у], где ty(J—некоторое враще-
*) Докл. АН СССР.— 1938.—Т. XIX, № 5.—С. 361—363.
**) Настоящая заметка является продолжением моей предыдущей заметки
"°Д тем же заголовком [ДАН, XIX, № 1—2 (1938)]. При ссылках на нее я
°УДУ писать просто К. Н. О. I.
Теоремы 1 и 2 настоящей заметки были доложены от моего имени S. Lef-
CJletz'eM на Международном математическом конгрессе в Осло в 1936 г.

168 И- КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ КОМПЛЕКСА НА СФЕРУ.. II.
ние шара V, зависящее от точки у£Р. Так как в многообразия
всех вращений шара V всякий образ двумерной сферы гомотопен
нулю, то отображения f и g эквивалентны [см. К. Н. О. I. А)]#
Случай, когда я = 3, требует специального сравнительно сложного
рассмотрения, но результат сохраняется.
Теперь остается свести общий случай к тому, когда Р есть
сфера. Поверхность Р, как легко видеть, всегда ориентируема.
Пусть L—некоторая простая замкнутая кривая на Р.
Некоторую окрестность кривой L можно покрыть однопараметрическим
семейством {Lt} простых замкнутых кривых, —l<f < 1, L0 = £.
Рассмотрим в Sn+2 семейство кривых {(х, Lt)}y x^V, 0 < t < 1.
Семейство это очевидно гомеоморфно п+ 1-мерному шару V,
Отображая каждую кривую (х, Lt) семейства в соответствующую
точку из V, мы получим отображение А' некоторого множества
из Sn + 2 на V. Считая, что шар V принадлежит некоторой
(п+ 1)-мерной сфере Sn+19 мы можем распространить отображение
/*' в отображение всей сферы Sn+2 в сферу Sn+1 [см. К. Н. О. I. В)].
Полученное так отображение h сферы Sn+2 в сферу Sn+1 может
быть гомотопно нулю или не гомотопно нулю (см. К. Н. О. I);
в первом случае мы скажем, что кривая L имеет индекс нуль,
а во втором — индекс единицу. Оказывается, что для гомологичных
между собой кривых на Р индексы совпадают, а при
гомологическом сложении двух кривых индексы складываются по модулю
два. Из этого нетрудно заключить, что на поверхности Р имеется
кривая, негомологичная нулю, индекс которой равен нулю,
конечно, если поверхность Р не распадается в систему сфер. Пусть
L—фиксированная кривая, обладающая указанными свойствами.
Обозначим через Р' некоторую дифференцируемую поверхность
из Sn+2, гомеоморфную кругу, которая пересекается с (а, Р) лишь
по своей границе (a, L). Исходя из этой конструкции, можно
модифицировать отображение / так, чтобы для вновь полученного
отображения поверхность Р имела бы род, на единицу меньший,
чем род поверхности Р для исходного отображения. Применяя
последовательно указанные модификации, мы достигаем того, что
поверхность Р будет распадаться в конечную систему сфер, а
конечную систему сфер уже нетрудно свести к одной сфере.
Таким образом, теорема доказана.
Мне представляется целесообразным организовать совокупность
классов отображений сферы Sr в сферу Sn, сконструировав из
этой совокупности группу.
Определение. Пусть S'r и S"r—две ориентированные сферы,
a f и /"—их отображения в сферу Sn. Отображения f и f
будем считать эквивалентными, если существует такое гомеоморфное
отображение h сферы S"r на сферу S'n сохраняющее ориентацию,
что отображения \'h и f" сферы S"r в сферу Sn эквивалентны.
В силу этого определения все отображения ориентированных
сфер Sr в сферу Sn распадаются на классы эквивалентных.

11.
КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ КОМПЛЕКСА НА СФЕРУ. II. 169
Внесем теперь в систему этих классов групповую операцию
жения. Пусть А и В—два класса отображений, /€Л, g£B.
Попустим, что / отображает сферу S;, a g—сферу S*r. Пусть
& Л. некоторая шаровая окрестность из S'r, а V" — некоторая ша-
овая окрестность из S"r. Так как отображения fug определены
Р тоЧностью до эквивалентности, то без ограничения общности
мы можем предположить, что / (V) = g (V") = а, где а—точка из S„.
Из ориентированных многообразий S'r—V и S,—V можно
построить ориентированную сферу Sn склеив эти многообразия
по их границам так, чтобы ориентации при склеивании были
согласованы. Отображения f и g вместе определяют отображение
h сферы Sr. Класс отображений, содержащий А, обозначим через С.
Устанавливается, что класс С определен однозначно классами
А и В\ таким образом можно положить С = А + В. Таким
образом, мы сконструировали коммутативную группу из классов
отображений всевозможных ориентированных сфер размерности г
в сферу S„. Нулем этой группы служит класс отображений,
гомотопных нулю. Если А—некоторый класс отображений и f£A
отображает ориентированную сферу S'r, то отображение /,
примененное к сфере S^, отличающейся от S'r лишь ориентацией,
принадлежит классу —Л, противоположному Л.
Замечу, что сконструированная здесь группа изоморфна одной
из гомотопических групп, построенных Hurewicz'eM.
Задачу классификации отображений сферы Sn+k в сферу Sn
теперь можно более определенно формулировать как задачу
вычисления группы отображений Sn+k в Sn. Группу эту мы
обозначим через Pg.
Из установленных результатов следует, что группа Р\ есть
свободная циклическая; группа Р?, при л^З,—циклическая
второго порядка; группа Р\— циклическая второго порядка;
группа PJ, при л^З, содержит лишь единицу.
Нет никаких оснований думать, что группа Р% всегда
циклическая; другое, естественно возникающее из рассмотренных
примеров предположение, однако, подтверждается.
Теорема 3. При n^k+2 группа Р\ изоморфна группе
П+2 = Рк.
Доказательство сравнительно несложно и опирается на
замечания D) и А) моей предыдущей заметки.
Теорема 3 ставит перед нами задачу в первую очередь
вычислить группу Рк. Задача эта, по-видимому, тесно связана с
изучением гомотопических свойств группы ортогональных матриц.

12
ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ*)
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 170
§ 1. Общие замечания 17!
§ 2. Группы АП9 ВП1 Cnt Dn 179
§ 3. Вспомогательные функции на группах 182
§ 4. О некоторых циклах в группах 186
§ 5. Гомологии в группах Ап, ВП1 СПУ Dn 198
§ 6. Гомологии локально изоморфных групп 206
Литература 208
Введение
Проблема изучения топологических свойств многообразий,
заданных аналитически, геометрически или каким-либо другим
способом, важна как для самой топологии, так и для ее приложений.
В такой общей формулировке проблема кажется несколько
неопределенной, так как не совсем ясно, о каких многообразиях идет
речь. Для решения ее необходимо в каждом конкретном случае
указать, какие рассматриваются многообразия и какими их
топологическими свойствами мы интересуемся. Е. Картан предложил
в качестве такой конкретной проблемы задачу о гомологических
инвариантах групповых и (тесно связанных с ними) однородных
пространств. Он развил также общий метод, состоящий в
изучении дифференциальных форм на многообразии, и привел, таким
образом, геометрический выброс в область чистой алгебры [1],
[7]. Метод Картана принес, однако, сравнительно немного
результатов, так как возникающие алгебраические задачи достаточно
сложны.
В этой работе задача Картана о нахождении гомологических
свойств компактных групповых многообразий решается чисто
топологически, независимо от метода, предложенного Картаном.
Как известно (см. § 6), рассматриваемая задача может быть
сведена к нахождению гомологических инвариантов простых
компактных групп Ли. Здесь этот вопрос решается только для четырех
основных серий компактных групп Ли (см. § 2), тогда как для пяти
особых групп этот вопрос остается пока открытым.
*) Homologies in compact Lie groups.— Мат. сб., Новая сер.— 1933.— Т. 6»
вып. 3.— С. 389—422.— Перевод В. В. Лычагина.

12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ
171
Метод, применяемый мною, состоит в нахождении на каждой
ппе о'такой действительной функции f(x), xgG, что ее диф-
!ьрпенииал обращается в нуль только на максимуме С и мини-
vMe С*; при этом G' есть некоторая подгруппа группы G, а
/г--некоторый смежный класс группы G по подгруппе С Далее
мы ищем в многообразии G цикл Z, индекс пересечения которого
с многообразием G' равен ±1; если такого цикла не существует,
мы ишем цепь X, индекс пересечения которой с G' равен ±1,
а граница лежит в G". Предполагая, что топология группы G'
достаточно хорошо известна, и используя ортогональные
траектории к поверхностям уровня функции f(x) и цикл Z, я исследую
топологию многообразия G. Общая схема и некоторые
топологические предложения, связанные с ним, содержатся в § 1. В § 3
приведены определения нужных нам функций f(x) на группах,
а в § 4 мы строим циклы Z и цепи X. Полное изучение
гомологии упомянутых четырех серий простых групп содержится в § 5,
а § 6 содержит новое, чисто топологическое доказательство хорошо
известного результата Картана о том, что числа Бетти локально
изоморфных компактных групп одинаковы.
Краткое изложение результатов этой работы было опубликовано
в 1935 г. [2], [8]. После появления этой публикации Брауэр
опубликовал короткую заметку [3], в которой он, зная мои
результаты, доказал их заново с помощью метода Картана.
§ 1. Общие замечания
В этом параграфе мы укажем некоторые общие понятия и
установим некоторые общие предложения, на основании которых
вычислим в дальнейшем группы гомологии компактных групповых
многообразий [4].
Чтобы избежать терминологических недоразумений, мы
напомним здесь следующие общепринятые определения.
Пусть а0, а19 ..., аг—система г-\- 1 точек некоторого евклидова
пространства, не лежащих ни в каком линейном пространстве
размерности, меньшей г. Минимальное выпуклое тело Т,
содержащее точки а0, alf ..., ап называется полиэдральным г-мерным
симплексом. Агрегат Е = (Т, /), состоящий из полиэдрального
симплекса Т и его непрерывного отображения / в некоторое
многообразие УИ, называется r-мерным симплексом многообразия М.
Если симплекс Т ориентирован, то симплекс Е также считается
°Риентиров'анным. Два симплекса, £ = (Г, /) и £' = (7", /'), мно'
гообразия М рассматриваются как совпадающие, если существует
такое невырожденное аффинное соответствие между полиэдральными
симплексами Т и Т\ относительно которого функции / и /' сов-
падают. Если симплексы Е и Е' ориентированы, то они
рассматриваются как совпадающие, если описанное соответствие сохра-
няет ориентацию. Линейная форма типа С=^с1Е1 -f с2Е2 + ... + спЕпУ

172 12- гомологии в компактных группах ли
где с19 с2У ..., сп—целые числа, a Elf Е2, ..., Еп—ориентир^
ванные r-мерные симплексы многообразия М, называются г-мер.
ной цепью в М. Под границей r-мерного ориентируемого симплекса £
подразумевается сумма его (г—1)-мерных ориентированных гра-
ней, отображаемых в М при помощи /. Таким образом, каждому
ориентированному r-мерному симплексу многообразия М, а
значит, по аддитивности, каждой r-мерной иепи С многообразия М
соответствует некоторая (г—1)-мерная цепь С, называемая
границей первоначально взятой цепи. Цепь многообразия М
называется циклом, если ее граница равна нулю. Как известно, гра-
ница любой цепи из М является циклом. Цикл Z, являющийся
границей некоторой цепи, называется гомологичным нулю (в
записи: Zc/эО). Два цикла, X и Yy разность которых гомологична
нулю, называются гомологичными друг другу (в записи: Хс/эК).
Цикл W называется слабо гомологичным нулю, если существует
такое натуральное число qy что qW<zr>0\ в этом случае мы пишем
W«0. Циклы U и V называются слабо гомологичными друг
другу, если их разность слабо гомологична нулю (в записи U « V),
Если многообразие М разбито на симплексы, образующие
комплекс /С, то симплексы комплекса К можно рассматривать как
образы полиэдральных симплексов при невырожденных аффинных
отображениях, а потому и как симплексы в М. Цепь
многообразия УИ, составленную из таких симплексов, мы будем называть
полиэдральной цепью комплекса /С.
Пусть С — некоторая г-мерная цепь многообразия М. Тогда
существуют такая г-мерная полиэдральная цепь С* комплекса К
и такая г-мерная цепь С* многообразия М, что цепь С*
расположена в окрестности цепи С, а С*—в окрестности цепи С, при-
чем граница цепи С* равна С—С*, а цикл С—С*—С* гомологичен
нулю в окрестности цепи С. Приближение, которое может быть
здесь достигнуто, зависит от малости симплексов комплекса /С.
Цепь С* называется полиэдральной аппроксимацией цепи С.
Пусть К'—барицентрическое подразбиение комплекса /С.
Каждая барицентрическая звезда комплекса К является
полиэдральной цепью в /С'. Линейную форму вида с1В1 + с2В2 + ... +спВп,
где с19 с2, ..., сп—целые числа, a Bl9 J52, ..., Вп—г-мерные
барицентрические звезды из /С, мы будем называть г-мерной
звездной цепью комплекса /С.
Если С—некоторая г-мерная полиэдральная цепь комплекса /С\
то существуют такая г-мерная звездная цепь С* комплекса К я
такая г-мерная полиэдральная цепь С* комплекса /С', что цепь С*
расположена в окрестности цепи С, а цепь С*—в окрестности
• • • л
цепи С, причем граница цепи С* равна С—С*, а цикл С—С*—ъ*
гомологичен нулю в окрестности цепи С. Приближение, которое
может быть здесь достигнуто, зависит от малости симплексов
комплекса /С. Цепь С* называется аппроксимацией цепи С.

12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ 173
Если С—цепь многообразия М, то, аппроксимируя ее сначала
лйэдральной цепью комплекса К', а затем звездной цепью
П°мплекса К, мы получим звездную аппроксимацию произвольной
К°пи С многообразия М некоторой звездной цепью комплекса К.
Ц6 Лемма 1. Пусть М—компактное ориентируемое многообра-
а N—его замкнутое ориентируемое подмногообразие,
расположенное в нем без самопересечений. Предположим, что сущест-
guetn такое разбиение многообразия М на симплексы, образующие
некоторый комплекс К, что подмногообразие N оказывается
некоторым подкомплексом L комплекса /С. Пусть, далее,
X—некоторая г-мерная цепь многообразия М, граница которой не
пересекается с N и симплексы которой достаточно малы. Если
алгебраическое пересечение цепи X с многообразием N гомологично
нулю в N, то в любой заданной окрестности U многообразия
N существует такая (г+ 1) -мерная цепь Y многообразия М, что
цепь X—Y уже не пересекается с N.
Доказательство. Пусть V—такая окрестность
многообразия N, замыкание которой содержится в U. Обозначим через С
цепь, состоящую из всех симплексов цепи X, лежащих в V.
Если симплексы цепи X достаточно малы, то цепь X—С уже не
пересекает многообразия N. Обозначим через С* звездную
аппроксимацию цепи С. Если симплексы комплекса К достаточно малы,
то цепь С* с границей С—С*, лежащая в окрестности цепи С, не
пересекается с N и найдется цепь D с границей С—С*—С*,
лежащая в U. Цепь Х' — Х—D запишем в виде Х' = Х—D —
— С* + С%. Легко видеть, что цепь X—D—С* не пересекается
с N. Обозначим через Х2 звездную цепь, состоящую из всех
звезд цепи С*, пересекающую N; тогда Х'=Х1 + Х29 причем Хг не
пересекается с N, а Х2 состоит из звезд, пересекающих N. Пусть
Х2 = d1B1 + d2B2 + ... + d;lBn, где dly d2, ..., dn—целые числа, а
Blf B2, ..., Bn—барицентрические звезды комплекса /С, которые
пересекаются с L. Обозначим Ту симплекс из /С, двойственный
звезде В;>, т. е. такой симплекс, что индекс его пересечения с В/
в М равен +1. Так как В; пересекается с L, то симплекс Ту
Должен принадлежать подкомплексу Ту. Обозначим через Bj
барицентрическую звезду, дуальную симплексу Ту в комплексе L,
т- е. такую звезду, что индекс пересечения симплекса Ту с By в N
равен +1. Цикл X = d1B1 + dJSn + .. .+dnBn гомологичен в N
(алгебраическому) пересечению цепи X с N и, следовательно,
гомологичен нулю в N. Пусть Y = схАг +_с2А2 + ... + стАт —
звездная цепь из L, граница которой равна X. Обозначим через
^i симплекс из L, дуальный звезде ^. в L, а через
А(—барицентрическую звезду комплекса /С, дуальную симплексу S£.
Положим Yf =^с1А1 + с2А2+ ... +стАт. Легко видеть, что цепь, обра-
3ованная всеми звездами, входящими в границу V цепи Y' и

174
12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ
пересекающими L, совпадает с Х2. Поэтому цепь X'—У ^
= Х1+ Х2—Y' не пересекает N. Переходя от цепи X' к цепи X
мы получаем, что цепь X—D—Y' — X'—Y' = X—Y не Пересе*
кает N9 а цепь Y = D+Y' лежит целиком в U. Итак, лемма 1
доказана.
Лемма 2. Пусть М—компактное ориентируемое
дифференцируемое многообразие, на котором можно ввести положитель*
ную нигде не вырожденную риманову метрику, и пусть /(*)—.
действительная дифференцируемая функция, заданная на М, x£At.
Предположим, что функция f(x) достигает своего максимума на
дифференцируемом ориентируемом подмногообразии М' много*
образия М и своего минимума на дифференцируемом
ориентируемом подмногообразии М" многообразия М. Предположим, далее,
что дифференциал функции f равен нулю только на многообразиях
М' и М". Если х—цепь многообразия М, граница которой лежит
в М" и (алгебраическое) пересечение которой с М' гомологично
нулю в М', то существует такая цепь в X', лежащая в М", что
X—X' является циклом, гомологичным нулю в М.
Доказательство. Мы будем предполагать, что на
многообразии М введена некоторая положительная нигде не
вырожденная риманова метрика. Обозначим через W настолько малую
окрестность многообразия М" в многообразии М, что через
каждую точку x£W—М" проходит одна и только одна
геодезическая нормаль к многообразию М*. Пусть теперь точка х движется
равномерно вдоль геодезической от положения х до основания
нормали (лежащего на М") с такой скоростью, что весь путь
проходится за единицу времени. Мы получаем, таким образом,
непрерывную деформацию ф окрестности W на многообразие М\
при которой точки, принадлежащие многообразию М"9 остаются
неподвижными.
Пусть d—минимум функции /. Выберем настолько малое
положительное число 8, что из /(*)^d-fe следует x£W.
В силу леммы 1 существует такая цепь Y, расположенная
в М—М", что цепь X—Y =^Хг уже не пересекается с М'. Пусть
с—максимум функции /. Выберем настолько малое
положительное число б, что при f(x)>c—6 точка х не принадлежит Хг.
В силу известной конструкции Морса [5] существует непрерывная
деформация \р множества всех точек х, для которых / (х) ^ с—б»
в множество тех х, для которых f(x)^d+e, т.е. в множество
W, причем в течение этой деформации все точки множества М9
остаются неподвижными. Деформация г|э переводит цепь Хг в
некоторую цепь Х2, расположенную в W. Применяя к цепи X*
деформацию ф, мы и получим цепь X'', удовлетворяющую
условию леммы 2. Итак, лемма 2 доказана.
Мы напомним теперь некоторые известные понятия из теорий
гомологии.

12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ 175
Рели цикл X многообразия М не является слабо гомологич-
нулю, то говорят, что он свободный или что он имеет поря-
ЙЬк нуль. Если цикл Y многообразия М слабо гомологичен нулю,
Д° его порядком называется минимальное из таких натуральных
Система А = {Zly Z2, ..., Zk\ r-мерных циклов многообразия М
азывается гомологически независимой, если она не содержит
циклов, гомологичных нулю, и если из соотношения
c1Z1 4 c2Z2 + ... + ckZk с/э О
следует
с^с/эО, c2Z2c/dO, ..., ckZk<yiO.
Система Д называется /--мерной системой образующих в
многообразии Му если для любого r-мерного цикла Z многообразия М
выполняется соотношение
Z со axZx + a2Z2 + ... 4- ctkZky
где alt a2> •••» я*—соответствующим образом подобранные целые
числа. Система А называется r-мерным базисом в многообразии
М, если она независима и является системой образующих.
Аналогичное определение вводится так же и для слабых
гомологии.
Система Q, состоящая из циклов разных размерностей п-мер-
ного многообразия УИ, называется независимой, если множество
всех r-мерных циклов из Q независимо для любого г = 0,1, ..., п.
Аналогично определяется понятие базиса в многообразии М.
Если 2 и Q—две системы циклов многообразия М, то через
2(jQ мы будем обозначать множество всех циклов, входящих
в системы 2 и Q, т. е. объединение систем И и Q.
В дальнейшем я буду пользоваться понятием индекса
пересечения IM(Xy Y) двух цепей X и Y размерностей г и п—г в л-
мерном ориентированном многообразии М. Если X и Y—циклы,
то индекс их пересечения является инвариантом слабых
гомологии и с точностью до знака не зависит от порядка, в котором
берутся циклы. Если X и Y—два цикла размерностей г и п — г—1
в n-мерном ориентированном многообразии М, причем X и Y
слабо гомологичны нулю, т. е. имеют конечные порядки р и q,
то мы определим их коэффициент зацепления VM (X, Y)
следующим образом: пусть С—цепь с границей qY, мы положим
*м(Х, Y) = — IM(X, С) и возьмем только дробную часть числа
ум(Х, У). Определенный таким образом коэффициент зацепления
является гомологическим инвариантом и с точностью до знака не
Зависит от порядка, в котором взяты циклы.
Следующая теорема Пуанкаре — Веблена будет часто исполь-
3°ваться в дальнейшем.

12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ I
176 I
Теорема Пуанкаре — Веблена. Пусть М — ориенщ \
руемое n-мерное многообразие, Х19 Х2, ..., Xk—его г-мерный базьЛ
слабых гомологии, a Yl9 У2, ..., Yt — его (п — г)-мерный 6a3Uc
слабых гомологии. Положим ci{/ = IM(Xh Y;); тогда || а/у-1| есщ
квадратная матрица с определителем, равным ±1.
Как следует из сказанного, для того чтобы r-мерный цщ
X в М не был слабо гомологичен нулю, необходимо и достаточно
чтобы существовал такой (п — г)-мерный цикл Y в М, \щ
1М(Х, У)Ф0. Для циклов, слабо гомологичных нулю, мы сверх
того имеем: для того чтобы слабо гомологичный нулю г-мерньй
цикл X ориентируемого л-мерного многообразия М был не гомо-
логичным нулю, необходимо и достаточно, чтобы существовав
в М такой слабо гомологичный нулю (п — г—1)-мерный цикл У
что VM (X9 У)Ф0.
' Заметим, что если G—некоторая группа Ли, то многообра*
зие G ориентируемо и, следовательно, к нему применима лефше-
цевская теория пересечений. Действительно, для того чтобы
определить ориентацию в произвольной точке многообразия G, ее
достаточно определить в точке е—единице группы G, а затем
перенести ее в произвольную точку, умножая все элементы группы
справа на элемент а, в который ориентация должна быть
перенесена.
Определение 1. Пусть G— некоторая группа Ли и пусть
Е = (Т; /), £' = (7"; /')—два ориентированных симплекса
многообразия G. Здесь Т и 7"—ориентированные полиэдральные
симплексы, а / и /' — их отображения в G. Обозначим должным
образом ориентированное топологическое произведение симплексов
Т и Т' через Р. Тогда Р представляет собой ориентированное
выпуклое тело, которое, если мы разобьем его на симплексы,
можно рассматривать как некоторую цепь. Любая точка z£P
представляется в виде пары z = (x, х')у где х£7\ х'£Т'. Мы
определим теперь некоторое непрерывное отображение h тела Р
и G, зависящее от отображений / и /'. Положим А (г) = /(;<;) •/'(#')>
где справа стоит групповое произведение. Полученную
таким образом цепь (Р, А) мы будем называть групповым
произведением симплексов Е и Е' и будем ее обозначать
через ЕЕ'.
Пусть
Х = а1Е1 + а2Е2 + ... + amEm и Y = ЬХЕ[ + Ь2Е2 + ... + ЬпЕ'п
— две цепи размерностей г и s в G. Их групповое произведение XY
мы определим формулой
m n
xy = 2 2 *№£).
i = 1 / = 1
Таким образом, групповое произведение XY двух цепей X и У
размерностей г и s из G является (г + $)-мерной цепью в G.

12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ 177
Непосредственно проверяется, что граница Z группового
проведения Z = XY дается формулой
Z = 8XY+eXY, в = ±1, в=±1, (1)
значения чисел б и е зависят от размерностей г и s.
^Следовательно, групповое произведение двух циклов снова
цикл, а групповое произведение двух циклов, один из кото-
пых гомологичен нулю, является циклом, гомологичным нулю.
Установим теперь некоторые важные, хотя геометрически и
очевидные, соотношения, связывающие групповое произведение и
(алгебраическое) пересечение цепей в группе.
Пусть G—некоторая группа Ли, С—ее подгруппа,
С—некоторая цепь из G', находящаяся в С в общем положении, и,
наконец, W—такая цепь из G, пересекающаяся с С только в
одной точке е—единице группы, что индекс пересечения G' с W
равен ±1. Тогда геометрически очевидно, что (алгебраическое)
пересечение цепи CW с многообразием G' или равно С, или
отличается от С только знаком:
G'xC№ = 6C, б = ±1, (2>
где б зависит от размерностей многообразий G и 6', а также от
размерности цепи С.
Если W—цикл, а X и Y—такие два цикла из G\ что в G'
определен их индекс пересечения, то из соотношения (2)
непосредственно следует, что
10(Х, YW) = eIG,(X, Y), е = ±1, (3)
где е зависит от размерностей рассматриваемых цепей.
Точно так же, если W—некоторый цикл, а X и К—такие два
цикла из G', для которых определен их коэффициент зацепления,,
то из соотношения (2) непосредственно следует, что
VQ (X, YW) = e'VG, (X,Y), e' = ± 1, (4)
где е' зависит от размерностей рассматриваемых цепей.
Следующая далее лемма 3 играет важную роль при изучении
гомологии групповых многообразий.
Лемма 3. Пусть G — компактная группа Ли, a G'—одна из
ее подгрупп. Предположим, что в G существует такой цикл W,
пересекающийся в G' только в одной точке е—единице группы,
что индекс пересечения циклов G' и W равен ±1. Если
Q—некоторая система циклов из многообразия G', независимых в G', то
система Q(e\jW) независима в G. Если система Q независима
в смысле слабых гомологии, то система Q(e[)W) также
независима в смысле слабых гомологии. Далее, Q(e(] W) = Q()QW, где
система QW состоит из всех циклов вида ZW> Z£W (см. опре-

178
12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ
деление 1). Наконец, если цикл ZgQ имеет в G' порядок г, то
циклы Z и ZW имеют в G тот же порядок г.
Доказательство. Используя соотношения (3) и (4), а также
теорему Пуанкаре—Веб лена, мы покажем, что если X — цикл из
G', не гомологичный нулю в G', то циклы X, и XW не
гомологичны нулю в G.
Предположим, что цикл X не является даже слабо
гомологичным нулю в G'. Тогда существует такой цикл Y в G', что
IG,(X, У)Ф0. Из этого в силу соотношения (3) мы получаем
/G(X, УЩФО, IG(XW, Y)ФО, а это означает, что циклы X и
XW не являются слабо гомологичными нулю в G.
Предположим, что цикл X слабо гомологичен нулю в G', но
не гомологичен нулю. Тогда существует такой цикл Y, что
VG, (X, У)фО. Из этого в силу соотношения (4) следует, что
VG(X, YW)^0, VG(XW, У)Ф0, а это означает, что циклы Х
и XW не гомологичны нулю в G.
Покажем теперь, что если X и Y—некоторые циклы в G',
то соотношение X<j^YW в G возможно только при условии
ХсюГсюО в G\
Пусть а—такой элемент группы G, не принадлежащий G', что а
может быть соединен с с непрерывным путем в G. Тогда ХюХа
в G. Если YW — Xcr>0 в G, то YW — ХаюО в G. Но
пересечение цикла с многообразием G', гомологичным нулю в G,
гомологично нулю в G\ С другой стороны, пересечение цикла YW — Ха
с G' равно ±Y (см. (2)). Поэтому Fc/dO в G', и, следовательно,
цикл YW также гомологичен нулю.
Из доказанного непосредственно следует, что система циклов
Q[)QW независима.
Итак, лемма 3 доказана.
Лемма 4. Пусть G—связная компактная группа Ли, G' —
одна из ее подгрупп и G"—некоторый смежный класс группы G
по подгруппе G'. Каждый цикл Z" из G" гомологичен в G некото*
рому циклу Z' из G'.
Доказательство. Для определенности предположим, что
G" есть правый смежный класс, т.е. G" = G'a. Так как группа О
связна, то существует путь x(t) в G, соединяющий точку е
сточкой а"1, х(0) = е, ;с(1)=а"1. Когда t изменяется от 0 до 1,
цикл Z"x (t) деформируется от положения Z" до положения Z"a~xсG'.
Гаким образом, цикл Z" гомологичен циклу Z' = Z/'a~1, и лемма 4
доказана.
Теорема 1. Пусть G—компактная связная группа Ли к
f(x), x£Gf—действительная дифференцируемая функция на ней.
Предположим, что функция f достигает своего максимума ни
подгруппе G' группы G и своего минимума на смежном классе G
группы G по подгруппе G' и что дифференциал функции f равен
нулю только на многообразиях G' и G". Предположим далее, что
в G существует такой цикл W> пересекающий G' только в е, что

12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ
179
деке пересечения циклов G' и W равен ±1. Если Q—базис го-
UHлогий многообразия G', то система циклов £l(e[}W) образует
%°<шс гомологии многообразия G. Если Q—базис слабых гомоло-
й trio Q(el)W) также образует базис слабых гомологии.
Доказательство. Из леммы 3 следует, что Q(e[) W) —
независимая система циклов в G. Мы покажем, что Q(eli^)
является системой образующих в многообразии G. Пусть
Z—произвольный цикл из G. Обозначим через Y (алгебраическое)
пересечение многообразия С с циклом Z. Пересечение (алгебраическое)
многообразия G' с циклом YW согласно соотношению (2) равна
6К. Поэтому (алгебраическое) пересечение цикла Z—8YW с G'
гомологично нулю в G' и, следовательно, в силу леммы 2 цикл
£—8YW гомологичен некоторому циклу, лежащему в G". Но этот
последний цикл согласно лемме 4 гомологичен некоторому циклу Х„
расположенному в G\ Следовательно, Z^X+SYW, и теорема 1
доказана.
Следствие. Если базис гомологии многообразия G' состоит
из свободных циклов, т. е. если многообразие G' не имеет
кручения, то многообразие G такоюе не имеет кручения.
Доказательство. Если базис Q многообразия G' состоит
только из свободных циклов, то он одновременно является базисом^
слабых гомологии. Но тогда система Q(e()W), будучи базисом
гомологии в G, является одновременно базисом слабых гомологии..
Таким образом, многообразие G не имеет кручения.
В следующих параграфах мы построим для конкретных
простых групп четырех основных серий функции и циклы, которые
позволят нам применить к этим группам теорему 1.
§ 2. Группы Ап, BnJ Cw, Dn
В [этом параграфе мы определим в матричной форме четыре
основные серии простых компактных групп Ли и рассмотрим их
локальное и глобальное строение [6].
Через G мы будем обозначать алгебру Ли группы Ли G.
Аналогично мы будем обозначать матрицы и их элементы из алгебры G
теми же буквами, что и в G, но только подчеркнутыми.
Если х—некоторое комплексное число, то через х мы будем
обозначать число, ему сопряженное. Если а—квадратная
матрица, то через Da мы будем обозначать ее определитель.
Группы Вп и Dn. Положим, по определению,
Bn = ff2n+iy Dn = Htn. (О
Десь Нт — группа всех ортогональных матриц порядка т с
поучительным определителем, т. е. каждый элемент h£Hm есть
атРица |АГ|| (/, /) = 1, ..., /п, с действительными элементами^

180 12. гомологии в компактных группах ли
удовлетворяющими следующим условиям:
т
2 А,-Л*= 6Ф (2)
т
?А*Л/ = 6«у» (3)
^|А,у|| = + 1. (4)
Как хорошо известно, условия (2) и (3) эквивалентны друг
другу. В инфинитезимальной форме условия (2) и (3) могут быть
записаны следующим образом;
А// + £| = 0. (5)
Условие, получающееся из (4) при переходе к алгебрам Ли,
автоматически следует из условия (5).
Группа Ап. Группу Ап мы определим как группу всех
унитарных унимодулярных матриц порядка /i+ 1. Таким
образом, каждый элемент а£Ап является матрицей ||а/7||, (/, /) = 0,...
..., л, с комплексными элементами, удовлетворяющими уело*
виям:
п
2 <*nfl/k=6//> (6)
k=0
п
2 в*Л/ = б//. (7)
Ьк.||= + 1. (8)
Как известно, условия (6) и (7) эквивалентны друг другу: они
означают, что транспонированная комплексно сопряженная
матрица а* обратна матрице а:
а-^И*. (9)
В инфинитезимальном виде эти условия записываются следующим
образом:
ai7 + a/7 = 0, (Ю)
2в«=о. (П)
Условие (10) выражает условия (6) и (7), а условие (И)-""
условие (8).
Группа С„. Группу Сп определим как множество всех унй"
тарных унимодулярных матриц порядка 2л, которые оставляю*
инвариантной билинейную форму
.2,/,./**,. <12)

12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ 181
, == —fn+p, »= *» Р=1» • • •, л, а все остальные коэф-
ГД6 иентьГ//, / равны нулю.
ФиЦТаКИМ образом, каждый элемент с£Сп есть матрица |с|7"
мплексными элементами, удовлетворяющими условиям
S^/Л* = eiv (13)
2л
2Vy = jw. (14)
£>IM=+i, (15)
2л
2 fi,fitifiji = fH,f (!6)
• * * * *
Чтобы записать условие (16) в более обозримом виде, мы положим
сьред = с6п+р, еп+д> 6 = 0, 1, е = 0, 1, (р, q) = U -.., п. (17)
Тогда условие (16) может быть заменено следующими условиями:
2«-« = 0, (18)
г=1
п
Za ^rpCrq Crqprp — ^> V*"/
п
2<%с»-с%% = 6„. (20)
Г= 1
Так как Сп — группа, то она содержит вместе с элементом с и
обратный элемент с"1. В силу условий (13) и (14) с1 = с* (ср. (9)).
Выписывая полностью условия (18), (19) и (20) для матрицы с* и
опуская черту, мы получаем условия:
2 «-О#=о. (21)
г- 1
п
г= 1
п
2j CprCqr—CprCqr — Vpr* \^)
r=\
к°торые в силу условий (13) и (14) эквивалентны (18), (19) и (20).
В инфинитезимальной форме условия (13) и (14) можно за-
писать следующим образом:
£,,+£,,. = 0. (24)

182
12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ
Условия (18) — (20), совпадающие с условиями (21)—(23)
принимают форму *
£$-£& = 0, (25)
,01
'РЯ
,00
£й-£?р = 0> (26)
£?, + £jJ = 0. (27)
Инфинитезимальные условия, получаемые из (15), вытекают
из (27).
Как хорошо известно, все компактные некоммутативные про-
стые группы, за исключением пяти отдельно стоящих групп
с точностью до локального изоморфизма распадаются в четыре
бесконечные серии
Ап9 ВпУ Сп, л=1, 2, ..., Dw, л = 3, 4, ... |
Агг=вг^С1У В2 = С2, Л3 = Я3. J ( *
Выше мы в матричной форме дали описание этих серий.
Заметим, что при таком определении группы Ап и Сп односвязны,
тогда как фундаментальная группа каждой из групп Вп и Dn
состоит из двух элементов. Отметим также, что группа D2 = H4
не содержится ни в одной из серий, так как она не проста, а
лишь полупроста; однако это обстоятельство не будет мешать
изучению ее топологических свойств. Нам даже будет более
удобным не исключать ее из рассмотрения, так как
последовательность групп Нт будет изучаться индуктивно.
Наконец, отметим одно важное топологическое свойство
построенных групп, которое мы сформулируем без доказательства:
группы Ап, Вп% СпУ Dn связны. (29)
Размерности этих групп легко вычислить с помощью инфини-
тезимальных соотношений. Если мы обозначим через RG
размерность группы G, то находим:
RHm = 1 (m-1) m, RBn = 2л2 + л, RDn = 2л2—л, ) (30)
RAn = n* + 2n, RCn = 2n* + n. )
§ 3. Вспомогательные функции на группах
В, этом параграфе мы построим на группах, рассмотренных
в § 2, вспомогательные действительные функции и рассмотрим их
критические точки, т. е. те элементы группы, в которых
дифференциал функции равен нулю.
Пусть G—группа всех квадратных, действительных или комп
лексных матриц порядка т с ненулевым определителем и /(*)*
zgG,— некоторая действительная функция, определенная на и*
Если группа G состоит из действительных матриц, то за коорДй*

12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ
183
элемента z£G мы примем элементы матрицы 2 = |[г|у||, т. е.
**ат " ^ -,-. Если G состоит из комплексных матриц, то за
ЧЙ°" ина'ты элеМента z£G мы примем элементы матрицы z = ||zi7||
сопряженные им числа, т. е. числа z,y и z,y. В первом случае
?/-)—.функция переменных ziJy а во втором случае—переменных
Вычислим дифференциал df(z) функции f(z) в точке z = a. Для
этого введем вспомогательную матрицу х, определяемую
уравнением z = я#»
В случае действительной группы G мы вычислим
дифференциал от гц через дифференциалы переменных Хц в точке х = е.
В случае комплексной группы G мы вычислим дифференциалы
от z и z,y через дифференциалы переменных х{/ и х,у в точке
х=е. Легко видеть, что в случае действительных групп мы
получим
*„-2 «»<**«„
k=\
в случае комплексных групп —
оо га
dzu = 2 aik dxkJy dzu = 2 <*ik dxk/.
Заметим, что \\dx;j\\ в точке х — е есть не что иное, как инфи-
нитезимальная матрица, т. е. элемент алгебры Ли а группы Ли G.
Следовательно, в соответствии с обозначениями § 2, естественно
положить dx^ — Xij. Если мы теперь обозначим элементы матрицы
ах через (ax)iJy то полученные формулы примут вид
dzif = (ax)i/y
dzif = (ax)i/y dzu = (aji)u.
Дифференциал функции f(z) в точке г = а, соответственно в
действительном или комплексном случаях, имеет вид
df(z)= j£ 7j^(«£)// ПРИ z = a' 0)
Предположим теперь, что /(г) — некоторая линейная функция от
временных zif в случае действительной группы и от переменных
ги и z(j в случае комплексной группы. Тогда соотношения (1),
\Ч принимают вид
df(z) = f(ax) при z = а. (3)

184
12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ
Если Я—некоторая подгруппа группы G, а мы хотим исследи
вать поведение функции / (г) на подгруппе Я, то мы должны за!
метить, что элементы инфинитезимальных матриц ||х£У|| удовлетво.
ряют некоторым линейным соотношениям. Если G—действительная
группа и Н = Нт (см. § 2), то эти соотношения имеют вид (5\
§ 2. Если G—комплексная группа и т==п+ 1, H = AnJ то эти
соотношения имеют вид (10), (11) § 2. Если G— комплексная
группа и т = 2п, Н — Сп, то эти соотношения имеют вид
(24)-(27) § 2.
Переходим к определению вспомогательных функций на
группах (5„, Dn) = Hni An, Сп.
Группа Нт. На группе Нт (см. § 2) мы определим
функцию /(A), h$Hmy положив f(h) = hll9 A = ||Al7||, (/, /)=1, ...,m.
Дифференциал функции /(А) на группе Нт равен нулю для тех
и только тех Н£Нт, для которых Ап = ±1. Обозначим множе»
ство тех точек А£Я,Л, для которых Ап = + 1, через Н'т_и а мно-
жество тех А £ НтУ для которых Ац = —1, через Н"т_х. Множество
Н'т^х является подгруппой группы Нт, изоморфной группе Нт_19
и на нем функция /(А) достигает своего максимума +1.
Множество Н"т_х является смежным классом группы Нт на подгруппе
Я^_! и на нем функция /(А) достигает своего минимума —1.
Из соотношения (3) мы получаем
га
df (К) = 2 huhn. (4)
1=1 —
Инфинитезимальная матрица ЦА^Ц удовлетворяет условиям (5)
§ 2. Для элементов Ап, ..., hml9 входящих в (4), это дает только
А11 = 0, в то время ,как оставшиеся А21, ..., hmX произвольны.
Следовательно, из df(h) = Q вытекает, что
А12=... = А1/Я = 0. (5)
Теперь из (2) § 2 следует, что
Ап = ±1, (6)
и потому из (3) § 2 получаем
А21= ... =А/я1 = 0. (7)
Таким образом, df(h) равен нулю тогда и только тогда, когда
Ап = ±1. Обратно, если А11 = ±1, то из соотношений (2) и (3)
§ 2 следует, что соотношения (5) и (7) выполняются, т. е., в
частности, df (A) = 0. Оставшиеся утверждения относительно множеств
H'm-i и H"m-i очевидны.
Группа Ап. На группе Ап (см. § 2) мы определим функцию
/ (а), а € Ап9 положив / (а) = у (а00 4- а00)9 а = || аи ||, (t, /) = 0,..., *•
Дифференциал функции f(a) равен нулю для тех и только 0*

12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ 185
ментов а£Ап, для которых а00 = +1. Обозначим через А'п_х
^ожествотехточекабЛ,,, для которых а00=+1 и через А"п_х—
мН м^ргтво тех а£Ап, для которых а00 = —1. Тогда множество
\lHO^CW ,тЛТ»Г.ГИГГТГТ/чй Т^ЛГППЧ /I ЧОЛ»«ЛЛЛттЛЛ „~,,™Л Л
V и на нем функция f(a) достигает своего минимума — 1.
""Согласно формуле (3) мы имеем
п
df («) = X. "2 (floA'o + floA-o) • (8)
i=0
Инфинитезимальная матрица \\а(/\\ удовлетворяет условиям (10) и
(И) § 2. Для чисел а00, . •., ап0, входящих в (8), это дает лишь
соотношение а0оН-а00 = 0. Оставшиеся переменные а10, ..., anQ
произвольны. Таким образом, из условия df(a) = 0 следует, что
а<>о—аоо = 0, а01= ... = а0и = 0. (9)
Следовательно, из соотношения (6) § 2 мы получаем
а00 = ±1, (10)
и потому
а1о=... =?ап0 = 0. (11)
Таким образом, дифференциал df (а) равен нулю только для тех а,
для которых а00 = ±1. Обратно, если а00=^±1, то из
соотношений (6) и (7) § 2 следует, что условия (9), (11) выполняются,
т. е., в частности, df(a) = 0. Итак, df(a) равен нулю тогда и
только тогда, когда а00 = ±1. Остальные сформулированные
свойства множеств Лд_х и А"п_х очевидны.
Группа Сп. На группе Сп (см. §2) мы определим функцию
/(с), с£Сп, положив
f(c)=~2 (Си + Сц), с = \\с{/1 (i, /)=1, ..., 2л.
Дифференциал функции / (с) равен нулю в тех и только в тех
точках, в которых сп = ±1. Обозначим через С'п-Х множество
тех точек с£Сп9 для которых сп = +1, а через С^х—множество
тех с$Сп, для которых сХ1 — — 1. Множество С^ является под-
гРуппой группы СПУ изоморфной группе Cn_lt и на ней функция
f{c) достигает своего максимума +L Множество С^ является
Нежным классом группы Сп по подгруппе С'п-и и на нем
функция f(c) достигает своего минимума —1.
Из формулы (3) получаем
df (с) = £ у (Ci/£„ + с1(£д). (12)

186
12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ
Инфинитезимальная матрица |jci7|| должна удовлетворять условия^
(24) —(27) § 2. Для чисел c^l9 ..., £_2„, „ входящих в (12), Нз
этих условий следует, что сг1 + с1г = 0. Таким образом, из df (с) =q
следует
В силу соотношений (13) § 2 мы получаем
*ii = ±l. (14)
Далее из соотношений (14) § 2 следует
Таким образом, d/(c) равен нулю только при условии, что
Сц = ±1; обратно, если сп = ±1, то в силу соотношений (12) а
(14) § 2 мы получаем соотношения (13) и (15), т. е., в частности,
df(c) = 0. Итак, df(c)~0 в тех и только тех точках с£Сп, для
которых сп = ±1.
Для того чтобы исследовать структуру множеств С^_х и C£_lf
заметим, что из соотношений (13)—(15) мы получаем, в силу
соотношений (18)—(21) и (23) § 2,
^ + i,n+i = ib ^i, «+1== • • • ==ct, . + i=="» / (16)
£« + 2, и + 1 ~ • • • ~С2п% п + 1 = ^» J
где с11 = ся+1,и+1. Полученная структура матрицы с при сп = ±1
показывает, что С„_! является подгруппой группы Сп, изоморфной
группе Сптт1. Аналогично получаем, что С„_! является смежным
классом группы Сп по подгруппе C^-i.
Этим и завершается построение вспомогательных функций на
всех рассматриваемых группах.
§ 4. О некоторых циклах в группах
Здесь мы построим те циклы в группах четырех основных
серий (см. § 2), роль которых была показана в § 1 (см. теорему 1).
Естественный путь для нахождения нужных циклов в группе
Нт состоит в следующем. Из единицы е группы Нт мы проводим
все однопараметрические подгруппы, ортогональные подгруппе
Hm-i (см- § 3, группа Нт). Множество точек этих подгрупп
может образовать некоторый цикл, индекс пересечения которого
с циклом Я^,_! равен ±1. Вместо однопараметрических подгрупп
мы можем провести из е траектории, ортогональные к
поверхностям уровня функции f(h) (см. § 3, группа Нт). Чтобы
осуществить все это, необходимы некоторые вычисления, но так как мы
интересуемся лишь их результатом, то мы ограничимся здесь

12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ 187
нием получающихся циклов посредством формул. В группах
^?да г по-видимому, этот прием также возможно осуществить,
Г* П _ ««-k/4TurnQITtffV*Tlf СТ ППРЛГТГШИТЯТП ГТП.7Т\7ИМТК UAfWUtrO QOLmuLT
из-за громоздкости я предпочитаю получить нужные законы
Н° основе аналогий в функциях.
на rj Пусть POT_i—действительное проективное пространство
размерности т—1. Мы будем задавать точку р^Рт^х ее
однородными координатами
Ри р2> •••» Р,л» (1)
нормированными условием
р! + Р22+..- + /4-1. (2)
Таким образом, два набора координат типа (1) определяют
одну и ту же точку тогда и только тогда, когда они отличаются
множителем ±1- Для любого четного т многообразие Pm-t
является, как хорошо известно, ориентируемым, и, будучи разбито
на симплексы, может быть рассмотрено как цикл. В случае
нечетного т мы обозначим через Р^-2 линейное подпространство
пространства Рм-19 определяемое условием
Pi = 0. (3)
Тогда [Ря-1, после соответствующего разбиения на симплексы,
можно рассматривать как ориентированную цепь с границей
Поставим теперь в соответствие каждой точке р£Рт_г
матрицу \\Pijl гДе
Pi/ = bi/—2PiPf> С /) = 1> 2» •••> т- (4)
Очевидно, что эта матрица однозначно определяется точкой р.
Ниже будет показано, что она является ортогональной и что ее
определитель равен —1. Мы изменим знак первого столбца
матрицы \рц\ и обозначим элементы полученной матрицы через
hm(p) = \hl(p)\. (5)
Из свойств матрицы \рц\ следует, что матрица hm(p)
ортогональна и имеет определитель +1.
Поставив в соответствие каждой точке р^Рт^х матрицу
1гт(р)^Нт (см. § 2), мы определим непрерывное отображение hm
многообразия Рт-г в многообразие Нт. Ориентированная цепь
Ля~1 вместе с отображением hm дает нам цепь Хтшт1 в Нт, кото-
Рая является циклом для четного т и имеет границу, лежащую
в Н'т-х (см. § 3), для нечетного т. Мы покажем, что многообра-
ЗИе Hm-i пересекается с Хт_1 только в одной точке е—единице
гРУппы Нт-У и что индекс пересечения цепей #^-i и ^«-i
Равен ±1.

J88 12. гомологии в компактных группах ли
Мы начнем доказательство сформулированного выше утверлсде.
ния с установления ортогональности матрицы \\ру\\. Мы имеем
т
2 (б/*—*PiPk) (6/k—fyjPk)=
m
= &U — 2PiP/—2piPl+4PiP/ 2 № = «(,
Для того чтобы вычислить определитель матрицы \\р1;-\\, рас-
смотрим линейное преобразование проективного пространства Рт_ъ
определяемое формулой/?; = 2 hkPk* c ортогональной матрицей
k=i
t = \\tik\\. Очевидно, что если матрица / надлежащим образом
подобрана, то это преобразование переводит произвольную точку р
в произвольную точку р'. Легко видеть, что
т
Рц = 2 tikhiPki или IriyH'lPi/l'"1-
k, /=i
Таким образом, определители матриц \p\j\ и \\р(/\\ совпадают.
Если теперь мы за точку р' возьмем точку р0 с координатами
1, 0, ..., 0, то мы немедленно получим, что определитель матрицы
\\p'ij\\ равен —1. Но из сказанного выше следует, что он равен
— 1 в любой точке р.
Чтобы найти общие точки многообразий Я^_х и Хт_1У заметим,
что многообразие Н'т_х определяется условием йп = + 1 (см. § 3).
Таким образом, мы должны решить уравнение Ай=-И- Расписав
это равенство, получим —1 + 2р1р1=1, т.е. 2/?1/?1 = 2 или pi=l.
В силу соотношения (2) точка /?, удовлетворяющая уравнению
Ай(р)=1» имеет координаты ±1, 0, ..., О, т.е. уравнение
НЦ(р)=1 имеет единственное решение р0\ более тото, как сразу
видно, А"(а>) = 6,7, т.е. hm(p0) = e.
Для доказательства того, что многообразия Н'т^ и Хт_1 имеют
в точке е индекс пересечения, равный ±1, рассмотрим линейное
пространство, касательное к многообразию Нт в точке е. Как
известно, оно представляет собой инфинитезимальную группу Я*
группы Нт (см. § 2). В линейном пространстве Нт [рассмотрим
линейное подпространство Нт^х, касательное к многообразию
Я^_1 в точке е, и линейное подпространство Хт_и касательное
к Хт^1 в точке е. Теперь достаточно показать, что линейное
пространство Нт распадается в прямую сумму своих подпрост^
ранств Я;_, уГХп_,. ,..., *
Линейное пространство Нт состоит из всех кососимметричных
матриц ||Л/у|1 (см. (5), § 2). Линейное пространство Н'т_х состоит»
как легко видеть^ из всех кососимметричных матриц ||й*Д обла-

12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ 139
тих дополнительно тем свойством, что первый столбец и пер-
^я* строка каждой матрицы ||AJy|| нулевые. Чтобы понять струк-
ва у линейного пространства Хм_19 заметим, что дифференциалы
коорДинат точки р В Рт~1 связаны Условием
т
2/>,<*/>,=о. (6)
t= 1
Обозначая, как и выше, через р0 точку с координатами
1 0, ..., 0, а дифференциалы координат в точке р0 через ри
р , • • •» Рт> мы получим из (6) соотношение рх = 0. Обозначая
через А™~~дифференциал элемента матрицы AOT(/?) в точке р = р0,
мы получим следующие условия: А™ = 0 и А™ = — 2/?7, А™ = 2р{,
fim. = 0 (при i>l, / > 1). Из найденной структуры линейных
пространств #,л, Нт_1 и X«-i ясно теперь, что Нт является
прямой суммой подпространств #^-i и А'/я_1. Итак, индекс
пересечения знаков Н'т_х и Хт_1 в Яот равен ±1.
Нта. Цепь -K^-i^-i (см. определение 1) в многообразии Нт
вырождена, т. е. множество Хт_1Хт_1 имеет размерность меньшую,
чем 2т—2. Это означает, что множество М, составленное из всех
матриц вида hm(p)-hm(p')y где р и р' — произвольные точки из
Pw-i, имеет размерность меньшую, чем 2т—2.
Обозначим через а диагональную матрицу, в которой на
первом месте в диагонали стоит —1, а на остальных местах +1.
Множество аМа имеет ту же размерность, что и множество М.
Поэтому нам нужно лишь найти размерность множества всех
матриц вида ahm (p) hm (//) а. Положим рх = — р°19 р2 = р1, • •., Рт=
—Р°т\ тогда матрица акт(р) перейдет в матрицу ||р?/|, а матрица
кт{рг)а совпадет с матрицей ||/?}Д где р% = Ьи—2р\р), p\f=bu—
Теперь мы должны определить размерность множества всех
т
матриц вида \ри\> где ри= 2 P*kP\j- Мь>1 имеем
k=i
/ т
ри=ьи + 2 \2Р\Р) Д р1р\-рЩ-р\р)
^Пусть R—евклидово пространство размерности т. Через р0
мы будем обозначать единичный вектор из R с координатами
Pi> р2, •-., Рту а через р!—единичный вектор с координатами
Ри р\У ..., р^'. Если мы обозначим косинус угла между векто-
т
Рами р° и р1 через с, то с= ^jplpl- Обозначим, далее, через oif пло-
k=i
*Дадь проекции параллелограмма, определяемого векторами р° и р1,
на плоскость (t, /); тогда мы имеем oi/ = p°ip)—р\р). В этих обо-

190
12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ
значениях выражение для рц можно записать следующим образом*
ри = б/7 + 2 (cp°iP} + ср\р)-р\р)-р\р)) + 2с {p\p)-p\p»j) =
га
= *// +22 ОнРк/ + 2са//#
Если векторы р° и р1 линейно зависимы, то Р// = в//. Пусть век*
торы/?0 и р1 линейно независимы; обозначим через Р определяемую
ими плоскость. Очевидно, что если векторы р° и р1 одновремен-
но поворачиваются в плоскости Р на произвольный угол ср, ^
значения с и б/у- не меняются и, следовательно, значение ри такие
остается неизменным. Таким образом, матрица \рц\ зависит только
от плоскости Р, натянутой на векторы р° и р1, и от угла меледу
ними. Отсюда сразу следует, что множество всех матриц вида
IJP/yll имеет размерность, не превосходящую 2т—3.
Итак, утверждение Нта доказано.
НтЬ. В группе Нт_г у нас имеется цепь Хт_2, построенная
выше (см. Нт). Отобразим группу Нт_1 с помощью естественного
изоморфизма на подгруппу //^-i группы Нт\ цепь Хт_2 при этом
перейдет в некоторую цепь из Нт, которую мы снова будем
обозначать через Хт_2. Обозначим, далее, через Ь диагональную
матрицу из НтУ в которой на первых двух местах диагонали
стоит —1, а на остальных +1. Положим Х'т_2 = Хт_2Ь, ^-1==
= ^/я-А Тогда в случае нечетного т граница цепи Хт_1
представляет собой^циклА2Хт_2, Хт_1==2Х'т_2 и, следовательно, гра«
ница цепи Х"т_х равна циклу 2Х/л-2, Х^1 = 2Хтта2.
Сформулированное утверждение непосредственно следует из
определения цепи Хт_г и ее границы (см. Нт).
Нтс. В случае нечетного т мы положим И2т^г = Хт_гХт^
(см. определение 1). Тогда U2m_3 является циклом и индекс его
пересечения с подгруппой Н'т_2 равен ±1. Здесь через Н'т~%
обозначена подгруппа, определяемая условиями АП = А22=1.
Согласно формуле (1) § 1 граница цепи V2m_z равна
±2Хт_2Хт_2Ъ (см. НтЬ). Так как цикл Хт_2Хт_2 вырожден
(см. Hma)t то цепь U2m_3 можно рассматривать как цикл. Для
определения индекса пересечения цикла U2m_3 с многообразием
Н'т-2 нужно воспользоваться формулой (3) § 1 и тем фактом, что
индекс пересечения цикла Хт_2 с циклом Н'т_2 в //^-i равей
±1 (см. Нм).
Ап. Пусть Рп—комплексное проективное пространство
комплексной размерности п. Мы будем задавать точку р £ Рп ее
однородными координатами
A» Pi> • • -t Рпу (''
нормированными условием
PoPo + Pifh+ ••• +РпРп=1- $

12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ 191
Пва таких набора определяют одну и ту же точку тогда и
ко тогда, когда они отличаются множителем, равным по мо-
T0Jtk> 1. Обозначим через К единичную окружность, а
произвольною точку на ней — через а; тогда комплексное число а
удовлетворяет условию
BF аа=1. (9)
Через Qzn+i обозначим топологическое произведение многооб-
оазий Рп и К. Размерность многообразия Q2n+i> как легко видеть,
равна 2л+ 1; оно ориентируемо, так как ориентируемо Рп. Таким
образом, точка q€Q9n+i задается координатами (7),
подчиненными условию (8), и числом а, удовлетворяющим условию (9).
Поставим теперь каждой точке q€Q2n+i в соответствие
матрицу lkyl:
Qij = 8ij — (1 + «)PiP/. С /) = 0. 1. •••» л. (10)
Легко видеть, что матрица ||<7//|| однозначно определяется
точкой q. Ниже мы покажем, что матрица Ц^-Ц унитарна и что
определитель ее равен—а. Изменим знак первого столбца матрицы
J^.yl и умножим ее последнюю строку на а. Обозначим элементы
полученной матрицы через a1j(q), an (q) = \\апц (q) ||. Из свойств
матрицы ||<7/у|| следует, что матрица an(q) унитарна и унимоду-
лярна. Поставим теперь в соответствие каждой точке q€Q2„+i
элемент ап (q) группы Ап (см. § 2). Тогда мы получим
отображение ап ориентируемого многообразия Q2n+i в группу АпУ которое
дает нам некоторый цикл Y2n+1 размерности 2п-\-1 в группе Ап.
Оказывается, что многообразия А'п_г и Y2n+1 пересекаются только
в точке е (единице группы Ап) и что индекс пересечения циклов
А'п_г и Y2n+1 в многообразии Ап равен ±1.
Перейдем теперь к доказательству сформулированного
утверждения. Сначала мы установим, что матрица |<7/у|| унитарна. Мы
имеем
п
42 (V- < 1 + a) piPk) (б,,—(1 + а) pjpk) =
П
==б/7 —(1 + a)PjPi—(1 + a)piP/+(l + а)(1 + «)/>/?/ 2 РьРк =
==б/7-{(1н-а) + (1Н-а)-(1+а)(1Н-а)}/7^ = б/;,
Чтобы вычислить определитель матрицы ||<7;Д введем линейное
преобразование комплексного проективного пространства Рп,
положив
п
Pi = 2 tikpk9
k=0
Ае матрица t=^\\tik\\ унитарна. Легко видеть, что это преобразо-
ание при надлежащем выборе матрицы / переводит произвольную

12 ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ
192 1
точку р€Рп и произвольную точку р'£Рп. Мы распространим
это преобразование на все многообразие Q2n+lt считая, что кооп.
дината а не меняется совсем. Таким образом, мы имеем
Я1и= 2 tjnqkl или ll^/IMIkylU"1.
Итак, определители матриц \\qlj\\ и ||<7,у||» соответствующих точкам
q' и q, равны. Возьмем теперь в качестве точки q' точку с коор*
динатами 1, 0, ..., 0; а. В этой точке, как легко проверить
определитель матрицы ||^у|| равен —а. Таким образом, он должен
иметь значение —а и в любой другой точке q€Q2n+i-
Переходя к доказательству того, что многообразия А'п_х и
Y2n+1 пересекаются только в одной точке е, вспомним, что
многообразие А'п-г определяется условием а00=1 (см. § 3). Поэтому
мы должны решать уравнение
а?о(<7)=1. (И)
Расписав это равенство, мы получим —1 + (1 +а) рор0 = 1, т. е.
(1+а)/70Я=2. (12)
Так как р0р0—неотрицательное число, не превосходящее 1
(см. (8)), a (1-fa) по модулю не превосходит 2 (см. (10)), то из
(12) следует, что р0ро = 1» а= 1. Таким образом, только одна точ
ка <7о с координатами 1,0, ..., 0; 1 удовлетворяет уравнению (11)
Кроме того, легко видеть, что an(q0) = e.
Для доказательства того, что индекс пересечения многообра
зий А'п_х и Y2n+1 в Ап равен ±1, рассмотрим линейное прост
ранство, касательное к Ап в точке е\ как известно, оно является
алгеброй Ли Ли группы Ап. В линейном пространстве Ап рас
смотрим линейное подпространство А'п_1у касательное к многообра
зию A'n_t в точке е, и линейное подпространство Y2n+1, касатель
ное к Y2n+1 в точке е. Теперь достаточно показать, что линейное
пространство Ап распадается в прямую сумму своих
подпространств л;_! и"У8я+1.
Линейное пространство Ап состоит из всех матриц
Iky II. (13)
удовлетворяющих условиям (10) и (И) § 2. Линейное
пространство А'п_х состоит, как легко можно видеть, из матриц вида (13),
обладающих дополнительно тем свойством, что первая строка я
первый столбец нулевые. Для того чтобы описать пространств^
Y2n+u заметим, что дифференциалы координат /?0, ри ..., рп\ &

12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ 193
точке q связаны условиями
п
2 (Pk'dpk + dpk-pk) = 0, (14)
£ = 0
a-da-fda-tf = 0. (15)
Обозначая, как и выше, через q0 точку с координатами 1, 0, ...
0; 1, а дифференциалы координат в этой точке через р0»
/?, ..-, Рп\ <±> мь1 получим из (14) и (15) соотношения
Ро + Ро = 0> a + a = 0.
Обозначая через af. дифференциал элемента (^.(q) матрицы aH(q)
в точке q = q0, мы получим
при i ф0у \Ф 0. имеем
a'=-2p/t a?0 = 2^.;
все остальные ankl равны н^лю. Из найденной структуры
линейных пространств АПУ А'п__и Y2n+1 сразу же следует, что линейное
пространство Ап распадается в прямую сумму своих пространств
А'п_1 и Уаи+1. Итак, мы установили, что индекс пересечения
многообразий Агп_г и Y2n+1 в многообразии Ап равен ±1.
Сп. Пусть Я2«-1—комплексное проективное пространство
комплексной размерности 2л—1. Известно, что многообразие P2n-f
ориентируемо. Мы будем задавать точку p€P2n-i ее однородными
координатами
Ри Р2у • ••> р2п> (16)
нормированными* условием
PlPl+P*Pt+ •-•+P*nPln=l- (17)
Два набора координат типа (16) определяют одну и ту же
точку тогда и только тогда, когда они отличаются множителем,
по модулю равным 1. Обозначим, через / отображение
многообразия Р2п_1 в себя, ставящее в соответствие точке р с координатами
Л> ••> Рп> Р.п+и •••. Р2п+л точку f(p) с координатами
MP)=fti + l» • ••» fniP) — Pzn> _ | /lg4
fn + 1(p) = —Л, .-, f2n(p) = — Pn- )
Непосредственно проверяется, что / [f(p)}=p, так что
/—голоморфное йнволюти'вное отображение; кроме?того, как будет
Л. С. Понтрягин, т. I

194
12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ
показано ниже, отображение f изменяет ориентацию. Пусть L^
отрезок О^ф^зт действительной ф-оси. Рассмотрим топологи*
ческое произведение R' многообразия /V-i и отрезка L. Torj^
каждая точка r'£R' определяется парой (р, <р). Каждую пару
вида (р, 0) мы отождествляем с парой (/(р), 0), а каждую пару
вида (р, я)—с парой (/(р), я). Полученное таким образом
замкнутое многообразие RAnmm\ ориентируемо, так как отображение /
меняет ориентацию. Размерность многообразия /?4w-i равна 4/г—-1^
Вместо ф введем число а=^е"Р. Поставим теперь в соответствие
каждой точке г' = (р, а) € R' матрицу \r{j\, положив
^/ = ^/-(1+а)р/ру-(1+а)/Др)/;.(р), (,',/) = 1,2, ...,2л. (19)
Можно считать, что матрица \\ги\\ поставлена в соответствие
точке r£RAn_u так как отождествляемым точкам в R'
соответствуют равные матрицы. Ниже мы покажем, что матрица ||г/у|
принадлежит группе Ся. Умножим теперь первый столбец матрицы
||r/;|| на i*=V—1, а (п+ 1)-й—на —/ = — V—1; как легко
видеть, полученная матрица снова принадлежит группе Сп: мы будем
обозначать ее элементы через с?; (г), Сг(г) = \\^(г)\\, Итак, мы
получим отображение Сп многообразия /?4л-1 в группу С„. Это
отображение определяет некоторый цикл в С„, который мы
обозначим через Z^amml. Оказывается, что циклы Z4„_i и С'п_х (см. § 3)
пересекаются только в одной точке е (единице группы Сп) и что
индекс их пересечения равен ±1.
Переходя теперь к доказательству сформулированного
утверждения, установим прежде всего, что отображение / изменяет
ориентацию. Для этого представим отображение / в виде
произведения двух отображений f и /'. Отображение /' мы определим как
преобразование точки р с координатами plt ..., ря, p„+i, .. •, р%п
^ в точку /'(р) с координатами рл+1, ..., р2„, —ри ..., —р„.
Отображение f" мы определим как преобразование точки р с
координатами pi, p2, ...^р^Рл-ц, ...._/>*, в точку Iя(р) с
координатами рх, р2, ..., ри, ря+1, ..., р2л. Для изучения отображения
/' мы введем отображение /^, определяемое как преобразование
точки р в точку /$(р) с координатами
cos фр! + sin 4>pn+1, ..., cos \ррп + sin ^pln,
— sin^p1 + cosi|5p„+1, ..., — sin\|)p„ + cos^p2„.
Легко видеть, что f0(p)=p и /*я (р) = /'(р). Таким образом, ото-
Т
бражение /' может быть получено непрерывной деформацией из
тождественного отображения, и следовательно, оно не меняет
ориентации. Для изучения отображения f" введем в проективном
пространстве Р2л-\ неоднородные координаты
п —. Р1 п — Р* п Рая—J
Р$п Н2п Р2п

12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ 195
Т гда отображение f переводит точку р с координатами qlf q2, ...
a2«-i в Т0ЧКУ Г(Р) с координатами qu q2, ..., qtnmml. Таким
АбоазомГ отображение f просто изменяет знак у коэффициентов
°ои i в'каждой координате, а так как имеется 2/г—1 координат,
е нечетное число, то отображение f" меняет ориентацию мно-
гообРазИЯ ^2/1-1* Следовательно, отображение f также изменяет
ориентацию.
Переходя теперь к доказательству утверждения о том, что
матрица ||г/7|| принадлежит группе Сп9 мы отметим следующие
соотношения:
2п 2п _ \
2 fikPu=fi (p)> 2 fikfk (p)=—л.
kVn h7n _ f (20)
2 fi/Pif/(p) =—u 2р*Ы/?)=о, I
где f/y—коэффициенты билинейной формы, определяющей группу
Сп (см. (12) § 2). Соотношения (20) следуют непосредственно из
условия (17) и определения отображения f (см. (18)).
Покажем, что матрица \\ri;-\\ унитарна. Мы имеем
2/1 _ 2л _ _ _
2 ',У/* = 2 {8/*—О +«) Р,Л— 0 +*)f / (P)fk(P)} {fiyfe—(1 +«) P/P*—
*=i /е=1
— — — 2/l _
-(l + d)f/(p)fk(p)} = 8i/+(l+a)(l+a)pip/^pkPk +
2n __ 2n
+ (1 + a) (1 + a)//(p) 2 fk(p) fk{p) + (l + a)*ptf,(p) 2 P„h(p) +
— — 2n _ —
+ (1 + a)»f/ (/>) Pi 2 /ft (/>) Pft-(1 + «) />,/>/-
-(1 + «) Л (/»)^(P)-(1 + «) F/Pi-(l + «)&(/>) //(/») =
= 6(V.+ {(1 +a)(l + a)-(l + a)-(l +a)} {piPj+f;(p)f/(P)) = 8,y
Теперь покажем, что матрица ||г,у|| удовлетворяет условию (16) § 2:
2я 2л _ _ _
Л jS| f ,//V„ = ^ 2 ( /// {бй-(1 + a) P,Pft-(1+ a) ft (p) fk (p)} X
_ _ _ 2л
X{S/t-(l+a)P/P*-(l+a)//(p)fl(P)}=f«+(l+a)aP*/'i 2 ft/PtPj+
+(i+«)»/*o»)fi(p) S Ь/ШЫр)+
2n
+ (l+*)(l+a)pj,(p) 2 ft/Pif/(P) +
7*

12 ГОМ ОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ
196
__ 2л 2л
Ч- (1+ а) (1 + а) /* (Р) Pi 2 fufi (P) Pj—(I + «) Р* 2Ptfa—
l\/=I 1=1
2л _ 2n 2/1
-(1 + «) fu (p) 2 /,- (/>) /«i-( 1 +«) />, 2 P/fkf-i 1 +«)Ш 2 fjiP)fk,*
1=1 /=1 /=1 '
Из того, что матрица \rtj\ унитарна и сохраняет билинейную
форму (12) § 2, следует, как известно, что ее определитель равен
±1. Если мы возьмем а равным —1, то немедленно получим, что
определитель матрицы \\rif\\ равен +1. Но из того, что
определитель матрицы \\г{;\\ не может переходить от значения +1 к
значению — 1, когда а непрерывно меняется от .— 1 до +1, следует,
что определитель матрицы \\ri;-\\ должен быть всегда равен -f-1.
Итак, матрица \\г(/\\ принадлежит группе Сп.
Перейдем теперь к доказательству того, что циклы С'п_х и Zin^x
пересекаются только в точке £. Мы уже знаем, что многообразие
С'п_х определяется условием сп=1 (см. § 3). Таким образом, мы
должны решать уравнение
<&(') = !. (21)
Расписав это уравнение, мы получим
ф— (1+a) pj!—(1+а)/?я+1Я,+1} = 1,
или
(1 + а) рхрг + (1 + а) Рп+гРп + г = 1 + I.
Если мы положим /?1/?1 = Я, pn+rfn+i — p, то легко найдем, что X
и \i—неотрицательные действительные числа, удовлетворяющие
условию Я+^i^l (см. (17)). Обозначим через К окружность в плоскости
комплексного переменного z с центром в точке +1 и радиусом 1.
Тогда точка 1 + а лежит на верхней половине окружности /С, а
точка 1 + а—на нижней ее половине. Поэтому точка (l-fa)A,+
+ (1 + а) |л =- z лежит всегда внутри окружности или на ней.
В случае z=l-f/ мы имеем а —£, Х=1. Мы, следовательно,
получили единственное решение уравнения (21) в виде пары (р0,
i) = r0, где точка р0 имеет координаты 1, 0, ..., 0. Легко видеть,
что ||с?у (г0)|| = £. Итак, циклы С'п^х и Z^n_x пересекаются только в
точке е.
Наконец, для того чтобы доказать, что индекс пересечения
циклов С'п-х и Z^^j в многообразии Сп равен ±1, рассмотрим
линейное пространство, касательное кС„ в точке е. Как
известно, оно представляет собой алгебру Ли Сп (см. § 2) группы Сп.
В пространстве Сп рассмотрим линейное подпространство £'п-г*
касательное к С'п-Х в точке е, и линейное подпространство Z4n-i>

12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ 19
тельное к ZAn-! в точке е. Достаточно показать, что линей
ка°апоостранство Сп распадается в прямую сумму подпространсп
Г' t И Z4n-l*
"""Линейное пространство Сп состоит из всех матриц
Ь/Ь (22
ловлетворяющих условиям (24) — (27) § 2. В линейное простран
тво С'п-1 входит каждая матрица вида (22), в которой первый i
/rtj-П-й столбцы, а также первая и (л-М)-я строки нулевые
Для изучения структуры линейного пространства Z4,-i заметим
что дифференциалы координат в пространстве P2a-i связань
условием
2 (Pk-dpk + dpk-pk) = 0 (23
(см. (17)). Обозначая через р0 точку с координатами 1, 0, ..., О
а дифференциалы координат в этой точке—через р19 р2, ..., р2п
мы получаем из (23) соотношение
£i + £i = 0. (24]
Заметим, далее, что дифференциал координаты а удовлетворяет
условию
а-da-f doc-a = 0. (25]
Обозначая через а дифференциал координаты а в точке a = i, мь
получаем из (25)
a—a = 0. (26]
Обозначая через с£. дифференциалы функций с^Лг) в точке г =
го = (А)> 0» мы получаем: для 1 < j ^п
<&=* — си\ £$=* —(1 + 0JJ/. £/i = 0 — Ojg/.
£n+i, n+i = ^> £n+i. n+/ = — (1 — OP/» £/5+/. n+i==(l + 0/7/»
^i. «+i =—2pn+1, £" n+/ =— (1 + i) Pn+j> £/, n+i = — (1 +0Рл+/э
^n+i, 1= +2p„+i, £Й+ь / = 0 —i)Pn+j> £«+/. i = 0 — i) Pn+/>
а все другие £?/ равны нулю. Из первой строки дифференциалы
Функций с?! (г) получаются прямым вычислением; равенство нулю
Указанных элементов матрицы |ф|| также доказывается прямым
вычислением, а все остальные вычисляемые элементы получаются
с помощью формул (24)—(27) § 2. Из установленной структуры

12 ГОМологии в компактных группах ли
линейных пространств Сп^ и Z^n^x следует, что линейное прост*
ранство Сп действительно распадается в прямую сумму своих
линейныхГподпространств Сп_х и Z^-i- Итак, индекс пересечения
циклов С'п_х и Z4„_x равен ±1.
§ 5. Гомологии в группах Ап, Вп, Сп, Dn
В этом параграфе мы изучим гомологии в простых группах
четырех основных серий. В случае Ап п Сп мы лишь должны
автоматически применить теорему 1, так как она позволяет
индуктивно переходить от группы Ап„1 к Ап и от группы Сл-1 к
Сп. Переход от группы Вп_1 = Н2п_1 к группе Dn=?H2n также
прост. При всех этих переходах условия теоремы 1 выполнены
благодаря существованию необходимых циклов. Но когда мы
переходим от группы Dn=^H2n к группе В t = fi2n+1, мы находимся
совсем в ином положении, так как здесь у нас нет необходимого
цикла, и переход уже не может быть осуществлен так просто.
Мы должны рассмотреть группы серий Вп и D% одновременно
как группы из серии Нт,ио метод перехода отНт_г к Нт будет
зависеть от частности числа т. Это усложнение, вероятно,
появляется из-за того факта, что группы Нт не являются односвязными,
в отличие от Ап и Сп. Если вместо групп Нт мы будем изучать
их универсальные накрывающие, то возможно, что с ними все
будет так же просто, как и с группами Ап и Сп. Так как мы в
основном интересуемся теми топологическими свойствами, которые
инвариантны относительно локальных изоморфизмов, то мы могли
бы рассматривать универсальные накрывающие группы Нт, но,
во-первых, это привело бы нас к группам менее известным, чем
группы ортогональных матриц, а во-вторых, эти последние
группы являются важными сами по себе и полное изучение их
гомологии может быть очень полезным.
Объективно, независимо от метода, простота структуры групп
Ап и Сп выражается в том, что они не имеют кручения. Группы
типа Нт, напротив, имеют кручение, и мы сначала будем искать
их базис слабых гомологии и только затем полный базис.
Теорема 2. В группе Ап или, соответственно, в группе Сп
существует такая система циклов Wl9 W^, ..., W п, что базис
гомологии в группе Ап или, соответственно, в группе Сп имеет
вид
(e[)Wx)(e[}W2)...(e[}Wn), (1)
где все циклы базиса свободны. Произведение берется здесь в
групповом смысле (см. определение 1), а знак и просто определяет
различные элементы базиса. При раскрытии скобок в выражении
(1) единица е исчезает во всех слагаемых, кроме первого, которое
равно е, и рассматривается здесь как нульмерный цикл, состоя-.

12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ 199
v цд одной положительно ориентированной тонки. Для группы
^ии0а3мерность цикла Wk равна 2k + 1. Для группы Сп размер-
«ость цикла Wk равна 4ft— 1.
Доказательство. В группе Ап рассмотрим подгруппу А'к,
определяемую условиями а00=1, 0ц—1, ..., an_k_Un_k_1=l
. ,срк группа Л„, § 2); группа A'k естественно изоморфна группе Ak.
группа А19 как известно, гомеоморфна трехмерной сфере. Поэтому
базис гомологии многообразия Аг может быть составлен из
единицы е, т. е. нульмерного цикла, и, кроме того,
ориентированного многообразия Аи которое мы обозначим через Wx. Поэтому
для Аг базис гомологии имеет вид el)Wu т. е. тот вид, который
указан в формулировке теорем. Будем продолжать доказательство
по индукции. Предположим, что теорема уже доказана для
группы >lrt_i. Отображая группу An_Y на подгруппу А'п_г с помощью
естественного изоморфизма, мы получим базис в подгруппе А'п-х
в виде (е[) Wx)(e{i W2).. .И^-i). В § 3 мы построили функцию
/ на группе Ап (см. группа Ап, § 3). В § 4 мы построили цикл
Угп+i в группе Ап (см. Ап, § 4). Обозначим цикл Y2n+1 через Wn.
Мы имеем теперь возможность применить теорему 1 к группе А ^
для которой теорема 2 оказывается, таким образом, установленной.
В группе Сп рассмотрим подгруппу C'k, определяемую
условиями сп =г 1, с2 = * > • • •» cn-k, n-k = 1 • Группа C'k естественно
изоморфна группе Ck. Группа Си как известно, гомеоморфна
трехмерной сфере. Функция f на группе Сп была построена в § 3
(см. группа Сп, § 3). Цикл Wn = ZAn_1 построен в § 4 (см. Сп, § 4).
Таким образом, доказательство теоремы для группы Сп можно
продолжить на основе теоремы 1 тем же образом, что и для
группы Ап.
Доказательство теоремы 2 закончено.
Теорема 3. В группе Вп или, соответственно, в группе Dn
существует такая система циклов Wl9 W2, ..., Wn, что базис
слабых гомологии группы Вп или, соответственно, группы Dn
имеет вид
(euW1)(euW^..(euWn) (2)
(объяснения этих обозначений см. в теореме 2). В группе Вп
размерность цикла W( равна М — 1. В группе Dn размерность цикла
V?i равна U — 1 при i<^n—1 и равна 2п—1 при i=^n.
Доказательство. Напомним, что Вп = Я2п+1, Dn = H2n.
В группе Нт рассмотрим подгруппу H'k, определяемую условиями
К\ = А22 = ... = hn+H% п„ъ = 1. Так как группа H'k изоморфна
группе Нь и существует естественный изоморфизм группы Hk на
подгруппу Н^, то мы будем обозначать подгруппу H'k просто
через Hk. Функцию f, построенную в § 3 (см. группа #fe, § 3)
На группе Hk, мы будем обозначать через fk. Обозначим базис
гомологии группы Hk через Qk, а базис слабых гомологии этой
группы—через 2Л.

_._ 12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ
Если k—четное число, то цепь Xk_x (см. НтУ § 4) является
циклом и> следовательно, на основании теоремы 1 мы имеем
о* = а*-1иОл-.1**-1, (3)
^k — ^k-iU^k-iXb-i. (4)
Это означает, в частности, что для любого цикла Z из.Я^ мц
имеем
Zc/dX + FX^ в #„ (5)
где циклы Л и У принадлежат подгруппе Н1г_1.
Группа #3, как известно, гомеоморфна трехмерному проек
тивному пространству; следовательно, базис слабых гомологии
в #3 может быть составлен из единицы е, рассматриваемой как
нульмерный цикл, и всего ориентируемого многообразия Я3,
рассматриваемого как трехмерный цикл, который мы будем
обозначать через Wt. Итак, ^ — euW^ т.е. для Н3 = Вг теорема
верна. Будем продолжать доказательство по индукции от т—1
к /п, но здесь мы должны различать случаи четного и нечетного т.
Еслц т четно и теорема верна для Hm_lt то из соотношения (4)
следует, что она верна и для Нт.
Поэтому с этого момента мы будем считать, что т—нечетное
число. Если U—некоторый цикл из Нт_19 то существует такой
цикл V из Нт. а, что
UttV в Нт (т—нечетное). (6)
Действительно, мы имеем Х^_г = 2Хт_2 (см. Нт в § 4), т.е.
Хт_2жО вИт\ но тогда и каждый цикл вида YXm_2 также слабо
гомологичен нулю в Нт, Следовательно, в силу (5) мы получаем (6).
Пусть X — произвольный цикл из #,л_2. Если граница цепи
XXm_i гомологична нулю в Н"т_2 (см. группу Нт в § 3), то
2Х<&>§ в Нт_2 (т—нечетное). (7)
В силу формулы (1) § 1 граница цепи ХХт_г равна ±ХХтшш1*=
= ±2ХХт_2Ь (см. НтЬу § 4). Так как X и Хт_2 принадлежат
^т-и'то и ХХгп_2 принадлежит Нт_1У а ХХт_2Ь—к Н°т__х. Если
2ХХт_2ЬюО в #m-i» то 2ХХт_2&>§ в Нт_г. Из этого в силу (3)
следует (7).
Пусть X—некоторый цикл, а С—такая цепь из Нт_2, что
•
С=2Х. Тогда цикл ХХт_1 + аСХт_2Ь (где а = ±1, в
зависимости от размерности цикла X и числа т) обладает тем свойст:
вом, что 2(ХХт_1+аСХт_2Ь)<лО в Нт. Именно,
2(ХХт_1 + *CXm_2b) = ± (СХт^) (т-нечетно). (8)
Соотношение (8) непосредственно следует из формулы (1) § 1
(ср. НМЬ, § 4).

12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ. 20
В s 4 (см. Нтс, § 4) мы построили цикл U2m^^Xm_2Xm^
сИЛу леммы 3 система И^^и 2m_2U2m_3. независима в смысл<
бых гомологии. Покажем, что она является системой образую
СЛих в смысле слабых гомологии в Нт:
2т=*2т_2и2т-2и2т_2 (т— нечетно)'. • (9
Пусть Z— произвольный цикл из Нт\ обозначим его (алге
боаическое) пересечение с Нт_1 через Z\ Согласно (5) мы имее]\
^слХ + УХт_2 в Нт_1У где X и У принадлежит подгруппе Нт_2
Цепь D = Z—&(X + YXm^2)Xm^1 = Z— 8ХХт^.1—8YU2m_3 имее'
(алгебраическое) пересечение с Нт_1У которое гомологично нулк
в Я _1 (см- (2) § !)• Так как цепи Z и У£/2я-8 замкнуты, т<
граница1 цепи D совпадает с границей цепи —6ХХт_1- и, следо
вательно, принадлежит к Я^_1# Поэтому согласно лемме 2 Doo(
в #m-i\H & СИЛУ (7) 2ХсрО в #л_2, т.е. существует в Ны_
такай цепь С, что С = 2Х. Цепь
является • циклом (см. (8)), а так как СХт_2Ь лежит в #m-i, т<
(алгебраическое) пересечение цикла Е с #OT-i гомологично нулк
в Я^-х. Следовательно, в силу леммы 2 цикл £ гомологиче]
некоторому циклу из. Нт-и а последний гомологичен некотором
циклу [/из Нт^.1 (см. лемму 4). Таким образом, мы имеем
Zc/dб(XX„_i + aCX^2&) + бЩ^-з +1/ (m—нечетно). (1С
В силу (8) ХХт^1 + аСХт_2Ь «Ов Нт. Согласно (6) U &V в Н„
где V принадлежит подгруппе Нт_2. Итак, из (10) мы получае]
Z» бУ[/2/л_3 +V, и соотношение (9) доказано.
Если т нечетно и теорема верна для Яот_2, то из (9) следуеп
что она-также верна и для Нт. Итак, теорема 3 доказана.
Теоремы 2 и 3 позволяют нам находить без каких-либо зг
труднений числа Бетти рассматриваемых групп. Для того чтоб]
сформулировать эти результаты в более компактной форме, м]
вводим следующее
Определение 2. Пусть К—некоторый n-мерный комплек
и pi—его /-мерное число Бетти. Полином / {t)=pQ + pxt -f А^2+ • •
••• +pntn относительно переменной t мы будем называть пол*
номом Пуанкаре комплекса К.
Отметим следующий известный результат о полиноме Пуа*
каре топологического определения.
Если' К и L—два комплекса, а f(t) и g(t) — их полином
Пуанкаре,/то полином Пуанкаре h(t) их топологического прои:
ведения KL равен g(t)f(t):
h(t) = f(t)g(t). (11

202 t2. гомологии в компактных группах ли
Теорема 4. Для любой из групп Ля, Вп, С„, Dn (см. § 2)
полином Пуанкаре имеет вид
(\ + td*)(l + td*)...(l + tdn).
Для группы Ап мы имеем d,= 2i + 1; для группы Вп имеем d/==5
=4*—1; для группы Сп имеем di = Ai—1; для группы Dn имеем
dL — M—1 при i^.n—1 и dn~2n—1.
Доказательство. Сформулированный результат
непосредственно следует из теорем 2 и 3.
Итак, для любой из групп Ап, ВпУ Сп9 Dn полином Пуанкаре
имеет тот же вид, что и для топологического произведения сфер
размерностей dlf da, ..., dn. Основанное на этом результате
предположение о том, что эти группы гомеоморфны произведению
сфер, является, однако, неверным. Используя гомотопические
инварианты, я показал, что группа Л2 не может быть разложена
в произведение двух многообразий, хотя ее полином Пуанкаре
имеет вид (1 + /3) (1 + tb).
На вопрос о полном базисе гомологии многообразия Нм
отвечает следующая
Теорема 5. Базис гомологии группы Нт состоит из
свободных циклов и циклов второго порядка. Предположим теперь, что
т—нечетное число и обозначим Su S2, ..., Sp; Ти Г2, ..., Tq
циклы базиса гомологии многообразия #Л_2, где St-—свободный
цикл, a Tj—цикл второго порядка. Базис гомологии
многообразия Нт_х состоит из свободных циклов вида
St, S,.Xra_2 (12)
и циклов второго порядка вида
Т„ TfXm_%. (13) .
Здесь i =s 1, 2, ..., р; / = 1, 2, ..., q. Базис гомологии
многообразия Нт состоит из свободных циклов вида \
St, S//2m_, (14) j
и циклов второго порядка вида
Т/> SiXm-2> 7УЛ/я-з> TjXm^x + aCjXm^. (15)
Здесь i = 1, 2, ..., р\ /= 1, 2, ..., q\ даме т—2 и U2m_9—циклы \
размерностей т—2 и 2т—3, а Хт_х—цепь размерности т—1. |
Цепь С/ из Нт_2 определяется условием Су = 27/, а ^=±1 в
зависимости от размерности цикла Т7- (см. доказательство теоремы 3).
Доказательство. Справедливость утверждения о базисе
гомологии в многообразии Нт_г следует из формулы (3).
Чтобы доказать, что указанные циклы образуют базис
гомологии в многообразии Нт, мы используем соотношение (10). Для

12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ 203
произвольного цикла Z из Нт мы имеем
Z^iXX^ + aCX^M + YU^ + U.
Здесь U—некоторый цикл из Нт_и и следовательно, U&V+
JrWXm-* в ^*-i» где ^ и ^ принадлежат к #л_2. Итак,
Ш Z^(XXm^ + aCXm^b) + YU2m.3 + V + WXm^. ' (16)
Здесь X, Y, V, W—циклы из #m_2, а С—такая цепь из #от_2,
чтоС=2Х, а = ±1 в зависимости от размерности цикла X.
Предположим теперь, что все циклы X, F, V, W гомологичны
нулю в Ял-2» и посмотрим, что представляет собой цикл Z*,
определенный формулой (16). В этом случае мы, очевидно, имеем
Z*cr>(XXm_1 + aCXm_2b). Так как Хс/зО в Нт_2, то существует
в Нт-2 такая цепь D, что D = X. Легко видеть, что граница
цепи #Х*-1 дается формулой ± (ХХт^1 + a2DXm_2b) (см. (1) § 1).
Итак, цикл {ХХт_1 + a2DXM_2b) гомологичен нулю в Нт.
Следовательно, мы имеем
Z* оо (ХХт^ + аСХт_2Ь)-(ХХт^ + *2DXm_2b) ао
c>a(C-2D)Xm_2=W*Xm_2 (17)
(см. лемму 4), где W*—некоторый цикл в Нт_2.
Пусть теперь Z—прозвольный цикл из Нт. Из доказанного
следует, что он может быть представлен формулой (16). Выразил/
теперь (гомологически) все циклы X, F, У, W через циклы S
и Г;, т. е. найдем такие циклы Х\ У, V, W,
представляющиеся в виде линейных комбинаций циклов St и Ту, что X с/э X'
YwY\ Vc/dV, №с/э№'. Кроме того, найдем такую цепь С
являющуюся линейной комбинацией цепей Су, что С = 2Х'
Положим
Г=(Х'Хя.г + <хС'Хт_ф) + ¥'иш_3 + V + W'Xm_2.
Тогда, согласно доказанному ранее (см. (17)), цикл Z* = Z — Z
гомологичен циклу W*Xm_2. Выражая цикл W* снова через цикль
S/ и Ту, мы представим цикл Z как линейную комбинацию цик
лов систем (14) и (15). Но это доказывает, что циклы систем (14
и (15), взятые вместе, составляют систему образующих для гомо
логий многообразия Нт.
Покажем теперь, что системы (14) и (15), взятые имеете, об
Разуют базис гомологии многообразия Нт и что порядки цикло
системы (14) равны нулю, а порядки циклов системы (15) равш
Двум. С этой целью положим
р
г
Z= .2 {aiSi + biSiUim.3 + ciSXm.i) +
+ 2 [djTj + e, TjX^t + IJjU^ + gjiTjX^ + ajCjX^):
/ = 1

204 ,2. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ
Мы покажем, что из соотношения
2сл0 в Яй (18)
следует
а, = &, = (), (19)
Ci,'d/9 е/9 /7, gj—четны, i = 1, 2, ..., р; /= 1, 2, ..., q. (20)
Легко видеть, что (18) следует из (19) и (20).
Так как независимость циклов системы (14) в смысле слабых
гомологии уже доказана (см. (9)), то из (18) следует (19).
Из (18) следует, что (алгебраическое) пересечение Z цикла Z
с многообразием Нт_г гомологично нулю в Нт_1. Таким образом,
мы имеем
2™2f/T/Xu_1 + g,TJv>0 в Нт_г. (21)
Так как система (13) независима в Нт_г и ее циклы имеют
порядок два, то из (21) следует, что числа /у, gj четны. Из (18)
следует, что Z(/2ot_3c/d0 в Нт. Поэтому
р
t = l
+ ii{d/TJU2m_3 + eJT/Xm_2Xm_1)cs>0 в Нт (22)
(см. Нтс, § 4). Так как цикл Хт_2Хт_2 вырожден (см. Нта, § 4),
то члены в (22), содержащие Cj и eJf гомологичны нулю, и мы
получаем
в Нт. В силу леммы 3 отсюда следует, что числа df четны.
р я
Положим S= 2 ci^h 7"== 2 еР"г Мы Уже показали, что
i=i /=i
Zcr)SXm^2 + TXm_2. Предположим теперь, что не все с( четны.
Так как система Si представляет собой базис слабых гомологии
многообразия Нт_2У то это предположение приводит, в силу
теоремы Пуанкаре—Веблена, к существованию в Нт_2 цикла S\
индекс пересечения которого с S нечетным /tfOT_2(S, S')—нечетен.
Из этого мы получаем
IHm_t (S, S'Xm_2) = IHm_lb (Sb, S'Xm.2b)-нечетен (23)
(см. (3) § 1). Циклы Z и S'Xm_2b имеют второй порядок в Нт и,
следовательно, определен их коэффициент зацепления Унт{%>
S'Xm_2b). Вычислим его. Цикл 2SXm_2 ограничивает цепь SXm_ J),

12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ 205
икл 2ТХт-2 ограничивает некоторую цепь D, расположенную
а // Поэтому цикл 2Z ограничивает цепь SXm_1b + D. Мы
В лжны теперь вычислить индекс пересечения этой цепи с циклом
•i?^- _ by расположенным в Hm_1b. Для этого сначала найдем
/алгебраическое) пересечение цепи SXm_xb + D с Hm_xb. Легко
видеть, что оно равно ±Sft. Далее мы должны найти индекс
пересечения полученной цепи ± Sb с циклом SfXm_Jb. Мы имеем
vHm(Z, S'Xm^2b)=^-^IHm_tb(Sby S'Xm_2b)y
и полученный таким образом коэффициент зацепления не является
целым числом (см. (23)). Следовательно, цикл Z не гомологичен
нулю в Нт (см. теорему Пуанкаре—Веблена). Итак,
предположив, что не все числа с1 четны, мы приходим к противоречию с (18).
Следовательно, все с( четны.
Положим, как и раньше, Т= 2 е/Т/. Мы уже доказали, чтс
Z<J}TXm_2. Чтобы теперь доказать, что все числа «у четны,
достаточно установить, что Гс/эО в Нт_2. Предположим противное.
Тогда в силу теоремы Пуанкаре—Веблена в Нт_2 существуел
такой цикл 7" второго порядка, что коэффициент зацепления
V#OT_2(7\ T') не является целым числом. Поэтому отсюда
следует, что
^яда_1 (TXm_2, T') не является целым числом. (24)
Пусть D—цепь из Hm_t с границей 2ТХт_2. Из (24) следует,
что
число 1нттт1 (DT') нечетно. (25
Пусть С = 27", где С принадлежит многообразию Нт_2. И:
(25) следует, что число 1нт (D, TfXm_1+aCfXm_2b) нечетно. Поэтом}
и число Унт (ТХт^2У Т,Хт_1 + <хС Хт_ф) не является целым числом
и, следовательно, цикл Z<j)TXm_2 не гомологичен нулю в Нт
Таким образом, теорема 5 полностью доказана.
Теорема 5 показывает, что все кручения многообразия Нг
равны двум, и предоставляет возможность их рекуррентного вы
числения. Для того чтобы выразить размерность кручения мно
гообразия Нт в более компактной форме, мы введем следующие
обозначения. Если размерность кручения многообразия Нт в раз
мерности s равна qs, то мы положим
Ф/»(0 = <7о + ^ + ^2+ ...+qrtr>
где г—размерность многообразия Нт.Мы назовем полином <pm(t
полиномом кручения многообразия Нт и обозначим полинот
Пуанкаре многообразия НтУ который мы уже вычислили, чере

206 12. гомологии в компактных группах ли
fm(t). Тогда мы имеем
ч>т{4 j-pj • 1^0)
Чтобы доказать формулу (26), заметим прежде всего, что для
нечетного т у нас имеются, в силу теоремы 5, следующие
рекуррентные соотношения:
Ф.-1 (О = Ф--« (')О+ '--'). (27)
Фя(0-/-«(0<""1+Ф-.1(0(1+'""1+'ш"1 +<-"•). (28)
Далее, многообразие Я3, гомеоморфное трехмерному
проективному пространству, имеет полином кручения
Ф1 (') = '. . (29)
Соотношения (27)—(29) однозначно определяют
последовательность ф3(0» ФЛО» •••» Ф*(0 рациональных функций от
переменного t. Легко проверить, что последовательность функций,
заданная формулой (26), удовлетворяет условиям (27)—(29). Таким
образом, формула (26) действительно дает полином кручения
многообразия Н/п.
§ 6. Гомологии локально изоморфных групп
В этом последнем параграфе мы докажем чисто топологическим
методом известный результат Картана о том, что числа Бетти
локально изоморфных компактных связных групп Ли равны. Кроме
того, мы покажем, каким образом, зная числа Бетти групп Ли,
можно найти их для любой компактной группы Ли.
Теорема 6. Пусть G' и G"—две локально изоморфные
связные компактные группы Ли. Тогда s-мврное число Бетти
многообразия С равно s-мерному числу Бетти многообразия G' для
любого G".
Доказательство. Как известно, для любых двух локально
изоморфных связных компактных групп Ли существует общая
связная компактная накрывающая группа. Таким образом,
существует такая связная компактная группа Ли G, что G' = G/C>
a G" = G/C\ где С и С—дискретные нормальные делители
группы G. Очевидно, что достаточно показать равенство чисел Бетти
групп G и С. Заметим, что так как группа G связна и компактна,
то С является центральным нормальным делителем, содержащим
только конечное число у элементов.
Обозначим через / естественный гомеоморфизм группы G на
группу G'. Каждой цепи U из G мы поставим в соответствие
цепь /(£/) из G'. Отображение /_1, обратное к /, не является
однозначным. Если 7"—ориентированный симплекс из G'
достаточно малого диаметра, то ему естественным образом поставим

12. ГОМОЛОГИИ В КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ 20
соответствие множество, состоящее из у ориентированных симп
8 сов многообразия G. Обозначим их сумму f~x(T'). По адди
л ности эта операция может быть распространена на любу!
«епь U' из G'. Итак, мы определили операцию f"1 ((/'). Легк
проверить, чТО f{f-4U.)] = yU>. (1
Покажем теперь, что для любого цикла Z' из G'
из /~l(Z')«0 в G следует Г«0в G\ (5
Действительно, если существует цепь U из G с границе
ic /^(Z'), где k—некоторое целое число, отличное от нуля, т
f(U) = f(0) = f{kf-*(Z')}=kyZ'.
Из условия (2) следует, что числа Бетти многообразия G' не пр<
восходят чисел Бетти многообразия G.
Покажем теперь, что если X и Y—два цикла дополнительны
размерностей в многообразии G, то
/с. = (/(*), f(Y)) = yIG(X,Y). (<
Исключая очевидный случай, когда размерность одного и
циклов X, Y равна нулю, мы можем считать, что размерност
обоих циклов меньше размерности многообразия G. Если это вь
полнено, то мы можем считать циклы X и Y распространенным
таким образом, что никакие три точки, одна из которых прина;
лежит какому-нибудь из циклов X и Yy а две—другому, не ти
реходят при отображении / в одну точку. Пусть теперь а'—нек<
торая общая точка циклов X' — f(X) и Y' = f(Y). Тогда существу*
единственный прообраз а точки а' в цикле X и единственны
прообраз Ь точки а9 в цикле Y и, кроме того, а = Ьс, где с£(
Далее, очевидно, что индекс пересечения циклов X' и Y' в точ*
d равен индексу пересечения циклов X и Yc в точке a = h
Предположим, что циклы X и Yc имеют общую точку а ~Ьс. Тог;
циклы X' и Y' имеют общую точку а' = f (а) =? f (b) и индекс пер
сечения циклов X и Y в точке a = fc равен индексу пересечен*
циклов X9 и Y' в точке а'. Из сказанного выше следует, ч'
индекс пересечения циклов X' и К' равен индексу пересечен*
Цикла X с суммой всех циклов вида Yc, где с£С. Заметим, чг
каждый цикл вида Yc гомологичен циклу У\ так как группа
связна. Поэтому сумма всех циклов вида Yc гомологична циклу у]
и мы получаем
/G,(X', Y') = IG{X, yX).
Итак, соотношение (3) доказано.
Покажем теперь, что если X—цикл из G, то
из /ЧХ)«0 в G' следует Х»0 в G. (

208 l2. гомологии .э компактных труппах ли
Действительно, если цикл X не является слабо гомологичным
нулю, то в силу теоремы Пуанкаре—Веблена . существует такой
цикл Г, что IG (XY) ф 0. Но тогда согласно (3) 10\\ (X), / (Y))¥=0t
т.е. цикл f(X) не является слабо гомологичным нулю в G'. Из
условия (4) следует, что числа Бетти многообразия-G не превос-.
ходят чисел Бетти многообразия G', и теорема 6 доказана.
Теорема 6 показывает, что числа Бетти компактной связной
группы Ли являются её локальными инвариантами.
Известно, что для каждой компактной связной группы Ли G'
существует такая связная компактная накрывающая группа G,
котрр^я распадается в прямую сумму простых групп Ли.
Многообразие G распадается в топологическое произведение
многообразий простых групп Ли. В силу соотношения .(1) § 5 полином
Пуанкаре многообразия G равен произведению полиномов
Пуанкаре простых групп Ли. Теорема 6 показывает, что полиномы
Пуанкаре многообразий G и G' совпадают. В этой работе мы
вычислили полиномы Пуанкаре для. простых групп четырех
основных серий/ АпУ ВпУ Cnl Dn. Кроме групп, содержащихся в этих
сериях, существует однопараметричеасая компактная связная
группа Ли, гомеоморфная окружности; ее полином Пуанкаре равен
1 +1. Вопрос о полиномах Пуанкаре пяти особых простых групп
остается пока открытым. *.
* ЛИТЕРАТУРА
» *
[I] В, Car tan, Sur les invariants integraux de certains espaces homogenes
clos et les proprietes topologiques de ces espaces, Ann. Soc. Pol. Math. 8
. . 0929).
[2]* Л. Понтрягин, Числа Бетти компактных групп Ли, ДАН 1 (1935).
[3] Rr'Brauer, Sur les invariants in integraux'des varietes des groupes de
' Lie simples clos, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris) 201 (1935).
[4] S. L e f s с h e t z, Topology.
[5] M. M о г s e, Relations between the critical points of a real function of rt
independent variables, Trans. Amer. Math. Soc. 27 (1925).
[6] E. С а г t a n, Sur la structure des groups des transformations finis et con-
Jinus, These, 2. ed., Paris, Vuibert, 1933. "* • •. •
[7]' E. С art an,-La topologie des espaces representatifs des groupes de Lie,
Conferences internationales de Topologie, Geneva, 1935.
[8] L. Pohtrjagin, Sur les nombres de Betti des groupes de Lie, Compt.
Rend. Acad. Sci. (Paris) 200 (1935).

13
О ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЕ ГРУПП ЛИ*)
Прлуйом Пуанкаре компактной группы Ли имеет вид
т. е. такой же вид, как полином Пуанкаре топологического
произведения-сфер' размерностей alf a2, ..., а,,1);- среди простых
групп из: четырех больших классов в перечислении Киллинга —
Картана .«группы Ап и Сп при этом не имеют, как я показал*
кручения2), и их фундаментальные группы* как легко видеть*,
тривиальйы \(т. е. имеют порядок I); поэтому для указанных групп
возникает вопрос, не будут ли они гомеоморфны.соответствующим
произведениям. сфер3).
Ниже- будет показано, что этот вопрос в общем случае
решается отрицательно; именно, будет доказано следующее
утверждение. - »
Группа Ап, л ^2, полином Пуанкаре которой есть
(1 + *3).(1+ **).....(1 + /2"*1),1)
не гомеоморфна никакому произведению S3xM, гдеS3 есть
3-мерная сфера, а М—некоторое топологическое пространство.
Доказательство основано на том, что 4-мерная гомотопическая
группа4) многообразия Ап9 л ^2, тривиальна (т. е. имеет
порядок 1), а 4-мерная гомотопическая группа произведения S3xM
не тривиальна. Впрочем, понятие гомотопической группы не играет.,.
*) Uber die topologische Struktur der Lieschen Gruppen // Comment. Math-
Hely.—1940/1941.—V. 13, fasc. 4.—P. 277—283.— Перевод Д. Б, Фукса.
М Для групп АПУ Вп, СПУ Dn из четырех больших классов простых грушг
это было впервые доказано мною, С. R. Acad. Sc. U.R.S.S. 1 (1935), 433—437
и С. R. Paris, 200 (1935), 1277—1280, с явным указанием показателей а,;
подробное изложение с вычислением групп кручения дано мною в Recueil math,
de Moscou 6 (1939), 389—422. Дальнейшие доказательства: R. Brauer, С. R. Paris,
201 (1935), 419—421; С. Ehresmann, С. R. Paris, 208 (1939), 321—323 и 1263—1265;
Кроме того — как" специальный случай более общей теоремы, но без вычисления
показателей'а/ —Н. Hopf, Annals of Math. 42 (1941), 22—52.
2) Recueil math;, см. x); кроме того, Ehresmann, там же.
3) На этот вопрос указал Э. Картан в конце своего женевского доклада
«La Topologie des Groupes de Lie» (L'Enseigriement math. 35 [1936], 177—200;
см. также Actualites Scient. et Industr. 358 [Paris, 1936]; см. также Selecta,
Jubile Scientifique [Paris, 1939], 253—258).
4) W. Hurewicz, Proc. Akad. Amsterdam, 38 (1935), 112—119, 521—528.

2l0 13. О ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЕ ГРУПП ЛИ
собственно говоря, никакой роли в доказательстве; достаточно
будет показать, что всякое отображение 4-мерной сферы 24 в много»
образие АпУ п ^2, гомотопно 0 в Ап, в то время как существует
отображение 24 в S3xAf, которое не гомотопно 0 bS$xM.
§ 1. Группа Ап определяется как группа всех унитарных уни-
модулярных матриц порядка п + 1,
а = (#/*), /, k = О, 1, ..., п.
Накладывая условие а00=1, мы выделяем в Ап подгруппу А'п^ь
а накладывая условие а00 = —1, выделяем смежный класс А*п^г
подгруппы А'п_х в группе Ап. Размерность группы Аг равна
(r+ 1)2—1, и поэтому для разностей размерностей мы имеем:
Dim. An—Dim. A'n.^Dim. An—Dim. A"n-l = 2n+ l. (1)
Как я показал5), всякое множество FczAn—А§Пш_х можно пере»
вести непрерывной деформацией, протекающей внутри Ап—А'п_и
в подмножество множества Л^; и аналогичное имеет место для
множеств FcAn—А"п_х.
Пусть /—непрерывное отображение 4-мерной сферы 2* в много*
образие Ап. Если /1^2 то, ввиду (1), можно посредством сколь
угодно малой деформации превратить f в такое отображение f\
что /' (24) с Ап—Ап-х; после этого вышеупомянутая теорема о
деформации позволяет продеформировать отображение /' к такому
отображению /", что выполняется условие /:йг(24)сгЛд_1.
Многократное применение этой операции приводит нас к
отображению g сферы 24 с £(24)сЛ2, и если мы применим эту
операцию еще раз, мы получим отображение g'> гомотопное f и
обладающее тем свойством, что g' (L*)aAl. Наша цель—показать, что
отображение / гомотопно 0 в Ап,— будет, таким образом,
достигнута, если мы покажем, что всякое отображение сферы 24 в А\
гомотопно 0 в Л2.
Как известно, А{ гомеоморфно 3-мерной сфере S3; известно,
кроме того, что существуют только два класса отображений 24
в S3 5); поэтому достаточно доказать следующее: существует
существенное отображение 24 в А\у которое гомотопно 0 в А2. Это
утверждение будет доказано в § 2 при помощи алгебраических
вычислений.
С другой стороны, мы рассмотрим топологическое
произведение S3xAf; его точке z = xxy соответствует пара точек x£S9,
у£М; положим <p(z)=x. Мы утверждаем: если f есть
существенное отображение 24 в S3, то отображение g сферы 24 в S3xMf
определяемое формулой g(u) = f(u)xb9 в которой b есть
фиксированная точка пространства М> не гомотопно 0 в S3 х М;
действительно, если существует непрерывная деформация gt отображения
5) L. Pontrjagin, С. R. Congres intern, des math., Oslo, 1936, t. II, MO:
•см. также: С. R. Acad. Sc. U.R.S.S. 19 (1938), 147—149.— H. Freudenthab
Compositio Math. 6 (1937), 299—314.

13. О ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЕ ГРУПП ЛИ 2П
^а которая стягивает все g(24) в одну точку произведения
fsvM т° tyet^ft есть деформация отображения /, которая стя-
гивает'все /(S4) в одну точку сферы S3.
Но известно б), что существует существенное отображение /
Аеры 24 на S3; поэтому из только что сказанного следует, что
viiiecTByeT отображение g сферы 24 в S3xAl, которое не гомо-
23?hoObS»xM.
§ 2. Свойства группы Л2, которыми я буду пользоваться, я
выведу Для ^и» так как эти более общие свойства не являются более
сложными и могут найти применение для других целей.
Пусть Rn есть комплексное унитарное пространство
комплексной размерности п. Вектор y£Rn может быть задан через свои
компоненты как однострочечная матрица у = (уи у2У ..., уп). Если d
есть произвольная матрица, то через d* обозначается матрица,
полученная из d комплексным сопряжением и транспонированием.
Таким образом, у* есть матрица с одним столбцом; далее, 7Y* есть
матрица порядка 1, числовое значение которой равно квадрату
длины вектора у; в то же время 7*7 есть квадратная матрица
порядка п:
Мы присоединим к Rn еще одну действительную ось с
координатой а и обозначим полученное таким образом пространство
через /?„; точка пространства Rn задается матрицей л; = (а, у).
Уравнение
а2 + 77* = 1 (2>
определяет в Rn 2л-мерную сферу 22". Если л; = (а, 7) лежит
в 22", то 77* = 1—а2'» таким образом, если уфО, то а*Ф ± 1,
и если мы обозначим через б единичный вектор направления у»
то 6= =-7» этот вектор, как и 7, будет представляться одно-
У \ — а2
строчечной матрицей'длины п.
Через е будет обозначаться единичная матрица порядка п л- Ц
е==(8/Л), /, fe = 0, 1, ..., п\ через е' будет обозначаться
единичная матрица порядка п\ е' = (6уА), /, &=1, ..., п.
Пусть теперь х = (а, 7)€22п; мы рассмотрим матрицу
порядка п + 1,
/ ai у
\—7 —aie
в которой 7 есть блок из одной строки,— 7* есть блок из однога
столбца,— ate' есть квадратный блок порядка л, at есть число;
и также есть квадратная матрица порядка п+1\ очевидно,
и+и* = 0. (3)

l3 0 ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЕ ГРУПП ЛИ
Если t есть действительное число, то
Ь(х, t) = eu (4)
есть квадратная матрица порядка п+ 1, для которой из (3)
следует, что она унитарна; вычисление показывает, что
h(Y /ч fcosf + af-sin/ sint-y \ ,.
"V*> *J ^ —sin/-7* e-to/.8' + (cos /—at-sin/—в**')-***/' * '
где предполагается, что 7=^=0, а*Ф± 1, так как иначе б не опре-
делено; формула (5) останется, однако, законной и при 7 = 0,
<х = ±1, если в качестве б взять произвольный вектор. Что
b(x, t)=eta, для нас не существенно; для нас важно единственное
свойство этой матрицы, которое можно вывести прямым
вычислением из (4) или из (5): именно, что она унитарна и что ее
детерминант находится по формуле
Det. b(x, *)=e-(«-Dia*. (6)
Доказательство. Пусть s'—унитарная квадратная мат-
п о\
рица порядка п\ положим s = (0 ,)\ тогда
s-l-b(x, t).s = b(y, t) (7)
с y = (oLy ys'), причем ys' есть однострочечное произведение
матриц 7 и s'; так как матрица s унитарна, матрицы Ъ (х, t)ub(y, t)
одновременно являются унитарными и имеют одинаковые
детерминанты. Подберем теперь для данного вектора 7 такую
матрицу s', что 7s' = (P, 0, ..., 0), Р действительно; тогда матрица
b(у, f) имеет особенно простую форму, для которой, принимая во
внимание соотношение <х2 + Р2=1, легко проверить наше
утверждение.
Рассмотрим еще матрицу
1 0
П-1
е п
ш
она унитарна, ее детерминант равен е^1*ш. Произведение а (х, 0—
— b(x, t)c(x, t) есть поэтому унитарная унимодулярная матрица:
а{х, t)£Aa.
При фиксированном t каждой точке х из 22* соответствует
некоторая точка а(х, t) из АпУ т. е. а(х, t) задает некоторое
отображение сферы 22" в Ап\ когда t изменяется, мы получаем
деформацию этого отображения. Непосредственно видно, что а(ху 0)=е,
л (л:, п)^А"п_х. Таким образом, а(х9 л) = а(х) есть некоторое
непрерывное отображение сферы 22" в Л^_х, которое гомотопно 0
в Ап.
Остается показать, что при л = 2 отображение а(х) сферы 2
в 3-мерную сферу А"х существенно.

13. О ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЕ ГРУПП ЛИ 213
Положим a(x) = (a/k(x))t /, fe = 0, 1, 2; тогда
flooO*)^— Ь а/о(*) = яоА(л;) = 0, /, k=l, 2,
а.к(х)= (cos-fa—/sin-Joe) 8/ft —2cosya-бД, /, ft=l, 2.
Введем в А1 координаты, хи х2, х3, л;4, полагая
так что многообразие Л^, гомеоморфное 3-мерной сфере, будет
задаваться уравнением л^ + л^Н-л;1 + л^=1, а наше отображение
#(х) будет задаваться формулами
x1 = sin^, л:2 = (1—гб^соэ^, X3 + ix4 = 2SA-c°s^. (8)
Условия л^ > 0, хх < 0, л^ = 0 выделяют на сфере Л£,
соответственно, северную полусферу, южную полусферу и
экваториальную сферу S2; аналогично на 24 условия a > 0, а < 0, а = 0
выделяют северную и южную полусферу и экваториальную
сферу S3. Из (8) видно: когда х пробегает на 24 полумеридиан от
северного полюса до южного полюса, то а(х) пробегает на А\
полумеридиан от северного полюса до южного полюса, и когда х
находится на 23, а(х) находится на S2.
Ввиду этих свойств отображения а и ввиду известных общих
теорем об отображениях сфер 6) для доказательства существенности
отображения а сферы 24 в А\ достаточно показать, что
определяемое отображением а отображение сферы 23 в S2 имеет нечетное
число Хопфа7) С.
^Однако это отображение определяемого уравнениями <х = 0,
^А+ 6262= 1 экватора 23 сферы 24 на определяемый уравнениями
xi = 0, х\ + А + А — 1 экватор S2 сферы А\ определяется, ввиду (8),
формулами
х2 = 1 — 26Д, х3 + ixt = 26Д; (9)
однако отображение, задаваемое формулами (9), известно, и легко
видеть8), что С —±1.
Этим доказано: отображение а сферы 24 на многообразие А{
существенно на А"1У но гомотопно 0 в Л2.
§ 3. Выше доказано, что многообразие Л2 не гомеоморфно
топологическому произведению S3xSb, хотя оба многообразия имеют
тривиальные фундаментальные группы и изоморфные группы
гомологии и даже изоморфные кольца пересечений. Доказательство
основывается на том, что четвертая гомотопическая группа А2
6) Freudenthal см. 5), теорема III.
7) Н. Hopf, Math. Annalen 104 (1931), 637—665.
8) Hopf, см. 7), § 5.

13 О ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЕ ГРУПП ЛИ
214
тривиальна, а четвертая гомотопическая группа S3xSb нетри-
виальна (и имеет порядок 2). Для доказательства нам не
потребовалось вводить новые топологические инварианты; однако
геометрические соображения, на которых было основано доказательство
естественно приводят к новому топологическому инварианту.
Элементы r-й гомотопической группы Hr (Q) связного полиэдра
Q—это классы отображений сферы Sr в полиэдр Q, причем рас-
сматриваются только такие отображения, при которых некоторый
зафиксированный на сфере Sr «полюс» р переходит в отмеченную
на Q «нулевую точку» о; определение сложения в Hr(Q) может
считаться известным9).
Наряду с группой Hr(Q) мы рассматриваем группу Hr+k(Sr);
мы считаем, что полюс, отмеченный на Sr для определения Hr(Q)9
совпадает с нулевой точкой, отмеченной на Sr для определения
Hr+k(Sr). Теперь если х есть элемент группы #r(Q), ay есть
элемент группы Hr+k(Sr), то отображение fg сферы Sr+k в Q, для
которого f£x и g£y> принадлежит некоторому классу
отображений сферы Sr+k в Q; этот класс представляет собой некоторый
элемент ху группы Hr+k(Q).
Структура таким образом определенного умножения групп
Hr+k(Sr) и Hr(Q), для которого выполняется закон х(у±у') =
= ху±ху', является инвариантом полиэдра Q, и нет никаких
оснований предполагать, что этот инвариант сводится к
известным инвариантам.
(Поступило 4 апреля 1941 г.)
0) Hurewicz, см. 4); Freudenthal, см. 6), §§ 1, 2.

14
один метод вычисления групп гомологии *)
В настоящей работе я обобщаю метод вычисления гомологи ,
ческих групп многообразий, который был уже использован мнок>
при исследовании групповых многообразий*). Сущность этого метода
заключается в следующем.
Пусть М—ориентируемое дифференцируемое компактное
многообразие, в котором задана невырожденная риманова метрика.
Пусть, далее, f—действительная числовая дифференцируемая
функция, определенная на М и обладающая тем свойством, что она
достигает своего максимума на ориентируемом подмногообразии Р
многообразия М и достигает своего минимума на
подмногообразии Q многообразия М и что ее полный дифференциал нигде не
обращается в нуль, кроме точек подмногообразий Р и Q. При
выполнении этих условий через каждую точку х из М, не
принадлежащую Р и Q, проходит одна определенная траектория,
ортогональная поверхностям уровня функции f. Используя хорошо
известную конструкцию Морса2), мы можем подвергнуть
произвольное компактное множество FaM, не пересекающее Р,
непрерывной деформации вдоль указанных траекторий таким образом,
что в результате этой деформации множество F будет
преобразовано в заранее заданную окрестность многообразия Q. Используя
эти замечания и некоторые соображения из теории гомологии
и пересечений, мы можем, до известной степени, свести изучение
топологических свойств многообразия М к изучению
топологических свойств многообразий Р и Q (теоремы 1 и 2). В случае,
когда нам приходится рассматривать топологические свойства
целого ряда многообразий, мы можем, используя описанный
переход от Р и Q к М, провести полную математическую индукцию
по всему ряду многообразий (см. теорему 3). Когда все
многообразия рассматриваемого ряда имеют четную размерность,
вычисление гомологических групп особенно просто (см.
теорему 4).
*) A method of calculation of homology groups // Мат. сб., Новая сер.—
1942.—Т. II, вып. 1/2.—С. 3—14.—Перевод Д. Б. Фукса.
*) L. Pontrjagin, Homologies in compact Lie groups, Recueil math., new
series, 8 (48): 3 (1939).
2) Morse, Relations between the critical points of a real functions of n
^dependent, Trans. Amer. Math. Soc, 27 (1925).

216 и. один метод вычисления групп гомологии
§ 1. Общий метод
Настоящий параграф содержит основные результаты работы.
Чтобы избежать недоразумений в отношении терминологии, мы
начнем с напоминания основных понятий теории гомологии.
Пусть а0, аи ..., аг—система из г+1 точек в некотором
евклидовом пространстве, не лежащих ни в каком линейном
пространстве, размерности меньшей, чем г. Минимальное выпуклое
тело 7\ содержащее точки а0, а19 .. ., ап называется полиэдра ль*
ным r-мерным симплексом. Агрегат, состоящий из симплекса Т
и его непрерывного отображения / в некоторое многообразие М9
называется r-мерным симплексом многообразия М, Е = (Т, /).. Если
симплекс Г ориентирован, то симплекс Е также называется
ориентированным. Симплексы Е = (ТУ /) и Е' = (Т', /') многообразия М.
называются совпадающими, если существует такое.невырожденное
аффинное преобразование симцлексов Т и 7" друг на друга,, что.
функции f к /' совпадают. Если симплексы Е и Е'
ориентированы, то они считаются совпадающими, если указанное аффинное
преобразование сохраняет ориентацию. Линейная форма вида
С = с1Е1 + с2Е2+ ... +спЕп, где clf с2У ..., сп—целые числа,
а Еи Ev ..., Еп—ориентированные г-мерные симплексы из Mf
называется, r-мерным алгебраическим комплексом из М. Додгра-.
ницей ориентированного r-мерного симплекса Е понимается сумма
его (г—1)-мерных ориентированных граней, которые отображаются
в М посредством /. Таким образом, всякому ориентированному
r-мерному симплексу из М назначит, ввиду аддитивности, всякому
алгебраическому r-мерному комплексу С из М поставлен .в .соотт
ветствие (г—1)-мерный алгебраический комплекс С, называемый
границей исходного комплекса. Алгебраический комплекс ъз-М
называется циклом, если его граница равняется нулю. Как известно*
граница всякого алгебраического комплекса из М есть цикл-
Цикл Z,. который является границей некоторого комплекса,
называется гомологичным нулю; запись: Z~Q. Два цикла X и Y>
разность которых гомологична нулю, называются гомологичными
друг другу; запись: X ~ Y. Цикл W называется слабо
гомологичным нулю, если существует положительное целое число q> такое,
что qW ~ 0; в этом случае мы пишем: W » 0. Циклы U и V
называются слабо гомологичными друг другу, если их разность слабо
гомологична нулю; запись: U » V.
Если многообразие М подразделено на симплексы,
составляющие комплекс К у то симплексы комплекса К могут рассматриваться
как аффинные невырожденные образы полиэдральных симплексов
и являются,, таким образом, симплексами из М. Мы назовем
алгебраические комплексы многообразия М, составленные из таких
симплексов, полиэдральными алгебраическими комплексами из К-
Пусть С есть r-мерный алгебраический комплекс из М. Тогда
существуют такой r-мерный полиэдральный комплекс С* из К

14. ОДИН МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ГРУПП ГОМОЛОГИИ 217
такой r-мерный комплекс С, из М, что комплекс С*
расположи в окрестности комплекса С и комплекс С* расположен в
естности комплекса С и, более того, граница комплекса С*
ппиа С—С* й цикл С—С*—С* гомологичен нулю в окрест-
ности комплекса С. Степень близости, которая может быть здесь
постигнута, зависит от степени малости симплексов комплекса К.
Говорят, что комплекс С* полиэдрально аппроксимирует комплекс С.
Пусть К'—барицентрическое подразделение комплекса/С.
Всякая барицентрическая звезда комплекса К есть полиэдральный
алгебраический комплекс из /С'. Мы назовем линейную форму
вида с1В1 + с2В2+ ... + спВп, где clf с2, ..., сп—целые числа,
a Blf В2У . • •, Вп—барицентрические r-мерные звезды комплекса /С,
r-мерным звездным комплексом из К.
Если С есть r-мерный полиэдральный комплекс из К', то
существуют такой r-мерный звездный комплекс С* иа К и такой г-
мерный полиэдральный комплекс С* из К', что комплекс С*
расположен в окрестности комплекса С и комплекс С* расположен
в окрестности комплекса С* и, более того, граница комплекса С*
равна С—С* и цикл С—С*—С* ограничивает полиэдральный
комплекс из /С', расположенный в окрестности комплекса С.
Степень близости, которая может быть здесь достигнута, зависит от
степени малости симплексов комплекса К. Говорят, что комплекс С*
звездно аппроксимирует комплекс С.
Если С есть комплекс из М, то, аппроксимируя его сначала
полиэдральным комплексом из К' и затем звездным комплексом
из К, мы получим звездную аппроксимацию для произвольного
.комплекса С из многообразия М посредством звездных
комплексов из К.
Лемма 1. Пусть М—ориентируемое компактное
многообразие и N—его ориентируемое замкнутое подмногообразие', лежащее
в нем без самопересечений. Предположим, что существует такое
'разбиение многообразия М на симплексы, образующее комплекс К,
что подмногообразие N представляет собой подкомплекс L
комплекса /С. Пусть, далее, X есть некоторый r-мерный алгебраический
комплекс из М, граница которого не пересекается с N и симплексы
которого достаточно малы. Если, алгебраическое пересечение1)
комплекса X с многообразием N гомологично нулю в N, то
в.произвольно заданной окрестности U многообразия № существует
такой (г+\)-мерный комплекс Y из М, что комплекс X—Y уже
не- пересекается с N. ■ -> . * * •*•
Доказательство. Пусть V—* такая окрестность
многообразия N, что ее замыкание лежит в U. Обозначим через С
алгебраический комплекс, образованный всеми симплексами
комплекса X, лежащими в V. Если симплексы комплекса X доста-
1) Си; S: Lef&h6tz, Topology.

2jg и. ОДИН МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ГРУПП ГОМОЛОГИИ
точно малы, то комплекс X—С уже не пересекается с N. Обозначив
через С* звездную аппроксимацию комплекса С. Если симплексы
комплекса К достаточно малы, то комплекс С* с границей С—С*
лежащий в окрестности комплекса С, не пересекается с N и ком-*
плекс D с границей С—С*—Ст лежит в U. Комплекс X' = X-—t>
представим в виде Х' = Х—t)—С* + С*. Легко видеть, что
комплекс X—D—С* не пересекается с N. Обозначим через Х2
звездный комплекс, образованный всеми звездами комплекса С*,
пересекающимися с N\ тогда X' = Хг + Х2, Хг не пересекается с Л/, и
Х2 состоит из звезд, пересекающихся с N.
Положим Х2 = dxBx 4- d2B2 + ... +d,t£,4, где d19 d2, ..., de —
целые числа и Ви В2, ..., Вп—барицентрические звезды
комплекса К, которые пересекаются с L. Обозначим через Tj симплекс
из К, двойственный звезде Bj, т. е. такой, что индекс
пересечения Т7 с Bj в М равен +1. Так как Ву пересекается с L, то
симплекс Т; должен принадлежать L. Обозначим через Bj
барицентрическую звезду комплекса L, двойственную симплексу Th
т. е. такую, что индекс пересечения Tj с Bj в N равен +1. Цикл
X = djBi -f 4A + ... 4- dnBn гомологичен в N алгебраическому
пересечению Х_с N и, следовательно, гомологичен нулю в N. Пусть
Y^=c1A1 + с2А2 + ... +cmAm—звездный комплекс из L, граница
которого равна X. Обозначим через S{ симплекс из L,
двойственный звезде А{ в L, и через А{—барицентрическую звезду
комплекса /С, двойственную симплексу S/# Положим Y' = с1А1 +
+с2А2 + ... +смАт. Легко видеть, что комплекс, составленный из
всех звезд, входящих в границу V комплекса V и пересекающихся
с L, совпадаете Х2. Таким образом, комплекс X'—Y'—X^X^—Y'
не пересекается с N. Переходя от комплекса X' к комплексу X,
мы получаем, что X—t)—Y' = X'—Y'=X—Y не пересекается
с N, в то время как комплекс Y — D + Y' целиком содержится
в U. Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть М—компактное ориентируемое
дифференцируемое многообразие, в которое можно ввести положительную^
нигде не вырождающуюся риманову метрику, и
f(x)—действительная числовая дифференцируемая функция, определенная на Mf
х£М. Предположим, что функция f достигает своего максимума на
дифференцируемом ориентируемом подмногообразии Р
многообразия М и достигает своего минимума на дифференцируемом
ориентируемом подмногообразии Q многообразия М. Предположим, далее,
что полный дифференциал функции f обращается в нуль только на
многообразиях Р и Q. Более того, мы предположим, что М
допускает такую триангуляцию, что Р и Q состоят из ее
симплексов. Если X есть алгебраический комплекс из М, граница
которого лежит в Q и алгебраическое пересечение которого с Р

14. ОДИН МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ГРУПП ГОМОЛОГИИ 219
алогично нулю в Р, то существует такой комплекс X1\ лежа-
г°Мй в Q, чт0 X—X' есть цикл, гомологичный нулю в М.
^Доказательство. Мы будем предполагать, что положи-
ельная, нигде не вырождающаяся риманова метрика уже введена
в М- Обозначим через W окрестность многообразия Q в
многообразии М, столь малую, что через каждую точку x£W—Q
проходит одна и только одна геодезическая, нормальная к
многообразию Q. Пусть теперь точка х равномерно движется вдоль
геодезической от положения х к основанию нормали на Q с такой
скоростью, что весь путь проходится ею в единицу времени. Таким
образом, мы определим непрерывную деформацию окрестности W
в Q, при которой всякая точка, принадлежащая Q, остается
неподвижной.
Пусть d—минимум функции f. Обозначим через г
положительное число, столь малое, что из f(x)<d + e следует, что x£W.
В силу леммы 1 существует комплекс Y, расположенный в
М—Q и такой, что X—Y = Xt уже не пересекает Р. Пусть с —
максимум функции f. Обозначим через б положительное число,
столь малое, что из f(x)>c—6 следует, что х не принадлежит
Хг. В силу известной конструкции Морса3) существует
непрерывная деформация \р множества всех х, для которых f(x) <!с—б,
в множество всех х, для которых f(x)^d + e, т. е. в W, такая,
что все точки из Q остаются при этой деформации неподвижными.
Деформация ф преобразует комплекс Хг в комплекс Х2,
расположенный в W. Применяя к комплексу Х2 деформацию <р, мы
получаем комплекс X9, удовлетворяющий условиям леммы 2.
Лемма 2, таким образом, доказана.
Лемма 3. Пусть М, Р и Q—многообразия, определенные
в лемме 2. Тогда для любого цикла Z из Р существует комплекс
U из М с границей, принадлежащей Q, такой, что алгебраическое
пересечение многообразия Р с U гомологично в Р циклу Z. Если
•
это условие выполнено, то, более того, класс гомологии цикла U
в Q однозначно определяется классом гомологии цикла Z в
многообразии Р.
Доказательство. Мы предположим, что в многообразии
М реализована триангуляция, упомянутая в условиях леммы 2,
и обозначим комплексы, полученные из многообразий М, Р, Q,
снова через М, Р, Q.
_ Не ограничивая общности, мы можем предположить, что цикл
Z является алгебраическим звездным комплексом из комплекса Pf
т- ^ Z == cxBi + с2В2 + ... + спВп, где сг, с2, ..., сп—целые числа
и В1у В2, ..., Вп—барицентрические звезды комплекса Р. Пусть
Tj—симплекс из комплекса Р9 двойственный в Р звезде Bj, и
*) См. сноску?).

220
14. ОДИН МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ГРУПП ГОМОЛОГИИ
Bj—барицентрическая звезда комплекса М, двойственная
симплексу Ту в комплексе М. Положим Z = с1В1 + с2В2 -f ... 4- спВ •
тогда алгебраическое пересечение многообразия Р с комплексом
Z равно Z и граница Z комплекса Z не пересекается с Р.
Посредством непрерывной деформации, описанной в лемме 2, цикл £
можно преобразовать в цикл Y, лежащий в Q, таким образов
что в процессе преобразования цикл Z не пересекается с Р. Та-
ким образом, цикл Y—Z ограничивает в М—Р некоторый ком*
плекс U'. Легко видеть, что комплекс U-=Z-\-U' удовлетворяет
условиям леммы 3.
Предположим теперь, что имеются два комплекса U и V,
удовлетворяющие условиям леммы 3; тогда их разность U—V
удовлетворяет условиям леммы 2 и, следовательно, существует ком-
плекс С из Q, граница которого равна U—V, т. е. U~V в Q.
Лемма 3, таким образом, доказана.
Теорема 1. Пусть М—компактное ориентируемое
дифференцируемое многообразие, допускающее невырождающуюся рима*
нову метрику, и f—заданная на М действительная числовая диф»1
ференцируемая функция. Допустим, что f достигает своего
максимума на дифференцируемом ориентируемом подмногообразии Р
многообразия М и достигает своего минимума на дифференци^
руемом ориентируемом подмногообразии Q многообразия: М, и чтб
полный дифференциал функции f обращается в нуль только на
многообразиях Р и Q; сверх того, предположим, что М допускаем
триангуляцию, при которой многообразия Р и Q составлены из
ее симплексов. Размерности многообразий М, Р, Q обозначим,
соответственно, через т, р, q. Группы Бетти размерности г
многообразий М, Р, Q обозначим, соответственно, через Mr, Pr, Qr^
Положим s = m—р — 1, t = m—/?. Гомоморфизм хрг группы Рг
в группу Qr+S определим следующим образом: пусть х£Рг и X—;
некоторый цикл из х. В силу леммы 3 существует, комплекс U из
М с границей в Q такой, что алгебраическое пересечение
многообразия Р с U гомологично в Р циклу X; если y£Qr~s и £/
принадлежит у, то положим <рг(х) = у. Ядро гомоморфизма срг
обозначим через Р[ и положим
рг = рг/рги Qr+s = фг (pr)^ Qr+s = Qr+s/Qr^s
Естественное гомоморфное отображение группы Qr в группу Мг,
возникающее в силу того, что QaM, обозначим через г|/.
Оказывается^ что ядро гомоморфизма г|)г равно Q[. Положим
*|/(Qr) = Ml, Mr2 = Mr/M[. •., :
Тогда группы Mr2+t и Р[ изоморфны.
Таким образом, зная гомоморфизмы фг (г==0, 1, ..., /?)»
мы знаем подгруппу М[ и факторгруппу Мг~Мг/М[ груп-

14. ОДИН МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ГРУПП ГОМОЛОГИИ 221
ш цгпо, по меньшей мере, дает возможность вычислить ранг
г^Показательство. Покажем, что ядро Q*r гомоморфизма
$г равно
v <Й = ФГ"* (Pr~s)-
В силу самого определения гомоморфизма фг"5 очевидно, что
wr-s(pr-s)c:Q*r. Пусть теперь y€Q*r и К—некоторый цикл из у\
тогда Y~0 в М, и, следовательно, существует комплекс U из М
с границей F, U = Y. Алгебраическое пересечение многообразия Р
с комплексом £/ мы обозначим через X, а тот элемент из Pr~sf
к которому принадлежит X,—через х. В силу определения ф7""*
мы имеем <pr~s(x) = y. Таким образом, <pr~s(Pr-s)zzQ?r~'s9 и,
следовательно,
0*г = ф|,"5(Рг"5).
Покажем теперь, что группа М£ = МГ/М[ изоморфна группе Р£"Л
С этой целью введем гомоморфизм %г группы тг в группу Рг~*;
мы покажем, что ядро гомоморфизма £г совпадает с М[ и что
Гомоморфизм £г мы определим следующим образом: пусть и £ Мг
и пусть U—некоторый цикл из и\ обозначим через X
алгебраическое пересечение многообразия Р с циклом U и через х—тот
элемент группы Рг~г, который содержит цикл X. Тогда Ъг(и) = х.
Если х получено этим способом, т. е. х = %г(и), то в силу
определения гомоморфизма (pr~f ясно, что фг-'(л;) = 0, поскольку
U = 0 и UaQ. Таким образом, ^(М^аР^К Если, наоборот»
х$Р[-*, то существует комплекс U такой, что алгебраическое
пересечение Р с (/, которое равно Ху входит в х и UaQ, U~0
в Q. В этом случае существует комплекс С из Q такой, что U—C—U'
есть цикл, и следовательно, элемент и'£Мгу содержащий U\
обладает тем свойством, что 1Г (и') = х. Таким образом,
lr(Mr)=Pi-*.
Чтобы доказать тот факт, что ядро М*г гомоморфизма V
совпадает с MJ, мы прежде всего замечаем, что М[ состоит из тех
классов гомологии в Л1, которые включают в себя циклы,
лежащие в Q. Если теперь и £ Мги то существует цикл U из а,
лежащий в Q, и тогда алгебраическое пересечение Р с U, очевидно,
равно нулю, и, следовательно, |г(ы) = 0. Таким образом, M[czM*r.
Пусть теперь и£М*г и U^u\ это означает, что алгебраическое
пересечение Р с U гомологично нулю в Р. Тогда, в силу леммы 2,
существует такой комплекс С из Q, что U—С есть цикл,
гомологичный нулю в М. Таким образом, С принадлежит классу и
и лежит в Q, и, следовательно, и £ М[. Следовательно, мы имеем
Щ^М*Г и, окончательно, получаем M*r = M£. Теорема 1 доказана.

222 н. один метод вычисления групп гомологии
Сущность теоремы 1 состоит в том, что она позволяет нам
в известной степени, вычислять группы Бетти многообразия Д|'
если мы знаем группы Бетти многообразий Р и Q и гомоморфизм
<рг. На основании этих данных мы можем, конечно, найти только
подгруппу М{ и факторгруппу М^М'/М^ группы Мг, чего, как
известно, не достаточно для определения самой группы Мг (см. § 2).
Чтобы вычислить группу Мг в общем случае требуются нек<уго*
рые дополнительные рассуждения, которые я не буду проводить
здесь. Однако результаты теоремы 1 в любом случае позволяют
нам найти числа Бетти многообразия М (см. теорему 2).
В доказательстве теоремы 2 мы пользуемся следующим пред.
ложением.
Пусть G — некоторая коммутативная группа, Н—ее подгруппа
и K = G/H—факторгруппа; тогда ранги этих групп связаны
следующим соотношением:
R(G) = R(H) + R(K).^
Теорема 2. Пусть М, Р, Q—многообразия теоремы 1. Если
мы будем обозначать ранги групп, введенных в теореме 1,
соответствующими маленькими буквами, то будем иметь
Доказательство. В силу теоремы 1 и предыдущих
замечаний о ранге групп мы имеем pr = prl + p£, qr~q[ + q2, тг = т\-\-
4-mr%, pr2 = q{+s, qr2 — m[, mj = pj-'. Из этих равенств немедленно
следует утверждение теоремы 2.
Наилучшие применения теорем 1 и 2 получаются в случае,
когда рассматривается целый ряд многообразий, удовлетворяющих
определенным условиям (см. теорему 3).
Теорема 3. Пусть Q—некоторый ряд ориентируемых
дифференцируемых многообразий, каждое из которых допускает не-
вырождающуюся риманову метрику. Относительно ряда й пред*
положим, что в нем имеется многообразие Мй, топологическая
структура которого известна, а на каждом другом многообразии
МфМ0 из Q задана непостоянная функция /, удовлетворяющая
условиям теоремы 1, такая, что выделяемые ею подмногообразия
Р и Q принадлежат ряду Q. В этих предположениях
топологические свойства многообразий ряда Q можно изучать индуктивно
на основании теорем 1 а 2.
Доказательство. Пусть М—произвольное многообразие
из ряда Q. Обозначим через М(1) и УИ(2) многообразия Р и Q,
определяемые в М соответствующей функцией /. Предположим
теперь, что многообразия M(iu i2, ..., ik) (1г=* 1, 2, ta= 1, 2, ...,
|£=1, 2) уже определены, и обозначим через M(i19 i2, ..., ik, 1)
и М (il9 i2, ..., ik, 2) многообразия, определяемые в М (llf i2, ..., **)
соответствующей функцией /. Если размерность многообразия М
равна т, то размерность многообразия M(il9 i2f ..., ik)t очевидно,

14. ОДИН МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ГРУПП ГОМОЛОГИИ 223
превосходит т—k и, значит, ft < т. В то же самое время
Н6исанный индуктивный процесс может прерваться, только если
°ы[ придем к многообразию Л10, так как на всяком другом много-
!!боазии из й определена функция f. Из сказанного немедленно
^ Если какое-нибудь утверждение справедливо для многообразия
и и если, в предположении, что оно верно для Р uQ, оно может
быть доказано для М, то это утверждение верно также для всех
многообразий из ряда Q.
Возможность перехода от многообразий Р и Q к
многообразию М обеспечивается теоремами 1 и 2.
§ 2. Ряды многообразий четной размерности
Комплексно аналитические многообразия имеют четную
размерность. В случае, когда удается из некоторого типа таких
многообразий выделить ряд, удовлетворяющий условиям теоремы 3,
этот ряд допускает простое и полное изучение на основании
теорем 1 и 3. Получающийся на этом пути общий результат
содержится в теореме 4. Теорема 4 имеет бесчисленные
применения. В настоящей работе я приведу только один конкретный
пример.
Чтобы сформулировать теорему 4, напомним, что полином
Пуанкаре т(х) многообразия М определяется как полином те+
+т1х + т2х2+...+ттхт, где т( есть f-мерное число Бетти
многообразия М.
Теорема 4. Пусть Q—ряд многообразий четной размерно-
ста, удовлетворяющих условиям теоремы 3, и пусть М0 состоит
из единственной точки. Тогда для всякого многообразия М из й
все группы Бетти нечетной размерности тривиальны, а группы
Бетти четной размерности не имеют кручения и, таким образом,
определяются числами Бетти. Если теперь Р и Q—многообразия,
определяемые в М соответствующей функцией f, и т(х), р(х),
Я(х)—полиномы Пуанкаре многообразий М, Р, Q, то
т (х)« xm~r p(x) + q (x) = p(x) + xm~^q (x).
Таким образом, для того чтобы вычислить группы Бетти
многообразий из ряда Q, достаточно знать только размерности
многообразий и соответствие, относящее всякому многообразию М
его подмногообразия Р и Q.
Доказательство. Утверждение теоремы 4 очевидно для
многообразия М0; таким образом, в силу теоремы 3, достаточно
Доказать его для многообразия М в предположении, что оно верно
Для многообразий Р и Q.
В доказательстве мы будем пользоваться обозначениями теорем
1 и 2. Так как числа т, р, q четны, число s = m—р—1 нечетно.
Если теперь г четно, то гомоморфизм <рг отображает группу Бетти

224
14 ОДИН МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ГРУПП ГОМОЛОГИЯ
рг четной размерности в группу Бетти Qr+S нечетной размерности-
эта последняя по предположению тривиальна, и, значит, ядро рг
гомоморфизма фг совпадает с Рг. Таким образом, P[ = Prt В слу-
чае нечетного г группа Рг тривиальна, и значит, мы снова имеем
Р[ = РГ. Так как группа Q[+s изоморфна группе РЧРГ1У а эта по-
следняя группа тривиальна, то Qi+s={0}. Из этого следует, что '
Q£ = Qr. Далее, группа М[ изоморфна Qr2 — Qr и, следовательно
М[ не имеет кручения. С другой стороны, группа М£ изоморфна
<2i-/ — Qr~fy и эта последняя не имеет кручения. Следовательно
группа Мг обладает подгруппой М[ и факторгруппой М{ — Mr/M[t {
которые обе не имеют кручения; из этого немедленно следует, что
группа Мг тоже не имеет кручения и изоморфна прямой сумме
групп Рг~г и Qr. Если г нечетно, то оба слагаемых по предпо- |
ложениютривиальны, и, следовательно, сама группа Мг тривиальна, ш
Из того, что было установлено для чисел Бетти, следует, что I
тг = /?г~' + дг. Умножая полученное равенство на хг и суммируя *
по г (г = 0, 1, ..., /п), мы получаем т(х) — хт~Рр(x) + q(x). Так
как наши предположения совершенно симметричны по отношению
к многообразиям Р и Q, мы имеем также т(х) = р(х) + xm~9q(x).
Таким образом теорема 4 доказана.
В качестве примера применения теоремы 4 мы рассмотрим
следующие многообразия.
Пусть Кп—комплексное проективное пространство комплексной
размерности п и
Б-(/о./i. -..У (1) .
— последовательность линейных подпространств размерности,
соответственно, 0,- 1, ...,&, в которой каждое подпространство
содержит предыдущее. Множество всех таких последовательностей,
рассматриваемое с естественной топологией, образует
многообразие, которое мы обозначим через Щ. Обозначим многочлен 1 +
+ х2 + х* + ... + x2i через а{ (х). Тогда полином Пуанкаре много- \
образия Щ имеет вид , • • ;
an.k(x)an_k+1{x) ... ап(х). (2)
Мы вычислим многочлен (2) при помощи теоремы 4. Чтобы !
построить ряд Q, удовлетворяющий условиям теоремы 3, мы
расширим класс рассматриваемых многообразий.
Пусть Ка есть а-мерное линейное подпространство
пространства Кп. Множество всех элементов Ъ£Н%, удовлетворяющих
условию /0€^а, мы обозначим через H%t a. Легко проверить, что
Щ. а есть ориентируемое дифференцируемое многообразие,
допускающее невырожденную риманову метрику. Размерность
многообразия #£, а равна, как нетрудно сосчитать,
2nk + k(k+l) + 2a. (3) ;
Таким образом, это—четное число.
ч
\
i

14 ОДИН МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ГРУПП ГОМОЛОГИИ 225
•Заметим, «. ^^ ^
что Н%,о гомеоморфно HSlln-i- Мы будем писать просто
Щ, о = Щ-1, п-1. (5)
Зто равенство доказывается так. Если 10£К°, то /0 есть
фиксированная точка. Пусть Кп~г—некоторое линейное (п—1)-мерное
подпространство пространства Кп, не проходящее через /0; тогда
последовательность £ = (/0, 1и •••» h) определяет на Кп~г
последовательность £' = (/i, l'u ..., l'k-i)> и это устанавливает
гомеоморфизм между Я*, о и Я&г},л-1.
Чтобы ввести на Я£, а (а > 0) функцию /(?), введем на Ка
линейные комплексные координаты z0, zlt ..., za и предположим,
что они нормированы условием z0z0 + z1z1 + ... + гага = 1. Тогда
координаты точки будут определяться не с точностью до
произвольного множителя, как это обычно бывает в проективном
пространстве, а с точностью до множителя, модуль которого равен
единице. Таким образом, число z0z0 однозначно определяется
точкой и выбранной системой координат. Если теперь z0, г19 ..., za —
координаты точки /0 (см. (1)), то /(?) будет определяться
равенством f(l) = z0z0. Легко проверить, что определенная таким
образом функция /(£) дифференцируема и что она достигает своего
максимума при z0=l, z1 = 0, ..., za = 0 и своего минимума при
z0 = 0. Тот факт, что полный дифференциал функции f(Q
обращается в нуль только при сформулированных условиях, может
быть легко проверен.
Если мы обозначим через М многообразие Щ, а, то
непосредственно видно, что
Р = HI 0 = НЦ1 „-!, Q = HI л_г. (6)
На многообразии Н%, 0 мы определяем функцию / (?),
интерпретируя это многообразие как Hfi\, „_х (ср. (5)). Этот переход
невозможен только в случае, когда fe = 0, но очевидно, что все
многообразия Щ, о гомеоморфны друг другу и содержат только одну
точку; таким образом, они играют здесь роль М0.
Таким образом, для ряда многообразий £} = {Я£ а} выполнены
все условия теоремы 4. Все, что нам нужно знать для
применения теоремы 4, — это соотношения (3) и (6).
Обозначим полином Пуанкаре многообразия Щ,а через
ftj(a(x). В силу теоремы 4 мы имеем:
hi a (х) = ЛИ. „__! (х) + jfihl^ (х). (7)
Многократно применяя эту формулу, получаем
hla(x) = hnkzla^(x)aa(x). (8)
8 Л. С. Понтрягин, т. I

14. ОДИН МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ГРУПП ГОМОЛОГИИ
Обозначая полином Пуанкаре многообразия Щ через Л?(х) и
лагая а=и, получаем
hi(x) = bk-l(x)aa(x).
При & = 0 соотношение (7) принимает вид
К а (х) = hi, о (х) + x2hl a_, (х).
Последовательно применяя это равенство, мы получаем
hn0(x) = an(x).
Сравнивая (9) с (11), мы получаем (2).
(Поступило в редакцию 4/1II 1941 г).

15
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ*)
В своих работах [1], [2] Whitney Евел понятие расслоенного
пространства (Fibre-bundle) и исследовал его, главным образом
в случае, когда слоями являются сферы. Моя работа (3) трактует
по существу тот же объект, но для частного случая касательных
к ориентируемому многообразию. Мои методы сильнее методов
Whitney в том смысле, что мною построено больше
характеристических циклов, чем это сделано Wrhitney. В настоящей заметке
я показываю, что данные мною методы применимы не только
к частному случаю касательных, но и к общему случаю.
Следующие ниже определения 1 и 2 принадлежат Whitney,
я сопровождаю их некоторыми дополнительными замечаниями.
Определение 1. Пусть А—топологическое пространство
с заданной в нем топологической группой гомеоморфизмов Г, В —
комплекс, составленный из симплексов 7\, 7^, ..., и
Р—топологическое пространство. Мы будем говорить, что Р есть
расслоенное пространство или косое произведение А на В, P = P(Af В),
если выполнены следующие условия:
1) Каждой точке у£В соответствует некоторое подмножество
АуаРу причем различным точкам у и z из В соответствуют
непересекающиеся подмножества Ац и Аг.
2) Каждому симплексу Та поставлено в соответствие
некоторое гомеоморфное отображение £а топологического произведения
А-Та9 т. е. определена функция Еа(х, у) — 1ау(х)9 х$Ау у£Та,
причем 1ау есть гомеоморфное отображение пространства А на А .
3) Если уеТа(]Т$, то 1а^ = Ла&/€Г, и r\afiy дает
непрерывное отображение Та(]Т$ в группу Г.
Очевидно, что если у £ Та Г) Т$ Г) Ту, то
'Ца^уЩуу — Цауу (1)
Предположим, что все симплексы 7\, Г2, ... ориентированы,
и обозначим через еар тот коэффициент, с которым симплекс Т$
входит в границу симплекса Та. Если еар^=0, то положим
т1аэ^ = £аэУ. Пусть еа(5 Ф 0, eaY=^0, ерб=^0, ev6=^=0; тогда из (1)
Для ygT6 следует:
Ья$у±&6у == ЬаууЪубу (2)
*) Докл. АН СССР. —1945. —Т. XLVII, № 4.-С. 246—249.
8*

228
15. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ
Если положить &гТа = ^еав1аоуТв, то соотношение (2) запи*
сывается в форме:
АгАгТа = 0.
Легко проверяется, что по заданным £aPl/, удовлетворяющим
соотношениям (2), однозначно определяются г)а(^, удовлетворяющие
соотношениям (1). Легко доказывается следующее предложение
существования:
A. Пусть Л—топологическое пространство с заданной в нем
топологической группой гомеоморфизмов Г, В—комплекс,
составленный из симплексов 7\, Г2, ..., причем ДТ^ = 2 8ав7"в > и
£а&/£Г, у€Гэ система непрерывных функций, определенная для
тех a, P, для которых е^^О, удовлетворяющих соотношениям (2).
Существует тогда косое произведение Р(А, В), для которого
Определение 2. Пусть Я(Л, В) и Р' = Р(А, В)—два
косых произведения с одинаковой группой Г. Гомеоморфное
отображение / пространства Р' на пространство Р будем называть
изоморфным отображением косого произведения Р' (Л, В) на косое
произведение Я (Л, В), если f(Ay) = Ay, и при у£Та имеем
Из последнего непосредственно вытекает: для у£Т$
Легко доказывается следующее предложение.
B. Два косых произведения Р(Л, В) и Р'(Л, В) с
определяющими функциями Ъфу и t^ тогда и только тогда изоморфны,
когда существуют непрерывные функции т^^Г, у£Тау
удовлетворяющие условиям (3).
Whitney отметил, что если Р(Л, В) есть косое произведение,
а /—непрерывное отображение некоторого комплекса С в В, то
возникает косое произведение Р(Л, С, /) Л на С с той же
группой Г, что и исходное произведение Р(Л, В), причем Я (Л, С, /)
определено однозначно с точностью до изоморфизма. Легко
доказывается, что если два отображения fug эквивалентны, то
произведения Р(Л, С, /) и Р(А, С, g) изоморфны. Оказывается,
однако, что из изоморфизма произведений Р (Л, С, /) и Р (Л, С, g)
часто следует эквивалентность отображений | и g. Это приводит
нас к следующему определению.
Определение 3. Косое произведение Я (Л, В) с группой Г
будем называть л-мерно универсальным для пространства Л
с группой Г, если выполнены следующие условия:
1) косое произведение Р(Л, С) с группой Г, где С имеет
размерность не выше л, всегда изоморфно Р(А, С, /), где / —
непрерывное отображение С в В;

15. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ
229
2) два косых произведения Р (Л, С, /) и Р (Л, С, g) изоморфны
огда и только тогда, когда отображения / и g комплекса С в В
9К Определение 4. Сохраняя обозначения определения 3,
предположим, что В есть fr-мерное ориентированное многообразие
и обозначим через г некоторый (Ь—г)-мерный цикл из В. Пусть
f_- непрерывное отображение С в В и Т—некоторый /--мерный
ориентированный симплекс из С. Индекс пересечения f(T) с z
обозначим через игг(Т). Легко доказывается, что игг есть г-мерный
г-цикл из С, класс гомологии которого однозначно определен
классом гомологии цикла г и классом отображения /. Таким
образом, в силу универсальности Р(А, В), v-цикл urz есть
инвариант косого произведения Р(Л, С, /). urz будем называть
характеристическим циклом косого произведения Р(Л, С, /).
Пусть Hi = H(k, I)—многообразие всех fe-мерных
ориентированных плоскостей (k + /)-мерного евклидова пространства Rk+lf
проходящих через начало координат в Rk+l. За Л примем
некоторое fe-мерное ориентированное евклидово пространство Rk, а за
группу Г—группу всех изометрических отображений Rh на себя,
сохраняющих начало координат и ориентацию в Rk. Косое
произведение Р (/?*, Нг) определим, приняв за точку пространства Р
пару {Ryy Я,), где Rky£Hv a х£/?*; тогда слоем Лу будет
служить множество всех пар (/?{, х) с фиксированным R*. Whitney
отметил, что P(Rk, Я2) удовлетворяет условию 1) определения 3
при 1 = п. В теореме 1 я даю другое доказательство этого
предложения, одновременно доказывая универсальность Р (/?*, Я2).
Теорема 1. Косое произведение P(Rk9 Я2) является (/—1)-
мерноуниверсальным для пространства Rk с группой вращения Г.
Доказательство. Докажем, что P(Rk, Я2) универсально
при достаточно большом /, снижение размерности не представляет
затруднений. Пусть С—комплекс, составленный из симплексов
7\, 7\2, ..., и Сг—подкомплекс комплекса С, составленный из
всех симплексов размерности не выше г. Пусть P(Rk,
С)—некоторое косое произведение с определяющими функциями £а^/€1\
У£Т$ (см. А). Будем строить непрерывное отображение /
комплекса С в Я такое, чтобы Р (Rk, С, /) было изоморфно Р (Rk, С),
f(y) = Ry£Hl. Одновременно будем строить изометрическое
отображение 1ау9 у£Та, пространства Rk на пространство R* так,
чтобы Тау1&у = £а&у Допустим, что / и 1ау построены для С%
f{y) = RkyciRk+l при у€Сг. Будем считать, что Rb+iaR*k+l и R*
есть ортогональное дополнение Rk+l в R2k+l. Пусть
Та—произвольный (г+ 1)-мерный симплекс из С с центром р. Положим
f(p) = Rk и произвольным образом определим изометрическое
отображение 1ар пространства Rk на Rk. Пусть Sa—граница
симплекса Га, тогда положение точки z£Ta в симплексе Та
можно определить парой (у, /), где y£Sa, а /—действительный

230
15. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ
параметр 0</<л/2, причем (у, 0) = /?, (у, л/2) = у, г = (у9 f)a
Пусть Т$ — произвольная r-мерная грань симплекса Та, тогда L
определено. Функцию |а2, z = (у, /)> у£Тр, определим, положив
Та* (X) = lap (*) COS (f) + ¥3* (&&, (*)) S\l\ (t)y X £ Rk. (4)
Функцию f определим, положив
f(z)=%z(Rkl (5)
Если у одновременно принадлежит к двум r-мерным граням
Т$ и TY симплекса Та, то, полагая ^ = 7^0 7^,, мы на
основании (2) убеждаемся в том, что соотношение (4) одинаково
определяет отображение На2 независимо от того, используем мы Т$
или Ту.
Пусть теперь / и g—два непрерывных отображения С в Я(
такие, что произведения Р (/?*, С, /) и Р (/?*, С, g) изоморфны;
это значит, что существует изометрическое отображение hv
плоскости f(y) на плоскость g (у), непрерывно зависящее от у£С.
Пусть ял+'с/?2*+2/, gk+i—ортогональное дополнение Rk+l
в R2li+*t и ф — некоторое изометрическое отображение Rk+l на
Rk+t. Тогда i|?g" есть некоторое отображение С в Hk+2l, изотопное g,
ибо ф можно осуществить непрерывным вращением Rk+l в R2k+21,
При x£f(y) положим:
%t (*) = Ф {hy (x)) cos (/) + х sin (/), qt (у) = yty (f (у)). (6)
Очевидно, что tyt(y) есть ^-мерная плоскость в #2*+2', и потому i|)t
есть отображение С л Hk+n. Мы имеем из (6) ф0 = ф£, 1|)я/2 = /,
а так как g и щ эквивалентны, то / и g эквивалентны в Hk+2l.
Итак, теорема 1 доказана.
Гомологии в многообразии Н (fe, /) достаточно изучены в моей
работе (3). Для изучения гомотопических свойств Н (6, /) полезна
Теорема 2. При п^Л— 1 л-мерная гомотопическая группа
многообразия Н (fe, I) изоморфна (п—1)-мерной гомотопической
группе многообразия Tky где Tk есть группа положительных
вращений k-мерного евклидова пространства.
Доказательство. Так же как в теореме 1, будем вести
доказательство для достаточно большого /. Пусть R% и /?{—
два взаимно ортогональных ^-мерных подпространства из Rk+l.
Будем считать, что группа 1\ действует в /?*, и обозначим через ф
некоторое изометрическое отображение /?J на R$. Пусть S""1 —
ориентированная (п—1)-мерная сфера и if—элемент группы Тк,
непрерывно зависящий от y^S"'1. При x£R% положим
в(*. У, t)=<p{x)cos{t) + %{x)sm{t); Q(y, t) = Q(Rkly у, t). (7)
Очевидно, что 0(у, t) есть fe-мерная плоскость в Rk+ly при этом
в (уj 0) = /?{, 0 (уу n/2) = R%. Таким образом, 0(у, t) дает непре-

15. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ 231
твное отображение прямого произведения S^T в #/t где Т
ь отрезок 0</<я/2. При этом отображении оба основания
с?-i.O и S"-1-tt/2 цилиндра Sn~lT переходят в точки и, следо-
ательно, мы имеем непрерывное отображение сферы Sn в Ht.
Оказывается, что так установленное соответствие между
отображением S*"1 в Тк и отображением Sn в Нь дает изоморфизм
соответствующих групп гомотопий. Доказательство проводится
примерно так же, как в теореме 1. ИР г-*
Следует отметить, что построение универсальных косых
произведений легко может быть проведено для любой компактной
группы Ли Г, так что Р (Rk, H2) отнюдь не является исключением.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
ГЦ Н Whitney, Bull. Am. Math. Soc, 43, 785 (1937).
2 H. Whitney, Proc. Nation. Acad., 26, 148 (1940).
3 Л. Понтрягин, ДАН СССР, XXXV, № 2 (1942).

16
КЛАССИФИКАЦИЯ НЕКОТОРЫХ КОСЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ*)
Настоящая заметка посвящена классификации некоторых
расслоенных пространств (Fibre-bundle), или косых произведений,
как я предпочитаю называть их. Она опирается на мои работы [1],
[2]. Здесь дается классификация (см. определение 2 из [2]) косых
произведений Р (Rky В) с группой 1\, где Rk есть fe-мерное
евклидово пространство, Г;,—группа всех его изометрических
преобразований, сохраняющих начало координат и ориентацию, а В —
комплекс размерности п ^ 4. В силу следующего ниже замечания А
классификация зависит лишь от группы Тк и комплекса В, но не
от самого пространства Rk; таким образом, мои результаты
непосредственно относятся к случаю, изучавшемуся Whitney, именно,
косому произведению P(S*_1, Б) с группой 1\, где S*"1 есть
(k—1)-мерная сфера, а Г^—ее группа вращений. Случай л = 2,
3 полностью разобран Whitney [3]. В той же работе Whitney
приводит без доказательства один результат для случая k = 3t
я = 4. Результат этот, однако, неверен, что вытекает как из
теоремы 1, так и из теоремы 2 настоящей заметки.
A. В силу предложения А и В из [2] косое произведение Р (А, В)
с группой Г однозначно с точностью до изоморфизма задается
определяющими функциями Сар#€Г, у£Т$. С другой стороны,
в силу В из [2] два косых произведения Р(А, В) и Р'(Л, В)
с одной и той же группой Г изоморфны тогда и только тогда,
когда определяющие функции удовлетворяют условию СазУ =
= та££аз«/т^/» Тс«/€Г. Таким образом, вопрос о
классификации косых произведений зависит лишь от комплекса В и группы Г,
но не от пространства А.
Для классификации P(Rk, В) я буду пользоваться
универсальным косым произведением Р (Rk, Ht) (см. определение 3 и
теорему 1 из [2]). Так как размерность п комплекса В не
превосходит 4, то в пространстве Ht = H(k, l) меня могут
интересовать лишь циклы размерности к—г, где А есть размерность Н1У
а г^4. Циклы эти найдены в [1], напомню их.
B. Пусть Rk+l—евклидово пространство размерности k + l и
Н {k, l) определено как множество всех ориентированных /г-мер-
ных линейных пространств из Rk+l, проходящих через начало
*) Докл. АН СССР.—1945.--Т. XLVII, № 5.—С. 327—330.

16. КЛАССИФИКАЦИЯ НЕКОТОРЫХ КОСЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 233
оодинат. Пусть Rl+1, Rl, Rl+Z—три фиксированные линейные
Коостранства из Rk+i, проходящие через начало координат, раз-
еоностей / + 1, U '4-3. Множество всех Rk из Я (ft, /),
переселение которых с Rl+1 имеет размерность не ниже 2, обозначим
4 ез Zh~~- Множество всех Rk из Н (k, /), размерность
переселения которых с R1 не ниже 2, обозначим через Z?~4.
Множество всех Rk из H(k, /), размерность пересечения которых с Rl+*
не меньше 4, обозначим через Zj~4. В [1] показано, что a)Z*~2
есть цикл размерности h—2 по модулю 2 при &>2 и
ориентированный при k = 2; b) Z?~4 есть ориентированный цикл
размерности h—4; с) Z£~4 есть цикл размерности h—4 по модулю 2
при k > 4 и ориентированный при k — A\ при k <4 имеем Z§~4 = 0.
В моей работе [4] показано, что пересечение в смысле Lefschetz'a
класса гомологии по модулю 2 с самим собой можно определить
как класс гомологии по модулю 4. Оказывается, что в этом смысле
мы имеем:
Z*~2xZ*-2~Z?-4—2Z£"4(mod4). (1)
C. Если / есть некоторое отображение комплекса В в Hlf то
характеристические V-циклы (см. определение 4 из [2]),
соответствующие цикламZh~2, ZJ~4, Z£~4, обозначим через и|, u\f, u\f. Из (1)
вытекает:
u2fxu2f~ u\f—2utf (mod 4), (2)
где iifXUf есть произведение, определенное в моей работе [4].
В [2] показано, что гомотопическая группа яг(#|) изоморфна
гомотопической группе пг_х{Ти) (см. теорема 2 из [2]). В силу
этого мы легко можем построить гомотопические группы nr(Ht)
для интересующих нас размерностей г=1, ..., 4.
D. Так как Г^ связна, то пх(Н^) тривиальна. Так какГ2с:Гй
составляет одномерный базис гомотопий в Тк, то соответствующая Г2
двумерная сфера S2czHl составляет базис двумерных гомотопий Нг,
причем S2 свободна при k = 2 и имеет второй порядок при k > 2.
Так как л2(1\) тривиальна, то n^(Ht) тривиальна. Г3с1\ гомео-
морфна трехмерному проективному пространству; отображая на
Г3 некоторую трехмерную сферу со степенью 2, мы получаем
гомотопический базис пространства Г3. Этой образующей
соответствует в Hl = H(ki l) сфера S4 размерности 4, которая составляет
гомотопический базис Н(k, I) при ЫЗ и свободна. S\ свободна
и для k > 3, но уже не составляет гомотопического базиса Н (fe, /),
а лишь может быть в него включена. В Г4 существует сфера S3,
которая вместе с указанной в Г3 образующей составляет
гомотопический базис Г4. Сфере S3 соответствует сфера S^aH (fc, I),
которая вместе с S4 составляет гомотопический базис Н (fe, /) при
£i>4. При k = 4 сферы S\ и S| независимы, а при fe>4 имеем:
2S4.—S\ гомотопно нулю. (3)

234 16. КЛАССИФИКАЦИЯ НЕКОТОРЫХ КОСЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
Сферы S2, Si, Si можно рассматривать как циклы в Нг.
Непосредственно вычисляется, что индексы их пересечений с циклами,
указанными в В, имеют значения:
I(S2, Z*-*) = l, (4)
/(S4Z?-4) = 4; /(S4Z*-4) = 0; / (S4, Z?"4) = 2;
/(S4, zn = l. (5)
В силу определения 3 и теоремы 1 [2] вопрос о
классификации косых произведений Р (Rk, В) сводится к вопросу о
классификации непрерывных отображений В в H(k, /), этот же
последний решается для п =4 следующей теоремой.
Теорема 1. Пусть В—четырехмерный комплекс и H(k, /),
k^3, /^5, — определенное в замечании В пространство.
Допустим, что в В заданы у-циклы и2, и\, и\, где и2 есть двумерный
V-цикл по модулю 2; и\—четырехмерный V-цикл по целочисленному
полю; и\—четырехмерный Ъ-цикл по модулю 2 при fe>4 и цело-
численный при & = 4. Допустим далее, что циклы эти
удовлетворяют условию:
и2хи2~и\ — 2и\ (mod 4). (6)
Тогда существует отображение f комплекса В в Н (k, l)
такое, что (см. С)
и)~и2; u\f~u\\ u\f~u\. (7)
Если, сверх того, В не имеет четырехмерных четных ^-кручений,
a f и g—два отображения В в Н (k, l) такие, что
Uf ~ Ug, uXf ~ u\g, u\f ~ u\g, (8)
то отображения fug эквивалентны.
При наличии четных четырехмерных V-кручений у В вопрос
не решается столь просто, формулировка результата и особенно
его доказательство становятся весьма громоздкими, так что я не
привожу их здесь.
Доказательство. Докажем лишь вторую часть теоремы,
т. е. эквивалентность отображений fug при выполнении
условий (8). Через Вп обозначим я-мерную часть комплекса В. Пусть
p£S2aH(k, I) (см. D). Так как фундаментальная группа Н(k, I)
тривиальна, мы можем считать, что f{B1)=g(B1)=p. Так как
гомотопический двумерный базис Н (k, l) состоит лишь из S2, мы
можем считать, что f(B2)czS2, g(B2)aS2. Пусть Т2 —
произвольный ориентированный двумерный симплекс из В. Через v2f(T2) и
v\(T2) обозначим степени отображений fug симплекса Г2 на S2.
Тогда v2 и v\ суть целочисленные двумерные V-цепи из В. Из (4)
и (8) вытекает: v) ~ v\(mod 2). Деформируя отображение g
известным приемом, мы можем добиться того, что ^ = и|(тос12). Так
как S2 имеет второй порядок, то на основе последнего можно

16. КЛАССИФИКАЦИЯ НЕКОТОРЫХ КОСЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 235
биться совпадения отображений / и g на В2. Так как
трехмерна гомотопическая группа Н (k, l) тривиальна, то можно считать,
на fug совпадают уже на В3. Остановимся подробно на случае
2?L= 3* при этом условии четырехмерный гомотопический базис Н (k, I)
остоит лишь из S\y при k > 3 в рассмотрение приходится
включать и «$2. Пусть Г4—произвольный ориентированный
четырехмерный симплекс из В. Так как отображения / и g совпадают
на его границе, то вместе они порождают отображение некоторой
ориентированной четырехмерной сферы в Н (k, /), которое
гомотопно некоторому кратному сферы S\, коэффициент кратности
обозначим через ^(Т4), u4g есть четырехмерная V-цепь из J3.
Соотношение (5) показывает, что 4vjg=u\f—u\g, ъ из (8) следует
4vf ~ 0. Последнее при отсутствии у В четных четырехмерных
V-кручений дает: v)g ~ 0. Из последнего уже легко вытекает
эквивалентность fug. Аналогично проводится доказательство и для
k > 3, причем сфера S4 уже не дает осложнений, связанных
с кручениями, так как / (SJ, Z£~4)=l.
Теорема 1 показывает, что характеристические циклы косого
произведения P(Rk, В4) связаны лишь условием (6). Если В4
есть ориентированное многообразие Л!4, а косое произведение
р (Я4, Л!4) построено из касательных, имеет место еще соотношение:
и\~ Mj(mod2). (9)
Вопрос о том, исчерпываются ли все связи между
характеристическими циклами многообразия Л!4 соотношениями (6) и (9),
весьма важен для решения некоторых геометрических задач.
Характеристические циклы и\ и и\ многообразия Л!4 с точностью
до гомологии определяются целыми числами, причем циклу и\
соответствует эйлерова характеристика, а и\—новый инвариант.
Вычисление последнего для конкретных примеров весьма трудно,
для комплексного проективного пространства размерности 2 число
это равно 3. Интересно отметить, что если многообразие М4 может
служить границей пятимерного ориентированного многообразия,
то и\ ~ 0. Обратное мне неизвестно.
Приведу здесь еще один элементарный результат, доказываемый
независимо от понятия характеристического цикла.
Теорема 2. Пусть Г—связная топологическая группа и
Р (А, В)—косое произведение с группой Г (см. определение 1 в [2]),
являющееся прямым на п-мерной части Вп комплекса В. Это
значит, что имеется гомеоморфное отображение f(x, у) прямого
произведения АВп (х £ Л, у£В) на косое произведение Р (А, В"),
причем f(x, y) = fy(x)€Ay и /^ЕедбГ, y£TaaBn (см.
определено 1 из [2]). Пусть h — непрерывное отображение некоторой
ориентированной n-мерной сферы Sn в Г, тогда h (Sn) есть п-мер-
нЬ1й цикл из Г. Группу всех классов гомологии, содержащих
Циклы такого рода, обозначим через S„. Пусть Т%+1 —
произвольный ориентированный (п+ 1)-мерный симплекс из В и Sg—его

236 16. КЛАССИФИКАЦИЯ НЕКОТОРЫХ КОСЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
граница, тогда на S£ определено отображение fy^^Y,
y£S£, и оно порождает элемент группы 2Л, который мы обо-
значим через w?+1 (Г£+1). Оказывается, что wf+1 есть (п+
Химерный V-цикл из В по полю 2„, причем класс гомологии,
содержащий этот цикл, является инвариантом косого произведения Р (А, В)9
именно, он не зависит от случайного выбора отображения f.
Доказательство опирается на тот факт, что если g есть
отображение, аналогичное /, то fylgy = fyllay {gy^ay)'1 € Г является
непрерывным отображением Вп в Т.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
II] Л. Понтрягин, ДАН СССР, XXXV, № 2 (1942).
[2] Л. Понтрягин, ДАН СССР, XLVII, № 4 (1945).
13] Н. Whitney, Proc. Nation. Acad., 26, 148 (1940).
f4] Л. Понтрягин, ДАН СССР, XXXIV, № 2 (1942).

17
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ*)
Введение
В настоящей работе дается полное изложение части моих
результатов, ранее опубликованных в ДАН [1].
В геометрии существенную роль играет метод сферического
изображения, сущность которого заключается в следующем.
Пусть Мк—дифференцируемое ориентированное многообразие
размерности k с непрерывно вращающейся касательной,
расположенное в евклидовом пространстве Rk+1 размерности k+l.
В точке х£Мк проведем единичную нормаль Nx к Мк,
направление которой выбрано в согласии с ориентацией Мк. Нормаль
Nx перенесем параллельно в Rk+1 так, чтобы начало ее попало
в фиксированную точку О пространства Rk+1; тогда конец
нормали попадет в точку N (х) единичной сферы Sk с центром О.
Таким образом, мы получаем сферическое изображение N
многообразия Мку ставящее каждой точке х£Мк в соответствие
точку N (х) € S*.
Изучение изображения N приводит к обнаружению некоторых
инвариантов многообразия Мк, как
дифференциально-геометрических, так и топологических. В частности, если многообразие
Мк замкнуто, a k четно, то степень изображения N
представляет собой топологический инвариант многообразия Мку равный
половине его эйлеровой характеристики [2].
Известно, что не всякое многообразие Мк размерности k
может быть надлежащим образом включено в евклидово
пространство размерности k+ 1. Ввиду этого возникает естественная
мысль дать конструкцию, аналогичную сферическому
изображению, для многообразия Мк, расположенного в евклидовом
пространстве Rk+l размерности fe+/, где /—произвольное
натуральное число.
Настоящая работа посвящена построению некоторых
инвариантов замкнутых дифференцируемых ориентируемых многообразий
на основе такой конструкции. Вопрос о том, являются ли эти
инварианты новыми или могут быть вычислены через уже
известные, например, через кольцо пересечений, остается открытым.
*)Мат. сб., Новая серия.—1947.—Т. 21, вып. 2.—С. 233 — 284.

238 17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
Несомненно, однако, что инварианты эти тесно связаны со
многими геометрическими задачами; в частности, они связаны с
проблемой классификации отображений сферы большего числа
измерений на сферу меньшего числа измерений.
Среди построенных мною здесь инвариантов содержатся
известные циклы Stiefel^ [3], и, поскольку речь идет о них,
настоящая работа тесно соприкасается с рядом работ Whithey'n
[4], в которых циклы Stiefel'n детально изучаются. Циклы Sti-
е!еГя составляют, однако, лишь часть всего запаса инвариантов,
даваемых здесь. Связи с циклами Stiefel'n и другими
аналогичными вещами даются в моей работе [5], которая будет
опубликована позднее.
Общий ход предлагаемого исследования таков.
Два дифференцируемых многообразия считаются
эквивалентными или просто гомеоморфными, если существует го-
меоморфное непрерывно дифференцируемое отображение одного
из них на другое, причем отображение это обладает нигде не
вырождающимся якобианом. Рассматриваемые инварианты
дифференцируемых многообразий являются инвариантами именно с
точки зрения такой эквивалентности.
Размерность некоторого множества Р в дальнейшем
обозначается через D(P).
Пусть Rk+1— евклидово пространство размерности fe+/, a
О—некоторая его фиксированная точка.
Через H(kt l) обозначим многообразие всех ориентированных
^-мерных линейных подпространств пространства Rk+l,
содержащих О.
Размерность многообразия Н (fe, /) определяется соотношением:
D(H{k, /)) = £•/. (1)
Очевидно, что если Rk+l'czRk+l, то
H(k, l')aH(k, /). (2)
Это включение обеспечивает связь между различными
многообразиями #(&, /) при фиксированном k.
Пусть теперь Мк—абстрактно заданное ориентированное
дифференцируемое многообразие и /—его гомеоморфное отображение
на многообразие f(Mk)aRk+l с непрерывно вращающейся
касательной.
В точке f(x)£f(Mk) проведем ориентированное касательное
линейное пространство Тх размерности k к f(Mk) и обозначим
через Т(х) элемент многообразия Н (k, /), параллельный Тх.
Таким образом, возникает отображение Т многообразия Мк в
многообразие #(&, /), ставящее в соответствие точке х£Мк
точку Т (х)£Н (fe, /). Отображение Т я называю
тангенциальным отображением многообразия Мк\ оно зависит от

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ 239
ключения / многообразия Мк в пространство Rk+l и играет в
Еяльнейшем роль сферического изображения N.
Д Если f0 и /i—Два различных включения многообразия Мк в
d*+', то имеются два различных тангенциальных отображения
7 и' 7\. Легко доказывается, что при /^&+ 1 отображения Г0
и°7\ всегда гомотопны в #(&, /).
Таким образом, с точностью до гомотопии тангенциальное
отображение не зависит от способа включения многообразия
д4* в евклидово пространство Rh+l. Включение (2) освобождает
тангенциальное отображение также и от зависимости от числа /,
В настоящей работе строится полная система гомологических
инвариантов тангенциального отображения замкнутого
многообразия Мк в #(&, /). Построение это осуществляется следующим
образом.
Пусть Z— некоторый цикл размерности kl—г многообразия
H(k, /), г<& (см. [1]). Так как размерность многообразия
H(k9 I) велика по сравнению с размерностью многообразия Мк9
то существует гомеоморфное отображение 7\ многообразия Мк в
#(&, /), близкое к тангенциальному отображению Т и такое, что
цикл Z и многообразие Т1(Мк) находятся в общем положении в
H(k, /).
Алгебраическое пересечение [6] ZxT1(Mk) цикла Z с
многообразием Т1(Мк) представляет собой цикл размерности k—г в
Т1(Мк), Образ этого цикла в Mk при отображении 7Y1
обозначим через X. Так как цикл X с точностью до гомологии не
зависит от аппроксимации 7\ отображения Г, то будем писать просто
X~T~l(ZxT(M*))f (3)
хотя формула эта и не имеет непосредственного смысла.
Так как тангенциальное отображение Т с точностью до
гомотопии однозначно определяется самим многообразием Мк, то
класс гомологии цикла X зависит лишь от класса гомологии
цикла Z и от многообразия Мк. Ориентацию многообразия H(k,l)
следует считать выбранной.
*$ Выбирая цикл Z различными способами, мы получаем полную
систему гомологических инвариантов тангенциального
отображения Г. Включение (2) позволяет при этом освободиться также и
от зависимости от числа /.
Для того чтобы решить вопрос о том, какие циклы Z следует
брать в многообразии Н (k> /), нужно изучить гомологии
размерности kl—г, г<&, многообразия Н (&, /). Это изучение занимает
в настоящей работе важное место и проводится методом Ehres-
mann'a [7]. Так как сослаться на окончательные результаты
Ehresmann'a здесь невозможно, то я даю изложение,
независимое от работ Ehresmann'a.
Достаточный запас циклов получается следующим образом.

240 *7- ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
Пусть со—целочисленная монотонно неубывающая функция
целочисленного аргумента i=l, 2, ..., k, удовлетворяющая^
условию
О < о (i) < /. (4)
Рассмотрим в пространстве Rk+l последовательность
/?iCi/?2c:... aRk (5)
его линейных подпространств, содержащих О, размерности
которых удовлетворяют условию
£(#,) = со(/) + i, * = 1, 2, ..., £. (6)
Через Z((o) обозначим множество всех элементов Rk£H(k, /),
удовлетворяющих условиям:
D(RkxRt)^i, /=1, 2, ..., k. (7)
Оказывается, что Z(o>) представляет собой замкнутое
псевдомногообразие, размерность которого определяется соотношением
k
D (Z (со)) = г (со) = 2 <o(t). (8)
В случае, если Z(co) ориентируемо, оно, взятое с определенной
ориентацией, может рассматриваться как целочисленный цикл в
//(£, /).
Если Z((o) неориентируемо, его можно рассматривать как
цикл по модулю два. В этом случае из него можно извлечь
целочисленный цикл, пользуясь следующим общим приемом. Пусть
Y—цикл по модулю два. Если взять все симплексы цикла F,
каждый с определенной ориентацией, то получится
целочисленная цепь Y', причем
АК' = 2ГГ, (9)
где FY есть целочисленный цикл, класс гомологии которого
однозначно определен классом гомологии цикла F.
Вместо функции (о>) удобно ввести функцию %, определяемую
соотношением:
со + х = /, т. е. <o(i) + %(i) = l, /=1, 2, ..., k. (10)
X есть целочисленная монотонно невозрастающая функция
целочисленного аргумента i, удовлетворяющая условиям
/>Х(0>0. (11)
Из такой функции % на основе соотношений (10) всегда
получается функция о, удовлетворяющая условиям (4).
Псевдомногообразие Z(ca), как и соответствующий цикл,
обозначим через Zx; размерность его, в силу соотношений (8) и (10),

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ 241
определяется формулой ^
D(Zx) = kl-r(X), г(х)=2х(0- (12)
Усилим теперь условие (11), наложенное на функцию %\ именно,
будем считать, что
У /-1>Х(0>0. (13)
Оказывается, что при выполнении этого условия вопрос об
ориентируемости псевдомногообразия Zx решается лишь свойствами
функции х и не зависит от числа /.
Если в соотношение (3) вместо произвольного цикла Z
подставить цикл Zx, то мы придем к следующему определению:
Определение. Пусть Мк—некоторое ориентированное
дифференцируемое замкнутое многообразие размерности /г, Т —
некоторое его тангенциальное отображение в H(k, /), и х—функция,
удовлетворяющая условиям (13), а также условию r(%)^.k.
Положим
Xx(M*) = Xx~T-4(ZxxT(M>)) (D(Xx) = k-r{y)). (14)
Если псевдомногообразие Zx неориентируемо, то пересечение
берется по модулю два, и Хх есть цикл по модулю два.
Если псевдомногообразие Zx ориентируемо, то ему и
многообразию #(&, /) придаются некоторым определенным образом
ориентации, и Х% является целочисленным циклом.
Оказывается, что класс гомологии цикла Хг в многообразии
Мк однозначно определяется ориентированным дифференцируемым
многообразием Мк и функцией х» цикл Хх мы будем называть
характеристическим циклом типа х ориентированного
многообразия Мк.
В случае, когда Zx неориентируемо, определен также класс
гомологии цикла
TX%~T-4TZxxT(M*)) (0(ГХх) = *-г(х)-1); (15)
его мы будем называть вторичны мхарактеристическим
циклом типа х ориентированного многообразия Mk.
Если r(%) = k, то D(Xx) = 0, и класс гомологии
характеристического цикла Хх однозначно связан с целым числом или
вычетом по модулю два в зависимости от того, ориентируемо
псевдомногообразие Zx или нет. В этом случае через Хг мы будем
обозначать не только самый нульмерный цикл, но и
соответствующее число или вычет. Характеристическое число или вычет
Х% является инвариантом ориентированного многообразия Мк.
Для более детального исследования характеристических
циклов рассмотрим некоторые свойства функции %.
Местом скачка функции % будем называть такое значение
* ее аргумента, для которого х('+1)<х(0- Пусть iu *2, ...

242 17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
•• •» *«-i—совокупность всех мест скачков функции х»
записанных в возрастающем порядке. Сверх того, будем считать, что
t0 = 0, in = k, и положим:
^h === */г */z-l» Л = 1, А •••» #> 1
Р*=Х(*•*)-%(**-!). А = 1, 2, .... я-1; Р, = х(*). i (16)
Рассмотрим соотношения:
ai + Pi = «t + P2=---sa,-i + P/i-i = 0 (mod2). (17)
Множество тех функций х» удовлетворяющих условиям (13),
для которых выполнены соотношения (17), обозначим через Х0.
Множество тех функций %> удовлетворяющих условиям (13),
для которых условие (17) не выполнено, обозначим через Х2.
Оказывается, что при х£Х0 псевдомногообразие Zx
ориентируемо, а при %£Х2 псевдомногообразие Zx неориентируемо.
Обозначим теперь X' множество всех таких функций х»
удовлетворяющих условиям (13), для которых выполнено соотношение
а1>2. (18)
Для функции х рассмотрим две последовательности чисел:
ai» Pi» а2» Рг» • •» а«-1» P«-i» <*,.; \
а1» Pi» а2» Г2» •••» aw-l» Р./-1* )
Функции х поставим в соответствие первую из этих
последовательностей, если Рл > 0, и вторую—если Р„ = 0.
Функцию х€Х' отнесем к множеству X, если все числа
соответствующей ей последовательности (19) четны.
Функцию х€Х' отнесем к множеству Ха, если среди чисел
соответствующей ей последовательности (19) имеются нечетные и
первое из них есть некоторое а.
Функцию х€Х' отнесем к множеству Хр, если среди чисел
соответствующей ей последовательности (19) есть нечетные и
первое из них есть некоторое р.
Таким образом, множество X' распадается в сумму трех
непересекающихся множеств X, Ха и Хр. Очевидно, что ХсХ0 и
Хрс: Х2.
Далее оказывается, что при х€Х0 — X:
2ZX ~ 0. (20)
Нижеследующая теорема дает базисы гомологии многообразия
H(k, l) для интересующих нас размерностей.
Теорема 1. Канонический базис гомологии размерности
Ы — г, r^l—1, многообразия Н(&, l) может быть составлен из
циклов:
Zx, X€X, r(x) = r; rzr, x'€X„,r(x') = r-l. (21)

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ 243
~ циклы Z% являются свободными, а циклы TZ%> имеют
порядок два.
Из теоремы 1 следует, что все характеристические циклы
гообразия д|/г М0ГуТ быть выражены через циклы Х%, х€Х,
М X ', х'^Хр. Эти характеристические циклы мы будем назы-
ват/основными. Циклы Хг, %£Х, являются целочисленными,
% ^'gXp, являются циклами по модулю два. Если х*€Х,
то цикл Хх* сам является основным. Если х€Х0— X, то
*х* ~ 2 ЬХТХ%9 (22)
где Ьх суть вычеты по модулю два, однозначно определенные
функцией х*-
Если х* € Х2, то
*х*~ 2<*х*х + 2 Ь%ТХХ+ 2 с%Хх (mod2), (23)
Х€»Х ХбХо Х€Хо
где ах, Ъ% и сх суть вычеты по модулю два, однозначно
определенные функцией х*.
Далее, при х*€Х2 имеем
ТХХ*~ 2 схГХх, (24)
ХбХр
1
где с% суть вычеты по модулю два, однозначно определенные
функцией х*-
Для характеристических чисел формулированные результаты
означают, что характеристическое число Х%у % £ Х0, может быть
отлично от нуля лишь при х€Х. В самом деле, нульмерная
группа Бетти по целочисленному полю коэффициентов не имеет
кручений, и потому, если нульмерный цикл Х% удовлетворяет
условию 2Х%~§ (см. (20)), то Хх~0, т. е. характеристическое
число Хх, обращается в нуль. По той же причине нульмерные
целочисленные циклы вида ТХХ не дают характеристических
чисел, отличных от нуля.
Таким образом, имеет смысл рассматривать лишь
характеристические числа Х% при х€Х. Что касается характеристических
вычетов, то для них соотношение (23) дает:
Х%. = 2 ахХх + 2 схХх (mod2), (25)
хех Х€Хр
гДе ах и сх суть вычеты по модулю два, однозначно
определенные функцией х-
Среди характеристических чисел выделим одно, а именно
^5с = Л"х, х==1. Функция х принадлежит к множеству Х0, но к
X она принадлежит лишь при k четном. Таким образом, при k
Учетном число Хх равно нулю. В моей работе [5]
устанавливается, что характеристическое число Хх равно эйлеровой харак-

244 17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
теристике рассматриваемого многообразия. Этот факт соответст,
вует вышеупомянутой теореме НорГа о том, что степень сфери,
ческого изображения для четномерного многообразия равна
половине его эйлеровой характеристики.
Если ориентация многообразия Мк меняется на
противоположную, т. е. рассматривается многообразие —Мк, то тангенци.
альное отображение его существенно изменяется, так как мы
рассматриваем ориентированные касательные.
Связь между характеристическими циклами многообразий Mk
и —Мк дается нижеследующей теоремой:
Теорема 2. Если через —Мк обозначить многообразие,
геометрически совпадающее с Мк, но имеющее противоположную
ориентацию, то
ХЛ-М^-ХаМ*). (26)
При %ф1, но хбХ: Хх(—Мк) ХХ(М*). (27)
Для остальных характеристических циклов
ХХ(-М*)~ХХ(М*). (28)
Из теоремы 2 непосредственно следует, что если
характеристический цикл Хг, %ф1, Л/£Х, обладает тем свойством, что,
дважды взятый, он не гомологичен нулю, то многообразие
асимметрично, т. е. не может быть отображено на себя гомеоморфно
.с изменением ориентации.
Нижеследующая теорема выясняет одно частное
геометрическое свойство характеристических чисел и вычетов.
Теорема 3. Если ориентированное замкнутое многообразие
Mk может служить границей ориентированного ограниченного
многообразия Мк+1, то все характеристические числа и вычеты
многообразия Мк равны нулю, за исключением, быть может,
числа Xlt которое четно.
Четность эйлеровой характеристики Хг многообразия Мк
может быть доказана очень просто путем удвоения многообразия Mk+l.
Таким образом, выясняется интересный геометрический факт:
не всякое замкнутое ориентированное многообразие может
служить границей ориентированного многообразия. Простейший
пример дает комплексная проективная плоскость, которая, будучи
рассматриваема как четырехмерное многообразие, ориентируема и
имеет эйлерову характеристику, равную трем.
Для двумерных и трехмерных многообразий теорема 3 не
дает ничего.
Известно, что каждая ориентированная поверхность может
служить границей трехмерного ориентированного многообразия.
Интересно и для некоторых целей важно было бы показать, что
то же имеет место и для трехмерных многообразий.
Стоит отметить еще одно частное свойство характеристических
циклов.

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ 245
Если многообразие Мк может быть помещено в евклидово
остранство размерности k+ 1, то все его характеристические
ПР лы гомологичны нулю, за исключением, быть может, Хх\ при
Дтом характеристическое число Хх четно.
3 Для двумерных и трехмерных многообразий
характеристические циклы не дают никаких новых инвариантов.
Для двумерного многообразия М2 мы получаем лишь
характеристическое число Х19 равное эйлеровой характеристике.
Для трехмерного многообразия М3 все характеристические
циклы сводятся к циклам Stiefel' я, которые, как он показал,
гомологичны нулю.
Для четырехмерного многообразия М4 имеются три основных
характеристических цикла. Первый, уже рассмотренный, Хх
дает эйлерову характеристику. Второй, также нульмерный, Х22
задается функцией х с° значениями х(1) = Х(2) = 2, х(3) —
= х(4) = 0.
Характеристические числа Хг и Х22 сравнимы по модулю два,
но в значительной мере независимы, как показано в моей
следующей работе [5]. Характеристический цикл Х22 не
принадлежит к числу циклов Stiefel* я.
Кроме указанных двух, имеется еще один основной
характеристический цикл Х21 четырехмерного многообразия,
определяемый функцией х со значениями эс(1) = х(2) = 1» х(3) = х(4)~0.
Цикл Х21 определен по модулю два, имеет размерность два и
принадлежит к числу циклов Stiefel* я.
Если бы удалось выяснить все связи между тремя основными
характеристическими циклами Х19 Х22, Х21 четырехмерного
многообразия УИ\ то в значительной мере была бы продвинута
проблема классификации отображений сферы Sn+3 размерности
п+ 3 на сферу Sn размерности п. Например, если бы было
показано, что из Х21 ~ 0 следует Х22 ~ 0, то можно было бы
указать счетное число различных гомотопических классов
отображений сферы Sn+S на сферу S".
В заключение следует отметить, что вычисление
характеристических циклов на основе приведенного здесь определения
представляет большие трудности. Ввиду этого представляют
интерес и другие конструкции, приводящие к характеристическим
Циклам. Такие конструкции даются в моей работе [5], где к
характеристическим циклам приводит изучение систем векторных
полей на многообразии. Однако вопрос о том, насколько этот
метод облегчает задачу вычисления характеристических циклов,
остается невыясненным.
Важно было бы дать такое определение характеристических
Циклов, которое было бы пригодно для комбинаторных, а не для
Дифференцируемых многообразий, так чтобы при этом получился
алгорифм вычисления характеристических циклов, опирающийся
на комбинаторную схему многообразия.

246 17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
§ 1. Многообразие H(k, I)
Здесь будут построены многообразие Н(fe, l) и некоторые
псевдомногообразия, расположенные в нем; последние будут
использованы для построения базы гомологии в Н(fe, /).
В работе будут рассматриваться только конечномерные
действительные векторные пространства.
Ориентацию л-мерного векторного пространства Rn можно
задать последовательностью е1У ..., еп его базисных векторов, имея
в виду, что положительная ориентация пространства Rn задается
ориентацией симплекса + (О, е19 ..., еп).
Размерность множества М будем обозначать через D(M).
Определение 1. Пусть Rk+l—векторное пространство
размерности кЛ-l (k^l, 1^1). Многообразие всех ориентированных
^-мерных векторных подпространств пространства Rk+l обозначим
через Н (ky /). Ниже будет показано (см. А)), что D(H (k, l))=kl
и что при надлежаще выбранных локальных координатах #(&,/)
превращается в аналитическое многообразие.
Если Rh—произвольный элемент из Н (k, /), то через /Сбудем
обозначать элемент из Н (k, /), отличающийся от Rk лишь ориен-
•ч •ч
тацией: Rk = —Rk. Очевидно, что соответствие Rk^tRk является
гомеоморфным, а из А) будет видно, что оно и аналитично. Если
М — произвольное множество элементов из Н (&, /), то через М
будем обозначать множество, являющееся образом М при отобра-
жении Rk—> Rk.
Пусть Rk+l' — векторное пространство размерности & + /', и
Н' (&, V)—многообразие всех его fe-мерных ориентированных
векторных подпространств. Если а есть линейное невырождающееся
отображение пространства Rk+l' в Rk+l, то каждому Rk£ H' (&, V)
мы можем поставить в соответствие a(Rk)£H (k, /); таким
образом, возникает отображение а многообразия И (k, V) в
многообразие Н(fe, /).
А) Пусть /?о €.Н(k, I) и е19 ..., ек—базис в Rl, задающий его
ориентацию. Через fu ..♦,/* обозначим такую систему векторов
из Rk+l, что векторы
^1» • • • » &k> /1» • • •» /1 У /
составляют базис пространства Rk+ly а через Р — линейную
оболочку векторов flf ..., ft. Тогда Rk+l есть прямая сумма своих
подпространств R* и /\ так что для каждого x£Rk+l имеем
x=u-\-vt где u£R%, ogP.
Положим и = ф(л;); ф есть проекция пространства Rh+l на
R$ в направлении Р. Отображение ф будет играть в дальнейшем
важную роль.
Через U обозначим совокупность всех таких эчементов из
Н (fe, /), которые при проектировании ф отображаются на /?J без

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ 247
ждения и с сохранением ориентации. Очевидно, что U есть
Btf асть в H(kt I), содержащая R$. Области U и 0 не пересека-
ся" дополнение их суммы в #(&, /) обозначим через V.
ЮТ Введем теперь в U координаты, зависящие от системы (1).
Если /?|€£А то в #1 существует базис ei, ..., e'kf задающий
ориентацию Я| и такой, что 4(e\) = eh i=l, ..., fe. Мы имеем:
*i = */+2 Б'//» *'=1> •-.,*; (2)
здесь ||£{| — £ есть действительная числовая матрица, элементы
которой (в числе Ы) мы принимаем за координаты элемента
R$£U. Если матрицу |||{|| = | задать произвольно и, определив
векторы е[, ..., ek из соотношения (2), натянуть на них
пространство Я|, то так* полученное Я| является элементом из U.
Таким образом, в окрестности U элемента Яо введены
координаты, причем Ro является началом введенной координатной
системы. Следовательно, U гомеоморфно feZ-мерному евклидову
пространству. Выбранная в U система координат зависит от
базиса (1) пространства Rk + l\ аналитичность перехода от одной
координатной системы к другой устанавливается без труда.
Определение 2. Пусть <*>(/)—целочисленная монотонно
неубывающая функция целочисленного аргумента f = l, ..., k\
0<o)(t)^/. В пространстве Rk+l (см. определение 1) выберем
возрастающую последовательность
Ai cz R2 a ... a Я# (3)
векторных подпространств, такую, что
D (/?,) = *+ ©(*), 1=1, ..., *.
Через Z(co) обозначим множество всех таких элементов Rk из
H(k, /), что D (Я* п Д/)>*\ £ = 1 Л^
Очевидно, что Z(co) компактно и что Z(co) = Z(co). Ниже будет
показано (см. (1)), что Z(co) является псевдомногообразием размер-
k
ности г (со) = 2 <*>(*)•
i= 1
Если псевдомногообразие Z(co) ориентируемо, то, придав ему
одну из двух возможных ориентации, мы получим цикл в Н (fe, /)
по целочисленному полю коэффициентов.
Если псевдомногообразие Z(co) неориентируемо, то его можно
трактовать как цикл из #(£, /) по модулю два.
Вместо последовательности (3) рассмотрим теперь в Rk+l
последовательность
я; с я; с ... с я; (4)
векторных подпространств тех же размерностей:
D(«i) = D(/?/), f=l, .... k.

248 17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИ*КЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
Так же, как при помощи последовательности (3) было определено
псевдомногообразие Z(o>), определим при помощи
последовательности (4) псевдомногообразие Z'((o). Очевидно, что существует
непрерывное вращение пространства Rk+l, переводящее
последовательность (3) в последовательность (4). Так как во время
вращения многообразие Н (k9 l) движется само по себе, то псевдо-
многообразие Z(co) движется в Я(4, I) и в конце вращения зани
мает положение Z'(g>).
Таким образом, псевдомногообразия Z(g>) и Z'((o), трактуемые
как циклы и взятые с надлежащей ориентацией, гомологичны
между собой в H(k, /). Этим и объясняется тот факт, что в
обозначении Z(co) учтена лишь функция со, но не
последовательность (3).
B) Местом скачка функции о (см. определение 2) будем*
называть такое значение i ее аргумента, что со (t -f- l)=£co(t).
Пусть iu ..., in_t—совокупность всех мест скачков функции
со, взятых в возрастающем порядке; положим еще t0 = 0, in = k.
Пространство Rih последовательности (3) обозначим через Sh;
рассмотрим возрастающую последовательность
S1aS2c: ... czSn (5)
векторных подпространств пространства Rk+1. Оказывается, что»
налагая на элемент Rk из H(k, l) условие
D(Rk(]Sh)^iht Л=1, ..., л,
мы вновь получаем множество Z(g>). Таким образом, множество
Z(co) однозначно определяется подпоследовательностью (5)
последовательности (3)
Докажем В). Пусть / не есть место скачка функции со и не
равно к. Покажем, что если D (Rk П Ri+1) > i + 1, то D (Rk (] /?,•)>£;
этим будет доказано, что из последовательности (3) можно без
ущерба удалить пространства R(. Этим возможность перехода от
последовательности (3) к последовательности (5) будет обеспечена.
Положим Rk П Ri+i = Rsj R* П Ri = Rr. Размерности пространств
Rs и Rr равны, соответственно, s и г. Очевидно, что Rr'=■
= Rs(]Ri9 а так как Rs и R( оба расположены в Ri+l9 то
r>s+{i + a(i))—(i+l+v(i+l)) = s—l.
Но s ^ i + 1; следовательно, г ^ i.
Итак, предложение В) доказано.
C) Будем говорить, что элемент Rk множества Z(co)
находится в общем положении в Z((o), если
D(Rk()Sh) = ihy A=l, ..., п (см. В)).
Если /?о находится в общем положении в Z(o>), то
существует базис
£ц • • • I £*» /l» • • • f It \Р)

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ 249
пространства Rk+l, такой, что векторы
^i» • • •» &k (*)
оставляют базис пространства R%, определяющий его
ориентацию, а векторы
£i> •••» eih* /i» •••» /©(£.)» Л=1, .. ., ft, (о)
составляют базис пространства Ял.
Пусть теперь £/—координатная область в Н(fe, /),
построенная на основе базиса (6) так, как это сделано в А). Оказывается,
что все элементы из U П Z (со) находятся в общем положении в
Z(co), и что/?|££/ тогда и только тогда принадлежит Z (со), когда
матрица £ = |1Ш удовлетворяет условиям:
г{ = 0 при />o)(t), i=l, ...,&. (9)
Таким образом, окрестность t/nZ(<o) элемента /?£ в множестве
Z (о)) гомеоморфна евклидову пространству размерности г (со) =
Выберем, прежде всего, в пространстве Rk+t базис (6),
указанный в С).
• #
Положим R%(]Sh = Rh. Так как пространства # л, А=1, ...
..., л, составляют возрастающую систему, то векторы е1У ...>ек
легко выбрать так, чтобы система еи ..., е. была базисом про-
h
странства Rlb, ft=l, ..., д. Так как векторы е1У ..., e/t
независимы и лежат в Su то базис пространства Sx можно построить,
дополнив систему е19 ..., eix произвольными независимыми от нее
векторами /lf ..., /в(/) из Sx. Этим самым уже построена
система (8) для h = 1 так, что она составляет базис пространства Sx.
Допустим теперь, что система (8) уже построена для
данного h так, что она составляет базис пространства Sh. Векторы
системы
^i» • • •» eiJi» tu •••>/© ил
линейно независимы, а векторы е* , ..., е, независимы от
т-ч и г, h+1 * л+1
нее ввиду того, что D(Rg ()Sh) = ih. Так как векторы е19 ...
* • •» ei • /i* • • •» /о /i \ независимы и лежат в Sh+1, то систему эту
можно дополнить векторами f . , ..., / . . до базиса про-
I а) (ft+i)
странства Sh + 1, и мы получим систему (8) для большего
значения h.
Таким образом, система (8) строится индуктивно. Если о> (k) < I,
то систему (8) при h = n дополняем до системы (6).
Пусть £—матрица, удовлетворяющая условию (9); покажем,
что #! принадлежит к Z(co) и находится в общем положении

250 17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
в Z((o). Напомним, что R% натянуто на векторы^, ..., e'ky а век
тор е\ выражается по формуле (2). Ввиду условия (9), вектор
е\ принадлежит Sh при / <лл и, следовательно,
Легко также убедиться в том,- что имеет место равенство
0(*!nsA) = iv
Таким образом, R\ принадлежит Z((o) и находится в общем
положении В Z((d).
Допустим теперь, что /?|gZ((o), и покажем, что тогда
матрица £ удовлетворяет условию (9).
Пусть х—произвольный вектор из /?|flSA. Так как *£/?$. то
k
х = 2 х1'е'{. Из x$Sh следует, что xi = 0 при i>ihy так что
i- 1
х= 2 *'>;•. (Ю)
i= l
Так как £(/?|п5л)^/л, а выражение (10) содержит точно ih
параметров, то эти параметры должны принимать произвольные
значения; в частности, мы видим, что вектор е\ принадлежит к
Sh при i^ih. Так как вектор el выражается по формуле (2) и
принадлежит пространству SA, базис которого составляет система
(8), то
£{ = 0 при f<fA, />со(/л). (И)
Допустим, что ih_1 < i <! ih\ тогда со (/) = со (ih)9 и соотношение (11)
можно записать в виде
Ц = 0 при 1"л_1<{ <i'A, />o)(i), й=1, ..., я,
а это и значит, что матрица £ удовлетворяет условию (9).
Итак, предложение С) полностью доказано.
D) Пусть (дфО. Будем считать, что пространство Rk+l и
пространства системы (5) ориентированы. Если со (&) = /, то
пространства Rk+l и Sn совпадают; в этом случае мы будем считать,
что ориентации их также совпадают. Оказывается, что базис (6)
пространства Rk+l, построенный в С), можно выбрать так, что
ориентации пространств Rk*\ /?§, Sh определятся соответственно
их базисами (6), (7), (8).
Для того чтобы осуществить выдвинутые здесь требования,
достаточно в базисе (6) изменить знаки некоторых векторов.
Операция эта невозможна в случае со =е 0, так как тогда
пространства Ro и Sx совпадают и может возникнуть противоречие между
их наперед заданными ориентациями. Если, однако, ориентации
Ro и St совпадают, то высказанные требования можно
осуществить И При G)e-=0.

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ 251
рч При (офО множество М всех элементов общего положения
7(со) связно, и потому М есть многообразие размерности
г (со) (сМ- С^Х у/ ч
При со ^ 0 множество Z (со) состоит лишь из двух элементов
рк и Roy причем оба они находятся в общем положении в Z(co).
Докажем, что при ыфО М связно. Будем считать, что
пространство SH системы (5) и пространство Rk+l ориентированы так,
как это указано в D). Положим S0 = {0}, Sn+1 = Rk+l. Обозначим,
далее, через Th + 1 такое векторное подпространство пространства
5 /что Sh + 1 есть прямая сумма Sh и Гл + 1, /i = 0, 1, ..., п.
Л+Через А обозначим группу всех линейных преобразований
пространства Rk+l, переводящих каждое пространство Sh в себя
с сохранением ориентации, и покажем, что А связна.
Пусть Ах — группа всех линейных преобразований
пространства Rk+l, переводящих каждое пространство Тн в себя с
сохранением ориентации; тогда А1а А. Так как Rk+l есть прямая
сумма всех пространств Гл, то группа Аг есть прямое
произведение групп положительных (т. е. сохраняющих ориентации)
преобразований пространств Th.
п+ 1
Таким образом, группа Ах связна. Пусть а£Л, х — 2 *л»
h-i
xh£Th. Положим a(xh) = Ь(xh) + ах(xh)y где b(xh) €Sh_l9 аг(xh)£
(zTh. Пусть теперь t—действительное число, O^f^l, и пусть
п + 1
atW = 2 О— 0^(**) + fli(*/*)• Мы име^м* a<t€.A, a0 = a, ax^Ax.
h-i
Таким образом, А есть связная группа.
Пусть Ro и Ro—два элемента из М, a elf ..., ек, fl9 ...,/,
и еи ..., ek, /i, ..., /;—два базиса пространства Rfc+l,
построенные для этих элементов по способу, указанному в С) и D).
Определим линейное преобразование я, положив
fl(*/) = *i. i==l> •••» fe> «(//) = //. /=1» •••> *•
Тогда а£Л, причем a(R^) = Rk.
Таким образом, М допускает связную транзитивную группу
^ преобразований и потому связно.
F) Пусть N = Z((o) — М (см. Е)). Покажем, что
D (Л/) < г (со) — 3, D (Z (со)) = г (со).
Пусть /?* не лежит в Z(co) в общем положении; тогда для
некоторого значения q(\^q^Ln—1)
D(**nS,)>i, + l.
Введем новую функцию со(7)(0, определенную условиями:
при г<^_!: ©^(О =со(0,

252
17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
при *Vi<t<^+l: (i){q)(i) = <u(iq)— l,
при i>iq+\: a>{q)(i) = (o(i).
Функция со((/) (0 уже не имеет скачка в точке iq: вместо него
появляется скачок в точке iq+ 1 = i'g. Для остальных значений ft
положим i'h = ih. Тогда Rk удовлетворяет условию D(Rk()Sh)^i^
А=1, ..., п, и потому Rk£Z(<uiq)).
Мы имеем:
г (со)—г (со( ,) = 2 (о) (0 —ю(в) (0) =
i= 1
= („-t(,_1+l+a)(i, + l)-(o(g>3. (12)
Далее, очевидно, что
АГс2 Z (©„,). (13)
<7=1
Если принять теперь, что D (Z (со')) = г (о/) для всякой функции
о', удовлетворяющей условию /-(о/) < г (со), то соотношения (12)
и (13) дают D(Af)<r(co)—3. Так как, далее, Z (со) = М + N, то
D(Z(co)) равно наибольшему из чисел D(M) и D(N), т. е. г (со).
Итак, предложение F) доказано.
G) Из предложений Е) и F) непосредственно следует, что
представленное в виде комплекса пространство Z(co) является
псевдомногообразием размерности г (со).
Н) При kl > 1 многообразие Н (fe, I) односвязно, т. е. имеет
тривиальную фундаментальную группу, а так как 7/(1, 1) гомео-
морфно окружности, то Н (k, l) всегда ориентируемо. Далее, при
&^2, /^2 область Н(k, I)—Z(g>) односвязна.
Пусть Rk+*—ориентированное евклидово векторное
пространство. Тогда каждому ориентированному fe-мерному
подпространству Rk пространства Rk+l однозначно соответствует его
ориентированное дополнение Rl, Rfc—+Rl. Соответствие это дает,
очевидно, гомеоморфное отображение многообразия H(ky l) на
многообразие #(/, k)\ мы обозначим его через г|э.
Многообразие #(1, /), очевидно, гомеоморфно /-мерной сфере,
а путем применения отображения ф мы убеждаемся в том, что
Н (ky 1) гомеоморфно fe-мерной сфере.
Таким образом, если kl > 1, но одно из чисел k или / равно
единице, то 77 (fe, /) односвязно.
Пусть Ps—s-мерное подпространство пространства Rk+l> *
Qk+i-s—его ортогональное дополнение в Rk+l. Положим
со1(1) = /—1, со1(2)= ... =щ (&) = /;
о)2(1) = /—2, о>2 (2) = ... = со2 (fe) = /;
(03(1)=G)3(2) = /—1, (03(3)= . . . =(08 (&) = /.

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ 253
многообразия Z^), Z(g>2), Z((o8) определяются, соответ-
SShho, условиями:
D(R*nPl)>1> D(Rk(]P^)^\, D(Rk(]Pl+1)>2
/см. В)).
Мы имеем:
г ((Oj) = А/— 1, г (о>2) = г ((о3) = &/—2.
Легко видеть, что o)lt o)2, со3 исчерпывают совокупность всех
Функций со, для которых г((о)^/г/—2, за исключением лишь
Нетрудно видеть, что при отображении я|э псевдомногообразие
£(со2)сЯ(&, /) переходит в псевдомногообразие Z(<ds)cz//(/, fe).
Область Я (&, /)—Z(o)1) состоит из двух областей: U и 0 (см. А))
и потому односвязна.
Область Я (&, I)—Z(co2) состоит из всех Rk£H(k, /),
пересечение которых с Р1'1 содержит только нулевую точку; таким
образом, ортогональное проектирование Rk в Qft+1 происходит без
вырождения. Заставляя Rk по определенному закону двигаться в
его проекцию RoCzQk+1, мы получаем непрерывную деформацию
области Я(&, I)—Z(co2) в многообразие Я(&, 1), составленное из
всех Roy лежащих в Q*+1. Таким образом, фундаментальная группа
области Я (fe, /)—Z(co2) изоморфна фундаментальной группе
многообразия Я(&, 1), и при &> 1 она тривиальна.
Так как г(<о2) = &/—2, то любая кривая из Я(&, l) может
быть деформацией переведена в кривую, лежащую вне Z(co2); а в
H(k, I)—Z(o>2) кривая эта может быть стянута в точку, если
fe>l. Таким образом, в этом случае фундаментальная группа
многообразия Я (ft, /) тривиальна.
Область Я (ky I)—Z (щ) переводится отображением яр в область
H(ly k)—Z(o>2), и потому она односвязна при /> 1.
Если теперь r(co)^fe/—3, то область Я(&, /)-—Z(co)
односвязна, в силу односвязности многообразия Я (fe, /). В самом деле, не
только всякая кривая, но и всякая двумерная пленка из H(k,l)
может быть непрерывной деформацией снята с Z(a>).
Итак, предложение Н) доказано.
§ 2. Ориентации псевдомногообразий Z(co)
Мы займемся теперь тем, что придадим каждому
ориентируемому псевдомногообразию Z(co) некоторую определенную
ориентацию.
А) Пусть Rn—n-мерное векторное пространство, в котором
Установлена некоторая система декартовых координат, т. е.
каждому x£Rl поставлена в соответствие последовательность чисел
**» •-., хп, x=(x1f ..., хп). Выбранной в Rn системе координат

254 17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
п
соответствует определенный базис е1У ..., епУ такой что х = 2*'е
t=i '»
а этот базис задает определенную ориентацию пространства Rn
как было указано в начале параграфа 1. Таким образом, опреде!
ленной системе координат в Rn соответствует определенная
ориентация пространства Rn.
Координатную плоскость пространства Rny определяемую урав.
нениями хА = 0, ..., xir = 0y обозначим через {Rn\ a/i = 0, . ,#
..., xJr = 0}\ в ней имеются свои координаты х'*у ..., xin-r й
потому задана определенная ориентация.
Полупространство пространства Rny задаваемое неравенством
хт < 0, обозначим через {Ru, rw<0}; его можно считать
ориентированным, так как Rn ориентировано. Легко видеть, что
Д{ЯЯ, xm<0}=^(—l)rn"1{Rny х*=0}. (1)
В координатной окрестности U (см. § 1, А)) заданы
координаты Ц, являющиеся элементами матрицы Е. Для того чтобы
координаты эти определяли ориентацию в U и в координатных
плоскостях из (/, достаточно занумеровать их каким-либо
определенным образом. Будем считать, что нижний индекс указывает
номер строки, а верхний — номер столбца, и занумеруем элементы
матрицы £ по столбцам, т. е. запишем их в такой
последовательности:
£l £l £l £2 £2 £2 £/ £/ £/ /0\
bl» fe2» * • •» -ki bl> b2 • • • i bft» • • • » fel» fc2> • • • > s&» V^/
Координатная плоскость £/nZ(co), задаваемая уравнениями (9) § 1,
получает теперь, согласно нашему условию, определенную
ориентацию, которую мы и будем в дальнейшем приписывать
окрестности t/(lZ(co); ориентация эта зависит, таким образом, от
базиса (6) § 1 пространства Rk+l.
В) Пусть со=£0—такая функция, что псевдомногообразие Z(о)
ориентируемо. Будем считать, что пространства Slt ..., Sn
системы (5) § 1, задающие Z(co), все ориентированы, и зададим
ориентацию Z(co) в зависимости от выбранных ориентации
пространств Sh. Для этого придадим пространству Rk+l какую-либо
ориентацию, но так, чтобы в случае о)(&) = / она совпадала
с выбранной ориентацией Srr Базис (6) § 1 пространства Rk+l
выберем так, чтобы были выполнены условия D) § 1. Базис этот
определяет ориентацию окрестности Uf)Z((d) элемента Ro€Z(®)
так, как это было указано в А). Так как псевдомногообразие
Z(co) ориентируемо, то ориентация окрестности (/nZ(co)
индуцирует ориентацию всего Z(co). Оказывается, что так полученная
ориентация Z(co) зависит лишь от выбранных ориентации
пространств системы (5) § 1. Выясним характер этой зависимости
в случае со(1) > 0.

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ 255
Введем обозначенения:
рл = со(1А+ 1)—ю(1'л), Л= 1 л—1; Р„ = /—©(*) [ (3)
(см. § 1» в)» J
ia |3 будут использованы позже. Пусть теперь
Псевдомногообразие Z'(g>), построенное при помощи пространств
S' может отличаться от Z(co) лишь ориентацией. Оказывается, что
при со (1) > 0:gZ' (со) = е«« • е*« ... e«*Z (со). (4)
Пусть Rq и /?£—два элемента общего положения из Z(co), a
*?1» ..., вь, f11 ..., j i • (о)
в1у . . . , £д, /j, . . . , Ji (О)
— базисы пространства Rk+i9 построенные для этих элементов по
способу, указанному в С) и D) § 1, т.е. с учетом ориентации
пространств S'h и Rk+l. Покажем, что ориентации,
индуцированные в Z(co) базисами (5) и (6), совпадают.
Определим линейное преобразование а пространства Rk+l,
положив
a(et) = ei9 i=\9 .. ., k\ a(fj)=J/9 /=1, ...,/.
В силу построений, данных в Е) § 1, существует такое однопара-
метрическое семейство at линейных преобразований пространства
Rk+l, что at(Sh)—ShJ А=1, ..., л, причем а1 = а9 а а0 есть
тождественное преобразование. Базис
пространства /?*+* определяет ориентацию в окрестности
я* (^ П Z (со)) с Z(<o). Из соображений непрерывности следует, что
так определенная ориентация псевдомногообразия Z(со) все время
совпадает с ориентацией, индуцированной при помощи базиса (5).
При t = 1 это дает нужный результат.
Докажем (4). Заметим, прежде всего, что если в базисе (5)
изменить знак вектора fq9 то ориентация окрестности f/nZ(co),
Данная в В), получит множитель (—l)v, где у есть число коорди-
Нат 11, могущих отличаться от нуля в f/nZ((o) (см. (9) § 1). При
'=г:(0(*л-1+1) имеем y = k — ift_1; при ^ = со(1л_1-Ь 1) + 1 имеем
У^к — ih. Изменим теперь одновременно знаки обоих указанных
Векторов, тогда ориентация окрестности Uf)Z((o) получит
множитель (—\)ah (см. 3)). С другой стороны, указанное изменение
знаков двух векторов меняет ориентацию пространства Sh и не ме-

256 17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
няет ориентации остальных пространств последовательности (5) § 1.
Ориентация пространства Rk+l при указанной операции меняется
лишь в случае, если h = n и Sn = Rk+l. Из сказанного вытекает
правильность формулы (4). Если co(fe)</, то ориентация Z (со) не
зависит от ориентации Rk+l, так как, меняя знак лишь вектора /
при q = (d(in_1-\- \)-\- 1, мы получим: y = k—i„ = 0.
С) Пусть о)—такая функция, что со(1)>0, Z(co) ориенти*
руемо и 2Z(co) не гомологично нулю в Н (&, /); тогда
при со(&) < /: а! = а2= ... =ал = 0(mod 2), (7)
при (o(fe) = /: aj = a2 = ... =<*„_!== О (mod 2). (8)
. Таким образом, в случае со(&)</ ориентация Z(co), заданная
в В), не зависит от ориентации пространств системы (5) § 1
(см. 4); в случае со(&) = / ориентация Z (со) зависит лишь от
ориентации пространства Sn = Rk+l. Оба эти случая можно охватить
одной формулой
Z'(co) = e*Z(co), о)(1) > 0, (9)
где Z(o) строится, исходя из ориентированного пространства Rk+l,
а Z'(co) — исходя из ориентированного пространства sRk+l> e = ±l.
Оказывается, далее, что если фиксировать ориентацию
пространства Rk+l и построить ориентированнное псевдомногообразие Z (со),
исходя из системы пространств (6) § 1, а ориентированное
псевдомногообразие Z* (со) — исходя из некоторой другой системы
5£, А— 1, ..., /г, то
Z* (<*>) ~ Z (со) в #(£, /) (10)
Докажем (7) и (8). Пусть S'h = ehSh, ел = ±1, А=1, ...,л.
В случае co(fe) = / будем считать, что еп = + 1. Тогда легко
построить линейное преобразование а пространства Rk+l,
сохраняющее его ориентацию, такое, что a(Sh) = S'hf А=1, . ..,я. Так как
а сохраняет ориентацию Rk+l, то существует однопараметрическое
семейство линейных преобразований at пространства Rk+l9 такое,
что а1 = ау а а0 есть тождественное преобразование.
Псевдомногообразие at(Z (со)) зависит от параметра t, и при t = 0 оно
превращается в Z(co), а при tf=l переходит в Z'(co); таким
образом, Z'(co) ~Z(co). Отсюда и из соотношения (4) следует:
(1 —е?'-е?... e2*)Z(co)~0.
Так как соотношение 2Z(co)~0 по предположению невозможно,
то мы видим, что соотношения (7) и (8) действительно имеют
место.
Докажем (9). В силу (3), k = ax + a^-\- ...+an. Оюода,
в силу соотношений (4), (7) и (8), получаем (9).
Докажем (10). Пусть а—такое линейное преобразование
пространства Rk+e, сохраняющее его ориентацию, что a(Sh)^

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ 257
= SI, А = 1, . - •» л. Пространства SA и $1 рассматриваются здесь
как неориентированные, так как от их ориентации ориентации
псевдомногообразий Z(o>) и Z*(<u) не зависят. Так как а
сохраняет ориентацию /?*+/, то существует однопараметрическое
семейство at линейных преобразований пространства Rk+ly такое, что
а = а, а а0 есть тождественное преобразование. Ориентированное
псевдомногообразие at(Z (со)) зависит от параметра t\ оно
превращается в Z(co) при / = 0 и в Z*(co) при f=l. Таким образом,
ZM~Z*(co).
Итак, предложение С) полностью доказано.
D) Пусть <о = с, где с—натуральное число. Легко видеть, что
псевдомногообразие Z(c) гомеоморфно многообразию #(fe, с),
последнее же ориентируемо (см. § 1, Н)); таким образом, Z (с) также
ориентируемо.
Так как функция (о=с не имеет скачков, то для нее л = 1,
#! = &, и система (5) § 1 состоит из единственного пространства
Sl = Rk+c9 ориентация которого определяет ориентацию Z(c)
(см. В)). При этом
?(с)^е&(с) (см. (4)). (11)
E) Пусть Rk+l и #*+'"<=/?*+', 1—1" = т> О,—два
ориентированных векторных пространства; тогда Н (fe, Г) с #(&, /), и оба
эти многообразия ориентированы в силу В) (см. D)). Пусть, далее,
Z(co)—псевдомногообразие, задаваемое системой {Sh}, А = 1, ..., п.
Если Z(co) ориентируемо, то будем считать, что пространства Sh
ориентированы и задают ориентацию Z(co).
Изучим алгебраическое пересечение Z(co)x#(A, l") по модулю
два, если Z(co) неориентируемо, и с учетом ориентации в
противном случае.
Положим g)" = g)—m; функция со* пригодна для определения
псевдомногообразия на Z(o)2) лишь при условии ©(1)^т.
Будем считать, что пространства Sh и Rk+i" находятся в общем
положении в Rk+l, и положим Sl = ShxRk+l" с учетом
ориентации при ориентируемом Z(co). Мы имеем: D(S% = ih + (u(iH)—т.
Таким образом, при о> (1) ^ т пространства SJ, А = 1, ..., п,
могут служить основой для построения псевдомногообразия
Z(o)") с #(fe, /*). Оказывается, что
при co(l)<m: Z(o))n#(fe, Г) —пусто; (12)
при ю(1)>т, co^m: Z((»)xW(fe, r) = Z(co"); (13)
при о)Е=т: /(Z(o)), Я (ft, /")) = 1+ (—1)*. (14)
В (14) дается индекс пересечения. В (13) дается пересечение по
модулю два в случае неориентируемого Z(co) и с учетом
ориентации в противном случае.
Перейдем к доказательству. Если /?*£Z(co), Rk£H(kf Г), то
D(Rkf]Sh)^ih9 R*aRb+l\
9 Л. С. Понтрягии, т. I

258 17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
и потому D(Rkr\S'b)^ih. В случае ю(1)</п мы имеем, таким
образом: ix ^ ix -\- со (ij)—т ^ i± — 1, что невозможно, и потому
(12) верно. В случае со(1)^/п получаем: Z(co)n#(&, Г) с Z((o"). i
Обратное включение очевидно, и потому
при co(l)>m: Z(©)nfl(fe, /") = Z(co"). (15)
Будем теперь считать, что со(1)^т. Если со =/п, то положим
/?o = Si- В случае шфт за /?о примем произвольный элемент
общего положения из Z((u"). Пусть
^i > • • •» &k» /1» • • •» / /" (1Ь)
— базис пространства Rk+V\ построенный в С) § 1 для элемента
/?o€Z((d"), т.е. такой, что векторы
ei> • • •» £* (17)
составляют базис пространства /?*, а векторы
^i» • • •» ek* fu • • •» Ao"(t'ft)» ft = 1, .. •, я, (18)
составляют базис пространства S£. При этом ориентации
пространств Rk+ly /?J, S"h определяются соответственно базисами (16),
(17), (18). В пространстве Sx выберем векторы fl9 ..., fmf
линейно независимые от SJ, и базис пространства Rk+l составим из
векторов:
eU • • • » £fe» /1» • • • » //я» //я + 1 == /1» •••»// ==: /Г' (1^)
Тогда базис пространства SA будет состоять из векторов
^1» • • • » £/г* /1» • • • > /со (ihy \^Щ
Векторы /i,...,/m выберем так, чтобы базис (19) определял
ориентацию пространства Rk+l. Тогда из условия Sh = ShxRk+l"
без труда следует, что базис (20) задает ориентацию
пространства Sh.
Базис (19) определяет координатную окрестность U элемента Ro
в H(k, I) (см. § 1,А)). Окрестность U' = U nZ(co) элемента R%
в Z(co) выделяется в U уравнениями
Й = 0 при />со(0, i=l, .... /?. (21)
Окрестность U" = U[\H(k,l) элемента Rk0 в #(&, Г) выделяется
уравнениями
Й = 0 при /<т. (22)
Окрестность U"'= Ur\Z(af) элемента /?* в Z((u") выделяется
совокупностью систем (21) и (22). Ориентации координатных
пространств f/, U\ [/", U'" заданы по правилу, указанному в А),
т. е. при помощи нумерации элементов матрицы £ по столбцам.

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ 259
Пусть А—последовательность всех координатных единичных
екторов из £/, записанных в этом порядке. Части последователь-
ности Л, входящие в £/', [/", £/'", обозначим соответственно через
А' А">'А'". Тогда ориентации окрестностей f/, U\ U\ U'"
зададутся соответственно последовательностями Ау Л', Л", А'".
Последовательность, получаемую из А' путем выкидывания
элементов, входящих в А'"', обозначим через В'. Точно так же
последовательность, получаемую из А" путем выкидывания всех
элементов последовательности Л'", обозначим через В". Так как
нумерация взята по столбцам, то в последовательности А
каждый элемент из В' предшествует каждому элементу из В". Пусть
Л = е(Л'"В'В"), Л' = е'(Л'", В'), Л" = е"(Л'", В"). (23)
Здесь е = ±1, е' = ±1, е"=±1, а соотношения (23) указывают
на связи между ориентациями рассматриваемых пространств,
задаваемыми при помощи различных последовательностей
векторов. Ввиду того, что в последовательности А каждый элемент
из В' предшествует каждому элементу из В", мы имеем: е = е'е",
а это, в силу правил Lefschetz'a, показывает, что [/'" — [/' xU"
с учетом ориентации.
Таким образом, соотношение (13) доказано.
При со = т полученный результат дает: / ([/', U") = + l. Таким
образом, в точке R% индекс пересечения Z(<o) и Н (&, Г) равен +1.
При о) = т пересечение Z((o)(]H(ky О = Z (со") = Z (0) (см. (15))
содержит лишь две точки: уже рассмотренную, /?о, и другую,
Rq. Для того чтобы вычислить индекс пересечения Z(co) и H(ky Г)
в точке /?£, изменим ориентацию St на обратную, т. е. положим
S[ = —S1# Псевдомногообразие, определяемое пространством S'l9
обозначим через Z'(co); тогда
Z'(co) = (—l)*Z(co) (см. (11)). (24)
Роли элементов R% и R% теперь переменились: /?J было
определено как S'i — Sx П Rk+l". Таким образом, индекс пересечения Z'(co)
и Н (&, Г) в точке /?§ равен +1, и из (24) мы видим, что индекс
пересечения Z(co) с Н (k, Г) в точке R$ равен (—1)*.
Следовательно, (14) действительно имеет место.
Итак, предложение Е) доказано.
Псевдомногообразия Z(co) дают значительный запас циклов
многообразия #(fe,/). Вопрос о построении из них баз гомологии
будет решаться позже (см. § 5). Здесь будет дана одна общая
операция построения циклов.
F) Пусть Z—r-мерный цикл по модулю два. Придавая
каждому его симплексу некоторую ориентацию, мы получим
целочисленную цепь Y, такую, что \Y = 2X, где X есть
целочисленный цикл размерности г—1, класс гомологии которого однозначно
9*

260 17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
определен классом гомологии цикла Z. Мы положим Х = Г2§
Операция Г, определенная с точностью до гомологии, будет при!
меняться в дальнейшем к неориентируемым
псевдомногообразиям Z(co).
Если Z—г-мерный v-цикл по модулю два, то, придавая его
симплексам произвольные ориентации, мы получим
целочисленную цепь У, такую, что VY — 2X, где X есть целочисленный
V-цикл размерности г+ 1, класс гомологии которого однозначно
определяется классом гомологии V-цикла Z. Мы положим X = TZ.
§ 3. Тангенциальные отображения и характеристические циклы
Здесь будет введено основное для всей работы понятие
характеристического цикла замкнутого дифференцируемого
ориентированного многообразия Mk размерности k.
Пусть Uk—некоторая координатная окрестность точки а
дифференцируемого многообразия УИ*, в которой введены
локальные координаты х1, ..., х*. Отображение J многообразия Мk в
векторное пространство Rk+l с координатами у1, ..., у*+/ Whitney
называет регулярным в точке а, если вблизи точки а
отображение это в координатной форме записывается в виде
yJ = yJ(x\ ...,**) = /'(*), / = 1, ...,£ + /, (1)
причем функциональная матрица
др (х)
F =
I —~"- 1 , • • • , /v, / ■ 1 , » * • , /v ~~у~ L ,
дх*
в точке а имеет ранг k и непрерывно зависит от х. Если
отображение f регулярно в каждой точке а £ Мк, то оно называется
регулярным. Whitney доказал, что дифференцируемое
многообразие Мк может быть регулярно отображено в векторное
пространство R2k. В векторное пространство R2k+1 многообразие Мк
может быть отображено регулярно и гомеоморфно одновременно.
Такое отображение мы будем называть включением
дифференцируемого многообразия Мк в векторное пространство Rk+l и
будем считать иногда, что образ f(Mk) есть само исходное
многообразие Мк с Rk+l.
В дальнейшем придется рассматривать отображения
многообразия Мк в различные многообразия Н (fe, /) (см. определение 1);
ввиду этого целесообразно установить понятие эквивалентности
таких отображений.
А) Пусть R' и R" —два векторных пространства, а
Я' (fe, /') и Я"(&, Г)—соответствующие им многообразия (см.
определение 1).
Два отображения 0' и 6" /?-мерного комплекса Кр
соответственно в Я' (&, /') и в Я" (fe, Г) назовем эквивалентными,
если существуют линейные невырождающиеся отображения а' и а"

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ 261
k + l' k + l"
вектооных пространств R' и R" в некоторое векторное
пространство /?*+/, такие, что отображения а'9' и а"9" комплекса Кр
в 7/(ft» l) гомотопны между собой в Я (ft, /). Здесь имеется в виду,
что линейным отображениям а! и а" соответствуют отображения
а' н ^ многообразий Я'(ft, f) и Я" (ft, Г) в Я (ft, /).
Рефлексивность и симметрия этого определения очевидны, транзитивность
будет доказана ниже. Оказывается, что каждое отображение 9
комплекса Кр в некоторое Я (ft, l) эквивалентно некоторому его
отображению в Я (ft, р) и, следовательно, некоторому
отображению в H(k, р+ 1), ибо Я (ft, р) а Я (ft, p+ 1). Далее, два
отображения 9' и 9* комплекса Кр в многообразие Я (ft, p+ 1) тогда
и только тогда эквивалентны в установленном смысле, когда они
гомотопны между собой в Я (ft, p+ 1). Таким образом, для
классификации отображений комплекса Кр с точки зрения введенного
принципа эквивалентности достаточно проклассифицировать все
отображения его в многообразие Я (ft, /?-f 1) с точки зрения
обычной теории гомотопии. Отсюда вытекает и транзитивность
эквивалентности.
Для доказательства утверждений, высказанных в А),
докажем В).
В) Пусть Rk+l и Rk+i-1 a Rk+l—два векторных пространства,
а Я (ft, /—1)сЯ(/г, /)—соответствующие им многообразия (см.
определение 1). Оказывается, что если р^1—1, то каждое
отображение 9 комплекса Кр в Я (ft, /) гомотопно некоторому
отображению 9' комплекса Кр в Я (ft, Z—1). Далее, если р^1—2,
а 90 и 9Х—два отображения комплекса Кр в Я (ft, / — 1), гомотопные
между собой в Я (ft, /), то они гомотопны и в Я (ft, I — 1).
Будем считать пространство Rk+l евклидовым и обозначим
через е единичный вектор из Rk+l, ортогональный к R**1'1.
Множество всех элементов Rk^H(k, /), содержащих е, обозначим
через Я. Легко видеть, что Я гомеоморфно многообразию Я (ft—1, /)
и потому имеет размерность (ft—1)/.
Пусть теперь R%—элемент из Я (ft, /), не принадлежащий ни к Я,
ни к Я (ft, I — 1). Проекцию вектора е на R% обозначим через g, a
проекцию вектора g на Rk+t-1 через h. Единичные векторы
направлений g и h обозначим соответственно через е0 и ех.
Линейное подпространство пространства /?<>, ортогональное к е0У
обозначим через /?J_1. Пусть еи 0</<1,— единичный вектор,
равномерно вращающийся из положения е0 в положение ех в плоскости
векторов e0J ег. Линейную оболочку вектора et и пространства
#<fa обозначим через /?J.
Если теперь R%$H(k,l—1), то будем считать, что Rf=Ro.
Таким образом, для каждого элемента /?J, не принадлежащего
к Я, определен процесс его движения R) из положения R%
в положение R\^H{k, I — 1), причем элементы из Я (ft, /—1)
остаются неподвижными. Так полученную деформацию обозначим
через г|>.

262 17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
Пусть р^1 — 1 и 9—отображение комплекса Кр в Я(k, /)%
Так как разность размерностей Я(ky I) и Я равна / > /?, то,
слегка изменив отображение 0, можно получить такое
отображение 0", что Q" (Кр) уже не пересекается с Я. Применяя к
отображению 0" деформацию *ф, мы получаем нужное нам отображение 0'.
Пусть теперь р^1— 2, а 0,, ()<;£< 1,— семейство
отображений комплекса Кр в Я (k, /), такое, что
%(Kp)aH(ky 1—1), Q1(Kp)czH(ky /—1);
это значит, что отображения 0О и 0t комплекса Кр в Н (ky I — 1)
гомотопны между собой в H(ky /). Обозначим через Кр + 1
произведение комплекса Кр на единичный числовой отрезок. Семейству
Qt известным образом соответствует отображение 0 комплекса Кр+Х
в Я (ky l). Как и раньше, слегка изменив отображение 0, можно
перевести его в отображение 0", такое, что Q"(Kp+1) не
пересекается с Я. Применяя к отображению 0" деформацию *ф,
получаем отображение 0' комплекса Кр+1 в Н (ky I — 1), которое
осуществляет гомотопию между 0О и 0Х уже в Я (&, / — 1).
Итак, предложение В) доказано.
Докажем А). Из В) непосредственно следует, что каждое
отображение 0 комплекса Кр в какое-либо Я (&, /) эквивалентно
некоторому отображению комплекса Кр в многообразие Я(&, р).
Пусть, теперь, 0' и 0"—два отображения комплекса Кр
в Я(fe, p+ 1), эквивалентные между собой. Это значит, что
существуют линейные невырождающиеся отображения в а' и а"
пространства R&+P+1 в некоторое пространство Rk+l> такие, что
отображения а'0' и а"0" комплекса Кр в Я (&, р) гомотопны между
собой в Я (ky /). Без ограничения общности можно предположить,
что р+ 1 < /, так что существует однопараметрическое семейство
аи 0<.£^1, линейных невырождающихся отображений
пространства Pk+p+1 в пространство Rk+l, такое, что а0 = а', а1==ал'.
Таким образом, отображения ао0' и aft гомотопны между собой
в Я(ky /). Так как по предположению отображения ао0' и aft"
гомотопны между собой в Я(fe, /), то отображения aft и at0"
гомотопны между собой в Я(&, /). Из этого, на основании В),
непосредственно вытекает, что отображения afi' и afi" комплекса
Кр в ax(H(ky р-\-\)) гомотопны между собой в самом
многообразии ах(Н(ky /7+1)). Производя отображение af1, обратное
к alt мы видим, что отображения 0' и 0" гомотопны в Н (ky p+ 1).
Итак, предложение А) доказано.
Определение 3. Пусть /—регулярное (быть может, не
гомеоморфное отображение дифференцируемого ориентированного
многообразия Mk в векторное пространство Rk+l (см. (4)). Точке
х£Мк соответствует тогда вполне определенная ориентированная
касательная Тх к f(Uk) в точке f(x)t где Uk есть малая
окрестность точки х в Mk. Ориентированное ^-мерное векторное
подпространство пространства Rk+l9 параллельное Тх9 обозначим через

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ 263
Т(х). Так как Т (х)€#(fe, /), то мы получаем непрерывное
отображение Т многообразия Мк в #(&,/), которое будем называть
тангенциальным отображением. Оказывается, что все
тангенциальные отображения замкнутого ориентированного
многообразия Мк эквивалентны между собой в смысле, установленном
в А).
Пусть /' и f"—два регулярных отображения многообразия Мк
в векторные пространства Rfk+r и R"k+r', а V и
Г"—соответствующие им тангенциальные отображения Мк в многообразия
#' (й, О и H"(k, Г). Покажем, что отображения V и Т"
эквивалентны между собой (см. А)).
Прямую сумму пространств R'k+l и R"k+l обозначим через
д*+*э l = k+l' + l". Будем считать, что /?'*+/' и Rnk+r суть
подпространства пространства Rk+l. Включениям R'k+l'a Rk + l,
g„k+i" с= ^*+* соответствуют включения Н' (k, /') cz #(fe, /),
#"(&, Г)с#(&, /). Нам достаточно теперь доказать, что
отображения Т и Т" многообразия Л4* в H(ky l) гомотопны между
собой в H(k, /).
Положим ft(x) — (1 — 0/'(*)+ ТС*)» x£Mk. Из регулярности
отображений /' и /" легко вытекает регулярность отображения ft.
Тангенциальное отображение, соответствующее регулярному
отображению fu обозначим через Tt. Мы имеем, таким образом,
непрерывную деформацию 7\, переводящую отображение 7"
в отображение Т", и потому отображения эти гомотопны между
собой в Н (fe, /).
Итак, эквивалентность всех тангенциальных отображений
замкнутого ориентированного дифференцируемого многообразия
доказана.
Следует отметить, что тангенциальное отображение Т зависит
от ориентации многообразия Mk. При изменении ориентации
многообразия получится другое тангенциальное отображение,
вообще говоря, не эквивалентное первоначальному.
Среди всех возможных отображений ориентированного
многообразия Мк в многообразие #(fe, k-\-\) (см. А)) выделим
специальный класс гомотопных между собой отображений,
эквивалентных тангенциальным. Этот тангенциальный класс отображений,
несомненно, отражает глубокие свойства дифференцируемого
многообразия Мк. Нужно думать, что тангенциальный класс
отображений не зависит от того способа, которым топологическое
многообразие Mk сделано дифференцируемым, и очень возможно,
что класс этот может быть определен для топологического
многообразия.
Нашей задачей является изучение гомологических свойств
тангенциального класса отображений, которые могут быть
полностью выражены через характеристические циклы многообразия
^к (см. определение 4).

264 17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
Введем некоторые обозначения:
C) Пусть %(i)—монотонно невозрастающая целочисленная
функция целочисленного аргумента t=l, ..., ky
удовлетворяющая условию О ^ % (i) ^ /. Тогда функция со = /— х> определяемая
соотношением со(/) = /—x(i), t=l, ..., k> удовлетворяет
требованиям определения 2 и может служить для построения множе-
ства Z(co) в H(ky I). Положим Zx = Z(l— х)> тогда
D(Zx) = kl-r(x), г(х)=2х(0. (2)
Числа alt ..., апУ рх, ..., р„, введенные для функции ю== /— х
(см. § 2, (3)), могут быть вычислены при помощи функции х- Для
этого достаточно определить места скачков функции х» как это
было сделано для функции со (см. § 2, В)); тогда места скачков
обеих функций совпадут, и числа а19 ..., ап выразятся через
функцию х- Числа рх, ..., Р„ определяются из формул:
Ра = Х(У —Х(*л + 1). А=1> •••■ л—1, Ря = х(*).
Условие о(1)>0 эквивалентно условию %(1)<1, а условие
со(&) < / эквивалентно условию х(&) > О- Легко видеть, что числа
ai, • • •» ал» Pi» • • •» Р« определяют функцию х- Ниже будет
показано (см. § 5, В)), что при (о(1) > 0 ориентируемость Z(co) зависит
лишь от чисел а19 ..., ап, pit ..., Р„; таким образом,
псевдомногообразия Zx, при />х(1)> все ориентируемы или нет
независимо от значения /.
Запишем теперь соотношения (12), (13), (14) предыдущего
параграфа в новых обозначениях. Для этого заметим, что если
<д) = /—х» то &>" = /"—х» поэтому для псевдомногообразия Z(co")
в H(ky Г) примем обозначение Zx. Тогда вместо (12), (13), (14)
§ 2 мы будем иметь:
при х(1)>'": Zx()H(k, Г) — пусто; (3)
при х(1)< 1\ 1ФГ: ZxxH(*, Г) = Zx; (4)
при %(l) = r:I(ZX9 H(k, Г)=1 + (-1)*. (5)
D) Пусть 9—отображение р-мерного комплекса Кр в
многообразие H(ky /), х—такая функция, что г(х)<р, х(0 < I (CM- Q)»
а Е—произвольный ориентированный симплекс размерности г(х)
комплекса Кр. Положим
r«(£) = /(Zx, в(£)). (6)
Здесь справа стоит индекс пересечения псевдомногообразия Zx с
образом симплекса Е, взятый в Н (fe, /); он берется по модулю
два, если Zx неориентируемо, и целочисленным в противном
случае. Таким образом, Y% есть функция ориентированного симплекса
комплекса Кр. Y%y как известно, представляет собой v-цикл

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ 265
плекса уе Ниже будет показано, что класс гомологии v-цикла
ув зависит лишь от функции х и класса {6} эквивалентных между
собой отображений, содержащего 0 (см. А)). V-цикл Y\ мы будем
называть характеристическим v-цикл ом типа %
отображения 0.
Если псевдомногообразие Zx неориентируемо, то мы имеем
TY\(E') = I(TZXy 6(£')) (см. § 2, F)). (7)
V-цикл ГУ£ будем называть вторичным
характеристическим V-циклом типа х отображения 0.
Если комплекс Кр представляет собой ориентированное
многообразие Mk, то V-циклу Y% соответствует, как известно,
определенный с точностью до гомологии цикл Хх размерности k—г (х),
причем Хх определяется условием
У5(£) = /(Х«, Е), (8)
где Е есть произвольный ориентированный г (х)-мерный симплекс
из Мн9 а справа в формуле (8) стоит индекс пересечения, взятый
в М*. Цикл Хх может быть определен непосредственно
соотношением
xg=e-i(zxx6(M*)). (9)
Здесь ZxxQ(Mk) есть алгебраическое пересечение, вычисленное
в H(k, /), а операция 0"1 переносит это пересечение обратно в Мн.
Для вычисления необходимо, чтобы Zx и Q(Mk) находились в
общем положении в H(k, /). Этого легко добиться, заменив
отображение 0 близким ему. Если размерность H(k, l) достаточно
велика, что всегда будет выполняться в дальнейшем, то можно
добиться и того, чтобы отображение 0 погружало многообразие
Мк в H(k, l) без самопересечений. В этом случае и операция 0"1
приобретает наглядный характер. Соотношение (9) мы будем
писать, не предполагая общности положения, а имея в виду, что
при проведении вычислений 0 должно быть заменено надлежащим
близким ему отображением.
Цикл Х\будем называть характеристическим циклом
типа х отображения 0. Если псевдомногообразие Zx
неориентируемо, то цикл ГХХ (см. § 2, F)) будем называть вторичным
характеристическим циклом типа х отображения 0.
Мы имеем, очевидно,
rX^O-^rZ^x©^)). (10)
Покажем теперь, что класс гомологии V-цикла У§ зависит
лишь от функции х и класса отображений {0}.
Выясним, прежде всего, вопрос об ориентации. Если Zx
ориентируемо, то формула (6) предполагает заданными ориентации
Z% и H(k, I).

266 17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
Если 2ZX~0, то 2Y\ ~ О, т.е. —Y\ ~ Y\. Таким образом, *
класс гомологии Y\ не зависит от случайностей в выборе ориентации.
Если же 2ZX^0, то ориентации Zx и H(k> l) определяются
ориентацией пространства Rk+l, а при перемене последней обе получают
множитель (—l)k (см. § 2, С), D)). Таким образом, и в этом случае
произвол в выборе ориентации не влияет на класс гомологии KJ. «
Пусть, теперь, 0' и 0"—два эквивалентных между собой
отображения комплекса Кр в многообразия Н' (k, V) и Н" (k, /") (см. А)).
Это значит, что существуют такие линейные невырождающиеся
отображения а' и а" пространств R'k+r и R"k+l" в пространство
Rk+ly что отображения я'0' и а"0" гомотопны между собой в Н (k, /).
Пусть 0 — какое-нибудь отображение Кр в H(k, /), гомотопное
обоим отображениям а'0' и а"0". Характеристические V-циклы,
вычисленные для отображений 0, 0', 0", обозначим, соответственно,
через Y\, Y%, Y$ и покажем, что Y\ ~ У£', Y\ ~ У£\ Этим
самым будет доказано, что Y\ ~ Yx\ Так как 0' и 0" вполне
равноправны, то достаточно доказать, что Y^~Y%\
Вычисленный для отображения 0 по формуле (6) v-цикл Ух,
с точностью до гомологии, определяется, как известно, классом
гомотопных между собой отображений 0, а потому мы можем
у . I//
принять за 0 отображение а" 0". Положим <f(R" ) = Rk+l\
a"(H"(ky П) = Я(*, Г). Тогда rg(£) = /(Zx, 0(f)), Y$ (E) =
= I (Zx, 0(f)). Так как псевдомногообразия Zx и Zx можно
выбрать произвольно в многообразиях Н(k, l) и H(k, Г), то мы
можем считать, что Z'x определяется через Zx по формуле (4),
а тогда эта формула показывает, что I (Zx, 0(£)) = /(Zx, 0(f)).
Таким образом, инвариантность характеристического v-цикла
доказана. Применим полученные результаты к тангенциальным
отображениям.
Определение 4. Пусть Mk—замкнутое дифференцируемое
ориентированное многообразие и Т—его тангенциальное
отображение в H(k, I) (см. определение 3).
Характеристический у-дикл Y\ (см. D)) будем называть
характеристическим V-цикл ом типа % многообразия
Мк и обозначать через Yx(Mk) или через Yx.
Характеристический цикл Х\ будем называть
характеристическим циклом типа % многообразия Mk и обозначать
через Хх(Мк) или через Хх. Таким образом,
при %(1)<1:
X%(M*) = Xx=T-4ZxxT(M*)), D(Xx) = k-r(x). (11)
Цикл Х% считается циклом по модулю два, если
псевдомногообразие Zx неориентируемо, и целочисленным в противном случае.
Если Zx ориентируемо и 2ZX ~ 0, то ориентации Zx и Н (fe, /)
следует брать, исходя из одной и той же ориентации векторного
пространства Rk+t (см. § 2, С), D)).

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ 267
При неориентируемом Zx вторичный характеристический цикл
гХ типа х многообразия Мк определяется соотношением
TXx = T-i(rZxxT(Mk))y D(TXx)=k-r(x)-l. (12)
Заметим, что при вычислении характеристического цикла Хх по
формуле (И) условие %(1)<1 можно отбросить (см. (4)), но
при х(1)>/: Хх~0 (см. 3)). (13)
j-jpH ^(i) = / вопрос о том, брать ли Хх как цикл по модулю
два или по целочисленному полю коэффициентов, следует решать,
исходя из того, будет ли псевдомногообразие Zx неориентируемо
или ориентируемо при />х(1).
Е) Особый интерес представляет характеристический цикл ХХУ
если r(x) = k. В этом случае размерность его равна нулю, и его
класс гомологии определяется целым числом или вычетом по
модулю два, в зависимости от того, ориентируемо
псевдомногообразие Zx или нет. В этом случае через Хх мы будем обозначать
число или, соответственно, вычет. Если Zx ориентируемо, но
2ZX ~ 0, то число Хх равно нулю, ибо 2ХХ ~ 0. В этом случае
характеристическое число Хх не представляет интереса. По той
же причине нет надобности рассматривать характеристические
числа TXx(r(%) = k—1).
Изучение характеристических циклов должно заключаться
в отыскании соотношений между ними. Соотношения эти могут
быть двух различных типов. Соотношения первого типа относятся
к характеристическим циклам Y% и имеют место при
произвольном отображении 6 комплекса Кр. Соотношения второго типа
относятся к характеристическим циклам Ух многообразия Mk
и учитывают специфичность тангенциального отображения.
Несомненно, что они глубже соотношений первого типа. Для
отыскания соотношений первого типа нужно в первую очередь найти
гомологические соотношения между псевдомногообразиями ZY в
H(k, /).
При исследовании отображений комплекса Кр нас интересуют
лишь функции х, удовлетворяющие условию г(х)^р; в то же
время можно считать, что р^1—1 (см. А)), так что г(х)^1—1.
Для функции co = Z—х это дает:
г (©)>« — /+ 1. (14)
Ввиду этого для интересующих нас целей достаточно изучить
базисы гомологии многообразия Н(k, l) размерностей г,
удовлетворяющих условию
r>ft/ —/ + 1. (15)
Этому вопросу и будут посвящены два следующих параграфа.

268 17- ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
§ 4. Клеточное разбиение многообразия //(&, /)
Гомологии в многообразии Н (fe, /) я вычисляю методом
Ehresmann'a при помощи разбиения H(k, l) на клетки весьма
общего типа. Ehresmann применил свой метод, в частности, к
многообразию Грассмана, для которого Н (fe, /) служит двухслойным
универсальным накрывающим. Таким образом, для H(k,l) клеток
оказывается вдвое больше, чем для многообразия Грассмана, и все
построение становится несколько сложнее. Ввиду невозможности
сослаться на окончательные результаты Ehresmann'a, я, для
удобства читателя, провожу все изложение заново.
A) В векторном пространстве Rk+t выберем фиксированный
базис
и обозначим через Qrn пространство с базисом
Sir g2> • •> gM> m<fe+/. (2)
Псевдомногообразие Z(<o) (см. определение 2), составленное из
всех Rk£H(ky /), удовлетворяющих условиям
D(/?*nQw(O+0>f. * = 1> •••» *.
обозначим через. Z0 (со). Положим, далее,
Подпоследовательность последовательности (1), состоящую из
векторов, не вошедших в (3), запишем в виде flt ..., ft. Векторы
составляют базис пространства Rk+i. Через R$ обозначим
ориентированную линейную оболочку векторов системы (3). Тогда R% есть
элемент общего положения из Z0(co), и базис (4) удовлетворяет
требованиям, выдвинутым в С) § 1 относительно #o6Z0((o)
(см. §1, (6)).
Таким образом, базису (4) соответствует ориентированная
окрестность £/flZ0(co) элемента R% в Z0(co), которую мы
обозначим через U (со) ,(см. § 1, С); § 2, А)). Ориентированный образ
окрестности U (со), получаемый при отображении Rk~^ Rk,
обозначим через О (со), t/ (со) и f/ (со) суть, таким образом,
ориентированные клетки размерности г (со) многообразия Н (k> /). Ниже
будет показано (см. вспомогательную теорему), что эти клетки
составляют клеточное разбиение многообразия H(k, /).
B) Пусть со' и со—две допустимые функции (см. определение 2).
Будем писать со'^со, если со'(()^со(/) при 1 = 1, ..., k. Если,
сверх того, со'(£)^со((), то будем писать со'< со.

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИИ 269
Пусть со"<« и г (со") = г (со)— 1. Тогда очевидно, что со" сов-
лает с со при всех значениях аргумента, за исключением лишь
"ттного, скажем, р, для которого со" на единицу меньше со. Так
°ак функция со"—не убывающая, то исключительное значение р
к умента i не может быть произвольным, а именно p = iH-\-\f
h_Jo, 1» •••» п—* (см- § 1» В)). Положим со" = 7;7(со)=соА. Таким
образом,
при 1ф1н+1: ©»(0 — ю(0, ®*(i*+l) = ©(fA+l)—11.
Если со(1) = 0, то функция со0 принимает отрицательное значение
(со°(1) = —О И П0Т0МУ не может быть использована для наших
целей. Чтобы не оговаривать этого случая отдельно, мы в
дальнейшем будем считать i/ (со0), f/ (со0), Z0(co°) и Z(co°) равными нулю
при со (1) = 0. Легко видеть, что если со'< со, то
последовательным применением операции у? при различных р к функции со мы
можем получить функцию со'.
С) Для всякого Rk£H(k, l) существует одна и только одна
функция со, такая, что Rk принадлежит сумме (/(со) и 0(со). Так
как U(он) и (/(со) не пересекаются (см. § 1, А)), то #(fe, /)
распадается в сумму всех клеток, построенных в А). Далее,
псевдомногообразие Z0(co) распадается в сумму всех (/(со') и О (со'), где
со'^со. Мы имеем, таким образом,
Z0(co) = 2 (/К) U (/(со'). (5)
0)'<Ю
Докажем С). Рассмотрим целочисленную функцию D(m),
определяемую соотношением
D(m) = D(Rk()Qm), m=l, ..., k + L (6)
Легко видеть, что функция эта удовлетворяет следующим
условиям:
0<D(1)<1, D(* + /) = ft; ( ,_
0<D(m+ 1)—D(m)<l, m= 1, ...,* + I—l. j W
Последнее из этих соотношений следует из того, что разность
размерностей Qm+1 и Qm равна единице. Из (7) следует, что
множество всех положительных значений функции D(m) составляют
числа 1, ..., k.
Обозначим через т{ наименьшее значение числа т, для
которого D(m) = i\ i = l, ..., k. Таким образом,
о(я*п<Г0 = <\ \(8)
при т<т{\ D{Rkf]Qm)<i; при т^т(: D{Rk{\Qm)>i. ) у '
Соотношения (8) ставят в соответствие элементу Rk из Н (kf I)
последовательность
mlt ..., ткУ 0 < т <... < mk < k +1. (9)

270 17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
Рассмотрим соотношения:
/?*€Z0(co); (10)
m/<o)(/) + i, i = l,..., fe, (11)
и покажем, что они эквивалентны.
Если верно (10), то D(Rk(]Q(d{i)+i) >*", /=1, •., А, и из (8)
вытекает (11). Если верно (11), то из (8) вытекает: D (Rk n Q(0<t')+t) ^
^/, /=4, ..., &, т. е. верно (10). Таким образом, (10) и (И)
эквивалентны.
Рассмотрим соотношения:
Я* €£/(<*)) U # И, (12)
я?! = ©(/) + /, i=l,...,£, (13)
и покажем, что они эквивалентны.
В силу А), функции о соответствует базис (4) пространства
Rk+l. Линейную оболочку векторов fl9 ..., fl обозначим через Р
и определим ф как проекцию пространства Rk+l на R% в
направлении Р (см. § 1, А)). Пусть х(—вектор из /?*flQm/, не
принадлежащий к Rkr\QTrl- Очевидно, что система х19 ..., хк есть
базис пространства Rk. Мы имеем:
*/=2*Гв.. *=1 *. (14)
m=i
Так как U (о>) и £/ (со)<zZ0 (со), то из (12) вытекает (10) и,
следовательно, (И). Таким образом, если (12) или (13) верно, то верно
(11), и потому
*/ = *2Г*РД.. '=1. ■•••*. (15)
m=l
Таким образом, мы имеем:
I
ф(*/)= 2 &Г,+Яе„ i= 1, ..., к (см. (3)). (16)
s = l
Положим af = 6f(s>+s, матрица ||a||| имеет треугольный вид, и
соотношение (16) справедливо, если верно хотя бы одно из
соотношений (12) и (13).
Допустим, что верно (12); тогда детерминант матрицы ||af
отличен от нуля, и, следовательно, отличны от нуля все числа
a\ = b?ii)+i, i=l, ..., к. Это значит, что вектор х{ входит в 0^')+',
но не входит в Q<°(0+i-ir откуда, в силу выбора векторов xi9
непосредственно следует: m/ = (o(t) + i, т. е. (13).
Допустим, что верно (13). Тогда вектор xh входящий в Q«>W+i,
не может входить в Q®(0+f-i> и потому число b^i)+i отлично от
нуля (см. (15)). Ввиду этого детерминант матрицы ||af| отличен

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ 271
нуля, а это значит, что проекция ф пространства Rk на про-
°тоанство Ro не вырождается. Вместе с включением /?*gZ0(co)
это дает (12)-
Итак, соотношения (12) и (13) эквивалентны.
В силу эквивалентности (12) и (13), соотношения (13)
однозначно определяют ту единственную функцию со, для которой
верно (12).
В силу сказанного, из эквивалентности (10) и (11)
непосредственно вытекает (5).
Итак, С) полностью доказано.
Вспомогательная теорема. Клетки £/(со) и i/(со), on-
ределенные в А), составляют клеточное разбиение многообразия
#(&, /). Теоретико-множественные границы V (со) == U (со) — £/(со)
и у (со) = f/ (со) — U (со) клеток U (со) и U (со) определяются
соотношением
V(со) = V (со) = 2 £/(©') U # К). (17)
0)'«*>
Алгебраические границы At/ (со) и А£/ (со) тех лее клеток
определяются соотношениями
/i-i
Ш (со) = 2 (1/(ю*)+(—1)8(*-й) t/(©*))(— 1 )'(«•*>, (18)
п-\
Д&(со) = 2 (£(*>*)+ (— l)s«»'*>[/(©*))(—1)'<®.*>, (19)
s(co, А)==со(/л+l)+«ft+l + fe= ^
= (0(1) + ^ + ?!+ . ..+ал + рй + £+1 (см. § 2, (3)); V (20)
/(со, h) не вычисляем (см. (53)). J
Доказательство. Функции со, в силу А), соответствует
базис
^1» • • • > ^fc» /1» • • • » / / 1^1/
пространства Rk+t. Точно так же функции соЛ (см. В))
соответствует базис
пространства /?*+*. Оба базиса (21) и (22) получаются путем
переименования элементов базиса (1). Для уяснения связи между
базисами (21) и (22) введем обозначения:
/? = /Л-Н, <7 = a>(fft+1), /i = 0, 1, ...,п—1. (23)
Мы имеем тогда:
при 1фр\ <?? = <?,., 4 = /у> /24)
при 1фд: //=/>, fq = ep.

272 17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
Для того чтобы убедиться в правильности соотношений (24), д^
статочно отчетливо представить себе процесс перехода от базиса (1)
к базису (4) при помощи некоторой функции со. Процесс этот
заключается в том, что сперва вектор g©(o+t в последовательности (I)
обозначают через eif f = 1, ..., ky а затем оставшиеся в
последовательности (1) нетронутыми векторы обозначают через flf • .,/..
Так как о и <ол отличаются лишь при i — р, причем (ол(/?) = со(/?) — f
то после первого шага нашего процесса вектор е£ оказывается
предшествующим вектору ер, в то время как все остальные
векторы el совпадают с векторами е{. Для выяснения того, что
происходит при втором шаге процесса, следует выяснить номер того
вектора /;-, который стоит в последовательности (1) непосредственно
перед вектором ер. Легко видеть, что j = p + q—p = q. Таким
образом, при переходе от функции о> к функции сол вектор /
сдвигается в последовательности (1) на один шаг вправо и
превращается в вектор fhq. Отсюда вытекает правильность (24).
Рассмотрим теперь линейное преобразование аи 0^^^2,
пространства Rk+l, которое зададим соотношениями (е( суть
элементы базиса (21)):
при 1фр: а, (<?,) = <?,; при \фц\ at(ff) = f/9 (25)
at (ер) = (cos j t ^ep + (sin -J t} fr
M/«H—(sin-y/J^+^cos-J-fJ/,.
(26)
При /=2 и при t — 1 мы имеем:
при 1фр: аг(е) = е{, а2(ер) = — ер; \
при \фц: М//)-//> a2{fg) = — /„; /
Me,) = «fc при 1Фд: М//) = /?. М/«) = -# (см. 24)). (28)
Легко видеть, что MQ"(,)+i) =0*°(,)+i, t' = l, ..., k, и потому
at(Z,(©)) = Z(©). (29)
Так же как в А) § 1, обозначим через Р линейную оболочку
векторов /i, ..., flt а через <р—операцию проектирования
пространства R*+l на /?§ в направлении Р. Тогда:
при
1фр: y(at(e)) = eh ф (at (ер)) = ( cos -J t) ер (30)
(см. (25), (26));
при
\Фц: <p(ut(fj)) = 0, <p(a,(/,)) = —(siny<)e, (31)
(см. (25), (26)).

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
273
В клетке V (<о) введем координаты так, как это было
сделано в С) § 1. Именно, в элементе R\^,U(со) существует базис
' e'k, задающий его в ориентацию и определяемый
соотношениями
е\ = е(+ 2ШУ, f=l, .... ft, (32)
Й = 0 при />©(0. (33)
Здесь числа £{, удовлетворяющие условиям (33), суть координаты
#tg£/((o). Координаты эти задают ориентацию U (о>) так, как это
было указано в А) § 1. Ориентированный образ клетки U (со) при
отображении at обозначим через at(U((o)).
Посмотрим теперь, при каких условиях a*(/?g) принадлежит
[/(со) или 0(о>). Для решения этого вопроса нужно изучить
отображение ф пространства а* (/?£). Мы имеем:
при i<p: Ф (а* (*й) = */» ]
9(^(^)) = (cosf ^^-(sinf^l^, I (см. (30), (31),
(32), (33)). ,
(34)
при i>p: <p(ai(ei)) = ei—(s\n^t)%!ePt
Таким образом, детерминант отображения ф пространства
at(Rl) в пространство /?о равен
cos у/ — (sin-j/ )Й,
(см. (29)) (35)
и, следовательно,
nPHcos£*-(sin-J*)|«>0: фМ*£))€£/(©), '
при cos|/-(sin|/)^<0: ф (а, (Я*)) €#(<»),
при cosf/-(sin-J/)^ = 0: ф(аД/?£))€
€Ze(©) —(£/(©)uf/(©)).
Отсюда следует, что
at(t/(o)))flf/(o)) = {^(f/H), cosy* —(siny/)s,>o}f (36)
at(6/((o))nf/(o)) = |a,(f/((o)), cos-J *—(sin£<)s* <o|. (37)
Правые части последних соотношений обозначают области,
выделенные в клетке at(U(<d)) неравенствами:
cosif—(sin£<Us>0, cos4<—(sin5-06j<0f

274 *7- ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
причем числа Ц, удовлетворяющие условиям (33), суть
координаты элемента at(Rl) в клетке а,([/(со)). Таким образом,
пересечения (36) и (37) суть связные области в клетке at (U (со)) или же
пустые множества в зависимости от значения параметра t.
Из соотношений (35) и (37) непосредственно следует, что
клетки £/(со) и а2(1/(ш)) совпадают как множества, но могут иметь
различные ориентации. Выясним связь между их ориентациями.
Образ элемента а2 (/?|) при отображении Rk —> Rk обозначим
через а2 (Rl). Так как a2(Ri)^U((o)9 то а2(#|) = /?|. Выясним
связь между £ и |'. Элемент а2(/?|) имеет базис а2(е[)> .-.,a2(e'k)
(см. (32)). Положим
при 1фр: ei = a2(e,i)f ер = — а2(е'р). (38)
Тогда векторы еи ..., ek составят базис элемента a2\Ri). Из
соотношений (27), (32), (38) следует:
в, = е,+ 2 Щ, (39)
при 1фр, \фц\ £;■' = £{; при 1фр: Ъ? = — If; | ^
при 1=^: £,' = -& 6^ = ^. |
Мы видим, что переход от матрицы £ к матрице £' дается
соотношениями (40). Детерминант преобразования S—►£' равен,
следовательно, (—1)/>+<7+*+1, и мы ИМеем
а2 (U (со)) =* (—)*+*+*+! [> (со). (41)
Рассмотрим теперь клетку ^([/(со)). Ее элемент ах (/?|) имеет
базис ах(^), ..., ^i(^)- В силу (28), (32), базис этот можно
записать в форме
*iWH*?+2t|{//. (42)
при /=Ич: г); = &, Л? = —£?• (43)
Так как числа £{• удовлетворяют условию (33), то числа г)'
удовлетворяют аналогичному условию:
т){ = 0 при / ><©({). • (44)
Уравнение £$ = 0 переходит в уравнение
тй-0. (45)
Уравнения (44) и (45) дают вместе:
т|{ = 0 при j><uh(i). (46)

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ 275
Таким образом, в клетке ^(£7 (со)) уравнение £j = 0 выделяет
четку U(ah), и мы можем написать
{М*/И). £* = 0} = £/(©*). (47)
Последнее соотношение не учитывает ориентации. Клетка 0i(£/(co)}
разбивается, таким образом, клеткой U (сол) на два
полупространства, и с учетом ориентации можно написать:
Д {a, (U И), у < 0} = гЦ (со*); Д К (£/ (со)), у > 0} - - eU (со*),
(48)
где е=±1» и нами не вычисляется.
Принимая во внимание соотношения (36) и (37) при /=1,мы
видим, что те две части, на которые клетка £/(сол) разбивает
клетку 01 (£/(<*))), совпадают, соответственно, с пересечениями
fli (У И) Л U N и аг (U (о))) П 0 (со). Так как а0 (t/ (со)) = [/ (со), а при
0< t ^ 1 пересечение (36) остается связным, то ориентации,
индуцируемые в пересечении ах (U (со)) П U (со) из U (со) и из ах (U (со))г
одинаковы; поэтому
AU (со) = eU (со*) + ... (см. (48)). (49)
Так как а2 ([/(со)) = (— 1)я+«+*+1 (/(со) (см. (41)), а при 1<*<2
пересечение (37) остается связным, то ориентации, индуцируемые
в пересечении ах (U (со)) П 0 (со) из (—1)/>+</+*+1 (/ (со) и из аа ((/ (со)),
одинаковы; поэтому
Д#(со) = е(—1)'+4+*[/(сол) + ... (см. (48)).
Применяя к последнему соотношению преобразование Rk —> Rky
получаем:
Д(/(со)==е(— 1)я+в+*^(©*)+ ... (50)
Соотношения (49) и (50) дают вместе:
Д(/ (со) = 8 (U (сол) + (— 1 )'+<?+* [/ (со*)) + ... (51)
Соотношение (51) показывает, что в теоретико-множественную
границу V(co) клетки t/ (со) входят обе клетки [/(со*) и [/(со*).
Так как V (со), замкнуто, то, на основании В), мы заключаем
отсюда, что V(co) содержит все клетки t/ (со') и 0 (со') при со' < со.
С другой стороны, очевидно, что V(co)czZ0(co), откуда, в силу (5),
следует (17).
В силу (17), алгебраическая граница клетки [/(со) может
содержать лишь такие клетки {/(со") и [У (со"), для которых со" < со,
г (со") = г (со) — 1. На основании В) мы заключаем отсюда, что
алгебраическая граница клетки U (со) может содержать лишь члены
вида (51), которые все учтены соотношением (18), и потому (18)
верно (см. (23)).

276 17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
Соотношение (19) получается из (18) при преобразовании
Rk-+ Д*.
Итак, вспомогательная теорема доказана.
Следует заметить, что вспомогательная теорема, доказанная
здесь, легко вытекает из результатов. Ehresmann'a. Это не
относится, насколько я понимаю, к результатам следующего параграфа.
Определим функцию со соотношениями:
при i^ih+l: co(i)=co(*),
при i>ih-{- 1: ю(0 = ©(«А+ 1).
Тогда
_ к _
/ (со, К) = г (со) = 2 «> (0 (см. (20)); ' (53)
соотношение это без труда получается из соотношения (1) § 1
и соотношения (43) § 4, но оно не будет использовано в
настоящей работе.
§ 5. Гомологии в //(&, /)
Здесь будет построен r-мерный канонический базис гомологии
многообразия #(£, /) для любого /\ удовлетворяющего неравенству
г>#—/+1. (1)
Построение базисов гомологии меньших размерностей представляет
трудности и не нужно для настоящей работы (см. § 3, (15)).
В основу изучения гомологии многообразия И (fe, /) будет
положено его клеточное разбиение, данное в предыдущем параграфе,
так что будут рассматриваться цепи, являющиеся целочисленными
линейными формами относительно ориентированных клеток,
построенных в А) § 4. Легко видеть, что для функций со из
условия (1) вытекает условие
со(1)>1, (2)
которое будет играть важную роль в дальнейшем.
А) Клеточное разбиение псевдомногообразия Z0(co) содержит
лишь две клетки максимальной размерности, именно: U(со) и (/(со)
(см. § 4, С)). Будем трактовать теперь Z0(co) как цепь, положив:
Z0 (со) = U (со) + (— l)®(i)+* 0 (со). (3)
Тогда
Z0(co) = (-l)^>+*Z0(co), (4)
Д£/(со) = Z0 (со0) (—1)'<®. о) +
п-\
+ 2 (£/(<о*) + (—1)* <*•*># (©*))(—1)< «*>">, (5)
h-l
(52)

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ 277
д#(©) -2, И (-1)'(<0> °>+<л^>+*-1 +
/1-1
+ 2 (# (со*) + (—l)s ((0' А>£/ (о>л)) (—1)' <»• *>, (6)
Л=1
az,(®)= S (1-(-1)а*+р,+ --+аА+рА)г0ю(-1)'(»."). (7)
А=1
Соотношение (4) следует непосредственно из соотношения (3).
Соотношения (5) и (6) вытекают непосредственно из соотношений
(18), (19), (20) § 4 и из соотношения (3) § 5. Соотношение (7)
вытекает из тех же соотношений, но нужно принять во внимание,
что при А^1: сол(1)=^со(1). Таким образом, соотношения (4),
(5), (6), (7) верны.
В) Пусть (о (1)^1. Если цепь aU (со) + bO (со) = X обладает
тем свойством, что ее граница АЛ" содержит клетки f/ (co°) и
f/(o)°) с коэффициентами, равными нулю, то
X^aZ0(<d). (8)
Далее, псевдомногообразие Z(co) (см. определение 2) ориентируемо
тогда и только тогда, когда
«i + Pi —оь1 + Ь = ... = ая„1 + Р11.1 = 0 (mod2). (9)
Если функция со есть константа: со = с, то она не имеет
скачков, т. е. л=1, и условие (9) выполняется. Таким образом,
псевдомногообразие Z(c) ориентируемо.
Из (5) и (6) следует
АХ = ± (a—b(—l)«*D+*+i) Z0 (со0) + ...,
так что если клетки f/(со0) и (/(со0) не входят в ДЛ", то 6 =
= а(—l)®°(D+fe+if и (g) верно. Допустим теперь, что
псевдомногообразие Z0(co) ориентируемо; это значит, что при надлежащем
выборе знаков цепь ± U (со) ± 0 (со) есть цикл. В границу этой
Цепи, поскольку она есть цикл, клетки [/(со0) и f/(co°) не входят,
и потому цепь эта равна ± Z0 (со) (см. 8); последняя же, в силу (7),
является циклом тогда и только тогда, когда выполнено условие (9).
Любую целочисленную линейную форму 2 ^Z0(co) цепей вида (3)
со
при г (со) = г будем называть Z-цепью размерности г. Соотношение (7)
показывает, что граница Z-цепи также является Z-цепью.
Тот факт, что граница Z-цепи есть Z-цепь, приводит к
естественной гипотезе, что для вычисления гомологии в Н (k, l)
достаточно рассматривать лишь Z-цепи. Гипотеза эта оказывается верной
Для размерностей, удовлетворяющих условию (1), причем удается
е*Це больше сузить класс рассматриваемых цепей.

278 17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
Цепь ^(a<aU((o) + b1J)((o))9 где суммирование распространено
(О
лишь на такие функции о>, для которых место первого скачка
не меньше двух (ix ^ 2), будем называть специальной. Из (7)
следует, что граница специальной Z-цепи есть также специальная
Z-цепь.
Лемма. Пусть X—цепь, размерность которой
удовлетворяет условию (1), а граница есть специальная цепь; тогда
существует специальная Z-цепь Y, такая, что X—Y есть циклу
гомологичный нулю.
Лемма эта показывает, что для изучения гомологии, размер,
ности которых удовлетворяют условию (1), достаточно
рассматривать лишь специальные Z-цепи.
Доказательство леммы. Упорядочим лексикографически
совокупность всех функций о>, удовлетворяющих требованиям
определения 2; именно, будем считать, чтоо^-Зсо,,, если для
минимального значения /, для которого а>г{1)ф(о2(1), имеем: со1(/)<
<со2(0-
Если С—произвольная цепь, то ее можно записать в форме
С= £(apU{v>p) + bpO(up)), (10)
где для всякого р коэффициенты ар и Ьр не исчезают
одновременно и щ-<щ-4 .. .-£сог Пусть, теперь,
С = 2 (a'PU (со;) + Ьр Ю)
р-\
— другая цепь, записанная таким же образом. Если (d^g^, то
будем считать, что С-^С. Далее, если ы>р = <д'р при p<t, но
щ-^Щу то будем также считать, что С-^С. В случае, если q' <q
и 0)^ = 0)^ при p^q\ мы также будем считать, что С-*$С Этим
множество всех цепей частично упорядочено. Здесь нет обычной
упорядоченности, так как может случиться, что q — q' и (йр = ®'р
при р = 1, •. •, q, между тем как цепи С и С все же различны.
Пусть М — некоторое множество цепей. Цепь С£М будем
считать максимальной в М, если не существует в М цепи С', такой,
что С-^С.
Среди всех цепей С, удовлетворяющих условию X—С~0,
выберем максимальную и обозначим ее через Y. Пусть
У= i(apU(np) + bp0(*p))9
где запись имеет форму (10). Покажем, что Y есть специальная
Z-цепь.
Отметим, прежде всего, что, в силу условия, наложенного на
размерность цепи Y (см. (1)), (0^(1)^1 (см. (2)).

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ 279
Пусть уже доказано, что для р < t место первого скачка
функции (ор не меньше двух (h>2), причем
apU (<>>р) + Ьр0 (©я) = Yp = сяг. (©,)
/длЯ ;=1 условие это бессодержательно). Докажем, что тогда и
место первого скачка функции ©^ не меньше двух, и что
atU (©,) + bfi (©,) = Yt = ctZ0 (©,).
Мы имеем:
ЛУ, = Л/(©?)+ <?#(©?) + ...
Покажем, что d — e = 0; этим будет доказано, что Yt = ctZ0(a>t)
{см. В)). Так как ©^(1)^1, то место первого скачка функции ©?
равно единице, и потому AYt является специальной цепью лишь
при условии d — e — О. Так как ДУ есть специальная цепь, то
члены df/(©?) + eU(<d°t) должны сократиться при вычислении ДУ.
Они не могут, однако, сократиться с членами из AYp при р <t,
ибо AYp при р < t есть специальная цепь (см. D)). Точно так же
члены dU (©?) + еО(щ) не могут сократиться и с членами из /SYP
при p>t, ибо ©?4©р при /?>/. Таким образом, d = e — Ot и
yt = c,Z0(©t).
Допустим теперь, что место первого скачка функции ©t равно
единице (il=l); тогда существует функция ©, такая, 4TO©f = ©§,
и потому
Д£/(©) = eZ0 (©f) Н- ..., е—±1 (см. 5).
Легко видеть, что Y—ес^ДС/(©,)<*-У, т. е. цепь У не
удовлетворяет наложенному на нее условию максимальности. Итак, место
первого скачка функции ©t. не меньше двух.
Введем некоторые обозначения, удобные для дальнейшего.
С) Через Q' обозначим множество всех функций © (см.
определение 2), для которых место первого скачка не меньше двух
(Ч>2) (см. § 1, В)).
Функции © были поставлены в соответствие числа а1э ..., ал,
§ь ..., Р/г (см. § 2, (3)). Рассмотрим теперь последовательности
ai» Pi* а2> Рг» •••» ал-1> Рп-1у а/*> I .--.
а1> Pi» а2> Рг» •••> ал-1> P//-1» J
Функции © поставим в соответствие первую из этих
последовательностей, если ©(£)</, и вторую из них, если ©(&) = /.
В множество Q зачислим всякую функцию ©£Q', для
которой соответствующая ей последовательность (11) не содержит
нечетных чисел. В частности, в Q будет зачислена и функция
<й = 1> так как для нее п=\ и ©(&) = /.

280 17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
В множество Qa зачислим всякую функцию G>gQ\ для
которой соответствующая ей последовательность (11) содержит
нечетные числа, и первое нечетное число есть некоторое ah.
В множество Qp зачислим всякую функцию co£Q', для
которой соответствующая ей последовательность (11) содержит
нечетные числа, и первое нечетное число есть некоторое Рл.
Таким образом, множество Q' разбито в сумму трех
непересекающихся множеств Q, Qa, Qp.
Из В) следует, что при о>£й псевдомногообразие Z (со)
ориентируемо, а при co'gQp псевдомногообразие Z (о/) неориентируемо.
Если <д=1—% (см. § 3, С)), то, зная х> мы сможем определить,
принадлежит ли (о к й'. Точно так же, если ogQ', то, зная ^,
мы сможем сказать, к какому из трех множеств Q, Qa, Qft
принадлежит о. Соответствующие множества для функций %
обозначим через X, Ха, Х^.
Теорема 1. Псевдомногообразие Z((o)y g)£Q, ориентируемо
(см. С) и, взятое с некоторой ориентацией, может
рассматриваться как цикл размерности г (со). Псевдомногообразие Z(o/),
co'gQp, неориентируемо (см. С)), и потому rZ(a)') (см. § 2, F))
есть цикл размерности г (о/)—1. Канонический базис гомологии
размерности r^kl—/+1 многообразия H(k, I) составлен из
циклов:
Z(a>), о€Й, r(o)) = r; rZ(a>'), <o'6&3' r(co')—l = r. (12)
Здесь Z((s>)—свободные циклы, а rZ(co')—цифры порядка два.
Доказательство. Разобьем доказательство на несколько
пунктов.
а) Пусть со g Йэ; тогда мы имеем:
п-\
Д20 (<о) = 2 яА (®*)» (!3)
где коэффициенты ah могут принимать значения ±2 и 0 (см. 7))-
Оказывается, что в (13) существуют коэффициенты, отличные от
нуля; первый из них мы обозначим через aq и положим <©* = ¥(©).
Оказывается, далее, что
при m>q: a>me^ ^((д)^^ £Qa. (14)
Сверх того, полученное отображение V множества йр в
множество Qa является взаимно однозначным отображением Qp на Qa.
Докажем а). Числа а и Р (см. § 2, (3)), соответствующие
функции со, обозначим через alf ..., ап9 plf ..., р„, а те же
числа, соответствующие функции com, обозначим через af, .. -
..., а™, К1, ..., Р{?,. Тогда:
при A<m: сф = ал, Р? = РЛ, (15)
при ря=1: ой = аш+1, (16)
при рв> 1: aS = aef BR = ft.-l, a£+i=l. (17)

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ 281
В силу (7)» число ah тогда и только тогда не равно нулю, когда
число
(«i + Pi)+ ■.•+(ал + Рл) (18)
нечетно. Таким образом, (7 следует определить как наименьшее
значение А, для которого число (18) нечетно, ввиду же того, что
ф gQ3, P^ есть первое нечетное число в последовательности (11),
соответствующей функции со.
Если m>q, то из (15) следует, что в последовательности (И),
соответствующей функции со*, первым нечетным числом является
р*, т# е. при m>q: co^fy.
Пусть теперь m = q; тогда при (^=1 первым нечетным числом
в последовательности (11), соответствующей функции со?, будет aj
(см. (15), (16)), т. е. оУ*£йа; если же Р^ > 1, то первым нечетным
числом в последовательности (11), соответствующей функции со*,
будет aQQ+1 (см. (15), (17)), т. е. оУ*€£}а. Таким образом, (14)
доказано.
Пусть со*—произвольная функция из Qa; числа аир,
соответствующие этой функции, обозначим через aj, ..., 0^*,
Р*, ...,Р£*. Будем искать функцию со, такую, что при некотором
А>0 со* = сол; она, как легко видеть, определяется следующей
формулой:
при i фа{ + ... +а*р: co(t)=co*((), \
при i'=*al+ ...+a;: со(t) = со*(0 + 1. ) (19)
(Здесь равенство р = п* возможно, лишь если со* (к) < /.)
Действительно, мы имеем:
при <х* = 1: со* = аУ~1; при а£ > 1: со* = соЛ ~(20)
Обозначая через а19 ..., a„, plf ..., рл числа а и р,
соответствующие со, получаем:
при h<p—l: аЛ = а£, РЛ=Р£; ая_1=«;.1, (21)
при а;=1: Р^^К-1+1. (22)
при а;>1: Р^^Р^х, a, = aj-l. Р„=1. (23)
Пусть, теперь, а*—первое нечетное число последовательности
(И), соответствующей функции со*. Легко устанавливается, что
при р < / цепь Z0 (со*) входит в AZ0 (со) с коэффициентом нуль.
При р > t функция со принадлежит Qa, и только при p = t мы
получаем: со^Цз, и со* = Чг(со). Таким образом, "V есть
взаимнооднозначное отображение Qp на Qa.
b) При со'£йэ определим цикл TZ (со') размерности г (со') — 1,
положив:
AZ0 (со') = 2TZ0 (со') (см. (13)). (24)

282 17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
Тогда оказывается, что, взятые вместе, цепи
Z0(g>), о>€Й, г(ю) = г; rZo(co'), co'eQp, r(o)')-l = r; \
z0K), co"eQ3, 'K)=', } (25)
составляют линейно независимый базис r-мерных специальных
Z-цепей при произвольном г, в то время как цепи
Z0(o), o>£Q, r(o)) = r; rzo(o)'), o'€Q6, r(o/)—l=r, (26)
составляют линейно независимый базис всех r-мерных
специальных Z-циклов.
Покажем, прежде всего, что система (26) линейно независима.
Пусть
2 ai0Z0 (со) + 2 Ь«. TZ0 (о') = 0. (27)
СО € Й СО' € Й«
Если Ь '=7^=0, то в (27) входит член ± b * Z0 (W (coi)) (см. (13)),
i i
который не может сократиться с аналогичным членом i&^'ZoX
X OF ((1)2)) из (27) при 0)^=7^=0)2, так как в этом случае ^((й'^ф
zy6=W((d'2) (см. а)). Далее, член + Ь 'Z0(¥((*)[)) не может сокра-
1
титься и с другими членами из Ьы>ТЕ0(щ) (см. (14) и (24)).
Точно так же ±fto)'Z0 (¥ (о)^)) не может сократиться с членами
вида а^0(о)), так как (ogQ, ^(coiJgQa.
Итак, все коэффициенты Ь^ равны нулю. Так как система
Z0(o)), о)£й, линейно независима, то и все коэффициенты^
равны нулю. Таким образом, независимость системы (26)
доказана.
Докажем теперь линейную независимость системы (25). Пусть
2ааЛМ+ 2 &со< TZ0 (о/) + 2 <V,Z0(o)") = 0. (28)
СО € Й СО' € Й« СО" € Йо
Беря границу левой части соотношения (28), получаем:
2 2^,, TZ0 К) = 0. (29)
СО"€ Йо
Так как система (26), по доказанному, линейно независима, то
из (29) следует, что все коэффициенты с^ равны нулю. Отсюда»
в частности, видно, что линейная форма цепей (25) может быть
циклом только в том случае, если она содержит лишь циклы
системы (26).
После того как установлено, что все с^,, равны нулю,
соотношение (28) переходит в (27), и потому все aw и Ь^, также равны
нулю. Итак, система (25) линейно независима.
Покажем теперь, что любая специальная Z-цепь Х
размерности г линейно выражается через цепи (25). Рассмотрим цепь

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ 283
Ха-Y гДе ^ €СТЬ линейная форма цепей системы (26). Среди
сех цепей вида X+Y, где X задано, a Y—указанная линейная
Люрма, выберем максимальную цепь X' = X+Y' (максимальную
в смысле, указанном при доказательстве леммы). Покажем, что
Х'= 2 сш.г0(аГ). (30)
Цепь X' запишем в виде:
X' = 2<>Z0K), *>,€0', />=1, ...,?, (31)
где все коэффициенты ся отличны от нуля и со^е^-^ .. .-^со^
(упорядочение функций cogQ' таково же, как при доказательстве
леммы).
Покажем, что соя£Цз. Допустим, что co^gQ; тогда, очевидно,
и, следовательно, X' не удовлетворяет условию максимальности.
Таким образом, ыр не может принадлежать к Q. Допустим, что
(op^Qa\ тогда существует такая функция co'gQp, что со/, = Чг(со/)
(см. а)), и если
rZ0(©')*=eZ0 (©,)+..., е = ±1 (см. (13), (24)),
то очевидно, что X' — ecpTZ0((d')^X', т. е. X' опять-таки не
удовлетворяет условию максимальности. Таким образом, остается
только возможность аУр^Цз, и соотношение (30) доказано.
Мы имеем теперь: л = — У + X', где —У + X' есть линейная
форма цепей системы (25).
Итак, утверждение Ь) доказано.
c) Так как, в силу леммы, каждый цикл размерности r^s
^kl—/+1 гомологичен специальному Z-циклу, а специальный
Z-цикл размерности r^kl—1+ 1, гомологичный нулю,
ограничивает специальную Z-цепь, то из Ь) следует, что система (26)
составляет канонический базис гомологии многообразия Н (fe, /) для
размерности r^kl —1+1 (см. (24)), причем циклы Z0(co), co^Q,
свободны, а циклы rZ0(co'), <o'£Qp, имеют порядок два.
d) Вместо специально выбранного цикла Z0 (со) можно взять
любой цикл Z(co), о)£й (см. определение 2). Точно так же вместо
Цикла rzo(co') можно взять rZ(co'), co'gQp.
Итак, теорема полностью доказана.
Из теоремы 1 следует, что все кручения размерности г^
^kl — 1+ 1 многообразия Н (fe, /) равны двум. Ввиду этого едва
ли может встретиться надобность рассматривать в H(k, l)
модульные циклы указанных размерностей по модулю, отличному
°т двух.

284 17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
D) При r^kl—/+ 1 r-мерный базис гомологии по модулю
два многообразия Н (fe, l) можно составить из циклов
Z(o)), co£Q, r(co) = r;
rZ(co'), co'€Qp, г(ю')-1 = г;
Z(o"), а>*€Оэ, r(co") = r,
рассматриваемых по модулю два (см. теорему 1); его также можно
составить из псевдомногообразий
Z((o), wgQ', r(co) = r, (33)
трактуемых как циклы по модулю два.
Тот факт, что система (32) составляет базис гомологии по
модулю два, следует из теоремы 1 на основе известных результатов.
Для того чтобы убедиться, что система (33) также
представляет собой базис гомологии по модулю два, рассмотрим вместо
нее систему
Z0(g>), co€Q', r(G>) = r, (34)
ей эквивалентную: Z0(co)~Z((o) (mod 2). Из нашей леммы,
примененной по модулю два, и соотношения (7) непосредственно
следует, что (34) есть базис гомологии многообразия H(k, l) по
модулю два.
§ 6. Некоторые свойства характеристических циклов
Здесь будут рассматриваться характеристические циклы
замкнутого ориентируемого дифференцируемого многообразия Mk, т. е.
циклы Хх, г(х)^&, и ГХХ,, /-(х')+1<;& (см. определение 4).
Цикл Ху является целочисленным циклом или циклом по
модулю два в зависимости от того, будет ли псевдомногообразие
Z(l—y) — Z при 1>%(1) ориентируемо или нет. На основании
предложения В) § 5, мы можем, наконец, различить эти два
случая, исходя из свойств функции х-
А) Функции х поставлены в соответствие числа а19 ..., aw,
Pi> •••» Р« (см- § 3, С)). Рассмотрим соотношения
ai+Pi = Oi+Pi=... = a«-i + P,,-i = 0 (mod2). (1)
Множество всех функций х» Для которых соотношения (1)
выполнены, обозначим через Х0. Множество всех остальных функций
X обозначим через Х2.
Из предложения В) § 5 непосредственно следует, что при
Х€Х0 Хх является целочисленным числом, а при х€Х2циклХх
есть цикл по модулю два.
Из предложения С) § 5 непосредственно следует:
XczX0, XocX2. (*)
(32)

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ 285
Пагтее оказывается, что еслих£Х0, т. е. Zx при />х(1) ориен-
йруемо, m2Zx*0BH(k, /), то
хех. (3)
Последнее непосредственно вытекает из В) § 5 и С) § 2. Таким
образом, если %£Х0 — X, то
2ХХ ~ 0. (4)
Теорема 1 позволяет выделить из множества всех
характеристических циклов часть, через циклы которой могут быть
выражены все остальные характеристические циклы.
В) Характеристические циклы Хх, х€Х, и Хх,, х'€Хр (см.
§ 5, С)), будем считать основными. Через них могут быть
вычислены все остальные характеристические циклы.
Есл х*€Х, то Хх* есть основной характеристический цикл.
Если х*€Х0 —X, то
Х*~ 2 fexr^x» (5)
где Ьх суть вычеты по модулю два, определенные функцией %*.
Если х*€Х2, то .
*r~2*x*x + 2 ЬХТХХ+ 2 cxXx(mod2), (6)
Х€Х ХбХо X€Xg
где ах, ЬХУ сх суть вычеты по модулю два, определенные
функцией %*. Наконец, если х*€Х2, то из (6) вытекает:
ГХХ»~ 2 схтхх- (7)
Докажем (5). Из теоремы 1 вытекает:
Zx*~ 2 axzx+ 2 bx^Zx, (8)
Х€Х X€Xg
где ах суть целые числа, а &х—вычеты по модулю два. Так как
теорема 1 дает канонический базис, то ах и Ъх определяются
однозначно функцией /—%*. Соотношение (4) § 3 показывает, что
ах и Ъх не зависят от числа /, а определяются только функцией х*.
Так как х*€Х0 — X, то 2ZX* ~ 0 (см. А)), и потому все числа ах
в соотношении (8) равны нулю. Ввиду этого соотношение (8) дает
(5) (см. § 3, (И), (12)).
Докажем (6). В силу предложения D) § 5, имеем:
Zx* ~ 2j a%Z% + 2 bxTZx+ 2 cxZx (mod2); (9)
X€X X€Xp X€XP
здесь ax, Ьх, сх суть вычеты по модулю два. Так как базис,
указанный в D) § 5, независим по модулю два, то ах, &х, сх одно-
i

286 17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
значно определяются функцией х*; но, в силу (4) § 3, ах, Ьх, сх
не зависят от числа /, а определяются только функцией %*.
Соотношение (9) дает (6) (см. § 3, (11), (12)).
C) Если %(k) > 0, то из условия r(%)^k непосредственно
следует, что х= 1- Таким образом, при %(k) > 0 всегда х = 1- Цикл
Х1==:ХХ(%=1) имеет размерность нуль и потому определяет
характеристическое число Хг (см. § 3, F)). В работе [5] будет
показано, что характеристическое число Х1(Мк) есть эйлерова
характеристика <§ (Мк) многообразия Мк. Функция х— 1
принадлежит Х0; она принадлежит X тогда и только тогда, когда k
четно. Таким образом, при k нечетном число Хх равно нулю
(см. § 3, Е)), и потому его совпадение с эйлеровой
характеристикой в этом случае очевидно.
D) Среди всех целочисленных характеристических циклов Хх
особый интерес представляют те, для которых х€Х, так как
только для них не имеет, вообще говоря, места соотношение
2ХХ ~ 0 (см. (4)). Один такой цикл, именно, Хх при k четном, мы
уже рассматривали (см. С)). Если х€Х, %^ 1, то х(&) = 0, и
потому для функции х все числа аи ..., ап_1У рх, ..., Ри-1
четны (см. § 5, С)). Таким образом, при х€Х, %ф\:
Х(1) = Х(2)>...>х(2р-1) = х(2р)>Х.(2р+1)=-.. )
• ••=х(*)=о; [ (Ю)
Х(0-0 (mod 2); r(x)<*. J
Из (10) видно, что г(х) делится на четыре. Все
характеристические числа Хх определяются условиями х€Х, r(%) = k.
Характеристическое число Хг может быть отлично от нуля лишь при
k четном, другие же характеристические числа Хх,
определяемые соотношениями (10) и условием r(%) = k, существуют лишь
при ky делящемся на четыре. При k = 2 имеется лишь одно
характеристическое число Xt. При fe = 4 имеются характеристическое
число Хг и еще одно, Хх, определяемое формулами
Х(1) = х(2) = 2, Х(3) = х(4) = 0. (И)
Выясним теперь вопрос о поведении характеристических
циклов при изменении ориентации многообразия Мк, т. е. при
переходе от Мк к —Мк.
Теорема 2. При переходе от ориентированного
многообразия Мк к ориентированному многообразию —Мк
противоположной ориентации имеем:
при х, не принадлежащем X: Хх( — Мк) ~ Хх(Мк), (12)
при %= 1: Хг( — Мк)^Хх(Мк), (13)
при х£Х, х^1: Хх( — Мк) ХХ(М*). (14)
Доказательство. Пусть MkaRk+ly и Г—тангенциальное
отображение многообразия Мк в #(&, /). Через Т (%) обозначим

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ 287
кторное подпространство пространства Rk+l, отличающееся от
т( л Лишь ориентацией. Тогда Т есть тангенциальное
отображение многообразия -Af* вН(к /)
Положим, далее, # = #(я, /). Соотношение (4) § 5 доказано
я ц@пи Z0(co), но оно верно и для псевдомногообразия Z0(co).
В самом деле, если Z0(g>) неориентируемо, то соотношение это
бессодержательно, если же Z0(oy) ориентируемо, то, взятое с
надлежащей ориентацией и рассматриваемое как цикл, оно совпадает
с цепью Z0(co). Так как от псевдомногообразия Z0(o>) к любому
псевдомногообразию Z(w) можно перейти вращением пространства
R*+l, то рассматриваемое соотношение верно и для любого
псевдомногообразия Z(co). Таким образом, из (4) § 5 получаем:
Zx = (—1)*+/+XC1,ZX; Я = (— \)k+lH. (15)
При доказательстве теоремы воспользуемся
характеристическими v-циклами. Через Yx обозначим характеристический v-цикл
многообразия —Мк. Тогда
Y%(E) = IH(ZX9 Т{Е)); YX(E) = IH(ZX, f(E))t (16)
где Е — произвольный ориентированный симплекс размерности
г(х) многообразия Мк. Для вычисления правой части второго
из соотношений (16) подвергнем многообразие Н (&, /) гомеоморф-
ному преобразованию Rk—*/?**. Тогда
I„(ZV f (£)) = /й(Zz. Т(£)) = (- 1)X<1,/«(ZX, Г(£)) (см. (15)).
(17)
Из (16) и (17) получаем:
РХ = (-1)*<»КХ. (18)
При переходе от v-цикла к соответствующему Д-циклу
учитывается ориентация многообразия Мк (см. § 3, (8)). Из (18) мы
получаем:
Хх (-Мк) = (-1)* <1)+1 Xx (M*). (19)
Если х£Х2, то Х% есть Цикл по модулю два, и соотношение
(19) дает (12). Если х€Х0 — X, то Хх~— Хх (см. (4)), и
соотношение (19) дает (12). Если х^Ь то Х(1)=1» и соотношение
(19) дает (13). Если, наконец, х£Х, Х^1» то Х(*) = 0 (см. С)),
и все числа pif ..., Р _х четны (см. § 5, С)), а так как %(1) =
^Pi+ ... +P#i-i + X(*)» то соотношение (19) дает (14).
Итак, теорема 2 доказана.
Как непосредственное следствие теоремы 2, получаем:
Е) Если многообразие Мк допускает гомеоморфное
дифференцируемое отображение на себя, обращающее ориентацию, то вся-

288 17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
кий его характеристический цикл Хх, х Ф 1» удовлетворяет
условию 2ХХ ~ 0. В частности, всякое характеристическое число Хг
%ф\У многообразия Мк обращается в нуль.
Теорема 3. Если многообразие Мк является границей
ориентированного дифференцируемого ограниченного многообразия
Мк+1У то характеристическое число Хх многообразия Mk четно%
а все остальные его характеристические числа и вычеты равны
нулю.
Доказательство. Будем считать, что Mk+1czRk+t.
На многообразии Мк+1 легко задать дифференцируемую
числовую функцию f(x), x£Mk+1, удовлетворяющую следующим
условиям:
a) /(х)>0;
b) уравнение f(x) = 0 определяет границу Мк многообразия
Мк+1\
c) критические точки функции / изолированы и лежат вне Мк.
Пусть а—произвольная некритическая точка из Mk+1.
Поверхность уровня, определяемую уравнением f(x) = f(a),
ориентируем так, чтобы она была границей куска / (х) ^ f (a), и
проведем в точке а ориентированную касательную Та к этой
поверхности уровня. Векторное ориентированное подпространство
пространства Rk+l, параллельное ориентированной плоскости Та,
обозначим через Т(а). Тогда V(а)£Н(fe, /), и мы имеем
отображение 7", определенное и непрерывное во всякой
некритической точке а£Мк+1, причем Т' есть тангенциальное
отображение Мк.
Пусть аи ..., at—совокупность всех критических точек
функции /. Через Р)+1 обозначим касательную к Мк+1 в точке ау, а
через /?/+1—параллельное ей векторное подпространство
пространства Rk+t.
Пусть, далее, б—весьма малое положительное число. Через
£/+1 обозначим сферическую окрестность точки Яу в Мк+г
радиуса б, ориентированную согласно с Мк¥1у а через S)—ее
границу, взятую с надлежащей ориентацией.
Положим, далее,
Mk+i = мк^—(Ек+1 U ... U £?+1).
Тогда отображение Т' определено на всем ограниченном
многообразии Мь*1 и, следовательно, !
r(Af*)~r(S*)+.., + r(Sf) в H{k,l). (20);
i
Таким образом, для вычисления характеристического числа или
вычета Хх многообразия Мк достаточно вычислить индексы
пересечения /(Zx, T'(S))) для всех /=1, .., t.
Если б достаточно мало, то при а £ S/ плоскость 7" (а) близка
к своей проекции Т"(а) на Rk+1 в смысле топологии
многообразия Н (&, /). Таким образом, отображение 7" сферы S) в Н (k, О

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ 289
чгип малым сдвигом перевести в отображение Т", такое, что
поГоб^ имеем: Г (а) (=/?*".
Если обозначить через Н, (fe, 1) многообразие всех ^-мерных
риентированных подпространств пространства R)+1y то
отображение Т" переводит S* в #/(&, 1). Так как размерность Н;(к, 1)
равна /с, то отображение Г" сферы S^ в #,(&, 1) имеет некоторую
степень у , и мы получаем:
/(ZXfr(S))) = V//(ZXf^(*f 1)). (21)
Используем теперь соотношения (3) и (5) § 3, полагая /?*+1 =
--#''+г, т. е. считая Г=1. Если х—1» т0 из (5) § 3 получаем:
/(Zlf^(fefl))=l + (-l)*. (22)
Если %Фи то из r(%) = k следует: х0)> 1» и соотношение (3)
§ 3 дает:
I{Z%yHj{k, 1))-0. (23)
Из соотношений (20), (21), (22) и (23) следует справедливость
теоремы 3.
Так как характеристическое число Хх равно эйлеровой
характеристике многообразия, то из теоремы 3 следует, что
многообразие Mk, являющееся границей ориентируемого многообразия
Mk+l, имеет четную эйлерову характеристику. Этот факт легко
может быть доказан непосредственно для комбинаторных
многообразий Мк и Mk+1 путем склеивания двух экземпляров
многообразия Mk+1 по их границам и подсчета эйлеровой
характеристики по числу симплексов.
Таким образом, существуют четырехмерные ориентируемые
многообразия, не могущие служить границей пятимерных
ориентируемых многообразий. Простейшим примером служит
комплексная проективная плоскость, эйлерова характеристика которой
равна трем.
Интересно было бы доказать, что всякое трехмерное
ориентируемое многообразие является границей четырехмерного
ориентируемого ограниченного многообразия.
Нижеследующие предложения F) и G) могут быть полезны
для вычисления характеристических циклов некоторых
многообразий .
F) Если существует регулярное отображение f
многообразия Mk в векторное пространство Rk+1 (см. § 3, (1)), то все
характеристические циклы многообразия Мк, за исключением, быть
может, Хх (см. D)), гомологичны в нем нулю, в то время как
характеристическое число Хх четно.
Пусть Rk+1aRk+l, где /—достаточно велико; тогда H(k,l)a
Многообразие #(&, 1) гомеоморфно fe-мерной сфере.
Тангенсиальное отображение Т многообразия Мк9 построенное на
tQ „
Л. С. Понтрягин, т. I

290 17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ
основе регулярного отображения f (см. определение 3), обладав
тем свойством, что Т(Мк)аН (fe, 1).
Если %(1)>1, то, в силу (3) §3, псевдомногообразие я
можно выбрать так, чтобы пересечение Z%f]H(k9 1) было пусто
Если %(1)= 1, но г(%)< k, то Zxx#(&, 1)~0 в H(k, 1), и noi
тому существует цикл Z£, гомологичный циклу Zx в Н (fe, /), такой
что пересечение Z^f\H(ky 1) пусто. В случае х(1)=1 и r(x)=fc
мы имеем: х= 1, и тогда, в силу (5) § 3,
/(ZXftf(M))=i + (-i)*.
Из сказанного и из того, что Т(Мк)аН(&, 1), утверждение
F) вытекает непосредственно.
G) Пусть Мк—ориентированное, может быть, несвязное
многообразие, a U\ и U\—две его малые шаровые окрестности,
замыкания которых U\ и U\ не пересекаются. Границы этих
окрестностей обозначим через SJ"1 и S*"1; обе они гомеоморфны
(k—1)-мерной сфере. Вырежем из Мк окрестности U\ и 1)\, и в
полученном ограниченном многообразии склеим края S\~x и S£~\
согласуя ориентации. Так полученное замкнутое ориентированное
многообразие обозначим через М\.
Легко видеть, что при переходе от Мк к М\ могут измениться
лишь группы Бетти размерностей 0, 1, k—1, k. Таким образом,
для всех остальных размерностей можно говорить о совпадении
циклов многообразий Mk и М\. Что касается нульмерных
циклов, то можно говорить о совпадении их в смысле совпадения
индексов. Оказывается, что все характеристические циклы, за
исключением, быть может, Хг (см. D)), совпадают для
многообразий Мк и М\.
Пусть Rk+l—векторное пространство, достаточно высокой
размерности, и Rk+1aRk+l. Тогда #(&, l)d#(fe, /). Легко теперь
построить такое регулярное отображение f многообразия Мк в
Rk+l, при котором будут выполнены условия:
a) f(Ui)cR*+\ f(Uk)aRk+\
b) отображение /ограниченного многообразия Мк—V\—V\
осуществляет регулярное отображение многообразия М\ в Rk+l.
Выбирая циклы Zx и Z\ так, как это было сделано в F), мы
убеждаемся в правильности утверждения G).
Рассмотрим некоторые простейшие характеристические циклы.
Н) Пусть х—функция, имеющая не более одного скачка и
удовлетворяющая условию г (х) ^ k. Тогда она определяется
соотношениями:
Х(1)=...=Х(Р) = 9.Х(Р+1)=...^Х(*) = 0, rfo) = W<M24)
Так как заданная таким образом функция х определяется двумя
числами р и qy то мы обозначим ее через %Рл г
Псевдомногообразие Zx, определяемое этой функцией, обозначим через Zp> q,
характеристический цикл Хх—через Хр% В случае, если % вовсе

17. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ МНОГООБРАЗИЙ 291
имеет скачка, т. е. p = k, мы из соотношения pq ^ k получаем
Н1-1 или (7 = 0. При q=l мы имеем уже известный нам
характеристический цикл Хкч1 = Хг (см. С)). В случае q==0 имеем:
Если х имеет °ДИН скачок, то р < &, и хя, ^(^) = 0. Далее,
а1^/?, р!-^. и потому
при p + q = 0(mod2): х,, ,€*<>, \
при р + </ ф 0 (mod 2): Х/>, , 6 *2, | (25)
при p = q = 0 (mod 2): хя, ,€*. J
Во всех рассмотренных случаях псевдомногообразие Z^ .
определяется одной плоскостью Sj (см. § 1,В)) размерности l + p—q\
именно, Zp%q состоит из всех Rk£H(k,l), удовлетворяющих
условию:
D(R*[\Sx)^p. (26)
ЛИТЕРАТУРА
1. Л. С. Понтрягин, Характеристические циклы многообразий, ДАН,
XXXV, № 2 (1942).
2. Н. Н о р f, Die Curvatura integra Clifford-Kleinscher Raumformen, Nachr
Gesell. der Wiss. Gottingen (1925), 131—141.
3. E. Stiefel, Richtungsfelder in л-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, Math.
Ann., 96 (1927).
4. H. Whitney, Lectures in Topology, University of Michigan Press, Ann.
Arbor, Mich. (1941), 101—141.
5. Л. Понтрягин, Векторные поля на многообразиях, печатается в Мат. сб.
6. S. L e f s с h e t z, Intersections and transformations of complexes and manifolds,
Trans. Amer. Math. Soc, 28 (1926).
7. C. Ehresmann, a) Sur la topologie de certains espaces homogenes, Ann.
of Math., 35, 2 (1934); b) Sur la topologie de certaines varietes algebriques
reeles, J. de Math, pur et appl., 16 (1937).
10*

18
ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ*)1)
Совместно с М. Глезерманом
Введение
Теория пересечений, построенная Лефшецом2), составляет в
настоящее время вместе с теорией гомологии основной хорошо
развитый аппарат комбинаторной топологии. Она дает новый
инвариант многообразия — кольцо пересечений и имеет
многочисленные приложения как в топологии, так и за ее пределами.
Дальнейшее развитие теории пересечений в работах Александера3)
и Колмогорова4) привело к совершенно новому ее аспекту и
сделало ее применимой к произвольным полиэдрам, а затем и
гораздо более общим топологическим пространствам.
Основные идеи теории пересечений были заимствованы
Лефшецом из алгебраической геометрии, где теория пересечений имеет
вполне непосредственный геометрический смысл и особенно
большое значение благодаря тому, что в ней речь идет о комплексном
переменном.
Геометрические факты, лежащие в основе теории пересечений,
весьма просты, они суть следующие.
Как известно, л-мерным векторным пространством Rn
называется коммутативная группа, элементы которой можно умножать
на действительные или комплексные числа, причем существует
базис пространства Rn относительно действительных или
комплексных чисел, составленный из п элементов.
*) Успехи мат. наук.— 1947.— Т. 2, вып. 1.— С. 58—155.
*) (Примечание Л. Понтрягина.) Настоящая статья представляет собой
студенческую дипломную работу М. Глезермана, написанную под моим
руководством на основании моих лекций, читанных в Московском Государственном
университете. К началу Великой Отечественной войны статья была почти полностью
подготовлена к печати, но война помешала ее изданию. Сражаясь в рядах
Народного Ополчения, М. Глезерман пропал без вести. Теперь, после окончания
войны, статью пришлось заново пересмотреть и внести в нее некоторые
изменения; эту работу в основном выполнил М. Шура-Бура.
2) Lefsctietz S., Intersection and transformations of complexes and
manifolds. Trans. Amer. Math. Soc. 28 (1926) (1—49).
3) Alexander, On the connectivity ring of an abstract spase, Ann. of
Math. 37 (1936).
Русский перевод этой работы публикуется в настоящем выпуске сборника
«Успехи математических наук».
4) Kolmogoroff A., Homologiering des komplexes und des lokalbikoffi-
pakten Raumes, Мат. сб. 1 (43) 1936 г.

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 293
Действительное векторное пространство Rn называется ориен-
оованным, если каждому его базису еЛ9...9еп поставлено в
ответствие число о(е19 ..., еп)9 равное ±1, причем выполнено
бедующее условие: пусть е19 ..., епи е[9 ..., е'п—два базиса
пространства Rn такие, что е1 = ^а{е/9 знак детерминанта матрицы
1дП обозначим через е, тогда а(е[9 ..., е'п) = г-а(е19 ...,£„)•
' Комплексное векторное пространство Rn размерности л можно
трактовать как действительное размерности 2л. В самом деле,
поскольку элементы из Rn можно умножать на комплексные
числа, то их можно умножать и на действительные числа; далее,
если е19 - ••» еп составляют базис пространства Rn относительно
комплексных чисел, то el9 iel9 ..., еп9 ien составляют его базис
относительно действительных чисел. Таким образом, из комплексного
векторного пространства Rn можно получить действительное
векторное пространство, которое мы обозначим через Rn; оно имеет
размерность 2л. Если теперь задать ориентацию пространства Rn9
положив o(el9 iel9 ..., еп9 ien) = + l9 то оказывается, что эта
ориентация не зависит от исходного базиса elf ..., еп. Таким
образом, комплексное векторное пространство, трактуемое как
действительное, имеет свою естественную ориентацию.
Пусть Rn—действительное или комплексное векторное
пространство размерности л, a Rp и Ri—два его линейных
подпространства размерностей р и q9 p + q—л = г^0. Допустим, что
пространства Rp и RQ находятся в общем положении, т. е.
размерность их пересечения равна г, RP(]R7 = Rr.
Пусть теперь Rn—действительное ориентированное
пространство, а его подпространства Rp и Rf также ориентированные;
оказывается, что тогда пересечению Rr также можно приписать
определенную ориентацию. Делается это так: пусть е19 ..., ег —
некоторый базис пространства Rr. В пространстве Rp выберем
er+i» • •, е'р так, чтобы е19 ..., er9 e'r+l9 ..., е'р составляли базис
пространства RP; точно так же в № выберем векторы еГг+и ..., е"я
так, чтобы е19 ..., еГ9 е"г+19 ..., eq составляли базис
пространства /?</. Легко видеть, что тогда векторы е19 ..., еТ9 е'г+19 ..., ер9
er+i, ..., е'д составят базис пространства Rn. Ориентация
пространства Rr задается тогда соотношением
\fci» • • • , 6Г) =0 (£j, . . . , €f9 6r+li • • •» &р) ® V^l> • • • » ^r» ^r+it • • •» &q)
G \€f9 . . . , €f9 €r+i9 • • •, €p9 er+i9 . . . , €q). \ I)
Легко проверяется, что так полученная ориентация
пространства Rr не зависит от случайно выбранных векторов, а
определяется лишь ориентациями пространства Rn9 Rp, Rq и тем
порядком, в котором взяты пространства Rp и Rq. Ориентированные
Пресечения Rp f] R1 и R? П Rp могут иметь различные
ориентации, хотя и совпадают геометрически. В случае, когда г = 0, про.

294 18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
странство Rr не имеет базиса и число, стоящее в правой части
соотношения (1), называется индексом пересечения пространств
Rp и /??.
Пусть теперь Rn—комплексное пространство, тогда действи-
тельные подпространства Rp и RJ находятся в общем положении
в действительном пространстве Rn; сверх того все три простран-
^-ч **% >%
ства Rny Rp, R7 имеют естественные ориентации. Оказывается
что ориентация пересечения Rp[)R', вычисленная по
вышеуказанному способу, совпадает с естественной ориентацией простран-
ства Rr. В частности, в случае, когда г = 0, индекс пересечения
Rp и Ri всегда равен -f-1. Это обстоятельство играет чрезвычайно
важную роль в алгебраической геометрии, что будет пояснено
ниже.
Перейдем теперь к вопросу о пересечениях в аналитических
многообразиях.
Топологическое пространство Мп, удовлетворяющее второй
аксиоме счетности, называется действительным или комплексным
аналитическим многообразием размерности и, если выполнены
следующие условия:
1) Для каждой точки а£Мп выбрана определенная
окрестность Ua и задано вполне определенное гомеоморфное
отображение <ра окрестности Ua на область Va n-мерного действительного
или комплексного пространства Rn, причем <ра(а) есть нуль
пространства Rn. Выберем в Rn некоторый определенный базис,
тогда каждый вектор его получит определенные координаты. Если
теперь zg[/a, то координаты точки фа(г) и Rn будем называть
локальными координатами точки г относительно точки а.
2) Пусть г одновременно принадлежит двум окрестностям Ua
и Ub. Локальные координаты точки z относительно точки а
обозначим через х1У ..., хп. Локальные координаты той же точки г
относительно точки Ъ обозначим через у1У ..., уп. Мы имеем
тогда yi = fi(xlf ...,*„), где функции fu ..., fn непрерывны
ввиду гомеоморфности отображений фа и <рь. Требуется
дополнительно, чтобы функции fl9 ...,/„ были аналитическими и чтобы
функциональный определитель п, '"'у был отличен от нуля.
IJ {Х±, .. . у Хп)
Действительное многообразие Мп называется ориентированным,
если линейное пространство Rn ориентировано и если все
функциональные определители п, --'Уп) положительны.
U (Х±, . . ., Хп)
Если в случае комплексного многообразия Мп линейное про-
•1*4
странство Rn трактовать как действительное пространство RntT°
из Мп мы получаем действительное многообразие Мп удвоенной
•1*4
размерности 2п. Легко устанавливается, что многообразием" всегда

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
295
еНТировано и имеет свою естественную ориентацию ввиду того,
«то Rn имеет таковУю-
Подмножество Мр аналитического многообразия Мп называется
/7-мерным аналитическим подмногообразием, если выполнено
условие:
1) для каждой точки а£Мр существует настолько малая ок-
оестность Uа этой точки в Мпу что множество 1/,аГ[Мр = Мр1 в
вокальных координатах относительно точки а задается системой
уравнений
g/(*i> ...,*„)*= О, / = 1, . ..,л—/7,
где gu •••» S"« СУТЬ аналитические функции, а функциональная
матрица ||f| имеет ранг л—/7.
При выполнении этого условия множество q>a(M%) является
аналитически /7-мерным подмногообразием линейного пространства
Rn и проходит через нуль пространства.
Линейное /7-мерное подпространство /?g, касательное к <ра (Мра)
в точке нуль Rn, мы будем называть касательной к Мр в точке я.
Аналитическое подмногообразие Мр многообразия Мп само
естественно оказывается аналитическим многообразием и потому
может оказаться ориентированным. В этом случае касательная
Rpa в каждой точке а £ Мр получает определенную ориентацию.
Пусть Мр и М<*—два аналитических подмногообразия
аналитического многообразия Мп, причем p + q—n = r^Q. Говорят,
что Мр и Mq находятся в общем положении в Мп, если для
каждой их общей точки а касательные к ним линейные
пространства Rpa и Rqa находятся в общем положении в Rn.
Оказывается, что в этом случае пересечения Mp(]Mq есть
аналитическое подмногообразие Мг многообразия Мпу причем пересечение
RplftR% = Rra оказывается касательной к Мг в точке а. Если
многообразия Мп> Мр, Mq все ориентированы, то пространства Rn,
Я?» RQa также ориентированы и потому их пересечение Rra получает
определенную ориентацию, которая в свою очередь индуцирует
ориентацию на УИГ. Таким образом, пересечение двух
ориентированных подмногообразий многообразия Мп оказывается
ориентированным. Если г = 0, то каждая точка пересечения Мр и Mq
получает определенный индекс, а сумма всех индексов называется
индексом или алгебраическим числом пересечения Мр и Mq.
В случае комплексных многообразий индекс пересечения в
каждой точке оказывается равным + 1 и потому алгебраическое число
точек пересечения совпадает с геометрическим. Это обстоятельство
чрезвычайно важно в алгебраической геометрии.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь замкну-
ТЬ1*, т. е. компактных, многообразий.
Ориентированное /7-мерное подмногообразие Мр
действительно многообразия Мп естественно можно [рассматривать как*/7-

296
18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
мерный цикл из А1Л. Если имеются два таких подмногообразия
М? и М?, находящихся в общем положении в Мп> причем само
многообразие Мп ориентировано, то определяется новое
ориентированное многообразие Мг = Мр П М ', которое является г-мерньи*
циклом. Легко прийти к догадке, что класс гомологии цикла Мг
определяется классами гомологии Мр и М'. В частности, когда
г —0, индекс пересечения Мр и М- зависит лишь от классов
гомологии циклов Мр и М . Таким образом, мы приходим к идее
построения новой операции, позволяющей ставить каждым двум
классам гомологии новый класс, являющийся их пересечением.
При p + q<Cn пересечение следует считать нулем.
Трудности, лежащие на пути осуществления этой идеи,
оказываются, однако, весьма большими. Они таковы:
1) Неизвестно, можно ли каждый цикл аналитического
многообразия реализовать в виде аналитического подмногообразия.
2) Неясно, как и можно ли вообще привести два
подмногообразия из Мп в общее положение.
3) Если желать построить топологическую теорию, то
невозможно ограничиваться аналитическими или даже
дифференцируемыми многообразиями, а нужно рассматривать многообразия,
составленные из симплексов.
Преодоление всех этих трудностей было в основном совершено
Лефшецом. Он рассматривал симплициальные многообразия и
циклы реализовал в виде геометрических образований,
составленных из выпуклых многогранников, лежащих в основных
симплексах многообразия. Вопросы общности положения приобрели здесь
весьма сложный и запутанный характер. Вся теория стала весьма
громоздкой, и Лефшец не провел ее с полной педантичностью.
Вполне педантичное, но, к сожалению, чрезвычайно
громоздкое изложение теории пересечения дается в настоящей статье.
§ 1. Выпуклые многогранники
В этом параграфе излагаются основные сведения из
элементарной теории выпуклых многогранников. Вопросы, связанные с
ориентацией, не рассматриваются. Читатель, знакомый с
геометрией выпуклых многогранников, может первые три пункта
просмотреть весьма бегло, лишь для ознакомления с обозначениями
и терминологией. Четвертый пункт посвящен обобщению понятия
пирамиды над многогранником—выпуклому замыканию
многогранников. Это понятие понадобится лишь в § 5. В последнем,
пятом, пункте вводятся основные для всей излагаемой теорий
определения, касающиеся общего положения многогранников:
1:1. Определение и свойства многогранны*
областей.
1:2. Грани многогранных областей.
1:3. Свойства граней.

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
297
1-4 Выпуклое замыкание.
1-5. Многогранники общего типа и общего
положения.
1:1. Определение и свойства многогранных областей. Пусть
лана* линейная форма L, (t) = а0 4- a 1t1 -- ... -4- a rtr от декартовых
оординат tlf • ••> tr точки /в r-мерном эвклидовом
пространстве fp. Множество точек t пространств /?г, удовлетворяющих
равенству L,(/) = 0, есть г—1-мерная плоскость, которую мы будем
обозначать через L, или Ц'1. Таким образом, Lf = Lr]~l = {t; t£Rn,
I //) = 0}. Множество точек Rry удовлетворяющих неравенствам
!,(/)> О или L, (/) < О, называются (открытыми)
полупространствами (пространства Rr), ограниченными плоскостью L,, и обо-
х > < > <
значаются соответственно через Ly и Ly или Ly и LJ:
L = L< = {t;t€Rr, Ly(0>0},
Ly = !,'={*; /£#', M0<0}.
Аналогично определяются замкнутые полупространства
>
Lj={t; Ly(0>0}, Ly={/; Ly(0<0}.
Очевидно,
>> << >< ><
Lj = Lj и L7; Lj == Ly U L,; Ly n Ly = О*); Ly П Ly = Ly.
Определение [1:1]. Непустое точечное множество
/"-мерного эвклидова пространства Rr называется r-мерной
многогранной областью этого пространства, если оно может быть
представлено как пересечение конечного числа (открытых)
полупространств пространства Rr\
Т=ПЬГ (1:1)
Все пространство Rr также считается своей многогранной
областью.
Равенство (1:1) называется представлением многогранной
области Т.
Конечно, одна и та же многогранная область может быть
представлена в виде (1:1) бесчисленным множеством способов, так как
> >
всегда, например, можно к полупространствам Llf ..., L5, вхо-
>
Дящим в (1:1), добавить произвольное полупространство L5+1,
в котором эта область целиком лежит. Далее будет, однако,
показано, что для каждой многогранной области существует един-
х) Здесь и в дальнейшем О обозначает пустое множество

298
18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
ственное «минимальное» (в смысле числа s входящих в него
полупространств Ll9 ..., Ls) представление (1:1). Плоскости L1? . #e
. .., Ls называются ограничивающими плоскостями многогранной
области Т в представление (1:1). Условимся раз и навсегда счи*
тать, что эти плоскости между собой все различны (это не со.
ставляет существенного ограничения).
Установим простейшие свойства многогранных областей. Непо-
средственно из определения (1:1) следует:
[1:11]. г-мерная многогранная область r-мерного пространства
Rr есть выпуклое открытое в Rr множество. Ее размерность
равна г. (Размерностью dim Г выпуклого подмножества Т эвклидова
пространства называется максимальная размерность содержащихся
в Т симплексов.)
В дальнейшем в эвклидовом пространстве будут постоянно
рассматриваться не только его собственные многогранные
области, но и многогранные области любых его подпространств (пло-
скостей). Из [1:11] следует:
[1:12]. Если многогранная область Т пространства R лежит
в некотором пространстве R' з /?, то пространство R вполне
определяется самой областью Т (как подмножеством
пространства /?'). Оно обозначается через \Т и называется несущей пао*
скостью многогранной области Т.
>
Каждое полупространство Ц /7-мерного пространства Rp,
лежащего в r-мерном пространстве Rr (г>/?), может быть
представлено (конечно, бесчисленным множеством способов) как пере-
>
сечение пространства Rp с некоторым полупространством Ц про-
> >
странства Rr: L^ = Rpf\L^
Представив таким образом каждое из полупространств Lf, ...
> s >
..., Lf представления Г= П Ц р-мерной многогранной области
1
S > S >
TaRPaRr, получим Т= П (RPf)lA) = ПЦПЯ', или, так как
1 1
Rp = \T,
Г = |ГП Г\Ц. (1:10)
В таком виде может быть представлена любая р-мерная
многогранная область пространства Rr.
Справедливо, конечно, и обратное: каждое непустое множество
вида (1:10) есть р-мерная многогранная область в пространстве
Rr. Отсюда очевидно:
[1:13]. Пересечение конечного числа многогранных областей,
если оно непусто, есть многогранная область. Ее размерность

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
299
на числу измерений пересечения несущих плоскостей данных
РаВгоГранных областей. В частности, пересечение конечного числа
МН(еоных многогранных областей в r-мерном пространстве или
Г"Мто или есть г-мерная многогранная область.
П" Теорема [1:14]. Теоретико-множественное замыкание мно-
гогранной области Т= f)Lt в пространстве \T = R есть Т= ftL^
Доказательство. Включение T^{\Li очевидно, так как
полупространства L замкнуты в R и, следовательно, T^Li
//=1 ...» sj. Докажем, что Т^ [\L(. Пусть /?£ П Lx. Выберем
>
произвольную точку q^T1). Для каждого из полупространств L{
точка /? является граничной или внутренней, а точка q —
внутренней. Поэтому каждая внутренняя точка q' отрезка \pq\ лежит
в L/, и, следовательно, <7'€ [\Ь(=Т. Итак, конец /? отрезка \pq\
есть предельная точка для точек q' £ 71. Следовательно, р £ 71, что
и требовалось доказать.
Если р-мерная многогранная область Т лежит в пространстве
s >
Rr большего числа измерений и T = Rp(] Г\Ц, то ее замыкание
в Rp (а также и в Rr) есть
1
> > > >
В самом деле, если Lpt=RP{\Lriy то, очевидно, Lf = RP(]Lri9 и
поэтому
Г= nlf= П (Л'ПЦ)*=Я'П ПЦ.
1 1 1
[1:15]. Если р-мерная многогранная область Т лежит в зам-
> > >
кнутом полупространстве L1 = L1[]L1 пространства Rr, TczLu то
>
возможны лишь два исключающие друг друга случая: TczLj или
В самом деле, если бы это было не так, т. е. многогранная
область Т пересекалась бы и с Lx и с Lu то, взяв произвольно
>
точку р^Т{\Ьг и точку q^L1f)Ty мы получили бы отрезок \pq\f
лежащий вместе со своими концами в Г (в силу выпуклости Т).
*) Здесь существенно используется непустота Т.

300 18- ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
Так как Т есть открытое в своей несущей плоскости множество
то на продолжении отрезка \pq\ в сторону р должны существо!
вать точки, принадлежащие 7\ Но это противоречит условию
TaLx, так как отрезок \pq\ пересекает плоскость Lx в точке »
<
и его продолжение в сторону р лежит в Lx.
Определение [1:16]. Ограниченная (т. е. имеющая
конечный диаметр) многогранная область называется выпуклым много,
гранником.
Ввиду того, что на протяжении всей статьи мы не будем иметь
дела ни с какими другими (невыпуклыми) многогранниками, в
дальнейшем мы будем называть выпуклые многогранники просто
многогранниками.
1:2. Грани многогранных областей. Пусть в пространстве R?
дана многогранная область
T = RCl nL, (R = \T). (1:20)
Согласно теореме [1:14], имеем T = R(] П^,-. Преобразуем это
> > _ s >
равенство. Так как Li = LiиLh то T = R(] П (L^L-). Разверты-
1
вая далее правую часть этого равенства на основании
дистрибутивности теоретико-множественного пересечения относительно
сложения, получим Т= l)Tit{t...tk9 где
Tit... ik = R П Ux П Li% П ... П Ltk П^+1П...ПЦ, (1:2)
ix.. Js есть перестановка индексов 1, ...,s, а суммирование
в правой части распространено по всем 2s сочетаниям ix.. .ik из
индексов 1, ..., s.
> >
Пустому сочетанию соответствует Т — R n Ltl П • .. П L( , т. е.
сама многогранная область.
Определение [1:2]. Те из пересечений Г^...^»
Tilma.lk = R(\Litn...t (1:2)
которые не пусты, называются гранями многогранной области Т |
в представлении (1:20).
Согласно этому определению, грани многогранной области сами
являются многогранными областями того же или меньшего числа
измерений. Сама многогранная область входит в число своих
граней. Она называется своей несобственной гранью в отличие от
остальных, называемых собственными. Собственные грани
многогранной области имеют размерность, меньшую размерности самой
многогранной области.

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
3)1
Покажем, что грани многогранной области однозначно опре-
яются самой этой многогранной областью и не зависят от
Йшчных ее представлений в виде (1:20)х).
Теорема [1:2]. Если T = R(] П^ = /?П ПЦ суть два
представления одной и той же многогранной области 7\ то всякая
оань многогранной области в одном представлении является ее
гранью и в другом.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда в одно
из данных представлений (например, в первое) входят все
полупространства другого представления, кроме одного:
S > S+ 1 >
1 1
> >
Пусть Tix.. лк = R П Ux П ... П Lijt П Uki Г) ... П Us есть
некоторая грань многогранной области Т в первом представлении. Так как
T = R0 ()Li = Rn П L/, то Tit_A czTc:Ls+1 и, согласно лемме
[1:15], имеет место один из двух случаев:
>
1) Tit...ikciLs+1, следовательно,
> > >
или
2) Tix.t.ikc:Ls+1, следовательно,
> >
Tit...ik = RV[Lh[\ ... П/^П^+1ПЦ + 1П ...fUtv
В обоих случаях Tix.mmi есть грань многогранной области Г
и во втором представлении.
Пусть, обратно, дана грань многогранной области Т во
втором представлении вида
R n L,f П ... П Ltk П Lfft4 £ П ... П U9 П Ls+l (1:21)
или
R П L,f П ... П /^ П Ls+1 П I< П • • • П I*,. (1:22)
l) Помещаемое ниже доказательство теорем [1:2] и [1:21] взято нами из
книги К. Рейдемейстера: К. Reidemeister, Topologie der Polyeder, Leipzig,
1У38.

302 18- ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
>
Для грани Т%х.. лк = R П .. • П Us многогранной области Т в пер,
— >
вом представлении имеем, в силу TcLs+1,
> >
В силу леммы [1:15] одно из слагаемых правой части 7\,.. л flls
или Tix.,.i [\LS+1 пусто, следовательно, непустое слагаемое сов*
падает с Tita..ik*
Таким образом, из пересечений (1:21) и (1:22) одно пусто
а другое является гранью многогранной области Т в первом
представлении.
Пусть теперь даны два произвольных представления
1 1
многогранной области 7\ Тогда, очевидно, и каждое из
пересечений
RrnL[nun... пц»
flrniiniin.-.n^nb,
/?TUini;n... n/;nun^,
Rrf]L[f] ... П^ПГ;п ... fl^,
/?rniin ... ru;>ru;'n ... пЦ'„
#'ru;,ruin... пц.,
будет представлением той же многогранной области. На
основании доказанного выше каждые два соседних в этой
последовательности представления дают одни и те же грани. Следовательно,
и данные два представления дают те же грани. Теорема [1:2]
этим полностью доказана.
На основании этой теоремы мы можем говорить о гранях
данной многогранной области безотносительно к какому бы то ни
было ее представлению.
Покажем, что каждая /--мерная многогранная область имеет
в своей несущей плоскости одно вполне определенное так
называемое минимальное представление.

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
303
Пусть в r-мерном пространстве Rr дана r-мерная
многогранная область
Т = f)L(. (1:23)
1
Плоскость Li (t=l, 2, ..., s) называется основной ограничи-
ающей плоскостью многогранной области Т в представлении (1:23),
если множество
> > > >
T, = Lin ... nL._1flL/n^+1n ... (]LS
непусто. В этом случае Т{ есть (г—1)-мерная грань
многогранной области Т, a Lt—несущая плоскость этой грани. Легко
видеть, что гранями вида Т\ исчерпываются все (г—1)-мерные грани
многогранной области Т. В самом деле, всякая грань вида Tct...i
(см. формулу (1:2)), где &^s2, должна лежать в пересечении
плоскостей Lit и Lt-2. Так как эти (г — 1)-мерные плоскости
различны, их пересечение, а тем более и грань Т^...^, не может
иметь размерность (г—1). Так как, согласно теореме [1:2], грани
многогранной области однозначно определяются самой этой
многогранной областью, тем самым и основные ограничивающие
плоскости многогранной области Т охарактеризованы независимо
от различных представлений (1:23) как несущие плоскости (г—1)-
мерных граней многогранной области Г.
Пусть Ll9 ..., La суть основные ограничивающие плоскости Т.
Из предыдущих рассуждений следует, что плоскости Ll9 ..., La
должны входить во всякое представление Г. Покажем, что имеет
место
Теорема [1*21]. Если плоскости Ll9 ...,La(a^s) суть
основные ограничивающие плоскости многогранной области Т
в представлении (1:23), т. е.
Т(ФО при i<a и Ti = Q при i > a,
то
T=nlr (1:24)
i
Доказательство. Пусть a < s, обозначим через 7" много-
S-1 >
гранную область Т'= П Lt. Очевидно, что Тс7"; покажем, что
Т с Т. Так как, по условию, Т' f)Ls = Ts = 09 а плоскость LS
> <
Рассекает пространство Rr на два полупространства Ls и L5, то
> <
возможны лишь два случая: TczLs или TaLs, из которых вто-
>
Рой отпадает в силу того, что ТаТ' и TaLs (T не пусто!).

304
18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
Поэтому
s-l> > s >
1 1
Если a<s—1, то Ls_x не является основной ограничиваю,
щей плоскостью многогранной области Т = 7", и повторением того
s-2 >
же рассуждения показываем, что Т — Т' = Т"— П LL. Повторяя
a >
это рассуждение нужное число раз, получим Т= V\Lh что и тре-
1
бовалось доказать.
Резюмируя все предыдущие рассуждения, мы можем теперь
сказать, что (1:24) есть минимальное представление
многогранной области Т.
1:3. Свойства граней. Если многогранная область 1Г является
собственной гранью многогранной области 27\ то мы будем
говорить, что многогранная область гТ подчинена многогранной
области 2Т (или что многогранная область 2Т подчиняет 1Г), и писать
1Т -*> *Т или *Т ^ 1Г.
Если многогранная область 1Г является собственной или
несобственной гранью многогранной области 27\ будем писать
*т^*т или *т>:1т.
Если многогранные области гТ и 2Г находятся в одном из
отношений
гТ^*Т или *T>z*T,
мы говорим, что они инцидентны.
Установим простейшие свойства граней многогранных областей.
>
Прежде всего, так как Ln£ = G), то непосредственно из
определения [1:2] следует [1:31]. Различные грани одной и той же
многогранной области между собой не пересекаются.
Далее, так как Т есть открытое в своей несущей плоскости
| Т множество, то Т = Т и Д7\ где AT означает границу
многогранной области Т относительно ее несущей плоскости | Т.
Так как
•■ == U « f 1... ig»
TO
[1:32] граница многогранной области относительно ее
несущей плоскости есть теоретико-множественная сумма всех ее
собственных граней.
Как уже было сказано, грани многогранной области сами
являются многогранными областями.

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 305
Из определения [1:2] очевидно:
П:33]. Если гТ -*>%Т и 27-^37, то 1Г-^37П. Другими словами,
Гдая Грань любой грани многогранной области 37 сама является
ее гранью-Еыи 1?1^2^ tq |i7c:|2r
Теорема [1:35]. Каждая ггмерная грань 7' r-мерной
многогранной области 7 (гх < г) является гранью по крайней мере
одной ее (гх + 1)-мерной грани.
Доказательство ведется индукцией по числу d = r—гг. При
^=1 имеем гг = г—1, и теорема очевидна. Пусть теорема
доказана для d = n—1: докажем ее для d = n. Пусть г-мерная мно-
а >
гогранная область 7 задана минимальным представлением 7 = П /->
и дана ее /умерная грань
Г = Tix ...ik=*Lit[\...[\ Lik n Ltk+1 П .. • П Lia,
причем г—r1 = n. Эта грань многогранной области 7 является,
> >
очевидно, и гранью ее (г— 1)-мерной грани Tix = Lix [\Li%[\...[\ Lia.
Но в этом случае d — {r—1) — г1 = п—1 и, следовательно, по
индуктивному предположению 7" есть грань некоторой (гг -(-1)-
мерной грани многогранной области 7^. Согласно [1:33], эта
последняя является также и гранью многогранной области 7\
Теорема [1:35] доказана.
В случае гх~г—2 теорема может быть значительно усилена:
Теорема [1:36]. Каждая (г—2)-мерная грань г-мерномного-
гранной области 7 является гранью ровно двух ее (г—1)-мерных
граней.
Доказательство. Пусть /--мерная многогранная область Т
задана минимальным представлением в своей несущей плоскости:
а >
7 = n L{. Для того чтобы ее грань 7/V.#/>=I/(!n ...f\Likf)
> >
Л£/ П ... r\L- имела размерность г—2, очевидно, необходимо,
чтобы число г было больше или равно двум. Каждая из (г—1)-
мерных граней 7, , 7,, . .., Т( инцидентна 7,- мв/ . Число k этих
граней не может быть больше двух. Действительно, если 7;i, 7,2
суть две (г—1)-мерные грани, имеющие общую (г—2)-мернук>
грань, то их несущие плоскости 17^, 17/а разбивают пространство
|7 на четыре квадранта, в одном из которых, например в *7,
лежит 7, все грани 7 лежат в *7, в частности, всякая (г—1)-
мерная грань 7, , инцидентная с Ti . и отличная от 7,-, 7,- ,
w * ft 1 *
Должна лежать в *7. Но это невозможно в силу выпуклости Г,
так как, проведя прямую /, пересекающуюся с \Tiv„ik, но не
пресекающуюся с *7, и сдвинув ее достаточно мало в сторону 7,

306
18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
получим три точки l{\Tix, /Г|7\а, /Г) 7\-3, являющиеся граничными
точками Т и лежащие на одной3прямой. Теорема доказана.
Теорема [1:37]. Если многогранная область Т есть пере,
сечение многогранных областей ХТ и 27\ Т = гТ Г) 2Т (следовательно,
это пересечение не пусто), то каждая грань многогранной области f
(собственная или несобственная) однозначно представляется как
пересечение некоторой грани многогранной области гТ с
некоторой гранью многогранной области 2Т (каждая из них может быть
собственной или несобственной). Обратно, каждое такое
пересечение, если оно не пусто, является гранью многогранной области 7\
Доказательство. Пусть многогранные области 1Т и 2?
даны своими представлениями 1T = 1Rr\(]1Lh 2Т = 2/?ПП2£..
i i '
Тогда для пересечения Т этих многогранных областей будем
\s > 2S >
иметь представление T = 1Rf]2Rf\ ПЧиП П2Lh положим R =
1 1
= xRn2R. Если пересечение
>
Ti и/ /, = Я П ^ П ... П XLU П xLiu , П
>
П lL{ П *Lh П ... П %t П *LJl + l П • • • П %-
2*
не пусто, т. е. является гранью многогранной области, то
каждое из пересечений lTiiwik и *Ти„п тоже не пусто и Г,.,,,^,,,^ =
= 17,/г#л- Г\2Т/у; . Однозначность этого представления следует
из того, что различные грани одной и той же многогранной
области не пересекаются.
Совершенно очевидно, что и обратно, пересечение двух любых
граней
хТи...1к = 'R П ^ П •.. П ^ П 4+i П • • • П ^
и
,7Л.../« = 2* П 2^Л П • • • П »Ly< П £//+1 П • • • П»!/.,
соответственно многогранных областей 1Г и 2Г, если оно не пусто,
есть грань
ти~.1ки...п = R П ^ П . • • П %к П ^ х П ... П 1£,, П ■£,, П ... П *£/„
многогранной области Т — хТг\2Т (непустой по условию).
1:4. Выпуклое замыкание. Напомним, что линейной оболочкой
плоскостей Rx и R2J лежащих в некотором эвклидовом
пространстве, называется плоскость наименьшего числа измерений,
содержащая Rt и /?2. Эта плоскость однозначно определяется плоско-

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
307
тями /?i и Л2 и обозначается через \RiR2\. Ее размерность
с ^г + г2+1, где гх и г2—размерности плоскостей R1 и /?а.
Если плоскости /?! и /?2 пересекаются, то r0^r1 + r2i и их пе-
песечение есть плоскость размерности r12 = r1 + r2—г0. Если
плоскости /?i и Я2 не пересекаются и r0 = r1-f r2-f 1, будем
говорить, что /?! и #2 независимы. Легко показать, что если
плоскости Ri и R2 независимы, то будут независимы и всякие две
плоскости R' и /?", лежащие, соответственно, в плоскостях Rx и
R.(R'sR» R"sRt).
" Если плоскости /?! и /?2 независимы, то через Rx можно
провести единственную (г, + г2)-мерную плоскость /.©, лежащую в
\R1R2\ и не пересекающуюся с R2 (параллельную R2). В
плоскости Ц лежат все плоскости пространства \RxR2\t содержащие
Rx и не пересекающиеся с /?2.
Аналогично, через R2 можно провести единственную (гг + г2)-
мерную плоскость Lq, лежащую в | RXR2 | и не пересекающуюся
с Rx (параллельную RY). Плоскости L'0 и Ц параллельны между
собой.
Пусть теперь даны две многогранные области гТ и 2Т
размерностей гг и г2 с несущими плоскостями \1T = 1R и \2T = 2Ry
независимыми между собой. Множество внутренних точек всех
отрезков вида \гр2р\у где гр^гТ и 2р£2Т— произвольные точки
соответственно многогранных областей гТ и 2Т—называются
выпуклым замыканием многогранных областей Т и 2Г и
обозначаются через \гТ2Т\.
Теорема [1:4]. Выпуклое замыкание двух многогранных
областей есть многогранная область.
Доказательство. Пусть многогранные области гТ и 2Т
заданы представлениями в своих несущих плоскостях 1ХТ, 12Г:
»7,= ff1A/ VT = *R, (1:40
i
2T=2f)2ii \zt = 2R. (1:42)
l
Обозначим через Ц (i = 1, ..., *s) линейную оболочку плоскостей
lL; и 2R и через L] (/= 1, 2, ..., 2s) линейную оболочку XR и 2L;:
L't = \4>R\; L- = \iR%-\.
Линейная оболочка R плоскостей 1R и 2R имеет, по
предположению, размерность г1 + г2+1. Согласно нашим
предварительным замечаниям, плоскости L\ и L] будут все иметь размерность
ri+rt.
> >
Через L'i (соответственно LJ) обозначим ограниченное
плоскостью L\ (соответственно LJ) полупространство пространства R,
> >
содержащие 1Li (соответственно */,/). Обозначим, наконец, через Ь'0

308 18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
(соответственно Lo) (гг + г2)-мерную плоскость, проходящую через
lR (соответственно 2R) параллельно 2R (соответственно 1R), и через
> >
Le (соответственно LJ)—ограниченное этой плоскостью полупро.
странство пространства /?, содержащее 2R (соответственно XR).
Оказывается, что 117^27^ | идентично с (гг + г2-\- 1)-мерной
многогранной областью
ls> ?s>
Т^пЦппЦ. (1:4)
1) Включение \ХТ2Т\ = Т. Пусть qG\lT*T\. Это означает, что
^€|W|> причем:
> >
a) 1p€1Ta1Rc:L'0, 2р£*Та^с:Ц, следовательно, q£K\
> >
b) 1p€1Ta1RczLlJ 2р$Ц, следовательно, q£L"0;
c) при любом i=l,...,ls VG^c^/Cti, 2p£2Tc:2Rc:Vh
>
следовательно, q g L\\
d) при любом /=1, ..., H 1p£1Tc:1Rc:L:h 2p^2Ta2LjCLL\,
>
следовательно, q £ LJ.
\s> 25
Таким образом, q £ Г) Ц П [\L) = T.
о о
2) Включение Т ^ | 1Т*Т |. Пусть, обратно, (7 € 7*. Это означает,
> >
что <7££- (* = 0, 1, ..., s), <7€^/ (/ — 0, 1, ..., s). Проведем
через плоскость XR и через точку <7 (г+ 1)-мерную плоскость R'.
Эта плоскость пересекается с 2/?, так как в противном случае
R' должна была бы лежать в L'0y между тем как <7б^о-
Пересечение R' П 2R имеет размерность нуль (если бы его размерность
была больше нуля, то из формулы г12 = г1+ г2 — г0 следовало бы,
что линейная оболочка плоскостей R' n2R имеет разность меньше
ЛН~г2+ 1» что невозможно, так как R'^R и |х£2/?| имеет
размерность гг + г2-\- 1). Таким образом, R' f)2R есть точка;
обозначим ее через 2р. Совершенно аналогично проводим через 2R и
й(гг + 1)-мерную плоскость /?", пересекающуюся с *R в некоторой
точке хр. Плоскости /?' и R" пересекаются, и их линейная
оболочка | R'R"\ = \1R2R\ имеет размерность r1 + ri+l. Отсюда
следует, что R'()R" есть плоскость размерности (rt + 1) + (/*2+ 1)-—
— (ri + r2+ 0 — 1» т- е- прямая линия. На этой прямой лежат
точки хру 2р и q. Точки V и 2/? лежат в параллельных плоско-
> >
стях Ц и Lo, а </—между ними (так как q£Lo wq£Ll)\ поэтому
qe\xp2p\.
Остается доказать, что Jp£J'T. При всяком i=llf...,1s,
> >,
*p€2RaL'i9 q^L\t Так как q€\1p2p\, отсюда следует xp^U'

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
309
>
0 то же время 1p£1R, следовательно, 1p£1Li. Таким образом,
1 с n xLi = гТ. Включение 2р g 2T получается совершенно анало-
н0 Теорема [1:4] доказана. Можно было бы доказать, что
£сли многогранные области гТ и 2Г бесконечны и (1:4Х) и (1:42)
сУть их минимальные представления, то представление (1:4)
является минимальным представлением многогранной области
I if*T |. Так как нам этот факт не потребуется, то оставляем его без
доказательства.
Мы докажем, что
Теорема [1:41]. Если 1Т и 2Т суть многогранники, то их
выпуклое замыкание |1Г2Г| тоже является многогранником, и
\s>f 2S>
представление Т= (]Цс\ (]L'j—его минимальным представлением,
если (1:4х) и (1:42) суть минимальные представления
многогранников Т и 2Г,
Доказательство. 1) Первое утверждение: Т есть
многогранник. Если d есть диаметр множества ХТ[}2Т9 то для любых
двух точек
<7'€Г/>'У|с:|1Г1Г| и <7*€lV\ УМ^Л
имеем
р (?', <?") < р (я\ У) + р (У> V) + р (V. <П <
<р(У, У) + р(У, V) + p(V. V)<d + rf + rf = 3d.
Следовательно, множество рГ2^! ограничено (можно даже
показать, что его диаметр равен d).
2) Второе утверждение: множества
г=LoD nun n£; и r=i;n n^;n ruj
10 0 1
lj> 2s>
пусты. Предположим, что а^^оП ПЦП Г)/Л. Проведем через 2R
1 0
и Q ir>+ 1)-мерную плоскость R'. Она пересекается с плоскостью
XR в точке гр и с плоскостью /^ по плоскости, содержащей пря-
>
МУЮ xpq (1p=fbqf так как при />0 1р€Ц, q£L'i)- Прямая xpq
не пересекается с плоскостью Ц и, следовательно, ни с одной из
плоскостей Ц (/=1, ..., *s) (так как xpqaR\ R' [\L't = R%<zLZ).
Поэтому все точки этой прямой лежат в множестве' Ц П (]Ц(}Ц.
1
Так-как при всяком /=1, ..., 2s, 1p€L] и q£L"j, то для всех
>
т°чек q' таких, что q€\1pq'\, будет q'^L'j, следовательно,
п'^т, ls> 2s>
Я €£in fU;n fUJ.
i 0

310
18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
Таким образом, множество 7" содержит бесконечный луч, но
это противоречит ограниченности Т = \гТ2Т\, так как Г', являясь
гранью Ту входит в Т. Следовательно, 7" = ©. Совершенно
аналогично доказывается, что 7"'=©.
На основании теоремы [1:21] из доказанного следует, что
ls> 2S>
Т= 0ЦП ПL). Остается доказать
1 1
3) третье утверждение: при всяком t = 1, ..., xs и /= 1, ..., \
множества
т)= nLjn&n ...n^/-inL;ni/+in...ni;s
и
r;=i;n... пц_хпцпЬмn... ru;sn rU;
не пусты. В самом деле, легко заметить, что
Т\ = | *Т?Т |, где 1Г/ = Ч.г П ... П 1Li_1 П % П 1Li+1 П .. • П ^s>
и
Т] = | ^«Гу |, где 2Гу = 2LX П ... П %_х П %■ П 2£/+ х П ... П 2L.
Так как, по условию, гТ(Ф® и 2ГУ=И=©, то и Т\ф®\
теорема [1:41] доказана. Попутно доказано и другое важное
предложение:
[1:42]. (гг + г2)-мерными гранями (гг + г2+ 1)-мерного
многогранника 117'2Г | являются выпуклые замыкания многогранника
гТ с (г2—1)-мерными гранями 2Т и выпуклые замыкания
многогранника 2Т с (rj — 1)-мерными гранями 1Г.
Замечание. При доказательстве теорем [1:4], [1:41] и [1:42]
мы молчаливо предполагаем, что размерности многогранных
областей гТ и 2Т больше нуля. Если это не так и одна из областей
1Т и 2Т есть точка, например 1Г = 0, то выпуклое замыкание
102Т | называется пирамидой над многогранной областью 2Т с
вершиной О. Теоремы [1:4], [1:41] и [1:42] верны, и
вышеприведенные доказательства их сохраняют силу, если считать 1s = l»
под плоскостями L[ и L'o понимать плоскость 2R, под полупро-
транствами L[ и L\—полупространство 2R, содержащее точку 0»
а под 1Т" — просто 27\ Впрочем, в этом случае наши теоремы
могли бы быть доказаны и самостоятельно (и притом несколько
проще).
Из предложения [1:42] легко выводится
[1:43]. Гранями многогранника рГ2/1) являются все грани
многогранников гТ и 27\ а также все многогранники вида |1Т,(/)2Т(/)|»

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
311
if и 2Тф—произвольные (собственные или несобственные)
гД нй соответственно многогранников гТ и 2Г1).
ГР pjaM понадобится в дальнейшем еще следующее почти
очевидное замечание:
[1:44]. Если многогранники 1Т и 2Т лежат в многограннике Т
и Г Л) П11Т2Т | ф®(Гш -3 Л» то выполнено по крайней мере одно
яз условий Г^П1^^© или Г(Л)П2Г=^=©.
В самом деле, на основании [1:43], для каждой точки q€ | ХТ2Т\
имеем q€VP2J>l где 1р^1Т9 2р€2Т, и если <7€7\Л>, то в силу
if с: Г; 2ТаТ по крайней мере одна из точек хр и 2/? должна
лежать в Г(Л).
Операция образования выпуклого замыкания ассоциативна:
1Г2Г|зГ| = |1Г|2ГзГ| (1:45)
Действительно, каждое из этих множеств, как легко видеть,
совпадает с множеством |17,273Т'
всех треугольников вида | гр2р3р
состоящим из внутренних точек
где гр£гТ, 2р£*Т, *р£*Т.
Если е0, ..., ег суть вершины невырождающегося г-мерного
симплекса, то выпуклое замыкание |е0...£г| нульмерных
многогранных областей е0> ..., ег есть множество внутренних точек
этого симплекса, т. е. сам этот симплекс.
Если 7" = \е'0.. .е'г,\ и Т" = \el.. .е"г„\ суть два симплекса, то
их выпуклое замыкание есть симплекс
I I I 1 — I €q • • • Cff Cq . . . Cj-n I.
* 1:5. Многогранники общего типа и общего положения.
Настоящий пункт посвящен изучению взаимного расположения
различных многогранников, лежащих в некотором основном
многограннике Т.
Прежде всего заметим, что
[1:50]. Если многогранник гТ лежит внутри 7\ то каждая
грань 1Ти) многогранника 1Т лежит целиком в одной из граней
многогранника 7\
В самом деле, если ТсГ, то 1Т = 1ТГ\Т, и, на основании
теоремы [1:37], Ти) есть пересечение некоторой собственной или
несобственной грани Т{:) многогранника Т с некоторой гранью
многогранника 1Г, которая, очевидно, не может быть не чем иным,
как 17,(/.):1Г(Л = 17гП7,(/), следовательно, 1Та)сТф. Грань Т(/)
многогранника 7\ в которой лежит грань ХТШ многогранника 171,
лежащего в 7\ называется носителем грани 1Г(/) в 7\
В дальнейшем основное значение для нас будет иметь вопрос
°б общем положении плоскостей. Две плоскости Rt и R2 раз-
1) Индекс в скобках (k) мы будем ставить вместо совокупности индексов,
определяющих грань.

312 18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
мерностей гг и г2 в r-мерном пространстве R находятся, по
определению, в общем положении, если: 1) при гг + г2<г
размерность их линейной оболочки г0 = г1 + г2 + 1 и, следовательно,
пересечение пусто, 2) при rt + r2^r размерность их линейной
оболочки г0 = г. В случае r1 + r2^r общее положение плоскостей
/?! и /?2 в пространстве R имеет место в двух случаях:
|/?i/?t| = /? (1:51)
или
dim (/?! (]R2) = r1 + r2—r. (1:52)
Определение [1:5т]. Многогранник х7\ лежащий в
многограннике 7\ называется многогранником общего типа в 7\
если для любой грани Ти) многогранника Т из 1Г П Т{П ф®
следует, что плоскости | гТ и | Ти) находятся в общем положении в
плоскости | Т.
Так как из Ти) П1Т Ф® следует, что | Ти) П | гТ Ф®, то,
согласно определению, линейная оболочка плоскостей \ХТ и \ТЦ)
должна совпадать с |7\ а размерность их пересечения, если
размерности 7\ Ти) и гТ обозначить соответственно через г, г—k
и г19 должна равняться (г—k) + r1 — r = r1—k.
Так как грань многогранника 1Г, лежащая в Ти), должна
лежать в плоскости \T{i)r\ Т, то имеет место предложение:
[1:51]. Если /умерный многогранник 1Г является
многогранником общего типа в r-мерном многограннике 7\ то в (г—£)-
мерных гранях многогранника Т (& = 0, 1, ..., г) могут лежать
грани многогранника ХТ размерностей не выше rx—fe. Другими
словами, каждая (гх—&)-мерная грань многогранника *Т9 fe = 0,
1, ..., rly имеет своим носителем в Т грань размерности не ниже
г—k. В частности, гТ не может пересекаться с гранями
многогранника Т размерностей ниже г—/у
Непосредственно из определения [1:5Т] следует:
[1:52]. Если размерность многогранника гТаТ равна
размерности 7\ то ХТ есть многогранник общего типа в 7\
Далее:
[1:53]. Если гТ есть многогранник общего типа в Г и
многогранник 2Т той же размерности, что и 1Г, лежит в гТ9 то 2Т
тоже есть многогранник общего типа в Т.
В самом деле, из 2ТахТ следует, что если Ти)[)2ТФ®, то
и подавно T{i)[\xT Ф®. Следрвательно, плоскости |Г(/) и |ЛГ
находятся в общем положении в | Т; в то же время | х7^ = 12Т*,
так как размерности ХТ и 2Т одинаковы.
[1:54]. Если гТ есть многогранник общего типа в Г и Г
лежит в многограннике Т' той же размерности, что и Г, то 1Г есть
многогранник общего типа также и в Г'.
В самом деле, пусть Т'ф П1^Ф®, T'U) -§ Г, тогда и Т'ш П Тф®,
так как гТсТ. Это значит, что в Т'ф лежит некоторая грань Тф

18 ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
313
многогранника Т, причем Тф^Т Ф®. Отсюда, согласно
определению [1:5Т], следует, что линейная оболочка плоскостей \ТФ
я рГ совпадает с Т. Но \Тфс:\Т[1)9 потому линейная оболочка
плоскостей | Тф и 1Т и подавно совпадает с Т. Так как | Т = | Т\
то этим доказана общность положения плоскостей | Т'ф и 11Г в
плоскости \Т\ что и требовалось.
Будем называть (гх—fej-мерную грань ггмерного
многогранника 1Т общего типа в г-мерном многограннике Т основной гранью
if если размерность ее носителя в Г в точности равна г — k.
Вообще говоря, грани многогранника ХТ не обязаны быть
многогранниками общего типа в своих носителях в Т\ тем не менее,
имеет место предложение:
[1:55]. Каждая основная грань ХТ{1) многогранника ^общего
типа в Т есть многогранник общего типа в своем носителе Тф в
многограннике 7\
Доказательство. Пусть размерности многогранника 7\
гТ, lT(i) и Тф будут соответствовать г, rlf rx—k и (согласно
предложению) г—k.
Пусть Т{Н)—произвольная грань многогранника Т{/) и rh—ее
размерность. Пусть Тш П гТи) Ф®.
Мы должны доказать, что плоскости \1T{i) и \T{h) находятся в
общем положении в |7\7).
Заметим прежде всего, что грань 1Г(/) лежит в плоскостях
\ХТ и \Тфу т. е. ^^с: 1Т()\Тф. Так как ХТ есть многогранник
общего типа в 7\ то dim{\ХТ[\\Тф) = г1 + (г—k) — r = rt—k =
= dim lTU)t следовательно, | xT{i) = | гТ П | Тф, откуда | lTU) П_ЦГ(Л) =
= | T П | T{h}. Так как Тш П гТи) Ф®, то и подавно 7(Л) П гТ Ф®.
Следовательно,
*«п(117,(/)П|ГСЛ)) = с»т(|1Гп|Г(Л)) =
= rx + rh — r = (r1—k) + rh — (r—k).
Это равенство выражает условие [1:52] для плоскостей | Тш \1Ти),
\Тф. Из него следует общее положение плоскостей \гТи) и \ТШ
в плоскости |Г(|). Предложение доказано.
Для доказательства того, что некоторый многогранник
является многогранником общего типа, удобна следующая лемма:
Лемма [ 1:56]. Пусть дана цепочка Тг >- Тг~х >~ ... £- Tk
инцидентных между собой граней многогранника Гг и в каждой из
этих граней Tr^(j = 09 1, ..., r—k)—точка or~L Тогда:
1) (V—&)-мерный симплекс 1Tr~k = \oror~1 ... ok\ не
вырождается;
2) его несущая плоскость 117v~* находится в общем
положении с плоскостями граней Тг> ..., Тк.
Для доказательства второго утверждения теоремы нужно
показать, что линейная оболочка плоскостей \гТг~к и | Tr~j совпа-

314
18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
дает с | 7\ Так как | Тк ^ | Тг~'\ достаточно показать это для
\ — г—ky т.е. для плоскости \Тк.
Доказательство последнего факта будем вести одновременно
с доказательством первого утверждения леммы. Имеем ok£Tkt
ок+1£Тк+1у значит ок+1£\Тк и подавно ок+1Фок, следовательно
симплекс 1Т1 = \ок+1ок\ не вырождается, и линейная оболочка
плоскостей \Тк и \гТх совпадает с |Т*+1, ок+2€Тк'+2у значит
ок+2£\Тк+1 и подавно ok+2£\1T1t следовательно, симплекс 1Т,2=Г
= \oh+2oh+1ok\ не вырождается, и линейная оболочка плоскостей
\Тк и \гТ2 совпадает с \Тк+2.
Пусть доказано, что симплекс 1TJ' = \ok+/ ... ок\ не вырожда»
ется, линейная оболочка плоскостей \Тк и \xTj совпадает с \Тк+*\
Тогда, так как ok+'+1€Tk+J'+1, значит оЛ+'+1бГ|7,*+у и подавно
0k+;+i g | lf/^ СИМплекс 1TJ+1 = | oA+/+1... о* | будет невырождаю-
щимся и линейная оболочка плоскостей \Тк и \гТ'+1 будет
совпадать с Тк+;+1.
Проводя последовательно индукцию по /, будем окончательно
иметь:
симплекс 1Тг~к = \ог... ок\ не вырождается, и линейная
оболочка плоскостей | Тк и 11Тг~к совпадает с | Тг, что и требовалось
доказать.
Определение [1:5П]. Два многогранника ХТ и 27\ лежащие
в многограннике Г, находятся в общем положении в Г, если
каждые две грани (собственные или несобственные) 1Ти) и 2T{J)
соответственно многогранников гТ и 27\ имеющие непустое
пересечение и, следовательно, общий носитель Т(Л) в 7\ лежат в
плоскостях l1^,) и l2^.,, находящихся между собой в общем
положении в плоскости этого носителя.
Непосредственно из определения [1:5П] следует
[1:57]. Если многогранники 1Т и 2Т находятся в общем
положении в Ту то всякие две грани (собственные или несобственные)
1T(i) и 2Т{/)У соответственно, многогранников гТ и 27\ имеющие
в Т общий носитель, находятся в общем положении в этом
носителе.
Пересечение многогранников общего типа само может и не быть
многогранником общего типа.
Теорема [1:58]. Если ХТ и 2Т суть многогранники общего
типа в Ту находящиеся в общем положении в Г, то их
пересечение 12Т = гТ (]2Т есть многогранник общего типа в Т.
Доказательство. Пусть ТШ)-<Т и Tih) П12ТФО, мы
должны показать, что плоскости | Tih) и | иТ находятся в общем
положении в | Г, т. е. что dim (| T(h) П 112Т) = rh + r12 — г, где rh>
г12 и г означают соответственно размерности T(h)9 12T и Т.
Если через гх и г2 обозначить размерности многогранников
гТ и 2Ту то, в силу их общего положения, r12 = rx + r2—г.

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 315
Так как &Г = ХТ П 2Tj= Wn 27\ то из Т^П^ФО следует
г п rf ф q . и Тт Г) 2Т Ф О. Отсюда следуют соотношения
Him ( ^(Л> 01^) = Ог Ч- гх—г и dim (|Г(Л) П |2Г) = гЛ + r2—r и, кроме
ого, это значит, что в T(h) лежат некоторая грань 1Ти)
многогранника ХТ и некоторая грань 2Г(/) многогранника 2Т—такие,
?го 1Ти)()2ТфФО, ]Ти)с:\Т{„П\1Т, *Г(/)с:|Г(Л)П|27\ Плоскости
хгр р!1^ и \T{h)f)\2T находятся в \ТШ) в общем положении.
В самом деле, в силу общего положения ХТ и 27\ плоскости 12Г( >
и \хТ{п должны находиться в \Tih) в общем положении;
следовательно, их линейная оболочка должна совпадать с \Т(h).
Линейная же оболочка плоскостей \T{h) (]\lTU) и Т{Л)(]\2ТФ и подавно
будет совпадать с \Tih).
Замечая, что | T(h) П112Г = (| Тш П | ХТ) П (| ТШ) П12Г), получим
dim (|Г(Л)П|12Л = (^ + ^-0 + ^ + ^-0-^ =
что и требовалось доказать.
§ 2. Теоремы об ориентации
Определение ориентации, даваемое в настоящем параграфе,
несколько отличается от обычного и довольно близко примыкает
к определению ориентации в книге П. С. Александрова
«Комбинаторная топология»1). Оно позволяет совершенно формально
производить все вычисления с ориентациями, как это и делается
в пунктах 2:3, 2:4, 2:5 и 2:6. Центр тяжести всего параграфа
составляет доказываемая в последнем пункте формула Лефшеца
(2:63) для границ пересечения цепей. Читатель, которому эта
формула известна, может без ущерба пропустить весь параграф,
ознакомившись лишь с обозначениями, терминологией и с
формулами (2:451) — (2:454), которые понадобятся для доказательства
теоремы [5:1].
Начиная с этого параграфа и до конца статьи мы будем
обозначать пространства, полупространства и плоскости прописными
буквами латинского алфавита (если нужно, с индексами и
значками), поставленными в вертикальные черточки (например, |/?|,
> >
\R\, |L,| и т.п.). Обозначения без вертикальных черточек
сохраняются для ориентированных пространств, полупространств и
плоскостей, которые будут определены ниже. Ориентированные
многогранники будут обозначаться малыми буквами, поэтому для
неориентированных многогранников сохраняются прежние
обозначения .
2:1. Определение ориентации.
2:2. Цепи (алгебраические комплексы).
) Книга находится в печати.

316
18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
2:3. Ориентация границы.
2:4. Комбинаторное произведение.
2:5. Ориентация пересечения.
2:6. Граница ориентированного пересечения.
2:1. Определение ориентации. Назовем упорядоченным остовом
r-мерного эвклидова пространства | Rr | совокупность записанных
в определенном порядке вершин некоторого невырождающегося
r-мерного симплекса этого пространства: я0, alf ..., аг. Из теории
аффинных преобразований известно, что существует одно и только
одно аффинное преобразование |/?г|, переводящее данный
упорядоченный остов а0, а19 -..., аг в некоторый другой упорядоченный
остов b0i Ь1У ..., ЬГУ т.е. переводящее точки я0, аи ..., аг
соответственно в точки b0t bl9 ..., Ъг. Мы будем называть остовы
а0, аи ..., аг и &0, blt ..., Ьг эквивалентными, если детерминант
этого преобразования положителен. Из свойств аффинных
отображений следует, что введенное таким образом соотношение
эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно и,
следовательно, приводит к разбиению множества всех упорядоченных
остовов пространства \Rr\ на два класса. Ориентировать
пространство \Rr\—значит отнести остовам одного из этих классов
в качестве ориентации число +1, а остовам другого —1. Другими
словами:
Определение [2:10]. Ориентацией r-мерного эвклидова
пространства \Rr\ называется функция Rr, определенная на всех
его упорядоченных остовах и принимающая на остовах одного
из классов значение +1, а на остовах другого —1:
Rr (а0... аг) = ± 1.
Из этого определения следует, что каждое эвклидово прост-,
ранство \Rr\ имеет две ориентации Rr и —Rr, отличающиеся-
друг от друга знаками. Эти ориентации называются
противоположными. Совокупность понятий эвклидова пространства и его
ориентации называется ориентированным пространством.
Ориентированное пространство, состоящее из пространства \Rr\ и его
ориентации Rr или —Rr, обозначается соответственно через Rr^
или —/?г. Пространства Rr и —Rr называются противоположно
ориентированными.
Определение [2:1]. Ориентацией r-мерного выпуклого
множества называется ориентация его несущей плоскости.
Таким образом, ориентация r-мерной плоскости есть в то же
время и ориентация всякого лежащего в ней r-мерного выпуклого
множества.
Каждое r-мерное выпуклое множество Тг имеет две
ориентации ir и —ir, отличающиеся друг от друга знаками и
называемые противоположными. Совокупность понятий множества и
его ориентации называется ориентированным множеством. Ориен-

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 317
ированное множество, состоящее из множества Тг и его ориента-
и \г ИЛи —tr, обозначается соответственно через tr или —tr.
Ориентированные множества tr и —f называются
противоположно ориентированными. Само множество Гг, ориентацией которого
возникли tr и —tr, обозначается часто через tr\ или, что то же
самое, через | — tr\. Ориентированная несущая плоскость
множества Tr = \tr\ с ориентацией tr обозначается через | tr, а
неориентированная—через |Г' = ||*Г1- Вместо |*'Н|*Ч l''lcl'4 U|<=
с ^| и т.д. мы будем также писать &-<№, Wat*, taR и т.п.
и говорить, что tP подчинен /*, tP включено или лежит в /<*, /
лежит в R и т. п.
В определение [2:1] включается, как частный случай,
ориентация симплекса и вообще любой многогранной области; впрочем,
для ориентации симплекса мы сейчас дадим другое (эквивалентное
прежнему) практически более удобное определение. Дело в том,
что среди бесконечного множества упорядоченных остовов,
лежащих в несущей плоскости данного r-мерного симплекса 7V =
= |а0... аг|, естественным образом выделяются (М-1)!
упорядоченных остовов, состоящих из его вершин. Как известно из теории
аффинных преобразований, два остова а0 ... аг и щ0 щг.. Mir_tciin
состоящие из одних и тех же точек, принадлежат к одному классу
(остовов пространства \Rr\) или к разным, смотря по тому, будет
ли iJi.. Лг четной перестановкой индексов 012.. .г или нечетной.
Относя две перестановки вершин симплекса Тг к одному классу,
если они переходят друг в друга четной перестановкой, и к
разным—в противном случае, мы можем заменить определение [2:1]
для симплексов следующим:
Определение [2:11]. Ориентацией r-мерного симплекса Тг
называется функция ir, определенная на всех перестановках его
вершин и принимающая на перестановках одного класса значение
+ 1, а другого—значение —1:
с
tr(a0 ... дг) = ±Ь
Согласно этому определению, каждый r-мерный симплекс (г^ 0)
имеет две ориентации. Совершенно очевидно, что каждой из этих
ориентации соответствует вполне определенная ориентация
симплекса в смысле определения [2:1] и обратно. Определение [2:11]
имеет перед [2:1] то преимущество, что непосредственно
распространяется и на абстрактные симплексы (т. е. симплексы
абстрактных комплексов), заданных только комбинаторной схемой.
Впрочем, всюду в дальнейшем, если не будет оговорено про-
тивное, мы будем под ориентированным симплексом понимать
^вырождающийся ориентированный симплекс некоторого
эвклидова пространства.
Замечание. Иногда понятие «ориентация симплекса»
отожествляют с тем классом перестановок его вершин, на котором

318
18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
она (ориентация) принимает значение +1. Это удобно при г^\
в случае же г —0 невозможно, так как существует только одна
перестановка из одной вершины, и, для того чтобы получить обе
ориентации, приходится вводить искусственное определение
«положительных» и «отрицательных» вершин. В то же время мы видим
что в отличие от случая г^1, когда обе ориентации совершенно
равноправны, в случае г = 0 естественным образом выделяется
одна определенная ориентация нульмерного симплекса Г° = |е|>
а именно ориентация, принимающая на упорядоченном остове е
значение +1- Эта ориентация называется положительной
ориентацией нульмерного симплекса Т°.
Ориентация симплекса Тг = \а0 ... аг|, принимающая на
упорядоченном остове а0 ... аг значение +1, обозначается через
°(а0 ... аг). Симплекс Тг = \а0... аг\ имеет две ориентации:
ir == °(а0 ... аг) и — tr = — °(а0 ... аг).
Соответственно этому ориентированные симплексы tr и —tr
обозначаются через (а0 ... аг) и —(а0 ... аг).
Знак. Пусть t[ и tr2—два ориентированных r-мерных
выпуклых множества, лежащих в одном пространстве |/?г|. В
частности, одно из них или оба могут быть пространством Rr или
— Rr. Рассмотрим отношение функций t[ и t\\tr% (или, что то же
самое, /£:*£). Это отношение определено на всех упорядоченных
остовах из \Rr\ и принимает, как легко видеть, на всех этих
остовах одно и то же значение, а именно, +1 или —1, смотря
по тому, являются ли 1[ и ti одинаковыми или разными ориента-
циями пространства \Rr\.
• о
Определение [2:2]. Отношение i[iti называется знаком
ориентированного множества t[ относительно tr2 (или наоборот)
и обозначается через t{ltr2 или tr2lt[.
Если /J/2J = -|-1 (соответственно —1), то множества t{ и ti
называются одинаково (соответственно противоположно) ориенти-
о о
рованными. Если известна одна из ориентации t[ или tr2 и знак
t[/t^ то, конечно, другая из ориентации вполне определяется.
Образом ориентированного симплекса t = (е0... ег) при
невырожденном аффинном преобразовании S его несущей плоскости \t\
в себя называется ориентированный симплекс St = (Se0... Ser)-
Это определение, конечно, не зависит от специального выбора
порядка е0 ... ег вершин симплекса t.
Непосредственно из определения ориентации следует формула
Sf/f> signS. (2:1)
Комбинаторное произведение симплексов.
Комбинаторным произведением ориентированных симплексов
t' =?e(e'Q ...e'r), e = ±l; t" = ц(е'о... е"г„), т| = ±1,

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 319
ывается ориентированный симплекс
I — cTj It^o • • » Cf/CQ« . • (IfMI •
Пегко видеть, что так как определенное комбинаторное
проведение симплексов /' и Г не зависит от специального выбора
чисел е и л» упорядоченных остовов ei... ег и el... ё'г„, опреде-
пяющих ориентации симплексов /' и Г, а только от самих этих
ориентации, оно обозначается через (ft).
Совершенно очевидны формулы
(<#(-0) = ((-ОП = -(''0. (2:11)
(/Г) = (— 1)с+»^+1) (ГГ). (2:12)
Комбинаторное произведение ассоциативно:
(t'(t*t"')) = ((ftw)f")9 (2:13)
поэтому можно писать (ff'f").
Лемма [2:13]. Если t1"1 есть (г—1)-мерный
ориентированный симплекс в r-мерном пространстве /?г, а ех и е9 суть две
точки этого пространства, не лежащие в плоскости Ц^"1!, то
(eitr'1)/(eztr"1) = + 1 или —1
в зависимости от того, лежат ли точки ех и е2 по одну или по
разные стороны от плоскости ||/г_1|.
Доказательство легко следует из теории аффинных
отображений.
Наконец, еще одно очевидное значение. Если вершины
ориентированного симплекса (е0 ... ег) непрерывно перемещаются при
изменении параметра s от 0 до 1 из положения ^. = ^.(0) в
положение e[ = ei(\) (i = 0, ..., г) так, что ни при каком значении
s(0<s^ 1) симплекс (e0(s) ... er(s)) не вырождается, то
(e'Q...e'r)/(e0...er) = +l. (2:14)
Обратно, если выполнено (2:14), то существует
вышеописанная деформация.
2:2. Цепи (алгебраические комплексы). Пусть дана
произвольная конечная или бесконечная совокупность г-мерных
ориентированных многогранников (может быть, даже совокупность всех
г-мерных ориентированных многогранников некоторого эвклидова
пространства) и произвольная абелева группа 21, групповую
операцию которой мы будем называть сложением.
Функция xf относящая каждому ориентированному
многограннику t этой совокупности некоторый элемент группы 91 таким
образом, что х( — /) =— x(t), и отличная от нуля (группы 81)
лишь на конечном множестве многогранников данной совокупно-
Сти, называется r-мерной цепью многогранников (или просто
Цепью), данной в совокупности по области коэффициентов 21.

320
18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
В силу обычного определения сложения функций, r-мерные цепи
данной совокупности по области коэффициентов ?{ образуют, оче.
видно, абелеву группу.
• Если Щ допускает группу операторов, то ту же группу
операторов допускает и группа цепей.
• -Цепь х иначе будем записывать в виде линейной формы х**
— 2аЛ» гДе ai=zX(^i)- Здесь сумму можно понимать как обычную
сумму «элементарных» цепей а^.-. Если x1 = ^ialiti и x2 = ^a2it.
то хг + х2 = 2 (аи + a2i) t[> kxx = 2 kauti (k—любой оператор труп*
пы Ж).
Мы будем говорить, что многогранник |/| входит в цепь х,
если x(t)> а следовательно, и х(—t) отлично от 0. Мы говорим
также, что ориентированный многогранник t входит в цепь *
с коэффициентом x(t). Многогранники, входящие в цепь х>
называются также просто многогранниками данной цепи.
Если все многогранники цепи х являются симплексами, цепь х
называется симплициальной.
Совокупность всех многогранников цепи х будем называть
комплексом этой цепи и обозначать через |,y|.
Если 7\, ..., Тs суть все многогранники цепи лг, будем
также говорить, что цепь х состоит из многогранников Ти ..., Ts.
Все собственные и несобственные грани многогранников цепи х
будем называть гранями данной цепи. Совокупность всех граней
цепи х будем обозначать через [х]. Множество [х], т.е. теоретико-
множественная сумма всех граней цепи х, называется ее шелом
и обозначается через х. Тело всякой цепи есть компакт, е-окрест-
ностью цепи (е—положительное число) называется е-окрестность
ее тела; она обозначается через UB(x).
Части цепей. Пусть в эвклидовом пространстве даны г-
мерный ориентированный многогранник t{ и произвольный
многогранник Т. Через Ttt- обозначим цепь, принимающую на
многограннике Tn|f,|, ориентированном одинаково с t{ (если
размерность ГП|</| равна размерности tf), значение +1, а на всех
остальных многогранниках—значение 0; если пересечение Гп|М
пусто или имеет размерность, меньшую размерности ih полагаем
77, = 0. Для цепи х = 2аЛ полагаем Гх = 2а1^/- Иепь Тх
называется частью цепи х в многограннике Т. Очевидно, Т(хг + х2)=
= Тх1-\-Тх2. Если х^Т, то Тх = х.
Индекс нульмерной цепи. В предыдущем пункте
указывалось, что каждый нульмерный многогранник (точка) имеет
определенную естественную положительную ориентацию. Индексом
нульмерной цепи называется сумма ее значений на всех ее
многогранниках (точках), ориентированных положительно. Индекс
цепи х° обозначается через фх°. Если фх° = 0, цепь х° называется
нормальной.

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 321
2-3. Ориентация границы.[Пуеть дано r-мерное ориентирован-
полупространство R, ограниченное (г—1)-мерной плоскостью
jDi Ориентация R следующим образом индуцирует ориентацию
Ъ плоскости \R
Выберем в плоскости \R\ (r—1)-мерный ориентированный
симплекс /ив полупространстве | R | точку е. Тогда симплекс
\let)\ будет невырождающимся r-мерным симплексом.
Положим R = YT\^' Ориентация R плоскости \R\,
определении
ная этим равенством, называется ориентацией плоскости |/?|,
>
индуцированной ориентацией R ограниченного ею полупростран-
.>
ства |"/?|. Покажем, что эта ориентация не зависит от
специального выбора симплекса t и точки еу а только от ориентации
R. Пусть f и ё—другой симплекс и другая точка, выбранные
аналогично t и б.
Если t':t = e(e = ±l), то симплекс t' = (ei... е'Гшт1) может быть
непрерывно переведен в плоскости | R\ в симплекс zt=^{e1... гг-1)
(т. е: каждая вершина е\ в соответствующую е,) так, что в процессе
деформации он не будет вырождаться. Переводя одновременно
точку ё в точку е, получим деформацию симплекса (e'tf) =
= {е'е'0... ёГлт1) в симплекс (est) = (ee1... er_i), в процессе которой
он не вырождается, откуда следует, что e(e't') = e#(et).
Для ориентации R' плоскости |/?|, определенной с помощью
f и ё, получим
-, R -,_ 1 R У_ % г д
что и требовалось доказать.
Пусть Тг~х есть (г—1)-мерная грань многогранника Гг.
Плоскость | Тг"х делит пространство | Тг на два полупространства,
в одном из которых лежит Тг. Согласно вышеизложенному, каждая
ориентация этого полупространства индуцирует определенную
ориентацию плоскости |7V~1. Таким образом, каждая ориентация
г-мерного многогранника Тг индуцирует определенную ориентацию
всех его (г—1)-мерных граней.
Пусть tr и f'1—два произвольных ориентированных
многогранника размерностей г и (г—1): коэффициент инциденции
\tr:tr"1) этих многогранников определяется следующим образом:
1. Если многогранник If"1! не является гранью \tr\, то
Л. С. Понтрягнн, т. I

322 18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
2. Если многогранник | tr~1\ является гранью | /г|, то (fit'-i)^
= + 1 или —1, смотря по тому, индуцирует ли ориентация £
многогранника tr на грани |гг~1| ориентацию -\-tr~l или —fi-i
Другими словами: если t есть (г—1)-мерный симплекс в \tr~i\
а е—точка из |/г|, то
(*':<'-') = Д^. (2:31)
Д-границей ориентированного многогранника tr называется
(г—1)-мерная цепь &tr, принимающая на каждом (г—1)-мерном
многограннике ^_1 значение (F:^"1):
. M'W-^V'irr1), (2:3)
т. е. цепь Atr = ^(tr: ff1) /J"1, где суммирование распространено по
i
всем (г—1)-мерным граням \Ц~1\ многогранника |/г|, каждая из
которых взята с определенной ориентацией /--1. Если
многогранник tr нульмерный, то полагаем Д/г = 0.
Таким образом, Atr состоит из всех граней tr, взятых с ориен-
тациями, индуцированными на них ориентацией tr.
Очевидно, Д (—t) = —Д (t).
Д-границей цепи я = 2аЛ называется цепь Дя = 2я/Д£/.
Для Д-границ, очевидно, справедливы следующие формулы:
Д (—х) = — Дл:, Д (хх + х2) = Длгх + Дх2, Д (kx) = k&x
(k—целое число или любой оператор группы 21). Далее имеет
место следующая основная для всей теории гомологии формула:
ДДх = 0.
В силу аддитивности Д-границы, очевидно; достаточно
доказать эту формулу для ориентированного многогранника, т. е.
доказать, что ДД/г^=0. Имеем:
Нужно доказать, что для всякой (г—2)-мерной грани trf2
многогранника tr
Ji(tr:trr1)(fr1'trf2) = 0. (2:32)
i
На основании теоремы [1:36] грань |//~2| инцидентна ровно
с двумя (г—1)-мерными гранями многогранника |/г|. Пусть это
будут грани |fi-1| и \%~х\. Формула (2:32) тогда принимает вид
(f: tl'1) (К1: Ц'2) + (/': /Г1) (t^1: t)'2) = 0. (2:33)
Для того чтобы это доказать, возьмем в грани | trf2 \ (г—2)-мер-
ный ориентированный симплекс /ив гранях I^I"1! и l^"1! coot*

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 323
ственно точки ег и е2. Тогда симплекс \exe2t будет невырож-
Вбютимся r-мерным симплексом пространства \tr\ (так как в
пробном случае плоскости fl/Г""1! и Ц^-1! совпали бы). Выражая
е коэффициенты инциденции в формуле (2:33) согласно
определению [2:31], получим
'(t'-ГГ1) W1- 'И + (*Г: S""1) (в"1: Г2) =
V (*it) fa*it) t (ett) , (еЛ) (ехел)
tr-l i ,r-i
') t (e2t)
t\ l tj tl t-2 l tj f2
fegit) , (еге2\) ] t _ n
^ ^ t' J ;/"2 ~U>
что и требовалось доказать.
Граница симплекса. Коэффициент инциденции г-мерного
симплекса tr = (e0.. .ег) и его (г—1)-мерной границы t%~1 =
=*(е0...ёк...ег)г) равен
('г: Г1) = (-!)*• (2:34)
Доказательство предоставляется читателю. Из этой формулы
следует:
Д*'= 2(-1)*«"1.
2:4. Комбинаторное произведение. Пусть даны две
ориентированные многогранные области tt и t2 размерностей ^ и г2,
несущие плоскости которых независимы (см. пункт 1:4). Определим
ориентацию / выпуклого замыкания 7 = 17x72 1 многогранных
областей T1 = \t1\ и 72 = 1121 следующим образом:
В плоскости | Тг выберем произвольный /^-мерный
ориентированный симплекс tiHB плоскости 172—/умерный
ориентированный симплекс t2.
Тогда (tit2) будет невырождающимся {гг-\-г2-{- 1)-мерным
симплексом. Положим
/=1гтг0№- (2:4)
Определенная таким образом ориентация t прежде всего не
О J
зависит от выбора ориентации ti и t2 симплексов Цх| и |ta|, так
к^к при замене любой из них на противоположную меняет знак
ориентация K^tJI; следовательно, / не меняется. Чтобы показать,
Что t не зависит также и от специального выбора самих
симплексов (tj и |t2|, возьмем вместо них два других аналогично
Убранных симплекса Ц[\ и |ti|. Их ориентации t( и t2 мы можем,
г) Значок Р) обозначает, что букба, стоящая под ним, пропускается; таким
0бРазом,
(е0.. .ek.. .ег) = (е0.. .ек^1ек + 1.. .ег)>
И*

324
18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
в силу вышесказанного, выбрать такими, что /1/ti=<i/t1 и tjt^
=== ^2' *2*
После этого симплекс ti = (^.. .e^-i) может быть непрерывно
переведен в симплекс t! = (e0.. .ег_х) (т.е. каждая вершина е| ^
соответствующую е) в плоскости 17\, так, что в процессе дефор.
мации он не будет вырождаться. Аналогичное, конечно, справед.
ливо и для симплекса t'2. При одновременном проведении обеих
деформаций симплекс (tjti) непрерывно переводится в симплекс
(tit2)> причем в процессе деформации он не вырождается. Отсюда
следует //(titi) = //(t1t2). что и требовалось доказать.
Многогранная область t> ориентированная вышеуказанным
образом, называется комбинаторным произведением
ориентированных многогранных областей tx и t2 и обозначается через {tj,).
Если, в частности, многогранные области tx и /2 являются сим*,
лексами, то определенное выше комбинаторное произведение,
конечно, совпадает с комбинаторным произведением симплексов,
определенным в пункте 2:1, так как в этом случае за tx и t2 можно
принять сами симплексы tt и t2. Формулы (2:11), (2:12) и (2:13)
справедливы и для комбинаторного произведения любых
многогранных областей, несущие плоскости которых независимы
(последняя формула, в частности, следует из (1:45)).
Из доказательства независимости определения [2:4] от
специального выбора симплексов tx и t2 следует, в качестве
дополнительного результата, следующая совершенно очевидная
Лемма [2:40]. (t1t2)i(t1tl)=tyt'2 (конечно, предполагается; что
плоскости ||^| и 1И\ совпадают и независимы с Ц^р.
Пусть в евклидовом пространстве R размерности не менее
г\ + гг+\ даны две цепи x1 = ^ia)1t/ и *2 = 2я?2*/ размерностей
г, и г2 с коэффициентами из некоторого коммутативного кольца ft
и притом такие, что несущие плоскости любых двух
многогранников Hj и Н{ соответственно цепей хг и х2 независимы в R.
Комбинаторным произведением цепей хх и х2 называется (гj+ra+l
^мерная цепь
(*A) = 2«JoJ(V'i).
Если цепь хг есть точка е, комбинаторное произведение (ех2)^
— HjdiWti) называется пирамидой с вершиной е над цепью xv
i
Формулы (2:11), (2:12) и (2:13), конечно, остаются
справедливыми и для комбинаторного произведения цепей:
(*i (— *«)) = ((— х%) *2) = — (*Л), (2:41)
(xtx2)=(_l)(r,*i) (г.+1) (Vl), (2:42)
((xtx2) хь) «а (хг (х^Хз)) «в (по определению) = (х%х2х3). (2:43)

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
325
Кроме того,
(W + *i) х2) = (х[х2) + (xlx2),
{{ах1)х2) = (х1(ах2))^а{х1х2)а^Ш. * ' '
Еще одна важная формула составляет содержание следующей
теоремы:
Теорема [2:4]. Если хг и х2—две цепи соответственно
размерностей гх и г2 такие, что для них определено (см. выше)
комбинаторное произведение, то определено и комбинаторное
произведение цепи Ахг сх2и цепи хг с Дл;2, причем
Д^хХг)^^*!^)—(— l)ri(*iД*2). если гх>0, г2>0; (2:451)
Д (л;^) = ф х1х2—(х1 Дх2), если гг = О, г2 > 0; (2:452)
А (хгх2) =* (Axt х2)—(— \)г*фхгхх, если гг > 0, г2 = 0; (2:453)
Д (ххха) = ^ *i*2—0*2*п если /^ = ^«0. (2:454)
В силу (2:44), достаточно доказать каждую из этих формул
для одночленных цепей, т. е. для ориентированных
многогранников.
Докажем (2:451). Пусть tx и t2—ориентированные
многогранники размерностей г1 и г2 и (/i/2) = f. В силу теоремы [1:43],
комплексы ze\ и \zr\ цепей ze~At и гг = (Д^2) — (—1)г* (/ХА^2)
совпадают. Пусть |*0|€l2*l- Тогда возможны лишь два
исключающих друг друга случая: | /0 I € I (ДМ2) I или | tf01 € 1 (*iA<a) I- Пусть
|*t|€|(A*i'.)|. Это значит, что ) t^^T^T|, где
»Tf-|Ч|—некоторая {гх—1)-мерная грань многогранника 1Т = |/1|, а 2Т= \t2\.
Тогда
zr (/,) = (Д^д (/,) = (/,:»*,) (^.у (/,) = (/l54.) -^.
Выберем в многограннике 1Г/ (гх—1)-мерный ориентированный
симплекс Н,-9 в многограннике 1Т—точку е, а в 2Г—/умерный
ориентированный симплекс 2t.
Согласно определению коэффициентов инциденции (см.
формулу (2:31)) и ориентации комбинаторного произведения (см.
формулу (2:4)), получим:
, /п __ /,. n _ Pt/'t) (еН,Ч) _,_ (Ч;Ч) (еЧ.) Ч
2
to xt- (еЧ:) (ЧЛ) Wt)
_ >t/ (g*U (Vt) Ч/ 2t _^ (^t/) (Vt) 2t
2*/ h /0 4i t2 h tQ t2
If. lj
так как -jr- -jr- = +1. Следовательно,
*Л'о) = *,(*.) Д^ К|€10ЗД1-

326
18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
Чтобы доказать эту формулу для Н0|€ | (^ДУ!» можно было
бы повторить рассуждения, аналогичные вышеприведенным. Проще,
однако, воспользоваться тем, что первый случай уже рассмотрен.
Имеем
[Д (*!*,)] (/,) = [(Л/Л) + (-l)r'+1 (tiMJ] (/«).
если | /0|(;|(Д^2)|. Меняя обозначения tt и t2, получим
[Д {tJJ] (t0) = [(ДМ,) + (-1)'>+1 (Ш,)] (Q,
если Uo|€|(AMi)|- Отсюда, на основании фррмулы (2:42):
(-1)(''+1,(г'+1)[М'А)Ш =
= [(_i)r.^,+i> (^д/2) + (_i)«'.+««',+»(д^д] (д.
или, после сокращения обеих частей на (—l)(ri+1)""»+1>,
[А (М2)] (/о) - [(Д<1« + (- l)r'+1 (W)] ('•).
т.е. ze(/0) = гГ(t0) для |<0|€|('i^2)l-
Формула (2:451) доказана. Доказательство формул (2:452) —
(2:454) для одночленных цепей проводится точно так же; только
при суммировании и переходе к произвольным цепям они
принимают различный вид. Читателю рекомендуется это проделать.
В формуле (2:452), как частный случай, заключается хорошо
известная формула границы пирамиды:
Д (ех) =х—(еДл;);1
она получается из (2:452), если положить х1 = е, х2 = х.
2:5. Ориентация пересечения. Пусть в ориентированном
/--мерном пространстве R даны две ориентированные плоскости Rx и Rt
соответственно размерностей гх и г2, причем гх + г2 ^ г.
Если плоскости \Rt\ и \R2\ находятся в пространстве \R\
в общем положении и пересекаются, то их пересечение |#12|=s
= l#iln|/?2| имеет размерность г12^=гх + г2—г, и можно
некоторым инвариантным относительно аффинных преобразований обра-
зом задать ориентацию RV2 этого пересечения, зависящую только
О 9 в
от ориентации /?, Rlt R2. Это может быть сделано несколько
различными способами, из которых мы выбираем следующий:
В плоскости | R121 выбирается произвольный /-12-мерный
ориентированный симплекс t12. Затем в плоскости | R± | берем (гх — 1 —
— г12)-мерный ориентированный симплекс tx так, чтобы его несущая
плоскость была независима с плоскостью \R12\. Тогда |(ti2ti)l
будет /^-мерным невырождающимся симплексом в плоскости \R\Y
Аналогично в плоскости |/?2| выбирается (г2—г12—1)-мерный
ориентированный симплекс t2, так что |(t12t2)| есть невырождаю-
щийся /умерный симплекс в плоскости |#2|. Тогда, как легко
убедиться, Ktijjt^a)! будет невырождающимся /--мерным
симплексом пространства \R\.

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
327
Мы полагаем
*12 = 7ет ' ТЙЛГ ' ТЫЛГ*12" (2:5)
Замечание. Мы получили бы другой, впрочем, вполне
равноправный с этим способ задания ориентации /?l2, если бы
«формуле (2:5) заменили, например, симплекс (ti2tit2) симплексом
(t 2^)"'или ^«^ симплексом (titis) и т. п.
Покажем, что определенная таким образом ориентация R1Z не
зависит от специального выбора симплексов
t12;== е (^о» • • ^г12)* ti = f| (tffii+i* • -^ft)» *a==£(£ri*i« • •£/■)>
a только от ориентации #lf #2, /?. Пусть
— другие симплексы, выбранные аналогично i12, tlf t2.
Обозначим через S аффинное преобразование пространства | R \
в себя, переводящее точки е0.. .ег соответственно в точки е'0.. .е'г.
Это преобразование оставляет плоскости |/?12|, |/?i|, \R2\
инвариантными и порождает соответственно аффинные преобразования
Si2, ^1» ^2 каждой из этих плоскостей в себя. Имеем (см.
формулу (2:1)):
til = signS12, <М£ = signS,,
Il2 (tl2tl)
i^hl = sign S2, (ti2tit2) =Qign^
(tl2t2) (tl2tlt2)
R'l2 = /?1 fl2 fl
ti« (Mi) (tiata) ' (tiatita)
— signS* • u \ ч • signS2 • -г-—pr-. signS ,. . . ч =
6 X (tl2tl) 6 2 (tl2t2) S (tl2tlt2)
12
s= signSx*signSf-signSf • - .
Чтобы доказать, что i?i2 = /?12, мы должны доказать, что
#12 _ - О #12
-г-—sign^l2- —,
ti2 112
т- е. что
sign S| • sign S2 • sign S = sign S12.
Для этого выберем в | R12 | начало системы координат и
выберем первые г12 координатных векторов в | /?12|, следующие гх—г12
в \Ri\ и, наконец, последние г2—г12 в \R2\- В этой системе ко-
°рдинат матрицы аффинных преобразований S, Slf S2, S12 будут

328
18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
иметь соответственно вид:
А
В
D
0
С
F
0
О
Е
А
В
0
С
А
D
О
Е
откуда
Det S?= Det A. Det С • Det E, Det S12 = Det Д.
Det Sx = Det A • Det C,
DetS3 = DeM-Det£.
Следовательно,
Det S • Det S12 = Det S,. Det S
2
И
т. е.
sign S • sign S12 = sign St • sign S2,
sign S12 = sign St • sign S2. sign S.
Итак, независимость R12 выбора симплексов t12, tlf t2
доказана. Определенную таким образом ориентацию R12 пересечения
плоскостей |Rt| и \R2\ в пространстве |R| бы будем обозначать
через
9 Ш
а плоскость |/?12| с ориентацией R1xk*—через RtxR2, причем
r ~ r
обозначение пространства R в тех случаях, когда это не сможет
привести к недоразумениям, мы будем опускать.
Операция пересечения х обладает следующими свойствами:
R
(-R1)xR2 = R1x{-R2) = R1xR2 = — (R1xR2). (2:51)
R R -R R
Доказательство этого свойства совершенно очевидно:
Я? х/?? = (— l^-^^-^^x/?!1.
Доказательство. По определению пересечения имеем
AlX°2 Д1 *?2 *\
tl2
(tl2t2) * (tl2tl)
(tl2tl) (tl2t2) (tl2tlta)
tf
L_(_l)(ri-r12)(r2-r12)
#
(tl2t2tl) "

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 329
Пересечение плоскостей подчиняется ассоциативному закону:
Теорема [2:51]. Если три ориентированные плоскости Rlf
v и Rs размерностей rlf г2 и г3 находятся в r-мерном
ориентированном пространстве в общем положении (это значит, что
каждая из них находится в общем положении с двумя другими и
J их пересечением)1), то
(/^ х R2) X #3 = Ri x (R2 X R9). (2:53)
R R R R
Доказательство. Обе части равенства (2:53) представляют
собою одну и ту же г123-мерную (r123 = r1H- r2-\-r3—2r) плоскость
|/j128| = |/?iln|/?a|n|/?sl c двумя различным образом
определенными ориентациями. Обозначим эти ориентации соответственно
через т
А(]2)3 И АК23)*
Мы хотим показать, что Ram = Riw Лля этого берем в
плоскости | /?12з I г128-мерный ориентированный симплекс t123 и в
плоскостях |#12| = |#iX#2|, |/?м| = |Лах/?8|, I /?is| = l /?iX/?a |
размерностей r12 = r1 + r2 — r, r23 = r2 + rs—r, r13 = r1+ r3—r
соответственно (r12—r123— 1)-, (r23—r123—iy и (r13—r123—1)-мерные
симплексы t12, t23 и t13 так, что несущая плоскость каждого из
них независима с плоскостью ]ii23. Тогда, как легко убедиться,
симплексы
I (мгзмгЧз) |» I (*12зЧз*з1/ I» I (423*31*12) | и | (м23М2123*з1) I
будут соответственно г2, г3, ^ и r-мерными симплексами в
плоскостях \R2\> |/?3Ь \Ri\ и |#|« Применяя последовательно
формулу—определение (2.5), получим
R z= ^12 . ^з в R f
(tl23tl2) (tl23t23t3l) (tl23tl2t23t3l)
Ai лг R Rs R l
*123
(tl23tl2t3l) (tl23tl2t23) (tl23tl2t3lt23) (tl23t23t3l) (tl23tl2t23t3l)
_ *i
(tl23tl2 t3l)
Rs R
(tl23t23tl2) (tl23t23tai) (tl23t23tl2t3l)J (tl231I2tl3t23)
R\ R23 R
1 • * t*.,-
J (tl23iI2tl3t23) 12
о о
M23== Rl(23)>
(tl23tl2t3l) (tl23t23) 0l23T]2'3lt28)
что и требовалось доказать.
Пересечение цепей. Теперь мы легко можем определить
пересечение ориентированных многогранников, а затем и цепей.
Пусть tx и /2—два ориентированных многогранника
размерностей гх и г2 с несущими плоскостями Rx и R2, находящимися
г) Для этого, например, достаточно, чтобы плоскости \ Ri\ и | /?21
пересекались по плоскости \Ri2\ размерности rV2~ г\ + гг — г> а плоскость | /?3 I
и.о8секалась с I ^121 по плоскости размерности /*12з = /'з + г12 — г (см. лемму

330 18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
в общем положении в ориентированном r-мерном пространстве /^
Пересечением txxt2 этих ориентированных многогранников назы!
9 9
вается многогранник l^lfll^l с ориентацией txxt2y т. е. с такой
ориентацией, что
(*ix;2)= h t2 t
tit (titti) (titti) " (tistiti) ' ^,04)
где симплексы ti2, ti и t2 выбраны так же, как соответствующие
симплексы в формуле (2.5) и t/R = + l.
Пусть теперь в пространстве R даны две цепи *i = 2aii1f-
i
Ага = 2а2/а'у размерностей гг и г, с коэффициентами из некоторого
коммутативного кольца $ и притом так^е, что каждые два
многогранника l1^! и \4j\ соответственно цепей хх и х2 либо не
пересекаются, либо имеют несущие плоскости Ц1^! и ||%|,
находящиеся друг с другом в общем положении. Пересечение цепей хх
и х2 есть, по определению, rt + r2—r-мерная цепь.
хг X х2 = 2 a±flt/ {xti X ■*,), (2:55)
ч
согласно этому определению
\Xi -f- Xi) X Х2 ^ Xi X Х2 ~г Х± X Х2у
Xi X [Х2 "р Х2) ^ Xi XХ2 -\- Х± ХХ29 \Z\ОО)
ах1хх2 = х1хах2 = а(х1хх2), а£$ или а = ±1.
Далее имеют место формулы:
х1Хх2 = (—\) (/-х- г12)(г2—г12)х2ххи (2:57)
(хг х х2) х хъ = хх х (х2х х3) = (по определению) = xt х х2 х х3. (2:58)
Эти формулы в случае одночленных цепей, т. е.
ориентированных многогранников, совершенно непосредственно следуют из
соответствующих формул для пересечения плоскостей и свойств
коммутативности и ассоциативности теоретико-множественного
пересечения. Далее, на основании формул (2:56), они переносятся и на
произвольные цепи.
2:6. Граница пересечения. Теперь мы можем сформулировать
основное предложение:
Теорема [2:6]. Если многогранники |^| и |^2| соответственно
размерностей гх и г2 являются многогранниками общего типа
в r-мерном многограннике 11 | и находятся в нем в общем
положении (см. определения (1:5Г) и (1:5П)), то
^(txxt2) = (—\y^^^t1xt2+t1x^t2+^(тh^t1xтh^t2)(uth)i
t t н th
(2:6)

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
331
ле t (соответственно th)y поставленное под знаком х, обозначает,
что пересечение берется в ориентированной плоскости 11
(соответственно | th)\ rl2 = rx + r2—г есть размерность пересечения;
* z=\th\ означает произвольную (г—1)-мерную грань
многогранника |^|» h — некоторую ее ориентацию; суммирование в правой
части распространено по всем таким граням; Т\ Д/х и Th At2, как
в пункте 2:2, суть части цепей Atx и Д/2 в этой грани.
Доказательство. Обозначим для краткости цепи, стоящие
в левой и в правой частях равенства (2:6), соответственно через ze
и zr и докажем, прежде всего, что комплексы этих цепей
(см. пункт 2:2) совпадают.
Многогранниками цепи ze являются все (г12—1)-мерные грани
пересечения \t12 | = \tt | П \t2|. Согласно теореме [ 1:37], каждая
такая грань \t12g\ есть пересечение некоторых граней \tu\ и \t2/\
соответственно многогранников 1^1 и |/2|:
1'»ГЫ<1«|П|<„|, \tii\*\ti\, \t2/\^\t2\.
Обозначим размерности граней \tu\ и \t2,\ соответственно
через ги и г2/. Пусть общий носитель этих граней в
многограннике |/| есть грань |^M|tf| размерности rh = r—k.
Тогда в силу [1:51] будем иметь
\ rli<r1—kJ
\ r2jKr2—k,
(2:61)
в силу общего положения | tx | и \t%\
ri2—\ = ru+r2/—rht (2:62)
откуда
(гх + r2—r)—\ = ru + r2j — rh < тх + r2—r—k,
&<1.
Следовательно, k может иметь только два значения: fe = 0
и ft=l.
Если fe = 0, то гЛ = г, следовательно, |fA| = |f|. Формулы (2:61)
и (2:62) принимают вид
Гц<г, r2J^r и rX2—\=;ru + r2j—rt
откуда гх + г2—г— 1 = ти + rv—r, следовательно, ru + r2j = rx +
+ г2—1. Это возможно лишь в двух случаях: rli = rl—1, r2/ — r2
или ru = rly r2/ = r2— 1. В первом случае \tu\ входит в цепь Д^,
a |/8y|==j^|f следовательно, \t12g\ входит в цепь Д/iX^ (а
значит, и в цепь zr\ так как слагаемые правой части формулы (2.6),
очевидно, не могут иметь общих многогранников, следовательно,
сокращения произойти не может). Во втором случае |fi/| = |*i|»
а \t2j\ входит в Д/2, следовательно, \tl2g\ входит в t1xAt2 (а
значит, и в zr).

332 18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
Если k = 1, то | th | есть (г— 1)-мерная грань многогранника \t\
и формулы (2:61) и (2:62) дают гн^гг — 1, rv^r2—1, откуда
f\ + г2—г—1 =/'i/+ r2f—г+1, следовательно, rli+r2f = r1+r2—2.
Это возможно лишь при rli = rl — 1 и r2j = r2—1. В этом третьем
случае 1^,1 входит в цепь Th&tly a \t2j\ в Th Atf2, следовательно,
\t12g\ входит в ТпЫххТкМ2.
th
Итак, каждый многогранник цепи ге входит в гг. Обратное
будет непосредственно следовать из второй части теоремы [1:37],
если мы докажем, что | tx\П1t2\ФО (при условии, что \tH\[\
П | /2/1=7^=0). Предположим, что |/12| пусто. Тогда, в силу
выпуклости \tx и |tf2|, можно в ||/| провести (г—1)-мерную
> <
плоскость L такую, что \t1\cL и \t2\aL. Если грани |/i/|-S|f|
и l^yl^UI пересекаются, то несущие плоскости этих граней
должны лежать в L и, следовательно, размерность г0 их линейной
оболочки меньше г. Так как они пересекаются, то отсюда следует,
что размерность их пересечения rlt-+ r2i—r0 > ru+ r2j—г, что
противоречит общему положению | tx\ и 112\ в 11\. Если \tli\a.Th
и | t2j\aTht где Th есть (г— 1)«мерная грань многогранника Т = \ t
и Uu I П \ttf | ф О, то несущие плоскости этих граней должны
лежать в (г—2)-мерной плоскости Lf) | Th (L и | Th не совпадают).
Следовательно, размерность г0 их линейной оболочки меньше г—1.
Но это опять противоречит общему положению |^| и \t2\.
Итак, доказано, что комплексы цепей ze и zr совпадают.
Остается теперь показать, что для каждого многогранника |/щ|
цепей ze и zr
2* \Jl2g) = Zr Vl2g) •
Рассмотрим отдельно все три вышеупомянутых случая. Ради
простоты начнем со второго.
2-й случай. Грань | t12g | пересечения 1112 | = \tx х t2 | есть
пересечение многогранника |/i| и грани \t2/\ многогранника |/*|:
1^1 = 1 МП|<я/|. Имеем:
ze \*i2g) — \М2 • *i2g)>
zr {tug) = (h X Mt) {tltg) = (/,: t2/) (tt X tu) {t12g) = (tt: t,j) j-£fc
fr (■ /
*12g
Выберем в многограннике \t12g\ ориентированный
(r12—^-мерный симплекс tl2g в | tu\—точку е, затем в плоскостях \\t1\ и \\t2j\
соответственно (гх — г12—1)- и (г2—г12 — 1)-мерные
ориентированные симплексы tx и t2/, несущие плоскости которых независимы
с плоскостью ||fi2|. Тогда симплексы (etltgt^> (^t12^t2/), (tl2gt2j) й
ь (et12gtxt2) будут соответственно гг, /у, (г2—1)-, r-мерными
симплексами в "плоскостях ||ix\y ||f2|, \tv-\ и \t\. Согласно определению
коэффициентов инциденции (см. формулу (2:31)) и ориентации

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 333
есечения (см. формулу (2:54)), получим:
v tl2g (gtl2g) tl2g (gtl2gtl) (gtl2gt2) (gtl2gtlt2)
Ze (tug) =* "™: 12^ ~ ' 12* # h2 ~ h2g tX ' t2 1 »
. tl2g
(tia^tj/) (eti2^ts/) ti2^ (ti2j«ti) (titgt*/) (ti2eetit2/)
^2/ *2 ^12^" ^1 ^2/ * *
следовательно, ze (/12^) « zr (t12g).
3-й случай. Грань \t12g\ есть пересечение грани |/и|
многогранника |*i | и грани \t2f\ многогранника |/t|, лежащих в (г—1)-
мерной грани | th | многогранника 111: | t12g\ = | /lf | n | /2/1; имеем
2е(^12^) == (*12:*12^)»
zr (W = (71* Atx X Th Д g (f ,„) (t:th) = (tt: tv) (tt: /„) (*: f A).
Выберем в многограннике | t12g | • —if£ ориентированный
(tu'Xtij)
{rng—1)-мерный симплекс t12^, в |/12|—точку e, затем, в
плоскостях \tu\ и \\t2j\ соответственно (rt—r12—1)- и (r2—r12—1)-
мерные ориентированные симплексы tu и t2y-, несущие плоскости
которых независимы с плоскостью ||^i2^|. Тогда симплексы
(^i2^ti/), \tl2gtli)> (^t 12^*2/)»
(tl2^2/)» (^i2^ti/t2/) И (ti2^tl£t2/)
будут, соответственно, /v, (гг — 1)-, /у, (га— 1)-, г-,
(г—^-мерными симплексами в плоскостях \\t1\f \\tu\y ||/2|, Ц/2/|» 1*1 и |*а1-
Получим
// v. Uzg (etl2g) tl2g (etl2^tl/) (etl2ghj) (gtl2^tl tt/)
гв1Г12^)=7 7 = 7—: 7 ' 7 • 7 » .
s *12g *12 *12g rl f2 *
7 ({ \ (tl2^tl/) (etl2£tl/) (tl2^t2/) (gtl2^t2/) (tl2^tl/t2/) Wwftl/ta/)
*rVizg) = т т 7 г ; j X
*1<' *1 *2/ *2 *Л l
tl2£ (tl2^tl/) (tl2^t2y) (tl2^rti;t2y)
X
hzg hi t2/ th
Следовательно, ze (t12g) = zr (t12g).
1-й случай. Вместо того чтобы повторять рассуждения, ана-
л°гичные вышеприведенным, воспользуемся тем, что 2-й случай уже
Рассмотрен.
Имеем [&(t1Xtt)](t14) = (t1xbti)(t12g), если |f12^| является
рногогранником цепи ^хД^. Меняя обозначения, получим
^(^Х^1)](/12^) = (^хА/1)(<12^), если \t12g\ является
многогранником цепи /2хА^ (а следовательно, и цепи A/xx/2).

334 18- ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
Отсюда (на основании формулы (2:57))
т. е. [А(/1Х/2)](/12|Г) = (-1К1-^(А/1Х^)(/1^).
Итак, в первом случае ze(t12g) = zr (t12g).
Рассмотрением всех трех случаев формула (2:6) полностью
доказана. Мы будем называть ее формулой Лефшеца. Она может
быть обобщена:
[2:61]. Если хх и х2 суть две цепи соответственно
размерностей гг и г2, состоящие из многогранников общего типа в \tr\
и такие, что каждые два многогранника I1/,- й \Н;-\ соответственно
цепей хх и х2 находятся в |/г| в \tr\ в положении (см.
определение [1:5п]), то (2.63)
А (хг х х2) = (—l)rt~ria Axj xx2 + xtx Ax2 +
+ 2i{Thbx1xTh\x1){t':t'l:\
tr tr , tr
Доказательство. Пусть
X1 = £(2ц tj, X2 = £j &2i tj*
i 1
Тогда, на основании формул (2:55) и (2:6), будем иметь
А (хг х х2) = 2 аиа2/д (ги X 20) =
tr *. / tr
= (— lJ^i-'tiAXiX x2 + xt X Д*2 + 2/%д*1 X ^ДхЛ^Г1),
<г - •*
S/^Д^ X ThAx2)
что и требовалось доказать.
§ 3. Полигональные цепи
В настоящем параграфе определения и результаты двух
предыдущих параграфов переносятся из эвклидова пространства
в комплекс. Понятие комплекса и другие простейшие понятия
комбинаторной топологии предполагаются известными; мы лишь
напоминаем основные определения и факты во избежание путаниШ*
с терминологией. В первом и четвертом пунктах вводятся основнЫе
определения полигональной цепи и пересечения полигональны*
цепей. Содержание второго и третьего пунктов носит чисто слУ*

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 335
бный характер и необходимо лишь для доказательства основной
*е еМЬ1 [5:1]. Центр тяжести этих двух пунктов состоит в фор-
Тле (3:33). Читатель, не заинтересованный в строгом изложении
!2лоии, может пропустить эти пункты или отложить их чтение
!f пятого параграфа.
3:1. Цепи в комплексах.
3:2. Куски полигональных цепей.
3:3. Следы полигональных цепей.
3:4. Пересечение полигональных цепей.
3:1. Цепи в комплексах. Под комплексом в настоящей статье
всюду понимается конечный комплекс, состоящий из попарно
непересекающихся выпуклых многогранников некоторого эвклидова
пространства. Комплекс называется замкнутым, если он содержит
вместе с каждым своим многогранником и все его грани.
Замкнутый комплекс, состоящий из симплексов, называется
триангуляцией.
В дальнейшем, говоря о замкнутых комплексах, мы будем
называть их просто комплексами, специально оговаривая те
случаи, когда комплекс может не быть замкнутым.
Впрочем, подкомплексы замкнутых комплексов, которые мы
будем рассматривать, почти всегда будут незамкнутыми.
Определения трех следующих абзацев относятся к замкнутым
и незамкнутым комплексам.
Многогранники комплекса часто будем называть его
элементами. Элементы наибольшей размерности, входящие в данный
комплекс, называются его старшими элементами, а их
размерность— размерностью комплекса. Комплекс называется размерно-
однородным, если каждый его элемент подчинен по крайней мере
одному старшему элементу. Комплекс, состоящий из всех
элементов комплекса К, имеющих размерность меньшую или равную г,
называется г-мерным рант-комплексом комплекса К и обозначается
через Кг. Число r-мерных элементов комплекса К будем
обозначать через аг(К) или просто аг.
Подкомплекс /С' с К комплекса К называется его открытым
подкомплексом, если вместе с каждым элементом Т£К он
содержит и все элементы Т' £К, которым Т подчинен. Комплекс 0А(7),
состоящий из всех элементов комплекса /С, подчиняющих
элемент Т g /С, называется открытой звездой элемента Т в комплексе/С.
Гелом комплекса К называется теоретико-множественная сумма
Вс^х его элементов, рассматриваемых как точечные множества
Эвклидова пространства. Тело комплекса К обозначается через К.
с-сли /f—замкнутый комплекс, то К есть компакт. Если К' с /С,
То К' открыто в К в том и только в том случае, если К' есть
0ткРытый подкомплекс комплекса /С.
В дальнейшем будут рассматриваться цепи, состоящие из мно-
ГогРанников, лежащих в элементах некоторого комплекса К.

336 18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
Если х—такая цепь, мы говорим, что х лежит в /С, и пищ^ц
хс=/С. Частным случаем цепей, лежащих в /С, являются собствен,
ные цепи комплекса /С, т. е. цепи, состоящие из элементов J(
Если многогранник Т' лежит в элементе Т комплекса /С, то у
называется носителем многогранника 7" в /С. Теоретико-множеср»
венная сумма носителей всех граней цепи х в комплексе К и всех
элементов, которым эти носители подчинены, называется /(-окрест,
ностью цепи х и обозначается через UK(x). UK(x) есть открытое
в К множество. Если максимальный диаметр элементов крмп«
лекса К d(K) < e, то UK(x)^Ue(x).
Определение [3:11]. Цепь х называется цепью общего
типа в комплексе /С, если все ее многогранники (но не
обязательно все ее грани) являются многогранниками общего типа
(см. пункт 1:5) в старших элементах этого комплекса.
Определение [3:12]. Цепь х общего типа в. комплексе Ц
называется полигональной цепью этого комплекса, если ее
граница Ах также является цепью общего типа в /С.
В частности, конечно, если х есть цепь общего типа и Д# = 0,
то х есть полигональная цепь.
Грани цепи х, состоящей из многогранников общего типа
в старших элементах комплекса /С, вообще говоря, могут не быть
многогранниками общего типа или быть ими в нестарших
элементах. Следовательно, определение [3:12] требует, чтобы такие
грани, если они и существуют, не входили в Дх.
Следующие свойства полигональных цепей очевидны:
[3:13]. Сумма и разность полигональных цепей суть
полигональные цепи. Нулевая цепь есть полигональная цепь.
[3:14]. Граница полигональной цепи есть полигональная цепь.
Полигональная цепь z называется полигональным Д-циклом,
если ее граница Дг = 0.
Полигональный цикл z полигонально гомологичен нулю, z Q О,
если существует полигональная цепь х такая, что Дк = г.
Две полигональные цепи хх и х2 полигонально гомологичны
между собою, *iQa:2, если их разность есть полигональный цикл,
полигонально гомологичный нулю. Если хг—х2 = Дх, то мы
говорим, что цепь х «осуществляет гомологию» x1qx2. Если при этом
хаК'аК, мы говорим, что хг и х2 гомологичны в /С, и пишем
Теперь можно построить обычную гомологическую теорию,
используя понятие полигональной гомологии.
r-мерные полигональные цепи комплекса К по области коэф*
фициентов 31 образуют Lq(/C, St).
r-мерные полигональные циклы образуют ее подгруппу
z^iK, a)cib(/r, si).
Наконец, в силу соотношения ДДл; = 0, группа Нги(К, ™/
r-мерных циклов, полигонально-гомологичных нулю, является

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
337
поДГруппой группы циклов
НЬ(К, «)cZb(/Cf Я).
Фактор-группа
В'П{К, Щ = ?и{К, Щ\НГП{К, Я)
группы полигональных циклов по подгруппе циклов,
гомологичных нулю, называется r-мерной полигональной группой Бетти
комплекса К по полю коэффициентов Я.
Топологическая инвариантность групп Bq(K, Я) в том случае,
когда комплекс К является комбинаторным А-многообразием, будет
следовать из того, что группа Bq(K> Я) изоморфна обычной
д-группе Вгь(К, Я) комплекса. Это будет доказано в пункте 5:3.
Элементы группы ВГП(К, Я) будем называть r-мерными
классами полигональной гомологии комплекса К по области
коэффициентов Я.
Подразделением комплекса К называется всякий комплекс К19
обладающий следующими свойствами:
1) Тело комплекса Кх совпадает с телом комплекса /С:
2) Всякий элемент 7\ комплекса Кг содержится в некотором
элементе Т комплекса К:
TtsT.
Элемент Т является носителем элемента 7\ в комплексе К.
Если Кг есть подразделение /С, а К2—подразделение К и то К2
является также и подразделением /С.
Если /Ci и К2 суть два различных подразделения комплекса /С,
то существует комплекс /С3, являющийся подразделением каждого
из комплексов Кг и /С2- В самом деле, за /С3 можно, например,
принять множество собственных и несобственных граней
многогранников вида Tu(]T2f9 где Tli€K1 и Т2/£К2—два
произвольных элемента комплекса К г и К2.
Каждый (замкнутый) комплекс имеет в числе своих
подразделений триангуляции, например, свое барицентрическое
подразделение. (Подробнее об этом см. в пункте 4:1.)
Если цепь х лежит в К19 то она лежит также и в /С. Если
Цепь х лежит в /С, то ей однозначно соответствует некоторая
Цепь Sdx, называемая подразделением цепи х (порожденным под-
Разделением Кг комплекса К) и определяемая следующим образом:
гДе Тих есть часть цепи х в элементе Ти комплекса Кх
(см. пункт 2:2) и суммирование распространено по всем таким
элементам.

338
18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
Очевидно,
Sd (хг + х2) — S dxx + Sdx2t (3:1 n
Sd(ax) = aSdx, a—любой оператор группы 21.
Докажем формулу
ASdx = SdAx. (3:12)
На основании (3:11) достаточно доказать эту формулу для одно*
членных цепей, т. е. ориентированных многогранников:
ASdtr = SdAf. (3:13)
Пусть tr имеет размерность г и | tfi_1| есть произвольная (г — 1).
мерная грань цепи Sdtr. Через | tt\ обозначим носитель грани | t[~l\
в комплексе [/г], состоящем из многогранника \tr\ и всех его
граней. \t(\ может иметь размерность г или г—1. В первом случае
(SdAtr) (/J-1) = 0, так как |//| = |/г|, следовательно, | tf\ П§5а7г = о.
Покажем, что в этом случае и (ASdfJ^Jf1) —0. Действительно,
раз носителем |^-1| является \tr\, плоскость jtl~l\ рассекает || tr |
на две полуплоскости, и грань | /J"11 подчинена ровно двум
многогранникам цепи Sdtr, лежащим с разных сторон от f^i"1!; так
как они ориентированы одинаково, то (ASdt^tf^—O. Во втором
случае грань t[~x входит в ASdtr и в SdAtry причем в первую
цепь—с коэффициентом (fiiff"1), где \t[\—единственный
многогранник цепи Sdtr, подчиняющий грань Ui-1| и t[ = tr, а во
вторую цепь—с коэффициентом (tr:t^ где tl=^i['1. Но эти
коэффициенты, очевидно, равны (см. определение коэффициентов инциден-
ции в пункте 2:3). Формула (3:13), а следовательно и (3:12),
доказана. Из (3:12), в частности, следует, что подразделение
цикла есть цикл.
[3:15]. Всякая цепь х, лежащая в /С, имеет среди своих
подразделений симплициальные.
Это предложение требует доказательства, так как
подразделения цепей, лежащих в /С, определены нами лишь через
подразделения /О Впрочем, для доказательства, очевидно, достаточно
построить такое подразделение Кх комплекса /С, чтобы
соответствующее подразделение Sdx цепи х было собственной цепью К\
(т. е. состояло из элементов /Сх). Подразделяя затем Кх симпли-
циально (например, барицентрически), получим симолициальное
подразделение цепи х. Для построения К± поместим К в некоторое
s-мерное эвклидово пространство и через каждую плоскость U
являющуюся несущей плоскостью хотя бы одной грани цепи *>
проведем столько (S — 1)-мерных плоскостей, чтобы L являлась их
пересечением. Все такие (S—1)-мерные плоскости разобьют
элементы К на многогранники, которые вместе со своими гранями
составляют К\. Предложение доказано.
Из формулы (3:12) и предложения [1:53] следует:

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 339
ГЗ: 16]. Всякое подразделение полигональной цепи комплекса К
ь полигональная цепь этого комплекса.
€СТ Аналогично из [1:54] следует
ГЗ: 16]. Всякая полигональная цепь любого подразделения
омплекса К является полигональной цепью и самого комплекса /С.
К Читателю предполагаются известными основные сведения из
теории гомологии, в частности,— понятия непрерывной цепи непре-
оывного цикла и непрерывной гомологии непрерывных циклов
(см., например, Зейферт и Трельфалль «Топология». В русском
переводе непрерывные цепи называются особыми алгебраическими
комплексами). Непрерывные цепи мы будем обозначать малыми
готическими буквами, непрерывную гомологию между
ними—знаком ~> классы непрерывной гомологии (элементы групп Бетти) —
большими готическими буквами. Группы Бетти—через ВГ(К, Я).
Если симплициальная цепь (в смысле определений пункта 2.2)
лежит в комплексе /С, ее можно рассматривать как
непрерывную цепь этого комплекса. Если две такие цепи симплициально
гомологичны между собою, то эту же гомологию можно
рассматривать и как непрерывную.
Пусть z—произвольный полигональный цикл комплекса К и
гх и z2—два различных симплициальных подразделения этого
цикла. Циклы гг и z2, рассматриваемые как непрерывные циклы,
принадлежат одному и тому же классу <$ непрерывной гомологии.
Действительно, как класс цикла ги так и класс цикла z2
должны совпадать с классом непрерывных гомологии, которому
принадлежит общее симплициальное подразделение z3 циклов zx
и z2, так как подразделение всякого непрерывного цикла
принадлежит тому же классу, что и сам цикл.
Определение [3:17]. Класс j непрерывных гомологии,
которому принадлежат все симплициальные подразделения
полигонального цикла г, рассматриваемые как непрерывные циклы,
называется классом непрерывных гомологии полигонального
цикла z. Мы говорим также, что z принадлежит J.
Мы говорим, что полигональные циклы zx и z2 непрерывно
гомологичны между собою, и пишем
zx~z2 или zx—z2~0,
если они принадлежат одному классу непрерывной гомологии.
Аналогичный смысл имеет запись
г~з или даже z—J~0,
где z—полигональный, а 5—непрерывный циклы.
На основании вышеизложенного
[3:18]. Из ZjQZjj следует zx~z2.
Непосредственно из определения [3:17] следует предложение:
[3:19]. Sdz~z, где Sdz означает любое подразделение поли-
г°нального цикла z.

340 18- ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
3.2. Куски полигональных цепей. На протяжении всего этого
и следующего пунктов К означает некоторый r-мерный
замкнутый комплекс.
Индексы i0, ilf ..., ir пробегают соответственно значения о^
1 до аг(/С), от 1 до аг_1(/С), ..., от 1 до а0 (К). Суммирование
по этим индексам всегда проводится в указанных пределах, еслн
не оговорено противное.
Назовем куском цепи х в произвольном r-мерном элементе
Т[9 комплекса К и обозначим через (х){0 часть этой цепи в ?Г
(см. пункт 2:2):
(*)*.= 7fc. (3:20)
Назовем, далее, куском цепи я в (г — 1 )-мерном элементе Ti'1^^
относительно Тгс9 и обозначим через {х)^х часть цепи Д (x)i% в Т^1:
Ww^TZ^Wi,. (3:21)
Пусть определен кусок (х)^.../. цепи х в (г—/)-мерном эле-
менте Tij~'€K относительно Tf0, Тс'1, ..., TiJ^1. Определим
тогда кусок (х)^..^. цепи х в s(r—/—1)-мерном элементе
^/+1 ^^ относительно 7\г0, Г£"\ ..., Г?/"' как часть цепи Д(л:)*,, .л.
Wtt.-^^^n^^WiA..^. (3:22)
В дальнейшем, до конца пункта 3:3, предполагается, что х
есть р-мерная полигональная цепь комплекса К. В этом
предположении и доказываются все формулы и теоремы.
Непосредственно из определения кусков и из теоремы [1:55]
следует:
[3:21]. (*)/,...*. есть (р—/)-мерная цепь общего типа в 77*7 •
В частности, (*)*,...,> есть нульмерная цепь, и (*)*,... *у — 0»
если / > /?.
Далее, из способа построения кусков очевидно:
[3:22]. (х)(0..,1.Ф0 только в том случае, если
Из [3:21] и [1:55] следует:
[3:23]. Д (*)*,...*. состоит из (р—/ — 1)-мерных
многогранников общего типа в элементе Т\~1 и в его (г — / — 1)-мерных
гранях.

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 341
Следовательно,
д(*),•„....-, = .2 П;/;1Д(*)1...л/ + П:/л(*)(„..л, (3:23)
'/+1
Теорема [3:24].
Т[->А(*),„.. л, = (-1К(Д*к..л, (/ = 0, 1 ... р-1). (3:24)
Доказательство. Индукция по /'. Пусть / = 0. Имеем
т Г.д (*),-. = П,дп.х=П.д 2 т\х,
i
так как, очевидно, Т^АТ&^О, если /=^i0. Но ^Trtx=^x, так
как х есть полигональная цепь; поэтому
и, следовательно, при / = 0 теорема справедлива. Пусть
формула (3:24) доказана для / = а:
T\:*b(x)l..u.ta={-\Y(bx)t,...tj
докажем ее для i — a+ 1. Возьмем разность между левой и
правой частями и преобразуем ее:
[по формуле (3:22)]
= Тг1а-+аГ АТ^АМ;,.. Ла + {-\YT\:l;'A (Ах),... .,-« =
(так как Tri~°~1AT^~a~1z = 0 для любой цепи г, если i^ia+i)
=П;+Г *д 2 тг-'Д (*)*.. ..«-« + (-1)аП;+г ХД (Д*).-....<•« =
i
(по индуктивному предположению)
=П.7,-* д 2 п - "-1 д (*к... ь + пв-+"-' д п;а д (*),.... t. =
i
=пг+г *д (2 п-^д (*)<•.....-« +пгд (*)*.. ...-„)=
[по формуле (3:23)]
= Tria-::lA(A(x)u...ia) = 0,
что и требовалось доказать.
Суммы кусков. Докажем несколько формул для сумм
Усков полигональной цепи
2 (*)*.=*• (3:25>

342 18- ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
Доказательство:
2 (*)<•.=2 О=*•
Il(x){o...i=A(x)io...i +(-iy(Ax)i>...i (/ = 1 р). (Щ
i. J J J
J
Доказательство. По формуле (3:23) имеем
Аик..л/.1 = ^П;1А(Дск...«у_1 + 7'{/-/1+1Д(х),...л/_Л =
[на основании формул (3:22) и (3:24)]
= ]£(*).•... л,-(-1У'(Л*)<0..л,м,
откуда и следует (3:26). В частности,
2(*)*..../, = д (*)»....*,_!. если Дл: = 0. (3:26)
Наконец, докажем формулу
2(х)г...,.,. = 0 (0<Л</; /=1, .... Л). (3:27)
'*
При доказательстве разберем отдельно два случая:
1) А = 0. Вычислим сначала
2 (*)/Л = 2 т\;х a (x)i9=т[; * д 2 (x)t. - П~ * д*,
to to lo
так как х есть полигональная цепь, Дл; состоит из
многогранников общего типа в r-мерных элементах /С; поэтому
2(*к.-,=П_1лх=о.
Отсюда индукцией по / легко следует, что
2(*)ь.../, = 0 (/ = 2, 3, .... р).
В самом деле, если доказано, что
2(хк. ..**•_! = 0,
то
2(^....^=2п;/а(^...[-._1=п;/а2(Ао....-/-1=°-
Го to *о
2) h > 0. Вычислим сначала

общего типа в Т{ **1, следовательно, в силу [1:51]
18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 343
подформулам (3:26) и (3:24))
- пг!гм <*><.■ • •'.-» - я;*г'апг-;,а о*... .^ - о-
Первое слагаемое здесь равно нулю в силу соотношения ДД =
О Для того чтобы убедиться, что и второе слагаемое равно
^лю, заметим, что, согласно [3:23], 7\г"-1+1д (x)i9...ifil =y есть
цепь
.^г-л+1д (;фо л-л1 ==Ду может лежать лишь в элементе ТГГ^~Х
или в его (г—А)-мерных гранях. Значит,
lh + l h-l n L fi + l J '
что и требуется.
Из того, что ^(x)i(t_,i =0 следует так же, как и в пер-
; ft ""г- 1
lh
вом случае, индукцией по /—Л, что 2(*)*....*Л...<у = 0.
'л
Итак, формула (3.27) доказана полностью.
3:3. Следы полигональных цепей. Комплекс /С (замкнутый или
незамкнутый) называется псевдомногообразием, если
выполнены следующие условия:
1) комплекс К размерно-однороден;
2) каждый (г—1)-мерный элемент комплекса К
(г—размерность К) подчинен ровно двум r-мерным элементам К (условие
неразветвленности) и
3) каждые два r-мерные элемента К могут быть соединены
цепочкой r-мерных элементов, так что каждые два соседних в
этой цепочке элемента имеют общую (г—1)-мерную грань
(условие сильной связности).
Псевдомногообразие К называется ориентируемым, если
выполнено условие:
4) можно выбрать такую ориентацию \\ь каждого из г-мерных
элементов Т[0£К, что цепь /С = 2^<> является относительным
to
Циклом комплекса К (это значит, что ее граница Д/С не лежит
На ^С или, другими словами, Alt (tr~1) = 0 для всякого tr~1£K).
Всякое ориентируемое псевдомногообразие имеет две
ориентации:
tf=2tf и -к=2(-Ч9-
Риентация псевдомногообразия определяет соответствующую ей
°Риентацию каждого старшего элемента этого псевдомногообра-
^Ия». ориентируемое псевдомногообразие К называется
ориентированным, если фиксирована некоторая его ориентация. В даль-

344
18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
нейшем неориентированное псевдомногообразие К мы буд^
обозначать через |л|, сохраняя обозначения К для псевдомного.
образия \К | с ориентацией К и обозначая через —К псевдомно.
гообразие \К\ с ориентированной —Л.
Условие 4) может быть записано так:
Atf = 0
или в развернутом виде:
М=д2^„=2а^=22(^:С1)С1=о1
Jo
<0
(о »i
где U~ суть произвольно [ориентированные (г—1)-мерные эле-
менты 7,["1€|^'|- Последнее равенство означает, что для любой
ориентации ti"1 любого из этих элементов
или, если
&
и
суть те лва r-мерных элемента, которым
подчинены IUI
^-i
(^=с1)+(^--с1)=°-
(3:31)
о
Циклы вида аК, где а—любое целое число (положительное,
отрицательное или нуль), суть единственные r-мерные циклы
псевдомногообразия |/С|; поэтому r-мерная группа Бетти
псевдомногообразия \К\ есть бесконечная циклическая группа1).
| К | называется замкнутым псевдомногообразием, если оно
является замкнутым комплексом; в противном же
случае—открытым.
r-мерный связный замкнутый комплекс называется г-мерным
(комбинаторным) А-многообразием, если Л-мерные группы Беття
открытых звезд (см. пункт 3:1) всех его элементов при 0<£<'
суть нульгруппы, а при k — r—бесконечные циклические. Если
К есть комбинаторное А-многообразие, то открытые звезды всех
его элементов суть открытые ориентируемые псевдомногообразия.
Всякое г-мерное ft-многообразие является r-мерным
псевдомногообразием; поэтому имеет смысл говорить об ориентируемых и не-
ориентируемых А-многообразиях.
Комплекс, состоящий из всех собственных граней г-мерноК>
выпуклого многогранника, является (г—1)-мерным замкнул**
*) Имеются в виду группы Б.тти комплексов. Так как в качестве цикда*
допускаются и относительные циклы, то группа Бетти комплекса, если о* *
замкнут, может отличаться от группы Бетти полиэдра, являющегося его тело*
Подробнее об этом см. в книге: Александров, «Комбинаторная топология»-

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 345
огообразием (гомеоморфным (г—1)-мерной сфере). Пользуясь
Л'мй докажем следующую лемму.
эТЙ*ттемма [3:31]. Пусть S есть открытая звезда элемента
rrkUTr B комплексе, состоящем из всех собственных и несобст-
енной граней многогранника Тг:
S = {T, Тк^>Т^Тг].
Всякие два р-мерных элемента комплекса S (k^p-^Lr—1)
юГут быть соединены в S цепочкой р-мерных элементов так, что
ляя каждых двух соседних в этой цепочке элементов в S
имеется (р+ 1)-мерный элемент, которому они оба подчинены.
Доказательство. Индукция по г—р. При р = г—1
теорема тривиальна. Пусть теорема доказана для р = г—а.
Докажем ее для р = г—а—1. Пусть T'^S и T"£S—два (г—а—1)-
мерных элемента из S. Возьмем два (г—а)-мерных элемента
T*£S и T**£S, которым 7" и Г" соответственно подчинены:
Т'-~>Т*у Т'^Т**. По индуктивному предположению в S'
существует такая цепочка (г—а)-мерных элементов Т* = Т01У Г12,
Т&, •••» Ts% 5+1 = 7"**, что каждые два соседних в ней элемента
Т^ь/ и Тп+1 подчинены одному (г—а+ 1)-мерному элементу
7\^S (i=U . ..,s). (r—а)-мерные элементы Tt_ui и Titi+1
принадлежат открытой звезде элемента Тк в (г—а)-мерном
комплексе, состоящем из собственных граней (г—а+ 1)-мерного
многогранника Г/. В силу вышесказанного, эта звезда есть
псевдомногообразие и, следовательно, T;_lti и Ti% f-+1 могут быть в ней
соединены такой цепочкой (г—я)-мерных элементов, что каждые
два соседних в этой цепочке элемента имеют общую (г—а—1)-
мерную грань. Все такие (г—а—1)-мерные грани (для всех *=*=
= 1, 2, ..., s) и составляют нужную нам цепочку,
соединяющую Г с Т\
Вернемся теперь к определениям и обозначениям предыдущего
пункта (К — г-мерный замкнутый комплекс, х—/7-мерная
полигональная цепь этого комплекса).
Теорема [3:32]. Если /foS-tff1^ • • • Ь-'Г"7, то цепь
<<Игж~1:С*)--•(^Г:'г;/)(*ь.-"</ (°<i<p) (3:32>
зависит только от ориентированных элементов t[9 и ttf1 и от
^епи х и не зависит от специального выбора элементов fj,"1, ...
' Vi •
Доказательство. Индукция по /. При /=1 теорема
тривиальна: цепь (/[e: f^1) (x)i0il зависит только от triof fi~x и цепи х.
^сть теорема доказана для / = а. Докажем ее для / = а+1,

346
18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
т. е. докажем, что
( Я.: ^Г1) • • • ( ^ СГ1) *, г ,', =
\ ° 1 / \ a ia + i j i0i1. . .iaia + i
= (tu-tq1) • • • ( tr~ai CV1 (*),„,;. ..,>_,). (3:33)
.r—i f-o ,r—i ,г-а
где ^ , ..., U'a и /fj , ..., /^ суть произвольные орие^.
тированные элементы комплекса К, удовлетворяющие условиям
и
Если /д== «д, то по индуктивному предположению
(tf.: /f1)... (СГ1: О (*)w;.. .<; =
и, следовательно, (3:33) верно. Если 1аф1"а, то, согласно лемме
(3:21), элементы f.~a и Л"в можно соединить такой цепочкой
1а 1а
(г—а)-мерных элементов tr7a—tQly t12i ..., ts%s+1 = t[~a, ищи-
a a
дентных с tia+71* что каждые два соседних в ней элемента t^n
и //,,-+! подчинены одному (г—a-f 1)-мерному элементу *,-€*.
Покажем теперь, что, последовательно переходя от одного
элемента цепочки к следующему, можно в цепи (3:32) постепенно
заменить элемент ?7а элементом trfa.
la 1а
Каждый переход от t,1 {=trra к tt i+1=trr*a совершается в
la ' 1а
два приема:
1) Если дана цепочка
Ua £" it* ^ • • • £- t.* h~ t:*
4 la-i la
инцидентных между собой элементов, то, выбрав другую цепочку
*i с"- Г* > г" ... г" *,** г t .* ,
'l la-l la
будем, согласно индуктивному предположению, иметь
V l° 4 J V la-i la J V ,»e4...«a-1«e
= ( //ft: t.** ).. . (/.** : /.* ) (x). .** 1**1*л»

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 347
(ti.: t't) ' ' ' V *2 ' a + ' / { 'Wl - 'a-i'a'V+.=
tr-a + i
Пусть вторая цепочка выбрана так, что tt** =ti (см. выше).
Я основании теоремы [1:35] это всегда можно сделать.
2) Покажем, что
Согласно формуле (3:27),
Si X) • ••** .** . . /ч
. * ' lot, ... t/1_itgtg + i = U«
В этой сумме только два члена отличны от 0, так как среди
(Г—а)-мерных граней элемента tr~a+1= ti только две инцидентны
с С+Г1 (теорема [1:36]). Согласно построению, этими гранями
являются элементы f. * . = Л"в и /. /+1 = £ГГЛ Поэтому
В то же время, согласно формуле (2:33),
= - (t£*": ^r.fl) (*:r.a: С+вГх) • (3: ^
Из (3:35) и (3:36) следует (3:34).
Теорема доказана.
Если комплекс К является ориентируемым Л-многообразием,
теорема [3:32] может быть усилена.
Теорема [3:33]. Пусть К есть ориентируемое и
ориентированное r-мерное Л-многообразие и ориентации /£ его старших
симплексов соответствуют ориентации К (К = 2 *Г, V
Если /[.Ь^1 ? ?- ffj', то цепь
(4.: С) (С1: С2)- • • (<Й+1: ''/"О <*>'•'• • •'/ (3:32)
ависит только от ориентированного элемента t\~l ориентации
-многообразия К и от цепи х и не зависит от специального
ВЬ1бора элементов С ..., t[
7-1

348 18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
Доказательство. Независимость данной цепи от выбоп
промежуточных элементов ff"1, ..., t'T^1 при фиксированном.
fib была доказана предыдущей теоремой. Докажем независимое^
(3:32) от t{9. Если даны два разных r-мерных элемента t\. и f
инцидентных с t\\ то они могут быть соединены цепочкой щ,
цидентных с triTi элементов tr. = t01f /12, ..., tSttS+1=t^9 такой
что каждые два соседних в ней элемента t^ui и ti%i+1 имезог
общую (г—1)-мерную грань t{ (так как звезда элемента tfr'eJt
есть псевдомногообразие). Переход от timml% (— f.* к ti% /+1 = ir*s ка*
и в предыдущей теореме, совершается в два приема:
1) Если дана цепочка tr£*$~tri*1$ S-'/•~/+1S-tf7/ инцидент-
ных между собой элементов, то, выбрав другую цепочку
будем по теореме [3:32] иметь
Пусть вторая цепочка выбрана так, что /Г«1 = // (см. выше).
2) Покажем, что
I /.*: t.** 1.. . ( t.** • ti. } (x).*•* .»* . =
V lo li J V lj-i J ) y /1о1г~1]-11/
= ( t .*'. t .** ) . . . ( t .** I ti } \Xf .**.** ♦ **... [oloif
Согласно формуле (3:27)
' 2w •• -о.
В этой сумме отличны от нуля только два члена, так как
элемент f.™1 в Л-многообразии К инцидентен только двум г-мер-
ным fa именно t\* и tr{**\ Поэтому
(х).*.** .** . =— (х).**.** .** . (о**^/
В то же время, согласно формуле (3:31),
(Y.: Л-,4 = - (^..: /ГГ.М. (3:39)
Из (3:38) и (3:39) следует (3:37). Теорема доказана.

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 349
Определение [3:3]. Цепь
азывается следом полигональной цепи х в ориентированном
элементе t\~J (ориентированного ft-многообразия К) и обозначается
через (*);у-
Кроме того, по определению, считается (х)?0 = (x)io.
Таким образом, след (х)[. может только знаком отличаться от
куска (x)i,...f.. Значит, (х)1. есть (р—/)-мерная цепь общего типа
4r'J
в и, •
Из формулы (3:26) сразу получается основная формула для
следов полигональных цепей:
?(^"Л+,:0(Ч=Д(х)'7-1"ь(~1)/(Ах)& (/=1, •■•*р)-
V
Имея в виду приложения этой формулы (пункт 5:1),
переменим обозначения и запишем ее в следующем виде:
аг-к
2 (<Г*+1:<Г*)(*)? = ^(х)^-(-1)к-ЦАх)Ч-1
1=1
(k= 1, . . ., /?).
При & = 0 будем иметь
2 (*)? = х. (3:30) •
l' = 1
3:4. Пересечения полигональных цепей. Пусть в г-мерном
ориентированном псевдомногообразии К даны две полигональные
цепи хх = ^ вхЛ,- и л:2 = ^, a2/tf2/ соответственно размерностей гг и г2.
Определение [3:40]. Цепи хх и л;2, лежащие в комплексе
|^|, находятся в \К\ в общем положении, если каждые два
многогранника \tlk\ и \tv\ соответственно цепей хх и х2У имеющие
в \К\ общий носитель, находятся в этом носителе в общем
положении (см. определение [1:5П]). Пересечение хгхх2 в
ориентированном псевдомногообразии К полигональных цепей хг и х2,
находящихся в общем пеложении в |/С|, определяется следующим
°бразом:
Xj X Х2 — 2U ' i^i X ' i%2»
гДе пересечения в правой части берутся в смысле формулы (2:55),
* сУммирование распространяется по всем r-мерным элементам
'€|/С|, причем ориентации iio этих элементов соответствуют
Риентации К ориентированного псевдомногообразия /С.

350
18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
Размерность г12 цепи хгхх2У очевидно, равна гг+г2—л
Непосредственно из определения пересечения и из теоремы
[1:58] следует
[3:41]. Пересечение полигональных цепей, находящихся в об-
щем положении в /С, есть цепь общего типа в К.
Несколько дальше это предложение будет усилено (теорема
[3:42]).
Для пересечения полигональных цепей справедливы формулы:
(— хг) х (х2) = хх х (— х2) = — (хх х х2) = хгх х2\ (3:421
К. К. К —К
x1xx2 = (—l)^-r^^-r^(x2xx1); (3:43)
(хг х х2) ххъ = хгх (х2 х лг3); (3:44)
(хг1 ± х12) х х2 = хп хх2± х12 хх2; (3:45)
х1 х (x2i зп ^22)== %iX x2i i Xix x22. (о:46)
(Мы будем в большинстве случаев опускать значок
псевдомногообразия.)
Доказательство получается из формул (2:56) — (2:58) и (3:41)
совершенно элементарным подсчетом.
Отметим еще следующую принципиально важную формулу:
S &xx xSdx2 = Sd(xlx x2), (3:47)
где S dxx и S dx2 суть произвольные подразделения цепей хг и jca,
находящиеся между собой в общем положении, a Sd(x1xx2) —
некоторое подразделение цепи хгхх2 (существование которого
утверждается).
Доказательство. Если Sdxx и Sdx2 суть подразделения
цепей хх и х2, порожденные соответственно подразделениями Ki
и /С2 комплекса К, а К3—построенное, как в пункте 3:1, общее
подразделение комплексов Кг и /С2, то цепь Sd(x1xx2),
являющаяся подразделением цепи х1хх29 порожденным подразделением
Кз комплекса /С, и будет искомой цепью, так как легко видеть,
что для нее (3:47) выполняется.
Формула (2:63) для пересечений в псевдомногообразиях
принимает вид
А (*! х х2) = (— 1)г1-г*2 Ахг х х2 + *i х &х2. (3:48)
(Формула Лефшеца в псевдомногообразии.)
Доказательство. Так как хг и х2 суть полигональные
цепи, то, очевидно, хг = 2Т{xlt х2 = ^Т{х2. К цепям Т(хг и Т$%
I I
применима формула (2:63). Поэтому
Д (х± х х2) = Л 2 Т(хх х 7>2 = 2 А (?>! х Т£х2) =
i i
= (— 1 )'•-'» 2 AT,*! x T,x2 + 2 7>i X Д7>2 +
+ 2 2 ( Th Д7>х х Th Д7>Л (t,: **)•

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 351
Преобразуем отдельно каждое из трех получившихся слагае-
Прежде всего, так как, очевидно, ATix1xTJx2 = 0J если
= 2 (A7\*i X х2) = С А 2 Т(хЛ х х2 = Дл^ x л:2.
Аналогично
£ ГЛ х АГл = 2(2 7>i х АГ л ) =
= 2 (xiх А7\*2) = *!х ( А2 ТрЛ = хгх Ах2.
Наконец, для третьего слагаемого (при фиксированном А)
получим
%(ThATix1xThATixA(ti:th) =
= ( Th Д7\х Th АТЛ\ {txi th) + ( Th АГЛ X Th AT2x2\ (t2: th),
(3:49)
'* J \ bh
где через Tt и Г2 обозначены те два r-мерных элемента, которым
подчинен (г—1)-мерный элемент (th).
В силу формулы (3:27) имеем
0 = 2 (*i),a = 2 Th АГЛ = Th АГЛ + Гл ДГЛ,
откуда Th ATxxx = — Th АТ2хг и аналогично Th АТ2х2 = — Th АТгх2.
С другой стороны, из формулы (3:31) (t2:th) =— {t\'th). Поэтому
Для выражения (3.49) будем иметь
ThAT1x1xThAT1x2\(t1:th) +
+ (-Th ATlXlx-Th Д7>2) [- (t,: th)] = 0.
Ч
Формула (3:48) доказана. Из нее следует
Теорема [3:42]. Пересечение полигональных цепей,
находящихся в общем положении в /С, есть полигональная цепь в К.
Действительно, согласно [3:41] хххх2 есть цепь общего типа
в К. Согласно [3:14] Ахг и Дх2 суть полигональные цепи, следо-
Вательно, по [3:41] Дхххд:2 и л:2хАл:2, а значит, на основании [3:13]
и (3:48), А(х1хх2)—цепь общего типа. Но это и означает, что
Х}^х2 есть полигональная цепь.

352 18- ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
§ 4. Барицентрическое подразделение
Основные свойства барицентрического подразделения предпо,
лагаются известными читателю. В пункте 4:1, однако, приводятся
формулировки нужных определений и теорем в связи с прин^
тыми в статье обозначениями и терминологией. В изложении цу
в основном следуем главе XIII книги П, С. Александрова «Ком.
бинаторная топология», где читатель может найти доказательства
всех высказываемых здесь предложений. В конце первого пункта
вычисляются определенные в 3:4 следы для ориентированных
барицентрических звезд. Второй пункт настоящего параграфа
посвящен теоремам, утверждающим возможность приведения
различных цепей в общее положение. Читатель, склонный подобного
рода предложения считать очевидными, может весь пункт
пропустить. В пункте 4:3 строятся барицентрические подразделения
специального вида (m-подразделения). Пересечения цепей этих
подразделений легко могут быть фактически вычислены, что и
делается в пункте 4:4. В дальнейшем это используется для
построения изоморфизма между кольцами Лефшеца и Александера.
4:1. Основные свойства барицентрического под-
ра зделения.
4:2. Пространство подразделений.
4:3. /тг-под раздел ения.
4:4. Пересечение /п-клеток.
. 4:1. Основные свойства барицентрического подразделения.
Пусть в каждом элементе Tf(i=^ly ..., ар\ р = 0, ..., г)
/--мерного замкнутого комплекса К выбрана и фиксирована некоторая
произвольная внутренняя точка of £ Tf этого многогранника—его
«центр».
Барицентрическим подразделением комплекса К
(соответствующим данному выбору центров of) называется симплициаль-
ный комплекс Klf вершинами которого являются все центры
of(i=l, ..., аР\ р — 0, ..., г), а симплексами—все симплексы
вида of/of/.. .о?*|, удовлетворяющие тому условию, что Tfl*r
£~Г?/< £-77*- Можно доказать, что Кх действительно пред-
k
ставляет собою триангуляцию, являющуюся подразделением
полиэдрального комплекса /С.
В качестве центров of часто принимают центры тяжести (с*
далее, пункт 4:3) элементов Т?9 откуда и происходит название
«барицентрического» подразделения. В отличие от общего барй'
центрического подразделения, подразделение °/Clf вершинами of ко*
торого служат центры тяжести соответствующих элементов Т?€"§
называется собственно барицентрическим подразделением коми*
лекса /С.

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
353
Псе вершины комплекса К являются, конечно, и вершинами К19
аК как о? = 7Т в симплексе Ти = \о%о%.. .о£|, если Т?00>-
Тр*>-- • • £-^к» вершина of* называется старшей, a o*cj*—мл а д-
а. симплекс Тц^Кг и элемент TVfg/C называются сопряжен-
/jxw ДРУГ ДРУГУ- ^сли Р/гмеРный элемент 7\-ft\ сопряженный Г^-,
подчинен r-мерному элементу Гг, а сам симплекс Tlt лежит в Гг
и имеет размерность г—pk, то Ти называется звездным симплексом
(в элементе Тг). Симплекс Ти= oft of*... о** будет звездным
симплексом в Тг в том и только в том случае, если ТР* = ТГ и в ряду
элементов Г?0° *-Г£ *-...*-Tf* размерность каждого следующего
элемента на единицу меньше размерности предыдущего.
Пусть теперь комплекс К размерно однороден и имеет
размерность г. Тогда триангуляция Кх тоже размерно однородна, имеет
размерность г и все ее симплексы являются собственными или
несобственными гранями звездных симплексов вида lo^o*"1.. .о?г|.
Подкомплекс триангуляции К19 состоящий из всех ее симплексов,
сопряженных (г—/?)-мерному элементу Тггр$К, имеет
размерность р. Он называется барицентрической звездой элемента Т\~р
(в подразделении /Ci) и обозначается через Sf (или, если нужно
отметить подразделение/С 1, через Sft). Барицентрическая звезда Sf
состоит из р-мерных звездных симплексов, сопряженных
элементу Т[~р, и некоторых их граней. Барицентрические звезды
являются открытыми попарно-непересекающимися
подкомплексами /ПР1, причем /Ci= U Sf.
i, p
Если | К | есть ft-многообразие, то все барицентрические
звезды Sf суть ориентируемые открытые псевдомногообразия.
Пусть А-многообразие \К\ ориентируемо и л= 2 ^—ег0
ориентация. Пусть, далее, 1\~р (р > 0) есть произвольная
ориентация некоторого элемента Т\~р-<Тгн этого псевдомногообразия,
а ^i/€ Sf — какой-то сопряженный ему звездный симплекс.
Согласно лемме [1:56], плоскости \Т\~Р и \Т% находятся в \Trh
в общем положении, т. е. пересекаются в единственной точке ог{~р.
Обозначим через ipj такую ориентацию симплекса Tpf, что
|*?/ХК-р= + оГ". (4:1°)
Сумму всех ориентированных таким образом /7-мерных сим-
плексов, входящих в Sf, обозначим через sf:
sf = 2<&- (4:11)
12л г
**' С Понтрягин, т. I

354 18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
Другими словами, s£ есть цепь, принимающая на каждом cm*
плексе tffy, входящем в Sf, значение
Ч(*Ъ) = 0№х\Гг>\. (4:12)
Отметим, что в силу фиксированного выбора ориентации trh став,
ших элементов А-многообразия /С, всегда будет
s?=*+0|. (4:110)
Следовательно,
0s°c = +l. (4:120)
Цепь sf является ориентацией псевдомногообра.
зия Sf.
Доказательство этого важного предложения мы опускаем, так
как оно имеется почти во всех курсах по комбинаторной
топологии (например, Александров «Комбинаторная топология»,
гл. XIII или Зейферт и Трельфалль «Топология», гл. X,
стр. 278, изд. 1938 года). Цепь sf называется ориентированной
барицентрической звездой (ориентированного) элемента trt~p (в
ориентированном Л-многообразии /С). Граница Asf звезды sf лежи
на /C\sf и выражается следующей важной формулой:
Aep-(-i)'er^+l(//,-'+i:tf-p)ef-i(Ci1: :::;«-/>)• (4:13)
Линейные комбинации ориентированных барицентрических
звезд (с коэффициентами из группы а) называются звездными
цепями подразделений Кх (по области коэффициентов а). Из (4:13)
следует, что граница звездной цепи есть звездная цепь.
Из леммы [1:56] следует, что звездные цепи являются цепями
общего типа, из последнего же утверждения вытекает, что они
являются полигональными цепями.
Основная теорема о звездных цепях [4:1]. Если J
есть /7-мерная непрерывная цепь r-мерного А-многообразия #(0^
^р^ г) такая, что ее граница Aj есть звездная цепь
подразделения /С, то в К существует такая h + 1-мерная непрерывная
цепь и, что
А')^Х—х, (4:Н)
где х есть некоторая звездная цепь подразделения Кх.
Замечание I. Из (4:14) следует, что Ах = А%.
Замечание II. В теореме [4:1], как частный случай, содеР*
жатся предложения:
[4:11]. В каждом гомологическом классе триангуляции Ki c0*
держатся звездные цепи.

18 ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
355
Г4-12]. Если две различные звездные цепи непрерывно гомо-
ичны между собой, то существует звездная цепь, осуществляю-
Л°я ^ГУ гомологию.
*№ оаП0Мним, что теорема [4:1] доказывается постепенным «стяги-
нием» Депи ? на кРая барицентрических звезд. Это стягивание
ваов0дится в два приема: сначала цень j заменяется симплициаль-
П*й цепью, состоящей из симплексов подразделения К19 а затем
*?а симплициальная цепь переводится в звездную. Доказательство
походит не только для самого А-многообразия К, но и для любого
его открытого подкомплекса, содержащего цепь г, в частности,
например, для /С-окрестности Uk(x) цепи х. Отсюда следует, что
цепи j и *), существование которых утверждается теоремой, могут
быть выбраны в /С-окрестности цепи х.
Следы звезд. Пусть триангуляция Кг является
ориентируемым и ориентированным /--мерным А-многообразием и sP есть
ориентированная барицентрическая звезда симплекса t[~pf s? есть
полигональная цепь и, согласно [3:3], для нее определены следы
(s?)/.. В связи с теоремой [5:1] нас будет интересовать след (sfjf^
звезды sf симплекса tr.~p в самом этом симплексе. Вычислим этот
след.
Выберем цепочку ti0 J- /£" * ?— . £~ %~р инцидентных между собой
симплексов
* io == (^0 • • • ег)»
llt = [в-1. . . вг),
Цр — \вр • • • °г)»
причем будем считать, что ориентация t10 соответствует
ориентации /С. По определению следа, имеем
\Sip)ip == Wo"Ut )•'•[,*ip_t • Up ) \sip)i0. . Лр— \Sip)i0. • • lp*
так как при нашем выборе симплексов ?С1 все коэффициенты
инциденции (ftT^1:^'1) равны единице.
Остается найти (s?). . . Прежде всего заметим, что единст-
\ ijp/*o« • -lp
венным многогранником цепи s? , замыкание которого пересекается
с каждым из симплексов #0, ft'1, ..., Х~р, является симплекс
'^Ц»0?/"1.. .о?"р). Поэтому, если tx входит в sL с
коэффициентом гу то

356 18 ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
1) Найдем {t^)i0...tp. По определению кусков (формулы (3:20)
(3:22)) имеем
w w,=н,-2 А к-х • • • V)=к2 • • • V) •
(У*... л,=П;РА К;_р+' V)=°L"P •
2) Найдем е. По предположению, е есть значение цепи sp На
симплексе tx. По формулам (4:12) и (2:54) имеем:
\£рРр +1 • • • ^г) (^o^i • • • ^/>£/? +1 • • • ^г)
Переставляя вершину 0£~р в двух местах на одинаковое число
вершин, мы не меняем величины правой части. Поэтому
К"-°ЦГ*) (°ipPep+1"er) (0io'-°ripPep^'"er)
(о;...о$~р) (epPp+i---er) (e0...epep + i...er) ~~
\ *0 ''р '
(°ipPeP+i---er) (0l---°ip"eP+i---er)
8 =
г-Р
(°lpPeP + i'--er)
На основании леммы [2.13] знак —^- г—= + 1, так как о^
\ерер+1- • *ег)
есть центр симплекса (ер...ег) и, следовательно, лежит с той же
стороны от грани (ер+1.. .ег), что и вершина ер. Для нахождения
второго знака применяем несколько раз подряд леммы [2:13]
и [2:40]:
= (ер-•-<?/■) [Л.
Итак, е-+ 1, следовательно, (s^)^= + oJ^p, откуда 0{sp)Ps*
= + 1; так как, очевидно, 0(sf)/ = O, если 1Ф\, то вообще
(1, если i— /, ,, ,я

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
357
д.2 Пространства подразделений. В этом пункте мы докажем
ые теоремы и леммы, относящиеся к общему положению
0СЙи%нальных и, в частности, звездных цепей.
поЛо дальнейшем будут рассматриваться многократные барицент-
еские подразделения данного комплекса К. Первыми или одно-
Ридами барицентрическими подразделениями называются подраз-
ления, определенные в предыдущем пункте. (s+ 1)-ми ил»
(*-
(s =
s-кратны:
/ j- n-к'ратными барицентрическими подразделениями комплекса К
/=1, 2, 3,...) называются барицентрические подразделения
-кратных подразделений данного комплекса. Таким образом,
вершинами (s+ 1)-кратного подразделения Ks+1 комплекса К являются
центры (произвольные внутренние точки) 0& симплексов Т& (i—1,
2 ..-, о^(^):/?='0, 1, ..., г) некоторого s-кратного
подразделения К*-
Если Ks и A s—два различных s-кратных барицентрических
подразделения одного и того же комплекса /С, то 'Ks и "Ks
изоморфны. (Изоморфизм комплексов есть взаимно однозначное
соответствие между их элементами, сохраняющее размерность и инци-
денции.) Соответствие между симплексами fKs и "Ks
устанавливается следующим образом: вершине 'of €ТРЬ€К подразделения 'Кх
соответствует вершина "о?£Т? g/C подразделения "Кг\ симплексу
'ТЬ=
0".°ОР*. . .'(П*
la *1 к
to " *i
е 'Кх—симплекс "ТЪ = "о>£... "о?* € 'К»
вершине oft € 77* €'А* подразделения 'Kt+i(t=l, 2, ..., s—1)
соответствует вершина "о« £ Т& £ "7(t подразделения "/С*+1; симп-
,pk
ОиаОцх...
лексу 'TU1 i= J '<%pftt... 'о„* € %+1—симплекс "77+ и=
Расстоянием между двумя различными s-кратными (s= 1, 2, ...)
барицентрическими подразделениями '/С5 и "Ks комплекса К
назовем максимум расстояния между соответствующими вершинами
^их подразделений:
Р ('*„ nKs) -
max
0<р<г
lS<i'<a^(^.i)
P(4-i.*, Ч-Ы-
Такое определение расстояния превращает множество Ш15 все
^кратных барицентрических подразделений данного комплекса
в метрическое пространство (аксиомы идентичности, симметрии и
Реугольника очевидным образом выполняются), гомеоморфное,
зк легко видеть, выпуклому открытому подмножеству некоторого
клидова пространства довольно большого числа измерений. Так
л * соответствующие вершины подразделений 'Ks и "Ks принад-
ли 0ДН0МУ элементу комплекса /С, то расстояния между
разными подразделениями во всяком случае меньше d (К)—макси-

358 18- ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
мального диаметра элементов комплекса /С. Поэтому диаметр sm
не больше (в действительности равен) d(/Q. '
Если комплекс К является r-мерной триангуляцией, а°/( ^
s-кратное собственно барицентрическое подразделение этой триа^
гуляции, то максимальный диаметр d(°Ks) симплексов °KS y»Q/*
летворяет неравенству
(Доказательство см., например, в книге Зейферта и Трельфадж
«Топология», стр. 62, издания 1938 года.) Если Ks произвольное
s-кратное барицентрическое подразделение триангуляции /С а
p(KSy °/С5)<е, то, очевидно,
d(Ks)<(Tjrr)Sd(K) + 2e. (4:21)
В дальнейшем мы будем говорить, что «почти всякое» s-кратное
барицентрическое подразделение комплекса К обладает некоторым
свойством, если данным свойством обладают все s-кратные
барицентрические подразделения данного комплекса, за исключением, быв |
может, нигде не плотного $RS множества. Это, в частности,
означает, что в любой близости от любого наперед заданного
подразделения имеются подразделения, обладающие данйым свойством.
Отметим следующее совершенно очевидное предложение:
[4:20]. Если МсГ? есть множество, нигде не плотное в Г?$К,
то множество подразделений, для которых о£ £ М, нигде не плотно
в 9К (или, другими словами, почти для всех подразделений of £ {Щ>
Пусть <Ш1(Кь)аШа+1—множество барицентрических
подразделений а-кратного подразделения Ка комплекса К. Если Ма<^%,
Для построения аппроксимирующих цепей (см. § 5) и для
приведения их в общее положение нам потребуется ряд
элементарных лемм, относящихся к общему положению плоскостей.
Лемма [4:21]. Пусть А (?), £(|), С(£)—три линейных
подпространства некоторого пространства /?, непрерывно зависящие
от точки £ метрического пространства 9Л, причем размерности
л, /?, q этих подпространств постоянны, и А (|) содержит В(1) й
С(|). Линейную оболочку пространств В(Ъ) и С(|) обозначив
через D(E) и ее размерность—через г (£). Максимум значений гф
обозначим через г. Оказывается, что: 1) множество всех I, Д^
которых г (I) = г, составляет область в ЗЛ; 2) для всех точек *
для которых г(%) = г, линейное пространство D(Q непрерывно
зависит от £.
Докажем 1). Пусть г(Ъ0) = г и допустим, что существует №
следовательность 119 ..., £m, ... (1) точек из §01, сходящаяся к »»
такая, что г(%т)<г. Из последовательности (1) можно выбрз**

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 359
подпоследовательность, что для ее элементов r(|m.) = r' < г
Т оянно и что последовательность пространств D(lm) сходится
П которому пространству D размерности г'.
К НТак как В (1т)у по предположению непрерывности, сходится
5(b)» а С^т) СХ°ДИТСЯ к С(У» то мы видим, что В(Ъ0) и
Ъг(Ы оба содержатся в D, и потому размерность линейной обо-
чки 5(^о) и С(£о) меньше г, т. е. мы пришли к противоречию.
Л° Докажем 2). Пусть г(£о) = г. Допустим, что существует такая
последовательность £lf ..., £я, ... (2), сходящаяся к £0, что
D(£ ) не СХ°ДИТСЯ к ^(W- Можно выбрать тогда из (2) такую
подпоследовательность (Ц.), что D(Em.) сходится к некоторому D
размерности г, отличному от D(E0). Мы видим, что D(%0) и С(£о)
принадлежат одновременно к D(y и D, а так как D и Dfo)
различны, то размерность линейной оболочки В (|0) и С (£0)
меньше г, что противоречит предположению.
Итак, лемма {4:2] доказана.
Лемма [4:22]. Пусть R—п-мерное эвклидово пространство,
а В{1) и С(!)—два его линейных подпространства размерностей
р и q, p + qi^n> непрерывно зависящие от точки £ метрического
пространства Ш. Допустим, что 5(£о) и С (Но) находятся в общем
положении и пересекаются. Оказывается, что существует тогда
такая окрестность U точки Ъ0 в Шу что при l£U пространства
В(Ъ) и С(£) находятся в общем положении и пересекаются, а
пересечение их непрерывно зависит от £.
Доказательство. Так как, по предположению, линейная
оболочка пространств В (So) и С(Ъ0) совпадает с /?, то, в силу
леммы [4:21], существует такая окрестность V точки £0 в 9Л, что
при l$V линейная оболочка B(Q и С(|) совпадает с /?, т. е.
б(£) и С (£) находятся в общем положении.
Пусть /?*—проективное замыкание пространства R, т. е.
проективное пространство, получаемое из R присоединением к нему
всех его бесконечно удаленных точек. Пространствам В (£) и С (£)
соответствуют в R* их проективные замыкания 5* (£) и С* (£). При
l£V положим £* (I) П С*(£) = £*(£). Так как пространства наши
пРоективны, то пересечение Е* (£) не пусто и имеет размерность
l^P-rq—я. Покажем теперь, что Е*(\) непрерывно зависит от
5 в /?*. Если бы непрерывной зависимости не было, то
существовала бы последовательность точек %х ... £л ... из V,
сходящаяся к l$V, такая, что Е*(£!:) сходилась бы к г-мерному
^Е*(1) пространству. Очевидно, что тогда пересечение £*(£)
С*(1) содержало бы Ё* и еще £*(£), что невозможно.
При некоторых значениях £ пространство Е* (£) может целиком
в р°Ять из бесконечно удаленных точек, и тогда В(1) и C(Q
То Не бУДут пересекаться, но так как В(10)(]С(10) не пусто,
существует настолько малая окрестность UczV точки £0» для

360 18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
которой. В (£) П С (£) не пусто, непрерывность же в R вытеця
из непрерывности в R*. ^
Лемма [4:23]. Если плоскости Rx и R2 находятся в общ*,
положении в пространстве R0 и их пересечение Ri2 = R±r\R ^
ходится в /?0 в общем положении с плоскостью Rs, прн^
#! П /?2 П Rs Ф ©, то плоскости R±V[RS и R2 Г) Rs находятся в ]?
в общем положении. '
Доказательство. Лемма будет доказана, если мы убедщ^
в том, что
dim [(R1П R8) П (tf2 П R8)] - dim {R, n #,) + dim (R2 n /?,)—dim б
В силу общего положения плоскостей R12 и /?5, их линейная
оболочка | R12RS | = R0- Тогда и подавно | RXRS | = R0 и | /?2#51 ^
откуда следует общее положение плоскости Rs с каждой из пл£
скостей /?! и /?2. Обозначим размерности плоскостей Rl9 R2t Rsnj>
соответственно через г1У r2, rs и г0. Тогда будем иметь
dim (/?! П /?5) = гг + г5—r0, dim (Я2 П Я*) = '» + rs—r0.
Следовательно,
dim (Rx П Я,) + dim (Я2П Rs)—dim Я,=
=>(ri + rs—r0) + (r2 + rs—r0)—rs = rx + r2 + r5—2rt,
С другой стороны,
dim (/?! П /?2) = rx + r2—r0,
dim [(/?! П Rs) П (/?, П /?,)] = dim [(/?a П /?,) П /?J =
— (ri + ^—''o) + r5 — r0 = rx + r2 + r5—2r„
что и требовалось доказать.
Лемма [4:24]. Если плоскость Rx находится в пространстве й
в общем положении с плоскостью Rs, причем Rxr\Rs=£Q, я
RxdRfdR0j то R' находится в R0 в общем положении с Rv
a R' ()RS с Rx находятся в общем положении в R'.
Доказательство. Первое утверждение совершенно
очевидно, так как, в силу общего положения, из Rx П RsФ © следуй
| RXRS| = R0 и тем более \R'RS\ = R0. Второе утверждение, какв
в предыдущей лемме, доказывается подсчетом размерностей. №
должны доказать, что
dim [(/?' n Rs) П Rx] = dim (R' П Rs) + dim Rx — dim R\
Обозначая размерности плоскостей R0J R\ Rx и Rs
соответственно через r0, r', rx и г5, будем иметь dim (R' П #5) = г' + г,—''
Следовательно,
dim (Д' П /?,) + dim Rx—dim Я' = r5 — r0 + г,,.
С другой стороны, так как Rxa Я', то (Я' п Я5) П Ях = Я, П&;
и потому dim [(Я'ПЯ5)П Я*] = /',+ /'*—^о» что и требовалось ДР
казать.

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
361
«
^ ределение [4:2о]. Пусть Тх — произвольный многогран-
лежащий в элементе Т комплекса /С. Мы скажем, что s-крат-
вИК'баридентрическое подразделение Ks комплекса К удовлетво-
н°е уСЛовию [4:2о] относительно Тх, если каждый его симплекс 7\
рйжаший в Т, удовлетворяет по крайней мере одному из двух
Л10вий: 1) плоскости 17\ и 17"^ находятся в общем положении
-°п10скости Т или 2) Т1(]Тх = 09 причем это условие остается
Заполненным для всех s-кратных барицентрических подразделений,
в таТОЧно близких к Ks, в смысле метрики в %RS.
Д Теорема [4:2]. Каков бы ни был многогранник ТХУ
лежащий в элементе Т комплекса Ки почти все s-кратные
барицентрические подразделения Ks комплекса К удовлетворяют условию
[4:2о] относительно Тх.
Доказательство. Если /C5+i = Л €3ft5+i> то Л является
подразделением некоторого /С5==5(Е9^; мы положим % = f (ц). Без
труда проверяется, что / есть непрерывное открытое отображение
пространства Ш3+1 на пространство Ш3.
Так как все подразделения из Ш3+1 комбинаторно эквивалентны
между собой, то между их симплексами существует взаимно
однозначное соответствие и потому некоторый симплекс Т из 146^5+1
можно считать непрерывной функцией т\, Т = Т(г\). Симплекс Т (ц)
входит в некоторый симплекс 7" подразделения f(t\) и мы
положим Т = Т' (ц). Одна из вершин симплекса Т (г|) находится внутри
симплекса 7"(г]), ее мы обозначим через о (г|); остальные лежат
на границе 7" (ц) и составляют симплекс, который мы обозначим
через 7\(т]).
Множество всех Ks, удовлетворяющих условию [4:2о]
относительно Тх, обозначим через Gs, а множество всех л^ЗО^-ц, Для
которых симплекс Т (ц) удовлетворяет одному из условий 1) и 2),
обозначим через GJ+1GS и GJ+1—очевидно, области.
Для s —0 теорема, очевидно, верна. Допустим, что для
некоторого s область Gs всюду плотна в 5015, и будем доказывать, что
^+i всюду плотна в Ш3+1.
Ввиду открытости отображения /, область f'1 (Gs) всюду плотна
в ЭД*+1. Пусть т)0 £ /_1 (G5), покажем, что в любой близости точки г^
существует точка т), для которой симплекс Т (ч\) удовлетворяет
°Дному из условий 1) и 2) определения [4:2о]; этим самым будет
п°казано, что область значений т], для которых симплекс Т(ц)
Удовлетворяет одному из условий 1) и 2), всюду плотна в 9315+1,
* так как симплексов триангуляции г)—конечное число, то ин-
Укция по s будет проведена.
Так как ri0 g /~x (G^), то симплекс 7" (г)0) удовлетворяет одному
Условий 1) и 2). Рассмотрим два различных случая:
0ч Случай а). Симплекс Т'(г\0) удовлетворяет условию 2), тогда,
е^идно, и симплекс Т{ч\ъ)аТ' (г)0) удовлетворяет условию 2).
Улп УЧай Ь). Симплекс V (ri0) удовлетворяет условию 1), не
^°влетворяя условию 2). Пусть Л (ч) =* | Т (ц) и В (ц) = А (ц) П | Тх.

362
18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
Так как, по предположению, А (г\0) и \ТХ находятся в общем и*
ложении и пересекаются, то, в силу леммы, В(г\) непреры^
зависит от г) вблизи г)0. |7\(т)) обозначим через С(т)). Линейну^
оболочку В(г\) и С(т)) обозначим через D(r)), а ее размерное*
через г(ц). Если М—достаточно малая окрестность точки ъ
в 9Л,+ 1, то мы находимся в условиях применимости леммы. Пусл
г—максимум числа г (г\) при ц £ M. Через % € Л! обозначим точку
для которой г (%) = г. •
Если г совпадает с размерностью Л (rji), to линейная оболочка
I Тг (т^) и | Тх совпадает с линейной оболочкой А (%) и | Тх, т. е
равна |Г0. Тем более линейная оболочка | 7^(rji) и \ТХ равна (Г
а это значит, что условие 1) выполнено для симплекса ТЫ)
Если г меньше размерности Л (rii), то D(f)i) нигде не плотно
в Л (rji), причем то же имеет место и для всех т), близких к «
Если теперь о (%) принадлежит D (%), то следует изменить триан-
туляцию Y|L лишь в вершине о^), выбрав новую триангуляцию tl
так, чтобы о(т]?) уже не принадлежало к D(Tfe). В полученном
так подразделении ц2 симплекс Т(г]2), как легко видеть, уже
удовлетворяет условию 2).
Следствие [4:25]. 1) Какова бы ни была полигональная
цепь х комплекса /С, почти во всяком s-кратном подразделении Rt
комплекса К цепь Sdx (порожденное подразделением Ks
подразделение цепи л:) есть полигональная цепь. 2) Каковы бы ни были
полигональные цепи хх и ха, находящиеся в К в общем положении
почти во всяком KSf цепи Sdx1 и Sdx2 находятся в общем
положении.
Доказательство. 1) Покажем, что во всяком
подразделении, удовлетворяющем условию [4:2о] относительно всех граней
полигональной цепи х> цепь Sdx является полигональной. Согласно
определению цепи общего типа, мы должны показать, что несущая
плоскость | Тх каждого многогранника*) Тх цепи х находится
в общем положении в плоскости | Т0 его носителя Т0 £ К с
несущей плоскостью каждого из симплексов TS£KS, для которых Т,»
ПТ^О. Если Тх1)Т3ФО, то это значит, что T'X()TS&Q*
Т'х^тх.
Пусть Т'0^Т0 есть общий носитель Тх и Ts в К. Согласно
условию [4:2о], плоскости | Т'х и \TS находятся в | То в обиР1
положении, что, в силу | Тх(] Т'8ФО, означает ~ ~
С другой стороны, в силу полигональности цепи х,
так как Т^П^о^О- Отсюда следует
\\TX\TS\ = \\TX\TX\T8\ = \\TX\T,\=\T^
Т'
1 X
т
То
п
х) Напомним, что к многогранникам цепи относятся только многогранно**
имеющие ту же размерность, что и цепь; поэтому несущие плоскости --^л
гранщжов цепи 5 dx суть в то же время и несущие плоскости многогранно
цепи х. Этим фактом мы пользуемся в доказательстве.

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
363
овательно, \ТХ и \TS находятся в |Т0 в общем положении.
С*м доказано, что Sdx есть цепь общего типа в Ks. Так как
^же рассуждения применимы и к ее границе, доказано, что S dx
16 полигональная цепь в /С5. В силу теоремы [4:2], это имеет
^то почти для всякого подразделения Ks.
Ме°2) Покажем, что во всяком подразделении Ks, удовлетворяю-
ем условию [4:2о] относительно всех граней полигональных
^епей хг и х2, находящихся в К в общем положении, и относи-
IlibHO всех граней их пересечения х = х1хх2—полигональные
1еПй Sdxx и Sdx2 находятся в общем положении. Согласно
определению общего положения цепей, мы должны показать, что
несущие плоскости каждых двух граней соответственно цепей Sdxt
и цепей Sdx2f имеющих непустое пересечение и, следовательно,
общего носителя в Ks, находятся в общем положении в плоскости
этого носителя.
Пусть Ts—произвольный симплекс подразделения Ks.
Грани цепей Sdxx и Sdx2, лежащие в Т5, имеют соответственно
вид ТХ[\Т8 и Т2Г\Т3, где 7\ и Т2—произвольные грани
соответственно цепей хх и х2. Через Т0 обозначим носитель
симплекса Ts в /С. Если (Т1(]Т3)(]{Т2(]Т5)Ф09 то, конечно,
7\П Т2Ф О и, в силу общего положения цепей хг и х2,
плоскости 17\ и \Т2 находятся в общем положении в плоскости
|Т0, в то же время, в силу конструкции подразделения Ks,
каждая из плоскостей 17\ и \Т2 находится в | Т0 в общем
положении с \TS. Пересечения Т1(]Т2ФО есть грань цепи хххх2
и в силу (Тг[\Т^{\Т8ФО плоскость |Г1ПГ2 = |Г2П|7,а тоже
находится в |Г0 в общем положении с \TS. Из леммы [4:23]
следует, что в этом случае плоскости | 7\ n I Ts и | Т2 П | Ts находятся
в \Т$ в общем положении. Этим доказано, что цепи Sdxt и Sdx2
находятся в Ks в общем положении. В силу теоремы [4:2] это
имеет место почти для всякого подразделения Ks.
Следствие [4:26]. Пусть /С'— произвольное подразделение
комплекса К и Sd'—символ порожденного им подразделения це-
пей. 1) Почти при всяком s-кратном барицентрическом
подразделении Ks комплекса К все цепи вида S d'x*, где л:*—любая звездная
Цепь1) подразделения KS9 являются полигональными цепями под-
Разделения К'.
2) Если х' есть произвольная полигональная цепь комплекса /С',
То п°чти при всяком Ks цепи Sd'x* находятся в К' в общем
потении Сх'.
Доказательство. 1) Покажем, что всякое подразделение KS9
удовлетворяющее условию [4:2о] относительно всех элементов
омплекса К', удовлетворяет также и условиям первой части
Шего следствия. Согласно олределению цепи общего типа, мы
^еме е* цепь» созтолда^ из симплексов подразделения /С5, сопряженных
енгам KS-i- Подробнее см. п. 4:1.

364
18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
должны показать, что несущая плоскость | Т' каждого элемещ,
Т'£К' находится в общем положении в плоскости |Г0 носит*!*
То 6/С старшего элемента комплекса К\ которому Т' подчини
с несущей плоскостью каждого из звездных симплексов Tsgr*
для которых Ts П Т' ФО. Рассуждение ведется точно так же, как **
в первой части следствия [4:25]: из Ts П Т' Ф О следует T's n ?'^
ФО, T'S^TS, причем Г8 и V содержатся в Т'0^Т0 \£
1 Tfs n | Т' Ф О, в силу условия [4: 2о], следует || Г J Г | =*1 Г.. Си*,
плекс Ts — звездный, следовательно, общего типа в ks_u а зна-
чит и в k. Отсюда, в силу Ts П Т'0 Ф О, следует, что || Ts | Т'01 = | ?
юткуда ь
||г,|Г|Н|7,|г;|Г| = цг,|7;| = |7,.
Итак, каждая из цепей Sd'x* есть цепь общего типа в /('.
То же самое справедливо и по отношению к их границам
ASd'х* — Sd' Ax*, поэтому Sd'x* суть полигональные цепи
подразделения К'. В силу теоремы [4:2], это имеет место почти для
всякого подразделения Ks. 2) Покажем, что всякое
подразделение Ks> удовлетворяющее условию [4:2о] относительно всех
элементов комплекса К' и относительно всех граней цепи х\
удовлетворяет также и условиям второй части нашего следствия.
Согласно определению общего положения цепей, мы должны
показать, что несущие плоскости произвольных граней 7V и Tsd'x*
соответственно цепи х' и цепи Sd'x*, имеющих непустое пересечение
и, следовательно, общего носителя в К\ находятся в общем
положении в плоскости \Т' этого носителя Т'£К'. Гранью Тх> может
служить любая грань цепи х', лежащая в Т'. Грани же цепи SdV,
лежащие в 7", *шеют вид Tsd'x* = Т' П Ts, где Ts—любая грань
цепи**, т. е. любой симплекс подразделения /С5. Если Tsd'x П Тх*ФО%
то и подавно и TS[\T' ФО. Поэтому в силу условия [4:2о]
плоскость | Ts находится в общем положении с каждой из плоскостей
\Т' и \Тх>а\Т' в плоскости |Г0 носителя |Т06К многогранников
Т' и Ts. Из леммы [4:24] следует, что в этом случае плоскости
Т'х и \Т'(]TS = \T'r\\Ts находятся в \Т' в общем положений.
Таким образом, доказано, что все цепи Sd's находятся в К' в об*
щем положении с х'. В силу теоремы [4:2], это имеет место почтя
для всякого подразделения Ks.
[4:3] m-подр аз дел ени я. Напомним сначала основные
сведения о барицентрических координатах, которые нам понадобятся
в дальнейшем.
Пусть в r-мерном эвклидовом пространстве Rr даны s точек
еи е2, ..., es с декартовыми координатами ei = ei(l{J U> • ••»*'
(i= 1, 2, ..., s). Пусть каждой из этих точек е{- отнесено неко*
торое действительное число \ih называемое массой этой вершине
Центром тяжести системы точек е{ с отнесенными им массами №

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
365
вается точка е с декартовыми координатами
%■=
2 tfw
t=l
s
2 w
<=1
(/=1, 2, .... r).
(4:31)
^Предполагается, что ^\л£Ф0; в противном случае говорят, что
система точек е{ с массами [х,- не имеет центра тяжести.)
Если теперь принять s = г+ 1 ив качестве точек взять
вершины некоторого невырождающегося r-мерного симплекса Тг =
= ko^i--*erl пространства /?2, то из уравнений (4:31) однозначно
определяются отношения fx0:jjlx:... :\ir; в самом деле, перепишем
уравнения (4:31) в виде
2 w
(4:32)
*=о
i=0
и добавим к ним очевидное соотношение
1 = 0
i = 0
(4:33)
Система (4:32)—(4:33) однозначно разрешима . относительно
г
неизвестных ix,-/2 И-/» так как ее детерминант
i=0
i? ii ... И
Е? Е* ... lr
l l ... l
отличен от нуля (условие невырождения симплекса Тг). Зная все
отношения г^1 , мы определяем числа Ц/ с точностью до множи-
2ич
t = 0
г
теля, так как можем положить 2m-i==c» гДе с—любое число, не
Равное нулю.
Таким образом, числа \i0, \iu ..., \ir могут быть приняты за
однородные координаты точки е. Они называются барицентри
Некими координатами точки е относительно симплекса Тг.

366 18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
Обозначим:
или, кратко,
Обозначение симплекса Тг иногда опускается, если это не ве.
дет к недоразумениям.
Вершина е;- симплекса Тг имеет относительно него барицентра
ческие координаты
е/= е/[*/.:6Л: • • • :6/г]тЛ (4:34)
Г 1, если /==/,
гдев"=\0, если 1ф1.
Так как переход от декартовых координат к барицентрическим
и обратно совершается линейным преобразованием, уравнения
плоскости в барицентрических координатах будут линейными
однородными уравнениями. Так, например, уравнения AT-мерной грани
| ejoeJt ... g/ I координатного симплекса Тг имеют вид
Wfc+i = Wft+2 = ... = |x/V = 0 (4:35)
(индексы /0, /х, ..., jr представляют собой перестановку
индексов 0, 1, ..., г).
В частности, уравнения (г—1)-мерных граней суть Ц/—0
(/ = 0, 1, 2, ..., г). Внутренние точки симплекса Г7" определяются
системой неравенств
Если я = [Цу] и fr = [v/]—Две произвольные точки, то
координаты любой точки прямой аЪ имеют вид [ajif + Pv,-], где а и р-
произвольные действительные числа, причем, если а и р имеют
одинаковые знаки, то точка [a^+Pv,] есть внутренняя точка
отрезка \ab\.
Барицентрические координаты в триангуляции.
Пусть К — произвольная триангуляция. Так как К лежит в
некотором эвклидовом пространстве и состоит из прямолинейных не-
вырождающихся симплексов, то для каждой точки р£К
определены барицентрические координаты p[\ilo:\i{i: ... 9-щЛтк ее
носителя Tk = \eiQ ... ei\9 причем \Л//>0 (/ = 0, 1, ..., fe).
Барицентрическими координатами относительно своего носителя в л
каждая точка р£К определяется однозначно. Очень важно
отметить, что барицентрические координаты точки р относительно Т
совпадают с теми же координатами относительно произвольного
симплекса Trh_Tky которые в Тг отличны от нуля. Другими ело*

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
367
лХМи если
**"' Т* = \еи...е1к\ЗТ'=\еы...е1г\,
^-центры. Пусть дана функция т, относящая каждой вер-
ине et триангуляции К некоторое положительное число m (e)=miy
называемое массой этой вершины. Сама функция m называется
паспределением масс. Центр тяжести вершин симплекса Г* =
\р . ei \ триангуляции К с отнесенными им массами ш,-, .... т.-
т# е. точка
[m/o:...:m,JrJkf
называется ш-центром симплекса Tk и обозначается через ЦтТк.
/n-центр симплекса Г* является его внутренней точкой.
[4:31]. Если Т и f суть две противоположные грани
симплекса 7" (т. е. такие, что |7Т| = Г'), то /n-центр симплекса Т'
лежит на отрезке, соединяющем m-центры граней Г и 7\
Действительно, если Т = |е0 ... ея | и 7 = 1 ер+1 ... eq\, то
7" = |*о ... ej, и точки Д/й7\ 1(^7 и ЦтТ' имеют в 7"
соответственно барицентрические координаты
ЦтТ =[\ii\ = [m1:m2:. .. :mp:0:... :0],
ЦтТ = К1 = [0:0:.. . гО:тр+1:... :тя],
ЦтТ' =[o/] = [m1:m2:... :mp:mp+1:... :mq\
Здесь o/ = |i/+v/, следовательно, Zfwr£| Ц1ПТЦтТ |.
Определение [4:3]. Барицентрическое подразделение
триангуляции /С, вершинами которого являются m-центры симплексов
Tf€K> обозначается через тК и называется подразделением,
соответствующим распределению масс т, или, коротко,
т-подразделением.
^-подразделения образуют (а°—1)-мерное подмножество
пространства Ш.
яг-клетки. Все симплексы m-подразделения симплекса Trh —
"r\U ••• /Г|, сопряженные его грани Trfp = \ep ... ег\ (см. пункт
[4:1]), лежат в плоскости, изображаемой уравнениями:
Рр/Мр = Vp+i/Wp+i =...== Mr/mr- (4:36)»
Для того чтобы это доказать, достаточно убедиться в том, что
Все вершины этих симплексов лежат в этой плоскости.
Вершинами симплексов m-подразделения симплекса Г£, сопряженных Тгс~р,
являются m-центры граней симплекса Т£, которым Т\~р подчинен.
иУсть, например, T]~q = \eq ... ер ... ег\^Тгср—такая грань.

368 18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
Ее /n-центр имеет в симплексе Trh барицентрические координаты
[0:0 .. . :0:mq:. . . :тр:. . . :/пг], (4:36Л
очевидно, удовлетворяющие уравнениям (4:36), что и требовалось
Система (4:36) содержит (г—/?), очевидно, независимых мен^у
собою уравнений и, следовательно, определяет /7-мерную плоскость
Согласно доказанному, эта плоскость является несущей плоскость^
всех звездных симплексов Trh подразделения симплекса TJ, сопря.
женных Tri~p. Она называется m-плоскостью, сопряженной
симплексу Т\~р в Trh.
Теорема [4:32]. Звездные симплексы m-подразделения
симплекса Тгр = \е0 ... ег , сопряженные его грани Т[~р = \ер ... er\t
составляют вместе со своими гранями подразделение (см. пункт 3:1)
комплекса, состоящего из всех собственных и несобственных граней
р-мерного многогранника Sp, определяемого системой
0 < \i0/m0J ..., ^.i/rn^.x < \ip/mp = ... = \ir/mn (4:37)
или, подробнее,
0 < \i0/mQ < \xp/mpj
0 < Hy-i/flV-i <ppfmp_u
\ip/mp= ... =\ir/mr.
Доказательство. Мы уже видели, что все
рассматриваемые звездные симплексы лежат в плоскости многогранника S',
т. е. что их точки удовлетворяют равенствам (4:37). Покажем, что
они лежат и в самом этом многограннике, т. е. что координаты
их точек удовлетворяют неравенствам (4:37). Рассмотрим какой-
нибудь из наших звездных симплексов. На основании (4:36'), для
каждой из его вершин (при данном /, 0^/^р—1) имеет место
одно из двух равенств 0=*цу//яу или |i///ny = ji^/m^, причем по
крайней мере для одной из вершин (а именно, для цтТг1~р)
выполнено первое, и по крайней мере для одной (для ЦтТг)—второе.
Отсюда следует, что для каждой внутренней точки нашего
звездного симплекса выполнены неравенства 0 < \ij/nij < \ip/mp> что
и требовалось. Так как симплексы гп-подразделения заведомо не
пересекаются, то остается только доказать, что каждая точка
замыкания Sp многогранника Sp входит в замыкание по крайней мере
одного из звездных симплексов, сопряженных Trt~p.
Доказательство этого факта будем вести индукцией по р.
При /? = 0 предложение тривиально. Пусть оно доказано для
р — ау т. е. для всех граней размерности г—а симплекса Trh.
Докажем его, например, для (г—а—1)-мерной грани Тг~а~1=\еа+1..-ег\-
Многогранник Sa+1 для этой грани имеет уравнения
0 < \i0/m0, ..., \ijma < \ia+1/ma+1 — ... = \xr/mr.

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 369
пусть точка рг есть внутренняя точка многогранника Sa+1
видно, достаточно доказать наше предложение только для
Утренних точек), и пусть ее координаты [ц,0:... :цг]
удовлетворит соотношениям
О < Ц(М>< • • • < V>Jma < Pa+i/tna+i— • • • = V>rlmr
(в случае необходимости можно вершины e0f ..., еа
перенумеровать). Спроектируем точку рг из вершины ЦтТг~а"1
многогранника ' Sa+1 на его границу. Вершина ЦтТг~а~г имеет координаты
m:...: 0: та+1:.. •: пгг], поэтому соотношения 0 < \i0/m0 <... < \xjma
и ix^i/rna+i— • • • = lVmr будут, очевидно, сохраняться для всех
точек" проектирующего луча. Для точки же р2 встречи этого луча
с границей многогранника Sa+1 будет \ijma = \ia+i/tna+i-
Следовательно, p?£Sa, где Sa есть многогранник, определяемый системой
О < |i(M>, ..., \ia-i/m>a-i < vJm-a = ... = \лг/тг\
он соответствует грани Тг~1 = \ еа ... ег\.
Согласно индуктивному предположению точка р2 принадлежит
замыканию Тг одного из звездных симплексов Ти сопряженных
Тг~а. Но пирамида 7^ = |о7\|, где о=^ЦтТг"а~19 есть звездный
симплекс, сопряженный Тг~а"1. Так как, очевидно, р2 g T[t о € Т[
и /? 61 о/?21, то /?х g Г^. Теорема доказана.
Многогранник S*\ определяемый системой (4:37), называется
/n-клеткой, сопряженной 7\-~р в симплексе Trhy и обозначается
через mS%, Он является многогранником общего типа в Trh.
Действительно, гранями, с которыми Sp пересекается, являются Т[~р
и все грани, которым грань Т\~р подчинена. С плоскостями всех
этих граней плоскость |S^, на основании [1:56], находится в
общем положении.
Из уравнений (4:37) видно, что гранями m-клетки симплекса Г£,
сопряженной Tri~py являются m-клетки, сопряженные (в
собственных или несобственных гранях симплекса TQ грани Т\~р или
граням, которым Т\~р подчинена.
[4:4]. Пересечение /н-клеток. Пусть даны два разных
распределения масс тип. Эти распределения (а также и
соответствующие этим распределениям подразделения тК и тК) называются не-
ftX ft
зависимылш, если среди отношений —-(g-=l, 2, ..., <х°) нет рав-
fig
ных между собой. Во всем этом и следующем пункте тип
означают фиксированные независимые распределения. Мы будем
говорить, что индексы g0y &,..., g"5(=l, 2 ... а°) следуют в нор-
альном порядке, и писать g0, gly ..., gs, если
mgJng* < mgJngt < • • • < m&sln&s • (4:41)

370
18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
Пусть дана m-клетка mSpih, сопряженная симплексу 7Чч>
и л-клетка nS%> сопряженная T)~q в одном и том же симплекс
Th£K. Найдем пересечение S = mSPhf\ nSph.
Пусть симплексы Г£, Т\~р и Trfq триангуляции К заданы своими
вершинами Trh — \eho ... ehr |, Trrp = \eip ... eir\, Trfq^\eiq ... ец
Тогда уравнения /n-клетки „^ и /г-клетки „S/& будут соотвегсг!
венно иметь вид
0 < V4jm{99 ..., \iip_Jmip_ t < fi^/m^ = ... = }xirlmin (4:4j)
0 < P/Jn/.> • • •. W*- ./"*/*-. < lVn/« = • • • = Pfr/nir (4Г421)
(i0, ..., ir и /0, ..., /r суть различные перестановки индексов
/i0, ..., fir).
Координаты точек многогранника S должны удовлетворять
одновременно уравнениям (4:42) и (4:42'). Рассмотрим подробнее
эти уравнения.
Обозначим через а число общих вершин симплексов 7V =
= | eip ... eir | и Trfq =21 вц ... e\r | и рассмотрим отдельно случаи
а^2, а— 1 и а —0.
1-й случай: а^2. В этом случае пересечениеS = mSf/InrtS/h
пусто.
В самом деле, пусть, например, вершины ех и е2 являются
общими для Trt~p и Trfq. Тогда из уравнений (4:42) будем иметь
\i1/m1^[kjni29 а из (4:42') ц-i/rti = ц.2/я2, откуда, исключая,
например, \x2i получим (mxn%—m2rti)^i = 0. Следовательно (так как,
в силу независимости т- и /г-подразделений, тхпг—т2пх Ф 0), ^=0,
что противоречит и (4:42), и (4:42').
2-й случай (основной): а = 1. Пусть eg =±eir = eiq есть
единственная общая вершина симплексов Т\~р и Т^~д. В этом случае,
для того чтобы S было не пусто, необходимо и достаточно, чтобы
вершина eg была последней вершиной симплекса Т\~р и первой
вершиной симплекса Т]~я (при расположении номеров вершин
в нормальном (см. выше) порядке).
Предположим, для простоты выкладок, что mg — ng. Это пр№
положение не нарушает общности рассуждений, так как
равенство mg = ng всегда можно получить, умножая все массы /я,-**
ng/mgt не меняя, таким образом, m-подразделения и нормального
порядка вершин.
Действительно, если eg> есть произвольная отличная от eg вер*
шина Т\~р, eg должна входить в число вершин е/о, ..., ejQmmi *'
следовательно, для точек многогранника S справедлив
Н«'/т*' = V>glmg и И*'/л«' < V>glng* откуда
"V/%<<1, (4:43)

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 371
предшествует eg в нормальном порядке вершин. Совер-
т. е'0 аналогично показывается, что
1 <mg»lng» (4:43')
всякой отличной от eg вершины е^ симплекса Trfq.
ДЛЯОбратно, если условия (4.43) и (4.43') выполнены, то
передние S не пусто. В самом деле, при этих условиях система
Равнений (4:42) и (4:42') будет равносильна системе
0< IVV '' '• ^gd-illgd-i < ^hlliP= • • • =^А== • • -^VhUln
(4:44)
где go, •••» §d-i(d=zP + Q —г) СУТЬ вершины симплекса Г£, не
входящие ни в Тггр ни в Trf\ a
mf для f = ip, ..., ir=:g,
lf = \ nf для f = g = jqt ..., /г, (4:45)
min (m/i,) для f = g0, ..., grf-i.
Легко проверить (читателю рекомендуется это сделать), что при
условиях (4:43) и (4:43') каждое равенство и неравенство систем
(4:42) и (4:42') следует из (4:44) и наоборот.
Пусть гК есть подразделение, распределение масс которого
определяется уравнениями (4:45) для вершин симплекса Trh и
задается произвольно на остальных вершинах триангуляции К.
Множество точек, координаты которых удовлетворяют системе
(4:44), есть не что иное, как /-клетка vSih, сопряженная
симплексу Trk~d = \e{o ... eg ... е]г\ в симплексе Т£. Таким образом, S =
= mSfhf)nSijh = Sth- Размерность пересечения равна p + q—г;
следовательно, плоскости | mSpih и | „Sfh находятся в ] Trh в общем
положении.
3-й случай: а — О. В этом случае пересечение S при
некоторых дополнительных условиях может быть непустым.
Нахождение этих условий и вычисление пересечения не представляет
интереса. Мы лишь заметим, что замыкание S многогранника S не
пресекается с (2г—р—<7)*меРными гранями симплекса Trh. В самом
Деле, координаты точек этого замыкания должны удовлетворять
Уравнениям
0 < ^«Mv • • •» №р - Jmtp -1 < №p/mtP — • • = Wrlntr f /4.46)
0<IWV.. • • •. Йв-Л-»<ЫпЫ =*••• = Wrl*h-
Из этой системы видно, что S не пересекается с {г—1)-мер-
гпаМИ плоскостями H* = 0 ПРИ g = iP> •••* in lq> •••» in поэтому
рань наименьшего числа измерений, с которой может пересекать-
5> есть (2г—рг—(7+ 1)-мерная грань \eip ... eirejq ... ejr\.

372
18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
Плоскости \mSin и I nSjhy как и в предыдущем случае, находя^
в общем положении, так как среди уравнений \1ср/Ш{р= ... =\i;/J}
и \ij /rij = ... = ji/r/n/r, очевидно, не может быть зависимых. '
Из рассмотрения выше указанных трех случаев в качеств
дополнительного результата следует:
[4:41]. Каждые m-клетка и /г-клетка, имеющие в К общц*
носитель, находятся в нем в общем положении (см. определение
[1:5„]). *
Действительно, грани т-клеток суть /n-клетки. Если две щш
клетки пересекаются (случаи 2) и 3)), то, как следует из наших
рассмотрений, их плоскости находятся в общем положении в пло.
скости их общего носителя, что и требуется определением [1:51
Ориентация т-к леток. Пусть теперь К есть ориентируй
мое и ориентированное Л-многообразие и ^С = 2^1—его ориента-
h
ция. Несущие плоскости всех звездных симплексов, сопряженных
симплексу Т\~р в Г£, совпадают с несущей плоскостью т-клег-
ки mSpihi сопряженной симплексу Т\~р в Trh. Поэтому равенство
(4:10) определяет вместе с ориентацией звездных симплексов, вхо"
дящих в mSphy и ориентацию самой этой /п-клетки
Ls&X \trrp= + orrp-
Сумму ориентированных таким образом m-клеток,
сопряженных симплексу Ттср во всех r-мерных симплексах Trh g /С, Т\~р < %
обозначим через msp и назовем (ориентированной) т-звездной
(ориентированного) симплекса t\~p (в ориентированном Л-многооб-
разии К):
mSi — £ ЯФЛ-
h
Очевидно,
Sdmsp = sp (4:47)
(см. (4:11)), где SdmsP есть подразделение цепи msp, порожденное
m-подразделением триангуляции /С.
Линейные комбинации m-звезд (с коэффициентами из группы Я)
называются m-цепями. На основании (4:47), из формулы (4:13)
и предложений [4:11] и [4:12] следуют аналогичные формуй
и предложения для т-цепей:
A-s? = (-l)' 2 (<rp+18Tp)«sf"1 (/=1,...,а'-я, р=1,.-')
/=1
(отсюда, в частности, следует, что m-цепи являются полигона^'
ными цепями).
[4:42]. В каждом гомологическом классе триангуляции К &
держатся /п-цепи.

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 373
Г4-43]. Если две различные m-цепи полигонально (или даже
перывно) гомологичны между собой, то существует т-цепь,
Я6^тествляющая эту гомологию.
Из [4:41] следует:
Г4:441. Каждая m-цепь с каждой /г-цепью находятся в общем
положении.
Пересечение ориентированных m-к л е т о к. Найдем
пересечение
'к
/n-звезды симплекса t\p p = (eded+1 ... eq) и л-звезды симплекса
f-* = (eg ... ег) в симплексе /10 = (е0 ... ed ... eq ... ег) при уело-
вии о ... d ... q ... г (см. [4:41]).
Мы уже знаем, что при этом условии
I msipk* | П I nSjqk9 I — J eSkdk0 |,
ще eSidk0—/-звезда симплекса fk~d = (ed ... eq ... еГ), а
распределение / определяется формулой (4:47), следовательно,
S
Р
.Х S/^o
Для нахождения знака ^ рассмотрим симплексы
tko = (/0 ... /^ ... /^ ... ir),
f^j S= ^ 1 * * ' rf • • • ^Д • • • ^Г/>
lk^ \ld ... Jg ... lr)t
*id+1 = I'd • • • lqlq + 2 • • • v)»
*ijp — (*d • • • *<j)>
^■Центры этих симплексов обозначим соответственно через
% у Ok, , • • , 0^ , Oid+1 , . . . , Oip , 0/rf+1 , . . ., Ojq .

o74 18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
Кроме того, введем обозначения для симплексов:
Тогда будем иметь
mSipk0X nSiqk0 __ **
iskdk0 lSkdk0
(o^Ok'1 ... Okd ) = ffe,
(0id+1 ...0ip )=t;,
(%+i •••°/« )"*/•
t*
»S>>ftoX',,S/iJ*o
t* (to) (t*t/)
/S*<t*» *S^*« "'«*»
(t*t/t/)
(4:48)
Симплексы (t^t,-) и (t^ty) не вырождаются—это следует из
леммы [1:56], они лежат соответственно в плоскости \ms?pku и
\nsfqko, а из формул (4:45) следует, что \ es?pk,^\ msipkQ и |esqiqku =
= „s^v В том, что симплекс (tktitj) не вырождается, мы
убедимся несколько ниже.
Теперь мы должны вычислить каждый из четырех знаков,
стоящих в правой части формулы (4:48). Что касается первого
и третьего знака, они оба равны +1» что непосредственно
следует из доказательства формулы (4:15) ((2) отыскание е). Второй
знак равен (—1)<<*-*+«о—«г>; он находится точно таким же
способом, вычисления предоставляются читателю.
Для нахождения четвертого знака будем, пользуясь леммами
[2:13] и [2:40], постепенно заменять симплекс (t^t/ty)
эквивалентными, т. е. имеющими одинаковый с ним знак, симплексами, так
чтобы в конце концов прийти к ± /*0. Замена происходит в
следующем порядке:
( jr „r-d^'-d-1 rS-PrS-d~x r/~^\ (\- + 4- \
= (0^ • • • Okd Oid+ j ...Oip Ojd+ , ...Ojq ) — (tfct/tyj,
= \e0okl '"Okd Oed+1 .. .0{p Ojd+1 ...oJq ;,
/ r-2 r-dr-d-\ jr-p-j-d-X ~r-Q\
= l¥i^ '"°kd0id+i '-0iP °U+i •••% /'
= WA-.. ed_1Okd Otd+1 .. .oip Ofd+1 .. .oiq ),
/ r-d-\ \-p r-d-l ^r~Q\
+1-(Vi'"^-iVi%+i --0iP °U+i ---°Ы '»
/ r-d-2 nr~pnr~d~* nr~q\
+ 2 — \eoef • ted-leq+leq + 2°id + 2 ' ' lP Jd + 1 ' ' 14 'f
= \eoel* • •ed-leq+leq + 2* ' -er°ip ^/4+1 '''°iq '»
+ 1 = (^0^1- • *ed-leq+leq+2* • 'er°ip ed+l°ia + i ' * * °h "

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
375
х =(^1- * *ed-leq+leq + 2- • -er°ip ed+led+2°Jd+s • • • °jq )*
• *
. ♦
j. = (^o^l* ' *ed- l^q+ieq + 2' • -er°ip ^d+l^d + 2 • • •€q-l&q)*
J =(e0£l« • -^rf-i^+l^ + 2- • -ereded+l^d+2' • *€q-leq) =z
= (_l)(flf-rf+l)<r-a)^.
Пояснения:
1) Переход от t^ к tg+1 (g" = 0, 1, ..., d— 1) заключается в том,
иго вершина о*"* вдоль прямой ork~l~l ork~g передвигается в eg. Это
возможно на основании предложения [4:31] (за Т' принять | tk |,
за Г— й"*^*! и за ^—вершину eg). Из лемм [2:13] и [2:40]
следует, что tgftg+1 = + l.
2) Переход от td к trf+1 заключается в том, что вершина о[
r-d
r-d-\r-d
d
r-g
g
вдоль прямой oi ok(l передвигается в eq+1. Как и прежде,
3) При переходе от tg к tg+1 (g = d+ 1, ..., /7—1) вершина о\
вдоль прямой огГ*~ orrg переходит в eg+g_d+1. Снова tg/tg+1= + l.
4) При переходе от t^+^x к ^+5 (s= 1, 2, ..., г—р) вершина
o/"^Js вдоль прямой tfd+~lil°jd+Js переходит в ed+s. Снова
5) tr/tr+1 = + 1, так как переход от вершины oiJp к ed может
быть совершен внутри симплекса t\~p.
Так как переход от t/el к t/ (*=1, 2, ..., r-f 1)
совершается перенесением одной из вершин в плоскости \t(_l9 даже
в плоскости одной из граней симплекса t/_!, то из невырождения
tr+1 = (—1)««-*+«(г-*>/Л будет следовать невырождение t0 =
Итак,
mSipk0X nsfqk0
= +1,
т. е.
rrfiipk* X nSiqk9 — tSkdk0-
§ 5. Кольцо Лефшеца
Настоящий параграф является основным. От вспомогательных
понятий предыдущих параграфов мы переходим к главному
содержанию статьи—инвариантам Лефшеца. В пункте 5:1
доказывался основная вспомогательная теорема [5:1]. Для доказательства

376 18« ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
этой теоремы в предыдущих параграфах (пункты 1:4, 2:4, 3:9
3:3 и 4:2) был развит довольно сложный аппарат. Читатель*
пропустивший соответствующие места, может ознакомиться лищк
с формулировками теорем [5:1], [5:11], [5:12] и [5:13]. П0л
следом (х)Р р-мерной полигональной цепи в л: в (г—р)-мерном
симплексе Ц~Р£К можно в известном смысле (см. пункт 5:3
(5:36)) понимать «индекс пересечения» этой цепи с trfp.
В пункте 5:2 определяется пересечение классов полигональ»
ных гомологии, в пункте 5:3—непрерывных цепей. Последний
пункт 5:4 требует знания основных сведений о V-Циклах и у*
гомологиях (см., например, Александров, «Комбинаторная
топология»). В этом пункте доказывается изоморфизм колец Лефшеца
и Александера, откуда, в частности, следует топологическая
инвариантность кольца Лефшеца.
5:1. Звездные аппроксимации полигональных
цепей.
5:2. Кольца Лефшеца.
5:3. Пересечения непрерывных цепей.
5:4. Изоморфизм колец Лефшеца и Александера,
5:1. Звездные аппроксимации полигональных цепей
Задачей настоящего пункта является доказательство следующей
основной теоремы об аппроксимации полигональных цепей
звездными:
Теорема [5:1]. Пусть х—произвольная полигональная цепь
ориентированного А-многообразия /С. Почти во всяком
барицентрическом подразделении Кг комплекса К имеется звездная
цепь х*у обладающая следующими свойствами:
1°. Цепь х* лежит в /С-окрестности цепи х
x*(^UK(x).
2°. Граница цепи х* лежит в /С-окрестности границы цепи х:
Ax*aUK(/ix).
3°. Существует такая полигональная цепь у комплекса К, что
уаик(/±х)/±у = Ьх—/±х*у (5.П)
х—х*—удО в UK(x)
(если размерность цепи х равна размерности /С, условие (5:11)
понимается в смысле криволинейных гомологии). Мы говорим,
что цепь х* аппроксимирует цепь х.
Замечание I. /(-окрестность пустого множества, по
определению, пуста, поэтому, если Ax = 0, из 2° следует, что и Ах*^0,
а из 3°—у —0. Равенство (5:11) в этом случае принимает виД«
х—x*q0 в UK{x). (5:110)
Замечание П. Теорема [5:1] утверждает существование
цепи х* «почти во всяком» (см. пункт 4:2) барицентрическом под-

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 377
лении. Можно было бы, однако, показать, что цепь, обла-
всяком наперед заданном
цепи достаточно
аппроксимировать, согласно теореме |_5:1J, цепь х звездной цепью х* та-
МИго подразделения Ки для которого это возможно, а затем,
К°гласно той же теореме [5:1], аппроксимировать цепь х*
звездой цепью заданного подразделения (при этом Кг должно быть
й 0рано с соблюдением некоторых дополнительных условий, кото-
в е выполняются почти для всякого /Ci). Детали мы опускаем,
так как пользоваться этим фактом не будем.
Доказательство теоремы [5:1]. Покажем сначала, что
можно ограничиться рассмотрением тех случаев, когда
размерность р цепи * меньше размерности г комплекса /С.
Пусть для р < г теорема [5:1] доказана. Тогда, согласно этой
теореме, мы можем аппроксимировать (г—1)-мерный цикл z —Ах
звездным циклом z* так, что
z*aUK(z)t z—z*=:Ay9 ycUK(z).
За искомую звездную цепь х* примем цепь, гомологичную
(криволинейно) цепи х—у. х* существует, так как Д(л:—у) есть
звездная цепь (см. [4:1]) и может быть выбрана в UK(x).
Итак, можно ограничиться рассмотрением случаев, когда /?<г.
В дальнейшем это и предполагается. Кроме того, будем
предполагать, что для вершин о\ подразделения Кх выполняется условие
[5:1о]. о\ не лежит в несущих плоскостях ни одной из (p+k—1)-
мерных (т. е. основных, см. [1:55], граней цепи х, лежащих в Т\
(/ = 1, ..., a*; fe —0, 1, ..., г).
Если это выполнено, мы говорим, что Кх удовлетворяет
условию [5:1о] относительно цепи х. Зто условие необходимо для
того, чтобы существовали все комбинаторные произведения,
которые в дальнейшем будут строиться. Так как р < г, следовательно,
P + k—г < ky то несущие плоскости граней цепи х, лежащих
в Т\у нигде не плотны в Т\. Отсюда, на основании [4.20] следует,
что условие [5:1о] выполняется почти для всех
барицентрических подразделений.
Идея построения цепи х* заключается в следующем:
Прежде всего, каждый кусок (x)io цепи х в r-мерном
симплексе Tri0 комплекса К мы проектируем из центра о'й этого
симплекса. Возникающие при этом пирамиды olo(x)io будут в
дальнейшем осуществлять гомологию (5:11). Границы этих пирамид
состоят из кусков цепи х—пирамид над ее границей Дх
и еЩе из каких-то посторонних многогранников. Мы проектируем
эти многогранники из соответствующих центров (г—1)-мерных
симплексов комплекса К и, прибавляя новые пирамиды к
старом, исключаем эти многогранники из границы.
Возникшие опять посторонние многогранники проектируются
Из Центров (г—2)-мерных симплексов комплекса К. Таким образом

378
18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
процесс продолжается до тех пор, пока мы не дойдем до пирай
с вершинами в центрах (г—/?)-мерных симплексов комплекса ]?
После суммирования всех построенных пирамид, получим цед
граница которой будет состоять из кусков цепи х, звездных сщ|Ь|
лексов и пирамид над Ах, которые составят цепь у. Пщ
Чтобы не затруднять читателя проведением всех промежуток
ных рассуждений, дадим сразу формальное построение нужно»
цепи и затем докажем простым вычислением, что она удовлегво.
ряет условиям теоремы.
Для каждой /7-мерной полигональной цепи х (/? = 0, 1,
..., г—1) ориентированного А-многообразия /С, относительно к<к
торой подразделение Кх удовлетворяет условию [5:1о], следуюццщ
образом строим (/?+ 1)-мерные цепи:
аг-Ь
А*(х)=*(-1)* Ц (*Нх)1), k = 0, l, ..., p.
1=1
Здесь ski, как и в пункте 4:1, означает ориентированную
барицентрическую звезду ориентированного симплекса Vfk, a (x)f есть
след цепи х в этом симплексе (см. определение [3:3]).
Комбинаторные произведения, стоящие под знаком суммы, действительно
существуют. В самом деле, произведение (sf (x)k) состоит из
выпуклых замыканий | T\gTpXhk |, где T\g есть произвольный звездный
симплекс подразделения К1У сопряженный элементу Тг£~к$К, a
Трх^к—произвольная (р—&)-мерная грань цепи х, лежащая в ТтСк.
Чтобы показать, что это замыкание определено (см. пункт 1:4),
мы должны убедиться, что плоскости \T\g и \Трх^к не
пересекаются. Но это, конечно, так, потому что плоскость \Tkg
пересекается с \Tri~k в единственной точке or{~ky не лежащей (согласно
условию [5:1о]) в плоскости \Трх^к.
Покажем, что цепи Ak (x) суть цепи общего типа в
триангуляции К. Пусть Т0 = | T\gTpXhk czTr € К — произвольный многогранник
цепи Ak(x). Согласно [1:44] его замыкание пересекается с теми
и только с теми гранями элемента Тг, с которыми пересекается
Т%к или T\g. Так как линейная оболочка носителей звездного
симплекса и любой грани, с которой звездный симплекс
пересекается, есть |Г0, то достаточно рассмотреть лишь пересечения
TpXhk с гранями многогранника Т0. Пусть Т ^.Т\~к—такая грань.
Мы должны показать, что плоскости | Т0 и \Т находятся в \*
в общем положении, что, в силу Т0(]ТФО, означает, что линей*
ная оболочка плоскостей \Т и |Т0 = ||T\g\Трх^к | совпадает с |Тг*
Так как Трнк(]ТФО и Г&Д как основная (см. [1:55]) грань
цепи х общего типа, есть многогранники общего типа в Тг{»
плоскости \Tghk и \Т находятся в общем положении, т. е*
Трнк\Т\ = \Ггк.

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 379
Кроме того, IГГ* I *Ы = 17" (см. [1:56]). Отсюда
\\T\T0M\T\ne\T»xKk\=\\ng\TrrkMT',
требовалось доказать,
"вычислим границу цепи Ак(х):
М,(,)-(-1)* ^* А«(*»)-
= (-1)* "Z [(М (х)?-(-1)* (s?A (*)?)] =
1 = l
развертываем As? по формуле (4:13) и раскрываем квадратные
скобки)
= (-1)*.2( (-1)* Д (*Г*+1:<Г*И-1
(*» -
-*2 &Л (*)?)-
1=1
(в первом слагаемом меняем порядок суммирования и пользуемся
формулами (2:44))
= 2 U-1 2 (Г*+1 :«(*)?-2 (s?a(x)?)=
/=i ч i=i у t=i
(преобразовываем первое слагаемое по формуле (3:3) и
пользуемся формулами (2.44))
аГ-k + i ar~k + l
-°2 (sfAWl).
t=l
Эта формула справедлива при fe=l, 2, ..., /7—1. При fe = 0
и £ = /? граница комбинаторного произведения развертывается
соответственно по формулам (2.452) и (2.453). Кроме того, при
*"=0 формула (3:3) неприменима и вместо нее используется (3:30).
При fe = 0 имеем
Дл0(*)=д 2(s? (*)?) =
(Так как по формуле (4.120) 0S? = + 1)
= 2 (*)5-2 (s?A(x)?) = x-2 «A(*)»•
i= 1 i= 1 i= 1

3g0 18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
При k = p будем иметь:
ДЛ,(*) = (-1)' 2 Л (*?(*)?) =
i- l
*r-P
= (-\)р 2 [(Asf(^)?)-(-l)'0(*)?fl^
t = 1 *J
(раскрываем квадратные скобки и преобразовываем первое сд*
гаемое точно так же, как и в случае k < /?)
= 2 (sTAWn-H1)'"1 2 К-М^П- 2 0(од.
/=1 /=1 i=l " *
Введем следующие обозначения:
2 (sjA(x)t) = хЛ (* = 0, 1, ..., р-1),
(5:12)
2 0(«-**
i=i
и заметим, что
ar-k+i
(_l)*-i 2 (s?-1 (Axtf-1) = ЛА_ х (Аде) (ft = 1, ..., р).
Тогда результаты наших вычислений могут быть записаны таи
А\(х) = х—#0,
ДЛХ (х) = х0 —хг—\ (Ах),
Д Л2 (л:) == хг—х2—Лх (Ал:),
ДЛу (X) = Лу_ ! Xj Лу_ х ( Д*) ,
AA^W-^-i—■*•—Ля-1
(Доопределяя для каждой р-мерной полигональной цепи х,
относительно которой /Ci удовлетворяет условию [5:1 о], цепь Л(*)
как сумму всех цепей Ло (х), ..., Ля (л:),
2 Afc(*),
6=0
получим
ДЛ(л:) = х—х*—Л(Дх); (5:П')
цепь Л(х), как сумма цепей общего типа, есть цепь обще**0
типа. Из (5:1 Г) следует, что ее граница тоже является цепью

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 381
типа (** есть звездная цепь, следовательно, цепь общего
об1Дечг0Поэтому Л(х) есть полигональная цепь. Из построения
тИпа)'что
*сН°' Л(х) <=[/*(*). (5:1Г)
т же самое, конечно, относится и к цепи Л(Дл:):
Л(Дх)с:г/*(Дх). (5:1 Г")
Теорема [5:1] доказана: за у можно принять цепь +Л(Дд:),
венство (5:1 Г) дает гомологию (5:11).
Ра Достроенная вышеуказанным способом цепь
<хг-Р
х*= 2 0W?sf (5:12)
называется звездной аппроксимацией цепи х
(относительно /Ci).
Цепь Л(х) называется аппроксимирующей пленкой
цепи х (относительно /Сх).
Непосредственным результатом наших построений является,
кроме доказательства теоремы [5:1], предложение [5:11]. Если
индексы следов двух р-мерных полигональных цепей хх и х2
г-мерной триангуляции К в каждом (г—/?)-мерном симплексе
ТГГР£К равны между собой:
то цепи хг и х2 имеют общую звездную аппроксимацию1). В
частности, если они являются циклами, то они полигонально
гомологичны между собой.
Сделаем еще следующее замечание:
[5:110]. Если 'х есть звездная цепь некоторого
барицентрического подразделения 'К комплекса К*
то ее звездной аппроксимацией (относительно всякого
подразделения 1(и удовлетворяющего условию [5:1 о] по отношению к цепи
*) будет цепь
о/-р
х*= 2 fl/Sf.
Де sf суть звездные цепи подразделения Кг.
5., ) Относительно всякого подразделения /Сь удовлетворяющего условию
°J по отношению к каждой из цепей хг и х2.

332 18- ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
Доказательство получается непосредственно из формул (5.1л
и (4.15): v 'Щ
аг~Р аг~Р / аг~Р \Р
**= 2 0('*)де= 2 0 2 *#)«=
i=l i=l \ /=1 Ji
аг-р аг-р аг-р аг-р аг-р
= 22 «, 0 С*?)? s?= 2 2 а/М= 2 а*
1=1 /=1 i=l /=1 1=1 И»
что и требовалось.
В пункте 3:1 (определение [3:17]) было введено понятие ае»
прерывной гомологии полигональных циклов и доказано пред.
ложен и е
[3:18]. Из zxqZ2 следует zx ~ г2.
Одним из важных следствий теоремы [5:1] является обратное
предложение
[5:12]. Из гх~г2 следует г1(зг2.
Доказательство. Возьмем подразделение /Clt удовлетворяющее
условию [5:1о] относительно циклов zx и z2, и построим
относительно /Ci звездные аппроксимации zx и z2 этих циклов.
Тогда будем иметь:
2idzi» 22Q22, (5:13)
следовательно, на основании [3:18]
хг ~ zl9 z2 ~ z2.
Так как по условию zt ~ z2, то
Ii~z"2- (5: И)
Так как zx и г2 суть звездные циклы, то, согласно теореме [4:121
гомология (5:14) может быть осуществлена звездной цепью. Но
звездные цепи являются полигональными, следовательно, zx^v
Отсюда и из (5:13) следует, что zxQ22, что и требовалось
доказать.
Из предложений [3:19] и [5:12], в частности, следует, что
каждый полигональный цикл полигонально гомологичен любому
своему подразделению, или, другими словами,
[5:13] все подразделения полигонального цикла принадлежа*
тому же классу полигональной гомологии, что и сам цикл.
Пусть, кроме полигональной цепи х, лежащей в К, в К лежи1
еще одна полигональная цепь х\ находящаяся схв общем поло*
жении в /С. Тогда:

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 383
с. 141 почти для всякого Кг каждая из цепей х* и А(х) на-
[ я в общем положении с х'.
х0дйтся азательство. Заметим прежде всего, что Л (х) зависит
^° центрического подразделения K1 = l£$R1. Пусть Т0£К, а
°* тянь цепи х' и ТА (£) — грань цепи Д(л:), причем Тх. и
Iх'&) лежат в Г0. Мы имеем ТА (1) = \оТ |, o = o(g), T = Г (6),
л (Е)—вершина п°ДРазДеления Б, лежащая в Г0, а Т(I)—не-
которая гРаНЬ Ц6ПИ Л(?), лежащая в Т0
Пусть 1о—произвольный элемент из ш^ Разберем два случая:
Случай 1) \Т(Ъ0) и \ТХ, находятся в общем положении в | Г0.
Тогда, в силу леммы [4:21], в любой близости точки ^найдется
очка ?o€^i, такая, что подразделения Н2 и £х будут отличаться
пишь в-вершине o(g), причем \ТА{1Х) и |Г*, будут находиться
в общем положении в | Г0.
Случай 2) |7"(Н0) и \ТХ, не находятся в общем положении
В|Г0. Положим Л = |Г0, В = \ТХ„ С(£) = |Г(Е); С(6) = |ДС(Б)|.
размерность D(£) обозначим через г(£). Пространства Л и 23
вовсе не зависят от £, а пространство С(£) зависит от I
непрерывно; таким образом, мы находимся в условиях применимости
леммы [4:21]. Пусть М — произвольная окрестность точки |0 в fflt
и г—максимум г(%) при %£М. Пусть 1г^М таково, что г(i1)=r.
Если |7V и ^(^i) находятся в общем положении |Г0, мы
приходим к случаю 1). Если \ТХ, и |Г(£0) находятся в общем
положении в |Г0, то мы приходим к случаю 1).
Пусть \ТХ, и (Г^) не находятся в общем положении в |Г0,
тогда г меньше размерности Л, а пересечение Тх, и Т(£) пусто.
Действительно, если Т(1Х)^Т09 то Г^^М» и потому Т(1^ и
Тх, не пересекаются. Так как D(£) нигде не плотно в А, то
существует 12£МУ отличное от Slf только в вершине о(£) такое, что
о (У не принадлежит D(?2) = D(E1), и тогда, очевидно, элемент
^л(?2) удовлетворяет условию [4:2о] 2) относительно Тх,.
Из сказанного следует, что множество всех £€9йц для
которых Л (л:) находится в общем положении с х', содержит всюду
плотную в Шг область.
В силу [4:26] 2) (принять К' — К) цепь х* почти при всяком
Ai находится в К в общем положении с х'.
Итак, [5:14] доказано.
5.2. Кольцо Лефшеца. Теперь мы можем доказать ряд
важных теорем о пересечениях полигональных цепей, определенных
в пункте [3:4]. Основой всех следующих рассмотрений будет
Доказанная ранее формула Лефшеца.
Если х^Ь'ЫКЛЬх^ЬЫК, 31), то Xlxx% = xlt£L fr(tf, SI),
"%е г12 = /*i + r2—г. Цепи хх и х2 мы будем называть
сомножителями, а их пересечение хгхх2—произведением. Формула
Лефшеца имеет вид
А (*! X х2) = (— 1 )г* - ^Д*! X х2 + хх X Дх2.

384 18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
у
Из этой формулы непосредственно следует:
5:21]. Если Кхх Пх2=хг П Дх2=0,тоД {хгхх2) = 0. В частно
5:210]. Пересечение циклов есть цикл. ^Ч
Далее имеет место следующая теорема, выражающая С(У.
гомологическую инвариантность пересечения циклов: °^<
[5:220]. Если ги z^ZftiK, Щ\ г„ z'^Z'^K, Щ и 2ft
2*6*21 то ^iXz2qz[xz2 (конечно, предполагается, что zx с1?^
z[ с 2г находятся в общем положении).
Доказательство. Теорема [5: 220] является непосредс^
ным следствием формулы Лефшеца, если данные циклы и *
осуществляющие гомологии между ними, находятся другсдру^
в общем положении.
Действительно:
(А) Если Zx—z[ = kxu то
Д (*!хх2) = ± Д*!хг2 + х2х Дг2 = ± Д^!xz2==±(z1x z2~z'1xz^
Следовательно, z1xz2qz'1xz2.
Таким образом, если один из сомножителей заменить гомоле-
гичным ему циклом, находящимся вместе с цепью,
осуществляющей гомологию, в общем положении со вторым сомножителем, то
произведение заменяется гомологичным.
Заменяя таким же способом z2 на z2i получим z[ x z2 □ z[ x z2,
следовательно, Z1XZ2qZ'1XZ2.
В общем случае такие замены могут оказаться невозможными
ввиду необщего положения цепей z[ и z2 или цепей,
осуществляющих гомологию. Для доказательства теоремы [5:220] в общем
случае используем звездную аппроксимацию. Пусть х2 есть цепь,
осуществляющая гомологию между z2 и z2:
Выберем барицентрическое подразделение KL триангуляции л
такое, чтобы оно удовлетворяло следующим условиям:
относительно циклов zt и zx.
относительно всех граней циклов z2 и^11
1°. Условие [5:1о
2°. Условие [4:2о'
цепи х2. к>
3°. Аппроксимирующая пленка A(zt) цикла zx (относительно л J
находится в общем положении с циклом z2. ^\
4°. Аппроксимирующая пленка A(z[) цикла z[ (относительноМ
находится в общем положении с циклом z2.
На основании теорем [4:2] и [5:12] все эти условия выпо*'
няются почти для всех подразделений Кг. tf
После того как построено подразделение К19 удовлетворяю^
условиям 1° — 4°, доказательство теоремы [5:220] не предст^
ляет труда. Постепенная замена сомножителей на оснований Р*

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 385
(А) проводится в следующем порядке:
3 ZiX22pZiXZ2, (1)
ZiXZjgiixz;, (2)
z^xzzazixzi (3)
zi X zj □ z[ x zj, (4)
Т. С 2 J /\ С а ГП Zj /N ZjJ.
Первая и вторая замена производится непосредственным при-
ением рассуждения (Л), причем общность положения следует
меН в0М случае из условий Г и 3°, а во втором—только из усло-
в я 2°. Для третьей замены нужно предварительно доказать, что
" - Y и эта гомология может быть осуществлена цепью,
находящейся с гг в общем положении. Покажем это. Прежде всего,
Fn^ia^iD^i- Далее» из ^iD2!» на основании [3:18], следует
1 ?\г'{, последняя же гомология, на основании [4:12], может быть
осуществлена звездной цепью, а звездные цепи подразделения Klf
в силу условия 2°, находятся с zj в общем положении.
Четвертая замена, аналогично первой, производится на основании
условий 1° и 4°. Теорема [5:220] доказана.
Она позволяет ввести следующее:
Определение [5:23]. Пересечением двух классов
полигональных гомологии £i€#□(#, Щ и С2€5Ц(/С, 31) называется
класс полигональных гомологии
^х^2=С12€Вг,+Й"г(^31),
содержащий цикл z32 = 21X22, где гх и z2—произвольные
полигональные циклы соответственно классов £х и £2, находящиеся
между собой в общем положении.
То, что такие два цикла zx g £х и г2 £ £2 всегда могут быть
выбраны, следует из [4:11] и [4:26] 1) (принять К' —К). Из
теоремы [5:220] следует, что класс £]2 действительно не зависит от
выбора этих циклов.
Определенное таким образом перзсечение классов
полигональных гомологии обладает, очевидно, теми же свойствами
антикоммутативности, ассоциативности и дистрибутивности относительно
сложения, что и пересечение цепей. Рассматриваемое как произ-
ЗДение, оно превращает прямую сумму всех полигональных групп
етти r-мерного А-многообразия К
fc=0
Кольцо. Это кольцо называется кольцом Лефшеца.
• с» ГТонтрягин, т. I

3fcG 18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
У
В дальнейшем будет доказано (см. пункт 5:4), что это кол
как и полигональные группы Бетти, является топологи^1*0'
инвариантом А-многообразия. Ц
Гомологическая инвариантность пересечен
цепей [5:220] является частным случаем несколько ^}
общего предложения: ^*
[5:22]. Пусть цепи xlf x[^L^(Ky Щ лежат в открытом п
комплексе Ulf а цепи х2, xjc L □(/(*, Щ—в открытом подкол
лексе U2 комплекса К; пусть, далее, границы Дхх, Ах^ цепей?*
х[ и Дх2, Длга цепей х2, х2 лежат соответственно в открытых по»
комплексах UAt и £/д2 комплекса /С, причем f/Al n V -.*
£ЛП£/д2 = 0. 2^'
Пусть, наконец, существуют цепи yt g L □ (К, 91) и у2 £ Lrfi (^эд
такие, что ' '
у! cz f/Al; у2 <= [/Af, куг = Дхх—Ах;; Ду2 = Дх2—Ах'2
и
Xi—X,'—г/хйО в [Д, x2—x'2—y2fjO в f/2.
В этих условиях имеет место гомология
X1XX2QX'1XX2\ В U1f\U2
конечно, общность положения х с x2 и х[а х2 предполагается).
Как и в теореме [5:220], доказательство ведется при помощи
постепенной замены сомножителей. Эта замена основана на
следующем рассуждении:
(А) Если хг—х[—y1 = AF1, Yx с Uu то
A (Yx х х2) = ± AV\ х х2 + Ух X Дх2 =
= ± (XiXx2—XiXx2 — f/iXx2) + У^хАя»
так как ylczUAli x2aU2 и 1/Д1П^2 = 0, тоу1хх2 = 0. С другой
стороны, Кх <= Ul9 Дх2 с: [/д, и t/x П £/д2 = О, откуда Ytx Ах2=0.
Поэтому А (У^ х х2)—± (*i х х2— х[ X х2), т. е. х1 х х2 * xi х х2 в £/х П #г
При этом рассуждении используется общность положения цепей
Xj И Y1 С Х2.
Выбирая подходящее барицентрическое подразделение и про*
водя далее постепенную замену сомножителей по той же схемь
что и в теореме [5:220], убеждаемся в справедливости £5:22J.
Заметим, что согласно теореме [5:1] и замечаниям, сделанным и°
поводу теоремы [4:1], замена сомножителей может быть
пройдена таким образом, чтобы соответствующие цепи не выходил»
за пределы комплексов Ul9 f/2, f/д,, £/д2.
Инвариантность при подразделениях. Рассмотри*
поведение полигональных групп Бетти и кольца Лефшеца пр
подразделении комплекса К.
1

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 387
УС произвольное подразделение комплекса К. Согласно
ПУсТ^аЖДаЯ полигональная цепь комплекса К' есть в то же
Р: полигональная цепь К. Если две такие цепи полиго-
время пгоМОЛОГичны в К\ то они полигонально гомологичны и
цальн° как полигональная цепь, осуществляющая гомологию
в £; ТгвЛЯется полигональной цепью и в /С. Таким образом, каж-
в * • лаСС полигональных гомологии комплекса К' целиком вхо-
Дый КнеКоторый класс полигональных гомологии комплекса /С.
ДйТпегК0 видеть, что два разных класса полигональных гомоло-
•* комплекса К' не могут войти в один и тот же класс поли-
гИ!!а1ЬНых гомологии комплекса К- Действительно, если две р-мер-
Гые полигональные цепи хх и х2 комплекса К' входят в один и
Н т же класс полигональных гомологии комплекса /С, т. е. хг g х2
в Ку т0 *i—х2 — Ах9 x^Lp^1 (К, 81), откуда, обозначая
символы *Sd' подразделения цепей, порождаемые подразделением /С',
Sd' (Xi—х2) = Sd' Ax, Sd'*!—Sd'x2 = Д (Sd'x).
Ho Sd'*i = *i и Sd'A:2 = A:2, так как xlf x2£Lq(K'> 21), поэтому
Xi—x2 = k(Sd'x), Sd'x$LpQ (K'9 31), т.е. хх^х2 в /С'.
Следовательно, хг и дг2 входят в один и тот же класс полигональных
гомологии комплекса /С'.
В каждый класс полигональных гомологии комплекса К
входят полигональные цепи комплекса /С'. Действительно, в каждый
такой класс входят звездные цепи любого барицентрического
подразделения К\ комплекса/С, подразделение же /fi, согласно [4:26]
1), может быть выбрано таким, чтобы все его звездные цепи
подразделялись в полигональные цепи комплекса /С'. В силу [5:13]
эти подразделения входят в те же классы полигональной
гомологии комплекса /d, что и сами звездные цепи. Утверждение
доказано.
Таким образом, между классами полигональных гомологии
комплексов К и /С', т. е. между элементами групп Bq(K, Щ и
^□(^', 81), установлено взаимно однозначное соответствие. Это
соответствие является изоморфизмом, так как сложение классов
гомологии определяется через сложение цепей, а сложение цепей
не зависит от комплекса, в котором они лежат.
Определенный таким образом естественный изоморфизм групп
&и(К,Щ hBq(K\ Ж) (р = 0, 1, ..., г) является в то же время
и изоморфизмом колец $D(/(, Щ и »(/С\ Щ. Действительно,
пУсть £х и £2 суть два произвольных класса полигональных гомо-
ЛОгий комплекса /С, a £i и £2 — соответствующие классы
комплекса К'. Выберем, согласно [4:26] 1), подразделение Кх
комплекса К такое, чтобы подразделения в К' его звездных цепей
Ыли полигональными цепями в /С'. Пусть Zi€£i есть звездный
ЦИкл подразделения К1у принадлежащий классу £lf uSd'z1 = z'1—
13*

388
18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
его подразделение в /С'. Согласно [4:26] 2) выберем подразд^
ние 'Кх комплекса К такое, чтобы подразделение в /(' **
звездных цепей были полигональными цепями в /С' и нахо^
лись там в общем положении с ^, а сами звездные цепи п**
разделения 'Кх были в К в общем положении с zx (послед»*
возможно, в силу того же следствия [4:26] 2), если приц*?
К' = К). Пусть z2gt2 есть звездный цикл подразделения 'Кит^
надлежащий классу £2, и Sd'z2 = z2—его подразделение в &
Тогда будем иметь:
Ch^CiXl^zxxz2 (пересечение в К),
£i2 = £ix£25ziX22 (пересечение в /С').
Но
z'i X Za — Sd,z1 x Sd'z2 = Sd' (zx x z2) q zx x z2.
Следовательно, z^xz^t^ и значит ^2 c £12, т.е. £i2 есть класс,
соответствующий классу £12.
5:3. Пересечения непрерывных цепей. Докажем основную тео»
рему о полигональных группах Бетти: I
Теорема [5:31]. Группа Bfj(K, 31) r-мерного ориентируемого
ft-многообразия (р = 0, 1, ..., г) изоморфна его группе Бегти
ВЦК, Щ1).
Доказательство. Поставим в соответствие каждому
/7-мерному полигональному циклу z £ Zfa (/С, Щ класс з = / (z)£Bp (К, Щ
непрерывных гомологии, которому z принадлежит (см.
определение [3:17]). В силу формул (3:11) и определения сложения в группе
ВР(КУ 31), полученное отображение / группы Zq(/C, 31) в ВР{КЛ)
будет гомоморфизмом. Звездные циклы являются полигональными,
поэтому из [4:11] следует, что / есть отображение на ВР(К,Щ>
В силу теоремы [3:18] гомоморфизм / отображает все циклы
*€#а(Л\31) в нуль группы ВР(К, 31). Отсюда, на основании
известной алгебраической теоремы, следует, что гомоморфизм /
порождает естественный гомоморфизм f группы Bq(K, Щ*
= Zb(K, Я)/Я&(/С, 31) на группу Вр(К, 31). (Если ZczB^(K9 ЭД,
то f(Z) есть класс непрерывных гомологии, которому принадл*
жат все полигональные циклы класса Z.)
Из теоремы [5:12] следует, что ядром гомоморфизма f является
нуль группы Bq(Kj 31); отсюда вытекает, что f есть изоморфизм-
Теорема [5:31] доказана. Так как группы Вр(/С, 31) топологически
инвариантны, тем самым доказана и топологическая инвариант*
ность групп Bq(K, Щ для ориентируемых А-многообразий. Кро**
того, установлен естественный изоморфизм f, отображающий грУп°У
ВЬ(К, Щ на группу Вр{К, 31).
*) Для комплексов, не являющихся /i-многообразиями, теорема [5:31]
верна.

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 389
Благодаря этому изоморфизму понятие пересечения классов
ональных гомологий формально переносится и на классы
«Прерывных гомологий:
3iX32 = /(f-13iXf-132). (5:31)
Mm
В ряде случаев, однако, желательно,иметь непосредственное
оеделение пересечения непрерывных цепей. Такое определение
/оавда, не вполне однозначное, а лишь с точностью до гомологий)
может быть получено при помощи аппроксимации непрерывных
ей полигональными симплициальными цепями.
Ц Определение [5:32]. е-аппроксимацией непрерывной цепи j
в комплексе К называется всякая полигональная цепь х этого
комплекса, обладающая следующими свойствами:
1°. xc£/e(j).
2°. Ajcc(/8(Aj), Ах есть симплициальная цепь.
3°. Существует такая непрерывная цепь в комплекса /С, что
д?—Ах = Д&, t>gf/8(Aj).
5—х— *> ~ 0 в иъ&). (5:32)
Так же, как и в пункте 5:1, в случае Aj = 0 должно быть
Д*;=0, 0 = 0 и условие (5:32) принимает вид:
1—х~ 0 в Ue(x). (5:320)
Теорема [5:33]. При всяком е>0 существуют е-аппрокси-
мации цепи g.
Доказательство. Пусть Ks есть подразделение комплекса К
такое, что максимальный диаметр его симплексов d (Ks) < е.
Согласно теореме [4:1], в окрестности t/^Afe) существует
непрерывная цепь ъ такая, что Ай = Ду—z*, где г*—звездный цикл
барицентрического подразделения Ks+1 комплекса /С5. Цепь j—1> есть
опять непрерывная цепь, удовлетворяющая условию теоремы [4:1]
(ее граница есть звездная цепь). Поэтому, согласно той же
теореме, существует в окрестности Uks (j—в) П Uks (?) звездная цепь а:*
такая, что
Ax* = Aj—At> = z* и j—x*—ъ~0 в UKs(i).
х* есть е-аппроксимация цепи g. Теорема доказана.
В дальнейшем нам придется строить е-аппроксимацию
непрерывной цепи, удовлетворяющую тому условию, что она находится
в а в общем положении с некоторой наперед заданной
полигональной цепью х. Возможность этого утверждается следующей
дремой.
Теорема [5:34]. Каковы бы ни были полигональная цепь х
°мплекса /С, его подразделение К' и положительное число е,
УЩествует е-аппроксимация х* цепи g, находящаяся в К в общем
ложении с х и такая, что цепи Sd'x* и Sd'x = x' являются
повальными цепями подразделения К', находящимися в К'

390
18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
в общем положении (полигональность Sd'x = x\ конечно, прел
лагается, где Sd'— подразделения, порожденные /С'). ^
Доказательство. Теорема [5:34] непосредственно Вы
кает из [5:33] и следствия [4:26] 1) и 2). Действительно, J^
Ks+1 удовлетворяет условиям следствия [4:26] 1) и 2), аппро**!?
мация х* цепи j, построенная при доказательстве теоремы [5:3ft
удовлетворяет всем требованиям теоремы [5:34]. " 1»
Лемма [5:35]. Пусть х и х' суть различные е-аппроксимацщ.
цепи f в комплексе К и пусть U и UaczU суть наименьшие о?
крытые подкомплексы комплекса /С, содержащие соответствен^
Ue(x) и Ue(Д?)сUe(?) {U = UKUz{$y и U^UkU^Ax)). Щ
Тогда в комплексе f/д существует полигональная цепь г/сгу
такая, что Ал:—Дх' = Ду и л:—х'—у~0 в £/. А
Доказательство. Согласно определению аппроксимаций
имеем
Aj—Дх = Д&, (5:331)
Д$—Д*' = Д*>', (5:332)
J—х—&~0 в [/, (5:333)
$—х'—ъ'~0 в £/. (5:334)
Вычитая (5.33) из (5.332) и (5.333) из (5.334), получим
Дх—Ах, = Аг)г—Д*> = Д(*>'—о), (5:335)
л:—*' — (*' —D)~0 в (/. (5:336)
Из (5.335) следует, что Д(*э'—й) есть полигональная цепь,
непрерывно гомологичная нулю в (/д. На основании [5:12] отсюда
следует, что Д(&'—&)g0 в f/д, т.е. существует полигональная
цепь yczf/д такая, что
Д(0' —*)=гДу, (5:337)
и, кроме того,
а'_а_у_0 в UAcU (5:338)
(к у всегда можно прибавить звездный цикл, лежащий в (/д, так,
чтобы при очевидном сохранении (5.337) выполнялось в (5.338)).
Подставляя (5.337) в (5.335) и складывая (5.336) и (5.338),
получим Дл:—Ах' = Ау и х—х'—у~0 в [/, откуда, в силу т°*
же теоремы [5:12], х—х' — */q0 в U. Лемма доказана.
Определение [5:36]. Пусть хх и х2—две непрерывные цепи <*
ответственно размерностей гх и г2 /--мерной триангуляции К, У№
влетворяющие единственному условию, чтобы ни одна из них *
пересекалась с границей другой:
Ахг П х2 = хх П Д*2 = О. I0-*4
Пусть, далее, 5е—меньшее из чисел p(Axlt x2) и p(xlt Дл:2), г^
так как тела цепей суть компакты. (Если Ахг = 0 или Ахг^Л
то соответствующее расстояние считаем равным, например,

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 391
иЖенным пересечением цепей jx и $2 в комплексе К назы-
ПРЙ пересечение двух произвольных е-аппроксимаций хг и х2
ва€ТСегственно цепей jx и у2, находящихся в К в общем положе-
с0ОТВлоуг с другом. Из [5:21] следует, что это пересечение яв-
НЙ^гся циклом.
Теорема [5:37]. Приближенное пересечение цепей хх и х2У
влетворяющих условию (5.34) с точностью до гомологии в ок-
«ггности хг П х2, не зависит от специального выбора
аппроксимирующих цепей хх и хг.
Доказательство. Пусть даны различные е-аппроксимации
и х[ цепи гч и х2 и х2 цепи ^ причем л^ с *2, а *i с х2 нахо-
ятся в /С в общем положении.. Выберем согласно следствию [4:25]
подразделение Ks комплекса К, такое, что d(Ks) < г и
порожденные #5 подразделения xl5, x'lsy x2s, x^s соответственно цепей хи
х х^х'г суть полигональные цепи, причем xls с x2S и x'ls с j^s
находятся в Ks в общем положении. Обозначим через l/lf £/2> ^Ai»
(/д /(^-окрестности соответственно цепей jlf jl42, Ajj, Дг2 (т. е.
наименьшие открытые подкомплексы комплекса KSi содержащие тела
соответствующих цепей). Очевидно, что UAt Г) U2 = О и Ut П £/д2 =©.
В силу леммы [5:35] мы находимся в условиях теоремы [5:22],
откуда следуетx1sxx2sqx'1sxx2s в [Дп И2Ут. е. Sdx1xSdx2QSdx'1x
xSdx2 или Sd(x1Xx2)QSd(x[xxi)9 откуда, в силу [5:13], ххх
XX2qx[xx2j что и требовалось доказать.
Следующая теорема выражает собой гомологическую
инвариантность приближенного пересечения относительно подразделений
комплекса /С.
Теорема [5:38]. Приближенное пересечение цепей ух и j2f
удовлетворяющих условию [5:34], с точностью до гомологии в
окрестности множества x1f)x2 не меняется при подразделении
комплекса /С.
Доказательство. Пусть К' — некоторое подр азделение
комплекса К и Sd' — порожденные им подразделения цепей.
Построим согласно теореме [5:33] некоторую е-аппроксимацию хг
цепи Ji и притом такую, что Sax1 = x'1 есть полигональная цепь
комплекса К (это возможно в силу [4:26]). Затем по теореме [5:34]
построим е-аппроксимацию х2 цепи j2, находящуюся с хх в общем
Сложении в К и такую, что Sd'x2 = x2 есть полигональная цепь
комплекса К\ находящегося в К в общем положении с х[. Тогда
iX*2 будет приближенным пересечением цепей у2 и j2 в /С,
*i X х2 = Sd'x± х Sd'x2 = Sd' (хх хх2)—их приближенным
пересечем в /('. В силу [3:19] эти приближенные пересечения при-
эдлежат одному и тому же классу гомологии, что и требовалось
Лазать.
Свойства приближенных пересечений. Символом
**Хг будем обозначать класс гомологии, которому принадлежат
приближенные пересечения цепей jx и j2 (условие (5:34) все

392 18- ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
время предполагается выполненным). Приближенное Пересе»
обладает следующими свойствами (обозначения размерностей ^
в формулах (3:42) —(3:47)): ""***
(— Ь) X h = ь X (— ?2) = — (Si X j2) *= j X х; (5.&ь
?iX?2 = (— 1)<'*-'«-Н'--'»>ьхь; (5:352)
(?и i J12) X J2 = J11 ^ Ja i J12 X J2>
?iX(ri!id=s22)=?;iXj21±SiXS22; (5:353.
a?i X j2 = & X oj, = a (Ji x y2);
(—1)'»-'»«A|1X|1 + j1xAj, = 0, если Д^пДг^О; (5:354)
Sdjx x Sdr2 — jx x j2, где подразделения—любые, (5:355)
JiX?2 = 0, если £in£2 = 0. (5:356)
Доказательство формул (5:351)—(5:356) предоставляется читатели
В качестве примера докажем (5:354). Пусть p(Aj2» Д?2) = 5еиг
и х2 суть е-аппроксимации соответственно цепей jj и j2,
находящиеся в К в общем положении. Тогда по формуле (3:48) будем
иметь
Д (*! X л:2) 5= (— 1)г1-г12 Дл^ х х2 +• хх х Дл;2.
Левая часть этого равенства гомологична нулю в окрестности
$1П J2- Слагаемые правой части суть приближенные пересечения
соответствующих непрерывных цепей. Отсюда и следует (5:354).
Особенно важен случай, когда сумма размерностей тх и г2 цепей
ji и £2 равна размерности К и, следовательно, размерность
пересечения г12 = 0. Тогда jiXja принадлежит группе В0 (/С, Щ «Я.
Все приближенные пересечения цепей ;х и j2 имеют один и тог
же индекс (см. пункт 2:2). Этот индекс обозначается через
(Ф (Six h) € 31 и называется индексом пересечения непрерывных
цепей jj и j2.
Из (5:354) следует, что при гг + г^, = г+ 1 (следовательно, г1%*
0 (ASl х &) = (-1)" 0 (h х Ду2). (5:3540)
Из (5:354) также следует теорема:
[5:39]. Если каждая из цепей ух и х2 с цепью j2 удовлетворяй
условию (5:34) и если в К\$2 существует такая непрерывная
цепь r>c:/C\Aj2, что
Дь—ДЙ = Д& и ь_у;_а~о в /t\Aj2
в частности, например, если ух и j2 суть циклы, гомологична
между собой в K\h)> T0 ?iXJ2 = j;xj2.

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 393
Лействительно, если &—&—г> = Ди, ас:/С\Ду2, то t)Xj2 = 0 и
ft = 0, откуда
т'е* siX?2—йх?2—t)xr2=o, ?ix?2=?;xy2,
й требовалось доказать.
Наконец, заметим, что если цепи jx и j2 являются циклами и
поинадлежат соответственно классам 3i € Я'1 (К, Щ и £2 6 Я'2 (X й),
or XJ2€3ix32»rAe пересечение в правой части берется в смысле
формулы (5:31).
Если хх и х2 суть две полигональные цепи, удовлетворяющие
условию (5:34), то для любых их симплициальных подразделений
Sdx =Si и Sdx2 = x2, рассматриваемых как непрерывные цепи,
определены приближенные пересечения, класс гомологии которых,
очевидно, не зависит от специального выбора подразделений Sdx1
и Sdx2. Если цепи хх и х2 находятся в общем положении, то
этому же классу принадлежит и пересечение хгхх2.
Индексы следов пересечения. Пусть
х—произвольная /7-мерная цепь /--мерного ориентированного А-многообразия К
и Ц~Р€К—его произвольный, ориентированный (г—/?)-мерный
симплекс. Тогда
0(*)? = 0fex <?-"). (5:36)
где i = Sdx есть произвольное симплициальное подразделение
цепи х.
а.г~р
Доказательство. Пусть л;*= 2 ф{х)№ есть звездная
аппроксимация цепи х (относительно любого барицентрического
подразделения Кх комплекса К\ см. формулу (5:12)). Тогда, в силу
(5:1 Г), х—х*—Л(Ал:) = ДЛ(л:), причем, в силу (5:Щ и (5.11'"),
аппроксимирующая пленка Л(л;) (соответственно Л (Ал:)) не
пересекается с (г—р—1)-мерными (соответственно (г—/?)-мерными)
симплексами /С.
Следовательно, А(х)аК\АЦ-р, Л(Дх)с/Г\Ч?-р и из [5:39]
следует, что ф (х х trfp) = ф(х*х trf-p), откуда
/аг~Р \ аг~Р
Ф(ххц-р)=ф[ 2 Ф(х)р81хц-р = 2 Ф(х)?Ф(*рх*ггр).
Пок
ажем, что
0, если 1Ф\,
*(«х<Г)-«„ = {?; если *-}.' <5:38)

1
394 18- ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
В случае ЬФ\ формула тривиальна; так как s^n^/"'7 = Q
жем, что ' П(%
Рассмотрим сначала случай /?=*0. В силу (4:110) sj^j
Цепь s°i находится с t\ в общем положении, и индекс (5:39) {'
числяется непосредственно. В силу (4:10) он равен +1. **
Если р > 0, то цепи sf и ^~р уже не находятся в К в общ
положении. Вместо построения аппроксимаций этих цепей j
доказательства (5:39) воспользуемся формулой (5:3540) и провел
индукцию по р. Пусть формула (5:39) доказана для ф (sf x trra)*sju\
Тогда по формуле (4:13) *
/ а
г-а
^(Asg+1X^"fl)-0( (— l)a+1 Д] (Гга1Гн-а-1)$ХГ1-а
аг~а
= (—1)*+1 2 (^"а^Га_1)0(5?Х^-а)-(— 1)а + 1(^Га:^аЛ
i=l
С другой стороны, по формуле (5:3540)
ф (Asr1 X ^"а) = (—1)*+1 ф (sg+1 X Щ~а) =
аг-а-1
= (_1)а + 10(5а+1х 2 (^fl-a-ljfl-a-l^
\ *=1
а'-""1
= (_1)а + 1 2 (^fl:^"fl-1)0(sg+1X^-fl-1) =
*=1
= (-1)в+Ч<Гв: ft"""1) 0 (sg+1 X ГП
откуда 0 (sg+1X ^~fl_1) = +1, т. е. (5:39) справедливо и при /?=а+1.
Из (5:38) и (5:37) следует (5:36).
5:4. Изоморфизм колец Лефшеца и Александера. В начале
предыдущего пункта был установлен изоморфизм полигональных
и непрерывных групп Бетти А-многообразия. Тем самым доказан
и изоморфизм полигональных групп Бетти А-многообразия и его
V-групп дополнительной размерности, так как, в силу закона
двойственности Пуанкаре, каждая непрерывная группа Бетти
А-многообразия изоморфна его V-группе дополнительной
размерности. Этот изоморфизм, как известно, устанавливается следуюШйМ
юбразом:
каждой А-мерной звездной цепи х*= 2 ais? ^-мерного орйен-
тированного А-многообразия К ставится в соответствие (г—/?)-меР'
ная цепь
аг~Р аг~Р
1=- 2 ЪГГР= 2 ф(х*)?Ггр.
t=i i=i

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ 395
соответствии звездные циклы переходят в v-циклы комп-
Пр£ э5вездные циклы, гомологичные в К нулю,— в V-циклы, V-ro-
Л0(саА,з н ю—в /( Выбирая теперь в каждом классе непре-
молоГИ0чНоМОЛОГии произвольный содержащийся в нем (см. [4:11])
равной т ^икл z* и ставя в соответствие этому классу V-класс,
„^тпий V-цикл £— 2 Ф(г)? Ъ~р> мы получим изоморфное
содержат*1 п .=1
жжение группы В" (/С, 21) на группу V'P(K, 21).
°)Тегко также получить изоморфное отображение ф группы
ВШ* ^ на группу ^"'^ *)•
Си ^аждом классе Zg5g(/C, Щ выбирается произвольный по-
гональный цикл z и этому классу ставится в соответствие класс
ЛИ " of-P
y(Z) = Z€Vr~pW, Щ, содержащий цикл £= ]£ Ф(г)1*гГр-
Обратное отображение ф"1 группы у-р(К, Щ на J3q(/C, 31).
Классу Z£Vr~p(K9 21), содержащему V-цикл £, соответствует
класс (P'1(Z)^Bq(Kj 21), содержащий звездный цикл z =
аг~Р
= 2 С (^~Р)s? любого барицентрического подразделения Кх комп-
лекса /С.
Таким образом, установлено изоморфное отображение каждой
из групп 5q(/C, 31) (р = 0, 1, ..., г) на соответствующую группу
\г~р(К, 31). По аддитивности это отображение распространяется
в изоморфное отображение ф прямой суммы
®п {К, *) = 2 Врп (К, 21)
р = 0
всех полигональных групп Бетти комплекса К на прямую сумму
W, 21)= 2 ?'-*(*, Я)
V-rpynn комплекса /(. Так как 93q(/C, 21) есть кольцо, то и
Ч#, 21), естественно, превращается в кольцо путем перенесения
°перации умножения с помощью ф:
Z1xZ2 = cp((p-1Zx(p'1Z). (5:4)
Поставим себе задачей определить введенную таким образом
операцию умножения V-классов непосредственно в терминах V-теории.
Пусть ориентируемое и ориентированное r-мерное Л-многообра-
Ие К является триангуляцией. Зададим два независимых
распределения масс т и п на вершинах К (см. пункт 4:3). Цепи ^б

396 18. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ
^Lr"P(K, SI) поставим в соответствие т-цепь
а цепи £2 € Z/-? (/С, SI)—л-цепь
*„= 2 b(trr)n$eih(K, si).
/=1
В силу [4:44] цепи хт и хп находятся в К в общем положении
следовательно, имеют вполне определенное пересечение хтхх =J
= x^LP2Q~r(Kt SI). Цепи х поставим в соответствие цепь
аР+<*
I- 2 0(*)Г'-г<Г*.
£=1
Эту цепь назовем произведением цепей ^ и £2:
S = ?iX£2. (5:41)
Если цепи £х и £2 суть V-циклы, то, как легко следует из
предыдущего, £ есть тоже v-цикл и V-класс цикла £ есть
определенное формулой (5:4) произведение V-классов соответственно
V-циклов i± и £2.
Индексы следов {x)k+g"r пересечения цепей хт и хп легко могут
быть найдены на основании вычислений пункта 4:4. Из этих
вычислений непосредственно следует, что произведение (5:41)
совпадает с произведением Alexander'a и, следовательно, кольцо V {К, Щ
с умножением (5:4) совпадает с кольцом Alexander'a.
Так как кольцо Alexander'a топологически инвариантно (см.,
например, Whitney, Ann. of Math. Vol. 39, 1938), отсюда следует
и топологическая инвариантность кольца Лефшеца.

19
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ *)
Теоремы двойственности играют видную роль в топологии.
Первая из них по времени принадлежит Пуанкаре и имеет
следующее содержание:
Пусть Мп—замкнутое ориентируемое л-мерное многообразие
ргЛего r-мерное число Бетти. Оказывается, что рг — рп"г (г = 0,
j п)\ сверх того, r-мерные кручения многообразия Мп
совпадают с его (л—г—1)-мерными кручениями [1].
Важным усилением этой теоремы является теорема Веблена:
Пусть zf(i=?l, 2, ..., рг)—r-мерный базис слабых гомологии
многообразия Мп. Через агц обозначим индекс пересечения цикла zrc
с циклом г]"г:агц = 1{гГ1У г/~г). Оказывается, что детерминант
матрицы ЦаУ равен ±1 [2].
Тот факт, что детерминант матрицы ||a-/||(r = 0, 1, ..., п)
отличен от нуля, равносилен следующему утверждению:
r-мерный цикл zr многообразия Мп тогда и только тогда слабо
не гомологичен нулю, когда существует в Мп цикл ип~г
дополнительной размерности такой, что I(zr, ип~г)Ф0.
Таким образом, теорема Веблена дает необходимое и
достаточное условие слабой негомологичности нулю цикла в многообразии.
Условие это весьма эффективно и часто употребляется при
вычислении гомологии в многообразиях.
Совершенно независимо от теоремы двойственности Пуанкаре —
Веблена появилась теорема двойственности Александера,
являющаяся обобщением теоремы Жордана о разбиении плоскости
замкнутой кривой. Содержание теоремы Александера следующее:
ПуЛъ К—полиэдр в /г-мерном эвклидовом пространстве /?п.
Тогда r-мерное число Бетти по модулю два пространства Rn—К
Равно (л—г—1)-мерному числу Бетти по модулю два
полиса К [3].
Теорема эта дала сильный толчок развитию топологических
£еорем двойственности. Прежде всего оказалось, что она может
оьпъ усилена аналогично тому, как теорема Пуанкаре была уси-
лена Вебленом. Роль индексов пересечений здесь играют
коэффициенты зацепления. Результат получается следующий:
') Успехи мат. наук.— 1947.— Т. 2, вып. 2.—С. 21—44.

398 19- ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ
Пусть zj(i=l, 2, ..., рг) — r-мерный базис гомологии по
дулю два пространства Rn—Ку a utl~r~1(i— 1, 2, ..., рг)-^и
— г— 1)-мерный базис гомологии по модулю два полиэдра /(. gc
обозначить через Ьц коэффициент зацепления циклов г\ и и""''-*
оказывается, что матрица ЩЛ имеет детерминант, равный е*
нице [4, 5]. Д*
Так усовершенствованная теорема двойственности Александеп
оказалась хорошим аппаратом, позволившим обобщить как саму*
теорему Александера, так и ее усиление на любое компактное
подмножество К эвклидова пространства Rn [5, 6].
Дальнейшее развитие теорем двойственности заключалось в ю^
что полиэдр или множество К стали рассматривать расположенным
не в эвклидовом пространстве /?", но в произвольном замкнут^
многообразии Мп. Задача здесь заключалась в том, чтобы изучить
гомологии в пространстве Мп—/С, исходя из гомологии /С и его
расположения в Мп> учитываемого также в терминах гомологии.
При этом была обнаружена тесная связь теорем двойственности
Пуанкаре и Александера, связь как алгебраическая, так и гео.
метрическая [7]. Выяснилось, далее, что в теоремах
двойственности нецелесообразно и даже невозможно ограничиваться при
построении теории гомологии лишь полями целых чисел и
вычетов по модулю два, а разумнее использовать гораздо более общие
группы, включая и топологические [8]. (Причины этого подробнее
освещены в ниже публикуемой работе [8].) Благодаря
использованию более общих групп и теории характеров [9], теоремы
двойственности приобрели в некоторых отношениях более совершенный
и законченный вид.
Создание теории V-гомологии Колмогоровым [10] и Алексан-
дером [11] привело к дальнейшему бурному развитию теорем
двойственности, что нашло свое наиболее полное завершение в работе
Александрова [12].
Настоящая статья в первых трех своих параграфах содержит
изложение вспомогательного аппарата, нужного для формулировок
и доказательств теорем двойственности, благодаря чему для
понимания статьи достаточно знать первые четыре главы книги Зей-
ферта и Трельфалля [13] и первую главу моей работы [9]. В
четвертом параграфе статьи дается сильно модернизированное^ при
помощи использования теории характеров [9] изложение моей р*#
боты [7].
§ 1. Многообразие и его ориентация
Понятие многообразия является основным для топологий, fl0
самое его определение вызывает немалые трудности. Существу6*
прежде всего несколько определений, связь между которыми Д°
сих пор не полностью выяснена. С другой стороны,
инвариантность некоторых определений не доказана.

19. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ 399
й имеется в виду не комбинаторное изучение, то всегда
ауются следующим определением:
п°пппеделение 1. Топологическое пространство М называется
ным многообразием, если оно связно, удовлетворяет
ft'^ofi аксиоме счетности и каждая точка его допускает окрест-
вТ°Р гомеоморфную n-мерному эвклидову пространству.
Н°СДля комбинаторных целей приходится пользоваться другими
п^траениями, так как приведенное плохо увязывается с комби-
торными свойствами комплекса в случае, когда рассматриваемое
Ноостранство М является полиэдром. Я говорю «в случае», так
ак Д° сих П0Р не Д°казано и не опровергнуто предположение
о том, что всякое многообразие в смысле определения 1 является
полиэдром. Для формулировки комбинаторного определения
приходится пользоваться следующими вспомогательными конструк-
А) Пусть К — некоторый комплекс и Т—его симплекс.
Совокупность всех открытых симплексов из /С, имеющих Т своей
гранью, включая и сам симплекс 7\ называется звездой
симплекса Т в комплексе К и обозначается через U(T, К) или,
короче, через U(T). Через Я (Г, К) = Р(Т) обозначается
совокупность всех таких симплексов из Ку которые не имеют общих вершин
с Г и в то же время являются гранями симплексов, входящих
в U(T). Иначе говоря, Р (Т) составлено из всех замкнутых
симплексов комплекса U (Г), (U (Т) есть комплекс, составленный из
всех симплексов совокупности U (Т) и их граней), не
пересекающихся с замкнутым симплексом Т. Р(Т) называется
представителем симплекса Т в комплексе /С. Заметим, что U (Т)
является открытым, &Р(Т)—закрытым подкомплексом комплекса /С.
В комбинаторных определениях многообразия довольно
равноценным образом можно использовать как U (Г), так и Р (Г); я, однако,
предпочитаю пользоваться последним.
Определение 2. Связный комплекс К называется
n-мерным многообразием, если представитель Р(ТГ, К) каждого
его r-мерного симплекса Тг гомеоморфен (п — г—1)-мерной сфере
Sn-r-i (r==o, 1, ..., п—1). За нульмерную сферу здесь
принимают пару точек.
Это определение имеет те недостатки, что, во-первых, до сих
пор не выяснен вопрос о его топологической инвариантности, и,
во-вторых, не выявлена его связь с определением 1. Легко
доказать, что если комплекс К удовлетворяет определению 2, то
определяемый им полиэдр \К\ удовлетворяет определению 1, но
Не установлено обратное, т. е. неизвестно, удовлетворяет ли комп-
лекс К определению 2, если полиэдр К удовлетворяет определе-
Ни*о 1. Вопросы эти являются весьма трудными неразрешенными
проблемами современной топологии.
В дальнейшем я всегда буду пользоваться следующим, более
широким, чем 2, комбинаторным определением многообразия.

400 19- ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ
Определение 3. Связный комплекс К называется /г-мen
ным гомологическим многообразием или просто мв
гообразием, если представитель Р(ТГ, К) любого его г-меп*
ного симплекса Тг имеет те же группы гомологии, что и aw"
$п-г-\ размерности п—г—1 (г = 0, 1, . ,.,л—1). ра
Логическая природа этого определения вполне ясна. Прежде
всего, сравнительно легко, хотя и не слишком просто, устанавлн*
вается его топологическая инвариантность. Далее устанавливается*
что для л—1, 2, 3 определения 2 и 3 эквивалентны; начиная же
с л=^4, определение 3 дает более обширный класс объектов, чец
определение 2. Связь с определением 1 также ясна: если полиэдре
удовлетворяет определению 1, то он удовлетворяет и
определению 3. Далее, если комплекс К удовлетворяет определению 3,Ц)
он удовлетворяет и определению 1 для л—1, 2, 3; начиная же
с п = 4, существуют комплексы, удовлетворяющие определению 3,
такие, что соответствующие им полиэдры не удовлетворяют
определению 1. Все эти факты я оставляю здесь без доказательства.
Логическая ясность определения 3, а также его достаточность для
целей теорем двойственности сделали его наиболее
употребительным в теоремах двойственности. Всюду в дальнейшем я буду
пользоваться только им.
B) Пусть К—произволный комплекс, Т0—некоторый его
симплекс, 7\—какая-либо грань этого симплекса, Т2— грань
симплекса Т0, противоположная грани 7\. Очевидно тогда, что Т2£
^P(Tlt К)у и оказывается, сверх того, что
Р(Г2У Р(Ти К)) = Р(Т0, К). (1)
Для доказательства условимся в следующем обозначении: пусть
А и В—два симплекса из К; будем говорить, что в К существует
симплекс С = АВ, если Л и В не имеют общих вершин и если
существует в К симплекс С, натянутый на все вершины,
принадлежащие А и 5.
Пусть Т£Р(Т0> /С); это значит, что в К существует симплекс
7Т0 —7Т27\; но тогда в К существует и симплекс 7Т2, который,
очевидно, принадлежит P(Tlf /С), а это значит, что Т£Р{Т%*
Пусть теперь T£P(TZ, P (7\, /С)). Это значит, что в Р(7\,л)
существует симплекс 7Т2; но тогда в К существует симплекс
ТТ2Т1-=ТТ0У а это значит, что Т£Р(Т^ К).
Из В) непосредственно вытекает важное следствие для
многообразий:
C) Пусть К—л-мерное многообразие и Тг его r-мерный
симплекс, 0<г<л—2; тогда Р(ТГ, К) является (л—г— 1)-мерныМ
многообразием (см. определение 3).
Пусть Гг = 7\ и Г2 € Р (Т19 К); тогда в К существует симплекс
Т,0 = Г1Г2. Так как К—многообразие, то группы гомологии
Р(Т0, К) таковы же, как у сферы надлежащей размерности!

19. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ 401
и1у (1) то же имеет место и для Р(Г2, Р(Ти К)). Таким
*/аз0м, Р(Тг, К) удовлетворяют требованиям определения 3,
исключением, быть может, связности; но последняя вытекает
33 того что группы гомологии Я(7\, К) совпадают с группами
Пологий сферы.
ОпреДеление 4. Комплекс а называется я-м ерным псев-
многообразием, если выполнены следующие условия:
Д° 1) комплекс К размерно однороден, т. е. каждый его симп-
екс является гранью некоторого его n-мерного симплекса.
Л 2) к каждому (п—1)-мерному симплексу комплекса К
примыкают равномерно два /г-мерных симплекса.
3) если А и В—два /г-мерных симплекса из К, то существует
в /( цепочка /г-мерных симплексов
А = Ти Г2, ..., Tt = B, (2)
такая, что каждые два соседних ее члена имеют общую (п—1)-
мерную грань.
D) Многообразие является псевдомногообразием.
Пусть К—/г-мерное многообразие; докажем, что для него
выполнены условия 1), 2), 3) определения 4.
Если условие 1) для К не выполнено, то найдется в К
некоторый r-мерный симплекс Тгу г < /г, который не является гранью
никакого симплекса более высокой размерности из К. Тогда,
очевидно, Р (Тг, К) пусто; но, в силу определения 3, группы
гомологии у Р(ТГ, К) те же, что и у Sn""r"1; у последней же
нульмерная группа гомологии не тривиальна, в то время как
у пустого множества она тривиальна.
Если Г""1 есть (п—1)-мерный симплекс из К, то Р (Т""1, К),
в силу определения 3, состоит из двух точек, а этой значит, что
к Г""1 примыкает в К ровно два /г-мерных симплекса, т. е.
условие 2 выполнено.
Условие 3 будем доказывать индуктивно. Предположим, что оно
выполнено для всех многообразий размерности п—1 и докажем
его для нашего /г-мерного многообразия /С. Пусть
Л—произвольный n-мерный симплекс из К\ через L обозначим совокупность
всех n-мерных симплексов из К> которые могут быть соединены
с А цепочкой вида (2); совокупность всех остальных п-мерных
симплексов из К обозначим через М. Так как К—связный
комплекс, то существует в К вершина а, общая для симплекса С 6 L
и симплекса D£M. Нам достаточно теперь доказать, что С и D
*'°*но связать в К цепочкой вида (2). Пусть К* — Р(а, К). Тогда
^аС\ D = aD*, где С* и D* входят в /С*. Так как К* является
* ^огообразием (см. С)), то, по предположению индукции, сущест-
>ет в /С* цепочка
с*=*г;, т;9 .... r;=D*, (3)

402 19. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ
связывающая симплексы С* и D*. Цепочка, нужная нам, пол
чается из (3) присоединением к каждому ее симплексу вершИНЬ|^
Таким образом, предложение D) доказано. а-
E) Пусть К—n-мерное псевдомногообразие. Будем говорит»
что два л-мерных ориентированных симплекса Т и 7" из /С, Им3
щие общую (п—1)-мерную грань S, ориентированы когерентно
если ориентации их индуцируют на S противоположные ориента'
ции. Пусть А — произвольный ориентированный n-мерный симплек
из К. Идя по цепочке (2), мы можем придать всем ее симплекса*
такие ориентации, что каждые два соседних симплекса ее будут
ориентированы когерентно. Таким образом, ориентация, задан,
ная в Л, распространится на В. Может случиться, что, идя ^
ориентированного симплекса А к симплексу В по двум различным
цепочкам, мы получим в В две различные ориентации. В згом
случае, очевидно, существует замкнутая цепочка, выходящая из Л
и возвращающаяся в Л, обращающая ориентацию. Легко видеть
что если существует замкнутая цепочка, обращающая ориентацию
некоторого симплекса А, то она существует и для любого другого
симплекса. Псевдомногообразие /С, в котором существуют
замкнутые цепочки, обращающие ориентацию, называется не
ориентируемым. Псевдомногообразие К, в котором нет замкнутых
цепочек, обращающих ориентацию, называется ориентируемым.
Задавая ориентацию одного n-мерного симплекса А ориентируемого
псевдомногообразия /С, мы по цепочкам вида (2) можем
распространить ее на каждый n-мерный симплекс В$К.
В несколько иной форме определение это может быть
выражено так:
Определение 5. Псевдомногообразие К размерности п
называется ориентируемым, если все его я-мерные симплексы
можно так проориентировать, чтобы сумма их границ была равна
нулю. В противном случае псевдомногообразие называется не-
ориентируемым. Если в псевдомногообразии К всем я-мерным
симплексам придана такая ориентация, что сумма их границ равна
нулю, то мы говорим, что в К задана ориентация или что А
ориентировано. ИзЕ) следует, что в К существуют лишь0
различные ориентации.
Определение 5, в силу предложения D), применимо и к много*
образию.
F) Пусть К—n-мерное ориентируемое многообразие и z—cyMJj*
всех его n-мерных симплексов, ориентированных так, что суМ»*
границ их равна нулю (см. определение 5); тогда z есть n"MePJLj
цикл из /С, и он задает ориентацию К. Оказывается, что лю00*
«-мерный цикл х из К равен аг, где а—целое число.
Придадим всем n-мерным симплексам из К ту ориентаи
с какой они входят в 2. Пусть А—я-мерный ориентирован

19. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ 403
леке и а—тот коэффициент, с которым он входит в х, тогда
СйМПий симплекс из /С, имеющий с А общую (п— 1)-мерную грань,
вСЯКцдно, также входит в х с коэффициентом а, ибо х—цикл.
гт^ьзуясь цепочкой (2), мы убеждаемся, что каждый /г-мерный
плекс В из К входит в л: с коэффициентом а и, следовательно,
х**аг-
§ 2. Барицентрические звезды
Почти во всех доказательствах теорем двойственности важную
оль играют барицентрические звезды. Для того чтобы формули-
овать некоторые их свойства, удобно воспользоваться понятием
г-границы:
A) Пусть К—некоторый комплекс и Тг—некоторый его
ориентированный r-мерный симплекс. Сумма всех ориентированных
(г А- 1)-мерных симплексов Tr+1 комплекса К таких, что ДГГ+1
содержит + Тг, называется V-границей симплекса Тг и
обозначается через VTr. На любую /--мерную цепь х операция V
распространяется по аддитивности. Легко видеть, что
VV* = 0. (1)
Перейдем теперь к построению барицентрических звезд.
B) Пусть Тп—я-мерный ориентированный симплекс, вершины
которого мы обозначим числами 0, 1, ..., я, так что
Тп = г(09 1, ..., п) (е=±1),
и Г'-—некоторая ориентированная /--мерная грань симплекса Тп:
Г' = 6(0, 1, ..., г) (6-±1).
Последовательность чисел
г+1, г+2, ..., п (2)
запишем в некотором произвольном порядке:
ii, *2> •••, is (s = n—r). (3)
Через a(t\, ..., is) обозначим +1, если переход от
последовательности (2) к последовательности (3) совершается с помощью
четной перестановки, и —1—в противном случае. Центр симплекса
k) обозначим через ak (k — 0, 1, ..., s).
Положим
Ts(*i, • •, is) = 6ea(il9 ..., is)(a0, aly ..., as). (4)
звенство это дает нам s-мерный ориентированный симплекс бари-
^нтрического подразделения симплекса Тп. Сумму всех симплек-
в вида (4), когда последовательность (3) Ьробегает все
перестали последовательности (2), обозначим через В(ТГ, Тп):
В(Т', Т») = %T'(tu ..., у. (5)

404 19. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ
Легко проверяется, что цепь В (Гг, Тп) не зависит от положена
в основу построения нумерации вершин симплекса Гп, а завис*
лишь от ориентированного симплекса Тп и его ориентирование
грани Гг, причем **
В(—Тг, Тп)^В(Тгу —Тп) = — В(Тг, Тп). ,g.
Заметим, что В(ТГ> Тп) определено и для случая г = 0, гг=й.
в последнем случае В (Тг, Тп) — бе (а0), где а0—центр симплекса Т*
С) Пусть К—комплекс, аТги Тп—два его ориентированньсг
симплекса размерностей г и я, г^п. Если Тг есть грань симц.
лекса Гп, то В(ТГ, Тп) определено соотношением (5); если Тг не
является гранью Тп9 то мы положим В(ГГ, Г") = 0. Если jc-.
= 2а,Т£, У —2Р/71/—Две Депи размерностей гид из /С, то по-
i У
ложим:
В{х,у)=%аЬВ(П,Г1). (7)
Оказывается, что тогда имеет место важное соотношение
ДВ(х, у) = (-1)г+1Д(?х, у) + (—1)'Д(х, Ay). (8)
Соотношение (8) достаточно доказать лишь для случая, когда
х = Тг> у = Тп, причем Тг является гранью Тп. Когда Тг не есть
грань Тпу оно очевидно, а на произвольные цепи х и у
соотношение (8) распространяется автоматически ввиду аддитивности
операций V и Л.
Итак, пусть Тг и Тп—два ориентированных симплекса из К>
причем Тг есть грань симплекса Тп. В дальнейшем будем
придерживаться обозначений, принятых в В).
Весом вершины ak симплекса Ts(il9 ..., is) = T будем
называть число r+fe, ибо ak является центром симплекса размерности
r+k из /С. Таким образом, симплекс Т содержит вершины всех
весов г9 г+1, ..., п. Если S—некоторая (s—1)-мерная грань
симплекса 7\ получаемая из Т вычеркиванием вершины ак, то
в S входят вершины весов г9 ..., r + k—1, r + k+l9 ..., я«
Пусть T'=*T8(i'l9 ..., Q—симплекс, отличный от Т9 с
шинами а'ъ, а'и ..., a's. Заметим, что
ai = aCf as — as W
(см. В)). Если S' есть (s—1)-мерная грань симплекса 7", по^У*
чаемая вычеркиванием вершины аь то в симплекс S' входят вер*
шины весов
г, ...f г+/— 1, г+/+1, ..., п.
Выясним теперь вопрос, при каких условиях неориентиро**
ные симплексы S и S совпадают, имея в виду, что последе

19. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ 405
le***111 (3) и *;, «, .... *;, (Ю)
яюЩие симплексы Т и Г', различны. Так как в симплексе S
0[ФеД ственно 5') имеется не более одной вершины каждого веса,
(с°°^а вершин, входящих в S и S', должны совпадать и пото-
10 \ ~±1. Сверх того, вершины одинаковых весов у симплексов S
M5S Д°^жны совпаДать' и П0Т0МУ
| а'ьФа^ ak+1 = ak+u ...fa's = a8. (11)
! w /m и (11) следует: 0<&<s. Из (11) далее следует, что
множества {0, .. •, г, il9 ..., im) и {0, ..., /\ i'l9 ..., Q совпадают
1 при всяком тфк, а это возможно лишь при условии:
. .л • • / • • / • • / • . / • /10\
*1=*1> " * • » i*-l== J*-l» *fc=*fc+l> lk+l==lk^ lk+2 — *fc + 2» • • •» *S *S' V1^
Таким образом, из (12) следует, что последовательности (3)и(10)
отличаются перестановкой двух соседних членов.
Будем теперь считать, что S и S'—ориентированные грани
симплексов Г и Г; тогда мы имеем:
S=oea(i1, ..., ts) (—1) (fl0, ..., #g-i, #£+i» •••» #$)»
S' = 6ea(ii, ..., Q(—l)ft(ai, ..., a^, a'k+lf ..., a^).
Так как последовательности (3) и (10) отличаются
перестановкой двух соседних членов, то, в силу (11), S = — S'.
Из сказанного следует, что при вычислении границы В (7V, Тп)
(см. (5)) все грани, получаемые из симплексов Ts(il9 ...,. t5)
вычеркиванием вершин веса r + k, 0<&<s, сокращаются. Нам
остается рассмотреть лишь те члены границы В(ТГ, Тп), которые
получаются вычеркиванием вершин веса г и я.
Рассмотрим те члены границы В(ТГ, Тп), которые получаются
вычеркиванием вершины веса г. Выделяя в границе симплекса
^*(*i» • •, is) соответствующий член, получаем:
&Ts(iu ..., is) = 8ea(iu ..., is)(alt ..., as)+... (13)
Заметим теперь, что
Tn*=m{iu ••.., i5)(0, ..., г, il9 ..., is). (14)
^ожим далее
Г?"-8(0, .... г, it). (15)
СИлУ В) мы имеем:
В(Тс + \ 7") = dea (tl9 ....у^ о,)+... . (16)
*сь выделен лишь один член цепи B(Ti*1, Tn), соответствую-
й нумерации 0, ..., г, iu ..., i, вершин симплекса Тп. Заме-

406 19- ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ
тим, что ДГ^1 содержит симплекс Тг со знаком (—l)r+i и
ответствии с этим мы имеем: ^
vr'=(-i)'+in+1+... (1
(здесь выделен лишь один член V-границы симплекса Тг).
Суммируя соотношения (13) и (16) по всем перестановками*
последовательности (2), мы, на основании (17), получаем: '^
АВ (7\ Тп) = (-l)r+1 В (V7\ Тп) + ... {щ
В этом равенстве с правой стороны выписаны лишь те члены"
которые получаются вычеркиванием вершин веса г. Следует oftv/
тить внимание еще на то, что в (18) должно включать только т*
симплексы из ЧТГ9 которые являются гранями симплекса ур
ибо в (16) входят только такие 7\'+1; однако, если понимать До"'
обычным образом в /С, то равенство (18) не ^нарушится, так как
в силу соглашения (см. С)) лишние члены обращаются в нуль,
Рассмотрим теперь те члены границы В(ТГ9 Тп)> которые^
лучаются вычеркиванием вершин веса л. Запишем границу
Ts(il9 ..., is)9 выделяя соответствующий член:
ATs(il9 ..., is) = 6ea(il9 ..., is)(—l)s(a0> ..., а^1)+...(19)
Положим:
T?s~1 = ea (il9 ..., is) (0, ..., г, il9 ..., is_ty9 (20)
тогда мы имеем:
В (7\ Т?Г') = беа (i19 ..., is) (a09 ...,as_J+... (21)
Заметим далее, что симплекс Г?/г входит в границу симплекса Т*
со знаком (—1)п, т. е. мы имеем:
ДГЛ = (—ЦТ?,-^... (22)
Суммируя соотношения (19) и (21), мы на основании (22)
получаем:
ДВ (7\ Тп) = (—1)' В (Тг9 ДГ") + ... Й
Здесь в правой части выписаны лишь «те члены, которые полу*
чаются вычеркиванием вершин веса п. Следует отметить такЛ
что в (23) следовало бы включать лишь те грани ТпУ когорт
содержат 7\ но, в силу соглашения (см. С)), равенство (23) й
нарушится и при обычном понимании ДГП.
Соотношения (23) и (18) вместе дают (8). с
Определение 6. Пусть К—ориентируемое многообразй
размерности п и z—цикл, задающий его ориентацию (см. опр#*
ление 5 и § 1 F)). Положим В(х9 z) = B(x). В случае, когда *

!9 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ 407
нтированный г.мерНЬ1й симплекс Тг из /С, В(ТГ) назы-
есТЬ ^барицентрической звездой симплекса Тг в ориентированном
вается ^ии /(# Если /С—неориентируемое многообразие, то всю
мй°Г°пукцию следует проводить по модулю два, и барицентри-
койСТРузвезда определяется как цепь по модулю два. Из (8) еле-
ДУ6Т: ДЯ(х) = (-1)г+1Я(?*). ДВ(Г') = (-1)'+1В(ТГ'); (24)
чае неориентируемого К последние соотношения имеют место
3 ^модулю два, причем цепь х также следует рассматривать по
П°зулю два, а Тг можно рассматривать без ориентации.
Заметим, что барицентрическая звезда r-мерного симплекса
п .мерном многообразии К есть (п — г)-мерная цепь
барицентрического подразделения К' заданного многообразия /С.
Если Tri(i=U •••, k)—совокупность всех как-либо
ориентированных r-мерных симплексов многообразия /С, то любая
целочисленная линейная форма х* = 2 а/^(^0 является (я—г)-мер-
i= 1
ной цепью из К'\ такую цепь мы будем называть звездной
цепью многообразия /О Очевидно, что она может быть записана
в виде
х*=^В(х), (25)
где
k
x=^aiTriczK.
Так как барицентрические звезды двух различных симплексов
Tri и 7/ не могут иметь общих (п — г)-мерных симплексов, то
запись (25) дает возможность однозначно определить х через х*.
Иначе говоря, барицентрические звезды многообразия К являются
линейно независимыми цепями из /С'. Соотношение (24)
показывает, что граница звездной цепи есть также звездная цепь. Ниже
будет показано (см. лемму), что звездные цепи могут служить для
вычисления гомологии в /С.
D) Пусть К—многообразие и К'—его барицентрическое под-
Разделение. Через В[х] будем обозначать носитель цепи В (х),
т- е. наименьший подкомплекс комплекса /С', содержащий все
симплексы, входящие в В (л:) с коэффициентами, отличными от
нУля. Из В), С) и А) § 1 непосредственно следует, что
B[Tr]cU(Tr). (26^
ели теперь Р—некоторый подкомплекс комплекса К и Тг не
принадлежит Р, то В[ТГ] не пересекается с Р9 ибо U(Тг) не
передается с Р.
j., Лемма. Пусть К—/г-мерное ориентируемое многообразие,
л "—его барицентрическое подразделение, Р—некоторый подкомп-

408 19- ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ
леке комплекса К и Q—подкомплекс комплекса К', составлен»
как сумма всех В [Т] (см. D)), где Т не входит в Р; очевид^
что QaK—Р. Пусть теперь х—общая (т. е., быть может, кр^*
линейная) цепь из К—Я, граница которой Лл: является звезд!!**
цепью из Q. Тогда существует в Q звездная цепь у такая JJ!
х—у есть цикл, гомологичный нулю в К—Я. (В случае, когда]?
неориентируемо, лемму следует понимать по модулю два.)
Таким образом, для вычисления гомологии области /f-^p
достаточно рассматривать звездные циклы из Q и звездные гоцги
логии между ними.
Доказательство. Доказательство разобьем на отдельные
пункты.
a) Пусть Т—произвольный симплекс из /С; комплекс B[vn
естественно назвать краем звезды В[Т]. Покажем, что край этот
гомеоморфен представителю Р (Т) симплекса Т в К (см. § 1А), §2D)).
Центр а симплекса Т естественно назвать центром звезды В[Т\.
Пусть а—произвольная точка из Р (Г); соединим а и а
прямолинейным отрезком (а, а). Из элементарных геометрических
соображений следует, что отрезок (сг, а) пересекается с В [уТ] и притом
только в одной точке ft —ф(а). Мы получаем тем самым гомео-
морфное отображение ф комплекса Р (Т) на комплекс В [V71]. Без
труда проверяется, что ф дает комбинаторно изоморфное
отображение барицентрического подразделения Р (Т)' комплекса Р(Т)
на комплекс В[уТ]. Легко проверяется далее, что два отрезка
(а, ft) и (а, ft'), где ft и ft'—различные точки из В[уТ]>
пересекаются лишь в а; и что полиэдр В [Т] заполняется отрезкам
вида (а, ft). Таким образом, В [Т] является конусом с вершиной
в а и основанием В[уТ], гомеоморфным Р(Т).
Если теперь F—замкнутое подмножество полиэдра В [Т], не
содержащее точки а, то, заставляя каждую точку c£F
прямолинейно и равномерно скользить по отрезку (а, ft), содержащему с,
из положения с в положение ft, мы получаем непрерывную
деформацию г|) множества F в край В[уТ]9 при которой точки F,
принадлежащие краю В[уТ], остаются неподвижными.
b) Пусть F—замкнутое в К подмножество области /С—ft
существует тогда непрерывная деформация г|? множества F, про;
текающая целиком в К—Р и переводящая F в Q, при которой
точки множества F, принадлежащие Q, остаются неподвижными.
Пусть Т°—произвольный нульмерный симплекс из Р. Приме*
няя к той части множества /\ которая расположена в В[ТJ»
деформацию, данную в а), мы выгоним множество F из внутри*
ности звезды В[Т°]. Повторяя эту операцию применительно К°
всем нульмерным симплексам из Ру мы получим из F новое мно*
жество Fl9 которое уже не имеет точек внутри звезд В [Т°] ЯР*
Т°£Р. Теперь можно повторить операцию выметания для звезд
BIT1], где Т1 есть одномерный симплекс из Р. Проведя ее П
всем размерностям, мы добиваемся желаемого результата.

19. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ 409
Пусть В[ТГ]—барицентрическая звезда некоторого симплекса
&к и 5* = е(^о> •••» bx)—произвольный ориентированный
^ ный симплекс из ее края В[\ТГ]. Через a (SO обозначим
'-Мб^екс е(#> fto» • • •» ftf) (<* есть центр Тг) размерности t+ 1 из
^пМ и будем называть его конусом, построенным на SK Опера-
а построения конуса по аддитивности можно распространить
ийКпюбую ^-мерную цепь и из В[\ТГ]. Легко видеть, что
Да (и) =г и—а (Ли). (27)
Очевидно, что каждая (t+ 1)-мерная цепь и из В[ТГ]9
составленная из симплексов с вершиной а, может быть записана в виде
и^о(и). Если о имеет границу, принадлежащую В [VTr], то из (27)
ледует, что Дм = 0. Если теперь размерность t+l цепи и меньше
я__г, то размерность и меньше л—г—1, и потому в силу а)
цикли гомологичен нулю в В[\ТГ], т. е. u = Aw, wcB[vTr].
Тогда мы имеем Aa(w) — w—и, а это значит, что "для цепи и
нашлась цепь wczB[T?Tr] такая, что и—w~0 в В[ГГ]. Если
размерность о равна я—г, то цикл и имеет размерность п—г—1,
и потому и==аху(В(\Тг))у где а—целое число, откуда
непосредственно вытекает, что
»^o(u) = a<j(B(VTr)) = a(— 1)г+1а(АВ(Тг))=^а(— l)r+1B{Tr).
(28)
d) Пусть х—произвольная цепь комплекса Q, граница
которой &х есть звездная цепь; существует тогда такая звездная цепь у
из Q, что х—у~0 в Q.
Пусть Т° — произвольный нульмерный симплекс из /С, не
принадлежащий Р. Ту часть цепи х, которая составлена из
симплексов, имеющих вершиной центр а симплекса 7°, обозначим через о,
тогда цепь и можно записать в виде а (и), где и принадлежит
fi[VT°] (см; с)). Так как граница х—звездная, то о имеет границу,
лежащую на 23[\Т°], и потому и—цикл (см. с)). Таким образом,
и = РЯ[Т0], если размерность цепи х равна л. Если же размерность
Цепи х меньше л, то часть и цепи х можно заменить цепью w,
лежащей на краю В[уТ°], так что вновь полученная цепь хх —
*=*—u + w гомологична цепи х в Q и уже не имеет симплексов,
лежащих внутри В[Т°]. Применяя этот процесс к каждому нуль-
арному симплексу 7°, не входящему в Р, мы получим из х
н°вую цепь, не имеющую симплексов, лежащих внутри /г-мерных
^езд. Повторяя процесс применительно к одномерным симплексам
' не принадлежащим Р9 мы получим из х новую цепь,
симплексы которой уже не лежат ни в л-мерных, ни в (л—1)-мерных
Вездах. После конечного числа шагов такого рода мы придем
к бездной цепи у.

.звез*.«
4Ю 19. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ
е) Если теперь х—общая (криволинейная) цепь со
границей г, расположенная в К—Я, то, применяя к ней прг^
деформации, данный в Ь), мы получим общую цепь, располо*!^
ную в полиэдре Q. Эту цепь можно аппроксимировать цепыгл
из симплексов полиэдра Q, а затем заменить звездной цепью и
способу, данному в d). В течение всех этих перестроек границ
цепи х остается неизменной. *
Таким образом, лемма доказана.
§ 3. Индексы пересечения и коэффициенты зацепления ~
Почти во всех формулировках теорем двойственности играю»
важную роль или индексы пересечений, или коэффициенты зацепу
ний. Определению этих понятий и посвящается настоящий параграф
Уже давно при построении теории гомологии за коэффициенту
стали принимать не только целые числа, как это делал Пуанкаре
но также вычеты по модулю два и вообще вычеты по произволе
ному модулю т. Позже выяснилось, что за коэффициенты можно
и целесообразно принимать элементы довольно произвольной комму,
тативной группы, взятой в аддитивной записи.
А) Пусть G—коммутативная группа, взятая в аддитивной
записи, относительно которой мы будем предполагать две различные
возможности: а) группа G дискретна и имеет не более счетного
числа элементов; Ь) группа G—топологическая компактная и
удовлетворяет второй аксиоме счетности.
Как в том, так и в другом случае G может быть положена
в основу построения теории гомологии. Пусть К—комплекс и
Tri(i=l, ..., аг)—совокупность всех его г-мерных как-либо
ориентированных симплексов. Любую линейную форму х = 2^^»
где g;€ G (/= 1, ..., аг), будем называть r-мерной цепью из Л
по полю коэффициентов G. Совокупность всех таких цепей обо-
значим через LrG. Множество LrG естественно оказывается
аддитивной группой, как совокупность линейных форм. Очевидно, что
группа LrG изоморфна прямой сумме <хг экземпляров группы 0.
Если G—топологическая группа, то в LrG вводится топология как
в прямое произведение, и тогда LrG оказывается компактной топо^
логической группой со второй аксиомой счетности. Если границаАм
симплекса Т\ задается соотношением АТГС = 2 е?/^/т"1» где ^^
= 0, + 1, то граница Ах цепи х определяется соотношение»
Дл: = 2 2 gfiijTj'1. Очевидно, что А (х + у) = Ах + Д# таКйВ1
образом, А оказывается гомоморфным отображением группы **
в группу Uqx. Если G—топологическая группа, то гомоморф113

l9 топОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ 411
оерывен. Ядро гомоморфизма А обозначается через ZrG,
$t<fl nenKrB Uqx — через H'g1. Легко проверяется, что
а0бра3 ° H'GaZrG. (1)
енТЫ группы Zq называются циклами, а элементы груп-
цт _1_ц и к л а м и, гомологичными нулю. В случае тополо-
П кой группы G, благодаря непрерывности гомоморфизма Л,
ГИ^ы ZrG и I^g1 компактны и потому'замкнуты. Фактор-группа
^Р/^.^//^ называется r-м ер ной группой Б е т т и комплекса К
J? полю коэффициентов G.
Если комплекс л имеет размерность /г, то группа п% не опре-
eieHa, и принимают, что она содержит лишь нуль; при этом
Отношение (1) выполняется. Для группы L°G гомоморфизм Д не
определен, ибо не существует группы Lg1; таким образом, группа Z°G
также не определена. Зту группу принято определять двумя раз-
т а°
личными способами: 1) ZG = L°G; 2) цепьл:= 2 8?] тогда и только
тогда входит в ZGy когда
2ft = 0. (2)
i=l
Для того чтобы различить 1) и 2) случаи, в последнем из них
группу ZG будем обозначать через Z%. В обоих случаях
соотношение (1) выполняется. Группу Бетти во втором случае будем
обозначать через В%. Требование (2) имеет смысл только для
нульмерных цепей, ибо в этом случае всем нульмерным симплексам
можно придать положительную ориентацию, что и предполагается.
В случае связного комплекса К группы H°G и ZG совпадают. Связь
между группами BG и BG в общем случае весьма проста, именно:
Bq изоморфна прямой сумме группы BG и группы G.
В) В теоремах двойственности рассматривают одновременно
Две группы—дискретную группу G и ее компактную группу
характеров Г или, что то же самое, ортогональную пару групп Г, G
(см. Т. Т. Г. [9], определения 1 и 3, теорема 5), так что
определен закон перемножения элементов g$G с элементами v€T,
именно yg = y(g)£K, где К есть топологическая группа действи-
тельных чисел, редуцированных по модулю единица. Если G есть
гРУппа целых чисел, то Г изоморфна /С; если G—конечная группа,
То Г изоморфна G; это имеет место, в частности, и в том случае,
*^°гда G есть группа вычетов группы целых чисел по модулю т\
^гДа и Г следует трактовать как группу вычетов по модулю т.
"«* имеем здесь обычную теорию по модулю т для обеих групп G и Г.
Ч Пусть К—комплекс, G—дискретная группа, а Г—ее группа
*аРактеров (см. В)). Пусть
аг аг
*Г=Ъ SiTri € LrG, lr = 2 V Л € Lv\

412 19. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ
скалярное произведение (1г, хг) цепей |г и хг определим
аг, *о=2 ш € к.
Оказывается, что тогда
(ДЕ'+\ x') = ar+\ V*') (см. § 2, А); § 3, А)). (
Если /С есть/г-мерное ориентированное многообразие, toa;"-'^^'
есть (я—г)-мерная звездная цепь из К по полюб, произвольна?
поскольку хг произвольна (см. определение 6). Индекс пересев
*
-"- *-Г м vn-Г
ния цепей £г и хп г определим, положив
пъг> *vo=(^, *о. щ
Из (4) § 3 и (24) § 2 следует:
/(Ag'+1f *»-') = (—1)г+1/(£г+\ Ax»-'). щ
Соотношение (4) докажем лишь для одночленных цепей £r+is*
= yTri+1 и xr = g,T/. На общие цепи оно распространяется по
аддитивности. Мы имеем:
A7y* = 2 е;+1гь vrf= 2 Ф1*П+1.
Из этого получаем:
(А?Г?+1. ёТГ1) = г[ГЧё, (7П+1. W) = е^7£,
т. е. соотношение (4) доказано. Соотношение (6) получаем так:
/(Д£г+1, х*-|,) = (А£/,+1, jcO == (Er+1, V*r) =
= /(£'+1, J5(vx0) = (—l)r+1/(^+1, A*H<
Таким образом, соотношения (4) и (6) доказаны.
В случае неориентируемого многообразия К соотношение (о)
имеет смысл по модулю два, т. е. в предположении, что груп^
G и Г суть группы вычетов по модулю два.
Прежде чем дать общее определение индекса пересечения,
замесим, что если Кх и К2 суть два гомеоморфных многообразия
т гомеоморфизмом ф, ф (/Сх) = /С2, то ориентация Кх индуЦйрУ6*
вполне определенную ориентацию /С2. Если гг есть цикл, задай*
щий ориентацию в Ки то ф^) есть общий (криволинейный) Ий*\
из /С2, который при симплициальной аппроксимации переходе
в цикл г2, задающий определенную ориентацию многообразия аг

19 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ 413
чание дает возможность говорить об ориентации полиэдра/?,
Э^3пмоофного многообразию К.
г°п оеделение 7. Пусть R—ориентированный полиэдр,
оофный n-мерному многообразию, G и Г—ортогональная
^меом р |см в^ а ?г и хп~г—две общие (криволинейные)
п^Ра 0дзмерностей г и п—г из /?, причем первая с коэффициен-
иеПИ из Г, а вторая—с коэффициентами из G. Относительно це-
Ta&H£r и *"~г мы предположим, что каждая из них не пересе-
тся с границей другой, и обозначим через е меньшее из рас-
кае ний от одной цепи до границы другой. Так как R гомеоморфно
^мерному многообразию /С, то мы можем считать, что £г и хп"г
^асположены в /с Ввиду того, что /С, в известной степени, хотя
{L с точностью до подразделения, можно выбирать произвольным,
мы можем считать, что симплексы К малы относительно е,
например, по диаметру не превосходят у^е. Аппроксимируя цепь £г
симплициальной цепью %[ из /С, а цепь хп~г—знездной цепью л£~г
из К (подробности смотри ниже), мы определим индекс
пересечения I(lr, хп~г)У положив
/(£', *»-') =/(Й. *ГГ). (7)
Можно доказать, что определенный так индекс пересечения
не зависит от выбора комплекса К и не зависит от способа
аппроксимации. Первое составляет весьма сложную теорему,
которую я оставляю без доказательства, второе же будет показано
ниже. Из соотношения (6) непосредственно вытекает и для общих
цепей соотношение
I(Alr+1, xn-r) = (—l)r+4(lr+\ Ax*~r). (8)
Симплициальная цепь ££, аппроксимирующая £г, получается в
результате достаточно мелкого подразделения цепи \г и
последующей симплициальной аппроксимации обычным образом цепью
?i из К. Звездная цепь л£~г, аппроксимирующая хп~г, получается
более сложным путем. Пусть Axn~r = z. Через Рг обозначим
совокупность всех замкнутых симплексов из /С, не пересекающихся с
г» а через Р2—совокупность всех замкнутых симплексов из /С, не
пресекающихся с хи~г. В силу леммы § 2 существует в К — Р
Звездный цикл zl9 гомологичный г в К—Plf zx—2 = Ay, yczK —
"7"м- Цепь x'l~r + уу расположенная в К—Я2» имеет звездную
Раницу zly и потому существует в К—Р2 звездная цепь х%~г такая,
Jo^xn~r + y—xfl~r ^О в К—Р2. Так получаемая звездная цепь
1 и является звездной аппроксимацией общей цепи хп~г.
докажем теперь, что определение (7) индекса пересечения
с ^аРиантно при фиксированном К относительно выбора аппрок-
п МиРующих цепей £j и х\~г. Рассмотрим замену £[ другой ап-
л^Ксимирующей цепью £j; переход от х%~г к х$~г делается ана-
Ично. Так как границы Д£1 и Д|£ гомологичны границе Д£г в

414 19- ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ
некоторой ее окрестности, то циклы ДЦ и A£j гомологичны ме*
собой в некоторой окрестности Д£г, ДЙ—Agf = Ат], где л^п^
из К у расположенная в окрестности цикла Д|г, малость котог^
зависит от малости симплексов комплекса К. Аналогично ока
вается, что цикл Ц—£г + Л гомологичен нулю в некоторой ок**
стности цепи |г, Ц—££ + т] = Д£, где £—цепь из /С, расположи
ная в окрестности цепи £г, малость которой определяется малость
симплексов комплекса /С. Ввиду того, что каждая из цепей 1Г цХп*
не пересекается с границей другой, и ввиду сказанного относи,
тельно расположения цепей т\ и £, мы видим, что ц не переел,
кается с xj~r, т. е. /(т), х?~г) = 0. Точно так же цепи £ и Д^-*
не пересекаются между собой, и потому /(£, Дл^~г) = 0. На осно.
ве этого мы имеем:
/(& х;-о-/(Й, *Г0 = /(Й-Й + л. *Г0 =
= /(ДС, *Г0 = (-1)г+1'(£, л*П=о.
Таким образом, инвариантность относительно выбора
аппроксимирующих цепей £1 и xjl~r доказана.
D) Если £г и х""г суть два цикла /г-мерного
ориентированного многообразия /С, то / (£г, л:п"г) является инвариантом
классов гомологии, к которым принадлежат циклы £г и хп~~г\ в
частности, если один из циклов гомологичен нулю, то индекс их
пересечения равен нулю.
Пусть il<x>|r и SJ—^ = Дт], тогда в силу (8),
/(К» я""1") —'№г, *"-г) —J(*4. лги-0 = (—1)г+1/(л,
A^""0доопределение 8. Пусть £г и хп~г~х—два непересекающихся
общих цикла из ориентированного л-мерного многообразия Я,
причем первый имеет размерность г и взят по полю
коэффициентов Г, а второй имеет размерность п—г—1 и взят по полю
коэффициентов G (см. В)). Предположим еще, что каждый из циклов
1Г и х11'1"1 гомологичен нулю в /С. Если хп~г~1 = Ду""г, то
коэффициент зацепления V(£r, х"'1"1) циклов %г и xn"r_1 определим,
положив
V(tr, л"-'"1) = /(?', у«-г). 0
Я"f
Оказывается, что он не зависит от случайного выбора цепи у •
Покажем это.
Пусть £г = Дт)г+1, тогда в силу (8) имеем:
V (1г, х"-'-1) = / (6', yn~r) = / (Длг+1, у""') =
=*(—1)'+1/(Лг+1, *""'''
В последний член этого равенства цепь #и~г уже не входит и л
тому V(£r, х"-г-1) от нее не зависит. ^
E) Сохраняя обозначения определения 8, предположим, *v
Н[ есть цикл, гомологичный циклу £г в пространстве, допоЛй

19. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ 415
к xn"r"1^ a *i~r_1 есть цикл, гомологичный циклу xn"r~1
теЛЬН°тоанстве, дополнительном к \г\ тогда оказывается, что
3 ПР К (61, ^"Г_1) = ^(6Г, *J-r"1) = V (£', х"-'"1). (10)
Пусть
5г_|г = Ag/-+if ^г-ы с- /f _x/i-r-ie в силу (8) и хл~/-1 =
-~Ы)'Х~Г имеем:
м«' =/(A^+1, yBr') = (-l)r+1/(£'+1, ^-г^) =
0.
Пусть 4"r~1—xw"r-1^A2«-r, z"-rc/C—£г, тогда *ГГ_1 =
- Д(</"~г + 2""~г)> и П0Т0МУ» в СИЛУ (9),
V(lr, 4'Г) = '(5Г, $Г"Г+*"-') = '(£'. Г"0 = ^(^ х"-'-1).
Этим предложение Е) полностью доказано.
§ 4. Теоремы двойственности
В настоящем параграфе дается формулировка и доказательство
общей теоремы двойственности (см. теорему 4) для подкомплекса
Р многообразия К. Теорема эта уже в своей формулировке
предполагает установленной теорему двойственности Пуанкаре—Веб-
лена (см. теорему 3). Теорема двойственности Александера и
теорема о снятии цикла являются прямыми следствиями общей
теоремы двойственности и помещены вслед за ней.
При доказательстве общей теоремы двойственности удобно, хотя
и не обязательно, пользоваться V-гомологиями. Ввиду этого в
начале параграфа я даю определение V-группы Бетти (см. А)).
Теорема 1 дает связь между V-группой Бетти и А-группой Бетти
одной и той же размерности комплекса /С; в то же время она
служит вспомогательным аппаратом для доказательства теоремы 4.
Теорема 2 дает связь между V-группой Бетти и Д-группой Бетти
Дополнительных размерностей для многообразия. Теоремы 1 и 2
вместе дают теоремы двойственности Пуанкаре—Веблена.
При помощи операции V (см. § 2, А)) мы можем построить
теорию V-гомологий аналогично тому, как это было сделано при
помощи операции Д (см. § 3, А)).
А) Пусть G—коммутативная группа, взятая в аддитивной
записи, относительно которой мы будем допускать две различные
°зможности: a) G дискретна и имеет не более счетного числа
Цементов; b) G—компактная топологическая и удовлетворяет вто-
рои аксиоме счетности. Пусть, далее, К — комплекс и Trc(i= 1, ...
•■•, аг) — совокупность всех его как-либо ориентированных г-мер-
1Х симплексов. Через LrG = LrG обозначим совокупность всех г-
Рных цепей из К по полю коэффициентов G, т. е. совокупность

416 19. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ
т
всех линейных форм вида
*- 2 giTrt (см. § 3, А)).
Если
а/ч-1
/=i (I)
то V-границу цепи х определим, положив:
а • * •
1= 1 /=1
(2)
Таким образом, мы имеем гомоморфное отображение v группы
L& в группу Lq+^Ядро этого гомоморфизма обозначим через"?
а образ группы LrG в группе L£?+1 при отображении V обозначим
через Я&+1. Легко проверяется, что Я£ с Z&, и потому возможно
определить фактор-группу В£? — ZG/HrGj которая называется г-мер.
ной V-группой Бетти комплекса К по полю коэффициентов G.
Цепи из Zq называются v-циклами, а цепи из HrG—V-Циклами,
V-гомологичными нулю. В случае, когда G удовлетворяет
условиям Ь), все полученные здесь группы также удовлетворяют им.
В дальнейшем, однако, мы будем рассматривать V-гомологии лишь
при G, удовлетворяющем условиям а).
Нижеследующая теорема дает связь между V-гомологиями я
Д-гомологиями одной размерности одного и того же комплекса К,
причем для построения V-гомологии используется дискретная
группа G, а для Д-гомологий используется компактная топологическая
группа Г; G и Г ортогональны (см. § 3 В)). Такая же теорема
имеет место и при перемене ролей групп G и Г, но это лишь в
случае конечного комплекса /С.
Теорема 1. Пусть К—комплекс, a G и Г—ортогональная
пара групп (см. § 3 В)). Через Lr, Zr, HrT обозначим группы,
введенные в А) § 3, а через Lfc, Zfe, HrG—группы, введенные в А
§ 4. Установим закон перемножения элемента £б^г с элементом
x£Lfc, положив Ье-(S, х) (см. § 3 С)). Оказывается, что тогда
группы Lr и LG образуют ортогональную пару (см. Т. Т. Г.,
определение 3). Оказывается, далее, что имеют место следуклДйе
соотношения для аннуляторов:
(L&, tfft=z&,
Из этих соотношений вытекают
соотношения:
(Г&, ZrT)=~Hra,
(If, #&)=ZJ.. <*
(см. Т. Т. Г., теоремы 2 я «)
(ZJ, Z&) = Н'т. <4)

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ 417
последних соотношений вытекает:
И* (%, 2ГТ) = Я&, (Zj, Z&) = Нгт, (5)
значит, что группы Br = Zf/#r и BrG = ZrG/HrG составляют
а ^ональную пару, т. е. каждая из них является группой ха-
*2еров-ДЛЯ другой (см .Т. Т. Г., теорема 5).
Р Показательство. Очевидно, что установленный выше закон
множения 1х = (1=>, х) непрерывен и дистрибутивен; покажем,
TjJG Lr) —0- Пусть хфО; тогда один из коэффициентов
лисиной формы х отличен от нуля. Пусть gk¥=0. В силу ортого-
1ьносги Си Г существует элемент у^Т такой, что ygk=£0, и
тогда (уТ£, x) = ygk¥=0- Таким образом, (Z&, Lr) = (0). Точно так
же доказывается и (Lf, LrG) = 0. Таким образом, группы LrG и
1Г в силу установленного закона перемножения, ортогональны.
'Пусть х6 Zb и ?€#г, т. е. \х = 0, Ъ = Аг\; тогда (I, х) =
ss^r)f х) = (п, V*) —0 (см. § 3, (4)), и, следовательно, ZrG a
<zUZ> #г)- Пусть x£LrG, но лне принадлежит Z&, т. е. v*=t^0.
В силу ортогональности групп L&+1 и Lr+1 существует тогда
элемент т]€^г+1 такой, что (tj, v*)#0. В силу (4) § 3 мы имеем:
при_? = Дл € Нт (£, *) = (Дт|. х) = (tj, V*) ^ 0, и потому (L&, Яг) =
= Д. Второе из соотношений (3) доказывается аналогично.
Соотношения (4) вытекают из соотношений (3) (см. Т. Т. Г.,
теоремы 2 и 4), а из них вытекают соотношения (5) и,
следовательно, ортогональность групп BrG и 5г. Таким образом, теорема 1
доказана.
В случае, когда К есть многообразие, нижеследующая теорема
дает другую связь между Y-гомологиями и А-гомологиями в К.
Теорема 2. Пусть К—л-мерное ориентированное
многообразие, 5£?-—г-мерная V-группа Бетти комплекса /С, и BG~r—(п—/•)-
мерная Д-группа Бетти комплекса К. Оказывается, что группы
BrG и BnG~r изоморфны. Более полно, пусть X£BrG их—некоторый
_. *
v-цикл из класса гомологии Х\ тогда х = В (х) (см. определение 6)
есть (п—г)-мерный звездный Д-цикл и принадлежит некоторому
классу гомологии X £ BG~r. Оказывается, что X определяется лишь
элементом Ху но не зависит от случайного выбора V-Цикла х g X,
так что можно положить Х = ф(Х). Отображение <р группы BrG на
группу Bg-r оказывается изоморфным. (В случае не
ориентируемого многообразия К теорема имеет место по модулю два, т. е.
при О циклической второго, порядка.)
в д?°цазательство- Пусть lb, Zfe, HrG—группы, введенные
А'; Через LnG-r обозначим группу всех (л—г)-мерных звездных
цепей из К по П0ЛЮ q Через ZnGr—подгруппу группы L^"r,
Л- С понтрягин, т. I

418 19- ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ
составленную из всех циклов, а через HG~r—подгруппу хъ
ZG~rf составленную из всех циклов, гомологичных нулю, g ^^
леммы § 2 (за Р следует принять пустой комплекс) группа Яч^
изоморфна группе ZnGrlHnGr. Пусть x£LGj тогда 5(лг) = д °
(п—г)-мерная звездная цепь по полю G, причем соотноще^
х = В (х) однозначно определяет х через х (см. определение а\
Таким образом, В есть изоморфное отображение группы £?*
группу Lg^j В силу соотношения (24) § 2 мы имеем В(2ч^
= Zn(Tr, BJ<HrG) = HrG'r, а из этого непосредственно вытекает, ^
ZblHb^Bb и ZnG-r/HnG-r = BnG-r изоморфны.
Таким образом, теорема 2 доказана.
Объединяя теоремы 1 и 2, мы получаем теорему двойственна
сти Пуанкаре—Веблена:
Теорема 3. Пусть К—я-мерное ориентированное многообра.
зие, a G и Г—ортогональная пара групп (см. § 3 В)). Через
Вт обозначим /--мерную группу Бетти многообразия К по полю Г
а через ££~г—(п—г)-мерную группу Бетти многообразия К по
полю G. Определим закон перемножения элемента Е £ Вг в
* * *
X£BG-r, положив ЕХ=?1(1, х) (см. определение 7), где £gB,
* *
х£Х (см. § 3 D)). Оказывается, что, в силу так определенного
закона умножения, группы Вт и BG~r образуют ортогональную
пару (см. Т. Т. Г., определение 3).
Доказательство. Пусть ?6Zr, x£ZG (см. теорему 1).
Через S обозначим тот класс А-гомологий, к которому
принадлежит £, а через X—тот класс V-гомологий, к которому
принадлежит х, таким образом, I^SgJSr, x£X£BG.
Положим EX = lx=(£, х). В силу соотношений (5) так
определенный закон перемножения элементов Е и Хне зависит от
случайного выбора % и х. Теорема 1 говорит нам, что в силу
этого закона перемножения группы В? и BrG ортогональны. Поло-
жим, далее, х = В(х) и обозначим через X тот класс гомологии,
* * * * V\ n
к которому принадлежит х, х £ X £BG~r. Мы имеем: X = ср(а) и
Ф есть изоморфное отображение группы BrG на группу BG~r (CM>
теорему 2). Далее имеем: ЕХ = 1(%, *) = (?, х) = ЕХ. Таким
образом, из ортогональности групп Вт и BGf при законе
перемножения, данном в теореме 1, следует ортогональность групп Вт й
BG~r при законе перемножения, данном в теореме 3.
Этим теорема 3 доказана.
В) Так как в дальнейшем нам придется одновременно
рассматривать различные комплексы, то, во избежание путаницы, у все*
групп, введенных в А) § 3 и в А) § 4, мы в качестве аргумент3

19. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ! ДВОЙСТВЕННОСТИ 419
писать соответствующий комплекс. Так, В? (К) будет обоз-
бУДе Гпуппу Бетти комплекса /С, а В?(Р)— группу Бетти комп-
н#*аГЪр ^Если Р есть подкомплекс комплекса К, то каждый цикл
ЛбКра есть цикл из К у циклы же, гомологичные между собой в Р,
и3 тогичны и в /С. Таким образом, если Sgfir (P), то сущест-
^ т такой Н£Вг {К), что ЗсЯ. Соответствие S -^ Я, очевидно,
В* ляется гомоморфным; его мы будем называть естественным го-
морфизмом группы Вт(Р) в группу В? (К). Аналогичного
явления нет для V-гомологий.
Нижеследующая теорема дает общий закон двойственности для
комплекса, расположенного в ориентируемом многообразии. Для
неориентируемого многообразия она имеет место по модулю два.
Теорема 4. Пусть К—л-мерное ориентированное
многообразие, Р—подкомплекс комплекса /С, a G и Г—ортогональная
пара групп (см. § 3, В)). В силу включения Ра К, имеется
естественное гомоморфное отображение (см. А)) группы Вгг (Р) в
группу В г {К), ядро этого гомоморфизма обозначим через Лг(Р), а
образ группы Вт(Р) в группе В? (К)—через Cf (Я). Аналогично,
в силу включения К—Per/С; имеется естественный гомоморфизм
группы BSG(K—Р) в группу BSG(K)\ ядро этого гомоморфизма
обозначим через ASG(K—Я), а образ группы BSG(K—Р) в группе
BSG(K)—через CSG(K—Р). Тогда имеют место следующие
соотношения:
1) Согласно теореме 3, группы Вт (К) и ВЪ~Г-(К) составляют
ортогональную пару; оказывается, что в силу этого закона
перемножения подгруппы Сг{Р)аВгт(К) и С£~г(/С—P)c:£?fr(/Q
являются взаимными аннуляторами (см. Т.Т.Г., определение 3), т. е.
(ВЪ-Г{К), Сгг(Р))=СЬ-г(К-Р),
(Вгг(К), CS-r(/C-P))=Cf(/>). (б)
2) Пусть Е£Аг(Р) и U£ А^-ЦК—Р). Определим закон пе-
ремножения элементов Зи(/, положив 3(7 — V (£, и), где ё£3,
U€U (см. определение 8 и § 3, Е)). Оказывается, что в силу так
Установленного закона перемножения группы Л£ (Р) и А^"1 (К—Р)
составляют ортогональную пару.
(Для неориентируемого многообразия К теорема эта имеет ме-
Сто по модулю два, т. е. в предположении, что группы G и Г
сУть циклические второго порядка.)
Доказательство. Если х—произвольная цепь из /С, то
°На однозначно разлагается в сумму:
х=гх' + *\ (7)

420 1^- ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ
где х' есть линейная форма симплексов, принадлежащих Р
есть линейная форма симплексов, не принадлежащих Р. а **
Если у—произвольная цепь из Я, то, в силу (7), цеПь »,
вычисленная в /С, распадается в сумму: "*•
(v*/)' = V/>*/, (vy)*=vy; чу=чРу + чу. ^
Здесь \ру есть V-граница цепи у, вычисленная вР, а Дг/ деп
не имеющая симплексов из Р. »
Если л:—некоторая цепь из /С, то звездная цепь В(х) тога*
и только тогда не пересекается с Р, когда х' = 0, т. е. когда х
составлена из симплексов, не принадлежащих Р (см. § 2, щ
Таким образом,
В (х) с К—Р эквивалентно х' = 0. т\
Перейдем теперь к доказательству утверждения 1) теоремы 4.
Будем доказывать лишь первое из соотношений (6); второе выте!
кает из первого на основании чисто алгебраических соображений
(см. Т.Т.Г., теорема 4).
Пусть SgCr(P), X£CnG-r(K—P). Это значит, что в классе
гомологии S имеется цикл Е, принадлежащий Р, а в классе го-
мологий X имеется цикл х, принадлежащий К—Р\ таким обра-
зом, ВХ = /(Е, х) = 0, а это значит, что
Сп<гг{К-Р)с:(ВЪ-г{К), СГТ{Р)). (10)
Пусть теперь Х^(Во~г(К), Ст(Р))\ это значит, что при про-
извольном HgCr(P) мы имеем SX = 0. Если теперь ££2, х£л,
то последнее соотношение дает /(Е, х) = 0.
Так как S — произвольный элемент из Сг(Р), то в последнем
соотношении Е можно считать произвольным циклом из Р, т. е.
мы имеем:
/(Е, х) = 0 при l£Zl>(P). (»)
В силу леммы § 2 мы можем считать, что х есть звездный
цикл, и потому лг = 5(х), где х—цепь из /С. Соотношение
о»
дает нам:
/ (|, х) = (Е, х) = (Е, У + х") = (Е, *') = 0. (I2)
Так как соотношение это выполнено при произвольном Е€^гИ '•
мы на основании формулы (4) заключаем, что x'^HrG{P), т- е*
х' = \ру, y^LrG~1(P). Рассмотрим теперь цепь х—уу. Мы имеем-
(х— \у)'=:х'—V/>t/ = 0,

19. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ 421
значит (см. 9)), что B(x—\y) — z не пересекается с Р. Да-
3 имеем: *=**—(— 1)г ДВ(у) (см. § 2, 24)), а это значит, что
"# • о /С и потому zgX. Таким образом, в X нашелся цикл
• принадлежащий /С—Р, т. е. X^CnG'r(K—P).
*• Этим утверждение 1) теоремы 4 доказано.
Перейдем к доказательству утверждения 2) теоремы 4.
Пусть О Ф S £ ^г (Р); покажем, что существует £/ £ Л^-'"1 (К—Р)
акой, что ЕЦфО. Для этого достаточно показать, что если
IfSy то существует в /С—Р цикл ы такой, что и~0 в /(и
Так как 2=^0, то l£ZT(P), но £_не входит в НГТ(Р). В силу
соотношения (5) существует тогда х g ZrG (Р) такой, что (S, х) Ф 0
(см. (5)). Так как xgZ<3(P), то V/>x = 0, и потому ы =
==(-1)^1В(^х) = ДВ(л:) = Лл:с=А'—Р, х = В(х) (см. § 2, 24)).
# *
С другой стороны, из (£, х)ф0 вытекает V(l, u) = I(l,x) =
- (|э *) =#= 0. Из доказанного следует, что
(АГТ(Р), Л^"1(/С-Р)) = (0). (13)
Остается показать (см. Т.Т.Г., определение 3), что
(АЪ?-ЧК-Р), Агг(Р)) = (0). (14)
*
Пусть U—такой элемент из Ап0~г~г(К—Р), что при всяком
Е^Лг(Р) мы имеем 3(7 = 0; покажем, что тогда (7 = 0, из этого
будет вытекать (14).
п * *
Пусть ы—некоторый цикл из U; в силу леммы § 2 мы можем
«
считать, что и есть звездный цикл, не пересекающийся с Р. Так
как V£А'о~г-1(К—Р), то и~0 в /С, и потому существует звезд-
* * *
ная цепь и такая, что ы = Ди.
Пусть u=J5(u), тогда соотношение а(£) = (£, и), ££Zr(P),
определяет характер а группы Zr(P). Выделим в группе Zp(P) под-
гРУппу /Cf (P), составленную из тех циклов, которые гомологичны
нУлю в /(. При g€#r(^) мы имеем: а (£) = (£, и) = / (S, и) =
*"* * (s, а) = 2£/ = 0, a это значит, что характер а обращается в
йУль на подгруппе Кг (Р), и потому он определен на фактор-
РУппе Zr(P)lKr(P)- Эта последняя, очевидно, совпадает с груп-
°й Cf (P). Таким образом, характер а задан на подгруппе Cf(P)

1
19. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ
группы By (К) и потому может быть распространен на всю m
пу Вт (К) (см. Т.Т.Г.). Существует, следовательно, элемент &
€£g~r(/C) такой, что a(E) — EW при произвольном З^дО
(см. теорему 3). Если w—некоторый звездный цикл из W, То
лученное соотношение дает: / (£, и) = а (£) = I (£, w) при произво
* # # » ■ль»
ном l£Zr(P). Таким образом, при х = и — w, x = B(x) ИМе^
Ах—и и
(£, *) = /(£, *)=*0; (15)
здесь | есть произвольный элемент из Zf (P)-
Дальнейшие рассуждения аналогичны проводившимся при д0.
казательстве утверждения 1). Из (15) имеем:
(Б. *) = (£. *'+ **) = (£, х') = 0.
В силу (4) из последнего заключаем, что х'£Нг(Р) и потому
х' = Vpf/, # € ^g"1 (^)- Далее имеем:
z — x—vy и г' = х'—V/>y = 0,
«
а это значит, что z — B(z) не пересекается с Р. Далее имеем:-
« « * * •
z = x—(—\)гАВ(у) и, следовательно, Az = Ax^u.
Таким образом, утверждение 2) доказано.
В частном случае, когда К гомеоморфно л-мерной сфере, или
более обще, когда К имеет те же группы гомологии, что я-мер-
ная сфера, мы получаем из теоремы 4 предложение, известное
как закон двойственности Александера.
Теорема двойственности Александера. Пусть /С —
n-мерное пространство Пуанкаре, т. е. многообразие с теми же
группами гомологии, что л-мерная сфера, Р—подкомплекс
комплекса К, a G и Г—ортогональная пара групп (см. § 3, В)). Ой-
ределим закон перемножения элементов Ъ£Вг(Р) и У€
£ВЪ-г-г(К—Р), положив BU = V(l, а), где ggS, u£U
(см.определение 8). Оказывается, что в силу этого закона
перемножения группы Вг(Р) и BtG~r~1(K—Р) образуют ортогональную
пару, т. е. каждая является группой характеров для другой. (Под
нульмерными группами Бетти комплекса Р и области К—Р зд^
следует понимать группы В? (Р) и Во (К—Р) (см. § 3, А)).
Доказательство. Теорема эта является прямым
следствием теоремы 4.
Нижеследующее предложение, известное как теорема о снятий
цикла, эквивалентно утверждению 1) теоремы 4.

g ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ 423
оема о снятии цикла. Пусть К—л-мерное ориенти-
^е^Г многообразие, Р — подкомплекс комплекса /С, a G и Г —
™ нальная пара групп (см. § 3, В)). Пусть, далее, х—такой
0ртого - полю коэффициентов G, что, каков бы ни был
никл й3 »
р из Р по полю коэффициентов Г, имеем /(£, л;) = 0. Ока-
ется что существует тогда в л—Р цикл z, гомологичный х.
зь*ва неориентируемого /С теорема эта верна по модулю два.
для г л #
Доказательство. Класс гомологии X, содержащий цикл ху
очевидно, принадлежит (В?гг(К), СГТ(Р)) (см. теорему 4), а по-
ому, в силУ те0Ремы 4» входит в Сп(Гг(К—Р), последнее же
означает, что в X имеется цикл г, принадлежащий К—Р.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
mi Poincare, «Analysis Situs», Journ. Ее. Pol. (1895).
2] Veblen, Trans. Amer. Mathem. Soc. 25, 540 (1923).
3! Alexander, A Proof and Extention of the Jordan—Brouwer Theorem
Trans. Amer. Mathem. Soc. 23, 333—349 (1922).
[4] Pontrjagin, Zum Alexanderschen Dualitatssatz, Gott. Nachr. Math.-
Phys. Kl. (25 November 1927).
[5] Alexandroff, Gott. Nachr. Math. Phys. Kl. (25 November 1927).
[6J Frank 1, Wien..Ber., Dez. (1927), 689.
[7] Pontrjagin, Uber den algebraischen. Inhalt topologischer Dualitatssatze.
Math. Ann., 105 (1931).
[8] Pontrjagin, The General Topological Theorem of Duality for Closed
Sets, Ann. of Math. 35 (1934).
Русский перевод этой работы публикуется в настоящем выпуске сборника
«Успехи математических наук».
[9] Pontrjagin, The Theory of Topological Commutative groups, Ann. of
Math. 35 (1934).
Русский перевод этой работы опубликован во 2-м выпуске (старая серия)
журнала «Успехи математических наук», стр. 177. Цитируется как Т.Т.Г.
[Ю] К олмогоров, Uber die Dualitat in Aufbau der Kombinatorischen To-
pologie, Матем. сборн. I (1936).
[U] Alexander, On the Connectivity Ring of an Abstract Space, Ann. of
Math. 37 (1936).
Русский перевод этой работы опубликован в «УМН». том II, вып. 1 (17).
[12] Александров, О гомологических свойствах расположения комплексов
. и замкнутых множеств. Известия АН СССР, серия математическая, т. 6 (1942).
113] Зейферт и Трельфалль, Топология, Москва—Ленинград (1938).

20
НЕКОТОРЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ
ЗАМКНУТЫХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ*)
В моей работе [2] введено понятие характеристического цикла дифферент
цируемого многообразия. В предлагаемой работе полученные там результаты
переведены на язык дифференциальных форм: из риманова тензора рассматов-
ваемого многообразия строятся «характеристические» дифференциальные <W
мы, являющиеся топологическими инвариантами многообразия.
Введение
В настоящей работе дается полное изложение результатов,
ранее опубликованных мною в Докладах Ак. Наук СССР [1]'
Работа имеет своей целью, в той мере, в какой это возможно,
перевести на язык дифференциальных форм содержание моей
работы [2]; при этом я стараюсь продвинуться как можно дальше,
не опираясь на работу [2], так что первые три параграфа можно
читать, не зная работы [2]. В § 1 дается осуществленное В. А.
Рохлиным в согласии с моими пожеланиями обзорное изложение
тензорной теории гомологии; оно помещено здесь с тем, чтобы
сделать чтение настоящей работы более удобным.
В геометрии существенную роль играет метод сферического
изображения, сущность которого заключается в следующем:
Пусть Mk—расположенное в (k+ 1)-мерном эвклидовом
пространстве Rk+1 дифференцируемое ориентированное многообразие
размерности k с непрерывно вращающейся касательной. В точке
х£Мк проведем единичную нормаль Nx к Mk, направление
которой выбрано в согласии с ориентацией многообразия Мк.
Нормаль Nx перенесем параллельно в Ri+1 так, чтобы начало ее
попало в фиксированную точку О пространства /?*+1; тогда конец
нормали попадает в точку N (х) единичной сферы Sk с центром в 0.
Таким образом, мы получаем сферическое изображение N
многообразия Мк, ставящее каждой точке х£Мк в соответствие точку
N (х) 6 SK
Изучение сферического изображения N приводит к обнару*е"
нию некоторых инвариантов многообразия Мк—как дифферей"
циально-геометрических, так и топологических.
Если обозначить через dV бесконечно малый объем в точке
многообразия Мк, а через N (dV)—соответствующий бесконечя
*)Изв. АН СССР. Сер. мат.—1949.--т. 13, № 2.—С. 125—162.

20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ 425
а объем в Sk, то отношение L =*К(х) представляет собой
щалыи ^ av
ну многообразия Мк в точке х, зависящую лишь от внут-
КРИВ й метрики Мк, а не от его расположения в Rk+1. Интеграл
РенН иИ к (л:) по замкнутому многообразию Мк в случае четного k
ФУН ывается топологическим инвариантом многообразия Mk\ ин-
гоал этот равен ЩХ1(Мк)у где Х1(Мк)—эйлерова характери-
ика многообразия Мк, a ak представляет собой ^-мерный объем
«Ьеры Sk [3].
В предлагаемой работе строится аналог сферического
изображения для того случая, когда многообразие Мк расположено в
евклидовом пространстве Rk+l произвольной размерности, и
отыскиваются некоторые дифференциально-геометрические инварианты
многообразия Мк, которые в известном смысле оказываются и
топологическими. Все построение опирается на тензорную теорию
гомологии, суть которой заключается в следующем:
Пусть М—дифференцируемое замкнутое ориентированное
многообразие и F =* {Fat.. ,аг)—заданное на нем кососимметрическое
ковариантное тензорное поле порядка г. Говорят, что поле F
замкнуто, если внешняя (альтернированная) производная его
равна нулю. Замкнутое поле F называют гомологичным
нулю, если оно равно внешней производной другого кососим-
метрического поля, заданного на М. Два замкнутых поля
называются гомологичными между собой, если разность их
гомологична нулю. Классы гомологичных между собой замкнутых
полей порядка г образуют линейное пространство размерности /?%
где рг есть /--мерное число Бетти многообразия М. Факт этот
установлен де Рамом [4], в работе которого можно найти
подробное изложение всех относящихся сюда результатов.
Если М есть однородное многообразие, т. е. если задана
компактная транзитивная группа Ли Ф дифференцируемых
преобразований многообразия УИ, то естественно возникает понятие
инвариантного относительно группы Ф поля. Картаном [5] доказана
следующая основная теорема:
Для каждого замкнутого поля существует гомологичное ему
инвариантное замкнутое поле. Если инвариантное замкнутое
п°ле гомологично нулю, то оно является внешней производной
некоторого инвариантного поля.
Теорема эта позволяет при изучении гомологии в однородном
многообразии М ограничиться рассмотрением лишь инвариантных
полей. Так как инвариантное поле задается своим значением в
°ДНой точке р£М, то дело приводится к изучению постоянных
ензоров, заданных в этой точке /?.
Основной ход предлагаемого исследования таков:
j. Пусть Rk+l—эвклидово пространство размерности k + l. Через
(К I) обозначим многообразие всех ^-мерных ориентированных

426 20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ
плоскостей пространства Rk+l> проходящих через фиксировав
точку О. Через Ф обозначим группу всех вращений простран**^0
Rk+l вокруг точки О. В применении к многообразию #(fe,/Jrn***
па Ф, очевидно, транзитивна, и H(k, l) становится, таким o6paSn%
однородным многообразием. м»
В § 2 предлагаемой работы находятся все замкнутые инвап
антные поля на однородном многообразии Н (k, /) порядков
превосходящих числа fe, в предположении, что l^k + l. ' йе
Пусть Мк—ориентированное дифференцируемое многообрази
в евклидовом пространстве Rk+l. Через Тх обозначим ориентир
ванную fe-мерную касательную плоскость к Мк в точке х, а че&еэ
Т(х)—ориентированную ^-мерную плоскость, проходящую через 0
и параллельную Тх. Тогда Т (х)£Н (&,/), и мы имеем
непрерывное отображение Т многообразия Мк в многообразие Н (ft, /). о^
бражение Т я называю тангенциальным отображением
многообразия Мк; оно играет роль сферического изображения
причем многообразие Н (fe, I) заменяет сферу. Отображению Т
соответствует сопряженное отображение 71*, ставящее в соответствие
каждому полю F, заданному на Н (&, /), поле T*F, заданное на М*.
В § 3 предлагаемой работы вычисляются все поля на Мк, со-
ответствующие инвариантным замкнутым полям на многообразии
H(kyl). Оказывается, что все эти поля выражаются через риманов
тензор многообразия Мк. Я называю их характеристическими
полями риманова многообразия Мк.
Если F—характеристическое поле порядка г риманова
многообразия Мк> а уг—произвольный цикл размерности г в Мк, то
интеграл поля F по циклу уг является инвариантом класса
гомологии поля F и класса гомологии цикла уг, кроме того, он не
зависит от римановой метрики многообразия Мк. В частности, цри
четном k интеграл одного из характеристических полей порядка ft,
взятый по самому многообразию Мг, равен у Х1(Мк), гдеХ^М*)—
эйлерова характеристика многообразия Мку a ak—fe-мерный объем
k-мерной единичной сферы. Результат этот устанавливается в § 4
настоящей работы; он не нов и уже неоднократно доказывался
[см., например, [6]].
В § 4 и 5 дается связь между характеристическими полями и
характеристическими циклами многообразия Мк. Здесь в полной
мере используются результаты моей работы [2].
§ 1. Тензорная теория гомологии на многообразии
Настоящий параграф носит вводный характер. В нем дается
обзор основных понятий и результатов тензорной теории
гомологии в форме, удобной для использования в дальнейших парагра*
фах. Полное изложение вопроса можно найти в работах де РаМ
[4] и Картана [5].

20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ 427
а\ доноголинейные формы. Пусть Rk—действительное
оное пространство размерности k. Действительная числовая
#кт°Р р(и) вектора u£Rk называется линейной формой,
W* тгля любых двух векторов и, v£Rk и любого действитель-
й0го числа А
F(« + ^) = FM + FW; F(ku) = XF(u). (1)
Функция f ("i, • • •. иг) нескольких векторов щ € Rk (i = 1, ..., г),
нейная относительно каждого из них, называется много
лилейной формой.-
Многолинейная форма F(ulf...,ur) называется косое и м-
метрической, если она меняет знак при перестановке любой
пары своих аргументов. Очевидно, такая форма остается
инвариантной при любой четной подстановке своих аргументов и меняет
знак при любой нечетной подстановке их: если ст—произвольная
подстановка чисел 1, ..., г и sign a—знак этой подстановки
(т. е.+ для четной и—для нечетной подстановки), то
F(ua{1), ..., иа (г)) = signoF (u19 ...f ur). (2)
Кососимметрическая многолинейная форма обращается в нуль для
всякой линейно зависимой системы значений своих аргументов.
В частности, всякая кососимметрическая форма более чем k
аргументов тождественно равна нулю.
Каждой многолинейной форме F естественно отвечает вполне
определенная кососимметрическая форма [F] тех же аргументов;
операция, с помощью которой форма [F] получается из формы F,
называется альтернацией и заключается в том, что над
аргументами формы F производятся всевозможные подстановки и затем
составляется среднее арифметическое всех возникающих таким
образом форм, причем формы, получающиеся в результате
нечетных подстановок, предварительно умножаются на —1:
[F]{ul9 ..., wr) = 7] £ sign of (uodh •••. uo(r))> (3)
a
Если
F(u19 ..., ur) и G(vlt ...,vs)
~~~Две многолинейные формы, то их произведение
Н (ии ..., ип vlf ...,vs) = F (ulf ..., ur) G (vlf ...,v8) (4)
^ь также многолинейная форма. Предполагая формы F и G ко-
j-осимметрическими, мы определяем ихвнешнеепроизведение
ак форму [#], получающуюся из формы (4) альтернацией. Это
гпРеделение переносится на случай любого конечного числа
сочинителей. Внешнее умножение ассоциативно и дистрибутивна
н°сительно линейных операций над формами.

428 20- ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ
В) Тензоры. Если выбрать в пространстве Rk какой-наб*
базис ЭДь
то каждый вектор u£Rk представится через свои компоненты»
и = 2 и вау (6)
и для всякой многолинейной формы F (и19 ..., иг) мы будем иметь
к
F (Ulf ..., Ur)= 2 Fau ...»*г"*1 • • • "?г, (7\
at, ..., а/-=1 х '
где
При заданном базисе (5) числа (8) однозначно определяются фор.
мой (7) и, в свою очередь, однозначно ее определяют.
Многолинейная форма, представленная своими коэффициентами
называется тензоров. Коэффициенты (8) формы (7) называются
компонентами соответствующего тензора относительно базиса
(5), число г аргументов формы называется порядком тензора.
При переходе от базиса (5) к новому базису
£i> • • •> &k (5)
компоненты преобразуются по тензорному закону:
k
1 r at....,ar=l r
где \а%.\ есть матрица перехода от базиса (5) к базису (5').
Кососимметрической форме отвечает кососимметрический
тензор. Условие кососимметричности тензора состоит в том, что
для любой подстановки <У
F*o (i)-«a(r) = siSn «rf7*...*,- (9)
В частности, кососимметрический тензор Fai...a порядка k имеет
только одну существенную компоненту Flt„k: любая его
компонента Fai...ak равна либо 0 (если среди индексов ^...а* имеются
равные), nu6o + Fltk (если последовательность alf ..., ak
получается из последовательности 1, ..., k четной подстановкой)»
либо—Fluumk (если последовательность alf ...fak получается из
последовательности 1, ...,& нечетной подстановкой). Самаяфор^а
имеет вид
F(uu ...,uJ = Flu„h\uf\.
Альтернации форм отвечает альтернация тензора, вне^
нему произведению кососимметрических форм—внешнее пр

20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ 429
едение кососимметрических тензоров. Тензор
**зВ л получаемый из тензора Fat...ar альтернацией, определи-
%& формулой ^
Fla,...arl = -pi2^5igflaFaa(1)..Malr), (Ю)
а внешнее произведение Hai...arb...fis тензоров Fat...ar и G^...^ —
формулой
С) Дифференцируемые многообразия. Каса-
теЛЬные векторные простр анства. Пусть Мк—^-мерное
топологическое многообразие, т. е. топологическое пространство,
каждая точка которого обладает окрестностью, гомеоморфной
области fe-мерного евклидова пространства Ек. Только такие
окрестности мы и будем в дальнейшем рассматривать. Если в Ек
введена определенная декартова система координат, то
установление определенного гомеоморфизма между областью пространства
Е* и окрестностью UkczMk равносильно введению в Uk
определенной системы координат £\ ..., \к. При этом две
различные системы координат £*, ..., \к и т]1, ..., цк в Uk всегда
связаны взаимно однозначным и взаимно непрерывным
преобразованием:
Ч^Ч^б1, --..б*) (Р=1. .... *)• (12)
Возьмем произвольное, но раз навсегда определенное
натуральное число т и предположим, что функции (12) не просто
непрерывны, но всюду в Uk m раз непрерывно дифференцируемы
и обладают отличным от нуля якобианом ^^
ловии мы относим системы координат Б1, ..., |;
одномуи тому же к л ас с у. Очевидно, различные классы не
пересекаются, и каждый класс вполне определяется любой
принадлежащей к нему системой координат. Если среди веб* этих классов
отмечен один определенный, то окрестность Uk называется траз
непрерывно дифференцируемой. В силу этого
определения, две т раз непрерывно дифференцируемые окрестности Uk
и Vk всегда индуцируют в своей общей части два класса систем
координат; если эти классы совпадают, то мы говорим, что
окрестности Uk и Vk дифференцируемы согласованно. Если все
окрестности в многообразии Мк траз непрерывно дифференцируемы,
и притом попарно согласованно, то многообразие Мк называется
m P а з непрерывно дифференцируемым.
В дальнейшем мы вместо «т раз непрерывно
дифференцируемое многообразие» будем говорить просто «д и ф-
(Реренцируемое многообразие». При этом мы всегда будем
предполагать, что число т достаточно велико для наших целей.
При этом ус-
и tj1, ..., х\к к

^
430 20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ
Пусть а—некоторая точка дифференцируемого многообразия Ас
Всякая система координат, определенная в некоторой окрест^ '
ти Uka точки а и принадлежащая к отмеченному классу, называв
локальной системой координат в точке а. Вектор
на многообразии Мк в точке а называется функция, ^^
сящая каждой локальной системе координат в точке а сист^цлЛ
действительных чисел—компонент вектора относительно этой си
темы координат—таким образом, что компоненты и\ ...,ц*с"
и1, ..., vk одного и того же вектора относительно двух локаж*
ных систем координат р, ..., 5* и rj1, ..., х\к всегда связаны
соотношением
к
иэ=2 <4"а (P=i, -•••*)• (13)
а=1
где |а&| есть вычисленная в точке а якобиева матрица преобра.
зования (12), связывающего системы Б1, ..., \к и tj1, ..., r\k:
Так как при последовательном выполнении двух преобразований
координат соответствующие якобиевы матрицы перемножаются, то
это условие непротиворечиво, и вектор однозначно определяется
своими компонентами относительно любой локальной системы
координат. Определяя линейные операции над векторами как
операции над их компонентами, что, очевидно, также
непротиворечиво, мы превратим множество векторов в точке а в 6-мерное
векторное пространство Rka, которое называется касательным к
дифференцируемому многообразию Мк в точке а. Каждой
локальной системе координат в точке а отвечает, очевидно,
определенный базис в касательном пространстве, относительно которого все
векторы имеют те же компоненты, как и относительно этой
локальной системы координат.
Д) Тензорное поле на многообразии. Пусть М* —
дифференцируемое многообразие и Rkx—векторное пространство,
касательное к Мк в точке х£Мк. Говорят, что на Мк задана
многолинейная форма F, если в каждом пространстве Rkx
определена некоторая многолинейная форма Fx(u19...,uA (ux^Rx*
\х х J х
i = 1, ..., г). Переходя в каждой точке х от формы Fx(u19 . • •» иг)
\х х '
к соответствующему тензору, мы получим тензорное поле
на Мк. В окрестности каждой точки а£Мк, после того как там
выбрана определенная локальная система координат (и,
следовательно, в пространствах RXi касательных к Мк в точках
окрестности, выбраны определенные базисы), это поле представляется
системой своих компонент Fai...ar (£х> • • •» £*)> т- е- системой
числовых функций от числовых аргументов. Если эти функции неко-

2(К ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ 431
число раз (непрерывно) дифференцируемы, то тем же свой-
^^будут обладать и компоненты нашего тензорного поля отно-
&0^ но всякой другой локальной системы координат; таким
сйТеЛом можно говорить о (п-кратной, непрерывной) дифферен-
^^емости самого поля и, тем самым, о дифференцируемости
^^ветствующей формы F. В дальнейшем мы всегда будем пред-
^^агать, что все рассматриваемые тензорные поля достаточное
П°с*ю раз непрерывно дифференцируемы.
qIi E) Внешняя производная кососимметр ического
о л я. Определить дифференцируемость—еще не значит опреде-
п ' производную. Обычные частные производные компонент поля
dF (t1 t*)
Varat..ar— §|£ » \iD)
вычисленные в определенной системе координат Б1, ..., £*, сами
по себе не имеют тензорного характера. Мы определим
производную—так называемую внешнюю производную—только
для кососимметр ического поля. Именно, внешняя производная
кососимметр ического поля Fat...ar порядка г есть кососимметри-
ческое поле Faat...ar порядка г+1, определенное в каждой
локальной системе координат формулой
*aai...ar ~ ^a* ai0t2...ar Can aa2...ar 0a2*fata2...ar • • • ^ar* a,a2...a=
= (г+1)д[а/7а1...аг]. (16)
Благодаря произведенной здесь альтернации, это определение
оказывается непротиворечивым, т. е. приводит во всех локальных
системах координат к одной и той же кососимметрической
многолинейной форме F'—внешней производной кососимметрической
формы F.
^Отображения дифференцируемых
многообразий. Пусть Mk и N1—два дифференцируемых многообразия, и
^■—отображение первого из них во второе. Выберем в точке а £ Mk
некоторую локальную систему координат £*, ...,£* и в точке
* = Ф(я) £ N1—некоторую локальную систему координат т]1, ..., \\1\
тогда в окрестности точки а отображение <р представится в виде
т,3 = т№, ..., Е*) (р=»1, ...,/)• (17)
^сли функции (17) некоторое число раз (непрерывно)
дифференцируемы, то столько же раз они будут (непрерывно)
дифференцируемы и при всяком другом выборе локальных систем коорди-
Нат; таким образом, можно говорить о (л-кратной, непрерывной)
Дифференцируемости самого отображения ср. В дальнейшем,
говоря о дифференцируемых отображениях, мы всегда будем
предполагать, что они достаточное число раз непрерывно
дифференцируемы.

432 20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ
Всякое дифференцируемое отображение ф дифференцирп*
многообразия Mk в дифференцируемое многообразие N1 ин^*0*0
рует в каждой точке a £ Mk определенное линейное отобра^и%
Фд векторного пространства1 /?£, касательного к многообра
Mk в точке а, в векторное пространство Rba, касательное кми°
гообразию N1 в точке Ь = <р(а). Именно, если локальные сис^!
координат, выбранные в точках а и Ь, суть соответственно I*11*
..., %к и т)1, ..., ц1, то вектору и £ Rka с компонентами иа (а = 19 и / ' :*
относительно системы координат I1, ..., Е* отвечает вектор и ср!
с компонентами
k
^£^"а ср—i о
a=i
относительно системы координат т^1, ..., i\l. Нетрудно видеть, что
это определение непротиворечиво, т. е. при любом выборе локальных
систем координат приводит к одному и тому же отображению <р
Всякому дифференцируемому отображению ф дифференцируй*
мого многообразия Mk в дифференцируемое многообразие N1
отвечает определенное сопряженное с ним отображениеф*,
относящее каждой многолинейной форме (каждому тензорному
полю) на N1 некоторую многолинейную форму (некоторое тензор*
ное поле) на Mk. Именно, форме Fy fvu ..., vr\ на Nl оно отно-
\У У )
сит форму G = tp*F9 определяемую соотношением:
Gx (хи " '' *Г) = Fq>iX) (ФлГ (х1) ' " ' "' Ф* (хГ) } ' ^
Нетрудно убедиться в том, что ф* переводит кососимметрическую
форму в кососимметрическую, дифференцируемую форму—в
дифференцируемую, и что
(Ф*Р)' = Ф*\Р'. (20)
G) Дифференцируемые цепи. Прежде чем идти дальше,
мы должны несколько специализировать для случая
дифференцируемых многообразий определения обычных объектов теории
гомологии—ориентированных особых симплексов и построенных из
них цепей и циклов. Обычный особый r-мерный симплекс в Л
есть класс аффинно-эквивалентных непрерывных отображений
прямолинейных r-мерных симплексов в Mk. Если заменить в это»
формулировке условие непрерывности условием дифферент
р у ем ост и, то получится определение особого дифферент*
р у е м о г о /--мерного симплекса в Mk.
Мы будем рассматривать только такие особые дифференцируй
мые симплексы, которые целиком лежат в одной окрестности, ял*'
как мы будем говорить, покрываются одной системой коордий**-
Как и обычный особый симплекс, особый дифференцируем**;
симплекс всегда имеет ровно две ориентации. Чтобы фиксиров*1

20- ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ 433
них, мы выбираем в каждом прямолинейном симплексе—
оДЭУАзе из двух ориентирующих классов аффинных систем
копр00*^ одИН определенный и пользуемся только системами этого
орДиН 0з ориентированных особых дифференцируемых симплек-
кЛаС°обычным способом строятся цепи; они также называются
c<# , eренцируемыми. Естественным образом определяемая
Д ница дифференцируемой цепи есть также дифференцируемая
^ Вместе с границей оказываются определенными циклы и
^мологии. Так как для всякого цикла существует гомологичный
v дифференцируемый цикл и всякий дифференцируемый цикл,
6 мологичный нулю в обычном смысле, является границей некото-
Т°ого дифференцируемого цикла, то группы Бетти, построенные с
помощью дифференцируемых циклов, совпадают с обычными
группами Бетти.
Н)Интеграл кососимметрического поля порядка
гпо r-мерной цепи. Пусть Fai...ar—заданное на Mk кососим-
метрическое тензорное поле порядка г и тг—ориентированный
особый дифференцируемый r-мерный симплекс в М*. После выбора
покрывающей тг системы координат I1, ..., Ъ* всякое
определяющее тг отображение ф представится в виде
&*=№, .... л') («=1 *). (21)
где т]1, ..., iir—аффинные координаты в ориентированном
прямолинейном симплексе Тгу который ф отображает в Мк. Рассмотрим
единственную существенную компоненту F1 ...г определенного на
Тг кососимметрического поля
Непосредственная проверка показывает, что интеграл
$F;...r*|i...*|' (22)
не зависит от выбора систем координат I1, ..., \к и т)1, ..., r\rf
т- е. вполне определяется полем Fai...ar и ориентированным особым
Дифференцируемым симплексом тг; он называется интегралом
к°сосимметр ического поля Fat...ar (или соответствующей
многолинейной формы F) по симплексу %г. По линейному
закону это определение сейчас же распространяется на любую
дифференцируемую /--мерную цепь и, в частности, на любой диффе-
Ренцируемый /--мерный цикл. Для интеграла поля Fat...ar (формы F}
0 Цепи уг мы употребляем обозначение
$
,г
F. (23)
ДйААр ^отя сопряженное отображение было определено в пункте F) только для
Мо* енциРУемого от°бражения многообразия в многообразие, оно без труда
Жет быть определено и для отображения замкнутого симплекса в многообразие►

434 20- ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ
Интегрирование позволяет установить важное соотнош
между операцией внешнего дифференцирования и операцией деНи*
тия границы: для всякого кососимметрического поля Fa я%
рядка г и всякой (r-f 1)-мерной цепи '"' r ^
J /7'__ ) р
vr+1 дуг+1 * Щ
I)-Тензорная теория гомологии. Из формулы Пс\
следует, что вторая внешняя производная всякого кососиммещи
ческого тензорного поля тождественно равна нулю. Этого прея*
ложения, соответствующего теореме «граница границы равна nyjuji
обычной теории гомологии, оказывается достаточно для построй
ния тензорной теории гомологии.
Мы будем рассматривать только кососимметрические тензорные
поля на замкнутом ориентируемом дифференцируемом многообра-
зии Мк. Поле называется замкнутым, если его внешняя
производная равна нулю, и гомологичным нулю, если оно является
внешней производной другого поля. Два поля одного и того же
порядка называются гомологичными между собой, если их
разность гомологична нулю. Классы гомологичных между собой
тензорных полей порядка г на Мк естественно образуют
действительное линейное пространство. Оказывается, что размерность этого
пространства, т. е. максимальное число гомологически (линейно)
независимых кососимметрических полей порядка г на Mk, pom
r-мерному числу Бетти многообразия Мк.
Таким образом, поскольку речь идет о слабых гомологиях,—
а только они и могут быть учтены при помощи рассматриваемых
здесь тензорных полей,— тензорная теория гомологии приводит
к тем же инвариантам, что и обычная.
Более глубокая связь между обычными и тензорными гомоло-
гиями получается следующим образом. Из равенства (24) следует,
что интеграл замкнутого поля Fai ...аг п0 циклу уг не меняется
ни при замене поля Fai... аг гомологичным ему полем, ни при
замене цикла уг гомологичным ему циклом: он является
инвариантом обоих классов гомологии. Пусть ук~г, ...,
ук~г—независимый базис слабых гомологии размерности k—г в Mk.
Оказывается, что существует базис F{1\ ..., F{p) тензорных гомологии
порядка г, удовлетворяющий условию
$/™ = /(tf-',?,) 0=1, .... р), (25)
где уг—произвольный r-мерный цикл в Mk9 a J—знак инде*с
пересечения. .
Из соотношения (20) следует, что отображение ф*, сопряженн
с дифференцируемым отображением ср многообразия Мк в мй^
образие N1 (см. F))9 переводит всякое замкнутое поле в замкну1"0*

L
20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ 435
всякое поле, гомологичное нулю,— в поле, гомологичное
Поле и далее, из определения интеграла (23) следует, что для
*^Л1°вольной цепи уг в Мк и произвольного кососимметрическога
пр0йр аг на N1
поляг*>---аг r f
\<p*F = \F. (26>
il
<PYr Ь
? i
n Случай однородного многообразия. Замкнутое
.Арелцируемое многообразие Мк называется однородным,.
ДЙтн задана определенная компактная транзитивная группа Ли
^ дифференцируемых преобразований. Заданная на таком
многообразии многолинейная форма F называется инвариантной,.
\ли для всякого преобразования <р указанной группы <f>*F = F.
Вместе с понятием инвариантной формы определено и понятие
инвариантного тензорного поля.
Из (20) следует, что внешняя производная инвариантного поля
есть также инвариантное поле. Таким образом, возникает
возможность построения теории гомологии с помощью одних только
инвариантных полей, и оказывается, что эта теория эквивалентна
обычной: для всякого замкнутого поля можно найти гомологичное
ему инвариантное замкнутое поле и всякое гомологичное нулю
инвариантное поле является внешней производной некоторого-
инвариантного поля.
Очевидно, что все инвариантные поля однозначно определяются
своими значениями в одной точке a£Mk, т. е. обыкновенными
тензорами. Поэтому сформулированная теорема сводит теорию
гомологии на однородном многообразии к изучению соотношений
между обыкновенными тензорами. Эти соотношения должны учесть
связи между инвариантной формой и ее внешней производной.
Главную роль играет здесь, естественно, подгруппа основной
группы Ли, состоящая из преобразований, для которых точка а
является неподвижной.
§ 2. Однородное многообразие //(£, /)
Здесь будет построено однородное многообразие #(fe, /),
играюще основную роль в дальнейшем; сверх того, будут найдены все
инвариантные поля нужных для дальнейшего порядков на много-
^Разии H(k9 I).
Определение 1. Пусть Rk+l—евклидово векторное
пространство размерности fe + Z, a G—группа всех линейных ортого-
зльных преобразований пространства Rk+l с положительным
^ерминантом. Через H(k9 l) обозначим многообразие всех ориен-
^рованных ^-мерных линейных подпространств пространства Rk+l.
а)Кдое преобразование g € G переводит любой элемент Rk много-
*Разия H(k, l) в элемент того же многообразия: g(Rk)£H (fe, /).
Ким образом, G можно рассматривать как транзитивную группу

1
436 20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ
преобразований многообразия Н (k, /), и многообразие это
самым становится однородным [см. § 1, J)J. ^
A) Пусть Ro — произвольный, но фиксированный, элемент щ,
гообразия Н (k, l). Некоторый ортонормальный базис поо^
ранства R% обозначим через ^%
Составим, далее, ортонормальный базис
^1» • • • ! ek> / 1» •''"ill (2J
всего пространства Rk+l. Через U обозначим множество всех такл»
/?|£#(&, /), что ортогональная проекция R\ на R$ не выро*.
дается и сохраняет ориентацию. Очевидно, что U есть окрестность
элемента /?§ в Н(fe, /). Пусть R\£U\ обозначим через е\ такой
вектор из /?|, что его ортогональная проекция на /?§ равна е.
Тогда векторы
&19 * * • f ^k (3)
составляют некоторый базис линейного пространства /?|, и
4 = */+ Z S///> (*=1, ...,fe). (4)
Здесь £/7- суть действительные числа, однозначно определенные
элементом #| области U (базис (2) предполагается фиксированным).
Если, наоборот, произвольным образом задать числа £/7, то,
определив из соотношений (4) векторы (3) и натянув на них
надлежащим образом ориентированную линейную оболочку /?|, мы получим
элемент /?| области U. Таким образом, элементы %ц матрицы
g = ||gi7|| можно принять за координаты элемента R\£u. Отсюда
видно, что в координатах Ъ{/ область U является линейным
пространством размерности kl. Пространство U мы можем теперь по
линейности отождествить с пространством, касательным к #(М
в точке R$.
B) Через G0 обозначим подгруппу группы G, составленную
из всех элементов группы G, переводящих ориентированное
пространство R§ в R%. При g£G0 мы имеем
g (ei) = 2 <*iaea, g (/у) - 2 */*/э. $
a=l 0=1
где a = ||a,a| и & = ||fyp|| суть ортогональные матрицы с поЛ0^ф
тельными детерминантами порядков k и / соответственно. При Ф8^"
сированном базисе (2) матрицы эти однозначно определяю^
преобразованием g и, в свою очередь, определяют его. Оказываете »
что преобразование g£G0 линейно отображает пространство^
на U (см. А)), причем элемент R\$.U переходит в элемент #я

20 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ 437
(R*), определяемый соотношением
^* ц^а'ЧЬ. (6)
как пространство U элементами группы G0 преобразуется
ТаК «н0> то по отношению к этой группе оно ведет себя так же,
^^пространство, касательное к H(k, l) в /?§, и поэтому может
КаК заменять. При замене базиса (2) другим базисом координаты \и
еГ°и ведут себя следующим образом. Пусть
^ некоторый ортонормальный базис в Rk+l, удовлетворяющий тому
условию, что векторы е19 ..., ек лежат в /?£, базисы (2) и (2)
связаны очевидными соотношениями:
*"/ = 2 ОйА*. 7/ = 2^/э/э • (§)
Базису (2), как и базису (2), соответствует в U вполне
определенная система координат. Координаты элемента Щ в ней
обозначим через |/7. Тогда связь между £,7 и \у дается соотношением
£// = 2 цДхз&э/- (6)
ос, Э
Формула (6) вполне аналогична соотношению (6), так что мы
ограничимся доказательством последнего.
Докажем соотношение (6). Так как базис пространства R\
составляют векторы (3) [см. (4)], то базис е{, ..., е"к пространства R\
определяется соотношениями
k i
«I=2*laft* + "2 lifllfih- (7)
a=i /,0=1
Вместо базиса el, .... е"к в пространстве R\ введем другой базис
€i> •.., e*kt положив
k
е*= 2 <ty*v- (8)
Тогда, в силу ортогональности матрицы а, из (7) и (8) мы
получаем
*? = *i + 2 <hih&bto'f/*
v. Э» /
э^о значит, что имеет место соотношение (6).
Ч Будем трактовать пространство U с координатами 5//[см. А)
ак векторное пространство, т. е. назовем каждую матрицу э
ктором пространства (/. В векторном пространстве U действует
ЙНейная группа преобразований G0, каждый элемент которой

438 20- ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ
задается парой ортогональных матриц а и Ь порядков k и / с
положительными детерминантами [см. В)]. При этом преобразование
g£G0, соответствующее паре я, 6, определяется соотношением (6)
В пространстве U рассмотрим конечную последовательность
Ъг = Ш •••• Е'ЧЕЫ. ••• (9)
произвольных (переменных) векторов. Из них мы построим сейчас
некоторые многолинейные формы, инвариантные относительно
преобразований группы G0. При рФц положим
£$=2ЗД/, рФц. (10)
При преобразовании g£G0 билинейная форма (10) векторов £я
и \ч преобразуется по формуле
к
т]л?= 2 ££Vwv (П)
a, v= 1
При переходе от базиса (2) к базису (2), т. е. при переходе от
координат \ц к координатам \ц% билинейная форма £gf
выражается через билинейные формы
1&=2йД*/ («. 7=1. •■•.*)
следующим образом:
af= 2 vawht. (и)
a, v=l
Отсюда ясно, что билинейные*4>ормы ££? (A, 1=1, ..., fe) ведут
себя как компоненты двухиндексного тензора в [евклидовом
пространстве R\ [см. (11) и (11)]. Обозначим через е^ ... t кососим-
метричный тензор в ориентированном евклидовом пространстве /?о,
определяемый тем условием, что ъг a%t k = -\-\ в ортогональных
координатах, дающих положительную ориентацию пространства /?i
Легко видеть, что при изменении ориентации пространства /?о этот
тензор меняет знак. Составим при четном k многолинейную форму
XI— У о. . Е^.аЕ?'.4 Е*-1'* (12)
Ч . . . lft
векторов £\ • • •» Е*. Так как е^ ... и есть тензор, а все £jft ведут
себя как тензоры относительно нижних индексов [см. (11) и (И)]»
то выражение (12) инвариантно как относительно преобразований
группы G0, так и относительно перехода от базиса (2) к базису (2).
При изменении ориентации пространства R\ выражение (12) меняет
знак. Выражение, получаемое из (12) путем альтернации по всем

20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ 439
векторам I1, lk> обозначим через
K^K^W ..., 1к)\ (13)
оНо также инвариантно относительно преобразований группы G0
й перехода от базиса (2) к базису (2), а при изменении
ориентации пространства меняет знак. При г, делящемся на четыре,
положим r = 2s и рассмотрим выражение
k
А — ^J Ьа1а2£а2азгаза4 • * • feasor • \1^)
oti, . . ., cts— 1
Из формул (11) и (11) непосредственно следует, что многолинейная
форма Кг векторов Б1, ..., £г инвариантна как относительно
преобразований группы G0, так и относительно перехода от базиса (2)
к базису (2), и не зависит от ориентации пространства /?§•
Многолинейную форму векторов 51, ..., £г, получаемую из формы (14)
путем ее альтернации по всем этим векторам, обозначим через
Кг = Кга\ ..., 60- (15)
Пусть теперь
p={rlt ...,/-,}, Г!<г2< ... <rf, rt+ ... + rt = r{p) = r, (16)
rx = г2 = ... = rt = 0 (mod 4)
— последовательность натуральных чисел. Внешнее произведение
форм
Кгг{1\ ..., 1% tf'»(E't+1, ■■■. 5Г1+Гя). •••
..., /ег*(£Г1 + "'+г'-1+\ .... Г1+",+г0 (17)
обозначим через
*р^*р(5\ .... 60. (18)
Форма Кр инвариантна относительно преобразований группы G0,
перехода от базиса (2) к базису (2) и изменения ориентации
пространства Rq. Для того чтобы получить единые обозначения,
условимся и К1 обозначать через /Ср, считая р= 1 и полагая при
Р=е=1 r(p) = fe. Kr также есть /Ср, именно, здесь р = г.
Теорема 1. Пусть k^.1—2, r^k+l и
А=А(1\ ...,60 (19)
^-произвольная многолинейная кососимметричная форма векторов
£\ ..., 1Г пространства U, инвариантная относительно группы G0
[см. С)]. Тогда А линейно с постоянными коэффициентами
выражается через формы вида (18) (причем, очевидно, форма (13) может
войти только в случае r — k). В частности, следовательно, все
формы (19), отличные от.цуля, имеют четный порядок.

1
440 20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ
Доказательство теоремы 1 опирается на нижеследующий извее*
ный результат теории инвариантов:
D) Пусть Rn—ориентированное евклидово пространство паа
мерности я, G—группа всех ортогональных преобразований ппгС
странства Rn, сохраняющих его ориентацию, а
х1, ..., хг (20)
— некоторая последовательность произвольных (переменных) векто
ров из Rn. Скалярное произведение векторов хр и х? обозначим
через (хр, xq). Объем ориентированного параллелепипеда,
построенного на векторах хр*, ..., хРп системы (20) в пространстве Rn
обозначим через D (хр\, ..., хРп). Пусть, далее, Р = Р (х1, ..., хг)-1
многочлен относительно компонент векторов системы (20),
инвариантный относительно группы G. Тогда многочлен Р может быть
представлен как многочлен относительно выражений вида (хр, &)
и D(xpu ..., хр").
Положение D) приводится здесь без доказательства;
доказательство его можно найти в [7].
Доказательство теоремы 1. Пусть ир—вектор &-мер-
ного евклидова пространства i?J, и vp—вектор /-мерного евклидова
пространства Rl0:
ир=(ир, ..., и®, vp = (vpf ..., tf). (21)
Положим
E?/ = a?ttf; (22)
этим самым паре векторов иру vp поставлена в соответствие матрица
g* = |g^||. Матрицам а и Ь поставим в соответствие преобразования
пространств R\ и Rl0, положив
к
Щ= 2 uaaah v}= 2 V>w. (23)
ос= 1 /=1
Легко видеть, что указанным преобразованиям векторов
соответствует преобразование матрицы \р по формуле (6). В форме А
заменим каждую матрицу g1, ..., Ъг ее выражением по формуле (22)
и полученное так выражение относительно векторов и1, ..., иг;
v1, ..., V обозначим через А' = А' (и1, ..., иг; и1, ..., vr). Так как,
в силу предположения, форма А инвариантна относительно всех
преобразований группы G0, то форма А' остается инвариантной,
когда пространства R\ и R\ подвергаются произвольным
ортогональным преобразованиям, сохраняющим их ориентации. Зта связь
между формами А и А' позволяет свести нашу задачу к теореме D).
В координатной записи форма А имеет вид
А = 2^*i/i • •. iri$xh • • • &rV (24*
Здесь суммирование распространено на все нижние индексы, причем
lit • • • i */■== 1» •••> »^i /l» •••> J г== ' ■ • ■ » *•

20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ 441
Далее, мы имеем
А9 = 2 Atlh ... irirul ... vivl ... ufr. . (25)
В силу теоремы D), форма Л', как функция векторов и1, ..., иг,
представляет собой полином от их попарных скалярных
произведений, т. е. выражений вида (vp, v?); выражения вида
plv7t, •••» v<f*) не М0ГУТ войти, так как г < L Точно так же
форма А '/рассматриваемая как функция векторов и1, ..., иг, есть
полином относительно выражений вида (ир, W) и D{upu ..., ирь)>
причем последние могут войти лишь в случае r^k. Так как
r^k+ 1, то в случае, если появляется выражение D (ир*, ..., ирь)у
оно не может быть умножено ни на выражение такого же типа,
ни на выражение вида (иру и?). Ввиду сказанного, форма А'
может быть представлена как линейная комбинация с постоянными
коэффициентами форм вида
B' = D(u\ ..., ирд)(о*1, i*0(»4 i*0 ... (о**-1, »**), (26)
С'={и\ и?*)(и% ир<) ... (upr-\ upr)(vii91*0fa**. ^0 • • • (^<7г"1» ^г)>
(27)
причем выражение вида (26) может встретиться лишь при r = k.
Выражения вида (26) и (27) могут, очевидно, быть образованы лишь
при четном г. Далее, так как форма А' линейна относительно
каждого вектора ир и каждого вектора t*, то числа ри ..., рп
как и числа qlf ..., qn все различны между собой.
Скажем, что, в силу соотношения (24), форме А' соответствует
сложный тензор Aijt... irjr. Здесь индексы ilf ..., ir
преобразуются в пространстве /?§, а индексы /lf ..., /г преобразуются
в пространстве Rl0. Точно так же каждому выражению (26)
соответствует свой сложный тензор Bitjl ... t / , а каждому выражению
вида (27)—сложный тензор С*,/, ...irjr. Так как, по доказанному,
Л' есть линейная комбинация выражений вида (26) и (27), то
сложный тензор Aixjx.,,irjr представляет собой линейную комбинацию
сложных тензоров вида Biljt... у и Cilft... /г/>. Изучим вид
сложных тензоров Bilh ... hfk и Cixh ... Wr.
Через 6to обозначим тензор в пространстве #о, принимающий
значение 1 при i = a и значение 0 при /=#=а; такой же тензор
в пространстве /?£ обозначим через 8^. Через тензоры e*t ... ск
[см. С)], 8Са и бур легко выразить сложные тензоры Bhii...ikik
и ^i/i... inn именно:
Bun ... ikik = e«i ... tfii,J,fi,Jg4 • • • ^W <28)
c«.... „/,=Ww* • • • Ч-1ЛА* • • • Vi'V (29)

20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ
Так как, по доказанному, сложный тензор Attjt ... irjr линейи
выражается через сложные тензоры В^ ... у ft и Ctl/l ... irln г*
форма Л линейно выражается через формы В и С, соответствую,
щие тензорам BitJl ... уА и Ctl/l... 1>/г, т. е. через формы вида
Я = 2 Ям ... ikiklhn • • • ^/у (30)
^ = 2j Ч/t ... irjrbiih • • • Ыг/>. (31)
Так как форма Л кососимметрична, то в ее выражение через
формы вида В и С можно вместо форм В и С подставить
-соответствующие кососимметрические формы Вг и С1У получающиеся
из В и С посредством альтернации. Имея в виду последующую
альтернацию, В можно заменить любой формой, получающейся
из нее путем перестановки векторов Н1, ..., £г; при нечетной
перестановке при этом нужно еще изменить знак. То же верно
и в применении к форме С.
Из сказанного видно, что вместо формы В можно взять форму
2je*i ••• i£°/i/A's/4 • • • "/*_i/fc£*i/i • • • «W (32)
которая, как легко видеть, совпадает с формой (12). Форма,
получающаяся из (32) путем альтернации, совпадает, таким образом,
с К1 [см. (13)].
Перейдем теперь к рассмотрению формы С. Для того чтобы
задать ее, достаточно указать две перестановки:
Л. /V» Л. /V» •••; Pr-iPr (33)
и
я» я» я%> ял •••; Яг-гЯг (34)
чисел 1, 2, ..., /\ точнее говоря, два способа (33) и (34)
разбиения последовательности 1, 2, ..., г на пары. Для выяснения
комбинаторной структуры формы С, соответствующей
последовательностям (33) и (34), отнесем каждому числу т=1, 2, ..., т
прямолинейный отрезок ат с концами Ьт и ст. Из всех отрезков
ат составим теперь одномерный комплекс, склеивая вершины Ьт
и Ьп всякий раз, как пара /n, n принадлежит к системе пар (33),
а концы ст и сп — всякий раз, как пара m, n принадлежит к
системе пар (34). Так как в полученном комплексе к каждой
вершине примыкают ровно два отрезка, то этот комплекс состоит
из конечного числа простых замкнутых полигонов. Перенумеруем
все эти полигоны числами 1, 2, ..., I, а числа звеньев в
полигонах обозначим соответственно через г19 г2, ..., rt. Так как, по
ранее отмеченному, векторы Б1, ..., £г можно подвергнуть любой
перестановке, то мы можем считать, что первый полигон составлен
из отрезков а19 ..., ап проходимых в этой последовательности,
второй полигон составлен из отрезков аГ1+1, ..., йг%+г%* проходи-

20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ 443
в этой последовательности, и т. д. Допустим сначала, что
^еется лишь один полигон, составленный из звеньев а19 ..., ап
гмюки (33) и (34) приобретают в этом предположении вид
г, 1; 2, 3; ...; /•—2, г—1, (35)
1, 2; 3, 4; ...; г—1, г. (36)
Соответствующая форма С при этом будет, очевидно, иметь вид
S^vAw * •6r-2,r-is/i/A./4- • -fyr-i/r&i/i • • •££/#» (37)
При г, делящемся на четыре, форма эта совпадает с формой Кг
Гсм. (14)]. Покажем, что при г, не делящемся на четыре, она
после альтернации обращается в нуль. В самом деле, при замене
векторов S1, -.., \г соответственно векторами £г, ..., I1 форма (37)
не меняется, в то время как подстановка эта имеет четность числа
г(г—1)/2, т. е. нечетна при четном г, не делящемся на четыре.
В случае нескольких полигонов форма С равна произведению
форм вида (37), соответствующих этим полигонам. Таким образом,
после альтернации форма вида С [см. (31)] переходит в форму
вида Кр [см. (18)].
Итак, теорема 1 полностью доказана.
Е) Согласно результатам, приведенным в § 1, каждой форме Л,
заданной в U и инвариантной относительно преобразований
группы G0, соответствует на однородном многообразии Н (Л, I) (см.
определение 1) единственное инвариантное поле SJ, значение 210
которого в точке /?§ совпадает с А: 210 = Л. Таким образом, и
форме К° [см. С)] соответствует на Н (fe, Z) инвариантное поле йр,
удовлетворяющее условию: Я£ = Кр. Оказывается, что значение
$? поля &Q в произвольной точке /?J вычисляется совершенно
так же, как и значение его в R$; именно, если
elf ..., ek9 fij ..., 11 (<jo)
— ортонормальный базис пространства Rk+l такой, что векторы
^i» ..., улежат в #J, и Ux—координатная окрестность элемента R\,
соответствующая базису (38) с координатами £/у., |1//Ц=1, то
я?=я?(£1, ...,1о=^р(11, .••> 1г). (39)
где /Ср (I1, ..., |г) есть форма, составленная из векторов I1, ..., V
по правилам, указанным в С).
Докажем Е). Пусть g£Gt причем g(Ri) = Ro. Положим
*i = g(?i), •••> e^Sffe). h=*g(fi)> •••» fi=*g(fi)- (40)
Векторы (40) могут быть приняты теперь за базис (2), который
пригоден для построения форм К° в линейном пространстве £/, так
как, согласно С), формы К9 инвариантны относительно выбора

444 20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ
базиса (2). Так как отображение g переводит базис (38) в базис (40\
то векторы пространств иг и (/2, соответствующие друг друг*!
при отображении g, имеют одинаковые координаты, и поэтому
К" (g (С1), • • •, g (fO)=*р (С1, • ■ •. СО- (4i)
С другой стороны, согласно F) § 1,
а? (I1,..., V)=я? (г (I1), ...f g do). (42)
Так как $£ = /Ср, то, сопоставляя (42) с (41), получаем (39).
F) Каждому элементу Rk£H(k> l) поставим в соответствие
элемент Rk = (p(Rk)> отличающийся от Rk только ориентацией
Положим, далее, $р = ф*$р [см. § 1, F)]. Оказывается, что
Й1^ — Л1; при р^1:Йр = $р. (43)
Так как, согласно Е), поле $р строится во всех точках
многообразия Н (&, l) совершенно одинаково, то соотношение (43)
достаточно доказать для одной какой-либо точки из Н (&, /).
Докажем его для R*. Координатную окрестность U элемента R\
построим при помощи базиса (2). Для того чтобы применить Е),
положим R\=;Rk0. Для построения координатной системы в U1 =sU
применим вновь базис (2). Тогда векторы £ и £, соответствующие
друг другу при отображении ф пространства U на £/, будут иметь
одинаковые координаты. Ввиду этого и принимая во внимание
тот факт, что форма К1 меняет свой знак при изменении
ориентации /?о, а формы /Ср с р ф 1 не зависят от ориентации R* [см. С)],
мы получаем
Я1(£\..., 10— ЯНЕ1, ..-, Ъг)\
при р=^1: Мф, ..., CO-ftffG1. ..., 10-
(44)
С другой стороны,
где в левой части равенства стоит значение поля $р в точке Ri-
Сопоставляя соотношения (44) и (45), получаем (43) для точки /?<>•
Формулируем теперь основное для нас следствие теоремы 1.
Теорема 2. Инвариантные поля $р (см. Е)) порядка г<&
заданные на однородном многообразии Н (fe, I), замкнуты и cth
ставляют независимый базис гомологии для замкнутых полей
порядка г на H(k, l). Сверх того, каждое замкнутое однородное
поле порядка /\ заданное на Н (k, /), линейно с постоянными
коэффициентами выражается через поле $р.
Доказательство. При доказательстве того факта, что поля
$р независимы, будет использован сложно доказываемый резуль-

20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ 445
моей работы [2]. Однако для понимания §2 и 3 настоящей работы
То обстоятельство, что поля йр действительно независимы, не
играет существенной роли.
Покажем прежде всего, что поля $р замкнуты. Для этого
достаточно установить, что любое инвариантное поле 81 порядка
r<ky заданное на H(k, /), замкнуто. Если 81 не есть
тождественный нуль, то соответствующая многолинейная форма А не равна
нулю, и, в силу теоремы 1 имеет четный порядок. Таким образом,
если поле 31 не есть тождественный нуль, то оно имеет четный
порядок, а внешняя производная его имеет нечетный порядок и
потому есть тождественный нуль (опять-таки в силу теоремы 1).
Итак, во всех случаях внешняя производная инвариантного поля 81
равна нулю, т. е. поле 31 замкнуто.
Тот факт, что каждое замкнутое инвариантное поле 81
порядка r^k линейно с постоянными коэффициентами выражается
через поля $р, непосредственно вытекает из теоремы 1, так как,
в силу § 1, дело сводится к многолинейным формам А и /Ср. Так
как, сверх того, в силу § 1, каждое замкнутое поле гомологично
инвариантному, то мы видим, что поля $р составляют базис
гомологии многообразия Н (fe, l). Покажем, что этот базис линейно
независим.
Пусть 81—некоторая линейная с постоянными коэффициентами
комбинация полей $£р порядка r^.k. Допустим, что поле 81
гомологично нулю; тогда 81 является внешней производной некоторого
инвариантного поля, которое имеет нечетный порядок и потому
тождественно равно нулю. Таким образом, поле 31, будучи
гомологично нулю, должно быть тождественно равно нулю. Мы видим,
следовательно, что для доказательства гомологической
независимости полей $р достаточно установить линейную независимость
форм /Ср. Провести это доказательство непосредственно мне,
однако, не удалось, и я ссылаюсь здесь на результаты моей
работы [2].
Каждая форма $£р при р^= 1 определяется неубывающей
последовательностью p = {rlf ..., rt} натуральных чисел [см. (16)].
Так как г ^ k и числа г1У ..., rt делятся на четыре, то k—2t ^ 0.
Определим теперь функцию %(i) целочисленного аргумента
'• =1, ..., &, положив
Х(1) = Х(2) = /У2, X(3) = x(4) = 0-i/2, • -.,
X(2t-l) = X(2t) = rj2, X(2/+I)=...=x(*) = 0. (46)
Так определенная функция х удовлетворяет условиям (10) § 6
моей работы [2] и, следовательно, ей соответствует цикл Zx
размерности kl — г, входящий в базис слабых гомологии
многообразия Н (fe, /), построенный в теореме 1 моей работы [2]. Легко
видеть, что так установленное соответствие между формами йр,
Р^1, и циклами ZX(%£X, %^=.l) взаимно однозначно. Форме К1
при четном k поставим в соответствие цикл Zx с х= 1 размерности

446 20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ
kl—&. Таким образом, число форм /Ср, имеющих порядок г<^и
равно (kl— г)-мерному числу Бетти многообразия Н (&, /) ил^ *
силу теоремы Пуанкаре, /--мерному числу Бетти этого многообпа*
зия. Если бы оказалось, что формы /Ср порядка г линейно зави*
симы, то число Бетти, вычисленное при помощи форм, отличалось
бы от числа Бетти, вычисленного при помощи циклов, что
невозможно. Таким образом, формы К9 линейно независимы, и теорема 2
полностью доказана.
§ 3. Характеристические поля на римановом многообразии
В настоящем параграфе будут построены некоторые
топологически инвариантные поля на римановом многообразии Мк,
выражающиеся через его риманов тензор. При этом будет
предполагаться, что риманова метрика многообразия Мк получается в
результате включения дифференцируемого многообразия Мк в
евклидово пространство. Топологическая инвариантность
понимается в том смысле, что построенные замкнутые поля с точностью
до гомологии [см. §1,1)] не зависят от способа включения
дифференцируемого многообразия Mk в евклидово пространство.
Пусть Uk—некоторая координатная окрестность точки а
дифференцируемого ^-мерного многообразия Мк, в которой введены
локальные координаты х1, ..., хк. Непрерывное отображение f
многообразия Мк в евклидово векторное пространство Rk+l с
координатами z1, ..., zk+1 Уитней называет регулярным в
точке а, если вблизи точки а отображение это в координатной
форме записывается в виде
z' = z'(x\ ..., xk) = z'(x) (/=1, ..., k + l)9 (1)
причем функциональная матрица
дг/ (х)
дх1
\t — if • • • 9 к\ j —->1 f • •. | к ~\~ С)
в точке а имеет ранг k и достаточное число производных. Если
отображение / регулярно в каждой точке a£Mky то оно
называется регулярным. Уитней доказал, что дифференцируемое
многообразие Мк может быть регулярно отображено в векторное
пространство R2k. В векторное пространство R2^1 многообразие
Мк может быть отображено регулярно и гомеоморфно одновременно.
Если отображение / многообразия Мк в евклидово векторное
пространство Rk+1 регулярно, то для каждой его точки а
существует достаточно малая окрестность [/*, отображающаяся при
помощи / гомеоморфно на некоторое подмножество евклидова
пространства Rk+l. Благодаря этому в окрестности Uk естественно
возникает риманова метрика. Таким образом, регулярному
отображению / многообразия Мк в евклидово пространство Rk+l c0"
ответствует вполне определенная риманова метрика в Мк.

20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ 447
/
Если в окрестности Uk отображение f задается уравнениями (1),
метрический тензор в местных координатах х1, ..., хк в окре-
Т°ности Оку как известно, задается формулой
2л dzf dzJ
+ Ш«'дЖ (2)
потому достаточное число раз дифференцируем.
Опр еделение 2. Пусть f—регулярное (быть может, не
гомеоморфное) отображение дифференцируемого ориентированного
многообразия Мк в евклидово векторное пространство Rk+l.
Точке а£Мк соответствует тогда вполне определенная
ориентированная касательная Та к f(Uk) в точке f(a)9 где Uk есть малая
окрестность точки а в Мк. Ориентированное ^-мерное векторное
подпространство пространства /?*+|, параллельное ТаУ обозначим
через Т(а). Так как Т (а)£Н(&, /), то мы получаем непрерывное
достаточное число раз дифференцируемое отображение Т
дифференцируемого многообразия Мк в Н (&, /). Мы будем называть
его тангенциальным отображением, соответствую-
щим регулярному отображению /.
Определение 3. Пусть f—регулярное отображение
замкнутого ориентированного дифференцируемого многообразия Мк в
евклидово векторное пространство Rk+l, l^k + 2, H(k,
I)—многообразие всех ^-мерных ориентированных векторных
подпространств пространства Rk+l, й9—замкнутое инвариантное поле
на Н (к, /), определенное в Е) § 2, и, наконец,
Т—тангенциальное отображение многообразия Мк в Н (ky /), соответствующее
регулярному отображению /. Положим
рр =* Т*№ (3)
[(см. § 1, F)]. Замкнутые поля Рр на многообразии Мк мы будем
называть характеристическими полями, а
соответствующие тензоры /\v..i>—его характеристическими
тензорами. Оказывается, что характеристические поля с точностью до
гомологии не зависят от отображения /; в частности, они не
зависят и от числа /.
Покажем прежде всего, что формы Рр не зависят от числа I.
Для этого предположим, что Rk+tczRk+l\ Объекты определения 3,
относящиеся к евклидову векторному пространству Rk+l\
обозначим соответственно через H(k> /'), $'р и Т'. Каждому элементу
%k£H(k, l) поставим в соответствие тот же элемент Rk£H(k, V)
и так полученное отображение включения многообразия Н (fe, /)
* многообразие H(k, V) обозначим через <р. Из определения форм
^р следует, что
$р = Ф*$Гр. (4)

448 20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ
Далее, мы имеем очевидное соотношение:
Г = Ф7\ (5)
Из равенств (4) и (5) вытекает:
Таким образом, независимость полей Рр от числа / установлена.
Допустим теперь, что имеется два произвольных регулярных
отображения /0 и fx многообразия Мк в пространствах Rk+i* и
/?*+/». Составим прямую сумму Rk+l пространств Rk+lo и Rk+ii и
будем рассматривать пространства Rk+l* и Rk+l* как два
ортогональных подпространства пространства Rk+l. В силу доказанного
ранее, мы можем теперь трактовать отображения /0 и fi как два
различных отображения многообразия Мк в одно и то же
векторное пространство Rk+l. Тангенциальные отображения
многообразия Мк в многообразие H(k, /), соответствующие
отображениям /0 и f19 обозначим соответственно через Т0 и 7\. Покажем,
что отображения Т0 и 7\ многообразия Мк в H{ky l) гомотопны
между собой.
Рассмотрим отображение M0<f<l) многообразия Мк в
H(k, /), определяемое соотношением
U (х) = (1 -1) П (х) + tft (x)9 х£ Мк. (7)
Легко видеть, что отображение ft многообразия Мк в Rk+l
регулярно и, следовательно, определено тангенциальное отображение Tt
многообразия Мк в Н (fe, /), соответствующее отображению ft. Так
как Tt осуществляет непрерывную деформацию отображения Т0
в отображение 7\, то Г0 и 7\ гомотопны между собой. Ввиду
гомотопности отображений Т0 и Т1у мы имеем
П$р - П$р. (8)
Таким образом, независимость характеристических полей Рр от
исходного регулярного отображения f полностью доказана.
Выразим теперь характеристические поля многообразия Мк
через его риманов тензор. Здесь имеется в виду риманов тензор,
соответствующий той метрике многообразия Мк, которая получается
при каком-либо регулярном отображении многообразия Мк в
евклидово пространство. Так как, в силу вышеустановленного,
характеристические поля с точностью до гомологии не зависят от
положенного в основу регулярного отображения, то и получаемые
ниже выражения их через риманов тензор не зависят от римано-
вой метрики. Предполагается, однако, что риманова метрика
получается при помощи регулярного отображения в евклидово
пространство. Если риманова метрика на Мк задается независимо
от отображения его в евклидово пространство, то из результатов
настоящей работы не следует, что выражения (14) и (16) дают
инварианты многообразия Мк.

20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ 449
Введем прежде всего некоторые обозначения.
А) Пусть Ro—ориентированное евклидово векторное
пространство, метрика в котором при выбранных координатах задается
метрическим тензором ga^. Через h обозначим корень квадратный
из детерминанта матрицы Цй^рЦ, т. е. положим
fc= + Kji^T- (9)
Пусть теперь хи ..., xk—последовательность векторов из /?о,
причем х{ = (х}9 ..., д^) (i=l, ..., k). Детерминант матрицы ||xf||
обозначим через \х?\. Тогда, как известно, объем
ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах хи ...,
.^определяется формулой
V = h[x?\. (10)
Чтобы придать этому выражению тензорную форму, обозначим,
как и в С) § 2, через в^..л число, кососимметрически зависящее
от индексов и удовлетворяющее условию: 81###ft=l или г1л^к =—1
в зависимости от того, порождают ли имеющиеся в R% координаты
его исходную ориентацию или нет. Тогда мы имеем
и, полагая
V./* = Ae/....V (12)
получаем
^-s*/,...//t ■••*!?• (13)
Из соотношения (13) видно, что А,-.../. представляет собой кова-
■■■_
риантный кососимметрический тензор. Тензор этот в ортонор-
мальных координатах превращается в тензор е,- , [см. § 2, С)].
Теорема 3. Если f есть регулярное отображение замкнутого
ориентированного дифференцируемого многообразия Mk в евклидово
векторное пространство Rk+ly то характеристические тензоры
(см. определение 3), соответствующие отображению fy выражаются
через риманов тензор /?apY6, соответствующий этому
отображению, следующим образом:
р^к = Z (-тГ ^■■■4Rat%i,Ra'axtt- ■ -^-Xiw • (14)
при
= ]£1(t) ^ijEMi Ra.*aMi»U-' -R-Saiir-iir] \S=z~2j' ^^
Квадратные скобки означают здесь альтернацию по всем индексам
Ч, ..., ik в формуле (14) и по всем индексам iu ..., ir
•5 л. С. Понтрягин, т. I

450 20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ
в формуле (15). В общем случае p = {r1.. .rt} мы имеем, очевидно
Доказательство. Пусть а—произвольная точка из МА и
[/*—ее малая окрестность в Mk. Без ограничения общности
можно считать, что f(a) есть нуль векторного пространства Rk+^
Ориентированную касательную к / (£/*) в точке / (а) = 0 обозначим
через Ro и выберем в Rk+l ортонормальный базис еи ..., efe>
/i» • • •, fi так, чтобы elf ..., ek лежали в R*. Вектор f{x)y x£(Jk'
запишем в форме
k i
/ (х) = 2 *Ч-+ 2 %//. (17)
Если t/*—достаточно малая окрестность точки а, то
ортогональное проектирование множества / (С/*) в /?§ является гомеоморфным
отображением и потому ^(f/*) может быть задано уравнениями:
У/^У/М^У/Л*1* •••» **) (/=1, ..., Z). (18)
хх, ..., хл можно считать теперь местными координатами в U*.
В силу соотношений (18) и (2), метрика, возникающая в ик
благодаря отображению /, задается метрическим тензором:
ft* = ft* (*) = $* + 2--ft£5 ^3~ • (19>
Вектор еь касательный в точке х к координатной линии х1' в
/(£/*), очевидно, задается так:
V dy/W * /оп\
7=1 ^
Таким образом, векторное подпространство Т(х), параллельное к
касательной Тх, содержит векторы e'l9 ..., ек и в пространстве U
имеет координаты Ё//(х), определяемые соотношениями
которые описывают тангенциальное отображение 7\
соответствующее регулярному отображению / в окрестности Uk. Так как
координаты Б// элемента Rl ь U равны нулю, то
^? = 0 (t=l, ..., ft; /-1, ..., /). (22)
Отсюда непосредственно следует, в силу равенства (19), что
£аэ(я) = баР, ^fr^ = 0 (/,а,р=1, ...,*). (23)

20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИИ 451
Таким образом, для риманова тензора в точке а мы имеем
следующее выражение:
_ 1 fd*gay (a) »gM (a) d*gx6 (а) д^у (а)\
[см. [8]]. В силу (19), формула (24) дает:
в __V (**'(а) д*У/ (а) diyj {a) d2yj' {a)\ <ок\
*"~ hw**9*9* ъТ&ъТ&У (25)
Пусть хр = (х1р, ..., х%)—некоторый вектор из Mk в точке а.
В силу отображения 7\ ему соответствует в U вектор £/> = ||£{у|
определяемый соотношениями [см. (21)]:
_.- д2у/ (а)
JmmA д# дха
Отсюда, в силу (25), мы получаем:
Т.±ГЕ"-Е«Ч-± V ( д*У/(а)d2y/(а) д2у/(а)*">(а)\х*у*
2(ёар ^-2>1*б{дхадхчд^дхб дх^дхьдх,дху)Х"Х"-
Ввиду того, что формы /Ср кососимметричны, в выражениях этих
форм через формы £§£ всюду можно заменить EgJ на -s-^gji—£«3)»
и потому, в силу соотношения (27), мы получаем:
"i,... ik = ^ j J ^ еа,.. . akRa^a2 [ixit. . ^^-1ак1к-11к^у ^ '
* h. .. t> == 1 "2" J / ^ Ao6ja2 [^itsAasaai3f4* • • KasObir-tir]* №*)
где альтернация в правых частях произведена по всем индексам
*i, ..., /% и i\, ..., ir соответственно. Равенства (28) и (29)
доказаны в специальных координатах, в которых, между прочим,
£аз(а) = бар. Ввиду этого последнего соотношения, равенства (28)
и (29) совпадают с (14) и (15) соответственно, последние же имеют
тензорный вид и потому верны в произвольных координатах.
Итак, теорема 3 полностью доказана.
Приведем теперь некоторые следствия теоремы 3.
В) Пусть Y—целочисленный цикл из Мк, размерность
которого равна г —г(р)<;&. Интеграл \ Рр от поля Рр по циклу Y
Y
зависит тогда только от р, класса слабых гомологии
Цикла Y и, конечно, от исходного многообразия Мк. В случае
r = fe за цикл Y естественно принять само ориентированное мно-
5*

452 20- ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ
гообразие Мк, так что J Рр есть числовой инвариант ориенти-
мк
рованного многообразия Мк, зависящий от р. В частности,
интеграл j P1 есть числовой инвариант ориентированного многообра-
мк
зия Мк.
Утверждение В) непосредственно вытекает из изложенного
в пункте I) § 1 и определения 3.
С) Пусть ty(x)—действительная числовая функция, заданная
на ориентированном римановом многообразии Mk,
ga^—метрический тензор этого многообразия и hilm..i—тензор, построенный
из gaR так» как это указано в А). Тогда можно определить ко-
вариантный кососимметрический тензор порядка &, положив
Vk..-ik=**(x)bh...ik- (30)
Соответствующее поле обозначим через V. Интеграл J T от поля
мк
Y по ориентированному многообразию Mk равен, как известно,
интегралу функции i|)(x) по риманову многообразию Мк. Мы
будем обозначать его через J ty(x)dV. По тензору Ч^.../ легко
мк
восстановить функцию t|>(*); именно, мы имеем
V{x) = 4i...k/h(x)f (31)
где в правой части стоит компонента тензора Ч^... t , взятого
в координатах, дающих положительную ориентацию Мк. Этим
способом из характеристических тензоров Pft... t- с r(p) = k можно
ft
извлечь числовые функции, интегралы от которых по
многообразию Мк являются топологическими инвариантами последнего.
Функция p1(x)t соответствующая тензору Pllmumt , следующим
образом выражается через риманов тензор многообразия Мк>
Положим
С:.'?=#?■?•[«• я??/* • • •^*~ir*1£»_lV. (32)
где альтернация проведена отдельно по верхним и нижним
индексам. Тогда мы имеем:
?(x) = {-i/2)v*kiR\:::kk. (зз)
Соотношение (33) непосредственно вытекает из (14), (31) и (32).

20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ 453
§ 4. Характеристические поля и характеристические циклы
В настоящем параграфе устанавливается связь между
характеристическими полями (см. определение 3) и характеристически-
ми циклами [см. [2], § 3] многообразия Mk\ ввиду этого для
понимания его необходимо знание моей работы [2]. В частности,
здесь с небольшим использованием результатов моей работы [9]
доказывается уже известное [см., например, [6]] предложение
о том, что при четном k интеграл от поля Р1 по многообразию
уИ* равен эйлеровой характеристике многообразия Mky
умноженной на число ak/2, где ak есть fe-мерный объем fc-мерной сферы
с радиусом, равным единице. Этот результат выражает точную
связь между характеристическим полем Р1 и характеристическим
циклом Хх [см. [2], § 6, С)].
Так как при помощи полей можно учесть лишь слабые
гомологии, то в настоящем параграфе будут играть роль только
характеристические циклы Хх, удовлетворяющие условию [см. [2],
§ 5, С)]
5С<Е*, (1)
ибо цикл Zx при х» не удовлетворяющем условию (1), всегда слабо
гомологичен нулю в Н (k, /). Условие (1) в дальнейшем будет
предполагаться выполненным.
Ниже при построении циклов будут использоваться не только
целые, но и действительные коэффициенты. Циклы будут
получаться как линейные формы целочисленных циклов с
действительными коэффициентами.
А) Так как поля $р, г(р) = г, составляют линейно
независимый базис гомологии для замкнутых полей порядка г на
многообразии Н(ky I) (см. теорему 2), а циклы Zx, r(%) = r, %£X,
составляют линейно независимый базис слабых гомологии
размерности kl—г в Н (k, I) [см. [2], теорема 1], то [см. §1,1)] каждому
полю $р однозначно соответствует линейная форма Z(^P)==ZP
циклов Zx, r(%)=tr:
Z(flp)=x2xap*Zx, <2)
удовлетворяющих условию
$^p = /(Z(£'p), W)9 (3)
где W есть произвольный целочисленный цикл размерности г из
Н {k, l). Коэффициенты арх суть действительные числа, не
зависящие от /, и детерминант матрицы ||ярх|| отличен от нуля.
Докажем независимость чисел аРх от числа /. Пусть Rk+l" —
линейное подпространство пространства Rk+l, H (&,
Г)—соответствующее ему многообразие и $"р—поле, заданное на H(k, Г).

454 20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ
Как было показано в § 3 [см. § 3, (4)], форма $р,
рассматриваемая на многообразии Н(fe, Г) многообразия #(&, /), совпадает
с 5ГР. Таким образом, для любого цикла W из Н (fe, Г)
J W» = J **• (4)
Далее, соотношение (4) § 3 моей работы [2]:
ZxxH(k, Г) = ГХ (5)
показывает, что при произвольном цикле W из Н (fe, Г)
/(Zx, ww(z;, r), (6)
где в левой части индекс пересечения взят в Н (fe, /), а в
правой—в Н (k, Г). Таким образом, если положить
Z {$"<>) = 2 ярх^х, (7)
то из соотношений (4) и (6) получится:
I ST =*I (Z(№% W),
W
а это и значит, что коэффициенты арзс, вычисленные в Я (ft, /) и
б #(fe, Г), имеют одно и то же значение.
Теорема 4. Каждому характеристическому полю Рр,
г(р) = /\ многообразия Mk (см. определение 3) поставим в
соответствие (k—т)~мерный цикл
X (Яр) = 2 яРХ*х (8)
ЭС6Х
[см. А)]. Тогда для всякого r-мерного целочисленного цикла Y из Мк
SPp = /(X(Pp), Y). (9)
Y
Доказательство. Пусть f—регулярное отображение
многообразия Мк в Rk+t и Т—соответствующее ему тангенциальное
отображение многообразия Mk в Н (k, l) (см. определение 2). Мы
имеем [см. § 1, I)]
J $р = $/>р (10)
ТУ Y
и, далее,
/(Zx, 7Т) = /(ХХ, Г). (11)
Полагая в соотношении (3) W = TY и сопоставляя полученную
формулу с (10) и (11), мы и получим (9).

20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ 455
Таким образом, теорема 4 доказана.
Следует отметить, что вопрос о том, определяются ли
коэффициенты арх условием (9), остается открытым, так как неизвестно,
в какой мере независимы между собой характеристические циклы.
В самом деле, если какая-либо линейная комбинация
характеристических циклов всегда гомологична нулю, то, добавляя ее к
правой части соотношения (8), мы получим новые значения для
коэффициентов, при которых условие (9) остается выполненным.
Теорема 5. Коэффициенты арх в соотношении (2)
удовлетворяют условиям:
при р=£1: ар1 = 0; при %ф\: а1Х = 0. (12)
Доказательство. Подвергнем многообразие Я (ft, /)
преобразованию Rk—+Rk [см. § 2, F)]. Мы имеем [см. § 2, F)]:
Лх = —Я1; при р=£\: Йр = йр, (13)
2X = (-1)*+/+X(1)ZX; //(ft, /) = (-1)*+|Я(*. 0 (14)
[см. [2], § 6, (15)]. Заметим, что, в силу условия (1),
прих—1: Х(1)=1; при %ф1: x(l) = 0(mod2). (15)
Из соотношений (2) и (3) следует:
J Яр - 2 ярх/(2Х, W), (16)
где W есть произвольный целочисленный цикл размерности г из
Я (ft, /), а индексы пересечения в правой части взяты в Я (ft, /).
При преобразовании Rh—+Rk соотношение (16) переходит в
соотношение
\ &= 2 <**/&. W)i (17)
здесь №—вновь произвольный целочисленный цикл размерности
г из Я (ft, l) и потому может быть заменен через W. Индексы
пересечения в правой части берутся в Я (ft, /). Таким образом,
в силу (14), соотношение (17) может быть переписано так:
\ Йр - 2 (—1)*(1)арх/ (ZX9 W), (18)
w эсех
где W—произвольный целочисленный цикл размерности г из
Я (ft, /), а индексы пересечения взяты в Я (ft, /). При р= 1 из
равенства (18), в силу (13) и (15), мы находим:
$
^l^a}4(ZuW)— 2 alxI(Zx, W). (19)

456 20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ
Сравнивая это соотношение с (16) при р=1 и принимая во
внимание независимость циклов Zx, а также произвольность цикла W*
мы получаем: '
при %ф1: а1ЭС = 0. (20)
При рф 1 соотношение (18), в силу (13) и (15), дает:
Jftp = _aPV(Zlf W)+ 2 rf*/(Zr W). (21)
w %ф l
Сравнивая (21) с соотношением (16) при р=£1, мы получаем:
при р^1: ар1 —0. (22)
Таким образом, теорема 5 доказана.
Непосредственным следствием теоремы 5 является формула
J Р1 = а11Х1(М^)9 (23)
где Хг(Мк) есть эйлерова характеристика многообразия Мк.
В самом деле, из теоремы 4 и 5 следует:
J Р* = аЧ(Хи Мк)=а1ХХх{Мк) (24)
[см. [9], теорема 4].
Напомним, что поле Р1 на Мк9 а следовательно, и
коэффициент а11 определены только при четном к. Числовое значение
коэффициента а11 дается теоремой 6.
Теорема 6. Значение коэффициента а11 дается формулой
а" = % (25)
где ak есть к-мерный объем к-мерной единичной сферы. Из
соотношения (23), в силу (25), получаем:
j Р1 = Цхг(М*). (26)
Доказательство. В силу теоремы 5, соотношения (2) и
(3) дают
J «1 = a"/(Zlf W). (27)
w
Для вычисления коэффициента а11 достаточно взять вполне
определенный цикл W и произвести над ним операции, указанные
в формуле (27). Сделаем это.

20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ 457
В пространстве Rk+l выберем ориентированное линейное
подпространство Rk+1 размерности k+l и обозначим через Н(fe, 1)
ориентированное [[2], § 2] многообразие, составленное из всех
^-мерных ориентированных линейных подпространств пространства
£*+i. Многообразие H(k, 1) гомеоморфно fe-мерной сфере; его мы
и примем за W: W = H(k, 1).
Множество всех векторов r\£Rk+1 длины 1 обозначим через S*.
S* есть ^-мерная сфера радиуса 1. Гомеоморфное отображение ф
многообразия #(&, 1) на сферу Sk определим следующим
образом: пусть Rk£H(k, 1); тогда ф(/?*) = г)6Я*+1 определим как
вектор длины 1, ортогональный к Rk и удовлетворяющий тому
дополнительному условию, что если е19 ..., ек есть базис
пространства /?*, дающий его положительную ориентацию, то ^, ..., efr,
г) есть базис пространства Rh+1, дающий его положительную
ориентацию.
Пусть Ro—фиксированный элемент из H(k, 1) с ортонормаль-
ным базисом ег, ..., ekJ дающим его положительную ориентацию,
и f1 = (p(Ro). Каждый вектор r\£Sk может быть тогда записан
в форме
Л = Л°/1 + лЧ+...+т1Ч, (28)
где т)°, tj1, ..., к\к—действительные числа, сумма квадратов
которых равна единице. Базису еи ..., ek, fx соответствует
окрестность U элемента R% в многообразии Я (Л, 1) [см. § 2, А)].
Каждый элемент Rk£U допускает базис е[, ..., ёк> определяемый
соотношениями:
ei = ei + xif1 (i=l, ..., k). (29)
Здесь х1, ..., хк суть координаты элемента Rk в U, совпадающие
с координатами, введенными в А) § 2. Легко проверяется, что
элементу Rk£U с координатами х1, ..., хк соответствует элемент
r\ = (p(Rk) с координатами
т]0 = * fi/ _- * и -> 0) (30)
yrl + (JCi)i+... + (x*)i » /"Ж«1)1+-..+(**)1
Таким образом, соотношения (30) определяют отображение ф
в окрестности U. Уравнения (30) дают параметрическое
представление окрестности ф (U) точки fx в сфере S*, причем за параметры
выбраны х1, ..., хк. Из (30) следует, что метрический тензор ga^
в точке /i^S* удовлетворяет в этих параметрах условию [см.
§ 3, (2)]:
£а0 —fio3- (31)
Пусть dpx = (dpX1, ..., dpxk) (p = 1, ..., k)—произвольная
последовательность векторов, касательных к Н (ky 1) в точке Rk.
Легко проверяется, что
К1^!*, ..., d^)^\d^\. (32)

458 20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ
В силу условия (31), h(f1)=l, и потому } Л1 ПРИ отображе-
H{k, 1)
нии ф переходит в \ dV [см. § 3, С)], т. е.
J ^ = SdK=a,. (33)
Я (k, 1) S*
Стоящий в правой части равенства (27) индекс пересечения
I (Zlf Я (ft, 1)) вычислен в работе [2] [см. [2], § 3, (5)], он равен
двум. Отсюда и из (23) вытекает соотношение (25).
Таким образом, теорема 6 доказана.
§ 5. Интегральное выражение коэффициентов аРХ
В настоящем параграфе коэффициенты арх записываются в виде
интегралов от полей $р по вполне определенным циклам из #(ft, I).
При этом интеграция фактически не производится, так что
числовые значения коэффициентов остаются не найденными. Для того
чтобы выразить коэффициенты арх через интегралы, достаточно
подобрать максимальную линейно независимую систему циклов W
размерности r = r(x) = r(p) и воспользоваться соотношениями (2)
и (3) предыдущего параграфа. Удобная для этой цели система
циклов дается теоремой 7.
А) В дальнейшем псевдомногообразия Zx мы будем задавать
не функцией х» а функцией со: ZX = Z (со); при этом функции х и со
связаны соотношением [см. [2], § 3, С)]:
Х(0 + со(0 = / (*=—1 (1)
В этих новых обозначениях условие (1) предыдущего параграфа
переходит в условие [см. [2] § 5, С)]:
со € Q. (2)
Каждой функции со поставим в соответствие функцию со,
определяемую соотношением
co(i) + co(ft—i+ 1) = Z (f=l, ..., ft), (3)
и, наряду с псевдомногообразиями Z (со), будем рассматривать псевдо^
многообразия Z(co). Оказывается, что если со£йи о>(1) =#= 0, то со
также входит в Q и псевдомногообразие Z(co) принадлежит к уже
изученному классу; если же cogQ, но со(1) = 0, то
псевдомногообразие Z(co) все же ориентируемо и с учетом ориентации [см.
§ 2, F)]
Z(co) = Z(co). (4)

20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ 459
Обозначим через а19 .^, ап; Pi, .._., р„ числа,
соответствующие функции со, а через <zlf ..., а„; рь ..., р„—числа,
соответствующие функции о)[см. [2], § 2, В)]. В силу (3), мы имеем для
этих чисел следующие соотношения:
ai = an, ai = a„_i, . ..,an=*alf (5)
Pl=P«-l, P2=P«-2» • ••fPn-l^Pl. (6)
Если со (1) > 0, т. е. со (Л) < /, то при a>£Q
«i = Pi=---=a„-i'^P„-i = a„ = 0 (mod2) (7)
[см. [2], § 5, С)]. Из (5), (6) и (7) получаем
<*i = Pi= ••• =a„-i = P„-i=art=0 (mod2), (8)
а это значит, что ogQ, ибо со(1) > 0.
Если о)(1) = 0, т. е. со (£) = /, то при со£й
o1 = p1s...=o„.l = pe.1s0 (mod2) (9)
[см. [2], § 5, С)]. Из (5), (6) и (9) получаем
Pi = a2 = P2= •-=««-! = P«-i = a« = 0 (mod2). (10)
Положим
Zx (©) = £/(©) + #(©). (11)
Из (10) на основании соотношений (18), (19) и (20) § 4 моей
работы [2} следует:
AZ!(©) = 0. (12)
Таким образом, Zx (a>) ориентируемо, а вместе с ним ориентируемо
и получаемое из него вращением пространства Rk+l псевдомногог
образие Z(g>). Из соотношения (12) следует (4).
Теорема 7. Пусть о>£й; тогда оба псевдомногообразия Z(о)
t/ Z(co) ориентируемы (см. А)). Всел* псевдомногообразиям Z(co)
t/ Z(co) л/?и a>£Q придадим ориентации по правилам, данным
в [2] [см. [2], § 2, В)]. Как показано в моей работе [2],
ориентация псевдомногообразия Z (со) зависит лишь от ориентации
пространства R*+l [см. [2], § 2, С)]. Оказывается, что ориентация
псевдомногообразия Z(a>) не зависит ни от каких случайностей
построений. Окозывается, далее, что
при о), w'gQ и г(о)) = г (о/): /(Z(a>), Z((o')) = 26fi)(0,, (13)
г^ So©'- 0 При (йф(й' U 6^,=^ Л/7Н G) = G)'.
Доказател ьство. Доказательство разобьем на четыре
пункта.

460 20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ
a) Пусть со и <*>'—две функции, удовлетворяющие условию
г(со) = г (со'), т. е. г(<о)Н-г(о)') = &/. (14)
Тогда псевдомногообразия Z(co) и Z(co') имеют дополнительные
размерности в #(fe, /). Оказывается, что если <дф со', то
псевдомногообразия Z(co) и Z(co') можно выбрать так, чтобы они не
пересекались.
Пусть
^с.сЯ* (15)
и
«ic...c:J?i (16)
— последовательности, определяющие соответственно циклы Z(co)
и Z(co') [см. [2], определение 2]. Пусть, далее,
/?*€Z(©)nZ(5'). (17)
Мы имеем:
/?*n/?/n^.«+t = (/?*n/?/)n(/?*n"Ri-f+i). (18)
Так как пространства Rk(]Ri и /?*ПЙ-/+1 оба лежат в /?*, а
размерности их соответственно не меньше чисел i и к—i+ 1 [см. (17)],
то размерность их пересечения оценивается неравенством
0(Я*пЯ/П&-*+1)>1. (19)
Допустим, что функции (о и о/, удовлетворяя условию (14), не
удовлетворяют условию со = (о\ Тогда существует значение i = /,
для которого
©(*) + «?(*—*+1)</. (20)
Последовательности (15) и (16) мы можем выбрать так, чтобы Rt
и Rk-t+1 находились в общем положении. Тогда размерность их
пересечения, будучи положительной [см. (19)], вычисляется по
формуле [см. (20)]:
D(Rtf)Rl_t+1) = [t + <u(t)] + [k-t+l + to'(k-t+l)-(k+l)<0,
(21)
и мы пришли к противоречию. Следовательно, не существует
элемента Rk, общего для Z(w) и Z(co'), и утверждение а) доказано.
b) При (о£й
/(Z(o)), Z(©)) = or.2f (т=±1; (22)
таким образом, цикл Z(co) даже слабо не гомологичен нулю в
H{k, i).

20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЯ 461
В пространстве Rk+t выберем базис
^i» • • • > £fei /1> • • •» ti* (^3)
Далее, составим второй базис
^i» • • •» ^а» /1> • • • > itj (24)
положив
ej = e*_/+1, 7/ = /i-/+i 1*=1, ..., fe; / = 1, ..., /). (25)
При помощи базиса (23) составим псевдомногообразие Z (о), а при
помощи базиса (24)—псевдомногообразие Z(g>). В соответствии
с этим пространство R{ следует определить как линейную оболочку
секторов
а пространство R;—как линейную оболочку векторов
€iy ...» в;, /lf ...» /"©"(j) (2/)
[см. [2], определение 2]. Легко видеть, что пересечение /?/П R*-/+i
имеет размерность, равную единице, и содержит вектор ег Таким
образом, в силу соотношения (19), общий элемент R\
псевдомногообразий Z(со) и Z((d) имеет своим базисом векторы е19 ..., ek,
и, следовательно, элемент этот с точностью до ориентации
определен однозначно, а это значит, что пересечение Z (со) Г) Z (со) состоит
из двух элементов: /?§ и /?{>, где R% есть ориентированная
линейная оболочка векторов еи ..., ek.
Базис (23) определяет окрестность U элемента R%, причем в U
имеются координаты \у (см. § 2, А)). В этих координатах
пересечение U П Z (ю) = U (со) записывается уравнениями [см. [2], § 1, А)
и С)]:
\ц = 0 при />ю(0 (1 = 1, ...,£), (28)
а пересечение U f] Z (<а) = U (а>)—уравнениями:
£,7 = 0 при /<ю(0 (i=l, ...,£). (29)
Таким образом, индекс а пересечения Z(©) и Z((o) в точке R*
равен ± 1.
Для определения индекса пересечения Z(g>) и Z(co) в точке /?©
подвергнем все многообразие #(&, /) преобразованию Rk-+Rk.
Мы имеем:
Z(g>) = (— l)«u)+*Z(©), #(fe, 0=^(— l)k+lff{k, I) (30)

4§2 20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ
[см. [2], § 6, (15)]. Если о)(1) > 0, то псевдомногообразие Z (ш)
подчинено тому же правилу, именно:
2(5)=*(-l)»u>+*Z(©). (3l)
Из соотношений (30) и (31) мы заключаем, что индекс
пересечения 2(g)) и Z(o)) в точке R% равен [см. (3) и (7)]:
Если же со(1) —0, то из (4) и (30) мы видим, что индекс
пересечения Z((o) и Z(co) в точке /?J равен [см. (9)]:
а(—По)(1) + Л + Л+/=-(Т/—1)Э1 + —+ Эи-1 —(у.
Таким образом, в обоих случаях соотношение (22) верно, и
утверждение Ь) доказано.
с) Из последовательности
Д1» • • • > Aft, (32)
определяющей псевдомногообразие Z(co), выберем
подпоследовательность .
Si» •.., Sn (33)
г
[см. [2], § 1, В)] тех пространств, от которых Z (со) действительно
зависит. Согласно [2] [см. [2], § 2, В)], ориентация Z(co)
определяется ориентациями пространств (33) и пространства Rk+l.
Оказывается, что при cogQ ориентация Z(o>) в действительности не
зависит от ориентации пространств (33) и Rk+l. Более того, если
вместо пространств (33) выбрать другие,
ох, ..., ои, (34)
соответствующие той же функции со, то полученное
ориентированное псевдомйогообразие Z (со) будет гомологично
первоначальному.
Покажем прежде всего, что ориентация Z(o>) не зависит от
случайно выбранной ориентации пространства Rk+l. Так как
со (&)</, то, заменив вектор ft на —/,, мы изменим ориентацию
Rk+l, но не изменим ориентацию Z(co). Пусть пространства
последовательностей (33) и (34) ориентированы и задают ориентации
псевдомногообразий Z (со) и Z (со) соответственно. Тогда
существует ортогональное отображение а с положительным
детерминантом пространства Rk+l на себя, при котором, с учетом ориентации,
a(Sp)=Sp (/?=1, ..., п). (35)

20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ 463
Так как группа ортогональных преобразований с положительным
ерминантом СВЯЗна, то существует однопараметрическое
семейство #*> O^t^U ее элементов, в котором а1 = а9 а а0 есть
тождественное преобразование. Пространства
a,(Si), ..., at(Sn) (36)
определяют ориентированное псевдомногообразие Zj(co). Таким
образом, семейство ^(ш), 0^/^1 осуществляет гомологию
между Z(co) и Z(o>).
Допустим теперь, что пространства последовательности (34)
отличаются от пространств последовательности (33) самое большее
ориентациями. Если бы при этом оказалось,, что Z(co) =— Z(o>),
то, ввиду доказанного, мы имели бы 2Z(co)~0, а это
противоречит Ь). Итак, утверждение с) доказано.
d) В соотношении (22) а= + 1-
Благодаря нумерации координат £/7 в координатном
пространстве U по столбцам матрицы |£,у| возникают определенные
ориентации самого пространства U и его координатных пространств
{/(со) и £/(со), выделяемых системами уравнений (28) и (29)
соответственно. Так ориентированные пространства t/ и (/(©)
индуцируют рассматриваемые ориентации многообразия Н (k, l) и
псевдомногообразия Z (со). Покажем, что и ориентация пространства U (а>)
согласуется с рассматриваемой ориентацией псевдомногообразия Z(o)).
Через /?о обозначим ориентированную линейную оболочку
векторов elf ..., ek. Геометрически R* и R* совпадают, а с учетом
ориентации
Rk0 = sRl 8 = (_l)*(*-D/2. (37)
Координатную окрестность точки /?<> в Н (&, /), определяемую
базисом (24), обозначим через U. Ее координатное подпространство
U (со) = U П Z (со) определяется тогда системой уравнений
f/7 = 0 при />©(/) (*=1, ...,*). (38)
Ориентация, возникающая в U (о>) в результате нумерации
элементов матрицы || 1/уЦ по столбцам, индуцирует рассматриваемую
ориентацию псевдомногообразия Z (а>). Обозначим через ф отображение
Н (&, I) на себя, совпадающее с тождественным, если е = + 1,
я с отображением Rk—+Rky ^сли е = —1. Мы имеем ф(/?о) = /?о>
и, без учета ориентации, ф (U) = U> ф([/ (a))) = f/((o). Если
обозначить через £,у и £/7 координаты соответствующих друг другу
при отображении ф элементов из U и Uу то
b/7 = £ft-/+it /-/+!• (39)

464 20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИИ
Последнее соотношение позволяет подсчитать знак отображения
ориентированного пространства U (со) на ориентированное
пространство U (со); именно, мы имеем
Ф(1/(5))=:е»<1>[/И. (40)
Последнее вытекает из того, что число элементов матрицы ||?/7|
не связанных соотношениями (38), в каждом столбце четно, а в
каждой строке сравнимо с о>(1) по модулю два [см. (8) и (10)]. Далее,
из соотношений (4) при со(1) = 0 и из (31) и (8) при о>(1)>о
следует
<p(Z((o))*=&MZ(<u). (41)
Сопоставляя соотношения (40) и (41), мы видим, что ориентация
пространства U (со) согласуется с ориентацией псевдомногообразия
Z(co). Нам остается показать, таким образом, что
/((/(со), £/(ю)) = + 1. (42)
Но это следует из того, что число элементов матрицы ||6,у|, не
связанных соотношениями (29), в каждом столбце четно [см. (7)
и (9)].
Итак, утверждение d) доказано. Из доказанных четырех
утверждений непосредственно вытекает справедливость теоремы 7. Для
удобства формулировки теоремы 8 введем следующее обозначение:
Z(u)=Z%; (43)
здесь функции со и % связаны соотношением
5(0 = Х(*-'+1) ('=1. •--. *)• (44)
Теорема 8. Коэффициенты ярх определяются соотношениями
аР^=4" J ^P- С45)
Доказательство. Полагая в соотношении (3) W = Zx и
принимая во внимание (2), получаем (см. теорему 7):
i
откуда и следует (45).
$р=дрх.2,
ЛИТЕРАТУРА
[1] Понтрягин Л. С, Некоторые топологические инварианты римановых
многообразий, Доклады Ак. наук СССР, XLIII, № 3 (1944), 95—98.
[2] Понтрягин Л. С. Характеристические циклы дифференцируемых
многообразий, Мат. Сб., т. 21 (63): 2 (1947), 232—284.

[3]
[6]
20. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ 465
Hoof H., Die Curvatura integra Clifford— Kleinscher Raumformen, Nachr.
Gesell., der Wiss. Gottingen (1925), 131—141.
p h a m G- de, Sur l'Analysis situs des varietes a n dimensions, J. Math,
mires et appl., 10 (1931), 115-200
H A _ — С Cll<> 1лП ItltfnFinnTf 1ПТП1
r51 car tan Ё., Sur les invariants integraux de certains espaces homogenes clos
et les proprietes topologiques de ces espaces, Ann. Soc. Pol. Math., 8(1929),
181—225. Извлечение напечатано в более распространенном у нас издании
Selecta jubile scientifique de M. Elie Cartan, Paris, 1939.
С hern Shiing-shen, A simple proof of the Gauss—Bonnet formula for closed
Riemannian manifolds, Ann. of Math. 45 (1944), 747—752.
m В ей ль Г., Классические группы, их инварианты и представления,
1 М.-Л., 1947.
131 Рашевский П. K-i Введение в риманову геометрию и тензорный ана-
1 лиз, М.—Л., 1936.
191 Понтр яги н Л. С, Векторные поля на многообразиях. Матем. сб.,
т. 24 (66): 2, 1949.

21
ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ*)
Введение
Содержание настоящей работы уже было частично опубликовано
мною в кратком изложении в ДАН [1]. Предлагаемая работа
существенно опирается на мою предыдущую работу [2].
Изучение особенностей векторного поля, заданного на
многообразии, было начато еще Пуанкаре в связи с теорией
обыкновенных дифференциальных уравнений. Хопф (Н. Hopf, [3])
показал, что сумма индексов особенностей векторного поля, заданного
на многообразии, равна эйлеровой характеристике этого многооб-
разия. Позже Штифель (Stiefel, [4]) изучил особенности системы
векторных полей, заданных на многообразии, и показал, что
особенности эти связаны с циклами, определяемыми самим
многообразием. Точная формулировка проблемы следующая:
Пусть Мк—fe-мерное дифференцируемое многообразие с
непрерывно вращающейся касательной, расположенное в эквклидовом
пространстве Rk+i размерности fe+/, /^1. Говорят, что на Мк
задано векторное поле v(x)> если каждой точке х$Мк
отнесен вектор v(x), начинающийся в точке х и лежащий в
6-мерном линейном npocfpaHCTBe Tx, касательном к Мк в точке х. При
этом предполагается, что вектор v(x) непрерывно зависит от х.
Можно было бы не предполагать, что дифференцируемое
многообразие расположено в эвклидовом пространстве, а считать его
абстрактно заданным. Однако предположение, что Мк расположено
в Rk+1j не является ограничением, и я принимаю его для
упрощения изложения.
Особенностью векторного поля v(x) называется такая
точка а £ Мк, в которой v (х) = 0. Если особая точка а изолирована,
то можно отнести ей целое число—индекс особенности
векторного поля. Хопф показал, что если все особые точки
векторного поля изолированы и многообразие замкнуто, то сумма
индексов особенностей равна эйлеровой характеристике
многообразия.
Штифель рассмотрел систему vx (х)> ..., vm (x), m < fe, векторных
полей, заданных на многообразии Мк. Точка а£Мк называется
*) Мат. сб.—Новая сер.— 1949,—Т. 24, № 2.—С. 129—162.

21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
467
собой для рассматриваемой системы векторных полей, если
векторы в ней линейно зависимы. Множество F всех особых точек
панной системы векторных полей, очевидно, замкнуто. Штифель
поставил в соответствие каждому натуральному числу т < k цикл
ym-i размерности т—1, лежащий в многообразии Мк и
определенный с точностью до гомологии самим многообразием, и
показал, что множество F является носителем этого цикла, т. е. что-
в каждой окрестности множества F содержится цикл, гомологичный
циклу Vя*-1. В случае, если цикл Vm~g не гомологичен нулю, этот
результат дает оценку массивности множества F, в частности,
показывает, что размерность его не меньше т—1. Штифель
показал также, что систему векторных полей можно выбрать так, чтобы
множество F было полиэдром |L|, где L—комплекс,
расположенный в Мк. Полиэдр \L\ при этом может быть выбран так, что
размерность его не превосходит т—1 и меньше этого числа, если
цикл Vm~1 гомологичен нулю.
В предлагаемой работе разбирается более общая, чем у Шти-
феля, задача об особенностях системы векторных полей на
многообразии. Оказывается, что при ее решении все характеристические
циклы X (см. [2]) выступают в той же роли, в какой циклы V"1"1 —
у Штифеля. Таким образом, при помощи характеристических циклов
решается довольно сложная геометрическая задача и, в частности,
показывается, что циклы Штифеля принадлежат к числу
характеристических. С другой стороны, дается интерпретация
характеристических циклов, представляющая новые возможности для их
вычисления.
Далее в работе разбирается задача о критических множествах
отображения одного дифференцируемого многообразия в другое.
Задача эта решается при помощи характеристических циклов в том
частном случае, когда второе многообразие есть эвклидово
пространство, но при решении ее появляются не все
характеристические циклы." Этим дается новый подход к вычислению некоторых
характеристических циклов, что и используется в работе.
Общий ход предлагаемого исследования таков:
Пусть Rk—векторное пространство размерности k. Рангом
системы ии ..., us векторов из Rk будем называть
размерность линейной оболочки этой системы. Пусть, далее,
ии ..., ит (1)
^-некоторая последовательность векторов из Rky и а—монотонно
неубывающая функция целочисленного аргумента А = 0, 1, .. ., fe—1,
принимающая лишь целые неотрицательные значения. Будем
говорить, что последовательность (1) подчинена
функции а, если m^(k—l) + a(fe—1) и если для всякого значения
Л = 0, 1, ..., k—1 система векторов
ии ..., иь+а (/jj (2)

Ji
463 21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
имеет ранг, не превосходящий числа А. Условие т^(&—. п .
+ a(k—1) выдвинуто для того, чтобы система (2) существовав
при каждом значении А. Местом скачка функции о* будем
считать всякое такое значение А=1, . ..,£—1 ее аргумента, при
котором от (А) > а (А—1). Места скачков функции о, записанные
в возрастающем порядке, образуют последовательность hu ..., А
Если а (0) > 0, то число Ао = 0 также будем считать местом скачка
функции от. Легко устанавливается, что последовательность (п
уже тогда подчинена функции о>, когда условие о ранге системы (2)
выполнено лишь для значений А, являющихся местами скачков
функции or. Ввиду этого, условие m^(k— 1) + a (k— 1) естественно
ослабить, заменив его условием:
m>hn_1 + o(h,^1), (3)
так как для векторов, номера которых превосходят Ая-1 + сг(А„_1),
налагаемые здесь условия подчинения бессодержательны.
Выберем функцию а специальным образом, положив
сг(О)^... = а(</—2)^0, aft— 1) =...=*(* —1) = 1, (4)
1<<7<£— 1.
Так как выбранная функция а имеет лишь одно место скачка
q—1, то, в силу (3), можно считать m = q, и подчинение
последовательности (1) функции а означает здесь, что система (1) линейно
зависима. Таким образом, мы имеем здесь дело с задачей Штифеля,
Общая задача формулируется так:
Определение 1. Пусть Мк—дифференцируемое ^-мерное
многообразие,
y(*)~{Pi(*). .-.. ».(*)} (5)
— последовательность векторных полей, заданных на нем, и а —
функция, удовлетворяющая условию (3). Точку а£Мк будем
называть особой точкой типа а для
последовательности (5), если в ней последовательность эта подчинена функции сг.
Очевидно, что множество Fa всех особых точек типа <у
последовательности (5) замкнуто в Mk.
Для формулировки связи указанной задачи с
характеристическими циклами, наряду с функцией а, будем рассматривать
функцию х, определяемую соотношениями:
x(i) = (T(&—i) (*=lf ..., k). (6)
Так определенная функция % может служить для построения
характеристического цикла Хх (см. [2], определение 4). Сверх того, будем
считать, что функция а и число т всегда связаны соотношением (3).
Оказывается, что имеет место следующая
Теорема 1. Пусть Мк—замкнутое ориентированное
дифференцируемое многообразие у V(x) (см. (5))—заданная на нем по-

21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ 469
довательность векторных полей] тогда множество FG является
слесателем характеристического цикла Хх, т. е. во всякой его окрест-
Н°сти содержится цикл, гомологичный циклу Хх (см. (6)).
Н° Нижеследующая теорема показывает, насколько произвольно
может быть задано множество FG особенностей.
* Теорема 2. Пусть Mk—дифференцируемое ориентированное
многообразие, К—некоторое его симплициальное разбиение, и К —
комплекс, дуальный к К, т. е. составленный из всех
барицентрических звезд комплекса К. Через Ks обозначим совокупность всех
барицентрических звезд из К, размерность которых не
превосходит s. Если Y—некоторый цикл из К, то через \Y\ обозначим
совокупность всех точек из Mk, принадлежащих тем звездам,
которые входят в Y с коэффициентами, отличными от нуля. Пусть,
далее, Хх—характеристический цикл многообразия Mk размерно-
*
emu k—г, г = г(%), X—цикл из К, гомологичный Х„, и
а—функция, определяемая из соотношений (6). Тогда на М* существует
последовательность V(x) векторных полей, такая, что множество
Fa особых точек типа а этой последовательности удовлетворяет
условию:
FG = \X\\}\K*-r-*\.
В частном случае, когда Хх~0, можно считать, что
множество | X j пусто, и потому множество FG имеет размерность k—г— 1.
Для того чтобы построить характеристические циклы при помощи
систем векторных полей, нужно ввести не только множество FG
особенностей, но и цикл AG особенностей. Для этого в первую
очередь приходится определить понятие, аналогичное понятию
индекса особенности векторного поля, что делается следующим
довольно громоздким способом.
Пусть Е'—ориентированный симплекс размерности г = г(%),
Ro—ориентированное fe-мерное векторное пространство и
U(x) = {ul(x), ..., ит(х)} (7)
— последовательность векторов в R%, непрерывно зависящих от
от точки х£Ег. Допустим, что существует лишь одна точка а £ Ег,
и притом внутренняя, для которой система (7) подчинена функции а
(см. (6)); ее мы будем называть особой точкой системы (7).
Определим кратность IG(U(x)) этой особенности как целое число,
или как вычет по модулю два, в зависимости от того, ориентируемо
псевдомногообразие Zx (см. [2]) или нет. Для этого рассмотрим
эвклидово векторное пространство Rk+l, l^m,c ортонормальным
базисом gl9 ..., gk+l. Наряду с функцией %, рассмотрим
функцию со, связанную с % соотношением: о>+%==/. Линейную
оболочку векторов gl7 ..., gi+(da) обозначим через R(. Тогда после-

470 21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
довательность Rl9 ..., Rk линейных подпространств пространства
Rk+l определяет псевдомногообразие Z((o) = Zx (см. [2],
определение 2 и § 3, С)). Будем считать, что /?§ содержится в линейной
оболочке векторов glf ..., gk+i-mi и пусть е[, ..., e'k—некоторый
базис пространства /?*, задающий его ориентацию. Положим
т
здесь (e'i9 Uj(x)) обозначает скалярное произведение векторов е'
и Uj(x) в Rk+K Обозначим через 9* (#) ориентированную линейную
оболочку векторов последовательности (8). Таким образом
определено отображение 6* симплекса Ег в Н (k, /), причем существует
лишь одна точка а£Ег, образ которой при отображении 9* лежит
в Zx. Положим
/а ((/(*)) = /(Zx, 0* (£'))• (9)
Здесь индекс пересечения, стоящий справа, есть целое число, когда
Zx ориентируемо, и вычет по модулю два—в противном случае.
Так определенная кратность особенности не зависит от числа /
и других случайных элементов построения. Кратность особенности
не меняется, если система U(x) непрерывно изменяется, но так,
что при этом единственной особой точкой остается а.
Цикл особенностей определяется следующим образом:
Пусть Мк—замкнутое ориентированное дифференцируемое
многообразие, и V (х)—последовательность векторных полей, заданная
на нем. Допустим, что множество FG особенностей этой системы
представляет собой полиэдр \L\ размерности k—г, г = г(%), где
L есть комплекс, расположенный в Мк так, что каждый его
симплекс представляет собой дифференцируемое ограниченное
многообразие в Мк. Пусть Ек~г—произвольный ориентированный
симплекс из L размерности k—г, а—его внутренняя точка и /?о —
fe-мерное линейное ориентированное пространство, касательное
к Мк в точке а. Пространство R% мы будем рассматривать как
векторное с началом в точке я. Через Ег обозначим малый
ориентированный симплекс размерности г, расположенный в Мк и
пересекающийся с | L | лишь в одной своей внутренней точке а, причем
1(Ек~гу £г) = + 1. Если х£Ег, то обозначим через uf(x) вектор
из /?§, параллельный проекции вектора Vj(x) на /?§. Таким обра;
зом, возникает последовательность
1/(*) = {М*), •••. "»(*)} (10>
векторов в R%, непрерывно зависящих от точки х£Ег9 причем
единственной особой точкой этой последовательности является
точка а. Ввиду этого определена кратность I0(U(x)) особенности
системы (10) в точке а. Положим

21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
471
Оказывается, что XG(Ek~r) зависит лишь от системы V(x) и
симплекса Ек~г. Определим теперь цепь XGt считая, что каждый
симплекс Ек~г из L входит в нее с коэффициентом XG(Ek~r).
Оказывается, что XG есть цикл; его мы будем называть циклом
особенностей системы V (х) относительно функции а.
Нижеследующая теорема дает связь между циклами
особенностей и характеристическими циклами.
Теорема 3. Цикл X'G особенностей последовательности V(х)
векторных полей, заданных на многообразии Mk, гомологичен
характеристическому циклу Хг многообразия Mk (см. (6)).
На основании теоремы 3 доказывается нижеследующая теорема,
которую, впрочем, можно было бы доказать и проще.
Теорема 4. Характеристическое число Хх многообразия Мк
равно его эйлеровой характеристике (см. [2], § 6, С)).
Перейдем теперь к вопросу о критических множествах и циклах
отображений одного дифференцируемого многообразия в другое —
вопросу, который тесно связан с вопросом об особых множествах
и циклах систем векторных полей.
Пусть Mk и Рт—два дифференцируемых ориентированных
многообразия размерностей k и т, и /—дифференцируемое
отображение многообразия Мк в Рт. Пусть, далее, а£Мк, b = f(a)
и Vm—некоторая окрестность точки Ь в Рт с местными
координатами у1, ..., ут, задающими ориентацию многообразия Рт.
Через Uk обозначим такую окрестность точки а в Мку что f(Uk) с:
с Vm и что в ней имеются местные координаты х1, ..., хк,
задающие ориентацию многообразия Мк. Отображение / окрестности Uk
и Vm в координатной форме запишется так:
У*Ч'(х)Ч'№ .--. **) (/=1. •••. т). (12)
Рассмотрим функциональную матрицу F(x) = д ' *' этого
отображения. Ранг ее не превосходит чисел k и /п. Зададимся
неотрицательным целым числом р\ р < &, р < /п. Точку а будем называть*
критической точкой типа р отображения /, если ранг
матрицы f(a) не превосходит числа р. Легко видеть, что ранг
матрицы F(a) не зависит от систем координат, выбранных в Uk
и Vm. Множество всех критических точек типа р отображения /
обозначим через Fp. Очевидно, что Fp замкнуто в Мк.
Если Рт есть числовая прямая, а р = 0, то мы приходим
к обычному понятию критической точки действительной числовой
Функции f(x), заданной на многообразии Мк. В случае, если Рт
есть эвклидово пространство размерности /п, мы приходим к
понятию критической точки типа р системы из т действительных
числовых функций, заданных на Мк.
Градиент функции р'{х) (см. (12)) обозначим через v;(x). Тогда
мы имеем последовательность векторов
V(x) = {vl(x), ..., vm(x)}t (13)

472
21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
заданных на Uk. Легко видеть, что точка x£Ufc тогда и только
тогда является критической типа р для отображения /, когда
последовательность (13) подчинена функции а, определяемой
соотношениями:
а(0)= ... = а(/?—1) = 0, а(/7)= ... =a(k— l) = m = p. (14)
Эгой функции а соответствует (см. (6)) функция х» определяемая
соотношениями:
Х(1)= ... =х(*—P) = rn—p, x(k—p+l)=--.=x(k) = 0. (15)
Далее, мы имеем:
r{l) = (k—P)(m—/?) = г. (16)
В дальнейшем с числами т и р мы всегда будем связывать
функции о и %, а также число г, указанные здесь.
Критический цикл определяется аналогично особому.
Допустим, что критическое множество Fp отображения
замкнутого многообразия Мк в многообразие Рт представляет собой
полиэдр |L| размерности k—г (см. (16)), где L—комплекс,
расположенный в Мк так, что каждый его симплекс представляет
собой дифференцируемое ограниченное многообразие в М*. Пусть
Ек~г—произвольный ориентированный симплекс из L, a—его
внутренняя точка, Uk—координатная окрестность точки а, Ег—малый
ориентированный симплекс из Uk, пересекающийся с \L\ лишь
в одной своей, и притом внутренней, точке а, причем / (£*~г, Ег) =
= +1. Через R$ обозначим /ммерное ориентированное касательное
линейное пространство к Мк в точке а, которое мы будем
рассматривать как векторное пространство. Если х (Е £г, то обозначим
через Uj (x) вектор из /?§, параллельный проекции вектора v} (х)
на R\ (vj(x) есть градиент функции /'(*)). Таким образом,
возникает последовательность
U(x)=^{u1(x)t ..., um(x)} (17)
векторов из Ro, непрерывно зависящих от точки х£Ег, и можно*
определить кратность IG(U(x)) ее особенности в точке а (см. (14)).
Положим
X'p(E*-r) = IG(U(x)).
Определим теперь цепь Х'ру считая, что каждый симплекс Ек~~г
из L входит в нее с коэффициентом Х'р(Ек~г). Оказывается, чта
Х'р есть цикл; его мы будем называть критическим циклом
отображения / многообразия Мк в многообразие Рт.
Нужно думать, что класс гомологии цикла Хр зависит лишь
от гомологических инвариантов отображения /. Здесь этот вопрос
будет разобран, однако, лишь для случая, когда Рт есть
эвклидово пространство. Он решается нижеследующей теоремой:

21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
473
Теорема 5. Пусть Мк—замкнутое ориентированное диффе-
оенцируемое многообразие, и f—его дифференцируемое
отображение в ориентированное эвклидово пространство Рт. Множество Fp
критических точек отображения f является тогда носителем
характеристического цикла Хх (см. (15)), т. е. в каждой
окрестности мнооюества Fp содержится цикл, гомологичный циклу Хх.
Далее у если Fp есть полиэдр |L|, то критический цикл Х'р
гомологичен характеристическому циклу Хх.
На основании этой теоремы доказывается нижеследующая
теорема относительно характеристического числа Xlk = Xx при
функции х» заданной так:
Х(1) = *. Х(2)=...=Х(*) = 0. (18)
Теорема 6. Для замкнутого ориентированного
дифференцируемого многообразия Мк характеристический вычет Xlk (см. (18))
всегда равен нулю.
Характеристический вычет Xlk не является основанием (см.
[2], § 6, В)); его обращение в нуль означает некоторое
соотношение между основными характеристическими числами и вычетами.
Для fe = 2 соотношение это дает лишь четность эйлеровой
характеристики. Для k = 4 оно приводит к тому факту, что эйлерова
характеристика Хх многообразия М4 и второе его
характеристическое число Х22 (см. [2], § 6, D)) сравнимы между собой по
модулю два.
§]|1. Векторные поля и характеристические циклы
Здесь будет сформулирована задача об особенностях системы
векторных полей на многообразии, более общая, чем задача Шти-
феля. Будет показано, что для каждого характеристического
цикла Хх многообразия Мк (см. [2], определение 4) существует
такая постановка вопроса об особенностях системы векторных полей
на Мк, при которой цикл Хх связан с множеством особенностей
(см. теоремы 1 и 2) подобно тому, как это имеет место у Штифеля.
Таким образом, все характеристические циклы получат
интерпретацию при помощи векторных полей. В следующем параграфе
характеристические циклы будут определены непосредственно как
Циклы особенностей векторных полей.
А) Пусть Rk—векторное пространство размерности k. Рангом
системы и19 ..., us векторов из Rk будем называть размерность
линейной оболочки этой системы. Пусть, далее,
«ь ••••«. 0)
— некоторая последовательность векторов из Rk, и а—монотонно
неубывающая функция целочисленного аргумента h = 0,1, ..., k—1,
принимающая лишь целые неотрицательные значения. Будем гово-

474 21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
рить, что последовательность (1) подчинена функции а, если щ^ i
^ (k— 1) Н- а (fe— 1) и если для всякого значения Л = О, 1, ..., kS\ j
система векторов \
и1> • • •» uh+a(h) (2)
имеет ранг, не превосходящий числа Л. Если а(0) = 0, то си-
стема (2) при А = 0 пуста и ранг ее равен нулю. Условие щ^>
^(k—l)-fa(fe—1) выдвинуто для того, чтобы система (2) сущ^
ствовала при каждом значении А. Местом скачка функции a
будем считать всякое значение А = 1, ..., k—1, при котором j
a(A)>a(A—1). Места скачков функции сг, записанные в
возрастающем порядке, образуют последовательность
*и • • •, Ли-1. (3)
Если a (0) > 0, то число А0 = 0 также будем считать местом скачка
функции а, и в этом случае вместо последовательности (3) будем
рассматривать последовательность
А0, hl9 ..., hn_x. (4)
Ниже будет показано, что последовательность (1) подчинена
функции а уже тогда, когда требование относительно ранга системы (2) !
выполнено лишь для значений А, входящих в последовательность (3) |
или, соответственно, последовательность (4). Ввиду этого условие
m^(k—l) + o(k—1) естественно заменить условием:
™>A„-i + ff(/*„-i). (5)
Если последовательность (2) при h = hp (/? = 0, ..., п—1) имеет
ранг, точно равный числу Ая, то будем говорить, что
последовательность (1) точно подчинена функции а.
Допустим, что ранг системы (2) не превосходит числа А для
каждого А, входящего в последовательность (3), или,
соответственно, последовательность (4), и покажем, что тогда
последовательность (1) подчинена функции а. Если а(0) = 0, то система (2)
пуста при А = 0, и следовательно, требование относительно ее i
ранга выполнено автоматически. Допустим теперь, что А не есть
место скачка функции а и что система
Ul9 .••, Uh-1 + g (А- 1) (6)
имеет ранг, не превосходящий числа А—1. Так как a(A) = a(A—1),
то система (2) содержит лишь на один вектор больше, чем
система (6), ранг которой не превосходит числа Л—1. Отсюда
следует, что ранг системы (2) не превосходит числа А. Таким
образом, наше утверждение доказано.
В) Пусть т < k\ рассмотрим функцию а, определяемую
условиями:
при Л<т—1: а(Л) = 0; при h^m—1: а(Л)=^1,

21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ 475
выясним, при каких условиях последовательность (1) подчинена
й определенной функции а? Единственным местом скачка функ-
яи <У является число т— 1, и так как/n — (т—1) + о(т—1), то
ц овие (5) выполнено. Далее, последовательность (1) подчинена
функции а, если для h = m—1 система (2) имеет ранг, не
превосходящий числа т—1. При ft=m— 1 система (2) переходит
нашем случае в систему (1). Таким образом,
последовательность (1) тогда и только тогда подчинена функции а, когда ранг
ее меньше т.
Определение 1. Пусть Мк—fe-мерное дифференцируемое
ориентированное многообразие, расположенное в эвклидовом
пространстве Rk+1, и
М*). ■••.М*) (7)
— последовательность векторных полей, заданных на Мк. Это
значит, что вектор Vj{x) имеет своим началом точку х£Мк и
расположен в касательной Тх к многообразию Мк в точке х. Пусть,
далее, а—такая функция, что выполнено Условие (5) (см. А)).
Будем говорить, что точка а £ Мк является особой точкой
последовательности (7) относительно функции а,
если векторы последовательности (7) при х = а подчинены
функции а. Так как векторные поля последовательности (7)
предполагаются, естественно, непрерывными, то множество FG всех особых
точек замкнуто.
Замечание В) показывает, что при специальном выборе
функции а мы получаем особые точки в смысле Штифеля.
Для установления связи между характеристическими циклами
и особыми множествами FG докажем следующее элементарно
геометрическое предложение: •
С) Пусть Rk+t—эвклидово векторное пространство, в котором
скалярное произведение двух векторов и, v будем обозначать
через (и, v). Пусть, далее, Р и R'—два векторных
подпространства пространства Rk+l, являющихся ортогональными
дополнениями друг друга, и Rk—произвольное векторное
подпространство пространства Rk+l. Положим R' = Rk П R и обозначим через Р'
ортогональное дополнение пространства R' в пространстве Rk.
Ортогональную проекцию вектора y£Rk+l на Rk обозначим через
'Ф(у). Оказывается, что
Выберем в Rk ортонормальный базис еи ...,** так, чтобы
векторы еи ...,£5 составляли базис пространства Р'\ тогда
es+i* ..., ек составляют базис в R'.
При y£Rk+l мы имеем:
к
*(У)=2(У. *!>*/• (8)
1=1

476 21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
Так как каждый вектор eh i > s, ортогонален к каждому
вектору у из Р, то при у £Р соотношение (8) переходит в
t (У) = 2 («/- в,) в/. (9)
S
Таким образом, ф(Р)сЯ'. Пусть теперь 2=22^—произволу
i = i
ный вектор из Р'\ рассмотрим систему уравнений:
{У> */) = */ (i=*l, ..., s), (Ю)
относительно компонент вектора у gP (базис в Р выбирается
произвольно и не выписывается явно). Покажем, что левые части
системы (10) линейно независимы. Пусть аи ...,
as—произвольная система чисел такая, что
S
2 (#> */)<*/ = 0 при у£Р. (11)
Будем трактовать числа аи ..., я5 как компоненты вектора а^Р'
относительно базиса elf ..., в5; тогда соотношение (11) получает
вид (у, я) = 0. Это значит, что вектор а ортогонален
произвольному вектору у£Р и, следовательно, принадлежит /?. С другой
стороны, а принадлежит Р'. Соотношения же а £#, а£Р'
выполняются одновременно лишь при а = 0. Таким образом, система (10)
всегда разрешима и, следовательно, ф(Р)=*Р\
D) Пусть R*+i—эвклидово векторное пространство, Н (k, /) —
многообразие всех его ориентированных ^-мерных подпространств и
— некоторый ортонормальный базис в Rk+l. Если Rh cz H (fe, /),
то проекцию вектора y£Rk+l на #* обозначим через г|э(у) и
положим
tt/e*fe*+i+i-y) (/=!» ....*+0* (13)
Зададимся теперь функцией а (см. A))f удовлетворяющей условию:
а (*_!)</, (14)
усиливающему условие (5), с тем, чтобы исследовать, подчинена
ли последовательность (13) функции а (здесь m = k + l). Для этого
определим функцию % соотношением:
X(i) = a(k—i) (i-1, ..., k). (15)
Тогда х может служить для построения псевдомногообразия Z3C==
=Z(co), где <d=Z—х (см- [2]t § 3, С)). Выберем пространства
Л, .... /?*, (16)

21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ 477
жащИе для построения псевдомногообразия Z(o) (см. [2], опре-
°еление 2), приняв за базис пространства R{ систему векторов
gi» • • •> g<d(i) + i- (17)
Оказывается, что последовательность (13) тогда и только тогда
подчинена функции а, когда #*€Z(<o).
Ортогональное дополнение пространства R{ в пространстве Rk+t
обозначим через Р(. Тогда Р( имеет базис:
g&w+i+u • • •. g'k+i- (18)
Положим, далее, Ri*=Rk()Ri и обозначим через Р\
ортогональное дополнение пространства R\ в пространстве Rk\ тогда, в силу С),
имеем: тр(Р() = Р1. Из этого следует, что, проектируя базис (18)
пространства Р( на Rk, мы получаем в R* систему векторов,
линейная оболочка которой совпадает с Р\ и, следовательно, имеет
ранг s^DfPJ). Проектируя систему (18) на пространство Rk9 мы,
в силу (13) и (15), получаем систему
ранг которой, по доказанному, равен si = D(P'i). С другой
стороны,
D (Я* л Ri)=D(R'i) = k —D (/>;)= *—s,. (20)
Допустим, что Rh g 1 (со); тогда k—s{ > / (i *= 1, ..., k)
(см. (20)), а это значит, что ранг системы (19) не превосходит
числа k—i при произвольном /=^1, ..., k, т.е.
последовательность (13) подчинена функции а.
Если, наоборот, последовательность (13) подчинена функции о>
то ранг системы (19) не превосходит числа k—/, и потому
D(Rkf)Ri)>i (* = 1, ..., *). т.е. #*€Z(co).
Таким образом, утверждение D) доказано.
Е) Пусть Rk+r cz Rk+l. Ортонормальный базис (12)
пространства Rk+l будем считать выбранным так, что векторы
gi» ..•, gk+v (21)
составляют базис пространства Rk+i\ Пусть, далее,
8'—непрерывное отображение комплекса К в Н (й, /'). Допустим, что
каждой точке х£К соответствует последовательность
и[(х)9 ..., ит{х), m = k—l' (22)
векторов, лежащих в 9' (х) и непрерывно зависящих от х. За о
примем некоторую функцию, удовлетворяющую условию (5), и
при ее помощи, так же как в D), построим псевдомногообразие
Zxc: H (ky I). Тогда существует отображение 9 комплекса К
в Н (k, /), удовлетворяющее следующим условиям:
а) отображения 9' и 9 комплекса К в Н (k, l) гомотопны
между собой;

478
21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
b) ортогональное проектирование пространства 9' (х) в
пространство 9(х) происходит без вырождения;
c) ортогональная проекция последовательности (22) на 0(л;)
есть последовательность
их(х), ..., ия(х), (23)
которая совпадает с ортогональной проекцией на 9(л:)
последовательности
gk+i+i-/ (/=1. ••> гп). (24)
Из этого, в силу D), вытекает непосредственно, что 0(лг) тогда и
только тогда принадлежит Zx, когда последовательность (22)
подчинена функции а, ибо последовательности (22) и (23) подчинены
или не подчинены функции а одновременно.
Пусть el .. ч е'ь—произвольный базис пространства 9' (х).
Положим
т
*i(t) = e't+t 2 (el u}(x))gk+l+A_j (i = l, ..., k), (25)
/ = i
где t есть действительное число, O^f^l. Линейную оболочку
векторов e1(t)t ..., ek(t) обозначим через Qt(x). Легко видеть,
что 6f(x) не зависит от случайно выбранного в 9'(лг) базиса
е'и ..., e'k, так как линейному преобразованию этого базиса
соответствует то же преобразование базиса ехЦ), ..., ek(f). Таким
образом, Qt(x) непрерывно зависит от пары х, ty и мы имеем
непрерывную деформацию отображения 9' = 90 в отображение 9 = 0!.
Базис пространства 0(х) задается соотношениями:
т
ei = ei(\)=±e'1+ 2 (el u}(x))gk+l+l_f (i=lt ..., k). (26)
/ = i
Ортогональная проекция пространства 9 (x) в пространство 9' (х)
происходит без вырождения, так как при проектировании
вектор eh очевидно, переходит в вектор е\ (см. (26)). Отсюда
вытекает, что в 0(л:) нет отличных от нуля векторов, ортогональных
к 0'(л;). В силу сказанного, на основании С), мы заключаем, что
пространство 0' (х) проектируется на все пространство 0 (х) и,
следовательно, без вырождения. Так как проектирование
пространства 0' (х) на пространство 0(х).происходит, без вырождения, то
последовательности (22) и (23) подчинены или не подчинены
функции а одновременно.
Непосредственно проверяется (см. (26)), что
(et, и) (х)) = (eh gk+i+i-j) (i = 1, • • ■, m),
а отсюда следует, что и для произвольного вектора у£®(х)
(У, и}(х)) = (у, gk+l+1-j) (/=1, -.., m).

21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
47$
Таким образом, проекции векторов и)(х) на gk+l+1_f на 9(х)
совпадают между собой.
Так как а удовлетворяют условию (5), то последовательности
(23) и (13) (где Rk = Q(x)) одновременно подчинены или не
подчинены функции а. Тиким образом, в силу D), пространство 6 (а:)
тогда и только тогда принадлежит Zx, когда последовательность
(22) или, что то же самое, последовательность (23), подчинена
функции а.
Итак, предложение Е) доказано.
Теорема 1. Пусть Mk—ориентированное
дифференцируемое многообразие, и
М*). ...,»«(*) (27)
— последовательность непрерывных векторных полей, заданных на
нем. Пусть, далее, а—функция, удовлетворяющая условию (5),
ра—подмножество всех точек из Мк, в которых
последовательность (27) имеет особенность относительно функции а (см.
определение 1), и х—функция, заданная соотношением (15). Тогда
множество FG является носителем характеристического цикла Хх,
т. е. во всякой окрестности множества Fa имеется цикл,
гомологичный циклу Хх. Отсюда, в частности, следует, что если цикл
Хх не гомологичен нулю в Мк\ то множество FG имеет
размерность, не меньшую чем размерность k—г {у) цикла Хх.
Доказательство. Пусть Мк cz Rk+l' cz Rh+l, I—V— m.
Тангенциальное отображение Т многообразия Мк в Н(k, l')cz
с H(k, l) обозначим через 9', а векторы пространства 8' (х),
параллельные векторам системы (27),— через
и[(х), ..., и'т(х). (28)
Мы находимся в условиях применимости предложения Е) кК = Мк.
Таким образом, существует отображение 9 многообразия Мк
в Н (k, l), эквивалентное тангенциальному и такое, что
FG = Q-4ZxnQ(M*)). (29)
Пусть 92—отображение, весьма близкое к 9 и такое, что %(Мк)
уже находится в общем положении с Zx. Ввиду близости
отображения 92 к отображению 9, множество Q^1 (Z% П 92 (Мк)) находится
в произвольной близости к множеству FG (см. (29)). С другой
стороны, так как Г и 9 эквивалентны, мы имеем:
xx~e,-i(zxxe1(Ai*)). (30)
Из сказанного вытекает, что в произвольной близости множества
/\т имеет цикл, гомологичный характеристическому циклу Хх.
Таким образом, теорема доказана.
Лемма. Пусть 9—непрерывное отображение комплекса К
в многообразие Н (k, l) с характеристическим V-циклом Y%
размерности г(%) = г (см. [2], § 3, D)) и Y—некоторый V-цикл из /С,

480 21- ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
гомологичный У§. Тогда существует отображение 9Х комплекса К
в Н (ky /), эквивалентное отображению 9 и такое, что для любого
симплекса Ег размерности г из К выполнены условия:
1) если F(£r) = 0, то 91(£г) не пересекается с Zx\
2) если У(Ег)фО, то
I(Z%je(Er)) = Y(E') (31)
и единственной точкой симплекса Егу переходящей в множество Z
при отображении 9lt является его центр О. *
Доказательство. Совокупность всех симплексов
комплекса /С, размерность которых не превосходит числа s, обозначим
через Ks. Мы можем считать, что 9 (/С""1) не пересекается с Zx.
a) Пусть fu 0^/^1,— непрерывное семейство отображений
комплекса /С7""1 в H(k9 /), такое, что /0 = 9 и ft(x) = 9 (л:) при
х£\Кг~2\. Если £г"1—произвольный (г—1)-мерный симплекс
из К у то семейству ft соответствует отображение / произведения
Er~x-J симплекса Е1"1 на отрезок J:
f(x-t) = ft\x), x£E'-\ t$j.
Положим
Г£(£'-») = /(Zx, f{E'-*.J)). (32)
Здесь У1 есть (г—1)-мерная V-цепь в К, определяемая
семейством ft. Без труда можно выбрать такое семейство fu чтобы V-депь
Yfx была равна произвольной наперед заданной. Распространим
теперь деформацию ft на весь комплекс К\ тогда, как легко видеть,
Yb-Y^VYL (33)
Выберем цепь Yf%, положив Y—Y% = yYfx. Тогда
Y (£') = у£* (Ег) = / (Zx, h (£0). (34)
b) Пусть Er—произвольный r-мерный симплекс из К. Без
ограничения общности можно предположить, что в Ег имеется
лишь конечная совокупность аи ..., aq точек, переходящих при
отображении ft в Zx, $г (ap) = a'p€Zx (/? = 1, ..., q). Можно также
предположить, что у каждой точки ар имеется в Ег малая
шаровая окрестность Нру переходящая при отображении fx в малую
площадку, ортогональную к Zx: f(Hp) = Hp (/7=1, ...,?).
Заставим теперь каждую точку ар двигаться из ее первоначального
положения ар в новое ар вдоль некоторой кривой kp,
проходящей в Zx. Пусть и каждая площадка Нр движется в Н (fe, /) к новому
положению Нр как твердое тело, следуя движению своего центра
ар и сохраняя ортогональности к Zx. В процессе этого движения
граница площадки Нр опишет цилиндрическую поверхность Ср.
Заменяя в образе симплекса Ег при отображении fx каждую
площадку Нр поверхностью Ср вместе с площадкой Н"р, мы получим

21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
481
новое отображение /2 симплекса Ег, эквивалентное отображению /х.
Деформацию ft, 1 ^ / ^ 2, можно теперь распространить на весь
комплекс К. Заметим, что если псевдомногообразие Zx неориенти-
пуемо, то, выбирая кривую kp замкнутой и обобщающей
ориентацию' на Zx, мы получаем:
±1=/(ZX, HP) = -I(ZX, H"p). (35)
Пусть U—окрестность некоторой точки a£Zx в Я (fe, Z), и
£/' = £/Г) Zx—окрестность той же точки в Zr Здесь U есть
координатное пространство, а £/'— координатная плоскость в нем
(см. [2], § 1, А) и С)). Мы можем считать, что все точки а[, ...,a"q
лежат в и'. Далее, если Zx неориентируемо, можно добиться того,
что /(!/', /,(£')) = 0, когда Y(£0 = 0 (см. (35)).
c) Пусть L—простой полигон из Ег, содержащий все точки
я^ ..., aq, а также центр О симплекса £г. Пользуясь тем
фактом, что фундаментальная группа области Я (fe, I)—Zxтривиальна
(см. [2J, § 1, Н)), можно построить такую деформацию ft, 2<f<3,
отображений полигона Lb Н(k, I), что во время этой деформации
придут в движение лишь точки множества L — (Hl (J .. • иЯ^), и,
двигаясь, они не встретятся с Zx, причем результат деформации
будет удовлетворять условию /, (L)c£/. Далее, деформацию
ft, 2 ^ t ^ 3, можно распространить на весь комплекс К таким
образом, чтобы совокупность всех точек из Ег, переходящих в Z%
при отображении /3» по-прежнему состояла из аи ..., av причем
/([/', f3(Er)) = I{U\ f(Er)). Так как f(L) cz U, то существует
настолько малая окрестность Я полигона L в Егу что замыкание ее
Я гомеоморфно шару и f3(H) с: U.
d) Координатную плоскость пространства £/, дополнительную
к плоскости £/', обозначим через [/", и будем считать, что а есть
начало координат в У. В векторном пространстве U вектор f3(x),
х£Н", можно записать в форме /3 (х) = /з (х) 4- fl {*), где f3 (*) 6 ^'»
/з (х) £ £/". Отображение /з шара Я в £/" имеет в точке а степень,
равную I(U', f3(Er)). Если /(£/', /3(^0) = 0, то определим
деформацию /7, 3^/^4, отображений шара Н ъ U" так, чтобы она
не смещала границы шара Я и чтобы множество fl(H) уже не
содержало точки а. Такая деформация существует, в силу
известной теоремы Хопфа. Если / (£/', /3 (Ег)) Ф0, то деформацию
ft, 3=^*^4, определим так, чтобы она не меняла отображения
на границе шара Я и чтобы единственной точкой из Я,
переходящей в а при отображении fl, была точка О. Деформацию
fu 3</<4, определим, положив ft(x) = f's(x) +fi(x) при х£Н
и ft(x) = fz(x) при х£Ег—Я. Деформацию /t можно
распространить на весь комплекс /С. Отображение 9i = /4 и есть искомое.
Итак, лемма доказана.
Теорема 2. Пусть Mk—дифференцируемое ориентированное
многообразие, К—некоторое его симплициальное разбиение, и
16 Л. С. Понтрягин, т. I

482
21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
К—комплекс, дуальный к /С, т. е. составленный из всех барц.
центрических звезд комплекса /С. Через Xs обозначим совокупность
всех барицентрических звезд из К, размерность которых не
превосходит s. Если Z—некоторый цикл из /С, то через \Z\
обозначим совокупность всех точек из Mk, принадлежащих тем звездам
которые входят в Z с коэффициентами, отличными от нуля.
Пусть, далее, Хх—характеристический цикл многообразия Mk
размерности k—r{r = r{y)), X—цикл из К, гомологичный Хх
и а—функция, определяемая из соотношения (15). Тогда на Mk
существует последовательность векторных полей
»i(4 •••. »•(*). (36)
такая, что множество FG особенностей этой последовательности
относительно функции о удовлетворяет условию:
Fa = \X\u\Kk
-r-i
В частном случае, когда цикл Хх гомологичен нулю, можно
считать, что множество \Х\ пусто, и потому в этом случае
множество FG имеет размерность k—г—1.
Доказательство. Пусть Mk a Rk+1 и Т0—тангенциальное
отображение многообразия Mk в H(k, /). Черезgl9 --.igk+i
обозначим некоторый ортонормальный базис пространства Rk+l, и
через Zx—псевдомногообразие, строящееся из этого базиса так,
как было указано в D). Характеристический V-Цикл комплекса К,
получаемый из отображения Т0, обозначим через Yx, a v-цикл,
дуальный циклу X,— через К. Тогда Yx ~ Y, и мы находимся
в условиях применимости леммы настоящего параграфа, если
положить Г0 = 9, Г1 = 91. Семейство отображений, дающее переход
от Т0 к 7\, обозначим через Tf, O^tf^l.
Ортогональную проекцию вектора y£Rk+l на пространство
Тх(х) обозначим через tyx(y) и положим
Uj(x9 l) = yx(gk+i+i-/) (/=1, .... *+/; fe+/ = m). (37)
В силу D), последовательность (37) тогда и только тогда
подчинена функции а, когда Тг (х) £ Zx. Обозначим через Ks
совокупность всех симплексов из К, размерность которых не
превосходит s. В силу леммы, последовательность (37) при xg|/Cr|, тогда
и только тогда подчинена а, когда х есть центр симплекса Er g /С,
удовлетворяющего условию Y(Ег)фО.
Существует настолько большое натуральное число п, что при
\f—V | ^ 1/п проектирование пространства Тг(х) на
пространство Tf(x) происходит без вырождения {х£\Кг\). Пусть /? — О,
1, ..., п. Построим в пространстве Tt(x), t = — ,x£\Kr\> после-
i if

21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ 483
довательность векторов
иг(х, t)y ..., ит(х, t). (38)
Для р = п она уже имеется (см. (37)). Допустим, что она
построена для данного р\ для меньшего значения р построим ее путем
проектирования последовательности (38) на пространство Tt(x)t t=
^.^р—1)/л. Так как при каждом проектировании подчиненность
функции а сохраняется, то получающаяся в конце концов
последовательность
их(х, 0), ..., ия(х9 0) (39)
векторов, лежащих в Т0(х), х£\Кг\, тогда и только тогда
подчинена а, когда х есть центр симплекса ЕГ^К, удовлетворяющего
условию У(Ег)фО.
Перенесем последовательность (39) параллельно в
пространстве Rk+l так, чтобы начала векторов попали в точку лг€|/Сг|.
Векторы полученной так последовательности обозначим по порядку
через
М*)» •••> »•(*). (40)
Таким образом, на \КГ\ уже построена последовательность (40)
векторных полей. Будем распространять ее на Мк так, как это
делал Штифель. Допустим, что последовательность (40) уже
распространена на \KS\9 s^r, и будем распространять ее на |/С,+1|.
Пусть Es+1—произвольный (s-f 1)-мерный симплекс комплекса /С;
центр его обозначим через а, границу — через F. Пусть xgF.
Через хи 0^ t ^ 1, обозначим точку, равномерно и прямолинейно
движущуюся из положения х0 = а в положение хг — х. Размерность
и прямолинейность понимается здесь в смысле внутренних
барицентрических координат симплекса Es+1. Последовательность (40)
уже определена в точке х1 = х; будем переносить ее параллельно
вдоль отрезка (х, а), одновременно умножая на число /, так,
чтобы в а все векторы обратились в нуль. Параллельный перенос
понимается в смысле внутренней римановой метрики в Мк. Так
полученная на всем многообразии Mk последовательность (40)
векторных полей удовлетворяет требованиям теоремы.
§ 2. Циклы особенностей векторных полей
Здесь характеристические циклы многообразия будут построены
непосредственно как циклы особенностей векторных полей,
заданных на нем. Такое построение представляет интерес, ибо в
некоторых случаях оно может служить для вычисления
характеристических циклов.
В этом параграфе мы будем предполагать, что функции а, х>
со, встречающиеся в одном и том же математическом предложении,
16*

484 21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
связаны соотношениями:
1[i) = a{k—/) = / —со(/) (/=1, ...,&). (1)
Точно так же мы будем предполагать, что число т векторов системы
удовлетворяет условию:
™=-<7(Л*-1) + А„-1 (см. § 1, (5)). (2)
А) Пусть Ег—ориентированный симплекс размерности г=г(%)у
Ro—ориентированное ^-мерное векторное пространство, и
U(x) = {u1(x), ..., ит(х)} (3)
— система векторов в /?§, непрерывно зависящих от точки х £ Ег.
Допустим, что существует лишь одна точка а£Ег, и притом
внутренняя, для которой система (3) подчинена функции а; ее мы
будем называть особой точкой системы (3). Определим
кратность IG(U(x)) этой особенности как целое число, или как
вычет по модулю два, в зависимости от того, ориентируемо
псевдомногообразие Zx или нет. Для этого рассмотрим эвклидово
векторное пространство Rk+l (l^m) с ортонормальным базисом
g"i» •• •• ek+v (4)
Благодаря выбору этого базиса, функции со соответствует вполне
определенное псевдомногообразие Z0(co), которое мы обозначим
через Zx (см. [2J, § 4, А)); при этом Zx имеет вполне
определенную ориентацию, если только оно ориентируемо. Будем считать,
что R\ содержится в линейной оболочке векторов glf ..., gk+4_m,
и пусть е'и ..., e'k — некоторый базис пространства R$t задающий
его ориентацию. Положим
т
*?(*)=*<+2 (*/'. ty(*))fik+i+w (/=1> • •> k) (5)
и обозначим через Q*(x) ориентированную линейную оболочку
последовательности (5). Таким образом, мы имеем отображение 8*
симплекса Ег в Н (&, /), причем существует лишь одна точка а
в Егу образ которой при отображении 0* лежит в Zx (см. § 1,Е)).
Положим
/ff (£/(*))=/(zx f e* (£')); (6)
здесь индекс пересечения, стоящий справа, есть целое число, когда
Zx ориентируемо, и вычет по модулю два—в противном случае.
Так определенная кратность особенности не зависит от числа /
(см. [2], § 3), и потому в конкретных вычислениях лучше всего
считать, что / = т. Кратность особенности не меняется, если
система U (х) непрерывно изменяется так, что при этом единственной
особой точкой остается а, ибо при непрерывном изменении
системы U (х) отображение 6* меняется непрерывно.

21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ 485
В) Пусть Mk—ориентируемое дифференцируемое
многообразие, и
М*). •••> *>т(х) (7>
система непрерывных векторных полей, заданная на нем (см.
определение 1). Допустим, что множество FG особенностей этой
системы представляет собой полиэдр |1| размерности k—г, г =
= г(%), гДе ^ есть комплекс, расположенный в Мк так, что
каждый его симплекс представляет собой дифференцируемое
ограниченное многообразие в Мк. Пусть Ек~г—произвольный
ориентированный симплекс из L размерности k—г, а—его внутренняя
точка, и V—некоторая окрестность ее в Мк, в которой имеются
местные координаты. Пусть, далее, Ег—ориентированный симплекс
из V, имеющий с \L\ лишь одну и притом внутреннюю для него
точку а у причем
/(£*-', £') = + !. (8)
Ориентированную касательную к многообразию Мк в точке а
с базисом, индуцированным в ней имеющейся в V системой
координат, обозначим через #§. Компоненты вектора V;(x) (х gV)
относительно имеющейся в V системе координат обозначим через
v)(х), ..., xfj(x). (9)
Вектор в R% с компонентами (9) обозначим через uf(x). Каждой
точке х£Ег соответствует система векторов
U(x)=={u1(x\ ..., ия(х)} (10)
в /?о и определена кратность I0 (U (х)) особенности а этой системы
(см. А)), которую мы обозначим через X'a(Ek~r). Ниже будет
показано (см. доказательство теоремы 3), что число или вычет
X'G(Ek~r) не зависит от координатной системы, выбранной в
окрестности V точки а. Далее, ввиду того что кратность особенности
не меняется при непрерывном изменении системы U (x)y X'G(Ek~r)
не зависит от случайно выбранных симплекса Ег и точки a, a
определяется лишь симплексом Ек~г и системой векторных полей (7).
Составим цепь X'Gt взяв каждый симплекс Ek~r£L с
коэффициентом X'G(Ek~r). Оказывается, что цепь X'G есть цикл (см.
доказательство теоремы 6); его мы будем называть циклом
особенностей системы (7).
Теорема 3. Цикл Х'а особенностей последовательности (7J
векторных полей, заданных на многообразии Mk (см. В)),
гомологичен характеристическому циклу Хг многообразия Mk.
Доказательство. Пусть MkaRk+l'c:Rk+l, Z—Г = m.
Тангенциальное отображение многообразия Мк в Н (к, V) обозначим
через 6'. Через
и[(х), ..., ит(х) (11)

486 21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
обозначим последовательность векторов из 9'{л;), параллельных
векторам последовательности (7). В Е) § 1 было построено
отображение 9 многообразия Мк~\К\У для которого
9-i(Zxn9(M*)) = Fa = |L|. (12)
Изучим теперь характеристический цикл Х% многообразия Мк
задаваемый формулой:
Xx = 9-*<ZXX9(M*)), (13)
и покажем, что он просто совпадает с циклом особенностей XJ.
Пусть Ек~г—произвольный ориентированный симплекс из L
размерности k—г. Через Xx{Ek~r) обозначим тот коэффициент,
с которым симплекс этот входит в цикл Х% (см. 13)). Для
вычисления коэффициента Хх (Ек~г) выберем, как делали это в А),
внутреннюю точку а симплекса Ек~г, ее координатную окрестность V и
некоторый симплекс Ег так, чтобы было выполнено
соотношение (8). Тогда
Xx(£*-') = /(Zx, 9(£')). (14)
С другой стороны, имеет место соотношение:
х; (£*-0=/(zXle*(£o) (см. (6)). (15)
Таким образом, для доказательства равенства
Хё(Е*-г) = Хх(Е*-г) (16)
нам нужно сравнить отображения 9* и 9 симплекса £г.
В плоскости ТХУ касательной к Мк в точке x£V, выберем
базис
M*)i •••! ek(x), (17)
индуцируемый в Тх местными координатами, имеющимися в V.
Через
ei(x), .... <*(*) (18)
обозначим последовательность векторов из 9'(х), параллельных
векторам последовательности (17). Если v)(x), ..., vk(x) суть
компоненты вектора Vj(x) относительно базиса (17), то они же будут
компонентами вектора и)(х) относительно базиса (18), т. е.
u}(x)=JZtf(x)e'p(x) (/=1, .... m). (19)
Далее, подобно тому как это было сделано в Е) § 1 (см. § 1, (26)),
положим
m
ei(x) = e'c(x)+ 2 iPtix), u}(x))gk+l+l4 =
m k
= ei(x)+ 2 2 WW. ep(x))^(x)gk+l+^j; (20)
тогда Q(x) есть линейная оболочка системы (20).

21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ 487
Для построения отображения 0* симплекса Ег в Н (fe, l) примем
за Ro не касательную Та в точке а, но параллельную ей 9' (а).
Тогда
«/'(*)= 2 ^(х)^(а) (/=1, ..., т), (21)
/7=1
m
el(x) = e'i(a)+ 2, (ej(а), "/(*))ft+i+i_/=*
= 4(а)+ 2 2 («На), 4 (a))of (*)ft+l+w, (22)
/= i p= i
и 6*(х) определяется как линейная оболочка системы (22).
Пусть теперь t—параметр, 0^/^1; положим
е,{х, f) = (l-f)e't(x)+tei(a) +
m k
+ 2 2(0—OeJW+feHa), (l-t)e'p{x) + tep(a))^(x)gk + l+1./
/=ip=i
(23)
и обозначим через 9t(x) (x£Er) линейную оболочку системы (23).
Мы видим, что 90 = 9, 9Х = 9*. Сверх того, в течение всей
деформации 9t единственной точкой из Ег> переходящей bZx, является
точка а (см. § 1,Е)). Таким образом,
I[(Z% 9(£0) = /(2х,в*(£0), (24)
и, следовательно, равенство (16) доказано (см. (14), (15), (24)).
Итак, теорема 3 доказана.
Ниже дается способ вычисления кратности особенности, в
некоторых случаях более эффективный, чем способ, указанный в А).
С) Пусть U—линейное пространство всех матриц £ = ||£Г
(*=1, ..., к; /=1, .... I) (см. [2], § 1, А)), и
£/(©Покоординатное подпространство пространства U> определяемое
условиями (см. [2], § 1,С)):
!{ = 0 при />о)(0 (i=lf ..., к). (25)
Координатное подпространство пространства U, дополнительное
к Ux, обозначим через Vlx; оно определяется условиями:
Цг=0 при /<со(0 (i=l, ...,fe). (26)
Линейное пространство Vl% матриц зависит по существу лишь от
Функции х» но не от числа /; необходимо лишь, чтобы было
Х(1)</. (27)
Размерность Vlx равна г,(%) = г. Придадим всем пространствам U,
О» У% ориентации при помощи нумерации элементов матрицы £

488 21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
по столбцам, т. е. так, как это указано в [2], § 2, А); тогда
I(UX, П) = е(х) = ±1. * (28)
Здесь е(х) зависит лишь от функции х- Легко проверяется, что
при х£Х: е(х) = + 1 (см. [2], § 5, С)); (29)
значение числа е(х) для других функций % вычислять не будем.
Пусть 0*—непрерывное отображение ориентированного симплекса
Ег в U, такое, что лишь одна точка а симплекса £г, и притом
внутренняя, переходит при отображении 9* в U%. Проекцию точки
y£U на Vl% в направлении Ux обозначим через i|)(y). Тогда \|>6*
есть отображение симплекса Ег в Vlx; легко видеть, что число
г (х) / (£/х, 9* (Ег)) равно степени отображения г|)0* симплекса Ег
в точке a£Vly.
D) Пусть /?о—ориентированное fe-мерное векторное
пространство и
и19 ..., ит (30)
— произвольная последовательность его векторов. Рассмотрим
квадратную матрицу ft = |b^| порядка т с положительным
детерминантом, удовлетворяющую условию:
при j^o(hp) + hp$>o(hp) + hp: b^O (/? = 0, .... л— l) (31)
(см. § 1,А)). Смысл этого условия заключается в следующем.
Положим
т
и/=2 ЧЩ> (32)
тогда последовательность (30) соответствует последовательности
ии • • •» Ит (33)
векторов в /?о. Условие (31) означает, что векторы
"i, .-•, Kih)+h (h = hp; P —0, ..., л—1) (34)
выражаются лишь через векторы
ul9 ..., ua(ft)+ft (A = V> /7 = 0, ..., n—1). (35)
Таким образом, последовательности (30) и (33) одновременно
подчинены или не подчинены функции а (см. § 1, А)). Матрица b
имеет ступенчатый вид: вдоль ее диагонали стоят квадратные
матрицы, заполненные элементами, отличными, вообще говоря,
от нуля; будем считать, что все эти квадратные матрицы имеют
положительные детерминанты. Множество В всех таких матриц Ь,
как легко видеть, связно (см. [2], § 1, Е)). Компоненты вектора щ
в некоторой системе координат обозначим через и], .. "*. Пусть

21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
489
пау—квадратная матрица порядка k с положительным
детерминантом; множество А всех таких матриц связно. Через a(uj)
k
обозначим вектор с компонентами 2 ао^ (*=1, . . ., fe). Мы
а= 1
имеем последовательность векторов
a(^i), ..., а(ия). (36)
Очевидно, что последовательности (30) и (36) одновременно
подчинены или не подчинены функции а. Положим теперь
k m
v) = 2 2*W (37)
а=10=1
и примем за компоненты вектора v, числа v}, . .., v}\ тогда
последовательность векторов
vl9 ..., vm (38)
подчинена или не подчинена функции а одновременно с исходной
последовательностью (30).
Е) Пусть последовательность (30) непрерывно зависит от точки г
ориентированного симплекса Ег, т. е. мы имеем последовательность
£/(*) = К(*), .... М*)Ь (39)
для которой выполнены условия, высказанные в А), так что
можно говорить о кратности особенности в точке а£Ег. Допустим,
далее, что матрицы а и Ь также непрерывно зависят от точки
x£Er: a = a(x), >b = b(x). Соотношение (37) переходит теперь
в соотношение:
k m
»Н*) = 2 2 <4(*К (*)*?(*)• (40)
а=1р=1
Вместо последовательности (38) мы получаем последовательность
V(x) = {v1(x)1 ..., vm(x)}, (41)
для которой вновь выполнены условия, высказанные в А).
Оказывается, что кратности особенностей систем (39) и (41)
совпадают, т. е.
Ia(U(x)) = I0(V(x)). (42)
Так как многообразие А (см. D) связно, то существует такая
матрица а(х> t)£A, зависящая не только от точки х£Ег, но и
°т параметра ty Os^tf^l, что а(х, \)=а(х)у а а(х, 0) есть
единичная матрица. Точно так же существует такая матрица Ь (х, t) g B>
что b(x, l)==ft(x), a b(x, 0) есть единичная матрица. Положим
k m
»/(*. 0= 2 2<4(*. t)u%(x)tfj(x, t) (t = l k) (43)
a=le=l
I

490
21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
и обозначим через vf(xy t) вектор с компонентами (43). Тогда
имеем последовательность векторов
ШШ v1(xf t)%..., vm(xy t), (44)
непрерывно зависящую от параметра t, причем единственной
особенностью этой последовательности является точка а. Ввиду этого
кратность особенности последовательности (44) не зависит от
параметра t (см. А)). Так как при t = 0 последовательность (44)
совпадает с (39), а при / = 1 она совпадает с (41), то соотношение
(42) действительно имеет место.
В нижеследующем предложении F) дается способ вычисления
кратности особенности, более эффективный, чем способ,
данный в А).
F) Пусть U(х) — последовательность векторов в пространстве/^,
непрерывно зависящих от точки х£Ег (см. 3)). Допустим, что
существует лишь одна точка а симплекса £г, и притом
внутренняя, в которой последовательность U (х) подчинена функции а;
тогда определена кратность I0 (U (х)) особенности в точке а (см. (А)).
Очевидно, что при вычислении кратности особенности вместо
симплекса Ег можно взять любой симплекс Е'гаЕг, содержащий
точку а как внутреннюю. Допустим теперь, что в точке а
последовательность 0(х) точно подчинена функции а. Тогда
существует такой базис е1У ..., ek пространства R$ и такие матрицы
а (х) и Ь(х), определенные для х£Е'г, что последовательность
V (х)у построенная в Е), удовлетворяет условию:
яри j = h + o(h)+ 1: Vj(x) = ek_h (Л = 0, 1, ..., Нп^— 1). (45)
Выкинем из последовательности V (х) все векторы, вошедшие в
последовательность (45). Векторы, оставшиеся в
последовательности V(х) после такого выкидывания, занумеруем в обратном
порядке, т. е. начиная с конца, и запишем их в последовательность
wx{x)y ..., wul)(x). (46)
Число векторов полученной последовательности (46), как это
предусмотрено обозначениями, равно x^—tr^-i). Компоненты
вектора Wj (х) относительно базиса е1У ..., e'k обозначим через
w)(x), ..., wf(x). При помощи матрицы ||я>/(*)|| (i = l, ..., k\
/=1» •••> х0)) поставим теперь в соответствие каждой точке
х£Е'г точку w*(x)=||£{(x)||€Vx(1) (см. С)) следующим образом:
при />х(1)—Х(0: SIWHW. \ (47)
при /<х(1)-Х(0: Й(*Н0. ) [
Оказывается, что при отображении w* симплекса Е'г в линейное
пространство V$(1> лишь одна точка а переходит в начало
координат 0 пространства У\а\ Степень отображения Ф* симплекса Е'т
в пространство V%{1) в точке 0, умноженная на е(%) (см. С)),

21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ 491
авна кратности особенности I0(U (х)). Если кратность особенности
? (Ц (х)) определена как вычет по модулю два (см. А)), то
указанную степень отображения следует редуцировать по модулю два.
Для того чтобы выбрать базис е1У ..., е*, а также матрицы
а(х) и Ь(х) так, чтобы удовлетворялось условие (45), рассмотрим
отрезок
u0(h)+h+i (x)f »..9 Ио<л')+л'(х), h = hp, h' = hp+lt (48)
последовательности f/(x). Так как в точке х = а
последовательность U (х) точно подчинена функции а, то отрезок (48) при х=а
содержит ровно hp+1—hp векторов, линейно независимых от
предыдущих членов последовательности U(x). Путем изменения
нумерации векторов последовательности U(x) в пределах отрезка (48)
и, быть может, еще изменения знака одного из векторов отрезка
(48), можно достичь того, чтобы указанные hp+1—hp векторов
стояли в последовательности (48) на первых местах. Операция
перестановки векторов внутри отрезка (48) вместе с изменением
знака одного из векторов, если перестановка эта цечетна, может
быть осуществлена путем применения к последовательности U (х)
постоянной матрицы Ь(х) (см. Е)). Будем считать, что описанная
операция уже применена ко всякому отрезку вида (48), и вновь
полученную последовательность векторов вновь обозначим
через U(x). Тогда в отрезке (48) при х = а векторы с номерами
o(h) + h + 1 (h = hp, ..., hp+1— 1) линейно независимы от
предшествующих им в U (х). Таким образом, в последовательности U (а)
все векторы с номерами / = a (h) + h + 1 (h = 0, ..., hnmml — 1)
линейно независимы между собой. Положим
при / = а(Л) + А+1: u/{x) = ek_h(x) (й=*0, ..., h;t_1— 1). (49)
При х = а векторы последовательности (49) линейно независимы.
Присоединим к векторам последовательности (49) несколько
постоянных векторов ех(х)у ..., 4-hn-iM так» чтобы получилась
последовательность
е[(х), ..., е'к(х), (50)
обращающаяся при х = а в базис пространства R%9 задающий его
ориентацию. Векторы последовательности (50), линейно
независимые при х — а, линейно независимы и при х£Е'г, где
Е'г—симплекс достаточно малого диаметра. Векторы последовательности
U(x) отнесем теперь к базису (50) и полученные так компоненты
векторов из U (х) примем за компоненты векторов из V (х)
относительно базиса (50) при х = а. Переход от системы U (х) к
системе V (х) может быть осуществлен путем применения к U (х)
матрицы а(х) (см. Е)). Полученная последовательность V(х),
очевидно, удовлетворяет условию (45).
В силу Е) (см. (42)) мы можем теперь вычислять /а(К(х)),
пользуясь конструкцией, данной в А). Пусть Rk+m—евклидово

492 21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
векторное пространство с ортонормальным базисом
gu •••• gk + m- (51)
Переименовывая элементы базиса (51) по способу, указанному в
[2], § 4, А), мы получаем новый базис:
^1» • • • » £&» /1> • • • > / т (52)
пространства /?*+"*, также ортонормальный. Заметим, что если ix
есть место первого скачка функции со = т—х» то h — k—hnmml.
Таким образом,
со(1) = /п—х(1) = т—о (*„«!) = hn_1 = k—iu
л поэтому
fi = Sif ••» fk-il=gk-i1t ^i — gk-it+и •••> eh=gk* (53)
Включим пространство /?<> в /?*+/7г, положив
Соотношения (5) примут тогда вид:
m
Заменяя в соотношениях (55) векторы базиса (51)
соответствующими им векторами базиса (51) и, принимая во внимание
условия (45) и (54), получим:
Х(1) ^
при 1</х: е*(х)=е1 + 2 о>/(*)/»<«+/»
/=1 х.) \ (56>
при i > it: ё[ {х) = U- h + ei+ 2 Щ (х) /©<«+/•
/= 1 )
Теперь 0*(л;) есть линейное пространство из Rk+m с базисом
е\(х)у ..., e*k(x). Отображение if>0* (см. С)) ставит в соответствие
точке х£Е'г матрицу ЦЙМИ^^э?» определяемую соотношениями:
при / > со (i): %{(х) = w}-»(1) (х), \ ^
при / < со (/): %{(х) = 0. /
Отображения w* и г|)0* по существу совпадают (см. (47), (57)), и
поэтому, в силу С), утверждение F) действительно справедливо.
Теорема 4. При хе^1 характеристическое число Xx(Mk) =
= Хг (Mk) многообразия Mk равно его эйлеровой характеристике.
Доказательство. Функции х — 1 соответствует функция
сг== 1. Для этой функции о имеем: АЛ_1==А0 = 0 и, следовательно,
m = hn_1 + a(hn_1) = 1. Таким образом, в задаче об особых
точках, соответствующей функции <г=1, следует рассматривать на

21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
493
ш лишь одно векторное поле v1(x)i а особенностью его считать
обращение в нуль вектора v1(x). Выберем векторное поле иг(х)
так, чтобы оно имело лишь изолированные особые точки; тогда
применима теорема 3, причем L есть нульмерный комплекс.
Покажем, что для каждой особой точки а векторного поля иг(х)
индекс особенности в смысле Хопфа совпадает с кратностью
особенности, или, что то же, с коэффициентом Х1(а), с которым
точка а входит в характеристический цикл Хг. Этим теорема
будет доказана, так как известно, что сумма индексов особенностей
векторного поля равна эйлеровой характеристике многообразия.
За симплекс Егу предусмотренный в В), здесь следует
принять малый симплекс Ек, содержащий точку а, ориентация
которого согласована с ориентацией Мк. Будем считать, что в
симплексе Ек имеются местные координаты. За /?§ примем касательную
к Мк в а и выберем в R% базис, соответствующий местным
координатам в а. Точке х£Ек с местными координатами х1, ...>хк
поставим в соответствие вектор х' g R% с компонентами х1, .. ., хк.
Полученное так отображение х —> х' будем считать включением
симплекса Ек в /?§, EkaR%. Вектору v1(x) с местными
компонентами v{(x), ..., v%(x) поставим в соответствие вектор u1(x)^Rk
с компонентами v{(x), ..., v\(x). Последовательность U(х) =
= {tfi(*)b состоящая из одного вектора, задана, и следует
определить кратность ее особенности по схеме F). Векторы с
номерами вида а (А) + h + 1 в последовательности U (х) отсутствуют,
и поэтому мы имеем просто wx (x) = u1(x). Линейное пространство
К$(1) матриц состоит здесь из всех матриц \\Щ (/=1, ..., fe).
Отображение w* определяется так:
l}(x) = v[(x). (58)
Поставим теперь в соответствие каждой точке x£EkaR% точку
и1(х) из /?о с координатами v\(x), . .., v\(x), т. е. конец вектора
и1(х). Степень отображения ut симплекса Ек и Rk в точке a£Ro
по определению является индексом особенности векторного поля
v-l (х) в точке а. Степень же отображения w* симплекса Ек в
пространство V\a) в точке 0£V%a) есть кратность особенности. Оба
указанных отображения по существу одинаковы и поэтому их
степени совпадают. Таким образом, теорема 4 доказана.
Теорему 4 легко было бы доказать и не пользуясь схемой
вычислений, данной в F), а исходя лишь из определения
кратности особенности, данного в А).
§ 3. Критические множества и циклы отображений
Здесь будет поставлена и частично разобрана задача о
критических множествах и циклах дифференцируемого отображения
одного многообразия в другое,— задача, перекрывающаяся с той,
которая разбиралась в двух предыдущих параграфах.

494 21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
А) Пусть Мк и Рт—два дифференцируемых ориентированных
многообразия размерностей k и m, a f—дифференцируемое
отображение Мк в Рт. Пусть, далее, а£Мк, b = f(a) и
Vm—некоторая окрестность точки b в Рт с местными координатами у1, ..., у*
задающими ориентацию многообразия Рт. Через Uk обозначим
такую окрестность точки а в Мк, что f(Uk)aVm и что в ней
имеются местные координаты х1, ..., хк, задающие ориентацию
многообразия Мк. Отображение / окрестности Uk в Vm в
координатной форме запишется так:
y/ = fJ'(x) = f/(x\ -.-. **) (/ = 1. •••> m). (1)
Рассмотрим функциональную матрицу
. 1== F(x) этого
отображения. Ранг ее не превосходит чисел k и т. Зададимся
неотрицательным числом р\ р < k, р < т. Точку а будем называть
критической точкой типа р отображения /, если ранг
матрицы F(a) не превосходит числа р. Легко видеть, что ранг
матрицы F(a) не зависит от систем координат, выбранных в Uk
и Vm. Множество всех критических точек типа р отображения /
обозначим через Fp. Очевидно, Fp замкнуто в Мк.
Если Рт есть числовая прямая, а /? = 0, то мы приходим к
обычному понятию критической точки действительной числовой
функции f{x)y заданной на многообразии Мк. В случае, если Рт
есть эвклидово пространство размерности /п, мы приходим к
понятию критической точки типа р системы из т действительных
числовых функций, заданных на Мк.
В) Градиент функции f'(х) (см. (1)) обозначим через v1(x),
т. е. положим
м*)-т щ. я
мы имеем последовательность векторов
V(x) = {vi(x), .... vu(x)}t (3)
заданных на [/*. Точка x£Uk тогда и только тогда является
критической типа р для отображения /, когда последовательность
V(x) подчинена функции а, определяемой соотношениями:
а(0)= ... =^а(р—1) = 0, (У{р)= •.. =cr(fe— \)=m—р. (4)
Этой функции а соответствует функция х> определяемая
соотношениями:
Х(1)= • • • =х(к—р) = т—р, %(к—р+ 1)= ... =х(*) = 0. (5)
Далее, мы имеем:
г (X) =* (*—Р) (т—р) = г. (6)

21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
495
В дальнейшем с числами т и р мы всегда будем связывать
указанные здесь функции а и %, а также число г.
С) Допустим, что критическое множество Fp (см. А))
представляет собой полиэдр \L\ размерности k—r (см. (6)), где L —
комплекс, расположенный в Мк так, что каждый его симплекс
представляет собой дифференцируемое ограниченное многообразие
в М&. Пусть Ek~r—произвольный ориентированный симплекс
из Ly а—его внутренняя точка, Uk—координатная окрестность
точки ау и Ег—малый ориентированный симплекс из [/•*,
пересекающийся с \L\ лишь в одной, и притом внутренней точке а,
причем
/(£*-', £') = + !■ (7)
Через /?о обозначим касательную к Мк в точке а с базисом,
индуцированным местными координатами в а. Через и;(х)
обозначим вектор из /?о с теми же компонентами, как и вектор Vj(x)
(см. (2)). Положим, далее,
U(x) = {u1(x)y ..., ия{х)}.
Тогда можно определить кратность особенности I0(U(x)) (см. [2],
§ 2, А)). Оказывается, что Ia(U(x)) зависит лишь от симплекса
£k-r и отображения /, а потому мы обозначим Ia(U(x)) через
X'p(Ek~r). Через Х'р обозначим цепь, в которую каждый
симплекс Ek~r^L входит с коэффициентом Х'р(Ек~г). Оказывается,
что Х'р есть цикл. Его мы будем называть критическим
циклом отображения /.
Для доказательства того, что коэффициент Xp(Ek~r) не
зависит от местных координат, выбранных в № и Ут, заметим, что
для рассматриваемой функции а (см. В)) ограничения (31) § 2
бессодержательны; таким образом, матрицы а (х) и Ь (х) (см. § 2, Е))
являются произвольными матрицами с положительными
детерминантами. Именно такого вида множители и получает матрица F (х)
при преобразовании координат в [/* и Vm. Таким образом, в силу
предложения Е) § 2, коэффициент IG(U(x)) не зависит от систем
координат в Uk и Vm.
Коэффициент Х'р (Ек~г) не зависит также и от случайно
выбранных точки а и симплекса £г, ибо симплекс Ег можно
непрерывно перемещать, причем последовательность U (х) будет
меняться непрерывно.
Покажем, наконец, что Х'р есть цикл. Пусть
Ек~г~г—произвольный ориентированный симплекс из L, а—его внутренняя точка,
и Uk—ее координатная окрестность. Совокупность всех
ориентированных симплексов размерности k—г из /., инцидентных с
£/?-/■-1? обозначим через Е\~г", ..., Е)~г. Выберем в Uk
ориентированный симплекс Er+1 так, чтобы его граница Sr пересекалась
с каждым симплексом Е\~г лишь в одной точке as, причем
/(£*-г, Sr) = + 1« В касательном к Мк в точке а пространстве

496
21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
определены теперь векторы ul(x)f . .., ит(х), составляющие
последовательность U(x), точно так же, как это было сделано выще
для точки а£Ек~г. Последовательность U(х) позволяет построить
отображение 0* симплекса Er+1 в H(k, l) так, как это делалось
в А) § 2. Так как Sr = hEr+1, то мы имеем:
o=/(zx, e*(so)=xP(£n+ -.. + x;(fi?-f). (8)
а это значит, что симплекс Ek~r~x входит в границу цепи Хр с
коэффициентом нуль.
Нужно думать, что класс гомологии цикла Хр зависит лишь
от гомологических инвариантов отображения /. Здесь этот вопрос
будет разобран, однако, лишь для случая, когда Рт есть
эвклидово пространство.
Теорема 5. Пусть Мк—замкнутое ориентированное
дифференцируемое многообразие, и f—его дифференцируемое
отображение в ориентированное эвклидово пространство Рт
размерности т. Тогда множество Fp критических точек отображения f
является носителем характеристического цикла Х% (см. (5)),
т. е. в каждой окрестности множества Fp содержится цикл,
гомологичный циклу Хх. Далее, если Fp есть полиэдр \L\ (см. С)),
то критический цикл Х'р гомологичен характеристическому
циклу Хх.
. Доказательство. Так как Рт есть эвклидово
пространство, то за Vm (см. А)) можно принять все Рт с декартовыми
координатами у1, ..., ут. Отображение / запишется теперь в форме:
y/ = fi(x) (/=1, ...,m), (9)
где f'1 есть дифференцируемая числовая функция, заданная на
всем Мк. Если Uk есть координатная окрестность некоторой точки
а£Мк, то соотношения (1) по-прежнему остаются в силе. Таким
образом, определен вектор v;(x) (см. (2)) для x£Uk, компоненты
которого зависят от системы координат в Uk, и притом как
компоненты ковариантного вектора. Таким образом, можно считать,
что Vj(x) есть ковариантный вектор, заданный на всем
многообразии Мк. Будем теперь считать, что MkaRh+l\ тогда в Мк
имеется риманова метрика, позволяющая от ковариантного вектора
Vj(x) перейти к контр авар иантному вектору v)(x), который можно
истолковать геометрически, как это было сделано в определении 1.
Мы имеем, таким образом, последовательность
У(*) = №(*). •••> iWi 0°)
векторов, заданных на Mk. Последовательность эта тогда и
только тогда подчинена функции а (см. (4)), когда точка х является
критической. Таким образом, Fp = F0i и справедливость первого
утверждения теоремы следует из теоремы 1.
Для доказательства второго утверждения теоремы следует
отметить только, что переход от последовательности V (х) к после-

21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
497
яовательности V (х) совершается при помощи преобразования
матрицей а(х) (см. § 2, Е)). Таким образом, коэффициенты
X' (Ек"г) и X'G(Ek~r) совпадают (см. § 3, В)). Мы имеем,
следовательно, совпадение циклов Х'р и ХОУ а потому справедливость
второго утверждения теоремы следует из теоремы 3.
Итак, теорема 5 доказана.
Дадим теперь способ вычисления коэффициента Х'р (Ek~r)
(см. С)), опирающийся на конструкцию предыдущего параграфа
(см. § 2, F)), которая в интересующем нас случае приобретает
сравнительно простой вид.
D) Для интересующей нас функции % (см. 5)) матрицы
линейного пространства V\a) (см. § 2, С)) удовлетворяют простому
условию:
g/ = 0 при i>k—p. (11)
Поэтому вместо линейного пространства 1™(1) здесь естественно
рассматривать линейное пространство Vf~p°t составленное из всех
матриц \\li\\ (/=1, ..., k—р\ / = 1, ..., т—/?). Сохраняя
обозначения предложения С), допустим, что ранг матрицы F(а)
равен р. В этом случае в окрестностях Uk и Vm можно выбрать
такие координатные системы, задающие их ориентации, что
отображение / запишется в форме:
при /<т—р: г/=^'(х)=*г>(*\ ..., **), 1
при />т—р: z! = xk~m+/. J * '
При таких координатах коэффициент Хр(Ек"г) может быть
вычислен следующим образом. Каждой точке х£Ег поставим в
соответствие матрицу G (*) = | $ (х) | g Vf-g, полагая:
ох1
Оказывается, что при отображении G симплекса Ег только одна
его точка а переходит в нуль пространства Vfig, а степень
отображения G симплекса Ег в точке 0 £V%-g равна коэффициенту
Xp(Ek~r)y умноженному на число е'(х) = ±1. При этом, если
Х€Х (см. [2], § 5, С)), то е'(х)=--И.
Покажем прежде всего, что координаты в окрестностях Uk и
Ут можно выбрать так, чтобы отображение / задавалось
соотношениями (12). Будем считать, что отображение / первоначально
было задано соотношениями (1). Так как ранг матрицы F(a)
равен р, то, изменив нумерацию координат вУи и, если это нужно
Для сохранения ориентации, еще знаки некоторых из координат
в Vm, мы можем считать, что детерминант матрицы ' .
дх1
= &—/7+1, ...,fe; j=tm—/7+1, ...,m) в точке а
положителен. Ввиду этого за независимые переменные в Uk можно при-
(*=

498 21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
нять теперь х1, ..., хн~р, fm~P+1(x), ..., fm{x). Легко видеть
что при таком выборе координат в Uk и Vm отображение /
запишется при помощи соотношений (12).
Будем исходить из отображения /, заданного соотношениями (12).
В окрестности Vm вместо координат z1, ..., zm введем новые ко-
ординаты, положив
y1 = zmi y2 = zm~\ ..., yM"1 = z2, ym = ez\ e = (— 1)«C"-d/2. ^щ
Очевидно, что детерминант перехода от координат г1, ..., гт к
координатам у1, ..., ут равен +1. В новых координатах
отображение / запишется в форме:
у/ = //(х) = //(х1, ..., xk) (/==1, ..., m),
причем
g1 (х) =- е/" (х), £2 (x) = /--1 (х), ..., g» (x) = f* (x). (15)
Определим теперь вектор Vj(x) как градиент функции ff(x)
(см. (2)). Легко видеть, что векторы v1(x)J ..., vm(x)
удовлетворяют условию (35) § 2, причем
o>i(*) = »«(*). •"»aii-,W = »;+1W. (16)
Если обозначить градиент функции g1 (х) через £'(*), то
^iW^W. «>2(*)="?*(*). •••» ^«-^W-i^^W- (17)
Отображение до* (см. § 2, F)) задается, таким образом,
соотношениями:
при i^k-p: Й(*) = в3«££2, й(др)=^Й (/ = 2, ...,т);
при *>fe—р: g^ (л:) = 0 (/=!» ••• > т)-
Сравнивая так полученное отображение до* с отображением G
(см. (13)), мы видим, что отображения эти отличаются лишь
знаком координат EJ, ..., \\-ру т. е. степени их отличаются
коэффициентом гк~р. Таким образом, е'(у) = гк~Р е(х). Так как при
%£Х число k—р четно, то при %£Х имеем: е'(х) = +1 (см. §2,
(29)).
Теорема 5. Для замкнутого ориентированного
дифференцируемого многообразия Mk характеристический вычет Xlk всегда
равен нулю (см. [2], § 6, F)).
Доказательство. Интересующий нас характеристический
цикл Xlk = Xx задается функцией х» определяемой соотношениями
(5) при условии, что k—/7=1, т—/? = &. Из последних равенств
следует: /? = fe—1, m = 2k—1. Таким образом, достаточно
показать, что критический цикл X'k_x отображения / многообразия Мп
в эвклидово пространство R2k~x всегда гомологичен нулю (см.
теорему 5).

21. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
499
Уитней (Whitney^ [5J) показал, что любое отображение /
многообразия Мк в R2*'1 можно произвольно малым изменением
перевести в отображение g, для которого выполнены следующие
условия:
а) критическое множество Fk_x отображения g состоит из
конечного числа точек;
в) в окрестности UkaMk точки a^Fk_x и в окрестности
y^^aR^"1 точки g(a) можно выбрать такие координатные
системы, что отображени е g имеет вид:
zj^xW (/=1, • ..,£)> гГ = х*-к+1 (/ = Л5Ч-1 2Л—1). (18)
Здесь точки а и g(a) являются началами соответствующих
координатных систем. Для вычисления коэффициента X'k_1(a)J с
которым нульмерный симплекс а входит в критический цикл X'k_lf
применим способ, указанный в D). Так как Х1к есть цикл по
модулю два, то вопрос об ориентациях нас не интересует. Пусть
Ек—симплекс из [/*, содержащий точку а как внутреннюю.
Соотношения (18) имеют вид (12). Отображение G симплекса Ek в
линейное пространство V\ матриц |?'| (/=1; /—1, •., k)
задается так:
Ц{х) = 2х\ 1[{х) = х' (/ = 2, ..., k). (19)
Очевидно, что G имеет степень, равную единице, и потому нам
достаточно показать, что число точек множества Fk^x для
отображения g четно.
Обозначим через Р совокупность всех точек множества g(Mk)9
для которых в Mk имеется, по крайней мере, два прообраза.
Без ограничения общности можно допустить, что в малую
окрестность V2*"1 точки g(a) отображаются лишь точки окрестности
Uk. Малым изменением отображения g вне Uk этого всегда можно
добиться. Из соотношений (18) следует, что множество Р в
окрестности V2*-1 представляет собой интервал, определяемый условиями:
**> 0; г' = 0 (/ — 2, ..., 2k—1). Таким образом, точка g(a)
является предельной для Р. Пусть Ь и с—две различные точки из Мк9
принадлежащие Fk_1 и такие, что g (b) = g (с). Так как
отображение g регулярно в точках Ъ и с, то малым изменением
отображения g можно достичь того, чтобы множество Р в окрестности
точки g(p) — g(c) было линией без особенности. Таким образом,
мы можем считать, что множество Р состоит из конечного числа
интервалов, концы которых суть точки множества g(Fit^1)9 а
отсюда видно, что число точек множества Fkmml четно.
Итак, теорема 6 доказана.
Следует отметить, что характеристический цикл Xfk некоторого
соображения 0 многообразия Mk в Н (&, I) отнюдь не всегда
гомологичен нулю. Теорема 6, таким образом, существенно использует
тангенциальность отображения.

500 - 21- ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
Характеристический цикл Х1к (см. [2], § 6, Н)) не является
основным, но он может быть выражен через основные (см. [2]
§ 6, В)); таким образом, его гомологичность нулю означает нек£
торое соотношение между основными характеристическими цик-
лами. Так как Xlk есть цикл по модулю два и размерность его
равна нулю, то соотношение это является линейным соотношением
между характеристическими вычетами и характеристическими
числами, редуцированными по модулю два. Для каждой
размерности k многообразия Mk рассматриваемое соотношение
приобретает свой собственный вид. Оно может быть получено на
основании результатов § 4 и § 5 моей работы [2], позволяющих выразить
каждый характеристический цикл через основные
характеристические циклы. Для k = 2 рассматриваемое соотношение дает лишь
четность эйлеровой характеристики ориентированной поверхности,
т.е. не представляет собой ничего нового. Для k — З все
характеристические циклы совпадают с циклами Штифеля, а они, согласно
Штифелю, гомологичны нулю. Для fe = 4 наше соотношение дается
нижеследующей теоремой 7 и представляет собой существенный
факт. Для размерностей, более высоких, это соотношение здесь
не рассматривается.
Теорема 7. Для любого четырехмерного ориентированного
дифференцируемого замкнутого многообразия УИ4
характеристические числа Х^ и Х22 (см. [2], § 6, Н)), первое из которых есть
эйлерова характеристика, а второе представляет собой вновь
определенный инвариант, связаны между собой соотношением:
*4i = *22 (mod 2). (20)
Доказательство. Клетки t/(со), (/(со) (см. [2], § 4, А)),
а также цепь Z0(o>) (см. [2], § 5, А)) будем обозначать по-новому,
выписывая вместо функции со последовательность ее значений;
именно, если (u(i) — ah то будем писать: Z0(co) = Z0(a1, a2, ..., ak).
Редуцированные по модулю два соотношения § 4 и § 5 моей
работы [2] (см. § 4, (18); § 5, (3)) дают нам:
Д£/(/—3, /, U l)+AU(l—2, /— 1,/, /)ч-At/(/— 1,/— 1Л—1,0 =
= ZU—4, /, /, /)4-Z(/—2, /—2, U l)+Z(l—l, I— 1, /— 1, /— 1).
(21)
Переходя к обозначениям, данным в [2], § 6, Н), получаем отсюда:
*i4+*22 + *4i~0 (mod 2). (22)
В силу теоремы 6, последнее соотношение дает для
характеристических чисел соотношение (20).
Итак, теорема доказана.
Четность эйлеровой характеристики ориентируемой поверхности
доказывается, на основании теоремы 6, аналогично, но проще.
Е) (Пример.) Пусть Р — комплексная проективная плоскость.
Рассматриваемая как действительное многообразие, Р представляет

i\. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
501
бой четырехмерное замкнутое дифференцируемое
ориентирование многообразие. Таким образом, для него определены
характеристические числа хА1 и Х22. Эйлерова характеристика X^(P)t
как известно, равна трем, а отсюда на основании теоремы 7
вытекает, что X22(P) = t есть нечетное число и, следовательно,
отлично от нуля. Выбрав ориентацию Р надлежащим образом,
мЫ можем считать, что t > 0 (см. [2], теорема 2. В
действительности, как показывают довольно сложные вычисления, tf —3).
Оказывается, что если а и Ь—два целых числа одинаковой четности,
то существует ориентированное многообразие М4, для которого
Х41(М4) = я, X22(M') = bt (т.е. Х22(М*) = ЗЬ). (23)
Это показывает, что характеристические числа Х41 и Х22 для
четырехмерных многообразий в известной степени независимы друг
от друга.
Пусть М\ и Mi—два ориентированных многообразия. В
каждом из них вырежем г малых шаров и оставшиеся ограниченные
многообразия склеим краями этих шаров, согласуя ориентации.
Полученное так новое многообразие обозначим через М\. Легко
видеть, что
*« (А«) - Х« (М\) + ХА1 (М*)-2г,
*22 (Mi) = Х22 (М\) + Х22 {Mi) (см. [2], § 6, G)). I"'
За исходные многообразия примем комплексную проективную
плоскость Р, ориентированную так, что X22(P) = t> 0, и
комплексную проективную плоскость Р\ ориентированную
противоположным образом, т.е. так, что Х22(Р')=*— t. Применяя
операцию склеивания, указанную выше, несколько раз, легко добиться
того, что полученное многообразие М4 будет удовлетворять
условиям (23).
ЛИТЕРАТУРА
1. Л. С. Понтрягин, Характеристические циклы многообразий, ДАН,
XXXV, № 2 (1942), 35—39.
2. Л. С. Понтрягин, Характеристические циклы дифференцируемых
многообразий, Мат. сб., 21 (63) (1947), 233—283.
3. Н. Н о р f, Uber die algebraische Anzahl von Fixpunkten, Math. Zeitschr.,
29 (1929), 494—524.
4. E. Stiefel, Richtungsfelder und Fernparallelismus in /г-dimensionalen Man-
nigfaltigkeiten, Comment. Math. Helv., 8 (1936), 305—353.
5. H. Whitney, The general type of singularity of a set of 2/i—1 smooth
functions of n variables, Duke Math. J., 10 (1943), 161—172.

22
КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ (л+1)-МЕРНОЙ СФЕРЫ
В ПОЛИЭДР Кп, ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА
КОТОРОГО И ГРУППЫ БЕТТИ
РАЗМЕРНОСТЕЙ 2, ..., п — \ ТРИВИАЛЬНЫ *)
Через Кп обозначается связный полиэдр, фундаментальная группа которого
и группы Бетти размерностей 2, . .. , п—1 тривиальны (л ^2). Известно, что
/г-мерная гомотопическая группа пп (Кп) изоморфна n-мерной группе Бетти
Д* (Кп)- В работе вычисляется гомотопическая группа пп + 1(Кп)- Кроме того,
выясняется, при каких условиях (л + 2)-мерный цикл из Кп является
сферическим.
Введение
Два непрерывных отображения fug полиэдра Р в полиэдр Q
называются гомотопными или гомотопически эквивалентными, если
существует непрерывное семейство отображений ht (O^tf^l)
полиэдра Р в полиэдр Q такое, что Л0 = f, hx = g. В силу этого
принципа эквивалентности, все непрерывные отображения
полиэдра Р в полиэдр Q распадаются на классы попарно гомотопных.
Задача гомотопической классификации отображений одного
полиэдра в другой представляет собой одну из основных проблем
современной топологии. Речь идет здесь о том, чтобы, зная
полиэдры Р и Q или их обозримо вычислимые инварианты, описать
все классы отображений полиэдра Р в полиэдр Q.
На понятии гомотопической эквивалентности отображений
основано понятие гомотопической эквивалентности полиэдров. Говорят,
что два полиэдра А и В принадлежат к одному гомотопическому
типу или гомотопически эквивалентны между* собой, если
существуют такое непрерывное отображение ф полиэдра А в полиэдр В
и такое непрерывное отображение ар полиэдра В в полиэдр Л,
что отображение ipcp полиэдра А в себя гомотопно тождественному
и отображение qnf полиэдра В в себя гомотопно тождественному.
В силу этого принципа эквивалентности, все полиэдры
распадаются на гомотопические типы. Очевидно, что два гомеоморфных
полиэдра принадлежат одному и тому же гомотопическому типу.
Таким образом, гомотопическая классификация полиэдров
является более грубой, чем топологическая, и из всех топологических
инвариантов выделяется часть более устойчивых—гомотопических
инвариантов.
Среди локальных инвариантов полиэдра также естественно
выделяются гомотопические инварианты. Пусть а—произвольная
*) Изв. АН СССР. —1950. —Т. 14, № 1.—С. 7—14.

22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР 503
точка полиэдра А и К—его триангуляция, в которой точка а
является вершиной. Обозначим через Ка край звезды вершины а,
т#е. совокупность всех симплексов звезды, не содержащих а.
Известно, что гомотопический тип полиэдра \Ка\ не зависит от
выбора триангуляции /С, а зависит лишь от полиэдра А и точки а.
Гомотопические инварианты полиэдра | Ка | и называются
локальными гомотопическими инвариантами полиэдра А в точке а.
Современное состояние топологии весьма глубоко оценивается
тем фактом, что все известные до сих пор топологические
инварианты, для которых имеются алгоритмы вычисления, так или иначе
оказываются гомотопическими: тотальными, локальными или
комбинациями тех и других. Таковы, например, кольцо
гомологии [1], используемые в настоящей работе «квадраты» Стинрода
\2], а также менее универсальный инвариант Александера,
введенный им для доказательства негомеоморфности двух линзовых
пространств [3]. Все перечисленные инварианты являются
тотальными, т. е. определяются гомотопическим типом. Последний играет
особенно важную роль в теории многообразий, так как для
замкнутых многообразий гомотопический тип определяет все
известные топологические инварианты. Попытки доказать
негомеоморфность двух замкнутых многообразий, принадлежащих к одному
гомотопическому типу, до сих пор не увенчались успехом.
Особенно типична попытка доказать негомеоморфность двух линзовых
пространств с совпадающим инвариантом Александера; Рейдемей-
стеру [4] удалось доказать только, что рассмотренные им их
триангуляции комбинаторно не эквивалентны, а позже обнаружилось,
что многообразия эти принадлежат к одному и тому же
гомотопическому типу [5]. Точно так же безуспешными оказались все
попытки решить проблему Пуанкаре: существуют ли трехмерные
многообразия, гомотопически эквивалентные трехмерной сфере,
но не гомеоморфные ей?
По-видимому, можно утверждать, что до сих пор топология
развивалась в рамках гомотопических понятий. В этих рамках
получены многие важные результаты, но область далека от
исчерпания; более того, основные проблемы, имеющиеся в ней, далеки
от полного решения. С легкостью решается проблема
гомотопической классификации одномерных полиэдров; имеется также
гомотопическая классификация поверхностей. Но уже для трехмерных
многообразий вопрос не решен, хотя и будет, вероятно, скоро
решен.
Ясно, что задача гомотопической классификации полиэдров
была бы полностью решена, если бы была дана гомотопическая
классификация отображений полиэдров друг в друга. Это одно
уже показывает, насколько велико значение гомотопической
классификации отображений. Однако, гомотопическая классификация
отображений продвинута еще совершенно недостаточно. В первую
очередь здесь необходимо решить вопрос об отображениях сферы

504 22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР
S1+k размерности n + k в сферу Sn размерности я, так как в него
упирается вся проблема; но до сих пор вопрос решен лишь для
k^2 [6], [7J, [8], [9], а для k^3 возникают непреодолимые
трудности. Случай сфер является первоочередным не только
потому, что мы имеем здесь дело с простейшими объектами, но и
потому, что к этому случаю в какой-то степени сводится общий
случай. Так, классификация отображений сферы Sn в сферу Sn
дала возможность проклассифицировать отображения /г-мерного
полиэдра Рп в сферу S\ сферы Sn—в связный полиэдр Кп
произвольной размерности, фундаментальная группа которого и группы
Бетти размерностей 2, ..., п—1 тривиальны, и даже отображения
полиэдра Рп—в полиэдр /С„[10]. Точно так же, после того как
была дана классификация отображений сферы S7+1 в сферу S",
удалось, хотя и с большим трудом, дать классификацию
отображений полиэдра Рп+1 в сферу Sn [см. [9], [2]] и сферы Sn+1
в полиэдр Кп. Последняя и составляет предмет настоящей работы.
На очереди стоит классификация отображений: полиэдра Pn+l
в полиэдр Кпу сферы S2+2 в полиэдр Кп и полиэдра Рп+2 в сферу
Sn. Желательно также найти путь к снятию требования
тривиальности фундаментальной группы полиэдра /С„.
Гомотопические классы отображений сферы Sn, n ^2, в
связный полиэдр Q с тривиальной фундаментальной группой
естественно организуются в коммутативную группу nn(Q), так
называемую гомотопическую группу полиэдра Q. Гомотопическая
группа я" (Q) определяется также и для полиэдра Q с произвольной
фундаментальной группой; элементами ее являются особые
гомотопические классы отображений поляризованной сферы Sn в
полиэдр Q, переводящих полюс сферы в фиксированное «начало»
полиэдра Q [10]. Группа nn(Q) (построенная Гуревичем) весьма удобна
для целей классификации отображений полиэдра Р в полиэдр Q,
так как она может быть использована как область коэффициентов
при построении групп гомологии.
В предлагаемой работе вычисляется группа jt"+1 (Kn). Так как
фундаментальная группа полиэдра Кп тривиальна, то нет
необходимости фиксировать полюс сферы и начало полиэдра Кч, и в
работе указания на них будут опускаться.
Во всем исследовании случаи п = 2 и п ^ 3 резко отличаются
друг от друга. В формулировках, зависящих от л, будет, как
правило, предполагаться, что при п = 2 рассматриваемые сферы
и элементы ориентированы и цепи целочисленны, а при /г^З
сферы и элементы не ориентированы и цепи рассматриваются по
модулю два. Случаи нарушения этого правила всегда
оговариваются.
В работе существенным образом используются новые операции
—i и ^ над V-цепями, аналогичные умножению Колмогорова —
Александера. Операция — ,• [определенная Стинродом [2]] ставит
в соответствие двум цепям и и v размерностей р и q симплици-

22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР 505
ального комплекса /С, вершины которого упорядочены, цепь
и^.v размерности p + q—i. При / = 0 операция эта совпадает
с умножением Александера; в этом случае она естественно
применяется к целочисленным цепям. При i > 0 операция —,- будет
использована в работе только по модулю два. Операция ^ была
введена мною в [11], где она обозначалась через х. Она ставит
в соответствие р-мерному классу V-гомологии г* по четному модулю
т 2/?-мерный класс V-гомологии z*^zz* по модулю 2т.
Операция ^ следующим образом выражается через операции ^-0 и —х.
Пусть z—целочисленная цепь, редуцируя которую по модулю /п,
получаем V-Цикл из 2*; тогда \z = ma. Положим:
z ^z = z—0z + ma*-'1z\ (1)
редуцируя цепь z ^ z по модулю 2т, получаем цикл, класс
гомологии 2* ^ 2* которого определяется классом гомологии 2*.
Операция —1, употребленная в формуле [1], обозначалась мною в [11]
через *; впоследствии она была обобщена Стинродом в операцию
wf. с произвольным i.
В дальнейшем будут употребляться следующие обозначения.
Если / есть симплициальное отображение комплекса Р в комп-
леке Q, то через / будем обозначать соответствующее ему
гомоморфное отображение группы цепей комплекса Р в группу цепей
комплекса Q, а через /*—сопряженное с / гомоморфное
отображение группы цепей комплекса Q в группу цепей комплекса Р.
Индексом I (х) г-мерной V-цепи х г-мерного псевдомногообразия
М (например, сферы или элемента) будем называть сумму
значений цепи х по всем r-мерным симплексам псевдомногообразия М.
В дальнейшем важны два случая. В первом случае
псевдомногообразие ориентировано, цепь целочисленна и суммирование
проводится по положительно ориентированным симплексам. Во втором
случае псевдомногообразие не ориентировано, цепь и индекс
берутся по модулю два.
Нижеследующая теорема 1 выражает известный гомотопический
инвариант у ([12], [9], [7]) отображения сферы Sn+1 в сферу S",
м^2, при помощи операции —„_2.
Теорема 1. Пусть f—симплициальное отображение грани-
цыБп+1 триангулированного элемента Рп+2 в триангулированную
сферу S7, sn—n-мерный \-цикл из Sn, индекс которого равен 1,
x=f*sn и 2 \-цикл на Рп+*9 пересечение которого с Sn+1 равно х.
Зададим на Рп+2 порядок вершин, обладающий тем свойством,
что, рассматриваемый на Sn+1t он переходит при отображении f
в некоторый порядок вершин комплекса Sn. Положим:
Y(/) = /(z~„_2z). (2)
Оказывается, что при я = 2 целое число y(f) совпадает с гопфов-
ским инвариантом отображения /, а при л ^ 3 вычет у(/) равен

506 22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР
нулю или единице в зависимости от того, гомотопно отобраясе-
ние f нулю или нет. Таким образом, в обоих случаях величина
у (/) является единственным гомотопическим инвариантом отобро*
оюения т.
В дальнейшем важную роль играет полиэдр Щ, составленный
из q сфер Sf, ..., SJJ с одной общей точкой, называемый
букетом. Нижеследующее предложение А) выясняет структуру
гомотопической группы nn+1(Hnq) букета Щ.
А) Пусть /—симплициальное отображение границы Sn+1
триангулированного элехмента Р'+2 в триангулированный букет /JJf
sf—цепь из Нпя, имеющая на S? индекс 1, а в сферах SnT с г Ф1—
индекс 0, xi^=f*Siy и г{—цикл из Рл+2, пересечение которого
с Sl+1 равно х{. Введем в Рп+2 какой-нибудь порядок вершин,
который индуцирует в Sn+1 порядок вершин, переходящий при
отображении f в некоторый порядок вершин комплекса Hnqy и
положим:
при п = 2: Y//(fl = '(z<~oZy), (3)
при л>3: т,-(/) = /(Z/~ „-.«/). (4)
Оказывается, что при л = 2 симметрическая квадратная
целочисленная матрица у(/) = ||у{/(/)||, а при п^З однострочная матрица
у (/) = || Y/ (/) || вычетов являются единственными гомотопическими
инвариантами отображения / и могут быть заданы произвольно.
Если а есть гомотопический класс отображения /, то можно
положить:
7,/(«) = ?,/(/), Y/(«) = ?/(/). Y(«) = Y(fl. (5)
Оказывается, что
у (аг + а2) = у К) + Y К), (6)
так что y есть изоморфное отображение группы пп+1(Нд) на
соответствующую аддитивную группу матриц.
Пусть /—симплициальное отображение ориентированной сферы
Sr в комплекс Q, принадлежащее классу agjtr(Q); тогда класс
гомологии цикла f{Sr) определяется классом а и потому может
быть обозначен через Фг(а). Очевидно, что Фг есть гомоморфное
отображение группы nr(Q) в r-мерную целочисленную группу
Бетти Ar(Q) комплекса Q. Ядро гомоморфизма Фг будем
обозначать через fto(Q). Элементы группы Фг(л/(ф)) и составляющие их
циклы называются сферическими. В настоящей работе
доказывается, что все (n-f 1)-мерные циклы комплекса Кп являются
сферическими, т. е. что
Ф''+1(я"+1(К„)) = Дя+1(*«)- (7)
В) Так как Фп есть изоморфное отображение группы лп(Кп
на группу Ап(Кп) [см. [10]], то существует такой букет Щу
составленный из ориентированных сфер, и такое его симплици"

22 КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР 507
альное отображение / в Кп, что циклы
f(S?) (i = l, .... q) (8)
составляют канонический базис л-мерных Д-гомологии комплекса
% ; определяющая система соотношений для них состоит из
соотношений:
т,./(5?)~0 (/=1, ...,?), (9)
где TjsO (modx/+1); t=l, ..., q—1. Из двойственности между
Д-цепями и V-цепями следует существование таких
целочисленных V-депей
у{ (1=1, ..., ?), (10)
что
Vy, = 0 (mod т,); f(S®• у, = 8„. (11)
Здесь • обозначает скалярное умножение, а 6,у—символ Кроне-
кера. Обозначим через k наибольшее i такое, что т,- четно. При
л = 2 введем следующие обозначения:
при * = /<£: du = 2xi9 Уц^у^у^ (12)
в остальных случаях: df-js=(Ti9 ту), *///= J//4-^/-
Здесь ytj можно рассматривать как цикл по модулю d(j. Через
(prs обозначим симплициальное отображение сферы S3 в букет Я|,
при котором все элементы матрицы у (<рГ5), за исключением
Угз(Ч>гз) = У8г(Ч>гз)> обращаются в нуль, в то время как 7гЛФ™) =
=75Г(ФГ5)= 1. При л^З положим
Уц = У1~п-гУ1 (*'=li .•••*). (13)
Здесь уи можно рассматривать как цикл по модулю два [см. (2)].
Через фг обозначим симплициальное отображение сферы Sa+l
в букет Я", при котором все элементы матрицы 7(Фг)> за
исключением 7г(Фг)» равны нулю, в то время как уг(<рг) = \. Элемент
группы л1(К2)у определяемый отображением f(prs сферы S3,
обозначим через ars, а элемент группы л#+1 (/(„), определяемый
отображением /<pr сферы Sn+1,— через аг.
Теорема 2. Элементы:
при л = 2: аи (/, /=1, ..., q; /</), ^
л/ш л^З: а,- (/=1, ..., fe) *
составляют систему образующих групп я$+1(/Си) а удовлетворяют
соотношениям:
при л = 2: dl7al7 = 0 (i\ /=1, ..., </; *</). /15ч
л/?м л^З: 2а/ = 0 (/ = 1 э ...,fe).
Если размерность комплекса Кп не превышает л + 1, лго
соотношения (15) образуют полную систему. В этом случае группа
iin+1(Kn) распадается в прямую сумму своей подгруппы Ло+1(^л)

508 22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР
и некоторой другой подгруппы, изоморфной группе An+1(/f\
[см. (7)]. "'
Теорема 3. Пусть иг, ..., иг—оазис целочисленных А-го-
мологий размерности п + 2 комплекса Кп. Положим:
при п = 2: и1ц = игуф
при л^З: uli = uryu. * '
Здесь u\j суть вычеты по модулю dtj, а и[—вычеты по модулю 2.
Оказывается, что полная система соотношений для образующих
(14) группы jt{?+1(/(J состоит из соотношений (15) и
соотношений:
при п = 2: 2 uuai/—^ С— If • • •» r)t
k (17)
при л^З: 2а1а/=г0 (/ = 1, ..., г).
t=\
Структура всей группы пп+1(Кп) и ее связь с группой Ап+1(Кп)
[см. (7)] полностью описываются теоремой 4, которая
формулируется раздельно для случаев л = 2 и л^З.
Теорема 4 (л = 2). Пусть vu ..., vs; wu ...,
wt—трехмерный целочисленный канонический базис А-гомологий комплекса /Са,
где vt (/==1, ..., s) есть цикл порядка mt (m^^0(modт1+1)),
a wt(l^=l, ..., t)—свободный цикл. Обозначим через и\ такую
целочисленную цепь из /С2, что
Au'l = mvl (/—It .. «э s).
Тогда и'гуу [см. В)] можно рассматривать как вычет по модулю
(dijy mj). Пусть vl(i—целые числа, удовлетворяющие условиям:
vlu= и'гУ</ (mod (dif, mf)); 1= 1, ..., s.
Тогда в группе л3 (/С2) существуют элементы pit ..., Р5; 8lf ..., 8t,
составляющие вместе с элементами (14) систему образующих группы
л3 (/С2), причем полная система соотношений для этих образующих
может быть составлена из соотношений (15), (17) и соотношений
Щ$1— 2 "?/«!/ = 0 (/ = 1 s). (18)
Сверх того,
-0|€Ф»(Р|) (/=1, ...,s'), -ш,6Ф3(8<) (/—1 0-
Теорема 4 (л>3). Яус/ль лп+1(Кп) = 'лп+1 + "лп+1
—разложение группы лп+1(Кп) в прямую сумму подгруппы 'лп+1,
составленной из всех элементов группы лп+1(Кп)> порядки которых суть
степени двух, и некоторой подгруппы "л"+1. Тогда
А« + ЧКп) = 'Ап+1 + "Ап+1,

22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР 509
с ,Ап+1=^Фп+1(,пп+1), "A"+1 = (D*+1("jtw+1),
есть аналогичное разложение группы Ап+1(Кп). Для циклов,
составляющих элементы группы 'А"4"1, выберем канонический базис
гомологии vlf ..., vs, где vt есть цикл порядка тг, а тг есть
степень двух. Пусть и\—такая целочисленная цепь из Кп, что
Au't = mlvl (l=ly • •., s).
Положим vli = u\-yii\ здесь и\ можно рассматривать как вычет по
модулю два. Оказывается, что в группе 'пп + 1 можно выбрать такие
элементы $19 ...,Р5, что вместе с (14) они составят систему
образующих группы 'лп+1, причем полную систему сооотношений
для этой системы образующих можно составить из соотношений
(15), (17) и соотношений
и
mA-2^^0 (/=1, .... s). (19)
*=i
Сверх того,
-wf€®B+1(Pi) (/=*1, ■-.,*).
В противоположность (п-\- 1)-мерным циклам, не все (л-f 2)-мер-
ные циклы комплекса Кп являются сферическими. Критерий их
сферичности дается нижеследующей теоремой.
Теорема 5. Целочисленный А-цикл и размерностип + 2
комплекса Кп тогда и только тогда является сферическим, когда
при п = 2: и-уу = 0 (mod du), (20)
при л^З: м-*/„• = () (mod 2) (/=1, ...,fe). (21)
Таково в основном содержание предлагаемой работы. Сверх
того, в ней дается геометрическое представление (п + 2)-мерных
асферических циклов комплекса Кп.
Результаты этой работы, относящиеся к группе nl(K2)> Уже
были мною опубликованы [11].
§ 1. Гомотопические группы сфер и букетов
В этом параграфе я напоминаю некоторые понятия и
результаты теории гомотопий и доказываю ряд необходимых для
дальнейшего вспомогательных предложений.
А) Ориентированную л-мерную сферу Sn (n^l) с выбранной
в ней точкой — «полюсом» р—будем называть поляризованной.
Пусть К—произвольный связный полиэдр с фиксированной в нем
точкой—«началом» а. Непрерывное отображение / поляризованной
сферы Sn в К, при котором f(p)=^a, назовем л-мерным
сфероидом в К и будем обозначать через (/, S"). Два сфероида (fu SJ)
и (/2» SJ) будем считать принадлежащими к одному типу, если

510 22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР
существует гомеоморфное отображение ф сферы Sf на сферу $п
сохраняющее ориентацию и переводящее полюс в полюс, такое'
что отображения fx и /2ф поляризованной сферы SJ эквивалентны
в /С, т. е. могут быть связаны деформацией, сохраняющей образ
полюса неподвижным. В силу этого условия, n-мерные сфероиды
в К распадаются на попарно непересекающиеся между собой типы
множество которых мы обозначим через лп = лп(К). Множество
лп (К) превращается в л-мерную гомотопическую группу полиэдра ^
при помощи операции сложения, определяемой следующим обра-
зом. Пустьaj,a2—два типа n-мерных сфероидов, и (/lf Sf), (/lf Sj) -—
два сфероида, принадлежащие соответственно типам аи а2.
Проведем через полюс третьей поляризованной сферы Sn сферу 5Л~1>
разрезающую Sn на замкнутые элементы Е? и Е%. Через <р, (/=1, 2)
обозначим отображение элемента Еп{ на сферу S", переводящее всю
его границу Sn~1 в полюс р( и гомеоморфно с сохранением
ориентации отображающее Е\—S"""1 на S\—/?,-. Отображения f1cp1 и /,<р
вместе дают непрерывное отображение / сферы Sn в /С,
определяющее сфероид (/, Sn). Тип сфероида / обозначим через а.
Доказывается, что а однозначно определяется типами ах и а2; по
определению считают, что a1-fa2 = a. Нулем группы пп(К) служит
тип сфероидов, гомотопных нулю, т. е. стягиваемых в начало а.
Порядком сфероида будем называть порядок того элемента
гомотопической группы, к которому он принадлежит. Если
отображение / симплициально, а полюс и начало являются вершинами
соответствующих триангуляции, то сфероид (/, Sn) будем называть
симплициальным.
В дальнейшем будут рассматриваться почти исключительно
полиэдры с тривиальной фундаментальной группой. Так как для
таких полиэдров эквивалентность сфероидов (/, Sn) и (g\ S"),
употребленная выше, равносильна обычной гомотопности отображений
/ и g, то выбором полюса и начала в этом случае можно
пренебречь.
Доказательство утверждений, высказанных в А), см. в [10].
В) Через Щ обозначим полиэдр, составленный из /г-мерных
сфер SJ, ..., Snq, имеющих лишь одну общую точку—начало я.
Сферы S? будем иногда считать ориентированными. Полиэдр Щ
будем называть n-мерным букетом. Выясним структуру группы
п*(Щ). Пусть (/, S3)—симплициальный сфероид типа а в H'2q.
В сфере Sj выберем две различные точки q\ и q\> каждая из
которых лежит внутри некоторого треугольника триангуляции
полиэдра Н2д. Полный прообраз точки q\ (1= 1, 2) можно рассматривать
как целочисленный одномерный цикл в сфере S3. Коэффициент
зацепления 83 (Z"1^}), f"1(qj2)) циклов f~1(q}) и f"~1(q)) обозначим
через 7/у = ?//(/)• Легко видеть, что у,-/^=У/^ Доказывается, что
матрица y = y(f) = \\yl..(f)\\ однозначно определяется типом v(Y/y===s
=7/у (a)» Y = Y(a))> b свою очередь определяет его, и что для
каждой целочисленной симметрической матрицы ||е/у|| существует

22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР 511
тип а такой, что уи(а) = ги. Сверх того,
У и (ai + а2) = У ij («i) + Т/у («t). (1)
При <7 = * число у (а) = 7и (а) есть известный гопфовский инва-
Результаты, сформулированные в В), были впервые
опубликованы в [11]. Доказательство для случая q = 2 см. в [13]; оно
легко распространяется на случай произвольного q.
С) Пусть (ф, 22)—сфероид в букете Щ, имеющий на сфере S]
степень отображения ah и (A, S3)—сфероид в 22. Тогда для
сфероида (фА, S3) в Н\ инварианты ytj определяются соотношением
У и (ФА) = V (A) opj. (2)
Будем считать, что.отображение ф симплициально; тогда
полный прообраз точки q\ в 22 состоит из конечного числа точек, и
степень отображения ф в каждой из этих точек равна +1 или
—1. Точки прообраза, для которых степень равна +1» обозначим
через р{9 ..., р}; точки прообраза, для которых степень равна
—1, обозначим через п\у ..., п\. Мы имеем
Ф"1(9Й=ГР1+ ... +Р\Х—п\— ...— п\х% r1—s1 = ai9
что имеет вполне определенный алгебраический смысл. Точно так
же для точки q) положим:
Ф (<7/) = Р\+ • ■ • + Р\—п\— • •. —л?,, r2—s2 = a,.
Далее, имеем:
У и (Ф*) ^ ® (A"^"1 to». Л"^"1 (?/)) =
= 22 «(л-1^). л-1 (А,))- 2 2 яе^Сй). a-MpU)-
aj=l a2=l 0!= 1 a2=l
-22 «(л-'О*,), h-\n\))+ 2 2 8(л-1Ю, а-хЮ) =
ai=l Э2=1 3i=l Pi=l
= 7 (A) rxr2—у (A) sxr2—7 (А) гд + v (A) s^^
= V (A) (ri—Si) (/-2—s2) = 7 (A) <хл.
Итак, соотношение (2) доказано.
D) Пусть (/, S2)—сфероид порядка т > 0 в полиэдре /О Через d
обозначим самое число т, если оно нечетно, и 2т, если т четно.
Пусть, далее (g, S3) — сфероид в S2. Оказывается, что если y(g)
Делится на d, то сфероид (fg, S3) гомотопен нулю в /С.
Отображению / соответствует естественный гомоморфизм/ группы
n*(S2) в группу л3 (/С). С другой стороны, в силу В), существует
естественное изоморфное отображение v"1 аддитивной группы целых
чисел в группу jt3(S2). Положим Q = fy~1. Наше утверждение
заключается в том, что 9(л;) —О для всякого лг = 0(тэсЫ).

512
22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР
Пусть 22—вспомогательная поляризованная сфера и (A, S3)-_
сфероид в 22 такой, что y(h)—l. Пусть, далее, (<plf 22), (ф2, 22)
(ф3, 22)— сфероиды в S2 со степенями т, 1, т + 1. В силу (2),
7(ф1А)^т2, Y(<PiA)=l. 7(ФзА) = (т+1)2.
(3)
Так как порядок сфероида (/, S2) равен т, то сфероид (/фх, J2\
гомотопен нулю, а сфероиды (/ф2, 22) и (/ф3, 22) гомотопны между
собой. Из этого следует, что сфероид (/фхЛ, S3) гомотопен нулю,
а сфероиды (/чр2А, S3) и (f(p3h, S3) гомотопны между собой. Отсюда^
на основании (3), заключаем, что 0(т2) = О, 9(1) = 0((т+ I)2), или,
так как 0 есть гомоморфизм:
0(т2)=О, 0(т2+2т) = О.
(4)
Из (4) непосредственно вытекает, что при x = 0(mocld) имеем
0 (х) = 0, ибо d есть общий наибольший делитель чисел т2 и т2 + 2т.
Е) Пусть /—отображение букета Щ в полиэдр /С, переводящее
начало в начало и такое, что сфероиды (/, S2) и (/, S2.) имеют
соответственно порядки т1 > 0 и т2. Общий наибольший делитель
(Tj, т2) чисел xlt т2 обозначим через d. Пусть, далее, (g, S3)—такой
сфероид в #1, что Tii(g) —722(ёг)==0. Оказывается, что если y12(g)
делится на d, то сфероид (fg, S3) гомотопен нулю в /С.
Отображению/ соответствует естественный гомоморфизм f группы
п3(Н1) в группу я3 (/С). С другой стороны, в силу В), существует
естественное изоморфное отображение у"1 аддитивной группы
симметрических целочисленных матриц второго порядка на группу
л3 (Я2.). Положим 0 = /y-1. Наше утверждение заключается теперь
в том, что при целом хе=0 (mcdd) матрица ( *) переводится
гомоморфизмом 0 в нуль.
Пусть 22—вспомогательная поляризованная сфера, и (Л, S3) —
сфероид в 22 такой, что y(h)= 1. Пусть, далее, (фх, 22)—сфероид
в S2 со степенью т1э (ф222)—сфероид в Н\ со степенями
отображений на S\ и Si, соответственно равными т± и 1, и (ф3, 22) —
сфероид в S2 со степенью 1. В силу (2), имеем
T(<PiA) =
Ti О
О О
, У (ф2А) =
Ti Ti
Tl 1
У (ф8Л) =
О О
О 1
(5)
Так как сфероид (/, S\) имеет порядок xlf то сфероид (fq>lf 22)
гомотопен нулю, а сфероиды (/ф2, 22) и (/ф3, 22) гомотопны между
собой. Из этого следует, что стероид (faift, S3) гомотопен нулю,
а сфероиды (/ф2А, S3) и (/фзА, S3) гомотопны между собой. Отсюда,
на основании (5), заключаем, что
0
( хХ ° Uo
V о о у и>
0
2
Ti Ti
т 1
О О
О 1
(6)
\

22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР 513
Из (6) следует
в'
[\\1 ?1)-°- &
Если т2>0, то точно так же получается:
9
О т2
{; о )-о. W
Из (7) и (8) справедливость нашего утверждения вытекает непо-:
средственно.
F) При л^З группа 7in+1(Sn) сферы Sn содержит лишь два
элемента и потому изоморфна группе вычетов по модулю два.
Сфероиду (/, Sn+1) типа а в Sn поставим в соответствие вычет
Y(/) = v(a) по модулю два, рулевой, если сфероид f гомотопен
нулю, и единичный, если он не гомотопен нулю. Рассмотрим теперь
группу лп+1(Н*) букета Щ [см. В)]. Через гр/ обозначим
отображение букета #2 на сферу Sfcztf* такое, что при x£S? имеем
vj?/(jc) = a:, а при х£Н%—S? имеем $£(х)=а. Если (/, Sn+1) —
произвольный сфероид типа а в Щ, то положим y{{f) =7(г1)//)-
Однострочная матрица y=Y (/)=l V/ (/)! однозначно определяется типом a
и в свою очередь определяет его:
Y/(/)eY/(a). Y(/) = Y(a).
Легко видеть, что при этом
Y/(ai + a2)-Y;(ai) + Y/(°0 ('=-1. •••» q)- (9)
Группа nrt+1(S") впервые была вычислена в [7]; подробное
доказательство для случая п = 2 см. в [9]. Вычисление группы
лп+1(Н$) см. в [13].
G) Пусть (ф, 2П)—сфероид в букете Щ, п*^3, имеющий на
сфере S? степень отображения а{ и (A, Sn+1)—сфероид в 2*. Тогда
v/(q*)=v(*K. (Ю)
Из этого непосредственно следует, что для всякого сфероида
(f, Sn+1) в Hnq существует гомотопный ему сфероид вида (фА, Sn+1),
так как система уравнений y(h)ai = yi(f) всегда может быть
разрешена относительно чисел а,-, если принять за y(h) единичный
вычет.
Соотношение (10) докажем сперва для случая, когда букет #2
содержит лишь одну сферу, т. е. для поляризованной сферы S".
Степень отображения ф сферы 2" в сферу Sn обозначим через <т.
Тогда соотношение (10) приобретает вид:
y(<ph) = y(h)o. (11)
Очевидно, мы вправе считать, что a > 0.
Через #2 обозначим вспомогательный букет, составленный из
а сфер Sf. В сфере SJ рассмотрим сфероид (hjy Sn+1) такой, что
17 л. С. Понтрягин, т. I

514 22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР
У (h/) = У (h). Пусть, далее, (гр, 2")—сфероид в #g, имеющий
степень, равную единице на каждой из сфер S". Легко видеть, что
7/(#) = 7(Л), (12)
ибо отображение ij);i|) (где i|)y—отображение букета #2»
аналогичное отображению гр,., см. F)) гомотопно гомеоморфному. Таким
образом, если обозначить через ау- тип сфероида (Ay, Sn+1) в Щ и
через а—тип сфероида (г|?А, Sn+1), то
a = aj+ ... + аа (13)
[см. F)]. Пусть х—отображение букета #2 в сферу S", гомео-
морфное на каждой из сфер S/. Тогда у (%tij) = y (hj) = y (А), а в
силу (13), из этого получаем:
У(%Щ= 2 y{%hj) = oy{h). (14)
Так как отображение х"Ф имеет степень а, то оно гомотопно ф, и
потому 7(Х(фЛ) = 7(фЛ). Отсюда и из (14) и вытекает (11).
Соотношение (10) получается из соотношения (И) путем
применения отображения яр,-.
Н) Пусть (f, Sn), л^З,— сфероид в полиэдре /С, имеющий
нечетный порядок т, и (g, Sn+1)—произвольный сфероид в S".
Тогда сфероид (fg, Sn+1) гомотопен нулю в /С.
Для доказательства рассмотрим вспомогательный сфероид (ф, 2")
в Sn со степенью т и сфероид (A, Sn+1) в 2П такой, что 7М = 7(&)-
Сфероиды фА и g- гомотопны между собой в силу (11). Так как
сфероид (/, Sn) имеет порядок т, то сфероид (ftp, 2") гомотопен
нулю в К. Поэтому и сфероид (/фА, Sw+1), а вместе с ним и
сфероид (fg9 Sn+1), гомотопен нулю в К.
§ 2. Вспомогательные операции над классами V-гомологий
В следующем параграфе я определяю инвариант y(f)
отображения f сферы Sn+1 в сферу Sn [см. § 1, В) и Е)] при помощи
операций над V-циклами. Таким определением весьма удобно
пользоваться при изучении отображений сферы Sn+1 в комплекс. При
я = 2 это изучение, результаты которого изложены в [11],
потребовало от меня введения новой операции х, которую здесь я
обозначаю через ^ (см. стр. 20, определение 1). При л^З я
использую для этого изучения введенную Стинродом [2] операцию
w/ [см. А)], являющуюся обобщением введенной мною в [11]
операции *. Настоящий параграф посвящен описанию операций _,-
и ^.
Я буду пользоваться следующими обозначениями и
терминологией. Пусть /—симплициальное отображение комплекса К'

22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР 515
в комплекс К у и и—некоторая r-мерная цепь из /С; через f*u
будем обозначать цепь из /С', принимающую на симплексе Тг из К'
значение u(f{Tr)), если / не вырождается на симплексе Т\ и
значение нуль—в противном случае. Пусть со—некоторый порядок
вершин в комплексе К и со'— некоторый порядок вершин в
комплексе /Г. Говорят, что f переводит со' в со, если из а' < Ь\ где
а и 6'—вершины из /С, следует: f(a')^:f(b').
A) Пусть /С—конечный симплициальный комплекс, вершины
которого снабжены порядком со, i—целое неотрицательное число,
и и v—две целочисленные V-цепи из К размерностей р и q.
Операция ^ i ставит в соответствие цепям uwv целочисленную цепь w
размерности p + q—i: w = u^{v. Операция эта зависит от
заданного порядка со. V-граница при этом определяется соотношением:
+ Vu~p+(—lYu^iVv. (1)
Операция ^0 совпадает с известной операцией умножения
Колмогорова—Александера. Если / есть симплициальное отображение
комплекса К' с порядком вершин со' в комплекс /С, переводящее
со' в со, то мы имеем:
р{и~р) = ри~,.ри. (2)
Если в комплексе К заданы два различных порядка вершин со0
и colt то каждому из них соответствует своя операция >-*,•;
операции эти мы обозначим через —-J и — J соответственно. Для
установления связи между —J и ^\ вводится операция V/» зависящая
от обоих порядков со0 и сох и ставящая в соответствие цепям и
и и целочисленную цепь u\Jр размерности p + q—i—1. Связь
между операциями ~° и >~\ дается следующим соотношением:
— [{— l)p+q-£u\/:V+{— l)P4+P+<>v\/i-iti + Vu\/iV + (— IpuVtW].
(3)
Цепь и\/ -и обращается в нуль на каждом симплексе, на котором
порядки со0 и сох совпадают. Если в комплексе К' также имеются
два порядка вершин со« и coi таких, что f переводит о>о в со0, a coi
в colt то
f*(uV р) = }*и\/ t.pv. (4)
Операции —,. и V,- дистрибутивны. Все сказанное можно
понимать и по произвольному модулю ш.
Доказательство утверждений, высказанных в А), см. в [2].
B) Нижеследующее утверждение зависит от целого /^0; при
* = 0 оно понимается по произвольному модулю т, включая и
т = 0; при I* > 0—по модулю т = 2. Пусть К—симплициальный
комплекс, L—его замкнутый подкомплекс, и z, z'—два V-цикла
17*

516 22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР
размерности р из /С, пересечения которых с L равны одной и той
же цепи х и разность которых гомологична нулю в К—L. Тогда
2^/2 и z'^tz' суть циклы, разность которых гомологична нулю
в К—L. Далее, если в К имеются два порядка вершин со0 и о)1э
совпадающие на х, то разность z^\z—z—\z гомологична нулю
в К—L.
То, что z—{Z и г'^-р' суть циклы, непосредственно следует
из (1). Пусть z'—2 = vy, где у обращается в нуль на L. Тогда
z'~,z'—z^iz = Yy^iz + z~iTy + Xy—iTy = c
•Формула (1) дает: c — Xd, где
При этом d вместе с у обращается в нуль на L.
Формула (3) дает:
z^\z—z~?2 = V(zV/Z),
причем zV/Z обращается в нуль на L, так как порядки а>0 и о,
совпадают на х.
С) Пусть К—симплициальный комплекс, L—его замкнутый
подкомплекс, х—целочисленный v-цикл размерности р из L, и
2, z'—две такие целочисленные цепи из К, что пересечение их
с L равно х, редуцированные же по четному модулю т, они
представляют собой циклы в /С, разность которых есть цикл по
модулю т, гомологичный нулю в К—L. Составим выражения:
z^z^z^qZ + xz—^, z'^z' = z'—0z'-f Vz'^-^';
оказывается, что, редуцированные по модулю 2т, они
представляют собою циклы, разность которых гомологична нулю по мо-ч
дулю 2т в К—L. Далее, при изменении порядка вершин в /С,
не затрагивающем порядка вершин в х, цепь z^zy
редуцированная по модулю 2т, изменяется на цикл, Гохмологичный нулю
в К—L.
Положим Vz = maf Vz' = та\ Из (1), ввиду четности т, следует
V (z^z) = ma^Qz + (—\)Pmz^ Qa +
+ m(u~0z—z^0a+ (—l)p+1rna^1a)^0 (mod 2m),
т. е. цепь zzzz, редуцированная по модулю 2m, есть V-цикл. Так
как, по предположению, цепь zf—2, редуцированная по модулю т,
есть цикл, гомологичный нулю в К—L, то
zf—z — Vy + mw,
где у и w обращаются в нуль на L. В силу формулы (1)
z'^zz'—z^z^Td (mod2m),

22. КЛАССИФИКАШЗЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР 517
где
d = у~0z 4 (—1)я z~0y 4 у-0\у + ma- ^ 4 тш^гг 4 mw^rfy.
При этом d вместе с у и w обращается в нуль на L. Таким
образом, цепь z'zzz'—z*zz, редуцированная по модулю 2т,
гомологична нулю в К—L.
Вычисляя цепь z^z при двух различных порядках вершин,
совпадающих на х, мы получим цепи
z^°z = z^\z 4 ma^iZy z^z = z^lz + ma^\z.
В силу формулы (3)
z^z—z^°2 = vd (mod 2m),
где
d = z\J0z + ma\/1z.
Так как на х оба порядка вершин совпадают, то d обращается
в нуль на L.
Таким образом, утверждение С) полностью доказано.
Определение 1. Пусть К—симплициальный комплекс, z* —
некоторый класс V-гомологий из К по четному модулю m и z —
целочисленная цепь, которая после редукции по модулю т
оказывается циклом из класса г*. В силу С), цепь z^z,
редуцированная по модулю 2т, есть V-цикл по модулю 2т, класс
гомологии которого определяется классом гомологии z* и потому может
быть обозначен через z*^z*. Обычным образом доказывается, что
так определенная операция z*^z* инвариантна относительно выбора
триангуляции полиэдра \К\.
§ 3. Построение инварианта v c помощью у-гомологий
Здесь инвариант y(f) отображения / сферы Sn+1 в сферу Sn
[см. § 1, В) и F)] определяется и изучается при помощи
описанных в предыдущем параграфе операций над V-цепями.
Полученное определение обобщается, далее, на случай отображения
сферы Sn + 1 в букет Щ [см. § 1, В)].
Нижеследующая конструкция А) устанавливает связь между
операцией ~( и отображениями сферы Sn+1 в сферу S*.
А) Существует клеточный комплекс Мп+2(п^2), состоящий
из трех клеток £°, Епу Еп+2 и обладающий следующими
свойствами:
a) Комплекс Sn = E° + En составляет полиэдр, гомеоморфный
сфере.
b) Пусть М?+2—некоторое симплициальное подразделение
клеточного комплекса Мп+2, индуцирующее на Sn подразделение S?.
Через еп обозначим какой-нибудь V-цикл из Л!?*2, пересечение s?
которого с S? имеет в S? индекс 1, и через еп+2—какой-нибудь

518 22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР
V-цикл из М?+2, имеющий в М%+2 индекс 1 (под индексом пони-
мается алгебраическое число симплексов цепи). Тогда
%~п-& ~еГ2- (1)
с) Пусть Рп+2 — замкнутый элемент с границей Sn+1 и
f—непрерывное отображение сферы Sn+1 в сферу Sn; тогда
отображение / можно распространить в отображение / всего элемента Рп+*
в полиэдр Мп+2У и инвариант y(f) отображения / сферы Sn+1
в сферу Sn равен степени отображения / элемента Рп+2 на
элементе Еп+2 (которая при п^З понимается по модулю два).
Доказательство утверждения А) см. в [2].
Нижеследующая теорема дает выражение инварианта у (/)
отображения / сферы Sn+1 в сферу Sn при помощи операции — л_2.
Теорема 1. Пусть f—симплициальное отображение
границы Sn+1 триангулированного элемента Рп+2 в триангулированную
сферу Sn, sn—n-мерный \-цикл из S", индекс которого равен 1,
x = f*sn и z — Х-цикл из Рп+2> пересечение которого с Sn+1 равно х.
Зададим на Рп+2 порядок о> вершин, обладающий тем свойством,
чтоt рассматриваемый на Sn+1, он переходит при отображении f
в некоторый порядок со' вершин комплекса Sn. Оказывается, что
инвариант y(f) отображения f равен индексу I{z—n_2z) цепи
* /i - 2*" •
Доказательство. Пусть о>0 и а)х—два порядка вершин
в Sn + 1t которые при отображении / переходят в со'; покажем, что
/(*~!Uz) = /(z~;i_2z). (2)
В силу формулы (3) § 2,
z~\_%z—*~«-22 = V (* Vii-**). (3)
Далее,
V(z\/„-2z)~V(A/„-2*) в р»+1—S»+1. (4)
Так как / переводит порядки ш0 и (о1 в один и тот же порядок о/,
то, в силу формулы (4) § 2,
xVn-2x = f*snVn-2f*sn = f*(snVn-2Sn)=f*(0)==Q- (5)
Ввиду того, что индекс всякой (п + 2)-мерной V-цепи из Pn+t,
гомологичной нулю в Рп+2—Sn+1, равен нулю, из (3), (4) и (5)
следует (2).
Сферу Sn будем считать совпадающей со сферой того же
наименования, расположенной в комплексе Мп+2 [см. А)]. Так как
неизвестно, может ли заданная триангуляция сферы Sn
индуцироваться какой-либо триангуляцией полиэдра Мп+2, то в полиэдре
Мп+2 выберем просто настолько мелкую триангуляцию М?+2, чтобы
индуцированная ею триангуляция SJ сферы Sn допускала симпли-
циальную аппроксимацию е тождественного отображения
комплекса Si на комплекс Sn. Симплициальное отображение f триангули-

22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР 519
оованной сферы Sn+1 в триангулированную сферу Sn распространим
в непрерывное отображение / элемента Рп+2 в М?+2. Через Р\+2
обозначим настолько мелкое подразделение комплекса Рп+2, чтобы
отображение / комплекса Р1+2 в комплекс М?+2 допускало симпли-
циальную аппроксимацию g. Триангуляцию, индуцированную на
5«+1 триангуляцией Р?+2, обозначим через SJ+1; тогда SJ+1 есть
подразделение триангуляции Sn+1. Так как е аппроксимирует
тождественно отображение комплекса SjHa комплекс Sn, a g
аппроксимирует непрерывное отображение f комплекса Si+1 в комплекс S",
то eg аппроксимирует непрерывное отображение / комплекса S?+1
в комплекс Sn. Из этого вытекает, что если а есть произвольная
вершина триангуляции S?+1, а Л—тот симплекс минимальной
размерности из Sn+1y к которому принадлежит точка я, то eg (а) есть
вершина симплекса f(A); таким образом, среди вершин
симплекса А существует вершина А (а), удовлетворяющая условию:
eg(a) = fh(a). (6)
Для того, чтобы аппроксимировать тождественное отображение
комплекса Р"+2 на комплекс Рп+2 симплициальным, нужно
каждой вершине Ь триангуляции Р%+2 поставить в соответствие
вершину симплекса В триангуляции Рп+2У причем симплекс В
однозначно определен как симплекс минимальной размерности,
содержащий точку ft. Такое соответствие на SJ+1 уже установлено
и обозначено через й; распространив его на весь комплекс Р?+\
мы получим симплициальное отображение й комплекса Р1+2 на
комплекс Рп+2, аппроксимирующее тождественное отображение.
На комплексе M?+2 зададим такой порядок о>0 вершин,
который, рассматриваемый не S", переводится отображением е в
порядок со'. На комплексе Р"+2 зададим такой порядок со0 вершин,
чтобы при отображении g он переходил в со". С другой стороны,
на комплексе Р"+2 построим порядок coj вершин, переходящий при
отображении й в порядок о>.
Положим s1 — e*sn. Так как отображение е имеет степень 1,
то индекс цепи sj равен единице. Через ej обозначим какой-нибудь
Цикл из УИ?+2, пересечение которого с S? равно s?, и через е%+2 —
некоторую цепь из М?+2, индекс которой равен единице. В силу (1)
«7~я-^~«?+я. (7)
где операция ^„_2 построена при помощи порядка со\ Из того,
что степень отображения g элемента Р%+2 на элементе Е%+2
равна y(f)t и из формул (2) § 2 и (7) следует:
/te*^~L2^)-Y(fl, _ (8)
где операция ^_2 построена при помощи порядка со0. Из
формулы (2) § 2 получаем:
I(h*z~Uh*z) = I(z~n_2z)t (9)
L-

520 22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР
где операция ^_* построена на основе порядка colt а операция
w/z-2—на основе операции со.
Нетрудно проверить, что пересечение цикла g*e? с SJ+1 равно
(eg)*sn, а пересечение цикла h*z с S?+1 равно (fh)*sn. В силу (6),
оба эти пересечения совпадают между собой, и потому в силу В) §2
g*e?~n-2g*et?—h*z~°n_.2h*z — 0 в р»+«_5л+1. (Ю)
Следовательно,
/ №%-%-*№) = ! (Ьт*~0п-гЬтг). (11)
Применяя соотношение (2) к V-циклу ft*z в комплексе PJ+2 и
отображению fh = eg сферы S?+1 в сферу S% получим:
/ {h*z~°n_2h*z) = I (h*z~\_%h*z). (12)
Из соотношений (8), (11), (12) и (9) следует, наконец, что
Итак, теорема 1 полностью доказана.
Теореме 1 можно придать нижеследующую формулировку В),
в которой не используется элемент Рп+2. Формулировка эта не
будет, впрочем, применяться в дальнейшем.
В) Пусть /—симплициальное отображение триангулированной
сферы S"+1 в триангулированную сферу S", sn—некоторая цепь
из Sn индекса 1 и f*sn = x~Vy. Введем в Sn+1 какой-нибудь
порядок вершин, переходящий при отображении f в некоторый
порядок вершин комплекса Sn. Тогда
У(П = Цх~п-2У) + Пу~п-*У)- (13)
Для доказательства соотношения (13) будем рассматривать
комплекс S'l+1 как границу триангулированного элемента Рп+2;
V-границу и индекс в Sn+1 будем обозначать через V и /
соответственно, а V-границу и индекс в Рп+2 будем обозначать через V'
и /' соответственно. По предположению, х = Vy и потому, полагая
z = V'y, мы получим в Рп+2 цикл z, пересечение которого с Sn+1
равно х. Таким образом, в силу теоремы 1,
В силу формулы (1) § 2 мы имеем:
Ч'У~п-УУ = V (Ч'у~п-1У + У~п-зУ)-
Далее,
1'{У'У~»-4)~1'№-«-#) в P"^-S"+\
и, таким образом,
I' (V tf'y-n-M + у^п-зУ)) — /' (V (х~п_,у + у~„-3у)).

22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР 521
Так как V-граница каждого (п-\- 1)-мерного симплекса из Sn+1,
взятая в Рп+2у состоит из единственного (п + 2)-мерного
симплекса, то
/' (V (х-п-2У + У- п-зУ)) = / (х~ п-2У + у~п-зУ),
и соотношение (13), таким образом, доказано.
C) Пусть /—симплициальное отображение границы S3
триангулированного элемента Р4 в триангулированный букет Щ,
s\—некоторая целочисленная цепь из сферы S\y индекс которой в S?
равен + 1, и x,= f*Si. Пусть, далее, zt—V-цикл из Р4, пересечение
которого с S3 равно xf9 и у(—такая цепь из S3, что xi = \yh
где V обозначает V-границу, взятую в S3. Тогда
при {фу. 7//(/) = П2/~о2/) = '(*;~о</,). (14)
где V есть индекс, взятый в Р\ а /—индекс, взятый в S3.
V-границу в Р4 будем обозначать через V'. Тогда V'*// есть
V-цикл из Р4, пересечение которого" с S3 равно Ху, и потому
2—\7'У/ есть цикл в Р*—53, который, ввиду известных свойств
элемента, гомологичен нулювР4—S3. Таким образом, Zj— v'*/y=V'c»
где с обращается в нуль на S3, и мы имеем
z/~o(z,—vV/)^2/~oV'*=y'(z/~o<0~o в р4—s2.
Отсюда следует, что
/' (2,-^/) = /' (2,- „VЧ) = I' (V (*/~.1//)) = / (*/~о<//>. (15)
Если и—произвольная v-цепь из S3, то через В (и) обозначим
дуальную по отношению к ней звездую цепь. Индекс пересечения
1{В(х1)у В (у,)) цикла B(xi) с цепью В(у^) представляет собою
коэффициентJ зацепления 23 (В (х,), В(х.)), который, как легко
видеть, равен Y//(/) [см- § 1» ^)]. С другой стороны, в силу
известной связи между произведениями v-цепей и пересечениями
А-цепей в многообразии,
/(В(*,-), В(У/)) = 1(х~0у,),
откуда, по формуле (15), следует (14).
D) Пусть /—симплициальное отображение триангулированной
сферы Sn+1 в триангулированный букет Щ,
Рп+2—триангулированный эмемент с границей Sn+1 и S? — цепь из #2, имеющая
в сфере S? индекс 1, а в сферах S? с тф{—индекс О. Положим
^/ = /*5? и пусть г{—цикл из Рп+2, пересекающийся с Sn+X по
Циклу х(. Введем в Р"+2 какой-нибудь порядок вершин, который
индуцирует в Sn+l порядок вершин, переходящий при
отображении / в некоторый порядок вершин комплекса #£. Оказывается,
что тогда
при п =2: Y//(/) = '(Z/~0zy), (16)
при л>3: ?,-(/) =/(*/~«-A). (17)
где / есть индекс, взятый в Рп+а.

522 22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР
Из В) § 2 следует, что I(zi^-n_2z) при произвольном п !>2
не зависит от выбора цикла zh а определяется цепью х{.
Покажем, что при л = 2 и 1ф\ индекс I (г{~Bzf) определяется цепями
Х;> Xj. Пусть z'i—другой цикл из Р4, пересекающийся с S3 пол:-'
покажем, что
I(z'i~oZj) = I{Zi~ о*у).
Действительно, цикл z\— г,- обращается в нуль на S3 и потому
гомологичен нулю в Р4—S3. Таким образом, существует цепь с,
равная нулю на S3, такая, что г\—z,- = V£, и мы имеем:
/ №~'о*/) — / (Z/~o*/) = / (VC~V/) = I (V (C~eZ/)) = 0.
При произвольном /г ^2 часть цепи sf, лежащую в S",
обозначим через sji. Мы имеем: s?=s?o + sJlf где цикл s?0 имеет
индекс 0 в каждой сфере букета и потому гомологичен нулю в букете:
tfe^VflT1. (18)
Положим /r*sf1 = x/1, f*t?~1 = yi. Мы имеем:
*/^*/i+VV/. (19)
где V' есть V-граница, взятая в Sn+1. Пусть zn—цикл из Ял+2,
пересекающийся с Sn+1 по хд. Ввиду независимости правых частей
соотношений (16) и (17) от выбора циклов zh мы можем
принять, что
где V обозначает V-границу, взятую в Рп+2.
Докажем соотношение (16). Мы имеем:
2i~0zJ = zil~z/l+Vyi~9z/l+zil~0vy/ + Vf//-oVyy =
- *ii~o*/i + V (У,—0Z/i + 2/1~оУ/ + У1—о&У;)-
Далее,
J (V (yi^/i+Za^yy+jfi—tfyj)) = Г (у,—.Хд+Хл— оУ/+Уг~-оУ'У/)>
где /' есть индекс, взятый в S3. Но
так как размерность цепи, стоящей под знаком f, равна трем,
а цепь эта расположена в двумерном комплексе Щ. Таким
образом, в силу теоремы 1 и предложения С)
I (Z/~o*y) = / (Z/i~oZ/i) = Т,7 (Л.
и формула (16) доказана.
Докажем соотношение (17). Мы имеем:
2/^л-2г1 = 2/i^/i-22/i+ УУ1^п-2гп^- z/i^'«-2Vy/+ V^i^w-aVi/i —
= 2|i^/,-22|i+V(y/^„-22a+2a^n.^|.+ yi---„-2Vyi-+yi^II-sy«)-

22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР
523
Далее,
/ (V (У,—*-2*/1 + 2Д—п-2у( + t)i—n-J\}i + У^п-ъУ)) =
где /' есть индекс, взятый в Sn+1. Но
так как размерность цепи, стоящей под знаком /*, равна л-М,
а цепь эта расположена в л-мерном комплексе Щ. Таким
образом, в силу теоремы 1
' (2/-„_2^) = / (2/1-„-22Д) = Yf(fl.
и формула (17) доказана.
§ 4. Вычисление группы яп+1(К%+1)
В этом и следующем параграфах будет дана полная
классификация отображений сферы Sn+1 в связный полиэдр Кп
произвольной размерности, фундаментальная группа которого и все группы
Бетти размерностей 2, ..., п—1 тривиальны; точнее говоря, будет
вычислена гомотопическая группа лп+1(Кп) полиэдра Кп. В
настоящем параграфе будут даны некоторые вспомогательные
предложения и полностью вычислена группа лп+1(К%+1) полиэдра л{{+1
размерности п+ 1.
A) Пусть К—конечный связный симшшциальный комплекс
произвольной размерности, лг = лг(К)—его гомотопическая группа
размерности г и ДГ = ДГ(/С)—его r-мерная группа Бетти по
целочисленному полю коэффициентов. Пусть, далее, agnr и (/, sr) —
некоторый симплициальный сфероид типа а. Тогда алгебраический
образ f(Sr) сферы Sr представляет собой целочисленный А-цикл
и класс гомологии z* этого цикла является элементом группы Дг.
Легко видеть, что z* определяется элементом a, z* = Or(a) и что Фг
есть гомоморфное отображение группы лг в группу Дг. Ядро
гомоморфизма Фг в группе лг обозначим через jtj —л£(/(). Образ Фг(яг)
группы лг в группе Дг состоит из классов гомологии, которые,
как и составляющие их циклы, называются сферическими. Через К*
обозначим комплекс, составленный из всех симплексов
комплекса /С, размерности которых не превосходят s. Из [14]
непосредственно следует, что если К обладает тривиальной фундаментальной
группой, то элемент а группы лг тогда и только тогда
принадлежит подгруппе лг0у когда существует такой сфероид (/, Sr) типа а,
что f(Sr)aKr~1. Этот факт будет существенным образом
использован в дальнейшем.
B) Через Кп мы обозначим связный комплекс произвольной
размерности, фундаментальная группа которого и группы Бетти

524 22- КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР
размерностей 2, ..., п—1 тривиальны. Известно [см. [10]], что
для комплекса Кп гомоморфизм Фп является изоморфным
отображением группы пп на группу Д". Через Кп обозначим, как и в А),
комплекс, составленный из всех симплексов комплекса КпУ
размерности которых не превосходят s. Легко видеть, что в
комплексе Кп фундаментальная группа и группы Бетти размерностей
2, ..., п—1 также тривиальны. Покажем, что для комплекса /С
гомоморфизм Фп+1 есть гомоморфизм на всю группу Д"+1, т. е*
что в комплексе Кп все (п+ 1)-мерные циклы являются
сферическими.
Пусть 2=2 aiA?+1—произвольный (п+ 1)-мерный целочислен-
ный цикл комплекса Кп (здесь А?*1 суть (п+ 1)-мерные
ориентированные симплексы из Кп> а а, — целые числа). Пусть, далее,
Sn—ориентированная сфера, взятая в достаточно мелкой
триангуляции, и 77, ..., 77— некоторая совокупность попарно
непересекающихся симплексов комплекса Sn. Через / обозначим
отображение симплекса 77 на границу ДЛ?+1 симплекса Л?+1 со
степенью at такое, что при нем вся граница симплекса 77 переходит
в одну из вершин симплекса Л?+1. Отображение / симплексов
77» ..., Г? распространим непрерывно в отображение f всей
сферы S", при котором оставшаяся часть ее переходит в Кп.
Полученный сфероид (/, Sn) гомотопен нулю в /C{j+1; именно,
отображение / каждого симплекса 77 можно стянуть в ту вершину,
в которую отображена его граница, не перемещая образов точек
самой границы, так что деформация будет протекать в симплексе
Л?+1. Описанная деформация позволяет распространить
отображение / сферы Sn в отображение f элемента Е%+1, ограниченного
сферой S", таким образом, чтобы f(Eo+1)c:Kn+1 и степень
отображения f элемента £?+1 на симплексе Л?+1 была равна а(. Без
ограничения общности мы можем считать, что элемент Е%+1
триангулирован, и что отображение f является симплициальным
отображением его в Кп+1- При этом условии алгебраический образ
элемента £<?+1 совпадает с циклом г. В частности, алгебраический
образ f(Sn) сферы Sn просто равен нулю, так как z есть цикл,
и потому сфероид (/, Sn) гомотопен нулю в KZ- Таким образом,
отображение / сферы Sn можно распространить на второй
элемент £?, ограниченный сферой Sn, так что f(E^)dKn^
Отображение f на сфере Sn+l = E$+1—£J+1 составляет сфероид (/, Sn+1),
причем, очевидно, f(Sn+1) = z.
С) Обозначим через р число Бетти размерности п комплекса Кп
и через тр+1, ..., тд—его л-мерные кручения, занумерованные
так, что каждое из них делится на следующее, и положим
т1=...=тя = 0. Через k обозначим наибольшее из значений if
для которых т, четно. Так как Ф" для комплекса Кп есть
изоморфизм [см. В)], то существует симплициальное отображение f

22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР 525
букета Щ [см. § 1, В)] в Кп, при котором циклы
fts?),.... f{S») (i)
составляют базис n-мерных гомологии комплекса Кп с
определяющими соотношениями
t,./(S?)~0 (i=l, ..., q), (2)
а сфероиды
(/, S% ...9{f9 S») (3)
составляют базис n-мерных гомотопий комплекса Кп с такими же
определяющими соотношениями. Пусть (ф/7, S3)—сфероид в Н\%
для которого инвариант yij = yJi равен единице, а все остальные
элементы матрицы у [см. § 1, В)] равны нулю, и а{/—тип
сфероида (/ф,7, S3) в /С2."При п>3 пусть (ф,., S*+1) —сфероид вЯ},
для которого у; равно единице, а все остальные элемены матрицы у
равны нулю [см. § 1, F)], и ai—тип сфероида (/ф;, Sn+1) в Кп.
Оказывается тогда, что элементы
<*// (*\ /=1» •••. ?; '</) (4)
составляют систему образующих группы л1(К2), а при п^З
элементы
a, (i=l, ...,£) (5)
— систему образующих группы Ло+1(Кп). Очевидно, все элементы (5)
имеют порядок 2.
Из того, что гомотопические группы я1, ..., л""1 комплекса Кп
все тривиальны [см. В)], а его базис гомотопий размерности п
составляют сфероиды (3), следует существование такого
отображения i|? комплекса Кп в Щу что отображение /т|э комплекса Кп
в Кп гомотопно тождественному вложению комплекса Кп в Кп.
Пусть (g, Sn+l) — произвольный симплициальный сфероид в Кп
такой, что (g\ Sn+1) ~ 0. В силу А), существует гомотопный ему
сфероид (g'f Sn+1), удовлетворяющий условию gf (Sn+1)c:KZ- Таким
образом, сфероид (g, Sn+1) гомотопен сфероиду (ftyg', Sn+l).
Из этого и из предложений В), F), Н) § 1 непосредственно
вытекает справедливость утверждения С).
Для решения вопроса о зависимости между образующими (4),
(5) приходится привлечь к рассмотрению базис V-гомологий,
двойственный к базису (1).
D) Из двойственности между Д-цепями и v-цепями
непосредственно вытекает существование л-мерных целочисленных V-цепей
tflf •-•• Уд (6)
комплекса Кп, удовлетворяющих условиям:
Vy, —0 (modr,), (7)
?(5?)-У/ = в//. (8)
i

22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР
где • обозначает скалярное умножение, а 6/у-—символ Кронекера
При п^З цепи уи ..., yk можно рассматривать как V-циклы
по модулю два, и мы положим:
Уи = У1~п-М (п>3; /= 1, ..., k)\ (9)
здесь уи есть (п + 2)-мерный V-цикл по модулю два. При я = 2
все пары {/, /} (i, /= 1, ..., q) разобьем на два класса: Q и Q'.
К Q' отнесем пары вида {/, i], i = p+\, ..., k\ к классу й-1
все остальные. Если {i, /}(EQ, то положим йи=(11у ту): если же
{i, i}€&\ то положим d// = 2r/. Далее, положим:
при {*, /}£й: Уи = У1~ъУп (10)
при {/, *'}€&': у:1 = У1^Уг (11)
Таким образом, #/7 можно рассматривать как V-цикл по модулю du
(модуль нуль обозначает обычную целочисленность).
Лемма 1. Пусть т—неотрицательное целое число, Q—симп-
лициальный комплекс и Sn+1—такой его подкомплекс, гомеоморф-
ный (п-\- Хумерной сфере, что в Q—Sn+1 всякий п-мерный V-цикл
по модулю т гомологичен нулю. Пусть, далее, qn+2—такая А-цепь
из Q по модулю т, что Sn+1 = Aqn+2, и g—симплициальное
отображение комплекса Q в комплексе Кп, имеющее на Sn+1 вид ftp, где <р
есть некоторое симплициальное отображение сферы Sn+1 в букет Нпя
[см. С)]. Тогда g(qn+2) есть А-цикл по модулю твКп, и в
обозначениях D)
при п = 2: yij(4>) = g(qn+2)'yu(mod(di/9 m)), (12)
при л>3: уЛч>) = Ъ{яп+*)-уи(той(29 т)). (13)
Доказательство. Тот факт, что g(qn+2) есть цикл по мов
дулю т, непосредственно вытекает из того, что (p(S"+1) =0.
Перейдем к доказательству соотношений (12) и (13).
В комплексе Кп введем некоторый порядок (ог вершин, в Щ
введем такой порядок щ вершин, который при отображении /
переходит в <о1в В Sn+1 введем такой порядок со3 вершин, который
при отображении ф переходит в порядок со2. Так как порядок со3
вершин комплекса Sn+1 переходит при отображении ftp в
порядок (*>!, то порядок со3 можно распространить в порядок со4 вершин
всего комплекса Q, переходящий при отображении g в порядок а)^
Мы имеем:
при п = 2, {i, /}gQ: |
ё((Г+%)-У1/ = Яя+*'(0*Уг&У/) (mod(d,y, m))f | ( '
при л = 2, {i, i}£Q': \
g(qn-2)'yu^qn+2'(g*yi-AS*yi)(^od(dii9 m)), J ( '
при п ^ 3: 1
8(Чп**)'У t = qn+%-№yi~m-*8*yiY (mod(2, m)). j v ;

22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР 527
Положим: s? =/**/,-, x, = <p*s?. Из (8) непосредственно следует,
индекс цепи s? в сфере S? равен единице, а во всех
остальных сферах S? (г Ф i) равен нулю. Далее, из того, что на Sn+l
отображение g совпадает с /<р, следует, что пересечение цепи g*y{
с комплексом Sn+1 равно цепи *,..
Над комплексом Sn+1 построим конус Рп+2 с вершиной 0.
Комплекс Рп+2 имеет, кроме вершин комплекса Sn+1, только одну
вершину 0. Порядок со3, имеющийся в Sn+1, распространим
произвольным образом в некоторый порядок со5 вершин комплекса Рп+2.
Дадим теперь симплициальное отображение h комплекса Q в
комплекс Рп+2> считая, что на Sn+1 отображение h тождественно, а все
остальные вершины комплекса Q переводит в 0. Так как
отображение h переводит порядок со3 в порядок са5, то порядок со3 можно
распространить в порядок о>в вершин всего комплекса Q,
переходящий при отображении h в порядок о>5. Теперь в комплексе Q
имеются уже два порядка—а>4 и со6; они совпадают на Sn+1, что
и будет использовано в дальнейшем.
Пусть z{—целочисленный V-цикл из Рп+2, пересечение которого
с Sn+1 равно х{. Так как пересечения цепей g*yi и h*zt с
комплексом Sn+1 совпадают между собой, то g*yt—h*zf есть цепь из
Q—Sn+1, которую можно рассматривать как цикл по модулю т/#
В силу свойств комплекса Q,
g*yt—h*z{~0 (mod(t/f m)). (17)
Из предложения D) § 3 получаем:
при п = 2: Т//(ф) = /(г^»гу), (18)
при л>3: у{{<р) = 1 (zi~n-2*i)- О9)
Так как h(qn+2) = Pn+2 (modm), то из (18) и (19), следует, что
при л = 2:
/(г,~52>) = 9я+Чй**1~оА^ (modm), (20)
при п^З:
nzt~l-*i) = q*+4bm*i~*n-J*%) (mod (2, т)). (21)
В силу предложений В) и С) § 2 из (17) следует:
при л = 2, {*, /}€&: \ f22v
<7л+ЧА%~^)э?и+ЧГ^аГУ/) (mod(dl7f m)), / к }
при п = 2, {/, /}€Q': \ (2q)
<jP+*(A*z,-lh%)^q4+t'(g*yt^gg*yi) (mod(d,7, m)), I l '
при л>3: 1 r24v
Г+2ЧЛЧ-ил%) = ^+2-(^/^-2ГУ/) (mod(2, m)). / v '
Сопоставляя формулы (14), (15), (16) с формулами (18)—(24),
мы и получаем соотношения (12) и (13). Этим лемма 1 полностью
доказана.

528 22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР
Теорема 2. Определяющая система соотношений для
образующих (4) группы Яо(/С|) [см. А)] имеет вид:
d,ya,y = 0 (i, /=1, ..., q) [(см. D)]. (25)
При л ^3 определяющая система соотношений для образующих (5)
группы п^+1(Кп+1) [см. А)] имеет вид:-
2а,= 0 (/ = 1, ..., k). (26)
Доказательство. Соотношения (25) и (26) непосредственно
вытекают из предложений D), E), F) § 1; остается показать, что
соотношения эти образуют полные системы.
Пусть (ф, Sn+1)—произвольный сфероид в Hq с инвариантами
7// или Yi соответственно. Сфероид (/ф, Sn+1) [см. С)] входит
тогда в класс:
при л = 2: 2Т(/»//. (27)
k
при л^З: 2 Y*06*- (28)
Допустим, что сфероид (/ф, 5rt+1) гомотопен нулю в К%+1> и
покажем, что тогда
при л =2: Y//—0 (modd/y) (i\ / = 1, ..., q), (29)
при л>3: Y/e0 (mod2) (t = l, ..., fe). (30)
Пусть Рп+2—элемент, ограниченный сферой Sn+1. Так как, по
предположению, сфероид (/ф, Sn+1) гомотопен нулю, то
отображение /ф можно распространить в отображение g всего элемента Рп+г
в комплекс К%+1> Без ограничения общности можно считать, что
отображения ф и g являются симплициальными. Полагая т = 0
и Q = Pn+2, мы окажемся в условиях применимости леммы 1.
Так как цепь y{j имеет размерность л-f 2 и расположена в (л 4- 1)-
мерном комплексе /С«+1, то #^ = 0, и потому соотношения (12),
(13) переходят в соотношения (29), (30).
Итак, теорема 2 полностью доказана.
Дополним теорему 2 следующим предложением:
Е) Группа пп+1(Кп+1) изоморфна прямой сумме групп п$+1(Кп+1)
и Д»+1(/Сй+1) [см. А)].
В силу А), для комплекса Кп+1 имеем Фп+1(лп+1) = Ап+1,
причем ядро гомоморфизма Фп+1 есть я"+1. Так как группа
Ап+1(Кп ) (л+1)-мерного комплекса К%+1 не имеет элементов
конечного порядка, то группа лп+1 изоморфна прямой сумме
ядра л#+1 гомоморфизма Ф"+1 и факторгруппы л"+1/Яо+1,
изоморфной группе Д"+1.

2.. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР 529
§ 5. Вычисление группы яа+1(Кп)
В предыдущем параграфе была построена система образующих
при п = 2: а,. (/, /=1, ..., q\ /</), (1)
при п^З: а, (* = 1, • •, Щ (2)
группы Ло+1{Кп) и найдена полная система соотношений:
при л«2: dl7al7 = 0 (i\ /=1, ..., ?; *</), (3)
при л^З: 2^ = 0 (* = 1, ..., fe) (4)
для случая, когда размерность комплекса Кч не превышает п+\
(см. теорему 2). В этом параграфе система (3), (4) будет пополнена
соотношениями, имеющими место в комплексе Кп произвольной
размерности. Далее, система (1), (2) будет дополнена до системы
образующих группы пп+1(Кп) и для пополненной системы будет
указана полная система соотношений.
А) Комплекс Q, рассмотренный в лемме 1, в дальнейшем будет
иметь специальный вид. При т = 0 за Q примем (л + 2)-мерный
триангулированный шар с границей Sn+1 и за
qn+2—целочисленную (п+ 2)-мерную Д-цепь, равную сумме всех согласованно
. ориентированных (п + 2)-мерных симплексов из Q, так что
&q*+* = S"+1. (5)
При т > 0 комплекс Q строится следующим образом. Пусть R —
замкнутая область (п + 2)-мерного эвклидова пространства,
ограниченная двумя концентрическими сферами Sn+1 и SJ+1; зададим
ориентации области R и сфер S'+1, Sj+1 так, чтобы AR = Sl+1.—
— S?+1. Пусть г|)—отображение сферы S?+1 на некоторую
ориентированную сферу 2п+1 со степенью т. Каждую точку x^Sj+1
приклеим к точке г|)(х) и полученный так из R и 2'/+1 полиэдр,
взятый в некоторой триангуляции, обозначим через Q. За qn+2 примем
целочисленную цепь, равную сумме всех (п + 2)-мерных
положительно ориентированных симплексов из Q, так что
Aqn^^s**1—m2"+1. (6)
После редукции по модулю т последнее соотношение перейдет
в условие S'+1 = A<7"+2 леммы 1. Легко проверить, что для
комплекса Q выполнено и гомологическое условие леммы 1: в Q—Sn+1
всякий л-мерный V-цикл по модулю т гомологичен нулю.
Лемма 2. Пусть т—целое неотрицательное число и- и —
целочисленная (п + 2)-мерная ^-цепь из Кп, удовлетворяющая
условию:
Аи = то. (7)
Тогда существует симплициальное отображение g комплекса Q
[см. А] в комплекс Кп такое, что
£(<Г+,)-«. (8)

530 22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР
и совпадающее на Sn+1 с отображением /ср, где ф—симплициаль-
нов отображение сферы Sn+1 в букет Щ [см. § 4, С)]. Заметим
что из соотношений (6), (7) и (8) следует:
£(2» + *) = -и. (9)
Доказательство. При т = 0 проведем в шаре Q сферу
5j+1, концентрическую с Sn+1. Сфера эта разбивает Q на две
замкнутые области R0 и Ru первая из которых примыкает к 5n+lt
а вторая гомеоморфна шару. При т > 0 сферу Sj+1,
концентрическую со сферой Sn+1, проведем в области /?. Сфера SJ+1
разбивает R на две замкнутые области, R0 и /?lt первая из которых
примыкает к Sn+1, а вторая—к Sj+1. В соответствии с этим при
произвольном т комплекс Q распадается в сумму двух
комплексов Q0 и Qlf а цепь qn + 2—в сумму двух цепей, q%+2 и <#+2,
Согласно предложению В) § 4 (все (п+ 1)-мерные А-циклы из Кп
сферичны), в Кп существует такой симплициальный сфероид
(Л, 2"+1), что
При любом т положим
«=2МГ, (11)
где Л?+2 суть ориентированные симплексы комплекса /(„, а а,-—
целые числа. На сфере Sj+1 выберем систему попарно
непересекающихся симплексов 77+1, 7J+1, ..., T£+1. При m==0
симплекс 7o+1 не нужен. При т>0 пусть г|/—отображение
симплекса Tq+1 на сферу 2n+1 со степенью /п, при котором граница
симплекса переходит в вершину. При х<£Т%+1 положим g(x) =
= /гф'(л;). При произвольном m на симплексе 77+1, i ^ 1,
отображение g" определим так, чтобы оно отображало Г"+1 на границу
симплекса Л?+2 со степенью а,- и переводило границу симплекса 77+1
в одну из вершин симплекса Л?+2. На остальной части сферы SJ+1
(не вошедшей в симплексы 77+1) определим g так, чтобы эта часть
перешла в К\. Отображение g симплекса Г?+1, *^1, можно
стянуть в ту вершину симплекса Л"+2, в которую перешла граница
симплекса 77+\ так что при этом вся деформация будет
проходить лишь по симплексу Л?+2. Пользуясь этой деформацией, мы
без труда убеждаемся в том, что при т = 0 сфероид (g, S?+1)
гомотопен нулю, а при m > 0 сфероиды (g, S?+1) и (/гф, Sj+1) [см. А)]
принадлежат к одному типу. Поэтому отображение g сферы S?+1
можно продолжить в отображение g всей области R± так, чтобы
при m > 0 оно совпало на S?+1 с отображением /гф. При этом,
ввиду указанного способа деформирования, £(/?!) с/С£+2, и степень
отображения g области R1 на симплексе Л?+2 равна а,-. Ввиду
того, что при /п > 0 на SJ+1 отображение g" совпадает с /гф, можно

22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР 531
осматривать отображение g как определенное на Q и совпадающее
с Л на 2n+1. Без ограничения общности можно принять, что g
есть симплициальное отображение комплекса Qx в Кп\ при этом
q{(fi+t) = u. (12)
При т>0 имеем: S?+l = A#+1 + m2»+1, откуда в силу (12), (7)
и (Ю)
g(S4+1) = 0; (13)
последнее верно и при т = 0, когда Qx есть элемент.
Соотношение (13) показывает, что тип сфероида (g, Sj}+1)
принадлежит к группе п^+1(Кп+1)- Поэтому [см. § 4, С)] существует
сфероид (/ф, Sn+1) одного с ним типа в К"+1- Так как сфероиды
(g, Sg+1) и (/ф, Sw+1) принадлежат к одному типу, то
отображение g, рассматриваемое на So+1, можно распространить на
замкнутую область R0 так, чтобы при этом на Sn+1 оно совпало с /ф
и удовлетворяло условию g(R0)c:Kn+1- Из этого и из (12)
следует (8). Таким образом, лемма 2 полностью доказана.
Если размерность комплекса Кп больше п+ 1, то между
образующими (1) или соответственно (2), вообще говоря, имеются
соотношения, не вытекающие из соотношений (3) или
соответственно (4); полная система этих дополнительных соотношений
дается нижеследующей теоремой.
Теорема 3. Пусть
и1У ..., иг (14)
—базис целочисленных А-гомологий размерности л+2 комплекса Кп>
т. е. такая система целочисленных А-циклов размерности п + 2
из Кп, что для любого целочисленного А-цикла и размерности п + 2
из Кп имеет место соотношение вида
г
и ~ 2 aiuf (is)
Положим [см. § 4, D)]
при п=*2: и1ц = игуи (/, /=1, ...,?), (16)
при п^З: и\ = игУц 0=1» ...,fe). (17)
Здесь u\j суть вычеты по модулю dy, а и\—вычеты по модулю два.
Оказывается тогда, что полная система соотношений для
образующих (1) группы п1(К<д состоит из соотношений системы (3)
ы соотношений
2 «W-o, (is)
а для образующих (2) группы л#+1(/(„) (п^З)—из соотношений
системы (4) и соотношений
k
2^ = 0 (/=1, ..., г). (19)

532 22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР
• Доказательство. Допустим, что в Кп имеют место coon
ношения:
при л = 2: S.'i/X// = 0. (20)
k
при п>3: 2 ^-«/ = 0, (2П
где tu можно рассматривать как вычет по модулю du [см. (3)1, а
tt — как вычет по модулю 2 [см. (4)]. Это значит, что в Я^сущесг.
вует сфероид (ф, Sn+1), удовлетворяющий условиям:
при л = 2: Y,y(<P) = '// (modrf/y) (i, /=1 q)9 (22)
при /г>3: Т/(Ф) = '/ . (* = 1 Л). (23)
такой, что сфероид (/ф, Sn+1) гомотопен нулю в /Ся, и возможно,
следовательно, распространить отображение /ф, заданное на сфере
S*+l, в отображение g элемента Q, ограниченного сферой Sn+l.
Без ограничения общности можно считать, что отображения ф и g
являются симплициальными. Пусть qn+2—такая целочисленная
цепь из Q, что Aqn+1 = Sn+1; положим:
g(Qn+2) = ti. (24)
Так как и есть целочисленный Д-цикл размерности п + 2 из /С„,
то при некоторых значениях чисел а19 ..., аг имеет место
соотношение (15) и, следовательно:
г
при п = 2: и • #,7 = 2 а1иФ (25)
г
при /г^З: а • ^г = 2 aiu\* (26)
z=i
С другой стороны, из леммы 1 следует, что
при п = 2: уи{у) = и-уи (modd,7), (27)
при n>3: yi(4>) — u-ya. (28)
Формулы (22), (25), (27) показывают, что соотношение (20)
вытекает из соотношений (18), а формулы (23), (26), (28) показывают,
что соотношение (21) является следствием соотношений (19).
Покажем, что соотношения (18), (19) действительно имеют
место.
На основании леммы 2 (т = 0), мы заключаем, что существует
отображение qt элемента Q в К/п удовлетворяющее условию
*(<7"+,) = «,. <29)
причем на границе Sn+1 элемента ]Q отображение gt представимо
в форме f(pl9 где ф, есть отображение сферы Sn+1 в Щ. Таким

22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР 533
<?пазом сфероид (/q>„ Sn+l) гомотопен нулю в Кп. Сфероид
?р Sn+1) принадлежит типу:
ПРИ n = 2: STv(9i)av, (30)
при л>3: S Y/ (Ф«) «/• (31)
С ДРУг°й стороны, в силу леммы 1,
при п = 2: Y/Дф/) = "г</,у (modrf/y)f (32)
при п>3: Т/(ф|) = "гУп- (33)
Из формул (32), (16) и из того факта, что тип (30) является
нулевым, следует (18). Таким же образом из формул (33), (17) и
из того факта, что тип (31) является нулевым, следует (19).
Итак, теорема 3 полностью доказана.
Перейдем, наконец, к вычислению самой группы пп+1(Кп).
Ввиду значительных различий, имеющихся здесь между
случаями п = 2 и л^З, случаи эти будут разобраны в отдельно
сформулированных теоремах.
Теорема 4 (п = 2)\ Пусть
vlf ..., vs; w19 ..., wt (34)
— трехмерный целочисленный канонический базис ^-гомологии комп-
мксаК2,adevl(l= 1, ...,s)естьциклпорядкаmt{mt = 0(modml+1)),
awt{l=\y ..., t)—свободный цикл. Обозначим через щ такую
целочисленную цепь из /С2, что
Aul = mlv( (/—1, ..., s), (35)
и через d\j—общий наибольший делитель чисел dtJ- и тг Тогда
ur'yif , (36)
можно рассматривать как вычет по модулю d{-/, так как щ можно
Щйктовать как &-цикл по модулю mlf а уи—как \-цикл по
модулю di;-. Пусть v\j—целые числа, удовлетворяющие условиям:
иЬ = игУи (mod dla) (i> / = 1» • • •» Я> l — 1. • •» s)» (37)
тогда в группе jc3 (/C2) существуют элементы
Рх, ..., Р5; 6lf ..., 8и (38)
с^™л#ляющие вместе с элементами (1) систему образующих группы
п (*Q, причем полная система соотношений для этих образующих
м°жет быть составлена из соотношений (3), (18) и соотношений:
mfii-2 PlfiLn = 0 (/ = 1, ..., s). (39)

534 22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР
К сказанному можно прибавить, что
— ^€Ф3(Р!) (/=1, .... s), (40)
—о>,€Ф3(в|) (/=1, .... t). (41)
Доказательство. В силу леммы 2, существуют комплекс
Q = Ql, построенный для числа т — т1 [см. А)], и симплициальное
отображение gt этого комплекса в комплекс Кг> удовлетворяющие
условию:
ft(<7/H«4 ('=*!. •••. s)> (42)
причем на сфере S\ отображение gt имеет вид ^ф^, где (pt есть
симплициальное отображение сферы S] в букет Я*.
В силу леммы 1,
У и (Ф|) = u'i' У и = vlH (mod 4) (43)
[см. (37)]. Таким образом, существуют целые числа \1ц и x\lijy
удовлетворяющие условиям:
$1 = У и (Ф|) + Ikjdtj + rii/m,. (44)
В силу соотношений (3), из (44) следует:
2 tipy = 2 У и Ы *v + Щ 2 Ч{уа,у. (45)
В этом соотношении первая сумма справа есть тип сфероида
(/ф*> SJ). Она же равна т^, где р, есть тип сфероида (g,, 2f).
Таким образом,
SoW = ^i|Pi. (46)
где
P, = K + 2nW- (47)
»</
Этим (39) доказано; (40) следует из (47) и (9). Далее, так как
все циклы размерности 3 в комплексе К2 сферичны, то существуют
8, €я8(/С2), удовлетворяющие условию (41).
Покажем, что система (1) и построенная нами система (38)
вместе составляют базис группы я3(/С2). Пусть б—произвольный
элемент группы д3(/С2) и (г|э, S3)—симплициальный сфероид типа 6;
мы имеем
s t
tj5 (S3) ~ 2 btvt + 2 dtwt. (48)
1-Х /=1
Положим:
а = б+ 2>A+S<*A- (49)

22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР! 535
В силу (40), (41) и (48), имеем: Ф3(а) = 0, т. е. ae^f/Q.
Поэтому
а =^2 ОчР-ф (50)
Из (49) и (50) следует, что системы (1) и (38) вместе образуют
базис группы л3(/С2).
Покажем теперь, что системы (3), (18), (39), вместе взятые,
составляют полную систему соотношений между выбранными
образующими группы л3(/С2). Допустим, что имеет место
соотношение:
2*//*//+2*А+2<*А=о. (51)
*•</ /=i /=i
Применяя к соотношению (51) гомоморфизм Ф3 и переходя к
соответствующим циклам, получим:
s t
— 2 btvt — 2 dlwl ~ 0. (52)
Так как базис (34) является каноническим, то из (52) получаем:
bt = mlcl (/=1, ..., s); dt = 0 (/ = 1, ..., t). (53)
Таким образом, соотношение (51) получает вид:
э
2 ацаи + 2 <уяА = 0. -(54)
Умножая (39) на с19 суммируя по f и вычитая полученное так
соотношение на (54), мы придем к соотношению, связывающему
только элементы системы (1) группы л1(К2)- По теореме 3 оно
является следствием соотношений (3), (18). Этим доказано, что
соотношения (3), (18), (39) составляют полную систему.
Итак, теорема 4 (л = 2) полностью доказана.
Рассмбтрению случая л^З предпошлем элементарное
алгебраическое предложение.
В) Пусть G—коммутативная группа с конечным числом
образующих, и 'G—ее подгруппа, составленная из всех элементов,
порядки которых являются степенями двух; тогда G разлагается
в прямую сумму подгруппы 'G и подгруппы "G, которая
определена с точностью до изоморфизма.
Теорема 4 (п>3). Пусть яи+1='яя+14- "лп+1—разложение
группы лп+1 = пп+1(Кп) в прямую сумму, указанное в В). Положим
фп + 1 ('яя + 1) = 'Д" + 1, фп + 1 ("Л" + 1) = "Дя + 1.
Так как ядро jt?+1 гомоморфизма Фп+1 входит в 'лп+1 [см. (4)],
то на подгруппе "лп+1 отображение Фп+1 является изоморфным,

536 22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР
и группа Ап+1 = Ап+1(Кп) распадается в прямую сумму своих
подгрупп 'Дп+1 и "Дп+2, причем обозначения оказываются
согласованными с приведенными в В). Для циклов, составляющих элементы
группы 'Дп+1, выберем канонический базис гомологии:
v» • •» *>*. (55)
где vt есть цикл порядка т1У а тг есть степень двух. Пусть и}-—
такая целочисленная цепь из КпУ что
Ащ = mtvt (l=\, ..., s). (56)
Положим:
1>1 = ЩУн (i = l> -.-. k\ /=1, ..., s); (57)
здесь v\ можно рассматривать как вычет по модулю два.
Оказывается, что в группе 'пп+1 можно выбрать такие элементы
Pit • • • t P5> (58)
что вместе с (2) они составят систему образующих группы 'зтп+1,
причем полную систему соотношений для этой системы образую-
щих можно составить из соотношений (4), (19) и соотношений:
k
™&i— 2 <fai = 0 (/ = 1, ..., s). (59)
К сказанному можно прибавить, что
-У/6ФИ+1(Р|) (/=1, .... s). (60)
Этой теоремой структура группы я"+1 и ее связь с группой
Ап+1 полностью определяются.
Доказательство. В силу леммы 2, существуют комплекс
Q-.= Qi, построенный для числа m = mt [см. А)], и симплициальное
отображение gt этого комплекса в комплекс КпУ удовлетворяющие
условию:
gi(q?+2) = u'i (l=U ..., s), " (61)
причем на сфере Sf+1 отображение g. имеет вид /<р,, где <р^ есть
симплициальное отображение сферы о?+1 в букет Щ.
В силу леммы 1,
?,(ф») = ^ (62)
k
Таким образом, сфероид (/<pJf S?+1) принадлежит к типу 2 vtai>
i=l
с другой стороны, из структуры комплекса Qt и существования
отображения gl непосредственно вытекает, что тип р, сфероида
(gi, 2jf+1) удовлетворяет соотношению:
k
Щ$1 = 2 yiai- (63)
Таким образом, соотношения (59) доказаны, (60) следует из (9).

22- КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР 537
Покажем, что элементы (2) и (58) вместе составляют базис
группы 'яп+1. Пусть (5—произвольный элемент группы 'пп+1\ так
как его порядок равен степени два, то Ф"+1(Р)€ 'An+1, и потому
s
существует цикл 2ЙЛ> принадлежащий классу Фп+1(р). Из (60)
S
следует, что элемент р+ 2 bfit принадлежит группе л#+1 и
потому выражается через элементы системы (2), т. е.
k S
Р=2в,«/-2*А- (64)
* »
Таким образом, установлено, что системы (2) и (58) вместе
составляют базис группы 'лп+1.
Покажем, наконец, что соотношения (4), (19) и (59) вместе
составляют полную систему соотношений для выбранных
образующих группы 'пп+1. Пусть
2*1«1+2*А = о. (65)
Применяя к соотношению (65) отображение Фп+1 и переходя к
гомологиям, получаем
-2Mi~0, (66)
и, следовательно,
bt=^mlcl (/=1, ..., s). (67)
Таким образом, соотношение (65) переписывается в виде:
k S
2 fli«i+ 2<vniP*==°- (68>
t=i /=i
Вычитая из него соотношения (59), помноженные на cv мы
приходим к соотношению, связывающему лишь элементы системы (2),
которое, по доказанному ранее, вытекает из соотношений (4) и
(19). Таким образом, соотношение (65) является следствием
соотношений (4), (19) и (59).
Итак, теорема 4 (л^З) полностью доказана.
§ 6. Асферические циклы размерности /1 + 2 в Кп
В настоящем параграфе дается гомологический критерий
сферичности (п + 2)-мерного целочисленного цикла в Кп. Далее,
разбирается аналогичный вопрос для циклов по модулю ш>2и
затем более детально выясняется геометрическая структура
асферических циклов.

538 22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР
Теорема 5. Целочисленный А-цикл и размерности п+2
комплекса Кп тогда и только тогда является сферическим, когда
при п = 2: u-ytj=0 (mod dgj)f (n
при п^З: и •*/,,. = О (mod 2) (i=l, ..., k) (2)
[см. § 4, D)].
Доказательство. Допустим, что существует симплициаль-
ный сфероид (g, Sn+2)y удовлетворяющий условию:
g(S"+*)~u9 (3)
и покажем, что соотношения (1), (2) выполнены. В самом деле:
при /2 = 2: u-yu = I{g*yu) (moddl7), (4)
при л>3: U'yii^I(g*yu) (mod2), (5)
где / означает индекс, взятый в сфере Sn+2. Далее, имеем:
при п = 2, {/, /'} € Q: / fcV/y) = / (ё*У^оё%) и 0 (mod du), (6)
при л = 2, {t, i}€Q': I(g*yu)^I(g*y&g*yi)^0 (modd,,), (7)
при л>3: I(g*yii)^I(g*yi-n-2g*yi)^0 (mod2), (8)
так как в (/г-f 2)-мерной сфере каждый п-мерный V-Цикл
гомологичен нулю, а операции w0, ^, ^л_2 здесь гомологически
инвариантны. Из (4), (5), (6), (7), (8) следует (1), (2).
Покажем теперь, что если соотношения (1), (2) выполнены, то
цикл и является сферическим. В силу леммы 2, существует такое
симплициальное отображение g триангулированного элемента Рп+2,
что
g(Pn+*) = u9 (9)
причем на границе Sn+1 элемента Рп+2 отображение g имеет вид /ф,
где ф есть симплициальное отображение сферы Sn+1 в букет Щ*
В силу леммы 1,
при я = 2: т.у(ф) = "'#// = 0 (moddfy)9 О**)
при л^З: уДф)^ иуи = 0 (mod2); (И)
таким образом, на основании теоремы 2 заключаем, что сфероид
(g, Sn + 1) гомотопен нулю в /С"+1. Поэтому отображение g сферы
Sn+1 можно распространить на элемент Pi+2, также имеющий
своей границей сферу Sn + 1, причем g(PJ+2)c:/C£+1. Так мы
получаем отображение g сферы Sn+2 = Pn+2—Р^2, удовлетворяющее
условию
g(S«+*) = u. (12)
Таким образом, теорема 5 полностью доказана.

22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР 539
Для того чтобы сформулировать теорему для модульных циклов,
аналогичную теореме 5, нужно построить комплекс, играющий в
этом случае роль сферы.
A) К комплексу Q, построенному для числа/п> 2 [см. § 2, А)],
приклеим по сфере Sn+1 элемент Р?+2 его границей. Полученный
так комплекс обозначим через Qm и положим q%+2 = qn+2—P?+2.
Теорема 6. Пусть и—целочисленная цепь размерности п + 2
комплекса КПУ удовлетворяющая условию
Au = mv (m>2). (13)
Для того чтобы существовало симплициальное отображение g
комплекса Qm [см. А)] в комплекс Кп, удовлетворяющее условию
g(qnm+2)~u (modm), (14)
необходимо и достаточно, чтобы
при п — 2: и-у у = 0 (mod^y, m)), (15)
при п^З: и-уи = 0 (mod(2, т)) (16)
[см. § 4, D)].
Доказательство этого предложения проводится аналогично
доказательству теоремы 5 при помощи построений, имеющихся в
теоремах 4 (я = 2) и 4 (п^З). Подробного его изложения я не
привожу.
Если целочисленный цикл и размерности п + 2 в комплексе К„
не является сферическим, то возникает вопрос, нельзя ли
подобрать для него более или менее стандартный полиэдр, могущий
играть ту же роль, какую сфера Sn+2 играет для сферического
цикла. Оказывается, что это сделать возможно.
B) Будем исходить из трех заданных неотрицательных целых
чисел a, ft, с. При А=1, ..., а пусть М%—комплексная
проективная плоскость, взятая с ее естественной ориентацией, 21—
комплексная проективная прямая, взятая в УИ£, и
N\—ориентированное многообразие с ориентированным краем SJ, получаемое
из М% путем вырезывания малой шаровидной дыры, край S%
которой не пересекается с 2£. Легко видеть, что существует
непрерывное отображение lh многообразия ATJ на сферу 2|,
тождественное на сфере 2£; при этом сфероид (|л, S£) в сфере 2£ имеет
инвариант у, равный +1. Далее, при h=*a+l9 ...,a+b пусть
М\—комплексная проективная плоскость, взятая с ориентацией,
противоположной естественной, 2£—проективная прямая из Л1£ и
N\—ориентированное многообразие с ориентированным краем S£,
получаемое из М\ путем вырезывания малой шаровидной дыры,
край SI которой не пересекается с 2£. Легко видеть, что
существует непрерывное отображение lh многообразия N\ на сферу
2j, тождественное на 2£ я и этом сфероид (£л, S£) в сфере 2£ имеет
инвариант уу равный—1, Наконец, при ft = a + fc+l, . ..,a+fr+c

540 22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР
пусть Mh — ориентированное произведение двух ориентированных
двумерных сфер; множители, реализованные в произведении, обо-
значим через '2£ и "2£, а ориентированное многообразие с ориен-
тированным краем S^, получаемое из М£ путем вырезывания малой
шаровидной дыры с краем SJ, не пересекающимся с '2£ + "2^
обозначим через N4.. Легко видеть, что существует непрерывное
отображение Нл многообразия N\ в букет '2£ + "2|, тождественное
на самом букете; при этом сфероид (£л, SD в букете '2£ + "2£
имеет инварианты, определяемые соотношениями 7п;==722 = 0,
7i2;=72i==l- Пусть £4—ориентированный шар сориентированной
границей 'S<> и Z74—ориентированное многообразие с
ориентированным краем 'So—('SJ+ . -. +'Sl+b+c), полученное из £4 путем
вырезывания a+b + с шаровидных дыр, края 'SJ, ..., 'S£+b+c
которых не пересекаются друг с другом и с 'S%. Отобразим
ориентированную сферу SlaNb на ориентированную сферу 'SjjcF*
гомеоморфно с сохранением ориентации и отождествим между
собой эти две сферы, считая соответствующие точки совпадающими.
Полученное так из многообразий F4, N\, ..., Na+ь+с
ориентированное многообразие с краем 'SJ обозначим через L* = L4af by c. Пусть
Р4—ориентированный шар с ориентированной границей SI:
Отобразим сферу SoCiP4 на сферу 'SqcL4 гомеоморфно с сохранением
ориентации и отождествим обе сферы; полученное в результате
такого склеивания замкнутое ориентированное многообразие Я4—L4
обозначим через L4^=L4,frtC.
С) При л^З пусть Fn+2—пространство, заключенное между
двумя концентрическими сферами 'S<J+1 и 'S?+1, взятое в
ориентированном эвклидовом пространстве, так что край ориентирован*
ного многообразия Fn+2 есть 'Sg+1—'Sj+1. Пусть, далее,
ц—отображение сферы 'S"+1 на сферу 2П с инвариантом 7, равным
единице. Отождествив каждую точку x€'S?+1 с точкой ц(х)€%?у мы
получим из Fn*2 и 2" ориентированное псевдомногообразие Ln+Z
с краем 'Sj+1. Пусть Рп+2—ориентированный шар с
ориентированной ^границей Sg+1. Отобразим сферу S0l+1c:Pn + 2 на сферу
'S<i+1cLn+2 гомеоморфно с сохранением ориентации; полученное
в результате склеивания этих сфер замкнутое ориентированное
псевдомногообразие Рп+2— Ln+2 обозначим через Ln+2.
Лемма 3. Пусть (<р, 'Sq+1)—произвольный сфериод букета
#2» не гомотопный в нем нулю. Тогда существует такое
псевдомногообразие Ln+2 с краем 'Sg+1 [см. В) и С)], что отображение
Ф можно распространить на все псевдомногообразие Ln+2.
Заметим, что в случае сфероида (ф, 'So+1), гомотопного нулю
в#£, отображение ф можно распространить на шар с границей 'S2+1.
Доказательство. Рассмотрим сперва случай я = 2.
Обозначим через а сумму всех положительных 7//(ф)> через
Ь—модуль суммы всех отрицательных 7п(ф) и через с—сумму модулей

22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР 541
всех у и (ф) с * < /• Каждому числу А = 1, .. .9а + Ь+с можно
поставить теперь в соответствие элемент ah группы л3(#£),
удовлетворяющий следующим условиям. При А=1, ,.'.,а существует
такое число t(A), что все инварианты 7/у(ал) равны нулю, за
исключением лишь 7*<лм<л>(ай)» который равен +1. При h=a +
j-1, ..., a + & существует такое число *(А), что все инварианты
у..(ал) равны нулю, за исключением лишь 7*<аь i<*)(a*)» который
равен —1. При А = а + &+1, ..., a 4-6+с существуют такие
числа i(A), /(A), *(А)</(А), что все инварианты 7//(ал) равны
нулю, за исключением лишь Тмл)./<>о(ал) = Т/(лм</о(ал)» который
равен ±1. Далее,
a = ax+ ... -f afl+b+c (17)
есть тип исходного сфероида (ф, 'So).
При А = 1, ..., а + Ь пусть £л—гомеоморфное отображение
сферы SJctfJ на сферу S\(h)aH\\ очевидно, сфероид (£л, |л, SJ)
имеет тип ал. При A = a + fc-i- 1, ..., a + fc + c пусть
£л—гомеоморфное отображение букета '2£ + "2£ на букет S?(ft) +Sy(/l)c:#^.
Здесь мы будем различать два случая:
a) если Y* <Л)./<Л)(ал) =+1» то сферы '2J и "2£ обе
отображаются на сферы S*(h) и Sy(A) с сохранением ориентации;
b) если 7|(Л)./(Л)(ал) = —Ь то °Дна из сФеР '2л> ^
отображается с сохранением ориентации, другая же—с изменением.
Очевидно, что сфероид (£л|л, S&) имеет тип ал.
Рассматривая многообразия N\, ..., N*a+b+c как части
многообразия D = L*tbtCi обозначим отображения gili, • • •, Za+ъ+Ла+ъ+с
этих многообразий в Щ одной буквой ср. Таким образом,
отображение ф определено у нас на всем крае 'So—('SJ+ ... + fSl+b+c)
псевдомногообразия Z74. Из (17) легко следует, что ею можно
распространить в отображение ф всего многообразия Z74. Таким
образом, мы построили отображение ф многообразия L4,
являющееся продолжением отображения ф, заданного на сфере 'So.
Рассмотрим теперь случай л^З. Обозначим через а тип
сфероида (ф, 'Si?*1). В силу предложения G) § 1, существует тогда
такое отображение £ сферы 2" в букет Щ, что сфероид (£ц, 'SJ+1)
тоже имеет тип а. Сферы 'SS+1 и 'S?+1 образуют край
многообразия Fn+2 [см. С)]; так как сфероиды (<р, 'S?4"1) и (£г), 'S?+1) им&Ьт
один и тот же тип, то отображение ф, заданное на 'S<>+1, можно
распространить в отображение ф всего многообразия Fn+2 так,
чтобы на 'S?+1 оно совпало с £т). Ввиду того, что отображение ф
на 'Si+1 совпадает с отображением £г), его можно рассматривать
как отображение полиэдра Ъп+2.
Итак, лемма 3 полностью доказана.
Теорема 7. Пусть и—произвольный целочисленный цикл
размерности п-г2 из Кп. Существуют такое псевдомногообразие
Ln+* [см. В) и С)] и такое симплициальное отображение g

542 22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР
некоторой его триангуляции в Кп, что
g(L»+*) = u. (18)
Доказательство. В силу леммы 2, существует такое симп-
лициальное отображение g некоторой триангуляции элемента Рп+*
в Кгп что
g(Pn+2) = u, (19)
причем на границе S{}+1 элемента Рп+2 отображение g имеет вид /<р# |
В силу леммы 3, отображение ф сферы 'So+1 = So+1 в букет #*
может быть продолжено в отображение ф псевдомногообразия Ltt+2.
Будем считать Рп + 2 и Ln + 2 кусками одного замкнутого
псевдомногообразия Ln+2 [см. В) и С)]; тогда отображения g и /чр
кусков Рп+* и Ln+2 соответственно можно рассматривать как
отображение g всего псевдомногообразия Ln+2y причем равенство (18)
выполнено.
D) К псевдомногообразию Ln+2 [см. В) и С)] приклеим краем
Sn+1 полиэдр Q [см. § 5, А)] и полученный так полиэдр
обозначим через L^+2.
Теорема 8. Пусть и—такая целочисленная цепь
размерности п + 2 из Кп, что
Au = mv (m>2), (20)
Существуют такой полиэдр L£+2 [см. D)] и такое симплициаль- ■
ное отображение некоторой его триангуляции в комплекс Кп9 что
g{LT) = u. (21)
Доказательство проводится совершенно так же, как
доказательство теоремы 7.
Теорема 9. Пусть (g,'So+1)—произвольный сфероид в Кп
такой, что g('So+1)~Q. Существует такое псевдомногообразие
Ln+2 [см. В) и С)] с краем 'Sj}+1, что отображение g можно
продолжить в отображение всего Ln+2.
Доказательство. Так как в силу предложения С) § 4,
сфероид (g, 'S{J+1) гомотопен сфероиду (/чр, 'Sj+1), то теорема легко
следует из леммы 3.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Александер Дж., Кольцо связности абстрактного пространства,
Успехи мат. наук, том II, вып. 1 (17) (1947), 156—165.
[2J Steenrod N. Е., Products of cocycles and extensions of mappings, Ann.
of Math., 48 (1947), 290—320.
[3]3ейферт Г. и Трельфалль В., Топология, 1938, § 77.
[4]Reidemeister K-, Homotopieringe und Linsenraume, Hamb. Abhandl.
11 (1935), 102—109.

22. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕРЫ В ПОЛИЭДР 543
г*! W h i t e h e a d J. H. C, On incidence matrices, nuclei and homotopy types,
1 Ann. of Math. (2) 42 (1941), 1197-1239.
61 А л екса н д р ов П. С., Комбинаторная топология, 1947, гл. XVI, § 6.
7 Понтрягин Л., Классификация непрерывных отображений комплекса
на сферу. I, Доклады Ак. Наук СССР, XIX, № 3 (1938), 147—149.
81 Понтрягин Л. С. Гомотопическая классификация отображений (л+1)-
мерной сферы в я-мерную. Доклады Ак. Наук СССР, LXX, № б, 1950.
91 Понтрягин Л. С. Классификация отображений трехмерного комплекса
в двумерную сферу. Мат. сборник, 9, № 2 (1941), 331—363.
01 Рохлин В., Гомотопические группы. Успехи мат. наук, том I, вып. 5—6
J (15—16) (1946), 175—223.
ППонтрягин Л. С, Отображение трехмерной сферы в n-мерный
комплекс, Доклады Ак. Наук СССР, XXXIV, № 2 (1942), 39—41.
21 Hop f H., Uber die Abbildungen der dreidimensionalen Sphere auf die Ku-
gelfache, Math. Ann., 104, Nr. 5 (1931), 637—665.
31 Whitehead J.H.C., On adding relations to homotopy groups, Ann. of
Math., 42 (1941), 409—428.
4]Понтрягин Л. С, Об одной связи между гомологиями и гомотопиями,
Известия Ак. Наук СССР, серия матем., 13 (1949), 193—200.

23
ГОМОТОПИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ
(л + 2)-МЕРНОЙ СФЕРЫ В л-МЕРНУЮ*)
По этому вопросу мною уже была опубликована заметка [П.
Однако в ней была допущена ошибка, приведшая к ошибочному
результату. Здесь, пользуясь тем же методом, что и в [1], но
исправляя ошибку, я прихожу к следующему результату:
Теорема. Число классов отображений (п -f 2)-мерной сферы
Sn+2 в п-мерную сферу Sn равно двум (п^2).
Доказательство. Так как число классов отображений
Sn+2 в Sn не больше двух [2]., то я доказываю только, что оно
не меньше двух.
a) Сферы Sn и Sn+k (начиная с с), k = 2) будем представлять
себе как обыкновенные метрические сферы евклидовых пространств.
Непрерывные отображения и деформации можно аппроксимировать
аналитическими; только такие и рассматриваются в дальнейшем.
При аналитическом отображении некоторого многообразия в Sn
точку многообразия будем называть правильной, если ранг
функциональной матрицы отображения в этой точке равен я.
Деформацию f t, 0 <; t ^ 1, будем трактовать как отображение F
топологического произведения T = Srt+2x/ (/—отрезок 0^ t^l)
в Sn. Пусть p£Sn; положим fji(p) — Pty F~1(p) = Q. Из
аналитичности отображений f0J ft и F следует существование точки /?,
для которой множества Р0, Рг и Q состоят из одних правильных
точек и, в частности, являются аналитическими многообразиями
(Q имеет край Р0х0и/\х1). Пусть у=ф, t) €Q(*€Srt+2, t £1) и
в(y)==/; Q(y) есть аналитическая функция на Q. Исправляя
деформацию ft9 можно без изменения ее на концах £ = 0,1 добиться
того, чтобы все критические точки функции 8(у) были
невырожденными.
b) Обозначим через Rn касательную kS"b точке р и через
dl9 ..., dn — некоторую линейно независимую последовательность
ее векторов. Пусть t—фиксированное некритическое значение
функции 0 (у)у Rn+k—касательная к сфере Sn+* в точке x£Pt й
N1—лежащая в Rn+k нормаль к Pt в точке х. Так как (х, t) есть
правильная точка отображения F и t—некритическое значение
функции 9(у), то х есть правильная точка отображения />, и со-
*) Докл. АН СССР.— 1950.— Т. 70, № 6.—С. 957—959.

23. ОТОБРАЖЕНИЯ (л + 2)-МЕРНОЙ СФЕРЫ В «-МЕРНУЮ
545
ответствующее линейное отображение g пространства N2 в Rn не
вырождается. Положим g"1^,.) = <?,■(*) (i=l, ..., л).
c) Обозначим через Л! многообразие всех последовательностей
х* £о> ei» •••' в/1' где х€5л+2, а е0, plf ..., е„—линейно
независимая система векторов, касательных к S"+2 в точке х.
Одномерная группа Бетти многообразия М состоит из двух элементов О
и !•
d) Пусть k = 2 и t—фиксированное некритическое значение
функции 0(#) (см.. а)); тогда Pt есть замкнутая ориентируемая
поверхность (может быть, несвязная). Кривой на Pt будем
называть конечную совокупность попарно непересекающихся простых
замкнутых ориентированных гладких кривых. Число компонент
кривой С будем обозначать через v(C). Пусть х£С и е0(х) —
единичный вектор, касательный к кривой С в точке х. Положим
ф (х) *= {х\ еь (х), ех (х), ...,ея (х)} (см. Ь)). Этим определено
отображение со кривой С в многообразие М (см. с)), и вместе с ним
определен класс гомологии ф(С) кривой со (С) в М, т. е. О или 1
(см. с)). Положим
7(C) = v(C) + <p (С) (mod 2).
(1)
Очевидно, что при деформации кривой С функции v(C) и ф(С),
а следовательно, и у (С) не меняются. Оказывается даже, что у (С)
определяется классом с гомологии
mod 2 кривой С на Pt: у(С)=у(с).
Далее, если сх и с2—два класса
гомологии, то
у fa+c^y (сг)+у (с2)+1 (си с2), (2)
с1ис2
С3 = С1+С2
Рис. I.
где / (с19 с2)—индекс пересечения
(mod2) классов сх и с2х).
Для доказательства определим
операцию сложения наших
кривых, снова приводящую к кривой. Пусть Сх и С2—две кривые
на Ри находящиеся в общем положении, т. е. имеющие лишь
конечное число точек пересечения и нигде не касающиеся друг
друга. Определяемая нами сумма Сг = Сх-\-С2 отличается от
теоретико-множественной суммы С1[)С2 ориентированных кривых Q
и С2 только в окрестности их пересечения. Переход от C1\jC2
к С3 = С1+С2 в окрестности отдельной точки пересечения
показан на рис. 1. Очевидно, что классы гомологии (mod 2) с19 с2, с3
кривых Clt C2, С3 связаны соотношением
C3=Ct+C%.
(3)
г) Ошибка в работе [1] состояла в том, что в соотношении (2) был упущен
член / (ci, с2).
18 л. С. Понтрягин, т. I

546 23' ОТОБРАЖЕНИЯ (л+2)-МЕРНОЙ СФЕРЫ В я-МЕРНУЮ
Легко видеть далее, что
Ф (С г) + Ф (Q - Ф (Сх + С2), v (С,) + v (С2) =
= v (Сг + Са) + / (Clf C2) (mod 2).
Отсюда и из (1) вытекает, что
У (Сг + С2) = v (CJ + v (Q + / (Clf C2). (4)
Остается доказать гомологическую инвариантность функции
у (С). Предположим, что С1^С2 (mod 2); тогда последний член
в (4) исчезает, и нам достаточно показать, что у(С3) —О, если
C3~0(mod2) (см. (3)). Из соотношения C3~0(mod2) легко
следует, что С3 есть линия уровня некоторой гладкой
действительной функции £(л;), заданной на Рь все критические точки
которой невырождены и значения в различных критических точках
различны. Через C(s) обозначим линию уровня этой функции,
отвечающую некритическому значению s. Легко доказать, что
у (С (s)) не зависит от s; для этого достаточно проследить переход
параметра s через критическое значение. Оказывается, что при
таком переходе обе функции v(C(s)) и <p(C(s)) меняются на
единицу, так что функция y(C(s)) вовсе не меняется. Так как при
достаточно больших s множество С (s) пусто, то у (С3) = у (С (s))=0.
е) Обозначим через 2q ранг одномерной группы Бетти В mod 2
поверхности Pt. Поставим перед собой вопрос: существует ли в
В линейно независимая система элементов clt ..., cq9
удовлетворяющая условиям:
I(ci9 C;) = 0, у(С;) = 0 (*,/=1, ..., q).
Определим функцию Г(/>), полагая Г(/,) = 0, если такая
система существует, и Г (ft) = 1, если такой системы не существует.
Функция r(/f) определена лишь для некритических значений t\
легко проверяется, что при переходе через критическое значение
она не меняется, а постоянство ее в остальных интервалах
изменения t очевидно. Далее, Г (/>);= 0, если поверхность Pt гомео-
морфна сфере; поэтому для отображения /0, гомотопного нулю,
Г(/0) = 0. Итак, Г есть инвариант гомотопического класса,
обращающийся в нуль для нулевого класса, f) Построим теперь
отображение f — f0 сферы Sn+2 в сферу S", для которого Г(/)=1.
Для этого достаточно в Sn+2 задать поверхность Р = Р0 и в
каждой точке х g Р—последовательность е1(х)у ..., еп (х) линейно
независимых и ортогональных к Р векторов так, чтобы
описанный выше процесс построения дал Г=1. Сферу Sn+2 будем
представлять себе как евклидово пространство Rn+2 с бесконечно
удаленной точкой. В Rn+2 выберем подпространство R3 и будем
считать, что Р есть обыкновенный метрический тор в /?3 с
обычными циклическими координатами а и р. Пусть их(х) — лежащая
в R3 единичная нормаль кРв точке х=(а> Р)£Я и ы2, ..., н„—

23. ОТОБРАЖЕНИЯ (л + 2)-МЕРНОЙ СФЕРЫ В гг-МЕРНУЮ
ортонормальная система векторов в Rn+2> ортонормальных к
Положим:
ei (х) = и1 (х) cos (а—Р)—и2 sin (а—Р),
е2 (х) = иг (х) sin (а—Р) + и2 cos (а—Р),
ei(x) = ui (* = 3, ..., /г).
Легко проверяется, что Г=1.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
П] Л. С. Понтрягин, ДАН, 19, № 5 (1938).
[2] Н. Freudenthal, Сотр. Math,, 5,. 299 (1937).
18*

24
ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
В ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ*)
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 549
Введение . . . . • 550
Глава I. Гладкие многообразия и их гладкие отображения 552
§ 1. Гладкие многообразия 552
Понятие гладкого многообразия 552
Гладкие отображения 555
Некоторые способы образования гладких многообразий . . . 557
§ 2. Вложение гладкого многообразия в евклидово пространство 561
Гладкое отображение многообразия в многообразие большей
размерности 561
Операция проектирования в евклидовом пространстве .... 562
Теорема вложения 564
§ 3. Неправильные точки гладких отображений 569
Приведение в общее положение 569
Теорема Дубовицкого 571
§ 4. Невырожденные особые точки гладких отображений 575
Типичные точки самопересечения при отображении
многообразия М* в векторное пространство £2Л 577
Типичные критические точки числовой функции на
многообразии 579
Типичные нерегулярности при отображении многообразия Мк
в векторное пространство Е2к~г 584
Канонический вид типичных критических точек и типичных
нерегулярных точек 588
Глава II. Оснащенные многообразия 589
§ 5. Гладкие аппроксимации непрерывных отображений и
деформаций 589
Структура окрестности гладкого подмногообразия 589
Гладкие аппроксимации 592
§ 6. Основной метод 595
Оснащенные многообразия 595
Переход от отображений к оснащенным многообразиям .... 597
Переход от оснащенных многообразий к отображениям .... 602
§ 7. Гомологическая группа оснащенных многообразий 605
Гомотопии оснащенных многообразий 606
Гомологическая группа Ип оснащенных многообразий .... 608
Ортогонализация оснащений 611
§ 8. Операция надстройки 613
*) Труды Мат. института АН СССР.—1955.—Т. 45.—174 с.
Издание второе—М.: Наука, 1976.— 176 с.
V

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 549
Глава Ш« Хопфовский инвариант 616
л 9. Гомотопическая классификация отображений л-мерных
многообразий в л-мерную сферу * 616
Степень отображения 617
Отображения л-мерной сферы в л-мерную 619
Отображения л-мерного многообразия в л-мерную сферу ... 621
§ Ю. Хопфовский инвариант отображения сферы 22Л+1 в сферу Sk+1 623
Коэффициент зацепления 624
Хопфовский инвариант . . 625
Хопфовский инвариант оснащенного многообразия 626
§11. Оснащенные многообразия с равным нулю хопфовским
инвариантом 630
Перестройка многообразий 631
Многообразия с нулевым хопфовским инвариантом 636
Глава IV. Классификация отображений (л+1)-мерной и (л+2)-мерной
сфер в л-мерную 640
§ 12. Группа вращений евклидова пространства 640
Кватернионы 640
Накрывающая гомотопия 642
Группа вращений евклидова пространства 644
§ 13. Классификация отображений трехмерной сферы в двумерную 643
Отображения сферы в окружность 643
Хопфовское отображение трехмерной сферы в двумерную . . . 649
Классификация отображений трехмерной сферы в двумерную 652
§ 14. Классификация отображений (л+1)-мерной сферы в л-мерную 654
Улучшение оснащенного многообразия, осуществляющего
гомологию ..... 655
Инвариант б отображений сферы 2й+ 1 в Sn 659
Классификация отображений сферы 2W + 1 в сферу Sn .... 662
§ 15. Классификация отображений (л+ 2)-мерной сферы в л-мерную 664
Литература| ••••••• 677
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Книга эта впервые была опубликована в 1955 году как том
«Трудов Математического института им. В. А. Стеклова» и
представляла собой изложение моих новейших достижений того
времени в области теории гомотопии. £ти достижения относились
к гомотопической классификации отображений сферы 2п+к
размерности ti-\-k на сферу Sn размерности п. Общий метод
заключался в привлечении к решению задачи гладких отображений
и гладких многообразий. Каждому отображению сферы 2"+*
в сферу Sn ставилось в соответствие так называемое оснащенное
fc-мерное гладкое многообразие, расположенное в евклидовом
пространстве Еп+к размерности n-\-k. Связь между отображением
и оснащенным многообразием тщательно изучалась и привела
к полному решению задачи для случаев &=1, 2. Использование
гладких многообразий потребовало изложения их основ в первой
главе книги. Зта часть сохранила свое прежнее значение до сих
пор. Связь между отображениями и оснащенными многообразиями
также сохранила свое значение до сих пор, хотя в настоящее время

550 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
оснащенные многообразия изучают при посредстве непрерывных
отображений, в то время как в моем первоначальном
исследовании дело было наоборот. Таким образом, все содержание книги
в значительной степени сохранило свой интерес до сих пор, что
и привело меня к решению переиздать книгу.
Л. Понтрягин
ВВЕДЕНИЕ
Основной целью настоящей работы является гомотопическая
классификация отображений (п + &)-мерной сферы 2n+k в /г-мерную
сферу S"; задача эта здесь решена, однако, лишь для fe=l, 2.
Метод, развитый здесь, был опубликован ранее в заметках [1,2].
Он позволил -В.. А. Рохлину [3] решить вопрос также для fe = 3.
Результатов для случая k > 3 на этом пути пока получить не
удалось. Вопрос упирается в изучение некоторых свойств гладких
или, что то же самое, дифференцируемых многообразий
размерности k и k+ 1. После работ [1—3] появился ряд работ французских
математиков [4], в которых вопрос классификации отображений
сферы в сферу меньшей размерности продвинут весьма далеко.
Методы французской топологической школы существенно отличны
от применяемых здесь.
Гладкие многообразия являются главным и, пожалуй, даже
единственным инструментом исследования, поэтому им полностью
посвящена гл. I работы, где их изучение проведено несколько
более широко, чем это необходимо для дальнейших приложений.
Кроме основных определений, гл. I содержит упрощенное, по
сравнению с уитневским [5], доказательство теоремы включения
n-мерного гладкого многообразия в (2л + 1)-мерное евклидово
пространство, а также постановку и некоторое изучение вопроса
о типичных особых точках гладкого отображения л-мерного
многообразия в евклидово пространство размерности, меньшей 2п+1.
В гл. II излагается способ применения гладких многообразий
к решению гомотопических задач. Прежде всего устанавливается,
что при гомотопической классификации отображений одного
гладкого многообразия в другое можно ограничиться рассмотрением
лишь гладких отображений и гладких деформаций. Далее
излагается метод применения гладких многообразий к гомотопической
классификации отображений сферы 2"+* в сферу Sn, который
заключается в следующем.
Гладкое замкнутое многообразие Mk размерности k>
расположенное в евклидовом пространстве Еп+к размерности n + ky
называется оснащенным и обозначается через (Mky £/), если в каждой
его точке х задана система U (х) = {иг (х), ..., ип (х)} из п линейно
независимых векторов, ортогональных к Mk и гладко зависящих
от х. Присоединяя к евклидову пространству En + 1 единственную
бесконечно удаленную точку q\ мы получаем сферу 2"+*. Пусть,

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 551
далее, е19 ->eri—система линейно независимых векторов,
касающихся сферы Sn с Еп+1 в ее северном полюсе р. Оказывается, что
существует такое гладкое отображение / сферы 2Л+Л в сферу S",
что f~1(p)=^^ky a отображение fxy получаемое путем
линеаризации из отображения / в точке х € Мк, переводит векторы их (х), ...
ип{х) соответственно в векторы еи ..., еп. Гомотопический
тип обладающего этими свойствами отображения / однозначно
определяется оснащенным многообразием (Мк, U). Для каждого
гомотопического типа отображений сферы 2"+* в сферу Sn
существует такое оснащенное многообразие, что соответствующее ему
отображение принадлежит этому гомотопическому типу. Два
оснащенных многообразия (Л4£, U0) и (Mf, иг) тогда и только тогда
определяют один и тот же гомотопический тип отображений сферы
2"+* в сферу S", когда они гомологичны между собой в
следующем смысле. Пусть Еп+кхЕ1—прямое произведение евклидова
пространства En+k на числовую прямую р1 переменного t. Будем
считать, что оснащенное многообразие (Mo, U0) расположено в
пространстве Еп+кхО> а оснащенное многообразие (УИ£, U^ — в
пространстве Еп+кх 1. Оснащенные многообразия (М%, U0) и (MJ, иг)
считаются гомологичными между собой, если в полюсе O^f^l
имеется гладкое оснащенное многообразие (Мк+1> [/), край
которого состоит из многообразий М\ и Мк, а оснащение U которого
совпадает на этом крае с заданными оснащениями U0 и Ut.
Описанная конструкция дает возможность свести вопрос о
гомотопической классификации отображений сферы Хп+к в сферу Sn
к гомотопической классификации оснащенных ^-мерных
многообразий. Роль ^-мерных и (k+ 1)-мерных многообразий здесь видна.
Гомологическая классификация нульмерных оснащенных
многообразий тривиальна, и в соответствии с этим легко проводится
классификация отображений сферы 2П в сферу Sn. Гомологическая
классификация одномерных и двумерных оснащенных
многообразий также не представляет особых трудностей, и она приводит
к гомотопической классификации отображений сферы Хп+к в сферу Sn
при k=\, 2. Этому посвящена гл. IV настоящей работы.
Гомологическая классификация трехмерных оснащенных многообразий
уже представляет значительные трудности. Она была получена
В. А. Рохлиным [3].
Для осуществления гомологической классификации оснащенных
многообразий в настоящей работе используются их гомологические
инварианты. Оснащенному подмногообразию (Мк, V) евклидова
пространства Еп+к ставится в соответствие его гомологический
инвариант, который является одновременно гомотопическим
инвариантом соответствующего отображения сферы 2п+к в сферу Sn.
Для n=^k+\ существует известный хопфовский инвариант 7
отображения сферы 22Л+1 в сферу Sk+1. Инвариант у легко
интерпретируется как гомологический инвариант оснащенного
многообразия. В гл. III дается определение инварианта у, опирающееся

552 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
на теорию гладких многообразий, а также его интерпретация как
гомологического инварианта оснащенного многообразия. Для k^\
хопфовский инвариант оказывается единственным; этот факт
доказывается (известным способом) в гл. IV. Для fe=l, 2; л ^2
в гл. IV строится инвариант 6. Этот инвариант является вычетом
по модулю 2. Из его существования вытекает, что число классов
отображений сферы 2w+ft в сферу Sn при k— 1, 2; п ^2 не меньше
двух. Единственность этого инварианта для всех случаев, кроме
k=:l, п = 29 доказывается на основе единственности инварианта у
при k=l.
ГЛАВА I
ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ГЛАДКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
§ U Гладкие многообразия
Здесь в первую очередь дается определение гладкого (или,
что то же самое, дифференцируемого) многообразия конечного
класса и вводятся простейшие связанные с ним понятия; во
вторую очередь рассматриваются некоторые играющие важную роль
гладкие многообразия, именно: подмногообразие гладкого
многообразия, многообразие линейных элементов гладкого многообразия,
прямое произведение гладких многообразий и многообразие
векторных подпространств данной размерности некоторого векторного
пространства. Наряду с дифференцируемыми многообразиями
конечного класса можно было бы определить и бесконечно
дифференцируемые многообразия, где все рассматриваемые функции
бесконечно дифференцируемы, а также аналитические многообразия,
где все рассматриваемые функции аналитичны. В настоящей работе
бесконечно дифференцируемые и аналитические многообразия не
играют роли и потому не рассматриваются.
Понятие гладкого многообразия.
А) Пусть Ек—евклидово пространство размерности k с
декартовыми координатами х1, ..., хч. Полупространством
пространства Ek будем называть иножество £§, определяемое условием
*»<(). (1)
Краем полупространства Ek будем называть гиперплоскость Ek"1f
определяемую условием
хх = 0. (2)
Под областью полупространства Е$ будем понимать его открытое
подмножество (которое может и не быть открытым во всем
пространстве Ек). Точки области полупространства £*,
принадлежащие его краю Ek~x будем называть ее краевыми точками. Хаус-

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 555
оофово топологическое пространство Мк со счетной базой, каждая
^очка а которого допускает окрестность Uk, гомеоморфную неко-
т 0д области Wk полупространства Ек или пространства Еку
называется топологическим многообразием. (Очевидно, что каждая
область пространства Ek гомеоморфна некоторой области
полупространства Ео, но для введения координатных систем удобнее
рассматривать области обоих пространств.) Если точка а соответствует
краевой точке области Wk, то она называется краевой точкой
многообразия Mk и своей окрестности Uh. Известно, что понятие
краевой точки топологически инвариантно. Многообразие, обладающее
краевыми точками, мы будем называть иногда многообразием с краем,
а многообразие, не имеющее краевых точек,— многообразием без-
края.) Компактное многообразие без края будем называть
замкнутым. Легко проверить, что совокупность всех краевых точек
многообразия Мк есть (k—1)-мерное многообразие без края.
Определение 1. Пусть Мк—топологическое многообразие
размерности k и Uk—некоторая его окрестность, гомеоморфная
области Wk полупространства £§ или пространства Ек.
Установление определенного гомеоморфизма между Uk и Wk равносильно
введению в Uk определенной системы X координат х1, ..., хк>
соответствующих координатам евклидова пространства Ек. При
этом две различные системы координат X и Y в Uk всегда связаны
взаимно однозначным и взаимно непрерывным преобразованием
У/ = У,(*1* -.-I х*У /=lf ...f k. (3)
Выберем вполне определенное натуральное число т и
предположим, что функции (3) не просто непрерывны, но т раз
непрерывно дифференцируемы в области Uk и обладают отличным от
-—- . При этом условии мы отнесем системы
дх1
координат X и Y к одному и тому же классу гладкости порядка т.
Очевидно, что различные классы не пересекаются и каждый класс
определяется любой принадлежащей ему системой координат. Если
среди всех этих классов отмечен один определенный, то
окрестность Uk называется т раз непрерывно дифференцируемой. В силу
этого две т раз непрерывно дифференцируемые окрестности Uk,
Vk многообразия Mk всегда индуцируют в своей общей части два
класса систем координат; если эти классы совпадают, то мы
говорим, что окрестности Uk и Vk дифференцируемы согласованно. Если
все окрестности некоторой базы многообразия Мк являются т раа
непрерывно дифференцируемыми и притом попарно согласованно,
то многообразие Мк называется т раз непрерывно
дифференцируемым или гладким класса /п, а иногда просто гладким без указания
числа т, которое, однако, всегда будет предполагаться достаточна
большим для наших целей. [Аналогично, если функции (3) анали-
тичны, то многообразие называется аналитическим.,]
нуля якобианом

554 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Как видно из приведенного определения, задание
дифференцируемое™ в многообразии осуществляется заданием ее в каждой
окрестности некоторой базы. Если при помощи двух баз в
многообразии определены две дифференцируемости, то они считаются
одинаковыми тогда и только тогда, когда объединение обеих баз
снова удовлетворяет условиям определения 1. В действительности
для задания дифференцируемости многообразия достаточно указать
ее в каждой окрестности некоторого покрытия многообразия. Такое
покрытие задает, конечно, и топологию многообразия.
Если ограничиться связными окрестностями, что всегда
возможно, то в каждой окрестности все отмеченные системы
координат распадутся на два класса, в каждом из которых переход (3)
осуществляется при помощи преобразования с положительным
якобианом. Каждый из этих классов будем называть ориентацией
данной окрестности. Очевидно, что гладкое многообразие тогда
и только тогда ориентируемо, когда ориентации его окрестностей
можно выбрать согласованно. Каждому такому выбору отвечает
определенная ориентация многообразия.
В) Край Мк~г гладкого многообразия Мк сам естественным
образом оказывается гладким многообразием того же класса на
основе следующей конструкции. Пусть Ufc—такая окрестность
в Мк с отмеченной системой координат X, для которой
пересечение Uk~1 — Uk()Mk'~1 не пусто. Уравнение множества (7*""1 в £/*,
очевидно, имеет вид х1 —О, и потому естественно принять х2, ...
..., хк за отмеченные координаты в О*1'1. Пусть Vk—другая такая
окрестность в Мк (быть может, совпадающая с Uk) с отмеченной
системой координат Yy для которой пересечение Vk~1 = Vk(]Mk~1
не пусто. В общей части окрестностей Uk и Vk имеем
yf = yf(xl> •••.**)> /=1» ...,£, (4)
откуда при х1 = 0 получаем
у'^У^О, х\ ..., **), / = 2, ..., £. (5)
Из дифференцируемости соотношений (4) следует дифференцируе-
мость соотношений (5). Далее, из соотношения ух(0, х2, ..., хк) — 0
вытекает (на Uk'1(]Vk~1)
д(у\ ..., у*) _ ду* д(у\ .... у*) (6)
d(x1t ..., х*)~~ дх1 д(х*, ..., х*)' К '
д (у\ ..., (/*) , Л
а отсюда ввиду отличия от нуля левой части получаем —-^ ^т^0-
Если система X является ориентирующей для окрестности £/*, то
за ориентирующую систему координат окрестности f/*"1 принимают
-« ъ т ду1 . А д (у1, ..., у*)
х2у ..., хк. Так как -^г > 0, то из положительности -^гг п*т
дх1 * д (х1, ..., Xя)
д (и2 ик)
следует положительность я ) 2' "' ^ ■ Таким образом, граница
С/ 1 л , • • • j Л J

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 555
гладкого ориентированного многообразия получает естественную
ориентацию.
C) Пусть а—некоторая точка гладкого многообразия Мк. Всякая
система координат, определенная в некоторой окрестности Uk
точки а и принадлежащая к отмеченному классу, называется
локальной системой координат в точке а. Очевидно, что каждую
точку cl многообразия Mk можно принять за начало некоторой
локальной системы координат. Вектором (контравариантным) на
многообразии Мн в точке а называется функция, относящая
каждой локальной системе координат в точке а систему k
действительных чисел—компонент вектора относительно этой системы коор-
дИНат—таким образом, что компоненты и1, ..., uk и v1, ..., vk
одного и того же вектора относительно двух локальных систем
координат х1, ..., xk и у1, ..., yk всегда связаны соотношением
I-1
Очевидно, что вектор однозначно определяется своими
компонентами относительно одной произвольной локальной системы
координат. Определяя линейные операции над векторами как операции
над их компонентами, мы превращаем множество всех векторов
на многообразии Mk в точке а в ^-мерное векторное
пространство R^y которое называется касательным к гладкому
многообразию Mk в точке а. Каждой локальной системе координат в точке а
отвечает, очевидно, определенный базис в касательном
пространстве, относительно которого все векторы имеют те же компоненты,
как и относительно этой локальной системы координат. Если точка а
принадлежит краю Мк~г многообразия Mk, то в ней, кроме
касательного пространства /?*, определено пространство Т^"1,
касательное к многообразию Л!*"1. Примем за локальные координаты в Mk~*
параметры х2, ..., xk (см. п. «В») и поставим в соответствие
вектору из Ra'1 с компонентами и2, ..., uk вектор из R* с
компонентами 0, и2, ..., и*; тогда мы получим естественное вложение
пространства R*'1 в /?£.
Гладкие отображения.
D) Пусть Mk и N1—два гладких многообразия класса т, а ф —
непрерывное отображение первого во второе. Выберем в точке
a£Mk некоторую локальную систему координат X и в точке Ь =
= <p(a)£Nl—некоторую локальную систему координат К; тогда
в окрестности точки а отображение ф представится в виде
y/ = (p/(xi9 ...,**), /=rl, ...,/. (8)
,Если функции ф являются п раз непрерывно дифференцируемыми,
л^/п, то столько же раз они будут непрерывно
дифференцируемы и при всяком другом выборе локальных систем координат;

556
24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
таким образом, можно говорить о классе п гладкости само
отображения <р. В дальнейшем, говоря о гладких отображениях*
мы*всегда будем предполагать, что п достаточно велико ддя на
ших целей. Если ранг матрицы
дх*
в точке а равен fe, то
отображение ф называется регулярным в точке а. Легко видеть, ^о
если точка а принадлежит краю Мк~г многообразия Mk, то из
регулярности отображения ф в точке а следует регулярность его
в точке а многообразия М*"1. Если отображение ф регулярно
в каждой точке а£Мк, то оно называется регулярным. Легко
проверяется, что если отображение ф регулярно в точке а, то оно
регулярно и гомеоморфно в некоторой окрестности точки а.
Регулярное гомеоморфное отображение называется гладким вложением.
Отображение ф называется правильным в точке a £ Mk, если ранг
ф ' /=*!,...,/; t = l, ...,fe, равен /. Легко
матрицы
дх1
видеть, что множество всех неправильных точек отображения <р
замкнуто в Mk. Точка b$Nl называется правильной точкой
отображения ф, если отображение ф правильно в каждой точке
множества Ф_1(&) с Mk. Точка а называется особой точкой
отображения f, если она является нерегулярной и неправильной одновре-
I; i = l,
*,
менно, т. е. если ранг матрицы —=т- » / — 1»
дх1
меньше обоих чисел k и /.
Е) Всякое гладкое отображение ф гладкого многообразия Mk
в гладкое многообразие N1 индуцирует в каждой точке а£Мк
определенное линейное отображение <ра векторного пространства /?{[,
касательного к многообразию Мк в точке а, в векторное
пространство Rlb> касательное к многообразию N1 в точке b=*q>(a).
Именно, если локальные системы координат, выбранных в точках
а и Ь, суть соответственно X и К, то вектору u£R% с
компонентами ы\ ... '
ж(Ра(и)£К1 с компонентами
k
uk относительно системы X отвечает вектор и —
»/-£
i=l
rdq>/ (а)
дх1
W
/-1.
/,
(9)
относительно системы координат Y. Нетрудно видеть, что это
определение непротиворечиво, т. е. что при любом выборе
локальных систем координат оно приводит к одному и тому же
отображению Фа. Если отображение ф регулярно в точке а, то
отображение фв взаимно однозначно и определяет вложение
пространства Ra в пространство RI. Если же отображение ф правильно
в точке а, то ц>а (#*) = Rj,.
Определение 2. Гладкое отображение ф класса п
гладкого многообразия Mk класса т на гладкое многообразие N
дсласса т9 т^п> называется гладким гомеоморфизмом, если

» / — *» • • •
24 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 557
гомеоморфно и регулярно. Очевидно, что если отображение
°Йрсть гладкий гомеоморфизм класса я, то обратное отображение
*-1есть также гладкий гомеоморфизм класса п. Два многообра-
* я называются гладко гомеоморфными, если существует гладкий
гомеоморфизм одного из них на другое.
Некоторые способы образования гладких многообразий.
F) Пусть Рг—подмножество гладкого многообразия Mk класса
определяемое вблизи каждой своей точки системой k—г
независимых уравнений. Это значит, что для каждой точки а£Рг
существует такая окрестность £/* в многообразии Mk с локальной
системой X, что пересечение Pr(]Uk состоит из всех точек,
координаты которых удовлетворяют уравнениям
^(х\ ..., xk)=*0, /=1, ..., k—r. (10)
При этом предполагается, что функции г|^ т раз непрерывно
. д V (а)
дифференцируемы и функциональная матрица т v '
..., k—г; t = l, ..., k, имеет ранг k—г; если же а есть
краевая точка многообразия Мк> то предполагается, что даже усечен-
<V (fl) Д /я=1 £_r f^2 ft
, J X , . . . , /V / , * £*у . . . , fV,
"* II
имеет ранг &—г. При этих условиях множество Рг естественным
образом оказывается r-мерным гладким многообразием класса т,
гладко вложенным в Mk. Это многообразие Рг мы будем
называть подмногообразием многообразия Mk. Сверх того, оказывается,
что края Рг~х и Мк~г многообразий Рг и Мк связаны соотношением
рг-1 = ргПМ*-19 (П)
и, если а^Рг~ху a /?*, /?£~\ Rra, Ra"1 суть касательные
пространства к многообразиям Мк, М*"1, Рг, Рг"г в точке а, то
Rra-l=*RinRl-1. (12)
Здесь пространства Ra"1, Ra> Ra'1 рассматриваются как
подпространства R*> (см. пп. «С» и «Е»).
Для доказательства того, что Рг есть r-мерное многообразие,
и для внесения в него дифференцируемости изменим, если это
необходимо, нумерацию координат так, чтобы отличным от нуля
ная функциональная матрица
был якобиан
d^J (a)
, /=1, ..., k—г; / = г+1, ..., ky причем
ах1
в случае краевой точки можно не менять номер координаты х1.
*огда система (10) будет однозначно разрешима относительно
переменных хг+\ ..., хк:
х'т=р{х19 ...,*r), i = r+l9 ...,fe. (13)
случае краевой точки координата х1 входит в число независи-

558 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
мых переменных. Функции /' определены и т раз непрерывно
дифференцируемы в некоторой области W полупространства £j
переменных х1, ..., хг и определяют гомеоморфное отображение
этой области на некоторую окрестность Ur точки а в Рг. Этим
доказано, что Рг есть r-мерное многообразие. Дифференцируемость
в окрестность Ur вносится координатами х1, ..., хг.
Естественное включение многообразия Рг в многообразие Mk
задается в Ur соотношениями
Л, Л 9 I 1 ,...,# , /1/|\
Ии ^— / 1 At , i • • ) Л lj fr *—- # "i- 1 | . • • , /С ,
где параметры х\ ..., хг справа считаются координатами в Ur9
а параметры х1, ..., xk слева—координатами в Ufc.
Соотношение (11) очевидно. Пусть теперь a g Рг~г; докажем соотношение (12).
Локальным координатам X соответствует в Rka некоторый базис
£i, • • •, £k> базис пространства Rka~x состоит из векторов е2, ..., ek\
базис пространства /?£ состоит из векторов е(+ 2* ~д~7е;>
i=r+k
1=1, ..., г, а базис пространства R^1—из тех же векторов,
кроме первого. Рассматривая эти базисы, мы легко убеждаемся
в правильности соотношения (12).
Для доказательства согласованности координатных состем,
введенных в Ргу рассмотрим, наряду с точкой а, точку b£Pr с
локальными координатами Y и окрестностями Vk и Vr,
аналогичными окрестностям Uk и Ur. Соотношениями, аналогичными (13),
пусть будут
yi = gi{y1> •••> У% i = r+lt ..., k. (15)
Допустим, что Ur и Vr пересекаются. Тогда U* и Vk также
пересекаются; пусть
у* = у1(х\ ...,**), i = l, ...,fe; (16)
суть переходы от X к Y и обратно. Подставляя а:г+1, ..., х* из
(13) в (16), получаем для первых г переменных у
yi = yi(x\ ...,.хг), i'=l, ..., г. (18)
Точно так же, подставляя yr+1, ..., yk из (15) в (17), получаем
xi = xi(y19 ..., yr)9 i=l, ..., г. (19)
Преобразования (18) и (19) /п раз непрерывно дифференцируемы,
и так как они взаимно обратны, то якобианы их также взаимно
обратны и потому отличны от нуля.
Итак, предложение «F» полностью доказано.

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 559
G) Пусть Мк—гладкое многообразие класса т^2 и
L2k—множество всех касательных к нему векторов (см. п. «С»), т. е. пар
вида (а, и), где a£Mk, u£Rk. Множество L2k естественным
образом оказывается гладким 2й-мерным многообразием класса т—1
на основании следующей конструкции. Пусть Uk—некоторая
окрестность в многообразии Мк с локальной системой координат X.
Через U2k обозначим множество всех пар (х, и) £ L2*,
удовлетворяющих условию x$Uk. Множество U2k принимают за
окрестность в Ь2к, а отмеченную систему координат в ней вводят
следующим образом. Пусть х1, ..., хк—координаты точки х в системе X
и и1, •••♦ цк—компоненты вектора и относительно локальной
системы Х\ тогда за координаты пары (х, и) принимают числа
Л , • • • , Л/ у 14/ у » • • у 14/ • \£\J\
Если Vk—окрестность в Мк (быть может, совпадающая с Uk)
с отмеченной системой F, для которой x$Vk9 и координаты пары
(Ху и) в окрестности V2*, порожденные системой F, суть
У\ ••-. У\ v1, ..., vky (21)
то переход от координат (20) к координатам (21) дается, очевидно,
соотношениями
у1 = у*(х\ ...у хк)у /=1, .... ft; (22)
f-Ttt', / = 1, ....A (23)
и/ = £
i = i
и имеют якобиан, равный
[см. (9)]. Соотношения эти т—1 раз непрерывно дифференцируемы
ду* 2
-— , который, очевидно, положите-
дх1
лен. Так как окрестности типа U2k покрывают L2kf то описанная
конструкция превращает L2k в гладкое многообразие
класса т—1.
Н) Пусть Rk—векторное пространство размерности ft. Лучом и*
в Rky проходящим через вектор ифОу будем называть
совокупность всех векторов tu, где t—положительное действительное
число. Фиксируем в Rk некоторый базис и обозначим через R*'1
координатную гиперплоскость и1' = 0. Если луч и* не лежит в Z?*"1,
то на нем существует единственный вектор и, удовлетворяющий
условию | и11 — 1; этот вектор будем называть основным
относительно плоскости R\~x. Совокупность всех лучей, для которых
основной вектор относительно R\~x удовлетворяет условию az'= + l
или н'==—1, будем обозначать через f/ff1 или соответственно
через f/tff1. За координаты луча w*€[/f~\ p= 1, 2, примем
компоненты и\ ..., и1'"1, и1+1у ..., ик основного вектора и этого луча
относительно плоскости Rf'1. Так как система всех множеств \J\~X
покрывает пространство S*"1 всех лучей, то этим S*-1 превра-

560 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
щается в гладкое многообразие, очевидно, гомеоморфное (r~ iy
мерной сфере.
I) Пусть Мк—гладкое многообразие класса т.
Многообразием его линейных элементов называется множество L2*"1 всех пар
вида (х, и*), где х£Мк, a и*—луч пространства Rkx с
естественной дифференцируемостью, введенной в нем на основании
следующей конструкции. Пусть Uk—некоторая окрестность в Мк с
отмеченной системой X. В векторном пространстве /?£, касательном
к Мк в точке x£Uk, определен базис, соответствующий
локальной системе Х\ таким образом, в множестве S*"1 лучей
пространства Rx определены области Щр*х (см- п- «Н») с координатными
системами в них. Через Щр1'1 обозначим совокупность всех пар
вида (ху и*), удовлетворяющих условию x£Uk, н*^^"1*, а за
координаты пары (х, и*) в 11%"х примем числа
где х1, ..., хк—координаты точки х в системе Х9 а ы\ ..., и'"1,
и|,+\ ..., uk—координаты луча и* в £/*~tV Легко проверяется,
что система окрестностей U]*'1 покрывает L2*-1 и что введенные
в этих окрестностях системы координат согласованы между собой,
так что L2*"1 есть (2k—1)-мерное гладкое многообразие класса
т—1.
J) Пусть Mk и N1—два гладких класса т многообразия,
причем Мк не имеет края. Прямое произведение Pk+l = MkxNl,r. е.
множество всех пар (х, у), где х£Мк, y£Nl, естественным
образом является гладким многообразием класса т на основании
следующей конструкции. Пусть Uk и V1— произвольные
координатные окрестности в многообразиях Мк и А/7, а X и Y—системы
координат в них. Множество UkxVl с MkxNl примем за
координатную окрестность в многообразии Рк+\ считая координатами
точки (х, у)£UkxVl числа х1, ..., **, у1, ..., у\ где х1, ..., хк—
координаты точки х в системе X, а у1, ...,у1—координаты
точки у в системе F. Непосредственно проверяется, что
построенная таким образом система координатных окрестностей определяет
в Рк+1 гладкость класса /п. Если Мк и N1—ориентированные
многообразия, а системы X и Y соответствуют ориентациям этих
многообразий, то будем считать, что система X, Y соответствует
ориентации многообразия Рк+1. Таким образом, прямое
произведение ориентированных многообразий получает естественную
ориентацию. Если N1"1— край многообразия N1, то краем многообразия
МкхМ1 служит многообразие MkxNl~x.
К) Пусть Ек+1—векторное пространство размерности k+l и
G(k, I)—множество всех его fe-мерных векторных подпространств.
Множество G (fe, /) является гладким (даже аналитическим)
многообразием на основании следующей конструкции. Пусть Е$ £G(k9 /),
а еи ..., eky flf ..., ft—такой базис пространства Ек+Г, что
векторы е19 ..., ek лежат в Ек. Линейную оболочку векторов

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 561
f ...,// обозначим через Е1. Обозначим через Ukl множество
всех таких векторных подпространств Ek£G(k, I), пересечение
которых с Е1 содержит лишь нуль. Если Ek£Ukl, то существует
базис е[, . • •, e'k векторного пространства Ек, определяемый
соотношениями
где | *(||—действительная числовая матрица. Элементы х\, i= 1, ...
^ k\ /=1, ..., /, этой матрицы мы примем за координаты
элемента Ek в координатной окрестности Uht. Непосредственно
проверяется, что совокупность координатных окрестностей вида Ukl
определяет в G(k, l) аналитичность, так что G(k, l) оказывается
аналитическим многообразием размерности kL
§ 2. Вложение гладкого многообразия в евклидово пространство
В настоящем параграфе будет показано, что компактное fe-мер-
ное гладкое многообразие класса т^2 может быть регулярно
и гомеоморфно отображено в евклидово пространство R2k+1
размерности й+1 и регулярно в евклидово пространство R2k
размерности 2ky причем класс гладкости отображения равен т.
Предложения эти в несколько более сильной форме, именно для т ^ 1
и без требования компактности, впервые были доказаны Уитнеем
[5]; приводимое здесь доказательство значительно проще.
В доказательстве существенную роль играет весьма
элементарная теорема 1.
Гладкое отображение многообразия в многообразие большей
размерности.
Теорема 1. Пусть Мк и N1—два гладких многообразия
размерностей k и I, где k < /, и ф—гладкое класса 1
отображение многообразия Мк в многообразие N1. Оказывается, что
множество ц>(Мк) имеет в N1 первую категорию, т. е. может быть
представлено как сумма счетного числа нигде не плотных в N1
множеств. В частности, если многообразие Mk компактно, то
множество ф (Мк) также компактно, и потому Nl\cp (Мк) есть
всюду плотная в N1 область.
Доказательство. Пусть а£Мк, b = tp(a), Vlb—некоторая
координатная окрестность точки Ъ в N1 и Uk—такая
координатная окрестность точки а в Mk, что (p(Uk)c:Vlb. Выберем такие
окрестности Ukal и £/£2 точки а в Мк, что Ukal<^Uka, TJk2c:Ual и что
множество 1)каЛ компактно. Области Uk2, a£Mk, покрывают
многообразие Мк. Из этого покрытия можно выбрать счетное, и
потому для доказательства теоремы нам достаточно доказать, что
при произвольном выборе точки а из Мк множество ф (Uk2) нигде

£62 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
не плотно в Vlb. Так как область Uk есть гомеоморфный образ
области евклидова полупространства Ек9 то мы просто буде^
считать, что [/£2 есть область полупространства Е%. Точно так же
£удем считать, что Ulb есть область евклидова полупространства £{,
При такой трактовке отображение ф есть гладкое класса 1
отображение области Uk в евклидово пространство Е1, и нам
достаточно показать, что множество ф(£/д2) нигде не плотно в Е1.
Докажем это.
Из гладкости отображения ф и компактности множества U^x
непосредственно вытекает существование такой положительной
константы с, что для двух произвольных точек х и х' из Ика1
выполнено неравенство
Р (ф (х), Ф (*')) < ф (х, л:'). (1)
Выберем некоторый е-кубильяж евклидова полупространства Е%>
т. е. разобьем полупространство Ек правильным образом на кубы
со стороной длины е. Совокупность всех замкнутых кубов
выбранного кубильяжа, пересекающихся с £/*2, обозначим через Q. Так
как множество £/£2 компактно и потому может быть включено
в куб достаточно большого размера, то число кубов совокупности
Я не превосходит числа с1/гк, где сх—некоторая положительная
константа, не зависящая от е. Пусть б—расстояние между
множествами Ek\Uhal и Uka2. Предположим, что диагональ zVk
каждого куба совокупности Q меньше чем б. Тогда каждый куб Kt
совокупности Q лежит в области Vkax и в силу неравенства (1)
множество ф (/С/) содержится в некотором кубе Lt пространства Е1
£0 стороной cVk-г, объем которого равен clkll2-tl. Таким образом,
все множество cp(Uk2) содержится в сумме кубов Lh число
которых не превосходит с1/гку а потому объем всего множества ф (U&)
не превосходит числа сгс1к11%-г1~н. Так как е произвольно мало,
то из сказанного следует, что множество ф(£/д2) не содержит
«области, а будучи компактным, оно должно быть поэтому нигде
ле плотным в Е1.
Таким образом, теорема 1 доказана.
Операция проектирования в евклидовом пространстве.
В дальнейшем существенную роль будет играть операция
проектирования. Пусть Сг—векторное пространство и В*—его
векторное подпространство. Рассматривая пространство Сг как
аддитивную группу, а В'—как ее подгруппу, мы получаем разбиение
пространства Сг на классы смежности по подпространству 57»
причем классы смежности сами образуют векторное пространство
Ар размерности p = r—q. Ставя в соответствие каждому элементу
х£Сг содержащий его класс смежности л(х)£Ар, мы получаем
линейное отображение я пространства Сг на пространство Ар>

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
563
называемое проектированием вдоль проектирующего
подпространства В1. Более наглядно пространство Ар можно реализовать как
линейное подпространство размерности р пространства Сг,
пересекающееся с В1 лишь в нуле; тогда операция л превращается
в обычное проектирование. Если пространство Сг евклидово, тог
определив Bf как ортогональное дополнение заданного
подпространства Л^сС, мы получим ортогональное проектирование к
пространства Сг на подпространство Ар.
А) Пусть ф — гладкое отображение гладкого многообразия Мк
в векторное пространство Сг, регулярное в точке а £ Mk и я —
проектирование пространства Сг вдоль одномерного
подпространства В1 на пространство А1""1. Оказывается, что отображение лф
многообразия Mk в А1"1 тогда и только тогда не регулярно
в точке а (см. § 1, п. «D»)), когда прямая (p(a) + B1i проходящая
через ф(я) параллельно В1, касается <р(Мк) в точке ф(а).
Для доказательства выберем в окрестности точки а
какие-нибудь локальные координаты я1, ..., хк, а в Сг—такие
прямолинейные координаты у1, ..., уг, что последняя ось совпадает с В1.
В выбранных координатах отображение ф получает запись: yf =
= yJ' (х1, ..., хк), / = 1, ..., г, причем ранг матрицы --'
dx*
/=
= 1, ..., г; /= 1, ..., ky в точке а согласно предположению
регулярности равен k. Каждому вектору и на Мк в точке а
соответствует вектор v = ya(u)€Cr, касательный к ср(Мк) в точке ф(а),
с компонентами и1, ..., vr [определяемый соотношениями (9) § 1,
/ = г]. Если теперь отображение дф не регулярно в точке а, то
ранг матрицы -~ , /=1, •••, т—1; /=1, ..., ky меньшее, и
дх1
потому существует такой вектор ифО, что для вектора v = <pa(u}
имеем vx= ... =vr~1 = 0> ьгФОу а это значит, что v^B1. Если,
напротив, существует вектор v = ya(u)=£0, принадлежащий В1, то
ранг матрицы ~у , /=1, ..., г—1; t=l, ..., fe, меньше fe,
дх1
т. е. отображение пер в точке а не регулярно.
В) Пусть ф — гладкое класса 2 регулярное отображение
гладкого многообразия Мк в векторное пространство Сг размерности
г > 2k и B'£G(q,r—q)— проектирующее подпространство
размерности q^r—2k пространства Сг на пространство Ар.
Проектирование обозначим через я. Через Qg обозначим множество всех
таких проектирующих подпространств В', для которых
отображение лф не регулярно. Оказывается, что множество Q'q имеет
первую категорию в многообразии G(q, г—q) всех проектирующих
направлений.
Пусть (х, и*)—произвольный линейный элемент многообразия
Мк (см. § 1, п. «I») и и — некоторый отличный от нуля вектор
луча и*. Вектору иу в силу соотношения (9) § 1, соответствует
вектор v = q>x(u) =7^=0. Луч v* пространства Сг, определяемый

564 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
вектором v, зависит лишь от линейного элемента (ху и*), и мы
полагаем и* = Ф(л:, и*). Легко проверяется, что отображение Ф
многообразия ик~г (см. § 1, п. «I») в многообразие Sr~x (см. § 1
п. «Н») имеет класс гладкости, равный единице, и потому Ф(/,2*-1\
имеет в Sr_1 первую категорию (так как г—1 > 2k— 1 см.
теорему 1). Отсюда, в силу «А» следует «В» для q=l.
Последовательное применение этого построения приводит нас
к доказательству утверждения «В» и для произвольного q ^ г—2k.
C) Пусть ф—гладкое класса 1 взаимно однозначное
отображение гладкого многообразия Mk в векторное пространство С и
В7 € G (<7> т—q)—проектирующее подпространство размерности
q^r—2k—1. Проектирование обозначим через я. Через Qq
обозначим множество всех таких проектирующих подпространств Вчу
что отображение зтср не является взаимно однозначным.
Оказывается, что Qg имеет первую категорию в многообразии G(q, г—q).
Пусть х и у—две различные произвольные точки
многообразия Мк. Через Ф' (х, у) обозначим луч, составленный из всех
векторов вида t (ф(у)—ф(*)), где t—положительное число. Таким
образом, мы имеем отображение Ф' многообразия М2к всех
упорядоченных пар (х, у), хфу в многообразие Sr"x всех лучей
пространства Сг. В многообразии М2к естественным образом вводится
дифференцируемость, и легко проверяется, что отображение Ф'
является гладким класса 1. Таким образом, Ф'(M2k) оказывается
множеством первой категории в Sr_1 (см. теорему 1), из чего
следует «С» для q=l. Применяя эту конструкцию надлежащее
число раз, мы получаем доказательство утверждения «С» и для
произвольного q^r—2k—1.
Из «В» и «С» непосредственно следует
D) Пусть ф—гладкое класса 2 взаимно однозначное и
регулярное отображение гладкого многообразия Мк в векторное
пространство Сг и B4£G(q, г—q)—проектирующее подпространство
размерности q^r — 2k—1. Проектирование обозначим через я,
а через Qq—множество всех таких проектирующих подпространств
В^у что отображение щ> не является одновременно взаимно
однозначным и регулярным. Так как £iq — Q'q\J&q, то Qq имеет первую
категорию в многообразии G(q> г—q).
Теорема вложения.
E) Пусть фх, ..., фи—гладкие класса m отображения
гладкого многообразия Мк в векторные пространства соответственно
€19 ..., С„. Обозначим через С прямую сумму пространств
С19 ..., С„, составленную из всех систем [ult ..., ип], где и^С^
Определим прямую сумму ф отображений q>l9 ..., ф„, положив
Ф (х) = [фг (х), ..., ф„ (*)], х g Mk. Легко видеть, что ф есть
гладкое класса m отображение многообразия Мк в С. Легко
проверяется, что если хотя бы одно из отображений <plf ..., ф„
регулярно в точке a g Мк, то отображение ф также регулярно в точке а.

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 565
Далее, легко проверяется, что если две точки а и Ь из Мк
переводятся в различные точки хотя бы одним из отображений ц>19 ..., фи,
то они переводятся в различные точки и отображением ф.
Теорема 2. Пусть Мк—гладкое класса т^2 компактное
многообразие. Существует гладкое класса т вложение
многообразия Мк в евклидово пространство конечной размерности.
Доказательство. Обозначим через к(t) какую-нибудь
действительную функцию действительного переменного t,
дифференцируемую любое число раз и удовлетворяющую следующим
условиям:
х(0=1 при |*|<1/2; х(0 = 0 при |*|>1;
при —l^f^—1/2 функция %(t) монотонно возрастает; при
1/2<^^1 функция %{t) монотонно убывает. Такую функцию
легко построить.
Положим
при /= 1, ..., ky и
Пусть Rk—евклидово пространство с декартовыми координатами
f1, ..., tk и Rk+1—евклидово пространство с декартовыми
координатами у1, ..., yk+1. Обозначим через Q куб пространства Rk9
определяемый неравенствами |f'|<2, через Q'—куб того же
пространства^ определяемый неравенствами \t'\ < 1, и через Q"—
куб, определяемый неравенствами | tl ' | < 1/2. Через Q0 обозначим
полукуб, высекаемый из куба Q неравенством t1 ^ 0. Зададим
теперь отображение пространства Rk в пространство Rk+1
соотношениями
y' = rt(t\ t\ ..., t*)9 /=1, ..., k + l. (2)
Легко проверяется, что отображение это любое число раз
дифференцируемо, переводит множество Rk\Q' в начало координат
пространства Rk+1, куб Q' отображает непрерывно и взаимно
однозначно и, наконец, куб Q"—регулярно.
Пусть теперь а—произвольная точка из Mk, Uka—некоторая
ее координатная окрестность с системой координат X, имеющей
начало в точке а; наконец, пусть е—настолько малое
положительное число, что при отображении
tl' = xl/e, i = lf ..., fe, (3)
окрестности U% в пространство Rk образ этой окрестности покрывает
весь куб Q, если а есть внутренняя точка Мк, и весь полукуб Q0,
если а есть краевая точка Мк. Прообразы кубов Q' и Q" при
этом отображении обозначим соответственно через Q'a и Q"a.

566 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Определим отображение фа многообразия Мк в евклидово про.
странство Rk+1> положив
y/ = y/(xVe, х2/е, ..., хк/г)
для точки xgf/д с координатами х1, ..., хк и у' = 0—для точки
xgAlfe\[/£. Легко проверяется, что фа есть гладкое отображение
класса т многообразия Мк в &к+1> гомеоморфное на Q'a и регу.
лярное на <£.
Выбирая из окрестностей Qa конечное покрытие Qfll, ..., Q*
многообразия М* и составляя прямую сумму соответствующих
этим кубам отображений фа1, ..., ц>ап (см. п. «Е»), мы получим
искомое отображение ф многообразия Мк в конечное евклидово
пространство.
Из доказанных предложений объявленная в начале параграфа
теорема вытекает непосредственно. В самом деле, многообразие Мк
можно регулярно и гомеоморфно включить в векторное
пространство Сг достаточно высокой размерности (см. теорему 2). Далее,
в пространстве Сг существует такое проектирующее направление
Br-2k-if чт0 получаемая проекция многообразия Mk в
пространство А2к+1 регулярна и гомеоморфна (см. п. «D»). Точно так же
в пространстве Сг существует такое проектирующее направление
Вг~2к, что проекция многообразия Мк в пространство А2к
регулярна (см. п. «В»). Мы докажем здесь более сильную теорему 3,
утверждающую, что для любого гладкого отображения
многообразия Мк в евклидово пространство C2k+1 существует сколь угодно
близкое к нему регулярное и гомеоморфное отображение этого
многообразия, а для любого гладкого отображения многообразия
Мк в евклидово пространство С2к существует сколь угодно
близкое к нему регулярное отображение. Для точной формулировки
теоремы 3 необходимо ввести понятие близости класса т
отображений, учитывающее все производные до порядка т включительно.
Заметим прежде всего, что если / есть гладкое отображение
области Wk евклидова полупространства Ек в векторное
пространство Сг, то частные производные векторной функции /(#)—
= / (л:1, ..., хк) являются векторами пространства Сг.
F) Пусть Мк—гладкое класса т компактное многообразие,
Е1—векторное пространство и Р — множество всех гладких
класса т отображений многообразия Мк в пространство ЕК Введем
в множестве Р топологию при помощи задания в нем метрики,
зависящей от случайного выбора некоторых элементов построения.
Пусть Us> Vs, s— 1, ..., я,—такая конечная совокупность
координатных областей многообразия Мку что области Usy s= 1, ..., tt,
покрывают многообразие Мк и выполнены включения Usc:VSt
s=l, ..., tt, причем в каждой области Vs выбрана некоторая
система координат Xs. Пусть, далее, Y — некоторая декартова
система координат пространства Е1. Определим расстояние p(f,g)

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 567
между ДВУМЯ отображениями / и g из Р, зависящее от выбора
областей Us, Vs координатных систем Xs, s=l, ..., п,
координатной системы Y. Для этого запишем в координатной форме
отображения f и g области Vs, положив
у'= /'.(*) =/И*1. •■-.**). (4)
У =gUx) = 8ttx1' •••» **)• (5)
Пусть iu ..., it—набор целых неотрицательных чисел, сумма
которых не превосходит т. Положим
0)s (X', lj, . . . , Ifr) —
л. + . . . i
Максимум функции со'5 (х; iu . .., *<,) переменного л: при x£Us
обозначим через со( (ilf ..., iи), а наибольшее из всех чисел со£ (^, ..., ik),
когда iu ..., ik, s, / пробегают все допустимые значения,
примем за расстояние p(f, g) между отображениями / и g. Легко
проверяется, что топология пространства Р не зависит от
случайного выбора системы областей U s, Vs, s=l, ..., /г, и
координатных систем Xs, s=l, ..., п, К. Топологическое пространство
Р называется пространством отображений класса т
многообразия Mfc в пространство Е1. Утверждение, что в любой близости
класса т к отображению f имеется отображение, обладающее
некоторым свойством А, означает, что в любой окрестности точки /
пространства Р имеется отображение, обладающее свойством А.
Теорема 3. Пусть Mk—гладкое класса т^2 k-мерное
компактное многообразие, Ар—векторное пространство размерности
р и Р — пространство отображений класса т многообразия Mk
в пространство Ар. Совокупность всех регулярных отображений
из множества Р обозначим через IT, а совокупность всех
регулярных и одновременно гомеоморфных отображений из множества
Р—через П. Оказывается, что множество ГР и П всегда являются
областями в пространстве Р. Далее, если p^2k, то область W
всюду плотна в Р, а если p^2k+ I, то область П всюду
плотна в Р.
Доказательство. Покажем прежде всего, что множества П'
и П всюду плотны в пространстве Р при значениях р, указанных
в теореме. Пусть f£P, а е—гладкое класса т регулярное и го-
меоморфное отображение многообразия Mk в векторное
пространство В? достаточно высокой размерности (см. теорему 2). Прямую
сумму векторных пространств ^ и В? обозначим через Сг,
причем будем считать пространства Ар и Вч линейными
подпространствами пространства Сг. Отображение h, являющееся прямой
суммой отображений f и е (см. п. «Е»), регулярно и гомеоморфно,
и его проекция на Ар по направлению В* совпадает с
отображением /. В силу предложений «В» и «D» в любой близости к
направлению проектирования В* существует такое направление

в этой
близкой к матрице
568 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
проектирования В?, что проекция g отображения h регулярна
при p^2k и одновременно регулярна и гомеоморфна при p^2k-\-lt
Таким образом, в любой близости к заданному отображению /
существует отображение g", обладающее нужными свойствами.
Покажем, что П' есть область. Пусть f£W. Так как
отобрази
жение f регулярно в точке x£Us, то ранг матрицы -Ц-
дх1
точке равен k (см. § 1, п. «F»). Следовательно, ранг матрицы,
-Ц- , также равен k. Таким образом, суще-
дх1
ствует настолько малое положительное число е', что прир(/, g)<e'
отображение g регулярно в точке х. Так как первые производные
функций f{(x) непрерывны, а множества Us компактны и
конечное число их покрывает многообразие Мк> то существует
настолько малое положительное число е, что при р(/, g) < е
отображение g регулярно в каждой точке x£Mk.
Для доказательства того, что П есть область, отметим
предварительно следующий факт:
а) В множестве Q всех линейных отображений евклидова
векторного пространства Е* в евклидово векторное пространство А?
введем метрику, исходя из некоторых координатных систем X и Y
в этих пространствах. Пусть ф и г|?—элементы из Q с
координатной записью
к
у1^ 2 Ф*> /=1» •••. р-
i=i
Расстояние р (ф, я|)) определим как наибольшее из чисел | фу—г|)у |*
Оказывается, что для каждого компактного множества F
невырожденных отображений существует настолько малое
положительное число б, что при p(F, г|?) < б имеем
Ф(*)1>в-|*|.
где х—произвольный вектор из Ек.
Предложение это легко доказывается от противного из
соображений непрерывности.
Пусть /6П. Оказывается, что существуют такие малые числа
б и е, что при р(/, g) < е (см. п. «F») имеет место неравенство
Р(£(я)> g(x))>*P(f(a)> fix)), (6)
где а и х—две произвольные точки из Mk. Действительно, когда
P(f(a)y /(х))<а» гДе а—некоторая положительная константа,
отображения fug вблизи точки а достаточно хорошо
изображаются при помощи линейных, и притом равномерно относительно

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 569
a£Mk. В этом случае неравенство (6) легко следует из
предложения «а». В случае же, когда р(/(а), f(x))^a, неравенство (6)
вытекает при достаточно малом 8 из взаимной однозначности
отображения /. Из неравенства (6) и взаимной однозначности
отображения / вытекает взаимная однозначность любого достаточно
близкого к / отображения g.
Итак, теорема 3 полностью доказана.
§|3. Неправильные точки гладких отображений
Напомним прежде всего определение неправильной точки
отображения (см. § 1, п. «D»), Пусть ф—гладкое отображение
многообразия Мк в многообразие N1. Точка а многообразия Мк
называется неправильной точкой отображения ф, если
функциональная матрица отображения ф в точке а имеет ранг, меньше
чем /. Точка Ь многообразия N1 называется неправильной точкой
отображения ф, если полный прообраз ф"1 (Ь) этой точки содержит
хотя бы одну неправильную точку а£Мк отображения ф. Таким
образом, следует различать неправильные точки отображения ф
в многообразии Мк и неправильные точки отображения ф в
многообразии N1. Если F есть множество всех неправильных точек
отображения ф в многообразии Мк, то ф (F) есть множество всех
неправильных точек отображения ф в многообразии N1.
Нижеследующая теорема 4, принадлежащая Дубовицкому [6], утверждает,
что множество ф (F) имеет в многообразии N1 первую категорию,
т. е. может быть представлено как счетная сумма компактных
нигде не плотных в N1 множеств. Из этого следует, что
множество Nl\<p (F) всех правильных точек отображения ф в
многообразии N1 имеет вторую категорию в Л/7, т. е. «достаточно массивно»
и уж во всяком случае всюду плотно. В несколько
неопределенных терминах этот факт можно сформулировать, сказав, что точки
многообразия N1, вообще говоря, правильны. Теорема 4 находит
весьма важные применения в теории гладких многообразий; из
нее можно вывести целый ряд результатов о том, что, вообще
говоря, имеет место то или иное положение вещей. Для вывода
каждого такого результата приходится надлежащим образом
подбирать многообразия Мк и N* и отображение ф. Выбор этот может
быть описан при помощи нижеследующего весьма общего и потому
несколько неопределенного предложения «А».
Приведение в общее положение.
А) Пусть Q—некоторое гладкое многообразие и Р—некоторая
совокупность операций над ним, образующая также гладкое
многообразие. При проведении операции р£Р над многообразием Q
некоторая точка q € Q может оказаться особой в некотором смысле,
который должен быть точно разъяснен. Пара (/?, q), р£Р, q€Q>
считается отмеченной, если точка q является особой в отношении

570 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
операции р. Предполагается, что множество всех отмеченных пап
(р, q) составляет гладкое подмногообразие Мк многообразия Р\0
(см. § 1, пп. «J», «Е»). Каждой точке (р, q)£Mk ставится в
соответствие точка ф (р, q) = p. Таким образом возникает отображение q>
многообразия Мк в многообразие Nl = P. Если точка р0£Р есть
правильная точка отображения ф в многообразии P = Nl, то
каждая точка q£Q, особая относительно операции р0, является
в каком-то смысле типичной, а совокупность Q0 всех точек а
многообразия Q, особых относительно операции р0, состоит из
типичных особых точек.
Конструкция «А» находит многочисленные приложения,
некоторые из которых будут указаны в § 4. Очень простое
применение конструкции «А», имеющее иллюстративный характер, я
привожу здесь в виде предложения «В».
В) Пусть Аг и Bs—два гладких подмногообразия векторного
пространства £п. Считают, что в точке a^Ar (]BS многообразия Аг
и Bs находятся в общем положении, если касательные в этой точке
к многообразиям Аг и Bs имеют пересечение размерности г + s—п.
Считают, что многообразия Аг и Bs находятся в общем положении,
если в каждой точке их пересечения они находятся в общем
положении. Непосредственно проверяется, что если многообразия Аг
и Bs находятся в общем положении, то их пересечение Аг П Bs есть
подмногообразие пространства Еп, имеющее размерность r-\-s—п.
Пусть /?££". Обозначим через Агр многообразие, состоящее из
всех точек вида р + х, где х£Аг. Таким образом, многообразие А Тр
получается из многообразия Аг сдвигом на вектор р. Оказывается,
что множество всех векторов р£Еп, для которых многообразия Атр
и Bs находятся в общем положении, является множеством второй
категории в Еп, так что существует произвольно малый сдвиг /?,
для которого многообразия Агр и Bs находятся в общем положении.
Для доказательства предложения «В» воспользуемся
конструкцией «А» положив Q = ArxBs, P = En и считая, что точка q =
= (a, b)£ArxBs является особой относительно операции р£Еп,
если р-\-а = Ь. Совокупность Мк всех отмеченных пар (р, q)f где
р£Еп, q = (a, b)£ArxBs, определяется, таким образом, условием
р = Ь—а, т. е. пара (р, q) определяется однозначно точкой q =
= (а, Ь), и потому возникает естественный гладкий гомеоморфизм
многообразий Mk и ArxBs, в силу которого мы можем
отождествить эти многообразия. Отображение ф многообразия Мк = ArxBs
в многообразие Р = Еп определяется формулой ф(а, b) = b—#.
Простые вычисления показывают, что точка q — (a, b) £ Mk является
правильной точкой отображения ф тогда и только тогда, когда
многообразия Агь_а и Bs находятся в общем положении в их точке
пересечения Ь. Таким образом, точка р0 £ Еп является правильной
точкой отображения ф тогда и только тогда, когда многообразия
АгРо и Bs находятся в общем положении. Из этого и из
доказанной ниже теоремы 4 следует справедливость предложения «В».

ч
24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 571
Теорема Дубовицкого.
В формулировке самого Дубовицкого класс гладкости т
отображения Ф многообразия Мк в многообразия N1 определяется
формулой m = k—/+1, а не формулой (1) ниже. В этом смысле
теорема 4 слабее теоремы Дубовицкого. Так как точная оценка
класса т гладкости в дальнейшем несущественна, то я привожу
здесь ослабленную оценку (1), что дает возможность упростить
доказательство.
Теорема 4. Пусть Мк и N1—два гладких многообразия
положительных размерностей k и /, ф—гладкое класса
m = m(k, l) = 2 + (k—l)(k—l+l)/2 (l)
отображение многообразия Мк в многообразие NK Оказывается,
что множество всех неправильных точек отображения ф в
многообразии N1 имеет первую категорию в NK В частности, если
многообразие Мк компактно, то дополнение к этому множеству
есть всюду плотная область многообразия NK
Доказательство. Рассмотрим сперва случай, когда
многообразие Мк не имеет края. Пусть а£Мк, & = ф(а), Vlb—некоторая
координатная окрестность точки Ъ в многообразии N1 и Uka—такая
координатная окрестность точки а в многообразии Мк, что ф (Ua)a
с V[. Выберем такие окрестности Ukax и \]каг точки а в Мк, что
Uai с £/*, Ua2 с f/Ji и что множество Uai компактно. Области £/*2,
а£Мк, покрывают многообразие Мк. Из этого покрытия можно
выбрать счетное, и потому для доказательства теоремы нам
достаточно установить справедливость теоремы для отображения ф
многообразия Uk2 с: Мк в многообразие V[. Так как область \]ка есть го-
меоморфный образ области евклидова пространства Ек, то мы просто
будем считать, что Uha есть область пространства Ек. Точно так же
будем считать, что V[ есть область евклидова пространства ЕК При
такой трактовке отображение ф есть гладкое класса т отображение
области U% в евклидово пространство Е1, и нам достаточно показать,
что множество неправильных точек имеет первую категорию в ЕК
Докажем это.
Точку а зафиксируем и в обозначениях ее окрестностей индекс а
отбросим. Отображение ф области Uk евклидова пространства Ек
в евклидово пространство Ег запишем в декартовых координатах:
у/ = ф/(Х) = ф/(х1, ..., хк), /=1, ..., /. (2)
Здесь функции ф^' непрерывно дифференцируемы т раз. Через F0
обозначим множество всех таких точек х £ U%, в которых функцио-
-^т- , 1 = 1, ..., k\ / = 1, ..., /, имеет ранг,
дх1
меньший, чем I. При &</ теорема 4 превращается в уже
доказанную теорему 1, и потому мы будем предполагать, что k^l.
Положим s — k — /+1. Функция ф* в дальнейшем будет играть
нальная матрица

572 3 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
особую роль. Из (1) следует, что т > s, и потому функция ф*
непрерывно дифференцируема s+ 1 раз. Пусть г—натуральное
число, не превосходящее s. Обозначим через Fr совокупность всех
точек из F0i в которых все частные производные порядков 1,2,
..., г функции ср' обращаются в нуль. Мы имеем, очевидно, F0^
z> Fx Z) ...Dfr Будет доказано, что образы всех множеств
F0\Fly ..., /^-iX-Fj, I7, при отображении ф имеют первую
категорию в ЕК Зтим будет доказано, что множество <p{F0)
неправильных точек отображения ср также имеют первую категорию в Е1.
Займемся прежде всего множеством Fs. Разложение функции <р'
в ряд Тейлора в точке p£Fsne содержит членов степеней 1,2, ...
..., s. Из этого и из компактности множества Ux следует
существование такой положительной константы с9 что при p€.Fs> x^JJ1
имеем
\q>i(x)-<p'(p)\<c-(p(py *))*+*. (3)
Для остальных функций фу', /=1, ..., /—19 имеют место
неравенства
\¥(х)—¥{Р)\<ср(р, х), (4)
вытекающие из непрерывности первых производных и компактности
множества Ux. Константа с в неравенствах (3) и (4) выбрана общей
для всех функций фу', /—1, 2, ..., /. Выберем в Ek некоторый
е-кубильяж, т. е. разобьем пространство Ек правильным образом
на кубы со стороной длины е, и обозначим через Q совокупность
всех замкнутых кубов выбранного кубильяжа, пересекающихся
с Fs. Так как множество Fs компактно, то число кубов
совокупности Q не превосходит числа cjzk, где сх—положительная
константа, не зависящая от е. Пусть б—расстояние между
множествами Ek\U\ и £/2. Будем считать, что е < b\Vk\ тогда каждый
куб Kq совокупности Q содержится в U\. Из этого, а также из
того, что куб Kq содержит точку p£Fsi и из неравенств (3), (4)
следует, что множество ф (Kq) содержится в некотором
ортогональном параллелепипеде Lq пространства Е1У одна сторона которого
равна 2с]/Хе541, а остальные I—1 сторон равны 2с У fee. Объем
параллелепипеда Lq равен 21с1№2-£1+е. Компактное множество y(Fs)
содержится в сумме замкнутых параллелепипедов Lqy число которых
не превосходит cjtk. Из этого вытекает, что объем множества
<p{Fs) не превосходит числа с2-е'+5~* = с2-е (c2 не зависит от е),
а так как е произвольно мало, то компактное множество ф (Fs)
не содержит области пространства Е1 и поэтому нигде не плотно
в ЕК
Если k = /, то ввиду предположений fe ^ / ^ 1 имеем / == 1,
s= 1. В этом случае FS = FQJ и из доказанного вытекает утверждение
теоремы для k = 1. Это дает нам исходное утверждение для ин-

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 573
яукции по k. Мы предположим, что теорема верна в случае, когда
отображаемое многообразие имеет размерность, меньшую чем kv
и докажем ее для многообразия размерности k.
Докажем, что при 0<r<s множество <p(Fr\Fr+1) имеет
первую категорию в пространстве Е1. Именно эта часть доказательства
теоремы будет проведена индуктивно. Пусть p£Fr\Fr+1. Так как
точка р не принадлежит множеству Ff+lJ существует частная
производная порядка г+ 1 функции ф', не обращающаяся в нуль в /?,
Значение этой производной в точке x£Uk обозначим через со^х).
Так как (ог (х) есть производная порядка г + 1, то щ (х) = до (х)/дх1\
где со (х) есть производная порядка г при г > 0 и сама функция
ф*(х) при г = 0. Для определенности будем считать, что i = fe.
Положим
г* = х*9 i'=lf ..., k—1; zk « со (х) = о (х1, ..., хл). (5)
Из того, что д<д(р)/дхк*£0, следует, что функциональный
определитель преобразования (5) отличен от нуля в точке ру и потому
это преобразование вводит в некоторой окрестности W\ точки р
новые координаты z1, ..., гк. Будем считать, что Wkp не
пересекается с Fr+1, и выберем такую окрестность Wkpl точки р, что ее
замыкание W^ компактно и содержится в W\. Варьируя точку р,
мы можем перекрыть множество Fr\Fr+1 счетной системой
окрестностей вида Wfa. Таким образом, для доказательства того, что
множество q>(Fr\Fr+1) имеет первую категорию, нам достаточно
установить, что ф (Fr П Wfy нигде не плотно в Е1. Займемся
доказательством этого факта.
Зафиксируем точку р и опустим в обозначениях ее окрестностей
индекс /?. Подставляя в соотношение (2) вместо х1, ..., хк и
выражения через z1, ..., zk мы получим запись отображения <р
в координатах z1, ..., zk для области Wk. Пусть эта запись будет
у/ = ф/(х) = 1|У(2\ .... г*). (6)
Здесь z1, ..., zk суть новые координаты точки х. Область Wk
с координатами z1, ..., zk будем рассматривать как гладкое
многообразие. Из соотношения (5) следует, что отображение ф
гладкого многообразия Wk в пространство Е1У заданное соотношениями
(6), имеет класс гладкости m(ky I) — г. При г = 0 класс гладкости
рассматриваемого отображения ф равен m(k, l) = m(k—1, /—1)
[см. (1)]. Выбирая при г>0 наименее благоприятную оценку
класса гладкости, получаемую при r = s—l=k—/, мы видим, что
при г > 0 класс гладкости рассматриваемого отображения ф равен
m{ky l) — (k—l) = m{k—\, I) [см. (1)]. Множество HaWk всех
^правильных точек отображения ф многообразия Wk определяется
равенством Н = Wk П F0. Это следует из того, что преобразование^)
Не вырождено в Wk. Обозначим через Wkfx подмногообразие
многообразия Wkt выделяемое уравнением zk=t. Отметим, что класс

574 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
гладкости отображения многообразия Wk~x в Е1 равен m(k \
I—1) при г=^0 и равен m(k—1, /) при г>0. Разберем теперь
отдельно случаи г = 0 и г > 0.
Пусть г = 0. Тогда со (х) = ф' (л:) = гк. Таким образом, запись Щ
отображения ф приобретает специальный вид:
Обозначим через Е\"х линейное подпространство пространства Е1
определяемое уравнением yl = t. Из соотношений (7) следует, что
<р {W)'1) с £'-1. Обозначим через Я, с: W?"1 множество всех
неправильных точек отображения ф многообразия W\~x в
пространстве Et'1, Из соотношений (7) следует, что Ht = H nW*'1.
Если бы множество q>{F0(]W%) содержало область, то
существовало бы такое значение t, что пересечение ф (F0 П W$) П Elfx
содержало бы область относительно пространства Е\~х. Это, однако,
невозможно, так как
Ф(/7оП^)П£/Г1с=ф(Я)П^"1 = ф(Яп^-1)=ф(Я,),
а множество ф(Я^), согласно предположению индукции, имеет
первую категорию в пространстве Е\~х. Таким образом, множество
<f(F^[\W^) нигде не плотно в Е1, и случай г = 0 разобран.
Пусть теперь г > 0. Тогда со(лг) есть производная порядка г
функции ф*, и потому о)(л:) = 0 при x£Fr. Так как на
окрестности Wk имеем (й(х)=*гк, то
Fr[\W*<z W\-\ (8)
Пусть Я' cz Wk0~x—множество всех неправильных точек
отображения ф многообразия W^1 в пространстве ЕК Легко видеть, что
Я Г) Wo'1 с: Я' [см. (6)], а так как Fr[\W\a Я, то из этого и из
Щ следует, что Fr П w\ а Я'. В силу предположения индукции
множество ф(Я') имеет первую категорию в Е1, а так как Fr(\
(]WkczH\ то множество ф (Fr П W\) нигде не плотно в ЕК Разбор
случая г > 0 этим закончен.
Итак, теорема 4 доказана для многообразия Mk не имеющего
края. Пусть, наконец, многообразие Мк обладает краем Мк~г»
Пусть F' cz Mk~l—множество всех неправильных точек
отображения ф многообразия М*-1 в многообразие Nl, a F cz Мк—
множество неправильных точек отображения ф многообразия Мн
в NK Легко видеть, что F Г\ Мк~г с: F'. Таким образом, F С
cz (F\Mk~1){}Ft. Множество F\Mk~x представляет собой
совокупность всех неправильных точек отображения ф многообразия
Мк\Мк~1, лишенного края. Точно так же множество/7'
представляет собой совокупность всех неправильных точек отображения ф
многообразия Мк"г, лишенного края. Таким образом, оба мно-

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
575*
жества ф(^\<М*_1) и ф(^') имеют в N1 первую категорию.
Множество же ф(^) содержится в их сумме и потому также имеет
первую категорию в N1.
Таким образом, теорема 4 полностью доказана.
§ 4. Невырожденные особые точки гладких отображений
Пусть /—гладкое отображение многообразия Мк в
многообразие N1. Пусть а£Мк и b — f(a)^Nl—некраевые точки
многообразий Мк и N1. В окрестностях точек а и Ъ введем локальные
координаты х1, ..., xk и у1, ..., у\ приняв эти точки за начала
координат. Пусть
есть запись отображения f в выбранных координатах.
Допустим, что а есть регулярная точка отображения /, т. е.
, j — 1, ..., /, i — 1, ..., /с, равен /vj
что ранг матрицы
дх1
и будем считать для определенности, что отличен от нуля опре-
^' , г, /=1, ..., k. При этом предположении со-
делитель
отношения'
Ьх1
ъ — / \Х » • • ♦ > X ) > * — А» . . ., Л,
могут служить для введения в окрестности точки а новых коорди-^
нат I1, ..., g* точки х. Пусть
есть запись отображения / в этих новых координатах. Введем
в окрестности точки Ь новые координаты т)1, ..., ч\1, положив
В координатах £\ ..., £*, т)1, ..., ц1 отображение / записывается
в виде
Т1У = ЕУ. /= 1 Л; V = 0, / = ft+l, ...,/. (1)
Допустим теперь, что точка а правильна, т. е. что ранг
матрицы
df* (a)
дх1
, / = 1, ..., /; i = 1, ..., k, равен /, и примем для
а// (а)
дх*
определенности, что отличен от нуля определитель
/= 1, ..., /. Тогда соотношения
, ',

576 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
могут служить для введения в окрестности точки а новых кооп.
динат I1, ..., 5* трчки х. Полагая, сверх того, для единообразия
4f = yJ\ /=lf •... U
мы видим, что в координатах g1, ..., £*, tj1, ..., ц1 отображе-
ние / записывается в виде
Лу —£у, /^It ••» '• (2)
Таким образом, если многообразие Мк замкнуто и b£Nl есть
правильная точка отображения /, то f~x(b) есть гладкое (k—1).
мерное подмногообразие многообразия Мк с локальными
координатами £|+1. ..., |* в окрестности точки а. В случае, если
многообразия Мк и N1 ориентированы, а ориентации их задаются
соответственно координатными системами |/+1, ..., £*, £\ ...,£'
и т]1, ..., Tj* многообразие f~x(b) получает естественную
ориентацию, задаваемую координатной системой £/+1, ..., £*.
Мы видим, что и в случае регулярной точки а, и в случае
правильной точки а в надлежаще выбранных координатах
отображение записывается весьма просто [см. (1), (2)].
В § 2 было показано, что в любой близости произвольного
гладкого отображения многообразия Мк в векторное пространство
А2к существует регулярное отображение, а все отображения,
достаточно близкие к регулярному, регулярны (см. теорему 3).
В этом смысле особые точки (см. § 1, п. «D») отображений
многообразия Мк в пространство А2к неустойчивы—устранимы малым
шевелением отображения; регулярные же точки, напротив,
устойчивы. Для отображений многообразия Мк в векторное
пространство Л2*"1 дело уже обстоит иначе: имеющиеся там особые точки,
вообще говоря, устойчивы—неустранимы при помощи малых
шевелений. В этом случае возникает вопрос об описании
типичных устойчивых особых точек. Этот вопрос был решен Уитнеем.
Здесь приводится новое, более простое доказательство его
теоремы (см. теорему 6). Эта теорема в настоящей работе
использоваться не будет. Вопрос о типичных особых точках решается
здесь также для отображений многообразия Мк в одномерное
векторное пространство Л1, т. е. в прямую (см. теорему 5; она
найдет в дальнейшем применение в гомотопической теории
отображений, см. § 14). Таким образом, вопрос о типичных особых
точках отображения решен для отображений многообразий
размерности k в пространстве размерностей 2k — 1 и 1. Для
остальных размерностей он не решен и представляет значительный
интерес.
Регулярное отображение многообразия Мк в векторное
пространство Л2*, вообще говоря, негомеоморфно—оно имеет
самопересечения, которые могут оказаться неустранимыми при помощи
малых шевелений отображения. Вопрос о типичности самопересе-

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 577
нений также решается здесь (см. пп. «А» и «В»); эти предложения
6уДУт использованы в дальнейшем.
При доказательстве теоремы 5 и 6, а также предложения «В»
существенным образом используются конструкция «А»
предыдущего параграфа и теорема 4.
Типичные точки самопересечения при отображении
многообразия Мк в векторное пространство Е2к.
А) Пусть /—гладкое класса т^\ регулярное отображение
замкнутого многообразия Мк в векторное пространство А2ку а а
и Ь—две различные точки из Мк, переходящие при
отображении / в одну и ту же точку f(a) = f(b) пространства А2к. Пусть,
далее, U и V—такие окрестности точек а и b в Мку что
отображение / каждой из этих окрестностей является гомеоморфизмом,
а Га и Т\—касательные в точках f(a) и f(b) к многообразиям
/((/) и f{V). Будем говорить, что в паре (а, Ь) самопересечения
отображение / типично, если касательные Тк и Тк находятся
в общем положении, т. е. пересекаются лишь в одной точке
f(a) = f(b). Очевидно, что в этом случае, при достаточно малых
окрестностях U и V, многообразия f(U) и /(V) также имеют
единственную общую точку f(a) = f(b) (теорема о неявных
функциях), и при малых шевелениях отображения типичные
самопересечения сохраняются. Если отображение / типично в любой
паре самопересечения и, кроме того, никакие три попарно
различные точки не переходят при этом отображении в одну и ту же
точку, то будем говорить, что отображение / типично. Из
замкнутости многообразия Мк следует, что для типичного в каждой
паре самопересечения отображения / существует лишь конечное
число пар самопересечения.
В) Пусть /—гладкое гомеоморфное регулярное отображение
замкнутого многообразия Мк в векторное пространство С2*+1.
Совокупность Р2к всех пар (х, у), где х£Мк, у£Мку хфу
образует естественным образом гладкое многообразие размерности 2fe.
Каждой точке (ху у) — Р2к поставим в соответствие точку
а(х> y) = (f(y)—f(x))*£S2k, т. е. луч вектора f(y)—f(x) (см. § 1,
п. «Н»). Пусть е—произвольный отличный от нуля вектор
пространства С2/г+\ а пе — проектирование в направлении
одномерного подпространства е**> содержащего вектор е. Оказывается, что
регулярное отображение nj тогда и только тогда типично в
каждой паре самопересечения (см. п. «А»), когда отображение а
многообразия Р2к в многообразие S2k правильно в точке e*$S2k. Из
этого, в силу теоремы 4, следует, что в любой близости к любому
одномерному направлению проектирования имеется такое одно-
Мерное направление проектирования е**, что отображение nef
типично в каждой паре самопересечения. Далее, оказывается, что
в произвольной близости к любому одномерному направлению
19
7 Л. С. Понтрягин, т. I

578
24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
I
проектирования имеется такое направление el*, что отображение
3TL f ТИПИЧНО.
Докажем предложение «В». Пусть еи ..., е2к+1—некоторый
базис векторного пространства С2*4"1. Обозначим через W сово-
ч 26+1
купность всех векторов и= 2 и'ег пространства C2ft+\ для ко-
торых u2k+1 > 0, а через W*—совокупность всех лучей и* при
u£W. За координаты луча и*£W* примем числа и*" = и"/и2к+19
л=1, ..., 2k. Этим самым в области W* многообразия S2ft
вводятся локальные координаты (см. § 1, п. «Н»). Пусть теперь а
и ft—две различные точки многообразия Мк. Выберем базис
^i» • • •» е2к+1 таким образом, чтобы e2<?+1 = e = f(b)—f(a). В
окрестностях точек а и Ъ многообразия Мк выберем локальные
координаты х\ ..., хк и у1, .. ., yk, и пусть
ия = /2(*\ .... **) = /2(*), *=lf ....2ft+l; (3)
un = Riy\ .... Ук) = Гь(У)> n^U .... 2ft+l, (4)
есть координатная запись отображения / в окрестностях точек
а и ft соответственно. При проектировании в направлении вектора
e = f(b)—f(a) точки ft и а сливаются: nj(a) = nef(b) и условие
типичности отображения nef в паре самопересечения (a, ft),
очевидно, заключается в том, чтобы определитель
dfi (a) dff (a)
дх1
V), (a)
дх*
Щ (Ь)
dyL
Щ (Ь)
дх1
dff (a)
дх*
dflk Ф)
dyL
df2bk (b)
(5)
ду* дук
был отличен от нуля. В окрестности точки (а, ft) многообразия
Р2к за координаты можно принять числа х19 ..., хк9 у1,
и отображение а в координатной форме запишется в виде
У\
и"- =
№+1(y)-Pak+l(x)
п= 1,
2ft.
(6)
В этих координатах функциональный определитель отображения о
в точке (a, ft) с точностью до знака, очевидно, совпадает с
определителем (5). Таким образом, доказано, что регулярное
отображение nef тогда и только тогда типично в любой паре
самопересечения, когда отображение а правильно в точке е*.
Выберем теперь луч е* таким образом, чтобы вектор е не был
параллелен никакому вектору, касательному к многообразию / (Мк)

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
579
и чтобы отображение а было правильно в точке e*£S2k. В силу
теорем 1 и 4 множество лучей, обладающих указанными
свойствами, всюду плотно в многообразии S2k. Допустим, что
существуют три попарно различные точки я, Ъ, с многообразия Мк,
удовлетворяющие условию TcJ(a) = nef(b)==nJ(c). В окрестности
точки с в многообразии Мк введем локальные координаты
ггу ..., zk и пусть
и» = П(г\ ..., z*) = /?(*). л=1, ..., 2ft+l, (7)
есть координатная запись отображения f в окрестности точки с,
аналогичная записям (3) и (4). Если теперь х, у, 2—три такие
точки многообразия Мк, соответственно близкие к точкам а, Ь, с,
что точки /(х), /(у), f(z) лежат на одной прямой, то имеем
*"-*« *W-*W n-1 S». (8)
/у+1 (х) - /ад+i (Z) /**+i (у) - /у+1 (г) »
Мы имеем здесь 2k уравнений. Будем считать, что эти уравнения
определяют неявные функции х1, ..., хк, у1, ..., ук независимых
переменных z1, ..., гк. При начальном значении z=?c решениями
служат х —а, у — Ъ. При этих начальных значениях функций и
независимых переменных функциональный определитель системы
(8) отличен от нуля, так как отличен от нуля определитель (5).
Таким образом, система (8) удовлетворяет условию теоремы о
неявных функциях. Из этого следует, что совокупность троек точек
х, у, z, близких к тройке а, &, с и удовлетворяющих тому
условию, что точки /(х), f(y), f(z) лежат на одной прямой, является
fc-мерным многообразием. Отсюда, в силу теоремы 1,
непосредственно вытекает, что в любой близости к точке е* многообразия
S2k найдется точка ej, удовлетворяющая условиям
предложения «В».
Типичные критические точки числовой функции на
многообразии.
С) Пусть /—гладкое класса т^2 отображение многообразия
Мк в одномерное -евклидово пространство Е1 или, что то же
самое, в прямую. Выбрав на прямой Е1 систему координат, мы
запишем отображение / в виде y1 = f1(x), х£Мк, где f1 есть
действительная числовая функция класса /п, заданная на Мк. В
окрестности некоторой точки а £ Мк введем локальные координаты
*\ ..., хк с началом в я, и пусть y1 = f1(x) = f1(x1, ..., хк) есть
запись отображения / в этих координатах. Точка а называется
критической точкой функции /*, а число /*(а)—критическим
значением функции f1 в точке а, если все производные первого
порядка функции f1 обращаются в нуль в а или, что то же самое,
если а есть особая точка отображения / (см. § 1, п. «D»). Раз*

580 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
лагая функцию f1 в критической точке а в ряд Тейлора, получаем
f1 (х) = f1 (а) + 2 a,-, ;x!xs + • • • (9)
Если определитель | а/71 ^=0, то критическая (особая) точка а
называется невырожденной. Непосредственным подсчетом
проверяется, что в критической точке а функции / при произвольной
замене системы координат элементы матрицы ||а/у-|| преобразуются
как коэффициенты квадратичной формы. Из этого, в частности,
следует, что невырожденность особой точки есть ее инвариантное
свойство, т. е. не зависит от выбора системы координат.
D) Пусть А— гладкое класса т ^ 2 отображение многообразия
Mk в евклидово векторное пространство Cq+1. Пусть
и—отличный от нуля вектор из С?+1, а и**—одномерное линейное
подпространство, содержащее вектор и. Ортогональную проекцию
пространства С<*+1 на прямую и** обозначим через пи. Множество
Nt всех пар вида (х, и*), где х£Мк> а и* есть луч,
ортогональный к многообразию h(Mk) в точке h(x), естественным образом
представляет собой гладкое класса т—1 многообразие
размерности q. Каждой точке (х, и*) € № поставим в соответствие точку
v(x, u*) = u*£S<i (см. § 1, п. «Н»). Отображение v есть гладкое
класса т—1 отображение многообразия N** в многообразие S«.
Оказывается, что точка a£Mk тогда и только тогда является
особой точкой отображения лаА многообразия Мк на прямую м**,
когда луч и* ортогонален к многообразию h(Mk) в точке А (а).
Далее, если луч и* ортогонален к многообразию h(Mk) в точке
А (а), то особая точка а отображения nah тогда и только тогда
невырождена, когда точка (а, и*) есть правильная точка
отображения V.
Докажем предложение «D». Скалярное произведение векторов
и и v m Cq+1, как обычно, будем обозначать через (и, v). Пусть
и£С<1+1 и (и, и)=1. Действительная числовая функция (ы, h(x))
переменного х£Мк, заданная на Мк, соответствует отображению
nuh многообразия Mk на ось и**. В локальных координатах
х1, ..., хк, определенных вблизи точки а, мы имеем
£(и,Л(а)) = (а,^У i=U ....,*. (Ю)
дх1 \ ох1 /
Обращение в нуль левых частей всех соотношений (10) означает,
что а есть особая точка отображения nah\ обращение же в нуль
правых частей означает, что вектор и ортогонален к
многообразию h(Mk) в точке А (а). Таким образом, доказано, что а тогда
и только тогда является особой точкой отображения nah, когда
луч и* ортогонален к h(Mk) в точке А (а).
Для установления критерия невырожденности особой точки а
отображения nah выберем в векторном пространстве С*+1 такой
ортонормальный базис еи ..., ец+1, чтобы векторы е1У ..., ek

Ф О, i, j =r 1, ..., k.
24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 581
были касательными к многообразию h(Mk) в точке h(a), а
вектор ^+i совпадает с м0. В соответствующих координатах у1, ...
yi+1 пространства Cq+1 отображение h запишется вблизи
точки а в виде
у! = М{х) = Ы(х\ ...,**), /=-1, ...,q+l. (И)
Из того, что векторы еи ..., ек касаются многообразия h(Mk)
в точке h(a) непосредственно вытекает, что
dhJ (a)
Из этого следует, что соотношения
могут служить для введения новых координат £\ ..., Ъ% точки х
в окрестности точки а в «/И*. В этих координатах отображение k
записывается в виде
k q+\-k
*(*)=> 2 £'«/+ 2 фу»•«*+/- (12>
i= 1 /= 1
Из того, что векторы е1У ..., ел касательны к h(Mk) в точке
h(a), следует, что
^) = 0, 1=1, ...,*; /=1, ..., q+1-k. (13)
Пусть (х, и*)—точка многообразия №, близкая к точке (a, aj)=
= (я» ^J+i)- Ha луче ы* выберем вектор и, удовлетворяющий
условию (и, eq+1)=:l. Остальные q компонент вектора и в базисе
^1» • • •» ^+i обозначим через и1, ..., и**: и* = (иу е,), i = 1, ..., q.
Условие ортогональности вектора и к h(Mk) в точке Л (л:)
запишется теперь в виде
o=(„0,^W + vV/^ ;=1,...,*. (14)
Соотношение это показывает, что за координаты элемента (х, и*)
многообразия N« можно принять координаты £\ ..., £* точки дг
и компоненты ик+1у ..., и* вектора и. За координаты луча н*
в многообразии Si примем первые q компонент вектора и,
обозначив эти компоненты через и1, ..., v« для того, чтобы не
спутать их с координатами uk+1, ..., и** элемента (х, и*) в
многообразии N*. Так как vi = ul\ t—1, ..., qy то в выбранных
координатах отображение v многообразия N^ в многообразие S<*
запишется в виде [см. (14)]
*-* dV dll
vk+S=uk+'\ /—1, ••> Я—k.

582 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Непосредственный подсчет [см. (13)] показывает, что якобиан
dV+1(o)
1,а=г
отображения v в точке (а, е*а,Л равен (—l)k
= 1, ..., k. Таким образом, точка (а, щ) тогда и только тогда
является правильной точкой отображения v, когда выполнено
соотношение
dV+1(a)
д$ ag«
**0. (15)
Так как отображению ntth многообразия Мк на ось и%*
соответствует функция (pq+1(x), то условие (15) совпадает с условием
невырожденности особой точки а отображения яИоЛ. Этим
доказательство утверждения «D» закончено.
Теорема 5. Пусть Мк—гладкое класса т^З компактное
многообразия с краем Mk~x, состоящим из двух замкнутых
многообразий Л1§-1 и М\~х, каждое из которых может быть пустым,
и f1—действительная числовая функция класса т, заданная на
Мк. Допустим, что функция f1 принимает во всех точках
многообразия М\~* одно и то же значение с{, i = 0, 1, причем с0<с1У
и что во всякой некраевой точке х£Мк выполнено неравенство
£о </(*) <£i- Допустим, сверх того, что критические точки
функции f1 не лежат на крае М*'1. Оказывается, что в любой
близости класса т (см, § 2, п. «F») к функции f1 лежит функция
g1, совпадающая с f1 на некоторой окрестности края, причем все
критические точки функции g1 невырождены, а критические
значения в различных критических точках различны между собой.
Доказательство. Функции f1 поставим в соответствие
отображение / многообразия Mk в одномерное евклидово
векторное пространство Л1. Пусть е—гомеоморфное регулярное
отображение класса т многообразия Мк в евклидово векторное
пространство Вч (см. теорему 2). Прямую сумму векторных
пространств А1 и № обозначим через Cq+1 и будем рассматривать
пространства А1 и В? как ортогональные подпространства в С*+1. Прямую
сумму отображений f и е (см. § 2, п. «Е») обозначим через /*>
Отображение h есть регулярное гомеоморфное отображение класса
т многообразия Мк в евклидово векторное пространство С*+1»
причем ортогональная проекция я отображения h на прямую А1
совпадает с /: / = jtA. Покажем прежде всего, что в любой
близости к прямой А1 имеется прямая, ортогональное
проектирование на которую порождает функцию, все критические значения
которой невырождены. Указанная в формулировке теоремы
функция будет получена из этой путем дальнейших ее поправок.
Пусть N't—многообразие всех нормальных элементов (х, и*)
многообразия h(Mk), определенное в предтоже:ши «D», и v —
отображение многообразия N* в многообразие S?, также
определенное в «D». Покажем, что если um^Sf есть правильная точка
отображения v, то все особые точки отображения nj% невыроЖ*

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 583
ы. Действительно, если а есть особая точка отображения яиАг
\ луч и* ортогонален к h(Mk) в точке А (а), и потому (а, и*)£
Г£№. Так как отображение v правильно в точке (а, и*)
многообразия Nq, то особая точка а невырождена (см. п. «D»). Пусть
о J-заданное положительное число, и пусть и—такой единичный
вектор пространства С*+1, что функция А1 = (и, h(x)) находится в
8-близости класса т к функции f1 и что u*£S<i есть правильная
точка отображения v, так что все критические точки функции А1
невырождены. В силу теоремы 4 такой вектор и существует.
Пусть б—настолько малое положительное число, что при
и (х) < с0 + 36, а также при f1{x)>c1—36 точка х не является
критической точкой функции f1. Существование такого числа б
вытекает из условий теоремы, ибо на крае Мк~г, а
следовательно, и в его окрестности нет критических точек функции /*. Пусть,
далее, %{t)—действительная числовая функция класса т
действительного переменного t, обращающаяся в нуль при / ^ с0 + б
и t^c±—б и обращающаяся в единицу при сх—28^t^c0-\-28.
Положим
А2 (х) = /* (х) + х (Г (х)) (А1 (*)-/* (х)). (16)
Легко видеть, что если положительное число е, в зависимости от
которого построена функция А1 (я), выбрано достаточно малым, то
все критические точки функции А2 (х), определенной соотношением
(16), совпадают с критическими точками функции h}(x) и потому
невырождены. Из того, что при t^c0 + d и при t^c^ — б
функция %(t) обращается в нуль, следует, что на некоторой
окрестности края М*"1 функции А2 (л:) и р-(х) совпадают между собой.
Допустим теперь, что в двух различных критических точках
а и Ь функции А2(х) имеем А2 (а) = A2 (ft). Пусть Q—окрестность
точки я, не содержащая отличных от а критических точек
функции А2(лг). За окрестность Q можно принять область, имеющую в
локальных координатах вблизи точки а форму куба с центром в
я. Пусть Q', Q"—кубы с центрами в а, подобные кубу Q и
имеющие вдвое или соответственно вчетверо меньшие стороны. На кубе
Q легко определить гладкую функцию х(х), обращающуюся в нуль
на Q\Q' и в единицу на Q" (см., например, доказательство
теоремы 2). Функцию х(лг) продолжим на все многообразие Af*,
считая ее равной нулю вне области Q. Положим
hz(x)t=h2(x)+a%{x).
Легко видеть, что при достаточно малом <хф§ все критические
точки функции А3 (х) невырождены, а критические значения А3 (а)
й А3 (Ь) различны. Проделав указанную операцию конечное число
Раз, мы приходим к нужной нам функции gl(x).
Итак, теорема 5 доказана.

584 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Типичные нерегулярности при отображении многообразия Mk »
векторное пространство E2fo~l.
Е) Пусть /—гладкое класса т^2 отображение многообразия
Мк в векторное пространство Л2*"1. Пусть а—особая, т. е.
нерегулярная, точка отображения /ил;1, ..., хк—такая локальная
система координат в ее окрестности, что
"S3""0- (17)
Такую систему координат в окрестности особой точки всегда можно
выбрать. Если система
из 2k—1 векторов пространства А2к~г линейно независима, то
особая точка а называется невырожденной. Ниже будет показано,
что невырожденность особой точки определена инвариантно
относительно выбора системы координат, т. е. если некоторая система
координат £*, ..., £*, определенная в окрестности точки а,
удовлетворяет условию
4г = °. <">
то системы векторов (18) и
-,+л ->*; » а*7" * 1=1, •••, К\ /= А •••> &» (*")
одновременно линейно зависимы или независимы. Оказывается,
что в достаточно малой окрестности невырожденной особой точки
нет других особых точек.
Докажем, что понятие невырожденности особой точки
инвариантно. Допустим, что выполнены соотношения (17) и (19) и что
система векторов (20) линейно независимы, и покажем, что
система (18) также линейно независима. Мы имеем
df (a) y* d/(a) dl*(a)
• дх1 ~~ Z* д\* дх1 '
а
откуда, учитывая сделанные предположения, выводим
а^>=о, а = 2, ...tk. (2D
Так как якобиан
из (21) следует:
дх1
а&* (а)
дх?
, а, 1=1, ..., k, отличен от нуля, от
^*°.
ag« (а)
Ф0, а, i = 2, .... k. (22)

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 585
Из соотношений (21) получаем
df(a) V df(a) д\«(а) ._„
а=2
+L
Далее, имеем, учитывая (21) и (19),
а^а^' ^ d&dg дх1 дх*
А1ш*т, i==l, ...f ft. (24)
^2 а£* а** а* v '
Из соотношений (23), (24), (22) и линейной независимости
системы (20) непосредственно вытекает линейная независимость
системы (18).
Покажем теперь, что невырожденная особая точка а является
изолированной. Для этого примем точку а за начало координат
х1, ..., хк и разложим векторы ^ * » * = 1» . • •, ft, в ряды
Тейлора в окрестности точки а по координатам л:1, . .., хл:
iusu .£&+.,, .-=2 *, (2б>
а*1 а*'
где ех есть величина второго порядка малости относительна
p = V(x1)2 + • •. + (**)2, а е2, ..., ek—величины первого порядка
малости относительно р. Так как векторы системы (18) линейно^
независимы, то из соотношений (25) и (26) можно усмотреть, чта
векторы у*' , ..., 'д у линейно независимы для всех точек
*Ф а, достаточно близких к а.
F) Пусть h—регулярное отображение класса /п^2
многообразия Mk в векторное пространство С2*. Многообразие всех лучей,
и* векторного пространства С2* обозначим через S2*-1 (см. § 1,.
п- «Н»), а многообразие всех линейных элементов многообразия
h(Mk)y т. е. многообразие всех пар (х, и*), где х£Мк, а и* есть
лУч, касательный к h(Mk) в точке h(x), обозначим через L2*"1.
Определим отображение т многообразия L2*"1 в многообразие
S2*""1, положив т(х, и*) = м*. Проекцию пространства С2* в
направлении прямой и**у содержащей вектор и, обозначим через.
\. Уже отмечалось (см. № 2, п. «А»), что точка a£Mk тогда
и только тогда является особой точкой отображения nuh, когда
лУч и* является касательным к h(Mk) в точке h(x)y т. е. когда
(я, и*)€£2*_1. Оказывается, что особая точка а отображения nuh

586 24« ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
тогда и только тогда невырождена, когда отображение т правил*
но в точке (a, tt*)£L2*-1.
Докажем последнее утверждение. Пусть а—особая точка ото»
бражения f^= я„оЛ. Выберем базис еи ..., e2k векторного прост,
ранства C2Ii таким образом, чтобы векторы еи ..., ek были
касательными к h(Mk) в точке h(a) и чтобы вектор ел совпадал с
и0. Пусть у* = Ы {х) = hJ' (л;\ ..., хк) есть запись отображения А в
координатах у1, ..., у2*, соответствующих базису е1э ..., е
Заметим, что якобиан —g-p- , i, /= 1, .. ., fe, отличен от нуля
и потому соотношения
вводят в окрестности точки а новые координаты Б1, ..., £* точки
а:. В новых координатах вектор h (x) запишется в виде
k к
h (х) - 2 1% + 2 Ф7 (*) *л+/. (27)
i= 1 /= 1
где функции yS(x) удовлетворяют условию
^- = 0, /,/-1, ...,*. (28)
ОС,1
Пусть (л:, и*)—элемент многообразия L2*"1, близкий к элементу
(а, ы0). Вектор и касателен к h(Mk) в точке h(x) и потому
записывается в виде
" = £ "'^=£ «'«/ + £ "'^^ (29)
На луче и* выберем такой вектор ы, что иг= 1, тогда запись (29)
принимает вид
«=*+2>,+£ ^**+,+££ «'^-*/+». (зо)
За координаты элемента (х, а*) в многообразии L2*-1 можно
принять числа и2, ..., ы*, р, ..., \к. Так как первая
компонента вектора и в пространстве С2* равна единице [см. (30)], то
за координаты луча и* в многообразии S2*""1 можно принять
остальные компоненты и2, . .., v2k вектора и в пространстве С2*-
В выбранных координатах отображение т записывается в силу
(30) в виде
V = U , I = Z, . . . , /с, /о1\
*+/== vw +£ ц,*р^). /=1 . ft#

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 587
Поостой подсчет показывает, что якобиан отображения т в точке
(а, и0) равен
t9 /=1, ..., k. (32)
ay»
ai1 аъ*
рассмотрим теперь отображение nUoh. Будем считать, что оно
осуществляется в векторное пространство А2*"1 с базисом е2У ...
ezk при помощи проектирования по прямой el*. Мы имеем
тогда [см. (27)]
k k
f (x) = лВо h (х) = 2 Vet + 2 Ф" (*) ek+a. (33)
(=2 a=l
Отсюда получаем
- »f (a) _ V а«ф«(*) ._. .
a/(a)
as/
~■— о #*, I ^^ ^ , • • • , /v •
Таким образом, в данном случае векторы системы (19) линейно
независимы тогда и только тогда, когда якобиан (32) отличен от
нуля.
Итак, предложение «F» доказано.
Теорема 6. Пусть f—гладкое класса т^З отображение
компактного многообразия Mk размерности k в векторное
пространство А2*"1 размерности 2k—1. Оказывается, что в любой
близости класса т к отображению f существует отображение gr
все особые точки которого невырождены и не лежат на крае
М*"1 многообразия Mk.
Доказательство. Векторное пространство Л2*"1 будем
рассматривать как подпространство векторного пространства C2k
размерности 2k. Пусть В1—какое-либо одномерное
подпространство пространства С2*, не лежащее в Л2*"1. Проекцию
пространства С2* на пространство А2*"1 в направлении В1 обозначим через
л. Зададимся положительным числом 8, и пусть h—такое
регулярное отображение многообразия Mk в векторное пространство
С2*, что отображение nh находится в е-близости отображения /
(см. теорему 3). Пусть L2k~x—многообразие линейных элементов
многообразия h(Mk) (см. п. «F»); L2*"2—подмногообразие
многообразия L2*"1, составленное из всех элементов вида (х, и*), где
х£ Л!*-1, и, наконец, т—отображение многообразия L2*-1 в сферу
S2*"1, построенное в «F». Непосредственно проверяется на основе
предложения «F», что если u*^S2k_1 не является особой точкой
отображения т и не принадлежит множеству x(L2*~2), то все
особые точки отображения nnh невырождены и не принадлежат краю
многообразия Мк. В силу теорем 4 и 1 существует такой вектор

588 24- ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
и, что и* удовлетворяет указанным выше условиям, а отображе-
ние nji находится в е-близости отображения яА. Таким образом
в 2е-близости отображения / имеется отображение £ = лвЛ, удов!
летворяющее требованиям теоремы.
Итак, теорема 6 доказана.
Канонический вид типичных критических точек и типичных
нерегулярных точек.
В предложениях «С» и «Е» некоторые особые точки
отображений многообразия Mk в векторные пространства А1 и
соответственно Л2*"1 были объявлены невырожденными. В теоремах 5 и б
было доказано, что все вырожденные особые точки
рассматриваемых отображений неустойчивы—устранимы малыми шевелениями
отображения. Не было доказано, однако, что особые точки,
названные невырожденными, устойчивы—сохраняются при малых
шевелениях. Доказательство этого факта не представляет
трудностей, но здесь оно приведено не будет. Не была также выяснена
структура отображения в окрестности невырожденной особой
точки. Сделать это со всей полнотой непросто, и здесь я привожу
только результаты без доказательств.
G) Пусть а—невырожденная критическая точка
действительной числовой функции fl(x), заданной на многообразии Mk. В
предложении «А» отмечалось, что разложение функции f1 (х) в ряд
Тейлора в окрестности точки а имеет вид (9). Оказывается, что
(см. [7]) преобразованием координат в окрестности точки а это
разложение можно привести к виду
/1 (х) =* f1 (а) + (х1)2 +'...+ (Xs)2 — (л?+1)2— ... — (х*)2, (34)
где число s положительных квадратов является инвариантом
точки а, т. е. не зависит от выбора координат в окрестности этой
точки и не меняется при малом шевелении отображения. Таким
образом, функция, заданная на fe-мерном многообразии, имеет
k+ 1 различных типов невырожденных критических точек
(s —О, ..., k). Так как отображение / многообразия Mk в
прямую не определяет однозначно функцию /*(*)» т0 точки
различного типа для функции могут оказаться точками одного типа для
отображения. Действительно, перемена знака функции ^(х)
меняет ролями числа s и k—s, и потому соответствующие
критические точки принадлежат одному типу особых точек
отображений. Следует отметить, что переход от выражения (9) к
выражению (34) не достигается, как это может показаться, линейным
преобразованием координат. Очевидное линейное преобразование
является лишь первым шагом перехода от выражения (9) к
выражению (34). При линейном преобразовании члены третьего и более
высоких порядков сохраняются, между тем как в выражении (34)
они отсутствуют.

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 589
Н) Пусть а—невырожденная особая точка отображения /
многообразия Мк в векторное пространство А2к~г (см. п. «Е»).
Оказывается (см. [8]), что в окрестностях точек а и f(a) можно
так (вообще говоря, нелинейно) преобразовать системы координат,
что отображение / вблизи точки а в координатной форме будет
иметь вид
Ух = {^)\ У2 = х*х\ ..., yk = x1xk9
yk+i = x\ yk+2 = x\ ..., y2k'1 = xK * ^
Здесь точки а и f (а) приняты за начала координатных систем.
Предложение «Н» представляет собой довольно сложно
доказываемую теорему.
Пользуясь записью (35), можно хорошо представить себе
геометрический характер отображения / вблизи точки а, особенно в
случае k = 2.
глава п
ОСНАЩЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
§ 5. Гладкие аппроксимации непрерывных отображений
и деформаций
В настоящем параграфе показано, что при гомотропическом
изучении отображений одного гладкого многообразия в другое
достаточно рассматривать лишь гладкие отображения и их
гладкие гомотопии. Это вытекает из следующих фактов. Пусть Мк
и N1—два гладких класса т замкнутых многообразия.
Оказывается, что в каждом гомотопическом классе отображений
многообразия N1 в многообразие Мк существует гладкое класса т—1
отображение, а если два гладких класса т—1 отображения
многообразия N1 в многообразие Мк гомотопны между собой, то
существует гладкая класса т—3 гомотопия одного отображения
в другое. Таким образом, при изучении отображений
многообразий, класс гладкости которых равен /п, приходится рассматривать
гомотопии уже класса гладкости т—3. Такого снижения класса
гладкости можно было бы избежать при помощи некоторых
ухищрений, но так как результаты этого параграфа будут
применяться лишь при изучении отображений сферы в сферу, а сфера
есть многообразие аналитическое, то потеря гладкости на три
единицы не играет роли и нет смысла осложнять доказательства
для сохранения класса гладкости неизменным.
Структура окрестности гладкого подмногообразия.
Нижеследующее предложение в настоящем параграфе будет
использовано лишь в применении к замкнутым многообразиям,
для которых доказательство значительно упрощается, как это
L

590 24- ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
непосредственно видно из самого хода доказательства. В следуй
щем параграфе будет использован общий случай.
А) Пусть Еп+к—евклидово пространство, в котором выбрана
некоторая декартова система координат у1, ..., уп+к> Е0, £х
две гиперплоскости пространства Еп+к определяемые уравнениями
у»+* = с0 и yn+k = clt где cQ<clt и ЕЧ+к—полоса пространства
Еп+к, ограниченная этими гиперплоскостями, т. е. множество
точек, удовлетворяющих условиям с0^:уп+к^:с1. Пусть, далее,
Мк—гладкое класса т^4 (в случае замкнутого многообразия Мк
достаточно т^2) компактное подмногообразие (см. § 1, п. «F»)
полосы £2+*, имеющие край Мк~*. Полную нормаль в точке г
к многообразию Мк обозначим через Nz. Она представляет собой
л-мерное линейное подпространство евклидова пространства Еп+к.
Относительно многообразия Мк мы будем предполагать еще, что
в каждой своей краевой точке z оно ортогонально к краю
полосы Е1+к, т. е. что при х^Мк~г имеем
N.czEoUE,. (1)
Открытый шар в евклидовом пространстве Nz с центром в точке г
и радиусом 6>0 обозначим через Н(г) — Нь(г), а объединение
всех шаров Нь(г) для всех zgP, где РсМк, обозначим через
#6 (Р)- Оказывается, что существует настолько малое
положительное число б, что при z Ф г' шары Яб (г) и #$ (г') не
пересекаются, а множество Wq = #6 (М1:) образует окрестность
многообразия Мк в Е?+к. Ставя в соответствие каждой точке у £Wq ту
единственную точку г£Мку для которой y£H6(z), мы получаем
гладкое отображение y—+z = n(y) многообразия W& в
многообразие Мк\ в случае замкнутого многообразия Мк это отображение
имеет класс гладкости т—1.
Докажем предложение «А». Пусть а£Мк; х1, ...,
хк—некоторые локальные координаты, определенные в окрестности точки а,
принятой за их начало, и
yJ = fJ(x)^fj(x\ .■■,**), /=1, .... n + fe, (2)
суть параметрические уравнения, определяющие многообразие Мк
в окрестности точки а. Функции ft определены для значений
переменных х1, ..., хку удовлетворяющих условиям
|л"'|<е, 1=1, ..., ky (3)
в случае, когда а есть внутренняя точка многообразия Мк, и
условиям (3) вместе с условием
х1 < 0 (4)
в случае, когда а есть краевая точка многообразия Мк. Таким
образом, функции // определяют отображение fa открытого куба /Се,
определяемого неравенствами (3), или соответственно полукуба К'е,

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 591
определяемого неравенствами (3) и (4). В случае краевой точки а
продолжим функции у на положительные значения переменного х1,
положив
fJ(x)^fJ(x\ .... **) = /'(О, х\ ..., xk) +
Так продолженные функции р' определяют гладкое регулярное
гомеоморфное отображение \а открытого куба /С8 (где е есть
положительное достаточно малое число) для произвольной точки а£
Уравнение полной нормали Nfa{x) = Nx к многообразию fa(Ke)
в точке fa(x) в векторной форме имеет вид
(nfcr1' »-/.W)-0. *=L •■•.*• (5)
Здесь у есть вектор, описывающий нормаль Nx. Систему
соотношений (5) будем рассматривать как систему уравнений
относительно неизвестных функций х1, ..., xk независимых переменных
у1, ..., Уп+к—компонент вектора у. При начальных значениях
y = fa(0) = a система (5) имеет очевидное решение х1' = 0, f=l, ...
..., k. Функциональный определитель системы (5) при этих
значениях равен
<-п'
/ а/а (а) а/а (а) \
V <Эх<' ' дх/ J
I у J "~"" 1, •••» »*•
Этот определитель отличен от нуля, так как отображение fa
регулярно в точке 0. Таким образом, система (5) разрешима. Пусть
х = о(у) или, в координатной форме,
х' = а'(у\ ..., у*+% i=U ..., ft, (6)
есть ее решение, определенное для всех точек у, принадлежащих
некоторой окрестности Va точки а в пространстве Еп+к при y£Va
существует, таким образом, одна и только одна точка х£Ке,
удовлетворяющая условию y£Nx\ эта точка х определяется
соотношением х = а(у). Иначе говоря, через каждую точку у g Va проходит
единственная нормаль Nx9 где xg/Cg. Из непрерывности функции
о (у) легко следует существование настолько малых
положительных чисел 8а и 8fl, что при 6<ба, е<еа множество H6(fa(Ke))
целиком содержится в Vа и является окрестностью точки а в
пространстве En+k.
Покажем теперь, что для краевой точки а существуют настолько
малые положительные числа Ь'а и ъаУ что при б ^ 8'а и е ^ га
множество Hb(fa(Ks)) есть окрестность точки а в полосе EVk> Для
определенности будем считать, что а^Ех\ тогда имеем
о1 (у1, .... уя+*-\ с,) = 0. (7)

592 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Непосредственно видно, далее, что
до1 (у1, ..., yn+k-i9 Cl)
дуп
+ к
> °- (8)
Из сказанного следует, что для точки уу достаточно близкой к а
знак функции а1 (у1, ..., yn+k) совпадает со знаком числа yn+k~cl\
а это показывает, что при достаточно малых числах б и е мы
имеем
H6(fa(K'e)) = H6(fa(Ks))()E1+k. (9)
Так как Hu(fa(Ke)) есть окрестность точки а в пространстве £"+*,
то, в силу (9), множество H&(fa(Ke)) есть окрестность точки а
в полосе £?+*.
Для некраевой точки а£Мк положим бд = ба, га = га.
Совокупность всех областей (/e=;fe^\fiAffe, a£Mk, покрывает
многообразие Мк. Пусть [/в1, ..., Uар—конечное покрытие
многообразия Мк. Существует настолько малое число х\ > 0, что
каждые две точки из Mk, расстояние между которыми не
превосходит т), содержатся в какой-нибудь одной из областей указанного
конечного покрытия. Пусть теперь б—наименьшее из чисел ба„,
п=1, ...,/? и tj/2. Так как
Яб (А**) = Нб (Ua) и ... U Яб (Uap),
то Яб(Л1А) есть окрестность многообразия Мк в полосе E*+k.
Далее, для двух различных точек z£Mk и z'£Mk шары Яб(г)
и H6(z') не пересекаются. Действительно, если р(г, г')^б, то
точки гиг' принадлежат одной области Uanf и потому, в силу
ранее доказанного, шары Яб (г) и Яб (z') не могут пересечься.
Если же p(z, zf) > б, то эти шары не могут пересечься ввиду
того, что расстояние между их центрами больше суммы их
радиусов.
Итак, предложение «А» доказано.
Гладкие аппроксимации.
В) Пусть fx(x)—непрерывная действительная числовая
функция, заданная на гладком классе т^2 компактном
многообразии Мк, и е—положительное число. Существует тогда гладкая
класса т действительная числовая функция g1(x)f заданная на Мк
и удовлетворяющая условию \g1(x)—f1(x)\<e. Иначе говоря,
непрерывную функцию на Mk можно с любой степенью точности
аппроксимировать гладкой.
Докажем предложение «В». В силу теоремы 2 мы можем
считать, что многообразие Мк вложено в евклидово пространство Е1
достаточно высокой размерности. Пусть Q—некоторый замкнутый
куб, Содержащий М*. В силу известной теоремы Урысона (см. [9])
функцию ^(х), заданную на Afft, можно непрерывным образом

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 593
распространить на весь Kyg q Эту функцию, заданную на Q,
можно с точностью до е аппроксимировать многочленом gx(x)
от декартовых координат точки x£Q. Рассматриваемая на Mk
функция g1{x) является искомой.
Теорема 7. Пусть Mk—гладкое класса /п^2 замкнутое
многообразие у N1—гладкое класса т компактное многообразие и
f—непрерывное отображение многообразия N1 в многообразие Mk.
Будем считать Mk метрическим пространством. Оказывается,
titno для любого положительного е существует гладкое класса т—1
отображение h многообразия N1 в многообразие Mky
удовлетворяющее условию р (/(*), Л(л:))<е, x£Nl. Иначе говоря,
непрерывное отображение многообразия N1 в Mk можно с любой степенью
точности аппроксимировать гладким.
Доказательство. В силу теоремы 2 мы можем считать,
что многообразие Mk есть подмногообразие некоторого евклидова
пространства En+k. Пусть б—число, определенное для этого
подмногообразия в предложении «А», и e'<8/Kn+fe. Компоненты
вектора /(х), x£Nl, обозначим через fx(x)% ..., fn+k(x). В силу
предложения «В» существует действительная числовая функция
gl(x), i=l, •♦, п + ky класса гладкости /п, заданная на N1 и
удовлетворяющая неравенству | /'' (х)—g1' (х) | < е, i — 1, ..., n+k.
Вектор с компонентами g1(x)J ..., gn+k(x) обозначим через g(x).
Отображение g многообразия N1 в En+k имеет класс гладкости
т и g(Nl)aW& (см. п. «А»). При достаточно малом
е'отображение h — ng (см. п. «А») удовлетворяет требованиям теоремы.
С) Семейство непрерывных отображений fu 0^ tf^ 1,
замкнутого многообразия N1 в многообразие Mk называется
непрерывным семейством или деформацией отображения /0 в отображение fl9
если ft(x) есть непрерывная функция пары переменных х, t. Пусть
Nlxl — прямое произведение многообразия N* на действительный
числовой отрезок / = [0, 1] (см. § 1, п. «I»). Положим f*(x> t) =
~ft{x). Очевидно, что семейство ft тогда и только тогда
непрерывно, когда отображение /% многообразия Nxl непрерывно. Мы
будем говорить, что семейство ft является гладким класса т или
что деформация ft есть гладкая класса /п, если отображение f%
является гладким класса т. Если отображения f0 и ft связаны
между собой гладкой деформацией, то они считаются гладко
гомотопными между собой. Вполне очевидно, что отношение гладкой
гомотопности отображений рефлексивно и симметрично. Однако
транзитивность этого отношения не очевидна и требует
доказательства. Проведем его.
Пусть /_!, /0, /j—три гладких класса т отображения
многообразия N1 в многообразие Mk\ ft, —1 ^ t ^ 0,—гладкая класса т
Деформация отображения f_x в отображение /0 и fu 0<tf^l,
— гладкая класса т деформация отображения /0 в отображение fx.
Деформация ft, —1^/^1, очевидно, непрерывна, но при £ = 0
°на может не быть гладкой, поэтому необходима ее перестройка

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
594
для получения гладкой класса т деформации. Пусть п—нечетное
натуральное число, причем n^ m. Положим g> (*) = /*л (*). Легко
видеть, что gu —1<*<1, есть гладкая класса т деформация
отображения g_1 = f_1 в отображение g1 = f1. Таким образом
транзитивность гладкой класса т гомотопности отображений
доказана.
D) Пусть Mk и N1—два гладких класса т замкнутых много-
образия, причем многообразие Мк есть метрическое пространство.
Существует тогда настолько малое положительное е, что есда
/о и /i—Два гладких класса т отображения многообразия Ы1
в многообразие Mky отстоящих друг от друга меньше чем на е,
т. е. удовлетворяющих условию р (/0 (х), /х (х)) < е, х £ N1, то суще!
ствует гладкая класса т—1 деформация отображения /0 в
отображение ft.
Докажем предложение «D». В силу теоремы 2 можно считать,
что Mk есть подмногообразие евклидова пространства En+k
достаточно высокой размерности. Пусть б—число, определенное для
MkczEn+ky в предложении «А». Будем считать, что метрика в
многообразии Mk задана включением MkaEn+ky и выберем число е
настолько малым, что при р(х, х') < е отрезок, соединяющий
точки х и х\ лежит в W&. Положим
М*) = я(М*)(1-о + М*)0.
Очевидно, что fb 0^tf<;i, есть гладкая класса т—1
деформация отображения /0 в отображение /х (см. п. «А»).
Теорема 8. Пусть fb 0^t ^ 1,— такая непрерывная
деформация отображений замкнутого многообразия N1 в замкнутое
многообразие Mk, что отображения f0 [и fx являются гладкими
класса т. Существует тогда гладкая класса т—2 деформация
отображения f0 в отображение /х. Иными словами, если два
гладких отображения можно связать непрерывной деформацией, то
их можно связать и гладкой деформацией.
Доказательство. Непрерывной деформации ft
соответствует (см. п. «С») непрерывное отображение/* многообразия Nlxl
в Mk. В силу теоремы 7 непрерывное отображение /, можно
с точностью до е аппроксимировать гладким класса т— 1 отобра*
жением gm многообразия Nlxl в многообразие Mk. Гладкому
отображению g% соответствует гладкая деформация gtJ O^t^U
отображений многообразия N* в Mk. При достаточно малом s
отображения f{ и gh i = 0, 1, достаточно близки между собой, и
потому существует между ними гладкая гомотопия класса т—2
(см. п. «D»). Из сказанного, в силу транзитивности понятия
гладкой гомотопии, следует, что между отображениями /0 и h
существует гладкая класса т—2 гомотопия.
Таким образом, теорема 8 доказана.

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
595
§ 6. Основной метод
В настоящем параграфе каждому гладкому отображению
/п + &)-мерной сферы 2п+к в л-мерную сферу Sn ставится в
соответствие гладко оснащенное подмногообразие Мк евклидова
пространства Еп+к. Оснащенность многообразия Мк означает, что
в каждой его точке х задана система U(x)=^{u1(x)9 ..., ии(х)}
линейно независимых векторов, ортогональных к Мк> причем
вектор и((х) непрерывно зависит от х£Мк. Оснащение
называется гладким, если векторы ut(x) гладко зависят от х.
Многообразие Mk вместе с его оснащением U называется оснащенным
многообразием и обозначается через (Мк, U). Оказывается, что
каждое гладкое оснащенное многообразие (Мку U) соответствует
некоторому отображению сферы 2П+* в сферу Sn и что
отображения, которым соответствуют совпадающие гладко оснащенные
многообразия, гомотопны между собой. Двум гомотопным между
собой непрерывным отображениям могут, однако, соответствовать
не только не совпадающие, но даже не гомотопные между собой
оснащенные многообразия. В связи с этим вводится понятие гомо-
логичности двух оснащенных многообразий (7WJ, U0) и (М\у f/j),
расположенных в одном евклидовом пространстве Еп+к. Два
оснащенных многообразия (М%, U0) и (М\, U\) называют
гомологичными, если в произведении Еп+кх1 пространства Еп+к на отрезок
/ = [0, 1] существует компактное оснащенное подмногообразие
(Мк+1У £/), край которого состоит из заданных многообразий
МхО и М\х 1 и оснащение V которого на крае совпадает с
оснащениями U0 X 0 и Ux X 1, заданными на М§ х 0 и М\ х 1.
Оказывается, что два отображения сферы 2*+* в сферу Sn тогда и
только тогда гомотопны между собой, когда соответствующие им
гладко оснащенные многообразия гомологичны между собой
(осуществляющее гомологию оснащение не предполагается гладким).
Таким образом, проблема гомотопической классификации
отображений сферы в сферу сводится к проблеме гомологической
классификации гладко оснащенных многообразий. Следует, однако,
признать, что вопрос о гомологической классификации оснащенных
многообразий не является простым.
Оснащенные многообразия.
Определение 3. Пусть Еп+к—евклидово пространство,
у1, ..., уп+к—декартовы координаты в нем, Е0 и Ех—две
гиперплоскости пространства Еп+к, определяемые уравнениями уп+к=с0
и уп+ь = си с0<с1У и Е2+к—полоса, состоящая из всех точек
пространства Еп+к, для которых c0^yn+k^clt Пусть, далее,
—гладкое класса т компактное подмногообразие (см. § 1,
п. «F») полосы ЕЧ+к с краем М*"1. Если многообразие Мк
замкнуто, то гиперплоскости Е0 и Ег не играют роли и мы будем
считать, что Е1+к = Еп+к. Полную нормаль Nx в точке х£Мк

596 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
будем рассматривать как векторное пространство с нулем в точке х
и предположим, что NxaE0[jEl, х^УИ*"1, т. е. что
многообразие Мк ортогонально в точках своего края к краю полосы £j+*
(ср. § 5, п. «А»). Таким образом, расположенное в полосе £j+*
многообразие Мк будем считать оснащенным, если в каждом
векторном пространстве Л^ задан базис иг (х), ..., ип (л:), причем
вектор и{(х), рассматриваемый как вектор пространства En+k
является непрерывной функцией точки х£Мк. Систему U(x)^
= {ui (х)> • • •» ип (х)} будем называть оснащением многообразия Мк
а самое многообразие Мк вместе с оснащением U(x) будем обо'
значать через (Мк, U(x)) и называть оснащенным многообразием.
Оснащение U (х) будем называть ортонормальным, если в каждой
точке х£Мк базис U(x) ортонормален. Оснащение U (х) будем
называть гладким класса т, если каждый вектор ut(x) есть
гладкая класса т функция точки х£Мк.
Следует отметить, что всякое оснащенное многообразие
ориентируемо и получает естественную ориентацию, если содержащее
его евклидово пространство En+k ориентировано. Действительно,
пусть еи ..., ek—линейно независимая система векторов,
касающихся многообразия Мк в некоторой его точке х. Будем считать,
что система еи ..., ек задает естественную ориентацию
многообразия Мк, если система еи ..., ek, Ux(x), ..., ип(х)
соответствует положительной ориентации пространства Еп+к.
Нижеследующим определением устанавливается понятие
гомологии между двумя ^-мерными оснащенными подмногообразиями
евклидова пространства Еп+к.
Определение 4. Пусть (AfJ, U0) и (М\, иг)—два гладких
оснащенных подмногообразия евклидова пространства Еп+к. Пусть
£n+k+i — Еп+кхЕ1, где£*—действительная числовая прямая
переменного t. Положим Et = En+kxt, t = 0, 1, и обозначим через
£n+k+i П0Л0Су пространства Еп+к+1, ограниченную
гиперплоскостями Е0 и Ег. Оснащенные многообразия (М\, U0) и (М\, Ui)
будем считать гомологичными между собой, если существует такое
оснащенное подмногообразие (Мк+1, U) полосы £2+*+1, что
Мк+1(]Е0 = Мк0хО,
Мк+1пЕ1 = Мкх\9
причем оснащение U совпадает на Mktxt с оснащением Utxt,
t = Q, 1. Оснащенное многообразие (Мк, UQ) называется
гомологичным нулю, если оно гомологично оснащенному многообразию
(М\, иг), где М\ пусто. В этом случае оснащенное многообразие
(Мк+1, U), осуществляющее гомологию, имеет своим краем
многообразие Мк. Оказывается, что отношение гомологии рефлексивно,
симметрично и транзитивно, так что множество всех ^-мерных
оснащенных подмногообразий евклидова пространства Еп+к
распадается на классы попарно гомологичных между собой.

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 597
Очевидно, что отношение гомологии для оснащенных
многообразий рефлексивно и симметрично. Докажем его
транзитивность. Пусть (Milf (/_x), (Ml U0) и (М\, иг)—три оснащенных
многообразия евклидова пространства Еп+к, для которых
выполнены соотношения
(Miu и_г)~(М1 U0), (Ml U0)~(Mku Ut).
Пусть, далее En+k+1 = En+kxE1 — прямое произведение евклидова
пространства Еп+к на действительную числовую прямую Е1
переменного t, в котором выделены полосы E*h i—1 ^/^t, i=0, 1.
Положим Е*=Ет и £*i- Будем считать, что гомология (M$_l9 [/|-_1)~
~(Mki> Uj) реализована в полосе E%i многообразием (Mf+1, [/*,),
i = 0, 1. Пусть теперь т—достаточно большое нечетное
натуральное число. Определим отображение г|э полосы £* на себя, положив
^(х, t) = (x> v^T), x$En+*. Отображение г|э полосы £* на себя,
очевидно, гомеоморфно. Оно регулярно во всех точках (ху t), где
t^O. Легко проверить, что Mk+1 = ty(M%+1l)M$+1) есть гладкое
подмногообразие полосы £*. Систему векторов £/%/(х, t) обозначим
через £/*(х, 0» это не может привести к недоразумению. Пусть
N'xt—нормаль к многообразию М%+1[)М\+1 в точке (л:, t)y —1<
</<1, и Nxt—нормаль к многообразию Mk+1 в точке г|э(л;, t).
Легко проверяется, что ортогональное проектирование
пространства Nfxt на пространство Nxt происходит без вырождения. Таким
образом, принимая за U(x, t) ортогональную проекцию системы
U*(x, t) на Nxtt мы получаем оснащенное многообразие (Mk+1, [/),
осуществляющее гомологию (Af*lf U_1)~(Mlli Ux) в полосе Е*.
Таким образом, транзитивность отношения гомологии доказана.
Переход от отображений к оснащенным многообразиям.
А) Пусть Er+1—евклидово векторное пространство. Сфера sr
размерности г и радиуса 1/2 определяется в Er+1 уравнением
(х, х)=1/4.
Пусть р и q—две диаметрально противоположные точки сферы Sr,
первую из которых будем называть северным, а вторую—южным
полюсом. Пусть, далее, Тр и Tq—касательные пространства сферы
Sr соответственно в точках р и q, а еи ..., ег—ортонормальный
базис пространства Тру задающий положительную ориентацию
сферы Sr. Базис пространства Tq получим параллельным
переносом векторов е19 ..., ег из р в q. Выбранным базисам
соответствуют в Тр и Tq определенные координатные системы. Введем
теперь в областях Sr\q, Sr\p координаты, определяемые
системой (/?; еи ..., ег). Для этого обозначим через у(х) центральную
проекцию точки x£Sr\q из центра q на пространство Тр и
примем координаты х1, ..., хг точки ф(х) в Тр за координаты точки
х в Sr\q. Точно так же при помощи центральной проекции из

598 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
центра р на Tq мы определим координаты у1, ..., у точка
x£Sr\p. Легко видеть, что при х g Sr\(p [} q) имеем
xf
У1==^Х1)2+щ_+^хГ)2^ (1)
х/ = (у1)2+...+(/)2* (2>
Таким образом, Sr есть аналитическое многообразие.
Поставим теперь в соответствие каждому гладкому
отображению (п + Л)-мерной ориентированной сферы 2W+* в n-мерную
ориентированную сферу Sn некоторое замкнутое оснащенное
многообразие (Мк, U) размерности k9 расположенное в евклидовом
пространстве Еп+к размерности n + k.
Определение 5. Пусть /—гладкое отображение
ориентированной сферы 2П+* в ориентированную сферу S". Зафиксируем
северный полюс р' сферы 2п+к, южный ее полюс обозначим
через q\ касательное пространство в точке р'—через Еп+к, а
центральную проекцию области 2n+k\q' на Еп+к из qf—через ф. За
северный полюс р сферы Sn выберем произвольную правильную
точку отображения /, отличную от f(q') (см. теорему 4). Пусть
е19 ..., еп—некоторая ортонормальная система векторов,
касательных к Sn в точке /?, задающая ориентацию сферы Sn.
Касательное пространство к сфере Sn в р обозначим через Тр. Так
как р—правильная точка отображения f, то множество !~г(р)
является гладким fe-мерным подмногообразием многообразия 2П+*
(см. § 1, п. «F»). Так как, сверх того, множество ^г(р) не
содержит точки q\ то Mk = q)f~1(p) есть гладкое замкнутое
подмногообразие евклидова пространства Еп+к. Отображение /чр-1
многообразия Еп+к в многообразие Sn правильно в каждой точке х£Мк.
Касательное в точке х к многообразию Еп+к векторное
пространство обозначим через Е%+к (см. § 1. п. «С»). Так как многообразие
£п+к есть евкл'идово пространство, то пространство Е%+к можно
отождествить с пространством Еп+к, приняв за начало точку х.
Полную нормаль и полную касательную к многообразию Мк в
точке х обозначим соответственно через Nx и Тх. Линейное
отображение векторного пространства Ех+к на векторное пространство
Тру соответствующее отображению /ф"1, обозначим через fx (см.
§ 1, п. «Е»). Так как отображение /ф"1 правильно в точке х, то
}х(Еп+к) = Тр, а так как /ф"1 (Afft) = р, то fx(Tx) = p. Из этого
следует, что отображение fx векторного пространства Nx в
векторное пространство Тр есть невырожденное отображение на Тр.
Прообраз вектора е{ в пространстве Nх при отображении fx
обозначим через iii(x). Система U(x) = {u1(x)9 ..., ип(х))> х£Мк>
составляет гладкое оснащение многообразия Мк.
Оснащенное многообразие (Мк, U) мы ставим всоответствие
отображению /: /—>(Мк, V). Соответствие /—* (Мк, U)
зависит от случайного выбора системы р, elf ..., еп, так что более

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 599
полно соответствие / —► (Мк, U) следует записать в виде
(/; /?, еи ..., еп)-+(Мк, U).
Полюс р' сферы 2П+* зафиксирован, т. е. будет оставаться
неизменным при изучении всех отображений сферы 2W+* в сферу
5". Полюс р сферы Sn должен быть правильной точкой
отображения /, отличной от f{q')> и потому его нельзя зафиксировать.
Нижеследующая теорема, показывающая, что гомотопным
отображениям соответствуют гомологичные оснащенные
многообразия, показывает, в частности, несущественность случайного
выбора системы р, еи ..., еп.
В дальнейшем будет показано (см. теорему 10), что из гомо-
логичности оснащенных многообразий следует гомотопность
соответствующих отображений.
Теорема 9. Пусть /0 и fi—два гладких отображения
ориентированной сферы 2П+* в ориентированную сферу Sw(/z^2,
k^O), и пусть
I/O» А)» #10» • • • > «лО/ *" («^0» "o)>
(fu Ри «п. ..., eni) -^1(^1» ui)
•
(см. определение 5). Оказывается, что если при л^2
отображения f0 и fi гомотопны между собой, то оснащенные многообразия
(Af£, U0) и (AfJ, Ui) гомологичны между собой.
Доказательство. Так как ориентации сферы S",
определяемые в ней касательными системами е10, ..., еп0 и е1и ..., еп1
совпадают, то существует изометрическое отображение Ф сферы Sn
на себя, осуществляемое путем непрерывного вращения и потому
гомотопное тождественному, причем такое, что система /?0,
«ю» • • •» ««о переходит при отображении й в систему р19 е119 ..., eitl.
Положим g0 = fo> g"i = ^"Vi- Поскольку отображение Ф гомотопно
тождественному, то отображения gQ и gx гомотопны между собой.
Кроме того, легко видеть, что
(fifiJ Р> *и — > *,)-*(AfJ, UJ,
где
\Р* «1» • • •» «л/ =г \А>» «ю» • • •» «ло)«
Так как гладкие отображения g0 и g\ гомотопны между собой,
то существует гладкая гомотопия gt, связывающая их (см.
теорему 8); этой деформации соответствует гладкое отображение g*
многообразия 2*+*х/ в Sn (см. § 5, п. «С»), Определим
отображение ф« многообразия (I>n+k\q')xl на прямое произведение
En+kxl, положив
Ф.(*. <) = (Ф(*). <). (3)

600 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
и будем рассматривать произведение En+kxl как полосу £j+*+i
в пространстве En+k+1 — En+kxE1, где Е1—действительная
числовая прямая. Относительно отображения g* сделаем следующее
допущение.
a) Точка р является правильной точкой отображения g-%
многообразия 2"+*х/ и не принадлежит множеству g*(q'xl).
В силу предположения «а» множество Mk+1 = (ptgr1(p) есть
гладкое компактное подмногообразие полосы Е%+к+1. Через N
обозначим нормаль в пространстве En+k+1 к многообразию Mk+*
в точке x$Mk+1. Так как отображение ^фГ1 правильно в точке х,
то на многообразии Nx оно регулярно в точке х, и потому
системе векторов elf ..., еп соответствует в Nx система векторов
U(x) = {u1 (x), ..., ип(х)} (ср. определение 5). Сделаем
относительно отображения £* еще одно допущение.
b) Многообразие Mk+1 на своей границе ортогонально к краю
полосы E?+k+1 (см. определение 3).
Из допущения «Ь» следует, что U (х) есть оснащение
многообразия Mk+l и легко видеть, что оснащенное многообразие
(Mk+1, U) осуществляет гомологию между оснащенными
многообразиями (Моу U0) и {М\у Ux) (см. определение 4). Таким
образом, для доказательства теоремы нам достаточно построить такую
гладкую гомотопию gu соединяющую отображения g0 и glt для
которой допущения «а» и «Ь» были бы выполнены. Займемся этим.
Пусть ht—произвольная гладкая гомотопия, связывающая
отображения g0 и gx. Подправим ее так, чтобы реализовать
допущение «а». Предполагается, что р является правильной точкой
отображений g0 и gi и не совпадает с точками g0 (q') и gx (q').
Из этого следует, что существует положительное число е,
удовлетворяющее следующим условиям. При p*£Sny р(/?, /?*) < е и
t^e или же t^l — г точка /?* является правильной для
отображения ht и р (ht (q')> p) > е. Фиксируем положительное число е,
обладающее указанными свойствами, и пусть р*—правильная
точка отображения А*, не принадлежащая множеству h*{q'xl) и
удовлетворяющая условию р (/?, /?*) < е. В силу теорем 4 и 1 такая
точка /?* существует. Будем считать, что сфера Sn расположена
в евклидовом векторном пространстве £n+1, и пусть
Еп"х—линейное подпространство пространства Еп+1, ортогональное к
векторам р и /?*. Вращение сферы S* на угол а вокруг Еп~х
обозначим через Ьа, и пусть %(р) = р„ 0<Р<л. Допустим, что
Х(0—гладкая действительная числовая функция параметра t,
заданная на отрезке 0 ^ t ^ 1 и обладающая следующими
свойствами:
0<х(0<1, Х(0) = х(1) = 0;
%(t)=l при е</<1—е.
Положим i\t = $ix(t)- Так определенное вращение v\t сферы Sn
вокруг Еп~ху зависящее от параметра ty переводит при изменении

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 601
I от 0 до е точку р в точку /?*, а впоследствии при изменении t
оТ j — е до 1 возвращает точку р в исходное положение.
Определим теперь семейство отображений 1Ь положив
Семейство это гладко и соединяет отображения g0 и gx.
Оказывается, что при gt = lt допущение «а» выполнено. При О^^^е
или 1—e^^^l имеем Ц(ё)Фр- При e^tf^l—е множество
/-!(/?) совпадает с множеством Л^"1 (/?*), и потому lt(q') не
совпадает с р и в этом случае. Докажем, что р есть правильная точка
отображения /*. Пусть (a, tQ) ^1*1(р)9 и пусть х1, ..., xn+k—
локальные координаты в окрестности точки а. Чтобы точка (a, t0)
была правильной для отображения /*, необходимо и достаточно
иметь среди векторов
dcpU (a, t0) dtp/» (fl, t0) дф/» (fl, t0)
дх1 ' * • *» ал:и+л ' dt
п линейно независимых. При 0^/0^е или 1 — е<^0^1 уже
среди первых п + k из этих векторов содержится п линейно
независимых в силу выбора числа е. При e^tf^C 1 — е среди
выписанных п + k + 1 векторов имеется п линейно независимых в силу
выбора точки /?*. Таким образом, при gt = lt допущение «а»
выполнено.
Чтобы реализовать допущение «Ь», построим гладкую
действительную числовую функцию s(t) параметра t> O^t^ 1,
удовлетворяющую условиям:
s(t) = 0 при 0<*<1/3,
s(t)=l при 2/3</<1,
-§>0 при 1/3<*<2/3,
и положим
Покажем прежде всего, что для гомотопии gt по-прежнему
выполнено допущение «а». Так как ls{t){q')z^zpy то и gtiq^^P-
Пусть теперь (а, /0) — произвольная точка множества g71(p)cz
с2и+*х/ и хг9 ..., xn+k — координаты в окрестности точки а
в 2"+*. Из (a, QGg^ip) следует, что (а, s (t0)) £ I*1 (р). Чтобы
отображение g* было правильно в точке (a, t0) необходимо и
Достаточно иметь среди векторов
dq>g*(a, t0) dyg* (a, tQ) depg* (fl, t0)
dx1 » ' • •» dxn + * ' dt
п линейно независимых. Чтобы точка (a, s(t0)) была правильной
точкой отображения /%, необходимо и достаточно среди векторов
дф/% (fl, s (/о)) дф/% (fl, s (/0)) дф/% (fl, s (/о))
ах1 ' • * *' дхп+* » as

602 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
иметь п линейно независимых. При l/3^t0^2/3 мы имеем
d(pg*(a, *о)__дф/,(Д. *(*о)) ds (t0) ds(t0) ^ n nrvrrwv u* «
Й -= & Ж~> где-5Г>и> и П0Т0МУ из
правильности точки (a, s(£0)) отображения /% следует правильность
точки (а, /0) отображения g». При 0^£<1/3 или 2/3^^1
точка а принадлежит Iq1 (р) или соответственно li1(p)t а потому
уже среди векторов
d<pg« (д» *о) dcpg, (g» *о)
дх1 » •••» d*« + *
содержится л линейно независимых. Таким образом, для
отображения gt выполнено допущение «а».
Так как при 0^/^1/3 или 2/3 ^ t ^ 1 мы имеем gt = go или
соответственно gt = gly то ортогональность многообразия Mk+1
к краю полосы E4+k+1 очевидна.
Таким образом, теорема 9 доказана.
Теорема 9 доказана здесь лишь для случая л ^2; ее нетрудно
было бы доказать и для п— 1. Однако для этого случая она не
представляет интереса, так как классификация отображений сферы
2*+1 в сферу S1 весьма элементарна (см. теорему 12 относительно
случая ft = 0 и теорему 18 относительно случая fe>0).
Переход от оснащенных многообразий к отображениям.
В) Пусть Nr—векторное пространство с фиксированным в нем
базисом Uj, . . ., U-. Через К'а обозначим область пространства
Nry образованную векторами f^g1^ + ... 4- 1г"г»
удовлетворяющими неравенству (^1)2Н- ... + (Ю2 < а2- Определим отображение
Ка пространства Nг на сферу Sr, переходящее точку \ £ K'a в точку
сферы Sr с координатами
* ~[a2-(£1)2-...-(OT
(см. п. «А») и переводящее все множество Nr\K'a в точку q$Sr.
Из соотношений (1) и (2) непосредственно следует, что
отображение %а имеет класс гладкости т. Непосредственно проверяется,
далее, что функциональная матрица отображения %а в точке
| = (0, ..., 0) является единичной. Примем теперь за Nr
пространство Тр с базисом е1У ..., ег и положим (оа(х) = Хаф(л:),
x(tSr\q, и о)а(<7) = <7. Полученное так гладкое класса m
отображение соа сферы Sr на себя, как легко видеть, гомотопно
тождественному. Оно гладко гомеоморфно отображает шаровую
окрестность Ка = ф-1(^а) на Sr\q и переводит все множество
Sr\Ka в точку q.
Теорема 10. Пусть 2П+* и Sn—две ориентированные сферы,
р'—фиксированная точка сферы 2П+* и En+k—пространство,
касательное к 2П+* в точке р'. Пусть, даме, р0 и рх—две точки
сферы Sn и е10, ..., еп0; е11У ..., еп1—ортонормальные системы

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 603
векторов, касательных к Sn в точках соответственно р0 и р19
а{Мо, Uo) u ДО?» Ut)—два гомологичных между собой гладко
оснащенных многообразия из En+k. Оказывается, что существует
такое отображение g0 сферы 2П+* в сферу Sn, что
(go', Pof «ю» ..., е,Л) -> (Mk0j U0).
Далее у оказывается, что если f0 и fx—два таких отображения
сферы 2n+k в сферу S", что
(/о» А>> «io> ..., епП) ►(-/Wof сУ0),
if» Ри е119 ..., enl)-+{Mkly Ux)%
то отображения f0 и fx гомотопны между собой,
Доказательство. Так как системы касательных векторов
е10, ..., еп0 и е119 ..., еп1 задают на сфере Sn одну и ту же
ориентацию, то существует изометрическое отображение $ сферы
Sn на себя, получающееся из тождественного непрерывным
вращением, при котором система /?0, е10У ..., еп0 переходит в
систему /?!, е1и ..., еп1. Отображения /х и й"1^ гомотопны между
собой, и
(*"7i; А. «ю> • • •. ««о) -* (Mif-UJ.
Таким образом, для доказательства второй части теоремы нам
достаточно рассмотреть лишь случай, когда
о> «ю» • • •» в/л)== (Ри «11» • • •» eni)t
т. е. доказать, что из соотношений
(f.\P,eu ...,en)-+(M*,U), (4)
(f»P,el9 ...,eJ-W */) (5)
следует гомотопность отображений /0 и /х.
Докажем прежде всего, что если
(AfJ, l/f)=-(Ai*f t/J = (Af*t 17), (6)
то отображения /0 и /j гомотопны между собой.
Пусть Na—нормаль в точке а к многообразию Mk в
евклидовом пространстве Еп+к, а т]1, ..., цп—компоненты вектора
T|gA/a относительно базиса их(а)9 ..., ип(а) пространства Na.
В окрестности S"\^ точки р в сфере S" введем координаты х1,..., хп9
исходя из северного полюса р иортонормальной системы е19 ..., епУ
заданной в р (см. п. «А»). Из соотношений (4)—(6) следует, что
в координатной форме отображения /0 и fx пространства Na в Sn
вблизи точки а записываются в виде
х[ = т)1' + . • •! i = 1» * • •» ^,
х1 =s tj1 + • • • t * *= 11 • • •» л,
р

б04 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
где выписаны лишь члены первого порядка, а члены более
высоких порядков опущены. Таким образом, отображения /0 и fx про*
странства Na в S* вблизи точки а совпадают с точностью до
членов второго порядка. Из этого следует, что при х\ g W6t где &
достаточно мало (см. § 5, п. «А»), геодезический отрезок (/оФ"1^),
/хФ"1^!)) на сфере S\ соединяющий точки /оФ'Чл) и /гФ"1^)]
не проходит через точку р. Положим Wq= (p"1 (W6). Так как
область W'b содержит множество fo1(p) = fi1{p) = 4>~1(Mk), та
замкнутые множества /0 (S г\Wfi и /х (5"\1^б) не содержат точки р.
При l£W& положим <т(£) = р(<р(£), лф(|)). Точку /0(£), l$wl
заставим равномерно перемещаться по геодезическому отрезку
(/о(£)> /i(5)) так, чтобы она прошла этот отрезок за единицу
времени. Положение движущейся точки в момент времени tf
O^f^l, обозначим через А(ь, /). Пусть х(а)—действительная
числовая функция переменного а, заданная на отрезке О^а^б
и обладающая следующими свойствами:
Х(а)=1 при 0<а<-^а, 5С(а) = 0,
0<хИ<1 при 0<а<8.
Положим
hf(l)=*h(l, t%(<j(l))) при t(tW'6,
А* №) = /• (6) при l£S"\W6.
Семейство отображений ftt, O^f^l, осуществляет непрерывную
деформацию отображения f0 = h0 в отображение Ах. При этом
отображение Ах обладает следующими свойствами. Существует
настолько малая шаровая окрестность Ка точки р в сфере Sn,
что Аг1(А'а) = /Г1(^а) = ^с:Гб, и при t£V имеем
*i(E) = /i(E). (7)
Теперь уже легко доказать, что отображения /0 и /х гомотопны
между собой. Из (7) следует, что отображения ^ahx и oafi
(см. п. «В») совпадают. Так как отображение соа гомотопно
тождественному, то отображения hx и /х гомотопны между собой, а
потому гомотопны между собой и отображения /0 и fx.
Итак, доказано, что при условии (6) из (4) и (5) следует
гомотопность отображений /0 и /х.
Покажем теперь, что из гомологичности оснащенных
многообразий (Mo, UQ) и (Mi, f/x), соответствующих отображениям f0
и /lt следует гомотопность этих отображений. Пусть (Mfc+1, U) —
оснащенное подмногообразие полосы En+kxIaEn+kxE1 = En:i~k+l,
осуществляющее гомологию между оснащенными многообразиями
(Л4£, U0) и (Mf, 1^) (см. определение 4). Нормаль в точке a g Mk+1
к многообразию Af*+1 в пространстве En+k+1 обозначим через Na9
и пусть W6—окрестность многообразия Mk+1 в полосе En+kxh
построенная в § 5 в предложении «А». В векторном пространстве

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 605
дг задан базис U(a). Положительное число а выберем так, чтобы
для произвольной точки a£Mk+1 имело место включение /Cac:W6
/см. п. «В»). Определим теперь отображение g* многообразия
2«+*х/ в сферу Sn9 положив
g*(I) = К(Ф*&)) при Ф.(Е)€//б(а) (см. § 5, п. «А»),
g. (9 = 9 ПРИ Ф*(5)£^б [см. (3)].
Отображению £* многообразия %п + кх1 в сферу S" соответствует
деформация gt отображений сферы 2п+к в сферу Sn. Из свойств
отображения Ха (см. п. «В») непосредственно вытекает, что
оснащенные многообразия, соответствующие отображениям gQ и glf
совпадают с заданными оснащенными многообразиями (М о, U0)
и (Mf, f/i). Так как отображениям /0 и g0 соответствует одно
и то же оснащенное многообразие (Мо, £/<>)» то отображения /0 и
g0, в силу доказанного ранее, гомотопны между собой. В силу
тех же соображений гомотопны между собой и отображения fx
и gt. Так как отображения g0 и gt связаны гомотопией gt9 то
они также гомотопны между собой. Из сказанного и из
транзитивности понятия гомотопии следует, что отображения /0 и Д
гомотопны между собой.
Итак, вторая часть теоремы доказана. Доказательство первой
части содержится в последней конструкции. Проведем его. Нам
задано оснащенное многообразие (Mky U). Нормаль в точке a £Mk
обозначим через Na. В векторном пространстве Na имеется базис
U(а). Положительное число а определим так, чтобы для
произвольной точки а£Мк выполнялось включение KaczW6 (см. § 5,
п. «А»). Отображение g сферы 2п+к в сферу Sn зададим
соотношениями
*(Е) = МФ(Э) при ф(Б)€Яб(а),
g(l) = q при ф(9^в.
Из свойств отображения Ха непосредственно следует, что
отображению g соответствует оснащенное многообразие (Mk, U). Таким
образом, первая часть теоремы также доказана.
Итак, теорема 10 полностью доказана.
Было бы легко доказать, что каждое оснащенное
подмногообразие (Mk, U) евклидова пространства Ek+1 гомологично нулю.
Таким образом, для п—\ теоремы 9 и 10 интереса не
представляют.
§ 7. Гомологическая группа оснащенных многообразий
В настоящем параграфе прежде всего определяется понятие
Деформации оснащенного многообразия. Если многообразие гладко,
без самопересечений, деформируется в евклидовом пространстве,
а его оснащение непрерывно следует за ним, то говорят, что мы

606 24- ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
имеем непрерывную деформацию оснащенного многообразия
Легко доказывается, что два оснащенных многообразия, получае!
мые друг из друга деформацией, гомологичны между собой. Далее
вводится операция сложения классов гомологии оснащенных
многообразий евклидова пространства, так что при этом множество
всех классов гомологии превращается в коммутативную группу
Если Jtj и я2—два класса гомологии, а (М\у U^^n^ и (М\у U2)a
€ я2, то сумма пг + я2 определяется как класс, содержащий
объединение обоих оснащенных многообразий. При этом необходимо,
конечно, чтобы многообразия Мк и М\ не пересекались между
собой и чтобы они не были «запутаны» между собой, что возможно,
когда размерность объемлющего евклидова пространства меньше
2&+2. Отсутствие запутанности означает, что многообразия N[\ и
Мк можно далеко отодвинуть друг от друга при помощи
деформации каждого из них. Чтобы оба эти условия были осуществлены,
предполагается, что многообразия Мк и Мк лежат по разные
стороны некоторой гиперплоскости.
Гомотопии оснащенных многообразий.
A) Пусть Ет—евклидово пространство, X—некоторое
компактное метрическое пространство и Nx,t—его линейное
подпространство с фиксированным в нем началом 0(х> t), непрерывно
зависящее от пары (х, t), х£Ху 0^£^1. Пусть, далее, U(x) =
= {ui(x)y ••■» ип(х)}—базис векторного пространства AfJJf0
непрерывно зависящий от х£Х. Существует тогда базис U (x, t)
пространства Nxf t, непрерывно зависящий от пары (я, f) и
совпадающий с U (х) при £ = 0. Если при этом векторное пространство
N% t не зависит от / для x^Y^X, то имеем U(x, t) = U(x) при
x£y.
Докажем предложение «А». Пусть е—настолько малое
положительное число, что при 11—V | ^е, xg X ортогональное
проектирование пространства Л7£ t на пространство N%t t, происходит
без вырождения. Положим U {ху 0) = £/(*). Допустим, что базис
I)(х, t) уже построен при 0^ t^ре <\, х£X (р— целое
неотрицательное). Для ре ^ t ^ (р + 1) е базис U (x, t) построим,
параллельно перенося базис U (х, рг) в точку О (х, t) и проектируя
его затем ортогонально на А/£ t-
B) Пусть Еп+к—евклидово пространство с выбранными в нем
декартовыми координатами у1, ..., уп+к\ El+k—полоса,
определяемая условием с0^.уп+к^с1У ограниченная гиперплоскостями
Е0 и Еи и Мк—гладкое подмногообразие полосы Е1+к,
ортогональное в своих краевых точках к краю Е0 и Ег полосы
Е?+к (см. § 5, п. «А»). Гладкое семейство отображений е^
O^tf^l, многообразия Мк в полосу Е?+к будем называть
гладкой деформацией подмногообразия Мк полосы £?+*, если е0 есть
тождественное отображение, a et—регулярное гомеоморфное
отображение многообразия Мк на подмногообразие et(Mk) полосы

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 607
р*+*, ортогональное в своих краевых точках к краю полосы Е1+к.
Если U есть оснащение многообразия Мк и определено
оснащение et(U) многообразия et(Mk), непрерызно зависящее от
параметра t, причем e0(U) = U, то будем говорить, что et есть
лесюрмация оснащенного многообразия (Мку U). (В случае
замкнутого многообразия Мк будем считать, что Е1+к = Еп+к.) Если
при произвольном t отображение et многообразия Мк является
тождественным, то et дает деформацию оснащения U
фиксированного многообразия Мк, осуществляющую гомотопию оснащений
е (U) и e1{U) многообразия Мк. Оказывается, что если et есть
гладкая деформация подмногообразия Мк полосы E*i+k и задано
некоторое оснащение U многообразия Мку то существует
деформация et оснащенного многообразия (Мк, U). Если при этом
деформация et оставляет краевые точки многообразия М'я
неподвижными, то оснащение et(U), O^/^l, многообразия et(Mk)
можно построить так, что на краях многообразия et(Mk) оно
будет совпадать с исходным оснащением U.
Докажем предложение «В». Пусть (Мк, U)—оснащенное
подмногообразие полосы Е2+к и et—заданная гладкая деформация
подмногообразия М1 полосы £?+*. Построим оснащение et(U)
подмногообразия et(Mk), непрерывно зависящее от параметра t,
так, чтобы e0(U) = U. Нормаль в точке et(x) к многообразию
et(Mk) обозначим через Nxt. Принимая систему векторов U (х)
за исходный базис пространства Nx09 мы получим, согласно «А»,
базис U (x, t) векторного пространства Nxi с началом в точке et (x).
Системы векторов U (я*, t), х£Мк, образуют при фиксированном
t искомое оснащение et(U). Таким образом, предложение «В»
доказано.
С) Пусть (Мку U) — гладкое оснащенное подмногообразие
евклидова пространства Еп+к и et—его деформация в Еп+к.
Оказывается, что оснащенные многообразия (е0 (Мк)> eQ (U)) и (е1(Мк),
ti{U)) гомологичны между собой.
Докажем это. Положим s(t) = 3t2—2t3. Непосредственно
проверяется, что функция s(t) удовлетворяет условиям
s(0) = 0, 5(1)^=1, s'(0) = 0, s'(l) = 0,
s'{t)>0 при 0</<1.
Введем деформацию ft оснащенного многообразия (Мк, U)> поло-
Жив ft = es{t). Мы имеем, очевидно,
Для доказательства гомологичности оснащенных многообразий
tfo(Af*), f0(U)) и {f1{Mh)y fi(U)) в полосе Е?+к+1 = Е'г+кх1 сE'i+k+1
определим подмногообразие Мк+1 как совокупность всех точек
вида (ft(x), t)y x£Mk, O^tf^l. Пусть Nxt—нормаль в точке
ft(x) к многообразию ft(Mz) в пространстве Еп+к. В
пространстве £•'+*+* нормаль к многообразию Мк+1 в точке (ft(x), t)

608
24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
обозначим через N xt. Легко видеть, что Nxt — (N'xty t) при / = 0,1
т. е. что в краевых точках многообразие Mk+1 ортогонально
к краю полосы E?+k+1. В точках (/* (х), t)y где t отлично от нуля
и единицы, нормали (Л^, t) и N xt различны, и потому система
М£/(х)) не лежит в Nxt. Для получения из системы ft(U(x))
системы U (х, f)y лежащей в NхЬ спроектируем систему ft(U(x)\
ортогонально на пространстве Nxt. Легко видеть, что это
проектирование происходит без вырождения. Таким образом, система
U (x, t) линейно независима и потому составляет оснащение
многообразия Мк+1. Так как на краях (fQ(Mk), 0) и (fi(Mk).
^оснащение U (xt t) совпадает с заданными оснащениями (f0(U)y 0)
и (/i(f/), 1), то оснащенное многообразие (Mk+1, U) осуществляет
гомологию между оснащенными многообразиями (/0 (Mk), /0 (U))
и (П(М"), ft(U)).
D) Всякое оснащение гладкого класса т многообразия
гомотопно гладкому классу т—1 оснащению того же многообразия.
Пусть Мк—гладкое класса т подмногообразие полосы Е?+ки
U{х) = {и1(х)у ..., ип{х)}—некоторое его оснащение. Компоненты
вектора и((х) в пространстве En+k обозначим через и}(х)9...
..., и?+к(х). Пусть е — положительное число и vl(x)—такая
действительная числовая функция класса гладкости т, заданная на
и]' (х)—vJi(x)\<e (см. § 5, п. «В»). Вектор
пространства E-t+fc с компонентами v}(x)y ..., v1+k(x) обозначим через
vi(x)J и пусть Wj(x) есть ортогональная проекция вектора v((x)
на Nx. Положим
Wt{x)^{ui{x)'{\ — t) + wi{x)t}y i=l, ..., п.
Система Wt(x) невырождена при достаточно малом е и
осуществляет деформацию исходного оснащения U (х) = W0 (x) в гладкое
класса т—1 оснащение Wx(x).
В § 6 указывалось, что гомотопическая классификация
отображения сферы 2П+* в сферу Sn эквивалентна гомологической
классификации гладко оснащенных fe-мерных подмногообразий
евклидова пространства En+k (см. теоремы 9 и 10). В силу предложений
«С» и «D» можно снять требование гладкости оснащения и
рассматривать произвольные непрерывные оснащения гладких
многообразий. Действительно, каждое непрерывное оснащение гладкого
многообразия гомотопно гладкому оснащению (см. п. «D»), а
гомотопные между собой (не обязательно гладким образом) гладкие
оснащения одного и того же многообразия гомологичны между
собой (см. п. «С») и потому соответствуют гомотопным
отображениям сфер.
Гомологическая группа П* оснащенных многообразий.
E) Пусть (Mk, U)—оснащенное подмногообразие евклидова
пространства Еп+к и /—отображение подобия пространства Еп+*
на себя. Очевидно, что (f(Mk), /(£/)) также представляет собой

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
609
оснащенное подмногообразие евклидова пространства Е*+к. Если
отображение / сохраняет ориентацию пространства Е,г+к, то, как
леГко видеть, существует такое гладко зависящее от параметра t>
q^/^1, семейство ft отображений подобия пространства Е1+к
на^себя, что /0 есть тождественное отображение, a /i = /.
Семейство ft, 0 ^ t ^1» осуществляет гладкую деформацию оснащенного
многообразия (Мку U) в оснащенное многообразие (f(Mk)y f ([/)).
Таким образом, эти оснащенные многообразия гомологичны
между собой (см. «С»). Из сказанного следует, что если
оснащенное многообразие переместить в пространстве как твердое тело
или подобно сжать, то оно не выйдет из своего класса гомологии.
Определение 6. Совокупность всех оснащенных fe-мерных
подмногообразий евклидова пространства Еп+к разобьем на классы
попарно гомологичных между собой. Множество всех полученных
классов гомологии обозначим через П* и следующим образом
определим в нем операцию сложения. Пусть л^ и я2—два
элемента из П*. Выберем в Еп+к произвольным образом
гиперплоскость Е1**"1, а из классов пг и я2 выберем по одному
представителю (Aff, £/х) и (М$у U2) таким образом, чтобы многообразия
Мк и Мк лежали по разные стороны от гиперплоскости Еп+к~1.
В силу предложения «Е» это всегда возможно. Оснащенное
многообразие (M\ U) = (M^ U1)U(M^t V\) определим как
объединение многообразий Мк и М2у взятых с имеющимися на них
оснащениями. Оказывается, что класс гомологии я оснащенного
многообразия (Мку U) не зависит от случайного выбора
гиперплоскости Еп+к~1 и представителей (Мку [/J, (М$у U2) классов
гомологии л1У я2. По определению будем считать, что л = я1 + л;2.
Оказывается, далее, что в силу этого определения сложения
множество П* представляет собой коммутативную группу. Нулем
группы П£ служит класс гомологичных нулю оснащенных
многообразий. Элемент —я, противоположный элементу я, можно
описать следующим образом. Пусть Еп+к~1—произвольная гипер-
плоскость Еп+ку (Мку U)—некоторое оснащенное многообразие
класса я и а—симметрия пространства Е:+к относительно
гиперплоскости Еп+к~1. Класс гомологии —я содержит оснащенное
многообразие (о(Мк), o(U)).
Докажем прежде всего, что так определенная операция
сложения в множестве П* инвариантна. Пусть наряду с
гиперплоскостью Еп+к~1 и оснащенными многообразиями (М\у U±) и (М2у U2)
в пространстве Еп+к выбрана гиперплоскость Ёп^к~1 и
оснащенные многообразия (М\у иг) и (М2у 02) из классов лг и я2.
Покажем, что оснащенные многообразия (М\у иг) U (М$, U2) и
№ 1» 0г) U (М2у 02) принадлежат к одному классу гомологии.
Этим инвариантность сложения будет доказана. Очевидно, что
существует сохраняющее ориентацию изометрическое отображение
f пространства Еп+к на себя, при котором f(En+k~1) = En+kr1,
^ Л. С. Понтрягин, т. I

610
24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
а многообразия f(M%) и М\ находятся по одну сторону от
гиперплоскости En+k~x. В силу замечания «Е» имеем
f{Ml 0t)~(Ml 0,), t=l, 2;
fWl OjuiMi, u2))~(Ml ujuwi 02).
■■"Ч
Таким образом, дело сводится к случаю, когда En+k~1 = En+k~i
а оба представителя (Ml 0Х) и (Ml Ux) класса лх лежат по
одну сторону гиперплоскости Е+к~х в полупространстве EnJk,
между тем как оба представителя (Ml 02) и (Ml U2) класса ла
лежат по другую сторону гиперплоскости Еп+1г~г в
полупространстве E1+k. Пусть (Ml1, U{)—оснащенное подмногообразие полосы
En+kxl> осуществляющее гомологию (Ml 01)^(Ml L^), и
(M£+1, U2)—оснащенное подмногообразие полосы Еп+кх1,
осуществляющее гомологию (Ml U2)~(Ml U2). Если бы имели
место включения M^+1dEtL+kxI и Mf+1cz/:S+*x/f то оснащенные
многообразия (М\+1У Ul) и (Aif+1, U2) не пересекались бы и их
объединение было бы оснащенным многообразием,
осуществляющим гомологию (Ml Ux){](Ml U2)~(Ml U1)[}(Ml U2). Пусть
е— вектор пространства En+k, ортогональный к En+k~1 и
направленный в полупространство Е1+к. Обозначим через gt отображение
пространства En+k на себя, переводящее точку х в точку x + te. \
Выберем вектор е настолько длинным, чтобы имели место вклю- !
чения
g-1(Mft+1)czEnJ-kxI, gx(Mk2+1)c:En++kxI.
Заметим, наконец, что оснащенное многообразие g-t(Ml UJi) j
l)gt(M2t U2) осуществляет деформацию многообразия (Ml UJl)
I) (Ml 02) в многообразие g-.x(Ml O^UgiiML 02), так что
в силу «С» имеет место гомология g-i(Ml O^Ugi^l ^2) "
~№> Ux)[\(Ml 0Ш). Точно так же g.t(Ml Ux) \Jg1(Ml U2)~
~(Mf, U1)\J(Ml U2). Таким образом,
(Ml 0г) и (Ml 0Ш) ~ (Ml и,) и (Ml u2).
Из независимости операции сложения от выбора
представителей следует, что нулем группы П* служит класс, содержащий
пустое оснащенное многообразие, т. е. класс гомологичных нулю i
оснащенных многообразий. Докажем, что противоположный
элемент —л к элементу л описывается указанным в определений
способом.
Будем считать, что евклидово пространство Еп+к лежит в евкли- j
довом пространстве Еп+к+1> где оно определяется уравнением
уп+k+i — o Будем также считать, что все точки многообразия
Мк находятся на расстоянии, меньшем единицы, от гиперплоско-

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
611
и gn+k-i (см. п. «С»). Пусть E*l+k и Е1+к—те полупространства
пространства Еп + ку на которые гиперплоскость En+k~1 его
разбивает, причем MkaErl+k. Будем вращать полупространство Е%+к в
полупространстве уп+к+1^0 пространства En+k+1 до совмещения
с полупространством Е!+к; тогда в процессе движения оснащенное
многообразие (Mk, U) опишет оснащенное подмногообразие
Ш*+1» ^*) полупространства уп+к+1^0. Оснащенное
многообразие (Мк+1у U*) целиком лежит в полосе 0^.уп+к+1^1 пространства
£п+ь+г и осуществляет гомологию оснащенного многообразия
(Мк, U)\j(o(Mk)y a(U)) нулю.
Множество всех отображений сферы 2rt+* в сферу Sn разобьем
на классы попарно гомотопных между собой и совокупность всех
этих классов обозначим через nn+k(Sn). Так как между
элементами группы П£ и элементами множества nn+k(Sn) существует
вполне определенное взаимно однозначное соответствие (см. § 6),
то операция сложения, определенная в П£, индуцирует операцию
сложения в nn+k(Sn). Нетрудно показать, что так определенная
в множестве nn+k(Sn) операция сложения совпадает с обычной
операцией сложения элементов гомотипической группы (см. [10]).
Однако это обстоятельство в настоящей работе ни доказываться,
ни использоваться не будет. Для читателя, владеющего элементами
гомотопической теории, доказательство этого факта не составит
никакого труда.
Ортогонализация оснащений.
Нижеследующее предложение «G» показывает, что в теории
гомологии оснащенных многообразий можно ограничиться
рассмотрением ортонормальных оснащений. Предложение «Н» дает подход
к вопросу о гомотопической классификации ортонормальных
оснащений подмногообразий евклидова пространства.
F) Пусть U = {ии ..., ип)—линейно независимая система
векторов евклидова векторного пространства Е1. Подвергнем эту
систему ортогонализации, т. е. найдем ортонормальную систему
^={и19 . .., и), получаемую из системы U по формулам
п
Uj = 2 в/И/» / == 1» . . . , Я,
гДе коэффициенты а) удовлетворяют условиям
а} —0 при t>/; 0/>O при / = /.
Этими условиями коэффициенты а) определяются однозначно —
°ни выражаются через скалярные произведения векторов системы U.
Если система U ортонормальна, то £/ = £/. Положим
£/' = {и£, ..., 4Ь
20*

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
где
и{ = и{(\ —1) + utt.
Система U* линейно независима, так как матрица ||(1 — /)6j.—/а*|
невырождена. Таким образом, система и = иг получается из сие»
темы U = U° при помощи непрерывной деформации, однозначно
определенной системой U.
D) Пусть U (х)— некоторое оснащение многообразия М\
Оснащение и*(х) (см. п. «F») осуществляет непрерывную деформацию
исходного оснащения U (х) в ортонормальное оснащение 0(х).
Если исходное оснащение является гладким класса /п, то вся
деформация Vх также является гладкой класса /п. Наконец, если
имеется деформация Ut (x), O^t^C 1, некоторого ортонормального
оснащения UQ (х) в другое ортонормальное оснащение Ux (л:), то
существует и ортонормальная деформация Ut(x) оснащения U0(x)
в оснащение U1(x).
Н) Пусть (Мк, V)—ортонормально оснащенное
подмногообразие ориентированного евклидова пространства Еп+к. В силу
замечания к определению 3 многообразие Мк имеет определенную
ориентацию, и мы будем говорить, что V есть оснащение
ориентированного многообразия Mk. Пусть U — произвольное
ортонормальное оснащение ориентированного многообразия Мк. Сравним
оснащения V и £/. К каждой нормали Nx к многообразию Мк
имеются две ортонормальные системы векторов:
v(x) = {v1(x), . ..,М*)}. и U{x) = {u1(x)f ...,un(x)};
поэтому мы имеем
п
ui(х) = 2 /,•/(х) V;(х), i = 1, ..., л,
где f(x) = \\fu(x)\\—ортогональная матрица с положительным
детерминантом. Таким образом, каждому ортонормальному
оснащению U при фиксированном V соответствует отображение /
многообразия Mk в многообразие Нп всех ортогональных матриц
с положительным детерминантом: U —> /. Очевидно, что и обратно,
всякому отображению / многообразия Мк в Н. однозначно .
соответствует ортонормальное оснащение U: f—>U. Допустим, что
наряду с фиксированным оснащением V имеются два ортонор-
мальных U0 и Ux ориентированного многообразия Мку и пусть
U0—> f0, Ux—>fx. Легко видеть, что оснащения U0 и Ux тогда и
только тогда гомотдпны между собой, когда отображения /0 и h
гомотопны. Таким образом, гомотопическая классификация всех
оснащений ориентированного подмногообразия Мк
ориентированного евклидова пространства Ел+к эквивалентна гомотопической
классификации отображений многообразия Мк в многообразие Нп
всех ортогональных матриц порядка п с положительным
детерминантом.

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 613
§ 8. Операция надстройки
В настоящем параграфе будет определена и до некоторой
степени изучена операция надстройки над оснащенным
многообразием, играющая важную роль в вопросе о гомотопической
классификации отображений сферы в сферу. Пусть (Мк,
(^—оснащенное подмногообразие евклидова пространства Еп+к,
расположенного в евклидовом пространстве En+k+l. В каждой точке х£Мк
проведем в Еп+к+1 единичный вектор ип+1(х), перпендикулярный
к гиперплоскости Еп+к, так, чтобы все векторы utl+1(x), х£Мк,
были направлены в одну сторону, и положим EU(x)={u1(x)9...
...,ип (х)У ип+1 (х)}. Оснащенное многообразие Е (Мк9 U) = (Мк, EU)
евклидова пространства Еп+к+1 называется надстройкой под
оснащенным многообразием (Мк, U). Оказывается, что гомологичным
оснащенным многообразиям соответствуют гомологичные
надстройки и что возникающее так отображение Е группы П*
в группу П*+1 (см. определение 6) есть гомоморфизм. В теореме 11
доказывается, что при n^k+l гомоморфизм £ есть
гомоморфизм на, а при n^k+2—изоморфизм, так что группы П|+2,
Щ+3, • • • все естественным образом изоморфны между собой.
В терминах отображений сфер операцию надстройки можно
описать следующим образом. Пусть р' и q'—полюсы сферы
2»+*+if а 2«+*—ее экватор, т. е. сечение гиперплоскостью,
перпендикулярной к отрезку p'q' и проходящей через середину этого
отрезка. Точно так же пусть р и q—полюсы сферы Sa+1, a S" —
ее экватор. Отображению / сферы 2П+* в сферу Sa ставится
в соответствие отображение Ef сферы 2п+к+1 в сферу Sn+1, изо-
метрично налагающее меридиан p'xq'9 х£2п+к, сферы 2w+ft+1 на
меридиан pf(x)q сферы Sn+1. Надстройка Ef над отображением f
в описанной здесь форме была введена Фрейденталем [11]. В
настоящей работе она использоваться не будет. То обстоятельство,
что надстройка над отображением и надстройка над оснащенным
многообразием соответствуют друг другу в смысле определения 5,
доказывается легко, но доказательство здесь не приводится.
Определение 7. Пусть {Мку t/), U (х) = {и1 (х), ...
• •., ип (х)},— оснащенное подмногообразие ориентированного
евклидова пространства Еп+к и Еп+к+1—ориентированное
евклидово пространство, содержащее Еп+к. Пусть elf ..., ei + k—базис
векторного пространства Еп+к, задающий его ориентацию, и eit+k+1—
такой единичный вектор пространства Еп+к+19 ортогональный
к Еп+к, что базис е19 ..., еп+к9 en+k+1 задает ориентацию
пространства Еп+к+1. Обозначим через ип+1 (х) вектор, выходящий из
точки х£Мк и получаемый из вектора en+k+1 параллельным
переносом. Положим
Еи(х) = {иг(х), ..., ut(x)f un+1(x)}.

614 *4. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Тогда Е (Mky U) = (М*, EU) есть оснащенное подмногообразие
евклидова пространства Еп+к+1. Оснащенное многообразие
Е (Mk, U) называется надстройкой над оснащенным
многообразием (Mk, [/). Оказывается, что из (Af§, UQ)~(M![y £/х) следует"
что Е (MJ, U0)~E (Л1£, f/j). Таким образом, соответствие (Mkt JJ) -J>
—* Е (Mk, U) порождает отображение группы П£ в группу №
Это отображение оказывается гомоморфизмом; мы будем
обозначать его также через Е.
Покажем, что если (Ml U0)~(M$9 Ux), то £(М§, U0)^
~E(M![9 Uj). Пусть (Mk+1, U*)—оснащенное подмногообразие
полосы En+kxl, осуществляющее гомологию (AfJ, U0)~(M\, Uj.
В полосе En+k+1xl в точку y$Mk+1 выберем единичный вектор
u*n+i(y), ортогональный к полосе En+kxl и направленный так же,
как вектор en + k+1. Положим EU* (у) = {и[ (у), ..., и*п (у), и*п+1(у)}[
Очевидно, что оснащенное подмногообразие E(Mk+1, U*) =
= (Mk+1, EU*) полосы En+k+1xl осуществляет гомологию
E{Ml Ut)~E(MbUx).
Гомоморфность отображения Е проверяется еще проще.
Гомоморфизм Е группы П£ в группу П£+1 в ряде случаев
оказывается гомоморфизмом на или даже изоморфизмом на. Займемся
изучением этих случаев. Для этого предварительно докажем
следующее предложение.
А) Пусть En+k+1—ориентированное евклидово пространство
и En+k—его ориентированная гиперплоскость. Пусть, далее,
(Mk+1, V)—ортонормально оснащенное подмногообразие полосы
En+k+1xl> причем само многообразие Mk+1 лежит в полосе
£"**х/. Случай замкнутого многообразия Mk+1 не исключается.
Будем считать, что край многообразия Mh+1 состоит из
многообразий М$хО и Afjxl, причем M%aEn+k} M$aEn+k.
Допустим, что на краях MjjxO и М\х\ оснащение V является
надстройкой, т. е.
V(x, т) = £(/т(х)хт, т = 0,1,
где Ux есть оснащение многообразия М\, т = 0, 1, в
пространстве £'•"*. В каждой точке x£Mk+1 выберем единичный вектор
ип+1(х)у ортогональный к Еп+кх1 и надлежащим образом
направленный. В нормали Nx к многообразию Мк+1 в точке х в
пространстве Еп+к+1х1 имеется базис v1(x), ..., vn+1(x). Поэтому для
вектора ип+1(х)у также лежащего в Nx, мы имеем
un+i(x) = V(x)vi(x)+ --.+V+l{x)Vn+i(x). (О
Пусть N—евклидово пространство размерности л+1 с
фиксированной в нем декартовой системой координат и ©"—единичная
сфера этого пространства с центром в начале координат. Точку
(О, ..., 0, 1) сферы ®" обозначим через 33. Каждой точке
x£Mk+1 поставим теперь в соответствие точку яр (л:) сферы S"
с координатами ^1(х)у ..., tyn+1(x). Таким образом, г|э есть

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 615
отображение многообразия Мк+1 в сферу ©п, переводящее весь
край в точку 23. Допустим, что существует непрерывная
деформация г|^, 0^/^1, отображения i|) = ij)0 в отображение ф1?
переводящее все многообразие Мк+1 в точку 23, в течение которой
край многообразия Мк+1 остается все время отображенным
в точку 33. Оказывается тогда, что существует деформация
оснащения V в оснащение EU, где U есть оснащение многообразия
ДОА+1 в Еп+кх1, причем в течение деформации оснащение
остается неизменным на крае многообразия Мк+1. Для замкнутого
многообразия Мк+1 это означает, что оснащенное многообразие
(Mh+1f У) гомологично оснащенному многообразию Е(Мк+19 U).
Для незамкнутого многообразия Мк+1 это позволяет из
гомологии Е(Мк, UQ)~E {М\, иг), осуществленной оснащенным
многообразием (Мк+19 V), вывести гомологию (МJ, f/0)~(Aff, их).
Докажем предложение «А». Введем в Nx декартовы
координаты, соответствующие базису v1(x)t ..., vn+1(x), и пусть Хх—
покоординатное отображение пространства N на Nx. Положим
ty(x, t) = lkxty1_t(x). Вектор г|>(х, t) пространства Еп+к+1х1 лежит
в Nx и непрерывно зависит от пары переменных (ху t)t причем
ф(х, 0) = vn+1(x)y a ty(x, l) = un+1(x). Ортогональное к вектору
ty(x, t) подпространство пространства Nx обозначим через Pxt.
Так как -ф (х, 0) = vn+1 (х), то векторы vx (х), ..., vn(x) составляют
базис пространства Рх0. Принимая его за начальный и применяя
к переменному векторному пространству Pxt предложение «А»
§ 7, мы получим базис £/(х, t) этого пространства. Вместе с
вектором ip(x, t) этот базис и дает нам искомую деформацию
оснащения V. Таким образом, предложение «А» доказано.
Теорема 11. Гомоморфизм Е группы Пк в группу Пк+1 есть
гомоморфизм на при п ^ k + 1 и есть изоморфизм на при п ^
>fe + 2. Таким образом, группы Щ+2У П|+3, ... естественным
образом изоморфны между собой.
Доказательство. Пусть n^fe+1, n^Uk+1 и (Мк, U) —
оснащенное подмногообразие евклидова пространства Еп+к+1>
входящее в класс гомологии л. В силу предложения «D» § 2
существует такое одномерное направление Е1 проектирования,
при котором многообразие Мк проектируется регулярно без
самопересечений на многообразие Мк. Проектирование в
направлении Е1 будем осуществлять на гиперплоскость Еп+% пространства
£n+*+1, ортогональную к Е1, так что МкаЕп+к. Каждую точку
х£Мк заставим прямолинейно и равномерно двигаться в
направлении Е1 до совпадения с ее проекцией на Мк так, чтобы она
прошла весь путь за единицу времени. Это дает деформацию
Многообразия Мк в многообразие Мк. В силу предложений «В»
и «G» § 7 существует деформация оснащенного многообразия
{тк, 0) в ортонормально оснащенное многообразие (Мк, U).
Так как п ^ к -f 1, то отображение г|э многообразия Мк в сферу @п>

616 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
построенное в предложении «А», гомотопно отображению много
образия Мк в точку 33, и потому оснащение V многообразия Af*
гомотопно оснащению EU того же многообразия. В силу
предложения «С» § 7 имеем (Мк, U)~E(Mk, U). Пусть л £11* —класс
гомологии оснащенного многообразия (Mk, U)\ тогда мы имеем
л —Ел. Таким образом, доказано, что Пк+1 = ЕПк при n^k-\- \
Допустим теперь, что n^fe+2, и покажем, что Е есть
изоморфизм, т. е. что при л0 g П£, лг £ П* из соотношения Ел0 = Ел
вытекает, что я0 = Д!. Пусть (A1J, (70) и (УИ{, f/j) —ортонормально
оснащенные многообразия из классов гомологии л0 и ли
расположенные в евклидовом пространстве Еп+ксЕп+к+1. Пусть, далее
(Йк+1У 0)—оснащенное подмногообразие полосы Еп+к+1х19
осуществляющее гомологию Е(М$9 U0)^E (М\9 их). Обозначим через
Ё1 одномерное направление в пространстве Еп+к+1х19
ортогональное к полосе Еп+кх1. В силу предложения «D» § 2 в любой
близости к направлению Ё1 существует проектирующее
направление Е1, проектирование по которому многообразия Мк+1
происходит регулярно и без самопересечений. Выберем Е1 настолько
близким к £\ чтобы проекция Мк+1 многообразия Мк+1 в
направлении Е1 лежала в полосе Еп+кх1. Деформация
многообразия Mk+1 в многообразие Mk+1 составляет неподвижным край, и
потому имеющаяся, в силу предложений «В» и «G» § 7, дефор-
мация оснащенного многообразия (Mk+1, U) в ортонормально
оснащенное многообразие (Мк+19 U) оставляет оснащение на крае
неизменным. Таким образом, теперь гомология Е (Mk09 £/0)~
~ Е (М\9 Ux) осуществляется оснащенным многообразием (Мк+19 V),
причем Мк+1аЕп+кх1, т. е. выполнены условия предложения
«А», и, следовательно, оснащенные многообразия (Мк, £/0) и
(MJ, Uj) гомологичны между собой. Таким образом, k0 = jv
Итак, теорема 11 доказана.
ГЛАВА III
ХОПФОВСКИЙ ИНВАРИАНТ
§ 9. Гомотопическая классификация отображений
n-мерных многообразий в /^-мерную сферу
В настоящем параграфе дается гомотопическая классификация
отображений гладких замкнутых ориентированных многообразий
размерности п в n-мерную сферу. Результат этот хорошо известен
и для негладких многообразий, но в настоящей работе он играет
важную вспомогательную роль. Доказательство проводится
специфическими для гладких многообразий методами, что упрощает
применение этого результата в последующих параграфах работы.

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 617'
В первую очередь определяется степень отображения и
доказываются простейшие ее свойства. Далее на основе построенной
ранее теории дается классификация отображений n-мерной сферы
в n-мерную, что дает элементарную иллюстрацию общих
результатов предыдущих параграфов. Наконец, классификация
отображений /г-мерного многообразия в л-мерную сферу сводится
к классификации отображений /г-мерной сферы в л-мерную.
Степень отображения.
Определение 8. Пусть /—гладкое отображение г-мерного
ориентированного многообразия Рт в r-мерное ориентированное
многообразие Qr и Ь—такая внутренняя точка многообразия Qr,
являющаяся правильной точкой отображения /, полный прообраз
которой компактен и не пересекается с краем многообразия Рг.
В этих предположениях полный прообраз /_1 (Ь) состоит из
конечного числа точек а1У ..., ар, в каждой из которых
функциональный определитель отображения / отличен от нуля, и потому
имеет определенный знак (многообразия Рг и Qr ориентированы).
Знак функционального определителя отображения / в точке аг
обозначим через ©,-( = ±1), 1=1, ..., р и будем называть его
степенью отображения f в точке а{. Сумма гг+ ... +вр
называется степенью отображения f в точке Ь. Если теперь оба
многообразия Рг и Qr замкнуты, то множество G всех точек ft, для
которых выполнены выдвинутые выше требования, составляет
всюду плотную в Qr область (см. теорему 4). Ниже будет
показано (см. «В»), что если, сверх того, многообразие Qr связно, то
во всех точках b£G степень отображения f одинакова; она
называется степенью отображения f. Ниже будет также показано
(см. «В»), что степени гомотопных между собой отображений
совпадают. Таким образом, в случае, когда многообразие Рг
замкнуто, а многообразие Qr связно и замкнуто, степень отображения
является инвариантом класса гомотопных между собой
отображений и потому определена для любого непрерывного отображения.
А) Пусть Qr—связное замкнутое многообразие,
Pr+1—компактное многообразие с границей Pr\ f—гладкое отображение
многообразия Pr+1 в многообразие Qr и, наконец, b£Qr—правильная
точка отображения f многообразия Рг в Qr. Оказывается, что
степень отображения / в точке Ь равна нулю.
Докажем это. Пусть V—связная окрестность точки b в Qry
состоящая из правильных точек отображения f многообразия Рг
в Qr. Легко видеть, что во всех точках bf £ V степень
отображения / многообразия Рг в Qr одна и та же. Поэтому без
ограничения общности мы можем считать, что точка b есть правильная
точка отображения / многообразия Pr+1 в Qr (см. теорему 4).
Таким образом, f"1(b) есть одномерное подмногообразие М1 мно-
гообразия Pr+1 и потому состоит из конечного числа компонент,,
Некоторые из которых гомеоморфны окружности, а остальные —

618 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
отрезку. Все точки полного прообраза точки ft в Рг являются
^концами компонент многообразия М1. Пусть L1—компонента
многообразия М1, гомеоморфная отрезку; концы ее мы обозначим
через а0 и ах. В силу результатов § 4 [см. (2)] для заданной
системы координат у1, ..., уг с началом в ft, определенной в не-
которой окрестности точки ft, можно выбрать такие координаты
х1, ..., xr+1 в окрестности точки а 6 /Л что отображение / в этих
координатах записывается формулами
Будем считать, что координаты у1, ..., уг задают ориентацию
многообразия Qr. В координатах х1, ..., xr+1 кривая L1 задается
уравнениями ^ = 0, ...,л:г = 0, т. е. xr+1—переменный параметр
на кривой L1. Будем считать, что при возрастании параметра
xr+i точка на кривой L1 движется от а0 к ах. При этих условиях
координаты л:1, ..., xr+1 могут не определять заданную
ориентацию многообразия Рг+1> и мы обозначим через е( = ±1) знак,
отличающий ориентацию, заданную в Pr+1 от ориентации,
определяемой координатами х1, ..., xr+1. Легко проверяется, что е
не зависит от случайного выбора системы координат х1, ..., xr+1
и не меняется при перемещении точки а вдоль кривой L1. Из
определения ориентации границы (см. § 1, п. «В») следует, что
степень отображения / многообразия Рг равна —е-(—1)г в точке ^
и равна е-(—1)г в точке ах. Применяя это рассмотрение ко всем
гомеоморфным отрезку компонентам многообразия At1, мы
убеждаемся, что степень отображения / в точке ft равна нулю.
В) Пусть /0 и /j—два гомотопных между собой гладких
отображения замкнутого ориентированного многообразия Рг в связное
замкнутое ориентированное многообразие Qr\Gt—множество всех
правильных точек b£Qr отображения />, / = 0, 1. Оказывается,
что при b^G0f\G1 степени отображений /0 и /х в точке ft равны
между собой. Далее, оказывается, что если ft0 и Ьг—две точки
из G0, то степени отображения /0 в точках ft0 и Ьг равны между
собой.
Докажем предложение «В». Так как отображения /0 и fx
гомотопны, то существует гладкое семейство }ь связывающее их
(см. теорему 8). Семейству ft соответствует отображение f*
произведения Ргх1 (см. § 5, п. «С»). Край многообразия Ргх1
состоит из многообразий Ргх0 и Ргх1. Выберем ориентацию
многообразия Ргх1 таким образом, чтобы многообразие РгхО
входило в границу произведения Ргх1 со знаком плюс; тогда
многообразие Ргх\ будет входить в границу произведения Ягх/
со знаком минус. Из этого и из предложения «А» следует, что
степени отображений /0 и Д в точке ft совпадают.
Покажем теперь, что степени отображения /0 совпадают во
всех точках ft£G0. Пусть X—некоторая система координате
началом в точке c£Qr; У—шаровая окрестность точки с, взятая

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 619
этой системе координат. Пусть, далее Ь0 и Ьг—две точки из
V Л Go- Легко построить регулярное гомеоморфное отображение ф
многообразия Qr на себя, при котором все точки множества
nr\V остаются на месте, а точка Ь0 переходит в точку Ьг. Такое
отображение ф, очевидно, гомотопно тождественному. Очевидна
также, что степень отображения ф/0 в точке Ьг равна степени
отображения /0 в точке й0, а так как отображения ф/0 и /0
гомотопны между собой, то степени их в точке Ьх совпадают. Таким
образом, степени отображения f0 во всех точках b£Vf\G равны
между собой. Из этого в силу того, что Ql связано, а множество G0
всюду плотно в Qr, следует, что степень отображения /0 во всех
точках Ъ б G0 одинакова.
Отображения /^-мерной сферы в /1-мерную.
С) Пусть (М°, U)—нульмерное оснащенное подмногообразие
ориентированного евклидова пространства Еп. Так как М° есть
компактное подмногообразие, то оно состоит из конечного числа
точек а19 ..., аг. Точке а{ припишется индекс + 1, если векторы
их(а(), ..., tin(al) дают положительную ориентацию пространства
ЕпУ и индекс—1 в противоположном случае. Сумму I(M°, U)
индексов всех точек а19 ..., аг будем называть индексом
оснащенного многообразия. Очевидно, что индекс оснащенного
многообразия (М°, U) равен степени соответствующего отображения
(см. определение 5) ориентированной сферы 2" в ориентированную
сферу S".
Теорема 12. Если два отображения f0 и f± ориентированной
сферы 2" в ориентированную сферу Sn имеют одинаковую степень,
то они гомотопны между собой. При этом существуют
отображения с любой заданной целочисленной степенью.
Доказательство. Из предложения «С» и теоремы 10
следует, что для доказательства теоремы достаточно установить
гомологичность оснащенных нульмерных многообразий с
одинаковым индексом и существование нульмерных оснащенных
многообразий с любым индексом. Легко видеть, что два оснащенных
многообразия (М°0, U0) и (М\, Ux), каждое из которых состоит
из одной точки и имеет индекс + 1, получаются друг из друга
деформацией (см. § 7, п. «В») и потому принадлежат одному
классу гомологии (см. § 7, п. «С»). Таким образом, все
«одноточечные» оснащенные многообразия, имеющие индекс + 1,
принадлежат одному классу гомологии е. Точно так же все «одноточечные»
оснащенные многообразия, имеющие индекс —1, принадлежат
одному классу гомологии е'. Так как при симметрии относительно
любой гиперплоскости пространство Еп меняет ориентацию, то
в' = — е (см. определение 6). Так как, далее, каждое нульмерное
оснащенное многообразие (М°, U) является объединением
конечного числа «одноточечных» оснащенных многообразий, часть из.
которых имеет индекс + 1, а часть—индекс —1,то е есть обра-

£20 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
зующая группы П„, причем (М°, U) принадлежит классу / (М°, f/).e
Таким образом, два нульмерных оснащенных многообразия с одц1
наковыми индексами гомологичны между собой. Ясно также, что
существуют нульмерные оснащенные многообразия с любым цельш
индексом.
Итак, теорема 12 доказана.
Из теоремы 12 и п. «С» следует, что группа П° или, что то
же самое, группа пп (Sn) является свободной циклической.
D) Пусть f—гладкое отображение ориентированной сферы
2И+* в ориентированную сферу S1 и g—гладкое отображение
сферы 2"+* в себя со степенью v. Элемент группы П*,
соответствующий отображению /, обозначим через я, а элемент группы
П*, соответствующий отображению fg,— через л/. Оказывается
тогда, что
Докажем соотношение (1). Пусть р' и q'—северный и южный
полюсы сферы 2n+*; En+k—касательная в точке р' к сфере 2"+*
и ф—центральное проектирование из точки q области 2n+k\q'
на пространство Еп+к. При v= 1 отображение g гомотопно
тождественному (см. теорему 12), и потому в этом случае соотношение
(1) верно. Докажем его для v = —1. Так как все отображения
сферы 2П+* на себя, имеющие степень —1, гомотопны между
собой, то достаточно рассмотреть одно какое-либо отображение g
степени —1. Пусть Еп+к~1 — какая-либо гиперплоскость
пространства Еп+к, проходящая через точку р\ и а—симметрия
пространства En+k относительно этой гиперплоскости. Отображение
g = y-1oq> области 2n+J*\qf на себя, дополненное соотношением
g(q') = q\ является отображением сферы 2n+k на себя со
степенью — 1. Для построенного так отображения g соотношение
(1) очевидно.
Пусть теперь g—гладкое отображение сферы 2п+к в себя,
для которого множество g-1(//) состоит из правильных точек
отображения g и не содержит точки g'\ этого всегда можно
достигнуть малым изменением любого заданного отображения g.
Пусть (pg~1(p) — {a0, ..., аг}\ знак функционального
определителя отображения g в точке ф_1(а/) обозначим через е,. Пусть,
далее, V,-—шар радиуса б в пространстве En+k с центром в а{.
Будем считать 6 настолько малым, что можно провести такую
не пересекающую шары V( гиперплоскость Е1+к~г пространства
Еп+к> что любая заранее указанная часть множества \а19 ..., аг}
лежит по одну ее сторону, а остальная—по другую. Выберем
настолько малое положительное число а, чтобы для шаровой
окрестности Ка точки р' полный прообраз g~1{Ka) состоял из
правильных точек отображения g и распадался на области
А19 ..., Ar\ a(^Ah каждая из которых при помощи g гладко
гомеоморфно отображается на Ка- Предположим, кроме того,

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 621
число а настолько малым, что <р(А{)с:У;. Определим теперь
отображение А,- сферы 2й+k на себя как совпадающее с coag
/сМ п. «В») на А; и переводящее множество 2>+*\Л,. в точку q'.
Так как отображение ft,- имеет степень е,, то соответствующее
отображению /ft,- оснащенное многообразие {Mkt, V)} принадлежит
классу гомологии е^л. Очевидно, что M^aVi и что отображению
fa> g соответствует оснащенное многообразие {М\, иг) и ...
\a.\](Mkr, Ur). Так как отображение со^ и g гомотопны, то из
сказанного и из возможности указанным ранее образом провести
гиперплоскость Е^'1 следует правильность соотношения (1).
Отображения я-мерного многообразия в я-мерную сферу.
Нижеследующая теорема 13 полностью решает вопрос о
гомотопической классификации отображений ориентируемых
замкнутых я-мерных многообразий в я-мерную сферу. Теорема 13
доказывается путем сведения ее к теореме 12 о классификации
отображений я-мерной сферы в я-мерную.
Теорема 13. Два непрерывных отображения f0 и /х связного
ориентированного гладкого многообразия Мп в ориентированную
сферу Sn тогда и только тогда гомотопны между собой, когда
они имеют одинаковую степень (см. определение 8). Если, в
частности, степень отображения равна нулю, то отображение
гомотопно нулю, т. е. стягиваемо в точку. При этом существуют
отображения с любой заданной целочисленной степенью.
Доказательство. Для доказательства первой части теоремы
достаточно показать, что если отображения /0 и fx гладки и имеют
одинаковую степень, то они гомотопны между собой. Для того
чтобы свести доказательство этого факта к теореме 12, покажем
прежде всего, что любая конечная совокупность Q точек
многообразия Мп может быть включена в область В многообразия
Мп, гладко гомеоморфную я-мерному шару.
Легко построить гладкую простую замкнутую кривую К,
расположенную без самопересечений в Мп, содержащую все точки
совокупности Q. Будем считать, что Мп есть подмногообразие
евклидова пространства Е2п+1, и обозначим через Nx, взятую
в £2n+i нормаль к кривой К в точке х£К. Так же как в
предложении «А» § 5, обозначим через Н6(х) шар евклидова
пространства Nx с центром в л: и радиусом 6. Существует тогда настолько
малое положительное число б, что совокупность W6 = H6(K) есть
окрестность кривой К в Е2п+1 и что, ставя в соответствие каждой
точке у g И^б ту точку х = п(у), для которой у£Н6(х), мы
получим гладкое отображение л многообразия W& на кривую К
(см. § 5, п. «А»). Выделим на замкнутой кривой К отрезок /,,
содержащий все точки множества Q внутри себя, и введем на
отрезке L гладким образом параметр t, —l^tf^l. Таким
образом, каждому значению параметра t, —l^^^l, соответствует
точка x(t)£K. Касательную к многообразию Mk в точке х£К

622 24- ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
обозначим через Тх и положим N't = Nx{t) Г) Txii). В векторном
пространстве N't выберем ортонормальный базис ег (t)> ..., еп_ (а
Пользуясь предложением «А» § 7 и процессом ортогонализации
(см. § 7, п. «&>), нетрудно сделать это так, чтобы базис
e1(t)9 ..., en_1(t) гладко зависел от параметра t. Пусть W6 ==.
= Mnr\W&, и пусть я'—отображение я, рассматриваемое на W*
Полный прообраз точки x(t) £L в W& при отображении л'
обозначим через H't. Пусть в—положительное число. Обозначим через
Щ шар радиуса ej/l — t2 в пространстве N't с центром в x(t).
При ортогональном проектировании %t многообразия Мп на
пространство Tx{t) некоторая окрестность точки x(t) в
многообразии Мп проектируется гладко, регулярно и гомеоморфно
на некоторую окрестность точки x(t) в Txit). Из этого следует,
что при достаточно малом 6 проектирование %t является гладким,
регулярным и гомеоморфным отображением многообразия И\ на
некоторую окрестность точки x(t) в N't, и потому существует
настолько малое число е, что H'ia%t(H't), —1^/<1. Координаты
точки г^Щ относительно базиса e1(t)f...f en_1(t) обозначим
через ez1, ..., ezrt_1 и числа г1, ..., г*"1, t примем за
координаты точки ХГМ2)- Совокупность В всех точек xjx(z)y —l^f^l,
z£Hh составляет область в Мпу в которой гладким образом
введены координаты z1, ..., z*-1, t, удовлетворяющие условию
(z1)«+...+(z»-1)«+<i<l.
Таким образом, область В гладко гомеоморфна открытому
л-мерному шару.
Выберем теперь в сфере Sn точку р таким образом, чтобы
множество ft* (р) — Ри tf = 0, 1, состояло из правильных точек
отображения ft (см. теорему 4). Положим Q = P0\jPlJ и пусть
В—шаровая область многообразия Мп, содержащая конечное
множество Q. Точку р примем за северный полюс сферы Sn
и обозначим через q ее южный полюс. Пусть а—настолько малое
положительное число, что шаровая окрестность Ка (см- § 6, п. «В»)
точки р удовлетворяет условиям
AtaB, где At = f?(Ka)> ' = 0,1, (2)
и пусть соа—отображение сферы S1 на себя, соответствующее
выбранному числу а (см. § 6, п. «А»). Так как отображение
о)а гомотопно тождественному, то отображения со^ и /^,/ = 0,1,
гомотопны между собой. Будем считать, что В есть единичный
шар некоторого евклидова пространства Rn. Тогда существует
такое положительное число р<1,что шар В$ радиуса Р,
концентрический с В, содержит множества Аь f = 0, 1. Пусть
Хр—отображение пространства R" на сферу S", описанное в предложении
«В» § 6. Отображение ft многообразия Мп на сферу Sn определим
как совпадающее с Хэ на шаре В и переводящее множество

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 623
М"\В в точку q. Так как множество Аь / = 0, 1, содержится
Be, T0 отображение ft гомеоморфно на множестве At.
Определим теперь отображение gb t — 0, 1, сферы Sn на себя
следующим образом. На множестве b(At) мы зададим его,
положим gt — tooLfft'1* а для x£Sn\§(At) положим gt (x) = q. Из этого
определения отображения gt следует, что
gt$ = <»Jb ' = 0, 1. (3)
Отображения ft и о)а/>, очевидно, имеют одинаковую степень
в точке р, а из соотношения (3) следует, что и отображения gt
и ft также имеют одинаковую степень в точке р. Так как
отображения /о и /i по предположению имеют равные степени, то равные
степени имеют и отображения g0 и gt сферы Sn на себя. Таким
образом, отображения g0 и gx сферы S" на себя гомотопны между
собой (см. теорему 12). Из этого следует, что и отображения g0b
и gt$ многообразия Мп в сферу Sn гомотопны между собой,
а следовательно, гомотопны и отображения о)а/0 и (uafx
многообразия Мп на сферу Sn [см. (3)]. Так как отображения соа/0
и соа/х соответственно гомотопны отображениям /0 и /х, то и эти
последние гомотопны между собой.
Построение отображения Мп —* Sn, имеющего заданную
целочисленную степень, проводится без труда.
Итак, теорема 13 доказана.
§ 10. Хопфовский инвариант отображения сферы 22**1
в сферу Sk+1
В гомотопической классификации отображений сферы в сферу
важную роль играет хопфовский инвариант, введенный впервые
для доказательства существования бесчисленного множества
классов отображений трехмерной сферы в двумерную [12]. Позже
инвариант этот был определен Хопфом для отображений (2k + 1)-
мерной сферы в (k+ 1)-мерную. Впрочем, для четного k
инвариант этот всегда равен нулю. Хопковский инвариант определяется
как коэффициент зацепления прообразов двух различных точек
сферы Sk+1 в сфере 22*+1. В этом параграфе дается прежде всего
определение коэффициента зацепления двух подмногообразий
евклидова пространства в форме, впервые предложенной Брауэром
[13], т. е. при посредстве степени отображения, а не при помощи
индекса пересечения (как это теперь принято). Эта форма более
соответствует характеру всей работы. Далее определяется
хопфовский инвариант, и, наконец, этот инвариант описывается при
помощи оснащенного многообразия, соответствующего
отображению. При этом устанавливается ряд связей между свойствами
оснащенных многообразий и свойствами хопфовского инварианта.
Связи эти играют решающую роль при классификации
отображений сферы размерности п + 2 в сферу размерности п.

624 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Коэффициент зацепления.
Определение 9. Пусть Мк и N1—два замкнутых гладких
ориентированных многообразия размерностей k и /, a f и g-—-их
непрерывные отображения в ориентированное евклидово простран-
ство Ек+1+1 размерности k + 1+l, причем множества f(Mk)
и g(Nl) не пересекаются. Пусть, далее Sk+l—единичная сфера
пространства Ек+1+1 с центром в произвольной точке О, взятая
с той ориентацией, которую она имеет как граница шара, и
MkxNl—ориентированное прямое произведение (см. § 1, п. «К»)
многообразий Мк и N1. Каждой точке (х, y)£MkxNt, x£Af\
y£Nl, соответствует ненулевой отрезок (f (х), g(y)) в пространстве
Ек+1+1у идущий из точки /(х) в точку g(y). Проведем из точки
О луч, параллельный отрезку (/(х), g(y))> и пересечение этого
луча с Sk+l обозначим через %(ху у). Степень отображения ^
ориентированного многообразия MkxNl в ориентированную сферу
Sk+l (см. определение 8) называется коэффициентом зацепления
отображенных многообразий (/, Мк) и (#, N1) и обозначается
через *>((/, Мк), (g9 N1)). Очевидно, что если отображения / и g
непрерывно изменяются: f = ft, g = gt—таким образом, что
множества ft(Mk) и gt(Nl) не пересекаются ни при каком t, то
отображение х = Х* также меняется непрерывно, и потому
коэффициент зацепления не меняется. В частном случае когда
многообразия Мк и N1 являются подмногообразиями пространства
Ек+1^19 а отображения fug суть тождественные, коэффициент
зацепления также определен и обозначается в этом случае через
Ъ(Мк, N1). Оказывается, что
»((*• АГ'), & А**)) = (-1)«+1^+1>»((/, М*)9 (g, N')). (1)
Докажем формулу (1). Пусть %'—отображение многообразия
NlxMk в Sk+t, аналогичное построенному выше отображению %.
Обозначим через X отображение многообразия NlxMk на
многообразие MkxNly переводящее точку (у, х) в точку (х, у), и пусть
\х—отображение сферы Sk+l на себя, переводящее каждую ее
точку в диаметрально противоположную. Очевидно, что степень
отображения X равна (—\)к1у а степень отображения \х равна
(—1)*+'+1. Легко видеть, далее, что %' = \i%X. Из сказанного
следует справедливость формулы (1).
А) Допустим, что вместо одного отображенного многообразия
(gy Nl) имеется два отображенных многообразия (gQ, Nl0) и (glt Ni)-
Допустим, далее, что существует ориентированное ограниченное
компактное многообразие Nl+1 ориентированный край которого
состоит из многообразий Nl0 и —N[ и существует отображение g
многообразия Nl+1 в пространство Ek+l+1, совпадающее с g0 на
N10 и с gx на N[y причем множества f(Mk) и g(Nl+1) не
пересекаются между собой. Оказывается тогда, что
»((f. M% (g9, Щ)) = Х>М, М% (gl, N{)). (2)

л
4. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 625
Докажем это. Границей многообразия MkxNl+1 служит
многообразие MkxNl0—MkxN[. Каждой точке (х, y)£MkxNl + l
соответствует отрезок (/(х), g(y)). Проведем из точки О луч,
параллельный отрезку (/(*), g(y)), и пересечение его со сферой
5&+1 обозначим через %(х, у). Таким образом, получается
непрерывное отображение х многообразия MkxNl+1 в сферу Sk+l,
й потому степень отображения х на его границе равна нулю
(см. § 9, п. «А»). Из этого непосредственно следует
справедливость формулы (2).
Хопфовский инвариант.
Определение 10. Пусть /—гладкое отображение
ориентированной сферы 22*+1 размерности 2fe-|-l в ориентированную
сферу S*+1 размерности к+ 1, fe^l. Пусть, далее, р' и
q'—северный и южный полюсы сферы 22*+1; Е2к+1—касательная к сфере
£2fc+i в хоцке р' и ф—центральная проекция множества H2k+1\q'
на пространство Е2к+1. В сфере Sk+1 выберем (см. теорему 4)
две отличные друг от друга и от f(q') правильные точки а0 и ах
отображения /; тогда М\ = ф/"1 (а0) и М\= ф/"1 (ах) суть
замкнутые ориентированные подмногообразия евклидова пространства
E2k+1 (см. введение к § 4: ориентация прообраза точки).
Положим
7(/) = 7(Л Р\ сг0У аг) = х>{М1 Мк). (3)
Оказывается, что y(f) есть гомотопический инвариант
отображения /, не зависящий от случайного выбора точек /?', а0 и аи и
что для четного k этот инвариант всегда равен нулю.
Докажем инвариантность числа y(f).
Пусть /0 и /j—два гладких гомотопных между собой
отображения сферы 22*+1 в Sk+1 и ft—гладкая деформация,
связывающая их. Деформации ft соответствует отображение /,
произведения 22*+1х/ в Sk+1 (см. § 5, п. «С»). Заметим, что при достаточно
малом смещении точек а0 и ах число y{ft), £ = 0, 1, не меняется,
так как многообразия Ф/Г1^/) претерпевают лишь малую
деформацию. Поэтому можно считать, что кривая ft{q')> O^tf^l, не
проходит через точки а0 и ах. Пусть г—настолько большое
натуральное число, что при \t' — /|< 1/г множества ftl{aQ) и fr^i^i)
не пересекаются между собой. Сдвинем теперь точки а0 и ах так,
чтобы они были правильными точками отображения /* и
отображений
/,; * = 0, 1/г, ..., (г—1)/г, 1.
Докажем, что Y (/i) = Y (/о) • Часть отрезка /, состоящую из точек,
Удовлетворяющих условию s/r^.t^(s+ l)/r, обозначим через /5,
и пусть Щ?}—полный прообраз точки а£ в полосе Mkxls при
отображении /*. В силу условий, наложенных на точки а0 и ах,
i_

I
g26 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
множество Afjft1 есть ориентированное подмногообразие
многообразия 22*+1х/5, имеющее своей границей многообразие—f~f* (а) л,
+ f(~sli)fr(^i)- Проектирование многообразия 22*+1х/ вдоль оси /
на сферу 22*+1 обозначим через я. Отображение фл многообра-
зия Щ+? определяет отображенное многообразие (фя, Mks+l) с гра-
ницей — ф/87г(а|) + Ф/^+1)/г(«/)- Так как множества фл(М*7) и
cpn(Mks^) не пересекаются между собой, то из «А» следует, что
y{fi<+i)/r) = y(fs/n)> a потому y(f1) = y(f0).
Докажем теперь, что y(f, Р\ ao» #i) не зависит от выбора
точек а0 и ах. Пусть вместо точек а0 и ах выбраны точки Ь0 и Ь
Существует, очевидно, гладкий гомеоморфизм X сферы Sk+1 на
себя, гомотопный тождественному, при котором Х(а;) — Ь(у / = 0, 1.
Очевидно, что у (If, р\ bQi &х) = Y (/» р'* ^о» ^i)» а так как
отображения Xf и / гомотопны между собой, то в силу уже
доказанного раньше получаем y(f, р\ ft0, b1)=^y(fi /?', а0, ах).
Аналогично доказывается, что y(f> p', а0, ах) не зависит от
выбора точки //, так как существует вращение сферы 22ft+1,
переводящее точку р' в произвольную другую точку сферы 22fe+1.
Покажем, наконец, что для четного k инвариант y(f)
обращается в нуль. Так как число y(f) не зависит от выбора
точек р0 и /?!, то их можно поменять ролями, и мы имеем
•о (Af$, Aff) = »(Af?, Af§). Так как, сверх того, в силу (1) а (М\, М\)=
= (— l)<fe+1>2*> (AfJ, Af{), то при четном & имеем t) (M$, MJ) = 0.
Хопфовский инвариант оснащенного многообразия.
Поскольку гомотопические классы отображений (2k + 1)-мерной
сферы в (k + 1)-мерную сферу находятся во взаимно однозначном
соответствии с гомологическими классами оснащенных fe-мерных
многообразий (2k + 1)-мерного евклидова пространства, то
инвариант y(f) может быть выражен как инвариант гомологического
класса оснащенных fe-мерных многообразий в (2k + 1)-мерном
пространстве. Дадим это выражение инварианта y(f).
В) Пусть (Мк, U), U(х)^{и1(х)у ..., uk+1(x)},—оснащенное
подмногообразие ориентированного евклидова пространства E2k+1
и Nx—нормаль к многообразию Mk в точке х£Мк. Эту нормаль
мы будем рассматривать как векторное пространство с началом
в точке ху так что U (х) есть базис пространства Nx. Выберем
произвольно вектор с={с19 ..., ск+1} некоторого координатного
евклидова пространства N и поставим в соответствие каждой
точке х € Мк точку с (х) = схих (х) + ... + ck+1uk+l (x) простран
ства Nx. При достаточно малом векторе с отображение с есть
гомеоморфное отображение многообразия Мк в пространство E2k+1
(см. § 5, п. «А»). Очевидно, что при сФ 0 многообразия Мк и
с(Мк) не пересекаются между собой и что для двух различных
ненулевых векторов сие' многообразия с(Мк) и с'(Мк)
гомотопны между собой в пространстве Е2к+1\Мк. Таким образом,
при достаточно малом, отличном от нуля векторе с коэффициент

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 627
зацепления ц(Мк, с(Мк)) не зависит от вектора с, и мы положим
у(М*9 U) = t}{Mk, с(Мк)).
Оказывается, что если f—>(Mk, U) (см. определение 5), то
уф = у(Мк, U). (4)
Так как y(f) есть гомотопический инвариант отображения /, то
у(Мк, U) есть гомологический инвариант оснащенного
многообразия (Мк, U).
Докажем формулу (4). Пусть /—гладкое отображение сферы
22*+1 в сферу S*+1 и p$Sk+1—правильная точка отображения f,
отличная от /(</')• Тогда для построения оснащенного
многообразия (Mk, [/), соответствующего отображению /, точку р можно
принять за северный полюс сферы Sk+l (см. определение 5).
Пусть ег, ..., ek+1—некоторый ортонормальный базис
касательной плоскости в точке р к сфере Sk+1 их1, ...,
хк+1—соответствующие этому базису координаты в области Sk+1\q (см. § 6,
п. «А»). Для построения инвариант у (/) примем за точку а0 полюс
/?, а за точку аг—точку с координатами х1 = си ..., хк+1=*сч+1.
При таком выборе точек а0 и ах многообразие Мк, очевидно,
совпадает с многообразием Мк, а многообразие М\ находится от
многообразия с(Мк) в близости второго порядка относительно
величины вектора с. Ввиду этого ъ (Мку с(Мк)) = ъ (М%, Мк), и
соотношение (4) доказано.
С) Пусть Щ+1—гомологическая группа оснащенных ^-мерных
многообразий евклидова ориентированного пространства Е2к+1.
Каждому элементу я£П£+1 поставим в соответствие целое число
у(л) = у(Мк, [/), где {Мк, U) есть оснащенное многообразие
класса я. В силу доказанного ранее (см. п. «В») число у (я) зависит
лишь от элемента я и не зависит от случайного выбора
оснащенного многообразия (Мку [/). Оказывается, что у есть
гомоморфное отображение группы П|+1 в аддитивную группу целых чисел.
Из этого следует, что множество Щ+1 всех элементов я g П£+1, для
которых 7(л) = 0, есть подгруппа группы П£+1.
Докажем предложение «С». Пусть ях и я2—два элемента
группы Щ+1, a (Af{, f/i) и (Ml f/2)—оснащенные многообразия,
принадлежащие соответственно классам ях и я2 и лежащие по
разные стороны от некоторой гиперплоскости Е2к пространства
Е2к+1. Пусть, далее S2k—единичная сфера пространства Е2к+1
с центром О, принадлежащим Е2к. Выберем произвольно малый
вектор с, определяющий смещения многообразия М\\]М\ (см.
п. «В»). Мы имеем
V (ях + я2) = » (Af * и Ml с (Мк U Af S)).
Коэффициент зацепления, стоящий в правой части, определяется
как степень отображения % многообразия (Мк (J М§ X с (М \ U Мк)

I
б98 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
на сферу S2k, причем отображение % строится по способу, ук«
занному в определении 9. Степень отображения % будем опреде1
лять в точке р сферы S2fe, лежащей весьма близко к
гиперплоскости Е2к. Благодаря такому выбору точки р отрезок (л:, с (и))
где х 6 Mf, У € Щ, не может быть параллелен отрезку (О, п)
Точно так же отрезок (х, с {у)), где х£Щ, у£М\, не может быть
параллелен отрезку (О, р). Из этого следует, что
t> {M\ U Ml с (Мк U Af J)) = * (Af {, с (Af*)) + & (Mi с (Alt)),
т. е. что
V (jtx + я2) = v (ях) + v (я2).
Таким образом, предложение «С» доказано^
D) Пусть /—гладкое отображение ориентированной сферы
22А5+1 в ориентированную сферу S*+1, g—отображение сферы 22*+i
в себя со степенью о, a A—отображение сферы Sk+1 в себя со
степенью т. Положим f' = hfg. Оказывается, что
7(П = ^2Т(/). (5)
Предложение «D» достаточно доказать раздельно для случая,
когда А есть тождественное отображение, и для случая, когда g
есть тождественное отображение. Правильность соотношения (5)
в случае, когда А есть тождественное отображение, следует из
предложения «С» этого параграфа и предложения «D» § 9.
Рассмотрим случай, когда g есть тождественное отображение, т. е.
когда f' = hf. Пусть а0 и ах—две различные, отличные от f (q')>
точки сферы Sk+1y являющиеся правильными точками
отображений А и А/. Тогда h"1 (at)= {ац, .. ., a*rj, ' = 0, 1, причем
отображение / правильно в каждой из точек ati, tf = 0, 1; t = l,
2, ..., rt. Знак функционального определителя отображения А
в точке аи обозначим через ef/, t=l, ..., /у, / = 0, 1.
Касательную в северном полюсе /?' сферы 22*+1 обозначим через E2k+1, a
центральное проектирование множества 22k+1\q' на нее из точки
q'— через ф. Положим ф/'"1 (at) = M$, / = 0, 1; (pf~1(ati)=^Mu.
Легко видеть, что
Mkt = гпМкп U гнМkt2 U ... U в,Г|М *г,, (6)
где знаки ги учитывают ориентации прообразов. Так как aoi и
ai/ СУТЬ Две различные точки сферы Sk+1, являющиеся
правильными точками отображения f9 то инвариант у (/) можно
определить как b{MkQh М*/). Из этого и из соотношения (6) следует, что
Y (Л - » (e01Mkn U ... U *ОГоМ$Го, euAf *x U ... U *1ГМ\Г) =
= 22 ев/е1уТ (/) = 7 (/) ( 2 ев/У 2 e^Wvtf)-
i = l / = 1 \i = l / \/ = 1 /
Таким образом, предложение «D» доказано.

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 629
Е) Пусть {Мку V), V(x) = {v1(x)9 ..., vk+1(x)},— ортонор-
аЛЬНо и гладко оснащенное подмногообразие ориентированного
«евклидова пространства £2*+1, причем само многообразие Мк
расположено в гиперплоскости Е2к этого пространства. Обозначим
через и(х) единичный вектор, выходящий из точки х£Мк и пер-
лендикулярный к гиперплоскости Е2к.
Тогда мы имеем
и (х) = t1 (х) t^ (*)+•■• + ^k+1 (x) vk+1 (х). (7)
Здесь г|) (х) = {if1 (л:), ..., tyk+1 (x)} есть единичный вектор
координатного евклидова пространства N, так что г|э есть
отображение многообразия Мк на единичную сферу &к пространства N
(отображение г|э было рассмотрено в предложении «А» § 8).
Оказывается, что степень отображения г|э равна еу(Мк, V), где е = ±1
и зависит только от k.
Докажем предложение «Е». Будем считать, что точка 33 =
= (0, ..., О, 1) £&к есть правильная точка отображения ij). Если
бы это было не так, то этого можно было бы добиться единым
ортогональным преобразованием всех систем V (х), х$Мк. Для
вычисления у(Мк, V) выберем в пространстве Е2к+1 единичную
сферу S2k с центром в некоторой точке О и примем за вектор с
вектор {0, ..., О, 6}. Если перенести вектор и(х) параллельно
в точку О, то конец его окажется на сфере S2k в точке, которую
мы обозначим через и. Проведем из О луч, параллельный отрезку
(х, с (у)); х, у£Мк, и пересечение этого луча с S2k обозначим
через %(х, у). Цо определению, у(Мк, V) есть степень
отображения % многообразия МкхМк в сферу S2k. Степень этого
отображения будем, вычислять в точке и. В процессе вычисления будет
показано, что и есть правильная точка отображения х- Пусть
%(а, b) = u, тогда отрезок (а, с(Ь)) ортогонален к гиперплоскости
Е2к и идет в направлении вектора иу так что с (Ь) € Нь (а) (см. § 5,
п. «А»), Так как, сверх того, с(b) £ Hq (b), то отсюда следует, что
при достаточно малом б имеем Ь = а (см. § 5, п. «А»), Таким
образом, при % (а, Ь) = и имеем Ъ — а и г|) (а) = 25. Обратно, если г|> (а)=23,
то х(а, а) = и. Примем точку а за начало координат О
пространства Е2к+1, а за базис его примем векторы а1 = м1(а), ..., ик+1=
8=5 uk+i(a)> uk+2, ..., u2k+1, где uk+2t ..., u2k+1 есть ортонормаль-
ная система векторов, касающихся многообразия Мк в точке а.
Координаты точки х£Мк в этом базисе обозначим через z1 (х), ...
.., г2к+1(х). В окрестности точки а в Мк легко ввести такие
координаты а:1, ..., хк точки х, что уравнение многообразия Мк
получит вид
г1 = гг(х)9 ..., zk+1 = zk+1{x), zk+2 = zk+2(x) = x\ ...,.z2k+1 =
= Z2*+i (*)=**, (8)
где zl'(x), t=l, ..., k+ 1, есть малая второго порядка
относительно р(я, х). Перенося систему V (у) параллельно в точку О— а,

630
24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
мы выразим ее векторы через базис ии ..., и21г+1:
k+\ 2k+\
VJ (У) = 2 Я/а (У) "а + 2 &/3 (У) Ч' (9\
а=1 0=6+2 ч '
Здесь &/р суть бесконечно малые второго порядка относительно
р(а, у), а а/а, а=^=/,—бесконечно малые первого порядка
относительно р(а, у). Из этого в силу ортонормальности системы V (у)
непосредственно вытекает, что с точностью до малых второго
порядка относительно р(а, у) имеют место равенства
<*jM=*U a/t(y) = — *v(y)> 1Ф1 (Ю)
Так как сги(у) — (и19 Vj(y))y i, /=1, ..., fe+1, то в силу
соотношений (7), (9) и (10) мы имеем с точностью до малых второго
порядка относительно р(а, у)^{у) — — ак+1ч/{у), / = 1, ...,£;
4>k+1 (У)= 1 • Таким образом, с точностью до малых второго порядка
относительно р(а, у) точка с (у) имеет в базисе и19 ..., u2k+1
координаты —Sty1 (у), .., —&|>fe(y), S, у1, • •, у*. Точно так
же точка х с точностью до малых второго порядка имеет в базисе
ui> •••» u2h+i координаты [см. (8)]
0 Ох1 хк
Таким образом, компоненты отрезка (х9 с (у)) в базисе ии ..., ц^-ы
суть
— <V(</)> .... — 8г|)*(у), 6, у1—х1, ..., у*—х*
с точностью до малых второго порядка относительно р(а, д:)+
+ р(а, у). Из этого следует, что в точке (я, а) функциональный
определитель отображения % имеет знак, отличающийся от знака
функционального определителя отображения г|э в точке а
множителем е = ±1, который зависит лишь от размерности k. Итак,
предложение «Е» доказано.
§ 11. Оснащенные многообразия с равным нулю
хопфовским инвариантом
Основной целью этого параграфа является доказательство
теоремы 16 о том, что каждое оснащенное многообразие с
хопфовским инвариантом, равным нулю, гомологично надстройке. Теорема
эта представляет собой развитие теоремы 11. Так как хопфовский
инвариант четномерного многообразия всегда равен нулю, то из
теоремы 16 следует, что всякое четномерное оснащенное
подмногообразие (Mk, U) евклидова пространства Е2к+1 гомологично
надстройке. Это предложение в настоящей работе будет использовано
лишь для случая fe = 2 при классификации отображений сферы
2"+2 в сферу S*. Из него и теоремы 11 вытекает, что число
классов отображений сферы 21+2 в сферу Sn, л ^2, не превосходит
числа классов отображений сферы 24 в сферу S2.

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 631
При доказательстве теоремы 16, а также в некоторых других
случаях желательно иметь дело со связными оснащенными
многообразиями. Теорема 14 утверждает, что каждое оснащенное
многообразие гомологично связному. Для доказательства этой
теоремы приходится производить перестройку многообразия с тем,
чтобы превратить его в связное. Перестройка эта довольно
громоздко описывается в нижеследующем предложении «А», но
геометрический смысл ее прост и состоит в следующем.
Уравнение
х2 + у2—г2^ — t
представляет собой двуполостный гиперболоид при t > О и одно-
полостный гиперболоид при t < 0. В полосе пространства
переменных х, у, z, ty определяемой неравенством —1^/^1,
выписанное уравнение определяет подмногообразие, часть границы
которого, лежащая в гиперплоскости t = —1, несвязна, а часть
границы, лежащая в гиперплоскости f=l, связна.
В предложении «А» описанная здесь перестройка
припасовывается гладким образом к паре параллельных плоскостей. В этих
плоскостях образуются «вмятины», которые, сближаясь друг с
другом подобно полостям двуполостного гиперболоида, образуют
затем трубочку, связывающую шаровые отверстия в плоскостях.
Для того чтобы применить описанную перестройку к
произвольному многообразию, доказывается почти очевидное предложение
«С» о том, что вблизи любой точки многообразие можно проде-
формировать в плоское. Уплощая многообразие в двух его
точках, принадлежащих к различным компонентам, мы получаем
возможность применить перестройку «А», связывающую две
компоненты многообразия в одну. Так как перестраивать приходится
оснащенные многообразия, то нужно заботиться и о перестройке
оснащений. Этим конструкциям посвящены предложения «В» и «D».
Перестройка «А» применяется не только для получения связного
многообразия, но и для того, чтобы можно было fe-мерное
многообразие вместить в 2&-мерное евклидово пространство.
Перестройка многообразий.
А) Пусть Ek+2—евклидово пространство с координатами
I1, ..., %k, т], т; Е%+2—полоса, определенная в нем неравенствами
— 1^x^+1» граница которой состоит из гиперплоскостей EkJ^
и £*JX с уравнениями т =—1 и t=^ + L Пусть, наконец, Н*+2—
часть полосы £*+2, определяемая неравенствами
(61)1+-.- + (Р)|<1, -1!<Л<1.
Оказывается, что существует гладкое [подмногообразие Pk+1
полосы Е%+2, ортогональное в своих краевых точках к краю полосы
Е%+2 и обладающее следующими свойствами (рис. 2):
i

532
24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
a) Вне множества Нк+2 многообразие Рк+1 состоит из всех
точек, удовлетворяющих условию | ц | = 1.
b) Л ногообразие Pk_1 — Pk+1r\Ek_X1 состоит из всех точек
гиперплоскости EiX1, удовлетворяющих условию |т||=1.
г
Рис. 2.
с) Пересечение многообразия P$ = Pk+1()Ei+11 с
гиперплоскостью, определяемой уравнением т] = а, при |а|< 1 представляет
собой сферу положительного радиуса р (а) < 1, определяемую
в плоскости г) = а, т = 1 уравнением (g1)2 + ... + (5й)2 = Р2 (а),
причем р (а) стремится к единице, когда | а | стремится к единице.
Таким образом, множество Р\ П ЯЛ+2 пересекается с прямой ^=0,...
. . м £* = 0; т= 1, причем это множество при k > 1 связно, а при
fe—1 состоит из двух простых дуг.
При построении многообразия PR+1 рассмотрим сперва для
наглядности случай &=1. Имеющиеся в пространстве Е3
координаты Б1, т), т обозначим теперь через х, у, t. Пусть
Ф(*/*/, t)=y*-(l + t)x* + t.
Рассмотрим поверхность Q2 с уравнением ф(х, у, /) = 0.
Непосредственно проверяется, что эта поверхность не имеет особых точек,
т. е. что уравнения
дер
дх
= 0, 41 = 0, *JU0, Ф = 0
ду
dt
несовместны. Рассмотрим сечение С3 поверхности Q2 плоскостью
/ = Р (|Р|<1). Кривая С_! распадается на пару параллельных
прямых у=±1. При —1 <Р<0 кривая Ср представляет собой
гиперболу, действительной осью которой является прямая f = P>
х = 0. Кривая С0 распадается в пару пересекающихся прямых
у = ±х. Наконец, при 0<р<+1 кривая Сэ представляет собой
гиперболу, действительной осью которой служит прямая f — P»
у = 0. При всех значениях р кривая Сэ проходит через точки
(±1, ±1, Р) и симметрична относительно координатных
плоскостей х = 0 и у = 0. В нашем случае множество Я3 представляет
собой куб, определяемый неравенствами | л; | ^ 1, |у|^1, | f | ^ !•
Часть Q2* поверхности Q2, лежащую в кубе Я3, дополним точками,

21. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 633
удовлетворяющими условиям |у|=1, |х|>1, |/|<1. Так
полученную поверхность обозначим через Р2. Поверхность Р2
удовлетворяет условиям «а»—«с», но она не является гладкой и на
своих краях не ортогональна к краям полосы £2(|^|^1).
Обратимся теперь к случаю произвольного k. Введем функцию
<р(х\ •.., **. У у 0» положив
<р(х\ ..., jc*. у, t) = y* — (l + t)((x1)*+... + (x*)*)+t.
Непосредственно проверяется, что гиперповерхность Q*+1,
определяемая в пространстве Ек+2 с координатами х1, ..., хк> у, t
уравнением ц>(х19 ..., хк, у, t) = 0, не имеет особых точек, т. е.
что уравнения
дх1 и> • • ■» а** и> а# ' а/ ' ф
не совместны. Гиперповерхность Qk+1 можно наглядно себе
представить, заметив, что сечение ее любым трехмерным
пространством, содержащим координатную плоскость (у, t)y представляет
собой описанную выше поверхность Q2. Положим Qi+1 = Qk+1 Г) Нк+2.
Множество Qi+1 дополним точками, удовлетворяющими условию
| г/1 == 1, (л:1)2 + ... 4- (хк)2> 1, 11К 1. Так полученное множество
Рк+1 является многообразием, удовлетворяет условиям «а» — «с», но
не является гладким в точках пересечения с границей множества
tfk+2 кроме того, в краевых точках оно не ортогонально к краям
полосы £*+2. Займемся исправлением многообразия Р*+1.
Пусть %(s) — гладкая, класса т^ 1, нечетная, монотонно
возрастающая функция переменного s, определенная на отрезке
— l^s^l, обладающая следующими свойствами:
х(—1) ——it x(i)=i»
х'(—О — х'С—1)= хсл,(—0 = х#(1) = х;(1) =хсш>(1)=о.
X'(s)>0 при |s|<l.
Такая функция, очевидно, существует. Определим теперь
отображение а
о(х\ ..., xk, у, 0 = (£1. •••» £*> Л. т)
множества Нк+2 на себя, положив
ll = x\ ...,£* = **, ч = х(У). т = Х-1(0»
где х"1—функция, обратная к х- Очевидно, что отображение а
множества Hk+2 на себя гомеоморфно, а отображения она1
гладки во всех внутренних точках множества Нк+2. Гладкость
отображения а нарушается только при f = ±l» а гладкость отоб-

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
634
ужения о"1 нарушается только при ц = +1. Легко проверяется
что, заменяя часть Qi+1 многообразия Pk+1 множеством or(Qf+i/'
мы получаем многообразие Рк+1, удовлетворяющее всем условиям
предложения «А».
B) Пусть Wk+2 есть е-окрестность множества Нк+2 в
евклидовом пространстве Ек+2 (см. п. «А») и ft—гладкий ее
гомеоморфизм в евклидово пространство En+k+1. Существует тогда
оснащение V (£) = {vx (£), ..., vn (£)} многообразия ft (Pk+1 П W*+*) B
пространстве En+k+1, индуцирующее на этом многообразии
заданную ориентацию.
Докажем предложение «В». Пусть О—центр фигуры #ft+2 и
X—граница выпуклого множества Wk+2. Пусть далее,
£—произвольная точка из Wk+2 и (О, х)—отрезок, проходящий через
£ и соединяющий точку О с граничной точкой х£Х. Отношение
длин отрезков (О, £) и (О, х) обозначим через t и положим
£ = (x, t). Этим самым в области Wk+2 введены полярные
координаты, причем (х, 0) = О. Нормаль в точке ft(£) к
многообразию b{Wk+2) в пространстве En+k+1 обозначим через Nxi. В
нормали Nx0 выберем произвольным образом базис vlt ..., vn^x.
В силу предложения «А» § 7 базис vx(x, t)y ..., vn_x(xy t)
нормали Nxt можно выбрать так, чтобы он непрерывно зависел от
пары (х> t) и при / = 0 совпадал с базисом vlt ..., vn_x.
Положим vi(t)) = vi(xy t), /=1, ..., п—1. Вектор vn(i) в точке
ft(£), где Z>£Pk+1[\Wlz+2> выберем как единичный вектор,
нормальный к многообразию Ь(Рк+1) в точке ft(£) и касательный к
многообразию b{Wk+2). Этим условием вектор vn(Z)) с точностью
до знака определен однозначно. Так как многообразие Pk+1(] Wk+*
связно, то все поле vn (£) однозначно определено с точностью до
знака, и, выбирая направление вектора vtl(£) надлежащим
образом, мы можем добиться того, чтобы построенное оснащение
V(t)> £€^*+1lW*+2, индуцировало на b(Pk+1f]Wk+2) заданную
ориентацию.
C) Пусть Mk—гладкое замкнутое подмногообразие евклидова
пространства Еп+ку a£Mk\ Tk—касательная к Mk в точке а и
б—некоторое положительное число. Оказывается, что существует
гладкая деформация Tt, O^f^l, многообразия Mk,
обладающая следующими свойствами. Пусть х£Мк\ тогда: а) при
р(а, х)^6, имеем Tt(x) = x\ в) при р(а, х)^ 6 величина
р(х, т,(х)) имеет второй порядок малости относительно р(#, я)»
т. е. р(х, xf (х)) < ф2(х, а), где с—константа, не зависящая от б;
с) при р (х, а) < 6/2 имеем тг (х) £ Tk. Докажем предложение «С».
Будем считать число б настолько малым, что при ортогональном
проектировании л на плоскость Tk б-окрестность точки а в Мк
отображается в Тк гладко, регулярно и гомеоморфно. Пусть, да*
лее, \x(s)—гладкая четная функция параметра s, —оо < s < +о°»
обращается в нуль при О < s < 6/2, монотонно возрастающая
при 6/2^s^ б и равная единице при s > 6. Тогда искомая де-

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 635
формация т, определяется формулой
rt(x) = xXt + n(x)(l—X)t+x(\ — t),
где Я=Ф(р(*, я)).
D) Пусть (М*, £/)—оснащенное подмногообразие полосы E?+k
евклидова пространства Еп+к и К'—такая окрестность некоторой
внутренней точки a g М*, что ее замыкание К' гомеоморфно шару
^-мерного евклидова пространства. Будем считать, что К' есть
шар с центром а, и пусть К—шар меньшего радиуса,
концентрический с шаром К'. Если на части К' многообразия Mk
задано некоторое оснащение V, индуцирующее на К' ту же самую
ориентацию, что и оснащение U, то существует оснащение U'
всего многообразия Мку гомотопное оснащению U и совпадающее
с ним на Мк\К' и с оснащением V на /С.
Докажем предложение «D». Пусть
U{x) = {u1{x), ..., ип(х)}9 V(x) = {v1(x), ..., vn{x)}\
тогда мы имеем
п
/ = 1
где X (х) = | Х/у (х) || есть матрица с положительным детерминантом,
непрерывно зависящая от точки х£К\ так что X есть
непрерывное отображение шара К' в многообразие Ln всех матриц
порядка п с положительным детерминантом. Будем рассматривать
К' как шар евклидова пространства Ек, являющегося
гиперплоскостью евклидова пространства Ek+1, и пусть L —
прямолинейный отрезок пространства Ek+19 перпендикулярный
гиперплоскости Ек и упирающийся одним своим концом в центр а шара
К'. Другой конец отрезка L обозначим через Ь. Нетрудно
построить деформацию tyt отображения шара К' в множество Kf U L,
при которой все точки границы шара К' остаются
неподвижными, а в результате деформации шар К переходит в точку ft,
т. е. г|з1(/С) = &. Так как многообразие La связно, то
отображение X шара /С' можно распространить в непрерывное
отображение X множества K'l)L в L„, при котором точка Ъ переходит в
единичную матрицу. Таким образом, ||\10- (х) | = \i (x) = Xty1 (x) есть
матрица с положительным детерминантом, непрерывно зависящая
от х£К'. Оснащение U' на шаре К' определим, положив
п
На множестве Мк\К' оснащение U' определим как совпадаю-
Щее с (/. Очевидно, что оснащение V является искомым.

636 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Многообразия с нулевым хопфовским инвариантом.
Теорема 14. Всякое оснащенное подмногообразие евклидова
пространства гомологично связному оснащенному подмногообрп*
зию того же евклидова пространства.
Доказательство. Пусть (Afllf U) — ориентированное ос-
нащенное подмногообразие ориентированного евклидова
пространства Еп+Ну причем л ^2. Случай я=1 не интересен, так как
в этом случае оснащенное многообразие всегда гомологично ну-
лю (см. конец § 6). Предположим, что многообразие Мк_г
несвязно, и покажем, что существует оснащенное многообразие (Af*
[/*), гомологичное исходному, причем число компонент многооб^
разия Мк на единицу меньше числа компонент многообразия
Мк_х. Этим теорема будет доказана. Пусть а_г и аг—две точки
многообразия Мк_1У принадлежащие различным его компонентам.
В силу предложения «С» мы можем считать, что в окрестностях
точек а_! и а± многообразие Мк_х является плоским. Так как
л ^2, то многообразие Мк_х не разбивает пространства Еп+к.
Из этого легко следует, что в пространстве Еп+к существует
простая замкнутая гладкая кривая L с параметрическим
уравнением
у = у(у\), -2<г,<2; у(-2) = */(2),
пересекающаяся с многообразием Мк лишь в точках а_х и ах
при г\ = — 1 и 1 соответственно. Мы предположим еще, что
кривая L ортогональна к многообразию Мк_г в точках а_х и ах.
Пользуясь предложением «А» § 7 и процессом ортогонализации,
можно отрезок —1,5^т]^1,5 кривой L ортонормально
оснастить, т. е. построить в каждой точке у(г\) этого отрезка орто-
нормальную систему векторов e1(t])t ..., en+k_1(t\)y
ортогональных к кривой L в точке у (у\) и гладко зависящих от параметра
т). Будем считать, что векторы ег(—1), ..., ek(—1) касаются
многообразия Mtx в точке а_х и определяют в ней его
ориентацию, а векторы е1{\)у ..., ек(\) касаются многообразия ЛИг в
точке ах и определяют в ней ориентацию, противоположную
ориентации многообразия Мк_х. Этого можно достичь, подвергая
векторы е1(ц), ..., ег+ь_1(ч\) ортогональному преобразованию,
гладко зависящему от параметра т). Пусть Е?+к+1 = Еп+кх1, где
/ есть числовой отрезок —1^/$^1, и будем рассматривать
прямое произведение Е*+к+1 как полосу евклидова пространства
£я+*+1 Построим теперь отображение $ множества Нк+2 (см.
п. «А») пространства £л+2 в Еп+к+1, зависящее от
положительного числа р, переводящее точку (I1, ..., £*, tj, х)^ЯН2 в
точку (г, t)eE?+k+1:
к
г = у (л) + 2 рБМл). t = x. (1)

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ j37
Здесь z, у(ц)—векторы пространства Еп+к. Написанные
соотношения определяют отображение ft не только на множестве #ft+2,
Но и на некоторой его е-окрестности Wk+2 в евклидовом
пространстве Ек+2. Ясно, что при достаточно малом р отображение ft
является гладким регулярным гомеоморфизмом многообразия
ц^*+2. При достаточно малом р пересечение множества b(Wk+2)
с многообразием Мк_1х(—1) содержится в окрестностях точек
а х(—1) и #iX(—1) этого многообразия. Будем считать число
рнастолько малым, что это пересечение содержится в тех
окрестностях точек а_гх{—1) и ахХ(—1) многообразия Мк^хх{—1),
в которых это многообразие является плоским. В полосе En+kxl
содержится ее подмногообразие Мк_хх1. Заменим в этом
подмногообразии его часть, лежащую в ft(#'<+2), куском ft(P*+1n#*+2)
(см. п. «А»), именно положим
М *+1 = (Miгх /\ft (Нк+2)) U ft (Pk+1 П #*+2).
Непосредственно видно, что Мк+1 есть гладкое подмногообразие
полосы E*+k+1, ортогональное в краевых точках к краю этой
полосы, причем часть границы многообразия Мк+1, лежащая в
гиперплоскости En+kx(—1), совпадает с многообразием ЛЦгх(—1),
а часть MiXl, лежащая в гиперплоскости Еп+кх1, имеет на
одну компоненту меньше, чем многообразие Mk_x.
Займемся теперь построением оснащения V многообразия
Мк+\ нужного для осуществления гомологии (Mtl9 V) ~ (Mj, £/%).
Оснащение V многообразия ft (Pk+1 f\Wk+2) выберем, как это
указано в «В», так, чтобы в точке а_гх(—1) векторы vl9 ...,vn
и векторы игх(—1), ..., ичх(—1) получились друг из друга
преобразованием с положительным детерминантом. В силу
предложения «D» можно считать, что векторы игх(—1), ..., ипх{—1)
совпадают с построенными нами векторами vu ..., vn в
пересечении Mitx(—l)flft(#*"2). Оснащение V многообразия Мк+1
уже построено нами на его части ft (P*4"1 f]Hk+2). На части
МкА1\Ь(Рк+1(]Нк+2) в точке (х, /), х$Мк+\ t£ly векторы
vl9 ..., vn мы определим как параллельные векторам и1(х)х
Х(—1), ..., ип (х)х(—1). Таким образом, оснащенное
многообразие (Мк+1, V) построено.
Итак, теорема 14 доказана.
Теорема 15. Пусть (Mk_lf U)—оснащенное
подмногообразие евклидова пространства Еп+к, п^кЛ- 1. Существует тогда
такое оснащенное подмногообразие (Mk, W) пространства Еп+к,
гомологичное многообразию (Мк_1У [/), что многообразие Мк связно
и лежит в 21г-мерном линейном подпространстве Е2к
пространства Еп^к.
Доказательство. В силу теорем И и 14 доказательство
теоремы 15 достаточно провести лишь для случая, когда n = k+ 1
и многообразие М^ связно. В силу предложения «В» § 4
существует гиперплоскость Е2к пространства Е2к+1 ортогональное

638 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
проектирование л многообразия Мк__х на которую типично. Пусть
а_х и ах—две различные точки из Mtlf удовлетворяющие
условию п(а_1)=л(а1). Таких пар в многообразии Мк__х имеется
лишь конечное число (см. § 4, п. «А»). Произведем перестройку
многообразия Mit в окрестности отрезка (а„19 ах). Такие же
перестройки должны быть произведены для каждой пары
самопересечения отображения п многообразия ЛИг.
В силу «С» можно считать, что многообразие Мк_х плоско в
окрестностях точек а_1 и аг. Пусть еи ..., ek—система линейно
независимых векторов, касательных к Мк_х в точке а_1У
задающая ориентацию многообразия Mil9 a ek+lf ..., e2k—система
линейно независимых векторов, касательных к Мк__х в точке аи
задающая ориентацию, противоположную ориентации
многообразия Al*j. Через е2к+1 обозначим вектор с началом в середине О
отрезка (a_lf аг) и концом в точке ах. Принимая точку О за
начало координат и перенося в нее все построенные векторы, мы
получим базис е1У ..., е2к+1 векторного пространства Е2к+1л
Пусть Е2к+2 = Е2к+1х1, где /—числовой отрезок —1</<1;
будем рассматривать произведение Е1к+2 как полосу евклидова
пространства E2k+2. Построим отображение $ множества Нк+2
(см. п. «А») пространства Ек+2 в Е2к+2У зависящее от
положительного числа р, достаточно малого для возможности
проведения дальнейших построений, переводящее точку (I1, ..., £*, т), т) €
£Нк+2 в точку (г, t)$E2k+2\
2 = ^2fe+i + pX^4COSvT^+TJ^+sinVTTl+T)^+fe
Написанные соотношения определяют отображение ft не только
на множестве #*+2, но и на некоторой его е-окрестности Wk+i
в евклидовом пространстве Ек+2> Здесь z есть отображение
множества Я**1 точек (I1, ..., £*, т), т0), удовлетворяющих
условиям (1), в векторное пространство Е2к+1. Отметим, что
отображение nz множества #*+1 регулярно и гомеоморфно всюду, кроме
точек отрезка |/ = 0, |ti|^1, так что отображение nz
многообразия Р\аН^+1 в пространство Е2к регулярно и гомеоморфно.
Заменим в подмногообразии Мк_хх1 полосы Е2к+1х1 его часть,
лежащую в Ъ(Нк+2), куском 0 (Рк+1[\Нк+2) (см. п. «А»), именно
положим
Mk+i = (Af* хх /\« (Нк+2)) U * (Рк+1 П Нк+2).
Непосредственно видно, что Мк+1 есть гладкое подмногообразие
полосы Е1к+2, ортогональное в краевых точках к краю этой
полосы, причем часть границы многообразия Мк+1> лежащая в
гиперплоскости Е2к+1х(— 1), совпадает с Мк_гх{— 1), а часть

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 639
д{*х1, лежащая в гиперплоскости £2fe+1xl, такова, что
многообразие М\ имеет при проектировании я на одну пару
самопересечений меньше, чем многообразие Milu В случае k > 1 из
связности многообразия Mit следует связность многообразия Af{.
Для fe=l теорема 15 будет непосредственно следовать из пред-
ложения «В» § 13; приводимое здесь доказательство для k=l
непригодно, так как построенное многообразие М{ может
оказаться несвязным.
Займемся теперь построением оснащения V многообразия
Мн+1у нужного для осуществления гомологии (Mk__ly U) ~ (М\у £/*).
Оснащение V многообразия b(Pk+1f\Wk+2) выберем, как
указано в «В» (здесь n = fe+ 1), причем так, чтобы в точке а_хх(—1)
векторы vlf ..., vk+1 и векторы ихх{— 1), ..., ик+1х(— 1)
получались друг из друга преобразованием с положительным
детерминантом. В силу предложения «D» можно считать, что
векторы ихх{—1), ..., uk+1x (—1) совпадают с построенными нами
векторами vl9 ..., vk+1 в пересечении Мк_хх{—1) f)$(Hk+2).
Оснащение V многообразия Mk+1 уже построено нами на его части
й(Р*+1П#*+2). На части Mk+1\b (Pk+1 (] Hk+2) в точке (х, t),
x£Mk+1, t£l, векторы vlf ..., vk+1 мы определим как
параллельные векторам и1(х)х(—1), ..., и!7+1(х)х(—1). Таким
образом, оснащенное многообразие (7kf*+1, V) построено.
Будем считать, что указанная перестройка многообразия Mtx
проведена одновременно для всех пар самопересечения
отображения я. Тогда полученное многообразие М\ при проектировании
л отображается регулярно и гомеоморфно на подмногообразие
Mk = n(Mi) пространства Е2к. Зто проектирование можно
осуществить путем деформации гладкого подмногообразия Aff в
гладкое подмногообразие Мк. В силу предложения «В» § 7
деформацию эту можно распространить в деформацию оснащенного
многообразия. Таким образом, мы получаем искомое оснащенное
подмногообразие (Mk, W) пространства E2k+1.
Итак, теорема 15 доказана.
Теорема 16. Пусть {М^у U0)—оснащенное подмногообразие
евклидова пространства E2k+1, для которого у(М%, Uo) = 0 (что
всегда верно при четном fe, см. определение 10) (см. § 10, п. «В»),
Тогда в гиперплоскости E2k пространства E2h+1 существует та-
кое оснащенное подмногообразие (М\у V\), что (Mk0y UQ) ~ E (MJ, VJ
(см. определение 7).
Доказательство. В силу теорем 14 и 15 существует
такое связное замкнутое оснащенное подмногообразие (М\, Ut)
пространства E2k+1, которое гомологично заданному оснащенному
многообразию (УИ§, f/0), причем M\aE2k. В силу предложения
«В» § 10 имеем y(^i» 1/^ = 0. Таким образом, в силу
предложения «Е» § 10 степень отображения г|э многообразия М\ на
сферу ©* равна нулю, и потому отображение г|э гомотопно нулю
(см. теорему 13). В силу предложения «А» § 8 оснащенное мно-

640 24- ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
гообразие (М\, U^ гомологично оснащенному многообразию
Е(М\У V), где (Л1{, V) есть оснащенное подмногообразие
пространства Е2к.
Таким образом, теорема 16 доказана.
ГЛАВА IV
КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ (п + 1)-МЕРНОЙ
И (п + 2)-МЕРНОЙ СФЕР В я-МЕРНУЮ
§ 12. Группа вращений евклидова пространства
Основной целью настоящего параграфа является установление
простейших топологических свойств группы Нп всех вращений,
л-мерного евклидова векторного пространства Епу свойств,
которые используются для классификации отображений сфер 2n+k в
сферу Sn при fe=l, 2. Доказывается (см. теорему 17), что
многообразие Нп связно и что при п ^ 3 существует ровно два
гомотопических класса отображений окружности в многообразие Нп.
В качестве средства для установления этих топологических
свойств многообразия Нп используется известная лемма о
накрывающей гомотопии, имеющая большое самостоятельное значение,
а также описание группы Я3 при помощи кватернионов, которое
также имеет значительный самостоятельный интерес и
используется в дальнейшем.
Кватернионы.
Напомним понятие кватерниона, кото^^ будет использовано
как в этом, так и в следующих параграфах.
А) Пусть К—четырехмерное евклидово векторное
пространство с фиксированной в нем системой декартовых координат.
Произвольный вектор x=(x1t х2, л;3, х*)£К запишем в виде л; =
= хг+ ix2 + jx3 + kx*, где I, /, k суть кватернионные единицы.
Определим закон перемножения в множестве /С, считая, что
умножение дистрибутивно, что действительные числа
перестановочны с кватернионными единицами и что сами кватернионные
единицы перемножаются по формулам
// = —ji = ky jk = —kj = i, ki = —ik = j, ,j4
ii = jj = kk = —1.
Легко проверяется, что так определенное в К умножение
ассоциативно. Кватернион х, сопряженный к кватерниону х,
определим, положив х = х*—ix2—jxs — &х4. Непосредственно
проверяется, что
ху = ух. (2)

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 641
Модуль кватерниона х определим как неотрицательное
действительное число
| х | = ^ хх = "/"(х1)2 + (х2)2 + (л:3)2 + (л:4)2.
Мы имеем \ху\2==хуху = хуух = х-\у\2-х==-\у\2-хх==\х\2-\у\2.
Таким образом
1*ИН*1-М. (3)
Если хФ0, то |х\ФО и существует кватернион лг1, обратный
к кватерниону х> именно х~г =х/\х\2. Таким образом,
совокупность К всех кватернионов образует алгебраическое тело. Тело
<К кватернионов содержит поле действительных чисел D,
состоящее из всех кватернионов вида x = x1+0-i + 0-j+0-k.
Совокупность G всех кватернионов х, удовлетворяющих условию |jt| = l,
образует в силу (3) группу по умножению. Множество G есть
трехмерная сфера евклидова пространства /С. Кватернионы вида
хЧ + хъ\ + x*k называются чисто мнимыми. Их совокупность J
образует трехмерное векторное пространство, ортогональное в К
прямой D.
В) Пусть К—тело кватернионов, D—содержащееся в нем
поле действительных чисел, J—совокупность всех чисто мнимых
кватернионов и G—группа кватернионов, по модулю равных
единице (см. п. «А»). Каждому кватерниону g£G поставим в
соответствие отображение tyg пространства К в себя, положив
%(x)=gxg-K (4)
Так как в силу (3) | gag"11 —1*1» то преобразование^, будучи
линейным, является вращением евклидова пространства /О Так
как tyg(D)=D, то и ортогональное к прямой D векторное
подпространство J при преобразовании y$g переходит в себя, т. е.
претерпевает вращение. Оказывается, что, ставя в соответствие
каждому кватерниону g£G вращение v(g) = tyg евклидова
пространства Jj мы получаем гомоморфное отображение v группы G
на группу #3 всех вращений трехмерного евклидова
пространства /. Ядро гомоморфизма v состоит из двух элементов 1 и —1.
Оказывается, далее, что подгруппа S1 всех кватернионов g£G>
удовлетворяющих условию ty (i) = i9 состоит из всех
кватернионов вида cos a+i* sin а.
Докажем предложение «В». Прежде всего, имеем
Ф*л (*) = ghxh ~1g'l = % {hxh 'x) = i|yfo (х),
так что v есть гомоморфное отображение группы G в группу Я3.
Покажем, что v(G) = H3. Пусть l = aj + bk, где a2 + b2 = l. Легко
видеть, что
/« = —1, // = —//. (5)
*1 Л. С. Понтрягин, т. I

642 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Пусть теперь g = cosP-f/ sin p. Из (5) следует, что
tyg (0 == (cos Р 4- I sin P) i (cos Р—I sin P) = (cos Э + Z sin P)2 / =
= (cos 2Р +1 sin 2P) i = i cos 2p + (bj—ak) sin 20, (6)
а из этого следует, что, подбирая надлежащим образом числа а
Ь и р, мы можем перевести кватернион i при помощи преобразо-
вания i|>£ в любой кватернион множества S2 = J{\G. Далее, по-
лагая а = 0, 6=1, мы получаем из формулы (6)
г|^ (i) = i cos 2p + / sin 2р, (7)
и так как в этом случае g перестановочно с &, то
преобразованиями вида tyg можно осуществить любое вращение пространства /
вокруг оси k. Так как G есть группа, то из сказанного следует,
что преобразованиями вида -ф^, g^G, можно осуществить любое
вращение пространства J. Заметим, далее, что из закона
перемножения (1) следует, что перестановочными с кватернионом t
являются лишь такие кватернионы из G, которые имеют вид
cos a 4- i sin а, так что группа S1 состоит из кватернионов указанного
вида. Точно так же перестановочными с / являются в G кватернионы
вида cosa+/sina. Таким образом, ядро гомоморфизма v состоит
лишь из двух элементов -f 1 и —1.
Итак, предложение «В» доказано.
Накрывающая гомотопия.
Лемма 1. Пусть ф — гладкое, правильное во всех точках
отображение замкнутого многообразия Рр в замкнутое
многообразие Qtf, p^q. Пусть, далее, /—непрерывное отображение
компактного метрического пространства R в многообразие Р? и gu
О ^ t <: 1,—такая непрерывная деформация отображений
пространства R в многообразие Q?, что gQ = <pf. Существует тогда
такая непрерывная деформация ft отображений пространства R
в многообразие Рр, что /0 = / и q>ft = gt- Деформация ft называется
накрывающей для деформации gt. Если для некоторой точки x£R
имеется gt (х) = g0 (х) для всех t, О < t < 1, то также ft (х) = /0 (х).
Далее, если R—гладкое многообразие, /—гладкое отображение,
а gt—гладкая деформация, то отображение fx также является
гладким.
Доказательство. Полный прообраз точки y(tQq B
многообразии Рр при отображении ф обозначим через М}1:Мч = ^г (у)-
Из формулы (2) § 4 следует, что Мч есть (р—^)-мерное
подмногообразие многообразия Pp. В силу теоремы 2 можно считать,
что Рр есть гладкое подмногообразие евклидова векторного
пространства А достаточно большого числа измерений. Нормаль в
точке x0€MVo к многообразию МУо в пространстве А обозначим
через NXo. Покажем теперь, что если точка у достаточно близка
к точке у0, то существует лишь одна точка у (х0, у) пересечения
нормали Nx с многообразием Мр, достаточно близкая к точке х0.

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 643
Для доказательства этого введем в окрестностях точек х0 и у0
многообразий Рр и Q<* локальные координаты х1, ..., х? и
и1, .••» Уя с началами соответственно в х0 и у0, в которых
отображение ф записывается в виде
уг = х\ ..., yi = x* (8)
[см. § 4, формулу (2)]. Пусть х = Ъ(х1, ..., х*>)— параметрическое
уравнение многообразия Р? в окрестности точки х0. Нормаль Л^0
в евклидовом векторном пространстве А определяется системой
уравнений
/ ао(о, ..., о)\ п . , 1 /ru
V*—x°'— а? 7 i = <jf+l, ..., л (9)
где л: есть радиус-вектор, описывающий линейное пространство NXo.
Параметрическим уравнением многообразия N служит уравнение
х = Ъ(у\ .... yi, х«+\ .... *я), (10)
где у1, ..., у*—координаты точки у, a ;t*+1f ..., х^—локальные
координаты в многообразии Ми. Таким образом, для нахождения
точки 7(^о» У) следует подставить значение х из уравнения (10)
в уравнения (9) и затем решить полученную систему уравнений
относительно неизвестных х]+1, ..., хр. При указанной
подстановке получаем
(W. •••» У*, xq*+l, .... хр) —
-0ДО. .... УЪ 4+1, .... 4), а*<°' у" ^0, (11)
а^' у
i = q+lf ..., р.
Здесь мы имеем систему из р—q уравнений относительно р—q
неизвестных х*+19 ..., х*>. При начальных условиях уг = 0, ...
..., у<?=*0 система (11) имеет очевидное решение хд+1 = 0, ...
..., хР = 0. Функциональным определителем системы (10) при
этих начальных условиях служит детерминант
/ао(0, ..., о) ад(о, ..., о)\
V дх/ ' а*' у
I, j = q+ 1, ..., /?,
который отличен от нуля, так как векторы ———^—- ,
дх1
i = q+ I, ..., р линейно независимы. Таким образом, для
достаточно близкой к у0 точки у существует лишь одна точка х,
достаточно близкая к х0 и удовлетворяющая условию
* = Y(*o, y)£NX9{)My.
Из компактности многообразия Р? следует, что существует
настолько малое положительное число 6, что при р(у, ф(х0))<8
функция y(*o> У) определена и является непрерывной функцией
21*

644 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
своих аргументов х0£Рр и y£Qg. Эта функция обладает следу-
ющими двумя свойствами:
Т(*о. ф(*о))=*о. (12)
<P(Y(*o. У)) = У- (13)
Только эти ее свойства в дальнейшем и будут использоваться.
Перейдем теперь к построению деформации ftf используя при
этом функцию у(х0У у). Отображение/0 определим, положив /0 = f
Пусть е—настолько малое положительное число, что при 11—V | <^; е
имеем p(gt(u), gf(u))<6, u£R. Допустим, что отображение"/,
определено для всех значений t, удовлетворяющих неравенствам
0^/^ле<1, где п—целое неотрицательное число.
Отображение ft для значений /, удовлетворяющих неравенствам пг<СЛ^
^(/i-M)e, определим, положив
/*(«) = Т(/яе("). gt(u))- (14)
Из соотношений (12) и (13) следует, что так определенное
отображение ft дает непрерывную деформацию и удовлетворяет условию
Итак, лемма 1 доказана.
Группа вращений евклидова пространства.
С) Пусть Еп—евклидово векторное пространство, S"-1—сфера
в нем, определяемая уравнением (х, х)=1; Нп—группа всех
вращений пространства Еп и а—фиксированная точка из Sn~l.
Оказывается, что Нп есть гладкое многообразие размерности
п (п—1)/2 и что, ставя в соответствие каждому его элементу А
точку %{h) = h(a)> мы получаем гладкое, правильное во всех
точках отображение % многообразия Нп на многообразие Sn~x.
Докажем предложение «С». Пусть £,, ..., еп — некоторый орто-
нормальный базис пространства Еп. Если A£#w, то
A(«/)-2V/- (15>
i
Таким образом, каждому вращению А пространства Еп
соответствует некоторая ортогональная матрица ||А/;|| с положительным
определителем: Л —> ||Л/у-Ц, и, наоборот, каждой ортогональной
матрице |А,у|| с положительным определителем соответствует, в
силу (14), определенное вращение пространства Еп. В силу
соответствия А—* || А//1| отождествим группу Нп с группой всех
ортогональных матриц порядка л, имеющих положительный
детерминант. Как известно, условия ортогональности матрицы имеют вид
FU = б//э где Fu = 2 hiahJa. (16)
a
Покажем, что вблизи единичной матрицы ||б/;|| за локальные
координаты матрицы h£Hn можно принять числа А/у-, где i > /•

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 645
Для этого достаточно показать, что при начальных значениях
/j .. = 8,у система уравнений (16) разрешима относительно переменных
fi!.9 где i^j. Заметим, что так как Fif = Fjh то можно
рассматривать лишь функции Fi}- для 1^/, так что число уравнений
равно числу неизвестных. Мы имеем
tiff
а
dF-
при hij~8u это дает -^ = 8ik8jl + 8jk8il. Если хотя бы одно из
неравенств i^j9k^.l является строгим, то равенства j = k,
i = l невозможны и второе слагаемое равно нулю. Таким образом,
функциональная матрица системы функций F,j, i^;/, по
переменным hH, k^l, является диагональной, причем по диагонали
стоят единицы и двойки, и разрешимость системы (2) доказана.
Пусть U—окрестность единичной матрицы, в которой указанная
разрешимость имеет место и в которой за координаты можно,
следовательно, принять числа ки, i > /. Пусть ft0g#„; тогда Uh0
есть окрестность матрицы А0, и мы примем за координаты
элемента hh0 € Uh0 в окрестности Uh0 координаты элемента h в
окрестности U'. Пусть Uh0 и Uhx—две перекрывающиеся окрестности.
Легко видеть, что переход от координат, имеющихся в Uh0, к
координатам, имеющимся в Uh19 осуществляется гладкими
функциями. Таким образом, Нп есть гладкое многообразие.
Так как Нп есть группа, способная переводить точку а в
произвольную точку сферы, то %(Нп) = 8п~г, и правильность
отображения % достаточно показать лишь в одной точке
многообразия Нп, например в точке ||6/7||. При а = ег матрице Цй/Д в
силу отображения %, соответствует точка сферы Sn~x с
координатами hn, 1=1, ..., п. Так как А21, Н31, ..., hnl являются
координатами элемента h£/- в [/, а за координаты точки %(h)
сферы S""1 можно принять числа Л21, ..., hnl, то правильность
отображения % в точке ||6i7|| очевидна.
Таким образом, предложение «С» доказано.
Теорема 17. Пусть Нп — группа всех вращений евклидова
векторного пространства Еп, л^З. Оказывается, что Нп есть
связное многообразие и существует в точности два
гомотопических класса отображений окружности S1 в многообразие Нп, из
которых один состоит из всех отображений, гомотопных нулю,
а другой—из всех отображений, не гомотопных нулю. Не
гомотопные нулю отображения окружности S1 в многообразие Нп
можно описать следующим образом. Пусть Е2—произвольное
двумерное подпространство векторного пространства Еп и Еп~2 —
его ортогональное дополнение. Группу Н2 вращений плоскости Е2,
гомеоморфную окружности, естественно рассматривать как под-
группу группы Нп, если каждое вращение плоскости Е2 распро-

646 24- ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
странить на все пространство Еп, считая его на Еп~2
тождественным. Оказывается у что отображение g окружности S1 в
окружность #2 тогда и только тогда гомотопно нулю в #
когда степень отображения g четна. Оказывается, далее, что
всякое отображение h окружности S1 в многообразие Нп можно
таким образом непрерывно продеформировать в отображение а
окружности S1 в Я2, что в течение деформации ни одна точка х
для которой h (х) g Я2, не перемещается.
Доказательство. Пусть S""1 единичная сфера
пространства Епу a £Sn_1 и х—отображение многообразия Нп в сферу Sn~lf
построенное в предложении «С». Очевидно, что множество %~1(а)
есть подгруппа Нп_х группы Я„, представляющая собой группу
всех вращений пространства Е"'1, ортогонального к вектору а.
Пусть f0 — гладкое отображение компактного многообразия Мг,
г^п—2, в Нп. Покажем, что существует деформация fu 0^ £^ \f
отображения /0, сохраняющая на месте каждую точку
многообразия Мг, перешедшую в Нп_1У и переводящая все многообразие Мг
в Нп_1: fr(Mr)czHn_1. В силу теоремы 1 множество %f0(Mr)
нигде не плотно в S""1, и поэтому существует гладкая деформация gt
отображения g0 = %fo> при которой каждая точка многообразия Мг9
перешедшая в а, остается неподвижной, а отображение gx
переводит все многообразие Мг в точку а. Деформация fb
накрывающая деформацию gtf является, как легко видеть, искомой (см.
лемму 1).
Применяя это замечание к случаю M' — S1, мы видим, что
любое отображение окружности S1 в многообразие Нп гомотопно
некоторому отображению ее в подмногообразие Нп_1. Если п— 1 ^3
то, повторно применяя то же рассуждение, мы убеждаемся, что
любое отображение окружности S1 в Нп гомотопно некоторому
ее отображению в Я„_2, где Я„_2 есть группа всех вращений
некоторого подпространства Еп~2 пространства Еп~г. Продолжая
этот процесс дальше, убеждаемся, что любое отображение
окружности S1 в Нп гомотопно ее отображению в НгаНп.
Покажем, что если отображение g окружности S1 в Я2
гомотопно нулю в НпУ то оно гомотопно нулю и в Я3, где Н2аН3аНп.
Пусть К2—некоторый круг, ограниченный окружностью S1. Так
как отображение g окружности S1 гомотопно нулю в Я„, то его
можно распространить в отображение g всего круга К2 в
многообразие Нп. Применяя последовательно вышеприведенное замечание
к случаю Мг = К2у мы убеждаемся, что отображение g
окружности S1 в Я2 гомотопно нулю в Я3. Для доказательства теоремы
нам остается установить, что отображение g окружности S1 в
окружность Я2 тогда и только тогда гомотопно нулю в Я3, когда
степень а отображения g является четной.
Для доказательства этого факта воспользуемся гомоморфным
отображением v группы G на группу Я3 (см. п. «В»). Отображение fl
гладко, правильно во всех точках и переводит в каждую точку

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 647
многообразия Я3 ровно две точки из G. Заметим еще, что 21 =
z=v~1(H2) есть окружность, которая при помощи v отображается
на окружность Я2 со степенью два [см. (7)].
Допустим, что а = 2р, и пусть v—отображение окружности S1
в окружность 21 со степенью р. Тогда отображение w
окружности S1 в окружность Я2 имеет степень 2р = а и потому гомотопно
отображению g. Так как отображение v гомотопно нулю в сфере G,
то и отображение w гомотопно нулю в Я3. Таким образом, и
отображение а гомотопно нулю в Я3.
Допустим теперь, что отображение g окружности S1 в Я2
гомотопно нулю в Я3, так что существует такая непрерывная
деформация gtt O^tf^l, отображений окружности S1 в
многообразие Я3, что g1 = g, a g0(SJ) есть единственная точка из Я3.
Пусть р—такая точка из G, что v (р) — g0 (S1), и/0 — отображение
окружности S1 в точку р\ тогда vfQ=^g0, и в силу леммы 1
существует накрывающая деформация ft для деформации gt. Таким
образом, vf1 = gl и, следовательно, fx есть отображение
окружности S1 в окружность 21, а так как vf1 = gly то степень
отображения gx должна быть четной (ибо степень отображения v равна
двум).
Связность многообразия Нп легко доказывается непосредственно.
Она следует также из того, что существует лишь один класс
гомотопных нулю отображений окружности S1 в многообразие Нп.
Итак, теорема 17 доказана.
D) Каждому отображению h одномерного многообразия М1 в
группу Нп вращений n-мерного евклидова пространства, я ^2,
поставим в соответствие вычет Р(А) по модулю 2. При п^З для
однокомпонентного многообразия М1 вычет Р(А) будем считать
равным нулю, когда отображение h гомотопно нулю в Я„, и
единице в противоположном случае. Для многокомпонентного
многообразия М1 вычет P(/i) определим как сумму вычетов P(/i)
по всем компонентам. При п — 2 вычет Р(А) определим как
редуцированную по модулю 2 степень отображения многообразия М1
в окружность Я2. Имея два отображения f и g окружности S1 в
группу Нп, определим их групповое произведение h = fg, положив
h(x) = f(x)g(x), x£S\
где справа стоит групповое произведение элементов f(x) и ^(л:)
группы Нп. Оказывается, что
PW-P(/) + Pte). (17)
Докажем формулу (17). Пусть 7,2 = S1xS1 — прямое
произведение окружности S1 на себя, т. е. совокупность всех пар (х, у),
где х £ S1, у g S1. Определим отображение ф тора Т2 в Я„, положив
Ф(*» </) = /(*)#(</)•

648 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Пусть, далее, а—фиксированная точка окружности S1. Без огра.
ничения общности можно предполагать, что f(a) = g(a) = e£H '
Определим три отображения /', g\ h' окружности S1 в тор т*
положив *
/'(*) = (*, a), g'(x) = (a, x), h'(x) = (x, x).
Очевидно, что
Известно и легко проверить, что отображение hf окружности S1
в тор Т2 гомотопно отображению h окружности S1 в лемнискату
S1xa\JaxS1f при котором окружность S1 отображается со
степенью единица как на S1xa, так и на axS1. Таким образом,
отображения фй' и фй гомотопны между собой. Между тем для
отображения фА непосредственно проверяется, что Р (фЛ) = Р (ф/') -f
+ P(<W?')* Таким образом, формула (17) доказана.
§ 13. Классификация отображений трехмерной сферы
в двухмерную
В настоящем параграфе дается гомотопическая классификация
отображений сферы 23 в сферу S2, именно доказывается, что
хопфовский инвариант у (см. § 10) является в этом случае
единственным гомотопическим инвариантом отображения и может
принимать любое целочисленное значение. Важную роль при
доказательстве этого факта играет хопфовское отображение о
сферы 23 на сферу S2, которое хорошо описывается при помощи
кватернионов. Пусть К—тело кватернионов, G—совокупность
всех кватернионов, по модулю равных единице, и /—совокупность
всех чисто мнимых кватернионов (см. § 12, п. «А»). За сферу S3
примем G, а за сферу S2—пересечение Gf\J. Каждому элементу
g£G поставим в соответствие элемент о>(g), положив о>(g) =gig~1,
где i есть кватернионная единица. Оказывается, что так
определенное отображение о> правильно во всех точках и
имеет-хопфовский инвариант, равный единице. Только эти свойства
отображения со и используются для проведения классификации отображений
сферы 23 в сферу S2. При проведении этой классификации
используется также тот факт, что всякое отображение сферы Sn,
л 2^ 2, в окружность S1 гомотопно нулю. Доказательство этой
совершенно элементарной теоремы здесь также приводится.
Отображения сферы в окружность.
Теорема 18. Всякое отображение сферы Sn в сферу S1 при
п^2 гомотопно нулю.
Доказательство. Пусть р и q—северный и южный полюсы
сферы Sn, a S""1—ее экватор, т. е. сечение гиперплоскостью,

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 649
перпендикулярной к отрезку pq и проходящей через его середину.
Для всякой точки xgS""1 существует единственный меридиан pxq
сферы S", проходящий через точку х, т. е. большая
полуокружность сферы Sn, соединяющая точки р и q и проходящая через л:.
На меридиане /?х<7 введем угловую координату а, отсчитываемую
от точки р. Точку у меридиана pxq с угловой координатой а
обозначим через (х, а). Мы имеем (х, 0) = /?, (л:, n) = q> a для
каждой точки у £ Sn\(p (J <7) имеется однозначная запись у = (х, а),
где 0 < а < д.
Пусть f—произвольное отображение сферы Sn в сферу S1.
На окружности S1 введем угловую координату р, приняв за
начало отсчета точку f(p). Координата Р точки / (х, а) представляет
собой число, определенное с точностью до слагаемого, кратного 2п.
Определим теперь непрерывную числовую функцию g(xy а),
превращающуюся в / (х, а) с помощью редуцирования по модулю 2л.
Для этого положим g (х, 0) — 0 и при фиксированной точке х £ Sn~x
определим числовую функцию g(x, а) так, чтобы она была
непрерывной функцией числа а, О^а^л. Очевидно, что так
построенная функция g(x, а) есть непрерывная функция
переменных х, а. Покажем, что g (х, л) есть константа. Пусть х0 и хг —
две произвольные точки из S""1 и xt—точка из Sf9 непрерывно
зависящая от параметра ty 0^/^ 1. Числовая функция g{xu л)
параметра t непрерывна, и так как после редуцирования по
модулю 2я она, очевидно, не зависит от параметра /, ибо
f(xu n) — f(q), то и числовая функция g(xt, л) не зависит от
параметра /. Таким образом, g(xt, л) есть константа. Редуцируя
по модулю 2я числовую функцию (1 — t)g(xy а), мы получаем
угловую функцию ft (x, а) двух переменных х и а,
удовлетворяющую условиям /0(х, а) = /(х, а), f1(x, а) = 0. Функция ft(x, а)
определяет деформацию отображения / = /0 в отображение flf
которое переводит всю сферу Sn в одну точку.
Итак, теорема 18 доказана.
Хопфовское отображение трехмерной сферы в двумерную.
А) В евклидовом пространстве Е3 с координатами у1, у2, у3 и
началом О построим для заданного целого числа г оснащенное
многообразие (S1, V(r)), где S1 есть окружность с
параметрическими уравнениями
y1 = cosx, y2 = sinx, #3 = 0, (1)
a yiS1, V{r)) = r (см. § 10, п. «В»). Нормаль N1 в точке х
окружности S1 зададим параметрическим уравнением
yi = (l + t1) cos х, у* = (1 + t1) sinx, у*«<•, (2)
где f1, t2 суть декартовы координаты в плоскости N1 с началом
в точке х. Базисные векторы в этой системе координат в
плоскости NI обозначим через их(х) и и2(х): w1(x)s={l, 0}, ы2(х) =

650 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
= {0,1}. Векторы vx(x) и v2(x) оснащения Vir) определим
соотношениями
Vx (х) =5 Щ (X) COS ГХ + U2 (X) Sin ГХч
v2 (x) = — иг (х) sin гх 4 и2 (х) cos rx. (3)
Для вычисления числа у (S\ V(r)) применим предложение «Е» § ю
Мы имеем
и2 (х) = vx (x) sin гх 4 у2 (*) cos r*>
а из этого следует, что степень отображения г|э многообразия S1
в сферу S1 равна ± г. Таким образом, при надлежаще
выбранной ориентации пространства Е2 мы получаем у (S1, V{r)) = + г.
Лемма 1. Существует гладкое правильное во всех точках
отображение со трехмерной сферы 23 на двумерную сферу 52, при
котором прообраз со""1 (у) каждой точки y£S2 гомеоморфен
окружности, a v(co)== + 1-
Доказательство. Пусть К—тело кватернионов, G—группа
всех кватернионов, по модулю равных единице, и J—совокупность
всех чисто мнимых кватернионов (см. § 12, п. «А»). Положим
23 — G, S2 = J(]G и отображение со оп редел им, положив со (g) =
= tyg(i) = gig~1 (см. § 12, п. «В»). Так как для каждого элемента
у£Ьл найдется такой элемент g£G, что \pg(i) = y, то прообразы
всех точек сферы S2 при отображении со гомеоморфны между
собой, а так как прообраз точки i гомеоморфен окружности
(см. § 12, п. «В»), то все они гомеоморфны окружности.
Правильность отображения со следует из того, что со = р
(см. § 12, пп. «В», «С») и что каждое из отображений х» v пРа~
вильно во всех точках.
Перейдем к построению оснащенного многообразия (S1, V)>
соответствующего (см. определение 5) отображению со. Для этого
примем за северный полюс р' сферы 23 = G кватернион fe, а за
Ф—проекцию области G\k из точки k на пространство £3,
состоящее из кватернионов вида у14 iy2 4 /у3. Хотя эта плоскость не
является касательной к сфере G в точке —fe, но она параллельна
ей, и потому такая замена может повлечь лишь подобное
преобразование оснащенного многообразия, что не меняет его класса
гомологии. За полюс р сферы S2 примем кватернион i\ тогда
(о_1(/7) = 51, причем (рф^^Б1 (см. § 12, п. «В»). Здесь S1 состоит
из всех кватернионов вида cos x 4 i sin x.
Пусть /—подпространство векторного пространства К с
базисом /, k. Обозначим через Р\ касательное пространство к сфере G
в точке cos х 4 i sinx gS1, а через R2—касательное
подпространство к сфере S2 в точке /. Ставя в соответствие точке £ £ / точку
qx (£) = cos x4 i sin x4 £, мы получаем изометрическое
отображение qx плоскости / на плоскость Qx, содержащуюся в Р%. Точно
так же, ставя в соответствие точке ££/ точку r(£) = i"4-!i\ мЫ
получаем изометрическое отображение плоскости / на плоскость R2-
Отображению со сферы G на S2 соответствует линейное отображе-

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 651
ние Фх касательной Р\ в касательную R2 (см. § 1, п. «Е») и,
в частности, отображение сох плоскости Qx в плоскость R2. В
дальнейшем мы будем рассматривать отображение &х только на Qx
и для его изучения положим ^x = r'Hoxqx. Таким образом, <ох
есть линейное отображение векторного пространства / на себя.
Вычислим отображение сох. Пусть
g = 14- x3j + x"k + е
есть элемент группы G, близкий к единице, где е—кватернион
второго порядка малости относительно \/Г(х3)2 + (х4)2. Из
формулы (6) § 12 вытекает, что, отбрасывая малые второго порядка,
мы имеем
v(g) = i+2(x*j + x*k)-i. (4)
Пусть теперь
ft = cosx + isinx + x3 j + x*k =
= [1 -f (x3j + x*k) (cosx—i sinx)] (cos л:4 i sin л:)
есть элемент группы G, который близок к элементу cos x 4 i sin x
и в записи которого отброшены малые второго порядка. Так как
элемент cosx4*sinx перестановочен с i9 то из (4), отбрасывая
малые второго порядка, получаем
со (К) = i4 2(x3j + x*k) (cosл:—isinx)i. (5)
Из этого следует, что
&х (I) =* 21 (cos л:—i sin л:). (6)
Таким образом, если записать кватернионы \ в полярных
координатах р, р, т. е. положить
£ = /p(cosP—/sinp),
то видно, что <йх есть вращение плоскости / на угол х с
одновременным растяжением вдвое.
Нормаль N% в точке cos x4* sinx к окружности 51 в Е3
описывается параметрическими уравнениями (2). Как и в
предложении «А», положим и1(х)={1, 0}, и2(х) = {0, 1}. Отображению ф
соответствует отображение <рх касательной Рх к сфере G в точке х
на линейное пространство Е3 (см. § 1, п. «Е»). Непосредственно
видно, что
Ч>хЯх (/) = "2 (х). ЧхЯх (k)^ux (x). (7)
Согласно определению 5 для построения оснащения V= {vt (х), v2 (х)},
соответствующего отображению о>, мы должны выбрать в R2
векторы ех и е2 и для линейного отображения (юф-1)* пространства N%
на R2 найти такие векторы vx (x) и v2 (x) в Л/£, что ех = (соф"1)^ vx (х),

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
^2 = (а)ф~1)ху2(х). Для выбора векторов е± и е2 и вычисления
векторов vx(x) и v2(x) заметим, что
((oqr1);1 =г ф^о)"1 = чддх1™-1 = (ф^х) ©xV"1. (g)
Поэтому, взяв вх = г f -j |, е2 = г(у)» получим согласно (6)—(8),
^i (*) = (VxQx)^1 (f ) = 4W* (* (cos * + *sinx)) =
= ЧхЯх ((k cos x+Isin *) = ui (x) cos л: + u2 (x) sin л:,
f i (*) = (Фх?х) ®*x ( T ) = 4W* (/ (cos * + * sin x)) =
= <pxqx (— k sin a: + / cos x) = — мх (x) sin x + щ (х) cos x.
Таким образом, в силу «А» мы получаем yiS1, V) = lf и
поэтому у (о)) = 1.
Итак, лемма 1 доказана.
Классификация отображений трехмерной сферы в двумерную.
Лемма 2. Пусть nn(Sr)—совокупность всех гомотопических
классов отображений сферы Sn в сферу Sr, л!>3, /- = 2, 3, и со —
отображение сферы 23 на сферу S2, построенное в лемме 1.
Очевидно, что если f0 и fx суть два гомотопных между собой
отображения сферы Sn в сферу 23, то отображения <о/0 и <s>f1 сферы Sn
в сферу S2 также гомотопны между собой. Таким образом, при
а€яп(23) совокупность оза принадлежит к одному классу co(a)g
€nn(S2). Оказывается, что со есть отображение множества яп(23)
на все множество яп (S2) и что в нулевой элемент множества яп (S2)
переходит при отображении со лишь нулевой элемент
множества яп(23).
Из определения сложения в группе nn(Sr), которое в данной
работе не приведено, непосредственно следует, что <о есть
гомоморфное отображение группы яп(23) в группу nn(S2). Таким
образом, из леммы 2 вытекает, что со есть изоморфное
отображение группы я"(23) на группу nn(S2). Этот результат в
дальнейшем, однако, использоваться не будет.
Доказательство. Покажем прежде всего, что в нулевой
элемент множества яп (S2) отображается лишь нулевой элемент
множества я" (23). Пусть /—такое отображение сферы Sn в сферу S3,
что о/ есть гомотопное нулю отображение сферы Sn в сферу S3.
Тогда существует такое непрерывное семейство отображений gt>
O^tf^l, сферы S7 в сферу S2, что g0=^(oft а ^ есть
отображение сферы Sn в одну точку с сферы S2. В силу леммы 1 сущест-

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
653
вует такое непрерывное семейство ft отображений сферы S1
в сферу 23, что /e=*/f a a>ft^gt (см. лемму 1 § 12). Так как
g^S^—Cy то f1(Sn)c& 1(с), а в силу леммы 1 множество со"1 (с)
гомеоморфно окружности. Таким образом, отображение flf а
следовательно и f0» гомотопно нулю в 23 согласно теореме 18.
Покажем теперь, что для всякого элемента Р € пп (52) найдется
такой элемент а£л;*(23), что (о(а)=ф. Сферу S" будем мыслить
как сферу с радиусом единица и центром в начале координат
евклидова пространства 2rt+1 с некоторой фиксированной системой
координат х1, ..., хп+1. Множество всех точек сферы S",
удовлетворяющих условию хп+1^0, обозначим через £_, множество
всех точек сферы S", удовлетворяющих условию хп+1^0,
обозначим через Е+, и множество всех точек сферы S",
удовлетворяющих условию хп+1^0, обозначим через Sn~l. За северный полюс
сферы Sn примем точку /? = ((), О, ..., О, 1), а за южный—точку
д = (0, 0, ..., О, —1). Очевидно, что существует гомотопное
тождественному отображение сферы Sn на себя, при котором
полусфера Е_ переходит в точку q. Из этого следует, что в классе
отображений р можно выбрать отображение g, переводящее
полусферу Е_ в одну точку cgS2. Пусть Р%—полуплоскость
пространства Еп+1, ограниченная прямой, проходящей через точку л,
<7, и проходящая через точку x^Sn~1. Пересечение
полуплоскости Р\, сферы 5" и гиперплоскости xn+1=l — t обозначим через
(х, f). Таким образом, паре (х, /), xgS"-1, соответствует вполне
определенная точка (х, t)£E+, и каждая точка у£Е+ может
быть записана в форме у = (х, t), причем эта запись однозначна
при у Фру а /? = (#, 0), где х—произвольная точка сферы S"-1.
Положим gt (x) = g(x9 t). Так определяется семейство gu 0 ^ t ^ 1
отображений сферыS"-1 в сферу S2, причем^ (Sn~1)=c, ag0 (Sn"1)=
= g (/?)=&. Пусть а—произвольная точка окружности ш"*1^) и
/—отображение сферы S"^1 в сферу 23, переводящее ее в одну
точку а. В силу леммы 1 § 12 существует такая деформация fu
0 ^ t <! 1, отображения сферы S*"1 в сферу 23, что f0 = f9 а (oft=gt[
Положим теперь f{xy t) = ft(x). Этим определяется отображение/
полусферы Е+, при котором S11"1 переводится в окружность о*"1 (с).
Так как отображение сферы S*"1 гомотопно нулю в окружности
io"1 (с) (см. теорему 18), то отображение / полусферы Е+ можно
продолжить в отображение f всей сферы S\ при котором /(£_)с
соо"1 (с). Так построенное отображение f удовлетворяет условию
«>/ = £•
Итак, лемма 2 доказана.
Теорема 19. Гомоморфное отображение у группыЩв группу
целых чисел есть изоморфизм на (см. § 10, п. «С»). Из этого
следует, что два отображения f0 и ft сферы 23 в сферу S* тогда
и только тогда гомотопны, когда y(f0) = y(f1) и, сверх того,
что для каждого целого числа с существует такое отображение f
сферы 23 в сферу S2, что y(f)=c.

654
24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Доказательство. Покажем прежде всего, что ядро
гомоморфизма v содержит лишь нуль группы Щ. Для этого
достаточно показать, что отображение g сферы 23 в S2,
удовлетворяющее условию у (g) — О, гомотопно нулю. В силу леммы 2
существует такое отображение / сферы 23 в себя, что отображение oof
гомотопно g", и, следовательно, у(со/) = 0. В силу предложения «D»
§ 10 степень а отображения / сферы 23 в себя определяется из
уравнения у(со/) = 12а, так что а = 0. Таким образом (см.
теорему 12), отображение / сферы 23 в себя, а следовательно, и
отображения со/ и g гомотопны нулю.
Покажем, что для каждого целого числа а существует такое
отображение g сферы 23 в сферу S2, что y(g) = ot т. е. что у
есть гомоморфизм на. Действительно, пусть /—отображение
сферы 23 на себя со степенью а. Тогда для отображения g = ®f
имеем, согласно «D» §10, y(co/) = (t- I =a.
Итак, теорема 19 доказана.
В) Сопоставляя предложение «А» и теорему 19, мы видим, что
каждое одномерное оснащенное многообразие трехмерного евклидова
пространства гомологично оснащенному многообразию (S1, V(r)),
построенному в «А», где г—надлежаще выбранное целое число.
§ 14. Классификация отображений (/Ц-1)-мерной сферы
в я-мерную
В этом параграфе доказывается, что при л^З существует
ровно два гомотопических класса отображений сферы 2rt+1 в
сферу Sn. Доказательство опирается на построение гомологического
инварианта б(УИ1, U) оснащенного многообразия евклидова
пространства Еп+1У п ^2, который представляет собой вычет по
модулю два и может принимать оба значения 0 и 1. Таким образом,
уже из существования инварианта б следует существование по
крайней мере двух классов отображений сферы 2n+1 в сферу Sn
при л ^2. Инвариант б описывается следующим образом. Пусть
U (х) = {их (х), ..., ип (х)} —ортонормальное оснащение
многообразия М1, а ип+1(х)—единичный вектор, касательный к М1 в точке
х^М1. Система Uf(х) — {и^(х)у ..., ип+1(х)} получается из
некоторого фиксированного ортонормального базиса пространства Еп+1
вращением А (л:). Таким образом, возникает непрерывное
отображение h многообразия М1 в многообразие Нп+1 всех вращений
пространства Еп+1. В случае однокомпонентной кривой М1
инвариант б считается равным нулю, если отображение h не
гомотопно нулю, и единице в противоположном случае. В случае
многокомпонентной кривой инвариант б определяется как сумма
по модулю два значений инварианта б на компонентах.
Для доказательства инвариантности вычета б предварительно
доказывается общая лемма 1, в которой оснащенное многообразие

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 655
(Мк+1у ^0» осуществляющее гомологию, подвергается улучшению.
Улучшенное многообразие (Mk+1, U) обладает тем свойством, что
его сечение с плоскостью En+kxt представляет собой оснащенное
многообразие (М£, Ut) для всех значений параметра t, за
исключением лишь конечного числа критических значений. Так как
при некритических значениях параметра t оснащенное
многообразие (М*9 Ut) непрерывно зависит от параметра t, то
инвариантность вычета 6 приходится доказывать лишь при прохождении
параметра t через критическое значение. При прохождении через
критическое значение многообразие (М*, Ut) претерпевает
сравнительно обозримую перестройку, благодаря чему и проходит
доказательство инвариантности вычета 6.
Для одномерного оснащенного подмногообразия трехмерного
пространства определены инвариантны у и 6; оказывается, что 6
есть вычет, получающийся от приведения по модулю 2 целого
числа у. Так как каждое одномерное оснащенное многообразие
получается при помощи надстроек из одномерного оснащенного
подмногообразия трехмерного пространства (см. теорему 11), то
при классификации отображений сферы 2rt+1 в сферу Sn при
л^З можно использовать классификацию отображений
трехмерной сферы в двумерную. Именно на этом пути доказывается, что
если у{Мг, U) четно, то £(М\ U)~0. Таким образом
устанавливается, что существует не более двух классов отображений
сферы 2n+1 в сферу S1 при п^З.
Улучшение оснащенного многообразия, осуществляющего
гомологию.
Лемма 1. Пусть (УИ£, U0) и (Mj, Ux)—два оснащенных
подмногообразия евклидова пространства Еп+к, гомологичных
между собой, так что существует оснащенное подмногообразие
(Mk+1, U) полосы En+kxlt осуществляющее гомологию (М§, U)~
~ (М\, Ux). Точку (л:0, /0) многообразия Mk+1 будем называть
критической, а значение t0 параметра t—критическим значением,
если касательная Tl+l к многообразию Л4Л+1в точке (л:0, /0) лежит
в гиперплоскости En+kxt0. Оказывается, что оснащенное
многообразие (Mk+1, U)y осуществляющее гомологию между заданными
оснащенными многообразиями, всегда можно выбрать так, что:
а) существует лишь конечное число критических точек
многообразия Mk+1 и критические значения параметра t в различных
критических точках различны; Ь) для любой критической точки
{#о» *о) многообразия Mk+1 можно выбрать такой ортонормальный
базис ег, ..., еп+к, что в соответствующих этому базису
координатах х1, ..., xn+k с началом в х0 многообразие Mk+1 вблизи
точки х0 задается уравнениями
f =*<о + 2 *'(*')". <*'=±1; xk+2=...=xn+k = 0, (1)

g56 24- ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
а оснащение U={u1(x, t), ..., ип(х, t)} вблизи точки (х /*
задается формулами с> °*
их(х, t) = a[e — 2 2&х1'е{ ), сг=±1;
\ t=i / ^ (2)
где в—единичный вектор полосы En+kxl, направленный по оси t
Доказательство. Пусть (N%+1, V0) — некоторое оснащенное
многообразие, осуществляющее гомологию (Mo, £/0)~(Mi, U^).
Каждой точке у — (х, f) многообразия N%+1 поставим в соответствие
число f(y) = f(x, t) = t. В силу теоремы 5 существует такая
действительная числовая функция g (у), заданная на многообразии Nk+l
совпадающая с f(y) вблизи границы многообразия AfJ+1 и
находящаяся в е-близости первого порядка к функции /, что все ее
критические точки невырождены, а критические значения в
различных критических точках различны. Поставим теперь в
соответствие каждой точке у=(х, t) многообразия Л/о+1 точку ys(y)=
= (х, tJrs(g(y)—f(y))), где s—фиксированное число, O^s^l.
При достаточно малом е отображение cps регулярно и гомеоморфно
(см. теорему 3). Таким образом, cps есть деформация гладкого
подмногообразия Nq+1 в подмногообразие No+1 = y1(No+1).
Очевидно, что критические точки функции g(y) совпадают
с критическими точками многообразия Nk+1. Таким образом,
условие «а» уже осуществлено для многообразия Mk+1 = N*+1.
Подвергнем теперь многообразие N\+1 дальнейшему
исправлению, чтобы для него было выполнено и условие «Ь».
Пусть у0 = (х0у t0)—произвольная критическая точка
многообразия N^+1 и То+1—касательная к многообразию N\+1 в точке у0.
Плоскость Tj+1 лежит в плоскости En+kx t0J так что Tv1 = T\+1 X t0;
j>k+ic-£n+k в пространстве En+k выберем базису, ..., en+kтак,
чтобы векторы еи ..., ek+1 лежали в Tk+1. В окрестности точки
(xQ, t0) многообразие N*+1 описывается в соответствующих
координатах уравнениями
t = t0 + <P(x\ ..., х*+1) + Ц(х\ ..., х*+1), (3)
**+'*= ф/(х\ ..., xk+1), / = 2, ..., п, (4)
где ф—невырожденная квадратичная форма относительно
переменных х1, ..., xk+1; г|?—функция третьего порядка малости
относительно b^Vix1)2-^ . .. -f (хк+1)2, а г|У—функция второго
порядка малости относительно £. Выбирая оси в плоскости Tk+1
надлежащим образом, мы можем привести форму ф к виду
Ф = *2 Я' (х<)\ (5)
1=1
где 7J—отличные от нуля действительные числа. Приступим
к исправлению многообразия iVi+1 в окрестности точки (л:0, /0)-

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 657
Пусть хСп) — гладкая действительная числовая монотонная
функция переменного т]^0, удовлетворяющая условиям
Х(г)) = 0 при 0<т]<1/2;
X (т)) = 1 при г] > 1.
Положим
Х(Е, s) = sx(|) + (l-s),
где а—достаточно малое положительное число. Определим
многообразие N&1 уравнениями
t = t0+ 2 *'"to)1 + х(5. 5Ж*'> .... **+1)>
1=1
**+/ = X(5, s)^*1, .... *fc+1), / = 2, ..., л,
при ?<a, |f—*0|^а> и будем считать, что #*JJ = #i+1 в
остальных точках. Очевидно, что подмногообразие ЩЦ осуществляет
гладкую деформацию подмногообразия N*+1 в подмногообразие N\+Xr
причем последнее при £sg:a, /—£0|^a определяется
уравнениями
k+ i
^=^+Е^и2+х(4)^(^, ...,^+i), (6)
Jf*+/ = x(4)*/(*1. •--. **+1). /=-2, .... /г. (7>
Очевидно, что в достаточно малой окрестности точки (x0i £0),
а именно при £<а/2, многообразие N%+1 задается уравнениями
*=='о + 2 W(xf)*; х*+' = 0, / = 2, ..., п. (8)
t=i
Покажем, что многообразие N%+1 не имеет критических точек,
отличных от критических точек многообразия NJ+1. Для этого
достаточно изучить лишь точки многообразия Л^+1, определяемые
уравнениями (6), (7) и удовлетворяющие условию S^a, и
показать, что среди них лишь точка | = 0 является критической.
Мы имеем
ах1
где
х'М") xi fl\ ^К* ••- **+1)
2W =—\Z-L — y(x> ^+1) + xl- —
a | n a y ox1
Таким образом,

658 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Очевидно, что при достаточно малом а мы имеем
At
Если теперь при £<а имеем—г —О, /=1, ..., k+ 1, то
*'' = - {>'. (9)
Отсюда путем возведения в квадрат каждого из равенств (9) и
суммирования получаем I2 = V 0J < k _Д 2 £2, так что |2 ^ гтг52,
а это возможно лишь при £ = 0.
Подвергнем теперь многообразие N%+1 дальнейшему
исправлению так, чтобы уравнения его в окрестности критической точки
(x0J t0) получили вид (1). Числа Я1' запишем в виде A/ = cr'/aJ,
где а( есть положительное число, аа£"=±1. Пусть а'—настолько
малое положительное число, что при |х''К.а', \t — tf0|^a'
многообразие N*+1 определяется уравнениями (8). Определим теперь
гладкую функцию xe(ri) переменного т), |ri|^a', зависящую от
положительного числа а и удовлетворяющую условиям ка (х\) > 0;
ка (Л) = Щ ПРИ | Л | < Р; ка (ц) = ц при | Л I > — • Здесь
Р—настолько малое положительное число, что функция иа(т]),
удовлетворяющая указанным условиям, существует. Определим
многообразие N%$1 при | л? К а уравнениями •
< = fe + 2>'-[(l — s)xi + SKai (x0]2; х*+' = 0, / = 2, ..., л, (10)
а в остальных точках будем считать его совпадающим с
многообразием Af*+1. Непосредственно проверяется, что многообразие
#2+£ осуществляет гладкую деформацию многообразия N^+1 в
многообразие Л/^+1 и что критические точки многообразий N%+1 и Af§+1
совпадают. При этом уравнения многообразия N%+1 вблизи точки
(х0, t0) имеют вид (1).
Производя указанную перестройку вблизи каждой критической
точки многообразия N^+19 мы построим многообразие Мк+1> а так
как оно получается из многообразия Afo+1 в результате ряда
последовательных гладких деформаций, то существует такое
оснащение V многообразия Мк+19 что оснащенное многообразие (Mk+1, V)
осуществляет гомологию (УИ§, U0) ~ (M\y t/J. Выбирая
надлежащим образом число а=±1 в формуле (2), мы можем добиться
того, что оснащения U и V будут определять одну и ту же
ориентацию многообразия Mk+1y и потому вблизи критической точки
<л:0, t0) можно так продеформировать оснащение V, чтобы оно
перешло в оснащение U (см. § 11, п. «D»). Производя такое
исправление оснащения вблизи каждой критической точки многообразия
Mk+1, мы получим нужное нам оснащение U.
Итак, лемма 1 полностью доказана.

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
659*
Инвариант 6 отображений сферы 2Я+1 B 5"
Теорема 20. Пусть (М\ U)-одномерное ортонормальна
оснащенное подмногообразие ориентированного евклидова
пространства Е»+\ л>2, tf(x) = {M*). ..., ип(х)}. В каждой точке
Х&М1 проведем единичный касательный вектор ип+ (х) к
кривой М1, направленный так, чтобы последовательность и (х)
..., ип{х), ип_х(х) задавала положительную ориентацию
пространства Еп+1. Пусть, далее, е19 ..., ея+1--некоторый ортонор-
мальный базис пространства Еп + 1, задающий его положительною
ориентацию. Тогда у
п+\
М*) = .2 А/у W <7> i==1» -.f Л+1, (И).
где h (x) = \hu(x) || есть ортогональная матрица с
положительным определителем, непрерывно зависящая от х^М1 Таким
образом, h есть непрерывное отображение кривой М1 в
многообразие Нп+1 всех вращений евклидова пространства Еп.+1Ш Положим:
8(М\ U) = p(h) + r(M*) (mod 2),
где г(Мг)—число компонент многообразия М1, а вычет BCAV
определен в предложении «D» § 12. Оказывается, что вычет
б(УИ1, U) есть инвариант гомологического класса оснащенного
многообразия (М1, U), так что если отображению f сферы 2W+L
в сферу Sn соответствует оснащенное многообразие Щ1 U) то
полагая ' *
8(f) = b(M\ U),
мы получаем инвариант 6 (/) гомотопического класса
отображения /. От ориентации пространства £"+i u от случайности
выбора базиса е19 ...,еп+1 вычет 6(М\ JJ) такоюе не
зависит.
Доказательство. Докажем прежде всего инвариантность
вычета 6(Мг, U) при изменении базиса ег, ..., е Пусть
*ь •••» e'n+i—некоторый отличный от первоначального*
ортонормальный базис пространства Еп+1, также задающий его
положительную ориентацию; тогда
п+\
е; = 2 а;А> i=U •.., п+ 1,
где a = \\a/k\\ есть ортогональная матрица с положительным
определителем. При базисе е[, ..., еп+1 оснащенному многообразию
(М1, U) соответствует уже не матрица А(;с), а матрица W (х) =
= h(x)a. Так как многообразие #я + 1 связно, то существует
такая матрица at^Hn+1, непрерывно зависящая от параметра t,
0<^< 1, что аг = а, а а0 есть единичная матрица. Отображение
ht=that осуществляет непрерывную деформацию отображения h

I
550 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
в отображение А', так что отображения эти гомотопны между
собой и потому вычет 6(М1, U) не зависит от выбора базиса
Докажем теперь независимость вычета 6(МХ, U) от
ориентации пространства Еп+1. При изменении ориентации пространства
Еп+1 вектор ип+1(х) заменяется вектором —ип+г(х)у а в базисе
£19 ..., еп+1 можно для изменения ориентации заменить вектор
■еп+1 вектором —еп+1. При этих заменах вместо матрицы h(x)
возникает матрица А'(х), получающаяся из матрицы h(x)
умножением на —1 последнего столбца и последней строки. Поставим
в соответствие каждой матрице l£Hft+l матрицу Г, получаемую
из / умножением на —1 ее последнего столбца и последней
«строки. Если принять за плоскость Е2 плоскость с базисом еи
£21 то видно, что при отображении 1—+V не гомотопная нулю
в #„+1 кривая #2, указанная в теореме 17, отображается на себя
тождественно. Таким образом, при изменении ориентации
пространства Еп+1 вычет 6(M1f U) не меняется.
Докажем, наконец, главное свойство вычета 8(Mxf
U)—инвариантность относительно выбора оснащенного многообразия (Ml, U)
из класса гомологии.
Пусть (Ml, U0) и (М{9 U\)—два оснащенных подмногообразия
пространства Еп+1 и (М2, U)—оснащенное подмногообразие
полосы Еп+1х1> осуществляющее гомологию (AfJ, U)~(M[, t/t) и
выбранное так, что выполнены условия «а» и «Ь» леммы 1.
Пересечение M2r\(En+1xt) лежит в En+1xt и потому имеет вид
M\xt9 где Af}cz£n+l. Легко видеть, что если (х, t) не есть
критическая точка поверхности М2 (см. лемму 1), то множество М)
вблизи точки х есть гладкая кривая, так что, когда t не есть
критическое значение параметра, М\ есть гладкое
подмногообразие пространства Еп+1. Построим оснащение Vt многообразия М}.
Пусть (jc, t) — некритическая точка многообразия М2\ V(х, t)xt —
ортогональная проекция системы векторов U (х, t) на
гиперплоскость En+1xt и Vt{x)—система, получаемая из системы V (х, t) при
ломощи процесса ортогонализации (см. § 7, п. «G»). Так как все
векторы системы U (x, t) ортогональны к М2 в точке (л:, t)y то
все векторы системы V (х, t) ортогональны к М\ ъ точке х. Из
того, что точка (х, t) не есть критическая, следует, что векторы
системы V (х, t) линейно независимы. Таким образом, система
Vt(x) составляет оснащение многообразия М\ при некритическом
значении параметра t. Оснащенному многообразию (М], Vt)
соответствует отображение ht кривой Щ в Нп+1. Из общих
соображений непрерывности следует, что, когда параметр t меняется
непрерывно, не проходя через критическое значение, вычет
6(MJ, Vt) остается неизменным. Докажем, что он не меняется
и при прохождении через критическое значение t0 параметра t.
Из этого в силу соотношений VQ = U0f V1 = U1 и будет следовать
инвариантность вычета 8(Мг9 U).

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 661
Пусть (х0, f0)—та единственная критическая точка
многообразия М2, в которой параметр t имеет критическое значение t=^t0.
Вблизи точки (л:0, t0) многообразие М2 определяется уравнениями
i = t0 + в1 {х1)* + о2 (х2)2, а1 = ±1, а2 = ±1, х3= ... = хп + 1 = 0
[си. (1)]. Из этого следует, что при /, близком к t0t уравнения
многообразия М) вблизи точки х0 имеют вид
а1 (х1)2 + б2 (x2)2=t—t0J х* = ... = xn+1 = 0. (12)
Далее, из (2) следует, что система Vt(x) при достаточно малом
J/ — t0\ и при х, близком к х0, определяется формулами
(vt).(x) = e/+u / = 2, ..., л,
где I — у (х1)* + (х2)2. При изучении вычета 6(MJ, Vt) за
плоскость Е2 (см. теорему 17) примем плоскость с базисом е1У е2.
Рассмотрим теперь два различных случая: 1)о1 = а2и2)а1=—а2.
В случае 1 будем для определенности считать, что о1 —о2 =
=— 1. В этом предположении многообразие М\ при tf< t0
содержит компоненту, определяемую уравнениями (12) и
представляющую собой обыкновенную метрическую окружность малого
радиуса. Эту компоненту мы обозначим через S1. Непосредственно
видно, что отображение ht отображает окружность S1 на
окружность #2 со степенью единица. При / > t0 компонента,
определяемая уравнениями (12), становится мнимой, т. е. исчезает, в то
время как все остальные компоненты кривой М) вместе с их
оснащениями изменяются непрерывно. Таким образом, в первом
случае при прохождении параметра t через значение t0 вычет
$(ht) меняется на единицу, так же как и число компонент
многообразия М\у так что вычет Ь(М), Vt) не меняется.
В случае 2 множество М\0 вблизи точки х0 описывается
уравнением (л:1)1 — (л;2)2 = 0, т. е. представляет собой крест /С/0 —
совокупность двух отрезков, пересекающихся в одной точке.
Из этого видно, что компонента Lto множества M\Qi содержащая
крест /Cf0, гомеоморфна лемнискате. Так как поверхность М2
ориентируема, то окрестность лемнискаты Lto на М2 гомеоморфна
двусвязной плоской области, и из этого видно, что часть Lt
множества М'и расположенная вблизи лемнискаты Lto, состоит из двух
компонент S\ и S\ для tt лежащих по одну сторону от t0, и из
одной компоненты S1 для ty лежащем по другую сторону от t0.
Для определенности будем считать, что Lt состоит из двух
компонент при t < t0 и из одной компоненты при t > t0. Если обо-
значить соответствующие компонентам S\, SI и S1 вычеты Р(Л*)
через plf P2, |£, то для доказательства инвариантности вычета

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
б(ЛР, U) нам достаточно доказать, что Pi + P2 = PH-1 (mod 2)
Докажем это. Часть кривой Lt, лежащую вблизи креста К
обозначим через Kt. Часть эта описывается уравнением (х1)2 Jl
— (x2)2 = o1(t—t0), т. е. представляет собой гиперболу. Из фор.
мул (13) видно, что ht (Kt)c:H2, при этом видно, что при t < t
множество ht(Kt) покрывает две четверти окружности Я2, а при
t>t0—Две другие четверти окружности Н2. В силу теоремы 17
отображение ht кривой Lt можно заменить гомотопным ему
отображением h't, так что при этом h't (Lf)c#2, а отображения h't и ht совпадают
на Kf Из сказанногэ легко вытекает, что сумма степеней
отображения h\ кривых S\ и SI при t < t0 отличается от степени
отображения h\ кривой § при t > t0 на единицу. Таким образом, 81+8.,===
= |3+1 (mod2), и инвариантность вычета 8(М1, U) полностью
доказана.
Итак теорема 20 доказана.
Отметим некоторые легко проверяемые свойства инварианта
8(М\ U).
А) Пусть Щ — группа классов гомологии оснащенных
одномерных подмногообразий евклидова пространства Еп+1> Так как
б^1, U) есть инвариант класса гомологии, то можно положить
б (я) = б (М1, U), где (М1, U) есть оснащенное многообразие класса
я£Щ. Непосредственно проберяется, что б есть гомоморфизм
группы Щ в группу вычетов по модулю два. Далее, очевидно,
что если Ел есть надстройка над классом л, т. е. Е(Мг, U)£
£Ел (см. § 8), то б (£л) = б (л).
Классификация отображений сферы 2Я+1 в сферу Sn.
Теорема 21. При л^З гомоморфизм б группы Щ в группу
вычетов по модулю два есть изоморфизм на, так что группа Щ
есть циклическая второго порядка. Таким образом, существует
ровно два гомотопических класса отображений сферы 2W+1 в
сферу Sn (п^З). Далее, гомоморфизм б группы Щ в группу вычетов
по модулю два есть гомоморфизм на, а так как группа Щ
изоморфно отображается на группу целых чисел при помощи
изоморфизма у (см. теорему 19), то гомоморфизм бу~г группы целых
чисел на группу вычетов по модулю два есть редуцирование по
модулю два.
Доказательство. Пусть (S1, U) — некоторое ортонор-
мально оснащенное подмногообразие евклидова пространства Еп+Х,
гомеоморфное окружности, U (х) = {иг (х), ..., ип (л:)}. Для
вычисления инварианта б(5х, U) обозначим через ип+1(х) надлежаще
направленный единичный касательный вектор к окружности S1
в точке х, и пусть е19 ..., еп+1—базис пространства Еп+1. Мы
имеем
Щ■(*) — 2 hu(x)ej* '=1> ->n+l, О4)
t
662

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 663
так что Н(х) = \\к(/(х)\\ есть ортогональная матрица с
положительным детерминантом и h есть непрерывное отображение
окружности S1 в Нп+1. В силу определения инварианта б(Л1\ U)
{см. теорему 20), имеем
6(S\ l/) = P(A)+l (mod 2). (15)
Пусть, далее g(x)=\\gi/(x)\\—ортогональная матрица порядка п
с положительным детерминантом, так что g есть непрерывное
отображение окружности S1 в Яй. Положим
п
0| (*) = 2 Su (x) uj (*); * = 1. • • •» я»
и обозначим через g[U] оснащение V(x) = {v1(x)t .. ., vn+1(x)}.
Для вычисления инварианта fi(S1, g"[£/]) положим urt + i(x) =
= «z+iW и обозначим через g"'(x) матрицу порядка п+\9
получаемую из матрицы g(x) дополнением ее элемента gt;n+i(x) и
gn+lti(x), причем только один из этих элементов gn+1, n+i(x)
отличен от нуля и равен единице. Очевидно, что при п^2 мы
имеем
Pte')=Pte) (16)
(см. § 12, п. «D»). Далее, мы имеем
л+ 1
vi(x)= 2 fitf/M A* (*)***» *=1> ...,л+1.
/. *= i
Таким образом, в силу предложения «D» § 12 имеем
«(Sl, SP/]) = Pte'ft)+l=*pte') + P(A)+l = 6(S*, U) + P(g). (17)
Из теоремы 11 и предложения «В» § 13 следует
непосредственно, что для каждого оснащенного многообразия (Л!1, W)
евклидова пространства Еп+1 имеет место гомология
(М\ W)~E«->(S\ VM), (18)
где (S1, Vir))—оснащенное подмногообразие трехмерного
евклидова пространства £3, построенное в предложении «А» § 13, а
£«-2—операция надстройки, проведенная п—2 раза.
Мы имеем
VM = g{,}[Vwl (19)
где
/ v II cos rx sin rx
II—sin rx cos гх
(см. § 13, п. «А»), Таким образом,
Р (ft,,)-r (mod 2). (20)

664 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Непосредственно проверяется, что 6(S\ l/(0)) = 0. Отсюля
в силу (17), (19) и (20) следует: да
8(S\ V(r)) = r(mod2). (21)
Так как v(S\ Vir)) = r (см. § 13, п. «А»), то из (21) вытекает
что гомоморфизм бу"1 группы целых чисел в группу вычетов
по модулю два есть редукция целых чисел по модулю два. Этим
вторая часть теоремы 21 доказана.
Далее, мы имеем
EV{r)=g'{n[EVK0)],
где
cos rx sin rx 0
— sinrx cosrx 0
0 0 1
8'т (х) =
так что р (g('r))= r (mod 2). Так как у (S1, V{0)) = 0, то (S1, V{0))~0
(см. теорему 19), и потому ^(S1, V(0)) ~ 0. Следовательно,
Е (S1, У(г)) ~ 0, если отображение g[n окружности 51 в Я3
гомотопно нулю (см. § 7, п. «Н»), что имеет место при четном г.
Итак, Е (Sl9 V(r))~0, если 6(£,(S1, 1/(г))) = 0. Отсюда и из
соотношения (18) вытекает, что при п>3 из 6(Af1, U?) = 0 следует,
что (лИ1, №)~0. Так как 6(£n~2(S\ У(1)))=1, то оснащенное
многообразие Еп~2 (S1, V(1)) не гомологично нулю. Таким
образом, установлено, что гомоморфизм б группы Щ в группу
вычетов по модулю два есть изоморфизм на.
Итак, теорема 21 полностью доказана.
§ 15. Классификация отоображейий (#-|-2)-керной сферы
в я-мерную
В этом параграфе доказывается, что при п ^ 2|существует
ровно два гомотопических класса отображений сферы 2П+2 в сферу
S*. Доказательство опирается на построение гомологического
инварианта &(М2, U) оснащенного многообразия (М2, U)
евклидова пространства Еп+2, который представляет собой вычет по
модулю два и может принимать оба значения 0 и 1. Таким
образом, уже из существования инварианта б следует существование
по крайней мере двух классов отображений сферы 2W+2 в сферу S*.
Инвариант б описывается следующим образом. Пусть U (х)
= {и1(х), ...., ип (х)}—ортонормальное оснащение многообразия
М2, а С—гладкая простая замкнутая кривая на М2. Единичную
нормаль к кривой С, касающуюся поверхности М2 в точке х 6 С,
обозначим через ип+1(х) и положим V(x) = {u1(x), ..., ип+1(х)}-
Для одномерного оснащенного многообразия (С, V) определен
инвариант б (С, V) (см. § 14), который в данном случае мы
обозначим через б (С). Будем считать сперва, что М2 есть связная

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 665
поверхность, и род ее обозначим через /?. Существует на М2 такая
система А19 ..., Ар, В19 ..., Вр гладких простых замкнутых
кривых, что кривые А{ и Bh t=l, ..., /?, пересекаются, не
касаясь, в одной-единственной точке, а две любые другие кривые
вовсе не пересекаются. Оказывается, что вычет
б(м*,(/) = 2б(л,)б(в,.)
не зависит от всех случайностей построения и является
гомологическим инвариантом оснащенного многообразия (М2, U). В
случае многокомпонентной поверхности инвариант б для нее
определяется как сумма значений его на компонентах.
Из теорем 11 и 16 следует, что число классов отображений
сферы 2Л+2 в сферу Sn не превосходит числа классов
отображений сферы 24 в сферу S2. Число же классов отображений
сф=фы 24 в сферу S2, в силу леммы 2 § 13, не больше числа
классов отображений сферы 24 в сферу S3, а последнее, в силу
теоремы 21, равно двум. Таким образом устанавливается, что
число классов отображений сферы 2W+2 в сферу Sn не больше
двух.
А) Пусть М2—ориентируемая поверхность, т. е. гладкое
замкнутое ориентируемое многообразие размерности два, и
М1—кривая, т. е. гладкое замкнутое одномерное многообразие. Пусть,
далее, f—гладкое регулярное отображение кривой М1 в
поверхность М2У при котором никакие три различные точки кривой М1
не переходят в одну точку поверхности М2. Относительно
отображения f мы будем предполагать еще, что если две различные
точки а и b кривой М1 переходят при отображении f в одну
точку c = f(a) — f(b) поверхности М2, то окрестности точек а и Ъ на
кривой М1 переходят при отображении f в кривые, имеющие в точке с
различные касательные. При этих условиях множество C = f(M1)
называется гладкой кривой на поверхности М2. Если многообразие
М1 ориентировано, то кривая C=f(M1) также считается
ориентированной. Точки вида c = f(a) = f(b)y где афЬ, называются
двойными точками кривой С. Легко видеть, что кривая на
поверхности имеет лишь конечное число двойных точек. Если
C = f1(M\) = f2(Ml)y то если кривая С получается в результате
двух различных отображений fx и f2 двух различных кривых М\
и М\у причем для ft и f2 выполнены высказанные ранее
условия, то существует гладкий гомеоморфизм <р кривой М\ на
кривую М\у удовлетворяющий условию f24>=sfi- Ввиду этого можно
компоненту кривой С определить как образ компоненты кривой М1.
Случай пустой кривой мы также не будем исключать. Легко
видеть, что если C = f(M1) есть кривая на поверхности, то при
условии, что отображение /' достаточно близко к отображению f
в смысле близости класса 1, множество C' — f'iM1) также есть

666 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
кривая на поверхности. Мы будем говорить, что кривая С
получается из кривой С малым сдвигом.
В) Кривая С на поверхности М2 считается гомологичной нулю
(точнее, гомологичной нулю по модулю два), если существует на
М2 такое открытое множество G, что C = G\G и что в любой
окрестности каждой точки х£С имеются точки поверхности М2
не принадлежащие G; в знаках: С —AG, С~0. Очевидно, что при
малом сдвиге кривая, гомологичная нулю, переходит в кривую
гомологичную нулю. Пусть Сг и С2—две такие кривые на М2, что
двойные точки каждой из них не принадлежат другой, а в
каждой точке пересечения обеих кривых касательные к ним различны.
В этом случае С1()С2 есть также кривая, и мы будем говорить,
что кривые Сх и С2 допускают сложение, а сумму Сх (J С2 их
будем обозначать через Сг + С2. Легко видеть, что если на М2
заданы две любые кривые, то, подвергая одну из них надлежаще
выбранному малому сдвигу, мы получим две кривые,
допускающие сложение. Если две кривые Сх и С2 на поверхности Мг
допускают сложение и каждая из них гомологична нулю, то
сумма их также гомологична нулю. Действительно, пусть C1 = AGl>
С2 = AG2.
Положим G = (G1uG2)\(G1nG2). Легко видеть, что Сг-\-С2 =
= AG. Соотношение Сг + С2~0 иначе будем записывать в форме
СХ~С2. В силу этого соотношение С1^С2 имеет смысл лишь
в том случае, когда кривые Сг и С2 допускают сложение. Если
кривые Сх и С2 не допускают сложения, то подвергая одну из
них, например С19 малому сдвигу, мы получим кривые С'х и С2,
уже допускающие сложение. Если при этом С[~С2> то считают,
что С!~С2. Это определение законно, так как оно инвариантно
относительно перехода от кривой С1 к кривой С[. Соотношение
СХ~С2, оказывается рефлексивным, симметричным и
транзитивным, так что все кривые на поверхности М2 распадаются на
классы попарно гомологичных. Совокупность этих классов
обозначается через Д1(М2) = А1. В множестве Д1 вводится операция
сложения. Если zl9 z2—два элемента из Д1, a C^Zj и C2£z2>
причем кривые Сг и С2 допускают сложение, то класс г,
содержащий кривую Сг + С2, по определению считается суммой
классов zx и Zo, z = zx + z2. Так определенное правило сложения не
зависит от случайности выбора кривых Сх и С2 из классов zx
и г2. Группа Д1 называется группой связности поверхности М2.
Все элементы ее имеют второй порядок. Конечная система
кривых С1У ..., С7 на поверхности М2 называется ее базой
гомологии, если для каждой кривой С на поверхности М2 имеет место
соотношение
я
с— 2 еА>

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 667
где е/ = 0 или 1 (mod 2) и если из соотношения
С~0
»
следует, что вычеты е,- равны нулю.
С) Пусть Сг и С2—две кривые на поверхности М2,
допускающие сложение. Редуцированное по модулю два число точек
пересечения этих кривых обозначается через J (Clf С2) и называется
индексом пересечения. Легко видеть, что
J(CX + C2, C3) = J(CU C3)+J(C29 С3)
и что из Cj^O следует J(C19 C2) = 0. Из этого вытекает, что если
d~D19 C2~£>2, то J (C19 C2) = J(D1, Ц>). Таким образом,
полагая J(zl9 z2) = J(C1, С2), где C1^z1, С2£г2У мы получаем
корректное определение индекса пересечения J (z19 z2) двух классов
гомологии. Оказывается, что на любой поверхности М2
существует базис гомологии, составленный из кривых А19 ..., Ар,
В1У •.., Вр, для которых выполнены соотношения
J(Ah Af) = J(Bi9 £у) = 0, J{Ai9 B,) = 6i/9 i9 /=1, .... p. (1)
Такой базис называется каноническим. Из этого непосредственно
следует, что для любого класса гомологии zgA1 имеет место
соотношение
J (г, г) = 0,
и, далее, если zx—отличный от нуля класс гомологии, то
существует такой класс гомологии z2, что
В случае связной поверхности М2 за кривые А19 ..., Ар,
В19 ..., Вр можно принять кривые, дающие канонический разрез
поверхности М2. В этом случае р есть род поверхности. В случае
несвязной поверхности нужный базис гомологии получается путем
объединения базисов компонент. В этом случае р есть сумма
родов компонент поверхности М2.
Теорема 22. Пусть (М2, U)—ортонормально оснащенная
поверхность евклидова ориентированного пространства Еп+2
с базисом е19 ..., еп+2, задающим его ориентацию, U (х)=
= {и1(л;), ..., ип(х)}, и пусть C = f(M1) — ориентированная
кривая на М2.
Пусть у£Мг. Обозначим через ип+2(у) единичный вектор,
касательный в точке f(y) к кривой f(Mx) и соответствующий ее
ориентации, а через ип+1(у)—единичный вектор, касательный
к М2 в точке f{y)y ортогональный кип+2(у)и направленный так,
что векторы ut(f(y))9 ..., un(f(y)), йп+1(у), йп+2(у) дают
положительную ориентацию пространства Еп+2. Для удобства обо-
значений положим также и{ (у) = и{ (/ (у))9 i =* 1, ..., п. Мы

668 24« ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
имеем
п + 2
ui{y)^yZhiI{y)-eJ, f=l n+2,
/= i
где h(y) = \hij{y)\ есть ортогональная матрица с
положительным детерминантом, так что А есть непрерывное отображение
многообразия М1 в группу Нп+2. Положим
б {М\ U, С) = б (С) = Р (А) + г (С) + в (С), (2)
где Р(А) определено в положении «D» § 12, г (С) — <*ш?ло компонент
кривой С, a s(C)—число ее двойных точек. Оказывается, что
б (С) является инвариантом класса гомологии г £ А1, содержащего
кривую С, так что можно положить б (УМ2, U, z) = 6(z) = 6(C).
Далее, оказывается, что для двух произвольных классов гомологии
гг и г2 поверхности М2 мы имеем
б (гг + г2) = 6 (zx) + б (z2) + J (ги z2). (3)
Доказательство. Докажем прежде всего, что вычет (5(A)
не зависит от базиса е19 ..., еп+2 и ориентации кривой С = /(Л11)>
Если вместо базиса е19 ..., ел+2 взять другой базис ei, ..., ел+а,
то мы получим
*/ = 2 1;ьеь* / = U • • • t n + 2»
где f/ = ||//ft|] есть ортогональная матрица с положительным
детерминантом. На месте матрицы А (у) при такой замене
встанет матрица А' (#) = А (у) /. Так как многообразие Нп+2 связно,
отображения А и А' гомотопны между собой, а из этого следует
независимость вычета (3(A) от выбора базиса ех, ..., еп+2. Если
теперь изменить на противоположную ориентацию однокомпо-
нентной кривой C==f(S1), то векторы ип+1(у) и ип+2(у) придется
заменить векторами —ип+1(у) и —ип+Лу)- При такой замене
матрица h(y) заменится матрицей hry^l»h(y), где /,/ = 0 при
^11 = • • • === ^лл = *» *л + 1,и + 1 =^я + 2, л + 2 = * •
Так как матрица / = |U/yll принадлежит многообразию Яп+2, то
отображения А и А' гомотопны между собой, а потому вычет
Р(Л) не зависит от ориентации однокомпонентной кривой С
То же, очевидно, справедливо и для произвольной кривой.
Для доказательства того, что б (С) есть инвариант класса г
гомологии, содержащего кривую С, введем операцию перестройки
ориентированной кривой С вблизи ее двойней точки а, в
результате которой кривая С переходит в ориентированную кривую
Ca = fa(M*). Отображение кривой М\ в Нп+2, соответствующее
кривой Са, будем обозначать через ha. Операция перестройки

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 669
будет определена так, что кривая Са имеет на одну двойную
точку меньше, чем кривая С, и, сверх того, выполнены условия
Са~С, 6 (С.) = 6 (С).
В силу предложений пп. «С» и «D» § 11 можно считать, что
вблизи точки а поверхность М2 совпадает с плоскостью £2,
кривая С—с двумя пересекающимися прямыми, а векторы и({х) —
с векторами et соответственно, i = 1, ...
..., п. Эти прямые примем за оси
координатной системы х1, х2, определенной
вблизи точки а на М2. Направление осей
выберем так, чтобы возрастанию
координат соответствовало движение по кривой
в положительном направлении. Будем
считать, что кривые Са и С совпадают
между собой вне окрестности точки а,
вблизи же точки а кривая Са задается
уравнением х1-х2 = — е, где е>0 (рис.
3). Таким образом, ориентация кривой С Рис 3
естественно переносится на кривую Са.
Легко усмотреть, что если обе ветви кривой С, проходящие
через а, принадлежат одной ее компоненте, то после перестройки
вместе этой компоненты появятся две различные компоненты
кривой Са. Напротив, если две ветви кривой С, проходящие через
точку а, принадлежат различным компонентам кривой С, то в
результате перестройки вместо этих двух компонент кривой С
появится одна компонента кривой Са. Таким образом, в обоих случаях
r(C) + s (С) е- г (Са) + s (Ca) (mod 2).
Покажем, что Р(Л) = Р(йл). Действительно, отображение hf'1
переводит окрестность точки а на кривой С в две точки
окружности #2 (см. теорему 12), а отображение hja1 переводит близкие
к точке а части кривой Са в окружность Я2 со степенью 0. Из
этого следует, что 6(C) = 6(CJ. Гомологичность кривых С и Са
очевидна.
В результате конечного числа описанных перестроек мы
получаем из С кривую 0(C) без двойных точек, для которой
выполнены соотношения
О (С)~С, б (О (С)) = 6 (С). (4)
Покажем теперь, что если кривая С без двойных точек
гомологична нулю на Ж2, то
б (С) = 0. (5)
Пусть C = kG; тогда G есть ограниченная кривой С гладкая
поверхность. Легко задать на поверхности G гладкую функцию %,
положительную и меньшую 1 в G и равную нулю на С, полный
Дифференциал которой не обращается в нуль на С. В полосе

670 24- ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Еп+2х1> где / есть единичный отрезок 0^^<1, рассмотрим
поверхность Р2, определяемую уравнением
Легко видеть, что поверхность эта имеет своим краем кривую
СхО и ортогональна к краю £"+2хО полосы Еп+2х1. Так как
поверхность Р2 гомеоморфна ориентируемой поверхности G, то
мы можем считать ее ориентированной. Так как векторы системы
U (х) ортогональны к поверхности G в точке х, то векторы
системы U(x)xt ортогональны к поверхности Р2 в точке xxt.
Дополним векторы системы U(x)xt единичным вектором ип+1 (х, t)xt
так, чтобы полученная система U(x, t)xt составляла ортонор-
мальное оснащение ориентированной поверхности Р2 в
ориентированной полосе Еп+2х1. Вектор ип+1(х, 0), полученный таким
образом, ортогонален к кривой С и касается поверхности М2
в точке х. Таким образом, дополняя систему U (х) вектором
un+i(x> 0)» мы получаем оснащение V(x) кривой, причем
оснащенная кривая (С, V) оказывается гомологичной нулю. Далее,
дополняя систему V(x) вектором ип+2(х), касающимся кривой С
в точке х, мы получим систему U (х), положенную в основу
вычисления вычета б (С). Сравнивая конструкцию вычета 6(C),
данную здесь, с конструкцией вычета б (С, V) (см. теорему 20), мы
видим, что
6 (С) = 6 (С, V).
Так как оснащенное многообразие (С, V) гомологично нулю, то
б (С) = 6 (С, V) = 0 (см. теорему 20). Таким образом, соотношение (5)
доказано.
Пусть Сх и С2—две произвольные кривые на М2У
допускающие сложение. Мы имеем
s (С, + C2) = s (С,) + s (С2) + J (Cl9 С,) (mod 2),
r(C1 + C2) = r(C1) + r(C2),
P(C1 + C1) = P(Cl) + P(C1).
Отсюда следует, что
6 (Сх + С2) = 6 (СО + б (С2) + J (С19 С2). (6)
Если, в частности, СХ~С2У то J(CU C2) = 0 и из соотношений
(6), (5) получаем
б (С,) + б (С2) - б (С, + С2) = б (О (Сг + Са)) = 0.
Таким образом доказано, что б (С) есть инвариант класса
гомологии. Из этого и из соотношения (6), примененного к
произвольным кривым Сх и С2, допускающим сложение, следует
справедливость формулы (3).

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 671
Итак, теорема 22 доказана.
Теорема 23. Пусть |(Л12, U)—ортонормально оснащенное
подмногообразие евклидова пространства Еп+2 и
Аи . . ., Ару £?!, . . ., Dp (7)
есть произвольный канонический базис поверхности М2.
Оказывается, что вычет
6 = 6 (Л**, £/)=2б(Л,.)6(В,) (8)
не зависит от случайного выбора канонического базиса (7), а
является инвариантом оснащенного многообразия (М2, U).
Доказательство. Рассмотрим какой-либо канонический
базис
/*1» • • • , Ар, XJj, . . . , Dp \vy
поверхности Af2 и покажем, что
2б(л,.)8(в,.)=2б(Л|')б(я;). (Ю)
Непосредственное доказательство равенства (10) в случае
произвольных канонических базисов (7) и (9) представляет
значительные вычислительные трудности, поэтому будут рассмотрены
три частных типа преобразований канонического базиса в
канонический базис, причем для каждого отдельного типа
преобразования справедливость формулы (10) устанавливается довольно
легко. В заключение будет показано, что переход от
произвольного канонического базиса (7) к любому другому каноническому
базису (9) получается путем последовательного применения
рассмотренных частных преобразований. Этим инвариантность
вычета б будет полностью доказана.
Преобразование 1. Пусть j — натуральное число, не
превосходящее /?. Положим
А) = В1% В', = А/9 А\ = А{, B\ = Bh 1Ф\. (11)
Очевидно, что базис А\, ..., Ар, В'и ..., В'ру определяемый
этими соотношениями, снова является каноническим и что
соотношение (10) в этом случае справедливо.
Преобразование 2. Положим
р
^1=2 «/И*. /=i, ...,/?, (12)
/г=1
B'i=2b/kBk, /=i, .... р, (13)
где aih и bJk вычеты по модулю 2. Для того чтобы базис (12) — (13)
был каноническим, необходимо, чтобы матрица а — \\аи\\ была

672 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
невырожденной, т. е. имела детерминант + 1, и чтобы матрица
Ь = \\Ьу\\ была связана с матрицей а соотношениями
So/Afc^V (14)
rV
т. е., если обозначить через е единичную матрицу, а через Ь'
матрицу, получаемую из Ь транспонированием, аЬ'=*е, или
a~l = b~1, откуда Ь'а=*е. Последнее соотношение дает
9
2 ai/bik = bik. (15)
Таким образом,
2 б (А ;•) б т=2 б ( 2 */а) б ( 2 а,кв„
= 2 fl;A»8W6W= 2 M My) б (В*) = 2 б (Л,) б Щ
[см. (3)], и соотношение (10) в случае преобразования 2
выполнено. Отметим, что преобразование 2 однозначно определяется
матрицей я, дающей преобразование (12). Преобразование (13),
в силу формулы (14), определяется однозначно преобразованием
(12). Мы будем говорить, что преобразования (12) и (13)
согласованы, если для них выполнено соотношение (14).
Преобразование 3. Положим
А'1 = А1 + ^с{кВк, 1=1, .... р, (16)
B\ = Bh 1 = 1,. ...р. (17)
Для выполнения соотношения У(Л[-, Л/)?=0, /=1, • ••, /?, £необ-
ходимо и достаточно, чтобы
си = сп. (18)
Действительно,
/(л;,Л/)=/(л,, 2^в,) + /(2^А.^/) =
= 2 ty А* + 2 с,Л* = 9/ + C'V
Если соотношение (18) выполнено, то базис (16)—(17) является
каноническим. Покажем, что при преобразовании 3 соотношение
(10) выполнено. Мы имеем
2би;)б(5-)=2бГл,.+2^5^б(в,.) =
i i \ k J
2 (б и,)+2 с,*б (в,)+2 ^ (A„ Bj)6(Bi) =
k k )
=2 б (а ,) б (в,) 4- 2 сЛь (вк) б (в,)+2 ^ АА (5<>-
i i, k i, k

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 673
Далее,
2 cik8 (В,) б (Bk) = 2 cti6 (В;) б (В,) = 2 си8 (В,)
i, к i i
(ибо вычисления проводятся по модулю 2) и
2с,Д*6(Я,) = 2с(,.8(Я,.).
Итак, соотношение (10) выполняется.
Рассмотрим теперь произвольный переход от канонического
базиса (7) к произвольному каноническому базису (9). Мы имеем
А\ = 2'/И/+ 2*/А- (19)
/ к
Ранг прямоугольной матрицы высоты р и длины 2/?,
определяющей это преобразование, равен р> т. е. один из ее миноров
порядка р отличен от нуля. Применяя к базису (7) несколько
раз преобразование 1, мы сможем прийти к такому новому базису
(который мы снова обозначим через Alf ..., Ару В1У ..., Вр),
что в формуле (19) будет отличен от нуля минор \ги\. Применяя
к полученному базису А19 ..., Ару В1У ..., Вр преобразование
2 с матрицей Ця^/ЦНк/Д мы приведем преобразование (19) к виду
(16). Введем теперь канонический базис А"1У ..., А"ру В\у ..., В"ру
применив преобразование 2:
Переход от этого базиса к базису (9) дается формулами
A\ = A'tt B't = 2 Л, А) -Ь 2 s'ikBZ. (20)
Соотношение / (A'h В}) = б/у дает 2s/vAfc — ^//» или sh = ^//- Таким
k
образом, преобразование (20) приобретает вид
А\ = А\% Bl = B'i+^rr}A]y
т. е. является преобразованием 3, в котором кривые Ai и В(
меняются ролями. Итак, переход от базиса (7) к базису (9)
совершается последовательным применением преобразований 1—3.
Итак, теорема 23 доказана.
Теорема 24. Если два оснащенных подмногообразия (М%у U0)
и {М\у иг) евклидова пространства Еп+2 гомологичны между собой,
то мы имеем
б(М19и0) = 8(М1,и1) (21)
22 Л. С. Понтдягин, т. I

674 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
[см. (8)]. Таким образом, каждому элементу л группы Щ
однозначно соответствует вычет б (я), определяемый соотношением
6(л) = 8(М2, U), где (M2,U) есть оснащенное многообразие класса
л. Оказывается, что при л>2 6 есть изоморфное отображение
группы Щ на группу вычетов по модулю 2. Из сказанного
вытекает, что существует роено два класса отображений сферы 2*+*
в сферу Sn, л ^2.
Доказательство. Докажем прежде всего соотношение (21).
Пусть (Mz, U) — оснащенное подмногообразие полосы Еп+2х1,
осуществляющее гомологию (Ml, U0) ~ (Ml, иг), построенное в
лемме 1§ 14. Положим M2txt = M2[\(E2x t). Если точка (х, t)£M*
не является критической точкой многообразия М3, то окрестность
точки х в множестве М\ представляет собой гладкую поверхность,
так что при некритическом значении параметра t множество М\
есть поверхность. В случае, если (x0f tQ) есть критическая точка
многообразия М3, множество М2 при малом значении |/—/0|
вблизи точки х0 определяется уравнениями
а1 (я1)2 + о2 (х2)2 + а3 (x3)2=t—t0, х* = ... ^хп+2 = 0 (22)
[см. § 14, формулу (3)]. Если точка (x,t)£M3 не есть
критическая точка многообразия М3, то ортогональная проекция
репера U(x, t) на плоскость En+2xt представляет собой линейно
независимую систему векторов. Систему, получающуюся из нее
путем ортогонализации, обозначим через Vt(x)xt. При
некритическом значении параметра t система Vt составляет ортонормаль-
ное оснащение многообразия М\. Когда параметр t непрерывно
возрастает, не проходя через критическое значение, оснащенное
многообразие (М2, Vt) непрерывно деформируется, и из общих
соображений непрерывности следует, что вычет b(M2t, Vt) при
этом не меняется. Таким образом, для доказательства
соотношения (21) достаточно показать, что вычет Ь(М2, Vt) не меняется
при прохождении параметра t через критическое значение t = t0.
Займемся этим. Для этого рассмотрим два различных случая.
Случай 1. Пусть о1 = о2 = о3. Для определенности будем
считать, что а1 = в2 = а3= + 1. В этом предположении после
прохождения через критическое значение поверхность М\
приобретает новую компоненту, представляющую собой малую сферу, а
в остальном она вместе со своим оснащением деформируется
непрерывно. Так как присоединение сферы в виде отдельной
компоненты не повышает рода поверхности, то канонический базис
ее можно считать прежним, и потому вычет Ь(М2, Vf) не меняется.
Случай 2. Пусть среди чисел а1, а2, а3 имеются различные.
Для определенности будем считать, что а1 = а2 = +1, а3 = —1.
В этом предположении поверхность М\ при t < t0 вблизи точки
х0 имеет вид двуполостного гиперболоида, а при / > t0—вид
однополостного гиперболоида. Эта перестройка равносильна
приклеиванию к поверхности М2, t < t0, трубочки. Если трубоч-

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 675
кой связываются две различные компоненты поверхности М2,
t < *о> то базис поверхности М2 при прохождении через t0
не меняется, и потому вычет &(Mj,Vt) остается инвариантным.
Если трубочка приклеивается к одной компоненте, то базис
поверхности должен быть пополнен двумя кривыми. Разберем это
подробнее. Пусть Аи ..., Ар, Ви ..., Вр—канонический базис
поверхности М2, t < t0. Мы можем считать, что кривые,
составляющие этот базис, проходят вдали от точки х0, и потому при
прохождении параметра t через критическое значение t0 базис
непрерывно меняется, так что при этом вычеты б(Л,) и 6(5/),
f=l, . .., р> остаются неизменными. За кривую Ар+1 на
поверхности М2 примем окружность, высекаемую из части поверхности
М]у близкой к х0, гиперплоскостью я3==е, где е—малое
положительное число. При t < t0 она, очевидно, гомологична нулю на
Щ, а так как оснащение на ней при прохождении t через
значение t0 меняется непрерывно, то 8(Ар+1) = 0. Пусть теперь
В'р+1—произвольная кривая на поверхности М\у t> t0, имеющая
с Ар+1 индекс пересечения, равный единице; такая кривая,
очевидно, существует. Положим теперь
Вр+1 = В'р+1 + 2 *(В„ Bw)At+ 2 J (А,, 5Р+1)ВЛ
Очевидно, что кривые Alf ..., Ар+1, Ви ..., Вр+1 образуют
канонический базис поверхности М29 t > t0, и так как б(Ля+1) = 0,
то 6(Ар+1)Ь(Вр+1) = 0. Таким образом, вычет 8(M2,Vt)
сохраняется неизменным при прохождении параметра t через
критическое значение t0, и потому б (Л1§, К0) ===== б (Л1|, V^. Так как
U0 = VQJ U1 = V1, то соотношение (21) верно.
Из сказанного вытекает, что б есть отображение группы Щ в
группу вычетов по модулю два. Самое определение сложения в
группе Щ показывает, что б есть гомоморфное отображение.
Докажем теперь, что б есть гомоморфное отображение на всю
группу вычетов по модулю два. Для этого достаточно показать,
что существует оснащенное многообразие (Af2, U), для которого
б(Л42, £/)== 1. Так как, очевидно
б (Е {М\ U)) = б (М\ U), п > 2,
где Е есть операция надстройки, то достаточно рассмотреть
случай л = 2.
Пусть £4—евклидово векторное пространство с ортонормаль-
ным базисом еи е2, е3, еА и соответствующими координатами х19
х2, а:3, х1; Еъ—линейное подпространство пространства Е*9
определяемое уравнением л;4 = 0, и М2—обыкновенный метрический
тор, лежащий в Ег и имеющий своей осью вращения ось е3.
На торе М2 введем обычные циклические координаты ф, -ф и
22*

676 24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
поверхность М2 зададим уравнениями
х1 = (2 + cos ф) cos г|э,
х2 = (2 4- cos ф) sin г|), (23)
x3 = sir^.
Обозначим через Ах кривую на М2, определяемую уравнением
-ф = 0, а через Вх—кривую, определяемую уравнением ф = 0.
Очевидно, что система А1У Вх составляет канонический базис
поверхности М2. Единичный вектор в пространстве Е3, нор-
мальный к поверхности М2 в ее точке л;=(ф, г|5) и направленный
во внешнее пространство, обозначим через vx(x), а вектор,
выходящий из ху параллельный вектору е4,— через v2(x). Оснащение
U (х) = {и1(х)9 и2(х)} определим соотношениями
ui (х) = vi (х) cos (ф—Ф)—v2 (х) $т (ф — 'Ф)»
щ (х) = vx (x) sin (ф—г|э) + v2 (x) cos (ф—if>) * '
и покажем, что
8 (Л*2, £/)=1. (25)
Пусть С—любая простая замкнутая кривая на М2.
Единичный касательный вектор к кривой С в точке * = (<р, i|))gC
обозначим через v4(x)9 а единичный вектор, касающийся в точке х
поверхности М2 и ортогональный к вектору v4(x)t—через v3(x).
К соотношениям (24) прибавим соотношения
и3 (х) = v3 (х), и4 (х) = и4 (х). (26)
Соотношения (24) и (26) вместе дают переход от системы V (х) к
системе U(x). Матрицу этого перехода обозначим через f(x),
х£С. Легко видеть, что при С = А1 и при С = Вг мы имеем
0 (/)=!. (27)
Далее, при С=*Аг мы имеем
л:=(ф, 0), v1(x)=e1cos(p + e3s\n(p, v2(x) = eA9
v3 (x) = е2, vA {x) = — et sin ф + е3 cos ф,
так что переход от системы е19 е2У еЗУ е4 к системе V (х)
определяется ортогональной матрицей g(x), причем
Pfc)-1. (28)
При C = 2J1 мы имеем аналогично
л:= (0, г|э), v1{x) = e1costy + e2smty, v2(x) = e49
v3 (x) = —е3, v4 (x) = — ех sin г|) + е2 cos г|э,
так что переход от системы е19 е2У е3, еА к системе V(х)
определяется матрицей g(x), причем
Pto)=l. (29)

24. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 677
В обоих случаях при С = Аг и приС = В1 переход от системы
ег, е2> ез> е* к системе U (х) определяется матрицей h (x) = g(x) f (x),
причем
8(А) = в(*) + в(/) = 0
[см. (27)—(29) и п. «D» § 12]. Таким образом, в силу формул
(2) и (8) мы имеем
6040=1, 6(50-1, Ь(М\ (/)=1.
Таким образом, соотношение (25) доказано.
Покажем, наконец, что 6 есть изоморфное отображение. Для
этого достаточно доказать, что группа Щ имеет не более двух
элементов, ибо она отображается на всю группу вычетов по
модулю 2. Из теорем 11 и 16 следует, что для каждого
оснащенного многообразия (М2, U) евклидова пространства Еп+2 мы имеем
(М\ U)~En~2(N\ V),
где (Af2, V) есть оснащенное многообразие четырехмерного
евклидова пространства, а Еп~2—операция надстройки, проведенная
п—2 раза. Таким образом, нам достаточно показать, что Щ
содержит не более двух элементов, т. е. что существует не более
двух классов отображений сферы 24 в сферу S2. В силу леммы 2
§ 13 число классов отображений сферы 24 в сферу S2 не больше
числа классов отображений сферы S4 в сферу S3, последнее же
в силу теоремы 21 равно двум.
Итак, теорема 24 доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Понтрягин Л. С. Классификация непрерывных отображений комплекса
на сферу, 1.—ДАН СССР, 1938, 19, № 3, с. 147—149.
2. Понтрягин Л. С. Гомотопическая классификация отображений (я+ 2)-
мерной сферы в л-мерную.— ДАН СССР, 1950, 70, № 6, с. 957—959.
3. Рохлин В. А. Классификация отображений (п -|-3)-мерной сферы в л-мер-
ную.—ДАН СССР, 1951, 81, № 1, с. 19—22.
4. Serre J. P. Sur les groupes d'Eilenberg—Maclane.— C. r. Acad. Sci. Paris,
1952, 234, N 12, p. 1243—1245; Serre J. P. Sur la suspension de Freu-
denthal.—С. r. Acad. Sci. Paris, 1952. 234, N 13, p. 1340—1342.
5. Whitney H. Differentiable manifolds.— Ann. Math., 1936, 37, p. 645—680.
6. Дубовицкий А. Я. О дифференцируемых отображениях /i-мерного куба
в ^-мерный куб.— Матем. сб., 1953, 32, № 2, с. 443—464.
7. Morse M. The calculus of variations in the large.— Amer. Math. Soc. Col-
loq. Publ., 1934, 18.
8. Whitney H. The general type of singularity of a set of (2/i-l) — smooth
functions of n variables.— Duke Math. J., 1943, 10, p. 162—172.
9. ХаусдорфФ. Теория множеств.— M.; Л.: ОНТИ, 1937.
10. Рохлин В. А. Гомотопические группы.— УМН, 1946, 1, №5—6,
с. 175—223.
11. Freudenthal H. Uber die Klassen der Spharenabbildungen.—
Composite math., 1937, 5, S. 299.
12. Hopf H. Uber die Abbildungen der dreidimensionalen Sphare auf die Ku-
gelflache.—Math. Ann., 1931, 104, S. 639.
13. Brouwer L.E.J. On looping coefficients.— Proc. Kon. Akad. Wetensch.
Amsterdam, 1912, 15, P. 113.

25
ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
К КОМПАКТНЫМ МЕТРИЧЕСКИМ ПРОСТРАНСТВАМ*)
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Комплекс 678
§ 2. Размерность 681
§ 3. Теория гомологии 685
§ 4. Теория v-гомологий , 690
§ 5. Группы характеров 691
§ 6. Связь между б- и v-гомологиями 693
§ 7. Подразделение комплекса 696
§ 8. Относительные гомологии 706
§ 9. Непрерывные деформации отображений 710
§ 10. Гомологическая размерность 713
§ 11. Размерность произведения. Примеры 717
Эта статья представляет собою сильное расширение доклада,
который я делал на открытии семинара имени Павла Сергеевича
Александрова (1983 г.). В ней я излагаю результаты,
полученные П. С. Александровым в конце 20-х и начале 30-х годов,
а также примыкающие к ним результаты других авторов, в
частности, свои собственные. В этот период времени я был ближайшим
сотрудником и учеником Павла Сергеевича и принимал горячее
участие во всей его научной деятельности, отчасти как
наблюдатель, отчасти как участник и продолжатель его работ. Тогда, по
просьбе Павла Сергеевича, я проверял все его работы и был
первым их слушателем и читателем.
Стараясь сделать упомянутый мой доклад и настоящую
статью, по возможности, доступными для максимально широкого
круга читателей, я начинаю ее с изложения основных понятий
комбинаторной топологии и даю полное детальное изложение части
результатов, в то время как другие результаты предлагаю в
обзорном порядке.
§ 1. Комплекс
Имея целью изучение топологических свойств геометрических
объектов, возникающих в анализе, Пуанкаре построил
алгебраическую теорию, называемую теперь теорией гомологии, опираю-
*) Успехи мат. наук.—1984.— Т. 39, вып. 5.— С. 131—164.

25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ 679
щуюся на понятие границы. Первоначально он использовал это
понятие на интуитивном уровне, но позже был вынужден
формализовать его. Для этой формализации он триангулировал
рассматриваемый геометрический объект, т. е. разбил его на
простейшие геометрические фигуры—симплексы—и, пользуясь этим
разбиением, построил теорию гомологии.
A) Симплекс. Пусть
a0i alt . .., аг (1)
— конечная совокупность из г+ 1 точек, расположенных в
евклидовом пространстве Еп размерности я, где л^г. Мы будем
считать, что точки (1) расположены в пространстве Еп в общем
положении, т. е. не лежат ни в каком его линейном подпространстве
размерности, меньшей г. Считая, что точки (1) являются
векторами, зададим точку х в евклидовом пространстве Еп формулой
х = \а0 + %хах + ... + V*r, (2)
где коэффициенты Х0, Х19 ..., Хг суть неотрицательные числа,
сумма которых равна 1:
Ъ + К+ ••• + 4=1. 4>° (*' = 0, 1, ..., г).
Совокупность всех точек вида (2) составляет г-мерный симплекс
Тг с вершинами (1). Мы будем говорить, что симплекс Тг
натянут на вершины (1).
B) Грани симплекса. Если из совокупности (1) выбрать s+l
точку (s<>), натянуть на эти точки, как на вершины,
симплекс Г5, то мы получим s-мерную грань симплекса Тт'.
Нульмерными гранями симплекса Тг являются его вершины, а сам он
является собственной r-мерной гранью. Очевидно, что две
различные грани симплекса Тг либо вовсе не пересекаются, либо
пересекаются по симплексу, представляющему собой грань
симплекса Тг и грани обоих пересекающихся симплексов.
C) Комплекс. Конечная или счетная совокупность К
симплексов евклидова пространства Еп называется комплексом, если два
любых симплекса этой совокупности либо вовсе не пересекаются,
либо пересекаются по их общей грани. Кроме того, наряду с
каждым симплексом Тг комплекса /С, в него входят все грани
симплекса Тг. Совокупность всех точек евклидова пространства Е'\
принадлежащих симплексам комплекса /С, называется полиэдром
комплекса К и обозначается |/(|. Размерностью комплекса К
называется максимальная размерность симплекса, входящего в
комплекс /С. Если комплекс К содержит лишь конечное число
симплексов, то он называется конечным, в противном случае —
бесконечным. Тогда дополнительно предполагается, что
бесконечная последовательность точек полиэдра \К\, принадлежащих
различным симплексам, не может сходиться к точке полиэдра |/С|.

680 25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
Д) Схема комплекса. Для того чтобы задать комплекс К, надо
указать его вершины, т. е. все нульмерные симплексы, в него
входящие, а также все их совокупности, на которые натянуты
симплексы, принадлежащие /О Абстрагируясь теперь от того
факта, что каждая вершина комплекса К представляет собой
геометрическую точку пространства, будем рассматривать все его
вершины как абстрактные элементы некоторого множества N.
Отметим теперь все конечные подмножества множества Nу которые
составляют вершины некоторых симплексов комплекса К-
Абстрактное множество N, вместе с отмеченными его конечными
подмножествами, составляет схему геометрического комплекса К и
называется абстрактным комплексом, который можно задать, не имея
никакого геометрического комплекса. Если множество N конечно,
то абстрактный комплекс называется конечным. Ясно, что
называется размерностью абстрактного комплекса.
Теперь возникает вопрос, является ли каждый абстрактный
комплекс схемой некоторого геометрического комплекса. На этот
вопрос дает ответ нижеследующая простая теорема.
Теорема 1. Каждый конечный абстрактный комплекс
размерности г может быть реализован как схема геометрического
комплекса /С, расположенного в евклидовом пространстве Еп, где
л>2г + 1.
Доказательство. Пусть
aif яа, ...%ар (3)
— совокупность всех вершин заданного абсхрактного комплекса.
Реализуем теперь каждую точку множества (3) в виде
геометрической точки евклидова пространства Еп, сохранив за этими точками
обозначение (3). Будем считать, что они находятся в общем
положении, т. е. произвольная совокупность из 2(г+1) точек не
принадлежит линейному подпространству размерности, меньшей
2г+1. Ясно, что произвольно малым сдвигом точек (3) можно
привести их в общее положение. Натянем теперь на каждую
совокупность вершин взятого абстрактного комплекса
геометрический симплекс, соответствующий геометрическому расположению
этих вершин в пространстве £7. Докажем, что так полученная
совокупность геометрических симплексов представляет
геометрический комплекс /С. Пусть Та и Гэ—два геометрических
симплекса, полученные описанным образом.
Пусть
я0, а19 ..., as (4)
— совокупность всех точек, являющихся вершинами хотя бы
одного из симплексов Та и Гр. Ясно, что s^2r + 2. Натянем
на вершины (4) геометрический симплекс Ts. Симплексы Та и
Гр являются гранями симплекса Ts, поэтому пересечение их или

25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
681
пусто, или является гранью их обоих. Таким образом, схема
размерности г реализована в евклидовом пространстве Еп,
размерности п ^ 2г + 1 в виде геометрического комплекса, теорема
доказана.
§ 2. Размерность
После того как было установлено, что, с одной стороны,
существует взаимно однозначное соответствие между точками
отрезка и квадрата, а с другой стороны, существует непрерывное
отображение отрезка на квадрат, возник вопрос, нет ли взаимно
однозначного и взаимно непрерывного соответствия между
точками квадрата и отрезка, т. е. вопрос о топологической
инвариантности числа измерений куба данной размерности. Это была
серьезная общематематическая проблема, которая была решена
положительно, т. е. было доказано, что число измерений куба
является его топологическим инвариантом. При доказательстве
были использованы понятия покрытия и его кратности. Эти же
понятия были положены в основу понятия числа измерений
компактного метрического пространства. Здесь я приведу это
определение и ряд результатов, с ним связанных.
A) Покрытие и его кратность. Конечная система множеств
Uv U2, ..., Up (1)
компактного метрического пространства R называется его е-покры-
тием, если диаметр каждого из множеств системы (1) меньше е
и если каждая точка пространства R принадлежит хотя бы одному
множеству системы (1). Число k называется кратностью
покрытия (1), если существует точка х пространства R одновременно
принадлежащая k множествам системы (1), ноне существует
точки х, принадлежащей одновременно k+ 1 множествам системы (1).
B) Размерность. Число г называется размерностью
метрического пространства R, если при произвольном положительном 8
существует е-покрытие пространства R замкнутыми множествами
кратности г+ 1, но не существует е-покрытия замкнутыми
множествами кратности г.
Таким образом, само определение дает способ убедиться в том,
что размерность данного метрического пространства R не
превосходит /\ Достаточно для каждого положительного 8 найти
е-покрытие замкнутыми множествами кратности не больше г+1.
Но определение не предусматривает эффективного способа
доказательства того факта, что размерность пространства R не меньше
чем г. Этот недостаток в определении приводит к тому, что не
оправдываются некоторые вполне естественные гипотезы, и к тому,
что некоторые результаты трудно доказывать.
П. С. Александров ввел понятие нерва покрытия, которое
установило глубокую связь между теоретико-множественным
объектом— компактным метрическим пространством R—и комплексом.

682
25. ПРИМЕНЕНИЕ-КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
C) Нерв покрытия. Пусть
Ul9 U19 ..., Up (2)
— е-покрытие компактного метрического пространства R
замкнутыми множествами кратности г + 1. Этому покрытию ставится
в соответствие г-мерный абстрактный комплекс /С, схема которого
задается следующим образом. Каждому множеству U( системы (2)
ставится в соответствие вершина а,- комплекса /С. Если несколько
множеств системы (2) имеют общую точку, считается, что
соответствующие им вершины комплекса К составляют вершины
симплекса, принадлежащего /С.
Мы получаем схему комплекса /О Полученный так комплекс
называется нервом покрытия (2).
, П. С. Александров доказал теорему, устанавливающую более
глубокую связь между компактным метрическим пространством R
и нервом его покрытия. Первоначальное доказательство П. С.
Александрова было очень сложным. Я здесь приведу очень простое,
построенное позже.
D) Непрерывное отображение / компактного метрического
пространства R в компактное метрическое пространство S, называется
е-отображением, если прообраз каждой отдельной точки у
пространства S имеет диаметр меньше е.
Теорема 1. Пусть R—некоторое компактное метрическое
пространство размерности г,
Ul9 U2% U» .... Up (3)
— е-покрытие метрического пространства R замкнутыми
множествами кратности г+ 1, К—нерв покрытия (3). Реализуем его
в виде геометрического комплекса К> расположенного в евклидовом
пространстве Еп, п^2г+1. Тогда существует непрерывное
s-отображение К компактного метрического пространства R в
полиэдр |/С|. Далее, если f—произвольное непрерывное отображение
пространства R в евклидово пространство Е1 и комплекс К
реализован в пространстве Еп таким образом, что вершина а{
лежит вблизи множества /(£/,), то расстояние между точками
f(x) и Х(х) мало вместе с е. Иначе говоря, непрерывное
отображение f можно малым сдвигом привести в отображение X,
переводящее пространство R в нерв К этого пространства.
Доказательство. Наряду с покрытием (3) рассмотрим
покрытие
Vl9 Vt9 ..., V, (4)
пространства R открытыми множествами такое, что U. входит
в Vh так что V; есть окрестность множества U(. При этом, если
несколько множеств покрытия (4) имеют общую точку, то
соответствующие элементы покрытия системы (3) также имеют общую
точку. Доказательство существования покрытия (4) не представ-

25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ 683
ляет трудности. Согласно известной теореме в пространстве R
' существует непрерывная неотрицательная числовая функция ф,^ 1,
равна 1 на U( и 0 на R\Vt-. Введем функцию ф(л;), положив
Ф (х) = фх (х) + ф2 (х) + ... + ц>р(х). (5)
Поскольку (3) есть покрытие всего пространства R, то функция
ф(л:) нигде не обращается в нуль. Положим теперь
М*) = Ф|(*)/Ф(*)- (6)
Произвольной точке х пространства R поставим теперь в
соответствие точку к(х) пространства Еп, задаваемую формулой
h(x) = Kl(x)-ai + ht(x)-at+ ... + Ьр{х)-ар. (7)
Непосредственно проверяется, что отображение К(х)
удовлетворяет всем требованиям, сформулированным в теореме.
Доказательство закончено.
Так просто доказанная теперь теорема П. С. Александрова
оказывается сильным средством для изучения компактных
метрических пространств конечной размерности. Из нее, в частности,
почти непосредственно вытекает, что любое компактное
метрическое пространство R размерности г может быть гомеоморфно
отображено в евклидово пространство размерности 2г + 1.
Последняя теорема была анонсирована Менгером, но была доказана
им только для г=1 и притом очень сложно. Позже в совместной
с Толстовой работе я дал доказательство теоремы о вложении
множества размерности г в евклидово пространство размерности
2г+ 1, опирающееся на нерв, но тоже довольно сложное. Затем
Небелинг дал совсем простое доказательство этого факта,
опирающееся на вышеупомянутую теорему 1 Александрова. Это
доказательство я приведу здесь только для того, чтобы показать,
насколько силен полученный П. С. Александровым результат.
Теорема 2. Всякое компактное метрическое пространство R
размерности г может быть гомеоморфно отображено в евклидово
пространство E2r+1 размерности 2г+1.
Доказательство. Обозначим через Q множество всех
непрерывных отображений пространства R в евклидово
пространство E2r+1. Множество Q естественным образом представляет
собой метрическое пространство. Расстояние между двумя
отображениями fug пространства R в евклидово пространство E2r+1
определяется как максимум расстояний f(x) и g(x), когда х
пробегает R, т. е. max|/(x)—g(x)\9 метрическое пространство Q
является полным, т. е. любая последовательность Коши сходится
в нем. Легко проверяется, что совокупность Qe всех е-отображе-
ний пространсгва R в E2r+1 является открытым множеством в Q.
В то же время из теоремы Александрова следует, что множество
Qe всюду плотно в пространстве Q. Действительно, вблизи любого

684
25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
непрерывного отображения / пространства R в пространство £2/,+и
имеется е-отображение X. Пусть теперь в19 е2, ..., ел>
стремящаяся к нулю последовательность положительных чисел.
Согласно известной теореме, пересечение счетного числа открытых
всюду плотных множеств в полном пространству есть всюду
плотное множество. Таким образом, пересечение областей Q8l, QG2, .. щ
.. ., Q8 , ... пространства Q есть всюду плотное в Q множество Q'.
Очевидно, что каждое отображение / из Q является непрерывным
и взаимно однозначным, а непрерывное взаимно однозначное
отображение компактного метрического пространства является и
взаимно непрерывным. Таким образом, существует очень богатое
множество гомеоморфных отображений пространства R в
евклидово пространство E2r+1.
Теорема о вложении доказана.
Конечно, один нерв пространства R не может дать большой
информации о его структуре. Можно, однако, построить
последовательность нервов все измельчающихся покрытий, которая с
учетом некоторых связей между ними дает полную информацию
о простравстве /?, т. е. определяет его. Связи между нервами
покрытий этой последовательности даются так называемыми симп-
лициальными отображениями, которые вообще играют большую
роль в комбинаторной топологии.
E) Симплициальное отображение. Если каждой вершине а
абстрактного комплекса К поставлена в соответствие вершина / (а)
абстрактного комплекса /., причем так, что нескольким вершинам
комплекса /С, принадлежащим одному симплексу, ставятся в
соответствие вершины комплекса L, также принадлежащие одному
симплексу, отображение / называется симплициальным
отображением. Если комплексы К и L геометрические, то симплициальное
отображение / может быть распространено путем линейной
интерполяции на геометрические симплексы. Тогда мы получаем
симплициальное отображение геометрического комплекса К в
геометрический симплекс L и, следовательно, непрерывное отображение
полиэдра \К\ в полиэдр |L|.
F) Спектр. Будем считать, что R есть r-мерное компактное
метрическое пространство. Зададимся некоторым положительным
числом ех, и пусть
U\, U\, .... и^ (8)
— некоторое в^покрытие пространства R кратности г+ 1
замкнутыми множествами. Обозначим, далее, через
VI VI ..., VI (9)
«
такое покрытие пространства R открытыми множествами, что
U\ входит в VJ, причем если несколько множеств покрытия (9)
имеют общую точку, то общую точку имеют соответствующие

25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
685
множества покрытия (8). Обозначим теперь через е2 настолько
малое положительное число, что оно меньше расстояния между
множеством Щ и множеством R\V] при произвольном i= 1,
2, ...,/>i. Пусть теперь
и\* и1 • -.. ишРш (Ю)
— некоторое е2-покрытие пространства R кратности г+ 1.
Обозначим теперь через К1 нерв покрытия (8), через К2—нерв
покрытия (10). Пусть U)—произвольный элемент покрытия (10)
и Щ—какое-то вполне определенное множество системы (8),
с которым множество Щ пересекается. Вершине а) комплекса К2
поставим в соответствие вершину f1(a)) = a]. Это отображение ft
вершин комплекса /С2 в вершины комплекса К1 есть симплициаль-
ное отображение. Это легко проверить.
Исходя из покрытия (10) построим покрытие с номером 3 и
нерв его обозначим через /С3. Переход здесь осуществляется так
же, как от покрытия (8) к покрытию (10). Так мы получим
последовательность нервов
К1, /С2, ..., Ю, ... (И)
покрытий пространства R> причем комплекс Kl+1 симплициально
отображен при помощи f( в комплекс /С1*. Последовательность
нервов (11) и симплициальных отображений
/1» /2» • • • » //» • • • (1^)
называется проективным спектром пространства R. Эта
конструкция была введена П. С. Александровым.
Имея спектр пространства /?, т. е. последовательность
нервов (И) и симплициальных отображений (12), легко восстановить
пространство R, но делать это мы здесь не будем.
§ 3. Теория гомологии
Здесь я излагаю алгебраическую конструкцию гомологии
Пуанкаре в несколько модернизированном виде.
В теории гомологии Пуанкаре рассматриваются линейные
формы относительно симплексов. Таким образом, симплексы
становятся алгебраическими объектами, и возникает потребность
придать симплексу знак. Для того чтобы сделать это, воспользуемся
рассмотрением так называемых ориентированных симплексов.
А) Ориентированный симплекс. Рассмотрим r-мерный симплекс
Тг с вершинами
а0, а1У ..., аг. (1)
Последовательность (1) можно упорядочить (г + 1)! различными
способами. Для того чтобы придать симплексу Тг ориентацию,
разобьем все эти способы упорядочения на два класса так, чтобы

686 25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
к одному классу относились упорядочения, получающиеся друг
из друга четными перестановками, а к различным классам-—
упорядочения, получающиеся друг из друга нечетными
перестановками. Припишем одному из этих классов знак «+», а
другому—знак «—». Тогда мы получим ориентированный симплекс Тг.
Его ориентация задается обычной формулой
Тг = г(а09 аи ..., аг). (2)
Здесь е = +1, если в скобках стоит упорядочение, отнесенное
к положительному классу, и е=—1, если в скобках стоит
упорядочение, принадлежащее к отрицательному классу. Каждая
(г—1)-мерная грань Т1"1 ориентированного симплекса Тг
получает определенную ориентацию, индуцированную ориентацией
симплекса Тг, и ориентация эта задается формулой
Г/,-1 = е(а1, а2, ..., аг). (3)
Формально выписанная сумма всех таким образом полученных
(г—1)-мерных граней симплекса Тг, называется границей
симплекса Тг и обозначается через 8ГГ. Если Т\~х и Тг2~г—две
положительно ориентированные грани симплекса Тгу то имеет место
формула
8Тг = Тг1-1+П~1+ ... (4)
Здесь выписаны лишь два слагаемых, остальные заменены точками
с тем, чтобы подчеркнуть, что оба они входят со знаком «+»,
т. е. имеют ориентацию, индуцированную в них ориентацией
симплекса. Если Гг~2—общая (г—2)-мерная грань симплексов
7J"1 и TJ"1, причем имеет место соотношение
67Y-1 = p-2+ ..., (5)
то имеет место соотношение
6ГГ1 = — Тг~2+ ... (6)
r-мерному евклидову пространству Ег можно приписать
ориентацию. Если в нем задана некоторая система координат, то
следует указать порядок его осей с точностью до их четной
перестановки. При другой системе координат мы получаем ту же
ориентацию пространства Ег, если переход от одной системы
координат к другой задается матрицей с положительным
определителем, и противоположную, если этот определитель отрицателен.
Если в ориентированном пространстве ЕГ лежит
ориентированный симплекс
то мы считаем, что ориентации евклидового пространства Ег
и ориентированного симплекса Тг согласованы, если принимая

25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
687
за единичные отрезки, лежащие на осях координат, отрезки
мы получаем положительную ориентацию пространства Ег.
Если два симплекса Т[ и Тг2 пересекаются только по общей
грани Г7"1 и ориентации этих симплексов согласованы с
ориентацией евклидова пространства, то симплекс Тг~х входит в границы
симплексов Т[ и Т\ с противоположными ориентациями.
В) Цепи. Пусть К—некоторый конечный или бесконечный
комплекс и G—коммутативная группа, взятая в аддитивной записи,
в частности, G может быть аддитивной группой целых чисел.
Составим формальную линейную форму
x^gtri + gJi+.-.+gbTb (7)
где £i» §2» • • •> gk—элементы группы G, а
Т[, Тъ> ..., Т£ (8)
— конечная совокупность ориентированных r-мерных симплексов
комплекса /С, причем все они геометрически различны. Линейная
форма (7) называется /-^мерной цепью комплекса /С. Ясно, что
все r-мерные цепи комплекса К составляют группу по сложению.
Группу эту мы будем обозначать через Cq(K). Операция взятия
границы 6 применительно к цепи х определяется формулой
Ьх = gl6T[ + g28Tr2 +...+ gfiTl. (9)
Из формул (5), (6) непосредственно следует, что
ббх = 0. (10)
r-мерная цепь комплекса /С, граница которой равна, нулю,
называется /--мерным циклом. Ясно, что все r-мерные циклы
^комплекса К образуют подгруппу группы цепей. Эту подгруппу
мы будем обозначать через ZrG(K). Из формулы (10) следует, что
всякая цепь, являющаяся границей некоторой другой цепи,
является циклом. Цикл, который является границей некоторой
цепи, называется гомологичным нулю. Ясно, что все
гомологичные нулю r-мерные цикльг комплекса К составляют подгруппу
группы циклов. Эту подгруппу мы будем обозначать через WrG(K).
Фактор-группа группы всех циклов по подгруппе циклов,
гомологичных нулю, называется группой б гомологии комплекса К
и обозначается через HrG(K)y так что мы имеем
Zrr (К)
HrG(K) =-%-—. (11)
Группа эта построена при помощи заданной аддитивной группы G.
Мы будем иногда говорить, что она построена по полю
коэффициентов G. Пуанкаре рассматривал только целочисленные коэф-

688
25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
фициенты. Оказывается, что есть замечательный и непростой
факт, что группа гомологии комплекса К является топологическим
инвариантом полиэдра |/С|, так что если два полиэдра \К\ и \L\
гомеоморфны между собой, то группы гомологии комплексов д
и L изоморфны между собой. При этом если задан определенный
гомеоморфизм / полиэдра \К\ на полиэдр |L|, то изоморфизм
групп гомологии определяется естественным образом и однозначно
при помощи гомеоморфизма f. Если \К\ есть r-мерная сфера, то
существует в К такой целочисленный цикл z0 размерности г, что
любой цикл из К с полем коэффициентов из G записывается
в виде gz0> так что группа гомологии полиэдра \К\ размерности
г изоморфна группе G.
Комплекс К считается подкомплексом комплекса L, если
каждый симплекс комплекса К принадлежит комплексу L. Тогда
естественным образом определяется гомоморфное отображение
группы 6-гомологии комплекса К в группу 6-гомологий комплекса L.
С) Симплициальное отображение цепей. Пусть /—симплициаль-
ное отображение комплекса К в комплекс L. Если при
отображении / все вершины некоторого r-мерного симплекса Sr комплекса
К переходят в различные вершины комплекса L, то симплекс Sr
просто накладывается на некоторый симплекс Тг комплекса L
и каждому упорядочению вершин симплекса Sr соответствует
определенное упорядочение вершин симплекса Гг.
Таким образом, при отображении / ориентированный симплекс
Sr переходит в некоторый ориентированный симплекс Тг и мы
будем писать
f(Sr) = T'y (12)
где Sr и Тг—ориентированные симплексы. Если при
отображении / хотя бы две вершины симплекса Sr сливаются в одну, то
мы будем считать, что
/(S')=-0. (13)
Теперь мы можем определить симплициальный образ цепи х
(см. (7))
положив
f (x) - gj (S[) + gj (SO +...+gkf (S'k). (14)
Легко проверяется, что если f(Sr) = Tr, то
/(6S^=6r^, (15)
и если /(Sr) = 0, то f(6Sr) = Q. Из формул (14) и (15) следует,
что операции / и б перестановочны, т. е. мы имеем следующую
формулу:
6/(*) = /(8х). (16)

25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
689
Таким образом, каждое симплициальное отображение комплекса
К в комплекс L порождает гомоморфное отображение / группы
цепей комплекса К в группу цепей комплекса L, при котором
циклы переходят в циклы, а циклы, гомологичные нулю, пере-
ходят в циклы, гомологичные нулю, т. е.
f(Z'0(K))czZb(L),
f(Wb(K))aWb(L).
Из этого возникает естественный гомоморфизм f группы
НЬ (К) 8-гомологий комплекса К в группу HrG(L) 6-гомологий
комплекса L. !|PHJ^^
D) Обратная последовательность гомоморфизмов. В силу F)
§ 2, проективный спектр (12) § 2 порождает так называемую
обратную последовательность гомоморфизмов
/1* /2> • • * > /ft» • * • (* ' )
групп
ныкг)^н1 нь(к2)=щ,..., нь(кк)=т,....
где fh есть гомоморфизм группы Щ+1 в группу #£. Эта обратная
последовательность гомоморфизмов естественным образом
определяет предельную группу, которую мы обозначим через HSG(R)=HS.
E) Предел обратной последовательности гомоморфизмов.
Обратная последовательность гомоморфизмов
/1» /2> • • • » /£» ' • *
групп
Hlt Я2, •.., Hkt ... (18)
дает возможность определить предельную группу Н следующим
образом: элементом А группы Н является последовательность
Л = (ЛХ, А2, ..., hkJ .. .)* где hk€Hk (А= 1, 2, ...), (19)
если выполнено соотношение
Сумма двух элементов
п =(«!, д2, • •♦, hki •••) /onv
tl == ^**i» »^2» • • • » *^Jfe> ' * • /
группы Я определяется формулой
Al + A» = (Ai + Ai, Ai + AS, .... AJ + A!, ...). (21)
Если группы (18) являются компактными аддитивными
топологическими группами, то предельная группа Н также оказывается
компактной аддитивной топологической группой. При этом
произвольная окрестность U нуля группы Н определяется следующим

<690
25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
•образом: выбираем произвольное натуральное число k и пусть
JJk — произвольная окрестность нуля в группе Hk, тогда U состоит
из всех элементов h (см. (19)), для которых hk(tUk.
F) Группа гомологии компактного метрического пространства.
Легко доказывается, что группа Hr(R), задаваемая спектром (12)
§ 2 при помощи определения предельной группы (см. Е)), не
зависит от выбора спектра, а определяется только самим
пространством /?, так что HS(R) есть инвариант компактного
метрического пространства R и называется r-мерной группой б-гомо-
логий компактного мегрического пространства R по полю
коэффициентов G. Если само поле G есть компактная аддитивная
топологическая группа, то и группа HSG(R) есть также компактная
аддитивная топологическая группа.
§ 4. Теория V-гомологий
Операция б, введенная в предыдущем параграфе, является
алгебраической формализацией понятия границы. Здесь мы
введем операцию V, которая имеет более далекую связь с
геометрией, чем операция б, а по своим формальным свойствам
аналогична операции б и тесно с нею связана. (Операция V была
введена в топологию одновременно советским математиком
Колмогоровым и американским математиком Александером.)
А) V-граница. Пусть К—произвольный комплекс и
Sr—некоторый его r-мерный ориентиро'ванный симплекс. Формально
вписанную сумму всех ориентированных (г+ 1)-мерных
симплексов комплекса /С, которые в своих границах содержат
ориентированный симплекс Sr со знаком «Н-»,мы будем называть V-rpa-
ницей симплекса Sr и обозначать через \Sr. V-границу цепи х
x*=g1Srl + g&+ ...+g*S£ (l)
комплекса К мы определим естественным образом формулой
Vx = g1\S'1 + glvSr1+ ...+gk\Srk. (2)
Легко усмотреть, что
VVS' = 0. (3)
Отсюда следует, что
YV* = 0. (4)
Точно так же, как при помощи операции б, вводятся теперь
циклы, которые называются v-циклами и гомологии, которые
называются V-гомологиями.
х называется v-циклом, если имеет место соотношение
Vx = 0. (5)

25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ 591'
V-цикл х считается гомологичным нулю, если он является v-rpa-
ницей цепи. В группе CG(K) возникает подгруппа ZrG(K) всех
V-циклов комплекса /С, а в ней подгруппа WG(K) всех циклов,
V-гомологичных нулю. Фактор-группа группы всех V-циклов по>
подгруппе у-циклов гомологичных нулю, обозначается через HrG(K}
и называется r-мерной группой V-гомологий по полю G. Она5
является инвариантом полиэдра |/С|. Группы 6-гомологий и V-
гомологии комплекса К находятся в тесной связи между собой,
откуда и вытекает инвариантность группы V-гомологий.
В) Симплициалыюе отображение V-цепей. Цепь х (см. (1))мьг
будем называть V-цепью, если в дальнейшем предполагаем
применять к ней операцию V. Пусть f—симплициальное
отображение комплекса К в комплекс L и Тг—некоторый
ориентированный симплекс комплекса L. Сумму всех r-мерных ориентированных
симплексов комплекса /С, переходящих при отображении / в
ориентированный симплекс Тг, запишем в виде формальной суммы
и обозначим через f(Tr). Операцию / по линейности
распространим на всякую цепь у из комплекса L. При этом для отдельнога
ориентированного симплекса Тг из L имеет место
перестановочность операций у и f, т. е.
?(vn=v/(n- (6)
Отсюда следует та же перестановочность для любой V-цепи, т. е..
J(Vy) = V}Qf). (7>
Отсюда естественным образом возникает гомоморфизм / группы
V-гомологий HG(L) в группу V-гомологий #£?(/().
§ 5. Группы характеров
Здесь я приведу основные результаты теории характеров
коммутативных групп без доказательств. Доказательства можно
найти в моей книге «Непрерывные группы».
Связь между 6- и V-гомологиями комплекса К носит
алгебраический характер.
Она выявляется при помощи теории характеров компактных
топологических коммутативных групп. Дадим здесь основные
результаты и определения этой теории.
А) Группа характеров. В основе теории характеров
коммутативных групп лежит группа х, изоморфная группе вращения
окружности, которую мы будем здесь рассматривать в
аддитивной записи. Мы определим ее как фактор-группу D/N, где D —
аддитивная топологическая группа всех действительных чисел,
а N—ее подгруппа всех целых чисел. Таким образом, и
представляет собой совокупность действительных чисел, рассматри-

692 25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
ваемых с точностью до целочисленных слагаемых. Пусть
«G—коммутативная группа, взятая в аддитивной записи. Мы будем
предполагать, что G есть либо компактная топологическая группа
либо счетная дискретная группа. Гомоморфизм ф группы G
б группу и называется характером группы G (подразумевается,
-что в случае топологической группы G гомоморфизм ф
непрерывен). Совокупность всех характеров группы G естественным
образом образует группу, которую мы обозначим через х и будем
называть группой характеров группы G. Сумму у двух
характеров аир группы G определяется формулой
Т(*)~а(х) + Р(х), (1)
где х—произвольный элемент группы G.
Так определяется сложение в группе характеров. Если G —
дискретная группа, то х естественным образом оказывается
компактной коммутативной топологической группой; если
G—компактная коммутативная топологическая группа, то х оказывается
дискретной группой.
В) Пары групп. Пусть G и х—Дв^ коммутативные группы,
взятые в аддитивной записи, одна из которых дискретна,
другая— компактна. Мы будем говорить, что эти группы образуют
пару, если определено перемножение элементов первой группы
на элементы второй группы, так что если xgG, £бх> т0
определено произведение x|gx (см. А)), причем естественно
выполнено условие дистрибутивности и условие непрерывности
умножения в отношении топологии, которая имеет место в одной из
групп. Пусть Н—произвольная подгруппа группы G. Обозначим
через (х, Н) совокупность всех таких элементов из группы х»
которые при умножении на любой элемент х из Н дают нуль.
Подмножество (х, Н) элементов группы х представляет собой
очевидным образом подгруппу группы х и называется аннулято-
ром подгруппы Н в группе х- Если х есть группа характеров
группы G, то группы х и G естественным образом составляют
пару. Именно, если £—произвольный характер группы G, т. е.
произвольный элемент групп х» а х—произвольный элемент
группы G, то произведение х£ определяется формулой:
*£ = £(*). (2)
Некоторая пара G, х групп называется ортогональной, если
выполнены два условия:
(X, G) = 0; (G, х) = 0. (3)
Если группы G и х2 образуют пару, то каждый элемент одной
группы является, естественным образом, характером другой
группы. Именно элемент £ группы % определяет характер £
группы G при помощи формулы
6(*) = хЕ. (4)

25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ 693
C) Основной результат теории характеров. Если группы G и
X образуют ортогональную пару, то каждая из двух групп G
и % является группой характеров для другой. Оказывается, кроме
того, что если % есть группа характеров группы G, то пара G,
X ортогональна. Таким образом, видно, что если х есть группа
характеров G, то G есть группа характеров х» т. е. имеет место
взаимность.
D) Взаимность аннуляторов. Пусть G и х—ортогональная
пара групп и Н—некоторая подгруппа группы G. Положим
Ф = (Х, Щ- (5)
Тогда оказывается, что
# = (G, Ф). (6)
E) Подгруппы и фактор-группы в паре. Пусть х—группа
характеров группы G и Н—некоторая подгруппа группы G.
Положим
Ф-(Х, Я). (7)
Тогда очевидно, что Ф естественным образом является группой
характеров фактор-группы
G* = G/H
и, следовательно, группы G% Ф составляют ортогональную пару,
т. е. являются характерами друг друга.
F) Ортогонализация пары групп. Пусть G и х—группы,
образующие пару, вообще говоря, не ортогональную. Положим
Ф = (Х, G); # = (G, х), (8)
тогда фактор-группы
G* = G/H, х* = Х/Ф (9)
естественным образом составляют ортогональную пару, потому
являются группами характеров друг для друга.
G) Характеры целых чисел. Непосредственно видно, что
группа характеров аддитивной группы целых чисел есть сама
группа х. Таким образом, эти две группы составляют
ортогональную пару. При этом произведение целого числа п на элемент а
группы х определяется как произведение
па, (10)
взятое в группе х.
§ 6. Связь между б- и V-гомологиями
Нижеследующая теорема дает связь между б- и v-гомологиями
произвольного конечного комплекса /С. Поскольку в этой теореме
рассматривается только один комплекс, то в обозначениях групп
он будет опускаться.

694
25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
Теорема 1. г-мерная группа Ь-гомологий #£ по полю
коэффициентов и конечного комплекса К и r-мерная группа
^-гомологии Нг того же комплекса К по полю целых чисел
естественным образом образуют ортогональную пару, так что каждая
из них является группой характеров другой и ею определяется*
таким образом, ^-гомологии не дают никаких новых инвариантов
полиэдра \К\.
Доказательство. Обозначим через С группу всех
г-мерных цепей комплекса К с коэффициентами из % и через Сг группу
всех r-мерных целочисленных цепей комплекса К. Подгруппу
группы С всех б-циклов комплекса К обозначим через Zr, a
всех r-мерных циклов б-гомологичных нулю обозначим через Wr.
Точно так же, подгруппу группы Gr всех V-Циклов обозначим
через Zr ,a всех V-циклов, гомологичных нулю, обозначим через Wr.
Определим теперь произведение произвольного элемента £
группы Сг
1 = а1Т[ + а2Г2+ ... +акП (1)
УК
на произвольный элемент х группы С,
х = а{Ггх + а2Тг2 +...+ akTrki (2)
положив
1х = а1а1 + а2а2 + ... + akak. (3)
Таким образом, %х есть элемент группы х. Очевидно, что анну-
лятор каждой из двух групп Си Сг в другой группе равен
нулю, так что группы эти образуют ортогональную пару.
Покажем, что аннулятор подгруппы W в группе С есть
Zr и что аннулятор подгруппы Wr+1 в группе Cr+1 есть Zr+1y
т. е. что
(С', fl?0 = Z', (4)
(C'+1, Wr+1) = Zr+1. (5)
Для доказательства определим произведение двух произволь-
•ч
ных элементов х и у группы С
х = ахТ\ + а2Г2 +...+ akTrki (6>
у = ЬгП + Ь%П+ ... +bkT'k, (7)
где коэффициенты аи ..., aky 6lf ..., bk суть целые числа.
Положим
х-у = axbx + а2Ь2 + ... + афк. (8)
Таким образом, это произведение х-у есть целое число. Легко
проверяется, что если Tr+1 и Тг—два произвольных
ориентированных симплекса размерностей г+1 и г комплекса /С, то имеет

25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
695
место соотношение
8ТГ+1ТГ = ТГ+1ЧТГ. (9)
Действительно, если симплекс Тг входит в 6-границу симплекса
Tr+l со знаком е = ±1, то симплекс Tr+1 входит в V-границу
симплекса Тг со знаком е. В этом случае обе части равенства (9)
равны е. Если же симплекс Тг не входит в 6-границу симплекса
Tr+1, то и симплекс 7V+1 не входит в V-границу симплекса Тг.
В этом случае обе части равенства (9) равны нулю. Из формул
(9) и (3) следует, что если | есть произвольный элемент группы
Сг+1> а у—произвольный элемент группы С, то имеет соотношение
«£•£ = £•?£ (10)
Докажем теперь соотношение (4). Пусть и—произвольный
элемент группы Wr и z—произвольный элемент группы Zr. Так как
и есть цикл, б-гомологичный нулю, то
и = в£, (И)
где £ есть некоторый элемент группы Сг+1. Так как z есть V-Цикл, то
Vz = 0. (12)
В силу формулы (10) мы имеем
H.$ = 6£.z = £.vz=*0. (13)
Если теперь у—произвольный элемент группы Сг, не входящий
в Zr, то
ЧуфО. (14)
Так как Vy есть элемент группы Сг+\ то в группе Cr+1 найдется
элемент 5 такой, что S*Y*/=7^0. Из этого в силу формулы (10)
следует, что 8Ъ-у = 1-ЧуфО. Таким образом, формула (4)
доказана. Аналогично доказывается формула (5). В силу свойств
взаимности аннулятора в ортогональной паре (см. D), § 5) из формул
(4) и (5) следуют формулы
(С, Z') = №r, (15)
(Cr+\ Zr+1) = Wr+1. (16)
Так как группы Сг и Сг образуют пару, то их подгруппы Zr
и Zr также образуют пару. В силу доказанных формул, для этой
пары Zr, Zr имеют место соотношения
(Z', Zr) = Wr, (17)
(Zr, Zr) = Wr. (18)

595 25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
Из этого следует, что фактор-группы Hr = Zr/Wr и Hr = Zr/Wr
образуют ортогональную пару (см. F), § 5).
Таким образом, теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть f—симплициальное отображение
комплекса К в комплекс L. Этому симплициальному отображению
соответствует гомоморфизм группы #*(/() в группу HQ(L) (см. С),
§ 3) и гомоморфизм f группы Hr(L) в группу #г(/(). Оказывается
что если \ есть элемент группы #£(/(), а у—элемент группы
Hr(L), то имеет место соотношение
/(E)-y = E7tf). (19)
Доказательство я здесь не привожу.
В теореме 1 этого параграфа 6-гомологии берутся с
коэффициентами из х, а V-гомологии—с целочисленными коэффициентами.
Можно, однако, обобщить все результаты § 6, приняв за
коэффициенты для б-гомологий элементы некоторой компактной
аддитивной группы х» а за коэффициенты для V-гомологий—элементы
некоторой дискретной аддитивной группы G, предполагая только,
что группы х и G образуют ортогональную пару. Обобщение это
представляет реальный интерес в том случае, когда х есть группа
вычетов по некоторому модулю т\ группа G в этом случае есть
также группа вычетов по модулю /п. В этом предположении мы
получаем теорию гомологии по модулю т, которая была построена
и употреблялась еще до введения в рассмотрение группы х.
§ 7, Подразделение комплекса
А) Комплекс К' называется подразделением комп са /С, если
каждый симплекс комплекса К' содержится в некотором симплексе
комплекса К и если полиэдр \К'\ совпадает с полиэдром \К\
\К'\ = \К\. (1)
Пусть Т—некоторый /--мерный ориентированный симплекс
комплекса К- Обозначим через 7" целочисленную цепь
комплекса К\ составленную как сумма всех r-мерных
ориентированных симплексов, входящих в Г и ориентированных согласно
с ориентацией симплекса Т (см. § 3, А). Целочисленная цепь Т'
называется подразделением ориентированного симплекса Т. Если
теперь
x^giTi + gJi+.-.+guTt (2)
если некоторая цепь комплекса К с коэффициентами из группы G,
то подразделение х' цепи х определим формулой
x*=g1Ti + g1Tl+...+gMT'k. (3)

25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
697
Легко видеть, что
8х' = (8х)'. (4)
Доказывается, что для каждого цикла w комплекса /С'
найдется такой цикл z комплекса /С, что цикл w б-гомологичен циклу г'
в комплексе К', а также, что если z—такой цикл комплекса /С,
что цикл г' б-гомологичен нулю в комплексе К\ то цикл z б-гомо-
логичен нулю в комплексе /С'. Благодаря этому с точностью до
гомологии каждый цикл w из комплекса К' можно считать циклом
из комплекса К и наоборот. Этим самым устанавливается
естественный изоморфизм групп б-гомологий комплекса К и комплекса К\
причем изоморфизм этот определяется однозначно, так что группы
б-гомологий комплексов К и К' можно считать совпадающими.
Доказывается, и весьма непросто, что если имеется непрерыв*
ное отображение / полиэдра \К\ в полиэдр |L|, то отображение
это можно аппроксимировать близким ему симплиционным
отображением f комплекса К' в комплекс L, где К'—достаточно
мелкое подразделение комплекса К. Таким образом, отображению /
соответствует гомоморфизм / группы #£ (К) в группу Н„ (L) и
гомоморфизм f группы Hr(L) в группу Яг(/С), причем для
отображений f и /справедлива формула (19) § 6.
B) Пусть К и L—два комплекса, расположенные в одном
и том же евклидовом пространстве £. Говорят, что комплекс К
содержится в комплексе L, если выполнены два условия: 1)
1*1 = 14 (5)
и 2) (содержательно только для бесконечных комплексов).
Последовательность аи а2, ..., ак, ... точек, расположенных в
различных симплексах комплекса /С, не может сходиться к точке
полиэдра |L|. Элементарно геометрически доказывается, что если
комплекс К расположен в комплексе L, то существуют такие
подразделения К' и Z/ комплексов К и L, что Кг есть подкомплекс
комплекса Z/, так что группа б-гомологий комплекса К'
гомоморфно отображена в группу б-гомологий комплекса V (см. § 3, В)).
Так как группы гомологии комплексов К и К' можно
отождествить между собой и группы гомологии L и L' также (см. А)), то
существует однозначно определенное гомоморфное отображение
группы б-гомологий комплекса К в группу б-гомологий комплекса L.
C) Важнейшую роль в комбинаторной топологии играют так
называемые барицентрические подразделения комплексов. Центром
r-мерного симплекса Тг назовем такую его точку, для которой
все числа Х0, %и ..., Хг (см. § 1, А)) совпадают между собой,
т. е. равны 1/(г+1). При г = 0 центром симплекса Т° является
он сам. Пусть К—некоторый комплекс, расположенный в
евклидовом пространстве.

698
25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
Барицентрическое подразделение К комплекса К определяется
следующим образом. Вершинами комплекса К являются центры
симплексов комплекса К.
Пусть
Т\ Г\ ..., Г*, г0 < г, < ... < rky (6)
— некоторая последовательность симплексов комплекса /С,
указанных размерностей, причем каждый симплекс этой
последовательности является гранью последующего. Обозначим через at центр
симплекса ТГ{. Ясно, что точки
а0, ai> • • •» ак (7)
являются вершинами некоторого симплекса Г*, расположенного
в симплексе Гг*. Таким образом, последовательность (7)
однозначно определяет симплекс Тк с вершинами (7). Совокупность
всех таких симплексов, возникающих в /С, представляет комплекс,
который обозначается К и называется барицентрическим
подразделением комплекса К. Любая грань симплекса Тк определяется
некоторой подпоследовательностью последовательности (7). И
наоборот, каждая подпоследовательность последовательности (7)
определяет грань симплекса.
D) Пусть Тг некоторый фиксированный симплекс комплекса /С-
Будем считать, что Тг есть первый симплекс последовательности
(6), т. е. что Тг* = Гг. Тогда всякая подпоследовательность такой
последовательности симплексов определяет некоторый симплекс
из /С. При заданном Тг совокупность всех таких
последовательностей определяет некоторую совокупность симплексов,
составляющую подкомплекс $ХТГ комплекса /О Этот подкомплекс stТг
комплекса К называется барицентрической звездой симплекса Тг
в комплексе К.
Пусть
П П.5-.-. П (8)
— совокупность всех нульмерных симплексов комплекса /С, т. е.
совокупность всех его вершин.
Легко проверяется, что полиэдры
|strj|, |str2°|, ..., |stni (9)
образуют покрытие полиэдра | К|. Покрытие это называется
барицентрическим покрытием полиэдра \К или просто комплекса К.
Барицентрическое покрытие комплекса К замечательно тем, что
кратность его в точности на единицу больше размерности К.
Отсюда следует, что размерность полиэдра | К | в смысле покрытий
не превосходит размерности комплекса К (см. § 2, В)).

25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
699
E) Пусть Еп—n-мерное евклидово пространство и R—его
компактное подмножество. Тогда существует произвольно мелкая
триангуляция открытого множества En\R, т. е. такой комплекс LRy
все симплексы которого по диаметру не превосходят некоторого
положительного числа а, а полиэдр \LR\ совпадает с открытым
множеством En\R. В частном случае, когда компактное
множество R пусто, описанная триангуляция является триангуляцией
всего пространства и ее мы будем обозначать через L.
F) Пусть R—непустое компактное множество из Еп,
L—некоторая триангуляция всего пространства Еп. Совокупность всех
симплексов комплекса L, пересекающихся с множеством R и их
граней составляет комплекс, который мы обозначим через L(R)
и который называется полиэдральной окрестностью множества R.
G) Пусть L—некоторая триангуляция ориентированного
евклидова пространства Еп и К—некоторый конечный подкомплекс
комплекса L. Легко доказывается, что барицентрическая звезда
st Tr некоторого симплекса Тг комплекса L тогда и только тогда
пересекается с полиэдром |/С|, когда симплекс Тг принадлежит
комплексу /С Пусть Тг—некоторый r-мерный ориентированный
симплекс комплекса L. Его барицентрическая звезда st Tr является
(п—г)-мерным комплексом. Всем (п — г)-мерным симплексам
комплекса strr придается определенная ориентация, согласованная
с ориентацией симплекса Тг и с ориентацией евклидова
пространства Еп. Сумма всех так ориентированных (п—г)-мерных
симплексов обозначается через В(ТГ) и является целью комплекса L.
Операция В по линейности распространяется на произвольную
цепь из комплекса L. Если х—некоторая цепь из комплекса L,
то В (х) есть цепь из комплекса L. Она называется
барицентрической цепью. Оказывается, что каждый цикл из пространства Еп\К
гомологичен некоторому барицентрическому циклу, не
пересекающемуся с /С, и каждый барицентрический цикл, расположенный
в пространстве Еп\К, гомологичный нулю в этом пространстве,
гомологичен нулю при помощи барицентрической цепи, не
пересекающейся с комплексом /С. Таким образом, при вычислении
групп гомологии открытого множества Еп\К можно ограничиться
рассмотрением барицентрических цепей, не пересекающихся с \К |.
Для барицентрических цепей имеет место следующая важнейшая
формула:
ЬВ(х) = В(ух). (10)
Если х есть произвольная цепь комплекса L, то сумму всех ее
членов, принадлежащих /С, обозначим через х\ а сумму
остальных членов через х". Таким образом, мы имеем
х = х' + х\ (11)
Применительно к цепи х примем следующие обозначения:
(V*)' = V'*r (VjO = V*. 02)

700
25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
Тогда
Ух = (У*)'+(У*)''==У'х+УЧг). (13)
Таким образом, если х есть цепь комплекса /С, то \'х есть ее
У-граница, взятая в комплексе /С, а Ух есть ее У-граница в
комплексе L. Эти две У-границы могут отличаться друг от друга.
Разложение (11) цепи х дает разложение:
В(х)=В(х') + В(хГ), (14)
где первое слагаемое в правой части содержит все члены звездной
цепи В(х), которые пересекаются с /С, а второе слагаемое—все
члены звездной цепи В(х)у которые не пересекаются с К.
Из (13) и (10) следует
ЬВ(х) = В(Гх) + В(Гх). (15)
Здесь первое слагаемое правой части содержит все члены звездной
цепи 65 (х), которые пересекаются с /С, а второе слагаемое—все
члены звездной цепи 65 (х), которые не пересекаются с К.
Теорема 1. Пусть L—некоторая триангуляция евклидова
пространства Епу К—некоторый конечный подкомплекс комп-
лекса L. Тогда г-мерная группа У-гомологии НГ(К) естественным
образом изоморфна с (п — г—1)-мерной группой Ь-гомологий
Нп~г~1(Еп\\К\)^ Изоморфизм этот осуществляется следующим
вполне определенным образом. Если х есть некоторый V-цикл
размерности г из комплекса /С, т. е. такая цепь, что
У* = 0, (16)
то ЬВ(х) есть звездный цикл пространства Еп\\К\. При этом
два У-цикла хх и х2 комплекса К, \-гомологичных между собою,
дают циклы ЬВ(хх) и SB (х2) пространства Еп\\ К \, гомологичных
между собой в этом пространстве. Таким образом, каждому эле-
менту группы Нг (К) соответствует вполне определенный элемент
группы Нп~г~1(Еп\\К\) и соответствие это дает изоморфизм
этих обеих групп.
Доказательство. Пусть х—произвольный г-мерный у-цикл
комплекса /С, т. е. цепь, удовлетворяющая условию (16).
В силу формулы (15) мы имеем
65(х) = 5(у'х) + 5(У"х). (17)
Второй член правой части этого равенства не пересекается с К
и потому цикл 8В(х) лежит в £"\|/С| (см. (16)).
Покажем теперь, что если у-цикл х гомологичен нулю в
комплексе Кj т. е. имеет место равенство:
* = У'</, (18)

25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
701
где у—некоторая цепь из К> звездный цикл бВ(х) в пространстве
Еп\\ К | гомологичен нулю в этом пространстве. В силу формуя
(18) и (13) мы имеем
x = Vy—V*y. (19)
Таким образом, в силу формулы (15) мы имеем
В (х) = дВ(у)-В(ъ"у). (20)
При этом В(\"у) не пересекается с /С. Мы получаем 8В(х) =
= —6В(\"у)9 так что цикл 6В (х), расположенный в пространстве
f^Xl/C), гомологичен нулю в этом пространстве.
Докажем теперь, что если V-цикл х комплекса К обладает тем!
свойством, что звездный цикл ЬВ(х) пространства £П\|/С|
гомологичен нулю в этом пространстве, то V-цикл х гомологичен нулю
в комплексе /С. Так как, по предположению, 8В(х) есть цикл,
гомологичный нулю в пространстве £п\|/С|,то он звездно
гомологичен нулю в этом пространстве, т. е. имеет место равенства
8В(х) = 6Я(у), (21)
где у—цепь комплекса Ll9 ни один симплекс которой не
принадлежит комплексу /С. Из последнего равенства следует, что JB (х) —
— В (у) есть звездный цикл комплекса L, потому он звездно
гомологичен нулю в L, т. е. имеет место равенство
В(х)—В (у) = 6В (и) = В (?м). (22)
Таким образом, мы имеем равенство
х = \и + у (23)
или, иначе
x = v'u+Vu + y. (24)
Так как х состоит из симплексов, принадлежащих /С, то и правая
часть должна принадлежать К\ поэтому \"и-\- */ = 0, и мы получаем
х = \'и. (25)
Таким образом, V-цикл х V-гомологичен нулю в К.
Из доказанного следует, что описанное в формулировке тео-
ремы отображение группы Н (К) в группу Н (Еп\\К\) есть
изоморфизм. Остается доказать, что это отображение есть
отображение на всю группу Н(Еп\\К\). Сделаем это.
Для доказательства последнего утверждения достаточно
доказать, что произвольный цикл в пространстве Еп\\ К | гомологичен
в нем циклу вида
бВ(х), где \'х = 0. (26)
Здесь х есть некоторая цепь из /С. Так как каждый цикл
пространства Еп\\ К | гомологичен некоторому звездному циклу комп-

702
25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
лекса L, не пересекающемуся с /С, а каждый звездный цикл
комплекса L гомологичен нулю в комплексе L, то нам достаточно
доказать, что каждый цикл вида
6#(и)> (27)
тде и—цепь из L, а цикл (27) не пересекается с /С, гомологичен
в пространстве Еп\\К циклу вида (26).
В силу формулы (14) мы имеем
8В(и) = 8В(и') + 8В(и"), (28)
где В (и") есть звездный цикл, не пересекающийся с К. Из
последней формулы вытекает, что в пространстве £"\|/С| циклы
$В(и) и 8В(и') б-гомологичны. Положим и' = х. Тогда
8В(и') = 8В(х). (29)
Из соотношения (28) следует, что 8В (и) не пересекается с /С, т. е.
£В(х) не пересекается с К. Из формулы (10) следует
8В (х) = В (\х) = В (V '*) + В (Vx). (30)
Первое слагаемое правой части этого равенства состоит из членов
пересекающихся с /С, а второе—из членов, не пересекающихся
•с /С. Так как левая часть не пересекается с К, то первый член
правой части равен нулю. Мы имеем B(V'x) = Q, из чего следует
равенство V'x = 0.
Таким образом, теорема 1 полностью доказана.
Н) Индекс пересечения. Пусть Еп—л-мерное евклидово
ориентированное пространство, а Ег и Еп~г—два его ориентированные
евклидовы подпространства размерности г и п—г, находящиеся
в общем положении, т. е. пересекающиеся в единственной точке О.
Тогда этой точке можно приписать индекс пересечения е = ±1,
причем знак зависит от ориентации всех трех евклидовых
пространств. Для определения знака г выберем в Er r линейно
независимых векторов, выходящих из точки О и упорядоченных так, что
они определяют заданную ориентацию пространства Ег. Точно также
в пространстве Еп~г выберем п—г векторов, выходящих из точки О.
Выписывая друг за другом две эти последовательности векторов,
мы получим систему из п линейно независимых векторов в
пространстве Еп. Если полученная так упорядоченная система из
п векторов определяет заданную ориентацию пространства Еп, то
« = ±1, если же другую ориентацию пространства Епу то е = —1.
Пусть теперь Тг и Тп~г—два ориентированных симплекса
пространства Еп размерностей г и п—г, находящихся в общем
положении, т. е. либо вовсе не пересекающиеся, либо
пересекающиеся в единственной внутренней для обоих точке О. Тогда можно
приписать этим двум симплексам их индекс пересечения:
/(7\ Г»-'), (31)

25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ 70S
причем индекс этот равен нулю, если симплексы не пересекаются,
и равен е, если они пересекаются, и знак е определяется как
индекс пересечения евклидовых пространств, несущих симплексы
Тг и тп-г
Пусть теперь хг и уп~г—две цепи пространства Епу находя-
щиеся в общем положении, т. е. такие, что каждый симплекс
цепи хг находится в общем положении с каждым симплексом
цепи уп~г. Если теперь Т\—произвольный симплекс первой цепи,
входящий в эту цепь с коэффициентом а{, и Т*}~г—произвольный
симплекс второй цепи, входящий в эту цепь с коэффициентом Ь,->
то мы определим индекс пересечения этих двух цепей, положив
/ (*', Уп ~ 0 = 2 «А' (77, ТГГ) • (32>
*»/
Суммирование проведено по всем симплексам обеих цепей. Если
цепи не находятся в общем положении, но граница каждой не
пересекается с другой, то производя малое шевеление обеих цепей,
можно привести их в общее положение и определить индекс
пересечения исходных цепей как индекс пересечения «пошевеленных»
цепей. Оказывается, что индекс пересечения любого симплекса
триангуляции L пространства Еп (см. G)) с его барицентрической
звездой В(ТГ) равен ±1. Таким образом, все барицентрические
звезды вида В(ТГ) можно проориентировать так, чтобы имело места
равенство
/(Г', В(Т')) = + 1. (33)
Если теперь хг—произвольная цепь комплекса L, взятая с
коэффициентами из х, а В(уг)—произвольная звездная цепь
комплекса L, взятая с целыми коэффициентами, то определен индекс
пересечения
этих двух цепей, причем индекс этот есть элемент группы х.
I) Коэффициент зацепления. Пусть хг и уп~г~г—два
непересекающихся цикла пространства Еп указанных размерностей. Тогда
коэффициент зацепления
V(x\ у—1) (34)
этих двух циклов определяется следующим образом. Пусть ип'г—
некоторая цепь, натянутая на второй цикл, т. е. удовлетворяющая
условию:
yn-r-i==Sun-'-. (35)
Тогда полагают
V{xry y»-r-i) = I(x'-i un~r). (36)
Определенный таким образом коэффициент зацепления не зависит
от случайно выбранной пленки ип~г и при перестановке порядка

704 25. ПРИМЬНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
циклов меняет только знак, причем перемена знака зависит от
размерностей /гиг.
Пусть теперь L—некоторая триангуляция пространства Еп,
и К—некоторый конечный подкомплекс комплекса L. Пусть хг~
некоторый 6-цикл комплекса К, взятый с коэффициентами из к
а уг—некоторый V-Цикл комплекса /С, взятый с целочисленными
коэффициентами.
Тогда, в соответствии с формулой (3) § 6, определено
произведение
хг-Уг, (37)
причем произведение это входит в группу х. Теперь мы можем
доказать очень важную нижеследующую теорему.
Теорема 2. Пусть L—некоторая триангуляция евклидова
пространства Еп и К—некоторый подкомплекс комплекса L.
Тогда группы Ь-гомологий НГ{К) по полю коэффициентов х
и Нп~г~г(Еп\К) по целочисленному полю ортогональны между
собой, причем ортогональность достигается следующим образом.
Произведение произвольного элемента zr из первой группы с
произвольным элементом гп~г"г из второй группы определяется как
коэффициент зацепления произвольного цикла иг из первого класса
с произвольным элементом ип~г~1, взятым из второго класса
Хг.гп-г-1 = у(иг^ ип-г-ху (38)
Доказательство вытекает непосредственно из теоремы 1,
теоремы 1 § 6 определения коэффициента зацепления циклов.
Переходу к теореме двойственности для произвольного
компактного подмножества R евклидова пространства Еп.
Теорема 3. Пусть R—произвольное компактное
подмножество евклидова пространства Еп. Через LR обозначим
триангуляцию пространства En\Ry т. е. такой комплекс LRy что его
полиэдр \L%\ есть пространство En\R. Тогда группа 8-гомоло-
гий Hr(R), построенная при помощи коэффициентов из группы к
(см. § 3, D)), ортогональна 8-группе Я/1"г"1(^), построенной
при помощи целочисленных коэффициентов. Таким образом,
каждая из этих двух групп является группой характеров для
другой и ею определяется. Перемножение элементов одной группы
с элементами другой группы определяется при помощи
коэффициентов зацепления циклов из R и циклов из En\R.
Доказательство. Для доказательства строится
последовательность
триангуляции пространства Еп, каждая следующая из которых
является произведением предыдущей, так что они неограниченно
измельчаются. Полиэдральная окрестность /С,- множества R стро-

25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ 705
ится при помощи триангуляции L, (см. F)). Последовательность
^i» ^2> • • > ^i> • • • (40)
полиэдральных окрестностей множества R составляет убывающую
последовательность комплексов, пересечение полиэдров которых
совпадает с R. Ввиду вложения
1*,+1|с|*,| (41)
возникает гомоморфизм ср, группы гомологии Щ+1 комплекса Ki+1,
в группу гомологии Нг комплекса /С,-; (здесь все группы строятся
с коэффициентами из х). Последовательность групп
Нг[Кг), Н'(К*)9 ..., H'(Ki), ... (42)
с гомоморфизмами
Фи ф2> • • • > Ф/t • • • (43)
образует обратный ряд гомоморфизмов компактных коммутативных
групп, предел которого Hr(R) есть группа гомологии множества R.
Это вытекает из того, что данный здесь обратный ряд
гомоморфизмов эквивалентен ряду гомоморфизмов, построенных при
помощи нервов множества R (см. § 3, F)).
Обозначим через М( триангуляцию пространства £Л\|/С,|. Так
возникает последовательность комплексов
М1У М2 М-, ..., (44)
причем каждый следующий комплекс содержит в себе предыдущий.
Группу гомологии размерности s комплекса М{ с целочисленными
коэффициентами обозначим через HS(M(). Ввиду вложения
\М(\ d |M/+1| возникает гомоморфизм if,- группы Hs(Mt) в группу
Hs (Mt+i). Последовательность дискретных групп
Н* (Af J, Н° (М2), ..., Я* (Mt), ... (45)
с гомоморфизмами
*i. *IV ♦/» • • • (46)
образует прямой ряд гомоморфизмов дискретных групп, предел
которого есть некоторая дискретная группа Hs(En\R)
пространства En\R. Предел Hs(En\R) прямого ряда гомоморфизмов (45),
(46) определяется следующим образом: элементом hs группы Hs
считается любая последовательность
hi h't+l, ..., Щ ... (47)
элементов групп (45), где h)£Hs (Mj) и выполнено условие
23 Л. С. Понтрягин, т. I

706
25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
Сложение таких последовательностей определяется естественным
образом.
Предел Hs этого прямого ряда гомоморфизмов есть группа
гомологии полиэдра \LR\.
Доказанная в теореме 2 ортогональность групп Hr(Ki) и
Нп~г~1(М[) приводит к ортогональности предельных групп
пространства R и пространства En\R. Таким образом, теорема
3 доказана.
Эта теорема была доказана мною в начале тридцатых годов.
Приведенное здесь ее доказательство очень близко к тому, которое
было получено первоначально мною. Отличается оно лишь тем,
что я здесь использую ^-гомологии, которыми первоначально я
не пользовался.
§ 8. Относительные гомологии
В комбинаторной топологии и ее приложениях к теории
множеств иногда используются так называемые относительные
гомологии. Мы будем рассматривать их в случае конечных комплексов.
Если К—некоторый комплекс, а К—его подкомплекс, то
относительным б-циклом комплекса К называется такая его цепь,
б-граница которой принадлежит комплексу К. Определяются
также относительные б-гомологии относительных б-циклов и
строится относительная группа б-гомологий комплекса К
относительно комплекса К. Дадим все определения более формальным
алгебраическим образом.
А) Пусть Сг—группа г-мерных цепей комплекса К с
коэффициентами из х и Сг— подгруппа группы С, состоящая из всех тех
цепей, которые принадлежат комплексу У?. Если хх и х2—две
цепи из группы Сг, принадлежащие к одному классу смежности
этой группы по подгруппе Сг, то их границы бхх и бх2 принад-
лежат к одному классу смежности по подгруппе С"1. Таким
образом, операция б определена в фактор-группе Ar — CrlCr.
Элементы этой фактор-группы Аг называются относительными
цепями комплекса /С. Относительная цепь х, т. е. элемент группы Агу
называется относительным циклом, если дх^С*"1. Далее,
определяются циклы, гомологичные нулю, как такие циклы, которые
являются относительными границами относительных цепей. Таким
образом, определяется группа Нг относительных гомологии.
Пусть, далее, Сг—группа всех цепей комплекса К с целочис-
ленными коэффициентами. Как уже отмечалось, группы Сг и С
образуют ортогональную пару. Через Сг обозначим аннулятор
подгруппы С в группе Сг. Группа Сг, очевидно, состоит из всех
таких целочисленных цепей, в которые входят только симплексы

25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ 70/
комплекса /С, не принадлежащие подкомплексу К. Ясно, что
если л принадлежит группе Сг, то Vx принадлежит группе Cr+1.
Элементы группы Сг называются относительными v-цепями
комплекса /С, а такая относительная V-цепь х, Y-граница которой
равняется нулю, называется V-циклом. Среди всех V-Циклов
выделяются v-циклы, гомологичные нулю, а группа всех V-Циклов,
гомологичных нулю, обозначается через Wr. Таким образом,
определяется V-группа гомологии Нг комплекса К относительно
подкомплекса /О Точно так же, как в § 6, доказывается, что группы
Нг и Нг образуют ортогональную пару.
Подобно тому, как в § 3 была определена 6-группа гомологии
с коэффициентами из х компактного метрического пространства R,
определяется 6-группа гомологии с коэффициентами из х этого же
пространства R относительно его замкнутого подмножества R
(см. В)).
В) Пусть /?—некоторое компактное метрическое пространство,
R—его замкнутое подмножество. Пусть, далее, Кх—нерв
некоторого покрытия пространства R и /С2—нерв некоторого другого
достаточно мелкого покрытия того же пространства R. Обозначим
через Ki подкомплекс комплекса /d, относя к нему те вершины
комплекса К19 которые соответствуют элементам покрытия,
пересекающимся с множеством /?, а через К2 аналогичный подкомплекс
комплекса К2- Симплициальное отображение fx комплекса К2
в комплексе А\ (см. § 2, F) мы определяем, ставя каждой
вершине а" комплекса К2 такую вершину а' комплекса К и что
элемент покрытия, соответствующий вершине а", пересекается
с элементами покрытия, соответствующим вершине а!. Таким
образом, при построении симплициального отображения /lf
допускается некоторый произвол. Выберем этот произвол теперь
таким образом, чтобы при симплициальном отображении ]х под-
комплекс /С2 отображался в подкомплекс Кг- Легко видеть, что
это возможно. Тогда при симплициальном отображении fx
комплекса Кг в комплекс Кх каждый относительный цикл комплекса К%
переходит в относительный цикл комплекса Кг. При этом
отображении циклов сохраняется их гомологичность. Таким образом, мы
получаем гомоморфное отображение относительной- группы Н\
комплекса К2 в группу Н[ комплекса К и которое мы также
обозначим через /V Последовательность групп
//]_, //2> • • •, Hi, • • • (1)
вместе с последовательностью гомоморфизмов fl9 /2, ..., /,, ...
определяет предельную группу Яг, которую мы называем отно-
23*

708 25- ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
сительной б-группой компактного метрического пространства R
относительно подмножества R.
Таким образом, мы дали вполне детально теорию
относительных гомологии, когда имеется некоторый конечный комплекс К
и его подкомплекс К, и эскизно изложили теорию относительных
гомологии для компактного метрического пространства R и его
подмножества R. В несколько эскизной форме я расскажу теперь,
как строится теория относительных гомологии, если имеется
открытое подмножество G некоторого евклидова n-мерного
пространства Еп и в этом открытом множестве G задано открытое
подмножество G.
С) Пусть G—некоторое открытое подмножество евклидова
пространства Еп и В—открытое подмножество множества G. Мы
будем говорить, что в открытом множестве G задана цепь у, если
имеется конечный комплекс К, расположенный в открытом
множестве G, т. е. такой, что \K\czG, а в комплексе К задана
некоторая цепь у. Цепь у называется относительным циклом, если
в комплексе К выделен подкомплекс Я, расположенный в
открытом множестве G, такой, что у есть цикл комплекса К
относительно подкомплекса К. Относительный цикл у считается
относительно гомологичным нулю в G относительно G, если он
относительно гомологичен нулю в комплексе К.
При таком определении относительных гомологии в открытых
множествах евклидового пространства имеется нижеследующая
теорема, являющаяся обобщением теоремы 3 § 7.
Теорема 1. Пусть R—компактное подмножество п-мерного
евклидова пространства Еп и R—некоторое подмножество мно-
жества /?. Пусть, далее, G—дополнение множества R в Еп uG —
дополнение множества R в пространстве Еп, т. е.
G = £»\#; G = En\R. (2)
Тогда G есть открытое множество, входящее в открытое
множество G, и мы можем считать, что имеется теория относи-
тельных гомологии относительно этих двух открытых множеств
в том смысле, как это указано в А). Пусть, далее, и—некоторый
элемент относительной группы Нг Ь-гомологий множества R
относительно R, построенной при помощи коэффициентов из %
и v—некоторый элемент группы Нп~г Ь-гомологий открытого
множества G относительно открытого подмножества G, построенной
при помощи целочисленных коэффициентов. Определим произведение
элементов и и v этих групп следующим образом. Из и выберем
некоторый относительный цикл х, а из v—некоторый
относительный цикл у. Будем считать, что произведение u-v вещь

25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
709
индекс пересечения цепи х с цепью у, т. е.
u-v = I(х, у). (3)
Легко видеть, что так определенное произведение u-v не зависит
от случайностей выбора относительных цепей х и у из классов
гомологии и и v. Оказывается, что в силу этого закона
перемножения группы гомологии становится ортогональными, т. е.
каждая из них является группой характеров для другой.
Доказательство этой теоремы проводится аналогично тому,
как проводится доказательство теоремы 3 § 7 с некоторыми
отличными от прежнего деталями, но мы его приводить здесь
не будем. Докажем, что теперь из теоремы 1 вытекает
теорема 3 § 7.
D) При доказательстве того, что теорема 3 § 7 есть следствие
теоремы 1, примем за множество R пустое множество. Тогда
G = £,',, G = En\R. Относительному циклу у поставим в
соответствие его обычную границу 8у. Тогда коэффициент зацепления
циклов х и Ьу по определению есть индекс пересечения цепи х
с цепью у, а именно мы имеем формулу
V(х, by) = I(x,y) = u*v. (4)
Переход от относительного цикла у к обычному циклу Ьу, как
легко видеть, дает изоморфное отображение группы Нп~г на
группу Hn~r"1(En\R). Таким образом, из теоремы 1 следует
теорема 3 § 7.
Дадим здесь одну конструкцию, которая будет нужна нам
для построения гомологической теории размерности. Именно,
каждой цепи х открытого множества G с целочисленными
коэффициентами мы поставим в соответствие некоторую цепь D(x)
(тоже с целыми коэффициентами), называемую гомологической
деформацией цепи х. Сделаем мы это следующим образом:
E) Как уже было сказано, мы считаем, что цепь х задана
в открытом множестве G, если в нем задан некоторый конечный
комплекс /С, а х есть цепь из К. Для того чтобы определить
деформацию D(x) произвольной цепи из /С, мы определим сперва
деформацию каждого ориентированного симплекса Тг комплекса К.
Для этого симплексу Тг мы поетавим в соответствие не только
r-мерную цепь D(Tr) с целочисленными коэффициентами, но еще
и г+ 1-мерную цепь Р(ТГ) также с целочисленными
коэффициентами. Обе операции D и Р мы распространим по линейности
на произвольные цепи из /С. Операции D и Р над симплексом Тг
мы будем определять индуктивно по размерности г, причем так,
чтобы было выполнено соотношение
8Р (Т9) = Tr—D (Тг)—Р (8ТГ). (5)
При г = 0 симплекс Т° является вершиной комплекса К. Мы будем

710
25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
считать эту вершину положительно ориентированной. За D(7°)
примем близкую к Т° точку, также положительно
ориентированную. За Р(Т°) примем идущую из точки Т° в точку D(T°)
произвольную малую ломаную, каждый отрезок которой мы про-
ориентируем в направлении от Т° к D(T°), так что эта ломаная
станет одномерной целочисленной цепью. Тогда для Р (Г0),
очевидно, выполнено соотношение (5). Будем теперь считать, что
операции D и Р уже определены для всех размерностей, не
превосходящих г—1 и определим их для симплексов Тг. Операция D
по индукции применена к цепи ЬТГ. D(6Tr) есть целочисленный
цикл, находящийся вблизи симплекса, а потому и гомологичный
нулю вблизи этого симплекса.
За операцию D(Tr) мы и примем цепь, осуществляющую эту
гомологию. Далее,
6D(Tr) = D(8Tr). (6)
Таким образом, операции D и б перестановочны.
Цепь, определяемая формулой
Tr—D(Tr)—P{bTr), (7)
представляет собой цикл, расположенный вблизи симплекса Тг
и поэтому гомологичный в этой близости нулю. Цепь,
осуществляющую эту гомологию, мы и обозначим через Р(ТГ). так что
имеет место соотношение (5). Таким образом, индуктивная
конструкция определена. Определены цепи D(x) и Р(х) для любой
цепи х из К у причем выполнено соотношение
6Р (x) = x—D (x)—P (Ьх). (8)
§ 9. Непрерывные деформации отображений
Вопросы, связанные с непрерывными деформациями, в
топологии называются гомотопическими. П. С. Александров заметил
и доказал, что размерность компактного метрического пространства
может быть охарактеризована гомотопическим образом. После
этого он догадался, что эта гомотопическая характеристика
связана с гомологической. Соответствующая теорема по его просьбе
была доказана Хопфом. В этом параграфе будет доказано, что
некоторые гомотопические вопросы разрешаются в терминах
гомологии.
А) Пусть X и Y—два метрических пространства, причем
X компактно. Обозначим через X прямое произведение
пространства X на числовой отрезок 0^/^ 1, т. е. совокупность всех
пар вида (х, /), где х принадлежит Ху a t—число,
удовлетворяющее неравенству 0^ /^ 1. Пусть, далее, ф — некоторое непре-

25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ 711
рывное отображение пространства X в пространство Y. Положим
ft(x) = <p(x,t). (1)
Непрерывное отображение ft пространства X в пространство Y
зависит от числового параметра t. Непрерывное отображение ft
пространства X называется непрерывной его деформацией по
параметру t из положения /0 в положение fx. Говорят, что
отображения /0 и /х пространства X в пространство Y гомотопны между
собой или, что отображение /0 деформируется в flf a ft называется
деформацией. Ясно, что понятие гомотопности рефлексивно, тран-
зитивно и симметрично, так что все непрерывные отображения
пространства X в пространство Y распадаются на классы попарно
гомотопных между собой отображений. Нахождение всех
гомотопических классов отображений пространства X в пространство Y
в начале 30-х годов представляло собой одну из центральных
задач топологии, однако здесь мы ей заниматься не будем.
Отображение /0 называется гомотопным нулю, если существует
гомотопное ему отображение fl9 при котором все пространство X
переходит в одну точку пространства Y.
B) Отображение / пространства X в сферу S называется
несущественным, если оно гомотопно отображению, при котором
в некоторую точку сферы S не попадает ни одной точки
пространства X. Ясно, что если отображение / несущественно, то оно
гомотопно нулю. Отображение / пространства X в симплекс Т
называется несущественным, если оно может быть деформировано
в такое отображение, которое не переводит ни одной точки
пространства X в некоторую точку симплекса 7\ причем в процессе
деформации все точки пространства X, попавшие на границу
симплекса 7\ не смещаются. Ясно, что если отображение /
пространства X в симплекс Т несущественно, то оно может быть
деформировано в отображение, переводящее все пространство X
в границу симплекса 7\ причем точки, попавшие первоначально
на границу симплекса 7\ при этом не смещаются.
C) Степень отображения. Пусть /—непрерывное отображение
r-мерного ориентированного симплекса Тг в ориентированное
r-мерное евклидово пространство Ег и а—некоторая точка
пространства Егу в которую при отображении / не переходит ни одна
точка границы симплекса Тг. Определим степень отображения /
в точке а. Так как Тг—симплекс, Тг есть часть
ориентированного г-мерного евклидова пространства и на нем определены
декартовы координаты евклидова пространства, взятые с
определенной ориентацией. Таким образом, отображение / можно задать
при помощи г функций г переменных. Эти функции непрерывны
и потому с любой точностью могут быть аппроксимированы
многочленами. Таким образом, отображение / может быть
аппроксимировано произвольно близким к нему аналитическим
отображением ф. Теперь в произвольной близости к точке а можно выбрать

712 25- ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
такую точку ft, что полный прообраз ее <p~l(b) состоит из
конечного числа точек, причем в каждой из этих точек отображение ф
имеет функциональный определитель, отличный от нуля. Пусть
Ф"1^)^!, ct, ..., са), (2)
где в правой части в скобке записаны все точки, составляющие
полный прообраз точки Ь. Положим е/ = ±1, если
функциональный определитель отображения ф в точке с{ положителен и е/ = —1,
если этот определитель отрицателен. Сумма чисел
ех + е2 + ... + гп (3)
называется степенью отображения / симплекса Т в точке а и
является инвариантом отображения / и точки я, если только
отображение ф достаточно близко к отображению f и точка Ь
достаточно близка к точке а. Оказывается, что если степень
отображения / в точке а равна нулю, то отображение / = /0 можно
продеформировать в отображение flf причем при отображении ft
точка а уже не принадлежит к образу Тг9 и при деформации ft
точки границы симплекса Тг не смещаются.
Дадим некоторое представление о доказательстве этого факта.
Допустим, что ех и е2 имеют противоположные знаки. В
симплексе Тг соединим точки сг и с2 прямолинейным отрезком и малую
окрестность этого отрезка обозначим через Л. Легко
продеформировать отображение Ф = ф0 в отображение ц>г окрестности А
так, чтг> при деформации ф^ точки, принадлежащие границе Л,
не смещаются, а при отображении фх ни одна точка е-окрестности
уже не попадает в точку Ь. Так попарно можно ликвидировать
все прообразы точки Ьу имеющие противоположные знаки при
отображении ф, а следовательно, и при отображении f. Здесь мы
используем только то свойство пространства £г, что в нем есть
координаты. Но координаты можно ввести и в сфере
размерности г и в симплексе размерности /\ так что в дальнейшем мы
будем применять данное здесь определение степени и построения
к отображению симплекса в сферу и в симплекс (то и другое
размерности г).
D) Пусть К—r-мерный комплекс и /—отображение полиэдра | К \
на ориентированную r-мерную сферу Sr. Пусть, далее, а—такая
точка сферы Sr, в которую не переходит ни одна точка симплексов
размерности меньше чем г комплекса /С. Тогда для
ориентированного симплекса Т\ комплекса К определена степень его
отображения в точке а. Ее мы обозначим через s,-. Сумма
х = sjl + s2n +...+ spTrp (4)
есть целочисленная цепь комплекса /С- Так как в комплексе К
нет г+ 1-мерных симплексов, то цепь х есть v-цикл
Дх=0. (5)

25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ 713
Если отображение / = /0 подвергается деформации /,, а в
процессе этой деформации некоторый г—1-мерный симплекс Тг~*
комплекса К проходит через точку а, то степени отображения
всех симплексов, имеющих симплекс Гг~1 своей г— 1-мерной
гранью, меняются на одно и то же число. Таким образом, V-цикл
х0 = х, соответствующий отображению /0, и v-цикл хи
соответствующий отображению fu гомологичны между собой. Также и
с теми же геометрическими соображениями можно построить такую
деформацию // отображения /0, при которой V-цикл хг будет
произвольным циклом гомологичным циклу х0. Таким образом, класс
V-гомологий цикла х0 не только является гомотопическим
инвариантом отображения /0, но и каждый V-цикл хх этого класса
гомологии реализуем в качестве инварианта отображений
гомотопического класса, к которому принадлежит отображение f0.
Отсюда непосредственно вытекает, что исходное отображение f
в сферу S тогда и только тогда гомотопно нулю, когда V-цикл я,
построенный здесь, гомологичен нулю в комплексе К (см. В) и С)).
Теорема 1. Пусть f—существенное отображение г-мерного
комплекса К на r-мерную сферу Sr. Тогда в комплексе К
существует такой г-мерный Ь-цикл х с коэффициентами из и, что его
образ при отображении f не равен нулю в сфере Sr.
Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из
результатов § 6 (см. теорему 1 и формулу (19)).
Из теоремы 1 непосредственно вытекает теорема для
компактного метрического пространства R.
Теорема 2. Пусть f—существенное отображение г-мерного
компактного метрического пространства R в сферу Sr. Тогда
в пространстве R существует r-мерный цикл х с коэффициентами
из х, образ которого при отображении f в сферу Sr не равен нулю.
Аналогично этой теореме доказывается теорема, относящаяся
к отображению компактного метрического пространства не в сферу,
а в симплекс.
Теорема 3. Пусть f—существенное отображение
компактного r-мерного метрического пространства R в r-мерный симплекс
Тг и R—совокупность всех тех точек пространства /?, которые
при отображении f переходят в границу симплекса Тг. Тогда
в пространстве R существует такой относительный Ь-цикл
относительно R с коэффициентами из х, образ которого при
отображении f переходит в ненулевой относительный цикл
симплекса Т относительно его границы Т'.
§ 10. Гомологическая размерность
Нижеследующая теорема П. С. Александрова дает
гомологическую характеристику размерности. Она сформулирована здесь
в терминах несколько отличных от тех, в которых она была дана
Александровым.

714 25, ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
Теорема 1. Пусть R — компактное r-мерное метрическое
пространство. Тогда существует в нем г-мерный относительный
Ь-цикл относительно некоторого подмножества R с
коэффициентами из к, негомологичный нулю.
Доказательство. В силу теоремы 1 § 2 существует е-отобра-
жение к компактного метрического пространства R в его г-мерный
нерв К, причем е тем меньше, чем мельче то покрытие, на основе
которого построен нерв. Пусть теперь Тг—произвольный г-мерный
симплекс комплекса /С. Если та часть R* множества /?, которая
при помощи отображения к отображена на симплекс Тг,
отображена на него несущественно, то можно деформировать
отображение к так, чтобы все множество R* перешло в границу симплекса Тг.
Если предположить, что отображение к несущественно на каждом
г-мерном симплексе Тг комплекса /С, то мы продеформируем
отображение к0 = к в отображение к1У при котором R переходит
в г—1-мерный комплекс, причем кг будет е^отображением, где
гг также произвольно мало, а это невозможно. Таким образом,
отображение к существенно хотя бы на одном из симплексов
комплекса К и можно построить такое отображение к всего
пространства R в симплекс Тг так, что отображение к будет
существенным. Из этого, в силу теоремы 3 § 9, следует справедливость
доказываемой теоремы.
Эта теорема дает внутреннюю гомологическую характеристику
размерности компактного метрического пространства R. Из этой
внутренней характеристики легко вытекает внешняя
гомологическая характеристика, если предположить, что множество R
расположено в n-мерном евклидовом пространстве Еп в терминах так
называемых препятствий.
Определение. Пусть R — компактное подмножество
евклидова пространства Еп. Гаворят, что множество R образует г-мер-
ное препятствие в пространстве Е'\ если существует такой шар Я
в пространстве Еп, что в множестве H\R имеется
п—г—1-мерный целочисленный б-цикл z, негомологичный нулю внутри этого
множества.
Теорема 2. Если множество /?, расположенное в Еп обра-
зует препятствие размерности г, то оно имеет размерность не
меньше г.
Доказательство. Пусть Я—такой шар, что в пространстве
H\R имеется целочисленный б-цикл z размерности п—г—1,
негомологичный нулю в этом пространстве, и пусть л:—некоторая
цепь, расположенная в Я, границей которой является цикл z
bx — z. (1)
Пересечение границы шара Я с множеством R обозначим через R
и положим
G = En\R\ G = En\R. (2)

25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ 715
Цепь х является относительным циклом пространства G
относительно G. Если предположить, что этот относительный цикл
гомологичен нулю, тб из этого легко вытекает, что цикл 6л: = 2
гомологичен нулю в пространстве H\R.
Отсюда и из теоремы 1 § 8 вытекает, что в множестве R
существует относительный r-мерный б-цикл относительно
подмножества R, индекс пересечения которого с относительным циклом х
отличен от нуля. Таким образом, относительный цикл множества R
относительно R, построенный нами, негомологичен нулю, а так
как этот относительный цикл имеет размерность г, то размерность
множества R не может быть меньше (см. теорему 1 § 2).
Теорема 3. г-мерное компактное подмножество R евклидова
пространства Еп образует препятствие размерности г.
Доказательство. В силу теоремы 1 в пространстве R
существует r-мерный относительный цикл с коэффициентами из к
относительно некоторого подмножества Ry негомологичный нулю.
Положим,
G = E>\R\ G = En\R. (3)
В силу теоремы 1 § 8 в пространстве G существует относительный
целочисленный 6-цикл х размерности п—г, индекс пересечения
которого с указанным выше относительным циклом множества R
отличен от нуля. Подвергнем теперь цепь х малой гомологической
деформации таким способом, как это описано в
предположении Е) § 8, т. е. индуктивно по размерности симплексов,
входящих в х. Так как г < л, то каждую вершину а цепи х можно
сместить в положение а! так, чтобы а! уже не принадлежало
множеству R. Допустим теперь, что каждый симплекс Ts размерности
s < п—г—1 уже продеформирован гомологически в цепь D(TS),
не пересекающуюся с множеством R. Постараемся теперь
подвергнуть такой же деформации симплекс Ts+1.
Для этого на цикл D(8TS+1) следует натянуть цепь D(TS+1).
При s<n—г—1 цикл D(8TS+1) гомологичен нулю в малой
окрестности симплекса Ts+1 вне множества R. При s = n—г—1
цепь 8TS построить так, чтобы она не пересекалась с множеством/?,
может оказаться уже невозможно. Так что, если симплекс Тп~г
есть произвольный симплекс цепи х, то некоторые цепи D(Tn~r)
уже неизбежно пересекаются с множеством /?, а так как индекс
пересечения цепи х с относительным циклом, находящимся в R,
отличен от нуля, то для некоторых D(Tn~r) индекс пересечения
с той же цепью у из R отличен от нуля. Но тогда цикл D(bTn~r)y
заключенный в некотором шаре Я, находится вне множества R и
негомологичен нулю в том же шаре вне множества R. Таким
образом, множество R составляет препятствие размерности г, что
и требовалось доказать.

716 25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
Все три теоремы, приведенные здесь, принадлежат П. С.
Александрову и составляют содержание гомологической теории
размерности, построенной им. Однако теорема 1 сформулирована не совсем
в тех терминах, в каких она была сформулирорана П. С.
Александровым, но в терминах, по существу, очень близких к его терминам.
Доказательства результатов П. С. Александрова, приведенные
в настоящей статье, отличаются от тех, которые были даны самим
П. С. Александровым, однако не слишком сильно. Приведенные
здесь доказательства опираются на V-теорию и на мою теорему
двойственности, в которых в качестве коэффициентов для групп
гомологии использована группа х. Как V-теория, так и моя
теорема двойственности, были получены уже после того, как теория
размерности П. С. Александровым была построена. Так что при
ее построении он пользовался несколько другими гомологическими
терминами. Основные соображения, лежащие в основе
гомологической теории размерности, принадлежат П. С. Александрову и
они суть следующие.
1. r-мерное множество R может быть отображено существенно
на r-мерный симплекс Тг.
2. Из существования существенного отображения на симплекс
вытекает существование относительного 6-цикла. Этот результат
был доказан П. С. Александровым на основании результата Хопфа
(см. теорему 3 § 9). Хопф доказал эту теорему по заказу П. С.
Александрова. Интересно отметить, что первоначально П. С.
Александров заказал Хопфу теорему 1, а не теорему 3. При беглом
знакомстве с результатами П. С. Александрова я сразу же
обратил внимание, что теоремы 1 недостаточно для того, чтобы
получить гомологическую теорию размерности, и сказал об этом
П. С. Александрову, но недостаточно настойчиво, так как не знал
всех деталей доказательства, но был уверен, что теоремы 1
недостаточно. Позже, когда я уже тщательно изучил рукопись
П. С. Александрова, я обнаружил в ней ошибку и сказал о ней
П. С. Александрову. Тот был очень огорчен, что я не
предупредил его более настойчиво раньше, но я этого не мог сделать, так
как не знал деталей доказательства и не исключал какой-то другой
возможности, которой я не предвидел.
Сам я пытался получить основные результаты гомологической
теории размерности, стараясь в первую очередь доказать теорему 3
непосредственно, а в случае п = 3, г = 2 результат был получен
мною и Ф. И. Франклем независимо и позже опубликован в
совместной с ним статье.
Для произвольного п и г = п—1 результат был доказан
Ф. И. Франклем очень остроумным простым приемом, до которого
я сам не додумался, так что я был очень расстроен. Попытка
доказать теорему 3 в общем виде на том же пути, по которому
мы шли с Ф. И. Франклем, привела меня к мысли о том, что
для построения гомологической теории размерности нужна гомо-

25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
717
топическая классификация отображений сфер размерности n + k
на сферу размерности п. Это был ложный путь, но сама проблема
классификации отображений сфер представляла собой одну из
важнейших и прекраснейших задач топологии. Исходя из нее я
пришел к построению характеристических классов и получил много
интересных результатов. Так, иногда оказывается, что
неправильный путь приводит к интересным последствиям.
Из моих результатов по гомологической теории размерности
следует отметить один очень важный. П. С. Александров
первоначально дал определение гомологической размерности при
помощи циклов по модулю 2, т. е. в качестве коэффициентов
использовал вычеты по модулю 2 (см. § 6)). Легко доказывается, что
размерность множества не меньше, чем размерность по mod 2.
Его первоначальная гипотеза заключалась в том, что размерность
по mod 2 совпадает с обычной. Мне сразу же стало ясно, что
размерность можно определить не только по модулю 2, но и по
любому другому простому модулю, и я построил пример таких
множеств А и В обычной размерности 2, что первое имеет
размерность 2 по модулю 2 и размерность 1 по модулю 3, второе, В,
имеет размерность 2 по модулю 3 и размерность 1 по модулю 2.
Этим я сразу же доказал, что размерность по любому простому
модулю не может совпадать с обычной размерностью.
Эти же два множества А и В дают решение стоявшей тогда
трудной задачи о размерности произведения. Предполагалось, что
размерность произведения двух компактных метрических
пространств равна сумме их размерностей. Я доказал, что для
построенных мною множеств А и В эта гипотеза неверна, именно
размерность их произведения равна не 4, а 3. Примеры этих
множеств я даю в следующем параграфе.
§11. Размерность произведения. Примеры
В этом параграфе будут построены примеры, упомянутые
в конце предыдущего. При построении этих примеров будет
использована операция склеивания, которую я определю здесь очень
не формально, а на довольно интуитивном уровне.
А) Склеивание. Пусть X и Y—компактные топологические
пространства, X—компактное подпространство пространства X
и /—непрерывное отображение пространства X на некоторое
подпространство Y пространства Y. Пусть у—произвольная
точка из К, a f~1(y)— полный прообраз точки у в
подпространстве X. Объединим теперь в одну точку все точки множества f~x{y).
Будем считать полученную таким образом точку совпадающей
с точкой у пространства Y. Проделаем эту операцию со всеми
точками у из У\ Мы будем говорить, что полученное так из Л" и У
новое пространство возникает в результате склеивания из про-

718
25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
странств X и У при помощи отображения / подмножества X на
подмножество У.
В) На некоторой плоскости Е2 выберем две концентрические
окружности произвольных радиусов X и /С. Через X обозначим
кольцо, заключенное между двумя этими окружностями, причем
сами окружности причислим к множеству X. Для определенности
будем считать, что окружность X—внутренняя, в К—наружная.
Кольцо X гомеоморфно некоторому двумерному полиэдру. В
результате этого гомеоморфизма кольцо X превращается в комплекс,
составленный, однако, из криволинейных симплексов
размерностей 0, 1,2. Всем треугольникам, покрывающим кольцо X, придадим
ориентацию, согласованную с ориентацией плоскости £2. Будем
считать, что в результате принятой триангуляции окружность X
разбита на Зр одномерных симплексов одинаковой длины. Пусть,
далее, Y—некоторая окружность, разбитая на три равные одно-
мерные симплекса. Склеим теперь кольцо X с окружностью Y при
помощи отображения /, окружности X на окружность У, которое
зададим следующим образом. Введем на окружности X
циклическую координату ф меняющуюся от нуля до 2л, когда соответ-
ствующая точка х приобретает окружность X против часовой
стрелки, и примем за начало отсчета одну из вершин на окруж-
ности X. На окружности Y выберем циклическую координату if,
меняющуюся от нуля до 2я, когда точка у пробегает окружность Y
против часовой стрелки, приняв при этом за начало координат
одну из вершин подразбиения У. Точке х окружности X с коор-
динатой ф поставим теперь в соответствие точку у окружности У
с координатой я|) = /?ф. В результате этого склеивания мы получим
полиэдр Мру который будем называть листом Мёбиуса по модулю р.
Окружность У будем называть средней линией листа Мёбиуса Mpt
а окружность К — краем листа Мёбиуса Мр. Очевидно, что лист
Мёбиуса М2 по модулю два является обычным листом Мёбиуса.
С) Гомологии в листе Мёбиуса МР. Пусть Т1—произвольный
одномерный симплекс полиэдра Мр, не принадлежащий ни окруж-
<»ч * ^^
ности X, ни окружности К. Ясно, что уТ1 = Т\—74, где Т\ и
Т\—два положительно ориентированных треугольника. Отсюда
следует, что v-циклы 7^, Т\ V-гомологичны между собой:
Т\ V-гомологично Т\. (1)
Так как каждые два двумерных симплекса полиэдра Мр можно
соединить цепочкой двумерных симплексов, примыкающих друг
к другу по ребру, то из формулы (1) следует, что каждые два
двумерных симплекса полиэдра Мр, рассматриваемые как V-циклы,
V-гомологичны между собой. Если одномерный симплекс Т1
принадлежит средней линии Мёбиуса Мр, то его V-граница состоит

25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ 719
из р различных положительно ориентированных двумерных
симплексов полиэдра Мр. Пусть теперь
П, 71, • • •, Т* (2)
— совокупность всех положительно ориентированных двумерных
симплексов полиэдра Мр и
, х = а1Г; + о1Г1+ ...+arT2r (3)
— произвольная цепь полиэдра Мр. Из сказанного ранее следует,
что если цепь х—целочисленная, то она как V-иикл V-гомоло-
гична нулю относительно К тогда и только тогда, когда сумма
всех ее коэффициентов делится на р. Если все коэффициенты
цепи ху рассматриваемые как вычеты по модулю р, равны 1, то
х есть 8-цикл по модулю р относительно К. Если все
коэффициенты цепи х, рассматриваемые как элементы группы х, равны \/р,
то цепь х является 6-циклом относительно /С. Интересующие нас
примеры двумерных множеств получаются при помощи операции
вклеивания листов Мёбиуса Мр. Опишем эту операцию.
D) Пусть L—некоторый двумерный комплекс, расположенный
в пятимерном евклидовом пространстве Еь. В каждом двумерном
симплексе Т2 комплекса L вырежем небольшой правильный
многоугольник и выкинем его внутренность. Вместо этой внутренности
приклеим к образовавшемуся краю экземпляр листа Мёбиуса Мр
его краем /С. Сделаем это так, чтобы лист Мёбиуса, вклеенный
нами, расположился без самопересечений и пересечений с остатком
комплекса L. После этих всех вклеиваний вместо комплекса L
образуется новый комплекс, который мы обозначим через Mp(L).
Через Mp(L) обозначим малую полиэдральную окрестность
комплекса Mp(L). Выбранная окрестность Mp(L) должна быть
настолько малой, чтобы всякий расположенный в ней двумерный
комплекс с мелкими симплексами мог быть деформацией симпли-
циально отображен на комплекс Mp(L).
E) Пусть L—некоторый двумерный комплекс, расположенный
в пятимерном евклидовом пространстве £5. В каждом двумерном
симплексе Т2 комплекса L вырежем два выпуклых
непересекающихся между собой правильных многоугольника малого размера.
В один из них вклеим лист Мёбиуса Мру а в другой л ист Мёбиуса Mq.
Полученный после таких вклеиваний комплекс мы обозначим
через Mpq(L), а его малую окрестность обозначим через Mpq(L).
F) Выберем в пятимерном евклидовом пространстве Еь
некоторый треугольник Т с границей Г'. Комплекс, получающийся
из него мелким подразбиением, обозначим через L, а из него по
способу, указанному в D), построим комплекс Mp(L). Пусть
Г2 — произвольный двумерный ориентированный симплекс
комплекса Mp(L). v-цикл аТ2, где а—целое число, тогда и только
тогда гомологичен нулю в комплексе Mp(L) относительно 7",

720 25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ
когда число а делится на /?. Это следует из рассуждений,
аналогичных данным в С). Сумма всех согласованно-ориентированных
двумерных симплексов комплекса Mp(L)y взятых с вычетами по
модулю /?, равными 1, составляет двумерный б-цикл по модулю р
относительно 7'. Точно так же сумма всех двумерных
согласованно ориентированных симплексов комплекса Mp(L), взятых
с коэффициентами 1/р группы х является относительным б-циклом
относительно 7'.
G) Пусть 7—некоторый треугольник, взятый в пятимерном
евклидовом пространстве Еь и L—достаточно мелкое подразбиение
симплекса 7. Построим из него комплекс Mpq(L). Пусть 72—
произвольный двумерный ориентированный симплекс из
комплекса Mpq(L). Тогда V-циклы рТ2 и qT2 гомологичны нулю
в комплексе Mpq(L) относительно 7'. Пусть теперь р и q—взаимно
простые числа. Тогда существуют такие целые числа аир, что
a/> + fr<7=l. Так как V-циклы рТ2 и qT2 V-гомологичны нулю
в комплексе Mpq(L) относительно 7', то их линейная комбинация
apT2 + $qT2 = T2 гомологична нулю в комплексе Mpg(L)
относительно 7". Таким образом, любой целочисленный двумерный v-цикл
комплекса Mpq(L) гомологичен нулю относительно 7" в
комплексе Mpg(L), если только р и q—взаимно простые числа. Отсюда
видно, что в комплексе Mpg(L) не существует ни одного не
гомологичного нулю относительного V-цикла относительно 7' с
коэффициентами из группы х.
Н) Пусть Mp(L)—комплекс, построенный на подразделения
треугольника 7 (см. F)), a Mp(L)—его достаточно малая
полиэдральная окрестность. Комплекс Mp(L) мы обозначим через Ь1щ р:
Ll4P = Mp(L)9 (4)
а его полиэдральную окрестность Mp(L)—через Lu p:
Lup = Mp(L). (5)
К комплексу Lu p применим операцию Mp(Lu p) так, чтобы
каждый вклеиваемый лист Мёбиуса Мр содержался в окрестности Llt p.
Полученный комплекс обозначим через L2, p:
L2, 9 = Мр (Lu ,). (6)
Малую полиэдральную окрестность комплекса L2, p обозначим
через L2y p, причем будем считать, что L2i p содержится в Lu p:
Г2, , = Мр (Llf ,). (7)
Продолжая это построение до бесконечности, мы получим
последовательность комплексов Lu р, L2% pj ..., Ln% p,... и их
полиэдральных окрестностей
It pi ^2, D» * # * » ^П% р* ' ' •
(8)

25. ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТОПОЛОГИИ 721
Пересечение всех полиэдральных окрестностей (8) обозначим
через Rp. Из сказанного ранее видно, что в множестве Rp
содержится относительный V-цикл относительно 7' не гомологичный
нулю, но гомологичный нулю с коэффициентом /?, а также не
гомологичный нулю относительный б-цикл по модулю р
относительно 7'. Точно так же в множестве Rp содержится не
гомологичный нулю относительный б-цикл относительно 7" с
коэффициентами из х, при построении которого используются только
элементы из группы х, равные Мр.
I) Если к подразделению L треугольника 7 применить
операцию Mpq(L) аналогично тому, как применялась операция с
индексом /?, то в результате мы получим множество Rpg, в котором
уже не' будет содержаться никакого двумерного относительно
V-цикл а, негомологичного нулю и никакого двумерного б-цикла
с коэффициентами из х, негомологичного нулю (все относительно 7').
Таким образом, в силу теоремы 1 § 10 множество RP! будет иметь
размерность 1, если р и q—взаимно простые числа, а
множество Rp—размерность 2, как обычную, так и по модулю р.
То, что в результате смешения двух взаимно простых чисел
р и q получается лишь одномерное множество Rpgy а не
двумерное, навело меня на мысль, что произведение множеств Rp и Rq
при р и q взаимно простых имеет размерность не четыре, а три.
J) Составим прямое произведение комплекса L„, p и
комплекса Lw, д, где р и q—взаимно простые числа. Произведение это
естественным образом будет составлено уже не из простейших
выпуклых многогранников размерности от 0 до 4, называемых
симплексами, а из произведений таких симплексов размерности
от 0 до 4. Но V- и б-гомологии могут быть развиты и в
комплексах, составленных из таких выпуклых многогранников.
Пусть 71—одномерный симплекс комплекса ЬПч /?, входящий
в среднюю линию одного из листов Мёбиуса и Т2—произвольный
двумерный симплекс комплекса Ln^g. Произведение 71 на 72
представляет собой трехмерный выпуклый многогранник, v-rpa-
ница которого будет состоять уже из р естественным образом
ориентированных четырехмерных выпуклых многогранников. Точно
также одномерный симплекс 71, взятый из комплекса Lw, д,
принадлежащий средней линии одного из листов Мёбиуса, умножим
на некоторый двумерный симплекс 72 из комплекса ЬПу р\ граница
этого произведения будет состоять из q естественным образом
ориентированных четырехмерных выпуклых многогранников. Так
как р и q—взаимно простые числа, то мы докажем, что
произведение Ln,pxLn%g не имеет четырехмерных v-циклов, не
гомологичных нулю относительно границы произведения. А из этого
вытекает, что множество RpxRgj где р и q взаимно простые,
является не четырехмерным, а трехмерным.

ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ ТРУДОВ
Л. С. ПОНТРЯГИНА*)
1927
* Zum Alexanderschen Dualitatssatz//Nachr. Akad. Wiss. Gottingen. Math.-
phys. K!.— 1927.— H. 4.—S. 315—322.
* Idem: 2 Mitt. Ibid.—S. 446—456.
1930
Ein Knotensatz mit Anwendung auf die Dimensionstheorie // Math. Annln.—
1930.—Bd. 102, H. 5.—S. 785—789.—In Gemeinschaft mit F. Frankl.
* Sur une hypothese fondamentale de la theorie de la dimensions // С. г.
hebd. Seanc. Acad. Sci., Paris.— 1930.— T. 190. № 19.—P. 1105—1107.
1931
Einfacher Beweis eines dimensionstheoretischen Uberdeckungssatzes // Ann,
Math.—1931.—V. 32, № 4.—S. 761 — 762.
* Uber den algebraischen Inhalt topologischer Dualitatssatze // Math.
Annln.—1931.—Bd. 105, H. 2.—S. 165 — 205.
Beweis des Mengerschen Einbettungssatzes // Math. Annln.— 1931.— Bd. 105,
H. 5.— S. 734—745.— In Gemeinschaft mit G. Tolstowa.
1932
Del allgemeine Dualitatssatz fur abgeschlossene Mengen // Verhandlungen
des Internationalen Mathematiker-Kongresses. Zurich 1932. Bd. 2. Sektions-Vor-
trage.— Zurich; Leipzig.— 1932.— S. 195—197.
Sur une propriete metrique de la dimension // Ann. Math.— 1932.— V. 33,
№ 1.—.P. 156—162.— En collaboration avec L. Schnirelmann.
* Uber stetige algebraische Korper // Ibid.— S. 163—174.
** О статистическом рассмотрении динамических систем // Журн. эксперим.
и теорет. физики.— 1933.— Т. 3, вып. 3.— С. 165—180.— Совместно с А.
Андроновым и А. Виттом.
Les fonctions presque periodiques et l'analysis situs // C. r. hebd. Seanc.
Acad. Sci.—Paris.—1933.—T. 196, № 17.—P. 1201 — 1203.
1934
Структура непрерывных групп // Бюллетень II Всесоюзного съезда
математиков в Ленинграде 24—30 июня 1934 г.— Л.— 1934.— С. 11.
Структура компактных топологических групп // Там же.— С. 77—78.
Структура локально-компактных коммутативных групп // Там же.— С. 78.
*) Работы, помеченные одной звездочкой, включены в первый том, двумя
звездочками — во второй.

ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ ТРУДОВ Л. С. ПОНТРЯГИНА 723
** О динамических системах, близких к гамильтоновым // Журн. эксперим.
и теорет. физики.— 1934.—Т. 4, вып. 9.—С. 883—885.
Statistische Auffassung dynamischer Systeme // Phys. Z. SowjUn.—1934.—
Bd. 6, H. 1/2, Sonderdruck.—S. 1 — 24, Fig.—In Gemeinschaft mit A. Andro-
noff .und A. Witt.
Uber Autoschwingungssysteme, die den Hamiltonschen nahe liegen // Ibid.—
S. 25 — 28.
* The theory of topological commutative groups // Ann. Math.— 1934.—
V. 35, № 2.—P. 361—388.
* The general topological theorem of duality for closed sets // Ann. Math.—
1934.—V. 35, No 4.—P. 904—914.
* Sur les groupes topologiques compacts et le cinquieme problemedeM.
Hubert // C. r. hebd. Seanc. Acad. Sci.— Paris.— 1934.— T. 198, №3.— P. 238—240.
Sur les groupes abeliens continus // C. r. hebd. Seanc. Acad. Sci.— Paris.—
1934.—T. 198, № 4.—P. £28—330.
1935
Структура непрерывных групп // Труды II Всесоюзного математического
съезда. Ленинград, 24 — 30 июня 1934 г. Т. 1. Пленар. заседания и обзор,
докл.— Л.; М., 1935.— С. 237—257.— Библиогр.: 15 назв.
Числа Бетти компактных групп Ли //Докл. АН СССР.—1935.— Т. 1,
№ 7/8.— С. 433 — 437.— На рус. и англ. яз.
Sur les nombres de Betti des groupes de Lie // С. г. hebd. Seanc. Acad»
Sci.—Paris.—1935.—T. 200, № 15.—P. 1277—1280.
Структура компактных топологических групп // Труды II Всесоюзного
математического съезда. Ленинград, 24—30 июня 1934 г. Т. 2. Секц. докл.—
Л.; М.—1936.—С. 135.
Структура локально-компактных коммутативных групп // Там же. С. 136.
Проблематика теории топологических групп // Успехи мат. наук.— 1936.—
Вып. 2.—С. 118—120.—Библиогр.: 120.
Линейные представления топологических групп // Там же.— С. 121 — 143.
Теория топологических коммутативных групп // Там же.— С. 177—195.
Linear representations of compact topological groups // Мат. сб. Новая сер.—
1936.—Т. 1, вып. 3.—С. 267—272.—Рез. на рус. яз.
Les varietes a n-dimensions generalisees // С. г. hebd. Seanc. Acad. Sci.—
Paris.—1936.—Т. 202, № 15.—P. 1327—1329.—En collaboration avec P. Ale-
xandroff.
1937
Sur les transformations des spheres en spheres // Congres international des
mathematiciens. Oslo, 1936. T. 2. Conferences de sections.— Oslo.— 1967.—
P. 140.
** Грубые системы // Докл. АН СССР.—1937.—Т. 14, № 5.—С. 247 —
250.— Библиогр.: 4 назв.— Совместно с А. Андроновым. Systemes grossiers //
С. г. Acad. Sci. URSS.—1937.—V. 14, № 5.—P. 247—250,—Bibliogr.: 4 ref.—
En collaboration avec A. Andronov.
Uber den Brouwerschen Dimensionsbegriff // Compositio math. 1937.— V. 4,
fasc. 2.—P. 239—255.—In Gemeinschaft mit P. S. Alexandroff und H. Hopf.
Рец.: Проблемы современной алгебры [Ван-дер-Варден Б. Л. Современная
алгебра. Ч. 2.—М.; Л., 1937. 210 с] // Техн. кн.—№ 10.—С. 17—19.
Рец.: Freudenthal H. Uber Mannigfaltigkeiten und ihre Abbildungen // Zentbl.
Math.—1937.—Bd. 16, H. 1.—S. 44—45.—In Gemeinschaft mit P. S.
Alexandroff.
1938
Непрерывные группы.— M.; Л.: Гостехиздат, 1938.— 315 с.— (Математика
в монографиях. Основная сер. Кн. 3).— Библиогр.: 36 назв.
Классификация непрерывных отображений комплекса на сферу: 1 // Докл.
АН СССР.—1938.—Т. 19, № 3.—С. 147—149.

724 ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ ТРУДОВ Л. С. ПОНТРЯГИНА
A classification oi continuous transformations of a complex into a sphere: 1 //
C. r. Acad. Sci. URSS.— 1938.— V. 19, № 3.—P. 147—149.
* Классификация непрерывных отображений комплекса на сферу: 2 //
Докл. АН СССР.—1938.—Т. 19, № 5.—С. 361—363.
A classification of continuous transformations of a complex into a sphere: 2 //
С. г. Acad. Sci URSS.—1938.—V. 19, № 5.—P. 361—363.
Группы Ли // Успехи мат. наук.— 1938.— Вып. 4.— С. 165—200.
Классификация непрерывных отображений // Высш. школа.— 1938. №1.—
С. 107—109.
Classification des transformations d'en complexe n-\- 1-dimensionnel dans une
sphere я-dimensionnelle // С r. hebd. Seanc. Acad. Sci.— Paris.— 1938.—T. 206,
No 20.—P. 1436—1438.
Моя научная работа // Моск. ун-т, 1938, 11 нояб.
1939
Topological groups.— Princenton: Univ. press, 1939.— 299 p.— (Princeton
math. ser. T. 2).—Bibliogr.: p. 295 — 296.
* Homologies in compact Lie groups // Мат. сб. Новая сер.— 1939.— Т. 6,
вып. 3.—С. 389—422.— Рез. на рус. яз. Библиогр.: 6 назв.
Реф.: Бебутов М. Одна теорема о симплициальных комплексах. (Докл.
АН СССР. 1938, Т. 19, № 5) // Физ.-мат. РЖ—1939.—Т. 1,вып. 1.—С. 36.
Реф.: Александров /7. С, Немыцкий В. В. Условие метризуемости
топологических пространств и аксиома симметрии. (Мат. сб. 1938, Т. 3, № 3) // Физ.-
мат. РЖ.—1939.—Т. 1, вып. 3/4.—С. 279—280.
Реф.: Lefschetz S. Singular and continuous complexes, chains and cycles.
(Мат. сб. 1938. Т. 3, № 2) // Там же.—с. 280.
Реф.: Tucker Л. W. Degenerate cycles bound. (Мат. сб. 1938. Т. 3, № 2) //
Там же.—С. 280.
Реф.: Александров Л. Д. Об одном классе замкнутых поверхностей. (Мат,
сб. 1938. Т. 4, Но 1) // Физ.-мат. РЖ.4— 1939.— Т. 1, вып. 6.—С. 548.
Реф.: Gordon I. On the minimal number of critical points of a real function
defined on a manifold. (Мат. сб. 1938. Т. 4, № 1) // Там же.—С. 553.
Реф.: Gantmacher F, Canonical representation of automorphism of a complex
semi-simple Lie group. (Мат. сб. 1939. Т. 5, № 1) // Физ.-мат. РЖ.— 1939.—
Т. 2, вып. 4.—С. 249—250.
Реф.: Александров /7. С. О биокомпактных расширениях топологических
пространств. (Мат. сб. 1939. Т. 5, №2) // Физ.-мат. РЖ.—1939.—Т. 2,
вып. 6.— С. 401.
Реф.: Gantmacher F. On the classification of real simple Lie groups. (Мат.
сб. 1939. Т. 5, № 2) // Там же.—С. 401.
1940
Благодарим за высокую награду // Моск. ун-т. Экстр, вып. 1940, 8 мая.
1940/1941
* Uber die topologische Struktur der Lieschen Gruppen // Comment, math,
iielvet.—1940/1941.—V. 13, fasc. 4.—P. 277—283.
1941
Products in complexes // Мат. сб. Новая сер.— 1941.— Т. 9.— вып. 2.—
С. 321—330.—Рез. на рус. яз.
A classification of mappings of the three-dimensional complex into the two-
dimensional sphere // Там же.— С. 331—363.— Рез. на рус. яз.
Реф.: Критические точки системы функций на многообразии. Научно-иссле*
довательские работы институтов, входящих в Отделение физико-математических
наук Академии наук СССР за 1940 год: Сб. реф.—М.; Л., 1941. С. 21—22.

ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ ТРУДОВ Л. С. ПОНТРЯГИНА 725
Реф.: Люстерник Л. А. Пересечение в линейных в малом функциональных
пространствах. (Докл. АН СССР. 1940. Т. 27. № 8) // Физ.-мат. РЖ.—1941.—
Т. 6, вып. 1/2.—С. 7—8.
Реф.: Люстерник Л. А. Топологическая структура одного функционального
пространства. (Докл. АН СССР. 1940. Т. 27, № 8) // Там же.—С. 8.
Реф.: Люстерник Л. Замкнутые геодезические на многомерных сферических
многообразиях. (Докл. АН СССР. 1940. Т. 26, N° 4) // Там же.—С. 10.
1942
** О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций // Изв.
АН СССР. Сер. мат.—1942.—Т. 6, № 3.—С. 115—134.— Рез. на англ. яз.
Отображения трехмерной сферы в/i-мерный комплекс // Докл. АН СССР.—
1942.—Т. 34, № 2.—С. 39—41.— Библиогр.: 7 назв.
Mappings of the three-dimensional sphere into an я-dimensional complex //
С. г. Acad. Sci. URSS.—1942.—V. 34, № 2.—P. 35—37.—Bibliogr.: 7 ref.
Характеристические циклы многообразий // Докл. АН СССР.— 1942.—
Т. 35, № 2.—С. 35—39.
Characteristic cycles on manifolds // С. г. Acad. Sci. URSS.— 1942.— V. 35,
№ 2.—P. 34 — 37.
* A method of calculation of homology groups // Мат. сб. Новая сер.—
1942.— Т. И, вып. 1/2.— С. 3—14.— Рез. на рус. яз.
1944
Топология в Советском Союзе // Роль русской науки в развитии мировой
науки и культуры: Науч. конф. МГУ, 5—12 июня 1944 г. Программы и тез.
докл.— М., 1944. С. 25.
** Эрмитовы операторы в пространстве с индефинитной метрикой // Изв.
АН СССР. Сер. мат.—1944.—Т. 8, № 6.—С. 243—280.—Рез. на англ. яз.
Некоторые топологические инварианты римановых многообразий // Докл.
АН СССР.—1944.—Т. 43, № 3.—С. 95 —98.—Библиогр.: 4 назв.
On some topologic invariants of riemannian manifolds // С. г. Acad. Sci.
URSS.—1944.—V. 43, № 3.—P. 91—94,—Bibliogr.: 4 ref.
1945
Очерк по истории математики // Очерки по истории Академии наук: Физ.-
мат. науки.— М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1945.— С. 30—60.— Совместно с др.
* Характеристические циклы // Докл. АН СССР.— 1945.— Т. 47, № 4.—
С. 246 — 249.— Библиогр.: 3 назв.
Characteristic cycles // С. г. Acad. Sci. URSS.—1945.—V. 47, № 4.—
P. 242—245.—Bibliogr.: 3 ref.
* Классификация некоторых косых произведений // Докл. АН СССР.—
1945.—Т. 47, № 5,—С. 327—330.—Библиогр.: 4 назв.
Classification of some skew products // С. r. Acad. Sci. URSS.— 1945.—
V. 47, № 5.—P. 322 —325.—Bibliogr.: 4 ref.
Реф.: Многообразие больших кругов на п-мерной сфере. Рефераты научно-
исследовательских работ на 1943—1944 гг.: Отд. физ.-мат. наук АН СССР.—
М.; Л., 1945. С. 70.
Реф.: Некоторые топологические инварианты римановых многообразий //
Там же.— С. 70.
Реф.: Эрмитовы операторы в пространстве с индефинитной метрикой // Там
же.— С. 71.
1946
Topological groups.— Princeton: Univ. press, 1946.— 299 p.— (Princeton
math, ser.; T. 2).—Bibliogr.: p. 295 — 296.
i

726 ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ ТРУДОВ Л. С. ПОНТРЯГИНА
Реф.: Изучение косых произведений // Рефераты научно-исследовательских
работ на 1945 г.: Отд. физ.-мат. наук. [АН СССР].—М.; Л., 1946. С. 57—58.
Выдающийся советский математик: [А. И. Мальцев] // Известия, 1946,
27 июня.
1947
Основы комбинаторной топологии.— М.; Л.: Гостехиздат, 1947.— 143.с.—
Библиогр.: с. 143.
Топология в Советском Союзе // Роль русской науки в развитии мировой
науки и культуры.—М., 1947. Т. 1, кн. 1. С. 65—76.—(Учен. зап. МГУ.
Вып. 91).
* Характеристические циклы дифференцируемых многообразий // Мат. сб.
Новая сер.— 1947.— Т. 21, вып. 2.— С. 233—284.— Библиогр.: 7 назв.
* Пересечения в многообразиях // Успехи мат. наук.—1947.— Т. 2,
вып. 1.— С. 58—155.— Совместно с М. Глезерманом.
* Топологические теоремы двойственности // Успехи мат. наук.— 1947.—
Т. 2, вып. 2.— С. 21—44.— Библиогр.: 13 назв.
Общая топологическая теорема двойственности для замкнутых множеств //
Там же.— С. 44—55.— Библиогр.: с. 55.
Рец.: Александров П. С. Комбинаторная топология.— М.; Л., 1947.— 660с. //
Сов. кн., 1948, № 2. С. 23—25.
1949
* Некоторые топологические инварианты замкнутых римановых
многообразий // Изв. АН СССР. Сер. мат.—1949.—Т. 13, №2.—С. 125—162.—Библи-
огр.: 9 назв.
Об одной связи между гомологиями и гомотопиями // Изв. АН СССР. Сер»
мат.—1949.—Т. 13, № 3.—С. 193—200.—Библиогр.: 5 назв.
Гомотопическая группа пп + 1(Кп) (п^2) размерности л-f-l связного
конечного полиэдра Кп произвольной размерности, фундаментальная группа кото
рого и группы Бетти размерностей 2, ..., п— 1 тривиальны // Докл. АН СССР.—
1949.—Т. 65, № 6.—С. 797—800.— Библиогр.: 6 назв.
* Векторные поля на многообразиях // Мат. сб. Новая сер.— 1949.—
Т. 24, № 2.—С. 129—162.—Библиогр.: 5 назв.
О классификации четырехмерных многообразий // Успехи мат. наук.—
1949.—Т. 4, вып. 4.—С. 157—158.
Vector fields on manifolds // Am. math. Soc. Transl.—1949.— V. 13.—
P. 1—60.
1950
* Классификация отображений (л-fl)-мерной сферы в полиэдр Кп>
фундаментальная группа которого и группы Бетти размерностей 2, ..., п—1
тривиальны.—Изв. АН СССР. Сер. мат. 1950. Т. 14, № 1. С. 7—44.—Библиогр.:
14 назв.
* Гомотопическая классификация отображений (л+ 2)-мерной сферы в
л-мерную.—Докл. АН СССР.—1950.—Т. 70, № 6.—С. 957—959.
1951
Вступительное слово [на Всесоюзной топологической конференции 26—30 мая
1950 г. в Математическом институте] // Успехи мат. наук. 1951. Т. 6, вып. 4.
С. 193.
Локальный метод исследования отображений сферы Snf/e на сферу Sn.—
Там же. С. 214 — 216.
1952
Foundations of combinatorical topology.— Rochester; New Yurk; Graylock
press, 1952.— 99 p.— Bibliogr.: p. 96.

ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ ТРУДОВ Л. С. ПОНТРЯГИНА 727
1953
** О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций (добавление) //
Докл. АН СССР.—1953.—Т. 91, № 6.—С. 1279—1280.
Рец.: Урысон Я. С. Труды по топологии и другим областям математики.
Т. 1—2.—М.; Л., 1951. Т. 1. 512 с; Т. 2. 480 с. // Сов. кн., 1953, № 1.
С. 20—22.
1954
НепрерывАые группы.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Гостехиздат, 1954.—
515 с.— Библиогр.: с. 509—511.
Основы комбинаторной топологии.— Пекин: Б. и., 1954.— 193 с.— На
кит. яз.
Непрерывные группы // БСЭ.— 2-е изд.— 1954.— Т. 29.— С. 454 — 456.—
Библиогр.: 7 назв.
1955
* Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий.— М.:Изд-во
АН СССР, 1955.— 139 с, фиг.— (Тр. Мат. ин-та; Т. 45).— Библиогр.: 13назв.
Grupuri topologice. V. 1—2.— Bucure ti: Ed. Acad. RPR, 1955.— 677 p.
Kombinatorikus topologia.— Budapest: Acad, kiado, 1955.— I. 147.— Bibli-
ogr.: 4 ref.
** Периодические решения систем дифференциальных уравнений, близкие
к разрывным // Докл. АН СССР.—1955.—Т. 102, № 5.—С. 889 — 891.—
Совместно с Е. Ф. Мищенко.
То же // Тезисы докладов механико-математического факультета [МГУ].—
М.: Изд-во МГУ, 1955. С. 5.— Совместно с Е. Ф. Мищенко.
То же // Успехи мат. наук.— 1955.— Т. 10, вып. 3.— С. 193.— Совместно с
Е. Ф. Мищенко.
On the zeros of some elementary transcendental functions // Am. math. Soc.
Transl. Ser. 2.—1955.—V. 1.—P. 95—110.
1956
Grundzuge der kombinatorischen Topologie.— Berlin: Dt. Verl. Wiss., 1956.—
133 S.—Bibliogr.: S. 128.
Renzoku gunron: 1.— Tokyo; Iwanami Shoten, 1956.— 303 p. Idem: 2.—
Tokyo: Iwanami Shoten, 1956.— 289 p.
О статистическом рассмотрении динамических систем // Андронов А. А.
Собрание трудов.— М., 1956. С. 142—160, фиг.— Библиогр.: 5 назв.—
Совместно с А. А. Андроновым и А. А. Виттом.
Грубые системы // Там же. С. 183—187.— Библиогр.: 4 назв.— Совместно
с А. А. Андроновым.
Об устойчивости положения равновесия «релейной» системы обыкновенных
дифференциальных уравнений // Труды III Всесоюзного математического съезда.
Москва, июнь — июль 1956 г. Т. 1. Секц. докл.— М., 1956. С. 217 — 218.—
Совместно с В. Г. Болтянским.
К теории оптимальных процессов: 1 // Там же.— С. 218.— Совместно с
В. Г. Болтянским и Р. В. Гамкрелидзе.
Периодические решения систем дифференциальных уравнений с малым
параметром при производных // Там же.— С. 224.— Совместно с Е. Ф. Мищенко.
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами
при высших производных // Труды III Всесоюзного математического съезда.
Москва, июнь — июль 1956 г. Т. 2. Крат, содерж. обзор, и секц. докл.— М.,
1956. С. 93—95.
Некоторые математические задачи, возникающие в связи с теорией
оптимальных систем автоматического регулирования // Тезисы докладов на
секционных заседаниях сессии АН СССР по научным проблемам автоматизации
производства 15—20 окт. 1956 г.—М., 1956. С. 11 — 13.
i

728 ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ ТРУДОВ Л. С. ПОНТРЯГИНА
** К теории оптимальных процессов // Докл. АН СССР.— 1956.— Т. ПО,
№ 1.— С. 7—10.— Совместно с В. Г. Болтянским и Р. В. Гамкрелидзе.
Павел Сергеевич Александров (К 60-летию со дня рождения и 40-летию
науч. деятельности) // Успехи мат. наук.— 1956.— Т. 11. вып. 4.— С. 183—187,
1 л. портр.— Библиогр. «Список печатных работ П. С. Александрова»: 151 назв.—
Совместно с Е. Ф. Мищенко.
1957
Непрерывные группы.— Пекин: Б. и, 1957.— Ч. 1.— 321 с.— Библиогр.:
с. 310—312.— На кит. яз.
Topologische Gruppen.— Leipzig: В. G. Teubner Verl.-Ges., 1957.— Tl. 1.—
263 S.—Bibliogr.: S. 258—259.
Некоторые математические задачи, возникающие в связи с теорией
оптимальных систем автоматического регулирования // Сессия Академии наук СССР
по научным проблемам автоматизации производства. 15—20 окт. 1956 г. [Т. 2].
Основные пробл. автомат, регулирования и управления.— М.. 1957. С. 107— 117.
** Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных
уравнений с малым параметром при высших производных // Изв. АН СССР. Сер.
мат.— 1957.— Т. 21, № 5.— С. 605—626.— Библиогр.: 3 назв.
О теориии оптимальных процессов применительно к проблемам
автоматического регулирования: Докл. на Общ. собр. Отд. физ.-мат. наук АН СССР.
Крат, излож. // Вестн. АН СССР.—1957.—№ 3.—С. 23 — 34.
Pavel Sergheievici Aleksandrov: (Cu prilejul implinirii a 60 de ani de la
nastere si 40 de ani de activitate stiint, ifica) // Anal, romsov. Ser. mat.-fiz.—
1957.— an. 11, № 4.— P. 110—114.— In colaborare cu E. F. Miscenko.
1958
Непрерывные группы.— Пекин: Б. и, 1958.— Ч. 2—С. 323 — 578.—
Библиогр.: с. 571 — 578.— На кит. яз. Продолж. паг.
Topologishe Gruppen.— Leipzig: В. G. Taubner Verl.-Ges., 1957.— Tl. 2.—
308 S.—Bibliogr.: 47 ref.
Topological groups.— Princeton: Univ. press. 1958.— 229 p.
** Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми
параметрами при высших производных // Труды III Всесоюзного математического
съезда. Москва, июнь — июль 1956 г. Т. 3. Обзор, докл.— М., 1958, с. 570—577.—
Библиогр.: с. 577.
** Доказательство некоторых асимптотических формул для решений
дифференциальных уравнений с малым параметром // Докл. АН СССР,—1958.—
Т. 120, № 5.—С. 967—969.—Библиогр.: 3 назв.—Совместно с Е. Ф. Мищенко.
1959
** Вывод некоторых асимптотических оценок для решений
дифференциальных уравнений с малым параметром при производственных // Изв. АН СССР.
Сер. мат.—1959.—Т. 23, № 5.— С. 643—660.—Библиогр.: 3
назв.—Совместно с Е. Ф. Мищенко.
** Одна статистическая задача оптимального управления // Докл.
АН СССР.—1959.—Т. 128, № 5.—С. 890—892.—Библиогр.: 3
назв.—Совместно с Е. Ф. Мищенко.
Оптимальные процессы регулирования // Успехи мат. наук.— 1959.— Т. 14,
вып. 1.— С. 3 — 20.— Библиогр.: 7 назв.
Smooth manifolds and their applications in homotopy theory // Am. math.
Soc. Transl. Ser. 2.—1959.—V. 11.—p. 1 — 114.
1960
Принцип максимума в теории оптимальных процессов управления.— М.:
Изд-во АН СССР, I960.—12 с—Библиогр.: 15 назв.—(I Междунар. конгресс
ИФАК по автомат, упр.; [Докл. 4J).—Совместно с В. Г. Болтянским, Р. В.
Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко.

ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ ТРУДОВ Л. С. ПОНТРЯГИНА 729
** Оптимальные процессы регулирования // Proceedings of the
International congress of mathematicians, 14—21 Aug. 1958.—Cambridge: Univ. press,
1960. P. 182—202.—Bibliogr.: p. 202.
** Теория оптимальных процессов: 1. Принцип максимума // Изв.
АН СССР. Сер. мат.—I960.—Т. 24, № 1.—С. 3 —42.—Библиогр.: 10 назв.—
Совместно с В. Г. Болтянским и Р. В. Гамкрелидзе.
Приближенное решение одной системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с малым параметром при производных // Докл. АН СССР.— 1960.—
Т. 131, № 2.—С. 255—258.—Совместно с Л. В. Родыгиным.
** Периодическое решение одной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений с малым параметром при производных // Докл. АН СССР.—
1960.— Т. 132, № 3.— С. 537 — 540.— Совместно с Л. В. Родыгиным.
Differential equations with a small parameter attached to the higher
derivatives and some problems in the theory of oscillation // I. R. E. Trans.
Circuit Theory.— I960.— CT-7, № 4.— P.- 527 —535.—Bibliogr.: p. 535.—In
collaboration with E. F. Mishchenko.
1961
Математическая теория оптимальных процессов.— М.: Физматгиз, 1961.—
391 с,, рис.— Библиогр.: с. 389—391.— Совместно с В. Г. Болтянским,
Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко.
Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учеб. для гос. ун-тов.— М.:
Физматгиз, 1961.— 311 с, рис.
Grupy topologiczne.— Warszawa: Panstw. wyd-wo nauk., 1961.— 479 s.
Wstep do topologii kombinatorycznej.— Warszawa: Panstw. wyd-wo nauk.,
1961.—159 s.
• Принцип максимума в теории оптимальных процессов управления //
Труды I Международного конгресса Международной федерации по автоматическому
управлению. Москва, 27 июня — 7 июля 1960 г. Т. 2. Теория дискрет.,
оптимальных и самонастраивающихся систем.— М., 1961. С. 457—467.— Библиогр.:
15 назв.— Совместно с В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко.
Математическая теория оптимальных процессов управления // IV
Всесоюзный математический съезд. 3—12 июля 1961 г.: Аннот. пленар. докл.— Л.,
1961. С. 23—24.— Совместно с В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе и
Е. Ф. Мищенко.
** Об одной статистической 'задаче оптимального управления // Изв.
АН СССР. Сер. мат.—1961.—Т. 25, № 4.—С. 477 —498.—Библиогр.:
4 назв.— Совместно с Е. Ф. Мищенко.
Asumptotic behaviour of the solutions of systems of differential equations
with a small parameter in the higher derivatives // Am. math. Soc. Transl.
Ser. 2.—1961.—V. 18.—P. 295—319.
Optimal regulation processes // Ibid.—P. 321—339.
The theory of optimal processes:!. The maximus principle // Ibid.—P.
341—382.—In collaboration with V. G. Boltyanskii, R. V. Gamkrelidze and
E. F. Mishchenko.
1962
Обыкновенные дифференциальные уравнения.— Пекин: Б. и., 1962.—
308 с.— На кит. яз.
Топологические группы.— Пекин: Б. и., 1962.— 96 с.— На кит. яз.
The mathematical theory of optimal processes.—New York; London: Intern,
publ., 1962.—360 p.—Bibliogr.: p. 354 —356.—In collaboration with V. G.
Boltyanskii, R. V. Gamkrelidze and E. F. Mishchenko.
Ordinary differential equations.—Reading (Mass.): Addison —Wesley, 1962.—
298 p.
Одна статистическая задача теории оптимального управления //
International congress of mathematicians: Abstracts of short communications. Stockholm,
1962. Uppsala, 1962. P. 165.

730 ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ ТРУДОВ Л. С. ПОНТРЯГИНА
** Об одной вероятностной задаче оптимального управления // Докл.
АН СССР.—1962.—Т. 145, № 5.—С. 993 —995.—Совместно с А. Н.
Колмогоровым и Е. Ф. Мищенко.
Обыкновенные дифференциальные уравнения.— Токио: Б. и., 1963.— 300 с.—
На яп. яз.
** Математическая теория оптимальных процессов // Труды IV
Всесоюзного математического съезда. Ленинград, 3—12 июля 1961 г. Т. 1. Плешар.
докл.— Л., 1963. С. 214 — 218.— Совместно с В. Г. Болтянским, Р. В. Гам-
крелидзе и Е. Ф. Мищенко.
Relaxation oscillations and differential equations containing a small
parameter with the senior derivative // Calcutta mathematical society: Golden
jubilee commemoration volume (1958—1959).— Calcutta: Univ. Calcutta, 1963. Pt. L
P. 141 — 150.— Bibliogr.: p. 150.— In collaboration with E. F. Mishchenko.
1964
Matematicka teorie optimalnich procesu.— Praha: Nakl. technlit., 1964.—
354 s.—Bibliogr.: s. 348—350.—Spolu s V. G. Boltjanskem, R. V. Gamkrelid-
ze a J. F. Mischenko.
The mathematical theory of optimal processes.— New York; Paris: Pergamon
press, 1964.— 340 p.— In collaboration with W. G. Boltjanskii, R. V.
Gamkrelidze und E. F. Mischenko.
Mathematische Theorie optimaler Prozesse.— Berlin: Dt. Verl. Wiss., 1964.—
340 S.—Bibliogr.: S. 339—340.—In Gemeinschaft mit V. G. Boltjanskij,
R. V. Gamkrelidze und E. F. Miscenko.
Rownania rozniczkowe szwyczajne.— Warsawa: Panstw. wyd-wo nauk.,
1964.—290 s.
** О некоторых дифференциальных играх // Докл. АН СССР. 1964.
Т. 156, № 4. С. 738—741.
1965
Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учеб. для гос. ун-тов—2-е
изд., перераб.— М.: Наука, 1965.— 331 с.
То же.— Ташкент: Учитель, 1965.— 411 с, ил.— Библиогр. с. 400—403.—
На узб. яз.
GewohnlicheDifferentialgleichungen — Berlin: Dt. Verl. Wiss. 1965.— 263 S.—
(Math, fur Naturwiss. und Technik.; Bd. 11).— Bibliogr.: S. 255 — 258.
On some differential games // J. Soc. ind. appl. Math. Ser. A.— 1965.— V.
3, № 1.—P. 49—52.
1966
Математическая теория оптимальных процессов.— Токио: Б. и., 1966.—
380 с.— Библиогр.: с. 365—369.— Совместно с В. Г. Болтянским, Р. В. Гам-
крелидзе и Е. Ф. Мищенко.— На яп. яз.
Topological groups.— 2nd ed.— New York: Gordon and Breach, 1966.— 543 p.
** К теории дифференциальных игр // Успехи мат. наук.— 1966.— Т. 21,
вып. 4.— С. 219—274.— Библиогр.: 4 назв.
Поэтические будни математики: Беседа // НТО СССР.— 1966.— № 1.—
С. 48—51, портр.
1967
Обикновени диференциални уравнения.— София: Наука и изкуство,
1967.—324 с.
A course in ordinary differential equations.— Delhi: Hindustan publ.,
1967.—10 + 333 p.
Mathematische Theorie optimaler Prozesse.— 2 verb. Aufl.— Wien; Mun-
chen: Oldenburg, 1967.—340 S.—In Gemeinschaft mit W. G. Boltjanskij,
R. V. Gamkrelidze und E. F. Miscenko.

ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ ТРУДОВ Л. С. ПОНТРЯГИНА 731
Linear differential games: Mathematical theory of control // Proceedings of
the Conference university Southern California —Los Angeles, 1967. P. 330—334.
** Линейные дифференциальные игры // Докл. АН СССР.— 1967.— Т. 174,
Уя 1.— С. 27—29.— Совместно с Е. Ф. Мищенко.
** О линейных дифференциальных играх: 1 // Докл. АН СССР.— 1967.—
Т. 174, № 6,—С. 1278—1280.
** То же: 2 // Докл. АН СССР.—1967.—Т. 175, № 4.—С. 764 — 766.
Предисловие // Айзеке Р. Дифференциальные игры / Пер. с англ.— М.: Мир,
1967. С. 5—8.
1968
Обыкновенные дифференциальные уравнения.— 2-е изд., перераб.— Токио:
Б. и., 1968.—332 с—На яп. яз.
Optimalis folyamatok elmelete.— Budapest: Kozgazdasagi kiado, 1968.—
I. 463.— Bibliogr.: 459—463. old.— Egyuttmukodesevel V. G. Boltyanszkij,
P. V. Gamkrelidze es J. F. Miscsenko*
Mathematyczna teoria procesow optymalnych.— Warszawa: Wyd-wo Min-wa
obrony narod., 1968.— 272 S.— Bibliogr.: s. 272. Wspolnie z W. G. Boltianskim,
R. V. Gamkrelidze i E. F. Miszczenko.
Гомологии в компактных группах Ли // Успехи мат. наук.— 1968.— Т. 23,
№ 6.— С. 151 —185.— Библиогр.: 8 назв.
1969
Математическая теория оптимальных процессов.— 2-е изд.— М.: Наука,
1969.— 384 с, рис., табл.— Библиогр.: с. 383 — 384.— Совместно с В. Г.
Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко.
Equations difference lies ordinaires.— M.: Mir, 1969.— 352 p., fig.
** Задача об убегании одного управляемого объекта от другого // Докл.
АН СССР.—1969.—Т. 189, № 4.—С. 721—723.—Библиогр.: 5 назв.—
Совместно с Е. Ф. Мищенко.
1970
Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учеб. для гос. ун-тов.—
3-е изд., стереотип.— М.: Наука, 1970.— 331 с, рис.
Le probleme d'un mobile controlable poursuivi par un autre // Symposium
on optimization held in Nice, June 29th—July 5th 1969.—Berlin etc., 1970.
P. 307 —310.—(Lecture notes in mathematics; V. 132).—Bibliogr.: p. 310.—
En collaboration avec E. F. Mishenko.
** Линейная дифференциальная игра убегания // Докл. АН СССР.—
1970.—Т. 191, № 2.—С. 283—285.
1971
Задача об уклонении от встречи в линейных дифференциальных играх //
Проблемы прикладной математики и механики.— М., 1971. С. 17—26.—
Библиогр.: с. 26.— Совместно с Е. Ф. Мищенко.
** То же // Дифференц. уравнения. 1971.— Т. 7, № 3.— С. 436 — 445.—
Библиогр.: с. 445.— Совместно с Е. Ф. Мищенко.
Les jeux differentiels lineaires // Actes du Congres international des mathe-
maticiens (Nice) 1970.—Paris.—1971.—T. 1.—P. 163—171.
** Линейная дифференциальная игра убегания // Тр. Мат. ин-та. 1971.—
Т. 112.— С. 30 — 63.— Библиогр.: 4 назв.
Конгресс математиков в Ницце // Вестн. АН СССР.— 1971. № 6.—
С. 74 — 79.— Совместно с В. С. Владимировым.
1972
Обикновени диференциални уравнения.— 2-е изд.— София: Наука и из-
куство, 1972.—324 с.
Основи на комбинаторната топология.— София: Наука и изкуство, 1972.—
136 с.

732 ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ ТРУДОВ Л. С. ПОНТРЯГИНА
Kozonseges differencialegyenletek.— Budapest.: Akad. kiado, 1972.— I. 323.
** Линейные дифференциальные игры // Международный конгресс
математиков в Ницце, 1970: Докл. сов. математиков.— М.: Наука, 1972. С. 248—257.—
Библиогр.: 4 назв.
1973
Непрерывные группы.— 3-е изд., испр.— М.: Наука, 1973.— 519 с.—
Библиогр.: с. 515—516.
Ecuaciones diferenciales ordinarias.— Madrid: Coleccion ciencia у tecnica,
1973.—399 p.
1974
Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учеб. для гос. ун-тов.—
4-е изд.—М.: Наука, 1974.—331 с.
Theorie mathematique des processus optimaux.— M.: Mir, 1974. 317 p.—
Bibliogr.: p. 313 — 315.— En collaboration avec V. Boltianski, R. Gamkrelidze
et E. Michtchenko.
Непрерывная группа // БСЭ.—3-е изд. 1974. Т. 17. С. 493—494.
Evasion process // Analyse et controle de systemes: Seminaires IRIA.—
Paris, 1974. P. 201—233.
On the evasion process in differential games // Appl. Math. Opt.— 1974.—
V. 1, No 1.—P. 5—19.—Bibliogr.: p. 19.
1975
Обикновени диференциални уравнения.— 3-е изд.— София: Наука и изкуст-
во, 1975.—340 с.
Основы комбинаторной топологии.— Токио: Б. и., 1975.— 141 с.— На
яп. яз.
Equations differentielles ordinaires.— М.: Mir, 1975.— 347 p.
О книге Я. Б. Зельдовича «Высшая математика для начинающих и ее
приложения к физике».— 5-е изд.— М.: Наука, 1970 // Прикл. математика и
механика.— 1975.— Т. 39, вып. 4.— С. 761 — 763.— Совместно с А. А.
Дородницыным и Л. И. Седовым.
[К присуждению Государственной премии СССР за учебник
«Обыкновенные дифференциальные уравнения»: Беседа] // Неделя, 1975. 10—16 нояб.
№ 46. С. 2.
Ред.: Теория функций и ее приложения: Сб. статей. Посвящ. акад.
С. М. Никольскому к его семидесятилетию.— М.: Наука, 1975.— 406 с.—(Тр.
Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР; Т. 134).— Совместно с другими.
1976
Математическая теория оптимальных процессов.— 3-е изд.— М.: Наука,
1976.— 392 с, рис.—Библиогр.: с. 391 — 392.— Совместно с В. Г. Болтянским,
Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко.
Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий.— 2-е изд.—
М.: Наука, 1976.— 175 с.— Библиогр.: с. 174.
Основы комбинаторной топологии.— 2-е изд.— М.: Наука, 1976.— 136 с.
Ред.: Мальцев Л. И. Избранные труды. Т. 1. Классическая алгебра.—
М.: Наука, 1976.— 484 с.— Совместно с другими. От редколлегии // Там же.
С. 3.— Совместно с другими.
Ред.: Мальцев А. И. Избранные труды. Т. 2. Математическая логика и
общая теория алгебраических систем.— М.: Наука, 1976.— 388 с.— Совместно
с другими.
1677
Знакомство с высшей математикой. Ч. 1. Метод координат.— М.: Наука,
1977.— 135 с.

ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ ТРУДОВ Л. С. ПОНТРЯГИНА 733
1978
Grupos continuos.— M.: Mir, 1978.— 533 p.— Bibliogr.: p. 527—529.
Theorie mathematique des processur optimaux.— M.: Mir, [1978].— 518 p.—
Bibliogr.: p. 513 — 515.— En collaboration avec V. Boltianski, R. Gamkrelidze
et E. Michtchenko.
** Оптимизация и дифференциальные игры: Науч. сообщ. // Вест.
АН СССР.— 1978.— № 7.— С. 10—17.
Краткое жизнеописание Л. С. Понтрягина, составленное им самим //
Успехи мат. наук.— 1978.— Т. 33, вып. 6.— С. 7 — 21.
Оптимизация и дифференциальные игры: Докл. на заседании Президиума
АН СССР, 22 дек. 1977 г. // Там же. С. 22 — 28.
Дар, который легко растратить // Соц. индустрия, 1978, 9 июля.—
(Пьянству бой).
То же // За науку в Сибири, 1978, 21 дек. С. 7.
Ред.: Александров П. С. Теория размерности и смежные вопросы: Статьи
общего характера. Избр. тр.— М.: Наука, 1978.— 431 с.— Совместно с
А. Н. Колмогоровым, А. А. Мальцевым и А. Н. Тихоновым.
Ред.: Александров П. С. Теория функций действительного переменного и
теория топологических пространств: Избр. тр.— М.: Наука, 1978.— 415 с.—
Сбвместно с А. Н. Колмогоровым, А. А. Мальцевым и А. Н. Тихоновым.
От редколлегии // Там же.— С. 5—Совместно с А. Н. Колмогоровым,
А. А. Мальцевым и А. Н. Тихоновым.
1979
•• О школьном математическом образовании // Математика в школе.— 1979,
№ 3.— С. 12—14.— Совместно с В. С. Владимировым и А. Н. Тихоновым.
Оптимизация и дифференциальные игры // Природа.— 1979.— № 1.—
С. 2—7.
v Этика и арифметика: Человек, труд, мораль // Соц. индустрия.—1979,
21 марта. * » ,ч
-• Тоже // Комунисти.— 1979, 24 марта.— На груз. яз.
; Ред.: Александров П. С. Общая теория гомотопий: Избр. тр.— М.: Наука,
1979.— 412 с.— Совместно с А. Н. Колмогоровым, А. А. Мальцевым ' и
А. Н. Тихоновым.
1980
Знакомство с высшей математикой. Ч. 2. Анализ бесконечно малых.— М.:
Наука, 1980.— 256 с, рис.
Математический анализ для школьников.— М.: Наука, 1980.— 88 с.
То же.— Токио: Б. и., 1980.— 127 с.— На яп. яз.
Выступление на годичном Общем собрании АН СССР по поводу
антисоветской пропаганды, которая ведется за границей против советских ученых //
Цестн. АН СССР.— 1980. № 6.—С. 26—27.
** Линейные дифференциальные игры преследования // Мат. сб. Новая
сер.—1980.—Т. 112, вып. 3.—С. 307—330.
О математике и качестве ее преподавания // Коммунист.— 1980.— № 14.—
С. 99—110.
1981
Валентин Петрович Михайлов: (К 50-летию со дня рождения) //
Дифферент уравнения.— 1981.— Т. 17, № 4.— С. 757—760, портр.— (Люди сов.
науки).— Совместно с другими.
1982
Комплексные числа // Квант.— 1982, № 3.— С. 3—6, рис.
Основная теорема алгебры // Квант.— 1982.— № 4.— С. 3 — 9.
О некоторых принципах преподавания математики в школе // Математика
в школе.— 1982. № 2.— С. 50—52.— Совместно с А. С. Мищенко.

734 ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ ТРУДОВ Л. С. ПОНТРЯГИНА
1983
Оптимизация и дифференциальные игры // Математические методы в
исследовании операций.— София, 1983.
Математический анализ для школьников.— 2-е изд.—М.: Наука, 1983.
Обыкновенные дифференциальные уравнения.— 5-е изд.— М.: Наука, 1983.
Математическая теория оптимальных процессов.— 4-е изд.— М.: Наука,
1983.— Совместно с В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко.
Комплексные числа. Квант. 1983. № 2. С. 16—19.
1984
* Применение комбинаторной топологии к компактным метрическим
пространствам // Успехи мат. наук.— 1984, Т. 39, вып. 5.— С. 131 —164.
Непрерывные группы.— 4-е изд.— М.: Наука, 1984.
Кубическая парабола // Квант.— 1984.— № 3.— С. 10—14.
** Решение линейной дифференциальной игры преследования без
дискриминации убегающего объекта // ДАН СССР.—1984.—Т. 277, № 5,—
С. 1063—1066.— Совместно с А. С. Мищенко.
** Решение линейной дифференциальной игры преследования на основе
альтернированного интегрирования без дискриминации управления убегания //
ДАН СССР.—1984.—Т. 277, JSfe 6.—С. 1330—1334.—Совместно с А. С. Ми:
щенко. •
* О моих работах по топологии и топологической алгебре // Тр. МИАН.—
1984.—Т. 168.—С. 236—249.
A linear differential pur suit game // Working papers.—IIASA, CP—84.
1985
** Математическая теория оптимальных процессов и дифференциальные
игры // Тр. МИАН.—1985.—Т. 169.—С. 119—158.
** Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений с малым
параметром // Тр. МИАН.— 1985.—Т. 169.—С. 99—118.—Совместно с Е. Ф.
Мищенко.
Гладкие многообразия и их применение в теории гомотопий.— 3-е изд.—
М.: Наука, 1985.
Обобщение чисел // Квант.— 1985.— № 5.— С. 6—11.
Обобщение чисел (продолжение) // Квант.— 1985.— № 3.— С. 2—5.
1986
Обобщение чисел.— М.: Наука, 1986.
Основы комбинаторной топологии.— 3-е изд.— М.: Наука, 1986.
** Линейная дифференциальная игра преследования (аналитическая
теория) // Мат. сб.—1986.—Т. 13, № 2.—С. 131 —158.—Совместно с А.
С.Мищенко.

СОДЕРЖАНИЕ
От редакции 6
Основные даты жизни и деятельности Л. С. Понтрягина 7
О математических трудах Л. С. Понтрягина (Д. В. Аносов,
Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко, М. М. Постников) 10
1. О моих работах по топологии и топологической алгебре 27
2. К теореме двойственности Александера 45
3. К теореме двойственности Александера. Второе сообщение 53
4. Об одной фундаментальной гипотезе теории размерности 62
5. Об алгебраическом содержании топологических теорем двойственности 65
6. О непрерывных алгебраических телах 106
7. Теория топологических коммутативных групп 118
8. Общая топологическая теорема двойственности для замкнутых множеств 149
9. О компактных топологических группах и пятой проблеме Гильберта 161
10. Классификация непрерывных отображений комплекса на сферу. I . 164
11. Классификация непрерывных отображений комплекса на сферу. II . 167
12. Гомологии в компактных группах Ли 170
13. О топологической структуре групп Ли 209
14. Один метод вычисления групп гомологии 215
15. Характеристические циклы 227
16. Классификация некоторых косых произведений 232
17. Характеристические циклы дифференцируемых многообразий .... 237
18. Пересечения в многообразиях 292
19. Топологические теоремы двойственности 397
20. Некоторые топологические инварианты замкнутых римановых
многообразий 424
21. Векторные поля на многообразиях 466
22. Классификация отображений (п-\- 1)-мерной сферы в полиэдр Д"„,
фундаментальная группа которого и группы Бетти размерностей
2, ..., п—1 тривиальны 502
23. Гомотопическая классификация отображений (я+ 2)-мер ной сферы в
л-мерную • 544
24. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий .... 548
25. Применение комбинаторной топологии к компактным метрическим
пространствам 678
Хронологический указатель трудов Л. С. Понтрягина 722

ББК 22.1+ 22.152
П56
УДК 51+515.12
Научное издание
П онтр ягин Лез Семенович
ИЗБРАННЫЕ НАУЧНЫЕ ТРУДЫ
Том I
ТОПОЛОГИЯ. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
Заведующий редакцией А. П. Баем
Редактор В. В, Абгарян
Оформление художника В. #. Батищева
Художественный редактор Г. Н. Кольченко
Технический редактор С. Я- Шкляр
Корректоры #. Я> Кришталь, Н. Д, Храпко
ИБ № 32538
Сдано в набор 25.08.87. Подписано к печати 28.04.88*
Формат 60X90/16. Бумага* тип. № 1. Гарнитура
литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 46,05. Усл. кр.-отт. 46,31.
Уч.-изд. л. 48,3. Тираж 4400 экз. Заказ № 1431.
Цена 7 р. 90 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного
?намени МПО сПервая Образцовая типография» имени
А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. 113054 Москва, Валовая, 28
Отпечатано во 2-й типографии издательства «Наука».
121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6. Заказ 1728.
П 170204000°-"124 38-88 © Издательство «Наука».
053 (02)-88 Главная редакция
физико-математической
литературы, 1988
ISBN 5-02-014409-6 (т. I)
ISBN 5-02-013754-5