Кумуляция энергии в слоистых системах и реализация безударного сжатия - Долголева Г.В., Забродин А.В.

Author: Долголева Г.В. Забродин А.В.
Tags: механика физика
ISBN: 5-9221-0476-4
Year: 2004
Similar
Атомный проект СССР. Документы и материалы. Том 3. Водородная бомба. 1945-1956. Книга 1.
Ударно-волновые явления в конденсированных средах
Физика неидеальной плазмы
Физика высоких плотностей энергии
Text
                    УДК ооо	ff	Издание осуществлено при поддержке
ББК 22.25	F стри Российского фонда фундаментальных
Д 64	**	исследований по проекту 03-01-14059д
Долголева Г. В., Забродин А. В. Кумуляция энергии
в слоистых системах и реализация безударного сжатия. — М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 72 с. - ISBN 5-9221-0476-4.
Основное содержание настоящего издания — осуществление безударного
сжатия через кумуляцию энергии в слоистых системах оболочек. Подробно
рассмотрены закономерности движения слоистых систем, реализующихся
на стадии кумуляции энергии. Такие системы (с учетом найденных прибли-
приближенных решений) отчетливо выявляют итоговые зависимости от начальных
параметров рассматриваемых конструкций. Реализация безударного сжатия
при кумуляции позволяет получить высокие конечные концентрации плот-
плотности и энергии при минимальных затратах энергии.
Объединение этих двух факторов применительно к разработке термо-
термоядерных мишеней позволяет вести целенаправленный поиск их оптимальной
конфигурации. Расчеты по точным моделям необходимы только на завер-
завершающей стадии.
Для научных работников, аспирантов и студентов вузов, интересующих-
интересующихся этими актуальными вопросами.
© ФИЗМАТЛИТ, 2004
ISBN 5-9221-0476-4	© Г. В. Долголева, А. В. Забродин, 2004

Введение
Осуществление безударного сжатия в слоистых системах оболочек
основывается на двух факторах:
—	использовании безударного сжатия для получения высоких
плотностей энергии;
—	конструктивном осуществлении безударного сжатия через ку-
кумуляцию энергии в слоистых системах.
Идея безударного сжатия весьма привлекательна для получения
сколь угодно больших плотностей при минимальных затратах энер-
энергии благодаря отсутствию ударных волн, т. е. сохранению в процессе
сжатия начальной энтропии. О ее привлекательности можно судить по
огромному количеству публикаций на эту тему [1—30]. Среди них нуж-
нужно отметить работы А.Ф. Сидорова, в которых теоретически строится
движение неограниченной кумуляции не только в одномерном, но и в
многомерном случаях [26].
Однако практическая реализация этого принципа наталкивается
на существенные технические трудности.
На сегодня остается неясным, каким образом конструктивно осу-
осуществить на наружной границе сжимаемого вещества необходимые
закономерности неограниченного наращивания давления (или скоро-
скорости).
С другой стороны, давно существует идея конструктивного оформ-
оформления неограниченной кумуляции энергии через схождение слоистой
системы оболочек, которая получила успешную реализацию во мно-
многих практических работах. Среди них прежде всего следует назвать
работы Е.И. Забабахина [7-9].
Основным содержанием настоящей работы является конструктив-
конструктивное объединение указанных идей применительно к разработке термо-
термоядерных мишеней.
Неограниченное безударное сжатие — это течение, при котором все
вещество рассматриваемой области за характерное время коллапси-
руется в одной точке. В таких течениях сохраняется энтропия, поэто-
поэтому процесс, несмотря на формальную неограниченность требующейся
энергии, является наиболее экономным.
Неограниченная кумуляция представляет собой такое построение
процесса движения, которое приводит в финале к сосредоточению
первоначально распределенной энергии в малой области простран-
пространства-времени (теоретически— меры нуль).
Для описания процессов, протекающих в термоядерной мишени,
необходимо использовать адекватные физико-математические моде-
модели, например приведенную в работе [31] систему дифференциальных
уравнений.

Введение
В рассматриваемой математической модели среда описывается как
газ с единой плотностью частиц р и общим вектором их скорости
и = (и, v). Удельные внутренние энергии ионов, электронов и фотонов
предполагаются различными между собой в каждой точке простран-
пространства и времени (они будут отмечаться индексами г, е, / соответствен-
соответственно). Итак, имеем систему:
g+div ^ = 0;	(B.I)
at
JUpu) + div(puu) + gradp = 0;	(B.2)
at
^¦{pei) + div(pei u) + Pi div u = div(Ki gradT;) + cei(Te - Tt) + Q<;
at
(B.3)
cei(Ti-Te)+cef(Tf-Te)+Qe; (B.4)
— (pee) + div (pse u) + pe div u = div (if e gradTe) +
— (psf) + div (psf u) +pf div u = div (Kf gradT/) +
Tf) + Qf. (B.5)
Система (В.1)-(В.5) замыкается заданием уравнений состояния
для компонент среды, например в виде
ек = ек(р, Тк), рк = рк(р, Тк), k = i,e.	(B.6)
Для учета энерговыделения от термоядерных реакций можно ис-
использовать систему кинетики термоядерного горения [32], например
~7^ = ~<crv>DDnn2D - <crv>DDpn2D - <av>DTnDnT
at
n2
7-^ = -<GV>DTnDnT + <crv>DD
at
n^ - <av>DHenDnHe.
at>
Энерговыделение в электронную компоненту в единицу объема и
за единицу времени равно
Qe = (<<JV>DDnGDDn^DDn + <&V>DDpGDDp^DDp) nD +
+ <GV>DTnDnTGDT^DT + <CrV>DHenDnHeGDHe^DHe- (B.8)
Здесь nk—количество частиц fc-го типа в единице объема; <av>j —
сечение j-ft реакции; Gj—энерговыделение от j-ft реакции без учета
энергии нейтронов; Aj—доля энергии, передаваемая электронам от
j-R реакции. Энерговыделение в ионную компоненту отличается от
электронной заменой в формуле (В.8) Aj на 1 — Aj.

Введение
Эта модель в дальнейшем используется в расчетах.
Отыскивать и исследовать основные закономерности решений на
основании приведенной математической модели можно только с по-
помощью прямых численных расчетов. Последнее делает практически
невозможным целенаправленный поиск оптимальных решений. По-
Поэтому необходимо сформулировать и использовать более простые мо-
модели. Их и применяют для построения приближенных аналитических
решений.
С помощью этих моделей и с учетом особенностей конструкций
термоядерных мишеней построены приближенные аналитические ре-
решения движения слоистых систем оболочек при разных способах энер-
энерговложения и получены основные закономерности.
Простейшее представление о термоядерной мишени прямого спо-
способа энерговложения дает сферическая или цилиндрическая слоистая
система, показанная на рис. В.1.
7Л
то	mi	ni2	тз
Рис. В.1
Область то на этом рисунке представляет собой термоядерное топ-
топливо. Области ?7ii, Tris—тонкие слои из тяжелых веществ; в область
777,2 осуществляется энерговложение по закону Q(t).
Основная задача конструирования мишени безударного сжатия —
такой подбор закона энерговложения Q (t), чтобы безударным образом
сжимать область ttiq.
Расчетно-теоретически доказано, что для практического осуще-
осуществления безударного сжатия (в плоском, цилиндрическом или сфе-
сферическом случаях) можно, например, построить слоистую систему
(рис. В.1) и произвести определенное энерговложение в область Ш2
по закону Q(t) так, чтобы создать на смежной границе областей то
и mi необходимые значения скорости и давления для реализации
безударного сжатия области то.
Для обоснования последнего утверждения предстоит воспользо-
воспользоваться спецификой конструкции оболочечных систем, предназначен-
предназначенных для кумуляции энергии, и построить приближенную теорию дви-
движения этих систем.

Часть I
КУМУЛЯЦИЯ ЭНЕРГИИ
В СЛОИСТЫХ СИСТЕМАХ
В данной части рассматривается аналитический метод построе-
построения решений в задачах математического моделирования движения
слоистых систем. Такие системы исследовались многими автора-
авторами [1-30] в связи с кумуляцией энергии и, в частности, с различны-
различными проектами осуществления управляемого термоядерного синтеза.
Слоистые системы — конструкции из тонких (относительно своих ли-
линейных размеров) плоских, цилиндрических или сферических слоев,
вложенных друг в друга, — представляют собой типичные примеры
микромишеней. Движение их возникает при мгновенном или распре-
распределенном по времени вложении энергии в некоторые из слоев, как
правило, наружные. Энерговложение в таких системах может осуще-
осуществляться от внешних источников или от внутреннего энерговыделе-
энерговыделения. Назначение и подбор слоев состоит в организации кумуляции
доли вложенной энергии в геометрический центр системы. Эффек-
Эффективность кумуляции оценивается по величине этой доли энергии.
Построение решения осуществляется поэтапно. На первом этапе
рассматривается движение слоев в плоском приближении. Это спра-
справедливо, когда толщина слоев много меньше характерного пути их
движения, что верно для мишеней. Простейшие варианты слоистых
систем приведены на рис. 1.1.
Конструкция (система 1) состоит 	Y////////////A
из трех слоев: внутреннего и двух	Ш1	Ш2	Шз
соседних по отношению к нему	рис ^ ^
(однокаскадная система).
В такой системе допускается отсутствие одного из наружных сло-
слоев. Примеры предельных случаев показаны на рис. 1.2. Это прямая
мишень (тз = 0) и мишень с обращенной короной [т\ — 0, МОК [33]).
Прямая мишень	Мишень МОК
ШП\	1712
Рис. 1.2
Дальнейшее наращивание конструкции слоистой системы может
осуществляться двумя способами.
Во-первых, при рассмотрении задачи в сферическом или цилин-
цилиндрическом случаях внутренняя полость может быть заполнена ве-

8	Кумуляция энергии в слоистых системах	[Ч. I
ществом малой плотности. Такие конструкции представляют собой
типичные примеры термоядерных мишеней для лазерного [34—35] или
тяжелоионного [36] синтеза (рис. 1.3, а). Во-вторых, более сложные
системы (системы 2) могут строиться из систем 1, разделенных зазо-
зазорами (двухкаскадная система; рис. 1.3,5).
т\	ni2	ТП2,
7П\	1712	ГПг	1714	Шь
Рис. 1.3
При вложении энергии в средний (как правило) слой начинается
разлет окружающих его слоев. Они получают в основном кинети-
кинетическую энергию. Из законов сохранения массы, импульса и энергии
при определенных предположениях находятся средние скорости этих
слоев как функции пройденного пути. В предположении некоторого
распределения скорости внутри слоя, в который осуществляется энер-
энерговложение, отыскивается лагранжева частица с нулевой скоростью.
Этим заканчивается первый этап построения решения.
На втором этапе задача переформулируется как автономное дви-
движение части слоев, ограниченных неподвижной границей, которая
проходит по найденной на первом этапе лагранжевой частице. В ци-
цилиндрическом или сферическом случаях задачу уже нельзя рассма-
рассматривать как плоскую. Поэтому по отношению к каждой автономной
подсистеме заново рассматриваются законы сохранения массы и энер-
энергии. С их помощью уточняются скорость схождения внутреннего слоя
и величина отобранной им энергии как функция пройденного пути и
времени.
На третьем этапе посредством учета градиента скорости по ради-
радиусу в малой окрестности центра строится уточненная асимптотика
схождения. В случае заполнения внутренней полости газом с ма-
малой начальной плотностью построение проводится с учетом сжатия
последнего. При этом предполагается, что максимальная энтропия
набирается на первой волне, отвечающей максимальной скорости при
обжатии газа оболочкой. Затем происходит адиабатическое его дожа-
тие. В таком предположении можно оценить работу, затрачиваемую
на сжатие газа, и включить ее в энергетический баланс движения всех
слоев.
Конечной целью исследований является определение величины
кумулирующейся энергии и выявление ее зависимости от параметров
конкретной конструкции микромишени и способов энерговложения.
Знание указанных закономерностей позволяет исследовать различные
схемы микромишеней и предварительно отбирать наиболее подходя-
подходящие по выходным параметрам кумуляции. Это существенно сужает
множество вариантов для последующего детального рассмотрения и
окончательного вывода.

Глава 1
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ПРИБЛИЖЕНИЯ,
ПРИ КОТОРЫХ СТРОИТСЯ РЕШЕНИЕ
В настоящей части описание эволюции рассматриваемых систем
проводится на основе уравнений газодинамики, записанных в пере-
переменных t (время) и т (массовая координата). Движение происходит
от мгновенного или от распределенного по времени энерговложения.
Математическая постановка задачи следующая:
dv ди _ „
dt dm
dt dm
d{Pu) _„
dt	dm
или при постоянном Q = Qq:
d (E-Qot + u2/2)	d{Pu)
dt	dm
'
P = G - 1) E/v — уравнение состояния. Здесь v = -, и, E, P, Q —
P
удельный объем, скорость, внутренняя энергия, давление и мощность
внешнего энерговложения соответственно.
Уравнение энергии при постоянном Q = Qo можно переписать
в виде
Q0f;.
at
Если Qo = 0, то величина энтропии в системе постоянна. В такой
постановке рассматривается случай мгновенного энерговложения (Eq)
в начальный момент времени (to).
Дальнейшие предположения и следующие из них упрощения ис-
используют специфику слоистых систем, предназначенных для куму-
кумуляции энергии. Особенностью таких систем как правило являются
малая толщина и большая плотность слоев с нечетными номерами
(см. рис. 1.3, а, б) по отношению к слоям с четными номерами. Это
позволяет считать первые слои несжимаемыми (р = — = const J,
а скорости в каждом из них — постоянными по пространству (и =
= и (г) = const), что предопределяет малую долю внутренней энергии
по сравнению с кинетической на значительном временном интервале

10	Кумуляция энергии в слоистых системах	[Ч. I
движения. В слоях с четными номерами, в которые может осуще-
осуществляться энерговложение, необходимо учитывать пространственные
градиенты скорости.
Предположим, что распределение скорости в слоях 2 (см. рис. 1.1)
и 4 (см. рис. 1.3, б) представимо в виде
u(m,t) = ^2wi(t)gi(m).	A.2)
г
Такое приближение используется для разделения переменных и
как правило применяется при построении точных решений в задачах
гидродинамики, близких к рассматриваемой [4, 5]. Во многих слу-
случаях на начальном этапе движения зависимость от га можно принять
линейной, т.е. A.2) конкретизировать следующим образом:
и (га, t) = — [щ (t) (га2 - га) + щ (t) га].	A.3)
Последующий учет цилиндрической или сферической симметрии
осуществляется через изменение распределения скорости по массовой
координате на втором и третьем этапах. При этом полагается, что
распределение скорости во внутреннем сходящемся слое га/, аппрок-
аппроксимируется выражением
uk(m,t)=uk(t)+(—) (u*-uk(t)),	A.4)
\mkj
где а — параметр, зависящий от вида геометрии: а = 1—для плоской
геометрии; а = 2/3 — для цилиндрической геометрии; а = 0,5 — для
сферической геометрии; и* — скорость движения наружной границы
этого слоя. Величина а (для сферического и цилиндрического случа-
случаев) выбрана из вычислительных экспериментов.

Глава 2
ОДНОКАСКАДНАЯ СИСТЕМА
2.1. Первый этап построения решений —
движение слоев в плоском приближении
Рассмотрим однокаскадную систему (см. рис. 1.1), находящуюся
в покое. Предположим, что в начальный момент времени во внутрен-
внутренний слой производится мгновенное энерговложение ^@) либо энер-
энерговыделение распределено по времени с постоянной мощностью Qc
Возможно также комбинированное энерговложение: мгновенное и рас-
распределенное по времени. Проинтегрируем систему уравнений A.1)
по замкнутому контуру 1\ (рис. 2.1), нижнее основание которого
Сходящаяся часть
Расходящаяся часть
Рп.г = 0
отвечает начальному моменту времени, верхнее — текущему моменту
времени. Левая и правая границы контура проходят по левой границе
слоя 1 и правой границе слоя 3 соответственно. В дальнейших построе-
построениях используем специфику слоистых систем, предназначенных для
кумуляции: малую толщину и большую плотность наружных слоев
(первого и третьего) по отношению к среднему слою, в котором осу-
осуществляется энерговложение. (Последнее предопределяет малую, по
сравнению с кинетической, внутреннюю энергию наружных слоев на

12	Кумуляция энергии в слоистых системах	[Ч. I
значительном временном интервале движения, а также практическую
несжимаемость этих слоев.)
С учетом сделанных упрощений, а также равенства нулю давления
на свободных (левой и правой) границах, систему A.1) после интегри-
интегрирования по контуру Fi (в предположении несжимаемости слоев 1 и 3)
можно записать в виде
t
/ [v] dm = / (и3 — u\) dt;
1712	0
[щ] mi + [u3] m3+ [u2] dm = 0;	B.1)
ГП2
\ — Ui + — \m3 + / < [E2] — Qo [t] + — > dm = 0,
ТП2
где
[/] = /(*) - /@).
Первое уравнение в B.1) мож:но переписать в виде
t
[V2] = / (и3 — u\) dt.
о
Здесь V2(t)—текущий объем слоя 2; E2(t)—внутренняя энергия
слоя 2; ui(t), u3(t) —скорости в момент t в слоях 1 и 3 соответственно.
Значения используемых в уравнении B.1) величин при t = 0
являются начальными данными.
Если промежуточный слой 2 прогрет равномерно, а расширение
его происходит адиабатически по уравнению состояния идеального
газа, то
\V2(t)J
Tfl2	ТП2
Энтропия в этом случае равна
ао = ^2G-1)^>7-
Тогда уравнение энергии в системе B.1) можно записать как
Предположив, что распределение скорости по времени в слое 2
/Г Г 21
[и] dm, \ — dm можно выра-
J |_ 2 J
TTl2	Tfl2
зить через искомые функции и± (?), и3 (?); тогда система B.1) примет

Гл. 2 ]	Однокаскадная система	13
вид
t
[V2] = / Оз -щ)(И;
о
Ы (mi + ^) + Ы (ms + "f) = 0;	B.2)
[Ul] [u3] ^ =
4
Если заданы начальные данные: г^ @) = 1x3 @) = 0, Е2 @) — мгно-
мгновенное энерговложение, Qo — мощность внешнего энерговложения на
интервале [0, to], то можно записать решение системы B.2) на каждом
из двух временных интервалов: 0 ^ t ^ to и to ^ t (в первом случае
происходит энерговложение, распределенное по времени, во втором
оно отсутствует).
При 0 ^ t ^ t0
2 /,ч _ 2 (Е2 @) + Qot/2) m2 (шз + ш2/2J [l - (V2 (O)/Va (t)O]
^1 l^J — 	г	2	5
f	>. 77г2 Г712 /	ч
(mi + Ш2 + шз)	1	(Ш1 + шз) + пцтз
|_ 12 3
B.3а)
2	2 (?72 @) + Qot/2) m2 (mi + m2/2J [l - (V2 @)/V2 (t)O]
^3 \г) — 	F	2
(mi +Ш2 + шз)	1	(Ш1 + шз) +
L lz о
При to ^ t
u? (t) = 2(Е2 @) + Qoto/2)m2(m3 + ш2/2J х
(t))^-1 + (V2 (to)/V2
, ч т2 т2 ,	ч
(mi +Ш2 + газ)	1	(ш1 + гаг)
\ Ji	О
B.36)
(t) = 2(E2 @) + Qoto/2)m2(mi + ш2/2J х
,	>. Г?тг2 гаг /	ч
(mi + Ш2 + газ)	1	(rai + m2) +
L lz о
Связь между объемом У2 (t) и временем t следует из первого урав-
уравнения системы B.2) и полученных решений B.3а), B.36).

14	Кумуляция энергии в слоистых системах	[Ч. I
При O^t^t0
dV2
^2 (t)
= V2K (т) ,1Е2 @) + Qo - dt,
Tst \	\	t	\ Г W2	m2 /	\	1 1 I
где К(т) = < гпоуШл + то + ттгз)	1	mi + ттгз) + тлтъ >
\	L12 3	J J
При
dV2	V2K () W? @) + Q
= л/Ж (m) J^2 @) + Qo - dt.
7-П	V	2
^" 2|VF2
Для 7 = 5/3 и 7 = 3 можно получить конечные выражения
зависимостей V2 (t) и времени t.
При 0 ^ t ^ t0
* =
При t0
7Г Г Г Для 7 = 5/3;
1/2\2/3
^(ОУ 11/2\2/3
х [v22/\t) + v*/3(t0) + v22/\o)] -
-\/v22/\to)-V22/\0) [V2/3(O) + 2V2/3(to)] J для 7 = 5/3;
Qo
+ Щ^ (ем +
Q	2 /
-E2@)\ для 7 = 3.
Мгновенное и распределенное вложения энергии приводят к раз-
различной динамике движения слоев 1 и 3 по времени. Рассмотрим по-
подробнее оба случая энерговложения. При одинаковом энерговложении

Гл. 2]	Однокаскадная система	15
Ео = Qo^o в первом варианте вся энергия ^@) = Eq выделяется
мгновенно, во втором — с постоянной интенсивностью Qo п0 времени
на интервале 0 ^ t ^ to- Финальная скорость (или величина кинети-
кинетической энергии) слоев 1 и 3 в обоих случаях будет одинаковой, однако,
как следует из приведенных выше формул, зависимости скорости
разлета от времени качественно различаются.
При мгновенном энерговложении движение начинается с конеч-
конечной скоростью. При распределенном энерговложении — с нулевыми
ускорением и скоростью. Величина to может служить параметром,
варьируя который можно осуществить разные режимы разгона.
Из второго уравнения системы B.2) (для импульса) при сделан-
сделанных предположениях (ui@) = щ@) = 0) и с учетом возможности
представления скорости ^(ш) в виде A.3) можно определить линию
нулевой скорости в слое 2, т.е. частицу, которая движется с нулевой
скоростью. Она разделяет слой 2 на две части, левую с массой mf и
правую с массой т^\
_ т2(т3+т2/2)
т2 — 	¦	¦	,
wi + т2 + ш3	/2 4)
тп_т	л _ m2{mi+m2/2)
mi + m2 + гпз
Следует отметить, что ее лагранжева координата, во-первых, неиз-
неизменна по времени, а во-вторых, не зависит от начальной энергии ^@)
и интенсивности энерговложения Qo-
2.2. Второй этап построения решений с учетом
симметрии геометрии системы
Рассмотрим для цилиндрического или сферического случаев схо-
сходящуюся к центру подсистему, состоящую из слоя 1 и части слоя 2
с массой mf (усеченная подсистема).
7Л
т\	т2
Рис. 2.2
Проинтегрируем систему уравнений A.1) по замкнутому контуру
Г2 (см. рис. 2.1), нижнее основание которого отвечает некоторому
моменту времени t\, верхнее — текущему моменту. Левая граница кон-
контура проходит по левой границе слоя 1 (свободная граница Рл.г = 0),
правая — по линии нулевой скорости (ип,г = 0). Учет цилиндрической
или сферической симметрии осуществляется через задание распреде-
распределения скорости по массовой координате. Положим, что распределение
скорости в рассматриваемой части слоя 2 с массой mf аппроксимиру-
аппроксимируется зависимостью A.4), где rrik = mf. Из построения, аналогичного
приведенному выше, находим решение.

16
Кумуляция энергии в слоистых системах
[4.1
При
u\{t) =
где
mi +
2а2
B.5)
При to ^ t
2
ul(t) = -
B.6)
Максимальный отбор энергии сходящейся массой mi на момент
прихода слоя 1 в центр (г = 0) выражается следующим образом.
При 0 ^ tf ^ t0
2 Е2 @) +
•9. 1-
7-1
B.7)
При to
d 1-0,5
7-1
v2 (to)
7-1
mi
Здесь Vo@) —первоначальный объем полости.
Привязка объема слоя с массой mf ко времени осуществляется с
помощью уравнения
1-
Т/2л@)
7-1'
-1/2
K2 —
\
2шл
(it.
Для 7 — 5/3 можно получить конечное выражение зависимости
объема V2 от времени.
При 0 ^ tf ^ t0
t =
@)
1-
2 @)) Уо|^(У2 @) + Vo) - (V2 @)) J

Гл. 2]	Однокаскадная система	17
2.3. Третий этап — этап схождения
в цилиндрическом и сферическом случаях
2.3.1. Вариант чистополой мишени. В рассмотренном при-
приближении приобретенная оболочкой кинетическая энергия Е\ (г) (где
г — ее текущий внутренний радиус) определяется из предположения,
что толщина оболочки много меньше радиуса (аспектное отношение
мало). Однако к моменту схождения, когда отбор энергии уже осу-
осуществился, подобное предположение перестает быть справедливым.
Более того, в малой окрестности внутренней границы происходит
кумуляция энергии в слое mi, примыкающем к этой границе. Учет
данного обстоятельства может быть осуществлен, если уточнить рас-
распределение скорости по радиусу. Для этого надо воспользоваться
какой-либо гипотезой схлопывания, например приближением несжи-
несжимаемой жидкости [6] или автомодельной асимптотикой сходящейся
газовой оболочки [11]. Ниже приводятся формулы для первого из
названных приближений.
В случае несжимаемой жидкости (в сфере) можно принять сле-
следующее распределение скорости по радиусу сходящейся оболочки:
иг2 = и\г\, где индексом 1 отмечены величины на наружной поверх-
поверхности оболочки. Перепишем последнее равенство в виде г2 — — и\т\.
dt
Проинтегрировав его в пределах от t\ до t, получим соотношение для
радиуса и скорости:
r3-r?=3^ir2(t-t!).
Радиус и скорость равны соответственно
г =
dr
и = — =
dt
При г = 0 t — tf, следовательно, tf — t\	.
Аналогичные зависимости можно получить и для цилиндра.
В этом случае величина иг = и\Т\ постоянна вдоль свободной
границы. Перепишем последнее равенство в виде r{dr/dt) = и\Г\.
Проинтегрировав его в пределах от t\ до t, находим соотношения для
радиуса и скорости:
г = ^	i
u(t) = * =
dt y/rl + 2uin(t - ti)
При r = 0 t = tf, следовательно, tf = t\ — T\jBu\).
2.3.2. Вариант с заполнением полости веществом малой
плотности. Пусть центральная полость начального объема Уо°
(область 0; см. рис. 1.3, а) заполнена газом с малой исходной

18
Кумуляция энергии в слоистых системах
[4.1
плотностью pQ. Начальная стадия движения слоя 1 практически
не будет отличаться от рассмотренного выше случая схождения
чистополой оболочки. Найдем величину энтропии сто, набираемой
за первой волной газом, заполняющим центральную область, при
движении ее границы со скоростью щ:
_ (к-1)ки\{Г1)
0 2(* + i)*
где к — показатель адиабаты в области с массой т$. Средние значения
давления Ро и внутренней энергии Eq газа с энтропией сто зависят от
объема Vo следующим образом:
Ро = &оРо = ^о (
Ро
\Vo(t)J '
1 \Vo(t)J
ft-1
(к-1)р0
Запишем закон сохранения энергии для усеченной системы с уче-
учетом внутренней энергии газа, заполняющего центральную область,
пренебрегая его кинетической энергией:
/Eq dm + / — dm + / — dm + Е2 dm =
У 2	У 2	J
0	т\	т,2	т^
С учетом выражения B.5) при Qo = 0 и соотношения B.8) получим
к-1
к-1
\Vo(t)J
Щ17Ц
= E2@)m2I
1-
7-1'
где 7 — показатель адиабаты в области с массой ТП2.
Отсюда энергия сходящейся оболочки (слоя 1) равна
ujmi
1-
7-1"
. B.9)
Суммарная энергия газа и оболочки выражается из B.8) и B.9)
как
+ Ел =
mi
E2@)m2T
1-
7-1'
mi + гп%/3
Е2@).

Гл.2]
Однокаскадная система
19
Следовательно, она равна сумме энергии, отбираемой оболочкой
в варианте без газа (первое слагаемое), и части энергии Eq@), при-
приобретенной газом, т.е. больше, чем в чистополой мишени. Из B.9)
следует, что на момент остановки газа (щ = 0)
1-
7-1"
о) то(Уо@)\
J
k-i
Отсюда
K)min > \ E2@)m21(k - 1) 1- ( —
7-1
Отыщем с помощью B.9) значение ге, при котором энергия оболоч-
оболочки Ei (re) достигает в ходе движения максимума. Для этого, вычислив
du\	,
производную 	, приравняв ее нулю и полагая для простоты к = 7?
dVo
найдем величину объема, отвечающего значению ге:
B.10)
1 + m? G -
1/7
Максимальное значение cfq достигается при и\(ге) и, согласно B.9),
связано зависимостью
7-11
mi + т%/3
Следовательно,
_ G-1)У(г,
yOmax — ~	~ =
2G+ 1O"
^(роУ то (Vo(t)
7-1	V Ve
7-1'
7-1
G-
PqO 1 (mi + ГП2/З)
1-
^@)
¦VoW-Ve
1 +
7-1
7 + 1
7-1
7-1
7-1"
-l
Шо
\ К / mi
B.11)
Совместно с B.10) это выражение дает два соотношения для на-
нахождения Ve (или Ге) и сготах- Подставляя B.10) в B.11), можно

20
Кумуляция энергии в слоистых системах
[4.1
записать уравнение для определения сто max '•
7-1
1 +
7
7-1
пц
m0F
Vb(O) '
"'(О)
>2)	СТО max
Найдя сготах (возможно, численно), мы восстановим из приведен-
приведенных выше формул величины отбора энергии газом (Eq) и оболоч-
оболочкой (Ei), а при необходимости и другие параметры, характеризующие
поведение мишени.

Глава 3
ДВУХКАСКАДНАЯ СИСТЕМА
3.1. Первый этап — построение решения
при совместном движении слоев двух каскадов
Следующий этап нашего рассмотрения — построение решения за-
задачи динамики движения двухкаскадной системы (см. рис. 1.3,6).
Обратим внимание на принятую в ней нумерацию областей. Предпо-
Предполагается, что при ударе наружного каскада (слои 3, 4, 5) о внутренний
(слои 1, 2) в момент t = t\ (т. е. после закрытия зазора) в слое 2 мгно-
мгновенно выделяется внутренняя энергия с удельным энерговложением
Еъ (t\), а далее на определенном временном интервале осуществляется
распределенное энерговложение с мощностью Qo (один из этих источ-
источников может отсутствовать).
После соударения (t ^ t\) осуществляется совместное движение
всех слоев. Запишем законы сохранения импульса, массы и энергии
применительно к слоям 1-5, начиная с момента удара (t = t\). В ка-
качестве контура интегрирования Г выберем в плоскости ?, т четы-
четырехугольник, охватывающий эти слои. Его нижнее основание t = t±;
верхнее — текущий момент t.
С учетом сделанных выше предложений, зная распределение ве-
величин в слоях 3-5 на момент удара (t = ti), а также полагая u\(ti) =
= ^2(^1) = 0 в слоях 1 и 2, из законов сохранения импульса и энергии
получаем систему уравнений:
+ / и dm + [и3 — us(ti)]ms + / [и — u(ti)] dm +
ГП2	ТП4
+ К -Ub{h)]mb = 0;
/ [ЕA)
- Е (tl) + Qot + ^1 dm
2 7 1	2 |	2
- E,(t,) + »'-»'(tl)] dm + »1-'''"l) m5 = 0.

22
Кумуляция энергии в слоистых системах
[4.1
Эта система конкретизируется с учетом выражений, связывающих
начальные и конечные соотношения на этапе 1:
/
ti) dm
= 0;
dm
га4
Будем по-прежнему полагать, что зависимость скорости и^ от m
в слое 2 представима в виде A.4).
11 Сходящаяся часть
\
Рп.г = 0
На втором этапе движения распределение скорости по массе
в слое 4 уже нельзя считать линейным. После удара в момент t\
слоя 3 о слой 2 и энерговложения в последнем скорость и%, опреде-
определенная на первом этапе, мгновенно изменится. Из-за несжимаемости
этого слоя мгновенно претерпит изменение и скорость левой границы
слоя 4. Однако справедливо предположить, что благодаря конечности
скорости распространения влияния в слое 4 еще значительное время
по-прежнему будет оставаться неподвижной найденная на первом
этапе лагранжева частица mj, делящая область на две с массами
т\ и т\. Следовательно, будет оставаться невозмущенным движение
части системы, находящейся справа от этой частицы. Обратное воз-
воздействие на движение слоев 1 и 2 после фактического набора скорости

Гл. 3 ]	Двухкаскадная система	23
ранее неподвижной лагранжевой частицей наступит столь поздно, что
практически не успеет повлиять на отбор энергии слоем 1.
Отсюда справедлив вывод о возможности кусочно-линейного пред-
представления по массе скорости в слое 4 на втором этапе движения, что
и используется в дальнейшем. С учетом этих допущений имеем
,	Ui — Us
и dm =
2
ГП2
2
— dm = (Ui + u\u3 + Uo) —;
2	v x	3J 6
/
/
1714:
,	изТП4 + иът1
и dm =	777,2;
гб2 ,	^Imj
— (im = -^—2-
2	6
m4
Таким образом, при описании движения на втором этапе двух-
каскадной конструкции получаем следующую систему уравнений для
определения u\(t) и u3(t):
7712 \	/	7712 Н~ 777-4 \	(	т\ \	Т
—J + и3 [т3 +	J = -иь [т5 + — J = - J;
C.1)
Величина J формально зависит от времени, но на рассматри-
рассматриваемом этапе движения меняется мало. Поэтому ее можно считать
постоянной и равной значению на момент ti, что значительно упро-
упрощает дальнейшее рассмотрение. Привлекая уравнения сохранения им-
импульса и энергии начального этапа, получаем
2	2т4 [Е4 @) + Qoti/2] [l - (V4 @)/V4 (*i))G~
7713 + 77l4/3	77l5+77lg/3
G7l3+77l3/2J	G715+771J/2J
В системе C.1) запись закона сохранения энергии предполагает,
что распределенное энерговложение в область 2 осуществляется до
конца движения. В противном случае надо рассчитывать два времен-
временные интервала по аналогии с первым этапом.

24
Кумуляция энергии в слоистых системах
[4.1
Заменой переменных:
J(tl)
м '
J(tl)
м '
C.2)
7714
где М = 77ii +Ш2 + ?^з Н	5 уравнение сохранения импульса системы
C.1) приводится к виду
— J
iJ = О,
откуда
+
7722 + 7724
+ Ш2/2
C.3)
Из последнего уравнения следует, что в слое 2 существует ла-
тт	7773 + G77,2 + 777,4 ) /2
гранжева частица с массой т^ = ТП2	—	, которая
7771 + 7772 + 777з + ГП^/2
движется со скоростью и* = —J(t\)/M.
Уравнение сохранения энергии после замены переменных и под-
подстановки в него C.3) примет вид
2
и3
М
(пц +m2/2)
7 [mi (тз + Т) +
ГП2 + ГП4
—I
6(mi+m2/2)
G77-1 Н~ 777-2)
- z \hj2 \t\)
m2
тI
т2) (т3
7-П
или в сокращенной форме
1	-\ С + 2т2 \Е2
V2(t)
1-
= 0, C.4)
V2(t)
7-1"
= 0.
При этом можно проверить, что А > 0, В > 0, С > 0, т. е. уравнение
имеет решение. Отсюда
-В
C.5)

Гл. 3]
Двухкаскадная система
25
Далее с помощью C.3) находим величину щ, а с помощью C.2) —
щ и и\. Зависимость объема V2 от времени t получается из соотноше-
соотношения, вытекающего из закона сохранения массы и выражения C.1):
dV2	M
¦и3.
С учетом C.5)
_к_
2А
dt
В2+4А{С + 2 \E2(t1)
1-
т2х
7-11
1/2-,
dt.
Для случая 7 = 3 интеграл вычисляется в элементарных функциях
и равен
t =
V2@)
(k + l) 8E2(ti)m2C
В
In
V2Jt)
+ 2 (V D - л/В2 +4АС) +
B (VCD - в) Uc (B2 + AAC) +
	In
+
где
¦8АЕ2(и)т2[с(У2(и)/У2^)J -
2E2{ti)m2
Зная связь между t и V2, можно определить текущую эйлерову ко-
координату г2 (у2) лагранжевой частицы т2, движ:ущейся со скоростью
Траектория этой частицы в слое 2 определяет подобласть поста-
постановки автономной задачи на третьем этапе — с момента t2, который
для цилиндрического и сферического случаев условно принимается
за начало заключительной стадии движения. На этом этапе цилин-
дричность или сферичность геометрии учитывается так же, как было
принято выше. Здесь следует сделать важное замечание о том, что
скорость 1х* частицы и ее лагранжева координата (граничное условие
задачи на схождение) не зависят ни от величины энерговклада, ни
от его интенсивности в слое 2. Последнее обстоятельство упрощает
анализ оптимальных параметров при построении двухкаскадной си-
системы.

26
Кумуляция энергии в слоистых системах
[4.1
3.2. Этап схождения
Третий этап состоит (как и в случае однокаскадной системы) в на-
нахождении решения автономной задачи, сформулированной выше, и
в определении величины кумулирующейся энергии.
3.2.1. Вариант чистополой системы. При решении этой зада-
задачи в качестве замкнутого контура Гз в плоскости ?, т выбирается
четырехугольник с нижним основанием t = t2 (начало заключитель-
заключительного этапа) и верхним основанием t (текущий момент) (см. рис. 3.1).
Левая его сторона совпадает с левой границей слоя 1; правая — с ла-
гранжевой частицей mf слоя 2, движущейся со скоростью и*.
Выразим из второго уравнения системы A.1) интеграл J pdt и
Гз
подставим его в третье уравнение. С учетом выбора контура Г и
граничных условий (на левой границе Рл.г = 0, на правой — ип,Г =
= и*) получаем
+
/ [E] dm + / ——- dm — и* < [щ] т± + / [и2] dm > =
= m2Qo [t], C.6)
где [f] = f(t)-f(t2).
Полагая, что распределение скорости U2(t, m) в рассматриваемой
части слоя 2 с массой т^ аппроксимируется зависимостью A.4), окон-
окончательно преобразуем уравнение C.6) к виду
- 2ч*
mi
д \E2(t2)
7-1"
где
2а2
Отсюда для и\ (t) следует соотношение
E2(t2)
2m?
mi
1-
Vffo)
7-1'
• C-7)
Соотношение, связывающее объем У2Л с временем ?, вытекает из
первого уравнения системы A.1), выражения C.7) и преобразования
C.2), выполненного в § 3.1:
t-t2
-)
,7-1
v?{t)
C.8)

Гл. 3]
Двухкаскадная система
27
где
а =
г)
1-
7-1'
В случае мгновенного энерговложения (E2(t2) 7^ 0> Qo = 0) для
7 = 5/3 и 7 = 3 интегральное соотношение C.8) приводится к виду
C.9) и C.10) соответственно:
t = t2
для 7 = 3;
C.9)
для 7 = 5/3. C.10)
Финальное значение скорости щ слоя 1, а следовательно, и величи-
величина отобранной им энергии на момент фокусировки tf для цилиндриче-
цилиндрических и сферических систем (при отсутствии заполнения внутренней
полости) находится из C.7), C.8) и дополнительного соотношения,
связывающего tf и величину V2{tf)\
2) — и* (tf — t2)] — Vi,	C.11)
где r*(t2)—радиус лагранжевой частицы т^ в момент t2 (начало
этапа схождения); 6 — показатель симметрии геометрии: 6 = 1 для
цилиндра; 6 = 2 для сферы.
3.2.2. Вариант с заполнением полости веществом малой
плотности. Ниже приводятся дополнения к проведенным ранее по-
построениям, позволяющие учесть особенности динамики слоистых си-
систем в случае заполнения внутренней полости веществом очень малой
начальной плотности. Последнее является характерной чертой кон-
конструкций термоядерных мишеней. При заполнении полости веществом
малой плотности (ро <С pi, г = 1, 2, 3, 4) первые два этапа построения
решения можно оставить без изменений. На заключительном третьем
этапе факт заполнения необходимо учитывать. Качественно влияние
заполнения проявляется следующим образом. При движении слоя 1
его внутренняя граница по отношению к веществу, заполняющему
внутреннюю полость, играет роль поршня. Ее ускоренное движение
(см. C.7)) порождает последовательное прохождение ударных волн
в веществе, заполняющем полость. Они и определяют ту энтропию
первоначально малоплотного вещества, которая задает конечное сжа-
сжатие на заключительном этапе схождения слоя 1.

28	Кумуляция энергии в слоистых системах	[Ч. I
Система уравнений, описывающая на этапе схождения динамику
подобной конструкции, строится так же, как и в ранее рассмотрен-
рассмотренном случае однокаскадной мишени, но со следующими дополнени-
дополнениями. Теперь замкнутый контур Гз в плоскости m, t ограничивает
заполненную массой то полость, слой 1 и часть слоя 2 с массой mf;
нижнее основание— t = ?2 (начало заключительного этапа), верх-
верхнее— t (текущий момент).
Если связать по времени начальную стадию этапа схождения с за-
заключительной, то аналогично C.6) можно записать соотношение
//	/	\
E0(t) dm + [щ] ( w v J - и * 1 x
V ^	j
rao
x mi+ / 1 - I — I dm > + / [E] dm = 0.
На начальной стадии этапа схождения в области с массой то мож-
можно пренебречь кинетической энергией. Это справедливо для конструк-
конструкций термоядерных мишеней (низкая начальная плотность вещества и
малая его масса). Величину внутренней энергии Eo(t) можно выра-
выразить через объем Vo(t) и энтропию газа. Справедливо предположить,
что характерная величина энтропии сто, определяющая максимальное
сжатие газа, зависит от величины максимальной скорости поршня при
ускоренном его движении [12]. Действительно, согласно известному
соотношению энтропия определяется скоростью ударной волны, т. е.
максимальной величиной скорости поршня i&imax-
Отсюда следует, что
(Л 1 rY-l o v —	— О г\ •
Тогда, считая известной а^ аналогично C.7) можно записать вы-
выражение для и\\
™«&± [ №У~1 , C.12)
J
Ы f M) f	[
mi +/3m? [
а также соотношение, связывающее объемы V^it) и Vo(t):
V0(t) + V2" = V(t2) + V2n-AV,	C.13)
где
AV = j^ {[r*(t2)}5+1 - [r*(t2) -u*.(t- t2)}5+1].
Обозначения г*(^) и S здесь те же, что и в C.11).
Из C.12) вытекает оценка величины максимального сжатия —
{ро/ро) —вещества, заполняющего полость, в зависимости от

Гл. 3 ]	Двухкаскадная система	29
состояния системы на начало этапа схождения:
ро_
max
Как и в чистополом варианте (см. вывод C.8)), из первого уравне-
уравнения системы C.1) при выборе в плоскости m, t контура Г по границам
рассматриваемой части области 2 получим привязку по времени:
+ + _ V	dV?
I — То —
\
V?(t) J J V Vo
C.14)
Система уравнений C.11)-C.14) дает решение задачи в случае
заполнения полости веществом малой плотности. Однако, в отличие
от варианта без заполнения, в уравнениях C.13), C.14) переменные
не разделяются и решение не сводится к нахождению интеграла.

Глава 4
АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТИ ВЕЛИЧИНЫ ОТБОРА
ЭНЕРГИИ ОТ ИСХОДНЫХ ПАРАМЕТРОВ
СИСТЕМЫ
Вернемся к уравнениям C.1). Кратко проанализируем зависимость
отбора энергии слоем 1 от исходных параметров системы.
Исходя из уравнения сохранения импульса, входящего в систему
C.1), можно записать
_ ^3
а1 —
,	/о
mi + ГП2/2
или	/ . /о\ i т
_ ui (mi + 1712/2) + J
Второе слагаемое уравнения сохранения энергии запишем в виде
— ггц/з = — [NUlu3 + A - N) г/ц/з = — -^1^' '
6	6	6 [
ггц/з	[NUlu3 + A N) г/ц/з	^17
6	6	6 [	шз + (Ш2 + m%)/2
(шз + (m2
mi + ГП2/2
С учетом D.1) и D.2) уравнение сохранения энергии системы C.1)
можно переписать следующим образом:
^ .	. 7712	7712^	7711 + 7712/2	\ , 2 /	, т2 + 7п\
ил mi Л	'	! ' я- ' — '
О	О 7713 + G7
7712A — N) 771з + (ГП2
7711+7712/2	/	о/	, /	, ттч /г»
7	7 3 шз + (m2+mJ)/2
7-1'
+	@)	^
3(mi+m2/2) (m3 + mJ/2J	[ \V4{ti)
7-1
= 2E4@)m4 1-
\V4{Ti)/
¦ D-3)
Если положить
N _ 3 (m3 + G712 + m%)/2) (mi + m2/3)
77i2 (mi + 7712/2)
то коэффициент при и\ окажется равным нулю.

Гл.4]
Зависимость отбора энергии от параметров системы
31
С учетом обозначения М = т3 Н	 уравнение D.3) можно
записать в виде
=«§{
ш3 +
Ш2+Ш4
~ N] [т3 + (Ш2
3(mi +ш2/2)
ЗМ
^3m2(l-^V)M ЗМ / 2
7V(mi+m2/2) JTV^" [ 5
7-1'
^ D.4)
В переменных щ, щ оно является уравнением параболы, тогда как
уравнение сохранения импульса системы C.1)—прямая.
Пересечением на плоскости щ, и%
этих линий определяются искомые
значения скорости (рис. 4.1). При-
Приведенный график наглядно демон-
демонстрирует ограничительные интерва-
интервалы для величин щ, щ в зависимости
от исходных параметров, задающих
конструкцию системы.
Показанная на рис. 4.1 зависи-
зависимость и\ (щ) при заданных началь-
начальных параметрах получена: 1 —из
формулы D.1), 2—из D.4). Харак-
Характерные точки i&i, щ: * — решение
D.1), D.4); В-щ = 0, щ = Ul(u3)
из D.1); Л— их = 0, и3 = из(щ) из
D.4); V — и3 = и3(щ = 0) из D.4),
щ = г&1 из D.1); о — щ = 0, щ =
из D.1).	Рис. 4.1

Глава 5
ПРОВЕРКА АНАЛИТИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЙ
ЧИСЛЕННЫМИ РАСЧЕТАМИ
Сопоставление аналитических построений с численными расчета-
расчетами так же, как и аналитическое построение решения, проводится
поэтапно на примере двухкаскадной слоистой системы (см. рис. 1.3, б).
Начальный (первый) этап — движение наружного каскада до его
удара о внутренний. На этом этапе движение рассматривается в плос-
плоском приближении. Мы можем рассчитать и сопоставить с аналитиче-
аналитическими выкладками следующие величины:
—	массу движущейся с нулевой скоростью лагранжевой частицы:
л _ 1714 (ГП5 + 7714/2) <
777/4 —	5
7713+7714+ 7715
—	объем V±(ti) на любой момент времени t — из уравнения (для
7 = 5/3)
-2V22^@)\=K(m)t,
ГДе	г	ni/2
Tf ( \—\	27774^4@) G773 + 7774 + 7775)
[ml/12 + 7774 (газ + ras) /3 + газгаб
—	скорость слоя 3:
2	2Е4 @) га4 (га5 + га4/2J [1 - (V4 @)/Vi 0
(газ + га4 + габ) [га|/12 + га4 (газ + габ) /3
—	скорость слоя 5:
и2 (f) = 2У^4 @) га4 (газ + га4/2J [1 - (V4 @)/V4 Q
(газ + 7774 + габ) [ml/12 + 7774 (газ + габ) /3 + '.
—	отбор энергии слоем 3:
с; (f\ _ rri3ul(t)
2
Расчеты проводились для модельной двухкаскадной системы, гео-
геометрия которой приведена на рис. 5.1.
7771	7772	777з	7774	7775
R: 7,9; 8,23; 10,45; 11,11; 11,33; 13,25; 13,4
р: 18,5; 1,85; 18,5; 1,85;	18,5
Рис. 5.1

Гл. 5 ] Проверка аналитических построений численными расчетами 33
Начальные объемы: Vi@) = 0,33; V2@) = 2,22; V3@) = 0,22; V4@) =
= 1,92; У5@) = 0,15. Массы слоев: mi = 6,105; m2 = 4,107; m3 = 4,07;
777,4 = 3,552; 777,5 = 2,775. В начальный момент времени энергия E±{fS)
внутреннего слоя 4 наружного каскада с массой 7774 равнялась 0,28153
и 2,8153. Полная энергия в системе Е@) = Е^О) т± = 1. Уравнение
состояния — идеальный газ с 7 = 5/3.
Напомним, что до t ^ t\ на левой границе области 3 и правой
границе области 5 граничное условие — свободная поверхность. Пер-
Первоначально сопоставлялись траектории лагранжевой частицы, дви-
движущейся с нулевой скоростью в области 4, найденные с помощью
расчетов и формулы B.4).
14 R
На рис. 5.2 показана траектория движения границ оболочек на-
наружного каскада при разном энерговложении: Е^О) = 0,28153 (а) и
Я4@) = 2,8153 (б).
2 Г.В.Долголева и А.В.Забродин

34
Кумуляция энергии в слоистых системах
[4.1
Как следует из рис. 5.2, а, в интервале времени, определяющем
поведение системы до момента подлета слоя 3 к внутреннему каскаду
(t\ = 4,3763), значения радиусов т% — 12,17 [т\ — 1,55397), получен-
полученные с помощью формулы B.4), совпадают с расчетными. Последнее
обусловливает совпадение расчетов движения границ внутренней обо-
оболочки в полной и усеченной мишенях. В расчетах для разных энерго-
энерговложений конкретной (по геометрии) мишени эта величина одинакова,
что согласуется с B.4) и с рис. 5.2, б.
Следующие расчеты проводились для усеченной мишени:
область 4 ограничивалась справа радиусом т\ — 12,17 и эта граница
объявлялась «жесткой стенкой».
В табл. 5.1 содержатся результаты сравнения на момент времени
t = 1 (см. рис. 5.2, б).
Таблица 5.1
Расчет
Формулы
V,(t)
2,12
2,08
u3(t)
0,1015
0,102
u5(t)
0,1015
0,13
EOT(t)
0,025
0,0211
На рис. 5.3 приведено отношение скоростей и±(т)/гц@) для шести
различных моментов времени (сопоставляемые величины на рисунке
не различимы). Эти соотношения хорошо согласуются с A.4) при
а = 1.
-1,0
Рис. 5.3
Полученные результаты используются при дальнейшем сопостав-
сопоставлении численных расчетов с аналитическими выкладками для второго
этапа.
На втором этапе рассматривается движение всей системы (вну-
(внутренний каскад и часть наружного, ограниченного справа линией
нулевой скорости) до появления в слое с массой т^ частицы, движу-

Гл. 5 ] Проверка аналитических построений численными расчетами 35
щейся с постоянной скоростью и*. Наша задача — численно проверить
существование лагранжевой частицы в слое 2 с массой
rai + rri2 + газ + raJ/2
движущейся с постоянной скоростью и* = —J/M, где
2Е @) га4 [l - (Vi @) /VA (ti))^"^]
(ra3 + raJ/3)/(ra3 + raj/2J + (ra3 + raJ/3)/(ra3 + raj/2J '
С момента t = 12,5 частица с массой mf = 1,882, вычисленной по
приведенной выше формуле, начинает двигаться к центру в течение
длительного времени со скоростью от и « —0,07 до и « —0,085.
Аналитическое значение г&* = —J/M = —0,079. Скорость границы
между слоями 1 к 2 щ = —0,33. Аналитическое значение скорости
щ = -0,369
На третьем этапе рассматривается движение к центру части внут-
внутреннего каскада, ограниченного справа частицей, движущейся с по-
постоянной скоростью и* (в нашем примере и* = —0,079), начиная с
момента t^ = 12,5. Энерговыделение в момент t^ равно E^it^i) = 1/ш§.
Движение рассматривается с учетом сферической симметрии. В ва-
варианте чистополой системы скорость первой области в расчете равна
и\ = —0,35. Вычисленная по формулам C.7), C.11), скорость первой
области и\ — —0,331. В рассмотренных примерах наблюдается хоро-
хорошее согласие между первыми и вторыми значениями величин.

Часть II
РЕАЛИЗАЦИЯ КОНЦЕПЦИИ
БЕЗУДАРНОГО СЖАТИЯ
Безударное сжатие — это некий закон движения, который обеспе-
обеспечивает в определенный момент приход всех характеристик в одну
точку и, в идеале, бесконечную плотность.
Чтобы воспроизвести безударное неограниченное по плотности
сжатие, необходимо реализовать на внешней границе сжимаемого
газа согласованные зависимости скорости и давления (ил(г), Рл(г)).
Параметрами в этой задаче являются следующие величины: размер
рассматриваемой системы L, граничные зависимости ил(?), РлA), по-
показатель адиабаты 7 в уравнении состояния, начальная скорость зву-
звука со- Последняя задает временной диапазон; начальную энтропию:
2
сто = -— (ро—начальная плотность газа); начальную температуру:
7
2
То =	 (где cv —теплоемкость). Задание со определяет «жест-
7G ~ l)°v
кость» процесса сжатия, т. е. температурный фактор. От этого зависит
последующий процесс загорания и горения сжимаемого газа.
Вопрос о технической реализации неограниченного безударного
сжатия достаточно актуален. Ниже будет расчетно-теоретически обос-
обосновано, что в рамках оболочечной системы (см. рис. 1.3, а) можно
подобрать закон энерговложения Q(t) в область с массой Ш2 такой,
что на левой границе области с массой т\ получатся значения ил(?),
Pji(t) [1-3], необходимые для осуществления безударного сжатия газа
с массой то. Формулы для Q(t) (в квадратурах) будут записаны
как функции заданных зависимостей ил (t), Рл (t); последнее позволяет
подобрать параметры системы и энерговложение Q(t) таким образом,
чтобы реализовать безударное сжатие в газе с массой то-
Для воспроизведения безударного неограниченного сжатия тре-
требуется затратить бесконечную энергию, что практически неосуще-
неосуществимо. Однако в работах Я.М. Каждана [2-3], в которых исследуется
безударное сжатие, получен следующий результат: асимптотика
неограниченного по времени роста плотности на внутренней
характеристике сходящегося пучка остается справедливой и в случае
торможения или остановки границы, на которой задано граничное
условие ил(г). Это тем более справедливо в случае осуществления

38	Реализация концепции безударного сжатия	[Ч. II
сжатия через вложение энергии Q(t). Прекращение энерговложения
в некоторый близкий к конечному момент не нарушит асимптотики
безударного сжатия. Оболочечная конструкция, имея накопленную
энергию в областях с массами т\ и Ш2, обладает значительным
запасом по импульсу для продолжения процесса обжатия после
прекращения энерговложения. Последнее обстоятельство позволяет,
не затрачивая бесконечной энергии, получить сколь угодно большие
сжатия для зажигания в области т$.
Исследуем вопрос о прекращении энерговложения: какую мини-
минимальную энергию нужно вложить, чтобы получить зажигание обла-
области т0?

Глава 6
ДВУЧЛЕННОЕ УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ
6.1. Зависимость скорости и давления от времени
при осуществлении безударного сжатия
Рассмотрим решение уравнений газодинамики, отвечающее
неограниченному по плотности безударному сжатию. Построим
зависимости скорости и давления, ил(г) и Рл(г), для двучленного
уравнения состояния.
Двучленное уравнение состояния имеет вид
Р=(П- 1) рЕ + (р - ро) cl,
гдер, р, Е, 7> Ро, со —давление, плотность, удельная энергия вещества,
показатель адиабаты, начальная плотность и скорость распростра-
распространения звука в холодном веществе соответственно; его также можно
записать и в виде
р = av 7 - -—-,
7
где v = 1/р; а а — энтропия.
Отсюда
(
Т) -
а2= -*
а=
где а — массовая скорость звука.
Исходная система уравнений
вид
dv
~dt ~
db
dt
Ь
2 \
, PoCq \ -у
+¦ ¦	 \ v '.
1 / '
7 У
= 7^,
(в лагранжевых переменных)
du n
dm ~ '
^777-
имеет
(ел)
dt
Поскольку рассматривается течение с сохранением энтропии, эту
систему дифференциальных уравнений можно переписать как
dv du _ n
dt dm~ '
du	_7_i dv n	F.2)
	7cru 7 	 =0,	v y
^ ;	dm
a = const.

40
Реализация концепции безударного сжатия
[Ч. II
Пусть решается задача о безударном сжатии плоского слоя порш-
поршнем. Область покоя отделяется от возмущенного газа характеристи-
характеристикой, проходящей через две точки: (то, 0) и @, to), где to = ——,
рс
р	&о — массовая скорость звука
в невозмУЩенном веществе (рис. 6.1).
Уравнение характеристики имеет
вид т = —poCot + то.
Область возмущения: —
+ то ^ m ^ то; 0 ^ t <
то
р
Решение системы F.2) будем ис-
искать в виде [5]
v (t, m) = vt (t) vm (m),
и (t, m) = щ (t) um (m).
Рис. 6.1
В наших обозначениях ее можно представить как
Vt _ U'rn _ д
Ut	Vm
javn
F.3)
= в.
Символ «штрих» означает соответствующую производную. Левые
и правые части системы F.3) зависят только от t и от т соответствен-
соответственно, а это возможно, если каждое из отношений постоянно. Отсюда
имеем систему равенств:
<=А, 4, = В,
щ
В
Получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
dut _ В v^1	2 _ 2Б Vt1+1
dvt A ut	l A (—7 + 1)'
A
В
F.4)
2
В (-
Отсюда с учетом выражений и(т, t) = иш (т) щ (t) и v (m, t) =
= vm (m) vt (t) имеем
2v
J
7+1, или и = ±
(-7+1)
Найдем зависимость функций и(т, t), v(m, t) от m и t.
С помощью равенств v't = Ащ и щ =
dt
2В
А (-7
-7+1
F.5)
получим
А (-7 + 1)
¦vt

Гл.6]
Двучленное уравнение состояния
41
Тогда
dv
2АВ
-7 + 1
dt,
G + 1)
2 _
2AB
-7 + 1
~ to) ,
vt =
IAB G +IJ
2 (-7 + 1)
(* " *o)
2
7+1
Щ =
2B
А (-7
А (-7
Аналогично из выражений и'т = Avm и
находим
(-7 + lO<7J ' 2( 7
Отсюда
27<т
2 (-7 + 1) Ч
2Л v.
" to)
7+1
,1/2
В G-1)
dm
После интегрирования получим
I 1/2
y+i
7 , wm 2 = (m - m0).
- G + 1)
Тогда
|2Л
Из соотношения um = |
2Л
ит =
2А
1/9
1
vm находим
G~1) 1
В (-7 + l)
Окончательно имеем
и (m, i) = vmvt =\	—
V '	L2 (
_
-7 + 1] G+1)'2 г	i2^
и (m, t) = umut =
2A
2B
A (-7
4B G +IJ
2 (-7 + 1)
7+1
F.6)
1/2
(-7 + l)J [AB G + I)
m — mo

42
Реализация концепции безударного сжатия
[Ч. II
Упростим эти выражения с учетом того, что to =
то
-7+1
и (т, t) =
7-1
т-то
¦с0
(т — pocot\
V т /
7-1
Зная зависимости i?(m, t) и и(т, ?), можно записать выражения
для р(т, t) и Р(т, t):
_ 2	2
— pocot/mo \ 7+1 л fm — pocot\~ j+i
р (m, t) =
1 — т/то
= Ро
7 7
- pocot/mo\
-	i
1- т/то J
7
/1 - pocot/mo\ 7+1
V 1 — т/то '
_ -.
7
-27
i 7+1
_ -.
1 — т/то
При m = ттго они задают условия на поршне. При этом решение
F.6) можно записать в виде
и (т0, t) = -
7-1
mo-pocot\
т0 J
7-1
со
, F.7)
- 1
m0
pool
F.8)
Вычислим величину отбора энергии на границе области в зависи-
зависимости от времени:
t
А (т0, t) = Р (т0, t) и (т0, t) dt =
о
= /^?о [Л _ ?2*
J 7 V Lo
7-
F.9а)

Гл.6]
Двучленное уравнение состояния
43
7-1
7G-1)
и
-27+2
2G-l)
Lo
2p0c30t poLocl G + 1) (-7 + 2)
7G-1)
7G-IJ
F.96)
На любой момент времени можно определить расстояние X(t),
пройденное правой границей, размер области r(t) = Lq — X(t) и
среднюю плотность ^сред(?).
Так,
7 -
I	2	C0 L.
2L0 \ cot 7 ¦
^ fl-ft
7+1
7 - 1 [ Lo
(при T = L0/c0 расстояние Х(Г) = Lo).
Размер области
-1
2
7+1
= Lo + /
= L0-X(t) =
= L0 +
Средняя плотность
^-co i+44-
7-1	2 со
Lo
Г
Lo
7-1
co
2 со
Lo
Максимальная плотность достигается на момент времени Т =
= Lq/co и равна бесконечности.
6.2. Сопоставление аналитических результатов
с численными расчетами
Сопоставим полученные формулы с численными расчетами. Рас-
Рассмотрим плоскую систему (рис. 6.2).
г: О
0,1
Рис. 6.2

44
Реализация концепции безударного сжатия
[Ч. II
Расчеты были проведены по уравнениям газовой динамики с урав-
уравнением состояния — двучленом вида р = G — 1) рЕ + (р — ро) Cq, po =
= 1? со = 0,01. Граничные условия: слева — центр, справа — скорость
как функция времени (задается по формуле F.7)) либо давление как
функция времени (задается по формуле F.7а)).
На рисунках 6.3 и 6.4 приведена относительная погрешность функ-
функции энтропии на момент времени t = 9,5 с заданием на границе
скорости (рис. 6.3) и давления (рис. 6.4). Характерное время для этой
задачи: Т = co/L = 10.
AS 1
0,014 -
0,010 -
0,006 -
0,002 -
0
0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 R
Рис. 6.3
AS-i
0,014-
0,010-
0,006-
0,002-
0	0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 R
Рис. 6.4
На рисунках 6.5 и 6.6 приведена расчетная величина отбора
энергии как функция времени для следующих граничных условий
справа: скорость как функция времени (задается по формуле F.7))
(рис. 6.5) и давление как функция времени (задается по формуле
F.7а)) (рис. 6.6). Наблюдается хорошее совпадение приведенных ре-
результатов.
На рисунках 6.7 и 6.8 приведена зависимость относительной по-
погрешности функции энтропии от радиуса для сферической геометрии,
показанной на рис. 6.2, на два момента времени: t = 7 (рис. 6.7) и t =
= 8 (рис. 6.8); справа на границе задана скорость. В сферической
геометрии схождение к центру быстрее, чем в плоском расчете (здесь
максимальное время равно 10). Видно, что относительная погреш-
погрешность функции энтропии на момент t = 7 (ударная волна еще не

Гл.6]
Двучленное уравнение состояния
45
подошла к центру) меньше 1 %. На момент t = 8 (ударная волна
подошла к центру) она приблизительно равна 4,5 %.
О
12 3 4 5
Рис. 6.5
Рис. 6.6
0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 R
Рис. 6.7
0,02
0,04 0,06 R
Рис. 6.8
Расчет системы, представленной на рис. 6.2, был проведен с дву-
двумя разными уравнениями состояния: двучленом р = G — 1) рЕ +
+ (р — ро) Cq и уравнением р = G — 1) рЕ (идеальный газ). Цель рас-
расчета— выяснить величину энергии, которую необходимо затратить,
чтобы сжать вещество до определенной плотности. В первом слу-
случае (двучлен) для сжатия вещества в 500 раз необходимо затратить
0,00167 единиц энергии (t = 9,99722). В расчете с идеальным газом
для сжатия вещества в 500 раз требуется 0,00183 единиц энергии
(t = 9,99761). В последнем случае необходимо задать начальное дав-
давление P(t = 0) =

Глава 7
ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
И ВОЗМОЖНОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ
БЕЗУДАРНЫХ РЕЖИМОВ СЖАТИЯ
В настоящей главе рассматриваются задачи кумуляции энергии
в оболочечных системах в особом режиме — режиме безударного сжа-
сжатия. Безударное сжатие как способ получения высоких плотностей
привлекало и продолжает привлекать внимание многих исследова-
исследователей, которые ищут практически приемлемые пути его реализации
[2, 3, 7, 11, 19, 20, 21, 26, 27, 28, 29, 30]. Использование концеп-
концепции безударного сжатия открывает перспективный способ построения
микромишеней для осуществления термоядерного синтеза. Базовой
основой таких построений, как будет показано ниже, могут служить
цилиндрические слоистые системы при вложении энергии пучками
тяжелых ионов, направленными вдоль оси системы и сфокусирован-
сфокусированными в одном или нескольких наружных слоях [35]. Пример подобной
конструкции приведен на рис. 7.7.
Расчетно-теоретически доказывается возможность осуществления
безударного сжатия DT-топлива, заполняющего центральный слой
такой конструкции, посредством интенсивного внешнего энерговло-
энерговложения, специально спрофилированного по времени.
Как видно из рис. 7.7, продольные размеры подобных конструкций
существенно превышают поперечные; есть основание полагать, что
область разгрузки от торцов будет занимать только малую часть про-
пространства вдоль оси цилиндрической конструкции (это предположе-
предположение уже проверено). Поэтому мы будем рассматривать пространствен-
пространственно-одномерную задачу в плоскости, ортогональной оси симметрии.
7.1. Реализация безударных режимов сжатия
Ограничимся случаем однокаскадной системы и рассмотрим сле-
следующую задачу. Пусть для системы, изображенной на рис. 1.1, на
левой границе области mi заданы скорость ил{г) и давление Pn(t).
На правой границе области тз задано давление Pn.r(t) = 0. Нужно
найти такую зависимость энерговложения Q(t) в область Ш2, чтобы
реализовать движение системы с заданными скоростью ил{г) и дав-
давлением Рл{г). Решение этой задачи дает возможность достроить вну-
внутренние и наружные слои оболочечной конструкции, в центральном
слое которой будет реализовано безударное сжатие с граничным усло-
условием на поршне ил (?), Рл (?). В общем случае такая постановка задачи
не является корректной, однако в нашем случае ил{г)^ РЛ{Ь) не произ-
произвольны, а связаны соотношением на поршне при безударном сжатии.

Гл.7]
Оболочечные системы
47
Интенсивность внешнего энерговложения Q(t) подлежит определе-
определению. Напомним, что при безударном сжатии строится аналитическое
решение, поэтому оказывается возможным поставить и решить сфор-
сформулированную выше задачу.
Проинтегрируем систему уравнений A.1) по контуру Г. В качестве
последнего выбираем четырехугольник, стороны которого совпадают
с отрезками t = const, m = const. Его нижнее основание отвечает
начальному моменту времени, верхнее — текущему. Левая и правая
стороны контура проходят по левой границе слоя 1 и правой границе
слоя 3 соответственно (контур 1\; см. рис. 2.1).
Тогда с учетом сформулированных выше предположений получим
t	t
/ [v] dm = / (u3 - ил) dt -)> [V2] = (us - ил) dt;
[ил] mi + [щ] т3 + [и] dm - / Pndt = 0;
е+t] }dm ~
Здесь [/] = f(t) - /@).
Из уравнения сохранения импульса, входящего в эту систему,
с учетом A.4) можно выразить us(t):
= -ГО1+"»/;ил(*) +
ш3 + Ш2/2
+ ^Y1 [Pa
2 / J
dt.
G.2)
Из уравнения непрерывности с учетом A.4) определим величину V^t):
V2(t) = V2@)-
м
+ Ш2/2
/«л
сН+
+ 7712/2
t
J
0
t
1
0
dt
dt, G.3)
где
М = ТТЦ + 7712 + ^3-
Из уравнения сохранения энергии системы G.1) получаем зависи-
зависимость
f К] + ^ {[«5] + [«J Ы + [«§]} + ^ [«§] - / рлпл dt +
т2 [(E2(t) - F(t)) - (Е2@) -
= 0, G.4)

48
Реализация концепции безударного сжатия
[Ч. II
где
F(t) = I Q(t)dt.
Из уравнения для внутренней энергии следует, что
$F{t)dVrl
(E2(t) - F(t)) - (E2@) - F@)) = -°
Подставив это выражение в уравнение G.4), получаем
t	_1
f F(t) dVr1 = ^—
J	rri2
Ш1+Ш2/2
Ш2/3
2(m3 + m2/2)
Перепишем G.5) в виде
G.5)
t
J	Ш2
- [Рлил(И + ^
J	2
о
m) + к2(т)ил f Pn(t)dt+
о
72~1@)-V2~\t)\ ' G«6)
Здесь
(m) = mi H
V J	3
ГП1+ГП2/2
	—t
m2/2J V 3
h mim3 H
ГП2\~2 \ГП2 (	. ГП2
— J [— (^m3 + —
(	. Ш2\1	/^ ^ч
J + mi [m3 + — J j ; G.7)
^—тт.
m2/2J

Гл.7]
Оболочечные системы
49
Продифференцируем уравнение G.6) по t:
t
d t	mi dt
- [рлил dt+^- him) + к2(т)ил j Pn(t) dt+
+к3(т)[ / Pn(t)dt
at
1712
- 1) Рлил + ^
или
F(t) = —\- [рлилй1+^1
m2 J	2
L 0
+
7712-
- 1) Рлил + ^
dt
J
t
+2Рлк3(т) IPn{t)dt
о
t
ьл ГРЛ(Ь)(И+
о
;о) - f(o)] +
t \
)ил + к2(т) J Pn(t)dt\ ч
о	/
t
+2Рлк3(т) IPn{t)dt
Исходя из уравнения G.3), можно записать
t
-Мил + fP^dt
d

dt	ГП2, + 7712/2
т/7-1
а величину — 1_1 представить в виде
dV
dt
п-\
dt
G - 1) (-Мил + fPn
\	0

50
Реализация концепции безударного сжатия
[Ч. II
С учетом этого соотношения величина F(t) равна
F(t) = J-
ГП
ГП2
j	ul
J	2
к2(т)ил [РЛ
о
+h(m) ( /рл(*) ей) I -
Приведенные выше формулы позволяют по заданным ил (?) и Рл (?)
построить закон энерговложения Q(t) = —, который реализует дви-
dt
жение в системе, изображенной на рис. 1.3, а (без области то), с этими
значениями давления и скорости на левой границе области с массой т\.
7.2. Построение оболочечных конструкций,
реализующих движения безударного сжатия
Проведенные выше построения доказывают возможность
осуществления безударных режимов сжатия вещества в центральной
области слоистой системы при надлежащем подборе энерговложения
в один из ее внешних слоев (см. рис. 1.3, а). Конкретизируем сделанное
в § 7.1 построение применительно к режиму безударного сжатия
плоского слоя [1]. Точнее, напомним это известное решение.
Зафиксируем начальный размер области Lq @ ^ х ^ Lq) и началь-
ное давление Ро = со \ или энергию Eq =	) (отсюда
7 V	7G-1O
определяется со и характерное время Т = Lq/cq). На левой границе
слоя то (х = 0) задается условие u(t) = 0. Для воспроизведения
безударного неограниченного сжатия на правой границе этого слоя
в случае идеального газа скорость и давление должны удовлетворять
следующим соотношениям:
ил =
7-1
со
р _ РО 2 Л	Со
7 V L
+1
G-9)
Со
-I- — —
L

Гл. 7]	Оболочечные системы	51
Введем в дальнейших выкладках безразмерную переменную ? =
= 1 — — ?, где 0 ^ ? ^ 1. Ее минимальное значение соответствует
t = T = —, а максимальное — t = 0.
со
На любой момент времени можно определить расстояние X(t),
пройденное правой границей, размер области r(t) = Lo - X(t), сред-
среднюю плотность /ясред(?) и работу на границе плоского слоя.
Так,
(при Т = Lq/co расстояние Х{Т) = Lo).
Размер области
t
r(t) = Lo - X(t) = Lo + fu(t) dt =
Средняя плотность
7 - 1 L	2 со V
Максимальная плотность достигается на момент времени Т =
= Lq/co и равна бесконечности.
Работа (отбор энергии) на границе плоского слоя равна
F(t) =fp(t)u(t) dt = -Ро^J1] (l
Воспользуемся приведенными зависимостями G.9) как условиями
на левой границе слоя с массой mi и определим величину энерговло-
энерговложения Q(t) в область с массой Ш2, предварительно вычислив входя-
входящие в выражение G.8) интегралы и производные от заданных Рл(?)
и глл (t):
dt	G + 1)LO
G.10a)

52	Реализация концепции безударного сжатия	[Ч. II
о
t
о
t t
G.106)
Подставим в выражение G.8) значения Рл{г) и глл(?) из G.9), а
также входящие от него интегралы и производные G.10).
После соответствующих преобразований для F(t) получим
F(t) = Е2@) + ± [роA - 2fc2) + -Ц
т [	G + 1)
т2
X
(
где
V2(t)
1-
—
-г"
V2@)
G-D
^0 ¦
2
+ ?
2	2
G.12)
Из G.12) следует, что при t ->• L0/c0
+ Ш2/2)
т. е. стремится к конечной величине. Следовательно, максимальное
энерговложение при ? —у Lq/co оценивается как ? ^+1.
Найдем выражение для Q(t) = dF/dt. Введя обозначения
Л = ~^L0 [р„A -	^
G - 1) m2 L	G + 1)Ьо	eg
G.13)
=	2cl (m3 + m2/2)
получим
G.14)

Гл. 7]	Оболочечные системы	53
где
dV2 _
dt	G-I) G713 + 7712/2)
Проведя соответствующие выкладки, формулы G.11) и G.14) мож-
можно записать в виде, в котором мы будем использовать их в дальнейших
расчетах:
+ f ^ + G - 1) + 2^ - G + 1)^1 ^- },
L aLo	J 7 +1J
+
]1 _|_ G _ 1) _|_ 2? - G+ ^^+1 I ^ I* п.-и г«-1
G.15)
G = ^ A - 2fc2) + ^^ + G + 1)w° fc3a =
+ 1	72
т2 + шз + [G
( )
7	7 + 1	72
~	G-1) G713+ 7712/2)
Ш2 . Ш1+Ш2/2 (т\ГП2 .	.
	—о	Ь mim3 H
3 (	/2J V 3
оЬ mim3 H
3 (m3 + m2/2J V 3	6
, _ шг/З (тз + Ш2/4) + mi (тз + Ш2/2)
2 ~	(	m2/2J	'
где а — показатель симметрии геометрии, 0 ^ t ^ Lq/cq.
На рис. 7.1 приведена зависимость Q(t) для определенной геомет-
геометрии и конкретного со (подробную постановку см. в § 7.4).
Полезно рассмотреть отношение отбора энергии областью то
t
J PnU^dt
(см. рис. 1.3, а) к общему энерговложению, т.е.	. По вели-
г [tj
чине этого показателя можно оценивать «коэффициент полезного
действия» конструкции.

54
Реализация концепции безударного сжатия
[Ч. II
Итак:
/ PnUn
_0
Fit)
G.16) можно записать в виде
t	rrri / 7
7
- IJ
7 + 1 7
/ G " 1)
>+1ЧBМ+Х±±
,
G.16)
С учетом выражений для А, Р$ = — Cq, &i, fe, fen V2(t) равенство
,^h\2 ,
¦ G-17)
При ? = 1 (t = 0) и при ? = 0 (? = Lq/co) выражение G.17) обраща-
обращается в нуль. Это означает, что при завершении процесса энерговложе-
энерговложения процент отбора энергии падает до нуля. Последнее обстоятельство
0,10 -
0,08 -
0,06 -
0,04 -
0,02 -
0
-0,02 J
10
Рис. 7.1
свидетельствует о том, что процесс энерговложения по единой схеме
проводить не следует. Найдем значение ?о ? ПРИ котором отбор энергии
будет максимальным.

Гл.7]
Оболочечные системы
55
Введем обозначение
0@ = G - 1) G - 1
^T t^rV,	V2@)Bms
G + 1) 2M
7
mo
и рассмотрим выражение G.17) как функцию от ?. Найдем значение
?о? при котором
t
-то
m2F(t)
7-1
7
7
72
7
= 0.
Несложно проверить, что ?о удовлетворяет уравнению
1 +
У2@)Bтз+т2)
7
Lo G2 - 1)
7
Из G.18) следует, что корень
7+1
.7+1
лежит внутри интервала
< 1
G.18)
G.19)
(ближе к его левому концу).
Формулы G.17) и G.18) дают возможность оптимизировать кон-
конструкцию системы по величине отбора энергии центральным слоем.
Для упрощения этой процедуры можно принять тз —У оо, т. е. считать
наружную правую границу слоя 2 неподвижной.
На рис. 7.2 приведена зависи-
зависимость коэффициента отбора энер-
энергии центральным слоем от ?. Мак-
Максимальный отбор происходит при
?0 = 0,14, что соответствует оценке
G.19). Из рисунков 7.1 и 7.2 следу-
следует, что зависимость энерговложе-
энерговложения Q(t) от времени, отвечающая
безударному сжатию центрального
слоя (с учетом падения в нем отбо-
отбора энергии), должна быть измене-
изменена, чтобы ликвидировать указан-
указанный недостаток.
О
0,2 0,4 0,6 0,8
Рис. 7.2
Наши построения проводились при упрощающих предположени-
предположениях, которые были сделаны для нахождения закономерностей дви-
движения слоистых систем. Справедливость сделанных предположений
подтверждена численными расчетами в точной постановке. При этом
использовались найденные зависимости Q(t). Проверялось сохранение
энтропии и воспроизведение зависимостей ил(?), РЛ(Ь) на границе слоя
с массой то оболочечной системы (см. рис. 1.3, а).

56
Реализация концепции безударного сжатия
[Ч. II
На рис. 7.3 приведена зависимость энтропии от радиуса на различ-
различные моменты времени. Отличие от постоянного значения составляет
менее 2%.
i
о
4,50 -
4,48 -
4,46 -
4,44 -
4,42-
4.40 -
Г\
! \
/ \
fJ \
0,02
0,04	0,06
Рис. 7.3
0,10
На рисунках 7.4, а, б, в приведены зависимости u(t), P(t) и
соответственно: сплошная кривая представляет собой аналитическое
решение, пунктирная — расчет. Небольшое расхождение по времени
расчетных и аналитических распределений связано с прохождением
ударной волной области с массой тп\. Приведенные графики подтвер-
подтверждают осуществление в слое с массой то безударного сжатия.
7.3. Подбор параметров
в автономной задаче безударного сжатия,
обеспечивающих загорание DT-смеси
При рассмотрении вопросов загорания и горения DT-смеси при ее
безударном сжатии необходимо иметь в виду некоторую специфику
проведения подобных расчетов.
Во-первых, в задачах безударного сжатия DT-смеси без учета го-
горения в качестве граничного условия можно ставить как зависимость
P(t), так и u(t). В расчетах с горением граничным условием должно
быть P(t). В противном случае (при постановке u(t)) энерговыделе-
энерговыделение, возникшее при термоядерном горении DT-смеси, никак не влияет
на последующее движение правой границы. Это неизбежно приведет
к полному выгоранию топлива, которое произойдет из-за неправиль-
неправильной постановки задачи. Во-вторых, в плоских системах при безудар-
безударном сжатии горение неосуществимо. Следовательно, нужно рассма-
рассматривать цилиндрические или сферические конструкции. Последнее
несколько осложняет ситуацию, поскольку становится необходимым
опираться на закономерности безударного сжатия в цилиндрических
или сферических случаях. Конечно, можно воспользоваться соответ-
соответствующими результатами работы [3], но это существенно затрудняет

Гл.7]
Оболочечные системы
57
9,9988 9,9990 9,9992 9,9994 9,9996 9,9998 1,0000 t
40 -
35 -
зо-
25 -
20™
15-
10-
5-
О-
if
I
1
1
1
J
9,9988 9,9990 9,9992 9,9994 9,9996 9,9998 1,0000 t
10

58
Реализация концепции безударного сжатия
[Ч. II
проведение расчетов. Мы упростили расчеты, воспользовавшись сле-
следующим приемом для цилиндрического случая (последний был для
нас основным). Для цилиндрического случая закономерность u(t) на
внешней границе близка к таковой для плоского слоя, однако законо-
закономерности P(t) существенно различаются. Поэтому для их получения
предварительно проводится расчет с граничным условием u{t) из
плоского решения и по его результатам строится зависимость P(t).
Найденная зависимость служит граничным условием для последую-
последующего расчета в цилиндрической геометрии с учетом горения.
С помощью дополнительных расчетов было проверено, что исполь-
использование для цилиндрической задачи граничного условия u(t) из плос-
плоской задачи фактически не приводит к разрушению закономерностей
безударного сжатия. На рис. 7.5 приведена зависимость энтропии от
радиуса для цилиндрической мишени с граничным условием u(t) из
плоской задачи на моменты времени t = 3, 5, 7, 9. Энтропия сохраня-
сохраняется с точностью до 0,3 %.
4,512 1
4,510 -
4,508 -
э 4,506 -
i
i—i
x 4,504-
4,502 -
4,500 -
4,498
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 г
Рис. 7.5
По изложенной выше методологии для цилиндрического случая
были проведены расчеты по выбору параметров однообластной ци-
цилиндрической DT-мишени. Найдены ро и со, при которых происходит
загорание DT-смеси при минимальных затратах вложенной энергии.
Рассмотрим цилиндрическую систему, представленную на рис. 7.6.
г: 0
DT
Рис. 7.6
ро = 0,05

Гл.7]
Оболочечные системы
59
Для нее находились уравнения газовой динамики и кинетики тер-
термоядерных реакций (В.7).
Уравнения состояния — идеальный газ с 7 = 5/3, cv = 9,957.
Граничные условия: слева — центр, справа — давление как функ-
функция времени, полученное из газодинамического расчета с заданной на
границе скоростью ил(г). В табл. 7.1 собраны результаты вычислений.
Таблица 7.1
со
[0, tmax)
tk
¦С^влож
Ртах
Wmax
^min
Ad, %
0,1
[0, 10)
9,9984
0,0225
2462
-2,59
0,0006
1Д
12
0.05
[0, 20)
19,9968
0,00564
2462
-1,3
0,0006
1,7
19
0,04
[0, 25)
24,996
0,0036
2462
-1,036
0,0006
1,89
22
0.03
[0, 33)
33,328
0,002
2463
-0,78
0,0006
1,94
22
0,025
[0, 40)
39,9936
0,0014
2463
-0,648
0,0006
0,00067
0
0,02
[0, 50)
49,992
0,0009
2462
-0,473
0,0006
0,00002
0
Здесь Евлож — энергия, вложенная в систему; /9тах — максимальная по
времени средняя плотность системы; i6max, rm-in — максимальная по
времени скорость и минимальный радиус системы соответственно;
Qrop — энергия, выделившаяся в результате горения; ?max = Lo/co;
tk—момент окончания расчета; /\d—процент выгорания дейтерия
в результате горения.
Из таблицы видно, что более предпочтителен вариант, соответ-
соответствующий со = 0,03.
При со = 0,025 и меньше система не «загорается», а при со > 0,03
2
необходимо задать большую начальную энергию Eq =
7G-1)
7.4. Численные расчеты сжатия
цилиндрических мишеней
Основываясь на выполненных выше теоретических построениях по
конструированию оболочечных систем, предназначенных для кумуля-
кумуляции энергии в режиме безударного сжатия, перейдем к результатам
расчетов с использованием более точных математических моделей.
Для определенности будем рассматривать цилиндрическую конструк-
конструкцию мишеней, используемую в исследованиях ИТЭФ [36] (рис. 7.7).
Математическая модель, используемая в расчетах, описывается
системой уравнений (В.1)-(В.8)
Наш подход к расчетному построению мишеней основывается на
следующих соображениях. Во-первых, при безударном сжатии можно

60
Реализация концепции безударного сжатия
[Ч. II
получить высокие параметры сжимаемого газа. Во-вторых, основ-
основной недостаток в непосредственной реализации безударного сжатия —
необходимость неограниченного роста энерговложения — может быть
устранен. Это достигается накоплением кинетической энергии в тяже-
тяжелой оболочке с массой mi в ходе энерговложения. Прекращение энер-
энерговложения компенсируется последующей отдачей топливу запасен-
запасенной кинетической энергии областей mi, т^ (см. рис. 1.3, а). В-третьих,
классическая реализация (до конечной стадии) режима сверхплотного
сжатия затрудняет получение эффективного горения. Режим должен
быть несколько затянут по времени на стадии, близкой к заключи-
заключительной, иначе «разгорание» не успевает осуществиться. Кроме того,
при классическом безударном (холодном) сжатии для осуществления
горения не хватает температурного разогрева топлива, хотя критерий
«по зажиганию» —pAr ~ J pdr — выполняется с большим запасом за
счет высоких плотностей. Поднять конечную температуру можно с по-
помощью увеличения начального разогрева (увеличения параметра со)
или нарушения режима безударного сжатия на заключительной его
стадии.
Я, см ро,г/см3
0,22 —
:,, Аи 0,195 -
Be
Аи
0,105-
0,1
Аи 20
Be 2
Аи 20
DT 0,05
Рис. 7.7
При разработке микромишеней необходимо также учитывать кон-
конструктивные характеристики установки, на которой планируется про-
проводить эксперименты с данной мишенью. Опишем предлагаемый «сце-
«сценарий» энерговложения в оболочечную конструкцию микромишени,
вариант которой приведен на рис. 7.7. Напомним, что она представля-
представляет собой систему вложенных цилиндрических оболочек, выполненных
из различных веществ.
В реальной (двумерной) постановке торцы остаются открытыми
и через них пучок тяжелых ионов направляется вдоль оси в одну из
внешних областей (стрелки 1 на рис. 7.7). Исследования построены
на сочетании одномерных расчетов движения системы в плоскости,
перпендикулярной оси, и двумерных расчетов движения в плоско-
плоскости, проходящей через ось мишени. По результатам аналитических
построений и одномерным расчетам подбирается оптимальная кон-
конструкция мишени при указанном выше внешнем энерговложении. По

Гл. 7]	Оболочечные системы	61
результатам двумерных расчетов оценивается, в частности, влияние
открытых торцов, через которые осуществляется энерговложение.
Проведенные двумерные расчеты показали, что при безударном сжа-
сжатии разгрузка с торцов захватывает только конечную часть мишени
вдоль ее оси. Движение остальной (значительной) ее части остается
невозмущенным и одномерным, т. е. его можно описывать одномерны-
одномерными расчетами. Таков сценарий расчетного конструирования мишеней.
Обратим внимание на следующее важное обстоятельство. При схо-
схождении к оси тяжелой оболочки (область rri2] см. рис. 1.3, а) послед-
последняя подвергается сильному сжатию на стадии обострения внешнего
энерговложения Q(t). Плотность ее интенсивно возрастает, матери-
материал становится теплоизоляционным экраном по отношению к области
внешнего энерговложения. Поэтому сохраняются условия тепловой
изоляции центрального слоя (DT-топлива), а значит, и условия без-
безударного сжатия. Сложнее обстоит дело в трехтемпературной модели.
Практически до заключительного момента схождения центральной
области DT движение остается адиабатическим. Но на финальной
стадии благодаря наличию релаксации среда DT-газа как бы мгно-
мгновенно прогревается; безударность разрушается. Это приводит к необ-
необходимости увеличения внешнего энерговложения Q(t) для зажигания
DT-слоя по сравнению с однотемпературной моделью.
Учитывая, что обострение импульса (под ним понимается резкий
рост энерговложения на коротком промежутке времени) на современ-
современных установках создавать очень сложно, энерговложение по формуле
G.15) осуществляется до момента времени ?*, в который обострение
достигает допустимой для установки величины Q (?*). Далее энерго-
энерговложение происходит при постоянном Q (?*) до момента времени ?**.
Последний определяется достижением в области с массой то заданной
величины плотности, которая обеспечивает критерий по зажиганию.
Если температура оказывается недостаточной, то в момент ?*** =
= ?** + At, при достижении необходимого критерия по зажиганию,
в область с массой то делается дополнительное энерговложение в ви-
виде короткого импульса интенсивностью Q (?) («поджигающий» им-
импульс; стрелка 2 на рис. 7.7). Благодаря этому можно осуществить
активное горение центральной области.
Подобный подход, при котором зажигание осуществляется с
помощью дополнительного энерговложения непосредственно в
DT-топливо вторым мощным импульсом, привлекательный, на
первый взгляд, из-за экономии внешнего энерговложения, содержит
ряд серьезных недостатков. Во-первых, к моменту второго импульса
DT-смесь уже должна иметь высокую плотность и «поджигающий»
пучок может распространяться вдоль оси только на небольшую
глубину от торца мишени. Поэтому разгорание DT-смеси (если
оно произойдет) будет представлять собой сложный процесс
детонации, распространяющейся вдоль оси. При этом неизбежно
возникнут значительные возмущения, которые могут разрушить
саму кумуляцию. Во-вторых, технически крайне сложно осуществить

62	Реализация концепции безударного сжатия	[Ч. II
энерговложение вторым импульсом в пятно DT-топлива очень малых
размеров. Поэтому поджигающий импульс трудно реализовать.
В данной ситуации оказывается важным вопрос: возможно ли
за один акт внешнего энерговложения обеспечить сжатие и горение
цилиндрической мишени при облучении ее с торца? Использование
режима безударного сжатия решает эту проблему.
Дополнительно нагреть сжатое вещество можно, например, про-
пропуская по нему сильную ударную волну, т. е. нарушая в нужный
момент режим безударного сжатия. Этого возможно добиться с по-
помощью коррекции импульса Q(t) в соответствующий момент времени.
Такой сценарий внешнего энерговложения не только обеспечивает без-
безударное сжатие DT-смеси до высоких плотностей, но и осуществляет
дополнительный нагрев вещества на заключительной стадии сжатия.
Далее проведено расчетное сопоставление двухимпульсного и одноим-
пульсного сценариев сжатия и горения на примере цилиндрической
мишени, представленной на рис. 7.7.
В данном примере используется следующая система единиц: дли-
длина — см, время — 10~7 с, масса — г, температура — кэВ. Рассчитыва-
Рассчитываются движение системы и кинетика термоядерных реакций.
Введем следующие обозначения:
t* — момент времени, до которого осуществляется энерговложение
по схеме безударного сжатия;
Q (?*)—максимальное обострение мощности энерговложения на
момент ?*;
F (?*) —полное энерговложение в область rri2 по схеме безударного
сжатия за время t* @ ^ t ^ ?*);
?** —момент окончания внешнего энерговложения в область шп^'-,
F (t**) —полное энерговложение в область т2 за время
*
Fq — величина дополнительного (мгновенного) энерговложения
в DT-смесь;
^влож — энергия, суммарно вложенная в мишень за два импульса;
^отоб —энергия, отобранная DT-газом за все время движения;
Qrop — величина выделившейся термоядерной энергии;
Ad —доля выгорания дейтерия;
Anax, Tmax — максимальная по времени средняя плотность и тем-
температура центральной области соответственно;
рАг — величина критерия по зажиганию (J р dr^j в области DT-
смеси.
В таблицах 7.2 и 7.3 приведены данные расчетов мишени при
двухимпульсном и одноимпульсном энерговложениях соответственно.
Второй столбец табл. 7.2 — результат расчета с Q (?*) « 3 без допол-
дополнительного энерговложения в центральный DT-слой. В этом случае
мишень не загорается. В третьем и четвертом столбцах табл. 7.2
приведены результаты расчетов при дополнительном энерговложении
в область DT-газа (второй импульс) с уравнениями состояния иде-
идеального газа при 7 = 5/3 и реальными уравнениями состояния [37]

Гл.7]
Оболочечные системы
63
Таблица 7.2
Величины
f
F(r)
Q(f)
t"
F{t")
Fo
^влож
ЕОТОб
Ц^гор
До, %
Ртах
J- max
pAr
1-й расчет
9,955
0,00182
3,011
10,25
0,1657
0
0,1657
0,0025
0,000196
0
2147
0,3524
0,66
2-й расчет
9,955
0,00182
3,011
10,25
0,1657
0,098428
0,2657
0,00252
5,6964
48
590,7
202,5
0,61
3-й расчет
9,955
0,0182
3,011
10,25
0,1657
0,098428
0,2657
0,00252
2,09
20
182,35
49,27
0,212
Таблица 7.3
Величины
t*
F(O
Q(O
Г*
F(***)
-Ё^отоб
Qrop
До, %
Ртах
-* max
pAr
1-й расчет
9,96476
0, 0246
5,2634
10,25
0,2679
0,0026
0,99629
10
3023,5
25,9
0,7544
2-й расчет
9,96994
0, 030877
7,5381
10,157
0,26798
0,000174
3,4174
32
3086,3
105,9
0,73
3-й расчет
9,96994
0, 030877
7,5381
10,25
0,38905
0,000174
3,4364
32
3106,4
106,6
0,7324
соответственно в слоях со второго по четвертый. Согласно этим расче-
расчетам мишень загорается. Второй столбец табл. 7.3 — результат расчета
с Q (?*) « 5, в третьем и четвертом столбцах приведены результаты

64	Реализация концепции безударного сжатия	[Ч. II
расчетов с Q (?*) « 7,5. Кроме того, в расчете, приведенном в чет-
четвертом столбце, энерговложение продолжается до ?** = 10,25, что не
приводит к эффективности энерговыделения.
Сопоставление таблиц 7.2 и 7.3 обнаруживает, что роль второго
поджигающего импульса выполняет обострение мощности основного
энерговложения с Q (Г) « 3 до Q (Г) «5-^7.
Анализируя информацию таблиц 7.2 и 7.3, можно сделать следую-
следующие выводы.
Во-первых, «горение» DT-смеси можно получить с поджигающим
импульсом.
Во-вторых, «горение» DT-смеси можно получить и без дополни-
дополнительного импульса, увеличивая обострение первого пучка.
7.5. Оценка влияния двумерных эффектов
разгрузки с торцов на динамику кумуляции
Выше говорилось, что в рамках трехтемпературной модели среды
возможно проведение двумерных расчетов сжатия и горения термо-
термоядерных мишеней с уточненным учетом энерговложения при прохож-
прохождении тяжелых ионов вдоль вещества мишени и их торможении.
Однако изучение всей совокупности процессов при такой комплекс-
комплексной постановке делает практически невозможным построение опти-
оптимальной конструкции мишени. Рассмотренное выше вычислитель-
вычислительное конструирование мишени с заданными выходными параметрами,
сочетающее использование полученных аналитических закономерно-
закономерностей и проведение уточняющих одномерных расчетов, необходимо
завершить оценкой влияния двумерных эффектов. Последнее можно
сделать на основе проверочных двумерных расчетов, по результатам
которых выявить границы влияния торцов. Применительно к данным
конкретной ускорительной установки при выборе начальной плотно-
плотности вещества слоя можно определить длину торможения частиц, т. е.
длину, на протяжении которой осуществляется поглощение внешней
энергии (примем его продольный размер равным 1 см). Длина ми-
мишени определяет ее оптимальный радиальный размер, превышение
которого сокращает (или вовсе ликвидирует) ее часть, оставшуюся
неразгруженной со стороны торцов. При осуществлении безударного
сжатия размер области разгрузки со стороны торца можно оценить
как начальный радиус центральной части мишени.
Проведенные двумерные расчеты сжатия и горения цилиндриче-
цилиндрических мишеней, построенных на основе безударного сжатия, убедитель-
убедительно доказывают существование области, не подверженной разгрузке со
стороны торцов. При этом снижение величины энерговыделения от
горения DT составляет меньше половины от расчетов по одномерной
модели. Это «приемлемая» плата за наличие двумерных эффектов.
Осуществление режима безударного сжатия в рассмотренных кон-
конструкциях в значительной мере избавляет и от неустойчивости Релея-
Тейлора на внешней границе топлива при его сжатии.

Заключение	65
Заключение
Итогом проведенных исследований явилось поэтапное (последова-
(последовательно, по областям влияния) построение приближенного решения за-
задачи о движении слоистой системы оболочек и определение распреде-
распределения энергии по слоям при начальном ее вложении во внешние слои.
Выявлены зависимости поведения решения от начальных параметров,
задающих конструкцию системы.
В случаях цилиндрической или сферической симметрии течения
получены аналитические выражения для определения величины ку-
мулирующейся энергии.
В результате проведенных исследований продемонстрировано, как
можно применить идею безударного сжатия при конструировании
микромишеней. Отмечены положительные факторы использования
безударного сжатия (достижение высоких плотностей при малых за-
затратах энергии) и показано, как можно преодолеть теоретическую
неограниченность энерговложения, возникающую при классических
теоретических подходах. Построенные для оценки работоспособно-
работоспособности мишени теоретические модели играют важную роль на стадии
предварительного проектирования, позволяют выявить диапазон до-
допустимых параметров и провести последующие детальные расчеты
для поиска оптимальных решений только в этом диапазоне.
3 Г.В.Долголева и А.В.Забродин

Список литературы
1.	Станюкович К. П. Неустановившиеся движения сплошной среды.—
М.: Наука, 1971.
2.	Каждан Я.М. К вопросу об адиабатическом сжатии газа под дей-
действием сферического поршня // ПМТФ. 1977, № 1. С. 23-30.
3.	Каждан Я.М. Адиабатическое сжатие газа под действием цилиндри-
цилиндрического поршня // Препринт ИПМ АН СССР, М., 1980, № 56.
4.	Седов Л.И. Об интегрировании уравнений одномерного движения
газа // ДАН СССР. 1953. Т. 90, № 5. С. 735.
5.	Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. — М.: Гостех-
издат, 1954, изд. 3-е.
6.	Забабахин И.Е. Явления неограниченной кумуляции // Механика
в СССР за 50 лет. —М.: Наука, 1970. Т. 2. С. 313-342.
7.	Забабахин Е.И., Забабахин И.Е. Явления неограниченной кумуля-
кумуляции. — М.: Наука, 1978.
8.	Забабахин И.Е., Симоненко В. А. Сферическая центрированная волна
сжатия // Прикладная математика и механика. 1978. Т. 42. Вып. 3.
С. 573-576.
9.	Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпе-
высокотемпературных гидродинамических явлений.— М.: Наука, 1966.
10.	Забродин А.В., Ченцов И.И. Приближенные решения в баллистиче-
баллистической задаче Лагранжа и ее обобщениях // Препринт ИПМ АН СССР,
М., 1988, № 58.
11.	Змитренко Н.В., Курдюмов СП., Михайлов А.П. Теория режимов с
обострением в сжимаемых средах // Итоги науки и техники. Совре-
Современные проблемы математики. —М.: ВИНИТИ, 1986. Т. 28. С. 3-94.
12.	Долголева Г.В., Забродин А.В. Построение последовательности при-
приближенных решений для определения величины кумулирующейся
энергии при схождении слоистой системы оболочек // Известия АН
СССР. МЖГ. 1993, № 2. С. 116-123.
13.	Брушлинский К.В., Каждан Я.М. Об автомодельных решениях неко-
некоторых задач газовой динамики // Успехи математических наук. 1963.
Т. 18, № 2. С. 3-23.
14.	Долголева Г.В., Забродин А.В. Построение последовательности асим-
асимптотик для определения величины кумулирующейся энергии при схо-
схождении слоистой системы оболочек // Тезисы доклада Всесоюзного
симпозиума «Газодинамика взрывных и ударных волн, детонацион-
детонационного и сверхзвукового горения», Алма-Ата, 1991. С. 72.
15.	Долголева Г.В., Забродин А.В. Построение последовательности асим-
асимптотик для определения величины кумулирующейся энергии при схо-
схождении слоистой системы оболочек // ВАНТ. Сер.: Математическое
моделирование физических процессов. 1992. Вып. 1. С. 3-10.

Список литературы	67
16.	Долголева Г.В., Забродин А. В. Поэтапное построение решения в за-
задаче схождения слоистой системы оболочек. Определение величины
кумулирующейся энергии // ВАНТ. Сер.: Математическое модели-
моделирование физических процессов. 1993. Вып. 4. С. 8-14.
17.	Долголева Г.В., Забродин А.В. Построение решения в задаче движе-
движения слоистых оболочек // Тезисы докладов конференции «Забаба-
хинские чтения», Кыштым, 1995. С. 12-22.
18.	Долголева Г.В., Забродин А.В. Построение решения в задаче дви-
движения слоистых оболочек // В сб. «Проблемы механики сплошной
среды», Владивосток, 1996. С. 160-169.
19.	Долголева Г.В., Забродин А.В. Построение решения в задаче движе-
движения слоистых оболочек // ВАНТ. Сер.: Математическое моделирова-
моделирование физических процессов, 1996. Вып. 3. С. 27-34.
20.	Гао Яоминг. Расчетная реализация безударного сжатия и термо-
термоядерного горения двумерных (цилиндрических и осесимметричных)
конфигураций DT-газа // Препринт ИПМ РАН, М., 2000, № 21.
21.	Гао Яоминг. Численное исследование реализации безударного сжа-
сжатия и термоядерного горения несферической мишени тяжелоионного
термоядерного синтеза // Препринт ИПМ РАН, М., 2001, № 66.
22.	Крайко А.Н. О неограниченной кумуляции при одномерном неста-
нестационарном сжатии идеального газа // Прикладная математика и
механика. 1996. Т. 60. Вып. 6. С. 1000-1007.
23.	Крайко А.Н. Вариационная задача об одномерном изэнтропическом
сжатии идеального газа // Прикладная математика и механика. 1993.
Т. 57. Вып. 5. С. 35-51.
24.	Крайко А.Н., Тилляева П. И. Автомодельное сжатие идеального газа
плоским, цилиндрическим или сферическим поршнем // Теплофизи-
Теплофизика высоких температур. 1998. Т. 36, № 1. С. 120-128.
25.	Чернышев Ю.Ю. Двумерная центрированная волна в теплопровод-
теплопроводном невязком газе // Вычислительные технологии. 2002. Т. 7, № 4.
С. 107-115.
26.	Сидоров А.Ф. Избранные труды. Математика и механика. — М.: Физ-
матлит, 2001.
27.	Сидоров А.Ф. Некоторые оценки степени кумуляции энергии при
плоском и пространственном безударном сжатии // ДАН СССР.
1991. Т. 318. С. 548-552.
28.	Сидоров А.Ф. Об оптимальном безударном сжатии газовых слоев //
ДАН СССР. 1990. Т. 313, № 2. С. 283-287.
29.	Сидоров А.Ф. Безударное сжатие баротропного газа // ПММ. 1991.
Т. 55. Вып. 5. С. 769-779.
30.	Баутпин СП. Математическая теория безударного сильного сжатия
идеального газа. — Новосибирск: Наука, 1997.
31.	Забродин А.В., Прокопов Г.П. Методики численного моделирования
двумерных нестационарных течений теплопроводного газа в трехтем-
пературном приближении // ВАНТ. Сер.: Математическое модели-
моделирование физических процессов, 1998. Вып. 3. С. 3-16.
32.	Баско М.М. GITTAM-программа для численного моделирования од-
одномерных мишеней ТИС. 1. Описание алгоритма и программы //
Препринт ИТЭФ, 1989, № 88.

68	Список литературы
33.	Nuckols J., Wood L., Thiessen A., Zimmerman G. Laser compression
of matter to supper-high densities thermonuclear (CTR) applications //
Nature. 1972. V. 239, № 368. P. 139.
34.	Бельков С.А., Бессараб А.В., Долголева Г.В. и др. Исследование
сжатия высокоаспектных мишеней при облучении лазерным импуль-
импульсом второй гармоники йодного лазера «Искра-4» // ЖЭТФ. Т. 101.
Вып. 1. 1992. С. 80-82.
35.	Баско М.М., Имшенник B.C., Кошкарев Д.Г. и др. Управляемый
тяжелоионный синтез и дейтериевые мишени // ВАНТ, Сер.: Ма-
Математическое моделирование физических процессов, 1989. Вып. 3.
С. 84-97.
36.	Елисеев Г.М., Клинишов Т.Е. Уравнение состояния твердых веществ
и его сплайн-аппроксимация // Препринт ИПМ АН СССР, М., 1982,
№ 173.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Часть I. Кумуляция энергии
в слоистых системах
Глава 1. Постановка задачи. Приближения, при которых
строится решение	 9
Глава 2. Однокаскадная система	 11
2.1.	Первый этап построения решений — движение слоев в плоском
приближении	 11
2.2.	Второй этап построения решений с учетом симметрии геометрии
системы	 15
2.3.	Третий этап — этап схождения в цилиндрическом и сферическом
случаях	 17
2.3.1.	Вариант чистополой мишени	 17
2.3.2.	Вариант с заполнением полости веществом малой плотно-
плотности 	 17
Глава 3. Двухкаскадная система		21
3.1.	Первый этап — построение решения при совместном движении
слоев двух каскадов		21
3.2.	Этап схождения		26
3.2.1.	Вариант чистополой системы	 26
3.2.2.	Вариант с заполнением полости веществом малой плотно-
плотности 	 27
Глава 4. Анализ зависимости величины отбора энергии от
исходных параметров системы	 30
Глава 5. Проверка аналитических построений численными
расчетами	 32

70	Оглавление
Часть II. Реализация концепции
безударного сжатия
Глава 6. Двучленное уравнение состояния	 39
6.1.	Зависимость скорости и давления от времени при осуществле-
осуществлении безударного сжатия	 39
6.2.	Сопоставление аналитических результатов с численными расче-
расчетами 	 43
Глава 7. Оболочечные системы и возможности реализации
безударных режимов сжатия	 46
7.1.	Реализация безударных режимов сжатия	 46
7.2.	Построение оболочечных конструкций, реализующих движения
безударного сжатия	 50
7.3.	Подбор параметров в автономной задаче безударного сжатия,
обеспечивающих загорание DT-смеси	 56
7.4.	Численные расчеты сжатия цилиндрических мишеней	 59
7.5.	Оценка влияния двумерных эффектов разгрузки с торцов на
динамику кумуляции	 64
Заключение	 65
Список литературы	 66

Научное издание
ДОЛГОЛЕВА Галина Владимировна
ЗАБРОДИН Алексей Валериевич
КУМУЛЯЦИЯ ЭНЕРГИИ В СЛОИСТЫХ СИСТЕМАХ
И РЕАЛИЗАЦИЯ БЕЗУДАРНОГО СЖАТИЯ
Редактор О.А. Ленина
Оригинал-макет: В. В. Затекин
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 04.02.04.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 4,5. Уч.-изд. л. 5. Тираж: 400 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
з ФГУП «Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ»
140010, г. Люберцы, Московская обл., Октябрьский пр-т, 403